Límite de una función
MATEMÁTICAS I Mayo de 2010
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga a un punto p. Definición de Entorno de un punto.Cualquier intervalo abierto que contenga un punto p como su punto medio se denomina entorno de p. Se denota a entorno de p con: N ( p ) , N 1 ( p ) , N 2 ( p ) , etc. Puesto que un entorno N ( p ) es un intervalo abierto simétrico respecto a p, consta de todos los número reales x que satisfagan p − r 〈 x 〈 p + r para un cierto r 〉 0. El número positivo r se llama radio del entorno. Se utiliza N ( p , r ) cuando se especifica el radio. Las siguientes desigualdades son equivalentes a N ( p , r ), pues se trata, en cada caso, de todos los puntos x cuya distancia a p es menor que r. f ( x)
Y
( 0 ,0 )
p x
( r
r
p−r 〈 x〈 p+r −r〈 x− p〈r x-p 〈 r
) X x-p
1
Definición de límite de una función.En la siguiente definición se considera A un número real y f una función definida en un cierto entorno de un punto p excepto, tal vez, en el mismo punto p. El símbolo: lím f ( x ) = A x→ p
significa que para todo entorno N 1 ( A) existe un cierto entorno N 2 ( p ) tal que: f ( x ) ∈ N 1 ( A) siempre que x ∈ N 2 ( p ) y x ≠ p
(1)
En la definición se observa que el entorno N 1 ( A) que se cita en primer lugar indica lo próximo que se quiere que sea f ( x ) a su límite A. El segundo entorno N 2 ( p ) indica lo próximo que debe estar x de p para que f ( x ) sea interior al primer entorno. Lo esencial de la definición es que, para cada N 1 ( A) , por pequeño que sea, existe un cierto entorno N 2 ( p ) que satisface (1). La definición de límite se puede ilustrar geométricamente para los dos casos posibles de una función, uno donde la función sea definida en el entorno de p, pero no en el mismo p; lo que no es obstáculo para la existencia del límite; y otro donde la función es continua para todos los puntos del entorno de p, incluido el mismo p. En esta última situación se tiene que A = f ( p ) 2
Y
Y f ( x) N 1 ( A)
A
( 0 ,0 )
p
X
f ( x) N 1 ( A)
A
( 0 ,0 )
p N2 ( p)
N2 ( p) existe
lím f ( x ) = A aunque f no esté definida en p
x→ p
X
existe
lím f ( x ) = A
x→ p
cuando f es definida en p
La definición de límite de una función se formula también por medio de los radios de los entornos N 1 ( A) y N 2 ( p ) . Es común designar el radio de N 1 ( A) porε (letra griega épsilon) y el de N 2 ( p ) por δ , (letra griega delta). De esa manera, la definición de límite de una función resulta: lím f ( x ) = A
x→ p
significa que para todo ε 〉 0 existe un δ 〉 0 tal que f ( x ) − A 〈 ε siempre que 0 〈 x − p 〈 δ
(2)
3
Límites laterales.De la definición del concepto de límite de una función se tiene que: lím f ( x ) = A
x→ p
equivale a considerar que
f ( x ) → A cuando x → p
Haciendo que h = x − p , lím f ( x ) = A equivale a : lím f ( p + h ) = A x→ p
h→0
Si f ( x ) → A cuando x → p con valores mayores de p, A es el límite por la derecha de f en p y se expresa: lím f ( x ) = A que significa que f ( x ) ∈ N 1 ( A) siempre que x ∈ N 2 ( p ) y x 〉 p x→ p+
Si f ( x ) → A cuando x → p con valores menores de p, A es el límite por la izquierda de f en p y se expresa: lím f ( x ) = A
x→ p−
que significa que f ( x ) ∈ N 1 ( A) siempre que x ∈ N 2 ( p ) y x 〈 p
Si una función tiene límite A en p, también tiene límite a la derecha y límite a la izquierda de p, y ambos son iguales a A. Cuando una función tiene el límite a la derecha de p distinto del límite a la izquierda, entonces el límite de la función no existe.
4
Propiedades de límites.Sean f y g dos funciones tales que : lím f ( x ) = A y lím g ( x ) = B x→ p
x→ p
Se tiene entonces que: 1.-
lím [ f ( x ) + g ( x ) ] = lím f ( x ) + lím g ( x ) = A + B
2.-
lím [ f ( x ) − g ( x ) ] = lím f ( x ) − lím g ( x ) = A − B
3.-
lím [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = lím f ( x ) ⋅ lím g ( x ) = A ⋅ B
x→ p
x→ p
x→ p
x→ p
x→ p
x→ p
x→ p
x→ p
x→ p
Un caso particular de 3.- se presenta cuando f es una constante, en cuyo caso siendo A su límite, se puede expresar: A ⋅ lím g ( x ) = A ⋅ B x→ p
f ( x) A f ( x ) lím x→ p = ; 4.- lím g ( x) = x→ p ( ) g x B lím x→ p 5.-
[
lím ( f ( x ) ) x→ p
n
]
si B ≠ 0
n
= lím f ( x ) = An x→ p 5
Algunos límites importantes.1)
f ( x ) = c donde c es una constante, entonces lím f ( x ) = lím [ c ] = c x→ p
x→ p
2) f ( x ) = c + ∆x; donde c es una constante y ∆x es una cantidad infinitamente pequeña, entonces lím f ( x ) = lím [ c ] + lím [ ∆x ] = c + 0 = c x →0
x →0
x →0
3)
cf ( x ) , donde c es una constante, entonces lím [ cf ( x ) ] = c lím f ( x ) x→ p x→ p
4)
f ( x ) = x llamada función identidad , se tiene lím f ( x ) = p x→ p
De las anteriores propiedades de los límites resultan: 5)
( 1) 1 1 lím x →1 = =0 lím = x →∞ x ( ) x ∞ lím x →∞
6)
( x − 1) lím ( x ) + lím ( − 1) 1 − 1 0 x − 1 lím x →1 x →1 = = x→1 = = =0 lím x →1 ( ) ( ) x x x 1 1 lím lím x →1
7)
x →1
lím ( x ) lím ( x ) 1 1 x x →1 x →1 = = = = =∞ lím x →1 x − 1 lím ( x − 1) lím ( x ) + lím ( − 1) 1 − 1 0 x →1
x →1
x →1
6
Algunos límites importantes.Los límites de varias funciones trascendentes requieren, para su cálculo, de Fundamentos matemáticos que trascienden los propósitos del presente curso, por lo que varios de ellos sólo se enuncian. Teorema de intercalación.Si entre los valores correspondientes de las tres funciones f ( x ) , g ( x ) y h( x ) se cumplen las desigualdades f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x ) y, además f ( x ) y h( x ) tienden a un mismo límite b, cuando x → a (o cuando x → ∞), entonces g ( x ) tiende a ese mismo límite cuando x → a (o cuando x → ∞). El teorema y las anteriores propiedades de los límites son útiles para obtener: 8)
lím [ sen( x ) ] = 0
9)
x lím sen = 0 x →0 2
10)
x →0
lím [ cos( x ) ] = 1 x →0
7
senx Un resultado particularmente importante es el límite de la función f ( x ) = x cuando x → 0. Dado que el denominador de la función tiende a 0 cuando x → 0 , la propiedad de los límites No. 9 relativa a cociente de límites no se puede emplear, pero del teorema de intercalación resulta: 11) 12)
senx =1 lím x →0 x
( senx ) 0 senx lím x →0 = =0 = lím [ tan x ] = lím x →0 x →0 cos x ( ) lím cos x 1 x →0
13)
senx 1 senx 1 tan x 1 = ⋅ = ⋅ = ( 1 ) ⋅ =1 lím lím lím lím x →0 x → 0 x → 0 x → 0 x 1 x cos x x cos x
14)
( cos x ) 1 cos x lím x →0 = =∞ = lím [ cot x ] = lím x →0 x →0 senx ( ) senx 0 lím x →0
15) 16) 17)
lím ( 1) 1 1 = =1 = x→0 lím [ sec x ] = lím x →0 x →0 cos x ( cos x ) 1 lím x →0 lím ( 1) 1 1 = =∞ = x→0 lím [ csc x ] = lím x →0 x →0 senx ( senx ) 0 lím x →0 x 1 1 + =e lím x →∞ x
8
Ejemplos de cálculo de límites de funciones.-
[
]
1) lím ( 5 x ) = 5 lím ( x ) = 5( 2 ) = 10 x →2
x →2
(
)
2) lím ( 2 x + 8 ) = lím ( 2 x ) + lím ( 8 ) = 2 lím ( x ) + lím ( 8 ) = 2( 2 ) + 8 = 4 + 8 = 12 x →2
x →2
x →2
x →2
x→2
3) lím ( x 2 − 4 x + 1) = lím ( x 2 ) + lím ( − 4 x ) + lím ( 1) = lím ( x 2 ) − 4 lím ( x ) + lím ( 1) = x →2
x →2
x→2
x→2
x →2
x →2
x→2
= ( 2 ) − 4( 2 ) + 1 = 4 − 8 + 1 = −3 2
( x − 2 ) lím ( x ) + lím ( − 2 ) 3 − 2 1 x − 2 lím x→3 x →3 4) lím = = x →3 = = x →3 x + 2 ( ) ( ) ( ) x + 2 x + 2 3 + 2 5 lím lím lím x →3
x →3
x →3
25 − x 2 = lím ( 25 − x 2 ) = lím ( 25 ) + lím ( − x 2 ) = lím ( 25 ) − lím ( x 2 ) = 5) lím x →4 x →4 x →4 x →4 x →4 x →4 = 25 − ( 4 ) = 25 − 16 = 9 = 3 2
2 2 1 3x 2 3 − lím − 3 − x 3 x − 2 x x x →∞ x 3x − 2 = x = = = = lím lím lím 6) lím x →∞ 7 9 x + 7 x→∞ 1 9 x + 7 x→∞ 9 x + 7 x→∞ 9 + 7 lím 9 + x x x x →∞ x x 2 lím ( 3 ) − lim x →∞ x →∞ x 3−0 3 1 = = = = 9+0 9 3 7 lím ( 9 ) + x →∞ x x →∞
9
Ejemplos de cálculo de límites de funciones.-
( x 2 + 7 x − 5 ) = lím ( x 2 ) + lím (7 x ) + lím ( − 5 ) = lím ( x 2 ) + 7 lím ( x ) − lím ( 5 ) = 7) lím x →3 x →3 x →3 x →3 x →3 x →3 x →3
= ( 3 ) + 7 ( 3 ) − ( 5 ) = 9 + 21 − 5 = 25 2
3 3 3 ( ) ( ) + 2 lím x + 2 x + 3 x ( x ) + lím ( 3) ( 2 ) 3 + 2( 2 ) + ( 3) 15 lím lím x + 2 x + 3 x→2 x→2 x →2 x →2 = = = = 8) lím 2 2 2 2 x →2 ( ) ( ) ( ) x + 5 x + 5 x + 5 ( ) ( ) 2 + 5 9 lím lím lím x →2
x + 2x + 3 = 9) lím x →2 x2 + 5 3
x→2
3 lím ( x + 2 x + 3 ) x →2
lím ( x + 5 ) 2
x →2
=
x→2
3 lím ( x ) + 2 lím ( x ) + lím ( 3 ) x →2
x →2
x →2
lím ( x ) + lím ( 5 ) 2
x →2
( 2)
=
x →2
=
+ 2( 2 ) + ( 3 ) = ( 2) 2 + ( 5)
3
15 15 = = 9 9
15 3
2 x 3 − 27 2 ( x − 3) ( x 2 + 3 x + 9 ) ( ) + 3 lím x ( x ) + lím ( 9 ) = lím ( ) x + 3 x + 9 = lím = = lím 10) x→3 lím x →3 x →3 x →3 x → 3 x−3 x − 3 x →3
= ( 3 ) + 3( 3 ) + 9 = 27 2
10
Ejemplos de cálculo de límites de funciones. 6 x 2 2 x 1 1 x 2 + x 2 + x 2 x 2 6 x 2 + 2 x + 1 6 x2 + 2x + 1 = 2 2 = lím 2 = lím 11) lím x → ∞ x 3 x 4 x →∞ x − 3 x + 4 x→∞ 1 x − 3 x + 4 − 2 + 2 2 2 x x x x 2 1 2 1 2 1 6 + + ( 6 ) + + 6 + + 2 lím lím lím lím 2 2 x →∞ x →∞ x →∞ x x →∞ x 6 +0 +0 6 x x x x = lím = = = = =6 3 4 x →∞ 3 4 3 4 1 − 0 + 0 1 1 − + 2 lím 1 − + 2 lím ( 1) + lín − + lím 2 x →∞ x x x →∞ x x x →∞ x x →∞ x
12)
1 2 x 3 x + x−2 = lím lím 3 x →∞ 1 x →∞ 4x − 1 3 x
x 2 x 2 x 2 + x − 2 x 3 + x 3 − x 3 = lím 3 3 4 x − 1 x→∞ 4 x − 1 x 3 x 3
=
1 1 2 lím 1 + 2 + 1 lím 1 + lím 1 + lím 1 2 3 x + x2 − x3 x →∞ x x →∞ x x →∞ x x →∞ x x2 x3 0+0+0 = lím = = = = 0 1 x →∞ 1 1 4 − 0 4− 3 lím 4 − 3 lím ( 4 ) − lím 3 x →∞ x →∞ x →∞ x x x
11
Ejercicios de cálculo de límites de funciones.1)
2 lím ( x − 4 x ) = x →2
7)
2)
3 2 lím ( x + 2 x − 3 x − 4 ) =
8)
x → −1
2x + 3 = lím x →∞ 4 x − 5 x = lím 2 x →∞ x + 5
9)
x+3 = lím 2 x →∞ x + 5 x + 6
4)
x2 − 4 = lím 3 x →2 x − 5 x + 6
10)
x2 + 5x + 6 = lím x →∞ x + 1
5)
x−2 = lím 2 x →2 x −4
11)
2 cos x = lím x →0 x + 1
6)
x−2 = lím 2 x →2 x −4
12)
x +1 = lím x →0 2 cos x
3)
x −1 = lím 2 x →2 x − 1
12
Continuidad de una función Continuidad de una función.Sea la función y = f ( x ) definida para cierto valor x0 y en un entorno N ( x0 ) cuyo centro es x0 . Al aumentar x0 un incremento ∆x (positivo o negativo) y toma el valor x = x0 + ∆x , la función y también resulta incrementada para quedar y0 + ∆y = f ( x0 + ∆x ) . El incremento de la función se expresa: ∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 )
Y
y = f ( x)
∆y y0 ( 0 ,0 )
x0
∆x
x0 + ∆x
X
N ( x0 ) 13
Definición de Continuidad.La función y = f ( x ) se considera continua para el valor de x = x0, (o en el punto x0 ), si está definida en un entorno con centro en x0 , (incluido el punto x0 ), y si lím ∆y = 0 ∆x →0
En términos geométricos, la continuidad de y = f ( x ) en el punto dado significa que la diferencia de las ordenadas de la función en los puntos x0 y x0 + ∆x será, en valor absoluto, arbitrariamente pequeña a condición de que ∆x sea lo suficientemente pequeño.
Teoremas de funciones continuas.Teorema 1.Si dos funciones son continuas en un punto dado, la suma de ambas es también una Función continua en el mismo punto. Teorema 2.El producto de dos funciones continuas es una función continua. Teorema 3.El cociente de dos funciones continuas es una función continua, si el denominador no se reduce a cero en el punto considerado. 14