HOGENT - Chemie - Toegepaste fysica 1 by HOGENT

Toegepaste fysica 1. Chemie Modeltraject 1

Toegepaste fysica 1 1e jaar professionele bachelor chemie INHOUD Fysische grootheden en eenheden Mechanica 01 Kinematica Algemene verplaatsing Samengestelde bewegingen 02. Dynamica Reactiekrachten Arbeid en vermogen 03. Rotaties 04. Trillingen Trillingen Samengestelde trillingen 05. Fluïda Hydrostatica Hydrodynamica 06. Warmteleer Temperatuur en warmte Soortelijke warmte Aggregatietoestanden Fasediagram van een zuivere stof De eerste hoofdwet van de thermodynamica 07. Warmteoverdracht

GROOTHEDEN EN EENHEDEN

Om natuurkundige verschijnselen te beschrijven hebben wetenschappers grootheden ingevoerd. Grootheden zijn als het ware eigenschappen zoals lengte, tijd, massa, temperatuur,… . Begrippen als afstand en tijd kunnen we ons eenvoudig voorstellen. Hoe langer een staaf, hoe groter de lengte van deze staaf. Hoe langer het duurt voor een voorwerp op de grond valt, hoe meer tijd er verlopen is. Wetenschappers willen deze grootheden onderling kunnen vergelijken. De ene staaf is langer dan een andere staaf.

Om grootheden met elkaar te kunnen vergelijken zal men deze grootheden kwantificeerbaar maken: men zal de waarde uitdrukken door middel van een getal. Men zal de grootheid meten. Dit meten komt neer op het vergelijken van de grootheid die men wenst te meten met een standaard van deze grootheid. Om de lengte van een staaf te meten, zal men deze staaf vergelijken met een ‘standaardlengte’ en nagaan hoeveel maal langer deze staaf is. Om een tijd te bepalen zal men deze tijd vergelijken met een ‘standaardtijd’. Een standaard van een grootheid wordt een eenheid genoemd. De eenheid van lengte is de meter. Dit is de lengte van een welbepaalde staaf. De eenheid van massa is de kilogram. Dit is de massa van een welbepaald voorwerp. In de wetenschappelijke praktijk zal men geconfronteerd worden met zowel zeer grote waarden als zeer kleine waarden voor grootheden. Zo is de afstand tussen twee sterren zeer groot en de afmetingen van een atoom zeer klein. De afstand tussen twee steden, uitgedrukt in meter, is niet erg praktisch. Om te vermijden dat men met zeer grote of zeer kleine getallen geconfronteerd wordt, gebruikt men in de praktijk veelvouden van de eenheid. Deze veelvouden worden aangeduid door een voorvoegsel voor de eenheid te plaatsen.

Fysica

p 0.1

De nevenstaande tabel geeft de voorvoegsels weer. De waarde voor een grootheid wordt aangeduid door een getal gevolgd door de eenheid voor

deze

grootheid,

eventueel

voorafgegaan door een voorvoegsel. Zo wordt een afstand van 3750m geschreven als 3,75km.

Of een

afstand van 0,0062m als 6,2mm. Een tijd van 6,32µs=0,00000632s.

De voorvoegsels in voorgaande tabel zijn telkens veelvouden van duizend (1000).

Men

gebruikt

ook

voorvoegsels voor veelvouden van tien

(10).

tabel

voor

deze

veelvouden vindt u hiernaast.

Historisch gegroeid is de onderverdeling van uren in minuten en van minuten in seconden. Zestig seconden vormen één minuut. Zestig minuten één uur. Hoeken kunnen uitgedrukt worden in graden (°). Graden worden onderverdeeld in boogminuten, soms kortweg minuten genoemd. Een boogminuut Boogminuten

wordt

voorgesteld

worden

door

onderverdeeld

het in

symbool‘’.

(boog)seconden,

1’=60”. Een hoek van 11,547°=11°32’49,2”.

p 0.2

grootheden en eenheden

1°=60’.

symbool“”.

Hoeken worden gemeten door een afstand te meten op de omtrek van een cirkelschijf waarbij het middelpunt van de cirkel samenvalt met het hoekpunt van de hoek. Opdat iedereen dezelfde waarde voor de hoek zou bekomen dienen er afspraken gemaakt te worden.

Zo kan men afspreken dat de omtrek van de cirkel een bepaalde waarde heeft. Normaal neemt men een totale waarde van 360 voor de omtrek. Hoeken

deze

manier

gemeten

worden

uitgedrukt

graden

(minuten/seconden). Een rechte hoek is 90°.

Men kan ook afspreken om de straal van de cirkelschijf waarmee men meet een bepaalde waarde te geven. Normaal neemt men een straal van 1 meter (1m). De grootte van de hoek is dan de afstand tussen de benen van de hoek op de cirkelschijf, gemeten in meter. Hoeken op deze manier gemeten worden uitgedrukt in radialen.

Voor kleine hoeken, uitgedrukt in radialen geldt:

sin(𝛼) ≅ 𝛼 en tan(𝛼) ≅ 𝛼 Voorbeeld: sin(0,02𝑟𝑎𝑑 ) = 0,01999866 en

tan(0,02𝑟𝑎𝑑) = 0,02000266

Uiteraard kan men een hoek gemeten in graden ook uitdrukken in een hoek in radialen en omgekeerd. Dit kan met de regel van drie. De omtrek van een cirkel met straal 1m is 2𝜋 m. Een hoek gevormd door een volledige cirkelboog komt dus overeen met een hoek van 360° of 2𝜋 rad.

360° = 2𝜋𝑟𝑎𝑑 𝑜𝑓 180° = 𝜋𝑟𝑎𝑑 .

Fysica

p 0.3

Voorbeeld: een hoek van 32°24’ 36” = 32,41° komt overeen met een hoek van 32,41° ∙

𝜋𝑟𝑎𝑑 180°

= 0,5656612𝑟𝑎𝑑 . Een hoek van 0,98114𝑟𝑎𝑑 komt overeen

met een hoek van 0,861𝑟𝑎𝑑 ∙

180° 𝜋𝑟𝑎𝑑

= 56,215° = 56°12′54".

Een hoek van 0,61𝑟𝑎𝑑 is een hoek waarbij de boog op

een

schijf

met

straal

(waarbij

het

middelpunt samenvalt met het hoekpunt) een lengte heeft van 0,61𝑚.

De booglengte gevormd op een cirkel met straal 𝑟 (uigedrukt in 𝑚, meter) door een hoek van 𝛼𝑟𝑎𝑑 , bedraagt 𝛼𝑟𝑚. Voorbeeld: De cirkelboog op een cirkel met straal 2,80𝑚 gevormd door een hoek van

0,165𝑟𝑎𝑑 heeft een lengte van 0,165 ∙ 2,80𝑚 = 0,462𝑚

p 0.4

grootheden en eenheden

Het standaardeenhedenstelsel, het

SI-eenhedenstelsel (SI: Système

International) telt zeven basisgrootheden en de erbij horende zeven basiseenheden.

Bemerk dat de basiseenheid van massa niet de gram is, maar de kilogram is. Alle andere grootheden (en eenheden) kunnen afgeleid worden van deze basisgrootheden (en basiseenheden). Zo kent men bijvoorbeeld de afgeleide eenheden voor oppervlakte A (uitgedrukt in 𝑚 ∙ 𝑚 = 𝑚²). Of de afgeleide eenheden volume of inhoud (uitgedrukt in 𝑚 ∙ 𝑚 ∙ 𝑚 = 𝑚3 ). Volume wordt vaak ook uitgedrukt in liter (𝑙 ). 1𝑙 = 1𝑑𝑚³ = 10−3 𝑚³.

wetenschap

techniek

worden

verbanden

gelegd

tussen

verschillende grootheden. Zo bekomt men afgeleide grootheden. De verbanden tussen grootheden worden meestal uitgedrukt aan de hand van wiskundige vergelijkingen. De eenheid van een afgeleide grootheid kan ook uit dit wiskundig verband afgeleid worden.

Fysica

p 0.5

GEWICHT

De massa is een maat voor de hoeveelheid materie. Deze wordt uitgedrukt in kilogram (𝑘𝑔).

De aarde oefent op elke massa een kracht, de gravitatiekracht, uit. Deze kracht wordt gewicht 𝐺 genoemd. Deze kracht is gericht naar het centrum van de aarde. Het is deze kracht die ervoor zorgt dat voorwerpen naar beneden vallen. De aantrekkingskracht van de aarde veroorzaakt een versnelling. Deze versnelling wordt aardversnelling, valversnelling of gravitatieversnelling 𝑔 genoemd. Deze versnelling is aan het aardoppervlak nagenoeg overal hetzelfde en wordt daarom gravitatieconstante genoemd en met de letter 𝑔 aangeduid. De grootte van de gravitatieconstante is : 𝑚

𝑔 = 9,81 𝑠² . 𝐺𝑒𝑤𝑖𝑐ℎ𝑡 𝐺 = 𝑚𝑔

𝑚𝑒𝑡 𝑔 = 9,81

𝑚 𝑠²

In werkelijkheid is de gravitatieversnelling niet overal hetzelfde. Hoe hoger men

zich

boven

het

aardoppervlak

bevindt,

hoe

kleiner

gravitatieversnelling. Voor kleine hoogten kan men dit verschil echter verwaarlozen. De gravitatieversnelling is tevens afhankelijk van de plaats 𝑚

waar men zich bevindt. Ze is het grootst aan de polen (𝑔 = 9,832 𝑠²) en het 𝑚

kleinst aan de evenaar ( 𝑔 = 9,780 𝑠² ). In onze regio bedraagt de 𝑚

gravitatieversnelling 𝑔 = 9,81 𝑠² .

p 0.6

grootheden en eenheden

DICHTHEID

De massa is een maat voor de hoeveelheid materie. Deze wordt uitgedrukt in kilogram ( 𝑘𝑔 ). Het volume van een voorwerp is de plaats die het voorwerp inneemt. Men kan verwachten dat hoe groter de massa 𝑚 dus hoe meer materie een voorwerp bevat), hoe groter het volume 𝑉 , hoe groter de plaats zal zijn die het voorwerp inneemt. We onderzoeken dit verband en definiëren een nieuwe grootheid: de dichtheid 𝜌. De dichtheid 𝜌 is de verhouding van de massa van een voorwerp tot het volume dat dit voorwerp inneemt.

𝜌=

𝑚 𝑉

Dichtheid wordt uitgedrukt in kilogram per kubieke meter (of kilogram per liter)

𝑘𝑔 𝑚³

(of

𝑘𝑔 𝑙

). We beschouwen twee balletjes met precies dezelfde massa.

Ondanks het feit dat beide balletjes dezelfde massa (dezelfde hoeveelheid materie) hebben, hebben ze een ander volume. Het balletje met het kleinste volume heeft de grootste dichtheid. De materie zit als het ware dichter op elkaar gepakt. Dit illustreert mooi het begrip ‘dichtheid’ Bepalen we nu de dichtheid van verschillende voorwerpen, al dan niet uit verschillende materialen. Het blijkt dat voorwerpen uit een zelfde materiaal dezelfde dichtheid hebben. Voorwerpen uit verschillende materialen, hebben doorgaans een verschillende dichtheid. Dichtheid 𝜌 is een materiaalconstante. Dit is een grootheid die een materiaal karakteriseert en toelaat om te bepalen of een voorwerp uit een bepaald materiaal gemaakt is of niet. Daar dichtheid een materiaalconstante is, kan men een tabel maken voor de dichtheid per materiaal. Dichtheid

niet

enige

materiaalconstante.

Smelttemperatuur,

soortelijke warmte, soortelijke weerstand, elasticiteit, brekingsindex (voor transparante materialen) zijn voorbeelden van materiaalconstanten.

Fysica

p 0.7

DRUK

Een kracht loodrecht op een oppervlakte (of de component van een kracht loodrecht op een oppervlak) oefent een druk 𝑝 (pressure, pression) op deze oppervlakte uit. Deze druk is recht evenredig met de uitgeoefende kracht en omgekeerd evenredig met de oppervlakte.

𝑝=

𝐹 𝐴

De eenheid van druk wordt Pascal (𝑃𝑎) genoemd: 1 𝑃𝑎 = 1

𝑁 𝑚²

Bij een zelfde kracht 𝐹 is de druk kleiner naarmate de oppervlakte groter is. Omgekeerd wordt de druk groot als de oppervlakte klein is. Een persoon die in de sneeuw stapt, zakt diep in deze sneeuw weg. Zijn gewicht wordt verdeeld over de oppervlakte van zijn voeten. De druk op de sneeuw is vrij hoog. Indien deze persoon skilatten of sneeuwschoenen aantrekt wordt zijn gewicht verdeeld over de grote oppervlakte van de sneeuwschoenen of skilatten en zakt hij minder diep in de sneeuw weg. Een spijker kan men in de muur kloppen doordat de spijker een scherpe punt heeft. De oppervlakte van deze punt is zo klein, dat de druk zeer groot wordt. De poten van een stoel zakken in het zand. Als men echter een plank onder de stoel legt, dan zakt deze niet meer in het zand. Het gewicht van de stoel is niet veranderd, maar de druk is sterk verkleind. Zonder plank wordt het gewicht verdeeld over de kleine oppervlakte van de poten van de stoel zodat de druk groot is. Door de plank onder de stoel te leggen wordt het gewicht verdeeld over de grotere oppervlakte van de plank waardoor de druk kleiner is en de stoel niet zo diep in het zand zakt.

p 0.8

grootheden en eenheden

SCALAIRE EN VECTORIËLE GROOTHEDEN

Men beschouwt twee types van fysische grootheden. Het eerste type noemt men scalaire grootheden. Deze scalaire grootheden zijn grootheden die volledig bepaald worden door een getal, gevolgd door een eenheid. Voorbeelden van scalaire grootheden zijn massa, temperatuur, dichtheid, tijd, …

Het tweede type grootheden wordt vectoriële grootheden genoemd. Een getal gevolgd door een eenheid volstaat niet. Een vectoriële grootheid kan men beschouwen als een pijl. Ze wordt bepaald door vier kenmerken: 

de richting (dit is de rechte waarop de pijl ligt)



de zin (naar waar wijst de pijl, op elke richting zijn twee zinnen mogelijk)



de grootte (hoe lang is de pijl), dit is een getal, gevolgd door een eenheid.



het aangrijpingspunt (waar begint de pijl).

Snelheid en versnelling zijn voorbeelden van vectoriele grootheden. In de tekst hiervoor werden snelheid en versnelling gedefinieerd. Eigenlijk werd enkel de grootte van beide grootheden in de tekst hiervoor gedefinieerd. Om de snelheid van een voorwerp volledig te kennen volstaat het niet om de grootte te kennen, men dient tevens te weten in welke richting en welke zin het voorwerp beweegt als het zich in een bepaald punt bevindt. Vectoriele grootheden worden aangeduid door er een pijl boven te plaatsen. De grootte van een vectoriele grootheid wordt aangeduid met het zelfde symbool als de vectoriele grootheid, maar zonder pijl. Voorbeelden van vectoriele grootheden zijn snelheid 𝑣⃗ , versnelling 𝑎⃗ en kracht 𝐹⃗ (force).

Fysica

p 0.9

KINEMATICA

De kinematica houdt zich bezig met het beschrijven van de beweging van een voorwerp. De beweging van een voorwerp wordt volledig beschreven door op elk ogenblik weer te geven wat de positie van elk punt van het voorwerp is. Hiertoe dient men een assenstelsel te kiezen. De keuze is uiteraard vrij, maar in vele gevallen kan men door een aangepaste keuze van assenstelsel aan de aard van de beweging, de beschrijving van deze beweging sterk vereenvoudigen. Uiteraard is er een verband tussen de positie van het ene punt van het voorwerp op een bepaald ogenblik en de positie van een ander punt van het voorwerp op datzelfde ogenblik. Als het een vast voorwerp betreft, is de positie tussen twee punten van het voorwerp, constant. Dus ook de afstand tussen de posities van beide punten zal op elk ogenblik hetzelfde zijn. Vaak is men niet in de precieze beweging van een voorwerp geïnteresseerd, maar wil men weten waar het voorwerp zich op een bepaald ogenblik bevindt. In dit geval zal men het voorwerp als een punt beschouwen, en bestudeert men de beweging van dit punt. Men neemt hiervoor het zwaartepunt van het voorwerp. Om de beschrijving van een algemene beweging beter te begrijpen, starten we met de beschrijving van eenvoudige bewegingen van een dimensieloos deeltje (een puntmassa): de eenparig rechtlijnige beweging (ERB), de eenparig

veranderlijke

rechtlijnige

beweging

(EVRB),

eenparig

cirkelvormige beweging (ECB) en vervolgens de eenparig veranderlijke cirkelvormige beweging (EVCB). In deze gevallen gaan we er steeds van uit dat het voorwerp een punt is. Maar… uiteraard kan de studie uitgebreid worden tot reële voorwerpen met niet te verwaarlozen afmetingen.

Fysica

p 1.1

DE EENPARIG RECHTLIJNIGE BEWEGING (ERB)

Een rechtlijnige beweging is een beweging waarbij de puntmassa in een rechte baan beweegt. Deze rechtlijnige beweging is eenparig indien in gelijke tijdsintervallen t, hoe klein of groot deze intervallen ook mogen zijn, een zelfde afstand wordt afgelegd. Als de puntmassa in een tijdsinterval t een afstand s aflegt, dan zal deze puntmassa in een tijdsinterval 2t een afstand 2s afleggen, en in een tijdsinterval 5t zal de puntmassa een afstand 5s afleggen. En in een tijdsinterval ½t zal de puntmassa een afstand ½s afleggen. Een beweging is eenparig indien de verhouding tussen de afgelegde weg en het tijdsinterval waarin dit gebeurde constant is:

∆𝑠 ∆𝑡

Deze constante wordt de snelheid 𝑣 genoemd : 𝑣 = De snelheid 𝑣 wordt uitgedrukt in

𝑚 𝑠

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 ∆𝑠 ∆𝑡

of in een afgeleide eenheid (bv

𝑘𝑚 𝑢

Dit houdt in dat de afgelegde weg evenredig is met het tijdsinterval nodig om deze weg af te leggen. Of hoe langer de rit duurt, hoe groter de afgelegde weg (of afstand) is. ∆𝑠~∆𝑡. In een tijdsinterval ∆𝑡 legt de puntmassa een afstand ∆𝑠 = 𝑣 ∙ ∆𝑡 af. Voor de beschrijving van een eenparig rechtlijnige beweging kiezen we een assenstelsel waarbij één van de assen samenvalt met de baan van de puntmassa. Door deze keuze te maken, is de positie van de puntmassa volledig gekend als men voor elk ogenblik de coördinaat van de puntmassa op deze as kent. Voor de eenvoud noemen we deze as de 𝑠-as en wordt de positie van de puntmassa bepaald door de 𝑠-coördinaat.

P1.2

kinematica

De positie van de puntmassa is een functie van de tijd 𝑠(𝑡). Veronderstel dat op de puntmassa zich op het ogenblik 𝑡0 op de positie 𝑠0 bevindt, dan zal de puntmassa zich op het ogenblik t (een tijdsinterval ∆𝑡 =

𝑡 − 𝑡0 later), op de positie 𝑠(𝑡) bevinden. De afstand ∆𝑠 tussen 𝑠(𝑡) en 𝑠0 wordt gegeven door : 𝑠(𝑡) − 𝑠0 = ∆𝑠 = 𝑣 ∙ ∆𝑡 = 𝑣 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) . Zodat

𝑠(𝑡) = 𝑠0 + 𝑣 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )

Indien men de beginpositie zo kan kiezen dat deze nul (𝑠0 = 0)is en de begintijd van de beweging ook zo kan kiezen dat deze nul is (𝑡0 = 0) dan wordt deze vergelijking 𝑠(𝑡) = 𝑣 ∙ 𝑡

𝐸𝑅𝐵 𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )

𝑠 =𝑣∙𝑡

als

𝑡0 = 0 𝑠0 = 0

Bemerk dat bovenstaande vergelijkingen afgeleid werden, enkel op basis van de eenparigheid van de beweging.

Fysica

p 1.3

De vergelijking 𝑠(𝑡) = 𝑠0 + 𝑣 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) is een vergelijking van een rechte. De helling van deze rechte wordt bepaald door 𝑣 . Hoe groter 𝑣 hoe steiler de rechte.

De onderstaande grafiek toont de posities s1 (t) en s2 (t) van twee puntmassa’s. De helling voor de rechte van puntmassa 2 is duidelijk groter dan deze voor puntmassa 1. Puntmassa 2 legt in een tijdsinterval ∆t een grotere afstand ∆s2 dan puntmassa 1 die in ditzelfde tijdsinterval een afstand ∆s1 aflegt.

P1.4

kinematica

DE EENPARIG VERANDERLIJKE RECHTLIJNIGE BEWEGING (EVRB)

Een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging is een rechtlijnige beweging waarbij de verandering in snelheid eenparig is. Een verandering in snelheid is eenparig indien in gelijke tijdsintervallen ∆𝑡,hoe klein of groot deze tijdsintervallen ook mogen zijn, de snelheid even veel verandert. Deze verandering kan zowel een toename of een afname zijn.

Als de snelheid van een puntmassa in een tijdsinterval ∆𝑡 met ∆𝑣 verandert, dan zal de snelheid (bij een eenparig veranderlijke beweging) in een tijdsinterval 2∆𝑡 met 2∆𝑣 veranderen of zal de snelheid in een tijdsinterval 5∆𝑡 met 5∆𝑣 veranderen.

Een beweging verandert eenparig indien de verhouding van de verandering van de snelheid ∆𝑣 en het tijdsinterval ∆𝑡 waarin dit gebeurt, constant is : ∆𝑣 ∆𝑡

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Deze constante wordt de versnelling 𝑎 genoemd 𝑎 = De versnelling wordt uitgedrukt in

𝑚 𝑠²

∆𝑣 ∆𝑡

Als de snelheid toeneemt (∆𝑣 > 0) dan is 𝑎 positief. Als de snelheid afneemt is 𝑎 negatief. In de volksmond spreekt men in dit geval van een vertraging.

Fysica

p 1.5

De snelheid 𝑣(𝑡)en de positie 𝑠(𝑡) van de puntmassa zijn beide functie van de tijd. Door het assenstelsel zo te kiezen dat de 𝑠–as samenvalt met de baan van de puntmassa, wordt de positie volledig bepaald door de

𝑠 -coördinaat

Veronderstel dat op de puntmassa op het ogenblik 𝑡0 een snelheid 𝑣 heeft, dan zal deze puntmassa op het ogenblik t (een tijdsinterval ∆𝑡 = 𝑡 − 𝑡0 later), een snelheid 𝑣(𝑡) hebben. De snelheidsverandering ∆𝑣 tussen 𝑣(𝑡) en 𝑣0 wordt gegeven door :

𝑣(𝑡) − 𝑣0 = ∆𝑣 = 𝑎 ∙ ∆𝑡 = 𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )

zodat

𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )

De positie van de puntmassa wordt gegeven door:

𝑠(𝑡) = 𝑠0 + 𝑣0 .∙ (𝑡 − 𝑡0 ) +

1 2

𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )² ,

waarin 𝑠0 de positie en 𝑣0 de snelheid op het ogenblik 𝑡0 .

𝐸𝑉𝑅𝐵 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) +

𝑣 = 𝑎𝑡 1

als

1 2

𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )2

𝑡0 = 0 𝑠0 = 0 𝑣0 = 0

𝑠 = 𝑎𝑡 2 2

P1.6

kinematica

De vergelijking voor de snelheid 𝑣(𝑡) = 𝑣0 + 𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) is een vergelijking van een rechte. Als 𝑎 > 0 is dit een stijgende rechte, als 𝑎 < 0 is dit een dalende rechte. Hoe groter de waarde van 𝑎, hoe steiler de rechte.

De vergelijking voor de positie 𝑠(𝑡) = 𝑠0 + 𝑣0 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑎 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )² is 2 een tweedegraads functie van de tijd. De grafiek is een parabool. Als 𝑎 >

0 is dit een dalparabool als 𝑎 < 0 is dit een bergparabool. Hoe groter de waarde van 𝑎, hoe steiler de parabool.

EVRB met 𝑎 > 0

Fysica

p 1.7

EVRB met 𝑎 < 0

P1.8

kinematica

DE VRIJE VAL (EVRB)

De beweging van een voorwerp dat we laten vallen van op een hoogte h noemen we een vrije val. Het betreft een rechtlijnige beweging, met constante versnelling. Een voorwerp valt omdat het aangetrokken wordt door de aarde. De versnelling van een vrij vallend lichaam noemt men de zwaartekrachtversnelling of valversnelling. Ze wordt aangeduid met g (van gravitatie). De valversnelling g is afhankelijk van de plaats op aarde. Zo is de valversnelling op de evenaar 9,78

𝑚 𝑠²

en op de polen 9,83

𝑚 𝑠²

. De

𝑚

valversnelling bedraagt in onze streek 9,81 . Ook op andere hemellichamen 𝑠²

vallen voorwerpen met een constante versnelling. Zo is de valversnelling op 𝑚

de maan 1,63 . Bemerk dat de valversnelling onafhankelijk is van de massa 𝑠²

van het vallende lichaam.

We kiezen een as recht omhoog met de oorsprong op de grond. We noemen deze as de ℎ-as (hoogte-as). De begincoördinaat van het vallende lichaam is ℎ0 . De coördinaat van het vallende lichaam neemt af tot het op de grond terecht komt en nul is. De

tijd wordt zo gekozen dat de bal begint bij 𝑡0 = 0. De

beginsnelheid 𝑣0 is nul. Deze snelheid wordt in absolute waarde steeds groter, maar is negatief (want het lichaam beweegt in tegengestelde zin van de as). De versnelling is tevens negatief (in tegengestelde zin van de ℎ -as. De versnelling is 𝑎 = −𝑔 = −9,81

𝑚 𝑠²

Fysica

p 1.9

De vergelijking voor de hoogte bij een vrije val is: 1

ℎ = ℎ0 − 𝑔𝑡² 2

De valtijd tijd nodig om op de grond te komen, kan bepaald worden uit 1

ℎ = ℎ0 − 𝑔𝑡 2 = 0

De valtijd is

1 2

𝑔𝑡 2 = ℎ0

zodat

𝑡2 =

2ℎ0 𝑔

𝑡=√

Onderstaande grafiek heeft de hoogte van drie lichamen, die men op het zelfde ogenblik (𝑣0 = 0) laat vallen van een hoogte, respectievelijk 6 𝑚, 4 𝑚 en 2 𝑚. Daarnaast een stroboscopische opname van een vallend ei.

P1.10

kinematica

De vergelijking voor de snelheid van een voorwerp in vrije val is:

𝑣 = −𝑔𝑡

De snelheid waarmee het voorwerp op de grond komt kan bepaald worden door in bovenstaande vergelijking de valtijd 𝑡 = √

2ℎ0 𝑔

in te vullen.

2ℎ0 𝑣 = −𝑔𝑡 = −𝑔√ = −√2𝑔ℎ0 𝑔

De snelheid waarmee een vallend voorwerp op de grond komt is des te groter naarmate de hoogte waarvan het valt hoger is.

Fysica

p 1.11

VERTICALE WORP OMHOOG (EVRB)

Men werpt een voorwerp men een beginsnelheid 𝑣0 omhoog. De snelheid neemt eenparig af, tot ze nul wordt. Het voorwerp heeft dan zijn hoogste punt bereikt en zal dan -in vrije val- terug naar beneden vallen. De vrije worp omhoog is terug een voorbeeld van een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging. De beginsnelheid 𝑣0 is positief daar ze in dezelfde zin als de as 𝑚

staat. De versnelling is de valversnelling 𝑎 = −𝑔 = −9,81 . 𝑠²

We kiezen de tijd zo dat 𝑡0 = 0.

De vergelijking voor de hoogte van het lichaam is : ℎ = 𝑣0 𝑡 − 𝑔𝑡² 2 De vergelijking voor de snelheid van het lichaam is : 𝑣 = 𝑣0 − 𝑔𝑡 De top (het hoogste punt) wordt bereikt als de snelheid nul geworden is.

𝑣0 − 𝑔𝑡 = 0 Dit is op het ogenblik

𝑡=

𝑣0 𝑔

𝑣 1 𝑣 2 𝑣2 Het lichaam bereikt dan een hoogte ℎ𝑚𝑎𝑥 = 𝑣0 0 − 𝑔 ( 0 ) = 0 𝑔 2 𝑔 2𝑔

De stijgtijd is even groot als de valtijd. De stijgtijd bedraagt 𝑣2

lichaam komt op een hoogte ℎ𝑚𝑎𝑥 = 0 2𝑔 P1.12

kinematica

𝑡=

𝑣0 𝑔

Het

De valtijd voor een voorwerp dat in vrije val van een hoogte ℎ𝑚𝑎𝑥 valt, is 2

𝑡=√

2ℎ𝑚𝑎𝑥 𝑔

𝑣 2 0

=√

2𝑔

𝑔

=√

𝑣02 𝑔²

𝑣0 en dit is precies de stijgtijd. 𝑔

Bij een verticale worp omhoog gebeurt het stijgen symmetrisch aan het dalen. Onderstaande grafiek die de hoogte in functie van de tijd geeft, voor een verticale worp omhoog met respectievelijke beginsnelheden van 2 4

𝑚 𝑠

en 6

𝑚 𝑠

illustreert dit duidelijk.

Fysica

p 1.13

ALGEMENE VERPLAATSING Bij de rechtlijnige verplaatsing kan men steeds een as van het assenstelsel zo kiezen dat deze samenvalt met de baan van het de puntmassa. Bij een algemene verplaatsing is dit niet mogelijk. Om de verplaatsing te beschrijven zal men op elk moment de positie van de puntmassa in de ruimte moeten kennen. Deze positie kan bepaald worden door de drie coördinaten of door de positievector 𝑟⃗ . Op het ogenblik 𝑡1 bevindt de puntmassa zich op de positie bepaald door positievector ⃗⃗⃗⃗ 𝑟1 .

De puntmassa bevindt zich een tijd

𝑡 later, op ogenblik 𝑡2 , op een

andere positie bepaald door positievector ⃗⃗⃗⃗ 𝑟2 . De verplaatsing wordt

⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗ bepaald door de verplaatsingsvector ∆𝑟 𝑟2 − ⃗⃗⃗⃗ 𝑟1 .

Intuïtief zou men de gemiddelde snelheid kunnen definiëren als de afgelegde weg die in het tijdsinterval

𝑡 werd afgelegd. Dit is een getal dat

enkel zicht heeft op de grootte van de gemiddelde snelheid, maar geen enkele informatie over de richting van de beweging geeft. ⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟

Men definieert daarom de gemiddelde snelheid 𝑣⃗𝑔𝑒𝑚 als : 𝑣⃗𝑔𝑒𝑚 = . ∆𝑡

P1.14

kinematica

grootte

van

gemiddelde

snelheid

lengte

van

verplaatsingsvector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 gedeeld door de tijd nodig om van positie 1 naar positie 2 te gaan. De grootte van deze gemiddelde snelheidsvector is lichtjes verschillend van de gemiddelde snelheid die we intuïtief zouden hebben berekend. Enkel als de beweging in het interval rechtlijnig zou zijn, zal de verplaatsingsvector

⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 samenvallen met de baan en zullen beide gemiddelde snelheden even groot zijn. Als de beweging echter afwijkt van een rechte baan, dan zal de hierboven gedefinieerde gemiddelde snelheid kleiner zijn dan deze die we intuïtief zouden berekenen (als de afgelegde weg gedeeld door de tijd). Naarmate de positie 2 en 1 dichter bij elkaar liggen zal de werkelijke baan minder afwijken van een rechte, zodat het verschil tussen beide snelheden kleiner wordt.

Als het tijdsinterval ∆𝑡 kleiner wordt, komt positie 2 dichter bij positie 1 te liggen. De ogenblikkelijke snelheid van de puntmassa in positie 1 definieert men we als

𝑣⃗ = lim

⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟

∆𝑡→0 ∆𝑡

Deze snelheidsvector heeft als aangrijpingspunt de positie 1 van de puntmassa. Door

constructie

ogenblikkelijke

van

snelheidsvector

een is

het duidelijk dat deze steeds raakt aan de baan

Fysica

p 1.15

De versnelling geeft de verandering in snelheid aan.

Beschouw

terug

baan

van

een

puntvormige massa. In onderstaande figuur worden de ogenblikkelijke snelheidsvectoren 𝑣⃗ in positie 1 en 2 weergegeven.

Om de verandering in snelheid te bepalen, verschuiven we de vector 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 evenwijdig zonder de richting of zin te veranderen, zodat ook vector 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 aangrijpt in positie 1.

De vector

⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑣 ∆𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 heeft de verandering van

snelheid aan. De gemiddelde versnelling in het interval is:

𝑎⃗𝑔𝑒𝑚 =

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑣 ∆𝑡

Men definieert de ogenblikkelijke versnelling in het punt 𝑝 = 𝑝1 als

𝑎⃗ = lim

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑣

∆𝑡→0 ∆𝑡

Het aangrijpingspunt van de ogenblikkelijke versnellingsvector 𝑎⃗ is het punt

𝑝.

P1.16

kinematica

De versnellingsvector kan aan de baan raken, maar dat is zeker niet altijd het geval.

Men kan de versnellingsvector 𝑎 ⃗⃗⃗⃗ in

een

punt

van

baan

ontbinden in twee loodrecht op elkaar staande vectoren: een component die raakt aan de baan (en dus dezelfde richting heeft als de snelheidsvector 𝑣⃗ ) en in een

component

die

daar

loodrecht opstaat. De component die raakt aan de baan noemt men de

tangentiële

versnellingscomponent ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎 𝑇 en de component die loodrecht die er loodrecht op staat de normale versnellingscomponent 𝑎 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑁.

Fysica

p 1.17

Beide versnellingscomponenten hebben een verschillende invloed op de beweging. Beschouwen we eerst de invloed van de tangentiële component

𝑎 𝑇 van de versnelling. De tangentiële component ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎 𝑇 van de versnelling zal in een kort tijdsinterval ∆𝑡 de snelheidsvector 𝑣⃗ veranderen met een ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ component : ∆ 𝑣 = ∆𝑡 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑇 . Dit is een vector die dezelfde richting heeft als de snelheidsvector 𝑣⃗ . Deze vector kan dezelfde maar ook de tegengestelde zin hebben van de snelheidsvector 𝑣⃗ . In onderstaande voorbeelden heeft ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ deze vector ∆ 𝑣 links de tegengestelde zin van, en rechts dezelfde zin als, de snelheidsvector 𝑣⃗ . Voor de duidelijkheid worden de vectoren niet op maar juist boven/onder elkaar getekend.

De resulterende snelheidsvector ⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑟 is niet van richting veranderd, enkel van grootte. De tangentiële versnelling ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎 𝑇 verandert niet de richting van de snelheidsvector maar enkel de grootte. De tangentiële versnelling zorgt dat de puntmassa sneller of trager zal bewegen op de baan.

normale

snelheidsvector

versnellingscomponent ⃗𝑣⃗ .

Deze

normale

loodrecht

versnellingscomponent

zal

𝑎𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

staat

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ snelheidsvector veranderen met een component ∆ 𝑣 = ∆𝑡 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎𝑁 . Dit is een vector die loodrecht staat op de snelheidsvector. De resulterende vector verandert niet van grootte, maar wel van richting. De richting van de snelheidsvector verandert in de richting van de normale versnelling. Links is dit naar boven, rechts naar beneden. P1.18

kinematica

De tangentiële versnelling verandert enkel de grootte van de snelheid, de normale versnelling verandert enkel de richting van de beweging.

Bij een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging (EVRB) verandert de bewegingsrichting niet. Enkel de grootte van de snelheid verandert. In dit geval is de normale versnelling nul en is er enkel een tangentiële versnelling. Bij een puntmassa die met constante snelheid op een cirkelvormige

baan

beweegt,

verandert

enkel

richting

van

snelheidsvector (niet de grootte). In dit geval is de tangentiële versnelling nul en is er enkel een normale versnelling.

Fysica

p 1.19

DE EENPARIG CIRKELVORMIGE BEWEGING (ECB)

Een beweging is een cirkelvormige beweging indien de baan van de puntmassa (of een lichaam) een cirkel is. Om de positie te kennen volstaat het om de hoek 𝜃 of de afstand 𝑠 op de cirkelomtrek te

kennen

ten

opzichte

van

een

gekozen

beginpositie. E is uiteraard een verband tussen 𝑠 en 𝜃 . Hoe groter 𝜃 𝑖𝑠, hoe groter 𝑠 is. Wordt de hoek in graden uitgedrukt, dan is het verband: 𝑠 = 2𝜋𝑟 ∙

𝜃 360°

Wordt de hoek in radialen (𝑟𝑎𝑑) uitgedrukt, dan is het verband 𝑠 = 𝑟𝜃. In deze cursus worden hoeken in de theoretische afleidingen in radialen uitgedrukt.

Een cirkelvormige beweging is eenparig indien in gelijke tijdsintervallen t, hoe klein of groot deze intervallen ook mogen zijn, de puntmassa (of het lichaam) zich over een zelfde hoek ∆𝜃 verplaatst, of dezelfde afstand ∆𝑠 op de cirkelomtrek aflegt. Als de puntmassa in een tijdsinterval t zich verplaatst over een hoek , dan zal de puntmassa zich in een tijdsinterval 2t over een hoek 2∆𝜃 verplaatsen, en zal de puntmassa zich in een tijdsinterval 8t over een hoek 8∆𝜃 verplaatsen.

Een cirkelvormige beweging is eenparig indien de verhouding tussen de hoek ∆𝜃 waarover de puntmassa zich verplaatst en het tijdsinterval waarin dit gebeurt, constant is :

P1.20

∆𝜃 ∆𝑡

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

kinematica

Deze constante wordt de hoeksnelheid 𝜔 genoemd : 𝜔 = De hoeksnelheid wordt uitgedrukt in

𝑟𝑎𝑑 𝑠

∆𝜃 ∆𝑡

Veronderstel dat op de puntmassa zich op het ogenblik 𝑡0 op een hoek 𝜃0 bevindt, dan zal de puntmassa zich op het ogenblik t (een tijdsinterval ∆𝑡 =

𝑡 − 𝑡0 later), op de positie 𝜃(𝑡 ) bevinden. De puntmassa heeft zich in het tijdsinterval over een hoek ∆𝜃 = 𝜔 ∙ ∆𝑡 verplaatst, zodat de puntmassa zich inmiddels op een hoek 𝜃 (𝑡 ) = 𝜃0 + ∆𝜃 = 𝜃0 + 𝜔 ∙ ∆𝑡 bevindt.

Indien men de beginpositie zo kan kiezen dat 𝜃0 = 0 is en de begintijd van de beweging ook zo kan kiezen dat deze nul is (𝑡0 = 0) dan wordt deze vergelijking 𝜃 (𝑡 ) = 𝜔 ∙ 𝑡 Bemerk dat deze formules gelijken op de formules van de eenparige rechtlijnige beweging (𝑠 ↔ 𝜃 en 𝑣 ↔ 𝜔). Dit is niet te verwonderen daar beide afgeleid zijn, enkel uitgaande van het feit dat de beweging eenparig is.

𝐸𝐶𝐵 𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝜃 = 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )

𝜃 =𝜔∙𝑡

als

𝜃0 = 0 𝑡0 = 0

Fysica

p 1.21

Men kan een eenparig cirkelvormige beweging omschrijven door de positie

𝑠 op de cirkelboog in functie van de tijd te bepalen. Daar de beweging eenparig is, bekomt men net dezelfde formules als bij de eenparig rechtlijnige beweging. Uiteraard is er een verband tussen de hoeksnelheid

𝜔 en de snelheid 𝑣.

Het verband kan eenvoudig afgeleid worden :

𝑣=

∆𝑠 ∆𝑡

𝑚𝑒𝑡 ∆𝑠 = 𝑟∆𝜃

𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 𝑣 = 𝑟

𝑚𝑎𝑎𝑟 𝜔 =

∆𝜃 ∆𝑡

∆𝜃 𝑧𝑜𝑑𝑎𝑡 ∆𝑡

𝑣 = 𝑟𝜔

P1.22

kinematica

Naast een omschrijving in termen van hoeken en hoeksnelheid of afgelegde weg op de cirkelomtrek, kan men een cirkelbeweging nog omschrijven in termen van frequentie en periode. Het aantal omwentelingen per seconde wordt de frequentie 𝑓 genoemd. Deze frequentie wordt uitgedrukt in

𝑎𝑎𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒

1 𝑠

= 𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧 (𝐻𝑧).

De periode 𝑇 is de tijd nodig voor één omwenteling. Daar dit een tijd is, wordt de periode uitgedrukt in seconden. Hoe groter de periode (hoe langer het duurt om één omwenteling te maken), hoe kleiner de frequentie (hoe minder omwenteling in één seconde).

𝑓=

1 𝑇

In één periode 𝑇 verplaatst de puntmassa zich over een volledige hoek van

2𝜋.

𝜔=

2𝜋 𝑇

𝜔 = 2𝜋𝑓

Fysica

p 1.23

In voorgaande hebben we gezien

dat

snelheidsvector steeds raakt aan

baan.

cirkelvormige houdt

dit

een

beweging in

dat

snelheidsvector in een punt, loodrecht staat op de straal (lijnstuk dat het punt en het middelpunt

van

cirkel

verbindt) in dit punt.

De versnelling

𝑎⃗ = lim

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑣

∆𝑡→0 ∆𝑡

. Hiervoor dient bepaald te worden. Dit

gebeurt door de vector 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 te verschuiven zodat het aangrijpingspunt samen valt met het aangrijpingspunt van ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 .

Daar de vectoren ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 en 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 loodrecht staan op hun straal is hun onderlinge

∆𝜃 hoek dezelfde als de hoek tussen hun stralen.

P1.24

kinematica

Voor de duidelijkheid werd vector 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 op een positie iets verder van ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 getekend. Naarmate positie 2 dichter bij positie 1 ligt, zal de richting van

𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2 minder afwijken van de richting van ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 . De vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑣 zal loodrecht staan op ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 . De versnellingsvector 𝑎⃗ staat dus loodrecht op de snelheidsvector 𝑣⃗ . Er is enkel een normale versnellingscomponent.

Beschouwen we de driehoeken 𝑟 − ∆𝑠 − 𝑟 en 𝑣 ⃗⃗⃗⃗1 − ⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑣 − ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 uit vorige figuur. In de eerste driehoek is ∆𝑠′ de lengte van de koorde terwijl ∆𝑠 de lengte van de booglijn is. ∆𝑠 is dus iets groter dan ∆𝑠′ . Naarmate de hoek kleiner wordt, wordt het verschil kleiner, Zodat lim ∆𝑠 = ∆𝑠′. De ∆𝜃→0

snelheden 𝑣1 en 𝑣2 zijn even groot. 𝑣1 = 𝑣2 = 𝑣

Beide driehoeken zijn gelijkvormig (gelijkbenige driehoeken met dezelfde hoek tussen de gelijkbenige zijden) , zodat

Fysica

∆𝑣 𝑣

∆𝑠 ′ 𝑟

of ∆𝑣 = 𝑣 ∙

∆𝑠 ′ 𝑟

p 1.25

∆𝑣 𝑣 ∙ ∆𝑠 ′ 𝑣 ∆𝑠 ′ 𝑣 𝑣2 𝑎 = lim = lim = ∙ lim = ∙ 𝑣= ∆𝑡→0 ∆𝑡 ∆𝑡→0 𝑟 ∙ ∆𝑡 𝑟 ∆𝑡→0 ∆𝑡 𝑟 𝑟

𝑣2 𝑎= 𝑟

De versnelling is omgekeerd

𝑎⃗

evenredig met het kwadraat van de snelheid en

evenredig

met

straal

van

cirkelbeweging.

versnellingsvector is naar het middelpunt van de cirkel gericht en staat loodrecht op de snelheidsvector. De tangentiële versnellingscomponent is nul.

P1.26

kinematica

EENPARIG VERANDERLIJKE CIRKELVORMIGE BEWEGING (EVCB)

Een eenparig veranderlijke cirkelvormige beweging is een cirkelvormige beweging waarbij de hoeksnelheid 𝜔 eenparig verandert. Een verandering in snelheid is eenparig indien in gelijke tijdsintervallen ∆𝑡,hoe klein of groot deze tijdsintervallen ook mogen zijn, de hoeksnelheid even veel verandert. Deze verandering kan zowel een toename of een afname zijn.

Als de hoeksnelheid van een puntmassa in een tijdsinterval ∆𝑡 met ∆𝜔 verandert, dan zal de hoeksnelheid (bij een eenparig veranderlijke cirkelvormige beweging) in een tijdsinterval 2∆𝑡 met 2∆𝜔 veranderen of zal de snelheid in een tijdsinterval 5∆𝑡 met 5∆𝜔 veranderen.

Een beweging verandert eenparig indien de verhouding van de verandering van de hoeksnelheid ∆𝜔 en het tijdsinterval ∆𝑡 waarin dit gebeurt, constant is :

∆𝜔 ∆𝑡

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

Deze constante wordt de hoekversnelling 𝛼 genoemd 𝛼 =

De hoekversnelling wordt uitgedrukt in

𝑟𝑎𝑑 𝑠²

∆𝜔 ∆𝑡

Als de hoeksnelheid 𝜔 toeneemt is 𝛼 positief, neemt de hoeksnelheid 𝜔 af dan is 𝛼 negatief.

Fysica

p 1.27

Veronderstel dat de puntmassa op het ogenblik 𝑡0 een hoeksnelheid 𝜔 heeft, dan zal deze puntmassa op het ogenblik t (een tijdsinterval ∆𝑡 = 𝑡 −

𝑡0 later), een snelheid 𝑣(𝑡) hebben. De verandering in hoeksnelheid ∆𝜔 tussen 𝜔(𝑡) en 𝜔0 wordt gegeven door :

𝜔(𝑡) − 𝜔0 = ∆𝜔 = 𝛼 ∙ ∆𝑡 = 𝛼 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) zodat

𝜔(𝑡) = 𝜔0 + 𝛼 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )

De hoek 𝜃 waar de puntmassa zicht bevindt, wordt gegeven door:

𝜃(𝑡) = 𝜃0 + 𝜔0 .∙ (𝑡 − 𝑡0 ) +

1 2

𝛼 ∙ (𝑡 − 𝑡0 )² ,

waarin 𝜃0 de hoek en 𝜔0 de hoeksnelheid zijn op het ogenblik 𝑡0 .

Deze formules gelijken op de formules van een EVRB. Dit is logisch, ze zijn enkel afgeleid voortgaande op het eenparig veranderlijke karakter van de beweging. ( 𝜃 ↔ 𝑠 en

𝜔 ↔ 𝑣 en 𝛼 ↔ 𝑎 )

Op de volgende pagina staat een overzicht van de formules voor de verschillende bijzondere bewegingen die hiervoor beschreven werden. Bovenaan elk kader worden de algemene formules gegeven. Onderaan staan de vereenvoudigde formules, waarbij de beginwaarden (starttijd, beginpositie, en voor de veranderlijke beweging ook de beginsnelheid) nul zijn.

P1.28

kinematica

𝐸𝑅𝐵

𝐸𝑐𝐵

𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝑠 = 𝑠0 + 𝑣(𝑡 − 𝑡0 )

𝜃 = 𝜃0 + 𝜔(𝑡 − 𝑡0 )

𝑣 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝜔 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝑠 = 𝑣𝑡

als

𝑡0 = 0 𝑠0 = 0

𝜃 = 𝜔𝑡

𝐸𝑉𝑅𝐵

als

𝑡0 = 0 𝜃0 = 0

𝐸𝑉𝐶𝐵

𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝑣 = 𝑣0 + 𝑎(𝑡 − 𝑡0 )

𝜔 = 𝜔0 + 𝛼(𝑡 − 𝑡0 )

1 𝑠 = 𝑠0 + 𝑣0 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑎(𝑡 − 𝑡0 )2 2

1 𝜃 = 𝜃0 + 𝜔0 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝛼(𝑡 − 𝑡0 )2 2

𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝛼 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡

𝑣 = 𝑎𝑡

𝜔 = 𝛼𝑡

𝑠 = 𝑎𝑡² 2

als

𝑡0 = 0 𝑠0 = 0 𝑣0 = 0

𝜃 = 𝛼𝑡² 2

Fysica

als

𝑡0 = 0 𝜃0 = 0 𝜔0 = 0

p 1.29

In een eenparig veranderlijke beweging verandert de grootte van de snelheid. De tangentiële component van de versnelling is dus niet nul.

𝑎𝑇 =

∆𝑣 ∆𝜔 =𝑟 = 𝑟𝛼 ∆𝑡 ∆𝑡

𝑎 𝑇 = 𝑟𝛼

𝑣2 𝑎𝑁 = 𝑟

Een voorwerp in een eenparig veranderlijke cirkelvormige beweging, ondergaat een tangentiële versnelling 𝑎 𝑇 die ervoor zorgt dat de snelheid (in grootte) verandert. De normale versnelling 𝑎𝑁 zorgt dat het voorwerp op een cirkelvormige baan blijft. Daar de snelheid verandert dient ook de normale versnelling te veranderen.

P1.30

kinematica

RECHTLIJNIGE BEWEGING IN EEN WILLEKEURIG ASSENSTELSEL

In de voorgaande beschrijving van rechtlijnige bewegingen hebben we de as telkens laten samenvallen met de baan van de bewegende puntmassa. Het kan wenselijk zijn om de vergelijking van de beweging in een willekeurig

𝑥𝑦𝑧-assenstelsel te hebben (bijvoorbeeld voor de beschrijving van twee of meer bewegingen in verschillende richtingen).

In een ERB gebeurt de verplaatsing in de richting van de snelheidsvector

𝑣⃗. Nemen we een eenheidsvector 𝑢 ⃗⃗ in deze richting dan kunnen we de snelheidsvector schrijven als 𝑣⃗ = 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙𝑢 . De algemene vergelijkingen voor een eenparig rechtlijnige beweging in een willekeurig 𝑥𝑦𝑧-assenstelsel zijn:

𝑣⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝑣 ∙ 𝑢 ⃗⃗ 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0 + 𝑣 ∙ 𝑢 ⃗⃗(𝑡 − 𝑡0 )

In een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging (EVRB) hebben de versnelling 𝑎⃗ , de beginsnelheid 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗0 en de snelheidsvector 𝑣⃗ dezelfde richting. We kunnen ze schrijven als 𝑎⃗ = 𝑎 ∙ 𝑢 ⃗⃗ , 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗0 = 𝑣0 ∙ 𝑢 ⃗⃗ +en 𝑣⃗ = 𝑣 ∙ 𝑢 ⃗⃗. De algemene vergelijking voor een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging in een willekeurig 𝑥𝑦𝑧-assenstelsel zijn:

𝑎⃗ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 = 𝑎 ∙ 𝑢 ⃗⃗ 𝑣⃗ = 𝑣 ∙ 𝑢 ⃗⃗ = 𝑣0 ∙ 𝑢 ⃗⃗ + 𝑎 ∙ 𝑢 ⃗⃗(𝑡 − 𝑡0 ) 1 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0 + 𝑣0 . 𝑢 ⃗⃗(𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑎 ∙ 𝑢 ⃗⃗(𝑡 − 𝑡0 )2 2

Fysica

p 1.31

SAMENGESTELDE BEWEGINGEN Als een persoon met constante snelheid door de gang van een trein wandelt, beschrijft hij ten opzichte van de trein een eenparig rechtlijnige beweging. Als de trein ten opzichte van de aarde beweegt, dan is de beweging die de wandelende persoon beschrijft ten opzichte van de aarde de samengestelde beweging van hem ten opzichte van de trein met de beweging van de trein ten opzichte van de aarde. Als een lichaam twee (of meerdere) bewegingen uitvoert, dan spreken we over een samengestelde beweging. Hieronder enkele voorbeelden: -een boot op een rivier met stroming -een vliegtuig in de wind -een tennisbal die opgeslagen wordt

De positie van een voorwerp in een samengestelde beweging is deze alsof de twee bewegingen na elkaar en onafhankelijk van elkaar zou gebeuren. De positie kan bepaald worden alsof de bewegingen elkaar niet beïnvloeden. Het voorwerp bevindt zich op het ogenblik 𝑡0 in startpositie ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0 . Stel dat het voorwerp zich in het tijdsinterval tussen tijdstip 𝑡0 en 𝑡1 zou verplaatsen volgens een vector

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟1 ten gevolge van de eerste beweging (indien er geen tweede beweging zou zijn) en volgens een

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 ten gevolge van de tweede beweging vector ∆𝑟 (indien er geen eerste beweging zou zijn). Dan zal het voorwerp zich in dat tijdinterval tussen 𝑡0 en 𝑡1 zich verplaatsen volgens een vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟12 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟2 (dus de som van beide verplaatsingen). Op het ogenblik 𝑡1 zal het voorwerp zich dus op positie ⃗⃗⃗⃗ 𝑟1 = ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟2 bevinden.

P1.32

kinematica

DE SAMENSTELLING VAN TWEE EENPARIG RECHTLIJNIGE BEWEGINGEN (TWEE ERB’S)

Een voorwerp dat twee eenparige rechtlijnige bewegingen uitvoert, verplaatst zich eenparig volgens een rechte lijn. Zij

𝑣1 ⃗⃗⃗⃗⃗

𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗2

snelheidsvector

de van

respectievelijk de eerste en de tweede beweging en zij 𝑃0 de startpositie op ogenblik 𝑡0 . Nevenstaande figuur

toont

verplaatsing. De posities 𝑃1

𝑃2 ,

𝑃3

...

zijn

respectievelijk de posities na 1 , 2 , 3 ,… seconden. De verplaatsing in het tijdsterval tussen 𝑡 en 𝑡0 ten gevolge van de eerste eenparig rechtlijnige beweging is ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟1 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) en deze ten gevolge

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = 𝑣 van de tweede eenparig rechtlijnig beweging is ∆𝑟 ⃗⃗⃗⃗⃗2 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ). Zodat de verplaatsing ten gevolge van beide bewegingen samen gelijk is aan ⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟2 = ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣1 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) = (𝑣⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 ) ∙ (𝑡 − 𝑡0 )

⃗⃗⃗⃗⃗ De positie van het voorwerp op tijdstip 𝑡 is dan: 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0 + ∆𝑟 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0 + (𝑣 ⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣2 ) ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) = 𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑟 ∙ (𝑡 − 𝑡0 ) met 𝑣 ⃗⃗⃗⃗𝑟 = 𝑣 ⃗⃗⃗⃗1 + ⃗⃗⃗⃗⃗. 𝑣2 Dit is een eenparig rechtlijnige beweging met als resulterende snelheid de vectoriële som van de snelheden van beide bewegingen.

Fysica

p 1.33

Beschouwen

het

eenvoudig

voorbeeld van een zwemmer die de overkant van een rivier wenst te bereiken. Er is geen stroming. De zwemmer zwemt aan een constante snelheid 𝑣𝑧𝑤 . Dit is een eenparig rechtlijnige beweging (ERB). Als de rivier

een

breedte 𝑑 heeft,

dan

bereikt de zwemmer de overkant na een tijd 𝑡 =

𝑑 𝑣𝑧𝑤

Ook indien er wel een stroming

met

constante

snelheid vstr is,

zal

zwemmer in een eenparig rechtlijnige

beweging

zwemmen. Hij bereikt de oever echter niet juist aan de overkant, maar op een punt,

een

afstand

d′ meer stroomafwaarts. De vectoren ⃗v⃗str en ⃗v⃗zw staan loodrecht op elkaar. De snelheid in de richting van de overstaande oever is onveranderd, zodat de tijd om de rivier over te zwemmen ook in dit geval gelijk is aan 𝑡 =

𝑑 𝑣𝑧𝑤

. Ook al legt de

zwemmer een langere afstand af, en zwemt hij even hard als in het geval er geen stroming is, toch duurt het precies even lang om de overkant van de rivier te bereiken. De afstand 𝑑 ′ = 𝑣𝑠𝑡𝑟 ∙ 𝑡 = 𝑣𝑠𝑡𝑟 ∙

P1.34

𝑑 𝑣𝑧𝑤

=𝑑∙

𝑣𝑠𝑡𝑟

kinematica

𝑣𝑧𝑤

Om, ondanks de stroming, toch precies de overkant van de oever te bereiken, springt de zwemmer onder een hoek in de rivier. Hij zwemt opnieuw in een eenparig rechtlijnige beweging. De hoek 𝛼 waaronder de zwemmer moet zwemmen, wordt gegeven door

sin(𝛼) =

𝑣𝑠𝑡𝑟 𝑣𝑧𝑤

𝑜𝑓

𝛼 = 𝑠𝑖𝑛−1 (

𝑣𝑠𝑡𝑟 𝑣𝑧𝑤

De component van de snelheid in de richting van de overkant van de oever is kleiner dan 𝑣𝑧𝑤 . Ondanks het feit dat de zwemmer even hard zwemt als zonder stroming, en het feit dat hij een kortere afstand aflegt dan in het vorige geval, doet hij er langer over om de oever precies aan de overkant te bereiken. Dit komt omdat hij een deel van zijn snelheid 𝑣𝑧𝑤 gebruikt om de stroming 𝑣𝑠𝑡𝑟 te compenseren. De tijd die hij nodig heeft om de overkant te bereiken wordt bepaald door 𝑡 =

𝑑 𝑣𝑟

2 2 2 − 𝑣2 Hierin is 𝑣𝑟2 + 𝑣𝑠𝑡𝑟 = 𝑣𝑧𝑤 𝑜𝑓 𝑣𝑟 = √𝑣𝑧𝑤 𝑠𝑡𝑟 zodat 𝑡 =

𝑑 √𝑣2𝑧𝑤 −𝑣2𝑠𝑡𝑟 𝑟

Deze tijd is duidelijk langer dan de tijd zonder stroming

Fysica

𝑑 √𝑣2𝑧𝑤 −𝑣2𝑠𝑡𝑟 𝑟

𝑑 2 √𝑣𝑧𝑤

p 1.35

DE SAMENSTELLING VAN TWEE EENPARIG VERANDERLIJKE RECHTLIJNIGE BEWEGINGEN, ELK MET BEGINSNELHEID NUL.

Beschouw een voorwerp dat onderhevig is aan twee eenparig veranderlijke bewegingen, elk met een beginsnelheid nul. De beginpositie op het ogenblik

𝑡0 is ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0 . De verandering in het tijdsinterval 𝑡 − 𝑡0 ten gevolge van beweging 1 1 is ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟1 = 𝑎1 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 (𝑡 − 𝑡0 )2 en de verplaatsing ten gevolge van beweging 2 is 2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟2 = 𝑎2 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 (𝑡 − 𝑡0 )2 . De verplaatsing in het tijdsinterval 𝑡 − 𝑡0 ten gevolge 2

van beweging 1 en beweging 2 samen is ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟12 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟1 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟2 .

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟12 =

1 1 𝑎1 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 (𝑡 − 𝑡0 )2 + 𝑎2 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 (𝑡 − 𝑡0 )2 2 2

1 1 ⃗⃗⃗⃗⃗0 + 𝑎 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗( Definieer ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎12 = 𝑎 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 = 𝑎1 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢1 + 𝑎2 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢2 zodat ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟12 = 𝑟 𝑢𝑟 𝑡 − 𝑡0 )2 . 2

De positie van het voorwerp op het tijdstip 𝑡 is 𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∆𝑟12 . 1

𝑟⃗ = ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0 + 𝑎 ∙ ⃗⃗⃗⃗⃗(𝑡 𝑢𝑟 − 𝑡0 )2 . 2

Dit is de vergelijking van een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging met beginsnelheid 0, in de richting ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢𝑟 en met beginpositie ⃗⃗⃗⃗ 𝑟0 op het 𝑡0 . In dit en voorgaande geval resulteert de som van beide rechtlijnige bewegingen opnieuw in een rechtlijnige beweging. Dat twee rechtlijnige bewegingen niet altijd resulteren in een rechtlijnige

beweging

weten

uit

ervaring. Als een balletje van een tafel rolt zal het in een boog op de grond komen. De horizontale rolbeweging is een eenparig rechtlijnige beweging (als de wrijving mag verwaarloosd worden) de verticale val is een eenparig versnelde rechtlijnige beweging. Dergelijke beweging bestuderen we in volgende paragraaf. P1.36

kinematica

DE HORIZONTALE WORP

Onder een horizontale worp verstaan we de beweging van een voorwerp dat we horizontaal werpen. Indien er geen gravitatie zou zijn, zou dit voorwerp zich met constante snelheid in een horizontale baan bewegen. Door de gravitatie valt het echter naar beneden. De resulterende beweging is de samenstelling van een eenparig rechtlijnige horizontale beweging en een verticale vrije val. Het voorwerp valt in een boog naar beneden. Voor de beschrijving kiezen we een assenstelsel als volgt: een ℎ − 𝑎𝑠 van de grond, vertikaal omhoog, door de beginpositie van de horizontale

worp.

Een

horizontale 𝑥 − 𝑎𝑠 in

werprichting. De oorsprong van het assenstelsel is het punt waar de verticale as de grond raakt. We kiezen 𝑡0 =

0 bij het begin van de worp.

De horizontale beweging (in de 𝑥 -richting) is een eenparig rechtlijnige beweging. Deze wordt gegeven door: 𝑥 = 𝑣 ∙ 𝑡 , waarin 𝑣0 de snelheid is waarmee het voorwerp wordt weggeworpen. De verticale beweging (in de ℎ –richting) is een vrije val van op hoogte ℎ0 . 1

Deze wordt gegeven door ℎ = ℎ0 − 𝑔𝑡². 2

Aldus bekomen we volgend stelsel van vergelijkingen:

𝑥 = 𝑣0 ∙ 𝑡 1 ℎ = ℎ0 − 𝑔𝑡² 2

Fysica

p 1.37

Om een functie van de baan ℎ(𝑥) te krijgen, elimineren we 𝑡 uit de eerste vergelijking en substitueren we deze in de tweede vergelijking.

𝑥 = 𝑣0 ∙ 𝑡

𝑡=

𝑥 𝑣0

𝑥 2

𝑣0

zodat ℎ = ℎ0 − 𝑔𝑡²=ℎ0 − 𝑔 ( ) = ℎ0 −

𝑔 2𝑣02

∙ 𝑥²

𝑔

Dus ℎ = ℎ0 − 2 ∙ 𝑥². 2𝑣0 Dit is de vergelijking van een bergparabool.

Deze vergelijking laat toe om te bepalen op welke afstand het voorwerp op de grond komt. Als het voorwerp op de grond komt is ℎ = 0. 𝑔

Dus ℎ = ℎ0 − 2 ∙ 𝑥² = 0 2𝑣0

𝑔

2 ∙ 𝑥² = ℎ0

2𝑣0

zodat 𝑥 = √

2𝑣02 ℎ0 𝑔

Hoe groter de hoogte ℎ0 van waarop men het voorwerp werpt, en hoe sneller waarmee men het voorwerp werpt, hoe verder het op de grond zal terecht komen. Dit blijkt ook duidelijk uit onderstaande grafieken.

P1.38

kinematica

DE SCHUINE WORP OF KOGELBAAN

Met een schuine worp of kogelbaan bedoelen we de beweging van een voorwerp dat onder een hoek naar omhoog (of omlaag) wordt geschoten. Om de eenvoud beschouwen we enkel bewegingen dicht bij het aardoppervlak (zodat de valversnelling constant mag beschouwd worden). Alhoewel de luchtweerstand niet onbelangrijk is, zullen we deze in de volgende beschouwing verwaarlozen. Ook hier kan men de beweging beschouwen als een samenstelling van een horizontale eenparig rechtlijnige beweging en een verticale worp (met een bepaalde beginsnelheid) omhoog.

We gaan er van uit dat het voorwerp van de grond onder een hoek 𝜃 met een beginsnelheid ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣0 naar omhoog wordt geschoten. We kiezen de oorsprong in het punt van waaruit het voorwerp wordt weggeschoten. De 𝑥- as is een horizontale in de bewegingsrichting van het projectiel, de 𝑦–as is een verticale as omhoog. De snelheidsvector 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗0 kan ontbonden worden in een horizontale 𝑣0𝑥 en een verticale 𝑣0𝑦 component. We kiezen de tijd zo dat

𝑡0 = 0 bij het begin van de worp.

𝑣0𝑥 = 𝑣0 cos(𝜃) 𝑣0𝑦 = 𝑣0 sin(𝜃) De horizontale beweging (volgens de 𝑥- as ) is een eenparig rechtlijnige beweging : 𝑥 = 𝑣0𝑥 ∙ 𝑡 = 𝑣0 cos(𝜃) ∙ 𝑡

Fysica

p 1.39

De horizontale snelheid is constant : 𝑣𝑥 = 𝑣0𝑥

De verticale beweging is een eenparig veranderlijke rechtlijnige beweging, een verticale worp omhoog met beginsnelheid 𝑣0𝑦 : 1

𝑦 = 𝑣0𝑦 ∙ 𝑡 − 2 𝑔𝑡² =𝑣0 sin(𝜃) ∙ 𝑡 − 𝑔𝑡² 2

𝑣𝑦 = 𝑣0𝑦 − 𝑔𝑡 = 𝑣0 sin(𝜃) − 𝑔𝑡

Uit de vergelijking voor 𝑥 elimineren we 𝑡 , en deze substitueren we in de vergelijking voor 𝑦. zodat

𝑥 = 𝑣0 cos(𝜃) ∙ 𝑡 𝑣 sin(𝜃)

𝑡= 𝑥

𝑥 𝑣0 cos(𝜃) 2

𝑥

En dus 𝑦 = 𝑣0 cos(𝜃) ∙ 𝑥 − 2 𝑔 (𝑣 cos(𝜃)) = tan(𝜃) ∙ 𝑥 − 2 𝑔 (𝑣 cos(𝜃)) 0 0 0

Dit is de vergelijking van een bergparabool (𝑦 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐) (𝑚𝑒𝑡 𝑎 < 0) De

top

van

parabool,

kunnen we bepalen uit de vergelijking van de parabool (𝑥 =

P1.40

−𝑏 2𝑎

kinematica

De horizontale snelheidscomponent ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑥 verandert niet.

De verticale

snelheidscomponent ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑦 neemt af naarmate het voorwerp stijgt. Hierdoor neemt ook de grootte van de snelheid 𝑣 af. Als het voorwerp de top, het hoogste punt bereikt, is de verticale snelheidscomponent ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣𝑦 nul. Het voorwerp valt vanaf dan terug naar beneden. Hierbij neemt de verticale snelheidscomponent terug toe.

Op een bepaalde hoogte 𝑦, is de grootte van de snelheid van het voorwerp dezelfde (de richting in het stijgende deel is echter verschillend van de richting in het dalende deel van de baan).

Fysica

p 1.41

Het hoogste punt dat bereikt wordt, kunnen we bepalen uit het feit dat de verticale snelheidscomponent in de top 𝑣𝑦 nul is.

𝑣𝑦 = 𝑣0 sin(𝜃) − 𝑔𝑡 = 0

dus als

𝑡𝑡𝑜𝑝 =

𝑣0 sin(𝜃) 𝑔

De hoogte is dan : 1

𝑣0 sin(𝜃)

𝑔

2 ℎ = 𝑦 = 𝑣0 sin(𝜃) ∙ 𝑡𝑡𝑜𝑝 − 𝑔𝑡𝑡𝑜𝑝 = 𝑣0 sin(𝜃)

𝑣02 𝑠𝑖𝑛(𝜃)2

𝑔2

− 𝑔

𝑣02 𝑠𝑖𝑛(𝜃)2 1 𝑣02 𝑠𝑖𝑛(𝜃)2 𝑣02 𝑠𝑖𝑛(𝜃)2 ℎ= − = 𝑔 2 𝑔 2𝑔

zodat

𝑣02 𝑠𝑖𝑛(𝜃)2 ℎ= 2𝑔

𝑡𝑡𝑜𝑝 =

𝑣0 sin(𝜃) 𝑔

Hoe groter de hoek 𝜃 en hoe groter de snelheid 𝑣0 waarmee het voorwerp geworpen wordt, hoe hoger de top van de baan is.

P1.42

kinematica

Het punt waar het voorwerp terug op de grond komt, kunnen we bepalen 1

als : 𝑦 = 𝑣0 sin(𝜃) ∙ 𝑡 − 𝑔𝑡² = 0 2

(𝑣0 sin(𝜃) − 2 𝑔𝑡) ∙ 𝑡 = 0

Deze vergelijking heeft twee oplossingen:

𝑡=0

𝑡=

2𝑣0 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑔

Bemerk dat de tijd om vanaf de top terug op de grond te komen, precies even lang is als de tijd om de top te bereiken. Dit komt volledig overeen met de vaststelling die we deden bij de verticale worp: de stijgtijd is precies even lang als de valtijd.

Het voorwerp komt dus op een afstand

𝑥 = 𝑣0 cos(𝜃) ∙ 𝑡 = 𝑣0 cos(𝜃) .

2𝑣0 𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑔

2𝑣02 cos(𝜃)𝑠𝑖𝑛(𝜃) 𝑔

𝑣02 𝑠𝑖𝑛(2𝜃) 𝑔

𝑣02 𝑠𝑖𝑛(2𝜃) 𝑥= 𝑔

Deze afstand is het grootst als 𝑠𝑖𝑛(2𝜃) maximaal, dus 1, is.

𝑠𝑖𝑛(2𝜃) = 1 dus als

als 2𝜃 = 90°

𝜃 = 45°

Het voorwerp komt het verst als het onder een hoek van 45° geworpen wordt.

Fysica

p 1.43

P1.44

kinematica

VRAGEN 1. Een lift is in rust op de achtste verdieping. Op het ogenblik 𝑡0 komt de lift in

een eenparig

veranderlijke beweging tot de lift

het

ogenblik 𝑡1 de

maximale toegelaten snelheid 𝑣𝑚𝑎𝑥 heeft behaald. Vanaf 𝑡1 beweegt

lift

met

een

constante snelheid 𝑣𝑚𝑎𝑥 verder naar beneden. Vanaf 𝑡2 remt de lift in een eenparig veranderlijke beweging langzaam af, om op het ogenblik 𝑡3 op het gelijkvloers tot stilstand te komen. De grootte van de afremversnelling is kleiner dan de grootte van de versnelling vanuit

rust.

horizontale

Duidt 𝑡3

aan.

Teken

hiernaast op de bovenste grafiek, de grafiek van de snelheid en eronder de grafiek van de hoogte van de lift in functie van de tijd (beiden van 𝑡 = 0 tot iets na 𝑡3 ). Duid bij elk stuk grafiek aan of het een stijgende rechte (SR), een dalende rechte (DR), een horizontale rechte (HR) een dalparabool (DP), een bergparabool (BP), een hyperbool (HP) of een ander vorm (AV) betreft.

Fysica

p 1.45

2. a.Een deeltje beweegt op de nevenstaande

baan

met

afnemende snelheid van rechts naar links. De vectoren ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎1 en ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑎5 raken in het punt p aan de baan. Welke versnellingsvector(en) zijn mogelijk de juiste? …………………

b. Een deeltje beweegt van rechts naar links op de nevenstaande baan. In het punt p is de versnelling 𝑎⃗ van het deeltje getekend. Wat kan je besluiten over de grootte van de snelheid van het deeltje? Kies uit onderstaande mogelijkheden. A) de grootte van de snelheid blijft constant B) de grootte van de snelheid neemt af C) de grootte van de snelheid neemt toe D) je kan niet weten of de snelheid toeneemt of afneemt E) de getekende versnellingsvector is onmogelijk de juiste

3. Een deeltje beweegt van langsom trager op de onderstaande baan. Het pijltje duidt de zin aan waarin het deeltje beweegt. Teken in het punt 𝑝 de snelheidsvector en duidt deze aan met 𝑣⃗ (de grootte is van geen belang).

Teken

het

punt

𝑝

versnellingsvector en duidt deze aan met 𝑎⃗ (de grootte is van geen belang).

P1.46

kinematica

4. Een bol valt van een toren naar beneden. Indien er geen wind is, valt de bol recht naar beneden. Het duurt precies 3,36 seconden voor de bol met een snelheid 𝑣𝑏𝑜𝑙 op de grond valt. a. Veronderstel dat men dezelfde bol laat vallen van een toren die precies dubbel zo hoog is. Hoe lang duurt het voor de bol op de grond is, indien het windstil is? (Je mag de wrijving verwaarlozen) A) precies 6,72s (precies het dubbele van 3,36s) B) langer dan 3,36s maar minder lang dan 6,72s C) langer dan 6,72s D) korter dan 3,36s E) dat kan je niet weten Antwoord: b. Er staat echter een horizontale zijwind die een snelheid heeft van 𝑣𝑤 = 3𝑚/𝑠. Hierdoor komt de bol op een afstand 𝑑 verder van de toren terecht dan in het geval er geen zijwind is. Hoe lang duurt het voor de bol op de grond terecht komt (met zijwind). Je mag de wrijving verwaarlozen. A) iets minder lang dan zonder zijwind, dus iets korter dan 3,36s. B) precies even lang als zonder zijwind, dus 3,36s. C) iets langer dan zonder zijwind, dus iets langer dan 3,36s. D) Dat hangt van de snelheid van de zijwind af. E) dat kan je niet weten Antwoord:

Fysica

p 1.47

5. Een trein nadert een overweg. Op een afstand van 660m van de overweg laat de machinist een waarschuwingssignaal horen. De trein rijdt met een constante snelheid van 108

𝑘𝑚 𝑢

. De geluidssnelheid bedraagt 330

𝑚 𝑠

Hoeveel tijd verstrijkt er tussen het moment dat een voetganger aan de overweg het waarschuwingssignaal hoort en het moment dat de trein voorbij raast?

6. Een

transportband

beweegt

met een constante snelheid van

0,8

deze

transportband liggen koekjes in rijen

van

tussen bedraagt koekjes

zes.

twee

afstand

rijen

koekjes Hoeveel

15𝑐𝑚. worden

één

werkdag van 8 uren geproduceerd. Het duurt 2,5 uren vooraleer de eerste rij koekjes op de transportband terechtkomt.

7. Een klein vliegtuigje heeft een snelheid van minstens 100

km u

nodig om te 𝑚

kunnen opstijgen. De maximale versnelling van het vliegtuigje is 2 𝑠². Kan dit vliegtuigje opstijgen van op een startbaan die 150 𝑚 lang is?

8. Bereken de remafstand van een vrachtwagen die aan een constante snelheid van 81

𝑘𝑚 𝑢

rijdt. De vrachtwagen kan een maximale vertraging

𝑚

2,5 𝑠² ontwikkelen. Hou rekening met het feit dat de reactietijd van de bestuurder 0,70𝑠 bedraagt.

P1.48

kinematica

9. Een auto rijdt over een straat. Op straat ligt er een hindernis. De wagen 𝑚

kan een maximale vertraging 4 𝑠² ontwikkelen. De zichtafstand van de bestuurder in de wagen is 31,5𝑚. De reactiesnelheid van de bestuurder is 0,5𝑠. Met welke snelheid mag de auto rijden, om net voor de hindernis tot stilstand te komen?

10. Een persoon staat bovenaan een rots. Een andere persoon staat op dezelfde rots, op een hoogte van 98m boven de grond. De persoon bovenaan de rots laat een steen vallen. De persoon op een hoogte van 98m ziet de steen passeren en 2s later op de grond vallen. Bereken de hoogte van de rots.

𝑚

11. De motor van een personenlift kan de lift maximaal versnellen met 1,2 𝑠² 𝑚

en maximaal afremmen met 0,9 𝑠². De lift heeft een maximale snelheid 𝑚

van 2,5 𝑠 . Bepaal de kortste tijd om vanuit stilstand van de 7e verdieping 22,4m te zakken tot het gelijkvloers. [ter informatie: een lift in een personengebouw beweegt men een snelheid van 1 tot 2,5 𝑚

𝑚 𝑠

𝑚

met een versnelling rond de 1,2 𝑠² (van

𝑚

0,8 𝑠² 𝑡𝑜𝑡 1,2 𝑠²). In hoge torens kan de snelheid van een lift behoorlijk hoger zijn 4

𝑚 𝑠

𝑚

𝑡𝑜𝑡 10 𝑠 , maar in sommige gevallen is dit nog sneller). De snelheid

van een lift wordt zo bepaald dat voldoende mensen in een korte tijd het gebouw kunnen verlaten.]

Fysica

p 1.49

12. Een lift kan maximaal versnellen met 0,65

𝑚 𝑠²

en maximaal afremmen met

𝑚

𝑠²

𝑠

0,40 . De snelheid van de lift mag niet hoger zijn dan 2,45 . Bepaal de kortste tijd om over een afstand van 8,7m te stijgen van de 8e tot de 11e verdieping. 13. Een cilinder met een diameter van 20𝑐𝑚 rolt van een helling. De snelheid neemt constant toe. Op een bepaald ogenblik start iemand een chronometer. Na 2𝑠 is de cilinder 1𝑚 ver gerold en na 5𝑠 is de cilinder een afstand van 3,7𝑚 ver gerold (vanaf de positie van het indrukken van de chronometer). Bepaal de hoekversnelling en de hoeksnelheid na 5𝑠. 14. Een transportband wordt in beweging gebracht door zes wielen. De wielen hebben een diameter van 48 cm en draaien rond met een frequentie van 3 toeren per seconde. Bepaal de snelheid van de transportband.

15. In

een

stroming

rivier

zonder

haalt

een

zwemmer een maximale snelheid van 1,65𝑚/𝑠 . De zwemmer wil een rivier recht

oversteken.

Het

water in de rivier stroomt met

een

snelheid

van

0,72𝑚/𝑠 . De rivier is 6,8𝑚 breed. Onder welke hoek 𝛼 moet hij in het water springen om het punt A recht aan de overkant van de oever te bereiken. Hoe lang doet hij er over? (Hij zwemt zo snel mogelijk). P1.50

kinematica

16. Men schiet een kanonbal met een snelheid van 72,5m/s onder een hoek van 40°. Op welke afstand komt de kanonbal op de grond terecht? De wrijving mag verwaarloosd worden.

17. Een katapult slingert een rotsblok van 68kg van op een hoogte van 2,30m met een snelheid van 17,6m/s onder een hoek van 52° in de lucht. (zie tekening) Hoe hoog geraakt de rotsblok?

(De wrijving mag

verwaarloosd worden).

Fysica

p 1.51