Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 1 C-niveau
af Thomas Jensen og Morten Overg책rd Nielsen
Matema10k Matematik for gymnasiet Bind 1 C-niveau
af Thomas Jensen og Morten Overg책rd Nielsen
40 Er matematikken nyttig? Det fortælles at én af oldtidens store grækere Euklid (ca. 300 f. Kr.) engang blev spurgt af en student hvad læsningen af geometrien ville gavne. Euklid havde forfattet et epokegørende matematisk værk i 13 bøger: »Elementer« og studenten havde arbejdet med stoffet. Euklid sagde da til en slave: »Giv denne mand tre skilling, eftersom han nødvendigvis må tjene på det, han lærer«. Dermed var spørgsmålet rejst: Er matematikken nyttig? Euklids betydning har gennem historien været så stor at den type geometri han behandlede, fik navnet »euklidisk geometri«, og vi arbejder videre med den i kapitlet »Geometri«. Om den euklidiske geometri siger den engelske matematiker G. H. Hardy (1877-1947): »Euklidisk geometri ... er nyttig i den udstrækning den er kedelig«. Det giver jo ikke just én lyst til at give sig i kast med geometrien. Hardys synspunkt var at mens »skolematematikken« kunne være nyttig, var »højere« matematik unyttig. Nytte er ikke målet for de store matematikere: »..der er ingen virkelig matematiker, hvis liv kan retfærdiggøres på dette grundlag. Hvis dette var prøvestenen, spildte Abel, Riemann og Poincaré deres liv; deres bidrag til den menneskelige bekvemmelighed var forsvindende og verden ville have været et lige så lykkeligt sted uden dem.« Uden tvivl vil mange opfatte Hardys holdning som arrogant: »Der er da to matematikker. Der er den virkelige (eng. »real«) matematikers virkelige matematik, og der er hvad jeg vil kalde den »trivielle« matematik – i mangel af et bedre udtryk.«
Vi beskæftiger os utvivlsomt i matematik på C-niveau med hvad Hardy kalder den »trivielle« matematik. Det pudsige er at emner som Hardy regnede for at høre til det klart unyttige med tiden er blevet vigtige i den teknologiske udvikling. »Talteorien« hørte ifølge Hardy til den højere matematik, men den spiller i dag en stor rolle i bl.a. sikkerhed på internettet i forbindelse med kryptering. Hardy anså det ikke for en dyd at være unyttig, men »videnskab arbejder både for det onde og det gode«. »Nytten« var ifølge Hardy blot ikke kriteriet på om noget er »god matematik«. Matematikken har gennem tiden været i tæt samspil med andre videnskaber og på den måde betydet meget for samfundsudviklingen. Men ved siden af denne side af matematikken der retter sig mod »det praktiske liv«, har der været en side af matematikken som Hardy kaldte »den højere matematik«. Hardy opfatter den på linje med kunst og kræver at en matematisk teori er »smuk«. Længere tilbage i tiden nåede ægypterne langt i matematikkens anvendelser mens en del grækere – herunder Platon – anså matematik som noget ophøjet der var passende for en fri mands dybeste tanker. Dér var den praktiske anvendelse noget næsten vulgært. Det kan selvfølgelig betyde at den tekniske udvikling hæmmes, men på den anden side lægger man måske da mere vægt på beviser og klarhed frem for om det virker.
Procent og rente
%
Mål med kapitlet Målene med dette kapitel er l at afklare hvordan man grundlæggende regner med procent l at tydeliggøre hvordan man lægger procent til og trækker procent fra l at udnytte denne kunnen til at regne med renters rente l at lægge op til videre arbejde i matematik hvori procent og rente indgår.
40 Er matematikken nyttig? Det fortælles at én af oldtidens store grækere Euklid (ca. 300 f. Kr.) engang blev spurgt af en student hvad læsningen af geometrien ville gavne. Euklid havde forfattet et epokegørende matematisk værk i 13 bøger: »Elementer« og studenten havde arbejdet med stoffet. Euklid sagde da til en slave: »Giv denne mand tre skilling, eftersom han nødvendigvis må tjene på det, han lærer«. Dermed var spørgsmålet rejst: Er matematikken nyttig? Euklids betydning har gennem historien været så stor at den type geometri han behandlede, fik navnet »euklidisk geometri«, og vi arbejder videre med den i kapitlet »Geometri«. Om den euklidiske geometri siger den engelske matematiker G. H. Hardy (1877-1947): »Euklidisk geometri ... er nyttig i den udstrækning den er kedelig«. Det giver jo ikke just én lyst til at give sig i kast med geometrien. Hardys synspunkt var at mens »skolematematikken« kunne være nyttig, var »højere« matematik unyttig. Nytte er ikke målet for de store matematikere: »..der er ingen virkelig matematiker, hvis liv kan retfærdiggøres på dette grundlag. Hvis dette var prøvestenen, spildte Abel, Riemann og Poincaré deres liv; deres bidrag til den menneskelige bekvemmelighed var forsvindende og verden ville have været et lige så lykkeligt sted uden dem.« Uden tvivl vil mange opfatte Hardys holdning som arrogant: »Der er da to matematikker. Der er den virkelige (eng. »real«) matematikers virkelige matematik, og der er hvad jeg vil kalde den »trivielle« matematik – i mangel af et bedre udtryk.«
Vi beskæftiger os utvivlsomt i matematik på C-niveau med hvad Hardy kalder den »trivielle« matematik. Det pudsige er at emner som Hardy regnede for at høre til det klart unyttige med tiden er blevet vigtige i den teknologiske udvikling. »Talteorien« hørte ifølge Hardy til den højere matematik, men den spiller i dag en stor rolle i bl.a. sikkerhed på internettet i forbindelse med kryptering. Hardy anså det ikke for en dyd at være unyttig, men »videnskab arbejder både for det onde og det gode«. »Nytten« var ifølge Hardy blot ikke kriteriet på om noget er »god matematik«. Matematikken har gennem tiden været i tæt samspil med andre videnskaber og på den måde betydet meget for samfundsudviklingen. Men ved siden af denne side af matematikken der retter sig mod »det praktiske liv«, har der været en side af matematikken som Hardy kaldte »den højere matematik«. Hardy opfatter den på linje med kunst og kræver at en matematisk teori er »smuk«. Længere tilbage i tiden nåede ægypterne langt i matematikkens anvendelser mens en del grækere – herunder Platon – anså matematik som noget ophøjet der var passende for en fri mands dybeste tanker. Dér var den praktiske anvendelse noget næsten vulgært. Det kan selvfølgelig betyde at den tekniske udvikling hæmmes, men på den anden side lægger man måske da mere vægt på beviser og klarhed frem for om det virker.
Procent og rente
%
Mål med kapitlet Målene med dette kapitel er l at afklare hvordan man grundlæggende regner med procent l at tydeliggøre hvordan man lægger procent til og trækker procent fra l at udnytte denne kunnen til at regne med renters rente l at lægge op til videre arbejde i matematik hvori procent og rente indgår.
48
Procent og rente Kort om rødder og potenser Vi kan udregne: 42= 16 og 16 = 4 52= 25 og 25 = 5 Egentlig burde vi skrive kvadratroden som »den anden rod af«, f.eks. 2 16 , men det er der ingen tradition for. Vi kan se at når vi »sætter noget i anden potens«, så er det så at sige det modsatte af at uddrage kvadratroden (når vi ikke inddrager negative tal). Dette princip kan vi udvide så vi f.eks. kan udregne: 43= 4 $ 4 $ 4 = 64 og 3 64 = 4 hvor man læser 3 64 som »den tredje rod af 64«. 54= 5 $ 5 $ 5 $ 5 = 625 og 4 625 = 5 Her læser man 4 625 som »den fjerde rod af 625«. Du kan evt. læse mere om potensregning i rammerne s. 160 og 162.
Vi vil nu udregne den årlige fremskrivningsfaktor. Dette kræver at vi ganger den månedlige fremskrivningsfaktor med sig selv 12 gange (læs evt. rammen s. 48). Derfor får vi: Får = (Fmåned )12 = ^1, 011h = 1, 140 12
Vi skal nu finde den årlige procentændring, dvs. den årlige rente: Procentændring = Får - 1 = 1, 140 - 1 = 0, 140 = 14, 0% Dermed er renten på dette lånetilbud højere end de 13,2%. Fra årlig til månedlig rente: Hvis vi har en årlig rente på 10%, kan vi udregne den månedlige rente (pas dog på når begrebet »pålydende rente« anvendes – læs evt. mere på bogens hjemmeside). Vi finder først den årlige fremskrivningsfaktor:
Procentændring fra kort til lang periode – og omvendt
Får = 1 + 10 = 1 + 0, 1 = 1, 1 100
Man kan få behov for at skulle sammenligne renter. Det kan være at man for et lån har en årlig rente på 13,2% som man ønsker at sammenligne med et lånetilbud hvor man skal betale 1,1% pr. måned i rente (og der er rentetilskrivning hver måned). Vi vil nu omregne den månedlige rente på 1,1% til en årlig rente så vi kan sammenligne renterne.
Vi skal dernæst finde den månedlige fremskrivningsfaktor. Vi skal finde det tal der ganget med sig selv 12 gange, giver 1,1. Dette gør vi ved at uddrage den 12. rod af 1,1: Fmåned = 12 Får =12 1, 1 = 1, 008 Vi kan herefter få renten, dvs. procentændringen:
Vi omregner på følgende måde: rmåned = Fmåned - 1 = 1, 008 - 1 = 0, 8% Fra månedlig til årlig rente: Med en månedlig rente på 1,1% får vi den månedlige fremskrivningsfaktor til: Fmåned = 1 +
1, 1 1 0, 011 = 1, 011 100 = +
49
WWW
48
Procent og rente Kort om rødder og potenser Vi kan udregne: 42= 16 og 16 = 4 52= 25 og 25 = 5 Egentlig burde vi skrive kvadratroden som »den anden rod af«, f.eks. 2 16 , men det er der ingen tradition for. Vi kan se at når vi »sætter noget i anden potens«, så er det så at sige det modsatte af at uddrage kvadratroden (når vi ikke inddrager negative tal). Dette princip kan vi udvide så vi f.eks. kan udregne: 43= 4 $ 4 $ 4 = 64 og 3 64 = 4 hvor man læser 3 64 som »den tredje rod af 64«. 54= 5 $ 5 $ 5 $ 5 = 625 og 4 625 = 5 Her læser man 4 625 som »den fjerde rod af 625«. Du kan evt. læse mere om potensregning i rammerne s. 160 og 162.
Vi vil nu udregne den årlige fremskrivningsfaktor. Dette kræver at vi ganger den månedlige fremskrivningsfaktor med sig selv 12 gange (læs evt. rammen s. 48). Derfor får vi: Får = (Fmåned )12 = ^1, 011h = 1, 140 12
Vi skal nu finde den årlige procentændring, dvs. den årlige rente: Procentændring = Får - 1 = 1, 140 - 1 = 0, 140 = 14, 0% Dermed er renten på dette lånetilbud højere end de 13,2%. Fra årlig til månedlig rente: Hvis vi har en årlig rente på 10%, kan vi udregne den månedlige rente (pas dog på når begrebet »pålydende rente« anvendes – læs evt. mere på bogens hjemmeside). Vi finder først den årlige fremskrivningsfaktor:
Procentændring fra kort til lang periode – og omvendt
Får = 1 + 10 = 1 + 0, 1 = 1, 1 100
Man kan få behov for at skulle sammenligne renter. Det kan være at man for et lån har en årlig rente på 13,2% som man ønsker at sammenligne med et lånetilbud hvor man skal betale 1,1% pr. måned i rente (og der er rentetilskrivning hver måned). Vi vil nu omregne den månedlige rente på 1,1% til en årlig rente så vi kan sammenligne renterne.
Vi skal dernæst finde den månedlige fremskrivningsfaktor. Vi skal finde det tal der ganget med sig selv 12 gange, giver 1,1. Dette gør vi ved at uddrage den 12. rod af 1,1: Fmåned = 12 Får =12 1, 1 = 1, 008 Vi kan herefter få renten, dvs. procentændringen:
Vi omregner på følgende måde: rmåned = Fmåned - 1 = 1, 008 - 1 = 0, 8% Fra månedlig til årlig rente: Med en månedlig rente på 1,1% får vi den månedlige fremskrivningsfaktor til: Fmåned = 1 +
1, 1 1 0, 011 = 1, 011 100 = +
49
WWW
Procent og rente Renters rente Hvis man sætter penge i banken, får man normalt rente af det beløb man har sat ind. Hvis man sætter 1 000 kr. ind på en konto der f.eks. giver 2% i rente pr. år, så vil man efter 1 år have: 1 000 $ b1 + 2 l = 1 000 $ 1, 02 = 1 020, 00 kr. 100 Hvis man lader pengene stå endnu et år, vil man have: 1 020 $ 1, 02 = 1 040, 40 kr. Første år får man altså 20 kr. i rente, mens man andet år får 20,40 kr. i rente. At rentebeløbet andet år er større end første år skyldes at man også får renter af første års renter.
57
Eksempel 1 Hvis man sætter 1 000 kr. i banken, får 2% i rente om året og lader pengene stå i 14 år, vil man have:
K = 1 000 $ ^1 + 0, 02h = 1 000 $ 1, 0214= 1 319, 48 kr. 14
Eksempel 2 Den 1. maj 2005 sættes 200 kr. i banken. Vi antager at formuen vokser med 15% om året. Søjlerne viser hvor meget man har år for år. Formue i kr.
56
3 000 2 500 2 000
Kapitalfremskrivning
1 500
Rentes-renteprincippet danner grundlag for den såkaldte kapitalfremskrivning:
1 000 500
Slutbeløbet – dvs. beløbet efter n terminer
HUSK
Begyndelsesbeløbet
K = K0 $ (1+r) Renten pr. termin – f.eks. pr. år eller måned
n
Antal terminer – f.eks. 5 år eller 60 måneder
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Beregninger med kapitalfremskrivning Formlen for kapitalfremskrivning er at opfatte som en ligning, og vi kan i princippet udregne den ubekendte hvis vi kender tre af værdierne der indgår. At finde K0 Vi kan udregne begyndelsesbeløbet hvis vi har oplyst slutbeløbet, renten og antal terminer. Lad os betragte et eksempel hvor vi efter 8 år har 32 343,73 kr. stående på en konto i en bank. Der har i de 8 år været en konstant rente på 3,8% pr. år. Vi ønsker at udregne hvor meget vi satte ind på kontoen:
Antal år efter 1. maj 2005
Procent og rente Renters rente Hvis man sætter penge i banken, får man normalt rente af det beløb man har sat ind. Hvis man sætter 1 000 kr. ind på en konto der f.eks. giver 2% i rente pr. år, så vil man efter 1 år have: 1 000 $ b1 + 2 l = 1 000 $ 1, 02 = 1 020, 00 kr. 100 Hvis man lader pengene stå endnu et år, vil man have: 1 020 $ 1, 02 = 1 040, 40 kr. Første år får man altså 20 kr. i rente, mens man andet år får 20,40 kr. i rente. At rentebeløbet andet år er større end første år skyldes at man også får renter af første års renter.
57
Eksempel 1 Hvis man sætter 1 000 kr. i banken, får 2% i rente om året og lader pengene stå i 14 år, vil man have:
K = 1 000 $ ^1 + 0, 02h = 1 000 $ 1, 0214= 1 319, 48 kr. 14
Eksempel 2 Den 1. maj 2005 sættes 200 kr. i banken. Vi antager at formuen vokser med 15% om året. Søjlerne viser hvor meget man har år for år. Formue i kr.
56
3 000 2 500 2 000
Kapitalfremskrivning
1 500
Rentes-renteprincippet danner grundlag for den såkaldte kapitalfremskrivning:
1 000 500
Slutbeløbet – dvs. beløbet efter n terminer
HUSK
Begyndelsesbeløbet
K = K0 $ (1+r) Renten pr. termin – f.eks. pr. år eller måned
n
Antal terminer – f.eks. 5 år eller 60 måneder
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Beregninger med kapitalfremskrivning Formlen for kapitalfremskrivning er at opfatte som en ligning, og vi kan i princippet udregne den ubekendte hvis vi kender tre af værdierne der indgår. At finde K0 Vi kan udregne begyndelsesbeløbet hvis vi har oplyst slutbeløbet, renten og antal terminer. Lad os betragte et eksempel hvor vi efter 8 år har 32 343,73 kr. stående på en konto i en bank. Der har i de 8 år været en konstant rente på 3,8% pr. år. Vi ønsker at udregne hvor meget vi satte ind på kontoen:
Antal år efter 1. maj 2005
102 Funktioner Hvad er en matematisk beskrivelse af en sammenhæng mellem variable? Vi vil i dette afsnit fremlægge hvordan man matematisk kan beskrive en sammenhæng mellem to variable der forandres, dvs. varierer. Det kan f.eks. være når noget udvikler sig med tiden – hvor tiden så er den ene variabel. Lad os først betragte fire eksempler på sammenhænge: Eksempel 1 Et døgns temperatur er forskellig afhængig af hvilken dag i ét bestemt år der er tale om. Vi kan ikke bare vide at fordi det er den 3. august, så bliver døgnets gennemsnitstemperatur 17 grader. Eksempel på vejrets udvikling hvor sammenhængen mellem temperatur og tiden er vist.
Sammenhænge mellem variable Eksempel 3 Prisen for en tur med taxa afhænger dels af hvor lang tid man kører, men først og fremmest af hvor langt man kører. Derfor er der her tale om en sammenhæng mellem tre forhold. På dette niveau vil vi udelukkende betragte sammenhænge mellem to forhold. Hvis vi her forsimpler og undlader at inddrage tiden, kan vi opstille en tilnærmet beskrivelse af f.eks. hvordan prisen afhænger af antal kørte km. Sådanne forenklinger af virkeligheden foretager vi ofte i matematik. Eksempel 4 Hvis man sætter 3 500 kr. i banken og renten er på 3% pr. år, kan man regne sig frem til at man efter 7 år har: 3 500 · 1,037 = 4 304,56 kr. hvis renten er konstant i alle 7 år. Vi vælger derfor at betragte renten som en konstant, mens vi derefter har to værdier der varierer: 1 Størrelsen af det beløb vi sætter i banken 2 Størrelsen af det beløb vi kan hæve efter 7 år. At vi ikke blot får 3% af 3 500 kr. i rente pr. år (105 kr.), skyldes at vi får renter af renterne. Hvis vi ønsker at udregne slutbeløbet, er det opsparede beløb den afhængige variable. Slutbeløbet afhænger af det indsatte beløb. Det indsatte beløb er dermed den uafhængige variable.
(Nederst i figuren angives også vindhastigheden, men den interesserer vi os ikke for her. Vindhastigheden måles i meter pr. sekund, forkortet m/s)
Eksempel 2 Danmarks forbrug af el afhænger af tidspunktet på døgnet. Dette mønster gentager sig nogenlunde stabilt på hverdage, men niveauet er naturligvis væsentligt højere om vinteren end om sommeren.
På vej mod modeller for sammenhænge Hvis elektricitet koster 1 020 kr. om året i målerafgift, og prisen pr. kilowatttime konstant gennem året er 1,30 kr., så kan vi regne ud hvad vi skal betale hvis vi bruger 3 000 kilowatttimer på et år i el.
103
102 Funktioner Hvad er en matematisk beskrivelse af en sammenhæng mellem variable? Vi vil i dette afsnit fremlægge hvordan man matematisk kan beskrive en sammenhæng mellem to variable der forandres, dvs. varierer. Det kan f.eks. være når noget udvikler sig med tiden – hvor tiden så er den ene variabel. Lad os først betragte fire eksempler på sammenhænge: Eksempel 1 Et døgns temperatur er forskellig afhængig af hvilken dag i ét bestemt år der er tale om. Vi kan ikke bare vide at fordi det er den 3. august, så bliver døgnets gennemsnitstemperatur 17 grader. Eksempel på vejrets udvikling hvor sammenhængen mellem temperatur og tiden er vist.
Sammenhænge mellem variable Eksempel 3 Prisen for en tur med taxa afhænger dels af hvor lang tid man kører, men først og fremmest af hvor langt man kører. Derfor er der her tale om en sammenhæng mellem tre forhold. På dette niveau vil vi udelukkende betragte sammenhænge mellem to forhold. Hvis vi her forsimpler og undlader at inddrage tiden, kan vi opstille en tilnærmet beskrivelse af f.eks. hvordan prisen afhænger af antal kørte km. Sådanne forenklinger af virkeligheden foretager vi ofte i matematik. Eksempel 4 Hvis man sætter 3 500 kr. i banken og renten er på 3% pr. år, kan man regne sig frem til at man efter 7 år har: 3 500 · 1,037 = 4 304,56 kr. hvis renten er konstant i alle 7 år. Vi vælger derfor at betragte renten som en konstant, mens vi derefter har to værdier der varierer: 1 Størrelsen af det beløb vi sætter i banken 2 Størrelsen af det beløb vi kan hæve efter 7 år. At vi ikke blot får 3% af 3 500 kr. i rente pr. år (105 kr.), skyldes at vi får renter af renterne. Hvis vi ønsker at udregne slutbeløbet, er det opsparede beløb den afhængige variable. Slutbeløbet afhænger af det indsatte beløb. Det indsatte beløb er dermed den uafhængige variable.
(Nederst i figuren angives også vindhastigheden, men den interesserer vi os ikke for her. Vindhastigheden måles i meter pr. sekund, forkortet m/s)
Eksempel 2 Danmarks forbrug af el afhænger af tidspunktet på døgnet. Dette mønster gentager sig nogenlunde stabilt på hverdage, men niveauet er naturligvis væsentligt højere om vinteren end om sommeren.
På vej mod modeller for sammenhænge Hvis elektricitet koster 1 020 kr. om året i målerafgift, og prisen pr. kilowatttime konstant gennem året er 1,30 kr., så kan vi regne ud hvad vi skal betale hvis vi bruger 3 000 kilowatttimer på et år i el.
103
104 Funktioner Vi udregner: Pris for 3 000 kilowatttimer: 3 000 · 1,30 + 1 020 = 4 920 kr. Her er forbruget den uafhængige variabel mens den samlede pris er den afhængige variabel (der afhænger af forbruget).
Sammenhænge mellem variable Eksempler på sammenhænge Visse sammenhænge er alment kendte. Det er f.eks. muligt at opstille en sammenhæng mellem radius i en cirkel og arealet af en cirkel fordi der her indgår to forhold der varierer, nemlig arealet og radius. Sammenhængen fandt man frem til allerede i oldtidens Grækenland:
De fleste sammenhænge i virkelighedens verden lader sig ikke så let beskrive matematisk. Nogle typer af sammenhænge kræver mere avanceret matematik end den der er indeholdt i dette niveau.
Areal af cirkel = r · (radius)2
Sammenhænge betegnes matematisk som funktioner. Tre typer af funktioner optræder ret hyppigt og er anvendelige til at beskrive sammenhænge i virkelighedens verden:
Hvis vi oversætter til matematisk notation hvor arealet af cirklen betegnes y og radius betegnes x, så gælder altså:
Her er tegnet r »pi«, dvs. p i det græske alfabet (pi er en underfundig konstant som vi omtalte side 32).
y = r · x2, l l
l
Lineære sammenhænge dvs. lineære funktioner Eksponentielle sammenhænge dvs. eksponentielle funktioner Potenssammenhænge dvs. potensfunktioner
hvor x er den uafhængige variabel, og y er den afhængige variabel. Vi kalder y = r · x2 for regneforskriften for funktionen.
Disse tre typer af sammenhænge eller funktioner vender vi tilbage til i de efterfølgende kapitler side 113, 128 og 165.
En funktion
kunne f.eks. have regneforskriften:
HUSK
Hvad er en funktion? En funktion er en matematisk beskrivelse af sammenhængen mellem uafhængige og afhængige variable.
y = 2 · x2 Vi kan så udregne y-værdien når vi får oplyst x-værdien.
Vi kan beskrive sammenhængen på følgende måder: l Ved hjælp af en graf l Ved hjælp af en tabel l Ved hjælp af en regneforskrift (se næste side), f.eks. y = 1,10 · x + 1 020
x = 1: y = 2 · 12 = 2 · (12) = 2 · 1 = 2 x = 3: y = 2 · 32 = 2 · (32) = 2 · 9 = 18 x = 10: y = 2 · 102 = 2 · (102) = 2 · 100 = 200 x = - 4: y = 2 · (- 4)2 = 2 · 16 = 32
105
104 Funktioner Vi udregner: Pris for 3 000 kilowatttimer: 3 000 · 1,30 + 1 020 = 4 920 kr. Her er forbruget den uafhængige variabel mens den samlede pris er den afhængige variabel (der afhænger af forbruget).
Sammenhænge mellem variable Eksempler på sammenhænge Visse sammenhænge er alment kendte. Det er f.eks. muligt at opstille en sammenhæng mellem radius i en cirkel og arealet af en cirkel fordi der her indgår to forhold der varierer, nemlig arealet og radius. Sammenhængen fandt man frem til allerede i oldtidens Grækenland:
De fleste sammenhænge i virkelighedens verden lader sig ikke så let beskrive matematisk. Nogle typer af sammenhænge kræver mere avanceret matematik end den der er indeholdt i dette niveau.
Areal af cirkel = r · (radius)2
Sammenhænge betegnes matematisk som funktioner. Tre typer af funktioner optræder ret hyppigt og er anvendelige til at beskrive sammenhænge i virkelighedens verden:
Hvis vi oversætter til matematisk notation hvor arealet af cirklen betegnes y og radius betegnes x, så gælder altså:
Her er tegnet r »pi«, dvs. p i det græske alfabet (pi er en underfundig konstant som vi omtalte side 32).
y = r · x2, l l
l
Lineære sammenhænge dvs. lineære funktioner Eksponentielle sammenhænge dvs. eksponentielle funktioner Potenssammenhænge dvs. potensfunktioner
hvor x er den uafhængige variabel, og y er den afhængige variabel. Vi kalder y = r · x2 for regneforskriften for funktionen.
Disse tre typer af sammenhænge eller funktioner vender vi tilbage til i de efterfølgende kapitler side 113, 128 og 165.
En funktion
kunne f.eks. have regneforskriften:
HUSK
Hvad er en funktion? En funktion er en matematisk beskrivelse af sammenhængen mellem uafhængige og afhængige variable.
y = 2 · x2 Vi kan så udregne y-værdien når vi får oplyst x-værdien.
Vi kan beskrive sammenhængen på følgende måder: l Ved hjælp af en graf l Ved hjælp af en tabel l Ved hjælp af en regneforskrift (se næste side), f.eks. y = 1,10 · x + 1 020
x = 1: y = 2 · 12 = 2 · (12) = 2 · 1 = 2 x = 3: y = 2 · 32 = 2 · (32) = 2 · 9 = 18 x = 10: y = 2 · 102 = 2 · (102) = 2 · 100 = 200 x = - 4: y = 2 · (- 4)2 = 2 · 16 = 32
105
106 Funktioner Sammenhænge fra virkelighedens verden kan være vanskelige at beskrive matematisk, og derfor vælger man ofte at betragte forsimplede sammenhænge. Dette er i øvrigt en situation man hyppigt støder på når man arbejder med matematik. Hvis man anvender matematikkens verden som træningsbane, bliver situationen mere overskuelig. En ulempe ved at træne i matematikkens verden er at man netop fjerner sig fra virkeligheden, og matematikken kan blive unødigt abstrakt.
Ligefrem proportionalitet Vi betragter funktionen med regneforskriften: y = 2 · x Her kan man se at hvis x = 4, så er y = 8, hvis x = 20, så er y = 40. Denne sammenhæng kan beskrives med ordene: y er det dobbelte af x. I en sådan type funktion siger man at y er proportional med x. Når den ene værdi (x eller y) fremkommer ved at man ganger den anden med en konstant faktor, betegner man sammenhængen som ligefrem proportional. Den generelle regneforskrift for ligefrem proportionalitet er:
HUSK
y = k · x hvor k er et konstant tal forskelligt fra nul.
Omvendt proportionalitet Hvis vi betragter funktionen med regneforskriften y = 1x taler vi om omvendt proportionalitet.
Sammenhænge mellem variable Hvis man her har x = 4, så er y = 1 = 0,25, 4 hvis x = 40, så er y = 1 = 0,025. 40 Her gælder altså at hvis x vokser, så bliver y mindre og mindre. Den generelle regneforskrift for omvendt proportionalitet er: y = k $ 1x hvor k er et konstant tal forskelligt fra nul.
Proportionalitetsfaktor Konstanten k i ligefrem og omvendt proportionalitet kaldes »proportionalitetsfaktoren«.
Fra regneforskrift til graf Vi har ofte lettere ved at betragte billeder end vi har ved at læse tekst og afkode tal. Derfor kan det være en fordel at tegne det grafiske billede af en sammenhæng. Det er oplagt at anvende elektroniske hjælpemidler til at tegne sådanne grafiske billeder – også betegnet kurver eller grafer. Man kan anvende grafregnere eller matematikprogrammer til computere. Hvis man skal tegne en kurve uden brug af pc eller grafregner, er metoden at man vælger en række x-værdier hvorefter man så udregner de tilhørende y-værdier. Herved får man en række punkter som man kan tegne i et koordinatsystem og derefter forbinde punkterne så man får en kurve frem – som beskrevet i næste afsnit.
HUSK
107
106 Funktioner Sammenhænge fra virkelighedens verden kan være vanskelige at beskrive matematisk, og derfor vælger man ofte at betragte forsimplede sammenhænge. Dette er i øvrigt en situation man hyppigt støder på når man arbejder med matematik. Hvis man anvender matematikkens verden som træningsbane, bliver situationen mere overskuelig. En ulempe ved at træne i matematikkens verden er at man netop fjerner sig fra virkeligheden, og matematikken kan blive unødigt abstrakt.
Ligefrem proportionalitet Vi betragter funktionen med regneforskriften: y = 2 · x Her kan man se at hvis x = 4, så er y = 8, hvis x = 20, så er y = 40. Denne sammenhæng kan beskrives med ordene: y er det dobbelte af x. I en sådan type funktion siger man at y er proportional med x. Når den ene værdi (x eller y) fremkommer ved at man ganger den anden med en konstant faktor, betegner man sammenhængen som ligefrem proportional. Den generelle regneforskrift for ligefrem proportionalitet er:
HUSK
y = k · x hvor k er et konstant tal forskelligt fra nul.
Omvendt proportionalitet Hvis vi betragter funktionen med regneforskriften y = 1x taler vi om omvendt proportionalitet.
Sammenhænge mellem variable Hvis man her har x = 4, så er y = 1 = 0,25, 4 hvis x = 40, så er y = 1 = 0,025. 40 Her gælder altså at hvis x vokser, så bliver y mindre og mindre. Den generelle regneforskrift for omvendt proportionalitet er: y = k $ 1x hvor k er et konstant tal forskelligt fra nul.
Proportionalitetsfaktor Konstanten k i ligefrem og omvendt proportionalitet kaldes »proportionalitetsfaktoren«.
Fra regneforskrift til graf Vi har ofte lettere ved at betragte billeder end vi har ved at læse tekst og afkode tal. Derfor kan det være en fordel at tegne det grafiske billede af en sammenhæng. Det er oplagt at anvende elektroniske hjælpemidler til at tegne sådanne grafiske billeder – også betegnet kurver eller grafer. Man kan anvende grafregnere eller matematikprogrammer til computere. Hvis man skal tegne en kurve uden brug af pc eller grafregner, er metoden at man vælger en række x-værdier hvorefter man så udregner de tilhørende y-værdier. Herved får man en række punkter som man kan tegne i et koordinatsystem og derefter forbinde punkterne så man får en kurve frem – som beskrevet i næste afsnit.
HUSK
107