Diseño factorial general
Tabla 5.9 ANOVA para el ejemplo 5.4, respuesta Y–1/2. FV
SC
GL
CM
F0
Valor-p
A: Tipo
7.41E-7
2
B: Aber
0.000043
1
3.71E-7
0.40
0.6724
0.000043
46.72
0.0000
C: Temp
0.00042
1
0.00042
455.15
0.0000
AB BC
0.000062
2
0.000031
33.38
0.0000
0.000013
1
0.000013
13.98
0.0004
Error
0.000059
64
9.28E-7
Total
0.00060
71
151
Diseño factorial general
152
cada efecto principal se puede descomponer en su parte lineal y cuadrática (véase capítulo 7). Cabe destacar que mientras el diseño factorial 25 tiene 32 tratamientos, el factorial 35 tiene 243, una cantidad de tratamientos difícil de manejar. Aun si pudiera correrse, representa una opción muy ineficaz; además, existen arreglos experimentales más pequeños y eficientes (capítulo 8).
(X 0.0001)
99.9
46
99 95
26 Residuos
80 50
%
6
20 –14
5 1
–34
0.1 0.012
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
–25
–15
–5
Predichos
(X 0.0001)
15
25
(X 0.0001)
46
46
Residuos
26
6
6
–14
–14
–34
–34 –1
1 C : Temperatura
–1
0
35 (X 0.0001)
Residuos
26 Residuos
5
1
A : Suspensión
Figura 5.11 Gráficas de residuales obtenidos del análisis de la respuesta l/Y, ejemplo 5.4.
Diseño factorial general
153
De acuerdo con lo antes dicho, en el factorial general a × b × … × k, se pueden plantear 2 f – 1 hipótesis que se prueban mediante el análisis de varianza. Si se tienen n réplicas. Las primeras tres columnas de este ANOVA se muestran en la tabla 5.10. La suma de cuadrados totales está dada por: Tabla 5.10 ANOVA para el diseño factorial general a × b × … × k. FV
SC
GL
Ef . A :.
SCA :.
a–1 :.
Ef . K
SCK
k–1
Ef . AB :.
SCAB :.
(a – 1)(b – 1) :.
Ef . K(K – 1)
SC(K – 1)K
(l – 1)(k – 1)
Ef . ABC :.
SCABC :.
(a – 1)(b – 1)(c – 1) :.
Ef . (K – 2)(K – 1)K :.
SC(K – 2)(K – 1)K :.
(m – 1)(l – 1)(k – 1) :.
Ef . AB … K
SCAB … K
(a – 1)(b – 1) … (k – 1)
Error
SCE
abc … k(n – 1)
Total
SCT
(abc … kn) – 1
Al final, la suma de cuadrado del error se calcula por sustracción,
SCE SCT SCA … SCK SCAB … SC( K 1) K SCABC … SCAB…K (5.7) En el ANOVA de la tabla 5.10 para el factorial general a × b × … × k se observa la necesidad de contar con al menos dos réplicas del experimento para calcular la suma de cuadrados del error (SCE), y completar toda la tabla de ANOVA. Sin embargo, esta necesidad de réplicas (n = 2), que se ha mencionado a lo largo del capítulo, es para el caso irreal de que interesaran los 2 f – 1 efectos. Pero resulta que, con excepción del factorial 22, en un factorial completo prácticamente nunca interesan todos sus posibles efectos, puesto que en términos generales sólo algunos de ellos están activos. El principio de Pareto, que en este contexto también se llama principio de esparcidad de efectos, dice que la mayoría de la variabilidad observada se debe a unos pocos de los efectos posibles; por lo común se debe a algunos efectos principales e interacciones dobles.
Modelos de efectos aleatorios Hasta aquí los modelos de efectos que se han utilizado son modelos de efectos o factores fijos, lo cual significa que todos los niveles de prueba en cada factor son
Diseño factorial general
todos los disponibles para ese factor, o bien, se estudian todos los niveles de interés en ese factor; es en este sentido que los niveles están fijos. Éste es el caso, por ejemplo, cuando en el factor operador se toman los tres únicos operadores como los niveles de prueba, o cuando los niveles del factor máquinas son las cuatro máquinas existentes. O bien, cuando se comparan tres tipos de material porque son los que interesa comparar aunque existan otros materiales de ese tipo. Con factores fijos, las conclusiones obtenidas sólo son válidas para los niveles de prueba que se estudian en el experimento. En ocasiones, los niveles de prueba son una muestra aleatoria de la población de niveles posibles. En este caso es más apropiado utilizar un modelo de efectos o factores aleatorios. Un ejemplo de esta situación es cuando se prueban cinco instrumentos de medición, pero la población de los mismos es de 100 instrumentos; obviamente, no es posible experimentar con todos los equipos. Entonces se experimenta sólo con cinco de ellos elegidos al azar, y las conclusiones obtenidas se infieren como válidas para la población entera de instrumentos. La aplicación de un modelo de efectos aleatorios conlleva la necesidad de considerar la incertidumbre asociada con la elección aleatoria de los niveles de prueba. Es decir, ya no tiene sentido, para un factor A, preocuparse por el efecto ai del nivel i como con efectos fijos. Lo que ahora (con efectos aleatorios) tiene sentido es hablar de la varianza con la que el factor aleatorio contribuye a la variación total; es decir, es preciso estimar dicha varianza y probar si su contribución a la variabilidad total es significativa.
154
Principio de Pareto Se refiere a que la mayoría de la variabilidad observada se debe a unos pocos de los efectos posibles.
Factor fijo Se refiere a que los niveles de prueba en un factor son todos los niveles disponibles para éste.
Factor aleatorio Cuando los niveles de prueba utilizados en un factor son una muestra aleatoria de la población de niveles para ese factor.
Diseño factorial general
155
El caso de dos factores aleatorios Si se consideran dos factores aleatorios A y B, de los cuales se prueban a y b niveles elegidos de una población grande de niveles, entonces si los a ¥ b tratamientos se replican n veces, el modelo de efectos aleatorios es Yijk i j ()ij ijk ;
i 1, 2,, a;
j 1, 2, , b;
k 1, 2, , n
donde m es la media general, ai es el efecto debido al i-ésimo nivel del factor A, bj es el efecto del j-ésimo nivel del factor B, (ab)ij representa al efecto de interacción en la combinación ij y eijk es el error aleatorio que se supone sigue una distribución normal con media cero y varianza constante, N(0, s2) y son independientes entre sí. El aspecto de este modelo es igual al de efectos fijos (ecuación 5.1), pero el hecho de que los efectos sean aleatorios implica que no tiene sentido probar hipótesis directamente sobre tales efectos (medias), sino que ahora el interés se enfoca en estudiar la varianza de dichos efectos. Para ello, se supone que los términos ai, bj, (ab)ij y eijk son variables aleatorias independientes normales, con media cero y varianzas s a2 , s 2b, s 2ab y s2, respectivamente. De esta manera, si se calcula la varianza en ambos lados del modelo anterior, se obtiene el modelo de componentes de varianza dado por: Var(Yijk ) 2 2 2 2 donde s 2 , s 2, s 2 son las contribuciones de cada efecto a la variación total y se llaa
b
ab
Componentes de varianza Son las contribuciones de cada
man componentes de varianza; s2 es el componente de varianza debido al error aleatorio. Las hipótesis de interés son H0 : s 2 = 0, H0 : s 2 = 0 y H0 : s 2 = 0. Los
efecto a la variación total en el modelo de efectos aleatorios.
cálculos necesarios para probar estas hipótesis involucran las mismas sumas de cuadrados del modelo de efectos fijos (véase la sección “Diseños factoriales con dos factores” de este capítulo), de las cuales se obtienen los correspondientes cuadrados medios. Para obtener los estadísticos de prueba F0 apropiados debe tomarse en cuenta que los valores esperados de los cuadrados medios son
a
b
2
2
2
2
2
2
2
2
ab
E(CMA ) n bn E(CMB ) n an E(CMAB ) n 2
E(CME )
de tal forma que para probar las hipótesis H0 : s 2 = 0, H0 : s 2 = 0 y H0 : s 2 = 0, los a b ab B estadísticos de prueba apropiados2 en el ANOVA son F A 0 CM /CM A AB , F 0 AB
CMB /CMAB y F0
CM AB /CME , respectivamente. Observe que en el modelo
2
de
El estadístico apropiado para una hipótesis específica se determina encontrando dos cuadrados medios que al dividir sus valores esperados, y suponiendo H0 verdadera, el cociente es uno. Por ejemplo, CMA/CMAB es el estadístico correcto para la hipótesis H0 : s2 = 0 porque E(CM )/E(CM )=1 a
cuando sa2 = 0.
A
AB
Modelos de efectos aleatorios
efectos aleatorios los cuadrados medios de los efectos principales se comparan con el cuadrado medio de la interacción, y no con el cuadrado medio del error, como se hace en el modelo de efectos fijos. En caso de rechazar alguna de las hipótesis sobre las varianzas, se concluye que el efecto correspondiente contribuye de manera significativa a la variación de la respuesta. La conclusión práctica no consiste en determinar el mejor tratamiento, sino que generalmente se traduce en tomar medidas para que la contribución del componente de varianza se reduzca. Al resolver las ecuaciones dadas por los valores esperados de cuadrados medios para los componentes de varianza, se obtienen estimadores de éstos en función de los cuadrados medios del error, esto es,
ˆ 2 CME 2
ˆ
(5.8)
CMAB CME
n CMB CMAB 2 ˆ an
ˆ 2
CMA CMAB bn
Ejemplo 5.5 Estudio R&R. En una compañía dedicada a la fabricación de bombas y válvulas,
algunos componentes críticos tienen tolerancias muy estrechas que son difíciles de cumplir. De aquí que sea necesario estimar el error de medición con el fin de ver la posibilidad de reducirlo para cumplir con las especificaciones. El ancho de una pieza particular es una característica de calidad crítica, cuyas especificaciones son 69 ± 1.4 mm. Se eligen dos inspectores al azar y siete piezas para correr un experimento (estudio R&R), a fin de estimar la contribución de los inspectores, de las piezas y del error aleatorio (repetibilidad) en la variabilidad total observada. El experimento utilizado se muestra en la siguiente tabla:
Número de piezas
1 2 3 4 5 6 7
Inspector Z
Inspector W
1
2
1
2
69.38 39.72 69.58 69.50 69.48 69.56 69.90
69.60 69.80 69.70 69.50 69.40 69.40 70.02
69.62 69.78 69.70 69.46 69.50 69.68 69.94
69.52 69.90 69.92 69.50 69.42 69.64 69.88
Nótese que cada inspector mide dos veces cada pieza. Sean los inspectores el factor A y las piezas el factor B, el primero con dos niveles y el segundo con siete niveles, en ambos casos seleccionados al azar. El modelo de componentes de varianza
155
Modelos de efectos aleatorios
156
propuesto para2 describir estos datos es donde sa2 es el componente de varianza de los inspectores, s es el componente debido a las piezas, s 2 es el componente de interb
ab
acción de2ambos factores y s2 es el componente aleatorio. Interesa probar las hipótesis H0 : s = 0, H0 : s 2 = 0 y H0 : s 2 = 0, y estimar los componentes de varianza. El a
b
ab
ANOVA para probar estas hipótesis se muestra en la siguiente tabla: FV
SC
GL
CM
F0
A: Insp
0.00036
1
0.00036
B: Pieza
0.7516
6
0.1252
24.07
0.0000
AB
0.0313
6
0.0052
0.75
0.6169
Error
0.097
14
0.0069
Total
0.8803
27
Valor-p
0.069
0.8043
Las tres primeras columnas se obtienen igual que el modelo de efectos fijos, pero las dos últimas deben corregirse de acuerdo con el estadístico de prueba apropiado para un modelo de efectos aleatorios (F A0 CM A /CMAB 0.069 y FB0 CMB /CMAB 24.07). Los valor-p indican que la variabilidad de las piezas es estadísticamente diferente a cero, mientras que la variabilidad de los inspectores y de la interacción inspector × pieza no es significativa (es igual a cero). Desde el punto de vista del objetivo del experimento, los resultados del ANOVA son los deseados: la reproducibilidad (s 2 + s 2 ) es estadísticamente igual a cero, es decir, los inspectores a
ab
no afectan el proceso de medición. La estimación de los componentes de varianza, a partir de los cuadrados medios, queda como:
De aquí se concluye que la reproducibilidad (s 2 + s 2 = 0) no tiene contribu a
ab
ción y la repetibilidad expresada como 5.15sˆ es igual a 0.428. Si este valor se compara con la tolerancia de 0.8, se encuentra que ocupa 53% de ésta, cuando lo deseable es que este porcentaje sea menor al 10%, por lo que el instrumento es inadecuado para discriminar entre piezas buenas y malas. (Para mayores detalles sobre estudios R&R, consulte el capítulo 11 de Gutiérrez Pulido y De la Vara, 2004.)
Modelo mixto: factores aleatorios y fijos En estos experimentos se tienen factores aleatorios y factores fijos. Por ejemplo, si el factor A es aleatorio y B es fijo, el modelo de componentes de varianza es: 2 Var(Yijk ) 2 2
Modelos de efectos aleatorios
157
donde el componente individual del factor B desaparece, dado que es fijo, pero se mantiene el componente de interacción por ser A aleatorio. De manera que las hipótesis de interés que involucran al factor A son H0 : s 2 = 0 y H0 : s 2 = 0, y para el a
ab
factor B se prueba la misma hipótesis sobre medias de niveles del modelo de efectos fijos. En caso de rechazarla se determina cuál tratamiento o nivel del factor B es mejor. En el modelo de efectos mixtos la esperanza de los cuadrados medios es 2
2
E(CMA ) bn
ani 1 i2 a
2
2
2
2
E(CMB ) n
b1
E(CMAB ) n E(CME )
2
Cómo hacerlo con software Casi cualquier software estadístico incluye procedimientos para realizar el análisis de un experimento factorial. En particular, en Statgraphics el análisis de los diseños factoriales donde hay al menos uno que tiene más de dos niveles, se obtiene con la siguiente secuencia de opciones: Special Æ Experimental Design Æ Create Design. De la versión 15 en adelante de este software se usa la secuencia: Doe Æ Design Creation Æ Create New Design, después de esto se debe elegir el tipo de diseño, entre los cuales están Multi-Factor Categorical o Multilevel-Factor. El primero se usa si al menos un factor es categórico, o si aunque todos sean factores numéricos se desea un análisis de varianza no desglosado, como los que hemos visto en este capítulo. Por el contrario, si todos los factores son numéricos y se desea un análisis desglosado, tipo superficie de respuesta (véase capítulo 12), entonces se debe elegir la opción Multilevel-Factor. En el caso del software Minitab, la secuencia es Stat Æ DOE Æ Factorial Æ Create Factorial Design y luego se elige el General full Factorial Design. En cualquier caso, a continuación se eligen el número de factores y las variables de respuesta, se dan sus nombres y su número de niveles. Se define la variable de respuesta y después se da el número de réplicas, y si está haciendo una aplicación es
Modelo de efectos mixtos Son experimentos en los que se consideran factores aleatorios y factores fijos.
Modelos de efectos aleatorios
preciso asegurarse de activar la aleatorización (randomize). Lo anterior generará co- lumnas para cada factor y para cada variable de respuesta. Para hacer el análisis una vez que se haya generado el archivo de datos con los tratamientos y las respuestas, se sigue una secuencia similar a las indicadas en cada paso, pero ahora eligiendo las opciones de Analyze, donde se tendrá acceso a un conjunto de opciones de análisis tanto gráficas como analíticas, entre ellas las que se han expuesto en este capítulo.
Uso de Excel El ANOVA de un diseño factorial con dos factores se realiza con la secuencia: He- rramientas Æ Análisis de datos Æ Análisis de dos factores con varias muestras por grupo. Después se declara el rango de los datos, que pueden estar acomodados por columnas o por renglones. La salida contiene las estadísticas básicas de cada una de las muestras y el ANOVA correspondiente. Sin embargo, para más de dos facto- res, Excel no incluye un procedimiento predefinido.
158