GUIA

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UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA CALIDAD, PERTINENCIA Y CALIDEZ VICERRECTORADO ACADÉMICO DIRECCIÓN DE NIVELACIÓN Y ADMISIÓN

PROYECTO DE MATEMÁTICAS TEMA: FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL (Elaboración de Guía y Video tutorial) DOCENETE: ING. MARIUXI MARQUEZ ÁREA: EDUCACIÓN COMERCIAL PARALELO: V07 INTEGRANTES: ARCENTALES CRISTHIAN ASANZA YORDY AZUERO VERÓNICA MOROCHO ROBERTO ZAVALA KAREN SEGUNDO SEMESTRE 2015

OBJETIVOS:

Suprimir algunos mitos, como que las matemáticas son complicadas. Conseguir que los estudiantes apliquen los conocimientos adquiridos mediante una breve pero clara exposición de ejercicios varios, estudiado en el presente periodo del curso de nivelación. Lograr que el estudiantado se sienta motivado por las Matemáticas. Incrementar el nivel de creatividad de todos los estudiantes.

JUSTIFICACIÓN DEL PROYECTO DE AULA

La importancia que tiene el presente trabajo, radica en el hecho de que todos quienes conformen el equipo de trabajo del proyecto de aula, se verán obligados a esforzarse al máximo para conseguir resultados satisfactorios en la ejecución del mismo, es decir con este proyecto los estudiantes potenciarán sus habilidades y destrezas adquiridas durante el presente curso, así como las diferentes cualidades innatas con las cuales nacieron.

Así también mediante la construcción de este proyecto de aula los estudiantes de Nivelación de la Universidad Técnica de Machala lograrán reflexionar y entender, sobre los problemas que tuvieron en la secundaria con ejercicios matemáticos, que en realidad resultaron ser fáciles; sólo es cuestión de práctica y de tener una guía a la que los estudiantes puedan entender. Y qué mejor guía que la de otros jóvenes, que manejan los temas y que por su condición de estudiantes sabrán compartir el conocimiento de la manera en que les gustaría que les enseñen.

ÍNDICE

DESARROLLO Funciones._ Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento x de D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

El Dominio: El dominio, en términos no técnicos, son todos los valores que se le pueden dar a la variable x con los cuales la variable dependiente y adquiere a su vez un valor real y bien determinado. O bien, son todos los valores que se le pueden dar a la variable x con los cuales se obtiene su gráfica. El dominio es el conjunto de puntos o valores que puede tomar la variable independiente x en los cuales está definida la función. Obsérvese que en el ejemplo de la circunferencia anterior no se le pudo dar a la x el valor de x = 11 porque no se podía obtener nada para la variable y; significa que no pertenece x = 11 al dominio. Visto en la gráfica, en no hay gráfica Los valores que no puede tomar la variable x son dos: los que hacen cero el denominador o los que hacen negativa una raíz cuadrada. En realidad hay más, pero en este curso solamente se tomarán en cuenta esos dos El dominio de cualquier función son todos los valores o números de la recta numérica, desde hasta, que queden después de quitar todos − ∞ + ∞ aquellos que hacen cero el denominador (o denominadores) o que hagan negativa una raíz cuadrada. Para encontrar los valores que hacen cero el denominador (o los denominadores), se iguala a cero el denominador y se resuelve la ecuación que resulta. Para encontrar los valores que hacen negativa una raíz cuadrada se construye una

desigualdad haciendo el subradical menor que cero. No tenga raĂ­ces cuadradas, su dominio son todas las x, es decir, toda la recta numĂŠrica, escrito: − ∞ < X < +∞. Ejemplo 1: Hallar el dominio de f(x)=

2đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľâˆ’2

SoluciĂłn: En este caso no hay raĂ­ces cuadradas, pero sĂ­ existe un denominador con variable. Entonces debe buscarse el valor que hace cero ese denominador y excluirlo de la recta numĂŠrica. El valor que hace cero el denominador se obtiene haciendo X − 2 =0 De donde

x=2

Este es el único valor que no puede tomar la x, por lo tanto el dominio son todos los de la recta numÊrica menos el 2, lo cual se escribe de cualquiera de las siguientes formas: X≠2

O bien

O tambiĂŠn

x<2Ux >2

(−∞,2) âˆŞ (+ ∞, 2).

Rango: El rango de una funciĂłn es equivalente al dominio, solamente que mientras ĂŠste es sobre el eje de las x, el rango es sobre el eje de las y. Analizado la funciĂłn desde su grĂĄfica, aunque de manera no muy formal se puede decir que el dominio es el intervalo de valores de la x en la que existe su grĂĄfica, mientras que el rango es el intervalo de valores de la y en la que existe su grĂĄfica. Ejemplo 2: Hallar el dominio y el rango de y=

4−3đ?‘Ľ 2 đ?‘Ľ2

Solución: El dominio, como no hay raíz cuadrada, son los valores que quedan luego de quitar aquellos que hacen cero el denominador, es decir que � 2 = 0, o sea X=0 Por lo tanto, el dominio es: X≠0

Para calcular el rango, primero se despeja la x:

y=

đ?&#x;’−đ?&#x;‘ đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;?

đ?’™đ?&#x;? đ?’š = đ?&#x;’ − đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? đ?’™đ?&#x;? đ?’š + đ?&#x;‘đ?’™đ?&#x;? = đ?&#x;’ đ?’™đ?&#x;? (đ?’š − đ?&#x;‘) = đ?&#x;’ đ?’™đ?&#x;? =

đ?&#x;’ đ?’š+đ?&#x;‘ đ?&#x;’

X= √đ?’š+đ?&#x;‘ X=

√đ?&#x;’

√đ?’šâˆ’đ?&#x;‘

X=

đ?&#x;? √đ?’š+đ?&#x;‘

Luego de obtener una expresiĂłn con la variable x despejada, se analizan los valores de la variable y que hacen cero el denominador y que hacen negativa la raĂ­z cuadrada

Valores que hace cero el denominador

Valores que hacen cero el denominador:

Valores que hacen negativa la raíz cuadrada:

Y+3=0

y+3< 0

Y=-3

Y < -3

Eliminando estos valores de la recta numérica, lo que queda son los valores válidos, es decir, el rango. El rango es y > 3

Asíntotas: Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y que se comporta como un límite gráfico hacia la cual la gráfica se aproxima indefinidamente pero nunca la toca y mucho menos la brinca. A medida que la variable independiente de la función tiende hacia un cierto valor, la correspondiente variable dependiente tiende a infinito, cualquiera que este sea. En general, la recta puede tener cualquier orientación, sin embargo, en nuestro caso únicamente estudiaremos las: Asíntotas Verticales: Como su nombre lo indica, son rectas verticales asociadas a la función. Se encuentran presentes únicamente en funciones racionales de la forma: F(x) = g(x) / h(x)

Y se determinan encontrando las raíces del denominador h(x) correspondiente. Tales valores reciben el nombre de Polos de la función. Entonces, el número de polos asociados a una función determinarán el número de asíntotas verticales que tiene tal función. Sea el ejemplo siguiente:

• Obtenga las asĂ­ntotas verticales de la funciĂłn: đ?&#x;’

F (x) = ( đ?’™âˆ’đ?&#x;’) Como lo indicamos en el pĂĄrrafo anterior, para determinar las asĂ­ntotas de ĂŠsta funciĂłn obtenemos sus polos, los que, como ya mencionamos, son los valores de “x “para los cuales H (x) = 0. Sabemos que en los casos en los cuales h(x) = 0 la funciĂłn se indetermina es decir su valor tiende a infinito. En este ejemplo la asĂ­ntota se encuentra en: x – 4 = 0; es decir en x = 4. La recta x = 4 es la asĂ­ntota de esta funciĂłn, que es Ăşnica, ya que el denominador es un tĂŠrmino lineal lo que implica que solamente en un valor se anula. La grĂĄfica correspondiente se muestra en la figura siguiente. En ella vemos que a medida que x se aproxima a 4 el cociente aumenta indefinidamente. AsĂ­ntota Horizontal: Como su nombre lo indica, son rectas horizontales asociadas a la funciĂłn. Se encuentran presentes Ăşnicamente en funciones racionales de la forma: f(x) = g(x) / h(x) y se determinan haciendo que la variable independiente “ x “, tienda al infinito lo que trae como consecuencia que la funciĂłn cociente tienda a un valor determinado fijo, al que nunca va a llegar y mucho menos sobrepasar. ConsidĂŠrese el caso de una funciĂłn racional cuyos tĂŠrminos son polinomios dada por: M. C. J. AGUSTĂ?N FLORES AVILA 88 CALCULO CAPITULO 1 f(x) = P(x) / Q(x) Dependiendo de la elaciĂłn entre los grados de los dos polinomios, tendremos los siguientes casos: 1. – El Polinomio P(x) del Numerador y Polinomio Q(x) del Denominador tienen el mismo grado. 2. – El grado del Polinomio Q(x) del Denominador es mayor que el grado del Polinomio P(x) del Numerador.

En estos casos la asĂ­ntota es la recta y = 0, como veremos en el siguiente ejemplo. đ?&#x;’đ?’™+đ?&#x;?

F (x) = (đ?’™đ?&#x;? −đ?&#x;“đ?’™+đ?&#x;” ) Procedemos a tomar el denominador Polos = x2 – 5x + 6 = 0 Luego extraemos la raĂ­z de la incĂłgnita, en este caso “xâ€? y procedemos a buscar dos nĂşmeros que multiplicados den el valor del coeficiente y que a su vez sumados o restados den el tĂŠrmino del medio. (x – 2) (x – 3) = 0

Luego pasa abajo con el signo opuesto y esas serĂ­an las asĂ­ntotas verticales.

x=2yx=3

Función Inyectiva: Según (INSTITUTO UNIVERSITARIO DETECNOLOGIA INDUSTRIAL RODOLFO LOERO ARISMENDI, 2001) Una función es Inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x, y) pertenecientes a la función, las y no se repiten. Planteamiento del problema: 

Dado los datos obtenidos de los resultados de los resultados dela encuesta que se realizó en el sector ¨Teniente Ledesma¨ del Cantón de El Guabo, se aplicara la siguiente función Inyectiva:

ResoluciĂłn del problema: Una funciĂłn F de dominio D=Dom (F) es Inyectiva cuando elementos distintos de D le corresponden imĂĄgenes distintas:

Si X₁, X₂ЄD:X₁≠X₂→F(X₁) ≠F(X₂) Dos elementos distintos del dominio D no pueden tener la misma imagen:

X

F(X)

Y

Dom (F)

Lm (F)

X₁

F(X₃)

X₂

F(X₁)

X₃

F(X₂)

X₄

F(X₄)

F(X₁) =F(X₂) →4X₁-1=4X₂-1→4X₁=4X₂→X₁=X₂

Función Sobreyectiva: Según (INSTITUTO UNIVERSITARIO DETECNOLOGIA INDUSTRIAL RODOLFO LOERO ARISMENDI, 2001) Sea f una función de A en B, f es una función epiyectiva (también llamada Sobreyectiva), si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, bajo f. Planteamiento del problema: Con los datos obtenidos en la encuesta nos arroja los siguientes resultados obtenidos del proyecto la contaminación del suelo del sector ¨Teniente Ledesma¨ del Cantón de El Guabo. Resolución del problema: Una función F: X→Y, es una función Sobreyectiva si: Lm (F) =Y

Esto significa que todo elemento є Y es la imagen de al menos un elemento X є A. Es decir la imagen de F coincide con el conjunto final.

F(X) Y=Lm (F)

X

X₁

F(X₃)

X₂

F(X₁)

X₃

F(X₂)

X₄

F(X₄)

X₅

Función Biyectiva: En matemáticas, una función es Biyectiva si es al mismo tiempo Inyectiva y Sobreyectiva; es decir, si todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, y a cada elemento del conjunto de llegada le corresponde un elemento del conjunto de salida. Formalmente, dada una función :

La función es biyectiva si se cumple la siguiente condición:

Es decir, si para todo función evaluada en

de

se cumple que existe un único

es igual a .

de

, tal que la

Dados dos conjuntos y sólo si

e

e

finitos, entonces existirá una biyección entre ambos si

tienen el mismo número de elementos.

La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.(MELCHOR, 2014) INTERPRETACIÓN GRÁFICA

Observamos que el rango coincide con el conjunto de llegada y cada elemento de este es imagen de un solo elemento del dominio, es decir, es Sobreyectiva e Inyectiva a la vez. EJEMPLO

Sea la función :{(2;b), (6: a), (7; c)}, definida de A en B mediante el grafico de la figura.

Podemos afirmar que: I.

A elementos diferentes del domino le corresponden imágenes diferentes.

II.

El rango de esta formado por los elementos a, b, c que forman todo el conjunto de llegada B.

De (I) y (II) concluimos que la aplicación(

es biyectiva de A en B)

Función Lineal: Una función lineal es una función cuyo dominio son todos los números reales, cuyo condominio también todos los números reales, y cuya expresión analítica es un polinomio de primer grado. La función lineal se define por la ecuación f(x) = mx + b ó y = mx + b llamada ecuación canónica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y. Una función lineal cumple además, que el incremento de los valores de los elementos del dominio es proporcional al incremento de los valores en el condominio, siempre que m no sea cero. Definición: f: R —> R / f(x) = m.x+b donde m y b son números reales, es una función lineal. Según J.P.G Lejeune-Dirichlet quien describió: “Una Variable es un símbolo que representa un numero dentro de un conjunto de ello. Do variable de X o Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X, entonces por alguna regla o correspondencia se la asigna un valor automáticamente a Y” Ejercicio: 

Dado los datos obtenidos en el sector “Teniente Ledesma” para su tabulación se utilizara la siguiente función:

F(x)= 2x+3

1) Para resolver la siguiente funciĂłn procederemos a realizar una tabla de valores la cual en X se escogen los valores que uno desee en el centro ira la funciĂłn y por ultimo Y la cual la calcularemos al reemplazar los valores escogidos en X en la funciĂłn y resolvemos. como procederemos a resolver: X

F(x)= 2x+3

Y

0

F(0) = 2(0)+3

3

1

F(1) = 2(1)+3

5

2

F(2) = 2(2)+3

7

-1

F(-1) = 2(-1)+3

1

-2

F(-2) = 2(-2)+3

-1

2) Luego de haber realizado la tabla de valores y haber obtenido los valores de Y ,procederemos a identificar los puntos: X

Y

0

3

1

5

2

7

-1

1

-2

-1

(0,3) (1,5) (2,7) (-1,1) (-2,-1)

3) Luego de obtener los puntos procedemos a calcular la pendiente mediante la fĂłrmula:

đ?‘š=

Y2 − Y1 X2 − X1

Para la cual tomaremos dos puntos al azar y empezamos a sustituirlos en la fĂłrmula. Para lo cual 1=X1, 5=Y1 y 2= X2, 7=Y2 (1,5) y (2,7)

đ?‘š=

7−5 2−1

đ?‘š=

2 1

đ?‘š=2

4) Luego se procede a graficar los puntos y comprobar si la funciĂłn es lineal. Debido a que la lĂ­nea debe ser recta.

Valores Y 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0 -1 -2

0,5

1

1,5

2

2,5

Función Cuadrática: En matemáticas, una función cuadrática de una variable es una función polinómica definida por:

Con

.1 También se da el caso que se le llame Trinomio cuadrático2 .

También

se

denomina

función

cuadrática

a

funciones

definidas

por polinomios cuadráticos de más de una variable, como por ejemplo:

En este caso el conjunto de puntos que resultan al igualar el polinomio a cero representan lugares geométricos que siempre es posible reducir a una de las formas:

Que corresponden a tres tipos de secciones cónicas (elipse, hipérbola y parábola). “Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f(x) = ax2 + bx + c

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si

representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.” (anthonyo, 2005) EJEMPLO x2 +5X-6 A este ejercicio lo vamos a resolver mediante el caso de factorización TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c Y se lo representa en una tabla de valores sabiendo que en la izquierda van las X y en las derecha las Y.

E cogido valores al azar para darle a X la primera es cuando X vale 0 Y será -6, cuando X valga 1 Y será 0, cuando X valga 2 Y será 8, cuando X valga-1 Y será 10, y cuando X valga -2 Y valdrá -12. Y para sacar sus puntos

se debe unir las X

con

las Y

y después lo

representaremos gráficamente continuación vera como quedara.

TABLA DE VALORES X

x2 +5X-6

Y

0

(o)2+5(0)-6

-6

1

(1)2+5(1)-6

0

2

(2)2+5(2)-6

8

-1

(-1)2+5(-1)-6

-10

-2

(-2)2+5(-2)-6

-12

PUNTOS (0;-6) (1;-0) (2;-8) (-1;-10) (-2;-12)

CONCLUSIONES 

Podemos decir que La función lineal es un elemento importante en muchas investigaciones, dado que nos permite mantener una actitud científica frente al fenómeno que estudiamos, y nos posibilita elaborar interpretaciones objetivas del mismo.

Una Función Inyectiva es aquella que tiene un punto de salida y un punto de entrada y la función Sobreyectiva es aquella que tiene un punto de partida que pertenece a un punto de llegada y más de dos puntos de llegada que pertenece a un de partida.

El objetivo planteado en la introducción se cumplió, ya que se pudo observar a lo largo del desarrollo los diferentes usos de las funciones en la vida diaria. Creo que el resultado obtenido tras el trabajo de investigación fue positivo, ya que se cumple la consiga en cuanto a la información teórica, y creo que también este trabajo me será útil en la práctica.

Ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, , en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas, valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos, y que las

incógnitas, pueden ser representadas

generalmente por letras, y resolver una ecuación es encontrar su solución, que es el conjunto de valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple, ejemplo= x=5 

Una asíntota es una línea recta que está asociada a la gráfica de algunas funciones en algunos casos funcionan como límites y también se encuentran en funciones racionales.

WEB GRAFĂ?A (file:///C:/Users/Caja%202/Downloads/Dialnet-FuncionesMatematicasParaQueSeUtilizan2779659.pdf, 1805-1859)

file:///C:/Users/Caja%202/Downloads/Dialnet-FuncionesMatematicasParaQueSeUtilizan2779659.pdf

http://www.diclib.com/cgibin/d1.cgi?l=es&base=es_wiki_10&page=showid&id=5279#.VttpsqLc9hw

http://www.amschool.edu.sv/paes/f10.htm

MELCHOR, J. (2014). matematica mas facil. toboso: A H GORDON.

anthonyo, j. (2005). matematicas capitulo 2. dallas: monforte .

Html.funciones-matematicas.com

http://www.itlalaguna.edu.mx/Academico/Carreras/Mecanica/MateI/1.7.%20Asintotas%20Verticales%20y%20Horizon tales.pdf

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