equazioni maxwell

Ricordiamo l'esperienza di FARADY

1)Il galvanometro indica un passaggio di corrente se il flusso magnetico attraverso la spira quadrata varia nel tempo 2) La corrente indotta e' tale da opporsi a dB/dt

Se applichiamo il teorema di Stokes alla legge di Faraday in forma integrale

∫c E∙dl = ∫∫S(∇xE )∙n dS= -∂/∂t∫∫SB∙n dS

Otteniamo :

∇xE = -∂B/∂t Inoltre

∇·E = ρv ∇·H = 0 ∇xH = J

( legge di Gauss ) (legge di Gaus

“magnetica”)

( legge di Ampere)

Nota: c e' il contorno della superficie S mentre n e' il versore normale Alla superficie S.

All’incirca all’epoca dell’unità d’Italia, le equazioni fondamentali dei processi elettrici e magnetici erano note: mancava un solo termine, aggiunto “per via teorica” da J .C Maxwell.

Egli pubblicò l’insieme delle equazioni (1864) che sintetizzano l’elettromagnetismo

James Clerk Maxwell (1831-1879)

Parte dall'osservazione che la legge di Ampere contraddice il principio di conservazione della carica!

1) se siamo in condizioni statiche la somma delle correnti entrante in un volume e' pari a quella delle correnti uscenti dalla sua superficie e la carica all'interno del volume e' costante 2)In condizioni dinamiche la corrente entrante puo' essere maggiore di quella uscente ; in tale caso la carica immagazzinata nel volume cresce nel tempo . Viceversa se la corrente entrante e' minore di quella uscente la carica immagazzinata nel volume diminuisce nel tempo

In ogni punto della superficie S definisco il versore n normale e uscente dalla superficie: la corrente che esce dal volume e' eguale a) al flusso della densita' di corrente J attraverso la superficie S b) alla diminuzione della carica Q contenuta nel volume ν per unita' di tempo

∫∫ J∙n dS = - dQ/dt = - d/dt ∫∫∫v ρ S

∫∫∫v∇∙J dV =

- d/dt ∫∫∫ ρv dV v

∇∙J = - dρv/dt

v

dV

Dalla legge di Ampere ∇x H = J facendone la divergenza ottengo ∇ ∙∇x H = ∇ ∙J = 0 In contrasto con la legge fisica della continuita' della carica elettrica

Maxwell afferma che pertanto deve esistere nella legge di Ampère un altro termine che e' nullo nei casi statici ovvero

∇x H = J +∂D /∂t ove D = ε E ll termine aggiuntivo dD/dt e' detta densita' di corrente di spostamento

D si misura in A sec/ m2 = Coulomb/ m2

Se ora ricalcoliamo la divergenza della legge di Ampere corretta da Maxwell

∇∙∇x H = 0 =∇∙J + ∂(∇∙D) /∂t = 0 ma ∇∙D = ρv e quindi ∇∙J +∂ρv/∂t = 0 QUINDI :Una variazione nel tempo del flusso del vettore D crea un campo magnetico come se fosse una densita' di corrente.

Un campo elettrico è prodotto: da cariche elettriche in condizioni statiche da un campo magnetico che varia nel tempo .

■

Un campo magnetico è prodotto: da correnti elettriche in condizioni statiche da un campo elettrico che varia nel tempo “Se mi chiedete cos'e' la Teoria dell' Elettromagnetismo non ho risposta migliore che questa : La teoria dell'Elettromagnetismo e' il sistema delle 4 equazioni di Maxwell “

CONSEGUENZE IMPORTANTI a)Le sorgenti del campo(cariche e correnti elettriche ) non sono tra loro indipendenti come nel caso statico ma sono legate dall'equazione di continuita' b) in condizioni non statiche si deve parlare di campo elettromagnetico ( una sola parola! ) e non piu' di campi elettrici e campi magnetici

Equazioni di Maxwell

 ∇⋅D = ρ  ∇⋅B = 0   ∂B ∇× E = − ∂t   ∂D ∇× H = J + ∂t

(

)

 ∇⋅ ∇× H = 0

 ∂ρ ∇⋅ J = − ∂t

11

12

13

14

Nel caso statico abbiamo trovato:

Vedremo in seguito l'estensione al caso generale di campi variabili nel tempo 15

Equazioni di Maxwell in forma integrale

∫ D ⋅ dS = ∫ ρ dV S

V

∫ B ⋅ dS = 0 S

∂ ∫C E ⋅ dl = − ∂t

∫ B ⋅ dS S

∂ ∫C H ⋅ dl = ∫S J ⋅ dS + ∂t

∫ D ⋅ dS S

16

I mezzi materiali (anche biologici) sono caratterizzati da 3 parametri : ε , σ , μ    J =J c +J i   J c =σ E    B =µ H =µ0 µr H    D =ε E =ε0εr E

µ0 =4π 10 −7 [H / m ]

ε0 =8.854 10 −12 [F / m ]     F = q E + v ×B

(

[D ] =[C / m 2 ] [ρ] =[C / m 3 ] [B ] =[Wb / m 2 ] =[T ] [E ] =[V / m] [H ] =[ A / m] [J ] =[A / m 2 ] [σ] =[S / m]

) 17

OSCILLAZIONI ELETTROMAGNETICHE

[Q0 -Q(t)]/ C = V(t) = L di(t)/dt Derivando rispetto al tempo t e ricordando che

i(t) = dQ(t)/dt

18

d2i/dt2 = - i(t)/(LC) i(t ) = A sin( ωt) con ω = 1/ ( LC )1/2 v(t) = L di/dt = A ω L cos( ωt) L'energia oscilla a frequenza ω/2π dal condensatore all'induttanza e viceversa.

Realizzo un generatore di tensioni sinusoidali a frequenze anche molto elevate,

19

Grandezze sinusoidali

f = 1 / T ( Hz ) ω = 2 π f ( rad/ sec ) a(t) =Amsin ω t = Am cos (ω t -π/2)

Un circuito può essere analizzato nel dominio dei fasori quando tutti i segnali (tensioni e correnti) sono sinusoidi alla stessa pulsazione ω.

Tutti i generatori indipendenti funzionano alla pulsazione ω e il circuito include solo elementi lineari

Conviene esprimere la dipendenza dal tempo come f(t) = e

jωt

e prendere la parte reale del risultato

f (t ) = e

jωt

⇒

∂ = jω ∂t

Quantita' Scalari

ρ = ρr + jρi = ρ + ρ e 2 r

2 i

jarctg ( ρi / ρr )

=ρ e

jθρ

ρ(t ) = Re{( ρr + jρi ) e jωt } = ρr cos(ωt ) − ρi sin(ωt )

{

ρ(t ) =Re ρ e

jθρ

e

jωt

} = ρ cos(ωt +θ ) ρ

43

Quantità vettoriali E( t ) = E r + jEi = E x e jθ x xˆ + E y e jθ y yˆ + E z e jθ z zˆ

Ex = Erx + j Eix Ey = Ery + j Eiy Ez = Erz + j Eiz Ex (t) = Erx cos( ωt +θx ) - Eix sin ( ωt + θx ) Ey (t) = Ery cos( ωt +θy ) - Eiy sin ( ωt + θy ) Ez (t) = Erz cos( ωt +θz ) - Eiz sin ( ωt + θz)

44

Calcoliamo la corrente in un tessuto biologico in regime sinusoidale considerando sia la conducibilita' che la costante dielettrica

45

Circuito equivalente di un cubo di tessuto biologico di lato L unitario Rp = L /σL2 = L /σ = 1/σ Cp =ε L2/ L = ε L = ε

Se applico una tensione costante V ho corrente nella sola Rp I = V / Rp mentre

Cp dV/dt =0 46

SE APPLICO UNA TENSIONE v(t) =Vm cos (ωt ) ho un campo elettrico E = Em cos ( ω t ) ove |Em| = Vm / L DENSITA' DI CORRENTE DI CONDUZIONE |Jc |= Ic / L2 = v(t) / Rp = σ |Em |cos (ω t) DENSITA' DI CORRENTE DI SPOSTAMENTO |Jd |= Id / L2 = C dV/dt = ε |dE/dt| = - ωε|Em|sin (ω t)

Potenza dissipata per unita' di volume p(t) =

t)]

Em cos ( ω t )

[ σ |Em |cos (ω t) - ωε|Em|sin (ω

Valor medio di p(t) Pmedio = σ |Em |2/2

Metodo alternativo: SE ESPRIMIAMO LA CORRENTE IN REGIME SINUSOIDALE COME v(t)= Vm cos (ωt ) = Re (Vm e jωt ) LE GRANDEZZE DIVENTANO NUMERI COMPLESSI Jc ej ω t = σ E ej ω

t

Jc = σ E Jd = ε0εr dE/dt Jd ej ω t =jω ε0εr E ej ω t Jd =jω ε0εr E ma j =ej π/2 Jd

=ω ε0εr E ej π/2

Per cui prendendo le parti reali:

Jc = σEm cos (ωt ) Jd

=ω ε0εr Em cos (ωt + π/2 ) = - ω ε0εr Em sin ωt

Teorema di Poynting Definiamo vettore di Poynting il vettore P

P = ExH Dimensionalmente P è una potenza per unità di area (E in V/m, H in A/m, P è in Watt/m2) Si puo' dimostrare che il vettore di Poynting P = ExH rappresenta la densita' di potenza ( W/m2) associata al campo elettromagnetico

H∙ ∇xE = - H ∙ ∂B/∂t E ∙∇xH = E ∙J + E∙∂D/∂t sottraendo la seconda dalla prima H ∙∇xE - E ∙∇xH = - H∙∂B/∂t - E ∙J- E∙∂D/∂t ma H ∙∇xE - E ∙∇xH = -∇∙(ExH)

Integro il tutto in un volume arbitrario V delimitato da una superficie S su cui definisco un versore normale uscente n

-∫∫∫v∇∙ (

ExH ) dV =

∫∫∫v(H∙∂B/∂t + σE +E∙∂D/∂t ) dV 2

52

ma

∫∫∫vH∙∂B/∂t dV = ∫∫∫v[ μH∙∂H/∂t ]dV= ∂/∂t ∫∫∫v 1/2μH dV= 2

∂/∂t UH

Analogamente

∫∫∫vE∙∂D/∂t dV = ∂/∂t∫∫∫v εE∙∂E/∂t =

∂/∂t UE

∫∫∫v σE dV = P 2

diss

e' la potenza dissipata all'interno del volume V

-

∫∫∫V∇∙( ExH ) dV =-∫∫S( ExH ) ∙n dS

=-

∫∫SP ∙n dS

e' il flusso del vettore di Poynting entrante attraverso S in V

53

La potenza entrante nel volume V attraverso la superficie S -

∫∫SP∙n dS

e' eguale alla somma di

1)Variazione nel tempo della energia associata al campo magnetico

∂/∂t

∫∫∫v 1/2μH dV 2

2)Variazione nel tempo della energia associata al campo elettrico

∂/∂t∫

∫∫v εE∙∂E/∂t dV

3)Potenza dissipata per eff. Joule

∫∫∫v σE dV 2

54

Quindi l’energia che forniamo nell’unità di tempo al volume e' uguale alla somma di 1)Potenza dissipata per effetto Joule nei conduttori 2) aumento nel tempo dell'energia elettromagnetica immagazzinata nel volume.

Questa potenza e' il flusso entrante del vettore di Poynting attraverso la superficie che delimita il volume

55

Il flusso del vettore di Poynting uscente da una superficie chiusa e' eguale alla potenza elettromagnetica che fluisce dal volume allo spazio circostante.

E' positivo se si ha flusso di potenza verso l'esterno E' negativo se si ha flusso di potenza dall'esterno verso l'interno

Nel caso di campi sinusoidali Pav=½Re[ ExH*] Pav e' il valor medio nel tempo della densita' di potenzaassociata al campo elettromagnetico