2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Definición. Una ecuación diferencial de primer orden lineal se define como:
𝑎1 (𝑥)
𝑑𝑦 + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑦) 𝑑𝑥
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Este tipo de ecuaciones diferenciales se puede resolver utilizando el método de las ecuaciones de variables separables. Definición. (Nagle, 1999). Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es de variables separables si esta escrita de la forma:
𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 0 Una forma alterna es:
𝑔(𝑦)𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 Definición. (Zill, D., 2010). Se dice que una ecuación diferencial ordinaria de primer orden es separable o de valores separables si la ecuación puede escribirse de la forma:
𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) 𝑑𝑥 Definición. Si el segundo miembro de la ecuación
𝑑𝑦 𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥, 𝑦) se puede expresar
como una función que depende solamente de 𝑦, multiplicada por una función que depende solamente de 𝑥 , entonces la ecuación diferencial es de variables separables. Es decir, es separable si se puede expresar:
𝑑𝑦 = 𝑔(𝑥)𝑝(𝑦) 𝑑𝑥 Ejemplo 1. Considere la ecuación diferencial porque
Ejemplo 2. La ecuación diferencial
1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦 𝑑𝑥
= 1 + 𝑥𝑦
=
2𝑥+𝑥𝑦 𝑦 2 +1
se dice que es separable
No es de variables separable.
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2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden MĂŠtodo de variables Separables El procedimiento para resolver una ecuaciĂłn diferencial mediante ĂŠste mĂŠtodo se describe en tres pasos 1. La ecuaciĂłn diferencial đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0 deberĂĄ ser escrita en la forma đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ
= đ?‘”(đ?‘Ľ)đ?‘?(đ?‘Ś).
2. Separe las variables de tal forma que de un lado de la igualdad se encuentre la variable dependiente y del otro la variable independiente, es decir, considerando la expresiĂłn anterior la separaciĂłn de variables estarĂa dado por
1 đ?‘?(đ?‘Ś)
đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘”(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ
que puede ser interpretado como â„Ž(đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = đ?‘˜(đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ. 3. Finalmente se integra para ambos lados a fin de obtener â„Ž(đ?‘Ś) = đ?‘˜(đ?‘Ľ) + đ?‘? . Ejemplo 3. Resuelva la ecuaciĂłn diferencial mediante el mĂŠtodo de variables separables
đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘Ľ − 5 = đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ś2
Ejercicios S4.1: Resuelve las ecuaciones diferenciales mediante el mĂŠtodo de variables separables.
1. sec 2 đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś + csc đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ = 0 2.
đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ
=
4. đ?‘Ľ sen đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ 2 + 1) cos đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ś = 0
6đ?‘Ľ 2 −2đ?‘Ľ+1
5.
cos đ?‘Ś+đ?‘’ đ?‘Ś
đ?‘‘đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ
=
đ?‘Śâˆ’1 đ?‘Ľ+3
3. (đ?‘Ľ − 4)đ?‘Ś 2 đ?‘‘đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 3 (đ?‘Ś 2 − 3)đ?‘‘đ?‘Ś = 0
2
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đ?‘Ś(−1) = 0
2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ecuaciones Diferenciales Exactas Las ecuaciones de primer orden y de grado uno, que siempre tienen soluciĂłn analĂtica son llamadas ecuaciones diferenciales exactas. Las ecuaciones diferenciales de primer orden exactas corresponden a la diferencial total de una funciĂłn de la forma đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘? . DefiniciĂłn. Sea đ??š una funciĂłn de 2 variables reales, tales que đ??š tiene primeras derivadas parciales continuas en un dominio. La diferencial total đ?‘‘đ??š de la funciĂłn se define:
đ?‘‘đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =
đ?œ•đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đ?œ•đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘‘đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ đ?œ•đ?‘Ś
∀(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) ∈ đ??ˇ
Ejemplo 4. Obtener la diferencial total de đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = sen(đ?‘Ľđ?‘Ś)
DefiniciĂłn. Forma diferencial exacta. Se dice que la forma diferencial đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0 es exacta en un rectĂĄngulo đ?‘…, si existe un funciĂłn
đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) tal que
đ?œ•đ??š(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
= đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) y
đ?œ•đ??š(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
= đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) para todo (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) en đ?‘….
ExplicaciĂłn: sĂ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś es una forma diferencial exacta, entonces
đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) satisface đ?‘‘đ??š (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś, por lo tanto la ecuaciĂłn đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0 recibe el nombre de EcuaciĂłn Exacta. Ejemplo 5. La ecuaciĂłn diferencial đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘Ľđ?‘‘đ?‘Ś = 0 es exacta debido a que
es evidente que đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =
3
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2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Teorema. Criterio de Exactitud. SupĂłngase que las primeras derivadas parciales de đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) + đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) son continuas en un rectĂĄngulo đ?‘…, entonces đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ +
đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0 es una ecuaciĂłn exacta en đ?‘… , si y solo si
đ?œ•đ?‘€(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
=
đ?œ•đ?‘ (đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
para todo
(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) en R. Ejemplo 6. Considere la ecuaciĂłn diferencial
(2đ?‘Ľđ?‘Ś − sec 2 đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0
aplique el teorema sobre el Criterio de exactitud e identifique si la ecuaciĂłn es exacta o no.
Ejercicio S4.2. Identifica, utilizando el criterio de exactitud, si la ecuaciĂłn diferencial es o no exacta 1. (đ?‘Ś −
đ?‘Ś đ?‘Ľ2 đ?‘Ś
đ?‘Ś
1
đ?‘Ś
đ?‘’ đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ + đ?‘’ đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ś = 0 đ?‘Ľ
đ?‘Ś
đ?‘Ś
2. (1 − đ?‘’ đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘’ đ?‘Ľ ) đ?‘‘đ?‘Ś = 0 đ?‘Ľ
3. đ?‘Ś(1 + cos(đ?‘Ľđ?‘Ś))đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘Ľ(1 + cos(đ?‘Ľđ?‘Ś))đ?‘‘đ?‘Ś = 0
4
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2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Demostración del Teorema del Criterio de Exactitud
El teorema considera dos partes por ser de la forma sí y solo sí, por lo tanto se demuestra la primera parte. Sí 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 es exacta, entonces
𝝏𝑴(𝒙,𝒚) 𝝏𝒚
=
𝝏𝑵(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙
se cumple.
lqqd Sí
𝝏𝑴(𝒙,𝒚) 𝝏𝒚
=
𝝏𝑵(𝒙,𝒚) 𝝏𝒙
𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑴(𝒙, 𝒚)𝒅𝒙 + 𝑵(𝒙, 𝒚)𝒅𝒚 = 𝟎 es exacta.
Para esta demostración se debe considerar la hipótesis de que existe una 𝐹(𝑥, 𝑦) cuya diferencial total es
𝜕𝐹(𝑥, 𝑦) 𝜕𝐹(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦. 𝜕𝑥 𝜕𝑦 tal que 𝜕𝐹(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥
𝜕2 𝐹(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕𝑀(𝑥,𝑦)
y
𝜕𝑦
= 𝑀(𝑥, 𝑦) 𝑦
𝜕𝐹(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦
𝜕2 𝐹(𝑥,𝑦) 𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕𝑁(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥
o bien
= 𝑁(𝑥, 𝑦)
Para encontrar dicha función 𝐹(𝑥, 𝑦) y saber si existe o no, podemos elegir una de las siguientes identidades: a)
𝜕𝐹(𝑥,𝑦) 𝜕𝑥 𝜕𝐹(𝑥,𝑦)
b)
𝜕𝑦
5
= 𝑀(𝑥, 𝑦) = 𝑁(𝑥, 𝑦)
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2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Por lo tanto đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) queda definida como
đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ś − âˆŤ
6
đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś
âˆŤ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Śâ€Śâ€Śâ€Ś..(A)
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2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Sin embargo esta demostraciĂłn no esta terminada si no se demuestra que đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) satisface la diferencial total, por lo que continuamos con la demostraciĂłn Sabemos que
đ?œ•đ??š(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
= đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đ?‘Ś
đ?œ•đ??š(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
= đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś), entonces consideremos
nuevamente a la expresiĂłn (A)
đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ś − âˆŤ [
đ?œ• âˆŤ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ľ] đ?‘‘đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś
Derivando parcialmente con respecto de đ?‘Ľ
đ?œ•đ??š(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
7
= đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) por lo que queda demostrada la primera igualdad
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2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ahora considerando de nueva cuenta la expresiĂłn (A),
đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + âˆŤ đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) đ?‘‘đ?‘Ś − âˆŤ
đ?œ• âˆŤ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ś
y derivĂĄndola parcialmente con respecto a đ?‘Ś.
đ?œ•đ??š(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
= đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) por lo que queda demostrada la segunda igualdad
lqqd
DefiniciĂłn. Una soluciĂłn general de una ecuaciĂłn diferencial exacta, es una relaciĂłn implĂcita entre las variables đ?‘Ľ y đ?‘Ś, de la forma đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘? , que no contiene derivadas y satisface idĂŠnticamente la ecuaciĂłn diferencial exacta dada. Las grĂĄficas de esta soluciĂłn general constituyen una familia uniparamĂŠtrica de curvas, llamadas curvas integrales. Procedimiento basado en el teorema. 1. IntĂŠgrese đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) con respecto de đ?‘Ľ .
đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘”(đ?‘Ś) 2. Obtenga
đ?œ•đ??š(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)
3. Obtenga đ?‘”
đ?œ•đ?‘Ś ′ (đ?‘Ś)
=
đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś
âˆŤ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘”′(đ?‘Ś)
= đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) −
đ?œ• đ?œ•đ?‘Ś
âˆŤ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ
4. IntĂŠgrese đ?‘”′(đ?‘Ś) y obtenga đ?‘”(đ?‘Ś) 5. Sustituya đ?‘”(đ?‘Ś) en đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + đ?‘”(đ?‘Ś) 6. La soluciĂłn serĂĄ đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = đ?‘?
8
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2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Ejemplo 7. Resuelva la ecuaciĂłn diferencial.
(2đ?‘Ľđ?‘Ś − sec2 đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0
Ecuaciones Exactas considerando đ?’‰(đ?’™) TambiĂŠn es vĂĄlido integrar primero đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) con respecto a đ?‘Ś para obtener đ??š(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś + â„Ž(đ?‘Ľ). De este modo el cĂĄlculo de â„Ž(đ?‘Ľ), serĂĄ đ?œ•đ??š(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
=
đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ
đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) =
âˆŤ đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś + ℎ′(đ?‘Ľ)
đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ
âˆŤ đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś + ℎ′(đ?‘Ľ)
ℎ′ (đ?‘Ľ) = đ?‘€(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) −
9
đ?œ• đ?œ•đ?‘Ľ
âˆŤ đ?‘ (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś
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2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Ejemplo: Resuelva la siguiente ecuaciĂłn diferencial considerando â„Ž(đ?‘Ľ)
(1 + đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘Ś + đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ + 2)đ?‘‘đ?‘Ś = 0
Ejercicio S4.3. Resuelva mediante el mĂŠtodo de ecuaciones exactas EcuaciĂłn Diferencial
1.
(3đ?‘Ľ 2 + 4đ?‘Ľđ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ľ + (2đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0
2.
(đ?‘’ đ?‘Ľ đ?‘Ś + 1)đ?‘‘đ?‘Ľ + (đ?‘’ đ?‘Ľ − 1)đ?‘‘đ?‘Ś = 0 đ?‘Ś(1) = 1
3.
(đ?‘’ 2đ?‘Ś − đ?‘Ś cos(đ?‘Ľđ?‘Ś))đ?‘‘đ?‘Ľ + (2đ?‘Ľđ?‘’ 2đ?‘Ś − đ?‘Ľ cos(đ?‘Ľđ?‘Ś) + 2đ?‘Ś)đ?‘‘đ?‘Ś = 0
4.
(6đ?‘Ľđ?‘Ś − cos đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + (3đ?‘Ľ 2 )đ?‘‘đ?‘Ś = 0
5.
[cos(đ?‘Ľ − đ?‘Ś) + 1)đ?‘‘đ?‘Ľ + [cos(đ?‘Ľ − đ?‘Ś) + 2đ?‘Ś]đ?‘‘đ?‘Ś = 0 1 đ?‘Ś (đ?‘Ś 2 đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ)đ?‘‘đ?‘Ľ + ( − ) đ?‘‘đ?‘Ś = 0 đ?‘Ś(đ?œ‹) = 1 đ?‘Ľ đ?‘Ľ
6.
10
Resultado
đ?‘Ľ 3 + 2đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś + đ?‘Ś 2 = đ?‘? đ?‘’−đ?‘Ľ đ?‘’đ?‘Ľ − 1 đ?‘Ľđ?‘’ 2đ?‘Ś − sin(đ?‘Ľđ?‘Ś) + đ?‘Ś 2 = đ?‘? đ?‘Ś=
3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ś − sin đ?‘Ľ = đ?‘? No es exacta
1 + ln đ?‘Ś = sin đ?‘Ľ đ?‘Ś − đ?‘Ľ cos đ?‘Ľ − đ?œ‹ +1
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