Matemáticas V Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas
Método de Coeficientes Indeterminados Mayo de 2010
Ejemplo del Método de Coeficientes Indeterminados.-
(D
2
)
+ 1 y = 2 cos x + 2 sen 2 x
f ( D) = D 2 + 1
Fase I.-
(D
2
)
+1 y = 0
f ( m) = 0
m2 + 1 = 0
m1,2 = 0 ± i
m2 = − 1
m 2 = −1
y c =c 1 cos x + c 2 senx
Función Complementaria: Fase II.R( x ) = y1 = 2 cos x + 2 sen 2 x
y1 = [ 2 cos x ] + [ 2 sen 2 x ] = e ( 0 ) x [ ( 2 ) cos ( 1) x + ( 0 ) sen( 1) x ] + e ( 0 ) x [ ( 0 ) cos ( 2 ) x + ( 2 ) sen( 2 ) x ] y G = e ( 0 ) x [ c3 cos( 1) x + c 4 sen ( 1) x ] + ( 0 ) x [ c5 cos ( 2 ) x + c6 sen( 2 ) x ] n3 = 0 + 2i
n1 = 0 + i
n2 = 0 − i
g ( n) = 0
( n − n1 )( n − n2 )( n − n3 )( n − n4 ) = 0
n 4 = 0 − 2i
[ n − ( 0 + i ) ] [ n − ( 0 − i ) ] [ n − ( 0 + 2i ) ] [ n − ( 0 − 2 i ) ] = 0 [ n − i ][ n + i ][ n − 2i ][ n + 2i ] = 0 ( n 2 − i 2 )( n 2 − 4i 2 ) = 0
(
)(
g ( D) = D 2 + 1 D 2 + 4
( n + 1)( n + 4 ) = ( D + 1)( D + 4 ) y = 0 2
)
2
2
2
Fase III.-
[ f ( D) g ( D) ] y = 0
(
)(
f ( D) = D 2 + 1 y g( D) = D 2 + 1 D 2 + 4
(D
2
)(
)(
)
)
+ 1 D2 + 1 D2 + 4 y = 0
h( p ) = 0 p1 = 0 + i
p2 = 0 − i
p3 = 0 + i
p4 = 0 − i
p5 = 0 + 2i
p6 = 0 − 2i
y la solución general es: yG = e ( 0 ) x x ( 0 ) [ c1 cos x + c 2 senx ] + e ( 0 ) x x ( 1) [ c3 cos x + c 4 senx ] + e ( 0 ) x [ c5 cos 2 x + c6 sen 2 x ] es decir: y G = [ c1 cos x + c 2 senx ] + [ c3 x cos x + c 4 xsenx + c5 cos 2 x + c6 sen 2 x ] por lo que se tiene: 1
y q = Ax cos x + Bxsenx + E cos 2 x + Fsen 2 x
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Método de Coeficientes Indeterminados Mayo de 2010
Fase IV.Como
yq
(
)
2 es solución de D + 1 y = 2 cos x + 2 sen 2 x , se tiene que:
y q = Ax cos x + Bxsenx + E cos 2 x + Fsen 2 x Dy q = [ ( Ax )( − senx ) + ( cos x ) ( ( A) ) ] + [ ( Bx )( cos x ) + ( senx )( B ) ] + [ − 2 Esen2 x ] + [ 2 F cos 2 x ]
Dy q = − Axsenx + A cos x + Bx cos x + Bsenx − 2 Esen2 x + 2 F cos 2 x D 2 yq = [ ( − Ax )( cos x ) + ( senx )( − A) ] + [ − Asenx ] + [ ( Bx )( − senx ) + ( cos x )( B ) ] +
+ [ B cos x ] + [ − 4 E cos 2 x ] + [ − 4 Fsen2 x ]
D 2 y q = − Ax cos x − 2 Asenx − Bxsenx + 2 B cos x − 4 E cos 2 x − 4 Fsen 2 x
(
)
2 Sustituyendo en la ecuación D + 1 y = 2 cos x + 2 sen 2 x resulta:
[ − Ax cos x − 2 Asenx − Bxsenx + 2 B cos x − 4 E cos 2 x − 4 Fsen2 x ] + + [ Ax cos a + Bxsenx + E cos 2 x + Fsen 2 x ] ≡ 2 cos x + 2 sen 2 x ( − A + A) x cos x + ( − 2 A) senx + ( − B + B ) xsenx + ( 2 B ) cos x + ( − 4 E + E ) cos 2 x + ( − 4 F + F ) sen 2 x ≡ ( 2 ) cos x + ( 2 ) sen2 x − 2A = 0
A=0
2B = 2
B=1
− 4E + E = 0
3E = 0
E =0
2 − 4F + F = 2 − 3F = 2 3 y se tiene que y q = Ax cos x + Bxsenx + E cos 2 x + Fsen 2 x F =−
2 y p = ( 0 ) x cos x + ( 1) xsenx + ( 0 ) cos 2 x + − sen 2 x 3 2 y p = xsenx + − sen 2 x 3 2 Dy p = [ ( x )( cos x ) + ( senx )( 1) ] + − ( 2 cos 2 x ) 3
4 Dy p = x cos x + senx − cos 2 x 3
4 D 2 y p = [ ( x )( − senx ) + ( cos x )( 1) ] + [ cos x ] + + − ( − 2 sen 2 x ) 3
2
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Método de Coeficientes Indeterminados Mayo de 2010
D 2 y p = − xsenx + 2 cos x +
Fase V.Verificación de
yp
(
8 sen 2 x 3
)
2 como solución particular de D + 1 y = 2 cos x + 2 sen 2 x .
8 2 − xsenx + 2 cos x + sen 2 x + xsenx − sen 2 x = 2 cos x + 2 sen 2 x 3 3
( − 1 + 1) xsenx + ( 2 ) cos x + 8 − 2 sen 2 x = ( 2 ) cos x + ( 2 ) sen2 x 3
3
( 0 ) xsenx + ( 2 ) cos x + 6 sen 2 x = ( 2 ) cos x + ( 2 ) sen 2 x 3
2 cos x + 2 sen 2 x ≡ 2 cos x + 2 sen 2 x
Teorema de Soluciones Particulares. Sea la ecuación diferencial No Homogénea: f ( D ) y = R( x ) tal que R( x ) = R0 donde R0 es una constante no cero, entonces se tiene: R0 bn es una solución particular de f ( D ) y = R0 1).- Si b0 ≠ 0 , entonces R xk yp = 0 k ! bn − k ; es una solución de f ( D ) y = R0 2).- Sí b0=0 y bn − k ≠ 0 entonces yp =
donde k es el orden de la derivada de menor orden en la ecuación diferencial.
3