Derivadas

Matemática – Introdução às Derivadas – Profª Sabrina Zancan Peripolli

1 2 3 4 5

Recado da Professora: Este conteúdo é extremamente novo e você necessitará de esforço e dedicação. Leia no mínimo três vezes e complete as tabelas fazendo todos os cálculos. Neste texto as linhas estão numeradas, use está numeração e o título do material para indicar aos tutores onde está sua dúvida. Bom estudo a todos.

6 7 8 9 10 11 12 13 14

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS Quando estamos viajando de carro em uma rodovia é possível informarmos exatamente onde estamos, que horas são e a velocidade que estamos nos deslocando. Estas informações estão presentes na paisagem vista pela janela (posição), na hora do relógio (tempo) e no velocímetro do carro (velocidade).

Porém, um observador na estrada, fotografando um carro, não possui estas três informações. Ele pode informar a posição, pois está visualizando o carro na estrada, e pode informar o tempo, olhando no relógio, mas ele não tem a informação da velocidade do carro, pois não pode ver o velocímetro. Ele pode até dizer que este carro andou aproximadamente 200 metros da rodovia em 2 segundos, mas isto não informa exatamente a velocidade que o carro estava quando passou pela sua frente, pois o motorista pode ter acelerado ou freado ao longo destes 200 metros, variando a velocidade.

O velocímetro dos carros mostra a velocidade instantânea do veículo.

Velocidade que não leva em consideração o espaço percorrido e o tempo, ela é instantânea. Esta velocidade é diferente da velocidade média. A velocidade média é calculada dividindo o espaço percorrido pelo tempo decorrido.

Vmédia 

Distância Tempo

Por exemplo, um carro viajou de Santa Maria até Porto Alegre, 360 Km em 4 horas. Isso significa que ele viajou com uma velocidade média de 90Km/h.

1

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Vmédia 

35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

Esta velocidade média não tem informações precisas sobre o movimento do veículo. Quando este carro passou pelo posto policial de Santa Cruz, qual era sua velocidade? Ele pode ter passado por lá a 120km/h, ou a 40Km/h, a velocidade média não tem esta informação. Precisamos saber qual era a velocidade marcada no velocímetro no exato momento que ele passou em frente ao posto policial. Ou seja, precisamos saber qual é a velocidade instantânea.

Podemos aplicar este mesmo raciocínio para o exemplo dos lucros de uma empresa. Veja a tabela que informa os lucros em função do tempo no ano de 2010.

Mês Lucro(mil reais)

49 50 51

360Km  90Km / h 4h

Jan 5

Fev 4

Mar 2

Abr 3

Mai 5

Jun 6

Jul 7

Ago 7

Set 7

Out 8

Nov 8

D ez 10

Neste ano de 2010, a média dos lucros foi de 6 mil reais por mês, pois 5  4  2  3  5  6  7  7  7  8  8  10  6 . Esta média é real apenas para o mês 12

52 53 54 55 56

de Junho, durante todos os outros meses os lucros estiveram acima ou abaixo da média.

Se analisarmos os dados da empresa isoladamente no mês de fevereiro, veremos que em fevereiro a empresa estava com um lucro de 4 mil reais.

Esta é a informação estática da empresa.

57 58

Se analisarmos o mês de fevereiro visualizando também janeiro e março, teremos a informação dinâmica.

59 60 61 62

Os lucros estão decrescendo em torno do mês de fevereiro, 5, 4 e 2 mil reais. Ter um lucro de 4 mil reais é bom, informação estática, mas ter o comportamento dos lucros decrescendo é ruim, informação dinâmica.

No mês de agosto temos lucro de 7 mil reais, informação estática.

63 64

Pelo comportamento dos meses de julho e setembro percebemos que estes lucros estão estáveis.

Fev 4

Jan 5

Fev 4

Mar 2

Jul 7

Jul 7

Ago 7

Set 7

65

2

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66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107

No mês de março temos um valor mínimo nos lucros, eles decresceram até o mês de março e cresceram após este mês. Houve uma mudança no comportamento dos lucros, de decrescentes para crescentes.

Estes exemplos do mundo real estão presentes para que você perceba a diferença entre valores de velocidades instantâneas e velocidades médias.

Para que você perceba a importância da informação dinâmica além da estática estudada até agora.

Com a mesma motivação, vamos usar agora um exemplo que utiliza uma linguagem mais matemática.

Uma bola é jogada para cima, sobe 16 metros e volta ao chão em 8 segundos (brincamos de jogar bolas para cima quando crianças). Quanto maior a força que colocamos na bola no início da jogada, maior será a velocidade desta bola e mais alto ela irá chegar. Esta bola sobe até a altura máxima, pára e desce, chegando até nossa mão com a mesma velocidade que tinha quando saiu, porém na saída a velocidade era para cima e na volta a velocidade é para baixo. Se esta bola demora 8 segundos para subir e descer, ela demora 4 segundos para subir e 4 segundos para descer. Em cada segundo desta subida ela estará a uma distância do chão, como ela está parando, cada segundo que passa ela percorre menor distância, até parar quando chega aos 16 metros de altura. Depois ela começa a cair. Ela demora 4 segundos para cair, como demorou 4 segundos para subir, no 5º, 6º, 7º e 8º segundos ela está caindo. No 5º segundo ela está caindo mais lentamente do que no 7º segundo, pois ela cai acelerando. Em cada segundo desta trajetória a bola possui uma velocidade diferente. (Para você entender melhor, pegue uma bola, vá até o pátio, jogue esta bola com força para cima e observe o movimento descrito aqui, vai ser legal. Enquanto você observa a bola subindo, pergunte-se qual é a velocidade que ela possui em cada posição por onde ela passa).

Este movimento de uma bola subindo e descendo é facilmente modelado por funções matemáticas. O movimento descrito acima é modelado pela função

f ( x)   x 2  8x , onde

x representa o tempo e a função

bola em relação ao chão. Veja a tabela:

f (x) a altura da

3

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Altura em metros dada pela função f ( x)   x 2  8 x

Tempos em segundos x  0 segundo

f (0)  0 2  8.0  0 m do chão

x  1 segundo

f (1)  12  8.1  7 m do chão

x  2 segundos

f (2)  2 2  8.2  12 m do chão f (3)  32  8.3  15 m do chão

x  3 segundos

f (4)  4 2  8.4  16 m do chão f (5)  52  8.5  15 m do chão

x  4 segundos x  5 segundos

f (6)  6 2  8.6  12 m do chão f (7)  7 2  8.7  7 m do chão

x  6 segundos x  7 segundos

2

108 109 110 111 112 113 114

f (8)  8  8.8  0 m do chão x  8 segundos Esta tabela informa a posição da bola em cada segundo da trajetória.

Calculamos apenas os valores de tempo inteiros, mas é possível calcularmos para valores não inteiro de tempo da mesma forma. Veja a representação gráfica dos valores desta tabela. 

y

               

115 116

   

x 

















 

4

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117 118 119 120 121 122

123 124 125 126 127 128 129 130 131 132

Este gráfico mostra a posição da bola em função do tempo. Vemos no gráfico que a bola está a 7 metros do chão quando o tempo é de 1 segundo.

Mas este gráfico não mostra qual é a velocidade que a bola possui. Nas fotos abaixo, sabemos onde a bola e os carros estão no instante da fotografia, mas não sabemos qual é velocidade de cada um.

Quando temos uma função matemática que descreve um comportamento, podemos calcular a velocidade instantânea em qualquer ponto desejado. E é isso que faremos neste estudo: encontraremos velocidades instantâneas, informaremos como as grandezas estão se relacionando.

Usando o exemplo da bola descrito acima, podemos perguntar: ”Qual é a velocidade instantânea da bola quando o tempo é de 2 segundos e ela está a 12 metros de altura?” 

y

               

133 134 135 136 137 138 139 140 141

   

x 

















 

Não é possível o cálculo da velocidade instantânea da mesma forma que calculamos a velocidade média, pois quando o tempo é de 2 segundos não temos intervalo, não estamos deixando o tempo passar e a bola se deslocar para calcularmos a velocidade fazendo distância dividida pelo tempo. Mas neste instante a bola tem uma velocidade, que é a velocidade instantânea.

Para resolvermos este problema vamos utilizar o seguinte raciocínio:

5

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142

Vamos tomar velocidades médias para intervalos cada vez menores, veja a

143

tabela das velocidades médias, calculadas pela fórmula Vmédia 

144 145 146 147

Obs.: Lembre-se que o valor fornecido pela f (x) representa a altura da bola no tempo x segundos.

Intervalo de tempo em segundos (s)

x  2s x  2,5s

a

Tempo decorrido: 0,5 s

x  2s x  2,1s

a

x  2s a x  2,01s

x  2s a x  2,001s

Tempo decorrido: 0,001 s

148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161

f ( x)   x 2  8 x

especificado

e

f (2)  2 2  8.2  12m f (2,1)  2,12  8.2,1  12,39m

e

Distância percorrida: 12,0399-12=0,0399m

Vmédia 

e

Vmédia 

13,75  12  3,5m / s 0,5

12,39  12  3,9m / s 0,1 12,0399  12  3,99m / s 0,01

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de 3,99m/s

f (2)  2 2  8.2  12m e Vmédia  f (2,001)  2,0012  8.2,001  12,003999m Distância percorrida: 12,003999-12=0,003999m

Distância Tempo

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de 3,9m/s

Distância percorrida: 12,39-12=0,39m

f (2)  2 2  8.2  12m f (2,01)  2,012  8.2,01  12,0399m

Vmédia 

Vmédia 

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de 3,5m/s

Distância percorrida: 13,75-12=1,75m

Tempo decorrido: 0,1 s

Tempo decorrido: 0,01 s

Velocidade média no intervalo de tempo

Altura em metros dada pela função

f (2)  2 2  8.2  12m f (2,5)  2,52  8.2,5  13,75m

Distância .

Tempo

12,003999  12  3,999m / s 0,001

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de 3,999m/s

Podemos observar nas linhas da tabela que podemos diminuir o intervalo de tempo tanto quanto quisermos, basta somarmos aos 2 segundos um tempo cada vez menor, 2s+0,00001s, e isso dará origem a uma velocidade média que terá um comportamento previsível, ou seja, quanto menor o intervalo de tempo acrescentado aos 2 segundos, mais próximo de 4m/s estará nossa velocidade, basta olharmos para a tabela acima, as velocidades são 3,5; 3,9; 3,99; 3,999 m/s. Pensando no limite, se nosso intervalo de tempo se aproximar de zero, a velocidade se aproximará de 4m/s, e está será a velocidade instantânea da bola neste movimento, quando o tempo for de 2s e ela estiver a 12 metros do chão.

Os gráficos que mostram o deslocamento da bola nos dois primeiros intervalos de tempo, os demais não são possíveis de serem representados, pois o percurso é muito pequeno.

6

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 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



































162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174

 

 

   

y



x 

















 

 

 

 

   

 

x 

















 

 

 

Alcançamos nosso objetivo, encontramos a velocidade instantânea da bola fazendo uma seqüência de velocidades médias, deixando o intervalo de tempo cada vez menor.

Portanto, é possível calcularmos uma velocidade instantânea através de uma seqüência de velocidades médias.

Para ter certeza que você entendeu, complete a tabela abaixo e descubra qual é a velocidade instantânea desta bola quando o tempo for de 3s e sua posição f (3)  32  8.3  15 m do chão.

Tabela para encontrar a velocidade instantânea para tempo 3s e altura 15m.

Intervalo de tempo em segundos (s)

a x  3s x  3,..........s Tempo decorrido:......s a x  3s x  3,..........s Tempo decorrido:......s a x  3s x  3,..........s Tempo decorrido:......s a x  3s x  3,..........s Tempo decorrido:......s

Velocidade média no intervalo de tempo

Altura em metros dada pela função 2

f ( x)   x  8 x

f (3)  32  8.3  15m f (3,.....)  (3,....)2  8.(3,...)  .......m

especificado

e

e

e

Distância percorrida:

Vmédia 

...........  15  .......m / s 0,.......

Vmédia 

...........  15  .......m / s 0,.......

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de ...........m/s

Distância percorrida:

f (3)  32  8.3  15m f (3,.....)  (3,....)2  8.(3,...)  .......m

...........  15  .......m / s 0,.......

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de ...........m/s

Distância percorrida:

f (3)  32  8.3  15m f (3,.....)  (3,....)2  8.(3,...)  .......m

Distância Tempo

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de ...........m/s

Distância percorrida:

f (3)  32  8.3  15m f (3,.....)  (3,....)2  8.(3,...)  .......m

Vmédia 

Vmédia 

e

Vmédia 

...........  15  .......m / s 0,.......

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de ...........m/s

175

7

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176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190

Pela tabela que você acabou de completar é possível concluirmos que, quanto menor o intervalo de tempo, mais próximo de .......................m/s estará a velocidade. Isso significa que a velocidade instantânea da bola aos 3s é de .............m/s.

Parabéns para você que encontrou 2m/s para esta velocidade, pois esta é a velocidade instantânea quando o tempo for de 3s.

Vamos treinar um pouco mais para podermos seguir e você entender o próximo conteúdo. Agora você vai calcular a velocidade instantânea desta bola quando o tempo for de 7 segundos. Não se assuste ao encontrar uma velocidade média negativa, pois velocidade negativa significa simplesmente que a bola está descendo. Complete a tabela novamente.

Tabela para encontrar a velocidade instantânea para tempo 7s e altura 7m.

Intervalo de tempo em segundos (s)

x  7s x  7,5s

2

f ( x)   x  8 x

a

Tempo decorrido: 0,5 s a x  7s x  7,..........s Tempo decorrido:......s a x  7s x  7,..........s Tempo decorrido:......s a x  7s x  7,..........s Tempo decorrido:......s

191 192 193 194 195 196 197

Velocidade média no intervalo de tempo

Altura em metros dada pela função

f (7)  7 2  8.7  7m f (7,5)  (7,5) 2  8.(7,5)  3,75m

especificado

e

Distância percorrida: 3,75-7= -3,25 m (está descendo)

f (7)  7 2  8.7  7m f (7,.....)  (7,....)2  8.(7,...)  .......m

e

e

f (7,.....)  (7,....)2  8.(7,...)  .......m

Distância percorrida:

3,75  7  6,5m / s 0,5

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de -6,5 m/s A bola está descendo

Vmédia 

...........  7  .......m / s 0,.......

Vmédia 

...........  7  .......m / s 0,.......

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de ...........m/s

Distância percorrida:

f (7)  7 2  8.7  7m f (7,.....)  (7,....)2  8.(7,...)  .......m

Distância Tempo

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de ...........m/s

Distância percorrida:

f (7)  7 2  8.7  7m

Vmédia 

Vmédia 

e

Vmédia 

...........  7  .......m / s 0,.......

Neste intervalo de tempo a velocidade média da bola foi de ...........m/s

Analisando a seqüência de velocidades concluímos que a velocidade instantânea aos 7s de movimento é de ..................m/s, pois os números se aproximam deste valor quando o intervalo de tempo diminui.

Parabéns para você que encontrou -6m/s para esta velocidade instantânea.

No próximo tutorial refaremos alguns destes cálculos, tenha em mãos este texto para estudar o próximo. Bom estudo.

8