Math - 02-funciones

Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza

Cap´ıtulo 2

Funciones reales de una variable real.

Generalidades 2.1.

Primeros conceptos

2.1.1.

Funciones. Clases particulares de funciones

Recordemos que una aplicaci´ on f : A → B se define en t´erminos conjuntistas como una terna (A, B, Gf ), donde A, B son conjuntos dados, llamados respectivamente el dominio y el codominio o conjunto final de f , y Gf , denominado gr´ afico o gr´ afica de f , es un subconjunto del producto cartesiano A × B tal que para todo x ∈ A existe un elemento u ´nico y ∈ B de modo que (x, y) ∈ Gf (ese elemento y un´ıvocamente asociado a x suele denotarse por f (x) y se llama valor de la aplicaci´ on f en el punto x o imagen de x por f ).

Definici´ on 2.1.1. Una funci´ on (real de variable real) es una aplicaci´ on f : A → B con A, B ⊆ R. Informalmente, dar una funci´on f supone dar: a) su dominio de definici´ on A = dom f ; b) su codominio B (al que habitualmente prestaremos menor atenci´on en este curso); c) una regla de correspondencia o regla de definici´ on que permita asignar inequ´ıvocamente a cada elemento x de A, sin excepci´on, un elemento f (x) de B perfectamente determinado por x y f.

Cambiar una cualquiera de estas tres cosas (el dominio, el conjunto final o la “regla de definici´on”) hace que la funci´on cambie. Por ejemplo, si tenemos una funci´on f : A → B y consideramos un subconjunto S de A, la restricci´ on de f a S es la funci´on f |S : S → B tal que f |S (x) = f (x) para cada x ∈ S, que no es la misma funci´on f (se ha cambiado el dominio), aunque venga dada por “la misma regla de correspondencia” (a cada x de S, la restricci´on f |S hace corresponder el mismo valor que f ).

En la pr´actica raras veces se muestra una funci´on como una terna, tal como requerir´ıa su definici´on formal: lo habitual es especificar su dominio y la regla que permite determinar el valor de la funci´on en cada elemento del dominio (ver los comentarios de [Bartle-Sherbert, Sec. 1.2, especialmente p´ags. 22-25]). En cuanto al conjunto final de una funci´on, cuando no se mencione expl´ıcitamente se sobrentender´a que dicho conjunto es R. Suele chocar al principiante que a veces la regla de definici´on de una funci´on aparece dividida en varias subreglas parciales (expresadas habitualmente mediante f´ormulas), tendiendo a interpretar 13

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

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incorrectamente que se han definido tantas funciones como subreglas se enuncien. Por ejemplo, la funci´on f : R → R tal que ( x, si x ≥ 0; f (x) = −x, si x < 0, es una sola funci´on, la funci´ on valor absoluto , y no dos funciones, aunque sus valores coincidan en parte de su dominio (¡no en todo!) con los que toman las dos funciones distintas g : x ∈ R → g(x) = x ∈ R y h : x ∈ R → h(x) = −x ∈ R. Dada una funci´on f , emplearemos la expresi´on f est´ a definida en S como sin´onimo de S es un subconjunto de dom f . El dominio de f es, en este sentido, “el mayor subconjunto de R en el que f est´a definida”.

Ejercicio. Estudiar si son o no iguales las funciones f : R → R, g : R → R dadas por f (x) = 2x;

g(x) = |x − 1| + |x + 1|.

¿Cambia la respuesta si comparamos las restricciones de f y g al intervalo [1, +∞)? ¿Y comparando las restricciones a otros subconjuntos de R? Definici´ on 2.1.2. Sea f una funci´ on con dominio A y sean S ⊆ A, T ⊆ R. Llamamos conjunto imagen de S por f al conjunto f (S) = {f (x) : x ∈ S}, y conjunto antiimagen de T por f al conjunto f −1 (T ) = {x : f (x) ∈ T }, que ser´ a un subconjunto (eventualmente vac´ıo) de A. El conjunto imagen del dominio de f suele denominarse, simplemente, conjunto imagen de f o rango de f , y se denota a veces im f o rang f ; por tanto, se tiene im f = f (dom f ) = {f (x) : x ∈ dom f } .

Una funci´ on f se dice inyectiva si elementos distintos de su dominio tienen siempre im´ agenes distintas: es decir, si dados x, y ∈ dom f , de x 6= y se sigue f (x) 6= f (y); o, equivalentemente, si dados x, y ∈ dom f , de f (x) = f (y) se sigue x = y.

Una funci´ on f : A → B se dice suprayectiva si f (A) = B, o sea, si el conjunto final y el conjunto imagen de f coinciden; dicho de otra forma, si cada elemento de B es imagen de alg´ un (o algunos) elemento(s) de A. Una funci´ on se dice biyectiva si es simult´ aneamente inyectiva y suprayectiva.

Ejemplos. La funci´on identidad id : x ∈ R → id(x) = x ∈ R es trivialmente biyectiva. La funci´ on parte entera, que asocia a cada x ∈ R su parte entera (vista como aplicaci´on de R en R) no es inyectiva ni suprayectiva.

Definici´ on 2.1.3 (funci´ on inversa). Dada una funci´ on inyectiva f : A → B, llamaremos fun−1 ci´ on inversa de f a la funci´ on f : f (A) → A tal que f −1 (y) = x si y solo si f (x) = y.

En t´erminos m´as formales, f −1 ser´ıa la funci´on dada por la terna (f (A), A, Gf −1 ), donde Gf −1 = {(y, x) : (x, y) ∈ Gf }, y Gf es, por supuesto, la gr´afica de f . Para ser rigurosos, deber´ıamos comprobar que tal terna define efectivamente una funci´on; esto es una consecuencia inmediata de que f es inyectiva.

En muchos textos aparece definida la funci´on inversa solamente para funciones biyectivas. Sin embargo, la pr´actica usual en an´alisis matem´atico recomienda ampliar la definici´on a todas las funciones inyectivas, como acabamos de hacerlo. Obs´ervese que, en cualquier caso, lo que hemos definido ser´ıa la funci´on inversa de la funci´on biyectiva f˜ : A → f (A) tal que f˜(x) = f (x), que, record´emoslo, salvo cuando f es adem´ as suprayectiva, es otra funci´on —la biyecci´ on asociada a f — pues cambia el conjunto final.

2.1. PRIMEROS CONCEPTOS

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Ejercicio. Dada una funci´on inyectiva f : A → B, una funci´on g es la inversa de f si y solo si g : f (A) → A y g(f (x)) = x para todo x ∈ A,

f (g(y)) = y para todo y ∈ f (A).

Ejercicio. Probar que la funci´on f : R → R definida por f (x) = 2x + |x − 3| es biyectiva y demostrar que su funci´on inversa puede escribirse en la forma f −1 (x) = ax + b − |cx + d| para ciertos valores a, b, c, d ∈ R. Representaci´ on gr´ afica de una funci´ on. Dada una funci´on f , para cada x ∈ dom f el par ordenado de n´ umeros reales (x, f (x)) puede interpretarse como coordenadas de un punto del plano respecto de un sistema de coordenadas cartesianas, de modo que la gr´afica de f , es decir, {(x, f (x)) : x ∈ dom f }, vendr´a representada por un subconjunto del plano, que da la representaci´ on gr´ afica de la funci´on f . Observar esta representaci´on puede proporcionar a veces informaci´on interesante sobre f , por lo que m´as adelante nos ocuparemos con detalle de la representaci´on gr´ afica de funciones.

El lector puede examinar c´omo se refleja en su representaci´on gr´afica que una funci´on es inyectiva o suprayectiva, y qu´e relaci´on hay entre las representaciones gr´aficas de una funci´on inyectiva y la de su inversa.

Ejercicio. Describir la gr´afica de g en t´erminos de la gr´afica de f , en los casos siguientes: g(x) = f (x) + c; g(x) = f (−x); g(x) = |f (x)|;

g(x) = f (x + c); g(x) = −f (x); g(x) = m´ax{f (x), 0};

g(x) = c f (x); g(x) = f (|x|); g(x) = m´ın{f (x), 0}.

(Por ejemplo, en el primer caso la gr´afica de g se obtiene desplazando hacia arriba la gr´afica de f una distancia c si c ≥ 0, o desplazando hacia abajo la gr´afica de f una distancia |c| si c < 0.)

Tabulaci´ on de funciones. Cuando el dominio de una funci´on es finito (y con un n´ umero no demasiado elevado de elementos) es a menudo u ´til describir la funci´on escribiendo en forma de tabla los valores del dominio y a su lado, correlativamente, los valores de la funci´on en cada uno de ellos. As´ı, por ejemplo, suele procederse en la recogida de datos experimentales, cuando se estudian dos magnitudes de las cuales una depende de la otra y, de hecho, las tablas de correspondencias entre n´ umeros o magnitudes son hist´oricamente muy anteriores a la idea misma de funci´on.

Tambi´en se procede a la tabulaci´on de funciones aunque el dominio no sea finito, reflejando en tal caso, por descontado, tan solo una parte finita del mismo. Cabe se˜ nalar que en la mayor´ıa de las tablas de funciones que se usan en las ciencias, los valores de la funci´on que aparecen en las tablas no son, por razones obvias, valores exactos, sino valores aproximados con un error que es necesario controlar para poder utilizarlas adecuadamente. Existe una extensa bibliograf´ıa de libros de tablas de funciones, sustituidos casi totalmente en la actualidad por los ordenadores e incluso por las calculadoras cient´ıficas de bolsillo. Sin embargo, es muy conveniente conocer al menos uno de ellos, como [Spiegel-Abellanas].

Veamos ahora algunas clases particulares de funciones que aparecer´an frecuentemente a lo largo de todo el curso.

Definici´ on 2.1.4. Una funci´ on f se dice mon´ otona no creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) ≥ f (y).

Una funci´ on f se dice mon´ otona no decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) ≤ f (y).

Una funci´ on f se dice mon´ otona estrictamente creciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) < f (y).

Una funci´ on f se dice mon´ otona estrictamente decreciente si dados cualesquiera x, y ∈ dom f con x < y, es f (x) > f (y).

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CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

Una funci´on mon´ otona es una funci´on de uno cualquiera de los tipos anteriores. Por brevedad, si S ⊆ dom f , se dice que f es mon´ otona en S si la restricci´on f |S es mon´otona.

Esta nomenclatura puede variar de unos textos a otros: por ejemplo, algunos autores llaman “funciones crecientes” a las que nosotros denominamos “mon´otonas no decrecientes”, mientras que otros utilizan el nombre de “funciones crecientes” para las que hemos definido como “mon´otonas estrictamente crecientes”. Hemos elegido por ello los nombres que nos parecen menos ambiguos para cada uno de los tipos considerados.

Observaci´ on. La monoton´ıa no es una propiedad puntual de la funci´on, sino que es una propiedad global . Esto significa que solo tiene sentido decir que una funci´on es mon´ otona en un determinado conjunto , no que es mon´otona “en un punto” del conjunto. La expresi´on “funci´on mon´otona en un punto” carece de significado.

Ejercicio. Probar que la funci´on f : R \ {0} → R definida mediante f (x) = 1/x es estrictamente decreciente en (−∞, 0) y en (0, +∞). ¿Es estrictamente decreciente en R \ {0}?

En general, dada una funci´on f : D ⊆ R → R y dos subconjuntos A, B de D, si f es estrictamente decreciente en D ¿puede asegurarse que f es estrictamente decreciente en A y que f es estrictamente decreciente en B? Y si f es estrictamente decreciente tanto en A como en B, ¿puede asegurarse que f es estrictamente decreciente en A ∪ B? Responder las mismas preguntas para los dem´as tipos de monoton´ıa.

Ejercicio. Probar que la funci´on f : [1/2, +∞) → R definida mediante f (x) = x2 − x + 1 es estrictamente creciente. En consecuencia, es inyectiva. ¿Cu´al es su funci´on inversa?

Definici´ on 2.1.5. Diremos que una funci´ on f est´ a acotada superiormente si su conjunto imagen est´ a acotado superiormente. En otras palabras, si existe un n´ umero fijo M ∈ R tal que, simult´ aneamente para todos los x ∈ dom f , se tiene f (x) ≤ M (por comodidad, suele decirse entonces que f est´ a acotada superiormente por M o que M es una cota superior de f , en lugar de decir que el conjunto imagen de f est´ a acotado superiormente por M o que M es una cota superior de dicho conjunto).

Enteramente an´ aloga es la definici´ on de funci´ on acotada inferiormente .

Por u ´ltimo, una funci´ on acotada es aquella que est´ a acotada superior e inferiormente, es decir, aquella cuyo conjunto imagen est´ a acotado, de manera que existen constantes m, M ∈ R tales que para cada x ∈ dom f se tiene m ≤ f (x) ≤ M ; equivalentemente, f est´ a acotada si y solo si existe un K ∈ R tal que |f (x)| ≤ K para todo x ∈ dom f . x Ejercicio. Probar que la funci´on f : R → R dada por f (x) = 2 est´a acotada. ¿Cu´al es la x +1 cota inferior m´as ajustada que se puede encontrar? ¿Cu´al la cota superior m´as ajustada?

El estudio de una funci´on se simplifica cuando posee alg´ un tipo de “repetici´on”. Concretamos esta idea en las siguientes definiciones.

Definici´ on 2.1.6. Sea f una funci´ on definida en R. Diremos que f es a) par si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = f (x) (su gr´ afica es entonces sim´etrica respecto del eje de ordenadas); b) impar si para cada x ∈ R se cumple f (−x) = −f (x) (su gr´ afica es entonces sim´etrica respecto del origen de coordenadas); c) peri´ odica de periodo T (T ∈ R \ {0}) si para cada x ∈ R se cumple f (x + T ) = f (x) (su gr´ afica puede obtenerse entonces por traslaci´ on reiterada de la gr´ afica en cualquier intervalo de longitud |T |).

Ejercicio. Toda funci´on definida en R puede escribirse, adem´as de manera u ´nica, como suma de una funci´on par (su componente par ) y una funci´on impar (su componente impar ).

2.1. PRIMEROS CONCEPTOS

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N´otese que la definici´on de funci´on par y de funci´on impar puede ampliarse de manera obvia a funciones f cuyo dominio sea sim´etrico (respecto al origen de coordenadas), es decir, tal que −x ∈ dom f siempre que x ∈ dom f .

Ejercicio. Probar que la funci´on de Dirichlet ( 1 si x es racional, D(x) = 0 si x es irracional es peri´odica (comprobar que cada n´ umero racional no nulo es un periodo, y que ning´ un n´ umero irracional lo es). ¿Es D una funci´on par? ¿Es una funci´on impar?

Las mismas preguntas para la funci´on f (x) = x − [x].

2.1.2.

Operaciones con funciones

Dadas dos funciones f y g, podemos construir a partir de ellas nuevas funciones de diferentes maneras. Para nosotros, las m´as u ´tiles son las que a continuaci´on exponemos.

Definici´ on 2.1.7. La composici´ on de f y g, denotada g ◦ f , es la funci´ on con dominio dom(g ◦ f ) = f −1 (dom g) dada por (g ◦ f )(x) = g (f (x)) para cada x ∈ dom(g ◦f ) (obs´ervese que tales x son justamente aquellos para los que g (f (x)) “tiene sentido”). x Ejercicio. Sea f : x ∈ R → f (x) = √ . Calcular f ◦f . En general, si se define por recurrencia 1 + x2 f1 = f y fn+1 = f ◦ fn , n ∈ N, calcular fn .

Definici´ on 2.1.8. La suma de f y g, denotada f + g, es la funci´ on con dominio dom(f + g) = dom f ∩ dom g dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x) para cada x ∈ dom(f + g) (obs´ervese que tales x son justamente aquellos para los que f (x) + g(x) “tiene sentido”).

Totalmente similar es la definici´on de la diferencia f − g y del producto f g de f y g.

Definici´ on 2.1.9. El cociente de f y g, es la funci´ on f /g con dominio dom(f /g) = (dom f ∩ dom g) \ g −1 (0) dada por (f /g)(x) =

f (x) g(x)

para cada x ∈ dom(f /g) (obs´ervese una vez m´ as que tales x son exactamente aquellos para los que f (x)/g(x) “tiene sentido”).

En algunos textos, se da el nombre de dominios naturales a los dominios anteriormente definidos.

Ejercicio. Sea id : R → R la funci´on identidad, es decir, id(x) = x para todo x ∈ R. ¿Son iguales id2 −1 las funciones e id −1? ¿Por qu´e? ¿Cu´al es la relaci´on entre ambas? id +1

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

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2.1.3.

Ejemplos de funciones

Sucesiones Son funciones cuyo dominio es el conjunto N de los n´ umeros naturales. Desempe˜ nan un destacado papel en la elaboraci´on de nuestra teor´ıa, y a ellas dedicaremos espec´ıficamente el cap´ıtulo siguiente.

Funciones constantes Son las que asignan a todos los valores de su dominio un mismo valor fijo, es decir, aquellas funciones f para las que existe un a ∈ R tal que f (x) = a para todos los x ∈ dom f . ¿Puede una funci´on constante ser inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿C´omo es su representaci´on gr´afica? ¿Es mon´otona? ¿De qu´e tipo? ¿Es acotada? ¿Es par, impar, peri´odica?

Funci´ on identidad Dado un conjunto A ⊆ R, la identidad en A es la funci´on tal que f (x) = x para cada x ∈ A. ¿Es la identidad siempre inyectiva, suprayectiva o biyectiva? ¿Es mon´otona? ¿Es acotada? ¿C´omo es su representaci´on gr´afica? ¿Cu´al es su inversa?

Potencias de exponente entero Dado un n´ umero natural n, la funci´on f : x ∈ R → xn ∈ R (producto de n funciones iguales a la identidad) tiene distinto comportamiento seg´ un n sea par o impar. Para n = 2k − 1, k ∈ N, la funci´on g : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es estrictamente creciente y, por tanto, inyectiva. Tambi´en es suprayectiva, aunque ahora no estemos todav´ıa en condiciones de demostrarlo f´acilmente.

Sin embargo, la funci´on h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva (es una funci´on par), aunque la restricci´on de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto [0, +∞), como justificaremos m´as adelante.

La potencia de exponente 0 es la funci´on constante con valor siempre igual a 1. Para exponente negativo, n = −m con m ∈ N, se define

1 1 n x ∈ R \ {0} → x = = ∈ R. xm x−n Ra´ıces Dado k ∈ N, se puede probar que la funci´on g : x ∈ R → x2k−1 ∈ R es biyectiva. Por tanto, posee una funci´on inversa f : R → R, denominada ra´ız (2k − 1)-´ esima ; su valor en un punto √ √ 1/(2k−1) 2k−1 x ∈ R se denota por xox . De acuerdo con su definici´on, se tiene y = 2k−1 x si y solo si y 2k−1 = x.

Sin embargo, puesto que la funci´on h : x ∈ R → x2k ∈ R no es inyectiva, no puede hablarse de “ra´ız 2k-´esima” en todo R. No obstante, la restricci´on de h a [0, +∞) es estrictamente creciente (luego inyectiva), y tiene por imagen el conjunto [0, +∞): su inversa es la que llamamos funci´ on ra´ız 2k -´ esima , de modo que dicha funci´on tendr´a ahora por dominio [0, +∞). Es decir, solo √ est´a definida en un n´ umero real x si x ≥ 0: su valor en dicho punto se representa por 2k x o x1/(2k) √ excepto para el caso k = 1 (ra´ız cuadrada), que se usa abreviadamente x. N´otese que siempre es √ √ x ≥ 0 y, en general, 2k x ≥ 0.

Funciones polin´ omicas y funciones racionales Las funciones que pueden obtenerse mediante sumas y productos de funciones constantes y de la identidad en R reciben el nombre de funciones polin´ omicas . Por tanto, f es una funci´on

2.2. FUNCIONES TRASCENDENTES

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polin´omica si y solo si existen a0 , a1 , . . . , an ∈ R tales que f (x) = a0 + a1 x + · · · + an xn para cada x ∈ R (tambi´en suelen denominarse funciones polin´ omicas las restricciones de las anteriores a cualquier subconjunto de R.) Las funciones racionales son aquellas que pueden expresarse como cociente de dos funciones polin´omicas. Su dominio es todo R salvo un conjunto finito (eventualmente vac´ıo), el conjunto de los ceros o ra´ıces del denominador. Es asimismo usual utilizar el mismo nombre para las restricciones de tales funciones a subconjuntos cualesquiera.

Funciones algebraicas Reciben este nombre las funciones tales que se pueden encontrar polinomios p0 , p1 , . . . , pn de manera que para todo x ∈ dom f se verifica p0 (x) + p1 (x) f (x) + · · · + pn (x) f (x)n = 0.

Obs´ervese que las ra´ıces anteriormente definidas quedan dentro de esta clase.

2.2.

Funciones trascendentes

Las funciones que vamos a describir ahora, aunque quedan como las anteriores dentro de las que suelen denominarse gen´ericamente funciones elementales, y en buena parte son “conocidas” por el lector, requieren para su “construcci´on” t´ecnicas de las que no disponemos todav´ıa. No podemos, pues, definirlas, pero vamos a emplearlas admitiendo de momento que existen y tienen las propiedades que enunciamos.

2.2.1.

Funciones exponencial y logar´ıtmica

Funci´ on exponencial La funci´ on exponencial , exp : R → R, que construiremos m´as adelante, aparece en la descripci´on de los fen´omenos en los que la variaci´ on de una magnitud es proporcional al valor de dicha magnitud.

El n´ umero exp(1) se denota por e. Es irracional; m´as todav´ıa, es trascendente , lo que significa que no existe ning´ un polinomio con coeficientes enteros que se anule en e. Sus primeras cifras decimales son 2, 7182818284590452353602874713526624977572 . . . (sobre su historia, ver [Maor]).

En lugar de exp(x) suele escribirse ex .

Proposici´ on 2.2.1 (propiedades de la exponencial). b) Para cada x ∈ R,

1 = e−x , ex

y, en particular, ex 6= 0. c) Dados x, y ∈ R, ex+y = ex · ey .

a) e0 = 1.

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

20 d) Dados n ∈ N y x ∈ R,

n

enx = ex · · · ex . e) Para cada x ∈ R,

ex > 0 .

f ) La funci´ on exponencial es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva. g) El conjunto imagen de la funci´ on exponencial es (0, +∞).

e−x

ex

Funci´ on logar´ıtmica La funci´ on logar´ıtmica log : (0, +∞) → R es la inversa de la funci´on exponencial, de modo que log x = y si y solo si ey = x.

Por tanto, est´a caracterizada por cumplir log(ex ) = x

cualquiera que sea x ∈ R

y elog x = x

cualquiera que sea x ∈ (0, +∞) .

Sus propiedades son consecuencia de las de la funci´on exponencial.

Proposici´ on 2.2.2 (propiedades del logaritmo).

a) log 1 = 0; log e = 1.

b) Para cada x ∈ (0, +∞), log

1 = − log x . x

c) Dados x, y ∈ (0, +∞), log(xy) = log x + log y . d) Dados n ∈ N y x ∈ (0, +∞),

log(xn ) = n log x .

e) El conjunto imagen de la funci´ on logar´ıtmica es R.

2.2. FUNCIONES TRASCENDENTES

21

f ) La funci´ on logar´ıtmica es estrictamente creciente. En particular, es inyectiva.

ex

x

log x

Funciones exponencial y logar´ıtmica de base cualquiera Definici´ on 2.2.3. Dado un n´ umero real a > 0, la funci´ on exponencial de base a se define mediante la igualdad ax = ex log a .

Cuando a > 1, esta funci´on tiene propiedades similares a la funci´on exponencial anteriormente estudiada; si a = 1, es una funci´on constantemente igual a 1, y si a < 1, la diferencia esencial con la funci´on exponencial de base e estriba en que la funci´on exponencial de base a es entonces estrictamente decreciente.

Propiedades interesantes que se obtienen directamente de la definici´on y de lo que hemos visto para las funciones ex y log x son las siguientes: Proposici´ on 2.2.4 (propiedades de las potencias). Dados a, b, x, y ∈ R con a > 0, b > 0, a) (ab)x = ax bx . b) (ax )y = axy .

Definici´ on 2.2.5. Dado a > 0, a 6= 1, la funci´ on logar´ıtmica de base a se define en (0, +∞) mediante la f´ ormula log x loga x = . log a Es inmediato comprobar que esta funci´on es la inversa de la funci´on exponencial de base a.

Como propiedad adicional interesante se tiene: dados a, b, x ∈ R con 0 < a 6= 1 y b > 0, loga (bx ) = x loga b .

2.2.2.

Funciones trigonom´ etricas. Funciones trigonom´ etricas inversas

Funciones trigonom´ etricas Reciben este nombre una serie de funciones de origen geom´etrico, ligadas con las medidas de ´angulos y la descripci´on de fen´omenos peri´odicos.

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

22 La funci´ on seno

sen : R → R y la funci´ on coseno cos : R → R ser´an definidas m´as adelante. De momento, admitimos sin demostraci´on que satisfacen las propiedades que pasamos a enunciar.

Proposici´ on 2.2.6 (propiedades del seno). a) El seno es una funci´ on impar, mientras que el coseno es una funci´ on par: cualquiera que sea x ∈ R se tiene sen(−x) = − sen x, b) Para cada x ∈ R es

cos(−x) = cos x .

sen2 x + cos2 x = 1 .

c) Existe un n´ umero real positivo, denotado por π, tal que sen π = 0 y sen x 6= 0 si 0 < x < π.

Este n´ umero π es irracional (y trascendente) y sus primeras cifras decimales son 3, 14159265358979 . . .

El n´ umero π, ((´ area del c´ırculo de radio 1, es de lejos la constante m´ as c´elebre de las matem´ aticas. Aparecida inicialmente en Geometr´ıa, interviene hoy en los dominios m´ as variados: an´ alisis, teor´ıa de n´ umeros, probabilidades y estad´ıstica, combinatoria, etc. Los m´ as grandes matem´ aticos se han interesado desde hace m´ as de 2000 a˜ nos por los problemas planteados por este n´ umero)) ([Le Lionnais, p´ ag. 50]). d) cos π = −1. e) Las funciones sen y cos tienen por conjunto imagen (rango) el intervalo [−1, 1]. f ) Dados x, y ∈ R tales que x2 + y 2 = 1, existe un α ∈ R de modo que cos α = x,

sen α = y

(gr´ aficamente, esto significa que las funciones seno y coseno que hemos definido se corresponden con las utilizadas en trigonometr´ıa). g) F´ ormulas de adici´ on. Dados x, y ∈ R, sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y ;

sen(x − y) = sen x cos y − cos x sen y ;

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y ;

cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y .

h) Las funciones sen y cos son peri´ odicas de periodo 2π. i) La funci´ on sen es estrictamente creciente en [0, π/2] y estrictamente decreciente en [π/2, π]. j) La funci´ on cos es estrictamente decreciente en [0, π/2] y estrictamente creciente en [π/2, π].

Damos ahora una tabla de algunos valores particulares de estas funciones. grados 0 15 30 45 60 90

x 0 π/12 π/6 π/4 π/3 π/2

sen x √ 0 √ 1 4 ( 6 − 2) √1/2 √2/2 3/2 1

cos x √ 1 √ 1 6 + 2) 4( √ √3/2 2/2 1/2 0

2.2. FUNCIONES TRASCENDENTES

23

Ejercicio. Comprobar que para x, y ∈ R arbitrarios es x+y x−y sen x − sen y = 2 cos sen .

2 2 Deducir de aqu´ı que sen x = sen y si y solo si existe alg´ un k ∈ Z tal que x = y + 2kπ o existe alg´ un k ∈ Z tal que x = (2k + 1)π − y. sen x

cos x

Definici´ on 2.2.7. La funci´ on tangente tg, la funci´ on cotangente ctg, la funci´ on secante sec y la funci´ on cosecante cosec se definen a partir de las funciones seno y coseno mediante las f´ ormulas sen cos 1 1 tg = , ctg = , sec = , cosec = . cos sen cos sen ¿Cu´ales son los dominios de estas funciones?

tg x

cosec x

cotg x

sec x

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

24 Funciones trigonom´ etricas inversas

Se conocen con el nombre de ‘funciones trigonom´etricas inversas’ las de una colecci´on de funciones que son “casi”, pero no totalmente, inversas de las funciones tigonom´etricas que acabamos de considerar. Precisemos su definici´on.

La funci´on seno no es inyectiva, por lo que no puede hablarse estrictamente de ‘inversa de la funci´on seno’. Sin embargo, la restricci´ on de la funci´ on seno al intervalo [−π/2, π/2] es estrictamente creciente, luego inyectiva en particular, y su conjunto imagen es el intervalo [−1, 1] (igual conjunto imagen que la funci´on seno).

La inversa de la restricci´on de la funci´on seno al intervalo [−π/2, π/2] es, por definici´ on, la funci´ on arco seno arc sen : [−1, 1] → [−π/2, π/2], de manera que ser´a una funci´on estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado x ∈ [−1, 1] ( y ∈ [−π/2, π/2] arc sen x = y ⇐⇒ sen y = x, con lo cual sen(arc sen x) = x

para todo x ∈ [−1, 1] = dom arc sen

(es decir, la funci´on arco seno es una inversa por la derecha de la funci´on seno), mientras que arc sen(sen x) = x ⇐⇒ x ∈ [−π/2, π/2].

Ejercicio. Dado n ∈ Z, sea f : x ∈ [nπ −

π π , nπ + ] → f (x) = sen x ∈ R. 2 2

Comprobar que f es inyectiva y expresar su inversa f −1 en t´erminos de la funci´on arco seno.

Ejercicio. Dibujar las gr´aficas de las funciones sen ◦ arc sen y arc sen ◦ sen.

Pasando a la funci´on coseno, su restricci´on al intervalo [0, π] es una funci´on estrictamente decreciente cuyo conjunto imagen es [−1, 1]. An´alogamente a lo anterior, la funci´ on arco coseno arc cos : [−1, 1] → [0, π] es por definici´on la inversa de la restricci´on de la funci´on coseno al intervalo [0, π].

Es una funci´on estrictamente decreciente y acotada, con el mismo dominio que la funci´on arco seno, pero con distinto codominio.

Dado x ∈ [−1, 1], se tiene ( y ∈ [0, π] arc cos x = y ⇐⇒ cos y = x, con lo cual cos(arc cos x) = x

para todo x ∈ [−1, 1] = dom arc cos

(es decir, la funci´on arco coseno es una inversa por la derecha de la funci´on coseno), mientras que arc cos(cos x) = x ⇐⇒ x ∈ [0, π].

2.2. FUNCIONES TRASCENDENTES

25

arc sen x

arc cos x

De manera similar: La funci´ on arco tangente arc tg : R → (−π/2, π/2) es por definici´on la inversa de la restricci´on de la funci´on tangente al intervalo abierto (−π/2, π/2).

Es una funci´on estrictamente creciente, impar, acotada, y tal que dado x ∈ R ( y ∈ (−π/2, π/2) arc tg x = y ⇐⇒ tg y = x, con lo cual tg(arc tg x) = x

para todo x ∈ R = dom arc tg

(es decir, la funci´on arco tangente es una inversa por la derecha de la funci´on tangente), mientras que arc tg(tg x) = x ⇐⇒ x ∈ (−π/2, π/2).

arc tg x

Aunque se usa menos que las anteriores, podemos tambi´en definir: la funci´ on arco cotangente arc ctg : R → (0, π) es la inversa de la restricci´on de la funci´on cotangente al intervalo (0, π).

Las funciones arco secante y arco cosecante se usan raras veces. Su definici´on puede verse en [Spiegel-Abellanas] (con las notaciones sec−1 y cosec−1 ).

Ejercicio. Probar que para todo x ∈ [−1, 1] es arc sen x + arc cos x =

π .

2

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

26

Ejercicio. Probar que dados a, b ∈ R tales que a, b, a + b ∈ dom tg, tg(a + b) =

tg a + tg b .

1 − tg a tg b

¿Puede deducirse de aqu´ı, haciendo tg a = x y tg b = y e ‘invirtiendo’, que arc tg x + arc tg y = arc tg

x+y ?

1 − xy

Precisar la respuesta.

2.2.3.

Funciones hiperb´ olicas. Funciones hiperb´ olicas inversas

Funciones hiperb´ olicas Definici´ on 2.2.8. La funci´ on coseno hiperb´ olico est´ a definida mediante cosh : x ∈ R → cosh x =

ex + e−x ∈ R. 2

Es una funci´ on par (la ‘componente par’ de la exponencial), estrictamente decreciente en (−∞, 0] y estrictamente creciente en [0, +∞). Est´ a acotada inferiormente por 1: para cualquier x ∈ R, ex + e−x e2x + 1 = ≥1 2 2 ex

porque

e2x + 1 ≥ 2 ex (> 0).

Su conjunto imagen es [1, +∞).

cosh x

La funci´ on seno hiperb´ olico est´ a definida mediante senh : x ∈ R → senh x =

ex − e−x ∈ R. 2

Es una funci´ on impar (la ‘componente impar’ de la exponencial), estrictamente creciente y no acotada superior ni inferiormente: su conjunto imagen es todo R.

2.2. FUNCIONES TRASCENDENTES

27

senh x

Estas funciones tienen un cierto parecido con el coseno y el seno trigonom´etricos, y pueden relacionarse geom´etricamente con la hip´erbola de manera similar a como las funciones trigonom´etricas se relacionan con la circunferencia. Aumentando la semejanza, existen f´ ormulas para las funciones hiperb´ olicas que, con variaciones en algunos signos, recuerdan las conocidas para las funciones trigonom´etricas: por ejemplo, calculando a partir de la definici´ on se comprueba que cosh2 x − senh2 x = 1, cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y, senh(x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y cualesquiera que sean x, y ∈ R. La funci´ on tangente hiperb´ olica se define como tgh : x ∈ R → tgh x =

senh x ex − e−x e2x − 1 = x = ∈ R. cosh x e + e−x e2x + 1

Es una funci´ on impar, estrictamente creciente y acotada: su conjunto imagen es el intervalo abierto (−1, 1).

tgh x

La funci´ on cotangente hiperb´ olica est´ a dada por ctgh : x ∈ R \ {0} → ctgh x =

cosh x ex + e−x e2x + 1 = x = ∈ R. senh x e − e−x e2x − 1

1 . cosh 1 La funci´ on cosecante hiperb´ olica cosech = . senh La funci´ on secante hiperb´ olica sech =

CAP´ITULO 2. FUNCIONES: GENERALIDADES

28 Funciones hiperb´ olicas inversas

Definici´ on 2.2.9. La funci´ on argumento coseno hiperb´ olico , p arg cosh : x ∈ [1, +∞) → arg cosh x = log(x + x2 − 1) ∈ [0, +∞), es la inversa de la restricci´ on de la funci´ on coseno hiperb´ olico al intervalo [0, +∞).

La funci´ on argumento seno hiperb´ olico , p arg senh : x ∈ R → arg senh x = log(x + x2 + 1) ∈ R, es la inversa de la funci´ on seno hiperb´ olico.

La funci´ on argumento tangente hiperb´ olica , arg tgh : x ∈ (−1, 1) → arg tgh x =

1 1+x log ∈ R, 2 1−x

es la inversa de la funci´ on tangente hiperb´ olica.

La funci´ on argumento cotangente hiperb´ olica , arg ctgh : x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞) → arg ctgh x =

1 x+1 log ∈ R, 2 x−1

es la inversa de la funci´ on cotangente hiperb´ olica.

cosh x

arg senh x x

arg cosh x

arg tgh x

Bibliograf´ıa [Bartle-Sherbert]

Bartle, R. G. - Sherbert, D. R.: Introducci´ on al An´ alisis Matem´ atico de una Variable. Limusa, M´exico, 1990. Citado en la(s) p´agina(s) 13

[Le Lionnais]

Le Lionnais, F.: Les nombres remarquables. Hermann, Par´ıs, 1983. Citado en la(s) p´agina(s) 22

[Maor]

Maor, E.: e. The Story of a Number. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1994. Citado en la(s) p´agina(s) 19

[Spiegel-Abellanas] Spiegel, M.R. - Abellanas, L.: F´ ormulas y tablas de matem´ atica aplicada.

McGraw Hill (colecci´on Schaum), 1991. Citado en la(s) p´agina(s) 15, 26

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Área de Análisis Matemático Universidad de Zaragoza analisis@unizar.es