Capítulo 1 Probabilidad Problemas 1. De una baraja española de 40 cartas se extraen sin reemplazamiento cuatro al azar. Calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: (a) Cuatro ases. (b) Cuatro cartas de la misma figura. (c) Las cuatro cartas de igual palo. (d) Al menos una sota. 2. Consideremos una urna con 7 bolas blancas y 3 bolas negras, y una segunda urna con 3 bolas blancas y 4 negras. Se extrae al azar una bola de la primera urna y se pasa a la segunda. Se extrae a continuación una bola al azar de la segunda urna. Calcúlese la probabilidad de que esta bola sea blanca. 3. En la entrada de una Facultad hay tres fotocopiadoras A, B y C cuyos porcentajes de fallo son 3 %, 5 % y 4 %, respectivamente. Un alumno entra en la Facultad y, como las tres fotocopiadoras están libres, elige una al azar. Al llegar a clase observa que una fotocopia es defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que fuera hecha en la máquina B ?. 4. Se ha recibido una partida de 20 ordenadores, de los cuales dos son defectuosos. La tienda decide seleccionar aleatoriamente dos y aceptar el embarque si ninguno de los dos tiene defectos. ¿Cuál es la probabilidad de aceptación del embarque? 5. De entre 20 tanques de combustible fabricados para un transbordador espacial, tres se encuentran defectuosos. Si se seleccionan aleatoriamente cuatro tanques: (a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los tanques se encuentre defectuoso? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los tanques tenga defectos? 6. La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0.9 Un aparato contiene dos de estos componentes. El aparato funciona mientras lo haga uno de los dos componentes. (a)
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Sin importar cuál de los dos componentes funcione o no, ¿cuáles son los posibles resultados y sus respectivas probabilidades?. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?. 7. Una planta armadora recibe microcircuitos procedentes de tres fabricantes A, B y C . El 50 % del total se compra a A, mientras que a B y C se les compra un 25 % a cada uno. El porcentaje de circuitos defectuosos para A, B y C es 5, 10 y 12 % respectivamente. Si los circuitos se almacenan en la planta sin importar quién fue el proveedor: (a) Determinar la probabilidad de que una unidad armada en la planta contenga un circuito defectuoso. (b) Si un circuito no está defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido vendido por el proveedor B ? 8. Un mecanismo consta de 3 piezas A, B y C . La probabilidad de que falle cada una de ellas es, respectivamente, 0.03, 0.08 y 0.01. Calcular la probabilidad de que el mecanismo deje de funcionar si esto sólo sucede cuando: (a) Le fallan las tres piezas. (b) Le fallan al menos dos piezas. (c) Le falla al menos una pieza. 9. El sexo en las tortugas, como en la mayoría de los reptiles, no está predeterminado genéticamente, sino que depende de la temperatura media de la incubación. Los huevos se incuban gracias al calor que se acumula en la arena que los cubre. A una temperatura moderada la mitad de las crías que nacen son hembras y la otra mitad machos. Si la temperatura es alta la proporción de hembras es del 80 %, y si es baja esta proporción se invierte, con un 80 % de machos. a) Se han sacado 2 huevos de un nido a temperatura moderada. ¿Cuál es la probabilidad de que las crías sean ambas machos? ¿Y de que sean ambas hembras? ¿Y de que sea una hembra y la otra macho? b) Repetir la pregunta anterior si el nido se encontraba a temperatura alta. c) Se han extraído 5 huevos de un nido, resultando 3 machos y 2 hembras. ¿Qué es más probable, que el nido se encontrase a temperatura moderada, a temperatura alta o a temperatura baja? 10. De un terrario con 60 tortugas, de las que 10 son machos y 50 hembras, se extraen al azar 5 ejemplares. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 5 sean hembras? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 1 macho? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos un macho? (d) ¿Cuántos ejemplares habría que extraer para que la probabilidad de que haya al menos un macho sea superior al 20 %? 11. Se tira sucesivas veces una moneda hasta que sale cruz. Calcular la probabilidad de que (a) salga cruz en la primera tirada. (b) salga cruz en la décima tirada. (c) salga cruz después de la décima tirada. 12. Se lanzan dos dados. (a) Hallar la probabilidad de que su suma sea par si se lanzan ambos dados a la vez. (b) Idem si se lanzan sucesivamente, y en el primer dado ha salido un número
par. (c) ¿Cuál es la probabilidad de que en uno de los dados haya salido un dos si se sabe que la suma de ambos es par? 13. Una máquina fabrica piezas para motores de barco. La probabilidad de que una pieza resulte defectuosa es de 0.005. Estas piezas se venden en lotes de 100. En el control de calidad de la empresa se rechazan los lotes que contienen dos o más piezas defectuosas. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un lote elegido al azar sea rechazado? (b) Se han fabricado 100 lotes. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos sean rechazados en el control de calidad? 14. Una urna contiene 10 bolas blancas y 5 negras. Se extraen 6 bolas. Calcular la probabilidad de que (a) salgan todas negras. (b) salgan todas blancas (c) salgan tres negras y dos blancas (d) salga al menos una blanca (e) salga al menos una negra si ya han salido dos blancas. Responder a estas cinco preguntas en cada uno de los dos casos siguientes: (1) las cinco bolas se extraen simultáneamente (muestreo sin reemplazamiento) (2) las bolas se van sacando de una en una, siendo cada vez devueltas a la bolsa (muestreo con reemplazamiento) 15. Un examen consta de 10 preguntas, en cada una de las cuales hay que responder a, b o c. Cada pregunta bien contestada vale un punto y se aprueba con una calificación de, al menos, cinco puntos. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno que elige cada respuesta al azar apruebe el examen? 16. Una puerta tiene dos cerraduras distintas. Se dispone de seis llaves semejantes entre las que se encuentran las dos que abren la puerta. ¿Cuál es la probabilidad de abrir la puerta con las dos primeras llaves que se prueben? Si se pierde una llave de las seis ¿cuál es la probabilidad de que aún se pueda abrir la puerta? 17. Un químico asegura haber ideado un análisis para identificar cuatro compuestos químicos A, B, C y D cuando éstos se hallan disueltos en agua. A este químico se le entregan cuatro probetas cada una de las cuales contiene uno de dichos compuestos en disolución (los cuatro distintos entre sí). Supongamos que realmente el análisis no funciona y que los compuestos sólo son identificados por casualidad. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que identifique correctamente los cuatro compuestos? (b) ¿Cuál es la probabilidad de que identifique 2? (c) ¿Cuál es la probabilidad de que identifique sólo uno? (d) ¿Cuál es la probabilidad de que no identifique ninguno. 18. En un estudio realizado en cierta Universidad se ha determinado que un 20 % de sus estudiantes no utilizan los transportes públicos para acudir a sus clases y que un 65 % de los estudiantes que utilizan los transportes públicos también hacen uso del comedor universitario. Calcular la probabilidad de que seleccionado al azar un estudiante en esa Universidad resulte ser usuario de los transportes públicos y del comedor universitario. Justificar la respuesta.
19. Supongamos que tenemos dos monedas, una de ellas normal y la otra con dos caras. Seleccionamos al azar una de las dos monedas y la tiramos tres veces, obteniendo cara en las tres ocasiones. Determinar la probabilidad de que la moneda escogida haya sido la normal.