Animate Matemática 5 by Marcela Lalia

Animate

Matemática

Recursos para el docente Recursos para el docente de Matemática 5 –Serie Animate–

es una obra colectiva, creada, diseñada y realizada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana bajo la dirección de Herminia Mérega por el siguiente equipo: Claudia A. David • Alicia E. López • Adriana A. Santos • Gisela B. Serrano Matemática x deporte: Pablo J. Kaczor • Manuel J. Lois Edición: Raquel S. Kalizsky Jefa de edición: María Laura Latorre Gerencia de gestión editorial: Mónica Pavicich

Índice Recursos para la planificación, pág. 2 Soluciones de todas las actividades del libro, pág. 9 Matemática x deporte, pág. 23

Jefa de arte: Claudia Fano. Diagramación: Alejandro Pescatore. Corrección: Juan Sosa. Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin permiso de la editorial viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.

Gd. A5_M(01-22).indd 1

Matemática 5 : recursos para el docente / Gisela B. Serrano ... [et.al.]. - 1a ed. - Buenos Aires : Santillana, 2008. 56 p. ; 28x22 cm. ISBN 978-950-46-2041-9

ISBN Libro del alumno: 978-950-46-2042-6 ISBN Recursos para el docente: 978-950-46-2041-9 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: octubre de 2008

1. Formación Docente. 2. Matemática. 3. I. Serrano, Gisela B. CDD 371.1

Este libro se terminó de imprimir en el mes de octubre de 2008, en Grafisur S.A., Cortejarena 2943, Ciudad Autónoma de Buenos Aires, República Argentina.

11/18/08 2:17:25 PM

Gd. A5_M(01-22).indd 2

11/18/08 1:58:52 PM

Abril

Marzo

Módulo /tiempo estimado

Circunferencia y círculo.

Construcciones.

Reconocer, diferenciar y trazar circunferencias y círculos.

Construir triángulos y cuadriláteros con regla, escuadra y compás.

Rectas paralelas y perpendiculares.

Reconocer, trazar y diferenciar rectas según su ubicación relativa.

Multiplicación. Propiedades. Algoritmo.

Resolver problemas que aborden distintos sentidos de la multiplicación y de la división.

División. Propiedades. Algoritmo.

Multiplicaciones y divisiones por 10, por 100, por 1 000.

Elaborar y usar estrategias de multiplicación y división por 10, por 100 y por 1 000.

Conocer y utilizar propiedades de la multiplicación y de la división.

El sistema de numeración egipcio.

El sistema de numeración decimal.

Números de 6, 7 y 8 cifras.

Contenidos

Conocer otros sistemas de numeración para comprender mejor el sistema decimal.

Leer y escribir números de 6, 7 y 8 cifras. Explicitar las relaciones subyacentes en el sistema de numeración decimal.

Expectativas de logro

Recursos para la planiﬁcación

Construcción de triángulos y cuadriláteros con regla, escuadra y compás, dadas las medidas de uno o más lados.

Reconocimiento y uso del concepto de circunferencia como conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto. Construcción de circunferencias con compás. Reconocimiento y uso del concepto de círculo como conjunto de puntos cuya distancia al centro es menor o igual que el radio.

Reconocimiento y trazado de rectas paralelas y perpendiculares con escuadra y regla.

Análisis del algoritmo de la división: acortamiento de pasos y su explicación. Resolución de divisiones con divisor de dos y tres cifras. Resolución de situaciones problemáticas con el uso de una división entera exacta o inexacta. Reconocimiento de las relaciones entre los componentes de la división para resolver cálculos. Situaciones en las que el análisis del resto modifique el resultado. Estimación de resultados.

Resolución de situaciones problemáticas en las que se pongan en juego las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicación. Descomposición de factores de una multiplicación para resolverla. Uso de cálculos conocidos para resolver otros cálculos. Uso de la calculadora.

Resolución de situaciones que impliquen la multiplicación y la división por 10, por 100, por 1 000. Uso de la calculadora. Completamiento de tablas.

Descubrimiento del valor de los símbolos egipcios a partir de un número escrito en sistema decimal y otro en egipcio. Reflexión acerca de las diferencias entre ambos sistemas de numeración.

Lectura y escritura de números de 6, 7 y 8 cifras. Proposición de cálculos que promuevan la aparición de estrategias que involucran descomposiciones de los números en juego usando la calculadora. Descomposición y composición de números, apelando a sumas y multiplicaciones. Lectura de números grandes e interpretación de información en gráficos estadísticos.

Estrategias didácticas

Gd. A5_M(01-22).indd 3

11/18/08 1:58:52 PM

Junio

Mayo

Suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Construcción de triángulos y cuadriláteros.

Construir triángulos y cuadriláteros usando regla, escuadra, compás y transportador.

Ángulos consecutivos, adyacentes y opuestos por el vértice.

Reconocer y diferenciar distintos tipos de ángulos.

Aplicar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo para resolver distintas situaciones problemáticas.

Máximo común divisor (MCD).

Construcción de diferentes tipos de triángulos conociendo algunos datos: medida de dos ángulos y un lado; medida de tres ángulos y un lado. Construcción de cuadriláteros a partir de la medida de algunos de sus ángulos y algunos lados. Uso de regla, escuadra, compás y transportador en las construcciones.

Resolución de situaciones problemáticas que requieran la aplicación de la propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo. Reconocimiento y clasificación de triángulos según la medida de sus lados y sus ángulos.

Comparación de ángulos y su medición con transportador. Trazado de ángulos de diferentes amplitudes usando el transportador. Construcción, identificación y caracterización de ángulos consecutivos y adyacentes. Análisis de problemas que impliquen el uso de la igualdad de los ángulos opuestos por el vértice.

Resolución de situaciones problemáticas que requieren hallar el MCD entre dos o más números.

Resolución de situaciones problemáticas que requieren hallar el MCM entre dos o más números.

Descomposición de un número en sus factores. Clasificación de números en primos y compuestos. Búsqueda de números primos.

Números primos y compuestos.

Mínimo común múltiplo (MCM).

Elaboración de reglas de divisibilidad. Uso de las reglas de divisibilidad para encontrar múltiplos de un número.

Resolución de situaciones problemáticas en las que sea necesario encontrar múltiplos o divisores de un número. Reconocimiento de la multiplicación como inversa de la división exacta. Determinación del resto y el cociente de una división a partir de un producto conocido.

Determinación de situaciones de proporcionalidad y de no proporcionalidad.

Encuentro de la constante de proporcionalidad. Análisis de su significado.

Resolución de problemas de proporcionalidad conocido un par de números que se relacionan o por medio de información presentada en tablas. Uso de las relaciones entre variables para completar tablas.

Reglas de divisibilidad.

Resolver situaciones problemáticas que requieran la búsqueda del MCM o del MCD, o de ambos, entre dos o más números.

Poner en juego las propiedades de la multiplicación y la división, y las nociones de múltiplos y divisores en la resolución de situaciones problemáticas.

Reconocer la multiplicación como inversa de la división exacta.

Múltiplos y divisores.

Constante de proporcionalidad.

Encontrar y usar la constante de proporcionalidad.

Profundizar el conocimiento de la multiplicación y la división.

Tablas.

Proporcionalidad directa.

Resolver situaciones en las que la información se presente en tablas.

Reconocer y resolver situaciones de proporcionalidad.

Gd. A5_M(01-22).indd 4

11/18/08 1:58:52 PM

Julio

Junio

Módulo /tiempo estimado

Fracción de una cantidad.

Masa: kilogramo y gramo.

Obtener fracciones de una cantidad.

Reconocer y usar medidas de masa y capacidad en distintas situaciones de la vida cotidiana.

Capacidad: litro, decilitro y mililitro.

Sumas y restas.

Elaborar estrategias para resolver sumas y restas de fracciones y aplicarlas en diferentes situaciones problemáticas.

Manejar las equivalencias entre las unidades de masa y de capacidad vistas.

Fracciones en la recta numérica.

Fracciones equivalentes.

Sumas y restas de fracciones.

Números mixtos.

Fracciones para repartir y medir.

Contenidos

Representar fracciones en la recta numérica.

Ampliar el repertorio de los sentidos de las fracciones. Reconocer y usar fracciones equivalentes en diferentes contextos.

Resolver cálculos y situaciones que requieran sumar y restar con fracciones.

Comprender algunos de los sentidos de las fracciones.

Expectativas de logro

Recursos para la planiﬁcación

Uso del litro, el decilitro y el mililitro en distintos contextos. Resolución de situaciones que impliquen el uso de equivalencias entre esas unidades.

Uso del kilogramo y el gramo en distintas situaciones de la vida cotidiana. Planteo de situaciones problemáticas que requieran expresar cantidades de diferentes maneras. Uso de las equivalencias entre fracciones de kilo y de gramos.

Resolución de cálculos que impliquen la obtención de fracciones de una cantidad dada. Resolución de problemas en los que se requiera calcular la fracción de una cantidad.

Resolución de sumas y restas de enteros y fracciones. Análisis de distintas estrategias de resolución para sumar y restar fracciones con diferente denominador. Resolución de problemas que requieren sumar o restar fracciones, o realizar ambas operaciones.

Ubicar fracciones en la recta numérica conocidos el 0 y el 1.

Comparación de fracciones. Empleo de diferentes recursos para comparar fracciones. Resolución de situaciones en las que sea necesario reconocer y obtener fracciones equivalentes.

Sumas y restas de fracciones de igual denominador. Elaboración de recursos de cálculo mental para resolver algunas sumas o restas de fracciones. Expresar el entero como suma de dos fracciones. Ubicación de fracciones entre 2 números naturales consecutivos.

Traducción de fracción a número mixto y viceversa. Interpretación de números mixtos en distintos problemas.

Resolución de problemas que apelen a las funciones de reparto y medida de las fracciones.

Estrategias didácticas

Gd. A5_M(01-22).indd 5

11/18/08 1:58:53 PM

Septiembre

Agosto

Julio

Realizar construcciones analizando los datos que se presentan.

Construcciones.

Cuadriláteros. Clasificación y propiedades.

Multiplicaciones y divisiones de decimales por 10, 100 y 1 000.

Elaborar estrategias de cálculo para multiplicar y dividir números decimales por 10, 100 y 1 000 en distintos contextos de uso.

Profundizar el conocimiento geométrico. Conocer las propiedades de los cuadriláteros para poder elaborar criterios de clasificación.

Sumas y restas.

Suma y restar números decimales.

Porcentajes.

Representación en la recta numérica.

Representar fracciones decimales y números decimales en la recta numérica.

Calcular porcentajes.

Comparaciones.

Números decimales y fracciones.

Comparar números decimales.

Explorar la notación decimal. Establecer diferencias entre la notación decimal y los números naturales. Utilizar números decimales y fracciones decimales en distintos contextos de la vida cotidiana.

Interpretación de información para la construcción de figuras. Construcción de trapecios dados dos ángulos y un lado. Construcción de diferentes cuadriláteros a partir de ciertos datos, por ejemplo, sus diagonales o la medida de tres ángulos y un lado.

Reconocimiento y análisis de distintos cuadriláteros para su clasificación. Comparación según sus lados y sus ángulos. Clasificación de cuadriláteros de acuerdo con el paralelismo de sus lados. Análisis de la medida de los ángulos interiores de los cuadriláteros. Búsqueda del valor de la suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero. Identificación de ángulos opuestos de un paralelogramo y uso de la propiedad de ser iguales.

Resolución de situaciones problemáticas en las que se requieren calcular porcentajes. Identificación del porcentaje como fracción de denominador 100 y como número decimal.

Uso de la multiplicación por 10, 100 y 1 000 en el completamiento de tablas de proporcionalidad. Búsqueda y elaboración de estrategias para multiplicar y dividir por 10, 100 y 1 000. Resolución de situaciones problemáticas que involucren la multiplicación y la división de decimales por 10, 100 y 1 000. Elaboración de estrategias de cálculo mental para multiplicar y dividir por 10, 100 y 1 000.

Resolución de situaciones que impliquen la suma y la resta de números naturales y una fracción decimal, números naturales y números decimales, y números decimales entre sí.

Representación en la recta numérica de números decimales bajo determinadas condiciones. Interpolación de expresiones decimales entre dos números naturales.

Comparación y ordenamiento de números decimales.

Exploración de la notación decimal utilizando como recurso el dinero. Resolución de situaciones que requieran realizar equivalencias y transformaciones entre fracciones y números decimales. Situaciones de medición que involucren fracciones decimales y exijan cambios de unidades. Lectura y escritura de números decimales.

Gd. A5_M(01-22).indd 6

11/18/08 1:58:53 PM

Octubre

Septiembre

Módulo /tiempo estimado

Proporcionalidad.

Multiplicar fracciones por números enteros y encontrar la fracción de otra fracción. Resolver situaciones de proporcionalidad que incluyan fracciones.

Multiplicación de fracciones.

Profundizar en el significado de la multiplicación de fracciones. Reflexionar sobre las diferencias entre la multiplicación de fracciones y la multiplicación de números naturales.

Uso de la calculadora para corroborar resultados de multiplicaciones o divisiones.

Cociente decimal entre dos naturales. División de un decimal por un natural.

Promedios.

Reconocimiento y uso del algoritmo de la multiplicación. Estimación de productos de una multiplicación. Resolución de situaciones problemáticas que requieran el uso de la multiplicación entre decimales.

Multiplicación entre decimales.

Resolución de situaciones problemáticas de proporcionalidad directa. Completamiento de tablas. Análisis de tablas. Búsqueda de regularidades.

Resolución de situaciones problemáticas que impliquen la multiplicación de un número natural por una fracción. Búsqueda del dividendo o el factor en diferentes cálculos. Resolución de problemas que requieran la multiplicación de dos fracciones. Resolución gráfica de la multiplicación de un número por una fracción y de fracciones.

Resolución de problemas que impliquen la búsqueda de promedios.

Resolución de situaciones de reparto en las que el resultado sea un cociente decimal. Resolución de situaciones que requieran el uso de divisiones de un decimal por un natural.

Resolución de multiplicaciones de un número natural por un número decimal. Elaboración de argumentaciones. Búsqueda y análisis de diferentes estrategias para operar.

Resolución de situaciones que requieran el cálculo estimativo y su posterior verificación. Realización de estimaciones sobre la longitud de una serie de objetos dados.

Comparación de longitudes expresadas en diferentes unidades. Completamiento de tablas usando la equivalencia entre m y cm. Resolución de situaciones problemáticas que requieran para su resolución sumas o restas, o ambas operaciones, de números enteros y decimales, o decimales solamente. Análisis de la relación entre cm y mm, usando como recurso una regla. Resolución de problemas que requieran la conversión de cm a mm o viceversa. Completamiento de tablas con equivalencias entre m, km y cuadras. Uso del km para calcular distancias. Transformación de fracciones del m, del km, del cm a números decimales. Escritura de medidas que impliquen el pasaje de una unidad de longitud a otra.

Estrategias didácticas

Multiplicación entre naturales y decimales.

Estimaciones.

Longitudes y números decimales: kilómetros, metros, centímetros y milímetros.

Contenidos

Resolver problemas que requieran la obtención y el cálculo de promedios.

Multiplicar y dividir cantidades expresadas con números naturales o decimales, o con ambos, utilizando distintos procedimientos.

Usar como recurso la estimación de longitudes en distintas situaciones de la vida cotidiana.

Conocer y usar las equivalencias entre km, m, cm y dm.

Utilizar distintas unidades de longitud en situaciones cotidianas.

Expectativas de logro

Recursos para la planiﬁcación

Gd. A5_M(01-22).indd 7

11/18/08 1:58:53 PM

Noviembre

Vistas de cuerpos geométricos.

Armado de prismas y pirámides.

Armar cuerpos geométricos a partir de plantillas.

Cuerpos geométricos: prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera.

Reconocer y diferenciar cuerpos geométricos.

Analizar cómo se ve un cuerpo desde distintas posiciones.

El cm2 y el m2.

Áreas.

Perímetros.

Medir áreas con otras superficies como medida. Medir áreas utilizando el cm2 y el m2.

Diferenciar el concepto de perímetro y área.

Calcular el perímetro de diferentes figuras.

Avanzar en el análisis de las figuras.

Armado de prismas y pirámides usando plantillas. Reconocimiento de la plantilla que corresponde a un cuerpo determinado.

Descripción y reconocimiento de cuerpos geométricos teniendo en cuenta sus características. Análisis de las vistas de un cuerpo cuando se lo observa desde distintas posiciones.

Asociación de cuerpos geométricos con objetos de la realidad. Diferenciación entre cuerpos geométricos que ruedan y los que no lo hacen. Determinación del nombre del cuerpo, y de la forma y la cantidad de caras, vértices y aristas que lo forman.

Resolución de situaciones problemáticas que exijan la equivalencia entre diferentes unidades de medida. Uso del cm2 y del m2 como unidades de medida.

Resolución de problemas que requieran la medición del perímetro de diferentes figuras. Resolución de situaciones que involucren una exploración sobre la independencia entre las variaciones del área y del perímetro. Comparación de los perímetros de distintas figuras con igual área. Comparación de las áreas de distintas figuras del mismo perímetro. Resolución de situaciones que pongan en juego la independencia de la medida del área de la forma.

Gd. A5_M(01-22).indd 8

11/18/08 1:58:53 PM

Soluciones

Gd. A5_M(01-22).indd 9

11/18/08 1:58:53 PM

Soluciones Las respuestas de la actividad de apertura de cada módulo figuran en la sección Paro y reviso que se encuentra grisada.

Módulo

Repaso a) El número más grande es 85 432 y el más chico, 23 458. b) El número es 12 470. 1 100 000 + 100 000 + 100 000 + 10 000 +

10 000 + 10 000 + 10 000 + 10 000 + 1 000 + 1 000 + 1 000 + 1 000 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100

12 7 decenas de millón; 7 centenas de mil; 7 unidades de

millón; 7 decenas de mil. 13 a) Todos los números están compuestos por las cifras 0, 3 y

5; el 3 ocupa siempre el lugar de las unidades, pero el 5 ocupa una posición diferente en cada número. b) Cinco millones tres, quinientos mil tres, cincuenta millones tres y cincuenta mil tres. 14 Tiene razón Julián. El que dice Julián. Un número mayor po-

dría ser 53 120 000. Se lee cincuenta y tres millones ciento veinte mil.

b) Cuarenta y cinco millones doscientos tres mil setecientos cinco. 4 a) 10; 100 000; 100; 1 000; 10 000; 1.

b) Se escriben más símbolos en el número 99 999: 9 símbolos de 10 000; 9 de 1 000; 9 de 100; 9 de 10 y 9 de 1. En cambio, hay un símbolo que representa a 100 000. 5 Keops mide 146 m y Kefrén 143 m.

La altura de Micerinos se representa con

. 6 a)

× 1 000 54 000 28 000

b) Al multiplicar por 10, las unidades se transforman en decenas, estas en centenas y así. Al hacerlo por 100, se pasa de unidades a centenas, de decenas a un unidades de mil, etcétera. Por eso, multiplicar por 10 equivale a agregar 1 cero; por 100, dos ceros; por 1 000, tres ceros. 7 Son las divisiones de 25 000 por 100, 1 000 y 10, respec-

tivamente. 8 El sistema de numeración egipcio no es posicional y el siste-

ma decimal sí. En el sistema decimal, si dos números tienen diferente cantidad de cifras, siempre es mayor el que tiene más cifras; en el sistema egipcio no siempre es así. 9 a) Argentina: 37 000 000 de habitantes; Bolivia: 8 000 000;

Chile: 15 000 000; Paraguay: 5 000 000 y Perú: 27 000 000. b) Argentina es el país con mayor cantidad de habitantes y Paraguay, con la menor cantidad. c) Chile tiene 10 000 000 de habitantes más que Paraguay. d) La diferencia de habitantes entre Perú y Bolivia es de 19 000 000. 10 Caracol amarillo = 10; caracol rosa = 5; caracol azul = 1.

b) La diferencia es 58 801 744. Se lee cincuenta y ocho millones ochocientos un mil setecientos cuarenta y cuatro. 16 30 000 000 + 4 000 000 + 700 000 + 90 000 + 8 000 +

600 + 3 5 × 1 000 000 + 4 × 1 000 + 7 × 100 + 9 × 10 + 5 × 1 17 12 067 345 < 12 670 345 < 12 706 045

21 607 345 < 21 670 345 < 21 760 345 18 89 009 309; 67 080 000; 30 000 600. 19 423 580: cuatrocientos veintitrés mil quinientos ochenta.

4 235 800: cuatro millones doscientos treinta y cinco mil ochocientos. 42 358 000: cuarenta y dos millones trescientos cincuenta y ocho mil. 20 Los símbolos de desigualdad que van son los de menor,

mayor e igual. 21 Los tres números pueden ser 58 000 501, 48 100 500 y

58 000 540.

Módulo Repaso a) Ramiro recibe $ 1 000 por mes. b) Se necesitan 4 camionetas.

1 Los cálculos que sirven para resolver el problema son:

20 × 12 = 12 × 20 = 240 2 a) Los dos tienen razón.

b) Otra forma posible podría ser: 6 × 8 = 48 y 48 × 4 = 192. c) Todos los cálculos tienen el mismo resultado. 3 Una forma posible es:

• 21 35 • 45 72 • 28 63

× × × × × ×

15 = (7 × 3) × (5 × 3) = (7 × 5) × (3 × 3) = 9 = 315 32 = (9 × 5) × (4 × 8) = (9 × 8) × (5 × 4) = 20 = 1 440 18 = (7 × 4) × (9 × 2) = (7 × 9) × (2 × 4) = 8 = 504

10 Gd. A5_M(01-22).indd 10

11/18/08 1:58:54 PM

3 a) 1 703 450; 45 203 705; 870 056.

× 100 5 400 2 800

contrar 2 001 304 joyas.

876 325 + 1 000 000 = 1 876 325 876 325 × 10 = 8 763 250

× 10 540 280

11 Tutansalamito se despertará en el año 3825. Hay que en-

15 a) 67 805 004; 9 003 260.

2 876 325 – 70 000 = 806 325

54 28

4 a) Sí, dan el mismo resultado: 1 800.

16 Tienen resto distinto de 0 la división de 124 679 por

b) y c) A cargo del alumno.

543 y también la de 45 789 por 25.

5 (9 + 50) × 12 = 59 × 12 = 9 × 12 + 50 × 12 =

108 + 600 = 708

18 No tiene solución porque falta un dato.

6 3 × 8 × 7 = (4 + 4) × 3 × 7 = 168

8 × 5 × 2 = (4 + 4) × 10 = 80 20 × 2 × 8 = (10 + 10) × 16 = 160 + 160 = 320 7

–

267 × 3 × 7. Si se olvidara también la tabla del 3 podría resolverlos así: 267 × (7 + 7 + 7). 20 Verdadero, porque 8 es el doble de 4.

9 a) A cargo del alumno.

b) • 4 500 : 15 → 4 500 : 5 = 900 y 900: 3 = 300. • 4 500 : 150 → 4 500 : 10 = 450; 450 : 5 = 90 y 90 : 3 = 30. • 4 500 : 300 → 4 500 : 100 = 45 y 45 : 3 = 15. • 4 500 : 75 → 4 500 : 5 = 900; 900 : 5 = 180 y 180 : 3 = 60.

–

286 261 262 24 26 – 23 58 681 – 524 157/

262 1 092

45 – 36 8 – 8

92 495

623 8 82 28 543 – 460 83/

–

156 142 13 – 9 3 – 3

308 476 8 328 50 52 988 808 180/

11 a) A cada alumno le tocan 4 caramelos.

b) Sí, sobran 4 caramelos. 12 a) No, la cuenta está bien.

b) No dio 15 678 porque faltó sumarle el resto de la división. 13 a) Se necesitan 52 ómnibus.

b) El cociente, 51, no es la respuesta, porque se necesitan 52 ómnibus, o sea, se necesita un micro más para trasladar a los pasajeros que sobran (el resto de la división). 14 a) La caja tenía 329 chicles. 15 3 000 : 60 → 3 000 : 30 = 100 y 100 : 2 = 50.

2 400 : 52 000 88 000 2 200 :

Tiene una sola solución. No tiene solución porque falta el dato de cuánto pesa uno de los tres. 19 Clarisa podría haber hecho el siguiente cálculo:

2 823 12 2 400 200 423 + 30 – 360 5 63 235 – 60 3/

8 a) y b) A cargo del alumno.

17 Los cocientes correctos son 120 y 2 472.

16 → 2 400 : 2 = 1 200 y 1 200 : 8 = 150. : 600 → 52 000 : 200 = 260 y 260 : 3 = 86. : 160 → 88 000 : 40 = 2 200 y 4 = 550.

Verdadero, por propiedad distributiva: 8 × 5 = (6 + 2) × 5. Falso, porque el doble del doble de 5 es igual a 2 × 2 × 5. Verdadero, el orden de los factores no altera el producto (propiedad conmutativa). Verdadero porque al aplicar la propiedad distributiva es 8 × 5 = 8 × (2 + 3). 21 Martín se dio cuenta, sin hacer la división, de que ese

cociente no es posible porque nunca podría tener solo 3 cifras; si 19 × 1 000 = 19 000, y este número está próximo a 19 855, entonces el cociente va a tener 4 cifras. 22 Por ejemplo:

45 × 21; 52 × 10; 36 × 110; 125 × 13. 23 36 × (10 + 7) = 360 + 252 = 612

19 × (10 + 4 + 4) = 190 + 76 + 76 = 342 27 × (20 + 3 + 6) = 540 + 81 + 162 = 783 24 345 × (24 × 15) = 124 200 25 11 736 : 18 = 652

11 736 : 72 = 163 11 736 : 9 = 1 304 26 A Mariano le alcanza para 44 guitarras y le sobran $ 180. 27 La panadería necesita 11 bandejas para hornear todo el

pedido. 28 25 × (8 + 12) = 200 + 300 = 500

20 × (16 + 8) = 480 45 300 120 9 30 377 900 60/

7 502 625 1 252 12 2/

29 1 800 : 150 → 1 800 : 10 = 180; 180 : 5 = 36 y

36 : 3 = 12. 3 680 : 40 → 3 680 : 10 = 368 y 368 : 4 = 92. 6 000 : 250 → 6 000 : 10 = 600; 600 : 5 = 120 y 120 : 5 = 24. 30 a) 54 × 24 = 1 296 y 1 296 + 8 = 1 304. La producción de

alfajores es de 1 304. b) Hay que fabricar 16 alfajores más para llenar 55 cajas.

11 Gd. A5_M(01-22).indd 11

11/18/08 1:58:55 PM

c) Se deberían haber fabricado 1 296 alfajores para que no quedara ninguno suelto.

Módulo

12 • Se dibuja un ángulo recto; con centro en el vértice se

cortan los lados del ángulo con un arco. • Se hace centro en cada uno de los puntos obtenidos y, con el mismo radio, se trazan dos arcos que se corten: así se obtiene el cuarto vértice del cuadrado. • Con una regla se trazan los lados del cuadrado.

Repaso a) Por ejemplo, Girasol y Margarita. b) Por ejemplo, Rosal y Crisantemo. c) Crisantemo, Jazmín, Girasol, Margarita y Primavera. d) Jazmín y Azucena. 1 Está mal, porque solo la recta roja pasa por el punto p y es

perpendicular a la azul.

13 V F F F V 14 Mariel, porque solo vemos dibujada parte de una recta. Al

prolongarlas, se cortan. 15 A cargo del alumno. 16 30 cm

2 a), b) y c) A cargo del alumno.

d) Las rectas amarilla y azul son paralelas; las rectas roja y verde son perpendiculares. 3 a) Las rectas rojas son paralelas, las dos forman un ángulo

recto con la azul. b) Sí, son paralelas.

17 a) Un rectángulo; sus ángulos son rectos.

b) Un cuadrado. 18 A cargo del alumno. 19 A cargo del alumno.

4 a) A cargo del alumno.

árbol y caminó alrededor de él manteniendo la soga tensa. Así describió una circunferencia cuyo centro es el árbol.

Repaso a) 3 paquetes.

Paquetes 3 6 Chicles 18 36 b) • 60 • 42 30 litros de nafta. 4 a)

horas min 1 60 4 240 7 420 b) • 780 s

11 • Hay muchas esquinas que cumplen con las condiciones

dadas: donde la calle Orquídea se corta con las calles Margarita, Girasol y Jazmín, y también en la esquina de Violeta y Margarita. • Se debe trazar un círculo con centro en el farol y radio hasta una de las esquinas de la plaza, para que muestre todos los puntos que están a igual o menor distancia del farol que las esquinas de la plaza.

min seg 3 180 5 300 10 600 • 720 min

día horas 2 48 5 120 7 168 • 72 h

hormigas 7 13 6 1

9 a) y b) A cargo del alumno. 10 A cargo del alumno.

4 24 • 12

3 24 ovillos de lana.

8 a) Se traza un segmento de 3 cm y se lo mide con el com-

pás; con esa abertura, se pincha una vez en cada extremo del segmento y se traza un arco. El punto obtenido se une con cada extremo del segmento. b) Se puede trazar un segmento de 4 cm y desde cada uno de sus extremos, dos arcos de circunferencia de 3 cm de radio, que se corten formando el tercer vértice.

b) Para 20 chicos.

2 a)

tres circunferencias de igual radio. radio y con centro en B, otra de 4 cm de radio; estas se cortan en dos puntos. b) Se forman dos triángulos rectángulos y un romboide.

b) 9 paquetes.

1 a) 30 gaseosas.

6 a) y b) A cargo del alumno. Tener en cuenta que se parte de 7 a) Con centro en A se traza una circunferencia de 3 cm de

patas 42 78 36 6

6 3 budines: 225 g.

5 budines: 375 g.

Paquetes Figuritas 3 ×5 15 4 ×5 20 6 ×5 30 9 ×5 45 • A cargo del alumno. • Se divide la cantidad de figuritas por la constante.

12 Gd. A5_M(01-22).indd 12

11/18/08 1:58:56 PM

5 Ató un lazo flojo al tronco más o menos cilíndrico de un

Módulo

b) “Construí un rectángulo de 2 cm de base y 4 cm de altura y, pegado al lado de 4 cm, un cuadrado de 3 cm de lado; uno de los vértices del cuadrado coincide con uno del rectángulo”.

1 La clave es 528; para encontrarla hay que tener en cuenta

pizzas porciones 3 24 4 32 C = 8: cantidad de porciones por pizza.

que la suma de las cifras dé múltiplo de 3 (2, 5 u 8), pero como no pueden repetirse solo queda disponible el 2.

cajas fósforos 4 800 2 400 C = 200: cantidad de fósforos por caja.

2 • Por ejemplo, 95 y 120.

• 1 y 36.

colectivos pasajeros 5 250 3 150 C = 50: cantidad de pasajeros por colectivo.

3 a) La división de 253 por 11 tiene cociente 23 y resto 0; la

división de 253 por 23 tiene cociente 11 y resto 0. b) 11 y 23 son divisores de 253; 253 es múltiplo de 11 y de 23. 4 El 1 es divisor de todos los demás porque cualquier número

9 Por ejemplo: ¿Qué cantidad de lápices trae cada caja?

natural se puede escribir como el producto entre él y 1.

5 Todos los divisores de 32 son 1, 2, 4, 8, 16 y 32, y suman 63.

Kilos de Gramos • La otra tabla no es de proporcionalidad. pan de Dormi • La constante 12 = 240 : 20, represen20 240 ta los gramos de Dormi por cada kilo de pan. 35 420 25 300 • 660 g de Dormi. 10 120 • 5 kilogramos de pan. 11 • 9 segundos.

7 Hay que subrayar 4 593 y 81 024. 8 a) Hay que rodear: 18, 30, 36, 42, 66 y 108. 9 60 = 1 × 60 = 2 × 30 = 3 × 20 = 4 × 15

300 kg C: 1,5. Representa los kilos de pan que se preparan con 1 kg de harina. b) $ 3 $6 C: 0,5. Representa el precio de 1 kg de papas.

10 Los factores primos que componen 84 son 7, 3, 22; asocián-

dolos de diferentes maneras se ve que: 84 = 12 × 7 = 2 × 42 = 3 × 28, además de los productos ya mostrados. 11 a) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29.

b) Es compuesto porque tiene más de dos divisores. c) 84 = 2 × 2 × 3 × 7

13 a) y c) No son relaciones de proporcionalidad.

b) 18 pantalones.

12 No. Por ejemplo: 120 es divisible por 10, pero no por 100.

10, 100 o 1 000: termina en 0, 00 o 000, respectivamente.

b) Un número es divisible por 6 si lo es por 2 y por 3 a la vez.

• 12 minutos.

12 a) 75 kg

6 Por 2: termina en 0, 2, 4, 6 u 8; por 5: termina en 0 o 5; por

10 5 6 3

40 20 24 12

15 a)

9 6

250 150 50 100

50 30 10 20

b) 81 54

16 C = 15

400 1 200 C = 11

1 3

4 5 6 7 c) 6 4

No. Por ejemplo: 9 < 11, pero 9 tiene tres divisores (1, 3 y 9), y 11 tiene dos: él mismo y 1. Falso. 27 termina en 7 y no es primo; sus divisores son 1, 3, 9 y 27.

12 15 18 21

13 La divisibilidad tiene que ver con las divisiones exactas, o

1 200 800

sea, con aquellas cuyo resto es 0. 14 • Sí, es útil porque le permite saber sin hacer la cuenta que

C=5

17 La primera tabla y la tercera no son proporcionales. No hay

una constante de proporcionalidad. 18

Tiempo en seg 30 120

Largos de pileta 2 8

Tiempo Largos de en min pileta 1 y 1/2 6 12 48

Módulo

no podrá envasar todos los huevos que puso porque 134 no es divisible por 6. • El número 13 es primo, solo tiene un par de divisores que generan un único rectángulo de lados 13 y 1. El número 12 tiene estos divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12; por eso se pueden armar rectángulos de lados 1 y 12, 2 y 6, o 3 y 4. 15 Cualquier número multiplicado por 15 es múltiplo de él;

como 15 = 3 × 5, entonces también es múltiplo de 3 y de 5.

Repaso a) 2 001 b) Hay infinitas respuestas posibles para ambas situaciones. • Basta con que el divisor sea mayor que 5. Por ejemplo: divisor = cociente = 8; entonces el dividendo es 8 × 8 + 5 = 69. • Por ejemplo: divisor 7, cociente 8 y dividendo 7 × 8 = 56.

16 De las seis afirmaciones, hay que tachar la 3.ª, la 5.ª y la 6.ª. 17 Puede apilarlas de a 5, de a 2 y de a 10. 18 Por ejemplo:

a) 21 600

b) 43 125

c) 92 850

19 525; 555 y 585. 20 a) 174

b) 741 o 147. Es imposible que no sea divisible por 3 porque no depende del orden de las cifras sino de su suma.

13 Gd. A5_M(01-22).indd 13

11/18/08 1:58:57 PM

14 a) 12

21 Es imposible…

… que sea impar y divisible por 6: porque ser divisible por 6 implica serlo por 2, o sea, debe ser un número par. … que sea divisible por 8, pero no por 4: porque ser divisible por 8 implica serlo por 2 y por 4 a la vez.

b) 9

c) 30

d) 1

e) 6

f) 18

15 Volverán a sonar juntos a las 13 y 30 horas. 16 Hay 1 656 chupetines. 17 12 m. 3 trozos de cable rojo y 4 de azul.

22 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 o 42. 23 Por ejemplo: 801 y 804, respectivamente. 24 210 = 21 × 10 = 3 × 70 = 7 × 2 × 5 × 3; divisores com-

puestos: 21, 10 y 70; primos: 7, 2, 5 y 3. 25 Hay que rodear 12 × 35 que se puede escribir como

(3 × 4) × (5 × 7); las otras dos multiplicaciones no contienen los factores que se piden.

Módulo

Repaso a) 110º, 90º, 180º, 70º y 160º. b) Los dos, porque un recto es igual a 90º. 1 A cargo del alumno. 2 Fede se equivoca porque el ángulo rojo mide menos de 90°

Módulo

Repaso a) Pueden armarse grupos de 2, 3, 6, 9 o 18 chicos. b) 0 1 a) Malena: 1, 5, 9, 14, 19, 24 y 29 del mes de agosto.

Guillermina: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28 y 31 del mes de agosto. b) El 19 de agosto.

y el azul, más de 90°. 3 a) A cargo del alumno.

b) Iguales. 4 a) A cargo del alumno.

b) Los lados opuestos son iguales. c) Un paralelogramo. 5 a), b) y c) Solo un lado.

d) ...comparten solo un lado. 6 Se traza una perpendicular a uno de los lados del ángulo

2 a) 60 alfajores.

b) 12 cajas de 5, 20 cajas de 3 o 15 cajas de 4 alfajores cada una.

rojo que pase por su vértice. 7 Los de la izquierda son adyacentes porque comparten solo

un lado.

3 Dentro de 24 horas.

9 a) A cargo del alumno.

b) MCM (8; 14) = 56 c) MCM (5; 9; 15) = 45

b) Trazando dos rectas secantes. c) A los ángulos que no están pintados.

5 a) Usará 8 páginas.

b) Podrá pegar 5 stickers en cada hoja: 2 de muñecas y 3 de animales.

10 a) El I y el IV.

b) II) 130°, 50° y 50°; III) 110°, 110° y 70º. 11 a) y b) A cargo de los alumnos. Tener en cuenta que hay

6 a) 12 kg

b) Se pueden hacer 3 bolsas de maníes y 4 bolsas de girasol. 7 • Usó un álbum de 25 páginas.

• 2 fotos blanco y negro, y 3 fotos color. • 5 fotos. 8 a) Porque MCM (3; 5) = 15.

b) Sudedito: 5 fotos; Tunuevita: 3 fotos.

muchas respuestas posibles. c) El ángulo azul mide 40°; el verde, 70°. 12 a) A cargo del alumno. b) 80°

c) 180°

13 a) Un ángulo llano; mide 180°.

b) Se intenta que comprueben que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°. 14 a) Triángulos rectángulos.

b) 18° c) Cada uno de los ángulos agudos mide 36° y cada obtuso, 108°.

9 a) 30

b) 20

15 a) Solo se puede dibujar el triángulo cuya suma de ángulos

10 70

interiores es 180°. b) Es escaleno obtusángulo.

11 35 caramelos. 12 a) 6

b) 2 grupos de pelotas blancas, 3 de pelotas negras y 4 de multicolores. 13 a) A los 120 segundos, o sea, 2 minutos.

16 El tercer ángulo debe medir 90° para que la suma de los

ángulos interiores sea 180°. 17 a) 45° cada uno.

b) Es un triángulo isósceles.

b) Leo: 2 vueltas; Mariano: 3 vueltas.

Gd. A5_M(01-22).indd 14

11/18/08 1:58:58 PM

8 a) No; no; sí. b) 90° cada uno.

4 a) MCM (18; 12) = 36

18 En cada caso, el ángulo exterior marcado con rojo mide lo

mismo que la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. 19 Hay triángulos rectángulos y también equiláteros, además

de rombos, romboides y hexágonos regulares. • Sí. • Sí. • 360°; cada uno de ellos mide 90°.

Al azul hay que dividirlo en 4 partes iguales (cada una repre1 senta ) y sacarle una. 3 Al verde hay que dividirlo en 6 partes iguales (cada una 1 representa ) y sacarle una. 5 6 a) Ente 1 y 2, y entre 4 y 5.

21 Sí, si ambos son rectos.

22 a) Verde: 33°; rojo: 147°. 23 120° y 60°. 24 90°; 90°. 25 Cada ángulo con vértice en el centro del círculo: 72°; los

demás ángulos de cada triángulo: 54°. 26 No, porque no forman un ángulo llano. 27 No, porque dos obtusos suman más de 180°.

No. Como la suma de dos rectos da 180°, el tercer ángulo debería ser de 0°. 28 ! 1! 900 ! 280 ! 620 ! 3 ! 280

! !! ! 1 2!! 5 ! 900 4

Módulo

1 4

3 9 5 5 ; ; y . 4 10 4 9

8 Todas representan la mitad.

b) Son iguales por ser opuestos por el vértice.

b) 1 y 4

20 128°

Repaso 3 a) < 1 4 6 9 b) Hay distintas opciones. Por ejemplo, mayores que 1: , ; 5 2 1 5 menores que 1: y . 2 11 1 del tangram. 1 a) 16, o sea, A es 16 b) El cuadrado B, el triángulo verde y el paralelogramo rosa. No, no tienen la misma forma. 1 1 3 + = del tangram. c) B + C = 8 4 8 1 7 d) 1− = del tangram. 8 8 2 a) El primero y el segundo cálculo están mal, el tercero, bien. b) A cargo del alumno. 1 1 y de regla. 2 3 1 reglas. En la segunda columna: 2 reglas; 2 y 2 b) Depende de lo que haya recortado cada alumno.

3 a) En la primera columna:

4 Solo es correcta la del triángulo. No son correctas la del

rectángulo y el círculo porque las partes no son iguales; tampoco la del cuadrado, porque no se representa la fracción pedida. 5 Al rectángulo amarillo hay que dividirlo en 3 partes iguales

Todas representan las tres cuartas partes. Todas representan las dos quintas partes. A cargo del alumno. 1 5 y . 9 •2+ 2 2 1 5 • 1+ y . 4 4 • Está bien repartido, porque 5 : 2 es lo mismo que 5 1 = 2+ . 2 2 1 5 • 1 ; . 4 4 1 1 + . 10 a) Por ejemplo: 1 = 2 2 1 3 b) Por ejemplo: 1 = + . 4 4 1 1 1 c) Por ejemplo: 1 = + + . 4 4 2 11 Hay que dividir cada figura en 4 partes iguales y pintar 3.

1 1 1 1 3 = + + = . 2 2 2 2 2 Al rectángulo amarillo: agregarle otros 3 rectángulos iguales a él para completar la torta. Al azul: dividirlo en dos partes iguales, cada una representa un tercio de la torta, y agregar una parte más para completar la torta. 5 2 2 = 1 + =1 3 3 3 1 3 1y L= L. 2 2 13 Entre 0 y 1, porque 1 = . 13 10 15 Entre 2 y 3, o sea, entre y . 5 5 13 9 Hay que rodear y . 3 2 7 7 Por ejemplo, y , respectivamente. 5 2 3 3y L. 4 1 de la figura. 4 5 1 kg de pan o 1 y kg. 4 4

12 Sí, porque 1 + 13

14 15 16

17 18 19 20 21

1 y, como cada una de ellas representa , agregarle una de 4 esas partes.

15 Gd. A5_M(01-22).indd 15

11/18/08 1:58:59 PM

Módulo

Repaso 1 3 4 3 5 10 a) Por ejemplo, , , y , , , respectivamente. 2 6 8 3 5 10 3 1 1 1 1 1 1 b) Por ejemplo: + + = + + = 1 . 4 4 4 4 4 2 2 2 1 1 Sí, porque = . 6 3 5 8 11 3 7 11 b) c) d) e) f) 2 a) 3 3 3 4 4 4 1 4 4 5 9 y . + = 3 Sí, porque = 3 12 12 12 12 5 1 1 , porque 5 veces es más que 2 veces . 4 a) 7 7 7 4 b) , porque cada quinto es mayor que cada noveno. 5 9 9 5 c) porque >1y < 1. 8 8 6 7 1 6 1 le falta para llegar a 1 y a le falta para llegar 8 8 7 7 1 1 6 a 1, pero como > ; entonces a le falta más para 7 8 7 7 7 llegar a 1 que a , o sea, es mayor. 8 8 6 Hizo el corte entre la parte violeta y la verde. En la c. 5 A

8 a)

17 12

1 20

b) Sí.

2 1 = 6 3

13 Kiara.

2 3

20 21 22 23

Módulo

Repaso a) Bebé: 4,5 kg, gaseosa: 2 L, pan de manteca: 200 g, gotero: 2 ml. b) A cargo del alumno. 1 a) Compraría 4 paquetes de 500 g cada uno.

b) Una posibilidad es 2 paquetes de 500 g y 4 de 250 g. 2 No, porque todo el material pesa 5 kg + 250 g. 3 Julián puede llenar el recipiente de 5 kg y luego pasar la ha-

rina al de 2 kg, hasta llenar este envase. Así, en el recipiente de 5 kg quedarán los 3 kg que necesitaba separar. 4 Sí, es verdad. En el visor debe aparecer 480 g. 5 Envases grandes, porque con los envases chicos 2

29 24

3 L 9 10 10 a) 7 b) Es 14. Se puede calcular multiplicando por 2 la tercera parte de 21. 11 a) 8

11 19 b) c) No. 30 30 3 17 a) L b) L 20 20 2 5 1 5 , y , respectivamente. La mayor es . 5 11 6 6 64 y 22, respectivamente. 3 56

19 a)

c) Marcando 3 de las 4 hileras de 5 alumnos cada una; son 12 alumnos. 1 2

costarían aproximadamente $ 7,97.

1 4

6 Le quedan 160 ml de antibiótico. 7 Puso 12,5 L de agua y 125 ml de jabón líquido. 8 No es confiable porque un perro tan chiquito no puede pesar

tanto. Pesa 1,600 kg. • Sí, le alcanzará el frasco y le sobrarán 150 ml. 1 1 L = 5 dl; 1 kg = 1 500 g; 250 ml = 0,25 L. 9 2 2 3 1 3 dl = 75 ml; kg = 250 g; 750 g = kg. 4 4 4 10 Puede preparar 37 mates y le sobra yerba.

5 • 1 plato + de otro. 12 13 7 ; . 14 20 20

11 250 g 12 Se llevó las de 720 g y 740 g.

1 se ubica a 2,5 cm del 0 y 4 2 , a 4 cm. 5 16 Diana: 6, Carolina: 9 y Guillermina: 14. 3 (los séptimos son mayores que los novenos). 17 • 7 7 2 1 (si a ambos le descontamos 1, > ). • 5 5 4 8 (porque si buscamos fracciones equivalentes de igual • 11 88 56 56 55 55 55 denominador: == >> > == ). 11 11 77 77 77 77 77 15 Como la unidad mide 10 cm,

13 Lucía comió y bebió más que Mara. 14 Le quedan 0,6 dl. 15 No, se necesitan 640 ml y solo hay 500 ml. 16 No, no es verdad porque se necesitan 2 L y 240 ml, y se

prepararon 2 y medio litros. 17 Compró 505 g de jamón. 18 • Preparó más de 1 litro y medio.

• Preparó 1,625 L.

16 Gd. A5_M(01-22).indd 16

11/18/08 1:59:01 PM

b) c)

3 2 queda a 9 cm del 0 y , a 4 cm. 2 3

7 a)

18 Como la unidad mide 6 cm,

Módulo Repaso a) No, porque 20 x $ 0,1 = $ 2.

b) $ 4,65

1 $ 0,50 2 3,3 kg

31 L b) 0,031 L L 1 000 c) La cantidad de ceros en 1 000 coincide con la cantidad de lugares después de la coma que tiene el número decimal. 25 75 125 ; 0, 75 = ; 0,125 = . 4 0, 25 = 100 100 1 000 5 a) 0,37; 5,18; 2,049; 13,006. b) 13 enteros, 6 milésimos y 37 centésimos. 3 7 3 8 ; 0, 73 = ; 1, 08 = 1+ ; + 6 a) 7, 3 = 7 + 10 10 100 100 5 2 . 4, 52 = 4 + + 10 100 b) 7 enteros, 3 décimos y 73 centésimos.

3 a)

15 22,50 y 27,50. 16 • $ 1,20

• La carpeta Patito. • $ 21,40 • Los números “con coma” se forman con el numerador de la fracción decimal, al que se le dejan tantas cifras decimales como ceros tiene el denominador. 8 80 y 0, 80 = . 17 a) 0, 8 = 10 100 8 80 b) Sí, porque ; son fracciones equivalentes. = 10 100 18 0,98 L; 1,3 L y 0,75 L. 19

a) b) c)

Con rojo 0,8 0,15 2,99

Con verde 0,008 0,015 1,99

20 $ 2,80 21 0,013 < 0,023 < 0,045 < 0,2 < 0,23 < 1,7

7 13 < 13,804 < 14; 11 < 11,07 < 12; 0 < 0,29 < 1.

22 Como la unidad mide 3 cm, los décimos se marcan cada 3 mm.

8 a) 7,03 < 7,035 < 7,125 < 7,9

23 Todos son iguales a un décimo.

b) Todos tienen parte entera 7; los números 7,03 y 7,035 tienen la cifra de los décimos y de los centésimos iguales, pero 7,03 tiene la cifra de los milésimos igual a 0 mientras que 7,035 tiene un 5. Así que 7,03 < 7,035. c) Es el que tiene la mayor cifra en el lugar de los décimos.

9 a), b) y c) A cargo del alumno. En b) hay que tener en cuen-

2 + 0,6 + 0,07

9,07

9 + 0,07

5,3

5 + 0,3

4,008

4 + 0,008

1,205

1 + 0,2 + 0,005

ta cuánto mide la unidad. 10 a) Las sumas: 2,1; 3,1; 4,1; 6,6; 13,7.

Las restas: 0,4; 1,4; 2,4; 3,7; 9,6. b) Por ejemplo: 3,2 + 0,9 = 3,2 + (1 – 0,1) = 4,2 – 0,1 = 4,1 3,2 + 0,9 = 3,2 + 0,8 + 0,1 = 4 + 0,1 = 4,1 4,6 – 0,9 = 4,6 – 1 + 0,1 = 3,6 + 0,1 = 3,7 4,6 – 0,9 = 4,6 – 0,6 – 0,3 = 4 – 0,3 = 3,7 c) Depende de los procedimientos que hayan surgido.

6 7 + 10 100 7 9+ 100 3 5+ 10 8 4+ 1 000 2 5 1+ + 10 1 000 2+

2,67

25 $ 1,20 26 A cargo del alumno. Como la unidad mide 2 cm, los décimos

se marcan cada 2 mm.

Módulo

11 a) • 0,5 + 0,3 = 0,8 (cálculo directo sumando 5 y 3).

5 3 8 • 0, 5 + 0, 3 = + = 10 10 10 • 1,3 + 2,85 = 1 + 0,15 + 0,15 + 2,85 = 1 + 0,15 + 3 = 4,15 • 1,3 + 2,85 = 1 + 2 + 0,3 + 0,85 = 3 + 0,3 + 0,7 + 0,15 = 4,15 • 2,4 – 1,2 = 2,4 – 1 – 0,2 = 1,4 – 0,2 = 1,2 24 12 12 • 2, 4 −1, 2 = − = = 1, 2 10 10 10 • 3,72 – 1,7 = 3,72 – 1 – 0,7 = 2,72 – 0,7 = 2,02 • 3,72 – 1,7 = 3 – 1 + 0,72 – 0,7 = 2 + 0,02 = 2,02 b) A cargo de los alumnos.

12 3,15 m 13 Sí, ya que es de $ 6,70. 14 El primero, porque para sumar o restar hay que encolumnar

las unidades con las unidades, los décimos con los décimos y así sucesivamente.

Gd. A5_M(01-22).indd 17

267 100 907 100 53 10 4 008 1 000 1 205 1 000

Repaso a) 70 tapitas. b) 4 páginas. 1

× 100 13 1 300 28 2 800 26 2 600 7,5 750 0,94 94 230 75,8 612 4 3,2

: 10

× 1 000 0,005 5 14 000 14 000 000 0,00289 2,89 0,0671 67,1 482 482 000

23 7,58 61,2 0,4 0,32

17 11/18/08 1:59:02 PM

Módulo

2 Si multiplico por 10, 100 o 1 000, “corro la coma a la dere-

cha” 1, 2 o 3 lugares, respectivamente. Si divido por 10, 100 o 1 000, “corro la coma a la izquierda” 1, 2 o 3 lugares, respectivamente. 3 A cargo del alumno.

Repaso a) Es la figura que tiene cuatro lados y cuatro ángulos. b) Deben dibujar un trapezoide, un rectángulo y un cuadrado. 1 Seis trapecios pintados de anaranjado.

b) $ 50

5 Todos los alfajores juntos pesan 500 g y cada bocadito 6 g.

2 Tiene dos ángulos rectos. Es un trapecio rectángulo.

6 300 ml

3 a) A cargo del alumno.

7 a) Por 10, 100 y 1 000 en la primera columna y por 0,1;

0,01 y 0,001 en la segunda. b) Les sucede lo que dice Caro a las que se multiplican por 10, 100 y 1 000; a las que no, son por 0,1; 0,01 y 0,001 donde “se corre la coma hacia la izquierda”. 8 a) $ 60 y $ 75, respectivamente.

1 b) A cargo de alumno. A recordar: 50% = . 10 1 1 = 0,1 25% = = 0,25 9 10% = 2 2 1 1 = 0,75 40% = = 0,4 75% = 4 2 b) 192; 80%. 10 a) 48 11 • Sí, ya que son 600 ml.

• 100 ml = 1 dl, con lo cual tiene que medir 3 dl. • 2,25 dl • Por 4. 1 × 400 12 4 0,007 0,07 0,7 7 70

700 : 1 000 700 : 100 700 : 10 70 : 1 000 70 : 10 000

14 1 820; 1 820; 18 200.

4 Estos son los cuadriláteros que quedan en cada sector:

paralelogramos: 1, 3, 5, 7, 8, 10, 12, 14, 15 y 16; trapecios: 9, 4 y 6; trapezoides: 13; romboides: 2 y 11. Cuatro ángulos iguales: rectángulo. Cuatro lados iguales: rombo. Cuatro ángulos y cuatro lados iguales: cuadrado. a) Los trapecios tienen un par de lados paralelos y los trapezoides, ninguno. b) Porque tienen sus cuatro ángulos iguales y sus cuatro lados iguales. c) Iguales. d) Trapecio isósceles. Mi machete: Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados opuestos iguales y paralelos. 5 a) Rocío: cuadrado; Valentina: rombo.

b) Ambos armaron un paralelogramo común, con distintos ángulos. c) No es un paralelogramo; es un romboide. 6 Alejo tiene razón: la suma de los ángulos interiores de un

cuadrilátero es 360°, porque es igual a la suma de los ángulos interiores de los dos triángulos que lo forman. 7 a) A cargo del alumno.

18,2; 1,82; 1,82.

15 98; 2,3; 0,17 y 0,06. 16 Entre 23 y 24 L, porque 1 L = 10 dl. 17 Hay muchas formas de colorear posibles, pero en todas de-

berán quedar 30 cuadraditos verdes, 50 azules y 20 rojos. 1 . 18 a) Correcta, porque 10% = 2 b) No es correcta; el 50% de 10 es la mitad, o sea, 5, y no 2. c) No es correcta, debe dividir por 100. 1 d) Correcta, porque 25% = . 4 b) 1 000 c) 100 d) 1 000 19 a) 100 20 37,4 y 3 740, respectivamente. 21 $ 6,30

b) Se puede calcular el cuarto ángulo restando de 360° la suma de los otros tres. 8 a) Se forma un ángulo de 360°, porque cualquier cuadriláte-

ro puede pensarse como formado por dos triángulos. b) A cargo del alumno. 9 a) A cargo del alumno.

b) Los ángulos a y d miden 90º cada uno, y el c mide 60º. 10 Todos los ángulos agudos del dibujo son iguales al ángulo

de 60°. Uno de ellos, por ser opuesto por el vértice al ángulo rojo; los demás, porque todos los rombos de la figura son iguales y los ángulos que se corresponden, también lo son. Además, todos los ángulos obtusos miden 120°, pues cada uno de ellos es adyacente a un ángulo de 60º. 11 En el rombo, como en los demás paralelogramos, los ángu-

los opuestos miden lo mismo. 12 a) A cargo del alumno.

b) Los ángulos b y d miden 50° cada uno. Los ángulos a y c miden 130°. c) Los ángulos a y b suman 180°, y los ángulos c y d también.

18 Gd. A5_M(01-22).indd 18

11/18/08 1:59:03 PM

b) Dos pares de lados iguales. Dos ángulos iguales. Diagonales perpendiculares; se cortan formando 4 ángulos iguales.

4 a) $ 5

7 El lado mayor mide 80 cm y el menor, 40 cm.

13 a) A cargo del alumno.

b) Un trapezoide.

Sr. Casinada Sra. Pasos Sra. Camino Sr. Corredor Sr. Cansado

14 El cuadrilátero que cumple las tres propiedades es el rom-

boide, pintado de amarillo. Los demás cuadriláteros son el trapecio rectángulo, el cuadrado y el rombo. 15 a) Además del ángulo de 48°, tiene dos ángulos rectos y

otro de 132°. b) 60° y 120°.

miden lo mismo y los ángulos opuestos, también. 17 La figura está formada por 5 paralelogramos, tres tipo A,

cuyos lados miden 1,5 cm y 3 cm, y el ángulo comprendido, 72º, y otros dos, tipo B, iguales entre sí: sus lados miden 1,5 cm y sus ángulos respectivos miden lo mismo que los del paralelogramo grande. Están dispuestos como en un rompecabezas, formando un único paralelogramo de lados 6 cm y 3 cm, de esta forma: un paralelogramo tipo A apoyado sobre su lado menor; a continuación, formando ángulos adyacentes, un paralelogramo B, y pegado a este –por su lado menor y formando ángulos adyacentes–, otro tipo A. Los otros dos paralelogramos se disponen, primero el A y luego el B, completando el rompecabezas. 18 El ángulo opuesto al coloreado también mide 60°, y los

otros dos, 120° cada uno. 19 No, no puede ser verdad, ya que la suma de cuatro ángulos

obtusos es mayor que 360°. 20 a) Obtiene un rombo; sus cuatro lados son iguales.

b) Si une los triángulos por los lados iguales, obtiene un romboide o un paralelogramo común. 21 Un triángulo isósceles más pequeño y un trapecio isósceles. 22 Todos los paralelogramos comunes tienen dos ángulos de

70º y dos de 110º; los rombos tienen dos de 40º y dos de 140º, y los triángulos tienen uno de 40º y dos de 70º. 23 Solo es posible en el cuarto caso, porque la suma de los

ángulos interiores da 360°.

Módulo

Repaso La formación quedó así: Nora, Albertito, Diana y Juan. 1 Fernando, porque 1 metro y medio es 1,50 m

y 1,50 m > 1,25 m > 1,05 m. 2

0,8 1 0,75 0,12 0,25 80 100 75 12 25

3 2,475 m

2,5

1 000

3 500

2 500

5 000

500

Cuadras

10 La ciudad más cercana, “Pantanos peligrosos”, está a

23 km y la más lejana, “Ciudad Perdida”, a 28 km. 11 a) A cargo del alumno. La idea es que los alumnos relacionen la

longitud del lado menor con la del lado mayor sin realizar mediciones. Podrán decir, por ejemplo, que el lado mayor mide más del doble del lado menor, en ese caso la cantidad de hilo estimada será más de 12 cm. Otra posibilidad es que estimen la medida del lado mayor como el triple del lado menor, entonces la cantidad de hilo necesaria sería de 16 cm. b) La cantidad exacta de hilo es de 12,6 cm. 12 Los alumnos podrán proponer medir con pasos, baldosas,

carpetas, lápices, etc. Se podrá continuar reflexionando acerca de los instrumentos más adecuados, y las ventajas y desventajas de los convencionales y los que no lo son. 13 • Ariel no está conforme porque el listón que él necesita

tiene que medir 1,5 m y el que encargó mide 1,25 m, o sea, 25 cm menos. • Sí. • La idea es que los alumnos puedan, en la explicación, hacer referencia a que 1 m con 25 es equivalente a 1,25 m y es menor que 1,5 m. • Porque en el pedido las medidas de las placas figuran en centímetros y en el cartel de la maderera están en metros. 1 m = 100 cm 1 1 • m = 0,25 m = 25 cm 14 a) y b)• m = 0,5 m = 50 cm 2 4 1 1 km = 0,25 km = 250 m • km = 0,5 km = 500 m • 2 4 1 1 • cm = 0,5 cm = 5 mm • cm = 0,25 cm = 2,5 mm 2 4 15 No; la otra parte mide 93 cm = 0,93 m. 16 135,5 cm 17 15,68 km 18 500 19 1,58 m 20 0,8 km 21 a) y b) A cargo del alumno. 22 1,57 m

24 82,26 m

5 11,8 m

Gd. A5_M(01-22).indd 19

3,5

23 7 mm

4 1,72 m

6 • 1 cm = 10 mm

9 Para el rombo necesitará 2,6 m y para el romboide, 2,3 m.

16 No, la información es suficiente porque los lados paralelos

Metros Centímetros

• 1 mm =

1 cm = 0,1 cm 10

19 11/18/08 1:59:04 PM

Repaso a) Al multiplicar por 10, la cifra de la unidad se “corre” al lugar de las decenas, esta al de las centenas, y así; al dividir por 10, la unidad se “corre” al lugar de los décimos, este al de los centésimos, etcétera. El mismo razonamiento se aplica para multiplicar por 100 (2 lugares de corrimiento) o por 1 000 (3 lugares). b) Se “corren” así: 857,4; 8 574; 85 740. 8,574; 0,8574; 0,08574.

16 • La bolsa de “Boquita dulce”, $ 24.

• Choquis: $ 0,65 y Dulcineos: $ 0,70. • $ 195,20. • A veces con la división entera alcanza, ya que los objetos o las personas con los que se trabaja en el problema no pueden subdividirse. 17 65 monedas. 18 0,011 cm 19 a) $ 18,50

b) $ 92,50

1 a) 3,7 → 37 : 10 = 3,7

20 Aproximadamente 3,52 kg.

0,37 → 37 : 100 = 0,37 0,037 → 37 : 1 000 = 0,037 b) Multiplicar por 0,1; 0,01 o 0,001 es lo mismo que dividir por 10, 100 o 1 000, respectivamente. 2 1 = , podemos hacer 30 : 5. 2 Como 10 5 3 No, porque 1,7 × 5 = 8,5 que es menor que 9,5.

21 a) $ 38,60

b) $ 48,25

22 $ 39,30 23 28 : 4 = 7; 12 : 10 = 1,2; 23 : 5 = 4,6. 24 $ 1,075 25 22,5 años.

4 6 bocaditos.

Módulo

5 a) 40,8; 44,8; 23,4; 70,2.

b) • 18 décimos. • 4 × 6 = 24, son 24 unidades. • Porque 8 son décimos y 4 son unidades. 4,3 × 6 + 1,8 24 25,8 6 a) $ 4,25.

3,8 × 1,7 + 2,66 3,8 6,46

8 a) Entre 3 y 6; entre 56 y 64; entre 36 y 39; entre 44 y 49.

Para estimar se pueden tomar los redondeos de los factores a números enteros (por exceso y por defecto). b) A cargo de los alumnos. 9 a) Por mitades

b) 1,5

c) 0,75

10 Le doy $ 6 a cada una y me sobra $ 1, que son 100 centa-

vos, así que le puedo dar 25 centavos más a cada una. 11 15,5 y 7,25, respectivamente. 12 a) $ 3,36.

Repaso

b) No, porque es más cara.

13 6,5 14 12,8 cm 15 a) No se sabe.

b) $ 2,50. c) No, no le alcanza.

1 de torta, porque hasta ese momento 4 1 1 3 6 3 había comido + + = = . 8 4 8 8 4 b) 3 autos → 12 ruedas; 5 autos → 20 ruedas. 1 5× 4 1 1 a) 2; . b) 4; . 2 4 2 c) Por ejemplo, 8 × 2 : 3 y 8 × . 3 5 d) Por ejemplo, 9 × 5 : 18 y 9 × . 18 8 alfajores. 2 1 × × 96 000 = 16 000 3 4 2 8 a) 4 × = 3 3 2 2 4 b) × = 5 3 15 a) Sí, le quedó

1 2

7 El cálculo da 56,875, o sea, abonará $ 56,90.

3 4 5

6 a)

7 1 kg = 3 kg 2 2

7 3 kg = 1 kg 4 4

c) Para 3, 8 y 11 comensales, respectivamente, la cantidad 3 11 , y la de achuras (en kg) es de carne (en kg) es , 4 y 2 2 3 11 ,2y . 4 4 d) Son de proporcionalidad directa. Siempre se multiplica la cantidad de comensales por un mismo número para obtener la cantidad de kilos a comprar. En el primer 1 caso, por (kilos de carne por comensal) y en el 2 1 segundo, por (kilos de achuras por comensal). 4

20 Gd. A5_M(01-22).indd 20

11/18/08 1:59:05 PM

Módulo

7 $ 4, $ 20 y $ 50.

5 a) Deben estar pintadas del mismo color las figuras de bor-

1 del diario. 24 8 • del diario. 15

8 • Media página.

•

4 de página. 5

• 9

• Una página. •

8 de página. 5

Peso del envase (en kg)

3 4

1 2

5 8

Cantidad de masitas

des naranja y lila; sus perímetros son 22 y 14, respectivamente. b) El área de la figura de borde fucsia es 14 cuadraditos o 28 triangulitos, y el área de la de borde celeste, 19 cuadraditos o 38 triangulitos. 6 a) Armó 3 rectángulos con estas medidas:

1 cm × 20 cm; 2 cm × 10 cm; 4 cm × 5 cm. b) No, no está bien el razonamiento de Nati. Los perímetros de los rectángulos son 42 cm, 24 cm y 18 cm, respectivamente. Conclusión: varias figuras pueden tener la misma área y distinto perímetro.

10 48 L 11 Observación: puede

completarse también con fracciones equivalentes.

7 A cargo de los alumnos. 8 a) Área del cuadrado = 36 m2.

Área del triángulo = 18 m2. b) Sí, porque con dos triángulos como el dibujado se forma un cuadrado.

5 del paredón. 21 13 a) $ 3,50 12

b) $17,50

9 Mide 5 m de lado. Se espera que la explicación dé cuenta del

14 22,5 cm 15 En la primera,

dad directa. 15 5 4 , , . 16 8 8 15

y 2 = . La otra tabla no es de proporcionalix 3

27 8 9

10 En el caso del cuadrado y el rectángulo la idea es que pue-

dan relacionar la medida de los lados con el resultado final y proponer una multiplicación; en el caso del triángulo, que la piensen como la mitad del rectángulo de igual base y altura.

procedimiento utilizado, por ejemplo, la realización de gráficos o cálculos, y la búsqueda del resultado por ensayo y error.

9 2

11 • 26 m

1 12

Módulo

Repaso 1,08 m < 1,80 m < 10,8 m < 18 m

• La cuarta parte de 36 m2 es 9 m2; una respuesta posible es un cantero de 1 m de ancho y 9 m de largo. • Porque el patio tiene forma rectangular, entonces dos lados miden 9 m y los otros dos 4 m. También podría haber hecho este otro cálculo: (9 x 2) + (4 x 2) = 18 + 8 = 26 m. • Tiene que tener un área de 12 m2, o sea, puede medir 6 m de largo por 2 m de ancho. 12 No, porque las figuras no tienen el mismo perímetro. 13 a) y b) A cargo del alumno.

1 1 936,20 m

14 9 cuadraditos = 18 triangulitos.

2 El perímetro de la L es 7,2 cm y el de la T, 12 cm.

15 Superficie de la cruz: 720 m2, cantidad de varilla necesaria:

3 En algunos casos sí. Por ejemplo, el rectángulo tiene mayor

perímetro que el cuadrado ya que sus lados mayores miden más que los del cuadrado; también el rombo tiene un perímetro menor que el romboide, porque los lados mayores de este miden más que los lados del rombo. Para afirmar que el perímetro del rombo es menor que el del cuadrado hay que comparar las medidas de sus lados; lo mismo ocurre entre el romboide y el cuadrado, y entre el romboide y el rectángulo. 4 a) Perímetro figura roja: 16.

Perímetro figura verde: 20. b) Área figura roja: 13 cuadraditos Área figura verde: 16 cuadraditos. c) A cargo de los alumnos.

144 m. 16 Rectángulo: 16 cm de perímetro y 15 cm2 de área.

Triángulo: 13,8 cm de perímetro y 7,5 cm2 de área. 17 a) 20 m2

b) Por ejemplo, 4 m × 5 m. 18 Su área actual (8 m2) sí mide el doble que antes de la refor-

ma (4 m2); su contorno, en cambio, pasó de 8 m a 12 m. 19 a) Se usaron 84 metros de alambre.

b) Se sembraron 20 m2.

21 Gd. A5_M(01-22).indd 21

11/18/08 1:59:06 PM

Módulo

Repaso a) Cubo. b) La esfera.

8 Si en un vértice concurren 4 aristas la plantilla no sirve (azul

y lila); tampoco si tienen solo un vértice en el que concurren 3 aristas (violeta). 9 • Las huellas pueden corresponderse así: la del rectángulo

con el prisma amarillo o el verde; la del triángulo con la base del prisma verde o con la pirámide; la del cuadrado con el cubo o las bases de la pirámide o del prisma amarillo; la del círculo con las bases del cono o el cilindro. • Prisma de base rectangular, prisma de base cuadrada, esfera, pirámide de base cuadrada, cono, prisma de base triangular, cilindro. • Por ejemplo, el cubo y la pirámide de base cuadrada; el cilindro y el cono.

1 Pueden rodar los cuerpos indicados con 1, 3, 4, 5 y 8. 2 El ladrillo y la caja de fósforos a prismas de base rectangu-

lar; el dado al cubo; la latita y el caño a cilindros; el cucurucho de helado y el bonete a conos; la pompa de jabón y la naranja a esferas. 3 El triángulo que es base del prisma, el círculo máximo de

la esfera, el cuadrado correspondiente a la base y un punto central correspondiente al vértice de la pirámide, el círculo que es base del cilindro y el rectángulo que es base del prisma. 4 La caras laterales de la pirámide son triángulos y las de los

prismas estudiados, rectángulos.

b) Pirámide de base cuadrada; prisma de base cuadrada. 11 Cilindro, cono, esfera. 12 Cartel amarillo: prisma de base triangular.

Cartel azul: pirámide de base triangular.

N.° de caras

N.° de aristas

N.° de vértices

7 Numerando las plantillas y los cuerpos, de izquierda a

derecha, se corresponden la primera plantilla con el tercer cuerpo, la segunda con el cuarto, la tercera con el primero y la cuarta con el segundo.

13 Un prisma de base cuadrada. 14 Tres, cuatro y cinco caras laterales, respectivamente. 15

16 8 caras; 12 aristas; 6 vértices; ninguna cara es cuadrada. 17 5 caras; 3 rectangulares y 2 triangulares. 18 a) La pirámide.

b) La esfera.

19 Cuerpo de la izquierda: se armó con un cono, un cilindro y

un prisma de base cuadrada; el otro, con una pirámide de base cuadrada y un cubo.

22 Gd. A5_M(01-22).indd 22

11/18/08 1:59:07 PM

base cuadrada tiene 5 vértices, 8 aristas y 5 caras.

5 El cubo tiene 8 vértices, 12 aristas y 6 caras; la pirámide de

Prisma de base rectangular Prisma de base triangular Pirámide de base triangular

10 a) El cono y el cilindro, respectivamente.

A I C Á M T E A T M

Apunta a atender la diversidad de niveles de los alumnos y tiene la estructura de una revista.

Está dividido en siete secciones e incluye otras actividades lúdicas que los chicos pue den desarrollar “por deporte”. Cada sección tiene dos partes: Matimundo y Matijuegos. En Matimundo se presentan comentarios, noticias, curiosidades, cuentos, ilusiones ópti cas, referencias históricas, etc., con el objetivo de que los chicos lean por el placer de leer, se diviertan y se percaten de que “la Matemática está en todas partes”. En Matijuegos se presentan juegos, actividades que tienden al desarrollo de habilidades cognitivas y de inteligencias múltiples, acertijos, trucos, sopas de letras, crucigramas, enig mas lógicos, rompecabezas, adivinanzas, secuencias lógicas, construcciones varias (plega dos, cuerpos geométricos, etc.) y pensamiento lateral. Por último se presentan, bajo el título Entrenamiento olímpico, actividades un poco más complejas, que de alguna manera se vinculan con las que suelen aparecer en las Olimpía das Matemáticas. No fueron pensadas “para una elite”, sino para que puedan resol verlas todos los chicos.

deporte Gd.A5_M_(23).indd 23

10/20/08 3:40:33 PM

Sección I

M A T I M U ND O Un número muy grande ¿Alguna vez tuviste que ordenar tus libros en un estante? ¿Pensaste de cuántas formas lo podrías hacer? Para que te des una idea, si solo tuvieras 4 libros, podrías acomodarlos de 24 mane ras, pero si tuvieras 13 libros podrías hacer lo… ¿de cien formas distintas, de mil? No, de muchísimas más, exactamente de 6 227 020 800 formas distintas.

Otro número muy grande Supongamos que en un partido de aje drez, cada jugador en su turno puede elegir entre 20 jugadas distintas. Si dos jugadores se pusieran a jugar e hicieran solo cuatro jugadas cada uno, ¿cuántos partidos distintos podrían jugar? ¡Nada menos que veinticinco mil seiscientos millones!

Contar Hace ya mucho tiempo era necesario contar. Un pastor, por ejemplo, ¿cómo habrá hecho para saber cuántas ovejas tenía en su rebaño? Seguramente habrá guardado una piedrita por cada oveja; y así podría controlar al día siguiente si estaban todas sus ovejas o le faltaba alguna. Es probable que algún pastor que hubiera juntado muchas piedritas haya pensado: “Para no usar tantas, puedo reemplazar diez piedritas por una sola de otro tamaño o color”. La imagen muestra cómo habría hecho ese pastor para saber que tenía 34 ovejas en su rebaño.

Book A5_M_Doc.indb 24

10/20/08 2:59:01 PM

¿Cálculos con piedras? Parece imposible, ¿no es cierto? Sin embar go, antes de que los números se escribieran como lo hacemos hoy, los cálculos se hacían con el ábaco: agregando, quitando o cambian do de lugar piedritas puestas en filas o en una superficie con ranuras. En la ilustración podés ver cómo se calculaba 421 + 201 = 622, en donde las filas de arriba hacia abajo correspon den a las centenas, decenas y unidades. ¿Y sabés como se decía “piedrita” en latín? Se decía “calculus”; de allí proviene nuestra palabra cálculo.

Los números mayas Los mayas eran un pueblo que habitaba en Amé rica Central, antes de la llegada de los españoles. En su sistema de numeración no agrupaban las unidades de a 10, como nosotros, sino de a 20: unidad, veintena, veintena de veintenas... Fijate en la ilustración: el número 20 está representado con el signo 1 y, debajo de él, el sig no 0 para representar una veintena y cero unida des.

Este es un antiguo manuscrito maya, en el que se pueden ver signos numéricos jun to a los dibujos.

Book A5_M_Doc.indb 25

10/20/08 2:59:08 PM

Si ordenás de menor a mayor los números de los carteles, con la letra inicial de cada uno te quedará formado el nombre de uno de los más famosos matemáticos de la Antigüedad.

Caminos que

MA T I J U EG OS

El nombre escondido

no se cruzan Tres vecinos comparten un pequeño parque cercado. Para poder salir, el vecino de la casa con techo rojo construyó un camino hasta la salida roja, el de la casa con techo azul construyó otro hasta la salida azul, y el de la casa con techo amarillo hizo uno hasta la salida amarilla. Ninguno de los tres caminos se cruzan. ¿Podés dibujarlos? Adaptación de un problema de Sam Loyd, célebre autor norteame ricano de problemas de ajedrez y de ingenio, quien lo hizo en 1850 cuando sólo tenía nueve años de edad.

a d i d n o c s e a t n Cue ica rqueológ

vac ión a a c x e a n u n E a con lo r d ie p a t s e se enc ontró a. ¿Qué m u s a n u r se que par ece signo, a d a c a e d n o sp dígito corre rect a? r o c s e a m u si la s 26

Book A5_M_Doc.indb 26

10/20/08 2:59:09 PM

Los puentes de la ciudad Esta ciudad está dividida por el río Azul, que tiene una pequeña isla en su centro. Hace muchos años que sus ocho puentes unen la isla y las orillas del río, dispuestos tal como se ve en la ilustración. Una vez se planteó el problema de hacer un recorrido que cruzara los ocho puentes sin pasar dos veces por el mismo lugar. ¿Es posible o no? Si hubiera más de una solución, ¿cuál sería el recorrido más corto?

El juego de los cuadraditos Sólo necesitan papel cuadriculado y un lápiz de distinto color para cada jugador. 1) Se marcan 16 pun tos en una hoja de papel, dispuestos como en la figura.

2) Cada jugador, por tur no, une dos puntos contiguos cualesquiera, con un trazo recto, horizontal o vertical.

3) El jugador que con su trazo complete un cuadradito, se anotará un punto y tendrá derecho a jugar otra vez.

4) Gana el jugador que complete más cuadradi tos. En este dibujo, el que jugó con lápiz azul ganó por 5 a 4.

Entrenamiento olímpico Fabiana escribió en el pizarrón un número de cinco cifras terminado en 42. Cecilia borró el 2 final y escribió un 7 al prin cipio. El nuevo número que quedó escrito resultó ser el doble del anterior. ¿Cuál fue el número que escribió Fabiana? ¿Y el que quedó después?

Book A5_M_Doc.indb 27

10/20/08 2:59:12 PM

Sección II

M A T I M U ND O Arte y geometría Muchos artistas utilizaron las for mas geométricas en sus obras. Entre ellos, el famoso pintor ruso Wassily Kandinsky. Kandinsky sostenía que hay una equivalencia entre los sonidos musi cales y los colores, y entre estos y las emociones. Incorporó las formas geométricas a su pintura, convenci do de que resaltaban o atenuaban el efecto de los colores, señalando puntos importantes del cuadro. En este cuadro suyo vemos Composición VIII (W. Kandinsky, 1923) secantes, paralelas y perpendicula res, así como triángulos, cuadriláte ros y otras figuras geométricas.

¡Que no te engañe la vista! Una típica ilusión óptica consis te en ver torcido lo que en realidad está derecho. A primera vista, cualquiera diría que las líneas rojas del esquema están curvadas. Sin embargo, son rectas paralelas y perpendiculares.

Book A5_M_Doc.indb 28

10/20/08 2:59:15 PM

Pirámides y obeliscos Las primeras pirámi des y los obeliscos apa recieron en el antiguo Egipto. Muchos siglos después las ciudades modernas continúan con esa tradición; por ejem plo, el obelisco de Bue nos Aires y la pirámide del museo del Louvre, en París.

Pirámide del Louvre

Obelisco de Buenos Aires

Si nos hablan de las pirámides de Egipto, todos pensamos en la Gran Pirámide de Keops y en sus cuatro caras trian gulares; cada una es un triángulo que tiene... ¡casi dos cuadras de altura! Una piedra que se desprendiese desde la punta de esa pirámide tardaría en llegar a la arena más tiempo que si cayese desde el piso 80 de un edificio.

En Egipto también se puede ver la “pirámide que brada” que mandó a construir el padre del faraón Keops. En realidad, es como un gigantesco obelisco achatado: no tiene cuatro caras laterales, sino ocho: las superiores son triangulares y las inferiores tienen forma de trapecio.

“Pirámide quebrada”, del padre del faraón Keops Así es cada cara lateral

Book A5_M_Doc.indb 29

10/20/08 2:59:18 PM

MA T I J U EG OS

PE COCOS NUMÉRICO M RO

Mirá cómo se forma el número 22 operando con nueve números 2:

(2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 – 2 : 2) × 2 = 22 Ahora formá vos el número 22, pero operando con siete números 2:

2 = 22

TRIÁNGULOS CON CHISPA Con 12 fósforos iguales armá un triángulo acutángulo. ¿Podrías armar un triángulo rectángulo con los mismos fósforos?

Cruciángulo 1

3 7

9 6

Verticales: 1. Rectas que se cortan formando cuatro ángulos iguales. 3. Triángulo con un ángulo recto. 5. Ángulo de medio giro. 7. Figura de tres lados. 9. Ángulos que forman dos per pendiculares. Horizontales: 2. Rectas que no se cortan. 4. Rectas que se cortan en un punto. 6. Figura de cuatro lados. 8. Triángulo con sus tres ángulos agudos. 10. Ángulo mayor que un recto y menor que un llano.

Book A5_M_Doc.indb 30

10/20/08 2:59:19 PM

Magia numérica Decile a un amigo que elija un número cualquiera de

• Que te diga el resultado (4).

dos cifras y las invierta (por ejemplo: 73 y 37). Vos vas

• Mentalmente sumá los resultados y dividilos por 2:

a adivinar ambos números.

(10 + 4) : 2 = 7 ✓ Éste es uno de los dígitos a adivinar. • Mentalmente restá los resultados y dividilos por 2:

• Pedile que con una calculadora sume ambos núme

(10 – 4) : 2 = 3 ✓ Éste es el otro dígito.

ros y que divida por 11. En el ejemplo:

(73 + 37) : 11 = 10.

• Entonces podrás decirle que los números que eligió

• Que te diga el resultado (10).

son 73 y 37.

• Ahora pedile que reste los números que pensó y divida el resultado por 9: (73 – 37) : 9 = 4.

Pirámide de números Observá estas dos pirámides. ¿Cómo siguen? 1 × 10 + 1 = 11 11 × 10 + 1 = 111 111 × 10 + 1 = 1 111 1 111 × 10 + 1 = 11 111 11 111 × 10 + 1 = 111 111 111 111 × 10 + 1 = 1 111 111

1 × 9 + 2 = 11 12 × 9 + 3 = 111 123 × 9 + 4 = 1 111 1 234 × 9 + 5 = 11 111 12 345 × 9 + 6 = 111 111 123 456 × 9 + 7 = 1 111 111

Entrenamiento olímpico En los in men sos cam pos de La Pam pa, Na huel y Aye lén con ta ron cuán tas ove jas y ñan dúes tie nen. Pe ro ca da uno lo hi zo a su ma ne ra: Na huel con tó 192 pa tas y Aye lén con tó 60 ca be zas. ¿Cuán tos ani ma les de ca da cla se hay?

Book A5_M_Doc.indb 31

10/20/08 2:59:21 PM

Sección III

M A T I M U ND O ¿Más gigante que un enorme diplodocus? Hay un animal más grande que casi todos los dinosaurios conoci dos: es la ballena azul, que alcan za los 30 m de largo y pesa... ¡150 toneladas! ¡Es como el peso de 100 automóviles juntos! Sólo el argentinosaurio, el más grande de los dinosaurios descu biertos, medía 10 m más que esa ballena. Pero pesaba 50 toneladas menos. No quedan dudas: la ballena azul es la reina de los gigantes.

Teotihuacán “¡La construyeron los Dioses!”, dijeron los aztecas. Porque la ciudad mejicana de Teotihuacán es tan imponente que llegó a tener más de 100 000 habitantes. Tantos como tie ne hoy la ciudad de Mendoza. En Teotihuacán está la Avenida de los Muertos, un camino rodeado de templos que conecta las gigantescas pirámides de la Luna y del Sol. Esta última, tan alta como un edificio de 20 pisos, tiene una base casi igual a la de la Gran Pirámide egipcia. Algunos estudiosos aseguran que las medidas de esta ciudad están rela cionadas con el radio terrestre y con otras distancias entre el Sol, la Tierra y las estrellas. La impresionante Pirámide del Sol

Book A5_M_Doc.indb 32

10/20/08 2:59:24 PM

Autos sorprendentes

En los años ’60 tuve un auto parecido. La única puerta estaba al frente del auto, y al abrirla... ¡giraba con volante y todo!

Una miniatura Uno de los automóviles más pequeños que hay es el Peel. No tiene marcha atrás y sólo mide 134 cm de largo. ¡Compará su longitud con tu altura!

Sin contaminar En 1988 el Sunraycer obtuvo la mejor marca de velocidad para un vehículo impulsado por energía solar: casi 80 km por hora. Como la velocidad máxima permitida en la ciudad es de 60 km/h, se podría andar con este auto sin entorpecer el tránsi to y, más importante aún, sin contaminar.

El Día Universal de la Simetría El 20/02/2002 se celebró el Día Universal de la Simetría. Fue un evento organizado en todo el mundo por gente que ama los juegos de ingenio, como los palíndromos: frases que se leen igual de adelante para atrás que de atrás para adelante. Por ejemplo: “ATAR A LA RATA”. Fijate que a las 20:02 de esa fecha se formó un palíndromo: 20/02/2002, 20:02. El acontecimiento “palíndromo” anterior ocurrió el 11/11/1111, a las 11:11. Y el último que queda será el del 21/12/2112 (¿por qué el último?). No falta tanto tiempo. A propósito, ¿qué pensás hacer ese día a las 21:12?

Simetrías en la Naturaleza

Book A5_M_Doc.indb 33

10/20/08 2:59:32 PM

MA T I J U EG OS

INGENIO CON FÓSFOROS Con un número compuesto de fósforos (12) se armó un número primo de cuadrados (3). Mové un número primo de fósforos de la figura y lográ un número compuesto de cuadrados iguales.

Sopa de unidades

En esta sopa de letras, las palabras del listado pueden estar escritas en forma horizontal, vertical o diagonal, del derecho o del revés. ¡Encontralas!

O O O O O K B L H E R J R O

R T I L M A R G M A R G O X B M R T E M U I S M Q G Q E B S R J A L V A T F C N Q Y E E T C I M E B O Z R T E M

O O I I I V U W T D A S O O

L L L N L O G I S R O P Y L

A I I U I D M U G O K N O I

K K M T M E F O D Y M R S K

W A O O T K T N E G T T J Z

R C D R S C U P V E R J I F

U H O K E G E U M H L A Z P

A R O H E Z Z Q L K W E M R

H V M S Q S S O Q K X K Y O

CENTÍMETRO GRADO GRAMO HECTOGRAMO HORA KILOGRAMO KILÓMETRO LITRO METRO MILIGRAMO MILÍMETRO MINUTO SEGUNDO

El truco de los vasos Colocá sobre la mesa seis vasos, uno al lado del otro, y llenalos con agua, uno sí uno no, como muestra el dibujo. ¿Cómo harías para conseguir tres vasos vacíos de un lado y tres llenos del otro, moviendo un solo vaso? ¡Ahora, impresioná a tu familia! 34

Book A5_M_Doc.indb 34

10/20/08 2:59:34 PM

TRINUMÉRICO

LA RUEDA MÁGICA

Con 9 dígitos distintos se forman tres números horizontales y tres verticales. Descubrilos.

Mirá el punto negro que está en el centro de la figura, y acercá y alejá el libro de tu vista. ¿Qué ocurre?

b c

Números horizontales a) Sus tres dígitos son primos y la suma de los dos primeros da 5. b) Es par y el producto de sus dígitos es 56. c) Es menor que 80. Números verticales a) Dos de sus dígitos son primos y el producto de ellos da 14. b) El producto de sus dígitos es divisible por 9. c) Es divisible por 4.

Entrenamiento olímpico ¿Cómo sigue?

Book A5_M_Doc.indb 35

10/20/08 2:59:38 PM

Sección IV

M A T I M U ND O ¿Los antiguos egipcios usaban fracciones? Claro que sí, y estamos hablando de unos 3 000 años antes de Cristo. Pero usaban sólo las fracciones de numerador 1, como 1 ; 1 ; 1 ; 1 .... y, como caso especial, 2 . 2 3 4 5 3 Para 1 y 2 dibujaban signos especiales, como 2 3 ve en la ilustración; para las demás usaban el signo se , que significaba “parte”, y debajo de él ponían el valor numérico del denominador.

¿Cómo escribían las fracciones con otros numeradores? Simplemente como la suma de dos fracciones distintas; por ejemplo, 3 lo hubieran representado como 1 + 1 . 4 2 4

Escriba

¿Horas que duran distinto? Por extraño que parezca, el día no siempre se dividió en 24 horas iguales. Hubo una época en la que a la hora se la consideraba como 1 12 del tiempo transcurrido entre la salida y la puesta del Sol y, por lo tanto, variaba según la época del año: más corta durante el invierno y más larga en el verano. ¿Cuáles preferís?

Book A5_M_Doc.indb 36

10/20/08 2:59:42 PM

El cetro de los reyes de la China Jorge Luis Borges menciona, en una de sus obras, una antigua leyenda china que habla del cetro de los reyes de Liang. Este era aserrado por la mitad por cada nue vo rey, o sea que el segundo rey se quedó con la mitad del cetro original; el tercero, con la cuarta parte del original, y así sucesivamente. El cetro persiste aún, reducido a un fino dis co de madera.

Las pulgadas

Imagen ampliada

En muchos países de habla inglesa no miden las longitudes como nosotros; usan otras unidades, como la pulgada (una pulgada mide algo más de 2,5 cm). Y tienen reglas graduadas en fraccio nes de pulgada. En la ilustración se ve una varilla que mide 3 de pulgada. 4

¿Quién vive dónde?

¿Sabías que aproximadamente un tercio de la población total de nuestro país vive en la Región Metropolitana y otro tercio, en la Región Pampeana? La Región Patagónica ocupa algo más de 9 de la superficie total 20 de nuestro país, pero en ella solo vive 1 de nuestra población. 20

Población

Book A5_M_Doc.indb 37

10/20/08 2:59:46 PM

¿CÓMO

MA T I J U EG OS

HACÉS? Estás de cam p amento y n ec esitás medio litro d e agua para preparar puré instantán eo; solo tenés d os jar ros, uno de dos lit ros y medio, y otro de un litro y med io de capacida d. ¿Cómo podés hacer para ten er exac tamente medio litro en uno de ellos?

El túnel quebrado Juego para dos o más jugadores

• Hace falta un dado común y una ficha de distinto color para cada jugador. • En cada turno lanzás el dado. Por ejemplo, si sale el 4, sos dueño de 1 la fracción y avanzás 4 casillas. 4 1 Si sale el 5, sos dueño de y 5 avanzás 5 casillas. Si sale el 1, sos dueño de la 1 fracción y avanzás 1 casilla. 1 • Si tu fracción es igual a la que está en la casilla, te quedás en ella. Si es mayor, avanzás hasta la siguiente casilla de igual color; si es menor, retrocedés hasta la casi lla más próxima de igual color. • Si en los avances o retrocesos no hay una casilla de igual color, llegás a la Salida o a la Entrada. • Gana el que llega primero a la Salida.

Book A5_M_Doc.indb 38

10/20/08 2:59:48 PM

EL JUEGO DE CLAVAS En la Edad Media era muy popular el juego de clavas. Se colocaban doce clavas en fila, como se ve en la ilus tración, y se derribaban con una pequeña bocha que arrojaban por turno. Un jugador experto podía elegir entre derribar una clava cualquiera o bien dos a la vez, siempre que estuvieran una al lado de la otra. Perdía la partida el jugador al que le tocaba derribar la última clava. Jugá con un compañero con lápiz y papel. Tracen 12 líneas, la primera algo separada de las restantes, y tachen por turno una línea cualquiera, o bien dos líneas que estén una al lado de la otra. Pierde el que se queda con la última línea por tachar. En la ilustración se ve una partida ya empezada.

¿CUÁNTAS PORCIONES? ¿Cuál es la mayor cantidad de porciones en que se puede dividir esta torta con cuatro cortes rectos? ¡Ojo! No es necesario que las porciones sean de igual forma o tamaño, pero para hacer los cortes siempre hay que apoyar el cuchillo sobre la parte superior de la torta.

Entrenamiento olímpico ¿Cuántos rectángulos hay en esta figura?

Book A5_M_Doc.indb 39

10/20/08 2:59:49 PM

M A T I MU ND O Sección V

Las monedas en la antigua Roma ¿Sabés de dónde provienen las palabras moneda y dinero? Cuando los antiguos romanos comenza ron a utilizar el metal como forma de pago, lo acuñaron en el templo de la diosa Juno Moneta, y de ahí el nombre de moneda. La primera moneda fue de bronce y se la llamó as. Más adelante aparecieron las monedas de plata como el denario (de donde deriva la palabra dinero), el sestercio y el dupondio, y también crearon el denario de oro.

Dupondio, valía 2 ases.

Denario de oro, valía 100 sestercios. As.

Sestercio, valía 0,25 denarios Este relieve de piedra muestra a un carnicero cor de plata. tando carne con una cuchilla. La mujer sentada es una clienta con la lista de compras en la mano.

Denario de plata, valía 10 ases.

Imaginemos un diálogo que pudie ron haber tenido sobre el pago que le hizo Julio César a sus soldados: —¿Se enteró? Julio César decretó un premio de 20 000 sestercios para cada uno de sus soldados. —Sí, sí, me enteré, por eso Roma les pagó con 200 denarios de oro.

¿Más lento que una tortuga? Si una tortuga gigante corriese una carrera contra un caracol, le ganaría y por mucho. ¿Sabés a qué velocidad se mueven estos anima les? El caracol recorre 0,05 km en una hora (media cuadra), mientras que la tortuga hace más de 5 veces esa distancia: 0,27 km en una hora (unas dos cuadras y media). Y una araña es casi 7 veces más rápida que la tortuga: recorre 1,8 km en una hora (casi 20 cuadras).

Book A5_M_Doc.indb 40

10/20/08 2:59:53 PM

¡Tantas cosas distintas con el mismo nombre! Sí, todas con el nombre de trapecio, por que tienen la forma de ese cuadrilátero. También la estrella múltiple θ (theta) recibe el nombre vulgar de El trapecio y forma parte de la gran nebulosa situa da en la conste lación de Orión.

Nebulosa de Orión Trapecio

Mucho más cerca de la Tierra, divirtiendo a chicos y grandes, los trapecios se mecen al ritmo de la banda del circo mientras habilidosos gim nastas nos quitan la respiración con cada pirueta.

En nuestro cuerpo, un músculo que forma parte de la espalda y el cuello, y también un hueso de la mano reci ben este mismo nombre: trapecio.

Superbicis

La bicicleta más larga del mundo se construyó en 1988 y fue manejada por cuatro ciclistas a la vez. ¿Sabés cuánto midió? 22,24 m, algo así como la altura de un edificio de 7 pisos. Si estacionaras 5 bicicletas como estas una detrás de otra junto al cordón de la vereda, ocuparían algo más de una cuadra. Y la bicicleta de ruedas más grandes es la Frankencycle. Su rueda delantera tiene 3,05 m de diámetro. ¿Podés imaginártelo? Es como si la rueda fuera… ¡tan alta como una casa de un piso!

Book A5_M_Doc.indb 41

10/20/08 2:59:58 PM

¿Cuál

MA T I J U EG OS

sigue? 2

... 0,4

0,6

0,8

....

............

CIONA IEN TOS!! A M ¡¡ES T 1

7 8

SALIDA

9 13

3 10

¿Cuál es ntidad a c r o n e m la s de pliegue hacer e u q y a h que er... n e t b o a r a p

6 14

¿Cómo haré para sacar el auto número 5?

rilo. o” y descub t n ie m a n io ng u stac utos” (rectá a “ ricá un “e 4 1 Fab á j u b eralos. artulina di los y num a t r o ➜ En una c c e R ). on 36 x 1,5 cm namiento, c los de 3 cm io c a t s e l e ién mb o. ➜ Dibujá ta cm de lad ,7 1 e d s o hac ia t radi cuad adelante o ia c a h s o t u sa ero 5 del ➜ Mové lo r el núm a c a s r ra g lo atrás hasta amiento. estac ion

ulos ...4 triáng iguales?

ados ...4 cuadr iguales?

gu...2 rectán s? los iguale

gu...16 trián s? los iguale

Book A5_M_Doc.indb 42

10/20/08 3:00:00 PM

SUMAS IGUALES

2 3

9 8

4 7

Dividí la esfera del reloj en seis sectores, de modo que la suma de los números que haya en cada uno sea la misma.

¿Podés dibujarlas sin levantar ? l e l p e a d p z i p á el l

Jeroglífico Éstos son los jeroglíficos de un número decimal menor que 1. Si cada dígito se reemplazara por el que nosotros usamos, podrías mirarlo en un espejo y... ¡seguirías viendo el mismo dígito! ¿De qué número decimal se trata? No olvi des que uno de los jeroglíficos representa la coma decimal.

Entrenamiento olímpico Con el rombo rojo y los paralelogramos verde y azul se armó un rombo que tiene un perímetro de 36 cm. Además, el perímetro de la figura roja es de 28 cm. ¿Cuál es el perímetro de la figura azul? ¿Y el de la verde?

Book A5_M_Doc.indb 43

10/20/08 3:00:00 PM

Sección VI

M A T I M U ND O Un cuento con camellos Un anciano que cruzaba el desierto en su viejo camello se encon tró en un oasis con tres jóvenes que discutían. Uno de ellos le dijo: —Venerable anciano, somos tres hermanos. Nuestro padre nos dejó como herencia estos 17 camellos y dispuso que al mayor le correspondiera la mitad de los camellos, al del medio la tercera par te y al menor la novena parte, pero vemos que no es posible dividir así esta cantidad de camellos. El anciano desmontó, colocó su viejo camello junto a los demás, y les dijo a los jóvenes: —Bien, procuraré ayudaros. Dadme de comer y beber mientras reflexiono sobre tan difícil problema. Una vez que hubo comido y bebido, les dijo a los hermanos: —Con el agregado de mi camello, ahora hay 18 camellos en total, por lo tanto al mayor le corresponde la mitad— y apartó 9 camellos y se los dio al mayor. —Al del medio le corresponde la tercera parte de los 18 came llos— y separó 6 camellos para el hermano del medio. —Y para el hermano menor serán estos 2 camellos, la novena parte de los 18. Los ani males se han repartido tal como lo dispuso vuestro padre, y sobró este hermoso camello joven que será para mí. Y diciendo así montó y se alejó, dejando a los tres hermanos admirados de la sabiduría del anciano. ¿Cómo fue posible esto? Porque 1 + 1 + 1 no es igual a 1, sino a 17 ; por lo tanto, al agregar un camello, 2 9 18 3 los hermanos reciben 9 ; 6 y 2 de los 18 y sobra uno. 18 18 18

Las cifras a través del tiempo Las cifras de nuestro sistema de numeración se inventaron en la India en el siglo V de nuestra era. De la India pasaron a Arabia, de allí al norte de África, luego a España y finalmente llegaron al resto de Europa alrededor del siglo XII. Mirá cómo cambiaron su forma a lo largo de este viaje que duró ¡más de ochocientos años!

Book A5_M_Doc.indb 44

10/20/08 3:00:02 PM

Números quebrados La palabra “fracción” proviene de una palabra latina que significa romper, quebrar. Por eso, hace muchos años, en tiempos de tus abuelos, a las fracciones también se las llamaba “números quebrados”. ¿Lo sabías?

¿Cualquier forma sirve? ¿Siempre se puede embaldosar un patio con baldosas iguales, sin dejar espacios libres entre ellas?

A veces se puede y a veces no, según la forma de las baldosas. Con baldosas triangulares es posible, y con baldosas en forma de cuadriláte ro, también; con pentagonales regulares no se puede y con hexagonales, sí.

¿Y si usamos baldosas simétricas, como la imagen en un espejo? Mirá estos dos dibujos, del artista holandés M. C. Escher. Todo el plano está recubierto sin que quede ningún espacio libre.

Symmetry Drawing B

Simmetry Drawing A

Book A5_M_Doc.indb 45

10/20/08 3:00:03 PM

MA T I J U EG OS

El collar

Azulejos La cuadrícula que está sobre la pared mide 20 cm de alto por 60 cm de largo. Para revestirla se dispone de seis azulejos de 20 cm de alto por 10 cm de largo.

Si con estos cinco trozos de cade na tuvieras que hacer un collar cerrado con eslabones grandes y chicos alternados, ¿cuál es la menor cantidad de eslabones que tendrías que cortar y volver a sol dar? (¿Estás seguro? A lo mejor son menos de los que pensaste).

¿Podés encontrar 5 for mas distintas de dispo ner los azulejos?

¿Cuál sigue? ¿Cuál de estas cuatro fichas ... hay que poner acá?

Book A5_M_Doc.indb 46

10/20/08 3:00:05 PM

Caja mágica En cada gaveta de la caja fuerte va una de las nueve bolsitas con monedas, de modo que los resultados de las sumas horizontales, verticales y de las dos diagonales sean iguales. Tres de las bolsitas ya están en su lugar. ¿Dónde van las otras seis?

La pirámide des plega da Una de las cuatro pirámides de papel se desarmó y quedó así: ¿Cuál es?

Entrenamiento olímpico Leé el diá lo go que tu vie ron un clien te y una ca je ra de un ban co. —Se ño ri ta, por fa vor, ¿pue de dar me cam bio de 1 pe so en mo ne das? —Lo sien to, se ñor, con las mo ne das que ten go no pue do cam biar le 1 pe so. —¿Pue de cam biar me, en ton ces, 50 cen ta vos? —No se ñor, no pue do. Tam po co pue

do cam biar le 25 cen ta vos ni 10 cen ta vos. Ni si quie ra pue do cam biar le 5 cen ta vos. —¿Es que no tie ne mo ne das? —Sí, se ñor, ten go exac ta men te 1 pe so con 19 cen ta vos en mo ne das y nin gu na de ellas es de 1 pe so. ¿Cuán tas mo ne das te nía la ca je ra del ban co y de qué va lor eran?

Book A5_M_Doc.indb 47

10/20/08 3:00:06 PM

Sección VII

MA T I

Los ciclistas gemelos A simple vista pareciera que uno de los ciclistas es proporcionalmente más grande que el otro; sin embargo, aunque no lo creas, son iguales. Se trata de una ilusión óptica.

¿Me das una mano? En la Antigüedad no medían las longitudes como nosotros, que usamos el metro, sino que uti lizaban diversas partes del cuerpo como unidad: el dedo, el palmo, el codo, el pie, la pulgada. Como variaban de una persona a otra, se esta bleció una medida fija para el palmo (alrededor de 21 cm) y lo mismo se intentó para el pie, aunque cada región lo medía distinto (entre 28 y 30 cm). Esas medidas respetaban las siguientes relacio nes: 1 1 palmo = 12 dedos = codo 2 1 pie = 12 pulgadas

palmo

codo

Medí mi estatura con mi propio brazo y me dio 3 codos, 1 palmo y 10 dedos; o sea, 94 dedos en total. ¿De cuántos dedos será tu estatura?

Book A5_M_Doc.indb 48

10/20/08 3:00:13 PM

El antiguo arte de doblar papel

En japonés, origami significa Ya por el año 1000 apareció en Japón un libro que hablaba de la "papel plegado". extraordinaria forma en que se plegaban los papeles escritos con poe mas y cartas de amor. En las bodas se utilizaban origamis con forma de mariposa macho y hembra, y hasta los guerreros ofrecían origamis en los templos para tener suerte en el combate. El arte del origami se popularizó en todo Japón y luego llegó a Occiden te, donde muchos matemáticos lo consideraron apropiado para la enseñanza de la Geometría. Todo lo que se necesita para hacer origami es papel y... ¡un poco de paciencia!

Mirá cómo se hace un molinete: 1. Se toma un papel cuadrado y se marcan los 8 dobleces que se ven en la foto (3 horizon tales, 3 verticales y 2 diagonales).

2. Se toman las 4 puntas como si fuera un pas telito.

3. Se pliegan para formar el molinete.

4. Se le clava un alfiler o un alambrecito en el centro. Si lo soplás, podrás ver cómo gira.

Book A5_M_Doc.indb 49

10/20/08 3:00:16 PM

MA T I J U EG OS

Sopa con verso L A T I P R O P Esta sopa de letras oculta un verso acer A L I D A D L I ca de la proporcio O M A X N O B L nalidad. O O X B M U Z W

Para descubrirlo, tenés que leer cada renglón en forma horizontal, de izquierda a derecha. Ayudita: el verso se for ma con 18 palabras (varias son monosílabos).

P K B L H P R J R O

O U Q B E L Q T W H

La enamorada misteriosa

R Q U E L I S M V A T R I P L S D A W I L V P T S E C N D R Q E E A L C I M S P B O Z O L T E L X L

I L E U G O K N E D

O K E T M X F O D Y M R H O

R C H E T D O R T S K C T L N P E V G E T R D O J I B L

I S O K G G E U T H L B Z E

O R O H E Z Z Q R J W L D R

N V M S Q S S O I K X E A O

Con ocho fósforos

Una chica que está enamorada de Lucas le envió en secreto este dibujo junto con una notita en la que le decía: “Si querés saber quién soy, descubrí las letras que se esconden en el rompecabezas”.

Conseguí 8 fósforos y formá esta figura. Después mové algunos fósforos para con seguir otra figura que tenga el mismo perímet ro, pero el doble de área.

¿Cómo se llama la enamorada?

Book A5_M_Doc.indb 50

10/20/08 3:00:18 PM

Laberinto para dos • Participan dos jugadores, cada uno con un lápiz de distinto color. • El jugador que entra en A debe salir por B, y viceversa. • Por turno, cada jugador arroja un dado y avanza tantos cuadraditos como indica el dado. • Un jugador no puede cruzar o recorrer parte del camino del otro, salvo en las zonas blancas. Sí puede desandar el camino hecho o parte de él. • Gana el que llega primero a la salida que le corresponde.

Por un pelito Hay que pintarles el pelo a todas las muñecas, pero ¡ojo!, sólo hay rubias y morochas y cada morocha debe estar en contacto con dos rubias. ¿Podrás hacerlo?

Entrenamiento olímpico Conseguí un papelito cuadrado. Con dos do ble ces ar má otro cua dra do que ten ga la mi tad del pe rí me tro del ori gi nal. La nue va área es: tad de la ori gi nal la mi

De sar má los do ble ces an te rio res y con nue vos plie gues for má un cua dra do que ten ga la mi tad del área del ori gi nal. El nue vo pe rí me tro es: gi nal igual al ori

ble de la ori gi nal el do

tad del ori gi nal la mi

to de la ori gi nal un cuar

ter me dio en tre el ori gi nal y in su mi tad 51

Book A5_M_Doc.indb 51

10/20/08 3:00:19 PM

S O L U C I ON E S MA T I J U EG OS

PIRÁMIDE DE NÚMEROS 1 111 111 × 10 + 1 = 11 111 111 1 234 567 × 9 + 8 = 11 111 111

Sección I EL NOMBRE ESCONDIDO: E U C L I D E S CAMINOS QUE NO SE CRUZAN

ENTRENAMIENTO OLÍMPICO 36 ovejas y 24 ñandúes. Sección III INGENIO CON FÓSFOROS Una solución posible es mover 3 fósforos y armar 4 cuadrados.

CUENTA ESCONDIDA: 9 801+ 199 = 10 000 LOS PUENTES DE LA CIUDAD: Como en el problema no se pide el punto de inicio ni el punto final del recorrido, hay muchas soluciones posibles. El recorrido dibujado es el más corto de todos.

SOPA DE UNIDADES

ENTRENAMIENTO OLÍMPICO El número que escribió Fabiana fue 36 842; el que quedó después fue 73 684. Sección II ROMPECOCOS NUMÉRICO Una solución posible es: (2 + 2 + 2 + 2 + 2) × 2 + 2 = 22 TRIÁNGULOS CON CHISPA

O R O M O M O O O R K U B Q L B H A E T R Q J T R E O R

T I A R A R X B T E I S G Q S R L V F C Y E C I B O T E

L O L A K W R G O L I K A C G I L I M O D M I N U T O R M I L I M T S M V O D E K C E U G M F T U J W I U O N P A T S G D E V N D R O Y G E E A O K M T R M S P N R T J Z O Y O S J I M O L I K Z F

U A H H R V O O M K H S E E Q G Z S E Z S U Q O M L Q H K K L W X A E K Z M Y P R O

¿JUNTOS O ALTERNADOS? Contando desde la derecha: vaciá el segundo vaso en el quinto y volvelo a su lugar. TRINUMÉRICO a

CRUCIÁNGULO Verti ca les 1. Perpendiculares 3. Rectángulo 5. Llano 7. Triángulo 9. Rectos

Horizontales 2. Paralelas 4. Secantes 6. Cuadrilátero 8. Acutángulo 10. Obtuso

b c

LA RUEDA MÁGICA Da la sensación de girar.

Book A5_M_Doc.indb 52

10/20/08 3:00:25 PM

ENTRENAMIENTO OLÍMPICO

Sección IV ¿CÓMO HACÉS? Llenás el jarro más chico; volcás todo su contenido en el grande; volvés a llenar el jarro pequeño y con su contenido llenás por completo el jarro grande. Así te quedó 1 L en el jarro más chico. 2 ¿CUÁNTAS PORCIONES? Se pueden obtener 11 porciones con 4 cortes rectos como los de la figura. El método consiste en trazar una recta, luego otra que corte la primera, después otra que corte las otras dos y, por último, otra que corte las otras tres.

ENTRENAMIENTO OLÍMPICO En la figura hay 40 rectángulos. En este tipo de pro blemas es conveniente contarlos así: “De 1 rectán gulo de alto por 1 de largo hay 10 rectángulos; de 1 de alto por 2 de largo hay 7 rectángulos; de 1 de alto por 3 de largo hay 4 rectángulos, ...”.

¿CUÁL ES LA MENOR CANTIDAD DE PLIEGUES QUE HAY QUE HACER PARA OBTENER… ...4 TRIÁNGULOS IGUALES? 2 PLIEGUES. ...4 cuadrados iguales? 2 pliegues. ...2 rectángulos iguales? 1 pliegue. ...16 triángulos iguales? 4 pliegues . SUMAS IGUALES

Sección V ¿CUÁL SIGUE?

¿PODÉS DIBUJARLAS SIN LEVANTAR EL LÁPIZ DEL PAPEL?

¡¡ESTACIONAMIENTOS!!

JEROGLÍFICO: 0,88. ENTRENAMIENTO OLÍMPICO Perímetro figura azul: 22 cm. Perímetro figura verde: 18 cm.

Book A5_M_Doc.indb 53

10/20/08 3:00:27 PM

Sección VI

Sección VII

EL COLLAR La solución aparente es cortar los eslabones que están en el extremo de cada uno de los cinco peda citos de cadena, pero se pueden cortar los cuatro eslabones del más corto y usarlos para unir con ellos los cuatro pedacitos restantes.

VERSO EN SOPA “La proporcionalidad es noble, porque al triple le da el triple y al doble le da el doble”.

AZULEJOS En realidad pueden disponerse de estas 13 formas distintas:

CON OCHO FÓSFOROS Una solución posible

LA ENAMORADA MISTERIOSA Se llama Celeste.

POR UN PELITO Una solución posible

ENTRENAMIENTO OLÍMPICO Algunas soluciones posibles son:

¿CUÁL SIGUE? La ficha que sigue es la de doble tres. CAJA MÁGICA Fila superior: 0,20; 0,90 y 0,40. Fila central: 0,70; 0,50 y 0,30. Fila inferior: 0,60: 0,10 y 0,80.

La nueva área es un cuarto de la original. LA PIRÁMIDE DESPLEGADA Es la cuarta. ENTRENAMIENTO OLÍMPICO La cajera tenía una moneda de $ 0,50, una de $ 0,25, cuatro de $ 0,10 y cuatro de $ 0,01.

El nuevo perímetro es intermedio entre el original y su mitad.

Book A5_M_Doc.indb 54

10/20/08 3:00:30 PM

Book A5_M_Doc.indb 55

10/20/08 3:00:30 PM

Book A5_M_Doc.indb 56

10/20/08 3:00:30 PM