COMPLEMENTO IMPORTANTE Métodos Numéricos Elementales de Integración
El método habitual que el estudiante conoce (Cálculo I) para evaluar integrales de funciones de una variable: ∫
( )
es aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo. Éste consiste en hallar una primitiva del integrando, es decir, intentar hallar una función ( ) tal que: ( )
( )
para, a continuación, calcular la integral mediante la Regla de Barrow: ∫
( )
( )
( )
Sin embargo, hay situaciones en las que el Ingeniero se encuentra con integrales de funciones de una variable en las que: a) O bien el integrando no tiene primitiva, y por tanto no puede aplicarse la Regla de Barrow para calcularlas: b) O bien el integrando es demasiado complicado para hallar una primitiva (aunque la tenga) y resulta tedioso o incluso muy complicado hallarla. En ambos casos, el Ingeniero no puede quedarse cruzado de brazos y renunciar a calcular el valor numérico (un número real) de la integral . La alternativa es utilizar un Método Numérico Aproximado basado en el concepto de Integral de Riemann (Cálculo I): ( )
∫
( )
∑
( )
( )
En efecto, la integral se define como límite de sumas de Riemann, donde cada sumando viene dado por el área de un rectángulo con una base pequeña y una altura dada por el valor de la función ( ) en un cierto punto . La idea, para aproximar el valor de la integral es tomar
pequeño y no hacer el límite: ( )
∫
( )
∑
( )
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que es una fórmula aproximada para el cálculo de la integral. Fórmulas aproximadas de este tipo, así como el error cometido, serán estudiadas en este mismo semestre en la asignatura Informática y Programación. Ejemplos: Damos tres ejemplos elementales de fórmulas de aproximación numérica de la integral: 1)
Regla del Punto Medio (
(
)): ∫
2)
Regla del Trapecio (
(
) (
)
( ( )
( ))
): ∫
3)
( )
( )
(
)
Regla de Simpson (no tiene nada que ver con Homer ni con Bart) ( ∫
( )
(
)
( ( )
): (
)
( ))
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Ejemplo de Aplicación Se trata de calcular la longitud de la elipse (considérese, por ejemplo
):
Para ello, lo más cómodo es utilizar unas ecuaciones paramétricas de la elipse obtenidas por el cambio de variable sugerido por la forma de su ecuación en cartesianas: y es decir:
En estas condiciones, la longitud total de la elipse viene dada por: ∫ √( ( ))
( ( ))
( ) donde
Es decir, que la longitud total es
∫ √
∫ √
( ( ))
( )
(
( ) )
( ) es la integral: )
∫ √(
) sólo tiene primitiva en dos casos:
Resulta que la función √(
Para
(
), su primitiva es
Para
(
), su primitiva es
, con lo que ( ) , con lo que ( )
En el resto de casos, es decir, para ( ) no tiene primitiva y, por tanto, no se puede aplicar el Teorema Fundamental del Cálculo (Regla de Barrow). En estos casos donde no hay primitiva, se dice que ( ) define una Integral Elíptica de Segunda Especie. Estas integrales están tabuladas en función de y de los límites de integración, utilizando para ello un método basado en desarrollos de Taylor de alto orden. Otra posibilidad, consiste en aproximar numéricamente E(k) mediante una fórmula de integración numérica como a), b) ó c). Por ejemplo: a)
Aproximación mediante la Fórmula del Punto Medio: ( )
√
√
b) Aproximación mediante la Fórmula del Trapecio: ( ) c)
(√
√
)
√
(
)
Aproximación mediante la Fórmula de Simpson (jejeje): ( )
(√
√
√
)
(
√
√
)
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ยก BUEN TRABAJO !
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