PROBLEMAS DEL TEMA 2 VARIABLES ALEATORIAS 1.- Una urna contiene 2 bolas rojas y 8 bolas negras. (a) Se realizan 5 extracciones con reemplazamiento de la urna, es decir, se saca una bola y una vez anotado el color, se devuelve a la urna. Calcula la distribución de probabilidad de la variable aleatoria X=”número de bolas rojas en las 5 extracciones”. (b) Ahora se realizan 5 extracciones sin reemplazamiento, es decir, la bola extraída no se devuelve a la urna (es como si se sacaran las 5 bolas a la vez). Calcula la distribución de probabilidad y la función de distribución de la variable Y =”número de bolas rojas de las 5 extraídas”. (c) Calcula el número esperado de bolas rojas extraídas en ambos casos. 2.- Sea X una variable aleatoria continua de función de densidad de probabilidad:
C (1 x 2 ) si x (0,3) f ( x) en otro caso 0 a. Hallar el valor de la constante C y la función de distribución acumulativa de probabilidad. Dibujar ambas funciones b. Probabilidad de que X esté comprendido entre 0 y 1 c. Probabilidad de que X sea menor que 1 d. Probabilidad de que X sea mayor que 2 e. Calcular E(x) y Var(x) 3.- La función de densidad de una variable aleatoria continua es:
ax 2 b f ( x) en 0 sabiendo que P(1/2<x<1) = 1/8, calcualar: a. a y b b. La función de distribución. c. P(x<1/2), P(/4<x<3/4), P(x>1)
si x (0,2) otro caso
4.- El diámetro de un cable eléctrico se considera una v.a. continua X, cuya función de densidad de probabilidad es:
a. b. c. d.
si 0 x 1 Cx(1 x) f ( x) en otro caso 0 Calcular el valor de C Determinar la función de distribución de probabilidad F(x). Calcular la media, mediana y varianza de la distribución Calcular P(x<1/2), P(0x1/4), P(x1/3), P(X1/21/3<x<2/3)
5.- La variable aleatoria X tiene una distribución uniforme en el intervalo (-2,8). a. Determinar la función de probabilidad y el valor de P(0<x<7) b. Calcular E(x), Var (x)
6.- La variable aleatoria X denota la corriente, medida en miliampares, en un alambre delgado de cobre. Supóngase que la función densidad de probabilidad de esta variable aleatoria es una función uniforme en el intervalo (0,20). a. Determinar la esperanza y la varianza de X b. ¿Cuál será la probabilidad de que por el alambre circule una corriente de más de 10 miliamperes? c. ¿Y entre 5 y 8 miliamperes? 7.- En la extracción simultánea de tres bolas de una urna que contiene 6 bolas blancas y cuatro negras, observamos el número de bolas blancas extraídas. De la variable aleatoria así definida, calcular : a. Función de probabilidad b. Función de distribución c. Esperanza matemática , varianza y desviación típica. d. Mediana y cuartiles 8.- Se ha comprobado experimentalmente que la vida útil de una batería es una variable aleatoria cuya función de densidad es:
x0 0 f x ax x 0, a, b 0 be
a. Determina la relación entre a y b. b. Obtener la función de distribución de probabilidad c. Calcula la probabilidad de que una batería dure un tiempo mayor a 1/a. 9.- Por experiencia se sabe que la probabilidad de que llames al 012 y te atienda directamente es de 0,25. Demuestra matemáticamente que el número esperado de llamadas que debes hacer para que te cojan es de 4. 10.- El número de trabajos que llegan a una CPU durante un minuto sigue la distribución de probabilidad dada en la tabla: X p(x)
0 0,05
1 0,10
2 0,15
3 0,25
4 0,30
5 0,10
6 0,05
a. Determine e interprete el número esperado de trabajos que llegan a la CPU durante un minuto. b. Determine e interprete la varianza y desviación estándar de esta v.a. c. Calcular e interpretar P ( x < 4). d. Calcular e interpretar P( 1 < x < 4).