Varios cultura y aprendizaje 03 numeracion y calculo by nubia alvarez

NUMERACION Y CALCULO BsRNento Góvtnz Arroñso ¡:l

Tffi I i!

Colección:

MATEMATICAS:CULTURA Y APRENDIZAJE

t¡.

Simetríadinámica Rafael Pérez Gómez, Claudi Alsin¡r ('¡rt¡rl¡i.('cferino Ruiz Garrido

14. Semejanza Ricardo Luengo González

Area de conocimiento:didáctica de las matemáticas EnriqueVidalCosta

f 5. Poliedros Gregoria Guillén Soler, Angel Salar Gálvez

Números y operaciones LuisRicoRomero, Encarnación CastroMartínez, EnriqueCastroMartinez

16. Metodologla activa y lúdica de la geometría JavierAguilaRuiz Francisco JuanRivaya, AngelMartínezRecio,Francisco

Numeración y cálculo Bernardo Gómez Alfonso

17. El problema de la medida Carmen Chamorro Plaza, Juan M. Belmonte Gómez

Fracciones. La relación parte-todo Salvador Llinares Ciscar, M." Victoria Sánchez García

5. Númerosdecimales

y cfrculo 18. Circunferencia Francisco Padilla Díaz, Arnulfo Santos Hernández, Fidela Yelázquez Manuel, Manuel Fernández Reyes

Julia Centeno Pérez

Volumen 19. Superficie. 6.

Números enteros

M." Angeles del olmo Romero, Francisca Moreno Carretero, Francisco Gil cuadra

JoséL. González Mari, M." DoloresIriarteBustos, Alfonsoortiz comas.Inmaculada Vargas-Machuca, Manuela Jimeno Pérez,Antonio Ortiz Villarejo, Esteban Sanz Jiménez

7. Divisibilidad Modesto Sierra vázquez,Andrés sánchezGarcía,M." T. GonzálezAstudillo,Mario GonzálezAcosta

8. Problemasaritméticosescolares Luis Puig Espinosa,FernandoCerdánpérez 9.

Estimación

en cálculo y medida

Isidoro SegoviaAIex, EncarnaciónCastro Maftinez, EnriqueCastro Martínez,Luis Rico Romero

10. Aritmética y calculadora Frederic Udina i Abelló

ll.

Materiales para construir la geometría CarmeBurgués Flamerich, ClaudiAlsinaCatalá,JosepM." FortunyAymemi

12. Invitación a la didáctica de la geometría Claudi Alsina Catalá, Josep M a Fortuny Aymemi, Carme Burgués Flamerich

20. Proporcionalidad M." Luisa Fiol Mora, JosepM.' Fortuny Aymemi

21. Nudos y nexos:grafosen la escuela Moisés Coriat Benarroch, Juana Sancho Gil, Antonio Marín del Moral, Pilar Gonzalvo Martínez

22. Por los caminosde la lógica Inés Sanz Lerma, Modesto Arrieta Liarramendi, Elisa Pardo Ruiz

23. Iniciación al álgebra Manuel Martín socas Robayna, Matias camacho Machín, M.' Medina, Josefa Hernández Dominguez

Mercedes Palarea

24. Ordenar y clasificar GasparMayor Forteza,TeresaRieraMadurell

y coordenadas 25. Códigos,símbolos,representación Francisco Vecino Rubio, Gerardo Montero García, Tomás Sierra Delgado

-r1{ 26. Funciones Jordi Deulofeu Piquct, (larmen Azcárale Giménez

27. lvat y probabilidad Juan Díaz Godino, Carmen Batanero Bernabéu, M., JesúsCañizares Castellano

28. Encuestas y precios Andrés Nortes Checa

29. Heurística FernandoCerdinPére1Luis PuigEspinosa

30. Ordenador y educación matemática: algunas modalidades de uso

NUMERACION Y CALCUTO

José A. Cajaraville Pegito

31. Prensay matemáticas AntonioFernández Cano,Luis RicoRomero

32. Juegos y pasatiempos para la enseñanzade la matemática elemental Josefa Fernández Sucasas, M." Inés Rodriguez Vela

BnnNanpo

33. Pensamiento algorftmico Candelaria EspinelFebles, Casiano Rodríguez León

Góunz AlroNso

Profesortitular de Didácticade las Matemirticas de la Universidadde Valcncr¿r

34. Recursos en el aula de matemáticas Francisco HernánSiguero, ElisaCarrilloQuintela

EDITORIAL

SINTESIS

tqqi4 J3 tro.roiüooeberras

1u'¡etnQ tormadeadquisiciÓn: {núu Do¡ación Canie tompra techadeadqursrción Día Mes AñodeProcesamiento Fecha Mes AñoProveedor Procesado Por

Primerareimpresión:octubre1989 Segundareimpresión:noviembre1993 Tercerareimpresión:noviembre1998 Reservados todoslos derechos.Está prohibido,bajo lassanciones penalesy el resarcimiento civil previstos en lasleyes,reproducir,registraro transmitirestapublicación,íntegrao parcialmentepor cualquiersistema de recuperación y por cualquiermedio,seamecánico, electrónico,magnético,electroóptico, por fotocopiao por cualquierotro, sin la autorización previapor escrito de Editorial Síntesis. S.A. @ BernardoGómezAlfonso O EDITORIAL SÍNTESIS,S. A. Vallehermoso, 34 - 28015Madrid Teléf.:91 5932098 http//:www.sintesis.com Depósito Legal: M. 32.385-1998 ISBN: 84-7738-014-7 Impresoen España- Printedin Spain

Indice Al lector

1. Introducción 1.1. ¿Quées el número? 1.2. Caracterización 1.2.1. Usos 1.2.2. Invariantes 1.2.3. Nacimientoy evolución . El sistemacardinal La unicidad La coordinabilidad El registro Lasetiquetas.... r El sistemaordinal El orden El sistemade numeración. . . Contar Losadjetivos..... .,La historiareal .. ¡ Contar con las partesdel cuerpo

t7 l7 18

2. La numeración:evolucióny comparaciónde sistemas 2.1. Ejerciciospreliminareso de partida 2.2. Sistemasde numeración 2.2.1. Representación simple 2.2.2. Agrupamientosimple 2.2.3. Agrupamientomúltiple o Sistema egipcio

l8 20

2l 2l 2l 2l 22 23 23 23 24 25 26 27 29 31 3l 3l 32 32 JJ

2.2.4. Sislclrrrrs multiplicativos.... r Sistclua ático . . Sistorna chino-japonés .... ¡ Nucstrosistemaoral . . Sistemababilónico 2.2.5. Sistcmamultiplicativoordenado 2.2.6. Sistemas posicionales o Sistema maya. . El cero . Las cifras 2.2.7. Numeracióny cálculoen los viejossistemas o Egipto . Babilonia . Grecia . El sistemajónico . La numeraciónromana 2.2.8. La herenciahindú. 2.2.9. Europa:un caminoplagadode dihcultades. ... . ... . La oscuridad. . . .ElalboreaÍ..... . Innovacióncontra conservadurismo. 2.2.10.El sistemadecimal . Modo de leerun númerode muchascifras . ... . . . Caracteristicas. . . Desarrollocurricular . Uso de materialestructurado o La integracióndel contexto 2.2.11.Aritméticay sistemasde numeración .. . 2.2.12.Aritméticay enseñanza obligatoria

3. Cálculomental.Cálculopensado 3.1. Cálculomental,cálculopensado 3.2. Cálculomental:las tablas 3.2.1. La tabla de sumar . Las tablillasde Lucas 3.2.2. La tabla de multiplicar . . . 3.3. La multiplicacióncon los dedos 3.4. Cálculopensado 3.4.1. Cálculo pensadoaditivo 3.4.2. Cálculo pensadornultiplicativo . . . . 3.5. Explorandoen aritmética. .... 3.6. Las tablasde doble entrada

35 35 36 )t

37 38 39 39 40 4l 42 42 43 43 44 46 47 50 51 53 54 55 56 56 57 57 58 59 59 65 65 68 70 75 76 82 85 85 87 9l 94

4. Losalgoritmos...... 4.1. Losalgoritmos.... 4.2. Los algoritmosdc lipiz y ¡lr¡rcl rCaracterísticas.. 4.3. Los algoritmosen cl ctrfríctll() . 4.3.1. Algoritmospara ll strrn¿l para . la rcsta 4.3.2. Algoritmos .. . . para multiplicación la 4.3.3. Algoritmos . Las regletaso rodillosde Neper . La multiplicaciónegipcia . La multiplicaciónrusa o campesina 4.3.4. Algoritmospara la división

103 103 105 106 106 115 ll9 125 135 136 137 139

ANEXO 1. La taiz cuadrada 1.1. El algoritmode la raiz cuadrada (Laboratorio,bloques). 1.1.1. Un tratamientomanipulativo. . Problemapreliminaro de partida . La situación de partida . Trazando un plan 1.1.2. Un tratamientoaritmético.(Lápiz y papel) . Problemapreliminaro de Partida . La situaciónde partida o Trazando un plan 1.1.3. Un tratamientoalgebraico'(Lápiz y papel)

r53

ANEXO 2. Los materialesmanipulativos.. 2.1. Los ábacos 2.1.1. Abacosdecimales 2.2. Los bloquesmultibase 2.2.1. Diferenciasentre los bloquesy los ábacos 2.2.2. Actividades 2.3. Los númerosen color 2.3.1. Estructura 2.3.2. Operaciones

163 164 166 r67 169 169 170 l7l 172

Bibliogralla

173

153 155 155 155 156 159

r59 159 159 161

-'1

Al lector Grabado de Ia portada de una edición de uno de los Rechenbücher de Adam Riese,el famoso Rechenmeister. de 1529. En él se representa una competición entre un algorista y un abacista.

Habrán ustedes notado que la gente nunca contesta a lo que se le dice. Contesta siempre a lo que uno piensa al hacer la pregunta, o a lo que sefigura que estó uno pensando. Supongan ustedesque una dama le dice a otra, en una casa de campo: <¿Hay alguien contigo?))La ofta no contesta: <Sí, el mayordomo, los tres criados, la doncellas, etc.D,aun cuando la camarera esté en el otro cuarto y el mayordomo detrás de la silla de la señóra, sino que contesta' (No; no hay nadie conmigo>, con lo cual quiere decir: <No hay nadie de la clase social a la que tú te refieres.> Pero si es el doctor el que hace la pregunta, en un caso de epidemia: <¿Quién más hay aquí?l, entonces la señora recordará, sin duda, al mayordomo, a la camarera, etc. Y así se habla siempre. Nunca son literales las respuestas,sin que dejan por eso de ser uerídicas. (El candor del padre Brown. <El hombre invisible>. CHssr¡Rror.¡.)

He escrito este libro con la intención de contestar en la medida de mis posibilidades y a la vista de la bibliografia actual, como yo pienso que el

* f

Tomado del grabado anterior. Reelaborado por el autor.

lectoresperaque sele contestea algunaspreguntassobrela Numeracióny el Cálculo,que yo creoque puedenhaberpasadopor su cabezaen relacióncon su actividadprofesionalo su formacióncomo maestro. ¿Quiereello decir que aquí va a encontraralgunasolucióna susproblemas? Puedeque sí,puedeque no. No me esposiblesaberlo,ni tampocome es posible,honradamente, dar un recetarioo un manualde instrucciones, como La libertad,el gustoy el estilopersonal si el aula fueraun electrodoméstico. del profesorni puedenni debenser soslayados. Debe ser él quien decida sobrelas situaciones de aprendizajequele permitandesarrollarlas capacidadesde susalumnos,asumiendola responsabilidad de su clasecon todassus consecuencias, conscientede que cualquiertexto,por muy bien presentado, elaborado,escrito,programado,estructuradoo divertidoque sea,no puede reulizarningunalabor didácticapor sí mismo.Es imprescindiblela criba y posterioractuacióndel profcsor,y éstano es programablede antemanode modo rígido:su ingenioy cl de susalumnoscondicionaránel desarrollode la 1l

clasede modo irn¡rrcvisiblc, AfortunJdamente, porqueello signilicaráque se está educandocrr nrrrtcrrriiticas y que no se pierdede vista quién es el verdaderoprotagorristir dc la clase. Dicho esto,¿,quó cs cstclibro? A veceses másfácildecirlo que no son las cosas.Esteno es un libro de matemáticas en el scntidousualdel término.No espara unospocos.No es intimidatorio.No es para el fracaso.No es para la frustración.No es parala ansiedad. Por el contrario, éste es un libro de recursospara la educaciónen matemáticas; un libro parala participación,parala integracióny no para la selección.Para despertarsentimientospositivos,para desmitifrcar,para ser entendido. Es criterio de estelibro vencerel obstáculoemocionalresponsable del aburrimientocon que muchosmaestrosseplanteanla aritmética;esconvencerlesde que debajo de la rutina de un algoritmo o de la perfecciónde la expresiónnuméricahay cientosy cientosde añosde creación,de dificultades y bloqueos,de logros y avances,de retrocesose incompresiones, de fatiga, sudor,esfuerzoe ilusión.conocer algo de lo que ha ocurridopuedesuponer un cambio en el tratamientoescolarde la aritmética,puedehacerlainteresantecomo si de una novelade suspense se tratara y tan humanísticocomo puedaserlocualquierotro campode conocimiento.Esto esalgo que muchos de nosotrosno descubrimosen nuestrajuventud,porquenadiefue capazde explicárnoslo,aunqueen cierto modo comenzábamos a sospecharlo. Es un libro donde hallar puntos de partida para la reflexión,soportes para los deseosde cambio o fuentespara la inspiraciónpedagógica.Está pensadopara los futuros maestrosy maestrosen ejercicioy aborda ese aspectode la enseñanza d,elas matemáticas tan poco tratadoen nuestropaís (manualesescolares aparte):ideaspara la clase,métodosy formasde presentación, secuencialización, fundamentación, materialesmanipulativos,característicasy sugerencias para su utilización. . Objetivos

didáctico.Sacara l¿rlt¡z hrs p¡rsrtsocultos,mostrar los contextosen que se mueven,descubrir virn¡rttlcsy tliscutir sobre sus ventajase lnconvenientes. Se trata dc tlru sc¡tlttkr it las conexiones entre los pasos, estableceretapas c()n sus litscs corrcspondientesy perhlar una adecuadidiicticl da secuencialización . Destacar el papel dc lir calcul¿rdoracomo herramienta para el trabajo rápido, para el cálcukl scguro y para el razonamiento inteligente.

La numeración

Huelga extendersesobre la importancia de una buena comprensión de la estructura multiplicativa del número y lo inútil que resulta hablar de algoritmos de cálculo si falla ésta. Conocer la evolución histórica de los sistemasde numeración y saber las razones que provocaron los cambios y el abandono de unos sistemas por otros, contribuye a dar sentido a los conocimientos previos o ya adquiridos por el lector. Además, gracias a la motivación cultural que supone eliminar la sensaciónde <ya visto> el camino se anda sin difrcultad y, por añadidura, los conocimientos quedan reforzados al ir emparejados con alguna narración, anécdota o curiosidad histórica.

Los materiales

Los conocimientos anteriores contribuyen, por añadidura, a facilitar cl acceso a la estructura de los materiales manipulativos; ayudan a comprenderlos y sugieren las líneas para su utilización en el aula. En el Anexo 2 se da una breve descripción del material más destacado y conocido en cada caso y ademásde sus característicasdidácticas se muestran algunas vías de actuación acompañadas de ejemplos en situaciones concretas. Un desarrollo más detallado del material podrá encontrarseen la bibtiografia que se acompaña.

El libro se articula en torno a los siguientesobjetivos: . Lograr un conocimientomás profundo de la numeracióny de las razonesque han conducidoa su expresióny forma actual. . Incidir sobreel material manipulativo,describirlo, analizarloy mostrar para su uso. sugerencias . Apoyarel uso de estrategias de cálculomentaly pensado.Describirlas, clasificarlasy presentarejemplosque muestrencómo se utilizan. o Presentarestrategias para la construcción,esquematización y abreviación progresivade los algoritmosusualesde cálculo como recurso t2

El cálculo mental. El cálculo pensado

El cálculo mental, cálculo pensado, es el cálculo sin lápiz ni papel, es el cálculo callejero, cotidiano. El conocimiento de sus métodos y estrategias, sus condiciones más adecuadas de uso, etc., conforman un bagaje poco tratado en la Escuela. En este libro se aborda la descripción de los más corrientes, se organizan en función de sus características y, cómo no, se trabajan las formas de acercarsea las tablas, ya que son el soporte imprescindible para alcanzltr un adecuado nivel de destreza.

Sehacehincapiócn la observaciónde lts númerosen relacióncon otros númerossobrelas tablaspitagóricaso de doble entradade sumas,productos, doblesy cuadrados.Se buscahabituar al niño a descubrirpatrones, reglasy leyes,recurrencias, aspectosinsólitoso choefectossorprendentes, cantes,etc.Ademásestaforma de actuartienela ventajaque permiteestimular el trabajo y el ingenio personalal tiempo que contribuyea un mejor conocimientode los númerosv susinterrelaciones.

4, Los algoritmosde las operaciones elementales Se haceun recorridosobrelas distintasformasde presentarlos algoritmos y sobresusjustificaciones. Se sucedenlos planteamientos instrumentay constructivos.Se hace ver el trasfondosacandoa relucir les,relacionales sus pasosocultosy los conocimientospreviosque se necesitanpara comprenderlo que ocurre.Setrabajanlos algoritmoshistóricosy la búsquedade variantes.Seda entrada a la secuencializaciíndidáctica,a la discusiónsobre ventajase inconvenientes, se rompe la tradicionalrigidez,habitual en las presentaciones escolares de los algoritmosy seda lugar a formaspersonales, divertidaso ultrarrápidasde cálculo. Una incursión a la búsquedade conjeturas,explicaciones, analogias, y generalizaciones, hará ver que la Aritméticano sólo escálculo, extensiones también es matemáticas.Por añadidura,al utilizar la calculadoracomo utilisima herramientaen estaincursión,se hacever el inteligentisimopapel que tieneesteinstrumentoen el lanzamientoy contrastaciónde conjeturas.

5. La ruíz cuadrada En el Anexo I sc abordan los div€rsos tratamientos d€l algodtmo de la raiz cuadraala.No porque oeconsidoreimportente por si mismo, sino por la riqueza d€ posibilidades que encierra y, sobre todo, como muestra de lo que se ha hecho coD los elgoritmos y lo qu€ s€ ha podido hacer y no se ha hocho. . Agt¡decimiertos Cúmplcme revelar la colaboración qu€ m. ha pltstado Luis Rico, director del Dop¿rtamento de Didáctica de la matemática de la Universidad de Granada y mieñbro del consejo editor d€ la seri€ de la que este lib¡o forma part€, cuya valiosa ayuda s9 ha plasmado en aportaciones concretasy acertadisimas co¡reccionesque han contribuido a redondcarlo su¡tancialm€nte. Mi agradecimientot¿mbién al resto de mis compañerosde departamento

tn"

por su paciencia,y en partit'trl¡tr¡r l,ttis l)uig, por haberme embarcado en esta aventura; a Francisco Solr¡. pot st¡s cfluvios narrativos, y a Fernando Cerdán, por las ideas quc tttt: ltit it¡rrtllitdo. Quiero concluir signilicrttttlot¡rrc si algo tiene de bueno este libro es debido a una multitud dc pcrsotuts,krs quc han escrito las fuentes en donde he bebido y los que me ha¡t itytttlitdoit organizarlas.Pero, sin embargo,todo lo mucho que tiene de malo sillo cs achacable,naturalmente, a una persona; al autor.

Introducción

Las ideasreferentes a la numeracióny al númerosuelenconfundirsey no fueron objetos diferenciadosde estudio de los currículosescolareshasta entradoslos añossetenta.La numeracióntieneque ver con las reglassintácticasy fonéticaspara expresarel númeroy el número... 1.1. ¿QUE ES EL NUMERO? Esta es una de esaspreguntascuya respuestasuelesoslayarse. ¡Todo el mundo sabequé cosaes el número!Ahora bien, si se reiterala pregunta, unosguardaránsilencio,otros sejustihcarándiciendoque lo que les pasaes que no tienenpalabraspara explicarse, y los más,bueno,los más... Aun no sabiendolo que esel número,muchosaceptaránque el 6 lo es y que tambiénlo es VI, y tambiénIIIIII; y que todasesascosasson el mismo número. Pero esto no puedeser, ya que son objetosdistintos,y objetos distintosno puedenserla mismacosa.Decir que 6 no esun número,escomo decir que Pepe no es un hombre. ¡Es cierto, 6 es sólo el nombre de un número,como Pepees sólo el nombrede un hombre! Aclaradoesto,volvamosadondeestábamos: ¿Quées el número?Podemos convenirqueel significadode laspalabrasno hay que buscarlode modo aislado,sinoen el contextode todo un enunciado,por lo que cabeestablecer la preguntaen estosotros términos:¿quées, por ejemplo,el número uno? <A la pregunta de qué cosa es el número uno, o de qué denota el signo I, se puede responder: pues una cosa. Y si se hace notar entonces que el enunciado -el número uno es una cosa- no es una definición, porque a un lado se halla el artículo determinado y al otro el indeterminado, y que tal enunciado sólo expresa que el número uno pertenece a las cosas,pero no qué cosa es...>

(FnncE, 1972,pá9. 13.) - i. : ' - U I '- e '. u t ¡ )

5i5ii:''¿tA üEBlBLiOTÉCAS

Puede que llegado ir cslc punto).rsted se sienta oonfundido y comience a pensaren que quizh rro si¡bclo que es el número. Pero estoy segurode que sí sabelo que no es:cl núnrcr()no es una hortaliza, ni un animal, ni... Convendremos en que el númcro cs algo que no se puede ver ni tocar. ¡El número no existe!¡Son imaginacioncs! A pesar de ello, hablamos de él y lo utilizamos gracias a sus nombressigno. Los nombres-signo dc los números se llaman numerales.Por ejemplo: 4, IIII, IY, cuatro, fbur..., son cuatro numerales distintos de un mismo número, el cuatro. Fijado un sistema biunívoco de numerales para nombrar a los números, cada numeral sólo representará a un número y czda número sólo estará representadopor un numeral. De esa manera, podemos evitar el preocuparnos de distinguir cada vez que aparezca el número del numeral; y así hablaremos de los numerales como si fueran números y viceversa. Regresemosa la definición de número. No está claro que uno tenga que preocuparse por ella, de la misma manera que nadie se preocupa por la delinición de mesa o de silla, uno simplemente las usa. Aunque por precisar las cosas seguiremos un poco más con el tema. Las palabras de Rusell (Srcnrn, 1969, pág. 129):<El número es lo caracteristico de los números, como el hombre es lo característicode los hombres>, no es un juego de palabras, es una sentencia que hace pensar que los números son ejemplos o casos particulares de algo más general que llamamos número, y sugieren que buscando las característicaspropias de esos ejemplos llegaremos a saber lo que es el número.

o en buscade conjuntos (cardinal)quc tl:r rcrl)ucslirrr lrr ¡rrcgunta:¿cuántos?; la propiedad numérica tlc krs olrltlos (orrlirral)que da respuestaa la pregunta: ¿cuál? . Para contar a sccits:r¡rro,tlos, lfris... . Para respondera ln ¡rrcgrlttlr:¿,cuiitttos? . Para respondera la prcguntl: ¿.cuál'? b)

Numerar o asignar números a los objetos es una función utilitaria del número. Se puede enfocar a diversos propósitos: . Para identihcar (por ejemplo, el número de su DNI). . Para diferenciar, localizar, seleccionarresortes (por ejemplo, las teclas del teléfono, del ascensor,televisión o radio). . Para ordenar (por ejemplo, los dorsales en los deportistas). . Para delimitar o señalar (por ejemplo, partes de un texto: <capítulo 1, página 2, párrafo 3>>). . Para los pasatiempos (por ejemplo, dibujos de hguras uniendo los puntos numerados). . Para cifrar, codihcar (por ejemplo, descifrando el número lll287 sabrá en qué fecha fue escrito esto. Si gana el equipo de casa pones l, si pierde, 2). . Para ubicar (por ejemplo, en la 5." estantería,entrando por la puerta 5, del quinto piso, del número 5 de la quinta avenida). c Para nombrar (Octavio, Segundo son nombres de personasque, como septiembre,octubre, noviembre y diciembre, proceden de nombre numéricos latinos.)

1.2. CARACTERIZACION Cuando uno se siente en la necesidad de caracterizar algo, y no sabe cómo hacerlo, puede seguir varios caminos, cada uno de ellos conlleva una línea distinta de presentación en la escuela.Veamos a continuación algunos de ellos y reflexione el lector sobre sus posibilidades escolares.

. Con el fin de describir medidas: el pH, la fuerza del viento, la temperatura... . Con el fin de clasiftcar: los kilates del oro. el calibre de la fruta... . Con el hn de evaluar, valorar: las notas escolares,precios,porcentajes... . Para puntuar: juegos electrónicos,flipper...

Un caminoa seguirvienedado al intentardescribirla función:¿Cómoy cuándose usa?

Contar es una función cotidianadel número,puedeser enfocadapara contar a secas,para contar cosas,en buscade la propiedadnuméricade los 18

Para medir

Como en la regleta graduada. Como en el termómetro. Como en un cronómetro. Como en una balanza.

1.2.1. Usos

a) Para contar

Pqra numerar

Para operar.'suma, resta... . Como operador: duplicar las ventas; subida de salarios lineal, 5.000 pesetas.

-T) Algunosde estosus()sson habitualespara el niño. Inclusoantesde saber contar,el niño urbano oyc a suspadresque hay quc apretar<elcinco>en el ascensorpara subir ¿rc¿rs¿r de fulano,o que es un (uno))en la quiniela.En la radio oye que <Aspar>> ganó en 80 cc, o que el grado de humedades del 45 por 100.Que su hermanocompró un carretede 200ASA. En música,un compásdel 3 x 4. En Astronomia,la estrellaalfa es de magnitud2. ¿Quépensaráun niño de estasexpresiones? ¿Cuálesde todas ellas se trabajanen la escuela?

1.2.3. Nacimiento y cvoluclón con tttiis detenimiento es el que pretende Un camino que scgrrircnr()s sc obtuvo. Es la reinvención,ponerse cr'rrrro seguirla vía del descubrirrricnlo, que provocaron su nacimiento y en el sitio del inventor y crr lirs colt<licioncs quc le llevaron a é1. su evolución. Es entendcr lirs nrzoncs A lo largo de siete pasos rcclaboraremosla idea de número desde que el hombre toma concienciadc la unicidad hasta que diseña un sistema de adjetivos ordinales. Más adelante aclararemosqué hay de verdad en todo lo que sigue.

1.2.2. InYariantes Otra manerade caracterizaralgo es intentar describirsus propiedades invariantes.Siguiendoesecamino imaginemosla siguienteconversación: Tú, querido lector, serásuno de los interlocutores,y el otro, será un marciano.El marciano,que esinteligente,no sabelo que son los númerosy quiereaprender.Tú le ponesdelantevariosconjuntosde treselementos, y le dices: T.-He aquí variosejemplosdel tres. M.-¿Dónde? T.-Aqui, mira, ¿quétienenen común todos estosconjuntos? M.-Pues, no sé.Como no seaque son conjuntos,o mejor conjuntosde cosas. T.-Sí, claro. Todos son conjuntos,pero tienen la misma cantidadde cosas. M.-¿Cantidad? T.-Cantidad es...(Consultando el diccionario.)<<Loqueessusceptible de aumentaro disminuir>...Bueno...Déjalo. Te lo explicaréde otra manera. Fíjate en los conjuntos.Por cada uno de los elementosde éste,hay un elementoen esteotro, y tambiénen esteotro. M.-Sin sombrade duda. T.-(Auenturando.) Puesbien,cuandoestoocurredecimosque tienenla misma cantidad.Todos estosconjuntostienen la misma cantidad,que es tres. M.-Así que,cuandotienenla mismacantidad,son tres. T.-(Neruioso./ No. Hay de uno, de dos, de tres,etc. M.-No entiendo. T.-(Leuantando la uoz.)Todoslos que tienenla mismacantidad,tienen el mismo número,pero hay distintascantidades. M.-¿Y cómo se sabequé número tienen? T.-Tres, es sólo para el que tieneuno y uno y uno. M.-Siento molestarte,pero es que no sé lo que es uno.

. El sistema cardinal a)

El primer paso: la unicidad

En un principio, la noción primitiva de número pudo haber estado relacionada con contrastesy coincidenciastales como el contraste entre uno y muchos o la coincidencia de conjuntos de personas y objetos. La distinción entre uno y muchos supone la toma de conscienciade la unicidad, el individualizar un objeto o fenómeno del resto del universo prescindiendode todas sus cualidades.La unidad como idea de uno sólo quc conduce al número como idea de la sucesiónde unidades. <Númeroes un sistemade unidades.tt(Thalesde Mileto.)

(Cit.,Lóprz G¡n<'f¡, 1955.) Percatarsede la coincidencia supone la comparación de conjuntos prescindiendo de las característicasde sus elementos. v lleva al número como idea de clase de equivalencia. b)

EI segundo paso: la coordinabilidad

<Cuandoel hombreprimitiuo regresabaa su morada,sentiria,seguramenle, el deseode contara sufamilia susauenturasy describirlos animalesquehabía encontrado.Haría uso de términoscomo "muchos", "pocos"; un grupo muy numeroso,por ejemplo,sería descritocomo "muchos,muchos".A partir de éstasy otras experienciasse suscitaríala necesidadde cuantiJicarcon exactitud. Mas tarde descubriríael artificio de compararobjetosde un grupo con los de olro. Por ejemplo,si un grupode hombresteníaqueusarhachasdepedernal, pronto se ueríasi teníanlas suficienteso demasiadas, o un númeroinsuficiente. "uno a uno" tuuounagran importanciapara la posterior Esla correspondencia elaboracióndel conceptode númeroy conduciríatambién,sin duda,a términos como "más", "menos", "tantos como".¡¡ (Lovnrr, 1977,pá9. 40.)

I Aparece en €sccnl un procedimiento para asegurirrsede que dos conjuntos tienen el mismo númcro de elementos.lloordinar conjuntos, establecer correspondenciasuno a uno entre los elementosdc los conjuntos implicados en la comparación.

RRf

Comparación:

ttl

Resultado:

aaa

?9'it ^^^A

aaaa

ttl 99?

^^^^

^^^

Menos

^^^ ttl QA a

^^^

Más

Igual

La coordinabilidad, relación de equivalencia, genera una clasihcación. Las clases se forman con todos los conjuntos coordinables entre sí y para indicar que dos conjuntos pertenecena la misma clasedecimos que tienen la misma cantidad o el mismo número de elementos.El número en este caso v con esta función es denominado: número cardinal. c)

El tercer paso: el registro

El problema es que estas clases sólo existen en nuestra mente. ¿Cómo describirlas?,¿cómo saber a qué clase perteneceun conjunto dado? La coordinabilidad no sólo permite hablar de cuál de entre dos conjuntos tiene más elementos,o menos, también permite llevar un registro permanente o portátil de la cantidad, un retrato o <conjunto que coincide con>. Un ejemplo de esta idea se utilizó, según Sreur (1980, págs. 54-55),en tiempos anteriores a la alfabetizaciín y numeración general. Supongamos que un ganadero desearaasegurar que el rebaño de ovejas que llegaba a su casa desde el mercado era el mismo en número que cuando partió. Se cortaron muescasen un palo denominado marcador, correspondiendo cada muesca a una oveja. Se cortó el palo por su eje de modo que cada mitad fuera la imagen de la otra. El ganadero quedó con una, el pastor con la otra, de modo que cada uno tomaba la marca del número de ovejas. Los dedos de la mano, las muescassobre un garrote, los montoncitos de piedras apiladas, etc., constituyen buenos retratos o referencias.El hombre ha recurrido a utilizarlos como modelos, como representantesde clase,y los ha diseñado a su conveniencia y según su eficacia.

I ll Il I tl ("') 22

cxa

,ft

o,n

El cuarto paso: las (!ttlu.'ttt,\

Se avanza un pas() ¿tl cti(luct¡tr'los modelos, al ponerles nombre. La elecciónno debió ser cs¡'rorrt:irrc¡r ¡ri liicil. DnNrzrc (1971,págs.5-6) y Srnur (1980,págs. 155-156)harr bost¡rrcjirtlo krs pasosy en lo que sigueutilizaremos sus opiniones. El hombre primitivo busc¿rsusconjuntosde referenciaentre las cosasque le rodean, así, la mano cxtcndida le sirve para representar la clase que nosotros llamamos cinco, los ojos, las orejas o las alas de un pájaro,parala clase dos. Pronto descubre que el nombre del objeto es tan útil como la imagen del mismo. De esta manera es como ciertos nombres llegan a ser utilizados como etiquetas para describir a las clases de equivalencia o números cardinales. Por ejemplo, nariz, trébol, mano, ojos, perro...,sirven perfectamentepara este fin. Hay pruebas de que esto pudo ser asi: perro es el nombre en Maorí del 4 (GnoNrn, 1984, pág. 10). Posteriormente, la necesidadde distinguir cuándo el nombre se refiere a la clase a la que perteneceel conjunto u objeto y cuándo se refiere al objeto mismo, debió conducir a utilizar expresionesorales o simbólicas distintas de las originales. Así, hasta que el paso del tiempo borró la huella, es decir, la conexión entre la expresión final y su origen. LJno, dos, tres, en vez de nariz, perro, mano...

||l

Nariz

Perro

Mano

Ojos

Trébol

Uno

Cuatro

Cinco

Dos

Tres

. El sistema ordinal e) El quinto paso: el orden Con este sistema,para hallar la clase de un nuevo conjunto, tendría que compararlo con el modelo o estándar que se consideraramás adecuado.Si se equivoca tendría que intentar con otro, y con otro, y con otro, etc., hasta que encontrara el correspondiente. Para conjuntos grandes llevaría mucho tiempo dilucidar cuál es su clase. La dificultad aumenta con el tamaño hasta hacerseinsalvable. ¿Qué hacer? ¿No hay ninguna forma organizada para evitar estos ensayos? El camino natural es ordenar los modelos, y, en consecuencia,sus nombres; para ello, tiene que establecer un criterio. Un buen criterio tiene que permitir organizar todos los modelos elegidos sin solapamiento. Por ejemplo: <el que tiene más va después>:

hasta 19. La palulrrrt tlu( t'\l,tt'\tilttt ptittlt'era la mísma empleada para decir <un indio>. El 2l tt,t rnttr' t',t ltt il¡tuil, th'olro indio>. <Dos indios> significaba 40. <tres índios>t. (¡0

(CeoNnn,M., 1984,págs.109-110.

E-l: trene

tlene

uno

más que

más

éste

E-2l. ¿Es asociativa la suma tamanaca? Ayúdese para contestar con lo siguiente: <un pie completo y un indio, y uno en la mano de otro indio> es o no igual a <un pie completo y, un indio y uno en la mano de otro indio>.

que

Con este criterio, la diferencia entre dos consecutivoses constante, uno. Esto permite reconstruir cualquier modelo, ¡por grande que sea!,sin más que ir aumentando de uno en uno; y si deja volar su imaginación, si tuviera un modelo para todos los granos de arena del mundo o para todas las estrellas del firmamento, aún podría ir más lejos: <Uno más.> Con esta idea, el infinito comienza a desvelar su misterio.

De esta manera, para conocer el cardinal o clase de un conjunto como: nombre de la clase {. ! r . .}, se empezaría por ver si es de <<nariz>>, (ojos)), probaría clase de { | | }, y asi con no lo es se del conjunto { | }. Si sucesivamentey en este orden. g)

¿En qué se difcrcncirr<rrr intlio y uno del otro pie> y <un pie completo y uno en la mano dc otro indio>'?

El sexto paso: el sistema de numeración

El séptimo paso: contar

Podemos suponer que este procedimiento haría emerger la genial técnica que llamamos contar.

Ahora tiene un problema con los nombres de los modelos, no tiene bastantes,tiene que pensar en algún sistema de vocablos y de símbolos para todos, pero que se pueda usar. Esto supone que ha de ser un sistema reducido, finito, y, sin embargo, un sistema que ha de ser adecuado para un conjunto extenso,infinito. una buena solución es crear un sistemaque, sobre la base de un alfabeto frnito, permita, dado un nombre-número, describir el siguiente y el anterior. Por ejemplo:

{r I {nariz}

I |

{nariz, ojos} {nariz, ojos, trébol) {nariz, ojos, trébol, perro]

Nariz, ojos, trébol, perro, mano, mano-nariz, mano-ojos, mano-trébol, mano-perro, mano-mano, mano-mano-nariz, mano-mano-oios. mano-mano-trébol...

{nariz, ojos, trébol, perro, mano)

Pronto se veria la comodidad de utilizar directamente la secuenciaordenada de palabras-número, secuenciacontadora, y gue señalando o mirando por turno los elementosdel conjunto que se quiere contar, al tiempo que se asigna mentalmente un término detrás de otro de l¿ secuenciahasta que el conjunto se agote, se llega a un resultado sorprendente: el último nombre recitado, (mano)), es precisamenteel nombre de la clase a la que perteneceel conjunto dado. De este modo, contar un conjunto dado se perhla como la comparación con un conjunto de referencia, en particular el conjunto de los nombres

Los tamanacos, una tribu de indios sudamericanos,usabanpara 5 la misma palabra que usaban para decir (una mano enterar. Ei término que designaba al 6 signiJicaba (uno en la otra mano); el 7 eran <do.s en la otra manor, y análogamente para I y 9. El l0 era <ambas manosD.para erpresar de I I a j4, los tamanacos extendían ambas manos y contaban <uno dcl pie, dos del pie...t, y así sucesiuamentehasta 15, que era (un pie complctor. ('omo podemos presumír, el sistema continuaba expresando el l6 como <uno tlal otro pie>, y así 'tA

número <4,2.3,4. ...u.y la rccitacióny emparejarnicntode suselementoscon los del conjunto dudo h¿rslaque éste se agote. ' El nombre-númcro <rr>,dcsempeñaen este proccso un triple papel: número asignadoal últimt¡ clcmento del conjunto quc sc cuenta,elementodel acto contador, y elcmcnto que cuenta el conjunto. Nótese que para poder efectuar el proceso de contar se necesitade una inhnidad de simbolos, con sus nombres organizados en sucesión ordenada indefinida, lo que quiere decir que hay siempre un siguiente y un anterior, salvo en el primero. Con estas características,el sistema que resulta es denominado un sistemaordinal.

La tercera rn()rr('(l¡r ¡tottltt ctt cl scgundo platillo. La cuarta, en el tercero;la quintl, r'lt t'l t'tt¡ttlo. y ¡tsi sucesivamente. Cuando llegur:s:r l¡t tli't'tltt¡ttltoltctlit,la pondrásen el noveno platillo y el décimo te qttctlitt;t ltlrtc, ¡r;ttlt lil trndécimaque teníaspuestaen el pnmero.

Adjetiuos cardinales De la misma manera quc cl hombre ha diseñado palabras adjetivo, para indicar que se refiere al número en su papel ordinal, tambien ha construido palabras adjetivo para el papel cardinal del número:

Un sistemaordinaladquiereexistenciacuandoIa memoriaha regístradolos nombresde los primerosnúmerosen el ordenen que se suceden,y cuandoha imaginadoun sistemafonéticopara pasar de un númerocualquieraal siguiente. (De,Nrzrc,1981,pá9.241. h)

El octauo paso: los adjetiuos

La caracteristicasecuencial,uno detrás de otro, en que se organizan los simbolos y palabras-número en los sistemas ordinales, permite recordar el orden en que se suceden las cosas y saber en qué etapa se encuentra un determinado fenómeno. Si necesitamos más información de la que nos dan expresionescomo: mucho, antes, después,o..., ¿qué es lo que hacemos? Lo que hacemos es contar, y si hay dos delante, decimos que éstees el tercero.Tercero es en €ste caso un adjetivo, se rehere al objeto en el sentido de que al contar está entre el objeto que corresponde al dos y el que corresponde al cuatro. Adjetiuos ordinales Primero,segundo,tercero,cuarto, quinto, sexto,séptimo,octavo, novenoo nono, décimo,undécimo,duodécimo,décimotercero o décimotercio,...,vigésimo,trigésimo,cuadragésimo, quincuagésimo, sexagésimo, septuagésimo, octogésimo,nonagésimo,centésimo,ducentésimo, tricentésimo, cuadrigentésimo, quingentésimo, sexcentésimo, septingentésimo,octingentésimo, noningentésimo, milésimo,millonésimo,...

E-3:

Escribir el adjetivo ordinal del 487.

E-4l.

Un viejo acertüo: ¿Podrías tú colocar once monedas en l0 platillos, de modo que en cada platillo, no haya más que una moncda'l Yo te ayudaré. En el primer platillo, dos monedas, la primera y temporalmente la undécima.

o La historia real No quisiera dar la impresión de que el camino que hemos seguido para presentar el número escrito, primero comparación y luego orden, es algo más que una conjetura. La forma como se ha llegado a establecer la ordinalidad de las palabras-número a partir de la organizaci,bn en fila de cardinales es sólo una estratagema didáctica, un intento de explicación, no tenemos pruebas de que la historia haya sido exactamente así:

<Todauía hay una gran cantidad de cuestiones sin respuesta relatiuas al origen de la matemótica; usualmente se supone que esla ciencia apareció para responder a necesidadesprácticas del hombre. Pero hay estudios antropológicosque sugwen ta posibilidad de un origen alternatiuo. Se ha sugerido (uéase A. SrINo¡Ns¡xc, "The Ritual Origin of Counting", Archive for History of Esact Sciences,2 [1962],pógs. I-40) que el arte de contar pudo aparecer en conexión con ciertos rituales religiosos primítiuos y que el aspecto ordinal precedió al concepto cuantitatiDo. En los ritos ceremonialesque escenifican los mitos de la creación era necesario llamar a los participantes a escena en un orden preciso y delerminado, y quizú la numeración se inuentó para resoluer este pioblemu. Si .sr¡ncorreclas las teorías del origen ritual de la numeración. entoncesel rottc<,Dlt¡tle número ordinal puede haber precedido al de númera cardinal >

(Bovnn, 1968, pág.23;.

26 r i r ;,r ,:i .i .;- ;;

; Jl - i i : i ' i 'l ' ', '- r

5i5iii,1A iJI EiliLi') i i](AS

otros testinlorri.squc abogan por el número ordinal antes que el cardinal se apoyan cn cl cirr¿ictcriterativo de los escritos numéricos más antiguos que han llegado h¿rst¿r nosotros y que veremos en cl capitulo siguiente. La explicación que sc da como más plausiblepara estc carácter iterativo es que fue utilizada como mcdio para registrar acontecimicntos sucesivos: <<Lautilizatil¡n ordinal de los númerosenteroscomorórulospara registrar el paso del tiempoesprimitiuamentemás necesariaquesu utilizacióncardinal como rórulos para señalarel beneficioa distribuir entre la tribu, del capital obtenidode la caza.sea comosea,todo lo quepodemosdecir con seguridades lo quepodemosconjeturarsobre el único modo que inicialmenteera posible para alcanzarel Jin preuistocon los medíosenloncesa disposicióndel hombre. EI primer paso es realizar diariamenteunasmuescasen un poste o tronco de árbol para comprobarel paso del tiempo.> (HocrnN,1966,pág.31.) Después de poner muescasen un tronco, ¿cuál será el siguiente paso?... La solución en el próximo capítulo.

E-5:

Ugh y Pufh, hombres primitivos, han encontrado huesos dulces en una jornada de caza: Ucn.-¿Qué hacemos? Punn.-Los repartimos. U.-Sí, ¿pero cómo? No quiero que tú te lleves más que yo. P.-Ya sé. Uno para ti, uno para mí, otro para ti, otro para mí, etc. (Pffi acaba de inuentar la coordinabilidad de conjuntos.) Ugh y Pufh iban tan cargados conlacaza que se vieron obligados a esconderlos huesosen una cueva. En el camino de regresoa su guarida mantuvieron la siguiente conversación: U.-Me gustaría saber si tendré bastantes huesos para todos mis hijos, no quisiera que el más pequeño se quedara sin probarlos. Imaginatelo toda la noche llorando sin dejamos dormir. P.-¿Por qué no coges una piedrecita por cada uno de los huesos que has conseguido?Cuando llegues a casa podrás saber si tienes bastante para todos. (Pufh había inuentado el registro de la cantidad.)

Eó:

r) lrr (lilc sc lc ocurra que dé lugar a explicar Inventa una historirr.¡ror'rrru y del procedimientoque llamala aparición del ortlt'rr r'rr lur r'trt¡rrclrrs mos contar.

. Contar con las parfes dcl cucrp.¡

Los indígcnusccltltrtttitttlu ((r.'ntoniadel Gran Totem cuandosu jefe lleguea <suqjo i:quitttht>, ttus ltul¡cr rachadosucesiuamente, durantelos doce primerosdíasde lo t¡t'tttpuLutt¿t,t'o¿launo de los docepequeñoslrazosque había trazadoanterionn(ttt( x¡brc su cuerpodesdeel dedo meñiquederech hastasu boca.

(IrnncH, 1985,rÁc. 40.

En esta forma de contabilizar no se considera sólo emparejamiento también hay tradición, la fuerza de la costumbre que lleva a utilizar en un orden preestablecidocierto número de partes del cuerpo, siemprelas mismas No hay número abstracto en este proceso; la simple designación de una de dichas partes no basta para caracterizar una cantidad, hay que acompañarla de gestos o referenciasal punto de partida --{e tal a tal o desde aquí hasta aquí. En cierto modo y a su manera ya saben contar, han adquirido la idea clave, la de sucesión;aunque en vez de decir uno, dos, tres, necesitantocar o tachar marcas en su cuerpo. La recitación vendrá después,como una letania, hasta que poco a poco se irá tomando conciencia de ciertas propiedades cualquiera que sea el elemento que inicie el recuento siempre se llega al mismo resultado, el último nombre recitado determina sin ambigüedad toda la sucesión,diversos conjuntos terminan en el mismo nombre, hay una inclusión jerárquica (si se añade un elemento a un grupo la sucesiónque lo cuenta termina en el nombre siguiente a aquél con que termina la sucesión que cuenta el grupo...).

Ugh hizo caso a Pufh, pero en el camino fue asaltado por un comesetepiedrasy tuvo que saciarlo poniéndole una piedra en cada una de sus bocas.Cuando preocupado llegó a su morada, le explicó el caso a su mujer preferida, la cual le tranquilizó dándole la siguiente solución: <Si el comesetepiedrascomió por todas sus bocas,es fácil entender que se comió sete piedras.> ¿Qué había inventado la mujer preferida de Ugh?

La numeración, evolucióny comparación

de sistemas 2.I. EJERCICIOS PRELIMINARES

(Para reflexionar.) La distribución de botellines de bebidas y otros productos está organizada por agrupamiento. Las botellas de leche en cajas de 24 unidades,los huevos por docenasy medias docenas,etc. ¿Por qué? ¿Cuántas decenas hay en una decena de millar?

E-9: (Para la calculadora.) Después de un banquete se quiere evaluar las existenciasde cerveza.Se dispone de botellines de envaseno retornable: sueltos, en pack de seis, en paquetes de seis packs, en bloques de seis paquetes y en paliers de seis bloques. Curiosamente quedan 2 unidades de cada tipo; esto es,2,2,2,2, y 2. ¿Cuántascervezasquedan?

2.2. SISPlvtlS DE NUMERACION <La finalidad inicial de un sistemade numeracíónesasignara cadanúmero natural indiuiduql(con un límite quedependede las necesidades prácticas) un nombrey una'répresentación escrita,formadapor combínaciones de un reducü do númerode signos,efectuadassiguiendoleyesmás o menosregulares.> (Bounnnru.) Así, la cuestión estriba ahora en si un sistema de numeración es mejor que otro y, si esto es asi, qué es 1o que hace que lo sea. Claro que antes hay que precisar, ¿mejol para qué? En lo que sigue abordaremos la cuestión desde el punto de vista de la representación de

arqueológicode un hueso prot'crlcnlctlc rrl cachorro de lobo de hace treinta <cn el que aparecen55 jncisiones mil años encontrado en ('ltct'rrskrv¡t(lttt¡t. bastanteprofundas distribuitlirscn tkrs scrics,la primera con25 y la segunda con 30, y en cada seric l¡rs illcis¡ot¡csc:stiilrdistribuidasen grupos de cinco> (Boven. 1968.páe.221. Tachar, aunque facilitlr llr lcclttr¿t dcl número cuando es grande, no abrevia la escritura. Es rncjor suslituir cada paquete o grupo de signos tachadospor un nuevo símbolo.¿,I)tlrquó no un doble palo en cruz, en equis

números. Un sistcnlir scrá mejor si es más brcvc, más fácil de leer, etc. Después,en el (-'¡ritrrlo 3, enfocaremosel tema dcsdc el punto de vista del cálculo. un sistcnla scrir tanto más bueno cuanto más lejos permita desarrollar el cálculo.

2.2.1. Representación simple

o en uve? En lo sucesivo, utilizaremos la notación que emplean Miller y Heeren (19'79),en lugar de <IIIII>, escribiremos <V>. Así el número del ejemplo se reduce a esta expresión:

El hombre primitivo comprendió que apilando piedras o haciendo muescas sobre un palo podía describir la cantidad: tantos objetos como muescaso tantas piedras como ovejas. Había diseñado su primer sistema de numeración. La muesca sustituye en la mente del hombre al objeto. Una por cada objeto y tantas como objetos. Un sistema como éste, que llamaremos de representación simple, se caracteriza por la repetición uniforme de un sólo símbolo y es un registro concreto del aspecto cuantitativo (cardinal) del número. (Todavía hoy nos apoyamos en un sistema análogo cuando recontamos votos.) Inconvenientes: ¿Cómo representar grandes números?,¿cómo leerlos?

VVVVVVI I Fácil de leer, fácil de escribir. Este tipo de sistemade numeración, aditivo como el anterior, es llamado de agrupamiento simple. Se caracteriza por la elección de una base para el agrupamiento (5 en el ejemplo), y por la presencia de dos clases de símbolos: los símbolos para las unidades y los símbolos para los grupos de unidades. Pero, ¿qué pasa con números mucho más grandes? VVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVVWVVVVVVVV

VV I I

Como se ve, se presentan los mismos problemas que en los sistcmas dc representaciónsimple. ¿Qué hacer?

2.2.2. Agrupamiento simple Para reducirestadificultadse puederecurrir al agrupamiento: -, Por ejemplo,cada vez que tengamostantos signoscomo dedosen la mano, hacemosun paquete,tachamosun grupo... Por ejemplo:

2.2i.3. Agrupamientomúltiple lo lógicoes aplicarlos mismos los mismosproblemas, Si se presentan procedeextenderel agrupamiento: remedios.En consecuencia,

IIIII IIIII IIII IIIII IIIII IIIII IIIII II

En lugar de <WVVV), escribirmos<N>. En lugar de <NNNNN>, escribimos(WD. En lugar de <WWWW'W)),... y asi sucesivamente.

o fiII+ fifl+ IfiI+ fiII+ fiTI+ fiI{+ H{I+ II

Con este convenio de escritura,cada nuevo símbolo representaa la superior: potenciade la baseinmediatamente

<Cuandoel hombreprimitivo empleabaestesistemade representación, a . menudoamontonabalas piedraspor gruposde cinco,debidoa que antesse había familiarizadocon los quíntuplosde objetospor observaciónde su propia manoo pie>(Bovnn,1968,pág.2l). (La viejaideade que el hombrees \ ' la medidade todas las cosas.) { Hay pruebasde que esto es así,comol por ejemplo,cl dcscubrimiento

V=IIIII=5 N:VVVVV:52 W:NNNNN=...

2.2.4. Sistemas multiplicrrtlvor (S.M.)

E-10: ¿QuónirrncrorcpresentaW N W I I V

Con su sistema,los cgi¡rcios.cl'cctu¡rbunsus cálculos y registrabansus efemérides; no podemos rrscgur¡u crtlilcs fueron sus problemas, quizá de cálculo. De cualquier morkl, sc tlro un paso hacia nuestro sistemade numeración cuando se decidiir cst¿rblcccrurr criterio que suprimiese la reducida repetición de los símbokrs quc proscntaban los sistemas de agrupamiento múltiple. No sabemos en quó lecha ocurrió esto, pero conocemos algunos ejemplos:

un sistemaaditivocaracterizado por la prescncia de un símbolodistinto oayg.Tda una dc las potenciasde la base,es denominadode agrupamiento múltiple.No hay un límite parara cantidadde símbolosnpiesirios,pero sí para el númerode repeticiones de los símbolos,como máxirnolos queindica la baseelegidapara el agrupamiento. ( . Sistemaegipcio un ejemplode sistemade agrupamientomúltiple lo encontramos en el viejo sistemajeroglíficoegipcio: El 1 se representaba medianteun palo vertical

n| ,

El 10 se representaba medianteun arco . . .

n f\,

El 102se representaba mediantela espiral

,,?,

El 103se representaba mediantela flor de loto

nf,

El 104se representaba medianteel dedo señalando

<[f >

El 10sse representaba medianteel renacuajo

(a())

. Sistema ático El viejo sistema de numeración ático griego guardaba los criterios de los sistemasde numeración de agrupamiento múltiple: Para representar las unidades utilizaban los palos verticales y para las potencias de la base,diez, las letras iniciales de las palabras que en su idioma las denominaban, A para Deka (diez), H para Hekaton (cien),X para Xilioi (mil) y M para Myrioi (diez mil). Aparte de ser un sistema cuyos símbolos eran fácilesde aprender, a diferencia de lo que ocurría en el sistemajeroglífico egipcio, presentaba alguna novedad: a)

Para el cinco se adoptó un símbolo nuevo, que era la primera letra, f, de la palabra usada para denominarlo, pente. b) Para evitar la repetición de símbolos adoptaron un criterio multiplicativo que consistía en una combinación de simbolos, palos y letras, de manera que 50 venía representadopor Io o 5 por 10, 500 por l" o 5 por 100, etc. Así pues, el número 45.678,por ejemplo, se escribiría en notación ática de la forma:

El 106se representaba medianteel hombre asombrado. . . . . n$o

E-11: Identificar el número(O( fI o( | n n F p

? f

E-12: ¿Quéproblemaspresentaun sistemade agrupamientomúltiple?

MMMM t*I, .

H taAAfIII

Un sistemade numeraciónpor agrupamientoque utiliza dos clasesde símbolos,unospara las potenciasde la basey otros en funciónmultiplicadora de aquellos,es denominadosistemamultiplicativo.

E-13: Escribael lector su año de nacimientoen sistemaático.

-._\$U

r i ijl i\ ; : ; iL

¡E DE(/TLDAS BIBTIOTECAS

o Sistemachino-japonós Otro ejemplo dc sistemamultiplicatfvo,lo tcncmosen un tradicional sistemade numeraciónchino-japonés. Utilizaban los siguientessimbolos:

Naturalmente,caben otrrrs¡roriihillrlrttlcs, por ejemplo,seguirlos criterios del sistemaático y utilizar ct'¡ten(rri¡rllirbólicos.En lugar de un palo vertical se puede poner una <u)), p()r ser l¡r illiciul de uno; en lugar de dos palos verticales,la <d>, como inicinl rlcl thrs; cn lugar de tres palos, la <<t>;en lugar de cuatro palos, la <c>... l)c cst¡t nlitncr¿t,el número anterior tendría este aspecto:

sl ¿ @ .Á -),,\ J-

:5 :6

:8 tr

: 10

a +,

: 100(10r)

E-14: Identificar el número: (El multiplicador<uno> no lo escribían.)

: 1.000(103)

^ i,

E-15: Diseñeel lector su propio sistemarniliplicativo. (Sugerencia:Pienseen algunacombinaciónde símbolosque evite la repeticióny despuéselija multiplicadoresadecuados.)

La elecciónde múltiplicadorespuedeparecerintrascendente en estemomento,sin embargo,no todos seránigual de elicaces. Volvamosa nuestroejemplo.En vez de escribirunA,,dos,tres o cuatro veceslos símbolosV, V, M, W, ...,podemosescribir.uno,dos, tres'o cuatro palos verticalesdelanteo arriba o ...:

l l l l l l N Vw N N w

--+ l l l l l l l v llw lllN

I 36

(seisl, una V, dos W y tres N)

. Nuestro sistema oral

La decisión de recurrir al alfabeto tuvo importantes consecuenciasen la historia de la humanidad, despuésvolveremos sobre ello. Llegados a este punto, uno puede tener la sensaciónde que se encuentra ante un buen sistema,ya que no es fácil descubrir qué problemas presenta. Mucho menos si se tiene en cuenta que nuestro sistema oral de numeración es de este tipo: multiplicativo.

-A

-1

vr w

Cuando decimos: dos mil, tres cientos, diez y seis,es como si dijéramos: dos W, tres N, una V y seisl, o I lW, I I lN, V y | | | I | | (en el supuestoque W, N y V correspondieran a potencias de diez y no de cinco, como hcmos venido usando hasta ahora). En ambos casos, dos, tres, uno-y seis actuán como multiplicadores de los símbolos que representan las potencias de la base. Sorprende que vayamos por la vida con dos sistemasde numeración. El oral, multiplicativo or{enado (con una componente tradicional, nombres específicospara 11, 12, 13,14 y 15),y el escrito,posicional. ¿Qué razón hay para elló? ¿Es un atavismo? ¿Por qué no decir simplemente, dos, tres, uno y seis, tal y como lo escribimos en lugar de algo tan largo como dos mil trescientosdieciséis?Nadie lee el número de su teléfono de esta última forma. todo el mundo lo hace recitando un número detrás de otro o por parejas y no pasa nada. ¿No es esto posicional?

. Sistema babilónico Sin embargo, todavía es posible ayanzar un paso más: <Quizá fuese la poca flexibilidad quc ofrccian los materiales de escritura mesopotámicos,o bien un relámpago dc intuición imaginativa, lo que hizo conscientesa los JI

babiloniosdc qrrcbust¿rba con susdos símpolos. l)irrael 1 y parael 10,para poderrepresentar cualquiernúmeroenteropor grirndeque fuese,sin excesivasrepeticiones. Estoocurrióhacemásde cuatromil añoscon la invención del sistemade notaciónposicional,basadoen cl nlismísimoprincipio que es el responsablede la eficaciade nuestro sistemadc numeraciónactual. Es decir, que los antiguos babiloniosse dieron cucnta de que sus símbolos podíanrepresentarun papeldoble,triple, cuádruple,etc.,simplementeasignándolesvaloresque dependiese de su posiciónrelativaen la representación gráfrcade un número. Las cuñas que componenla expresióncuneiforme para el 59 están agrupadasestrechamente de maneraque lorman casi un único símbolo,de forma que espaciandoadecuadamente estosgrupos de cuñas se puedendeterminarsin ambigüedadla posición relativa,al leer de derechaa izquierda,quecorresponde potenciascrecientes a las sucesivas de la base,y así cada grupo tendrá entoncesun "valor local" que dependerá solamentede su posición>(Bovrn, 1968,pág. 50). El sistemababilónicousabala cuña vertical$) para representarunidades, del uno hasta el dtez,y la cuña horizontal (() para representarlas decenas. Era un sistemade agrupamientosimplepara los númerosmenores que 59,y a partir de estenúmero,usabaun criterio posicional.Por ejemplo; El 3 veces602 + 4 veces60 + 3 dieces y un 3 se representaba:

tl?t

Tvt

2.2.6. Sistemasposicionlh'r

Otro día, se dar í a cucr ¡ t r r h'r ¡ r r ecl ur r lcll hací a que. . .W, N, V, siem pr e aparecieranen el mismo lrr¡¡rrr,¡.1'or r¡rrú cscribirlos?Se entiende lo que quiere decir:

|ilv

IJn inconveniente se presentaba cn cl primero de los ejemplos: si no se separaba bien habría lugar a confusión al juntarse los palos. Solución: ¿rechazarloy tomar el segundo'?o ¿modificarlo? La decisión era crucial, el progreso futuro depende de este momento. No sabia qué problemas se avecinaban.

¡ Sistema maya

Los mayas zanjaron la cuestión con un sistema de niveles: Escribían sus símbolos en vertical, de abajo a arriba, en cajas o niveles,de acuerdo con los criterios del agrupamiento simple para los números menores que 20, y a partir de é1, siguiendo las reglas de los sistemas posicionales cambiaban de nivel. Con un punto representabanla unidad y con una barra horizontal el cinco. El caparazón de tortuga era utilizado para representar el cero. ¿Por qué, si no les hacía ninguna falta?

o 01

No séqué hay que hacerpara tenerun relámpagode intuiciónimaginativa, pero imagino que la ley del mínimo esfuerzodebecontribuir a ello. El escribaque utilizabael sistemamultiplicativo,cansadode escribirV, N, W, etc., buscariaalguna forma de ahorrarsetrabajo. Un buen día decidiría escribir los numeralesordenadamente, primero las' unidades,despuéslas decenas, despuéslas centenas... No teníaningunanecesidad de ello, pero era una buenacostumbre,co¡noponerselos pantalonesantesque los zapatos. tN

t |l

2134

2.2.5. Sistema multiplicativo ordenado

llw

.. 15

r18r,

¿Y el 20? nivel 2.o

El 20

Et 21 nivel 1.o

Il Identihque el lector el numeral

Actuando ¡rol iuralogía con el sistema mayit. debemos buscar alguna forma de difcrcnciirrkrs distintos nti.veles. Por cjcrrrplo,podemosconvenir en rodear los multiplicadorescon un círculo multiplicador. Caben otras soluciones.Es un momcnto crucial, si no acertamospodcmosprovocar el estancamiento.¿Les ocurrió así a los babilonios?

Un sistemaque prescindede los simbolosque representan a las potencias de la basegraciasa la adopciónde un criterio de orden, es denominado posicional.En él los numeralesactúancomo multiplicadoresde un símbolo sobreentendido.

. El cero

. Las cifras Los sistemasposicionlrlcsrluc ¡rr'¡rb¡rlttrts dc ver presentanla ventaja de que al utilizar un número linr¡lirrlorlc sirrrbokrsson muy fácilesde aprender: -Tres signos el mayu: cl ¡rrrtrlo.ll barra y el caparazón. -Dos signos el de circulos:cl ¡rlkr vcrtical y el círculo. -Un signo el babilónico: lir cuñlr, horizontal o vertical. Sin embargo, la humanidad hl prcfcrido un sistema posicional donde cada multiplicador tiene su propio aspccto,las cifras, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. ¿Qué razoneshan motivado esta docisión? Unavez adoptado el sistema posicional, hay que procurar un sistema de signos que faciliten la escritura y el verbalismo de los números:

@ @,8 7 ,

El pasode sistemamultiplicativoa posicional,con círculosmultiplicadores da lugar a un nuevo problema:

O w@NO

Ow @v C

se escribenigual. ¿Quéhacer? /ñ

rT) w

@ @

rT\

e@oo co@e

La modifrcacióndel sistemaponiendocírculosmultiplicadoresha propiciado una respuestarápida y casi evidenteal problema,es el hueco.La no existenciade una determinadapotenciade la base,qué mejor que representarla por la no existenciade multiplicadoresen el círculo. Si hubiéramoselegidootro sistema,quizáno hubiéramostenido respuesta para esteproblema,como les pasó a los babilonios:<Los babiloniopno parecenhaber sido capaces,al principio, de inventar una maneraclara de representaruna "posiciónvacía"€n un numeral,es decir,no dispusieronde un símbolopara el cero en su sentidono cardinal,sino posicionab(Bovnn, 1968,pág.51). r

¿Cuáles más fácil de reconocer? Es evidentela brevedade inmediatezvisualde nuestrosistema.Pero,si se piénsese en lo molestoque resulta,desde quierenrazonesmás convincentes, el punto de vista de la escritura,arrastrarlas cajasde nivel o los círculos multiplicadores.¿No es mejor prescindirde ellos?¿Perocómo?¿Quitándolos?

@,@ lil||

Podría haber confusiónsi no se separanbastante,pero...,¿cuánto bastante? r ., Serámljor retocaralgo los símbolos: En vez de | | se puedeponer

l--

En vezde I ll se puedeponer

l-l

En vez de I | | | se puedeponer .

Envezde lllll se puedeponer.

Envezdellllllsc

illl

pucdcponer.

X 4l

Bien mirado, óstc ¡lodría ser el origen de nucstro signosactuales.A poco que uno se fijc krs cncontrará escondidos en el cuadrado dibujado con sus diagonales:

Aunque a vecestenían r¡rrclc¡rl¿nrl)¡uo pcdir prestado: 35 nnnIIIII

X X XX XI X XXXX 2.2.7. Numeracióny cálculoen los viejossistemas Hasta aquí se ha mostrado una hipotética evolución de la nuineración escrita basada en satisfacernecesidadesde representaciónde números; debe entenderseque ha sido una estratagemadidáctica; no es cierto que la historia real fuera tan lineal. La verdad es que el camino fue en zigzfg, lento y plagado de obstáculosy ante todo intimamente ligado a las necesidadesde cálculo de cada cultura. Numeración y cálculo van unidos, forman un todo y los cambios, avances o retrocesos que experimente una de sus partes provoca automáticamente un cambio, avance o retroceso en la otra. Hasta llegar al sistema actual de numeración hubo que esperar a que el mundo adquiriera una complejidad cientihca y económica suficiente para hacerlo necesario.Bien entendido que ninguna cultura puede atribuirse al descubrimiento simultáneo de todos los principios que lo conforman, son de origen diverso y únicamente se da por seguro que es de cuna india la idea de ponerlos juntos, ya estaban ahi, y costó mucho tiempo prescindir de los hábitos adquiridos hasta llegar a una aceptación generalizada.La historia de la entronización del sistema de numeración indoarábigo en la cultura occidental, que más adelante comentaremos,es una buena y elocuente muestra de ello.

nal l l l l l ,,,,,' ,,,,,r

3s- 26 Ii l l l i l l l f ^/D + fl

La multiplicación y l¿rdivisiirrr por l0 se hacía también con facilidad, bastabacon efectuarun corrimicrrlo dc sienos: nnoI I I I t

tf)

777. . . ''. r . '

350'19 nnnI I I I I

En generalel producto se obtenía aditivamentepor un procesosucesivode duplicaciones (véasepág. 136) combinadas en algunos casoscon la estrategia anterior. En la división se invertía parte del proceso, se duplicaba y se dimidía (véasepág. 139). Estas estrategias les permitieron tabular ordenadamente los resultados que luego les iban a permitir efectuar rápidamente el cálculo por simple consulta. Se conocen tablas de cuadrados, cubos y raícescuadradas,pero no ha sobrevivido ninguna tabla para la división, lo que hace pensar en que se apaiaban con la de multiplicar de la misma forma que lo hace un escolar de nuestros días. ¿Memorizó usted la tabla de dividir?

. Babilonia En Babilonia, el cálculo era similar al egipcio, aditivo y a base de tablas, pero tenían una ventaja, gracias a su sistemaposicional pudieron manipular las fracciones:de una forma moderna, como si fueran enteros, usando el mismo signo para, por ejemplo,2 y 2160.Una doble cuña en distinto lugar. Esta notación simplificó notablemente la dificil operación de dividir, ya que permitió a los babilonios escribir las tablas de los recíprocos de los números enteros comprendidos entre I y 60, con ellas las divisiones se limitabah a multiplicaciones por el recíproco (G. CHU-on, 1936, pág. 269). 1

. Egipto

. Grecia

La suma y la resta en el antiguo Egipto eran fiel reflejo de las características aditivas de su sistemade numeración. Bastaba con escribir los signos y..., ¡ya está! ., 35+241 nnnllllll /1'l

35-24

nnllllll

-l

^ lúúrl

Los griegos desgraciadamenteno continuaron la tradición numérica de sus vecinos.Hay referenciasmuy tempranas,450 a. de C. (M. KI-INe, 1972, pág.32), del sistema ático, pero éste fue pronto sustituido, más o menos en el período alejandrino, por el jónico, en el gue se utilizaban las letras del alfabeto de una forma entre ordinal, aditiva y multiplicativa. AA

. El sistemajónico E-18: Hace mil millorrcs tlt' st'¡r.rrrrtlor ¡rún no habían nacido los que hoy tienen treinta y un ;ui()s, ltsclibil cn jónico el número de cumplesegundosque potlri¡ur hrrlrtr t'clcbrado si la humanidad no hubrera convenido en cclcbru sirlo los crrmnleaños.

El sistema de numeración jónico era allirhólico, las letras tenían los sisuientes valores:

u:l p:2 y:3 6:4 e:5 e:6 (:7 4:8 0:9

¿:10 rc:20 ),:30 p:4 0

p: 100 o: 200 t : 300 ¿: 400

v:50 t:60 o -70 z:8 0

E: 500 x : 600 l' - 70O r o: 800

A I 8. . 2 l' : 3 L, : 4 E: 5 c):6 Z: ' 7 H: 8

e :90

J : 900

@:e

I:10 K:20 A:30 M:40 N:50 E:60 O:70 n:80

q:e0

P:100 t:200 T:300 Y:400 <D : 5 0 0 X:600 Y:700 c):800

J:e00

Es notable la dihcultad quc prascnta este sistema para interpretar números elevados. En cualquier caso, aunque la ventaja de esta numeración alfabética es tal vez su facilidad para escribir y leer números pequeños,útil para las breves y rápidas anotacionescomerciales,se erró al perder el sentido operacional que presentaba la notación babilónica, en particular su tratamiento de las fracciones. He aquí un ejemplo del terrorífico aspecto que adquirieron sus tablas alejandrinas:

I I

Los númerosintermedioshastael mil se representaban aditativamente mediantecombinaciones de estossímbolos: u: ll

, $: 12

8 I t I

, t T: 13

Para los múltiplos de 1.000,el alfabeto se repetía adoptando un principio multiplicativo. Empleaban las nueve primeras letras del alfabeto para los nueve primeros múltiplos de 1.000, precedidas con un acento. Con este sistema, cualquier número menor que 10.000se escribíacomo máximo con cuatro letras, y para evitar la confusión entre número y palabra se dibujaba en la parte superior : una línea: 1987

a+n(

Al llegar a las decenasde millar se expresabanmediante la lefia M del sistema ático acompañada del multiplicador puesto en la parte superior: dAr

0 n( P T I 0 t¡ q ? t I I t I P Pf PT P: PN T f I TT T() f I r PÍ Pfl PN Pf P: t ¡x r: Y 0 I Yfl 0 tA t P PT T Itl I i

I I

E u IC ü f 0 t8 n It f¡ u u I ls I u Íll A8 '¡lc ft t tlt I rt ot frciÍ 8 TH fta m II I T8 ll( :r 0 PT TI m Itl Yf :Á 08 n P: :r Tf Y YN0: xlt m q PN t0 T: Yt{0[ xÁúÍ 0 P T T T 0 I I 0 l t I 0 tA rI ill ,II ,tn I ,lÍ , l ó ,l0i 8? rBl rBt rlX ,8 rtl r l r[[ r[I ¿8{t l tfl ú .la

x ,l!

'll ,lI

I ,10 I il

,8 I

t 8 ,l

¡[ tl

'Í Á rt .I

Figura 2.1

10.000 20.000 30.000

40.000

o, a continuación, separando el número de unidades de diez mil del resto del númefo mediante un punto. Así:

t s z t I I f t € I ¡ 0 I

MMM

22.222.222 -

MBorcf.,forcl)

E-19:

Si el lector es paciente debe ser capaz de rellenar el hueco.

Sorprendeque los griegos,que utilizaronun criterio de orden (escribían un criteriomultiplicativo(múltide mayor a menoren ordende magnitudes), plos de mil) y un sistemacifrado(letrasdel alfabeto),no fueran,sin embargo, 45

capacesde redcscrrbrilcl critcrio posicional.¡Les faltó tan poco! Apenas un paso, tal vez reducil lrl¡lo más el número de signos <¡ueempleaban. ¿Por qué cu¿rndoopt¿lron por repetir signos lo hicieron a parfir de los múltiplos de mil, y no dc los múltiplos de diez'l ¡El sistema posicional decimal estuvo al alc¿tnccdc su mano!

2.2.8. La herenciahinrll¡ Sabemosque trescicnt()s¡trl()s¡rr¡lcsdc Jesucristose conocía en la India un si stemano posicionll ( br ¡ r hr li) pir r ccicloal jónico: Y

fh'l\2d

-l

5 ( ,7 8 9 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0

1 2 34

. La numeración romana La numeración romana expresalos números por medio de las siguientes letras:

CDM 100

500

1.000

En la escritura y lectura de estosnúmeros deben tenerseen cuenta las reglassiguientes: l.

Una misma cifra repetidavariasvecessumasusvalores.Asi, XX se lee 20¡'p€ro no puede emplearsela misma cifra más de tres veces seguidas. 2. Una cifra antenuesta a otra de mayor valor queella serestadel valor de aquélla,y si va pospuesta, se suma;así,IV vale4 y VI vale 6. 3. Una cifra colocadaentreotrasdos mayoresque ella,restasu valor de su inmediatade la derecha.Asi, XIV se lee 14. 4. Una cifra representa un valor 1.000vecesmayor cuandollevaencima una raya horizontal.Así, D vale 500.000.

E-20: Escribela cifra de cumple-segundos del ejercicioanterioren numeración romana.

La numeraciónromana,aunquepresentauna clara influenciagriega_en la adopción de letras para ciertas unidadescomo X, C y M, .muestraun marcadoretorno a los primerosmétodoscardinales:iteración,aditividady por primeravez sustractividad. A pesarde que ha permanecidohastanuestrosdíassedará uno cuentade la pobrezay esterilidadde estesimbolismoal intentarefectuaruna sumacon las cifras romanas,¡y ya flo hablemosde recurrir a ellas para la multiplicación!

Este sistema es el germen que fructificaria en nuestro sistema de cifras. Un buen día, un desconocido hindú tomó la decisión de suprimir algunos de los símbolos que venía manejando, y se quedó con los nueve primeros (al principio no utilizaron el cero). ¿Qué fue lo que pasó por su cabeza?¿Influencia griega, babilónica? Talvez,lo que es cierto es que se había dado el gran paso. No habían inventado nada, pero se dieron cuenta de que con las nueve primeras cifras podian también representar los múltiplos de diez, y también los de cien, etc. Su contribución fue la idea de reunir por primera vez las tres característicasfundamentales de nuestro sistema: decimal, cifrado y posicional. George Ifrach (1985) aporta datos que permiten imaginar como fue este paso: Los eruditos hindúes venian utilizando un sistema de numeración verbal -con todas las letras- en lengua sánscrita,que era algo así como el latín en la Europa medieval, la lengua culta que permitía que gentes de distintas hablas se entendieran. Primero asignaban a cada uno de los nueve primeros números naturales un nombre particular: eka

dui

tri

catur

pañca

sat

sapta

asta

naua

123456789

(Obsérvese el parecid o: dui- do s, ca tur - crJatro, sap t a-siete, naue- nueve.) Despuésasignaban un nombre particular a cada una de las potencias de diez y por último daban nombres compuestosa todos los demás números. El orden de presentación era el contrario del que usamos actualmente --{e izquierda a derecha en sentido creciente de potencias en lugar del sentido decrecienteactual. A diferencia de nuestro sistema no se apoyaban en una unidad determinada para organizarse por ciclos: millar, decena de millar, centena de millar; millón decena de millón, centena de millón, unidad de millar de millón; etc., sino que el sistema hindú asignaba nombres independientesen cada caso: dasa

sata

r00

sahara

ayuta

laksa

1.000 10.000 100.000 47

Este sistemaalc¿rnzir,por empuje de la necesidadde abreviar, una simplihcación trascendcnlc. A¡lroximadamente en el siglo v se suprimió cualquier referencia a las palabras que usaban para nombrar las potencias de la base porque es fácil sobrecntenderlascuando se mantienc cl orden de las unidades. El problema que supuso la ausencia de unidades se sorteó diciendo simplementesunya que queria decir <vacío>.Por ejemplo, 301 se escribía así: eka uno

sunya vacío

posi bl e regi straren un n) ir r pt r rl¡ ¡ ( lt ¡ c sc <lcsear a. No en vano uno de los sistemasde cifras árabcs crir tlclonrirrirtkl <ghobarDque signihca <polvo> Esta idea fue conocida ¡ror ( iu lrr.rto tL¡ Aurillac (siglo x), el cuál utilizó Itchas con las cifras árabcs clil'rrrj:rtlirs cn sus caras para manipular sobre el <tablero contador>, lo quc lc crcil no pocos problemas, entre ellos la acusación de satanismo que provoc<i siglos despuésel proceso por el cual se abrió su tumba para ver si su cuerpo aún reposaba allí. El registro de los movimientos intermedios en un aparte, bien sobre polvo o papel pudo muy bien conducir un día, por fuerza de la costumbre, a prescindir del dibujo de las líneas del ábaco poniendo en pie 1o que hoy entendemos por aritmética de columnas. Gracias a las cifras el cálculo progresó espectacularmente,pero no se puede olvidar su contribución en otros campos. Las cifras han permitido descubrir determinadaspropiedades que hubiera sido imposible localizar sin ellas, reglas y leyes que las antiguas numeraciones no dejaban vislumbrar. Con ellas se ha constituido un lenguaje universal que ha facilitado la comunicación, el despeguecientífico y cultural, y el desarrollo de la moderna tecnología: <sin el cero y el principio de posición nunca se hubiera podido solucionar ni el problema de la mecanizaciín ni el de la automatización del cálculo> InR¡cH (1985, pág. 306). Sin embargo, las cifras no tuvieron siempre el mismo aspecto,han variado a 1o largo del tiempo e incluso de un país a otro, debido al estilo personal de los copistas y a las característicasde su forma de escritura. Reseñar sus distintas formas es una tarea imposible. En el Museo Británico hay una colección del año l9l4 de doscientas seriesde números arábigos obtenidos de fuentes medievales (Munnnv, 1978, pág. 189). Nos conformaremos con mostrar algunos ejemplos.En el primero no apareceel cero, y correspondeal Codex Vigilanus, del monje riojano Vigila, que es considerado como la referencia más antigua en un texto europeo de los números indios o arábieos:

tri tres

Podemos afrrmar, aseguradocumentadamentelfrach, que a mediados del siglo v el procedimiento ya estaba generalizado incluso más allá de los medios eruditos. A partir de aquí los hindúes disponían de todos los ingredientes: . . . .

lJna numeración cifrada. lBrahmi) IJna numeración posicional. (Sánscrita) IJna numeración decimal. La idea de <<cero>.

Su acertada combinación produjo la forma gráfrcade la numeración que nosotr?s llamamos indoarábiga.

\2)Ú\ fIndia,876d. de c Números indios, dijeron los eruditos al principio, también les llamaron cifrae, perversión de al-cifr, traducción al árabe de la palabra sunya y cuya latinización culta es zephirae o zephirum que dio lugar a la palabra ((cero). Como suele ocurrir con las innovaciones su aceptación no fue inmediata; la forma oral era preferida por temor a los errores que las transcripciones provocaban. Los hindúes daban una forma poética a la verbalización de los números cuya perfecta rima hacía imposible la equivocación y facilitaba la memorización. Lo que es evidente es que antes o después las necesidadesde cá(culo impusieron la forma cifrada. El ábaco jugó un papel determinante en Ste proceso de aceptación. Las técnicasoperacionalescon guijarros o huesecitos resultaban largas, complicadas y requerían de tal habilidad que las hacían Un serio inconveniente venía dado por la dificulcosa de superespecialistas, tad de conservar los cálculos intermedios, cada nuevo movimiento modifrcaba el precedentey en caso de error era necesariorehacer todo el cálculo, si es que llegaba a descubrirse que había habido tal error. En una primera etapa la sustitución de guijarros por el dibujo de las cifras, sobre polvo por ejemplo, simplihcó-,notablemente cl proceso e hizo

lL ¿ ? 9 L 1 8 9

t /.H f a It v A 1

España,976 d. de C.

Arabe oriental, siglo x.

t J {

t Y¿ISC

/ z)

Irak, 1 000 d de C.

I z 3 <

f 6 z I

Arabe occidental, siglo x

0. (d,\8

t o

Europa,sigloxv.

"l L,

4 5 d 7 1 f + ltalia, siglo xvr.

Y Todos est()s silrn()s son muy diferentes de los que hoy aparecen en las impresorasmatrici¿rlcso cn las pantallas de los aparatoseleCtrónicos;

t a o

o a o

9xt2

a c a

tliE:jI5ñ] EI Figura2.2 En España, se nombran con voces que proceden del latín: Uno, de unus; dos, de duos; tres, de tres; cuatro, de quattuor; cinco, de quinque; seis, de sex; siete, de septum; ocho, de octu; nueve, de nouem;diez, de decum,y cero, de zephirum. 2.2.9.

Europa: un camino plagado de dificultades

una constante cultural de todos los pueblos conocidos ha sido, y es, expresarlos datos relativos a cantidadesy ordenacionesmediante un sistema de signos y reglas al que, en términos generales,se denomina sistema de numeración. cuatro grandes periodos pueden distinguirse en la evolución y formación de un mejor sistema de representaciónde números. . Período inicial. corresponde a las culturas del paleolítico,,y comienzos del Neolítico; en esta época se representabanlos objetos ----cádaunomediante uh signo, que progresivamenteva siendo más abstracto.Lad marcas o puntos sirven para representar la extensión de un conjunto, se suele marcar el tiempo (meseslunares) y los animales (rebaño, caza, etc.).corresponde a una fase muy primitiva, en donde la economía es la del hombre cazador (antes del 6.000 a. de C.). . Período de los grandes impericis ¡luuiates o cultura,s de ra edad del Bronce. Se descubreel principio de agrupami€nto,con aparición de distin50

tos símbolospara la bascy srr*l)()lcnl't¡ts strccsivas. En general,cada signo se repite tantas vecesconr()scrrncecs¡n'ioh¿rslallegar a la unidad superior.Así tenemoslos sistemascgi¡rcio ¡croglil'ico,rnicénico,sumerio y babilónico primitivo. Esta fasecorrcsl'lontlcrr l¡r ctlirtl dcl Bronce,que comienzaalrededor del 6000 a. de C., y aclqrricrcsu nrixirna potenciaen el tercermilenio a. de C. Estos sistemasdan exprcsirina cconomiascon gran desarrollo,en las que el hombre se ha hecho agricultor y ganadero y vive dentro de un sistema jerárquico, con un poder central de fuerte contenido religioso que controla esa economía. El mejor sistema de esta época es el babilónico, que realiza su evolución hasta lograr un sistema de tipo posicional que corresponde plenamente al siguiente período, y que se emplea con gran potencia en Astronomia y Economía. . Tercer período o período alfabético. Con la invención del alfabeto a comienzos de la Edad del Hierro, entre 1800 y 1600 a. de C., todas las culturas del Mediterráneo incorporan este nuevo código a la representación de números, dando lugar a diferentesensayosde sistemasmixtos, ordinales, posicionales.Los signos disminuyen y va tomando importancia la posición, pero su propia relación con el alfabeto y la carencia conceptual de cero -y por tanto de su símbolo- supone una limitación grave para la consolidación de un sistema coherente. Aunque son útiles para las transacciones económicas tiene serias limitaciones operacionales y para escribir grandes cantidades, también para el estudio de las propiedades aritméticas. . Cuarto período. Con la incorporación del cero a comienzo de la era cristiana ----ensentido cardinal ya era usado mucho antesse consolida el principio posicional, adquiriendo coherencia el sistema decimal de numeración. Su aceptación fue lenta y su expansión no llegó a rcalizarse hasta la época del imperio musulmán. Su difusión y asimilación en el mundo europeo se hizo muy despacio y tuvo que competir con el sistema romano. Tres fechasclaves en esta difusión fueron: las últimas décadasdel siglo x -recuperación del cálculo con ábaco por el Papa Silvestre II-, 1202 -publicación del Liber Abaci, de Fibonacci- y el final del siglo xv -aparición de las primeras aritméticas comerciales.

. La oscuridad Antes del milenio el conocimiento occidental de la aritmética era realmente pobre y se sumergia en una profunda oscuridad. No se tenía el sentido operativo actual, era mirs bien una esforzada y solitaria inmersión en el

i :il i\j'ill{SIUAD DlSTRLTAL JÜ5i DECALDAS Éi1TiI'¡iiSCÜ DEBlBLi0ThCAs SlSTElrtA

manejo de rcco¡rrlireiorrcs dc ciertas enigmáticastablas de olvidado origen, talvez siriaso cgi¡reiirs; o cn la búsquedade las clavespara meditar sobre lo plagadasde númerosmisteriosos,aposagradointerprcl:rrrtkrl¡rs l,)scrituras, calípticoso cronolirgicos. Las referenciasquc tcncmos se reducen a los circulos eclesiásticosen una época en que se cerr¿rr()nlas fuentesde información para la Europa cristiana, tras la invasión de los birrbaros del norte, lo que limitó el trabajo científico al estudio y transmisión dc los pocos tratados griegos que no fueron destruidos. La creación literaria de la época, limitada a escasísimosoriginales y al copiado manual y monacal de los mismos, raramente presentaba innovacrones. En la antigua Grecia la palabra aritmética estaba más relacionada con teoria de números que con técnicasde cálculo. Este es el sentido de la obra La Introductio Arithmeticae de Nicómaco, escrita entorno al año 100 y que trata sobre propiedades elementalesde números, incluida una poco novedosa tabla de multiplicar hasta 10 x l0 (Se conocen tablas babilónicas dos milenios más antiguas), que sirvió como modelo para los escasosescritores posteriores, más bien imitadores y comentaristas, que iban de resumen en resumen.Bo¡cIo (siglo v), primer autor de libros de texto, entre cuyas obras se encuentra un resumen de la aritmética de Nicómaco. C,csloooRo (siglo vvr), su discípulo, hizo el resumen del resumen y más tarde San Isidoro de Sevilla (siglo vl-vn) la volvió a resumir aún más. Beda, el venerable(siglo vnvnI), del cual se aseguraque (no copió jamás sin haber entendido> (Cnounrc, 1959,pá9.34) mejoró el texto de San Isidoro y añadió una representaciónde los números por medio de dedos de la que se dijo que transformaba el cálculo en <gesticulacionesde bailarines>. El cálculo apenas existía y no iba más allá del legado romano. El interés se centraba en el calendario, en una época donde era necesario precisar y unilicar las fechas parala celebraciónde efeméridescristianas.Es conocida la disputa sobre el aniversario de la resurrección de Cristo en la Inglaterra del siglo vn. Con el hn de calcular la fecha de la Pascuaera necesariocombinar la duración del año solar, calendario solar juliano, con la del mes lunar, calendariojudío. La difrcultad básica es que ambos ciclos son inconmensurables, es necesario al hacer el calendario efectuar,sohsticados ajustes. La confusión era tal, hasta que Beda puso en orden al,personal, que la reina ayunaba un día y el rey otro (Para más informacióh ver Crombie, 1959, pág. 33-34, Murray, 1978). Los computi como se llamaban los tratados dedicados al arte de calcular el calendario, adquirieron tal importancia que fueron disciplina obligatoria entre aquellas que debían estudiarse en las escuelasepiscopaleSy monacales que comenzaban a florecer. La influencia de la cultura romana disminuyó el interés por la matemática. La tradición literaria era hostil a los números. Todo lo que no era latino era sospechoso.Para Cicerón las matemáticasno eran respetables.La imper52

cr¡ unir eultura que basabala educacitlncn fección de los números rom¿ur()s lo escrito bloqueabala exploltreiri¡r, l,¡r illtolerancia,el enfrentamicntocntre los pueblos musulmán y cristiittto iru¡lidió el accesoa las fuentesgriogasy egipciasa los estudiososdc occidcrrtc.l)ificilmentela cristiandadpodia hacer una contribución original. l-o rn¿isquc hizo fue conservar lo que quedaba gracias a la aparición de las cscuclasmonacales.El <trivium> (Gramática, lógica y retórica) y el <quadrivium> (geometría, aritmética, arte y música) eran el programa ofrcial.

. El alborear Hubo que esperar a las últimas décadas del siglo x para acabar con el estancamiento; el despegue se atribuye a Gerberto de Aurillac, que sería despuésel Papa Silvestre II, quien tras estudiar en España, único lugar de la Cristiandad donde se enseñaban matemáticas (Murray, 1978, pá9. 180) (recalco esto por lo que me toca), dió a conocer su libro De numerorumdiuisione donde expone nuevas reglas de cálculo ¡Cómo lo haría, que sus discipulos se secaban la frente 10 años despueSal acordarse de lo mucho que sudaban cuando estudiaban! (Murray, 1978, pá9. 179). Gerberto recuperó para occidente el ábaco que operaba con fichas y que llevaba grabadas las nueve cifras (el cero no era necesario).La reacción de los eruditos fue tibia y hubo que esperar a Fibonacci para que los números hindo-arábigos rompieran el maleficio. Poco a poco el tablero contador fue haciéndosecada vez más popular, volviendo la espalda a la escritura (fenómeno similar al que se da cn la actualidad con las calculadoras). El ábaco dio accesoal cálculo con números grandes,facilitó la contabilidad de haciendasy negocios y popularizó el cálculo más allá de los conventos. Pero al tiempo que se divulgaba preparaba su propio eclipse.Una vez conocido tenía que ser manejado y ello formaba la mente de los operadores. La evaporabilidad de las operacionesy el recurso al valor posicional de las cuentas o cálculos, entraba en contradicción con la imposición contable de registrar o congelar los resultados y que para más inri debía hacerseen el sistema romano. Si había error, el abacista tenía que rehacer todo el cálculo. Para evitar esto, no era mala cosa registrar los cálculos intermedios y qué mejor que con los mismos signos que aparecían en los surcos o columnas como si fuera la imagen en un espejo de lo que ocurría en el ábaco. Así es posible aceptar los números que vienen del sur, las hguras indias (Indorumfigurae) como fueron denominadas en el Liber Abaci de Leonardo de Pisa, alias Fibonacci, que no significa otra cosa que <el hijo de Bonifacio> (siglo xIIr). No como un neocolonialismo cultural extranjero, como se diría ahora. sino como solución a una necesidadsentida e insatisfecha.

-T El nombre Lil¡rt ,.ll¡ttt'ino debe hacer pensaren un texto sobre el ábaco. En realidad es urr irrn¡rlio tratado que empieza con la introducción de las nueve cifras, añaclc cl ccro, se ocupa de las operaciones con los enteros: multiplicación,suma, r'cstay división, da reglasde cálculo,incorpora tablas de sumar y multiplicar y aporta las pruebasdel 7, del 9 y del 11, y siguecon otros aspectos,fraccioncs, reglas de tres, progresiones,raíces e incluso algo de geometría y álgebra. (Para más información, ver REy Pnsron y BnnrNr, 1984,pág. 186.)

. Innovación contra conservadurismo Figura 2.3 El grabado muestra el enfrentamiento entre un algorista y un abacista, representados por Boecio y Pitágotas, bajo la atenta mirada de La Aritmética. Margarita Philosophica Nova. Gregorius Reish (1512).Mus eum of H i s tory of Science.Oxford Universitv.

Poco a poco los algoritmos de lápiz y papel van penetrando en el tejido occidental. El proceso fue lento y no sin grandes dihcultades: La complejidad de la idea de valor de posición, la no aceptación del cero como numeral, el esfuerzo de cálculo mental que conllevan, la escasezde papel y la poca necesidad de efectuar cálculos con números grandes se tuvieron que enfrentar con la sencillezdel cálculo abacista,el hábito adquirido y la familiaridad, influencia y extensión del sistemade notación romano. Resulta hoy día casi imposibleeuocar el estadode espíritu de aquellos quepara multiplicar,pongomos por caso,82.243 por 9.621,ya no se calculistas ueríanobligadosa recurrir al tablero calculador,sino que les bastabauna simplehoja de papel. ¡Secreíanconuertidosen nigromantes! (Counus, 1959,pág.6.) Al principio la Iglesia y la banca fueron beligerantes.Se prohibieron los asientos contables en números arábigos, al parecer porque no los comprendian, ¿desconfiabande una doble contabilidad?, aunque al final la crecientee íntima relación entre aritmética y dinero estimuló su aceptación. Se ha afirmado que la modernizacióncontable salvó a la Banca de los Papasde la q u i e br a ( M unnr v , 1 9 7 8 ,p á g . l 9 l ). Es la hora de la aritrnéticamercantil y en colaboracióncon un invento del demonio, la imprenta, se da paso a un nuevo tipo de libro que reúne propias de los libros modertos, el libro comercial.Surgenlas características aritméticas comerciales,principalmente italianas y germánicas.Entre las primeras cabe señalarpor su destacadainfluenciala <Summa de Arithmeticd, Geometría, Proportioni et Proportionalitá> de Lucn PncIor-r (1494) escritaen lengua vernáculay cuya parte aritmética,probablementeinspirada en la anónima <Aritmética de Treviso>,(1478),trata (con mucho detalle, diversosartificios para multiplicar y para hallar raicescuadradas>(Boven, p á g i n a 358. ) 54

Por lo que se reliere a Alemania, sus numerosas aritméticas son dccisorias a la hora de desplazar la hegemonia de la notación italiana, crr particular <plus y minus> hacia la simbologíagermánica:+ y -. A dcstac¿rr la Die Coss de Adam Riese,influyente escritor en la transición del cirlcultr abacista al cálculo de lápiz y papel, y cómo no, la Arithmetica integra dc MrcHn¡l Srrner (1544). En adelante los historiadores dan todo por hecho en Cálculo elemental y sus comentarios sobre la historia de la matemática discurren a la busca y captura de las innovaciones en otros campos, álgebra, estadística,análisis, etc. Pero esto es la historia de los historiadores,el interésestá puesto en el camino y no en la aventura.Quedan muchas cuestionessin respuesta. ¿Cómo nacieron realmentelos algoritmos?¿Qué problemaslos originaron? ¿Qué variantes se han sucedido?¿Qué grado de uniformidad hubo en las distintas épocas y países?¿Qué influencias de las formas antiguas de cálculo recibieron? ¿Cuál fue realmente la aportación de los árabes, de los indios o de los chinos?.etc.

2.2.10. El sistemadecimal El principio básico en el que se fundamenta la elecciónde un número limitado de signoscs un principio de agrupaciónextendido que consisteen cada una de las descomponerlos cnlcros cn sumas de cantidadessucesivas,

cuales es un múltiplo cntero de la anterior; en gencral este múltiplo se toma como valor fijo y se llama base del sistema. La basc de nuestro sistema es diez,y es por esto que nuestro sistema Sellama deci¡nal. Por ello en nuestro sistema los distintos órdenes son las sucesivaspotcncias de 10, que reciben nombres especiales:unidad, decena, centena, unidad de millar, decena de millar, etc., 1o que facilita la lectura de números de muchas cifras: . Modo de leer un número de muchas cifras Para leer un número de muchas cifras, se divide de derechaa izquierda en períodos de seis cifras que se señalan con los subíndice l, 2, 3, ".; cada período se divide luego en dos clasespor medio de punto o coma. Cada clase (cxceptuando a vecesla 1.ude la izquierda) comprende así tres órdenes. Ejemplo: 2s407620039184 : 25 1407.6201039.184 Luego se van enunciando las diferentesclasesempezando por la izquier<billones>, da, diciendo <mil> en donde haya punto o coma, y <millones>>, cuatro billones, 1,2, 3,...: Veinticinco los subíndices estén <trillones>... donde y ochennueve mil ciento treinta millones, veinte mil seiscientos siete cientos ta y cuatro unidades. . Caracteristicas Al añadir al principio de agrupación el principio multiplicativo cifrado y el principio posicional, se configura un sistema cuyas característicasse reseñan a continuación: - La base del sistema,esdiez y se escribe 10. -Todo número es sutha de potencias de la base. - Adopta un símbolo especíhcopara cada uno de los números inferiores a la base llamados cifras: 1, 2, 3, 4, 5, 6,'7, 8, 9. - Una cifra a la izquierda de otra representapotencias de la base inmediatamente supenores. - Cada cifra tiene dos valores, uno según su forma y otro por el lugar que ocupa, de modo que la primera de la derecha expresa unidades simples,la segunda,unidades de segundo orden, la tercera de tercer orden, etc. -Cada unidad de un orden equivale a diez unidades del orden inferior. Para expresar la carencia de unidades de cualquier orden sc emplea el cero, 0.

. Desarrollo curricular La enseñanzadel sistemittlt't irrr;rl llirt'ccn nuestraescuelaactualmente "c en l os ci nco pr im er os años t lr 'r 'sr ol¡ r r r r lr r tAunque l. no es f ácil dif er enciar entre el conceptode númcnr eI srslt'rnrr tlccirnal, hemos dedicadootro libro -y de esta colección:<Números y (rlrcrirci()ncs)) a la iniciación y adquisicióndel concepto de número; por cllo n()s viulr()sir limitar a esbozaralgunas ideas sobre el desarrollo del sistcnlr t[:c:illlul De hecho la edad de inici¿rciirn¿rlsistcmade numeracióny a los mecanismos de cálculo podría ser postcri()r y esperar a que el niño consolide su pensamiento, o al menos alcancc una etapa más equilibrada pasados los 8 años. Sin embargo, por razones socialesmuy discutibles, se ha preferido no hacerlo así sino iniciar el aprendizaje organizado casi desde el comienzo de su posibilidad. Pero esto obliga a que dicho aprendizajese realice respetando las limitaciones del alumno, siguiendo sus propias pautas de asimilación y acomodación, avanzando al mismo ritmo según el cual el alumno asimila los conceptos, sin prisas infundadas. De aquí que el aprendizajede la numeración y de las operacionesse haga durante un período tan dilatado de tiempo: de los 6 a los 10 años, ya que la única defensaque puede tener un aprendizaje en el límite de lo prematuro, que casi se adelanta a las posibilidades de comprensión, es que no desborde nunca esta capacidad de comprensión sino que la acompañe y motive.

. IJso de material estructurado Asociar cada nuevo orden a una representación material permite al alumno pensar los números como cantidadesconcretas,compararlos y ordenarlos lísicamente, tener una idea de su tamaño relativo y por supuesto, resolver sus dudas sobre alguna operación o relación reproduciéndola y manipulándola. Si se construye, aunque sea con carácter restringido al menos una vez en clase- una representaciónde cada uno de los órdenes del sistema decimal, el niño dispondrá de una imagen de lo grande que son los números que manejan en relación con la unidad elegida. ¿Cuángrande es un millón? Para un niño que ha trabajado con una unidad igual a un cubito de un centímetro cúbico, la respuesta puede ser que (un millón es como la lavadora de mi mamá> y tal vez aventure una descripción de un billón o un trillón. ¿Se atreve usted querido lector? - Unidad: cubito (centímetro cúbico). -Decena: barra (10 centímetroscúbicos). -Centena: placa (l(X) ccntimetroscúbicos). -Unidad de nrillrrr:bloque (1 decímetrocúbico).

-D ec ena dc nr ill l r: b a rra d e b l o q u e s(1 0 d e c i rnctroscúbi cos). -Centena dc rnillar: placa de bloques (100 dccirnetroscúbicos). - Unidad de millón: caia (1 metro cúbico). etcétera La posibilidadde pensary representarlos númeroscon material concreto estructurado facilita la comprensión y empleo del sistema de numeración. No convieneolvidar que el aprendizajede los números directamentesólo se realiza con los 20 primeros, el resto del aprendizaje numérico se realiza mediante el aprendizaje del sistema. Idea importante es también el hecho de que se trabaja dentro de un sistema en el que se actúa de acuerdo con unas reglas que se reiteran. Así: diez unidades forman una decenaque se escribe l0; diez decenasforman una centena, que se escribe lü); e, igualmente, diez centenas forman un nuevo orden: unidad de millar, que se escribe 1.000,etc. La formación de nuevos números: de tres cifras despuésde los de dos, de cuatro cifras despuésde los de tres, sigue siempre los mismos principios; lo mismo ocurre con las operaciones,suma y resta con los nuevos números se ajustan a las mismas normas que con los anteriores. Esta es la idea del sistema: con unos principios básicos se procesa la nueva información, que permite incorporarla a un esquema general de funcionamiento. Por ello mismo, los primeros pasos dentro del sistema:números de dos, tres y cuatro cifras deben recibir un tratamiento especial y detallado, sin prisas, dedicándole todo el tiempo que sea necesarioy realizando con ellos el máximo número de actividades -no sólo las de carácter repetitivo sino también de tipo creativo.

. La integración del contexto Cada vez que se trabaje un nuevo orden no estará de más utilizar ejemplos en los que aparezcan cantidades de cada una de las magnitudes anteriores. Trabajando sobre estas situaciones,todo el aprendizaje que se realice con los números y operaciones del orden considerado tendrá un signihcado práctico inmediato, que permitirá desde el comienzo plantearse situacionesreales y resolver problemas que afectán e interesan directamente al alumno, dando sentido a ese aprendizaje. Veamos algunos ejemplos: Personas de una unidad familiar. Dimensiones de las habitaciones de una vivienda. Tiempo semanal. Precio de una golosina: chicle, caramelo, etc. Peso de la compra: patatas, etc. 101: Personas que hay en un aulá. Dimensiones del pasillo del colegio. Edad de una persona. Precio de un cuaderno. Peso de una persona.

102: Personasque viven en un bloque. Dimensionesdel patio dcl colegio. Edad de acontecimientoshistóricos.Precio de alimentos habituales. Peso de animales grandes: vaca, toro, etc. l0r: Pcrsonasque viven en un pueblo. Longitud de una avenida.Edad de los acontecimientosde las primeras civilizaciones.Precio de la ropa. Peso en el transporte de mercancias.

El lector puede continuar buscandoejemplosen los órdenessiguientesy comprobará que no siemprees sencilloencontrarloscon sentidoreal para el alumno de Educación General Básica. Puede esto servir de reflexión para entender que no conviene ayanzar excesivamenterápido en la presentacióny estudio del sistemadecimal de numeración, ya que éste careceráde significado real para los niños sino hay situaciones prácticas sobre las que puedan eJercltarse.

2.2.11. Aritméticay sistemade numeración

Aunque hemos descrito la evolución histórica de los sistemasde numeración como un código cuya utilidad consiste en representar números y en facilitar las operacionesque se pueden hacer con las cantidadesque dcscriben, esto es sólo un aspecto. Los números no aparecen como cnticlaclcs separadas,sino como un sistemade relacionesmútuas, con sus rcglas lrl objeto de la aritmética es precisamenteestudiar el sistemade los núlmcros junto con sus relacionesmútuas y sus reglas.Los números no tienen propicdades en sí; si preguntamos por las propiedadesde un número, 12 por ejemplo,decimosque es 2 más que 10 o bien 3 veces4; las propiedadesde un número dado consisten precisamenteen sus relaciones con otros números. Toda aritmética es solidaria del sistema de numeración mediante el que se expresa.Veremos que las diferentesreglas para la obtención de un resultado en una operación son coherentescon el sistemaen el que se trabaja. Esta es una de las razones por las que nuestro sistema decimal ha logrado imponerse: facilita el cálculo y el estudio de las propiedades y relaciones entre los números empleando fundamentalmente las propias representaciones y simbolizaciones numéricas, sin necesidad de mecanismos auxiliares. Esta potencialidad del sistema decimal no se emplea a fondo en nuestra escuela,salvo las rutinas de todos conocidas.

l0o:

2.2.12.

Aritmética y enseñanza obligatoria

El aprendizajeclc l¿rAritmética es un conocimiento socialmenteútil ya que es una de las forrn¿rsbírsicasde razonamiento;sistematizael estudio de

T mientras que otras nos parecen llgo co¡¡fi¡s¿5'

las cantidadcs.sr¡ si¡tlrolización y sus relaciones.Sin embargo no es un aprendizaje gcnútico. ¡rotlriit no realizarse,y de hecho han existido grandes colectivos humaltos. y tlt¡rante períodos de tiempo muy dilatados' cuyas nocionesaritmóticls h¿¡nsidcl rudimentariasy casi inexistentes(culturas en las que cualquier cantidad superior a tres se designacon el término <muchos>).En otros casos.cn los que el sentido aritmético estaba más desarrollado, no han sabido sustracrsede los objetos concretos. El aprendizaje de la aritmética es un hecho social, determinado por el grado de evolución y desarrollo de cada sociedad. Son las necesidades colectivas de unas normas básicasy generalesde dominio cuantitativo de la realidad las que imponen el aprendizaje de la aritmética. Esto se hizo evidente en Europa desde el siglo xv, y a partir de entonces se puede datar la introducción de la aritmética -tal y como hoy la conocemos- en los planes generalesde formación. Esto se observa ya en la división clásica del saber en áo, tu-ut generales:Trivio (gramática, lógica y retórica) y Cuatrivio (aritmética, música, geometría y astronomia). En algunos casos,cuando las necesidades lo impusieron, hubo escuelasespecialesde algoritmistas. La situación actual de aprendizajede la aritmética desdela escuelabásica obligatoria tiene una antiguedad de unos dos siglos, en el cóntexto europeo. lJna vez decidido que el aprendizaje de la aritmética era útil y necesario'que su carencia irhplicaba un analfabetismo destacado,el problema consistió en determinar cuándo y cómo hacerlo más eficazmente.Estos dos últimos siglos han sido la época en la que se ha estudiado con mayor intensidad todos los problemas relativos a la pedagogía de la aritmética. En la presentacióndel libro <Elementos de Aritmética y Algebra, parala instrucción de la juventud> (1786), de D. Manuel Poy y Comes, se dice: <España, que entre sus sabios cuenta profundísimos matemáticos, carecede unoi El.-éntos de Aritmética propios para los jóvenes...>.De entonces acá muchas han sido las formas con las que se ha enfocado el trabajo escolar sobre esta materia, algunas de las cuales pueden resultarnos familiares: (Pregunta: ¿Qué es Aritmética? Respuesta: La ciencia que trata de aueriguar las relacionesy propiedades de los números.¡ ( Aritmética de niños, para uso de las Escuelas del Reino; 1798; M. J. Vnnn¡o.)

(Pregunta: ¿Qué es Arifntltit tt.' Respuesta: La ciencia qu( trutu dc lu <'unridaddiscreta. P.. ¿Qué es cantidadT R..' Todo Io que puede uumentur t¡ disminuir. P.: Bajo este punto de uista, ¿lodo lo que existe en el uniuerso es cantídad? R..' Sí, señor; todo es cantidad, excepto Dios.> (Aritmética completa para niños; 1876; A. Gnr¡-¡co CHevns.) Hoy se ha abandonado este estilo didáctico de preguntas y respuestas, que necesariamente debe comenzar dando una definición, cosa que actualmente parece absurda. Sin embargo, el estudio de los números, su represen-

tación,susrelaciones, propiedadesy operaciones, sigueteniendouna importancia destacad,a, la sufrcientecomo para que el sistemaescolarle siga dedicandoun tiempo considerable.

Una de las seriesde numerales cretensestenía este aspecto:

o I

(Principios de Aritmética; 1789; Toncunro Tonio on I-n Rlv¡ v H¡nnrno.)

100

10.000

a) ¿Quécaracterísticaspresenta? b) Describe en nuestro sistema decimal el siguiente número representado en cretense:

II il

E-222 Describe las característicasde cada uno de los sistemasrepresentados en el cuadro: I

¡ * l

I (Maestro' ¿Qué es Aritmética? Discipulo; El arte de contar, o la ciencia de los números, que consídera su naturaleza y propiedades,y suministra mediosfácíles para exPresarIos, componerlos y resoluerlos, que es lo que llamamos calcular'>

i l l l l l l l i l i l rl

R. S. A. S.

il-$ftF+ll-ll4 | o VVVII

A . M.

w \A\^w!\viltl

S . M,

ow @ | ovo\A ow @ \A ovoI o oo@

A . M O. S. P.

F-23: Completarla tabla: I n d o - a r h b ig o

Babilónico

Un viejo sistema clrilto utili¿lrh¡t llrrr¡ los números menores que la decena,los siguientcssinrlrolos Egipcio

Romano

El suyo propio

r il ill

ililI I

l | i l T l 'l -

y para los múltiplos tlr: tlicz, cstos otros:

V <YYY

1r+ t

2 nl n l l E-?AZ En la mili sehacentartitas:3 racionesen cadatartita,3 tartitasen cada tartera, 3 tarterasen una plancha,3 planchasen un horno y 3 hornos paracada cocinero.¿Cuántoscocineroshay que emplearpara el postre de los 3.000soldadosdel cuartel? Raciones, tartitas,tartera...permitendiseñarun sistemade numeración gastronómico.Escribe en código el número de racionesdiarias que hay que preparar E-252 Si reúno 5 cucharaditas,obtendré el contenido de la mitad de una copita; si reúno 5 copitas,obtendréel contenidode la mitad de un vaso;si reúno5 vasos,obtendréla mitad de un litro. ¿Cuántas cucharaditas hacenfalta para tenerun litro? permiten Cucharaditas, copitas,vasos,botellas,toneles,camiones... diseñar un sistemade numeración para beodos. Escribir en código para el cuarteldel ejemploanterior secretola previsiónde necesidades y explicarel códigoque se ha seguido.

Con ellos y alternandola posiciónde derechaa izquierdase puede representarcualquiernúmero,por ejemploer 43.9g7se escribiria así: L

E-32t, Si 1/4 de 20 no fuera5 sino 4, ¿cuántovaldría ll2 de I0?y ¿ll4de 102 E-33: El-sistemade nivelesmaya admite una répricahorizontarque recuerda a un viejo instrumentode cálculo:

El ábacoutiliza en lugar de cajasseparadoras y signospara rasunidades,varillasy bolasinsertadasen Ias mlsmas:

presentael sistemacorrespondiente E-26: ¿Quécaracteristicas a la expresión horaria(horas,minutosy segundos? E-27: ¿Diseñesu propio sistemaposicional. Lo importantees evitar la escriturade los simbolosque Sugerencia: representan a las potenciasde la base.

E-2E:

¿Cuántos dedos tienen los marcianos en sus manos, sabiendo que en su planeta el 17 se escribe 2l?

E-292 Hallar una base de numeración distinta de diez en la oue 121 seá un cuadrado perfecto. Y despuésotra, y otra, ... E-30: Si eres capaz de hallar la diferencia entre la mitad de una decena de decenas y tres decenas de decenas. Quizá seas capaz de hallar la diferencia entrc la mitad de uira docena de docenas y ties docenas de docenas.

Describesuscaracteristicas. E-34: Leer el número 754!2ü00400)000000000. E-35: Escribirel númerosietetrillones,setentamil sietebillones,sietemillones,setentay siete. E-3ó: Escribaen una tabla la equivarencia entre rasdenominaciones de ros diferentesórdenesde nuestrosistemay ras distintaspotenciasde r0; lleguehasta l0 elevadoa 15. Continúela secuencia: millón,billón,trillón.... Expreseestosórdenesmediantepotenciasde diez. Haga un resumende las principalescaracteristicas y principios de nuestrosistemadccimalde numeración.

Cálculomental. Cálculopensado

3.i.

CALCULO

MENTAL. CALCULO

PENSADO

La mayoría del cálculo que cotidianamente se hace fuera de la escuelaes mental. No siempre se puede usar lápiz y papel, ni tampoco es necesario. Muchas veces la respuesta no tiene por qué ser exacta, basta con una aproximación. Incluso cuando se utiliza la calculadora es normal asegurarse de que se teclearon bien los datos contrastando el resultado con alguna estimación obtenida por redondeo o cualquier otro procedimiento. Este tipo de cálculo se caracteriza porque: . . . .

Es de cabeza. Se puede hacer rápidamente. Se apoya en un conjunto limitado de hecho numéricos. Requiere ciertas habilidades:Conteos, recolocaciones,compensaciones, descomposiciones,redistribuciones, etc., buscando sustituir o alterar los datos iniciales para trabajar con otros más cómodos, o más fáciles de calcular. Cuandose le pedía (se refiere al calculistaprofesionalZerah Colburn) multiplicar21.734por 543,decíainmediatamente 11.801.562. Al preguntarle cómolo habíahecho,explicóque 543 es igual a 181ueces3. Y comoera más fácil multiplicarpor 181quepor 543,habíamultiplicadoprimero 21.734por 3 y luegoel resultadopor l8l. (GeoNnn,M., 1984,págs.80-81.)

Parece claro, que en este tipo de cálculo, la concentración, el hábito, la atención, y el interés (Horr, 1985,pág. 372) son factores determinantespara lograr resultados espectaculares.

Y Naturalmcntc, óslo no es un objetivo para la escuela, los sofisticados métodos de cálculo rncntal son inapropiados para las mentes infantiles, pero eso no quiere decir quc desdeel principio no se puedan sentar las basespara lograr al f,rnal de la escolaridad una destreza, eficacia y rapidez razonable para las situaciones de cálculo más habituales. No es necesarioesperar a entrar en la Caja de Ahorros para comenzar a tratar con métodos más sohsticadoscomo: compensación,descomposición, factorización, etc. Pueden hacerse aparecer incluso con las combinaciones numéricas básicas: 9 + 6 :9

+ (1 + 6 _ 1 ) : (9 + 1 ) + (6 _ 1) :

10 + 5

A medidaqueel niño crecenecesitair desanollandolos métodosde cálculo mental que emplearáa lo largo de su uida y que tal uez difieran de los que utilice en el trabajo escrito.En los años de primaria debepracticarsecon la manipulacióndel dinero, la deuoluciónde cambío tal como se hace en las tiendas,el cálculode tiemposde desplazamiento... (Cocrcnonn, 1982,pá9. ll4.)

I ¡Cuán complicado resultiril vcr'cs,r'n cl b¿rr,en el restaurante,averiguara cuánto sal e cad a uno! No L: sr ¡ u( ) oil'c¡ t lt lcs ocasiones¡ Q ué lo haga el matemático!o ¡Yo me ec¡trivocosicrrr¡rlc!Algunos callan,deseandono parecer idiotas, y esperanquc algrrierr lcs sirc¡ucdel apuro. Sorprendeestaactitud, si sc ticnc cn cusnta que en casi todos los trabajos se valora la capacidad de rcalizar algunos cálculos mentales pensados e incluso se otorga el calilicativo dc inteligentesa las personasque son capaces de hacerlos con fluidez. Hay otra razón que aboga por la inclusión del cálculo pensado en las clases,y es que la mayoría de las personasque son consideradashábiles para calcular rara yez hacen uso de los algoritmos usuales, sino que suelen recurrir a manipular los números para facllifarse la tarea. A pesar de ello, la mayoria de nosotros hemos aprendido en la escuelaun cálculo plagado de rigideces. Palabras y formas de presentar los datos se conectan en nuestra mente de tal manera que la respuestaestá fuertemente condicionada. Resuélvase:

¿Cuánto me tienen que devolver de una moneda de 100 pesetas,sabiendo que lo que quiero comprar vale 87? ¿A quién se le ocurre hacer uso del algoritmo estándar?:

547 189

¿Por qué no lo hizo asi:

100 87

547- 189: 1+10+347? Es más fácil y se llega antes al resultado simplemente contando hacia arriba.

Pruebeahora: 539- 189: ... ... Si lo hizo así:539 - 189 : I + 10 + 339,le cacé.Ha sido condicionado por el cálculoanterior.¿Por qué no hizo otra cosa?Por ejemplo:

Puestos a precisar, conviene distinguir entre el cálculo mental del tipo estímulo-respuestay el cálculo mental que implica toma de decisiones y elección de estrátegias.La mayor parte de las tablas, combinacionesnuméricas básicas,son un buen ejemplo del primer tipo. El segundo suele ser fruto de una reflexión personal y es raramente desarrollado en la escuela: Creemosque la decadenciadel trabajo oral y mental en las clasesde matemáticases consecuencia de la falta de reconocimiento de la importancia que el cálculomental tieneen esta asignatura.Inclusolos métodosde cálculo sobrepapel utilizadostradicionalmen(e se basanen la realizaciónmental de determinadasoperaciones. (Cocrcnor,r, 1982,pág. 92.)

s39- 18e: (s39- 39)- (189- 39): 500- 1s0

539- 189: 540- 190: 540- 140- 50 : 400 - 50 A poco que se reflexione sorprende la variedad de enfoques posibles. Explorarlos, inspeccionar todas las posibilidades, optar por una de ellas, determinar el orden de actuación, estudiar las transformaciones más apropiadas, valorar el resultado, etc., convierte el cálculo a secas,en cálculo pensado. Es un pequeño desafio, una labor inteligente, divertida, personal.

EJERCICIO ltlg dc todas las formas que se le ocurran' Diga cuál le Resuelva 539 parece más apropiada y Por qué. Despuéscompare con las que se sugieren más adelante cuando se hable de las estrategiasde cálculo aditivo y de acuerdo con ellas formule explicitamente los pasos seguidos.

En la escuelase nos enseñacómo calcular de una cierta manera' pero no cómo hacer para calcular de la mejor manera. No es cierto que esto sea una cuestión de aptitudes o capacidades,o de fanáticos del cálculo ultrarrápido; ni tampoco es cierto que con cada par de números haya que actuar de una manera. Si no se tiene confranzaen las propias posibilidades es porque no se ha intentado y sobre todo porque en la escuelano se nos ha enseñadonada sobre ello. Hay un número limitado de reglas, estrategias y caminos que facilitan la tarea. Lo que ocurre es que muchos maestros y profesores no tienen ellos mismos conscienciade los procesosque aplican cuando calculan mentalmente y nunca se han parado a otganizarlos sobre un papel con la finalidad de enseñárselosa sus alumnos. Entre las razones que me impulsan a escribir estecapítulo quiero señalar el convencimiento de que si en la escuela se ha reflexionado sobre las diversas estrategias de cálculo mental que se pueden utllizar, no sólo se estará en condiciones de aplicar la mejor en cada momento y rechazat la común tendenciaa (conmigo que no cuenten))porque no se tienenexpectativas de éxito, sino que, puesto que el cálculo pensado supone ser parte activa en el proceso, se habrá contribuido a la disminución de errores debidos a respuestasrutinarias o a actuacionesno comprendidas. Por ello: pcr sí mismosquelos métodosdel Aun cuandomuchosalumnosdescubren para el cálculomental,concálculopor escriloa menudono son apropiados sideramosque para mucltosoftos resultará de gran utilidad que el profesor métodosutilizables. señaleexplícitamentey comenteen claselos diuerso.s

secuenciacontadora y de las corr¡br¡lrtiorrcsaritméticas básicasconoci{as como <tablas>. Estos soportes no sólo son inrlx)rtirntcsporque permiten dar respuestas rápidas, sino porque dan pic ir algoritmos que permiten efectuarcualquiera de las operacioneselcmcntalcscon un número de conocimientoslimitados. Gracias a las tablas cs posible calcular sin preocuparsepor el tamaño de los números en cuanto se dominan los métodos que permiten reducir la manipulación de los simbolos numéricos a aquellos que aparecen en ellas. Hay un punto de vista tradicional que aboga por el aprendizaje <a ciegas> o memorístico de las tablas, y otro que defiende que esto no es necesario ya que la mayoría logra un dominio efectivo del cálculo cuando recurre a desarrollar estrategiaspersonales. Los defensoresdel primer punto de vista alegan,por contra, que no todos los niños son capacesde hacer algo así; muchos de ellos, a lo sumo, serán capacesde dominar las tablas despuésde una cantidad desproporcionadade esfuerzosy algunos nunca lograrán resultados satisfactorios por sí mismos, (Horn, 1985,pág. 378). El debate se centra en si hay que dedicar tiempo para hacer ejercicios destinados exclusivamente a la memorización, hjación, mantenimiento y rehabilitación de las tablas; o si, por el contrario, basta con ayudar al niño a desarrollar sus propias estrategiaspara que puedan obtenerlas asegurándose de su buen funcionamiento, uso y consolidación. Para tomar una decisión sobre cuál es la linea de actuación más adecuada, conviene tener presente que quizá un planteamiento conduce al otro. Aunque esto no se da en los dos sentidos:El uso de estrategiaspuede acabar en memorización de resultados, pero la memorización de resultados no sólo no conduce al diseño de estrategias,sino que las obstruye (Hencn, 1985). Por un lado, la práctica en el uso de estrategias irá aumentando la velocidad en las respuestasde tal modo que la frontera entre resultados memorizados y <obtenidos> tenderá a difuminarse, y, por otro, la tendencia a apoyar el cálculo en un número limitado de combinaciones básicas hará que sus resultados se repitan con tanta frecuencia que se estará incidiendo fuertementeen su retención memorística.

(Cocrcnorn, 1982,pág.93.)

3.2. CALCULO

MENTAL.

LAS TABLAS

No es posible una buena destrezaen cálculo mental sino se dispone de buenos puntos de apoyo. El soportc usual es un suficientedominio de la 68

¿Memorizó usted la tabla de multiplicar por 998? ¿Se siente capaz d.e diseñar una estrategia para obtenerla? ¿Cómo? Utilice este ejercicio para reflexionar sobre su propio proceso de aprendizaje.

V En lo que siguc nos limitaremos a tÍatar el accesoa las tablas a partir de la manipulación de símbolos, soslayando otras vías, como por ejemplo el conteo de objetos fisicos,el tratamiento con materialesdidácticos, el recurso a la recta numérica o cualquier tipo de arreglo que corresponda a un nivel conceptual propiamente.

3.2.1. La tabla de sumar Entendemos por tabla de sumar a las 11 x l1 combinacionesaritméticas básicasque se pueden hacer con los dígitos 0, l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9 y 10. De ellas, algunas son tan inmediatas que no requieren ningún esfuerzo de memoria, de otras se puede prescindir gracias a la propiedad conmutativa de la adición. Unas pocas se obtiene a través de otras más familiares. Al final el número de combinaciones básicasque hay que retener es tan reducido que la gran mayoría de las personas las conservan en su memoria sin difrcultad. ¿Pero cuál es este número reducido de combinaciones? l. Ceros (C): La suma de ceros no supone ningún problema. Cuando se suma cero todo queda igual. 2. Conmutatiuidad(Co\: Se usa incluso antes de tener conscienciade ello y se ahanza con tal fuerza que aun sabiendo el resultado de una pareja de números, mucha gente se siente más segura si lo obtiene conmutándolos. La tendenciageneral,considera más fácil empezarpor el sumando mayor: 5 + 4 en lugar de 4 * 5, aunque esto no se puede alirmar que sea cierto (CenreNrnn y MosEn, 1983, pág. 9). 3. Conteo ascendente(l): Cuando se domina la secuenciacontadora y se sabesubirla de dos en dos, de tres en tres,sumar 1,2 o 3 a cualquiernúmero es algo sencillo de resolver. Aunque al principio haya que apoyarse en los dedos para llevar la cuenta. Esta estretegia es utilísima por cuánto resuelve sin apenas gasto de memoria el cálculo de 27 de las sumas básicasrestantesdespuésde descontar las 66 que resuelvenlos ceros y la conmutatividad.¿Cuántasquedan? 4. Dieces(Di): Sumar l0 a un número dígito es muy simple cuando se dominan las reglassintácticasde nuestro sistemade numeración. En el lenguaje escrito basta con incorporar un 1 a la izquierda del número dado, o lo que es lo mismo, sustituir el 0 del 10 por el número en cuestión. En el lenguajeoral el énfasishay que ponerlo en la difcrenteconstrucción se m ánt ic aent r e 10 y 1 ,2 ,3 ,4 o 5 (o n c e ,d o c e ,tre ce,catorcco qui nce)y, 10 y 6 ,7 , 8 o 9 ( diez y s e i s ,s i e te ,o c h o o n u e v e ).

l0 0 I

4 5 6 7 8 9 10

( ' rl

(i r

I I

(' o

I)l

('o

I)+

c C

c c c

DCoCoCo

I I I

cccc

DCoCo N Di

DCo Di

DiDiDiD

Complete la tabla. 5. Dobles (D): Las parejasformadas con números iguales(8 + 8) son en general más fácilesde retener que el resto de parejas comparablesen tamaño (CnnenNrnn y MosEn, 1983,9). En general,no requieren instrucción especial, sin embargo, algunos juegos como el dominó o situacionesfrecuentesde la vida diaria suponen un buen refuerzo en caso de dificultad: Losoj os,l + 1 . Las ruedas de un coche. Las patas de una mesa,2 + 2. Dos triciclos. Dos trimestres, 3 * 3. Dos triángulos. Las ruedas traseras de un camión. Dos perros, 4 + 4. Los dedos de las manos, 5 + 5. Dos <packs>> de cerveza.Dos medias docenas de huevos, 6 + 6. Los días de dos semanas.7 + 7. Ejemplos para 8 + 8 y para 9 * 9 son más dificiles de encontrar. ¿Cuántas ruedas traseras tiene un camión <Trailer>? Pruebe el lector a ejercitar su ingenio. El dominio de los dobles llega a alcanzarse con tanta seguridad que genera una estrategiade cálculo, doblar, que prácticamentees una operación por sí misma, con sus propios algoritmos y estrategias.Muchas personas recurren a doblar cada vez que tienen que multiplicar por dos. E-38: Yendo en el autobús tuve ocasión de oír la siguienteconversación ¿Entonces,tú llevas en la empresa el doble de años que yo?

si.

Pues, yo recuerdo que en una ocasión me dijistes que llevabasel triple. Si Eso fr¡c h¿rccdos años. ¿Cuántos:rños llcva cada uno en la empresa'l

E-39: Dame una manzanay tendréel doble que tú. Eso seríainjusto.Es preferibleque tú me desa mí una manzana,y entoncestendremoslas mismas.

6. Los doblesmás uno (D+): Son los vecinosdel piso de arriba de los dobles(5 + 6). Para resolverlosbasta con aumentaruna unidad a estos últimos(s+ 6:5 * 5 + 1). Aunque esta estrategiahace pensaren otra paralela,los doblesmenos uno, estono es así:5 + 6, no es resueltonuncacomo 6 + 6 - 1. 7. El númeromisterioso(NM): Es el nombre de una estrategiapoco frecuente,pero no por ello menosútil. Cuando se estáante una parejade númeroscasi vecinos,númerosentre los cuáleshay otro número escondido, 7 + 9 o 6 + 8, entoncesesposibleresolverla situaciónhallando el doble del númeromisterioso,8enT * 9o7en6 * 8. 8. Los nueues(N): Sumarnuevees como sumardiez menosuno. Como sumardiezesincorporarun 1 a la izquierdadel númerodado,sumarnueve es como poner y quitar un uno adecuadamente. l) l(7 - 1)(quitando1).Total 16 9 + 7 : (incorporando

Y------f

t------Y

9. La familia del diez (FD): Aproximarsea las sumasbásicaspor familias es un enfoquedigno de teneren cuenta.Se trata de organizarlos datos por parejasque sumen lo mismo. La mano extendidaes un magnífico soportepara la familia del cinco. Las regletasCuisenairecon su colorido ayudan a descubrirtodas las parejasposiblesde una cierta familia.Ahora bien,entre todaslas familiashay una que hay que dominar a la perfección,es la más importante, la familia de sumandosdel diez.Aparecetantas vecesen el cálculo de columnasdebido al criterio de agrupamientodecimal,que no hay que despreciarninguna ayuda que facilite la retención. Por ejemplo ilustracionescomo el triángulo de dieceso contruccionescomo el rectángulo de resletas:

9 8

1 2

6 7 8 9 t

Figura 3.1

El patrón numérico que muestran las dos figuras anteriores le sirvió a Gauss para establecerla suma de los 100 primeros números: Como dice la historia despuésde proponer el problema, el profesor caminó por su escuela europea del siglo xvttt, de una sola sala, obseruandoel garrapateo de los estudiantes al trabajar. Pronto, sin embargo, notó que un estudiante de l0 años de edad, Karl Gauss, estaba simplemente sentado. A punto de reprender al muchacho, el profesor se dio cuenta de que el jouen Gaussya habia encontrado coruectamenteque la suma era 5050.

(Wnneren, 1982,pág. 45.)

- l) +n

No obstante,todaslas estrategias que llevamosvistas,quedanpor cubrir lassiguientescombinaciones:7 + 4,8 + 4y 8 + 5.¿Cómolasresuelve usted? 10. Buscqndoel diez (BD): A veces,cabe la posibilidad de recurrir a la descomposición de uno de los sumandosde tal maneraque sepuedacompletar el otro a diez: 7+4:(7+3)+r 8+4:(8+2)+2 8+5:(8+2)+3

Estaes una estrategiatrascendental parael posteriordespegue de uno de los más habitualesmétodosde cálculorápido,el redondeo: t6 + t7 : (16+ 4) + (10+ 3) : 20 + t3 11. Patrones:A veceslos resultadoscon ciertosnúmeros,organizados adecuadamente, adoptan aspectoschocanteso curiosos,otras vecessiguen reglaso patrones,algunosresultan sumamentefácilesde recordar:

. Las tablillas de Lucas Eouenoo Lucls (s. xtx), coftocldopor ru obra Matemáticasrecreatiuas, inventó unas tablasp¿rr¿r srrnt¡rrnúmoro; parese imparesgraciasa ciertos patronesque sedan cn clk¡s,l,¡t t¡rblill¡m.como asi seconocen,son especialmenteútilespara el cirlcukrnrclrtrrl: (4) 1l)'+0

8+6:14:6+8 18+6:24:16+8 28+6:34:26+8 38+6:44:36+8 48+6:54:46+8

; 2 ó -.tt +(8) I

(ó) Tabla para los números pares

Siguiendola direcciónde la flecha(izquierdaa derecha)se obtienenlos númerosde dos en dos.Así: 0, 2, 4, 68. 10, 12, 14, 16, 18 (Serepitencon un uno delante) (Serepiten con un dos delante) 20, ,

E-40: El patrón anterior permite conocer sumas en sucesióncrecientede decenas.¿Cómoes la regla para la tabla completadel 8? (Sugerencia: 8 + 7: 15,8 + 8 :1 6 I

Si se empiezapor arriba, se obtienela lista de los númerosde cuatro en cuatro: E-41:

4, 24,

1 :1 l + l l :1 2 l + 1 1 + l l l :1 2 3

0 30

¿Ciertoo falso?¿Hastacuándo se cumple?¿Por qué? E-42t 61 -1 6 45'

51 -1 5 36'

41 -t4 n'

12, 32,

16, 36,

Si seempiezapor abajo se sumanseises,y si seempiezapor la derechase sumanochos:

1 + 1 1 + 1 1 1 + l l l l :1 2 3 4

81 7t - 18 -1 7 63' - 5 4 '

8, 28,

31 -13 18'

2L -12 09

¿Cuálesel patrón?¿Cuálsu campo de validez?¿Qué'¡elacióntienecon la tabla del nueve?

6 36

12 42

18 48

24 l 0 s 4140

8 48

16 56

24 g

32 72

Para los númerosimpares,dejaremosque seael lectorel que escribala lista de números.La tablilla es así: (4)

.t ( 2 ) - - + r- 3 - 5 7 -

9 e(8)

(6)

-T L o s e j e m p lo s m t¡ csl r i u l ( 'l p r .r ( r '.i r r r ¡ r cr r l l l : 4 '

Los siguientcscjcrr¡rkrs sc apoyan en diversas estrategias,descríbalasel lector y escriba todas las v¡rriuntcsque se le ocurran.

I I t4 t, (r.r

I l 'l l I l .l

/, l ,l )

| 14.28)+28

Resultadivertido prcg,unlrrsctlui: scri rnultiplicar por 5 o por 6: 843:

¿Doblar y añadir r:l tloblc'/ ¿Añadir el doble dcl d<¡blc'l ¿Añadir el doble y doblar'l

Compruebe su respuestacon los ejemplos que siguen: 6 x 7 : (7 + t4,21) + 2l 5x7: 7+( 14+14)

3.2.2. La tabla de multiplicar Hay un etapa en la instrucción del cálculo multiplicativo, en que sin conocer totalmente la tabla es posible hallar los próductos si a uno se le da oportunidad para ello y si ha alcanzado un buen dominio de la adición. Algunas de las estrategiasque se desarrollan en esta fase se adhieren con tanta fuerza. que incluso después,cuando ya se ha memorizado la tabla se sigue conñando en ellas. Esto es así hasta el punto de que Ia respuesra memorizada de algunos valores de la tabla va a ir siempre acompañada de cierto titubeo, de cierta inseguridad. 1. conmutar: Aun sabiendo cuánto es 8 x 7, muchas personasprefieren conmutar mentalmente, 7 x 8, antes de contestar. Es como si se hubieran negado a memorizar el valor de 8 x 7.

3. Añadir un cero: La multiplicación por 10 es tan fácil (10 x 6 : 60) que se retiene inmediatamente. La mayoría de las vecescomo un truco, sin saber por qué ocurre. Tanto es así, que mucha gente se sorprende de que baste con añadir un cero y son incapacesde explicar por qué es asi. FnsuDENTHAL(1983, pág. 123) señala que hay que tener en cuenta, primero la conmutatividad: 10 doses son 2 dieces,10 tresesson 3 dieces,... y despuésel hecho de que en nuestro sistemade numeración decimal se promociona de 2 unos a 2 dieces,de 3 unos a 3 dieces,etc., simplemente añadiendo un cero a la derecha. 4. Cero y mitad: Cuando se ha trabajado el doble y mitad, resulta cómodo multiplicar por 5, multiplicando primero por 10 y hallando después la mitad del resultado: 5 x 6, (10 x 6) 60, (6012)30. Hay que hacer notar que en el caso de los números impares hay un pelín de dificultad: 5 x 7, 70, 35. 5. Descomposiciones: Uno más: Una estrategia frecuente,en particular para el 6 y para el 3, consiste en incrementar un producto próximo más familiar: 6 x 8, ( 5 + l) x 8, 40 + 8 3x8, ( 2+l) x8, 16+8

o o o

ol@ o o

ololo o o olo o

Uno menos: Como en cl caso anterior, pero disminuyendo un producto próximo. Es una estrategiaprácticamentereservadaal 9: e

t l. ( 10- l) x8. 80- 8

Particiones:Efcctuarla particiónde los factoreses una manerade resolver la situaciónacudiendoa factoresmás pequeños: 8x 7

y4 4veces4y4veces4

4x4

3veces4y3veces4

3x4

Explicitetodr¡skrspatf+rn¡r¡ en la tabladel 91: oh¡erveble¡ * --r | .r I .r 5 (r 7 It 9

v J

Con esta estrategia se prevee de paso la eliminación del misterio de la técnica de multiplicar números de varias cifras. Nótese la analogía:

2veces40+

2veces3+

8 0+ 6

1 x3 :0 3 2 x3 :0 6 3 x3 :0 9 4 x3 :1 2 5 x 3 : 15 6 x3 :1 8

+ 10

10 veces40 + l0 veces3

400 * 30 +

430

1 2 3 4

x x x x

9:0 9 9: 18 9:2 7 9 :36 5x9:4 5 6 x 9 :54 'l x 9 :63 8 x9 :72 9 x9 :81 10 x 9 :90

L+

Uno menos

Suman nueve o múltiplo de nueve

(10) (ll) (12) (t3) (14) (15) (16) (17) (18)

¿\

1 1 x3 :3 3 1 2 x3 :3 6 1 3 x3 :3 9 1 4 x3 :4 2 1 5 x3 :4 5 1 6 x3 :4 8 l '7 x3 :5 1 1 8 x3 :5 4 1 9 x3 :5 7 2 0 x3 :6 0

Compruebe con la calculadora los siguientes patrones y complételos hasta que pueda decir algo sobre su campo de validez:

99:llx9 x 9 108:12 ll7:13x9 126:14x9 13 5:15 x 9 144:16x9 153:17x9 | 62: 18 x 9 17l:19x9 180:20x9 1l L Dos menos

A la vista de la tabla anterior,y sin efectuarel cálbulo,diga el lector cuánto es 27 x 9. Compruebey átrévasea enunciaruna regla para multiplicar9 por númerosde dos cifras.

09t l tl 2 273 ló4 455 54ó '. ó37 . 728 - lll9 : .-

¿Coinciden los suyos con éstos?: Las decenas cambian cada tres. Cada diez se repite la pauta de unidades. 12 y 2l que son simétricos distan 3 productos, 24 y 42, distan 6, 15 y 51, 12,27 y 72, 15 . . . ¿Algo más?

Crece I Dec.ece

I D..r"..

8 x3 :2 4 9 x3 :2 7 1 0 x3 :3 0

6. Patrones: Sin necesidad de efectuar ningún cálculo, simplemente reteniendo efectos llamativos o chocantes se puede saber cuánto valen ciertos productos: Crece

r)l 9l r)t et (ll 91 el el 9l

Explicite los patrones observablesen la tabla de1 3:

43 x12

43x 12

¡ ¡ ¡ ' x x x x x

0 x9 +1 :l 1 x9 +2 :l l 12 x 9 + 3 : lll 12 3 x9 +4 :1 1 1 1 1 23 4 x9 +5 :1 1 1 1 1

0 x9 * 1 x9 + 1 l x9 + 1 1 1 x9 + 1 1 1 1 x9 +

1 x8 +1 :9 1 2 x8 +2 :9 8 1 2 3 x8 +3 :9 8 7 1 2 3 4 x8 +4 :9 8 7 6

9 x9 +7 9 8 x9 +6 9 8 7 x9 +5 9 8 7 6 x9 +4

-1

: 10 : 100 : 1000 = 10000 :8 8 : 888 : 8888 : 88888

3 2 :9 :3 3 'z:1 0 8 9 333'z: 110889 65652-- 56562 = 33332: 11108889 : 3333332: 1111088889 656565,- 565(1562 652-562

Si los trcscstienenun patrón, tambiénlo tendránlos nueves.¿Y ...? Busquc,c()nlpuroy si encuentraalgunarelaciónentreellos,dígalo. 12 -

ll2 : lll2 : : ilil,

l2 l 12321 1234321

b) Para multiplic¿tl pot' tl 6 x 9, sehall¿rl¡r rtrit¡rrl rl¡.nurrv(,,4,1, nc lc quitala coma,45y sele suma9. 54 6 x 8, 4,0,40, 40 | 8, 4lt 6 x '1 , 3 ,5 ,3 53, 5 | 7 . 4 l

9' z : 8 1 992 : 9801 999'z: 998001 99992:99980001 c)

Expliqueo justifiqueel siguientepatrón:

Para multiplicar por 4 4 x 9, como en el caso¿urlcriorpcro rcstando:4,5, 45,45 - 9,36 4 x 8 , 4 ,0 ,4 0 ,4 0- tl . 3 2 4 x 7 , 3 ,5 ,3 5 - 7 ,2 8

lXLzz oe6,'atr

666x 667:444222

Sugerencia: 66 : 2 x 3 x 11 y 3 x 67 : 201,2 x ll : 22

Í)

15 x 9, añadir un cero,90, y sumarla mitad de lo que resulta, 90 + 45, 13515 x 8,80, 80 + ,f0,120 1 5 x 7 , 7 0 ,7 0 + 3 5 ,1 0 5

¿Esposible ir más allá con el siguientepatrón, por ejemplo para tres cifras? 3 x1 :3x 37: l1l 3 x2 = 6x 37: 222 3 x3 :9x 37: 333 3 x4 :12x 37: 444 3x5:1 5x 37: 555 3x6:1 8x 37: 666 3 x7 :21x 37: 777 3 x8 :24x 37: 888 3 x9 :27x 37: 999

33x 3 3 6 7 : 1 1 1 . 1 1 1 66x 3 3 6 7 : 2 2 2 . 2 2 2 99x 3 3 6 7 : 3 3 3 . 3 3 3 132x 3 3 6 7 : 4 4 4 . 4 4 4 165x 3 3 6 7 : 5 5 5 . 5 5 5 798 x 3367:666.666 231 x 3 3 6 7 : 7 7 7 . 7 7 7 2ilx 3 3 6 7 : 8 8 8 . 8 8 8 297x 3 3 6 7 : 9 9 9 . 9 9 9

No ta:3 36 7:3 7x 91

Para multiplicar por 15

Para multiplicar por 11 11 x 9, se añadeun cero,90 y se suma9, 99 5 4 x l l =54 0 +5 4 :5 9 4

Para multiplicar por 99: Para multiplicar por 99, se añadendos cerosy se restael multiplicando.

Enuncia la regla para multiplicar por 998.

E-50: También la multiplicación tiene su tablilla, aunque no se parece gran E-48: ¿Cuálesel númerode una cifra que menoste gusta?¿El6?Entonces, lo vas a multiplicar por 12345679, y lo que te dé lo multiplicaspor 9. ¿Quéte da? 123456't9 x6 abcdefghy x9

6666666666¿Puedesexplicar por qué? ¿Ocurrecon otfos números?

cosa a las de Lucas (pág. ???):

2 f- - @ f- s - - b'- - Y- @ e ro

tt @, 13 14 t5 t6 r7 18 19 20 2r z4 zt 24 25 26 27 28 2s 30 31¡ A3334353637383940 4r @'$4445464i4849s0 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

E-49: Explica los siguientestrucos: a)

Para multiplicar por 5: 9 x 5, se halla la mitad de 9, 4,5 y se quita Ia coma,45 8 x 5 ,4,0 ,40 7 x 5 , 3,5 ,35

Para multiplicar dos números,como por ejemplo3 x 14.Secuenta de cuatro en cuatro tres veces(4,8, l2), a partir del 4. A continuaciónse desciendetres pasosen la columna del 12. Explique el lector lo que ocurre, y averigue para qué números funciona y cómo.

Todos est()s trucos tienen un sitio en la escuela,haciendo que el niño juege con ellos, quc in(cnte descubrir algunos o que busque explicacionesse consigue que cl c¿ilculo deje de ser rutinario, se fomenta la utilización de estrategiasy en cualquier caso se consigue,por lo menos, que adopte una actitud más participativa de lo que viene siendo habitual.

3.3. LA MULTIPLICACION

CON LOS DEDOS

Hay una etapa intermedia en el aprendizaje de la adición en que se acepta que el niño recurra a los dedos como ayuda para <dlevarla cuenta>. También es posible el recurso a los dedos en la multiplicación: . Cada dedo está asociado a un número.

. Sesumanlos result¿rrkr¡ ohlentrkrr: l0 + l0 + 10 + 10 + 10 -l 2 x 3 cstrrvleinlóclrlc¡r, muy popularen el renacimien¿Cuálesla razóndc c¡rrc to (GlnNnn,1984),no lo sc¡rclt llr ¿rt'turrlitlrrd'f No vale ocultarsecn cl tcrr¡orrr lrr tlcpcrrtlencia de los dedos,hay argumentosmáspoderosos conl{)¡rol cjclrr¡rlo, que kl artificiale incomprensible resulta,aunqueno másquc cuirlt¡rricr¡r tlc ltls algoritmosusuales en opinión de muchosde nuestrosescollrcs. Sepuededar la vueltaal argurrrcnlo y hnccrde él un problemamatemático:¿Enqué sebasa,en qué sefundanlcnta'l¿,(lómopudo alguiendescubrirla? ¿Adóndenos conduciráutilizar cstasprcguntascomo punto de partida para una verdaderaexploración'l Justiticación: Una mirada al procesomuestraque el producto seobtienea travésde los complementarios a diezde los factores,y seajustao completacon un cierto númerode decenas. ¿Cuántas? iJ : ab - (10 - a)(10- b) : roa+ l0ó - tm : 10((¿- 5) + (á - 5)) Luego o6 : (r0 _ a)(10_ b) + l((a _ 5) + (á _ 5))

Figura 3.2

. Para multiplicar dos de esosnúmerossejuntan los dedoscorrespondienteshastatocarse. ¡ Los dedosque se tocan y los que quedanpor arriba valen diez cada uno. . Los que quedanpor debajosemultiplican:los de una mano por los de otra. +

+10+10

La regla adquieresu significadodigital, si imaginamosuna mano de diez dedos: 7x8

7b : (r0 - 7X10- b) + 10(7- 5Xá- s)

Los 2 x l0 de l0 (7 - 5) se pueden obrener valorando a l0 los dedos que se tocan y los de arriba, que son dos. Los 3 de abajo que hay que multiplicar son los de (10 - 7).

Figura 3.4 3,

2x 3 Figura 3,3

Ahora bien, utilizar la regla de los dedospara multiplicar por diez es rizar el rizo. Es más fácil añadir un cero al multiplicando.¿Sepodrá modificar la reglapara que en lugar de asociara los dedoslos númerosentre6 y l0 asocielos númerosentre5 y 9?

<Se dobla el tcrccr rlarlo l,o¡ quc qucdan extendidos dan el producto. La cifra dc lus tlct'crr¡¡¡lr¡ rl¡r cl r¡írntcrode dedos a la izquierda del que se ha dobllrlo y ln r'ilil ¡le lur ¡¡nidudes,el número de dedos que queda a la dcrcch¡r.r¡ ¿Puedejustiliclr lrr lcglrr'l Sugerenciu.vcr los prtlrrtltcs cn l¡¡ tabla de multiplicar.

Es lógico pcnsar que si, ya que la justificación algebraicamuestra del valor de a y á. Por ejemplo, que la regla es válida independientemente 7x6. l0+10+10 l0+10*3x4

3.4. CALCULO PENSADO 3.4.1. Cálculo pensadoaditivo Figura35 <<Los de arriba valen diez,y los que se tocan y los que quedanpor debajo de éstosse multiplican entre sí>. Y tambiéndebefuncionarcon númerosmayores.En efecto: 16 x l7:7

x 6 + 10(16 + 17 - 10)

Reiterando: 16 x L7:3 x 4 + 10(6+ 7 - 10)+ lq16 + 17- 10): 3 x 4 + 10 x 2(6+ 7) No es posible disfrutar ahora de una bonita expresióndigital, pero al menoses un buen algoritmo para cálculomental.

No tienesentidoque el niño aprendalas combinaciones aditivasbásicas, si no aprendea arreglarlos númerospara poder recurrir a ellas.Dicho de que le otra manera,el niño debeaprenderun bagajede métodosy estrategias permitan operar, reduciendola manipulaciónde simbolosa aquellosmás conocidoso más fáciles.Naturalmente,la clavede todo esteprocesoestará en la idea de valor de posicióny la expresiónmultiplicativadel número. Los métodosy estrategias de cálculomental aditivo no son tan ricos y variadoscomo los multiplicativos,que es el cálculomental por excelencia. La mayoría de ellos consistenen la descomposición de los sumandos,la alteraciónde su orden de colocacióno la búsquedadel redondeo(trabajar con númerosque arrastrenceros). l.

Recolocación

Estudiar la regla para 26 x 27 y similares.Y después,... Despuésse puedellegar hasta donde se quiera: a x b:

(100- a) x (100- b) + 100((a - s0) x (á - 50))

Para hallar la tabla del nuevecon los dedos,se extiendenlas dos manos,se asignanordenadamentelos númerosdel I al l0 a cada dedo y se procedecomo sigue: 3x9

47 + 86 + 53 + 14 : (47 + 53) + (86 + 14) Se trata de recolocarmentalmentelos númerosagrupándolossegúnlas familiasde sumandosde la unidad seguidade ceros. 2. Descomposicién 77 + t4B: 70 + 7 + 130+ t8 : (70+ 130)+ (18+ 2) + s 243- 75: 100+ (100- 751+ 43: 100+ 25 + 43 El casogeneralconsisteen descomponer uno de los términospara transformar la operaciónen otra equivalentemás cómoda. 3. Redondeo Setrata de alterarlos dos términosde la operaciónbuscandoel redondeo la compensación: a ceros,al menosde uno de ellos.En la suma,es flrecuente

Figura 3'6 r.:\

\rJ.

0lSTR|.TAL ivEtslDAD 8s Di IALDAS .iiISiOJOSE Dt iJlBt.iOTEC¡IS JlSTÉiúÁ

añadir a un sumandolo que sele quita a otro. En la resta,la conservación: añadiro quitar a iguitlcs. a)

Eliminación: 62 -

Compensat'i(tn 57 + 38 : (57 + 3) + (38 - 3) : 60 + 35 57 + 38 : (51 - 2) + (38 + 2) : 55 + 40

b) Conseruación . Añadiendo (Redondeo por arriba) 547 -

Esta estrategiaha dc tcncrsc en cucnt¡r para rebatir la afirmación de que sólo es posible sum¿rrunid¡rtlcsc<ln unidades,decenascon decenas,etc. En el ejemplo expandido (a) sc vc quc lo que se suma es un número con las centenas del otro y luego con sus decenas,y luego con sus unidades.

r89 : (s47 + I + 10) - (189 + I + 10) : 558 - 200

E-52: Describela estrategiaseguidaen los ejemplossiguientes:

Obsérveseel paralelismo con el método seguido en el algoritmo estándar:

47 -29

4 +

lo+2

1007 328 o Quitando (Redondeo por abajo)

2s2- 59 : (200+ s2)- (s2 + 7),: 200+ (s2 - s2)- 7 4. Conteo Cuandosetieneuna ciertadestreza,resultacómodotrabajarde izquierda a derechamanejandocientos,diecesy unidades: a)

l ) 37 1+ 634: 1000+l+4. - 200),4r5, -f4,(4rs - 30),385, 2) 6rs - 234:(615 -4,38r. 3\ 73 - 2't:53 - 7,56 - 10,46

10+7 9

Llama la atenciónel hechode que aunquede las dos manerasseañadela misma cantidad,en un casoes para buscarceroslo que contrastafuertementecon lo temidosque son en el otro caso,el del algoritmo usual:

Ascendente c283 1- 435:(283+ 400),683+ 30,713 + 5,718 (Expandido). .283 -r 435:(2+ 4),6,683+ 35,(68 + 3),71,713+ 5,718 (Breue). . 82 - 74: De 74 a 80,6 y 2 más,8 (Global).

b) Descendente

27: A 6l le t¡rrito 20, 42, y le quito 7, 35.

3.4.2. Cálculo pensadomultiplicativo La multiplicación es por excelenciala operacióndel cálculo mental.Aquí es donde los famososprofesionalesdel cálculo mental ultrarrápido, Aitken, Colburn, etc., hacíangala de sus mejoresrecursos. En lo que siguedestacaremos tres grandesmétodosy variasestrategias para cadauno de ellos.Como referencianos hemosapoyadoen la clasifrcación establecidapor Horr (1987 y 1985),y en nuestrapropia impresión acercade los movimientosfundamentales de cadaestrategia. Las denominacionesvienensugeridaspor estosmovimientos.

Como con lápiz y papel 25 x 48: <5 x 8es40,llevo4,5 x 4,20y4,24y elcero240,2 x 8,16 llevouna,2 x 4,8 y 1,9, y el 6,96.Séque96 seponedebajode 240 pero corrido un espacio,en total 1200.)

Distancia: 62 - 27: De 62 a 60,2, de 60 a 30, 30,de 3Oa 27, 3. Total,2 + 30 + 3, 35. 86

Se trata de manipular mentalmentelos símboloscomo en la forma escrita.En la estrategiageneralse actúadígito a dígito y seefectúala suma final imaginando la disposiciónque tendría con lipiz y papel. 87

En el casodc quc un factor seade una cifra, el orden de actuaciónse invierte:

Distribución

Se trata de transfonnirr r¡no o trrrirlirelrlrcscn sumaso diferenciascon el fin de aplicar la propicclirrltlislribrrtivrr.l,¿rcstrategiageneral se limita a descomponerel númcro c¡t sr¡ fir¡'nrirrrrultiplicativao polinómica:

8 x 42ll: <(8 x 4) es 32, (8 x 2) es 16,336,(8 x 1) es 8, 3368,(8 x 1) es 8, 33688> Quizáseaporquesesiguemásde cercael ordenposicionaldel número,y porque se libera más memoria de corto plazo al actualizary almacenarlos datos a medidaque se incorporanlos cálculosparciales.El secretoestáen que sólo se conservael último dato obtenido. Variantes: a) Repeticiónde grupo.25 x 48: <5,x 8es40,llevo4,5 x 4,20y4,24,y elcero 240y2 x 48 (doblahdo),96. Sé que 96 se corre un espacio..., etc.> <<48x 25,8 x 25,200y 4 x 25, 100,peroesteúltimo secorreun espacio.Total 1200.> b) Partición: <5 x 48,(1012)x 48,240y 2 x 48 que es96,esteúltimo secorre un espacio.Total (24 + 96 y se añadeel cero).> c) Arrastre.S x 999: <Séque 8 x 9 es 72,después7?yT2endiagonal,total 2 y a su izquierda(7 + 2),9, 92 y a su izquierda(7 + 2), 9, y por último 7. Total7992.>

8 x 4211: <(8 x 4Mil), 32Mil. (tl x 2('icntos),Mil 6Cientos,total 33Mil 6Cientos,(8 x l0), 80, total 33Mil 6Cientos80, (8 x 1), 8, total 33688.)) Otras estrategiassiguenel criterio de buscarequivalentesnuméricosa partir de sumas,diferencias, expresiones cuadráticaso binarias,que impliquen cálculosespecialmente sencillos. a) Aditiuas.25x 48: <<25x (40 + 8), 25 x 40 que es 1.000más 25 x 8 que es 200. Total 1.200> x 48: b) Sustractiuas.25 <<25x (50 - 2),25 x 50,1.250menos25 x 2, 50. Total 1.200> c) Cuadráticas: Se trata de apoyarseen algunade las siguientesformascuadrátlcas: ( a +b ) 2 :a 2 * 2 a b +b 2 ( a - b ) t:a 2 - 2 a b +b 2

Esta es una estrategiamuy rápida y de poco costeen memoria. Aplicablecuando se está ante productosparcialesque se repiten. Sólohay que imaginarla disposiciónen que quedaríansi seescribiese el cálculo sobre un papel. Ejercíteseel lector resolviendoel siguienteejemplo: l x l :l tl x l l :l 2 l 1 1 1 x ' 1 1 1 : ... 1 1 1 1x 1 1 1 1 : ... 1 1 1 1 1x 1 1 1 1 1 : ...

( a +b ) ( a - b ) :a 2 - b 2 4 9 x 5 1 : ( 5 0 +1 ) ( 5 0 -

1 ) ,q u e e s 5 0 2 -

Total 2.499

E-53: Explicala estrategiaseguidaen el siguienteejemplo: 98ó x 997: (986- 3) x 1000+ 3 x 14 : 983000+ 42

Esta estratcgiacs cxtremadamente sencillacuando se trata de calcular cuadrados: 432 : (43 - 3) x (43 + 3) + 32 : 46 x 40 + 32 y alcanzael grado de magnílicacuando se trata de hallar el cuadradode un númerode dos cifrasacabadoen cinco: <Multiplicar la cifra de las decenaspor sí misma aumentadaen una unidad y añadir a la derechadel resultado25.> 852es 8 x (8 + l),72 y añadiendo25 se tiene7.225 E-l:

Explicar la regla anterior. (Sugerencia:(10a + 5) x (10a + 5))

d) Agrupamientobinario. 15 x 52: <15 x 50, 2 cincuentasson 100,4 cincuentas200, 8,.400,16, 800, como son 15,son 800 menos50,750y 15 x 2,que es 30 más 750, son en total 780.>

a) Doble y mitad. 2.5 x {fl; por <Séque es ig,tutl¡t l0 i !4 y rrltrtrrtcabenvariasestrategias ejemplo:100 x 12.2(Xl x 0. 4(X)x 3. Total 1.200.> á) Partesalícuotas. 25 x 48: (25 x 4) x @8lal,que es 100 x 12. Total 1.200> Es una extensiónde la estrategiaanterior;esútil en aquelloscasosen que se trabaja con númerocomo 25, 50, 125,etc. Por último, cabedestacarque con la ejercitación,con la práctica,acaban memorizándose algunosresultadosmás o menosfrecuentes o curiosos.Es el caso de ciertas potenciaso ciertos númerosmágicos.En estos casosla característica fundamentaldel cálculo mental es que no hay que calcular. Si conocela progresiónde potenciasde 5: <<25, 125,625,3.125,. . . .>> Entonces: 25 x 125:3.125, ya que 3.125: 5s : 52 x 53 : 25 x 125

Variantes: 25x48 (20 + 5) x 48, 20 x 48 que es 960 (Aditiva, repeticiónde grupo y arrastre de ceros)y 5 x 48, (l0l2) x 48 (partición), 240. Total 1.200.>

Si se sabeque 143 :

l00ll7. Entonces:

777 x 143: 777x (l00ll7),queesllllll A vecesse prefiererecurrir a una especiede equilibrio:

3. Factorización

Paracalcular25 x 48 es mejor calcular24 x So,queesmásfácil y vale lo mismo.

se trata de sustituir uno o más de los factorespor un equivalentenumérico en forma de seriede productoso cocientes.La estrategiageneralconsiste en la descomposiciónfactorial y la posterior aplicaciónde las propiedades asociativay conmutativa de la multiplicación respectode la suma.

x 50,ya24 x 50 Enefecto,a25 x 48lefaltan2vecesparatener25 le faltan una vez 50 para tener 25 x 50.

25 x 48:

3.5. EXPLORANDO EN ARITMETICA

<5 x 5 x 48, es tambien 5 x 5 x 6 x 8, (5 x 8)(5 x 6), ztOx 30. Total 1.200.>

La maravillosareglade cálculomentalcuadráticopara hallarlos cuadrados de númerosde dos dígitosacabadosen cinco,admite una transcripción 9l

escritaque pcrmilc i¡ctuar por columnascomo en el algoritmo de la adición: 85 x 85

8+1: -

Aunquesepodríahahcrirrlelrlntlo (80 + 4) (80 + 6) : ...y ctrnndtmeros: después, si lo que se qr.ricrr. cBlull demonlrnción bastacon poneruna letra dondehay un número. Paraextenderla rcgll l silrr¡rciorrcn rncn()s rcstrictivas esbuenoproceder sistemáticamente, modificurrdokrs drrlos plso a paso (GnrnNwooo, 1977).

7.225

1. La clfrade las unidadcsno sunr¿rn dicz: Seríabueno que esta regla fuera aplicablea otras parejasde números: 84 x 86

Caso

8+1=

33x38

83 x87

Diferencia con 33 x 37

7.224 (Compruebecon calculadora)

R e su l ta d o calculadora

Resultado regla

1.254

1.224

30: 1x30

Diferencia resultados

33x39

1.287

r.22'l

60: 2x30

34x39

1.326

1.236

90: 3x30

8+1: x 72121 +

7.221 (Compruebecon calculadora)

Lancela conjetura. 2. La clfra de las decenasno son iguales:

82 x88

8+1:

91 , x 8l 8 721t6 +

7.216 (Compruebe con calculadora)

Para desconcertara mis alumnos y provocar la exploración,solicito un número de dos digitos a la audiencia,el otro, naturalmentelo pongo yo. Despuéslesmuestromi habilidady dejo caerel truco.Su trabajoconsisteen determinarel campo de validezy ver si es posibleextenderla reglaaunque haya que modificar las condicionesde partida: ¿Seatrevealanzar una conjetura?Haga algunosensayoscon su calculadora para asegurarse. <La regla es válida para númerosde dos dígitos con las cifras de las decenasigualesy tales que las cifras de las unidadessumendiez.D JustiJicación: Aunqueno es necesariocabela posibilidadde recurrir al algebra: (l}a + b) x (l\a + c) : 100a2+ !\ab + l\ac l bc: lCf],a2+ + 10a( á+ c ) + b c :7 C [,a 2 * 1 0 0 a* b c : l @ a(a + 1)) + ác b + c :1 0

Caso

Diferencia con 33 x 37

43x37

53x37

43x37

Resultado calculadora

Resultado regla

Diferencia resultados

Completela tabla y haga la conjetura. 3. Ni las cifras de las decenasson iguales,ni las cifras de las unidades sumandiez.¿Quépuededecir sobreello? Cuandola técnicase domina se puedeadaptaral cálculomentalde un amplio surtido de números(Moonn, 1986,Gónrnzy Jarrr,re, 1983). Tambiénse puedeactuarasí: JJ

x 38

412+l

llr ' 12116

1. 216+38

ó J x5 7+5 30 2t

53 x 62

8 2xtló

3.02r+ 5x53(265):3.286

8 2 x 8 8 - 8 2 x 2 :7.216 + 164

4,9 x 6,1 : 4,9 x 4,1 t 4,9 x 2 En particularcon decimales: Y con númerosde más cifras: . Las unidadessumandiez

7 s7 x 753

r lr l ,1,

76 17

x 7513

x 7 | 5 l1s 13

s . 6 2 s+l 7 s 1 2 1

. Suman100

73 8 x7 6 2

Cualquieraque hayir plrrrrlenrln elr ¡tr cln¡ecrrtctipo de ejerciciosse habrá percatadoque al principio cl ¿llrrrruro lro vc nudn y no sabe tampoco que es lo que tiene que miritr. ¡rt'ro cn crr¿ullocnlpicz¿ta percibir las primeras curiosidades,su trabajo se vuclvc liclr(.lit,oc imparable. E l al umno p uede c( ) nslr uil sr r ¡ r r o¡ r ilrt ir hl¡ rc iniciar la búsquedaen cualquierdirección.El t¡rnl¡rñocs ¡r tliscl'ccii)r¡ ilr¡nquedependede los efectos que se quieran estudiar. Conviene resaltar con coltlrcs o rccrr¡rrlr<ls los descubrimientos.de esa manera se deja constancia do krs nlislllos y sc constituye un registro de conocimientosfácilmentedisporriblcssin ncccsidadde ser memorizados. l. En el caso de las tablas de sumar y multiplicar un primer efectoque hay que poner en evidencia es que las opcraciones inversas están implícitas. Sobre la tabla, los extremos son los sumandos o factores,y los números que aparecen en las casillas interiores, las sumas o productos. Por lo tanto, para hallar la resta y el cociente sólo hay que buscar el extremo correspondiente conocidos los otros datos, es decir el sumando perdido o el factor perdido.

8138 ,tlaz 56 160 -

r23456789 12) x (50 + 12) :

502 -

122 : ...

2 J

. Con cuatro cifras, con cinco ...: 1.075 x 1.025

15.120 x 1 5 .880

16 lr20 x 151880

3.6. LAS TABLAS DE DOBLE ENTRADA Los humanosno solemosprestaratencióna multitud de cosasque nos son familiares.Es conocidala anécdotadel marido contestandoa la esposa que al regresarde la peluquería,le pregunta:¿Me encuentrasdiferente, cariño?¡Quefalda tan bonita te has comprado!Contestóé1. El almacenamiento de datos numéricosen contactounos con otros no sueledespertarningún entusiasmoen nuestrosalumnoshastaque comienzan a descubrirsu magia. Las tablas de doble entrada dan pie a una o patronesdignos recurrencias exploraciónen buscade efectosobservables, a ver cuandosemira de serresaltadosy que,cuandomenos,.acostumbrarán a los que están habituadosa mirar y no ver; algo que requierecierto adiestramiento. 94

4 5 6 7 8 9

23 34 45 56 67 78 89 910 10 tl

456 567 67 8 7 89 8 910 91011 1 0 1 1 t2 l 1 t2 t3 t 2 t3 t4

123456789 789 8 910 91011 t0 1 1 1 2 tl 1 2 1 3 t2 t3 t4

l0 l1 12 13 t4 15 t3 14 rs 1 6 t4 1 5 t6 t7 t5 t6 r 7 1 8

I 2 J

4 5 6 7 8 9

12345 2 4 6 810 3 6 91215 4 8121620 510152025 612182430 714212835 816243240 9r8273645

67 t 2 14 r8 21 24 28 30 35 36 42 42 49 48 56 54 63

8 t6 24 32 40 48 56 64 72

9 t8 27 36 45 54 63 72 8r

2. En la tabla de sumarsepuedecontinuarresaltandola diagonalprincipal (descendente de izquierdaa derecha).¿Quémuestra? . Los dobles. . La simetríade la tabla. ¿Quésignifrcatodo ello? 3. ¿Quéocurre con las diagonalesen general?¿Por qué? ¡ Los datos son todos pareso impares. . Las ascendentes de izquierdaa derechason constantes. . La secuenciade sumasde todos los númerosde cada una de ellases fácil de recordarsi se tieneen cuentala reglaque siguen. 95

4. En la figura sc ha señalado el cuadrado A. El cuadrado B es el siguiente, quc conticnc al cuadrado A; C es el siguiente cuadrado, y así suceslvamente: 0r 234567

t2345678 D 2- 3- 4- 5- 6- 7- E- 9

910

\ I J L I

o -5 -6 9 r-r-n I u -r1 r-, ¿ | *1 , + ¿ f -tb 'b tlt I J-,'-,t-tl

9 - 10- 1t - t 2- r 3- r 4

J -ro-,r-r

,b 1 1 ro rl t n 13 tz 13 1 4 tl, ,to 1 5 LZ

11 12 IJ

?--3-.+

t,-.?

t>l z-

do¡cendcntc de izquierdaa derecha? ¿Quéhay en la diagorrirl¡rlincr¡rrrl ¿Hay simetría? secr¡lrclurius'l ¿Quémuestranlas diagonitlcs en cero? ¿Quéfigura muestranlos prodrrctos¿rcabados qu€ por números empiczan ll rnisma cifra? ¿Los ¿Recortandoun cuadradoy rnultiplicandolos extremosen cruz resulta siemprelo mismo?¿Por quó? 0

0r-0-,0

0--¡

r-1,r t

\",t"[

¿¡J

15 1 6 t 7

0 o o 0

17 18

q. 7-,q

i,:+<'{ o i-;a<-ó'o 4,-5-\6 z g,-silb ll

B t.' -.-t l. xl 2',-'4 t0-''2 f.7i'3 6 9'--t'2 15 l8 H t 16 24 Í.. 7t,t D2o 5 '10- f5 20-25 30

G 14- 16--118 zt 'z+' h )t-rr-:* 35 q 45

o l¿'A'[ rf¿ib telor-.¡p s4 o 7 ,o!rr-,r,r 35 k-'-tt''lp-* o 8 l o" z q.'l ¿e k t* - '.It,, o

lt'j.ri:*

4s s4 63 iz'-.\t

Las sumasde los paresde númerosde cadadiagonalen los cuadradosde 2 por 2, son consecutivos ¿Porqué?¿Quépasacon los cuadradosde 3 por 3, 4 por 4, etc.? El cuadradoA tienetantospuntos-número como indicael punto-número del vérticeinferior derecha.¿Por qué?¿Quécuadroscumplenestaregla? El cuadrado G tiene las lilas igual que las columnasdel J, ¿esun caso excepcional?, ¿por qué? Este tipo de trabajo puedetener continuacióncon otro tipo de tablas, por ejemplo: . Tablas de dobles 911131517

1,-,+ tYl

¿'-'5

261014

4122028

8244056

88 lM

78 89

t 'c

a) Calcule el lector la suma de los datos que están en el perímetro de cadacuadrado;¿cómoes la sucesiónde númerosobtenida? b) Divídasecada una de las sumasanterioresentre el perímetrodel cuadrado A; ¿quésucesiónse obtiene ahora? c) Cuéntese el númerode datosque hay en el perímetrode cadacuadrado ¿cómose relacionancon los datosde la sucesiónanterior. d) Repitiendoel procesoa partir de otro cuadradode cuatro cifras ¿se obtendránnuevasregularidades? e) Tal vez tomando rombos en lugar de cuadradospasealgo similar. Anímese,rodeeel 8 con un círculo y comiencea dibujar rombo tras rombo en orden creciente. f) Hay otras posibilidades----€nmatemáticasno se acaba nunca-, búsquense regularidades sobrelas figurasque aparecendibujadasen la tabla; e incluso,si el lectorespeleón,puedeprobar con lasfigurasque sele ocurran. 01 A

. De dos en dos, de lrc,r (,, tt'.,,\,,,¡lttn't¡tté?

2- t3- t4-ts- ,6

5. En la tabla de multiplicur,¿,cérrro ven ls¡ lilasy columnas?

to. tltá! ro l l

13 ,lo 1s"(r6 ,1,

t2 13 t4 r3'- 16- rr-'l's

t20

t36

144 176 208 240

272

96 160 224 288 352 416 480

s44

80 tr2

192 320 448 5't6 7M

832 960 1088

-¿Cuál es cl primcr númeroque no estáen la primeracolumna?¿Y en la segunda'l... ¿,Quóclasede númerosson? -¿No pareccquc hay más paresque impares?¿Esestoposible? -¿Si un númeroacabaen cero en qué hla hay que buscarlo? -¿Se repetiráalgún númeroen la tabla completa?¿Estarán todos? - ¿Ala vistade la columnadel tres,sepuedeconstruirla del 15?¿Enqué otros casosocurreesto? - ¿Quése encuentraen la intersecciónde una fila y una columna? - ¿Adóndehay que buscarel producto de dos númerosde la primera fila? - Explicala frase:<El productode dos doblesde impar es un doble de impan. Extiéndela.

Las hlas correspondicrtlc¡e lo¡ t'uatlrAdo¡dcl diez y del sesentatienenlas dos últimas cifras igualcs,¿,('udrrrthr volys¡¡tr¡ ocurrir esto?¿Encuentrasalgo remarcableen las olrls cililr¡'l

l2l

144

ló9

le(r

:25

256

289

324

361

400

3721 3844 3969 40e6 4225 4.156 4489 4624 4761 4900 Terminadala exploraciílncn buscadc recurrencias, cabe hacerseotro tipo de preguntas: r ¿Quécuadradosestánescritoscon todassuscifrasdiferentes? o ¿Quéparejasde cuadradosprcsentanlas mismascifras,pero en orden raíces? inverso?¿Cómoson susrespectivas

. La tabla de cuadrados t4 t2t

91625

144 169

100

196

225

256

289

324 361 400

576

625

676

.29

.84

E-55: Complete:

900

96r 1024 1089 115ó 1225 1296 1 .69 | .44 | .21 1600

441 484

529

1681 1764 1849 1936 2025 2tr6

.4r

lo:E+!+O

22W 2304 2401 2500

2ffi1 2704 2809 29t6 3025 3136 3249 3364 3481 3600 3721 38M 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761 4900

Lo primero que salta a la vista esque en las columnasserepitenlas cifras de las unidades.También ocurrenalgunascosasmás,pero eso lo dejamos para el lector,aquí vamosa hjarnosen las filas: En la primera hla, las cifras de las unidadesforman un período simétrico: |

4 9

16 25 3/6 4/9 6t4 8t1

A continuación,a partir de 100, se inicia otro período para las dos últimas cifras de los cuadrados,busque el punto de inflexión y el otro extremodel período. Despuésvienenlas hlas de los cuadradoscorrespondientes a las decenas del cuarentay del cincuenta,¿quépautassiguen? t6l8l

17164 18149 1936 2025 2tr6 2209 2304 2401 2500

2610127104 281092916 302s 3136 3249 3364 3481 3600 98

E-5ó:

Completar con los signos o cifras que haga falta:

a) 56:( n x !) +fn b) c) d) e)

" n)

76:(4OrrtO(4O8) 6:6O(6O6)O6 66:(6OolCo)Oo s:sC(5C5)O5

f ) s5 :( so sl cs) o s E-57: 125 x 80 esigual a1.250 x 8. Sin efectuarel cálculo,señalaque otros productosvalentambiénlo mismo. 25x40;

1. 000x1

; 500x20

; 25x16

Sigabuscando

E-58: Para el jucgo dc factoressiguiente,es convenienteque los productos seanadccuados,es decir, que seaventajosorecurrir a é1. 75 x 24

25x3 4x6

Escribir varios ejemplosadecuados.

" " E-59: Una reacciónen- cadenaes un eierciciocomo este:

El-a-tr}-@-fl-@l

E{5:

Si el número 1.147('\lr' llillllllltrr por lu mitad, la suma de sus dos partes: 234 y 765 stttttrtttrJrJUlrudetno¡ comprobar con una calculadora que este númcto cs rltvl¡llrlc elllll t¡tl). i,$etrata de una coincidencia?

E-ó6: La mayoria dc lrr ¡¡ctrlclr'ettcttlnqtrc .165cs cl número de los dias que tiene el año. pcto t'tri¡ltlot¡rttbctt t¡tte cs la suma de tres cuadrados consecutivos.I I¡rllórrsc, consecutivos.¿Cuáles? También cs l¡t srt¡rtlttlt: tltts ct¡¡tdt'ittlos ¿Conocealgírrtotro ttittttcroitl t¡trc lc ocurra algo parecido?

\-{n-od

Escriba otras. E-ó0:

Sustituye por números para que sea verdad que TO C x TO C:

E-ól:

ENTRE

Haga el favor de completar las operaciones:

1 2 .. x .9 ,.,3 2

132 99 842:

J2 2 2 :3 +2 4 2 - 3 2 =4 +3 5 2 - 4 2 :5 +4 ¿Secumple siempre? ¿Por qué?

b) Continúe cada uno de estos patrones: 22-02:4 32-12:8 A2

Siga hasta el final según el esquema.¿Qué estrategia se emplea? ¿Cuándoconvienepararse?

12-11

32-02:9 42-12:15 52-22:21

5 2 - 1 2 :2 4 6 2 - 2 2 :3 2 7 2 - 3 2 :4 0 7 z- 2 2 :4 5 8 2 - 3 2 :5 5 9 2 - 4 2 :6 5

l-Ls 761jn -6'f T+o

¡n ll

E{3:

La respuestaa 482 - 153, aparecemisteriosamentedebajo de una suma.¿Cuáles el método empleado? 482 -153

---..-*

282 47 329

E{,4z Podemossepararlos dígitos1,2, 4,7 y 8 en dos gruposde tres o bien en tres grupos de dos, manteniendosu orden. Estos grupos pueden sumarse: 1 2 4 + 5 7 8 :7 0 2 t 1 2 + 4 5 + 78:135 Reordénense los mismosdígitos de modo que al separarlosen dos gruposde tres y en tres gruposde dos las sumasrespectivas sean999 v 99.

100

101

Los algoritmos

4.I.

LOS ALGORITMOS

Pocas veces se puede encontrar en matemáticas un término tan mal dehnido y sin embargo con tantas defrniciones. Parece como si cada vez que sé quiere explicar lo que es, cada cual hiciera de su capa un sayo y optara por cualquier argucia que le permitiera salir del paso:

. La etimologla: Algoritmo: Latinización del nombre del matemótico persa Al Khwarizmi, autor, allá por el año 830 d. de C., de un libro titulado en su aersión latina <Algoritmi de numero indorum> reelaborado como <Liber algorismi de practica arithmetica> por fuan de Seuilla en el siglo nI (REY PASroRv BABINI, 1984,pág. 159), considerado como la mayor contribución a la diuulgación en occidente de los métodos y numerales, guarismos (peruersión de Khwarizmi), del sistema numérico índico, llamado indo-arábigo. La corrupción del título de otro de sus libros <Hisab al-jabr w'al-muqabala> es el origen de ota palabra de uso coniente en la actualidad: Algebra (al-jabr).

.- El .i.conloquio: Con frecuencia las operaciones aritméticas elementales implican números de más de una cifra. Como no es posible memorizar lodos los resultados, se hace necesaria alguna forma de organizar las expresiones numéricas que con interuención de alguna técnica permita procesarlos. Organización y técnica, configuran un mecanismo que hemos dado en llamar algoritmo.

103

4.2. Los algoritmosd(, lAph y pe¡rc|

. El misterio: < Lu pulttltrtt ulgoritmo significa tanto procedimiento escrito de cálculo basado en tut. th'terminada escritura de signos, denfto de un sistema armónico que ejecuÍu uutt¡nittitamente una parte del trabajo mental que nos hace accesibles regionc.sque nucstra imaginación no podría jamas facilmente alcanzar, o por lo menos, cn que podría extrat)iarse.,

(Cor-nnus, E., 1959,páe.7)

o Los ejemplos: Un problema habitual, susceptible de repetirse con ciertafrecuencia, afalta de modificar algunos dafos, genera una respuesta algorítmica: ¿Qué hacer para cambiar la rueda delantera del coche? . Abrir el capó. . Sacar la llaue. . Sacar la rueda de recambio.

¿Qué haría si tuuiera que cambiar la rueda trasera? Por supuesto, lo mismo. ¿No?, pero en la rueda trasera.

o Lo cotidiano: Es un error creer que un algoritmo necesariamentedescribe una operación aritmética. Hoy en día, con el extendido desarrollo y uso de los ordenadores,la importancia de los algoritmos ua más alla del dominio de las propias matemáticas. Instrucciones para cómo manejar una lauadora, o como prepara un pastel pueden seruir, también, como ejemplos de algoritmos.>

(Prnnra NrsHnn, 1986,pirg.2)

. La ironía: Algoritmo: un procedimiento para realizar un problema, por lo común a base de repetir pasos enormemente aburridos a menos que un ordenador los realice por usted. Aplicamos algoritmos al multiplicar dos números grandes, al hacer las cuentas de la casa, al lauar los platos o cortar el césped.

(Menrn Ger>unR, 1984;pág.10)

104

r¡rrr'(.lulll(rnnros ir mcnudo para referirnosa los Esta es la denominlrurirrr clemental,las cuatro reglas. algoritmos usualesclc ciilculo rlc lrr cruicr\nnzrt No hay ambigüedad0n ll¡rnrirrlos¡tsi,yll quc probablementeson los únicos tlc nuestrasescuelas. algoritmos que se ensoiluncn lir nur-yr)tirr Técnicamente:<Un al¡¡oritnrocs unir scric finita de reglasa aplicar en un determinado orden a urt nirnlcro l'inilo tlc datos, para llegar con certeza(es on un número hnito de etapasa decir, sin indeterminaci(rnrri arnbigi.iccladcs) de los datos. cierto resultado,y esto indcpcnclicntclncntc Por lo tanto, un algoritmo no rcsuolvosolamenteun problema único sino toda una clase de problemas quo no diflcrcn más que por los datos, pero que están gobernados por las mismas prescripciones.>(BouvmR, A. y GEoRGn, M., 1984). Históricamente, los algoritmos en su origen fueron los que se elaboraron para resolver las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir, sin emplear elementos auxiliares como el ábaco o los dedos, y contando únicamente con los datos de las tablas correspondientespara cada una de las operaciones y unas pocas reglas. Dichas reglas de cálculo, que permiten extender las operacionescon dígitos a operacionesentre números de cualesquiera cifras, son los algoritmos de las operaciones. Nuestro aprendizaje de cada una de las operacionesestá tan ligado a su algoritmo que se suele confundir cada operación con el algoritmo usual que la resuelve.Por eso mismo, nos resulta a vecestan extraño comprobar que hay varias técnicas distintas para resolver una misma operación. También estos algoritmos que hoy día conocemos,que empleamos con tanta facilidad y que nos parecenla quinta esenciade cada operación, son un producto histórico. No siempre se ha calculado como hoy dia lo hacemos. Nuestros algoritmos actuales son producto de una tecnología específica:la del lápiz y el papel, o la de la tiza y la pizarra, que es similar. Cuando se calculaba sobre arena o ceniza los cálculos fueron distintos, al igual que eran distintos cuando se realizaban con el ábaco; e igualmente en un futuro -con la integración de la calculadora en el currículo escolar- los algoritmos volverán a variar (de hecho ya se están produciendo variaciones con el abandono de las multiplicaciones y divisiones excesivamentelargas). Tampoco en todos los casos nuestros algoritmos usuales son la versión más sencilla que puede emplearsepara llegar a un resultado (por ejemplo, la multiplicación con el método de la celosíaes evidentementemás sencilla).Sin embargo <los algoritmos que empleamos en la actualidad constituyen un sistema coherente, que se ajustan a unas reglas comunes, evitando que en cada caso se sigan esquemas distintos. En cuanto a la presentación, se colocan consecutivamentelos términos de la operación que se va a realizar, en un orden creciente y en posición vertical ----exceptopara la división, en

105

donde el divisor sc cokrca a la derecha del dividendo y separado de él por un caja . Se va opcrirndo dc derecha a izquierda en todos los casos,es decir, comenzando la opcración por las unidades de orden inferior y avanzando consecutivamentea las de mayor orden; de nuevo la división presenta una excepción inicial ya quc se comienza a dividir por las cifras de mayor orden del dividendo, y por tanto a formar el cociente por sus cifras de mayor orden, pero a partir de ahi el esquema se coordina con el de las demás operacionesya que la cifra del cociente se multiplica por el divisor de modo creciente y se va restando del divisor en el mismo orden>. (Cnsrno, E. y otros, 1985).

máticas.Los padressc scrrli¡ur¡rrllrlcr'hor, cntcndianlos manualesque sus hijos estudiabany lo (luc un tllr¡ lrte htreltoprtraellosera buenopara sus vástagos. La introduccióna los irl¡¡orrtnros er¡urltn breveque casi no existía, prácticamente sereducilrrr lrr ¡rlo¡riirnl¡ulcritdc cjecutarlos. Aprendizaje era Los niñoseranadiestrados más sinónimode ejercitaciin,tlc cnllr:rr¡rrricnlo, que enseñados. Repetir,rc¡rctily rc¡rctir'.

¡ Características

En 1957la URSS lanzasu primer Spukniky el mundo occidentaldominado por los EE.UU. seinquietaante su retrasotecnológico.La modernización industrialestádespegando. En 1959la OCDE, un organismoeconómico, oÍganizaun seminario:<El coloquio de RoyaumonD cuyo objetivo es promoveruna reformadel contenidoy de los métodosde enseñanza de la matemática.En 1967-1968 la reformaestáen ebullición,se creael C.I.E.M. (Comisióninternacionalpara la enseñanza Los sucesos de de la matemática). mayo del 68 ponennerviososa los gobiernos.El sistemaescolarsetambalea. En 197O-1971 salena la luz los nuevosprogramas.La tecnocraciaal poder. La ideologíaes el progresotécnico,hay que elevarel nivel y las matemáticas son el instrumento. Lenguaje y razonamiento,las matemáticasenseñana pensar,son el lenguajede la ciencia,la vía de accesopara comprenderla.Hay matemáticasen todo, pero no cualquiermatemática,sino la matemáticade nuestrotiempo,la matematicamoderna.Lógicay estructura.Probabilidady Algebra y topología.Cuanto antesse les dé a los niños mejor. estadística. En esteorden de cosas¿quéocurre con los algoritmos? Como se ha señaladoen el primer libro de esta colección,la falta de propuestasdidácticasclamabaal cielo. Las orientacionesministerialesno fueronmás allá de:

Los algoritmos de lápiz y papel se caracterizan porque son: 1. Escritos,en el sentidode que permanecensobreel papel y puedenser corregidos. 2. Regulareso estándar.Todo el mundo los haceigual. 3. Abreviados.Resumenvariaslíneasde ecuaciones ocultandopasosque tieneque ver con las propiedades asociativa,conmutativay distributiva. 4. Automáticos.No hacefalta pensar,ni reflexionar.Ni siquiera necesitan ser comprendidospara poderser ejecutados. 5. Simbólicos.Setrata de manipularsímbolossin referencia algunaal mundo real. 6. Generales, en el sentidode que funcionancon cualquiernúmero. 7. Analíticos.Los númerosseconsideranrotos,descompuestos. Las cifrasse manipulanseparadamente. 8. Tradicionales. Son <losde toda la vida>. 9. De confianza.Porque funcionan siempre. 10. Familiares.Son los nuestros,los de nuestrospadresy abuelos.

4.3. LOS ALGORITMOS EN EL CURRICULO . El pasadoreciente:Un mundoplácido Tradicionalmente la prioridaden las matemáticas escolares era las cuatro reglasy susaplicaciones a los problemasde pesasy medidas.Esta era una paraconsiderar referencia a alguien<educado>. Cálculoerasinónimode Mate106

. Ayer: Lo moderno.La malcmuticumodcrna.La enseñanza modernade la matemática.La modcrnaenseñanza de la matemática

- Primer niuel: Adiciín de números,sustracciónde números.Problemas con núy ejerciciossimultáneos. Automatismode dichasoperaciones meros de una y dos cifras. - Segundoniuel: Multiplicación de númerosnaturales.Automatización de esta operación. - Tercernioel: División entera.Automatización. ¿Cómohay que lograr estos ¿Quécabeesperarcon esteplanteamiento? objetivos? 1l$ y Pedagogos vienede la manode las editorialescomerciales. La respuesta psicólogosse incorporana la redacciónde los libros. ¿Quédicenlos mateAparecenen el mercadomultitud de textos,diferentes máticosprofesionalcs?

t07

líneas,inclusopr'ccdcntcsde la mismaeditorial.No hay que perder(cuota de mercado>>. sc intcnta satisfacertanto a la parte m¿i inerte del sistema escolarcomo a l¡r m¿isinnovadora.¿eué libro damosesteaño? ¿con qué criteriosse elige'l(lomicnzala función. o ¿Quéestápasandoaquf?

rendi mi entoque ser iar r . l¡ ¡ ¡ ¡ ¡ l¡ l1r ¡ 'lR. l) ,g. 1- t il) . El caso es que se dict an unos niveles básicos rle rclcrclrtrlut¡rrc lor ulumnos deben alcanzar y se estableceuna lista dc ¡rclrvrtl¡rrh.¡.l rclrlnlivrs para alcanzarlos: Propuesta.s fl.t(lt'(, ()ltt'tttt tt,ttt,\ th. t1¡tt1¡ intlicutlas, el alumno ha de disponerlas adecuadamentc ¡xtrtt lrt \unttt r't(,ttlt.'ru i',tttt. Dcspués se le dira que cambie el orden de k¡s sutttuttltt.t t't(,ntlnt.'1,( rl rtsultudo.

Iniciar la automari:aciir¡ la lu ,pcruciint dc multiplicar por un cifra. Realizar multiplicaciones menralnu'nrc ptr lu unidud ,reguida de ceros. Hallar con material y mentalmente doble-mitud, tiDle-terck¡.

La reforma produjo desorientaciónen el trabajo escolar,inseguridaden -la evaluación de los alumnos,enfrentóa los enseñantes, hizo cótidianala expresiónfracasoescolary cuestionóel papelde la matemáticaenla sociedad y en la escuela. Diversascorrientesy tendencias comenzarona aflorar,desdelos conservadoresque afirmabanque cualquiertiempopasadoera mejor,hastalos que se refugiaronen la historiacomo terapéuticacontrael dogmatismo;ir a las fuentes,ir a la forma como se ha elaboradola matemáticu.éru .. la manera de darle sentido. Algunos partidarios de la reforma dijeron que se había pervertido el espíritu de la misma y buscaronrefugio en la pedagogíamoderna. La palabraclavees estructura,y Piagetel sumopontílice.El áprendizajede las estructurasmatemáticasdebecorresponderal desarrollode las estructuras intelectuales del niño. El problemaes que piaget hablade pedagogiaactiva, la actividades el motor del desarrollointelectual.De la u"iión á ü abstrac-

o La respuestaoficiaL ¡Pepitono sabesumar quebrados! En l98l se replanteala progamación.con la denominación, programas renovados, sereordenala EGB buscandola racionalización, entendidacomo eficacia:<Es necesarioreconocerque no se han.arcanzadolas.cotas de 108

Iniciar la automatización de la diuisión cuando en el diuidendo hay hasta dos cifras y en el diuisor una.¡¡

No convienedejar nada en el tintero. Así que también se señalala secuencialización adecuadaque hay que seguir:

t . Exposiciónde lo que significala operacióny la relaciónque tienecon

la teoría de conjuntospara que la operacióntengaun sentidopara el alumno. 2. La traducciónsimbólicade la misma. 3. La automatizaciínde la operación,conocerel algoritmo,sabercómo se realiza.

o Enseñarcomprensiblemente si hay un mensajeclaro en la literaturaescolarde los años75-g0es que hay que incidir en la comprensión.Eso sí,no todosentiendenlo mismo ior comprensión.Para unos, se trata de comprensióninstrumental,es décir saber aplicar las reglas en cada caso concreto sin necesidadde tener que comprendersu funcionamiento.Para otros, comprensiónrelacional,saber qué ha de hacerseen los casosconcretosy estaren condicionesde relacionar estosprocedimientos con conocimientos matemáticosmásgenerales, propiedadesde la numeraciónde posición,propiedadesde las operaciones:asociativa, conmutativa,etc. unos cuantoshablande comprensiónintegral,saber reconstruirel caminoqueconduceal resultadoconociendolas razonesde los pasosque sesiguen.Es,en ciertomodo,laboratorio,artesanía, exploracióny descubrimiento.

r09

Hay que scirirllucl cirnrbiode rol que se asignaa la ejercitación,no es ya laviapara el aprurdizir.jc,sino laviapara la consolidación.Se deseaque los niños practiqucn las nttnipulacionesnecesariashasta que puedan llevarlasa cabo con el suficicrrtcirutomatismo. Hay quien prefierehablar de fluidez, mejor fluidez que automatismo, ya que automatismo denota aprendizaje maquinal.

¡ El debate Se dice que los algoritmos no son matemáticas,y que esta es una de sus grandes ventajas: <Un algoritmo es bueno, si permite hacer algo sin necesidad de tener que pensar acercadel signihcado de cada paso.) Se identifica algoritmo con automatismo. Pero el algoritmo es automático una vez que se ha asimilado el proceso mediante el que se desarrolla y se ha comprendido la lógica que lo sustenta.Previamente hay que recrearlo. Sin embargo, cuando el algoritmo se introduce a edades muy tempranas, el énfasis se sitúa en la obtención correcta y rápida del resultado, se da prioridad al automatismo en detrimento de la comprensión. Con este planteamiento, la enseñanzade los algoritmos está marcada por el maquinismo. No tener que pensar acerca de lo que se hace, lo importante es aprender a manejar unos símbolos de acuerdo con las reglas aunque no se sepan las razones de estas reglas. Es el automatismo y para ello lo mejor es la estandarizaci6n, la ejercitación y el orden. Todos el mismo, todos los días por el mismo camino y todos de la misma manera. Siguiendo este camino la frnalidad de la enseñanzade los algoritmos se enquista, el objetivo son los propios algoritmos. Los problemas que resuelven, eso es algo secundario,para despuésy únicamente como ejerciciospara practicar. Gran error, se olvida que el algoritmo por sí mismo no tiene razón de ser. El algoritmo es una herramienta y su importancia está en la medida en que rs la respuestaa situaciones prohlemáticas I no al contrario. Si claro, pero no se puede negar que la estandarizaciín y el orden influyen a favor de la eficaciaen la ejecución del algoritmo y puesto que aún nadie ha logrado demostrar que comprender lo que ocurre mejora la ejecución del algoritmo, ... Estos y otros argumentos forman parte de la discusión. El debate está servido: Automatismo porque es más fácil y rápido de enseñar,y porque es lo que se ha enseñadoen los últimos cien años, o autonomía y comprensión porque es lo moderno y lo que la gente necesita en la actualidad cuando no tiene una calculadora a mano. Por un lado, utilizar como argumentos rapidez y tradición es cuando 110

menos peligroso.Con lir lr¡rrlrtrritr re ¡r¡¡¿.¡ls¡¡ rcchazarinnovacionesvaliosas y puede signilicar no irrlnrrlr lrr rr'r¡rrrrrlrr¡rersonal,especialmente si ésta no viene dada por el prolcso¡ lf¡rsr'¡rrrrLr ln rrr¡ritlczs0 corre el riesgode identificar lentitud con incapircitl;rrl tlc lo t¡trc ()curre conlleva ciertos efectos Por otro, la no coln¡rrcr¡srir¡r perniciososque hay quc cvilrrr,crrllc cllos r¡lr¡riclcaequivocadade cómo es y funciona la matemática,r¡r)nlcn()slrt'ccio dc llr propia inteligencia,una fuente de errores,se hipotecacl óxito lr lirlgo ¡'rllrzoantc la imposibilidadde reconstruir los pasos (no hay razilrr ni sr¡slcnlo para recordarlos),y una falta de conocimientospara aplicar o Ílcluirr con f'lcxibilidadante nuevassituaciones de cálculo. Es evidente que el aprendizajc dcsdc la comprensión presenta serias dilicultades, sobre todo en aulas supcrmasificadasy programas recargados. Enseñar los algoritmos comprendiendo el sentido que enlaza los pasos y los principios y razones que subyacenen los mismos, no es tarea fácil ni rápida. Diseñar una secuenciacon situaciones o modelos en los cuales el niño se sienta seguro y por ello pueda experimentar, reñnando y acortando sus métodos hasta llegar a un proceso que pueda automatizar, no es moco de pavo. Es delicado plantear submetas y organizar pre-etapas que vayan aumentando su nivel de concisión hasta culminar en la lista de instrucciones que conñguran el algoritmo. Además, ¡no es lo que me han enseñado a mí! La última reforma del año 1985, en Francia, ha optado por incorporar nuevas nociones y términos en esta línea. Se habla de construcción, transformación, elaboración, y obtención por métodos empíricos. Mientras tanto en nuestro país, se duerme el sueño de los justos.

. La estandarización Durante siglos los tratados de aritmética se han empeñado en mostrar el cálculo como si sólo hubiera un camino, y además de sentido único: En el informe Cocrcnorr (1985, pág. 10) se señala: <Hubo otro grupo que englobaba a quienes, aunque eran capacesde realizar los cálculos que se les exigían normalmente, tenían un sentimiento de insuficiencia,porque eran conscientesde que no usaban lo que para ellos era el método "adecuado"; en otras palabras, no utilizaban los métodos normales que se enseñan en las clasespara realizar cálculos por escrito. De hecho, el estudio, aunque reveló una gran variedad de métodos para resolver las cuestionesplanteadas,también puso de manifiesto que muchos individuos tenían sólo un método para abordar un problema dado. Si éste fallaba, o si el cálculo planteado se hacia demasiado incómodo, carecian de la capacidad y seguridad para afrontarlo con un método difercnte. Ni siquiera, en algunos casos,eran conscientesde lll

DE LA ARITMETICA Diuiderulotolal 63o84537ro68 l4gzSoT Produclo lrinrro ........... 432so7 [358s?8i]FRestaprimera litidcndo -y se gu nd.... o ...... r98338t3 substracciónsepunda Producto segundo ............ r73oo2rt5 Restasegunda 7 diaidendo letcero ,,,.. . . . . . . . . 253355'7 Substraccíón tercera Produc to \ercerl............... 2r0253'5 Resla tercera1t diuidendo cua rlo.... . , , . . . . . . 37ro22'r Subsrracción cuarra Producto cuailo............... 34ooo5ro Resta cuarta 1t diuidendo q utn tro ..... . . . . . . . 25o¡65'0 Substracción ouinta Produc lo quinto............... 2rO253r5 Resta quinta I diaidendo sexto . ,,,..,,,..... 339r15'6 Substracción sexta Producto suctl................. 302754'9 Resla sexta 7 diuidendo séptim0........... s62fu2'l substracción sébtima Producto séptimo ............. 34Ooo5rO Séptima1 última resta.....

r76012,2

(Tomadodel Arte de escribirpor reglasy con muestrassegúnla doctrina de los mejoresautoresantiguos y modernos,extranjerosy nacionales:acompañado de unos principios de Aritmética,Gramática y Ortografia Castellana,Urbanrdad y varios sistemaspara la formacióny enseñanza de los principalescaracteres que se usan en Europa. Compuesto por D. Torquato Torío de la Riva y Herrero. Madrid MDCCXCVIII. En la imprentade la viuda de D. Joaquin lbarra. Con las licenciasnecesarias. En un grupo compuesto por muchos extranjeros se tuuo un día la sorpresa al uer presentar cuatro técnicas diferentes de la sustracción... cada persona que presentaba una de ellas estaba persuadida que la suya era la única posible. (Prceno y GrRoDEr, 1976, pig. 4)

que podían existir otros métodos alternativos,y posiblementemás fáciles.) Ademásde susdificultadesintrínsecasnuestraescuelaha añadido dificultadescomplementarias al aprendizajede los algoritmos.La más usualconsiste en que los datos intermedios que aparecenen las operacionesno se escriben,sino que se operacon ellosmentalmentey de modo inmediato;así tenemosel llevarseen cadauna de las columnasde 14sumay en cadauno de t12

los productosparcialcstlc lrr nrrrltl¡rltescitin. cl prestaro <llevarse> en la resta,y el realizarlos rcslosltl(.nltcrltoñrle nlcmoriaen la división. Todasestasoperilciorrt.r rr ptr,r(,ur'¡ul y empleando re¡tlizarrápidamente exclusivamente la mcmori¡t.krsr'¡ik'tthrs que imponemos lllcnl¿tlcs a nuestros algoritmosdificultancnonrrcnrcntc cl tr¡rh¡rio cn la operacióncorrespondiente y muchasvecesson illncecsirrios. lil coklcarlo que nos llevamosde una columnade la sumasobrclir colrrnrnlr siguicntc, o bien elrealizarel cálculo anotandolos cálculosintcrnrcdios. dislrrirruyc lasdificultades y permiteahorrar erroresinnecesarios. Sin cmbarg()n() ui usualque evitemosdilicultades complementarias a nuestros¿rlumnos. . Hoy: La tragedia La tragediadel algoritmoestándaren la escuela,ha llegadode la mano de las calculadorasde bolsillo y de las cajasregistradoras. Lo que para todo el mundo era un elementocrucialde cualquiercurrículo escolarhace20 años,ha empezadoa ser consideradocomo algo que va perdiendoimportanciaal mismoritmo que aumentael interéspor el cálculo mentaly estimativo.La estandanzación, quizá tuvierasentidoen otra época, cuandola extensiónde los cálculoshacíanecesariola supervisiónpor otra persona.Hoy en día el cálculoes personaly no va más allá de aquélque se puedehacer mentalmente,el resto es con calculadoray con ésta sólo se escribenlos resultados.¿No es razonablepensarque el niño sólo debería aprendera haceraquelloque no puedenhacerlas máquinaso que él puede hacer mejor que ellas?En un informe del año 1983,ya viejo, <School mathematics:Options for 1990s>,se señalarefiriéndoseal efecto de las calculadorassobrelos algoritmosestándares: <Algunasdestrezas talescomo la divisiónlarga,son obsoletas. Sólo recomendando que no seaenseñada, se liberaríaun terciodel cursode las alumnosrápidosy probablemente un año de los lentospara enseñarotras cosas.) Los primeros artículos reclamandola abolición han empezadoa aparecer. Los primeros maestrosque ya no enseñanlos algoritmos largos han llegadoya. Los primerosalumnosde Magisterioque nunca aprendieronla divisiónlargaya estanahí. La Aritméticade columnas,los algoritmosestándar estánen el filo de la navaja.En el futuro es de esperarque la presiónde los abolicionistasvaya en aumento: ¿Qué ibamos a hacer en nuestrasescuelassi esto ocurriera?¿En qué ibamosa entretenera nuestrosalumnossino podemosmantenerlosocupados con la ejercitaciónde los viejosy anticuadosalgoritmos? Quizá la respuestaesté en el equilibrio razonable entre aritmética de columnasy aritméticamental.¿Por qué presentarlas como oponentes? ¿No hay una terceravia? 113

o El Panorama: l,u cxploración actual. Líneas No wty u duir que los algoritmos de lápiz y papel no deberían enseñarse, pero si diré quc solamente deberían enseñarse como parte del arsenal de técnicas de que disponemospara ayudar a comprender los números y no porque sean útiles. (GlnlrNc cit. Fl¡r-rrn, 1986, pág. 106)

La construcciónde los algoritmosusualesde cálculopuedeser utilizada como estereotipode donde sacarmodelosy líneasde actuación. Permitehacercomprenderque una tarea matemáticapuedeser realizada por uno mismoy formasy que éstaspuedenvenir determinadas de diferentes no por el maestro o el libro de texto. (Este es un primer paso para el tratamientopersonalizadode los algoritmos).Da pie a conversaracercade cómo seha resueltoy por qué,a conversaracercade los pasosalternativos, de susventajase inconvenientes, de la forma de transcribirlosy esquematizarloscon lápiz y papel,a abrir la críticaa las solucionesaportadaspor los compañeros,etc. Con todo ello se configura un surtido de disposiciones prácticas,variantesde las formas escritasdel algoritmo, que originan discusionessobresu conveniencia, sencillez,eftcacia, etc.¿No esestoel diseñodel algoritmo,ponerseen el sitio del inventor y entenderlas razonesque lo originaron? El grupo Wiscobas(IOWO) ha experimentadoun programa que atiende a la progresivaesquematizaciíny abreviación.Empezandopor un contexto problemático,dan pie a la exploracióny al descubrimientoa partir de la manipulación(ábacosy bloquesde 10,básicamente). Cuandoseha resuelto el problema a estenivel se pasaa un esquematransaccionaly por último al estándar. Es incorrectoesperarque todos los niños de una misma claseo aula, del mismoalgoritmoy en el mismo adquieranel mismonivel de competencia tiempo. Como la progresiva construcción,abreviación y esquematización ofrecepre-algoritmosen grado crecientede dificultad, tienela ventajade que satisfacea todos los alumnos,incluso a los menos dotados que nunca llegaránal hnal. ¿Por qué el objetivo ha de ser todos el mismo algoritmo? Cada uno que haga el que pueda hacer mejor. Convieneseñalarque la construcciónprogresivade que hablamos,no tieneel sentidode que hay que dominar primeroel algoritmocon dos cifras para pasaral algoritmocon tres,desdeel primermomentosepuedetrabajar con númerosgrandes.La dihcultadno estáen el tamañodel númerosino en el nivel de abreviación.

r14

. ¿Qué ocurrirá mañanu? Se puedecontestarcor¡rolrr lrr¡o t'l rrrt'lcor'írlogo al que se le preguntó que qué tiempo haría al dil sr¡lrrrcrrtt',,lrl rrrisrrror¡rrchoy> dijo, convencidode equivocarselo mínimo. Itc:rol¡urrlri'n st'ltuctlc arriesgaralgo y lanzat vna respuestaatrevida: Mañ¿rnrrrrrl lr¡rllr¡i irlgorilrnos de cálculo en nuestras escuelas,más allá de aqucl (lirc sc ¡rrrcrlirltirccr mentalmente.

4.3.1. Algoritmospara la suma A menudola sumaimplicaa parcjasde númerosdistintasde aquéllas cuyo resultadoha sido retenidopor nuestramemoriay cuyo considerable tamañoobligaa organizarsu procesamiento de tal maneraque no sevuelva interminable.

. La presentacióninstrumental La forma instrumentalde presentaciónadmitevariasversiones: Expandido 40+ + 30+

Extendido

Abreviado

Estándar

45 +3 8

5 8

70+ 13

'70

(7 + 1)3

(70+ 10)+ 3

. La iustificación relacional Las ideas necesariaspara comprender cómo funciona el algoritmo desde el punto de vista relacional implican: . La estructura del sistema de numeración decimal haciendo hincapié en la transferenciaentre las expresionesmultiplicativa y posicional. . Las sumas básicas. r Las propiedades asociativa, conmutativa y distributiva. En la jerga usual, se explican diciendo que en la suma se puede prescincir del orden pero hay que sumar ordenadamente(¡horror!): En lugar de surnar centenas,decenasy unidades con centenas,decenasy unidades,que es como vienen dados los números, hay que sumar centenas con ccntenas,decenas

115

con decenasy unidudcscon unidades.¡Claro!Las manzanascon las manzanas y no con las pcrrts, 45 + 38 : ¡ql0) + 5l + [3(10)+ 8] : = t4(10)+ 3(10)l+ [5 + 8] : : [(a + 3Xl0)]+ [5 + 8] : : 7(10)+ 13 : : t7(10)l+ I(10) + 3l : :(7 + lxl0) +3 = : 8( 10 ) + 3 : : 83

siguiente.En la práctic¡t.rc r¡hvleel prOhlemArecurriendoa una estratagemediante ma, registrarla cantid¡td(lucheHIfA¡lftlOn018únlugarestratégico números,marcaso scil¿tlcs.

EstructuraDecimal Asociativay Conmutativa Distributiva Sumasbásicas EstructuraDecimal D i stri buti va S u masbási cas EstructuraPosicional

I 486 + 753

H7 ( 7 | 1. 12,pongouna m ar ca,2 + 9, 11, ot r a 6, lil rrúnrcrodc marcas | 4l irrtlicnlt contidadque hay que llevar

. La progresivaesquematización ¡ La construcción progresiva Desde el punto de vista progresivo el camino puede pasar por los materiales manipulativos hasta que el niño esté en condiciones de efectuar la transcripción al lenguaje escrito: 5+ 8 4 5 + 38: -c-I-

B 4 J

7 I 8

oo5é

Í+)lr:

U 5 8 13

Extendidos 486 + 758

400+80+6 +700+50+8 400+700+80+50+6+8 130 +14 1100 +

Resumido

<-\ -t

aor¡ I

35 +3 8 (7+ l)3

lJnz vez se llega a la forma escrita regular o estándar del algoritmo apareceuna dificultad puramente técnica, el esfuerzomental que supone retener das que se llevan>>,las que han de ser añadidas a la columna 116

La construcciónpasoa pasodel algoritmosepuedeorganizara partir de la manipulaciónexclusivade números,de esta manerase introducenprealgoritmoso pre-etapasdel estándaro dehnitivo.Por ejemplo,los algoritmos con sumasparciales:

400+80+6 700+50+8 400 + 700 80+50 6+8

t 100 130 l4

Abreviado

486 + 758

t4 130 + 1100

I4 13 11

Es importante establecerpre-algoritmospor varias razones'unas porque explicanla versiónabreviadaftnal, y otras porque los niños raramentetienen ocasiónen la escuelade examinarotros modos de actuar que no seanlos usuales. Los algoritmoscon sumasparciales un papel digno, en Los algoritmoscon sumasparcialesdesempeñaron una épocaen la que no había calculadoras,eran utilizadoscomo prueba t17

(Pnnnsou, 1913ó) prrrrrll suma, en el sentido de comprobante.Hoy 1o podemos contemplar dc olra manera: . Al no tencr quc llcvar ninguna cantidad es un algoritmo aconsejable para principiantos o para niños con dificultades de atención. . Al mostrar todas las sumas parciales,en caso de error en la ejecución, éste salta a la vista y no hay que rehacer todo el cálculo. . La similitud que presenta con el algoritmo de la multiplicación, hará que éste sea menos misterioso cuando llegue. 486 x 758

486 7 + 58

3888 2430 3402

t4 13 ll

Cada fila debe comenzar justo debajo de la columna de la cifra que la origina, son los desplazamientosa la derecha que tantos problemas dan a los niños, sobre todo, cuando hay ceros intercalados. Cuando todo este trasfondo ha sido comprendido ya se puede sumar en cualquier orden, lo que supone, cuando menos, aumentar el grado de autonomía v libertad del alumno: (1 ) 486 + 758 1l 13 t4

(2) 486 758 + 13 11 t4

E-68: El algoritmo(1) seejecutaen el mismoordenen que seleeny escriben los números,de izquierda a derecha.¿Sepuedesumar de izquierda a derechacon el algoritmousual?Explicapor qué y cómo. Un inconvenienteque presentael algoritmo con sumas parciales,es que a medida que aumenta el número de cifras de los sumandos, aumenta el número de filas. ¡Once cifras, once filas! La disposición en diagonal obvia este contratiempo: 486 + 758 +

I l2l4l4

118

486 + 758 111 134 1244

En cualquier caso, y si r':ln dlr¡rorlcídtn €ceandaliza,siempre se puede escribir horizontalmentc: 4llf r 75H 1l t . ] l4

t ( l I lx. l I l) 4 :

1244

En última instancia, ¿,¡'rort¡rri: r t o ¡ r lr t cvi¡ r rla ejecución sumando por parejas?

34 22 23

56 47 25 28

(56+ 40,96+ 7, r03 + 20,123+ 5,128)

E-69: Sumarlea un número el que resultade invertir sus dígitos,produce Por ejemplo: chocantes. situaciones 132 e

231

132 + 231 363

El número 363 se lee de derecha a izquierda igual que de izquierda a derecha. Encuentra otros números que se comporten como el 132 y da una regla para hallarlos.

4.3.2. Algoritmos para la resta La resta,con la suma,implica muchasvecesnúmerosconsiderablemente grandes,lo que obliga a introducir algún procedimientoque reduzcael cálculoa la manipulaciónde un númeromínimo de digitos. . La forma instrumental Expandido

Extendido

Abreviado

Estándar

500 + 60 + 7 - 2 0 0 +4 0 +l

567 -241

300+20+6 326

326

20 300

lt9

para entenderlodesdeun punto de vista Los conocimicntosnecesarios relacionalimplicana la estructuradel sistemade numeracióndecimal,cierta fluidezen el conteoy cn las sumasbásicasy habilidadescon las propiedades asociativa.conmutativay distributiva.

algoritmo,dondela ejccuciírrr ñc roali¿[uinlundolos dígitosy emparejando los que corresponden al nrisr¡¡or¡r'rlglt o rrrismovalor de posición. El problemasurgecuantkrr¡norle krr dlgit<ls del minuendoesmenorque el correspondiente del sustr¡rcrrtkr, crrlonccsse produceel bloqueo.¿Qué hacer?

. La justificaciónrelacional

-5 27 t

s67- 24r :

E str.deci mal [ s ( 10 1 + 6 (1 0+) 7 f-\2 (ro ' 1 )+ 4 (1 0 )+l ]: : [ 5( 10 ' -2 A s.yC onm. z ) (r0 ' z )]+ [6 (1 0 )-4 (1 0 )]+ 1 7 -r): : t(5 - 2)0011+ [(ó - 4x10)]+ u - t): Distribut. : 3( 10' ? )+ 2 (1 0+) 6 : C onteooS umasbási cas : 326 Estructura posicional

. El bloqueo En la práctica,el niño ha sidoiniciadoen la sustracción a travésde una o varias de las siguientesformas:

¿Cuálde las formasanterioreshay que usar ahora? . Pedir y pagar La salidaa estasituaciónes en la mayoríade nuestrasescuelas, lo que en la jerga se denomina<pediry pagaD, sencillamente una (suma de iguales>:

a) Separary contar:62 - 27 : ?

54 '¡ 3

527 : 5(102)+ 2(10)+ 7 + 5(t0r) + 12(10)+ 7 2s4 : 2(102)+ 5(10)+ 4-3(102) + 5(10)+ 4

2 0 0 1+ 7 ( 1 0 ) + 3 I 3 28' 30 rrtt¡rl

23 50

13 40

33.35 60 62

b) Sumandoperdido o complementoaditivo: 27 + ? : 62 1313233335 | 40 30

tltt

21 c)

t2 62' 60 |

12 50 |

22 |

a- b: c: ( a*x) - ( b*x)

lll

60 62

62 = 27 : ? Quitar, hasta(el sustraendo): lr

No pareceque éstesgaun métodopara principiantes,a menosque haya habido un previo y adecuadoentrenamientoen el principio en el que se apoya:

32 35 30 ',27 |

Los materiales manipulativos son un recurso eficaz en esta tarea. La idea a resaltar es que si se suma la misma cantidad al minuendo y al sustraendoel resultado no varía:

62 - 27 : ? d) Quitar, el (sustraendo): I I 62

t0 I 52

2Q.,..,.27 iltl---.l.--].-]*']42"' 35

En esenciase trata de contar o descontar,en función del tamaño o proximidadde los números,situándosesobreel mayor que es visto en su etc., que es lo que ocurreen el totalidad,no como unidades,decenas,

r20

-4

6+l -4+l

7 -5

En particular: 6 -4

6+10 -4+10

l6 - 12

r21

El niño puede usar bloquesde base diez, regletasCuisenaire,líneas numéricas,etc.,parl (vcr)) como se conservala diferencia: Bloques Oo q ooo

Diferencia

Difcrcncia

Ér / É@

Er.ocl ootl

'd@

F f,d

. Pedir refuerzos Para el niño debc scr ll¡tslulrle clrocn¡rlcy artificial proceder de esa manera,a poco que so lc tlc'ie,crrrrk¡rricltcntutiva suya más o menos autónoma para resolverel bloquco tlcbc colrducirlc por otros derroteros: 343-126:34 3+4

126t 4

t 47

t 30

Diferencia

t6-14

6- 4

Se avanza un paso haciendo ver como esta propiedad es útil para eliminar el bloqueo. El ábaco de diez, muestra el camino: Minuendo

Sustraendo

. Pedir prestado 343- 126: (300+ 40 + 3) - 126: [300 + (40 - 10)+ (10 + 3)] - 126

t(1 0 + 3)

Se aumenta el dígito del minuendo que ha producido el bloqueo en diez unidades, diez bolas sobre su propia varilla. Se aumenta la misma cantidad al sustraendo, pero esta vez se hace uso del hecho de que sobre el ábaco el diez se puede representar de otra manera, no sólo con diez bolas, sino también con una sola bola en la varilla inmediata de la izquierda. Esta estrategia,en la jerga se denomina <pedir y pagaD: Se piden diez para la primera varilla del minuendo y se pagan diez en la segunda varilla del sustraendo.

r22

Esta segunda estrategia, denominada en la jerga <pedir prestado>, es preferida por algunos profesores que la consideran más comprensible. En realidad es el camino natural, véasesino cómo es la resta con los bloques multibase o con los sistcm¿rsde numeración no posicionales.

r23

. Eliminandocl bloquco

Estealgoritmo,se puctlcclrlcndcflonl€ndocn cuentaque:

Toda esta parafcrnalia,toda la jerga es consecuencia de contemplarla resta en un campo tan limitado como es el de los númerosnaturales.El bloqueono existecuandose trabajacon enteros: Abreviado 3 4 3 -l 52 2 -l l 1 9l

Expandido

300+40+3 -100+50+2 2 0 0 -1 0 + l :1 91

Es evidenteque esta técnicaes más fácil de ejecutarque las anterioresy de error. Además,con una adecuadapreparacióncon la menossusceptible no es más dificil de comprenderpara un ayudade materialesestructurados, niño (Dlvrns,H.B., pág. 15-16). No obstante,hay otras formasde eliminarel bloqueo.A vecesbastacon restarpor pareJas: J a

043 139

3 0143 - 2rl3e 9 lo4

. El algoritmo de Lagrange a 9 son tan fácilesde Cabenotras posibilidades.Los complementarios obtenerque el siguientealgoritmo,atribuido a Lagrange(PnnnsoNE., 1986, pág. 39) puedeser útil a poco que se esfuerceuno en dominarlo: Supongamosque se quiereefectuarla resta: 5436 - 3851. Para empezarse determinael complementoa diezde la primera cifra del sustraendo: (10) <De 1a 10,9, +6, 15.Escribo5 y llevo 1>. 543 6 -3 I 8 5

5 con respectoal compleA continuaciónse repiteel procesosustrayendo del minuendo: mentarioa nueve,y se sumala cifra correspondiente 999 5436 8 51 -3

1585

t24

< D e 5 a 9 ,4 , + 3 ,7 , má s 1 d e a ntes,8.E scri bo8 De 8 a 9, l, +4,5. Escribo5 por qué?> De 3 a 9, ó, +5, 11.Escribo1y 4o 11.¿Sabes

a - b :c

(l(ll(l

l ,l tu

=1 0 ...n ...0 +c

Donden, númerodc ccros.sc lont¡tigrrrrlul númerode cifrasde a. Ahora bien,en lugar de escribir10...r...0 sc rrtiliz¡rl¡r forma 99......90* 10,que apareceescritade estamancr¿t: 99......9( t0). Con estasideas,para obtener<o>,hay quc restará de 999...(10), sumarle (d) y como el resultadofinal estaráincrementado que es 100...0, en 999...(10) habrá que volver a restarestacantidad. E-70: ¿Aqué hora deboponermi despertador, siendoque me cuestaI hora y 40 minutosdesdeque suenala campanahastaque ficho a las ocho y media?¿Quéclasede algoritmo se utiliza para averiguarlo?

4.3.3. Algoritmos para la multiplicación l. <Los niñosya estabanfamiliarizadoscon la multiplicaciónpor una cifra. El objetivo era, ahora, introducir el algoritmo de la multiplicaciónescrita por multiplicadoresde dos y tres cifras. Comenzamoscon un problema estrechamente relacionadoa los estudiosdel medio ambienterecientemente realizadospor los niños.El problemaera:¿Cuántashorashay en un año?> Con estaspalabrasda comienzoel relatode una lecciónde matemáticas para introducir la técnicade la multiplicación. ¿Cómopodrían efectuarel cálculolos niños,si no disponíande ningún algoritmo sencilloa mano? <Casitodos los niñoslograron,en defrnitiva,la respuesta correcta:8.760 horas.Pero,lo que resultórealmenteinteresante fue la variedadde caminos por los cualesllegarona resolverel problema: . SoluciónI. Utilizando únicamentela adición.El númerode días del año, 365, se escribeen columna 24 vecesy efectuandola suma se encuentrael resultado,es decir,8.760. . Solución2. Sedescompone el númerode horasdel día,esdecir,24,en la sumal0 + 10 * 4 y semultiplicael número365,sucesivamente por 10, por 10 y por 4. La suma de los tres productosobtenidosda la misma respuestacorrecta. . Solución3. En estasoluciónel número24 sedescompone en 20 + 4. Semultiplica,después, 365por 20 y por 4 y sesumanlos dos productos obtenidos.

r25

. Solución 4. lrl número de días del año sc descomponeen 300 + 60 + por 300, por 60 y por 5 sumando, 5 y se multiplicl. 24 sucesivamente Itnalmentc, lrts trcs productos. . Solución 5. lista solución implica una doble descomposición.Se descompone 365 cn 300 + 60 + 5, y 24 en 20 + 4. Se calculan los seis pr oduc t os ,30 0 x 2 0 , 6 0 x 2 0 ,5 x 2 0 , 3 0 0 x 4,60 x 4,5 x 4' La suma de los scis da, una vez más, la respuestacorrecta,8.760.> Tras señalarel interés que despertó en los niños esta manera de actuar en clase.el autor continúa: <Pero el maestro permanente de la clase no compartió este entusiasmo y objetó: "¿Dónde se hizo la instrucción sencilla y clara del algoritmo?" "¿Por qué se gastó tanto tiempo permitiendo a los niños utilizar sus <viejos procedimientos?" "¿No hubiera sido mejor utilizar el tiempo enseñando el nuevo algoritmo a los niños?".> Como era cierto que no se había llegado al algoritmo usual, la lección continuó aprovechando el trabajo ya hecho. <Los niños debían discutir sus soluciones y debían explicar sus propios procedimientos.> Más adelante señala: <Despuésde estas consideraciones,el algoritmo corriente se introduciría en la segunda parte de la lección como una forma abreviada de multiplicación que no sería completamente nueva, sino que estaría muy cercana a los métodos que algunos niños habían utilizado.>>(WeLrHnn Gennlno, 1983, págs. 85-87). 2.

Fijate cómo hace María la multiplicación:

Estos dos modos clt¡c¡rr'¡¡lruirrlrrle prrrntlrtr reflejanformas extremadamente opuestasde tr¿rtiu cl l¡r r.¡r'rrr.lael rrl¡¡oritmode la multiplicación. Reflexioneel lector soblc t'uirl r.r lrr rrre¡or'.Si licne dudas, siempre puede respondera la defensiva:¿,Mc¡rrr'/, r:,iltcl(rl¡rrrrrrqué? A lo largo de la histrtri¡tsc l¡¡rr¡tlesl¡rcirtlodos líneas para resolver las multiplicacionesde multicli¡¡itos:r¡n¡r irbo¡tl¡r la manipulación de los factores digito a dígito y la otras los corrsidcntcn su totalidad, sin descomponerlos.El ejemplo más not¿rblcdc la prinrcra línea es nuestro algoritmo usual o corriente, de la segunda, cl cjcmplo mits conocido es el algoritmo egipcio.

. El algoritmo usual La ideaesencialpara llevar a buen puerto la multiplicaciónen la forma corriente,es la descomposición de los factoresde acuerdocon la expresión multiplicativadel númeroen nuestrosistemade numeracióndecimal.Lo que sepretendeesaplicarla propiedaddistributivade la multiplicaciónrespecto de la adición,en la jerga <todoslos de uno por todos los del otro>, para simplificarel cálculo reduciéndoloal de las combinaciones multiplicativas básicas. Los conocimientosque se necesitanimplican: 1. Un signihcadodel término <multiplicacióu. 2. Capacidadpara efectuartransferencias posicioentrelas expresiones nal y multiplicativa. 434e400+30+4

poq ÍaÉ5 5o¡¿ 2l €€c¡tao SETE EA t EN LA @L(¡VI¡{A OE LAg

rrnro¡oes I ME LLEVO2

3. Destrezacon las combinaciones multiplicativasbásicas,tablasy reglaspara el arrastrede ceros(eslo que en la forma escritallamamosarrastre de posiciones). 1ü x 10- :

1ü

4. Habilidad con las propiedadesconmutativa, asociativa y distributiva. En el sentido de ser capaz de establecercon exactitud los productos que hay que efectuar,ni uno más, ni uno menos, y de saber recombinar los resultados de forma conveniente.

Figura 4.1

126

Unavez que todos estos conocimientos han sido procesadosel resultado podría ser una cadena como la que sigue:

127

. La progresivaesqucmullzr¡clón

e La iustificaciónrcl¡cional 3 6 x 434: Transferencia -- 36 x (,100+ 30 + 4) Distributiva : (36 x ,100)+ (3ó x 30)+ (36 x 4) Transferenci a : t ( 30+ 6) x 400 1+ [(3 0 + 6 ) x 3 0 ] + [(3 0 + Qxaf D i stri buti va : ( 30x 400) + ( 6x 4 0 0 )+ (3 0x 3 0 )+ (6 x 3 0 )+ (3 0x 4)+ (6x4) j 12.000+ 2.M + 900 + l8O + l2O + 24 Comb. mult. bás. Transferencia : 12.000+ 2.000+ 400 + 900 + 100+ 80 + lN + 20 + 24 :1 2. 000+ 2. 000+ (4 0 0 + 9 0 0 + 1 0 0 +1 0 0 )+ (8 0 + 2 0)+ 24 C onmut.yA soc. : 14.000+ 1.500+ 10O+ 24 : 14.000+ 1.000+ 500 + lú + 24 : 15.000+ 6N + 24 : 15.624

Imaginemos sobrc cl cjcrrr¡rlol.l ' 14 que el problema es nuevo para nosotros.En principio, no lriry lrot r¡tc clctcornponerel 12y el14 en 10 + 2 y 10 + 4. Para reducir cl c¡ilcrrkrrr lus colr¡hinacionesbásicashay otras posibilidades.Previamcrrtcu lir clccciirrrlrrrbrírque sopesarlas. 14: 10 +4. - 9 12: lO + 2 : 9

, 7+7 t t l6 t5 + I - tJ -{ 4 - 7 + 5 : 6 + 6

Ejercitarse completando tablas como las que siguen ayudará a encontrar argumentos para justificar la elección.

Aunque en la práctica se recurre a algo más breve. . La presentacióninstrumental Por un digito: Extendido

Expandido ¿ 100+ 30 + 4 x6 4 O0x 6*30x 6*4x 6

434 x6

2400+ 180+ 2 4

Estándar

Abreviado 34 x6

434 x6

4 4 + 1 )(8+ 2)4

2604 3 x1 0

2604

a) Extendido

Expandido ¿ 10 0 + 3 0 + 4 x 30+6 40 0x6+30 x6 +4 x 6 + 4 00 x3 0+30 x3 0+4x 30

r28

4 x1 0 0 +3 x1 0 +

180 2400

Por dos dígitos:

2400+ 180+ 2 4 + 12000 + 900 +

En segundolugar,tampocoesevidentela ventajade disponerlos cálculos en columnas. En opinión de FReuon¡NrAL (1983, pá9. 125) la imagen natural es la distribuciónbidimensional,la tabla de doble entrada: Un factor seescribeen la forma ordinaria,horizontalmente, las unidades a la derechay progresandohacia la izquierdade acuerdocon las potencias de la base10;el otro, verticalmente.En los cruces(filasy columnas)sesitúan los productosparciales:

120

434 x36 24 180 2M r20 900 + 12000 15624

Estándar

Abreviado 434 x3

2 (4 + 1)(8+ 2)4 r2l9 + t)20

434 x36

260/. + 13020 15624

12x 1000 24 x 100

9 x1 0 0 1 8 x1 0

Obsérveseque los productosparcialesque se encuentransobre la mismadiagonal(enel sentido/) corresponden a unidadesdel mismo orden, lo que sugierela forma de recombinarlosen la suma final: x

l0'

lü-t

l 0 '- 2

10. +

l 0'- t

+ l0^-2

b) En la práctica no cs necesario escribir los ceros que pueden ser sobreentendidosgracias a la posición que ocupan los dígitos.

129

. El enrejado En estosdos ¡rrincipiossebasael algoritmoconocidocomo del enrejado, <gelosia>, isabelinoo musulman,que ya era utilizadopor Karaji, matemático persaconsideradoel sucesorde Al-Khwarizmi,haciafinalesdel siglo x o principiosdel xr. Si bien,no se divulgó propiamentehastaque aparecenla Aritméticade Tnevrso(1478,Italia)y las regletasde Neper(Narnn, Escocia (Przwnsu y M.a.unIcnN,1983). 1550-1617)

alrtlr, ¡,|,'uoprecipitadala decisiónde soQuizá hubo que dur rrr¡rrt'lrR qtrc cfectuarla sumaarrastránbreentenderlos ceros'JSi ¡¡silrrela,ltrrlrr'ln dolos:

4 24 |2 0

,,' l

,/l

,/rl./nl./,

2,/lt -/" 41/" ,/12.r' 81./

414 x3 6 ( 'o r ttl l i n ¡ r ttr l tl krs ¡rrodrrclos ¡ l u ci i r l cs.

2400+180+24 + 12000+ 900 + 120

El algoritmo aditivo aconseja disponer los sumandos en columnas.

) 4

6 434 x36

434 x3 6

180 2400

18 24 t2 9 t2

434 x3

2( 4+I ) ( 8+2) 4 + l2(9 + l)20

El multiplicando se sitúa horizontalmente en la cabecera superior. El multiplicador se coloca verticalmente en sentido descendente,en la columna del extremo. Los productos parciales de los respectivosdigitos se descomponen en decenasy unidades dentro de los cuadros en que se ha subdividido el rectángulo principal. El producto se obtiene sumando en diagonal dentro de las franjas de izquierda a derecha. Las razones que hicieron abandonar este algoritmo y cómo se llegó al nuestro son dificiles de establecer, quizá dificultades para imprimir o dibujar la red (D. H. Smith, cit. Matemática moderna para profesores de enseñanza elemental, 1976, 163). En cualquier caso, no parece que se optara por eliminar pura y simplemente la reticula, ni aún retorciéndola previamente:

r20 900 + 12000

434 x3 6

2604 + 13020 t5624

Los algoritmoscon productosparcialespresentanventajaspara los que se inician. Al no esconderresultadosintermedios.en caso de error éstese descubresin necesidadde rehacerla operación.Además,el orden en la ejecuciónes indiferente.Sepuedeempezarpor la izquierda,por el medio, no importa. . La construcciónprogresiva Desde el punto de vista docente,el tratamientocon tablas de doble graentradano tiene por qué hacersea bocajarro.Caben aproximaciones dualesapoyadasen: l.

434 x3 6

t0r 292 2 12 + 484

434 x 36

97 x47

Expresiones orales: 36 x 434es 36 veces434 x

130

l a00

+30

30 veces 30 r..* || 30 30 veces400 * 30 veces30 + 30 vcccs4 """", |

6 veces4oo +

6 veces30 *

6 vcccs4

131

quc huy en los crucesgruesos: Anotar el número rlc rrrlcrrcelirrnr,r

uditivas: 2. Expresioncs z m O + 30+ 4 z l00+ 30+ 4

400 + 3 0 + 4 xl0

,f00+ 30 + 4l x30 400+ 30 + 4lx 6

zl00+ 3 0 + 4

400+ 30: 4

Itltr'¡trrrhct el lol¡¡l sc ¡ r r xl r i u r r¡ r Fr u p ¡ tr Ios r:ruct:s¡tlincs:

400 + 3 0 + 4 400+ 30+ 4 x 10

400 + 3 0 + 4

, 100+ 30: 4

Abreviando 400+ 30+ 4 , 100+ 30: 4 , { 00+ 30+ 4 400 + 30

]"'.

'o@@

, @@

pero con la diferenciade Una vieja técnicachina seguíaesteprocedimiento, Cruces que utilizabadistintasfrguraspara indicarel valor de las intersecciones. afinesse señalancon el mismo dibujo:

el producto: 3. Diagramasque escenifiquen 12 x 43-_

tr = 400 O = 40 .= L

a) El retículo: El producto viene dado por el número de cruces: 3x 4

b) La cuadrícul¿.'Se trata de descomponer el rectángulo, cuyos lados corresponden a los factores, de manera que la partición se haga de acuerdo con las lineas que marca la forma multiplicativa decimal del número:

I Paranúmerosmayoreshay que apretarmucholaslíneas,un criteriopara facilitar latarea puedeser agruparlasde 10 en 10.¿Porqué no convenimos en utilizar una raya gorda?

102 El objetivoes poner de manihestoque de estamaneraseevitanconteos innecesarios al haceraparecersiempreel mismo tipo de subrectángulos:

l0 l0

4 x 12+

104

l 0+ 4 10+ 4

132

133

A pesar dc lir cvidcnte similitud entre estos dos modelos,la ventaja del retículo sobrc ll cuirdricula(Monrnv, AnrHuR, págs.9-13)estáen la posibilidad de contracr o rcsumir el número de líneas a medida que se avanza. Es más rápido y mcnos aburrido dibujar una línea gorda que un rectángulo d e l O x 1.

. Las regletas o rodilkrs dr. Nr,¡rur Material: Cartón ri¡lirlo. nr¡rrlet¿r rli. ll¡rl¡rr,ctc. Se construyeun baslitlor.(luc pcrrr¡rl¡rl¡r il¡scrciónde nueveregletas,una para cada una de las t ¿r bl¡ rrslc r r r r r llr ¡ r lr t iu. ( : ( ) r ) l(m ) uest r alaFig. 4. 3.

E-71:, Explicaqué estrategias se siguenen cadauno de los ejerciciossiguientes: t)

43 x59 3Z

67 2l 05

43 x 59 2580 -+J

2537

43 x59 t290 t290 2480 _43

2537

253'l

(1)

(3)

43 x 12 258 5r6

472 x42

4739 x357

944 944 944

33t73 65865 69n23

19824

(4)

( Sugerencias:Productos parciales en diagonal. Descomposicionesdel multiolicador en sumandos. en factores. ...)

Figura 4.3

Para calcularpor ejemplo:758 x 6, seinsertanen el bastidorlas regletas correspondientes a los números7, 5 y 8 en esteorden:

'N 172 172

+ 172

+ 2M

Figura4.4

El productolo da la fila del 6.

l,'iguru4.2

Ejercicio:¿Quéhay que hacercuandocl rrrrrlti¡rlierrdor cs clcdos cifras? 134

135

. La multiplicacióncgipcia De acuerdocon lascaracterísticas de su sistemade numeración,la multiplicaciónegipciaera aditiva.Supongamos que desearancalcularel producto 18 x 5. Paraello,procedíana escribirsobredos columnaslo siguiente:En la primera encabezadapor la unidad, los dobles,y en la segunda,encabezada por el multiplicando,los doblesde éste: Notación Indoarábiga

Egipcia

flllllfln

tl iltl ilil1

llllllnnn

ll.\^ ^^. \ ñ

^ñ ñ a \ñ ^ ñ^^

.'nto(l€rna))que acabamosde dar no es Es evidente que ll jrrstilicHr'tfin adecuada para un niño, cs rrre¡or har.ol v6r que cualquier cantidad-número siemprese puede orgarrizrrlrle rfurct'lr rku, rle tres cn tres,etc. (Agrupamiento múltiple.)

,'f (r(ril) lllrlllllllllll /') (il r) (r; 1¡

Sobre dos columnas, la primera encabezada por uno, y la segunda por el multiplicando,se procedea duplicar sucesivamente.

o_l'-il D

rlDo @o

I'igurr 4.5

. La multiplicaciónrusao campesina Mientrasqueel multiplicandoseduplicasucesivamente,el multiplicador se reducepor mitades. Cuandoesteúltimo saleimpar, se pone un uno a su izquierda. El resultadose obtienesumando<los dobles> del multiplicandoque correspondea los unos de la izquierda.

5(4 + 1) (r8 + 72)90

Cuando la columna de la izquierdacontenganumeralesque sumados den el multiplicador,la sumade los correspondientes numeralesa su derecha da el producto. En el ejemplo: x 18 : (4 + 1) x 18 : 72 + 18 : 90 Como5: 4 + l,entonces5 Lo que sorprendede estemétodoes que funcionecualquieraque seael multiplicador.¿Quépermiteasegurarque todo númerose puedeobtenera partir de la duplicaciónsucesivade la unidad? Aunqueesdificil sabercómollegaronlos egipciosa constatarlo,nosotros podemosdar una justifrcaciónmoderna: 5 x 18 :(1 x 22 +0 x 2 + t x 20)x 18 <Todo número siempre se puede escribir descompuestomultiplicativamente en base dos.> En realidaden cualquierbase,esto permite diseñar algoritmoscomo el egipcio,pero que en lugar de duplicar se tenga que triplicar,cuadruplicar,etc.

A primera vista sorprendey desconcierta el parecidocon el algoritmo egipcio.¿Cómoes posibleque habiendoinvertido el procesoen una de las columnas,al final se llegue al mismo resultadoy por el mismo camino, sumandodoblesdel multiplicando? La justificaciónalgebraicaexplica lo que ocurre, pero no el parecido entre ambosalgoritmos: Dobley mitad:x'y : (2'x)(yl2) Impar-par: x' y:

tll

x( y - 1) + x

l2l

lll

35 x 82 : 70 x 4l : 70 x 40+ 70 x I : 140x 20 *70:

280 x 10 + 70:

:560 x 5+ 70 x I : 560 x 4+ 560 x I + 70 x I :

E-73: Con ayuda del ejemploanterior, establecelas reglaspara multiplicar a la egipciatriplicando. :

136

l l 20 x 2+ 560 r | +70 x l: 2240

x 1 + 560 x | * 70 x l: 2870

r37

En el fondo, cl ulgoritmo ruso y el egipcio se apoyan en el mismo principio. Se tlirt¡r tlc obtener el producto a partir de descomponer el multiplicador en basc ir krs agrupamientos del dos y esto se puede hacer considerándolo descompucstocn unidades,y agrupándolas de dos en dos (empezar por la unidad, doblar, redoblar, ..., egipcio) o bien, considerándolo en su globalidad y dividióndolo sucesivamentepor dos. Los restos de esta división van a ir dando el número de grupos de dos unidades que se pueden hacer con é1.

oEtlz r

Efectúeel lector lit rntrllr¡rltluririlt rlc ).4 x 2(¡7,o de cualquierotro par de dC que ha entendidOel meCanúmerOS,Segúncapricllo,t'ottt' r'ottt¡ttulrttt:iÍrtt nlsmo.

4.3.4. Algoritmosdc l¡r rlivisil¡n

Q > tf pafug

82:4 1 x 2 :(2 0 x 2 + l )x 2 : ((10 x 2 )x 2 + l )x 2 l2o- lz : ((s x 2 )x 2 )x 2 + l )x2 0 t-0: (((2 x 2) + r) x 2) x 2) x 2 + r)x 2 0 2

2 12

r '+ f I o q

Liil 7{2Í.',t

Es decir:

( . t '1. 1| / t o^g. r j .?t' 10¡¡6' ré1ó

8 2: 1010010,o 8 2 :1 x 2 6 + O x 2 s + | x 2 a + 0 x 23+ 0 x22 + l x2+ 0x20

, t'to t 't .t6 o, tl ,'le7It"lt- t '+ i

f lz'¡'/ll

. Un algoritmo de izquierda a derecha, o una técnica de multiplicar con el ábaco

f +¡'l

#ii#

A continuación se describeun algoritmo que se basa en una vieja técnica hindú para el ábaco. Es tan fácil de entender que no necesitapalabras, pero si el lector encuentra problemas puede consultar la obra de Ifrach: <Las cifras> (1987, pá9. 263).

Figura 4.ó. División por el método de la galera, del siglo xvI, procedente de un manuscrito no publicado de un monje veneciano.El título de la obra es:Opus Arithmetica D. Honorati ueneti monachj coenobij S. Laureitg.

28 x 325

l+2141I I l6 l3l'lsl 1 2 l8 l I I +4 8 t4 2t5

I,1 .,' l :l ,l I 1 2 l8 l

t0 6 2

138

+4 0 9t0 t6 5 2 8

1) 2) 3) 4) 5)

88:17 88:17 88:17 88:17 88:17

:( 88: 10) +( 88: 7) :( 88: 10) - ( 88: 7) :( 88: 7) - ( 88: 10) : ( 88: 10) : 7 :( 88: 7) : 10

¿Cree usted, sin resolver, que alguna de estas formas da la solución correcta? Si no sabe, no contesta, reflexione sobre qué hacía un chico como usted en la escuelao sobrc quó lc enseñó su maestro acerca de la división. Si, por el contrario. ustcd es una personadecidida y está por afirmar que

139

alguna de esasf<¡rmasda la solución correcta. Resuelvay compruebe con el algoritmo usual. Si no encuentra ningún problema, no sé...Probablemente usted no es de liar. Pero si tiene dificultades,entonces,usted debe ser uno más entre los miles de personas que cree que la división sólo es esto:

. CaracterÍsticasdiferenciudorn¡dol rl¡orltmo de la división a) E s un algor it m o dc i/ ( ¡ l( . t r llt u t lclcclr ¡ t . b) Hay que buscar,rro ulr rr.rrrll¡¡rhr, tirtrl tlus: cocientey resto. c) Conlleva ciertas prolrrhlt'rolrcs: t ¡ , 7 : 16

t 7 8 3 1 5 | ¡0 63 2n5 27r 195 15)

Es un algoritmo scrnirrrrlonlritieo: lliry quc descomponer,estimar, encuadrar,comprobar y si ¡rroccdcrchaccr: o Descomponer, para dccidir colt quó parte del dividendo empezar. ¿Cuántas cifras separo'? . Estimar, para aproximarsc a la cifra del cociente.¿A cuánto cabe? . Encuadrar. La cifra obtenida en la estimación debe dar lugar a un producto que no sobrepasela cantidad separadaen el primer paso, pero que sea el más próximo posible. . Comprobar, hay que asegurarsede que esto es así efectuando el cálculo adecuado. . Rehacer, si se estimó mal.

¿Para qué necesita saber más, si con este algoritmo es capaz de resolver sus problemas? Supongamos que optó por el número l) de las formas presentadasen la introducción. Resolvamos: 88 : 17 : (88 : 10) + (88 : 7) : g resto8 * l2resto4 : : 8 + 1 2 re s to 8 + 4 : 2 0 re s to12 Comprobando: 20 x 17 + 12 -- ¡Cielos! Insistiré en que la resuelva.Como es de pocas cifras, es un poco tonto recurrir al papel y el lápiz. No debe ser dificil de hacer mentalmente. Le ruego que lo haga. ¿Lo hizo así: 88 : 17 : 2 + (54 : 17) : 2 + 2 + (20 : 17) : 5, resto3? Imagino que no. Ni siquiera estoy seguro de que entienda lo que he hecho. No es que dude de su inteligencia, de lo que dudo es de que tenga ganas de hacer el esfuerzo para entenderlo siendo que usted ya sabe dividir de una cierta manera. Me gustaría abundar en esta rigidez. El algoritmo de la división es con mucho el más rigido de todos. ¿Quién hace uso de estrategiasparticulares? ¿Quién transforma los términos de la división en otros equivalentes, que faciliten la tarea? En la suma uno altera el orden de los sumandos a conveniencia, en la multiplicación decide cuál prefiere que sea el multiplicador, en la resta se plantea si le conviene compensar o redondear previamente a ejecutarla, etc. Nada de todo esto se hace con la división. La división es claramente diferente. 140

e) Necesita de los otros algoritmos y de su logistica. En particular de la resta llevando y de la tabla de multiplicar. Todo esto hace que el algoritmo de la división, seael más dificil de todos. Si no se domina el punto e) el fracaso es seguro, si se titubea con el d) aumenta el margen de error. Los puntos a) y b) provocan desconcierto,y el punto c) lo complica hasta el aburrimiento. No es de extrañar que desdeel punto de vista instrumental el esfuerzose centre en la ejercitación, repetir, repetir y repetir. . La presentación instrumental Expandido -

78315 | 36 72000 2ns 6315 - 3600

27t5 - 2520 195 - 180 l5

(r)

Extendido 78315| 36 - 72 Tls 63 - 36 -

271 252

195 180

Abreviado 7831s | 36 63 2175 271 195 l5)

(rr)

(I II)

La iustificación,m¿iso menos así:

t41

o La justificación instrumental -

La mala concienciaqrrc ¡rrorlrrlr.cl Hllo llrrliceclc fracasocon estealgoritmo hace que, incluso los lrir', ¡rti'rrrutrr rlt:lcrtsrlrcsdel instrumentalismo bien del t ipo r epar t o opten por i ntro ducir lo cr r r ¡ r rt or r lr r ln ¡ r t olllct t t r it ico, di stri buti vo,bi en del t ipo r c¡ r ir r ln\ u\ lr ¡ r (lt v( |l

Extendida 78315 :36

Se cogen tantas cifras del dividcndo como tiene el divisor. Si el número que resulta es mayor, vale, y si no, se coge una más.

Dec im os : 78: 36(7 :3

2 x 3 :6 )-@

x 3 6 :7 2< 78

x 3 :6 ) -2 x 3 6 :7 2 2x36>63>@x36

D ec im os : 63: 36(6 :3 -2

> +

D ec im os : 271: 36 (2 7 :3 -3 x 9 :2 7 )-9

78315| 36 t¿ 2175

63 -36 271

x 3 6 : 306> 8x36 - 252 8 x 3 6 > 2 7 1 > @ x 3 6 -_ : D ec im os : 195: 3 6 (1 9 :3 -6 x 3 1 8 ) 6 x 3 6 :216> 195 6 x 3 6 > 1 9 5 > O x 3 6 ---- ------ 180 15 Resto

d2 cara m elosr cplr r lr r loso¡ lr c lr cs r r ir ios.¿, ( luánt oscar am elospar a cada ni ño?>( Repar lot lislribulr vo, ) <12 caramelosreparlid()stlc cu¡rtro cn cuatro. ¿Para cuántos niños?> (Reparto sustractivo )

. El algoritmo en el contexto del reparfo distributivo En el reparto distributivo es frecuenteoptar por la motivación económica. Supongamos que se trata de repartir un botin, las gananciasde un juego, etcétera,y que el dinero viene dado de la siguiente manera:

Expandida

78315: 36 -

78315:

36.s * r

l v r l c lo lu l lvlcln lu ?lTlTl I ltl : ro" ltlTl7ll

7 8 3 1:5 3 6 x 2 0 00+ r : 72900 * r_--712 l0l0 lo l: : o x -l6lTlTlTl : $6;; r: 78315 - 72000

' l' l' l'

4000 2 billetes de mil.

3 monedas de cien,

3 vales de diez,

¿Qué podemos hacer si hay que repartirlo entre 7 compinches? 6 3 1 5 : 36 - 6315: 36

x e'I

6315: 36x r00r r' : lqJ::'

__'-Jag|g|

r' : 63t5- 3600: 27t5> s'

: 36x

2 17 lt 15 |

lr lo lo

2 7 1 5: 36 - 2715: 3 6 x a " + r"

: ró x 70* r" : A{-:__----_-:?l 2715 r":2715 -2520:

1 9 5:36-

r95> a"

I l7l0

195 : 36 x a " ' + r" '

res: 36x 5 + r : 4::_..--r : re5- 180: 15< q"' 142

g : :o' l¿l | l l 19l5 | i

I r l8 l! | : lo " | | ls -l-lTlTl Resto

La estrategia de reparto viene condicionada por la forma de presentar el botín. Como lo que en última instancia se pretende,es mostrar un paralelismo con la estructura multiplicativa del número: Millares, centenas,decenasy unidades,el profesor se ve forzado a modificar el sistemamonetario (valesde l0 ptas.). ¡No hay bastantes billetes de mil! (Es mejor empezar a repartir por lo gordo.) Hay que ir al banco a por cambio. Es necesariotomar una decisión. ¿Lo cambiamos todo en pesetas?será lo más sencillo: Una para ti, otra para éste, otra para aquéI, ... Demasiado lento, demasiado peso. ¿No es mejor cambiar en monedas de cien? Sí, pero, ¿cuántas? Este tipo de situaciones se tratan en la escuelaa varios niveles: . Manipulación dc ob.ictos(incluido material didáctico). . Ilustraciones. o Esquemas.

t43

. El algoritmo en el contoxll¡ ¡l¡l l¡rprtlo rürlr¡clivo En el reparto sustraclivo,cl cr¡lcteoll¡rrtes el problema de empaquetaro dc 7 carameloscon un total envasar.Imagine que sc llrrlrr rk' lrrret'r¡r¡¡¡¡¡¡etes de 2538.Naturalmentc qttc r.:slose ¡tttr:rlclt¡tc:crpitquctea paquete(IV) o con una máquina que imprint¡r vr,krt'irlittl(V) (()lt'it vcz forzando la solución):

(rv) D

2s3r

2538:7 - 7

Primerpaquctc

lililtl Segundo paquctc

('u¡urckr lo que interesa es el resultado, cstc rnodo de proceder es desaforturrlrdo.Ningún niño va a aguantar hasta cl linll. Nadie está dispuesto a restar, rcslilr y rcstar.

Ililtl (V)

¿No aprendimos la multiplicación para evitar adiciones repetidas?

2538 -70 2468 -70

€

Diez paquetes Diez paquetes

2538 700 1838 - 700 I 138 -

Cien paquetes Cien paquetes

a¡ i:

Se puedeaumentarel ritmo, en lugar de 700 + 700 + ... ¿Por qué no usar la tabla de multiplicar para encuadrarel dividendo entre dos múltiplos de la unidad seguidade ceros?

'l,i;i1;,J : ;:i':'il: #' Ahora, hay que elegir entre sustraery reiterar (VI), o descomponery reiterar (VII) (parecelo mismo, ¿no?). . Sustraer

(Yr) r

r N o

144

-2100:7x3x100 438 - 42O:7 x6 x 10 < 438 < 7 x7 x1 0 18 14 : 7 x 2 < 18 < 7 x 3

Este esquema se puede reforzar, enla iniciación, con una tabla de múltiplos del 7 (técnica rusa).

'tO 1 7 700 2. r 4. 140. 1400

3.21 4.28 R esto4,3 x 100 + ( r x l0 + 2 : 362cociente . .. . .

210 .2t00 280 . 2800

2s38

o (J

PS .,,ir,',r, InonDfsTRflffi.

f i l l i f.l t_ tl r L r ; ,,,: .¡ ; ... j, (li rr JrJSLtr¡rt

{J:i.,,...,,,

... ;...:. .-

La ventaja clc utilizar una tabla de múlti¡rltls está en que presentala división de nrultidígitos igual que si fuera urr¿rdivisión por una cifra. El encuadramientosc hacesimplementeconsulta¡ldola tabla; si se ha comprendido el proceso, no hay posibilidad de error. Si no se necesita,no es preciso escribirla tocla,se puede reducir sin más que escribir en una parte únicamente los produclos parcialesque van saliendo. Alguno de ellos podrá servir varias veces cn el cálculo (técnica sueca). Conviene señalar que es importante no ocultar las sustracciones,tal y como hemos venido haciendo, al menos hasta que no esté consolidado el algoritmo. No se puede justihcar su supresión por una economía de escritura. La técnica que resulta puede parecer más rápida pero será fuente de errores por la acumulación de las tareas mentales que hay que llevar a cabo. Si se escriben las restas parciales se estarán separando los productos de las sustraccionesy en caso de error será fácil de hallar y no habrá que rehacer totalmente el algoritmo. Un detalle práctico. No es necesario escribir el cociente en la forma: 3 x 100, 6 x 10 y 2. Gracias a que se sigue una estrategia de reparto en función de las potencias de diez se pueden ir acoplando las cifras a medida que salen,de izquierda a derecha.Esto justihca el uso de la caja de Fibonacci, que no es tan universal como se puede pensar. En efecto,hay una técnica muy divulgada en el mundo sajón que coloca las cifras del cociente encima del dividendo, justo encima de la última cifra signif,rcativade la resta parcial correspondiente. La ventaja de esta técnica está en que es imposible olvidar los ceros intercalados o los ceros del final. Además el número de cifras del cociente queda, con esta forma de escribir, reflejado de entrada, en cuánto se ha puesto la primera cifra en su sitio.

+ Cociente

362 7) 2s38 2l 43 AA

18 l4

Tiene la ventaja de que es imposible olvidar los ceros intercalados o los ceros del final. El número de cifras del cociente está reflejado de entrada en cuanto se ha puesto la primera en su sitio.

. Descomponer (V ID 2538:

,11

2100 I . llH

,17

2100+350+63 + 21

,17

\ . to

3 x l( X)

El secretOcuando sc lrrrbrrjrrcott r,:sllttócnicit,cstá en adecuarla estimaci ón de tal m aner a quc sc cvit clr cilculos it t llcccsar ios. Pruebe con: a p a r ti r d c c¡ tr cl l 0 : a Partir dc c¡trc 63 :

154: ll, 675 : 9,

r54 :

1r0 + 44

:l tt

: 10

11 x l0 9 x

630+ 45 'ts: ,l s

,l e

75 : 70

Si en lugar de escribir en filas, se escribe en columnas, el algoritmo presenta un aspecto más familiar, pero no debe confundirse con el usual ya que en éste la estimación se hace sobre la totalidad del número 154, y no sobre la descomposición: 154 en 15 y 4

6751e 630 70+5

154 110 44

La ventaja de la estimación-descomposiciónes que no tiene la rigidez de otras técnicas.Hay más posibilidades: 154: 11+

99 + 55

154:

: lt t 9+5 L44:8-

:ltt

72 + 72

144:

483: 7

>483: 420

60+ 483: 7

144:8+ 144: U0+64

ll l0

tt'l

+ 63

,17

:t8 '18 9+9

E-74: ¿Podría ocurrir, en la técnica sajona, que dos cifras del cociente fueran a ocupar el mismo lugar? ¿Por qué? (Sugerencia No se resta 21 de 25, sino 21 centenas de 2538, que corresponden a 3 centenasde vecesel 7.)

t1 t) | l tl t

.'l t) tt I

- 483: 490_7

,11 9

ll 70- l

¿Sele ocurrctt tttits'l

146

r47

. La cábala uno de los aspectosque han caracterizad<rir l.s algoritmos durante años ha sido su aspectomisteriosoo enigmático par.irlos no iniciados:

(rx)

9458 2031 603 43 ll

7 1061 204 6 1351

(x)

e4s 8 172

7 24 2 225 2l l5 6 98 7 28 2 26

. La inversióndcl algoritr¡¡odt' lrl lrrrlli¡rlieleión

(XD La galera

r3l z 71

382

v98 167t3 4t977 vF77t 7F7 7fi

117

Podríamos dar una justificación formal de los algoritmos (IX) y (X) (véase Góunz y Jnlue, 1983,pág. 62), pero esto no los explicaria a nivel intuitivo. En cambio si ambos se contemplan en términos de reparto la cosa es más clara. Esto puede sorprender. ¿Acaso hay estrategiasde reparto distintas de la distributiva o la sustractiva? Las estrategiasde reparto que se enseñan en la escuela están forzadas, cncaminadasa justificar un determinado algoritmo. se difumina el hecho de que pueden aparecerotras posibilidades a poco que se dé algo de autonomía. Si asi se hiciera, las consecuencias... podrian ser tal vez otros algoritmos. Hemos visto (el algoritmo en el contexto del reparto distributivo), un reparto que empieza por los millares, lo que sobra se acumula a las centenas y se reparte el nuevo total, lo que sobra se acumula a las decenas y, etc. Reparto, acumulación, reparto, acumulación, etc. En (IX) se reparten los millares y se aparta lo que sobra, se reparten las centenasy se apárta lo que sobra, etc.,despuéssejuntan todos los restos y se reitera el proceso. La única precaución hay que tenerla con los ceros que hay que intercalar para mantener la estructura posicional. En el algoritmo (X) la clave está en la descomposición del divisor, se reparte primero entre 70 y el resultado despuésse reparte despuésa los dos restantescomo si fuera un reparto distributivo. En el algoritmo (XI), procedentede un manuscrito venecianodel siglo xvl, el dividendo apareceen el medio y las restasse hacen cancelandolos digitos y poniendo las diferenciasencima de ros minuendosy no debajo. El procesoes fácil de seguirsi sc tieneen cuenta que los digitos dc un sustraen148

do dado, com o cl f ( r 7'1. , ' r lr 'un¡ r , lt lr 'r t 'r t r t ¡r tl¡ t t lr tcom o la 2957, no f igur an apar ecen r 'rl(r .l¡ r r ilt 1ilr ¡lrr l; r .y r ¡ r t clos sust r aendos todos el l os neces¿r r it r ilr clr por encim a. escri tospor deba. jot lc l: t lir r r ', rI r 'nlr ir l v l¡ r st l¡ lcr clt cias

par a int r oducir la división H asta a qui hcm os vist o los ( iur ur ( ) s r ¡ sr r ir lcs Est af or m a de pr oceder con ayuda d e un cont cxlo:t lr slrr lr r r ( r vo( ) sust r ir ct ivo. es empobrecedoraya quc l)r()v()eirr¡nir itlcttlificación,división-problemade una cierta clase, quc n<l cs rc¿rl lrrclrrsoh¿rstael punto de otorgarle al problema la categoríadc dcflniciirrr. División: Operación quc licnc por ob.icto averiguar cuántas vecesun número llamado dividcndo contiene a otro llamado divisor. División: Operación que tienc por objeto repetir un número llamado dividendo en tantas partes igualescomo indica el divisor. Cabe la posibilidad de completar el cuadro con otra definición que atienda a un propósito más general, como puede ser presentar la división como una inversión de la multiplicación: División:

Es la operación que tiene por objeto, dado un producto y uno de sus factores, hallar el otro.

Vistas así las cosas,habrá que tener cuidado en no presentar el algoritmo, como algo separadoe independientedel correspondientea la multiplicación. Ambos algoritmos pueden ser presentadoscomo un camino de ida y vuelta, es decir, que si se eligió una determinada estrategiaparala multiplicación, en la división hay que invertirla; en otras palabras, hay que desandar lo andado. Con números de una cifra la inversión no presenta problemas, basta con acudir a la tabla de multiplicar a partir del resultado. 27: 9

9 x ? 27

Con números multidígitos, la inversión se complica. Hay que pensar: a)

Lo que era aditivo... z5

z.t

¿-) 23

x? 598+

podría ser sustractivo: 598: 23 +

598 ¿5 ¿3

598

r49

b) Si sc trabir.jr'r sobrela cuadrícula,habrir que tantear:598:23

-t

598 460 138

La técnica c¡lt¡tt'ttl Tambión l¡r tltvtrtr'rlte¡l¡rclu crtt t¡tlitiva, y como ocurría con la ¡ollrc tftls cgltlmnas,una para la unidad multiplicaciir¡ sc lrrrlrrt¡rtlrtt y l a ot r a plt r lt cl {llvlr ( t ll ( lt r ( 'sc t ¡ r r iclct livit lir l9 : 8 Supongut t t os l( r . x

*2 1ó* 2 4 *4 ll2*

E-75: TerminarIa división.

I l*

Sobre el enrejado:

columna,hasta Seduplicay sedimidccl divisorsobrela segunda contraseñase Con una dividendo. sea el suma obtenernúmeroscuya y cuya primera columna la en correspondientes términos señalanlos el cociente. dará suma Sobre la primera columna se repite el procesode duplicar y dimidir seguidocon el divisor,pero a partir de la unidad.Una línea horizontalindica que se estáante una fracción.

El número de cifras del cocientequedadeterminadoal escribirel dividendoen los extremosde las diagonales.Ponemos<?>. Como la multiplicaciónterminópor la izquierda,ahora debemos empezarpor eselado. Se puedeprobar con 556 : 58, o mejor con 560 : 60 (9)

19: 8

2+ II z

4 +8

rl4 rl8

E-76: Pruebeel lector a explicaren qué idease basaestealgoritmo (Sugerencia: Seha obtenido19 a basede ochosy parteso fracctones del mismo) E-772 Dividir a la egipcia47 : 8

Sehacenlosproductos,5 x 9y8 x 9(58 x 90)ysecolocanlas cifrasde los resultadosen su celdacorrespondiente.

5558t? t-

8 0

Como 7 + 5 + x ha de serun númeroacabadoen 5, estoquiere decirquex es 3. Por lo tanto,? debeser6 o 7.El restoesinmediato.

r50

-r

2 5

E-78: ¿Creeque es posibledividir 5558: 168de estamanera? 168: 3x7x8

E-792 Una broma en el cuartel. Dicen qtrc en un cuartel de caballeria de cierto estado ignoto, donde la prcpitritci(rnteórica de los oficiales era ... como se verá.

recibieron cl ¿rvisode que enviaban 28 caballos para repartirlos entre 7 compañías. til primer oficial calculó la distribución así: 8 entre 7, a l, que va al cociente 1 po r7,7 : aBv al bajo 2, 21 entre 7, a 3, que va al cociente. 3 por 7,21; a 21,0 ¡Exacto!

28 17 2t 13 0

Anexo 1:

La raíz cuadrad

y ordenó al soldado: <Cuando lleguen los caballos,mandas 13 a cada compañía>. Los caballos llegaron, y el soldado, al no poder distribuirlos acudió al ohcial segundo: ((veamos-drjo éste- la prueba de la operación que te han dado hecha>. Y multiplicó así:

t3 x7 2l

7 por 3,21, lo escribo 7 por l, 7,1oescribo. 2l y 7,28. ¡Correcto!

t1 TI

1.1. EL ALGORITMO DE LA RAIZ CUADRADA

Huelgadecir que el algoritmode la raiz cuadradaes con mucho el más misteriosode todos.Cuandola mayoríade la genteseplantearesolver,por en el ejemplo!/Ion, efectúauna seriede pasoscuyaexplicaciónpermanece más absolutode los secretos.

Y en conclusión:<Debeshacerel repartocomo sete ha mandado>.El soldadoentonces,naturalmente,acudeal oficial tercero,que decide: <No puedeuno fiarsede las multiplicaciones. Vamosa la suma,quees lo sesuro).Y escribe:

al Empezandopor abajo,sumemosla columna ascendente de treses, 3 y 3 , 6 , y 3 , 9 , y 3 , ..., y 3 , 2 l sigamosahora bajandola columnade unos:

2lv

t3 l3 13 13 13 13 13 28

La forma usual

1. Se divide en grupos de dos cifras, empezando por la derecha.

2. Seextraela raiz cuadradadel primer grupo de la izquierda, y de éstese resta el cuadrado de la cifra hallada.

y en conclusión, otra vez, <4a suma sale 28, el reparto debe hacerse según la orden>.

I 152

153

3. A la deroch¿r dcl resto se baja el grupo siguiente, se separa la cifra de la derecha, y a la parte de la izquierda se la divide por el duplo de la raiz hallada.

4. lil ¡rúmeroformado por el divisor y cl cociente (63) se multiplica por óstc(3) y si el producto se puede restar clcl dividendo (182) entonces, el cocicntc, 3, es la segunda cifra de la raiz; en otro caso se repite el proceso con un número inferior.

Nota histórica:Bn otto lrcnrpo,cl signo de raiz era la letra mayírscrrlirl{, y junto a ella se escribíala inicirrldc quadratus,señalandocon ello quc lrr nriz a extraer era cuadrad¿r.liscri['rían,por ejemplo: R. q. 1082 En la actualidad se utiliza el signo / Ou" es tan sólo una variante de la r, letra inicial de la palabra latina radix, cuyo significado es obvio.

1.1.1.

\Eifr

Ante esta presentación,no es de extrañar que muchos profesoresopten por abandonar el tema argumentando que la enseñanzade este algoritmo carecede interés. <Durante mucho tiempo el cálculo de raícescuadradas fue uno de los martirios más practicados en la escuela.No se sabe quién sufría más, si el profesor o el alumno. Por suerte para ambos, las calculadoras de bolsillo les han evitado tales sufrimientos))(Grupo cero, 1987). Debe entenderseque el martirio está en la presentaciónusual del algoritmo y en la reiteración abusiva y rutinaria del mismo, lo que no significa que no existan otras formas de presentación y otros tratamientos que puedan resultar interesantes para los alumnos y valiosos desde el punto de vista formativo. Si se aborda el diseño del algoritmo a partir de una rica situación de partida, el tanteo, la busqueda de una estrategia,la estimación de la solución, la planifrcación de los pasos,la transcripción al lenguaje del papel y ellápiz, etc., harán que la extracción de raíces cuadradas sea un problema secundario, relegado a la calculadora, lo fundamental es que se estará en condiciones de saber lo que ocurre, de extender el proceso seguido a otros casos,y como no, se estará actuando en una experienciaeducativa distinta, formativa, estimulantey participativa. 154

Un tratamiento manipulativo. (Laboratorio, bloques)

. Problema preliminar o de partida

He pensado en hacerme un mosaico cuadrado con el lin de venderlo. Me puedo gastar unas 25.000 ptas. y en la tienda me han ofrecido cuadritos de cerámica de I cm2 a 15,25 o 50 ptas. según calidad. ¿Puestosa hacer un mosaico con todas las piezas de la misma calidad. De cuántas piezas puedo hacerlo? Debido al transporte se han deteriorado algunas piezasde modo que sólo han quedado útiles 1082. Los mosaicos se pagan en función de su tamaño. ¿Cuánto mide el mosaico que se puede hacer con las 1082 piezas útilcs' ¿Cuántas piezas, como mínimo, debo encargar si no quiero que mc sohrctt piezas? Otra posibilidad que tengo es utilizar las piezassobrantesparit :tttr¡'rlir un viejo mosaicocuadrado.Si así lo hicierapodría aumentarel lado dcl vici< mosaico en una pieza y al hnal todavía me sobrarían 7 piez:as.¿,('ulintrr piezas tiene el antiguo? . La situación de partida

II ú

tfe ----------------

Un número y su raiz cuadrada pueden ser interpretados como la medida del área de un cuadrado y de su lado. De ahí se sigue un procedimiento algorítmico para calcular raícescuadradas:

155

. Trazando urr phrr Para avcriguur l¿rraiz cuadrada de un núrncro se podría construir un cuadrado dc hrc¿rigual a esenúmero. El valor clcl lado de esecuadrado es la raiz ctadrada dcl número. PuIc Aonu (1956) resolvía esta situación, haciendo manipular a sus alumnos un material concreto, broches automáticos, también llamados <clics>. Estos broches tenían la particularidad de que se vendían en hojas punteadas, lo que permitía recortar tiras, cuadrados o rectángulos en la cantidad que se desease. El material de Dienes, Bloques Multibase, permite seguir un proceso análogo. Escójansecubitos, barras y placas. Pueden fabricarse en cartulina resistente.Usese la base diez. Para números grandes se necesitaabreviar la construcción del cuadrado. Una buena planihcación de los pasos y su posterior transcripción al lenguaje del papel y el lápiz dejará perhlado con toda seguridad un buen algoritmo. Para diseñar un plan es bueno ponerse a trabajar. ¿Qué se puede hacer para calcular ta {OSZ? No vamos a poner un cubito y luego otro y luego otro. Un primer paso puede ser el tanteo. Comparar con los números cuadrados (aquellos que nos dicen cuántas unidades se necesitan para hacer un cuadrado). Como algunos se memorizan con rapidez se puede acudir a la estimación mental y ahorrar tiempo:

) t t r e el cuadr adode lado l ado del cuadr ado bust : r r lo.r ", l, r r r tr'r r r pr ( 'n( lr ( l(ct l) or lo t ant o, lar aiz es de 2 30 (9 pl ac as)y el cuat llr r lo r lt ' l; r r lr '. 1(()l( r ¡ r lir er r s) r r r lrr r t 'tiir r r ) . ci frasy l a pr im er a cs . l 1st 'gr r r r rrlir

,<l,lrscilras de las centenasdel radicantlo tlarr la cifra de las unidades de la r'¡iz.>>

Para encontrar la segundacifra hay que decidir qué hacer con el resto de los cubos (1082 - 900) si se ha optado por construir el cuadrado de 9 placas o con el exceso (1600 - 900) si se ha optado por construir el cuadrado de 1600 cubos (tercera instrucción).

<Se resta el cuadrado de la cifra significativa hallada, del primer grupo de la izquierda y se baja el grupo siguiente.> En un caso el sobrante debe destinarsea ampliar el cuadrado base y en el otro, el exceso,debe eliminarse. Se puede actuar paso a paso, lentamente: Por defecto

49, 4, 9, 16, 36, 64, 81, t, 4900, 6400, 8100, 400 1600 3600 100 900 10000, 40000, 90000, 160000, 250000,

A la vista de estos números cuadrados y con el material que hemos adoptado para trabajar (recuérdese:cubos unidad, barras de diez y placas de cien), hay que echar mano de placas. Concretamente de 9 o 16 placas, que son 9 o 16 centenasde cubos unidad. Es fácil optar por 9 o 16 placas si uno fija su atención en el 10 de 1082. Esto es, si uno separa los dos cifras de la derecha del número del que se quiere determinar la raiz cuadrada (primera instrucción). 9 < 10 < 16 ; 900(

9 $ +2 x3 0 +1 :9 6 1

900 + 2 x2 x3 O+2 2

: 1024

Por exceso

1 0 8 2 < 1600

I 302

(30 + -]r)'z

402

La opción placas que se ha tomado para empezar a construir el cuadrado permite decir cosas sobre la raíz buscada. Ya se puedc cstimar el valor del 156

l f f i - 2 x4 0 +l :1 5 1 9 1024: 900 + @'

1 6 0 0 - 2 x2 x4 0 +2 2 :1 4 3 6

2 x 30 + 22 < 1082< 1600- @

2 x 40 * 62 :

1156

157

l-.r seg,rrr¡1l.rrl r¡rrt tl;r lrt práctica y el afán de avanzarhace que pronto se ri rr u l c n ta l . El n ú m e ro d e c ubos que hay que añadi r o rc( u rr . r . r l. r r . lir r r .r, tl rri lir r t ' : . r ( r r l) r ( r r :l tl o b l c d e l l a d o d e l c u a d ra do base más el número de e rrl ¡ ost lr ' l. r is t ¡r r rrr;r l ;s d e c i r q u e e l re s to 1 8 2 o el exceso 518 ha de ( n l);r(lr.rctcs eonr\r(lclirrsc dc tamaño 2 x 30 más algo, el valor de la esquina, tr I r -l(! u)cn()sllgo, rcspectivamente. Dividiendo 182 o 5tr8 por 2 x 30 o por 2 x 4() rcspcclivrlrnentc,se puede estimar el número de paquetes:

1,1;2¿ Un tratamiento ¡rltnétlco. (Llplz y papel) . Problemapreliminaro de prrtldr ¿Cuántosnúmeroscuadradoshay entre 625y 1082? . La situaciónde partida:

<Dccilel doble del lado del cuadrado basees decir el duplo dc la raiz parcial hallada>. Dividiendo por el duplo de la raiz parcial hallada se tiene una estimación de la sesunda cifra de la raiz: x x 1 8 2 :2 x 3 0 :3 '

o yx

<Si se emplearantodos los cubosen trespaquetes, el cuadradono estaría completo, hay que cubrir tamb.iénla esquina.Haciéndolose emplearían3 x (2 x 30) + 32 : 6'3 x 3 : 189;189 es mayor que '182, por lo tanto sólo se pueden hacer dos paquetesque emplean 2 x (2 x 30) + 22 : 124 < 182,)

/r q8 , -9

r82

_ql 0

ol olIo 0 0lo 000

l+3+5+7

_ql 0

0 0 0 0

J-

. Trazandoun plan

PuestoW;r'es la suniade,losn primerosimpares,bastacon averigua de cuántosimpareses suma cada uno de los númerosdel problema preliminar. En la diferenciaestá la solución. LV relaciín en{re números impares y números cuadrados sugiere un piocedimibntopara calcularraícescuadradas(Elcr 1.,1979).Por ejemplo,si se quiore,saberla raiz cuadradade 1298se puedeprocedera restar impares como sigue:

Jr2e8 -l 1297

1294 -5 1289

l3 o +x 2x 3 0 t 82 :2 x 30 : 3 ' ,... 3x 2 x 3 0 + 3 2 : 63 x 3 :1 8 9 > 182 2x 2 x 3 0 + 2 2 : 124 < 182 Lue g ox :2

158

l+3+5

518:2 x40:6'

que el número estimadode paqueteses la solución Hay que asegurarse Téngaseen cuentaque hay una esquinaen el cuadradoincomodanco.rrecta. do. Dicho de otra manera,3'y 6' son cotasmáximaparz la x y mínimá para la y.

1+3

: 6x2x40-62: 444 < 5t8 7x2x40-72: : 511 < 518 Luegoy : 3

Al frnal el número total de imparessustraidoes la solución.No es mal procedimientocuando los números son pequeños'sencillo'seguro' pero lento e interminableguandolos númerosson Srandes' Convienebuscaralgunaestrategiaque abrevie.¿Envez de restaruno a uno los impares,por qué no hacerlode golpe?

159

Se puedeintsrrtarcon los cinco,seiso sictcprimerosimpares,con los diez,veinte,treinta o cuarentaprimeros,con los cuatrocientoso quinientos, etcétera.No hay limite porque sabemoscuánto suman:

( r 5,r '¡ , , ( 'r .r r r rlt r r lr t '\ ( )r it 'llr t l'(per S ustraer61, 6- - 1, 1, o lent o. H ay for m as clc hr ccr lo r lr '¡ 1, r 1¡ r r ' 6l j (,.1 6l + 6.1 t t'.r 6 l +6 1 t6 5 t6 7 6 l +( r 3 +6 5 1 6 7 t6 9 6 1 +6 3 +( r 5 t( r 7 +( r 9 *

Los 10 primerosimparessuman... 100(10'?) Los 20 primerosimparessuman... 400 (202) Los 30 primerosimparessuman... 900 (30'z) (...) (40.000'?) Los 40.000primerosimparessuman... 1600.000.000 (...) Con estaidea es fácil decidirqué númerode imparessustraer,bastacon compararel radicando,en nuestroejemplo1298,con estosnúmeros. 900<

62 63 64 65 66

x2 x3 x4 x5 x6

Si sebuscaentrelos productosde la columaaquelque más seaproxime por defecto,al restoque llevamos,398,es seguroque habremosdado con el númerode imparesque faltan por sustraer.

1298 <1600

ttl 302

Qo + x)2

402 398

Trabajar con estos cuadrados, tiene sus ventajas.Son números fáciles de recordar (siemprelos cuadrados de los nueve primeros números seguidosde un número par de ceros).Deja ver el tamaño delaraiz, en el ejemplo entre 30 y 40. Lo que significa que la primera cifra de laraiz es 3, y ésta es de dos cifras. En la práctica las dos cifras de la derecha, no intervienen en esta parte del proceso, por lo que se pueden dejar de lado. Poner una coma y apartar.

398

Una veztomadala decisiónde sustraerel primer paquetede impares,los 30 primerosen nuestroejemplo,debecontinuarsecon el siguientey con el siguientede éste,y ... El siguientenúmero impar, el 31, es 2 x 30 + 1. (El dohle de la raiz parcial halladamás uno>.

r@l

-900 398 -61 JJ/

-63 274 - 65

Necesariamente x : 6, ya que 66x6<398<67x7 a)

¿Es casualidad que la suma de impares anteriores sea de la forma 6x x x? ¿En qué casos ocurre esta agradable circunstancia? ¿Se cumple siempre en la forma anterior de calcular raíces cuadradas? ¿La división de 398 por el 6 de 6x x x, permitirá estimar el valor de x? ¿Por qué?

Sugerencias: a) (a + l) * ( a - r 3) + ( a+ 5) + ( a + 7) + . . . + ( a + ( 2 x n - 1) ) : b) 398 > 60 x x I x2 + 398:60 >- x

1.1.3. Un tratamiento algebraico.(Lápiz y papel)

30+ x

. Problemapreliminar: 2 x 30 + 1 (El 31 número impar, es decir el doble de la raiz parcial hallada más uno) (El 32 númeroimpar)

Resolverla ecuación 1298 : estándarni calculadora)

x2 (No debe usarseningún algoritmo

. La situaciónde partida: x: lO a+b

r60

161

Es de suponerque a la vistade la situacióndc partida,cualquieralgebrista se sentiráimpelidoa intentarresolverla ecuaciónpreliminarreescritade la siguienteforma: 1298:.(10 x a + b)2

Anexo 2:

¿Dificilpapeleta?

Los materiales manipulativos

l29g : (10 x a)2 + 2 x 10 x a x b + b2

Es decir: 12 x lü) + 98 : ¿2 x 100* 20 x a x b + bz En consecuencia,la primera cifra, la a, ha de ser un número cuvo cuadrado es menor que 12. ala2 4l2, ya que a2 x 700( 12 x 100

o < JtZ ::> a:3 (1."instrucción)

Sustituyendo: 1 2 0 0 + 98 : 900*

20 x 3 x b + b 2 +

2 0 x 3 x b + b2 : 1200+ 98 -900:

398(2."instrucción) 3 9 8 : 20 x 3 x b I b 2 :6 0

¿Qué número puede ser á?

t62

x b * b 2 : (6 0 + b ) x b De la forma 6b x b (3.' instrucción)

directaLa representación simbólicasueleir acompañadade significados pictóricaso ilustraciones: menterelacionadoscon representaciones

1 /Á .r--

. 4\

Limitándose a la pizarra y al papel impreso, no siempre es posible aportar sulicienteorientaciónpara que se aprecietoda la riquezade significados e interrelacionesque se alcanzan cuando la manipulación de los se complementancon la manipulación de símbolos y sus representaciones objetos. No sólo en los primeros años de escolaridad,por cuanto, el nivel de abstracciónde los niños y su capacidadde atencióndependen,como es sabido de la edad,sino porque los materialesmanipulativos,aquellosque se puedenver, tocar, coger y mover, implican accionesirreproduciblesen la pizarra y construccionesque pueden dejarse sobre la mesa mientras se atiendea cuestionesal margen.Potencianla participación,la autonomía,el trabajo en grupo, la ftrmezay seguridaden la presentaciónde resultadosy descubrimientos.Permiten la comprobación,la reversibilidady la correcmás. ción, y porque,...,para qué extendernos La importanciadel material manipulativodidáctico ha sido ampliamente reconocidaen las últimas decadas.Recientementeel NCTM que hace cuarenta añosya habíadefendidopúblicamentela utilización de estosmateriales en NCTM's EighteenthYearbook <Multi-SensoryAids in the Teaching of Mathematics>dedicó íntegramentea estetema su diario oficial Aritmetic Teacher(febrerode 1986,n.o6 vol. 23)mostrandoasí su deseode renovarsu apoyo. En nuestropaís,el importantetrabajo de P¡pno Pulc Aonu (1956),la 163

Iabor de divulgirciirrr dc ClalebGategno y la conrcrcializaci,bnde los materiales Cuisenaircy l)icncs,junto con la efervescencia pedagógica,el prestigiode algunas reunioncs, grupos y movimientos dc profesoreshan contribuido poderosamentca cxtonder este clima de aceptación. Sin embargo, aunque la mayoría de los maestros están de acuerdo con la idea de que el material es un buen recurso para facilitar el aprendizaje de las matemáticas,sobre todo en el nivel más elemental,pocos reconocen utilizarlo en sus aulas. La ruzón no es tanto la dificultad en salvar el puente entre el mundo concreto y el abstracto como cabria pensar, o en la asignación de una determinada interpretación o signihcado en detrimento de otros, sino con preferencia, de otro tipo, a saber: La falta de manuales actualizados, el elevado coste,el excesivonúmero de alumnos por aula, el impacto de la mal llamada matemática moderna, la tendencia a la enseñanzaestándar de libro de texto único y la explosión de las nuevas tecnologías. Además, los materiales por muy estructurados que sean,bonitos o divertidos, no realizan ninguna labor didáctica por sí mismos. Es imprescindible la actuación del profesor y ésta depende de su habilidad, información, conocimiento, estilo, gusto personal, fines que persiga y, cómo no, de las características de los alumnos. Todo ello provoca inseguridad e insatisfacciónen el primer intento, haciendo que muchos abandonen con un sentimiento de fracaso. De cualquier modo, conviene señalar que el papel del material es el de descubrir y comprobar, pero es necesarioque vaya más allá, que el material no sea sólo una herramienta para hacer ver sino, y esto es lo importante, una hcrramienta para convencef y para hacer comprender, y después,cuando el niño ha comprendido bien una circunstancia, el paso siguiente será hacer c¡uc la evoque y la maneje mentalmente. Entre el surtido de materialesmanipulativos que se puede encontrar en el mercado centraremos nuestra atención en aquellos que reproducen características propias de la numeración y que nos serán útiles para la presentación de los algoritmos elementalesde cálculo: Los ábacos,los bloques multibase de Dienes y los números en color.

l ogrado est o,el ábaco c' ur r r r r ', 1,l, ' , , , r , r , t ( ) quc pr opor clonaact t ut t iont 's paral el asy análogas: r l; r '., ¡ r r , '. , lr , r , ,r { n r 'l cir lculocon lápiz y pa¡ . r cl ) r r 'l , r l', r , , ' ¡ t , 'r t r r it capr eciarsu popular idlr t l.yr r U n poc o de c. jcr t r t r ( {ilr que ademásde su glr r r , . t 'r r¡,ll, ¡ , 1, 'r , r r r '. lrr t ción y m anejo pr opor cior t r r r t t : r forma fáci l y r ápidr r r lt 'ck'r t r r ¡ r r r , r lt ulos, sin necesidadde r et encr nir t gún t:r dato o resu lt adopit r cilr lt 't t l; r r t t ct t r ot

(I \ I

, I )

ti , ) I

¡ Soroban (japonés)

Suan Pan (chino)

Existen variantes que pretendiendo resaltar el distinto valor que tiencn las bolas cuando están puestasen varillas diferentes,utilizan formas vutiutl¿ts o colores distintos en función de la posición que van a ocupar.

2.1. LOS ABACOS Los ábacos son juegos de varillas insertadasen un bastidor sobre las que se deslizan bolas o frchascomo en un collar. Reproducen las caracteristicas comunes de los sistemasposicionales simples. Desde el punto de vista pedagógico,los ábacos son un material considerado de refuerzo, no de iniciación. El criterio posicional en que se apoyan debe ser aceptado por el niño sin ninguna razón que lo justifique. Una vez 164

a D

bolas debe tener cada varilla? ¿Por qué?

165

2.1.1. Abacos rlccimales . Cada bola rcplcscnta una unidad como cn los sistemasde representación simplc o Bolas en varillas diferentesrepresentan unidades de distintos órdenes. Es el valor dc posición. Sobre cada varilla una potencia de la base. . Con nueve bolas por varilla se puede representar cualquier número. . Con más bolas, la representaciónya no es única.

Este trabajo dc preparación al ciilerrkrdc columnas es importante por cuanto, hasta esemomento, la estructtrrttllrcnlal aditiva del niño, no es por Centenascon cen(paquetes): unidades COnunidades, cloccltitscgn deCenaS, ténai, etc.;sino que es lineal,es el seguirconlando en Ia escalanumérica.Más o menos como en el siguiente ejemplo: 18 + 5 :

18 + ( 2 + 3) :

( 18 + 2) + 3 : 20 + 3 : 23

A medida que profundizaenel cálculo se le exigirá que la sustituya por otra via ya que aquélla es inviable con números grandes: 18 + 5 : ( 10+

8) + 5 :

10+( 8 + 5) :

10+ 13 :

10+ 10 + 3

Nótese que para que en el ábaco se puedan representarsimultáneamentc dos sumandos, se necesitan 18 bolas en cada varilla, por 1o menos (9 + 9).

El ábaco de diez bolas presentaventajas sobre el de nueve desdeel punto de vista del aprendizaje inicial. En efecto,las dos formas de representarel l0 que admite y sus correspondiente transcripciones escritas preparan al niño para comprender la relación entre <decena))y (un I a la izquierda de un 0>, situándole así en condiciones de efectuar las transferencia que llamamos <llevar>, (reagrupar o pedir prestado> y <pedir y pagaD) en la adición y sustracción por columnas:

ción. Conviene tener en cuenta que el ábaco de 10 permite efectuar el cálculo con independenciadel orden de actuación. Se puede empezar por la derecha, por la iiquierda o por el centro, no importa. Cosa que no ocurre con el

llevar

29 +35 +

,ln +315

+ 5 1 1 4+ 614+ 64

Pedir prestado

,lr

35 -2 9

-2 1 9

2.2. LOS BLOQUES MULTIBASE

2lts -

-2 1

9 +

016+ 6

Pedir y pagar

315

35 -2 9

166

-219

3115 +

-31

así de ser una herramientapara calculara Serun instrumentopara comprender.

9 +

0ló-6

Otro material diseñado para reproducir las característicaspropias de los sistemasde numeraciónes el denominado bloques multibase(DIENEs,l96l) Los bloques multibase se presentan en cajas, una para cada base de numeración.Constan de cubos, barras, placas y bloques de madera pulida, entre si un ccntímetrocon el sin color, marcadaScon unas ranuras Separadas pegadocntre si' De esta han se que las unidades de impresión fin de dar la valorcs numéricosque los de reconocimiento el pretende facilitar manera se representan. 167

rísticasde los blot¡rrcsinrtrqueno presentanlas formas geométricas:la placa es cuadrada,y cl lrl,rr¡rrccúbico, como el cuadrado y el cubo de diez.

En esenciason una colección de unidades agrupadas según los criterios de los sistemasde numeración por agrupamiento múltiple. Cada pieza corresponde a una potencia de la base. Desde el punto de vista pedagógico,los bloques multibase, son un material para el rediseño o construcción paso a paso de las reglas de la numeración y de los algoritmos de cálculo. Partiendo de un montón de cubitos unidad se hace ver lo cómodo de manipular con las piezasde mayor tamaño posible. Esta es la regla de oro de los bloques. Es el agrupamiento siempre que es posible, es más cómodo manipular piezas que cubitos. No se caen cuando se coje una placa y sabes cuántos hay. Decir, una placa, dos barras y tres cubitos, permite hacerseuna idea de la cantidad mientras que cuando se considera un montón de cubitos sólo es un montón de cubitos. La descripción de la cantidad con los bloques corre paralela a la descripción en el sistema de numeración: Cientos, dieces y unos es como placas, barras y cubos. Es la fase de agrupamiento multiplicativo. El paso posterior, la transcripción al lenguaje escrito es lo que dejará perfilado el criterio posicional:

2.2.1. Diferenciasentrelos bloquesy los ábacos La diferencia más notable entre los bloques y los ábacos, es que los primeros no se encuentran en una fase posicional aunque se llega a ella en la transcipción al lenguaje escrito. Los bloques se encuentran en una fase de agrupamiento múltiple y dan una imagen del tamaño de la cantidad ya que van arrastrando todas las unidades, cosa que no ocurre con los ábacos. Una barra también son diez cubos, mientras que una bola en la segundavarilla de la izquierda es igual a una bola en la primera. No obstante, el tratamiento pedagógico es muy similar: juegos que fuercen el reagrupamiento,la sustitución de unidades por grupos de unidades, el uso de nombres-etiqueta (unidad, barra, placa, ..' unidad, decena,centena,...) y la transcripción a un lenguaje abreviado posicional.

2.2.2. Actividades A título de sugerencialos pasos a seguir pueden ir en la siguiente dirección: Conocimiento del material: ¿Cuántas unidades hacen una barra? ¿Cuántas barras hacen una placa?,etc. 2. Juegosde agrupamiento:Con dados. Sobre una situación dada. <El ganador es el primero que logra una placa.> L

Una placa,nuevebarrasy tres cubitosunidad (Agrupamientomultiplicativo) Palillos,cordones,o cualquierotro material cotidiano,enlazadoso distribuidos en cajitas,haciendogrupos de diez unidades,reproduccnlas caracte168

t69

3. Juegosdc dcscripcióndel agrupamictrto.

como si fueran númcros; y apoyándoseen los colores,lo que permite idontificarlas rápidamente, considerarlas como un modelo algebraico, más quc como un aparato aritmético (G.r,rrrcNo 1963, (a), 103), ya que es posible nombrarlas sin decir nada sobre números y enseñar las matemáticas como un conjunto de relaciones...(GlrrncNo, (a), 1963).

-t

I Representa con númerosel resultadoanterior L

B l n l b l cl

-l-l-l-l

Forma lo que señala el cuadro y escribe el resultado:

-l+l+l+ls ffi Forma con el material, 20ll y l2ll. 4.

Juegos de iniciación al cálculo: Explica paso a paso qué hay que añadir a l2ll para tener 2011. Investiga si el paquete hallado resuelvelo que queda cuando a 20ll s e le quit a 1 2 1 1 .

2.3. LOS NUMEROS

EN COLOR

Los números en color también llamados regletasde Cuisenaire,constituyen un conjunto de longitudes coloreadas y permiten reproducir características propias de los sistemasde agrupamiento simple. Las maderitas que conforman el material tienen forma de prisma cuadrangular de un centímetro cuadrado de sección y sus longitudes varían centímetro a centímetro desde uno hasta diez. Con las regletasse trata de, apoyándoseen la medida, utilizar longitudes 170

Se puede pensar que las regletas serían más tácilmente asociables al número si estuviesensubdivididas mediante hendiduras o relievesen tantas partes como centímetros miden. Pero esta solución quitaría a las regletas su carácterde longitud continua y las constreñiría a ser únicamente un conjunto de unidades (como sucedeen los bloques multibase de Dienes).La negra, porej empl o,ser í aent oncesl + 1+ 1+ 1+ 1+ I + lynadam ás que eso. Otra posibilidad podría ser grabar en un extremo de cada regleta un símbolo numérico en código o en escritura ordinaria. Pero eso es algo así como colocar una etiqueta numérica, en contra de la idea esencialde que las regletasno deben identificarse rígidamente con un número, impidiendo otro tipo de asociacionescomo, por ejemplo, con los números racionales.(Si sc toma como uno la marrón, entoncesla blanca es 1/8, la roja 114,etc)

2.3.1. La estructura Las relaciones fundamentales y los movimientos básicos con llrs rcgle tas son: . Ser del mismo color signilica ser de la misma longitud. . Ser de la misma loneitud es ser del mismo color.

t7l

. Los distintos tamaños permiten ordenar lits regletas,formar escaleras' La escaleramayor contiene todos los c<tlt¡rcsy todos SusescalonesSon igual de altos. . Uniendo por los extremos distintas reglctas se pueden obtener longitudes iguales, y adosándolas se forman placas o muros que permiten establecery comparar relaciones aritméticas.

2.3.2. Operaciones Toda regleta se puede sustituir por un número entero de blancas y aunque sólo se dispone de diez clasesde regletas,es fácil imaginar que da escalera>es prolongable más allá de todo limite sin más que tomar una regleta, por ejemplo, la naranja que es la más grande, como base para la prolongación de modo análogo a como se hace en los sistemasde numeración por agrupamiento simple. Se genera así un sistemafonético que resulta ser ordinal e ilimitado y con característicaspropias de un orden total y de un buen orden. La comparación con el sistema fonético ordinal de los números naturales es inmediata. A partir de aquí, los movimientos básicos con las regletas,empalmar o hacer filas y adosar o hacer placas, conducen a situaciones que pueden ser leídas o transcritas al lenguaje de las palabras y los signos di diversasformas, pero con característicaspropias de las operaciones aritméticas elementales: N:a *a

N :2 x a ; N -a :a ; N :2 :a

a:l l 2N N -l l zN :l l 2N :a I N :a:2

Como las regletas no son un material cerrado, se pueden ampliar con placas cuadradas y bloques cúbicos de lado igual a la naranja, centena y millar de blancas respectivamente.Se logra así un material que presenta todas las caracteristicasde los bloques de Dienes de base diez, con lo que se puede completar el ciclo aritmético al ser posible abordar el tratamiento de los algoritmos elementalesde cálculo y su fundamento, la estructura polinómica o multiplicativa del número escrito.

t72

Bibliografía BnoaonENr, F. (1987): <Lattice Multiplication and Division>>.Aritmetic Teacher, enero. Boynn C. (1968): Historia de la matematica. Alianza Editorial, Madrid. Boun¡arI, N. (1972): Elementos de historia de las matemáticas Alianza Universidad, Madrid. Bouvrnn, 4., y Gnoncn, M. (1984):Diccionario de matemáticas.Akal Editores. c¡,npnNr¿n, T. P., y Mosrn, J. M. (1983):<The acquisition of addition and subtractron concepts>.En R. Lesh y M. Landau (eds.):The acquisition of mathematical concepts and processes,Academic Press, Nueva york. c.r.srno, E. y otros (1985): <Aritmética elemental para resolución de problemas>. Reuista Epsilón, núm. 5. cn.rnlor, B. (1986):<Histoire de la réforme des "maths modernes"; idées,directrices et contexte institutionel et socio-économique>.Bulletin ApMEp,352: 15'31, febrero. 1986. GonooN cnrcnn, G. (1936):Los orígenesde la ciuilización.Fond,ode cultura Económica, (1981) México-Madrid (5." ed.). cocrcnorr, w. H. (1982):Mathematics counts. Report of the committee of Inquiry into the Teaching of Mathematics in schools under the chairmansship of dr. w. H. Cockcroft. London, England: Her Majesty's Stationery offrce. corBnus, E. (1959):De la tabla de la multiplicación a la integral. Labor, Barcelona ( 4 . 'e d . ) . cnorunrn, A. c. (1959): Historia de la ciencia: De san Agustín a Galileolt. Siglos vX I I I. Alianza Universidad, (1974), Madrid DaNrzrc, T. (1971): El número lenguaje de la ciencia. Ed. Hobbs Sudamericana. Buenos Aires. Davtns, H. B. (1978): <<Aseven years-old's substraction Technique>. Mathematic,t Teaching,núm 83, junio, 15-16. Econ J. (1979):<Square roots). Mathematics in School, vol. 8, núm. l, encro. 7_9 Fnrcr, G. (1972): Fundamentos de la aritmética. Laia. Barcelona. FnnuoHnxter, H. (1983):Didactical Phenomenologyof Mathematical strut'tutt'.;. I't Reidel, Dordrecht. GnoNrn, M. (1984):El carnaual matemarico. Alianza Editorial, Madrid (4., ed.) (a)

173

PIceno, N. y Grnoorr, M A. (1976): Teclniqtrc:;Opératoires Série <Thémes mathématiques>.OCDL. París. Putc Ao¡.v, P. (1956):Didáctica maÍentút¡(uF.urístit,a. Instituto de Formación del Profesoradode EnseñanzaLaboral. Madrid Rry Pnsron, J. y BaolNr, J. (1984): HisÍoria de la Matemótica. Vol. l. Dc la Antigüedad a la Baja Edad Media. Gedisa, Madrid. RIco, L. y otros (1985):Sistemasde numeración.El sistemadecimal euoluciónhistórica. Universidad de Granada. RusEt-I-,B (1969):<Definición de número>. Sigma. El mundo de las matemática.r.Vol. 4, Ed. Newman, J., Grijalbo, México. School Marhematics. Options for the 1990s.(198$ Proceedings of the Conference. Madison, Wisconsin, diciembre 5-8, 1983.Editado por Romberg, T. A. y Stewarr, D. M. National Council of Teachers of Mathematics. Wisconsin Center for Education Research. School of Education. University of Wisconsin. Madison.

Gno¡¡nn, M. (l9tt4): l'i'.stiualMágico-Matemátittt hli¡nza Editorial, Madrid, (b) Góuez, B. (1985):<Aspectos didácticos de la adici(rrr>>RcuistaEpsilón, núm. 4. Góunz, B. y JnIvt, A. (1983):Los algoritmos.Ed Solcr. Albatros, Valencia. Gnsp¡¡woop, J (1970):<A Product of our times> Mtttln'ntutics Teacher,T0:234-238, maÍzo, Grupo Cero (1987):De I2 a I6 un proyecto de Currí<'ult¡Clonsorcid'Editors Valencians, S. A. (Mestral Libros) Educational Hnsc¡, H. T. (1986): <The acquisition of basic multiplication skill,s>>. studiesin Mathematics,vol. 16 (4),375-388. HocnnN, Lancelot (1966):El unilerso de los números. Destino, Barcelona. Hopn, J. A. (1985):<Unravelling the Mysteries of Expert Mental Calculation>. Educational Studies in Mathematics, vol. 16 (4),355-374' Hopn, J. A. y Snnnnlr, J. M. (1987):<Characteristicsof Mental, Skilled, and Highly Journal for Researchin Mathematics Education, vol. skilled Mental Calculators>>. 81 (2),9 8-1 11 . Irnnn, G. (1985): Ias cífras. Historia de una gran inuención. Alianza Editorial. Madrid, 1987. KttNE, M. (1972) Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press,Nueva York. Llrwrrt-nn, B. y Dur.rc,tN, D.: Actiuities for the maintenanceof computacional skills and the discoueryof patterns, N.C.T.M. Orlando, Florida. Lópsz GencÍl, B. (1955):Breue hístoria de las matemállcas,Dossat, Madrid' LovnrL, K. (1977): Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los niños. Morata Madrid. Matematica modernapara profesoresde enseñanzaelemenlal.(1976)National Council of Teachers of Mathematics. Santillana, Madrid Mathematics 5 to I t. (1979) A Handbook of suggestions.Department of Education and Science,HMI Series:Matters of Discussion 9. London: Her Majesty's Stationery oflice. Mrrr,rn, Cs¡nrns D. y HrnnnN, VnnN E. (1979) Introducción al pensamiento matemático. Trillas, México. Moonn, T. F. (1986):<More on mental computation). Mathemafics Teacher,T9: 1689, marzo. Morrrv, A. (1978):Ar,conIrnus. Mathematics Teaching,núm. 84: 9-13, septiembre' Mott¡nsHnnp, L. (1985):Souecersof Marhematical Discoaery,Blacwell, Oxford. Munuv, A. (1978):Razón y sociedaden Ia Edad Media. Taurus (1982),Madrid. Nnsnnn, P. (1986):Are Mathematical Understanding and Algorithmic Performance Related?For the Learning of Mathematics, 6,3, noviembre. Notes on Mathematicsfor children (1977):Members of the Association of Teachersof Mathematics. Cambridge University Press. PeIcn, D. et al. (1978): Elementary Matemathical Methods. Wiley & Sons., Nueva York. Pa.zwnsn, H. y MlurucIaN, G (1983):<The Contributions of Karaji successorto alKhwarizmi>. Mathematics Teacher.vol. 79, 7. PnansoN,E. S. (1986):<Summing It Al1 Up: Pre-1900 Algorithms>. AritmcÍic Teacher, 38-41, marzo.

t74

EE.UU. Sr¡rrrp, R. (1980): Psicología del aprendizaje de las matemdticas. Morata, Madrid. Wnrrnnn, G. (1983): <La actividad matemática en un contexto educativo: Una directiva para la formación del maestro de matemática de la escuelaprimaria>. Estudios en educaciónmatemática. Vol. 3. Preparado por Robert Morris, UNES-

co, 81-109. Wnnnrnn, R. E. y Wunnlnn, ED. R. (1982): Matemáticas, un lenguaje cotidiano. Cia Editorial Continental, México. Wnrrs, D. (1986): Can you solue f hese?Tarquin Publications.

Sobre el material manipulativo

l I

DrnNns,Z.P.(1978): Cómo utilizar los bloquesmultibase. Teide, Barcelona (2" ctl ) Donroo, S. (1985):<Las regletas.Números en color), en ABRENTE (Bolclirr irrlirr. mativo) núm. 4, mayo-junio, Conselleria de E. y C., Xunta de Galicia. GerrncNo, C. (1962\: Elementos de matemáfíca moderna con números en t,olt¡t Mrr nual para el maestro. Cuisenaire España, Madrid. Garrncuo, C. (1963):For the teachingof Mathematic.r,vol 3, <Elementary Mathcrrrrr tics> Educational Explorers, (a). GlrrncNo, C. (1963):Introducción a los númerosen color, Libro del maestro. Madr id. Cuisenaire España, (2." ed.), (b) Gnrrncuo, C. (1963): Guia para el método de los números en color Cuisenairc España, Madrid (c). GerrscNo C. (1963) Introducción al método Cuisenaire-Gattegnode los números en color para la enseñanzade la Aritmétic¿. Cuisenaire España, Madrid (d). Garrncxo, C. (196\: Col. El material para la enseñanzade las matemóticas Agullar, Madrid. GnrrncNo, C. (1966):Aritmética en color. Cuisenaire España, Madrid. Libros I y II: Los números hasta el 100. Libro III: Problemasy situaciones. Libro IV: Los números hasta el 1.000. Libro V: Fracciones y decimales.

t'75

Libro VI: Los númerosy suspropiedadcs Libro VII: El sistemamétrico. Libro VIII: Proporcionesy mezclas. Libro IX: Algebray gegmetríapara la cscuclaprimaria. Garrecruo,C. (1967):¡Al fin puedePepitouprenderaritmética!Guia para el método i}de los númerosen color. CuisenaireEspaña,Madrid. Gournnp, M. (1964):Catorce charlas sobre númerosen color. CuisenaireEspaña, Madrid. y los tt¡ños.CuisenaireEspaña,Madrid. Goureno, M (1966):Las matemáticas H¡,Ln,D. et al. (1972)Rods,Blocksand Balances, Nelson,A. T. M. Soro, P., y GóMEZB. (1987):<La formaciónmatemáticade los ciegosy los números en color>. ReuistaEpsilón,núm. 8. Soro, P., y GóMEzB. (1986):<Los númerosen color en la educaciónmatemáticade los niños ciegos).Memoria de investigaciónno publicada.Patrocinadapor la Conselleriade Cultura de la Generalitatde la C. A. de Valenciav el I.C.E.de la Universitatde Valencia. M., Higgins,J.(1977):<Activity-Based learningin elementaryschoolmatheSuvonrra, matics:Recommendations from research>.Columbus,Ohio, ERIC SMEAC, t977. t

FECHADEVENCIMIENTO

176