Estudiar Matemática 8 by Marcela Lalia

LIBRO DEL DOCENTE

Estudiar Matemática 9X 8 + 5 X = 3.805.047 km 3 ( 79 + X 2) - X ( 85 Y - 3 X ) + 10 X

3.805.047 km 9X

( 79 + X 2) - 321X+ X 2

37 + ∏=

586 89 + 258 9X

( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

1.257 : 589 = 2,134 ( 58 - 3 X ) + 10 X

Estudiar Matemática.–NAP 8.º; ES 2.º; CABA 1.º–.es.una.obra.colectiva, creada.y.diseñada.en.el.Departamento.Editorial.de.Ediciones.Santillana bajo.la.dirección.de.Herminia.Mérega.por.el.siguiente.equipo: Coordinación.de.la.serie:.Claudia.Broitman Autoría:.María.Mónica.Becerril,.Verónica.Grimaldi,.Héctor.Ponce.y.Mónica.Urquiza Asesoramiento.didáctico:.Horacio.Itzcovich Lectura.crítica:.Andrea.Novembre Editoras:.Raquel.S..Kalizsky,.Laura.Spivak.y.Ana.V..Veltri Jefa.de.edición:.María.Laura.Latorre Gerencia.de.gestión.editorial:.Mónica.Pavicich

Santillana

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La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el equipo de EDICIONES SANTILLANA S.A., integrado por: Jefa de Arte:

Claudia Fano.

Diagramación:

Sergio Israelson.

Tapa:

2martini • estudio de diseño.

Corrección:

Juan Sosa.

Gráficos matemáticos

Pablo J. Kaczor.

Documentación fotográfica:

Ariadna Demattei, Leticia Gómez Castro

y Nicolás Verdura.

Fotografía:

Archivo Santillana.

Preimpresión:

Miriam Barrios, Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez

y Maximiliano Rodríguez.

Gerencia de producción: Gregorio Branca.

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito. © 2008, EDICIONES SANTILLANA S.A. Av. L. N. Alem 720 (C100 1AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina.

Estudiar matemática : recursos para el docente : NAP 8.º, ES 2.º, CABA 1.º / María Mónica Becerril ... [et.al.] ; coordinado por Claudia Broitman. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008. 192 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-46-2058-7 1. Formación Docente. 2. Matemática. I. Becerril, María Mónica II. Broitman, Claudia, coord. CDD 371.1

ISBN-978-950-46-2058-7

Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: noviembre de 2008.

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Este libro se terminó de imprimir en el mes de noviembre de 2008, en Encuadernación Aráoz S.R.L., Av. San Martín 1265, (1704) Ramos Mejía

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Índice Aportes para la enseñanza

1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que subyacen a las propuestas de Estudiar Matemática . ............................................ 5 1.1 • • 1.1 1.2 1.3 1.4 • • 1.1

El rol de los problemas................................................................................................. 5 Secuenciación de los problemas................................................................................... 7 Diversidad de procedimientos . .................................................................................... 8 La exploración como parte del trabajo matemático . .................................................... 8 Los modos de representación....................................................................................... 9 La validación como parte de la responsabilidad del alumno.......................................... 9 El uso de las letras..................................................................................................... 10 Las letras y la generalización . .................................................................................... 10 Las letras para estudiar procesos ............................................................................... 11 Diferentes organizaciones del trabajo en la clase....................................................... 12

La organización de contenidos en Estudiar Matemática ........................... 13

EJE: Los números y sus operaciones............................................................................... 13 Cap. I: Números naturales Cap. II: Números enteros Cap. III: Números racionales EJE: Geometría y medida . .............................................................................................. 14 Cap. IV: Geometría y medida I Cap. V: Geometría y medida II EJE: Relaciones entre variables....................................................................................... 15 Cap. VI: Funciones Cap. VII: Función lineal Cap. VIII: Probabilidad y estadística

Bibliografía............................................................................................................ 16

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Estudiar Matemática Aportes para la enseñanza

1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que subyacen a las propuestas de Estudiar Matemática. En este apartado se intenta hacer explícitas algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que fundamentan las decisiones adoptadas para la elaboración de este libro. Intentaremos comunicar, por una parte, algunas características del tipo de trabajo que se propicia desplegar con los alumnos y, por otra, los criterios que sustentaron la selección, organización y secuenciación de los contenidos. Ambos aspectos se identificarán con algunos ejemplos de cómo se esbozan estas cuestiones en las páginas del libro.

1.1 El rol de los problemas Se parte de la idea de que es necesario que los alumnos se enfrenten con problemas nuevos, que favorezcan procesos constructivos a partir de poner en juego conocimientos iniciales y se evidencie la necesidad de producir nuevos. Para que los alumnos puedan ir construyendo una idea acerca del trabajo matemático deberán enfrentarse a situaciones que les presenten cierto grado de dificultad, que sean verdaderos desafíos. La dificultad de la situación propicia el despliegue de formas de resolución basadas en el uso de ciertos conocimientos y hace posible la elaboración de otros. Las estrategias usadas al principio no serán “expertas” ni muy económicas, pero serán el punto de partida. Estos desafíos se presentan de diferentes maneras. Aquí van algunos ejemplos: Encontrar estrategias más económicas; por ejemplo:

3. La siguiente secuencia de figuras se forma con fósforos.

1.er lugar

2.º lugar

3.er lugar

Decidí si la fórmula 3n + 1, en la que n representa el lugar que ocupa la figura en la serie, permite averiguar la cantidad de fósforos necesarios para armarla.

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Discutir.la.validez.de.ciertas.afirmaciones;.por.ejemplo:

Para debatir

•. ¿Es.cierto.que.tres.lados.de.longitud.conocida.solo.permiten.construir.un.triángulo?.¿Y.tres.ángulos.de.medida.conocida?

Anticipar.la.cantidad.de.soluciones;.por.ejemplo:.

Para hacer en parejas

. Marquen.un.punto.que.se.encuentre.a.

3.cm.de.la.recta.L.y.a.4.cm.del.punto.D.. ¿Hay.más.de.un.punto.posible?. D

Establecer.relaciones.entre.expresiones.algebraicas.que.aparentan.ser.diferentes;.por.ejemplo:.

. Una. camioneta. consume. 10. litros. de. c.. ¿Cuál. de. las. siguientes. fórmulas.

combustible. por. cada. 100. km. que. recorre..El.dueño.llena.el.tanque.y.sale.a. la.ruta.con.150.litros.de.combustible. a.. ¿Qué. cantidad. consume. por. cada. km.recorrido?

podría. describir. la. relación. que. se. muestra.en.la.tabla?. C = 0,10 · D

C = 150 + 0,10 · D

C = 150 – 0,10 · D

C = 150 – 10 · D

b.. Completá. la. tabla. que. muestra. la. cantidad.C.de.combustible.que.va.quedando.en.el.tanque,.según.la.distancia. D.que.recorre.la.camioneta,.expresada. en.km. D

150

100

200

300

400

500

600

700

d.. Otro. vehículo. consume. 12. litros. cada.100.km.y.sale.a.la.ruta.con.su.tanque.de.100.litros.lleno.de.combustible.. ¿Cómo.será.la.fórmula.que.describe.la. relación.entre.la.cantidad.de.km.que.recorre.y.la.de.combustible.que.queda.en. el.tanque?

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Establecer condiciones para que se cumpla cierta relación o propiedad; por ejemplo:

5. ¿Qué condición tiene que cumplir el número natural f

para que la división siguiente dé resto cero? ¿Hay una única opción? 8 + f 9

• Secuenciación de los problemas En este libro las diferentes propuestas se organizan en secuencias pequeñas, en las que se visitan los mismos tipos de problemas, una y otra vez, para favorecer avances. Pero, a su vez, se incorporan situaciones que agregan desafíos nuevos. Por ejemplo, en la página 22 se propone una colección de problemas que apunta a un mismo conocimiento, pero de complejidad creciente.

Problemas que incluyen números negativos 1. En la ciudad de San Carlos de Bariloche, en un día de invierno, se registró una temperatura de 2 ºC. Algunas horas más tarde había descendido 7 ºC. ¿Cuál era la temperatura en ese momento? ¿Y si hubiera descendido otros 3 ºC?

2. A la salida del Sol la temperatura en El Bolsón era de 15 grados bajo cero. Si a las 3 de la tarde había aumentado 9 grados, ¿cuál era la temperatura en ese momento?

3. En un edificio de departamentos hay 3 pisos para estacionamiento cons

truidos debajo del nivel de la calle. La botonera del ascensor es como la que se ve en el dibujo. a. Emilia tomó el ascensor en el –2 y fue hasta el 5.º piso. ¿Cuántos pisos subió? b. Lucía subió 9 pisos en el ascensor y llegó a su departamento, que es el 6.º A. ¿En qué piso lo tomó?

6 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3

4. Marisa tiene $ 280 depositados en su caja de ahorros del banco. Hoy van a descontarle $ 540 por la cuota de un crédito. Si no le alcanza, el banco le presta el dinero que le falta. ¿Cómo anotarían el estado de su caja de ahorros?

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• Diversidad de procedimientos La.variedad.de.formas.de.resolución.es.un.buen.indicador.de.que.los.problemas.inicialmente. propuestos.no.son.tan.simples,.como.para.que.todos.los.resuelvan.del.mismo.modo,.ni.tan. complejos.como.para.que.no.los.puedan.resolver..Pero.se.espera,.por.supuesto,.que.luego.de. un.tiempo.se.los.pueda.resolver.con.estrategias.más.homogéneas.e.incluso.más.convencionales..Por.ejemplo:

1. a..En.la.tira.se.repiten.las.primeras.cuatro.letras,.siempre.en.el.mismo.orden..¿Qué. letra.estará.en.el.casillero.17?.¿Y.en.el.2.533? P

b.. ¿Es.cierto.que.en.los.casilleros.21,.37.y.509.va.a.estar.la.letra.P? c.. Elegí.tres.casilleros.mayores.que.200.en.los.que.estés.seguro.que.va.a.aparecer. la.letra.O.

Para hacer en parejas

2. Escriban.una.palabra.de.tres.letras.diferentes.para.repetir.en.esta.tira,.de.manera. que.estén.seguros.de.que.en.el.casillero.37.va.a.estar.la.letra.A.

. Escriban.ahora.una.palabra.de.siete.letras.diferentes,.de.manera.que.en.el.casillero. 53.esté.la.letra.E.

1.2 La exploración como parte del trabajo matemático A.menudo.en.la.resolución.de.un.problema.el.primer.intento.no.siempre.conduce.a.“buen. puerto”..Es.necesario.realizar.varios.ensayos,.identificar.en.qué.consisten.los.errores.que.impiden.arribar.a.la.solución,.como.también.buscar.cierta.información.previa.que.pudiera.estar. involucrada. en. el. trabajo. que. se. propone.. Se. trata. de. un. juego. entre. la. anticipación. de. la. resolución.y.los.efectos.de.las.decisiones.que.se.han.ido.tomando,.de.manera.de.sistematizar. la.búsqueda..Hay.un.interjuego.entre.explorar,.probar,.ensayar,.por.una.parte,.y.reordenar.la. búsqueda,.sistematizar,.por.la.otra..Por.ejemplo:

2. Buscá.un.número.cuya.multiplicación.por.4.dé.–12..Podés.usar.la.calculadora.

. Buscá. un. número. cuya. multiplicación. por. –3. dé. –18.. Podés.usar.la.calculadora.

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1.3 Los modos de representación Durante la exploración de un problema nuevo los alumnos suelen recurrir a dibujos, representaciones gráficas simbólicas, cálculos y diagramas. Las diferentes formas de representación abonan al proceso exploratorio. El propio proceso demanda, en ciertas circunstancias, variar los modos de representación pues informan –o permiten identificar– aspectos diferentes de las relaciones que proponen las situaciones. Por ejemplo:

1. Elegí tres números naturales consecutivos. Sumalos. ¿El resultado es múltiplo de 3? ¿Será cierto que si se eligen otros tres números naturales consecutivos ocurre lo mismo? ¿Por qué? Algunos alumnos podrán ensayar y explorar con números, pero las representaciones algebraicas permitirán comprender y explicar por qué ocurre lo que ocurre. Las primeras formas de representación que usan los alumnos serán un punto de partida interesante para iniciar el trabajo y se espera poder avanzar sobre ellas, así como propiciar la interpretación de representaciones más convencionales. Por ejemplo, en la página 158 se propone un problema que instala un juego entre la representación gráfica y la algebraica:

2. a. La función representada en el gráfico de la derecha, ¿es

creciente o decreciente? Justificá tu respuesta. b. ¿Cuál o cuáles de estas fórmulas describen el proceso graficado? Justificá tus elecciones. C = 1.000 – 8 · t C = 8 · t – 1.000 C = 1.000 – 125 · t C = 1.000 + 125 · t c. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la recta? Justificá.

1.4 La validación como parte de la responsabilidad del alumno Parte del quehacer matemático consiste en determinar la validez de lo producido. En este sentido, se apunta a un trabajo matemático en la clase en el que los alumnos puedan, progresivamente, “hacerse cargo”, por sus propios medios, de la validez de los resultados que encuentran y de las relaciones que establecen. Este aspecto es quizá el más complejo de tratar en el desarrollo de las clases. Se espera que algunas explicaciones provengan de una experiencia más intuitiva, en tanto se trate de avanzar hacia explicaciones más argumentativas. Por ejemplo:

3. Dibujá en el recuadro un segmento de 5 cm. Ese segmento es la diagonal de un rectángulo.

a. Utilizando escuadra y regla construí el rectángulo. b. ¿Es cierto que es posible construir más de un rectángulo? ¿Por qué?

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Estos modos de verificación un tanto empíricos –por medio de una representación, a través de ensayos y errores, usando cálculos o dibujos– son un punto de partida de un recorrido a largo plazo. Progresivamente se apuntará a que los alumnos encuentren en el conocimiento matemático herramientas que permitan estar seguros de que lo que se hizo o se afirma es correcto. Los conocimientos matemáticos permitirán dar razones, argumentar, justificar, sin necesidad de constatar empíricamente.

1.5 El uso de las letras Es muy probable que la principal marca del trabajo en este nivel de escolaridad venga dada por el inicio de los alumnos en el trabajo con las letras. Es decir, se trata de acompañar a los alumnos en el pasaje desde los problemas que involucran una actividad aritmética hacia los que demandan un trabajo algebraico. El uso de las letras comienza a dotar a la Matemática de nuevas particularidades. En este libro las letras funcionan desde dos perspectivas: para tratar cuestiones generales y para estudiar procesos que varían. • Las letras y la generalización El trabajo con las letras habilita a volver a pensar algunas propiedades de los objetos matemáticos, ya no en términos de sus casos particulares. Se trata de promover la iniciación de su uso para pensar cuestiones más generales y poder encontrar modos de representar relaciones que valen en colecciones infinitas de objetos. De esta manera, los alumnos contarán con herramientas nuevas para profundizar el estudio, incluso de conceptos que ya fueron tratados en años anteriores de la escolaridad. Por ejemplo:

3. ¿Qué condición debe cumplir el número natural a, para

que el resultado del cálculo siguiente sea un número terminado en 3? a×5+3

Del mismo modo, el estudio de propiedades de los números y el análisis de ciertos dominios de validez de esas propiedades demandan el uso de las letras, por ejemplo:

Para debatir 1 1 y . a b 1 1 ¿Es cierto que si a y b son dos números naturales y a > b, entonces ? > a b 1 1 Si a y b son dos enteros negativos y a > b, ¿se cumple que ? > a b

Se quiere comparar las fracciones

• •

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En otros problemas se busca que los alumnos se inicien en el tratamiento de las letras como variables. Son aquellos en los cuales se trata de producir fórmulas que permitan contar la cantidad de elementos de una colección, sin tener que hacerlo de a uno. Por ejemplo:

Para hacer en parejas

2. La siguiente serie de dibujos está cons- a. ¿Cuántos tituida por bordes de cuadrados formados por cuadraditos, tal como se muestra en el dibujo:

cuadraditos habrá en el cuadrado que se encuentra en el décimo lugar? ¿Y en el que está en el lugar 41?

b. ¿Cuál o cuáles de las siguientes fór-

... 1.er lugar

2.º lugar

3.er lugar

...

mulas permite conocer la cantidad de cuadraditos de una figura que está en el lugar n? ¿Cómo se dieron cuenta? 4 × (n + 1) 2×n+4+2×n 4 × (n + 2) – 4

Este tipo de situación tiene diferentes finalidades. Por un lado, usar las letras para dar cuenta de una regularidad. Por otro, identificar que hay expresiones que parecen ser diferentes, pero que terminan siendo iguales: el problema de la equivalencia. Finalmente, involucra considerar la letra como susceptible de sufrir variaciones que impactan sobre los resultados obtenidos. Esto abre la puerta a la siguiente cuestión: las letras para estudiar procesos. • Las letras para estudiar procesos Uno de los recursos principales con que cuenta la Matemática para estudiar problemas en los cuales se producen variaciones involucra las funciones. En efecto, la elaboración de modelos funcionales demanda, casi indefectiblemente, apelar a letras para representar los procesos que se pretende estudiar. Si bien es esperable que al principio los alumnos puedan tratar los problemas desde una perspectiva aritmética, apelando a cálculos, la expectativa es que puedan pasar a identificar relaciones más generales, que admiten un tratamiento mediante representaciones algebraicas, y que permitan hacerse cargo de la variación. Por ejemplo:

1. Un

tren sale de la estación terminal y hace una sola parada en Victoria, situada a 50 km. Allí sube Luis, que se dirige a San Ignacio, la próxima parada, distante 360 km de la terminal. En este último tramo el tren se desplaza a 40 km por hora.

a. ¿A qué distancia de la terminal se encuentra Luis después de viajar 2 horas? ¿Y después de 3 horas? ¿Y de 4?

b. Escribí una fórmula que te permita calcular a qué distancia de la terminal está Luis en cada momento del recorrido.

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Hay un juego permanente entre los cálculos que podrían hacer los alumnos y las fórmulas que se solicita elaborar. Estas relaciones, a su vez, como ya se ha mencionado, invitarán a otros modos de representación (tablas, gráficos) para poder avanzar en la escritura de expresiones algebraicas que den cuenta de los procesos que se están estudiando. Una decisión que se ha tomado en este libro es que las ecuaciones se propongan asociadas al trabajo con funciones, a partir de la búsqueda de valores, en los contextos de los problemas. Por ejemplo:

3 x – 4, encontrá qué valor toma x si la variable y 2 toma el valor 5. Antes de realizar cálculos anticipá si ese valor será positivo o negativo.

2. Para la recta de ecuación

Se trata de considerar la ecuación lineal como parte del estudio de la función lineal y la ecuación de la recta. Por otro lado, sin perder de vista la perspectiva adoptada, las letras también se proponen para estudiar otros procesos. Es el caso del siguiente ejemplo:

3. En el rombo de la derecha, las diagonales miden a y b. ¿Cuáles podrían ser las medidas de las diagonales de

otro rombo cuya área sea la cuarta parte de la del dibujado?

En este caso se trata de apelar al estudio de la variación de una fórmula para anticipar la variación de un área.

1.6 Diferentes organizaciones del trabajo en la clase Las formas que puede adquirir el trabajo matemático, el nivel de conocimientos que el problema involucre y el tipo de interacciones que se pretenda promover harán necesarias diversas modalidades de organización de la clase. Para muchos problemas es necesario un momento de exploración desde el trabajo individual, como punto de partida para un análisis colectivo ulterior. También hay propuestas de esta naturaleza en las páginas de Para estudiar los primeros problemas del capítulo y en las páginas de Para estudiar los problemas del capítulo. Se trata de un tiempo individual de estudio, de sistematización, de enfrentarse a las propias dificultades que aún presenta el tema tratado. Para ambas secciones se proponen hojas recortables, incluso con la intención de que puedan entregarse al docente para su corrección, como “tarea para el hogar”, preparación para la evaluación escrita u otros propósitos.

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Cuando la actividad requiere un trabajo exploratorio y no se espera que se la pueda resolver en forma autónoma, se sugiere un abordaje en parejas, de manera que las interacciones entre los alumnos posibiliten la resolución. Se prevén instancias de trabajo colectivo, en las secciones Para debatir o Para revisar lo realizado, con la finalidad de poner en discusión algún aspecto central de lo que se viene tratando o reflexionar sobre resoluciones elaboradas por los alumnos. En la sección Para tener en cuenta se presenta vocabulario, propiedades y demostraciones. Esta información fue concebida para su lectura colectiva y como fuente de consulta en diferentes oportunidades.

2. La organización de contenidos en Estudiar Matemática. Este libro está organizado en ejes y al interior de cada eje, capítulos: EJE: Los números y sus operaciones EJE: Geometría y medida EJE: Relaciones entre variables

EJE: Los números y sus operaciones Este eje está conformado por tres capítulos. El capítulo 1 se ocupa de los números naturales. Se propone en principio profundizar algunos aspectos ligados a la divisibilidad. Esta opción se basa en las “ventajas” que otorga este conocimiento para propiciar un trabajo exploratorio; a su vez, en ciertas condiciones, permite introducir a los alumnos en el problema de la generalización y el uso de primeras expresiones algebraicas. A esto se suma un trabajo vinculado al desafío de contar colecciones. La evolución de los conocimientos de los alumnos sobre este tema estará dada por la complejidad de las colecciones que deban contar. Obtener fórmulas para contar los elementos de una colección permite poner en evidencia la estructura del cálculo con el que se representa el conteo, lo que da sentido a un primer uso de la letra como variable y a un trabajo sobre las escrituras. El capítulo 2 presenta los números enteros, que por primera vez serán estudiados de manera sistemática. Se incluyen problemas que involucran su uso en situaciones contextualizadas, así como el problema de la resta de naturales. Además de este tipo de actividades y otras asociadas a las operaciones, y el orden con este conjunto numérico, se propone abordar la divisibilidad. Este campo es especialmente propicio para la exploración, formulación y validación de conjeturas; vuelve a aparecer el álgebra como herramienta para producir conocimiento sobre este tema.

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En el capítulo 3 se aborda el estudio de los números racionales. Se inicia con la resolución de diferentes problemas asociados a algunos de los sentidos que pueden adquirir: la fracción para medir, la fracción como proporción y la noción de segmentos conmensurables. Se continúa con cuestiones en torno del orden, lo que habilita la exploración de ciertas condiciones para que se verifiquen algunas igualdades o desigualdades. Gran parte del trabajo se apoya en la recta numérica, así como en el análisis de escrituras en las que se intenta generalizar las condiciones que se van estableciendo y que permiten comparar fracciones. Las propiedades de las operaciones se estudian a partir de problemas que permitan analizar su funcionamiento, y se incorpora el estudio de la potenciación y la radicación. Se busca que los alumnos aprendan a distinguir entre el resultado exacto y el resultado aproximado de cierta operación, y se proponen situaciones que apuntan a lograr un uso controlado de la calculadora. Este tipo de situaciones se conjuga con el tratamiento de las expresiones decimales, tanto finitas como periódicas.

EJE: Geometría y medida La actividad geométrica no se concibe como una actividad principalmente perceptiva ya que, por el contrario, es una actividad intelectual. Para que este tipo de trabajo se pueda desarrollar es necesario que los problemas vayan incorporando diferentes características. En algunas oportunidades será necesario –dada la complejidad de la entrada de los alumnos en este tipo de trabajo– llevar a cabo una actividad más exploratoria, más intuitiva, apelando a mediciones o dibujos, en los cuales la validez de los resultados obtenidos tendrá un “tinte” más empírico, ya que la dificultad de ciertas demostraciones así lo requiere. En otros casos el docente deberá intervenir para colaborar en la explicitación de las razones por las cuales se obtuvo un resultado, ya que los alumnos, por sus propios medios, quizá no puedan elaborarlas por completo. Los problemas presentados abordan diferentes tipos de prácticas. En algunos se trata de que los alumnos tomen conciencia de propiedades sobre las que no suelen prestar particular atención, provisoriamente “no tan visibles”. En otros casos la intención es que los alumnos puedan “poner en palabras” esas propiedades, es decir, pasar de su reconocimiento implícito a su explicitación. En otras situaciones la tarea de los alumnos consiste en tomar decisiones en forma anticipada –apoyándose en ciertas descripciones o características– para luego verificar la validez de éstas a partir de la elaboración de argumentos racionales. El capítulo 4 se inicia con el estudio de la circunferencia, a partir de actividades de copia con regla y compás. Estos conocimientos serán el soporte sobre el cual se tratarán los triángulos. A partir de estas cuestiones se avanza hacia los criterios de congruencia, para elaborar relaciones nuevas entre los elementos de los triángulos o establecer la validez de ciertas afirmaciones. Por otro lado, se proponen problemas que demandan la comparación de áreas, sin recurrir a la medición, en los cuales el triángulo, precisamente, es un punto de apoyo. Pensar en la posibilidad de cubrir cada figura con triángulos iguales pasa a ser un recurso pertinente para resolver esta clase de situaciones. La consecuencia de este tipo de tarea es la elaboración de la fórmula del área de los triángulos, a la par que la del rectángulo, estableciendo el vínculo entre ellas. El capítulo finaliza con algunas propuestas para analizar la variación del área de las figuras; aquí se conjuga la actividad geométrica con el recurso algebraico. Estas relaciones dan pie al estudio del teorema de Pitágoras y son una primera aproximación a la idea de número irracional.

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En el capítulo 5 se aborda el estudio de algunos cuadriláteros desde la misma perspectiva en que fueron tratados los triángulos. Para tal fin se proponen diferentes tipos de situaciones que involucran copiar o construir rectángulos, cuadrados, rombos y paralelogramos, identificando las relaciones entre algunos de sus elementos y la cantidad de soluciones. Los datos van variando: lados, ángulos, diagonales y alturas, de modo de recorrer las diferentes características que adquieren estas figuras en función de los elementos con que se las trate. El estudio de los ángulos de los paralelogramos asociado a las relaciones entre ángulos entre paralelas (cortadas por una transversal) abonan la compleja tarea de dar cuenta de la validez de los resultados y afirmaciones que se proponen. Por último, en este capítulo, al igual que el anterior, se propone la comparación entre áreas de cuadriláteros sin usar fórmulas ni cálculos. Ulteriormente las fórmulas permitirán estudiar la variación que puede producirse en el área de una figura al variar algunos de sus elementos.

EJE: Relaciones entre variables Este eje contempla fundamentalmente el tratamiento de las funciones. El capítulo 6 plantea una primera aproximación a través del análisis de gráficos. Se busca que los alumnos interpreten la información que surge de una lectura directa de los gráficos y puedan obtener datos que requieren un análisis más profundo. A su vez, comienza un juego entre los diferentes modos de representar relaciones entre magnitudes variables: tablas, primeras fórmulas y las relaciones entre éstas y los gráficos. La entrada a funciones por medio de gráficos ofrece la posibilidad de tratar funciones más complejas que aquellas a las que se podría acceder usando fórmulas, teniendo en cuenta los conocimientos de los alumnos a esta altura de la escolaridad. El capítulo 7 se ocupa de la función lineal. Se trata allí de identificar la diversidad de procesos que pueden estudiarse con este modelo y en principio establecer sus características principales: el tipo de crecimiento, la linealidad de los pares ordenados y el gráfico de la recta. A partir de situaciones contextualizadas se espera llegar a caracterizar los fenómenos lineales en términos de variación uniforme. Este trabajo se focaliza, en un inicio, en situaciones de proporcionalidad directa, para luego derivar en la función lineal. Por último, se proponen algunos problemas en los que intervienen ecuaciones lineales asociadas a sus respectivos gráficos, tablas de valores, búsqueda de preimágenes y la ecuación de la recta. En este eje se incluye la estadística, en el capítulo 8, considerada también una herramienta para representar u organizar información, con la finalidad de anticipar o estudiar el desarrollo de algunos procesos. Aquí otra vez los gráficos son un objeto de trabajo primordial, así como la posibilidad de manipular la información para poner en evidencia algunos aspectos y ocultar otros.

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