Estudiar Matemática 9 by Marcela Lalia

LIBRO DEL DOCENTE

Estudiar Matemática 9X 8 + 5 X = 3.805.047 km 3 ( 79 + X 2) - X ( 85 Y - 3 X ) + 10 X

3.805.047 km 9X

( 79 + X 2) - 321X+ X 2

37 + ∏=

586 89 + 258 9X 32

( 85 Y - 3 X ) + ( 85 Y - 3 X )

1.257 : 589 = 2,134 ( 58 - 3 X ) + 10 X

Estudiar Matemática.–NAP 9.º; ES 3.º; CABA 2.º–.es.una.obra.colectiva, creada.y.diseñada.en.el.Departamento.Editorial.de.Ediciones.Santillana, bajo.la.dirección.de.Herminia.Mérega,.por.el.siguiente.equipo: Coordinación.de.la.serie:.Claudia.Broitman Autoría:.María.Mónica.Becerril,.Verónica.Grimaldi.y.Mónica.Urquiza Asesoramiento.didáctico:.Horacio.Itzcovich Lectura.crítica:.Andrea.Novembre Editoras:.Raquel.S..Kalizsky,.Laura.Spivak.y.Ana.V..Veltri Jefa.de.edición:.María.Laura.Latorre Gerencia.de.gestión.editorial:.Mónica.Pavicich

Santillana

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La realización artística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el equipo de EDICIONES SANTILLANA S.A., integrado por: Jefa de Arte:

Claudia Fano.

Diagramación:

Diego Ariel Estévez.

Tapa:

2martini • estudio de diseño.

Corrección:

Juan Sosa.

Gráficos matemáticos

Pablo J. Kaczor.

Documentación fotográfica:

Ariadna Demattei, Leticia Gómez Castro y Nicolás Verdura.

Fotografía:

Archivo Santillana.

Preimpresión:

Miriam Barrios, Marcelo Fernández, Gustavo Ramírez y Maximiliano Rodríguez.

Gerencia de producción: Gregorio Branca.

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito. © 2008, EDICIONES SANTILLANA S.A. Av. L. N. Alem 720 (C100 1AAP), Ciudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. ISBN-978-950-46-2078-5

Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: diciembre de 2008.

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Estudiar matemática. Libro para el docente : NAP 9.º, ES 3.º, CABA 2.º / María Mónica Becerril ... [et.al.] ; coordinado por Claudia Broitman. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008. 192 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-46-2078-5 1. Matemática. 2. Educación Secundaria. 3. Libro para el Docente. I. Becerril, María Mónica II. Broitman, Claudia, coord. CDD 371.1

Este libro se terminó de imprimir en el mes de diciembre de 2008, en Encuadernación Aráoz S.R.L., Av. San Martín 1265, (1704) Ramos Mejía, República Argentina.

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Índice Aportes para la enseñanza

1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que subyacen a las propuestas de Estudiar Matemática . ............................................ 5 1.1 • • 1.2 1.3 1.4 1.5 • • 1.6

El rol de los problemas................................................................................................. 5 Secuenciación de los problemas................................................................................... 7 Diversidad de procedimientos . .................................................................................... 8 La exploración como parte del trabajo matemático . .................................................... 9 Los modos de representación....................................................................................... 9 La validación como parte de la responsabilidad del alumno........................................ 10 El uso de las letras..................................................................................................... 11 Las letras y la generalización . .................................................................................... 11 Las letras para estudiar procesos ............................................................................... 12 Diferentes organizaciones del trabajo en la clase....................................................... 13

La organización de contenidos en Estudiar Matemática ........................... 13

2.1 EJE: Los números y sus operaciones...................................................................... 13 Cap. I: Números naturales Cap. II: Números enteros Cap. III: Números racionales y reales 2.2 EJE: Geometría y medida . ..................................................................................... 14 Cap. IV: Geometría y medida I Cap. V: Geometría y medida II 2.3 EJE: Relaciones entre variables.............................................................................. 15 Cap. VI: Función lineal Cap. VII: Introducción al estudio de la función cuadrática Cap. VIII: Probabilidad y estadística

Bibliografía............................................................................................................ 16

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Estudiar Matemática Aportes para la enseñanza

1. Algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que subyacen a las propuestas de Estudiar Matemática. La intención de este apartado es hacer explícitas algunas ideas sobre la enseñanza de la Matemática que fundamentan las decisiones adoptadas para la elaboración de este libro. Intentaremos comunicar, por una parte, algunas características del tipo de trabajo que se propicia desplegar con los alumnos y, por otra, los criterios que han sustentado la selección, organización y secuenciación de los contenidos. Ambos aspectos se identificarán con algunos ejemplos de cómo se esbozan estas cuestiones en las páginas del libro.

1.1 El rol de los problemas Se parte de la idea de que es necesario que los alumnos se enfrenten a nuevos problemas que favorezcan procesos constructivos a partir de poner en juego conocimientos iniciales y se evidencie la necesidad de producir nuevos. Para que los alumnos puedan ir construyendo una idea acerca del trabajo matemático precisan enfrentarse a situaciones que les presenten cierto grado de dificultad, que sean verdaderos desafíos. La dificultad de la situación propicia el despliegue de formas de resolución a partir de usar ciertos conocimientos y posibilita elaborar nuevos. Las estrategias usadas inicialmente no serán “expertas” ni muy económicas, pero constituirán el punto de partida. Estos desafíos se presentan de diferentes maneras. Veamos algunos ejemplos. Discutir la validez de ciertas afirmaciones; por ejemplo:

5. a. A un número natural a se lo divide por 6 y el resto que se obtiene es 2. A otro

número natural b también se lo divide por 6 y se obtiene resto 1. ¿Cuál será el resto de dividir por 6 el producto de a × b? b. A un número natural a se lo divide por 6 y el resto que se obtiene es 3. A otro número natural b también se lo divide por 6 y se obtiene resto 2. ¿Será cierto que el resto de dividir por 6 el producto de a × b es 0? Si creés que sí, explicá por qué. Si creés que no, proponé algún contraejemplo.

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Transformar figuras para comparar áreas o perímetros; por ejemplo:

2. a. Si en un rectángulo se duplican su base y su altura, ¿su área se duplica? ¿Por qué? b. Y si se triplican su base y su altura, ¿su área se triplica? ¿Por qué? Anticipar la cantidad de soluciones de un problema; por ejemplo:

8. a. Encontrá al menos 3 números naturales que cumplan la siguiente condición: al dividirlos por 5, el cociente y el resto son iguales.

b. ¿Se podrán encontrar más números que cumplan la misma condición? ¿Cuántos?

Interpretar o producir demostraciones de ciertas propiedades; por ejemplo:

Para tener en cuenta En el dibujo siguiente se cumple que AC = AD + DC y BC = BE + EC, y DE es paralela a AB.

Como se verifica que

, reemplazando la

relación anterior en esta igualdad, resulta que:

AC DC

AD + DC DC

De manera similar: Por lo que:

AD DC

, que es lo mismo que

BC EC

+1=

BE + EC

BE EC

AD DC

DC DC

que es lo mismo que

+ 1, entonces

AD DC

BE EC

AD DC BE EC

+ 1. +

EC EC

BE EC

+ 1.

Esta relación que se acaba de demostrar podría escribirse así: Si en un triángulo se traza una paralela a uno de sus lados, los otros lados quedan partidos en segmentos proporcionales. O bien enunciarse de la siguiente manera: Si dos paralelas (AB y DE) son cortadas por dos transversales (AC y BC), los segmentos determinados sobre una de ellas (AD y DC) son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados sobre la otra (BE y EC). Estas enunciaciones son diferentes formas de expresar un teorema conocido con el nombre de Teorema de Tales que también se lo puede expresar de la siguiente manera: Si tres o más paralelas son cortadas por transversales, los segmentos determinados sobre una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados sobre la otra. En el dibujo las rectas a, b y c son paralelas, y las rectas t y p son transversales,

AB BC

A ´B´ B´C´

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Usar o construir modelos para estudiar procesos; por ejemplo:

1. Una sustancia se encuentra a 15 °C, pero a partir del comienzo de un experimento

su temperatura disminuye de manera uniforme a razón de 2 °C por minuto. a. ¿Qué temperatura alcanzó la sustancia 15 minutos después del comienzo del experimento? b. ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que alcance los 0 °C? c. ¿Cuál de estas fórmulas representa mejor la situación? (T representa la temperatura y M, los minutos transcurridos desde el comienzo del experimento). T = –2 M + 15 T = –2 M + 17 T = –2 M + 15 T = 2 M + 17

Establecer relaciones entre expresiones algebraicas que aparentan ser diferentes; por ejemplo:

Para debatir §m· §m 1· ©n ¹ ©n 1¹

§m 1· ©n ¹

¸¸ + ¨¨ ¸¸ ¨¨ ¸¸=¨¨ • Intenten verificar si es cierto que . ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ ¨

• Secuenciación de los problemas En este libro las diferentes propuestas se organizan en pequeñas secuencias en las que se visitan los mismos tipos de problemas una y otra vez para favorecer avances. Pero a su vez se incorporan nuevas situaciones que agregan nuevos desafíos. Por ejemplo, en la página 20 se propone una colección de problemas que apunta a un mismo conocimiento, pero de complejidad creciente:

1. Sin hacer la cuenta, establecé si la siguiente división tiene resto 0 o no. 35 × 24 5 2. Mirá esta cuenta: 35 × 12 = 420; sin hacer ninguna otra, decidí si son verdaderas o

falsas cada una de las siguientes afirmaciones. a. 420 : 35 = 12 b. 421 : 35 tiene resto 1. c. 421 : 12 tiene resto 1.

3. Sin hacer la cuenta, averiguá si el resultado de 35 × 48 × 27 + 1 es múltiplo de 5. 4. Sin hacer la cuenta, encontrá el resto de 24 × 16 × 31 + 3, dividido por 6. Para revisar lo realizado

• El siguiente razonamiento puede ser útil para pensar algunos de los proble

mas anteriores: “Como 35 es múltiplo de 5, entonces 35 multiplicado por cualquier número natural también va a ser un múltiplo de 5”. ¿Para cuál de los problemas podría servir?

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• Diversidad de procedimientos La.variedad.de.formas.de.resolución.es.un.buen.indicador.de.que.los.problemas.inicialmente. propuestos.no.son.tan.simples.como.para.que.todos.los.resuelvan.del.mismo.modo,.ni.tan. complejos.como.para.que.no.los.puedan.resolver..Pero.por.supuesto.se.espera.que.luego.de. un.tiempo.los.mismos.problemas.puedan.resolverse.con.estrategias.más.homogéneas.e.incluso. más.convencionales..Por.ejemplo:

1. Un.profesor.de.Educación.física.registró.la.altura.de.todos los.alumnos.que.participaron.de.un.torneo.intercolegial. Este.es.el.gráfico.que.confeccionó.con.los.datos.que obtuvo. a.. Completá.la.tabla.referida.al.conjunto.anterior.de datos. Estatura (m)

1,48 a 1,50

Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

0,10

1,50 a 1,52

1,52 a 1,54

1,54 a 1,56

1,56 a 1,58

0,20

b.. ¿Cuál.es.la.altura.promedio.de.este.grupo.de.alumnos?

Para revisar lo realizado

•. Para.responder.el.problema.2..ítem.b.,.algunos.alumnos.pensaron.así: Alumno 1 Es.la.estatura.intermedia.entre. 1,48.m.y.1,58.m:

Alumno 2 Considero. que. los. 60. alumnos. que. miden. entre. 1,48. m. y. 1,50.m.miden,.en.promedio,.1,49.m.y.hago.el.cálculo.con. esos.valores.intermedios..La.cuenta.queda.así:

148 , + 158 ,

60 ⋅ 149 , + 120 ⋅ 151 , + 72 ⋅ 153 , + 102 ⋅ 155 , + 246 ⋅ 157 ,

= 153 ,

600

= 15418 ,

Alumno 3 Como.hay.60.alumnos.entre.1,48.m.y.1,50.m,.puedo.suponer.que.30.miden.1,48.m,.y. otros.30.miden.1,49.m..Si.pienso.de.esa.forma.para.todas.las.categorías,.la.cuenta.me. queda.así: 30 ⋅ 148 , + 30 ⋅ 149 , + 60 ⋅ 150 , + 60 ⋅ 151 , + 36 ⋅ 152 , + 36 ⋅ 1,53 + 51 ⋅ 154 , + 51 ⋅ 155 , + 123 ⋅ 156 , + 123 ⋅ 157 , 600

= 1,5368

. ¿Les.parecen.correctos.esos.razonamientos?.¿Por.qué? •. Si.en.el.procedimiento.del.tercer.alumno.se.consideraran.3.grupos.de.10.alumnos.cada. uno.para.el.primer.intervalo;.3.grupos.de.20.alumnos.cada.uno.para.el.segundo.intervalo,.etc.,.¿se.podría.obtener.así.el.promedio.de.alturas.de.todos.los.alumnos?.Expliquen. por.qué.

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1.2 La exploración como parte del trabajo matemático Frecuentemente, en la resolución de un problema, un primer intento no siempre conduce a “buen puerto”. Es necesario realizar varios ensayos, identificar en qué consisten los errores que impiden arribar a la solución, buscar cierta información previa que puede estar involucrada en el trabajo que se propone. Se trata de un juego entre la anticipación de la resolución y los efectos de las decisiones que se han ido tomando, de manera de sistematizar la búsqueda. Hay un interjuego entre explorar, probar, ensayar, por una parte, y reordenar la búsqueda, sistematizar, por la otra. Por ejemplo:

4. a. Encontrá dos números primos entre los cuales haya cinco números compuestos. b. Encontrá dos números primos entre los cuales haya trece números compuestos.

1.3 Los modos de representación Durante la exploración de un problema nuevo los alumnos suelen recurrir a dibujos, representaciones gráficas simbólicas, cálculos y diagramas. Las diferentes formar de representación abonan al proceso exploratorio. Y el mismo proceso demanda, en ciertas circunstancias, variar los modos de representación pues informan –o permiten identificar– diferentes aspectos de las relaciones que proponen las situaciones. Por ejemplo:

1. Cinco amigos quieren fotografiarse parados uno al lado del otro. Como no se ponen de acuerdo en cómo ubicarse, deciden sacarse varias fotos en las que aparecen en distinto orden.

Ernesto Lisandro Joaquín Juan Camilo

Lisandro Camilo Juan Joaquín Ernesto

¿Cuántas fotos necesitan para todas las ubicaciones posibles?

2. Los mismos cinco amigos se sientan en una mesa redonda para comer y otra vez tienen problemas con las ubicaciones. ¿De cuántas formas diferentes se podrán sentar, de manera que no todos tengan los mismos vecinos a la izquierda y a la derecha? Estas representaciones pueden dar pistas acerca de qué ocurre, pero avanzar hacia otro tipo de representaciones podrá permitir comprender y explicar por qué ocurre lo que ocurre. Las primeras formas de representación que usan los alumnos podrán ser un punto de partida interesante para iniciar el trabajo y se espera poder avanzar sobre ellas, así como propiciar la interpretación de representaciones más convencionales. Por ejemplo, en la misma página se propone una cuestión en esta dirección.

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Para revisar lo realizado El esquema siguiente representa una situación relacionada con el problema 2.; en él se identifica a Camilo con la letra C, a Lisandro con la L, a Joaquín con Jo, a Juan con Ju y a Ernesto con E. E

• ¿Ambos esquemas representan L

una misma forma de sentarse?

• ¿Será cierto que las respuestas a

los problemas 1. y 2. son diferentes? ¿Por qué?

• El procedimiento siguiente fue desarrollado por un alumno para resolver uno de los problemas anteriores: 5 × 4 × 3 × 2 = 120. ¿Cuál de los cuatro problemas trataba de resolver?

1.4 La validación como parte de la responsabilidad del alumno Parte del quehacer matemático involucra determinar la validez de lo producido. En este sentido se apunta a un trabajo matemático en la clase en el que los alumnos puedan, progresivamente, “hacerse cargo” por sus propios medios de la validez de los resultados que encuentran y de las relaciones que establecen. Este aspecto es quizá el más complejo de tratar en el desarrollo de las clases. Se espera que algunas explicaciones provengan de una experiencia más intuitiva, en tanto se trate de avanzar hacia explicaciones más argumentativas. Por ejemplo:

Para hacer en parejas

1. Comparen cada par de figuras y determinen si una tiene mayor, menor o igual área que la otra. Expliquen los motivos de su decisión.

Los modos de comparar las áreas podrán ser, en un principio, “a ojo”, mediante expresiones del tipo: “este rectángulo es más grande que este”. Progresivamente se apuntará a que los alumnos encuentren en el conocimiento matemático herramientas que permitan estar seguros de que lo que se hizo o se afirma es correcto.

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Los.conocimientos.matemáticos.permitirán.dar.razones,.argumentar,.justificar,.sin.necesidad.de. constatar.empíricamente.

1.5 El uso de las letras Muy. probablemente,. la. principal. marca. del. trabajo. en. este. nivel. de. escolaridad. viene. dada. por.el.inicio.de.los.alumnos.en.el.trabajo.con.las.letras..Es.decir,.se.trata.de.acompañar.a.los. alumnos.en.el.pasaje.desde.los.problemas.que.involucran.una.actividad.aritmética.hacia.los. que.demandan.un.trabajo.algebraico..El.uso.de.las.letras.comienza.a.dotar.a.la.Matemática.de. nuevas.particularidades..En.este.libro.las.letras.funcionan.desde.dos.perspectivas:.para.tratar. cuestiones.generales.y.para.estudiar.procesos.que.varían. • Las letras y la generalización El.trabajo.con.las.letras.habilita.a.volver.a.pensar.algunas.propiedades.de.los.objetos.matemáticos,.ya.no.en.términos.de.sus.casos.particulares..Se.trata.de.promover.el.inicio.en.su.uso. para.pensar.cuestiones.más.generales.y.poder.encontrar.modos.de.representar.relaciones.que. valen.en.colecciones.infinitas.de.objetos..De.esta.manera,.los.alumnos.contarán.con.nuevas. herramientas.para.profundizar.el.estudio,.incluso,.de.conceptos.que.ya.fueron.tratados.en.años. anteriores.de.la.escolaridad..Por.ejemplo:

Para hacer en parejas

. En.la.recta.numérica.se.ubicó.la.fracción. 1 .(n.es.un.número.natural). n

1 1 ¿Dónde.ubicarían.el.número. ?.¿Y. ? 2n 4n

1 n

Si.bien.los.alumnos.podrán.iniciar.su.resolución.a.partir.de.casos.particulares,.asignándole.algunos.valores.a.n,.para.representar.en.la.recta.deberán.establecer.cierta.generalidad..Y.para.ello. las.letras.desempeñan.un.papel.preponderante..En.otros.problemas.se.busca.que.los.alumnos. se.inicien.en.el.tratamiento.de.las.letras.como.variables..Un.caso.es.el.de.algunos.problemas.en. los.que.se.trata.de.producir.fórmulas,.por.ejemplo:

1. a.. Para.preparar.mezcla,.un.albañil.uti-

liza.6.baldes.de.arena.cada.2.baldes.de. cemento..Si.quiere.hacer.la.mezcla.usando. 4. baldes. de. cemento,. ¿cuántos. de. arena.necesita?.¿Y.si.usara.3.de.arena? b.. Completá.la.tabla Baldes de cemento 2 Baldes de arena

5 60

13 7

c.. ¿Cuáles.de.estas.fórmulas.permiten.

. .

determinar.la.cantidad.de.baldes.de.arena.(A),.conociendo.la.cantidad.de.baldes.de.cemento.(C).que.se.usan,.para. obtener.siempre.la.misma.mezcla? 2 6.C.=.2.A.......2.C.=.6.A....... C = A 6 1 ...........C.=.3.A........... C = A 3

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Este tipo de situación tiene diferentes finalidades. Por un lado, usar las letras para dar cuenta de una relación entre magnitudes. Por otro, identificar que hay expresiones que parecen ser diferentes pero son equivalentes. Por último, involucra considerar la letra como representante de una cantidad susceptible de sufrir variaciones que impactan sobre los resultados obtenidos. • Las letras para estudiar procesos Uno de los modos principales de estudiar problemas en los que se producen variaciones incluye las funciones. La elaboración de modelos funcionales demanda, casi indefectiblemente, apelar a las letras para representar los procesos que se pretende estudiar. Si bien es esperable que los alumnos puedan tratar los problemas, en un inicio desde una perspectiva aritmética, apelando a cálculos, hay expectativa de que puedan pasar a identificar relaciones más generales, que puedan tratarse mediante representaciones algebraicas y permitan hacerse cargo de la variación. Por ejemplo:

1. La fórmula que permite calcular la temperatura T de una sustancia (en °C) a medida que

pasa el tiempo t (en minutos) desde que comienza un experimento es T = 15 + 2 · t. a. ¿Cuál es la temperatura de esa sustancia al iniciarse el experimento? b. ¿Aumenta o disminuye la temperatura de la sustancia a lo largo del experimento? ¿Cómo te das cuenta? c. ¿Cuánto cambia la temperatura por minuto?

Hay un juego permanente entre los cálculos que podrían hacer los alumnos y las fórmulas que colaboran en la modelización de la situación. Estas relaciones, a su vez, como ya se ha mencionado, invitarán a otros modos de representación (tablas, gráficos, etc.) para poder avanzar en la escritura e interpretación de la información proveniente de expresiones algebraicas que dan cuenta de los procesos que se están estudiando. Una decisión que se ha tomado es que las ecuaciones se propongan asociadas al trabajo con funciones a partir de la búsqueda de valores, en los contextos de los problemas. Por ejemplo:

1. En el detalle de la factura de luz se puede leer que el gasto total está integrado por un

gasto fijo de $ 16,30 al que se le suma un costo de $ 0,04 por cada kwh que se consume. A este monto se le suman diferentes impuestos, que no serán considerados en esta oportunidad. a. Si una familia consumió 1.153 kwh, ¿qué monto aparecerá en el detalle de la factura? b. Si una familia nota que en el detalle de su factura figuran $ 20,30, ¿cuántos kwh habrá consumido?

Se trata de considerar la ecuación lineal como parte del estudio de la función lineal y la ecuación de la recta. Por otro lado, sin perder de vista la perspectiva adoptada, las letras también se proponen para estudiar otros procesos. Es el caso del siguiente ejemplo:

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Para hacer en parejas

1. Cuatro triángulos tienen una altura de 15 cm y sus correspondientes bases son:

a, a +1, a + 2 y a + 3. Analicen cómo varían las áreas de estos triángulos.

En este ejemplo se trata de apelar al estudio de la variación de una fórmula para anticipar la variación de un área.

1.6 Diferentes organizaciones del trabajo en la clase En función de las formas que puede adquirir el trabajo matemático, del nivel de conocimientos que involucra el problema y del tipo de interacciones que se pretenda promover, serán necesarias diversas modalidades de organización de la clase. Para muchos problemas es necesario un momento de exploración desde el trabajo individual, como punto de partida para un análisis colectivo posterior. También hay propuestas de trabajo individual en las páginas de Para estudiar los primeros problemas del capítulo y en las páginas de Para estudiar los problemas del capítulo. Se trata de un tiempo individual de estudio, de sistematización, de enfrentarse a las propias dificultades que aún presenta el tema tratado. En el caso del título Estudiar los problemas del capítulo, se propone que sean hojas recortables, inclusive con la intención de que puedan entregarse al docente para su corrección, como “tarea para el hogar”, como preparación para la evaluación escrita, etcétera. Cuando la actividad requiere un trabajo exploratorio y no se espera que la puedan resolver en forma autónoma, se sugiere abordar el problema en parejas, de manera que las interacciones entre los alumnos posibiliten su resolución. Se prevén instancias de trabajo colectivo, bajo los títulos Para debatir o Para revisar lo realizado, que tienen la finalidad de poner en discusión algún aspecto central de lo que se viene tratando o reflexionar sobre resoluciones elaboradas por los alumnos. Bajo el título Para tener en cuenta se presentan vocabulario, propiedades y demostraciones. Esta información está pensada para su lectura colectiva y como fuente de consulta en diferentes oportunidades.

2. La organización de contenidos en Estudiar Matemática. Este libro está organizado en ejes y el interior de cada eje, en capítulos. EJE: Números y operaciones EJE: Geometría y medida EJE: Relaciones entre variables 2.1 EJE: Los números y sus operaciones Este eje está conformado por tres capítulos.

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El capítulo 1 se ocupa de los números naturales. Se presentan diferentes problemas cuyo desafío principal es determinar una cantidad de elementos de una colección. Pero no solo se trata de contarlos, sino también de organizarlos de alguna manera para asegurarse de no contar más de una vez el mismo elemento ni omitir ninguno. A la luz de este tipo de situaciones, las fórmulas aparecen como un recurso de conteo. Un apartado especial lo constituye el trabajo con los juegos de azar más reconocidos socialmente, en el marco de establecer la cantidad de jugadas que se requieren para ganar, aspecto que se recupera en el capítulo 8 al tratar la probabilidad. El capítulo 2 aborda los números enteros. En este capítulo se estudian diferentes problemas que involucran la multiplicación y la división, así como las ideas de múltiplos y divisores. El desafío principal es encontrar el resultado de ciertos cálculos, pero sin hacer las cuentas. Se trata de aprender a leer “qué informa” un cálculo y usarlo en la búsqueda de resultados de otros cálculos. A la luz de este estudio, las expresiones algebraicas aparecen para dar cuenta de la posibilidad de generalización y a su vez se proponen como herramientas útiles para acompañar el establecimiento de algunas propiedades. En el capítulo 3 se aborda el estudio de los números racionales y una primera noción de los números reales. Se inicia con la resolución de diferentes problemas, asociados principalmente a la idea de proporción, y se continúa con un trabajo en torno del orden, lo que habilita la exploración de ciertas condiciones para que se verifiquen algunas igualdades o desigualdades. Se proponen situaciones de aproximación de fracciones por decimales, el uso de la recta, y también aparecen las potencias y las raíces. Este andamiaje habilita la discusión sobre un nuevo campo numérico: los números irracionales.

2.2 EJE: Geometría y medida La actividad geométrica no se concibe como principalmente perceptiva. Es, por el contrario, una actividad intelectual. Para que este tipo de trabajo se pueda desarrollar, es necesario que los problemas vayan incorporando características diferentes. En algunas oportunidades es necesario –dada la complejidad de la entrada de los alumnos en este tipo de trabajo– realizar una actividad más exploratoria, más intuitiva, apelando a mediciones, dibujos, en los cuales la validez de los resultados obtenidos tendrán un “tinte” más empírico, ya que la dificultad de ciertas demostraciones así lo requiere. En otros casos deberá ser el docente quien exponga las razones por las cuales un resultado es el que se obtuvo, ya que los alumnos por sus propios medios quizá no puedan elaborarlas por completo. Los problemas presentados abordan diferentes tipos de prácticas. En algunos se busca que los alumnos tomen conciencia de propiedades sobre las que no suelen prestar particular atención, propiedades provisoriamente “no tan visibles”. En otros casos la intención es que los alumnos puedan “poner en palabras” esas propiedades, es decir, pasar de su reconocimiento implícito a su explicitación. En otras situaciones la tarea de los alumnos , consiste en tomar decisiones por anticipado –apoyándose en ciertas descripciones o características– para luego verificar su validez a partir de la elaboración de argumentos racionales. El capítulo 4 se centra en el estudio del área de figuras asociado a sus propiedades. Pero a su vez se analiza cómo cambia el área en la medida que lo hacen algunos de sus elementos. Aparece entonces una práctica tal vez poco conocida por los alumnos: la transformación de

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una figura en otra para poder comparar las áreas. Se trata de identificar relaciones entre dos figuras que permitan comparar sus áreas sin medirlas, analizando cuáles han sido las variaciones de una en relación con la otra. En este tipo de problemas se produce un juego entre composición y descomposición de figuras, para dar cuenta de la existencia o inexistencia de posibles superposiciones. Es decir, cómo desarmar una figura para que pueda superponerse a otra y así comparar las áreas. Esta “manipulación” de la figura favorece la aparición de algunos de los elementos que determinan su área: lados, alturas, etc. Por último se proponen las fórmulas para profundizar el estudio de comparación entre áreas, a partir de lo que se puede percibir en términos de variaciones. En el capítulo 5 se proponen algunos problemas que tienen por finalidad identificar ciertas relaciones geométricas que se pueden establecer entre figuras, cuando se trata de ampliarlas o reducirlas preservando la forma. Se estudia a su vez qué ocurre con sus lados, ángulos, perímetros y áreas. Este recorrido se inicia con los triángulos, en el marco de la semejanza, pasando por el teorema de Tales y finalizando en la elaboración de algunas condiciones que permitan dar cuenta de la semejanza entre cuadriláteros. Una vez más, los dibujos, las construcciones, la elaboración de conjeturas y la búsqueda de argumentos que las expliquen o las “destierren” son el motor del trabajo. Se proponen algunas demostraciones más formales para que sean interpretadas por los alumnos, como aporte a la construcción de una noción más próxima a la demostración

2.3 EJE: Relaciones entre variables Este eje contempla fundamentalmente el tratamiento de las funciones. El capítulo 6 se ocupa del estudio de la función lineal como modelo para la resolución y estudio de procesos que crecen de manera uniforme. Las diferentes representaciones y, en particular, la fórmula y el gráfico de la recta abonan la idea de modelo lineal. Se propone un juego constante entre problemas, representaciones gráficas y fórmulas que aspira a colaborar en la conceptualización sobre este modelo. La ecuación de la recta y la resolución de ecuaciones se encuadran dentro del mismo tipo de tratamiento, apelando a los gráficos y las fórmulas como soporte para la identificación de las variables que se relacionan, la determinación de la cantidad de soluciones y el modo en que se reflejan estas cuestiones en las fórmulas y los gráficos. En el capítulo 7 se presentan problemas cuyo objetivo es el inicio al estudio de las funciones cuadráticas. Se trata de poner en evidencia las diferencias entre procesos lineales y cuadráticos, no solo en los gráficos sino también en las razones por las cuales su crecimiento es de naturaleza distinta. Los variados problemas visitan diferentes marcos (geométrico, algebraico, etc.) de manera de generar mejores condiciones para la comprensión de este tipo de procesos. Por último, en este eje se incluye el trabajo con la estadística, en el capítulo 8, considerada también una herramienta para representar u organizar información con la finalidad de anticipar o estudiar el desarrollo de algunos procesos. Aquí nuevamente los gráficos son un objeto de trabajo primordial, así como la posibilidad de manipular la información para poner en evidencia algunos aspectos y ocultar otros.

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