Læring gennem læremidler - opgave i teoretisk pædagogikum, maj 2020, i faget matematik

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020

Teoretisk pædagogikum, maj 2020 Tema 1: Læring gennem læremidler - fag: matematik

Indhold Indledning ............................................................................................................................................... 2 Problemformulering................................................................................................................................ 2 Hvad skal læremidler i matematik bruges til? ........................................................................................ 2 Teoretisk ramme for mine læremidler i matematik ............................................................................... 3 Hverdagens tre søjler: Det typiske, det praktiske og det sjældne ...................................................... 3 Motivation af pejlemærker for redidaktisering af de tre søjler.......................................................... 4 Beskrivelse af forløbet ............................................................................................................................ 5 Maple-workshop ................................................................................................................................. 5 Differentialregningens begreber og metoder ..................................................................................... 5 Grænseværdi og kontinuitet (1 modul) .......................................................................................... 5 Forløbets genstand: differentialkvotienten (1 modul) ................................................................... 6 Analyse: Læremidlernes læringspotentiale i forløbet ............................................................................ 7 Workshoppen: Opgaver og Maple som læringsobjekter .................................................................... 7 Udgangspunkter for at den åbne workshop kan styrke læring .......................................................... 9 Kognitiv konstruktivisme og aktiv læring ........................................................................................ 9 Det medierede gruppearbejdes mulighed .................................................................................... 10 Erfaringslæringen og Kolbs læringscirkel ...................................................................................... 11 iBogens forcer og faldgruber ............................................................................................................ 12 Differentiering ................................................................................................................................... 13 Progression ....................................................................................................................................... 13 Multimodalitet .................................................................................................................................. 13 Brugervenlighed ................................................................................................................................ 14 Værktøjsprogrammet som redskab - og som læringsobjekt ................................................................ 14 På jagt efter grænseværdien i Maple ............................................................................................... 15 Differentialkvotientens udfordring og redidaktisering ......................................................................... 16 Afsluttende bemærkning om en alternativ vej til differentialkvotienten ........................................ 16 Bibliografi .............................................................................................................................................. 18 Bilag ....................................................................................................................................................... 20

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020

Indledning Denne opgave i teoretisk pædagogikum omhandler tema 1, ”Læring gennem læremidler”, og er i faget matematik, som er det ene af de tre fag, jeg har taget praktisk pædagogikum i ved Københavns åbne Gymnasium i 2019/20. Opgavens genstandsfelt er et forløb om funktionsundersøgelse og differentialkvotient på A-niveau i 2.g.

Jeg havde endnu ikke planlagt et forløb for opgaven, da gymnasiet lukkede for fysisk fremmøde i marts, og derfor har jeg valgt at fokusere på et tænkt forløb. Forløbet tager dog udgangspunkt i en overordnet analyse af et faktisk afholdt forløb, som ikke var planlagt til brug i denne opgave og ikke har tilstrækkelig afrapportering til at kunne bære en nøjere analyse.

Forløbet kombinerer to elementer: 1. opgaveregning ved hjælp af værktøjsprogrammet Maple 2. læring af teori og metode med udgangspunkt i en iBog Ud fra den grundtanke, at der bør være balance mellem teori og praksis i undervisningen, og at forskning peger på elevaktivitet af indholdsmæssig og metodisk mangfoldig art som fremmende af en læringsrig undervisning i matematik (Slot M. F., 2017, s. 418), var det afgørende for mig at vælge en didaktisering med et eksperimenterende udgangspunkt.

I den sammenhæng var jeg opmærksom på, at kombinationen af to digitale læremidler, en iBog som lærebog - i dette tilfælde Systimes Plus A2 stx (Dalby, Madsen, Overgaard, & Studsgaard, 2020) og et matematisk værktøjsprogram som Maple, ville være for ensidig.

Derfor ville jeg også inddrage fysiske læremidler med henblik på at stimulere en produktiv og kreativ proces. For yderligere at styrke den fysiske dimension i læringen skulle forløbet planlægges med fokus på variation i arbejdsformer og læringsrum. Det leder mig frem til følgende:

Problemformulering Hvordan kan digitale værktøjsprogrammer og diverse fysiske læremidler inddrages i undervisningen, så der åbnes for nyt potentiale til at understøtte elevernes aktive medskaben af i opgaveløsning? Og hvordan er iBogens didaktiske design rettet mod de udfordringer, som eleverne oplever med at lære matematik?

Hvad skal læremidler i matematik bruges til?

Tidligere fagkonsulent for matematik i gymnasiet Bjørn Grøn fortæller i den fagdidaktiske del af pædagogikum-grundbogen Gymnasiepædagogik om de faglige mål i den nuværende matematiklæreplan som resultat af en historisk udvikling af faget, som har rødder helt tilbage i antikken med Euklid og Arkimedes som faddere for henholdsvis den teoretiserende og den eksperimenterende tradition i faget. De to synsvinkler i vekselvirkning har ifølge Grøn præget matematikkens udvikling lige siden (Grøn, Matematik, 2017, s. 641).

I nyere tid, fortæller Grøn videre, har faget mellem 1960’erne og 1990’erne været domineret af den rent aksiomatisk-deduktive såkaldte Bourbaki-tradition, som med New Math-bevægelsen betragtede fagets indhold og læringsproces som en enhed, nemlig den erkendelsesmæssige tilegnelse af den matematiske teori. (Grøn, Matematik, 2017, s. 641-2).

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 Til denne tradition hører blandt andet det navnkundige lærebogssystem kendt som Kristensen og Rindung efter forfatterne, men bare hed matematik, som datalog og universitetslektor Hans Hüttel giver en rammende beskrivelse af på sin blog (Hüttel, 2017): ”Ét er indholdet. Når jeg i dag tænker tilbage på pensum fra dengang, går det op for mig, hvor meget matematikpensum har forandret sig. Mængdelæren er helt forsvundet, induktionsbeviser og ækvivalensrelationer ligeså, for slet ikke at tale om epsilon-delta-definitioner og over- og undersummer. Hele den aksiomatiske tilgang er for længst lagt på hylden. […] Et andet er fremstillingsformen. Man kan sige meget om Kristensen og Rindungs bøger, for de talte ikke til teenagerne, heller ikke dengang i 1979, […]”

Den aksiomatisk-deduktive New Math med sit ensidige fokus på matematikkens teoribygning, logiske sammenhængskraft - og, ja, skønhed, fornemmer man mellem linjerne hos Hüttel, og er altså matematik-fagets ”gode, gamle dage”, hvor lærebogen var en bibel, der åbnede faget for de elever, som fik åbnet bogen tilstrækkeligt. Kristensen og Rindung-systemet var på den tid altdominerende i matematikundervisningen, hvor det vurderes, at helt op til 90% af alle danske gymnasier brugte bøgerne i midten af 1970’erne (Jensen, 2016).

Nu, 50 år senere, er de fysiske lærebøger næsten forsvundet og erstattet af iBøger. Skiftende reformer har desuden i stadig højere grad fokuseret på elevernes aktivitet og anvendelse af matematikken som et bærende element i undervisningen.

Mange nye tilgange og stadig mere avancerede digitale medier og værktøjer har medført, at feltet af læremidler bugner med tilbud. I det følgende vil jeg motivere, hvorfor netop værktøjsprogrammet, opgaven, iBogen, og det fysiske element skal være være i fokus for forløbet.

Teoretisk ramme for mine læremidler i matematik Hverdagens tre søjler: Det typiske, det praktiske og det sjældne Til at danne et overblik over de læremidler, som jeg generelt anvender i matematikundervisningen, benytter jeg en begrebskonstruktion fra Jens Jørgen Hansen, refereret af Marie Falkegaard Slot, der i sit kapitel om læremidler i Gymnasiepædagogik skelner mellem didaktiske, semantiske og funktionelle læremidler (Slot M. F., 2017, s. 411-2) som henholdsvis intenderede (f.eks. lærebøger), ikke-intenderede (inddraget udefra til konteksten), og understøttende. Sidstnævnte kan være digitale værktøjer som CAS-programmer og lommeregnere, men også tavler, kladdehæfter og computeren i generel forstand.

Disse tre kategorier af læremidlernes typologi sætter jeg op over for en anden kategorisering hos Slot, der udpeger læremidlets funktion som henholdsvis system, reservoir, læringsobjekt eller redskab (Slot M. F., 2017, s. 412).

Til systemiske læremidler hører de lærebogssystemer, som fra forlagenes side gennem læreplanernes retningslinjer er designet præcis til at præsentere fagets kernestof, mens reservoirer findes som generelle fagspecifikke ressourcer i form af opslagsværker, internetsider mv.

Læringsobjekter kan være særlige konstruktioner, som er designet til at formidle en mere umiddelbar tilgang til et komplekst emne. I matematik kan man f.eks. betragte simulationer og interaktive grafer som læringsobjekter. Slot kalder læringsobjektet et ”bredt begreb” (Slot M. F., 2017, s. 412), hvilket bl.a. kan illustreres med, at læringsobjekter også kan være artefakter eller

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 fænomener fra omverdenen, som ikke er designet til undervisning, men som på en rammende eller ligefrem forbilledlig måde eksemplificerer det, der skal læres.

Redskaber er er materiale, som ”står til elevers og læreres rådighed” (Slot M. F., 2017), hvilket i matematik f.eks. er computere, matematiske værktøjsprogrammer og anden software, lommeregnere, tavler, linealer o.lign.

Allerede i formuleringerne om de to begrebssæt for henholdsvis læremiddeltyper og læremiddelgenrer aner man, at der er oplagte sammenfald. Som allerede nævnt er didaktiske læremidler ofte systemer, semantiske læremidler ofte indbragt som læringsobjekter, mens funktionelle læremidler oplagt tjener som redskaber.

Et forsøg på et samlet overblik over læremiddelfeltet i min matematikundervisning ud fra de to kategoriseringer har jeg gjort med nedenstående (sikkert langt fra komplette) skema.

Læremiddeltyper  Læremiddelgenrer

Didaktisk

Semantisk

Funktionelt

System

iBog Formelsamling Opgaver og eksamenssæt Undervisningsbeskrivelse Læreplan Eksamensspørgsmål Andre lærebøger Matematikhjemmesider Video-gennemgange iBog: Simulationer og interaktivitet

***

?

Data, statistik og grafer fra eksterne kilder Fænomener eller artefakter, som har egenskaber, der illustrerer det, der skal læres.

? ?

MatematikFessor, WebMatematik Restudy Maple LUDUS Google Classroom iBog (værktøjer og CAS)

?

Computer Maple GeoGebra, CAS Lommeregner Tavler, Linealer Socrative, Kahoot Peergrade Mobiltelefoner Screencast’O’matic

Reservoir Læringsobjekt Redskab

Figur 1: Læremiddeltyper og -genrer (efter: Slot, 2017, s. 411-2)

Bortset fra et ”semantisk system”, som må siges at være meget usandsynligt1, kan alle kombinationer af typer og genrer i princippet forekomme. Nogle er dog mere tydelige end andre, nogle ser helt ud til at mangle i min praksis. Måske ligger der her et udviklingspotentiale for redidaktisering af nogle vante læremidler i andre roller? Eller inddragelse af helt nye?

Motivation af pejlemærker for redidaktisering af de tre søjler Sat i skema sådan bliver det tydeligt - i hvert fald for mig - hvor umådelig meget af den sædvanlige undervisning, som foregår ovre til venstre i den ”didaktiske” kolonne - under konstant sekundering af Maple i nederste højre hjørne. For at undgå at stivne i mønstre med blinde vinkler må det derfor være vigtigt, at iBogen og Maple som de to institutionaliserede læremidler i henholdsvis det

1

Et semantisk system ville være et læremiddel uden ”indbygget pædagogisk eller didaktisk intention”, men som ”ligger tæt op ad [fagets] institutionelle mål” (Slot M. F., 2017, s. 411-2)

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 systemisk-didaktiske og det funktionelt-redskabsmæssige hjørne analyseres med henblik på at afdække muligheder for redidaktisering ind i nyt design, som åbner nyt potentiale og giver variation.

Det bør måske tilstræbes at trække iBogen ud af system-rollen som traditionel lærebog og ned i en mere neutral rolle som et reservoir med mange muligheder2? For til gengæld i højere grad at gøre plads til andre læremidler som whiteboards eller feedback-orienterede platforme som Socrative og Peergrade?

Og det bør måske tilstræbes at aktivere Maple i en mere didaktiseret rolle, hvor dets funktionalitet ikke bare er redskab til løsning af lukkede opgaver, men også et læringsobjekt som eleverne kan gå på opdagelse i og gøre noget med?

Til gengæld er der tilsyneladende relativt tomt i den midterste kolonne - de semantiske læremidler.

En nærliggende forklaring, som også ligger i Slots beskrivelse, er at de semantiske læremidler netop hverken hører til ”systemet” eller er designet som redskaber, og de derfor først bliver læremidler, når man som lærer får den ide at tage dem med ind i undervisningskonteksten og dermed didaktisere dem. Til gengæld er de meningsfulde og har derfor et stort potentiale i kommunikationen af, hvad det er vi skal lære og hvorfor. (Slot M. F., 2017, s. 411).

Med denne ramme har jeg motiveret de tre vigtigste pejlemærker for mine valg og didaktiseringer af læremidler i forløbet, nemlig en varieret tilgang til iBogen, en induktiv, eksperimenterende brug af værktøjsprogrammet og inddragelse af fysiske læremidler af didaktisk eller semantisk art i erfaringsdannelsen.

Beskrivelse af forløbet Maple-workshop Forløbet indledes med en ”Maple workshop”, hvor en række funktioner, som er kendt fra tidligere forløb, skal undersøges grafisk.

Kort beskrevet går workshoppen ud på at redidaktisere opgaver af typen, hvor en virkelighedssituation er beskrevet semantisk med billeder, fænomener eller andet hentet fra virkeligheden og en tilhørende matematisk model og en række lukkede spørgsmål med det formål at få brugt de adækvate færdigheder til at uddybe modellen.

Redidaktiseringen går i al enkelhed ud på at fjerne opgaveteksten og spørgsmålene og lade billedet stå tilbage som et åbent objekt, der skal undersøges ved hjælp af Maple. Ved ikke at give en opskrift på, hvordan undersøgelsen skal foregå, inviteres der samtidig til at undersøge Maples muligheder for at beskrive billedet. Med andre ord en dobbelt redidaktisering af både opgave og værktøjsprogram til rollen som læringsobjekter af henholdsvis semantisk og funktionel art.

En nærmere beskrivelse af, hvordan det kan udfoldes, vender jeg tilbage til i analysen af læremidlernes læringspotentiale i forløbet.

Differentialregningens begreber og metoder Grænseværdi og kontinuitet (1 modul) Forløbets næste punkt introducerer differentialregningen som metode til at undersøge funktioner. I modulet om grænseværdi og kontinuitet skal vi så at sige zoome helt tæt på enkelte punkter og

2

Og iBogen vil være et vigtigt reservoir, et safety-first-kit som vi kan falde tilbage på, når en presset hverdag og uforudsete behov for ændringer i forløb med kort varsel melder sig.

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 undersøge funktioners opførsel i nærheden af dem. Dette spor har særlig fokus på følgende i henhold til de faglige mål i læreplanen: – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori – beherske mindstekrav omfattende grundlæggende matematiske færdigheder og kompetencer inden for kernestoffet (Undervisningsministeriet, 2017) Det er et svært emne, og jeg valgte i det faktisk udførte modul at følge iBogens gennemgang, bl.a. fordi en del elever brugte tid på at læse kapitlet forud for modulet. I min didaktisering af kapitlet lagde jeg vægt på: - Eksemplerne, som jeg gennemgik i to videoer, eleverne fik forud for modulet til støtte for deres forberedelse. Algebraisk reduktion fyldte påfaldende meget i eksemplerne.

- Bogens grafer, som vi tog op på tavlen med projektoren og havde klassedialog om i undervisningen.

Her fik vi også tjekket, hvem der var forberedt.

- Øvelserne, som eleverne arbejdede med i grupper det meste af modulet.

Herunder er modulet kort skitseret i rammerne af Wolfgang Klafkis FIMME-model3 (Hobel, 2017, s.

286-9).

Emne

Grænseværdi og kontinuitet

Formål

Introducere og arbejde med begreberne grænseværdi og kontinuitet - og metoder og symbolbrug, der knytter sig til dem.

Gennemgang af eksempler vi videoer forud for modulet Arbejde med øvelser med støtte fra graferne i bogen - Flipped classroom - Klassedialog - Opgaveværksted med lærerkonsulent iBog

Indhold Metode Materialer Evaluering

- Gruppevis fremlæggelse af øvelser - Videogennemgang med løsning af øvelser - Algebraen var for mange en større udfordring end ventet, og selve kernen i grænseværdi blev noget overskygget af det regnetekniske. Kontinuitet derimod var meget lettere at få på plads Figur 2: FIMME-model af forløbsmodul om grænseværdi og kontinuitet (udført i praksis og gengivet efter hukommelsen)

Forløbets genstand: differentialkvotienten (1 modul) En af grundene til, at differentialkvotienten er svær at komme ind på livet af, er, at den introducerer mange nye faglige begreber, som ikke umiddelbart ligner de begreber, eleverne har mødt i matematik før. Det er begreber som ”grænseværdi”, ”kontinuitet”, ”sekant”, ”tangent”, ”differenskvotient” og ”differentialkvotient”.

For at skabe rum omkring den svære begrebsdannelse og undgå, at arbejdet graver sig ned i reduktioner af algebraiske udtryk, har jeg indskudt en række øvelser ude ved klasserummets små whiteboards, som der er nok af hele vejen rundt til, at holdet kan deles om dem i par. Øvelserne afveksles med et rotationsprincip, så alle møder alle (eller næsten alle), og det bliver lidt som en leg.

Modulet får herefter følgende fokus i henhold til læreplanen:

3

FIMME står for: Formål - Indhold - Metode - Materialer - Evaluering

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 – operere med og redegøre for matematiske ræsonnementer og beviser samt de induktive og deduktive sider ved opbygningen af matematisk teori (Undervisningsministeriet, 2017)

Emne

Differentialkvotient

Formål

At genkende mønstre på tværs af emner og kontekst og udvikle de nye begreber, sekant og tangent, som sammen med grænseværdi fører til erkendelsen af differentialkvotienten som tangentens hældning.

1. Brainstorm: Hvad er en tangent? Hvordan kan man finde dens hældning?

2. Øvelse i forforståelse: Finde hældninger af rette linjer ud fra to punkter 3. Øvelse i sekanthældninger: Genkende formlen fra den første øvelse, selvom den ser mærkelig ud.

4. Regneøvelser: y-tilvækster og differenskvotienter som nærmer sig tangentens hældning (opgave i iBogen) 5. Interaktiv øvelse på tavlen om differentialkvotient 1. Brainstorm: Projektrum med korte sekvenser og hurtig opsamling 2. Witeboards: Pararbejde ved de små tavler på væggene ud fra givne punktsæt. Forklare for parret ved siden af og bytte par: den ene går til nabotavlen, mens den anden bliver stående. Næste gang bytter de til den anden side.

3. Regneøvelser: Alene eller i par ved normale pladser ved bordene 4. Interaktivitet: Klassedialog Whiteboards, computer, iBog, projektor

Indhold

Metode

Materialer Evaluering

1.

Forforståelse kommer frem, og dilemmaet gøres klart: en tangent er en ret linje, der rører grafen i ét punkt, men der skal to punkter til at bestemme en linjes hældning.

2. Whiteboardarbejdet bliver evalueret ved nabotavler, inden der byttes 3. Regneøvelserne evalueres i fællesskab ved runde med fremlæggelse og diskussion af resultater.

4. Efter den afsluttende klassedialog: Klar til tretrinsreglen næste gang! (?)

Figur 3: FIMME-model af forløbsmodul om differentialkvotient (bygger delvis på udført modul, men her i nyt design til det tænkte forløb)

Analyse: Læremidlernes læringspotentiale i forløbet Workshoppen: Opgaver og Maple som læringsobjekter Workshoppen har et tredelt formål, som alle handler om at styrke elevernes kompetencer. Efter denne workshop har de lært at gøre noget nyt og gøre noget bedre.

For det første et almendannende it-kompetenceløft, idet Maple med denne workshop skal bruges til at opdage og planlægge en relevant brug af værktøjet fremfor blot at bruge det til at løse givne problemer.

For det andet at udvide kendskabet til Maples funktionalitet og dermed opdage matematikken inde i funktionaliteten ved at gå på opdagelse og lege med mulighederne. Hermed udvider Maple sit læremiddelpotentiale fra redskab til læringsobjekt, og elevernes udbytte er styrkede faglige kompetencer.

For det tredje er arbejdet med de forskellige funktionstyper og undersøgelsen af, hvordan Maple kan bruges til at vise dem, en repetition af tidligere måske næsten glemte emner. Lige her drejer fokus sig måske nok fra kompetencer tilbage til færdigheder, men de kan da ses som et biprodukt af de styrkede kompetencer.

Workshoppen dækker dermed hele tre pinde i læreplanens faglige mål, idet den styrker elevernes evner til at: - anvende matematiske værktøjsprogrammer til eksperimenter og begrebsudvikling samt symbolbehandling og problemløsning

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 - oversætte mellem de fire repræsentationsformer tabel, graf, formel og sproglig beskrivelse - operere med tal og repræsentationer af tal samt kritisk vurdere resultater af sådanne operationer (Undervisningsministeriet, 2017) I Maple-workshoppen får eleverne en række situationer, som de skal prøve at genskabe grafisk med en funktion i Maple. Et eksempel på en situation er denne:

Figur 4: Et billede som læringsobjekt - en redidaktiseret opgave (Vejledende enkeltopgaver, matematik stx B-niveau, marts 2019)

Opgaven er hentet fra de vejledende enkeltopgaver i matematik B-niveau, hvor man fik angivet funktionen, der beskriver grafen og herefter får til opgave at bestemme husets bredde og højde (Opgavekommissionen, 2019).

I workshoppen redidaktiseres opgaven i en version, hvor tekst og funktionsforskrift er klippet væk, og der kun er billedet, som dermed bliver en opgave, forklædt som læringsobjekt. Opgavens oprindelige version ses i Bilag 1.

En workshopopgave giver tre forskellige billeder af genstande eller situationer, som kan beskrives med funktioner. Over billederne står teksten: Brug Maple til at danne funktioner, der grafisk kan vise situationerne på billederne. Hvad kan funktioner og grafer fortælle om billederne?

Alle strategier er nu åbne, og der er rum for en differentiering, som holdet har behov for, om end man drives mod faginterne, kreative eller innovative strategier.

Men inden workshoppen går i gang, er der en opstart-øvelse. Her får eleverne et andengradspolynomium og fem spørgsmål:

1.

2.

3.

4.

5.

hvordan defineres funktionen i Maple? hvordan plottes dens graf? hvordan justeres grafen, så den viser situationen mest relevant? hvordan beregner man funktionsværdien ud fra en kendt x-værdi? hvordan beregner man x-værdien ud fra en kendt funktionsværdi?

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 Grunden til at give en denne øvelse er, at selve workshoppen begynder på for højt en taksonomisk niveau. De fem spørgsmål i opstarten skitserer et stillads med taksonomisk progression, som eleverne kan vælge at bruge i workshoppens opgaver.

Spørgsmål 1 er det enkelt-strukturelle i SOLO-taksonomien4 der beder eleven om at udføre den enkleste operation.

Spørgsmål 2 bevæger sig op på det flerstrukturelle niveau, for her skal den definerede funktion sættes ind i en kommando.

Spørgsmål 3 er på det relationelle niveau, hvor der både skal træffes valg ude i Maples højre-menu og vurderes relevans ud fra en sammenligning af graf og opgavekontekst.

Endelig er de to sidste spørgsmål i princippet også på det relationelle niveau i SOLO, men deres sværhedsgrad afhænger af, om de for eleven repræsenterer en velkendt og indlært metode - for så ligger de nede på det flerstrukturelle niveau - eller om metoden skal udtænkes i opgaven, hvilket placerer dem i det relationelle niveau (Beck, 2019, s. 120-123) og (Dolin, Progression, 2017, s. 274276).

Det højeste niveau i SOLO-taksonomien, det udvidet abstrakte niveau, kan på en vis måde siges at være uden for skalaen, da de første fire5 niveauer ifølge Dolin repræsenterer situationer med lukkede svar, mens det højeste niveau ”ingen behov [har] for lukkede beslutninger [,men har] åbne konklusioner eller flere alternativer” (Dolin, Progression, 2017, s. 275). Beck er inde på det samme, når han skriver, at SOLO-taksonomiens udvidede abstrakte niveau ”gør det muligt at se nye aspekter af sagen … […] … besvare opgaven gennem inddragelse af nye perspektiver, som åbner sig mod nye undersøgelser af stofområdet” (min fremhævelse). (Beck, 2019, s. 123) Hermed peger Beck også på en cirkelbevægelse i erkendelsen fra det at se nyt indhold, som kobler forbindelsen til nye muligheder, som igen bringer en videre til et nyt sted - hvor cirklen kan begynde forfra. Erkendelse i en sådan produktiv cirkelbevægelse genfinder vi flere steder i de konstruktivistiske læringsteorier.

Udgangspunkter for at den åbne workshop kan styrke læring Kognitiv konstruktivisme og aktiv læring Hos Piaget foregår cirklen som en kognitiv vekselvirkning mellem assimilation og akkommodation.

Når den lærende erkender assimilativt, tilpasser hun det nye til sin egen forståelse af verden (som Piaget kalder ”skemaet”) og forbedrer dermed sit skema, men når hun erkender akkommodativt, så tilpasser hun sit skema til - eller bryder det ned og erstatter det med - et nyt skema, fordi hun erkender, at det nye ikke længere kan rummes i det gamle skema. (Beck, 2019, s. 286).

Set i lyset af Piaget mangler Maple-workshoppen et styringsredskab, netop fordi den har så åben en problemstilling. Det er som om den kognitive erkendelseside fordrer en logisk og planlagt udvikling,

4

som er en taksonomi der egner sig som mål for kompetencer, altså læringsudbytte, og måske derfor ofte er den foretrukne skala inden for matematiske fag 5 Der er et ”niveau 0” i SOLO-taksonomien, det præstrukturelle niveau, som betegner det taksonomiske niveau, som i en opgavebesvarelse simpelthen betyder, at der er ramt ved siden af skiven. Men taler vi om taksonomien i opgavestillelsen, er det præstrukturelle ikke noget, man planlægger med (bevidst, i hvert fald).

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 hvilket ikke harmonerer med workshoppens induktive ide. Endnu værre ser det ud, hvis vi går længere op i de generelle læringspositioner.

Piagets behagelige vuggen i dynamisk balance mellem de to komplementære erkendekræfter, som konstant udvider horisonten hos den lærende er meget i tråd med det aktive dannelsessyn, som er det andet af tre grundlæggende læringssyn, som Beck, Kaspersen og Paulsen omtaler i bogen Klassisk og moderne læringsteori (2014), her citeret fra Beck: … et aktivt selvforhold, hvor mennesket ud af egen kraft, vilje og frihed folder sine iboende potentialer ud. … Det aktivt lærende menneske folder sig ud i verden. (Beck, 2019, s. 276) Her er læreren gartneren, hvis opgave det er at sørge for gode læringsbetingelser, og så skal eleverne nok blomstre af al deres indre kraft.

Hvor sympatisk det end lyder, skal man huske en skarp selvkritik, hvis man (som jeg) har yndet at være den gode gartner i sine forløb. Hvem siger, at planterne overhovedet vokser i den gødning, man stiller til rådighed? Der er groft sagt ikke langt fra det aktive læringssyn tilbage til den franske Bourbaki-tradition med dens veldefinerede teori og konsistente analyser, hvis det er den type gødning, man ser som de rette vækstbetingelser.

Omvendt kan det aktive læringssyn også ende i den modsatte grøft med den totale overgivelse til elevernes individuelle ideer og ønsker, hvorved man som lærer ender i 117 forskellige positioner uden at kunne levere gødning til nogen som helst.

Konklusionen er, at det kan være risikabelt at lancere en åben, undersøgende workshop, som den skitserede, hvis man anlægger et rent aktivt læringssyn. Der skal en interaktion til, men den skal have nogle principper at styre ud fra.

Det medierede gruppearbejdes mulighed I den sociokulturelle tradition efter Vygotsky kommer der lidt mere kød på interaktionen mellem den lærende og omverden. Hos Vygotsky er læring medieret gennem to trin; en overførsel (distribution) til den lærende gennem ydre sprog i den sociale kontekst, og en internalisering af det distribuerede, så det sætter sig som indre sprog, som mestring (Beck, 2019, s. 292-3) og (Dolin & Kaspersen, Læringsteorier, 2017, s. 187-190).

Denne internalisering omtales også som, at det ydre, intersubjektive sprog i den sociale distribution reflekteres som et indre sprog hos den lærende. Det er vigtigt at pointere, at denne proces er gensidig, sådan at alle i princippet kan distribuere ydre sprog og hjælpe det dannelse af indre sprog hos dem, man er sammen med. Den situation eller kontekst, hvor distribution mest frugtbart kan etableres, kalder Vygotsky zonen for nærmeste udvikling, og den proces, som den distribuerende foretager, kaldes i senere tradition stilladsering, hvilket er et umådelig brugt begreb.

Jeg har allerede talt om stilladsering flere gange tidligere i denne tekst uden henvisning, f.eks. ved beskrivelsen af opstart-øvelsens funktion som stillads for workshoppen. Men som et etableret alment begreb for det at sætte et sprogligt stillads op omkring en læringssituation, sådan at den lærende hjælpes til at gå fra sin forforståelse gennem zonen for nærmeste udvikling til en ny forståelse. Og herefter er det vigtigt at afstilladsere igen. At holde op med at curle og lade den lærende stå på egne ben, når han kan.

Men stilladsering skal ikke opfattes ensidigt som lærerens byggen op omkring eleven, gør Beck opmærksom på. Det er som sagt en vigtig pointe, at der i lige så høj grad - eller faktisk nok i højere

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 grad - foregår stilladsering mellem elever, når interagerer i læringssituationer. Her er det lærerens opgave at se, hvor disse faglige synergier opstår blandt eleverne og sætte dem sammen, så de hver især kommer i deres zoner for nærmeste udvikling.

Dette aspekt giver et frugtbart perspektiv på workshoppen. Skal vi følge Vygotskys tanker, er det vigtigt, at den åbne workshop ikke foregår som alene-arbejde for nogen elever, men enten i par eller grupper af tre personer. Hvorfor ikke alene? Og hvorfor ikke flere?

Alene kan medieringen ikke foregå, og der vil ikke ske nogen distribution. Det vil der så alligevel, for workshoppens opgave er en artefakt, og jeg har som opgavestiller ageret i en sproglig kontekst sammen med eleven, der arbejder alene. Men det er en svag konstruktion.

Flere end tre gruppemedlemmer vil give for mange roller i så åben en problemstilling. Endelig bør grupperne ikke være for ulige af størrelse, da det vil give en alt for ulige situation omkring at gøre workshoppen til et produkt, som skal fremlægges.

Erfaringslæringen og Kolbs læringscirkel En sidste læringsteori, som endnu mere tydeligt tegner den cirkel, som SOLO-taksonomiens abstrakte niveau bragte i spil, er David Kolbs læringsteori fra midten af 1980’erne. Kolb bygger på den navnkundige John Deweys tanker om refleksiv læring gennem en proces i fire faser fra forvirring og undren over analyse og konklusion til eksperiment og viden (Beck, 2019, s. 300).

Kolb byggede videre på Dewey, men videreudvikler en systematisk beskrivelse af erfaringens betydning og forskellige stadier i erkendelsen. Han opstiller en model, som udspænder erkendelsen i et dobbelt felt af en begribelsesdimension (lodret akse) og en operationel dimension (vandret akse).

Modellen, som jeg gengiver i en lettere bearbejdet version fra Beck, giver et værktøj til at forstå og planlægge en erfaringsbaseret undervisningssituation ud fra forskellige lærings-, undervisnings- og arbejdsformer (Beck, 2019, s. 301). En ekstra styrke ved modellen er derfor, at den giver et præcist og anvendeligt værktøj til at planlægge, udføre og evaluere konkrete undervisningsforløb.

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020

Figur 5: Kolbs læringscirkel i Becks bearbejdning (Beck, 2019, s. 302)

Kolb/Beck opstiller i modellens kvadranter de fire læringstyper, som er potentielt udbytte af en sådan undervisning: divergent, forståelsesmæssig, konvergent og praksisorienteret læring. I Kolbs originale version (Bilag 2: Kolbs læringsmodel (Kolb, 1984, refereret fra Dolin & Kaspersen, 2017, s. 202)), hvor man genkender arven fra Piaget dualitet mellem assimilativ og akkommodativ erkendelse, ser man desuden, at han tænker de fire læringstyper (=erkendelsestyper hos Kolb) som en cirkelbevægelse meget lig Deweys oprindelige erkendelsesfaser.

Men hos Kolb/Beck er faserne tydeliggjort i forhold den handling, som eleverne forventes at udføre i cirkelprocessen: Oplevelse, refleksion, begrebsdannelse og afprøvning - som igen kan føre til ny oplevelse (Dolin & Kaspersen, Læringsteorier, 2017, s. 202-3) og (Beck, 2019, s. 302). Her ligger en struktureret model for at udfolde en erfaringsbaseret workshop.

iBogens forcer og faldgruber Læreplanens skelet udmøntes gennem iBogens fremstilling af stoffet, opgaver, øvelser og interaktive muligheder, mens vi lejlighedsvis støtter os til video-gennemgange, ikke mindst som flipped classroom for at spare tid.

Som Slot også fremhæver, breder iBogen sig over hele spektret af didaktiske læremidler. Foruden den traditionelle systemiske lærebogs vekslen mellem tekst, eksempler og øvelser indeholder iBogen også læringsobjekter i form af interaktive grafer, modeller og simulationer - og endda en palet af værktøjsprogrammer, som ligningsløser, graftegner og CAS. (Slot M. F., 2017, s. 418).

Valget af iBogs-systemet er derfor godt begrundet, og Plus-systemet er på vores skole implementeret som en fælles strategi i næsten hele matematik-faggruppen (Faggruppemøde, 2019).

En sådan fælles platform er en fordel på flere punkter. Først og fremmest er det en kvalitetssikring og et redskab til at samle faggruppens diskurs om bl.a. indhold, forløb og udfordringer i undervisningen. Det letter kollegialt samarbejde og deling af materialer på tværs af hold. Det letter overgangen fra grundforløb til stamklasser i 1.g, at de fleste kan fortsætte med samme

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 lærebogssystem. Og det letter overgangen for elever, som skifter hold undervejs i skoleforløbet, hvilket konkret har været tilfældet flere gange i mit matematik A-hold.

I et interview til Gymnasieskolen uddyber Slot nogle af de potentialer, som man bør være opmærksom på at udvikle, når man didaktiserer digitale læremidler. Hun opstiller fem pejlemærker for det gode, digitale læremiddel: mulighed for differentiering, progression, opdagelsesfremmende multimodalitet, mulighed for at eleverne kan skabe egne digitale produkter og endelig, lige så lavpraktisk som det er altafgørende: det skal være brugervenligt! (Slot M. F., 2016).

Umiddelbart giver vores iBog, Plus A2 stx, elementer fra alle Slots pejlemærker, men der er også mangler og faldgruber, som kan være afgørende for, om den fungerer eller ej i forløbet.

Differentiering Klassen, som forløbet er tiltænkt, er en såkaldt papegøjeklasse, sammensat af to forskellige studieretninger hvor begge har matematik A, mens halvdelen har samfundsfag A og halvdelen musik A som andet studieretningsfag. Holdet er præget af stor diversitet i matematik, både med hensyn til faglige forudsætninger, motivation og den generelle interesse for matematik.

Sidstnævnte kommer særlig til udtryk gennem klassens tværfaglige forløb, hvor begge studieretningsfag er involveret, det vil sige forløbene op til SRO6, hvor der i høj grad kan blive tale om en stoforienteret differentiering. Generelt er det dog en klasse, som er drevet af faglig nysgerrighed og en høj grad af studieparathed. Differentiering er derfor afgørende for om de anvendte læremidlers potentiale kan realiseres.

Beck sondrer som udgangspunkt mellem stoforienteret og elevorienteret differentiering, hvor der i førstnævnte differentieres i hvad der skal læres, mens i sidstnævnte differentieres i forhold til hvem der lærer (Beck, 2019, s. 164).

Hvordan understøtter iBogen differentiering? Beck opererer med en gradinddeling af differentiering Slot bemærker, at en god vej til at differentiere uden direkte at niveaudele en klasse kan være at arbejde med rollefordelinger, som svarer til elevernes forskellige kompetencer (Slot M. F., 2016). Her bør man frigøre sig fra iBogen og arbejde med andre læremidler, som kan befordre samarbejder, der kan bringe de forskellige kompetencer i spil.

Progression I forhold til progression bemærkes, at iBogen ligesom traditionelle lærebøger er tydeligt emneopdelt, hvilket betyder at det taksonomiske niveau varierer gennem bogen, og det er ikke altid umiddelbart logisk, hvilken begrundelse der er for progressionen inden for de enkelte emner heller.

Her skal man som lærer være opmærksom på at være forberedt på hele emnet, som bogen fremstiller det, og inden forløbet sættes i gang have truffet valg om rækkefølge, særlige fokuspunkter og eventuelle udeladelser.

Multimodalitet De interaktive grafer og modeller er gode som undersøgelses- og samtaleobjekter og kan give forskellige muligheder for at variere læringsrummet. Steen Beck beskriver det med en læringscirkel, hvor læreren kan operere ad to akser som henholdsvis en relationel vandret akse; fra fjern til nær relation til elevernes arbejde, og en metodisk lodret akse; fra induktivt til deduktivt fokus i arbejdsformen (Beck, 2019, s. 107).

6

En klasse med to studieretninger og et fælles studieretningsfag giver dog en særlig mulighed for trefaglighed, men det har endnu ikke været aktuelt i denne klasse.

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 Her giver iBogens interaktiviteter - og tildels også øvelser - både mulighed for en induktiv, eksperimenterende, og en deduktiv, præsenterende tilgang, ligesom de kan bruges både i lærer/elev-relation og i elev/elev-relation og give helt forskellige muligheder for didaktisering: Med reference til Becks fire læringsrum har iBogens interaktive elementer særlige styrker både ved den korte lærerstyrede, formidlende introduktion til et emne, det dialogbaserede klasserum omkring en projiceret interaktivitet på tavlen, det projektorienterede, opdelte rum, hvor eleverne bruger interaktiviteterne til at analysere situationer på egen hånd eller i grupper (Beck, 2019, s. 109-113).

Men ægte multimodalitet er der ikke i vores iBog. Ifølge Slot er multimodalitetens vigtigste bidrag at skabe variation, opfindsomhed og produktivitet i elevernes aktiviteter ved at ”kombinere[…] tekst, film, billeder og lyd – så der er flere måder at arbejde på. Det gør det interessant for eleverne at gå på opdagelse, eksperimentere og søge ny viden”, ligesom eleverne også skal ”lave opgaver, hvor de blander tekst, film, billeder og lyd.” (Slot M. F., 2016).

Der er ingen video-klip og ingen lyd i Plus A2 stx7, og der er ingen platform for eleverne til selv at producere film eller lyd til deres opgaver. Disse elementer må man som lærer supplere med gennem inddragelse af andre digitale værktøjer som Peergrade, YouTube, Screencast’O’matic osv., hvoraf der hele tiden kommer nye til og udvikles nye funktionaliteter. De digitale medier ”befinder sig i eternal beta”, skriver Anders Hassing i Gymnasiepædagogiks kapitel om digitale strategier i undervisningen (Hassing, 2017). Udvikler iBogens teknologi sig langsomt, så må lærerens digitale kompetencer til gengæld være synkroniseret med den teknologiske udvikling for ikke bare at kunne inddrage, men også relevant kunne didaktisere nye digitale læremidler (Slot M. F., 2017, s. 414).

Brugervenlighed En uoverskuelig opbygning og lidt for teknisk menustruktur kan give en tendens hos nogen elever til simpelthen at søge på Google i stedet for iBogen, siden de nu ligger i browseren begge to. Hermed kan det intenderede læremiddel efterhånden blive kørt ud på et sidespor og ende som et sjældent besøgt reservoir i bunken sammen med alle mulige andre forhåndenværende hjemmesider, der muligvis kan hjælpe dem med den forhåndenværende opgave.

For at imødegå misforståelser som den beskrevne bestræber jeg mig på, at når alle skal have fokus på samme sted i iBogen, så skal stedet både projiceres op på tavlen og menupunktet skrives op på den fysiske tavle.

Men som tidligere nævnt, så er fremtiden måske snarere at gøre iBogen til et reservoir fremfor den ophøjede plads som grundbog?

Værktøjsprogrammet som redskab - og som læringsobjekt Værktøjsprogrammet - i vores tilfælde: Maple - er det daglige funktionelle redskab, som dog også spiller en dobbelt rolle. Maple kan nemlig ud over at være regnemaskine også betragtes som didaktisk redskab, idet kommandoer og hjælpeguides er udstyret med forklaringer og eksempler.

Men endnu mere interessant er det at bruge værktøjsprogrammet som et læringsobjekt i sig selv. I denne opfattelse skal værktøjet ikke bruges som redskab til at løse opgaver, men som selve opgaven. Vi så, hvordan der lå elementer af det potentiale i Maple-workshoppen, da den blev didaktiseret ud fra Kolbs erfarinsbaserede læringsteori.

7

Der er en indbygget funtionalitet til at få læst en markeret tekst op, men det er netop ikke en didaktisk del af læremidlet, men blot en støttefunktion.

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020

På jagt efter grænseværdien i Maple Et eksempel inden for grænseværdi kunne være følgende redidaktisering af øvelse 3.1.1 i iBogen (se bilag), som viste sig at være en udfordring i forløbet. I øvelsen skal man finde grænseværdier ved at omskrive brøker - den første opgave er: lim →

Didaktiseringen har fra bogens side et algebraisk fokus. Det handler om at omskrive tælleren ved at faktorisere den - eleverne kender det som ”tredje kvadratsætning”, som de kan finde i formelsamlingen (Schomacker, Bang-jensen, Bruun, & Dejgaard, 2018, s. 7).

Dernæst skal de forkorte brøken med nævneren. Her ligger en implicit erkendelse, nemlig at man gerne må forkorte med x-5, fordi undersøgelse af en grænseværdi indbefatter, at man netop ikke lader x være lig med 5.

Men hov! Selve fænomenet grænseværdi - altså som koncept - forudsættes forstået allerede i den første øvelse i at beregne en sådan grænseværdi! Det ligner, sat op på denne måde, en fodfejl i iBogens didaktiske design.

Dilemmaet kan forventes at komme til udtryk i forløbet som usikkerhed hos elever over, hvad opgaven går ud på.

En nærliggende løsning, som ligger i forlængelse af workshoppen, er at undersøge grænseværdier for en masse funktioner ved hjælp af Maples funktionalitet til netop dette.

Hermed kunne man i stedet for at bruge meget tid og fokus på det regnetekniske gå meget mere i dybden med at undersøge, hvad grænseværdier egentlig er, hvad de betyder for de funktioner, man undersøger.

Herunder blot et eksempel til eftertanke og egen undersøgelse, som med relativt enkle kommandoer kan række dybt ned i centrale dele af differentialregningen på A-niveau:

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020

Differentialkvotientens udfordring og redidaktisering Bjørn Grøn skriver i hæftet ”Analysens Grundlag”, som findes på Matematiklærerforeningens hjemmeside (Grøn, Analysens Grundlag, ukendt årstal): I gymnasiets matematikundervisning indføres differentialkvotienter normalt over to omgange. Først gives en grafisk definition. […] Dernæst indføres den analytiske definition. Det sker normalt via en analyse af problemet, hvor vi betragter sekanter, der vandrer mod en tangent. Hvis f er differentiabel, må der gælde, at sekanternes stigningstal nærmer sig tangentens stigningstal.

Dette gør vores iBog i princippet også: Den introducerer i afsnit 3.2 tangent og sekant som begreber med grafisk forankring og giver med en interaktiv øvelse mulighed for at trække i et bevægeligt punkt på grafen og se sekanten vandre ned mod tangenten (Dalby, Madsen, Overgaard, & Studsgaard, 2020, s. 3.2).

De egentlige øvelser i bogen er dog bygget op omkring beregning af hældninger ud fra differenskvotienten, altså sekantens hældning, hvilket kan skabe forvirring og få eleverne til at gå i selvsving i tekniske regnespørgsmål, ligesom grænseværdibegrebet i det foregående modul nemt kom til at stå i skyggen af det tekniske algebra-fokus.

Selvom jeg gøder jorden med brainstorm, muntrer stemningen op med kædedans ved whiteboards og giver plads til den brede samtale omkring interaktiviteten, så er der stadig noget uforløst ved introduktionen til differentialkvotienten.

Eleverne kan stadig være usikre ved modulets afslutning på, hvad grænseværdien egentlig er. Og hvorfor vi overhovedet skulle bruge en sekant. Tangenten kunne vel tegnes uden? Endelig er der noget defokuserende ved alle de udregninger af differenskvotienter.

Afsluttende bemærkning om en alternativ vej til differentialkvotienten Måske skal der et helt andet greb til?

Jeg foreslår et projekt om at danne rette linjer, tangenter og sekanter ved hjælp af en snor, magneter, whiteboard, projektor og, ja, mulighederne er mange.

Herunder et udkast til en sådan redidaktisering af introduktionen til differentialkvotient, der forbereder metoden i et projektrum, hvor ingen opgaver har lukkede løsninger, men hvor det er nødvendigt at prøve sig frem, måske med flere forskellige strategier, uden nødvendigvis at nå til en færdig konklusion.

Men med det formål at skabe erfaringer, der gør at de teoretisk funderede metoder (for de kommer jo også) bliver som en naturlig forlængelse af noget, man selv har været med til at udvikle.

Emne Formål Indhold

Tangenter og sekanter - på spændt line Eksperimentere med rette linjer, tangenter og sekanter.

Induktivt at erkende behovet for sekanten som udgangspunkt for tangenten. Øvelse med semantisk redskab: en snor Hvordan kan man danne ret linje ud af en snor - og finde dens hældning? Øvelse med snor - fortsat: Danne tangenter og sekanter med snor - finde deres hældninger Øvelse med snor, to magneter og whiteboard: Linjer og sekanter ud fra to punkter. Problemstilling: hvordan kan man afbilde en brugbar graf på et whiteboard? (løsningsforslag: projicere den fra computer og tegne den af - en ide kunne være at bruge nogle af de fine grafer, som blev produceret i Maple workshoppen i forløbets optakt)

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 Metode Materialer Evaluering

Projektorienteret læringsrum Snor, whiteboard, magneter, projektor … og hvad der ellers findes på

Den meget induktive metode indebærer i høj grad evalueringen i sig selv, men der kommer jo også produkter ud af arbejdet. Hvem kan lave den bedste tangent?

Figur 6: FIMME-model af tænkt forløbsmodul om tangenter og sekanter

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020

Bibliografi Beck, S. (2019). Didaktisk tænkning på arbejde - En brugsbog til almendidaktik på det gymnasiale pædagogikum. Frederiksberg: Frydenlund.

Dalby, P., Madsen, B., Overgaard, L., & Studsgaard, J. (2020). plus A2 stx (Læreplan 2017). Systime.

Hentet fra https://plusstxa2.systime.dk/ Dolin, J. (2017). Progression. I J. Dolin, G. H. Ingerslev, & H. S. Jørgensen, Gymnasiepædagogik - En grundbog (s. 268-284). København: Hans Reizels Forlag.

Dolin, J., & Kaspersen, P. (2017). Læringsteorier. I J. Dolin, G. H. Ingerslev, & H. S. Jørgensen (Red.), Gymnasiepædagogik - En grundbog (3. udgave udg., s. 156-208). København: Hans Reitzels Forlag.

Faggruppemøde. (13. august 2019). Faggruppemøde 2019-08-13 kl. 13:10-14:10 i 314.

Faggruppemøder 2019/2020. (S. Christensen, Red.) København: Matematikfaggruppen ved Københavns åbne Gymnasium.

Grøn, B. (2017). Matematik. I J. Dolin, G. H. Ingerslev, & H. S. Jørgensen (Red.), Gymnasiepædagogik - En grundbog (3. udgave udg., s. 641-651). København: Hans Retizels Forlag.

Grøn, B. (ukendt årstal). Analysens Grundlag. Hentet fra Matematiklærerforeningen - uvmat.dk: https://www.uvmat.dk/paradig/not/n112,113,132.pdf Hassing, A. (2017). Digitale strategier i undervisningen. I J. Dolin, G. H. Ingerslev, & H. S. Jørgensen (Red.), Gymnasiepædagogik - En grundbog (3. udgave udg., s. 458-469). København: Hans Reizels Forlag.

Hobel, P. (2017). Planlægning af forløb og enkelttimer. I J. Dolin, G. H. Ingerslev, & H. S. Jørgensen (Red.), Gymnasiepædagogik - En grundbog (s. 285-300). København: Hans Reitzels Forlag.

Hüttel, H. (26. november 2017). En forsinket hyldest til Kristensen og Rindung. Hentet fra HANSHÜTTEL.DK - Hans Hüttels officielle weblog: http://www.hanshuttel.dk/wordpress/2017/11/26/en-forsinket-hyldest-til-kristensen-ogrindung/ Jensen, K. B. (2016). Matematikfagets fagidentitet. Hentet fra forskning.ruc.dk - Roskilde Universitets Forskningsportal: https://forskning.ruc.dk/files/59799665/AFHANDLING.pdf Opgavekommissionen. (marts 2019). Vejledende enkeltopgaver, matematik stx B-niveau. Hentet fra emu.dk: https://www.emu.dk/sites/default/files/201903/stxB%20Vejledende%20enkeltopgaver%20Marts%202019.pdf Schomacker, G., Bang-jensen, J., Bruun, B., & Dejgaard, J. (2018). Matematisk formelsamling stx A. Valby: Matematiklærerforeningen.

Slot, M. F. (14. september 2016). Ekspert: Sådan er det gode digitale læremiddel. (T. Rasmussen, Interviewer) Gymnasieskolernes Lærerforening. Hentet 22. maj 2020 fra https://gymnasieskolen.dk/ekspert-saadan-er-det-gode-digitale-laeremiddel-0 Slot, M. F. (2017). Læremidler. I J. Dolin, G. H. Ingerslev, & H. S. Jørgensen (Red.), Gymnasiepædagogik - En grundbog (3. udgave udg., s. 410-429). København: Hans Reitzels Forlag.

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020 Undervisningsministeriet, B. o. (2017). Stx-læreplaner 2017. Hentet fra Børne- og Undervisningsministeriet: https://www.uvm.dk/-/media/filer/uvm/gym-laereplaner2017/stx/matematik-a-stx-august-2017.pdf?la=da

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020

Bilag Bilag 1: Opgave fra vejledende enkeltopgaver i matematik sxt B-niveau, marts 2019

(Opgavekommissionen, 2019)

Christian Hildebrandt: Opgave i teoretisk pædagogikum, Københavns åbne Gymasium, maj 2020

Bilag 2: Kolbs læringsmodel (Kolb, 1984, refereret fra Dolin & Kaspersen, 2017, s. 202)

Bilag 3: Plus A2 stx, øvelse 3.1.1 (Dalby et al., 2020)