EDICION REVISADA
a partir del trabajo en las aulas
LIBRO DEL DOCENTE
Santillana
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EDICION REVISADA
a partir del trabajo en las aulas
LIBRO DEL DOCENTE
ESTUDIAR MATEMATICA
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Estudiar Matemática en 1.° Edición revisada a partir del trabajo en las aulas es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana bajo la dirección de Herminia Mérega por el siguiente equipo: Coordinación: Claudia Broitman y Cinthia Kuperman Autoría: Claudia Broitman, Cinthia Kuperman, Mónica Escobar, Héctor Ponce, Inés Sancha Lectura crítica: Horacio Itzcovich Editora: Silvia de Rojas Editora de esta edición revisada: Andrea Gutiérrez Coordinadora editorial: Mónica Pavicich Subdirectora editorial: Lidia Mazzalomo
ÍNDICE
APORTES PARA LA ENSEÑANZA ¿Por qué esta edición revisada? ........................................................ 3 1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que subyacen a las propuestas de Estudiar Matemática en 1.º ................................. 3 2. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática relativas a cada eje de contenidos en Estudiar Matemática en 1.º ................... 6 Uso de los números ......................................................................... 7 Numeración. Sistema de numeración ............................................... 8 Operaciones.................................................................................... 10 Espacio ........................................................................................... 13 Geometría ...................................................................................... 14 Medida ........................................................................................... 15
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La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el equipo de EDICIONES SANTILLANA S.A., integrado por: Coordinación de arte:
Mariana Valladares.
De esta edición: Coordinación de arte: Mariana Valladares.
Diseño maqueta, interior y tapa: 2martini • estudio de diseño Ilustración interior y tapa:
Lancman Ink.
Documentación fotográfica:
Diseño interior y tapa: Estudio Martini 07
Laura Peña, Federico Stefani y Macarena Ayestarán.
Fotografía:
Archivo Santillana.
Ilustración interior y tapa: Lancman Ink.
Corrección:
Marta Castro.
Preimpresión:
Miriam Barrios, Matías Pedullá y Omar Tavalla.
Documentación fotográfica: Macarena Ayestarán, Patricio Calvo, Ariadna Demattei.
Subgerencia de producción industrial:
Gregorio Branca.
Fotografía: Archivo Santillana. Corrección: Marta Castro. Preimpresión: Miriam Barrios, Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez, Maximiliano Rodríguez, Nicolas Verdura. Subgerencia de producción industrial: Gregorio Branca.
Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.
Estudiar matemática en 1º : libro del docente : edición revisada a partir del trabajo en las aulas / Claudia Broitman...[et.al.].. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2007. 144 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-46-1869-0 1. Guía ddel Docente. CDD 371.1
© 2007, EDICIONES SANTILLANA S.A. Av. L. N. Alem 720 (C1001AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. ISBN: 978-950-46-1869-0 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edicion: noviembre de 2005. Segunda edición revisada: enero de 2008.
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Este libro se terminó de imprimir en el mes de enero de 2008 en Indugraf S.A., Sánchez de Loria 2251, Buenos Aires, República Argentina.
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APORTES PARA LA ENSEÑANZA La Edición revisada a partir del trabajo en las aulas de Estudiar Matemática en 1.º conserva la misma estructura que la primera, tanto respecto de la organización de las propuestas de enseñanza como del enfoque didáctico que las sustenta. A partir del trabajo en las aulas, la observación de su implementación y los comentarios que aportaron muchos maestros, se incorporó más espacio para la producción individual de los niños y se reorganizaron los momentos de trabajo colectivo.
1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que subyacen a las propuestas de Estudiar Matemática en 1.º La intención en este apartado es hacer explícitas algunas ideas sobre cómo se aprende y cómo se enseña Matemática en los primeros años de la escolaridad que permitirán comunicar ciertos rasgos del enfoque que sustenta la selección, organización y secuenciación de los contenidos y propuestas de este libro. Se parte de la idea de que es necesario que los alumnos se enfrenten a nuevos problemas que favorezcan procesos constructivos, a partir de poner en juego conocimientos iniciales y elaborar nuevos. Este proceso exige elaboraciones y reelaboraciones que pueden promoverse desde la enseñanza apuntando a un acercamiento progresivo desde los conocimientos de los niños hacia los saberes propios de la disciplina. Para que los niños puedan poner en juego un trabajo matemático precisan enfrentarse a situaciones que les presenten un grado de dificultad, sean verdaderos “problemas”. No se espera entonces que “salgan bien” desde el primer intento, por el contrario, es la dificultad de la situación propuesta la que genera la posibilidad de aprender algo nuevo. Es importante advertir que –además de los problemas presentados con un enunciado contextualizado y una pregunta– se considera también “problemas” a otras prácticas: poner en palabras una estrategia, interpretar un procedimiento ajeno, discutir la validez de una afirmación, copiar una figura, dictar un mensaje. En Estudiar Matemática en 1.º esta idea de problemas como nuevos desafíos sobre los cuales trabajar está presente en la forma en la que se inician y se organizan los diferentes contenidos.
Los problemas enmarcan el trabajo matemático. Permiten presentar nuevos desafíos y durante cierto tiempo se constituyen en objeto de estudio.
Para que los niños puedan poner en juego ciertos conocimientos como punto de partida –aun cuando sean erróneos o no convencionales– y a la vez ponerlos a prueba, modificarlos, ampliarlos y sistematizarlos, será preciso enfrentarlos a una misma clase de problemas en sucesivas oportunidades. Un trabajo sistemático de varias clases próximas entre sí promueve reorganizar una y otra vez estrategias de resolución, pensar nuevamente en las relaciones que aparecieron en clases anteriores, abandonar ensayos erróneos e intentar nuevas aproximaciones. Por ello, en este libro, las diferentes propuestas se organizan en pequeñas secuencias de varias páginas en las que se visitan y revisitan los mismos tipos de problemas una y otra vez para favorecer avances. Una misma clase de problemas que al principio provoca un cierto nivel de dificultad, se espera sea más conocido por los niños, en algunas situaciones posteriores. Evidentemente, en muchos casos, esas situaciones propuestas deben vivir en la clase durante un tiempo más prolongado que el de las páginas en sí mismas para que verdaderamente logren instalarse dichos problemas. Además de volver sobre una misma clase de situaciones con otras herramientas, es necesario
Para promover avances sobre una clase de problemas es preciso enfrentar a los alumnos a una secuencia de situaciones similares y que estas “vivan” un tiempo en la clase...
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enfrentar a los niños a nuevos problemas. Por ello, en cada secuencia se van incorporando progresivamente variaciones en las situaciones, que agregan nuevos desafíos. Para sostener estas ideas sobre los problemas y su secuenciación, es necesario aceptar y prever la provisoriedad y el largo plazo en los procesos de construcción de conceptos matemáticos en la escuela. Aquellas cuestiones que en algún momento se resuelven con estrategias menos avanzadas con cierto trabajo sostenido, se resolverán con recursos más económicos.
Los problemas admiten diversidad de procedimientos. Producir nuevos, interpretar los de “otros” y establecer relaciones entre ellos es parte del quehacer matemático. Interpretar producciones ajenas requiere tomar distancia de la propia producción y considerar otros puntos de vista.
Los errores de los niños tienen su lógica. Develar esa lógica y encontrar buenas razones para superar los errores requiere –entre otras cuestiones– un trabajo colectivo. A lo largo de una secuencia de problemas es necesario considerar la potencia de diferentes formas de organización de la clase.
Esta mirada sobre los problemas implica provocar la aparición de una variedad de procedimientos posibles por parte de los niños. Tanto cuando se trate de sumar dos cantidades, de escribir un número, de comparar dos colecciones de objetos, de medir una longitud, etc., los niños podrán resolver la situación con estrategias propias y variadas según los conocimientos y recursos que tengan disponibles. En Estudiar Matemática en 1.º se explicita en muchas situaciones la posibilidad de elegir entre diversas maneras de resolución. Un tiempo después, que muchos niños desplieguen los mismos recursos puede ser interpretado como marca de avance. Los procedimientos de resolución son en sí mismos objeto de estudio y de debate. En muchas de las propuestas didácticas se explicitan momentos de trabajo dirigidos especialmente a comunicar, comparar y apropiarse de diferentes formas de resolver los problemas. El libro propone, en reiteradas oportunidades, interpretar procedimientos ajenos que, aunque en cuadernos o voces de niños hipotéticos, contemplan procedimientos característicos de los niños en esta etapa. En muchas ocasiones, entre las producciones infantiles que se presentan, se incluyen errores para analizar. Partimos de la idea de que explicar por qué una respuesta, una opinión o un procedimiento son erróneos puede constituirse en fuente de conocimientos para todos, tanto para aquellos niños que los han producido –o que producen errores similares a los propuestos–, como para aquellos a los que les es evidente por qué es un error pero se ven forzados a justificar y explicitar razones. Los errores son parte del proceso constructivo, marcas visibles del estado de conocimientos de los niños en un momento determinado, y exigen un trabajo sistemático para su superación –trabajo a veces de la misma naturaleza que producir nuevos conocimientos más acertados–. En Estudiar Matemática en 1.º se presentan producciones o expresiones erróneas típicas del pensamiento infantil, para ser discutidas.
En este libro se presentan diversas modalidades de trabajo que permiten a los niños acercarse de varias maneras al objeto de estudio. En ocasiones, las propuestas se inician para que sean abordadas desde el trabajo individual. Son aquellos problemas necesarios para que cada niño en un tiempo personal pueda enfrentarse al problema desde los conocimientos de que dispone. Estos primeros acercamientos a la resolución del problema serán puntos de partida para que el maestro pueda organizar la reflexión y el análisis posterior. En otras oportunidades se sugiere comenzar o retomar el problema en pequeños grupos o en parejas. Las interacciones entre los niños serán fecundas para la circulación de conocimientos. Esta modalidad se adopta cuando la actividad es exploratoria y no se espera que puedan re-
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solver autónomamente la situación; cuando la propuesta es más compleja y es posible que en el intercambio se acerquen a una estrategia o respuesta más elaborada (que solos no podrían abordar) y cuando la situación misma requiere roles diferenciados. Tanto si las propuestas empiezan de manera individual como en pequeños grupos o en parejas, se prevén instancias de trabajo colectivo. Estos son momentos privilegiados para evocar acuerdos, para el debate, para la comparación de procedimientos, para la confrontación de ideas, para la discusión y, posteriormente, para la elaboración y reorganización de conclusiones. Los desafíos que presentan los problemas, los errores que han aparecido, las diversas formas de resolución serán objeto de un trabajo reflexivo en forma conjunta, una ocasión para revisar y ampliar los conocimientos individuales que funcionaron como punto de partida. El trabajo colectivo tiene diferentes funciones. Son un espacio para comunicar y explicitar estrategias, “poner en palabras los descubrimientos”. La finalidad de esta explicitación es doble: que todos los niños puedan apropiarse de las estrategias de otros y reutilizarlas, y que se produzcan nuevas relaciones a la hora de explicarlas o compararlas. Es un momento propicio también para analizar algunos errores que han aparecido y que el docente devuelve al grupo para generar una discusión. En muchas ocasiones a los niños les resulta complejo explicitar sus estrategias y mostrar su producción. En Estudiar Matemática en 1.º se presentan algunas producciones típicas de niños puestas en voz o en cuadernos para fomentar la discusión. La intención es que los alumnos puedan identificar similitudes y diferencias entre esas producciones, las propias y otras del grupo. También es un problema en sí mismo para los alumnos discutir sobre la validez de una afirmación. En ocasiones se presenta una frase en voz de niños o simplemente como pregunta que se formula desde el mismo libro. En otras ocasiones, el trabajo colectivo requiere interpretar y completar conclusiones elaboradas por otros grupos de 1.º, que recogen expresiones que utilizan los niños realmente en clases similares. En Estudiar Matemática en 1.º, esos momentos de trabajo colectivo se presentan con la frase: Se abre la discusión. El rol del docente es central para que este momento potencie un intercambio rico entre los niños. En muchos casos, el maestro deberá mantener provisoriamente cierta incertidumbre respecto de la validez de las afirmaciones de algunos niños. Pondrá en duda tanto lo correcto como lo incorrecto, con el fin de promover un intercambio de ideas y puntos de vista –posponiendo para un momento posterior la respuesta correcta–.
Los problemas no “funcionan” por sí mismos. Son un campo fértil sobre el cual desplegar nuevas preguntas, elaborar conclusiones, organizar debates. Este trabajo necesariamente requiere una instancia colectiva.
El trabajo colectivo también tiene otra finalidad: permite constituir una memoria de lo trabajado, recapitular, comparar los conocimientos anteriores con los nuevos, tomar conciencia de las progresivas y sucesivas reorganizaciones del conocimiento. En forma opuesta a la creencia de que los niños aprenden “sin darse cuenta” se intenta promover un trabajo reflexivo sobre el propio proceso de estudio. Si bien esas cuestiones irán haciéndose cada vez más profundas a medida que los niños avancen en la escolaridad, hay algunas marcas de este proceso que es posible instalar desde primer año: volver a mirar los cuadernos y encontrar señales que puedan reconocerse como avance, encontrar en páginas anteriores problemas parecidos, consultar una conclusión y reutilizarla, comparar las nuevas formas de resolver un problema con las anteriores. Estos momentos privilegiados para instalar procesos de estudio y de puentes entre lo viejo y lo nuevo se proponen en Estudiar Matemática en 1.º bajo el título Mirar para atrás.
El trabajo reflexivo en torno a un conjunto de problemas exige recapitular y tomar conciencia de lo nuevo.
Los momentos de trabajo colectivo son oportunidades para que los conocimientos se socialicen, se difundan y se sistematicen.
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El rol del docente es central para gestar condiciones que favorezcan la evolución de los conocimientos y varía según el momento de la clase.
Propone como idea central la recapitulación de lo trabajado en un conjunto de problemas y a través de varias clases. Se invita a releer –o el maestro leerá en voz alta– algunos problemas o conclusiones con la idea de establecer nexos entre lo ya realizado y algo nuevo, o bien, recordar lo que se fue haciendo en torno a determinados problemas. Dado que identificar por sus propios medios cuáles páginas mirar será una propuesta algo difícil para los niños de 1.º, el maestro ayudará en esa tarea hasta que progresivamente puedan realizarla de manera más autónoma. En algunas páginas se propone elaborar carteles con conclusiones para que puedan ser fuentes de consulta en clases siguientes. Se espera que los niños puedan dictar a su maestro, quien lo escribirá en un cartel visible para todos y lo leerá cuando sea necesario. Las Portadas también son otro espacio que tiene la intención de favorecer la recapitulación. Al iniciar cada etapa se propone Mirar para atrás aquellos contenidos que se fueron trabajando y escribir “conclusiones” para recordar y tener presente en la etapa siguiente. La tarea de elaboración de conclusiones podrá ser presentada como un trabajo conjunto. En cada portada también hay un fragmento del índice correspondiente a la etapa que viene, que habilita tanto a anticiparse a los temas que se abordarán, como a observar si se reitera alguno ya trabajado. También el maestro tiene “prácticas” o “roles” diferentes según los momentos de la clase y de desarrollo del contenido en cuestión. En algunos momentos propone a sus alumnos que expliciten los conocimientos y procedimientos utilizados. En otros, organiza los debates a propósito de los conocimientos en juego y promueve la difusión de los conocimientos (aunque sean producidos solo por algunos). A veces genera espacios de análisis de procedimientos y soluciones erróneas (aunque sean solamente de algunos niños) para promover avances para todos, o bien somete a discusión una nueva estrategia no utilizada para resolver un problema. En ocasiones aporta información cuando se requiere o pistas para retornar al problema. Registra en carteles aquello que es nuevo para que pueda ser reutilizado en otros problemas y evoca lo realizado en clases anteriores para promover una continuidad entre lo hecho y lo que está por realizarse. También puede proponer nuevos problemas que permitan reutilizar y ampliar lo aprendido. Estas ideas del marco teórico de la Didáctica de la Matemática se encuentran desarrolladas en la bibliografía de la página 124 del libro del alumno.
2. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática relativas a cada eje de contenidos en Estudiar Matemática en 1.º Este libro está organizado en torno a cinco ejes: • Numeración • Operaciones • Espacio • Geometría • Medida Estos ejes están distribuidos en cinco etapas que los organizan de forma temporal. Dentro de cada etapa se presentan consecutivas las páginas del mismo eje; esto fomenta la idea de seguir la secuencia planteada y no fragmentar el/los contenidos abordados. En cada etapa están indicados los ejes. En cada página se informan también los contenidos propuestos para abordar.
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Numeración Uso de los números Desde muy pequeños los niños están en contacto con números: los observan, los reproducen, los nombran, los diferencian de otros sistemas, los escriben, preguntan y se preguntan acerca de ellos, los comparan, van teniendo cada vez más criterios para ello, es decir, van elaborando ideas, preguntas, respuestas acerca de los números a partir de su uso en diferentes contextos. Muchas de sus ideas –seguramente erróneas si son vistas desde la mirada adulta– son puntos de partida necesarios para que los niños progresen en sus conocimientos en torno a los números. Para ello será condición instalar un ámbito de uso permanente y sistemático de los números. Presentar actividades de uso e investigación de todos los números de manera simultánea supone no esperar que lo que se proponga sea correcto de inmediato. En este sentido, las propuestas acerca del uso de los números en Estudiar Matemática en 1.º son exploratorias y apuntan a un trabajo colectivo. La intención no es evaluar los conocimientos numéricos de los niños, sino promover la reflexión y la indagación sobre los números (sin límite en el campo numérico), y compartir diferentes acercamientos que pudieran tener los niños ampliando e introduciendo otros que ellos no conozcan. Desde el inicio del libro, Números en todas partes (páginas 14 y 15); Números personales y Números en distintos lugares (páginas 8 y 9), la intención es que los niños exploren la diversidad de funciones que pueden tener los números a través de reconocerlos y diferenciarlos en la ilustración. A partir de ello será conveniente hacer del aula un espacio de investigación de diversos usos sociales de los números. Para ello se deben incluir aquellos portadores de números que se usan fuera de la escuela, para que el aula se convierta en un ámbito donde los números “están presentes”: para leerlos, para escribirlos, para compararlos, para reflexionar acerca de su uso. También para que haya diversidad de portadores numéricos que ofrezcan información estable para que los niños –cada vez de manera más autónoma– puedan recurrir a ellos en función de los problemas que se les presenten. Como portadores para consulta en el aula se pueden incluir cintas métricas, reglas de muchos tamaños, calendarios diversos y de años variados, fotocopias de DNI, boletos de tren o micros, grillas con números, diferentes envases de bebidas y comidas, libros que usen los números en páginas y capítulos, guías de teléfonos que tienen números de tres y cuatro cifras, etcétera. En estos portadores a veces los números se encuentran ordenados (como en las páginas de los libros), y en otros no (como en una lista de números de teléfono). En ciertos portadores aparecerán números grandes (como en los documentos de identidad), y en otros, números más pequeños (como en el teclado de las calculadoras). En algunos portadores aparecerán números que significan cantidades y en otros serán simplemente un modo de identificación (el número de línea de un colectivo), etc. A veces indican medidas (como en los envases) y otras implican un orden (como el número 5 para indicar 5.º año). Buscar información numérica e identificar la conveniencia de usar uno u otro portador según el problema que se les presente es un problema interesante para tener presente a lo largo de primer año. También se propone un conjunto de juegos numéricos con la intención de que los niños se enfrenten desde los primeros días de clase a problemas que exijan leer, escribir, ordenar, comparar y unir dos números. Hay juegos de dados, de recorridos y de seguir la serie numérica. Algunas de las propuestas de juegos se pueden encontrar en las páginas 10, 17, 18, 19 y 20.
El aula puede funcionar como espacio de investigación de diversos usos sociales de los números. Los portadores numéricos ofrecen información estable para que los niños puedan recurrir a ellos en función de los problemas a resolver.
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Otros juegos que aparecen en el eje Operaciones se presentan en las páginas 21, 22 y 23.
Sistema de numeración En diversas situaciones, los niños pequeños demuestran disponer de conocimientos –tanto convencionales como no convencionales o erróneos– acerca del sistema de numeración que no han sido aún enseñados en el Nivel Inicial ni al ingresar a la escuela primaria. El trabajo propuesto en Estudiar Matemática en 1.º fomenta como problemas recurrentes que los niños desplieguen sus conocimientos, los confronten con otros y puedan así escribir, comparar y leer números, y contar cantidades al mismo tiempo que explorar regularidades de la serie oral, de la serie escrita y de las relaciones entre ambas.
Cuando de comparar números se trata los niños recurren a una variedad de estrategias aun cuando no sepan leerlos o escribirlos convencionalmente.
Cuando de contar se trata será necesario ampliar los conocimientos de la serie numérica oral y controlar los elementos que se van contando.
Al comparar dos números, los niños piensan que “el que tiene más cifras es más grande”. Esta observación puede encontrarse tempranamente en los niños, y suele mostrarse sólida. Por ejemplo, pueden reconocer que 314.568 es mayor que 1.003 “porque tiene más” o “porque es más largo”, mucho antes de poder leerlos convencionalmente. La hipótesis que ellos elaboran –a mayor cantidad de cifras de un número, mayor es el número– les permite resolver una gran cantidad de problemas de comparación independientemente de que los niños conozcan o no el nombre de los números. A veces esta idea se pone en duda en aquellos casos en los que los valores absolutos de las cifras de los números comparados sean demasiado diferentes (89 y 121). Otro criterio que les permite comparar números es “la primera cifra es la que manda”. Los niños empiezan a reconocer que es importante la posición de la cifra dentro del número para decidir cuál es mayor –aun cuando no dominen las razones de por qué esto es así–. Pueden afirmar que 356 es mayor que 278 “porque primero viene el dos y luego el tres”. A medida que interactúan con este tipo de problemas empiezan a advertir que cuando la primera cifra de dos cantidades es la misma (como en 345 y 376) es necesario apelar a la segunda para decidir cuál es mayor. En las páginas 37 y 38, Comparar números, el trabajo apunta justamente a la aparición de estos criterios y a su “puesta a prueba”, discusión y explicitación de conclusiones que los tornen reutilizables en siguientes problemas. En la página 74, Números “grandes”, también se retoman estos criterios para comparar en un campo numérico más extenso.
Desde muy pequeños los niños recitan la serie de números y cuentan –aunque salteen algunos números y digan nombres erróneos para designarlos–. Van descubriendo que después de los nombres de los nudos –o números redondos– es suficiente agregar del uno al nueve. En la sucesión oral utilizan regularidades aun en aquellas porciones de la serie irregulares (dieciuno, diecidós...) y puede ocurrir que no recuerden el orden de las decenas. Recitar y contar son nociones necesarias para resolver gran variedad de situaciones. Aprender a contar a partir de otro número (sobrecontar) también será un conocimiento a difundir entre los niños. En las páginas 11 y 13, Contar para resolver problemas y Contar y escribir cuántos hay, y 16, Contar para saber cuanto hay, se propone un conjunto de problemas que apuntan a poner en juego y extender estos conocimientos. Un problema que precisará ser retomado en la clase y
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que resulta difícil plantear por escrito refiere a la organización de los objetos para ser contados. Se propone que los niños puedan realizar experiencias de conteo efectivo para poner en juego estrategias ligadas al desplazamiento de los objetos, a la posibilidad de agruparlos de dos en dos, de cinco en cinco, etcétera. Aprender a escribir números también es un proceso a largo plazo. Muchas investigaciones han puesto de manifiesto cómo los niños, para escribirlos, se apoyan en los nombres de los números y realizan escrituras que transparentan las descomposiciones aditivas de las palabras-número. Por ejemplo, para treinta y cuatro, producen la escritura 304. También muchos niños reconocen que el treinta y cuatro “termina con cuatro”, pero aún no saben cómo empieza y realizan sustituciones de decena produciendo escrituras como: 84, 24, etc. Es frecuente encontrar también niños que sí reconocen las cifras que componen el número en cuestión pero invierten el orden, escribiendo por ejemplo, para treinta y cuatro: 43. Estas diversas escrituras no convencionales conviven en los primeros meses de clase de primer grado junto a otras sí convencionales. Muchos niños incluso ya manejan la escritura convencional de números de dos cifras, pero aún escriben de manera aditiva para los de tres cifras, por ejemplo escribiendo ciento veinticuatro como 100204. Se requerirán diversas instancias de confrontación, intercambio, debate, consulta a portadores, búsqueda de ejemplos y contraejemplos para que estas escrituras sean progresivamente reemplazadas por escrituras convencionales. Ahora bien, para que estas aparezcan es necesario generar en el aula condiciones para que los alumnos tengan el permiso de escribir números “como puedan”. Una propuesta, como la que atraviesa este libro, de trabajar desde el inicio y simultáneamente, con un campo numérico amplio, y conjuntamente estudiando los números del 0 al 100, implica concebir un conjunto de problemas de escritura, lectura y orden de estos números, antes de su dominio. El texto propone un conjunto de instancias para debatir alrededor de escrituras no convencionales. Por ejemplo, en las páginas 11, 12 y 13 además de la situación de conteo se propone escribir cantidades y discutir sobre las diferentes producciones posibles. Aparece también un conjunto de situaciones que proponen leer un número escrito con letras, para que los niños se enfrenten al problema de cómo escribirlos, por ejemplo en la página 33, Una grilla con números, en las fichas que corresponden a la página 35, Otra grilla más y Escribir cantidades con números y con letras, etc. La confrontación entre las diversas formas que encuentran los niños para escribir números, junto con información nueva –dada por los compañeros, por el docente, por los portadores– permitirá producir avances.
Leer números también es un proceso complejo en el que los niños ponen en juego sus ideas acerca de cómo se llaman los números. La confrontación entre diversas interpretaciones y la información sobre el nombre de los números “redondos” (10, 40, 300, 1.000, etc.) permitirá revisar y ampliar los conocimientos de partida. En el libro se propone un conjunto de situaciones que apuntan a que los niños inicialmente se enfrenten al problema de leer los números desde su estado de conocimientos anticipando que su interpretación no será convencional. Es posible que para el 45 algunos niños interpreten ochenta y cinco –considerando, de lo que dicen, sólo el 5 de las unidades y sustituyendo las decenas por otro nombre que designa, si bien una decena, otra–. También es posible que realicen inversiones, leyendo cincuenta y cuatro para el 45. Entre otras páginas, la propuesta de trabajar con los números de la lotería apunta centralmente al problema de cómo llamarlos. Las páginas 30 a 33,
Cuando de escribir números se trata los niños muchas veces recurren a sus conocimientos de la serie oral y escriben de manera no convencional ciertos números.
Cuando de leer números se trata, la información que brindan los nudos ayuda a leerlos en forma convencional.
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Leer números del cartón de lotería, Pistas para aprender a leer números y Una grilla con números –con los correspondientes cartones y “bolillas” de lotería–, tienen esta finalidad. La página 34, Otra grilla con números, y la lámina para el aula con la grilla de números también permiten instalar discusiones en torno a la interpretación de los números de dos cifras. La información sobre cómo se escriben y cómo se llaman los números redondos o nudos (10, 20, 30, etc.) constituye un punto de apoyo para producir avances. En términos de la propuesta de lotería (páginas 30 a 33) se mencionan como “pistas” para aprender a leer los números. La página 32 apunta centralmente a ofrecer la serie de nudos y otras pistas –cómo se llaman y cómo se escriben números cercanos– para que los niños puedan avanzar en sus estrategias de interpretación. Está en juego en este recorrido propuesto la relación entre la serie oral y la serie escrita de números: saber cómo se escriben o cómo se llaman números correspondientes al mismo nudo constituye un fuerte apoyo para los niños. Su explicitación ayudará a que la serie oral y la serie escrita sean apropiadas y reutilizadas por los niños. Además de la serie de nudos, otras pistas que ayudan a los niños a avanzar en la interpretación son la información sobre los números anteriores o posteriores, la posibilidad de contar a partir del nudo en una cinta métrica o grilla de números, la información sobre números cercanos al que “salió”. También es una intervención posible mostrar dos escrituras inversas y someter a debate cuál es cuál (¿cuál de estos dos [34 y 43] es el treinta y cuatro?). Los problemas de comparar, leer y escribir números hasta el 100 son objeto de trabajo en las páginas 30 a 38 y 70 a 73.
Analizar el valor que tienen las cifras según la posición que ocupan en el número no precisa ser un punto de partida para aprender a leer, ordenar y escribir los números.
Analizar y reflexionar acerca de las regularidades que encuentran acerca del valor de los números según la posición que ocupan es un problema que se debe poner en juego también en primero. Cuando los niños ya pueden dominar la lectura y la escritura de ciertos números es conveniente instalar la reflexión en torno a su composición interna. Es por eso que en este libro se propone, en la última etapa, en las páginas 96 a 99 (Los números cambian, Billetes de 10 y monedas de 1) estudiar los aspectos ligados al análisis del valor posicional. Para ampliar estas ideas sobre la enseñanza y el aprendizaje de los números, se sugiere consultar la bibliografía de la página 124 del libro del alumno.
Operaciones En los problemas planteados para la enseñanza de la numeración se prevén momentos reiterados de “mirar para atrás” para recapitular aquello que ha sido trabajado, revisar conclusiones provisorias, elaborar nuevas y sistematizar conocimientos sobre los números para favorecer su reutilización.
La enseñanza de las operaciones está presente en todas las etapas de Estudiar Matemática en 1.º. La construcción del sentido de las operaciones incluye tanto el dominio de diversas estrategias de cálculo como el reconocimiento del campo de problemas que resuelven. Algunos de los primeros problemas propuestos involucran sumar dos dados, por ejemplo los juegos de las páginas 21, 22 y 28. Desde las primeras páginas y mucho antes de presentar los símbolos y cálculos se propone enfrentar a los niños a una diversidad de situaciones problemáticas que les permitan producir o reutilizar estrategias variadas. Se espera que lo puedan hacer “cada uno a su manera”, con rayitas, dibujando, usando los dedos, escribiendo números, contando, etc. (páginas 24 a 27, Problemas para resolver I, II, III y IV, y 39 a 41, Problemas para calcular el puntaje, Problemas para buscar cuánto falta, Más problemas para resolver).
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Para estos problemas el trabajo propuesto supone una fase de resolución individual en la que se busca que los niños ensayen y produzcan sus formas de resolución, y a continuación se presentan espacios de trabajo colectivo encabezados por Se abre la discusión, en los que se invita a que los alumnos muestren sus maneras de resolver, las expliquen, puedan compararlas y también interpretar estrategias de otros niños. Este libro presenta en varias ocasiones procedimientos infantiles, en cuadernos o en las voces de hipotéticos niños, teniendo en cuenta procedimientos habituales de los alumnos en cada momento del año. En otros momentos se propone que elaboren y registren conclusiones, que incorporen estrategias ajenas, que tomen conciencia de los cambios producidos en sus propias estrategias o en las ajenas, que vuelvan a mirar un problema resuelto en otro momento, ahora con nuevas herramientas. Estas propuestas están habitualmente encabezadas por el título Mirar para atrás.
Los niños pueden resolver problemas, aun cuando no conozcan los cálculos que los resuelven, usando estrategias variadas. Dichas estrategias son objeto de trabajo y análisis.
En el libro se presentan variados sentidos de la suma y la resta. Entre los de menor dificultad se encuentran los problemas de agregar, reunir, perder, retroceder, quitar. Entre los de mayor dificultad (tanto para la comprensión del enunciado como para la resolución e identificación del cálculo) están los que exigen averiguar el estado inicial (compré 4, me quedaron 9, ¿cuántos tenía al principio?), comparar o buscar la diferencia (estoy leyendo la página 12. El libro tiene 34, ¿cuántas me faltan?), averiguar la transformación sucedida (tenía 11 caramelos, comí algunos y me quedaron 4, ¿cuántos comí?) o realizar dos o tres operaciones. Tanto para unos como para otros problemas es necesario proponer luego de la resolución propiciar el intercambio sobre las estrategias usadas y la complejidad de cada uno. Cuando se presentan los signos + y – los niños ya tienen experiencia en resolver situaciones similares y se agrega la solicitud de plantear el cálculo luego de la resolución. Entre los sentidos más sencillos están los problemas de las páginas 24 a 27. Entre los más complejos se encuentran los de las páginas 101 a 103.
Conocer los cálculos no es suficiente para reconocer su uso en diversos tipos de proble mas. La variedad de problemas también constituye un objeto de estudio y reflexión.
Luego de que los niños han interactuado con variados problemas, se propone reflexionar sobre los enunciados, analizar la pertinencia de los datos, inventar preguntas, analizar la relación entre cálculos y problemas. Algunas situaciones para seleccionar los datos, problemas que involucran varios pasos se presentan en las páginas 39, Problemas para calcular el puntaje, y 60, Problemas con precios y 82 ,83, etc. Para inventar problemas y preguntas hay propuestas en las páginas 78, Inventar problemas y 79, Inventar más problemas.
El trabajo sobre los enunciados, los datos, los cálculos y las preguntas de los problemas también requiere un trabajo sistemático.
Los alumnos de primer año también pueden usar problemas de series proporcionales y de reparto, aun cuando estén lejos todavía de los cálculos correspondientes. (¿Cuántas figuritas hay en 4 paquetes si en cada uno hay 5 figuritas?; Nicolás reparte en partes iguales sus 20 figuritas entre 4 amigos, ¿cuántas le dará a cada uno?). Para resolverlos desplegarán variados recursos: dibujos, rayitas, etc., o usarán los dedos. Entre los problemas de series proporcionales y de reparto se encuentran los de las páginas 61 y 62, Muchas formas de resolver I y II, y 63, Problemas para resolver I y II, y 110 a 112, Repetir y repartir cantidades y ¿Partes iguales? El trabajo sobre estos problemas permitirá instalar un punto de partida rico para que en los años siguientes continúen estudiando la multiplicación y la división. Del mismo modo,
Los niños pueden resolver problemas multiplicativos aun cuando no reconozcan la multiplicación y la división. Se proponen varias secuencias de problemas que apuntan a explorar la variedad de estrategias.
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la finalidad de su tratamiento también reside en la potencia para producir y debatir sobre las estrategias diversas de resolución. Construir un repertorio de cálculos conocidos es un buen punto de partida para entrar en el trabajo con el cálculo mental.
Un mismo cálculo admite estrategias diferentes. Las composiciones y descomposiciones posibles pueden ser objeto de estudio.
La calculadora es una herramienta presente en diversos contenidos y durante todo el año.
En los problemas se propone que los niños utilicen diversos procedimientos de cálculo, en particular cálculos mentales escritos, también llamados “horizontales”. Inicialmente, los niños usarán diversas estrategias como dibujos y conteo para resolverlos. Luego se presentan los signos +, – y =, y se propone reflexionar sobre los cálculos que representaría cada problema (páginas 48 a 52, Formas de anotar aumentos, Formas de anotar disminuciones, Usar la calculadora I y II). A partir del uso se propicia la construcción de un creciente repertorio de sumas y restas memorizadas. El uso de este repertorio permite reemplazar paulatinamente el conteo e iniciar la práctica del cálculo mental. Construir un listado de cálculos conocidos será útil para variados problemas. Entre ellos: suma de iguales (2 + 2, 3 + 3...), sumas que den 10 (4 + 6; 3 + 7 ...), sumas de dieces (10 + 10; 20 + 20...), descomposición en dieces y unos (34 = 30 + 4 o 10 + 10 + 10 + 4). Entre otras páginas, la elaboración de un repertorio de cálculos disponibles se presenta en las páginas 53 a 55, 75 a 77 y 84, Sumar iguales también es fácil, Recordar cálculos, Llegar a 10, Sumas en la memoria, Restas con 10, Saber un cálculo sirve para resolver otros.
La memorización de ciertos cálculos permite que los niños se apoyen en aquello que saben para averiguar lo que no saben (por ejemplo, usar 20 + 20 para calcular 21 + 23). La reflexión y los nuevos acuerdos sobre estrategias de cálculo permitirán ir provocando avances en los procedimientos (por ejemplo, para 21 + 21, es útil 20 + 20). Las páginas que propician ese trabajo son, por ejemplo, las páginas 84, 88, 108 y 109, Distintas formas de hacer cálculos, Muchas formas de hacer sumas difíciles, Muchas formas de hacer restas difíciles.
Las primeras páginas que presentan el uso de la calculadora lo hacen a propósito de presentar los símbolos +, – e = (páginas 51 y 52, Usar la calculadora I y II). Se propone investigar el uso de la calculadora y a partir de entonces pasa a ser un elemento de trabajo permanente, tanto en el terreno de los cálculos como en la resolución de problemas. Respecto de los cálculos, se incluye su uso para que los niños puedan verificar los resultados obtenidos por medio de estrategias de cálculo mental y estimativo; esto favorece el trabajo autónomo por parte de los niños, ya que no es el maestro el único que puede validar los resultados obtenidos. Otro trabajo que se propone es analizar la conveniencia del uso de la calculadora y del cálculo mental según los números involucrados, por ejemplo las páginas 80, ¿Más rápido que la calculadora?, y 105, Estimar el resultado. Otro uso de la calculadora es para resolver problemas. Se invita a los alumnos a resolverlos usándola y a escribir los cálculos utilizados. Por ejemplo, en la página 84. Para ampliar estas ideas sobre la enseñanza y el aprendizaje de las Operaciones se sugiere consultar la bibliografía de la página 124 del libro del alumno.
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Espacio Los niños utilizan el espacio y construyen un conjunto de conocimientos prácticos que les permiten dominar sus desplazamientos, construir sistemas de referencias. Se trata de adquisiciones espontáneas en su proceso de construcción de nociones espaciales. ¿Cuál es la relación entre el abordaje del espacio desde el punto de vista de otras áreas y el que se realiza desde la Matemática?, ¿es necesario abordar primero actividades desde el propio cuerpo y luego abordar su representación simbólica? Nos encontramos con la creencia de que los niños, para aprender en la escuela deben atravesar ciertas etapas que van de lo concreto a lo gráfico, y desde aquí a lo abstracto. La creencia sobre la necesidad de respetar en el aula estas etapas ha contribuido a la confusión de los aprendizajes espaciales ligados a la matemática con aquellos ligados al movimiento o a los desplazamientos. Resulta necesario hacer una distinción entre el uso del espacio real (desplazarse, recorrer lugares, hacer circuitos, etc.) y los aspectos matemáticos que podrían estar vinculados a cada una de esas situaciones. En el uso real del espacio (cuando un niño va de la sala al baño o de su cuarto al de sus padres, cuando lanza una pelota hacia un aro, etc.) no necesariamente realiza alguna conceptualización o toma de conciencia de las relaciones espaciales. Esto no significa que desvaloricemos aquellas propuestas elaboradas desde otras disciplinas en dirección al uso del cuerpo propio en el espacio físico, como aquellas que se propician desde la Educación Física. Simplemente señalamos la necesidad de distinguir su finalidad. Los problemas matemáticos relacionados con el espacio están, en cambio, ligados a la representación de dicho espacio –verbal oral, escrita o gráfica–. No se trata de los mismos problemas. La matemática implica una abstracción de la realidad, y su potencia reside en que la representación es solo un modelo de la realidad, no es la realidad misma, pero justamente por ello permite tomar decisiones y resolver problemas anticipándose a las acciones físicas o sin precisarlas. Se espera que los niños puedan, entre otros aspectos, trabajar los siguientes tipos de problemas: • Problemas que exigen una comunicación oral • Problemas que exigen una representación gráfica En Estudiar Matemática en 1.º se propone centrar los problemas en la comunicación oral de posiciones, con la finalidad de que los niños avancen en su posibilidad de comunicar e interpretar en forma oral posiciones y desplazamientos de objetos, el uso de vocabulario específico que les permita comunicar posiciones y relaciones entre objetos, interpretar recorridos. Las páginas correspondientes a Ubicar objetos apuntan a interpretar y comunicar la ubicación de ciertos objetos a partir de la utilización de referencias del entorno y entre los objetos mismos (páginas 42 y 43). La actividad Elegir un recorrido tiene la intención de que los niños se enfrenten a la interpretación de recorridos ya realizados, tomando elementos del entorno como puntos de referencia (página 44). Otro contenido –no presente en Estudiar Matemática en 1.º por cuestiones de “espacio” y que también podría plantearse– es que los alumnos aprendan a producir mejores representaciones planas de diferentes espacios físicos, por ejemplo, el plano del aula.
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Geometría
El intento de vincular los objetos geométricos con la vida cotidiana muchas veces tiende a desdibujar el trabajo matemático. Estudiar objetos geométricos y sus propiedades requiere –como en el campo numérico– trabajar con diversidad de problemas.
Los problemas geométricos exigen un trabajo intelectual. No se resuelven solo mirando o manipulando.
La Geometría suele ser uno de los contenidos a los que la escuela le suele asignar escaso tiempo y se desdibuja a veces su intencionalidad. ¿Cómo reinstalar la Geometría en las aulas y promover un tratamiento de los objetos geométricos en el que no se pierda el sentido? Será necesario renunciar a las intenciones de vincular los objetos geométricos a la vida cotidiana y promover en cambio el interés de los alumnos en la resolución de problemas que permitan estudiar las características de las figuras y los cuerpos geométricos. En Estudiar Matemática en 1.º se proponen secuencias de problemas. • Para figuras geométricas En las páginas 65 y 66, Copiar figuras y Comparar figuras, el tipo de trabajo propuesto es la reproducción y comparación de una figura a partir del análisis de sus características. Copiar y comparar no son actividades que se resuelvan exclusivamente mirando o dibujando. Se obliga a los alumnos a reparar en características y detalles de las figuras y a poner en palabras similitudes y diferencias. Esta explicitación de propiedades forma parte de algunos problemas geométricos. En las páginas 67 y 68, Armar figuras con otras figuras I y II, el centro de la actividad reside en la reproducción de figuras dadas con otras figuras. Para poder armarlas es preciso analizar sus propiedades. • Para cuerpos geométricos En las páginas 90 y 91, Identificar un cuerpo, el trabajo apunta a que los alumnos identifiquen y formulen propiedades que permiten distinguir un cuerpo a partir de sus características: forma y cantidad de caras, vértices, etcétera. En las páginas 92 y 93, Armar un cuerpo, el centro está en el establecimiento de relaciones entre figuras geométricas y caras de los cuerpos. Y en la página 94, Algo más sobre los cuerpos, se propone reorganizar las propiedades estudiadas de los cuerpos geométricos.
En las propuestas geométricas, del mismo modo que en los otros contenidos, se intenta promover un clima de trabajo y de producción colectiva. Si bien se incluyen momentos de trabajo individual o en parejas, hay instancias grupales de justificación, debate, confrontación de ideas, discusión, elaboración de conclusiones, todas ellas encabezadas por el título Se abre la discusión. Se trata de problemas que exigen varias clases. Aquellas propiedades que circularon en una clase se retoman, se amplían o se superan en las clases siguientes. Y en algunas secuencias se proponen nuevos problemas que apuntan a profundizar conocimientos ya abordados. Por ello se incluyen momentos para Mirar para atrás, otro espacio privilegiado para el trabajo colectivo. Las situaciones presentadas abordan diferentes tipos de prácticas. En algunas, se trata de que los niños tomen conciencia de propiedades sobre las que no suelen prestar particular atención, propiedades provisoriamente “no tan visibles”. En otros casos la intención es que los niños puedan “poner en palabras” esas propiedades, es decir, pasar de un reconocimiento implícito a su explicitación.
Si bien todas ellas inician a los niños en el estudio de los mismos objetos, las propuestas se diferencian en términos de qué tipo de relaciones geométricas se pretende establecer o profundizar. Por ejemplo, en algunas es suficiente con considerar la cantidad de caras de un cuerpo, mientras
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que en otras será necesario distinguir los cuerpos en función de las formas de sus caras. Lo mismo ocurre con las figuras. Algunos problemas exigen considerar cantidad de lados, mientras que en otros se profundiza en las relaciones entre unas figuras geométricas y otras. Es necesario aclarar que si bien en la Etapa III se trabaja sobre Figuras geométricas y en la Etapa IV sobre Cuerpos geométricos, no siempre es necesario seguir ese orden. Se podría invertir, como ocurre en los libros de segundo y tercer año. Para ampliar estas ideas sobre la enseñanza del Espacio y la Geometría se sugiere consultar la bibliografía de la página 124 del libro del alumno.
Medida El estudio de la medida abarca una diversidad de cuestiones. Un aspecto refiere al conocimiento de las magnitudes por medir. Los niños podrán aprender que se pueden medir longitudes, capacidades, pesos, superficies, velocidades, el tiempo, la temperatura, la humedad, etc. Evidentemente ellos no están en condiciones de resolver problemas ligados a todas estas magnitudes, pero podrán explorar cuáles son las diferentes magnitudes medibles. Otro aspecto son los diferentes instrumentos de medida que se usan socialmente. Ellos conocen algunos de esos instrumentos, podrán consultarlos y explorar otros: termómetro, medidor de velocidad, reloj, jeringa, vaso medidor, balanzas diversas, etcétera. Se podrán analizar estas cuestiones investigando de qué diferentes formas se comercializan productos que ellos conocen: ¿el azúcar se vende por unidad, por kilo o por litro?, ¿la carne se cuenta o se pesa? Un tercer aspecto serán las diversas unidades de medida que se usan habitualmente para esas magnitudes y, según las dimensiones de cada objeto por medir, se apuntará a que reconozcan algunas unidades de medida convencionales muy usadas, tales como el gramo, el metro, el litro y algunos de sus múltiplos y submúltiplos más usados. Obviamente no se espera que realicen equivalencias; simplemente se apunta a que tomen contacto con las diversas unidades y analicen la conveniencia de usar unas u otras según la magnitud del objeto por medir. ¿Por qué se usará el kilogramo y no el gramo para medir el peso de un adulto? ¿Por qué los kilómetros y no los milímetros, para medir un viaje en la ruta?, etc. También podrán analizar cuáles son las medidas no convencionales que se usan en el ámbito escolar o familiar. Otro aspecto por considerar refiere a la posibilidad de iniciar a los niños en la estimación de medidas; para ello se los podrá enfrentar a analizar ciertas afirmaciones y encontrar cuáles son posibles y cuáles no, y por qué: por ejemplo: “un bebé pesa 3 kilos”, “un bebé pesa 3 gramos”, “un bebé pesa 3 toneladas”. Estas cuestiones exploratorias podrán organizarse a través de una búsqueda en su entorno: heladeras, almacenes, folletos de publicidad de supermercados, cocina de la escuela, etc., con la finalidad de tomar contacto con el tema de qué magnitudes son medibles, qué instrumentos se usan para medir, qué unidades de medida son las más convenientes, qué medidas parecen posibles y cuáles no. La información puede estar en carteles, copiarse en cuadernos, consultarse, y no se espera que los niños la memoricen, pero sí que puedan recurrir a ella si la necesitan. En Estudiar Matemática en 1.º se propone explorar la medición del tiempo a partir de un calendario, portador ya conocido por los niños (páginas 115 y 116). Medir el tiempo apunta a la
Para este contenido, que es un acercamiento a los usos sociales de la medida, el docente resulta un informante clave.
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utilización de algunas unidades (semana, día, mes y año) y del calendario, para ubicar acontecimientos, y a la interpretación de la organización y las informaciones que porta un calendario. Respecto de la medida –además de todos los aspectos relacionados con el conocimiento de los usos sociales de la medida– los niños podrán resolver algunos sencillos problemas ligados a medir efectivamente longitudes. Se proponen problemas que exigen comparar longitudes de objetos diversos. Por ejemplo, en la página 117, ¿Cuáles tienen el mismo largo?, se apunta a la resolución de problemas de longitud donde la medida puede obtenerse por comparación directa. En la página 118, Más problemas de medida, se propone la comparación entre situaciones donde la medida puede obtenerse por comparación directa, y otras en las que es necesario apelar a un intermediario. Estudiar Matemática es fruto de un trabajo colectivo. Así lo ha sido para el equipo de autores y se anhela que lo sea para los maestros, además de para los niños.
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