An´ alise Tensorial Uma abordagem did´atica
Volume 1
Vers˜ao 1.0 Guaratinguet´a, Janeiro de 2010
Autor:
Raphael Bastos
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Introdu¸ c˜ ao
Quando leis f´ısicas s˜ ao formuladas, estas devem ser v´alidas para qualquer sistema de coordenadas do sistema inercial, tal como pode ser deduzido da Teoria da Relatividade Especial, formulada por Einstein. Por exemplo, se considerarmos um sistema unidimensional cartesiano, qualquer regi˜ ao existente ao longo de uma reta ou curva ser´a representado geometricamente exatamente por um ponto. Do mesmo modo, podemos extender nossa interpreta¸c˜ ao geom´etrica para um sistema bidimensional em que teremos pontos, retas e curvas e tridimensionalmente teremos, pontos, retas, curvas e s´ olidos. Mas e para 4 ou mais dimens˜oes? A intepreta¸c˜ao geom´etrica ´e v´alida? Como o c´erebro humano n˜ao ´e capaz de processar imagens de dimens˜oes superiores a 4, chamadas de hipers´olidos, usamos a forma matem´atica anal´ıticas para descrever o comportamento nessas dimens˜oes. A esta forma anal´ıtica multimensional damos o nome de tensor. Antes de que o leitor comece por esse novo assunto, supomos que tenha con´ hecimentos em An´ alise Vetorial, Algebra Linear e C´alculo, uma revis˜ao destes assuntos pode ser encontrada em [Spi66].
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Espa¸ cos Multidimensionais e Transformadas de Sistemas de Coordenadas
Para que se possa usar a abordagem anal´ıtica, ´e preciso defirnirmos espa¸cos de dimens˜ oes superiores e como s˜ao usadas as coordenadas de um ponto em qualquer dimens˜ ao.
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Espa¸cos Multidimensionais
Se voltarmos a introdu¸c˜ ao, se pode perceber que foi usado um racioc´ınio geom´etrico para concebermos espa¸cos dimenstionais (at´e trˆes dimens˜oes). A partir desse racioc´ınio, podemos deduzir rela¸c˜oes simples que definem espa¸cos dimensionais. Sabemos que, um ponto no espa¸co ´e definido pelo n´ umero de coordenadas, tais como (x,y) em um sistema cartesiano bidimensional e (x,y,z) para um sistema cartesiano tridimensional (o mesmo vale para qualquer outro sistema de coordenada, como polares, cil´ındricas ou esf´ericas).
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References [Spi66] Spiegel, Murray R.: An´alise Vetorial com Introdu¸c˜ao a An´alise Tensorial. (1966)
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