El diseño divino by Cosme Duran

EL DISEÃ&#x2018;O DIVINO (Compilacion de Cosme Duran G)

Índice general 1

Fundamentos de la matemática

1.1

Crisis de los fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1

Perspectivas ﬁlosóﬁcas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Resolución parcial de la crisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3

Evolución histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4

Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5

Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.6

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.7

Links externos

1.8

Fundamentos ﬁlosóﬁcos de la matemática

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.1

Platonismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.2

Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.3

Intuicionismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.8.4

Logicismo

1.8.5

Constructivismo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.10 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.9

Matemática en la Antigua Grecia

Véase también

Filosofía de la matemática

2.1

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3

Corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.1

Platonismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.2

Formalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.3

Deductivismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.4

Intuicionismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.5

Constructivismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.6

Finitismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.7

Estructuralismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÍNDICE GENERAL 2.3.8

Empirismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3.9

Cuasi-empirismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4

Véase también . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5

Notas y referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6.1

Enlaces externos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Filosofía del espacio y el tiempo

3.1

Cuestiones básicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2

Modelos históricos[1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.1

En la Antigüedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.2

En la Edad Media y el Renacimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3

El siglo XIX

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2.4

El eterno retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3

Realismo y anti-realismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4

Absolutismo y relacionismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.1

Leibniz y Newton

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.2

Mach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4.3

Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5

Convencionalismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6

La estructura del espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.1

La relatividad de la simultaneidad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.2

Invarianza contra covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.3

Estructuras históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6.4

Burbujas de vacío y vacío cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

La dirección del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.1

Solución de la causalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.2

Solución de la termodinámica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7.3

Solución de la no simetría

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7

3.8

El ﬂujo del tiempo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.9

Dualidades en física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.10 Presentismo y eternalismo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.11 Endurantismo y perdurantismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.12 Bergson y el existencialismo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.13.1 Henri Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.13.2 Kurt Gödel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.13.3 C. G. Jung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.13.4 Norbert Elias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.13 Otras teorías inﬂuyentes

ÍNDICE GENERAL

iii

3.13.5 Ilya Prigogine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.13.6 Stephen W. Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.14 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.15 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.16 Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.17 Enlaces externos 4

Cosmología

4.1

Contexto

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2

Cosmología física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.1

El Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2.2

Cosmologías alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3

Cosmología religiosa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4

Cosmología ﬁlosóﬁca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.5

Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.6

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7

Enlaces externos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Big Bang

5.1

Introducción

5.2

Breve historia de su génesis y desarrollo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3

Visión general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.1

Descripción del Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3.2

Base teórica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4

5.5

5.6

Evidencias

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.1

Expansión expresada en la ley de Hubble

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.2

Radiación cósmica de fondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.3

Abundancia de elementos primordiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.4

Evolución y distribución galáctica

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.4.5

Otras evidencias

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problemas comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.1

El problema del segundo principio de la termodinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.2

El problema del horizonte

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.3

El problema de la planitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.4

Edad de los cúmulos globulares

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.5

Monopolos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.6

Materia oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.5.7

Energía oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

El futuro de acuerdo con la teoría del Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÍNDICE GENERAL 5.7

Física especulativa más allá del Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.8

Interpretaciones ﬁlosóﬁcas y religiosas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.9

Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.10 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.11 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.11.1 Introducciones técnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.11.2 Fuentes de primera mano

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.11.3 Religión y ﬁlosofía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.11.4 Artículos de investigación

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.12 Enlaces externos 6

Universo

6.1

Porción observable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2

Evolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.1

Teoría sobre el origen y la formación del Universo (Big Bang) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.2

Sopa Primigenia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.3

Protogalaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.2.4

Destino Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Descripción física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.1

Tamaño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.2

Forma

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.3

Color . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.4

Homogeneidad e isotropía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.5

Composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.6

Multiversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3.7

El universo, ¿una ilusión?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Estructuras agregadas del universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.1

Las galaxias

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.2

Formas de galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.3

La Vía Láctea

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.4

Las constelaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.5

Las estrellas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.6

Los planetas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.7

Los satélites

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.4.8

Asteroides y cometas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3

6.4

6.5

Indicios de un comienzo

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.6

Otros términos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.7

Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.8

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ÍNDICE GENERAL 6.9 7

Enlaces externos

v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Covariancia de Lorentz

7.1

Covariancia de Lorentz y sistemas inerciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2

Covariancia generalizada y relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.3

Violación de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.4

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Relatividad general

8.1

Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2

¿Por qué es necesaria la teoría de relatividad general? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3

Principios generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3.1

Principio de covariancia

8.3.2

El principio de equivalencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3.3

La curvatura del espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3.4

Formulación matemática y consideraciones generales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.4.1

La derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.4.2

Los principios de general covariancia y de acoplamiento mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8.4.3

El tensor de Riemann y la curvatura de las líneas de universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.4.4

El signiﬁcado físico del tensor de Ricci

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.4.5

Las ecuaciones de Universo de Einstein

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

8.4.6

El tensor de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.4.7

La constante cosmológica

8.4.8

Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.4

8.5

8.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Los diferentes tensores y escalares de la relatividad general

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 8.5.1

No linealidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.5.2

Soluciones para coordenadas esféricas: Campo exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.5.3

Soluciones para coordenadas esféricas: Equilibrio estelar

8.5.4

Soluciones para coordenadas esféricas: Colapso gravitatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.5.5

Aproximaciones en coordenadas armónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8.5.6

Soluciones relacionadas con los modelos de Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Predicciones de la relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.6.1

Efectos gravitacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.6.2

Efectos rotatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.6.3

Otros efectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.6.4

Comprobaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.7

Aplicaciones prácticas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.8

Relación con otras teorías físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

ÍNDICE GENERAL

8.9

8.8.1

Inercia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

8.8.2

Gravitación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.8.3

Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

8.8.4

Conservación de energía-momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Transición de la relatividad especial a la relatividad general

8.10 Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

8.11 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.11.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 8.12 Enlaces externos 9

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Teoría de la relatividad especial

127

9.1

Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9.2

Postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 9.2.1

Principio de Relatividad

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.2.2

Covariancia de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.3

Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

9.4

Simultaneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

9.5

Dilatación del tiempo y contracción de la longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.6

Cantidades relativistas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.6.1

Composición de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.6.2

Masa, momento y energía relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6.3

Cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6.4

Equivalencia de masa y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

9.6.5

Fuerza

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.7

La geometría del espacio tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9.8

Causalidad e imposibilidad de movimientos más rápidos que la luz

9.9

Formulación de la Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

9.9.1

Métrica y transformación de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

9.9.2

Cuadrivelocidad y cuadriaceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.9.3

Cuadrimomento

9.9.4

Cuadrifuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.10 Uniﬁcando el electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.10.1 Electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.11 Sistemas no inerciales y relatividad especial

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

9.12 Relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 9.13 Tests de postulados de la relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 9.14 Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

9.15 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9.15.1 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

ÍNDICE GENERAL 9.16 Enlaces externos

vii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

10 Materia oscura

146

10.1 Pruebas de observaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.1.1 Curvas de rotación galáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 10.1.2 Velocidad de dispersión de galaxias

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10.1.3 Materia oscura en cúmulos de galaxias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.1.4 Formación de estructuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 10.2 Composición de la materia oscura 10.3 Problema de la materia oscura

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

10.4 Explicaciones alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.4.1 Modiﬁcaciones de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.4.2 Explicaciones de mecánica cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.5 Materia oscura en la cultura popular

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 10.7 Enlaces externos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

11 Energía oscura

159

11.1 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.2 Descubrimiento de la energía oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.3 Experimentos diseñados para probar la existencia de la energía oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.4 Naturaleza de la energía oscura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.4.1 Presión negativa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

11.4.2 Constante cosmológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 11.4.3 Quintaesencia

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

11.4.4 Ideas alternativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11.5 La energía oscura y el destino del Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.6 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 11.7 Enlaces externos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

12 Singularidad gravitacional

169

12.1 Tipos de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 12.2 Teoremas de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.2.1 Expansión del universo y Big Bang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.2.2 Agujeros negros y singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.2.3 Conservación del área de agujero negro

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12.3 Ocurrencia de singularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 12.4 Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

12.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

viii

ÍNDICE GENERAL

13 Agujero negro

173

13.1 Proceso de formación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 13.2 Historia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 13.3 Clasiﬁcación teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 13.3.1 Según la masa

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

13.3.2 Según sus propiedades físicas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

13.4 Descripción teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 13.4.1 Zonas observables

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

13.4.2 La entropía en los agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 13.4.3 Deﬁnición de agujero negro

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

13.4.4 ¿Imposibilidad teórica de los agujeros negros? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 13.5 Los agujeros negros en la física actual

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

13.5.1 Descubrimientos recientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 13.5.2 Formación de estrellas por el inﬂujo de agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 13.5.3 Radiación de Hawking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 13.6 Nota lingüística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 13.7 Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

13.8 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 13.9 Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 13.10Enlaces externos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

14 Teoría de cuerdas

186

14.1 Desarrollos posteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 14.2 Variantes de la teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 14.3 Controversia sobre la teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 14.3.1 Falsacionismo y teoría de cuerdas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

14.3.2 Impacto de la promoción de la teoría en el mundo académico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 14.4 Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

14.5 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 14.5.1 Bibliografía de divulgación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 14.5.2 Artículos sobre teoría de cuerdas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 14.6 Enlaces externos 15 Espacio-tiempo 15.1 Introducción

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 192

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

15.2 Propiedades geométricas del espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 15.2.1 Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 15.2.2 Contenido material del espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 15.2.3 Movimiento de las partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

ÍNDICE GENERAL

15.2.4 Homogeneidad, isotropía y grupos de simetrías

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

15.2.5 Topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 15.3 Ejemplos de diferentes clases de espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 15.3.1 El espacio-tiempo relativista de Minkowski

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

15.4 El universo de Einstein: gravitación y geometría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 15.4.1 ¿Cuáles son estas intuiciones y sugerencias? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 15.4.2 El espacio-tiempo curvo de la relatividad general

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

15.4.3 El espacio-tiempo de la física prerrelativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 15.5 Generalizaciones

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

15.5.1 Hiperespacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 15.6 Véase también

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

15.7 Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 15.8 Enlaces externos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

16 Portal:Cosmología

199

17 Anexo:Glosario de relatividad

202

17.1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 17.2 B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 17.3 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 17.4 D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 17.5 E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 17.6 F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 17.7 G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 17.8 H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 17.9 I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 17.10M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 17.11O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 17.12P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 17.13S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 17.14T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 17.15V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 18 Dasein

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18.1 Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 18.1.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 18.1.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 18.1.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

Capítulo 1

Fundamentos de la matemática (el texto de Hilbert y Bernays) Los Fundamentos de la matemática es el estudio de conceptos matemáticos básicos como números, figuras geométricas, conjuntos, funciones, etc. y cómo forman jerarquías de estructuras y conceptos más complejos, especialmente las estructuras fundamentalmente importantes que forman el lenguaje de la matemática: fórmulas, teorías y sus modelos, dando un significado a las fórmulas, definiciones, pruebas, algoritmos, etc. también llamados conceptos metamatemáticos, con atención a los aspectos filosóficos y la unidad de la matemática. La búsqueda por los fundamentos de la matemática es una pregunta central de la filosofía de las matemáticas; la naturaleza abstracta de los objetos matemáticos presenta desafíos filosóficos especiales. Pero los fundamentos de la matemática como un todo no apuntan a contener los fundamentos de cada tópico matemático. Generalmente, los fundamentos de un campo de estudio, se refieren a un análisis más o menos sistemático de sus conceptos fundamentales más básicos, su unidad conceptual y su ordenamiento natural o jerarquía de conceptos, los cuales podrían ayudar a conectarlos con el resto del conocimiento humano. El desarrollo, emergencia y aclaración de los fundamentos puede aparecer tarde en la historia de un campo, y podría no ser visto por cualquiera como su parte más interesante. Las matemáticas siempre jugaron un rol especial en el pensamiento científico, sirviendo desde tiempos antiguos como modelo de verdad y rigor para la inquisición racional, dando herramientas o incluso fundamentos para otras ciencias (especialmente la física). Pero lo mucho de la matemática hacia abstracciones más elevadas en el siglo XIX, trajeron paradojas y desafíos nuevos, exigiendo un examen más profundo y sistemático de la naturaleza y el criterio de la verdad matemática, así como también una unificación de las diversas ramas de la matemática en un todo coherente. La búsqueda sistemática de los fundamentos de la matemática empezó al fin del siglo XIX, y formó una disciplina matemática nueva llamada lógica matemática, con fuertes vínculos con la ciencia de la computación teórica. Fue mediante una serie de crisis con resultados paradójicos, hasta que los descubrimientos se estabilizaron durante el siglo XX con un amplio y coherente cuerpo de conocimiento matemático con muchísimos aspectos o componentes (teoría de conjuntos, teoría de modelos, teoría de pruebas...), cuyas propiedades detalladas y posibles variantes aún están en campo de investigación activa. Su alto nivel de sofisticación técnica inspiró a muchos filósofos a conjeturar que puede servir como modelo o patrón para los fundamentos de otras ciencias.

1.1 Crisis de los fundamentos La crisis fundacional de la matemática (llamada originalmente en alemán: Grundlagenkrise der Mathematik) fue un término acuñado a principios del siglo XX para referirse a la situación teórica que llevó a una investigación sistemática y profundamente de los fundamentos de la matemática, y que acabó inaugurando una nueva rama de la matemática. Numerosas escuelas filosóficas matemáticas incurrieron en dificultades una tras otra, a medida que la asunción de que los fundamentos de la matemática podían ser justificados de manera consistentes dentro de la propia matemática fue puesta en duda por el descubrimiento de varias paradojas (entre ellas la célebre paradoja de Russell). 1

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA

El término "paradoja" no debe ser confundido con el término contradicción. Una contradicción dentro de una teoría formal es una demostración formal de la existencia de un absurdo como resultado de un conjunto de asunciones inapropiadas (tales como 2 + 2 = 5), un conjunto de axiomas o teoría que da lugar a una contradicción se clasifica de inconsistente y debe ser rechazada como teoría útil (ya que en ella cualquier proposición acabaría siendo demostrable). Sin embargo, una paradoja puede referirse o bien a un resultado contraintuitivo pero verdadero, o a un argumento informal que lleva a una contradicción, así que una teoría candidata donde se atente la formalización de un argumento debe inhabilitar al menos uno de sus pasos; en este caso el problema es encontrar una teoría satisfactoria sin contradicciones. Ambos significados pueden aplicar si la versión formalizada del argumento forma la prueba de una verdad sorprendente. Por ejemplo, la paradoja de Russell puede ser expresada como “no hay un conjunto que contenga a todos los conjuntos” (exceptuando algunas teorías axiomáticas marginales). Algunas escuelas de pensamiento al buscar acercarse al enfoque correcto a los fundamentos de la matemática se oponían ferozmente entre si. La escuela liderante era la escuela de enfoque formalista, de la cual, David Hilbert era el proponente principal, culminando con lo que se conoce como Programa de Hilbert, quien pensaba en fundamentar la matemática en una pequeña base de un sistema lógico sondeado en términos del finitismo metamatemático. El oponente principal era la escuela del intuicionismo, liderada por L. E. J. Brouwer, quien resueltamente descartó el formalismo como un juego futil con símbolos (van Dalen, 2008). La pelea fue acrimoniosa. En 1920 Hilbert triunfó en sacar a Brouwer, a quien él consideraba una amenaza a la matemática, removiéndolo del tablón editorial del Mathematische Annalen, la revista líder en matemáticas en aquella época.

1.1.1

Perspectivas ﬁlosóﬁcas

A principios del siglo XX, tres escuelas de ﬁlosofía de la matemática tenían visiones contrapuestas sobre los fundamentos matemáticos: el Formalismo, el Intuicionismo y el Logicismo.

Formalismo La postura de los formalistas, tal como fue enunciada por David Hilbert (1862–1943), es que la matemática es sólo un lenguaje formal y una serie de juegos. De hecho, Hilbert usó el término “juego de fórmulas” en su respuesta de 1927 al criticismo de L. E. J. Brouwer: “And to what has the formula game thus made possible been successful? This formula game enables us to express the entire thought-content of the science of mathematics in a uniform manner and develop it in such a way that, at the same time, the interconnections between the individual propositions and facts become clear... The formula game that Brouwer so deprecates has, besides its mathematical value, an important general philosophical significance. For this formula game is carried out according to certain definite rules, in which the technique of our thinking is expressed. These rules form a closed system that can be discovered and definitively stated.”[1] Por tanto, Hilbert insistió que la matemática no es un juego “arbitrario” con reglas “arbitrarias”, sino más bien un juego que debe coincidir con nuestro pensamiento, que son el punto de partida de nuestra exposición oral y escrita.[1] “We are not speaking here of arbitrariness in any sense. Mathematics is not like a game whose tasks are determined by arbitrarily stipulated rules. Rather, it is a conceptual system possessing internal necessity that can only be so and by no means otherwise”.[2] La filosofía inicial del formalismo, tal como es ejemplificada por David Hilbert, es una respuesta a las paradojas de la teoría axiomática de conjuntos, que se basa en la lógica formal. Prácticamente todos los teoremas matemáticos hoy en día se pueden formular como teoremas de la teoría de conjuntos. La verdad de un enunciado matemático, en esta teoría está representada por el hecho de que una declaración se puede derivar de los axiomas de la teoría de conjuntos utilizando las reglas de la lógica formal.

1.1. CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS

El uso del formalismo por sí solo no explica varias cuestiones: ¿por qué debemos utilizar estos axiomas y no otros, por qué debemos emplear unas reglas lógicas y no otras, por qué proposiciones matemáticas “verdaderas” (p. ej. la leyes de la aritmética) parecen ser verdad? y así sucesivamente. Hermann Weyl hará estas mismas preguntas a Hilbert: “What “truth” or objectivity can be ascribed to this theoretic construction of the world, which presses far beyond the given, is a profound philosophical problem. It is closely connected with the further question: what impels us to take as a basis precisely the particular axiom system developed by Hilbert? Consistency is indeed a necessary but not a sufficient condition. For the time being we probably cannot answer this question....”[3] En algunos casos, estas preguntas pueden ser contestadas satisfactoriamente a través del estudio de las teorías formales, en disciplinas como las matemáticas inversas y la teoría de la complejidad computacional. Como ha señalado por Weyl, los sistemas lógicos formales también corren el riesgo de inconsistencia; en la aritmética deG. Peano, esto sin duda ya se ha salvado con varias pruebas de consistencia, pero hay debate sobre si son o no son suficientemente finitistas para que tengan sentido. El segundo teorema de incompletitud de Gödel establece que los sistemas lógicos de la aritmética no pueden contener una prueba válida de su propia consistencia. Lo que Hilbert quería hacer era probar que un sistema lógico S fuese consistente, basado en principios P que fueran sólo una pequeña parte de S . Pero Gödel demostró que los principios P ni siquiera podrían demostrar su propia coherencia, por no hablar de la de S !

Intuicionismo Los intuicionistas, como Brouwer (1882-1966), sostienen que la matemática es una creación de la mente humana. Los números, como los personajes de los cuentos de hadas, no son más que entidades mentales, que no existiría si las mentes humanas no pensaran en ellos. La filosofía fundamental del intuicionismo o constructivismo, como se ejemplifica en extremo por Brouwer y más coherente de Stephen Kleene, requiere pruebas para ser " constructivo” en naturaleza - la existencia de un objeto debe ser demostrada en lugar de deducirse de una demostración de la imposibilidad de su no-existencia. Por ejemplo, como una consecuencia de esto la prueba conocida como reducción al absurdo se vería con sospecho. Algunas teorías modernas de la filosofía de las matemáticas niegan la existencia de fundamentos en el sentido original. Algunas teorías tienden a centrarse en la práctica de las matemáticas, y tienen como objetivo describir y analizar el funcionamiento real de los matemáticos como grupo social. Otras tratan de crear una ciencia cognitiva de las matemáticas, se centran en la cognición humana como el origen de la fiabilidad de las matemáticas cuando se aplica al mundo real. Estas teorías propondrían encontrar fundamentos sólo en el pensamiento humano, y no en cualquier construcción externa objetiva. La cuestión sigue siendo controvertida

Logicismo El logicismo es una de la escuelas de pensamiento de ﬁlosofía de la matemática, que considera que la matemática es básicamente una extensión de la lógica y por tanto una buena parte de la misma o toda la matemática es reducible a la lógica. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead fueron partidarios de esta línea de pensamiento inaugurada por Gottlob Frege.

Platonismo de Teoría de conjuntos Muchos investigadores de la teoría axiomática de conjuntos han suscrito lo que se conoce como el platonismo de la teoría de conjuntos, ejempliﬁcado por el matemático Kurt Gödel. Varios matemáticos teóricos en conjuntos siguieron este enfoque y activamente buscaron posibles axiomas que se pueden considerar como verdaderos por razones heurísticas y que decidieran la hipótesis del continuo. Se estudiaron muchos grandes axiomas cardinales, pero la hipótesis del continuo permaneció independiente. Se consideraron otros tipos de axiomas, pero ninguno de ellos hasta ahora ha logrado consenso como solución para el problema continuo.

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA

Argumento de indispensabilidad para el realismo Este argumento de Willard Quine y Hilary Putnam dice (en resumen de Putnam), «La cuantificación sobre las entidades matemáticas es indispensable para la ciencia [...]; Por lo tanto, debemos aceptarla; pero esto nos compromete a aceptar la existencia dichas entidades matemáticas en cuestión». Sin embargo Putnam no era un platónico. Realismo rudimentario Pocos matemáticos suelen estar preocupados en su trabajo diario sobre el logicismo, el formalismo o cualquier otra posición filosófica. En cambio, su principal preocupación es que la empresa matemática en su conjunto siga siendo siempre productiva. Por lo general, esto se asegura al permanecer con una mente abierta, práctica y ocupada; potencialmente amenazada con volverse excesivamente ideológica, fanáticamente reduccionista o perezosa. Este punto de vista fue expresado por el Premio Nobel de Física Richard Feynman People say to me, “Are you looking for the ultimate laws of physics?” No, I’m not… If it turns out there is a simple ultimate law which explains everything, so be it — that would be very nice to discover. If it turns out it’s like an onion with millions of layers… then that’s the way it is. But either way there’s Nature and she’s going to come out the way She is. So therefore when we go to investigate we shouldn’t predecide what it is we’re looking for only to find out more about it. Now you ask: “Why do you try to find out more about it?” If you began your investigation to get an answer to some deep philosophical question, you may be wrong. It may be that you can’t get an answer to that particular question just by finding out more about the character of Nature. But that’s not my interest in science; my interest in science is to simply find out about the world and the more I find out the better it is, I like to find out…[4] Philosophers, incidentally, say a great deal about what is absolutely necessary for science, and it is always, so far as one can see, rather naive, and probably wrong[5] y también por Steven Weinberg[6] The insights of philosophers have occasionally benefited physicists, but generally in a negative fashion—by protecting them from the preconceptions of other philosophers.(...) without some guidance from our preconceptions one could do nothing at all. It is just that philosophical principles have not generally provided us with the right preconceptions. Physicists do of course carry around with them a working philosophy. For most of us, it is a rough-and-ready realism, a belief in the objective reality of the ingredients of our scientific theories. But this has been learned through the experience of scientific research and rarely from the teachings of philosophers. (...) we should not expect [the philosophy of science] to provide today’s scientists with any useful guidance about how to go about their work or about what they are likely to find. (...) After a few years’ infatuation with philosophy as an undergraduate I became disenchanted. The insights of the philosophers I studied seemed murky and inconsequential compared with the dazzling successes of physics and mathematics. From time to time since then I have tried to read current work on the philosophy of science. Some of it I found to be written in a jargon so impenetrable that I can only think that it aimed at impressing those who confound obscurity with profundity. (...) But only rarely did it seem to me to have anything to do with the work of science as I knew it. (...) I am not alone in this; I know of no one who has participated actively in the advance of physics in the postwar period whose research has been significantly helped by the work of philosophers. I raised in the previous chapter the problem of what Wigner calls the “unreasonable effectiveness” of mathematics; here I want to take up another equally puzzling phenomenon, the unreasonable ineffectiveness of philosophy. Even where philosophical doctrines have in the past been useful to scientists, they have generally lingered on too long, becoming of more harm than ever they were of use.

1.2. RESOLUCIÓN PARCIAL DE LA CRISIS

Él creía que cualquier indecidibilidad en matemáticas, como la hipótesis del continuo, podría potencialmente ser resuelta a pesar del teorema de incompletitud, mediante la búsqueda de nuevos axiomas adecuados para añadir a la teoría de conjuntos.

1.2 Resolución parcial de la crisis A partir de 1935 el grupo Bourbaki de matemáticos franceses empezaron a publicar una serie de libros para formalizar muchas áreas de matemáticas basados en los nuevos fundamentos de la teoría de conjuntos.

1.3 Evolución histórica Plantilla:Ver también

1.3.1

Matemática en la Antigua Grecia

Aunque que el uso práctico de la matemática fue desarrollada ya en civilizaciones de la edad de bronce, el interés específico por sus aspectos fundacionales y teóricos parece remontarse a la matemática helénica. Los primeros filósofos griegos discutieron ampliamente sobre qué rama de la matemática era más antiuga, si la aritmética o la geometría. Zenón de Elea (490 a. C - ca. 430 a. C.) formuló cuatro aporías que aparentan mostrar que el cambio es imposible, que en esencia no fueron convenientemente aclaradas hasta el desarrollo de matemática moderna. La escuela pitagórica de matemática insistía originalmente en que solo existían los números naturales y racionales. El descubrimiento de la irracionalidad de √2, la proporción de la diagonal de un cuadrado con su lado (data del siglo V a.C), fue un golpe filosófico a dicha escuela que solo aceptaron de mala gana. La discrepancia entre racionales y reales fue finalmente resuelta por Eudoxo de Cnido, un estudiante de Platón, quien redujo la comparación de las proporciones de los irracionales a comparaciones a comparaciones de múltiples proporciones racionales, además de anticipar la definición de número real de Richard Dedekind. En su obra Segundos analíticos, Aristóteles (384 a.C - 322 a.C) asentó el método axiomático, para organizar lógicamente un campo del conocimiento en términos de conceptos primitivos, axiomas, postulados, definiciones, y teoremas, tomando una mayoría de sus ejemplos de la aritmética y la geometría. This method reached its high point with Euclid's Elements (300 BC), a monumental treatise on geometry structured with very high standards of rigor: each proposition is justified by a demonstration in the form of chains of syllogisms (though they do not always conform strictly to Aristotelian templates). Aristotle’s syllogistic logic, together with the Axiomatic Method exemplified by Euclid’s Elements, are universally recognized as towering scientific achievements of ancient Greece.

Análisis sobre los reales Cauchy (1789 - 1857) inició el proyecto de demostrar los teoremas de cálculo infinitesimal sobre una base rigurosa, rechazando el principio de generalidad del álgebra usado por diversos matemáticos durante el siglo XVIII. En su Cours d'Analyse ('Curso de análisis) de 1821, Cauchy definió las cantidades infinitesimales como sucesiones decrecientes que convergen a 0, que pueden ser usadas para definir la continuidad. Aunque no formalizó ninguna noción de convergencia. La definición moderna del criterio (ε, δ) y la noción de función continua fueron desarrollada por primera vez por Bolzano en 1817, pero durante un tiempo fue relativametne poco conocida. Estas nociones dan un fundamente riguroso al cálculo infinitesimal basado en el conjunto de los números reales, y resuleven claramente tanto las paradojas de Zenón como los argumentos de Berkeley.

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA

1.4 Véase también • Mathematical Logic • Brouwer–Hilbert controversy • Controversy over Cantor’s theory • Epistemology • Euclid’s Elements • Liar paradox • New Foundations • Philosophy of mathematics • Principia Mathematica • Quasi-empiricism in mathematics • Mathematical thought of Charles Peirce

1.5 Notas [1] Hilbert 1927 The Foundations of Mathematics in van Heijenoort 1967:475 [2] p. 14 in Hilbert, D. (1919–20), Natur und Mathematisches Erkennen: Vorlesungen, gehalten 1919–1920 in Göttingen. Nach der Ausarbeitung von Paul Bernays (Edited and with an English introduction by David E. Rowe), Basel, Birkhauser (1992). [3] Weyl 1927 Comments on Hilbert’s second lecture on the foundations of mathematics in van Heijenoort 1967:484. Although Weyl the intuitionist believed that “Hilbert’s view” would ultimately prevail, this would come with a significant loss to philosophy: "I see in this a decisive defeat of the philosophical attitude of pure phenomenology, which thus proves to be insufficient for the understanding of creative science even in the area of cognition that is most primal and most readily open to evidence – mathematics” (ibid). [4] Richard Feynman, The Pleasure of Finding Things Out p. 23 [5] Richard Feynman, Lectures on Physics, volume I, chapter 2. [6] Steven Weinberg, chapter Against Philosophy in Dreams of a final theory

1.6 Referencias • Avigad, Jeremy (2003) Number theory and elementary arithmetic, Philosophia Mathematica Vol. 11, pp. 257–284 • Eves, Howard (1990), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Third Edition, Dover Publications, INC, Mineola NY, ISBN 0-486-69609-X (pbk.) cf §9.5 Philosophies of Mathematics pp. 266–271. Eves lists the three with short descriptions prefaced by a brief introduction. • Goodman, N.D. (1979), “Mathematics as an Objective Science”, in Tymoczko (ed., 1986). • Hart, W.D. (ed., 1996), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK. • Hersh, R. (1979), “Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics”, in (Tymoczko 1986). • Hilbert, D. (1922), “Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung”, Hamburger Mathematische Seminarabhandlungen 1, 157–177. Translated, “The New Grounding of Mathematics. First Report”, in (Mancosu 1998).

1.7. LINKS EXTERNOS

• Katz, Robert (1964), Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company. • Kleene, Stephen C. (1991) [1952]. Introduction to Meta-Mathematics (Tenth impression 1991 edición). Amsterdam NY: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9. In Chapter III A Critique of Mathematic Reasoning, §11. The paradoxes, Kleene discusses Intuitionism and Formalism in depth. Throughout the rest of the book he treats, and compares, both Formalist (classical) and Intuitionist logics with an emphasis on the former. Extraordinary writing by an extraordinary mathematician. • Laptev, B.L. & B.A. Rozenfel'd (1996) Mathematics of the 19th Century: Geometry, page 40, Birkhäuser ISBN 3-7643-5048-2. • Mancosu, P. (ed., 1998), From Hilbert to Brouwer. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, Oxford, UK. • Putnam, Hilary (1967), “Mathematics Without Foundations”, Journal of Philosophy 64/1, 5–22. Reprinted, pp. 168–184 in W.D. Hart (ed., 1996). • Putnam, Hilary (1975), “What is Mathematical Truth?", in Tymoczko (ed., 1986). • Sudac, Olivier (Apr 2001). «The prime number theorem is PRA-provable». Theoretical Computer Science 257 (1–2): 185–239. doi:10.1016/S0304-3975(00)00116-X. • Troelstra, A. S. (no date but later than 1990), “A History of Constructivism in the 20th Century”, http://staff. science.uva.nl/~{}anne/hhhist.pdf, A detailed survey for specialists: §1 Introduction, §2 Finitism & §2.2 Actualism, §3 Predicativism and Semi-Intuitionism, §4 Brouwerian Intuitionism, §5 Intuitionistic Logic and Arithmetic, §6 Intuitionistic Analysis and Stronger Theories, §7 Constructive Recursive Mathematics, §8 Bishop’s Constructivism, §9 Concluding Remarks. Approximately 80 references. • Tymoczko, T. (1986), “Challenging Foundations”, in Tymoczko (ed., 1986). • Tymoczko, T. (ed., 1986), New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986. Revised edition, 1998. • van Dalen D. (2008), “Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881–1966)", in Biograﬁsch Woordenboek van Nederland. URL:http://www.inghist.nl/Onderzoek/Projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [13-03-2008] • Weyl, H. (1921), "Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik”, Mathematische Zeitschrift 10, 39–79. Translated, “On the New Foundational Crisis of Mathematics”, in (Mancosu 1998). • Wilder, Raymond L. (1952), Introduction to the Foundations of Mathematics, John Wiley and Sons, New York, NY.

1.7 Links externos • Logic and Mathematics • Foundations of Mathematics: past, present, and future, May 31, 2000, 8 pages. • A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics by Gregory Chaitin. • Set theory and foundations of mathematics • Foundations of Mathematics mailing list Plantilla:Lógica Los fundamentos de la matemática es un término a veces usado para ciertos campos de la matemática, como la lógica matemática, teoría de conjuntos axiomática, teoría de la demostración, teoría de modelos y la teoría de la recursividad. La búsqueda de fundamentos de las matemáticas es también una pregunta central de la ﬁlosofía de las matemáticas.

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA

1.8 Fundamentos filosóficos de la matemática Resumen de las tres filosofías: • Platonismo: platonistas, como Kurt Gödel (1906–1978), sostienen que los números son abstractos, objetos necesariamente existentes, independientes de la mente humana. • Formalismo matemático: formalistas, como David Hilbert (1862–1943), sostienen que la matemática no es ni más ni menos que un lenguaje matemático. Son simplemente una serie de juegos. • Intuicionismo: intuicionistas, como L. E. J. Brouwer (1882–1966), sostienen que la matemática es una creación de la mente humana. Los números, como personajes de cuentos de hadas, son simplemente entidades mentales, que no existirían sin que nunca hubieran algunas mentes humanas que pensaran en ellos.

1.8.1

Platonismo

La ﬁlosofía fundamental del realismo matemático platónico, ejempliﬁcado por el matemático Kurt Gödel, propone la existencia del mundo de los objetos matemáticos independiente de los seres humanos; las verdades de estos objetos son descubiertos por seres humanos. Con este punto de vista, las leyes de la naturaleza y las leyes de la matemática tienen una posición similar, y la efectividad deja de ser irrazonable. No nuestros axiomas, pero el verdadero mundo de los objetos matemáticos constituye el fundamento. La pregunta obvia entonces es, ¿cómo entramos en ese mundo?

1.8.2

Formalismo

La filosofía fundamental del formalismo, ejemplificado por David Hilbert, está basado en la teoría axiomática de los conjuntos y la lógica formal. Prácticamente todos los teoremas matemáticos actualmente pueden ser formulados como teoremas de la teoría de los conjuntos. La verdad de un enunciado matemático, en este punto de vista, no es nada más que la reclamación de que el enunciado puede ser derivado de los axiomas de la teoría de los conjuntos, usando las reglas de la lógica formal. Sólo el uso del formalismo no explica varias cuestiones: por qué debemos de usar axiomas que hacemos y no otros, por qué debemos emplear las reglas de la lógica que hacemos y no otras, por qué enunciados matemáticos verdaderos (como leyes de la aritmética) parecen ser verdad, etc. En algunos casos esto puede ser suficientemente contestadas a través del estudio de las teorías formales, en disciplinas como la matemática reversa y la teoría de complejidad computacional. Los sistemas lógicos formales también pueden correr el riesgo de la incoherencia; con Peano aritmética, esto posiblemente se ha establecido con varias pruebas de coherencia, pero hay un debate sobre si son lo suficientemente significativas. El segundo de los Teoremas de incompletitud de Gödel establece que los sistemas lógicos de la aritmética no pueden contener una prueba válida de su propia coherencia. Lo que Hilbert quería hacer era probar un sistema lógico S que fuera coherente, basado en los principios P, que solo es formado por una pequeña parte de S. Pero Gödel comprobó que los principios P no podían ni siquiera comprobar que P fuera coherente, ¡por no hablar de sólo S!.

1.8.3

Intuicionismo

La filosofía fundamental del intuicionismo o constructivismo, ejemplificado al extremo por Brouwer y con más coherencia por Stephen Kleene, requiere pruebas para ser “constructivo” en la naturaleza – la existencia de un objeto puede ser demostrada, más no inferida de una demostración de la imposibilidad de su inexistencia. Como una consecuencia inmediata de esto, el intuicionismo no acepta como válido el método de demostración conocido como reducción al absurdo. Algunas teorías modernas en la filosofía de la matemática niegan la existencia de los fundamentos en su sentido original. Algunas teorías tienden a enfocarse en la práctica matemática, y a tener como objetivo el describir y analizar el verdadero trabajo de los matemáticos, como un grupo social. Otros tratan de crear una ciencia cognitiva a la matemática, enfocándose en la cognición humana como el origen de la confiabilidad en la matemática cuando son aplicadas al mundo real. Estas

1.9. VÉASE TAMBIÉN

teorías pueden proponer la búsqueda de fundamentos sólo en el pensamiento humano, no en ningún objetivo afuera de la construcción. Este asunto se mantiene en discusión.

1.8.4

Logicismo

El logicismo es una de las escuelas de pensamiento en la ﬁlosofía de la matemática, que sostiene la teoría de que la matemática es una extensión de la lógica y que, por tanto, toda la matemática o parte de ella es reducible a la lógica. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron esta teoría concebida por Gottlob Frege.

1.8.5

Constructivismo

Es una variante del empirismo, uno de sus defensores es Roger Apéry.[1] • Critican el formalismo llevado hasta el extremo por el grupo de matemáticos llamado Nicolas Bourbaki. • Admiten la sucesión de los números naturales, más no el conjunto de los naturales, • Cuestionan la lógica en que se fundamenta la matemática de Bourbaki. • Proclaman la tercera opción respecto del principio del tercio excluido, a más de p y ~p, cabe otra salida.

1.9 Véase también • Teoría de categorías • Teoría de tipos • Teoría de conjuntos • Teoría de la recursión • Lógica matemática • Teoría de la demostración • Teoría de modelos

1.10 Referencias [1] Roger Apéry (1984). «Matemática constructiva». Pensar La Matematica – Seminario de Filosofía y Matemática de la Ecole Normale Supériure de París. dirigido por J. Diedonné, M. Loi, y R. Thomm. Barcelona: Éditions du Seuil. ISBN 8472236145.

Capítulo 2

Filosofía de la matemática La filosofía de las matemáticas es un área de la filosofía teórica, que trata de comprender y explicar los requisitos, el objeto, el método y la naturaleza[1] de las matemáticas. Como área de estudio puede ser aproximada desde dos direcciones: el punto de vista de los filósofos y el de los matemáticos. Desde el punto de vista filosófico, el objetivo principal es dilucidar una variedad de aspectos problemáticos en la relación entre las matemáticas y la filosofía. Desde el punto de vista matemático, el interés principal es proveer al conocimiento matemático de fundaciones firmes. Es importante mantener presente que aunque estos puntos de vistas pueden implicar diferentes esquemas e intereses, no son opuestos, sin más bien complementarios: “Cuando los matemáticos profesionales se ocupan de los fundamentos de su disciplina, se dice que se dedican a la investigación fundamental (o trabajo fundacional o de fundamentos.- ver Metamatemática). Cuando los filósofos profesionales investigan cuestiones filosóficas relativas a las matemáticas, se dice que contribuyen a la filosofía de las matemáticas. Por supuesto, la distinción entre la filosofía de las matemáticas y los fundamentos de las matemáticas es vaga, y a la mayor interacción que haya entre los filósofos y los matemáticos que trabajan en cuestiones relativas a la naturaleza de las matemáticas, mejor.”.[2] • De acuerdo a Jeremy Avigad (profesor de ciencias matemáticas y de filosofía en la Universidad Carnegie Mellon[3] ) “El conocimiento matemático ha sido considerado por mucho tiempo como un paradigma del conocimiento humano con verdades que son a la vez necesarias y ciertas, por lo que dar una explicación del conocimiento matemático es una parte importante de la epistemología. Los objetos matemáticos, tales como los números y los conjuntos, son ejemplos arquetípicos de abstracciones, dado que el tratamiento de tales objetos en nuestro discurso es como si fueran independientes del tiempo y el espacio, encontrar un lugar para los objetos de este tipo en un marco más amplio del pensamiento es una tarea central de la ontología, o metafísica. El rigor y la precisión del lenguaje matemático depende del hecho de que está basado en un vocabulario limitado y gramática muy estructurado, y las explicaciones semánticas del discurso matemático a menudo sirven como punto de partida de la filosofía del lenguaje. Aunque el pensamiento matemático ha demostrado un alto grado de estabilidad a través de la historia, su práctica también ha evolucionado con el tiempo, y algunos desarrollos han provocado controversia y debate; clarificar los objetivos básicos de esta práctica y los métodos apropiados es, por lo tanto, una la tarea metodológica y fundacional importante, situando la filosofía de las matemáticas dentro de la filosofía general de la ciencia. • De acuerdo a Bertrand Russell, las matemáticas son un estudio que, cuando se parte de sus porciones más familiares, puede llevarse a cabo en cualquiera de dos direcciones opuestas (una busca la expansión del conocimiento, la otra darle fundamentos. nota del traductor). Pero se debe entender que la distinción es una, no en la materia objeto, pero en el estado de la mente del investigador...(...)... así como necesitamos dos tipos de instrumentos, el telescopio y el microscopio, para la ampliación de nuestras capacidades visuales, igual necesitamos dos tipos de instrumentos para la ampliación de nuestras capacidades lógicas, una para hacernos avanzar a las matemáticas superiores, y el otro que nos lleve hacia atrás, hacia los fundamentos lógicos de las cosas que estamos inclinados a tomar por sentado en las matemáticas. Veremos que mediante el análisis de las nociones matemáticas ordinarias se adquiere una nueva perspectiva, nuevos poderes, y los medios de llegar a nuevos temas matemáticos completos, mediante la adopción de nuevas líneas de avance, siguiendo nuestro viaje hacia atrás.[4] 10

2.1. INTRODUCCIÓN

Como ya se ha sugerido, estas aproximaciones no son conflictivas. En las palabras de Imre Lakatos: «Al discutir los esfuerzos modernos para establecer las fundaciones para el conocimiento matemático uno tiende a olvidarse que esos son solo un capítulo en el gran esfuerzo para superar el escepticismo a través de establecer las fundaciones para el conocimiento en general. El objeto de mi contribución es mostrar la filosofía matemática moderna como profundamente empotrada en la epistemología general y como solo siendo entendible en ese contexto.» (énfasis de Lakatos.[5] ) Dada la vastedad y complejidad del tema, lo que sigue ofrece una visión muy superficial.

2.1 Introducción Desde la antigüedad la filosofía ha tenido interés en, por lo menos, ciertos aspectos de la matemática.[6] En las palabras de Miguel de Guzmán: “Pero hay otros aspectos interesantes de la matemática que atraen de modo natural al filósofo. La dinámica interna del pensamiento matemático, la lógica de su estructura, simple, tersa, sobria, clara, hacen de ella un modelo de reflexión fiable que suscita el consenso de todos. Los filósofos interesados en aclarar los misterios del conocimiento humano han visto en el pensamiento matemático un campo ideal de trabajo donde poner a prueba sus hipótesis y teorías.”.[7] Mario Bunge va tan lejos como a sugerir que las matemáticas son no solo el fundamento no sólo del quehacer científico sino también filosófico.[8] Por mucho de ese tiempo la opinión general era la que Carl Friedrich Gauss resumió: «La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas. Ella a menudo se digna a prestar un servicio a la astronomía y a otras ciencias naturales, pero en todas las relaciones, tiene derecho a la primera fila».[9] Esta preeminencia se debía a una percepción que, últimamente, emana de Platón: “En las matemáticas se halla el origen y fundamento de la teoría platónica de las formas o ideas. En esta la idealización de los entes matemáticos se transforma en la idealización de los entes físicos y psíquicos. La verdad matemática, por su invariabilidad en el tiempo, era el modelo a seguir en todo conocimiento intelectual. El método deductivo, que partiendo de axiomas y definiciónes llegaba a la demostración de teoremas, era el modelo prestigioso de razonamiento para todo saber. En el diálogo “Menón” Sócrates, a través de preguntas y respuestas, hace que un esclavo alcance por su propio razonamiento una verdad matemática; así, de una manera popular, expone Platón que las matemáticas están en el alma humana, ya que en esta se halla presente el logos que gobierna el mundo material mediante las proporciones aritméticas y geométricas. Sólo se requiere la introspección para volvernos conscientes de ese saber interno.”.[10] Esa posición es generalmente conocida como realismo; platonismo o realismo platónico y “de manera muy esquemática, puede sintetizarse en la creencia de que los objetos matemáticos son reales y su existencia es un hecho objetivo e independiente de nuestro conocimiento de los mismos.... existen fuera del espacio y del tiempo de la experiencia física y cualquier pregunta significativa sobre ellos tiene una respuesta definida. Así el matemático es, en este sentido, como un científico empírico que no puede inventar ni construir sino solo descubrir algo que ya existe.[11] Sin embargo, hacia fines del siglo XIX esta situación comenzó a cambiar, proceso que eventualmente culminó, a fines del siglo XIX y comienzo del XX, en la llamada crisis de los fundamentos:[12][13][14][15][16][17] “La imagen tradicional de las matemáticas (formal e infalible) fue cuestionada a raíz de la llamada “crisis de los fundamentos de las matemáticas”, que sucedió en el siglo XIX. Dicha “crisis” se originó principalmente por dos descubrimientos: primero el de las geometrías no euclidianas y, segundo, el de la teoría de los conjuntos.”[18] Esa situación ha sido resumida de la siguiente manera[19] “Hasta bien entrado el siglo XIX, la geometría era universalmente considerada la rama más firme del conocimiento.... La Geometría era, simplemente, el estudio de las propiedades del espacio. Estas se manifestaban como verdades objetivas, universalmente válidas para la mente humana. Durante el siglo XIX sucedieron “varios desastres que iban a cambiar completamente esta situación. El primero fue el descubrimiento de geometrías no euclídeas, al que inmediatamente siguió otro desastre mayor: el desarrollo del análisis por caminos contrarios a la intuición geométrica (curvas que llenan el espacio, funciones continuas no diferenciables, etc) lo que puso de manifiesto la gran vulnerabilidad del único fundamento que hasta entonces tenían las Matemáticas: la intuición geométrica. Esto era una auténtica catástrofe puesto que en algún sentido implicaba la pérdida de la certeza, no solo en la Matemática sino en todo el conocimiento humano.

CAPÍTULO 2. FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA Se pensó entonces buscar otra “base segura” para fundamentar las Matemáticas, y así Dedekind y Weierstrass mostraron como era posible construir el análisis -el continuo- a partir de la Aritmética. Parecía que todo volvía a estar en orden, pues nadie dudaba de la certeza proporcionada por nuestra intuición de contar y así los números enteros serían la nueva base segura para todo el ediﬁcio matemático... (ver programa de Hilbert). Pero el intento de fundamentar rigurosamente la Matemática iba a ser llevado un paso más lejos por Frege, quien comenzó un ambicioso programa para basar las Matemáticas en la Lógica -a través de la Aritmética. Este fue el punto de partida de la escuela logicista que más tarde seria continuada por Russell y Whitehead. La idea logicista consistía en demostrar que la Matemática clásica era parte de la lógica, de modo que una vez culminado su programa podría asegurarse que la Matemática estaba libre de contradicción al menos en la misma medida que la propia lógica. Sin embargo, ya en ese momento se habían hecho unos descubrimientos que iban a sacudir completamente este optimismo dejando de nuevo a la Matemática sin fundamentos seguros. En efecto, la construcción del continuo a partir de la Aritmética se basaba en la Teoría de Conjuntos de Cantor (ver hipótesis del continuo), que también había sido utilizada por Frege en sus fundamentacion de la Aritmética. Pero la teoría de Cantor, y en particular su hipótesis básica sobre la existencia de conjuntos encerrada en su deﬁnición: “un conjunto es cualquier colección de objetos distintos de nuestra intuición o nuestro pensamiento”, que puede ser traducida por “cualquier condición determina un conjunto”, iba a revelarse inconsistente.”

Esa crisis dio origen a varias tentativas de resolución, lo que, a su vez, dio origen a tres corrientes principales: las escuelas intuicionista, logicista y formalista[20] (esa es la visión general o común, algunos incluyen otras escuelas, tales como el fenomenalismo de Husserl[21] ). Argumentablemente esas tentativas fueron infructuosas[22] lo que dio origen a otras escuelas, tanto derivadas de las anteriores[23] como de otras percepciones básicas -por ejemplo, del empirismo. Sin embargo, y argumentablemente, la situación todavía no se ha resuelto del todo[24][25][26]

2.2 Problemas Al respecto de todo lo anterior hay algunas interrogantes fundamentales y sistemáticas tales como: 1. el modo de ser de los objetos matemáticos: acaso estos existen “realmente” e independientemente de cualquier empleo específico, y si es así, ¿en qué sentido? Y ¿qué significa referirse a un objeto matemático? ¿Cuál es el carácter de los teoremas matemáticos? ¿Cuál es la relación entre la lógica y las matemáticas? - Aquí se trata de cuestiones ontológicas. 2. el origen del conocimiento matemático: ¿Cuáles son la fuente y la esencia de la verdad matemática? ¿Cuáles son las condiciones de la ciencia matemática? ¿Cuáles son, en lo fundamental, sus métodos de investigación? ¿Qué papel, en relación a lo anterior, la naturaleza del ser humano? - Aquí se trata de cuestiones epistemológica. 3. la relación entre las matemáticas y la realidad: ¿Cuál es la relación entre el mundo abstracto de las matemáticas y el universo material? Tienen las matemáticas sus raíces en la experiencia, y si es así, ¿cómo? ¿Cómo es que las matemáticas ”calzan tan bien con los objetos de la realidad” (Albert Einstein[27] )? ¿De qué manera los conceptos tales como número, punto, infinito etc., adquieren un significado que trasciende el ámbito estrictamente matemático? El punto de partida es casi siempre la concepción de que las proposiciones matemáticas son ciertas por principio, de manera atemporal y exacta y que su veracidad no depende ni de evidencias empíricas ni de puntos de vista personales. La tarea consiste tanto en determinar las condiciones de la posibilidad de adquirir ese conocimiento, como en cuestionar críticamente este punto de partida.

2.3 Corrientes

2.3. CORRIENTES

2.3.1

Platonismo

El realismo[28][29][30] es, quizás, la posición más ampliamente difundida entre los matemáticos.[31] En las palabras de P Maddy: “El realismo, por tanto, es el punto de vista que sostiene que la matemática es la ciencia de los números, conjuntos, funciones, etc., tal y como la física es el estudio de los objetos físicos ordinarios, cuerpos astronómicos y partículas subatómicas entre otros. Esto es, la matemática trata acerca de esos objetos, y es el modo en que tales objetos son lo que hace a los enunciados de la matemática verdaderos o falsos.”.[32] En otras palabras, tanto los “objetos matemáticos” (números, figuras geométricas, etc) como las leyes matemáticas no se inventan, sino que se descubren. Con esto se explica al carácter objetivo, interpersonal, de las matemáticas. Este realismo ontológico es incompatible con todas las variedades de la filosofía materialista. Es representado, entre otros matemáticos, por Kurt Gödel,[33][34] Eugene Paul Wigner y Paul Erdös. Entre los filósofos que han adoptado la posición se cuentan Willard Van Orman Quine; Michael Dummett[35] , Mark Steiner.[36] Alrededor de los 1900 tuvo mucha influencia en esa posición el El argumento de Frege,[37] que se puede resumir así: “Términos singulares que se refieren a números naturales aparecen en enunciados verdaderos simples. Solo es posible para los enunciados simples con términos singulares como componentes ser verdaderos si los objetos a los que se refieren los términos singulares existen. Por lo tanto: los números naturales existen. Pero, si los números naturales existen, son objetos abstractos que son independientes de todas las actividades racionales. Por lo tanto: los números naturales son objetos abstractos que existen independientes de todas las actividades racionales, es decir, el objeto aritmético del platonismo es verdad.” La forma clásica del realismo es el platonismo, que ha sido definido como " cualquiera explicación metafísica de las matemáticas que implica que las entidades matemáticas existen, que son abstractos, y que son independientes de todas nuestras actividades racionales.”,[38] es decir, que los objetos y teoremas matemáticos existen en forma aislada del mundo material e independientemente del espacio y del tiempo, junto con otras ideas tales como las de “lo bueno”, "lo bello", o “lo divino”. El término ‘platonismo’ fue introducido al área, en1934, por el lógico matemático Paul Bernays. La intención era designar un modo de razonar que es característico sobre todo del análisis matemático y la teoría de conjuntos, aunque también del álgebra moderna y la topología: los objetos de la teoría se conciben como elementos de una totalidad o conjunto, que se considera dada o independiente del sujeto pensante (es decir, del matemático). Una consecuencia de dicho modo de pensar es que para una propiedad cualquiera (expresable en la teoría) puede decirse que o bien la poseen todos los elementos del conjunto, o bien hay uno que no la posee.”[39] El principal problema del platonismo en la filosofía de las matemáticas es la pregunta, ¿cómo podemos nosotros, como seres finitos, reconocer los objetos matemáticos y las verdades si éstas se encuentran en las “esferas celestiales de las ideas”. De acuerdo a Gödel, esto se logra mediante la intuición matemática que, de manera similar a un órgano sensorial, hace que los seres humanos percibamos partes de ese otro mundo. Tales intuiciones racionales también son defendidas por la mayor parte de los clásicos del racionalismo, así como, en debates más recientes acerca de la justificación y el conocimiento a priori, entre otros por Laurence Bonjour.[40] Sin embargo, el tratamiento más sofisticado de este asunto (por Paul Benacerraf en su artículo “Mathematical Truth,” de 1973[41] ), sugiere que el problema es más profundo: “nuestras mejores teorías epistémicas parecen excluir cualquier conocimiento de los objetos matemáticos.”.[42] (Esto es generalmente conocido como el Dilema de Benacerraf[43][44] dado que es generalmente interpretado como estableciendo debemos abandonar nuestras teorías epistemologías o la certeza matemática.[45][46][47] En el presente los partidarios del realismo/platonismo generalmente citan el siguiente argumento a favor de sus posiciones, argumento que busca mostrar que las teorías epistémicas son (deben ser) consistentes con la aproximación realista: El Argumento de indispensabilidad de Quine y Putnam, que, básicamente sugiere que debemos estar “ontológicamente comprometida con todas aquellas entidades que sean indispensables para nuestras mejores teorías científicas.” (es decir, debemos afirmar como válidas e independientes todos aquellos elementos básicos del análisis que necesitamos en nuestros razonamientos, alternativamente, somos intelectualmente deshonestos). “Los objetos y/o estructuras matemáticos son indispensables para nuestras mejores teorías científicas. Por lo tanto, debemos reconocer la existencia de esos objetos o estructuras.”

2.3.2

CAPÍTULO 2. FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

Formalismo

El formalismo matemático entiende las matemáticas como un juego (en el sentido de Wittgenstein[48] ) basado en un cierto conjunto de reglas para manipular cadenas de caracteres: "..el programa del formalismo matemático consiste en construir la Matemática como un sistema lógico-formal puro, cuya condición fundamental es la ausencia de contradicción, prescindiendo de todo tipo de contenido; se trata, pues, de un sistema formal vacío. Este sistema formal estaría integrado por uno o más conjuntos de elementos fundamentales, por relaciones definidas entre los elementos de estos conjuntos y por proposiciones reguladoras de estas relaciones (proposiciones que comprenden los axiomas y las demás proposiciones de ellos deducidas: los teoremas).[49] Por ejemplo, en el juego de geometría euclidiana se obtiene el teorema de Pitágoras combinando ciertas cadenas (los axiomas) según determinadas reglas (las del razonamiento lógico).[50][51] David Hilbert es generalmente considerado fundador del formalismo moderno.[52] Su interés era la construcción axiomática consistente y completa de la totalidad de las matemáticas,[53] seleccionando como punto de partida los números naturales y asumiendo que mediante el uso de axiomas se obvía la necesidad de definir los objetos básicos (op. cit) con el fin de lograr un sistema completo y consistente (ver Programa de Hilbert). En esta visión los enunciados matemáticos pierden el carácter de verdades; dejan de ser, en última instancia, proposiciones “sobre algo”. Lo que importa son las relaciones que se establecen entre ellos: “Hilbert sostiene que la verdadera importancia en la construcción de los saberes matemáticos no es el resultado numérico, sino la ley de cómo estructurar las relaciones entre los objetos matemáticos.... Las reglas que enlazan funcionalmente los objetos con su sistema de referencia formarán parte de un Sistema Formalizado Matemático; en donde, se entiende como formalización a un conjunto de leyes descubiertas en el seno de su misma estructura, la que mantiene su consistencia en las demostraciones.”[54] Otro matemático de nota que fue inspirado por el formalismo fue Haskell Curry, generalmente considerado el fundador de la lógica combinatoria. A pesar que esta propuesta fue de corta duración, debido al teorema de incompletitud de Gödel, que demostró que cualquier sistema de axiomas que incluya los números naturales es ya sea incompleto o contradictorio, llegó, de facto, a constituir la posición más aceptada entre los matemáticos hasta el último cuarto del siglo XX: “Los años setenta vieron decaer la tendencia formalista, representada por el grupo Bourbaki, seudónimo de varias generaciones de matemáticos franceses,”[55]

2.3.3

Deductivismo

En el deductivismo -una variante usual del formalismo- se considera que, en el ejemplo del teorema de Pitágoras, la “verdad” de una proposición matemática es sólo correcta en relación a: Si a las cadenas se les asignan significados, de tal manera que los axiomas y reglas de inferencia sean verdaderas, entonces se obtienen ‘conclusiones ciertas’, tales como el teorema de Pitágoras. En este sentido, el formalismo no sigue siendo obligatoriamente un juego simbólico sin sentido. El matemático puede confiar, en cambio, que existe una interpretación de las cadenas de caracteres sugerida por ejemplo por la física o por otras ciencias naturales, tal que las reglas conduzcan a “afirmaciones verdaderas”. Por lo tanto un matemático deductivista puede mantenerse al margen tanto de la responsabilidad por la interpretación como de las dificultades ontológicas de los filósofos. El deductivismo fue introducido formalmente por Hilary Putnam[56] “como una respuesta a algunos problemas con el logicismo de Russell en su Principia”.[57] Putnam propone considerar las matemáticas como el estudio de las consecuencias de los axiomas, usando teoría de modelos. En consecuencia, Putnam interpreta las proposiciones matemáticas como refiriendose a un posible modelo para esas proposiciones. A diferencia del logicismo estricto, el deductivismo basa y transforma la matemática en una lógica en un sentido mucho más amplio que el sentido logicista. La lógica deductivista incluye, por ejemplo, la teoría de conjuntos necesaria para estudiar las consecuencias que siguen de axiomas. (R. Marcuss. op. cit). Los deductivistas requieren que toda y cada prueba matemática sea una deducción. Ellos reconocen que no todas tales pruebas son estrictamente válidas (ver Validez (epistemología) y Validez (lógica)), pero consideran que toda prueba informal debe ser completable como deducción a fin de ser considerada válida[58] Quizás sea necesario notar que “deductivismo” es un concepto amplio, consecuentemente, el logicismo seria solo una versión (usando una concepción más restrictiva de la lógica matemática) del deductivismo (Hossack, op. cit).

2.3. CORRIENTES

2.3.4

Intuicionismo

El intuicionismo matemático[59] rechaza tanto la sugerencia logicista como la formalista, proponiendo que el conocimiento matemático se basa en la aprehensión -que antecede cualquier lenguaje o lógica- de algunos conceptos matemáticos básicos.[60][61] Este intuicionismo se origina en la propuesta de L. E. J. Brouwer[62] que el saber matemático se basa en la intuición primordial[63][64] de los números naturales ( 1, 2, 3... ). Cada uno de esos números puede, a partir de la intuición básica del 1, ser “construido” agregando 1 al anterior. (Nótese que esto introduce un elemento temporal - ver D. Pareja. op. ci). A partir de lo anterior, el resto de la matemática puede (y debe) ser construida de forma explícita y rigurosa, lo que requiere un método claro y preciso[65] - Solo entidades cuya existencia (positiva o negativa) haya sido demostrada de tal manera, o por medio de tal método, tienen validez matemática.[66] Parafraseando el dicho platonista, se podría decir que, desde el punto de vista intuicionista, las verdades matemáticas no se descubren, se crean.[67] Entre otras consecuencias de lo anterior se encuentra la restricción del principio del tercero excluido:[68][69] saber que una proposición es falsa implica, para los intuicionistas, poder demostrar esa falsedad.[70][71] (ver, por ejemplo, Lógica intuicionista). Sigue que, en un momento dado (por ejemplo, el presente) es perfectamente posible que haya proposiciones acerca de las cuales no tenemos certeza acerca de si son correctas o no. (nótese que esto introduce, nuevamente, un elemento temporal en la “verdad” matemática). (Lo anterior no es un rechazo absoluto del principio. Los intuicionistas lo utilizan en situaciones específicas -por ejemplo, en el caso de conjuntos bien definidos y finitos. Ver Aritmética de Heyting)[72] ) Otras diferencias con lo que se puede considerar matemáticas clásicas se encuentran en la concepción del infinito y la del continuo. Para los intuicionistas un (cualquier) ente es valido si y solo si puede ser construido por medio de un procedimiento especificado y con un número finito de pasos o operaciones (este procedimiento puede ser un algoritmo o algún otro que siga una regla: por ejemplo: arrojar un dado veinte mil veces a fin de generar cualquier número). Pero cual procedimiento específico y finito puede generar el infinito? Cualquier procedimiento que escojamos solo nos dará algún número concreto. Consecuentemente, el infinito intuicionista es solo potencial, a diferencia del “infinito oficial” que lo concibe como “una totalidad completa y acabada.”.[73] Si bien esta diferencia es más bien metafísica (op. cit), argumentablemente sin consecuencias mayores para la práctica matemática, es la introducción a la diferencia sobre la concepción del continuo, que si tiene tales consecuencias. (op. cit, esp p 108). El concepto intuicionista del continuo[74] rechaza la concepción axiomática clásica (de Cantor y Zermelo, etc ver Hipótesis del continuo, etc), basada en la teoría de conjuntos y sugiere utilizar una especie de “principio de elección” (choice principles[75] que Brouwer llama “secuencias de elecciones libres”), basado en la intuición que, entre dos puntos (o números) cualquiera, un matemático puede elegir libremente otro punto o número, y así indefinidamente: “El continuo lineal no puede ser agotado por la interpolación de nuevas unidades. Y no puede por lo tanto ser pensado como una mera colección de unidades.”.[76] (al respecto de todo esto, ver: “El Error de Cantor”[77] ). La introducción de secuencias de elecciones tiene varias consecuencias[78] difíciles de aceptar para la matemática no intuicionista.[79] Como ejemplos, la demostración intuicionista del teorema de la barra (bar theorema[80] ) y el teorema del abanico (fan theoreme[81] ). Aparte de Arend Heyting, otros matemáticos y lógicos de nota influidos por esta visión incluyen: Hermann Weyl, quien promovió una visión constructivista de la matemáticas. La aplicación del intuicionismo a la topología por Alfred Tarski; los trabajos matemáticos de Andréi Kolmogórov y los de Andréi Márkov y los desarrollos de una lógica intuicionista por Saul Kripke.[82] Entre los filósofos que continúan esta tradición encontramos Michael Dummett.[83]

2.3.5

Constructivismo

A partir de las sugerencias de Brouwer y Márkov, Erret Bishop postulo el Constructivismo.[84] Modificando algunas percepciones de los autores mencionados de tal manera que la propuesta constructivista resulta más restrictiva que las sugerencias de Brouwer y Márkov pero, al mismo tiempo, logrando que todos sus teoremas resulten compatibles tanto con esas sugerencias como con las de la matemática clásica, cosa que no ocurre con las otras dos.[85] Bishop logra esta flexibilidad a través de no definir lo que llama “rutinas finitas” (algoritmos) que constituyen el proceso

CAPÍTULO 2. FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

de demostración. Si bien esto parece introducir una cierta falta de precisión, fuerza a quienes practican esta aproximación a utilizar estrictamente la lógica intuicionista. Parece ser que utilizar tal lógica equivale a practicar matemática algorítmica formal. Si eso fuera el caso, la aproximación intuicionista podría ser implementada en relación a cualquier objeto matemático, no solo esa clase especial de “objetos constructivos”[86]

2.3.6

Finitismo

El ﬁnitismo es una forma extrema del constructivismo, de acuerdo a la cual un objeto matemático no existe a menos que sea construido partiendo de los números naturales en un número de pasos ﬁnitos.

2.3.7

Estructuralismo

El estructuralismo considera las matemáticas principalmente como una ciencia que se ocupa de las estructuras generales, es decir, las relaciones de los elementos dentro de un sistema. “El estructuralismo matemático es similar, en algunos aspectos, al punto de vista funcionalista en, por ejemplo, la filosofía de la mente. Una definición funcional es, en efecto, estructural, ya que, también se centra en las relaciones que los elementos definidos tienen el uno al otro. La diferencia es que las estructuras matemáticas son más abstractos, y autónomas, en el sentido de que no hay restricciones sobre el tipo de cosas que pueden ejemplificar (véase Shapiro [1997, capítulo 3, § 6]).”[87] Para ilustrar lo anterior, considérese un “sistema ejemplo” - tal como la administración de un club deportivo.[88] Los distintos cargos (presidente, auditor, tesorero, etc.) son independientes de las personas que asumen esas tareas. Considerando sólo el esquema de los cargos (y por tanto “omitiendo” las personas reales que trabajan en ellos), se obtiene la estructura general de una asociación. El club en sí, con las personas que han tomado posesión de los cargos, ejemplifica esta estructura. Del mismo modo, cualquier sistema cuyos elementos tengan un sucesor único ejemplifica la estructura de los números naturales. Lo mismo se aplica a otros objetos matemáticos. Puesto que el estructuralismo no considera los objetos, tales como números, de manera separada de su totalidad o estructura, sino que más bien los considera como “espacios en una estructura”, esquiva la cuestión de la existencia de los objetos matemáticos y los explica como errores categoriales. Así, por ejemplo, el (número) dos, en tanto número natural, ya no puede ser considerado en forma separada de la estructura de los números naturales, sino como el identificador del “segundo lugar en la estructura de los números naturales": no tiene propiedades internas ni una estructura propia. En consecuencia, existen tanto variantes del estructuralismo que asumen la existencia de los objetos matemáticos, como otras que rechazan su existencia[89] Los problemas con esta corriente surgen principalmente de la cuestión de las propiedades y el ser de las estructuras.[90] Al igual que en el problema de los universales es aparente que “las estructuras” son algo que puede aplicarse a muchos sistemas simultáneamente. Por ejemplo, la estructura de un equipo de fútbol es ciertamente ejemplificado por miles de equipos. Esto plantea la cuestión de si y cómo las estructuras existen, si acaso existen independientes de los sistemas. Otras cuestiones pendientes están relacionadas con el acceso a las estructuras y la de ¿cómo podemos aprender acerca de ellas? Entre los representantes actuales del estructuralismo se cuentan Stewart Shapiro;[91] Michael Resnik;[92] Geoffrey Hellman[93] y el ya mencionado Paul Benacerraf.

2.3.8

Empirismo

El empirismo matemático[94] puede trazarse a la obra de John Stuart Mill,[95] para quien los conceptos matemáticos proceden del mundo físico y las verdades de la matemática son verdades acerca del mundo físico, aunque de un carácter más general. Las verdades matemáticas serían las verdades más generales de todas (Dummett 1998, pp. 125-126). A pesar que la sugerencia de Mill no despertó gran interés entre matemáticos (P Kitcher: “el problema que muchas de sus formulaciones son imprecisas (casi invitando las bien conocidas ironías de Frege) y, en adición, Mill solo considera las más rudimentarias partes de la matemáticas”[96] ), la idea básica fue eventualmente retomada por dos autores: Stephan Körner[97] y László Kalmár.[98] Para Körner, “las teorías cientíﬁcas integradas en la matemática funcionan y están justiﬁcadas, junto con su marco de trabajo matemático como constituyentes sincategoremáticos[99] de las proposiciones empíricas ".

2.4. VÉASE TAMBIÉN

Para Kalmar “los axiomas de cualquier rama interesante de las matemáticas fueron originalmente extraídos, más o menos directamente, de los hechos empíricos, y las reglas de inferencia utilizadas en ella originalmente manifestaron su validez universal en nuestra práctica del pensamiento; III) la consistencia de la mayoría de nuestros sistemas formales es un hecho empírico, (y) aún cuando se ha demostrado, la aceptabilidad de los métodos metamatemáticos utilizados en la prueba (por ejemplo inducción transfinita hasta cierto ordinal constructivo) es de nuevo un hecho empírico.”.[100] Esta visión ha sido expandida por, entre otros, Philip Kitcher, quien busca sistematizarla;[101] Carl E. Behrens, quien sugiere que “Al rehabilitar el empirismo de John Stuart Mill y combinarlo con el conocimiento cada vez mayor de la naturaleza de la mente humana, podemos escapar del indefinible universo platónico de la conciencia inmaterial y abandonar la vana búsqueda por la certidumbre que ha plagado la filosofía desde los tiempos de los griegos.[102]

2.3.9

Cuasi-empirismo

El término cuasi-empirismo fue introducido por Imre Lakatos[103] a fin de enfatizar un punto crucial de su sugerencia: “Una teoría Euclidiana puede ser proclamada verdadera. Una teoría cuasi-empírica puede —a lo más— ser bien corroborada, pero es siempre conjetural. Adicionalmente, en una teoría Euclidiana los postulados verdaderos básicos en “la cumbre” del sistema deductivo (generalmente llamados 'axiomas’) demuestran, por así decirlo, el resto del sistema; en una teoría cuasi-empírica los postulados básicos (verdaderos) son explicados por el resto del sistema.” (op cit, sección 2). “El cuasi-empirismo postula que para entender y explicar las matemáticas no basta con analizar su estructura lógica ni su lenguaje sino que hay que estudiar su práctica real, la manera en que efectivamente las aplican los matemáticos, las enseñan los profesores y las aprenden los estudiantes, su historia, las revoluciones que ocurren en ellas, los paradigmas y los programas que dominan, las comunidades de matemáticos, el tipo de retórica que se emplea en ellas y el papel que juega el conocimiento matemático en las distintas sociedades y culturas..”[104] El cuasi empirismo de Lakatos: Lakatos plantea que la supuesta necesidad lógica (o verdad a priori) de las matemáticas deriva de que nos hemos olvidado, no conocemos, o no valoramos adecuadamente el proceso de pruebas y refutaciones informales, siempre falibles, por medio del cual se llega a las pruebas formales que después dan lugar a las axiomatizaciones. Lakatos propone que: 1) las pruebas formales son falseables por medio de las pruebas informales; 2) el proceder de las matemáticas no es axiomático, como plantean los formalistas, sino basado en una sucesión de pruebas y refutaciones que sólo llegan a resultados falibles; 3) el intento de proveer de fundamentos a las matemáticas conlleva un retroceso al infinito; 4) la historia de las matemáticas debe ser estudiada no a través de teorías aisladas sino de series de teorías o, mejor aún, de programas de investigación que incluyen un núcleo firme no falseable y un cinturón protector de hipótesis auxiliares que sí son falseables, pero que son modificables;10 5) debemos preferir no el programa matemático que esté completamente axiomatizado sino el que sea progresivo, esto es, el que permita descubrir hechos nuevos e inesperados.[105] El cuasi empirismo de Putman: Hilary Putnam parte de las tesis quineanas acerca del holismo de las teorías y la naturalización de la epistemología, pero también, como su maestro Reichenbach, del impacto de la física moderna en nuestra concepción de la ciencia y de la realidad. En las matemáticas, según Putnam, hay un juego entre postulación, pruebas informales o cuasi-empíricas y revolución conceptual. Putnam reconoce que las matemáticas no son ciencias experimentales y que son más a priori que, por ejemplo, la física, sin embargo señala que la distinción entre lo a priori y lo a posteriori es más bien relativa: que algo sea a priori significa, simplemente, que juega un papel fundamental en nuestra concepción del mundo o en nuestra forma de vida y que, por tanto, no estamos dispuestos a renunciar a ello. Concretamente, la teoría de conjuntos es indispensable para la física, por ello, las entidades sobre las cuales cuantifica, a saber, los conjuntos, deben ser considerados como reales, pues no se puede aceptar el conocimiento que proporciona la física sin aceptar dichas entidades o, mejor dicho, al aceptar el conocimiento de la física, ya se ha aceptado, implícitamente, la teoría de conjuntos. Así, las matemáticas comparten el contenido empírico con las teorías físicas de las que forman parte y se modifican junto con ellas.

2.4 Véase también • Fundamentos de la matemática • Historia de la matemática

CAPÍTULO 2. FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA • Principia mathematica • Logicomix

2.5 Notas y referencias [1] Natura es la traducción latina de la palabra griega physis (φύσις), que en su significado original hacía referencia a la forma innata en la que crecen espontáneamente plantas y animales. (ver D. Harper Physical). En Idioma alemán el término “naturaleza” proviene de naturist, que significa “el curso de los animales, carácter natural."(ver D. Harper: Nature [2] Horsten, Leon, Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.) [3] Jeremy Avigad [4] Bertrand Russell: Introduction to Mathematical Philosophy chap 1 [5] I Lakatos: “Infinite regress and foundations of mathematics” en Mathematics, science and epistemology Cambridge U Press, 1978, p. 4 [6] Por ejemplo: Iván Pedro Guevara V (2008): “La filosofía ha considerado siempre la matemática como uno de los objetos principales de sus investigaciones,.. " en LA FILOSOFIA DE LA MATEMATICA: LA RAZON DE SER DEL NUMERO.Diego Fusaro: “Siempre hay una relación inseparable entre la matemática y la filosofía..” en IL RAPPORTO FILOSOFIA MATEMATICA (en italiano en el original) [7] M de Guzmán: Filosofía y matemáticas [8] Adianez Fernández Bermúdez: Una visión de la ciencia y su relación con la ética, en Mario Bunge [9] R Gauss: frases célebres de o sobre Carl Friedrich Gauss. [10] «El sentido de las matemáticas en la filosofía de Platón» [11] José Luis Gómez Pardo: “Observaciones sobre la naturaleza de la Matemática”, en Luis Puelles et al (Wenceslao J. González edt) (1988): Aspectos Metodológicos de la Investigación Científica: Un Enfoque Multidisciplinar p 127 [12] JAVIER DE LORENZO: “La matemática: de sus fundamentos y crisis"- Tecnos, Madrid [13] SIGLO XX: CRISIS EN LOS FUNDAMENTOS [14] JOSÉ M. FERREIRÓS: The Crisis in the Foundations of Mathematics (en Princeton Companion to Mathematics Proof) [15] A Timeline for the Foundational Crisis and the Vienna Circle [16] Herman Weyl On the New Foundational Crisis in Mathematics [17] Mario O. González (1950): [http://www.filosofia.org/hem/dep/rcf/n06p025.htm La crisis actual de los fundamentos de la Matemática] [18] Eduardo Harada O (2005): El cuasi empirismo en la filosofía de las matemáticas [19] José Luis Gómez Pardo: “Observaciones sobre la naturaleza de la Matemática”, en Luis Puelles et al (Wenceslao J. González edt) (1988): Aspectos Metodológicos de la Investigación Científica: Un Enfoque Multidisciplinar p 125- 156: [20] Encyclopedia Britanica: [21] Por ejemplo: Ulrich Majer (2004): Husserl Between Frege’s Logicism And Hilbert’s Formalism [22] Ernst Snapper (1979); The Three Crisis in Mathematics: Logicism, formalism and Intuitionism [23] Lindström, S.; Palmgren, E.; Segerberg, K.; Stoltenberg-Hansen, V. (Eds.) (2009): Logicism, Intuitionism, and Formalism: What Has Become of Them?

2.5. NOTAS Y REFERENCIAS

[24] Ferran Mir Sabaté (2006): Las discusiones posteriores sobre la filosofía matemática (la metamatemática) ilustrarán las distintas concepciones de la disciplina. Durante los años 20s se desarrollará un profundo debate sobre las bases de las matemáticas que, a pesar de su cierre aparente, sigue vigente en nuestros días. en LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS AÑOS 20. Cuaderno de Materiales. Num. 23 (2011). ISSN 1139-4382. Pàginas 557-574. [25] Por ejemplo: Edward Nelson (2006): Warning Signs of a Possible Collapse of Contemporary Mathematics [26] Por ejemplo: Alex Levine: Conjoining Mathematical Empiricism with Mathematical Realism: Maddy’s Account of Set Perception Revisited en Synthese.- Vol. 145, No. 3 (Jul., 2005), pp. 425-448 [27] Véase: Guillermo Mattei Irrazonable eficacia de la matemática - ver también Eugene Paul Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences [28] Luke Jerzykiewicz (2007) “La gran mayoría de los realistas de hoy en día, incluyendo el propio Stewart Shapiro, sostienen que las entidades matemáticas (o estructuras) son abstractas y a-causal. 'Realismo', de hecho, viene a ser casi sinónimo de 'platonismo'. en Platonist epistemology and cognition p 1 [29] Para una visión general de esta posición, ver Penelope Maddy (1992) Realism in Mathematics [30] Haim Gaifman: On Ontology and Realism in Mathematics [31] De acuerdo a Davis y Hersh (ver la Experiencia matemática “el matemático profesional típico es un platonista durante la semana y un formalista en el Domingo” (ver Realismo platónico), lo que generalmente se interpreta como significando que la mayoría de los matemático se comportan como si aceptaran que los objetos matemáticos y sus relaciones fueran objetivos, independientes de nuestra voluntad o subjetividad, pero si se les demanda una justificación de su posición, adoptan el formalismo (ver más abajo) [32] P Maddy, citada por Luis Miguel Ángel Cano P (2003) en Frege y la nueva lógica. [33] K Gödel: “Los conceptos tienen una existencia objetiva” en My philosophical viewpoint [34] Guillerma Díaz Muñoz (2000): Aproximación del realismo matemático de Gödel al realismo constructivo de Zubiri [35] Michael Dummett (1998): La existencia de los objetos matemáticos. Teorema, XVII (2). pp. 5-24. [36] Mark Steiner (1983): “Mi intención es argumentar a favor de la realidad de ciertas entidades matemáticas” en Mathematical Realism Noûs Vol. 17, No. 3 (Sep., 1983), pp. 363-385 [37] The Fregean Argument for Object Platonism [38] Internet Enciclopedia of Philosophy: Mathematical Platonism [39] José Ferreirós (1999) Matemáticas y platonismo(s) [40] L Bonjour: In Defense of Pure Reason. (London: Cambridge University Press, 1998) Entrada en wikipedia inglesa acerca de Bonjour [41] P Benacerraf: The Truth [42] IEP; The Indispensability Argument in the Philosophy of Mathematics [43] W. D. Hart (1991): Benacerraf’s Dilemma [44] Bob Hale and Crispin Wright Benacerraf’s Dilemma Revisited [45] Eleonora Cresto (2002): “Benacerraf nos ofrece allí un dilema, moldeado sobre la dicotomía entre platonismo y constructivismo: el primero nos permite entender como es que los enunciados matemáticos son verdaderos, pero no como es que los conocemos, el segundo explica el conocimiento matemático, pero no la verdad.” en Comentarios a “La filosofía de la matemática del segundo Wittgenstein: El problema de la objetividad de la prueba matemática [46] Rui Vieira (2010): “Sin embargo, en un importante artículo, “Mathematical Truth”, en el Journal of Philosophy, Vol. 70 (1973), el filósofo Paul Benacerraf argumentó que las explicaciones anti-platónicas de las matemáticas deprivan los enunciados matemáticos de su verdad objetiva en el sentido cotidiano popular, es decir, de la idea de que las verdades matemáticas son verdaderas piense alguien en ellas o no. La verdad objetiva es una propiedad de las matemáticas que para la mayoría de nosotros es obvia, pero explicaciones anti-platónicas hacen las matemáticas subjetivas (aunque el argumento de Benacerraf se dirige al convencionalismo y al formalismo, no creo que las tentativas del intuicionismo se libren nada mejor”. en Mathematical Knowledge: A Dilemma.

CAPÍTULO 2. FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

[47] GREGORY LAVERS (2009): “El sentido común respecto a la verdad y la forma sintáctica de los enunciados matemáticos nos lleva a concluir que los enunciados matemáticos se refieren a objetos abstractos. Al mismo tiempo, ese sentido común, en relación a la epistemología, parece implicar que los enunciados matemáticos no pueden referirse a objetos abstractos” (en BENACERRAF’S DILEMMA AND INFORMAL MATHEMATICS) y “Según Benacerraf, cualquier explicación de la verdad matemática debe satisfacer dos requisitos básicos: erigirse sobre la base de una semántica y de una epistemología paralelas a las usuales en el discurso no matemático. La semántica usual es necesaria para que los términos de los enunciados matemáticos se refieran a entidades reales, si tales enunciados han de ser verdaderos, como suponemos en nuestro usos lingüísticos habituales. La epistemología se necesita para que la verdad de los enunciados matemáticos presuponga algún conocimiento de las entidades referidas por los términos enunciados, como suponemos en nuestro discurso habitual.... prosigue Benacerraf, en general las explicaciones disponibles de la verdad matemática no logran satisfacer ambos requisitos, sino más bien alguno de ellas a expensas del otro.”. Francisco Rodriguez C: Lo que es y no es la verdad matemática [48] Para una profundización, ver, por ejemplo Douglas Patterson: “Introducción” en New Essays on Tarski and Philosophy; P. M. S Hacker: “On Carnap’s Elimination of Metaphysics” en Wittgenstein: Connections and Controversies, etc [49] Formalismo, I. Filosofía [50] Para una introducción general, ver Ángel Ruiz Z 26.3 El formalismo (en Historia y filosofía de las matemáticas) [51] Jean-Paul Collette (1993): Historia de las matemáticas, volumen 2, Volume 2 p 577 y sig [52] Diego Pareja H (2008): “el concepto moderno de formalismo que incluye las técnicas del razonamiento finitista debemos atribuirlo a Hilbert y a sus discípulos.” en 5. 8 – David Hilbert y el formalismo. Razonamientos finistas son aquellos “razonamientos absolutamente seguros y libres de cualquier clase de sospecha” (ibid) [53] Ferran Mir S (2006): “La conocida intervención de David Hilbert (1862-1943) en el Congreso Internacional de Paris de 1900, en la que planteo los 23 problemas matemáticos a resolver durante el siglo XX, iba mucho más allá de la mera relación de dichos problemas. La convicción claramente expresada por Hilbert de que todo problema ha de tener su solución basada en la pura razón [6, Pags. 125 y ss.]: “En las matemáticas no existe el ignorabimus”. Un año antes, Hilbert había publicado su Grundlagen der Geometrie, en el que establecía los axiomas a partir de los cuales podía desarrollarse, mediante pura deducción, toda la disciplina en todas sus variantes, tanto euclideas como no euclideas. Mediante este ideal axiomático podía construir un raciocinio sobre objetos que no necesitaba definir; al contrario de Euclides que había precisado de una definición (intuitiva) de los objetos básicos (punto, línea, plano, etc.). El hecho de prescindir de las definiciones de los objetos básicos, hace que se le haya reprochado la reducción de las matemáticas al estudio de las simples relaciones entre objetos abstractos: un puro juego con símbolos. La combinación del ideal axiomático con la convicción de que todo problema debe tener solución, conducirá en los años sucesivos a la idea de completud del sistema axiomático. En los primeros años del siglo XX, esta idea es todavía vaga [13, P·g. 151], pero esta claro que Hilbert considera que desde un reducido grupo de axiomas pueden derivarse la totalidad de los teoremas aceptados en las matemáticas ordinarias. También esta presente la idea de simplicidad: el conjunto de axiomas ha de ser lo más reducido posible y deben ser independientes unos de otros.” en LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS AÑOS 20. [54] Pedro Angulo L (2010): EPISTEMOLOGÍA DE LA MATEMÁTICA. CASO: FORMALISMO [55] Aroca, José Manuel El progreso de la matemática en los últimos 25 años [56] H Putnam (1967): The Thesis that Mathematics is Logic. [57] Russell Marcus (2006): Pluribus Putnams Unum p 6 [58] Keith Hossack (1991): Access to Mathematical Objects.-Crítica: Revista Hispanoamericana de Filosofía.- Vol XXIII, N 68 (Agosto 1991) 157- 181 [59] Iemhoff, Rosalie, Intuitionism in the Philosophy of Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.), forthcoming URL = <http://plato.stanford.edu/archives/fall2012/entries/intuitionism/> [60] van Atten, Mark: “Sobre la base de su filosofía de la mente, en la que Kant y Schopenhauer fueron las principales influencias, Brouwer caracteriza principalmente las matemáticas como la libre actividad del pensamiento exacto, una actividad que se basa en la intuición pura del tiempo (interior). Ningún reino independiente de los objetos y el lenguaje juegan algún papel fundamental. De este modo se esforzó por evitar la Escila del platonismo (con sus problemas epistemológico) y el Caribdis del formalismo (con su pobreza de contenido). Dado que, en vista de Brouwer, no hay factor determinante de la verdad matemática fuera de la actividad de pensar, una proposición sólo se hace realidad cuando el sujeto ha experimentado su verdad (por haber llevado a cabo una construcción mental apropiado), de manera similar, una proposición sólo es falsa cuando el sujeto ha experimentado su falsedad (por darse cuenta de que una construcción mental apropiado no es posible). Por lo tanto Brouwer puede afirmar que

2.5. NOTAS Y REFERENCIAS

“no hay verdades sin experiencia” (Brouwer, 1975, p.488).” en 3. Brief Characterization of Brouwer’s Intuitionism” en Luitzen Egbertus Jan Brouwer [61] Carlos Torres A: “El intuicionismo fue la respuesta de Brouwer al logicismo de Russell, a la matemática no constructiva y a las paradojas, y se apoya en tres tesis radicales: i) los objetos matemáticos se construyen directamente en la intuición pura, siendo por ello previos al lenguaje y a la lógica; ii) las leyes que rigen el comportamiento de dichos objetos derivan de su construcción, no de la lógica, como pretenden Frege, Russell y los logicistas 33 y iii) en la matemática no es admisible ninguna teoría que rebase el marco de lo dable en la intuición, como sostienen Hilbert y los cantorianos.” en KANT VISTO DESDE LAS MATEMÁTICAS revista unam vol.6/num 1 (2005) sección “ El intuicionismo de Brouwer”, pp 15-19 [62] L. E. J. Brouwer (1913): INTUITIONISM AND FORMALISM Bull. Amer. Math. Soc. 20 (2): 81–96. MR 1559427. [63] DIEGO PAREJA HEREDIA: “Para los intuicionistas las bases de las matemáticas estaban en la explicación del origen, o la esencia de los números naturales 1, 2, 3,... Para la filosofía intuicionista, todo ser humano tiene una intuición congénita en relación con los números naturales. Esto significa en primer lugar que tenemos una certeza inmediata de lo que significamos con el número “1”, y en segundo lugar, que el proceso mental que originó el numero 1 puede repetirse. La repetición de este proceso, induce la creación del número 2, una nueva repetición y aparece el número 3. En esta forma, el ser humano puede construir cualquier segmento inicial 1, 2, 3,..., n, donde n es un natural arbitrario. Esta construcción mental de un número natural tras de otro, nunca podría darse, si no tuviéramos dentro de nosotros, una preconcepción del tiempo. Cuando afirmamos 2 va después de 1, el término “después” tiene una connotación de tiempo, y en ese aspecto Brouwer se adhiere al filósofo Immanuel Kant (1724-1804) para quien la mente humana tiene una apreciación inmediata de la noción de tiempo. Kant usó la palabra “intuición” para “apreciación inmediata”, y es de allí de donde proviene el término “intuicionismo”. " en 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo. [64] La “intuición” a la que se hace referencia tiene un sentido más bien especializado: Miguel Espinoza: “Se supone que un conocimiento intuitivo no ocurre en etapas, no es gradual como una inferencia, como el conocimiento que presupone el lenguaje, como la aplicación de un algoritmo. Digo “se supone” porque la inmidiatez podría ser una ilusión. Que la conciencia sea incapaz de seguir los diferentes pasos del cerebro no significa que biológicamente haya también inmediatez. La rapidez de un ordenador no implica intuición. A veces en matemáticas se entiende también por intuición las operaciones de calculo o lo que llega a entenderse fácilmente. En la intuición, lo aprehendido y la operación de la mente forman un solo proceso, tienen una sola forma, por eso no se plantea el problema de la verdad-adecuacion. Para preguntarnos si lo que pensamos corresponde o no a algo externo al pensamiento, es necesario que el intelecto y la cosa estén separados. Esto no ocurre en la intuición. Es entonces la falta de distinción sujeto-objeto, la inmediatez atribuida a la intuición que ha dado a los intuicionistas la confianza en este modo de conocimiento. Toda inferencia debe estar basada finalmente en verdades intuitivas”, en Intuicionismo y objetividad p 101-102 [65] J. BARRIO GUTIÉRREZ: “Intuicionismo matemático. Una de las corrientes matemáticas de más fecundidad en el momento actual es el llamado Intuicionismo matemático. En oposición al formalismo de Hilbert (v.), fue creado por L. Brouwer (v.) sobre la base de anteriores ideas defendidas por L. Kronecker. La tesis fundamental de este i(ntuicionismo) es la afirmación de que la Matemática (v.) está constituida exclusivamente por un conjunto de entes construidos intuitivamente por el matemático, sobre los que se seguirán construyendo otros mediante un sistema operacional claro, preciso y fecundo.” en INTUICIONISMO [66] De acuerdo a Brouwer “un ente solo existe si puede ser construido a partir de la intuición primordial”.- Brouwer, citado por Espinoza en Intuicionismo y objetividad p 110. [67] Dick de Jongh: Intuicionismo [68] Ferran Mir Sabaté (2006): LA POLEMICA INTUICIONISMO FORMALISMO EN LOS AÑOS 20. El Principio de Tercio Excluso. [69] A. N. Kolmogorov: “On the principle of excluded middle”, pp. 414–437. [70] ver Jorge Alberto Molina (2008): Negación y Doble Negación en el Intuicionismo de Brouwer [71] SEP: 2.2 Intuitionism [72] Dick de Jongh: Intuicionismo [73] Ver Miguel Espinoza (2003): Intuicionismo y Objetividad (Thémata, Nro 30) p 111 −112 y 103-106

CAPÍTULO 2. FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA

[74] Esta concepción se basa, de acuerdo a Angela Patricia Valencia Salas; Angela Patricia Franco Urián en “el uso de la noción del tiempo como base primordial de su elaboración del continuo. El tiempo es el único elemento “a priori” del continuo. Este se basa en lo que Brouwer denomina “intuición primordial o primigenia”, que consiste en la capacidad de conciencia de la relación entre antes-después, pasado-presente, como unidad de lo continuo y lo discreto, la posibilidad de pensar a la vez en singularidades unidas por un “entre” que nunca se agota por inserción de nuevas singularidades, por tanto es imposible tomar alguno de ellos como autosuficiente construir el otro a partir de ahí. Zalamea (2001) menciona que uno de los rasgos que caracteriza la idea de un continuo sintético es la Genericidad, que refiere a lo no particularizante, a la iniciación de un gran espacio de posibilidades no actualizadas ni determinadas y esto se observa en Brouwer tomando como base su Intuición Primigenia.” en SOBRE UNA CONSTRUCCIÒN ALTERNATIVA AL CONTINUO DE CANTOR: EL CONTINUO INTUICIONISTA [75] ver: Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory p 259 [76] L. E. J. Brouwer, citado por D. P HEREDIA 5.7 – Brouwer, Heyting y el Intuicionismo. [77] Michel Bordeau: El Error de Cantor en Jorge Martínez Contreras, Aura Ponce de León, Luis Villoro: El saber filosófico esp pp 396- 405 [78] Para profundizar estas, ver: Abraham Adolf Fraenkel, Yehoshua Bar-Hillel, Azriel Lévy (1973): Foundations of set theory pp 252-264: “The Primordial intution of integer: Choice sequences and Brouwer’s concept of set [79] van Atten, Mark: “Los teoremas fundamentales del análisis intuicionista - el teorema de la barra, el teorema del abanico, y el teorema de la continuidad - se encuentran en “Sobre los dominios de definición de las funciones” (Brouwer, 1927). Los dos primeros son teoremas estructurales sobre los diferenciales, y el tercero (que no debe confundirse con el principio de continuidad para las secuencias de elección) establece que cada función total [0,1] → ℝ es continua e incluso uniformemente continua. El teorema del abanico es, de hecho, un corolario del teorema de la barra; combinado con el principio de continuidad, que no es válido clásicamente, produce el teorema de continuidad, que tampoco es clásicamente válido. Los teoremas de las barras y el abanico son, por otro lado, clásicamente válido, aunque las pruebas clásicas y intuicionista para ellos no son intercambiables. Las pruebas clásicas no son “intuicionisticamente” aceptable debido a la manera en que depender de PEM, las pruebas intuicionistas no son clásicamente aceptables porque dependen de la reflexión sobre la estructura de las pruebas mentales. En esta reflexión, Brouwer introdujo la noción de la forma de una prueba con “análisis completo” o “canónica”, que sería adoptada más tarde por Martin-Löf y por Dummett. En una nota al pie, Brouwer menciona que tales pruebas, que él identifica con los objetos mentales en la mente del sujeto, suelen ser infinitas.” en 4. Brouwer’s Development of Intuitionism en Luitzen Egbertus Jan Brouwer [80] Win Veldman: “Some applications of Brouwers Thesis on Bars, en One Hundred Years of Intuitionism (1907-2007): The Cerisy Conference pp 326 y sig (esp p 330) [81] THIERRY COQUAND (2003): About Brouwer’s fan theorem [82] Para una visión mas profunda de estos desarrollos, ver A.G. Dragalin (originator) Intuitionism. en Encyclopedia of Mathematics. [83] ver Gustavo Fernández D: Desarrollos posteriores de intuicionismo y constructivismo p 102 y sig [84] Bishop, E. (1967): Foundations of Constructive Analysis, New York: McGraw-Hill (ver Revisión del libro (ambos en inglés) [85] Gustavo Fernandez D: “SEMINARIO DE LOGICA Y FILOSOFIA DE LA CIENCIA I, pagina 101: Desarrollos posteriores de intuicionismo y constructivismo [86] Bridges, Douglas, punto 3.3: Bishop’s Constructive Mathematics en Constructive Mathematics, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2012 Edition), Edward N. Zalta (ed.) [87] Stewart Shapiro, en Mathematical Structuralism en “Internet Encyclopedia of Philosophy (IEP) 2010 [88] Stewart Shapiro, „Thinking About Mathematics“, Oxford 2000, S. 263 [89] Para una introducción a este aspecto, ver STRUCTURALISM, MATHEMATICAL Ver también Julian C. Cole (2010): Mathematical Structuralism Today [90] Por ejemplo: Uri Nodelman - Edward N. Zalta.: Foundations for Mathematical Structuralism [91] Por ejemplo: S. Shapiro (1997): Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology [92] Por ejemplo: Michael D. Resnik (2004): Structuralism and the Independence of Mathematics [93] Por ejemplo: G. Hellman (1996): Structuralism without structures

2.6. BIBLIOGRAFÍA

[94] Para una visión general del empirismo matemático, ver David Bostock (2009): “Empiricism in the Philosophy of Mathematics” en D. M. Gabbay; P. Thagard; J. Woods (edtrs): Philosophy of Mathematics p 157- 230 [95] J. S. Mill: “La matemática es la ciencia empírica de validez más general.”.- citado por Mario A. Natiello en Los fundamentos de la matemática y los teoremas de Gödel.- Véase también J. S. Mill: System of logic (“El sistema de la lógica”), vol 2, libro III, cap XXIV, punto 4, p 162, etc [96] P Kitcher: The Nature of Mathematical Knowledge, p 4 (introducción) [97] S. Körner, (1965): “An Empiricist Justification of Mathematics”, en Yehoshua Bar-Hillel (ed.), “Logic, Methodology and Philosophy of Science”.- Amsterdam: North Holland, 1965, pp. 222-227. (cuentas de “International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science” 1964) [98] L Kalmár (1967): “Foundations of mathematics - Whither now?" en I. Lakatos (ed.). “Problems in the Philosophy of Mathematics” Amsterdam: North-Holland, 1967, pp. 192-193. (Proceedings of the Colloquium in the Philosophy of Science, London, 1965.) [99] En la lógica escolástica, un término sincategoremático (sincategorema) es una palabra que no puede servir como el sujeto o el predicado de una proposición, y por lo tanto no puede representar a ninguna de las categorías de Aristóteles, pero se puede utilizar con otros términos para formar una proposición. Palabras como 'todo', 'y', 'si' son ejemplos de tales términos. Ver Syncategorematic term [100] Patrick Peccatte (1998): Quasi-empiricism and anti-foundationalism [101] P Kitcher (1983) The Nature of Mathematical Knowledge (Oxford University Press) [102] C. E. Behrens (2012): Empiricism: An Environment for Humanist Mathematics [103] I. Lakatos (1976): A Renaissance of Empiricism in the Recent Philosophy of Mathematics [104] Eduardo Harada O (2005): El cuasi-empirismo en la filosofía de las matemáticas p 18 [105] Eduardo Harada O (2005): El cuasi-empirismo en la filosofía de las matemáticas p 18

2.6 Bibliografía • Cañón L; Camino (1993): La matemática: creación y descubrimiento • Collette; Jean-Paul (1993): Historia de las matemáticas, volumen 2 • Davis; Philip J. y Hersh; Reuben (1981): Experiencia matemática (Introducción general no técnica) • Dummett, Michael (1998), “The Philosophy of Mathematics” en Grayling, A. C. (ed.)Philosophy 2: Further Through The Subject, Oxford University Press, 1998. • Gabbay;D. M.- Thagard; P.- Woods; J. (edts): Philosophy of Mathematics • George; Alexander - Velleman; Daniel (2001) Philosophies of Mathematics • Kline; Morris (1980): Mathematics: The Loss of Certainty • Kline; Morris: Matemáticas. La pérdida de la certidumbre. Siglo XXI España 1985 (1a Ed.), México 2000 (5a Ed.) • Körner, Stephan (1968), Introducción a la ﬁlosofía de la matemática, Editorial Siglo XXI, 1968 • Lakatos, Imre. (1978 / 1986) Pruebas y Refutaciones: La Lógica Del Descubrimiento Matemático.- Alianza Universidad • Lakatos, Imre. “La metodología de los Programas de investigación cientíﬁca”. Alianza. Madrid. 1993. • Lorenzo, Javier. de: La matemática: de sus fundamentos y crisis.- Tecnos, Madrid. • Lorenzo, J. de (1992), Kant y la matemática. El uso constructivo de la razón pura, Editorial Tecnos, 1992

CAPÍTULO 2. FILOSOFÍA DE LA MATEMÁTICA • Maza Gómez, C. (2008), Matemáticas en la antigüedad • Macbeth; Danielle: Logic and the Foundations of Mathematics • Ruiz Zúñiga; Ángel: Matemática y Filosofía - CIMM - Universidad de Costa Rica • Shabel, Lisa (1997), Mathematics in Kant’s Critical Philosophy. Reﬂections on Mathematical Practice, London: Routledge, 2003 • Shapiro; Stewart (1997). Philosophy of Mathematics: Structure and Ontology. Oxford University Press. • Shapiro, Stewart (2000). Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics. Oxford University Press. • Shapiro; Stewart (Edtr −2005): The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic • Solís, Carlos y Sellés, Manuel (2005), Historia de la ciencia, Editorial Espasa, 2005

2.6.1

Enlaces externos

• Logicismo, en PhilPapers. • Formalismo, en PhilPapers. • Intuitionismo y constructivismo, en PhilPapers. • Estructuralismo, en PhilPapers.

Capítulo 3

Filosofía del espacio y el tiempo La filosofía del espacio y el tiempo es la rama de la filosofía que trata de los aspectos referidos a la ontología, la epistemología y la naturaleza del espacio y el tiempo, lo que se conoce también como cosmología filosófica. Si los problemas vinculados al espacio y al tiempo tradicionalmente han sido centrales en los sistemas filosóficos, desde los presocráticos hasta Bergson y Heidegger, la llamada filosofía analítica o positivismo lógico, en ejercicio de su crítica del método científico y la metafísica tradicionales, los ha estudiado con particular interés desde sus comienzos.

3.1 Cuestiones básicas Aunque no se limita a ellas, la filosofía del espacio y el tiempo se ocupa de las siguientes cuestiones: • La posibilidad de que espacio y tiempo existan independientemente de la mente. • La posibilidad de que existan independientemente uno del otro. • Cómo se explica el flujo incesante y unidireccional del tiempo (la flecha del tiempo). • Si existen otros tiempos aparte del momento actual. • Cuestiones sobre la identidad, particularmente relacionada con el tiempo.

3.2 Modelos históricos[1] 3.2.1

En la Antigüedad

La concepción mítica característica de las culturas antiguas, como la de los incas, mayas, hopis, y otras tribus indígenas, además de los egipcios, babilonios, los griegos antiguos, los hinduistas, budistas, el jainismo, y otras culturas, contempla la “rueda de tiempo”, que considera el mismo como cíclico o circular, produciéndose una repetición incesante de edades y de entes, de nacimiento y extinción. El concepto judeocristiano, basado en la Biblia, define el tiempo, por el contrario, como lineal, comenzando con el acto de creación por Dios. La visión cristiana contempla un principio y un final del tiempo (el fin del mundo). Los primeros filósofos, los griegos presocráticos, operaron el trasvase o transformación del mito en el logos, es decir, de una visión de los fenómenos basada en la superstición y la fábula, a una concepción de los mismos fundada en el entendimiento y la razón, primer antecedente de la ciencia moderna. Advirtieron en primer lugar que el mundo, o physis, es una realidad diversa (sustancia) que se halla en continua y perpetua transformación, lo que de alguna forma ya prefigura los modernos conceptos de espacio y tiempo. Para dichos filósofos el problema del «espacio», en concreto, se centró en 25

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

Alegoría del Tiempo, de Tiziano.

la discusión en torno a «lo lleno» y «lo vacío», o, lo que es lo mismo, en torno al ser y al no ser.[2] Sobre el «tiempo», distinguían entre lo intemporal, ligado al ser, y lo temporal, ligado al devenir.[3] Los pitagóricos introducían en el problema la abstracción, a través de un elemento nuevo: crearon la metafísica del número. Si para Tales de Mileto el principio generador del universo era el agua y para Anaximandro el infinito, para los pitagóricos el número subyacía a toda realidad. Heráclito de Éfeso consideraba que todo se halla en perpetuo cambio y transformación; el movimiento es la ley del universo, y su principio, el fuego. «Todo fluye», afirmaba, por lo que para él primaba el tiempo o devenir sobre el ser. Parménides de Elea representa tradicionalmente la postura contraria. Entendía, por ejemplo, la eternidad, no como du-

3.2. MODELOS HISTÓRICOS[1]

ración inﬁnita, sino como negación del tiempo: «El ser nunca ha sido ni será, porque es ahora todo él, uno y continuo». Opinaba que el movimiento es imposible, pues el cambio es el paso del ser al no ser o la inversa, del no ser al ser. Esto es inaceptable, ya que el no ser no existe y nada puede surgir de él. Platón supone una especie de síntesis, es decir, la unión o suma de estas dos doctrinas presocráticas contrapuestas. Por un lado tenemos el mundo sensible, caracterizado por un proceso constante de transformación y, por otro, el mundo abstracto y perfecto de las Ideas, caracterizado por la eternidad y la incorruptibilidad.

Busto de Aristóteles.

Aristóteles, discípulo de Platón, consideraba el mundo como formado de sustancia, dotada a su vez de materia y de forma, pero no creía en la división platónica entre mundo sensible y mundo de las ideas. Por otra parte, definió el tiempo como «el número del movimiento según el antes y el después... Ahora bien, es imposible que se generen o destruyan ni el movimiento (pues existe de siempre), ni el tiempo, ya que no podrían existir el antes y el después si no hubiera tiempo. Y ciertamente, el movimiento es continuo como el tiempo, pues éste o es lo mismo o es una afección del movimiento» (Metafísica, IV,11). Zenón de Elea pensaba que ni movimiento ni tiempo ni espacio eran reales, lo que trató de demostrar a través de sus conocidas paradojas (como la de Aquiles y la tortuga), las cuales muchas veces han sido consideradas simples sofismas o falacias. Aristóteles demostró su falsedad, sin embargo, los matemáticos actuales tienden a exaltar la figura de Zenón, principalmente porque de sus planteamientos se derivaría más tarde el llamado cálculo infinitesimal. El espacio en sí fue abstraído y descrito en sus elementos esenciales por el que se ha llamado padre de la geometría, Euclides de Alejandría, quien había recogido el legado de Pitágoras. Más de 2000 años más tarde, Albert Einstein procedería, a través de la Teoría de la relatividad, a fundir por vez primera las categorías de espacio y tiempo, totalmente separadas desde Euclides, en lo que se ha definido como una “geometrización” de la física: el espacio-tiempo.[4]

3.2.2

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

En la Edad Media y el Renacimiento

La filosofías cristianas patrística y la escolástica de la Edad Media, conceptúan el universo y el tiempo en términos teológicos, o de creación. Para San Agustín, Dios es el creador de todo lo que existe en el tiempo, y también del tiempo mismo. Es célebre su proverbio: «¿Qué es el tiempo? Si nadie me lo pregunta, lo sé. Si quisiera explicárselo al que me lo pregunta, no lo sé.» Considera que el tiempo consiste en «pasar desde un pasado, que ya no existe, a un presente cuyo ser consiste en pasar al futuro, que todavía no es». Concluye que el tiempo se da en el espíritu o alma humana en cuanto capacidad de enlazar el pasado retenido en la memoria con la expectativa del futuro en el presente, lo que es posible por la permanencia de la identidad subjetiva del alma. Subraya entonces el carácter subjetivo del tiempo, con una mentalidad avanzada de lo que será en la Edad Moderna la conciencia de Descartes.[5] Para San Anselmo, las cosas creadas no podían proceder de la materia, sino de la nada, a partir de la actividad divina; asimismo, la creación es “continua”. Para Averroes, la elección de la creación de Dios es eterna y constante, y no puede hablarse de un comienzo del mundo. San Alberto Magno afirmó: «El comienzo del mundo por creación no es una proposición física y no puede demostrarse físicamente». (Physica, VIII, 1, 4). Guillermo de Ockham, refutando la metafísica tradicional que partía de Aristóteles, admitía la “probabilidad” de las cosas, así, la eternidad es altamente probable, dada la dificultad de concebir el comienzo del mundo en el tiempo. Los conceptos de universo, espacio y tiempo, tal y como hoy los entendemos, tienen su origen en los grandes pioneros de la ciencia surgidos en la época renacentista, los Kepler, Galileo y Francis Bacon, quienes abrieron camino, con el sustento racionalista de Descartes, a los grandes teóricos de la materia en la Era Moderna.

3.2.3

El siglo XIX

Una de las aportaciones más importantes realizadas al estudio del tiempo en el siglo XIX es obra de F. W. J. Schelling, una de las figuras relevantes del llamado idealismo alemán. La obra clave para el estudio de esta cuestión en este filósofo es Las edades del mundo (Die Weltalter), un texto que no fue publicado en vida del autor y del que tenemos tres versiones muy similares (de 1811, 1813 y 1815) aunque diferentes en algunos aspectos importantes. En este trabajo Schelling pretende conocer el tiempo premundano (vorweltlichen Zeit), es decir, el tiempo anterior a la creación del mundo. Sin embargo, esto no es posible porque no tenemos fuentes directas; utiliza, por lo tanto, fuentes indirectas; estas consisten en el autoconocimiento del ser humano (método antropomorfista) y en discursos divinos revelados, básicamente en el Antiguo Testamento. Su investigación le lleva a la conclusión de que el verdadero pasado es el pasado anterior a la creación del mundo y el verdadero futuro es el postmundano.[6] Defiende un concepto orgánico del tiempo, donde cada ser posee su propio tiempo interno y critica una concepción objetivista de la temporalidad.[7] Su estudio del tiempo debemos situarlo dentro de una concepción teológica, ya que identifica el pasado con el Padre, el presente con el Hijo y el futuro con el Espíritu; elabora, de esta forma, un sistema trinitario que se identifica con cada una de las manifestaciones de la divinidad defendidas por la religión cristiana.

3.2.4

El eterno retorno

El concepto circular del tiempo, muy extendido, como se ha visto, en todas las épocas y regiones, tiene sus raíces, por una parte, en las ideas de eternidad e inmortalidad del Antiguo Egipto, donde el escarabajo era considerado símbolo de la renovación eterna de la vida. El modelo de universo cíclico es también muy importante dentro de las doctrinas orientales hinduista y budista, a través de su noción de la rueda de la vida o samsara, que representa un ciclo sin ﬁn de nacimiento, vida y muerte, del cual es necesario liberarse. Estas ideas fueron retomadas en Occidente por los ﬁlósofos pitagóricos y estoicos, entre otros. En el Renacimiento los alquimistas representaban el ouroboros, el símbolo por excelencia de la eterna repetición. La repetición incesante fue esgrimida por pensadores muy posteriores como Giambattista Vico, con su teoría de los cursos y recursos (ciclos) interminables de la historia, y Friedrich Nietzsche, con su concepto del eterno retorno de lo idéntico, en el que, a diferencia de la visión cíclica del tiempo, no se trata de ciclos ni de nuevas combinaciones en otras posibilidades, sino de que los mismos acontecimientos se vuelven a repetir en el mismo orden, tal cual ocurrieron, sin posibilidad de

3.3. REALISMO Y ANTI-REALISMO

variación. El pensamiento de que esta vida, tal como la hemos vivido, tendrá que ser revivida otra vez, y una cantidad innumerable de veces, que no habrá nada nuevo y que tanto las cosas más grandes como las más pequeñas volverán para nosotros en la misma sucesión y en el mismo orden, este pensamiento es tal que puede sumir en la desesperación al hombre aparentemente más fuerte. [y sin embargo] hay que alcanzar la voluntad de querer que retorne todo lo que ya ha sucedido, de querer en lo sucesivo todo lo que acontecerá. Hay que amar la vida y a nosotros mismos más allá de todo límite para no poder desear otra cosa que esta eterna y suprema confirmación.[8] Científicos actuales como John Richard Gott, con su teoría de los universos autogenerados, Roger Penrose, con su cosmología cíclica conforme, Peter Lynds que supone la repetición infinita del tiempo, y Henri Poincaré, con su teorema de la recurrencia, contemplan, cada cual a su manera, una visión circular e interminable del tiempo y el universo que viene a coincidir llamativamente, en lo fundamental, con la de las culturas antiguas.

3.3 Realismo y anti-realismo La dualidad realismo-idealismo es heredera de algunas de las ideas mencionadas anteriormente. Una postura tradicional del pensador realista en ontología es que el tiempo y el espacio tienen una existencia aparte de la mente humana. El idealista, en cambio, niega o duda de la existencia de los objetos con independencia de la mente. Algunos antirealistas que a pesar de serlo mantienen el punto de vista ontológico de que los objetos fuera de la mente existen, dudan sin embargo de la existencia independiente del tiempo y del espacio. El filósofo idealista alemán Immanuel Kant, en su obra central y más conocida, Crítica de la razón pura, describió el tiempo y el espacio como formas puras a priori de la sensibilidad: se trata no de conceptos, sino, en efecto, de «formas de la sensibilidad» que suponen condiciones apriorísticas, o necesarias, para cualquier posible experiencia, ya que posibilitan la percepción de los sentidos. (Su función es complementada por las categorías, nociones también a priori, como causalidad, sustancia, etc., que permiten que comprendamos lo que percibimos con los sentidos.) Para Kant, ni el espacio ni el tiempo se conciben como sustancias, sino que más bien se trata de elementos de un armazón o estructura sistemáticos que utilizamos para organizar nuestra experiencia. Así, las medidas espaciales se utilizan para cuantificar hasta dónde se encuentran los objetos separados, y las medidas temporales para comparar cuantitativamente el intervalo entre (o la duración de) los acontecimientos. Otros idealistas, tales como J. M. E. McTaggart, en su controvertida obra Unreality of Time (La irrealidad del tiempo) han mantenido que lo que entendemos por “tiempo” es una simple ilusión (véase El flujo del tiempo, más abajo). Los autores propuestos aquí son en su mayor parte “realistas” en el sentido aludido. Por ejemplo, el filósofo Gottfried Leibniz sostuvo que lo que él denominó mónadas existía independientemente de la mente del observador.

3.4 Absolutismo y relacionismo 3.4.1

Leibniz y Newton

La gran discusión se establece a la hora de definir las nociones de espacio y de tiempo como objetos verdaderos por sí mismos (absolutismo), o si su existencia depende de la de otros objetos reales (relacionismo o relacionalismo). Comenzó entre los físicos Isaac Newton (a través de su portavoz, Samuel Clarke) y el mencionado Gottfried Leibniz, y se encuentra recogida en el archivo de la correspondencia Leibniz-Clarke. Discutiendo contra la posición del absolutismo, Leibniz propone una serie de experimentos mentales a fin de demostrar que es contradictorio afirmar la existencia de hechos tales como localización y velocidad absolutas, con lo que se anticipó en casi 250 años a las tesis fundamentales de la física moderna. Estas discusiones tienen mucho que ver con dos principios centrales de su filosofía: el principio de razón suficiente y la identidad de indiscernibles. El principio de razón suficiente sostiene que de cada hecho hay una razón que es suficiente para explicar de qué manera y por qué razón es tal cual es, y

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

Gottfried Wilhelm von Leibniz.

no de otra manera distinta. La identidad de indiscernibles indica que si no hay forma de demostrar que dos entidades son diversas entonces son una y la misma cosa (o dicho de otra manera, dos objetos son idénticos, o el mismo, si comparten todas sus propiedades).

3.4. ABSOLUTISMO Y RELACIONISMO

Leibniz propone en su ejemplo dos universos distintos ubicados en el espacio absoluto. La única diferencia perceptible entre ellos es que el segundo está colocado cinco pies a la izquierda del primero. La posibilidad del ejemplo sólo tiene sentido si existe una cosa tal como el espacio absoluto. Leibniz, sin embargo, la descarta, pues, si un universo se hallase ubicado en un espacio absoluto no tendría razón suficiente, dado que dicho universo podría haberse hallado en cualquier otro lugar. Del mismo modo se contradiría la identidad de indiscernibles, por cuanto existirían dos universos juntos y perceptibles en todas sus formas e indiscernibles uno del otro, lo que es una contradicción en sí mismo. La réplica de Clark (y Newton) a Leibniz viene reflejada en el llamado "argumento del cubo" (bucket argument): al llenar de agua un cubo colgado de una cuerda y dejarlo reposar, se observará que la superficie del agua será plana, pero si se hace girar el cubo sobre sí mismo la superficie se volverá cóncava. Si se detiene el giro, el agua continuará girando libremente en su interior, y mientras que las vueltas continúen la superficie seguirá siendo cóncava. Dicha superficie cóncava no es al parecer atribuible a la interacción del cubo y el agua, puesto que el agua es plana cuando el cubo está quieto, llega a ser cóncava cuando comienza a girar y lo sigue siendo cuando el cubo queda inmóvil. En esta respuesta, Clarke afirma la necesidad de la existencia del espacio absoluto para explicar fenómenos como la rotación y la aceleración, los cuales no es posible explicar con argumentos puramente relacionistas. Clarke arguye que puesto que la curvatura del agua ocurre en el cubo que rota, así como en el cubo ya parado, eso sólo es explicable por el hecho de que dicha rotación se produce en relación con una especie de tercer espacio o circunstancia absolutos. Leibniz describe un espacio que exista solamente como marco de relación entre los objetos, y que no tiene existencia alguna aparte de esos objetos. Así, el movimiento existe solamente como relación entre esos objetos. Por su parte, el espacio newtoniano proporcionó el marco de referencia absoluto dentro del cual los objetos pueden moverse, pero en el sistema newtoniano el marco de referencia existe independientemente de los objetos en él contenidos. Estos objetos pueden describirse como moviéndose en relación al espacio mismo. Durante varios siglos, la evidencia de esa superficie cóncava del agua fue prueba de la autoridad de Newton.

3.4.2

Mach

Otra figura importante en esta polémica es el físico decimonónico Ernst Mach. Este autor no negó la existencia de fenómenos como los descritos en el ejemplo del cubo, pero sí la conclusión absolutista, ofreciendo una respuesta alternativa a aquello respecto de lo cual rotaba el cubo. Mach sostuvo que eran las estrellas fijas. Mach sugirió que un experimento mental como el argumento del cubo era problemático. Si nos imagináramos un universo que contiene solamente un cubo, con arreglo al ejemplo de Newton, este cubo podría hacerse girar en relación al espacio absoluto, y el agua en él contenida formaría la característica superficie curvada. No obstante, en ausencia de todo lo demás en el universo, sería difícil demostrar que el cubo estaba, de hecho, girando. En tal caso parece igualmente posible que la superficie del agua en el cubo permaneciese plana. Mach arguyó que, en efecto, en un universo distinto y vacío el agua seguiría estando plana. Ahora bien, si otro objeto fuese introducido en este universo, quizás una estrella distante, en tal caso existiría algo en relación a lo cual el cubo se vería rotando. El agua dentro del cubo podría posiblemente mostrar una leve ondulación. La explicación de la misma estaría en el aumento del número de objetos en el universo, que haría aumentar a su vez la concavidad en el agua. Mach añadió que el impulso de un objeto, ya sea angular o lineal, existe como resultado de la suma de los efectos de otros objetos en el universo (principio de Mach).

3.4.3

Einstein

Albert Einstein, uno de los físicos más importantes del siglo XX, propuso que tales relativismos se hallaban basados en el principio de la relatividad. Esta teoría sostiene que las reglas de la física deben ser iguales para todos los observadores, sin importar la localización del marco de referencia que se utilice. La diﬁcultad más grande para esta idea provenía de las llamadas ecuaciones de Maxwell. Éstas incluían la velocidad de la luz en el vacío e implicaban que la velocidad de la luz era solamente constante con relación a lo que antiguamente se denominaba éter luminífero. Einstein comprobó que todas las tentativas de medir cualquier velocidad con relación a este éter habían fallado, de lo que dedujo que en el universo no existe ningún marco referencial ﬁjo. La relatividad especial es una formalización del

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

principio de la relatividad que no contempla un marco de referencia inercial de ningún tipo, tal como el éter o el espacio absoluto. Einstein instituyó una relatividad ajena a todo marco de referencia no inercial. Alcanzó esta premisa postulando el principio de equivalencia, que sostiene que el impulso experimentado por un observador en un campo gravitacional dado y el que sufre un observador en un marco de referencia acelerado son indistinguibles. Esto condujo a la conclusión de que la masa de un objeto es capaz de curvar la geometría del espacio-tiempo que lo rodea, según aparece descrito en las ecuaciones de campo de Einstein. Un marco de referencia inercial es aquel que se halla siguiendo una línea geodésica del espacio-tiempo. Dentro de la relatividad general, los objetos se mueven sobre geodésicas. Las trayectorias geodésicas son generadas debido a la curvatura del espacio. Sin embargo, un objeto puntual moviéndose en el espacio no percibirá la gravedad pues se desplaza a lo largo de estas geodésicas, que definen marcos de referencia inerciales. La única posibilidad de medir la atracción gravitacional es comprobando más de una geodésica; de esta manera es posible comparar la aceleración relativa entre ellas, que existirá solo si el espacio-tiempo está curvado. En este sentido, un objeto que permanece en tierra experimentará una fuerza, ya que la superficie del planeta impide que el cuerpo siga la trayectoria natural impuesta por su geodésica. Einstein apoya parcialmente el principio de Mach de que las estrellas distantes explican la inercia, ya que proporcionan el campo gravitacional contra el cual se mueven la aceleración y la propia inercia. Pero contrariamente a la tesis de Leibniz, este espacio-tiempo curvado constituye parte integral del objeto, al igual que sus otras características definitorias, tales como volumen y masa. Si uno sostiene, en contra de la creencia idealista, que los objetos existen independientemente de la mente, diríase que dicho relativismo le obliga a la vez a sostener que espacio y tiempo son, en igual medida, independientes.

Espacio y tiempo Su concepto de "espacio" arranca de la siguiente consideración metodológica: «Las preguntas sobre la esencia de algo sólo pueden intentar descubrir el carácter del conjunto de experiencias sensoriales al que se refieren los conceptos. En cuanto al problema del espacio, creo que le ha de preceder el de objeto material. [...] Creo que este concepto de espacio intermedio, generado por la elección especial del cuerpo que lo rellena, es el punto de partida para el concepto de espacio.»[9] En su definición, relaciona el concepto de "espacio" con los de "gravitación", "masa", "geometría" y "estructura", la cual sería relativa a determinadas “influencias físicas": «Debido a que el campo gravitatorio queda determinado por la configuración de masas y varía al variar dicha configuración, la estructura geométrica de este espacio depende también de factores físicos. El espacio ya no es, pues, según esta teoría —exactamente como lo había presentido Riemann— absoluto, sino que su estructura depende de influencias físicas. La geometría (física) no es una ciencia encerrada en sí misma, más que la geometría de Euclides».[10] El concepto de "tiempo" en la relatividad especial, opuesto al tiempo absoluto newtoniano, se inspira en la imposibilidad de establecer la simultaneidad de sucesos que se registran en marcos de referencia distintos: una localización temporal tiene solo sentido cuando se indica el marco de referencia al que se remite. Para Einstein, todo juicio sobre el tiempo no es sobre el tiempo en sí mismo (absoluto), sino sobre sucesos simultáneos: «Si por ejemplo digo que “Ese tren llega aquí a las 7 en punto”, quiero decir algo como “La posición de la manecilla pequeña de mi reloj en el 7 y la llegada del tren son eventos simultáneos"»,[11] pero sin olvidar que tal simultaneidad, cuando no se da en reposo, es ilusoria. El concepto relativo o estructural de “espacio”, ya aludido, se explica mejor si tratamos de medir los cuerpos en él “inscritos”. Es decir, la relatividad de la simultaneidad de dos sucesos (magnitud temporal) se refleja también en la relatividad de las longitudes (magnitud espacial). El problema de la indefinición se repite cuando pretenden medirse, simultáneamente, los extremos de un cuerpo en movimiento. La invariabilidad de las longitudes nuevamente se produce solo en sistemas inmóviles (relatividad galileana). La conclusión de Einstein fue que las medidas de los cuerpos en movimiento son relativas a su velocidad, por lo tanto tampoco son absolutas.[12] El físico alemán dio un último paso al determinar, mediante la relatividad general, que esta relatividad del espacio y el tiempo, por razón de su indistinguibilidad (equiparable a la de masa-energía), dependía igualmente de la materia, lo que dio origen al moderno concepto de espacio-tiempo: «La ciencia del espacio y el tiempo, la cinemática, ya no juega el papel de fundamento independiente del resto de la física. El comportamiento geométrico de los cuerpos y la marcha de los relojes dependen en mayor grado de los campos gravitatorios. Y éstos, a su vez, están generados por la materia».[13] La relatividad es una teoría de unificaciones, de la mecánica con la electrodinámica y la termodinámica, por un lado, y

3.5. CONVENCIONALISMO

del espacio y el tiempo, por otro. Según el historiador de la ciencia Pietro Redondi, «concebir la velocidad finita de la luz como único medio de información fiable sobre los fenómenos significaba que ya no era posible separar la posición de un cuerpo en el espacio (trío de coordenadas) de su posición en el tiempo. Una estrella lejana en el espacio lo está también en el tiempo. (…) Para Einstein, tiempo y espacio están inmersos en el universo, y no el universo en ellos».[14] Estas ideas tuvieron amplísima repercusión en todos los campos de la cultura, la ciencia y el pensamiento, y se recogieron en diversas teorías filosóficas: el convencionalismo, el eternalismo, el cuadridimensionalismo, etc.

3.5 Convencionalismo La posición del convencionalismo indica que no se puede probar una relación verdadera entre la materia y la geometría del espacio y del tiempo, sino que aquella es decidida por mera convención. El primer defensor de tal punto de vista fue el matemático francés Henri Poincaré, quien sostuvo que los axiomas en geometría deberían ser adoptados de acuerdo con los éxitos que alcanzan, no con su aparente coherencia dentro de la intuición humana del universo físico. Reaccionando a los avances de la nueva geometría no euclidiana, arguyó que la geometría aplicada a un espacio era decidida por la convención, puesto que diversas geometrías describirán un sistema de objetos con idéntica coherencia, cada una basándose en sus propios principios. Esta opinión fue desarrollada y puesta al día para incluir consideraciones de la física relativista por Hans Reichenbach. El convencionalismo de Reichenbach, aplicándose al espacio y al tiempo, se centra en la idea de la definición coordinativa. La definición coordinativa muestra dos características importantes. La primera tiene que ver con la coordinación de unidades de longitud con ciertos objetos físicos. Esto es motivado por el hecho de que no somos capaces de aprehender objetivamente la longitud. En vez de esto, elegimos un cierto objeto o magnitud físicos (como la unidad "metro" estándar de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas, o la longitud de onda del cadmio), los cuales acordamos establecer como nuestra unidad de longitud. La segunda característica se ocupa de los objetos separados uno de otro. Aunque somos capaces, presumiblemente, de probar de un vistazo la igualdad de la longitud de dos barras medidas cuando se encuentran una al lado de otra, no podemos descubrir dicha igualdad cuando las barras se hallan distantes. Incluso en el supuesto de que parezcan iguales es imposible asegurarlo. De ahí que la longitud haya de fijarse mediante una definición. Tal uso de la definición coordinativa, basada en Reichenbach, se encuentra, en efecto, en la Teoría General de la Relatividad, donde se asume que la luz demarca distancias iguales en tiempos iguales. La definición coordinativa, por tanto, fija una geometría del espacio-tiempo. El convencionalismo de Reichenbach conoce tanto defensores como detractores.

3.6 La estructura del espacio-tiempo A partir de los citadas teorías y de las implicaciones de la relatividad de Einstein en todo ello, se ha desarrollado un intenso debate en cuanto a la estructura del espacio-tiempo y la ﬁlosofía de la física, especialmente en lo que se reﬁere a la relación materia-energía, y en cómo ambas interactúan. Se ofrece una breve lista de cuestiones:

3.6.1

La relatividad de la simultaneidad

Esta idea es uno de los pilares sobre los que se sustenta la relatividad especial. Según ésta, cada punto en el universo puede contener una determinada red de acontecimientos que componen su actual momento. Para el filósofo Palle Yourgrau, de aquí se sigue que lo que se identifica como el “ahora” relativo a un punto o marco referencial concreto, diferirá del “ahora” en otro marco distinto, siempre que ambos marcos se encuentren en movimiento relativo uno del otro. Por lo tanto no existe nada equivalente a un estado presente del universo entero,[15] negándose así el tiempo absoluto que predicaba Newton. Esta noción se ha utilizado en la discusión de Rietdijk-Putnam para demostrar que la relatividad predice un universo de bloque (llamado a veces eternalismo) en el cual los acontecimientos están fijados en cuatro dimensiones inalterables (el futuro, por ejemplo, por así decir, estaría ya aquí, o ahí). Con arreglo a dicho universo de bloque, el tiempo de alguna manera

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

no ﬂuye, lo que se contrapone a la visión tradicional de un universo de tres dimensiones que son moduladas por el paso del tiempo.

3.6.2

Invarianza contra covarianza

Aplicando las consecuencias que se siguen de la discusión absolutismo/relacionismo a las herramientas matemáticas de gran alcance inventadas en los siglos XIX y XX, Michael Freedman establece una distinción entre dos conceptos de la estadística: la invarianza (o simetría, concepto matemático que designa aquello que no cambia sometido a un conjunto de transformaciones; hacerlo rotar o trasladarlo, por ejemplo) y la covarianza, cuando sí se produce esa variación. La invarianza, o simetría, se aplica a los objetos, es decir, deﬁniendo qué grupo de características de los objetos son invariables o absolutos, y cuáles son dinámicos o variables. La covarianza se aplica a las formulaciones de teorías, es decir, en qué rango o grupo de sistemas de coordenadas se sostienen las leyes de la Física. Esta distinción puede ser ilustrada regresando al experimento mental de Leibniz, en el cual el universo se transforma en otro a cinco pies de distancia. En este ejemplo, la posición de un objeto no se ve como propiedad de dicho objeto, es decir, la localización no es invariante. De igual modo, la covarianza para la mecánica clásica será cualquier sistema de coordenadas obtenido de un cambio de posición u otro tipo de traslación permitidos por la transformación de Galileo. En el caso clásico, el grupo de invarianza, o simetría, y el de covarianza coinciden pero, curiosamente, partiendo de procedimientos relativísticos. El grupo de simetría o invarianza en la relatividad general incluye todas las transformaciones diferenciables, es decir todas las características de un objeto que sean dinámicas, de lo que se deduce que no existen objetos absolutos. Las formulaciones de la relatividad general, a diferencia de la mecánica clásica, no comparten un estándar, es decir, no hay formulación única asociada a las transformaciones. Como tal, el grupo de covarianza de la relatividad general es justo el grupo de covarianza de cada teoría.

3.6.3

Estructuras históricas

Otra aplicación de los métodos matemáticos modernos, vinculada con la idea de los grupos de la invarianza y covarianza, viene representada por el intento de interpretación, en matemática moderna, de los modelos históricos del espacio y del tiempo. En estas interpretaciones, una teoría del espacio y el tiempo se considera como una variedad (matemática) aparejada a un espacio vectorial; cuantos más vectores, más hechos discernibles en esta teoría. El desarrollo histórico de las teorías del espacio-tiempo ha partido siempre de posiciones en las cuales se incorporaban a las mismas más y más fenómenos o propiedades de los objetos, y a medida que progresaba la ,más y más estructuras se iban deduciendo. Por ejemplo, la teoría de Aristóteles del espacio y del tiempo sostiene que no sólo existe algo tal como una posición absoluta, sino que hay lugares especiales en espacio, tal como un centro al universo, una esfera de fuego, etc. El espacio-tiempo newtoniano contempla una posición absoluta, pero no posiciones especiales. El de Galileo acepta la aceleración absoluta, pero no la posición o velocidad absolutas. Y así sucesivamente.

3.6.4

Burbujas de vacío y vacío cuántico

Con la relatividad general, la discusión tradicional entre absolutismo y relacionismo se ha trasladado a la de si el espaciotiempo es o no una sustancia (si el espacio existe con independencia de los procesos que se dan en su interior), puesto que la relatividad descarta en gran medida la existencia, por ejemplo, de las posiciones absolutas. El llamado argumento del agujero[16] crítico con esta sustancialización o sustantivismo, ya fue enunciado por Einstein en 1913, como parte de la relatividad general. Posteriormente otra crítica de gran alcance contra la sustancialización del espacio-tiempo fue la formulada por el ﬁlósofo John Earman. Habría que considerar el espacio-tiempo como repleto de materia, salvo en un lugar que llamaríamos agujero o burbuja de vacío. Dicho agujero, como toda otra entidad, discurre en el tiempo, por lo que, llevado en su transcurso, dejará de existir de una posición a otra. De aquí se concluye que los puntos del espacio-tiempo, caso de existir, se “trasladarán” simultáneamente, dejando de ser en el momento anterior, por lo que un universo sustancial (conformado por puntos o

3.7. LA DIRECCIÓN DEL TIEMPO

posiciones fijas) deja de tener sentido. Por lo tanto, el espacio-tiempo sólo es comprensible cuando está lleno de materia ajena a él. Las posiciones espacio-temporales, por sí mismas, no tienen sentido en la relatividad general.[17] En la actualidad, sin embargo, muchos filósofos, pese a apoyar las posibles interpretaciones relacionales de ciertos modelos altamente restringidos de la relatividad general, admiten que, en el fondo, éstos requieren estructuras espaciotemporales sustancialistas. Así, el llamado sustancialismo sofisticado postula la existencia del espacio-tiempo como una entidad independiente.[18] Reviste gran interés vincular esta perspectiva sustancialista con la teoría del falso vacío o la del vacío cuántico, dentro de la teoría cuántica de campos. Dichas teorías niegan la existencia de un vacío absoluto en el espacio. El propio espacio estaría conformado por una suerte de textura energética indeterminada fluctuando permanentemente con enorme rapidez.[19] La física explica este fenómeno con arreglo al llamado principio de incertidumbre de la mecánica cuántica, el cual establece la imposibilidad de conocer con exactitud el valor de las magnitudes físicas, contemplando asimismo la existencia de partículas virtuales: «Así pues, en el espacio vacío el campo no puede estar fijo en un valor exactamente cero, porque entonces tendría a la vez un valor preciso, cero, y un ritmo de cambio preciso, también cero. En su lugar, debe haber una cierta cantidad mínima de incertidumbre, o fluctuaciones cuánticas, en el valor de su campo. Estas fluctuaciones pueden considerarse como pares de partículas de luz o de gravedad que aparecen juntas en cierto instante, se separan y luego se juntan de nuevo y se aniquilan mutuamente. Estas partículas se denominan virtuales (…) no pueden observarse directamente (…) sin embargo, sus efectos indirectos, como cambios pequeños en la energía de las órbitas electrónicas y los átomos, pueden medirse».[20] Sobre este particular son llamativos los últimos descubrimientos acerca del llamado campo de Higgs, que hacen pensar en el espacio como en un ilimitado campo de fuerza que se despliega a todo lo largo y ancho del universo (Brian Greene lo denomina “océano de Higgs”). Esta teoría tiene puntos en común, curiosamente, con la antigua concepción cosmológica que entendía el espacio como repleto de «éter luminífero» (portador de luz), cuya existencia fue contradicha por la relatividad de Einstein.[21] La teoría más novedosa sostiene que los objetos básicos no son partículas, cada una de las cuales ocupa un solo punto en el espacio, sino cuerdas, que tienen longitud y ninguna otra dimensión, y ocupan una línea de espacio en cada instante del tiempo, «de modo que su historia en el espacio-tiempo es una superficie bidimensional llamada “hoja de universo"» por contraposición a la línea de universo que describe la historia de las partículas.[22] Esta teoría postula la existencia de otras dimensiones en el espacio, aparte de las conocidas, es decir, longitud, anchura, profundidad y la dimensión temporal. Se sugiere el número de las mismas entre diez y veintiséis.[23] Las otras grandes cuestiones a dilucidar por la ciencia son, por un lado, la existencia de la energía oscura y la materia oscura, las cuales, en conjunto, se dice que conforman el 95% de la masa total del universo. Por otro, la formulación de la llamada "Teoría del todo", que aspira a sintetizar la mecánica cuántica con la teoría de la relatividad.

3.7 La dirección del tiempo El problema de la dirección del tiempo se nos presenta a partir de dos hechos irresolublemente contradictorios:

1. Los fenómenos estudiados por las leyes físicas fundamentales son reversibles en el tiempo. Esto es, cualquier cosa que pueda moverse hacia delante en el tiempo puede hacerlo igualmente hacia atrás. O, dicho mediante un ejemplo, a los ojos de la física, no habría distinción, en términos de posibilidad o verosimilitud, entre aquello que sucede en una película, ya se proyecte la película adelante o hacia atrás.

2. En segundo lugar, en el nivel macroscópico, nuestra experiencia del tiempo, contrariamente, presenta la característica fundamental de su irreversibilidad. La taza de porcelana que se cae de la mesa se rompe contra el suelo, sin regresar volando nunca a recomponerse sobre la mesa. Tenemos recuerdos del pasado, pero no sabemos nada del futuro. De igual modo, sentimos que podemos cambiar el futuro, pero nunca el pasado.

3.7.1

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

Solución de la causalidad

Una solución a este problema adopta un punto de vista metafísico, más concretamente partiendo de la causalidad, la cual, se observa, presenta una neta asimetría (relacionada con la citada irreversibilidad) en el tiempo. El motivo de que sepamos más del pasado es que los elementos del pasado son en realidad las causas de los efectos que vemos en el presente. El motivo de que no esté en nuestra mano afectar al pasado y sí el futuro, es porque no podemos afectar al pasado y sí al futuro. Hay dos diﬁcultades importantes con esta visión. Primero está el problema de distinguir la causa del efecto de una manera no arbitraria. El uso de la causalidad al construir un orden temporal podría llegar a ser fácilmente circular. El segundo problema no radica en la consistencia de esta visión, sino en su poder esclarecedor. El ejemplo de la causalidad puede explicar algunos fenómenos asimétricos en el tiempo, como la percepción y la acción, sin embargo no es capaz de explicar cabal y estrictamente muchos otros, como la simple taza rota aludida más arriba.

3.7.2

Solución de la termodinámica

La segunda gran solución del problema de la asimetría y la irreversibilidad (que no es otro que la ﬂecha del tiempo, descrita en 1927 por Arthur Eddington), es la que, en gran medida, ha generado más literatura. La dirección del tiempo estaría relacionada con la naturaleza de la termodinámica. La respuesta de la termodinámica clásica indica que mientras que nuestra teoría física básica es, a partir de la fundación de la mecánica cuántica, reversible o simétrica en el tiempo, no lo es así la termodinámica. En concreto, la segunda ley de la termodinámica indica que la entropía neta de un sistema cerrado nunca disminuye, lo que explicaría por qué vemos tan a menudo romperse la porcelana, sin que vuelva a recomponerse nunca ella sola. Pero en mecánica estadística las cosas son más complicadas. Por un lado, la mecánica estadística es de lejos superior a la termodinámica clásica en que el comportamiento termodinámico, el romperse la porcelana, se puede explicar por las leyes fundamentales de la física conjuntamente con su postulado estadístico. Pero la mecánica estadística, a diferencia de la termodinámica clásica, explica también fenómenos reversibles en el tiempo. La segunda ley de la termodinámica, tal como se presenta en mecánica estadística, simplemente establece que es “abrumadoramente” probable que la entropía neta aumente (que la taza permanezca rota), pero dejando claro que esto no es una ley absoluta. Las soluciones termodinámicas actuales al problema de la dirección del tiempo apuntan a encontrar una demostración o característica especial de las leyes de la naturaleza capaces de explicar esta discrepancia.

3.7.3

Solución de la no simetría

Un tercer tipo de solución al problema de la dirección del tiempo, aunque mucho menos refrendada por la ciencia, apoya que las leyes físicas “no” son reversibles en el tiempo. Por ejemplo, ciertos procesos en mecánica cuántica, referentes a la fuerza nuclear débil, no son reversibles, teniendo presente que al ocuparse de reversibilidad temporal, la mecánica cuántica abarca una definición más compleja. Pero este tipo de solución es insuficiente, porque, 1) los fenómenos temporalmente simétricos en mecánica cuántica son demasiado escasos para explicar la uniformidad de la asimetría macroscópica, y 2) se basa en la presunción de que la mecánica cuántica es la descripción final o correcta de “todos” los procesos físicos. Un defensor reciente de esta propuesta es el filósofo Tim Maudlin, quién afirma que, además de fenómenos cuánticos, nuestra física básica del espacio-tiempo (sustentada en la relatividad general) presenta una asimetría reversible en el tiempo. Él niega las definiciones, en exceso complicadas, que subyacen a las simetrías temporales, afirmando que son las propias definiciones las que ofrecen su aspecto problemático a la dirección del tiempo.

3.8 El flujo del tiempo El problema del flujo del tiempo, tal y como se ha tratado en la filosofía analítica, debe su origen a un artículo escrito por el filósofo idealista J. M. E. McTaggart: The Unreality of Time[24] (La irrealidad del tiempo, 1908). En dicho artículo

3.9. DUALIDADES EN FÍSICA

McTaggart trata de demostrar: 1) que “nuestra percepción” del tiempo es una ilusión, y 2) que “el tiempo mismo” es meramente una abstracción sin existencia real. Para ello propone dos “series” temporales que son capitales en nuestra comprensión del tiempo. La primera serie, llamada Serie A, trata de explicar nuestra intuición cotidiana de las propiedades del tiempo y del cambiante presente. La Serie A ordena los acontecimientos con arreglo a su pertenencia al pasado, presente o futuro, y uno con respecto a otro. «La Serie A reﬂeja las posiciones que discurren desde el pasado más remoto hasta el más cercano, llegando al presente, y del presente al futuro más próximo y al más lejano.» La Serie B elimina toda referencia al presente y las modalidades asociadas de pasado y futuro, ordenando los acontecimientos simplemente mediante los términos “anterior a” o “posterior a”. Habría una tercera serie, la Serie C, que no es temporal, ya que no supone ningún cambio, sino simplemente un orden de acontecimientos, por ejemplo, D, M, O, P… McTaggart concluye en su trabajo que el tiempo es irreal porque la Serie A es inconsistente, pese a su aparente descripción formalizada del tiempo (pasado-presente-futuro), y la Serie B no es capaz de explicar la naturaleza del tiempo por sí misma. A partir de esta teoría se han ofrecido dos soluciones. La primera, Teoría A, trata de construir la Serie B a partir de la A, ofreciendo la explicación de que los sucesos B han partido de los A. La segunda, Teoría B, al contrario, toma como deﬁnitivos los argumentos de McTaggart contra la Serie A y trata de construir ésta a partir de la B, por ejemplo mediante indicadores temporales.

3.9 Dualidades en física Los modelos de la teoría cuántica de campos han demostrado que es posible la equivalencia de dos teorías de entornos diferentes sobre el espacio tiempo, como son la correspondencia AdS/CFT o la Dualidad T.

3.10 Presentismo y eternalismo De acuerdo con el llamado presentismo, el tiempo es una ordenación de realidades diversas. En cierto momento algunas cosas existen y otras no. Ésta es la única realidad de que podemos tener evidencia, por lo que no nos cabe afirmar, por ejemplo, la existencia del poeta Homero, ya que no tiene una existencia verificable en el presente. El eternalismo, por su parte, sostiene que el tiempo es una dimensión de la realidad enlazada con las tres dimensiones espaciales, y por lo tanto que todas las cosas, pasadas, presentes y futuras, han de considerarse tan verdaderas como las cosas presentes. Según esta teoría, por tanto, Homero realmente existe ahora; si bien debemos emplear un lenguaje específico al hablar de alguien que existe en un momento distante del actual. Pero de igual modo lo utilizamos al hablar de algo que se halla distante en el espacio. Ese es el motivo de que usemos muchas veces las mismas palabras para ambos usos, espacial y temporal: “antes”, “cerca”, “lejos”, “aquí", “posterior”, “sobre”, “por debajo”, etc.

3.11 Endurantismo y perdurantismo Las posturas acerca de la persistencia de los objetos se vinculan con las anteriores. El endurantismo o durantismo es una doctrina de la persistencia y la identidad. Sostiene que para que algo persista en el tiempo debe hacerlo a través de los distintos periodos de su existencia, los momentos que estimamos erróneamente separados entre lo previo y lo futuro. Por tanto, el individuo, tridimensional, persiste a lo largo del tiempo como un todo coherente. El perdurantismo, por su parte, según muchos ﬁlósofos, se acomoda mejor a la relatividad de Einstein. Sus defensores opinan que para que una realidad exista en el tiempo ha de hacerlo como una realidad en continuo cambio, y que cuando consideramos dicha realidad como un todo lo que vemos en realidad es un conglomerado de todas sus “partes temporales” o lapsos de existencia. El endurantismo se ve como el punto de vista convencional que parte de nuestra intuición natural (si hablo con una persona

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

pienso que lo hago con alguien que es un todo, y no con un conjunto de piezas en proceso), pero los perdurantistas, como David Lewis, han atacado esta postura. Un argumento muy simple que utilizan es que su visión los capacita para ofrecer una explicación del cambio en los objetos, y no sólo de su configuración. De todo ello se sigue que puede establecerse una equivalencia entre presentistas y endurantistas, así como entre eternalistas y perdurantistas, pero no hay una conexión necesaria entre unos y otros. Cabría afirmar, en resumen, que el flujo del tiempo indica una serie de realidades ordenadas, pero que los objetos dentro de esas realidades de algún modo existen, como un todo, fuera de la realidad, incluso aunque las realidades, como todos, no se encuentren vinculadas entre sí. Sin embargo, tal punto de vista ha sido raramente adoptado.

3.12 Bergson y el existencialismo El existencialismo, filosofía irracionalista de corte humanístico («el existencialismo es un humanismo», afirmó Sartre), al igual que el filósofo francés Henri Bergson, adopta una suerte de visión antropocéntrica de los grandes temas estudiados, y más concretamente del “tiempo”. Esta postura se aleja considerablemente de los paradigmas y el rigor cosmológico que acaban de verse, ya que, por encima de las grandes magnitudes físicas, sitúa como principal foco de atención al hombre y a su conciencia.[25] No en vano, tanto Bergson como el existencialista alemán Martin Heidegger fueron duramente criticados por los adalides del positivismo; el primero, por ejemplo, por Bertrand Russell, el segundo por Rudolf Carnap. Para el existencialismo, en general, la angustia de la temporalidad del hombre arrojado al mundo supone una de las preocupaciones fundamentales. La filosofía trata de la asendereada existencia humana, que no de la esencia de las cosas; de la relación, en suma, hombremundo. A caballo entre el siglo XIX y el siglo XX, el espiritualista Bergson, profundo conocedor, por cierto, de la teoría de la relatividad, puso muchas objeciones al ya aludido positivismo, corriente dominante en su tiempo, tratando de llamar la atención sobre los límites del conocimiento científico. Para Bergson el tiempo escapa al dominio de las matemáticas y la física. Se propuso como primer objeto de meditación la conciencia en continuo devenir; lo que él llamó la “duración real”. Por su parte, Heidegger, a través de su metafísica fundada en la fenomenología anterior y plasmada en su obra capital, Ser y tiempo, aporta a la discusión del tiempo una perspectiva novedosa, como es la de valorar su dimensión del futuro por encima del pasado y el presente: «El fenómeno fundamental del tiempo es el futuro.»[26] La existencia, tomada ahora desde un punto de vista histórico, está orientada hacia lo por venir, y fundamentalmente a nuestra mortalidad; la vida supone una continua tensión hacia delante, y el verdadero, o único, sentido del mundo no es otro que el de ser utilizable por el hombre.

3.13 Otras teorías influyentes Aparte de las concepciones recogidas hasta aquí, se han desarrollado otras importantes teorías en el campo de la cosmología filosófica o científica, así como de otras disciplinas, a cargo de los siguientes autores:

3.13.1

Henri Poincaré

El artículo “La medida del tiempo” (1898), del matemático francés Henri Poincaré, debe interpretarse como el punto de inflexión entre la nueva física de Einstein y la filosofía de Ernst Mach, que discutía la idea de un tiempo verdadero, sustituyéndolo por la idea de un conjunto de operaciones de medida.[27] Poincaré, refutando (al lado de Bergson) el tiempo pretendidamente objetivo de la ciencia, sostiene que ésta cometió el error de dotar de realidad a un concepto matemático. Era precisamente la conciencia del tiempo la que indujo a la ciencia a lanzar la «hipótesis grosera» de Newton de un tiempo real y medible.[28] El tiempo no viene definido por los relojes, y tampoco por el movimiento de la Tierra. Por tanto, resulta problemático tratar de definir tanto la simultaneidad de dos sucesos, como el antes y el después de los mismos. La primera se ha instituido como estrategia de la física para obtener leyes universales, y el antes y el después está viciado por la causalidad: por el tiempo definimos la causa, lo que supone una petición de principio, especialmente dado

3.13. OTRAS TEORÍAS INFLUYENTES

que las causas pueden ser o bien simples o infinitamente complejas.[29] «Todas estas definiciones no son más que fruto del oportunismo inconsciente»,[30] afirma Poincaré. En su artículo, el matemático se pregunta de dónde procede el sentimiento de que entre dos instantes cualquiera hay otros instantes. «Sabemos quizá que tal hecho es anterior a tal otro, pero no en cuánto le es anterior.» Por otra parte, ¿se puede transformar el tiempo psicológico, cualitativo, en tiempo físico cuantitativo? El asunto se complica cuando entran en juego dos conciencias, cada una sustentadora de un tiempo propio. «Dos fenómenos psicológicos se verifican en dos conciencias diferentes; cuando afirmo que son simultáneos, ¿qué quiero decir con ello?». Concluye Poincaré que la intuición de la simultaneidad, del orden de sucesión de los fenómenos y de la igualdad de dos duraciones no es más que una alucinación, resultado del citado “oportunismo inconsciente”. «Escogemos, pues, estas reglas, no porque sean verdaderas, sino porque son las más cómodas».[31] Con la determinación de estas reglas o convenciones, Poincaré se inscribió en la corriente filosófica del convencionalismo, de la que fue uno de sus primeros pilares (Cfr. sección “Convencionalismo”).

3.13.2

Kurt Gödel

Kurt Gödel, lógico y matemático austríaco, basándose como Poincaré y Elias en la Relatividad de Einstein, dio un paso más allá en 1949. Si el físico alemán (gran amigo, por cierto, de Gödel) había transformado el tiempo en una dimensión más del espacio, Gödel, a través de nuevas modificaciones de las ecuaciones de campo de Einstein, lo hizo desaparecer.[32] Gödel creía que la relatividad de Einstein había acabado verificando el idealismo filosófico kantiano acerca del espacio y el tiempo.[33] El tema central de las conversaciones de ambos fue la Relatividad general,[34] pero para Gödel había una incongruencia entre la teoría de Einstein y la creencia cotidiana de que el tiempo, a diferencia del espacio, “pasa” o “transcurre”.[35] Esto lo argumentó desde el punto de vista, primero, de la relatividad especial: «Cada observador tiene su conjunto de “ahoras”, y ninguno de estos sistemas diversos de capas puede reclamar la prerrogativa de representar el lapso objetivo del tiempo», de lo que derivó que la relatividad especial era inconsistente con la realidad del tiempo intuitivo, el tiempo experimentado como “real”. Para negar el tiempo se basó, en segundo lugar, en la relatividad general, aplicándole su propia teoría de los universos en rotación, en los que las curvas de espacio-tiempo se doblan sobre sí mismas hacia atrás, tanto que vuelven al punto de partida, lo que posibilitaría nada menos que el viaje en el tiempo. Aunque, si demostrablemente se puede volver a visitar el pasado, éste todavía existe; pero si el pasado todavía existe, ¿qué es del presente? La consecuencia lógica de todo ello es la negación de la existencia del tiempo.[36] «El tiempo –decía Gödel–, tal como nos lo presentamos a nosotros mismos, simplemente no encaja con los hechos. Llamarlo tiempo subjetivo es solo un eufemismo».[37] Muchos años más tarde, el físico Stephen Hawking, mediante un artefacto teórico que denominó conjetura de protección de la cronología, trató de demostrar que la teoría de Gödel era una falacia,[38] opinión que la física actual en general sustenta. La tesis propiamente dicha de Hawking, sin embargo, no ha recibido muchas adhesiones desde su publicación, pues, según el filósofo Palle Yourgrau, su carácter ad hoc la delata.[39]

3.13.3

C. G. Jung

El psicólogo suizo C. G. Jung, en su estudio del elusivo fenómeno de la sincronicidad (coincidencias de fenómenos en el tiempo aparentemente no relacionadas causalmente entre sí), arroja una luz claramente relativista sobre los conceptos de espacio y tiempo. Para él, en efecto, las casualidades encadenadas no representan fenómenos de causalidad, sino de mera coincidencia en el tiempo, de “simultaneidad": «Por esa característica de la simultaneidad he elegido el término sincronicidad, para designar con él un factor de explicación hipotético que sea equiparable a la causalidad».[40] Más adelante identiﬁca la sincronicidad como una «relación entre tiempo y espacio psíquicamente condicionada. [En determinados experimentos psicológicos] el tiempo y el espacio se comportan respecto a la psique, en cierto modo, “elásticamente”, ya que aparentemente pueden ser reducidos a voluntad. […] es decir, parece como si el tiempo y el espacio guardaran relación con las condiciones psíquicas o como si, en sí mismos, no existieran y sólo estuvieran “establecidos” por la consciencia». De lo que deduce: «El tiempo y el espacio, según la visión primitiva […] son algo sumamente dudoso. Sólo en el curso de la evolución espiritual se han convertido en conceptos “ﬁjos”, y ello gracias a la introducción de la medición. En sí mismos, el tiempo y el espacio no constan de nada. […] Son, pues, esencialmente, de origen psíquico [subrayado del autor], seguramente la razón por la que Kant los interpretó como categorías a priori».

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

Esta relativización es de tipo einsteiniano: «Espacio y tiempo son propiedades aparentes de los cuerpos en movimiento engendradas por la necesidades de intelección del observador».[41] Según Jung, por ejemplo, los casos asombrosos de orientación espacial de algunos animales podrían ser explicados a partir de esta relatividad psíquica espacio-temporal.[42]

3.13.4

Norbert Elias

El sociólogo alemán Norbert Elias estudia el tiempo partiendo asimismo de la concepción relativista de Albert Einstein, negadora de la objetividad del mismo: «¿Cómo puede medirse algo que los sentidos no pueden percibir? Una hora es invisible».[43] Para Elias el tiempo es en realidad un fenómeno social, un símbolo, que se utiliza fundamentalmente como instrumento de orientación en el flujo incesante del acontecer, y también para regular la conducta humana.[44] Critica el tiempo objetivo de Newton y el idealista de Kant. El innatismo de este último, sus a prioris, los contrapone a una visión social e histórica del espacio y el tiempo. Conceptos como “tiempo”, “espacio” y “causalidad” pretenden dar la impresión de lo instintivo e inmutable, lo que es indefendible, según Elias.[45] Así, Kant «había aprendido a usar el concepto de “tiempo” con el significado que, en aquella fase, le otorgó sobre todo el progreso de la Física y de la técnica», concepto relativo a su época que él calificó de innato.[46] Los relojes y calendarios son una forma de aprehender lo que no es simultáneo sino sucesivo. El hombre necesita las determinaciones del tiempo, por ejemplo por asuntos de organización y puntualidad y, tanto más cuanto más avanzadas son las culturas. Es más, «En un mundo sin hombres y seres vivos, no habría tiempo y, por tanto, tampoco relojes ni calendarios».[47] El reloj agrega al acontecimiento cuadridimensional en el espacio y el tiempo, una quinta dimensión, de naturaleza simbólica, que es característica de la comunicación humana. Solo en la vivencia humana se dan las importantes líneas divisorias entre “pasado”, “presente” y “futuro”, características de la aludida quinta dimensión.[48] En cuanto al “antes” y el “después”, tampoco se refieren propiamente al tiempo sino a la causalidad física o filosófica. No son más que «manifestaciones de la facultad humana de representarse juntamente lo que no sucede al mismo tiempo».[49] Pero el tiempo, como concepto, también evoluciona de un estadio a otro. De manera que, «en su actual estadio de desarrollo es, como se ve, una síntesis simbólica de alto nivel con cuyo auxilio pueden relacionarse posiciones en la sucesión de fenómenos físicos naturales, del acontecer social y de la vida individual».[50] El objeto principal del libro de Elias Sobre el tiempo[51] es «la coacción del tiempo», coacción que paulatinamente va incrementándose por exigencias de la compleja vida moderna, cuando durante miles de años el hombre ha sobrevivido sin necesidad de relojes ni calendarios.[52] Por último, Elias estudia largamente el intento de conciliar el carácter sintético y simbólico del tiempo con su dimensión física, objeto de la ciencia, «en un universo de cinco dimensiones donde el tiempo parece llevar una doble existencia».[53]

3.13.5

Ilya Prigogine

El químico belga Ilya Prigogine, contradiciendo la teoría de la relatividad, parte de «una fuerte conciencia de la realidad del tiempo» como algo objetivo: «Como recuerda a menudo Popper, el tiempo no puede ser una ilusión porque sería como negar Hiroshima».[54] Por otra parte, tiempo y eternidad son dos conceptos diferentes. El tiempo no es la eternidad, ni es el eterno retorno. La estructura del espacio-tiempo está ligada a la irreversibilidad, pero el tiempo no es solamente irreversibilidad, devenir y evolución. En contra de la opinión de muchos de sus colegas, afirma Prigogine que el tiempo, como la entropía, tiene una función creadora.[55] Según Prigogine no podemos hablar de un nacimiento del tiempo (en referencia a su libro El nacimiento del tiempo), pero sí de un nacimiento de nuestro tiempo, así como de un nacimiento de nuestro Universo. Existen varios tipos de tiempo: el tiempo astronómico, el tiempo de la dinámica, el tiempo químico interno, el tiempo biológico interno, que es la inscripción del código genético que prosigue a lo largo de miles de millones de años de la vida misma, el tiempo musical, etc. Es una convención humana contar el tiempo a partir de un acontecimiento, como por ejemplo, el nacimiento de Cristo. El nacimiento de nuestro tiempo no es el nacimiento de el tiempo porque en el vacío fluctuante preexistía un tiempo en estado potencial. El tiempo potencial es un tiempo que está ya siempre ahí, en estado latente, pero que requiere un fenómeno de fluctuación para actualizarse. El tiempo no ha nacido con nuestro Universo: el tiempo precede a la existencia y podrá hacer que nazcan otros universos.[56]

3.14. REFERENCIAS

Por otra parte, en su teoría sobre el origen del Universo, la relación entre espacio-tiempo por un lado y materia por el otro, no es simétrica. El espacio-tiempo se transforma en materia cuando la inestabilidad del vacío se corresponde con una explosión de entropía,[57] lo cual resulta en un fenómeno irreversible. La materia sería, por lo tanto, para Prigogine, una especie de contaminación del espacio-tiempo.[58] El tiempo, como se ha visto, precede al Universo, que es el resultado de una transición de fase (proviene de otro estado físico) a gran escala.[59] Es decir, el Universo que conocemos sería el resultado de una transformación irreversible de otro estado físico: cuando el tiempo se transformó en materia. La ruptura de la simetría, en el espacio, es consecuencia de una ruptura en la simetría temporal, es decir, de una diferencia entre el pasado y el futuro.[60] En consecuencia —lo que es fundamental—, sería la materia, por su propia esencia, la que explicaría la dirección de la ﬂecha del tiempo. Prigogine analiza detalladamente en este contexto los conceptos de irreversibilidad y de estructura disipativa, fundamentales en su doctrina. Las líneas ﬁnales del libro, a modo de conclusión, están dedicadas a explicar el incesante «aumento de la complejidad» en la Naturaleza: «Los desarrollos recientes de la termodinámica nos proponen por tanto un universo en el que el tiempo no es ni ilusión ni disipación, sino creación».[61]

3.13.6

Stephen W. Hawking

La obra Historia del tiempo. Del Big Bang a los agujeros negros, del físico británico Stephen W. Hawking, tuvo una enorme repercusión en los últimos años del siglo XX. En este libro, Hawking trata de responder a las más importantes preguntas que se han planteado tradicionalmente sobre el cosmos: la naturaleza del tiempo y del espacio-tiempo, si el tiempo tuvo un principio y tendrá un final, si el espacio es infinito o tiene límites, la flecha del tiempo, el significado de los agujeros negros en relación con todo ello... A tal objeto repasa las más importantes ideas desde Aristóteles hasta Einstein y la mecánica cuántica, tratando de vislumbrar una teoría unificadora, que, según este científico, deberá consistir en una teoría cuántica de la gravedad. Hawking parte en sus premisas del tiempo relativista de Einstein, que describe ampliamente en las primeras páginas del libro, y del espacio no del todo vacío, sino sujeto al principio de indeterminación cuántico, como se ha visto en anterior epígrafe.[62] Por otra parte, no tiene sentido hablar de tiempo antes del principio del universo, pero tampoco existe la necesidad física de un principio.[63] Su tesis cosmológica fundamental, que no ha variado sustancialmente hasta el día de hoy, viene recogida en el capítulo 8 de la obra. A las dos posibilidades clásicas (1ª: el universo ha existido desde un tiempo infinito y, 2ª: tuvo un principio en una singularidad, el Big Bang), añade, partiendo de la teoría cuántica siempre sustentada en la relatividad, una tercera: «Es posible que el espacio-tiempo sea finito en extensión, y que, sin embargo, no tenga ninguna singularidad que forme una frontera o un borde. El espacio-tiempo sería como la superficie de la Tierra, solo que con dos dimensiones más. La teoría cuántica de la gravedad ha abierto una posibilidad en la que no habría ninguna frontera del espacio-tiempo y, por tanto, no habrá ninguna necesidad de especificar el comportamiento en la frontera. [...] El universo estaría completamente autocontenido y no se vería afectado por nada que estuviera fuera de él. No sería ni creado ni destruido. Simplemente sería».[64] Pero, puntualiza más tarde Hawking: «Me gustaría subrayar que esta idea de que tiempo y espacio deben ser finitos y sin frontera es exactamente una propuesta: no puede ser deducida de ningún otro principio».[65] Por último, y este es un tema recurrente en Hawking, todas estas ideas tienen «también profundas implicaciones sobre el papel de Dios en los asuntos del Universo. […] ¿Qué lugar queda, entonces, para un creador?».[66]

3.14 Referencias (Versión ampliada en:wik.: ) • Abbagnano, Nicolás: Historia de la Filosofía - Tomos I y III, Montaner y Simón. Barcelona, 1973. ISBN 84-2740526-X (obra completa). • Albert, David: Time and Chance. Harvard Univ. Press (2000). • Earman, John: World Enough and Space-Time. MIT Press (1989).

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO • Einstein, Albert: Mi visión del mundo. Edición de Carl Seelig. Tusquets Editores - Barcelona, 1981. ISBN 84-7223591-2. • Elias, Norbert: Sobre el tiempo. Fondo de Cultura Económica, 1989. ISBN 84-375-0292-6 • Friedman, Michael: Foundations of Space-Time Theories. Princeton Univ. Press (1983). • Grunbaum, Adolf: Philosophical Problems of Space and Time, 2nd ed. Boston Studies in the Philosophy of Science. Vol XII. D. Reidel Publishing (1974). • Hawking, Stephen W.: Historia del tiempo. Del Big Bang a los agujeros negros. Crítica, Barcelona (1989) ISBN 84-7423-374-7 • Hawking, Stephen W.: La teoría del todo. Debolsillo (2007) ISBN 978-84-8346-891-3 • Heidegger, Martin: El concepto de tiempo. Ed. Trotta - Madrid, 2006. ISBN 84-8164-256-8. • Horwich, Paul: Asymmetries in Time. MIT Press (1987). • Jung, C. G.: La dinámica de lo inconsciente (volumen 8 de obra completa). Ed. Trotta - Madrid, 2011. ISBN 978-84-8164-586-6 • Lucas, John Randolph: A Treatise on Time and Space. London: Methuen (1973). • Mellor, D.H.: Real Time II. Routledge (1998). • Prigogine, Ilya: El nacimiento del tiempo. Tusquets, 2005. ISBN 84-7223-292-1 • Redondi, Pietro: Historias del tiempo. Gredos. (2010). ISBN 978-84-249-0380-0 • Reichenbach, Hans: The Philosophy of Space and Time. Dover (1958). • Reichenbach, Hans: The Direction of Time. University of California Press (1991). • Sklar, Lawrence: Space, Time, and Spacetime. University of California Press (1976). • Van Fraassen, Bas: An Introduction to the Philosophy of Space and Time. Random House (1970). • Whitrow, G. J.: The Natural Philosophy of Time. Clarendon Press - Oxford, 1980. • Yourgrau, Palle: Un mundo sin tiempo. El legado olvidado de Gödel y Einstein. Tusquets - Barcelona, 2007. ISBN 8978-84-8383-020-8

3.15 Notas [1] 1. Abbagnano, Tomo I. - 2. Artículo Wik. “Aristóteles”. [2] Definición de “espacio” en The Free Dictionary [3] Definición de “tiempo”. [4] Whitrow, G. J.: The Natural Philosophy of Time. Clarendon Press - Oxford, 1980 p. 4 [5] Llegará a afirmar: «Si enim fallor, sum» (si me equivoco es porque existo), que recuerda el «cogito ergo sum» de Descartes. [6] «Ese sistema de los tiempos consiste en el pasado premundano, en el presente y en el futuro postmundano; y éstos serían el verdadero pasado y futuro, no el pasado y el futuro del tiempo humano, que simplemente se limita a repetir en el presente el esquema del sistema de los tiempos» (Roberto Augusto, «La genealogía del tiempo y del espacio en Die Weltalter de Schelling», en: Pensamiento. Revista de Investigación e Información Filosófica, Universidad Pontificia de Comillas, vol. 64, 2008, n.º 241, p. 502).

3.15. NOTAS

[7] «Ninguna cosa tiene un tiempo exterior, sino que cada cosa sólo tiene un tiempo interior, propio, innato e inherente a ella» (SCHELLING, F. W. J., Las edades del mundo. Textos de 1811 a 1815, Akal, Madrid, 2002, p. 97). [8] cita Abbagnano a Nietzsche, su entregarse al anillo de los anillos, en referencia al espíritu dionisíaco: op. cit. tomo III, p. 326 [9] Einstein, p. 189 y ss. [10] id., p. 199 [11] citado en Redondi, p. 269 [12] Redondi, p. 267 [13] Einstein, p. 166 [14] Redondi, p. 267 [15] Yourgrau, p. 159 [16] Univ. de Stanford Planteamiento, en inglés. [17] Astroseti Explicación sencilla en Astroseti. [18] www.tdcat.cesca.es Alternativa sustancialista. [19] Walter Dittrich & Gies H (2000). Probing the quantum vacuum: perturbative eﬀective action approach. Berlin: Springer. ISBN 3540674284. [20] S. Hawking, en La teoría del todo, 74 [21] El bosón de Higgs: una casi nada que lo explica casi todo Artículo en El País - Acceso 10/07/2012. [22] S. Hawking, en La teoría del todo, 128-129 [23] Ibíd., p. 131 [24] The Unreality of Time Artículo en inglés. [25] Abbagnano, Tomo III. [26] Heidegger, p. 47 [27] Redondi, 248 [28] Ibíd., 248-9 [29] Ibíd., 257-8 [30] Ibíd., 249 [31] Texto citado en Redondi, 249-261 [32] Yourgrau, 19 [33] Ibíd., 32 [34] Ibíd., 35 [35] Ibíd., 159 [36] Ibíd., 170-173 [37] citado en Yourgrau, 176 [38] Ibíd., 21 [39] Ibíd., 175 [40] Jung, 430

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

[41] Ibíd., 430-1 [42] Ibíd., 432 [43] Elias, 11 [44] Ibíd., 12 [45] Ibíd., 48 y ss. [46] Ibíd., 72 [47] Ibíd., 22-23 [48] Ibíd., 93 [49] Ibíd., 93 [50] Ibíd., 26 [51] Elias, Norbert: Sobre el tiempo. Fondo de Cultura Económica, 1989. ISBN 84-375-0292-6 [52] Ibíd., 34 [53] Ibíd., 44 [54] Prigogine, 22 [55] Ilya Prigogine (2012). El nacimiento del tiempo. Buenos Aires, Fábula Tusquets editores. ISBN 978-987-670-087-0. [56] Prigogine (Tusquets, Barcelona), pp. 76-7 [57] Ibíd., 65 [58] Ibíd., 72 [59] Ibíd., 69 [60] Ibíd., 39 [61] Ibíd., 98 [62] Hawking en La teoría del todo, 74 [63] Hawking en Historia del tiempo, 26-27 [64] Ibíd., 180-81 [65] Ibíd., 182 [66] Ibíd., 186-87

3.16 Véase también • Espacio-tiempo • Cosmología • Flecha del tiempo • Viaje en el tiempo • Endurantismo • Presentismo • Perdurantismo • Eternalismo • Universo de bloque

3.17. ENLACES EXTERNOS

3.17 Enlaces externos • La genealogía del tiempo y del espacio en Die Weltalter de Schelling, de Roberto Augusto. En inglés • Stanford Encyclopedia of Philosophy: • "Time", artículo de Ned Marlosian; • "Being and Becoming in Modern Physics" de Steven Savitt; • "Absolute and Relational Theories of Space and Motion" de Nick Huggett y Carl Hoefer. • “Internet Encyclopedia of Philosophy": "Time" de Bradley Dowden. • Brown, C.L., 2006, "What is Space?" Aproximación wittgensteiniana a la cuestión '¿qué es el espacio?'. • Rea, M. C., "Four Dimensionalism" en The Oxford Handbook for Metaphysics. Oxford Univ. Press. Se describen el presentismo y el cuadridimensionalismo. • CEITT, Time and Temporality Research Center, "Time and Temporality".

Ernst Mach.

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

3.17. ENLACES EXTERNOS

Albert Einstein en 1920.

Henri Bergson.

CAPÍTULO 3. FILOSOFÍA DEL ESPACIO Y EL TIEMPO

Capítulo 4

Cosmología Cosmología, del griego κοσμολογία («cosmologuía», compuesto por κόσμος, /kosmos/, «cosmos, orden», y λογια, /loguía/, «tratado, estudio») concepción integral, denominada también “Filosofía de la naturaleza”, que estudia todo lo relacionado con el universo: su origen, su forma, su tamaño, las leyes que lo rigen y los elementos que lo componen.

4.1 Contexto Aunque la palabra «cosmología» fue utilizada por primera vez en 1731 en la Cosmología generalis de Christian Wolff, el estudio científico del universo tiene una larga historia, que involucra a la física, la astronomía, la filosofía, el esoterismo y la religión. El nacimiento de la cosmología moderna puede situarse en 1700 con la hipótesis de que las estrellas de la Vía Láctea pertenecen a un sistema estelar de forma discoidal, del cual el propio Sol forma parte; y que otros cuerpos nebulosos visibles con el telescopio son sistemas estelares similares a la Vía Láctea, pero muy lejanos.

4.2 Cosmología física Se entiende por cosmología física el estudio del origen, la evolución y el destino del Universo utilizando los modelos terrenos de la física. La cosmología física se desarrolló como ciencia durante la primera mitad del siglo XX como consecuencia de los acontecimientos detallados a continuación: • 1915-1916. Albert Einstein formula la teoría general de la relatividad, que será la teoría marco de los modelos matemáticos del universo. Al mismo tiempo formula el primer modelo matemático del universo conocido como universo estático donde introduce la famosa constante cosmológica y la hipótesis conocida como principio cosmológico, que establece que el universo es homogéneo e isótropo a gran escala, lo que significa que tiene la misma apariencia general observado desde cualquier lugar. • 1916-1917. El astrónomo Willem de Sitter formula un modelo estático de universo vacío de materia con la constante cosmológica donde los objetos astronómicos alejados tenían que presentar corrimientos al rojo en sus líneas espectrales. • 1920-1921. Tiene lugar el Gran Debate entre los astrónomos Heber Curtis y Harlow Shapley que estableció la naturaleza extragaláctica de las nebulosas espirales cuando se pensaba que la Vía Láctea constituía todo el universo. • 1922-1924. El físico ruso Alexander Friedmann publica la primera solución matemática a las ecuaciones de Einstein de la relatividad general, que representan a un universo en expansión. En un artículo de 1922 publica la solución para un universo finito y en 1924 la de un universo infinito. 49

CAPÍTULO 4. COSMOLOGÍA

El Hubble Ultra Deep Field. Casi todos los puntos de luz en esta imagen son todos una galaxia. Esto es sólo una pequeña región de un universo que podría contener hasta 200 mil millones de galaxias.

• 1929. Edwin Hubble establece una relación lineal entre la distancia y el corrimiento al rojo de las nebulosas espirales que ya había sido observado por el astrónomo Vesto Slipher en 1909. Esta relación se conocerá como Ley de Hubble. • 1930. El sacerdote y astrónomo belga Georges Édouard Lemaître esboza su hipótesis del átomo primitivo donde sugería que el universo había nacido de un solo cuanto de energía. • 1931. Milton Humason, colaborador de Hubble, dio la interpretación de los corrimientos al rojo como efecto Doppler debido a la velocidad de alejamiento de las nebulosas espirales. • 1933. El astrónomo suizo Fritz Zwicky publicó un estudio de la distribución de las galaxias sugiriendo que estaban permanente ligadas por su mutua atracción gravitacional. Zwicky señaló sin embargo que no bastaba la cantidad de masa realmente observada en la forma de las galaxias para dar cuenta de la intensidad requerida del campo gravitatorio. Se introducía así el problema de la materia oscura

4.2. COSMOLOGÍA FÍSICA

• 1948. Herman Bondi, Thomas Gold y Fred Hoyle proponen el modelo de estado estacionario, donde el universo no solo tiene la misma apariencia a gran escala visto desde cualquier lugar, sino que la tiene vista en cualquier época. • 1948. George Gamow y Ralph A. Alpher publican un artículo donde estudian las síntesis de los elementos químicos ligeros en el reactor nuclear que fue el universo primitivo, conocida como nucleosíntesis primordial. En el mismo año, el mismo Alpher y Robert Herman mejoran los cálculos y hacen la primera predicción de la existencia de la radiación de fondo de microondas. • 1964. Arno Penzias y Robert Woodrow Wilson de los laboratorios Bell descubren la señal de radio que fue rápidamente interpretada como la radiación de fondo de microondas que supondría una observación crucial que convertiría al modelo del Big Bang (o de la Gran Explosión) en el modelo físico estándar para describir el universo. Durante el resto del siglo XX se produjo la consolidación de este modelo y se reunieron las evidencias observacionales que establecen los siguientes hechos fuera de cualquier duda razonable: • El universo está en expansión, en el sentido de que la distancia entre cualquier par de galaxias lejanas se está incrementando con el tiempo. • La dinámica de la expansión está con muy buena aproximación descrita por la teoría general de la relatividad de Einstein. • El universo se expande a partir de un estado inicial de alta densidad y temperatura donde se formaron los elementos químicos ligeros, estado a veces denominado Big Bang o Gran Explosión.

4.2.1

El Big Bang

A pesar de que el modelo del Big Bang o «La Gran Explosión», es un modelo teórico observacionalmente bastante robusto y ampliamente aceptado entre la comunidad científica, hay algunos aspectos que todavía quedan por resolver: • Se desconoce qué ocurrió en los primeros instantes tras el Big Bang. La respuesta se busca mediante el estudio del universo temprano, una de cuyas metas es encontrar la explicación a una posible unificación de las cuatro fuerzas fundamentales (fuerte, débil, electromagnética y gravitacional). • No existe un modelo definitivo de la formación de las estructuras actuales, a partir del Big Bang. La respuesta se busca mediante el estudio de la formación y evolución de las galaxias y la inflación cósmica. • Queda por saber a qué se debe el hecho de que el universo se expanda con aceleración (Véase Aceleración de la expansión del universo). • No se sabe cuál es el destino final del universo. • Se desconoce en su mayor parte la naturaleza de la materia oscura y la energía oscura. • En el momento después del Big Bang las partículas elementales aparecieron, los quarks arriba en los protones y los quarks abajo en los neutrones, y no se conoce la proporción entre protones y neutrones, estas partículas están hechas por dos quarks con la misma carga eléctrica, no se habrían podido unir gracias a la interacción electromagnética, es inútil recurrir a la interacción nuclear fuerte, pues ésta solo tiene un alcance del tamaño máximo de un núcleo atómico y además porque la interacción electromagnética tiene un alcance gigantesco y si el universo se agrandó en un solo segundo cien octillones de veces, en este brevísimo lapso de tiempo la interacción nuclear fuerte no podría unir la casi totalidad (si no es la totalidad) de los quarks.

4.2.2

Cosmologías alternativas

Se entiende por cosmología alternativa todas aquellas teorías, modelos o ideas cosmológicas que contradicen el modelo estándar de cosmología: • Cosmología de plasma: Ambiplasma

CAPÍTULO 4. COSMOLOGÍA • Teoría del Estado Estacionario • Expansión cósmica en escala de C. Johan Masreliez • MOND de Mordehai Milgrom

4.3 Cosmología religiosa La cosmología religiosa es un delicado debate abierto entre religiosos. • Creacionismo • Diseño inteligente • Cosmogonía

4.4 Cosmología filosófica En filosofía y metafísica, la cosmología trata del universo considerado como colección de seres finitos, de su esencia, origen, leyes, elementos y atributos o caracteres más importantes y generales: 1. Del mundo en general; 2. De los principios esenciales de los cuerpos; 3. De las leyes de la naturaleza física; 4. De las principales afecciones o propiedades de los cuerpos; 5. De los cuerpos vivientes y animados, por ser partes principales del mundo visible.

4.5 Véase también • Filosofía de la naturaleza • Cosmología física • Cosmología religiosa • Cosmología budista • Cosmología china • Cosmovisión • Cronología de la cosmología • Origen del universo • Teoría del big bang • Filosofía del espacio y el tiempo

4.6. BIBLIOGRAFÍA

4.6 Bibliografía • Alemañ Berenguer, Rafael Andrés (2001). Tras los secretos del universo. Equipo Sirius. ISBN 84-95495-08-2. • Malcolm S. Longair (1999). La evolución de nuestro universo. Ediciones AKAL. ISBN 9788483230312. • Steven Weinberg (2003). Los tres primeros minutos del universo. Alianza. ISBN 9788420667300. • Rémi Brague (2008). La sabiduría del mundo. Encuentro. ISBN 9788474908329.

4.7 Enlaces externos •

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•

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•

Wikcionario tiene deﬁniciones y otra información sobre cosmología.Wikcionario

• Cosmología. Origen, evolución y destino del universo. Pedro J. Hernández

Capítulo 5

Big Bang La teoría del Big Bang (Gran explosión) es el modelo cosmológico predominante para los períodos conocidos más antiguos del Universo y su posterior evolución a gran escala.[1][2][3] Afirma que el universo estaba en un estado de muy alta densidad y luego se expandió.[4][5] Si las leyes conocidas de la física se extrapolan más allá del punto donde son válidas existe una singularidad. Mediciones modernas datan este momento aproximadamente a 13,8 mil millones de años atrás, que es por tanto la edad del universo.[6] Después de la expansión inicial, el universo se enfrió lo suficiente para permitir la formación de las partículas subatómicas y más tarde simples átomos. Nubes gigantes de estos elementos primordiales más tarde se unieron a través de la gravedad para formar estrellas y galaxias. La teoría del Big Bang no proporciona ninguna explicación de las condiciones iniciales del universo; más bien, describe y explica su evolución general, avanzando a partir de ese momento.[4] Desde que Georges Lemaître observó por primera vez, en 1927, que un universo en expansión podría remontarse en el tiempo para un único punto de origen, los científicos se han basado en su idea de la expansión cósmica. Si bien la comunidad científica una vez estuvo dividida entre los partidarios de dos teorías diferentes de universo en expansión, el Big Bang y la teoría del Estado estacionario, la acumulación de evidencia observacional proporciona un fuerte apoyo para el primero.[7] En 1929 Edwin Hubble descubrió indicios de que todas las galaxias están distanciándose a altas velocidades. En 1964 la radiación de fondo cósmico de microondas fue descubierta, lo que fue una prueba crucial en favor del modelo del Big Bang, ya que la teoría predijo la existencia de la radiación de fondo en todo el universo antes de ser descubierta. Las leyes físicas conocidas de la naturaleza pueden utilizarse para calcular las características en detalle del universo del pasado a un estado inicial de extrema densidad y temperatura.[8][9][10]

5.1 Introducción Curiosamente, la expresión Big Bang proviene -a su pesar- del astrofísico inglés Fred Hoyle, uno de los detractores de esta teoría y, a su vez, uno de los principales defensores de la teoría del estado estacionario, quien en 1949, durante una intervención en la BBC dijo, para mofarse, que el modelo descrito era sólo un big bang (gran explosión). No obstante, hay que tener en cuenta que en el inicio del Universo ni hubo explosión ni fue grande, pues en rigor surgió de una «singularidad» inﬁnitamente pequeña, seguida de la expansión del propio espacio.[11] La idea central del Big Bang es que la teoría de la relatividad general puede combinarse con las observaciones de isotropía y homogeneidad a gran escala de la distribución de galaxias y los cambios de posición entre ellas, permitiendo extrapolar las condiciones del Universo antes o después en el tiempo. Una consecuencia de todos los modelos de big bang es que, en el pasado, el universo tenía una temperatura más alta y mayor densidad y, por tanto, las condiciones del actual son muy diferentes de las condiciones del universo pasado. A partir de este modelo, George Gamow en 1948 predecía que habría evidencias de un fenómeno que más tarde sería bautizado como radiación de fondo de microondas 54

5.2. BREVE HISTORIA DE SU GÉNESIS Y DESARROLLO

De acuerdo con el modelo del Big Bang, el Universo se expandió a partir de un estado extremadamente denso y caliente y continúa expandiéndose hasta el día de hoy.

5.2 Breve historia de su génesis y desarrollo Para llegar al modelo del Big Bang, muchos científicos, con diversos estudios, han ido construyendo el camino que lleva a la génesis de esta explicación. Los trabajos de Alexander Friedman, del año 1922, y de Georges Lemaître, de 1927, utilizaron la teoría de la relatividad para demostrar que el universo estaba en movimiento constante. Poco después, en 1929, el astrónomo estadounidense Edwin Hubble (1889-1953) descubrió galaxias más allá de la Vía Láctea que se alejaban de nosotros, como si el Universo se expandiera constantemente. En 1948, el físico ucraniano nacionalizado estadounidense, George Gamow (1904-1968), planteó que el universo se creó a partir de una gran explosión (big bang). Recientemente, ingenios espaciales puestos en órbita (COBE) han conseguido “oír” los vestigios de esta gigantesca explosión primigenia. De acuerdo con la teoría, un universo homogéneo e isótropo lleno de materia ordinaria, podría expandirse indefinidamente o frenar su expansión lentamente, hasta producirse una contracción universal. El fin de esa contracción se conoce con un

CAPÍTULO 5. BIG BANG

Imagen proporcionada por el telescopio Hubble del espacio lejano, cuando el universo era más caliente y más concentrado de acuerdo con la teoría del Big Bang.

término contrario al Big Bang: el Big Crunch o 'Gran Colapso' o un Big Rip o Gran desgarro. Si el Universo se encuentra en un punto crítico, puede mantenerse estable ad eternum. Muy recientemente se ha comprobado que actualmente existe una expansión acelerada del universo hecho no previsto originalmente en la teoría y que ha llevado a la introducción de la hipótesis adicional de la energía oscura (este tipo de materia tendría propiedades especiales que permitirían comportar la aceleración de la expansión). La teoría del Big Bang se desarrolló a partir de observaciones y avances teóricos. Por medio de observaciones, en la década de 1910, el astrónomo estadounidense Vesto Slipher y, después de él, Carl Wilhelm Wirtz, de Estrasburgo, determinaron que la mayor parte de las nebulosas espirales se alejan de la Tierra; pero no llegaron a darse cuenta de las implicaciones cosmológicas de esta observación, ni tampoco del hecho de que las supuestas nebulosas eran en realidad galaxias exteriores a nuestra Vía Láctea. Además, la teoría de Albert Einstein sobre la relatividad general (segunda década del siglo XX) no admite soluciones

5.3. VISIÓN GENERAL

estáticas (es decir, el Universo debe estar en expansión o en contracción), resultado que él mismo consideró equivocado, y trató de corregirlo agregando la constante cosmológica. El primero en aplicar formalmente la relatividad a la cosmología, sin considerar la constante cosmológica, fue Alexander Friedman, cuyas ecuaciones describen el Universo FriedmanLemaître-Robertson-Walker, que puede expandirse o contraerse. Entre 1927 y 1930, el sacerdote belga Georges Lemaître[12] obtuvo independientemente las ecuaciones Friedman-LemaîtreRobertson-Walker y propuso, sobre la base de la recesión de las nebulosas espirales, que el Universo se inició con la explosión de un átomo primigenio, lo que más tarde se denominó "Big Bang". En 1929, Edwin Hubble realizó observaciones que sirvieron de fundamento para comprobar la teoría de Lemaître. Hubble probó que las nebulosas espirales son galaxias y midió sus distancias observando las estrellas variables cefeidas en galaxias distantes. Descubrió que las galaxias se alejan unas de otras a velocidades (relativas a la Tierra) directamente proporcionales a su distancia. Este hecho se conoce ahora como la ley de Hubble (véase Edwin Hubble: Marinero de las nebulosas, texto escrito por Edward Christianson). Según el principio cosmológico, el alejamiento de las galaxias sugería que el Universo está en expansión. Esta idea originó dos hipótesis opuestas. La primera era la teoría Big Bang de Lemaître, apoyada y desarrollada por George Gamow. La segunda posibilidad era el modelo de la teoría del estado estacionario de Fred Hoyle, según la cual se genera nueva materia mientras las galaxias se alejan entre sí. En este modelo, el Universo es básicamente el mismo en un momento dado en el tiempo. Durante muchos años hubo un número de adeptos similar para cada teoría. Con el pasar de los años, las evidencias observacionales apoyaron la idea de que el Universo evolucionó a partir de un estado denso y caliente. Desde el descubrimiento de la radiación de fondo de microondas, en 1965, ésta ha sido considerada la mejor teoría para explicar el origen y evolución del cosmos. Antes de finales de los años sesenta, muchos cosmólogos pensaban que la singularidad infinitamente densa del tiempo inicial en el modelo cosmológico de Friedman era una sobreidealización, y que el Universo se contraería antes de empezar a expandirse nuevamente. Ésta es la teoría de Richard Tolman de un Universo oscilante. En los años 1960, Stephen Hawking y otros demostraron que esta idea no era factible, y que la singularidad es un componente esencial de la gravedad de Einstein. Esto llevó a la mayoría de los cosmólogos a aceptar la teoría del Big Bang, según la cual el Universo que observamos se inició hace un tiempo finito. Prácticamente todos los trabajos teóricos actuales en cosmología tratan de ampliar o concretar aspectos de la teoría del Big Bang. Gran parte del trabajo actual en cosmología trata de entender cómo se formaron las galaxias en el contexto del Big Bang, comprender lo que allí ocurrió y cotejar nuevas observaciones con la teoría fundamental. A finales de los años 1990 y principios del siglo XXI, se lograron grandes avances en la cosmología del Big Bang como resultado de importantes adelantos en telescopía, en combinación con grandes cantidades de datos satelitales de COBE, el telescopio espacial Hubble y WMAP. Estos datos han permitido a los cosmólogos calcular muchos de los parámetros del Big Bang hasta un nuevo nivel de precisión, y han conducido al descubrimiento inesperado de que el Universo está en aceleración.

5.3 Visión general 5.3.1

Descripción del Big Bang

Michio Kaku ha señalado cierta paradoja en la denominación big bang (gran explosión): en cierto modo no puede haber sido grande ya que se produjo exactamente antes del surgimiento del espacio-tiempo, habría sido el mismo big bang lo que habría generado las dimensiones desde una singularidad; tampoco es exactamente una explosión en el sentido propio del término ya que no se propagó fuera de sí mismo. Basándose en medidas de la expansión del Universo utilizando observaciones de las supernovas tipo 1a, en función de la variación de la temperatura en diferentes escalas en la radiación de fondo de microondas y en función de la correlación de las galaxias, la edad del Universo es de aproximadamente 13,7 ± 0,2 miles de millones de años. Es notable el hecho de que tres mediciones independientes sean consistentes, por lo que se consideran una fuerte evidencia del llamado modelo de concordancia que describe la naturaleza detallada del Universo. El universo en sus primeros momentos estaba lleno homogénea e isótropamente de una energía muy densa y tenía una temperatura y presión concomitantes. Se expandió y se enfrió, experimentando cambios de fase análogos a la condensación

CAPÍTULO 5. BIG BANG

El Universo ilustrado en tres dimensiones espaciales y una dimensión temporal.

del vapor o a la congelación del agua, pero relacionados con las partículas elementales. Aproximadamente 10−35 segundos después del tiempo de Planck un cambio de fase causó que el Universo se expandiese de forma exponencial durante un período llamado inﬂación cósmica. Al terminar la inﬂación, los componentes materiales del Universo quedaron en la forma de un plasma de quarks-gluones, en donde todas las partes que lo formaban estaban en movimiento en forma relativista. Con el crecimiento en tamaño del Universo, la temperatura descendió, y debido a un cambio aún desconocido denominado bariogénesis, los quarks y los gluones se combinaron en bariones tales como el protón y el neutrón, produciendo de alguna manera la asimetría observada actualmente entre la materia y la antimateria. Las temperaturas aún más bajas condujeron a nuevos cambios de fase, que rompieron la simetría, así que les dieron su forma actual a las fuerzas fundamentales de la física y a las partículas elementales. Más tarde, protones y neutrones se combinaron para formar los núcleos de deuterio y de helio, en un proceso llamado nucleosíntesis primordial. Al enfriarse el Universo, la materia gradualmente dejó de moverse de forma relativista y su densidad de energía comenzó a dominar gravitacionalmente sobre la radiación. Pasados 300.000 años, los electrones y los núcleos se combinaron para formar los átomos (mayoritariamente de hidrógeno). Por eso, la radiación se desacopló de los átomos y continuó por el espacio prácticamente sin obstáculos. Ésta es la radiación de fondo de microondas. Al pasar el tiempo, algunas regiones ligeramente más densas de la materia casi uniformemente distribuida crecieron gravitacionalmente, haciéndose más densas, formando nubes, estrellas, galaxias y el resto de las estructuras astronómicas que actualmente se observan. Los detalles de este proceso dependen de la cantidad y tipo de materia que hay en el Universo. Los tres tipos posibles se denominan materia oscura fría, materia oscura caliente y materia bariónica. Las mejores medidas disponibles (provenientes del WMAP) muestran que la forma más común de materia en el universo es la materia oscura fría. Los otros dos tipos de materia sólo representarían el 20 por ciento de la materia del Universo. El Universo actual parece estar dominado por una forma misteriosa de energía conocida como energía oscura. Aproximadamente el 70 por ciento de la densidad de energía del universo actual está en esa forma. Una de las propiedades

5.4. EVIDENCIAS

características de este componente del universo es el hecho de que provoca que la expansión del universo varíe de una relación lineal entre velocidad y distancia, haciendo que el espacio-tiempo se expanda más rápidamente que lo esperado a grandes distancias. La energía oscura toma la forma de una constante cosmológica en las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general, pero los detalles de esta ecuación de estado y su relación con el modelo estándar de la física de partículas continúan siendo investigados tanto en el ámbito de la física teórica como por medio de observaciones. Más misterios aparecen cuando se investiga más cerca del principio, cuando las energías de las partículas eran más altas de lo que ahora se puede estudiar mediante experimentos. No hay ningún modelo físico convincente para el primer 10−33 segundo del universo, antes del cambio de fase que forma parte de la teoría de la gran unificación. En el “primer instante”, la teoría gravitacional de Einstein predice una singularidad en donde las densidades son infinitas. Para resolver esta paradoja física, hace falta una teoría de la gravedad cuántica. La comprensión de este período de la historia del universo figura entre los mayores problemas no resueltos de la física.

5.3.2

Base teórica

En su forma actual, la teoría del Big Bang depende de tres suposiciones: 1. La universalidad de las leyes de la física, en particular de la teoría de la relatividad general 2. El principio cosmológico 3. El principio de Copérnico Inicialmente, estas tres ideas fueron tomadas como postulados, pero actualmente se intenta verificar cada una de ellas. La universalidad de las leyes de la física ha sido verificada al nivel de las más grandes constantes físicas, llevando su margen de error hasta el orden de 10−5 . La isotropía del universo que define el principio cosmológico ha sido verificada hasta un orden de 10−5 . Actualmente se intenta verificar el principio de Copérnico observando la interacción entre grupos de galaxias y el CMB por medio del efecto Sunyaev-Zeldovich con un nivel de exactitud del 1 por ciento. La teoría del Big Bang utiliza el postulado de Weyl para medir sin ambigüedad el tiempo en cualquier momento en el pasado a partir del la época de Planck. Las medidas en este sistema dependen de coordenadas conformales, en las cuales las llamadas distancias codesplazantes y los tiempos conformales permiten no considerar la expansión del universo para las medidas de espacio-tiempo. En ese sistema de coordenadas, los objetos que se mueven con el flujo cosmológico mantienen siempre la misma distancia codesplazante, y el horizonte o límite del universo se fija por el tiempo codesplazante. Visto así, el Big Bang no es una explosión de materia que se aleja para llenar un universo vacío; es el espacio-tiempo el que se extiende.Y es su expansión la que causa el incremento de la distancia física entre dos puntos fijos en nuestro universo.Cuando los objetos están ligados entre ellos (por ejemplo, por una galaxia), no se alejan con la expansión del espacio-tiempo, debido a que se asume que las leyes de la física que los gobiernan son uniformes e independientes del espacio métrico. Más aún, la expansión del universo en las escalas actuales locales es tan pequeña que cualquier dependencia de las leyes de la física en la expansión no sería medible con las técnicas actuales.

5.4 Evidencias En general, se consideran tres las evidencias empíricas que apoyan la teoría cosmológica del Big Bang. Éstas son: la expansión del universo que se expresa en la Ley de Hubble y que se puede apreciar en el corrimiento hacia el rojo de las galaxias, las medidas detalladas del fondo cósmico de microondas, y la abundancia de elementos ligeros. Además, la función de correlación de la estructura a gran escala del Universo encaja con la teoría del Big Bang.

5.4.1

Expansión expresada en la ley de Hubble

De la observación de galaxias y quasares lejanos se desprende la idea de que estos objetos experimentan un corrimiento hacia el rojo, lo que quiere decir que la luz que emiten se ha desplazado proporcionalmente hacia longitudes de onda más

CAPÍTULO 5. BIG BANG

largas. Esto se comprueba tomando el espectro de los objetos y comparando, después, el patrón espectroscópico de las líneas de emisión o absorción correspondientes a átomos de los elementos que interactúan con la radiación. En este análisis se puede apreciar cierto corrimiento hacia el rojo, lo que se explica por una velocidad recesional correspondiente al efecto Doppler en la radiación. Al representar estas velocidades recesionales frente a las distancias respecto a los objetos, se observa que guardan una relación lineal, conocida como Ley de Hubble:

v = H0 · D donde v es la velocidad recesional, D es la distancia al objeto y H 0 es la constante de Hubble, que el satélite WMAP estimó en 71 ± 4 km/s/Mpc.

5.4.2

Radiación cósmica de fondo

Imagen de la radiación de fondo de microondas.

Una de las predicciones de la teoría del Big Bang es la existencia de la radiación cósmica de fondo, radiación de fondo de microondas o CMB (Cosmic microwave background). El universo temprano, debido a su alta temperatura, se habría llenado de luz emitida por sus otros componentes. Mientras el universo se enfriaba debido a la expansión, su temperatura habría caído por debajo de 3000 K. Por encima de esta temperatura, los electrones y protones están separados, haciendo el universo opaco a la luz. Por debajo de los 3000 K se forman los átomos, permitiendo el paso de la luz a través del gas del universo. Esto es lo que se conoce como disociación de fotones. La radiación en este momento habría tenido el espectro del cuerpo negro y habría viajado libremente durante el resto de vida del universo, sufriendo un corrimiento hacia el rojo como consecuencia de la expansión de Hubble. Esto hace variar el espectro del cuerpo negro de 3345 K a un espectro del cuerpo negro con una temperatura mucho menor. La radiación, vista desde cualquier punto del universo, parecerá provenir de todas las direcciones en el espacio. En 1965, Arno Penzias y Robert Wilson, mientras desarrollaban una serie de observaciones de diagnóstico con un receptor de microondas propiedad de los Laboratorios Bell, descubrieron la radiación cósmica de fondo. Ello proporcionó una conﬁrmación sustancial de las predicciones generales respecto al CMB —la radiación resultó ser isótropa y constante, con

5.4. EVIDENCIAS

un espectro del cuerpo negro de cerca de 3 K— e inclinó la balanza hacia la hipótesis del Big Bang. Penzias y Wilson recibieron el Premio Nobel por su descubrimiento. En 1989, la NASA lanzó el COBE (Cosmic background Explorer) y los resultados iniciales, proporcionados en 1990, fueron consistentes con las predicciones generales de la teoría del Big Bang acerca de la CMB. El COBE halló una temperatura residual de 2,726 K, y determinó que el CMB era isótropo en torno a una de cada 105 partes. Durante la década de los 90 se investigó más extensamente la anisotropía en el CMB mediante un gran número de experimentos en tierra y, midiendo la distancia angular media (la distancia en el cielo) de las anisotropías, se vio que el universo era geométricamente plano. A principios de 2003 se dieron a conocer los resultados de la Sonda Wilkinson de Anisotropías del fondo de Microondas (en inglés Wilkinson Microwave Anisotropy Probe o WMAP), mejorando los que hasta entonces eran los valores más precisos de algunos parámetros cosmológicos. (Véase también experimentos sobre el fondo cósmico de microondas). Este satélite también refutó varios modelos inflacionistas específicos, pero los resultados eran constantes con la teoría de la inflación en general.

5.4.3

Abundancia de elementos primordiales

Se puede calcular, usando la teoría del Big Bang, la concentración de helio−4, helio−3, deuterio y litio−7.1 en el universo como proporciones con respecto a la cantidad de hidrógeno normal, H. Todas las abundancias dependen de un solo parámetro: la razón entre fotones y bariones, que por su parte puede calcularse independientemente a partir de la estructura detallada de la radiación cósmica de fondo. Las proporciones predichas (en masa, no volumen) son de cerca de 0,25 para la razón 4 He/H, alrededor de 10−3 para 2 He/H, y alrededor de 10−4 para 3 He/H. Estas abundancias medidas concuerdan, al menos aproximadamente, con las predichas a partir de un valor determinado de la razón de bariones a fotones, y se considera una prueba sólida en favor del Big Bang, ya que esta teoría es la única explicación conocida para la abundancia relativa de elementos ligeros. De hecho no hay, fuera de la teoría del Big Bang, ninguna otra razón obvia por la que el universo debiera, por ejemplo, tener más o menos helio en proporción al hidrógeno.

5.4.4

Evolución y distribución galáctica

Las observaciones detalladas de la morfología y estructura de las galaxias y cuásares proporcionan una fuerte evidencia del Big Bang. La combinación de las observaciones con la teoría sugiere que los primeros cuásares y galaxias se formaron hace alrededor de mil millones de años después del Big Bang, y desde ese momento se han estado formando estructuras más grandes, como los cúmulos de galaxias y los supercúmulos. Las poblaciones de estrellas han ido envejeciendo y evolucionando, de modo que las galaxias lejanas (que se observan tal y como eran en el principio del universo) son muy diferentes a las galaxias cercanas (que se observan en un estado más reciente). Por otro lado, las galaxias formadas hace relativamente poco son muy diferentes a las galaxias que se formaron a distancias similares pero poco después del Big Bang. Estas observaciones son argumentos sólidos en contra de la teoría del estado estacionario. Las observaciones de la formación estelar, la distribución de cuásares y galaxias, y las estructuras más grandes concuerdan con las simulaciones obtenidas sobre la formación de la estructura en el universo a partir del Big Bang, y están ayudando a completar detalles de la teoría.

5.4.5

Otras evidencias

Después de cierta controversia, la edad del Universo estimada por la expansión Hubble y la CMB (Radiación cósmica de fondo) concuerda en gran medida (es decir, ligeramente más grande) con las edades de las estrellas más viejas, ambos medidos aplicando la teoría de la evolución estelar de los cúmulos globulares y a través de la fecha radiométrica individual en las estrellas de la segunda Población.

CAPÍTULO 5. BIG BANG

5.5 Problemas comunes Históricamente, han surgido varios problemas dentro de la teoría del Big Bang. Algunos de ellos sólo tienen interés histórico y han sido evitados, ya sea por medio de modificaciones a la teoría o como resultado de observaciones más precisas. Otros aspectos, como el problema de la penumbra en cúspide y el problema de la galaxia enana de materia oscura fría, no se consideran graves, dado que pueden resolverse a través de un perfeccionamiento de la teoría. Existe un pequeño número de proponentes de cosmologías no estándar que piensan que no hubo un Big Bang. Afirman que las soluciones a los problemas conocidos del Big Bang contienen modificaciones ad hoc y agregados a la teoría. Las partes más atacadas de la teoría incluyen lo concerniente a la materia oscura, la energía oscura y la inflación cósmica. Cada una de estas características del universo ha sido sugerida mediante observaciones de la radiación de fondo de microondas, la estructura a gran escala del cosmos y las supernovas de tipo IA, pero se encuentran en la frontera de la física moderna (ver problemas no resueltos de la física). Si bien los efectos gravitacionales de materia y energía oscuras son bien conocidos de forma observacional y teórica, todavía no han sido incorporados al modelo estándar de la física de partículas de forma aceptable. Estos aspectos de la cosmología estándar siguen sin tener una explicación adecuada, pero la mayoría de los astrónomos y los físicos aceptan que la concordancia entre la teoría del Big Bang y la evidencia observacional es tan cercana que permite establecer con cierta seguridad casi todos los aspectos básicos de la teoría. Los siguientes son algunos de los problemas y enigmas comunes del Big Bang.

5.5.1

El problema del segundo principio de la termodinámica

El problema del segundo principio de la termodinámica resulta del hecho de que de este principio se deduce que la entropía, el desorden, aumenta si se deja al sistema (el universo) seguir su propio rumbo. Una de las consecuencias de la entropía es el aumento en la proporción entre radiación y materia por lo tanto el universo debería terminar en una muerte térmica, una vez que la mayor parte de la materia se convierta en fotones y estos se diluyan en la inmensidad del universo. Otro problema señalado por Roger Penrose es que la entropía parece haber sido anormalmente pequeña en el estado 123 inicial del universo. Penrose evalúa la probabilidad de un estado inicial en aproximadamente: 1010 .[13] De acuerdo con Penrose y otros, la teoría cosmológica ordinaria no explica porqué la entropía inicial del universo es tan anormalmente baja, y propone la hipótesis de curvatura de Weil en conexión con ella. De acuerdo con esa hipótesis una teoría cuántica de la gravedad debería dar una explicación tanto del porqué el universo se inició en un estado de curvatura de Weil nula y de una entropía tan baja. Aunque todavía no se ha logrado una teoría de la gravedad cuántica satisfactoria. Por otro lado en la teoría estándar el estado entrópico anormalmente bajo, se considera que es producto de una “gran casualidad” justificada por el principio antrópico. Postura que Penrose y otros consideran filosóficamente insatisfactoria.

5.5.2

El problema del horizonte

El problema del horizonte, también llamado problema de la causalidad, resulta del hecho de que la información no puede viajar más rápido que la luz, de manera que dos regiones en el espacio separadas por una distancia mayor que la velocidad de la luz multiplicada por la edad del universo no pueden estar causalmente conectadas. En este sentido, la isotropía observada de la radiación de fondo de microondas (CMB) resulta problemática, debido a que el tamaño del horizonte de partículas en ese tiempo corresponde a un tamaño de cerca de dos grados en el cielo. Si el universo hubiera tenido la misma historia de expansión desde la época de Planck, no habría mecanismo que pudiera hacer que estas regiones tuvieran la misma temperatura. Esta aparente inconsistencia se resuelve con la teoría inflacionista, según la cual un campo de energía escalar isótropo domina el universo al transcurrir un tiempo de Planck luego de la época de Planck. Durante la inflación, el universo sufre una expansión exponencial, y regiones que se afectan mutuamente se expanden más allá de sus respectivos horizontes. El principio de incertidumbre de Heisenberg predice que durante la fase inflacionista habrá fluctuaciones primordiales, que se simplificarán hasta la escala cósmica. Estas fluctuaciones sirven de semilla para toda la estructura actual del universo. Al pasar la inflación, el universo se expande siguiendo la ley de Hubble, y las regiones que estaban demasiado lejos para afectarse mutuamente vuelven al horizonte. Esto explica la isotropía observada de la CMB. La inflación predice que las fluctuaciones primordiales son casi invariantes según la escala y que tienen una distribución normal o gaussiana, lo cual

5.5. PROBLEMAS COMUNES

ha sido conﬁrmado con precisión por medidas de la CMB. En 2003 apareció otra teoría para resolver este problema, la velocidad variante de la luz de João Magueijo, que aunque a la larga contradice la relatividad de Einstein usa su ecuación incluyendo la constante cosmológica para resolver el problema de una forma muy eﬁcaz que también ayuda a solucionar el problema de la planitud.

5.5.3

El problema de la planitud

El problema de la planitud (flatness problem en inglés) es un problema observacional que resulta de las consecuencias que la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker tiene para con la geometría del universo. En general, se considera que existen tres tipos de geometrías posibles para nuestro universo según su curvatura espacial: geometría elíptica (curvatura positiva), geometría hiperbólica (negativa) y geometría euclidiana o plana (curvatura nula). Dicha geometría viene determinada por la cantidad total de densidad de energía del universo (medida mediante el tensor de tensión-energía). Siendo Ω el cociente entre la densidad de energía ρ medida observacionalmente y la densidad crítica ρ , se tiene que para cada geometría las relaciones entre ambos parámetros han de ser :   Ω > 1positiva Curvatura Ω = 1nula Curvatura  Ω < 1negativa Curvatura La densidad en el presente es muy cercana a la densidad crítica, o lo que es lo mismo, el universo hoy es espacialmente plano, dentro de una buena aproximación. Sin embargo, las diferencias con respecto a la densidad crítica crecen con el tiempo, luego en el pasado la densidad tuvo que ser aún más cercana a esta. Se ha medido que en los primeros momentos del universo la densidad era diferente a la crítica tan sólo en una parte en 1015 (una milbillonésima parte). Cualquier desviación mayor hubiese conducido a una muerte térmica o un Big Crunch y el universo no sería como ahora. Una solución a este problema viene de nuevo de la teoría inflacionaria. Durante el periodo inflacionario el espacio-tiempo se expandió tan rápido que provocó una especie de estiramiento del universo acabando con cualquier curvatura residual que pudiese haber. Así la inflación pudo hacer al universo plano.

5.5.4

Edad de los cúmulos globulares

A mediados de los años 90, las observaciones realizadas de los cúmulos globulares parecían no concondar con la Teoría del Big Bang. Las simulaciones realizadas por ordenador de acuerdo con las observaciones de las poblaciones estelares de cúmulos de galaxias sugirieron una edad de cerca de 15 000 millones de años, lo que entraba en conﬂicto con la edad del universo, estimada en 13 700 millones de años. El problema quedó resuelto a ﬁnales de esa década, cuando las nuevas simulaciones realizadas, que incluían los efectos de la pérdida de masa debida a los vientos estelares, indicaron que los cúmulos globulares eran mucho más jóvenes. Quedan aún en el aire algunas preguntas en cuanto a con qué exactitud se miden las edades de los cúmulos, pero está claro que éstos son algunos de los objetos más antiguos del universo.

5.5.5

Monopolos magnéticos

La objeción de los monopolos magnéticos fue propuesta a finales de la década de 1970. Las teorías de la gran unificación predicen defectos topológicos en el espacio que se manifestarían como monopolos magnéticos encontrándose en el espacio con una densidad mucho mayor a la observada. De hecho, hasta ahora, no se ha dado con ningún monopolo. Este problema también queda resuelto mediante la inflación cósmica, dado que ésta elimina todos los puntos defectuosos del universo observable de la misma forma que conduce la geometría hacia su forma plana. Es posible que aun así pueda haber monopolos pero se ha calculado que apenas si habría uno por cada universo visible, una cantidad ínfima y no observable en todo caso.

5.5.6

CAPÍTULO 5. BIG BANG

Materia oscura

En las diversas observaciones realizadas durante las décadas de los 70 y 80 (sobre todo las de las curvas de rotación de las galaxias) se mostró que no había suﬁciente materia visible en el universo para explicar la intensidad aparente de las fuerzas gravitacionales que se dan en y entre las galaxias. Esto condujo a la idea de que hasta un 90% de la materia en el universo no es materia común o bariónica sino materia oscura. Además, la asunción de que el universo estuviera compuesto en su mayor parte por materia común llevó a predicciones que eran fuertemente inconsistentes con las observaciones. En particular, el universo es mucho menos “inhomogéneo” y contiene mucho menos deuterio de lo que se puede considerar sin la presencia de materia oscura. Mientras que la existencia de la materia oscura era inicialmente polémica, ahora es una parte aceptada de la cosmología estándar, debido a las observaciones de las anisotropías en el CMB, dispersión de velocidades de los cúmulos de galaxias, y en las estructuras a gran escala, estudios de las lentes gravitacionales y medidas por medio de rayos x de los cúmulos de galaxias. La materia oscura se ha detectado únicamente a través de su huella gravitacional; no se ha observado en el laboratorio ninguna partícula que se le pueda corresponder. Sin embargo, hay muchos candidatos a materia oscura en física de partículas (como, por ejemplo, las partículas pesadas y neutras de interacción débil o WIMP (Weak Interactive Massive Particles), y se están llevando a cabo diversos proyectos para detectarla.

5.5.7

Energía oscura

En los años 90, medidas detalladas de la densidad de masa del universo revelaron que ésta sumaba en torno al 30% de la densidad crítica. Puesto que el universo es plano, como indican las medidas del fondo cósmico de microondas, quedaba un 70% de densidad de energía sin contar. Este misterio aparece ahora conectado con otro: las mediciones independientes de las supernovas de tipo Ia han revelado que la expansión del universo experimenta una aceleración de tipo no lineal, en vez de seguir estrictamente la Ley de Hubble. Para explicar esta aceleración, la relatividad general necesita que gran parte del universo consista en un componente energético con gran presión negativa. Se cree que esta energía oscura constituye ese 70% restante. Su naturaleza sigue siendo uno de los grandes misterios del Big Bang. Los candidatos posibles incluyen una constante cosmológica escalar y una quintaesencia. Actualmente se están realizando observaciones que podrían ayudar a aclarar este punto.

5.6 El futuro de acuerdo con la teoría del Big Bang Antes de las observaciones de la energía oscura, los cosmólogos consideraron dos posibles escenarios para el futuro del universo. Si la densidad de masa del Universo se encuentra sobre la densidad crítica, entonces el Universo alcanzaría un tamaño máximo y luego comenzaría a colapsarse. Éste se haría más denso y más caliente nuevamente, terminando en un estado similar al estado en el cual empezó en un proceso llamado Big Crunch. Por otro lado, si la densidad en el Universo es igual o menor a la densidad crítica, la expansión disminuiría su velocidad, pero nunca se detendría. La formación de estrellas cesaría mientras el Universo en crecimiento se haría menos denso cada vez. El promedio de la temperatura del universo podría acercarse asintóticamente al cero absoluto (0 K ó −273,15 °C). Los agujeros negros se evaporarían por efecto de la radiación de Hawking. La entropía del universo se incrementaría hasta el punto en que ninguna forma de energía podría ser extraída de él, un escenario conocido como muerte térmica. Más aún, si existe la descomposición del protón, proceso por el cual un protón decaería a partículas menos masivas emitiendo radiación en el proceso, entonces todo el hidrógeno, la forma predominante del materia bariónica en el universo actual, desaparecería a muy largo plazo, dejando solo radiación. Las observaciones modernas de la expansión acelerada implican que cada vez una mayor parte del universo visible en la actualidad quedará más allá de nuestro horizonte de sucesos y fuera de contacto. Se desconoce cuál sería el resultado de este evento. El modelo Lambda-CMD del universo contiene energía oscura en la forma de una constante cosmológica (de alguna manera similar a la que había incluido Einstein en su primera versión de las ecuaciones de campo). Esta teoría sugiere que sólo los sistemas mantenidos gravitacionalmente, como las galaxias, se mantendrían juntos, y ellos también estarían sujetos a la muerte térmica a medida que el universo se enfriase y expandiese. Otras explicaciones de la energía oscura-llamadas teorías de la energía fantasma sugieren que los cúmulos de galaxias y ﬁnalmente las galaxias mismas se desgarrarán por la eterna expansión del universo, en el llamado Big Rip.

5.7. FÍSICA ESPECULATIVA MÁS ALLÁ DEL BIG BANG

5.7 Física especulativa más allá del Big Bang A pesar de que el modelo del Big Bang se encuentra bien establecido en la cosmología, es probable que se redefina en el futuro. Se tiene muy poco conocimiento sobre el universo más temprano, durante el cual se postula que ocurrió la inflación. También es posible que en esta teoría existan porciones del Universo mucho más allá de lo que es observable en principio. En la teoría de la inflación, esto es un requisito: La expansión exponencial ha empujado grandes regiones del espacio más allá de nuestro horizonte observable. Puede ser posible deducir qué ocurrió cuando tengamos un mejor entendimiento de la física a altas energías. Las especulaciones hechas al respecto, por lo general involucran teorías de gravedad cuántica. Algunas propuestas son: • Inflación caótica. • Cosmología de branas, incluyendo el modelo ekpirótico, en el cual el Big Bang es el resultado de una colisión entre membranas. • Un universo oscilante en el cual el estado primitivo denso y caliente del universo temprano deriva del Big Crunch de un universo similar al nuestro. El universo pudo haber atravesado un número infinito de big bangs y big crunchs. El cíclico, una extensión del modelo ekpirótico, es una variación moderna de esa posibilidad. • Modelos que incluyen la condición de contorno de Hartle-Hawking, en la cual totalidad del espacio-tiempo es finito. Algunas posibilidades son compatibles cualitativamente unas con otras. En cada una se encuentran involucradas hipótesis aún no testeadas.

5.8 Interpretaciones filosóficas y religiosas Existe un gran número de interpretaciones sobre la teoría del Big Bang que son completamente especulativas o extracientíficas. Algunas de estas ideas tratan de explicar la causa misma del Big Bang (primera causa), y fueron criticadas por algunos filósofos naturalistas por ser solamente nuevas versiones de la creación. Algunas personas creen que la teoría del Big Bang brinda soporte a antiguos enfoques de la creación, como por ejemplo el que se encuentra en el Génesis (ver creacionismo), mientras otros creen que todas las teorías del Big Bang son inconsistentes con las mismas. El Big Bang como teoría científica no se encuentra asociado con ninguna religión. Mientras algunas interpretaciones fundamentalistas de las religiones entran en conflicto con la historia del universo postulada por la teoría del Big Bang, la mayoría de las interpretaciones son liberales. A continuación sigue una lista de varias interpretaciones religiosas de la teoría del Big Bang (que son hasta cierto punto incompatibles con la propia descripción científica del mismo): • En la Biblia cristiana aparecen dos versículos que hablarían del big bang y el big crunch: «Él está sentado sobre el círculo de la tierra, cuyos moradores son como langostas; él extiende los cielos como una cortina, los despliega como una tienda para morar» (Isaías 40.22). «Y todo el ejército de los cielos se disolverá, y se enrollarán los cielos como un libro; y caerá todo su ejército como se cae la hoja de la parra, y como se cae la de la higuera» (Isaías 34.4).[14] • La Iglesia católica ha aceptado el Big Bang como una descripción del origen del Universo.[15] Se ha sugerido que la teoría del Big Bang es compatible con las vías de santo Tomás de Aquino, en especial con la primera de ellas sobre el movimiento, así como con la quinta.[cita requerida] • Algunos estudiantes del Kabbalah, el deísmo y otras fes no antropomórficas, concuerdan con la teoría del Big Bang, conectándola por ejemplo con la teoría de la “retracción divina” (tzimtzum) como es explicado por el judío Moisés Maimónides. • Algunos musulmanes modernos creen que el Corán hace un paralelo con el Big Bang en su relato sobre la creación: «¿No ven los no creyentes que los cielos y la Tierra fueron unidos en una sola unidad de creación, antes de que nosotros los separásemos a la fuerza? Hemos creado todos los seres vivientes a partir del agua» (capítulo 21,

CAPÍTULO 5. BIG BANG versículo 30). El Corán también parece describir un universo en expansión: «Hemos construido el cielo con poder, y lo estamos expandiendo» (52.47). • Algunas ramas teístas del hinduismo, tales como las tradiciones vishnuistas, conciben una teoría de la creación con ejemplos narrados en el tercer canto del Bhagavata Purana (principalmente, en los capítulos 10 y 26), donde se describe un estado primordial se expande mientras el Gran Vishnú observa, transformándose en el estado activo de la suma total de la materia (prakriti). • El budismo posee una concepción del universo en el cual no hay un evento de creación. Sin embargo, no parece ser que la teoría del Big Bang entrara en conﬂicto con la misma, ya que existen formas de obtener un universo eterno según el paradigma. Cierto número de populares ﬁlósofos Zen estuvieron muy interesados, en particular, por el concepto del universo oscilante.

5.9 Véase también •

Portal:Cosmología. Contenido relacionado con Cosmología.

5.10 Referencias [1] Joseph Silk (2009). Horizons of Cosmology. Templeton Press. p. 208. [2] Simon Singh (2005). Big Bang: The Origin of the Universe. Harper Perennial. p. 560. [3] Wollack, E. J. (10 December 2010). «Cosmology: The Study of the Universe». Universe 101: Big Bang Theory. NASA. Archivado desde el original el 14 May 2011. Consultado el 27 April 2011. «The second section discusses the classic tests of the Big Bang theory that make it so compelling as the likely valid description of our universe.» [4] «How The Universe Works 3». Discovery Science. 2014. [5] «Big-bang model». Encyclopedia Britannica. Consultado el 11 February 2015. [6] «Planck reveals an almost perfect universe». Planck. ESA. 2013-03-21. Consultado el 2013-03-21. [7] Kragh, H. (1996). Cosmology and Controversy. Princeton University Press. p. 318. ISBN 0-691-02623-8. [8] Gibson, C. H. (2001). «The First Turbulent Mixing and Combustion». IUTAM Turbulent Mixing and Combustion. [9] Gibson, C. H. (2001). «Turbulence And Mixing In The Early Universe». . [10] Gibson, C. H. (2005). «The First Turbulent Combustion». . [11] Michio Kaku, El Universo de Einstein, p. 109. [12] Eduardo Riaza (2010). La historia del comienzo. Georges Lemaître, padre del Big Bang. Encuentro. ISBN 9788499200286. [13] R. Penrose, 1996, p.309 [14] La conexión del versículo 4 del capítulo 34 del libro de Isaías con el Big Crunch es, por lo menos, dudosa. De la lectura del capítulo se desprende que está hablando de la destrucción deﬁnitiva de Edom. En la Biblia es bastante común el lenguaje simbólico y suele utilizarse la expresión cielos como símbolo y sinónimo de gobierno, pues el «cielo» es lo que está encumbrado, en las alturas, como los reyes y las clases dirigentes. Isaías 14:12 describe a la dinastía de Nabucodonosor como semejante a estrella. Menciona en exclamación cómo ha caído del cielo el «resplandeciente hijo del alba». Al derrocar al reino davídico autorizado por Dios,la dinastía babilonia se ensalzó a sí misma hasta los cielos, de donde provenía la autoridad de estos reinos, según el contenido bíblico (Isaías 14: 13, 14). El derrocamiento del reino davídico se reﬁere a la primera destrucción del Templo y de Jerusalén a manos de los babilonios. El versículo 15 indica que se le hará descender al sheol, en hebreo: tumba. [15] M. Salmerón (6 de enero de 2011). «La Iglesia Católica cree en el Big Bang (provocado por Dios, por supuesto)». artículo. ecologiablog.com. Consultado el 27 de enero de 2015.

5.11. BIBLIOGRAFÍA

5.11 Bibliografía • Barrow, John D., Las constantes de la naturaleza. Crítica. Barcelona (2006). ISBN 978-84-8432-684-7 • Green, Brian, El tejido del cosmos. Espacio, tiempo y la textura de la realidad. Crítica. Barcelona (2006). ISBN 978-84-8432-737-0. • Gribbin, John, En busca del Big Bang. Colección “Ciencia hoy”. Madrid: Ediciones Pirámide, 09/1989. ISBN 84368-0421-X e ISBN 978-84-368-0421-8. • Hawking, S. W., Historia del tiempo: del Big Bang a los agujeros negros. Barcelona: Círculo de Lectores, 09/1991. ISBN 84-226-2715-9 e ISBN 978-84-226-2715-9. • http://www.exactas.org/modules/UpDownload/store_folder/Otra_Literatura/Roger.Penrose.$-$.La.Mente.Nueva. Del.Emperador.pdf • Penrose, Roger, La nueva mente del emperador, Fondo de Cultura Económica, México D.F. (1996). ISBN 978968-13-4361-3] • Weinberg, Steven, Los tres primeros minutos del universo, Alianza, Madrid (1999). ISBN 978-84-206-6730-0.

5.11.1

Introducciones técnicas

• S. Dodelson, Modern Cosmology, Academic Press (2003). Released slightly before the WMAP results, this is the most modern introductory textbook. • E. W. Kolb and M. S. Turner, The Early Universe, Addison-Wesley (1990). This is the classic reference for cosmologists. • P. J. E. Peebles, Principles of Physical Cosmology, Princeton University Press (1993). Peebles’ book has a strong historical focus.

5.11.2

Fuentes de primera mano

• G. Lemaître, "Un Univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extragalactiques" (A homogeneous Universe of constant mass and growing radius accounting for the radial velocity of extragalactic nebulae), Annals of the Scientific Society of Brussels 47A (1927):41—General Relativity implies the universe has to be expanding. Einstein brushed him off in the same year. Lemaître’s note was translated in Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 91 (1931): 483–490. • G. Lemaître, Nature 128 (1931) suppl.: 704, with a reference to the primeval atom. • R. A. Alpher, H. A. Bethe, G. Gamow, “The Origin of Chemical Elements, "Physical Review 73 (1948), 803. The so-called αβγ paper, in which Alpher and Gamow suggested that the light elements were created by protons capturing neutrons in the hot, dense early universe. Bethe’s name was added for symmetry. • G. Gamow, “The Origin of Elements and the Separation of Galaxies,” Physical Review 74 (1948), 505. These two 1948 papers of Gamow laid the foundation for our present understanding of big-bang nucleosynthesis. • G. Gamow, Nature 162 (1948), 680. • R. A. Alpher, “A Neutron-Capture Theory of the Formation and Relative Abundance of the Elements,” Physical Review 74 (1948), 1737. • R. A. Alpher and R. Herman, “On the Relative Abundance of the Elements,” Physical Review 74 (1948), 1577. This paper contains the first estimate of the present temperature of the universe. • R. A. Alpher, R. Herman, and G. Gamow Nature 162 (1948), 774.

CAPÍTULO 5. BIG BANG • A. A. Penzias and R. W. Wilson, “A Measurement of Excess Antenna Temperature at 4080 Mc/s,” Astrophysical Journal 142 (1965), 419. The paper describing the discovery of the cosmic microwave background. • R. H. Dicke, P. J. E. Peebles, P. G. Roll and D. T. Wilkinson, “Cosmic Black-Body Radiation,” Astrophysical Journal 142 (1965), 414. The theoretical interpretation of Penzias and Wilson’s discovery. • A. D. Sakharov, “Violation of CP invariance, C asymmetry and baryon asymmetry of the universe,” Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 5, 32 (1967), translated in JETP Lett. 5, 24 (1967). • R. A. Alpher and R. Herman, “Reﬂections on early work on 'big bang' cosmology” Physics Today Aug 1988 24–34. A review article.

5.11.3

Religión y ﬁlosofía

• Jean-Marc Rouvière, Brèves méditations sur la création du monde, Ed. L'Harmattan, París, 2006. • Leeming, David Adams, and Margaret Adams Leeming, A Dictionary of Creation Myths. Oxford University Press (1995), ISBN 0-19-510275-4. • Pío XII (1952), “Modern Science and the Existence of God,” The Catholic Mind 49:182–192.

5.11.4

Artículos de investigación

La mayoría de los artículos cientíﬁcos sobre cosmología están disponibles como preimpresos en . Generalmente son muy técnicos, pero algunas veces tienen una introducción clara en inglés. Los archivos más relevantes, que cubren experimentos y teoría están el el archivo de astrofísica, donde se ponen a disposición artículos estrechamente basados en observaciones, y el archivo de relatividad general y cosmología cuántica, el cual cubre terreno más especulativo. Los artículos de interés para los cosmólogos también aparecen con frecuencia en el archivo sobre Fenómenos de alta energía y sobre teoría de alta energía.

5.12 Enlaces externos •

Wikcionario tiene deﬁniciones y otra información sobre Big Bang.Wikcionario

•

Wikiquote alberga frases célebres de o sobre Big Bang. Wikiquote

•

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Big Bang. Commons

• Juego del Big Bang 2.0 Museo Nacional de la Ciencia y de la Técnica de Cataluña. • Modelo Cosmológico Estándar • Open Directory Project: Cosmology • PBS.org, “From the Big Bang to the End of the Universe. The Mysteries of Deep Space Timeline” • “Welcome to the History of the Universe”. Penny Press Ltd. • Cambridge University Cosmology, "The Hot Big Bang Model". Includes a discussion of the problems with the Big Bang. • Smithsonian Institution, "Universe! - The Big Bang and what came before". • D'Agnese, Joseph, "The last Big Bang man left standing, physicist Ralph Alpher devised Big Bang Theory of universe". Discover, July 1999.

5.12. ENLACES EXTERNOS

• Felder, Gary, "The Expanding Universe". • LaRocco, Chris and Blair Rothstein, “The Big Bang: It sure was Big!!". • Mather, John C., and John Boslough 1996, The very first light: the true inside story of the scientific journey back to the dawn of the universe. ISBN 0-465-01575-1 p.300 • Shestople, Paul, "“Big Bang Primer”. • Singh, Simon, Big Bang: the origin of the universe, Fourth Estate (2005). A historical review of the Big Bang. • Wright, Edward L., “Brief History of the Universe”. • Ciertos científicos escriben acerca del Big Bang. • Grant, Ted; Woods, Alan, “El big bang” , capítulo del libro Razón y Revolución, Fundación Federico Engels.

Capítulo 6

Universo El universo es la totalidad del espacio y del tiempo, de todas las formas de la materia, la energía y el impulso, las leyes y constantes físicas que las gobiernan. Sin embargo, el término también se utiliza en sentidos contextuales ligeramente diferentes y alude a conceptos como cosmos, mundo o naturaleza.[1] Observaciones astronómicas indican que el universo tiene una edad de 13,73 ± 0,12 millardos de años (entre 13 730 y 13 810 millones de años) y por lo menos 93 000 millones de años luz de extensión.[2] El evento que dio inicio al universo se denomina Big Bang. Se denomina Big-Bang a la singularidad que creó el universo. Después del Big Bang, el universo comenzó a expandirse para llegar a su condición actual, y continúa haciéndolo. Debido a que, según la teoría de la relatividad especial, la materia no puede moverse a una velocidad superior a la velocidad de la luz, puede parecer paradójico que dos objetos del universo puedan haberse separado 93 mil millones de años luz en un tiempo de únicamente 13 mil millones de años; sin embargo, esta separación no entra en conﬂicto con la teoría de la relatividad general, ya que ésta sólo afecta al movimiento en el espacio, pero no al espacio mismo, que puede extenderse a un ritmo superior, no limitado por la velocidad de la luz. Por lo tanto, dos galaxias pueden separarse una de la otra más rápidamente que la velocidad de la luz si es el espacio entre ellas el que se dilata. Mediciones sobre la distribución espacial y el desplazamiento hacia el rojo (redshift) de galaxias distantes, la radiación cósmica de fondo de microondas, y los porcentajes relativos de los elementos químicos más ligeros, apoyan la teoría de la expansión del espacio, y más en general, la teoría del Big Bang, que propone que el universo en sí se creó en un momento especíﬁco en el pasado. Observaciones recientes han demostrado que esta expansión se está acelerando, y que la mayor parte de la materia y la energía en el universo son las denominadas materia oscura y energía oscura, la materia ordinaria (barionica), solo representaría algo más del 5 % del total[3] (véanse materia oscura y energía oscura). Los experimentos sugieren que el universo se ha regido por las mismas leyes físicas, constantes a lo largo de su extensión e historia. Es homogéneo e isotrópico. La fuerza dominante en distancias cósmicas es la gravedad, y la relatividad general es actualmente la teoría más exacta para describirla. Las otras tres fuerzas fundamentales, y las partículas en las que actúan, son descritas por el Modelo Estándar. El universo tiene por lo menos tres dimensiones de espacio y una de tiempo, aunque experimentalmente no se pueden descartar dimensiones adicionales muy pequeñas. El espacio-tiempo parece estar conectado de forma sencilla, y el espacio tiene una curvatura media muy pequeña o incluso nula, de manera que la geometría euclidiana es, como norma general, exacta en todo el universo. La ciencia modeliza el universo como un sistema cerrado que contiene energía y materia adscritas al espacio-tiempo y que se rige fundamentalmente por principios causales. Basándose en observaciones del universo observable, los físicos intentan describir el continuo espacio-tiempo en que nos encontramos, junto con toda la materia y energía existentes en él. Su estudio, en las mayores escalas, es el objeto de la cosmología, disciplina basada en la astronomía y la física, en la cual se describen todos los aspectos de este universo con sus fenómenos. La teoría actualmente más aceptada sobre la formación del universo, fue teorizada por el canónigo belga Lemaître, a partir de las ecuaciones de Albert Einstein. Lemaitre concluyó (en oposición a lo que pensaba Einstein), que el universo no era 70

La imagen de luz visible más profunda del cosmos, el Campo Ultra Profundo del Hubble.

estacionario, que el universo tenía un origen. Es el modelo del Big Bang, que describe la expansión del espacio-tiempo a partir de una singularidad espaciotemporal. El universo experimentó un rápido periodo de inflación cósmica que arrasó todas las irregularidades iniciales. A partir de entonces el universo se expandió y se convirtió en estable, más frío y menos denso. Las variaciones menores en la distribución de la masa dieron como resultado la segregación fractal en porciones, que se encuentran en el universo actual como cúmulos de galaxias. En cuanto a su destino final, las pruebas actuales parecen apoyar las teorías de la expansión permanente del universo (Big Freeze ó Big Rip, Gran Desgarro), que nos indica que la expansión misma del espacio, provocará que llegará un punto en que los átomos mismos se separarán en partículas subatómicas. Otros futuros posibles que se barajaron, especulaban que la materia oscura podría ejercer la fuerza de gravedad suficiente para detener la expansión y hacer que toda la materia se comprima nuevamente; algo a lo que los científicos denominan el Big Crunch o la Gran Implosión, pero las últimas observaciones van en la dirección del gran desgarro.

CAPÍTULO 6. UNIVERSO

6.1 Porción observable Los cosmólogos teóricos y astrofísicos utilizan de manera diferente el término universo, designando bien el sistema completo o únicamente una parte de él.[4] Según el convenio de los cosmólogos, el término universo se refiere frecuentemente a la parte finita del espacio-tiempo que es directamente observable utilizando telescopios, otros detectores, y métodos físicos, teóricos y empíricos para estudiar los componentes básicos del universo y sus interacciones. Los físicos cosmólogos asumen que la parte observable del espacio comóvil (también llamado nuestro universo) corresponde a una parte de un modelo del espacio entero y normalmente no es el espacio entero. Frecuentemente se utiliza el término el universo como ambas: la parte observable del espacio-tiempo, o el espacio-tiempo entero. Algunos cosmólogos creen que el universo observable es una parte extremadamente pequeña del universo «entero» realmente existente, y que es imposible observar todo el espacio comóvil. En la actualidad se desconoce si esto es correcto, ya que de acuerdo a los estudios de la forma del universo, es posible que el universo observable esté cerca de tener el mismo tamaño que todo el espacio. La pregunta sigue debatiéndose.[5][6] Si una versión del escenario de la inflación cósmica es correcta, entonces aparentemente no habría manera de determinar si el universo es finito o infinito. En el caso del universo observable, éste puede ser solo una mínima porción del universo existente, y por consiguiente puede ser imposible saber realmente si el universo está siendo completamente observado.

6.2 Evolución 6.2.1

Teoría sobre el origen y la formación del Universo (Big Bang)

El hecho de que el universo esté en expansión se deriva de las observaciones del corrimiento al rojo realizadas en la década de 1920 y que se cuantifican por la ley de Hubble. Dichas observaciones son la predicción experimental del modelo de Friedmann-Robertson-Walker, que es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein de la relatividad general, que predicen el inicio del universo mediante un big bang. El “corrimiento al rojo” es un fenómeno observado por los astrónomos, que muestra una relación directa entre la distancia de un objeto remoto (como una galaxia) y la velocidad con la que éste se aleja. Si esta expansión ha sido continua a lo largo de la vida del universo, entonces en el pasado estos objetos distantes que siguen alejándose tuvieron que estar una vez juntos. Esta idea da pie a la teoría del Big Bang; el modelo dominante en la cosmología actual. Durante la era más temprana del Big Bang, se cree que el universo era un caliente y denso plasma. Según avanzó la expansión, la temperatura decreció hasta el punto en que se pudieron formar los átomos. En aquella época, la energía de fondo se desacopló de la materia y fue libre de viajar a través del espacio. La energía remanente continuó enfriándose al expandirse el universo y hoy forma el fondo cósmico de microondas. Esta radiación de fondo es remarcablemente uniforme en todas direcciones, circunstancia que los cosmólogos han intentado explicar como reflejo de un periodo temprano de inflación cósmica después del Big Bang. El examen de las pequeñas variaciones en el fondo de radiación de microondas proporciona información sobre la naturaleza del universo, incluyendo la edad y composición. La edad del universo desde el Big Bang, de acuerdo a la información actual proporcionada por el WMAP de la NASA, se estima en unos 13.700 millones de años, con un margen de error de un 1 % (137 millones de años). Otros métodos de estimación ofrecen diferentes rangos de edad, desde 11.000 millones a 20.000 millones.

6.2.2

Sopa Primigenia

Hasta hace poco, la primera centésima de segundo era más bien un misterio, impidiendo los cientíﬁcos describir exactamente cómo era el universo. Los nuevos experimentos en el RHIC, en el Brookhaven National Laboratory, han proporcionado a los físicos una luz en esta cortina de alta energía, de tal manera que pueden observar directamente los tipos de comportamiento que pueden haber tomado lugar en ese instante.[7] En estas energías, los quarks que componen los protones y los neutrones no estaban juntos, y una mezcla densa supercaliente de quarks y gluones, con algunos electrones, era todo lo que podía existir en los microsegundos anteriores a que se

6.3. DESCRIPCIÓN FÍSICA

enfriaran lo suﬁciente para formar el tipo de partículas de materia que observamos hoy en día.[8]

6.2.3

Protogalaxias

Los rápidos avances acerca de lo que pasó después de la existencia de la materia aportan mucha información sobre la formación de las galaxias. Se cree que las primeras galaxias eran débiles “galaxias enanas” que emitían tanta radiación que separarían los átomos gaseosos de sus electrones. Este gas, a su vez, se estaba calentando y expandiendo, y tenía la posibilidad de obtener la masa necesaria para formar las grandes galaxias que conocemos hoy.[9][10]

6.2.4

Destino Final

El destino ﬁnal del universo tiene diversos modelos que explican lo que sucederá en función de diversos parámetros y observaciones. A continuación se explican los modelos fundamentales más aceptados:

Big Crunch o la Gran Implosión Es posible que el inmenso aro que rodeaba a las galaxias sea una forma de materia que resulta invisible desde la Tierra. Esta materia oscura tal vez constituya el 99 % de todo lo que hay en el universo.[cita requerida] Si el universo es suficientemente denso, es posible que la fuerza gravitatoria de toda esa materia pueda finalmente detener la expansión inicial, de tal manera que el universo volvería a contraerse, las galaxias empezarían a retroceder, y con el tiempo colisionarían entre sí. La temperatura se elevaría, y el universo se precipitaría hacia un destino catastrófico en el que quedaría reducido nuevamente a un punto. Algunos físicos han especulado que después se formaría otro universo, en cuyo caso se repetiría el proceso. A esta teoría se la conoce como la teoría del universo oscilante. Hoy en día esta hipótesis parece incorrecta, pues a la luz de los últimos datos experimentales, el Universo se está expandiendo cada vez más rápido.

Big Rip o Gran Desgarramiento El Gran Desgarramiento o Teoría de la Eterna Expansión, llamado en inglés Big Rip, es una hipótesis cosmológica sobre el destino último del universo. Este posible destino final del universo depende de la cantidad de energía oscura existente en el Universo. Si el universo contiene suficiente energía oscura, podría acabar en un desgarramiento de toda la materia. El valor clave es w, la razón entre la presión de la energía oscura y su densidad energética. A w < −1, el universo acabaría por ser desgarrado. Primero, las galaxias se separarían entre sí, luego la gravedad sería demasiado débil para mantener integrada cada galaxia. Los sistemas planetarios perderían su cohesión gravitatoria. En los últimos minutos, se desbaratarán estrellas y planetas, y los átomos serán destruidos. Los autores de esta hipótesis calculan que el fin del tiempo ocurriría aproximadamente 3,5×1010 años después del Big Bang, es decir, dentro de 2,0×1010 años. Una modificación de esta teoría denominada Big Freeze, aunque poco aceptada,[cita requerida] afirma que el universo continuaría su expansión sin provocar un Big Rip.

6.3 Descripción física

6.3.1

CAPÍTULO 6. UNIVERSO

Tamaño

Muy poco se conoce con certeza sobre el tamaño del universo. Puede tener una longitud de billones de años luz o incluso tener un tamaño infinito. Un artículo de 2003[11] dice establecer una cota inferior de 24 gigaparsecs (78 000 millones de años luz) para el tamaño del universo, pero no hay ninguna razón para creer que esta cota está de alguna manera muy ajustada (Véase forma del Universo). pero hay distintas tesis del tamaño; una de ellas es que hay varios universos, otra es que el universo es infinito El universo observable (o visible), que consiste en toda la materia y energía que podía habernos afectado desde el Big Bang dada la limitación de la velocidad de la luz, es ciertamente finito. La distancia comóvil al extremo del universo visible ronda los 46.500 millones de años luz en todas las direcciones desde la Tierra. Así, el universo visible se puede considerar como una esfera perfecta con la Tierra en el centro, y un diámetro de unos 93 000 millones de años luz.[12] Hay que notar que muchas fuentes han publicado una amplia variedad de cifras incorrectas para el tamaño del universo visible: desde 13 700 hasta 180 000 millones de años luz. (Véase universo observable). En el Universo las distancias que separan los astros son tan grandes que, si las quisiéramos expresar en metros, tendríamos que utilizar cifras muy grandes. Debido a ello, se utiliza como unidad de longitud el año luz, que corresponde a la distancia que recorre la luz en un año. Actualmente, el modelo de universo más comúnmente aceptado es el propuesto por Albert Einstein en su Relatividad General, en la que propone un universo “finito pero ilimitado”, es decir, que a pesar de tener un volumen medible no tiene límites, de forma análoga a la superficie de una esfera, que es medible pero ilimitada.

6.3.2

Forma

Una pregunta importante abierta en cosmología es la forma del universo. Matemáticamente, ¿qué 3-variedad representa mejor la parte espacial del universo? Si el universo es espacialmente plano, se desconoce si las reglas de la geometría Euclidiana serán válidas a mayor escala. Actualmente muchos cosmólogos creen que el Universo observable está muy cerca de ser espacialmente plano, con arrugas locales donde los objetos masivos distorsionan el espacio-tiempo, de la misma forma que la superficie de un lago es casi plana. Esta opinión fue reforzada por los últimos datos del WMAP, mirando hacia las “oscilaciones acústicas” de las variaciones de temperatura en la radiación de fondo de microondas.[13] Por otra parte, se desconoce si el universo es conexo. El universo no tiene cotas espaciales de acuerdo al modelo estándar del Big Bang, pero sin embargo debe ser espacialmente finito (compacto). Esto se puede comprender utilizando una analogía en dos dimensiones: la superficie de una esfera no tiene límite, pero no tiene un área infinita. Es una superficie de dos dimensiones con curvatura constante en una tercera dimensión. La 3-esfera es un equivalente en tres dimensiones en el que las tres dimensiones están constantemente curvadas en una cuarta. Si el universo fuese compacto y sin cotas, sería posible, después de viajar una distancia suficiente, volver al punto de partida. Así, la luz de las estrellas y galaxias podría pasar a través del universo observable más de una vez. Si el universo fuese múltiplemente conexo y suficientemente pequeño (y de un tamaño apropiado, tal vez complejo) entonces posiblemente se podría ver una o varias veces alrededor de él en alguna (o todas) direcciones. Aunque esta posibilidad no ha sido descartada, los resultados de las últimas investigaciones de la radiación de fondo de microondas hacen que esto parezca improbable.

6.3.3

Color

Café cortado cósmico, el color del universo. Históricamente se ha creído que el Universo es de color negro, pues es lo que observamos al momento de mirar al cielo en las noches despejadas. En 2002, sin embargo, los astrónomos Karl Glazebrook e Ivan Baldry aﬁrmaron en un artículo cientíﬁco que el universo en realidad es de un color que decidieron llamar café cortado cósmico.[14][15] Este estudio se basó en la medición del rango espectral de la luz proveniente de un gran volumen del Universo, sintetizando la información aportada por un total de más de 200.000 galaxias.

6.3. DESCRIPCIÓN FÍSICA

Universum, Grabado Flammarion, xilografía, publicada en París 1888.

6.3.4

Homogeneidad e isotropía

Mientras que la estructura está considerablemente fractalizada a nivel local (ordenada en una jerarquía de racimo), en los órdenes más altos de distancia el universo es muy homogéneo. A estas escalas la densidad del universo es muy uniforme, y no hay una dirección preferida o significativamente asimétrica en el universo. Esta homogeneidad e isotropía es un requisito de la Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker empleada en los modelos cosmológicos modernos.[16] La cuestión de la anisotropía en el universo primigenio fue significativamente contestada por el WMAP, que buscó fluctuaciones en la intensidad del fondo de microondas.[17] Las medidas de esta anisotropía han proporcionado información útil y restricciones sobre la evolución del Universo. Hasta el límite de la potencia de observación de los instrumentos astronómicos, los objetos irradian y absorben la energía de acuerdo a las mismas leyes físicas a como lo hacen en nuestra propia galaxia.[18] Basándose en esto, se cree que las mismas leyes y constantes físicas son universalmente aplicables a través de todo el universo observable. No se ha encontrado ninguna prueba confirmada que muestre que las constantes físicas hayan variado desde el Big Bang.[19]

6.3.5

Composición

El universo observable actual parece tener un espacio-tiempo geométricamente plano, conteniendo una densidad masaenergía equivalente a 9,9 × 10−30 gramos por centímetro cúbico. Los constituyentes primarios parecen consistir en un 73 % de energía oscura, 23 % de materia oscura fría y un 4 % de átomos. Así, la densidad de los átomos equivaldría a un núcleo de hidrógeno sencillo por cada cuatro metros cúbicos de volumen.[20] La naturaleza exacta de la energía oscura y la

CAPÍTULO 6. UNIVERSO

Fluctuaciones en la radiación de fondo de microondas, Imagen NASA/WMAP.

materia oscura fría sigue siendo un misterio. Actualmente se especula con que el neutrino, (una partícula muy abundante en el universo), tenga, aunque mínima, una masa. De comprobarse este hecho, podría signiﬁcar que la energía y la materia oscura no existen. Durante las primeras fases del Big Bang, se cree que se formaron las mismas cantidades de materia y antimateria. Materia y antimateria deberían eliminarse mutuamente al entrar en contacto, por lo que la actual existencia de materia (y la ausencia de antimateria) supone una violación de la simetría CP (Véase Violación CP), por lo que puede ser que las partículas y las antipartículas no tengan propiedades exactamente iguales o simétricas,[21] o puede que simplemente las leyes físicas que rigen el universo favorezcan la supervivencia de la materia frente a la antimateria.[22] En este mismo sentido, también se ha sugerido que quizás la materia oscura sea la causante de la bariogénesis al interactuar de distinta forma con la materia que con la antimateria.[23] Antes de la formación de las primeras estrellas, la composición química del universo consistía primariamente en hidrógeno (75 % de la masa total), con una suma menor de helio-4 (4 He) (24 % de la masa total) y el resto de otros elementos.[24] Una pequeña porción de estos elementos estaba en la forma del isótopo deuterio (²H), helio-3 (³He) y litio (7 Li).[25] La materia interestelar de las galaxias ha sido enriquecida sin cesar por elementos más pesados, generados por procesos de fusión en la estrellas, y diseminados como resultado de las explosiones de supernovas, los vientos estelares y la expulsión de la cubierta exterior de estrellas maduras.[26] El Big Bang dejó detrás un ﬂujo de fondo de fotones y neutrinos. La temperatura de la radiación de fondo ha decrecido sin cesar con la expansión del universo y ahora fundamentalmente consiste en la energía de microondas equivalente a una temperatura de 2'725 K.[27] La densidad del fondo de neutrinos actual es sobre 150 por centímetro cúbico.[28]

6.3.6

Multiversos

Los cosmólogos teóricos estudian modelos del conjunto espacio-tiempo que estén conectados, y buscan modelos que sean consistentes con los modelos físicos cosmológicos del espacio-tiempo en la escala del universo observable. Sin embargo, recientemente han tomado fuerza teorías que contemplan la posibilidad de multiversos o varios universos coexistiendo simultáneamente. Según la recientemente enunciada Teoría de Multiexplosiones se pretende dar explicación a este aspecto, poniendo en relieve una posible convivencia de universos en un mismo espacio.[29]

6.4. ESTRUCTURAS AGREGADAS DEL UNIVERSO

6.3.7

El universo, ¿una ilusión?

Cientíﬁcos del King’s College de Londres lograron recrear las condiciones inmediatamente seguidas al Big Bang a través del conocimiento adquirido durante dos años de la partícula de Higgs y llegaron a la conclusión de que, posiblemente, el universo colapsó, hasta dejar de existir casi tan pronto cuando empezó[30] , lo qué plantea la idea de que todo lo que vemos no existe y solo es el pasado de los astros.[31] .

6.4 Estructuras agregadas del universo 6.4.1

Las galaxias

A gran escala, el universo está formado por galaxias y agrupaciones de galaxias. Las galaxias son agrupaciones masivas de estrellas, y son las estructuras más grandes en las que se organiza la materia en el universo. A través del telescopio se manifiestan como manchas luminosas de diferentes formas. A la hora de clasificarlas, los científicos distinguen entre las galaxias del Grupo Local, compuesto por las treinta galaxias más cercanas y a las que está unida gravitacionalmente nuestra galaxia (la Vía Láctea), y todas las demás galaxias, a las que llaman “galaxias exteriores”. Las galaxias están distribuidas por todo el universo y presentan características muy diversas, tanto en lo que respecta a su configuración como a su antigüedad. Las más pequeñas abarcan alrededor de 3.000 millones de estrellas, y las galaxias de mayor tamaño pueden llegar a abarcar más de un billón de astros. Estas últimas pueden tener un diámetro de 170.000 años luz, mientras que las primeras no suelen exceder de los 6.000 años luz. Además de estrellas y sus astros asociados (planetas, asteroides, etc...), las galaxias contienen también materia interestelar, constituida por polvo y gas en una proporción que varia entre el 1 y el 10 % de su masa. Se estima que el universo puede estar constituido por unos 100.000 millones de galaxias, aunque estas cifras varían en función de los diferentes estudios.

6.4.2

Formas de galaxias

La creciente potencia de los telescopios, que permite observaciones cada vez más detalladas de los distintos elementos del universo, ha hecho posible una clasiﬁcación de las galaxias por su forma. Se han establecido así cuatro tipos distintos: galaxias elípticas, espirales, espirales barradas e irregulares. Galaxias elípticas En forma de elipse o de esferoide, se caracterizan por carecer de una estructura interna deﬁnida y por presentar muy poca materia interestelar. Se consideran las más antiguas del universo, ya que sus estrellas son viejas y se encuentran en una fase muy avanzada de su evolución. Galaxias lenticulares Las galaxias de este tipo fueron en su momento galaxias espirales, pero consumieron o perdieron gran parte de materia interestelar, por lo que hoy carecen de brazos espirales y solo presenta su núcleo. Aunque a veces existe cierta cantidad de materia interestelar, sobre todo polvo, que se agrupa en forma de disco alrededor de la esta. Estas galaxias constituyen alrededor del 3% de las galaxias del universo. Galaxias espirales Están constituidas por un núcleo central y dos o más brazos en espiral, que parten del núcleo. Éste se halla formado por multitud de estrellas y apenas tiene materia interestelar, mientras que en los brazos abunda la materia interestelar y hay

CAPÍTULO 6. UNIVERSO

Galaxia elíptica NGC 1316.

gran cantidad de estrellas jóvenes, que son muy brillantes. Alrededor del 75 % de las galaxias del universo son de este tipo.

Galaxia espiral barrada Es un subtipo de galaxia espiral, caracterizados por la presencia de una barra central de la que típicamente parten dos brazos espirales. Este tipo de galaxias constituyen una fracción importante del total de galaxias espirales. La Vía Láctea es una galaxia espiral barrada.

6.4. ESTRUCTURAS AGREGADAS DEL UNIVERSO

Galaxia irregular NGC 1427.

Galaxias irregulares

Incluyen una gran diversidad de galaxias, cuyas conﬁguraciones no responden a las tres formas anteriores, aunque tienen en común algunas características, como la de ser casi todas pequeñas y contener un gran porcentaje de materia interestelar. Se calcula que son irregulares alrededor del 5 % de las galaxias del universo.

6.4.3

CAPÍTULO 6. UNIVERSO

La Vía Láctea

La Vía Láctea es nuestra galaxia. Según las observaciones, posee una masa de 1012 masas solares y es de tipo espiral barrada. Con un diámetro medio de unos 100 000 años luz se calcula que contiene unos 200 000 millones de estrellas, entre las cuales se encuentra el Sol. La distancia desde el Sol al centro de la galaxia es de alrededor de 27 700 años luz (8.5 kpc) A simple vista, se observa como una estela blanquecina de forma elíptica, que se puede distinguir en las noches despejadas. Lo que no se aprecian son sus brazos espirales, en uno de los cuales, el llamado brazo de Orión, está situado nuestro sistema solar, y por tanto la Tierra. El núcleo central de la galaxia presenta un espesor uniforme en todos sus puntos, salvo en el centro, donde existe un gran abultamiento con un grosor máximo de 16.000 años luz, siendo el grosor medio de unos 6000 años luz. Todas las estrellas y la materia interestelar que contiene la Vía Láctea, tanto en el núcleo central como en los brazos, están situadas dentro de un disco de 100 000 años luz de diámetro, que gira sobre su eje a una velocidad lineal superior a los 216 km/s.[32]

6.4.4

Las constelaciones

Tan sólo 3 galaxias distintas a la nuestra son visibles a simple vista. Tenemos la Galaxia de Andrómeda, visible desde el Hemisferio Norte; la Gran Nube de Magallanes, y la Pequeña Nube de Magallanes, en el Hemisferio Sur celeste. El resto de las galaxias no son visibles al ojo desnudo sin ayuda de instrumentos. Sí que lo son, en cambio, las estrellas que forman parte de la Vía Láctea. Estas estrellas dibujan a menudo en el cielo figuras reconocibles, que han recibido diversos nombres en relación con su aspecto. Estos grupos de estrellas de perfil identificable se conocen con el nombre de constelaciones. La Unión Astronómica Internacional agrupó oficialmente las estrellas visibles en 88 constelaciones, algunas de ellas muy extensas, como Hidra o la Osa Mayor, y otras muy pequeñas como Flecha y Triángulo.

6.4.5

Las estrellas

Son los elementos constitutivos más destacados de las galaxias. Las estrellas son enormes esferas de gas que brillan debido a sus gigantescas reacciones nucleares. Cuando debido a la fuerza gravitatoria, la presión y la temperatura del interior de una estrella es suficientemente intensa, se inicia la fusión nuclear de sus átomos, y comienzan a emitir una luz roja oscura, que después se mueve hacia el estado superior, que es en el que está nuestro Sol, para posteriormente, al modificarse las reacciones nucleares interiores, dilatarse y finalmente enfriarse. Al acabarse el hidrógeno, se originan reacciones nucleares de elementos más pesados, más energéticas, que convierten la estrella en una gigante roja. Con el tiempo, ésta vuelve inestable, a la vez que lanza hacia el espacio exterior la mayor parte del material estelar. Este proceso puede durar 100 millones de años, hasta que se agota toda la energía nuclear, y la estrella se contrae por efecto de la gravedad hasta hacerse pequeña y densa, en la forma de enana blanca, azul o marrón. Si la estrella inicial es varias veces más masiva que el Sol, su ciclo puede ser diferente, y en lugar de una gigante, puede convertirse en una supergigante y acabar su vida con una explosión denominada supernova. Estas estrellas pueden acabar como estrellas de neutrones. Tamaños aún mayores de estrellas pueden consumir todo su combustible muy rápidamente, transformándose en una entidad supermasiva llamada agujero negro. Los Púlsares son fuentes de ondas de radio que emiten con periodos regulares. La palabra Púlsar significa pulsating radio source (fuente de radio pulsante). Se detectan mediante radiotelescopios y se requieren relojes de extraordinaria precisión para detectar sus cambios de ritmo. Los estudios indican que un púlsar es una estrella de neutrones pequeña que gira a gran velocidad. El más conocido está en la Nebulosa del Cangrejo. Su densidad es tan grande que una muestra de cuásar del tamaño de una bola de bolígrafo tendría una masa de cerca de 100.000 toneladas. Su campo magnético, muy intenso, se concentra en un espacio reducido. Esto lo acelera y lo hace emitir gran cantidad de energía en haces de radiación que aquí recibimos como ondas de radio. La palabra Cuásar es un acrónimo de quasi stellar radio source (fuentes de radio casi estelares). Se identificaron en la década de 1950. Más tarde se vio que mostraban un desplazamiento al rojo más grande que cualquier otro objeto conocido. La causa era el Efecto Doppler, que mueve el espectro hacia el rojo cuando los objetos se alejan. El primer Cuásar estudiado, denominado 3C 273, está a 1.500 millones de años luz de la Tierra. A partir de 1980 se han identificado

6.4. ESTRUCTURAS AGREGADAS DEL UNIVERSO

miles de cuásares, algunos alejándose de nosotros a velocidades del 90 % de la de la luz. Se han descubierto cuásares a 12.000 millones de años luz de la Tierra; prácticamente la edad del Universo. A pesar de las enormes distancias, la energía que llega en algunos casos es muy grande, equivalente la recibida desde miles de galaxias: como ejemplo, el s50014+81 es unas 60.000 veces más brillante que toda la Vía Láctea.

6.4.6

Los planetas

Los planetas son cuerpos que giran en torno a una estrella y que, según la definición de la Unión Astronómica Internacional, deben cumplir además la condición de haber limpiado su órbita de otros cuerpos rocosos importantes, y de tener suficiente masa como para que su fuerza de gravedad genere un cuerpo esférico. En el caso de cuerpos que orbitan alrededor de una estrella que no cumplan estas características, se habla de planetas enanos, planetesimales, o asteroides. En nuestro Sistema Solar hay 8 planetas: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno, considerándose desde 2006 a Plutón como un planeta enano. A finales de 2009, fuera de nuestro Sistema Solar se han detectado más de 400 planetas extrasolares, pero los avances tecnológicos están permitiendo que este número crezca a buen ritmo.

6.4.7

Los satélites

Los satélites naturales son astros que giran alrededor de los planetas. El único satélite natural de la Tierra es la Luna, que es también el satélite más cercano al sol. A continuación se enumeran los principales satélites de los planetas del sistema solar (se incluye en el listado a Plutón, considerado por la UAI como un planeta enano). • Tierra: 1 satélite → Luna • Marte: 2 satélites → Fobos, Deimos • Júpiter: 63 satélites → Metis, Adrastea, Amaltea, Tebe, Ío, Europa, Ganimedes, Calisto, Leda, Himalia, Lisitea, Elara, Ananké, Carmé, Pasífae, Sinope... • Saturno: 59 satélites → Pan, Atlas, Prometeo, Pandora, Epimeteo, Jano, Mimas, Encélado, Tetis, Telesto, Calipso, Dione, Helena, Rea, Titán, Hiperión, Jápeto, Febe... • Urano: 15 satélites → Cordelia, Ofelia, Bianca, Crésida, Desdémona, Julieta, Porcia, Rosalinda, Belinda, Puck, Miranda, Ariel, Umbriel, Titania, Oberón. • Neptuno: 8 satélites → Náyade, Talasa, Despina, Galatea, Larisa, Proteo, Tritón, Nereida • Plutón: 5 satélites → Caronte, Nix, Hidra, Cerbero y Estigia

6.4.8

Asteroides y cometas

En aquellas zonas de la órbita de una estrella en las que, por diversos motivos, no se ha producido la agrupación de la materia inicial en un único cuerpo dominante o planeta, aparecen los discos de asteroides: objetos rocosos de muy diversos tamaños que orbitan en grandes cantidades en torno a la estrella, chocando eventualmente entre sí. Cuando las rocas tienen diámetros inferiores a 50m se denominan meteoroides. A consecuencia de las colisiones, algunos asteroides pueden variar sus órbitas, adoptando trayectorias muy excéntricas que periódicamente les acercan la estrella. Cuando la composición de estas rocas es rica en agua u otros elementos volátiles, el acercamiento a la estrella y su consecuente aumento de temperatura origina que parte de su masa se evapore y sea arrastrada por el viento solar, creando una larga cola de material brillante a medida que la roca se acerca a la estrella. Estos objetos se denominan cometas. En nuestro sistema solar hay dos grandes discos de asteroides: uno situado entre las órbitas de Marte y Júpiter, denominado el Cinturón de asteroides, y otro mucho más tenue y disperso en los límites del sistema solar, a aproximadamente un año luz de distancia, denominado Nube de Oort.

CAPÍTULO 6. UNIVERSO

6.5 Indicios de un comienzo La teoría general de la relatividad, que publicó Albert Einstein en 1916, implicaba que el cosmos se hallaba en expansión o en contracción. Pero este concepto era totalmente opuesto a la noción de un universo estático, aceptada entonces hasta por el propio Einstein. De ahí que éste incluyera en sus cálculos lo que denominó “constante cosmológica”, ajuste mediante el cual intentaba conciliar su teoría con la idea aceptada de un universo estático e inmutable. Sin embargo, ciertos descubrimientos que se sucedieron en los años veinte llevaron a Einstein a decir que el ajuste que había efectuado a su teoría de la relatividad era el ‘mayor error de su vida’. Dichos descubrimientos se realizaron gracias a la instalación de un enorme telescopio de 254 centímetros en el monte Wilson (California). Las observaciones formuladas en los años veinte con la ayuda de este instrumento demostraron que el universo se halla en expansión. Hasta entonces, los mayores telescopios solo permitían identificar las estrellas de nuestra galaxia, la Vía Láctea, y aunque se veían borrones luminosos, llamados nebulosas, por lo general se tomaban por remolinos de gas existentes en nuestra galaxia. Gracias a la mayor potencia del telescopio del monte Wilson, Edwin Hubble logró distinguir estrellas en aquellas nebulosas. Finalmente se descubrió que los borrones eran lo mismo que la Vía Láctea: galaxias. Hoy se cree que hay entre 50.000 y 125.000 millones de galaxias, cada una con cientos de miles de millones de estrellas. A finales de los años veinte, Hubble también descubrió que las galaxias se alejan de nosotros, y que lo hacen más velozmente cuanto más lejos se hallan. Los astrónomos calculan la tasa de recesión de las galaxias mediante el espectrógrafo, instrumento que mide el espectro de la luz procedente de los astros. Para ello, dirigen la luz que proviene de estrellas lejanas hacia un prisma, que la descompone en los colores que la integran. La luz de un objeto es rojiza (fenómeno llamado corrimiento al rojo) si este se aleja del observador, y azulada (corrimiento al azul) si se le aproxima. Cabe destacar que, salvo en el caso de algunas galaxias cercanas, todas las galaxias conocidas tienen líneas espectrales desplazadas hacia el rojo. De ahí infieren los científicos que el universo se expande de forma ordenada. La tasa de dicha expansión se determina midiendo el grado de desplazamiento al rojo. ¿Qué conclusión se ha extraído de la expansión del cosmos? Pues bien, un científico invitó al público a analizar el proceso a la inversa —como una película de la expansión proyectada en retroceso— a fin de observar la historia primitiva del universo. Visto así, el cosmos parecería estar en recesión o contracción, en vez de en expansión y retornaría finalmente a un único punto de origen. El famoso físico Stephen Hawking concluyó lo siguiente en su libro Agujeros negros y pequeños universos (y otros ensayos), editado en 1993: “La ciencia podría afirmar que el universo tenía que haber conocido un comienzo”. Pero hace años, muchos expertos rechazaban que el universo hubiese tenido principio. El famoso científico Fred Hoyle no aceptaba que el cosmos hubiera surgido mediante lo que llamó burlonamente ‘a big bang’ (una gran explosión). Uno de los argumentos que esgrimía era que, de haber existido un comienzo tan dinámico, deberían conservarse residuos de aquel acontecimiento en algún lugar del universo: tendría que haber radiación fósil, por así decirlo; una leve luminiscencia residual. El diario The New York Times (8 de marzo de 1998) indicó que hacia 1965 “los astrónomos Arno Penzias y Robert Wilson descubrieron la omnipresente radiación de fondo: el destello residual de la explosión primigenia”. El artículo añadió: “Todo indicaba que la teoría [de la gran explosión] había triunfado”. Pero en los años posteriores al hallazgo se formuló esta objeción: Si el modelo de la gran explosión era correcto, ¿por qué no se habían detectado leves irregularidades en la radiación? (La formación de las galaxias habría requerido un universo que contase con zonas más frías y densas que permitieran la fusión de la materia.) En efecto, los experimentos realizados por Penzias y Wilson desde la superficie terrestre no revelaban tales irregularidades. Por esta razón, la NASA lanzó en noviembre de 1989 el satélite COBE (siglas de Explorador del Fondo Cósmico, en inglés), cuyos descubrimientos se calificaron de cruciales. “Las ondas que detectó su radiómetro diferencial de microondas correspondían a las fluctuaciones que dejaron su impronta en el cosmos y que hace miles de millones de años llevaron a la formación de las galaxias.”

6.6 Otros términos Diferentes palabras se han utilizado a través de la historia para denotar “todo el espacio”, incluyendo los equivalentes y las variantes en varios lenguajes de “cielos”, "cosmos" y “mundo”. El macrocosmos también se ha utilizado para este

6.7. VÉASE TAMBIÉN

efecto, aunque está más específicamente definido como un sistema que refleja a gran escala uno, algunos, o todos estos componentes del sistema o partes. Similarmente, un microcosmos es un sistema que refleja a pequeña escala un sistema mucho mayor del que es parte. Aunque palabras como mundo y sus equivalentes en otros lenguajes casi siempre se refieren al planeta Tierra, antiguamente se referían a cada cosa que existía (se podía ver). En ese sentido la utilizaba, por ejemplo, Copérnico. Algunos lenguajes utilizan la palabra “mundo” como parte de la palabra “espacio exterior”. Un ejemplo en alemán lo constituye la palabra “Weltraum”.[33]

6.7 Véase también •

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•

Portal:Cosmología. Contenido relacionado con Cosmología.

• Ambiplasma • Astrofísica • Albert Einstein • Astronomía • Big Bang • Cosmología • Cosmología física • Cosmovisión • Destino último del Universo • Edad del universo • Estructura a gran escala del universo • Expansión del Universo • Forma del Universo • Inﬂación cósmica • Ley de Hubble • Métrica de Expansión del Universo • Friedman-Lemaître-Robertson-Walker • Microcosmos • Modelo Lambda-CDM • Carl Sagan • Multiverso • Origen del Universo • Principio antrópico

CAPÍTULO 6. UNIVERSO • Principio holográﬁco • Teoría del Big Bang • Teoría del estado estacionario • Universo fecundo • Universal (metafísica) • Universo oscilante • Universos paralelos

6.8 Referencias [1] Cfr. Universal (metafísica) [2] Lineweaver, Charles; Tamara M. Davis (2005). Misconceptions about the Big Bang. Scientific American. Enlace verificado 31 de marzo de 2008. [3] «Primeras imágenes de la materia oscura». Consultado el 20 de diciembre de 2010. [4] JSTOR: Un Universo o muchos? [5] Luminet, Jean-Pierre; Boudewijn F. Roukema (1999). «Topology of the Universe: Theory and Observations». Proceedings de la Escuela de Cosmología de Cargese (Córcega) Agosto de 1998. Consultado el 05-01-2007. [6] Luminet, Jean-Pierre; J. Weeks, A. Riazuelo, R. Lehoucq, J.-P. Uzan (2003). «Dodecahedral space topology as an explanation for weak wide-angle temperature correlations in the cosmic microwave background». Nature 425: 593. Consultado el 09-012007. [7] Brookhaven National Laboratory (ed.). «Heavy Ion Collisions». [8] Thomas Ludlam, Larry McLerran (Octubre de 2003). Physics Today, ed. «What Have We Learned From the Relativistic Heavy Ion Collider?». Consultado el 28 de febrero de 2007. [9] Ken Tan (15 de enero de 2007). space.com, ed. «New 'Hobbit' Galaxies Discovered Around Milky Way». Consultado el 1 de marzo de 2007. Parámetro desconocido |autorenlace= ignorado (ayuda) [10] The Uppsala Astronomical Observatory (ed.). «Dwarf Spheroidal Galaxies». Consultado el 1 de marzo de 2007. [11] Neil J. Cornish, David N. Spergel, Glenn D. Starkman y Eiichiro Komatsu, Constraining the Topology of the Universe.astroph/0310233 [12] Lineweaver, Charles; Tamara M. Davis (2005). Scientific American, ed. «Misconceptions about the Big Bang» (en inglés). Consultado el 5 de marzo de 2007. [13] «WMAP produces new results» (en inglés). [14] Baldry, Ivan K.; Glazebrook, Karl (2002), «The 2dF Galaxy Redshift Survey: Constraints on Cosmic Star Formation History from the Cosmic Spectrum», The Astrophysical Journal (The American Astronomical Society) 569: 582–594, 20 de abril 2002, doi:10.1086/339477, http://www.journals.uchicago.edu/doi/pdf/10.1086/339477 [15] Associated Press (28 de agosto de 2008). «Universe: Beige, not Turquoise». Wired.com. Consultado el 1 de noviembre de 2009. [16] N. Mandolesi; P. Calzolari, S. Cortiglioni, F. Delpino, G. Sironi (1986). «Large-scale homogeneity of the Universe measured by the microwave background». Letters to Nature 319: 751–753. [17] Hinshaw, Gary (2006). NASA WMAP, ed. «New Three Year Results on the Oldest Light in the Universe». Consultado el 07-03-2007. [18] Strobel, Nick. Astronomy Notes, ed. «The Composition of Stars». Consultado el 08-03-2007. Texto « año 2001 » ignorado (ayuda)

6.9. ENLACES EXTERNOS

[19] «Have physical constants changed with time?». Consultado el 08-03-2007. Parámetro desconocido |editor += ignorado (ayuda) [20] Gary Hinshaw (10 de Febrero de 2006). NASA WMAP, ed. «What is the Universe Made Of?». Consultado el 1 de marzo de 2007. [21] La Antimateria [22] Diﬀerence in direct charge-parity violation between charged and neutral B meson decays,Nature 452, 332-335 (20 de marzo de 2008) [23] New Theory of the Universe Marries Two of its Biggest Mysteries (31 de enero de 2007) de Laura Mgrdichian sobre el trabajo de Tom Banks, Sean Echols y Jeﬀ L. Jones, Baryogenesis, dark matter and the pentagon. J. High Energy Phys. JHEP11 (2006) 046 (en inglés) [24] UCLA, ed. (12 de septiembre de 2004). «Big Bang Nucleosynthesis». Consultado el 2 de marzo de 2007. Texto « autor Edward L. Wright » ignorado (ayuda) [25] M. Harwit; M. Spaans (2003). «Chemical Composition of the Early Universe». The Astrophysical Journal 589 (1): 53–57. [26] C. Kobulnicky; E. D. Skillman (1997). «Chemical Composition of the Early Universe». Bulletin of the American Astronomical Society 29: 1329. [27] Gary Hinshaw (15 de diciembre de 2005). NASA WMAP, ed. «Tests of the Big Bang: The CMB». Consultado el 2 de marzo de 2007. [28] Belle Dumé (16 de junio de 2005). Institute of Physics Publishing, ed. «Background neutrinos join the limelight». Consultado el 2 de marzo de 2007. [29] Sus modelos son especulativos pero utilizan los métodos de la física de la Royal Astronomical Society 347. 2004. pp. 921—936. Consultado el 9 de enero de 2007. [30] http://www.forbes.com/sites/bridaineparnell/2014/06/24/higgs-boson-seems-to-prove-that-the-universe-doesnt-exist/ [31] http://ar.tuhistory.com/noticias/un-estudio-demuestra-que-el-universo-dejo-de-existir-hace-14-mil-millones-de-anos [32] Ross Taylor, Stuart (2000) [1998]. «The place of the solar system in the universe: The extent of the universe» [Planteamiento de la cuestión: El lugar del Sistema Solar en el universo]. Destiny or chance: Our Solar System and its place in the Cosmos [Nuestro sistema solar y su lugar en el cosmos] (en inglés). Nueva York NY, Estados Unidos: Cambrigde University Press. p. 19. ISBN 0-521-48178-3. Consultado el 22 de noviembre de 2014. [33] Albert Einstein (1952). Relativity: The Special and the General Theory (Fifteenth Edition), ISBN 0-517-88441-0.

6.9 Enlaces externos •

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•

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•

Wikcionario tiene deﬁniciones y otra información sobre universo.Wikcionario

• Proyecto Celestia Actividad Educativa “El Universo” dirigida a alumnos de Secundaria, Bachillerato o aﬁcionados a la astronomía en general. • Alemañ Berenguer, Rafael Andrés (2001) Tras los Secretos del Universo ISBN 84-95495-08-2. • Vídeos sobre el Universo: Biblioteca audiovisual sobre el Cosmos. En inglés:

CAPÍTULO 6. UNIVERSO • El Universo de Stephen Hawking - ¿Por qué el universo es así? • Richard Powell: Un Atlas del Universo - imágenes en varias escalas, con explicaciones. • Cosmos - una “revista dimensional ilustrada desde el microcosmos al macrocosmos”. • Edad del universo en Space.com. • Mi Así-Llamado Universo; argumentos a favor y en contra de universos paralelos e inﬁnitos. • Universos paralelos, por Max Tegmark. • Seti@Home - La Búsqueda de Inteligencia Extraterrestre. • Universo - Centro de Información Espacial, por Exploreuniverse.com. • Número de galaxias en el universo. • Tamaño del universo en Space.com. • Ilustración comparando los tamaños de los planetas, el sol y otras estrellas. • Cosmología (P+F).

Capítulo 7

Covariancia de Lorentz La covariancia de Lorentz (y análogamente la contravariancia de Lorentz) o principio especial de la relatividad se reﬁere a la propiedad de ciertas ecuaciones físicas de no cambiar de forma bajo cambios de coordenadas de un tipo particular, concretamente es requisito de la teoría especial de la relatividad que las leyes de la Física tienen que tomar la misma forma en todos los marcos de referencia inerciales. El requerimiento de covariancia de Lorentz aﬁrma concretamente que si dos observadores O1 y O2 usan coordenadas (t1 , x1 , y1 , z1 ) y (t2 , x2 , y2 , z2 ) , tales que ambas son relacionables por una transformación de Lorentz de las coordenadas, entonces cualesquiera dos ecuaciones que relacionen magnitudes que presentan covariancia de Lorentz se escribirán de la misma forma para ambos observadores. El principio general de relatividad generaliza aún más este principio al extender el requerimiento a sistemas de referencia totalmente generales.

7.1 Covariancia de Lorentz y sistemas inerciales En principio si un observador es inercial cualquier otro que use coordenadas relacionadas con las del primero mediante una transformación de Lorentz será un observador inercial. Por tanto una magnitud, ecuación o expresión matemática que presenta covariancia de Lorentz responderá a la mismas “leyes” o ecuaciones para todos los sistemas inerciales. Es importante notar, que si comparamos las medidas de un observador inercial con las de un observador no inercial, la forma de las ecuaciones será diferente. Esto también se da en mecánica newtoniana donde el estudio del movimiento de un cuerpo visto desde un sistema no-inercial en rotación requiere la inclusión de la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis, y por tanto sus ecuaciones para explicar el movimiento de un móvil cuentan con términos adicionales a las que escribiría un observador inercial, y por tanto las ecuaciones de movimiento no tienen la misma forma para un observador inercial que para uno no inercial.

7.2 Covariancia generalizada y relatividad general La covariancia de Lorentz es de hecho un tipo de invariancia de forma restringido o especial, de ahí que la primera teoría de la relatividad construida por Albert Einstein se acabara llamando teoría de la relatividad restringida o especial. El deseo de Albert Einstein de contar con una teoría cuyas ecuaciones tuvieran la misma forma para cualquier tipo de observador sea este inercial o no inercial, le llevó a buscar ecuaciones que presentaran principio de covariancia, cosa que logró generalizando su teoría, en lo que luego se llamó teoría de la relatividad general. 87

CAPÍTULO 7. COVARIANCIA DE LORENTZ

7.3 Violación de Lorentz Violación de Lorentz se refiere a teorías que son aproximadamente relativísticas cuando los experimentos que se llevan a cabo manifiestan correcciones a la violación de Lorentz que son pequeñas o están escondidas. Tales modelos se clasifican en cuatro tipos: • Las leyes de la física presentan covariancia de Lorentz, pero esta simetría se rompe espontáneamente. En el contexto de la teoría de la relatividad especial, esto llevó al fonón, que es un bosón de Goldstone. Los fonones viajan a una velocidad menor que la velocidad de la luz. En el contexto de la teoría de la relatividad general, esto lleva al gravitón masivo (esto es diferente de la gravedad masiva, la cual es covariante de Lorentz) y viaja a una velocidad menor que la de la luz (ya que el gravitón “devora” al fonón). • Similar a la simetría aproximada de Lorentz en una red (lattice) (donde la velocidad del sonido tiene un papel de velocidad crítica) la simetría de Lorentz de la relatividad especial (con la velocidad de la luz como velocidad crítica en el vacío)solo es un límite a bajas energías de las leyes de la física, lo que implica nuevos fenómenos en alguna escala fundamental. Las partículas elementales ya no son campos teóricos puntuales a escalas de distancia muy pequeñas, y una escala fundamental distinta de cero debe tomarse en cuenta. La violación de la simetría de Lorentz está gobernada por un parámetro que depende de la energía el cual tiende a cero mientras el momento decrece. Tal comportamiento requiere la existencia de un marco inercial local privilegiado (el “marco en reposo del vacío”). Esto se puede probar, al menos parcialmente, por medio de experimentos de rayos cósmicos ultra energéticos como los del Observatorio Pierre Auger. • Las leyes de la física son simétricas bajo una transformación de Lorentz, o mejor dicho, del grupo de Poincaré, y esta simetría deforme es exacta y no se rompe. Esta simetría deforme también es típicamente una simetría del grupo cuántico, la cual es una generalización del grupo de simetría. Relatividad deforme especial es un ejemplo de este tipo de modelos. No es propio llamar a estos modelos de violación de Lorentz como deformes de Lorentz así como a la teoría especial de la relatividad se le llamaría violación de la simetría Galileana en lugar de deformación de la misma. La deformación es dependiente de la escala, lo que significa que para escalas de longitud más grandes que la escala de Planck, la simetría luce más como el grupo de Poincaré. Los experimentos de rayos cósmicos ultra energéticos no pueden probarlo. • Este es uno de su propia clase; un subgrupo del grupo de Lorentz es suficiente para darnos todas las predicciones generales si CP es una simetría exacta. Sin embargo, la simetría CP no lo es. Esto es llamado Relatividad Muy Especial.

7.4 Referencias • http://www.physics.indiana.edu/~{}kostelec/faq.html • http://relativity.livingreviews.org/Articles/lrr-2005-5/ • Amelino-Camelia G, Ellis J, Mavromatos N E, Nanopoulos D V, and Sarkar S (June de 1998). «Tests of quantum gravity from observations of bold gamma-ray bursts». Nature 393: 763–765. doi:10.1038/31647. Consultado el 200712-22. • Jacobson T, Liberati S, and Mattingly D (August de 2003). «A strong astrophysical constraint on the violation of special relativity by quantum gravity». Nature 424: 1019–1021. doi:10.1038/nature01882. Consultado el 2007-12-22. • Carroll S (August de 2003). «Quantum gravity: An astrophysical constraint». Nature 424: 1007–1008. doi:10.1038/4241007a. Consultado el 2007-12-22. • http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=PRVDAQ000067000012124011000001 • González-Mestres, L., “Lorentz symmetry violation and the results of the AUGER experiment”, http://arxiv.org/abs/ 0802.2536

Capítulo 8

Relatividad general Algunas partes de este artículo pueden resultar complicadas, en ese caso se recomienda Introducción a la relatividad general. La teoría general de la relatividad o relatividad general es una teoría del campo gravitatorio y de los sistemas de referencia generales, publicada por Albert Einstein en 1915 y 1916. El nombre de la teoría se debe a que generaliza la llamada teoría especial de la relatividad. Los principios fundamentales introducidos en esta generalización son el principio de equivalencia, que describe la aceleración y la gravedad como aspectos distintos de la misma realidad, la noción de la curvatura del espacio-tiempo y el principio de covariancia generalizado. La intuición básica de Einstein fue postular que en un punto concreto no se puede distinguir experimentalmente entre un cuerpo acelerado uniformemente y un campo gravitatorio uniforme. La teoría general de la relatividad permitió también reformular el campo de la cosmología.

8.1 Historia Poco después de la formulación de la teoría de la relatividad especial en 1905, Albert Einstein comenzó a elucubrar cómo describir los fenómenos gravitatorios con ayuda de la nueva mecánica. En 1907 se embarcó en la búsqueda de una nueva teoría relativista de la gravedad que duraría ocho años. Después de numerosos desvíos y falsos comienzos, su trabajo culminó en noviembre de 1915 con la presentación a la Academia Prusiana de las Ciencias de su artículo, que contenía las que hoy son conocidas como "Ecuaciones de Campo de Einstein". Estas ecuaciones forman el núcleo de la teoría y especiﬁcan cómo la densidad local de materia y energía determina la geometría del espacio-tiempo. Las ecuaciones de campo de Einstein son no lineales y muy difíciles de resolver. Einstein utilizó los métodos de aproximación en la elaboración de las predicciones iniciales de la teoría. Pero ya en 1916, el astrofísico Karl Schwarzschild encontró la primera solución exacta no trivial de las Ecuaciones de Campo de Einstein, la llamada Métrica de Schwarzschild. Esta solución sentó las bases para la descripción de las etapas ﬁnales de un colapso gravitacional, y los objetos que hoy conocemos como agujeros negros. En el mismo año, se iniciaron los primeros pasos hacia la generalización de la solución de Schwarzschild a los objetos con carga eléctrica, obteniéndose así la solución de Reissner-Nordström, ahora asociada con la carga eléctrica de los agujeros negros. En 1917, Einstein aplicó su teoría al universo en su conjunto, iniciando el campo de la cosmología relativista. En línea con el pensamiento contemporáneo, en el que se suponía que el universo era estático, agregó a sus ecuaciones una constante cosmológica para reproducir esa “observación”. En 1929, sin embargo, el trabajo de Hubble y otros demostraron que nuestro universo se está expandiendo. Esto es fácilmente descrito por las soluciones encontradas por Friedmann en 1922 para la expansión cosmológica, que no requieren de una constante cosmológica. Lemaître utilizó estas soluciones para formular la primera versión de los modelos del Big Bang, en la que nuestro universo ha evolucionado desde un estado anterior extremadamente caliente y denso. Einstein declaró más tarde que agregar esa constante cosmológica a sus ecuaciones fue el mayor error de su vida. 89

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

Representación artística de la explosión de la supernova SN 2006gy, situada a 238 millones de años luz. De ser válido el principio de acción a distancia, las perturbaciones de origen gravitatorio de este estallido nos afectarían inmediatamente, más tarde nos llegarían las de origen electromagnético, que se transmiten a la velocidad de la luz.

Durante ese período, la relatividad general se mantuvo como una especie de curiosidad entre las teorías físicas. Fue claramente superior a la gravedad newtoniana, siendo consistente con la relatividad especial y contestaba varios efectos no explicados por la teoría newtoniana. El mismo Einstein había demostrado en 1915 cómo su teoría lograba explicar el avance del perihelio anómalo del planeta Mercurio sin ningún parámetro arbitrario. Del mismo modo, en una expedición de 1919 liderada por Eddington confirmaron la predicción de la relatividad general para la desviación de la luz estelar por el Sol durante el eclipse total de Sol del 29 de mayo de 1919, haciendo famoso a Einstein instantáneamente. Sin embargo, esta teoría ha entrado en la corriente de la física teórica y la astrofísica desarrolladas aproximadamente entre 1960 y 1975, ahora conocido como la edad de oro de la relatividad general. Los físicos empezaron a comprender el concepto de agujero negro, y a identificar la manifestación de objetos astrofísicos como los cuásares. Cada vez más precisas, las pruebas del sistema solar confirmaron el poder predictivo de la teoría, y la cosmología relativista, también se volvió susceptible a encaminar pruebas observacionales.

8.2. ¿POR QUÉ ES NECESARIA LA TEORÍA DE RELATIVIDAD GENERAL?

8.2 ¿Por qué es necesaria la teoría de relatividad general? Los éxitos explicativos de la teoría de la relatividad especial condujeron a la aceptación de la teoría prácticamente por la totalidad de los físicos. Eso llevó a que antes de la formulación de la relatividad general existieran dos teorías físicas incompatibles: • La teoría especial de la relatividad, covariante en el sentido de Lorentz, que integraba adecuadamente el electromagnetismo, y que descarta explícitamente las acciones instantáneas a distancia. • La teoría de la gravitación de Newton, explícitamente no-covariante, que explicaba de manera adecuada la gravedad mediante acciones instantáneas a distancia (concepto de fuerza a distancia). La necesidad de buscar una teoría que integrase, como casos límites particulares, las dos anteriores requería la búsqueda de una teoría de la gravedad que fuese compatible con los nuevos principios relativistas introducidos por Einstein. Además de incluir la gravitación en una teoría de formulación covariante, hubo otra razón adicional. Einstein había concebido la teoría especial de la relatividad como una teoría aplicable sólo a sistemas de referencia inerciales, aunque realmente puede generalizarse a sistemas acelerados sin necesidad de introducir todo el aparato de la relatividad general. La insatisfacción de Einstein con su creencia de que la teoría era aplicable sólo a sistemas inerciales le llevó a buscar una teoría que proporcionara descripciones físicas adecuadas para un sistema de referencia totalmente general. Esta búsqueda era necesaria, ya que según la relatividad especial ninguna información puede viajar a mayor velocidad que la luz, y por lo tanto no puede existir relación de causalidad entre dos eventos unidos por un intervalo espacial. Sin embargo, uno de los pilares fundamentales de la gravedad newtoniana, el principio de acción a distancia, supone que las alteraciones producidas en el campo gravitatorio se transmiten instantáneamente a través del espacio. La contradicción entre ambas teorías es evidente, puesto que asumir las tesis de Newton llevaría implícita la posibilidad de que un observador fuera afectado por las perturbaciones gravitatorias producidas fuera de su cono de luz. Einstein resolvió este problema interpretando los fenómenos gravitatorios como simples alteraciones de la curvatura del espacio-tiempo producidas por la presencia de masas. De ello se deduce que el campo gravitatorio, al igual que el campo electromagnético, tiene una entidad física independiente y sus variaciones se transmiten a una velocidad ﬁnita en forma de ondas gravitacionales. La presencia de masa, energía o momentum en una determinada región de la variedad tetradimensional, provoca la alteración de los coeﬁcientes de la métrica, en una forma cuyos detalles pormenorizados analizaremos en las secciones siguientes. En esta visión, la gravitación sólo sería una pseudo-fuerza (equivalente a la fuerza de Coriolis, o a la fuerza centrífuga) efecto de haber escogido un sistema de referencia no-inercial.

8.3 Principios generales Las características esenciales de la teoría de la relatividad general son las siguientes: • El principio general de covariancia: las leyes de la Física deben tomar la misma forma matemática en todos los sistemas de coordenadas. • El principio de equivalencia o de invariancia local de Lorentz: las leyes de la relatividad especial (espacio plano de Minkowski) se aplican localmente para todos los observadores inerciales. • La curvatura del espacio-tiempo es lo que observamos como un campo gravitatorio, en presencia de materia la geometría del espacio-tiempo no es plana sino curva, una partícula en movimiento libre inercial en el seno de un campo gravitorio sigue una trayectoria geodésica.

8.3.1

Principio de covariancia

El principio de covariancia es la generalización de la teoría de la relatividad especial, donde se busca que las leyes físicas tengan la misma forma en todos los sistemas de referencia. Esto último equivale a que todos los sistemas de referencia

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

sean indistinguibles, y desde el punto de vista físico equivalentes. En otras palabras, que cualquiera que sea el movimiento de los observadores, las ecuaciones tendrán la misma forma matemática y contendrán los mismos términos. Ésta fue la principal motivación de Einstein para que estudiara y postulara la relatividad general. El principio de covariancia sugería que las leyes debían escribirse en términos de tensores, cuyas leyes de transformación covariantes y contravariantes podían proporcionar la “invariancia” de forma buscada, satisfaciéndose el principio físico de covariancia.

8.3.2

El principio de equivalencia

Los dos astronautas de la imagen se encuentran en una nave en caída libre. Por ello no experimentan gravedad alguna (su estado se describe coloquialmente como de "gravedad cero"). Se dice por ello que son observadores inerciales.

Un hito fundamental en el desarrollo de la teoría de la relatividad general lo constituye el principio de equivalencia, enunciado por Albert Einstein en el año 1912 y al que su autor caliﬁcó como «la idea más feliz de mi vida». Dicho principio supone que un sistema que se encuentra en caída libre y otro que se mueve en una región del espacio-tiempo sin gravedad se encuentran en un estado físico similar: en ambos casos se trata de sistemas inerciales. Galileo distinguía entre cuerpos de movimiento inercial (en reposo o moviéndose a velocidad constante) y cuerpos de movimiento no inercial (sometidos a un movimiento acelerado). En virtud de la segunda ley de Newton (que se remonta a los trabajos del dominico español Domingo de Soto), toda aceleración estaba causada por la aplicación de una fuerza exterior. La relación entre fuerza y aceleración se expresaba mediante esta fórmula: m=

F a

8.3. PRINCIPIOS GENERALES

donde a es la aceleración, F la fuerza y m la masa. La fuerza podía ser de origen mecánico, electromagnético o, cómo no, gravitatorio. Según los cálculos de Galileo, la aceleración gravitatoria de los cuerpos era constante y equivalía a 9,8 m/s2 sobre la superﬁcie terrestre. La fuerza con la que un cuerpo era atraído hacia el centro de la Tierra se denominaba peso. Evidentemente, según los principios de la mecánica clásica un cuerpo en caída libre no es un sistema inercial, puesto que se mueve aceleradamente dentro del campo gravitatorio en que se encuentra. Sin embargo, la teoría de la relatividad considera que los efectos gravitatorios no son creados por fuerza alguna, sino que encuentran su causa en la curvatura del espacio-tiempo generada por la presencia de materia. Por ello, un cuerpo en caída libre es un sistema (localmente) inercial, ya que no está sometido a ninguna fuerza (porque la gravedad tiene este carácter en relatividad general). Un observador situado en un sistema inercial (como una nave en órbita) no experimenta ninguna aceleración y es incapaz de discernir si está atravesando o no, un campo gravitatorio. Como consecuencia de ello, las leyes de la física se comportan como si no existiera curvatura gravitatoria alguna. De ahí que el principio de equivalencia también reciba el nombre de Invariancia Local de Lorentz: En los sistemas inerciales rigen los principios y axiomas de la relatividad especial. El principio de equivalencia implica asimismo que los observadores situados en reposo sobre la superﬁcie de la tierra no son sistemas inerciales (experimentan una aceleración de origen gravitatorio de unos 9,8 metros por segundo al cuadrado, es decir, “sienten su peso”).

Aunque la mecánica clásica tiene en cuenta la aceleración medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (p.e. un astrónomo); el Principio de Equivalencia, contrariamente, toma en consideración la aceleración experimentada por un observador situado en el sistema en cuestión: cualquier cuerpo que se mueva sin restricciones por un campo gravitatorio puede ser considerado como un sistema inercial. Es el caso de los planetas que orbitan en torno del Sol y de los satélites que orbitan alrededor de los primeros: los habitantes de la Tierra no llegan a percibir si nos estamos acercando o alejando del Sol, ni si nos encontramos en el afelio o en el perihelio, a pesar de las enormes diferencias de la gravedad solar. La gravedad se convierte, en virtud del Principio de Equivalencia, en una fuerza aparente, como la fuerza centrífuga y la fuerza de Coriolis: en estos dos últimos supuestos su aparición es debida a la elección de un marco de referencia acelerado (un observador situado en la superﬁcie de una esfera en rotación). En el caso de la gravedad, únicamente percibimos la fuerza aparente gravitatoria cuando escogemos un sistema de referencia no inercial (en reposo sobre la superﬁcie terrestre), pero no cuando nos situamos en otro que sí lo es (un cuerpo en caída libre). Aunque el principio de equivalencia fue históricamente importante en el desarrollo de la teoría, no es un ingrediente necesario de una teoría de la gravedad, como prueba el hecho de que otras teorías métricas de la gravedad, como la teoría relativista de la gravitación prescindan del principio de equivalencia. Además conviene señalar que el principio de equivalencia no se cumple en presencia de campos electromagnéticos, por ejemplo una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica de un espacio-tiempo cualquiera en general emitirá radiación, a diferencia de una partícula cargada moviéndose a lo largo de una geodésica del espacio de Minkowski. Ese y otros hechos sugieren que el principio de equivalencia a pesar de su equivalencia histórica no es parte esencial de una teoría relativista de la gravitación.

8.3.3

La curvatura del espacio-tiempo

La aceptación del principio de equivalencia por Albert Einstein le llevó a un descubrimiento ulterior: la contracción o curvatura del tiempo como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio, que quedó expresado en su artículo de 1911 “Sobre la inﬂuencia de la gravedad en la propagación de la luz”.[1] Supongamos que un fotón emitido por una estrella cercana se aproxima a la Tierra. En virtud de la ley de conservación del tetramomentum la energía conservada del fotón permanece invariante. Por otro lado, el principio de equivalencia implica que un observador situado en el fotón (que es un sistema inercial, es decir, se halla en caída libre) no experimenta ninguno de los efectos originados por el campo gravitatorio terrestre. De ello se deduce que la energía conservada del fotón no se altera como consecuencia de la acción de la gravedad, y tampoco lo hace la frecuencia de la luz, ya que, según la conocida

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

fórmula de la física cuántica, la energía de un fotón es igual a su frecuencia v multiplicada por la constante de Planck h: E = hν.

En la imagen se reproduce el corrimiento gravitacional hacia el rojo de un fotón que escapa del campo gravitatorio solar y se dirige hacia la Tierra. En este caso, la onda electromagnética pierde progresivamente energía y su frecuencia disminuye conforme aumenta la distancia al Sol.

Ahora bien, si las observaciones las realizara un astrónomo situado en la superﬁcie de la Tierra, esto es, en reposo respecto su campo gravitatorio, los resultados serían muy diferentes: el astrónomo podría comprobar cómo el fotón, por efecto de su caída hacia la Tierra, va absorbiendo progresivamente energía potencial gravitatoria y, como consecuencia de esto último, su frecuencia se corre hacia el azul.[2] Los fenómenos de absorción de energía por los fotones en caída libre y corrimiento hacia el azul se expresan matemáticamente mediante las siguientes ecuaciones: Eobs = Econ e−Φ hνrec = hνem e−Φ νrec = νem e−Φ donde Eobs es la energía medida por un observador en reposo respecto al campo gravitatorio (en este caso un astrónomo), Φ el potencial gravitatorio de la región donde se encuentra éste, Econ la energía conservada del fotón, νem la frecuencia de emisión, νrec es la frecuencia percibida por el observador (y corrida hacia el azul) y h la constante de Planck. Ahora bien, en el párrafo anterior hemos demostrado que la energía conservada del fotón permanece invariante. Por tanto, ¿cómo es posible que exista esta divergencia entre los resultados de la medición de la energía obtenidos por el astrónomo ( Eobs ) y la energía conservada del fotón ( Econ )? La única manera de resolver esta contradicción es considerando que el tiempo se ralentiza como consecuencia de la presencia de un campo gravitatorio. De este modo, la citada ecuación:

8.3. PRINCIPIOS GENERALES

νrec = νem e−Φ puede escribirse de este modo: ciclos = ciclos e−Φ ∆tobs ∆tem Es decir, la frecuencia es igual al número de ciclos que tienen lugar en un determinado período (generalmente, un segundo). Donde ∆tem es el tiempo medido por un observador situado a una distancia infinita del cuerpo masivo (y por lo tanto no experimenta la atracción gravitatoria de éste), mientras que ∆tobs es el tiempo medido por un observador bajo la influencia del campo gravitatorio y en reposo respecto a este (como, por ejemplo, una persona situada sobre la superficie terrestre). De ahí se deduce que cerca de un cuerpo masivo el tiempo se ralentiza, siguiendo estas reglas matemáticas:

∆tem = ∆tobs e−Φ ∆tobs = ∆tem eΦ En una singularidad espacio-temporal (como las que existen en el interior de los agujeros negros), la densidad de masamateria y el campo gravitatorio tienden al infinito, lo que provoca la congelación del tiempo y por lo tanto la eliminación de todo tipo de procesos dinámicos: limr→0 ∆tobs = ∆tem e−∞ → limr→0 ∆tobs = 0 La contracción del tiempo debido a la presencia de un campo gravitatorio fue confirmada experimentalmente en el año 1959 por el experimento Pound-Rebka-Snider, llevado a cabo en la universidad de Harvard. Se colocaron detectores electromagnéticos a una cierta altura y se procedió a emitir radiación desde el suelo. Todas las mediciones que se realizaron confirmaron que los fotones habían experimentado un corrimiento hacia el rojo durante su ascenso a través del campo gravitatorio terrestre. Hoy en día, el fenómeno de la contracción del tiempo tiene cierta importancia en el marco del servicio localizador GPS, cuyas exigencias de exactitud requieren de una precisión extrema: Basta con que se produzca un retraso de 0.04 microsegundos en la señal para que se produzca un error de posicionamiento de unos 10 metros. De ahí que las ecuaciones de Einstein hayan de ser tenidas en cuenta al calcular la situación exacta de un determinado objeto sobre la superficie terrestre. Desde un punto de vista teórico, el artículo de Einstein de 1911 tuvo una importancia aún mayor. Pues, la contracción del tiempo conllevaba también, en virtud de los principios de la relatividad especial, la contracción del espacio. De ahí que fuera inevitable a partir de este momento descartar la existencia de un espacio-tiempo llano, y fuera necesario asumir la curvatura de la variedad espacio-temporal como consecuencia de la presencia de masas. En la relatividad general, fenómenos que la mecánica clásica atribuye a la acción de la fuerza de gravedad, tales como una caída libre, la órbita de un planeta o la trayectoria de una nave espacial, son interpretados como efectos geométricos del movimiento en un espacio-tiempo curvado. De hecho una partícula libre en un campo gravitatorio sigue líneas de curvatura mínima a través de este espacio tiempo-curvado. Finalmente, podemos hacer referencia a la desviación de los rayos de la luz como consecuencia de la presencia de un cuerpo masivo, fenómeno que da lugar a efectos ópticos como las lentes gravitacionales o los anillos de Einstein. Frente de onda desviado. Lente gravitacional. Experimento de Eddington.

8.3.4

Formulación matemática y consideraciones generales No te preocupes por tus problemas con las matemáticas; te aseguro que los míos son mucho mayores. A. Einstein, en una carta a una niña de nueve años.

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

En la imagen, dos partículas en reposo relativo, en un espacio-tiempo llano.

Matemáticamente, Einstein conjeturó que la geometría del universo deja de ser euclidiana por la presencia de masas. Einstein modelizó que el universo era un tipo de espacio-tiempo curvo mediante una variedad pseudoriemanniana y sus ecuaciones de campo establecen que la curvatura seccional de esta variedad en un punto está relacionada directamente con el tensor de energía-momento en dicho punto. Dicho tensor es una medida de la densidad de materia y energía. La curvatura “le dice a la materia como moverse”, y de forma recíproca la “materia le dice al espacio como curvarse”. En términos más precisos las trayectorias de las partículas se ven afectadas por la curvatura, y la presencia de muchas partículas en una región altera notoriamente la curvatura. La relatividad general se distingue de otras teorías alternativas de la gravedad por la simplicidad de acoplamiento entre materia y curvatura. Aunque todavía no existe una teoría cuántica de la gravedad que incorpore tanto a la mecánica cuántica como a la teoría de la relatividad general y que proponga una ecuación de campo gravitatorio que sustituya a la de Einstein, pocos físicos dudan que una teoría cuántica de la gravedad pondrá a la relatividad general en el límite apropiado, así como la relatividad general predice la ley de la gravedad en el límite no relativista.

8.4. LOS DIFERENTES TENSORES Y ESCALARES DE LA RELATIVIDAD GENERAL

Se representan en este esquema dos partículas que se acercan entre sí siguiendo un movimiento acelerado. La interpretación newtoniana supone que el espacio-tiempo es llano y que lo que provoca la curvatura de las líneas de universo es la fuerza de interacción gravitatoria entre ambas partículas. Por el contrario, la interpretación einsteiniana supone que las líneas de universo de estas partículas son geodésicas (“rectas”), y que es la propia curvatura del espacio tiempo lo que provoca su aproximación progresiva.

8.4 Los diferentes tensores y escalares de la relatividad general 8.4.1

La derivada covariante

Uno de los conceptos esenciales sobre el que gira toda la teoría de la relatividad general es el de derivada covariante (a veces impropiamente llamada conexión afín), que fue deﬁnida por primera vez por el matemático italiano Tullio Levi-Civita y que puede ser considerada tanto desde una perspectiva física como desde otra matemática. Desde un punto de vista físico, la derivada ordinaria de la velocidad es la aceleración de un cuerpo medida por un observador externo en reposo respecto a un campo gravitatorio (por ejemplo, un astrónomo situado sobre la superﬁcie terrestre). En este caso el observador se mantiene a una distancia r constante del centro de masas, pero no así el objeto observado, que progresivamente se va aproximando al origen del campo gravitatorio. ( u) ó ∇⃗u ⃗u [4] es la aceleración medida por un observador Por el contrario, la derivada covariante de la velocidad D⃗ dτ comóvil, es decir, que está en reposo respecto al cuerpo en caída libre (por ejemplo, el piloto de un avión en caída libre o

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

Los cuerpos en caída libre (como las naves en órbita) son sistemas inerciales en los que la derivada covariante de su velocidad es nula ( ∇u⃗ ur = 0 ). Por ello, no experimentan ningún tipo de aceleración inercial provocada por la “fuerza gravitatoria”. Sin embargo, un observador externo, como un astrónomo situado en la Tierra, puede observar cómo dicho cuerpo en caída libre se aproxima a la Tierra r con una aceleración creciente (de ahí que la derivada ordinaria de la velocidad en este caso sea diferente a cero - dv ̸= 0 -) dt

los tripulantes de una nave espacial con sus motores apagados). En resumidas cuentas, la derivada ordinaria se utiliza para computar la aceleración ordinaria de un cuerpo, mientras que la derivada covariante es empleada para calcular su aceleración inercial. Según la mecánica galileana y newtoniana estos dos tipos de aceleración son idénticos, y en base a este axioma se desarrollaron nuevos principios mecánicos como el Principio de d'Alembert. Sin embargo, del principio de equivalencia de Einstein se deduce que cuando un cuerpo está sometido a un campo gravitatorio, su aceleración ordinaria cambia, pero no su aceleración inercial. De ahí que para Einstein fuera absolutamente necesario introducir en su teoría el concepto de derivada covariante. Desde un punto de vista estrictamente matemático, el cálculo de la derivada covariante tiene lugar a través de un sencillo procedimiento. Se procede en primer lugar al cómputo de la derivada parcial covariante y luego se generaliza ésta.

8.4. LOS DIFERENTES TENSORES Y ESCALARES DE LA RELATIVIDAD GENERAL

Dice la leyenda apócrifa que fue la manzana de un árbol la que provocó que Newton se diera cuenta que los objetos caen y por lo tanto aceleran como consecuencia de la gravitación universal. Y es que los objetos en reposo sobre la superﬁcie terrestre experimentan, como consecuencia de la fuerza aparente gravitatoria, una aceleración inercial de 9, 8m/s2 (y por lo tanto la derivada covariante de su velocidad también tiene ese valor ∇u⃗ ur = 9, 8 [3] ). Sin embargo, dichos objetos, puesto que están en reposo, tienen una aceleración r relativa nula respecto a un observador terrestre (es decir, la derivada ordinaria de su velocidad es cero ( dv =0) dt

La derivada ordinaria se aplica exclusivamente sobre los componentes de un vector, mientras que la derivada covariante se aplica también sobre las bases del espacio vectorial: ∇β ⃗u = ∂β (uα⃗eα ) Sobre esta ecuación procedemos a aplicar la regla del producto (o de Leibniz), ∇β ⃗u = (∂β ua )⃗eα + uα (∂β ⃗eα ) Llegados a este punto introducimos una nueva notación, los símbolos de Christoﬀel, que pueden ser deﬁnidos como el componente µ de la derivada parcial de eα respecto a β : ∂β ⃗eα = Γµαβ ⃗eµ . De este modo: ∇β ⃗u = (∂β ua )⃗eα + uα Γµαβ ⃗eµ Realizamos un intercambio de índices ( µ por α ) en el último término del segundo miembro de la ecuación: µ ∇β ⃗u = (∂β ua )⃗eα + Γα eα µβ u ⃗

100

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

Y obtenemos con ello los componentes de la derivada parcial covariante de la velocidad, que equivalen a la expresión entre paréntesis:

µ ∇β ⃗u = (∂β ua + Γα eα µβ u )⃗ µ ∇β ua = ∂β ua + Γα µβ u

Generalizamos dichos componentes multiplicándolos por el componente β de la tetravelocidad ( uβ = con ello la derivada covariante de la velocidad:

dxβ dτ

) y obtenemos

β dxβ dxβ µ dx ∇β ua = ∂β ua + Γα u µβ dτ dτ dτ

duα µ β + Γα µβ u u dτ Puesto que para un observador inercial (p.e. un cuerpo en caída libre) ∇⃗u ua = 0 , esta última ecuación toma la siguiente forma: ∇⃗u ua =

duα α + Γµβ uµ uβ dτ

duα µ β = −Γα µβ u u dτ Estas fórmulas reciben el nombre de ecuación de las líneas geodésicas, y se utilizan para calcular la aceleración gravitatoria de cualquier cuerpo. A los lectores principiantes puede chocarles la propia definición de los símbolos de Christoffel. A fin de cuentas, en el espacio euclideo, la derivada de una base (por ejemplo ex ) respecto a otra coordenada (pongamos y ) es siempre cero, por la simple razón de que las bases de ambas coordenadas son ortogonales. Sin embargo, esto no sucede así en las variedades curvas, como por ejemplo las superficies de un cilindro o de una esfera: En tales casos, los símbolos de Christoffel no son iguales a cero, sino que son funciones de las derivadas del tensor métrico. La relación matemática entre estas dos magnitudes matemáticas se expresa mediante la siguiente ecuación:

Γα βµ =

1 ασ g (∂µ gσβ + ∂β gσµ − ∂σ gβµ ) 2

Los símbolos de Christoffel constituyen el parámetro principal que determina cuán grande es el grado de curvatura existente en una región determinada y con su ayuda podemos conocer cuál va a ser la trayectoria de una geodésica en un espacio curvo. En el caso de la variedad espacio-temporal, la Teoría de la Relatividad afirma que la curvatura viene originada por la presencia de tetramomentum y por ello, cuanta mayor sea la densidad de materia existente en una determinada región, mayores serán los valores de los símbolos de Christoffel.

8.4.2

Los principios de general covariancia y de acoplamiento mínimo

En un espacio-tiempo curvo, las leyes de la física se modiﬁcan mediante el Principio de acoplamiento mínimo, que supone que las ecuaciones matemáticas en cuya virtud se expresan aquellas experimentan las siguientes modiﬁcaciones: • La derivada ordinaria es sustituida por la derivada covariante. • La métrica de Minkowski es sustituida por una formulación general del tensor métrico.

8.4. LOS DIFERENTES TENSORES Y ESCALARES DE LA RELATIVIDAD GENERAL

101

Con ayuda de la ecuación de las líneas geodésicas podemos determinar la aceleración radial y angular de la Tierra respecto al Sol. Puesto que la curvatura gravitatoria los valores de los símbolos de Christoﬀel aumentan conforme nos acercamos al Sol, de ello se deduce que la aceleración de la Tierra es máxima en las proximidades del perihelio, exactamente tal y como predicen las leyes de Newton[5] y Kepler.[6]

ηµν −→ gµν (x) ∂µ −→ ∇µ (x) De este modo, la ecuación galileana de los sistemas inerciales se transforma en virtud de dicho principio en la ecuación relativista de las líneas geodésicas:

∂β u α = 0 → ∇ β u α = 0 Ley de conservación de la energía:

∂α T αβ = 0 → ∇α T αβ = 0 Sin embargo, en virtud del principio de simetría de los símbolos de Christoﬀel, las leyes electromagnéticas en general no experimentan modiﬁcaciones debidas a la curvatura gravitatoria:

Fαβ = ∂α Aβ − ∂β Aα Fαβ = ∇α Aβ − ∇β Aα

102

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

Fαβ = ∂α Aβ − Γµβα Aµ − ∂β Aα + Γµαβ Aµ Γµαβ = Γµβα

• Ecuación líneas geodésicas

8.4.3

El tensor de Riemann y la curvatura de las líneas de universo

Aproximación de dos geodésicas (en verde) en una superﬁcie esférica. Su vector de separación ξ (primero rosa, luego azul) va progresivamente contrayéndose conforme nos acercamos al Polo Norte, siguiendo las pautas marcadas por el tensor de Riemann.

La medición de la curvatura de cualquier variedad (ya se trate del espacio-tiempo, de una esfera o de una silla de montar) viene determinada por el tensor de curvatura o tensor de Riemann, que es una función de los símbolos de Christoﬀel y sus derivadas de primer orden.

8.4. LOS DIFERENTES TENSORES Y ESCALARES DE LA RELATIVIDAD GENERAL

103

El tensor de Riemann tiene una importancia fundamental a la hora de calcular la desviación de dos líneas en origen paralelas cuando se desplazan a través de una superﬁcie curva. Es bien sabido que en una variedad llana las líneas paralelas jamás se cortan, sin embargo esta regla no rige en el caso de las superﬁcies curvas de geometría elíptica. Supongamos que dos viajeros salen del Ecuador en dirección norte. En ambos casos, el ángulo que la trayectoria de su barco forma con el Ecuador es inicialmente de 90º, por lo que se trata de dos líneas paralelas. Sin embargo, conforme los viajeros se van desplazando hacia el norte, su distancia recíproca se hace cada vez más pequeña hasta que se hace nula en el Polo Norte, que es donde se cortan sus trayectorias de viaje. Para calcular la tasa de aproximación entre las dos geodésicas utilizamos la siguiente ecuación: α d2 ξ α = Rβµν dxβ ξ µ dxν

donde dxβ y dxµ representan el recorrido desde el Ecuador de ambas líneas geodésicas y ξ µ la distancia de separación entre ellas.

Aceleración recíproca de dos líneas de universo geodésicas. Como vemos, conforme se avanza en la coordenada temporal, el tensor de Riemann curva las geodésicas y provoca el acercamiento recíproco de las dos partículas.

En el espacio-tiempo, que también es una variedad curva, las cosas funcionan de un modo parecido: el tensor de Riemann determina la aceleración recíproca entre las líneas de universo de dos sistemas inerciales (p.e. dos asteroides que se acercan

104

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

progresivamente como consecuencia de su mutua atracción gravitatoria). Para calcular dicha aceleración, aplicamos de nuevo la conocida fórmula, modiﬁcándola ligeramente: d2 ξ α dτ 2

α = Rβµν uβ ξ µ uν

donde dτ es un parámetro afín (el tiempo local) y uβ y uµ son los vectores de cuadrivelocidad de ambos cuerpos que, según el esquema de Minkowski, equivalen geométricamente a campos vectoriales tangentes a ambas líneas de universo.

Fuerzas de marea.

Todo esto nos conecta con lo que en física newtoniana se denominan fuerzas de marea, responsables de múltiples fenómenos astronómicos y cuya base teórica reposa en el planteamiento siguiente: Supongamos que una determinada nave espacial está cayendo a un agujero negro. Es evidente que la proa de la nave experimenta una fuerza gravitatoria más intensa que la popa, por el simple hecho de que la primera está más próxima que la segunda al horizonte de sucesos. Si la diferencia de aceleraciones entre la proa y la popa es lo suﬁcientemente intensa, la nave puede llegar a distorsionarse y quebrarse deﬁnitivamente.

8.4. LOS DIFERENTES TENSORES Y ESCALARES DE LA RELATIVIDAD GENERAL

105

El gradiente gravitatorio es también responsable del ciclo de mareas: Las zonas de la tierra más cercanas a la Luna, experimentan una mayor atracción gravitatoria que las más lejanas a ella, lo que provoca que el agua del mar se acumule en aquellas áreas de la superﬁcie terrestre que están alineadas con la Luna. En relatividad general, la aceleración de marea viene originada por el tensor de Riemann. Hay una correspondencia casi natural entre las ecuaciones newtonianas y las relativistas. En efecto, la ecuación newtoniana utilizada para computar las fuerzas de marea es la siguiente: ai = Φ,ii ξ i donde a es la aceleración de marea, Φ el potencial gravitatorio y ξ la distancia entre las dos partículas. Las fuerzas de marea vienen determinadas por las derivadas de segundo orden del potencial gravitatorio. Desde el punto de vista relativista, las fuerzas de marea vienen determinadas por el tensor de Riemann y si la región del espacio tiene una escasa densidad de cuadrimomento y una distribución uniforme de la curvatura, los componentes aquél toman aproximadamente los valores siguientes:

i R0i0 ≈ Φ,ii α Rβµν ≈0

Demostración Las expresiones que relacionan el tensor de Riemann con los símbolos de Christoﬀel son las siguientes: ρ α α σ α α Rβµν = Γα βν,µ − Γβµ,ν + Γβν Γσµ − Γβµ Γρν

En un marco de Lorentz, donde se hacen nulos los coeficientes de los símbolos de Christoffel pero no así sus primeras derivadas, la fórmula para el cálculo del tensor de curvatura queda simplificada: α α Rβµν = Γα βν,µ − Γβµ,ν

Si el espacio-tiempo es newtoniano o cuasinewtoniano (poca densidad de cuadrimomento, fluidos no relativistas) los únicos coeficientes no nulos de los símbolos de Christoffel son los correspondientes a Γi00 . Tenemos pues: Γi00 = Φ,i de lo contrario Γα βµ = 0 i R0i0 = Γi00,i − Γi0i,0 i R0i0 = Γi00,i i = Φ,ii R0i0

De ahí que sea muy simple deducir la ecuación clásica partir de la relativista: d2 ξ i i = R0i0 u0 ξ i u0 → ai = Φ,ii ξ i dτ 2 Como se puede deducir de los párrafos anteriores, en relatividad general las fuerzas de marea están determinadas por el tensor de Riemann y las primeras derivadas de los símbolos de Christoffel. Si estas magnitudes tienen un valor no nulo, el diferencial de los símbolos de Christoffel provoca la dispersión de las geodésicas correspondientes a partículas de un fluido determinado.

∂Γα βµ ̸= 0

106

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

duα µ ν = −Γα µν u u dτ Las geodésicas (trayectorias inerciales en el espacio-tiempo) vienen determinadas por los valores de los símbolos de Christoffel. Si éstos son constantes, las partículas de un fluido se mueven uniformemente, a una misma velocidad y aceleración, y no se altera su distancia entre sí. Pero si los componentes de los símbolos de Christoffel varían a lo largo de una determinada región, ello conlleva la divergencia de las líneas de universo de las partículas y la distorsión del fluido, en la medida en que cada una de sus partes constituyentes acelera distintamente.

En esta recreación artística se reproducen el planeta y los dos cinturones de asteroides que orbitan alrededor de la estrella Épsilon Eridani.

Las fuerzas de marea y el tensor de Riemann tienen una importancia fundamental en la formación y configuración de los sistemas planetarios, así como en multitud de procesos astrofísicos y cosmológicos. Sirva de ejemplo nuestro propio Sistema Solar: Hace cerca de 4.500 millones de años, una nube molecular alcanzó la densidad y la compresión suficientes como para transformarse en un sistema planetario. La mayor parte del material de la nube se precipitó sobre en torno al núcleo, dando lugar al Sol. Sin embargo, ciertas cantidades de gas y de polvo continuaron rotando bajo la forma de un disco de acreción, y se aglutinaron para dar origen a planetesimales y posteriormente a planetas. Sin embargo, en la zona situada entre Marte y Júpiter, los tensores de Riemann correspondientes a las masas del Sol y de Júpiter generaron unas intensas fuerzas de marea que dispersaron las líneas de universo de los planetesimales allí situados, impidiendo que se agregaran entre sí para dar lugar a un cuerpo masivo. Los planetesimales permanecieran dispersos bajo la forma de un cinturón de asteroides. Este fenómeno que acaba de describirse no es exclusivo de nuestro Sistema Solar, sino que ha sido observado en multitud de sistemas exoplanetarios descubiertos desde principios de los años noventa hasta la actualidad, como los mostrados en las ilustraciones de esta sección. Las fuerzas de marea también poseen cierta importancia en el desarrollo de otros fenómenos astronómicos como las supernovas de tipo II, deflagraciones cósmicas que suelen tener lugar en el marco de sistemas estelares dobles. En efecto, en los sistemas binarios es frecuente que una estrella masiva orbite alrededor de una enana blanca. Si el tamaño de la i generado por la masa de la enana primera sobrepasa el límite de Roche, el componente del tensor de Riemann R0i0 blanca extrae material de las capas exteriores de su compañera y lo precipita sobre la enana blanca, en torno a la cual dicho material orbita formando un disco de acreción. El plasma queda sometido a enormes temperaturas que provocan la emisión de rayos X y la aparición de explosiones periódicas conocidas con el nombre de supernovas de tipo II.

8.4. LOS DIFERENTES TENSORES Y ESCALARES DE LA RELATIVIDAD GENERAL

107

El sistema planetario de la estrella HD 69830 viene compuesto por un masivo cinturón de asteroides y por tres exoplanetas de masa neptuniana cuyos efectos gravitatorios dispersan las líneas de universo de los asteroides, impidiendo que se agreguen para formar nuevos planetas.

8.4.4

El signiﬁcado físico del tensor de Ricci

Según la teoría laplaciana-newtoniana de la gravitación universal, una masa esférica de gas reduce su volumen (como consecuencia de la atracción recíproca de sus moléculas) con una aceleración equivalente a 4Gπρ : ∆V = 4πGρ Es evidente, que dicha ecuación no es compatible con la relatividad especial, por las razones reseñadas anteriormente: 1. El parámetro ρ , que mide la densidad de masa, ha de ser sustituido por el tensor de energía-tensión T αβ , que permanece invariable ante las transformaciones de Lorentz y tiene en cuenta los efectos gravitatorios de la energía y la presión, y no sólo los de la masa. 2. Por otro lado, según la teoría de la relatividad general, los efectos gravitatorios no son causados por ningún tipo de fuerza a distancia sino por la curvatura del espacio-tiempo. En este sentido, cabe señalar que en un espacio-tiempo curvo la aceleración del volumen viene cuantificada por un objeto geométrico específico, el tensor de Ricci Rαβ , que puede definirse como la aceleración coordenada del hipervolumen Πβ , normal al vector unitario eβ . De este modo, el componente R00 expresa la aceleración temporal del volumen tridimensional:

108

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

En la ilustración se reproducen los efectos del tensor de Ricci (concretamente su componente R00 ) sobre un volumen tridimensional esférico: conforme aumenta el tiempo, dicho volumen se reduce. El autor de la imagen se ha permitido la siguiente licencia: Aunque los ejes de coordenadas representan dos dimensiones espaciales y una temporal, el volumen de la esfera está deﬁnido por tres dimensiones espaciales.

R00 =

d2 Π0 d(x0 )2

⇒

R00 = ∇2 V

La relación entre el tensor métrico y el tensor de Ricci se expresa a través de la llamada ecuación de flujo de Ricci, que tiene la forma siguiente: ∂t gαβ = −2Rαβ Según esta ecuación, la existencia de valores positivos del tensor de Ricci implica la disminución a lo largo del tiempo de los coeficientes del tensor métrico, y como consecuencia de ello la disminución de los volúmenes en esa región de la variedad. Por el contrario, la presencia de valores negativos en el tensor de Ricci lleva consigo una expansión progresiva de las distancias, las superficies y los volúmenes. Por todo lo dicho, los tensores de energía-momentum y de Ricci permitían expresar de manera tensorial y covariante la fórmula de Poisson, y de ahí que originalmente Einstein propusiera las siguientes ecuaciones de universo:

8.4. LOS DIFERENTES TENSORES Y ESCALARES DE LA RELATIVIDAD GENERAL Rαβ =

109

4πG αβ c2 T

En relatividad general, el tensor de Ricci tiene la virtualidad de representar aquellos efectos gravitatorios originados por la presencia inmediata y local de cuadrimomento, que son con gran diferencia los más importantes a pequeña y gran escala. El tensor de Ricci rige, pues, la mayor parte de los procesos astrofísicos que tienen lugar en el Cosmos: constituye una medida de la contracción de nubes moleculares que dan lugar al nacimiento de estrellas y planetas; cuantifica el colapso de las grandes cuerpos estelares y su conversión en enanas blancas, estrellas de neutrones y agujeros negros; y proporciona una medida de la expansión del universo. Del tensor de Ricci, particularmente de la forma que toma en los campos gravitatorios esféricos (como las estrellas estáticas),[7] se deriva la llamada Ley de equilibrio hidrostático, que regula el equilibrio entre la presión del fluido estelar[8] (que tiende a expandir el volumen de la estrella) y la curvatura gravitatoria (que lo contrae). Este equilibrio se mantiene prácticamente durante toda la vida de la estrella y sólo se rompe en dos ocasiones diferentes: 1) Cuando la estrella deviene en una gigante roja, en cuyo caso los efectos de la presión de radiación[9] desbordan los del tensor de Ricci, y como resultado, el volumen de la estrella se expande hasta alcanzar una nueva situación de equilibrio. 2) Cuando la estrella agota su combustible. Se produce entonces un descenso en la presión del fluido, y la estrella, bien se transforma en una enana blanca, en una estrella de neutrones, o bien colapsa definitivamente convirtiéndose en un agujero negro.

8.4.5

Las ecuaciones de Universo de Einstein

Einstein tuvo pronto que modificar ligeramente sus ecuaciones de universo, pues estas no eran compatibles con la ley de la conservación de la energía [Demostración 1]. Esto constriñó a Einstein a modificar sus ecuaciones de Universo, que adquirieron su forma definitiva tras la publicación en 1915 del artículo Aplicación de la teoría de la relatividad general al campo gravitatorio:[10] Rαβ − 12 g αβ R =

8πG αβ c4 T

Demostración 1 En efecto, la derivada covariante del tensor de energía-momentum de cualquier ﬂuido es cero:

∇β T αβ = 0 Sin embargo, de las identidades de Bianchi se deduce que la derivada covariante del tensor de Ricci es en general no nula:

α α α α Rβ(µνσ) = 0 → Rβµν,σ + Rβσµ,ν + Rβνσ,µ =0

1 ∇β (Rαβ − g αβ R) = 0 → ∇β Rαβ ̸= 0 2 Lo que conduce al descarte de cualquier tipo de relación de proporcionalidad entre el tensor de Ricci y el tensor de tensión energía:

Rαβ ̸= kT αβ Donde Rαβ es el tensor de Ricci, g αβ el tensor métrico, R el escalar de Ricci, G la constante de gravitación universal y T αβ el tensor de energía-impulso. El miembro izquierdo de la ecuación recibe el nombre genérico de tensor de Einstein, se representa con la notación Gαβ y satisface las mismas relaciones de conservación que el tensor de tensión-energía: ) ( ∇β Gαβ = ∇β Rαβ − 12 g αβ R = 0,

Gαβ = kT αβ

110

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

Teniendo en cuenta que el escalar de curvatura R es proporcional a la traza del tensor de Einstein Gα α , las ecuaciones de universo de Einstein pueden reformularse de la manera siguiente: −R = Gα α = Rαβ =

8πG c4

8πG c4 T

( ) Tαβ − 12 gαβ T

Aplicación a ﬂuido perfecto En un ﬂuido no relativista,[11] como una nebulosa o una estrella de la secuencia principal, todos los componentes del tensor de energía-impulso son nulos o de muy poca importancia, salvo el elemento T00 = ρc2 , que corresponde a la densidad de masa y que es el único que contribuye sensiblemente a la atracción gravitatoria y a la curvatura del espacio-tiempo. Si deseamos medir la contracción de volumen producida por la masa-energía presente en una determinada región, hemos de aplicar las ecuaciones de universo de Einstein: Rαβ =

8πG c2

( ) Tαβ − 12 gαβ T

Computemos ahora los valores de R00 : R00 =

8πG c2

(

T00 − 12 g00 T

)

Tras ello obtenemos: T ≈ c2 T00 → R00 =

4πG c2 T00

O bien: (

ρc2 − 3P ∇ V = 8πG ρ − 2c2

)

( ) P = 4πG ρ + 3 2 c

Donde P es la presión del fluido, que en general es muy pequeña comparada con ρc2 , por lo que tenemos es una ligera corrección de la anteriormente citada fórmula newtoniana. Como vemos, la atracción gravitatoria viene determinada no sólo por la masa-energía sino también por la presión, aunque la contribución de ésta es c2 inferior a la de la primera. Por eso, en las regiones del espacio-tiempo sometidas a bajas presiones y temperaturas, como las nebulosas o nuestro Sistema Solar, la masa es prácticamente la única fuente de atracción gravitatoria y por ello las ecuaciones de la gravitación universal newtonianas constituyen una muy buena aproximación de la realidad física. En cambio, en fluidos sometidos a altas presiones, como las estrellas que se colapsan, la materia que se precipita en los agujeros negros o los chorros que son expelidos de los centros de las galaxias; en todos ellos la presión puede tener cierta importancia a la hora de computar la atracción gravitatoria y la curvatura del espacio-tiempo. Aplicación a fluido electromagnético En un fluido electromagnético, la traza del tensor de energía-impulso es nula. Como consecuencia de ello, las ecuaciones de universo de Einstein toman la siguiente forma. R00 =

8πG c2

(

T00 − 12 g00 T

T = 0 → R00 =

8πG c2

)

(T00 )

Como vemos, los valores del tensor de Ricci son justo el doble de los calculados para las soluciones de polvo. Esto es lo que explica que la deﬂexión de los rayos de la luz sea dos veces superior en el ámbito relativista que en el newtoniano, y que la expansión de un universo cíclico de Tolman (dominado por la radiación) sea más lenta que la de un universo cíclico de Friedman (dominado por la materia).

8.4. LOS DIFERENTES TENSORES Y ESCALARES DE LA RELATIVIDAD GENERAL

Corriente de chorro emanando del centro de una galaxia.

111

112

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

La deﬂexión relativista de los rayos de la luz genera las conocidas Lentes gravitacionales.

8.4.6

El tensor de Weyl

Es importante notar que, puesto en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, el tensor pleno de curvatura contiene más información que la curvatura de Ricci. Eso significa que las ecuaciones del de campo anteriores, con Λ = 0, no especifican completamente el tensor de curvatura sino una parte del mismo, el tensor de Ricci. La parte de la curvatura no especificada por las ecuaciones de Einstein, coincide precisamente con el tensor de Weyl. Eso significa que las ecuaciones de Einstein no especifican por completo el tensor de curvatura, ni la forma global del universo.

8.4.7

La constante cosmológica

Desde el principio Einstein apreció que matemáticamente el miembro derecho de su ecuación de campo podía incluir un término proporcional al tensor métrico sin que se violara el principio de conservación de la energía. Aunque inicialmente no incluyó dicho término, ya que no parecía tener una interpretación física razonable; más tarde lo incluyó. Esto se debió a que en sus primeros intentos de encontrar soluciones exactas a las ecuaciones de campo consideró que lo que hoy conocemos como modelo estacionario de Einstein. Einstein apreció que esa solución, explicaba adecuadamente los datos disponibles en su tiempo, y correspondía a un universo estático similar a los datos observados. Sin embargo, dicha solución era inestable matemáticamente lo cual no parecía corresponderse con la estabilidad física observable, y se dio cuenta de que con el término proporcional a la métrica la solución podía ser similar pero esta vez estable. Por esa razón Einstein introdujo en sus ecuaciones un término proporcional al tensor métrico. Siendo la constante de proporcionalidad precisamente la constante cosmológica. El trabajo de varios cientíﬁcos (FLRW): Alexander Friedman, Georges Lemaître, Howard Percy Robertson y Arthur Geoﬀrey Walker, probó que existían soluciones estables no es-

8.5. SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DE CAMPO DE EINSTEIN

113

tacionarios sin el término proporcional a la constante cosmológica. Y aunque Einstein inicialmente había rechazado el trabajo de Friedman por describir un universo en expansión que no parecía ser descriptivamente adecuado a un universo que él creía estacionario, los datos del corrimiento al rojo del astrónomo Edwin Hubble sólo parecían explicables mediante un modelo de universo en expansión. Esto convenció a Einstein de que la solución FLRW era de hecho correcta y descriptivamente adecuada y por tanto la constante cosmológica innecesaria. Recientemente la evidencia de la aceleración de la expansión del Universo han llevado a reintroducir la constante cosmológica diferente de cero como una de las posibles explicaciones del fenómeno.

8.4.8

Resumen

8.5 Soluciones de las ecuaciones de campo de Einstein Matemáticamente las ecuaciones de campo de Einstein son complicadas porque constituyen un sistema de 10 ecuaciones diferenciales no lineales independientes. La complejidad de dicho sistema de ecuaciones y las dificultades asociadas para plantear el problema como un problema de valor inicial bien definido, hicieron que durante mucho tiempo sólo se contara con un puñado de soluciones exactas caracterizadas por un alto grado de simetría. En la actualidad se conocen algunos centenares de soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein. Históricamente la primera solución importante fue obtenida por Karl Schwarzschild en 1915, esta solución conocida posteriormente como métrica de Schwarzschild, representa el campo creado por un astro estático y con simetría esférica. Dicha solución constituye una muy buena aproximación al campo gravitatorio dentro del sistema solar, lo cual permitió someter a confirmación experimental la teoría general de la relatividad explicándose hechos previamente no explicados como el avance del perihelio de Mercurio y prediciendo nuevos hechos más tarde observados como la deflexión de los rayos de luz de un campo gravitatorio. Además las peculiaridades de esta solución condujeron al descubrimiento teórico de la posibilidad de los agujeros negros, y se abrió todo una nueva área de la cosmología relacionada con ellos. Lamentablemente el estudio del colapso gravitatorio y los agujeros negros condujo a la predicción de las singularidades espaciotemporales, deficiencia que revela que la teoría de la relatividad general es incompleta. Algunas otras soluciones físicamente interesantes de las ecuaciones de Einstein son: • La métrica de Kerr que describe el campo gravitatorio de un astro en rotación. Esta solución bajo ciertas circunstancias también contiene un agujero negro de Kerr. • La métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, realmente es un conjunto paramétrico de soluciones asociadas a la teoría del Big Bang que es capaz de explicar la estructura del universo a gran escala y la expansión del mismo. • El universo de Gödel, que en su forma original no parece describrir un universo realista o parecido al nuestro, pero cuyas propiedades matemáticamente interesante constituyeron un estímulo para buscar soluciones más generales de las ecuaciones para ver si ciertos fenómenos eran o no peculiares de las soluciones más sencillos. Por otra parte, el espacio-tiempo empleado en la teoría especial de la relatividad, llamado espacio de Minkowski es en sí mismo una solución de las ecuaciones de Einstein, que representa un espacio-tiempo vacío totalmente de materia. Fuera de las soluciones exactas y a efectos comparativos con la teoría de campo gravitatorio también es interesante la aproximación para campos gravitatorios débiles y las soluciones en formadas de ondas gravitatorias.

8.5.1

No linealidad

Cuando Einstein formuló en 1915 las ecuaciones de universo de la Relatividad general, el cientíﬁco alemán pensó, en un principio, que dichas ecuaciones eran irresolubles debido a su carácter no lineal, que se manifestaba tanto desde un punto de vista físico como desde otro matemático:

114

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

• En el plano estrictamente físico, la no linealidad de las ecuaciones de campo de Einstein se deriva del mutuo condicionamiento entre el tetramomentum y la curvatura del espacio tiempo. Así, la densidad de masa, contenida en el coeficiente T 00 , provoca una contracción (parametrizada a través de R00 ) del volumen tridimensional que de nuevo vuelve a alterar el densidad de masa, y así sucesivamente. Este movimiento cíclico recuerda a la autoinductancia el electromagnetismo y no suele tener importancia en campos gravitatorios de baja intensidad, pero sí ha de tenerse en cuenta en el cálculo de las perturbaciones gravitatorias originadas por una alta concentración local de tetramomentum, como sucede en el caso de los agujeros negros o los fluidos relativistas. De una manera más intuitiva la no linealidad de las ecuaciones de Einstein puede pensarse desde el punto de vista físico de la siguiente manera: Dada una distribución de materia, esta producirá una curvatura del espacio o “campo gravitatorio” el cual contiene energía. Dado que E=mc2 dicha energía a su vez generará otra curvatura o “campo gravitatorio” el cual a su vez contendrá cierta energía y así sucesivamente. Esta retroalimentación entre la fuente (materia) y el efecto (curvatura) está representada en el carácter no lineal de las ecuaciones de Einstein. • Desde un punto de vista matemático, el miembro izquierdo de la igualdad Rαβ − 12 Rgαβ = kTαβ contiene tanto funciones lineales como derivadas de primer y de segundo orden del tensor métrico gαβ , lo que hace imposible despejar los coeficientes de este último a partir de los valores del tensor de energía momentum Tαβ . No es posible, pues, construir una función de tipo f : Tαβ → gαβ .

8.5.2

Soluciones para coordenadas esféricas: Campo exterior

Para sorpresa de Albert Einstein, pocas semanas después de la publicación de sus ecuaciones de campo llegó a su despacho un correo de Karl Schwarzschild, un profesor universitario que en esos momentos se encontraba en el frente de la I guerra mundial, realizando trabajos de balística para las unidades de artillería del ejército alemán. En esa histórica carta se contenían las primeras soluciones exactas de las ecuaciones de la relatividad general, que serían conocidas por la posteridad con el nombre genérico de Solución de Schwarzschild. El principio sobre el que pivotaba dicha solución era el siguiente: Dado que el Principio de la Covariancia General permitía hacer funcionar las ecuaciones de campo de la relatividad general en cualquier sistema de coordenadas, Schwarzschild procedió a calcular los valores de los tensores de energía-momento y de Einstein en coordenadas espacio-temporales esféricas (θ, ϕ, r, t) . El alto grado de simetría proporcionado por dicho sistema de coordenadas, así como el carácter estático de la métrica, permitieron integrar directamente el conjunto de ecuaciones diferenciales. Siendo en el caso general el tensor métrico para un problema con simetría esférica de la forma: (SE) ds2 = −f (r)dt2 + h(r)dr2 + r2 (dθ2 + sin2 dϕ2 ) Para el espacio la parte exterior de un astro esférica más concretamente se tenía: f (r) =

1 h(r)

( = 1−

2GM c2 r

)

Las comprobaciones experimentaqles mostraron que la métrica de Schwarzschild describe con enorme precisión lo que sucede en sistemas esféricos estáticos, similares al sistema solar.

8.5.3

Soluciones para coordenadas esféricas: Equilibrio estelar

Las ecuaciones de un campo con simetría esférica (SE) permiten también estudiar la curvatura en el interior de las estrellas masivas. El resultado de ese análisis, es que para estrellas de la secuencia principal del diagrama de Hertzsprung-Russell, la curvatura originada por la gravedad es compensada por la presión de la materia estelar. Esa compensación conduce a una ley de equilibrio hidrostático que hace que la estrella, aún sometida a su propio campo gravitatorio, pueda mantener durante millones de años su volumen y su densidad a niveles constantes. Matemáticamente, el hecho de que la métrica tenga un carácter estático implica los valores del tensor Tαβ se mantengan estables en el tiempo. La ley de equilibrio hidrostático que relaciona la densidad y la presión en una estrella esférica viene dada por la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoﬀ:

8.5. SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DE CAMPO DE EINSTEIN

115

La masa del Sol, así como su volumen y su temperatura se han mantenido estables durante millones de años. dP dr

= −G

(

P +ρc2 r

)(

mc2 +4πr 3 P c2 r−2Gm

)

Donde: P (r), ρ(r) son la presión y la densidad a una distancia r del centro del astro. ∫r ρ(¯ r) 4π¯ r2 d¯ r es la masa encerrada en una esfera de radio r. 0

m(r) =

8.5.4

Soluciones para coordenadas esféricas: Colapso gravitatorio

La solución de Schwarzschild permitió aplicar los postulados de la relatividad general a disciplinas como la mecánica celeste y la astrofísica, lo cual supuso una verdadera revolución en el estudio de la cosmología: Apenas seis años después de la publicación de los trabajos de Einstein, el físico ruso Aleksander Fridman introdujo el concepto de singularidad espacio-temporal, definido como un punto del espacio-tiempo en el que confluyen todas las geodésicas de las partículas que habían atravesado el horizonte de sucesos de un agujero negro. En condiciones normales, la curvatura producida por la masa de los cuerpos y las partículas es compensada por la temperatura o la presión del fluido y por fuerzas de tipo electromagnético, cuyo estudio es objeto de la física de fluidos y del estado sólido. Sin embargo, cuando la materia alcanza cierta densidad, la presión de las moléculas no es capaz de compensar la intensa atracción gravitatoria. La curvatura del espacio-tiempo y la contracción del fluido aumentan cada vez a mayor velocidad: el final lógico de este proceso es el surgimiento de una singularidad, un punto del espacio-tiempo donde la curvatura y la densidad de tetramomentum son infinitas.

116

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

Ahora bien, el físico Subrahmanyan Chandrasekhar fue el primero en darse cuenta que la gravedad podía ser contenida no sólo por fuerzas de tipo mecánico, sino también por un fenómeno de origen cuántico al que llamó presión de degeneración, derivado del principio de exclusión de Pauli y que era capaz de sostener a estrellas cuya masa no superase el límite de Chandrasekhar. Estas ideas tan audaces le costaron caras a su autor, que fue ridiculizado en público por Sir Arthur Eddington durante un congreso de astrónomos. Sin embargo, los cálculos de Chandrasekhar se revelaron certeros, y sirvieron de base para la comprensión de un tipo estelar cuya naturaleza física hasta entonces era desconocida: la enana blanca.

8.5.5

Aproximaciones en coordenadas armónicas

Dado que para muchos sistemas físicos no resulta sencillo obtener las expresiones exactas de las soluciones de las ecuaciones de Einstein, los físicos teóricos han desarrollado aproximaciones bastante precisas empleando series de potencias. De entre ellas las más importantes funcionan en coordenadas armónicas y reciben los nombres de aproximación posnewtoniana y aproximación para campos gravitatorios débiles. En virtud del principio de la covariancia general, ya examinado en secciones anteriores, es posible hacer funcionar a las ecuaciones de universo de Einstein en cualquier tipo de coordenadas, incluidas las armónicas, que son aquéllas en las que se cumple la relación Γλ = gαβ Γλαβ = 0 (como, por ejemplo, en el caso de las coordenadas cartesianas). Se hace necesario en este punto distinguir con claridad entre los conceptos de planitud del espacio-tiempo y armonicidad de un sistema de coordenadas: en una espacio-tiempo de curvatura nula, como el espacio-tiempo de Minkowski, es posible utilizar coordenadas no-armónicas como las esféricas o las cilíndricas, sin que ello implique que el espacio se curve, ya que la curvatura es una cualidad instrínseca de cualquier variedad e independiente de nuestro sistema de referencia. Para campos gravitatorios poco intensos, como los existentes en el espacio interestelar, es recomendable utilizar la llamada aproximación para campos débiles, que es, como veremos, muy similar en su estructura a la fórmula de Poisson newtoniana, si bien las diferencias con esta última son enormes. La fórmula de Poisson aﬁrma que el laplaciano del potencial gravitatorio Φ es igual 4Gπ : ∇2 Φ = 4πGρ → Φ(x, t) =

∫ V

Gρ(x′ ,t) dV r

Esta fórmula plantea un grave inconveniente, y es que presupone el principio de acción a distancia: No tiene en cuenta el retardo en la medición del campo gravitatorio realizada por un determinado observador (pongamos, un observador en la tierra) situado a cierta distancia a la masa del cuerpo que genera dicho campo gravitatorio (p.e. el Sol, situado a 8 minutos luz de nuestro planeta). De ahí que uno de los primeros intentos de compatibilizar la teoría de la Relatividad Especial y la Gravitación Universal consistiera en sustituir el laplaciano de la fórmula de Poisson por un d'Alembertiano, una de cuyas soluciones es, precisamente, un potencial retardado: ∫ □2 Φ = 4πGρ → Φ(x, t) = V

Gρ(x′ , t − rc ) dV r

Como vemos, el potencial gravitatorio medido por el observador en el tiempo t, es proporcional a la densidad de masa que tiene el cuerpo estelar observado en el tiempo t - r/c, donde c es la velocidad de la luz, r es la distancia entre el observador y el objeto y r/c es el retardo, es decir, el tiempo que la luz tarda en desplazarse desde la estrella en cuestión hasta el observador. Ahora bien, la relatividad general es una teoría métrica de la gravedad, y explica los fenómenos gravitatorios en términos de perturbaciones de la métrica. Es conveniente, por tanto, introducir en nuestra ecuación el pseudotensor hαβ , que representa la desviación de los coeﬁcientes del tensor métrico respecto a la métrica de Minkowski ηαβ . Aplicando el límite newtoniano, en cuya virtud gαβ es igual a 1 + 2Φ , obtenemos el resultado siguiente:

gαβ = ηαβ + hαβ

8.5. SOLUCIONES DE LAS ECUACIONES DE CAMPO DE EINSTEIN

117

∂2 h

Ondas gravitatorias. La solución en el vacío de la aproximación para campos gravitatorios débiles ( ∇2 hαβ = c12 ∂t2αβ ) tiene una estructura similar a la ecuación diferencial de ondas de d'Alembert, de lo que se deduce que las perturbaciones de la métrica tienen una naturaleza ondulatoria y se transmiten a través del espacio-tiempo a la velocidad de la luz.

hαβ = 2Φ → □2 hαβ = 8πGρ 1 □2 hαβ = 16πG(Tαβ − gαβ T ) 2 A grandes rasgos, la sustitución del laplaciano ∇2 por el d'alembertiano □2 viene exigida por la obligada eliminación del principio de acción a distancia; el empleo del pseudotensor hαβ en lugar del potencial Φ como elemento deﬁnitorio del campo gravitatorio es una consecuencia de la del carácter métrico de la teoría de la relatividad general; y ﬁnalmente, la eliminación, en el lado derecho de la ecuación, del parámetro ρ y su sustitución por la expresión tensorial Tαβ − 12 gαβ T viene exigida por el principio de la covariancia general. Sin embargo, en el análisis de la evolución de sistemas astronómicos como el solar o el formado por estrellas dobles o tripoles, la aproximación para campos débiles no es útil, ya que el uso de esta última se restringe a zonas del espaciotiempo con poca densidad de tetramomentum. En estos casos es preferida la aproximación posnewtoniana que como su

118

CAPร TULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

En la imagen se reproducen las ondas gravitatorias emitidas por una estrella durante su colapso.

La aproximaciรณn posnewtoniana permite a los astrรณnomos calcular con suma precisiรณn la posiciรณn y el movimiento de los planetas del Sistema Solar, teniendo en cuenta los efectos relativistas.

8.6. PREDICCIONES DE LA RELATIVIDAD GENERAL

119

propio nombre indica prescinde del empleo de la compleja notación del cálculo tensorial y describe el movimiento de los cuerpos celestes utilizando los conceptos matemáticos que empleó el propio Newton a la hora describir las leyes de la mecánica y de la gravitación universal (vectores, gradientes, etc.). En los siglos XVIII y XIX, astrónomos como Laplace y Le Verrier habían aplicado los postulados de la mecánica newtoniana al estudio de la evolución del Sistema Solar, obteniendo unos resultados muy fructuosos: La precisión de los cálculos astronómicos obtenidos había permitido incluso prever la existencia de un planeta hasta entonces nunca observado por los astrónomos, Neptuno. Por este motivo no es de extrañar que cuando la relatividad general obtuvo pleno reconocimiento, se desarrollase por parte de los astrofísicos una aproximación que siguiera en su estructura el modelo newtoniano y que fuese fácilmente aplicable tanto por los astrónomos como por los ordenadores. De acuerdo con la teoría clásica de la gravitación, la aceleración de un cuerpo en caída libre es el gradiente negativo del potencial gravitatorio:

a = −∇ϕ Como ya se ha avanzado en secciones anteriores, esta fórmula presupone la asunción del principio newtoniano de acción a distancia, contrario a los postulados de la Relatividad Especial, y además no tiene en cuenta los efectos gravitatorios generados por la energía y por el momentum. La aproximación posnewtoniana soslaya estos inconvenientes introduciendo otros dos nuevos potenciales: el potencial ψ , que constituye una aproximación en segundo grado del potencial ϕ y el potencial ζ , derivado de la presencia de momentum en el ﬂuido. Las ecuaciones de movimiento quedarían reformuladas de la siguiente forma:

a = −∇(ϕ +

2ϕ2 1 ∂ζ v 3 ∂ϕ 4 v2 + ψ) − + × (∇ × ζ) + v + v(v · ∇)ϕ − ∇ϕ c2 c ∂t c c2 ∂t c2 c2

a = −∇ϕ + η η = −∇(

8.5.6

2ϕ2 1 ∂ζ v 3 ∂ϕ 4 v2 + ψ) − + × (∇ × ζ) + v + v(v · ∇)ϕ − ∇ϕ c2 c ∂t c c2 ∂t c2 c2

Soluciones relacionadas con los modelos de Universo

Existen un cierto número de soluciones exactas de las ecuaciones que describen un universo completo y por tanto pueden ser consideradas modelos cosmológicos entre ellas destacan: • Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker, que describe un tipo de universo homogéneo, isótropo y en expansión y puede considerarse una primera aproximación de la forma de nuestro universo a gran escala. • Universo de Gödel, obtenida por el matemático Kurt Gödel representa un universo homogéneo e isótropo con materia en rotación. Aunque no se considera que describa un universo similar al nuestro tiene la importante propiedad de contener curvas temporales cerradas que representan un ejemplo contraintuitivo donde un observador puede viajar a su propio pasado sin violar ninguna ley física conocida.

8.6 Predicciones de la relatividad general Se considera que la teoría de la relatividad general fue comprobada por primera vez en la observación de un eclipse total de Sol en 1919, realizada por Sir Arthur Eddington, en la que se ponía de maniﬁesto que la luz proveniente de estrellas lejanas se curvaba al pasar cerca del campo gravitatorio solar, alterando la posición aparente de las estrellas cercanas al disco del Sol. Desde entonces muchos otros experimentos y aplicaciones han demostrado las predicciones de la relatividad general. Entre algunas de las predicciones se encuentran:

120

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

La más famosa de las primeras veriﬁcaciones positivas de la teoría de la relatividad, ocurrió durante un eclipse solar de 1919, que se muestra en la imagen tomada por Sir Arthur Eddington de ese eclipse, que fue usada para conﬁrmar que el campo gravitatorio del sol curvaba los rayos de luz de estrellas situadas tras él.

8.6. PREDICCIONES DE LA RELATIVIDAD GENERAL

8.6.1

121

Efectos gravitacionales

• Desviación gravitacional de luz hacia el rojo en presencia de campos con intensa gravedad: La frecuencia de la luz decrece al pasar por una región de elevada gravedad. Conﬁrmado por el experimento de Pound y Rebka (1959). • Dilatación gravitacional del tiempo: Los relojes situados en condiciones de gravedad elevada marcan el tiempo más lentamente que relojes situados en un entorno sin gravedad. Demostrado experimentalmente con relojes atómicos situados sobre la superﬁcie terrestre y los relojes en órbita del Sistema de Posicionamiento Global (GPS por sus siglas en inglés). También, aunque se trata de intervalos de tiempo muy pequeños, las diferentes pruebas realizadas con sondas planetarias han dado valores muy cercanos a los predichos por la relatividad general. • Efecto Shapiro (dilatación gravitacional de desfases temporales): Diferentes señales atravesando un campo gravitacional intenso necesitan mayor tiempo para atravesar dicho campo. • Decaimiento orbital debido a la emisión de radiación gravitacional. Observado en púlsares binarios. • Precesión geodésica: Debido a la curvatura del espacio-tiempo, la orientación de un giroscopio en rotación cambiará con el tiempo. Esto se comprobó exitosamente en mayo de 2011 por el satélite Gravity Probe B.

8.6.2

Efectos rotatorios

Esto implica el comportamiento del espacio-tiempo alrededor de un objeto masivo rotante. • Fricción del marco de referencia. Un objeto en plena rotación va a arrastrar consigo al espacio-tiempo, causando que la orientación de un giroscopio cambie con el tiempo. Para una nave espacial en órbita polar, la dirección de este efecto es perpendicular a la precisión geodésica. • El principio de equivalencia fuerte: incluso objetos que gravitan en torno a ellos mismos van a responder a un campo gravitatorio externo en la misma manera que una partícula de prueba lo haría.

8.6.3

Otros efectos

• Gravitones: De acuerdo con la teoría cuántica de campos, la radiación gravitacional debe ser compuesta por cuantos llamados gravitones. La relatividad general predice que estos serán partículas de espín 2. Todavía no han sido observados.

8.6.4

Comprobaciones

La teoría de la relatividad general ha sido confirmada en numerosas formas desde su aparición. Por ejemplo, la teoría predice que la línea del universo de un rayo de luz se curva en las proximidades de un objeto masivo como el Sol. La primera comprobación empírica de la teoría de la relatividad fue a este respecto. Durante los eclipses de 1919 y 1922 se organizaron expediciones científicas para realizar esas observaciones. Después se compararon las posiciones aparentes de las estrellas con sus posiciones aparentes algunos meses más tarde, cuando aparecían de noche, lejos del Sol. Einstein predijo un desplazamiento aparente de la posición de 1,745 segundos de arco para una estrella situada justo en el borde del Sol, y desplazamientos cada vez menores de las estrellas más distantes. Se demostró que sus cálculos sobre la curvatura de la luz en presencia de un campo gravitatorio eran exactos. En los últimos años se han llevado a cabo mediciones semejantes de la desviación de ondas de radio procedentes de quásares distantes, utilizando interferómetros de radio. Las medidas arrojaron unos resultados que coincidían con una precisión del 1% con los valores predichos por la relatividad general. Otra confirmación de la relatividad general está relacionada con el perihelio del planeta Mercurio. Hacía años que se sabía que el perihelio (el punto en que Mercurio se encuentra más próximo al Sol) gira en torno al Sol una vez cada tres millones de años, y ese movimiento no podía explicarse totalmente con las teorías clásicas. En cambio, la teoría de la relatividad sí predice todos los aspectos del movimiento, y las medidas con radar efectuadas recientemente han confirmado la coincidencia de los datos reales con la teoría con una precisión de un 0,5%.

122

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

Se han realizado otras muchas comprobaciones de la teoría, y hasta ahora todas parecen conﬁrmarla. Prácticamente con la más reciente prueba del satélite Gravity Probe B, se podría considerar a la teoría como una ley.

8.7 Aplicaciones prácticas Los relojes en los satélites GPS requieren una sincronización con los situados en tierra para lo que hay que tener en cuenta la teoría general de la relatividad y la teoría especial de la relatividad. Si no se tuviese en cuenta el efecto que sobre el tiempo tiene la velocidad del satélite y su gravedad respecto a un observador en tierra, se produciría un adelanto de 38 microsegundos por día en el reloj del satélite (sin corrección, su reloj retrasaría al día 7 microsegundos como consecuencia de la velocidad y adelantaría 45 microsegundos por efecto de la gravedad), que a su vez provocarían errores de varios kilómetros en la determinación de la posición.[12] Puede considerarse otra comprobación de ambas teorías.

8.8 Relación con otras teorías físicas En esta parte, la mecánica clásica y la relatividad especial están entrelazadas debido a que la relatividad general en muchos modos es intermediaria entre la relatividad especial y la mecánica cuántica. Sujeto al principio de acoplamiento mínimo, las ecuaciones físicas de la relatividad especial pueden ser convertidas a su equivalente de la relatividad general al reemplazar la métrica de Minkowski (ηab) con la relevante métrica del espaciotiempo (gab) y reemplazando cualquier derivada normal con derivadas covariantes.

8.8.1

Inercia

Tanto en mecánica cuántica como en relatividad se asumía que el espacio, y más tarde el espacio-tiempo, eran planos. En el lenguaje de cálculo tensorial, esto significaba que Ra bcd = 0, donde Ra bcd es el tensor de curvatura de Riemann. Adicionalmente, se asumía que el sistema de coordenadas era un sistema de coordenadas cartesianas. Estas restricciones le permitían al movimiento inercial ser descrito matemáticamente como: x ä = 0, donde • xa es un vector de posición, • ˙ = ∂/∂τ , y • τ es tiempo propio. Hay que notar que en la mecánica clásica, xa es tridimensional y τ ≡ t, donde t es una coordenada de tiempo. En la relatividad general, si estas restricciones son usadas en la forma de espacio-tiempo y en el sistema de coordenadas, éstas se perderán. Ésta fue la principal razón por la cual se necesitó una definición diferente de movimiento inercial. En relatividad especial, el movimiento inercial ocurre en el espacio de Minkowski como parametrizada por el tiempo propio. Esto se generaliza a espacios curvos matemáticamente mediante la ecuación de las geodésicas: x ä + Γa bc x˙ b x˙ c = 0, donde • Γa bc es un símbolo de Christoffel (de otro modo conocido como conexión de Levi-Civita). Como x es un tensor de rango uno, estas ecuaciones son cuatro y cada una está describiendo la segunda derivada de una coordenada con respecto al tiempo propio. (En la métrica de Minkowski de la relatividad especial, los valores de conexión son todos ceros. Esto es lo que convierte a las ecuaciones geodésicas de la relatividad general en x ä = 0 para el espacio plano de la relatividad especial).

8.8. RELACIÓN CON OTRAS TEORÍAS FÍSICAS

8.8.2

123

Gravitación

En gravitación, la relación entre la teoría de la gravedad de Newton y la relatividad general son gobernadas por el principio de correspondencia: la relatividad general tiene que producir los mismos resultados, así como la gravedad lo hace en los casos donde la física newtoniana ha demostrado ser certera. Alrededor de objetos simétricamente esféricos, la teoría de la gravedad de Newton predice que los otros objetos serán acelerados hacia el centro por la ley: ^ F = − GM.m r2 r Donde: M: masa que genera el Campo gravitatorio, y m es la masa del cuerpo que es atraído.

r ^ r En la aproximación de campo débil de la relatividad general tiene que existir una aceleración en coordenadas idénticas. En la solución de Schwarzschild, la misma aceleración de la fuerza de gravedad es obtenida cuando la constante de integración es igual a 2m (donde m = GM/c2 ).

8.8.3

Electromagnetismo

El electromagnetismo planteó un obstáculo fundamental para la mecánica clásica, debido a que las ecuaciones de Maxwell no son invariantes según la relatividad galileana. Esto creaba un dilema que fue resuelto por el advenimiento de la relatividad especial. En forma tensorial, las ecuaciones de Maxwell son: ∂a F ab = (4π/c) J b , y ∂ F bc + ∂ b F ca + ∂ c F ab = 0 a

Donde: Fab , es el tensor de campo electromagnético, y Ja , es una cuadricorriente. El efecto de un campo electromagnético en un objeto cargado de masa m es entonces: dP a dτ

q ab m Pb F

Donde P a es el cuadrimomento del objeto cargado. En la relatividad general, las ecuaciones de Maxwell se convierten en ∇a F ab = (4π/c) J b , y ∇a F bc + ∇b F ca + ∇c F ab = 0 . La ecuación para el efecto del campo electromagnético sigue siendo la misma, aunque el cambio de métrica modiﬁcará sus resultados. Nótese que al integrar esta ecuación para cargas aceleradas las hipótesis habituales no son válidas (ya que implican que una carga sujeta en un campo gravitato debe comportarse como si estuviera uniformemente acelerada, lo que muestra que una carga uniformemente acelerada no puede radiar).

124

8.8.4

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

Conservación de energía-momentum

En la mecánica clásica, la conservación de la energía y el momentum son manejados separadamente. En la relatividad especial, la energía y el momentum están unidos en el cuadrimomento y los tensores de energía. Para cualquier interacción física, el tensor de energía-impulso Ta b satisface la ley local de conservación siguiente: ∂b Ta b = 0 En la relatividad general, esta relación es modificada para justificar la curvatura, convirtiéndose en: ∇b Ta b = ∂b Ta b + Γb cb Ta c + Γc ab Tc b = 0 donde ∇ representa aquí la derivada covariante. A diferencia de la mecánica clásica y la relatividad especial, en la relatividad general no es siempre posible definir claramente la energía total y el momentum. Esto a menudo causa confusión en espacio-tiempos dependientes del tiempo, en los que no existen vectores de Killing temporales, los cuales no parecen conservar energía, aunque la ley local siempre se satisfaga (Ver energía de Arnowitt, Deser y Misner).

8.9 Transición de la relatividad especial a la relatividad general La teoría de la relatividad especial presenta covariancia de Lorentz esto significa que tal como fue formulada las leyes de la física se escriben del mismo modo para dos observadores que sean inerciales. Einstein estimó, inspirado por el principio de equivalencia que era necesaria una teoría que presentara una para la que valiera un principio de covariancia generalizado, es decir, en que las leyes de la física se escribieran de la misma forma para todos los posibles observadores fueron estos inerciales o no, eso le llevó a buscar una teoría general de la relatividad. Además el hecho de que la propia teoría de la relatividad fuera incompatible con el principio de acción a distancia le hizo comprender que necesitaba además que esta teoría general incorporase una descripción adecuada del campo gravitatorio. Hoy sabemos que Einstein consideraba que la teoría de la relatividad sólo era aplicable a sistemas de referencia inerciales estrictamente, aunque Logunov ha probado en el marco de la teoría relativista de la gravitación que de hecho fijado un observador inercial o no, cualquier otro que se mueva con velocidad uniforme respecto al primero escribirá las leyes físicas de la misma forma. Probando así que la relatividad especial de hecho es más general de lo que Einstein creyó en su momento. Además el trabajo de Logunov prueba que siempre que el espacio-tiempo sea plano puede establecerse para cada observador existe un grupo decaparamétrico de transformaciones de coordenadas que generaliza las propiedades del grupo de Lorentz para observadores no inerciales. El principio de geometrización y el principio de equivalencia fueron las piedras angulares en las que Einstein basó su búsqueda de una nueva teoría, tras haber fracasado en el intento de formular una teoría relativista de la gravitación a partir de un potencial gravitatorio. La teoría escalar de la gravitación de Nordström[13] y la interpretación geométrica que extrajo de ella Adriaan Fokker (1914), el estudiante de doctorado de Hendrik Lorentz, llevaron a Einstein a poder relacionar el tensor de energía-impulso con la curvatura escalar de Ricci de un espacio-tiempo con métrica: gαβ = ϕηαβ que involucraba la métrica del espacio-tiempo plano y un campo escalar relacionado con el campo gravitatorio. La superación de las deficiencias de la teoría de la gravitación escalar de Nordström llevaron a Einstein a formular las ecuaciones correctas de campo.

8.10 Véase también • Teoría relativista de la gravitación

8.11. REFERENCIAS

125

• Teoría de la Relatividad Especial • Introducción matemática a la relatividad general

8.11 Referencias [1] En alemán: "Über den Einfluß der Schwerkfraft auf die Ausbreitung des Lichtes” [2] Ello como consecuencia de la fórmula de Planck, que supone que cuanto más energéticos sean los fotones, más alta es su frecuencia. [3] Escogemos un sistema de coordenadas esférico, compuesto de tres grados de libertad: Latitud θ , longitud ϕ y distancia respecto al centro r . Los componentes θ y ϕ de la aceleración son iguales a cero. La aceleración gravitatoria tiene lugar exclusivamente en dirección al centro de la Tierra. [4] Ambas notaciones son alternativas. [5] La gravitación universal newtoniana establece que la fuerza (y por lo tanto la aceleración radial) de atracción ejercida por el Sol sobre la tierra es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de ambos cuerpos celestes [6] La tercera ley de Kepler afirma que los planetas barren áreas iguales en tiempos iguales. Para que esta ley mantenga su validez en toda la trayectoria orbital terrestre es necesario que la aceleración angular sea máxima en las regiones próximas al perihelio, de tal manera que se compense con ello las menores dimensiones del radio. [7] Más adelante analizaremos con profundidad este tema en el capítulo dedicado a la métrica de Schwarzschild. [8] En las estrellas de la secuencia principal, la presión viene integrada por dos elementos diferentes: La presión molecular, que es causada por la energía cinética de los átomos e iones del fluido estelar, y que viene parametrizada por la ecuación de Boltzmann mv 2 /2 >= 3kT /2 , y la presión de radiación, que es aquella originada por los fotones. Ambos tipos de presión tienden a compensarse en virtud de un proceso físico denominado Bremsstrahlung (radiación de frenado). De este modo, los fotones, que en el núcleo del átomo son generados con niveles de energía correspondientes al especro de los rayos gamma, salen del sol con frecuencias del espectro ultravioleta y sobre todo, del de la luz visible. [9] Dichos efectos se ven incrementados por el desencadenamiento de reacciones termonucleares en todas las capas de la estrella, y no sólo en su núcleo [10] En alemán: “Anwendung der allgemeinen Relativitätstheorie auf das Gravitationsfeld” [11] La relatividad general distingue entre fluidos relativistas, que viajan a velocidades cercanas a la de la luz, y no relativistas, que lo hacen a velocidades relativamente bajas. Al respecto, léase Teoría de la Relatividad. [12] Guillermo Sánchez. «Sistema posicionamiento global (GPS) y las teorías de la relatividad». [13] Ver por ejemplo, Nordström’s theory of gravitation

8.11.1

Bibliografía

• Hawking, Stephen; and Ellis, G. F. R. (1973). The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-09906-4. • Misner, Thorne and Wheeler, Gravitation, Freeman, (1973), ISBN 0-7167-0344-0. • Robert M. Wald, General Relativity, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2. • Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology: principles and applications of the general theory of relativity, Wiley (1972), ISBN 0-471-92567-5.

126

CAPÍTULO 8. RELATIVIDAD GENERAL

8.12 Enlaces externos • Página introductoria a la relatividad general de la Universidad de Illinois (en inglés) • Tesis de Juan Antonio Navarro González de la Universidad de Extremadura • Otero Carvajal, Luis Enrique: “Einstein y la revolución cientíﬁca del siglo XX, Cuadernos de Historia Contemporánea, nº 27, 2005, INSS 0214-400-X • Otero Carvajal, Luis Enrique: “Einstein y la teoría de la relatividad. Del Universo estático al Universo en expansión”, Umbral, revista de la Facultad de Estudios Generales de la Universidad de Puerto Rico, recinto de Río Piedras • Otero Carvajal, Luis Enrique: “La cosmología relativista. Del Universo estático al Universo en expansión”, en Umbral, revista de la Facultad de Estudios Generales de la Universidad de Puerto Rico, recinto de Río Piedras • ¿Hacia una nueva prueba de la relatividad general? Artículo en Astroseti.org • http://es.groups.yahoo.com/group/relatividad/ foro sobre relatividad en español • http://www.relatividad.org/bhole/relatividad.htm apuntes sobre relatividad • Relatividad sin fórmulas

Capítulo 9

Teoría de la relatividad especial

Teoría de la Relatividad, parte de Walk of Ideas, en la Isla de los Museos (Berlín). Festejando el Año mundial de la física 2005 en el centenario de la publicación de la ecuación más famosa del mundo.

La Teoría de la relatividad especial, también llamada Teoría de la relatividad restringida, es una teoría de la física publicada en 1905 por Albert Einstein. Surge de la observación de que la velocidad de la luz en el vacío es igual en todos los sistemas de referencia inerciales y de obtener todas las consecuencias del principio de relatividad de Galileo, según el cual cualquier experimento realizado, en un sistema de referencia inercial, se desarrollará de manera idéntica en cualquier otro sistema inercial. 127

128

CAPÍTULO 9. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

La Teoría de la relatividad especial estableció nuevas ecuaciones que facilitan pasar de un sistema de referencia inercial a otro. Las ecuaciones correspondientes conducen a fenómenos que chocan con el sentido común, siendo uno de los más asombrosos y más famosos la llamada paradoja de los gemelos. La relatividad especial tuvo también un impacto en la ﬁlosofía, eliminando toda posibilidad de existencia de un tiempo y de un espacio absoluto en el conjunto del universo.

9.1 Historia A finales del siglo XIX los físicos pensaban que la mecánica clásica de Newton, basada en la llamada relatividad de Galileo (origen de las ecuaciones matemáticas conocidas como transformaciones de Galileo), describía los conceptos de velocidad y fuerza para todos los observadores (o sistemas de referencia). Sin embargo, Hendrik Lorentz y un poco antes Woldemar Voigt habían comprobado que las ecuaciones de Maxwell, que gobiernan el electromagnetismo, no se comportaban de acuerdo a las leyes de Newton cuando el sistema de referencia varía (por ejemplo, cuando se considera el mismo problema físico desde el punto de vista de dos observadores que se mueven uno respecto del otro). El experimento de Michelson y Morley sirvió para confirmar que la velocidad de la luz permanecía constante, independientemente del sistema de referencia en el cual se medía, contrariamente a lo esperado de aplicar las transformaciones de Galileo. Einstein también fue influido por el físico y filósofo Ernst Mach. Einstein leyó a Ernst Mach cuando era estudiante y ya era seguidor suyo en 1902, cuando vivía en Zurich y se reunía regularmente con sus amigos Conrad Habicht y Maurice Solovine. Einstein insistió para que el grupo leyese los dos libros que Mach había publicado hasta esa fecha: El desarrollo de la mecánica, (Die Mechanik in ihrer Entwicklung, Leipzig, 1883) y El análisis de las sensaciones (Die Analyse der Empfindungen und das Verhältnis des Physischen zum Psychischen, Jena, 1886). Einstein siempre creyó que Mach había estado en el camino correcto para descubrir la relatividad en parte de sus trabajos de juventud, y que la única razón por la que no lo había hecho fue porque la época no fue la propicia.[1] En 1905 un desconocido físico alemán publicó un artículo que cambió radicalmente la percepción del espacio y el tiempo que se tenía en ese entonces. En su Zur Elektrodynamik bewegter Körper,[2] Albert Einstein revolucionó al mundo al postular lo que ahora conocemos como Teoría de la Relatividad Especial. Esta teoría se basaba en el Principio de relatividad y en la constancia de la velocidad de la luz en cualquier sistema de referencia inercial. De ello Einstein dedujo las ecuaciones de Lorentz. También reescribió las relaciones del momento y de la energía cinética para que éstas también se mantuvieran invariantes. La teoría permitió establecer la equivalencia entre masa y energía y una nueva definición del espacio-tiempo. De ella se derivaron predicciones y surgieron curiosidades. Como ejemplos, un observador atribuye a un cuerpo en movimiento una longitud más corta que la que tiene el cuerpo en reposo y la duración de los eventos que afecten al cuerpo en movimiento son más largos con respecto al mismo evento medido por un observador en el sistema de referencia del cuerpo en reposo. En 1912, Wilhelm Wien, premio Nobel de Física de 1911, propuso a Lorentz y a Einstein para este galardón por la teoría de la relatividad, expresando Aunque Lorentz debe ser considerado como el primero en encontrar la expresión matemática del principio de la relatividad, Einstein consiguió reducirlo desde un principio simple. Debemos pues considerar el mérito de los dos investigadores como comparable. Wilhelm Wien[3]

Einstein no recibió el premio Nobel por la relatividad especial pues el comité, en principio, no otorgaba el premio a teorías puras. El Nobel no llegó hasta 1921, y fue por su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico.

9.2 Postulados • Primer postulado. Principio especial de relatividad: Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. En otras palabras, no existe un sistema inercial de referencia privilegiado, que se pueda

9.3. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ

129

considerar como absoluto. • Segundo postulado. Invariancia de c: La velocidad de la luz en el vacío es una constante universal, c, que es independiente del movimiento de la fuente de luz.

Velocidad de la luz desde la Tierra a la Luna, situada a más de 380.000 km.

La fuerza del argumento de Einstein está en la forma en que se deducen de ella resultados sorprendentes y plausibles a partir de dos simples hipótesis y cómo estas predicciones las conﬁrmaron las observaciones experimentales.

9.2.1

Principio de Relatividad

Henri Poincaré, matemático francés, sugirió a ﬁnales del siglo XIX que el principio de relatividad establecido desde Galileo (la invariancia galileana) se mantiene para todas las leyes de la naturaleza. Joseph Larmor y Hendrik Lorentz descubrieron que las ecuaciones de Maxwell, la piedra angular del electromagnetismo, eran invariantes solo por una variación en el tiempo y una cierta unidad longitudinal, lo que produjo mucha confusión en los físicos, que en aquel tiempo estaban tratando de argumentar las bases de la teoría del éter, la hipotética substancia sutil que llenaba el vacío y en la que se transmitía la luz. El problema es que este éter era incompatible con el principio de relatividad. En su publicación de 1905 en electrodinámica, Henri Poincaré y Albert Einstein explicaron que, con las transformaciones hechas por Lorentz, este principio se mantenía perfectamente invariable. La contribución de Einstein fue el elevar este axioma a principio y proponer las transformadas de Lorentz como primer principio. Además descartó la noción de tiempo absoluto y requirió que la velocidad de la luz en el vacío sea la misma para todos los observadores, sin importar si éstos se movían o no. Esto era fundamental para las ecuaciones de Maxwell, ya que éstas necesitan de una invarianza general de la velocidad de la luz en el vacío.

9.2.2

Covariancia de Lorentz

La teoría de la relatividad especial además busca formular todas las leyes físicas de forma que tengan validez para todos los observadores inerciales. Por lo que cualquier ley física debería tener una forma matemática invariante bajo unas transformaciones de Lorentz.

9.3 Transformaciones de Lorentz Como hemos mencionado, los físicos de la época habían encontrado una inconsistencia entre la completa descripción del electromagnetismo realizada por Maxwell y la mecánica clásica. Para ellos, la luz era una onda electromagnética transversal que se movía por un sistema de referencia privilegiado, al cual lo denominaban éter. Hendrik Antoon Lorentz trabajó en resolver este problema y fue desarrollando unas transformaciones para las cuales las ecuaciones de Maxwell quedaban invariantes y sin necesidad de utilizar ese hipotético éter. La propuesta de Lorentz de 1899, conocida como la Teoría electrónica de Lorentz, no excluía —sin embargo— al éter. En la misma, Lorentz proponía que la interacción eléctrica entre dos cuerpos cargados se realizaba por medio de unos corpúsculos a los que llamaba electrones y que se encontraban adheridos a la masa en cada uno de los cuerpos. Estos electrones interactuaban entre sí mediante el éter, el cual era contraído por los electrones acorde a transformaciones especíﬁcas, mientras estos se encontraban en movimiento relativo al mismo. Estas transformaciones se las conoce ahora como transformaciones de Lorentz. La formulación actual fue trabajo de Poincaré, el cual las presentó de una manera más consistente en 1905. Se tiene un sistema S de coordenadas (x, y, z, t) y un sistema S' de coordenadas (x′ , y ′ , z ′ , t′ ) , de aquí las ecuaciones que describen la transformación de un sistema a otro son:

130

CAPÍTULO 9. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Diferentes sistemas de referencia para un mismo fenómeno.

( t′ = γ t − donde γ = √

vx c2

)

1 1−v 2 /c2

, x′ = γ(x − vt) , y ′ = y , z ′ = z es el llamado factor de Lorentz y c es la velocidad de la luz en el vacío.

Contrario a nuestro conocimiento actual, en aquel momento esto era una completa revolución, debido a que se planteaba una ecuación para transformar al tiempo, cosa que para la época era imposible. En la mecánica clásica, el tiempo era un invariante. Y para que las mismas leyes se puedan aplicar en cualquier sistema de referencia se obtiene otro tipo de invariante a grandes velocidades (ahora llamadas relativistas), la velocidad de la luz.

9.4 Simultaneidad Directamente de los postulados expuestos arriba, y por supuesto de las transformaciones de Lorentz, se deduce el hecho de que no se puede decir con sentido absoluto que dos acontecimientos hayan ocurrido al mismo tiempo en diferen-

9.5. DILATACIÓN DEL TIEMPO Y CONTRACCIÓN DE LA LONGITUD

131

tes lugares. Si dos sucesos ocurren simultáneamente en lugares separados espacialmente desde el punto de vista de un observador, cualquier otro observador inercial que se mueva respecto al primero los presencia en instantes distintos.[4] Matemáticamente, esto puede comprobarse en la primera ecuación de las transformaciones de Lorentz: ( ∆t′ = γ ∆t −

v∆x c2

)

Dos eventos simultáneos verifican ∆t = 0 , pero si sucedieron en lugares distintos (con ∆x ̸= 0 ), otro observador con movimiento relativo obtiene ∆t′ ̸= 0 . Sólo en el caso ∆t = 0 y ∆x = 0 (sucesos simutáneos en en el mismo punto) no ocurre esto. El concepto de simultaneidad puede definirse como sigue. Dados dos eventos puntuales E 1 y E 2 , que ocurre respectivamente en instantes de tiempo t 1 y t 2 , y en puntos del espacio P 1 = (x1 , y1 , z1 ) y P 2 = (x2 , y2 , z2 ), todas las teorías físicas admiten que estos sólo pueden darse una, de tres posibilidades mutuamente excluyentes:[5] 1. Es posible para un observador estar presente en el evento E 1 y luego estar en el evento E 2 , y en ese caso se afirma que E 1 es un evento anterior a E 2 . Además si eso sucede no puede existir otro observador que verifique 2. 2. Es posible para un observador estar presente en el evento E 2 y luego estar en el evento E 1 , y en ese caso se afirma que E 1 es un evento posterior a E 2 . Además si eso sucede no puede existir otro observador que verifique 1. 3. Es imposible para algún observador puntual, estar presente simultáneamente en los eventos E 1 y E 2 . Dado un evento cualquiera, el conjunto de eventos puede dividirse según esas tres categorías anteriores. Es decir, todas las teorías físicas permiten fijado un evento, clasificar a los demás eventos: en (1) pasado, (2) futuro y (3) resto de eventos (ni pasados ni futuros). En mecánica clásica esta última categoría está formada por los sucesos llamados simultáneos, y en mecánica relativista eventos no relacionados causalmente con el primer evento. Sin embargo, la mecánica clásica y la mecánica relativista difieren en el modo concreto en que esa división entre pasado, futuro y otros puede hacerse y en si dicho carácter es absoluto o relativo de dicha partición.

9.5 Dilatación del tiempo y contracción de la longitud Como se dijo previamente, el tiempo en esta teoría deja de ser absoluto como se proponía en la mecánica clásica. O sea, el tiempo para todos los observadores del fenómeno deja de ser el mismo. Si tenemos un observador inmóvil haciendo una medición del tiempo de un acontecimiento y otro que se mueva a velocidades relativistas, los dos relojes no tendrán la misma medición de tiempo. Mediante la transformación de Lorentz nuevamente llegamos a comprobar esto. Se coloca un reloj ligado al sistema S y otro al S', lo que nos indica que x = 0 . Se tiene las transformaciones y sus inversas en términos de la diferencia de coordenadas: ) ( v∆x ∆t′ = γ ∆t − 2 c ∆x′ = γ(∆x − v∆t) y ( ) v∆x′ ∆t = γ ∆t′ + 2 c ∆x = γ(∆x′ + v∆t′ ) Si despejamos las primeras ecuaciones obtenemos

132

CAPÍTULO 9. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Gráﬁco que explica la contracción de Lorentz.

∆t′ = γ∆t

( para sucesos que satisfagan ∆x = 0)

De lo que obtenemos que los eventos que se realicen en el sistema en movimiento S' serán más largos que los del S. La relación entre ambos es esa γ . Este fenómeno se lo conoce como dilatación del tiempo. Si se dice que el tiempo varía a velocidades relativistas, la longitud también lo hace. Un ejemplo sería si tenemos a dos observadores inicialmente inmóviles, éstos miden un vehículo en el cual solo uno de ellos “viajará" a grandes velocidades, ambos obtendrán el mismo resultado. Uno de ellos entra al vehículo y cuando adquiera la suﬁciente velocidad mide el vehículo obteniendo el resultado esperado, pero si el que esta inmóvil lo vuelve a medir, obtendrá un valor menor. Esto se debe a que la longitud también se contrae. Volviendo a las ecuaciones de Lorentz, despejando ahora a x y condicionando a ∆t′ = 0 se obtiene:

9.6. CANTIDADES RELATIVISTAS

∆x′ =

133

∆x γ

de lo cual podemos ver que existirá una disminución debido al cociente. Estos efectos solo pueden verse a grandes velocidades, por lo que en nuestra vida cotidiana las conclusiones obtenidas a partir de estos cálculos no tienen mucho sentido. Un buen ejemplo de estas contracciones y dilataciones fue propuesto por Einstein en su paradoja de los gemelos.

9.6 Cantidades relativistas

El pájaro se mueve con velocidad v respecto al sistema S. Sin embargo, desde el punto de vista del piloto del avión, el pájaro se aleja de él a una velocidad v′ mayor, dada por las fórmulas del texto.

9.6.1

Composición de velocidades

La composición de velocidades es el cambio en la velocidad de un cuerpo al ser medida en diferentes sistemas de referencia inerciales. En la física pre-relativista se calculaba mediante v′ = v + u , donde v′ es la velocidad del cuerpo con respecto al sistema S′, u la velocidad con la que este sistema se aleja del sistema “en reposo” S, y v es la velocidad del cuerpo medida en S. Sin embargo, debido a las modiﬁcaciones del espacio y el tiempo, esta relación no es válida en Relatividad Especial. Mediante las transformadas de Lorentz puede obtenerse la fórmula correcta:

v′ =

v+u 1 + u·v c2

Al observar con cuidado esta fórmula se nota que si tomamos para el cuerpo una velocidad en el sistema S igual a la de la luz (el caso de un fotón, por ejemplo), su velocidad en S′ sigue siendo v′=c, como se espera debido al segundo postulado. Además, si las velocidades son muy pequeñas en comparación con la luz, se obtiene que esta fórmula se aproxima a la anterior dada por Galileo.

134

9.6.2

CAPÍTULO 9. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Masa, momento y energía relativista

El concepto de masa en la teoría de la relatividad especial tiene dos bifurcaciones: la masa invariante y la masa relativista aparente. La masa relativista aparente es la masa aparente que va a depender del observador y se puede incrementar dependiendo de su velocidad, mientras que la invariante es independiente del observador e invariante. Matemáticamente tenemos que: M = γm donde M es la masa relativista aparente, m es la invariante y γ es el factor de Lorentz. Notemos que si la velocidad relativa del factor de Lorentz es muy baja, la masa relativa tiene el mismo valor que la masa invariante pero si ésta es comparable con la velocidad de la luz existe una variación entre ambas. Conforme la velocidad se vaya aproximando a la velocidad de la luz, la masa relativista tenderá a inﬁnito.

9.6.3

Cantidad de movimiento

Al existir una variación en la masa relativista aparente, la cantidad de movimiento de un cuerpo también debe ser redeﬁnida. Según Newton, la cantidad de movimiento está deﬁnida por p = mv donde m era la masa del cuerpo. Como esta masa ya no es invariante, nuestra nueva “cantidad de movimiento relativista” tiene el factor de Lorentz incluido así: p = γmv = M v Sus consecuencias las veremos con más detenimiento en la sección posterior de fuerza.

9.6.4

Equivalencia de masa y energía

Equivalencia entre masa y energía.

La relatividad especial postula una ecuación para la energía, la cual inexplicablemente llegó a ser la ecuación más famosa del planeta, E=mc2 . A esta ecuación también se la conoce como la equivalencia entre masa y energía. En la relatividad, la energía y el momento de una partícula están relacionados mediante la ecuación: E 2 − p2 c2 = m2 c4

9.7. LA GEOMETRÍA DEL ESPACIO TIEMPO

135

Esta relación de energía-momento formulada en la relatividad nos permite observar la independencia del observador tanto de la energía como de la cantidad de momento. Para velocidades no relativistas, la energía puede ser aproximada mediante una expansión de una serie de Taylor así E ≈ mc2 + 12 mv 2 encontrando así la energía cinética de la mecánica de Newton. Lo que nos indica que esa mecánica no era más que un caso particular de la actual relatividad. El primer término de esta aproximación es lo que se conoce como la energía en reposo (energía potencial), ésta es la cantidad de energía que puede medir un observador en reposo de acuerdo con lo postulado por Einstein. Esta energía en reposo no causaba conﬂicto con lo establecido anteriormente por Newton, porque ésta es constante y además persiste la energía en movimiento. Einstein lo describió de esta manera: Bajo esta teoría, la masa ya no es una magnitud inalterable pero sí una magnitud dependiente de (y asimismo, idéntica con) la cantidad de energía.[6] Albert Einstein

9.6.5

Fuerza

En mecánica newtoniana la fuerza no relativista puede obtenerse simplemente como la derivada temporal del momento lineal: F=

dp dt

Pero contrariamente postula la mecánica newtoniana, aquí el momento no es simplemente la masa en reposo por la velocidad. Por lo que la ecuación F = ma ya no es válida en relatividad. Si introducimos la deﬁnición correcta del momento lineal, usando la masa aparente relativista entonces obtenemos la expresión relativista correcta: F=

d(M v) dt

dM dt v

dγ dv + M dv dt = m dt v + γm dt

donde M es la masa relativista aparente. Calculando la fuerza anterior se observa el hecho que la fuerza podría no tener necesariamente la dirección de la aceleración, como se deduce desarrollando la ecuación anterior: F = γma + γ 3 m v·a c2 v Introduciendo las aceleraciones normal y tangencial: [ 3

F = γ mat^ et + γman^ en

⇒

] [ 3 Ft γ =m Fn 0

0 γ

][

at an

]

Existen dos casos particulares de movimiento de una partícula donde la fuerza es siempre paralela a la aceleración, que son el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado y el movimiento circular uniforme; en el primer caso el factor de proporcionalidad es γ 3 m y el en segundo γm

9.7 La geometría del espacio tiempo La relatividad especial usa tensores y cuadrivectores para representar un espacio pseudo-euclídeo. Este espacio, sin embargo, es similar al espacio euclídeo tridimensional en muchos aspectos y es relativamente fácil trabajar en él. El tensor métrico que da la distancia elemental (ds) en un espacio euclídeo se deﬁne como:

136

CAPÍTULO 9. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL ds2 = dx21 + dx22 + dx23

donde (dx1 , dx2 , dx3 ) son diferenciales de las tres coordenadas cartesianas espaciales. En la geometría de la relatividad especial, se añade una cuarta dimensión imaginaria dada por el producto ict, donde t es el tiempo, c la velocidad de la luz e i la unidad imaginaria: quedando el intervalo relativista, en forma diferencial, como: ds2 = dx21 + dx22 + dx23 + (icdt)2 El factor imaginario se introduce para mostrar el carácter pseudoeuclídeo de la geometría espacio-tiemporal. Si se reducen las dimensiones espaciales a 2, se puede hacer una representación física en un espacio tridimensional, ds2 = dx21 + dx22 − c2 dt2

Cono dual.

Se puede ver que las geodésicas con medida cero forman un cono dual deﬁnido por la ecuación

ds2 = 0 = dx21 + dx22 − c2 dt2 dx21 + dx22 = c2 dt2 La ecuación anterior es la de círculo con r = cdt .

9.8. CAUSALIDAD E IMPOSIBILIDAD DE MOVIMIENTOS MÁS RÁPIDOS QUE LA LUZ

137

Esferas concéntricas.

Si se extiende lo anterior a las tres dimensiones espaciales, las geodésicas nulas son esferas concéntricas, con radio = distancia = c por tiempo.

ds2 = 0 = dx21 + dx22 + dx23 − c2 dt2 dx21 + dx22 + dx23 = c2 dt2 Este doble cono de distancias nulas representa el horizonte de visión de un punto en el espacio. Esto es, cuando se mira a las estrellas y se dice: La estrella de la que estoy recibiendo luz tiene √ X años, se está viendo a través de esa línea de visión: una geodésica de distancia nula. Se está viendo un suceso a d = x21 + x22 + x23 metros, y d/c segundos en el pasado. Por esta razón, el doble cono es también conocido como cono de luz (El punto inferior de la izquierda del diagrama inferior representa la estrella, el origen representa el observador y la línea representa la geodésica nula, el “horizonte de visión” o cono de luz). Es importante notar que sólo los puntos interiores al cono de luz de un evento pueden estar en relación causal con ese evento.

9.8 Causalidad e imposibilidad de movimientos más rápidos que la luz Previo a esta teoría, el concepto de causalidad estaba determinado: para una causa existe un efecto. Anteriormente, gracias a los postulados de Laplace, se creía que para todo acontecimiento se debía obtener un resultado que podía predecirse. La revolución en este concepto es que se “crea” un cono de luz de posibilidades (Véase gráﬁco adjunto).

138

CAPÍTULO 9. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Un evento en un cono de luz temporal.

Se observa este cono de luz y ahora un acontecimiento en el cono de luz del pasado no necesariamente nos conduce a un solo efecto en el cono de luz futuro. Desligando así la causa y el efecto. El observador que se sitúa en el vértice del cono ya no puede indicar qué causa del cono del pasado provocará el efecto en el cono del futuro. Asumiendo el principio de causalidad obtenemos que ninguna partícula de masa positiva puede viajar más rápido que la luz. A pesar que este concepto no es tan claro para la relatividad general. [cita requerida] Pero no solo el principio de causalidad imposibilita el movimiento más rápido que el de la luz. Imagínese un cuerpo que experimenta una fuerza durante una cantidad infinita de tiempo. Tenemos entonces que: F = dp dt (donde dp es el diferencial de la cantidad de movimiento y dt el del tiempo). Sabemos que la cantidad de movimiento relativista presenta la ecuación: p = γmV y mientras más esta cantidad de movimiento se acerca al infinito, V se acerca a c. Lo que para un observador inmóvil determinaría que la inercia del cuerpo estaría aumentando indefinidamente. En el modelo estándar existen unas partículas aún teóricas que podrían viajar más rápido que la luz, los taquiones, aunque

9.9. FORMULACIÓN DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

139

éstas siguen siendo aún hipotéticas.

9.9 Formulación de la Relatividad Especial La relatividad especial a pesar de poder ser descrita con facilidad por medio de la mecánica clásica y ser de fácil entendimiento, tiene una compleja matemática de por medio. Aquí se describe a la relatividad especial en la forma de la covariancia de Lorentz. La posición de un evento en el espacio-tiempo está dado por un vector contravariante cuatridimensional, sus componentes son:

xν = (t, x, y, z) esto es que x0 = t , x1 = x , x2 = y y x3 = z . Los superíndices de esta sección describen contravarianza y no exponente a menos que sea un cuadrado o se diga lo contrario. Los superíndices son índices covariantes que tienen un rango de cero a tres como un gradiente del espacio tiempo del campo φ:

∂0 ϕ =

9.9.1

∂ϕ , ∂t

∂1 ϕ =

∂ϕ , ∂x

∂2 ϕ =

∂ϕ , ∂y

∂3 ϕ =

∂ϕ . ∂z

Métrica y transformación de coordenadas

Habiendo reconocido la naturaleza cuatridimensional del espacio-tiempo, se puede empezar a emplear la métrica de Minkowski, η, dada en los componentes (válidos para cualquier sistema de referencia) así: 

ηαβ

−c2  0 =  0 0

 0 0 0 1 0 0  0 1 0 0 0 1



, su inversa es :

η αβ

− c12  0 =  0 0

 0 0 0 1 0 0  0 1 0 0 0 1

Luego se reconoce que las transformaciones co-ordenadas entre los sistemas de referencia inerciales están dadas por el tensor de transformación de Lorentz Λ. Para el caso especial de movimiento a través del eje x, se tiene: 

′

Λµ

γ −βγc =  0 0

−βγ/c 0 γ 0 0 1 0 0

 0 0  0 1

que es simplemente la matriz de un boost (como una rotación) entre las coordenadas x y t. Donde μ' indica la ﬁla y ν la columna. También β y γ están deﬁnidos como: γ=√

β = vc ,

1 1−β 2

Más generalmente, una transformación de un sistema inercial (ignorando la translación para simpliﬁcarlo) a otro debe satisfacer: ′

ηαβ = ηµ′ ν ′ Λµ α Λν

′

donde hay un sumatorio implícita de µ′ y ν ′ de cero a tres en el lado derecho, de acuerdo con el Convenio de sumación de Einstein. El grupo de Poincaré es el grupo más general de transformaciones que preservan la métrica de Minkowski y ésta es la simetría física subyacente a la relatividad especial.

140

CAPÍTULO 9. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Todas las propiedades físicas cuantitativas son dadas por tensores. Así para transformar de un sistema a otro, se usa la muy conocida ley de transformación tensorial ′ ′ ′ [i′ ,i′ ,...i′ ] [i ,i ,...i ] T j ′1,j ′2,...jp′ = Λi1 i1 Λi2 i2 ...Λip ip Λj1′ j1 Λj2′ j2 ...Λjq′ jq T[j11,j22,...jpq ] [ 1 2 q] ′

donde Λjk′ jk es la matriz inversa de Λjk jk . Para observar como esto es útil, transformamos la posición de un evento de un sistema de coordenadas S a uno S', se calcula   ′ γ t  x′  ′ −βγc  ′  = Λµ ν xν =   0 y  z′ 0

−βγ/c γ 0 0

    0 0 t γt − γβx/c     0 0 x =  γx − βγct   1 0  y   y 0 1 z z

que son las transformaciones de Lorentz dadas anteriormente. Todas las transformaciones de tensores siguen la misma regla. El cuadrado de la diferencia de la longitud de la posición del vector dxµ construido usando

dx2 = ηµν dxµ dxν = −(c · dt)2 + (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 es un invariante. Ser invariante signiﬁca que toma el mismo valor en todos los sistemas inerciales porque es un escalar (tensor√ de rango 0), y así Λ no aparece en esta transformación trivial. Se nota que cuando el elemento línea dx2 es negativo √ dτ = −dx2 /c es el diferencial del tiempo propio, mientras que cuando dx2 es positivo, dx2 es el diferencial de la distancia propia. El principal valor de expresar las ecuaciones de la física en forma tensorial es que éstas son luego manifestaciones invariantes bajo los grupos de Poincaré, así que no tenemos que hacer cálculos tediosos o especiales para conﬁrmar ese hecho. También al construir tales ecuaciones encontramos usualmente que ecuaciones previas que no tienen relación, de hecho, están conectadas cercanamente al ser parte de la misma ecuación tensorial.

9.9.2

Cuadrivelocidad y cuadriaceleración

Ahora podemos deﬁnir igualmente la velocidad y la aceleración mediante simples leyes de transformación. La velocidad en el espacio-tiempo U μ está dada por 

Uµ =

dxµ dτ

 γ γvx   = γvy  γvz

Reconociendo esto, podemos convertir buscando una ley sobre las composiciones de velocidades en un simple estado acerca de transformaciones de velocidades de cuatro dimensiones de una partícula de un sistema a otro. U μ también tiene una forma invariante: U2 = ηνµ U ν U µ = −c2 . Así la cuadrivelocidad tiene una magnitud de c. Esta es una expresión del hecho que no hay tal cosa como la coordenada en reposo en relatividad: al menos, si se está siempre moviéndose a través del tiempo. Para la cuadriaceleración, ésta viene dada por Aµ = dUµ /dτ . Dado esto, diferenciando la ecuación para τ produce

9.9. FORMULACIÓN DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

141

2ηµν Aµ U ν = 0. así en relatividad, la aceleración y la velocidad en el espacio-tiempo son ortogonales.

9.9.3

Cuadrimomento

El momento lineal y la energía se combinan en un cuadrivector covariante:   −E/c  px   Pν = m ηνµ U µ =   py  pz donde m es la masa invariante. La magnitud invariante del cuadrimomento es:

P2 = η µν Pµ Pν = −(E/c)2 + p2 . Podemos trabajar con que este es un invariante por el argumento de que éste es primero un escalar, no interesa qué sistema de referencia se calcule y si la transformamos a un sistema donde el momento total sea cero. P2 = −(Ereposo /c)2 = −(mc)2 . Se observa que la energía en reposo es un invariante independiente. Una energía en reposo se puede calcular para partículas y sistemas en movimiento, por traslación de un sistema en que el momento es cero. La energía en reposo está relacionada con la masa de acuerdo con la ecuación antes discutida: Ereposo = mc2 , Nótese que la masa de un sistema de medida en su sistema de centro de momento (donde el momento total es cero) está dado por la energía total del sistema en ese marco de referencia. No debería ser igual a la suma de masas individuales del sistema medido en otros sistemas.

9.9.4

Cuadrifuerza

Al usar la tercera ley de Newton, ambas fuerzas deben estar deﬁnidas como la tasa de cambio del momentum respecto al mismo tiempo coordenado. Esto es, se requiere de las fuerzas deﬁnidas anteriormente. Desafortunadamente, no hay un tensor en cuatro dimensiones que contenga las componentes de un vector de fuerza en tres dimensiones entre sus componentes. Si una partícula no está viajando a c, se puede transformar en una fuerza de tres dimensiones del sistema de referencia de la partícula en movimiento entre los observadores de este sistema. A éstos se los suele llamar fuerza de cuatro dimensiones. Es la tasa de cambio del anterior vector de cuatro dimensiones de energía momento con respecto al tiempo propio. La versión covariante de esta fuerza es: 

Fν =

dpν dτ

 −dE/dτ  dpx /dτ   =  dpy /dτ  dpz /dτ

142

CAPÍTULO 9. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

donde τ es el tiempo propio. En el sistema en reposo del objeto, la componente del tiempo de esta fuerza es cero a menos que la masa invariante del objeto este cambiando, en ese caso la tasa de cambio es negativa y es c2 veces. En general, se piensa que las componentes de la fuerza de cuatro dimensiones no son iguales a las componentes de la fuerza de tres porque ésta de tres está deﬁnida por la tasa de cambio del momento con respecto al tiempo coordenado, así dp dt ; mientras que la fuerza en cuatro dimensiones dp está deﬁnida por la tasa de cambio del momento respecto al tiempo propio, así dτ . En un medio continuo, la densidad de fuerza en tres dimensiones combinada con la densidad de potencia forma un vector de cuatro dimensiones covariante. La parte espacial es el resultado de dividir la fuerza en pequeñas células (en el espacio tridimensional) por el volumen de la célula. El componente del tiempo es negativo de la potencia transferida a la célula dividida para el volumen de la célula.

9.10 Uniﬁcando el electromagnetismo Investigaciones teóricas en el electromagnetismo clásico indicaron el camino para descubrir la propagación de onda. Las ecuaciones generalizando los efectos electromagnéticos encontraron que la velocidad de propagación ﬁnita de los campos E y B requiere comportamientos claros en partículas cargadas. El estudio general de cargas en movimiento forma un potencial de Liénard-Wiechert, que es un paso a través de la relatividad especial. La transformación de Lorentz del campo eléctrico de una carga en movimiento por un observador en reposo en un sistema de referencia resulta en la aparición de un término matemático comúnmente llamado campo magnético. Al contrario, el campo magnético generado por las cargas en movimiento desaparece y se convierte en un campo electrostático en un sistema de referencia móvil. Las ecuaciones de Maxwell son entonces simplemente ajustes empíricos a los efectos de la relatividad especial en un modelo clásico del universo. Como los campos eléctricos y magnéticos son dependientes de los sistemas de referencia y así entrelazados, en el así llamado campo electromagnético. La relatividad especial provee las reglas de transformación de cómo los campos electromagnéticos en un sistema inercial aparecen en otro sistema inercial.

9.10.1

Electromagnetismo

Las ecuaciones de Maxwell en la forma tridimensional son de por sí consistentes con el contenido físico de la relatividad especial. Pero debemos reescribirlas para hacerlas invariantes.[7] La densidad de carga ρy la densidad de corriente [Jx , Jy , Jz ]son uniﬁcadas en el concepto de vector cuatridimensional:   ρc   J x Jµ =  Jy  Jz La ley de conservación de la carga se vuelve:

∂µ J µ = 0. El campo eléctrico [Ex , Ey , Ez ] y la inducción magnética [Bx , By , Bz ] son ahora uniﬁcadas en un tensor de campo electromagnético (de rango 2, antisimétrico covariante): 

Fµν

0 Ex =  Ey Ez

−Ex 0 −Bz By

−Ey Bz 0 −Bx

 −Ez −By   Bx  0

La densidad de la fuerza de Lorentz fµ ejercida en la materia por el campo electromagnético es:

9.11. SISTEMAS NO INERCIALES Y RELATIVIDAD ESPECIAL

143

fµ = Fµν J ν . La ley de Faraday de inducción y la ley de Gauss para el magnetismo se combinan en la forma:

∂λ Fµν + ∂µ Fνλ + ∂ν Fλµ = 0. A pesar de que se ven muchas ecuaciones, éstas se pueden reducir a solo cuatro ecuaciones independientes. Usando la antisimetría del campo electromagnético se puede reducir a la identidad o redundar en todas las ecuaciones excepto las que λ, μ, ν = 1,2,3 o 2,3,0 o 3,0,1 o 0,1,2.

9.11 Sistemas no inerciales y relatividad especial Existe cierta confusión sobre los límites de la teoría especial de la relatividad. Por ejemplo, con frecuencia en textos de divulgación se repite que dentro de esta teoría sólo pueden tratarse sistemas de referencia inerciales, en los cuales la métrica toma la forma canónica. Sin embargo, como diversos autores se han encargado de demostrar la teoría puede tratar igualmente sistemas de referencia no inerciales.[8] Obviamente el tratamiento de sistemas no inerciales en la teoría de la relatividad especial resulta más complicado que el de los sistemas inerciales. Einstein y otros autores consideraron antes del desarrollo de la relatividad general casi exclusivamente sistemas de coordenadas relacionados por transformaciones de Lorentz, razón por la cual se piensa que esta teoría es sólo aplicable a sistemas inerciales.

9.12 Relatividad general Actualmente se considera como relatividad general el estudio del espacio-tiempo deformado por campos gravitatorios, dejando el estudio de los sistemas de referencia acelerados en espacios planos dentro de la relatividad especial. Igualmente la relatividad general es una de las teorías más relevantes para la construcción de modelos cosmológicos sobre el origen del universo. La teoría general de la relatividad fue introducida históricamente en conexión con el principio de equivalencia y el intento de explicar la identidad entre la masa inercial y la masa gravitatoria. En esta teoría se usaban explícitamente sistemas de coordenadas no relacionados entre sí por transformaciones de Lorentz o similares, con lo cual claramente en la resolución de muchos problemas se hacía patente el uso de sistemas de referencia no inerciales. Estos hechos condujeron a la confusión en muchos textos de divulgación de que los sistemas no inerciales requieren del desarrollo de la teoría general de la relatividad.

9.13 Tests de postulados de la relatividad especial • Experimento Michelson-Morley – arrastre del éter. • Experimento Hamar – obstrucción del ﬂujo del éter. • Experimento Trouton-Noble – torque en un condensador producido por el arrastre del éter. • Experimento Kennedy-Thorndike – contracción del tiempo. • Experimento sobre las formas de emisión. • Experimento de Ives–Stilwell

144

CAPÍTULO 9. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

9.15 Referencias [1] Experientia Docet. Einstein y … Ernst Mach. Consultado: 04-06-12 [2] IV. Folge (PDF). «Zur Elektrodynamik bewegter Körper». Annalen der Physik (en alemán) (Berna) 17: pp. 891–921. 1905. Consultado el 13 de agosto de 2009. Texto « Einstein, A. » ignorado (ayuda) [3] Pais, Abraham (1984). El señor es sutil...: la ciencia y la vida de Albert Einstein. Barcelona : Ariel. ISBN 84-344-8013-1. [4] Cualquier observador inercial que se mueva en una dirección no ortogonal a la separación espacial de los sucesos. [5] Robert M. Wald, General Relativity, p. 4 [6] Albert Einstein (1927). «Isaac Newton». Smithsonian Annual Report (en inglés). NOVA. Consultado el 13 de agosto de 2009. [7] E. J. Post (1962). Formal Structure of Electromagnetics: General Covariance and Electromagnetics. Dover Publications Inc. ISBN 0-486-65427-3. [8] A. A. Logunov (1998). Curso de Teoría de la Relatividad y de la gravitación. Moscú: Universidad Estatal de Lomonósov. ISBN 5-88417-162-5.

9.15.1

Bibliografía

• Alemañ Berenguer, Rafael Andrés (2004). Relatividad para todos. ISBN 84-95495-43-0. • Alemañ Berenguer, Rafael Andrés (2005). Física para todos. ISBN 84-95495-60-0. • Bertrand Russell, El ABC de la relatividad, 1925.

9.16 Enlaces externos •

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Wikilibros • •

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Wikinoticias

9.16. ENLACES EXTERNOS •

145

Artículos en Wikinoticias: Dos alemanes aseguran haber superado la velocidad de la luz

• Contenido sencillo sobre relatividad (en inglés) • Einstein y la revolución cientíﬁca del siglo XX • Einstein y la teoría especial de la relatividad. La abolición del espacio y el tiempo absolutos • Ejercicios sobre Relatividad Especial • Notas sobre Relatividad Especial • “On the Electrodynamics of Moving Bodies”, el artículo de Einstein donde plantea la RE (Jun 1905)(traducción al inglés) • Relatividad sin fórmulas • Vídeos de objetos vistos a velocidades cuasilumínicas (Universidad de Tübingen) • Artículo “Realitividad para tontos” • Artículo original de Einstein en español

Capítulo 10

Materia oscura En astrofísica y cosmología física se denomina materia oscura a la hipotética materia que no emite suficiente radiación electromagnética para ser detectada con los medios técnicos actuales, pero cuya existencia se puede deducir a partir de los efectos gravitacionales que causa en la materia visible, tales como las estrellas o las galaxias, así como en las anisotropías del fondo cósmico de microondas presente en el universo. No se debe confundir la materia oscura con la energía oscura. De acuerdo con las observaciones actuales (2010) de estructuras mayores que una galaxia, así como la cosmología del Big Bang, la materia oscura constituye del orden del 21% de la masa-energía del Universo observable y la energía oscura el 70%.[1] La materia oscura fue propuesta por Fritz Zwicky en 1933 ante la evidencia de una “masa no visible”[2] que influía en las velocidades orbitales de las galaxias en los cúmulos. Posteriormente, otras observaciones han indicado la presencia de materia oscura en el universo: estas observaciones incluyen la citada velocidad de rotación de las galaxias, las lentes gravitacionales de los objetos de fondo por los cúmulos de galaxias, tales como el Cúmulo Bala (1E 0657-56) y la distribución de la temperatura del gas caliente en galaxias y cúmulos de galaxias. La materia oscura también desempeña un papel central en la formación de estructuras y la evolución de galaxias y tiene efectos medibles en la anisotropía de la radiación de fondo de microondas. Todas estas pruebas sugieren que las galaxias, los cúmulos de galaxias y todo el Universo contiene mucha más materia que la que interactúa con la radiación electromagnética: lo restante es llamado “el componente de materia oscura”. La composición de la materia oscura se desconoce, pero puede incluir neutrinos ordinarios y pesados, partículas elementales recientemente postuladas como los WIMPs y los axiones, cuerpos astronómicos como las estrellas enanas, los planetas (colectivamente llamados MACHO) y las nubes de gases no luminosos. Las pruebas actuales favorecen los modelos en que el componente primario de la materia oscura son las nuevas partículas elementales llamadas colectivamente materia oscura no bariónica. El componente de materia oscura tiene bastante más masa que el componente “visible” del Universo.[3] En el presente, la densidad de bariones ordinarios y la radiación en el Universo se estima que son equivalentes aproximadamente a un átomo de hidrógeno por metro cúbico de espacio. Sólo aproximadamente el 5% de la densidad de energía total en el Universo (inferido de los efectos gravitacionales) se puede observar directamente. Se estima que en torno al 23% está compuesto de materia oscura. El 72% restante se piensa que consiste de energía oscura, un componente incluso más extraño, distribuido difusamente en el espacio.[4] Alguna materia bariónica difícil de detectar realiza una contribución a la materia oscura, aunque algunos autores defienden que constituye sólo una pequeña porción.[5][6] Aún así, hay que tener en cuenta que del 5% de materia bariónica estimada (la mitad de ella todavía no se ha detectado) se puede considerar materia oscura bariónica: Todas las estrellas, galaxias y gas observable forman menos de la mitad de los bariones (que se supone debería haber) y se cree que toda esta materia puede estar distribuida en filamentos gaseosos de baja densidad formando una red por todo el universo y en cuyos nodos se encuentran los diversos cúmulos de galaxias. En mayo de 2008, el telescopio XMM-Newton de la agencia espacial europea ha encontrado pruebas de la existencia de dicha red de filamentos.[7] La determinación de la naturaleza de esta masa no visible es una de las cuestiones más importantes de la cosmología moderna y la física de partículas. Se ha puesto de manifiesto que los nombres “materia oscura” y la “energía oscura”

146

147

Imagen compuesta del cúmulo de galaxias CL0024+17 tomada por el telescopio espacial Hubble muestra la creación de un efecto de lente gravitacional. Se supone que este efecto se debe, en gran parte, a la interacción gravitatoria con la materia oscura.

sirven principalmente como expresiones de nuestra ignorancia, casi como los primeros mapas etiquetados como "Terra incógnita".[4] La materia oscura y la antimateria La materia oscura, la energía oscura y la antimateria son tres cosas absolutamente distintas. La antimateria es como la materia común de la que estamos hechos, pero conformada por partículas cuya carga eléctrica es de signo contrario. Por ejemplo, un anti-electrón (por razones históricas también conocido como positrón), es una partícula igual al electrón, con su misma masa y carga pero de signo eléctrico positivo (el electrón tiene carga negativa). Y un anti-protón es una partícula con la misma cantidad de masa y carga de un protón, pero con carga de signo eléctrico negativo. La antimateria se forma con antipartículas: del mismo modo que un átomo de hidrógeno consiste en un electrón orbitando alrededor de un protón, si juntáramos un anti-protón con un anti-electrón podríamos tener un átomo de anti-hidrógeno, lo cual ha sido logrado en el CERN, por fracciones de segundo. [8]

148

CAPÍTULO 10. MATERIA OSCURA

10.1 Pruebas de observaciones La primera persona en proporcionar pruebas y deducir la existencia del fenómeno que se ha llamado “materia oscura” fue el astrofísico suizo Fritz Zwicky, del Instituto Tecnológico de California (Caltech) en 1933.[9] Aplicó el teorema de virial al cúmulo de galaxias Coma y obtuvo pruebas de masa no visible. Zwicky estimó la masa total del cúmulo basándose en los movimientos de las galaxias cercanas a su borde. Cuando comparó esta masa estimada con la estimada en el número de galaxias y con el brillo total del cúmulo, encontró que había unas 400 veces más masa de la esperada. La gravedad de las galaxias visibles en el cúmulo resultaba ser muy poca para tal velocidad orbital, por lo que se necesita mucha más. Esto es conocido como el “problema de la masa desaparecida”. Basándose en estas conclusiones, Zwicky dedujo que tendría que haber alguna forma de “materia no visible” que proporcionaría suﬁciente masa y gravedad constituyendo todo el cúmulo. Muchas de las evidencias de la existencia de materia oscura provienen del estudio de los movimientos de las galaxias. Muchas de estas parecen ser bastante uniformes, con lo que el teorema de virial de la energía cinética total debería ser la mitad del total de la energía gravitacional de las galaxias. Sin embargo, se ha hallado experimentalmente que la energía cinética total es mucho mayor: en particular, asumiendo que la masa gravitacional es debida sólo a la materia visible de la galaxia, las estrellas alejadas del centro de las galaxias tienen velocidades mucho mayores que las predichas por el teorema de virial. La curva de rotación galáctica que muestra la velocidad de rotación frente a la distancia del centro de la galaxia, no se puede explicar sólo mediante la materia visible. Suponiendo que la materia visible conforma sólo una pequeña parte del cúmulo, es la manera más sencilla de tener en cuenta esto. Las galaxias muestran signos de estar compuestas principalmente de un halo de materia oscura concentrado en su centro, con simetría casi esférica, con la materia visible concentrada en un disco central. Las galaxias de brillo débil superﬁcial son fuentes importantes de información para el estudio de la materia oscura, ya que tienen una baja proporción de materia visible respecto de la materia oscura, y tienen varias estrellas brillantes en el centro que facilita la observación de la curva de rotación de estrellas periféricas. De acuerdo con los resultados publicados en agosto de 2006, la materia oscura se ha detectado por separado de la materia ordinaria[10][11] a través de medidas del Cúmulo Bala, realmente dos cúmulos de galaxias cercanos que colisionaron hace unos 150 millones de años.[12] Los investigadores analizaron los efectos de las lentes gravitacionales para determinar la masa total de la distribución ambas y la compararon con los mapas de rayos X de gases calientes, que se pensaba que constituían la mayor parte de la materia ordinaria en los cúmulos. Los gases calientes interactuaron durante la colisión y permanecieron cerca del centro. Las galaxias individuales y la materia oscura no interactuaron y están más alejadas del centro.

10.1.1

Curvas de rotación galáctica

Durante casi 40 años después de las observaciones iniciales de Zwicky, ninguna otra observación corroborando las observaciones indicó que la relación masa-luz era distinta de la unidad (una alta relación masa-luz indica la presencia de la materia oscura). Pero a finales de los años 1960 y 1970, Vera Rubin, una astrónoma del Departamento de Magnetismo Terrestre del Carnegie Institution of Washington presentó los hallazgos basados en un nuevo espectrógrafo muy sensible que podía medir la curva de velocidad de galaxias espirales con un grado de precisión mayor que cualquier otro conseguido anteriormente. Junto con su compañero de staff Kent Ford, Rubin anunció en un encuentro en 1975 de la American Astronomical Society el asombroso descubrimiento de que muchas estrellas en distintas órbitas de galaxias espirales giraban a casi la misma velocidad angular, lo que implicaba que sus densidades eran muy uniformes más allá de la localización de muchas de las estrellas (el bulbo galáctico). Este resultado sugiere que incluso la gravedad newtoniana no se aplica universalmente o que, conservativamente, más del 50% de la masa de las galaxias estaba contenida en el relativamente oscuro halo galáctico. Este descubrimiento fue inicialmente tomado con escepticismo pero Rubin insistió en que las observaciones eran correctas. Posteriormente, otros astrónomos empezaron a corroborar su trabajo y se logró determinar muy bien el hecho de que muchas galaxias estuvieran dominadas por “materia oscura”, y las excepciones parecían ser las galaxias con relaciones masa-luz cercanas a las de las estrellas. Consecuencia de esto, numerosas observaciones han indicado la presencia de materia oscura en varias partes del cosmos. Junto con los hallazgos de Rubin para las galaxias espirales y el trabajo de Zwicky sobre los cúmulos de galaxias, se han estado recopilando más evidencias relacionadas con la materia oscura durante décadas hasta el punto de que hoy muchos astrofísicos aceptan su existencia. Como un concepto unificador, la materia oscura es una de las características dominantes consideradas en el análisis de estructuras a escala galáctica y mayores.

Velocity

10.1. PRUEBAS DE OBSERVACIONES

149

A Distance Curva de rotación de una galaxia espiral típica: predicho (A) y observado (B). La materia oscura explicaría la apariencia plana de la curva de rotación en radios grandes.

10.1.2

Velocidad de dispersión de galaxias

El trabajo pionero de Rubin ha resistido la prueba del tiempo. Las medidas de las curvas de velocidad en galaxias en espiral pronto continuaron con velocidades de dispersión de galaxias elípticas. Mientras algunas veces aparece con menores relaciones masa-luz, las medidas de elípticas siguen indicando un relativamente alto contenido en materia oscura. Así mismo, las medidas de los medios interestelares difusos encontrados en el borde de las galaxias indican no sólo las distribuciones de materia oscura que se extienden más allá del límite visible de las galaxias, sino también de que las galaxias son virializadas por encima de diez veces su radio visible. Esto supuso estimar la materia como una fracción de la suma total de masa de gravitación desde el 50% medido por Rubin hasta la actualmente estimada de casi el 95%. Hay lugares donde la materia oscura parece ser un pequeño componente o estar totalmente ausente. Los cúmulos globulares no muestran evidencias de contener materia oscura, aunque sus interacciones orbitales con las galaxias muestran pruebas de materia oscura galáctica. Durante algún tiempo, las mediciones del rango de velocidad de las estrellas parecía indicar la concentración de la materia oscura en el disco galáctico de la Vía Láctea; sin embargo, ahora parece que la alta concentración de la materia bariónica en el disco de la galaxia (especialmente en el medio interestelar) puede influir en este movimiento. Los perfiles de las masas de las galaxias se piensa que parecen muy diferentes de los perfiles de la luz. El modelo típico para las galaxias de materia oscura es una distribución lisa y esférica en halos virializados. Ese tendría que ser el caso para evitar los efectos dinámicos a pequeña escala (estelar). Las investigaciones realizadas en enero de 2006 en la Universidad de Massachusetts, Amherst explicarían la previamente misteriosa curvatura en el disco de la Vía Láctea por la interacción de la Grande y la Pequeña Nube de Magallanes y la predicha de un incremento de 20 veces la masa de la Vía Láctea teniendo en cuenta la materia oscura. En (2005), los astrónomos de la Universidad de Cardiff expusieron haber descubierto una galaxia compuesta casi enteramente de materia oscura, a 50 millones de años luz del Cúmulo de Virgo, que fue denominada VIRGOHI21.[13] Inusualmente, VIRGOHI21 no parece contener ninguna estrella visible: fue vista con observaciones de radio-frecuencia de hidrógeno. Basada en los perfiles de rotación, los científicos estimaron que este objeto contiene aproximadamente 1000 veces más energía oscura que el hidrógeno y tiene una masa total de un décimo de la Vía Láctea. Por comparación, la Vía Láctea se cree que tiene unas diez veces más materia oscura que materia ordinaria. Los modelos del Big Bang y de

150

CAPÍTULO 10. MATERIA OSCURA

la Estructura a gran escala del Universo han sugerido que tales galaxias oscuras deberían ser muy comunes en el Universo, pero no ha sido detectada ninguna. Si la existencia de estas galaxias oscuras se conﬁrmase, proporcionará una gran prueba para la teoría de la formación de las galaxias y plantearía problemas para explicaciones alternativas a la materia oscura.

10.1.3

Materia oscura en cúmulos de galaxias

Efecto de las lentes gravitacionales fuertes observado por el Telescopio espacial Hubble en Abell 1689 que indica la presencia de materia oscura. Agrandar la imagen para ver las curvaturas producidas por las lentes gravitacionales. Créditos: NASA/ESA

La materia oscura también afecta a las agrupaciones galácticas. Las medidas de Rayos X del caliente gas intracumular se corresponden íntimamente a las observaciones de Zwicky de las relaciones masa-luz para grandes cúmulos de casi 10 a 1. Muchos de los experimentos del Observatorio de rayos X Chandra utilizan esta técnica para determinar independientemente la masa de los cúmulos.

10.2. COMPOSICIÓN DE LA MATERIA OSCURA

151

El cúmulo de galaxias Abell 2029 está compuesto de miles de galaxias envueltas en una nube de gas caliente y una cantidad de materia oscura equivalente a más de 1014 soles. En el centro de este cúmulo hay una enorme galaxia con forma elíptica que se piensa que se formó a partir de la unión de muchas galaxias más pequeñas.[14] Las velocidades orbitales de las galaxias medidas dentro de los cúmulos de galaxias son consistentes con las observaciones de materia oscura. Una importante herramienta para detectar la materia oscura son las lentes gravitacionales. Estas lentes son un efecto de la relatividad general que predice la dinámica que depende de las masas, siendo un medio completamente independiente de medir la energía oscura. En las lentes fuertes, la curvada distorsión observada de las galaxias de fondo, cuando la luz pasa a través de una lente gravitacional, ha sido observada alrededor de un cúmulo poco distante como el Abell 1689. Midiendo la distorsión geométrica, se puede obtener la masa del cúmulo que causa el fenómeno. En docenas de casos donde se ha hecho esta medición, las relaciones masa-luz obtenidas se corresponden a las medidas de materia oscura dinámica de los cúmulos. Durante los últimos diez años se ha desarrollado una técnica —tal vez más convincente— llamada lentes débiles que mide las distorsiones de galaxias a una microescala en las grandes distancias debidas a objetos de fondo mediante análisis estadístico. Examinando la deformación de las galaxias de fondo adyacentes, los astrofísicos pueden obtener la distribución media de energía oscura por métodos estadísticos y encontrar las relaciones masa-luz que se corresponden con las densidades de materia oscura predichas por otras mediciones de estructuras a gran escala. La correspondencia de las dos técnicas: la de lentes gravitacionales junto con otras medidas de materia oscura, han convencido a casi todos los astrofísicos de que la materia oscura es realmente el mayor componente del Universo.

10.1.4

Formación de estructuras

La materia oscura es crucial para el modelo cosmológico del Big Bang como un componente que se corresponde directamente con las medidas de los parámetros asociados con la métrica FLRW a la relatividad general. En particular, las medidas de las anisotropías del fondo cósmico de microondas se corresponden a una cosmología donde gran parte de la materia interactúa con los fotones de forma más débil que las fuerzas fundamentales conocidas que acoplan las interacciones de la luz con la materia bariónica. Así mismo, se necesita una cantidad signiﬁcativa de materia fría no-barionica para explicar la estructura a gran escala del universo. Las observaciones sugieren que la formación de estructuras en el Universo procede jerárquicamente, con las estructuras más pequeñas uniéndose hasta formar galaxias y después cúmulos de galaxias. Según se unen las estructuras en la evolución del Universo, empiezan a “brillar” ya que la materia bariónica se calienta a través de la contracción gravitacional y los objetos se aproximan al equilibrio hidrostático. La materia barionica ordinaria tendría una temperatura demasiado alta y demasiada presión liberada desde el Big Bang para colapsar y formar estructuras más pequeñas, como estrellas, a través de la inestabilidad de Jeans. La materia oscura actúa como un compactador de estructuras. Este modelo no sólo se corresponde con investigaciones estadísticas de la estructura visible en el Universo sino también se corresponden de forma precisa con las predicciones de materia oscura de la radiación de fondo de microondas. Este modelo inverso de formación de estructuras necesita algún tipo de la materia oscura para funcionar. Se han utilizado simulaciones por ordenador de miles de millones de partículas de materia oscura para conﬁrmar que el modelo de materia oscura fría de la formación de estructuras es consistente con las estructuras observadas en el Universo mediante las observaciones de galaxias, como la Sloan Digital Sky Survey y la 2dF Galaxy Redshift Survey, así como las observaciones del bosque Lyman-alfa. Estos estudios han sido cruciales en la construcción del modelo Lambda-CDM que mide los parámetros cosmológicos, incluyendo la parte del Universo formada por bariones y la materia oscura.

10.2 Composición de la materia oscura

Problemas no resueltos de la física : ¿Qué es la materia oscura? ¿Cómo se genera? ¿Está relacionada con la supersimetría?

152

CAPÍTULO 10. MATERIA OSCURA

Aunque la materia oscura fue detectada por lentes gravitacionales en agosto de 2006,[15] muchos aspectos de la materia oscura continúan siendo cuestionados. En el experimento DAMA/NaI se afirma haber detectado materia oscura pasando a través de la Tierra, aunque muchos científicos siguen siendo escépticos al respecto, ya que los resultados negativos de otros experimentos son (casi) incompatibles con los resultados del DAMA si la materia oscura consiste en neutralinos. Los datos de varios tipos de pruebas, como el problema de la rotación de las galaxias, las lentes gravitacionales, la formación de estructuras y la fracción de bariones en cúmulos y la abundancia de cúmulos, combinada con pruebas independientes para la densidad bariónica, indican que el 85-90% de la masa en el Universo no interactúa con la fuerza electromagnética. Esta “materia oscura” se evidencia por su efecto gravitavional. Se han propuesto varias categorías de materia oscura: • Materia oscura bariónica. • Materia oscura no-bariónica[16] que está dividida en tres tipos diferentes: • Materia oscura caliente: partículas no bariónicas que se mueven ultrarrelativistamente.[17] • Materia oscura templada: partículas no bariónicas que se mueven relativistamente. • Materia oscura fría: partículas no bariónicas que no se mueven relativistamente.[18] Davis y otros escribieron en 1985: Las partículas candidatas se pueden agrupar en tres categorías basándose en su efecto en las fluctuaciones del espectro (Bond et al. 1983). Si la materia oscura está compuesta de abundantes partículas ligeras que son relativistas hasta poco antes de la recombinación, entonces deberían ser denominadas “calientes”. El mejor candidato para la materia oscura caliente es el neutrino [...] Una segunda posibilidad es que las partículas de materia oscura interactúen más débilmente que los neutrinos, sean menos abundantes y tengan una masa del orden de 1eV. Tales partículas se denominan “materia oscura templada”, porque tienen menos velocidad térmica que los neutrinos masivos [...] actualmente hay algunas partículas candidatas que cumplen esta descripción. Se han sugerido los gravitinos y los fotinos (Pagels y Primack 1982; Bond, Szalay y Turner 1982) [...] Cualquier partícula que se convierta en no-relativista rápidamente y así pueda reflejarse a una distancia insignificante, es llamada materia oscura fría. Hay muchos candidatos para la materia oscura fría, como las partículas supersimétricas[19] La materia oscura caliente consiste en partículas que viajan con velocidades relativistas. Se conoce un tipo de materia oscura caliente, el neutrino. Los neutrinos tienen una masa muy pequeña, no interactúan a través de fuerzas electromagnéticas o de la fuerza nuclear fuerte y son, por tanto, muy difíciles de detectar. Esto es lo que les hace atractivos como materia oscura. Sin embargo, los límites de los neutrinos indican que los neutrinos ordinarios sólo harían una pequeña contribución a la densidad de la materia oscura. La materia oscura caliente no puede explicar cómo se formaron las galaxias desde el Big Bang. La radiación de fondo de microondas medida por el COBE y el WMAP, es increíblemente homogénea, indica que la materia se ha agrupado en escalas muy pequeñas. Las partículas de movimiento rápido, sin embargo, no pueden agruparse en tales pequeñas escalas y, de hecho, suprimen la agrupación de otra materia. La materia oscura caliente, aunque existe en nuestro Universo en forma de neutrinos es, por tanto, la única parte de la historia. El Modelo de concordancia necesita que, para explicar la estructura en el Universo, es necesario invocar la materia oscura fría (no-relativista). Las grandes masas, como los agujeros negros del tamaño de galaxias pueden ser descartados con las bases de los datos de las lentes gravitacionales. Las posibilidades involucrando materia bariónica normal incluyen enanas marrones o tal vez pequeños y densos pedazos de elementos pesados que son conocidos como Objetos de tipo halo masivos compactos (massive compact halo object) o “MACHOs”. Sin embargo, los estudios de la Nucleosíntesis del Big Bang han convencido a muchos científicos de que la materia bariónica como los MACHOs no pueden ser más que una pequeña fracción de la materia oscura total. El punto de vista más aceptado es que la materia oscura es principalmente no-bariónica, compuesta de una o más partículas elementales distintas de las normales electrones, protones, neutrones y los neutrinos conocidos. Las partículas propuestas más comunes son los axiones, neutrinos estériles y WIMPs (partículas masivas de interacción débil, incluyendo

10.3. PROBLEMA DE LA MATERIA OSCURA

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Distribución estimada de materia y energía oscura en el Universo.[20]

neutralinos). Ninguna de éstas es parte del modelo estándar de física de partículas, pero pueden aparecer en ampliaciones del modelo estándar. Muchos modelos supersimétricos ocasionan naturalmente los WIMPs en forma de neutralinos. Los pesados, neutrinos estériles existen en ampliaciones del modelo estándar que explica la pequeña masa de los neutrinos a través del mecanismo del balancín. Han sido llevadas a cabo búsquedas experimentales de estos candidatos a materia oscura y continúan. Estos esfuerzos se pueden dividir en dos grandes categorías: detección directa, en los que las partículas de materia oscuras se observan en un detector, y la detección indirecta que busca los productos de aniquilaciones de materia oscura. Los experimentos de detección de materia oscura han descartado algunos modelos de WIMP y axiones. También hay varios experimentos reclamando pruebas positivas de detección de materia oscura, como el DAMA/NaI y el Egret, pero están lejos de ser conﬁrmados y difícilmente reconcilian los resultados negativos de otros experimentos. Varias búsquedas de materia oscura están actualmente en proceso, como la Cryogenic Dark Matter Search en la Mina de Soudan y el experimento XENON en Gran Sasso y otros que están en desarrollo, como el experimento ArDM. En investigaciones publicadas en la primavera de 2006, los investigadores del Instituto de Astronomía de la Universidad de Cambridge aﬁrman haber calculado que la energía oscura sólo está en cúmulos mayores de 1.000 años luz de radio, implicando una velocidad media para las partículas de materia oscura de 9 km/s, una densidad de 20 amu/cm³ y una temperatura de 10.000 kelvins.[21]

10.3 Problema de la materia oscura Estimaciones basadas en los efectos gravitacionales de la cantidad de materia presente en el Universo sugieren, consistentemente, que hay mucha más materia de la que es posible observar directamente. Además, la existencia de materia oscura resolvería varias inconsistencias en la teoría del Big Bang. Se cree que la mayoría de la masa del Universo existe en esta forma. Determinar cuál es la naturaleza de la materia oscura es el llamado “problema de la materia oscura” o “problema de la masa desaparecida” y es uno de los más importantes de la cosmología moderna. La cuestión de la existencia de la materia oscura puede parecer irrelevante para nuestra existencia en la Tierra pero el hecho de que exista o no afecta al destino último del Universo. Se sabe que el Universo está expandiéndose, por el corrimiento al rojo que muestra la luz de los cuerpos celestes distantes. Si no hubiera materia oscura, esta expansión continuaría para siempre. Si la actual hipótesis de la materia oscura es correcta, y dependiendo de la cantidad de materia oscura que haya, la expansión del Universo podría ralentizarse, detenerse o incluso invertirse (lo que produciría el fenómeno conocido como Big Crunch). Sin embargo, la importancia de la materia oscura para el destino ﬁnal del Universo se ha relativizado

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CAPÍTULO 10. MATERIA OSCURA

en los últimos años, en que la existencia de una constante cosmológica y de una energía oscura parece tener aún mayor importancia. Según las mediciones realizadas en 2003 y 2006 por el satélite WMAP, la expansión del Universo se está acelerando, y se seguirá acelerando debido a la existencia de la energía oscura, aunque sin causar un Big Rip.

10.4 Explicaciones alternativas 10.4.1

Modiﬁcaciones de la gravedad

Una explicación alternativa a las cuestiones planteadas por la materia oscura es suponer que las inconsistencias observadas son debidas a una incompleta comprensión de la gravedad. Para explicar las observaciones, a grandes distancias, las fuerzas gravitacionales son más fuertes de lo que nos indicarían la mecánica newtoniana. Por ejemplo, esto podría ocurrir si se toma un valor negativo para la constante cosmológica (valor que se estima positivo en función de recientes observaciones) o si se adopta la teoría de la Dinámica newtoniana modificada (MOND),[22] que corrige las Leyes de Newton para aceleraciones pequeñas. Sin embargo, la construcción de una teoría MOND relativista ha sido problemática y no está claro como se puede reconciliar con las medidas de las lentes gravitacionales en la curvatura de la luz alrededor de las galaxias. La principal teoría MOND relativista, propuesta por Jacob Bekenstein en 2004 es llamada TeVeS (Tensor-Vector-Scalar) y resuelve muchos de los problemas de los primeros intentos. Una teoría de gravedad modificada (MOG) propuesta por John Moffat, basada en la Teoría gravitacional no-simétrica (NGT), es también una alternativa a la materia oscura. Otra teoría discutida es la Expansión cósmica en escala (SEC) de C. Johan Masreliez.[23] Otra aproximación, propuesta por Arrigo Finzi en 1963 y por Robert Sanders en 1984, es reemplazar el potencial gravitacional por la siguiente expresión:

GM (1 − Be−r/ρ ) (1 − B)r

donde B y ρ son parámetros ajustables. En cualquier caso, tales aproximaciones tienen dificultades explicando la diferencia en el comportamiento de las distintas galaxias y clústeres, en cambio, tales discordancias pueden ser fácilmente comprendidas tomando diferentes cantidades de materia oscura. Las observaciones sobre la rotación de las galaxias indican que alrededor del 90% de la masa de una galaxia no es visible y sólo puede ser detectada por sus efectos gravitacionales. Alexander Mayer propone una hipótesis basada en las inconsistencias observadas en la sincronización del sistema GPS y otras anomalías. En dicha hipótesis, el aumento del corrimiento hacia el rojo observado en galaxias lejanas y el aparente exceso de masa del universo hace necesario que dicha materia oscura no sean más que errores de medida fruto de una incorrecta formulación de la Teoría de la Relatividad General. Según la nueva formulación de Alexander Mayer, el universo no precisa de la existencia ni de energía ni de materia oscura. El problema principal de estas explicaciones alternativas es que no explican las anisotropías del fondo cósmico de microondas que, por otro lado, sí predicen la existencia de materia oscura no bariónica. En agosto de 2006, un estudio de colisión de cúmulos de galaxias afirmaba demostrar que, incluso en una hipótesis de gravedad modificada, la mayoría de la masa tiene que ser alguna forma de materia oscura demostrando que cuando la materia regular es “barrida” de un cúmulo, los efectos gravitacionales de la materia oscura (que se pensaba que no interactuaba, aparte de su efecto gravitacional) permanecen.[24] Un estudio afirma que TeVeS puede producir el efecto observado, pero esto continúa necesitando que la mayoría de la masa esté en forma de materia oscura, posiblemente en forma de neutrinos ordinarios.[25] También en la Teoría gravitacional no-simétrica se afirma que cualitativamente encaja con las observaciones sin necesitar la exótica materia oscura.[26]

10.4.2

Explicaciones de mecánica cuántica

En otra clase de teorías se intenta reconciliar la Gravedad con la Mecánica cuántica y se obtienen correcciones a la interacción gravitacional convencional. En teorías escalar-tensoriales, los campos escalares como el campo de Higgs se acopla a la curvatura dada a través del tensor de Riemann o sus trazas. En muchas de tales teorías, el campo escalar es

10.5. MATERIA OSCURA EN LA CULTURA POPULAR

155

igual al campo de inﬂación, que es necesario para explicar la inﬂación cósmica del Universo después del Big Bang, como el factor dominante de la quintaesencia o energía oscura. Utilizando una visión basada en el Grupo de Renormalización, M. Reuter y H. Weyer han demostrado[27] que la constante de Newton y la constante cosmológica pueden ser funciones escalares en el espacio-tiempo si se asocian las escalas de renormalización a los puntos del espacio-tiempo. En la teoría de la relatividad de escala Laurent Nottale, el espacio-tiempo es continuo pero no diferenciable, conduciendo a la aparición de una Ecuación de Schrödinger gravitacional. Como resultado, aparecen los efectos de cuantización a gran escala.[28] Esto hace posible predecir correctamente las estructuras a gran escala del Universo sin la necesidad de las hipótesis de la materia oscura.

10.5 Materia oscura en la cultura popular En algunos videojuegos y otros trabajos de ﬁcción aparecen menciones a la materia oscura. En tales casos, normalmente se le atribuyen propiedades físicas o mágicas extraordinarias. Tales descripciones a menudo son inconsistentes con las propiedades de la materia oscura propuestas en la física y la cosmología. Por ejemplo: • La serie de televisión Futurama, en la que la materia oscura es maloliente, sirve de combustible a las naves espaciales y es tan densa que 10 cm³ pesan más de 5000 kilogramos. Los niblonianos expelen materia oscura a manera de desechos fecales. • En los videojuegos de GBA y Nintendo DS Golden Sun II: La Edad Perdida y Golden Sun: Oscuro Amanecer, la materia oscura aparece como un material que puede ser utilizado para fabricar equipamiento de batalla. • En el videojuego de Wii Super Mario Galaxy, la materia oscura aparece con la propiedad de crear agujeros en suelos, agujeros que “proyectan” la materia oscura, y ﬁnalmente, con una propiedad particular de desintegrar a quien la toque (en este caso Mario o Luigi). • En el videojuego MMORPG Maple Story, la materia oscura aparece como un objeto que se consigue por Cash, que con la culminación de ciertas misiones, dan ciertos equipamientos y armas raras y ventajosas. • En la saga Final Fantasy la materia oscura es un ítem usado para crear pociones, armas, otros tipos de artefactos. • En el videojuego para N64 Kirby 64: The Cristal Shards el enemigo es un ser llamado “Dark Matter” (materia oscura en español) que parece estar compuesto de esta misma. • En el videojuego para GC Metroid Prime 2: Echoes la historia transcurre entre un planeta y su semejante creado a partir de energía oscura. Tanto la protagonista como algunos enemigos son capaces de usar materia oscura como armamento. • En el videojuego para SNES Chrono Trigger, Magus tiene la última técnica denominada dark matter (o en español “materia oscura”). • En el juego online Ogame, es una materia escasa que se encuentra fuera de los sistemas solares usada para pagar mejoras que no pueden poseer otros jugadores que no la posean. • En el videojuego para PS2 Final Fantasy XII, la materia oscura es un objeto muy poderoso que puede usarse para atacar a los enemigos. • En la trilogía de libros "La materia oscura" de Philip Pullman, la materia oscura es capaz de transmitir mensajes para comunicarse con los humanos, también es el motivo por el cual el magisterio (en el mundo de Lyra) experimenta con niños, en el mundo de Lyra Lenguadeplata, la materia oscura es conocida como “El polvo”. • En el videojuego para PlayStation 3 Little Big Planet, al material “Materia Oscura” se le atribuyen propiedades anti-gravitatorias. • En el videojuego League of Legends, Veigar posee una habilidad llamada “materia oscura”.[29]

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CAPÍTULO 10. MATERIA OSCURA

• “Dark Matter” (materia oscura en inglés) ﬁgura como el nombre de una de las canciones que conforman Biophilia, proyecto discográﬁco de la cantante islandesa Björk. • En la película Thor: The Dark World, los elfos oscuros poseen un arma llamada "Éter”, capaz de convertir la materia en materia oscura.

10.6 Referencias [1] Cf. Peter Schneider, «Cuestiones fundamentales de cosmología», Investigación y Ciencia, 405, junio de 2010, págs. 60-69 (61). [2] Masa ausente en las observaciones “missing mass”, no visible. [3] NASA (ed.). «Algunas Teorías Ganan, Otras Pierden»., utilizando los datos del WMAP [4] Cline, David B. (marzo de 2003). La Búsqueda de la Materia Oscura. Scientific American. [5] Freese, Katherine; Brian Fields, David Graff. Muerte de los Candidatos a Materia Oscura Bariónica Estelar. arΧiv:astro-ph/0007444. [6] Freese, Katherine; Brian D. Field, David S. Graff. Muerte de la Materia Oscura Bariónica Estelar. arΧiv:astro-ph/0002058. [7] ESA (ed.). «El XMM descubre parte de la materia perdida del universo». [8] ver mas en: http://circuloesceptico.com.ar/2012/06/la-diferencia-entre-antimateria-materia-oscura-y-energia-oscura#sthash. TvjOUe8p.dpuf [9] Zwicky, F. (1933). «Die Rotverschiebung von extragalaktischen Nebeln». Helvetica Physica Acta 6: 110–127. Zwicky, F. (1937). «Sobre las Masas de Nebulosas y Cómulos de Nebulosas». Astrophysical Journal 86: 217. [10] Arxiv (ed.). «A direct empirical proof of the existence of dark matter - Una prueba empírica directa de la existencia de materia oscura». [11] SLAC Today (ed.). «La Materia Oscura Observada». [12] Direct constraints on the dark matter self-interaction cross-section from the merging galaxy cluster 1E0657-56 - Restricciones directas a la sección eficaz de autointeracción de la materia oscura obtenidas a partir del cúmulo de galaxias en fusión 1E 0657-56 (Cúmulo Bala) [13] Astronomers claim first 'dark galaxy' find. New Scientist. 23 de febrero de 2005. [14] Observatorio de rayos X Chandra, ed. (11 de junio de 2003). «Abell 2029: Hot News for Cold Dark Matter». [15] NASA (ed.). «La NASA Encuentra Pruebas Directas de Materia Oscura»., en el Observatorio de rayos X Chandra [16] Joseph, Silk. El Big Bang (1989 edición). pp. Capítulo IX, página 182. [17] Umemura, Masayuki; Satoru Ikeuchi (1985). «Formation of subgalactic objects within two-component dark matter - Formación de objetos subgalácticos con Materia Oscura de dos componentes». Astrophysical Journal 299: 583—592. [18] Vittorio, N.; J. Silk (1984). «Fine-scale anisotropy of the cosmic microwave background in a universe dominated by cold dark matter - Anisotropía de escala fina del fondo cósmico de microondas en un Universo dominado por materia oscura fría». Astrophysical Journal, Parte 2 - Cartas al Editor 285: L39—L43. doi 10.1086/184361. [19] Davis, M.; Efstathiou, G., Frenk, C. S., & White, S. D. M. (15 de mayo de 1985). «La evolución de la estructura a gran escala en un Universo dominado por la materia oscura fría». Astrophysical Journal 292: 371—394. doi 10.1086/163168. [20] Neil Spooner: An Introduction to Dark Matter. Dark Matter Research. The University of Sheffield. Consultada: 2013-08-29. [21] Amos, Jonathan (5 de febrero 2006). Dark matter comes out of the cold. BBC News. [22] Mordehai Milgrom; Do Modified Newtonian Dynamics Follow from the Cold Dark Matter Paradigm?, Astrophysical Journal, May 2002 [23] Masreliez C. J., Scale Expanding Cosmos Theory II–Cosmic Drag, Apeiron Okt (2004), Scale Expanding Cosmos (1999)

10.7. ENLACES EXTERNOS

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[24] La NASA Encuentra Pruebas Directas de Materia Oscura. NASA. 21-08-2006. [25] Angus, Garry W.; Shan, HuanYuan; Zhao, HongSheng; y Famaey, Benoit (05-11-2006). «Sobre la Ley de la Gravedad, la Masa de los Neutrinos y la Prueba de la Materia Oscura». Arxiv. Consultado el 1 de diciembre 2006. [26] Moﬀat, J. W. (30 de agosto de 2006). Arxiv, ed. «Lentes Gravitacionales en Gravedad Modiﬁcada y las Lentes en Unión de Cúmulos sin Materia Oscura». Consultado el 1 de diciembre de 2006. [27] Reuter; H. Weyer (2004). «Running Newton Constant, Improved Gravitational Actions, and Galaxy Rotation Curves». Phys. Rev. D 70. doi 10.1103/PhysRevD.70.124028 arΧiv:hep-th/0410117. |autor= y |apellido= redundantes (ayuda) [28] Da Rocha, D.; Nottale, Laurent (25 de febrero de 2005). Chaos, solitons and fractals, ed. «Formación de estructuras gravitacional en la relatividad de escala». [29] «Sitio web de información del personaje».

10.7 Enlaces externos • The DAMA Project • Método de Multimensajeros para la Detección de la Materia Oscura. Proyecto español del Programa ConsoliderIngenio 2010. • "¿De qué está hecho el Universo? (De las partículas elementales a la materia oscura)" - por Carlos Muñoz • Vídeo sobre la Materia Oscura • Visibilidad/Detectabilidad de la Materia Oscura (3 de enero de 2007) • Encontrado: Gran parte del Universo - por Phil Plait • Materia Oscura Caliente - por Martin White • “Gran parte de nuestro Universo está Desaparecida” - Horizon vídeo • “Partículas de Materia Oscura: Pruebas, Candidatas y Restricciones” - por G. Bertone, D. Hooper y J. Silk • “Búsquedas Experimentales de la Materia Oscura” - por Timothy J. Sumner • “La materia oscura salió del frío” - BBC News 5 de febrero de 2005 • “Los astrónomos encuentran la Galaxia sin Estrellas” - BBC News 23 de febrero de 2005 • “Al Principio” - The Economist 13 de enero de 2005 • Las galaxias elípticas también tienen halo de materia oscura • Artículos recientes sobre materia oscura en arXiv.org • Entrevista radiofónica a Carlos Muñoz acerca de qué está hecho el Universo Onda Regional de Murcia • NASA Encuentra Pruebas Directas de Materia Oscura (imágenes), (texto) • Artículo sobre Pruebas Directas de Materia Oscura • Noticias y Vídeos de Mapas 3D Map de andamios de MAteria Oscura de la ESA/Hubble • La materia oscura existe CNN.com • Artículos de introducción a la materia oscura • Parodia del Avance de Noticias sobre la Verdadera Naturaleza de la Materia Oscura

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CAPÍTULO 10. MATERIA OSCURA

• “El equipo encuentra 'pruebas’ de la materia oscura” Paul Rincón (2006) BBC online. Primera prueba directa de la materia oscura • La Materia Oscura Existe por Sean M. Carroll. • Problemas de la Masa Desaparecida de la Cosmología por Robert Fritzius • Un gran hallazgo en la caza de la escurridiza materia oscura • Viendo lo invisible (SeedMagazine.com) • ¿Estrellas negras en el principio de los tiempos? • Los secretos de la materia oscura. Parte 1 y parte 2, parte 3, Parte 4, Parte 5, Parte 6, Parte 7, Parte 8, • ¿La Materia Oscura en (Serios) Problemas? Parte I Por Jorge A. Vázquez y Gema Hebrero

Capítulo 11

Energía oscura

Según estimaciones, resumidas en este gráﬁco de la NASA, alrededor del 70% del contenido energético del Universo consiste en energía oscura, cuya presencia se inﬁere en su efecto sobre la expansión del Universo pero sobre cuya naturaleza última se desconoce casi todo.

En cosmología física, la energía oscura es una forma de materia oscura[1][2][3] o energía[4] que estaría presente en todo el espacio, produciendo una presión que tiende a acelerar la expansión del Universo, resultando en una fuerza gravitacional repulsiva.[2] Considerar la existencia de la energía oscura es la manera más frecuente de explicar las observaciones recientes de que el Universo parece estar en expansión acelerada. En el modelo estándar de la cosmología, la energía oscura aporta casi tres cuartas partes de la masa-energía total del Universo. Temas relacionados con la energía oscura son la constante cosmológica, una energía de densidad constante que llena el espacio en forma homogénea,[5] la Teoría cuántica de campos y la quintaesencia, como campos dinámicos cuya densidad 159

160

CAPÍTULO 11. ENERGÍA OSCURA

Evolución espacio-temporal del Universo.

de energía puede variar en el tiempo y el espacio. De hecho, las contribuciones de los campos escalares que son constantes en el espacio normalmente también se incluyen en la constante cosmológica. Se piensa que la constante cosmológica se origina en la energía del vacío. Los campos escalares que cambian con el espacio son difíciles de distinguir de una constante cosmológica porque los cambios pueden ser extremadamente lentos. Para distinguir entre ambas se necesitan mediciones muy precisas de la expansión del Universo, para ver si la velocidad de expansión cambia con el tiempo. La tasa de expansión está parametrizada por la ecuación de estado. La medición de la ecuación estado de la energía oscura es uno de los mayores retos de investigación actual de la cosmología física. Añadir la constante cosmológica a la Métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) conduce al modelo Lambda-CDM, que se conoce como “modelo estándar” de cosmología debido a su coincidencia precisa con las observaciones. No se debe confundir la energía oscura con la materia oscura, ya que, aunque ambas forman la mayor parte de la masa del Universo, la materia oscura es una forma de materia, mientras que la energía oscura se asocia a un campo que ocupa todo el espacio. Información divulgada recientemente basada en el trabajo realizado por la nave espacial Planck sobre la distribución del universo, obtuvo una estimación más precisa de esta en 68,3% de energía oscura, un 26,8% de materia oscura y un 4,9% de materia ordinaria.[6]

11.1. HISTORIA

161

11.1 Historia La constante cosmológica fue propuesta por primera vez por Albert Einstein como un medio para obtener una solución estable de la ecuación del campo de Einstein que llevaría a un Universo estático, utilizándola para compensar la gravedad. El mecanismo no sólo fue un ejemplo poco elegante de “ajuste fino”, pues pronto se demostró que el Universo estático de Einstein sería inestable porque las heterogeneidades locales finalmente conducirían a la expansión sin control o a la contracción del Universo. El equilibrio es inestable: si el Universo se expande ligeramente, entonces la expansión libera la energía del vacío, que causa todavía más expansión. De la misma manera, un Universo que se contrae ligeramente se continuará contrayendo. Estos tipos de perturbaciones son inevitables, debido a la distribución irregular de materia en el Universo. Las observaciones realizadas por Edwin Hubble demostraron que el Universo está expandiéndose y que no es estático en absoluto. Einstein se refirió a su fallo para predecir un Universo dinámico, en contraste a un Universo estático, como “su gran error”. Después de esta declaración, la constante cosmológica fue ignorada durante mucho tiempo como una curiosidad histórica. Alan Guth propuso en los años 1970 que un campo de presión negativa, similar en concepto a la energía oscura, podría conducir a la inflación cósmica en el Universo pre-primigenio. La inflación postula que algunas fuerzas repulsivas, cualitativamente similar a la energía oscura, da como resultado una enorme y exponencial expansión del Universo poco después del Big Bang. Tal expansión es una característica esencial de muchos modelos actuales del Big Bang. Sin embargo, la inflación tiene que haber ocurrido a una energía mucho más alta que la energía oscura que observamos hoy y se piensa que terminó completamente cuando el Universo sólo tenía una fracción de segundo. No está claro qué relación (si hay alguna), existe entre la energía oscura y la inflación. Incluso después de que los modelos inflacionarios hayan sido aceptados, la constante cosmológica se piensa que es irrelevante en el Universo actual. El término “energía oscura” fue acuñado por Michael Turner en 1998.[7] En ese tiempo, el problema de la masa perdida de la nucleosíntesis primordial y la estructura a gran escala del Universo fue establecida y algunos cosmólogos habían empezado a teorizar que había un componente adicional en nuestro Universo. La primera prueba directa de la energía oscura provino de las observaciones de la aceleración de expansión de las supernovas, por Adam Riess et al.[8] y confirmada después en Saul Perlmutter et al.[9] Esto dio como resultado el modelo Lambda-CDM, que hasta 2006 era consistente con una serie de observaciones cosmológicas rigurosamente crecientes, las últimas de 2005 de la Supernova Legacy Survey. Los primeros resultados de la SNLS revelaron que el comportamiento medio de la energía oscura se comporta como la constante cosmológica de Einstein con una precisión del 10%.[10] Los resultados del Hubble Space Telescope Higher-Z Team indican que la energía oscura ha estado presente durante al menos 9.000 millones de años y durante el periodo precedente a la aceleración cósmica.

11.2 Descubrimiento de la energía oscura En 1998 las observaciones de supernovas de tipo 1a muy lejanas, realizadas por parte del Supernova Cosmology Project en el Laboratorio Nacional Lawrence Berkeley y el High-z Supernova Search Team, sugirieron que la expansión del Universo se estaba acelerando.[9][8] Desde entonces, esta aceleración se ha conﬁrmado por varias fuentes independientes: medidas de la radiación de fondo de microondas, las lentes gravitacionales, nucleosíntesis primigenia de elementos ligeros y la estructura a gran escala del Universo, así como una mejora en las medidas de las supernovas han sido consistentes con el modelo Lambda-CDM.[11] Las supernovas de tipo 1a proporcionan la principal prueba directa de la existencia de la energía oscura. Según a la Ley de Hubble, todas las galaxias lejanas se alejan aparentemente de la Vía Láctea, mostrando un desplazamiento al rojo en el espectro luminoso debido al efecto Doppler. La medición del factor de escala en el momento que la luz fue emitida desde un objeto es obtenida fácilmente midiendo el corrimiento al rojo del objeto en recesión. Este desplazamiento indica la edad de un objeto lejano de forma proporcional, pero no absoluta. Por ejemplo, estudiando el espectro de un quasar se puede saber si se formó cuando el Universo tenía un 20% o un 30% de la edad actual, pero no se puede saber la edad absoluta del Universo. Para ello es necesario medir con precisión la expansión cosmológica. El valor que representa esta expansión en la actualidad se denomina Constante de Hubble. Para calcular esta constante se utilizan en cosmología las candelas estándar, que son determinados objetos astronómicos con la misma magnitud absoluta, que es conocida, de tal

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CAPÍTULO 11. ENERGÍA OSCURA

manera que es posible relacionar el brillo observado, o magnitud aparente, con la distancia. Sin las candelas estándar, es imposible medir la relación corrimiento al rojo-distancia de la ley de Hubble. Las supernovas tipo 1a son una de esas candelas estándar, debido a su gran magnitud absoluta, lo que posibilita que se puedan observar incluso en las galaxias más lejanas. En 1998 varias observaciones de estas supernovas en galaxias muy lejanas (y, por lo tanto, jóvenes) demostraron que la constante de Hubble no es tal, sino que su valor varía con el tiempo. Hasta ese momento se pensaba que la expansión del Universo se estaba frenando debido a la fuerza gravitatoria; sin embargo, se descubrió que se estaba acelerando, por lo que debía existir algún tipo de fuerza que acelerase el Universo. La consistencia en magnitud absoluta para supernovas tipo 1a se ve favorecida por el modelo de una estrella enana blanca vieja que gana masa de una estrella compañera y crece hasta alcanzar el límite de Chandrasekhar deﬁnido de manera precisa. Con esta masa, la enana blanca es inestable ante fugas termonucleares y explota como una supernova tipo 1a con un brillo característico. El brillo observado de la supernova se pinta frente a su corrimiento al rojo y esto se utiliza para medir la historia de la expansión del Universo. Estas observaciones indican que la expansión del Universo no se está desacelerando, como sería de esperar para un Universo dominado por materia, sino más bien acelerándose. Estas observaciones se explican suponiendo que existe un nuevo tipo de energía con presión negativa. La existencia de la energía oscura, de cualquier forma, es necesaria para reconciliar la geometría medida del espacio con la suma total de materia en el Universo. Las medidas de la radiación de fondo de microondas más recientes, realizadas por el satélite WMAP, indican que el Universo está muy cerca de ser plano. Para que la forma del Universo sea plana, la densidad de masa/energía del Universo tiene que ser igual a una cierta densidad crítica. Posteriores observaciones de la radiación de fondo de microondas y de la proporción de elementos formados en el Big Bang (Gran explosión) han puesto un límite a la cantidad de materia bariónica y materia oscura que puede existir en el Universo, que cuenta sólo el 30% de la densidad crítica. Esto implica la existencia de una forma de energía adicional que cuenta el 70% de la masa energía restante.[11] Estos estudios indican que el 73% de la masa del Universo está formado por la energía oscura, un 23% es materia oscura (materia oscura fría y materia oscura caliente) y un 4% materia bariónica. La teoría de la estructura a gran escala del Universo, que determina la formación de estructuras en el Universo (estrellas, quasars, galaxias y agrupaciones galácticas), también sugiere que la densidad de materia en el Universo es sólo el 30% de la densidad crítica.

11.3 Experimentos diseñados para probar la existencia de la energía oscura El más conocido es el Sistema de Detección Integrado Sachs-Wolfe, ideado en 1996 por dos investigadores canadienses y utilizado por primera vez en 2003; propusieron buscar estos pequeños cambios en la energía de la luz comparando la temperatura de la radiación con mapas de galaxias en el universo local. De no existir la energía oscura, no habría correspondencia entre los dos mapas (el de fondo de microondas cósmico distante y el de la distribución de galaxias relativamente cercano). Si esta existiera, sin embargo, se podría observar un curioso fenómeno: los fotones del fondo cósmico de microondas ganarían energía —en vez de perderla— al pasar cerca de grandes masas. El experimento mejoró sus resultados gracias al equipo de Tommaso Giannantonio, quien ha probado su existencia con una certeza algo mayor a cuatro sigmas.[12]

11.4 Naturaleza de la energía oscura La naturaleza exacta de la energía oscura es materia de debate. Se sabe que es muy homogénea, no muy densa, pero no se conoce su interacción con ninguna de las fuerzas fundamentales más que con la gravedad. Como no es muy densa, unos 10−29 g/cm³, es difícil realizar experimentos para detectarla. La energía oscura tiene una gran inﬂuencia en el Universo, pues es el 70% de toda la energía y debido a que ocupa uniformemente el espacio interestelar. Los dos modelos principales son la quintaesencia y la constante cosmológica.

11.4.1

Presión negativa

La energía oscura causa la expansión del universo pues ejerce una presión negativa. Una sustancia tiene una presión positiva cuando empuja la pared del recipiente que lo contiene; este es el caso de los ﬂuidos ordinarios (líquidos y gases

11.4. NATURALEZA DE LA ENERGÍA OSCURA

163

La existencia de la energía oscura fue inferida a partir de medidas muy precisas del ritmo de expansión del Universo, con técnicas similares a las usadas para generar esta imagen del WMAP para examinar la anisotropía de la temperatura del CMB.

de materia ordinaria). Una presión negativa tiene el efecto contrario, y un recipiente lleno de una substancia de presión negativa provocaría una presión hacia dentro del contenedor. De acuerdo con la Relatividad General, la presión de una substancia contribuye a su atracción gravitacional sobre otras cosas igual que hace su masa, de acuerdo con la ecuación de campo de Einstein: Rµν − 12 R gµν =

8πG c4 Tµν

Si la substancia es de presión negativa entonces su efecto es una repulsión gravitacional. Si el efecto gravitacional repulsivo de la presión negativa de la energía oscura es mayor que la atracción gravitacional causada por la propia energía, resulta una expansión del tipo que se ha observado. Por esa razón, se ha postulado que la expansión acelerada observada podría ser el efecto de presión negativa de una substancia exótica conocida como energía oscura. Otra posibilidad para explicar la expansión es postular una ecuación de campo con constante cosmológica positiva: Rµν − 12 R gµν + Λ gµν =

8πG ˆ c4 Tµν

Donde ahora el tensor Tˆµν sería la parte asociada a materia con presión positiva. Para resolver la contradicción de que el empuje cause atracción o la contracción cause repulsión se considera que: • El empuje de la presión positiva y el empuje de la presión negativa son fuerzas no gravitacionales que solamente mueven substancias en torno a su espacio interior sin cambiar el espacio en sí. • Sin embargo, la atracción gravitacional (o repulsión) que causan opera sobre el propio espacio, disminuyendo (o incrementando) la cantidad de espacio entre las cosas. Esto es lo que determina el tamaño del Universo. • No hay necesidad de que estos dos efectos actúen en la misma dirección. De hecho, actúan en direcciones opuestas.

164

11.4.2

CAPÍTULO 11. ENERGÍA OSCURA

Constante cosmológica

La explicación más simple para la energía oscura es que simplemente es el “coste de tener espacio"; es decir, un volumen de espacio tiene alguna energía fundamental intrínseca. Esto es la constante cosmológica, algunas veces llamada Lambda (de ahí el modelo Lambda-CDM) por la letra griega Λ , el símbolo utilizado matemáticamente para representar esta cantidad. Como la energía y la masa están relacionadas por la ecuación E = mc2 , la teoría de la relatividad general predice que tendrá un efecto gravitacional. Algunas veces es llamada energía del vacío porque su densidad de energía es la misma que la del vacío. De hecho, muchas teorías de la física de partículas predicen fluctuaciones del vacío que darían al vacío exactamente este tipo de energía. Los cosmólogos estiman que la constante cosmológica es del orden de 10−29 g/cm³ o unos 10−120 en unidades de Planck. La constante cosmológica tiene una presión negativa igual a su densidad de energía, y así causa que la expansión del Universo se acelere. La razón por la que la constante cosmológica tiene una presión negativa se puede obtener a partir de la termodinámica clásica. La energía tiene que perderse desde dentro de un contenedor que se ocupe del contenedor. Un cambio en el volumen dV necesita el mismo trabajo que para un cambio de energía −pdV , donde p es la presión. Pero la suma de energía en una caja de energía de vacío realmente se incremente cuando el volumen crece ( dV es positivo), porque la energía es igual a ρV , donde ρ (rho) es la densidad de energía de la constante cosmológica. Por tanto, p es negativa y, de hecho, p = −ρ , significando que la ecuación de estado tiene la forma: w = p/ρ = −1 , sin variación temporal. Un gran problema pendiente es que muchas teorías cuánticas de campos predicen una gran constante cosmológica a partir de la energía del vacío cuántico, superior a 120 órdenes de magnitud. Esto casi se necesitaría cancelar, pero no exactamente, por un término igualmente grande de signo opuesto. Algunas teorías supersimétricas necesitan una constante cosmológica que sea exactamente cero, lo que no ayuda. El consenso científico actual cuenta con la extrapolación de pruebas empíricas donde son relevantes las predicciones y el ajuste fino de las teorías hasta que se encuentre una solución más elegante. Técnicamente, esto se suma a las teorías de comprobación contra observaciones macroscópicas. Lamentablemente, como el margen de error conocido en la constante predice el destino final del Universo más que su estado actual, todavía continúan sin conocerse muchas preguntas “más profundas”. Otro problema aparece con la inclusión de la constante cosmológica en el modelo estándar que es la aparición de soluciones con regiones de discontinuidades (véase clasificación de discontinuidades para ver tres ejemplos) con una baja densidad de materia.[13] La discontinuidad también afecta al signo pasado de la energía del vacío, cambiando la actual presión negativa a presión atractiva, de la misma forma que se mira hacia atrás, hacia el Universo primigenio. Este hallazgo debería ser considerado como una deficiencia del modelo estándar, pero sólo cuando se incluye un término de vacío. A pesar de sus problemas, la constante cosmológica es en muchos aspectos la solución más económica al problema de la aceleración de la expansión del Universo. Un número explica satisfactoriamente una multitud de observaciones. Así, el modelo estándar actual de cosmología, el modelo Lambda-CDM, incluye la constante cosmológica como una característica esencial.

11.4.3

Quintaesencia

La energía oscura puede convertirse en materia oscura cuando es golpeada por partículas bariónicas, conduciendo así a excitaciones como de partículas en algún tipo de campo dinámico, conocido como quintaesencia. La quintaesencia difiere de la constante cosmológica en que puede variar en el espacio y en el tiempo. Para que no se agrupen y se formen estructuras como materia, tiene que ser muy ligero de tal manera que tenga una gran longitud de onda Compton. No se ha encontrado todavía ninguna prueba de la quintaesencia, pero tampoco ha sido descartada. Generalmente predice una aceleración ligeramente más lenta de la expansión del Universo que la constante cosmológica. Algunos científicos piensan que la mejor prueba de la quintaesencia vendría a partir de violaciones del principio de equivalencia y la variación de las constantes fundamentales de Einstein en el espacio o en el tiempo. Los campos escalares son predichos por el modelo estándar y la teoría de cuerdas, pero un problema análogo al problema de la constante cosmológica (o el problema de construir modelos de inflación cósmica) ocurre: la teoría de la renormalización predice que los campos escalares deberían adquirir grandes masas. El problema de la coincidencia cósmica se pregunta por qué la aceleración cósmica empezó cuando lo hizo. Si la aceleración cósmica empezó antes en el Universo, las estructuras como galaxias nunca habrían tenido tiempo de formarse

11.4. NATURALEZA DE LA ENERGÍA OSCURA

165

y permanecer, al menos como se las conoce; nunca habrían tenido una oportunidad de existir. Sin embargo, muchos modelos de quintaesencia tienen un llamado “comportamiento rastreador”, que soluciona este problema. En estos modelos, el campo de la quintaesencia tiene una densidad que sigue la pista de cerca (pero es menor que) la densidad de radiación hasta la igualdad materia-radiación, que dispara la quintaesencia empiece a comportarse como energía oscura, ﬁnalmente dominando el Universo. Esto naturalmente establece una baja escala de energía de la energía oscura. Algunos casos especiales de quintaesencia son la energía fantasma con w = +1 . , en que la densidad de energía de la quintaesencia realmente se incrementa con el tiempo y la esencia-k (acrónimo de quintaesencia cinética) que tiene una forma no convencional de energía cinética. Pueden tener propiedades inusuales: la energía fantasma, por ejemplo, puede causar un Big Rip. La nueva quintaesencia es una forma novedosa de energía inherente en el espacio vacío, que está basada en la constante de Planck. La suma fundamental de energía contenida en el espacio-tiempo, es representada por la ecuación E = hn , donde h es la constante de Planck y n es el número de quintesencias contenido en un volumen de espacio dado, por unidad de tiempo (segundos).[14]

11.4.4

Ideas alternativas

Algunos teóricos piensan que la energía oscura y la aceleración cósmica son un fallo de la relatividad general en escalas muy grandes, mayores que los supercúmulos. Es una tremenda extrapolación pensar que la ley de la gravedad, que funciona tan bien en el sistema solar, debería trabajar sin corrección a escala universal. Se han realizado muchos intentos de modificar la relatividad general; sin embargo, han resultado ser equivalentes a las teorías de la quintaesencia o inconsistentes con las observaciones. Las ideas alternativas a la energía oscura han venido desde la teoría de cuerdas, la cosmología brana y el principio holográfico, pero no han sido probadas todavía tan convincentemente como la quintaesencia y la constante cosmológica. Sin embargo, otras proposiciones “radicalmente conservadoras” intentan explicar los datos observacionales mediante un uso más refinado de las teorías establecidas más que a través de la introducción de la energía oscura, centrándose, por ejemplo, en los efectos gravitacionales de heterogeneidades de la densidad (asumidas como insignificantes en la aproximación estándar de la métrica de Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y confirmada como insignificante por los estudios de las anisotropías del fondo cósmico de microondas y las estadísticas de la estructura a gran escala del Universo) o en las consecuencias de la ruptura de la simetría electrodébil en el Universo primigenio.[15] Con perspicacia, la energía oscura puede deducirse de observaciones a la constelación de Virgo con el telescopio LIGO I (con su sensibilidad de 10−21 ), mediante la no detección de ondas gravitatorias, que puede interpretarse como un indicador de que la rigidez de un continuo espacio-tiempo CR pseudo-Riemanniano no es insignificante, más que la suposición de que las ondas gravitatorias se propagan a larga distancia. Estadísticamente LIGO I parece tener un volumen suficientemente grande y tamaño de muestreo para la inclusión de objetos compactos en sistemas binarios en órbitas estrechas al menos, incluso si no se capturan algunos eventos de fusión. Sin embargo, incluso las fusiones binarias de BHs,que generan ondas gravitatorias puede decaer rápidamente. Así, la resistencia a la deformación (stress normal: extensión y compresión e incluso cualquier esfuerzo cortante) puede que no sea insignificante. Tal rigidez (resistencia a deformaciones/distorsiones) puede ser considerada como una inercia de múltiples CR. Es decir, ondas gravitatorias que tienen energía no localizada, pero tal energía es asociada con múltiples deformaciones. Por lo tanto, la energía de tales ondas gravitatorias puede ser considerada como un intento de superar la resistencia a la deformación (rigidez) de múltiples CR. Así, tal inercia parecería representar una contribución al stress del tensor de momento de energía y su representación matricial no contribuiría significativamente a toda la curvatura. Así, si las ondas gravitatorias no son detectadas, entonces LIGO I puede realmente estar explorando un cálculo cualitativo (no los límites) para la rigidez de múltiples CR. Así, múltiples CR pueden ser suficientemente robustos para la perturbación. Cualquier robustez parecería consistente sin producir rupturas cercanas y para una escala de Planck C también consistente con ninguna cuantificación de múltiples CR. Entonces, será menos probable tener fugas de ondas gravitatorias propagándose fuera de múltiples CR a otra dimensión, p.ej., brana. También, cualquier rigidez significante de múltiples CR sería menos consistente con las deformaciones asociadas con las supercuerdas. Y si el concepto de la inercia múltiple es descriptivo, entonces cualquier consideración reciente de nuevas aceleraciones (p.ej. resultantes de una tensión o elasticidad múltiple) de varios CR parecería menos probable. También la energía asociada con la resistencia a la deformación múltiple puede representar una porción significante de energía necesaria para aproximar la monotonía. Es decir, más que una búsqueda de la llamada energía oscura, tal vez una

166

CAPÍTULO 11. ENERGÍA OSCURA

contribución adicional significativa es en forma de energía de múltiples CR, tal rigidez de múltiples CR contribuyendo al stress del tensor de momento de energía y por tanto a la curvatura. Así tal vez, LIGO I ya ha hecho un gran descubrimiento, la inercia de múltiples CR. Así, varios CR parecen tener una rigidez significativa y por tanto contribuya a una suma significante de energía y así contribuye significantemente a la curvatura (véase[16][17][18] en INFN/Torino para una lista de trabajos reciente activamente mantenida en este campo de evolución rápida).

11.5 La energía oscura y el destino del Universo La consecuencia más directa de la existencia de la energía oscura y la aceleración del Universo es que éste es más antiguo de lo que se creía. Si se calcula la edad del Universo con base en los datos actuales de la constante de Hubble (71±4 (km/s)/Mp), se obtiene una edad de 10.000 millones de años, menor que la edad de las estrellas más viejas que es posible observar en los cúmulos globulares, lo que crea una paradoja insalvable. Los cosmólogos estiman que la aceleración empezó hace unos 9.000 millones de años. Antes de eso, se pensaba que la expansión estaba ralentizándose, debido a la influencia atractiva de la materia oscura y los bariones. La densidad de materia oscura en un Universo en expansión desaparece más rápidamente que la energía oscura y finalmente domina la energía oscura. Específicamente, cuando el volumen del Universo se dobla, la densidad de materia oscura se divide a la mitad pero la densidad de energía oscura casi permanece sin cambios (exactamente es constante en el caso de una constante cosmológica). Teniendo en cuenta la energía oscura, la edad del Universo es de unos 13.700 millones de años (de acuerdo con los datos del satélite WMAP en 2003), lo que resuelve la paradoja de la edad de las estrellas más antiguas. Si la aceleración continúa indefinidamente, el resultado final será que las galaxias exteriores al Supercúmulo de Virgo se moverán más allá del horizonte de sucesos: no volverán a ser visibles, porque su velocidad radial será mayor que la velocidad de la luz. Esta no es una violación de la relatividad especial y el efecto no puede utilizarse para enviar una señal entre ellos. Realmente no hay ninguna manera de definir la “velocidad relativa” en un espacio-tiempo curvado. La velocidad relativa y la velocidad sólo pueden ser definidas con significado pleno en un espacio-tiempo plano o en regiones suficientemente pequeñas (infinitesimales) de espacio-tiempo curvado. A su vez, previene cualquier comunicación entre ellos y el objeto pase sin contactar. La Tierra, la Vía Láctea y el Supercúmulo de Virgo, sin embargo, permanecería virtualmente sin perturbaciones mientras el resto del Universo retrocede. En este escenario, el supercúmulo local finalmente sufriría la muerte caliente, justo como se pensaba para un Universo plano y dominado por la materia, antes de las medidas de la aceleración cósmica. El fondo de microondas indica que la geometría del Universo es plana, es decir, el Universo tiene la masa justa para que la expansión continúe indeterminadamente. Si el Universo, en vez de plano fuese cerrado, significaría que la atracción gravitatoria de la masa que forma el Universo es mayor que la expansión del Universo, por lo que éste se volvería a contraer (Big Crunch). Sin embargo, al estudiar la masa del Universo se detectó muy pronto que faltaba materia para que el Universo fuese plano. Esta “materia perdida” se denominó materia oscura. Con el descubrimiento de la energía oscura hoy se sabe que el destino del Universo ya no depende de la geometría del mismo, es decir, de la cantidad de masa que hay en él. En un principio la expansión del Universo se frenó debido a la gravedad, pero hace unos 4.000 millones de años la energía oscura sobrepasó al efecto de la fuerza gravitatoria de la materia y comenzó la aceleración de la expansión. El futuro último del Universo depende de la naturaleza exacta de la energía oscura. Si ésta es una constante cosmológica, el futuro del Universo será muy parecido al de un Universo plano. Sin embargo, en algunos modelos de quintaesencia, denominados energía fantasma, la densidad de la energía oscura aumenta con el tiempo, provocando una aceleración exponencial. En algunos modelos extremos la aceleración sería tan rápida que superaría las fuerzas de atracción nucleares y destruiría el Universo en unos 20.000 millones de años, en el llamado Gran Desgarro (Big Rip). Hay algunas ideas muy especulativas sobre el futuro del Universo. Una sugiere que la energía fantasma causa una expansión divergente, que implicaría que la fuerza efectiva de la energía oscura continúa creciendo hasta que domine al resto de las fuerzas del Universo. Bajo este escenario, la energía oscura finalmente destrozaría todas las estructuras gravitacionalmente acotadas, incluyendo galaxias y sistemas solares y finalmente superaría a las fuerzas eléctrica y nuclear para destrozar a los propios átomos, terminando el Universo en un Big Rip. Por otro lado, la energía oscura puede disiparse con el tiempo o incluso llegar a ser atractiva. Tales incertidumbres abren la posibilidad de que la gravedad todavía pueda conducir al Universo que se contrae a sí mismo en un "Big Crunch". Algunos escenarios, como el modelo cíclico, sugieren que este podía ser el caso. Mientras que estas ideas no están soportadas por las observaciones, no pueden ser excluidas. Las medidas de aceleración son cruciales para determinar el destino final del Universo en la Teoría del Big Bang.

11.6. REFERENCIAS

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11.6 Referencias [1] Ostriker, Jeremiah P., and Paul Steinhardt, “The Quintessential Universe”, Scientific American, vol. 284, no. 1 (January 2001), pp. 46–53. [2] P. J. E. Peebles y Bharat Ratra. «The Cosmological Constant and Dark Energy» [La constante cosmológica y la energía oscura]. Reviews of Modern Physics 75: 559–606. Parámetro desconocido |fha= ignorado (ayuda) [3] Véase Weinberg, Steven (2008). Cosmology (en inglés). Oxford University Press. p. v. ISBN 978-0-19-852682-7. [4] Altarelli, Guido (2008). Elementary Particles (en inglés). Springer. p. 9-6. ISBN 9783540742029. [5] Sean Carroll (2001). «The Cosmological Constant» [La constante cosmológica]. Living Reviews in Relativity 4: 1. Consultado el 28-09-2006. [6] «Big Bang’s afterglow shows universe is 80 million years older than scientists first thought». Washington Post. Consultado el 22 de marzo de 2013. [7] La primera mención del término “energía oscura” está en el artículo con otros cosmólogos y estudiantes de Turner del momento, Dragan Huterer, “Prospectos para Probar la Energía oscura a través de Medidas de Distancia a Supernovas”, que fue subido a ArXiv.org en agosto de 1998 y publicado en Physical Review D en 1999 (Huterer y Turner, Phys. Rev. D 60, 081301 (1999)). [8] Adam Riess y otras (Supernova Search Team) (1998). «Observational Evidence from Supernovae for an Accelerating Universe and a Cosmological Constant» [Prueba observacional de las supernovas para un Universo en acelaración y una constante cosmológica]. Astronomical J. 116: 1009–38. [9] Saul Perlmutter y otros (El Supernova Cosmology Project) (1999). «Measurements of Omega and Lambda from 42 HighRedshift Supernovae» [Medidas de Omega y Lambda de 42 supernovas de gran corrimiento al rojo]. Astrophysical J. 517: 565–86. [10] Pierre Astier et al. (Supernova Legacy Survey) (2006). «The Supernova legacy survey: Measurement of omega(m), omega(lambda) and W from the first year data set». Astronomy and Astrophysics 447: 31–48. [11] D. N. Spergel y otros (colaboración WMAP) (marzo de 2006). Three-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Implications for Cosmology [Tres años de resultados del Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP): implicaciones para la cosmología]. [12] Tommaso Giannantonio (LMU Munich & EXC), Robert Crittenden, Robert Nichol, Ashley J. Ross (ICG Portsmouth), “The significance of the integrated Sachs-Wolfe effect revisited”, en Cosmology and Extragalactic Astrophysics, 10 de sept. de 2012, http://arxiv.org/abs/1209.2125 [13] A.M. Öztas y M.L. Smith (2006). «Elliptical Solutions to the Standard Cosmology Model with Realistic Values of Matter Density» [Soluciones elípticas al Modelo Estándar de Cosmología con valores realistas de densidad de materia]. International Journal of Theoretical Physics 45: 925–936. [14] Una Crónica de Física Moderna, Libro III. Universal-publishers.com (2006) [15] La inflación primordial explica por qué el Universo está acelerando actualmente por Kolb, Matarrese, Notari y Riotto, que es discutida por , y [16] http://www.tmmalm.info [17] Fenomenología - Modelos alternativos [18] Teoría - Modelos alternativos

168

CAPÍTULO 11. ENERGÍA OSCURA

11.7 Enlaces externos • Comunicados de prensa de la web de Hubble: Nuevas Pistas Sobre la Naturaleza de la Energía Oscura: Einstein Puede Haber TEnido Razón Después de Todo. • Artículo de 1998 anunciando el descubrimiento de la energía oscura: Riess et al • Artículo de 1999 confirmando el descubrimiento de la energía oscura Perlmutter et al. • El grupo que detectó por primera vez la aceleració cósmica: Equipo de búsqueda de la supernova High-Z y el grupo que la confirmó Supernova Cosmology Project. • Revisiones técnicas de Sean M. Carroll: ¿Por qué se está acelerando el Universo?, La Constante Cosmológica y La Energía Oscura y el Universo Preposteroso. • Jim Peebles, Probando la Relatividad General en las Escalas de la Cosmología. • “El Motor de Búsqueda de Supernovas Cercanas Más Exitoso del Mundo”, El Telescopio de Imágenes Automático Katzman. • Supernova Acceleration Probe (SNAP), un satélite de propósito experimental. • Un reanálisis (, ) de un experimento [R.H. Koch, D. van Harlingen, J. Clarke, Phys. Rev. B 26 (1982) 74] para encontrar el espectro de banda ancha del ruido de la unión Josephson, afirma conectarlo con el límite superior de la frecuencia espectral predicho por estimaciones en las que coinciden la densidad de energía oscura con la densidad de energía del vacío. Esta reivindicación no está todavía aceptada. Para disputas, ver , , . • Christopher J. Coneslice, “La Mano Invisible del Universo,” Scientific American. February, 2007. • Energía oscura, un artículo de Robert R Caldwell en Physics World. • La 'Energía Oscura' tiene 9.000 millones de años, un artículo de Dennis Overbye en The New York Times. • “Misterosa fuerza de larga presencia” BBC News online (2006) Más pruebas que relacionan la energía oscura con la constante cosmológica. • “Imagen Astronómica del Día” una de las imágenes del CMB que confirmaron la presencia de la energía y la materia oscura. • Página principal de la SuperNova Legacy Survey El objetivo principal del Telescope Legacy Survey Supernova Program de Canadá-Francia-Hawaii es la medición de la ecuación de estado de la Energía Oscura. Está diseñado para medir de forma precisa varios cientos de supernovas de alto corrimiento al rojo. • “Informe de la Fuerza de la Energía Oscura” • “Energía Oscura” BBC Ciencia & Naturaleza (2006) • “Energía oscura en el Universo acelerante” Página Principal del Satélite Observatorio Supernova Acceleration Probe (SNAP). • “Cálculos de la Constante Cosmológica Unificando la Energía y la Materia Oscura” Un modelo geométrico de la energía oscura como una Esfera de Poincaré - calculada: ΩD = 0.734 , observada: ΩD = 0.65...0.85 (Ver también el blog). • “Explorando el lado oscuro”

Capítulo 12

Singularidad gravitacional Una singularidad gravitacional o espaciotemporal, de modo informal y desde un punto de vista físico, puede definirse como una zona del espacio-tiempo donde no se puede definir alguna magnitud física relacionada con los campos gravitatorios, tales como la curvatura, u otras. Numerosos ejemplos de singularidades aparecen en situaciones realistas en el marco de la Relatividad General en soluciones de las ecuaciones de Einstein,[1] entre los que cabe citar la descripción de agujeros negros (como puede ser la métrica de Schwarzschild) o a la descripción del origen del universo (métrica de Robertson-Walker). Desde el punto de vista matemático, adoptar una definición de singularidad puede ser complicado,[2] pues si pensamos en puntos en que el tensor métrico no está definido o no es diferenciable, estaremos hablando de puntos que automáticamente no pertenecen al espacio-tiempo. Para definir una singularidad deberemos buscar las huellas que estos puntos excluidos dejan en el tejido del espaciotiempo. Podemos pensar en varios tipos de comportamientos extraños:[3] • Geodésicas temporales (o nulas) que tras un tiempo propio (o parámetro afín) no pueden prolongarse (lo que se llama incompletitud de geodésicas causales). • Valores de curvatura que se hacen arbitrariamente grandes cerca del punto excluido (lo que se denomina singularidad de curvatura).

12.1 Tipos de singularidades Las singularidades pueden ser, en sus aspectos más generales; • De coordenadas. Son el resultado de haber escogido un mal sistema de coordenadas. Algunas de estas singularidades de coordenadas sí que indican lugares físicos que sí son especiales. Por ejemplo en la métrica de Schwarzschild, la singularidad de coordenadas en r = 2GM /c2 representa el horizonte de sucesos. • Físicas. Son singularidades espaciotemporales de pleno derecho. Se diferencia en las de coordenadas porque en algunas de las contracciones del tensor de curvatura, éste diverge ( Rµνρλ Rµνρλ , Rµν Rµν , etc.) Geométricamente las singularidades físicas pueden ser: • Hipersuperﬁcies abiertas: Este tipo de singularidad podemos encontrarlas en agujeros negros que no han conservado el momento angular como es el caso de un agujero negro de Schwarzschild o un agujero negro de ReissnerNordstrøm. • Hipersuperﬁcies cerradas: Como la singularidad toroidal o en forma de anillo, que normalmente hace su aparición en agujeros negros que han conservado su momento angular, como puede ser el caso de un agujero negro de Kerr o un agujero negro de Kerr-Newman, aquí la materia, debido al giro, deja un espacio al medio formando una estructura parecida a la de una rosquilla. 169

170

CAPÍTULO 12. SINGULARIDAD GRAVITACIONAL

Según su carácter las singularidades físicas pueden ser: • Singularidades temporales, como la que se encuentra en un agujero de Schwarzschild en la que una partícula deja de existir por cierto instante de tiempo; dependiendo de su velocidad, las partículas rápidas tardan más en alcanzar la singularidad mientras que las más lentas desaparecen antes. Este tipo de singularidad son inevitables, ya que tarde o temprano todas las partículas deben atravesar la hipersuperficie temporal singular. • Singularidades espaciales, como la que se encuentra en agujeros de Reissner-Nordstrom, Kerr y Kerr-Newman. Al ser hipersuperficies espaciales una partícula puede escapar de ellas y por tanto se trata de singularidades evitables. Según la visibilidad para observadores asintóticamente inerciales alejados de la región de agujero negro (espacio-tiempo de Minkowski) éstas pueden ser: • Singularidades desnudas: existen casos en los agujeros negros donde debido a altas cargas o velocidades de giro, la zona que rodea a la singularidad desaparece (en otras palabras el horizonte de sucesos) dejando a ésta visible en el universo que conocemos. Se supone que este caso está prohibido por la regla del censor cósmico, que establece que toda singularidad debe estar separada del espacio. • Singularidades dentro de agujeros negros. Dicho de otro modo, la materia se comprime hasta ocupar una región inimaginablemente pequeña o singular, cuya densidad en su interior resulta infinita. Es decir que todo aquello que cae dentro del horizonte de sucesos es tragado, devorado por un punto que podríamos denominar “sin retorno”, y esto es tan así que ni la luz puede escapar a este fenómeno celeste. No puede escapar porque la fuerza de la gravedad es tan grande que ni siquiera la luz viajando a 300.000 km/s lo consigue. Y según la teoría de la Relatividad de Einstein, como nada puede viajar a una velocidad mayor que la de la luz, nada puede escapar.

12.2 Teoremas de singularidades Los teoremas sobre singularidades, debidos a Stephen Hawking y Roger Penrose, predicen la ocurrencia de singularidades bajo condiciones muy generales sobre la forma y características del espacio-tiempo.[4]

12.2.1

Expansión del universo y Big Bang

El primero de los teoremas, que se enuncia a continuación, parece aplicable a nuestro universo; informalmente aﬁrma que si tenemos un espacio-tiempo globalmente hiperbólico en expansión, entonces el universo empezó a existir a partir de una singularidad (Big Bang) hace un tiempo ﬁnito: El teorema anterior por tanto es el enunciado matemático que bajo las condiciones observadas en nuestro universo, en el que es válida la ley de Hubble, y admitiendo la validez de la teoría de la Relatividad general el universo debió empezar en algún momento.

12.2.2

Agujeros negros y singularidades

El siguiente teorema relaciona la ocurrencia de “superficies atrapadas” con la presencia de singularidades. Puesto que en un agujero negro de Schwarzschild, y presumible agujeros con geometrías similares, ocurren superficies atrapadas, el siguiente teorema predice la ocurrencia de singularidades en el interior de una clase muy amplia de agujeros negros. Una superficie atrapada una variedad riemanniana de dos dimensiones compacta que tiene la propiedad de que tanto su futuro causal como su pasado causal tiene en todo punto una expansión negativa. No es complicado probar que cualquier esfera, de hecho cualquier superficie cerrada contenida en una esfera, dentro de la región de agujero negro de un espacio-tiempo de Schwarzschild es una superficie atrapada, y por tanto en dicha región debe aparecer una singularidad. El enunciado de este teorema, debido a Roger Penrose (1965), es el siguiente: La existencia de una geodésica de tipo luz inextensible, implica que existirá un fotón que saliendo de dicha superficie tras un tiempo de viaje proporcional a 2/c|θ0 | se topará con una singularidad temporal futura. Aunque desconocemos la

12.3. OCURRENCIA DE SINGULARIDADES

171

naturaleza física real de las singularidades por carecer de una teoría cuántica de la gravedad el fotón o bien “desaparecerá" o bien experimentará algún fenómeno asociado a dicha teoría de la gravedad cuántica cuya naturaleza desconocemos. Para la cual, la traza de la curvatura intrínseca satisface K < C < 0, donde C es una cierta constante. Entonces ninguna curva temporal partiendo de Σ y dirigida hacia el pasado puede tener una longitud mayor que 3/|C|. En particular, todas las geodésicas temporales hacia el pasado son incompletas.

12.2.3

Conservación del área de agujero negro

Aunque sin ser estrictamente teoremas de singularidades existen una colección de resultados probados por Hawking (1971) que establecen que, en el marco de la teoría general de la relatividad: • Un agujero negro conexo no puede desaparecer o dividirse en dos. Por tanto si dos agujeros negros colisionaran, tras su interacción necesariamente quedarían fusionados. • El área total de agujeros negros del universo es una función monótona creciente, más concretamente el área del horizonte de sucesos de dos agujeros en colisión es mayor o igual que la suma de áreas originales. • La evolución temporal de una superﬁcie atrapada en una región de agujero negro, quedará por siempre contenida en dicho agujero negro. Los teoremas anteriores son importantes porque garantizan, que aún en situaciones reales donde los cálculos exactos resultan complicados o imposibles, las propiedades topológicas de un espacio-tiempo que contiene agujeros negros garantizan ciertos hechos, por complicada que sea la geometría. Naturalmente sabemos que en una teoría cuántica de la gravedad los dos primeros resultados, probablemente no se mantienen. El propio Hawking sugirió que la emisión de radiación Hawking es un proceso mecano-cuántico a través del cual un agujero negro podría perder área o evaporarse; por lo que, los resultados anteriores son sólo las predicciones de la teoría general de la relatividad.

12.3 Ocurrencia de singularidades La descripción del espacio-tiempo y de la materia que hace la teoría de la relatividad general de Einstein no puede describir adecuadamente las singularidades. De hecho, la teoría general de la relatividad sólo da una descripción adecuada de la gravitación y espacio-tiempo a escalas mayores que la longitud de Planck lP:

√ lP =

ℏG ≈ 10−33 cm c3

Donde: ℏ es la constante de Planck reducida, G constante de gravitación universal, c es la velocidad de la luz. De ese límite cuántico se debe esperar que igualmente la teoría de la relatividad deje de ser adecuada cuando predice una curvatura espacial del orden de lP −2 cosa que sucede muy cerca de las singularidades de curvatura como las existentes dentro de los diversos tipos de agujeros negros.

12.4 Véase también • Anexo:Glosario de relatividad • Diagrama de Penrose-Carter • Huevo cósmico

172

CAPÍTULO 12. SINGULARIDAD GRAVITACIONAL

12.5 Referencias [1] Artículo spacetime singularities en Einstein online [2] Geroch, R. What is a singulariry in General relativity? Annals of Physics 48, 526-40, 1968. [3] Wald. R.M. General Relativity. the University of Chicago Press, 1984. ISBN 0-226-87033-2. (cap. 9) [4] Senovilla,J.M. Singularity Theorems and their consecuences. General Relativity and Gravitation, Vol. 29, No. 5, 1997. (Amplio review)

Capítulo 13

Agujero negro

Simulación de lente gravitacional por un agujero negro que distorsiona la imagen de una galaxia en el fondo

Un agujero negro[1] u hoyo negro[2] es una región ﬁnita del espacio en cuyo interior existe una concentración de masa lo suﬁcientemente elevada como para generar un campo gravitatorio tal que ninguna partícula material, ni siquiera la luz, puede escapar de ella. Sin embargo, los agujeros negros pueden ser capaces de emitir radiación, lo cual fue conjeturado por Stephen Hawking en los años 70. La radiación emitida por agujeros negros como Cygnus X-1 no procede del propio agujero negro sino de su disco de acreción.[3] 173

174

CAPÍTULO 13. AGUJERO NEGRO

La gravedad de un agujero negro, o «curvatura del espacio-tiempo», provoca una singularidad envuelta por una superﬁcie cerrada, llamada horizonte de sucesos. Esto es previsto por las ecuaciones de campo de Einstein. El horizonte de sucesos separa la región del agujero negro del resto del universo y es la superﬁcie límite del espacio a partir de la cual ninguna partícula puede salir, incluyendo los fotones. Dicha curvatura es estudiada por la relatividad general, la que predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio. En los años 70, Hawking, Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometría de los agujeros negros.[4] Previamente, en 1963, Roy Kerr había demostrado que en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones todos los agujeros negros debían tener una geometría cuasiesférica determinada por tres parámetros: su masa M, su carga eléctrica total e y su momento angular L. Se conjetura que en el centro de la mayoría de las galaxias, entre ellas la Vía Láctea, hay agujeros negros supermasivos.[5] La existencia de agujeros negros está apoyada en observaciones astronómicas, en especial a través de la emisión de rayos X por estrellas binarias y galaxias activas.

13.1 Proceso de formación Los agujeros negros proceden de un proceso de colapso gravitatorio que fue ampliamente estudiado a mediados de siglo XX por diversos científicos, particularmente Robert Oppenheimer, Roger Penrose y Stephen Hawking entre otros. Hawking, en su libro divulgativo Historia del tiempo: del Big Bang a los agujeros negros (1988), repasa algunos de los hechos bien establecidos sobre la formación de agujeros negros. Dicho proceso comienza después de la muerte de una gigante roja (estrella de gran masa), llámese muerte a la extinción total de su energía. Tras varios miles de millones de años de vida, la fuerza gravitatoria de dicha estrella comienza a ejercer fuerza sobre sí misma originando una masa concentrada en un pequeño volumen, convirtiéndose en una enana blanca. En este punto, dicho proceso puede proseguir hasta el colapso de dicho astro por la auto atracción gravitatoria que termina por convertir a esta enana blanca en un agujero negro. Este proceso acaba por reunir una fuerza de atracción tan fuerte que atrapa hasta la luz en éste. En palabras más simples, un agujero negro es el resultado final de la acción de la gravedad extrema llevada hasta el límite posible. La misma gravedad que mantiene a la estrella estable, la empieza a comprimir hasta el punto que los átomos comienzan a aplastarse. Los electrones en órbita se acercan cada vez más al núcleo atómico y acaban fusionándose con los protones, formando más neutrones mediante el proceso: p+ + e− → n0 + νe Por lo que este proceso comportaría la emisión de un número elevado de neutrinos. El resultado final, una estrella de neutrones. En este punto, dependiendo de la masa de la estrella, el plasma de neutrones dispara una reacción en cadena irreversible, la gravedad aumenta enormemente al disminuirse la distancia que había originalmente entre los átomos. Las partículas de neutrones implosionan, aplastándose más, logrando como resultado un agujero negro, que es una región del espacio-tiempo limitada por el llamado horizonte de sucesos. Los detalles de qué sucede con la materia que cae más allá de este horizonte dentro de un agujero negro no se conocen porque para escalas pequeñas sólo una teoría cuántica de la gravedad podría explicarlos adecuadamente, pero no existe una formulación completamente consistente con dicha teoría.

13.2 Historia El concepto de un cuerpo tan denso que ni siquiera la luz puede escapar de él, fue descrito en un artículo enviado en 1783 a la Royal Society por un geólogo inglés llamado John Michell. Por aquel entonces la teoría de Newton de gravitación y el concepto de velocidad de escape eran muy conocidas. Michell calculó que un cuerpo con un radio 500 veces el del Sol y la misma densidad, tendría, en su superﬁcie, una velocidad de escape igual a la de la luz y sería invisible. En 1796, el matemático francés Pierre-Simon Laplace explicó en las dos primeras ediciones de su libro Exposition du Systeme du Monde la misma idea aunque, al ganar terreno la idea de que la luz era una onda sin masa, en el siglo XIX fue descartada en ediciones posteriores. En 1915, Einstein desarrolló la relatividad general y demostró que la luz era inﬂuida por la interacción gravitatoria. Unos meses después, Karl Schwarzschild encontró una solución a las ecuaciones de Einstein, donde un cuerpo pesado absorbería

13.2. HISTORIA

175

Un protón y un electrón se aniquilan emitiendo un neutrón y un neutrino-electrón.

la luz. Se sabe ahora que el radio de Schwarzschild es el radio del horizonte de sucesos de un agujero negro que no gira, pero esto no era bien entendido en aquel entonces. El propio Schwarzschild pensó que no era más que una solución matemática, no física. En 1930, Subrahmanyan Chandrasekhar demostró que un cuerpo con una masa crítica, (ahora conocida como límite de Chandrasekhar) y que no emitiese radiación, colapsaría por su propia gravedad porque no había nada que se conociera que pudiera frenarla (para dicha masa la fuerza de atracción gravitatoria sería mayor que la proporcionada por el principio de exclusión de Pauli). Sin embargo, Eddington se opuso a la idea de que la estrella alcanzaría un tamaño nulo, lo que implicaría una singularidad desnuda de materia, y que debería haber algo que inevitablemente pusiera freno al colapso, línea adoptada por la mayoría de los cientíﬁcos. En 1939, Robert Oppenheimer predijo que una estrella masiva podría sufrir un colapso gravitatorio y, por tanto, los agujeros negros podrían ser formados en la naturaleza. Esta teoría no fue objeto de mucha atención hasta los años 60 porque, después de la Segunda Guerra Mundial, se tenía más interés en lo que sucedía a escala atómica. En 1967, Stephen Hawking y Roger Penrose probaron que los agujeros negros son soluciones a las ecuaciones de Einstein y que en determinados casos no se podía impedir que se crease un agujero negro a partir de un colapso. La idea de agujero negro tomó fuerza con los avances cientíﬁcos y experimentales que llevaron al descubrimiento de los púlsares.

176

CAPÍTULO 13. AGUJERO NEGRO

Modelo de computadora de un agujero negro supermasivo, es aproximadamente lo que vería una persona en la realidad hecho a partir de ecuaciones de relatividad general para la película Interstellar. Toda la luz que se muestra aquí proviene del disco de acreción horizontal. La gravedad curva la luz de la parte posterior del agujero negro para formar el aparente anillo vertical.

Poco después, en 1969, John Wheeler[6] acuñó el término “agujero negro” durante una reunión de cosmólogos en Nueva York, para designar lo que anteriormente se llamó “estrella en colapso gravitatorio completo”.

13.3 Clasiﬁcación teórica Según su origen, teóricamente pueden existir al menos tres clases de agujeros negros:

13.3.1

Según la masa

• Agujeros negros supermasivos: con masas de varios millones de masas solares. Se hallarían en el corazón de muchas galaxias. Se forman en el mismo proceso que da origen a los componentes esféricos de las galaxias. • Agujeros negros de masa estelar. Se forman cuando una estrella de masa 2,5 veces mayor que la del Sol se convierte en supernova e implosiona. Su núcleo se concentra en un volumen muy pequeño que cada vez se va reduciendo más. Este es el tipo de agujeros negros postulados por primera vez dentro de la teoría de la relatividad general. • Micro agujeros negros. Son objetos hipotéticos, algo más pequeños que los estelares. Si son suﬁcientemente pequeños, pueden llegar a evaporarse en un período relativamente corto mediante emisión de radiación de Hawking. Este tipo de entidades físicas es postulado en algunos enfoques de la gravedad cuántica, pero no pueden ser generados por un proceso convencional de colapso gravitatorio, el cual requiere masas superiores a la del Sol.

13.3.2

Según sus propiedades físicas

Para un agujero negro descrito por las ecuaciones de Albert Einstein, existe un teorema denominado de sin pelos (en inglés No-hair theorem), que afirma que cualquier objeto que sufra un colapso gravitatorio alcanza un estado estacionario como agujero negro descrito sólo por 3 parámetros: su masa M , su carga Q y su momento angular J . Así tenemos la siguiente clasificación para el estado final de un agujero negro:

13.4. DESCRIPCIÓN TEÓRICA

177

Imagen simulada de como se vería un agujero negro con una masa de diez soles, a una distancia de 600 kilómetros, con la vía láctea al fondo (ángulo horizontal de la abertura de la cámara fotográﬁca: 90°).

• El agujero negro más sencillo posible es el agujero negro de Schwarzschild, que no rota ni tiene carga. • Si no gira pero posee carga eléctrica, se tiene el llamado agujero negro de Reissner-Nordstrøm. • Un agujero negro en rotación y sin carga es un agujero negro de Kerr. • Si además posee carga, hablamos de un agujero negro de Kerr-Newman. Las cuatro soluciones anteriores puede sistematizarse de la siguiente manera:

13.4 Descripción teórica 13.4.1

Zonas observables

En las cercanías de un agujero negro se suele formar un disco de acrecimiento, compuesto de materia con momento angular, carga eléctrica y masa, la que es afectada por la enorme atracción gravitatoria del mismo, ocasionando que inexorablemente atraviese el horizonte de sucesos y, por lo tanto, incremente el tamaño del agujero. En cuanto a la luz que atraviesa la zona del disco, también es afectada, tal como está previsto por la Teoría de la Relatividad. El efecto es visible desde la Tierra por la desviación momentánea que produce en posiciones estelares conocidas, cuando

178

CAPÍTULO 13. AGUJERO NEGRO

Representación artística de un agujero negro con una estrella compañera que se mueve en órbita alrededor, excediendo su límite de Roche. La materia que cae forma un disco de acrecimiento, con algo de materia expulsada en chorros polares colimados altamente energéticos.

los haces de luz procedentes de las mismas transitan dicha zona. Hasta hoy es imposible describir lo que sucede en el interior de un agujero negro; sólo se puede imaginar, suponer y observar sus efectos sobre la materia y la energía en las zonas externas y cercanas al horizonte de sucesos y la ergosfera. Uno de los efectos más controvertidos que implica la existencia de un agujero negro es su aparente capacidad para disminuir la entropía del Universo, lo que violaría los fundamentos de la termodinámica, ya que toda materia y energía electromagnética que atraviese dicho horizonte de sucesos, tienen asociados un nivel de entropía. Stephen Hawking propone en uno de sus libros que la única forma de que no aumente la entropía sería que la información de todo lo que atraviese el horizonte de sucesos siga existiendo de alguna forma. Otra de las implicaciones de un agujero negro supermasivo sería la probabilidad que fuese capaz de generar su colapso completo, convirtiéndose en una singularidad desnuda de materia.

13.4.2

La entropía en los agujeros negros

Según Stephen Hawking, en los agujeros negros se viola el segundo principio de la termodinámica, lo que dio pie a especulaciones sobre viajes en el espacio-tiempo y agujeros de gusano. El tema está siendo motivo de revisión; actualmente Hawking se ha retractado de su teoría inicial y ha admitido que la entropía de la materia se conserva en el interior de un agujero negro (véase enlace externo). Según Hawking, a pesar de la imposibilidad física de escape de un agujero negro, estos pueden terminar evaporándose por la llamada radiación de Hawking, una fuente de rayos X que escapa del horizonte

13.4. DESCRIPCIÓN TEÓRICA

179

La fórmula de Bekenstein-Hawking para la entropía de un agujero negro.

de sucesos. El legado que entrega Hawking en esta materia es de aquellos que, con poca frecuencia en física, son calificados de bellos. Entrega los elementos matemáticos para comprender que los agujeros negros tienen una entropía gravitacional intrínseca. Ello implica que la gravedad introduce un nivel adicional de impredictibilidad por sobre la incertidumbre cuántica. Parece, en función de la actual capacidad teórica, de observación y experimental, como si la naturaleza asumiera decisiones al azar o, en su efecto, alejadas de leyes precisas más generales. La hipótesis de que los agujeros negros contienen una entropía y que, además, ésta es finita, requiere para ser consecuente que tales agujeros emitan radiaciones térmicas, lo que al principio parece increíble. La explicación es que la radiación emitida escapa del agujero negro, de una región de la que el observador exterior no conoce más que su masa, su momento angular y su carga eléctrica. Eso significa que son igualmente probables todas las combinaciones o configuraciones de radiaciones de partículas que tengan energía, momento angular y carga eléctrica iguales. Son muchas las posibilidades de entes, si se quiere hasta de los más exóticos, que pueden ser emitidos por un agujero negro, pero ello corresponde a un número reducido de configuraciones. El número mayor de configuraciones corresponde con mucho a una emisión con un espectro que es casi térmico. Físicos como Jacob D. Bekenstein han relacionado a los agujeros negros y su entropía con la teoría de la información. El trabajos de Bekenstein sobre teoría de la información y agujeros negros sugirieron que la segunda ley seguiría siendo válida si se introducía una entropía generalizada (Sgen) que sumara a la entropía convencional (Sconv), la entropía atribuible a los agujeros negros que depende del área total (A) de agujeros negros en el universo. Concretamente esta entropía generalizada debe definirse como:

Sgen = Sconv +

c3 k A 4Gℏ

Donde, k es la constante de Boltzmann, c es la velocidad de la luz, G es la constante de gravitación universal y ℏ es la constante de Planck racionalizada, y A el área del horizonte de sucesos.

13.4.3

Deﬁnición de agujero negro

A pesar de que existen explicaciones intuitivas del comportamiento de un agujero negro, en cosmología teórica no existe una definición simple de qué constituye un agujero negro, y todos los teóricos trabajan con definiciones topológicas sofisticadas de qué constituye un agujero negro. De hecho en un espacio-tiempo compacto no hay una manera adecuada y

180

CAPÍTULO 13. AGUJERO NEGRO

general de definir qué condiciones debe cumplir una región para ser considerada un agujero negro. En espacio-tiempos no compactos se requieren algunas condiciones técnicas para decidir si una región es un agujero negro, así se dice que en un espacio-tiempo asintóticamente plano y predictible (que contiene una hipersuperficie de Cauchy que satisface ciertos requisitos), se dice que hay una región de agujero negro si el pasado causal de la hipersuperficie de tipo luz situada en el infinito futuro no contiene a todo el espacio-tiempo (eso significa que dicha hipersuperficie es inalcanzable desde algunos puntos del espacio tiempo, precisamente aquellos contenidos en el área de agujero negro). La frontera del pasado causal de la hipersuperficie de tipo luz futura es el horizonte de eventos.

13.4.4

¿Imposibilidad teórica de los agujeros negros?

Existen resultados matemáticos sólidos bajo los cuales una teoría métrica de la gravitación (como la relatividad general) predice la formación de agujeros negros. Estos resultados se conocen como teoremas de singularidades que predicen la ocurrencia de singularidades espaciotemporales (y si se acepta la hipótesis de censura cósmica, por tanto a la formación de agujeros negros). Las ecuaciones de campo de Einstein para la relatividad general admiten situaciones para las cuales se cumplen las condiciones de ocurrencia de singularidades y por tanto, los teoremas de singularidad muestran que los agujeros negros son posibles dentro de la relatividad general. Sin embargo, algunas teorías métricas alternativas como la teoría relativista de la gravitación, muy similar a la relatividad general en casi todos los aspectos y que también explica los hechos observados en el sistema solar y la expansión del universo, usa ecuaciones de campo ligeramente diferentes donde siempre se cumple que en ausencia local de materia y en virtud de las condiciones de causalidad de la teoría, para cualquier campo vectorial isótropo (vectores tipo luz) deﬁnido sobre el espacio-tiempo se cumple la desigualdad: Rµν v µ v ν ≤ 0 Esta condición implica que no se cumplirán las condiciones de los teoremas mencionados anteriormente y, por tanto, éstos no pueden ser aplicados para predecir la existencia de singularidades y por tanto agujeros negros.[7][8] Dado que los datos experimentales no permiten discernir cuál de las dos teorías (la de relatividad general de Einstein o la relativista de la gravitación de Logunov) es la correcta, pues ambas coinciden para la mayoría de los hechos observacionales bien comprobados, no puede darse por garantizado que los agujeros negros sean una consecuencia necesaria de la gravitación.

13.5 Los agujeros negros en la física actual Se explican los fenómenos físicos mediante dos teorías en cierto modo contrapuestas y basadas en principios incompatibles: la mecánica cuántica, que explica la naturaleza de «lo muy pequeño», donde predomina el caos y la estadística y admite casos de evolución temporal no determinista, y la relatividad general, que explica la naturaleza de «lo muy pesado» y que aﬁrma que en todo momento se puede saber con exactitud dónde está un cuerpo, siendo esta teoría totalmente determinista. Ambas teorías están experimentalmente conﬁrmadas pero, al intentar explicar la naturaleza de un agujero negro, es necesario discernir si se aplica la cuántica por ser algo muy pequeño o la relatividad por ser algo tan pesado. Está claro que hasta que no se disponga de una física más avanzada no se conseguirá explicar realmente la naturaleza de este fenómeno.

13.5.1

Descubrimientos recientes

En 1995 un equipo de investigadores de la UCLA dirigido por Andrea Ghez demostró mediante simulación por ordenadores la posibilidad de la existencia de agujeros negros supermasivos en el núcleo de las galaxias. Tras estos cálculos mediante el sistema de óptica adaptativa se veriﬁcó que algo deformaba los rayos de luz emitidos desde el centro de nuestra galaxia (la Vía Láctea). Tal deformación se debe a un invisible agujero negro supermasivo que ha sido denominado Sgr.A (o Sagittarius A). En 2007-2008 se iniciaron una serie de experimentos de interferometría a partir de medidas de radiotelescopios para medir el tamaño del agujero negro supermasivo en el centro de la Vía Láctea, al que se le calcula una masa 4'5 millones de veces mayor que la del Sol y una distancia de 26.000 años luz (unos 255.000 billones de km

13.5. LOS AGUJEROS NEGROS EN LA FÍSICA ACTUAL

181

Simulación del efecto lente gravitacional provocado por un agujero negro, que distorsiona la imagen de la galaxia al fondo.

respecto de la Tierra).[9] El agujero negro supermasivo del centro de nuestra galaxia actualmente sería poco activo ya que ha consumido gran parte de la materia bariónica, que se encuentra en la zona de su inmediato campo gravitatorio y emite grandes cantidades de radiación. Por su parte, la astrofísica Feryal Özel ha explicado algunas características probables en torno a un agujero negro: cualquier cosa, incluido el espacio vacío, que entre en la fuerza de marea provocada por un agujero negro se aceleraría a extremada velocidad como en un vórtice y todo el tiempo dentro del área de atracción de un agujero negro se dirigiría hacia el mismo agujero negro. En el presente se considera que, pese a la perspectiva destructiva que se tiene de los agujeros negros, éstos al condensar en torno a sí materia sirven en parte a la constitución de las galaxias y a la formación de nuevas estrellas. En junio de 2004 astrónomos descubrieron un agujero negro súper masivo, el Q0906+6930, en el centro de una galaxia distante a unos 12.700 millones de años luz. Esta observación indicó una rápida creación de agujeros negros súper masivos en el Universo joven. La formación de micro agujeros negros en los aceleradores de partículas ha sido informada,[10] pero no conﬁrmada. Por ahora, no hay candidatos observados para ser agujeros negros primordiales.

182

CAPÍTULO 13. AGUJERO NEGRO

El mayor Dejando a un lado los agujeros negros supermasivos que suelen estar en el núcleo de las galaxias y cuya masa son de millones de veces nuestro Sol, el mayor agujero negro de masa estelar conocido hasta la fecha, se descubrió el año 2007 y fue denominado IC 10 X-1. Está en la galaxia enana IC 10 situada en la constelación de Casiopea, a una distancia de 1,8 millones de años luz (17 billones de kilómetros) de la Tierra, con una masa de entre 24 y 33 veces la de nuestro Sol.[11] Posteriormente, en abril de 2008, la revista Nature publicó un estudio realizado en la Universidad de Turku (Finlandia). Según dicho estudio, un equipo de cientíﬁcos dirigido por Mauri Valtonen descubrió un sistema binario, un blazar, llamado OJ 287, en la constelación de Cáncer. Tal sistema parece estar constituido por un agujero negro menor que orbita en torno a otro mayor, siendo la masa del mayor de 18.000 millones de veces la de nuestro Sol, lo que lo convierte en el mayor agujero negro conocido. Se supone que en cada intervalo de rotación el agujero negro menor, que tiene una masa de 100 millones de soles, golpea la ergosfera del mayor dos veces, generándose un cuásar. Situado a 3500 millones de años luz de la Tierra,[12] está relativamente cerca de la Tierra para ser un cuásar.

El menor Sin contar los posibles microagujeros negros que casi siempre son efímeros al producirse a escalas subatómicas; macroscópicamente en abril de 2008 el equipo coordinado por Nikolai Saposhnikov y Lev Titarchuk ha identiﬁcado el más pequeño de los agujeros negros conocidos hasta la fecha; ha sido denominado J 1650, se ubica en la constelación Ara (o Altar) de la Vía Láctea (la misma galaxia de la cual forma parte la Tierra). J 1650 tiene una masa equivalente a 3,8 soles y tan solo 24 km de diámetro se habría formado por el colapso de una estrella; tales dimensiones estaban previstas por las ecuaciones de Einstein. Se considera que son prácticamente las dimensiones mínimas que puede tener un agujero negro ya que una estrella que colapsara y produjera un fenómeno de menor masa se transformaría en una estrella de neutrones. Se considera que pueden existir muchos más agujeros negros de dimensiones semejantes.

Chorros de plasma En abril de 2008 la revista Nature publicó un estudio realizado en la Universidad de Boston dirigido por Alan Marscher donde explica que chorros de plasma colimados parten de campos magnéticos ubicados cerca del borde de los agujeros negros. En zonas puntuales de tales campos magnéticos los chorros de plasma son orientados y acelerados a velocidades cercanas a c (velocidad de la luz), tal proceso es comparable a la aceleración de partículas para crear una corriente de chorro (jet) en un reactor. Cuando los chorros de plasma originados por un agujero negro son observables desde la Tierra tal tipo de agujero negro entra en la categoría de blazar. Que un agujero negro “emita” radiaciones parece una contradicción, sin embargo esto se explica: todo objeto (supóngase una estrella) que es atrapado por la gravitación de un agujero negro, antes de ser completamente “engullido”, antes de pasar tras el horizonte de sucesos, se encuentra tan fuertemente presionado por las fuerzas de marea del agujero negro en la zona de la ergosfera que una pequeña parte de su materia sale disparada a velocidades próximas a la de la luz (como cuando se aprieta fuertemente una naranja: parte del material de la naranja sale eyectado en forma de chorros de jugo, en el caso de los objetos atrapados por un agujero negro, parte de su masa sale disparada centrífugamente en forma de radiación fuera del campo gravitatorio de la singularidad).

13.5.2

Formación de estrellas por el inﬂujo de agujeros negros

Nuevas estrellas podrían formarse a partir de los discos elípticos en torno a agujeros negros; tales discos elípticos se producen por antiguas nubes de gas desintegradas previamente por los mismos agujeros negros; las estrellas producidas por condensación o acreción de tales discos elípticos al parecer tienen órbitas muy elípticas en torno a los agujeros negros supermasivos.

13.6. NOTA LINGÜÍSTICA

13.5.3

183

Radiación de Hawking

Hasta principios de 1970 se pensaba que los agujeros negros no emitían directamente ningún tipo de materia, y su destino último era seguir creciendo por la acreción de más y más materia. Sin embargo, una consideración de los efectos cuánticos en el horizonte de sucesos de un agujero llevó a Hawking a descubrir un proceso físico por el cual el agujero podría emitir radiación. De acuerdo con el principio de incertidumbre de la mecánica cuántica existe la posibilidad de que en el horizonte se formen pares de partícula-antipartícula de corta duración, dado que la probabilidad de que uno de los elementos del par caiga dentro del agujero de manera irreversible y el otro miembro del par escape, el principio de conservación requiere que el agujero disminuya su masa para compensar la energía que se lleva el par que escapa de los aledaños del horizonte de sucesos. Nótese que en este proceso el par se forma estrictamente en el exterior del agujero negro, por lo que no contradice el hecho de que ninguna partícula material puede abandonar el interior. Sin embargo, sí existe un efecto neto de transferencia de energía del agujero negro a sus aledaños, que es la radiación Hawking, cuya producción no viola ningún principio físico.

13.6 Nota lingüística En países como España o Argentina, donde se diferencia entre un hoyo (concavidad)[13] y un agujero (abertura)[1] debe usarse el término “agujero negro”. En los países como México o Chile donde hoyo y agujero son sinónimos,[14] también son sinónimos “hoyo negro” y “agujero negro”.[15]

13.7 Véase también • Agujero blanco • Agujero de gusano • Agujero negro de Kerr • Agujero negro de Kerr-Newman • Agujero negro de Reissner-Nordstrøm • Agujero negro de Schwarzschild • Diagrama de Penrose • Estrella de neutrones • Galaxia activa • Galaxia elíptica M87 • Historia del tiempo (libro de Hawking) • Magnetar • Microagujero negro • Objeto astronómico • Principio holográﬁco • Púlsar • Radiación de Hawking • Singularidad desnuda

184

CAPÍTULO 13. AGUJERO NEGRO

• Teoría de los universos fecundos • Paradoja de la pérdida de información en agujeros negros Personas • Karl Schwarzschild • Kip Thorne • Leonard Susskind • Stephen Hawking

13.8 Referencias [1] Diccionario de la Real Academia Española, agujero [2] Academia Chilena de la Lengua, Diccionario didáctico avanzado del español, hoyo, p. 484. «hoyo negro. Cuerpo celeste invisible de gran masa ...» [3] http://www.physics.hku.hk/~{}astro/harko_science.html [4]

• Hawking, S. W. & Ellis, G. F. R.: The Large Scale Structure of Space-time, Cambridge, Cambridge University Press, 1973, ISBN 0-521-09906-4.

[5] El Universal, Descubren hoyo negro más grande en el Universo conocido, 11/1/2008. [6]

• Hawking, S.: A Brief History of Time, London, Bantam Books, 1988, ISBN 0-553-17698-6.

[7] A. A. Logunov, 1998, p. 290 [8] Current Science, Sept. 1988, Vol. 57, No. 17 [9] «Radio interferometry measures the black hole at the Milky Way’s center». physics today 61 (11). 2008. pp.14-18. [10] BBC News, ed. (17 de marzo de 2005). «Lab fireball 'may be black hole'». Consultado el 25 de marzo. Parámetro desconocido |añoaccesso= ignorado (ayuda) [11] Massive Black Hole Smashes Record (Harvard-Smithsonian Center for Astrophysics) [12] Huge black hole tips the scales (BBC News, 10 de enero de 2008) [13] Diccionario de la Real Academia Española, hoyo [14] Academia Chilena de la Lengua, Diccionario didáctico avanzado del español, hoyo, p. 484. «1 En una superficie, esp. en la tierra, concavidad formada natural o artificialmente. 2 agujero o desgarro en un material» [15] Academia Chilena de la Lengua, Diccionario didáctico avanzado del español, hoyo, p. 484. «hoyo negro. [...] SINÓN. agujero negro.»

13.9 Bibliografía • Hawking, S. W. & Ellis, G. F. R.: The Large Scale Structure of Space-time, Cambridge, Cambridge University Press, 1973, ISBN 0-521-09906-4. • A. A. Logunov, 1998, Curso de Teoría de la Relatividad y de la gravitación, Universidad Estatatal de Lomonósov, Moscú, ISBN 5-88417-162-5. • Wald, R. M.: General the Relativity, (cap. 12 “Black Holes”), Chicago, The University of Chicago Press, 1984, ISBN 0-226-87032-4.

13.10. ENLACES EXTERNOS

13.10 Enlaces externos •

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Agujero negroCommons.

• Proyecto Celestia Vídeo educativo para entender los agujeros negros (vídeo nº 28). • Cientos de agujeros negros listos a devorar todo a su paso en nuestra galaxia • Cientíﬁcos ﬁnlandeses lograron calcular la masa del mayor agujero negro conocido en el espacio • Vídeo (en inglés) que simula la caída en un agujero negro • Vídeo de una conferencia de divulgación sobre Agujeros Negros por Enrique Fernández Borja

185

Capítulo 14

Teoría de cuerdas

¿Cómo son las interacciones en el mundo subatómico?: líneas espacio-tiempo como las partículas subatómicas. en el Modelo estándar (izquierda) o Cuerda cerrada sin extremos y en forma de círculo como aﬁrma la teoría de cuerdas (derecha).

La teoría de cuerdas es un modelo fundamental de física teórica que básicamente asume que las partículas materiales aparentemente puntuales son en realidad “estados vibracionales” de un objeto extendido más básico llamado “cuerda” o “ﬁlamento”.[1] De acuerdo con esta propuesta, un electrón no es un “punto” sin estructura interna y de dimensión cero, sino un amasijo de cuerdas minúsculas que vibran en un espacio-tiempo de más de cuatro dimensiones. Un punto no puede hacer nada más que moverse en un espacio tridimensional. De acuerdo con esta teoría, a nivel “microscópico” se percibiría que el electrón no es en realidad un punto, sino una cuerda en forma de lazo. Una cuerda puede hacer algo además de moverse; puede oscilar de diferentes maneras. Si oscila de cierta manera, entonces, macroscópicamente veríamos un electrón; pero si oscila de otra manera, entonces veríamos un fotón, o un quark, o cualquier otra partícula del modelo estándar. Esta teoría, ampliada con otras como la de las supercuerdas o la Teoría M, pretende alejarse de la concepción del punto-partícula. 186

14.1. DESARROLLOS POSTERIORES

187

La siguiente formulación de una teoría de cuerdas se debe a Jöel Scherk y John Henry Schwarz, que en 1974 publicaron un artículo en el que mostraban que una teoría basada en objetos unidimensionales o “cuerdas” en lugar de partículas puntuales podía describir la fuerza gravitatoria. Aunque estas ideas no recibieron en ese momento mucha atención hasta la Primera revolución de supercuerdas de 1984. De acuerdo con la formulación de la teoría de cuerdas surgida de esta revolución, las teorías de cuerdas pueden considerarse de hecho un caso general de teoría de Kaluza-Klein cuantizada. Las ideas fundamentales son dos: • Los objetos básicos de la teoría no serían partículas puntuales sino objetos unidimensionales extendidos (en las cinco teorías de cuerdas convencionales estos objetos eran unidimensionales o “cuerdas"; actualmente en la teoríaM se admiten también de dimensión superior o “p-branas”). Esto renormaliza algunos infinitos de los cálculos perturbativos. • El espacio-tiempo en el que se mueven las cuerdas y p-branas de la teoría no sería el espacio-tiempo ordinario de 4 dimensiones sino un espacio de tipo Kaluza-Klein, en el que a las cuatro dimensiones convencionales se añaden 6 dimensiones compactificadas en forma de variedad de Calabi-Yau. Por tanto convencionalmente en la teoría de cuerdas existe 1 dimensión temporal, 3 dimensiones espaciales ordinarias y 7 dimensiones compactificadas e inobservables en la práctica. La inobservabilidad de las dimensiones adicionales está ligada al hecho de que éstas estarían compactificadas, y sólo serían relevantes a escalas pequeñas comparables con la longitud de Planck. Igualmente, con la precisión de medida convencional las cuerdas cerradas con una longitud similar a la longitud de Planck se asemejarían a partículas puntuales.

14.1 Desarrollos posteriores Tras la introducción de las teorías de cuerdas, se consideró la conveniencia de introducir el principio de que la teoría fuera supersimétrica; es decir, que admitiera una simetría abstracta que relacionara fermiones y bosones. Actualmente la mayoría de teóricos de cuerdas trabajan en teorías supersimétricas; de ahí que la teoría de cuerdas actualmente se llame teoría de supercuerdas. Esta última teoría es básicamente una teoría de cuerdas supersimétrica; es decir, que es invariante bajo transformaciones de supersimetría. Actualmente existen cinco teorías de supercuerdas relacionadas con los cinco modos que se conocen de implementar la supersimetría en el modelo de cuerdas. Aunque dicha multiplicidad de teorías desconcertó a los especialistas durante más de una década, el saber convencional actual sugiere que las cinco teorías son casos límites de una teoría única sobre un espacio de 11 dimensiones (las 3 del espacio, 1 temporal y 6 adicionales resabiadas o “compactadas” y 1 que las engloba formando “membranas” de las cuales se podría escapar parte de la gravedad de ellas en forma de "gravitones"). Esta teoría única, llamada teoría M, de la que sólo se conocerían algunos aspectos, fue conjeturada en 1995.

14.2 Variantes de la teoría La teoría de supercuerdas es algo actual. En sus principios (mediados de los años 1980) aparecieron unas cinco teorías de cuerdas, las cuales después fueron identiﬁcadas como límites particulares de una sola teoría: la teoría M. Las cinco versiones de la teoría actualmente existentes, entre las que pueden establecerse varias relaciones de dualidad son: 1. La Teoría de cuerdas de Tipo I, donde aparecen tanto “cuerdas” y D-branas abiertas como cerradas, que se mueven sobre un espacio-tiempo de 10 dimensiones. Las D-branas tienen 1, 5 y 9 dimensiones espaciales. 2. La Teoría de cuerdas de Tipo IIA, es también una teoría de 10 dimensiones pero que emplea sólo cuerdas y D-branas cerradas. Incorpora los gravitones (partículas teóricas asociadas al gravitón mediante relaciones de supersimetría). Usa D-branas de dimensión 0, 2, 4, 6, y 8. 3. La Teoría de cuerdas de Tipo IIB. Diﬁere de la teoría de tipo IIA principalmente en el hecho de que esta última es no quiral (conservando la paridad).

188

CAPÍTULO 14. TEORÍA DE CUERDAS

4. La Teoría de cuerda heterótica SO(32) (Heterótica-O), basada en el grupo de simetría O(32). 5. La Teoría de cuerda heterótica E8xE8 (Heterótica-E), basada en el grupo de Lie excepcional E8 . Fue propuesta en 1987 por Gross, Harvey, Martinec y Rohm. El término teoría de cuerda se reﬁere en realidad a las teorías de cuerdas bosónicas de 26 dimensiones y la teoría de supercuerdas de 10 dimensiones, esta última descubierta al añadir supersimetría a la teoría de cuerdas bosónica. Hoy en día la teoría de cuerdas se suele referir a la variante supersimétrica, mientras que la antigua se conoce por el nombre completo de “teoría de cuerdas bosónicas”. En 1995, Edward Witten conjeturó que las cinco diferentes teorías de supercuerdas son casos límite de una desconocida teoría de 11 dimensiones llamada Teoría-M. La conferencia donde Witten mostró algunos de sus resultados inició la llamada Segunda revolución de supercuerdas. En esta teoría M intervienen como objetos animados físicos fundamentales no sólo cuerdas unidimensionales, sino toda una variedad de objetos no perturbativos, extendidos en varias dimensiones, que se llaman colectivamente p-branas (este nombre es una aféresis de “membrana”).

14.3 Controversia sobre la teoría Aunque la teoría de cuerdas, según sus defensores, pudiera llegar a convertirse en una de las teorías físicas más predictivas, capaz de explicar algunas de las propiedades más fundamentales de la naturaleza en términos geométricos, los físicos que han trabajado en ese campo hasta la fecha no han podido hacer predicciones concretas con la precisión necesaria para confrontarlas con datos experimentales. Dichos problemas de predicción se deberían, según el autor, a que el modelo no es falsable, y por tanto, no es cientíﬁco,[2] o bien a que «La teoría de las supercuerdas es tan ambiciosa que sólo puede ser del todo correcta o del todo equivocada. El único problema es que sus matemáticas son tan nuevas y tan difíciles que durante varias décadas no sabremos cuáles son».[3] si los teóricos de cuerdas se equivocan, no pueden equivocarse sólo un poco. Si las nuevas dimensiones y las simestrías no existen, consideraremos a los teóricos de cuerdas unos de los mayores fracasados de la ciencia (...). Su historia constituirá una leyenda moral de cómo no hacer ciencia, de cómo no permitir que se sobrepasen tanto los límites, hasta el punto de convertir la conjetura teórica en fantasía Lee Smolin[4]

14.3.1

Falsacionismo y teoría de cuerdas

La teoría de cuerdas o la Teoría M podrían no ser falsables, según sus críticos.[5][6][7][8][9] Diversos autores han declarado su preocupación de que la Teoría de cuerdas no sea falsable y como tal, siguiendo las tesis del filósofo de la ciencia Karl Popper, la Teoría de cuerdas sería equivalente a una pseudociencia.[10][11][12][13][14][15] El filósofo de la ciencia Mario Bunge ha manifestado recientemente: • La consistencia, la sofisticación y la belleza nunca son suficientes en la investigación científica. • La Teoría de cuerdas es sospechosa (de pseudociencia). Parece científica porque aborda un problema abierto que es a la vez importante y difícil, el de construir una teoría cuántica de la gravitación. Pero la teoría postula que el espacio físico tiene seis o siete dimensiones, en lugar de tres, simplemente para asegurarse consistencia matemática. Puesto que estas dimensiones extra son inobservables, y puesto que la teoría se ha resistido a la confirmación experimental durante más de tres décadas, parece ciencia ficción, o al menos, ciencia fallida. • La física de partículas está inflada con sofisticadas teorías matemáticas que postulan la existencia de entidades extrañas que no interactúan de forma apreciable, o para nada en absoluto, con la materia ordinaria, y como consecuencia, quedan a salvo al ser indetectables. Puesto que estas teorías se encuentran en discrepancia con el conjunto de la Física, y violan el requerimiento de falsacionismo, pueden calificarse de pseudocientíficas, incluso aunque lleven pululando un cuarto de siglo y se sigan publicando

14.4. VÉASE TAMBIÉN

189

en las revistas cientíﬁcas más prestigiosas. Mario Bunge, 2006.[9]

14.3.2

Impacto de la promoción de la teoría en el mundo académico

Smoolin indica que la teoría de cuerdas se ha convertido en el principal camino de exploración de las grandes cuestiones de la física debido a una agresiva promoción, considerando que resulta prácticamente un "suicidio profesional" para cualquier joven físico teórico no ingresar en sus ﬁlas. Expone además que a pesar de la escasa inversión en [...] otros campos de investigación, algunos de ellos han avanzado más que el de la teoría de cuerdas.[4]

14.4 Véase también • Correspondencia AdS/CFT • El universo elegante • Primera revolución de supercuerdas, Segunda revolución de supercuerdas • Teoría M, Introducción a la Teoría M • • Una teoría del todo excepcionalmente simple • • • Dualidad-T, Dualidad-S, Dualidad-U

14.5 Referencias [1] Greene, Brian (2005). «Brian Greene: Making sense of string theory». TED.com (en inglés). [2] Sheldon Glashow, Interactions, Warner Books, New York, 1988, p. 355 [3] Sheldon Glashow en The Superworld I, ed. A. Zichichi, Plenum, New York, 1990, p. 250 [4] Smolin, Lee (2007). Las dudas de la física en el siglo XXI : ¿Es la teoría de cuerdas un callejón sin salida?. Barcelona: Crítica. ISBN 8484329410. [5] Smolin, Lee. Mariner Books, 2007. The trouble with Physics. ISBN 0-618-91868-X [6] Woit, Peter. Basic Books, 2007. Not even wrong. ISBN 0-465-09276-4 [7] Sheldon Glashow & Paul Ginsparg, “Desperately Seeking Superstrings”, Physics Today, mayo de 1986, p.7. [8] Howard Georgi, en The New Physics,ed. Paul Davies, Cambridge University Press, Cambridge, 1989, p. 446 [9] Mario Bunge. Skeptical Inquirer (julio a agosto de 2006). [10] Peter Woit’s Not Even Wrong weblog [11] P. Woit (Columbia University) String theory: An Evaluation, Feb 2001, e-Print: physics/0102051 [12] P. Woit, Is String Theory Testable? INFN Rome March 2007 [13] Lee Smolin’s The Trouble With Physics webpage

190

CAPÍTULO 14. TEORÍA DE CUERDAS

[14] The Trouble With String Theory. [15] The Great String debate. Wisecracks ﬂy when Brian Greene and Lawrence Krauss tangle over string theory.

14. http://www.nature.com/news/simulations-back-up-theory-that-universe-is-a-hologram-1.14328

14.5.1

Bibliografía de divulgación

• Brian R. Green: The elegant universe, 1999 [existe una edición española, El universo elegante, Ed. Crítica, Drakontos, ISBN 84-8432-781-7, 2006]. • Teoría de supercuerdas en Astrocosmo • Michio Kaku - “Parallel Worlds” , 2005 ,Doubleday

14.5.2

Artículos sobre teoría de cuerdas

• On QCD String Theory and AdS Dynamics • Status of Superstring and M-Theory

14.6 Enlaces externos • Epsilones - Las muchas dimensiones del mundo físico • El universo elegante - sinopsis de la editorial • Documental El universo Elegante, la teoría de cuerdas (en tres partes) • Entrevista a Leonard Susskind (revista Suspiria) • Conferencia de Brian Greene en TED • posible prueba empírica de la teoría de cuerdas

14.6. ENLACES EXTERNOS

191

Capítulo 15

Espacio-tiempo

Analogía bidimensional de la distorsión del espacio-tiempo debido a un objeto de gran masa.

El espacio-tiempo es el modelo matemático que combina el espacio y el tiempo en un único continuo como dos conceptos inseparablemente relacionados. En él se desarrollan todos los eventos físicos del Universo, de acuerdo con la teoría de la relatividad y otras teorías físicas. Esta concepción del espacio y el tiempo es uno de los avances más importantes del siglo XX en el campo de la física y de la ﬁlosofía. El nombre alude a la necesidad de considerar uniﬁcadamente la localización geométrica en el espacio y el tiempo, ya que la diferencia entre componentes espaciales y temporales es relativa según el estado de movimiento del observador. De este modo, se habla de continuo espacio-temporal. Debido a que el universo tiene tres dimensiones espaciales físicas observables, es usual referirse al tiempo como la “cuarta dimensión” y al espacio-tiempo como “espacio de cuatro dimensiones” para enfatizar la inevitabilidad de considerar el tiempo como una dimensión geométrica más. La expresión espacio-tiempo ha devenido de uso corriente a partir de la teoría de la relatividad especial formulada por Einstein en 1905.

15.1 Introducción En general, un evento especíﬁco puede ser descrito por una o más coordenadas espaciales y una temporal. Por ejemplo, para identiﬁcar de manera única un accidente automovilístico, se pueden dar el punto kilométrico donde ocurrió (una coordenada espacial), y cuándo ocurrió (una coordenada temporal). En el espacio tridimensional, se requieren tres 192

15.2. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS DEL ESPACIO-TIEMPO

193

coordenadas espaciales. Así un modelo simple de espacio tiempo es el espacio de Minkowski: M = {(t, x, y, z)|(t, x, y, z) ∈ R4 } donde t es la coordenada temporal medida por un cierto observador, y x, y, z las coordenadas cartesianas espaciales medidas por el mismo observador. En la visión tradicional en la cual se basa la mecánica clásica, cuyos principios fundamentales fueron establecidos por Newton, es que el tiempo es una coordenada independiente de las coordenadas espaciales y es una magnitud idéntica para cualquier observador. Esto difiere del tratamiento de Minkowski donde las coordenadas medidas por otro observador diferente (t′ , x′ , y ′ , z ′ ) difieren de las medidas por el primer observador (t, x, y, z) de una manera tal que en general t ̸= t′ (la transformación que permite relacionar las coordenadas de dos observadores diferentes en el espacio de Minkowski se llaman transformaciones de Lorentz). La incorrección de la mecánica newtoniana, especialmente visible a velocidades comparables con la velocidad de la luz, fueron establecidas detectadas tanto en resultados como el experimento de Michelson y Morley, como en las ecuaciones de Maxwell para la electrodinámica, sugerían, a principios del siglo XX, que la velocidad de la luz es constante, independiente de la velocidad del emisor u observador, en contradicción con lo postulado por la mecánica clásica. La constancia de la velocidad de la luz es una consecuencia del carácter relativo de la distancia y el tiempo, de tal manera que dos observadores medirán tiempos diferentes entre dos eventos si uno está moviéndose respecto al otro (usualmente esa diferencia es muy pequeña, imperceptible con medios convencionales, pero detectable mediante relojes atómicos de alta precisión). Einstein propuso como solución a este y otros problemas de la mecánica clásica considerar como postulado la constancia de la velocidad de la luz, y prescindir de la noción del tiempo como una coordenada independiente del observador. En la Teoría de la Relatividad, espacio y tiempo tienen carácter relativo o convencional, dependiendo del estado de movimiento del observador. Eso se refleja por ejemplo en que las transformaciones de coordenadas entre observadores inerciales (las Transformaciones de Lorentz), involucran una combinación de las coordenadas espaciales y temporal. El mismo hecho se refleja en la medición de un campo electromagnético, que está formado por una parte eléctrica y otra parte magnética, pues dependiendo del estado de movimiento del observador el campo electromagnético es visto de diferente manera entre su parte magnética y eléctrica por diferentes observadores en movimiento relativo. La expresión espacio-tiempo recoge entonces la noción de que el espacio y el tiempo ya no pueden ser consideradas entidades independientes o absolutas. Las consecuencias de esta relatividad del tiempo han tenido diversas comprobaciones experimentales. Una de ellas se realizó utilizando dos relojes atómicos de elevada precisión, inicialmente sincronizados, uno de los cuales se mantuvo fijo mientras que el otro fue transportado en un avión. Al regresar del viaje se constató que mostraban una leve diferencia de 184 nanosegundos, habiendo transcurrido “el tiempo” más lentamente para el reloj en movimiento.[1]

15.2 Propiedades geométricas del espacio-tiempo 15.2.1

Métrica

En la teoría de la relatividad general el espacio-tiempo se modeliza como un par (M, g) donde M es una variedad diferenciable semiriemanniana también conocida banda lorentziana y g es un tensor métrico de signatura (3,1). Fijado un sistema de coordenadas (x0 , x1 , x2 , x3 , ) para una región del espacio-tiempo el tensor métrico se puede expresar como:

∑n

i,j=1 gij

dxi ⊗ dxj

Y para todo punto del espacio-tiempo existe un observador galileano tal que en ese punto el tensor métrico tiene las siguientes componentes:

194

CAPÍTULO 15. ESPACIO-TIEMPO

(gij )3i,j=0

 g00 g10  = g20 g30

g01 g11 g21 g31

  g03 −1  g13  +1 = g23   g33

g02 g12 g22 g32

 +1

   +1

En ausencia de campo gravitatorio existe un sistema de coordenadas tal que el tensor tiene la forma anterior para todos los puntos del espacio tiempo simultáneamente. Pero si existe un campo gravitatorio eso no es posible y ﬁjado cualquier sistema de coordenadas natural el tensor inevitablemente diferirá de un punto a otro, y el tensor de curvatura asociado a la métrica será no nulo, lo cual es percibido como un campo gravitatorio por el observador.

15.2.2

Contenido material del espacio-tiempo

El contenido material de dicho universo viene dado por el tensor energía-impulso que puede ser calculado directamente a partir de magnitudes geométricas derivadas del tensor métrico. Las ecuaciones escritas componente a componente relacionan el tensor energía impulso con el tensor de curvatura de Ricci y las componentes del propio tensor métrico: Tik =

c4 8πG

[

Rik −

(

gik R 2

)

] + Λgik

La ecuación anterior expresa que el contenido material determina la curvatura del espacio-tiempo.

15.2.3

Movimiento de las partículas

Una partícula puntual que se mueve a través del espacio-tiempo seguirá una línea geodésica que son la generalización de las curvas de mínima longitud en un espacio curvado. Estas líneas vienen dadas por la ecuación: d2 xµ dt2

∑

σ,ν

Γµσν dx dt

dxν dt

Donde los símbolos de Christoﬀel Γ se calculan a partir de las derivadas del tensor métrico g y el tensor inverso del tensor métrico:

( Γk,ij :=

∂gkj ∂gik ∂gij + − ∂xi ∂xj ∂xk

) Γkij :=

n ∑

g kp Γp,ij

p=1

g ik gkj = gjk g ki = δji Si además existiese alguna fuerza debida a la acción del campo electromagnético, la trayectoria de la partícula vendría dada por: d2 xµ dτ 2

Donde: e : Fρµ :

∑

σ,ν

Γµσν dx dτ

dxν dτ

= eFρµ dx dτ

carga eléctrica de la partícula. el tensor de campo electromagnético: √ τ = t 1 − v 2 /c2

: el tiempo propio de la partícula.

• Intervalo, principio de invarianza del intervalo

15.3. EJEMPLOS DE DIFERENTES CLASES DE ESPACIO-TIEMPO

15.2.4

195

Homogeneidad, isotropía y grupos de simetrías

Ciertos espacios-tiempo admiten grupos isometría no triviales. Por ejemplo el espacio-tiempo de Minkowski, usado en la relatividad especial, tiene un grupo de isometría llamado grupo de Poincaré que es un grupo de Lie de dimensión diez. Normalmente los espacios-tiempo tienen grupos de isometría mucho menores, es decir, de dimensionalidad menor. Una propiedad interesante es que si un espacio-tiempo admite un grupo de isometrías continuo, formado por un grupo de Lie de dimensión n entonces existen n campos vectoriales, llamados campo vectorial de Killing X (a) que satisfacen las siguientes propiedades: (a)

(a)

∇α Xβ + ∇β Xα = 0

LX (a) gαβ

Donde ∇α representa la derivada covariante y LX (a) la derivada de Lie según uno de esos vectores de Killing. Relacionado con lo anterior están las relaciones de isotropía y homogeneidad. Un espacio tiempo presenta isotropía general en alguno de sus puntos si existe un subgrupo de su grupo de isometría, que es homeomorfo a SO(3) y deja invariante dicho punto. Otra propiedad interesante es cuando el grupo de simetría incluye un subgrupo homeomorfo a R3 que afecta a las coordenadas espaciales, en ese caso el espacio-tiempo resulta ser homogéneo.

15.2.5

Topología

La topología del espacio tiempo tiene que ver con la estructura causal del mismo. Por ejemplo es interesante conocer SI en un espacio-tiempo: • Existe la curva temporal cerrada; ese tipo de ocurrencia permitiría a una partícula influir en su propio pasado. Algunas soluciones exactas de las ecuaciones de Einstein como el Universo de Gödel, que describe un universo lleno de un fluido perfecto en rotación, permiten dichas curvas temporales cerradas (véase curva cerrada de tipo tiempo). • Existen hipersuperficies de Cauchy, lo cual permite, en principio, conocido el estado del sistema sobre una de estas superficies, conocer el estado en un instante futuro. Siempre y cuando los efectos cuánticos tengan efectos limitados, la existencia de hipersuperficies comporta la evolución determinista. • Existen geodésicas incompletas, lo cual está relacionado con la ocurrencia de singularidades espaciotemporales.

15.3 Ejemplos de diferentes clases de espacio-tiempo 15.3.1

El espacio-tiempo relativista de Minkowski

El espacio-tiempo de Minkowski es el caso más sencillo de espacio-tiempo relativista. Físicamente es un espacio de cuatro dimensiones plano, en que las líneas de curvatura mínima o geodésicas son líneas rectas. Por lo que una partícula sobre la que no actúe ninguna fuerza se moverá a lo largo de una de estas líneas rectas geodésicas. El espacio de Minkowski sirve de base para descripción de todos los fenómenos físicos según la descripción que de ellos da la teoría especial de la relatividad. Además cuando se consideran pequeñas regiones de un espacio-tiempo general, donde las variaciones de curvatura son pequeñas, se hace servir el modelo de espacio-tiempo de Minkowski para hacer algunos de los cálculos, sin que se cometan errores grandes. Matemáticamente está formado por una variedad de cuatro dimensiones que es homeomorfa, es decir, identiﬁcable topológicamente con R4 . Sobre esta variedad se deﬁne una métrica pseudoriemanniana de signatura (1,3) que la convierte en un espacio pseudoeuclídeo de curvatura idénticamente nula. En esta variedad el de isometrias maximal coincide con el grupo de Poincaré.

196

CAPÍTULO 15. ESPACIO-TIEMPO

15.4 El universo de Einstein: gravitación y geometría La aproximación de Einstein al tema de la gravitación se apoya en varias intuiciones y en diversas sugerencias que se desprenden no sólo de su propia construcción de la teoría de la relatividad especial sino de la forma en que la interpretaron otros físicos y muy en particular Minkowski.

15.4.1

¿Cuáles son estas intuiciones y sugerencias?

En primer lugar la constatación de que resulta imposible distinguir entre un sistema de referencia acelerado y un sistema de referencia sometida a una fuerza gravitacional. En segundo lugar que de esta indistinguibilidad, y de las consecuencias de todo tipo que ello comporta, se inﬁere la igualdad entre inercia y gravitación. En tercer lugar que, de acuerdo con su interpretación de las transformaciones de Lorentz, espacio y tiempo dejan de ser entidades separadas para aparecer interconectados. En cuarto lugar que esta interconexión obligará a abandonar, como escenario en el que los fenómenos físicos se despliegan, el espacio y el tiempo como entidades separadas para sustituirlos por una entidad única a la que se denominará espacio-tiempo. Cobran, así, toda su validez las palabras de Minkowski: Las visiones del espacio y el tiempo que quiero presentarles han emergido del sustrato de la física experimental, y en ello reside su fuerza. Son radicales. A partir de ahora el espacio por sí mismo, y el tiempo por sí mismo están condenados a desaparecer como meras sombras y sólo una cierta unión de ambos preservará una realidad independiente. En quinto lugar que la gravitación afecta al espacio-tiempo de cada “lugar” y le dicta como curvarse. Por último que, al ser el movimiento bajo la acción de un campo gravitacional independiente de la masa del objeto móvil, es lícito pensar que ese movimiento viene ligado al “lugar” y que las trayectorias líneas geodésicas vienen marcadas por la estructura del tejido espacio-temporal en el que deslizan. La fuerza gravitacional acabaría, así, convirtiéndose en una manifestación de la curvatura del espacio-tiempo del que habla Minkowski. De ahí se deduce que en este esquema no hay acción a distancia ni misteriosas tendencias a moverse hacia extraños centros, tampoco espacios absolutos que contienen a, o tiempos absolutos que discurran al margen de, la materia. La masa le dice al espacio-tiempo como curvarse y éste le dicta a la masa cómo moverse. Es el contenido material quien crea el espacio y el tiempo.

15.4.2

El espacio-tiempo curvo de la relatividad general

Un espacio-tiempo curvo es una variedad lorentziana cuyo tensor de curvatura de Ricci es relacionable es una solución de las ecuaciones de campo de Einstein para un tensor de energía-impulso físicamente razonable. Se conocen centenares de soluciones de ese tipo. Algunos de los ejemplos más conocidos, son los más interesantes físicamente y también son las primeras soluciones obtenidas, representan espacios-tiempo con un alto grado de simetría como: • Espacio tiempo de Schwarszchild, que viene dado por la llamada métrica de Schwarzschild representa la forma del espacio tiempo alrededor de un cuerpo esférico, y puede ser una buena aproximación al campo solar de una estrella que gira muy lentamente alrededor de sí misma. • Modelos de Big-Bang, que vienen dados en general por métricas de tipo Friedman-Lemaître-Robertson-Walker y que describen un universo en expansión, que según su densidad inicial puede llegar a recolapsar.

15.4.3

El espacio-tiempo de la física prerrelativista

El matemático Roger Penrose basándose en las propiedades básicas y supuestos teóricos de diversas teorías físicas prerrelativistas ha propuesto que para cada una de ellas puede deﬁnirse un marco geométrico adecuado que da cuenta de como se produce el movimiento de partículas según estas teorías.[2] Así tanto los supuestos habituales de la física aristotélica, como el principio de relatividad de Galileo implicarían implícitamente en sí mismos una determinada estructura geométrica para el conjunto de sucesos. Las estructuras que Penrose propone para estas diversas teorías prerrelativistas son:

15.5. GENERALIZACIONES

197

• Espacio-tiempo de la física aristotélica, donde el supuesto de que tanto el tiempo como la velocidad son absolutos conduce a que los sucesos tienen estructura intuitiva de espacio producto E1 × E3 . • Espacio-tiempo galileano, aunque el tiempo sigue siendo absoluto en la física galileana se impone el principio de relatividad según el cual dos observadores que se mueven alejan uno de otro a velocidad uniforme no podrían determinar sin verse si se están alejando uno de otro. Penrose explica que esta característica puede representarse geométricamente de nuevo por un espacio-tiempo fibrado, aunque el principio de relatividad implica que la velocidad no es absoluta y, por tanto, no pueden identificarse simplemente los puntos de diferentes fibras. Es decir, el espacio-tiempo galileano, designado como G sería un fibrado no trivial G = E1 × E3 , donde el espacio base sería el espacio euclídeo E1 que representa el tiempo y cada fibra es un espacio tridimensional convencional E3 . • Espacio-tiempo newtoniano, en esta construcción propuesta originalmente por Élie Cartan a principios del siglo XX, el espacio-tiempo adecuado para describir la mecánica newtoniana incluyendo la descripción del campo gravitatorio, sigue siendo un fibrado no trivial con espacio base E1 para representar el tiempo y fibra dada por un espacio euclídeo tridimensional. La diferencia está en que ahora algunas trayectorias curvas representan movimientos inerciales de acuerdo con el principio de equivalencia, y por tanto se requiere algún tipo de estructura diferenciable para decidir qué líneas curvas corresponden a esos movimientos inerciales. La conexión que define esta estructura diferenciable debe escogerse de tal manera que la traza del tensor de Ricci coincida con la constante 4πGρ . Cuando el campo gravitatorio es constante entonces el espacio-tiempo Newtoniano es homeomorfo al espacio-tiempo galileano.

15.5 Generalizaciones 15.5.1

Hiperespacio

La teoría general de la relatividad introdujo una interpretación geométrica del fenómeno físico de la gravedad, introduciendo una nueva dimensión física temporal y considerando curvaturas que afectaban a ésta y las demás dimensiones temporales. Esta idea interesante ha sido utilizada en diversas teorías físicas prometedoras que han recurrido formalmente a la introducción de nuevas dimensiones formales para dar cuenta de fenómenos físicos. Así Kaluza y Klein trataron de crear una teoría uniﬁcada (clásica) de la gravedad y del electromagnetismo, introduciendo una dimensión adicional. En esta teoría la carga podía relacionarse con la quinta componente de la “pentavelocidad” de la partícula, y otra serie de cuestiones interesantes. El enfoque de varias teorías de supercuerdas es aún más ambicioso y se han empleado esquemas inspirados remotamente en la ideas de Einstein, Kaluza y Klein que llegan a emplear hasta diez y once dimensiones, de las cuales seis o siete estarían compactiﬁcadas y no serían detectables más que indirectamente.

15.6 Véase también • Anexo:Glosario de relatividad • Cronotopo

15.7 Referencias [1] Hafele, J.; Keating, R. (14 de julio de 1972). «Around the world atomic clocks:predicted relativistic time gains». Science 177 (4044): 166–168. doi:10.1126/science.177.4044.166. Consultado el 2006-09-18. [2] Roger Penrose, Camino de la realidad, p. 527-543.

198

15.8 Enlaces externos • El espacio-tiempo y las ecuaciones de Einstein, Ciencia Hoy • Gráﬁcos espacio-tiempo, Cosmo Educa, IAC • Las dimensiones del espacio

CAPÍTULO 15. ESPACIO-TIEMPO

199

200

Capítulo 16

Portal:Cosmología

CAPÍTULO 16. PORTAL:COSMOLOGÍA

201

Capítulo 17

Anexo:Glosario de relatividad Este artículo contiene un glosario de términos comúnmente usados en teoría de la relatividad. Se deﬁnen algunos de los términos brevemente y se enlaza a un artículo más amplio si éste existe.

17.1 A • agujero negro: región ﬁnita de un espacio-tiempo asintóticamente plano de donde ninguna geodésica lumínica o temporal puede emerger. Físicamente se interpreta como un lugar en el que el campo gravitatorio es intenso y ha distorsionado tanto la geometría del cronotopo (espacio-tiempo), que ningún objeto material puede escapar de dicha región, aunque sí (según descubrimientos desde ﬁnes del siglo XX) parece escapar energía. • acronal: ver conjunto acronal.

17.2 B • boost: tipo particular de transformación de Lorentz que permite relacionar las medidas de dos observadores que se mueven con cierta velocidad relativa uno respecto a otro.

17.3 C • conjunto acronal: un conjunto es acronal si no interseca al conjunto de sus eventos futuros, es decir, si cualesquiera puntos dentro del conjunto no pueden ser unidos por una curva causal. • cono de luz: dado un punto del espacio-tiempo, subconjunto de vectores del espacio tangente en ese punto tales que el producto escalar consigo mismo es nulo. El cono de luz está formado por vectores isótropos. • contravariancia: tipo de invariancia de forma que presentan ciertos tensores, en particular los vectores tangentes del espacio-tiempo. • covariancia: tipo de invariancia de forma que presentan ciertos tensores, en particular las 1-formas o vectores cotangentes del espacio-tiempo. • cuadrivector: elemento del espacio vectorial tangente al espacio-tiempo. La velocidad, el momentum y la fuerza se representan en relatividad general como cuadrivectores (aunque también admiten una representación equivalente como 1-formas). 202

17.4. D

203

• cuadrivelocidad: cuadrivector que es tangente en cada punto a la trayectoria de una partícula (o más generalmente a una congruencia de curvas temporales). • curva causal: curva tal que en cualquiera de sus puntos su vector tangente es un vector temporal o un vector isótropo. • curva temporal: curva tal que en cualquiera de sus puntos su vector tangente es un vector temporal. • curvatura escalar: es una generalización de la curvatura gaussiana por ser una cantidad escalar invariante desempeña un papel importante en la formulación lagrangiana de la teoría de la relatividad.

17.4 D • derivada covariante: es un operador diferencial que generaliza la derivada direccional de una magnitud tensorial a lo largo de una dirección tangente curva contenida en el espacio-tiempo curvo. Aumenta la valencia de un tensor en (+1,0). • Domino de dependencia: dado un conjunto cerrado acronal S se deﬁne el conjunto de dependencia futura D+ (S) como el conjunto de puntos p tal que toda curva causal a través de p, que esté dirigida hacia el pasado y sea inextendible, interseca a S. Análogamente el dominio de dependecia pasado D− (S) está formado por todos los puntos tales que toda una curva causal inextendible y dirigida hacia el futuro que los atraviesa necesariamente interecta S. Intuitivamente el dominio de dependencia (futuro) es el conjunto de puntos cuyo pasado está completamente determinado por los eventos contenidos en S.

17.5 E • evento: un punto cualquiera del espacio-tiempo. • espacial: ver curva espacial e hipersuperficie espacial. • espacio-tiempo (o, cronotopo), matemáticamente el espacio-tiempo se trata como la variedad pseudoriemanniana que define la geometría de un universo, físicamente el espacio-tiempo es el conjunto de todos los eventos posibles en un universo. • espacio-tiempo estático: es un espacio-tiempo estacionario donde además, las componentes g0α se anulan idénticamente. En un espacio-tiempo estacionario puede definirse un tiempo universal (física) y permite la sincronización de relojes en cualquier punto. • espacio-tiempo estacionario: es un espacio-tiempo donde puede encontrarse un sistema de coordenadas naturales en la que ninguna de las componentes del tensor métrico dependa de la coordenada temporal. • estacionario: ver métrica estacionaria o espacio-tiempo estacionario. • estático: ver métrica estática o espacio-tiempo estático. • espacio de Minkowski: variedad pseudoriemanniana de curvatura nula, asimilable a R4 con el tensor métrico adecuado.

17.6 F • futuro (causal) de M: conjunto de puntos del espacio-tiempo que pueden ser alcanzados mediante una curva causal desde algún punto de M, se designa mediante J + (M ) . • futuro cronológico de M: conjunto de puntos del espacio-tiempo que pueden ser alcanzados mediante una curva temporal desde algún punto de M, se designa mediante I + (M ) , es un subconjunto del futuro causal de M.

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CAPÍTULO 17. ANEXO:GLOSARIO DE RELATIVIDAD

• fotón: partícula material sin masa que se mueve a la velocidad de la luz. • fuerza de marea,

17.7 G • geodésica: curva continua y diferenciable cuyo vector tangente transportado paralelamente a lo largo de la curva sigue siendo tangente a la misma, intuitivamente son las líneas más “rectas” posibles dentro de un espacio-tiempo curvado. • geodésica temporal: es una curva temporal que además es geodésica. • geodésica espacial: es una curva espacial que además es geodésica. • grupo de Lorentz: es el grupo de isometrías con algún punto ﬁjo del espacio-tiempo de Minkowski. • grupo de Poincaré: es el grupo de todas las isometrías del espacio-tiempo de Minkowski, incluye al grupo de Lorentz como un subgrupo propio.

17.8 H • Hipersuperficie espacial: es una hipersuperficie del espacio tiempo cuyo vector normal en cada punto es de tipo temporal. • Hipersuperificie de Cauchy: es una hipersuperficie espacial cuyo dominio de dependecia es todo el espacio-tiempo, es un conjunto acronal. • Horizonte de Cauchy futuro: se define para cualquier conjunto acronal S, se designa mediante H + (S) , y está formado por el conjunto de puntos en la clausura del dominio de dependecia futuro de S que no están contenidos en el pasado cronológico de dicho dominio de dependencia, es decir, H + (S) = D+ (S) − I − (D+ (S)) . • Horizonte de Cauchy pasado: se define para cualquier conjunto acronal S, se designa mediante H − (S) , y está formado por el conjunto de puntos en la clausura del dominio de dependecia pasado de S que no están contenidos en el futuro cronológico de dicho dominio de dependencia, es decir, H − (S) = D− (S) − I + (D− (S)) . • Horizonte de eventos: topológicamente se define de modo parecido a los horizontes de Cauchy, pero tomando S como una hipersuperficie lumínica situada en el infinito, en un espacio-tiempo que contiene regiones de agujero negro el horizonte de eventos resulta ser la hipersuperficie exterior de dicha región de agujero negro.

17.9 I • intervalo: es una magnitud escalar medida a lo largo de una curva continua del espacio-tiempo, ﬁjados dos puntos arbitrarios se puede deﬁnir el intervalo entre ellos construyendo el máximo o el mínimo intervalo a lo largo de una curva continua que los una. Dos eventos se dicen espacialmente separados si el intervalo entre ellos es positivo, se dicen temporalmente separados si el intervalo es negativo y se dicen causalmente conectados si el intervalo es negativo o nulo.

17.10 M • Masa en reposo: magnitud física asociada a una partícula o distribución de masa, que coincide con la componente temporal del cuadrimomento entre c² medida por un observador en reposo respecto a la partícula o distribución de masa.

17.11. O

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• Métrica: ver tensor métrico. • Métrica estacionaria: corresponde a una elección de coordenadas posible en un espacio-tiempo estacionario tal que ninguna de las componentes del tensor métrico depende de la coordenada temporal (x0 ). • Métrica estática: corresponde a una elección de coordenadas posible en un espacio-tiempo estático, es una métrica estacionaria en la que además todas las componentes de la forma g₀α son cero.

17.11 O • Observador o marco de referencia, se deﬁne como una convención en cada punto del espacio de como medir magntides físicas. Formalmente en teoría de la relatividad es una aplicación que en cada punto del espacio-tiempo asigna cuatro vectores ortonormales, uno de ellos temporal y los otros tres espaciales. Más formalmente aún cualquier sección del ﬁbrado de referencias ortogonales con un vector temporal constituye un sistema de referencia u observador.

17.12 P • partícula: puede entenderse como un par (m,γ) donde γ es una curva temporal y m un escalar que representa la masa en reposo de la partícula. • pasado (causal) de M: conjunto de puntos del espacio-tiempo desde los cuales se puede alcanzar M mediante una curva causal, se designa mediante J − (M ) . • pasado cronológico de M: conjunto de puntos del espacio-tiempo desde los cuales se puede alcanzar M mediante una curva temporal, se designa mediante I − (M ) . • planitud asintótica: propiedad de geométrica de un espacio-tiempo en el que la materia está concentrada en una región compacta del mismo, que hace que a grandes distancias de la materia que curva dicho espacio-tiempo la forma geométrica se parezca a la de un espacio-tiempo plano o espacio de Minkowski. • Puente Einstein-Rosen probables puentes (cronotópicos) espacio-temporales que pudieran darse en el continuum espacio temporal a causa de la presencia de grandes masas (como las que se suponen en los agujeros negros), si tales puentes existen es probable también la existencia de agujeros de gusano).

17.13 S • símbolos de Christoffel: conjunto de magnitudes indexadas que intervienen en el cálculo de las geodésicas y la derivada covariante. Físicamente son interpretables como las fuerzas de inercia aparentes medidas por un observador galileano. • singularidad espaciotemporal: en un espacio-tiempo geodésicamente incompleto, en el que se puede extender la variedad espacio-tiempo física a un espacio-tiempo matemático abstracto se corresponde con el conjunto de puntos de la frontera el espacio-tiempo físico donde ciertas magnitudes físicas alcanzan valores infinitos o la partícula deja de existir después de un tiempo finito. • simetría axial: es el tipo de simetría que presenta un espacio-tiempo en el que existe un grupo uniparamétrico de rotaciones que deja invariante el tensor métrico, físicamente corresponde a un espacio tiempo tal que cualesquiera dos observador situado en un mismo plano y a la misma distancia respecto a un eje perpendicular al plano, perciben idéntica geometría. • simetría esférica: él es tipo de simetría que presenta un espacio-tiempo en el que existe un grupo de rotaciones isomorfo a SO(3) que deja invariante el tensor métrico, físicamente corresponde a un espacio tiempo tal que cualesquiera dos observador situados a la misma distancia de cierta superficie esférica, perciben idéntica geometría.

206

CAPÍTULO 17. ANEXO:GLOSARIO DE RELATIVIDAD

17.14 T • tensor: es un objeto matemático que sirve para representar cierto tipo de magnitudes físicas. La carácterística importante de los tensores es que los valores de los componentes de cada tensor medidos por diferentes observadores están relacionados por leyes de transformación tensoriales. • tensor de Bel-Robinson, • tensor de energía-impulso, • tensor métrico: tensor simétrico de segundo orden que sirve para deﬁnir la distancia a lo largo de una curva. Físicamente es el objeto geométrico fundamental de la teoría de la relatividad. • Tensor de Riemann: en una variedad riemanniana o pseudoriemanniana es un tensor de cuarto orden construido a partir del tensor métrico que caracteriza la curvatura de la misma, cuando la variedad representa un espacio euclídeo plano el tensor de curvatura de Riemann se anula idénticamente. • tensor de Ricci: es un tensor de segundo orden simétrico que sirve para dar cuenta de las curvaturas seccionales del espacio-tiempo curvo. Físicamente está relacionado con el tensor de energía-impulso. • tensor de Weyl: da la parte de la curvatura que no está determinada por las ecuaciones de campo de Einstein. • tiempo: en relatividad el tiempo puede referirse al tiempo coordenado o bien al tiempo propio o intervalo relativista medido por un observador.

17.15 V • variedad pseudoriemanniana: variedad diferenciable dotada de un tensor métrico no degenerado, y no definido positivo. • velocidad de la luz: máxima velocidad física posible. • vector: ver cuadrivector, fijado un punto del espacio-tiempo cualquier cuadrivector definido en ese punto puede clasificarse según el signo del producto m = gµν V µ V ν (donde gµν son las componentes del tensor métrico) en: • vector espacial: cuando m > 0. • vector isótropo o lumínico: cuando m = 0. • vector temporal: cuando m < 0. • vector de Killing: es un campo vectorial cuyas curvas integrales son las trayectorias de un grupo uniparamétrico de isometrías.

Capítulo 18

Dasein Dasein [ˈd̥ ɑːza͡ɪ̯n] es un término que en alemán combina las palabras «ser» (sein) y «ahí» (da), significando «existencia» (por ejemplo, en la frase „Ich bin mit meinem Dasein zufrieden“ «Estoy contento con mi existencia»). Es usado por varios filósofos alemanes, como Hegel o Jaspers, pero sobre todo por el filósofo Martin Heidegger para indicar el modo de existir propio del ser humano. El sentido literal de la palabra Da-sein es 'ser-ahí'. Que más bien sería el estar haciendo algo ahí como expresa el uso del gerundio en latín. El término expresa el hecho de que la existencia no se define sólo como rebasamiento que trasciende la realidad dada en dirección de la posibilidad, sino que este sobrepasamiento es siempre sobrepasamiento de algo, está siempre situado, está aquí. Existencia, Dasein, ser-en-el-mundo, son sinónimos. Los tres conceptos indican el hecho de que el hombre está «situado» de manera dinámica, es decir, en el modo del poder ser. En la acción de estar haciendo algo la experiencia se vuelve transitiva, lo cual nos coloca en situaciones que al estar experimentando eso lo hacemos en directo y sin elucubraciones intelectuales —a menos que la misma experiencia sea cognitiva—. Ejemplo, el karateka al aprender sus katas o golpes, piensa, siente y se mueve para practicar; pero en la medida que penetra en la esencia del kata lo hace de una manera absorta, al estar in situ, esto es, en alguna pelea sus movimientos son directos e intuitivos y deja que el cuerpo se maneje por sí solo. Esto es Dasein, que se vuelve activo al situar a la persona haciendo algo. En la filosofía china y en el budismo se habla del ichinen, o sea, i de sujeto chi de energía y nen de fusión; el sujeto que se fusiona con la energía cósmica. El término Dasein es usado para identificar categóricamente la relación entre el ser humano y cualquier acción enfocada hacia el alcance de un propósito; entonces, el propósito es conocido, razonable y procesado intelectualmente, pero la acción no goza de las mismas condiciones, porque de alguna manera es una acción preconsciente, no procesada, no cuestionada; sencillamente concurre, se hace; y eso es Dasein. Este término también indica el grado de entrega del ser humano en relación al mundo. Los seres humanos nos entregamos, en la condición de participantes, a favor de la rutina, el trabajo, las costumbres —entre otras instancias similares—, pero cada acción que realiza es una muestra de entrega y de continua relación con la creación; aunque no esté tan claro, como se mencionó anteriormente, cuáles son los vehículos que proporcionan el impulso de dichas acciones.

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CAPÍTULO 18. DASEIN

18.1 Text and image sources, contributors, and licenses 18.1.1

Text

• Fundamentos de la matemática Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Fundamentos%20de%20la%20matem%C3%A1tica?oldid=80557834 Colaboradores: Ascánder, Rsg, Elwikipedista, Boticario, Heimy, BOT-Superzerocool, Götz, CEM-bot, Davius, Rosarinagazo, Julian Mendez, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, AntBiel, Botones, Egaida, JAnDbot, Revenga10V, Lnegro, VolkovBot, Muro Bot, PaintBot, Pascow, David0811, Crumelur, Xqbot, Rubinbot, FrescoBot, Heylan, Jerowiki, KamikazeBot, EmausBot, ZéroBot, Grillitus, ChuispastonBot, Waka Waka, Gonzalcg, Acratta, Elvisor, Gaosqr, RosenJax, Ralgisbot, CivilianVictim, Addbot, Julian Grillo, Balles2601, Migpalace y Anónimos: 15 • Filosofía de la matemática Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa%20de%20la%20matem%C3%A1tica?oldid=80440083 Colaboradores: Sabbut, CEM-bot, Davius, Lnegro, Technopat, Leonpolanco, Ferran Mir, Luis Felipe Schenone, Jerowiki, Grillitus, Hiperfelix, KLBot2, MetroBot, Invadibot, Acratta, Rauletemunoz, Rotlink, Eyetheunlord, Emi.cool3, Orlansky, Olderbrown y Anónimos: 2 • Filosofía del espacio y el tiempo Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Filosof%C3%ADa%20del%20espacio%20y%20el%20tiempo?oldid= 79498834 Colaboradores: Digigalos, GermanX, BOTpolicia, Pinar, Rastrojo, Rosarinagazo, JAnDbot, Muro de Aguas, CommonsDelinker, MONIMINO, Nioger, Sürrell, Muro Bot, Bigsus-bot, BOTarate, Aleposta, Mutari, Quijav, Eduardosalg, UA31, Abajo estaba el pez, LucienBOT, Fernando H, Arjuno3, Yone Fernandes, Luis Felipe Schenone, Jkbw, Eschenmayer, D'ohBot, MAfotBOT, FAL56, Sermed, Jerowiki, Tarawa1943, Jorge c2010, Savh, Grillitus, MercurioMT, Kleingordon, Cordwainer, MerlIwBot, KLBot2, Jaluj, UAwiki, Invadibot, Elvisor, DLeandroc, Jb 88, Taxus2000, LeoBoca, Lourdes Sada, Celesteeazurzuyy y Anónimos: 62 • Cosmología Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Cosmolog%C3%ADa?oldid=80613573 Colaboradores: 4lex, Paz.ar, Rosarino, Jynus, Sms, Rafernan, SimónK, Xgarciaf, Tano4595, Lew XXI, Wricardoh, Xenoforme, Cinabrium, Quesada, Balderai, Renabot, Soulreaper, Petronas, RobotJcb, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, Kokoo, Rupert de hentzau, Orgullobot, RobotQuistnix, Chobot, FlaBot, BOTijo, Echani, Banfield, Maldoror, Smrolando, CEM-bot, Laura Fiorucci, Kurtan, Xexito, Davius, Frmerced, Antur, Xabier, RoyFocker, Arcibel, JAnDbot, VanKleinen, Kved, Xavigivax, TXiKiBoT, Dhcp, Humberto, Aixu, Nioger, Idioma-bot, Alefisico, Gerwoman, Dhidalgo, Dpeinador, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, Synthebot, 3coma14, IIM 78, Fillbit, Muro Bot, SieBot, PaintBot, Obelix83, Cobalttempest, Pedrojwiki, Mel 23, Simão Aiex, S3o33be3l, Ugly, Ivanics, Pla y Grande Covián, Tirithel, XalD, Jarisleif, Antón Francho, El escapista, Perceptica, Ernobe, Botellín, Leonpolanco, Petruss, Einsteinbohr, Osado, Marlyngm5, UA31, Krysthyan, AVBOT, LucienBOT, J.delanoy, MastiBot, Juan Fabio, Diegusjaimes, MelancholieBot, HerculeBot, Arjuno3, Luckas-bot, Nallimbot, FariBOT, DiegoFb, Oraculo miraculoso, Diogeneselcinico42, Astroangel, SuperBraulio13, Manuelt15, Jkbw, -Erick-, Ricardogpn, Kismalac, Botarel, MondalorBot, Dabit100, Jerowiki, Rosymonterrey, HUBOT, PatruBOT, S.I.Macedo, Sarandongah, Foundling, Edslov, Alifleito, Allforrous, Martinlc, Emiduronte, Jcaraballo, Khiari, GM83, Metrónomo, Don cristian, MerlIwBot, TeleMania, Ginés90, Soulsanti, The-anyel, Unatecla, Addbot, Teresa317, Jarould, Antonioexce2009 y Anónimos: 184 • Big Bang Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Big%20Bang?oldid=80981311 Colaboradores: Qubit, Joseaperez, Loqu, Moriel, Abgenis, JorgeGG, Mxn, Niceforo, Aparejador, Wiki Wikardo, Comae, Zorosandro, Interwiki, Jdiazch, Rosarino, Dodo, Ejmeza, Ascánder, Pérez, Cookie, Tostadora, B1mbo, Tano4595, Ramjar, Renacimiento, Agguizar, Felipealvarez, Yakoo, Lopezmts, Wricardoh, Xenoforme, SAKURA CHAN, Alejandro Miranda, Marcoscaceres, Cinabrium, JCCO, Quesada, Renabot, FAR, LeonardoRob0t, Pati, Javierme, Grenzbegriffe, Airunp, JerryFriedman, Iturri, Edub, Taichi, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), LP, Caiser, Magister Mathematicae, Kokoo, Triuri, Orgullobot, Murven, RobotQuistnix, Omega, Alhen, Superzerocool, Chobot, Caiserbot, Jekter, Yrbot, Amadís, BOT-Superzerocool, FlaBot, Varano, BOTijo, YurikBot, Mortadelo2005, GermanX, Sasquatch21, Equi, JAGT, KnightRider, Davidmh, Gothmog, Kabri, Eloy, Titoxd, Banfield, Jorge Egúsquiza Loayza, José., Maldoror, Er Komandante, Juankyz, Carlos Alberto Carcagno, Camima, Tomatejc, Jarke, Siabef, DaDez, Wissons, Axxgreazz, ZEN ic, BOTpolicia, Qwertyytrewqqwerty, CEM-bot, Laura Fiorucci, FeRmO, JMCC1, Alexav8, Ignacio Icke, Durero, Jjvaca, Fidelmoquegua, Baiji, Nuen, Mister, Eamezaga, Karshan, Davius, Rastrojo, Andreoliva, Antur, Jjafjjaf, Dorieo, Montgomery, FrancoGG, Ggenellina, Thijs!bot, Alvaro qc, Jmcalderon, Mahadeva, P.o.l.o., Bot que revierte, Escarbot, RoyFocker, IrwinSantos, Albireo3000, Ranf, Botones, Isha, Góngora, Eamm18, Jugones55, VanKleinen, Kved, Gaius iulius caesar, Xavigivax, Gsrdzl, TXiKiBoT, Concolor, R2D2!, BotSchafter, Millars, Humberto, Netito777, Ale flashero, Xsm34, Rei-bot, Pedro Nonualco, Chabbot, Idioma-bot, Pólux, Gerwoman, Zeroth, Titomire, Dpeinador, Biasoli, AlnoktaBOT, VolkovBot, Urdangaray, Snakeyes, Technopat, C'est moi, Queninosta, Raystorm, Stormnight, Nottinghan, Josell2, Matdrodes, Synthebot, BlackBeast, Lucien leGrey, AlleborgoBot, 3coma14, Muro Bot, Edmenb, Komputisto, MiguelAngel fotografo, Cadignacio, Gerakibot, SieBot, Edu re3, Loveless, Carmin, Cobalttempest, CASF, BOTarate, Gibon, Mel 23, OboeCrack, Manwë, Correogsk, Furado, Greek, Darniok, BuenaGente, Benigno A1, Tirithel, Mutari, XalD, Prietoquilmes, Jarisleif, Montehermoso-spain, Javierito92, StarBOT, Nicop, DragonBot, The titox2, Quijav, Makete, Eduardosalg, Leonpolanco, Pan con queso, Alejandrocaro35, Netito, BetoCG, -antonio-, Ikepuertorico, Arruinadorwiki, Osado, PePeEfe, Fernando Martinez H, Liljozee, SilvonenBot, Camilo, UA31, Krysthyan, AVBOT, Elliniká, DayL6, David0811, Votinus, LucienBOT, Flakinho, MastiBot, Angel GN, MarcoAurelio, Rizome, Chaosandres, Diegusjaimes, DumZiBoT, MelancholieBot, Teles, Saloca, ANGELMAP, Andreasmperu, Luckas-bot, Ptbotgourou, Jotterbot, Vic Fede, Barteik, Vandal Crusher, Barnacaga, Alvarittox, Nixón, Asiderisas, ArthurBot, PaulinoAlfeon, Udufruduhu, Billyrobshaw, SuperBraulio13, Oddworld, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, Moritoastalamuerte, GhalyBot, Oscar sanchez soler, Floppy2 33, Sponkey85, Manu Lop, Kismalac, Igna, Botarel, Teeth, MauritsBot, Itou-kurosaki, AstaBOTh15, Burgosmelachupa, D'ohBot, BOTirithel, Hprmedina, TobeBot, Lier, RedBot, Abece, Leugim1972, Zoram.hakaan, Manuguay, PatruBOT, CVBOT, Javier López Bernardo, KamikazeBot, Netblack, Kalleyi, Er lego, Ripchip Bot, Shelbyviper, Mredon6, Mecoboy10, Foundling, GrouchoBot, Wikiléptico, Afrasiab, EmausBot, Tipar, CVNBot, Savh, Yosidunkki, ChessBOT, Allforrous, Africanus, Adri128, Daniel posadas, WikitanvirBot, Juan Ruiz Martin, Movses-bot, Hiperfelix, Metrónomo, MerlIwBot, KLBot2, Nycron, MetroBot, Lorenhey, Milton Sandoval, Vetranio, Johnbot, Robert Laymont, Ralgisbot, Addbot, Sebastian chaparro, Vacio57, Lourdes Sada, Jarould, Tetra quark, Mateoberona y Anónimos: 599 • Universo Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Universo?oldid=80919799 Colaboradores: AstroNomo, Joseaperez, Josefina54, Oblongo, Moriel, JorgeGG, Ricardo Oliveros Ramos, ManuelGR, Pleira, Krusher, Tostadora, Tano4595, Galio, Carlos Quesada, Wricardoh, Dianai, Xenoforme, Erri4a, Rondador, Rodrigouf, Darz Mol, Robotico, Balderai, Ecemaml, DamianFinol, Chewie, Papix, Richy, FAR, Pati, Javierme, Jcb, Spangineer, Airunp, Patrick McKleinschuss, Taichi, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), Nachusgalaicus, Luis marchant, Magister Mathematicae, Kokoo, Ppfk, Orgullobot, RobotQuistnix, Alhen, Chobot, Yrbot, Amadís, Vitamine, YurikBot, MI GENERAL ZAPATA, Mortadelo2005,

18.1. TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

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Gaeddal, LoquBot, Cacique500, !R¡€, Santiperez, Titoxd, Leitzaran, Seretbit, Banfield, Milestones, José., Maldoror, Angel.F, Er Komandante, Chlewbot, Tomatejc, Jarke, Filipo, Guillefc, Sking, Martinwilke1980, Nihilo, Miguel303xm, Avalesco, Cad, BOTpolicia, Eufrosine, CEM-bot, Laura Fiorucci, 100056255, Thanos, Eduardo-salamanca, Ser mone, Nayromi, Retama, Baiji, Oacevedo, Karshan, Davius, Rastrojo, Rosarinagazo, Antur, Gafotas, MontanNito, FrancoGG, Axx, Thijs!bot, Xabier, Tortillovsky, Mahadeva, P.o.l.o., Xerox, Roberto Fiadone, Escarbot, Drake 81, Nezs, Nuncasetermina, Albireo3000, Avilaroman, Will vm, Informando, Botones, Cratón, Isha, Egaida, Hanjin, Arcibel, Mpeinadopa, Rrmsjp, JAnDbot, BelegDraug, Botx, Federico Alfaro, Kved, Xionkon, Segedano, Muro de Aguas, Gaius iulius caesar, Jvmvidela, Iulius1973, Gsrdzl, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Xosema, Mercenario97, Humberto, Pabloallo, Sincro, RuLf, Xsm34, Donmestafas, MONIMINO, Bedwyr, Pedro Nonualco, Chabbot, Idioma-bot, Pólux, Laxmen, Manuel Trujillo Berges, Dpeinador, Snakeeater, AlnoktaBOT, VolkovBot, Jurock, Technopat, Jerry.net.mx, C'est moi, Penarc, Erfil, Raystorm, Belgrano, Kan3, Matdrodes, Diego Grau, BlackBeast, Lucien leGrey, AlleborgoBot, 3coma14, Halcor, Muro Bot, Edmenb, MiguelAngel fotografo, Racso, SieBot, Danielba894, Ctrl Z, Ensada, Macarrones, Carmin, Cobalttempest, Sistemx, Drinibot, CASF, Bigsus-bot, BOTarate, Israes, Marcelo, Mel 23, Manwë, Gaboflowers, Furado, Greek, BuenaGente, Leo tolosa 22, Wamphyri, Mafores, Elfodelbosque, Knightedg, Wikichico, Wkboonec, Tlilectic, Tirithel, Mutari, Hikita Ukyo, Javierito92, Bocasecaman, HUB, MetsBot, StarBOT, Antón Francho, Nicop, Loyita, Pedotufo, Farisori, Discernimiento, Eduardosalg, Veon, Botellín, Leonpolanco, Arcenio, Descansatore, Petruss, Sneydder, Ener6, Alexbot, CestBOT, Rαge, BodhisattvaBot, Frei sein, Açipni-Lovrij, Osado, Palcianeda, Wishyouwerehere, Ravave, Camilo, UA31, Thingg, Generalpompeyo, Claus Ableiter, AVBOT, Elliniká, David0811, LucienBOT, J.delanoy, MastiBot, Angel GN, MarcoAurelio, Caby, Larry de los 3 chiflados, Diegusjaimes, Davidgutierrezalvarez, Superandrys, MelancholieBot, Robmunoz, Pablocarballo, Eduweon, CarsracBot, Nederlands, E.g.o. company, Arjuno3, Saloca, Luckas-bot, Theangelm, Spirit-Black-Wikipedista, Nallimbot, Ptbotgourou, Jotterbot, Wiioo00, Vic Fede, David1195, Dangelin5, Barteik, Julso41, Estebankasa, Nixón, DSisyphBot, Luis Felipe Schenone, ArthurBot, SuperBraulio13, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, GhalyBot, Dreitmen, Lycaon83, Cally Berry, FrescoBot, Kismalac, Igna, Wikiitaa!!, Ñoñoman, Botarel, KvedBOT, BenzolBot, Panderine!, Those Dos, TobeBot, RedBot, Kamila Camacho, Sermed, W200king, EEIM, Jerowiki, Lungo, Chilreu, Leugim1972, Pownerus, PatruBOT, Ganímedes, Dinamik-bot, S.I.Macedo, Pyano, Pincho76, Ripchip Bot, Shentexx, ...:BOOS GAY.COMACM5PT, Alcadio, RednepSuS, Jorge c2010, Foundling, Cultura Cadenet, Ensayossobre, P. S. F. Freitas, EmausBot, Tipar, Bachi 2805, Josegerardopp, Savh, AVIADOR, Carloto0622, Jcaceres93, Sergio Andres Segovia, RUBEN TESOLIN, Thnxforculture, El Ayudante, Yurineto, ChuispastonBot, Booby Z, AppDow, Mjbmrbot, Metrónomo, MerlIwBot, KLBot2, Roberrpm, Carlos Vaca Flores, Elkingkapo, MetroBot, Yecid 96, Vichock, Bambadee, Chrisfuenmen1973, Mikel24, Rotlink, Lautaro 97, Addbot, Balles2601, Roger de Lauria, JacobRodrigues, Dodens, Dientonki, Cathy 123, Ornella331, Nelidamonserratblancas, Bibliocol, Jarould, Diegazo2000, Debser, Tetra quark, Miguel98md, Carocassinelli y Anónimos: 674 • Covariancia de Lorentz Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Covariancia%20de%20Lorentz?oldid=79179840 Colaboradores: GermanX, CEMbot, Zendel, Davius, Thijs!bot, TXiKiBoT, Aibot, Srbanana, Rigenea, Bigsus-bot, David0811, SpBot, Luckas-bot, Harturo123, DirlBot, Tzihue, MetroBot, Acratta, Addbot, Lourdes Sada y Anónimos: 6 • Relatividad general Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Relatividad%20general?oldid=80577551 Colaboradores: AstroNomo, Agremon, Zuirdj, Youandme, Joseaperez, Loqu, Moriel, Robbot, Sanbec, Comae, DefLog, Dodo, Ascánder, Rsg, Tostadora, Tano4595, Wricardoh, Dianai, Arístides Herrera Cuntti, Xenoforme, Cinabrium, Porao, Quesada, Elsenyor, LeonardoRob0t, Pati, Juansempere, Petronas, Airunp, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, MaeseLeon, Dominican, RobotQuistnix, Omega, Alhen, Chobot, Caiserbot, Yrbot, Proximo.xv, Oscar ., Vitamine, BOTijo, .Sergio, YurikBot, GermanX, Beto29, KnightRider, Fmercury1980, Eskimbot, Götz, Ivan.gz, Maldoror, Agak, Smoken Flames, Filipo, Juan Marquez, CEM-bot, JMCC1, Durero, Davius, Jorge, Dorieo, FrancoGG, Ggenellina, Ingenioso Hidalgo, Fsd141, Thijs!bot, DasAuge, Mahadeva, Drake 81, Álvaro Morales, Will vm, Botones, Isha, Matiasleoni, Doreano, JAnDbot, Soulbot, Tuliopa, Enriqueglez, Jahnfi, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Gustronico, Millars, Netito777, Bedorlan, Pabloallo, Rei-bot, Phirosiberia, Hafernandez, Pedro Nonualco, Alefisico, Pólux, Rémih, VolkovBot, Technopat, Matdrodes, Muro Bot, Arnji, Numbo3, Wing-ezp, Razorblade, Mariano mario06, Srbanana, SieBot, Thor8, Danielba894, Loveless, Drinibot, Dark, BOTarate, Mel 23, Simão Aiex, BuenaGente, Xavigarz, Tirithel, Antón Francho, Quijav, Pan con queso, Alejandrocaro35, Furti, Poco a poco, CestBOT, Jorgevicariogonzalez, Leotero, Yameharte, AVBOT, LucienBOT, Danielpineros, Diegusjaimes, MelancholieBot, Andreasmperu, Luckas-bot, Ptbotgourou, Vic Fede, LordboT, Athatriel, Vilartatim, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, GhalyBot, Kismalac, Botarel, AstaBOTh15, Brostoni, RedBot, Karl.lark, Marsal20, Augusto yakoby, Orbixal, PatruBOT, Ripchip Bot, Jorge c2010, GrouchoBot, Astroalicante, EmausBot, Hapussai, Africanus, Spyglass007, Harveybc, Waka Waka, WikitanvirBot, Theoretical physicist, Mjbmrbot, Manubot, MerlIwBot, JABO, KLBot2, Pff, Travelour, Ginés90, MetroBot, Invadibot, Lfgg2608, Garmen778, Terencio, Terencium, LlamaAl, Stas1995, Flashlack, EduLeo, Syum90, Noelgrad, Addbot, Julio Juan Rodríguez, Jose.rojas.o, Martingilc, FranMZ, Lourdes Sada, Jarould, Física, Matemáticas y Química, Lectorina y Anónimos: 260 • Teoría de la relatividad especial Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa%20de%20la%20relatividad%20especial?oldid=79878114 Colaboradores: AstroNomo, Maveric149, Joseaperez, 4lex, Moriel, Abgenis, Sauron, JorgeGG, Sanbec, Zwobot, Pleira, Comae, DefLog, Praheotec, Rjbox, Interwiki, Dodo, Pybalo, Sms, Tano4595, Carlos Quesada, Melocoton, Wricardoh, Ingold, Porao, Michel r, Loco085, Jabernal, Desatonao, Renabot, FAR, Petronas, Mescalier, Airunp, Johnbojaen, Orgullobot, RobotQuistnix, Kiroh, Platonides, Alhen, Chobot, Guilloip, Yrbot, Amadís, Torbellino, Vitamine, .Sergio, YurikBot, GermanX, Didgewind, KnightRider, Eskimbot, Banfield, Maldoror, Er Komandante, Ketamino, Tomatejc, Nihilo, Paintman, Sigmanexus6, Axxgreazz, Escoffie, Mirkovich, BOTpolicia, CEM-bot, Pinar, JMCC1, Kurtan, Davius, Frmerced, Rastrojo, Dorieo, Montgomery, FrancoGG, Fsd141, Thijs!bot, Ángel Luis Alfaro, Isha, JAnDbot, Kved, Integral triple, Iulius1973, Gsrdzl, Jahnfi, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Gustronico, Bot-Schafter, Humberto, Hafernandez, Chabbot, Alefisico, Pólux, VolkovBot, Urdangaray, Jurock, Technopat, Queninosta, Raystorm, Matdrodes, Synthebot, Shooke, 3coma14, Muro Bot, BotMultichill, SieBot, PaintBot, Cobalttempest, Drinibot, CASF, BOTarate, Mel 23, Simão Aiex, Manwë, Furado, McOil, BuenaGente, Xavigarz, HUB, PasabaPorAqui, Quijav, Eduardosalg, Leonpolanco, Furti, Alexbot, Betomg88, Jclarkripton 1804, Taty2007, AVBOT, MarcoAurelio, Diegusjaimes, Innuendoibrahim, MelancholieBot, Josecrevillente, Cdaniel91, InflaBOT, Luckas-bot, Ptbotgourou, FariBOT, Jgrosay, MelissaChanOwO, DirlBot, ArthurBot, Almabot, Xqbot, Jkbw, FrescoBot, Ricardogpn, Heylan, Kismalac, Crimassa, Leztilita1, AstaBOTh15, Panderine!, Fisica en la vida, TobeBot, RedBot, Marsal20, AnselmiJuan, Relampagos, Ganímedes, KamikazeBot, Canyq, Alph Bot, Ripchip Bot, Jorge c2010, Foundling, GrouchoBot, Astroalicante, Edslov, EmausBot, Savh, Gimlinu, Allforrous, ChuispastonBot, WikitanvirBot, God Emel, MerlIwBot, KLBot2, MetroBot, Mechita korn, Elvisor, SandyVero, Wikiullu, 2rombos, Baldaquino, Lautaro 97, Addbot, Rouss.qz, Uerdnab4, Guialons2013 y Anónimos: 227 • Materia oscura Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Materia%20oscura?oldid=80861268 Colaboradores: AstroNomo, 4lex, Sanbec, Zwobot, Trujaman, Wintermute, Dodo, Sms, Rsg, Xgarciaf, Tano4595, Lopezmts, Melocoton, Dianai, Xenoforme, Fergarci, Mandramas, Richy,

210

CAPÍTULO 18. DASEIN

Dylaks, Pati, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), Kokoo, Orgullobot, RobotQuistnix, Chobot, Pabloab, Caiserbot, Yrbot, Seanver, Varano, YurikBot, GermanX, Emepol, Cacique500, Gaijin, KnightRider, C-3POrao, Nirgal, José., Maldoror, Camima, Tazguy00, RafaGS, Juanjo Bazan, Alejandrosanchez, CEM-bot, Machin, JMCC1, Kurtan, Retama, Ugur Basak Bot, Rastrojo, Rosarinagazo, FrancoGG, Thijs!bot, Cvmontuy, P.o.l.o., NeguGorriak, RoyFocker, Mr. X, Albireo3000, Talibán Ortográfico, Hanjin, JAnDbot, Robinson marte, Muro de Aguas, Gsrdzl, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Nioger, Idioma-bot, Alefisico, Jmvkrecords, Dpeinador, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat, Penelopina, KronT, Pejeyo, Matdrodes, Javichu el jefe, Gaiano andino, NudoMarinero, Muro Bot, SieBot, SaMex, Loveless, Cobalttempest, Drinibot, Bigsus-bot, BOTarate, PipepBot, HUB, RmC Edwin, StarBOT, Gato ocioso, Gusbellu, Eduardosalg, Fanattiq, Leonpolanco, Alecs.bot, Petruss, Poco a poco, Fushigi-kun, Jorgevazquez72, CestBOT, Numen17, UA31, AVBOT, Elliniká, LucienBOT, Asram 4371, NjardarBot, Diegusjaimes, MelancholieBot, EnriqueSalvador, Luckas-bot, FaiBOT, EDDYCUBAUSA, Barteik, SuperBraulio13, Almabot, Oddworld, Xqbot, Jkbw, FrescoBot, Ricardogpn, Kismalac, Panderine!, TobeBot, Alan256, PatruBOT, Weyhambriento, Foundling, Ensayossobre, Axvolution, SusanaMultidark, EmausBot, JackieBot, Cordwainer, Arboleroafull, Abián, MerlIwBot, KLBot2, Urbanuntil, Travelour, MetroBot, FrikiDude, Vetranio, RomelMartinez, Leitoxx, Lautaro 97, Addbot, Balles2601, Pentalis, Roger de Lauria, Trinito.balbastrou, Luis.torresq, Rumbo 14, Ricardo concepcion, Andriakamano, Tetra quark, Sabe gujo y Anónimos: 152 • Energía oscura Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Energ%C3%ADa%20oscura?oldid=80540711 Colaboradores: Joseaperez, Hola, JorgeGG, Vivero, Rafernan, Xgarciaf, Tano4595, El Moska, Pati, Digigalos, Boticario, Taichi, Rembiapo pohyiete (bot), Magister Mathematicae, Kokoo, Orgullobot, RobotQuistnix, Francosrodriguez, Chobot, Pabloab, Yrbot, Varano, Vitamine, YurikBot, Gaijin, KnightRider, Nirgal, Maldoror, Difyent, Chlewbot, Tomatejc, Tonipares, Quiesagua, Juanjo Bazan, CEM-bot, JMCC1, Kurtan, Eamezaga, Davius, Rosarinagazo, Thijs!bot, RoyFocker, LMLM, Cancerbero sgx, JAnDbot, Stifax, TXiKiBoT, Hidoy kukyo, Netito777, Rei-bot, Dpeinador, AlnoktaBOT, VolkovBot, Urdangaray, Technopat, Pruxo, BlackBeast, Muro Bot, SieBot, Cobalttempest, Drinibot, Bigsus-bot, Simão Aiex, Juancitox, Maximo88, PipepBot, DorganBot, Kikobot, Mirokusaurio, Gusbellu, Botito777, AVBOT, Diegusjaimes, Miguelhdz, Luckas-bot, FariBOT, Cantoral, Bsea, ArthurBot, Kuranes, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Dreitmen, Ricardogpn, Kismalac, TiriBOT, Halfdrag, EEIM, Alph Bot, Subegorri, Quantanew, Ensayossobre, EmausBot, Waka Waka, Mjbmrbot, Creosota, Helmy oved, Alfamaster, Addbot, 123yhonatan, Sharingan no mike, Ortjomon, Tetra quark, Mghd y Anónimos: 87 • Singularidad gravitacional Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Singularidad%20gravitacional?oldid=80606273 Colaboradores: Randyc, Joseaperez, Wiki Wikardo, Comae, Tano4595, Xenoforme, Airunp, Taichi, Afnosol Bsaatenmtu, RobotQuistnix, BOT-Superzerocool, Maleiva, YurikBot, GermanX, LoquBot, Fmercury1980, Eskimbot, José., Cheveri, Tomatejc, Siabef, Marcelo-Silva, CEM-bot, Baiji, Davius, Thijs!bot, Drake 81, Botones, JAnDbot, TXiKiBoT, Narayan82, Jmvkrecords, Jorge C.Al, AlnoktaBOT, Technopat, Srbanana, SieBot, Loveless, Bigsusbot, BOTarate, Espilas, Gato ocioso, DragonBot, D.F.A.R.R., UA31, LucienBOT, Diegusjaimes, Arjuno3, Luckas-bot, Amirobot, Bsea, Salseroquim, Jkbw, GrouchoBot, EmausBot, Hiperfelix, MerlIwBot, Thehelpfulbot, Dark Trace, Addbot, Jarould y Anónimos: 36 • Agujero negro Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Agujero%20negro?oldid=80886829 Colaboradores: AstroNomo, Youssefsan, Macar, Suisui, Joseaperez, 4lex, Loqu, Moriel, Frutoseco, Hashar, Julie, Alberto Salguero, Saiyine, Sanbec, Aparejador, Comae, Dodo, Triku, Sms, Cookie, Tano4595, Felipealvarez, El Moska, Wricardoh, Dianai, Xenoforme, Erri4a, Balderai, Renabot, LeonardoRob0t, Soulreaper, Petronas, Orgullomoore, Airunp, JMPerez, Yrithinnd, Taichi, Emijrp, Rembiapo pohyiete (bot), Caiser, Magister Mathematicae, Orgullobot, Further (bot), RobotQuistnix, Superzerocool, Chobot, Caiserbot, Yrbot, Amadís, BOT-Superzerocool, Wikiwert, Jamuki, FlaBot, Vitamine, YurikBot, GermanX, Indu, LoquBot, Gaijin, KnightRider, The Photographer, YoaR, Tubet, Ulpianus, Banfield, José., Maldoror, Er Komandante, Cheveri, KocjoBot, Tazguy00, Nihilo, Paintman, Axxgreazz, Aleator, BOTpolicia, Alejandrosanchez, CEM-bot, Heavy, Laura Fiorucci, JMCC1, Efegé, Retama, Mister, Eamezaga, Karshan, Davius, Rastrojo, Erodrigufer, Escarlati, Montgomery, FrancoGG, Thijs!bot, Srengel, Barleduc, Mahadeva, Smartlink, Zoom, Escarbot, Drake 81, Blast, Albireo3000, Zifra, Guille, Botones, Isha, Atardecere, Arcibel, Linesor, Tuxkhan, Mpeinadopa, Rrmsjp, BeLi, JAnDbot, Kved, Jalcaire, Mansoncc, Muro de Aguas, Gsrdzl, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Gustronico, Bot-Schafter, Humberto, Netito777, DuranII, Rei-bot, Marvelshine, Zouzoulareina, Phirosiberia, Idioma-bot, Pólux, Bucephala, Tiresias, Lmcuadros, AlnoktaBOT, Cinevoro, VolkovBot, CeR, Snakeyes, Technopat, Galandil, Queninosta, Raystorm, Giancarlotrejo, Db1515, Matdrodes, J4550, BlackBeast, Lucien leGrey, Luis1970, Tatvs, Joagalindo, 3coma14, Muro Bot, Edmenb, Srbanana, BotMultichill, Jmvgpartner, SieBot, Danielba894, Josemarear, PaintBot, Loveless, Carmin, Cobalttempest, BOTarate, Mel 23, Martinetekun, Mcastanon, Greek, Handradec, Gunner 1, Belb, Mafores, PipepBot, Elfodelbosque, DorganBot, Tirithel, Efevb, XalD, Almartor, Javierito92, HUB, Sinh, Kikobot, Nicop, Quijav, Estirabot, Makete, Eduardosalg, Botellín, Fanattiq, Leonpolanco, ElMeBot, Gallowolf, Pan con queso, Botito777, Furti, Walter closser, Leydygavle, Aimerynth, Rαge, Pablo rigel, Fidelbotquegua, -antonio-, Frei sein, Açipni-Lovrij, Hypermarkup, Daniloquispe, Osado, SilvonenBot, Camilo, UA31, AVBOT, David0811, LucienBOT, Angel GN, Diegusjaimes, Weiss M, MelancholieBot, Arjuno3, Error de inicio de sesión, Andreasmperu, Luckas-bot, Dalton2, Petabyte, Nallimbot, FariBOT, Jotterbot, Powerman29, Plugger, Juliofcortazar, Nixón, DSisyphBot, Eññe, SuperBraulio13, Almabot, Manuelt15, Xqbot, Jkbw, SirArsenic, Ricardogpn, Kismalac, Botarel, Skull33, AstaBOTh15, Lacioamor, Dud3, BOTirithel, TiriBOT, TobeBot, Vubo, Demendoza, Ruben800, Abece, AnselmiJuan, Aiurdin, Manuguay, PatruBOT, Ganímedes, KamikazeBot, Fran89, Jcmuoz, Pincho76, Ripchip Bot, Yokop, Tarawa1943, Jorge c2010, Foundling, GrouchoBot, Anfvasquezto, Miss Manzana, EmausBot, Savh, AVIADOR, LolitoTheRipper, Allforrous, Sergio Andres Segovia, J. A. Gélvez, Grillitus, Lakmc90, La persuacion, ARSOSA14, Fridek, TeknoproG, Gustavoraro, MadriCR, Articanos, WikitanvirBot, Frigotoni, Tokvo, Lexinerus, Khencitoo, Rezabot, Abián, Messicraks, MerlIwBot, Juanito figures red, JABO, Marcelicha, Renly, Ginés90, MetroBot, Invadibot, Pitufeta-2011, Jorwen, Flipppado, Cascagil, Grachifan, Jakeadora7, Jeoshua777, Lizy99, Santga, Helmy oved, MrDavo243, Wenuman Reumay, Laalia, Petarzec, Syum90, Baute2010, Kevyn93, Legobot, Alberto ECJ, Luxlupan, JacobRodrigues, Josemarinel, Joaquín Suez, MrCharro, Jarould, Adolfo Joaquinn Gil Espinosa, Arreglaora, Tetra quark, JuanLT2045, Luis.avila.epr, Jhoni hanoski, JonnyCage123 y Anónimos: 669 • Teoría de cuerdas Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa%20de%20cuerdas?oldid=80120645 Colaboradores: Suisui, 4lex, Sabbut, Moriel, Angela, JorgeGG, Robbot, Brane, Interwiki, Ascánder, Tano4595, El Moska, Xenoforme, Jecanre, Porao, Robotico, Casta2k, Digigalos, Boticario, Taichi, Emijrp, Magister Mathematicae, Aadrover, Unf, Chobot, Yrbot, Nemo, YurikBot, Wiki-Bot, Echani, Jdelrio, Ediazrod, José., Maldoror, Cheveri, Milo Rambaldi, CEM-bot, DRoBeR, Alejandrosilvestri, Pello, JMCC1, Ignacio Icke, Papixulooo, Retama, Davius, Antur, Tetrabrain, Erodrigufer, Ingenioso Hidalgo, Thijs!bot, Taikochu, Zupez zeta, Drake 81, RoyFocker, Priamus, Tarantino, Muro de Aguas, TXiKiBoT, Sa, Gustronico, Humberto, Netito777, Sincro, Joniale, KanTagoff, Alefisico, Pólux, Gerwoman, Fernando cervera, Dpeinador, Judas Ali-Qu, Biasoli, Santi Monse, Urdangaray, Technopat, Galandil, Milnksergich, Lahi, Emilioar 2000, Matdrodes, Fernando Estel, Synthebot, Yayoloco, Muro Bot, Alexandrosas, SieBot, Por la verdad, Elprincipedeladulcepena, FowlStar, BOTarate, Diegopisano, Pascow, Tecsie, Yonseca, Zoncera, Miguel, Minterior, SolveCoagula, Eduardosalg, Veon, Davo520, Petruss, Valentin estevanez navarro, Açipni-Lovrij, Osado, UA31, AVBOT, Orthanc Guardian, Ervando, Aletheia Lux, Diegusjaimes, Luckas-bot, FariBOT, Jotterbot, Yonidebot,

18.1. TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

211

Nixón, DirlBot, ArthurBot, SuperBraulio13, PAULOGARCIA2005, Jkbw, Rubinbot, FrescoBot, Peascourt, Snakestay, Botarel, AstaBOTh15, TiriBOT, RedBot, HMC.Puebla, Asoner, Foundling, Miss Manzana, Edslov, Afrasiab, EmausBot, ZéroBot, Mecamático, CLAMP96, Music everywhere, Araujojoan96, Cholostron, Lluciapou, Isabella1992, Antonorsi, KLBot2, AvocatoBot, MetroBot, Cusumbo333, Acratta, Minsbot, LlamaAl, Lu0490, Makecat-bot, Tenedora, HA Reyes, JacobRodrigues, G.R.O.'s Inc., Cristianjoe, Jarould y Anónimos: 217 • Espacio-tiempo Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio-tiempo?oldid=80971615 Colaboradores: Sanbec, Tano4595, Temandocorreo, Rembiapo pohyiete (bot), LeCire, Magister Mathematicae, Orgullobot, RobotQuistnix, Jomra, Javialacarga, Yrbot, Amadís, YurikBot, Fmercury1980, Eskimbot, Fravia, José., Cheveri, Chlewbot, BOTpolicia, CEM-bot, Heavy, Roblespepe, JMCC1, Baiji, Davius, Antur, Montgomery, Thijs!bot, Botones, Isha, Robinson marte, Rafa3040, Muro de Aguas, Gsrdzl, TXiKiBoT, Mercenario97, Gustronico, Humberto, Rei-bot, Nioger, Idioma-bot, Aleﬁsico, Pólux, AlnoktaBOT, VolkovBot, Matdrodes, Sürrell, Muro Bot, Komputisto, Racso, YonaBot, BotMultichill, SieBot, Fvoncina, Ensada, Loveless, Rigenea, Bigsus-bot, BOTarate, Vaycheg, Jarisleif, MetsBot, Antón Francho, DragonBot, Quijav, Eduardosalg, Botellín, Obed Mesa, Rαge, UA31, AVBOT, Elliniká, David0811, Gerardomarcos1492, Diegusjaimes, Davidgutierrezalvarez, MelancholieBot, CarsracBot, Luckas-bot, FariBOT, Jotterbot, Oscar Ernst, FedericoF, Zuliano31, SuperBraulio13, Xqbot, Jkbw, Kismalac, Igna, Botarel, EmBOTellado, TobeBot, Nudereckoner, RedBot, FAL56, PatruBOT, Dinamik-bot, Jorge c2010, Miss Manzana, Astroalicante, EmausBot, Savh, Allforrous, Rubpe19, Waka Waka, MerlIwBot, GMoyano, Roberrpm, MetroBot, DLeandroc, Helmy oved, Cyrax, Addbot, Fresita121011, Bryan Aldair Villalobos, François11, JuanManwell, Matiia, Egis57, Rafgue17, Superdan11111, Tetra quark, Lectorina y Anónimos: 131 • Portal:Cosmología Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Portal%3ACosmolog%C3%ADa?oldid=79705599 Colaboradores: Tetra quark • Anexo:Glosario de relatividad Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo%3AGlosario%20de%20relatividad?oldid=79406457 Colaboradores: Emijrp, Fmercury1980, José., CEM-bot, Davius, David Monteagudo, Jorge c2010, EmausBot, ZéroBot, Metrónomo, KLBot2, Carlospina97 y Anónimos: 6 • Dasein Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Dasein?oldid=77533170 Colaboradores: Ketamino, Folkvanger, Jorge Acevedo Guerra, Xabier, RoyFocker, Mr. X, Muro Bot, Dante Soulcialista, Poco a poco, Arcolas, MastiBot, Diegusjaimes, StigBot, InﬂaBOT, Luis Felipe Schenone, ArthurBot, SuperBraulio13, OsoPolar63, Alekos.rohe, Gustavoadolfo12, ZéroBot, ChessBOT, Grillitus, WikitanvirBot, Elvisor, Beelux, Tenedora, Addbot y Anónimos: 16

18.1.2

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• Archivo:1919_eclipse_negative.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/da/1919_eclipse_negative.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: F. W. Dyson, A. S. Eddington, and C. Davidson, “A Determination of the Deflection of Light by the Sun’s Gravitational Field, from Observations Made at the Total Eclipse of May 29, 1919” Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical or Physical Character (1920): 291-333, on 332. Artista original: F. W. Dyson, A. S. Eddington, and C. Davidson • Archivo:Accretion_disk.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Accretion_disk.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Albert_Einstein_photo_1920.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/10/Albert_Einstein_photo_1920.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: <a data-x-rel='nofollow' class='external text' href='http://www.archive.org/details/scientificmonth03sciegoog'>"The Solar Eclipse of May 29, 1919, and the Einstein Effect,” The Scientific Monthly 10:4 (1920), 418-422, on p. 418</a>. Artista original: unknown photographer. Scientific Monthly doesn't give photographer credit; the caption reads just “Professor Albert Einstein, University of Berlin” • Archivo:Artículo_bueno.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Art%C3%ADculo_bueno.svg Licencia: Public domain Colaboradores: Circle taken from Image:Symbol support vote.svg Artista original: Paintman y Chabacano • Archivo:BHentropy.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9f/BHentropy.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: TimothyRias • Archivo:BlackHole_Lensing.gif Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d6/BlackHole_Lensing.gif Licencia: CC-BYSA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Black_Hole_Milkyway.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cd/Black_Hole_Milkyway.jpg Licencia: CC BY-SA 2.5 Colaboradores: Gallery of Space Time Travel Artista original: Ute Kraus, Physics education group Kraus, Universität Hildesheim, Space Time Travel, (background image of the milky way: Axel Mellinger) • Archivo:Black_hole_lensing_web.gif Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/03/Black_hole_lensing_web.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: en:Image:BlackHole_Lensing_2.gif Artista original: Urbane Legend (optimised for web use by Alain r) • Archivo:CL0024+17.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/CL0024%2B17.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2007/17/image/a/ (direct link) Artista original: NASA, ESA, M.J. Jee and H. Ford (Johns Hopkins University) • Archivo:Celestia_sun.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b3/Celestia_sun.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: Trabajo propio (Screenshot) Artista original: charles • Archivo:Commons-emblem-doc.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/27/Commons-emblem-doc.svg Licencia: GPL Colaboradores: • Commons-emblem-notice.svg Artista original: GNOME icon artists, Fitoschido • Archivo:Commons-emblem-question_book_orange.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Commons-emblem-question_ book_orange.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: <a href='//commons.wikimedia.org/wiki/File:Commons-emblem-issue.svg' class='image'><img alt='Commons-emblem-issue.svg' src='//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Commons-emblem-issue.svg/25px-Commons-emblem-issue. svg.png' width='25' height='25' srcset='//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Commons-emblem-issue.svg/38px-Commons-emblem-issue.

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CAPÍTULO 18. DASEIN

svg.png 1.5x, //upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/bc/Commons-emblem-issue.svg/50px-Commons-emblem-issue.svg.png 2x' data-file-width='48' data-file-height='48' /></a> + <a href='//commons.wikimedia.org/wiki/File:Question_book.svg' class='image'><img alt='Question book.svg' src='//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Question_book.svg/25px-Question_book.svg.png' width='25' height='20' srcset='//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Question_book.svg/38px-Question_book.svg.png 1.5x, //upload. wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/97/Question_book.svg/50px-Question_book.svg.png 2x' data-file-width='252' data-file-height='199' /></a> Artista original: GNOME icon artists, Jorge 2701 • Archivo:Commons-logo.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Licencia: Public domain Colaboradores: This version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features. 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Bouwens, Leiden University; and the HUDF09 Team • Archivo:Constellation_Fornax,_EXtreme_Deep_Field_(cropped).jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/09/Constellation_ Fornax%2C_EXtreme_Deep_Field_%28cropped%29.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://hubblesite.org/newscenter/archive/ releases/2012/37/image/a/warn/, http://www.nasa.gov/images/content/690958main_p1237a1.jpg (cropped by uploader) Artista original: NASA; ESA; G. Illingworth, D. Magee, and P. Oesch, University of California, Santa Cruz; R. Bouwens, Leiden University; and the HUDF09 Team • Archivo:Cosmological_composition.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/Cosmological_composition.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: ? 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Spanish translation by Luis Fernández García • Archivo:GalacticRotation2.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b9/GalacticRotation2.svg Licencia: CC-BY-SA3.0 Colaboradores: Trabajo propio in Inkscape 0.42 Artista original: PhilHibbs • Archivo:Geodesiques.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1f/Geodesiques.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Gottfried_Wilhelm_von_Leibniz. jpg Licencia: Public domain Colaboradores: /gbrown/philosophers/leibniz/BritannicaPages/Leibniz/LeibnizGif.html Artista original: Christoph Bernhard Francke • Archivo:Gravitational_lens-full.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/Gravitational_lens-full.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Gravitational_red-shifting.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Gravitational_red-shifting.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Gravitationell-lins-4.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Gravitationell-lins-4.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://hubblesite.org/newscenter/newsdesk/archive/releases/2003/01/image/a Artista original: NASA, N. Benitez (JHU), T. Broadhurst (Racah Institute of Physics/The Hebrew University), H. Ford (JHU), M. Clampin (STScI),G. Hartig (STScI), G. Illingworth (UCO/Lick Observatory), the ACS Science Team and ESA • Archivo:Help_books.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/53/Help_books.svg Licencia: GPL Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Henri_Bergson.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/02/Henri_Bergson.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: Fonds Doucet (Seuil) Artista original: A.Gerschel [source? life dates?]

18.1. TEXT AND IMAGE SOURCES, CONTRIBUTORS, AND LICENSES

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Edited by Noodle snacks • Archivo:ISO_639_Icon_en.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ef/ISO_639_Icon_en.svg Licencia: Public domain Colaboradores: created with mk_iso639.pl Artista original: Claus Färber (3247); based on bitmap image by Nataraja. • Archivo:Icono_de_traducción.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/40/Icono_de_traducci%C3%B3n.svg Licencia: GFDL Colaboradores: trabajo propio a partir de image:View-refresh.svg y image:Japanese Hiragana kyokashotai A.svg Artista original: Rastrojo ₍D•ES₎ • Archivo:Ilc_9yr_moll4096.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3c/Ilc_9yr_moll4096.png Licencia: Public domain Colaboradores: http://map.gsfc.nasa.gov/media/121238/ilc_9yr_moll4096.png Artista original: NASA / WMAP Science Team • Archivo:Irregular_galaxy_NGC_1427A_(captured_by_the_Hubble_Space_Telescope).jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/b/b7/Irregular_galaxy_NGC_1427A_%28captured_by_the_Hubble_Space_Telescope%29.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/2005/09/image/a/ (direct link) Artista original: NASA, ESA, and The Hubble Heritage Team (STScI/AURA) • Archivo:Lemaitre.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/52/Lemaitre.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:LorentzContraction.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f4/LorentzContraction.svg Licencia: CC-BYSA-3.0 Colaboradores: • Graph_for_explanation_of_Lorentz_contraction.png Artista original: Graph_for_explanation_of_Lorentz_contraction.png: Spirituelle • Archivo:Líneas_de_universo_curvas.PNG Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/L%C3%ADneas_de_universo_ curvas.PNG Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: ? • Archivo:Líneas_de_universo_llanas.PNG Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5f/L%C3%ADneas_de_universo_llanas. PNG Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Fmercury1980 • Archivo:Malus_florentina0.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fb/Malus_florentina0.jpg Licencia: CC-BY-SA3.0 Colaboradores: caliban.mpiz-koeln.mpg.de/mavica/index.html part of www.biolib.de Artista original: Kurt Stüber [1] • Archivo:Metric_globe.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a0/Metric_globe.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Mapos • Archivo:MinkowskiDiagram.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/10/MinkowskiDiagram.svg Licencia: CC-BYSA-3.0 Colaboradores: • Minkowski_diagram_-_asymmetric.png Artista original: Minkowski_diagram_-_asymmetric.png: Wolfgangbeyer • Archivo:NASA-JPL-Caltech_-_Double_the_Rubble_(PIA11375)_(pd).jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/ 7a/NASA-JPL-Caltech_-_Double_the_Rubble_%28PIA11375%29_%28pd%29.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: Double the Rubble Artista original: NASA/JPL-Caltech • Archivo:Neutrino4.gif Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1d/Neutrino4.gif Licencia: CC BY-SA 4.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Luis.avila.epr • Archivo:Ngc1316_hst.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Ngc1316_hst.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: • http://www.spacetelescope.org/images/html/opo0511a.html Artista original: NASA, ESA, and The Hubble Heritage Team (STScI/AURA) • Archivo:Null_spherical_space_(special_relativity).jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/39/Null_spherical_space_ %28special_relativity%29.jpg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: http://en.wikipedia.org/wiki/Image:Sr3.jpg Artista original: user:Kevin Baas • Archivo:Point&string.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/47/Point%26string.png Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Question.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/30/Question.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Realistic_black_hole_in_the_interstellar_movie.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Realistic_black_ hole_in_the_interstellar_movie.jpg Licencia: CC BY 3.0 Colaboradores: Gravitational lensing by spinning black holes in astrophysics, and in the movie Interstellar Artista original: Oliver James, Eugénie von Tunzelmann, Paul Franklin and Kip S Thorne • Archivo:Relativity-formula.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/85/Relativity-formula.png Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Relativity5_Walk_of_Ideas_Berlin.JPG Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e8/Relativity5_Walk_of_Ideas_ Berlin.JPG Licencia: CC BY 2.5 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Lienhard Schulz • Archivo:Rotating_Black_Hole.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/40/Rotating_Black_Hole.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ?

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CAPÍTULO 18. DASEIN

• Archivo:S95e5221.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/cb/S95e5221.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://spaceflight.nasa.gov/gallery/images/shuttle/sts-95/html/s95e5221.html Artista original: NASA • Archivo:SN_2006gy,_NASA_illustration.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/96/SN_2006gy%2C_NASA_illustration. jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://chandra.harvard.edu/photo/2007/sn2006gy/more.html#sn2006gy_xray Artista original: Credit: NASA/CXC/M.Weiss • Archivo:STS-107_crew_in_orbit.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5d/STS-107_crew_in_orbit.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: Picture was recovered from a roll of film found in the STS-107 crash debris. Artista original: Not known (and will likely never be known), but as it was taken during the mission and ultimately recovered by NASA, it is in the public domain. • Archivo:Solar_sys.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Solar_sys.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: http://www.nasa.gov/ Artista original: Harman Smith and Laura Generosa (nee Berwin), graphic artists and contractors to NASA’s Jet Propulsion Laboratory. • Archivo:Spacetime_curvature.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/Spacetime_curvature.png Licencia: CCBY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Spanish_Wikiquote.SVG Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/13/Spanish_Wikiquote.SVG Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: derived from Wikiquote-logo.svg Artista original: James.mcd.nz • Archivo:Speed_of_light_from_Earth_to_Moon.gif Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/60/Speed_of_light_from_ Earth_to_Moon.gif Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Made by English Wikipedian en:User:Cantus. Artista original: en:User:Cantus • Archivo:Sr1.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Sr1.jpg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Star_collapse_to_black_hole.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/20/Star_collapse_to_black_hole.png Licencia: CC BY-SA 2.5 Colaboradores: ? 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Artista original: ? • Archivo:Titian_-_Allegorie_der_Zeit.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a7/Titian_-_Allegorie_der_Zeit.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: Official gallery link Artista original: Tiziano y taller • Archivo:Universe_expansion_es.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/00/Universe_expansion_es.png Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Universum.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/06/Universum.jpg Licencia: CC BY-SA 2.5 Colaboradores: Heikenwaelder Hugo, Austria, Email : heikenwaelder@aon.at, www.heikenwaelder.at Artista original: Heikenwaelder Hugo, Austria, Email : heikenwaelder@aon.at, www.heikenwaelder.at • Archivo:WMAP.jpg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a5/WMAP.jpg Licencia: Public domain Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:Wikibooks-logo.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fa/Wikibooks-logo.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: User:Bastique, User:Ramac et al. • Archivo:Wikinews-logo.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/24/Wikinews-logo.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: This is a cropped version of Image:Wikinews-logo-en.png. Artista original: Vectorized by Simon 01:05, 2 August 2006 (UTC) Updated by Time3000 17 April 2007 to use official Wikinews colours and appear correctly on dark backgrounds. Originally uploaded by Simon. • Archivo:Wiktionary-logo-es.png Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/06/Wiktionary-logo-es.png Licencia: CC BYSA 3.0 Colaboradores: originally uploaded there by author, self-made by author Artista original: es:Usuario:Pybalo • Archivo:Wiktionary-logo.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ec/Wiktionary-logo.svg Licencia: CC BY-SA 3.0 Colaboradores: ? Artista original: ? • Archivo:World_line-es.svg Fuente: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/World_line-es.svg Licencia: CC-BY-SA-3.0 Colaboradores: Trabajo propio Artista original: Spanish version: User:Ignacio Icke SVG version (English): K. 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18.1.3

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