FRACCIONES ALGEBRAICAS
EJERCICIOS
1. Utilizando identidades notables, desarrollar las siguientes expresiones: a) (x+2) b) (x-2)
2
e) (3x-5)
2
i) (3x-2)
f) (3x+2) (3x-2)
c) (x+2)(x-2) d) (2x+3)
2
g) (ax+1)
2
h) (ax-b)
k) (-1+2x)
2
l) (-2-x)
(
)(
m) x + 3 x − 3
j) (2x+5) (2x-5)
2
2
2
2
(
n) x + 2
)
)
2
2
o) (x +x+2)
2
2
2
2
2. a) Razonar por qué (A-B) y (B-A) dan el mismo resultado. b) Ídem con (A+B) y (-A-B)
2
er
3. Averiguar de qué expresiones notables proceden los siguientes polinomios (Fíjate en el 1 ejemplo): 2
a) x +2x+1=(x+1)
2
g) 9-x
2
2
h) x +2ax+a
2
i) 3x +6x+3
2
j) x -a
2
k) a x -b
b) x -4x+4 c) x -1 d) x +6x+9 e) x -8x+16 2
2
2
t) x -25
2
2
2
2
u) 25x -16
2 2
p) a x -2ax+1 2
4
q) x -16
2
f) x -4
2
o) 4x -9
2
2 2
s) x -6x+9
n) x -2
2
2
2
m) x +10x+25
2
l) x -16
r) 4x +4x+1
Ejercicios libro: pág. 34: 13; pág. 42: 35 y 36; pág. 43: 53 (pasar a identidad notable); pág. 43: 54 (más elaborado)
4. Utilizar identidades notables para simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 2 a) x − 2x + 1
x −1 2
2 b) x − 16
2 2 f) x − y
x 2 + xy
y Soluc : 1 - x
x2 − 4 x2 − 4x + 4
x+2 Soluc : x - 2
4 Soluc : 1 + x
g)
2x − 4
x+2 Soluc : x - 2
2 h) x + 2x + 1
2x 2 − 2 3x 2 + 6 x + 3
2x - 2 Soluc : 3x + 3
2 2 i) x − 2ax + a
x − 4x 2
c) 2x + 4 d)
x -1 Soluc : x + 1
2 2 e) x + 2ax + a
mx + ma
x+a Soluc : m
x4 − 1
x 2 − a2
j)
a2 x2 − 1 a2 x2 + 2ax + 1
x +1 Soluc : x 3 - x 2 + x - 1 x-a Soluc : x + a
ax - 1 Soluc : ax + 1
RECORDAR: TEOREMA DEL FACTOR: "P(x) es divisible por x-a (o dicho de otra forma, P(x) contiene el factor x-a) si se cumple que P(a)=0" 2 Ejemplo: Dado P(x)=x +x-2, como P(1)=0, podemos asegurar que P(x) es divisible por x-1 2 De hecho, puede comprobarse que al factorizarlo se obtiene x +x-2=(x-1)(x+2)
ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS
5. Utilizar el teorema del factor para simplificar, siempre que sea posible, las siguientes fracciones algebraicas: a) b)
x-2 x2 + x − 6 x −1 2x − 3 x + 1 2
2 c) x + x − 6
x −4 2
d)
x2 − 1 5x + 4x − 9 2
e) x2+ 2 x −1 x+2
g)
h)
1 Soluc : 2x - 1
i)
x+3 Soluc : x + 2
3 j) x − 1
x 2 + x +1 Soluc : x +1
x +1 Soluc : 5x + 9
2 k) 2x − x − 6
2x + 3 Soluc : x + 2
(S oluc :
2 f) x + x - 2
2x − 2 x2 + x − 2
x−3
1 Soluc : x + 3
irreducible )
(S oluc :
x 2 + 5x + 6 x −1
irreducible )
1 Soluc : 5x + 9
5x + 4x − 9 2
x −1 2
x −4 2
2 l) x − a − a 2
x + a +1 Soluc : x + a
x 2 − a2
Ejercicio libro: pág. 38: 20
(Soluc : x - 1) 2 Soluc : x + 2
6. Averiguar, factorizando previamente numerador y denominador, si es posible simplificar las siguientes fracciones algebraicas: 2 a) x - 3x + 2
x −x−2 2
2 b) x + x − 2
x 2 + 3x + 2
2 c) x − 5 x + 6
x + 5x + 6 2
2 d) 2x − 3 x + 1
2x − x − 1 2
3 2 e) x − 6x + 11x − 6
x − 2x − x + 2 3
2
f) x + x + 2 x2 − x + 1
x -1 Soluc : x + 1 x -1 Soluc : x + 1
(S oluc :
irreducible )
x3 - 4x2 + x + 6
3 2 h) x - 3x + 3 x − 1
x − 2x + 1 2
i)
4x 2 − 1 4x 2 + 4x + 1
3 2 j) x - x − 10 x − 8 2 x + 3x − 4
x3 + 4x2 + x − 6
3 2 l) 4x + 7x + 2x − 1 x 3 + 3x 2 + 3x + 1 3 2 m) 2x − x − 8x + 4
x3 + 8
x-3 Soluc : x + 3
4x - 1 Soluc : x +1 2x 2 - 5x + 2 Soluc : 2 x - 2x + 4
2x - 1 Soluc : 2x +1
3 2 n) 4x − 2x − 4x + 2
2x + 2 Soluc : x -1
x-3 Soluc : x + 1
3 2 o) 2x − x − 2x + 1
2x − 5x + 4x − 1
x +1 Soluc : x -1
(S oluc :
p)
x 3 - 3x 2 - x + 3 x - 3x 2 + 4x − 12
x 2 -1 Soluc : 2 x +4
2
3 2 g) x + 6x + 11x + 6
3 2 k) x − 2x − 5x + 6
irreducible )
x 2 + 5x + 6 Soluc : 2 x - 5x + 6
(Soluc : x - 1) 2x - 1 Soluc : 2x +1
(S oluc :
2x 3 − 5x 2 + 4x − 1 3
2
3
2 q) x + x + 1
1 Soluc : x - 1
x3 - 1
3 2 r) 4x − 8x − x + 2
2x3 − x 2 − 8x + 4
s)
x2 − 4
2x +1 Soluc : x + 2 x-2 Soluc : x 2 - 2x - 3
x 3 − 7x − 6
irreducible )
7. Efectuar las siguientes sumas y restas reduciendo previamente a común denominador y dando el resultado simplificado (NOTA: Con un * se indican aquellos casos en los que, al final del proceso de sumas y restas de F.A., se obtiene una expresión que se puede simplificar): a)
3 2x + 2x + 4 x2 − 4
7x - 6 Soluc : 2x 2 - 8
2 b) x − 1 − 2 x 3 2
x
x +7
-x 4 + 6x 2 - 7 Soluc : x 5 + 7x 3
ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS
x
c)
x −1 2
+
1 x −x−2 2
d) x − 2 + x + 2 x+2
2x 2 + 8 Soluc : x2 - 4
x−2
2x x +1 + x − 4 4x − 8
e)
2
f) x + 1 − x − 1 x −1
1 2x 1 + − x + 1 x2 − 1 x − 1
* g)
x 2 +11x + 2 Soluc : 4x 2 - 16 4x Soluc : 2 x -1
x +1
h) 1− x y x2 −1 i) x − x x −1
7x x+5 − 6 x + 12 2x 2 − 8
l) x + 3 + 2x 2 x +1
m) n)
x−3
3x x+2 − x −1 x +1 2
3 x x +1 + − 2 x −1 x + 1 x −1
o) x + 2y + 2x − 5y 2 2 x−y
x −y
p) x − y + y − z xy
yz
q) x + 1
x+2
x−2
1 Soluc : x-2
x −4
1 3x + 3 1 − + x - 1 x2 + x − 2 x + 2 v) x - 1 − x − 2 + 1 x 2 - 4 x 2 + 2x x − 2
1 Soluc : 1- x
* u)
x 2 + 5x - 4 Soluc : x 3 - 4x 2x + 3 Soluc : x+2 2 x + x +11 Sol : 3 x - x 2 - 4x + 4
* w) x + 1 + x − 2 − 12 x)
x - 2 x + 2 x2 − 4 x-2 x +1 x+3 − + x 2 + x − 2 x 2 − 4 x 2 − 3x + 2
2 y) x - x + 9 +
x 3 - 9x
x + 6x Soluc : x 2 -1 2
1 1 1 − + x2 − 9 x − 3 x
1 Soluc : x+3
z) 2x + 3x + 1 − 1 − x 2
5x 2 + 7x Soluc : x 2 -1 x 4 +7x 3 - 2x 2 + 5x - 3 Soluc : x 4 -1
x −1
x −1
x −1
7x 2 - 17x - 15 Soluc : 6x 2 - 24
α)
2x 3 + x 2 + 2x - 9 Soluc : x 3 - 3x 2 + x - 3
4 x x +1 + 2 + x +1 x +1 x −1
β)
3 1 x + 10 + − 2x − 4 x + 2 2x2 − 8
-x 2 + 2x + 2 Soluc : x2 - 1
1 Soluc : 2 x + 4x + 4
2 * t) x − 2 − 1 + 6 x − x 2
2 * γ) x − x +
1− x2
2 Soluc : x+2
1+ x 1− 2x − x2 + 2x +1 1+ x
3x Soluc : x + 1
x2 + x + 2 Soluc : x 2 -1
δ)
2x2 - 5y 2 - 3xy + x + 2y Soluc : x2 - y 2
1 2x + 1 x + + x(x − 1) x2 − 1 ( x + 1)2
ε)
1 1 1 − + x2 − 9x + 20 x2 − 11x + 30 x2 − 10x + 24
x-z Soluc : xz
3x 3 + 3x 2 + 3x +1 Soluc : x4 + x3 - x2 - x
x -7 Soluc : x 3 - 15x 2 + 24x - 120
Ejercicios libro: pág. 44: 58 a 61
x 2 +1 Soluc : x
x
a 2 + b2 Soluc : 2 2 a -b
a −b
1 x 2 + 4x + 8 1 − + x − 2 ( x + 2)2 ( x − 2) x 2 − 4
* s)
1 Soluc : x
j) 3 x − 2 + x + 2 k)
a−b
2 Soluc : x +1 y-x Soluc : y
x2 − 1
r) a + b − 22ab 2
x 2 - x -1 Soluc : 3 x - 2x 2 - x + 2
8. Efectuar los siguientes productos y cocientes, dando el resultado simplificado: a) 3x - 1 ⋅ x + 3
3x - 1 Soluc : 2x 2 - 6x
x +1 x + 2 : x2 − 2 x − 1
x2 - 1 Soluc : 4 x -4
x −9 2
b)
2x
2
x +1
x+3 Soluc : x + 2
x +1 x+3
3x + 1 x −4 x 2
=
3x 2 - 5x - 2 Soluc : x 2 + 2x
e) 3 x − 1 ⋅ x + 1 x2
x −1 x2 −1 x +1
x5
3x + 2x -1 Soluc : x7
(Soluc : 1)
=
x 2 + 2x + 1
h)
x 2 − 4x + 4 2
x 3 + x 2 + 2x + 2 Soluc : 3 x - x 2 - 2x + 2
x −1 x2 + 2
g)
c) x + 2 =
d)
x +1
f) x 2 − 2 =
i) j)
x 3 − 3ax 2 + 3a 2 x − a 3 x+a = x−a x+a 9
x + 2y + 6z 3 = 3 x 3
x x3
=
(Soluc :
x 2 - 2ax + a 2
(Soluc :
)
x + 2y + 2z )
(Soluc : 1 / 2 )
ALFONSO GONZÁLEZ IES FERNANDO DE MENA. DPTO. DE MATEMÁTICAS
l)
(Soluc :
A (1 − B) + A = B
k)
x3 2x 2 5x2 2x
− + − +
x 6x = 5x 6
A/B )
x +1 Soluc : 5x
m)
2 −1 a 2 a = 1 − 2
(Soluc
Ejercicios libro: pág. 44: 62, 64 y 65
9. Efectuar las siguientes operaciones combinadas con F.A. y simplificar: a) 1− 1 ⋅ 2x − 1 = 2
1 Soluc : x
b) x + 1 + x + 2 x − 1 = 2
2x 3 - 2x 2 - 2x Soluc : 3 x - 2x 2 - x + 2
x x −1 x +1
2
x −1 x − 2 x +1
2 2 c) a + b − a + b a + b = 2 2 a −b
d)
2 Soluc : - a - b
a − b ab
xy x−y y : + = 2 x −y y x−y
x2 + y 2 Soluc : 2 x - y2
2
Ejercicios libro: pág. 39: 22; pág. 44: 63, 66 y 67 10. Demostrar que: a)
a b
=
c d
⇒
a−c b−d
=
a b
b)
(a + b)2 − (a − b)2 4
4
= a ·b
: a - 2)