ECUACIONES DIFERENCIALES I
Prof. Alejandro Cervantes Alvarez http://clubdematematicasyciencias.jimdo.com/
1. Conceptos bรกsicos
Ecuaciรณn Diferencial โ ข Se dice que una ecuaciรณn que contiene las derivadas de una o mรกs variables dependientes, con respecto a una o mรกs variables independientes, es una ecuaciรณn diferencial.
Clasificación de las ecuaciones diferenciales • Las ecuaciones diferenciales se clasifican en función de: – TIPO. – ORDEN. – LINEALIDAD.
Clasificaciรณn por tipo โ ข Si una ecuaciรณn diferencial contiene sรณlo derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente se dice que es una ecuaciรณn diferencial ordinaria.
Clasificación por tipo… • Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias: –
dy 2y ex dx
–
d 2 y dy 3y 0 2 dx dx
–
dx dy 2x y dt dt
Clasificación por tipo… • Si una ecuación diferencial contiene derivadas parciales de una o mas variables dependientes con respecto a una o más variables independientes se dice que es una ecuación diferencial parcial.
Clasificación por tipo… • Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales: –
2u 2u 2 0 2 x y
–
2u 2u u 2 2 x t t
–
u v x y
Clasificación según el orden • El orden de una ecuación diferencial (ya sea ordinaria o parcial) es el orden de la derivada mayor en la ecuación.
Clasificación según el orden… • La ecuación: 3
d y dy x 2 2 y e dx 2 dx 2
Es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden.
Clasificación según el orden… • Una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden se puede expresar mediante la forma general: F(x, y, y´, y´´, . . ., y(n))=0 Donde F es una función de valores reales de n+2 variables x, y, y´, y´´, ..., y(n).
Clasificación según el orden… • Es posible despejar de una ecuación diferencial ordinaria en forma única la derivada superior y(n) en términos de las n+1 variables restantes. La ecuación diferencial: n d y ( n 1) f ( x , y , y ´, y ´´, . . ., y ) n dx
Donde f es una función continua de valores reales, se denomina forma normal.
Clasificación según la linealidad • Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal si F es lineal en y, y´, y´´, . . ., y(n) • Esto significa que una ecuación diferencial ordinaria de orden n es lineal cuando dny d n1 y d2y dy an ( x) n an1 ( x) n1 ... a2 ( x) 2 a1 ( x) a0 ( x) y g ( x) dx dx dx dx
Clasificación según la linealidad… • En las ecuaciones diferenciales lineales de primero y segundo orden (n=1 y n=2): dy a1 ( x) a0 ( x) y g ( x) dx
y
d2y dy a 2 ( x ) 2 a1 ( x ) a0 ( x) y g ( x ) dx dx
se puede observar las características de una ecuación diferencial lineal: – La variable dependiente y y todas sus derivadas y´, y´´, . . ., y(n) son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en que interviene y es 1. – Los coeficientes a0, a1, …, an de y´, y´´, . . ., y(n) dependen sólo de la variable independiente x.
Clasificación según la linealidad… • Una ecuación diferencial ordinaria no lineal es aquella que NO es lineal.
Clasificación según la linealidad… • Las siguientes ecuaciones diferenciales son no lineales: (1 y ) y´2 y e x
El coeficiente de y´ depende de y
d2y ln y 0 2 dx
Función no lineal de y
d5y 3 3 y 2x 5 dx
Potencia de y diferente de 1
Solución de una ecuación diferencial • Cualquier función f, definida en un intervalo I y con al menos n derivadas continuas en I, que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria de n-ésimo orden reduce la ecuación a una identidad, se considera solución de la ecuación en el intervalo.
Ejemplo
x 2
• Verifica si la función y e es una solución de la ecuación diferencial 2 y' y 0 Solución
x 2
x
1 2 Si y e entonces y ' e 2 Ahora se sustituyeen la ED para verificar que la solución propuesta satisface la igualdad 2 y ' y 0 1 2x 2x ? 2 e e 0 2 e
x 2
x ? 2
e 0 00
Soluciones explícitas e implícitas • Se dice que una solución en la que la variable dependiente se expresa solamente en términos de la variable independiente y constantes es una solución explícita. • Una relación G(x,y)=0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria en un intervalo I, siempre que existe al menos una función f que satisface tanto la relación como la ecuación diferencial en I.
Familias de soluciones • Una solución que contiene una constante arbitraria representa un conjunto G(x, y, c)=0 de soluciones al que se le da el nombre de familia uniparamétrica de soluciones. • Cuando se resuelve una ecuación diferencial de nésimo orden F(x, y, y´, y´´, . . ., y(n))=0, se busca una familia no paramétrica de soluciones G(x, y, c1, c2, …, cn)=0. Esto significa que una ecuación diferencial puede poseer un número infinito de soluciones que corresponden al número ilimitado de elecciones de los parámetros.
Solución particular • Una solución de una ecuación diferencial que está libre de parámetros arbitrarios se le llama solución particular.
Problema de valores iniciales • El problema que consiste en resolver: dny n 1 f ( x , y , y , ..., y ) n dx Sujeta a : y( x0 ) y 0 ,
y ( x0 ) y1 , ...,
y ( n 1) ( x0 ) y n 1
donde y0, y1, …, yn-1 son constantes reales especificadas de manera arbitraria, se denomina problema de valores iniciales. Los valores de y(x) y sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0; y(xo)=yo, y´(xo)=y1, ..., y(n-1)(xo)=yn-1 se llaman condiciones iniciales.
Ejemplo La función y c1 cos x c2 sin x representa una familia de soluciones de la ED y'' y 0 Determine los valores para las constantes de tal forma que y 2 4 y además y ' 2 2 4 Solución Aplicaremos la primera condición a la solución propuesta y c1 cos c2 sin 4 4 4 c1 cos c2 sin 2 por lo tanto tenemos 4 4 2 2 2 .........(1) c1 c2 2 2
Para aplicar la segunda condición necesitamo s obtener la primera derivada si y c1 cos x c2 sin x entonces y ' c1 sin x c2 cos x, aplicando la condición dada y ' c1 sin c2 cos 4 4 4 c1 sin c2 cos 2 2 por lo tanto tenemos 4 4 2 2 c2 2 2 .........(2) c1 2 2 Finalmente resolvermos el sistema de ecuaciones dado por (1) y (2) c2 3 y c1 1 Por lo tanto la solución buscada es y cos x 3 sin x
Existencia de una solución única • Sea R una región rectangular en el plano xy definida para a<X<b, c<Y<d que contiene el punto (x0,y0) en su interior. Si f(x,y) y f y son continuas en R, entonces existe un intervalo I0: x0-h<x<x0+h h>0, contenido en a<X<b y una función única y(x), definida en I0, que es una solución del problema de valores iniciales.
2. Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuación diferencial lineal (Definición) • Se dice que una ecuación diferencial de primer orden de la forma dy a1 ( x) a0 ( x) y g ( x)..........(1) dx
es una ecuación lineal en la variable dependiente y
Ecuaci贸n diferencial de primer orden de variables separables - Se dice que una ecuaci贸n diferencial de primer orden de la forma
es separable o que tiene variables separables
Ejemplo dy Resuelva la ED dada por la expresión e e y e 2 x y dx Solución dy Escribamos la ED de variables separables en la forma g x h y dx x dy e e y e 2 x y dx dy e y e 2 x y dx ex dy 1 e 2 x y e x dx e x
Nota 1 e 2 x g ( x) ex
& h(y) e y
Ahora para resolver la ED procedamos de la siguiente forma
dy 1 e 2 x y e x dx e
dy 1 e 2 x dx y x e e e y dy e x e 3 x dx
Integrando en ambos lados
y x 3 x e dy e e dx
Así, la solución de la ED en forma implicita buscada es 1 3 x e e e c 3 y
x
Ecuaciones diferenciales lineales • Cuando g ( x) 0 se dice que la ecuación lineal dy a1 ( x) a0 ( x) y g ( x)..........(1) dx
es homogénea; en caso contrario es no homogénea • Forma estándar de la ecuación diferencial lineal
dy P( x) y f ( x).........(2) dx
Solución de la ecuación lineal • La solución de la ecuación diferencial en forma estándar es la suma de dos soluciones
y yc y p donde yc es la solución de la ecuación homogénea asociada y y p es una solución particular de la ecuación no homogénea
Método de variación de parámetros (para una ecuación lineal) • Encontremos una solución particular de la ecuación no homogénea y p u( x) y1 ( x)
donde
yc cy1 ( x) ce
P ( x ) dx
Ejemplo dy Resuelva la ED lineal dada por la expresión x xy 1 dx Solución dy Escribamos la ED en su forma estandar P( x) y f ( x) dx dy 1 1 y 2 dx x x De la expresión anterior podemos concluir que 2
1 1 P( x) & f ( x) 2 x x Ahora obtengamos el factor integrante e
P(x)dx
e
1 dx x
e ln x x
Para hayar la solución buscada recordemos P(x)dx d P(x)dx e y e f x dx sustituyendo en la expresión anterior tenemos
d 1 x y x 2 dx x separando e integrando en ambos lados de la igualdad tenemos 1 d x y dx x 1 d x y x dx x y ln x c Por lo tanto la solución buscada esta dada por ln x c y x x
Ecuaciones diferenciales exactas
Teorema
Soluci贸n de la ecuaci贸n diferencial exacta
Ejemplo Resuelva la ED dada por la expresión x 2 y 2 dx 2 y x 2 dy 0 Solución Verificamo s en primer lugar si la ED es exacta M ( x, y ) x 2 xy 2 2 xy y y N ( x, y ) 2 y x 2 y 2 xy x x Puesto que ambas parciales coinciden entonces la ED es exacta y procedemos de la siguiente forma
Por ser la ED exacta existe una función f ( x, y ) de tal forma que f ( x, y ) M ( x, y ) x Sustituyendo M(x,y) en la expresión anterior
f ( x, y ) x 2 y 2 x Integrando ambos lados
2 2 f ( x , y ) x y x g y
1 3 f ( x, y ) x xy 2 g y 3 Nota : g y es la constante de integració n resultado de la integral parcial respecto a x
Derivando parcialmen te a f ( x, y ) respecto de y 1 3 2 f ( x, y ) x xy g y 2 xy g ' y y y 3 Pero por la definición de diferencia l de F(x,y) sabemos que f ( x, y ) N ( x, y ) y Igualando la expresión N ( x, y ) dada en la ED y la f ( x, y ) y obtenida arriba tenemos 2 xy g ' y 2 y x 2
Reescribie ndo e integrando la expresión anterior obtenemos g y d g y 2 y x 2 2 xy dy dg ( y ) (2 y x 2 2 xy )dy
Integrando 2 dg ( y ) ( 2 y x 2 xy )dy
g ( y ) y 2 x 2 y xy 2 Al conocer g ( y ) sustituimos y simplifica mos f ( x, y ) 1 3 1 x xy 2 y 2 x 2 y xy 2 x 3 y 2 x 2 y 3 3 Finalmente la solución buscada esta dada por la igualdad f ( x, y )
1 3 x y2 x2 y c 3 Nota. Si desea comprobar el resultado debera determinar la diferencia l de la expresión anterior, esta diferencia l le permite regresar a la ED dada
ED por sustituci贸n (homog茅neas y de Bernoulli)
Solución de una ED homogénea por reducción • Una ecuación diferencial homogénea de primer orden se puede reducir a una ecuacion diferencial de variables separables si se realiza cualquiera de los siguientes cambios de variable y ux o x vy Al sustituir obtenemos una ED de variables separables de la forma
M (1, u)dx N (1, u)udx xdu 0
Ejemplo
Resuelva la ED homogénea y 2 xy dx x 2 dy 0 Solución El cambio de variable propuestoes y ux, por lo tanto dy udx xdu Sustituyendo en la ecuación diferencia l tenemos
ux xux dx x udx xdu 0 2
2
asociando términos y factorizando términos semejates
x u u dx udx xdu 0 u u dx udx xdu 0
x 2 u 2 u dx x 2 udx xdu 0 2
2
2
u 2 dx xdu 0
la ecuación obtenida ya es una ED de variables separables u 2 dx xdu 0 u 2 dx xdu dx du 2 x u integrando en ambos lados dx du x u2 1 ln x c u Recordemos que hicimos un cambio de variable y ux, por lo tanto la solución buscada esta dada por la expresión x ln x c y
Ecuaci贸n de Bernoulli
Ejemplos
Soluci贸n de una ED de Bernoulli
Trayectorias ortogonales
驴c贸mo obtener la familia de sus trayectorias ortogonales?
Ejercicio
Ley de enfriamiento de Newton
Ejemplo
Ejercicios 1. Agua a temperatura de 100º C se enfría en 10 minutos a 80º C, en un cuarto cuya temperatura es de 25º C. Encuentre la temperatura del agua después de 20 minutos. ¿Cuándo la temperatura será de 40º C y 26º C? 2. Agua a una temperatura de 10º C demora cinco minutos en calentarse a 20º C en un cuarto cuya temperatura es de 40º C. a) Encuentre la temperatura después de 20 minutos y después de 30 min b) ¿Cuándo la temperatura será de 25º C?
Circuitos en serie
Circuito RC en serie
Ejemplo