Optimizacion Soluciones Enteras A Problemas Enteros

Optimizaci贸n Soluciones enteras a problemas enteros

La estructura at贸mica del diamante es muy ordenada y para ser cortado se necesitan tomar capas enteras de este pues si se intenta cortar de una forma transversal el cortador se romper谩

Contenido Introducción

3

Clasificación de Planteamientos

5

Asignación de capital con horizonte

5

Cobertura de conjuntos

5

Planeación de producción

6

Mochila

6

Asignación de capital

7

Agente viajero

7

Asignación de horarios

8

Cargo fijo

8

Si… Entonces…

9

Si y sólo si

9

O bien

9

Dicotomía

10

Aplicaciones Cargo fijo Mochila

11 11

Contenido Si… entonces…

5

Si y sólo si

5

Asignación de capital con horizonte

6

Horarios de personal

6

Agente viajero

7

Cobertura de conjunto

7

O bien

8

Dicotomía

8

Introducción l modelo de programación entera es sumamente parecido al modelo lineal, sin embargo, hay ocasiones en las que una solución lineal no satisface las necesidades que se tienen al aplicar el modelo en un contexto donde una o varias de las variables dentro del modelo deben tomar valores enteros en la solución óptima (no siempre podemos producir ⅜ de un bien).

Como solución para este problema se analiza las posibles alternativas de valores enteros de dichas variables en un radio cercano de la solución obtenida con el modelo lineal.

3

Introducción Básicamente, si tenemos un modelo lineal:

Al tener una situación donde las variables tengan que ser enteras, por ejemplo: xj = Número de unidades de autos del tipo j a producir

Podemos agregar la restricción de integridad y obtener el modelo de programación (lineal) entera.

4

Clasificación de Planteamientos Asignación de Capital con horizonte

Características ☁ ☁ ☁

Se busca obtener la mayor ganancia.

Las variables son binarias y su valor indica si se debe invertir o no.

Las restricciones reflejan el periodo de inversión.

Métodos de solución

➔

Características ☁

Se busca abarcar la mayor cantidad de espacio con el menor número de variables. ☁ las restricciones son del tipo ≥

Métodos de solución

➔

5

Ramificación y acotamiento

Inspección

Cobertura de Conjuntos

Clasificación de Planteamientos

Planeación de Producción

Características

☁ ☁

☁ Se maximiza la ganancia. ☁ Las restricciones representan la capacidad/recurso Las variables representan el bien a producir Al menos una restricción menor igual

Métodos de solución

➔

Ramificación y acotamiento

Características ☁ ☁ ☁

Las variables representan si se lleva o no el bien Tiene solo una restricción menor igual Se busca saber qué objetos proporcionan la mejor relación espacio/necesidad

Mochila

Métodos de solución

➔

Ramificación y acotamiento ➔ Inspección

6

Clasificación de Planteamientos Asignación de Capital

Características ☁ Se busca maximizar la utilidad ☁ Las restricciones representan el capital máximo a invertir ☁ Similar al planteamiento tipo mochila

Métodos de solución

➔

Características ☁ Se busca minimizar el tiempo de viaje ☁ Las restricciones son todas igualdades y representan las salidas y regresos ☁ Semejante al de asignación pero sin bucles ☁ Se usa como base el método húngaro ☁ La solución es un circuito que pase por todas las ciudades

Métodos de solución

➔

7

Ramificación y acotamiento

Inspección

Agente Viajero

Clasificación de Planteamientos

Asignación de Horarios

Características ☁ Busca minimizar costos ☁ Las restricciones representan las restricciones para el periodo ☁ Las variables representan el personal que inician en cierto periodo ☁ Las restricciones son del tipo ≥

Métodos de solución

➔

Inspección

Características ☁ ☁ ☁ ☁

Las restricciones son del tipo Xi≤ Myi las variables binarias = cargos fijos Tiene dos conjuntos de restricciones Tiene una M cuyo valor es muy grande ○ yi=1 xi≤M ○ yi=0 xi=0

Cargo Fijo

Métodos de solución

➔

Ramificación y acotamiento para modelos mixtos ➔ Mixto de Gomory

8

Clasificación de Planteamientos Características

Si… Entonces...

☁

X 1➞ X 2 X2 ≤ X 1

Métodos de solución ➔

Ramificación y Acotamiento ➔ Aditivo de Balas

Características ☁

X1⇔X2 X2 + X 1 ≤ 1

Si y sólo si

Métodos de solución ➔

Ramificación y Acotamiento ➔ Aditivo de Balas

O bien

Características ☁ ☁ ☁

☁ Dos restricciones, F o G La variable Binaria no aparece en la función La variable Binaria define la restricción que se cumple.

Se necesita encontrar una valor para la variable M

Métodos de solución ➔ 9

Ramificación y Acotamiento ➔ Aditivo de Balas

Clasificación de Planteamientos

Características

Dicotomía

☁ ☁

☁ No convexo ☁ Existen dos tipos de variables ☁ Yi∈{0,1} define el área donde estamos trabajando No importa mucho plantear la Función Objetivo Se busca que el modelo contemple las i regiones

Métodos de solución ➔

Gráfico

10

Aplicaciones A continuación, presentaremos una serie de aplicaciones de los tipos de planteamientos que hemos visto. ●

Cargo Fijo.

Introducción: Es un modelo mixto, en la función objetivo aparecen las variables enteras y continuas y existe al menos una restricción estructural, la dificultad es encontrar una restricción adecuada que involucre ambos conjuntos de variables.

Enunciado: Se están considerando tres ubicaciones industriales para instalar unas plantas manufactureras. Estas les envían su producción a tres clientes. La oferta en las plantas y la demanda de los clientes junto con el costo de transporte por unidad, desde las plantas hasta la ubicación de los clientes se proporcionan en la siguiente tabla: 1

2

3

Oferta

1

$10

$15

$12

1800

2

$17

$14

$20

1400

3

$15

$10

$11

1300

Demanda

1200

1000

1600

Planteamiento: xij = # de plantas i al cliente j

yi =

1 Si se instala en la ubicación i 0 No se instala

Min z=10x11+ 15x12+ 12x13+ 17x21+ 14x22+ 20x23+ 15x31+ 10x32+ 11x33+ 10000y1+ 15000y2+ 12000y3 x11 + x12 + x13 ≤ 2800y1 x21 + x22 + x23 ≤ 2400 y2 x31 + x32 + x33 ≤ 2800y3 x11 + x21 + x31 = 1200 x12 + x22 + x32=1000 x13 + x23 + x33=1600 Xi ≥ 0 Yi ∈ {1,0}

11

Aplicaciones

cargo fijo

Explicación del planteamiento: Definición de Variables: xij = Número de bienes a enviar de la planta i al cliente j yi =

1 Si se instala en la ubicación i 0 No se instala

Se necesita de dos tipos de variables para definir las unidades de producto a enviar de las diferentes plantas a los clientes y a la vez necesitamos decidir dónde se instalarán las plantas.

Función Objetivo: Min z=10x11+ 15x12+ 12x13+ 17x21+ 14x22+ 20x23+ 15x31+ 10x32+ 11x33+ 10000y1+ 15000y2+ 12000y3 Como el problema habla sobre costos de transporte intentaremos disminuirlos, por ello la función es minimizada. Los valores que multiplican las x son el costo de transportar ese número de unidades y se agregan las y

Restricciones: x11 + x12 + x13 ≤ 2800y1 x21 + x22 + x23 ≤ 2400 y2 x31 + x32 + x33 ≤ 2800y3 Estas restricciones representan la cantidad de bienes que pueden ser enviados a lo más desde la planta i al cliente j; cuando se hable de la ubicación donde la planta se abrirá entonces su y valdrá 1 y la acompaña la oferta de la planta porque lo que sea que envíe no puede ser mayor a dicha oferta. x11 + x21 + x31 = 1200 x12 + x22 + x32=1000 x13 + x23 + x33=1600 De modo similar, los clientes no van a recibir más de lo que marca su demanda por lo que a estas restricciones las trabajamos con igualdad..

12

Aplicaciones cargo fijo Resolución del modelo: Resolviendo por ramificación y acotamiento:

x11 =1200 x12=0 x13 =0 x21 =0 x22 =0 x23 =0 x31 =0 x32 =1000 x33 =1600 y1 =3/7 y2 =0 y3 =13/14 028.6

Z=58,

y1=0

y1=1

x11 =1200 x12=0 x13 =1600 x21 =0 x22 =0 x23 =0 x31 =0 x32 =1000 x33 =0

x11 =0 x12=0 x13 =0 x21 =1000 x22 =0 x23 =0 x31 =200 x32 =1000 x33 =1600 y1 =0 y2 =5/12 y3 =1

y1 =1 y2 =0 y3 =5/14 Z=55485.7

Z=65850

y2=1 y2=0

x11 =1200 x12=0 x13 =1600 x21 =0 x22 =0 x23 =0 x31 =0 x32 =1000 x33 =0 y1 =1 y2 =0 y3 =5/14 Z=55485.7

y1 =1 y2 =0 y3 =0 no factible

x11 =1200 x12=0 x13 =0 x21 =0 x22 =0 x23 =0 x31 =0 x32 =1000 x33 =1600 y1 =1 y2 =1 y3 =5/14 Z=70200 P.Agotado

x11 =1200 x12=0 x13 =0 x21 =0 x22 =0 x23 =0 x31 =0 x32 =1000 x33 =1600 y1 =1 y2 =0 y3 =1 Z=61600

Interpretación:

13

Se construirá en las ubicaciones uno y tres. De la ubicación 1 se enviarán 1200 unidades al cliente uno y 300 cliente tres. De la ubicación tres se mandará 1000 al cliente dos y 1300 al cliente tres.

Aplicaciones

Tipo mochila

●

Problema Tipo Mochila.

Introducción: Se busca llevar la mayor cantidad de bienes que aumenten un valor generalmente asignado sin exceder el peso de aguante de la mochila.

Enunciado: Un excursionista planea salir de campamento. Hay cinco artículos que desea llevar consigo, pero entre todos sobrepasan las 60 libras que considera puede cargar. Para ayudarse en la selección ha asignado un valor a cada artículo en orden ascendente de importancia.

Artículo Peso Valor

1 42 100

2 23 60

3 21 70

4 15 15

5 7 15

¿Qué artículos deberá llevar maximizando el valor total sin sobrepasar la restricción de peso? No se puede llevar más de un artículo del mismo tipo.

Planteamiento: Xi=

1 se lleva el artículo i 0 no se lleva

Max Z = 100x1 + 60x2 + 70x3 + 15x4 + 15x5 42x1 + 23x2 + 21x3 + 15x4 + 7x5 ≤ 60 xi ∈ {0,1}

Explicación del planteamiento: Función objetivo: Max Z = 100x1 + 60x2 + 70x3 + 15x4 + 15x5 Lo que estamos buscando es obtener el mayor valor posible de importancia de que podamos obtener a partir de los artículos que se lleven. Por ello tomamos el valor asignado y lo multiplicamos por el artículo correspondiente, así, si el artículo es elegido, es decir, que la variable relacionada a él sea igual a uno, obtendremos su valor de importancia en z.

14

Aplicaciones cargo fijo Restricción: 42x1 + 23x2 + 21x3 + 15x4 + 7x5 ≤ 60 Tenemos que la máxima cantidad de peso que el excursionista considera que puede cargar son 60 libras, por lo que, lo que se lleve en la mochila deberá ser menor o igual a dicho valor. Del otro lado de la desigualdad, pondremos el peso de cada artículo multiplicado por su variable asociada, así, si un artículo es elegido, podemos tomar en cuenta qué tanto se va “llenando la mochila”. x2 = 1

Resolución del modelo: Partiendo de la solución lineal obtenida: z = 168.09523809524 x1 = 0.38095238095238 x2 = 1 x3 = 1 x1 = 1 x4 = 0 x1 1 x5 = 0 Resolviendo por Ramificación y acotamiento

x1

1

x3

1

1

x3

0

x2

1

No Factible

No factible

x2 = 0 x1

1

x3

0

1

x2

0

x3

0

x4 0.73333

x2

0.7826

x5

1 126

x2

0

x3

0.8571

x4

0

x1

x5

0

z

160

X3 = 0

x1

0.3810

x4

0

z

x2

1

x5

0

Agotado

x3

1

z

146.9565

x4

0

x5

0

z

168.095 2

x5 = 1 x4 = 1

x1 = 1

Interpretación:

15

X3 = 1

x1

x1

0

x1

0

x4

1

x4

1

x5

1

x2

1

x2

0.7391

x3

1

x3

1

x5

0.14286

z

144.3478

z

147.1429

Agotado

x1

0

x2

1

x3

1

x4

0.6

x5

1

x1

0

x1

0

z

154

x4

0

x4

0

x2

1

x5

0

x3

1

x2

1

x5

1

x3

1

z

145

z

130

Se llevarán los artículos 2, 3 y 5.

El valor obtenido será de 145.

El peso de la mochila será de 51 libras.

x5 = 1

x4 = 0

Z Cota

Agotado

Aplicaciones ●

Si y sólo si.

Stocko considera cuatro inversiones. La inversión 1 proporciona un valor actual neto de $16,000, la 2 $22,000, la 3 $12,000 y la 4 $8,000. Cada inversión requiere cierto flujo de caja: la 1 $5,000, la 2 $7,000, la 3 $4,000 y la 4 $3000. Se dispone de 14,000 pesos para la inversión y se contemplan: 1.

2.

3.

Puede invertir cuando mucho en 2 inversiones.

Si invierte en 2, entonces también debe invertir en 1 Si invierte en 2 no puede invertir en 4.

Planteamiento:

Xi=

1 Se se pone el guardia en esa puerta 0 No pone el guardia en esa puerta

Max z=16x1+22x2+12x3+8x4 5x1+7x2+4x3+3x4<=14 x1+x2+x3+x4<=2 x2+x4<=1 x2<=x1

Explicación del planteamiento: Función objetivo: Max z=16x1+22x2+12x3+8x4 Lo que estamos buscando es obtener el mayor valor posible de ganancia que podamos obtener a partir de las inversiones que se tomen.

Restricción: 5x1+7x2+4x3+3x4<=14 Limita que no se pueda gastar más de 14000 que es el presupuesto inicial. x1+x2+x3+x4<=2 Limita que solo se pueda invertir en dos tipos de inversiones. x2+x4<=1 Limita que solo se pueda invertir en la inversión dos o cuatro x2<=x1

11

Nos dice que si se invierte en la dos también se tiene que invertir en la uno.

Aplicaciones Resoluci贸n del modelo: Partiendo de la soluci贸n lineal obtenida: x1=1 x2 =1 x3 =0 x4 =0 Z=38 Como podemos observar la soluci贸n lineal ya es entera:

12

Aplicaciones ●

Cobertura de Conjuntos.

Los tesoros del rey Midas se están exhibiendo en el Museo de México. La distribución física del museo se muestra en la siguiente gráfica con las diferentes salas unidas por puertas abiertas. Un guardia de pie en una puerta puede vigilar dos salas adyacentes. El museo quiere asegurar la presencia de los guardias en todas las salas utilizando al menor número posible de ellos.

Planteamiento: 1 se se pone el guardia en esa puerta

X i Min Z = x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9

S.A x1+x2≥1 x8+x9≥1

0 no pone el guardia en esa puerta

x2+x3≥1 x4+x5≥1 x6+x7≥1 x1+x4+ x6 ≥1 x3+x5+ x9 ≥1 xi={1,0}

x7+x8≥1

Explicación del planteamiento: Función objetivo: Min Z = x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9 Lo que estamos buscando es obtener la mayor cobertura de terreno.

Restricciones:

x1+x2≥1

x2+x3≥1 x4+x5≥1 x8+x9≥1 x1+x4+ x6 ≥1

x6+x7≥1 x7+x8≥1 x3+x5+ x9 ≥1

Cada restricción representa al guardia que puede estar parado en la entrada de cada puerta.

11

Aplicaciones Resolución del modelo: Partiendo de la solución lineal obtenida: z=4 x1 =0 x2 = 1 x3 = 0 x4 = 0 x5 = 1 x6 = 1 x7 = 0 x8 = 1 x9 = 0

como se puede notar la solución lineal ya es entera.

Interpretación de la solución Solo se necesitan cuatro guardias para cubrir todo el museo los guardias estarían en la puerta 2, 5, 7 y 9 con los que se podría tener una seguridad adecuada para el museo

12

Si de métodos hablamos...

Método

Gráfico

Fraccional de Gomory

Planos de corte

Mixto de Gomory

Puro de Gomory

Ramificación y acotamiento

11

Para modelos puros

Tipo de problema

Características

Ventajas y desventajas

De dos variables

Muestra una solución visual

solo resuelve modelos con dos variables de decisión

Puro

-Inicia con la solución lineal óptima -Se añaden restricciones -Se añaden v. de holgura -Se aplica el M. Dual Simplex

-Realiza cortes muy pequeños de la región -Es lento al resolver los problemas

Mixto

-Inicia con la solución lineal óptima -Se añaden restricciones -Se añaden v. de holgura -Se aplica el M. Dual Simplex

-Es más rápido que fraccional de gomory -solo trabaja sobre las variables enteras

Puro

Se inicia con una solución óptima no factible Trabaja fuera de la región factible Elemento pivote -1

-Solo resuelve modelos muy específicos que cumplen ciertas condiciones

Puro

Divide la región en subproblemas Tiene solución cota no factible y agotada En la solución cota se tiene la mejor solución Se trabaja con un árbol Nivel cero- Un nodo con la sol inicial Sin dirección De un nodo salen dos arcos El valor de z siempre mejora

-Es un metodo muy rapido -Se tiene que ramificar todas las posibles soluciones -Tener una variable entera no asegura conservarla en la siguiente ramificación

Si de métodos hablamos...

Método

Para modelos mixtos

Para modelos binarios

Ramificación y acotamiento

Para el tipo mochila

Para el agente viajero

Aditivo de Balas

Tipo de problema

Características

Ventajas y desventajas

Mixto

Se ramifica solo sobre las variables que pretenden ser enteras Es rápido

-Es muy rápido -Se tiene que ramificar sobre todas las posibles soluciones

Binario

-Se debe pasar el modelo de binario a entero(modelo relajado) -las soluciones son menores iguales a 1

Binario

-No se utiliza el método simplex como en los anteriores -Utiliza el metodo de inspeccion

-Utiliza un modelo relajado

Binario

-Utiliza como base el método húngaro -Mientras más grande sea el modelo, más tarda el método.

-Tiene demasiadas iteraciones -Es un método muy largo -Resuelve un problema np complejo

Binario

Trabaja sobre una base lógica -No usa simplex -Las restricciones son mayores igual -Enlista la menor cantidad de soluciones

-El modelo debe tener estructura cierta estructura

-Solo resuelve modelos binarios

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