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Derivación Mayo de 2010
Derivación.El concepto central del cálculo diferencial es el de derivada. Históricamente, el concepto se formuló en el Siglo XVII por el matemático francés Pierre Fermat, y fue originado por el problema geométrico de hallar la tangente en un punto a una curva, al intentar determinar valores máximos y mínimos de ciertas funciones. Las relaciones entre el problema de hallar la tangente en un punto a una curva y el de calcular el área de una región limitada por una curva, (problema este último que condujo al concepto de integral), fueron primero enunciadas por Isaac Barrow (16001677), maestro de Isaac Newton (1642-1727). Pero fue Newton y Gottfried W. Leibniz (1646-1716) quienes iniciaron el desarrollo del Cálculo Integral y Diferencial hasta el Siglo XIX cuando Auguste-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le dieron un base matemática firme, que fundamenta la teoría que ahora constituye la matemática contemporánea.
x0 = a
Sea y = f ( x ) una función continua en el intervalo abierto ( a ,b ) . Haciendo
un primer valor de x , se tiene suficientemente definido el punto A de la curva f ( x ) .Considerando la longitud del intervalo un incremento ∆x 〉 0 , se tiene también a. B
definido como punto de la curva. La recta que pasa por A y B es, entonces, una secante de la curva. Por determinaciones sucesivas de puntos de la curva haciendo ∆x → 0 , acercando el extremo b del intervalo hacia a , se definen otras tantas secantes con punto A común. El límite de la sucesión de puntos en la curva cuando ∆x → 0 es precisamente el punto A; constituyéndose éste en el punto de tangencia de la curva.
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La inclinación de la recta tangente a la curva en el punto A está determinada por el ángulo θ , lo que permite (prescindiendo del índice 0 de x), establecer la relación:
∆x ∆y ∆lím dy f ( x + ∆x ) − f ( x ) x→0 tanθ = lím = lím = = = f ′( x ) ∆x ∆x→0 ∆x→0 ∆x lím ∆x dx ∆x
De esa manera α , el ángulo de inclinación de la secante AB, tiene como límite a θ , ángulo de inclinación de la tangente a la curva en el punto A. 2
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I.- Definición de Derivada.- La derivada de una función f ( x ) se define: f ( x + ∆x ) − f ( x ) f ′( x ) = lím ∆x ∆x→0 I.- Construcción de la fórmula para derivar una función constante f ( x ) = c : 1. − f ( x ) = c 2. − f ( x + ∆x ) = c 3 . − f ( x + ∆x ) − f ( x ) = [ c ] − [ c ] = c − c = 0 f ( x + ∆x ) − f ( x ) 0 4. − = =0 ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) 5. − lím [0] = 0 = ∆lím ∆x →0 x →0 ∆x
f ′( x ) = 0
a).- Obtención de la derivada de la función f ( x ) = x : 1. − f ( x ) = x 2. − f ( x + ∆x ) = [ x + ∆x] 3. − f ( x + ∆x ) − f ( x ) = [ x + ∆x ] − [ x ] = x + ∆x − x = ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x 4. − = =1 ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) [1] = 1 5. − lím = ∆lím ∆x →0 x →0 ∆x
f ′( x ) = 1
2 b).- Obtención de la derivada de la función f ( x ) = x :
1. − f ( x ) = x 2 2. − f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x ) 2 = x + 2 x∆x + ( ∆x )
[
] [ ]
3. − f ( x + ∆x ) − f ( x ) = x 2 + 2 x∆x + ( ∆x ) 2 − x 2 = x 2 + 2 x∆x + ( ∆x ) 2 − x 2 = 2 x∆x + ( ∆x ) 2
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 2 x∆x + ( ∆x ) ∆x( 2 x + ∆x ) = = = 2 x + ∆x ∆x ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) 5. − lím [ 2 x + ∆x] = lím [ 2 x] + lím [ ∆x] = = ∆lím ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x x →0 4. −
2
= lím 2 lím x + lím ∆x = ( 2 )( x ) + ( 0 ) = 2 x ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0
f ′( x ) = 2 x
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3 c).- Obtención de la derivada de la función f ( x ) = x :
1. − f ( x ) = x 3 2. − f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x )3 = x 3 + 3 x 2 ∆x + 3 x( ∆x )2 + ( ∆x )3
[
] [ ]
3. − f ( x + ∆x ) − f ( x ) = x3 + 3 x 2 ∆x + 3 x( ∆x )2 + ( ∆x )3 − x 3 = x 3 + 3 x 2 ∆x + 3 x( ∆x )2 + ( ∆x )3 − x 3 = 2
2
3
= 3 x ∆x + 3 x( ∆x ) + ( ∆x )
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 3 x 2 ∆x + 3 x ( ∆x )2 + ( ∆x )3 ∆x ( 3 x 2 + 3 x∆x + ( ∆x )2 ) = = = 3 x 2 + 3 x∆x + ( ∆x )2 ∆x ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) 5. − lím 3 x 2 + 3 x∆x + ( ∆x )2 = lím 3 x 2 + lím [ 3 x∆x ] + lím ( ∆x )2 = = ∆lím ∆x →0 x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x = lím 3 lím x 2 + lím 3 lím x lím ∆x + lím ∆x lím ∆x = ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 4. −
[
]
[ ]
[
f ′( x ) = 3 x 2
= ( 3 )( x 2 ) + ( 3 )( x )( 0 ) + ( 0 )( 0 ) = 3 x 2
II.- Construcción, por inducción, de la derivada de la función 1 Para n = 1 se tiene f ( x ) = x 2 Para n = 2 se tiene f ( x ) = x 3 Para n = 3 se tiene f ( x ) = x k Para n = k se tiene f ( x ) = x
]
f ( x ) = x n , ∀n ∈ N
y
f ′( x ) = 1
y
f ′( x ) = 2 x
y
f ′( x ) = 3 x 2
y
f ′( x ) = kx k −1
k +1 Para n = k + 1 se tiene f ( x ) = x
y
n Para n = n se tiene f ( x ) = x
y
f ′( x ) = ( k + 1) x k f ′( x ) = nx n−1
III.- Construcción de la fórmula para derivar la función f ( x) = c[ u ( x)] , donde c es una constante y u (x ) es una función diferenciable de x. 1. − f ( x ) = c[ u( x )]
2. − f ( x + ∆x ) = c[ u( x + ∆x )] 3. − f ( x + ∆x ) − f ( x ) = [ c[ u( x + ∆x )] ] − [ c[ u( x )] ] = c[ u( x + ∆x )] − c[ u( x )] = = c[ u( x + ∆x ) − u( x )] f ( x + ∆x ) − f ( x ) c[ u( x + ∆x ) − u( x )] u( x + ∆x ) − u( x ) 4. − = = c = ∆x ∆x ∆x u( x + ∆x ) − u( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) 5. − lím = lím ∆x→0 c = ∆x →0 ∆x ∆x
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u( x + ∆x ) − u( x ) du ′ ( )( ) = lím c lím = c u ( x ) = c ∆x→0 ∆x→0 ∆x dx
du f ′( x ) = c dx IV.- Construcción de la fórmula para derivar la función f ( x) = u ( x) + v( x) , donde u (x) y v(x) son funciones diferenciables de x. 1. − f ( x ) = u( x ) + v( x ) 2. − f ( x + ∆x ) = u( x + ∆x ) + v( x + ∆x ) 3. − f ( x + ∆x ) − f ( x ) = [ u( x + ∆x ) + v( x + ∆x )] − [ u( x ) + v( x )] =
= [ u( x + ∆x ) − u( x )] + [ v( x + ∆x ) − v( x )] f ( x + ∆x ) − f ( x ) [ u( x + ∆x ) − u( x )] + [ v( x + ∆x ) − v( x )] 4. − = = ∆x ∆x u( x + ∆x ) − u( x ) v( x + ∆x ) − v( x ) = + ∆x ∆x u( x + ∆x ) − u( x ) v( x + ∆x ) − v( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) 5. − lím = lím + = ∆x →0 ∆x ∆x ∆x ∆x→0 u( x + ∆x ) − u( x ) v( x + ∆x ) − v( x ) = lím + lím = ∆x ∆x ∆x→0 ∆x→0 = u ′( x ) + v ′( x ) =
du dv + dx dx
f ′( x ) =
du dv + dx dx
V.- Construcción de la fórmula para derivar la función f ( x) = u ( x)v( x) , donde u (x) y v(x) son funciones diferenciables de x. 1. − f ( x ) = u( x )v( x ) 2. − f ( x + ∆x ) = u( x + ∆x )v( x + ∆x ) 3. − f ( x + ∆x ) − f ( x ) = [ u( x + ∆x )v( x + ∆x )] − [ u( x )v( x )] =
Sumando y restando ( u( x + ∆x )v( x ))
= [ u( x + ∆x )v( x + ∆x ) − u( x )v( x )] + u( x + ∆x )v( x ) − u( x + ∆x )v( x ) = = [ u( x + ∆x )v( x + ∆x ) − u( x + ∆x )v( x )] + [ u( x + ∆x )v( x ) − u( x )v( x )] = = u( x + ∆x )[ v( x + ∆x ) − v( x )] + v( x )[ u( x + ∆x ) − u( x )] f ( x + ∆x ) − f ( x ) u( x + ∆x )[ v( x + ∆x ) − v( x )] + v( x )[ u( x + ∆x ) − u( x )] 4. − = = ∆x ∆x
v( x + ∆x ) − v( x ) u( x + ∆x ) − u( x ) = u( x + ∆x ) + v( x ) ∆x ∆x
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f ( x + ∆x ) − f ( x ) 5. − lím = ∆x →0 ∆x
v( x + ∆x ) − v( x ) u( x + ∆x ) − u( x ) = lím u( x + ∆x ) + v( x ) = ∆x →0 ∆x ∆x
v( x + ∆x ) − v( x ) u( x + ∆x ) − u( x ) = lím u( x + ∆x ) + lím v( x ) = ∆x →0 ∆x ∆x ∆x →0 v( x + ∆x ) − v( x ) = lím u( x + ∆x ) lím + ∆x → 0 ∆x →0 ∆x
u( x + ∆x ) − u( x ) + lím v( x ) lím = ∆x →0 ∆x →0 ∆x = u( x )( v ′( x )) + v( x )( u ′( x )) = u
dv du +v dx dx
f ′( x ) = u
VI.- Construcción de la fórmula para derivar la función donde u (x) y v(x) son funciones diferenciables de x. 1. − f ( x ) =
f ( x ) = u ( x) ÷ v ( x )
dv du +v dx dx
, v( x) ≠ 0
,
u( x ) v( x )
2. − f ( x + ∆ x ) =
u( x + ∆x ) v( x + ∆x )
u( x + ∆x ) u( x ) u( x + ∆x )v( x ) − v( x + ∆x )u( x ) 3. − f ( x + ∆x ) − f ( x ) = = − = v( x + ∆x )v( x ) v( x + ∆x ) v( x ) Sumando y restando u ( x ) v( x ) en el numerador,
=
[ u( x + ∆x )v( x ) − v( x + ∆x )u( x )] + u( x )v( x ) − u( x )v( x ) =
v( x + ∆x )v( x ) [ u( x + ∆x )v( x ) − u( x )v( x )] − [ v( x + ∆x )u( x ) − u( x )v( x )] = = v( x + ∆x )v( x ) v( x )[ u( x + ∆x ) − u( x )] − u( x )[ v( x + ∆x ) − v( x )] = = v( x + ∆x )v( x ) v( x )[ u( x + ∆x ) − u( x )] − u( x )[ v( x + ∆x ) − v( x )] f ( x + ∆x ) − f ( x ) v( x + ∆x )v( x ) 4. − = = ∆x ∆x 6
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v( x )[ u( x + ∆x ) − u( x )] − u( x )[ v( x + ∆x ) − v( x )] ∆x = = v( x + ∆x )v( x )
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u( x + ∆x ) − u( x ) v( x + ∆x ) − v( x ) v( x ) − u( x ) ∆x ∆x = v( x + ∆x )v( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 5. − lím = ∆ x →0 ∆x u( x + ∆x ) − u( x ) v( x + ∆x ) − v( x ) − u( x ) v( x ) ∆x ∆x = = lím ∆x →0 v( x + ∆x )v( x ) u( x + ∆x ) − u( x ) v( x + ∆x ) − u( x ) lím v( x ) − lím u( x ) ∆x →0 ∆x ∆x ∆x →0 = = lím v( x + ∆x ) lím v( x ) ∆x →0 ∆x →0 lím v( x ) lím u( x + ∆x ) − u( x ) − lím u( x ) lím v( x + ∆x ) − v( x ) ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x = = v( x )v( x ) du dv v −u ( v( x ))( u ′( x )) − ( u( x ))( v ′( x )) = dx dx = v2 ( v( x )) 2 v( x ) u ′( x ) − u ( x ) v ′( x ) f ′( x ) = ( v( x ) ) 2
VII.- Construcción de la fórmula para derivar la función f ( x ) = senx , x en radianes. 1. − f ( x ) = senx 2. − f ( x + ∆x ) = sen( x + ∆x ) 3. − f ( x + ∆x ) − f ( x ) = [ sen( x + ∆x )] − [ senx ] = sen( x + ∆x ) − senx = Sustituyendo en la última expresión la identidad sen( x + ∆x ) = senx cos ∆x + cos xsen∆x = senx cos ∆x + cos xsen∆x − senx = senx(cos ∆x − 1 ) + cos xsen∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) senx(cos ∆x − 1 ) + cos xsen∆x 4. − = = ∆x ∆x cos ∆x − 1 sen∆x = senx + cos x ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) cos ∆x − 1 sen∆x 5. − lím = lím senx + cos x = ∆x →0 ∆x ∆x ∆x ∆x →0
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cos ∆x − 1 sen∆x = lím senx + lím cos x = ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x sen∆x lím = Para valores pequeños del ángulo medido en radianes se tiene que ∆x→0 ∆x y cos ∆x − 1 lím =0 ∆x →0 ∆x , por lo tanto: = ( senx )( 0 ) + ( cos x )( 1) = cos x f ′( x ) = cos x VIII.- Construcción de la fórmula para derivar la función: f ( x ) = cos x , x en radianes. 1. − f ( x ) = cos x 2. − f ( x + ∆x ) = cos( x + ∆x ) 3. − f ( x + ∆x ) − f ( x ) = [ cos( x + ∆x )] − [ cos x ] = cos( x + ∆x ) − cos x = Sustituyendo en la última expresión la identidad: cos( x + ∆x ) = cos x cos ∆x − senxsen∆x = cos x cos ∆x − senxsen∆x − cos x = cos x(cos ∆x − 1 ) − senxsen∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) cos x(cos ∆x − 1 ) − senxsen∆x 4. − = = ∆x ∆x cos ∆x − 1 sen∆x = cos x − senx ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) cos ∆x − 1 sen∆x 5. − lím = lím cos x − senx = ∆x →0 ∆x ∆x ∆x ∆x →0 cos ∆x − 1 sen∆x = lím cos x − lím senx = ∆x →0 ∆x ∆x→0 ∆x
cos ∆x − 1 sen∆x = lím cos x lím − lím senx lím = ∆x →0 ∆x →0 ∆x→0 ∆x ∆x ∆x →0 sen∆x lím =1 ∆x →0 ∆x Para valores pequeños del ángulo medido en radianes se tiene que y cos ∆ x − 1 lím =0 ∆x →0 ∆x , por lo tanto: = ( cos x )( 0 ) − ( senx )( 1) = − senx f ′( x ) = −senx
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Para las funciones trigonométricas que se formulan en términos de las senx 1 cos x tan x = sec x = cot x = y = senx y = cos x cos x , cos x , senx y funciones y , es decir: 1 csc x = senx , la obtención de la fórmula para derivar cada una de ellas puede formularse aplicando la fórmula para derivar el cociente de dos funciones.
IX.- Construcción de la fórmula para derivar la función f ( x) = tan x, x en radianes : Se tiene que
y = tan x =
senx cos x
Haciendo u = senx y v = cos x , sus derivadas son u ′ = cos x y v ′ = − senx , de du dv v −u d u = dx 2 dx v acuerdo con la fórmula dx v dy d )( − senx ) = = ( tan x ) = d senx = ( cos x )( cos x ) − ( senx 2 dx dx dx cos x ( cos x ) =
( cos x ) 2 + ( senx ) 2 ( cos x ) 2
=
cos 2 x + sen 2 x
( cos x )
2
1 2 = = sec x cos x
f ′( x ) = sec 2 x
X.- Construcción de la fórmula para derivar la función f ( x) = cot x, x en radianes : Se tiene que
y = cot x =
cos x senx
Haciendo u = cos x y v = senx , sus derivadas son u ′ = − senx y v ′ = cos x , de du dv v −u d u = dx 2 dx dx v v acuerdo con la fórmula
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dy d d cos x ( senx )( − senx ) − ( cos x )( cos x ) = ( cot x ) = = = dx dx dx senx ( senx ) 2 =
− ( senx ) 2 − ( cos x ) 2
( senx ) 2
=
(
− sen x + cos x
( senx ) 2
) = −
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2
1 2 = − csc x senx
f ′( x ) = − csc 2 x
XI.- Construcción de la fórmula para derivar la función f ( x) = sec x, x en radianes : Se tiene que
y = sec x =
1 cos x
Haciendo u = 1 y v = cos x , sus derivadas son u ′ = 0 y v ′ = − senx , de acuerdo du dv v −u d u = dx 2 dx dx v v con la fórmula dy d d 1 ( cos x )( 0 ) − ( 1)( − senx ) = ( sec x ) = = = dx dx dx cos c ( cos x ) 2 =
( 0 ) − ( − senx ) = 0 + senx = senx 1 = tan x sec x ( cos x ) 2 ( cos x ) 2 cos x cos x f ′( x ) = tan x sec x
XII.- Construcción de la fórmula para derivar la función f ( x) = csc x, x en radianes : Se tiene que
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y = csc x =
1 senx
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Haciendo u = 1 y v = senx , sus derivadas son u ′ = 0 y v ′ = cos x , de acuerdo du dv v −u d u = dx 2 dx dx v v con la fórmula
dy d = ( csc x ) = d 1 = ( senx )( 0 ) − ( 12)( cos x ) = ( 0 ) − ( cos2 x ) = 0 − cos2x = dx dx dx senx ( senx ) ( senx ) ( senx ) − cos x 1 = = − cot x sec x senx senx f ′( x ) = − cot x csc x
“Regla de la Cadena” La “Regla de la Cadena” para los procesos de derivación se funda en la definición de “Función de función” o “función compuesta”. Sí f y g son funciones de x, la función “f compuesta g” es la función
( f g )( x ) = f ( g ( x ) ) .
En base a lo anterior, si f ( u ) es diferenciable en el punto u = g ( u ) , y g ( x ) es diferenciable en x , entonces:
(f
g )( x ) = [ f ′( g ( x ) ) ][ g ′( x ) ]
Con otra notación, sí y = f ( u ) y u = g ( x ) se tiene XIII.- Construcción de la fórmula para derivar la función
dy dy du = dx du dx
y = u n , donde n es un entero
:
n Pada la función u ( x ) , si y = u donde n es un número entero, de acuerdo con la Regla de la Cadena:
( )
( )
(
)
dy d n d n du du = u = u = nu n−1 dx dx du dx dx dy du = nu n−1 dx dx
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Ejemplos de cálculo de derivadas utilizando límites. E1.- Calcular la derivada de la función i.ii.-
f ( x) =
y=
1 2 x −x+2 2
1 2 x −x+2 2
f ( + ∆x ) = =
(
)
1 ( x + ∆x ) 2 − ( x + ∆x ) + 2 = 1 x 2 + 2 x∆x + ∆x 2 − ( x + ∆x ) + 2 = 2 2 1 2 1 x + x∆x + ∆x 2 − x − ∆x + 2 = 2 2
1 1 f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ( x + ∆x ) 2 − ( x + ∆x ) + 2 − x 2 − x + 2 = 2 2 iii.-
(
1 2 1 x + 2 x∆x + ∆x 2 − x − ∆x + 2 − x 2 + x − 2 = 2 2
=
1 2 1 1 x + x∆x + ∆x 2 − x − ∆x + 2 − x 2 + x − 2 = 2 2 2
= x∆x +
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ∆x iv.-
12
)
=
1 2 ∆x − ∆x = 2
x∆x +
1 1 2 ∆x − ∆x ∆x x + ∆x − 1 2 = x + 1 ∆x − 1 = 2 = ∆x ∆x 2
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1 f ( x + ∆x ) − f ( x ) 1 lím = lím x + ∆x − 1 = lím [ x ] + lím ∆x + lím [ − 1] = x − 1 ∆ x →0 2 ∆x 2 ∆x→0 ∆ x →0 ∆x→0 v.- ∆x→0 II.- Derivación sucesiva.
Dada una función f ( x ) que sea diferenciable, su derivada constituye una nueva función llamada “primera derivada” de f ( x ) , y se denota mediante diversos símbolos. Dada f ( x ) entonces su primera derivada es la función denotada: y′ = f ′( x) = La función primera derivada de
d ( y ) = dy = d ( f ( x) ) = Dx y = D( f ( x) ) dx dx dx
f ( x)
puede, a su vez, ser derivada, conformándose otra función, llamada segunda derivada de f ( x ) , es decir: y ′′ = f ′′( x ) =
2 2 d d d d d y d ( y ) = = ( f ( x ) ) = ( y ) = D x2 y = D 2 f ( x ) 2 2 dx dx dx dx dx dx
y así, hasta: y n = f ( n )( x ) =
[
]
[
]
(
)
(
)
(
d ( n −1 ) d ( n −1 ) y = f ( x ) = D x y ( n −1 ) = D f ( n −1 ) ( x ) = D D n − 1 y dx dx
)
donde n significa orden de derivación y, por lo tanto, de valor entero y positivo. III.- Derivación Implícita. Una función f ( x ) se considera una función explícita en tanto su definición exhibe el conjunto de operaciones y el orden en que éstas deban realizarse sobre la variable x para determinar la correspondiente variable y. Se trata, por ello, de una función de dos variables, x y y, que puede denotarse como F ( x , y ) donde la variable ubicada en primer término tiene carácter de independiente y de dependiente la colocada en segunda instancia.
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