Medicion y calculo geometrico by CLAUGOMEZZ

INDICE INTRODUCCION…………………………………………………………………………………………………………………………..

RECOMENDACIONES DIDACTICAS…………………………………………………………………………………………….

EVALUACION……………………………………………………………………………………………………………………………….

ORGANIZACIÓN DE LA MATERIA. ……………………………………………………………………………………………..

BLOQUE I MEDICION Y APROXIMACION…………………………………………………………………………………………………….

BLOQUE II MEDICION DE LONGITUDES Y SUPERFICIES (PERIMETRO Y AREA)……………………………………….

BLOQUE III MEDICION Y CAPACIDAD DEL VOLUMEN………………………………………………………………………………….

BLOQUE IV OTRAS MAGNITUDES………………………………………………………………………………………………………………….

MATERIALES DE APOYO UNIDADES BASICAS DE MEDICION…………………………………………………………………………………………..

GEOMETRIA DEL PLANO……………………………………………………………………………………………………………..

LOS POLIGONOS…………………………………………………………………………………………………………………………

PERSONALIDAD Y SEGMENTOS Y SEMEJANZA………………………………………………………………………….

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS…………………………………..

LA CIRCUNFERENCIA………………………………………………………………………………………………………………….

AREAS DE FIGURAS PLANAS……………………………………………………………………………………………………..

109

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO……………………………………………………………………………………………

127

RECTAS Y PLANOS……………………………………………………………………………………………………………………..

135

FIGURAS DE REVOLUCION…………………………………………………………………………………………………………

151

CONICAS Y CUADRATICAS…………………………………………………………………………………………………………

168

ASPECTOS BASICOS DEL DIBUJO Y TRABAJO GEOMETRICO…………………………………………………..

184

ANGULOS, TRIANGULOS Y BISECTRIZ………………………………………………………………………………………

186

POLIGONOS………………………………………………………………………………………………………………………………..

198

DE LOS PATRONES A LA MODELACION………………………………………………………………………………………

202

AREA DE LOS RECTANGULOS…………………………………………………………………………………………………….

204

AREA DEL ROMBOIDE…………………………………………………………………………………………………………………

205

AREA DEL TRAPESIO…………………………………………………………………………………………………………………..

206

AREA DEL ROMBO……………………………………………………………………………………………………………………….

207

AREA DEL TRIANGULO………………………………………………………………………………………………………………..

208

AREA DE POLIGONOS REGULARES…………………………………………………………………………………………….

209

AREA DEL CIRCULO…………………………………………………………………………………………………………………….

210

PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS…………………………………………………….

211

LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO SUMAN 180 ………………………………………………..

212

EL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO EQUIVALE A LA SUMA DE LOS DOS INTERIORES NO ADYACENTES A EL………………………………………………………………………………………………………………..

213

LOS LADOS DE UN PARALELOGRAMO SON CONGRUENTES ……………………………………………………

214

LAS DIAGONALES DE UN ROMBO SON PERPENDICULARES…………………………………………………….

215

LAS DIAGONALES DE UN RECTANGULO SON CONGRUENTES…………………………………………………

216

PROPIEDADES DEL CUADRADO………………………………………………………………………………………………….

217

RELACIONES ENTRE LOS ANGULOS EN EL CIRCULO Y LOS ARCOS QUE SUBTIENDEN…………

218

ANGULO INSCRITO…………………………………………………………………………………………………………………….

219

ANGULO SEMI-INSCRITO…………………………………………………………………………………………………………..

220

ANGULO INFERIOR……………………………………………………………………………………………………………………..

221

ANGULO EXTERIOR…………………………………………………………………………………………………………………….

222

CONCLUSIONES FINALES……………………………………………………………………………………………………………

223

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN…………………………………………………………………………………….

224

INTRODUCCIÓN Esta asignatura corresponde al sexto semestre de la Licenciatura en Educación Secundaria, bajo la modalidad semiescolarizada, y su estudio contribuye a la formación disciplinaria en el campo de la geometría vinculada con la aritmética, así como a la formación didáctica, por el tipo de actividades que los estudiantes resuelven y/o analizan. El programa se divide en cuatro bloques, de los cuales el primero centra la atención en el desarrollo histórico de la medición y de las unidades que se han utilizado para expresar medidas, así como en el tipo de errores que se cometen al medir. El segundo bloque se refiere al estudio de dos magnitudes muy comunes: la superficie y el perímetro; se pone énfasis en la construcción de modelos que permiten realizar cálculos, en el área y el perímetro, de manera eficiente. Cuando se habla de la construcción de la modelación debe quedar claro el propósito de que los estudiantes intenten deducir fórmulas de otras más simples, de manera que no haya necesidad de memorizarlas; por otra parte, se pretende que los alumnos recurran a descomponer figuras en otras más simples para calcular sus áreas. Otro aspecto importante de este bloque es el análisis de relaciones entre áreas de figuras inscritas o circunscritas y el área lateral de diversos cuerpos geométricos. El tercer bloque se refiere al estudio de la relación entre la capacidad y el volumen y a su medición en cuerpos regulares e irregulares. Se trata de que los estudiantes amplíen sus recursos para calcular el volumen o la capacidad de una gran variedad de cuerpos u objetos y por distintos medios. Como en el bloque anterior, la deducción de fórmulas para calcular volúmenes o capacidades es un aspecto importante a tratar. El cuarto y último bloque se refiere al estudio de otras magnitudes, tanto fundamentales como derivadas; algunas de ellas han sido poco estudiadas en los niveles escolares anteriores y por lo mismo es necesario analizarlas con cuidado. Tal es el caso de la intensidad luminosa, la intensidad de corriente eléctrica, la cantidad de sustancia, la densidad, entre otras. Desde el punto de vista didáctico se hace la misma recomendación para todas las magnitudes, en el sentido de analizar el significado de las unidades de medida, de las relaciones que se establecen entre ellas y de las fórmulas que se pueden usar para calcular medidas. Todo esto se hace con la finalidad de evitar el aprendizaje memorístico que, como sabemos, carece de funcionalidad, además de la desarticulación con el contexto de trabajo. El estudio de las magnitudes que se derivan de la relación entre magnitudes fundamentales, como es el caso de la velocidad, representa una dificultad mayor para los estudiantes, por el cálculo dimensional que es necesario hacer. Un caso simple es el área que resulta del producto

de dos longitudes, pero sin duda hay otros casos mรกs complejos, como la aceleraciรณn, que relaciona la velocidad con el tiempo. En todos estos casos es importante que los estudiantes resuelvan una gran variedad de problemas y analicen diversos procedimientos.

RECOMENDACIONES DIDÁCTICAS La idea de problematizar el estudio de la disciplina Un principio fundamental en el estudio de la matemática es que el salón de clase se transforme en un medio donde el estudiante tenga oportunidad de reflexionar sobre su aprendizaje de la disciplina, es decir, que las actividades de estudio se conviertan en un vehículo para que el estudiante, constantemente, se plantee y discuta preguntas, que cuestione por qué las cosas se presentan de cierta forma. Esto significa que las actividades deben presentarse en forma de problemas o preguntas en los que el estudiante tenga la oportunidad de reflexionar, abordar y resolver una serie de interrogantes relacionadas directamente con el tema de estudio. Con esta perspectiva, el estudiante tendrá más elementos para investigar y analizar soluciones, resolver incompatibilidades y rediseñar o formular nuevos problemas. Una de las tareas fundamentales del maestro consiste en propiciar en el salón de clase un espacio de diálogo constante donde se problematice el estudio de las matemáticas. En esta dinámica, la actividad central es la discusión de los procedimientos que puedan ayudar a resolver los problemas o preguntas que emerjan de la interacción del estudiante con la situación. Analizar la pertinencia de los procedimientos y evaluar el potencial particular o general de éstos son actividades que ayudan a construir y mantener una actitud crítica en el salón de clase. El papel del maestro es seleccionar y presentar las tareas que ayuden a problematizar la disciplina por parte de los estudiantes. En tal caso, es importante que tenga en consideración los conocimientos y habilidades con que cuentan los estudiantes. Aprender a resolver problemas y pensar matemáticamente requiere una reflexión y acción continua acerca del quehacer o actividad matemática. Algunas preguntas que llegan a ser rutina, en un curso que valore la resolución de problemas, y que juegan un papel central en el desarrollo de tal reflexión matemática en los estudiantes son: a)

¿He usado o identificado la información importante en el problema?

¿Estoy convencido de la forma de solución del problema?

¿Puedo convencer a otros compañeros?

¿He resuelto totalmente el problema?

¿Puedo utilizar otra(s) estrategia(s) de solución?

¿Se puede generalizar este resultado? Entre otras, éstas son preguntas que los estudiantes pueden contestar al interactuar con los problemas. Por otro lado, los estudiantes deben compartir los resultados de sus exploraciones y presentar

justificaciones y explicaciones de los procedimientos que empleen. En este sentido, aprender incluye valorar el trabajo de los demás, tomar ventaja de sus ideas y de los resultados de sus indagaciones; esto requiere que los estudiantes aprendan a escuchar a sus compañeros y respondan adecuadamente a sus puntos de vista e inquietudes. La forma de plantear los problemas y de organizar la actividad de los alumnos influye directamente en las actitudes y creencias que los estudiantes desarrollen hacia las matemáticas y su aprendizaje. Al problematizar el estudio de las matemáticas, los estudiantes obtienen oportunidades de reconocer el potencial de su propia práctica y de ver a las matemáticas como una actividad intelectual en la que pueden participar y avanzar. Existe evidencia de que los estudiantes que participan en una búsqueda reflexiva desarrollan una disposición consistente con el quehacer matemático. Los temas que se proponen tienen la finalidad de servir de ejes en la discusión de las ideas fundamentales del quehacer matemático. Por esta razón, se recomienda que no se presenten de manera separada, por el contrario, se debe establecer una conexión entre ellos, de tal forma que los estudiantes vayan concibiendo la geometría desde el punto de vista de la medición y el cálculo y, en general, las matemáticas como un todo estructurado en torno a las diferentes necesidades que surjan de problemas originados en el desarrollo social o dentro de la misma disciplina.

EVALUACIÓN Medición y cálculo geométrico Al término de las actividades propuestas en cada bloque, se sugiere aplicar el análisis de los contenidos bajo las técnicas que permite la evaluación de portafolio, agrupados en cuatro grandes categorías: a) El desempeño actitudinal del participante para el despliegue de las actividades, en especial las que tienen que ver con la vinculación entre el trazado, medición y cálculo, así como la asociación de las diferentes disciplinas por las que ha transitado a los largo de las asignaturas que le anteceden a la presente b) El desempeño de las actividades o tareas de aprendizaje c)

El diseño del curso

d) El desempeño del profesor estudiante durante las clases presénciales En la primera categoría se sugiere rescatar los puntos de vista del profesor estudiante, como: la disposición hacia la integración como miembro del grupo, la apertura hacia compartir ideas y juicios; apertura ante las tareas de aprendizaje; tolerancia a las opiniones de los demás; su participación en actividades de trabajo colaborativo; entre otras. En el segundo rubro sugerido, se propone evaluar todas las actividades que supone el presente programa de Medición y Cálculo Geométrico, como; la capacidad de análisis y síntesis, las habilidades desarrolladas a través de cada una de las actividades, entre otras. En el tercer apartado que se sugiere para evaluar el proceso, es importante recuperar los puntos de vista del maestro estudiante en cuanto a la conducción, desempeño y dominio de los temas no solo del maestro estudiante, sino también de los profesores frente al despliegue de la disciplina, este apartado, debe considerar algunas subcategorías como: la declaración de intenciones por parte del facilitador, si este explicita las formas de trabajo en el salón de clases, si presenta los propósitos generales y particulares del curso, si incorpora aprendizajes de conocimiento, habilidades y actitudes; si las actividades están directamente relacionadas con los propósitos implícitos y explícitos; si esas se orientan hacia el trabajo colaborativo en el que implique al alumno estudiante como un activo promotor de su propio proceso de aprendizaje, y todos aquellos aspectos que el docente considere necesarios, y sobre todo que ayuden en la reorientación y planificación de actividades que tengan mayor consistencia. Finalmente, en el último aspecto sugerido, es conveniente incorporar reflexiones que tiendan a evaluar la asistencia y participación del profesor estudiante, como: si las tareas solicitadas se realizan en tiempo y forma; si el profesor estudiante asiste a la clase presencial con los

materiales analizados previamente; si escucha las presentaciones y opiniones de sus compañeros; si hace contribuciones en las discusiones que se generen en el grupo, si tiene dominio sobre la información que discute; si sus aportaciones tienen el carácter de novedosos y relevantes en las discusiones generadas; si sus argumentos e ideas son presentadas con la lógica preposicional, etcétera. Por lo anterior, este proceso de evaluación, debe permitir, tanto al titular de la disciplina como al profesor estudiante, por un lado la integración en un grupo estructurado y por otro las reorientaciones pertinentes a la dirección, planeación, desempeño y evaluación del curso.

ORGANIZACIÓN DE LA MATERIA Por lo anteriormente expuesto y dada la relevancia de la disciplina, se ha procurado incorporar, en cada bloque de asignación temática algunas actividades que favorezcan la modelación matemática y al mismo tiempo la medición y el cálculo geométrico. La modelación matemática constituye un factor importante, ya que es el método que permite descubrir patrones recurrentes en el tratamiento y presentación de datos; dichos patrones, que si bien es cierto, tienen el carácter aritmético, también es cierto que a través de ellos se pueden generalizar con letras y éstas serán las que den respuesta desde tres líneas importantes: el cálculo de perímetro, área y volúmenes, vinculadas a los principios algebraicos. Dichas generalizaciones aplicadas a la geometría, que también recurren a los patrones, tanto en su composición como en el método de resolución de problemas, las iremos llamando “fórmulas”, de ahí la necesidad de plantear múltiples actividades que permitan ir descubriendo, como dijimos en las líneas anteriores, los patrones y a su vez las “fórmulas”. Sin embargo, no significa que quien despliegue las actividades propuestas en la disciplina pueda introyectar orto método para que el profesor estudiante llegue a la modelación y con ésta a la fórmula, por lo que es recomendable seguir la secuencia de las actividades planteadas y que al mismo tiempo se enriquezcan con las experiencias tanto del titular de la disciplina como de los profesores estudiantes que participan en este proceso.

BLOQUE I MEDICIÓN Y APROXIMACIÓN PROPÓSITOS Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de: 1.

Contar con los elementos históricos de los sistemas de medición.

Aplicar las unidades convencionales de los sistemas de medida (decimal e inglés) en la resolución de problemas.

Adquirir los elementos necesarios para realizar el análisis correspondiente en los errores e incertidumbres en la medición.

TEMAS 1. Antecedentes históricos de la medición. 2. Unidades convencionales de medida. Sistema internacional de medidas; múltiplos y submúltiplos. Conversiones a unidades de otros sistemas (sistema inglés). 3. Análisis de errores e incertidumbres en la medición.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA Del Olmo et al. (1993), Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con fórmulas?, Madrid, Síntesis. SEP (1997), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México. — (1995), Libro para el maestro. Física. Educación Secundaria, México. — (2000), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed., México. — (2000), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed., México.

ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN 1. Comente, reunidos en pequeños grupos de trabajo colaborativo la lectura “Los orígenes de la geometría” del libro para el maestro, páginas 211 – 222; se sugiere centrar la atención en: a) cómo se introducen las nociones geométricas, b) en qué momentos de la vida del hombre empieza la aparición de ésta; c)

en qué momento histórico dio inicio la sistematización de la disciplina;

d) en qué consiste la geometría empírica; e) cuáles fueron las culturas que dieron lugar a la sistematización de la materia; f)

cómo la utilizaron para realizar las grandes construcciones que hoy en día son inexplicables para la ciencia;

g) cómo nacieron las “fórmulas”; h) en qué momento de la historia de la humanidad nació la geometría deductiva y en qué consiste; quiénes son los precursores; i)

qué son los números figurados;

qué relación hay entre los números triangulares, cuadrados, etcétera con el cálculo del perímetro y superficie de figuras geométricas;

k) en qué consiste el patrón de la geometría axiomática; l)

las razones por las que se le atribuye a Euclides (300 a. C) la geometría axiomática;

m) en qué consiste el patrón de este estilo geométrico y n) cuáles son los postulados y axiomas de Euclides 2. Los profesores estudiantes podrán formar pequeños grupos de trabajo e indagar en diferentes fuentes bibliográficas, como: El manantial en Estudio de las geometrías de Howard Eves (UTHEA, México), el nacimiento del sistema de medición, puede centrar su atención en algunas culturas como la Babilónica, Egipcia, Romana, Maya, Griega y enriquecerla con las aportaciones de algunos de los matemáticos de la antigüedad como: Pitágoras. Arquímedes, Ptolomeo, Anaxágoras, Tales, etcétera. Es importante recalcar que este proceso de indagación debe quedar centrado en el uso de unidades de medición y las transformaciones o en su defecto la desaparición de las mismas y las razones por las que se desvanecieron; por cuáles fueron sustituidas, si presentaron transformaciones o no progresaron; en cualquiera de los casos, a qué se debió la transformación o la falta de progreso; de modo que históricamente pueda responder al nacimiento del Sistema de medición decimal e inglés 3. Calcule, el undécimo primer número en la serie de los números pentagonales, sabiendo que 11, 52, 123, 224, … n11

Observe que es una serie numérica que inicia con la unidad y su aumento no es constante, sin embargo, al registrar el incremento de las cuatro primeras cifras de la serie, es decir, 5, 7, 9, … lleva un aumento constante de dos en dos. Este análisis numérico, permite establecer un patrón que tiene que ver con el cálculo de superficies, de modo que dicho patrón será quien determine el enésimo número de una serie. 4. Resuelva la ficha No. 17 “El perro guardián”, del fichero de actividades didácticas, páginas 42 y 43; comente con su grupo de trabajo colaborativo, los patrones a que se recurre para el logro del propósito explícito al inicio de la ficha de trabajo. 5. Establezca en tablas de comparación las principales unidades de media que se utilizan en el cálculo de longitudes, superficies, pesos y volúmenes, para el sistema decimal Unidades

Long.

Sup.

Peso

Vol.

Long.

Sup.

Peso

Vol.

Múltiplos

Convencionales

Elemento

Submúltiplos

básico

Para el sistema inglés Unidades

Múltiplos

Convencionales

Elemento

iplos

Submúlt

básico

Consulte la tabla de principales unidades de medición que se muestra en la sección del material de apoyo del presente programa de trabajo. Otras unidades de medición, son las que se utilizan en el campo de la navegación área y marítima, por lo que se sugiere que los profesores estudiantes manejen las conversiones de las unidades de navegación, por ejemplo, nudos a kilómetros. Es importante señalar que el manejo de las unidades de medición se realice siempre bajo contextos, por ejemplo: “Una embarcación transportadora de alimentos no perecederos viaja a una velocidad constante de 2.5 nudos por hora, si la distancia a recorrer es de 2 305 kilómetros, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a su destino?” 6. Ciencias disciplinarias, como la Física, Química, Biología, utilizan otras unidades de medición, por lo que es necesario que el profesor estudiante realice algunas conversiones, tanto de los sistemas de medición decimal e inglés como los correspondientes a estas ciencias disciplinarias, por ejemplo: las micro unidades utilizadas por la química (moles), caídas libres que se calculan en la física (newtons, atmósferas, etcétera); por su parte, las ciencias de la economía utilizan el sistema monetario vinculado a los índices y éstos medidos en dos vertientes; el crecimiento o decremento (pérdidas y ganancias) medidos en unidades y puntos porcentuales, por lo que resulta conveniente que los profesores estudiantes resuelvan algunos problemas en los tenga que ver la química, la física, la biología y la economía, aparte de los problemas de carácter puramente matemático. 7.

Realizar algunas conversiones en cada sistema de medida, resulta un buen ejemplo para

establecer comparaciones medicionales, como: - Encontrar la equivalencia de 2. 4 metros en milímetros - Encontrar la equivalencia de 789 metros en kilómetros - Encontrar la equivalencia de 45.6 metros en yardas - Encontrar la equivalencia de 8.745 TM en kilogramos - Encontrar la equivalencia de la velocidad en kilómetros de un buque que navega a una velocidad de 7.85 nudos náuticos. 8. El sistema de medición sexagesimal (3600), es conveniente para establecer la comparación de diferentes

ángulos;

agudo,

recto,

obtuso,

grave,

entrante,

colineal,

complementario,

suplementario, interiores, exteriores, inscritos y seminscritos, resultan otro buen ejercicio para afianzar los diferentes sistemas de medición, y sobre todo para analizar los patrones que dan lugar a situaciones más avanzadas en el estudio de la geometría. Para estos casos es

recomendable tener en cuenta los antecedentes geométricos en el trazado del dibujo (analice la lectura “Aspectos básicos del dibujo y trazo geométrico” del material de apoyo)

BLOQUE II MEDICIÓN DE LONGITUDES Y SUPERFICIES (PERÍMETRO Y ÁREA). PROPÓSITOS Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de: 1.

Identificar los patrones geométricos para el cálculo del perímetro y área de figuras, así como el volumen de cuerpos geométricos

Aplicar dichos patrones en el planteamiento y resolución de problemas que tengan que ver con el cálculo de perímetros y áreas, tanto de figuras regulares como irregulares, así mismo

Calcular el volumen de los cuerpos regulares e irregulares

TEMAS 1. Justificación de diferentes fórmulas para calcular el perímetro y el área de paralelogramos, triángulos y polígonos regulares (por ejemplo, calcular el área del triángulo a partir de: su base y su altura, la medida de sus lados, etcétera). 2. Perímetro y superficie de figuras irregulares y de figuras curvilíneas. 3. Relación entre el área de distintas figuras geométricas. Figuras inscritas o circunscritas (por ejemplo: investigar la relación entre la superficie de un círculo inscrito en un cuadrado y la superficie de ese cuadrado). 4. Área lateral y total de prismas y pirámides, superficie cilíndrica, cónica y esférica.

BIBLIOGRAFÍA García et al. (1998), Geometría y experiencias, Madrid Síntesis Alvídrez V. Juan Manuel, “De los patrones a la modelación”, Chihuahua 2000 SEP (1997), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México. — (1995), Libro para el maestro. Física. Educación Secundaria, México. — (2000), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed., México.

ACTIVIDADES 1. Discuta con su grupo de trabajo colaborativo el planteamiento de las fichas “figuras básicas y ángulos y representación gráfica” del Fichero de Actividades didácticas, páginas 18 – 19 y 23 – 23, respectivamente. 2. Discuta con su grupo de trabajo colaborativo el planteamiento de la ficha “Trazos geométricos y figuras básicas” de las páginas 48 y 49 del fichero de actividades didácticas 3. Discuta con sus compañeros de grupo la forma de resolver el siguiente problema: “A y B son puntos colineales de un rectángulo inscrito en una circunferencia, ¿cuál es el perímetro y la mayor área que puede alcanzar”

Aplique otras variables, como, ¿qué pasaría si A y B son vértices opuestos del rectángulo?:

¿Variaría el perímetro y la mayor área que puede alcanzar? ¿Qué pasaría si A es un vértice y B es el punto medio de uno de uno de los lados colineales al vértice A? ¿Sería el mismo perímetro y la mayor área que puede alcanzar?,

o bien, ¿qué pasaría si A es vértice y B es el punto medio de uno de los lados no colineales al vértice A del rectángulo?, ¿Sería el mismo perímetro y la mayor área que pueda alcanzar?

Esta actividad, permite al profesor estudiante advertir que el patrón que se presenta, da lugar al modelo matemático para calcular tanto el perímetro como el área de cuadriláteros y a partir de la modelación, aplicar una fórmula ya conocida por los mismos, de modo que la actividad está planteada para que el profesor estudiante sea capaz de descubrir el patrón y llegar al modelo (fórmula), origen de las fórmulas que de manera tradicional se han utilizado, la diferencia es que el profesor estudiante adquiere una gran riqueza al discutir y poner en práctica algunas estrategias para llegar al modelo. 4. Cavalieri, dio lugar a la triangulación, entre otras, definida como el área que queda limitada por tres longitudes, es el resultado del estudio de los cuadriláteros, por lo que, enfatizar el análisis de los triángulos resulta conveniente para posteriores estudios, como los postulados de Tales (semejanza) o los principios de Pitágoras que posteriormente se traducen en el análisis de las funciones trigonométricas (analice “De los patrones a la modelación” del material de apoyo) 5. El análisis de los polígonos (pentágono, hexágono, etcétera, son el resultado de la recurrencia de los patrones que se utilizan en el estudio tanto de los cuadriláteros como de los triángulos, por lo que, se recomienda ir más allá de los mismos, como por ejemplo, plantear el cálculo de las constantes que se establecen en un polígono inscrito en una circunferencia y esta a su vez inscrita en el polígono, como se muestra en la siguiente figura:

En el cálculo, tanto del perímetro como de las áreas, el radio de la circunferencia inscrita resulta ser la apotema del polígono inscrito en la circunferencia, además el patrón que se presenta a partir del análisis de éste y otros problemas similares, permiten al profesor estudiante encontrar patrones geométricos y establecer el modelo (fórmula) que de respuesta a la solicitud del

propósito de este bloque de trabajo; por otro lado, el tratamiento que se hace de dichos temas recurre en forma sistemática al sentido común, experiencia e intuición del futuro Licenciado en Matemáticas, abordando directamente el problema que se plantea. La recurrencia consiste en que se justifican de manera elemental y simple las “fórmulas” para el cálculo del perímetro, el área y el volumen que aprendemos desde la enseñanza elemental. Dentro de este planteamiento, dichas fórmulas se enriquecen al ampliarse la colección de figuras a las que se puede aplicar; de modo que en cada uno de los participantes de esta experiencia, existen una gran variedad de trazos de figuras, que convergen a un patrón geométrico y éste será quien le de vida a las “fórmulas” que aprendimos de manera memorística en la escuela elemental. 6.

Resuelva los problemas que se plantean en el libro del maestro en las páginas 238 a 240,

mostrando ante sus compañeros las estrategias utilizadas para encontrar las respuestas que se esperan. 7. Analice el material “de los patrones a la modelación” del material del apoyo para el estudio de la disciplina “Medición y Cálculo Geométrico”

BLOQUE III

MEDICIÓN DE CAPACIDAD Y VOLUMEN PROPÓSITOS Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de: 1.

Establecer los principios de la modelación matemática para el cálculo del volumen de los cuerpos geométricos regulares e irregulares

Determinar el cálculo del volumen de prismas y pirámides regulares a través de la modelación matemática, bajo el principio de recursividad

TEMAS 1. Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de prismas, pirámides, conos, poliedros regulares y la esfera. 2. Cálculo del volumen de cuerpos oblicuos (Principio de Cavalieri). 3. Relación entre volumen y capacidad. 4. Relación entre el volumen de distintos cuerpos (por ejemplo: investigar la relación entre el volumen de la esfera más grande que puede ser contenida en un cubo respecto al volumen de ese cubo).

ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN Los cuerpos que observas en la naturaleza adoptan formas muy variadas; algunos de ellos se aproximan bastante a las formas geométricas que observas en el dibujo. Sin embargo, un dado, un cucurucho, una caja de cerillos, una pelota o una lata de conservas, productos de nuestra cultura, son modelos bastante aproximados de los cuerpos geométricos.

LOS POLIEDROS Y LA FÓRMULA DE EULER Entre los distintos cuerpos geométricos distinguimos a simple vista los que tienen sus caras limitadas por polígonos, como una caja de cerillos y los que no, como un cucurucho, lo que permite dar una primera clasificación en poliedros y no poliedros. Poliedro es todo sólido limitado por caras en forma de polígonos. Según el número de éstas, los poliedros pueden ser tetraedros, pentaedros, hexaedros, etc. En la figura, que representa un hexaedro regular, puedes observar los elementos básicos que componen todo poliedro: vértices, aristas, caras, diagonales, planos diagonales, ángulos diedros y ángulos poliedros. Es preciso prestar atención al concepto de diagonal del poliedro y no confundirlo con el de diagonal de una cara del poliedro. 1.

Para cada uno de los poliedros que aparecen en la tabla adjunta haz el recuento del número de vértices, aristas y caras, y anótalo en la columna correspondiente.

Poliedro

No de caras

No de vértices

No de aristas

Relación aritmética

C+V=A+2

Observa que en todos ellos se cumple la relación aritmética C + V – A = 2, o también C +V = A + 2

En general: Todos los poliedros convexos cumplen la relación aritmética: N° de caras + N° de vértices = N° de aristas + 2 Expresión conocida con el nombre de relación de Euler, matemático suizo del siglo XVIII. 2. Justifica la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: 1.

En todo poliedro, sus caras son todas iguales.

El menor número de caras de un poliedro es cuatro.

En cada vértice de un poliedro concurren siempre el mismo número de aristas.

El cilindro y el cono son poliedros.

En los poliedros, el menor número de caras que concurren en un vértice es tres.

El número de aristas de un poliedro que concurren en un vértice es, como mínimo, cinco.

Un hexaedro con 10 artistas tiene 8 vértices.

Entre los muchos poliedros que nos podemos imaginar, los de mayor interés son los poliedros regulares. Al igual que en geometría plana estudiábamos los polígonos regulares, así también en geometría sólida podemos pensar en cuerpos con análogas características en cuanto a la regularidad. Se llaman poliedros regulares aquellos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre sí y de modo que en cada vértice concurren el mismo número de caras. No obstante, veamos una notable diferencia entre la geometría plana y la geometría sólida. Así como existe una infinidad de polígonos regulares, ¿cuántos poliedros regulares cabe esperar? Para contestar a ello, analizaremos el cuadro adjunto, teniendo presentes dos consideraciones importantes:

Posibles del poliedro

caras

No de caras por vértice ≥

Suma

ángulos

cada vértice < 360

Poliedro regular

3 Tetraedro 4 Octaedro 5 Icosaedro 6

Imposible

3 Cubo 4

Imposible

3 Dodecaedro

Imposible

1. Todas las caras han de ser iguales, por ser regulares. 2. Los ángulos de las caras que concurren en un vértice suman menos de 360°, propiedad vista en el tema anterior, pues en caso de sumar 360° exactamente no encerrarían un volumen, sino que tendríamos una superficie plana. Como puedes observar, sólo existen cinco poliedros regulares, también llamados sólidos platónicos: El tetraedro, limitado por cuatro caras que son triángulos equiláteros. El cubo o hexaedro, limitado por seis caras que son cuadrados. El octaedro, limitado por doce caras que son pentágonos regulares. Y el icosaedro, limitado por veinte caras que son triángulos equiláteros.

Algún motivo, como puede comprenderse, ha conducido a que estos cinco cuerpos geométricos sean llamados sólidos platónicos. Platón, filósofo griego del siglo IV a. J.C., concebía el mundo como constituido por los cuatro principios básicos: tierra, fuego, aire y agua, Según Platón, la tierra correspondía al cubo, es decir a la forma “más sólida y menos móvil”, y el fuego al tetraedro, porque es el sólido que tiene la forma “más aguda y más móvil”, el aire y el agua correspondían al octaedro y al icosaedro. El quinto y último sólido regular, el dodecaedro, fue considerado por Platón como símbolo del universo. Sin duda, nos hallamos entre el misticismo y la ciencia propia de la época. En cuanto a la figura de Platón, no parece que haya contribuido mucho a las matemáticas por sí mismo, pero no cabe duda de que su influencia a través de la Academia, institución por él fundada en Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre la inscripción que figuraba a la entrada de la Academia “No entre aquí nadie que ignore la geometría”. Siglos más tarde, los poliedros regulares inspiraron a Johannes Kepler, astrónomo alemán del siglo XVII, en el estudio del movimiento de los seis planetas conocidos hasta entonces. Kepler concebía a Saturno, Júpiter, Marte, Venus y Mercurio como moviéndose en unas esferas separadas la una de la otra por el cubo, por el tetraedro, por el dodecaedro, por el octoedro y por el icosaedro.

Todo había de ser regulado por las leyes matemáticas, porque “no hay

armonía si no hay matemáticas”.

3. Como puedes observar, las siguientes figuras muestran los poliedros regulares y sus respectivos desarrollos. Utiliza el pantógrafo para reproducir en cartulina y a tamaño ampliado estos desarrollos; después recorta, dobla y pega convenientemente las pestañas; así obtendrás tus cinco sólidos platónicos.

Si no dispones de pantógrafo, utiliza la construcción de polígonos

vista en geometría plana para reproducir a escala dichos poliedros.

a) Contabiliza en dichos poliedros el número de vértices, caras y artistas, y comprueba la fórmula de Euler. 4. Dibuja los desarrollos del tetraedro regular y del octaedro regular de igual arista.

Tras

procurarte cuatro fotocopias del desarrollo del tetraedro, móntalas para obtener las piezas de la figura adjunta.

Intenta ajustar los tetraedros a las caras del octaedro para conseguir un tetraedro mayor. ¿Qué relación guardan las aristas del tetraedro así obtenido, con las del octaedro?

EJERCICIOS: b) Averigua las superficies de un octaedro regular de 16 cm de arista y de un cubo de igual arista. Determina la relación entre las superficies de estos cuerpos. (Conviene recordar qué área del triángulo equilátero = l c)

¿Cuál es el área del triángulo que se obtiene al unir los vértices de un cubo que son extremos de tres aristas concurrentes?

d) Calcula en función de la arista las áreas de los cinco sólidos platónicos, y comprueba si los resultados obtenidos coinciden con lo que aparecen en la tabla de áreas de la página 154.

Te habrás percatado de que en general los edificios se construyen verticalmente y con características comunes que sugieren la idea de prismas. En la figura adjunta se muestra un prisma de base pentagonal. Los prismas son poliedros cuyas caras básicas, paralelas entre sí, son dos polígonos iguales, siendo sus caras laterales paralelogramos. Si las aristas laterales del prisma son perpendiculares a la base, se dice que el prisma es recto; en caso contrario, el prisma es oblicuo. Los prismas rectos se llaman regulares si sus bases son polígonos regulares. Según sean los polígonos de la base, los prismas se llaman: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, hexagonales..., etcétera. 5. Para visualizar prismas, toma una lámina de cartón grueso o de madera y recorta dos polígonos iguales. Uniendo sus vértices con hilos elásticos y manteniendo las bases paralelas como muestra la figura tendrás multitud de prismas según la tensión a que sometas el hilo elástico.

El área lateral de un prisma es la suma de la superficie de todas sus caras laterales.

desarrollo plano de un prisma recto, tal como se muestra en el dibujo, nos permite obtener de forma sencilla el cálculo de dicha superficie, ya que tal desarrollo no es más que un rectángulo de base el perímetro de la base del prisma y de altura su arista latera. De aquí que, AL = P.h donde P es el perímetro de la bese y h la altura del prisma. Basta añadir al área lateral, la superficie de las dos bases para obtener el área total del prisma es decir, AT = P.h + 2Ab donde Ab representa el área de la base.

El desarrollo de la superficie lateral de un prisma Recto es un rectángulo Es preciso destacar que estas expresiones no son válidas para prismas oblicuos, pues en éstos la altura no coincide con la arista lateral. En tal caso, se debe estudiar el prisma oblicuo que nos interese en particular. 6. Averigua las áreas lateral y total del prisma oblicuo de la figura.

Unos prismas muy particulares son los paralelepĂpedos, en los que todas sus caras son paralelogramos.

Cubo

Ortoedro

Algunas propiedades de ĂŠstos basadas en las de los paralelogramos, puesto que los planos diagonales son paralelogramos, son las siguientes: a)

Las diagonales de un paralelepĂpedo se cortan en su punto medio.

En el ortoedro, todas sus diagonales son iguales.

7. Para calcular la diagonal del ortoedro es preciso hacer uso del Teorema de PitĂĄgoras.

En el triángulo rectángulo MON, d2 = c2 + m2, pero m es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a y b, y por tanto m2 = a2 + b2 de donde d2 = a2 + b2 + c2, o también: d =

a 2 + b2 + c2

resultado conocido con el nombre de Teorema de Pitágoras en el espacio.

M D

C B

O M A

Puesto que el cubo es un ortoedro con sus tres aristas iguales, a = b = c, su diagonal sera: d =

a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 = a 3 8. Esta palabra nos recuerda Egipto y los monumentos que allí sirvieron de tumba a sus faraones. La más grande de éstas es la de Keops, que data del 2 600 a J. C. aproximadamente y es de base cuadrada y con unas dimensiones impresionantes: 230 m de arista de la base y 146 m de altura. Está formada por 2,3 millones de bloques de piedra, cada uno de los cuales pesa aproximadamente 20 toneladas.

Las pirámides de Guiza: Micerino, Quefrén y Quéope La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus aristas en puntos distintos del vértice. La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Criterios análogos a los utilizados en prismas permiten también clasificar las pirámides en: -

Pirámides rectas y oblicuas.

Pirámides regulares e irregulares.

Pirámides de base triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etcétera.

Altura

C a ra

Altura

la te ra

la te ra C a ra

Apotema

Ba se Ba se

En una pirámide regular, apotema es la altura de una cualquiera de sus caras laterales. Es de notar que la apotema de la pirámide forma, junto con la apotema de la base y la altura de la pirámide, un triángulo rectángulo. 9. Tú mismo puedes construir diferentes pirámides por el método experimental del hilo elástico, como se muestra en la figura.

En el caso de pirámides rectas y de base regular, sus caras laterales son triángulos isósceles todos ellos iguales, y puesto que el área del triángulo es A =

1 (b)( a ) , 2

contando el número de

estos es fácil deducir:

Donde P presenta el perímetro de la base, a la apotema de la pirámide y a’ la apotema del polígono de la base.

10. Una figura geométrica derivada de la pirámide es el tronco de pirámide, que resulta ser el trozo de aquella comprendido entre la base y un plano que la corta. En lo sucesivo supondremos el plano de corte paralelo a la base de la pirámide. Para troncos de pirámide rectos y regulares, sus caras son trapecios isósceles, y puesto que el área del trapecio es A =

1 (b + b' )a , contando su número es fácil deducir: 2

Donde p y p’ representan los perímetros de las bases, y Ab y Ab’ sus áreas respectivas. 11. Sobre una cartulina reproduce a mayor tamaño los desarrollos planos de la pirámide y del tronco de pirámide de la página anterior. Recórtalos y ármalos adecuadamente. a.

Calcula sus áreas laterales y totales.

¿Te atreves a calcular sus alturas? Recuerda la eficacia del Teorema de Pitágoras.

BLOQUE IV OTRAS MAGNITUDES PROPÓSITOS Al término de las actividades del bloque, el profesor estudiante será capaz de: 1.

Reconocer las diferentes magnitudes que se utilizan para la medición de la masa, el

tiempo y la temperatura 2.

Derivar las magnitudes relacionadas con la velocidad, fuerza, peso, resistencia, densidad,

tasa, porcentaje

TEMAS 1. Magnitudes fundamentales: la masa, el tiempo y la temperatura. 2. Magnitudes derivadas: velocidad, fuerza, peso, resistencia, densidad, tasa, porcentaje, etcétera.

BIBLIOGRAFÍA Del Olmo et al. (1993), Superficie y volumen. ¿Algo más que el trabajo con fórmulas?, Madrid, Síntesis. García et al. (1998), Geometría y experiencias, Madrid, Addison Wesley Longman. Rivaud (1996), Geometría Intuitiva 2. Áreas, volúmenes y centros de gravedad, México, Limusa. SEP (1997), Libro para el maestro. Matemáticas. Educación Secundaria, México. — (1995), Libro para el maestro. Física. Educación Secundaria, México. — (2000), Fichero de actividades didácticas. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª ed., México. — (2000), Secuencia y organización de contenidos. Matemáticas. Educación Secundaria, 2ª Ed., México.

ACTIVIDADES QUE SE PROPONEN 1.

Sujete a discusión con el grupo de trabajo a qué tipo de magnitudes se refiere cuando se

habla de masa, tiempo y temperatura, en particular a las unidades básicas de cada una, es importante que señalen, como parte de las discusiones lleguen a advertir, a partir de la unidad básica, los múltiplos y submúltiplos de cada una de ellas. 2.

Es importante que cada grupo de trabajo advierta la necesidad de modelar el proceso de

análisis de este tipo de magnitudes para el establecimiento de problemas para dar respuesta a planteamientos de otras ciencias del conocimiento, como la física, química, biología, etcétera. 3.

Busque información acerca de planteamientos de problemas en particular de la física y

química en los que se impliquen las magnitudes que relacionan problemas derivados del cálculo de masa, tiempo y temperatura. 4.

Como derivado de las magnitudes que relacionan la masa, el tiempo y la temperatura, es

importante que recurra a la ciencia de la física para revisar el tipo de problemas que plantea esta disciplina, en tanto el uso de magnitudes que relaciona la velocidad, fuerza, peso, resistencia y densidad, es conveniente que también en este apartado de la unidad de trabajo distinga las formas convencionales de transformación, como la unidad que maneja el sistema de velocidades como unidad básica, por ejemplo, la transformación de

/hr y su equivalente a

/seg.

Discuta con el grupo de estudiantes que cursan esta parte de la especialidad, como el

concepto de tasa y porcentaje ayudan con la interpretación del cálculo de los conceptos que se vienen discutiendo. 6.

Pida a los estudiantes que busquen problemas que relacionen la velocidad, fuerza, peso,

resistencia y densidad, asimismo el cálculo de tasa y porcentaje, como:

La cantidad de ácido en x mililitros (ml) de una solución ácida al 10%

SOLUCIÓN En este problema se supone que sabemos qué es una solución ácida al 10%. En x mililitros de solución (agua mezclada con ácido), 10% de la mezcla es ácido y 90% es agua. La relación implicada es la multiplicación: Cantidad de ácido = 10% (x ml) = 0.10 (x ml) Es útil ilustrar esta relación con algunos ejemplos. Una solución ácida contiene

ÁCIDO + AGUA

50 ml de una solución ácida al 10% contiene:

10%(50 ml) + 90%(50 ml) = 0.10(50 ml) + 0.90(50 ml) = 5 ml + 45 ml = 50 ml de solución

100 ml de un 10% de solución ácida al 10% contiene:

10%(100 ml) + 90%(100 ml) = 10 ml + 90 ml = 100 ml de solución

x ml de una solución ácida al 10% contiene:

10%(100 ml) + 90%(100 ml) = 10 ml + 90 ml = 100 ml de solución

Por lo tanto la cantidad de ácido en x litros de una solución ácida al 10% es igual a 0.10x ml.

MATERIALES

APOYO

UNIDADES BASICAS DE MEDICION___________________________________

UNIDADES BÁSICAS DE MEDICIÓN

del

estado

fundamental de los átomos de nucléido 133

Cs.

Unidades básicas MASA

Kilogramo El

LONGITUD

CORRIENTE

kilogramo

ELÉCTRICA

equivale a la masa

El amperio equivale

del kilogramo patrón

a la intensidad de

internacional.

una

Metro

circular en el vacío por dos conductores

longitud de onda de

paralelos situados a

la radiación emitida

por los átomos del 86

estado

entre

5d5

infinitos,

sección

circular

despreciable,

2p10,

estado

metro

distancia, rectilíneos

Kr, en la

transición

constante

en el tiempo que, al

1650763.73 veces la

nucleido

corriente

eléctrica

El metro equivale a

de atracción mutua

vacío.

entre

Segundo

lugar a una fuerza

propagándose en el

TIEMPO

Amperio

los

conductores de 2 x

El segundo equivale

10-7 neutronios por

a 9192631770 veces

metro.

período

radiación

LUMINOSA

correspondiente a la transición entre los dos

niveles

estructura

INTENSIDAD

hiperfina

Candela La

candela

intensidad

cd es de

la luz

que emite 1 ÷ 6 x 10-5

UNIDADES BASICAS DE MEDICION___________________________________

superficie

cuerpo negro a una temperatura correspondiente a la solidificación platino

del

una

presión de 101325 neutronios metro

por

cuadrado,

perpendicular a su superficie. CANTIDAD

SUSTANCIA

Kilogramo patrón Mol

Mol

El mol equivale a la cantidad de materia de

sistema

constituido tantas

por partículas

como

átomos

contiene 12 ÷ 10-3 kilogramos

nucleido del carbono 12

TEMPERATURA TERMODINÁMICA

Kelvin

El kelvin equivale a la

273 16

parte de la

temperatura termodinámica

del

punto triple del agua (aproximadamente 0.01 ºC)

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

GEOMETRÍA DEL PLANO

onceptos

básicos

De aquí el uso del término Geometría, que en

geometría

griego significa medida de tierras.

se cree que el origen de la geometría

En Egipto, la Geometría era un conjunto de

está

reglas y conocimientos empíricos con un

confirma

antiguo

uno

Egipto. los

así

escritos

lo del

interés

eminentemente

práctico.

Fue

historiador herodoto cuando, hablando

posteriormente en Grecia, entre los siglos VI

del rey sesostris, dice:

y III a J.C., cuando adquirió un aspecto más teórico,

mano

los

grandes

“Este rey dividió la tierra entre todos los

matemáticos: Tales, Pitágoras, Arquímedes,

egipcios

Euclides, Apolonio, etcétera.

tal

manera

que

cada

uno

recibiera un cuadrilátero del mismo tamaño y que él pudiera obtener sus rentas de cada uno, imponiendo una tasa que debía ser pagada anualmente.

1.1.

Recordando los elementos básicos de Geometría

Pero todo aquel de

cuya parte el río hubiera arrastrado algo,

Todos los cuerpos que nos rodean ocupan

tenía que notificarle lo ocurrido; entonces, él

un lugar en el espacio, Se llama extensión

enviaba supervisores que debían medir en

a la porción del espacio ocupado por un

cuánto había disminuido la tierra para que el

cuerpo, admitiendo ésta tres direcciones:

propietario pudiera pagar de acuerdo con lo

la longitud, la anchura y la altura, cada una

que le restaba, en proporción a la tasa total

de las cuales se llama dimensión.

impuesta. De esta forma me parece que se originó la geometría, que luego pasó a Helas”

Hay cuerpos que se reducen a una sola

JAMES R. NEWMANN

dimensión, como la línea, y otros a dos

El mundo de las matemáticas

dimensiones, como la superficie. El punto

Ed. Girjalbo

es la mínima expresión de la extensión y, por lo tanto, no tiene ni longitud, ni anchura, ni altura; solamente nos indica

García Arenas, Jesús y Beltrán I. Infante, Celsti. Geometría y experiencias, Ed. LONGAM, México 1995, Pp. 10 - 27

una posición en el espacio.

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

Observa que sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas, a la izquierda y

a la derecha del mismo. Para medir un segmento es necesario

ACTIVIDAD 1.1

adoptar una unidad patrón y compararla a)

Observa la fotografía anterior e indica

elementos que te sugieran la idea de punto,

línea,

superficie

cuerpo

con la longitud del segmento.

Así, por

ejemplo, si queremos medir el segmento AB y la unidad de medida es u.

volumétrico. b)

rayo

láser,

¿qué

elemento

geométrico te sugiere? ¿Y una hoja de papel? c)

¿Es posible dibujar una línea recta en

toda su extensión? ¿y un plano? Podemos comparar ambos segmentos con

1.2 Segmentos rectilíneos

la ayuda de un compás.

Un segmento rectilíneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B.

El segmento AB

contiene exactamente 5 veces la unidad u. En este caso, se dice que el segmento AB mide 5 unidades de longitud.

ACTIVIDAD 1.2 ¿Puedes

dar

ejemplos

reales

que

sugieran la idea de segmento rectilíneo?

Utilizando una regla sin graduar y un

compás construye un segmento que mida 3 veces la unidad u, b.

Tomando como unidad de medida u,

mide el segmento AB.

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

Observa que con otra unidad, por

¿Cuál es la unidad más idónea para

ejemplo u’ = 2u, el segmento AB no

medir la distancia de Barcelona a Paría? ¿Y

contiene a u’ un número entero de veces.

la más idónea para medir las dimensiones

Esto nos indica que no todas las unidades

de una mesa de ping-pong?

son adecuadas para medir un segmento.

¿Cuántos kilómetros recorre un coche

que participa en la prueba de 500 millas en De las unidades utilizadas históricamente,

el Circuito de Indianápolis?

las más convencionales responden a dos sistemas: 1. Sistema Métrico Decimal (S. M. D.): Mm. Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm 2. Sistema Anglosajón: Milla, yarda, pie, pulgada,... A

largo

del

libro

utilizará

perfectamente el S. M. D.; pero recuerda que la relación entre ambos sistemas es la siguiente: 1

milla

1.609,34

30,48

1 yarda = 0,9144 m 1

pie

1 pulgada = 2,45 cm

ACTIVIDAD 1.3

Utilizando la regla milimetrada mide

los dos segmentos que aparecen en la actividad

1.2.

Indica

expresamente

unidad de medida empleada. ¿Cuál sería el resultado obtenido por un alumno del English College que utiliza su sistema anglosajón?

Además de la regla y el compás como instrumentos de medida, existen otros más adecuados para medir ciertas piezas de uno frecuente.

Dos de los más conocidos

son el pie de rey y el tornillo micrométrico.

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

Cualquier libro de tecnología te orientará sobre su manejo; con ellos es posible medir

con

gran

precisión

piezas

reducido tamaño.

¿Y para medir laminillas de oro de 0.03 mm

grosor,

como

las

utilizadas en joyería? c.

Para medir el grosor de un paquete de

1 000 hojas de papel, ¿qué instrumento utilizarías y cómo deducirías el grosor cada una de ellas?

Ejercicios: 1. El tamaño de una pantalla de televisor se expresa mediante pulgadas (“). Así, por ejemplo, se habla de televisores de 16”, 20”, 22”, etc., aludiendo a la medida de la

ACTIVIDAD 1.4

diagonal de su pantalla. Infórmate de las pulgadas de tu televisor y, puesto que 1” equivale a 2,54 cm, averigua el –tamaño-

Señala con una “x” los instrumentos

idóneos para medir el diámetro de una canica. -la regla -El compás

- una cuerda

¿Qué instrumento cree más adecuado

para medir las cotas 10.3 mm y 6,5 mm de la figura?

Verifica el resultado con una cinta métrica. 2. En la etiqueta de un carrete de hilo de

- el tornillo micrométrico

-el pie de rey b.

de la pantalla de tu televisor en cm.

pescar se puede leer que la longitud de hilo es de 50 yardas, ¿Cuántos metros de hilo contiene dicho carrete? 3. La

balanza

también

buen

instrumento para medir la longitud de un rollo de alambre. Para ello, basta pesar 1 m

alambre

del

mismo

tipo

continuación el rollo completo. por

qué

este

método

nos

Razona el permite

determinar la longitud del rollo.

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

4. Hemos estudiado diferentes unidades de longitud;

sin

embargo,

para

distancias

astronómicas se utiliza otra unidad más idónea, como es el año-luz (distancia que recorre la luz en un año).

Puesto que la

luz viaja a 300.000 km/s, averigua la distancia en km a la que se encuentra la estrella más próxima a nosotros (Alfa de centauro) sabiendo que ésta se halla a 4,3 años/luz de la Tierra. 5. ¿Cuál de los dos segmentos AB y CD es el más largo?

El ángulo formado por dos semirrectas alineadas se llama ángulo llano. La mitad del ángulo llano es un ángulo recto.

Utiliza una regla graduada

para medir cada uno de ellos y no te fíes de lo que te dicen tus sentidos. ¡A veces

Experiencia: los sentidos Traicionan!

1.3

ÁNGULOS:

Construcción

ángulos

plegando papel

MEDIDA

CLASIFICACIÓN Angulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto común llamado vértice, como se aprecia en la siguiente figura: Indicaremos por ∠AOB el ángulo de vértice O y semirrectas OA y OB. ocasiones

utilizaremos

En otras

simplemente

notación ô, aludiendo a su vértice En realidad, dos semirrectas determinan dos ángulos, como se observa en la figura, si bien consideraremos como ángulo ∠AOB el menor de los dos.

Toma una hoja de papel y dóblala una vez para obtener un pliegue.

Observa que

logras un ángulo llano. Si vuelves a doblar haciendo

coincidir

pliegue

sobre

sí

mismo, observarás que obtienes un ángulo recto.

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

Con

este

patrón,

¿cómo

harías

para

ACTIVIDAD 1.5

conseguir: a.

½ recto y ¼ recto?

¾ de recto y

4 rectos?

Utilizando

transportador

ángulos, mide los ángulos de tu juego de

3 de recto? 2

escuadras. b.

Con

ayuda

escuadra,

Se hace necesario dar unidades patrón

dibuja ángulos de amplitud: 75°, 105°,

más pequeñas y precisas que las obtenidas

150°, 15°, 120°, 210°, 135°, y 225°,

en la experiencia anterior a fin de medir

basándote

ángulos. Xagesimal, a cada una de ellas.

según convenga.

los

esquemas

siguientes

Esta es la unidad más usual. 1 recto = 90° Te sugerimos que midas los ángulos de la experiencia anterior y que des el resultado en grados sexagesimales. El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador de ángulos.

La actividad anterior permite visualizar un método

para

calcular

suma

diferencia de ángulos; sin embargo, un método

algebraico

más

propio

para

ángulos que estén expresados en grados, minutos y segundos viene reflejado en el Para ángulos menores de 1° se utilizan unidades

más

pequeñas

como

son

minuto y el segundo sexagesimal.

1’ = 60 segundos sexagesimales = 60 “ subdivisión

partes

Ejemplo: Averiguar la suma y la diferencia de los

1° = 60 minutos sexagesimales = 60’

Esta

siguiente ejemplo.

ángulos A = 46° 15’ 42” y B = 22° 41’ 30”. Procederemos del siguiente modo:

más

pequeñas de cada unidad es la razón por la que el sistema de medida recibe el nombre de sistema sexagesimal.

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

Ejercicios: 1. Conociendo los ángulos A = 98° 19’ 13” y B = 43° 35’ 58”, averigua la amplitud de los ángulos A + B y A - B. 2. Si

hacemos

calculadora,

aparecen

operación en

pantalla

con el

resultado de 32,71° ¿Puedes decir cuántos grados, minutos y segundos nos quiere indicar?

1.3.1.

CLASIFICACIÓN

ÁNGULOS:

ACTIVIDAD 1.6 Clasifica los ángulos que observas

en la figura según su abertura, haciendo uso del transportador de ángulos en caso necesario.

egún la mayor o menor abertura de un ángulo, éste puede ser recto, agudo u obtuso.

Dibuja

dos

ángulos consecutivos de amplitud

52°

respectivamente.

El ángulo agudo es el que mide menos que un recto, mientras que el ángulo obtuso mide más que un recto.

37° ¿Son

complementarios?

¿Y

suplementarios? Justifica tu respuesta. c.

El suplementario de un ángulo

obtuso ¿qué tipo de ángulo es? ¿Y el de un ángulo agudo? ¿Y el de uno recto? d.

¿Pueden dos ángulos agudos ser

suplementarios?

¿Y

complementarios?

Razona tu respuesta. Dos ángulos son complementarios si su suma es 90°, o sea, un recto. Cada uno es

EJERCICIOS

complemento de otro. Dos ángulos son suplementarios si su suma

1. Calcula

vale 180°, o sea, un llano.

suplementario de 30° 28’ 16” de amplitud.

suplemento de otro.

Cada uno es

complementario

2. ¿Cuántos grados sexagesimales mide un ángulo

amplitud

recto?

¿Cuánto mide su ángulo suplementario? 3. ¿Cuál es el complementario del ángulo diferencia de los de amplitud A = 70° 27’ y B = 37° 54’?

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

ACTIVIDAD 1.7 Experiencia: Descubriendo las propiedades de un parquet. ALTER

ALTER CORR

OPUE

NOS

ESPO

STOS

INTER

EXTE

NDIE

POR

por

NOS

RNOS

NTES

El modelo de piezas de parquet diseñado la

fábrica

Serratus,

S.A.

VÉRTI CE

Los

segmentos

CD, EF , GH , IJ ,

....

son

AB , segmentos

paralelos determinados por las rectas-guías paralelas.

Mídelos y comprueba si son

iguales. a.

Completa el cuadro siguiente para

los distintos tipos de ángulos que aparecen al

En general se cumple que:

cortar dos rectas paralelas por una secante.

Dos

paralelas

cortadas

por

otras

dos

paralelas, determinan sobre las primeras segmentos iguales. Si 2 = 30°, ¿puedes decir cuánto

miden los otros 7 ángulos sin usar el

transportador?

básicos de la actividad anterior? Justifica tu

respuesta.

Con los resultados del apartado

¿Cuántas piezas diferentes observas? ¿Utiliza el fabricante los principios

anterior, compara las parejas que figuran en

cada recuadro de la tabla que aparece en el

diseña

apartado a, y deduce la propiedad que las

habitación. Dos buenos ejemplos podrían

caracteriza.

ser los de la figura.

Dos

herramientas

muy

utilizadas

Con las piezas de este fabricante, un

parquet

para

propia

carpintería son la sierra y la guía que observas en la fotografía. Dicho montaje es un caso particular de la actividad anterior.

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

Si las piezas son coloreadas son

iguales, ¿qué puedes decir de los ángulos A, A’,

A”,...? ¿Y de los ángulos B, B’, B”,...?

compara ambos tipos de ángulos, A y B, y deduce si son suplementarios En general se cumple: Si dos ángulos tienen sus lados paralelos y

1.3.2. BISECTRIZ DE UN ÁNGULO:

a recta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama bisectriz.

ambos son agudos u obtusos, entonces son iguales; pero si uno es agudo y otro obtuso, entonces son suplementarios.

El trazado de la bisectriz de un ángulo, En términos análogos, se puede enunciar

mediante regla y compás, se muestra en la

que:

figura adjunta, donde el punto C se obtiene

dos

ángulos

tienen

sus

lados

trazando arcos de igual radio con centros

respectivamente perpendiculares, y ambos

en A y en B. Al unir O con C obtenemos la

son agudos u obtusos, entonces son iguales;

bisectriz de ∠AOB.

pero si uno es agudo y otro obtuso, son suplementarios.

Tú mismo puedes comprobar, haciendo uso del transportador, que la recta OC es la bisectriz de dicho ángulo.

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

ACTIVIDAD 1.8 a.

En el aula, ¿qué elementos te

sugieren rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas? b.

Responde razonadamente y, si lo

crees necesario, dibuja la figura. -

Si una recta es paralela a otra y ésta

lo es a una tercera, ¿cómo son entre sí la primera y la tercera? -

1.2. PARALELISMO

PERPENDICULARIDAD

Si una recta es paralela a otra y ésta

es perpendicular a una tercera, ¿cómo son la primera y la tercera entre sí? -

Si una recta es perpendicular a otra y

ésta es paralela a una tercera, ¿cómo son eguramente, vistas como las de la fotografía

superior

son

familiares. ¿Te has puesto a pensar

que las vías del tren sugieren la idea de

la primera y la tercera? -

Si una recta es perpendicular a otra y

ésta lo es a una tercera, ¿cómo son la primera y la tercera?

rectas paralelas? Recuerda que dos rectas son paralelas cuando, por más que se prolonguen, nunca se encuentran.

Todas las consideraciones anteriores están basadas en los axiomas y postulados de la geometría euclidiana

Observa, sin embargo, que las vías del tren con los travesaños que las fijan al suelo, ilustran la idea de rectas perpendiculares, ya que forman ángulo recto.

y recogidos en la

obra de Euclides (s. III a. J.C.), los elementos, donde se halla recopilado, de un modo sistemático y bien organizado, todo el saber matemático conocido hasta su época.

Asimismo, en la fotografía observamos cómo una vía cruza las otras dos, lo que sugiere la idea de rectas oblicuas.

Acerca de Euclides, J. Babini en su libro Historia su cinta de la matemática, nos dice: “Casi nada se sabe de Euclides, fuera de las noticias que menciona Proclo en su resumen histórico, según el cual Euclides

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

fue un sabio alejandrino que floreció hacia

platonismo, del cual era adepto, Euclides

el 300 a. De C., que publicó numerosas

tomó la independencia de la ciencia de

obras científicas, destacándose entre ellas

toda finalidad práctica y por lo tanto la

los célebres Elementos, cuya importancia

abstracción y la primacía del conocer sobre

científica y didáctica se pone en evidencia

el hacer; de Aristóteles tomó el riguroso

ante el hecho de que hasta hace pocos

método

años

principios y teoremas, y la distinción de los

eran

escolar.

aún

utilizados

como

texto

Por lo demás, este tratado fue

siempre considerado como sinónimo de

deductivo,

separación

entre

principios en definiciones y axiomas. El método euclídeo, que actualmente se

geometría, y su extraordinaria difusión le

prefiere

denominar

permite rivalizar con las obras cumbres de

consiste

la literatura universal: la Biblia, la Divina

supuestos e hipótesis básicos sobre los que

Comedia, el Quijote....

se construirá la ciencia, y edificar luego

Los

Elementos

los

geometría griega, ni es un resumen de

Este método es de difícil realización, tanto

toda ella; sin duda contiene una gran parte

por la elección de las hipótesis básicas

griegos

como por el desarrollo deductivo, de ahí

anteriores a Euclides y el propio Euclides

que la crítica moderna haya denunciado

elaboraron, pero esa parte no fue tomada

que

al azar, sino seleccionada de acuerdo con

axiomático no aparece revestido de todas

un criterio prefijado que convierte a ese

las precauciones necesarias, ni cumple con

conjunto de conocimientos en un sistema.

todas las exigencias que le impone la

Esta tendencia al sistema es tan vigorosa

lógica; circunstancias que evidentemente

en Euclides, y tan rígido en su resultado,

no disminuyen el mérito de

que no sólo no se conocen

haber aplicado por primera vez, hace 23

posteriores a los de

que

toda

previamente

ésta en forma rigurosamente deductiva.

matemática

contiene

denunciar

axiomático,

método

los

elementos

Euclides, sino que

éstos han servido de modelo a un tipo de construcción

científica,

los

Elementos

método

Euclides de

siglos, un método fecundo para la ciencia. Los

Elementos comprenden 13 libros,

método

la mayoría de los cuales se abren con una

científico, que usado desde entonces en la

serie de definiciones, a las que en el libro 1

matemática, se extendió y se extiende

se agregan los axiomas, que Euclides,

actualmente a otros sectores científicos.

distribuye en dos grupos: postulados y

Por supuesto que los Elementos, ni por su contenido ni por su orientación, son fruto exclusivo de

nociones comunes.” J. Babini

Euclides; su contenido

Historia sucinta de la Matemática

proviene en gran parte de los pitagóricos y

Ed. Espasa Calpe

de Eudoxo, y en su orientación han influido especialmente Platón

Aristóteles.

Del

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

El más conocido de los postulados es el llamado

quinto

postulado

Euclides,

según el cual, por un punto exterior a una recta se puede trazar una paralela a ella y solamente una. El libro de los Elementos, vigente aún en nuestros días, ha servido como texto único de matemáticas hasta finales del siglo XIX, momento en que aparecieron otras nuevas geometrías

mano

Gauss,

Lobatchewski, Bolyay y Riemann. geometrías,

llamadas

Estas

geometrías

euclidianas, se basan en la negación del quinto

postulado

Euclides,

bien

conservan los restantes. Es

preciso

aclarar

que

las

distintas

geometrías no son contradictorias entre sí, sino complementarias.

En nuestro libro

nos limitaremos al estudio de la geometría euclidiana. Autorretrato De M. C. Escher

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

ACTIVIDAD 1.9

1.4.1 TRAZADO DE PARALELAS Y DE PERPENDICULARES

El quinto postulado del libro Elementos de Euclides fue aceptado de forma inmediata por su evidencia frente a los sentidos; sin embargo, en ocasiones, nuestros sentidos nos encubren realidades muy diferentes. Un buen ejemplo lo puedes observar en las

eamos

continuación

algunos

métodos de dibujo para el trazado de paralelas y de perpendiculares

haciendo uso de la regla, el compás y la escuadra.

figuras siguientes: a.

Paralela a una recta r por un

punto P:

La primera figura muestra la escuadra deslizándose sobre la regla hasta alcanzar el punto P. ¿Son rectas las dos líneas verticales de cada una de las figuras? ; ¿son paralelas? Sirviéndote de una regla, mide a distintas alturas y confirma la veracidad o falsedad de tu respuesta. En la segunda figura, los arcos y sus Observa hasta qué punto los sentidos pueden llegar a traicionarnos, detalle que llevó a los geómetras del siglo XIX a descubrir las geometrías no euclidianas, al poner en entredicho el quinto postulado de Euclides.

centros respectivos están indicados con el mismo color, siendo iguales los radios de los arcos con centros en A y A’. La recta PP’ es la paralela a r por P. Observa que esta recta paralela a r por el punto P es única, tal como asegura el quinto

De la actividad anterior se puede extraer la

postulado

para

geometría

euclidiana.

siguiente conclusión: En

geometría,

matemáticas

general, la intuición no es válida como

Perpendicular a una recta r por un

punto P:

método de demostración. La

primera

comentario.

figura

precisa

ningún

Por lo que respecta a la

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________ segunda, el punto P’ se obtiene de trazar

Dibuja un segmento de unos 8 cm y

arcos de igual radio con centro en A y B.

determina su mediatriz.

La recta PP’ es la perpendicular a r por P.

Elige

punto

arbitrario

mediatriz y mide su distancia respectiva a los

extremos

del

segmento.

¿Qué

observas? Prueba con otros puntos de la mediatriz. general Por último, en la tercera figura, para el

¿Te atreves a dar un criterio

para

todos

los

puntos

mediatriz?

caso de que el punto P se halle sobre la recta r, trazamos la circunferencia con centro arbitrario O y radio OP. El diámetro

1.4.3. PROYECCIÓN ORTOGONAL

1.4.2 TRAZADO DE PARALELAS Y

DE PERPENDICULARES

del dardo con la recta r, se llama

proyección ortogonal de P sobre r.

trazado por A nos da el punto P’, siendo la recta PP’ la perpendicular deseada.

magina el dardo de la figura cayendo verticalmente por su propio peso sobre la recta r. El

punto de impacto P’, de la punta P

a mediatriz de un segmento es la recta

perpendicular

dicho

segmento por su punto medio.

Observa que decir ortogonal equivale a decir perpendicular.

El trazado de la mediatriz se hace como

Si lo que pretendemos es proyectar un

muestra la figura. En ella se han trazado

segmento PQ sobre la recta r, bastará

con centro en A y B arcos de igual radio

proyectar los extremos P y Q del segmento

que determinan los puntos P y Q. La recta

y unirlos entre sí.

PQ es la mediatriz del segmento AB.

ACTIVIDAD 1.10

GEOMETRIA DEL PLANO___________________________________

ACTIVIDAD 1.11 a. La línea ABCDE de la figura se llama línea poligonal.

Dibuja su proyección

ortogonal sobre la recta r.

b. Si un segmento mide 3 cm, ¿Cuánto puede medir su proyección sobre una recta según

las

distintas

posiciones

del

segmento? ¿En qué caso su proyección sería un punto? ¿En algún caso será de 3 cm? c. A

continuación

aparecen

distintas

proyecciones de un punto sobre una recta. ¿Cuál

estas

proyecciones

ortogonal? Justifica tu respuesta.

LOS POLIGONOS_________________________________________________

LOS POLÍGONOS

interiores y exteriores. Op Cit, Pp. 28 - 47

Define con tus

propias palabras cada uno de ellos.

1.3. Polígonos

ecuerda del tema anterior lo que es una línea poligonal. ¿Puedes dar una

definición

ésta?

__________________________________ _________________________________ Las líneas poligonales pueden ser abiertas o cerradas, tal como lo muestran las figuras:

1.3.1

CLASIFICACIÓN

POLÍGONOS

O Polígono es la superficie plana limitada por

tro

elemento

básico

todo

polígono es su perímetro.

perímetro de un polígono es la

suma de las longitudes de sus lados.

una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli (varios) y gono (ángulos). Con frecuencia, observarás que muchos

los

términos

utilizados

geometría proceden del griego, este hecho no nos debe extrañar, ya que fue en la Antigua Grecia donde la geometría adquirió

Según el número de lados de los polígonos, éstos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos,

En la tabla adjunta puedes observar los prefijos griegos de los polígonos que tienen más de cuatro lados. 8-octo

penta En

figura

elementos

adjunta

básicos

observarás un

los

6-hexa

11-

---

undeca 9-enea

polígono:

vértices, lados, diagonales, ángulos

heptágonos,

octógonos, eneágonos, decágonos.....

un gran relieve.

hexágonos,

10-

hepta

deca

12-

20-

dodeca

icosa

---

LOS POLIGONOS_________________________________________________

c. Ayudándote

con

regla

transportador descubre qué polígonos son irregulares, y calcula en cm el perímetro de cada uno de ellos.

El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un polígono regular. En éstos, y sólo en éstos, aparecen dos nuevos elementos: centro y apotema. El centro de un polígono regular es el

d. ¡Dos hexágonos diferentes! Uno cóncavo

punto interior que se halla a igual distancia

y otro convexo.

de sus vértices,

y la apotema

es el

segmento perpendicular desde el centro a uno cualquiera de los lados.

También

podemos decir que la apotema es el segmento determinado por el centro y el punto medio de uno de los lados.

Dibuja

mano

alzada

pentágono

cóncavo y otro convexo.

1.3.1SUMA ACTIVIDAD. 2.1. a. Utilizando la tabla anterior, relaciona el nombre de los polígonos con su número de lados. b. ¿Pueden existir polígonos con menos de tres lados? Justifica tu respuesta.

LOS

ÁNGULOS

INTERIORES DE LOS POLÍGONOS CONVEXOS a.

Con la ayuda del transportado, mide

los ángulos del triángulo de la figura y comprueba que suman 180°. Puede ocurrir que por errores de precisión

no te salga

180°; en tal caso te recomendamos que

LOS POLIGONOS_________________________________________________

recortes las puntas del triángulo y las adjuntes en posición de suma de ángulos.

Suma de

Número

lados

triángulos

Triángulo

180º

Cuadrado

180º

Polígono

Observa así que su suma es 180°

los ángulos interiores

2 Pentágono

comprueba que en todos ellos el resultado

Heptágono

es el mismo. Observa que:

Octágono

Polígono

Dibuja varios triángulos diferentes y

En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es de 180°. c.

Dibuja polígonos convexos de distinto

número de lados. calculando obtenidos

el en

Completa la tabla

número cada

polígono

triángulos al

n-2

de n lados

trazar

diagonales desde un vértice.

Observa que: Puesto

que

suma

los

ángulos

interiores de un triángulo es 180°, en un polígono, la suma de sus ángulos interiores será 180°(n – 2). d.

Recordando regulares

tienen

que

los

polígonos

los

ángulos

interiores

iguales, averigua cuánto mide cada uno de ellos en los distintos casos del apartado c y refleja el resultado de la columna vacía de

laLOS tablaPOLIGONOS__________________________ anterior. Observa que: En todo polígono regular en n lados, cada ángulo interior mide:

180°(n − 2 ) n EJERCICIOS:

1. ¿Puede ser que algún polígono no tenga diagonales? Justifica tu respuesta. En caso

polígonos

regulares,

bien,

algunos

reciben nombres diferentes.

afirmativo, indica cuál o cuáles son. 2. ¿Cuánto suman los ángulos exteriores de un pentágono convexo? ¿Y en un polígono convexo de n lados? 3. La suma de todos los ángulos interiores de un

polígono

¿cuántos

convexo

vértices

diagonales? En el

tiene?

1.080°, ¿Cuántas

caso de que fuese

regular, ¿cuánto valdría el ángulo central, formado al unir dos vértices consecutivos con el centro?

1.3.3

apotema del polígono regular, y la longitud de la circunferencia al perímetro de éste. El círculo es la porción de plano interior a

POLÍGONO

MUY

PARTICULAR: LA CIRCUNFERENCIA

El radio de la circunferencia equivale a la

la circunferencia. Por tanto, no confundas circunferencia con círculo. La circunferencia es una línea y el círculo es una superficie.

l número de lados de un polígono puede ser tan grande como se quiera; así, por ejemplo, es posible

construir polígonos regulares de 20 lados (icoságono), de 100 lados, 1.00 lados, etcétera. Al aumentar el número de lados,

el añillo sugiere la idea

circunferencia y la moneda de circulo.

éstos se hacen cada vez más pequeños. Si pudiésemos construir polígonos regulares de una infinidad de lados, sucedería que cada uno de ellos no sería un segmento, sino un punto, con lo cual habríamos construido un polígono muy particular, la

LOS POLIGONOS___________________________

circunferencia, caracterizada por el hecho de que todos sus puntos están a igual distancia del centro. Reconocemos

TRAZADO DE POLÍGONOS la

circunferencia

los

REGULARES

mismos elementos que aparecían en los

1.3.4 TRAZADO DE POLÍGONOS

REGULARES

podemos llamar general porque sirve para todos

l trazado de polígonos regulares a mano

alzada

los

casos

que

nos

puedan

presentar.

prácticamente

imposible, como tú mismo puedes

Empezaremos por dibujar la circunferencia

Por ello se hace necesario

dada. El diámetro AB lo dividiremos en un

recurrir a métodos de dibujo. A continuación

número de partes igual al que queremos

exponemos dos métodos para construir un

dividir la circunferencia, en este caso siete.

polígono regular.

Tomando como radio el diámetro de la

comprobar.

circunferencia y centro en los extremos de a. Conocido el lado del polígono: lado.

Trazamos

extremos

describimos

dos

arcos

obtenemos una

Sea L el desde

centro

circunferencia

contendrá seis veces al lago.

sus B,

que

éste, A y B, describimos dos arcos que al cortarse nos darán el punto C.

nos

El radio de

ésta, AB, lo dividiremos en seis partes iguales, obteniendo los puntos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Si hacemos centro en 1 y radio hasta C, dibujaremos

una

circunferencia

que

Se une mediante una recta el punto C con

contiene ocho veces

el 2 y se prolonga, obteniendo el D.

así

arco AD es la séptima parte del total de la

sucesivamente hasta

circunferencia. En todos los casos se opera

llegar a tomar como

del

lado

mismo

modo,

teniendo

siempre

centro el punto 6 y radio hasta C, lo que

presente que la recta que une el punto

permite dibujar una circunferencia que

exterior C ha de pasar por el 2 (segunda

contiene doce veces al lado L.

división del diámetro.) (Para dividir un segmento en n de partes iguales ver Pág.

b. Dada una circunferencia:

Uno de los

problemas que con más frecuencia nos

49).

LOS POLIGONOS___________________________

encontraremos será la necesidad de tener que dividir la circunferencia en un número determinado de partes iguales. A pesar de

1.3.5

que

TRELLADOS

existen

diversos

procedimientos,

POLÍGONOS

REGULARES

exponemos aquí el más conocido y que

U lacería

na de las figuras más bellas en

geometría

muy

pero

utilizada en el arte de la árabe

constituyen

Repite la experiencia anterior en

este

caso

dividiendo

circunferencia en 7 partes iguales.

los

De los apartados anteriores,

polígonos estrellados, obtenidos al

observa

unir vértices no consecutivos de los

estrellados

polígonos regulares.

número de vértices y la amplitud del

que de

los

polígonos

solo

trazo,

salto son números primos entre sí. Así por ejemplo, si consideramos

Traza todos los polígonos estrellados

un pentágono regular y unimos

posibles

solo

trazo

sus vértices saltando de dos en dos,

vértices. ¿Por qué no son de un solo trazo

obtenemos la estrella pentagonal.

de saltar de 3 en 3 y de 5 en 5?

Esta

estrella sirvió de emblema a la escuela pitagórica

fundada

por

Pitágoras

1.4.TRIÁNGULOS

Crotona, en el siglo VI a J.C. Recordemos del apartado anterior que el Por otra parte, sin embargo, la estrella de

triángulo es un polígono de tres lados, y

Israel o hexágono estrellado, obtenido a

por tanto el más sencillo de los polígonos

partir

que se pueden construir.

del

hexágono

regular

mediante

saltos de dos vértices, no puede dibujada de un solo trazo.

ser

De todo lo

anterior podemos concluir que existen dos tipos de polígonos estrellados, según estén construidos con uno o con varios trazos.

TRIANGULOS

tendiendo a la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser

ACTIVIDAD 2.3. a.

3.1. CLASIFICACIÓN DE

equiláteros, isósceles o escalenos.

Traza una circunferencia y divídela en ocho partes iguales.

Une los puntos

saltando de dos en dos.

Utilizando otro

bolígrafo de diferente color, dibuja sobre la misma circunferencia el polígono estrellado que se obtiene al unir los ocho puntos mediante saltos de tres en tres.

Los triángulos equiláteros tienen sus tres lados iguales, los isósceles tienen dos lados iguales y uno desigual, y por último, en los triángulos escalenos sus tres lados son desiguales. Por otra parte, atendiendo a la amplitud de sus

ángulos,

rectángulos,

los

triángulos

obtusángulos

pueden

ser

acutángulos

según tengan respectivamente un ángulo

LOS POLIGONOS_________________________________________________

recto, un ángulo obtuso o bien los tres

ángulos agudos.

¿Cómo son los ángulos que se oponen a los lados iguales de un triángulo isósceles? ¿Cómo son los tres ángulos de un triángulo equilátero y cuánto mide cada uno de ellos?

Completa la tabla siguiente dibujando a mano alzada todos los posibles tipos de triángulos. Equilátero

En los triángulos rectángulos los lados que determinan

ángulo

recto

Rectángulo

llaman

Isósceles

Escaleno

No existe T1

catetos, y el lado opuesto al ángulo recto, hipotenusa.

Obtusángulo

La base de un triángulo puede ser uno

No existe

cualquiera de sus lados, y en tal caso, su altura es la perpendicular bajada a la base, o

Acutángulo

a la prolongación de ésta, desde el vértice opuesto.

T6 es escaleno y obtusángulo y T8 es isósceles y acutángulo ¿Por qué crees que no es posible dibujar triángulos de los tipos T1 y T4? d.

triángulo

rectángulo,

¿cuánto

LOS POLIGONOS__________________________ suman sus ángulos agudos? Si el triángulo rectángulo fuera isósceles, ¿cuánto mediría

ACTIVIDAD 2.4

cada ángulo agudo? Recordando que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°, responde justificando

¿Qué tipos de triángulos te sugieren cada una de las escuadras de tu juego?

tu respuesta: a.

¿Puede un triángulo tener más de un ángulo

recto?

¿Y

más

ángulo

EXPERIENCIA: MANIPULANDO TRIÁNGULOS

obtuso?.

on tiras de papel perforadas en sus extremos

podemos

construir

Conocidos los tres lados a, b y c:

Sobre uno de ellos, hacemos centro en sus

triángulo uniendo simplemente las

extremos y con radios iguales a los otros

tiras con broches latonados de patitas, como

dos, se trazan arcos hasta que se corten.

muestra la figura adjunta.

Construye tus propios triángulos con tiras de papel perforado de 6, 6 y 9 cm, así

Con dos lados a y b, y el ángulo comprendido C: Se dibuja dicho ángulo, y

como con tiras de 12, 15 y 21 cm.

a partir del vértice, distancias iguales a los lados dados definen el triángulo.

¿Es posible construir un triángulo con tiras de 6, 9 y 18 cm? Ayúdate con la figura adjunta.

criterio

segmentos

general formen

para

que

triángulo

tres el

siguiente: Tres segmentos forman un triángulo si la

Con un lado a y los dos ángulos adyacentes B y C: extremos

del

lado

Se dibuja sobre los dichos

ángulos,

obteniéndose así el triángulo.

suma de dos cualesquiera de ellos es mayor que la del otro.

LOS POLIGONOS__________________________

1.4.2 IGUALDAD DE TRIÁNGULOS

ara construir triángulos es preciso conocer tres de sus elementos. En cada caso se procede como vemos

a continuación:

Criterios de igualdad: Dos triángulos son iguales si coinciden al superponerlos. No es preciso comprobar la igualdad de sus tres lados y de sus tres ángulos; basta conocer la igualdad de alguno de estos elementos.

ACTIVIDAD 2.5 I.

Dos

triángulos

son

iguales

tienen los tres lados iguales uno a uno. II.

Dos

triángulos

son

iguales

a. si

y compás las mediatrices correspondientes

tienen iguales un lado y dos ángulos. III.

Dos tienen

triángulos

iguales

dos

son

lados

a los tres lados y constata que las tres se

iguales

Sobre un triángulo ABC, dibuja con regla

cortan en un punto al que llamaremos

ángulo

circuncentro.

comprendido entre ellos.

Observa que con centro en dicho punto podemos trazar una circunferencia que

Observa

que

justificación

estos

pase

por

los

tres

vértices,

llamada

criterios de igualdad está basada en las

circunferencia circunscrita al triángulo.

tres

su vez, el triángulo está inscrito en la

construcciones

expuestas

anteriormente.

circunferencia.

Algunos textos de geometría enuncian el segundo

criterio

los

siguientes

términos: -Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes-. Pero, ¿por qué no es preciso que los dos ángulos sean los adyacentes al lado conocido?

POLIGONOS____________________________ b.LOS Dibuja las tres alturas del triángulo ABC y comprueba que se cortan en un punto al que denominaremos ortocentro.

1.4.3. PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO. RECTA DE EULER

e hace preciso en este momento tener

bien

presentes

algunos

conceptos básicos expuestos con

anterioridad, tales como mediatriz de un segmento,

bisectriz

ángulo

perpendicular a una recta por un punto exterior a ella, por lo que sería conveniente que

refrescaras

conceptos.

previamente

estos

La recta que pasa por un vértice y el punto medio de lado opuesto se llama mediana. Dibuja sobre el triángulo ABC las tres medianas y comprueba que se cortan

punto

que

nombraremos

baricentro.

Observa que con centro en dicho punto podemos

Observa que: la distancia de cada vértice al baricentro es

2 3

de la distancia del

una

circunferencia

tangente a los tres lados del triángulo,

LOS POLIGONOS____________________________ llamada circunferencia inscrita al triángulo.

vértice al punto medio del lado opuesto

Y también, el triángulo está circunscrito a

(líneas azules, líneas paralelas)

la circunferencia.

e. d.

trazar

triángulo

ABC,

dibuja

las

bisectrices de los tres ángulos y comprueba que se cortan en un punto al que se designa con el nombre de incentro.

Es curioso hacer notar que en cualquier triángulo, el circuncentro, ortocentro y baricentro están alineados en una recta llamada recta de Euler. Experiencia: visualizando la recta de Euler Las

figuras

adjuntas

muestran

circuncentro, ortocentro y baricentro de un triángulo

ABC

construcciones.

sus

respectivas

Copia en diferentes hojas

de papel transparente cada una de ellas y observa que al superponerla, haciendo

coincidir

los

lados

del

triángulo,

visualizarás a contraluz la recta de Euler que pasa por los tres puntos mencionados.

Este hecho no es fortuito.

Compruébalo

asimismo para los siguientes triángulos.

LOS POLIGONOS_________________________________________________

Experiencia:

Localizando

punto

¿Cuál

gravedad de un triángulo

longitud

mediana

correspondiente a dicho vértice? 4.

Sobre los lados iguales AB y AC de un

En todo triángulo el baricentro resulta ser

triángulo

su centro de gravedad (punto donde se

segmentos

concentra su masa) Compruébalo con un

iguales a AC y AB.

triángulo de cartón, haciendo pasar por el

uno de uno de los criterios de igualdad de

mismo un hilo anudado en su extremo y

triángulos, que BQ = CP.

observando que se mantiene en posición

horizontal o de equilibrio.

isósceles BP

se CQ

toman

dos

respectivamente

Demuestra, haciendo

¿Pueden ser los ángulos de un triángulo la mitad de los de otro? ¿Y sus lados? Razona la respuesta.

Repite la experiencia pasando el hilo por

otro punto distinto del baricentro.

Judith tiene la curiosidad de saber la altura a que se encuentra la ventana de su habitación, y para ello, con la ayuda de una escuadra y un taburete de un metro de altura, crea la situación descrita en el dibujo adjunto.

¿A qué altura, sobre el

suelo, se encuentra la ventana de Judith? (recuerda que los ángulos agudos de la escuadra miden 45°).

EJERCICIOS: 1.

De un triángulo isósceles sabemos que su perímetro es 23 cm y que uno de sus lados iguales mide 9 cm. ¿Cuánto medirá el lago desigual?

¿Hay algún caso en que los cuatro puntos notables de un triángulo incentro, circuncentro,

ortocentro

baricentro,

coincidan? Justifica tu respuesta. 3.

baricentro

triángulo

El lado mayor de un triángulo es 8/5 de lado menor y éste es 5/6 del lado mediano. Sabiendo que el perímetro es 38 dm,

determina la longitud de los tres lados.

encuentra a 6 cm de uno de sus vértices.

LOS POLIGONOS_________________________________________________

1.4.CUADRILÁTEROS

Sección

inferior de un

ecuerda que el cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Sin

duda, es uno de los polígonos que

Trapecio

triángulo

rectángulo

resulta más familiar, basta observar el

por

Trapecios (solo plano de un piso para comprobar que está

base

dos compuesto en su mayoría por piezas en

paralela a

forma de cuadriláteros.

lados

una

la base

paralelos) No obstante, no

todos los cuadriláteros tienen la misma

Trapecio isósceles

forma, por lo que vamos a clasificar cada uno de ellos

Trapecio escaleno

1.3.1CLASIFICACIÓN DE CUADRILATEROS

Trapezoide

ACTIVIDAD 2.6.

Trapezoides (ningún

Cuadrado

Rectángulo

paralelo)

Lados iguales dos a dos y

Paralelogramos (lados paralelos dos a

lado

los

cuatro

ángulos LOS POLIGONOS__________________________

rectos Rombo

EXPERIENCIA:

dos)

LOS

CUADRILÁTEROS Y EL TANGRAM

Romboide

Conoces algún juego de tangram? Estos

consisten

diferentes

figuras

obtener

según

colocación de algunas piezas básicas.

continuación

proponemos

construcción de uno de ellos sobre el anagrama de la Cruz Roja. Este anagrama está descompuesto en 8 tipos diferentes de

cuadriláteros. Identifica cada uno de ellos, pasando después a calcar la figura con el fin de poder recortar sus piezas básicas. Una vez recortada, intenta recomponer el anagrama.

2. Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio. 3. En el rombo y en el cuadrado, las diagonales se cortan perpendicularmente, siendo a la vez bisectrices de sus ángulos. 4.

rectángulo

cuadrado,

las

diagonales son iguales.

ACTIVIDAD 2.7

Otra figura posible a partir de este tangram es la siguiente: a.

Comprueba

propiedad

vista

anteriormente, recortando los triángulos de un paralelogramo y superponiéndolos. b.

Dibujando convenientemente y midiendo con regla y transportador, comprueba que las propiedades 2, 3 y 4 son ciertas.

c. ¿Sabrías

componerla

con

las

piezas

respuesta ayudándote con los diferentes

básicas? 1.5.2.

cuadriláteros. PROPIEDADES

LAS

DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO

¿Son ciertas las propiedades anteriores

LOS para unPOLIGONOS__________________________ cuadrilátero cualquiera? Justifica tu

-Cada

diagonal

paralelogramo iguales:

divide dos

Ejercicios: un

triángulos

En efecto: ya que Â = Â y

∠B = ∠B por ser alternos internos entre paralelas, y además la diagonal es lado común a los dos triángulos, lo que nos sitúa en el criterio II de igualdad de triángulos.

Un agricultor quiere dividir un campo rectangular de 80 m por 60 m en ocho parcelas triangulares iguales, pero no sabe cómo hacerlo. Su nieto, que resulta ser un muchacho muy inteligente, le dice que una manera de hacerlo es uniendo los puntos medios de los lados opuestos y trazando a continuación

las

diagonales

los

rectángulos.

Dibuja

rectángulo

comprueba que es correcto el consejo del muchacho.

Calcula el perímetro de cada

una de las parcelas, sabiendo que el centro del campo dista 50 m de cada uno de sus vértices. 2.

El perímetro de un rombo es 20 cm y uno de sus ángulos mide 85°; determina la longitud de cada uno de sus lados y la amplitud de sus ángulos.

Dibuja un trapecio de bases 5 y 9 cm; une los puntos medios de los lados no paralelos y pasa a medir el segmento así determinado. Compara este resultado con la suma de las longitudes de las bases. ¿Qué deduces?

El siguiente trapecio rectangular está formado, como muy bien puedes observar, por la combinación de un cuadrado y la mitad de otro. ¿Cómo lo puedes dividir en cuatro trozos exactamente iguales?

trapecio

mayor

tiene

base

triple

que

menor; cada uno

isósceles

los

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZ

lados oblicuos mide 10 cm y es 5/4 de la base menor.

Determina el perímetro del

trapecio.

Op Cit Pp. 44 – 65

animales

resbaló;

disolverse,

consecuencia, la sal en el agua, su peso disminuyó 3.1.PROPORCIONALIDAD

instantáneamente.

¡El

astuto

animal, como es natural, se sumergió

SEGMENTOS

deliberadamente en el próximo vado y

continuó este truco hasta que Tales atinó n

día

cuerpos

con la feliz solución de llenar el saco de

producen sombra. ¿Te has detenido

esponjas! Este demostró ser un remedio

a pensar la relación que existe

eficaz. En otra ocasión, Tales, que preveía

entre la altura de los cuerpos y la longitud

una cosecha de olivas extraordinariamente

de las sombras que éstos producen?

finas, se apoderó de todas las prensas de

Ya en el S. VI a J.C., uno de los siete

olivas del distinto; una vez obtenido este

sabios de Grecia, Tales de Mileto, se

monopolio, se convirtió en el jefe del

planteaba

mercado

esta

sol,

otras

los

cuestiones

pudo

dictar

sus

propias

análogas, de las que nos ocuparemos más

condiciones.

adelante.

relato, una vez hubo demostrado lo que se

Pero entonces, según un

podía hacer, su propósito y había sido De la vida de Tales se sabe que era un rico

conseguido; en vez de oprimir a sus

comerciante

compradores, vendió magnánimamente la

Mileto,

que

vivió

aproximadamente desde el 640 hasta el

fruta

550 a. J.C.

horrorizaría a un capitalista de hoy en día.

Tenía mucho éxito como

precio

tan

razonable

que

hombre de negocios; sus tareas como mercader los llevaron a muchos países y su

Tales, como muchos otros comerciantes de

ingenio natural le permitió aprender de las

su tiempo, se retiró pronto de los negocios,

novedades que veía. Fue conocido por sus

pero, diferenciándose de otros muchos,

admirados compatriotas de generaciones

dedicó

posteriores como uno de los Siete Sabios

matemáticas.

de Grecia; muchas leyendas y anécdotas

visto en sus viajes, particularmente en sus

se reúnen en torno a su nombre. Se dice

relaciones con los sacerdotes de Egipto; y

ocio

filosofía

las

Comprendió lo que había

fue el primero en poner de relieve algo del verdadero significado del saber científico que una vez Tales estaba encargado de

egipcio.

algunas mulas cargadas con sacos de sal.

gran astrónomo a la vez. En realidad, gran

Mientras cruzaba un río, uno de los

parte de su fama popular se debió a su

Fue un gran matemático y un

acertada predicción de un eclipse solar en el año 585 a J.C.

No obstante, se dice

que, mientras contemplaba las estrellas

durante un paseo nocturno, cayó dentro de

la abuela y del bastón, con sus respectivas

una zanja; entonces una anciana que lo

sombras. ¿Podemos predecir la sombra

atendió exclamó: ¿cómo podéis saber qué

producida por un árbol de 4,5 m de altura

ocurre en los cielos si no veis lo que se

en el mismo momento y lugar?

encuentra a vuestros pies? Tales nunca olvidó la deuda contraída con los sacerdotes de Egipto, y cuando ya era un anciano aconsejó firmemente a su discípulo Pitágoras que les hiciera una visita. Pitágoras, actuando de acuerdo con este consejo, viajó y obtuvo una amplia experiencia, que le fue de gran utilidad cuando, a la larga, se estableció y reunió sus propios discípulos a su alrededor,

Te habrás percatado de que las sobras

llegando a ser aún más famoso que su

miden el doble de sus altura, por lo que

maestro.

OA = 2 * AA' James r. Newmann

OA OB = =2 AA' BB '

Ed. Grijalbo

OA OB = es una proporción PROPORCIONALIDAD AA' BB' DE SEGMENTOS Y SEMEJANZ

Es sabido que el sol incide con igual determinado

sobre

los

momento

cuerpos y

lugar,

OB = 2 * BB '

Y, por tanto:

El mundo de las matemáticas

inclinación

La igualdad

de segmentos, y el valor 2 común a ambos

como

cocientes, la razón de la proporción.

puedes observar en la figura.

ACTIVIDAD 3.1 a.

En la fotografía anterior comprueba, usando

regla,

que

relación

proporcionalidad entre el tamaño de los cuerpos y sus sombras respectivas en la misma para todos ellos. Este argumento le permitió a Tales, en uno de sus viajes a Egipto medir la altura de Observando el esquema y utilizando la regla milimetrada, compara las alturas de

una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura.

¿Con

qué

razón

proporcionalidad

trabajó

Tales

esta

experiencia? b.

Calcula la altura de una edificio de tu ciudad midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra ¿Cuál es la razón de proporcionalidad?

Experiencia: Aproximándonos al Teorema de Tales

¿A qué distancia del punto O cabrá Sobre

una

hoja

papel,

traza

exactamente una sola moneda? ¿Cuántas

monedas caben en el punto C?

segmento OD de 20 cm de longitud y señala los puntos B y A situados a 10 y 5 cm respectivamente del extremo O de

La razón entre el número de monedas

dicho segmento.

de la columna en D y su distancia al origen

En el otro extremo, apila doce monedas

es:

grandes y de igual valor y deja apoyar una

No.monedas 12 3 = = distasncia.al.origen 20 5

regla tal como se muestra en la figura.

¿Cuál es la razón para las otras columnas? ¿Es la misma en todos los casos?

Mide las distancias

OA', OB ', OC ' yOD '

y busca la razón entre el número de

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJAN monedas de cada columna y estas a.

¿Cuántas monedas puedes apilar por

distancias, y deduce que apilando monedas

debajo de la regla en B, punto medio del

cada 5 cm en la recta horizontal, quedan

segmento? ¿Y en el punto A? No dejes de

determinados

comprobarlo

segmentos iguales entre sí.

recta

oblicua

Observando el esquema adjunto que corresponde completa

a la

situación

proporcionalidad:

AA' BB ' = = OA OD

planteada,

relación

Del apartado d de la experiencia anterior podemos deducir que: Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre cualquier otra recta a la que corten.

En efecto: Recordando

paralelas

acortadas

por

secantes, observa que:

AB = A' B ' ' , BC = B' C ' ' ...

segmentos

paralelos

OA 1 = OB 4

por ser

determinados

por

Los segmentos de las rectas secantes

paralelas. b)

∠B”

∠C”

∠D”

...

por

están en razón igual a

por

OA OB

correspondientes c)

∠A’

∠B’

∠C’=...

OA' 1 = OB' 4

correspondientes.

1 4

y por lo tanto,

OA' OB'

De forma análoga se puede deducir que

AB OB

El primer caso de igualdad de triángulos nos asegura que en estas condiciones los

A' B ' OB '

triángulos son iguales, y por tanto:

A' B' = B' C ' = C´ D' 3.2.

Estos resultados se conocen como Teorema

= ...

de Tales:

Teorema de Tales Los segmentos determinados por rectas paralelas

Haciendo uso de la regla milimetrada,

concurrentes

comprueba sobre el dibujo que:

OA =

1 OB 4

O también:

OA' =

1 OB ' 4

dos son

proporcionales. 3.2.1.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJAN Una consecuencia inmediata del Teorema de Tales Si en un triángulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC, por el Teorema de Tales se cumple.

AM AN = AB AC

(1)

Trazando por N una paralela a AB, por el mismo teorema tenemos:

AN BP MN = = AC BC BC (2) De (1) y (2) se deduce Con la ayuda de la escuadra y el compás

AM BP MN = = AC AC BC

podemos trazar paralelas a

como

muestra el dibujo, y así queda resuelto el problema.

Y como consecuencia tenemos que:

ACTIVIDAD 3.2

Toda paralela a un lado de un triángulo determina con los otros dos un nuevo triángulo cuyos lados son proporcionales a

sobre AB en la figura anterior son iguales?

los del primero. b.

3.2.2.DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN

iguales. Por ejemplo para dividir el

longitud, en siete partes iguales, trazamos semirrecta

auxiliar

transportamos sobre ella siete veces una unidad arbitraria, (por ejemplo, 1 cm)

cm =

redondeamos por defecto a 1.2 cm o por

un segmento cualquiera en partes

una

para dividir el segmento? ¿Qué sucedería si

l teorema de tales permite dividir

1.285714 cm, ¿sería viable usar la regla

segmento AB de la figura, de 9 cm de por

Puesto que cada una de las partes del segmento AB ha de medir

PARTES IGUALES

¿Por qué los segmentos determinados

exceso a 1.3 cm? c.

Divide un segmento

de longitud 7.8

cm en cinco partes iguales. d.

figura

encierra

adjunta método

práctico para dividir el segmento AB en cinco partes

iguales

utilizando exclusivamente la hoja

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

de una libreta.

¿En qué teorema se basa

son

este método? Aplícalo para comprobar el

las

longitudes

determinados en

los

segmentos

por el punto Q?

apartado anterior.

EJERCICIOS: 1.

La sombra de un rascacielos en un determinado momento del día mide 192 m. Si en el mismo instante y lugar la sombra de una señal de tráfico de 2,5 m de altura, mide

1,5

¿cuál

altura

del

rascacielos? 2.

de bachillerato aprovecharon para medir la

A un incendio producido en un hospital

anchura

acude la unidad de bomberos con una 80

peldaños

uniformemente.

lago,

según

una

una práctica sobre el Teorema de Tales.

distribuidos

Los datos que tomaron se muestran en el

Al apoyar la escalera

esquema adjunto.

sobre la fachada del edificio se observa que

Averigua cuál fue la

anchura del lago x que resultó de su

el primer peldaño se encuentra a 30 cm del

experiencia.

suelo. a.

determinada perspectiva; así efectuaron

escalera de 32 m de longitud, que consta de

En una excursión, un grupo de alumnos

¿Qué altura del edificio alcanzará la escalera?

Si el fuego se halla en el quinto piso, y cada piso tiene 4,5 m de altura, podrán ser rescatados

los

enfermos

que

allí

se 5.

encuentren? c.

Una torre metálica del tendido eléctrico

Puesto que las llamas ascienden, ¿es

tiene la forma de la figura 1. Conocidos los

posible con dicha escalera evacuar los siete

datos que en ella aparecen, averigua la

pisos de que consta el hospital?

altura que alcanza la torre.

En un triángulo ∆ABC, señalamos un punto P sobre el lado

de modo que

determine en él segmentos de 6.4 cm y

mismo

problema

para

una

Resolver el torre

prospección petrolífera con la forma de la figura 2.

8.3 cm. Si trazamos por P una paralela a

BC ,

el lado

de 12 cm de longitud

quedará cortado en el punto Q. ¿Cuáles

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

AB AC = AC CB

o también

b+ x b = b x

La razón de esta proporción, Ф =

b x

era conocida por los griegos con el nombre de La Sección. monje

Luca

En el renacimiento, el

Pacioli

(1509)

designó

Divina Proporción y Leonardo da Vinci la

3.2.3.

TERCERA

PROPORCIONAL. SECCIÓN ÁUREA (CONJETURA DE FIBONACCI)

proporcional de dos segmentos a

verifica

a b = b x El dibujo muestra el modo de obtener geométricamente la tercera proporcional de dos segmentos. que

construcción

esta

numerador

(1)

dividimos

denominador

del

primer

miembro de la igualdad por x, la fracción no varía, obteniendo:

y por lo tanto

Φ +1 =Φ Φ

O lo que es lo mismo:

Φ2 − Φ − 1 = 0

Ф = 1,618033989... valor que se conoce desde el siglo pasado como el número de

También sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional; basta localizar un punto C del segmento

proporción

única solución positiva

de Tales.

Al resolver esta ecuación se obtiene como

queda

justificada por el Teorema

forma que

b +1 b x = b x x

proporción

Observa

hasta nuestros días. Si

n segmento x se llama tercera dados

llamó Sección Áurea, nombre que perdura

sea tercera proporcional de

AC , es decir,

oro. Desde la antigüedad es sabido que las distintas

partes

guardan

del

cuerpo

proporción

humano

anteriormente

estudiada. Así, por ejemplo, en el dedo del cuerpo humano aparece esta relación entre la primera falange y la segunda, y la segunda y la tercera.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

Durante

Renacimiento,

artistas,

como

estudiaron

Leonardo

con

diferentes da

Vinci,

profundidad

las

proporciones del cuerpo humano. La

sagrada

Familia:

Miguel

Ángel

(diagrama). Cuando el pentágono ABYXZ se inscribe dentro de

Hacia

1850,

Zeysing

comprobó

diagonales

componen

pentagonal,

también

un círculo, una

sus

estrella

inscrita.

Las

estadísticamente que el ombligo divide la

proporciones derivadas de ello son todas

altura del cuerpo humano

las secciones Áureas:

AX AG GX = = AG GX GH

de la proporción de la Sección Áurea.

, etcétera.

Arquitectos, escultores y

Miguel Ángel se sirvió de este sistema de

pintores

pentágono

todos

los

inscrito

para

organizar

tiempos han utilizado la Sección Áurea

composición de esta pintura circular, aún

como método de composición de sus obras,

en su marco original. El emplazamiento de

las

observar

ella

una

agradable

cinco

cabezas

modeladas

indica

impresión de la armonía y la belleza.

claramente la geometría pentagonal de la

Algunos

construcción.

ejemplos

los

tenemos

Partenón de Atenas, Las Hilanderas de Velásquez, la Sagrada Familia de Miguel

ACTIVIDAD 3.3

Ángel y, más recientemente, en la obra del arquitecto francés Le Corbusier.

Es conocido que el papel de uso corriente responde a unos formatos establecidos. En

También

aparece

la tabla adjunta se dan los formatos

Sección Áurea allá donde

normalizados DIN A y sus dimensiones

queramos

respectivas desde DIN AO hasta DIN A10,

buscarla

dentro de la naturaleza:

siendo el mas frecuente el DIN A4 (folio)

así, por ejemplo, en la forma y crecimiento de las plantas, en organismos marinos como la estrella de mar, etcétera.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

Formato

Medidas en

DIN 476 – serie A

Comprueba formatos

numéricamente

cualesquiera

dos

consecutivos

841 x 1.189

cumplen

594 x 841

apartado a.

420 x 594

297 x 420

doblándolo sucesivamente, al igual que en

210 x 297

la figura, todos los formatos obtenidos

148 x 210

guardan la misma estética, es decir, son

105 x 148

iguales en su forma pero reducidos en

74 x 105

tamaño.

52 x 74

originales no fueran las del pliego se

37 x 52

conservaría

A10

26 x 37

partiendo de una hoja de libreta.

igual

que

proporción

Toma un pliego de papel y observa que

¿Crees que si las dimensiones la

forma?

2.3.2

se obtienen partiendo por la mitad el

PROPORCIONALES:

inmediato superior, como se muestra en la

MEDIA PROPORCIONAL

OTROS

Compruébalo

Todos estos formatos de la tabla adjunta

figura.

que

SEGMENTOS CUARTA

n segmento x se llama cuarta proporcional

otros

tres

segmentos a, b y c, si se cumple

a b = b x La

construcción

geométrica

dicho

segmento cuarta proporcional, está basada en el Teorema de Tales.

Haciendo uso de la figura anterior, que representa un DIN A4, observa que el valor x que se obtiene como tercera proporcional de a y b, haciendo

a b = b x coinciden con la altura de un DIN A5.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

Observa que la tercera proporcional es un

profesionales en sus respectivos trabajos

caso particular de la cuarta proporcional en

hacen uno de maquetas y planos.

el que c = b. Es conocido también que los laboratorios Un

segmento

llama

media

fotográficos reproducen

los negativos en

proporcional de dos segmentos a y b, si se

tamaño reducido, “por contacto”, pasando

cumple.

después a ampliar las exposiciones de mayor interés.

a x = x b

Unos y otros, en sus respectivas obras,

La figura muestra el modo de obtener

trabajan con formas iguales, pero de distinto

dicho segmento. En ella los ángulos 1 y 2

tamaño.

son

iguales

por

perpendiculares

ser

entre

sí.

de Por

lados ello,

superponiendo los triángulos obtendríamos el

conocido

esquema

utilizado

Teorema de Tales, lo que justifica la proporción.

a x = x b

En las fotografías adjuntas se muestra un claro ejemplo de objetos iguales en forma

3.3. LA SEMEJANZA

pero de distinto tamaño.

Decimos que

dichas figuras son semejantes. s frecuente que los constructores, industriales y urbanistas tengan la

Podemos ver que a cada elemento de la

precaución de diseñar su obra en

primera foto le corresponde otro en la

dimensiones reducidas como paso previo a

segunda;

corresponden

construcción.

Para

ello,

estos

estos se

elementos llaman

que

elementos

homólogos.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

La razón o proporción constante entre cada dos

segmentos

homólogos

recibe

nombre de razón de semejanza.

ambos triángulos de la figura cumplen este criterio, siendo la razón de semejanza

1 3

ya que: En las fotografías observamos que 2

A' B ' ,

AB BC CA 1 = = = A' B' B' C ' C ' A' 3

por lo que la razón de semejanza

es 2. Es fácil comprobar que cualesquiera dos

Teorema fundamental: Si dos lados de un

segmentos homólogos guardan esta misma

triángulo se cortan por una paralela al

proporción.

tercero,

obtiene

otro

triángulo

semejante al primero.

3.3.1.

SEMEJANZA

TRIANGULOS

os triángulos que observas en la figura

tienen

misma

forma

aunque distinto tamaño; son por

tanto semejantes. Observa que: Â es común. ∠M = ∠B

∠N

∠C por ser

correspondientes entre paralelas. Además,

los

lados

homólogos

son

proporcionales por el Teorema de Tales.

En general, dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y sus lados proporcionales. En efecto, puedes comprobar, mediante regla y transportador de ángulos, que

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

CRITERIOS DE SEMEJANZA

uso de Teorema fundamental que confirma su semejanza.

mismo

modo

que

ACTIVIDAD 3.4

igualdad de triángulos, para la semejanza

preciso

a1. Haz uso de la siguiente cuadrícula para

tres

construir un triángulo A’B’C semejante al

ángulos homólogos iguales y sus tres lados

ABC, de forma que la razón de semejanza

comprobar

que

éstos

tengan

los

proporcionales. Es suficiente que cumplan ciertas condiciones que constituyen los

sea

3 2

llamados criterios de semejanza: I.

Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales.

AB BC CA = = A' B ' B' C ' C ' A' II.

Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales

∠A = ∠A’ y ∠B = ∠B’ III.

a2. Mediante tu juego de escuadras traza

Dos triángulos son semejantes

las

alturas

correspondientes

los

si tienen dos lados proporcionales y el

triángulos del apartado anterior. ¿Cuál es

ángulo

la razón entre ambas alturas? ¿Qué puedes

comprendido igual

AB BC = A' B' B' C '

concluir de este resultado, comparándolo y

∠B

∠B’

con la razón de semejanza existente entre ambos triángulos? b.1. Sobre el triángulo rectángulo PQR de la figura adjunta trazamos la altura relativa a la hipotenusa.

Comprueba que los

triángulos PMQ y PQR son semejantes, indicando cuáles son los lados homólogos de PQ ,

puedes

ver

que

PR el

Del mismo modo triángulo

QMR

también semejante al PQR, por lo que los En los tres casos basta superponer el

tres triángulos son semejantes entre sí.

triángulo pequeño sobre el grande y hacer

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

Indicación: Mide el triángulo del esquema con tu regla y establece la semejanza con el triángulo de la realidad.

3.3.2.POLÍGONOS SEMEJANTES b.2.

Dos

triángulos

rectángulos

son

semejantes si tienen un ángulo agudo

los

también

triángulos, hablar

polígonos semejantes, y que éstos

de semejanza?

se descomponen en triángulos semejantes

Analiza el apartado b1 haciendo uso de este criterio.

semejanza

Se llama

razón

polígonos

semejanza

los

homólogos.

la distancia que separa un barco de la en

dispuestos correlativamente.

semejantes a la razón entre sus lados

c. Se atribuye a Tales la forma de calcular basándose

que

podemos

igual. ¿Contradice esto el segundo criterio

costa

igual

triángulos. Para dibujar el triángulo semejante al de la realidad, Tales medía la distancia

La siguiente figura nos muestra un método

los ángulos A y B, y representaba el

para construir polígonos semejantes.

esquema siguiente:

Si la razón de semejanza es por ejemplo ½ , tomamos A’ como el punto

Si Tales sabía que la distancia real entre A y B era de 120 metros, ¿a qué distancia de

medio de

A y de B respectivamente se hallaría el

barco representado en el papiro?

concurrentes en P, donde P es un punto

AP ,

polígono

y trazamos lados paralelos dado

entre

las

rectas

arbitrario. -

Para cualquier otra razón k, A” será el punto que verifique: A”P = k*AP, y

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

trazamos lados paralelos al polígono dado entre las rectas concurrentes en P.

razón

los

perímetros

dos

polígonos semejantes es igual a la razón de Los polígonos así construidos se llaman

semejanza.

polígonos homotéticos, y el punto P recibe Ejercicios:

el nombre de centro de homotecia. Si el centro de homotecia P se halla dentro

Sabiendo que una circunferencia de

del polígono, los polígonos homotéticos

radio

ajusta

dos

rectas

toman la forma de la figura.

concurrentes a 15 cm del punto donde éstas se cortan, ¿a qué distancia del mismo se ajustará otra circunferencia de 7 cm de radio?

ACTIVIDAD 3.5 a.

Comprueba

los

siguientes

polígonos son semejantes, indicando su

razón de semejanza K.

Haciendo

uso

criterio

semejanza de triángulos, constata que en cada una de las escuadras de tu juego, el triángulo interior es semejante al exterior. 3.

Comprueba, estudiando la proporción entre

sus

lados,

que

los

rectángulos

exterior e interior de la figura adjunta no son semejantes. ¿Cómo han de ser a y b b.

Halla los perímetros P y P’ de los polígonos anteriores y calcula la razón

para que exista semejanza?

P P'

Compara este resultado con la razón de semejanza

obtenida

apartado

anterior. ¿Qué puedes deducir?

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

menor se sabe que las bases miden 5 cm y 8 cm, y la altura 4 cm. a.

Averigua las dimensiones del trapecio mayor sabiendo que su lado oblicuo mide 7 cm.

Calcula

sus

perímetros

respectivos y comprueba que mantienen la 4.

Una técnica utilizada para medir la anchura de un río sin necesidad de cruzarlo es el que se muestra en la figura.

razón de semejanza.

3.3. ESCALAS

menudo,

para

demasiado

dibujar

piezas

grandes

excesivamente pequeñas, hemos

recurrir

reducir

representación

gráfica.

aumentar En

tal

caso,

diremos que la pieza está dibujada a a.

Demuestra que los triángulos

escala.

ABC y A B’C’ son semejantes. b.

Haciendo

uso

dicha

semejanza, determina la anchura del río

A la relación, entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala gráfica.

Teniendo presente el resultado del apartado b.1 de la actividad 3.4, determina

Toda escala viene dada por dos números;

por semejanza la altura relativa a la

el primero indica el tamaño del dibujo,

hipotenusa y los catetos del triángulo

mientras que el segundo, el del original.

rectángulo de la figura. ¿Cuál es la razón

Así, por ejemplo, el mapa adjunto viene

de semejanza entre los dos triángulos en

dado a escala: 1:30.000, lo que indica que

que la altura divide al triángulo total?

1 cm del dibujo represente 30.000 cm en la realidad. Según si el primer número es menor o mayor que el segundo, la escala reducirá o

Dos semejantes

trapecios de

razón

rectángulos 7 5

Del

son

trapecio

ampliará respectivamente el tamaño real del objeto.

Un ejemplo de cada tipo de

escala podría ser: las piezas de un reloj

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

dadas

escala

30:1,

los

mapas

Plano de Barcelona, España

geográficos dados a escala 1:1.000.000. Cuando el dibujo y el original son de igual tamaño hablamos de escala natural, y por lo tanto, la escala sería E. 1:1.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

ACTIVIDAD 3.6

a.2.

Dibuja a escala los elementos propios de cada pieza (cama matrimonial de 1,35 m x 1,80 m, mesa de comedor redonda de diámetro = 1,10m sofá de salón de 2 m x 1 m,...)

Haciendo uso del plano de Barcelona que aparece en el apartado 3.4, responde: b.1 ¿Cuál es la distancia real entre los puntos A y B que señalan el centro de la plaza de Cataluña y el Templo de la

Al observar el plano de distribución de un departamento, lo que vemos es la proyección ortogonal de éste, sobre el plano horizontal.

Dicha proyección recibe

el nombre de planta. a.1. El plano adjunto representa la planta de un departamento dada a escala E. 1:100. Determina las dimensiones reales de las habitaciones que lo componen.

Sagrada Familia, obra del genial arquitecto Antoni Gaudí? b.2. En el supuesto de que un ataque nuclear estuviera localizado en el centro de la

plaza

Cataluña

sus

efectos

expansivos fueran de 3 km de radio, dibuja sobre el plano de la ciudad el círculo que indicaría la zona afectada. Algunos

instrumentos

frecuentemente

utilizados en dibujos a escala son: el compás de reducción y el pantógrafo.

primero resulta útil para medir, mientras que el segundo sirve, para reproducir dibujos a una escala determinada.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA_____________________

El pantógrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A, una punta metálica B y repasar el original y un portalápiz C. Las cuatro reglas forman un paralelogramo articulado BDEF. Los puntos A, B y C están alineados de modo que:

AC AE = AB AD Es evidente que al pasar la punta metálica por la figura en B, se reproducirá otra figura homotética en C, y por consiguiente una figura semejante, es decir, a escala.

ACTIVIDAD 3.7 a.

Construye

propio

pantógrafo

mediante cuatro listones de igual tamaño. b.

Haciendo uso del pantógrafo que acabas carteles

construir,

ampliando

haz

tus

dibujos

propios

originales

aparecidos en revistas de caricaturas.

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS_________

EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIÁNGULOS

Op cit Pp. 66 - 79

infringían una ley que les prohibía asistir a

a acción de medir, en geometría

reuniones públicas y acudían a oirle. Entre

viene asociada a la idea de número,

las más atentas se encontraba Theano, la

lo que en la antigüedad supuso un

joven y hermosa hija de su huésped Milo,

estudio profundo de éstos, así como de sus

con la cual se casó.

propiedades y relaciones. En este sentido,

biografía

sobresale la figura de Pitágoras, que junto

desgraciadamente, se ha perdido.

con sus discípulos intentó penetrar en la

La influencia de este gran maestro fue tan

armonía de los números.

Así lo confirma

notable, que los más interesados de sus

Aristóteles cuando dice: “Los pitagóricos se

discípulos se constituyeron gradualmente

dedicaron

primero

en una sociedad o hermandad.

ciencia

que

las

matemáticas,

perfeccionaron,

Theano escribió una

marido,

pero,

Se les

conocía como la Orden de Pitágoras, y

compenetrados con ésta, imaginaron que

pronto ejercieron una gran influencia más

los principios de las matemáticas eran los

allá del mundo griego. Esta influencia fue

principios de todas las cosas”.

tanto

política

como

religiosa.

Los

miembros de la sociedad lo compartían Se supone que Pitágoras era nativo de

todo,

Samos y pertenecía, como Tales, a la

filosóficas, se dedicaban a las mismas

colonia jónica de griegos establecida en las

investigaciones y se comprometían con un

costas e islas occidentales de lo

juramento a no revelar los secretos y las

actualmente

denominamos

Asi

que

Menor.

sostenían

las

mismas

enseñanzas de la escuela.

creencias

Por ejemplo,

Vivió desde aproximadamente 569 a J:C:

cuando Hippaso pereció en un naufragio,

hasta 500 a.J:C: en el año 529 a.J:C: se

se pensó que su destino era debido a una

instaló en

promesa rota: ¡había divulgado el secreto

Crotona, una ciudad de la

colonia dórica en el sur de Italia, y allí

de la esfera con sus doce pentágonos!

comenzó

La hermosa estrella pentagonal fue un

matemáticas.

disertar

sobre

filosofía

A su cátedra acudía una

símbolo

distintivo

hermandad,

muchedumbre de entusiastas auditores de

símbolo idóneo de las matemáticas que

todas clases. Muchos de las clases altas le

descubrió la escuela.

escuchaban, e incluso las mujeres

JAMES R. NEWMANN El mundo de las matemáticas Ed. Grijalbo.

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS_________

Los pitagóricos hicieron grandes progresos

Un número de tres factores se llamaba

en matemáticas, particularmente en la

número sólido.

teoría de números.

Si los tres factores eran iguales, se llamaba

pares

impares

Clasificaban éstos en según

formas

cubo:

estructuras asociadas a ellos. Un número, producto de dos factores desiguales, se llamaba oblongo: (8 = 4 x 2) Si los dos factores eran iguales, el número se llamaba cuadrado. El cuadrado n-ésimo de un número es la suma de los n primeros números impares:

(1)

(4 = 2 x 2 =

(9 = 3 x 3 = 1

1 + 3)

+ 3 + 5)

(12 = 3 x 2 x 2)

(27 = 3 x 3 x 3)

Un número piramidal es la suma de una serie de números cuadrados:

(5 = 1 + 4)

(14 = 1 + 4 + 9)

Los números triángulares eran 1, 3, 6,

Pitágoras también se interesó por los

10,... El n-ésimo número triangular es la

objetos naturales más abstractos, y se dice

suma de los n primeros números:

que

descubrió

las

maravillosas

progresiones armónicas correspondientes a las notas de la escala musical, al encontrar la relación entre la longitud de una cuerda (1)

Dos

(3 = 1

(6 = 1 +

(10 = 1 +

+ 2)

2 + 3)

2 + 3 + 4)

números

triangulares

sucesivos

forman juntos un cuadrado:

y el tono de la nota que producía al vibrar.

4.1.TEOREMA DE PITÁGORAS

xperiencia:

Descubriendo

relación pitagórica por excelencia.

(3 + 6 = 9)

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS_________ La figura muestra un triángulo rectángulo

contiene tantos cuadritos como entre los

de catetos 3 y 4 cm.

dos que están acoplados a los catetos.

Comprueba que su

hipotenusa mide 5 cm.

A continuación planteamos la experiencia en términos aritméticos.

De una hoja de papel milimetrado, recorta

¿Cuántos

cuadritos

cuadrados de lados 3, 4 y 5 cm para

cuadrado grande?

acoplarlos

¿Y los otros dos juntos?

convenientemente

sobre

los

lados del triángulo tal como observas en el

componen

Constata que en cada caso estos números son 52 y (32 + 42), por lo que,

siguiente esquema.

según el apartado a, se cumple 52 = 32 + 42. c.

En la siguiente tabla dispones de los catetos

correspondientes

triángulos rectángulos. medir

sus

diferentes

Dibújalos y, tras

respectivas

hipotenusas,

comprueba que verifican análoga relación aritmética a la del apartado b. A modo de tangram, intenta superponer sobre el cuadrado que está acoplado a la hipotenusa,

los

correspondientes

los

cuadrados catetos.

Una

solución sería la de la figura. Busca otras

Catetos

Hipotenusa

b, c

3y4

Relación aritmética A2 = b2 + c2 52 = 32 + 42

posibles soluciones. 6y8 5 y 12 7 y 24 8 y 15 La relación aritmética entre los catetos y la hipotenusa

cualquier

triángulo

rectángulo se conoce con el nombre de De

todas

las

soluciones

imaginables,

Teorema de Pitágoras:

puedes deducir geométricamente que el cuadrado

acoplado

hipotenusa

DE PITAGORAS RELACIONES TRIANGULOS_________ EnEL unTEOREMA triángulo rectángulo, la suma Y deOTRAS los adelante en EN conexión con otras relaciones cuadrados

los

catetos

igual

métricas de triángulos; no obstante, en la

cuadrado de la hipotenusa.

siguiente actividad se presenta una de las

a2 = b2 + c2

muchas demostraciones geométricas del teorema.

ACTIVIDAD 4.1 Los números que verifican esta relación reciben el nombre de números pitagóricos, en

alusión

estudio

que

a. modo

ellos

antecedentes

teorema

datan

históricos de

las

tijeras,

este

catetos

Pitágoras.

recórtala

por

los

trazos

mayor, de forma análoga a como se hizo en

experiencia,

obtendrás

demostración.

Rhind y el de Moscú, que así lo confirman.

triángulos

Teorema

demostración

las piezas obtenidas sobre el cuadrado

pitagóricos, y diversos papiros como el del

egipcios

del

una

discontinuos. Superpón convenientemente

civilizaciones

milenio a. J. C. Existen tablas de números

agrimensores

tangram,

Copia la figura y con la ayuda de unas

babilónica y egipcia, dentro del segundo

Los

geométrica

realizaron Pitágoras y sus discípulos. Los

En la figura adjunta se encierra, a

construían 4,

hipotenusa 5, mediante una cuerda de 12 nudos, para parcelar el terreno tras las inundaciones del Nilo. La experiencia anterior no es un rigor un método

válido

demostración

Teorema de Pitágoras. algebraica

rigurosa

del

Una demostración aparecerá

más

Con la ayuda de una regla, mide la hipotenusa y los catetos de la pieza triangular, y comprueba el Teorema de Pitágoras, así como el hecho de que las medidas no tienen por qué ser exactas.

En un triángulo rectángulo no

EXPERIENCIA:

PITÁGORAS

EL TEOREMA DElos PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES BALANZA EN TRIANGULOS_________ siempre conocerás catetos. ¿Cómo harías para encontrar uno de los catetos si te dan el otro y la hipotenusa? Completa la siguiente tabla Hipotenusa

Cateto b Cateto c

que los cuadrados pequeños se podían

superponer

sobre

cuadrado mayor, por lo que la suma de las

a vimos en el Teorema de Pitágoras

2 1

áreas de aquellos es igual al área de éste. ¿Es posible deducir algo semejante para las piezas volumétricas de la figura siguiente?

Construye, con la ayuda de la regla y el compás, un triángulo cuyos lados midan 5, 7 y 8 cm. ¿Es rectángulo? ¿Verifica el Teorema de Pitágoras? En consecuencia, ¿crees que este teorema permite decidir si un triángulo es o no rectángulo? Completa la tabla siguiente:

¿Es rectángulo?

que

una

forma

comprobarlo, al estilo de la Actividad 4.1, sería construir un tangram tridimensional, ahora

trabajo. de

evidente

bien,

ello

supondría

arduo

Sin embargo, una forma sencilla

comprobarlo

que

sigue

continuación: Por el Teorema de Pitágoras sabemos que a2 = b2 + c2, y puesto que el volumen de estas piezas es el área de la base por su altura (ver Pág. 136)

Va = a2h = (b2 + c2)h = b2h + c2h = Vb +

ma = mb + mc

Resultado que ya era de esperar.

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS_________

QUE

JUSTAMENTE

QUE

EJERCICIOS:

PRETENDÍAMOS DEMOSTRAR.

1. Para fabricarte un papalote on conglomerado o unisel de un

de las dimensiones indicadas

mismo grosor, construye las tres

en la figura, ¿qué medidas le

piezas

darías

volumétricas

nuestra

soporte

exterior?

Al colocarla en una balanza,

¿Tendrás suficiente con un

tal como muestra la figura, ¿se equilibrará

listón de 2 m para construir

la balanza? Compruébalo en el laboratorio.

toda la estructura?

experiencia.

1. El

resultado

esta

experiencia

¿Qué altura ha de tener un almacén para poder colocar toneles de vino

está

tal como se indica en la figura, si el

justificado por el hecho de que para todos

diámetro de cada tonel es de dos metros?

los cuerpos se cumplen que: Masa = densidad x volumen Lo que abreviadamente indicaremos por M=

Y puesto que acabamos de ver que Va = Vb + Vc También se cumplirá

Va =

(Vb + Vc) =

Vb +

Dos amigos, después de hablar por teléfono, deciden encontrarse en la puerta de un cine. ¿Cuál de los dos llegará

Y por tanto

primero, si el que vive en A sigue el

camino APC y el que vive en B lo hace por

el camino BC? Suponemos que ambos

hipotenusas?

medida

las

cuatro

primeras

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS EN TRIANGULOS_________ salen al mismo tiempo y que caminan a la b.RELACIONES A tenor de los resultados anteriores, misma velocidad.

¿puedes predecir sin hacer cálculos, la longitud de la hipotenusa del 7° triángulo rectángulo? c) ¿Cuál sería la expresión algebraica para la hipotenusa de uno cualquiera de los triángulos rectángulos?

4.2. 3.

OTROS

oeste. ¿Qué distancia, en línea recta, les separara cuando cada uno lleva recorridos 80 km? ¿A qué distancia se encuentran de la estación de salida cuando ambos están a 100 km uno del otro y llevan recorrida la misma distancia? 4.

Un muchacho quiere cambiar el foco de un farol situado en una pared a 5,4

SOBRE

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Dos trenes salen de una misma estación, uno hacia el sur y el otro hacia el

TEOREMAS

dibujo

muestra

una

situación real en la que se desea conocer la distancia entre la casa C

y el árbol A, situado a la otra orilla del río, así como la del pozo P al árbol A, en el caso muy particular de ser el triángulo PCA rectángulo en C. Los datos conocidos se hallan reflejados en el propio dibujo.

m de altura, con la ayuda de una escalera de 3,5 m de longitud.

Si el muchacho

puede llegar hasta los 2,25 m con el brazo extendido, ¿a qué distancia máxima de la pared ha de colocar el pie de la escalera para conseguir su objetivo? Podrás observar que con estos datos no es 5.

En Teorema

figura

Pitágoras

muestra

repitiéndose

posible deducir, haciendo uso exclusivo del Teorema

Pitágoras,

las

distancias

deseadas, a lo sumo podríamos averiguar

indefinidamente.

h, distancia de la casa C al burro B. a.

lado

del

cuadrado mayor es de 1 dm, ¿sabrías calcular

20 2 − 12 2

= 16 m

Para resolver esta situación se hace preciso conocer otros teoremas relacionados con los triángulos rectángulos.

Estos son el

Teorema de la altura y el Teorema del

el árbol A, ya que de h2 = n.m, tenemos

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS_________ cateto. que: 162 = 12 m Y por tanto m =

4.2.1. TEOREMA DE LA ALTURA

16 2 12

= 21.3 metros

De donde, la distancia buscada será: s preciso recordar que: “En todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar la altura relativa

a la hipotenusa son semejantes entre sí”, resultado obtenido en la actividad b.1 de 3.4 del tema anterior. Teniendo

presente

esta

propiedad,

posible demostrar el Teorema de la altura: La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a ésta.

= n + m = 12 + 21.3 = 33.3 metros

4.2.2.

TEOREMA DEL CATETO

asándonos en la misma propiedad utilizada para justificar el Teorema de la altura, podemos demostrar el

Teorema del cateto: En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Por

ser

triángulos ACP

los ABC

semejantes,

tenemos: En efecto, por ser los triángulos PBC y CBA semejantes, se cumplen

PB BC = BC BA Es decir,

AB AC = AC AP

, es decir,

m p = p c

Por lo que p2 = mc

n h = h m

Apoyándonos en este resultado, estamos en condiciones de averiguar la distancia del árbol a la casa,

O también h2 = mn

AC ,

finalizando así el

problema planteado inicialmente.

Haciendo uso de este teorema resulta fácil averiguar,

para

situación

planteada

inicialmente, la distancia entre el pozo P y

mc,

tenemos

que

(21.3)(33.3) = 709.3, de donde p =

709.3 = 26.6 metros

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS_________

4.2.3.

DEL TEOREMA DEL CATETO Datos

AL TEOREMA DE PITÁGORAS

eamos

ahora

una

Valores

Teorema

utilizado

incógnita

demostración

rigurosa del Teorema de Pitágoras

haciendo

uso

del

teorema

del

cateto.

n= En el triángulo CAB de la figura, se

cumple:

c= n= h= c=

C2 = m.a y análogamente b2 = n.a, De donde b2 + c2 = n.a + m.a = (n+m).a =

se han dibujado varios triángulos inscritos.

a.a = a2

Comprueba

Lo que demuestra el Teorema de Pitágoras.

Completa

con

transportador

ángulos que todos ellos son rectángulos y tienen por hipotenusa el diámetro de la

ACTIVIDAD 4.2 a.

En la semicircunferencia de la figura

semicircunferencia. la

tabla

indicando el Teorema utilizado.

Construcción longitud

una

medida

segmentos irracional:

de Para

representar un segmento de longitud 3 unidades,

bastará

cualquiera

tomar

sobre

él

segmento

trazar

una

semicircunferencia cuyo diámetro sea la longitud

aquél.

Dividiendo

dicho

segmento en 4 partes iguales y levantando la perpendicular por la primera división,

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS_________

obtenemos deseada,

segmento

longitud

En el triángulo ABC designamos por m la Observa

que

este

resultado

una

proyección del lago c sobre el b.

aplicación directa del teorema de la altura.

El Teorema de Pitágoras en el triángulo

Utiliza

rectángulo CMB asegura que:

este

proceso

segmentos

para

2 , 5, 6 , 7 , 8,

construir longitudes:

a2 = h2 +

Asimismo, en el triángulo AMB, h2 = c2 –

etcétera unidades.

4.3.

RELACIONES

MÉTRICAS

Además

= (b - m)2 = b2 + m2 – 2bm

TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS

Y sumando miembro a miembro estas dos

últimas igualdades, tenemos: asta ahora hemos desarrollado el tema trabajando exclusivamente con triángulos rectángulos; sin

embargo, las situaciones reales no son siempre tan particulares. Suele ocurrir que la casa, el pozo y el árbol del problema planteado en 4.2, no formen ángulo recto. Por ello estudiamos a continuación algunas relaciones

métricas

triángulos

rectángulos, como son: a)

a2 = h2 +

= b2 + c2 – 2bm, lo que

confirma el enunciado propuesto: a2 = b2 + c2 – 2bm b)

De forma análoga, en un triángulo

cualquiera, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso tiene por expresión: a2 = b2 + c2 + 2bm

El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros

dos

lados

menos

doble

del

producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. Justifica tú mismo esta expresión y redacta su correspondiente enunciado.

EL TEOREMA DE PITAGORAS Y OTRAS RELACIONES EN TRIANGULOS_________

ACTIVIDAD 4.3 De todo lo anterior se puede deducir el siguiente criterio que decide el tipo de triángulo

correspondiente

unas

dimensiones dadas: “Un triángulo será acutángulo, rectángulo u obtusángulo según que el cuadrado de su lado mayor sea menor, igual o mayor que la fuma de los cuadrados de los otros dos lados”. Justifica este criterio y completa la tabla adjunta. a

Tipo de triángulo 2.

Las proyecciones de los catetos de un triángulo rectángulo sobre la hipotenusa miden

respectivamente.

Averigua la longitud de los catetos, así como

altura

relativa

hipotenusa. 3.

EJERCICIOS:

En un concurso de papalotes, dos niños, separados por 12 Dm de distancia, tienen desplegados sus papalotes sobre el plano

Los propietarios de un condominio han

vertical mediante 8 y 16 Dm de cordel en

observado que uno de los dos cables que

el instante en que éstas colisionan. ¿A qué

fijan su antena colectiva de TV se ha roto.

altura del suelo colisionan los papalotes? Si

Haciendo uso de los puntos de amarre ya

caen verticalmente por su propio peso,

existentes, se les plantea el problema de

¿qué distancia habrá de caminar cada uno

averiguar la longitud del cable que se ha

de ellos para recogerlas?

de reponer; conociendo los datos restantes

Imagínate

situaciones

reales

que

según aparecen en el esquema adjunto,

correspondan a los siguientes esquemas y

¿podrías resolverles su problema?

resuélvelas.

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

LA CIRCUNFERENCIA

Op Cit Pp. 80 – 93

único instrumento utilizado para tal fin, pues

simple

cordel

4.1 LA CIRCUNFERENCIA Y SUS

convenientemente,

ELEMENTOS

fotografía, permite su trazado.

como

manejado muestra

na de las figuras más admiradas de

todos

singular

los

tiempos

perfección

por

sido

circunferencia. Desde la antigüedad, el sol con su circularidad fue objeto de adoración por el hombre al constatar que influía de forma decisiva sobre la vida humana. Asimismo, la invención de la rueda en la Edad de Bronce ha supuesto uno de los

mayores avances técnicos del hombre, lo

cerrada formada por los puntos del plano

que muestra la gran transcendencia que

situados a igual distancia de un punto

encierra esta figura.

interior llamado centro.

En la actualidad, la encontramos en todos

Con anterioridad vimos la equivalencia

los campos de la técnica.

entre el

Concretamente

circunferencia

línea

curva

centro y la apotema de

en arquitectura, aparece en rosetones,

polígono regular, y el centro y el radio de

columnas

una circunferencia. Sin embargo, éstos no

sección

circular

otros

ornamentos, donde desempeña un papel

son

importante.

circunferencia.

Nosotros mismos, en los

los

únicos

más

del

diámetro y arco.

para

trazado

circunferencias. Sin embargo no es el

En la figura aparecen los

temas que anteceden, hemos hecho uso compás

elementos

notables:

centro,

radio,

cuerda,

De la propia figura

puedes deducir tu mismo la definición de cada uno de ellos.

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

igual

que

circunferencia

para

polígonos,

hablamos

del

perímetro

como la longitud de ésta, la cual, a causa de

particular

interés,

estudiamos

detalladamente en el siguiente apartado.

longitud

circunferencia

está

comprendida entre los perímetros de estos polígonos.

La mayor o menor precisión

dependerá considerados.

del

número

lados

Arquímedes lo hizo para

polígonos de hasta 96 lados, lo que le

5.2. LONGITUD

longitud de la circunferencia.

CIRCUNFERENCIA. EL NÚMERO

permitió conocer con gran aproximación la

espués de estudiar los elementos

Arquímedes es sin duda alguna la máxima

figura de la matemática griega y una de las

una

circunferencia

nos

plantea el problema de averiguar

mentes

más

preclaras

todos

los

cuál es la longitud de ésta, complicado

tiempos. Nació en Siracusa en el 287 a J.

problema ya que hay que vérselas ¡nada

C. y murió en el 212 a. J. C. durante el

más ni nada menos que con el infinito! Sin

saqueo de esta ciudad por los romanos con

embargo, nos atreveremos a ello de la

motivo de la II Guerra Púnica.

mano del ingenioso Arquímedes (s.III a. J C), quien se imaginaba la circunferencia

La obra de Arquímedes está caracterizada

como la figura obtenida por exhaución de

por una gran originalidad lo que denota su

polígonos

carácter de investigador en diversas ramas

circunscritos; es decir, por duplicación del

de la ciencia como geometría, aritmética,

número de lados de los polígonos como se

ingeniería e hidrostática. Esta última rama

muestra en la figura.

es la más reconocida de Arquímedes por su

regulares

inscritos

escrito De los cuerpos flotantes, en el que estudia científicamente el equilibrio de los cuerpos sumergidos y enuncia el célebre principio

que

lleva

nombre:

“Todo

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

cuerpo sumergido en un fluido experimenta

conocimientos que Arquímedes poseía en

un empuje hacia arriba igual al peso del

astronomía.

fluido desalojado”.

Por

En geometría y aritmética sus escritos De

trabajos más originales e interesantes del

la esfera y del cilindro, De los conoides y

sabio de Siracusa: una larga carta dirigida

de los esferoides, De las espirales, De la

a Eratóstenes, hoy conocida con el título

medida del círculo, así como El Arenario,

abreviado

muestran

Arquímedes

gran

aportación

Arquímedes a las matemáticas.

último,

mencionemos

uno

Método,

expone

los

que

procedimiento,

mezcla de consideraciones geométricas y mecánicas, mediante el cual llegaba a

particular,

Arenario

presenta

descubrir propiedades (áreas, volúmenes,

interés de crear un sistema de numeración

centros

que supera el de la época, al permitir

demostraba rigurosamente con recursos

manejar números tan grandes como el

estrictamente geométricos.

gravedad)

que

luego

número de granos de arena que pueda llenar todo el universo. Así mismo expone

para

utilizado por Arquímedes para obtener la

determinar el diámetro aparente del sol,

longitud de la circunferencia, deducimos

dando un valor bastante aproximado del

simplemente

mismo,

polígonos, la siguiente tabla:

ingenioso

procedimiento

que Número de lados

demuestra

los

Perímetro Polígonos inscritos

volvemos

Longitud de la circunferencia

método

calculando

exhuación

perímetros

Perímetro Polígonos circunferencia

(2)(r)(3)

(2)(r)(3.464101)

(2)(r)(3.105828)

(2)(r)(3.215390)

(2)(r)(3.132628)

(2)(r)(3.159660)

(2)(r)(3.139350)

(2)(r)(3.146086)

(2)(r)(3.141031)

(2)(r)(3.142714)

192

(2)(r)(3.141451)

(2)(r)(3.141874)

384

(2)(r)(3.141566)

(2)(r)(3.141647)

768

(2)(r)(3.141566)

(2)(r)(3.141593)

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________ ---------------

---

--que

Observando el polígono de 768 lados,

---

aparecen

las

columnas

perímetros son casi iguales.

comprobamos que los terceros factores

Al final de este proceso tales factores son iguales, e indicamos dicho valor común con la letra griega “π”. De ahí que la longitud de la circunferencia sea: L = 2πr O también: L = πD, donde π es la razón de proporcionalidad entre la longitud y el diámetro de la circunferencia. π

L D

Actualmente, el cálculo de unos miles de cifras de “π” sirve para comprobar nuevos

En 1596, Ludolf Van Ceulen continuó el método

Arquímedes

empleó

modelos de ordenadores.

polígono de 1 073 741 284 lados, para obtener el valor de con 35 cifras decimales. Concretamente obtuvo: π=3.14159265358979323846264338327950288 ...

Semejante hecho

que

también

laboriosidad el

como

número el

cálculo

número

conozca Ludolf.

Posteriormente se han conseguido mayor número

cifras

decimales

“ ”

utilizando métodos de cálculo superior y haciendo uso del ordenador. Debido al ilimitado proceso utilizado, el número

tiene una infinidad de cifras

decimales.

100

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

π=

3.14159 0.26535

0.89793 0.23846

0.26433

0.83279

0.50288 0.41971 0.69399 0.37510

0.58209 0.74944

0.5923

0.78164

0.06286

0.20899

0.86288 0.34825 0.34214 0.70679

0.82148 0.08651

0.32823 0.06647

0.09384

0.46095

0.50582 0.23172 0.53594 0.08128

0.48111 0.74502

0.84102 0.70193

0.85211

0.05559

0.64464 0.29489 0.54930 0.38196

0.44288 0.10975

0.66593 0.34461

0.28475

0.64823

0.37867 0.83165 0.27120 0.19091

0.45648 0.56692

0.34603 0.48610

0.45432

0.66482

0.13393 0.60726 0.02491 0.41273

0.72458 0.70066

0.06315 0.58817

0.48815

0.20920

0.96288 0.92540 0.91715 0.36436

0.78925 0.90360

0.01133 0.05305

0.4882

0.46852

0.13841 0.46951 0.94151 0.16094

0.33057 0.27036

0.57595 0.91953

0.09218

0.61173

0.81932 0.61179 0.31051 0.18548

0.07446 0.23799

0.62749 0.56735

0.18857

0.52724

0.89122 0.79381 0.83011 0.94912

0.98336 0.73362

0.44065 0.66430

0.86021

0.39494

0.63952 0.24737 0.19070 0.21798

0.60943 0.70227

0.05392 0.17176

0.29317

0.87523

0.84674 0.81846 0.76694 0.05132

0.00056 0.81277

0.45263 0.56082

0.77857

0.71342

0.75778 0.96091 0.73637 0.17872

0.14684 0.40901

0.22495 0.34301

0.46549

0.42019 0.95611

0.21290 0.21960

0.86403

0.51870 0.72113

0.49999 0.99837

0.2978

0.49951

0.05973 0.17328 0.16096 0.31859

0.50244 0.59495

0.34690 0.83026

0.42527

0.30825

0.33446 0.85035 0.26193 0.11881

0.71010 0.00313

0.78387 0.52886

0.58753

0.32083

0.81420 0.61617 0.76691 0.47303

0.59825 0.34904

0.28755 0.46873

0.11595

0.62863

0.88235 0.37875 0.93751 0.95778

0.18577 0.80532

0.17122 0.68066

0.13001

0.92787

0.66111 0.95909 0.21642 0.01989

0.58537 0.44181

0.10507 0.92279 0.68925 0.89235 0.59813 0.62977 0.47713 0.09960

estudiante canadiense, Luc Lapointe, de 17 En

relación

periódico

con

este

Courrier

número, Picard

apareció

años,

había

memorizado

750

cifras

decimales, hazaña que no había sido aún

publicado el siguiente artículo:

homologada oficialmente.

“Un japonés, Hideaki Tomoyori, ha batido

El nuevo recordman, de 46 años, logró

un récord del mundo memorizando 15 151

memorizar estas cifras por grupos de 10,

cifras decimales de “Pi”, que constituye la

traduciéndolas en palabras fonéticamente

razón entre la circunferencia de un círculo

tratables.

y su diámetro.

ser pronunciadas en japonés “fu, ku, ya” y

Así, las cifras “2, 9, 8” pueden

memorizadas “fukuya”, lo que quiere decir Tomoyori ha recitado tales cifras durante tres

horas

diez

minutos

ante

“sastre”

tres

periodistas de la cadena de periódicos

Por otra parte, cada 100 cifras plegaba un

Yomiuri, batiendo así el récord ostentado

dedo de la mano derecha, y cada 10 cifras

desde 1977 por el británico Michael John

Pourtney con 5 050 cifras.

acordarse de dónde estaba. cada

dedo mil

cifras

mano para

izquierda

para

Se paraba

descansar.

Los

El ha tenido la idea de batir este récord

periodistas lo constataban utilizando los

leyendo una información relativa a que un

cálculos hechos con un ordenador.

101

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

Tomoyori ha declarado tras su hazaña que

360°, ¿cuál sería la longitud de un arco de

pensaba poder memorizar hasta 100.000

amplitud 1°? Deduce que la expresión de la

cifras decimales”.

longitud de un arco de circunferencia de

Le Courrier Picard, 15/6/79

amplitud n° es:

Ln =

Cabe suponer que en todos estos años

2πr 0 (n ) 360 0

transcurridos, Tomoyori haya superado su proeza. Experiencia: Buscando el número Los dibujos adjuntos sugieren un método para encontrar el número

. Basta medir

la longitud L del alambre que envuelve al cilindro y el diámetro D de éste. cociente

L , D

entre

longitud

El la

, ya que

L D

: Suponte que la

Tierra está ceñida en el ecuador por una cinta.

circunferencia y el diámetro de ésta, es el número

La paradoja de

Cortando y añadiendo a esta cinta

un pequeño trozo de 1 m, al rodear

2πr =π 2r

nuevamente la Tierra produciríamos una bella aureola. ¿Podría pasar un ratón entre la cinta y la Tierra? ¿Y si la Tierra se reemplazara por una bola de billar? ¿Pasará? ¿No pasará? Al poner la cinta aureola a 1 m de distancia de la Tierra, ¿cuál será el exceso de

El número

lo puedes encontrar en

longitud de dicha cinta sobre el ecuador?

cualquier circunferencia, sea del tamaño que fuera.

¿Y en la bola de billar.

Compruébalo haciendo esta

experiencia con cuerpos de sección circular de muy distinto tamaño.

EJERCICIOS:

ACTIVIDAD 5.1 a.

Puesto

que

1. la

circunferencia es L = 2

longitud

r, y recordando

Averigua la longitud del radio de la Tierra, supuesto que el ecuador terrestre es circular y mide 40 000 km.

que una vuelta de circunferencia equivale a

102

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

Calcula el radio de una mesa circular para doce personas, cada una de las cuales ocupa un arco de 75 cm.

¿Qué distancia recorre un coche cuyas ruedas miden 68 cm de diámetro y Observa que:

giran sin patinar 2 500 vueltas? 4.

Averigua la longitud de la correa

Si la distancia del centro a la recta e mayor que el radio, la recta es

que une dos poleas de 35 cm. De diámetro

exterior.

cuyos centros distan 2.35 m. -

Si dicha distancia es igual al radio, la recta es tangente.

Si es menor que el radio, la recta es secante.

Averigua la longitud de un arco de

32 m de radio y 120° de amplitud 6.

entre

Un arco de 108° tiene 15 cm de

radio.

¿Cuál

grados

tangentes

adjunta. Algunas

¿Cuantos

(A,B),

(H,I), tal como se muestra en la película

amplitud? 8.

exteriores

interiores (F,G), inferiores, y concéntricas

Un arco de 20 cm de longitud tiene

sí:

exteriores (B,C), secantes (D,E), tangentes

longitud. ¿Cuál es su radio? 7.

Dos circunferencias pueden ser

amplitud

propiedades

las

rectas

tangentes y secantes a una circunferencia

tiene un arco de la misma longitud que su

son:

radio? Esta amplitud se llama radián. ¿Cuál es la amplitud de un arco de 3 radianes? ¿Cuántos radianes mide la circunferencia?

5.3 RECTAS Y CIRCUNFERENCIA: POSICIONES RELATIVAS a)

Una

recta

respecto

circunferencia puede ser: -Exterior, si no la corta en ningún punto. -Tangente, si la corta en un solo punto.

El radio perpendicular a una recta secante divide la cuerda determinada en la circunferencia en dos partes iguales.

-Secante, si la corta en dos puntos.

103

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

Basta considerar que en los triángulos rectángulos OAC y OBC, OA = OB y que OC es común a los dos, por lo que, según el Teorema de Pitágoras, AC = BC. El caso extremo de esta propiedad se produce

cuando

recta

convierte en tangente.

secante

En tal caso se

verifica que. 2.

El radio es perpendicular a la tangente trazada por el punto de contacto con la circunferencia.

Por consiguiente, podemos concluir que una circunferencia no queda determinada por 1, ni por 2 puntos, Sin embargo, tres puntos,

determinan

una

alineados

circunferencia.

sí

Basta

simplemente con encontrar el punto 0 donde se cortan las mediatrices de los segmentos

BC .

Este punto es el

centro de la circunferencia, siendo el radio cualquiera de los segmentos

O A , OB

OC .

5.4

DETERMINACIÓN

UNA

CIRCUNFERENCIA

bserva en la figura 1 que por un punto A pasan una infinidad de circunferencias

arbitrarios.

con

centros

En la figura 2 observarás,

asimismo, que por dos puntos A y B pasan también ellas

con

segmento

infinitas centro

circunferencias, en

También

posible

determinar

una

circunferencia cuando se conocen otros elementos geométricos.

Compruébalo tú

mismo en la siguiente actividad.

todas

mediatriz

del

AB .

104

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

ACTIVIDAD 5.1

Ángulos

El vértice del ángulo central

HACIENDO USO DE LA REGLA Y EL

coincide con el centro de la

COMPÁS: a.

Características

circunferencia Dibuja

circunferencia

tangente a dos rectas secantes r y s que El vértice del ángulo interior

pase por un punto dado P de la recta r. b.

es un punto

Dibuja una circunferencia que pase por dos puntos A y B teniendo el

centro sobre una recta R. c.

vértice

inscrito

Traza, con la ayuda de la

del

ángulo

regla y el compás, una circunferencia que

.............y

los

pase por un punto A y sea tangente a una

rectas...................

punto

lados

son

recta r. El

5.5. ÁNGULOS

......

respecto el

ángulo

lados

son

vértice es

del

ángulo

punto.

ser:

puede

rectas.................. ....

o exterior.

rectas.................. ....

ACTIVIDAD 5.2

rectas..................

Completa en la tabla de la página siguiente características

los

.......... y los lados pueden

una

ser: central, interior, inscrito, semiinscrito

las

exterior

egún la posición del vértice de un circunferencia,

ángulo

rectas......................

5.5.1. CLASIFICACIÓN

con

del

semiinscrito es un punto

UNA

CIRCUNFERENCIA

ángulo

vértice

cada

....

ángulo,

observando su dibujo correspondiente.

105

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

5.5.1

MEDIDA

ÁNGULOS

LOS

UNA

Figura

CIRCUNFERENCIA

na vez clasificados los distintos ángulos, calculemos su medida.

Ángulos

Figura

Inscritos

2 Figura

Para ángulos centrales no existe

ningún

problema,

que

comprendido entre sus lados nos da la medida del ángulo. embargo,

En los restantes, sin

sucede

mismo,

arco

como

Figura Ángulos

semiinscritos

Figura 5

podrás comprobar a continuación.

ACTIVIDAD 5.3

Completa

asimismo

columna

correspondiente a los ángulos centrales de arco AB.

Observa los

ángulos inscritos y semi-

inscritos de las figuras adjuntas.

Compara

ambas

amplitudes.

tus

medidas son correctas, habrás observado que:

En general se cumple: Los

ángulos

inscritos

semi-inscritos

miden la mitad del arco comprendido entre sus lados. En efecto: Con la ayuda del transportador de ángulos mide cuidadosamente sus amplitudes y

Para ángulos inscritos,

anótalas en la tabla.

como

muestra

figura, tenemos: ∠AOB = ∠1 + ∠2 por ser suplementario con ∠3. Además, el triángulo OO’B es isósceles, por lo que ∠1 = ∠2, y por tanto:

106

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

Para

ángulos

semi-inscritos

razonamiento es análogo.

ACTIVIDAD 5.4 EL

EQUÍVOCO

DEL

PERIODISTA

retransmisiones

DEPORTIVO: a.

menudo,

deportivas, oímos expresiones cono “el jugador tiró a gol sin apenas ángulo de

Los puntos del campo bajo los cuales se ve

tiro...”, expresión no demasiado acertada,

como veremos a continuación.

pronóstico

que

los

iguales.

Mediante

tres

ángulos

regla

son

compás

trazamos la circunferencia que pasa por A, B

uno

cualquiera

anteriores. apoyándote

Justifica en

medida

inscritos en la circunferencia.

los el

puntos equívoco

ángulos

mismo

ángulo,

segmento AB bajo el ángulo.

transportador, mide los ángulos bajo los P1, P2 y P3. Habrás observado, contra todo

con

determinan un arco llamado arco capaz del

En el esquema adjunto y haciendo uso del cuales se ve la portería desde los puntos

portería

Para

jugadores

situados

las

posiciones P4 y P5, ¿Cuál en su ángulo de tiro? Usa el transportador y no te fíes de la intuición

como

los

comentaristas

deportivos. Habrás

observado

que

para

ángulos

interiores y exteriores a la circunferencia no rige la misma regla que para ángulos inscritos y semiinscritos.

Comprueba que

para P4, el ángulo es interior y mide:

107

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

Ejercicios: 1.

El triángulo ABC está inscrito en una circunferencia y se sabe que ∠AB = 80° y ∠BC = 160°.

Halla la medida de los tres

ángulos del triángulo. 2.

Los puntos A, B, C, D y E son los vértices de

pentágono

inscrito

una

circunferencia, donde ∠AB = 42° 30’, ∠BC

Para P5, sin embargo la transferencia y mide:

= 42° 30’, ∠CD = 84° 20’ y ∠DE = 120° 40’. Averigua la medida de los ángulos del pentágono. 3.

EN GENERAL, SE CUMPLE QUE:

ángulos

interiores

desde un punto cualquiera de la superficie de la Tierra, supuesta esférica? ¿Cómo son

una

los

circunferencia miden la semisuma de los arcos comprendidos por sus

lados y las prolongaciones de éstos. la

semidiferencia

los

arcos

comprendidos por sus lados.

ángulos

inscritos

una

semicircunferencia? 4.

Demuestra

que

todo

cuadrilátero

inscrito en una circunferencia los ángulos

Los ángulos exteriores a una circunferencia miden

¿Bajo qué ángulo se ve el eje terrestre

opuestos son suplementarios. 5.

Dibuja un hexágono regular y traza dos diagonales que partiendo de un mismo

Veamos esto último con rigor:

vértice

vayan

vértices

consecutivos.

¿Qué ángulo forman? 6.

Un ángulo interior a una circunferencia mide 53° 12’ y el arco abarcado por sus lados 38° 15’. ¿Qué arco abarcará las prolongaciones de sus lados?

Los arcos que abarcan los lados de un ángulo exterior a una circunferencia miden 48° y 54° 30’. ¿Cuánto mide el ángulo exterior?

8. por ser ∠1+2 suplementario de ∠AB’O’ y el ángulo ∠3 también.

El menor de los arcos interceptados por dos

tangentes

una

circunferencia

trazadas desde un punto exterior mide

108

LA CIRCUNFERENCIA______________________________________________

70°. ¿Cuál es la medida del ángulo de las tangentes? 9.

Un triángulo ABC está inscrito en una circunferencia, y ∠A = 50°, ∠B = 70°. Se trazan tangentes por ∠A, ∠B y ∠C de modo que formen el triángulo circunscrito A’B’C’. Averigua los ángulos ∠A’, ∠B’ y ∠C’ de dicho triángulo.

109

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Op Cit Pp. 94 - 112 5.1

MIDIENDO SUPERFICIES

ara medir superficies es necesario adoptar

una

unidad

compararla con

patrón

la extensión

dicha superficie. Recordarás que las unidades patrón de Dm2, m2, dm2, cm2 y mm2. Sin embargo, para

medir

terrenos,

utilizan

con

frecuencia las llamadas unidades agrarias: Hectárea,

área

centiárea.

Sus

equivalencias con el SMD son: Ha = Hm2 = 10 000 m2 m2

a = Dm2 = 100

ca = m2

mayoría

los

regidores

son

superficie de zona verde, ¿cuál crees que será

terreno

elegido?

Justifica

tomando la Ha como unidad patrón. medida

superficie

de se

extensión

llama

AREA

de de

una dicha

superficie.

factibles de ser destinados a zona verde determinado

ecologistas que abogan por la máxima

Las figuras adjuntas representan terrenos un

respuesta después de haberlos medido

ACTIVIDAD 6.1

por

1 hectárea = 1 Há =1 Hm2

Unidad patrón

superficie en el SMD son: Mm2, Km2, Hm2,

municipio.

Por

condiciones presupuestarias, sólo uno de ellos será acondicionado para este fin.

6.2.ÁREAS

LOS

POLÍGONOS

MÁS SENCILLOS

unque

vida

real

las

superficies se nos presentan con distintos

contornos,

sucede

menudo que éstos tienen forma poligonal. A continuación estudiaremos las áreas de las superficies poligonales más sencillas.

110

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

ACTIVIDAD 6.2 Observa el rectángulo de la figura adjunta y, tomando como unidad patrón el cm2, responde:

¿Cuántos

cm2

tiene

cada

fila?

¿Cuántas filas tiene el rectángulo? ¿Cuál es su área? b.

¿Sabrías dar una regla aritmética que nos permita calcular dicha área sin recurrir al recuento de los cuadrados que lo componen?

¿Cuál sería el área del rectángulo en el supuesto de que la base mida 7.2 cm y la altura 4.5 cm?

111

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

De la actividad anterior deducimos que: Área del rectángulo = Base x Altura

El cuadrado es un caso particular de rectángulo en el que la base y la altura son iguales. En consecuencia: Área del cuadrado = Lado x Lado

Experiencia:

área

los

productos

notables Es posible que conozcas de álgebra ciertos productos notables, como son: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a+b)(a-b) = a2 - b2 Si te resultan difíciles de memorizar, te sugerimos

que

los

recuerdes

visualizándolos de un modo geométrico: a.

Toma una cartulina en forma de cuadrado y observa que al cortarla como se muestra en la figura, el área del cuadrado se conserva, si bien aparece como suma de las áreas de los rectángulos y

cuadrados

que

quedado

descompuesto.

112

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

Por otra parte, toma otra cartulina con forma cuadrada y recorta un cuadrado de una de sus esquinas, la figura restante puedes cortarla en dos trozos por la línea de puntos y redistribuirla adosando al pie del rectángulo mayor el trozo punteado.

Relaciona el área de uno de ellos con la del rectángulo.

a – b = . . . . . . . . . . . . . . . . . = (a + b)(a - b)

Toma

otra

hoja

papel

córtala tal como se muestra en la figura adjunta.

Comparando las áreas, deducirás que: (a + b)(a - b) = a2 - b2 Observa que las construcciones anteriores

Se obtiene tres triángulos, el mayor de los

no dependen del tamaño de los cortes que

cuales resulta ser T. Este triángulo puede

produzcas.

ser recubierto a modo de tangram por los

Puedes

comprobarlo

comparar tu experiencia con la de otro

dos

compañero.

permite

triángulos

sobrantes,

asegurar

que

lo el

que

nos

área

del

rectángulo es doble que la del triángulo o

ACTIVIDAD 6.3

también, que el área del triángulo es mitad de la del rectángulo.

Pretendemos

obtener

las

áreas

De este apartado y

del anterior podemos deducir:

triángulos y demás cuadriláteros a partir de la del rectángulo, mediante sencillas

Área del triángulo =

manipulaciones de éste. a.

Corta

una

hoja

papel

( Base)( altura ) 2

Haz un corte en

comprueba que cortándolo por una de sus

una hoja de papel, tal

diagonales obtienes dos triángulos iguales.

como

indica

figura adjunta, y traslada

113

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

al lado opuesto el triángulo obtenido en

Corta una hoja de papel como

dicho corte, con lo cual obtendrás un

muestra la figura y obtendrás dos trapecios

romboide.

iguales. Esto permite deducir que el área del

trapecio

mitad

del

rectángulo. A partir de este hecho puedes concluir que:

El romboide está compuesto de las mismas piezas que el rectángulo. Deduce a partir de este hecho que el área del romboide es: Área Área del romboide = Base

trapecio

( BaseMayoy) + ( BaseMenor)h ( B + b)h = 2 2

x Altura d.

del

Los vértices del rombo dibujado

resultado

obtenido

para

trapecios

en la hoja de papel de la figura se

rectángulos es generalizable a cualquier

encuentran en los puntos medios de los

tipo de trapecio.

lados de ésta.

el papel convenientemente, como indica la

Recorta dicho rombo y

dibuja sus diagonales.

Observa que las

Para ello bastaría cortar

figura.

diagonales son la base y la altura de la hoja de papel. Superponiendo a modo de tangram las cuatro esquinas sobrantes, sobre

relación

rombo, existente

puede

entre

rectángulo y la del rombo.

deducir área

la del

Comprueba

6.3. ÁREA

que:

POLÍGONOS

CUALESQUIERA a)

En polígonos irregulares, basta triangulizar

polígono,

tal

como

observa en la figura l. El área del polígono irregular se obtiene sumando las áreas de Área del rombo =

( diagonalMayor )( DiagonalMenor ) Dd = 2 2

los triángulos que lo componen. casos,

sin

embargo,

puede

En otros ser

más

conveniente descomponer el polígono en

114

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

otras figuras elementales, como se puede

Área del hexágono = 6 x Área del triángulo

ver en las siguientes figuras.

⎛ (lado)( apotema ) ⎞ 6⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠

( perímetro)( apotema ) 2 Es fácil comprobar que este resultado es válido no sólo para el hexágono sino también para todo polígono regular, por lo que de un modo general: b)

polígonos

regulares,

puede

Área de un polígono regular =

utilizarse el método anterior, pero es más

( perímetro)( apotema ) 2

operativo triangularizar desde el centro del polígono ya que en tal caso todos los triángulos que resultan son iguales, lo que

EJERCICIOS:

permite establecer la expresión del área de forma sistemática.

La figura adjunta muestra el croquis de una finca con las dimensiones de ésta. Averigua su área y expresa el resultado en Hectáreas.

Del hexágono de la figura se deduce que su área es seis veces la del triángulo básico. Recuerda que la apotema de un polígono regular

distancia

del

centro

del

polígono a cada uno de sus lados y, puesto

De dos terrenos de igual superficie se sabe que uno es un cuadrado de perímetro

que la altura de los triángulos básicos

160 metros y el otro un rectángulo de 2,5

coincide con la apotema, observa que:

Dm de anchura, ¿Cuál es la longitud del segundo terreno? 3.

Los lados desiguales de un romboide miden 51 cm y 24 cm. La diagonal menor es perpendicular al lado menor. Calcula:

115

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

La diagonal menor.

aritméticas muy complejas que exigen ser

El área del romboide.

demostradas por el método de inducción. A

La distancia entre sus dos lados

continuación te presentamos dos de estos ejemplos; haz jugar la vista contando

mayores. d.

cuadrados

La diagonal mayor.

Las

diagonales

rectángulo

miden

respectivamente,

cada

expresión algebraica y justifica que son

ciertas para cualquier valor de n.

altura

cm.

convenga

trapecio

de 26

como

Calcula el área. 5.

En un trapecio isósceles la diferencia de las bases es de 10 cm, la altura de 12 cm y el perímetro 72 cm. Determina su área.

Calcula

área

triángulo

equilátero en función de su lado. 7.

Las

dimensiones

= 5 cm y

ABCD son:

Halla sobre

AB un

1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = rectángulo

(2n – 1) = n2

n ( n + 1)

= 3 cm.

punto P cuya distancia

Sea

luego:

PBCD sea cuádruplo del área del triángulo

6(6 + 1) 6(7) 42 = = = 21 2 2 2

APD.

Que por conteo básico = 6

x =

sea tal que el área del trapecio

1 + 3 + 5 + 7 + ... +

+ 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21

5.2

UN PROBLEMA CLÁSICO: EL

ÁREA DEL CÍRCULO Tres 8.

duplicación

halla atravesado por dos paseos de igual Averigua la anchura de los paseos

sabiendo que éstos cubren una superficie de 67.500 m2. 9.

Algunas

figuras

geométricas

sirven

para ilustrar de un modo sencillo relaciones

especiales

de la matemática en el periodo helénico: la

800 m de longitud y 600 m de anchura; se

recto.

muy

contribuyeron en gran medida al desarrollo

Un parque de forma rectangular mide

anchura que se cruzan formando ángulo

problemas

del

cubo,

trisección

del

ángulo y la cuadratura del círculo. -

El problema de la duplicación del cubo

o problema de Delos, de origen

griego, consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado.

116

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

El problema de la trisección del ángulo,

decir,

dividir

ángulo

alguna relación entre dichos problemas,

cualquiera en tres partes iguales, llamó

relación que, sin embargo, permaneció

seguramente

siempre oculta para ellos.

discrepancia

entre la sencillez de sus

atención

también otro de ellos, hecho que revelaba

por

gran

términos y la imposibilidad de resolverlo

“De la investigación de estos problemas se

con

ocuparon numerosos pensadores griegos

geometría, regla y compás, imposibilidad

del periodo helénico, el más antiguo de los

tanto más llamativa cuanto que con esos

cuales es el filósofo Anaxágoras (499-428

medios

a.J.C), quien, según Plutarco, se habría

los

medios

podía

elementales

dividirse

ángulo

cualquiera en 2, 4, 8, .... partes iguales, y

ocupado

también podían trisecarse algunos ángulos

mientras estaba en Atenas encarcelado

muy particulares como el recto, el llano,

bajo la acusación de impiedad.

cuadratura

del

círculo

etc. -

cuanto

problema

Datos

más

concretos

tienen

cuadratura del círculo, nacido seguramente

Hipócrates de Quíos, también del siglo V a.

de la necesidad práctica de calcular el área

J. C., que puede considerarse como el

de un círculo, consiste geométricamente en

primer

matemático

determinar con regla y compás el lado de

cuenta

que

un cuadrado equivalente a un círculo de

asaltado y saqueado por piratas, vino a

radio dado.

pedir justicia a Atenas, donde frecuentó a los

era

filósofos

“profesional”.

comerciante

que,

convirtió

hábil

Una primera característica común de estos

geómetra. Y en efecto, las contribuciones

tres problemas es que no encajaban dentro

geométricas

de la geometría de polígonos y poliedros,

importantes, destacándose entre ellas las

investigaciones

segmentos,

círculos

cuerpos

que

atribuyen

relacionadas

con

son el

redondos, y que su solución sólo podía

problema de la duplicación del cubo, que él

obtenerse utilizando otras figuras o medios

convierte en un problema de geometría

que iban más allá de las construcciones

plana, y con el problema de la cuadratura

fundadas en las intersecciones de rectas y

del círculo, con el cual están vinculadas sus

circunferencias, o como posteriormente se

célebres “lúnulas” cuadrables.

denominaron,

construcciones

exclusivamente con regla y compás.

El problema de la cuadratura del círculo,

segundo lugar, y esto ha de haber llamado

encarado por HIPÓCRATES DE Quíos a

través de la búsqueda de figuras circulares

atención

los

geómetras

griegos,

algunos de los métodos que resolvían uno

cuadrables

de estos problemas a veces resolvían

sofistas contemporáneos desde otro punto

fue

enfocado

por

algunos

117

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

de vista, que infructuoso entonces, resultó

perduró veinte siglos aún a través de

fértil más adelante.

Así se atribuye al

Copérnico hasta la innovación kepleriana,

sofista Antifón el raciocinio siguiente: si se

los nuevos geómetras griegos engendran

inscribe en un círculo un cuadrado y

curvas con definiciones convencionales, y

después, bisecando los arcos respectivos,

hasta

ingerencia

inscribe

octógono

así

utilizan a

movimientos,

dado

cinemática;

doble

sucesivamente, se llegará a un polígono

imperfección de la geometría que habría

cuyos lados serán tan pequeños que el

horrorizado a Platón.

polígono podrá confundirse con el círculo. Este raciocinio tiene el mérito de haber

Uno de los primeros innovadores fue el

introducido

del

sofista Hipias de Elis, de finales del siglo V

más

a. J. C., a quien se debe una curva que le

problema tarde,

consideración

polígonos en

inscritos

manos

que

Arquímedes,

permitió

resolver

problema

proporcionó uno de los primeros resultados

trisección del ángulo y que más tarde se

positivos.

denominó cuadratriz, pues por obra de un matemático del siglo siguiente, Dinostrato, se demostró que con esa curva podía rectificarse la circunferencia o, lo que es lo mismo, resolver el problema equivalente de la cuadratura del círculo. J. BABINI, J. REY PASTOR

Otro

sofista,

Brisón,

compañero

del

anterior, agregó la consideración de los polígonos razón,

circunscritos

que

área

afirmando, del

círculo

Historia de la Matemática Ed. Gedisa

con está

comprendida entre los polígonos inscritos y circunscritos.

A fin de obtener la expresión del área del círculo,

conviene

recordar

que

polígono regular aumenta su número de lados indefinidamente, su contorno tiende

Al margen de las construcciones con reglas y

compás,

invención

curvas

especiales para resolver los tres problemas clásicos, señalan un proceso importante en la

evolución

del

pensamiento

griego.

a confundirse con el de una circunferencia, razón por la cual podemos imaginar ésta como un polígono regular con una infinidad de lados. Como tal “polígono”, el área que se encierra en su interior será:

Abandonando la norma platónica, que sólo consideraba perfectas la circunferencia y la esfera, explicar

figuras el

con

las

universo,

que

pretendía

pretensión

que

118

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

Area

círculo

Si el radio del diagrama circular es R, ¿cuál

( perímetro)( apotema ) 2πR.R = = πR 2 2 2

es el área del diagrama que representa la composición del parlamento? ¿Cuál es el área correspondiente al partido político por un solo miembro? ¿Cuál es el área correspondiente al partido político

con

representantes

con

parlamento?

de donde: R2

Área del círculo = 5.3

Área de otras figuras circulares

ACTIVIDAD 6.4 a.

Para

Dibuja una circunferencia de 8 cm

circunferencia

radio

partido

que el área de su sector

Dibuja sobre el

circular

recorte anterior y con el mismo centro, otra

caso

representantes en el parlamento, justifica

de radio y recórtala. ¿Cuál es el área del círculo que encierra?.

correspondiente

es:

cm.

Recórtala y di cuál es el área de su círculo. La

figura

sobrante

llama

corona

Área del sector circular

circular. ¿Sabrías decir cuál es su área a partir

las

áreas

los

πR 2

círculos

360 0

anteriores?

(n)

Suponiendo R el radio de la circunferencia mayor y r el de la circunferencia menor, justifica que:

La parte sombreada de la figura adjunta representa un segmento circular.

Área de la corona circular =

(R )(r )

Justifica que su área es la diferencia entre el sector circular que abarca y el triángulo

El parlamento de un determinado

formado por los extremos de la cuerda y el

país está compuesto por 360 miembros.

centro de la circunferencia.

políticos

hecho para obtener la expresión de su

adjunto

área.

distribución

responde

(recuerda

que

por

diagrama la

partidos circular

circunferencia

abarca

Utiliza este

Para ello habrás de utilizar una vez

más el Teorema de Pitágoras al considerar

360°).

119

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

que la altura del triángulo isósceles divide la base en dos partes iguales.

La figura nos muestra un Trapecio circular. Expresa su área en función del área

algunas

figuras

circulares

estudiadas anteriormente.

ACTIVIDAD 6.5 A modo de resumen completa la siguiente tabla de áreas: Área del triángulo =

Área del cuadrado =

Área =

Área del rectángulo =

Área del romboide =

Área =

Área del rombo =

Área del trapecio =

Área =

Área de un polígono regular =

Área del círculo =

Área =

Área de la corona =

Área del sector =

Área =

Área del segmento =

Área del trapecio circular =

Área =

120

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

EJERCICIOS 1.

Determina

área

parte

sombreada de las figuras siguientes:

Dibuja dos circunferencias tangentes tales que una de ellas pase por el centro de la otra, y calcula el área del recinto limitado por éstas, sabiendo que el área del círculo menor es 4 cm2.

Las diagonales de un rombo miden 5 y 12 cm respectivamente.

Calcula el área del

círculo inscrito en el rombo. 5.

Dadas

tres

circunferencias

del

mismo

radio, R = 3 cm, tangentes entre sí, calcula el área del triángulo curvilíneo limitado por las tres circunferencias. 2.

Hipócrates de Quíos, contemporáneo de

En un triángulo equilátero ABC de 6 cm de

Pericles, no pudo cuadrar el círculo, pero

lado, se trazan con este radio y desde cada

llegó a cuadrar cierto tipo de lúnulas como

vértice arcos de circunferencias limitados por

las de la figura, comparando sus áreas con

los otros vértices.

las de los triángulos rectángulos.

superficie limitada por dichos arcos. 7.

Halla

área

Calcula el área de la de

corona

circular

Justifica que el área de la parte sombreada

determinada por las circunferencias inscritas

es siempre igual a la de las superficies

y circunscritas a un triángulo equilátero de

punteadas, después de probar que el área

lado 6 cm.

del semicírculo sobre la hipotenusa es igual

En un triángulo rectángulo isósceles ABC

a la suma de las áreas de los semicírculos

(A = 90°), se traza con centro den C un arco

sobre los catetos.

∩AM que corta a la hipotenusa en M. centro en B y radio

Con

se traza otro arco

que corta al cateto BA en N. Averigua el área del triángulo mixtilíneo AMN. 9.

Calcula el área de un trapecio circular cuyas bases abarcan 60° sabiendo que la

121

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

suma y diferencia de los radios de las circunferencias

miden

respectivamente. 10.

La amplitud de un trapecio circular es de 30° y las longitudes de los arcos que lo determinan

miden

respectivamente.

47.1

15.7

Determina el área de

dicho trapecio. 11.

Se pide el área de la parte coloreada de la figura adjunta, sabiendo que el diámetro mide 20 dm, y que A,B y C son los centros y

∩MP

∩PN,

respectivamente. 12.

En ocasiones somos tan incautos que al decidir

compra

DOS FIGURAS SEMEJANTES

de los arcos de circunferencia ∩MN,

6.6. RAZÓN ENTRE LAS ÁREAS DE

determinado

producto, presentado al mismo precio por

n el tema 3, actividad 3.5, vimos que “la razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la

razón de semejanza entre ellos”

AB BC CD P ... = = = =K A' B ' B ' C ' C ' D' P'

diferentes fabricantes y en envases de

¿Cabe esperar el mismo

distintos tamaños, lo hacemos optando por

resultado

el mayor de ellos, al ignorar las muchas

entre

posibilidades que ofrece la geometría a las

polígonos semejantes?

engañosas

intenciones

respuesta

fabricantes.

El siguiente ejercicio ilustra

algunos

para

las

basta

áreas es

razón

dos La

inmediata;

considerar,

por

muy bien lo que acabamos de comentar.

ejemplo, un cuadrado de

lado / y otro “semejante” a él de lado doble.

fabricante

decide

embalar

sus

productosx en cajas con forma circular,

Observa que la razón de semejanza entre

pudiendo hacerlo de dos modos diferentes,

sus lados es:

como muestran las figuras.

dos modelos presenta más cantidad de

1 1 1 = = l ' 2l 2

producto? Si el precio de uno y otro

mientras

modelo es el mismo, ¿cuál crees que será

áreas:

¿Cuál de los

el modelo elegido por el fabricante?

que

para

las

A A 1 = = A' 4 A 4 puesto que, como puede observarse en el dibujo, el área del cuadrado

122

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

mayor es cuatro veces la del menor; ello

De un modo general podemos decir que si

supone que la regla válida para perímetros,

dos triángulos son semejantes y sus lados

no lo es para áreas. Pero, si se observa que la razón entre áreas

figuras

semejantes

precisamente el cuadrado de la razón de semejanza.

están en la proporción

1 l'

1 k

entonces sus

áreas se hallarán en la proporción

A 1 = 2 A' K

lo que también es válido para polígonos semejantes, ya que éstos siempre se pueden

ACTIVIDAD 6.6 a.

descomponer en triángulos.

Sobre un cuadrado de lado / dibuja,

EJERCICIOS:

al igual que hemos hecho en el ejemplo anterior, un cuadrado de lado /’ = 41, y

1. Dos

trapecios

compara la razón de semejanza entre sus

rectángulos

lados con la razón entre sus áreas. Repite

semejantes con razón

la experiencia para l’ =5l, l’ = 6l

de semejanza ¾. Del

La figura muestra dos triángulos

trapecio

son

mayor

equiláteros y por tanto semejantes, el

sabe que las bases

pequeño de lado / y el mayor de lado

son 6 y 12 cm, y la altura 8 cm. Averigua la

/’=31.

longitud del lado oblicuo del trapecio mayor

Compara, al igual que en el apartado a., la

así como el perímetro del menor. ¿Cuál es la

razón de semejanza entre sus lados con la

razón entre sus áreas?

razón entre sus áreas.

2. Los terrenos de una urbanización

Observa que los triángulos no tienen por

forma

qué ser equiláteros. Este es el caso de la

semejantes.

siguiente figura, en la que la relación

1 1 = l' 3

tienen polígonos Dos de

estos terrenos miden 8.025 y 5.136 Dm2.

Sabiendo que un lado

del primero mide 35 Dm, averigua el lado homólogo del segundo terreno.

Induce la relación entre áreas:

A A ⎛1⎞ = =⎜ ⎟ A' 9 A ⎝ 3 ⎠ De un modo general áreas:

3. Dos triángulos isósceles semejantes tienen 48 y 108 cm2 del área respectivamente. Determina: a. La razón de semejanza. B. Los perímetros de ambos, sabiendo que la base del primero es 16 cm.

123

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

4. Dos circunferencias cualesquiera siempre son

semejantes,

semejanza

siendo

cociente

la de

razón sus

radios.

Ello no supone, como bien sabes, que los diseñadores

industriales

mosaicos

puedan crear e imaginar una diversidad de

Constata este hecho a partir de la razón de

modelos en cada caso.

Estudiemos, por

sus perímetros y comprueba que la razón

ejemplo, diferentes modelos a partir de

entre sus áreas es el cuadrado de la razón

baldosas, todas ellas de forma cuadrada.

de semejanza. Puesto que todas las piezas han de ser

6.7 LOS MOVIMIENTOS A TRAVÉS

iguales, podemos imaginar que una baldosa

DE MOSAICOS

genera otra vecina por diferentes tipos de

movimientos. La siguiente tabla nos muestra s posible recubrir las superficies

algunos de estos movimientos.

planas con diferentes formas de mosaicos; ahora bien, ¿has

pensado lo que sucedería si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de polígono regular? Las baldosas pentagonales no recubren perfectamente el plano

Traslación

Simetría: Girando

No todos los polígonos regulares recubren exactamente el plano. mosaicos

poligonales

como

Sólo tres tipos de tienen

una

hoja

esta

transparente

particularidad:

de un álbum de

fotos,

quedando tumbada Mosaicos cuadrados

Giro de 1800

AREAS DE de FIGURAS centro el PLANAS__________________ G

punto medio del lado

Mosaicos hexagonales

g90o Mosaicos triangulares

Giro de 900 respecto

un vértice

124

manteniendo, sin embargo, su superficie Giro de 180 g180o

respecto

inicial.

un vértice

Cada En

movimientos

traslación

permite

sustituir

Para

caso

estos

caso

uno

lado rectilíneo del

cuadrado

simetría

por otra forma

geométrica de

Los dibujos anteriores muestran diferentes

modo

que

mosaicos obtenidos al aplicar en cada caso

baldosa

sendos movimientos vertical y horizontal a

cada genera En giro G

caso un

cada una de las piezas básicas.

nueva baldosa

una

y de tal forma

Asimismo, es posible lograr mosaicos con un

que

cierto grado de animación al complementar

ambas

encajen

el contorno de la pieza básica mediante

correctamente.

breves retoques en su interior.

Así,

modo,

por

ejemplo:

giro

podemos

visualizar

De este

formas

animales, plantas, etcétera.

g90o Y para un

Observa el proceso seguido para diseñar el

giro g180o

siguiente mosaico:

Teniendo en cuenta las características de estos movimientos podemos, con un poco de

imaginación,

encajen

unas

encontrar

curiosos mosaicos.

las

piezas

otras

que

formando

Bastará simplemente

con modificar adecuadamente la forma del cuadrado, quitando una porción de un costado

para

añadírselo

otro,

125

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

Conviene precisar que para recubrir el plano no es necesario que las piezas básicas sean polígonos

regulares.

Escher

muestra de ello en múltiples de sus obras al utilizar

rombos,

pentágonos

trapecios,

otros

muchos

romboides, polígonos

irregulares, alguno de cuyos ejemplos se muestran a continuación.

Los mosaicos anteriores se han elaborado tomando

como

pieza

fundamental

cuadrado. A continuación te mostraremos otro

mosaico,

esta

vez

basado

hexágono regular como pieza fundamental, obra del ingeniero del artista holandés M.C. Escher.

126

AREAS DE FIGURAS PLANAS________________________________________

Op Cit Pp. 113 â&#x20AC;&#x201C; 121

127

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO___________________________________

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO recta y plano vistas en la primera parte

7.1 DE LA GEOMETRÍA PLANA A LA

analizaremos sus relaciones desde la óptica

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

espacial, pues si bien en la geometría plana os temas tratados hasta ahora eran

puntos y rectas se hallan dentro del plano,

objeto de la geometría plana, sin

en la geometría espacial no sucede así, ya

embargo, en la realidad, la figura

que en este caso los puntos y las rectas

plana de dos dimensiones no existe como

pueden ser exteriores a él.

tal sino formando parte de un cuerpo del espacio.

Así, cuando manipulamos papel,

cartón, madera, etc., lo hacemos con figuras

tridimensionales,

que

éstas

tienen un cierto grosor; sólo mentalmente separamos

figura

plana

del

7.2 LOS PLANOS EN EL ESPACIO

odemos imaginar una superficie plana prolongada en todas sus direcciones y con ello tendremos la imagen del

espacio, imaginándola aisladamente como

plano geométrico. La superficie de la mesa,

si no tuviera relación con los cuerpos

la tapa de un libro, un folio extendido, etc.

sólidos.

Nos sugieren la idea de plano.

libro

En el espacio, existe una infinidad de planos;

estudiaremos las figuras cuyos elementos

ahora bien, ¿cómo determinar uno de ellos

básicos están situados en el espacio, lo que

en concreto?

esta

segunda

parte

del

constituye el objetivo de la geometría

7.2.1.DETERMINACIÓN DE UN PLANO

sólida o espacial. No

obstante,

los

conceptos dados en geometría plana son aplicables de cierto

on un solo punto del espacio no queda determinado un plano, pues si apoyamos, por ejemplo, un trozo de

cartón sobre la punta del dedo, observamos

modo a la geometría

que

espacial.

posiciones.

Por ello,

plano

toma Lo

una

mismo

infinidad sucede

de lo

dando por asumidas

intentamos con dos dedos, lo que nos dice

las ideas de punto,

que dos puntos tampoco lo determinan. Sin embargo, es un hecho comprobable que con

128

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO___________________________________ tres dedos como soporte, el cartón queda estabilizado,

que

siguiente enunciado:

nos

confirma

En el espacio, tres

puntos no alineados determinan un plano.

1 punto fijo

2 puntos fijos

puntos fijos Otras formas de determinar un plano en el espacio y que no son sino consecuencias del enunciado anterior, son: 1.

Mediante una recta y un punto exterior a ella,

Mediante dos rectas que se corten,

Mediante dos rectas paralelas,

Por el hecho de que por dos puntos distintos pasa una sola recta.

7.2.2.POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS ACTIVIDAD 7.1 a.

En la tabla adjunta aparecen las diferentes posiciones que pueden darse entre

rectas

planos

del

espacio.

Obsérvalas atentamente y completa las características de cada caso.

129

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO___________________________________

A: entre recta y plano

Posición relativa R

cortan r

son

paralelas

B: entre dos rectas

La recta y el plano tienen un punto en común

r está contenida

La recta y el plano tienen común todos los puntos de

ella

Posición relativa

Características

Rectas paralelas

Rectas

que

cortan

Rectas cruzan C: entre dos planos

Características

Posición relativa Planos

que

cortan

Planos paralelos

Las dos rectas están en un mismo plano y no tienen ningún punto en común

Las dos rectas están y tienen un punto en común

Las dos rectas

Características

Los dos planos tienen una recta en común

Los dos planos

130

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO___________________________________

a1.

Observando la habitación donde te

número máximo y mínimo de planos que

encuentras, indica en ella rectas y planos que sugieran cada una de las distintas

pueden determinar?

posiciones estudiadas anteriormente.

rectas?

a2.

Toma una caja de cerillos y dos

alfileres. Clava éstos de forma que ilustren Mediante la caja y un único

alfiler, visualiza las posiciones de recta y

¿Por qué las cámaras fotográficas y de TV se montan sobre trípodes?

las diferentes posiciones de dos rectas en el espacio.

¿Existe siempre un plano que pase por dos

¿Por qué una mesa de cuatro patas es menos estable que una de tres?

¿Existen rectas que corten a otras dos que se cruzan?

plano. Una situación particular de posición relativa a3.

Manipulando dos

entre una recta y un plano la constituye la

hojas de papel, visualiza

perpendicularidad.

las diferentes posiciones

Se dice que una recta r es perpendicular a un

entre dos planos.

plano si lo es a cualquier recta contenida en dicho plano y que corta a r.

Responde a las siguientes

preguntas,

ayudándote de elementos que sugieran la idea de rectas y planos, como pueden ser el lápiz, el bolígrafo, hojas de papel libretas o la palma de la mano.

¿Cuántas rectas pasan por un punto del espacio?

Recta

Cuántos planos pasan por una recta? ¿Y

Recta oblicua al plano

perpendicular

plano

por un punto? o

Si tres rectas son concurrentes, ¿cuál es

Es fácil observar, como se muestra en el

el menor número de planos que pueden

dibujo, que cualquier plano que pasa por la

formar? ¿Y cuál es el mayor número de

recta r, perpendicular al plano P, es también

ellos?

perpendicular al plano.

Si dos rectas son paralelas a un plano, ¿son necesariamente paralelas entre sí?

¿Estarán siempre en un mismo plano tres

rectas

paralelas?

¿Cuál

Una

observación

importante que se ha de tener en cuenta es la

131

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO___________________________________

siguiente: Por un punto A del espacio solamente se puede trazar una recta AA’ perpendicular a un plano dado; las demás que pasan por A y cortan a P son oblicuas.

longitud

del

segmento

AA' ,

perpendicular al plano, se llama distancia del punto A al plano P. Observa que si A pertenece a dicho plano, la distancia es nula.

Para medir la amplitud del ángulo diedro, hacemos uso del llamado ángulo rectilíneo correspondiente al diedro. Este es el ángulo formado por dos rectas, una en cada cara, perpendiculares a la arista en un mismo punto.

Dichas

rectas

perpendiculares

situadas en cada cara son líneas de máxima pendiente. Es fácil observar que todos los rectilíneos de un ángulo diedro son iguales.

El punto A’ recibe el nombre de proyección ortogonal de A sobre el plano P.

7.3 ÁNGULOS DIEDROS

C corten,

on anterioridad hemos estudiado la posición relativa entre dos planos; pues bien, en el caso de que se dividirán

espacio

cuatro

regiones, cada una de las cuales se llama ángulo diedro o simplemente diedro. Caras del diedro son los se4miplanos que lo determinan y aristas la recta común a

Ángulos rectilíneos de un diedro De todo lo anterior se entiende que la medida y clasificación de diedros se remite a lo visto en geometría plana.

Un caso

particular importante que ha de tenerse en cuenta es el de planos perpendiculares, cuyos ángulos rectilíneos son de 90° y por tanto, su ángulo diedro, recto.

las dos caras.

132

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO___________________________________

7.4 ÁNGULOS POLIEDROS

EXPERIENCIA:

POLIEDROS

POSIBLES E IMPOSIBLES i fijas tu atención en la habitación en

que

observar

encuentras

cómo con

dos

contiguas,

junto

encuentran

en un punto.

puedes

paredes techo,

Sobre una hoja de papel o cartulina y mediante regla y transportador de ángulos,

dibuja semirrectas concurrentes en el punto

El espacio

A con los ángulos que se indican en la figura.

alrededor de este punto y comprendido

Recortando por la línea de puntos y doblando

entre las paredes y el techo recibe el

el papel o cartulina por las líneas restantes,

nombre de triedro.

puedes

construir

ángulo

poliedro

alrededor del vértice A sólo con pegar la En términos generales, se llama ángulo

pestaña

poliedro a la región del espacio limitada

ángulo

por tres o más planos que se cortan dos a

número de diedros que lo componen?

dos

según

rectas

concurrentes

adecuadamente. poliedro

obtiene,

¿Qué

tipo

atendiendo

mismo vértice.

Repite la misma operación con los nuevos

datos

adjuntos.

¿Qué

puedes

observar? ¿Cuál crees que sea la diferencia sustancial entre este caso y el anterior? En Al

igual

diedros,

los

ángulos

general, podemos decir que en todo ángulo

caras

aristas.

poliedro, el ángulo formado por las dos

Identifícalas tú mismo en la figura adjunta.

aristas correspondientes a cualquier cara ha

poliedros

que

tienen

de ser menor que la suma de los ángulos de Según el número de diedros, el poliedro se llamará:

triedro,

tetraedro,

las restantes.

pentaedro,

hexaedro, etc., pudiendo ser cada uno de ellos de dos tipos, convexos o cóncavos, según que la sección producida al cortarlos por un plano sea un polígono convexo o cóncavo, respectivamente.

¿Cuál de las dos series de datos: 30°, 45°, 60°, y 30°, 45°, 90°, crees que los

133

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO___________________________________

define

ángulo

contar

con

triedro?

Además

generalización

ACTIVIDAD 7.2

anterior,

utiliza el método constructivo empleado en los apartados anteriores. d.

Continuando

con

método

aplicando el Teorema de Tales a cada una de

experimental, construye ángulos poliedros en los dos casos siguientes:

las caras, relaciona las aristas

De esta

experiencia, ¿qué condición crees que es necesaria

para

construir

Sobre el triedro de la figura 1, y

A' B' , así como con AC

VA'

con

A' C ' .

Concluye que los lados de las secciones S y

ángulo

S’,

poliedro convexo?

producidas

por

planos

paralelos

son

proporcionales. b.

Observa la figura del lado izquierdo y

justifica

semejantes,

que

dichas

aplicando

secciones II

criterio

son de

semejanza de triángulos. e.

Construye un ángulo poliedro con cuatro

caras

cuyos

ángulos

planos

formados por las aristas de cada cara sumen más de 360° (te verás obligado a utilizar más de una hoja de papel) y observa que sólo puede ser cóncavo.

EXPERIENCIA

RESUME EN DOS PROPIEDADES: 1.

En todo ángulo poliedro el ángulo correspondiente a una cara es menor que la suma de los ángulos de las restantes.

Los ángulos de las caras de un ángulo poliedro convexo suman menos de 360°. c. Esta

segunda

trascendental

propiedad

será

importancia

estudiemos los poliedros regulares.

cuando

Recordando de geometría plana que la

razón

entre

las

áreas

figuras

semejantes es el cuadrado de la razón de sus lados, concluye que

S = K2 S' 134

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO___________________________________

siendo S y S’ las áreas de las secciones y k la razón de semejanza de sus lados. d.

¿A qué altura es preciso cortar un poliedro pentagonal para que la sección producida

Trabajando sobre el plano VAH,

mida 30 cm2, sabiendo que otra sección paralela mide 14 cm2 y está a 40 cm del

puedes asimismo confirmar que también

vértice?

VA AH h = = VA' A' H ' h '

por lo que la razón de semejanza entre las áreas de las secciones paralelas es también el

cuadrado

razón

entre

sus

distancias al vértice:

S ⎛h⎞ = K2 = ⎜ ⎟ S' ⎝ h' ⎠

Hemos presentado la actividad anterior trabajando sobre un triedro, sin embargo, de forma general el resultado es el mismo si lo hacemos con poliedros. En genera, se cumple: En un poliedro, las secciones producidas por planos paralelos son semejantes y la razón de sus áreas es igual al cuadrado de la razón entre sus lados, y también de sus distancias al vértice.

Ejercicios: 1.

En un poliedro las secciones producidas por dos planos paralelos son hexágonos regulares

lados

respectivamente.

Averigua la razón entre

sus áreas. 2.

Dos planos paralelos cortan a un triedro a 6 cm y 9 cm del vértice, Si la mayor de las secciones mide 34 cm2.

Halla el área

de la sección más pequeña.

135

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

RECTAS Y PLANOS

Op Cit Pp. 122 – 139 cucurucho, lo que permite dar una primera Los cuerpos que observas en la naturaleza

clasificación en poliedros y no poliedros.

adoptan formas muy variadas; algunos de ellos se aproximan bastante a las formas

Poliedro es todo sólido limitado por caras en

geométricas que observas en el dibujo.

forma de polígonos.

Sin embargo, un dado, un cucurucho, una

éstas, los poliedros pueden ser tetraedros,

caja de cerillos, una pelota o una lata de

pentaedros, hexaedros, etc.

Según el número de

conservas, productos de nuestra cultura, son modelos bastante aproximados de los

En la figura, que representa un hexaedro

cuerpos geométricos.

regular,

puedes

básicos

que

observar

componen

los

elementos

todo

poliedro:

vértices, aristas, caras, diagonales, planos diagonales,

ángulos

diedros

ángulos

poliedros. Es preciso prestar atención al concepto de diagonal del poliedro y no confundirlo con el de diagonal de una cara del poliedro. ACTIVIDAD 8.1

7.5 LOS

POLIEDROS

FÓRMULA DE EULER

LA Para cada uno de los poliedros que aparecen en la tabla adjunta haz el recuento del

ntre los distintos cuerpos geométricos distinguimos a

número

vértices,

aristas

caras,

anótalo en la columna correspondiente.

simple vista los que tienen

sus caras limitadas por polígonos, como una caja de cerillos y los que no, como un

136

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

Poliedro

No de caras

No de vértices

No de aristas

Relación aritmética

C+V=A+2

El menor número de caras de un

Observa que en todos ellos se cumple la

poliedro es cuatro.

relación aritmética C + V – A = 2, o

también

concurren siempre el mismo número de

C +V = A + 2

aristas.

En cada vértice de un poliedro

El cilindro y el cono son poliedros.

En general: Todos los poliedros convexos

En los poliedros, el menor número

cumplen la relación aritmética:

de caras que concurren en un vértice es tres. f.

El número de aristas de un poliedro

N° de caras + N° de vértices = N° de

que

aristas + 2

mínimo, cinco.

Expresión

conocida con el nombre de

relación de Euler, matemático suizo del

concurren

vértice

es,

como

Un hexaedro con 10 artistas tiene 8

vértices.

siglo XVIII.

8.2. POLIEDROS REGULARES ACTIVIDAD 8.2 Justifica

verdad

falsedad

las

siguientes afirmaciones: a.

En todo poliedro, sus caras son

todas iguales.

E Al

ntre los muchos poliedros que nos podemos

imaginar,

los de

mayor

interés son los poliedros regulares.

igual

que

geometría

plana

estudiábamos los polígonos regulares, así

137

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

también

geometría

sólida

podemos

pensar

cuerpos

con

análogas

características en cuanto a la regularidad. Se

llaman

cuyas

poliedros

caras

son

regulares polígonos

aquellos regulares

iguales entre sí y de modo que en cada vértice concurren el mismo número de caras. No obstante, veamos una notable diferencia entre la geometría plana y la geometría sólida.

Así como existe una

infinidad de polígonos regulares, ¿cuántos poliedros regulares cabe esperar?. Para contestar a ello, analizaremos el cuadro adjunto,

teniendo

presentes

dos

consideraciones importantes: Posibles del poliedro

caras

No de caras por vértice ≥

Suma

ángulos 0

cada vértice < 360

Poliedro regular

3 Tetraedro 4 Octaedro 5 Icosaedro 6

Imposible

3 Cubo 4

Imposible

3 Dodecaedro

138

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

4 Imposible

Imposible

3. Todas las caras han de ser iguales, por ser regulares.

sólido que tiene la forma “más aguda y más móvil”, el aire y el agua correspondían al

4. Los ángulos de las caras que concurren en un

octaedro y al icosaedro.

El quinto y último

vértice suman menos de 360°, propiedad

sólido

dodecaedro,

vista en el tema anterior, pues en caso de

considerado por Platón como símbolo del

sumar 360° exactamente no encerrarían

universo.

regular,

fue

un volumen, sino que tendríamos una superficie plana.

SIN DUDA, NOS HALLAMOS ENTRE

Como puedes observar, sólo existen cinco

poliedros

PROPIA DE LA ÉPOCA.

regulares,

también

llamados

sólidos platónicos: El tetraedro, limitado por cuatro caras que son triángulos equiláteros. El cubo o hexaedro, limitado por seis caras que son cuadrados.

MISTICISMO

CIENCIA

n cuanto a la figura de Platón, no parece que haya contribuido mucho a las matemáticas por sí mismo, pero

no cabe duda de que su influencia a través

El octaedro, limitado por doce caras que son pentágonos regulares.

de la Academia, institución por él fundada en Atenas, les dio un gran prestigio. Es célebre

Y el icosaedro, limitado por veinte caras que son triángulos equiláteros.

la inscripción que figuraba a la entrada de la Academia “No entre aquí nadie que ignore la

Algún motivo, como puede comprenderse,

geometría”.

ha conducido a que estos cinco cuerpos geométricos

sean

llamados

sólidos

platónicos. Platón, filósofo griego del siglo IV

J.C.,

constituido

concebía por

los

mundo

cuatro

como

principios

básicos: tierra, fuego, aire y agua, Según Platón, la tierra correspondía al cubo, es decir a la forma “más sólida y menos móvil”, y el fuego al tetraedro, porque es el

Siglos más tarde, los poliedros regulares inspiraron a Johannes Kepler, astrónomo alemán del siglo XVII, en el estudio del movimiento de los seis planetas conocidos hasta entonces. Saturno,

Kepler concebía a Júpiter,

Marte,

Venus y Mercurio como moviéndose en unas

139

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

esferas separadas la una de la otra por el cubo, por el tetraedro, por el dodecaedro, por el octoedro y por el icosaedro.

Todo

había

leyes

ser

regulado

por

las

matemáticas, porque “no hay armonía si no hay matemáticas”. Los

cinco

sólidos

platónicos.

Una

ilustración de la obra de Kepler Misterium cosmographicum.

ACTIVIDAD 8.3 a.

Como

puedes

observar,

las

siguientes figuras muestran los poliedros regulares y sus respectivos desarrollos. Utiliza el pantógrafo para reproducir en cartulina

tamaño

ampliado

estos

desarrollos; después recorta, dobla y pega convenientemente

las

pestañas;

así

obtendrás tus cinco sólidos platónicos.

dispones

construcción

pantógrafo,

polígonos

utiliza vista

Contabiliza en dichos poliedros el

geometría plana para reproducir a escala

número de vértices, caras y artistas, y

dichos poliedros.

comprueba la fórmula de Euler. Experiencia: Un rompecabezas con poliedros Dibuja los desarrollos del tetraedro regular y del octaedro regular de igual arista.

Tras

procurarte cuatro fotocopias del desarrollo del tetraedro, móntalas para obtener las piezas de la figura adjunta.

140

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

verticalmente y con características comunes que sugieren la idea de prismas. En la figura adjunta se muestra un prisma de base pentagonal. Los

prismas

son

poliedros

cuyas

caras

Intenta ajustar los tetraedros a las caras

básicas, paralelas entre sí, son dos polígonos

del octaedro para conseguir un tetraedro

iguales,

mayor.

paralelogramos.

¿Qué relación guardan las aristas

siendo

sus

caras

laterales

del tetraedro así obtenido, con las del Si

octaedro?

las

aristas

laterales

del

prisma

son

perpendiculares a la base, se dice que el prisma es recto; en caso contrario, el prisma

EJERCICIOS:

es oblicuo. 1.

Averigua las superficies de un octaedro

regular de 16 cm de arista y de un cubo de

Los prismas rectos se llaman regulares si sus

igual arista.

bases son polígonos regulares.

Determina la relación entre

las superficies de estos cuerpos. (Conviene recordar qué área del triángulo equilátero =l 2.

prismas

¿Cuál es el área del triángulo que se

obtiene al unir los vértices de un cubo que son extremos de tres aristas concurrentes? 3.

Calcula en función de la arista las

áreas de los cinco sólidos platónicos, y comprueba

los

resultados

obtenidos

coinciden con lo que aparecen en la tabla de áreas de la página 154.

8.3

los

llaman:

cuadrangulares,

triangulares, pentagonales,

hexagonales..., etcétera. Experiencia: Visualizando prismas Para visualizar prismas, toma una lámina de cartón grueso o de madera y recorta dos polígonos iguales. Uniendo sus vértices con hilos elásticos y manteniendo las bases paralelas como muestra la figura tendrás

PRISMAS

Según sean los polígonos de la base, los

multitud de prismas según la tensión a que sometas el hilo elástico.

habrás

percatado

que en general edificios

construyen

141

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

8.3.1. ÁREAS LATERAL Y TOTAL DE UN PRISMA.

prisma

l área lateral de un prisma es la suma de la superficie de todas sus caras laterales. El desarrollo plano

de un prisma recto, tal como se muestra en el dibujo, nos permite obtener de forma sencilla el cálculo de dicha superficie, ya que tal desarrollo no es más que un rectángulo de base el perímetro de la base del prisma y de altura su arista latera. De aquí que,

El desarrollo de la superficie lateral de un

AL = P.h

donde P es el

perímetro de la bese y h la altura del prisma.

Recto es un rectángulo Es preciso destacar que estas expresiones no son válidas para prismas oblicuos, pues en éstos la altura no coincide con la arista lateral.

En tal caso, se debe estudiar el

prisma

oblicuo

que

nos

interese

particular.

EJEMPLO: Averiguar las áreas lateral y total del prisma oblicuo de la figura.

Basta añadir al área lateral, la superficie de las dos bases para obtener el área total del prisma es decir, AT = P.h + 2Ab donde Ab representa el área de la base.

142

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

planos diagonales son paralelogramos, son las siguientes: c)

Las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio.

En el ortoedro, todas sus diagonales son iguales. Para calcular la diagonal del ortoedro es preciso hacer uso del Teorema de Pitágoras. En el triángulo rectángulo MON, d2 = c2 + m2, pero m es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos a y b, y por tanto m2 = a2 +

b2 de donde d2 = a2 + b2 + c2, o

también:

a 2 + b2 + c2

resultado

conocido con el nombre de

TEOREMA

PITÁGORAS

ESPACIO. M

8.3.2. PARALELEPÍPEDOS

C nos prismas muy particulares son

los paralelepípedos, en los que todas

sus

caras

O M A

son

paralelogramos.

uesto que el cubo es un ortoedro con sus tres aristas iguales, a = b = c, su diagonal

será:

a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 = a 3

Cubo

Ortoedro

8.4 PIRÁMIDES Algunas propiedades de éstos basadas en las de los paralelogramos, puesto que los

Esta palabra nos recuerda Egipto y los monumentos que allí sirvieron de tumba a

143

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________ sus faraones. La más grande de éstas es la de Keops, que data del 2 600 a J. C. aproximadamente y es de base cuadrada y

de piedra, cada uno de los cuales pesa aproximadamente 20 toneladas.

Apotema

A lt u ra

Esta formada por 2,3 millones de bloques

A ltu ra

C a ra la te ra l

m de arista de la base y 146 m de altura.

C a ra la te ra l

con unas dimensiones impresionantes: 230

Las pirámides de Guiza: Micerino, Quefrén y Quéope

Base Base

En una pirámide regular, apotema es la altura

una

cualquiera

sus

caras

laterales. Es de notar que la apotema de la pirámide forma, junto con la apotema de la base y la altura de la pirámide, un triángulo La pirámide es un poliedro limitado por un ángulo poliedro y un plano que corta todas sus aristas en puntos distintos del vértice.

rectángulo. Tú

mismo

puedes

construir

diferentes

pirámides por el método experimental del hilo elástico, como se muestra en la figura.

La altura de la pirámide es la distancia del vértice al plano de la base. Criterios

análogos

los

utilizados

prismas permiten también clasificar las pirámides en: -

Pirámides rectas y oblicuas.

Pirámides regulares e irregulares.

8.4.1. ÁREAS LATERAL Y TOTAL DE

Pirámides

triangular,

LA PIRÁMIDE

hexagonal,

cuadrangular, etcétera.

base

pentagonal,

abe preguntarse ahora cuáles son el área lateral y total de la pirámide. Para

ello

hacemos

uso

desarrollo plano.

144

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

es A =

En el caso de pirámides rectas y de base regular, sus caras laterales son

1 (b + b' )a , 2

contando su número es

fácil deducir:

triángulos isósceles todos ellos iguales, y puesto que el área del triángulo es A =

1 (b)( a ) , 2

contando el número de estos es 3

fácil deducir:

Donde p y p’ representan los perímetros de las bases, y Ab y Ab’ sus áreas respectivas.

ACTIVIDAD 8.4 Donde P presenta el perímetro de la base, a la apotema de la pirámide y a’ la

apotema del polígono de la base.

Sobre una cartulina reproduce a mayor tamaño los desarrollos planos de la pirámide y del tronco de pirámide de la página

8.4.2

TRONCO

pirámide

tronco

ármalos

Calcula sus áreas laterales y totales.

¿Te atreves a calcular sus alturas? Recuerda

na figura geométrica derivada de

Recórtalos

adecuadamente.

PIRÁMIDE:

ÁREAS LATERAL Y TOTAL

anterior.

eficacia

del

Teorema

Pitágoras.

pirámide, que resulta ser el trozo

EJERCICIOS:

de aquella comprendido entre la base y un plano que la corta.

1. Una caja tiene forma de ortoedro de 8 cm

En lo sucesivo supondremos el plano de

de longitud, 6 cm de anchura y 5 cm de

corte paralelo a la base de la pirámide.

altura.

Para

troncos

pirámide

rectos

Averigua si en dicha caja puede

caber un lápiz de 13 cm de longitud.

trapecios

2. Un edificio tiene forma de prisma cuya

isósceles, y puesto que el área del trapecio

base es un rombo de diagonales de 32 m y

regulares,

sus

caras

son

145

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

24 m, y de altura igual al perímetro de la

9. Recuerda que al cortar una pirámide por

base.

dos

planos

paralelos,

las

secciones

Averigua el área de su planta.

producidas determinan figuras semejantes.

¿Cual es el área de sus cuatro

Dibuja una pirámide cuadrangular regular,

fachadas?

así como la sección obtenida al cortar ésta

3. Las bases de un prisma recto son

con un plano paralelo a la base. Entre dicha

triángulos rectángulos isósceles de área 8

base y la sección, y entre las alturas y aristas

cm2,

de las dos pirámides, ¿qué relaciones puedes

arista

lateral

mide

cm.

Encontrar el área lateral del prisma.

establecer?

4. Halla el área lateral y total de una

10.

En una pirámide hexagonal regular de 3

pirámide cuadrangular regular, sabiendo

dm de altura, el perímetro de su base mide

que la diagonal de la base mide 2,8 cm y la

60 cm. Al cortarlo por un plano paralelo a la

arista lateral 5 cm.

base a una distancia de 6 cm del vértice,

5. La base de una pirámide regular es un

¿cuál es el área de la sección obtenida?

hexágono de 6 cm de lado.

Calcula la

11.

Halla las áreas lateral y total de un tronco

altura de la pirámide sabiendo que su

de pirámide regular cuadrangular sabiendo

superficie lateral es doble que la de la

que su altura es de 20 cm, la base mayor

base.

está inscrita en una circunferencia de 4 cm

6. Determina el área de un prisma recto

de radio y el área de la base menor es la

hexagonal sabiendo que la circunferencia

mitad del área de la mayor.

circunscrita a la base encierra un área de

12.

El área total de un tronco de pirámide

12,56 cm2 y que la altura es 2/3 del

regular de bases cuadradas es 1.666 cm2.

perímetro base. (considera *=3,14)

Las áreas de las bases son 144 cm2 y 324

7. Con

una

cuerda

desea

atar

paquete que tiene forma de ortoedro de

cm2 respectivamente. Halla la apotema del tronco.

dimensiones 40 cm de anchura, 60 cm de largo y 20 cm de altura. a. ¿De

cuántas

maneras

diferentes

puede atar? b. Si para hacer el nudo se necesita 10 cm, ¿en cuál de ellas se precisa menos cuerda? ¿Cuál es la mínima longitud de cuerda necesaria para tal fin? 8. Halla las aristas lateral y básica de una pirámide cuadrangular regular sabiendo que la suma de todas sus aristas es 68 cm, y que la altura de la pirámide mide 7 cm.

146

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

8.5 VOLUMEN DE POLIEDROS

el lado de un cubo cuyo volumen sea doble que el volumen de otro cubo dado.

emos estudiado las áreas laterales sin

Este fue llamado el problema de Delos. La

embargo, este aspecto, con ser

historia cuenta que los atenienses apelaron

totales

poliedros;

para

al oráculo de Delos para saber cómo detener

cuerpos

la peste que asolaba la ciudad en el 430

Así, por ejemplo,

a.J.C. Se dice que el oráculo respondió que

el espacio encerrado en ocho cubos en el

debían doblar el tamaño del altar de Apolo.

mismo

Siendo este altar un cubo, el problema era el

importante,

resulta

insuficiente

concebir

espacio

que

geométricos encierran. sea

cual

fuere

los

modo

colocarlos; sin embargo, el área total no es

de su duplicación.

la misma, como puedes comprobar. También

aparece

una

carta

Eratóstenes al rey Ptolomeo, cuando dice: “Cuéntase que uno de los antiguos poetas trágicos hacía aparecer en escena a Minos en el momento en que se construía la tumba de Glauco, y, al observar que sólo medía cien pies por cada lado, dijo: “Es un espacio muy pequeño para sepulcro de un rey; duplicadlo El

volumen

cuerpo

expresa

medida de su extensión en el espacio.

conservando su forma cúbica, duplicando cada lado” y sigue Eratóstenes es evidente que se equivocaba porque duplicando los

Se utiliza como unidad de volumen el (m3),

mientras que una sólida se octuplica; y

volumen encerrado por un cubo de un

entonces, se propuso a los geómetras la

metro de arista.

En ocasiones es más

cuestión de duplicar una figura sólida dada

aconsejable el uso de los múltiplos y

conservando su forma, y ese problema se

submúltiplos de esta unidad.

llamó duplicación del cubo.

cúbico

8.5.1.

que

VOLUMEN

representa

lados de una figura plana, se cuadruplica,

metro

LOS

PARALELEPÍPEDOS

omo ya se comentó, uno de los problemas clásicos que preocupó a

Argumento de Eratóstenes sobre duplicación

los

de medidas.

griegos

fue

duplicación del cubo, es decir, encontrar

147

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

Una vez más conviene señalar que éste es

Si el paralelepípedo es oblicuo, el volumen

uno de los tres problemas clásicos que no

equivale al del ortoedro con iguales base y

pueden

resolverse

altura. La figura ilustra este hecho.

compás,

por

griegos

mediante

que

los

tuvieron

que

investigar

métodos de resolución. Quios,

regla

con

proporcionales; mediante Menecmo,

matemáticos otros

Hipócrates de

estudio

Arquitas

superficies

concibiendo

medias Tarento

revolución, problema

Para poliedros en general, el cálculo no es tan sencillo.

Sin embargo, gracias a los

través de las cónicas y Diocles, mediante

estudios efectuados en este terreno por

Cavalieri, discípulo de Galileo y profesor de

diseño

resuelven

permiten

dar

geometría

una

curva,

problema un en

gran

la la

cisoide, vez

avance

general,

a a

que

matemáticas de la Universidad de Bolonia

durante la primera mitad del siglo XVII, la

las

cuestión resulta muy simple:

matemáticas. Cavalieri advirtió que tres pilas de igual Considerando un ortoedro con aristas de

número de cartulinas iguales tienen el mismo

longitud 6, 4 y 3 cm es fácil observar que

volumen.

el número de cubos que encierra es: 6.4.3; por tanto: V = 6.4.3 = 72 cm3 En general, si las aristas son a, b y c, el volumen del ortoedro es: V = a.b.c. O también V = Ab.h, siendo Ab el área de

Las tres pilas contienen el mismo número de

la base y h la altura.

cartulinas

iguales,

luego

tienen el mismo volumen.

VOLUMEN DEL CUBO:

Sien

embargo,

uesto que el cubo es un ortoedro

necesario que las cartulinas tengan la misma

con las tres aristas iguales, /, su

forma, basta con que las secciones tengan

volumen resulta ser:

igual área.

V=I

148

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

De aquí que Vprisma = Abh, siendo Ab el área de la base y “h” la altura

Las tres pilas contienen el mismo número de cartulinas de igual área aunque tengan distinta forma.

Luego, las tres tienen el

mismo volumen.

Sobre cada una de las seis caras de un cubo, podemos

construir

una

vértice en el centro.

PRINCIPIO DE CAVALIERI

volumen

i en dos cuerpos de igual altura las

1 3 1 2 l = l l, 6 6

áreas de las secciones producidas por planos paralelos a la base son

iguales,

los

cuerpos

tienen

mismo

que:

V =

pirámide

con

Ello supone que el pirámide

será:

y siendo l = 2h, tenemos

1 1 Ab 2h = Ab h 3 6

volumen. En

cierto

sentido,

las

consideraciones

anteriores y otras más del mismo estilo efectuadas

por

Cavalieri

obra

Geometría de los indivisibles, permiten calificarle

como

precursor

del

Cálculo

Infinitesimal que años después Newton

Lo anterior está referido a una pirámide

y Leibniz presentarían en profundidad.

cuadrangular; no obstante para pirámides de cualquier otro tipo la regla sigue siendo

8.5.2.

VOLUMEN DEL PRISMA

Y DE LA PIRÁMIDE El

principio

válida al tener presente el Principio de Cavalieri. Así pues, de un modo general:

Cavalieri

simplifica

cálculo del volumen de un prisma. Basta

Apirámide =

1 Ab h 3

ACTIVIDAD 8.5

comparar éste con el ortoedro de igual altura

secciones

equivalentes;

particular con bases de igual área.

En una pirámide, la sección producida por un plano paralelo a la base determina con el

149

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________

vértice una nueva pirámide semejante a la

prisma es triple que el de la pirámide,

anterior.

Busca

sus

llenando la pirámide de arena tres veces

volúmenes

teniendo

razón

sucesivas y vertiendo su contenido en el

razón

entre

presente

entre las áreas de sus bases vista en la

prisma.

actividad 7.2, así como la razón entre las

EJERCICIOS:

alturas; es decir:

V pirámide, grande V pirámide, pequeña

1 Ab h 3 = , 1 A' b h' 3

es un triángulo rectángulo isósceles de 20 cm de hipotenusa. La arista del prisma mide 0,5

y deduce que:

V pirámide, grande V pirámide, pequeña

Un prisma tiene una sección recta que

m. ¿Cuál es el volumen de este prisma?

= k3 ,

¿Cuál es su área total?.

siendo

k la razón entre las alturas de dichas pirámides

Por obstrucción de los desagües de un

edificio en un día de lluvia se acumula el agua en los sótanos. Sabemos que el edificio tiene como sección un trapecio rectangular

Para

hallar

volumen del tronco de

pirámide

basta

considerarlo diferencia

como de

dos

pirámides. Vtronco = Vpirámide

grande

de bases 40m y 32 m, y de altura 20m. ¿Cuál es el volumen de agua acumulada en el sótano si su nivel alcanza los 15 cm? 3.

¿Qué

volumen

tiene

cubo

superficie total 1 m2? 4.

El volumen de una pirámide hexagonal

regular es de 60

3 m3 ,

y la arista base es

de 4 m. Encontrar la altura y el área lateral y

– Vpirámide pequeña

total. 5.

El agua de lluvia es recogida en un

pluviómetro que tiene forma de pirámide

EXPERIENCIA: COMPARANDO LOS

cuadrangular regular.

VOLÚMENES

un día de lluvia alcanzó una altura de 9 cm,

DEL

PRISMA

El agua recogida en

formando una pequeña pirámide de 15 cm

PIRÁMIDE

de arista. ¿Cuál es la altura alcanzada por el

agua al verterla en un depósito cúbico de 50 onstruye un prisma y una pirámide de

igual

base

igual

altura.

Móntalos prescindiendo de la cara

básica y comprueba que el volumen del

cm de arista? 6.

Teniendo

presente

los

datos

que

aparecen en la página 130 sobre la pirámide de Keops, calcula:

150

RECTAS Y PLANOS_________________________________________________ a.

El volumen que encierra.

arista lateral es de 26 cm.

Su peso, así como la densidad de

volumen, así como su área total.

Calcula su

la piedra empleada en tal construcción.

10.

tiene de arista básica 8 cm y de arista lateral

¿Crees que existe algún edificio

Una

pirámide

cuadrangular

regular

más pesado que la pirámide de Keops?

9 cm.

Puedes consultar la guía Guinnes.

tronco producido por un plano paralelo a la

base a 2,1 dm de distancia de ella.

A partir de una cartulina rectangular

Se desea calcular el volumen del

de 0,4 m. De anchura y 0,6 m de longitud, queremos

construir

caja

sin

tapa

11.

pequeños cuadrados

igual

habitación se encuentra una araña y en el

superficie en cada una de las esquinas tal

suelo, en el ángulo opuesto K duerme una

como

mosca.

cortando

puedes

adjunto.

una

observar

dibujo

¿Qué longitud ha de tener el

corte x para que el área total de la caja sea

En el ángulo C del techo de una

¿Cuál es el trayecto que debe

recorrer la araña para llegar hasta la mosca por la distancia más corta?

de 0,2 m ? ¿Cuál es la capacidad de la caja?

12.

La figura muestra el croquis de un

monolito construido en piedra, así como las dimensiones de éste expresadas en dm. Averigua: a.

volumen

piedra

que

encierra este monolito; b.

peso,

sabiendo

que

densidad de la piedra empleada es de 2,7 kg dm3

9. bases

Las de

aristas un

las

tronco

pirámide hexagonal regular miden 18 cm y 8 cm, y su

151

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

FIGURAS DE REVOLUCIÓN

El cono como rotación de un

Op Cit Pp. 140 – 161 triángulo rectángulo alrededor de un cateto. 9.1

QUÉ ENTENDEMOS POR FIGURA DE

alrededor de su diámetro.

REVOLUCIÓN

La esfera como rotación de un semicírculo

n el tema anterior hemos estudiado

Alfarero trabajando al torno una figura de

los poliedros, sin embargo, existen

revolución.

figuras

geométricas

que

pertenecen a tal familia. Efectivamente, si

Los

pensamos en un bote, un embudo, una

respectivas superficies del cilindro y el cono

pelota o un huevo, éstos representan

reciben el nombre de generatriz, siendo en

figuras no poliédricas ya que carecen de

el caso del cilindro, equivalente a su altura.

caras

poligonales.

Tales

segmentos

que

generan

las

figuras

pertenecen a una nueva familia: la de los

Las tres figuras anteriores muestran los tres

cuerpos de revolución.

sólidos de revolución más conocidos, el cilindro, el cono y la esfera; sin embargo

Son figuras de revolución las que se

no son las únicas, pues sabemos cómo los

obtienen al hacer girar una figura plana

alfareros utilizan el torno para obtener bellas

alrededor de un eje.

piezas que no son otra cosa que figuras de revolución.

EXPERIENCIA:

GENERANDO

FIGURAS DE REVOLUCIÓN

El cilindro como rotación de un rectángulo alrededor de un lado.

ecorta piezas de cartón con formas de rectángulo, triángulo isósceles y círculo,

pasando

después

152

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________ perforarlas oportunamente como muestran

9.2 El cilindro. Obtención de su área

las figuras.

y volumen

n la vida diaria nos son familiares cuerpos como un vaso, un bote, un rodillo o una tubería; tales cuerpos

dan la idea de cilindro. Hemos visto cómo un rectángulo genera el cilindro de revolución, también llamado Utiliza hilo elástico a fin de crear un eje de giro en cada una de ellas y observarás que al tomar los extremos y girar éstos con gran rapidez, producirás con dichas piezas el efecto óptico propio de las figuras de revolución. Identifica cada una de ellas.

cilindro recto,

por

tener

generatriz

perpendicular a la base; no obstante, al igual que en prismas, también existen cilindros oblicuos como el de la figura.

Este se

obtiene al cortar un cilindro de revolución por dos planos paralelos no perpendiculares s sus generatrices.

ACTIVIDAD 9.1 a.

Para las diferentes piezas que observas a continuación dibuja los cuerpos de

revolución

que

obtienen

someterlas a un giro alrededor del eje

El cilindro, además de ser un cuerpo de

indicado.

revolución

puede

considerarse,

por

exhaución, como un prisma regular con una infinidad

caras

laterales.

Ello

nos

permitirá considerar los conceptos de altura, base, áreas lateral y total, así como el

volumen, de forma análoga a la que se vio b.

Dibuja en tu libreta originales figuras

experiencia

revolución anterior

aplicando diversas

para prismas.

piezas

planas de tu propio diseño. ¡Hay una infinidad de ellas!

153

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

Para conocer sus áreas lateral y total basta

Por lo tanto, el volumen del cilindro es: V

concebir el cilindro recto como cortado a lo

largo de la generatriz y desplegado en el

EXPERIENCIA:

plano.

GALILEO

Su desarrollo lo componen un

rectángulo de altura h y base 2 r, y dos círculos de radio r.

r2.h

PROBLEMA

RELACIÓN

CON

DE EL

CILINDRO.

Ello nos permite

concluir que las áreas lateral y total del

Galileo Galieli (1564-1642) es conocido por

cilindro son:

sus estudios sobre la caída de los cuerpos por la acción de la gravedad, los cuales le llevaron a asegurar, contra la teoría de Aristóteles, que todos los cuerpos, tanto si son ligeros como si son pesados, caen a la misma velocidad. sus

Asimismo sobresale por

descubrimientos

reforzando

teoría

astronomía,

heliocéntrica

Copérnico y que supuso un cambio total en la concepción del universo. Un problema atribuido a Galileo habla del estudio de la capacidad encerrada por una

Los envases “tetrapack” se construyen a

tela de saco cosida a una base circular de

partir del cilindro, conservando el área

madera.

lateral de éste.

Por nuestra parte, reproduciremos

el problema haciendo uso del papel.

Toma una hoja de papel, colócala de

Considerando el cilindro como un prisma

forma horizontal y enróllala hasta unir los

muy particular, su volumen, al igual que en

bordes laterales para obtener un cilindro sin

aquellos, será: V = Ab.h, siendo Ab el área

tapas. Haz lo mismo con otra hoja de papel

de la base y h su altura.

dispuesta de forma vertical y observa que

154

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

ambas tienen la misma área lateral. ¿Se puede

asegurar

volúmenes?

mismo

Compruébalo

sus

rellenando

Introduce

una

piedra

recipiente

cilíndrico que contenga agua y procede como sigue:

ambos cilindros con granos de arroz u otro

producto análogo.

experimenta el líquido.

Mide la diferencia de nivel que

b. el

Teniendo presente el apartado a. Y diámetro

recipiente

cilíndrico,

averigua el volumen de la piedra. c.

Puesto

que

densidad

cuerpo viene dada por la expresión:

Repite anteriores

las

después

dos de

δ =

experiencias

cortar

hoja

masa volmen

Pesa la piedra, y determina su densidad.

verticalmente por la mitad y engrapar longitudinalmente

ambas

mitades.

Comprueba, al igual que antes, si

volumen depende o no del área lateral.

9.3 EL CONO.

OBTENCIÓN DE SU

ÁREA Y VOLUMEN

l comienzo del tema vimos cómo el triángulo isósceles; en su rotación alrededor de su altura, genera el

cuerpo geométrico llamado cono recto o de revolución. La idea de cono nos viene sugerida por

EXPERIENCIA: VOLÚMENES

MIDIENDO DENSIDADES

cuerpos como un embudo o un cucurucho. Conviene señalar, al igual que hicimos en

CUERPOS CON FORMA IRREGULAR

prismas, pirámides y cilindros, que también

existen

conos

oblicuos,

los

cuales

ara medir el volumen de un cuerpo

obtienen de cortar un cono recto por un lado

con forma irregular, se acostumbra

no perpendicular a su eje de rotación.

sumergirlo en un depósito cilíndrico

que contenga líquido, y observar cuánto asciende el nivel del mismo.

155

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

Recordando de pirámides que AL =

1 pa 2

donde, p es el perímetro de la base y a la apotema, y puesto que en el caso límite del cono resultan ser: p=2 Cono

recto

Cono

oblicuo

altura h y base circular de radio r El cono puede considerarse por exhaución como una pirámide regular con infinitas caras laterales, lo que permite concebir los conceptos de vértice, altura, base, áreas lateral y total y volumen, de forma análoga a la que se vio en pirámides.

rya=g

podemos concluir que el área lateral y el área total del cono valen:

AL =

1 2πrg = πr. g 2

AT = AL + πr 2 = πr 2 ( g + r ) Asimismo, partiendo de la expresión del volumen de la pirámide regular:

V =

1 Ab .h 3

Siendo Ab el área de la base y h la altura, y considerando el cono recto como caso límite de aquélla, podemos determinar el volumen del cono: Haciendo un corte al cono recto a lo largo de una generatriz y desplegando sobre el plano, observamos cómo su desarrollo lo componen un sector circular de radio la generatriz del cono y longitud de arco igual a la circunferencia de la base 2 r, junto con un círculo básico de radio r.

1 V = πr 2 h 3 En la industria encontramos con frecuencia piezas con forma cónica, si bien puede suceder

que

éstas

sean

cono

propiamente dicho, sino una parte de él; es el caso de algún tipo de vaso, tapones de corcho, etcétera. Si nos imaginamos un cono cortado por un determinado plano, obtenemos otra figura geométrica denominada tronco de cono.

156

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

Piezas

del

vehículo

Apolo

correspondiente al

Saturno

pueden

observar distintas figuras geométricas de revolución Diferentes troncos de cono, el primero de ellos de bases paralelas Sólo consideraremos el caso de bases paralelas. En éste, su área lateral resulta ser la diferencia entre el área del cono inicial y el área del cono menor producido al efectuar el corte.

Lo mismo sucede si

hablamos del volumen. En cuanto al área total, es preciso notar que el tronco de cono posee dos bases

FIGURAS DE REVOLUCION_____________________ ACTIVIDAD 9.2

circulares distintas que han de tenerse en Te sugerimos el

cuenta.

diseño de un bonito disfraz

para

los

próximos carnavales. ello

Para

construirás

cilindro y un cono sin bases. Teniendo presente tus propias medidas, te habrás de

proveer

cartulina correspondiente

las

áreas

laterales

ambas

figuras,

157

las

cuales

dependerán propia

Pitágoras. Averigua dicha relación en el caso

que nos ocupa: el tronco de cono.

estatura.

Averigua el volumen que ocuparán ambas piezas por separado, a la hora de guardar dicho

disfraz

EJERCICIOS:

para

otras ocasiones. .Dibuja un tronco de cono recto y descubre qué

Un túnel de sección semicircular de 40 m

polígono lo forma al girar alrededor del eje.

de diámetro tiene 1,5 km de longitud.

Observa el desarrollo del tronco de cono y

¿Cuántos metros cúbicos de tierra y roca se

advierte que éste resulta por exhaución del

han extraído para su construcción?

tronco de pirámide regular.

Calcula el volumen engendrado por un

triángulo equilátero de 2 dm de altura al girar alrededor de ésta. 3.

La generatriz de un cilindro de revolución

mide 10 cm. Si su rotación alrededor del eje determina una base de área 28,26 cm2, ¿cuál es la superficie lateral de este cilindro? ¿Cuál

DE REVOLUCION__________________ esFIGURAS su volumen? Recordando las expresiones para el tronco

de pirámide de áreas lateral y total, deduce

almacenado en un depósito que tiene forma

que para el tronco de cono éstas son:

de cilindro acabado en su parte inferior en un

AL = πg ( R + r )

[

AT = π g ( R + r ) + R 2 + r 2

]

Una

granja

abastece

cono, ambos de 1,5 m de radio, y cuyas a.

volumen es:

Calcula

capacidad

depósito, considerando b.

en vaciarse el depósito?

b.2

= 3,14.

800,7 dm de forraje, ¿cuántos días tardará

A menudo, los datos conocidos en no

son

que

Determina la capacidad de un vaso

cilíndrico de superficie total 251,2 cm2 y de

aparecen en las expresiones anteriores; sin

generatriz igual al diámetro de la base.

embargo,

podrás

comprobar

que

relacionables

recurrir R,

mediante

h el

dicho

Si la granja consume diariamente

1 V = πh ( R 2 + r 2 + R + r ) 3 concretas

forraje

alturas miden 3 m y 1,2 m respectivamente.

Asimismo, y por exhaución, deduce que su

situaciones

ellas y

Teorema

al son

¿Qué ángulo tiene el sector circular que

se ha de cortar para construir en cartulina un

158

cono de 4 cm de radio de la base y 9 cm

al girar alrededor de un eje que pasa por uno

de altura?

de sus vértices y es perpendicular a la

Un depósito cilíndrico tiene 2 m

diagonal que parte de dicho vértice.

capacidad y 12,56 m2 de superficie lateral.

12. ¿Cuál es el área lateral de la sección

Determina el radio de la base y la altura de

producida

dicho depósito.

equilátero de 5 cm de altura, por un plano

paralelo a la base a 2 cm de ésta?

Un cono de revolución tiene 13 cm de

cono

revolución

generatriz y 5 cm de radio de la base. Si

13. En la pared interior de un vaso cilíndrico

lo cortamos con un plano paralelo a la base

de cristal hay una gota de miel situada a 3

que pasa por un punto de la generatriz

cm del borde superior del recipiente.

distante del vértice 5,2 cm, determina el

pared exterior, en el punto diametralmente

volumen del tronco de cono resultante.

opuesto, se ha parado una mosca.

Ten presente el resultado de la actividad

cuál es el camino más corto que puede

8.5, así como que el cono es una pirámide

seguir la mosca para llegar hasta la gota de

muy particular.

miel.

diámetro de 10 cm.

Los radios de las bases de un tronco

En la Indica

La altura del vaso es de 20 cm y el No pienses que la

de cono de revolución son 80 cm y 40 cm,

mosca va a encontrar ella misma el camino

y la altura 30 cm. Calcula la generatriz y la

más corto y facilitar así la solución del

altura del cono del cual procede dicho

problema; para ello es necesario poseer

tronco, así como su volumen.

ciertos

10. Un

demasiado complicados para el cerebro de

cobre

tubo

tiene

sección

que

una circular

una

conocimientos

geometría,

una mosca.

corona definida

por

las

circunferencias inscritas

circunscritas a un triángulo equilátero de 2 cm de lado. Determina el peso de 10 m de tubo, sabiendo que la densidad del cobre es 8,9 11. Calcula

volumen

g cm3

figura

engendrada por un cuadrado de lado 2 cm

159

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

9.4

LA ESFERA

EXPERIENCIA:

MIDIENDO

VOLUMEN DE UNA ESFERA uerpos

como

una

pelota,

una

canica o un globo aerostático nos recuerdan el cuerpo de revolución

obtenido por rotación de un semicírculo alrededor del diámetro: la esfera.

n un recipiente cilíndrico transparente que contenga agua, coloca un cuerpo esférico de tamaño proporcionado al

recipiente. Apreciarás una diferencia de nivel del agua debido al cuerpo introducido; dicha

Algunos

recipientes

uso

industrial

diferencia de nivel, junto con el radio del

también adoptan la forma esférica, tal

recipiente, permitirá calcular el volumen de

como muestra la fotografía.

agua desplazada. volumen

Comprueba que dicho

obtenido

experimentalmente

coincide con el volumen del cuerpo esférico obtenido al aplicar la expresión V =

4 3

. .R3

que Arquímedes había llegado a observar.

La propiedad que define la esfera es la de que

todos

sus

puntos

están

igual

distancia de un punto fijo llamado centro; dicha distancia se llama radio de la esfera. Se hace conveniente averiguar el volumen encerrado por un cuerpo esférico, como es el caso de los depósitos de gas de la

9.4.1

UNA

fotografía anterior.

RIGUROSA

DEMOSTRACIÓN LA

FÓRMULA

DEL

VOLUMEN DE LA ESFERA El

propio

experimental,

Arquímedes,

forma

llegó a observar que el

volumen de la esfera equivale a V = 4 3

.R3, con lo que dio pie a que en su

maginemos una semiesfera de radio R así como un cilindro de altura y radio de la base también R, colocados tal como

muestra la figura.

tumba se grabara la esfera inscrita en un cilindro

con

las

expresiones

sus

volúmenes.

160

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

En efecto, si llamamos a a la distancia de 0 a las secciones que vamos a comparar, tenemos que: A

círculo sección

Puesto

que

EF 2 = por

El volumen de la semiesfera se obtiene

segmentos se tiene:

restando al volumen del cilindro el de la

OE OH R = = =1 EF HC R

parte

sombreada

complemento

que

cilindro

–V

llamaremos

semiesfera

cilindro. V

semiesfera

OE 2 = Pa2

proporcionalidad

OE = EF

Y por tanto;

Por otra parte, complemento

Pero aplicado el Principio de Cavalieri, visto

en el tema anterior demostraremos, que el

volumen de este complemento es igual al

ON − OE ) = π .R 2 − π ( R 2 − a 2 ) = π .a 2

del cono de vértice en 0 y base la del cilindro: es decir: V

complemento

cilindro

= V

–V

cono,

por lo que: V

semiesfera

cono

corona

sección

puesto que

ON = R

Resumiendo, ambas secciones son de igual área, y por el Principio de Cavalieri:

Recordemos el Principio de Cavalieri: “Si en dos cuerpos de igual altura, las áreas de las

secciones

producidas

por

Por lo que concluimos que:

planos

paralelos a la base son iguales, ambos tienen el mismo volumen”

Y de aquí que el volumen de la esfera sea:

En nuestro caso, se reduce a comprobar que la corona circular del complemento y el círculo del cono son equivalentes en área a cualquier altura.

9.4.2. ÁREA DE LA ESFERA

n balón de fútbol ayuda a intuir un método para calcular la superficie de la esfera.

En el caso del balón,

basta sumar las áreas de las caras con los polígonos que lo componen para conocer su superficie; por otra parte, cuando mayor sea el número de caras del balón, más se

161

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

ajustará su superficie a la superficie de la

Es curioso observar que el área de la esfera

esfera.

equivale a cuatro veces el área de uno de

sus círculos máximos.

icosaedro

truncado, modelo

del

actual balón de fútbol.

Consta

pentágonos

hexágonos

ocupa

87.74 % de la

El rombicosidodecaedro, nuevo diseño del balón que ocupa el 94.32 % de

esfera.

Está

por

formado pentágonos, cuadrados

30 y

triángulos

9.4.3. FIGURAS ESFÉRICAS on numerosos los cuerpos con forma

de esfera; sin embargo, otros resultan ser solamente una parte de ésta. Por su interés presentamos algunas de ellas, clasificándolas en

dos

tipos

según

sean

parte

superficie esférica o bien parte del volumen

esfera

esférico.

No es difícil imaginar la esfera como caso

Partes de una superficie esférica:

límite de un balón compuesto por finísimas pirámides con vértice en el centro de la esfera, y bases en las caras de la superficie del balón.

El volumen de todas las

pirámides tiende a coincidir con el volumen

Huso

Casquete

Zona

de la esfera, y la altura de cada pirámide

esférico

esférica

con el radio de la esfera, por lo que: V

esfera

= Suma de los volúmenes de todas

Partes de un volumen esférico:

las pirámides = 1/3 (S.R), donde S es la superficie total de las bases y también la de la esfera. Como el volumen de las pirámides es igual al volumen de la esfera, tenemos:

1 4 S.R = 3 3

Cuña esférica

Segmento esférico una base

Segmento de

esférico

dos bases

Por lo que: S=4

162

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

Sector

esférico

una base Como

puedes

Sector

esférico

dos bases observar,

hay

cierta

correspondencia entre las superficies de una parte de la esfera y los volúmenes que éstas encierran.

Así, por ejemplo, la

superficie de esfera correspondiente a una cuña es el huso esférico, y la de un

EJERCICIOS:

segmento esférico, el casquete o la zona esférica, según que el segmento sea de una o dos bases respectivamente.

Tres depósitos de agua tienen la forma y las dimensiones que se indican en las figuras

Tablas de áreas y volúmenes de cuerpos

adjuntas.

geométricos en el espacio Áreas totales de cuerpos en el espacio

¿Cuál es la capacidad de cada

uno de ellos? b.

Determina

lámina

necesaria

para

superficie construir

de estos

depósitos. 2.

Averigua el volumen de una esfera que tiene de superficie 1.256 cm2

Volúmenes de cuerpos en el espacio

El dibujo adjunto muestra las conocidas figuras,

cilindro,

cono

semiesfera,

correspondientes a unas dimensiones muy particulares. respectivos

Calcula en función de R sus volúmenes,

después

anotarlos en la tabla compáralos.

163

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

Volumen

De entre los cuerpos con forma esférica cabe

Cono

mencionar los nueve planetas, y entre ellos

Semiesfera

Tierra,

geógrafos Determina la superficie de las esferas inscrita y circunscrita en un cubo de 1 m de lado. ¿Cuáles son sus volúmenes? 5.

Calcula el peso de una esfera hueca de acero

grosor

cuya

circunferencia exterior máxima mide 37,68 cm, sabiendo que la densidad del acero es 7,8 g/cm3. 6.

Con 20 kg de plomo, ¿cuántas bolas esféricas macizas de 1 cm de diámetro se pueden hacer, si la densidad del plomo es 11,3 g/cm3?

Calcula el volumen de un casquete esférico cuya base dista 2 cm de su polo y 4 cm del centro de la esfera.

En una sandía con forma esférica se producen cortes, uno por el ecuador y otro paralelo a él, de radios 15 cm y 10 cm respectivamente.

Averigua el volumen de

cada una de las tres piezas obtenidas en el corte. 9.

Un huso esférico correspondiente a una esfera de radio 7,5 dm tiene una superficie de 1 m2. Determina la amplitud del mismo, así como el volumen de la cuña esférica que encierra.

9.5 LA SUPERFICIE TERRESTRE Y LA ESFERA

superficie

resulta

estar

ligeramente achatada por los polos.

Cilindro

cuya hablan

husos

Los

horarios,

casquetes polares y zonas climáticas, términos que se corresponden con las figuras esféricas además

anteriormente polos,

presentadas

meridianos,

Ecuador

paralelos específicos de la Geografía. Los

meridianos,

los

paralelos

Ecuador, líneas destinadas a fijar la posición de los puntos de la superficie terrestre, forman la llamada res geográfica.

Los

meridianos son semicírculos máximos de extremos los polos; el Ecuador es un círculo máximo perpendicular al eje de giro de la Tierra y los paralelos, círculos completos obtenidos

por

intersección

del

globo

terráqueo con planos paralelos al ecuador. Dos meridianos limitan un huso esférico, mientras que dos paralelos determinan una zona esférica. Estamos acostumbrados a ver representada la esfera terrestre mediante mapas de muy diversos tipos, sin embargo, conviene indicar que ninguna de tales representaciones es exacta, puesto que la esfera pertenece a un grupo de figuras geométricas llamadas no desarrollables

poderse

desplegar

sobre un plano. Esta es la razón por la que al calcular su área debimos prescindir del desarrollo

plano,

diferencia

cómo

164

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

hicimos con el cono y el cilindro, figuras

determinar la distancia entre ambos lugares

éstas que sí son desarrollables.

y multiplicarla por 50 para conocer la medida de la circunferencia.

Aunque los antiguos griegos, entre ellos Pitágoras (540 a.C.) y los seguidores de

Eratóstenes tomó como distancia entre

Aristóteles (384-322 a.c.) creían que la

Aleandría y Siena 5.000 estadios, pero esta

tierra era esférica y habían especulado

cifra no fue, probablemente, más que un

acerca

cálculo aproximado.

circunferencia,

fue

Obtuvo así el valor de

Eratóstenes, bibliotecario de Alejandría,

250,000 estadios para la circunferencia de la

quien realizó una medida directa de la

tierra.

misma, basándose en un correcto principio

1/10 de milla, y puesto que una milla

de astronomía.

equivale a 1,609 km, la longitud de la

Observó que en Siena

Si se hace el estadio equivalente a

(Egipto), situada en el Alto Nilo, en las

circunferencia

cercanías del trópico de Cáncer, a 23° 23’

40,225 km, cantidad que es del mismo orden

N y en el solsticio de verano (21 de junio),

general de magnitud que el verdadero valor

los rayos de sol a mediodía iluminaban

de unos 40,000 km.

directamente el fondo de un profundo pozo

Coordenadas terrestres. Cada punto de la

vertical.

En otras palabras, el sol estaba

tierra queda fijado por sus distancias al

entonces en su cenit (la vertical) y sus

Meridiano de Grenwich y al Ecuador, es decir,

rayos eran perpendiculares a la superficie

por su longitud y su latitud. Atenas se

encuentrta a 38º de longitud norte y 23º 44’

tierra

embargo,

aquella

Alejandría,

latitud. en

Sin misma

viene

resultar

unos

de latitud este

fecha, los rayos del sol tenían al mediodía una inclinación de 1/150 de circunferencia, es decir, 7° 12’ con respecto a la vertical. Teniendo en cuenta el paralelismo entre los rayos del sol y las líneas radiales que parten del centro de la tierra, el arco de la superficie terrestre entre Alejandría

Siena

también igual a 7° 12’ ó 1/150

circunferencia Por

tanto,

la terrestre.

basta

con

165

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

triángulo ABO es rectángulo en B por ser ABO semiinscrito en una circunferencia.)

Considera la Tierra dividida en 24 husos

esféricos, cada uno de los cuales recibe el nombre de huso horarios. a.

Justifica que la amplitud de cada

huso horario es de 15°.

EJERCICIOS:

b. 1.

El metro, como unidad de longitud del

Calcula la superficie de uno de

ellos.

S.M.D., fue definido por primera vez en

1791 por la Asamblea Nacional de Francia

esférica correspondiente a un huso horario)

como:

diezmillonésima

parte

del

Tierra

Averigua

partir

superficie esta

Determina

área

superficie

terrestre comprendida entre el ecuador y el

cuadrante del meridiano terrestre. a.

¿Qué volumen encierra la cuña

definición,

paralelo de latitud 45° N. (Véase fig. de la pág. 161)

suponiéndola perfectamente esférica. b.

¿Cual es la extensión de las

esquema

aparecen

las

partes sólida y líquida de la superficie

distintas capas que componen la atmósfera

terrestre sabiendo que están en razón de

terrestre.

5:12? c.

Determina

volumen

Tierra. d.

¿Cuál es la masa de la Tierra si

su densidad media es 5,5 g/cm3? 2.

Averigua la superficie del casquete

esférico que divisa un piloto que vuela a 4.000

altura.

(Observa

que

166

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

¿Qué

volumen

encierra

troposfera? Recuerda que el radio de la Tierra es aproximadamente 6,370 km.

9.5.1.LA GEOMETRÍA ESFÉRICA, UN MODELO

GEOMETRÍA

EUCLÍDEANA Sobre una esfera, al unir tres puntos de su superficie

mediante

obtenemos

rectilíneos

llamado

círculos

triángulo

máximos,

lados

triángulo

esférico.

Aparece así la llamada geometría esférica, que goza de propiedades muy distintas a las de la geometría euclidiana.

Presentamos

aquí que al hablar de las geometrías no euclideianas gráfico

presentamos

esfera

Escher,

un como

modo una

ilustración de geometría no euclidiana.

Determina el espesor de cada

una de ellas a partir de los datos que en él figuran.

167

FIGURAS DE REVOLUCION___________________________________________

Algunos

elementos

geometría

esférica son los siguientes; -

Las

rectas

son

los

círculos

máximos de la esfera. -

Un punto es un par de puntos opuestos

diametralmente.

consecuencia: -

No existen paralelas, ya que todos los círculos máximos se cortan siempre en un punto.

La suma de los ángulos de un triángulo es mayor que dos rectos. Esta geometría es de suma utilidad en el estudio de la astronomía, así como de otras ciencias afines.

168

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

CÓNICAS Y CUADRÁTICAS

distintas según sea su inclinación Op Cit Pp. 162 - 182 Recuerda que el cono venía engendrado por

10.1

SECCIONES

UNA

eje.

SUPERFICIE CÓNICA

su generatriz al girar ésta alrededor de un Si consideramos tal generatriz como

una recta ilimitada, la figura resultante del in duda habrás observado que al cortar un embutido se producen rebanadas

giro es una superficie cónica, la cual está compuesta por dos conos ilimitados, unidos por el vértice.

una u otra forma, según sea

inclinación

que

demos al cuchillo.

éste

Al cortar una superficie cónica por diferentes planos, obtenemos unas curvas llamadas secciones cónicas o simplemente cónicas.

coloca

Según la distinta posición del plano, dichas

perpendicular a la pieza,

secciones pueden ser elipses, hipérbolas o

las secciones producidas

parábolas.

son de menor tamaño que cuando lo colocas de forma oblicua. Lo

mismo

sucede

inclinamos un vaso que contiene agua.

La superficie del líquido

adopta formas que no son sino secciones del cilindro, las cuales nos son familiares. Más

extraño

resulta

pensar

las

secciones planas producidas

Elipes: Sección cónica producida por un

en un cono, y sin embargo,

plano que corta en todas sus generatrices.

ello

Si el plano es perpendicular al eje de

también

posible.

Observa cómo las diferentes posiciones arena

muestran

reloj

notación se produce una circunferencia.

secciones

169

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

Esquema de las diferentes secciones que puede producir un plano en una superficie cónica. Estudiaremos cada una de ellas, teniendo presente que a partir de ahora, en las representaciones prescindiremos

que de

hagamos,

superficie

cónica,

quedándonos exclusivamente con las curvas producidas por los planos de corte. Hipébola: sección cónica-producida por un

10.2 LA ELIPSE

plano paralelo al eje de notación.

a elipse es la curva obtenida al cortar todas

las

generatrices

una

superficie cónica mediante un plano.

ACTIVIDAD 10.1

Párabola: sección cónica producida por un

n una lámina de “fibracel” fija una cartulina y clava dos chinches con 12 cm de separación entre ellas. Enlaza

en cada una de ellas los extremos de un

plano paralelo a una sola generatriz del

cordón de 20 cm de longitud (principio del

cono.

jardinero). Manteniendo el cordón tenso con la punta de un lápiz, dibuja la curva que éste te permite trazar.

¿Qué cónica representa el trazo obtenido? b.

Para un punto cualquiera P, ¿a qué

es igual la suma de las distancias de P a cada

170

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

una de las chinches?. Puesto que P es un punto cualquiera, ¿cuál es la condición general de los puntos de la cónica? c. otras

Aproximando las chinches, traza curvas

similares..

¿Qué

curva

obtienes cuando las dos chinches coinciden en el mismo punto?. d.

La longitud del eje mayor AA’ coincide con la

Alejando

las

chinches

constante “2ª” que aparece en la definición,

razonablemente, traza curvas similares.

y designaremos por “2b! la longitud del eje

En el caso límite de separar las chinches 20

menor BB’.

cm, ¿qué observas? e.

El borde superior de algunas tazas

También a la distancia que separa los focos,

de WC nos sugieren la forma de elipse.

llamada distancia focal, se le designa por

Busca otros objetos reales que te sugieran

2c, con lo que se puede deducir que a2 = b2

la misma idea.

+ c2, basta observar que el triángulo BOF es rectángulo en 0 y que

De la actividad habrás deducido que en

mide a; ¿por

qué?

general, la elipse es una curva cuyos puntos cumplen que la suma de distancias a dos

puntos fijos llamados focos es

constante.

Esta distancia constante se

suele designar por 2ª. Y representar la longitud de la cuerda empleada en la actividad anterior.

Por tanto, para todo

punto P de una elipse:

experiencia

comprobado

también

anterior que

las

habrás diferentes

elipses muestran un mayor o menor grado

PF + PF ' = 2a

de achatamiento; esta característica se mide por la excentricidad de la elipse, definida

En la figura se muestran los elementos notables de la elipse.

como

Los diámetros son

cuerdas que pasan por el centro, teniendo éstos longitudes variables. El mayor de los diámetros se denomina eje mayor, y el

c a

Y oscila entre 0 y 1, ya que

0≤c

< a

menor de ellos, eje menor; ambos son perpendiculares y resultan ser ejes de simetría.

171

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

En el caso extremo de excentricidad nula,

Kepler hubo de estudiar el área encerrada

la elipse resulta ser una circunferencia

por

(apartado c de la actividad 10.1)

llegando a demostrar que dicha área vale A =

elipse

para

formular

sus

leyes,

a.b, para una elipse de semiejes a y b.

Ya apuntábamos al hablar del problema de Delos, sobre la duplicación del cubo,

La tercera ley de Kepler tiene el mérito de

que Menecmo lo resolvió mediante el uso

relacionar los planetas entre sí, llegando a

de las secciones cónicas.

Dos mil años

demostrar que constituyen un solo sistema.

después, en el siglo XVII, Kepler observó

Su gozo al descubrir esta ley fue ilimitado y

se manifiesta en un exultante relato poético.

gran

utilidad

astronomía

las

cónicas

comprobar

que

en las

trayectorias de los planetas son elípticas,

“Lo

llegando a enunciar sus tres conocidas

cuando

leyes sobre el movimiento de los planetas:

geométricos entre las órbitas celestes, lo que

que

profeticé

hace

veintidós

descubrí

los

cinco

años,

cuerpos

creí firmemente mucho antes de haber leído 1.

Los planetas se mueven alrededor del

la Harmonica de Ptolomeo, lo que prometí

sol siguiendo órbitas elípticas en uno de

a mis amigos en el título de este libro, al que

cuyos focos está el sol.

di nombre antes de estar seguro de mi

descubrimiento,

El radio vector que va del sol a un

que

apremié

durante

planeta, barre áreas iguales en tiempos

dieciséis años para que se buscara, aquello

iguales.

por lo que me uní a Tycho Brahe, por lo que

Los

cuadrados

los

tiempos

me instalé en Praga, por lo que he dedicado

empleados por cada planeta en describir la

órbita

observaciones

completa

proporcionales cubos

los

son los

parte

vida

las

fin

astronómicas,

logrado aclararlo y reconozco su verdad

semiejes

entre mis esperanzas más íntimas.

mayores de las órbitas, lo que significa que la relación

mayor

Aún no

hace dieciocho meses desde que el primer T2 a3

rayo de luz, tres meses desde que la aurora, = k es

idéntica para todos los planetas. Si S es el Sol, la segunda ley afirma que un planeta o cometa se traslada de P a P1, de P2 a P3 y de P4 a P5 en el mismo tiempo, si las áreas sombreadas son iguales.

y pocos días desde que el Sol descubierto, el más admirable para ser contemplado, me iluminaron. mi

furia

Nada me detiene; dejaré libre sagrada;

triunfaré

sobre

humanidad con la honesta confesión de que he robado las vasijas de oro de los egipcios para construirle un tabernáculo a mi Dios, lejos de los confines de Egipto.

Si me

perdonan, me alegro; si están enfadados,

172

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

puedo soportarlo; la suerte está echada;

aproximadamente 200 veces el diámetro del

he escrito mi libro; lo leerán ahora o en la

Sol, éste sería un punto apenas perceptible.

posteridad, no importa cuándo; bien puede

La órbita de Plutón es anómala por varias

esperar un siglo un lector, puesto que Dios

razones: no es una elipse “casi circular” y no

ha esperado seis mil años un intérprete de

está en el mismo plano que los demás

sus palabras”

planetas, razón que ha llevado a algunos a considerar que no es un planeta, sino un

Poco después apareció esta gran obra,

satélite de Neptuno que ha escapado.

Harmonices Mundi; era un compendio de la teoría copernicana, una exposición clara y bastante popular que fue colocada en la lista de los libros prohibidos por la Iglesia, junto a la obra del propio Copérnico, De Recolutionibus Orbium Coelestium. Después de Kepler, han sido numerosos los

estudios

realizados

sobre

trayectorias de los planetas.

las

Hoy día

sabemos que todas ellas, a excepción de la de

Plutón,

hallan,

con

bastante

aproximación, sobre un mismo plano. Asimismo,

constatado

que

los

cometas se mueven alrededor del Sol describiendo órbitas de excentricidad muy grande, mucho mayor que la de cualquier órbita planetaria, si bien sus órbitas están en planos inclinados con respecto al de los planetas.

ELIPSE

Diagramas del Sistema Solar (Septiembre de 1975). En el dibujo grande las órbitas están dibujadas a escala.

En el pequeño

aparece una ampliación de la parte interna. La escala sólo es válida para las órbita, no para los planetas, pues al ser el diámetro medio

10.2.1. ÁREA ENCERRADA POR LA

órbita

terrestre

una

forma

análoga

como

Kepler concibió el área de la elipse, la profesora Emma Castellnuovo,

haciendo uso de ciertos materiales, presenta la demostración en su libro Matemática nella realtá en los siguientes términos:

173

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

Si sobre una pieza elástica se dibuja un

con cuentas, nos presenta las siguientes

cuadrado y una circunferencia inscrita en

escenas:

él, al estirar la pieza observaremos que el cuadrado se transforma en un rectángulo,

EL SECRETO DEL SALÓN OVALADO:

mientras que la circunferencia lo hará en la elipse inscrita en dicho rectángulo.

Ello

El gran Salón Ovalado estaba lleno hasta

permite plantear la siguiente proporción

rebosar

entre áreas:

contracontraespías.

espías,

contraespías

sin

embargo,

Primer Ministro tenía absoluta necesidad de comunicar inmediatamente a Su Majestad el y por lo tanto

gran secreto del que acababa de enterarse. Como

quien

quiere

cosa,

aproximarse al Rey le dijo con voz bien perceptible: “Majestad, parece que los focos de

rebeldes

reclaman

nuestra

atención”.

Todos los espías se fueron hacia las paredes del salón para sacar de los forros de sus capas allí colgadas las claves de los mensajes cifrados.

10.2.2 PROPIEDAD DE LOS FOCOS DE LA ELIPSE En la elipse, los focos tienen la propiedad de que cualquier rayo emergente de uno de ellos se refleja pasando por el otro. En esta propiedad se basan las diferentes aplicaciones de los espejos elípticos, así como de las bóvedas elípticas.

Les siguieron, naturalmente con gran sigilo, los

contraespías,

contracontraespías.

y El

a Rey,

éstos,

los

con

paso

tranquilo, pero decidido, se dirigió hacia un lado del ovalado salón. El Ministro, por su parte, se dirigió en dirección contraria al otro lado del salón ovalado.

Los espías los

observaban de reojo mientras consultaban en sus libretas “parece”, “focos”, “rebeldes” y “exigen”. Los contraespías estaban atentos a los

espías,

los

contracontraespías

perdían de vista ni un momento a sus contraespías correspondientes.

El Rey se

paró un momento y el Ministro, respetuoso, Basándose en esta propiedad de la elipse, Miguel de Guzmán, en su libro Cuentos

se paró también en su camino.

Estaban a

más de 20 metros de distancia cuando un

174

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

espía más astuto observó y apuntó en su

pasando uno de estos monstruos infernales.

libreta: “Este Ministro, o habla solo o está

Entonces no suele salir el experimento.

rezando”. Pero nadie pudo oír nada. Sólo

MIGUEL DE GUZMAN

el Rey pudo percibir claramente en sus

Cuentos con cuentas

oídos el mensaje del Ministro: “Majestad,

Ed. Labor

con todos mis respetos, su bragueta está

10.2.3. TRAZADO DE LA ELIPSE POR

completamente abierta”.

PUNTOS El misterio del Salón Ovalado consiste fundamentalmente en que en una elipse como ésta

l trazado de la elipse puede hacerse como sigue:

existen dos puntos, los focos F1 y F2, tales que si las paredes

de la elipse fueran de

goma como las de un billar y se lanzase

Trazado de la elipse por puntos

una bola desde F1 y en cualquier dirección, al rebotar iría a pasar por F2. Por ello,

F y F’ se sitúan sobre el eje mayor por la

hablando muy bajo, muy bajo en F1 puede

intersección de un arco descrito desde B con

llegar la voz a F2 con suficiente intensidad

radio igual a la mitad de AA’. Desde F’ a 0 se

para que se entienda, pues llega a F2 de

toman unos puntos cualesquiera, 1,2,3,4...

todas las direcciones que salen de F1. En otro punto cualquiera llega sólo el sonido hacia

él

dirigido

percibe

suficientemente.

sección con el techo aproximadamente Haz este experimento.

Coloca a

un amigo en el andén opuesto y busca el punto en tu andén tal que cuchicheando tú un mensaje secreto, él te pueda oír. ¡Ah! Procura

cuchichear

describen arcos.

A'1, A'2, A'3,... ,

Con radios A1, A2, A3,... y

desde F, se describen nuevos arcos cuyas intersecciones con los otros dan puntos de la

Algunas estaciones de Metro tienen una elíptico.

Desde F’ y con radios

mientras

está

elipse. Conviene precisar que este trazado con regla y compás no puede ser más que aproximado. En Geometría analítica, cuyo estudio no es el objeto de este libro, las cónicas referidas a

175

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

unos

ejes

diferentes

coordenadas

expresiones,

siendo

adoptan

ejemplo, para la Tierra es 0,017; para Marte,

para

0.09

elipse:

para

aproximadamente.

Mercurio,

0,25

No sucede así con los

cometas; así por ejemplo, el cometa Halley tiene excentricidad 0,967.

Haciendo uso de

Donde a y b son las longitudes de sus

la tercera Ley de Kepler, determina los

semiejes.

semiejes

órbita

este

cometa,

conociendo que su período (tiempo empleado

EJERCICIOS:

en recorrer una órbita completa) es de 76 años, mientras que para la Tierra es de 1

“escala”

alrededor

dibujo

puedes

órbita

elíptica

del

Sol.

observar de

año. Ten presente que el semieje mayor de

Mercurio

Calcula

la Tierra mide 1 49.108 km. 5.

La excentricidad de una elipse es 0,8 y

excentricidad, haciendo uso de los datos

uno de sus puntos dista de los focos 18 cm y

que aparecen.

12 cm respectivamente.

Calcula la longitud

de sus ejes. 6.

Si los semiejes de una elipse son a y b, ¿cómo es posible probar que

, siendo A el

área de la elipse, está comprendido entre a2 y b2? Ayúdate de un dibujo y supón que no conoces la fórmula del área de la elipse.

10.3 LA PARÁBOLA

El eje mayor de la elipse mide 15 cm y su eje menor 8 cm. Averigua su distancia focal, así como la excentricidad de ésta.

a parábola es la curva obtenida al cortar la superficie cónica por un plano paralelo a una solo generatriz.

Los

puntos de la parábola equidistan de una

¿Cuál es el área encerrada por una elipse de distancia focal 7 cm y de semieje

recta (directriz y de un punto fijo llamado foco.

mayor 9 cm. ¿Cuál es la expresión analítica de esta elipse? 4.

La figura muestra los elementos notables de

Es sabido que los planetas tienen excentricidad pequeña, por lo que sus órbitas

son

casi

circulares;

así,

por

una parábola.

La distancia de V a F es el

parámetro de la parábola y lo designamos por p por lo que,

tiene longitud 2p.

176

10.3.1 PROPIEDAD DEL FOCO DE LA PARÁBOLA

n la parábola, el foco es tal que los rayos que emergen de él “rebotan” en ella saliendo paralelos al eje. Esta

propiedad permite múltiples aplicaciones, en hornos parabólicos, antenas parabólicas de TV, estufas, espejos o faros.

Para construir una parábola, podemos fijar un cordón entre el foco de la parábola y el vértice de una escuadra. El lápiz tensa el cordón a la vez que desplaza a la escuadra pegado a la regla guía (directriz). Es

fácil

observar

PF + PB = PA + PB , término

PB ,

que

y prescindiendo del

obtenemos que

PF = PA ,

condición de los puntos de la parábola, ya mencionada.

En física es conocida la gran importancia del estudio de la parábola por cuanto existen diversos movimientos con forma parabólica. Fue

Galileo

quien

demostró

que

trayectoria seguida por un proyectil es una parábola, y calculó una tabla de distancias y elevaciones en la cual el artillero podía hallar la altura a que debía elevar la mira de su

177

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

cañón para hacer blanco en un punto situado a una distancia determinada.

las

tres

cónicas,

elipse,

parábola

hipérbola, es sin duda esta última la que

10.3.2.

TRAZADO

como tal sección; no obstante, se comprueba

PARÁBOLA POR PUNTOS

presenta mayor dificultad en ser visualizada que consta de dos ramas por el hecho de

obre el eje se sitúa el foco F mediante un arco de radio

descrito desde V.

Se trazan varia

perpendiculares al eje, 1, 2, 3..., a partir de V, y en la dirección VF.

D1, D 2, D3 ,

Con radios

cortar a los dos conos que componen la superficie cónica. El dibujo muestra los elementos notables de una hipérbola.

se describen desde F arcos

cuyas intersecciones en las perpendiculares son puntos de la parábola.

El segmento AA’ cuya longitud designamos por 2a. Recibe el nombre de eje real. Los puntos de la hipérbola cumplen la condición

que

diferencia

sus

distancias a los focos F y F’ es el valor constante 2ª, es decir,

PF − PF '

= 2a.

En Geometría analítica la expresión de la

La distancia focal es la distancia entre los

parábola es del tipo

focos, se designa por 2c.

y2 = 2px. Donde p es el parámetro de la parábola.

Dibujando sobre

el triángulo rectángulo

en O de hipotenusa c, se obtiene puntos B y

10.4 LA HIPÉRBOLA

B’ llamados también vértices, y al segmento

BB ' a hipérbola es la curva que resulta

de longitud 2b, eje imaginario, por no

ser sus extremos puntos de la hipérbola.

al cortar una superficie cónica por un

plano

paralelo

dos

Del triángulo AOB, se deduce:

generatrices.

178

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

a2 = c2 - b2, por el Teorema de

10.4.1

Pitágoras.

HIPÉRBOLA POR PUNTOS

Del mismo modo que en la elipse, para medir la mayor o menor abertura de las ramas,

utiliza

excentricidad, e =

c a

noción

Esta es siempre

TRAZADO

asándonos en la propiedad de los puntos de la hipérbola

PF − PF '

2a. La construcción de ésta se hace

posible mediante una cuerda al fijar uno de sus extremos en un foco y el otro en el

mayor que 1, ya que c mayor a.

extremo de una regla; el lápiz tensando la cuerda hace girar la regla que tiene el otro

dibujo

observarás

dos

rectas

asíntotas que pasan por el centro y hacia

extremo fijo en el segundo foco, logrando así el trazado de la curva.

las cuales se aproximan indefinidamente las ramas de la curva, sin llegar nunca a tocarlas.

Estas

son

precisamente

las

diagonales del rectángulo de dimensiones 2a y 2b.

Otro modo de trazar la hipérbola lo es por puntos. Se elige a voluntad el vértice de una de las Un caso muy particular de hipérbola es la

ramas de la hipérbola. Por V se levanta una

hipérbola equilátera, en la que sus ejes

perpendicular a

real e imaginario son iguales entre sí, a = b,

por

que

perpendiculares.

sus

asíntotas

son

VV ' .

Con radio R se

describe un arco cuyas intersecciones con el eje dan los focos. serie

puntos

V 1, V 2, V 3, ..., Con

Desde F’ se toma una Con

se describen arcos desde F’.

V '1, V '2, V '3, ...,

desde F.

cualesquiera.

describen

arcos

Las intersecciones de los arcos

descritos son puntos de la hipérbola.

179

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

c. PQOF,

Calcula haciendo

el uso

área de

del los

trapecio resultados

obtenidos en los apartados anteriores.

10.4.2

PROPIEDAD

LOS

FOCOS DE LA HIPÉRBOLA

n el caso de la hipérbola, un punto luminoso colocado en uno de los focos, al emitir rayos sobre ella,

2. Una hipérbola tiene de eje real 16 cm y de

son reflejados de forma divergente como si

eje imaginario 12 cm.

procedieran

esta

3. Sabiendo que la excentricidad de una

propiedad

espejos

hipérbola vale 2.6 y que el semieje real mide

otro

foco.

basan

los

hiperbólicos usados en superficies amplias

10 cm, determina:

como los estadios de fútbol.

Su distancia focal.

El valor del semieje imaginario.

La expresión analítica de dicha

hipérbola. 4. Un punto P de la hipérbola dista 8 cm y 4 La expresión analítica de la hipérbola es:

cm respectivamente de sus focos, y la distancia focal de dicha hipérbola es 10 cm. Determina la longitud de sus semiejes.

Donde a y b son las longitudes de sus semiejes.

5. ¿Cuál es la excentricidad de una hipérbola equilátera? ¿Tienen la misma excentricidad dos hipérboles equiláteras cualesquiera?

EJERCICIOS:

10.5

1. La expresión analítica de una parábola

SUPERFICIES ENGENDRADAS

POR CÓNICAS: LAS CUADRÁTICAS

es y2 = 6x; se pide: a.

¿Cuál

valor

parámetro p? b.

Cuánto mide OF? ¿Y P’F?

180

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

n geometría del espacio hemos estudiado figuras geométricas muy familiares como el cilindro, el cono

o la esfera; sin embargo, el balón de rugby,

las

antenas

parabólicas

telecomunicación o las chimeneas de una central térmica, no pertenecen a tales tipos. Se trata de figuras engendradas por cónicas, ya sea por rotación de éstas alrededor de uno de sus ejes o bien por simple traslación o desplazamiento. Todas ellas constituyen una nueva familia de figuras, las cuadráticas.

De modo análogo a como procedimos para obtener la expresión del área de la elipse, podemos descubrir el volumen encerrado en

181

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

un elipsoide de semiejes a, b y c, partiendo

6.378,160

de la esfera inscrita en un cubo y pasando

mientras

a deformarlos convenientemente.

6.356,768 km.

km que

para

radio

ecuatorial,

para

radio

polar

fue

A partir de estos datos

determina de volumen de la Tierra bajo su Esta

deformación

permite

plantear

siguiente proporción entre volúmenes:

forma elipsoidal y compara el resultado con el obtenido en el ejercicio 1 de la página 159. 2.

Un balón de rugby mide 32 cm de

longitud y 20 cm de ancho. volumen

que

encierra

Averigua el

suponiéndolo

con

forma perfectamente elipsoidal.

V elipsoide

V esfera

paralelepipedo V cubo

y por tanto: V elipsoide 4 3

πR3

2 a.2b.2 c ( 2 R )2

de donde: 4

elipsoide

πR3 =

8 R3

4 3

πabc

Es decir: V

elipsoide

4 πabc 3

EJERCICIOS: 1.

una

primera

aproximación

admite que la Tierra tiene la forma de una esfera de 6.371 km de radio; y en una segunda aproximación, un elipsoide de revolución para el que la Asamblea de la Unión Astronómica Internacional celebrada en 1967 fijó las siguientes dimensiones:

182

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

ACTIVIDAD 10.2

Lograrás otro efecto óptico partiendo de placas

bserva

las

páginas

fotografías

siguientes

las

indica

redondas

diferente

diámetro.

cuadrática que te sugiere cada

una de ellas, indicando a su vez la cónica o cónicas que la generan.

EXPERIENCIA: FABRICANDO UNA LÁMPARA.

onsigue dos placas redondas de madera de igual diámetro, y tres varillas de igual longitud.

Tras

perforar las placas con el mismo número de agujeros, y montar las varillas tal como muestra el dibujo, haz pasar un cordel anudado en su extremo a través del agujero primero de la placa superior y después el cuarto de la placa inferior, saltando de uno en uno hasta completar una vuelta, anudando convenientemente al finalizar.

Repite la operación en sentido

contrario,

decir,

haciendo

pasar

cordel por el agujero cuarto d ela placa superior para unirlo con el primero de la inferior; de este modo obtendrás una preciosa

pantalla

lámpara.

¿Qué

para figura

montar geométrica

una te

recuerda?

183

CONICAS Y CUADRATICAS___________________________________________

Viaducto Martín Gil de la línea férrea Zamora - Orense

Central de Trillo (Guadalajara)

Fotografía del radiotelescopio de Parkes,

Sede de las Comunidades Europeas

Australia, de 64 m de diámetro

184

ASPECTOS BASICOS DEL DIBUJO Y TRAZO GEOMETRICO___________________

ASPECTOS BÁSICOS DEL DIBUJO Y TRAZO GEOMÉTRICO

PARALELAS Y PERPENDICULARES

Trazar

una

perpendicular

uno

los

extremos del segmento de recta 1.

Dividir un segmento de recta en siete

partes iguales:

METODOLOGÍA

METODOLOGÍA:

Sea el segmento de recta

y sobre

el extremo “a” trazar la perpendicular a)

Sea

el segmento de recta y con

Señale un punto “p” cualquiera sobre el

ayuda de una línea auxiliar cualquiera

segmento de recta

trazada sobre el extremo “a” se dividirá el

la figura:

ab ,

como se muestra en

segmento en seis partes iguales b)

Divida, con ayuda del compás, la

línea auxiliar en seis partes iguales c)

Una el extremo b con el punto seis

de la línea auxiliar d)

Trace paralelas al segmento 6b en

cada división de la línea auxiliar hasta

Trace, con ayuda del compás, una

circunferencia de radio

y centro en “p”,

como se muestra en la figura:

cortar con el segmento de recta, como se muestra en la siguiente figura

Una con línea auxiliar la intersección de

la circunferencia con el punto “p” hasta cortar la circunferencia, como se muestra en la figura

185

ASPECTOS BASICOS DEL DIBUJO Y TRAZO GEOMETRICO___________________

Una el punto de intersección de la

METODOLOGÍA

circunferencia al extremo del segmento de

recta “a” para obtener la perpendicular

deseada, como se muestra en la siguiente

segmento de recta

figura

Trace un segmento de recta y un punto “p” cualquiera fuera del

Con ayuda del compás y centro

en el extremo “a”, luego con centro en la intersección del arco de circunferencia con el segmento

circunferencia

recta, que

trace corten

arcos entre

de sí,

opuestos al punto “p” 3. Trazar una perpendicular desde un punto fuera de la línea recta

METODOLOGÍA a)

Una la intersección de los arcos

de circunferencia con el punto “p” para trazar la perpendicular buscada, como se muestra en la siguiente figura

Trace una línea recta y un punto “p”

cualquiera fuera de la recta b)

Con ayuda del compás trace un arco

con centro en “p” que corte la línea recta c)

Con ayuda del compás y centro en

cada intersección del arco de circunferencia

5.Trace una perpendicular al segmento del recta

con la línea recta, trace pequeños arcos de

que

circunferencia opuestos al punto “p”

segmento de recta y un punto “c” dentro del

segmento de recta, como se muestra en la

Una el punto “p” con los pequeños

arcos de circunferencia para obtener la

pase

por

punto

“p”

fuera

del

siguiente figura:

perpendicular esperada, como se muestra en la siguiente figura

4. Trazar una perpendicular desde un punto fuera del segmento de recta

186

ASPECTOS BASICOS DEL DIBUJO Y TRAZO GEOMETRICO___________________

6. Trazar una paralela a un segmento de recta,

desde

punto

“p”

fuera

del

segmento de recta, como se muestra en la siguiente figura

METODOLOGÍA a)

Con ayuda del compás, trace un arco

de circunferencia que corte al segmento de recta

ab ,

señalando

punto

intersección con “o” b)

Con el mismo radio, trace otro arco

de circunferencia que pase por el punto “p” y se intercepte en el segmento de recta

ab c) de

Con ayuda del compás, trace un arco circunferencia

con

centro

“o”

distancia igual a “o” y la intersección del arco de circunferencia interceptado en el punto “p” y el segmento de recta d)

Una el punto “p” con la intersección

de los arcos en el punto “o” para obtener la paralela esperada, como se muestra en la siguiente figura

187

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

ÁNGULOS, TRIÁNGULOS Y BISECTRIZ

POR

PUNTO

CUALQUIERA

DADO EN UNA RECTA, CONSTRUIR UN ÁNGULO CUALQUIERA. METODOLOGÍA a)

C) Con centro en el vértice d del ángulo dado con el mismo radio, trácese un arco D)que

cortará

arco,

denotando

intersección por c, como se muestra en la siguiente figura:

Con centro en p y radio cualquiera,

se traza un arco indefinido, como se muestra en la siguiente figura:

Una los puntos pc para obtener el

ángulo CPD buscado, como se muestra en la siguiente figura

Denote por d el punto de intersección

del arco con el segmento, como se muestra en la siguiente figura.

188

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

Desde dos puntos dados fuera de una recta,

trazar

otras

dos

que

encuentren con la primera formando el mismo ángulo.

METODOLOGÍA 1.

Sean ab el segmento y p y q los

puntos dados fuera de ella.

Se unen los puntos pe y dp en un

punto del segmento de recta denotado por e, obteniendo de esta manera dos ángulos una

iguales desde dos puntos cualquiera del

perpendicular al segmento que corta en un

segmento de recta, es decir, ∠pea y ∠peb,

punto denotado por c al segmento, como

como se muestra en la siguiente figura

Por

punto

traza

se muestra en la siguiente figura

Con una abertura del compás igual a

la distancia pc y centro en c, se corta la perpendicular trazada como se muestra en la siguiente figura:

189

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

DIVIDIR UN ÁNGULO DADO EN DOS

PARTES

IGUALES

(BISECTRIZ). METODOLOGÍA 1.

Sea bac el ángulo dado con centro en

el vértice y

radio cualquiera se traza un

arco que corta a los lados inicial y final del ángulo en los puntos e y e’, como se

ENCONTRAR LA BISECTRIZ DE UN

muestra en la siguiente figura:

ÁNGULO

CUYO

VÉRTICE

CONOCE. 1.

Sean los segmentos de recta ab y cd las que forman los lados del ángulo cuyo vértice no se conoce, como se muestra en la siguiente figura:

Con

centro en estos puntos, y el

mismo radio, se trazan arcos que se cortan entre sí en el punto o.

Trace una línea que corte a las dos concurrentes en los puntos m y n con los que se originan los cuatro ángulos siguientes:

La recta que une este punto con el

vértice del ángulo se llama bisectriz y lo divide en dos partes iguales.

amn; bmn; mnc; mnd,como se muestra en la siguiente figura:

Para dividir

los demás ángulos utilizaremos el mismo método.

190

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

Una los puntos e y f entre sí forman la bisectriz solicitada, como se muestra en la siguiente figura:

A cada uno de estos ángulos se les traza por separado, su bisectriz, que se prolongan

indefinidamente,

como

muestra en la siguiente figura:

Una los puntos e y f para trazar la bisectriz de un ángulo cuyo vértice no se conoce, como se muestra en la siguiente figura:

Estas bisectrices se cortan dos a dos en los puntos e y f , como se muestra en la siguiente figura:

191

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

CONSTRUIR

TRIÁNGULO

adyacentes al segmento de recta, como se muestra en la siguiente figura:

CONOCIENDO SUS TRES LADOS. METODOLOGÍA 1.

Sean los segmentos de recta dados ab,

ac;

quienes

determinen

mismo al extremo a del segmento de recta,

triángulo solicitado, como se muestra en la

prolongando el lado final del ángulo, como se

siguiente figura

Traslade el ∠A uniendo el vértice del

muestra en la siguiente figura:

Trace el segmento ac y sobre éste, con

ayuda

segmentos

del de

compás,

recta

intersectarlos,

que

ab es

traslade y el

los

hasta

triángulo

esperado, como lo muestra la siguiente figura:

EN UN PUNTO P EN UN SEGMENTO DE

RECTA

AB,

CIRCUNFERENCIA

TRAZAR TANGENTE

UNA AL

SEGMENTO DE RECTA Y QUE PASE POR EL PUNTO P. METODOLOGÍA:

CONSTRUIR

TRIÁNGULO

CONOCIENDO UNO DE SUS LADOS Y

LOS

DOS

ÁNGULOS

ADYACENTES.

Trace el segmento de recta ab y el punto p sobre la misma y una perpendicular en un punto q fuera del segmento, como se muestra en la siguiente figura:

METODOLOGÍA: 1. del

Sea el segmento de recta ab la base triángulo

los

ángulos

192

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

denotĂĄndolo con o, como se muestra en la siguiente figura:

Trace una perpendicular al punto p del segmento de recta como se muestra en la siguiente figura:

Trace

circunferencia

tangente

segmento de recta con radio op como se esperaba, como se muestra en la siguiente figura:

Una con una lĂnea auxiliar los puntos qp

trace

punto

medio

este

segmento de recta, como se muestra en la siguiente figura:

Trace una perpendicular en el punto medio del segmento de recta qp hasta cortar con la perpendicular en el punto p

193

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

TRAZAR

UNA

CIRCUNFERENCIA

y centro de la circunferencia tangente a los lados del ángulo

TANGENTE A LOS LADOS DE UN ÁNGULO METODOLOGÍA 1.

Sea el ángulo ABC y un punto p cualquiera sobre el lado inicial del ángulo ABC como se muestra en la siguiente figura:

Con centro en o y radio op, trace la circunferencia

tangente

los

lados

del

ángulo como se esperaba, como se muestra en la siguiente figura:

Trace la bisectriz del ∠ABC y la perpendicular

punto

hasta

intersecarse con la bisectriz del ángulo, como se muestra en la siguiente figura:

TRAZAR

UNA

CIRCUNFERENCIA

TANGENTE A LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO METODOLOGÍA

Trace

perpendicular

intersección encontrada con el lado final

Sea el triángulo ABC cualquiera como se muestra en la siguiente figura:

del ∠ABC, denotando con o la intersección

194

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

TRAZAR 2.

Trace

las

bisectrices

los

TANGENTE

tres

UNA QUE

CIRCUNFERENCIA PASE

POR

PUNTO P DE UNA CIRCUNFERENCIA

ángulos interiores como se muestra en la

DADA.

siguiente figura:

METODOLOGÍA 1.

Sea la circunferencia con radio op como se muestra en la siguiente figura, sobre la cual se trazará la circunferencia tangente al punto p.

Trace la perpendicular en cualquiera de los lados del triángulo hasta cortar con el punto de intersección de las bisectrices denotado por “o”

Trace

punto

fuera

circunferencia y una os puntos pq como se muestra en la siguiente figura:

Con la abertura del compás o y la perpendicular en el lado del triángulo, trace la

circunferencia

solicitada,

como

muestra en la siguiente figura:

195

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

Trace la perpendicular al segmente pq hasta cortar con la prolongación del segmento op, denotando la intersección con o’, centro de la circunferencia tangente solicitada, como se muestra en la siguiente figura:

196

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

TRAZAR

LAS

EXTERIORES

TANGENTES A

DOS

CIRCUNFERENCIAS DADAS METODOLOGÍA 1.

Sean las circunferencias de radio oa y ob las circunferencias utilizadas para el trazo solicitado, como se muestra en la 4.

siguiente figura:

Prolongue los radios oa y ob hasta intersectar con la circunferencia ob, como se muestra en la siguiente figura:

Una

los

centros

ambas

circunferencias , como se muestra en la siguiente figura: 5.

Trace líneas paralelas a los radios bs y bt en la circunferencia de radio oa como se muestra en la siguiente figura:

Trace una circunferencia inscrita en ob de radio oa, como se muestra en la siguiente figura: 6.

Una los puntos de intersección de las dos circunferencias para obtener las líneas tangentes, como se muestra en la siguiente figura:

197

ANGULOS TRIANGULOS Y BISECTRIZ_________________________________

198

POLIGONOS_____________________________________________________

POLÍGONOS

CONSTRUIR

REGULAR

CINCO

POLÍGONO LADOS

extremo B, como se muestra en la siguiente figura:

PARTIR DE UNO DE LOS LADOS METODOLOGÍA 1.

Sea el segmento AB, uno de los lados del pentágono regular, como se muestra en la siguiente figura:

Prolongue el segmento AB en uno de los extremos, como se muestra en la

Trace un arco de circunferencia de radio PC y centro en P hasta interceptar con

figura:

la prolongación del segmento de recta AB, como se muestra en la siguiente figura:

Trace las perpendiculares en el punto medio del segmento AB y el extremo prolongado,

como

muestra

siguiente figura:

Con centro en el extremo A y radio la distancia, trace un arco de circunferencia que intercepte la perpendicular en el punto medio del segmento de recta AB, como se muestra

Trace

arco

circunferencia

corte la perpendicular trazada en el

que

en la siguiente figura:

199

POLIGONOS_____________________________________________________

Con centro en el extremo A del segmento de recta AB y radio la distancia de AB, trace un arco de circunferencia, luego con la misma distancia trace otro arco de circunferencia con centro en E hasta interceptar el arco de circunferencia cuyo centro fue el extremo A del segmento de recta, como se muestra en la siguiente figura:

OTRA

FORMA

POLÍGONO

CONSTRUIR

REGULAR

CINCO

LADOS ES: 1. 8.

Una los puntos A, B, G. E y F para obtener el polígono propuesto, como se muestra en la siguiente figura:

Sea el segmento de recta AB y su prolongación en uno de sus extremos, las perpendiculares en el extremo y el punto medio del segmento de recta, como se muestra en la siguiente figura:

200

POLIGONOS_____________________________________________________

Trace un arco de circunferencia con centro en B y radio AB hasta cortar la prolongación del segmento de recta el extremo del segmento AB, denotando el

Con centro en los puntos G y C, trace

punto de intersección con D, como se

arcos de circunferencia que se corten entre

muestra en la siguiente figura:

sí, denotando la intersección con H, como se muestra en la siguiente figura:

Trace el punto medio del segmento de recta AB y sobre él su perpendicular, luego trace un arco de circunferencia con centro en B y radio BD hasta cortar con la perpendicular

extremo

del

segmento de recta AB, como se muestra

Una los puntos B y H, tome como el siguiente lado el segmento de recta B y la intersección en el arco de circunferencia CG, como se muestra en la siguiente figura:

en la siguiente figura:

201

POLIGONOS_____________________________________________________

curar; en todas las situaciones será mi respuesta la que decida si la crisis se agravará o solucionará, si el niño será humanizado o deshumanizado" Ginot

con centro en J y radio la distancia BJ, trace un arco de circunferencia que corte la perpendicular en el punto medio del

segmento

recta

AB,

como

muestra en la siguiente figura: 7.

Trace un arco de circunferencia con centro en el punto de intersección de la perpendicular al punto medio del segmento AB, y otro en el extremo A del segmento de recta AB tales que se intercepten entre sí, como se muestra en la siguiente figura:

"He llegado a una conclusión que me llena de miedo; soy el elemento decisivo en el aula, mi enfoque personal es el que crea el ambiente; mi estado de ánimo es el que determina la decisión de los demás; como maestro, poseo el enorme potencial para convertir la vida de un niño en algo jubiloso

deprimente;

puedo

ser

instrumento de tortura o de inspiración, puedo humillar o bromear, lastimar o

202

DE LOS PATRONES A LA MODELACION_________________________________

DE LOS PATRONES A LA MODELACIÓN Juan Manuel Alvídrez Villarreal1

ara lograr alcanzar los objetivos

relacionados con la geometría, es

relaciones.

necesario que en la interacción de

Infiera conclusiones.

las experiencias del aprendizaje, tomemos

Desarrolle la demostración formal para

en cuenta que el pensamiento del alumno

completar

es esencialmente activo. No es suficiente

pretende).

presentar materiales a los estudiantes, en

Generalice.

los

Aplique

que

estén

psicológicamente

descubra y comprenda sus diferentes

proceso

(si

es lo

aprendido

que

diferentes

preparados para atender, por lo que hace

situaciones, y

falta que mediante su participación directa,

activa, reflexiva y responsable, elaboren

considerados como punto de partida y como

sus propios materiales que les permita

objetivo final.

fomentar una intuición creadora que les

Es conveniente hacer notar, que el alumno al

ayude a adquirir nuevos conceptos.

presentarse en la escuela secundaria, no

Resuelva problemas (que puedan ser

siempre tiene los antecedentes suficientes Es muy importante que en el proceso de

para

enseñanza-aprendizaje de la Geometría, el

abstracción,

maestro se apoye en una serie organizada

observaciones lógicas.

cuestionamientos

orientar

(si

esto

que

realizar

procedimiento

partiendo

simples

permitan

necesario)

los

alumnos a redescubrir los conocimientos.

Por ejemplo, si nuestra pretensión es que el alumno comprenda el Teorema de Pitágoras y se presenta a ellos la demostración que

Para

lograrlo,

recomienda

que

alumno:

desarrolla Euclides en la proposición 47 de su libro I de "Los Elementos", como a continuación se describe:

Construya

correctamente

material.

dos lados y el ángulo incluido.

analice las construcciones realizadas

y por consumar.

∆ABG ∆ ≅ BCH

por tener congruente

El área del rectángulo BHJK equivale al

doble del área del ∆ BCH, por tener la misma base y la misma altura.

203

DE LOS PATRONES A LA MODELACION_________________________________

El área del rectángulo BHJK equivale

CONCLUSIÓN:

al doble del área del ∆ABG. d)

El área del cuadrado BCFG equivale

al doble del área del

∆ABG, por tener la

misma base y la misma altura. e)

El área del rectángulo BHJK equivale

al área del cuadrado BCFG. f)

De manera análoga, se demuestra

que el área del rectángulo AIJK equivale al área del cuadrado ACDE. La

figura

ÁREA DEL CUADRADO BCFG + ÁREA DEL CUADRADO ACDE = ÁREA DEL CUADRADO ABHI;

abe

señalar

que

este

tipo

demostraciones, solo conducen a un estudiante

alejamiento

materia de estudio, mientras que el propósito ejemplifica

demostración anterior:

esencial de las matemáticas es contribuir al buen gusto por las mismas, desarrollen un alto porcentaje de habilidades operatorias y destrezas en el manejo de las herramientas que nos brinda, etcétera. De ahí la importancia de mostrar otro tipo de estrategias, basadas, como lo indicamos al inicio de este programa, en el análisis, el sentido común y la intuición, y que a continuación presentamos:

Sumando

las

equivalencias

tenemos que el área del BHJK + área del AIJK =

área del BCFG + área del ABHI;

pero, área del BHJK + área del AIJK = área del ABHI;

204

AREA DE LOS RECTANGULOS_________________________________________

ÁREA DE FIGURAS PLANAS

ÁREA DE RECTÁNGULOS

e trazan diferentes rectángulos y

Luego

los dividimos en cuadrados iguales

procedimiento más sencillo para determinar

el área de los rectángulos, si es así, que

tal

forma

que

los

alumnos

les

cuestiona

área

existe

los

algún

puedan determinar su área contando las

determinen

siguientes

unidades cuadradas que los conforman.

rectángulos sin necesidad de cuadricularlos.

Que concluyan que: "El área del rectángulo se determina multiplicando la medida de la base por la de la altura". Matematizando el área del rectángulo se puede concluir que: A = bh Donde: b = base y h = altura

205

AREA DEL ROMBOIDE__ _________________________________________

ÁREA DEL ROMBOIDE

razamos un romboide y marcamos

"El área de un romboide se calcula

su altura, sombreando el triángulo

multiplicando la medida de la base por la de

que se formó.

la altura"

A = bh

Se recorta el triángulo formado y se pega en el extremo contrario.

La figura que se forma es un rectángulo y su área se calcula multiplicando la base por la altura como ya lo vimos en el tema anterior. Como el rectángulo y el romboide tienen la misma base y la misma altura, concluimos que:

206

AREA DEL TRAPECIO_ _________________________________________

ÁREA DEL TRAPECIO

razamos dos trapecios congruentes

( B + b) h 2

y los recortamos, identificando la base mayor de uno y la base menor

del otro y en ambos casos su altura, como se muestra en la siguiente figura.

Con

los

dos

trapecios

recortados,

formamos un romboide.

El romboide, tiene como base “B + b”

como altura h, por lo tanto el área del romboide equivale a (B + b)h; y, como el área de cada trapecio equivale a la mitad del área del romboide, entonces, para obtener el área del trapecio, se deduce que:

207

AREA DEL ROMBO__ _________________________________________

ÁREA DEL ROMBO

razamos

rombo

con

sus

diagonales y lo recortamos en sus

miden de base la mitad de d, y de altura la

cuatro triángulos.

mitad D, de y con ellos se forma un rectángulo. Nótese que el rectángulo tiene de base d y de altura

D 2

Marcando con D la diagonal mayor (línea vertical del rombo, eje de simetría vertical, etcétera) y con d la diagonal menor (línea menor

del

rombo,

eje

simetría

horizontal, etcétera), se forman cuatro

Luego el área del rectángulo es

Dd 2

Y, por lo tanto, el modelo para obtener el área de un rombo es:

triángulos que

Dd 2

208

AREA DEL TRIANGULO__ _________________________________________

ÁREA DEL TRIÁNGULO

e traza un rectángulo y una de sus diagonales, triángulos.

superponiendo

uno

formándose Se sobre

dos

recortan otro

con

propósito de comprobar que los triángulos son iguales.

Como el área del rectángulo o del romboide se calcula con la fórmula A = bh y el área del triángulo equivale a la mitad También se puede utilizar un romboide, a partir de un punto cualquiera del lado mayor del romboide, se trazan segmentos

del área mencionada, entonces su área se obtiene con el modelo:

a los extremos de la base, formándose un triángulo en el centro (3) y dos más pequeños a los lados de este (1 y 2). Se recortan los triángulos y con ellos (1 y 2) se forma el triángulo (3), y con ello comprobamos que el triángulo 3 equivale a la mitad del área del romboide.

bh 2

Compruebe

que

pueden

utilizar

cuadriláteros irregulares para explicitar el modelo obtenido para el cálculo del área del triángulo

209

ÁREA DE POLÍGONOS REGULARES razamos

polígono

los

Como el área del romboide es bh y esta es

segmentos que unen los vértices con su

igual al pa (p = perímetro y a = apotema);

centro; formándose tantos triángulos como

entonces el área del polígono equivale a la

lados tienen el polígono. En uno de los

mitad del área del romboide; por lo tanto, el

triángulos de marca la altura y se identifica

modelo para obtener el área de cualquier

como el "apotema" del polígono.

polígono es:

Marcamos con “l” cada lado del polígono anterior

también

dividimos

pa 2

triángulos.

Recortamos los dos polígonos; recortamos los

triángulos

polígonos,

que con

se ellos

forman

los

formamos

romboide.

210

AREA DEL CIRCULO__ _________________________________________

ÁREA DEL CÍRCULO

razamos una circunferencia y el El perímetro del círculo equivale a la medida

diámetro de la misma.

de la circunferencia. P = 2π r

= C

circunferencia

identifica

como

polígono de número indefinido de lados; en Concluir que el diámetro cabe tres veces y una fracción en la circunferencia, y que esta

relación

representa

con

3.1415...

como

circunferencia, y el apotema la del radio.

constante π cuya lectura es "Pi" y su equivalencia

este caso, el perímetro es la medida de la

pa 2

p = 2πr a=r

muestra en el siguiente esquema: Entonces:

por

tanto,

perímetro

circunferencia se obtiene con el modelo: P=2

La medida de la circunferencia se obtiene

Y el área del círculo se obtiene con el

multiplicando el valor de la constante

modelo:

(3.1415...) por la medida del diámetro. C = πd

El diámetro equivale a dos veces la medida del radio, por lo tanto: C = 2π r

211

PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS Y PARALELOGRAMOS_________________ PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS Y PARALELOGRAMOS

ara que los alumnos comprendan con

claridad

propiedades

paralelogramos, cualquier

las

los

antes

demostración,

primero

comprobarlas

recorte,

doblado

diversas

triángulos de

efectuar recomienda

por

medio

superposición,

manera que el alumno comprenda de manera intuitiva cada propiedad y después pase a la abstracción, es decir, a la demostración formal. Es conveniente manejar demostraciones sencillas y poco rigurosas, de manera que estén al alcance total de los estudiantes. En

las

siguientes

páginas

mostramos

ejemplos donde solo se presentará el material

más

objetivo

posible

para

comprobar intuitivamente las propiedades, sin olvidar que en el desarrollo con los alumnos

debemos

manejar

las

etapas

objetiva, figurativa y simbólica. En el primer ejemplo, presentaremos los tres casos del triángulo a fin de dar una idea completa sobre este proceso.

212

LOS ANGULOS INTERIORES DE UN TRIANGULO SUMAN 180O_______________

LOS ÁNGULOS INTERIORES DE UN TRIÁNGULO SUMAN 180O

COMPROBACIÓN INTUITIVA

COMPROBACIÓN FORMAL

Trazamos el triángulo ABC.

Trazamos el ∆ABC.

Marcamos los ángulos interiores.

Trazamos el segmento CD paralelo al

Trazamos la altura CD.

Recortamos el triángulo ABC.

Superponemos el vértice C sobre el D B

forma

que

Sean a, b, c, los ángulos interiores del triángulo. Marcamos

con

los

ángulos

adyacentes a c.

sean

adyacentes al ángulo C.

Doblamos los ángulos A y

lado AB del triángulo.

Analice el siguiente esquema

Los ángulos A, B y C forman un ángulo colineal.

∠A + ∠ B +

∠ C = 1800

EJEMPLOS ILUSTRADOS

a) Los ángulos d, c y e forman un ángulo colineal, por lo que: ∠ d + ∠ c + ∠ e = 1800

b) ∠ a = ∠ d

y ∠ b = ∠ e por ser

alternos internos entre paralelas.

c) stos ejemplos, permiten al alumno

Como

toda

cantidad

puede

ser

sustituida por su igual, tenemos que:

tener una idea clara de los que va a demostrar formalmente.

∠ a + ∠ b + ∠ c = 1800

213

EL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIANGULO EQUIVALE A LA SUMA DE LOS DOS INTERIORES NO ADYACENTES A EL_________________________________

EL ANGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO EQUIVALE A LA SUMA DE LOS DOS INTERIORES NO ADYACENTES A EL.

Trazamos marcamos

con

el a,

triángulo b,

los

ABC

Con esta demostración, queda comprobado

ángulos

que

exterior

"El ángulo exterior de todo triángulo

interiores.

Trazamos

ángulo

adyacente a c y lo marcamos con d.

equivale a

Recortamos la figura.

Recortamos los ángulos a y b.

adyacentes a él".

Con los ángulos a y b formamos el

suma

los

dos

interiores

ángulo d. Analice el siguiente esquema:

Note que al superponer los ángulos A y B sobre D, equivalen al ángulo “D”, como se muestra en la siguiente figura:

214

LOS LADOS DE UN PARALELOGRAMO SON CONGRUENTES________________

LOS LADOS DE UN PARALELOGRAMO SON CONGRUENTES

Se trazan dos paralelogramos congruentes

y se marcan sus diagonales.

mutuamente.

Las

diagonales

Concluimos, colineal,

los

que

por

ángulos

formar

bisectan

contiguos

ángulo de

paralelogramo son suplementarios, como se muestra en la siguiente figura: Se recortan los dos paralelogramos. Uno de ellos se fija a una hoja y el otro se superpone a él, de tal forma que coincidan en la intersección de las diagonales. La intersección de las diagonales se usa como centro de rotación. Se efectúa una rotación de 1800.

Con esta rotación, se comprueba que en todo paralelogramo: a)

Los

lados

opuestos

son

congruentes. b)

Los

ángulos

opuestos

son

congruentes.

215

LAS DIAGONALES DE UN ROMBO SON PERPENDICULARES_________________

LAS DIAGONALES DE UN ROMBO SON PERPENDICULARES

Trazamos

rombo

marcamos

sus

diagonales. Recortamos el rombo Sobre las diagonales, mediante dobleces, formamos cuatro triรกngulos, de tal forma que queden superpuestos uno sobre otro.

Observamos que los cuatro triรกngulos son congruentes, por lo tanto, las diagonales se

intersectan

formando

รกngulos

congruentes; concluyendo que: "Las diagonales de de un rombo, son perpendiculares"

216

LAS DIAGONALES DE UN RECTANGULO SON CONGRUNTES_________________

LAS DIAGONALES DE UN RECTÁNGULO SON CONGRUENTES:

Trazamos

dos

rectángulos

congruentes

entre sí.

"Las diagonales de un rectángulo son congruentes"

En cada uno de ellos marcamos una diagonal, de tal forma que tengan la misma dirección

Recortamos los rectángulos Superponemos comprobar

que

uno las

sobre

otro

diagonales

para son

congruentes. Fijamos uno de los rectángulos. El otro, lo hacemos girar 1800 en el espacio y lo superponemos en el primero.

Observamos que: 1. Se marcan las dos diagonales del rectángulo, y por tanto:

217

PROPIEDADES DEL CUADRADO______________________________________

PROPIEDADES DEL CUADRADO

Se traza un cuadrado, lo recortamos y mediante cumple

dobleces con

todas

comprobamos las

que

propiedades

mencionadas.

218

RELACIONES ENTRE LOS ANGULOS EN EL CIRCULO Y LOS ARCOS QUE LOS SUBTIENDEN____________________________________________________

RELACIONES ENTRE LOS ÁNGULOS EN EL CÍRCULO Y LOS ARCOS QUE LO SUBTIENDEN f) Se realiza la misma actividad, doblando en Es conveniente que antes de pasar a

ocho partes iguales (ibid)

deducir las relaciones entre los ángulos y los arcos que subtienden, se identifique sin dificultad

los

diferentes

ángulos

Se concluye que:

círculo.

"El ángulo central tiene por medida la misma del arco que subtienden sus

ANGULO CENTRAL

lados"

Para comprobar la relación que existe entre el ángulo central y el arco que subtiende, hacemos lo siguiente: a) Trazamos una circunferencia (figura del lado derecho) b) La recortamos. c) La doblamos en dos partes y observamos que el diámetro forma un ángulo central, como

muestra

final

demostración d) El ángulo central es colineal, es decir, mide 1800; el arco que subtiende es la mitad de la circunferencia, por lo también mide 1800, (ibid) e) Se dobla en cuatro partes iguales, el ángulo central forma un ángulo recto, es decir, de 900, y el arco que subtiende es la cuarta parte de la circunferencia.

219

ANGULO INSCRITO_______________________________________________

ANGULO INSCRITO

Trazamos una circunferencia y marcamos el ángulo inscrito ABC, como se muestra en la siguiente figura:

Por lo tanto, concluimos:

Trazamos otra circunferencia y calcamos el ángulo inscrito, marcando el ángulo central AOC, tal que subtienda el ángulo inscrito,

"El ángulo inscrito tiene por medida la mitad del ángulo subtendido por sus lados"

como se muestra en la siguiente figura: Una vez realizada la comprobación objetiva, se pasará a la demostración formal; en ambos casos se recomienda utilizar una serie de

cuestionamientos

que

orienten

los

alumnos para completar el desarrollo de ambos procesos. Recortamos el ángulo central ADC. Por superposición lo comparamos con el

De la misma manera, se procederá en las

ángulo inscrito y observamos que no son

actividades del ángulo semi-inscrito inferior y

congruentes.

exterior.

El ángulo central lo doblamos en dos partes iguales y lo superponemos en el ángulo inscrito. El ángulo inscrito tiene por medida la mitad del ángulo central, como se puede advertir en el siguiente esquema:

220

ANGULO SEMI-INSCRITO______________________________________

ANGULO SEMI-INSCRITO

Se traza el ángulo semi-inscrito y el ángulo

Conclusión:

central que subtienden a la misma cuerda. "El

ángulo

semi-inscrito

tiene

por

medida la mitad del arco subtendido por su cuerda"

Se recorta el ángulo central, lo doblamos a la mitad y lo superponemos sobre el ángulo semi-inscrito

Se comprueba que el ángulo semi-inscrito equivale a la mitad del ángulo central.

221

ANGULO INFERIOR________________________________________________

ANGULO INTERIOR

Se trazan el ángulo interior y los ángulos centrales que subtienden los mismos arcos.

Conclusión:

Se recortan los ángulos centrales y se

"El

ángulo

interior

equivale

pegan de tal forma que sean adyacentes.

semisuma de los arcos comprendidos

El ángulo formado, representa la suma de

por sus lados"

de los ángulos centrales.

Al superponerlo sobre el ángulo interior, como se muestra en la siguiente figura, comprobamos que este equivale a la mitad de la suma de los ángulos centrales.

222

ANGULO EXTERIOR______________________________________

ÁNGULO EXTERIOR

Se trazan el ángulo exterior y los ángulos

Conclusión:

centrales que subtienden los mismos arcos. "El

ángulo

exterior

equivale

semidiferencia de los arcos subtendidos por sus lados"

Recortamos los ángulos centrales. Superponemos el menor sobre el mayor, de tal forma que coincidan en el vértice y uno de los lados. La parte del ángulo mayor que no queda cubierta

por

menor

equivale

diferencia de los ángulos. Se recorta la diferencia y se dobla a la mitad; al colocarlo sobre el ángulo exterior, comprobamos

que

éste

equivale

semidiferencia de los ángulos centrales.

223

CONCLUSIONES FINALES______________________________________

CONCLUSIONES FINALES

1. El principio fundamental de adaptar la

8. La enseñanza de la Matemática, además

enseñanza y la educación a las capacidades

de servir como herramienta para resolver

e intereses de los educandos, se aplica a

problemas

todas las edades.

información

vida,

formación

como

que

sirva

una de

antecedentes para estudios posteriores, tiene 2. El alumno es quien debe buscar y

como uno de sus objetivos fundamentales el

construir su propio proceso de aprendizaje.

"cultivar" la capacidad de pensar en forma matemática

3. Cuando los alumnos se empiezan a

esenciales

interesar por las interrogantes de cómo y

los educandos.

lógica

como

elementos

del desenvolvimiento integral de

por qué, es necesario orientarlos para que ellos mismos busquen sus respuestas.

9. No olvidar que en la enseñanza básica, no se están formando matemáticos, sino que se

Las

actividades

propuestas

por

están

formando

seres

humanos,

que

profesor deben provocar y sostener el

pretendemos

interés de los estudiantes, quienes deben

responsables,

participar en forma directa y activa.

solidarios, sensibles, felices, etcétera.

5. El fomento de la intuición, tiene como

10. Lograr cambios positivos en la enseñanza

fin, el preparar al alumno para el estudio

de la Matemática, significa un gran reto que

racional de la Geometría y para fomentar

debemos

una mente abierta y perceptiva.

mediante enseñanza

sean

honestos,

respetuosos,

afrontar el

racionales,

con

diseño que

críticos,

medidas del

permitan

eficaces,

modelos

aprenderla,

6. El considerar como origen lo concreto,

aplicarla y adoptar una actitud segura y

tiene

entusiasta al estudiarla.

carácter

descriptivo

constructivo. 7. El carácter del material es operativo, debe ejercitar las facultades sintéticas y analíticas.

224

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

MEDICIÓN DE CAPACIDAD Y VOLUMEN

principio

aplicaciones

Cavalieri

sus

Principio de Cavalieri3 Si dos cuerpos tienen la misma altura y al cortarlos por planos paralelos a sus bases se obtienen figuras con la misma área, entonces tienen el mismo volumen.

Rivaud Morayata, Juan José. Profesor titular del Departamento de Matemáticas del CIEA del Instituto Politécnico Nacional 3 Bonaventura Cavalieri (1598 - 1647) De la `A Calzón Cuenta de la Historia de Matemática ' (4 edición, 1908) por W. W. Despierte Pelota. Casi contemporáneamente con la publicación en 1637 de Descartes ' la geometría, los principios del cálculo íntegro, hasta ahora cuando ellos se preocupan por suma, estaba funcionándose en Italia. Esto fue efectuado por lo que se llamó el principio de indivisibles, y era la invención de Cavalieri. Fue aplicado por él y sus contemporáneos a numerosos problemas conectados con la cuadratura de curvas y superficies, la determinación en volúmenes, y las posiciones de centros de masa. Sirvió el mismo propósito como el método tedioso de agotamientos usado por los griegos; en principio los métodos están el mismo, pero la anotación de indivisibles es más concisa y conveniente.

225

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

EL VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE4 Consideremos

una

pirámide

como

muestra en la siguiente figura. Tomemos como base al triángulo A, B, C y llamemos h a la altura correspondiente; es decir, a la distancia

del

vértice

plano

determinado por los puntos A, B y C. Desde la educación primaria aprendemos que el volumen de la pirámide está dado por el modelo (fórmula):

Pensemos en varias pirámides con la misma base y altura.

¿No crece o decrece el

volumen cuando tomamos pirámides más y más inclinadas? ¿Todas ellas, efectivamente, tiene el mismo volumen?

pero, ¿estamos convencidos de ello?

Empecemos por convencernos que si dos pirámides con base triangular tienen bases y alturas iguales, entonces su volumen son igual. Para ello, primero estudiemos qué pasa cuando cortamos una pirámide triangular por medio de un plano paralelo a la base, como se muestra en la siguiente figura:

O bien este esquema:

4 Rivaud Morayata, Juan José. Geometría Intuitiva 2, áreas, volúmenes y centros de gravedad, Ed. Limusa, México 1996, Pp. 11 – 40

226

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

A' B' B' D A' D = = AB BD CD A' C ' A' D C ' D = = AC AD C C ' E ' C ' D E ' D h' = = = CE CD ED h que en resumen nos da:

A' B' B'C' A'C' A' D B' D C' D E' D h' = = = = = = = AB BC AC AD BD CD ED h

lo que en particular, nos dice que los lados Las pirámides de bases ABC y A’B’C’ y vértice común D son proporcionales pues,

del triángulo A’B’C’ están relacionados con los lados del triángulo ABC como sigue:

por tener lados paralelos, las siguientes parejas de triángulos: ∆ABC y ∆A’B’C’ ∆ABD y ∆A’B’D

A' B =

h' AB , h

A' C ' =

h' AC h

∆BCD y ∆B’C’D ∆ACD y ∆A’C’D

∆CED y ∆C’E’D

esta

B' C ' =

h' BC h

observación

deducimos

inmediatamente que: son semejantes y, por lo tanto, tenemos

“Si dos pirámides triangulares tienen la

que:

misma base y alturas iguales, entonces al cortarlas por medio de un plano paralelo al

A' B' B ' C ' A' C ' = = AB BC AC B' C ' B' D C ' D = = BC BD CD

base.

Los

dos

triángulos

que

obtenemos tienen su lados iguales y por lo tanto, son iguales” (ver la siguiente figura)

227

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

Convenzรกmonos

ahora

que

ambas

pirรกmides tienen el mismo volumen. Para ello, pensemos que cada una de ellas estรก hecha de laminillas muy delgadas, pero todas del mismo grueso, como se muestra en la siguiente figura:

Pues aplicando las relaciones anteriores a ambas pirรกmides, tenemos:

A' B' =

h' AB = A' ' B' ' h

B' C ' =

h' BC = B' ' C ' ' h

A' C ' =

h' AC = A' ' C ' ' h

Para cada altura inmediata, por lo que acabamos

ver,

las

laminillas

228

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

correspondientes en una y otra pirámide

Sabemos que el volumen del prisma está

son iguales y por lo tanto tienen el mismo

dado por

volumen. Como esto sucede para cada una de las laminillas en una y otra pirámide,

Vol. Prisma = Área ∆ABC x h.

ambas pirámides tienen el mismo volumen. Más tarde, en la sección 1.7, damos un

Ahora el prisma en tres pirámides, cada una

argumento

de ellas con vértices

mucho

más

preciso,

pero

también más complicado para justificar esto mismo; pero por el momento, le

ABCF, AFDE Y AFDC

pedimos al lector quedarse conforme y seguir adelante.

Como se muestra en la siguiente figura:

Sabiendo que si dos pirámides triangulares tienen bases y alturas iguales, entonces tienen el mismo volumen; pasemos a demostrar que este volumen efectivamente es:

Dado un triángulo ABC y una altura h consideremos el prisma recto con dicho triángulo como base y h como altura como

Estas

se muestra en la siguiente figura:

volumen; la primera y la segunda porque si

tres

pirámides

tienen

mismo

tomamos como base de cada una de ellas los triángulos

ABC

EFD,

alturas

los

segmentos BF y AE, tienen bases y alturas iguales y por lo tanto, volúmenes iguales. La segunda y la tercera porque si tomamos como base los triángulos AED y ACD, éstos son iguales (cada uno es la mitad del rectángulo AEDC)

y como vértice F es

común, sus alturas también son iguales. Por lo tanto, el volumen del prisma es igual a

229

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

tres veces el volumen de la pirámide ABCF,

Para conos, ya sean rectos u oblicuos,

o sea,

también

volumen. Vol. Pirámide =

1 3

fórmula

razón

para

nos ello

nos

Vol. Prisma proporciona el recordar que, si inscribimos

que sabemos es el mismo para todas las

polígonos regulares en un círculo de un

pirámides triangulares con bases y alturas

número cada vez mayor de lados, las áreas

iguales.

de éstos cada vez se aproximan más y más al

Para pirámides que tengan como base

área del círculo, como se muestra en la

siguiente figura:

otros polígonos, sabemos que la misma fórmula es válida, pues al partir la base en triángulos

forman

pirámides

triangulares, todas ellas con la misma altura, para las cuales la fórmula es válida, como se muestra en la siguiente figura:

análogamente

pirámides

los

volúmenes

correspondientes

cada

las

vez

aproximan más y más al volumen del cono, como se muestra en la siguiente figura:

Área del polígono = Área T1 + Área T2 + Área T3

En los albores de la Geometría griega, trescientos

años

antes

Euclides,

230

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

Demócrito aportó los razonamientos que

intermedia

acabamos de exponer.

correspondiente a dicha altura corta a una y otra

figura

recta

paralela

secciones

con

a la

misma

medida, entonces las dos figuras tienen la

1.2.EL PRINCIPIO DE CAVALIERI

misma área, como se muestra en la siguiente figura.

La idea de las laminillas usadas para argumentar

que dos pirámides con bases

(fig. 12)

y alturas iguales tienen el mismo volumen sugiere el principio general que enunció

La justificación del Principio de Cavalieri,

Bonaventura Cavalieri, a principio del

tanto para cuerpos como para figuras planas,

siglo

es lo

XVII,

que

continuación

mismo como en

caso de las

pirámides. Pensemos que ambos cuerpos (o

describe.

figuras), están hechos a base de laminillas cuerpos:

sumamente delgadas todas ellas del mismo

Consideremos dos cuerpos con la misma

espesor, si en cada altura intermedia, en uno

altura, situados sobre un plano IP. Si para

y otro cuerpo (o figura), tiene la misma

cada altura intermedia el plano paralelo a

medida, ambas laminillas ocuparán espacios

IP correspondiente a dicha altura corta a

iguales y por ello ambos cuerpos (o figuras)

uno y otro cuerpo en secciones con la

también ocuparán el mismo espacio.

Principio

Cavalieri

para

misma área, entonces los dos cuerpos tienen el mismo volumen como se muestra

El Principio de Cavalieri le da nueva vida a

en la siguiente figura:

las

fórmulas

conocidas.

Por

ejemplo,

fórmula para calcular el volumen de un prisma (Vol. = Área de la base x la altura);

FIGURA 11

también

sirve

para

calcular

los

S1 y S 2

volúmenes de muchos otros cuerpos, todos

que ser iguales para todas y cada

los que, al igual que en un prisma, en cada

(Insistimos en que las áreas de tienen

nos

una de las alturas intermedias).

altura intermedia tienen secciones con la misma área que la base, como se muestra en

Para figuras planas, tenemos también la

la siguiente figura:

versión correspondiente a este principio. Principio de Cavalierri para figuras planas: Consideremos dos figuras planas situadas sobre una recta L. Si para cada altura

231

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

Vol. = área de la base x h

Esencialmente es siguiendo esta idea como aplicamos

Para otras fórmulas de volúmenes o áreas de figuras planas la situación es la misma como la ilustran las siguientes figuras:

dificultad

Principio

consiste

Cavalieri.

encontrar

figuras

simples con las cuales poder comparar, en cada altura intermedia, el cuerpo (o la figura plana) del que deseamos conocer el volumen (o área). Las siguientes secciones ilustran este punto.

232

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

1.3.EL VOLUMEN DE LA ESFERA

Vol. Esfera =

Para encontrar el volumen de una esfera

4 3

Obteniendo así la fórmula deseada.

de radio r primero calcularemos el volumen de media esfera. Para ello, consideremos,

Pasemos, pues, a probar que los dos cuerpos

además de la media esfera, un cilindro de

de la figura anterior (media esfera y cono

radio r y altura también r,

inscrito en el cilindro) satisfacen el principio

y dentro de

este un cono con la misma base y altura r

de Cavalieri. Para ello consideremos un plano paralelo al de las bases, a una altura h, como se muestra en la siguiente figura:

Aplicando

Principio

demostraremos

que

media

igual

esfera

Cavalieri,

volumen al

volumen

La intersección de la media esfera, con este plano,

nos

círculo

cuyo

radio

comprendido entre el cilindro y el cono,

calculamos usando el teorema de Pitágoras,

luego,

como se muestra en la siguiente figura:

1 2

Vol. =

Esfera = Vol. Cilindro – Vol.

Cono, Y ya que sabemos que Vol. Cilindro = Área base x altura =

r2 x

r= Y

De donde:

Vol. Cono =

p2 + h2 = r2 Que implica:

Tendremos que Vol.

1 2

r3 O sea,

Esfera =

r3 -

1 3

r3 =

2 3

p2 = r2 - h2 O sea: p=

r 2 − h2

Por lo tanto, el área de la sección de la media esfera a la altura h es:

233

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

Área sección =

1 2

p2 =

esfera =

(r2 –

H2 ) La intersección del segundo cuerpo es una corono circular, cuyo radio exterior es r y el interior es precisamente h, como se muestra en la siguiente figura: Por el mismo argumento que dimos para la esfera y el cilindro al que le quitamos el cono,

sabemos

que

estos

dos

cuerpos

también satisfacen el Principio de Cavalieri, por lo que sus volúmenes son iguales, o sea: Vol. Cuerpo I = Vol. Cuerpo II Pero el volumen del Cuerpo II es igual a la Por lo tanto el área de la corona circular es la diferenta de las áreas de ambos círculos, o sea: Área Corona =

r2 –

Luego,

secciones

ambas

h2 =

(r2 – h2) tienen

diferencia entre el volumen de un cilindro cuya base tiene radio r y su altura es a y de un cono cuya base tiene radio a y cuya altura es a, luego:

áreas

iguales, como queríamos probar y por lo tanto el modelo (fórmula) obtenida para el

conocer

este

modelo

(fórmula)

nos

volumen de la esfera es correcta.

permite además calcular el volumen de un casquete de altura b en una esfera de radio

trabajo

que

acabamos

realizar

r, como se muestra en la siguiente figura:

también nos sirve para calcular el volumen de la media esfera de radio r a la que le hemos quitado un casquete, cortándola por medio de un plano paralelo a su base a una altura

a y al que llamaremos “cuerpo I”,

como se muestra en la siguiente figura:

El volumen de dicho casquete será igual al volumen de media esfera menos el volumen del Cuerpo I con altura a = (r – b), o sea:

234

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

Que después de hacer las simplificaciones algebraicas correspondientes, nos da:

Nosotros

hemos

reducido

modelo

(fórmula) para b ≥ r, pero también es válida para toda b ≥ 0 ó = 2r. Demuestre usted que el volumen de ese “brazalete” es:

EJERCICIO En un círculo de radio R tomemos un segmento circular y llamemos r a la mitad

¡Note que no depende del radio R!

Sugerencia: Demuestre que el “brazalete” y

determina, como se observa en el siguiente

una esfera de radio r satisfacen el Principio

esquema:

de Cavalieri, como se muestra en la siguiente

longitud

cuerda

que

figura:

Al girar el segmento, tomando como eje de rotación el diámetro del círculo paralelo a la cuerda, obtenemos un cuerpo parecido a un brazalete, como se muestra en la siguiente figura:

235

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

1.4.EL

VOLUMEN

INTERSECCIÓN

DOS

CILINDROS En esta sección aplicaremos el Principio de Cavalieri para calcular el volumen de la intersección o parte común de dos cilindros rectos

radio

cuyos

ejes

son

perpendiculares, como se muestrea en la siguiente figura:

El plano determinado por los ejes de ambos cilindros corta el cuerpo A en un cuadrado cuyo lado es el diámetro de los cilindros, o sea, 2r, como lo muestra la primer figura de esta sección.

Un plano paralelo al determinado por los ejes de los cilindros, a una distancia de éste menor que r, intercepta al cuerpo A en un cuadrado cuyo lado tiene la misma longitud que la cuerda que se obtiene al cortar dicho plano en la base de cualquiera

Para

llevar

cavo

dicho

cálculo,

procederemos en forma similar a como

de los dos cilindros, como lo muestra la figura anterior.

hicimos en el caso del volumen de la esfera;

pero,

primero,

haremos

dos

Procederemos ahora de manera similar que

observaciones para familiarizarnos un poco

con la esfera. Consideremos la mitad del

más con el cuerpo en cuestión, al que

cuerpo A que queda por encima del plano

denotaremos por A, como se muestra en la

determinado

siguiente figura:

cilindros y comparémoslo con un prisma

por

los

diámetros

los

recto de altura r y base un cuadrado de lado 2r y al que le hemos quitado una pirámide de igual base, como lo muestra la siguiente figura:

236

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

1 Vol. A = Vol. Prisma – Vol. Pirámide = 2

(2r ) 2 * r

(2 r2) x r -

3 8 3 4r 3 = 4r − = r 3 3

que implica: Vol. A =

16 3 r 3

Modelo

(fórmula)

que

resuelve

nuestro

problema.

EJERCICIO: Probemos que estos dos cuerpos cumplen con el Principio de Cavalieri; para ello consideremos un plano paralelo al de la base a una altura h como lo muestra la siguiente figura:

Considere

cuerpo

formado

por

dos

cilindros, ambos de radio r, cuyos ejes se interceptan perpendicularmente y tales que las tapas de cada uno de ellos son tangentes al otro, como se muestra en la siguiente figura:

Calcule su volumen El área del cuadrado es: 4(r2 – h2) = 4r2 – 4h2 Para el segundo cuerpo, el área de la sección es la diferencia de las áreas de los cuadrados, es decir: Se cumple el Principio de Cavalieri, por l tanto:

237

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

1.5. EL VOLUMEN DE UNA LLANTA

Antes que nada denotaremos por r1 al radio

O “TORO”

del círculo C y por r2 la distancia del centro de C a la recta L y a una distancia h del

Tenemos un círculo C en el mismo plano

centro del círculo: la sección que obtenemos

que una recta L que no lo corte, como

tiene la forma de una corona cuyo radio

muestra la siguiente figura:

exterior es: r2 +

2 2 r −h 1

y el interior es: r2 -

2 2 r −h 1

Como lo muestra la siguiente figura:

El cuerpo que describe el círculo al hacer girar el plano sobre la recta L, recibe el nombre de “toro” (y en palabras comunes es

algo

así

como

una

llanta),

como

muestra la siguiente figura:

Y por lo tanto su área es: [ r2 +

r22 + 2r2

r22 - 2r2 =4

2 2 r −h ]– 1

[r2 -

2 2 r −h ]= 1

r 2 − h 2 + h2 – r2] 1

r 2 − h2 1

Un cuerpo que tiene la misma altura y secciones con la misma área es un cilindro En esta sección nos proponemos a aplicar

como el que se muestra en la siguiente

una vez más el Principio de Cavalieri para

figura:

calcular el volumen del toro.

238

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

Obteniéndose

esta

forma

modelo

(fórmula) de arriba; lo que ocurre es que el cilindro “flexible” fue estirado en la “mitad” Claramente, la altura h tiene como sección

exterior y comprimido en la interior, y es

un rectángulo con esa misma área: por el

interesante el hecho de que el volumen

Principio de Cavalieri, los volúmenes de

ganado al estirar la “mitad” exterior sea el

ambos cuerpos son iguales y ya que el de

mismo que se pierde al comprimir la “mitad

cilindro es:

interior, tal como se muestra en la siguiente

Vol. Cilindro = Área de la base x altura = r12 x 2

r2 = 2

figura:

r12r2’

Hemos obtenido el modelo (fórmula) para el volumen del toro. Con un poco de ingenuidad, este modelo podría

parecernos

“demasiado

natural”,

pues si pensamos que el cilindro es de un material flexible, tal como un trozo de manguera, y lo curvamos hasta unir las

A continuación calculamos el volumen que

dos tapas, nuestra experiencia nos dice

ocupa la “mitad” exterior:

que el volumen no ha cambiado, pues lo podemos hacer con la manguera llena de

Dicha

agua y no notamos que se infle o desinfle,

similarmente a como obtuvimos todo el toro,

como se muestra en la siguiente figura:

pero ahora tenemos que fijarnos únicamente

mitad

podemos

conseguir

en la media circunferencia, como se indica en la siguiente figura:

239

MEDICION DE CAPACIDAD Y VOLUMEN________________________________

r2+ r

−h

y el interior es r2, por lo tanto

el área de la sección a esta altura h es:

A una altura h, la sección es también una corona

circular

cuyo

radio

exterior

240

241