Ejercicios Matemáticas I. Exponenciales y logaritmos. Curso 15-16

𝑥𝑥 𝑒𝑒 ponenciales

y log 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎

Este cuaderno de ejercicios de exponenciales y logaritmos ha sido elaborado por los alumnos de Matemáticas I de 1º de Bachillerato del curso 2015-16 del Colegio San Pedro Pascual.

La hoja en la que se escribe cada ejercicio es una plantilla realizada con Microsoft Word por la alumna Ana Calvo de 1º de Bachillerato en la clase de Tecnología de la Información, siguiendo indicaciones pautadas en cuanto a la creación del encabezado y generación de estilos.

La portada ha sido diseño original de la alumna Paula Cabo de 1º de Bachillerato. La imagen de la portada es una nube de palabras con los nombres de los alumnos de la asignatura realizada con la herramienta online Tagxedo.

Las profesoras estamos muy agradecidas a los alumnos por su implicación y su trabajo.

MATEMÁTICAS I

15/16

AMALGAMA DE LOGARITMOS. A) El inventor del ajedrez pidió como pago que se llenase cada escaque (cuadrado del tablero) con el doble de trigo que el escaque anterior. Si se comienza con un grano, ¿en qué casilla encontraremos 4194304 granos?

B) La ley del enfriamiento de Newton determina el tiempo que tarda en enfriarse o calentarse un cuerpo puesto a la intemperie mediante la siguiente fórmula: T=Q+ Ce k t Donde T es la temperatura final del cuerpo después de un tiempo “t” (medido en minutos), Q es la temperatura del exterior (medida en grados Celsius) y C y K son dos constantes que dependen del cuerpo en cuestión.

Por tanto, sabiendo que una taza de café, C=80 y K= - 0,069315, calcula cuánto tiempo tendremos que esperar para que el café se encuentre a 60 ·C si la temperatura ambiente es de 20 ·C.

RESOLUCIÓN:

A) Para resolverlo nos servimos de esta “fórmula”:

B) Sustituimos los datos en la fórmula T=Q + Ce

= Cantidad total de granos.

kt

60=20+80*e

= Valor del primer término (granos en el primer escaque)

60-20=80*e

r=Razón de la progresión (como aumenta, en este caso el doble cada vez, 2).

40/80=e-

n= Escaque con dicha cantidad de granos.

4194304=1*2 4194304=2

n-1

Sustituyo

n-1

log4194304 = log 2

0,5=e-

-0,069315t

-0,069315t

Aíslo la potencia

0,069315t

0,069315t

In0, 5=Ine

-0,069315t

Tomo logaritmos

In0, 5= -0,069315t* Ine n-1

Tomo logaritmos

log4194304=(n-1) log2 Aplico la tercera propiedad.

Aplico la tercera propiedad de los logaritmos.

-0,69315=-0,069315t*1 Opero -0,69315/-0,069315=t

6,62=0,3n-3,0 Opero 6,92=0,3n n= 6,92/0,3=

t=10 minutos

n=23

Como aplicamos propiedades, comprobaríamos, y nos da que el resultado es válido.

SOLUCIÓN: En la casilla número 23 encontramos 4.194.304 granos de trigo.

Alicia Lucas Camps

Compruebo (aplico propiedades)

SOLUCIÓN: Tendremos que esperar 10 minutos para que se enfríe la taza.

CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

LA CAFETERÍA

En una cafetería de Madrid un camarero hace 50 cafés cada día , si contratan un camarero nuevo para que le ayude , cuantos cafés podrán hacer al día. Sabiendo que la ecuación es son los cafés que puede hacer al día y x son los días.

, sabiendo que y

a)Halla z para el nuevo trabajador que hace 25 cafés al día. b)¿Cuántos cafés hará al quinto día ?

a)Sustituimos x por 1 porque es un día e y por 25 que son el número de cafés : 25=50·(1-e˄-z·1) 25/50=1-e˄-z

*Pasamos el 50 a dividir

½= 1-e˄-z ½ -1=-e˄-z -½=-e˄-z

*Podemos quitar el -

½=1/e˄z *Dividimos las fracciones e˄z=2 ln 2 = z * pasamos a ln z= 0,69

SOLUCIÓN: z=0.69

b)Sustituimos z por 0.69 y y lo ponemos como incógnita: y=50·(1-e˄-0.69·1) y=50·(1-0.5) y=50·0.5 y=25

SOLUCIÓN: 25 Cafés

Jaime Sancha Miguel ____________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Aplicando las propiedades de los logaritmos resuelve las ecuaciones siguientes, y realiza la comprobación. a) log(32+x2) – 2·log(4-x) = 0 log(32+x 2 ) – log(4-x) 2 = 0 >P3: pasamos el 2 que multiplica a 2 log(32+x ) = 0 exponente 2 (4-x) >P2: convertimos la resta en división 0 2 10 = (32+x ) >Pasamos a forma exponencial (como es 2 (4-x) un logaritmo decimal, la base es 10) 2 1 = (32+x ) >Cualquier número elevado a 0 es 1 (10 0 =1) (4-x) 2 >Pasamos el denominador multiplicando 2 2 (4-x) = (32+x ) >Despejamos la x 2 2 16-8x+x = 32+x 8x = 16 x=2

b) 2·logx – log(x-16) = 2 2

logx – log(x-16) = 2 log (x 2 ) = 2 (x-16) 2 10 = (x 2 ) (x-16) 2 10 (x-16) = x 2 100x-1600 = x 2 x 2 -100x+1600 = 0

>P3: pasamos el 2 que multiplica a >P2: convierto la resta en división exponente >Pasamos a forma exponencial (como es un logaritmo decimal, la base es 10 >Pasamos el denominador multiplicando >Multiplicamos y despejamos la x

>Como es una ecuación de segundo grado x = -(-100)±√(-100) ·4(1)(1600) completa, aplico la fórmula 2(1) x = 100±√64000000 2 x = 100±8000 → x 1 = 4050 x 2 = -3950 2 2

Isabel Rubio Rodríguez ___________________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

>COMPROBAMOS: a) x = 2 log(32+2 2 ) – 2·log(4-2) = 0 log36 – 2·log6 = 0 Está bien, porque son logaritmos de números positivos .

b) x = 4050 2·log4050 – log(4050-16) = 2 Está bien, porque son logaritmos de números positivos.

//

x = -3950 2·log(-3950) – log(-3950) Esta solución no sirve, porque no existen los logaritmos de números negativos.

Isabel Rubio Rodríguez ___________________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

JUNTAR LOGARITMOS

Un amigo tiene dificultad para juntar las siguientes expresiones en un solo logaritmo.

Ayúdale explicando cómo lo haces.

Propiedad 2 Propiedad 1

Multiplico Divido y opero

Propiedad 3

Propiedad 2

Propiedad 1 Como las bases que se multiplican son iguales, sumo los exponente s Paso los exponentes que están en forma de fracción a una raíz

Paula Cabo Cuartero ____________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

PROBLEMAS APLICADOS A LOS LOGARITMOS

Si un objeto que está a una temperatura dada se saca a la intemperie, el objeto se calienta si la temperatura ambiente es mayor y se enfría en el caso contrario. La ley del enfriamiento de Newton, que explica el cambio de temperatura del cuerpo es: T = Q + CeK·t donde T es la temperatura del objeto después de un tiempo, t, medido en minutos; Q es la temperatura a la intemperie y C y k son constantes que dependen de las características del objeto y de su temperatura inicial. Si para una taza de café C = 80 y k = – 0.069315, ¿cuánto tiempo hay que esperar para que el café esté a 60º C si la temperatura ambiente es de 20º C? T = Q + Ce K · t 60 = 20 + 80e - 0 , 0 6 9 3 1 5 · t 60-20 = 80e - 0 , 0 6 9 3 1 5 · t 40 = 80e - 0 , 0 6 9 3 1 5 · t 40/80 = e - 0 , 0 6 9 3 1 5 · t 1/2 = e - 0 , 0 6 9 3 1 5 · t ln0,5 = lne - 0 , 0 6 9 3 1 5 · t ln0,5 = (-0,069315·t )·lne ln0,5 = -0,069315·t

1. Sustituyo.

2. Paso el 20 restando y el 80 dividiendo.

3. Tomo logaritmos para averiguar el valor de “t”.

4. Aplico la propiedad 3 de los logaritmos.

5. lne = 1. Paso dividiendo para averiguar “t”.

ln0,5/-0,069315 = t t = 9,99 minutos

Sergio Gimeno _________________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

Energía y magnitud de los terremotos.

Queremos calcular la relación que hubo entre el terremoto más grande que se ha registrado actualmente en la escala Richter y la energía que liberó, que ha ocurrido en España.

Para ello utilizamos la ecuación: log E = 11,8 + 1,5M En esta ecuación a la “M” le damos el valor de la magnitud del terremoto en la escala Richter y la “E” es la energía que ha liberado dicho terremoto.

Para este problema vamos a poner de ejemplo el terremoto del Cabo de San Vicente que tuvo un 8,5 en la escala Richter y afecto a Europa y África por el tsunami de 15 metros que causo. a) Calcula que energía liberó dicho terremoto del Cabo de San Vicente. b) Supón que ha habido un terremoto con una fuerza de 10 en la escala Richter. a) Log E = 11,8+ (1,5·8,5) Sustituyo los valores que me han dado para resolver con incógnita la “E”.

Log E=11,8+ (12,75)

Log E=24,55

 E=10^24,5 E=3,5·10^24 ergios

Multiplico el valor de “M” por el 1,5 para seguir resolviendo. Tomo logaritmos en el segundo miembro a si los puedo tachar de los dos miembro s, para poder poner un logaritmo en un miembro lo que hago es elevar el número del miembro con base 10. Resuelvo y obtengo la solución. b) Log E=11,8+ (1,5·10) Sustituyo los valores que me han dado para resolver con incógnita la “E”.

Log E= 11,8+15

Log E= 26,8



E=10^26,8

E=6,3·10 ^26 ergios

Multiplico el valor de “M” por el 1,5 para seguir resolviendo. Tomo logaritmos en el segundo miembro a si los puedo tachar de los dos miembros, para poder poner un logaritmo en un miembro lo que hago es elevar e l número del miembro con base 10.

E=6,3·10 ^26 ergios Resuelvo y obtengo la solución.

Alberto Ramírez Victoria __________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I 15/16 Logaritmos en los fósiles En una excavación arqueológica se encuentran cuatro fósiles de diferentes tipos.

El primer fósil posee una masa inicial de 300000 kg y una masa final de 1000 kg, el segundo fósil posee una masa final de 4500 kg y una antigüedad de 60 mil años, el tercero posee una masa final que es 1/9 parte de la masa inicial y el último posee una antigüedad de 60 mil años y tiene una masa inicial de 600 kg. La masa inicial tiene que ir en Kg y el tiempo en años. a)¿Cual es la antigüedad del primer fósil? b)¿Cual es la masa inicial del segundo fósil? c)¿Cual es la antigüedad del tercer fósil? d)¿Cual es la masa final del cuarto fósil? k= - 0,00012378 a)

Mo = 300000kg

M= 1000 kg

añ o s d e ed ad t ie n e el p ri me r f ó s i l. b)

M= 4500kg

t = 60000 añ o s

kg Mo = 7561754, 327kg t i e n e e l s e g u nd o f ós i l

c)

M= 1/ 9Mo

añ o s t i e ne e l te rc er fósil. d)

Mo = 600kg

t = 60000añ o s

kg M= 0,36kg t i e n e el c u a rt o f ó s il

Álex Sánchez Díaz ______________________________________ CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

LOS RIESGOS DE TENER UN ACCIDENTE POR EL ALCOHOL

La concentración de alcohol en sangre influye en los riesgos que podemos tener a la hora de conducir. Esto se puede medir con esta fórmula R=6e^kx, sabiendo que R = el riesgo en porcentaje, k = una constante y x = la concentración de alcohol en sangre. a) En Europa el limite esta a 0,04 de alcohol en sangre, porque es un 10% de riesgo de accidente, ¿cuánto vale la constante k? b) Teniendo la constante k y un riesgo de 85%, ¿cuál es la concentración de alcohol en sangre?

a)

Sustituimos por los datos que tenemos Pasamos el 6 dividiendo, para poder dejar la e sola Y así, ponerlo en logaritmo Despejamos la k

b)

Sustituimos por los datos que tenemos Pasamos el 6 dividiendo, para poder dejar la e sola Y así, ponerlo en logaritmo Despejamos la x

Ana Guillem ___________________________________________CURSO 2015-16

12,77

MATEMÁTICAS I

15/16

APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS – Interés compuesto

El interés compuesto se calcula mediante la fórmula:

Donde A(t) es la cantidad después de t años, P es la cantidad actual, r es la tasa de interés por año y t es el número de años. ¿Después de cuántos años mi cifra inicial de 10000€ subirá a 13000€ si la tasa de interés es del 2%?

Paso el 10000 dividiendo al otro miembro

Divido Expreso en forma de logaritmo Resuelvo el logaritmo neperiano Despejo

SOLUCIÓN: DESPUÉS DE 55 AÑOS.

Arturo Martínez Pastor ___________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

LOGARITMOS EN LA ESCALA DEL SONIDO

Sabiendo que la fórmula para calcular los decibelios producidos es: β = 10 log ( I / Io) , siendo β el nivel de intensidad sonoro medido en dB (decibelios), y siendo I la intensidad sonora (medida en W/m^2). ¿Cuántos decibelios produciría un susurro teniendo en cuenta que un susurro equivale a 0,000.000.000.1 W/m^2? (Dato: el umbral de sensibilidad se usa como valor mínimo de intensidad sonora(Io) teniendo 10^(-12) W/m^2).

1.Utilizamo s la fórmula sustituyéndola por los valores dados β=10log (10^(-10)/10^(-12)) 2.Calculamos el logaritmo β=10log(1/0,01) β=10log(100) 3.Aplico la tercera propiedad de los logaritmos β=log100^10 4.Lo paso a forma exponencial 10^ β=100^10 10^ β=10^20 5.Como tienen la misma base,igualo los exponentes β=20 dB

Javi Camps Bartual ______________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

PROBLEMAS LOGARÍTMICOS

El crecimiento de un bosque viene dado por la función F(t)=A·(1+i)^t donde F es la madera que habrá dentro de t años, A la madera actual, e i la tasa de crecimiento anual. Si la tasa de crecimiento anual. Si la tasa de crecimiento anual i=0,02 y se mantiene constante, calcula el tiempo que tardará en duplicarse la madera del bosque.

A= madera actual.

F(t)= madera al cabo de t años. i= 0,02 tasa de crecimiento anual.

Para que se duplique la madera F(t) = 2·A 2A= A· (1+0,02)^t 2A= A·(1,02)^t

Simplifico la A

2 = (1,02)^t Tomamos logaritmos para despejar t log2 = log(1,02)^t log2 = t · (1,02)

Aplicamos la propiedad 3 de los logaritmos Despejo la t y la dejo en un solo término.

t= log2/log1,02 = 35 años

Carlos Vaquer __________________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

Práctica con funciones logarítmicas Resuelve el siguiente ejercicio aplicando todo lo aprendido este curso sobre funciones exponenciales y logaritmos. Explica detalladamente paso a paso lo que vas haciendo.

A) Calcula el valor de x en las siguientes expresiones sin cambiar de base: 1 .

2.

3.

B) Resuelve la siguiente ecuación logarítmica: SOLUCIÓN: A) 1.- Se expresa en func. exp.y se pasa 0,25 a fracción. Se pasa el 4 a base dos, y a continuación al tener bases iguales, se igualan exponentes.

A) 2.-Se pasa el log a forma de func. exp., expresándose el 81 en base 4. A continuación se pasa la raíz en forma de exponente como (1/2) y el 3 elevado a 4 del den. al num. cambiando el signo del exp. Después se pasa el cinco de la ra íz en forma de exponente y se quedan las bases iguales, se igualan los exp para averiguar el valor de x.

A) 3.-No existe solución, pues no existe el log. de un num. negativo. Ya que sería : , y el recorrido de las func. exp. solo pueden ser ˃ .

B) Se aplica la prop. 1 de log., pasándose después a función exp. Se despeja la x pasando el 8 diviendiendo y el cubo en forma de raíz cúbica y resuelvo. Al aplicar prop. de func. en una ec., se comprueba si la x es sol.

; Sustituyo la x, el argumento da pos. Así que sí es sol.

Esther Penáguila Rubio _____________________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

CRECIMIENTO DE UN BOSQUE

El crecimiento de un bosque es representado por la función F(t)=A(1+i)^t, en la cual i es el crecimiento anual, F es la madera total dentro de x años y A la madera actual. a)Si el crecimiento anual de un tipo de árboles es 0.07. Calcula en cuánto tiempo tardará en duplicarse la madera del bosque. b)¿Cuál será el crecimiento anual del bosque para que en 30 años se la madera se triplique?

A)Si A es la madera actual y queremos saber la madera final sabiendo que es el doble podemos decir que la madera final es 2A, entonces la ecuación se nos queda:

¨A¨ pasa dividiendo al primer miembro porque e stá multiplicando en el segundo para eliminarla:





Tomo logaritmos para despejar ¨t¨ y por la propiedad 3, la ¨t¨ pasa delante y la despejo: Tardará 10.24 años en duplicarse la madera.

B) Como si se triplica la ¨A¨ se vuelve a poder eliminar entonces pasaría lo siguiente:





Para poder despejar la ¨i¨ la despejo con la raíz de 30 y como es una tasa de crecimiento no puede ser negativa así que:





La tasa de crecimiento es 0.037.

Eva Caudé Rubicos ______________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

Aplicación logarítmica de la escala Richter

El terremoto que se produjo en 1994 en Double Spring Flat, Nevada (EE.UU.) liberó una energía superior a 200 veces la de una bomba atómica. Los expertos han podido conocer este dato gracias a la aplicación logarítmica de la escala de Richter, que sigue la fórmula: log E = m +1,5·M Siendo E la energía liberada en ergios y M la magnitud del terremoto expresada en la escala Richter. a) Calcula el valor de m si sabemos que en un terremoto de magnitud 4 se ha liberado una energía de 6,3 ·

:

b) Una vez conocido el valor de m, ¿Cuántos ergios de liberan en un terremoto de escala 6? a) Con los datos facilitados en el problema conocemos la incógnita M y la E, por lo que sustituimos los valores en la ecuación:

Por lo que la fórmula general de la Escala de Richter queda de la siguiente forma: log E = 11,8 +1,5·M b) Sustituyendo el dato que hemos obtenido en el apartado anterior y sabiendo que M = 6 :

Por lo que en un terremoto de magnitud 6 en la escala de Richter se liberan dichos ergios.

Iker Grande ___________________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

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DESINTEGRACIÓN RADIACTIVA

En una sustancia, su masa en un tiempo m(t), es igual a su masa inicial con vida media h por e elevado a menos la tasa de desintegración(r=ln2/h) por el tiempo ( m(t)= m0 * e-rt ). Si el Telurio tiene una vida media de h=120 días y tenemos 500 gramos de esta sustancia: A) Calcula la masa que quedará después de un año. r=ln2/120=5,776 * 10 - 3 =0,005776

Calculamos la r sustituyendo en la fórmula

m(t)=500 * e - 0 , 0 0 5 7 7 6 × 3 6 5 ( d í a s )

Sustituimos todos los valores en la función para averiguar la masa final

=500 * 0,121=60,726gramos B) Calcula el tiempo que tardará la masa en desintegrarse si se obtienen 250 gramos.

250=500 * e - 0 , 0 0 5 7 7 6 t

Sustituimos los valores en la función

250/500= e - 0 , 0 0 5 7 7 6 t

El 500 pasa dividiendo al otro miembro

0,5= e - 0 , 0 0 5 7 7 6 t

Tomamos logaritmos

ln0,5=ln e - 0 , 0 0 5 7 7 6 t

Aplicamos la propiedad 3

ln0,5=(-0,005776t)ln e -0,005776t=ln0,5

Despejamos “t”

t=ln0,5/-0,005776=120días

Inma Vert Cebrián ______________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

15/16

LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON

Si un objeto que está a una temperatura dada se saca a la intemperie, el objeto se calienta si la temperatura ambiente es mayor y se enfría en el caso contrario. La ley del enfriamiento de Newton, que explica el cambio de temperatura del cuerpo es: k t T = Q +Ce donde T es la temperatura del objeto después de un tiempo, t, medido en minutos, Q es la temperatura a la intemperie y C y k son constantes que dependen de las características del objeto y de su temperatura inicial.

A) Si para una taza de café C = 80 y k = – 0.069315, ¿cuánto tiempo hay que esperar para que el café esté a 45º C si la temperatura ambiente es de 25ª C? Resoluc ión: S i se convie rte la e cuación a la forma logarítm ica se obtie ne: T-Q=C·e^(k·t) →Pas o la C dividie ndo (T-Q)/C=e^(k·t) →Tomo logaritmos ln[(T-Q)/C]= ln[e^ (k·t)] →P3 ln[(T-Q)/C]=k·t·lne →lne= 1 ln[(T-Q)/C]=k·t Aplica ción de la fórm ula resulta nte a l problema : Datos ln[(T-Q)/C ]=k·t C=80 ln[(45-25)/80]=-0.069315·t k=-0.069315 ln(0.25)= -0.069315·t Q=45º -1. 386294361=-0.069315·t T=25º t=19.9 min≈20 m in Solución: Ha brá que espe ra r 20 minut os.

B) ¿Si he esperado 10 minutos, cuál era la temperatura ambiente?

Resolución: Aplicando la misma fórm ula obte nida e n e l a pa rtado ante rior obteng o que: Datos ln[(T-Q)/C]=k·t C=80 ln[(T-20)/80]= -0.069315·10 Q=20ª ln[(T-20)/80]=-0.69315 k=-0.069315 e^ -0. 69315= (T-20)/80 t=10 min 0.5=(T-20)/80 05·80=T-20 40=T-20 T=60ªC Solución: La temperatura ambiente era 60ªC. Isabel Más Izquierdo ____________________________________CURSO 2015-16

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Problema de interés compuesto

Un empresario incrementa el precio de sus productos en un 5% anual. Actualmente uno de sus productos vale 5,8 €. Contesta a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuánto costará el producto dentro de 6 años? b) ¿cuánto costaba hace 3 años? c) ¿cuántos años han de pasar para que el precio del producto actual se duplique?

Dato: C = C(0)*(1+i)^n (interés compuesto) C = coste final C(0)= coste inicial i= interés n= nº de años a) Sustituyo los datos en la fórmula C= 5,8*(1+0,05)^6

C= 5,8*(6+1,5625*10^-8)

C= 5,8*6,00015625= 34.8009€ b) Sustituyo los datos en la fórmula C= 5,8*(1+0,05)^-3 (paso el exponente a positivo) C= 5,68*(1/(1+0,05)^3) C= 5,8*(1/(3+1,25*10^-4)) C= 5,8/3,000125= 1,933€ c) Sustituyo los datos en la fórmula 5,8*2= 5,8*(1+0,05)^n (paso el 5,8 dividiendo) 11,6/5,8= (1+0,05)^n 2=(1+0,05)^n Tomo logaritmos Log2= Log(1+0,05)^n (la n pasa multiplicando por la propiedad 3) Log2= n*Log(1+0,05) (el logaritmo pasa dividiendo) n= (Log2)/(log1,05)=14,2066 años

Javier González Cerdá ____________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

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EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

1)

A) Tienes la función exponencial f(x)=y=5x Escribe el Dominio y el Recorrido de la función explicándolos. Dibújala en una gráfica. Haz una tabla de valores.

B) Escribe todas las propiedades y las tendencias de la función y explícalas.

C) Dibuja la inversa de esta función exponencial en la primera grafica indicando la relación que te tiene con la primera gráfica.

A)

Escribes una tabla de valores para asignar los valores de x y de y.

Dominio son todos los números reales porque cada valor de x que asignes saldrá un valor de y.

Recorrido de ]0,+oo[ porque a cada valor de x que le des nunca saldrán y negativas.

B) Las propiedades ya tenemos el dominio y el recorrido.

Es creciente en todo la función po rque la base es mayor a 1.

Pto corte en eje oy (0,1) Tendencias x  +oo

Es continua

y  +oo

x  -oo

y 0+

C) La gráfica esta dibujada en el a y son inversas y si las divides por la bisectriz encajan y su dominio es de )0,+oo( y su recorrido todos los números reales.

Jorge Díez Sala _________________________________________CURSO 2015-16

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Logaritmos aplicados a la intensidad del sonido

La intensidad del sonido es el flujo de energía por unidad de área que produce medida en watts(vatio=1juli/s)por metro cuadrado. La intensidad mínima de sonido que el ser humano es capaz de escuchar es de 10¯² W/m². La sonoridad de un sonido se define como L=10log I/10¯² donde I es la intensidad y L se mide en decibelios. Una conversación en voz alta son de 67 decibelios y un martillo sobre una lámina de acero son 110 decibelios, muchísimo por encima que la conversación. a) Si la intensidad de un avión es de 10¹⁴.Averigua cuantos decibelios produce. a) Lo primero que hacemos es sustituir los datos.

L=10log 10¹⁴/10¯² El 10 con exponente negativo lo podemos subir con el el signo del exponente a la inversa ,es decir, positivo L=10log10¹⁴·10² Como las bases son iguales y se están multiplicando, los exponentes se suman.

L=10log10¹⁶ Ahora con la tercera propiedad el 10 pasa a elevar todo lo de dentro del logaritmo.

L=log(10¹⁶)¹⁰ los exponentes se multiplican.

L=log10¹⁶⁰ Ahora ponemos lo mismo pero de forma exponencial.

10ᶫ=10¹⁶⁰ Y ponemos en los dos logaritmos para despejar la L. log10ᶫ=log10¹⁶⁰Y con la P3 los expon entes pasan delante multiplicando el log Llog10=160log10 Para dejar la L sola pasamos el log 10 dividiendo L=160log10/log10 Y realizamos la división.

L=160 decibelios El avión realizará un sonido altísimo

Jorge Rodrigo __________________________________________CURSO 2015-16

MATEMĂ TICAS I

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ÂżCĂ“MO SE LO EXPLICARĂ?AS?

Un compaĂąero tiene dificultades con los logaritmos y necesita tu ayuda para poder dar respuesta a sus siguientes dudas:

a)

a)

No sabe cómo resolver la siguiente ecuación logarítmica 2������ �� = 3 + ������(��/10), ¿podrías ayudarle a resolverla explicando todos y cada uno de los pasos que realices?

b)

Tu amigo se perdiĂł la clase cuando explicamos para que se toman logaritmos cuando tienes una exponencial,Âż podrĂ­as ayudarle a resolver esta exponencial explicando todos tus pasos? 10đ?‘Ľđ?‘Ľ = 475 đ?‘Ľđ?‘Ľ

2�������� = 3 + log � �; 10

Aplico

la

propiedad

2

de

los

logaritmos

que

log( đ?‘Ľđ?‘Ľ/đ?‘Śđ?‘Ś) = log đ?‘Ľđ?‘Ľ − log đ?‘Śđ?‘Ś; 2đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ = 3 + đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ – đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™10 ;

2đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ = 3 + đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ − 1 ;2đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ = 2 + đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ ;2đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ − đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ = 2 ; đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ = 2 ; Es lo mismo que ;102 = đ?‘Ľđ?‘Ľ ; đ?‘Ľđ?‘Ľ = 100

b)

10�� = 475; Tomo logaritmos para poder hallar el valor de x aplicando las propiedades de los logaritmos; ������10�� = ������475; Aplico la propiedad 3 de los logaritmos �������� �� = ���������� ; ��������10 = ������475

; “đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™10â€? pasa dividiendo al otro miembro;

�� = (������475/������10) = 2,67669 . Compruebo: 102,67669 = 475 . Es correcto

Juan PĂŠrez Flors ________________________________________CURSO 2015-16

es

MATEMÁTICAS I

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EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

a) Junta todo lo que puedas estas expresiones y explica los pasos que haces.

1) 2) b) Un compañero tuyo tiene problemas con un ejercicio y ha recurrido a tu ayuda. Explícale cómo resuelves

a) 1)

Se simplifica el exponente, quedando en

.

=2

Se aplica la propiedad 1.

Se opera el producto.

No puede continuarse más.

2) Se juntan los dos primeros logaritmos por la propiedad 2 y se pasa el 3 como exponente por la propiedad 3.

Se juntan ambos logaritmos por la propiedad 1.

Se simplifica.

No puede continuarse más. b)

 Se toman logaritmos 

 Propiedad 3 

Dejo la x a un miembro y paso el log5 dividiendo  x= 2.09 …

  Se opera 

Laura Devis Torres ______________________________________CURSO 2015-16

MATEMĂ TICAS I

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VIRUS EN LA UNIVERSIDAD

En una universidad de 5000 estudiantes, uno de ellos volvió de vacaciones con un virus de gripe muy contagioso. La propagación del virus por el alumnado se calcula mediante la función Ce(t)=5000/(1 + 4999 ¡ e^(-0,8¡t) ) En este caso las normas de la universidad dicen que se suspenderån las clases en caso de que un 40% de los alumnos se contagien.

Ce= Cantidad Estudiantes infectados

t= Tiempo en dĂ­as (5 dĂ­as)

ÂżDespuĂŠs de cuĂĄntos dĂ­as se suspenderĂĄn las clases en la universidad?

Primero necesitamos saber quÊ cantidad de alumnos representan el 40% 40% de 5000 alumnos →5000 ¡ 0,4→ 2000 alumnos Ahora ya podemos sustituir el número de alumnos en la ecuación para despejar los días que tardarån en suspender las clases (t)

5000

5000

5000

Ce= 1 + 4999 ¡ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą ⇒2000= 1 + 4999 ¡ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą ⇒2000= 1 + 4999 ¡ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą 5000

200 0 ( 1 + 499 9 ¡ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą )=50 00 ⇒ 1 + 49 99 ¡ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą = 2000 5000

499 9 ¡ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą = 2000-

1 ⇒499 9 1,5

5000

¡ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą = 2000-

2000 2000

3000

⇒499 9 ¡ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą = 2000

499 9 ¡ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą = 1 ,5 ⇒ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą = 4999 ⇒ đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą = 0 ,0 003 ⇒t o m a m o s

logarit mos para des pejar la t

ln đ?‘’đ?‘’ −0,8¡đ?‘Ąđ?‘Ą = ln 0,00 03 ⇒ (đ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘ƒđ?‘ƒ 3) − 0,8đ?‘Ąđ?‘Ą ¡ ln e = ln 0,00 03 ⇒t= t= 10 ,1 39 dĂ­as

đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ 0,0003 −0,8

Manuel DurĂĄn Bonora ___________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

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LOS TERREMOTOS

La magnitud de los terremotos se mide mediante la escala de Richter, cuya ecuación es logE = 11’8 + 1’5M - donde E es la energía liberada (en ergios) y M es la magnitud del terremoto.

A) Hace unos meses se produjo un terremoto en Chile. Sabiendo que su magnitud fue 8’4, ¿cuánta energía se liberó?

B) Si un terremoto libera

ergios, ¿cuál es su magnitud?

C) Un terremoto (A) tiene el doble de magnitud que otro (B). ¿Liberará entonces el doble de energía? ¿Por qué?

A) 1. Sustituyo M por 8’4. logE = 11’8 + 1’5·8’4 2. Resuelvo el segundo miembro. =E

3. Cambio a exponencial.

4. Resuelvo.

logE = 24’4

E=

B) 1. Sustituyo E por

.

log

= 11’8 + 1’5M

2. Resuelvo el logaritmo.

25 = 11’8 + 1’5M

3. El 11’8 pasa restando.

13’2 = 1’5M

4. El 1’5 pasa dividiendo.

M = 8’8

C) No, no liberará el doble de energía. La escala de Richter es una escala logarítmica, y por lo tanto la cantidad de energía liberada por A será exponencialmente mayor a la liberada por B. Por ejemplo, si A tiene magnitud 4 y B tiene magnitud 2, y seguimos los pasos utilizados en el apartado A), llegamos a que E(A) = 6’3· y E(B) = 6’3· . Es decir, el terremoto A libera 1000 veces más energía que el B.

María Peiró Torralba ____________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

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Medición de seísmos Sabiendo que para obtener la magnitud de un seísmo se utiliza la siguiente ecuación : M=logA+3log(8t)-2,92 donde: M= Magnitud arbitraria pero constante a terremotos que liberan la misma cantidad de energía.

A= Amplitud de las ondas en milímetros.

t= Tiempo en segundos desde el inicio de las ondas P al de las ondas S. Averigua: a): Si tenemos un terremoto de de intensidad 2,6 con una duración de entre ondas de 60 segundos ¿Cuál es la amplitud de onda de este seísmo? b): Si tenemos un terremoto con una amplitud de ondas de 6000 y su duración entre ondas fue de 30 segundos ¿Cuál fue la intensidad de dicho seísmo? a) Como me dan la intensidad y la duración entre ondas lo que hago es sustituir en la ecuación p ara obtener la amplitud de onda .

2,6=logA+3log(8X60) -2,92 →paso el log A restando al otro miembro 2,6-logA=3log(8X60)-2,92 log A=3log(8X60)-2,92 log A = 5,124

→paso el 2,6 restando al otro miembro →opero

→ aplico la relación entre logaritmos y exponenciales

105,124 = A A=132960,8283 mm Tiene una amplitud de onda de 132960,8283 mm b) Como me dan las inc ógnitas obtengo lo que me piden M=log 6000+3log(8X30)-2,92 → resuelvo los logaritmos M=7,99 Tiene una intensidad de 7,99 en la escala de Richter

Miguel Rodrigo Vaz ______________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

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DEDUCCIÓN Y LÓGICA

A. Halla dos números, siendo uno el doble del otro, y cuya diferencia es igual a la diferencia de sus logaritmos.

B. Conociendo que el logaritmo de 3=0,47771213 y el logaritmo de 2=0,301030, ¿cuál será el logaritmo de 75? Resuélvelo sin usar la calculadora, usando las propiedades e indicando todos los pasos que hagas.

Apartado A: Direm os que X e Y s on los núme ros pedidos, por lo que: X = 2Y → Ecuación 1 X – Y = logX – logY → Ecuación 2 Sustituimos el valor de X e n la ecua ción 2 2Y – Y = log2Y – logY → A plico la propie da d: logA – logB = log(A/B) Y = log(2Y/Y)

Y = log2

Y = 0,301030

Sustituimos el valor de Y en la ecuación 1 X = 2×0,301030

X = 0, 60206

Apartado B: Descompongo 75 e n núme ros prim os log75 = log3× 5²

75 = 3×5²

log75 = log3 + log 5²

A plico la propie dad: logA + logB = logAB log75 = log3 + 2log(10/2)

log75 = log3 + 2log5

Aplico la propie dad: logA² = 2logA log75 = log3 + 2(log10 – log 2)

Aplico la propie dad: logA + logB = logAB

logₐA = 1

S ustituim os los va lores→ log75 = 0,47771213 + 2(1 – 0,301030) = 1, 8750613

Paula Guerra Tévar _____________________________________CURSO 2015-16

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MATEMĂ TICAS I EcuaciĂłn LogarĂ­tmica

Resuelve la siguiente ecuaciĂłn indicando en todo momento los pasos que das.

đ?’?đ?’?đ?’?đ?’?đ?’?đ?’?ďż˝đ?&#x;–đ?&#x;–−đ?’™đ?’™đ?&#x;?đ?&#x;? ďż˝

1) đ?&#x;?đ?&#x;? = đ?’?đ?’?đ?’?đ?’?đ?’?đ?’?(đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;‘đ?&#x;‘−đ?&#x;?đ?&#x;?)

Primero paso el denominador al otro miembro multiplicando eliminando asĂ­ la fracciĂłn. 2 ¡ đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™(3đ?‘Ľđ?‘Ľ − 2) = đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™(8 − đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 )

Ahora mediante la propiedad 3 ( đ?‘›đ?‘› ¡ đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘”đ?‘”đ?‘?đ?‘? đ?‘Žđ?‘Ž = đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘”đ?‘”đ?‘?đ?‘? đ?‘Žđ?‘Ž2 ) elevo al cuadrado el parĂŠntesis đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™(3đ?‘Ľđ?‘Ľ − 2)2 = đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™(8 − đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 ) Elevo al cuadrado realizando el producto notable ( đ?‘Žđ?‘Ž2 + 2đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž + đ?‘?đ?‘?2 ) đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™(3đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4) = đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™(8 − đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 )

Ahora igualo el interior de ambos logaritmos para cumplir la igualdad y simplifico 3đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľđ?‘Ľ + 4 − 8 + đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 = 0 / 4đ?‘Ľđ?‘Ľ 2 − 12đ?‘Ľđ?‘Ľ − 4 = 0

Como tengo una ecuaciĂłn de segundo grado completa aplico la fĂłrmula: đ?‘Ľđ?‘Ľ = 12Âąďż˝âˆ’122−4¡4¡(−4) 2¡4

, simplifico đ?‘Ľđ?‘Ľ =

12Âąâˆš9216 8

đ?‘Ľđ?‘Ľ =

12Âą96 8

−đ?‘?đ?‘?Âąâˆšđ?‘?đ?‘?2−4đ?‘Žđ?‘Žđ?‘Žđ?‘Ž 2đ?‘Žđ?‘Ž

y despejo las dos “x� x=13,5 y x= -10,5

y sustituyo đ?‘Ľđ?‘Ľ =

Al haber aplicado propiedades de logaritmos en el 2Âş paso , realizamos la comprobaciĂłn sustituyendo ambas “xâ€? en la primera ecuaciĂłn. –Primero x= 13,5

2=

đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™(8−13.52 )

đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™(3¡13,5−2)

tanto es vålido el valor de x. –Segundo x= -10,5

como podemos ver, el segundo miembro es positivo , por 2

đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ďż˝8−(−10

ďż˝

2 = đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™ďż˝3¡(−10)−2ďż˝

es vĂĄlida ya que no existen los logaritmos de nĂşmeros negativos .

simplificamos al mĂĄximo 2 =

Pedro DĂ­az Villarroya _______________________________CURSO 2015-16

đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™(−92) đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™đ?‘™âˆ’32

No

MATEMÁTICAS I

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LOGARITMO INCREMENTOS

Un empresario incrementa el precio de sus productos en un 12% anual. Actualmente ,unos de sus productos vale 3,75 euros. Contesta a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuánto costará el producto dentro de 4 años? b) ¿Cuánto costaba hace 4 años? c) ¿Cuántos años han de pasar para que el precio actual del producto se duplique?

DATOS P inicial = 3,75 euros

P final = ?

i = 12%

Precio final = Precio inicial(1+r)^t R = i/100

r = 12/100= 0,12

a) Precio final = 3,75(1+0,12)^4=5 ,9 euros b) Precio final = 3,75(1+0,12)^ -4=2,38 euros t= -4 años, consideramos t = 0 al tiempo presente. c) Precio final = 2 x Precio inicial Llamamos P al precio inicial,el precio final será 2P 2p = p(1+r)^t 2p/p = (1+0,12)^t

log2 = t (lo g1,12)

t=log2/log1,12=6,12 años

Quique Romeu _________________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

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VIRUS EN LA UNIVERSIDAD

En una universidad, aparece un virus contagioso que afecta a todo el alumnado. El número de afectados en relación con el tiempo transcurrido se calcula con la siguiente ecuación:

a) Calcula cuantos alumnos estarán afectados por el virus al cabo de 5 días. b) ¿Después de cuántos días se suspenderán las clases sabiendo que se necesita un 40% del alumnado infectado? (hay 5000 alumnos) a) –Lo primero que hacemos es sustituir los 5 días en la ecuación dada:

-Después simplificamos el exponente e^ -0.8·5:

-Ahora elevamos la e a -4:

-Multiplicamos 4999·0.018:

-Sumamos el 1 al denominador:

-Dividimos 5000 entre 90.98:

Roberto Mateu Monterde _______________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

b) Lo primero calculamos cuánto es el 40% de 5000:

-Después sustituimos en la ecuación el número de alumnos:

-A continuación paso “

multiplicando al otro miembro:

-Después paso el 2000 dividiendo al otro miembro dividiendo:

-Paso el 1 restando al otro miembro:

-Paso el 4999 dividiendo al otro miembro:

-Tomamos logaritmos:

-Aplico propiedades de los logaritmos:

-Vemos que lne = 1 y paso dividiendo el -0.8 al otro miembro: =10.139 días, que serían 10 días redondeado.

Roberto Mateu Monterde _______________________________CURSO 2015-16

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MATEMÁTICAS I

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LOGARITMOS DE BASE DISTINTA A 10 Y e

Si log3 7 = 1,77 y log3 4 = 1,26.

A) Calcula razonadamente los siguientes logaritmos sin cambiar de base: 1) log3 (7/4) 2) log3 112 3) log3 √7 log 3 ( x − 7 ) B) Resuelve explicando la siguiente ecuación sin cambiar de base: − log 3 4 = 2 2 PROPIEDADES DE LOS LOG ARITMOS P1. log a ( x ⋅ y ) = log a x + log a y

A) 1) log 3

x P2. log a   = log a x − log a y  y

7 = log 3 7 − log 3 4 = 1,77 − 1,26 = 0,51 4

P3. log a x n = n log a x

Aplico P2 y sust ituyo los loga ritm os.

2) log 3 112 = log 3 (2 4 ⋅ 7 ) = log 3 (4 ⋅ 4 ⋅ 7 ) = log 3 4 2 + log 3 7 = 2 ⋅ log 3 4 + log 3 7 = 2,52 + 1,77 = 4,29 Descompongo en fact ores prim os pa ra que se me quede el logaritmo en base 3 de 4 y 7. A plico P 1. Aplico P3 y sust ituyo los loga ritm os que me ha n dado a ntes. n

1 2

1 1,77 3) log 3 7 = log 3 7 = ⋅ log 3 7 = Como m x n = x m . Aplico P 3. Sustit uyo el = 0,885 2 2 loga ritm o que me han da do antes y lo div ido e ntre 2.

B)

log 3 ( x − 7 ) − log 3 4 = 2 2

log 3 ( x − 7) = 2 + log 3 4 2

Paso el log 3 4 suma ndo a l otro m iem bro.

log 3 ( x − 7 ) = 4 + 2 log 3 4

P aso m ult iplica ndo e l 2 a l otro m iem bro.

log 3 ( x − 7 ) = 4 + 2 ⋅ 1,26

Sust ituyo e l log 3 4, el cual me lo ha n da do antes.

log 3 ( x − 7 ) = 6,52

Multiplico y s umo.

36,52 = x − 7

Pas o a form a expone ncial pa ra poder ha llar x.

1290,72 + 7 = x = 1297,72

Susan Blesa Chiralt ______________________________________CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

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FRECUENCIA DE LAS NOTAS MUSICALES

- Una cantante soprano profesional es capaz de romper una copa de cristal con sólo cantar una nota. Hacemos una prueba con una cantante y esta consigue romper la copa cuando llega al 6º mi del piano (que está en la 6ª octava). El primer do del piano tiene una frecuencia de 32,7Hz. Sabiendo que la fórmula del número de vibraciones de una nota es logN = m +

p 12

, siendo “Npm” el número de vibraciones de una nota, “m” el

número de octava y “p” la nota, ¿a qué frecuencia se romperá la copa?

Lo primero que debemos hacer es interpretar la ecuación y sustituir los datos que nos ofrecen para calcular el número de vibraciones que tiene la nota indicada.

Como estamos en la 6ª octava, m=6; y como es la nota mi, entonces p=5.

log2N = 6+ log2N =

5 12

72+1 12 Paso de forma logarítmica a exponencial

log2N = 6,08 6,08

N =2

Este número indica cuantas veces tiene más vibraciones que el primero do.

Entonces, como sabemos que el primer do tiene una frecuencia de 32,7Hz, sólo tenemos que multiplicarlos: 6,08

N = 32'7·2

= 2.212 H z

SOLUCIÓN: la cantante podrá romper la copa con una frecuencia de 2.212Hz (vibraciones por segundo).

Vicente Sanz Moreno - CURSO 2015-16

MATEMÁTICAS I

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ECUACIONES DE LOGARITMOS

Calcula, por la definición de logaritmo, el valor de “y”.

1.-log1/2 0,25=y 2.-log√5 125=y 1.-Usamos las propiedades. (1/2) y =0,25 – El resultado del logaritmo, es el exponente de la base.

Lo ponemos Resolvemos. y=2

todo

en

la

misma

base

exponen cial.

(1/2) y

=(1/2) 2

2.-Uso las propiedades. √5 y =125 Simplifico, poniendo todo en la misma base 5 1 / 2 · y =5 3 Resolvemos. y=6 2.-Calcula la x en los siguientes logaritmos: 1- log 2 32  x 2- log 9 (1 / 3)  x 1.-Uso las propiedades. El resultado es el exponente de la base. 2 x =32 Lo pongo todo en la misma base. 2 x =2 5 .

Resuelvo. x=5

2.-Uso el mismo proceso que en las anteriores. (9) x =1/3 Y continúo con el método. (Esto es (3 2 ) x =3) 3 2 x =3 - 1

Resuelvo. x=-1/2

3.-Conociendo que log2=0,3010, calcula el siguiente logaritmo decimal: log 4 8  x Resuelvo usando las propiedades log 4 8 = 3/4log2= 3/4·0,3010= 0,2257

Waqas Butt Dar ________________________________________CURSO 2015-16