El ángulo en geometría se define como el conjunto de puntos determinados por dos rayas o semirrectas que tienen el mismo punto de origen. En trigonométrica los ángulos se interpretan como rotaciones de rayas que tienen un lado inicial y un punto de origen, este gira alrededor de un plano hasta una posición especifica llamada lado terminal. Se utiliza un plano cartesiano al cual se le llama sistema de coordenadas rectangulares.
Medidas Angulares • Estas maneras de medir serán circulares. • El ángulo estándar será cuando el lado inicial sea en el eje X y positivo • Se medirán en contra de las manecillas del reloj serán positivas, y a favor de las manecillas del reloj el ángulo será negativo.
Funciones trigonométricas de Ángulos Son Ángulos Coterminales, cuando están en la misma posición; muchos ángulos diferentes pueden estar en los mismos lados iniciales y terminales. Un ángulo llano es aquel cuyos lados yacen en la misma recta, pero se extienden en direcciones opuestas respecto a su vértice.
Los grados se pueden dividir en 60 partes iguales, las cuales son llamadas minutos y son denotadas por ´, y cada minuto en otras 60 partes denominadas segundos, denotadas como “.
Ángulos Complementarios El, ángulo complementario es aquel que al sumar dos ángulos da 90°
Radian Es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del circulo.
Longitud de Arco Si un arco de longitud s en un círculo de radio r un ángulo central que mide θ en radianes, entonces: s=rθ
Área de un sector Circular Si θ es la medida en radianes de un ángulo central de un círculo de radio r y la A es el área del sector circular determinado por θ, entonces: A = ½ r²θ
Coterminales Positivos y Negativos
Para encontrar ángulos positivos, podemos sumar 360° o 720° o cualquier otro múltiplo entero positivo de 360° para obtener los mismos. Los ángulos coterminales negativos pueden obtenerse sumando -360°, -720° o cualquier otro múltiplo de 360° con signo negativo para obtener el mismo.
Aplicaciones Las aplicaciones a este tema pueden realizarse, tomando en cuenta las fรณrmulas ya menciones al igual que las siguientes: Velocidad Angular= W = ฮธ/t Velocidad Lineal= V = s/t Relaciรณn entre velocidad lineal y angular = V = rW
Ejemplos
Conclusiones Los ángulos y sus diferentes tipos de medidas es un tema que desde pequeños nos han enseñado el cual influye en bastante aspectos de nuestra carrera como por ejemplo la construcción, al igual que es importante para conceptos de cálculo y física.
Funciones Trigonometricas de angulos
Ejemplos
Conclusiones Las funciones trigonométricas son utilizadas de varias maneras, por ello se cuenta con varias fórmulas diferentes que relación los ángulos o incluso los lados de los triangulo, estas pueden utilizarse también para verificar cuando es y cuando no es un identidad trigonométrica. Este es un importante tema que es base para la gráfica de funciones y otros temas como calculo, y física.
Tema 3
PROBLEMAS Aplicados
Una escalera de 40 pies se apoya contra un edificio, si la base de la escalera está a 6 pies de la base del edificio ¿Cuál es el ángulo formado por la escalera y el edificio?
Senθ = op/ hip Senθ = 6/40 6 pies
Senθ = 3/20 Sen-1 (3/20) = θ Θ = 8.63° Θ = 0.15 rad
Escalera Inclinada, Una escalera de 20 pies está inclinada a un edificio, de modo que el ángulo entre el suelo y la escalera es de 72° ¿a que altura llega la escalera del edifico? Senθ = op/ hip (hip) Senθ = op
h 72°
20 Sen72° = h H = 19.02 pies
Otros Ejemplos
Conclusiones
Una aplicación se conoce como poner en práctica o demostrar algún tema en específico, por lo cual después de haber relacionado y estudiado las funciones trigonométricas es importante practicar con problemas de la vida cotidiana y así relacionar lo aprendido como los lados del triángulo, sus ángulos, donde se coloca la hipotenusa y como aplicar los datos que nos dan para obtener uno nuevo.
SENO Y COSENO Ley de Senos Un triángulo oblicuángulo es aquel que no contiene un ángulo recto. Usaremos las letras A, B, C, a, b, c y los símbolos que representan cada uno de los ángulos α. Alfa, β. Beta y Γ Gamma. Se utilizaran las siguientes fórmulas:
Ejemplos
Ley de Cosenos Conociendo ya la ley de senos, podemos darnos cuenta que este solo se puede utilizar cuando se tiene al menos uno de los lados y dos ángulos o cuando se tienen dos lados y un ángulo pero, ¿Qué pasa cuando no es así? Para ello podemos observar las fórmulas de Coseno. Pueden utilizarse c cuando se dan los tres ángulos y ninguno de los lados o incluso cuando se cuenta con dos lados y el ángulo entre ellos Se utilizaran las siguientes fórmulas:
Ejemplos
Conclusiones Es importante conocer las diferentes opciones que se tienen para determinar todos los datos importantes de un triángulo como sean los ángulos o cada uno de sus lados en el caso que no pueda utilizarse Pitágoras, así mismo podemos relacionar cuál de las dos leyes nos facilita llegar al resultado más rápido. Al igual que haciendo referencia a nuestra carrera es importante tener claro las medidas de ángulos entre dos rectas para poder realizar medidas exactas en una construcción, por ejemplo : una rampa en un hospital, la cual debe tener una inclinación determinada, y una medida de ángulo exacta.
Tema 5
Funciones trigonométricas del Circulo Unitario
El circulo Unitario es una circunferencia de radio uno, normalmente con su centro en el origen de un sistema de coordenadas, de un plano euclídeo o complejo. Dicha circunferencia se utiliza con el fin de poder estudiar fácilmente las razones trigonométricas y funciones trigonométricas, mediante la representación de triángulos rectángulos auxiliares. Cuando el ángulo sea positivo, el giro ira en contra de las manecillas de reloj, y si es un ángulo negativo gira a favor de las manecillas del reloj. Si (x, y) es un punto de la circunferencia unidad, y el radio que tiene el origen en (0, 0), forma un ángulo
con
el
eje X,
las
principales
funciones
trigonométricas
se
pueden
como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, de la siguiente manera:
representar
Se pueden definir las funciones trigonomĂŠtricas como:
Sent= y
Cost= x
Csct= 1/y sect= 1/x
Tan t= y/x
cot t= x/y
Conclusión El circulo unitario es un concepto con el cual iniciamos todo lo relacionado con las funciones trigonométricas, este es importante porque no muestra valores desde los ángulos en radianes hasta los mismos en grados, al igual que podemos observar varias coordenadas dadas desde el concepto del radio = 1 con esto si realizamos una línea desde ese radio hacia otro punto formando un triángulo, logramos determinar las coordenadas de un punto (x,y).
Ejemplos
Tema 6
Valores de las funciones Trigonométricas
Valores de las funciones trigononmétricas en términos del circulo unitario
El ángulo de Referencia
Este sea un ángulo no cuadrantal en posición estándar. El ángulo de referencia es el ángulo agudo que el lado terminal forma con el eje X.
Teorema sobre las ángulos de Referencia
Si es un ángulo no cuadrantal en posición estándar, para obtener el valor de una función trigonométrica, obtenga el valor del ángulo de referencia y coloque como prefijo el signo que corresponda.
Conclusiones
La obtención del ángulo de referencia, al igual que la utilización del circulo unitario es un concepto base para la gráfica de las funciones trigonométricas, por lo que es importante practicar y comprender lo mejor que se pueda.
Tema 6
Valores de las funciones Trigonométricas
Valores de las funciones trigononmétricas en términos del circulo unitario
Ejemplo:
Tema 7
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ecuaciones y Gráficas Principales
Ecuacion y Gráfica para Seno
Ecuacion y Gráfica para Coseno
Tema 7
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Teorema de Amplitudes y Periodos Si y = asenbx o y = acosbx para los números reales diferentes de cero a y b entonces tiene amplitud |a| y periodo de 2π/ |b| Para dezplazamiento de fase es -c/b
Tema 7
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Ejemplos
Tema 7
GRÁFICA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Conclusiones
Es importante conocer conceptos básicos sobre las gráficas de cualquier función, para así no tener mayor complejidad con las trigonométricas, ya que en ellas vemos la amplitud, el dominio, el periodo el corrimiento o en algunos casos reflejos, para ello en algunos casos se nos proporcionan formulas y en otras es cuestión de localizar cada parte de una gráfica correctamente, siento que este tema es muy importante por que ayudar a tener precisión en cuanto a cuestiones que desarrollaremos en nuestras carreras mas adelante.
Graficas Trigonométricas Adicionales TEMA # 8 Las funciones tangente, cosecante, cotangentey secante no tienen valores maximos, la nocion de amplitud carece de significado, ademas no hacen referencia a ciclos. para algunas gráficas se dibujan primero las asintotas sucesivas. Trazo de la gráfica que incluye Tangente
Trazo de la gráfica de Cotangente
Graficas Trigonométricas Adicionales TEMA # 8 Trazo de la gráfica que incluye Secante
Trazo de la gráfica de Cosecante
Graficas Trigonométricas Adicionales TEMA # 8
Conclusiones: Es importante conocer no solo las funciones a las que nos acostumbramos si no las inversas o en este caso adicionales ya que toda función sirve para modelizar situaciones reales. Son buenos modelos para los fenómenos físicos que describen ondas tales como el sonido, el movimiento armónico simple, etc.
Graficas TrigonomĂŠtricas Adicionales TEMA # 8 Ejemplos
TEMA 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS RELACIONES DE F-1 DE X
TEMA 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIÓN SENO INVERSA
LA FUNCIÓN INVERSA TAMBIÉN DENOMINA FUNCIÓN DE ARCSENO Y ARCSENO X SE PUEDE USAR EN LUGAR DE SEN-1 AL LERLO ES SENO INVERSO DE X ESTA SE PUEDE INTERPRETAR COMO UNA LONGITUD DE ARCO EN EL CIRCULO UNITARIO U CON CENTRO EN EL ORIGEN.
TEMA 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
FUNCIÓN COSENO INVERSA
LA FUNCIÓN COSENO INVERSA TAMBIEN ES CONOCIDA COMO EL ARCO DE COSENO NOTE QUE EL DOMINIO DE COSENO INVERSO ES (-1,1) Y EL RANGO ( 0, Π) NOTE QUE EL RANGO DE COS-1 Y SEN -1 NO ES EL MISMO PERO, EL DOMINIO SI.
TEMA 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS FUNCIÓN TANGENTE INVERSA
EL DOMINIO DE LA FUNCIÓN ARCTAN ES R Y EL RANGO ES EL INTERVALO ABIERTO (-Π/2, Π/2).
TEMA 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS EJEMPLOS
TEMA 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS CONCLUSIONES
LAS FUNCIONES INVERSAS PUEDEN TENER VARIOS USOS, ESTAS MAYORMENTE SE APLICAN PARA RESOLVER ECUACIONES Y LUEGO ENCONTRAR LAS SOLUCIONES, AUNQUE NO ES UN TEMA MUY EXTENSO YA UNA VEZ CONOCIDO LAS FUNCIONES ORIGINALES SIEMPRE ES IMPORTANTE VER DE UNA MANERA MAS DETALLADA ESTAS FUNCIONES EXTRAS.
VERIFICACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS Tema 10 Una expresión trigonométrica contiene símbolos relacionados con funciones trigonométricas. Partimos del supuesto dominio de cada variable en una expresión trigonométrica es el conjunto de números reales o ángulos para los cuales la expresión esta definida. Para este tema se utilizaran las identidades fundamentales, para comprobar si es o no una identidad.
VERIFICACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EJEMPLOS
VERIFICACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS EJEMPLOS
VERIFICACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS CONCLUSIONES Es importante conocer o incluso memorizar las identidades fundamentales para así facilitar el tema de comprobar una identidad ya que eso se realiza en base a nuestra conveniencia, usualmente se realiza en ecuaciones, pero también pueden llegar a pedir que se lleve una suma o resta en términos de seno y coseno a su mínima expresion, por lo que se pueden llegar a utilizar más de una de las identidades.
Fórmulas de Adición y Sustracción Tema 11
Obtendremos las fórmulas que incluyen las funciones trigonométricas de u + v o u -v para cualesquiera números reales o ángulos u y v estas se conocen como formulas de suma y resta
Name: Section:
Fórmulas de Adición y Sustracción Conclusiones
La suma y la resta es un tema muy básico que al aplicarlo a las formulas de identidades se nos hace sencillo ya que es básicamente buscar en donde remplazar por una adición y sutraccion y asi llegar a su mínima expresión
Name: Section:
Fรณrmulas de Adiciรณn y Sustracciรณn Ejemplo
Name: Section:
Fórmulas de ángulo doble
TEMA 12
Se dicen que son fórmulas de ángulo doble por que contienen la expresion 2u.
Fórmulas de mitad de Ángulo
Fórmulas para disminuir potencias
Fórmulas de Ángulo doble
Fรณrmulas de รกngulo doble
TEMA 12
Se dicen que son fรณrmulas de รกngulo doble por que contienen la expresion 2u.
EJEMPLO
Fórmulas de ángulo doble
TEMA 12
Se dicen que son fórmulas de ángulo doble por que contienen la expresion 2u. CONCLUSIONES
Estas funciones son muy especiales y rara vez las vamos a encontrar pero no les quita la importancia ya que estas al igual que el resto de las fórmulas trigonométricas, nos ayudan a verificar una identidad, a reconocer los ángulos y podemos aplicarlas en otras áreas como la fisica.
Fórmulas de producto y reducción de potencias
Tema 13
Las siguientes fórmulas pueden usarse para cambiar la forma de ciertas expresiones trigonométricas de productos a suma. Nos referimos a éstas como fórmulas de producto a suma aún cuando dos de las fórmulas expresan un producto como una diferencia es tambien una suma y estas se usan con frecuencia en claculo, en un proceso llamado integracion.
Fรณrmulas de producto y reducciรณn de potencias
Fรณrmulas
Fรณrmulas de producto y reducciรณn de potencias
Ejemplo
Fórmulas de producto y reducción de potencias
Conclusiones
Con base a lo aprendido sobre el uso de distintas fórmulas para comprobar identidades podemos darnos cuenta que solo es cuestión de práctica y concentración para poder elegir el lado conveniente a identificar y la identidad que corresponde al mismo.
Ecuaciones Trigonométricas TEMA 14
QUE ES? SE DEFINE COMO ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA, A AQUELLA QUE CONTIENE EXPRESIONES TRIGONOMÉTRICAS, SI LA ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA NO ES UNA IDENTIDAD A MENUDO ENCONTRAMOS LAS SOLUCIONES MEDIANTE LAS TÉCNICAS SEMEJANTES A LAS QUE SE EMPLEAN PARA ECUACIONES ALGEBRAICAS.
PASOS
FACTORIZACIÓN FORMULA CUADRÁTICA IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Ecuaciones Trigonométricas TEMA 14
EJEMPLO
Ecuaciones Trigonométricas TEMA 14 CONCLUSIONES
LA TRIGONOMÉTRÍA ES UN TEMA BASE Y MUY IMPORTANTE PARA LA CONTINUACIÓN DE OTRAS MATES O INCLUSO APLICACIONES SEGÚN NUESTRA CARRERA, POR ELLO ES IMPORTANTE CONOCER TODOS SUS USOS Y PRACTICARLOS EN VARIOS TEMAS QUE VAN UNIDOS ETRE SI.
Tema 15 Geometría Analítica
PARÁBOLAS Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plno equidistantes de un punto fijo F (El foco) y uuna recta fija l (la directriz) que esta en un plano.
Fórmulas
Tema 15 Geometría Analítica
PARÁBOLAS Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plno equidistantes de un punto fijo F (El foco) y uuna recta fija l (la directriz) que esta en un plano.
Ejemplos
Tema 15 Geometría Analítica
PARÁBOLAS Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plno equidistantes de un punto fijo F (El foco) y uuna recta fija l (la directriz) que esta en un plano.
Ejemplos
Tema 15 Geometría Analítica
PARÁBOLAS Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plno equidistantes de un punto fijo F (El foco) y uuna recta fija l (la directriz) que esta en un plano.
Conclusiones Para saber que la gráfica sera una parábola debemos ver que ya sea X o Y esten elevadas al cuadrado, la direccion en la que la parábola abre va a depender de la ecuacion estándar que se utilice, si es con y al cuadrado la parábola abrira hacia la izquierda o hacia la derecha y si la x esta al cuadrado la parábola abrira hacia arriba o hacia abajo
TEMA 16 ELIPSES
Que es ? Una Elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano cuya suma de distancias hacia dos puntos fijos (los focos) en el plano es una constante positiva
FĂłrmulas
TEMA 16 ELIPSES
Que es ? Una Elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano cuya suma de distancias hacia dos puntos fijos (los focos) en el plano es una constante positiva
Ejemplo
TEMA 16 ELIPSES
Conclusiones La elipse es un lugar geométrico que se puede observar constantemente en la vida cotidiana como en las obras de arte, haciendo referencia en cúpulas y en los portales. Cuando un vaso es inclinado para beber igual se forma una elipse, y veamos también que existe una propiedad de elipse que cuando se transmiten palabras están en el aire a travéz de ondas, y estas rebotan ya que tienen forma de elipse, por ello a veces escuchas conversaciones ajenas a ti.
TEMA 17 HIPÉRBOLAS Es el conjunto de todos los puntos de un plano, la diferencia de cuyas distintas desde los puntos fijos (los focos) en el plano es una contante positiva
7x8 =
4x3 =
1x5 =
5x2 =
8x5 =
2x7 =
9x2 =
6x7 =
3x4 =
TEMA 17 HIPÉRBOLAS Es el conjunto de todos los puntos de un plano, la diferencia de cuyas distintas desde los puntos fijos (los focos) en el plano es una contante positiva
: o l p 7 x 8 =m e j E
4x3 =
1x5 =
5x2 =
8x5 =
2x7 =
9x2 =
6x7 =
3x4 =
TEMA 17 HIPÉRBOLAS Es el conjunto de todos los puntos de un plano, la diferencia de cuyas distintas desde los puntos fijos (los focos) en el plano es una contante positiva
: o l p 7 x 8 =m 4 x 3 =son son varios 1 x 5 = Las hipérbolas e j puntos en un plano pero como E 5x2 = 9x2 =
la podemos observar en la vida 8 xejemplo 5 = si tienes una2 x 7 real?, por linterna y la luz es cónica, la colocas paralela a una pared la 6x7 = 3x4 borde de luz que se ve en contra de la pared es una perfecta hipérbola.
= =