Estatica 10ª edicion parte13 by Cristian Manrique

AP É N D I C E

Expresiones matemáticas

Fórmula cuadrática

Si ax2 + bx +

Desarrollos en series de potencias

O, entonces x

Funciones hiperbólicas

senh x

- e-X ' eosh x 2

�

- b ± v'b2 2a

4ac

-------

eX + e-X tanh x 2 ,

senh x --eosh x

sen x

senh x

x3 x-3!

x3 + 3!

eos x eosh x

X2 1 --+ 2! X2 1 + 2! +

Identidades trigonométricas

sen e eos e tan e

ese e

see e

A ' B

eot e

C =

Derivadas

C =

B A

sen2 e + eos2 e 1 sen(e ± 4» sen e cos 4> ± eos e sen 4> sen 2e 2 sen e eos e eos(e ± 4» eos e cos 4> =+= sen e sen 4> eos 2e eos2 e - sen2 e /1 + eos 2e /1 - eos 2e eos e - ± \j ' sen e ± \j 2 2 sen e tan e eos e 1 + tan2 e see2 e 1 + eot2 e ese2 e =

584

d -(un) = dx d -(uv) dx

du d du nun-1 (sen u) eos u dx dx dx dv du d du u- + v-(eos u) -sen u dx dx dx dx du dv v- - ud du dx dx (tan u) see2 u dx dx dx V v2 d du d du -(eot u) -ese2 u -(senh u) eosh udx dx dx dx d du d du -(see u) tan u see u - - (eosh u) senh udx dx dx dx d du -(ese u) -ese u eot udx dx

�(!:!:.)

ApÉNDICE A

¡ ¡ ¡

Integrales

X n +1 X n dx = n + C, n *- -1 + 1 l dx = - 1n(a + bx) + C a + bx b ve;;b dx 1 1n a + x + C, a + bx2 2 � a - x ve;;b ab < O 1 x dx ln(bx2 + a) + C 2b a + bx2 x2 dx x a - x V;;¡; + C ' ab > O ---o-2 = - - -- tan 1 -a b b V;;¡; a + bx 2 Y Ya + bx dx. (a + bx) 3 + C 3b r-� - 2( 2a - 3bx) Y(a + bX) 3 � / x v a + bx dx = +C 2

¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡

[

]

15b

x2 ya + bx dx

2(8a2 - 1 2abx + 15b2x2) Y(a + bx) 3

x Ya2 - X 2 dx

�[

(

105b3 x Ya2 - x2 + a2 sen-1

�[

a2 dx

�

- Y(a2 - x2) 3

)

x Yx2 ± a2 dx

¡ ¡ ¡

�

a2 ln(x + Yx2

Y( x2 ± a2) 3 + C

a2 dx

¡ Y( x2

]

a 2) + C

585

a2) 3

[

•

x \Íc +

(

�] )

2 1 - 2cx - b � sen- 1 � / v b2 - 4ac V -e

¡ ¡ ¡ \ ¡ ¡eax = �eax ¡ eax �: - 1 ) ¡ ¡ =

•

+ C, c > O + C,

sen x dx = -cos x + C =

sen x + C

cos(ax) + :: sen(ax) + C a 2x a2x2 - 2 sen(ax) +C x2 cos(ax) dx = 2" cos(ax) + a a3

X cos(ax) dx

+ C, a > O

•

a4 a2 Y Y2 2 2 2 S x x ± a - S ln( x + x ± a ) + C 2 Ya + bx dx +C ----;== Ya + bx b x dx = Yx2 ± a 2 + C Yx2 ± a2 dx = Ir ln Ya + bx + cx2 + / � v a + bx + cx2 ve :::¡:

(ax

senh x dx = cosh x

x Yx2

� ] + C,

a > O

x a2 + S x Ya2 - x2 + a2 sen- 1 � Yx2

- Y(a2 - x2) 3 + C

x2 Ya 2 - x2 dx

X 2 Yx2

cos x dx

Ya2 - x2 dx =

Expresi ones ma temá ti cas

cosh x dx

senh x + C

AP É N D I C E

Análisis numérico y por computadora

La aplicación de las leyes de la mecánica conducirá, ocasionalmente, a un sistema de ecuaciones para las cuales una solución en forma cerrada es difícil o imposible de obtener. Confrontados con esta situación, los in genieros usan a menudo un método numérico que en la mayoría de los casos puede ser programado en una microcomputadora o en una calcu ladora de bolsillo "programable" . Aquí presentaremos brevemente un programa de computadora muy útil en la resolución de conjuntos de ecuaciones lineales algebraicas, y tres métodos numéricos que se pue den usar para resolver una ecuación algebraica o trascendental, evaluar una integral definida, y resolver una ecuación diferencial ordinaria . La aplicación de cada método será explicada por medio de un ejemplo, y se proporciona un programa de computadora asociado escrito en Microsoft BASIC, el cual está diseñado para correr en la mayoría de las compu tadoras personales. * Para efectuar un análisis adicional relativo a la revi sión de la exactitud de cada método y de los errores inherentes que pueden generarse a partir de sus aplicaciones, deberá consultarse un texto espe cializado en análisis numérico.

8.1 Ec ua c io nes al La aplicación de las ecuaciones de equilibrio estático o de las ecuaciones de movimiento demanda algunas veces resolver un conjunto de ecuacio nes algebraicas lineales. El programa de computadora que aparece en la figura B-l se puede usar con este fin. Este programa se basa en el método de eliminación de Gauss y puede resolver un máximo de 10 ecuaciones

586

*Tipos similares de programas para calculadoras de bolsillo programables pueden ser escritos o comprados.

E cua ciones a lgebra icas l inea l es

SECCiÓN B.1

1 2 3 4 5

P R I NT " L i n e a r s y s t em of e q u a t i o n s " : P R I N T D IM A ( 1 0 , l 1 ) I NPU T " I n p u t n um b e r o f e q u a t i on s : " , N PRINT PRINT"A coeff i c i e n t s "

FOR

7 8

FOR J PRINT

TO N

2 0 P R I N T " Un k n o w n s " 21 FOR 1 = 1 TO N

22 P R I N T " X ( " ; I ; " ) = " ; A ( I , N+ l ) 2 3 NEXT 1 24 E N D 25 26 27 28

= 1 TO N I' A ( " ; I ; " , " ; J ;

9 I NP U T " ) = " , A ( I , J ) 1 0 NEXT J 1 1 NEXT 1 1 2 PRINT coeff i c i e n t s " 13 PRINT"B 14 FOR 1 = 1 TO N 15 P R I N T " B ( " ; 1 ; 1 6 I NP U T " ) = " , A ( I , N + l ) 1 7 NEXT 1 1 8 GOSUB 25 19 P R I N T

R E M S u b r ou t i n e FOR M = 1 TO N NP = M BG=ABS ( A ( M , M »

FOR 1 = M TO N I F ABS ( A ( I , M » < = BG B G = AB S ( A ( I , M » NP= I NEXT 1 I F N P = M THEN 4 0

FOR

36 37

TE = A ( M , I ) A ( M , I ) = A ( NP , I )

47 48 THEN

3 8 A ( N P , I ) = TE

Fig. 8-1

con 10 incógnitas. Para usarlo, las ecuaciones deben escribirse primero en el siguiente formato general:

AllXl + A12 X2 A 2 1Xl + A 22 X2

+ +

An1Xl + A n2X2 + . . . + Annxn Bn Los coeficientes "A " y "B" son "pedidos" al correr el programa. La salida presenta las incógnitas Xl. . . . , Xn=

Resuelva las dos ecuaciones

3X l + X2 = 4 2X l - X2 = 10 Solución

Cuando el programa empieza a correr, pide el número de ecuaciones (2); luego los coeficientes A en la secuencia A ll 3 , A 12 = 1, A 21 = 2, A 22 - 1, Y finalmente los coeficientes B, BI 4, B2 10. La salida aparece como =

Incógnitas

X( l ) X(2)

2.8 -4.4

Resp. Resp.

NEXT 1 FOR 1 = M + l TO N F C = A ( I , M ) /A ( M , M ) FOR J = M + l T O N + l A ( I , J ) = A ( I , J ) - F C *A ( M , J )

A ( N , N+ l ) = A ( N , N+ l ) / A ( N , N ) FOR 1 = N - l TO 1 S T E P - 1

4 9 SM=O 50 FOR J = I + l 51 52 53 54 55

M T O N+ l

587

4 4 NEXT J 45 N E X T 1 46 N E X T M

G u a s s i an

29 30 31 32 33 34

39 40 41 42 43

•

S M = S M +A ( I , J ) * A ( J , N+ l ) NE X T J A ( I , N+ l ) = ( A ( I , N+ l ) - S M ) / A ( I , I ) NEXT 1 RETURN

588

•

APÉ N D i e E B

Aná l i sis numérico y por computadora

8.2 R egl La regla de Simpson es un método numérico que puede usarse para determinar el área bajo una curva dada como una gráfica o como una función explícita y = f(x). También puede usarse para calcular el va lor de una integral definida que implique la función y = f(x). Para aplicar la regla de Simpson, el área debe ser subdividida en un núme ro par de franjas o intervalos con un ancho h. La curva entre tres or denadas consecutivas es aproximada mediante una parábola, y el área entera o la integral definida se determina entonces con la fórmula

l.xnf(x) dx Xo

-3 [Yo + 4 ( Yl + Y3 +

...

Yn-l )

+ 2(Y2 + Y4 + . . . + Yn- 2)

Yn ] (B-l)

El programa de computadora para esta ecuación está dado en la figu ra B-2. Para su uso, primero debemos especificar la función (línea 6 del programa) . Los límites superior e inferior de la integral y el número de intervalos son pedidos cuando se ejecuta el programa. El valor de la integral es dado entonces como salida.

1 P R I N T ft S i . p a on ' . r u l e ft : P R I N T 2 P R I N T ft T o e x e cu t e t h i s p r o g r a m : " : PR I N T 1 - M od i fy r i gh t - h a n d a i d e o f t h e 3 P R I N T ft 4 PRINT" t h e n p r e s a R E TURN k e y " 5 PR I N T " 2- Type R U N 6 " : PR I N T : E D I T 6 6 D E F F N F ( X ) = L OG ( X ) 7 P R I N T : I NP U T " E n t e r L o w e r L i . i t = " , A 8 I NP U T " E n t e r U p p e r L i m i t = " , B 9 I NP U T " E n t e r Nu.b e r ( e v e n ) o f 1 0 H = ( B - A ) / N % : A R = F NF ( A ) : X = A + H 1 1 F O R J % = 2 TO N % 12 13 14

Int ervals

K = 2 * ( 2 - J %+ 2 * I NT ( J% / 2 » AR=AR+K*FNF ( X ) X = X + H : NEXT J% AR=H * ( AR+FNF ( B » /3

16 PRINT" 1 7 END

Int egral

" , AR

Fig. 8-2

e qu a t i o n

" , N%

g i v e n b e l ow ,

SECCiÓN B . 2

Evalúe la integral definida

ln x dx

Solución

El intervalo Xo = 2 a X6 = 5 será dividido en seis partes iguales (n = 6), cada parte con un ancho h = (5 - 2)/6 = 0.5. Luego calculamos y f(x) = In x en cada punto de la subdivisión. =

Entonces la ecuación

15 2

O 1 2 3 4 5 6

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.693 0.916 1 .099 1 .253 1 .386 1.504 1 .609

B-l

toma la forma

05 "" ' [0.693 + 4(0.916 + 1.253 3 + 2( 1 .099 + 1.386) + 1.609] "" 3.66

In x dx

1.504) Resp.

Esta respuesta es equivalente a la respuesta exacta con tres cifras significativas. Resulta evidente que puede obtenerse una mayor exac titud con un mayor número de cifras significativas seleccionando un intervalo h menor (o mayor n). Usando el programa de computadora, primero especificamos la fun ción In x, línea 6 en la figura B-2. Durante la ejecución, la entrada del programa requiere los límites superior e inferior 2 y 5, y el número de intervalos n 6. La salida aparece como =

Integral

3.66082

Resp.

R egl a de Simpson

•

589

590

•

APÉ N D i eE B

Aná l isis numérico y por computadora

8.3 E l El método de la secante se usa para encontrar las raíces reales de una ecuación algebraica o trascendental f(x) O. Este método deriva su nom bre del hecho de que la fórmula usada es establecida a partir de la pen diente de la línea secante a la gráfica y = f(x). Esta pendiente es [J(xn ) - f(Xn-I)]/ (Xn - Xn- l ) , Y l a fórmula d e l a secante es =

(B-2) Para su aplicación, es necesario proporcionar dos conjeturas iniciales,

Xo y Xl, Y evaluar con ellas X2 a partir de la ecuación B-2 ( n = 1 ). Luego se procede a reaplicar la ecuación B-2 con Xl y el valor calculado de X2 Y obtener X3 ( n = 2), etc., hasta el valor Xn+l "'" Xn- Puede verse que esto ocurrirá si Xn se aproxima a la raíz de la función f(x) O, ya que el térmi =

no correctivo a la derecha de la ecuación B-2 tenderá a cero. En particu lar, entre más grande sea la pendiente, menor será la corrección a Xm y la raíz se encontrará más rápidamente. Por otra parte, si la pendiente es muy pequeña en la vecindad de la raíz, el método conduce a grandes correccio nes para Xm y la convergencia a la raíz es lenta y puede incluso fallar al encontrarla. En tales casos deben usarse otros procedimientos numéricos para hallar la solución. Un programa de computadora basado en la ecuación B-2 está dado en la figura B-3. Primero debemos especificar la función en la línea 7 del pro grama. Cuando el programa es ejecutado, deben introducirse dos conjetu ras iniciales, Xo y Xl. para aproximar la solución. La salida especifica el valor de la raíz. Si éste no puede ser determinado, el programa lo indica.

1 2

P R I N T " S e c a n t m e t h o d " : PR I N T P R I N T " T o e x e c u t e t h i s p r o g r am

� PRINT"

4 5 6 7 8

1 )

the

equ a t i o n

g i ven

b e l ow , "

PRINT" PRINT" 2) PRINT : ED I T 7 D E F F NF ( X ) = . 5 * S I N ( X ) - 2 * C O S ( X ) + 1 . 3 I NPUT " E n t e r p o i n t ' 1 = " , X

9 I N P UT " E n t e r p o i n t ' 2 1 0 I F X = X l THEN 1 4 1 1 EP= . 00 00 1 : TL=2E-20 12 13

: " : PR I NT

M o d i fy r i g h t h a n d s i d e o f t h e n p r e s s RE TURN k ey . " Type RUN 7 "

F P = ( FN F ( X l ) - F N F ( X » I F A B S ( FP » T L T H E N

PRINT" Root

15 16

D X = F NF ( X l ) /FP IF A B S ( D X » EP

17 18

PR I N T E ND

"Root

= " , Xl

/ (Xl-X) 15

can n o t b e

THEN

f o u n d . " : E ND

" ; Xl ; "

Fun c t i o n

evaluated

1 9 X = X l : X l = X I -D X 2 0 GOTO 1 2

Fig. 8-3

this

root

" ; FN F ( X l )

SECCIÓN 8 . 3

Determine la raíz de la ecuación

f(x )

0.5 sen - 2 cos + 1.30 x

Solución

Las conjeturas de las raíces iniciales serán Xo cando la ecuación B-2, =

30° - ( -0.1 821 )

Así x

30°. Apli

36.48°

B-2, junto con Xl

30°, tenemos

36.48° - 30° - 36.48 ° - ( -0.0108) ( -0.0108 + 0.1821 )

36.89°

Al repetir el proceso con este valor y X2 X4

45° Y Xl

(30° - 45°) ( -0.1821 0.2393)

Usando este valor en la ecuación X3

)[

36.48° resulta

]

36.89° - 36.48° 36.89 - ( 0.0005 36.87 ° (0.0005 + 0.0108) °

36.9°, con tres cifras significativas.

Si el problema es resuelto usando el programa de computadora, pri meto especificamos la función, línea 7 en la figura B-3. Durante la ejecución, la primera y segunda conjetura deben introducirse en ra dianes. Al seleccionar éstas como 0.8 rad y 0.5 rad, el resultado apa rece como Raíz

0.6435022

Función evaluada en esta raíz

1.66893E-06

Este resultado convertido de radianes a grados es x =

36.9°

Resp.

E l método de la s eca nte

•

591

AP É N D I C E

Repaso para un examen de los fundamentos de ingeniería

En Estados Unidos, el National Council of Engineering Examiners (NCEE) aplica el examen Fundamentals of Engineering (FE) dos veces al año, y apro barlo es uno de los requisitos indispensables para obtener la licencia de inge niero profesional. Una porción de este examen contiene problemas de está tica, y el presente apéndice ofrece un repaso de los temas considerados más a menudo en ese examen. Antes de resolver cualquiera de los problemas, el lector deberá repasar las secciones indicadas en cada capítulo para familiari zarse con las definiciones que aparecen en negritas y con los procedimientos usados al resolver los distintos tipos de problemas. Repase también los pro blemas de ejemplo presentados en esas secciones. Los siguientes problemas están arreglados en la misma secuencia que los temas tratados en cada capítulo. Además de ayudar en la preparación para el examen FE, esos problemas también proporcionan ejemplos adicionales para la práctica general de la materia. Las soluciones para todos los proble mas están dadas al final del apéndice.

592

PROBLEMAS

Capítul o 2. Repaso de todas las secciones

Dos fuerzas actúan sobre el gancho. Determine la magnitud de la fuerza resultante. Col.

C-3. Determine magnitud sultante.

593

dirección de la fuerza re

y 250 N

200 N

Probo C-3

Probo C-l

C-2. La fuerza F = 450 lb actúa sobre el bastidor. Re suelva esta fuerza en componentes actuando a lo largo de los miembros AB y AC, y determine la magnitud de cada componente.

C-4. Si F = {3Oi + 50j - 45k} N, determine la magnitud

los ángulos coordenados de dirección de la fuerza.

-.,I,------� y

x F Probo C-2

Probo C-4

594

Repa so para un exa men de l os funda mentos de ingeniería

APÉNDICE C

CoSo La fuerza tiene una componente de 20 N dirigida a lo largo del eje -y como se muestra. Represente la fuerza F como un vector cartesiano.

C-7. Los cables que soportan la antena están sometidos a las fuerzas mostradas. Represente cada fuerza como un vector cartesiano.

z F2 = 80 lb �

_ _

[_""';�

_ _ ---L_

_ _

x Probo C-S

x Probo C-7

La fuerza actúa sobre la viga como se muestra. Determine sus ángulos coordenados de dirección.

C-6.

C-S.

Determine el ángulo

entre las dos cuerdas.

x F= 75lb Probo C-6

Probo C-S

PROBLEMAS

Determine la componente de la proyección de la fuerza F a lo largo del tubo AB.

C-9.

595

La viga tiene un peso de 700 lb. Determine el ca ble ABe más corto que puede ser usado para levantar la viga si la máxima fuerza que el cable puede resistir es de 1500 lb. C-U.

1----- 10 pies--------j Probo

C-U

Probo C-9

Capítulo 3. Repaso de las secciones 3 . 1 , 3.2 Y 3.3

La caja en D tiene un peso de 550 lb. Determine la fuerza en cada uno de los cables de soporte.

Co lO.

El bloque tiene una masa de 5 kg Y descansa so bre el plano liso. Determine la longitud no alargada del resorte. C-12.

0.3

� 0.4/

k = 200 N/m

Probo C-IO

,(/ Probo C-1 2

596

APÉNDICE C

R epaso para un exa men de los funda mentos de ingeniería

C-13. El poste puede ser extraído mediante una fuerza vertical de 400 lb. Determine la fuerza P que debe ser aplicada a la cuerda para sacar el poste del terreno.

C-IS. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto Ignore el espesor del miembro.

ilOOffiffil

Probo Probo

Determine el momento de la fuerza con respecto al punto

600 lb

Probo

C-15

C-13

Capítu lo 4. Repaso de todas las secciones

C-14.

50N

C-14

Determine el momento de la fuerza con respecto al punto

C-16.

(j;Pies

500 N

Probo

C-16

PROBLEMAS

C-17. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto A. Exprese el resultado como un vector carte siano.

6mT "'--.../_...L.. I

400 N =

J-��

__ __ __ __

400 N

{3Oi 40j -50k}N

m 2m r---5m--/ �

C-19. Determine el momento de par resultante que actúa sobre la viga.

B F

597

1----- 3 m ----.¡--2 m300 N 300 N

200 N ¡0.2 m 200 N

Probo C-17

Probo C-19

C- I8. Determine el momento de la fuerza con respecto al punto A. Exprese el resultado como un vector carte siano.

C-20. Determine el momento de par resultante que actúa sobre la placa triangular.

200 lb

r -ll pie�

130 lb

14 pies

5pies

--7

Y 4 pies �

Probo C-18

150 lb 4 pies 300 lb

300 lb Probo C-20

R epaso para un examen de l os fundamentos de ingeniería

APÉ NDICE C

598

C-2!. Reemplace la carga mostrada por un sistema equivalente de fuerza y momento de par resultantes en el punto A.

40N

30N

C-23. Reemplace la carga mostrada por una sola fuer za resultante equivalente y especifique dónde actúa la fuerza, medida desde el punto

200 N· m

iiiI ��IiiiL) -+

__ __

B 3m� SON

�3 Pies + 3 pies + 3 Pies + 3 Pies �

__ __

Probo

500 lb

Probo

C-21

C-22. Reemplace la carga mostrada por un sistema equivalente de fuerza y momento de par resultantes en el punto A .

C-23

C-24. Reemplace la carga mostrada por una sola fuer za resultante equivalente y especifique las coordenadas x y y de su línea de acción.

lOO lb

14 pies 1---

3 pies

---11----

3 pies �

150 lb Probo

C-22

400 N 1!Ii_----;r-- y

200 lb x Probo

C-24

PROBLEMAS

C-25. Reemplace la carga mostrada por una sola fuer za resultante equivalente y especifique las coordenadas x y y de su línea de acción.

599

C-27. Determine la fuerza resultante y especifique dón de actúa sobre la viga, mida la fuerza desde

Probo C-25

Probo C-27

C-26. Determine la fuerza resultante y especifique dónde actúa sobre la viga, mida la fuerza desde

150

C-28. Determine la fuerza resultante y especifique dón de actúa sobre la viga, mida la fuerza desde

�!!!!!I!!kh 1--- 6 pies

�

Probo C-26

pies

lb/pie

Probo C-28

APÉN DICE C

600

R epa s o para un exa men de l os funda mentos de ingeniería

Capítulo 5. Repaso de las secciones 5 . 1 a la 5.6

Determine las componentes de reacción hori zontal y vertical en los soportes. Ignore el espesor de la viga. C-29.

Determine las componentes de reacción en el em potramiento Ignore el espesor de la viga.

C-31.

200 N 200 N 200 N 500

lb 5

4 3

Ples .

;) � �5 pies -i-5 Pi�: pies -f Probo C-29

400 N

Probo C-31

Determine las componentes de reacción horizon vertical en los soportes.

C-30.

tal

Determine la tensión en el cable y las compo nentes de reacción horizontal y vertical en el pasador Ignore el tamaño de la polea.

C-32.

500 N <>t---r-I�

�2m

----+--

400 N

2 m�

300 lb Probo C-30

Probo C-32

PROBLEMAS

La placa uniforme tiene un peso de 500 lb. Deter mine la tensión en cada uno de los cables de soporte.

C-33.

Determine la fuerza en los miembros y D e. Establezca si los miembros están en tensión o en com presión.

C-35.

pies

1---

6.4, y 6.6 C-34. Determine la fuerza en cada miembro de la ar

madura. Establezca si los miembros están en tensión o en compresión.

1 l

3 pies

2 pies ---11---

------j

800 lb

Determine la fuerza en los miembros BC, CF y los miembros están en tensión o en com presión.

C-36.

FE. Establezca si

4 �S � �� D

600 lb

300 lb

Probo C-34

pies

Probo C-35

Capítulo 6. Repaso de las secciones 6 . 1 a la

��

pies

Probo C-33

601

Probo C-36

800 lb

602

APÉNDICE C

Repa s o pa ra un exa men de l os funda mentos de ingeniería

Determine la fuerza en los miembros GF, FC y Establezca si los miembros están en tensión o en compresión. C-37_

CD.

1 000 Ib

Determine las componentes de reacción horizon vertical en el pasador C.

C-39.

tal

--+«i}.....----.--¡

700 lb

1 l"

6 '" _� F�========�.D -

500 lb

400 lb

---,----

r,C===:::':::====:::=-::;:F<>

_--iG�============�.- e A�============� ..

"['

" ' -1 fo---- 8 ft ---

pies

�

1-3

pies

Probo C-39

Probo C-37

C-38. Determine la fuerza P necesaria para mantener en equilibrio el peso de 60 lb.

C-40. Determine las componentes de reacción horizon tal y vertical en el pasador C.

400 N

_ .-_ _

L 1 m ----+-- 2 m ---l

I --L.-----=.I �-�

800 N ' m

Probo C-38

Probo C-40

PROBLEMAS

C-41. Determine la fuerza normal que la placa lb ejerce sobre la placa B de 30 lb.

de 100

603

Capítulo 7. Repaso de la sección 7 . 1

C-43. Determine la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento flexionan te que actúan en el punto B de la viga.

Probo C-43

Probo C-41

C-42. Determine la fuerza P necesaria para levantar la carga. Determine también, por equilibrio, la posición x del gancho. Ignore el peso de la viga.

f----- 0.9 m

------11 '

C-44. Determine la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento flexionante que actúan en el punto B de la viga, el cual está ubicado justo a la izquierda de la fuer za de 800 lb.

100 mm

800 P

�B = �6 ----+ fPies

6kN Probo C-42

lb 3 Pies

Probo C-44

400

lb 300 lb · pies

e 3 Pies

+ �� p s

APÉ NDICE C

604

R epaso pa ra un exa men de l os funda mentos de ingen iería

C-45. Determine la fuerza normal interna, la fuerza cor tante y el momento flexionante que actúan en el punto B de la viga.

C-47. Determine la fuerza vertical P necesaria para ha cer girar el carrete de 200 lb. El coeficiente de fricción estática en todas las superficies de contacto es ¡.ts = 0.4. P

3 leN/m

�

� I

Probo C-45

Probo C-47

Capítulo 8. Repaso de las secciones 8.1 y 8.2

Determine la fuerza P necesaria para mover el bloque de 100 lb. El coeficiente de fricción estática es ¡.ts = 0.3, Y el coeficiente de fricción cinética es ¡.tk = 0.25. Ignore el volteo. C-46.

.__ __ __ __

30 °

�----L

C-48. El bloque pesa 30 lb Y el bloque B 50 lb. Si el coeficiente de fricción estática es ¡.ts = 0.4 entre todas las superficies en contacto, determine la fuerza de fricción en cada superficie.

B 1 0 lb

Probo C-46

Probo C-48

PROBLEMAS

Determine la fuerza P necesaria para mover la caja de 250 lb que tiene su centro de gravedad en G. El coeficiente de fricción estática es f.Ls = 0.4.

C-49.

605

Capít u l o 9. Repaso de las secci o n es 9 . 1 , 9 . 2 Y 9.3 (La integración s e cubre e n la porción matemática del examen.) C-51. Determine la ubicación ( x, }I) del centroide del

área.

I pi1 .e5s I pi1 .e5s

2 piI�es �--�x �2 Pies-+--3 Pies+-3 Pies� Probo C-51

Probo C-49

El archivero tiene una masa de 60 kg Y centro de masa en G. Descansa sobre una tabla de 10 kg. De termine la fuerza P más pequeña necesaria para mover lo. El coeficiente de fricción estática entre el archivero y la tabla B es f.Ls = 0.4, Y entre la tabla y el piso es f.Ls = 0.3.

C-50.

0. 2 m 0. 2 m

A r " rn 0.8 m T ' 1 � I I

,--- -- e

e-52.

área.

Determine la ubicación (x, }I) del centroide del

r3 PU¡g.+3 pulg.-j �f y

-=j"8 pulg.

� l .3 m

� c� Probo C-50

:-w.�----'--

pulg

/8 Probo C-52

606

APÉ NDICE C

Repaso para un exa men de l os funda mentos de ingeniería

Capítulo 1 0. Repaso de l a s secciones 1 0. 1 a la 1 0.5

(La integración se cubre en la porción matemática del examen.) e-53. Determine el momento de inercia del área de la

sección transversal de la canaleta con respecto al eje

e-55. Determine el momento de inercia del área de la sección transversal de la viga T con respecto al eje x ' que pasa por el centroide de la sección transversal.

2 pulg.

c:��I�

S pulg.

Probo e-53

Probo e-55

e-54. Determine el momento de inercia del área con respecto al eje x.

r- S pulg.-

2 pulg.

4 ulg.

�6 PUlg.� Probo e-54

SOLUCIONES PARCIALES

S o l ucio nes parcia l esy C·l.

C·2.

FR = \/z002 + 5002 - 2(200)(500) cos 140° = 666 N Resp.

FAB 450 sen 105° sen 30° 869 lb Resp. FAC 450 sen 45° sen 30° FAC 636 lb Resp.

C·7.

FRy FR

C·4.

(3 'Y

C·5.

300 + 400 cos 30° - 250(

�)

446.4 N

C·S.

400 sen 30° + 250(� ) = 350 N

V302 + 502 + ( -45?

7��7 ) cos-1( 7��7 ) -45 ) os-1 ( 73.7

cos-1(

Fy = -20 Fy 1FT = cos {3

I F I = I co��oo l

73.7 N Resp.

66.0° Resp.

47.2° Resp. 128° Resp.

(J =

C·9. =

C·IO.

23.09 N

cos 'Y = V1 - cos2 70° - cos2 150° 68.61° (a partir de la figura 'Y < 90°) F 23.09 cos 700i + 23.09 cos 1500j + 23.09 cos 68.61°k = {7.9Oi - 20j + 8.42k} N Resp. Fx = 75 cos 30° sen 45° 45.93 Fy 75 cos 30° cos 45° = 45.93 Fz = -75 sen 30° = -37.5

'Y =

-->

36 lb Resp.

4 "2, Fx = O; S FAC - FA B COS 30° = O

3 O; S FAC + FA B sen 30° - 550

C·12.

4�.:3) cos- < 4�.:3)

4 O; S (Fsp) - 5(9.81 ) sen 45°

Fsp = k (l - lo); 43.35 lo C·13.

52.2° Resp. 52.2° Resp.

5 cos-1 ( -��. ) = 120° Resp.

+ )" "2, Fx

Fsp = 43.35 N

(3 =

( -2Oi - 30j + 60k) · ( -�i - �j )

FA B = 478 lb Resp., FAC 518 lb Resp. C·U. + j "2,Fy = O; -2( 1500) sen (J + 700 = O (J = 13S 5 pies . LA BC = 2 ( cos 13.5 ° ) 10.3 pies

Resp.

F ' UAB

+ j "2, Fy

= cos-1 (

90°

I FA BI

Vi2v'24

'Y =

C·6.

100 20 . k) 102.0 1 102.0 = { -31.4i - 157k} lb Resp. 10 . 20 . 100 F = 80 lb k) 2 102.5 1 102.5J 102.5 {7.8li - 15.6j - 78.1k} lb Resp. 100 F3 k) - 1 oo lb( � i + � . 120.4 120.4 J 120.4 {49.8i + 24.9j - 83.0k} lb Resp. = { -2i + 2j + 2k} m A rO rOB = {2i + 4j - 2k} m rOA ' rOB cos (J = .,...:c.:.., ::.: =c,IrOA l l rOBI + 2j + 2k) . (2i + 4j - 2k) ( -2i -'-----''-----= =-'=--=----...:... O Fl = 160 lb ( -

V(446.4)2 + 3502 = 567 N Resp. 350 = 38.1° d Resp. tan-1 446.4

(J =

607

•

(

FRx

RESPUESTAS

respuestas

C·3.

0.283 m Resp.

En + - "2, Fx

+ j "2,Fy

P C·14.

200(0.5 - lo)

3 O; S P - TAC COS 30°

4 O; sP + TAC sen 30° - 400

349 lb Resp., TAC = 242 lb Resp.

1+Mo

600 sen 50° ( 5 ) + 600 cos 50° (0.5) 2.49 kip ' frie Resp.

608

C-IS.

C-16.

C-17.

C- IS.

C-19.

•

R epa so para un exa men de l os funda men tos de i ngen i ería

APÉ NDICE C

r+Mo = 50 sen 60° (0.1 + 0.2 cos 45° + 0.1 )

- 50 cos 60° (0.2 sen 45°) = 1 1.2 N · m Resp.

1+Mo

500 sen 45° (3 + 3 cos 45°) - 500 cos 45° (3 sin 45° ) = 1 .06 kN . m Resp.

j k 6 5 MA rAB X F = 1 30 40 -50 = { -50Oi + 200j - 140k} N · m Resp.

+JFRx = "i. Mo;

C-24. + l FR = "i. Fz ;

(

)

r+McR = "i. MA = 400(3) - 400(5) + 300(5) + 200(0.2) = 740 N · m Resp.

También,

+ 200(4) + 150(4) 2600 lb · pie Resp. + 4 C-21. -> FRx = "i. Fx ; FRx = (50) = 40 N 5 3 + l FRy "i. Fy; FRy = 40 + 30 + 5 (50) = 100 N FR Y(40)2 + ( 100)2 = 108 N Resp. 00 () = tan- ¡ 68.2° ""<;; Resp. 40 3 + J MAR = "i. MA ; MA R = 30(3) + (50)(6) + 200 5 = 470 N · m Resp. + 3 C-22. <- FRx = "i. Fx ; FRx = 200 - ( 100) = 140 lb 5 4 + l FRy = "i. Fy; FRy 150 - ( 100) = 70 lb 5 FR = Y1402 + 702 = 157 lb Resp. 7 tan-1 = 26.6° ;P Resp. () 14 3 4 + J MAR = "i. MA ; MA R 5 (100)(4) - 5 (100)(6) + 150(3) MRA 210 lb · pie Resp.

-800y = -400(4) - 500(4) Y = 4.50 m Resp. 800x = 500(4) - 100(3) x = 2.125 m Resp. FR = 200 + 200 + 100 + 100 = 600 N Resp. -6ooy = 200( 1 ) + 200( 1 ) + 100(3) - 100(3) Y = -0.667 m Resp. 600x = 100(3) + 100(3) + 200(2) - 200(3) x 0.667 m Resp.

"i. Mx;

MRy = "i. My; C-2S. + l FR = "i. Fy;

MRx = "i. Mx;

MRy = "i. My;

C-26. FR

1 2 (6)( 150) + 8( 150)

+ J MAR = "i. MA ;

r+McR = 300(5) - 400(2) + 200(0.2) = 740 N ' m Resp.

C-20.

MRx

12 F = 130 lb -l.- ¡ + �j k 13 13 13 = { -3Oi + 40j - 120k} lb j k M A = rAB X F = -3 -6 14 -30 40 - 120 = { 1 6Oi - 780j - 3OOk} lb · pie Resp.

FR = 500 + 250 + 500 = 1250 lb Resp. 1250(x) = 500(3) + 250(6) + 500(9) x 6 pies Resp. FR = 400 + 500 - 100 = 800 N Resp.

C-23. + l FR = "i. Fy;

1650 d =

1+MCR = 300(4)

C-27. FR

1650 lb Resp.

[� (6) ( 150) ] (4)

8.36 pies Resp.

J w(x) dx 142.5X3 dx =

+ [8( 150) ] ( 10)

160 N Resp.

C )

C-2S. =

+ J MAR = "i. MA;

1550 d d

( �)

C-29.

� "i. Fx

1550 lb Resp.

[� (50)(6) } 4)

5.03 pies Resp.

(D O 300 lb O; By(lO) - 500 (� ) ( 5 ) - 600

O; - Ax + 500 Ax =

+ � "i. MA =

+ [150(6) ] (3) + 500(9)

Resp.

By = 260 lb Resp.

SOLUCIONES PARCIALES

+ j LFy = O; Ay + 260 - 500 C-30.

(�) = O

RESPUESTAS

•

609

C-36. Seccione la armadura a través de FE, FC, Be. Use el

segmento derecho. + j LFy = O; FCF sen 45° - 600 - 800 = O FCE = 1980 lb (T) Resp.

Ay = 140 lb Resp.

� L Fx = O; -Ax + 400 O; Ax = 400 N Resp. 1+ L MA O; By(4) - 400(0.5) - 500(2) = O By = 300 N Resp. A y + 300 - 500 = O + j L Fy = O; Ay = 200 N Resp. =

+ � L Mc = O; FFE(4) - 800(4) = O FFE = 800 lb (T) Resp.

i + L MF = O; Fsc(4) - 600(4) - 800(8) = O Fsc = 2200 lb (C) Resp. C-37. Seccione la armadura a través de GF, FC, De. Use el C-3I. � L Fx = O', - A x + 400 cos 30° = O segmento superior. Ax = 346 N Resp. + � L Mc O; FGF(8) - 700(6) - 1 000( 12) = O + j L Fy = O; Ay - 200 - 200 - 200 - 400 sen 30° O FGF = 2025 lb (T) Resp. Ay 800 N Resp. 4 + 1 + L MA = O;MA - 200(2.5) - 200(3.5) - 200(4.5 ) � L Fx = O; FFC + 700 + 1 000 = O S -400 sen 30°(4.5 ) - 400 cos 30°(3 sen 60°) = O FFC = 2125 lb (C) Resp. MA = 3.90 kN · m Resp. 1 + L MF = O; FCD(8) - 1000(6) = O 3 C-32. + � L MA = O; T(4) + S T( 12) - 300(8) - 600 = O FCD = 750 lb (C) Resp. T = 267.9 = 268 lb Resp. C-38. + j LFy = O; 3P - 60 O P = 20 lb Resp. � LFx = O; Ax 267.9) = O FAB)(9) + 400(6) + 500(3) = O C-39. + � L Mc = O; Ax = 2 14 lb Resp. =

(�}

+ j LFy = O; Ay + 267.9 +

G}267.9) - 300 = O

Ay = - 1 29 lb Resp. C-33. L Fz = O; TA + Ts + Tc - 200 - 500 = O L Mx = O; TA(3) + Tc(3) - 500( 1.5) - 200(3) = O LMy = O; -Ts(4) - Tc(4) + 500(2) + 200(2) = O TA = 350 lb, Ts = 250 lb, Tc = 100 lb Resp. C-34. Nudo D:

(�}

541 .67 lb 3 � L Fx = O; -Cx + S ( 54 1 .67) = O Cx = 325 lb Resp. 4 + j LFy = O; Cy + S (541.67) - 400 - 500 = O Cy = 467 lb Resp. C-40. + � L Mc = O; FAS cos 45°( 1 ) - FAS sen 45°(3) + 800 + 400(2) = O FAS = 1 13 1 .37 N +

FAS

3 O; S FCD - 300 O; FCD = 500 lb (T) Resp. � L Fx = O ,' -Cx + 1 1 3 1 .37 cos 45° = O 4 + � L Fx = O; -FAD + Cx = 800 N Resp. S (500) = O; + j LFy = O; - Cy + l 1 3 1 .37 sen 45° - 400 = 0 FAD = 400 lb (C) Resp. Cy 400 N Resp. Nudo C: C-41. Placa A : + \. L Fy = O; FCA = O Resp. + j L Fy = O ; 2T + NAS - l OO = O + J" L Fx = O; Fcs - 500 = O; Fcs = 500 lb (T) Resp. Placa B : Nudo A : + j L Fy = O; 2T - NAS - 30 = O + j LFy = O; FAS = O Resp. T 32.5 lb, NAS = 35 lb Resp. C-42. Polea C: C-35. Ax = O, A y = Cy = 400 lb + j L Fy = O; T - 2P = 0; T = 2P Nudo A : Viga: 3 + j L Fy = O; - S FAE + 400 = O; FAE = 667 lb (C) Resp. + j L Fy = O; 2P + P - 6 = 0 P 2 kN Resp. Nudo C: + � L MA = O; 2( 1 ) - 6(x) = O + j LFy O; -FDC + 400 = O; FDC = 400 lb (C) Resp. x = 0.333 m Resp. + j L Fy

610

C-43.

•

APÉ NDICE C

Repa s o para un exa men de l os fundamentos de ingeniería

8.75 kN. Use el segmento AB:

� L Fx = O', + j LFy = O;

C-44.

NB = O Resp. 8.75 - 3 ( 1 .5 ) - VB = O VB = 4.25 kN Resp. MB + 3 ( 1 .5 ) (0.75) - 8.75( 1 .5 ) = O MB = 9.75 kN · m Resp. Ay = 100 lb. Use el segmento AB.

� L Fx = O; + j L Fy = O; + � L MB = O; C-45.

O, Ay = Ax segmento AB. =

� L Fx = O', + j LFy = O;

NB = O Resp. 100 - VB = 0 VB = 100 lb Resp. MB - 100(6) = O MB = 600 lb · pies Resp. 4.5 kN, WB = 2 kN/m. Use el NB = O Resp. 1 4.5 - "2 (6)(2) + VB = O VB = 1.5 kN Resp.

+ � L MB = O ; MB +

[� (6)(2 ) ] (2) - 4.5(6) = O

MB = 15 kN ' m Resp. C-46. + j L Fy = O; Nb - P sen 30° - 100 = O + -P cos 30° + 0.3 Nb = O -> L Fx = O; P = 41.9 lb Resp. C-47. � L Fx = O; OANB - NA = O + � L MB = O; OANA(12) + NA( 1 2 ) - P(6) = O + � L Fy = O; P + OANA + NB - 200 = O P = 98.2 lb Resp. C -48. Bloque B: + j LFy = O; NB - 20 sen 30° - 50 = O NB = 60 lb

� L Fx = O; FB - 20 cos 30° = O

FB = 17.3 lb « OA( 60 lb) ) Resp. Bloques A y B: + j LFy = O; NA - 30 - 50 - 20 sen 30° = O NA = 90 lb + -> L Fx = O; FA - 20 cos 30° - 10 = O FA = 27.3 lb « OA(90 Ib) ) Resp. C-49. Si ocurre deslizamiento + j LFy = O; Nc - 250 lb = O Nc = 250 lb

� L Fx = O; P - OA(250) = O P = 100 lb

Si ocurre volteo: 1 + L MA = O; - P(4.5 ) + 250( 1 .5 ) = O P = 83.3 lb Resp. C-50. P para que A se deslice sobre B: + j LFy = O; NA - 60(9.81 ) = O NA = 588.6 N

� L Fx = O;

OA(588.6) - P = O P = 235 N P para que B se deslice: + j LFy = O;

NB - 60(9.8 1 ) - 10(9.8 1 ) = O NB = 686.7 N � L Fx = O; 0.3(686.7) - P = O P = 206 N P para voltear a A : 1 + L Mc = O; P ( 1 .3 ) - 60(9.8 1 ) (0.2) = O P = 90.6 N Resp. LX'A = C-5 i. x = LA _

( - 1 ) (2)(2)+ 1 .5(3)(3)+4

�

(�} 3)(3)

2(2) +3(3 ) + (3)(3) Y

= 1 .57 pies

L�A Y = LA

(�)

(3) (3) 1 (2)(2)+ 1.5(3 ) ( 3 ) + 1 --'- - = 1 .26 pies ---------''-2(2) + 3(3) + (3) (3) C-52.

Resp.

�

Resp.

x = O (simetría) Resp.

L yA 4 ( 1 ( 8 ) ) + 9(6)(2) = 7 pulg. Resp. = 1 (8) + 6(2) LA Y 1 ( 100)(260) 3 ( 120) (300) 3 C-53. Iy = 12 1 = 1 24 ( 106 ) mm4 Resp. 1 (8) (12) 3 + (8)(12)(6) 2 C-54. 1 = L ( I + Ad2 ) = 12 _

�

[

C-55.

]

U2 (6) ( 12)3 + (6) ( 12 ) ( -2) 2 ] = 5760 pulg.4

4(8)(2) + 9(2)(8) LX'A = 6.5 pulg. = 8(2) + 2(8) LA

U2 (2) (8)3 + (8)(2 ) (6.5 - 4)2 ] + [: (8)(2) 3 + 2(8)(9 - 6.5 ? ] = 291 pulg.4 2

Resp.

Ix' = L ( I + Ad2 ) =

Resp.