come costruire uno scaldabagno by grazia cotroni

Come costruire uno scaldabagno?

Docente: Grazia Cotroni

A cosa serve uno scaldabagno? Lo scaldabagno è un apparecchio che contiene dell’acqua e la mantiene calda il più a lungo possibile.

Come deve essere costruito? Uno scaldabagno deve essere costruito in modo da disperdere il meno possibile il calore conservando calda lâ&#x20AC;&#x2122;acqua che contiene.

Il calore contenuto nell’acqua da cosa dipende? Il calore dipende da 2 cose: • dalla temperatura dell’acqua (più è calda, maggiore è la quantità di calore che contiene) • dal volume. Esempio(candela-termosifone): Chi ha più calore? termosifone

Ma come si disperde il calore? Il calore viene disperso nell’aria fredda attraverso la superficie dello scaldabagno. Quindi maggiore è la superficie esterna dello scaldabagno, maggiore sarà la dispersione di calore.

Sintesi Una volta fissata la temperatura, il calore contenuto in un corpo (nel nostro caso lo scaldabagno) Ă¨ proporzionale al volume, mentre la perdita di calore, (o meglio la velocitĂ con cui perde il calore, o la perdita di calore in un dato tempo), Ă¨ proporzionale alla superficie. Calore di un corpo

Aumenta se aumenta il volume Si disperde se aumenta la superficie

Cosa vogliamo?

un corpo che abbia un gran volume ma con poca superficie

Qual è lo scaldabagno più efficiente? Lo scaldabagno sarà più efficiente, sempre dal punto di vista della conservazione del calore, quanto meno calore perde verso l’ambiente, cioè quanto minore è la sua superficie, naturalmente tendendo conto che deve contenere una certa quantità d’acqua.

Problema di geometria

Fra tutti i corpi di un dato volume, qual Ă¨ quello che ha una superficie minore?

Fra tutti i corpi di un dato volume, qual è quello che ha una superficie minore? Se riusciamo a rispondere a questa domanda, uno scaldabagno di quella forma, a parità di tutto il resto conserverà il calore meglio di tutti gli altri e inoltre poiché abbiamo minimizzato la superficie avremmo risparmiato anche in materiale utilizzato!

Teorema 1 Tra tutti i solidi la cui superficie ha area assegnata, quello di volume massimo Ă¨ la sfera. E viceversa Tra tutti i solidi che hanno volume fissato quello che ha superficie minima Ă¨ la sfera.

La dimostrazione La dimostrazione Ă¨ difficile e contiene argomenti che non abbiamo trattato. Infatti noi abbiamo studiato funzioni ad una sola variabile perchĂŠ eravamo nel piano Oxy, mentre ora dato che parliamo di volume fissato, siamo nello spazio e quindi si tratta di studiare una funzione a due variabili.

Ma esiste una cosa analoga nel piano? Teorema 2 Tra tutti i poligoni regolari di area fissata quello che ha perimetro minimo Ă¨ il cerchio e viceversa Tra tutti i poligoni regolari isoperimetrici (cioĂ¨ con lo stesso perimetro) quello che ha area massima Ă¨ il cerchio.

Ma perché parliamo solo di poligoni regolari? Si può dimostrare la seguente proprietà: Fra tutti i poligoni equivalenti (stessa area) con un numero fissato di lati, il poligono regolare è quello che ha perimetro minimo.

Fra tutti i poligoni isoperimetrici (stesso perimetro) con un numero fissato di lati, il poligono regolare è quello che ha area massima.

Si noti la reciprocità: scambiando le parole perimetro con area e minimo con massimo otteniamo il teorema reciproco

Qualche esempio Si può dimostrare che: • Teorema 1: Fra tutti i rettangoli di dato perimetro il quadrato ha l’area massima. • Teorema 1*: Fra tutti i rettangoli di fissata area il quadrato ha perimetro minimo. • Teorema 2: Tra i triangoli equivalenti di base fissata quello di perimetro minimo è il triangolo isoscele. • Teorema 2*: Tra i triangoli isoperimetrici di base fissata quello di area massima è il triangolo isoscele. • Teorema 3: Tra i triangoli isoperimetrici isosceli la figura avente area maggiore è il triangolo equilatero.

Sintetizzando Abbiamo visto che a paritĂ di area e di numero di lati, i poligoni regolari sono quelli che rendono minimo il perimetro. Ora ci chiediamo: A paritĂ solo di area, potendo utilizzare un numero qualsiasi di lati, qual Ă¨ il poligono con perimetro minimo?

Teorema: Tra tutti i poligoni regolari equiestesi (stessa area) quello di perimetro minimo Ă¨ il cerchio.

Come il cerchio… Così come il cerchio possiede la proprietà isoperimetrica nel piano, la sfera la possiede nello spazio tridimensionale. A parità parità di superficie esterna il solido che contiene il maggior volume è la sfera.

Assegnato il volume da contenere, la sfera è il solido che contiene quell’assegnat o volume con la minor superficie esterna

Bolle di sapone… Grazie a questi risultati possiamo capire anche come mai le bolle di sapone hanno forma sferica. Infatti Le bolle seguono il principio fisico di minimizzazione, una legge di "sforzo minimo". In una bolla di sapone la tensione superficiale tende sempre, come per magia, a minimizzare la superficie: per una data quantità di volume d’aria (quello da noi soffiato) la forma con la superficie più piccola è la sfera.

E se ostacoliamo la bolla di sapone? Esperimento in classe

Ritorniamo allo scaldabagno… Avete mai visto uno scaldabagno sferico? o Gli scaldabagni si attaccano alle pareti, e uno di forma sferica ingombrerebbe troppo. o La sfera non è una superficie sviluppabile ( cioè non è possibile aprirla e stenderla su un piano come lo sono ad esempio il cilindro e il cono). o Quindi si preferisce farli cilindrici, che oltre ad essere sviluppabili sono anche adatti ad essere appesi alle pareti del bagno o della cucina senza ingombrare troppo.

Ma quale tipo di cilindro? Ă&#x2C6; meglio un cilindro grosso e tozzo o uno lungo e stretto? cioĂ¨ Tra i cilindri di volume fissato, qual Ă¨ quello che ha la superficie minima?

πr2

Alla ricerca del cilindro migliore… Questo cilindro ha altezza h e per base un cerchio di raggio r. • Il suo volume è dato dall’area della base che corrisponde all’area del cerchio moltiplicata per l’altezza;

• la superficie laterale è data dalla circonferenza della base, per l’altezza h e dall’area delle due basi

2 V=πrh

Alla ricerca del cilindro migliore… Ricaviamo l’altezza h dalla formula del volume

V h= 2 Sostituiamo questo πr valore

nella formula della superficie esterna.

V 2 SE =2πrh+2πr =2πr 2 +2πr πr V 2 SE =2 +2πr r 2

Alla ricerca del cilindro migliore… Dato che vogliamo la superficie minima facciamo la derivata della superficie esterna rispetto al raggio:

V S = −2 2 + 4π r r ' E

Imponiamo la crescenza

V −2 2 + 4π r > 0 r

Alla ricerca del cilindro migliore… Facciamo il minimo comune multiplo 3

−2V + 4π r >0 2 r Imponiamo la crescenza

−2V + 4πr > 0  2  r >0 3

⇒

 −2 V − 2πr3 > 0  sempre con x ≠ 0

(

)

 V −2πr3 < 0  −2πr3 <−V ⇒   sempre con x ≠ 0 sempre con x ≠ 0

Alla ricerca del cilindro migliore…  V  3 3 r >  −2πr <−V  ⇒  2π  sempre con x ≠ 0 sempre con x ≠ 0  3

 V r>3  2π  sempre con x ≠ 0 

Quindi abbiamo un minimo per

V r=3 2π

V 2π

Ma che relazione c’è con l’altezza? Andando poi a sostituire il valore di r che minimizza la superficie esterna, alla formula di h, otteniamo che l’altezza del cilindro che ha superficie minima deve essere 2r Possiamo allora dire che Tra tutti i cilindri di volume fissato, quello che ha superficie minore è quello che ha l’altezza uguale al diametro della base. Questo cilindro si chiama cilindro equilatero.

La battaglia tra cilindro e sfera Il cilindro equilatero vince solo su tutti i cilindri, se invece consideriamo tutti i solidi, allora a paritĂ di volume la sfera ha la superficie minima.

E la natura come si comporta? La natura non fa sprechi nei suoi imballaggi â&#x20AC;Ś

La natura non fa sprechiâ&#x20AC;Ś

Ma anche gli animali sfruttano la forma sferica Prendiamo per esempio un pinguino. Specie prima dell’inverno, quando è al massimo della grassezza, cioè della pinguedine, assomiglia molto ad una palla bianca e nera. Nel suo caso la superficie minima della forma sferica garantisce una minore esposizione ai venti gelidi e al freddo polare. C’è da dire poi che dovendo vivere anche in acqua per molto tempo della loro vita la forma non è propriamente sferica, è affusolata, idrodinamica.

Ma anche gli animali sfruttano la forma sferica L e alici quando sfuggono ad un predatore si riuniscono in tondo a formare una sfera. Lo fanno per diminuire il numero di poverette che sono sotto lâ&#x20AC;&#x2122;attacco del predatore. Inoltre vogliono intimorire il predatore cercando di sembrare un organismo unico e grande. Questo lo fanno anche le pecore.

Ma anche gli animali sfruttano la forma sferica

La natura non fa sprechiâ&#x20AC;Ś

Legge di Allen Nella stessa specie, gli animali che vivono nellâ&#x20AC;&#x2122;artico, o in genere nei climi piĂš freddi, hanno una forma piĂš tondeggiante, con orecchie e zampe piĂš corte, di quelli dei climi temperati. E questo sempre per lo stesso motivo: conservare il calore!

C’entra anche la cucina… Cuociono prima le polpettine rispetto al polpettone…

E noi sfruttiamo questa legge? Pensiamo a quando fa freddo e dentro al letto ci rannicchiamo, come una palla.. Questo lo facciamo per offrire la minore superficie possibile al freddo circostante e non disperdere il calore del nostro corpo. Quando invece fa caldo, ci si stende al massimo in modo da raffreddarsi piĂš che si puĂ˛.

Noi sfruttiamo questa legge anche… Nella costruzione di barattoli si usa la lamiera, che come tutto ha il suo prezzo. Allora, almeno che non ci siano delle altre circostanze che consigliano una forma diversa, è più economico dare alle scatole di conserva la forma che permette di risparmiare lamiera. Anche qui, la cosa migliore sarebbe farle sferiche, ma … non sarebbe molto comodo avere delle scatole di pelati sferiche in una credenza …