Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá FEG - UNESP Departamento de Engenharia Civil
Oscilações Raphael Bastos, graduando de Engenharia Civil
Guaratinguetá Outubro de 2009
Oscilações 1. Movimento Harmônico Simples (MHS) Um movimento pode ser considerado harmônico simples, quando a aceleração do corpo é proporcional ao deslocamento e tem sentido oposto a este, isso é, a aceleração está contra o movimento, tendo, portanto uma tendência de frear o corpo. Como exemplo, consideremos o caso de uma mola presa a um corpo de massa m, tal que, o conjunto mola-corpo é esticado até uma posição x, arbitrária. Desconsiderando o atrito, temos que, no sistema,
FR
ma
Como a força da mola é proporcional ao deslocamento (Lei de Hooke) e está no sentido contrário do movimento,
kx
a
ma
k x (aceleração de um movimento harmônico) m
Portanto, todo movimento que apresente esse tipo aceleração, contrária ao movimento e proporcional ao deslocamento, pode ser considerado movimento harmônico simples. Quando deslocamos o corpo da sua posição de equilíbrio, ele tende a voltar para sua posição inicial, tal que, em situações de movimento harmônico simples como o conjunto corpo- mola, o corpo vai ficar oscilando ao redor da sua posição de equilíbrio até que por forças externas fique nessa posição inicial. O tempo que o objeto leva para dar um ciclo inteiro, isso é, o tempo que leva para ir de uma extremo ao outro e voltar para o ponto de início do movimento é o período (T). Para quantificar o período, usamos a frequência (f), isso é, o número de ciclos por segundo, sendo o inverso do período, tal que,
f
1 (freqüência) T
Para analisarmos matematicamente o movimento harmônico simples, podemos experimentalmente ter a equação de movimento para movimentos harmônicos simples, tal que, a equação é,
x
A cos( t
) (Equação de movimento)
Temos portanto que, a equação de movimento é uma função do tempo, tal que, na equação temos,
A : Amplitude
( t
) : Fase
: freqüência angular Disto, temos que a velocidade de um corpo em movimento harmônico simples é,
dx dt
v v
A sin( t
) (Equação de velocidade)
Da mesma forma, podemos ter a aceleração em um movimento harmônico simples,
dv dt
a
2
a Mas como x
A cos( t
)
) , temos que,
A cos( t
2
a
x (Equação de Aceleração)
Conforme era previsto, a aceleração é contrária ao movimento e proporcional ao deslocamento, tal que, sabendo que a aceleração para molas, pode ser expressa usando (entre outras coisas) a massa do objeto, temos que, sendo a aceleração a molas a
2
x e a aceleração em
k x , temos que, m 2
2
k x m
x k m
k (Frequência Angular em molas) m Outra conseqüência da equação de movimento do MHS, é que podemos incrementar o valor de tempo na equação, por exemplo, se incrementarmos a função em um período,
x(t T )
A cos( (t T )
)
x(t T )
A cos( t
)
T
Como em um período o objeto volta ao ponto inicial, temos que, incrementando em t+T a função cosseno (e seno) se repete em 2 , portanto,
T
2
2 T
(Frequência angular em função do período)
Como a freqüência é o inverso do período,
2 f (Frequência angular em função da freqüência) Podemos arrumar a expressão do movimento para um MHS, considerando as expressões da freqüência angular,
x
A cos(
2 T
t
) (Equação do movimento, função do período)
Da mesma forma, podemos arrumar a equação da frequência,
f
2
(Equação da freqüência, função da freqüência angular)
Usando as equações da freqüência angular, temos uma equação da freqüência da mola,
f
1 2
k (Equação da freqüência para molas) m
É importante ressaltar que, temos depois de arrumar as equações, muitas formas para descrever o movimento harmônico simples, o uso de uma equação vai variar conforme a informação fornecida no problema, tal que, temos uma equação geral do MHS e uma equação para um MHS conhecido, quando temos problemas que usem molas, sendo que, sistemas de corpos com molas são o problema mais simples de oscilações.