Cmjv02i06p0828 by Journal of Computer and Mathematical Sciences

J. Comp. & Math. Sci. Vol.2 (6), 828-835 (2011)

Maximum Distance Matrix of Super Subdivision of Star Graph V. KALADEVI1 and P. BACKIALAKSHMI2 1

Department of Mathematics, Seethalakshmi Ramaswami College (Autonomous), Tiruchirappalli-02, Tamil Nadu, India 2 Department of Mathematics, Nehru Memorial College (Autonomous), Puthanampatti, Tiruchirappalli, Tamil Nadu, India ABSTRACT Let G = (V, E) be a simple graph. Let u, v ∈ V(G). The detour distance D(u, v) between u and v is the distance of the longest path from u to v. The detour graph of G denoted by D(G) is defined as an edge labeled complete graph on n vertices, where n = |V(G)|, the labels for uv is D(u, v). The sequence of edge labels of detour graph D(G) is called detour distance sequence. The maximum distance matrix or detour distance matrix is a lower (or) upper triangular matrix of order n x n, whose elements are detour distances. Keywords: Super subdivision, bipartite graph, star graph.

1. INTRODUCTION In graph theory there are so many areas in which graph labeling is one of the interesting areas. This paper deals with a kind of labeling problem which is of edge labeling type. The edge labeled complete graph is called detour graph, where the edge labels are detour distances and the corresponding sequence is called detour distance sequence. Prof. E. Sampath Kumar defines the detour graph of a given graph G denoted by D(G) is an edge labeled complete graph in ‘n’ vertices, where n =

|V(G)|, for every u, v ∈ V(G), the label for the edge uv is D(u, v).1 A few results of his paper are given below of which some of them were proved. If a detour graph of G has all the labels 1, then G = K2. If a detour graph of G has all the labels 2, then G = K3. The maximum distinct integers one can get in a detour distance sequence is n-1. The graph G is a tree if and only if the detour graph D(G) contains (n – 1)1’s. A graph G is a path if and only if the detour distance sequence is 1n-1, 2n-2, . . . (n - 1)1. A graph G is a star if

Journal of Computer and Mathematical Sciences Vol. 2, Issue 6, 31 December, 2011 Pages (780-898)

829

V. Kaladevi, et al., J. Comp. & Math. Sci. Vol.2 (6), 828-835 (2011)

and only if the detour distance sequence of G is 1n-1, 2nC2-(n-1). 2. DETOUR GRAPH Definition 2.1: Let G = (V, E) be a simple graph. Let u, v ∈ V(G). The detour distance D(u, v) between u and v is the distance of the longest path from u to v. The detour graph of G denoted by D(G) is defined as an edge labeled complete graph on n vertices, where n = |V(G)|, the labels for uv is D(u, v). Definition 2.2: The sequence of edge labels of detour graph D(G) is called Detour Distance Sequence (DDS). Definition 2.3: The maximum distance matrix or detour distance matrix is a lower (or) upper triangular matrix of order n x n, whose elements are detour distances.3 3. MAXIMUM DISTANCE MATRIX OF SUPER SUBDIVISION OF STAR GRAPH Definition 3.1: A graph G is called bipartite graph (or) bigraph if its vertex set can be decomposed into two disjoint subsets V1 and V2 such that each edge has one end in V1 and the other end in V2. Such a partition (V1, V2) is called a bipartition of the graph. Definition 3.2: A complete bipartite graph is a simple bipartite graph with bipartition (V1, V2) in which each vertex of V1 is joined to each vertex of V2. If V1 has m vertices and V2 has n vertices, then a complete bipartite graph is denoted by Km,n. If m = 1 then K1, n is called a star graph.

Definition 3.3: In the complete bipartite graph K2,m the part consisting of two vertices is called the 2-vertices part of K2,m and the part consisting of m vertices is called mvertices part of K2,m. Definition 3.4: Let G be a graph with n vertices and t edges. A graph H is said to be a super subdivision of G if H is obtained from G by replacing every edge ei of G by a complete bipartite graph K2,mi for some mi. 1 ≤ i ≤ t in such a way that the ends of ei are merged with the two vertices of 2-vertices part of K2,mi, after removing the edge ei from G. Definition 3.5: A super subdivision H of a graph G is said to be an finite supersubdivision of G if every edge of G is replaced by a complete bipartite graph K2,m (m is finite). If G is a (p, q) graph then the number of vertices in the finite supersubdivision of G is p+qm and the number of edges is 2mq. Notation 3.6: A finite super subdivision of a graph G by K2,m is denoted by FSSDm(G). Theorem 3.7: Let G = FSSDm(K1, n) where n, m ≥ 3 Then DDS[FSSDm(K1, n)] = 2n, 32nm, 4n(i+mC2), 2 5n(n-1)m, 6m (nC2) for n = 3, 5, 7, . . ., i = 1, 2, 3, . . . . respectively. 2

= 2n, 32nm, 4n(i+ ½+mC2), 5n(n-1)m,6m (nC2) for n = 4, 6, 8, . . ., i = 1, 2, 3, . . . respectively.

Journal of Computer and Mathematical Sciences Vol. 2, Issue 6, 31 December, 2011 Pages (780-898)

V. Kaladevi, et al., J. Comp. & Math. Sci. Vol.2 (6), 828-835 (2011)

830

Proof: Let V(K1,n) = {v0, v1, . . ., vn} be the vertex set of star graph K1,n with v0 as centre vertex and v1, v2, . . . , vn are the end vertices. Let E(K1,n) = {v0vi/1 ≤ i ≤ n} be the edge set of the star graph K1,n.

V(G) and edge set E(G) are described as below.

Let G denote the finite supersubdivision of star graph K1,n ie. G = FSSDm(K1,n).

E(G) = {v0 vn+i ; 1 ≤ i ≤ nm} ∪ {v1 vn+i ; 1 ≤ i ≤ m} ∪ {v2 vn+i ; m+1 ≤ i ≤ 2m}∪ . . . ∪ {vn vn+i ; m(n-1)+1 ≤ i ≤ nm}

V(G) = {v0, v1, v2, . . ., vn} ∪ {vn+1, vn+2 . . . vn+nm} and

To get the supersubdivision of star graph K1,n replace each edge v0vi by the complete bipartite graph K2,m, where m ≥ 3 and 1 ≤ i ≤ n in such a way that the ends of v0vi are merged with two vertices of 2vertices part of K2,mi after removing the edge ei from the star graph K1,n. The vertex set

We prove the statement by induction on n. We first prove for n = 3. Case i: m = 3 DDS[FSSD3(K1, 3)] = 23 318 412 518 627

V10

V4 V1

V3 V5

V11

V12

Journal of Computer and Mathematical Sciences Vol. 2, Issue 6, 31 December, 2011 Pages (780-898)

831

V. Kaladevi, et al., J. Comp. & Math. Sci. Vol.2 (6), 828-835 (2011)

Detour distance matrix of FSSD3(K1, 3) is V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V0  0 V1  2 V2  2  V3  2 V4  3  V5  3 V6  3  V7  3  V8  3 V9  3  V10  3 V11  3  V12  3

- -  -  - -  - -  -  - -  - -  0 

Case ii : m = 4 DDS[FSSD4(K1, 3)] = 23 324 421 524 648 V2 V2

V9 V9

V 10

V1 V3

V5 V6

V11

V13

V14

V4 V5

V3 V0

V15

V13

V16

V 14

V17

V18

V15

V12

V 11

V 12

V10

Journal of Computer and Mathematical Sciences Vol. 2, Issue 6, 31 December, 2011 Pages (780-898)

V. Kaladevi, et al., J. Comp. & Math. Sci. Vol.2 (6), 828-835 (2011)

Detour distance matrix of FSSD4(K1, 3) is

832

Detour distance matrix of FSSD5(K1, 3) is V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14V15 V16 V17 V18

V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V0 0 V1 2 V2 2  V3 2 V4 3  V5 3 V6 3  V7 3  V8 3 V9 3  V10 3 V11 3  V12 3 V13 3  V14 3  V15 3

- - - - - - - - - - - - - - - 0 - - - - - - - - - - - - - -  4 0 - - - - - - - - - - - - -  4 4 0 - - - - - - - - - - - - 3 5 5 0 - - - - - - - - - - -  3 5 5 4 0 - - - - - - - - - - 3 5 5 4 4 0 - - - - - - - - -  3 5 5 4 4 4 0 - - - - - - - -  5 3 5 6 6 6 6 0 - - - - - - - 5 3 5 6 6 6 6 4 0 - - - - - -  5 3 5 6 6 6 6 4 4 0 - - - - - 5 3 5 6 6 6 6 4 4 4 0 - - - -  5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 0 - - - 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 - -  5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 0 -  5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 0

DDS[FSSD5(K1, 3)] = 23 330 433 530 675

DDS[FSSD3(K1, 4)] = 24 324 418 536 654

V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15V16

V7 V9

V10

V6 V11

V3 V12

V 16

V 15

− − − − − − − − − − − − − − − − − − 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − −  4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − 3 5 5 0 − − − − − − − − − − − − − −  3 5 5 4 0 − − − − − − − − − − − − − 3 5 5 4 4 0 − − − − − − − − − − − − 3 5 5 4 4 4 0 − − − − − − − − − − −  3 5 5 4 4 4 4 0 − − − − − − − − − − 5 3 5 6 6 6 6 6 0 − − − − − − − − −  5 3 5 6 6 6 6 6 4 0 − − − − − − − − 5 3 5 6 6 6 6 6 4 4 0 − − − − − − − 5 3 5 6 6 6 6 6 4 4 4 0 − − − − − −  5 3 5 6 6 6 6 6 4 4 4 4 0 − − − − − 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 − − − −  5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 − − − 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 0 − − 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 0 −  5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 0

Secondly we prove the statement for n = 4. Case i : m = 3

Case iii : m = 5

V0 0 V1 2 V2 2  V3 2 V4 3  V5 3 V6 3 V7 3  V8 3 V9 3  V10 3 V11 3 V12 3  V13 3 V14 3  V15 3 V16 3 V17 3  V18 3

V 14

V13 V4

Detour distance matrix of FSSD3(K1, 4) is

V0 0 V1 2 V2 2  V3 2 V4 2  V5 3 V6 3 V7 3  V8 3 V9 3  V10 3 V11 3 V12 3  V13 3 V14 3  V15 3 V16 3

− − − − − − − − − − − − − − − − 0 − − − − − − − − − − − − − − − 4 0 − − − − − − − − − − − − − −  4 4 0 − − − − − − − − − − − − − 4 4 4 0 − − − − − − − − − − − −  3 5 5 5 0 − − − − − − − − − − − 3 5 5 5 4 0 − − − − − − − − − − 3 5 5 5 4 4 0 − − − − − − − − −  5 3 5 5 6 6 6 0 − − − − − − − − 5 3 5 5 6 6 6 4 0 − − − − − − −  5 3 5 5 6 6 6 4 4 0 − − − − − − 5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 0 − − − − − 5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 4 0 − − − −  5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 4 4 0 − − − 5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 − −  5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 − 5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 0 

Journal of Computer and Mathematical Sciences Vol. 2, Issue 6, 31 December, 2011 Pages (780-898)

833

V. Kaladevi, et al., J. Comp. & Math. Sci. Vol.2 (6), 828-835 (2011) V9

Case ii: m = 4

DDS[FSSD4(K1, 4)] = 24 332 430 548 696

V10

V 14

V 12

V 11

V16

V6 V1

V 13

V 15

V24

V23

V 22

V21

V20 V17

V13

V12

V8 V7

V11

V 10

V18 V4

V19

V 14 V20

V 19

V 18

V 17 V 15

Detour distance matrix of FSSD5(K1, 4) is

V 16 V4

V0 V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 V9 V10 V11 V12 V13 V14 V15 V16 V17 V18 V19 V20 0 2  2  V3 2 V4 2  V5 3  V6 3 V7 3  V8 3 V9 3  V10 3  V11 3 V12 3  V13 3  V14 3 V15 3  V16 3 V17 3  V18 3  V19 3 V20 3 V0 V1 V2

0  2 V2 2  V3 2 V4 2  V5 3  V6 3 V7 3  V8 3  V9 3 V10 3  V11 3 V12 3 V13 3  V14 3 V15 3  V16 3  V17 3 V18 3  V19 3  V20 3 V21 3  V22 3  V23 3 V24 3 V0 V1

Detour distance matrix of FSSD4(K1, 4) is − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − −  4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − 4 4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − −  3 5 5 5 0 − − − − − − − − − − − − − − −  3 5 5 5 4 0 − − − − − − − − − − − − − − 3 5 5 5 4 4 0 − − − − − − − − − − − − −  3 5 5 5 4 4 4 0 − − − − − − − − − − − − 5 3 5 5 6 6 6 6 0 − − − − − − − − − − − 5 3 5 5 6 6 6 6 4 0 − − − − − − − − − −  5 3 5 5 6 6 6 6 4 4 0 − − − − − − − − −  5 3 5 5 6 6 6 6 4 4 4 0 − − − − − − − −  5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 0 − − − − − − −  5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 − − − − − − 5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 0 − − − − −  5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 0 − − − − 5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 − − −  5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 − −  5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 0 − 5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 0

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −  0 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −  4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 4 4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 3 5 5 5 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − − −  3 5 5 5 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − − 3 5 5 5 4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − − −  3 5 5 5 4 4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − −  3 5 5 5 4 4 4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − 5 3 5 5 6 6 6 6 6 0 − − − − − − − − − − − − − −  5 3 5 5 6 6 6 6 6 4 0 − − − − − − − − − − − − −  5 3 5 5 6 6 6 6 6 4 4 0 − − − − − − − − − − − − 5 3 5 5 6 6 6 6 6 4 4 4 0 − − − − − − − − − − −  5 3 5 5 6 6 6 6 6 4 4 4 4 0 − − − − − − − − − − 5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 − − − − − − − − − 5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 − − − − − − − −  5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 0 − − − − − − − 5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 0 − − − − − −  5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 0 − − − − −  5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 − − − − 5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 − − −  5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 0 − −  5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 0 − 5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 4 4 0

We prove the statement for n = 5 and m = 3. Case iii : m = 5 DDS[FSSD5(K1, 4)]

= 2 3 4 5 6

150

DDS[FSSD3(K1, 5)] = 25 330 425 560 690

Journal of Computer and Mathematical Sciences Vol. 2, Issue 6, 31 December, 2011 Pages (780-898)

834

V. Kaladevi, et al., J. Comp. & Math. Sci. Vol.2 (6), 828-835 (2011)

DDS[FSSDm(K1,t+1)]= [2t, 32 t m , 4t[i + ½ +mC2], 2 5t(t-1)m, 6m (tC2))] . [21, 32m, 4-t/2 + i + mC2, 52 t m , 2 6m (tC1)]

V2 V3 V11 V 10 V8

V12

V13

V7 V0

DDS[FSSDm(K1,t+1)] = 22(t+1), 32(t+1)m, 4(t+1)(i+mC2),

V 14

V6 V15 V1

V20

V19

5(t+1) t m ,

V16

2((t+1)C2)

V18 V17

Detour distance matrix of FSSD3(K1,5) is 0  2 2  2 2  2  V6 3 V7 3  V8 3  V9 3 V10 3  V11 3 V12 3 V13 3  V14 3 V15 3  V16 3  V17 3 V18 3  V19 3  V20 3 V0 V1 V2 V3 V4 V5

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −  0 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − −  4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − − − 4 4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − − − 4 4 4 4 0 − − − − − − − − − − − − − − −  3 5 5 5 5 0 − − − − − − − − − − − − − − 3 5 5 5 5 4 0 − − − − − − − − − − − − −  3 5 5 5 5 4 4 0 − − − − − − − − − − − −  5 3 5 5 5 6 6 6 0 − − − − − − − − − − − 5 3 5 5 5 6 6 6 4 0 − − − − − − − − − −  5 3 5 5 5 6 6 6 4 4 0 − − − − − − − − −  5 5 3 5 5 6 6 6 6 6 6 0 − − − − − − − − 5 5 3 5 5 6 6 6 6 6 6 4 0 − − − − − − −  5 5 3 5 5 6 6 6 6 6 6 4 4 0 − − − − − − 5 5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 − − − − −  5 5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 − − − −  5 5 5 3 5 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 0 − − − 5 5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 − −  5 5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 0 −  5 5 5 5 3 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 4 0

By Induction, let us assume that the statement is true for n = t, where t is even. We have to prove the result is true for n = t + 1, where t + 1 is odd. DDS[FSSDm(K1,t)] = 2t, 32 t m , 4t[i + ½ +mC2], 5t(t2 1)m , 6m (tC2) where i = 1, 2, 3, . . . .

Let us assume that the statement is true for n = t, where t is odd. We have to prove the result is true for n = t + 1, where t + 1 is even. DDS[FSSDm(K1,t)] = 2t, 32 t m , 4t(i+mC2), 5t(t2 1)m , 6m (tC2) where i = 1, 2, 3, . . . . DDS[FSSDm(K1,t+1)] = [2t, 32 t m , 4t(i+mC2), 5t(t2 1)m , 6m (tC2)] . 2 [21, 32m, 4t/2+i+½+mC2, 52 t m , 6m (tC1)] DDS[FSSDm(K1,t+1)] = 2(t+1), 32(t+1)m, 2 4(t+1)(i+½+mC2), 5t(t+1)m, 6m (t+1)C2). Hence the Theorem.

4. CONCLUSION In this paper we have found the detour distance sequence of FSSDm(K1,n). The graph FSSDm(K1,n) is nothing but the one vertex union of isomorphic complete bipartite graphs K2,m, where m ≥ 3. Therefore, we conclude the detour distance sequence of one vertex union of isomorphic complete bipartite graphs K2,m, where m ≥ 3 is the result proved in the theorem.

Journal of Computer and Mathematical Sciences Vol. 2, Issue 6, 31 December, 2011 Pages (780-898)

835

V. Kaladevi, et al., J. Comp. & Math. Sci. Vol.2 (6), 828-835 (2011)

REFERENCES 1. E. Sampath Kumar, V. Swaminathan, P. Vishvanathan, G. Prabhakaran, Detour Graphs, ICMCS, March 1-3, pp.247-248 (2007). 2. J. A. Gallian, Dynamic Survey, DS6; Graphs Labeling, Electronic J. ombinatorics, DS6 1-58, (2007). www.combinatoric.org–surveys– DS6.pdf

3. Indra Rajasingh, Bharathirajan, S. Prabhu, Detour Distance Sequence, ICMCS 25-26, pp. 276-280 (July 2008). 4. Indra Rajasingh, Bharathirajan, S. Prabhu, Maximum Distance Matrix of the Complete Bipartite Graph and its Distance Sequence, ICMCS 5-6, pp.148152 (January 2009). 5. F. Harary, Graph Theory, Addision Wesley, Publishing Company, (1969).

Journal of Computer and Mathematical Sciences Vol. 2, Issue 6, 31 December, 2011 Pages (780-898)