студент мини by Ирина Червень

21 березня 2013 року

Міжнародний математичний конкурс “Кенгуру”

Рівень “Випускник” умови завдань для учнів 11 класів загальноосвітньої школи

Любий друже! Пам’ятай: * за кожну задачу можна отримати від трьох до п’яти балів; * за неправильну відповідь бали не знімаються; * серед запропонованих варіантів відповідей є лише один правильний; * користуватись калькулятором, математичними довідниками чи іншою допоміжною літературою к а т е г о р и ч н о з а б о р о н е н о ; * термін виконання завдань – 75 хв. Будь уважний! Тобі під силу віднайти всі правильні відповіді! Часу обмаль, тож поспішай! Бажаємо успіху!

Завдання 1 – 10 оцінюються трьома балами

1 2 3 4 5

Яке із чисел, запропонованих у відповідях, найбільше? А: 201 + 3

Б: 20 + 13

В: 2013

Г: 2013

Многокутник ABCDEF – правильний шестикутник зі стороною 2 см. Точки K та L – середини відрізків AB та BC відповідно. Довжина відрізка KL дорівнює :

3 А: 2 см Б: 1 см

В:

3 см

2 Г: 3 см

Д:

Д: 20 $ 13 A

B L

2 см 3

Якщо для всіх дійсних значень b виконується рівність b 3 $ b 11 $ b n = b 2013 , то n = А: 61

Б: 1980

Значення виразу А: 11

В: 1999

Г: 2000

Д: 2026

4 + 3 + 48 $ 4 - 3 + 48 $ 13 + 48 дорівнює: Б: 13

В:

3 - 48

Г:

169 - 48

Д: 0

У записі числа 2013 використано чотири послідовні цифри 0, 1, 2 та 3. Чому дорівнює різниця між числом 2013 та попереднім у натуральному ряді, яке теж складається з чотирьох послідовних цифр (не обов’язково 0, 1, 2, 3)? А: 467

Б: 527

В: 581

Г: 693

Д: 990

У коробці є 10 карток, які пронумеровані числами від 990 до 999. Дві будь-які картки мають різні номери. Андрій навмання виймає одну картку. Яка ймовірність того, що сума цифр на ній дорівнює 25? А: 0

Б: 0,1

В: 0,2

Г: 0,3

Д: 0,5

Нехай x = x 0 – критична точка функції f (x) = x 2 + c 2 - 2c . Тоді для кожного дійсного значення c А: x 0 = 0

Б: x 0 = 2c

В: x 0 = 1 - c

Г: x 0 = - 2c + 2

Д: x 0 = - 2c - 2

Скільки серед запропонованих нижче нерівностей справджуються для всіх x d (2, 3) ?

8 9 10

4 1 x 2 1 9 ; А: 0

4 1 2x 1 9 ;

Б: 1

6 1 3x 1 9 ;

В: 2

0 1 x 2 - 2x 1 3

Г: 3

Д: 4

Скільки ребер має призма, у якій є рівно 2013 граней? А: 2011

Б: 2013

В: 4022

Г: 4024

Д: 6033

Шість хлопців з’їли 20 цукерок. Перший хлопець з’їв одну цукерку, другий – дві, а третій – три. Четвертий хлопець з’їв більше цукерок, аніж будь-хто з решти п’яти. Яку найменшу кількість цукерок міг з’їсти четвертий хлопець? А: 7

Б: 6

В: 5

Г: 4

Д: 3

Завдання 11 – 20 оцінюються чотирма балами

11 12 13 14 15

Після перевірки контрольної роботи учитель зауважив, що якщо б кожен хлопець в класі отримав оцінку на 3 бали вищу, то середня оцінка у класі була б вища на 1,2 бала. Який відсоток учнів класу складають дівчата? А: 20%

Б: 30%

В: 40%

Г: 60%

Д: неможливо визначити

n Скільки існує натуральних чисел n, для яких числа 3 та 3n одночасно є трицифровими натуральними числами? А:12

Б: 33

В: 34

Г: 100

Д: 300

Лінійна функція f (x) = kx + b задовольняє рівність f (2013) - f (2001) = 100 . Тоді значення виразу f (2031) - f (2013) дорівнює: А: 75

Б: 100

В: 120

Г: 150

Д: 180

Якщо x 0 – розв’язок рівняння log 3 (x + 1) + log 3 (x + 3) - 1 = 0 , то А: x 0 ! [- 4 ; - 1 )

Б: x 0 ! [- 1; 6)

В: x 0 ! (0; 7)

Г: x 0 ! [1; 5]

Д: x 0 ! (- 4; 0) C

У трикутнику ABC точки M та N розміщені на стороні AB так, що AM < AN, AN = AC, BM = BC і ∠MCN = 43°. ∠ACB дорівнює:

43°

А: 86°

Б: 89°

В: 90°

Г: 92°

Д: 94°

На якому із запропонованих у відповідях малюнків зображено схематичний графік функції y (x) = (a - x) (b - x) 2 , якщо a 1 b ?

А:

Б:

В:

Д:

y x

Нехай x 1, x 2 – корені рівняння x 2 + ax + b = 0 , а x 3, x 4 – корені рівняння x 2 + cx + d = 0, причому x 1 1 x 3 1 x 4 1 x 2 . Відомо, що x 3 - x 1 = x 2 - x 4 . Яке з наступних тверджень є обов’язково правильним? А: a 1 c, b = d

Б: a = c, b 1 d

В: a 2 c, b 2 d

Г: a = c, b 2 d

Д: a = c, b = d

Скільки різних прямокутників зі стороною 5 см можна розрізати на квадрат та прямокутник так, щоби площа однієї з отриманих фігур дорівнювала 4 см2?

А: 1

Б: 2

A y

B C

А: 2x = 3y

Г:

В: 3

Г: 4

Д: 5

Точка O – центр кола, OB = BC, ∠OAC = y , ∠AOD = x (див. мал.). Яке із запропонованих у відповідях співвідношень між x та y є правильним для всіх можливих значень x 1 90c? Б: x + y = 90c

В: x = 2y

Д: x = y

Г: x + 2y = 180c

На малюнках 1 та 2 зображено два однакових контейнери, які складаються з циліндра та конуса. Висота контейнерів дорівнює 9 см і кожен з них на третину об’єму заповнений водою. Рівень рідини у першому контейнері – 5 см (див. мал. 1). Чому дорівнює рівень води у другому контейнері?

9 см

5 см ? мал. 1

А: 1,5 см

Б: 2 см

В: 2,25 см

Г: 2,5 см

мал. 2

Д: 3 см

Завдання 21 – 30 оцінюються п’ятьма балами S

У правильній трикутній піраміді SABC плоский кут при вершині S дорівнює 30°. Всі бічні ребра мають довжину 5 см. Чому дорівнює найменше можливе значення BE + EF + FB, якщо E та F – точки, що лежать на ребрах SA та SC (див. мал.).

А: 4 см

22 23

Б: 5 см

В: 5 2 см

Г: 5 3 см

Д: 10 см

Функція y = f (x) , яка задана на множині дійсних чисел, має період T = 2, і f (x) = x 2 5

при x ! [- 1; 1] . Чому дорівнює А: 0

1 Б: 3

# f (x) dx ? 0

В: 1

5 Г: 3

Д: 2

nr Нехай P (x) = 4 sin x cos x . Скільки серед 2013-ти значень P ` 4 j , де n # 2013 і n ! N, дорівнюють 0? А: 2013

Б: 2012

В: 1007

Г: 1006

Д: 1005

24 25

Послідовність (a n) задана таким чином: a 1 = 1, a n + m = a n + a m + nm , де m та n – натуральні числа. Тоді a 10 дорівнює: А: 45

Б: 48

Г: 60

Нехай у трикутнику ABC ∠BAC = 120°, AM ┴ AB, BM = MC. Яке співвідношення між сторонами трикутника є обов’язково правильним? А: AB = 2AC

Б: AC = 2AB

В: BC = 2AB

Д: 65 A

Г: BC = 2AC

Д: AB = AC

Чотири автомобілі одночасно під’їхали до кільця з чотирьох різних вулиць (див. мал.). Кожен із них зробив менше, ніж одне коло, і жодні два автомобілі не виїхали з кільця однією і тією ж вулицею. Скількома різними способами, за таких умов, автомобілі можуть виїхати з кільця?

26 А: 9

В: 55

Б: 12

В: 15

Г: 27

У прямокутній трапеції ABCD основи BC та AD дорівнюють 3 см та 5 см відповідно. Точка P ділить сторону AB на два відрізки, довжиною 2 см кожен. Точка Q належить стороні CD. Відрізок PQ ділить трапецію ABCD на два чотирикутники з рівними плоCQ щами (див. мал.). Чому дорівнює QD ? 5 Г: 3

5 В: 4

4 Б: 3

3 А: 2

Д: 81 B

5 Д: 2

Скільки існує цілих значень x, при яких рівняння x 2 + y 2 = 2x + 2y має розв’язок?

А: 1

Б: 2

В: 3

Г: 4

Д: 5

C1 B1 D1

3 см

6 см A

Нехай куб ABCDA1B1C1D1 розміщено так, що точка A належить площині α, а відстані від точок B, D і A1 до площини α дорівнюють 3 см, 3 см та 6 см відповідно. Чому дорівнює ребро куба?

D 3 см

А: 2 см

Б: 3 см

В: 3 6 см Г: 2 6 см Д: 6 2 см

На острові частина людей лицарі (ті, що завжди говорять правду), а всі інші – шахраї (завжди обманюють). На запитання, яке має однозначну відповідь, вони завжди відповідають «так» або «ні». Подорожній зустрів двох чоловіків, високого і низького, які жили там, і запитав у високого, чи вони обидва лицарі? Той відповів, але після цієї відповіді неможливо було визначити, хто вони, тому подорожній запитав низького чоловіка, чи високий чоловік – лицар? Отримавши відповідь «ні» подорожній визначив, що: А: Високий – лицар. Б: Вони обидва – шахраї. В: Високий чоловік – лицар, а низький – шахрай. Г: Високий чоловік – шахрай, а низький – лицар. Д: Вони обидва лицарі