C A P í T U LO
3
Equilibrio de una partícula
O BJ ETIVOS D E L CAPíTULO
• •
I ntroducir el concepto de d iagrama de cuerpo l i b re para una partícula. Mostra r cómo resolver p roblemas de eq u i l i b r i o de partículas usa n d o l a s ecuaciones de eq u i l i brio.
3.1
Condiciones para el equilibrio de una partícula Una partícula estará en equilibrio siempre que esté en reposo si origi nalmente estaba en reposo, o siempre que tenga una velocidad constan te si originalmente estaba en movimiento. Sin embargo, más a menudo, el término "equilibrio" o, más específicamente, "equilibrio estático" se usa para describir un objeto en reposo. Para mantener el equilibrio, es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea igual a cero. Esta condición puede ser establecida matemáticamente como
:¿F
=
O
(3-1)
donde :¿F es el vector suma de todas las fuerzas que actúan sobre la par tícula. La ecuación 3-1 no sólo es una condición necesaria para el equilibrio, también es una condición suficiente. Esto es una consecuencia de la segunda ley del movimiento de Newton, la cual puede escribirse como :¿F = ma. Como el sistema de fuerzas satisface la ecuación 3-1, enton ces ma = O, Y por tanto la aceleración de la partícula a = O. En conse cuencia, la partícula se mueve con velocidad constante o permanece en reposo.
81
82
3.2
•
CAPíTULO 3 E q u i l i brio de u n a partícula
El diagrama de cuerpo libre Para aplicar la ecuación de equilibrio, debemos tomar en cuenta todas las fuerzas conocidas y desconocidas (�F) que actúan sobre la partícula. La mejor manera de hacer esto es trazando el diagrama de cuerpo libre de la partícula. Este diagrama es simplemente un croquis que mues tra la partícula "libre" de su entorno con todas las fuerzas que actúan sobre ella. Antes de presentar un procedimiento formal de cómo trazar un dia grama de cuerpo libre, consideraremos dos tipos de conexiones encon tradas a menudo en problemas de equilibrio en partículas. Resortes. Si un resorte elástico lineal se usa como soporte, su longitud cambiará en proporción directa a la fuerza que actúe en él. Una caracte rística que define la "elasticidad" de un resorte es la constante de resorte o rigidez k. La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elástico lineal que tiene una rigidez k y es deformado (alargado o acortado ) una distan cia s, medida ésta desde su posición descargada, es
I
F
=
ks
(3-2 )
Aquí s está determinada a partir de la diferencia de la longitud del re sorte deformado l y su longitud no deformada lo, es decir, s = l - lo. Si s es positiva, F "j ala" al resorte, mientras que si es negativa, F lo "empuja". Por ejemplo, el resorte mostrado en la figura 3-1 tiene una longitud no deformada lo = 0.4 m y rigidez k = 500 N/m. Para alar garlo de manera que l = 0.6 m, se requiere una fuerza F = ks = (500 N/m) (0.6 m - 0.4 m ) = 100 N. De la misma manera, para acortarlo a una longitud l = 0.2 m, se requiere una fuerza F = ks = (500 N/m) (0.2 m 0.4 m ) = - 1 00 N, figura 3-1 .
10 = 0.4 m s = - 0. 2 m
k = 500 N/m
I
------'-,- (s
-F
F
+s Fig. 3-1
=
O)
SECCIÓN 3 . 2 Cables y poleas. En todo este libro, excepto en la sección 7.4, supon dremos que todos los cables (o cuerdas) tienen peso insignificante y que no pueden estirarse. Además, un cable puede soportar sólo una tensión o jalón, y esta fuerza siempre actúa en la dirección del cable. En el capítu lo 5 se mostrará que la fuerza de tensión desarrollada en un cable conti nuo que pasa sobre una polea sin fricción debe tener una magnitud constante para mantener al cable en equilibrio. Por tanto, para cualquier ángulo e, mostrado en la figura 3-2, el cable está sometido a una tensión constante T en toda su longitud.
R P OCE D IMEI NT O PA RA R T AZA R UN D IAG RAMA DE CU ERP O LI B RE
El d i ag rama de cuerpo l i bre
83
T T
El cable está en tensión Fig. 3-2
Como al aplicar las ecuaciones de equilibrio debemos tomar en cuen ta todas las fuerzas que actúan sobre una partícula, debe enfatizarse la importancia de trazar primero un diagrama de cuerpo libre. Para construir un diagrama de cuerpo libre, son necesarios los siguientes tres pasos. Trace la forma delineada. Suponga que la partícula está aislada o "liberada" de su entorno trazando su forma delineada.
Indique sobre ese croquis todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. Éstas pueden ser fuerzas activas, las cuales tienden a poner la partícula en movimiento, o fuerzas reac tivas, que son el resultado de las restricciones o soportes que tienden a prevenir el movimiento. Para tomar en cuenta todas esas fuerzas, puede ser conveniente delimitar los alrededores de la partícula, se ñalando cuidadosamente cada fuerza que actúa sobre ella. Muestr� todas las fuerzas.
Las fuerzas que son conocidas deben ser rotuladas con sus propias magnitudes y direcciones. Para represen tar las magnitudes y direcciones de las fuerzas desconocidas se usan letras. Identifique cada fuerza.
Considere el carrete con peso W que es tá suspendido de la grúa. S i queremos obtener las fuerzas presentes en los ca bles A B y AC, podemos considerar el diagrama de cuerpo libre del anillo si tuado en A, ya que esas fuerzas actúan sobre el anillo. Aquí, los cables A D ejer cen una fuerza resultante W sobre el anillo y la condición de equilibrio se usa para obtener TB y Te.
T
La cubeta se mantiene en equilibrio por el ca ble, e instintivamente sabemos que la fuerza en el cable debe ser igual al peso de la cubeta. Al trazar un diagrama de cuerpo libre de la cube ta podemos entender por qué esto es así. Este diagrama muestra que hay sólo dos fuerzas ac tuando sobre la cubeta, su peso W y la fuerza T del cable. Para obtener la posición de equi librio, la resultante de esas fuerzas debe ser igual a cero, por lo que T = W. El punto im portante es que al aislar la cubeta, la fuerza T desconocida en el cable resulta "expuesta" y debe ser considerada como un requisito para obtener el equilibrio.
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•
CAPíTULO 3 E q u i l i brio de u n a partícu la
La esfera que aparece en la figura 3-3a tiene una masa de 6 kg Y está soportada como se muestra. Trace un diagrama de cuerpo libre de la esfera, de la cuerda CE, y del nudo en C.
Solución
FCE (La fuerza de la cuerda CE actuando sobre la esfera)
58.9N (El peso o la gravedad actuando
sobre la esfera) (b)
FEC (La fuerza del nudo actuando sobre la cuerda CE)
Esfera. Por inspección, hay sólo dos fuerzas actuando sobre la esfe ra: su peso y la fuerza en la cuerda CE. La esfera tiene un peso de 6 kg (9.81 m/s2) = 58.9 N. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3-3b. Cuerda CE. Cuando la cuerda CE es aislada de su entorno, su diagrama de cuerpo libre muestra sólo dos fuerzas actuando sobre ella, a saber, la fuerza de la esfera y la fuerza del nudo, figura 3-3c. Advierta que la FCE mostrada aquí es igual pero opuesta a la mostrada en la figura 3-3b, una consecuencia de la tercera ley de Newton. FCE y FEC jalan la cuerda y la mantienen en tensión de manera que no se colapse. Por equilibrio, FCE = FEC' Nudo. El nudo en C está sometido a tres fuerzas, figura 3-3d. Éstas son causadas por las cuerdas CBA y CE Y el resorte CD. Como es requerido, el diagrama de cuerpo libre muestra todas esas fuerzas ro tuladas con sus magnitudes y direcciones. Es importante reconocer que el peso de la esfera no actúa directamente sobre el nudo, sino que la cuerda CE somete al nudo a esta fuerza.
FCBA (La fuerza de la cuerda CBA actuando sobre el nudo)
C
....
-I� FCD (La fuerza del resorte actuando
-
sobre el nudo)
FCE (La fuerza de la esfera actuando sobre la cuerda CE)
(e)
I[CE (La fuerza de la cuerda CE actuando sobre el nudo) (d) Fig. 3-3
SECCIÓN 3.3
3 . 3 Sistemas de fuerzas (oplanares Si una partícula está sometida a un sistema de fuerzas coplanares que se encuentran en el plano x -y, figura 3-4, entonces cada fuerza puede ser resUelta en sus componentes i y j. Por equilibrio, la ecuación 3-1 pue de escribirse como
:¿F
:¿ Fxi
+
=
O
:¿ Fyj = O
Para que se satisfaga esta ecuación vectorial, ambas componentes x deben ser iguales a cero. Por tanto,
yy
(3-3) Estas ecuaciones escalares de equilibrio requieren que la suma algebrai ca de las componentes x y y de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula sea igual a cero. En consecuencia, las ecuaciones 3-3 pueden resolverse cuando mucho para dos incógnitas, representadas general mente como ángulos y magnitudes de fuerzas mostradas sobre el dia grama de cuerpo libre de la partícula. y
---L--r-�TT-----,--L-- x
Fi�. 3-4
Notación escalar. Como cada una de las dos ecuaciones de equilibrio requiere la resolución de componentes vectoriales a lo largo de un eje es pecífico x o y, usaremos notación escalar para representar las componen tes al aplicar esas ecuaciones. Al hacer esto, el sentido de cada componente es tomado en cuenta por un signo algebraico que corresponde a la direc ción de la cabeza de flecha de la componente a lo largo de cada eje. Si una fuerza tiene magnitud desconocida, entonces el sentido de la cabeza de flecha de la fuerza sobre el diagrama de cuerpo libre puede ser supues to. Como la magnitud de una fuerza es siempre positiva, entonces, si la so lución da un escalar negativo, esto indica que el sentido de la fuerza actúa en la dirección opuesta.
Sistemas de fuerzas coplanares
•
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86
CAPíTULO 3 E q u i l i brio de u n a partícula
F
JI TO ?\-x TB T Las cadenas ejercen tres fuerzas sobre el ani llo localizado en A . El anillo no se moverá, o se moverá con velocidad constante, siempre que la suma de esas fuerzas a lo largo de los ejes x y y sobre el diagrama de cuerpo libre sea igual a cero. Si se conoce una de las tres fuer zas, las magnitudes de las otras dos pueden ser obtenidas a partir de las dos ecuaciones de equilibrio.
x
Fig. 3-5
y
e
• O)..----l.� --IO N
Por ejemplo, considere el diagrama de cuerpo libre de la partícula so metida a las dos fuerzas mostradas en la figura 3-5. Aquí se supone que la fuerza desconocida F actúa hacia la derecha para mantener el/ equili brio. Aplicando la ecuación de equilibrio a lo largo del eje x, tenemos +F + IO N
=
O
Ambos términos son "positivos" ya que las dos fuerzas actúan en la dirección x positiva. Cuando se resuelve esta ecuación, F = - 10 N. Aquí, el signo negativo indica que F debe actuar hacia la izquierda para mante ner la partícula en equilibrio, figura 3-5. Observe que si el eje + x en la figura 3-5 estuviese dirigido hacia la izquierda, en la ecuación anterior ambos términos serían negativos, pero de nuevo, después de resolverla, F = - 10 N, indicando de nuevo que F estaría dirigida hacia la izquierda.
P RO CE D IMIE NTO
DE ANÁLISIS
Los problemas de equilibrio de fuerzas coplanares para una par tÍCula pueden ser resueltos usando el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre. •
•
•
Establezca los ejes x, y en cualquier orientación apropiada. Rotule sobre el diagrama todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conocidas y desconocidas. El sentido de una fuerza con una magnitud desconocida puede ser supuesto.
Ecuaciones de equilibrio. • •
•
•
Aplique las ecuaciones de equilibrio �Fx = O y �Fy = O. Las componentes son positivas si están dirigidas a lo largo de un eje positivo, y negativas si están dirigidas a lo largo de un eje ne gativo. Si existen más de dos incógnitas y el problema implica un resor te, aplique F = ks para relacionar la fuerza del resorte con la deformación s del mismo. Si la solución produce un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado sobre el diagrama de cuerpo libre.
SECCiÓN 3.3 Sistemas de fuerzas coplanares
Determine la tensión en los cables AB y AD para mantener en equi librio el motor de 250 kg mostrado en la figura 3-6a. Solución
Para resolver este problema, investiga remos el equilibrio del anillo localizado en A porque esta "partícula" está sometida a las fuerzas de ambos cables AB y AD. Primero, sin embargo, advierta que el motor tiene un peso de (250 kg)(9.81 mJs2) = 2.452 kN que es soportado por el cable CA . Por tanto, como se mues tra en la figura 3-6b, hay tres fuerzas concurrentes que actúan sobre el anillo. Las fuerzas TB y TD tienen magnitudes desconocidas pero direcciones conocidas, y el cable AC ejerce sobre A una fuerza hacia abajo igual a 2.452 kN.
Diagrama de cuerpo libre.
(a)
y
Fig. 3-6
�----��---- x
2.452 leN (b)
Las dos magnitudes desconocidas TB Y TD se pueden obtener a partir de las dos ecuaciones escalares de equili brio, 'l:.Fx = O Y 'l:.Fy = O. Para aplicar estas ecuaciones, se establecen los ejes x, y sobre el diagrama de cuerpo libre, y TB debe resolverse en sus componentes x y y. Entonces, Ecuaciones de equilibrio.
� L Fx
+ j L Fy
=
=
O·, O·,
TB cos 30° - TD = O
T B sen 30° - 2.452 kN
=
O
(1) (2)
Al despejar TB de la ecuación 2 y sustituirla en la ecuación 1 para ob tener TD resulta TB TD
=
=
4.90 kN 4.25 kN
Respuesta Respuesta
La exactitud de esos resultados depende, por supuesto, de la exacti tud de los datos, es decir, de las medidas geométricas y de las cargas. En la mayor parte de los trabajos de ingeniería que implican un problema como este, los datos medidos con tres cifras significativas serán adecuados. Observe que aquí hemos ignorado los pesos de los cables, lo que es razonable ya que son pequeños en comparación con el peso del motor.
•
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•
CAPíTULO 3 E q u i l i brio de una partícula
Si el saco localizado en A en la figura 3-7a tiene un peso de 20 lb, de termine el peso del saco ubicado en B y la fuerza que se necesita en cada cuerda para mantener el sistema en equilibrio en la posición mostrada. Solución
Como el peso de A es conocido, la tensión desconocida en las dos cuerdas EG y EC puede ser determinada investigando el equilibrio del anillo en E. ¿Por qué? Hay tres fuerzas actuando sobre E, co mo se muestra en la figura 3-7b.
Diagrama de cuerpo libre. ( a)
Al establecer los ejes x, y y resolver cada fuerza en sus componentes x y y usando trigonometría, tenemos
Ecuaciones de equilibrio.
y
---,-.��-L--- x
� "L Fx = O·, + j "LFy = O·,
T EG sen 30° - T EC cos 45° T EG cos 30° - T EC sen 45° - 20 lb
=
=
O O
(1 ) (2 )
Despejando TEG en la ecuación 1 en términos de TEO Y sustituyen do el resultado en la ecuación 2, obtenemos una solución para TEC. Luego se obtiene TEG a partir de la ecuación 1 . Los resultados son
20 lb
(b)
=
Resp. Resp.
38.6 lb TEG = 54.6 lb TEC
y
Usando el resultado calculado para TEC, el equilibrio del anillo lo calizado en C puede investigarse ahora para determinar la tensión en CD y el peso de B. Como se muestra en la figura 3-7 e, 38.6 lb "jalando" a C. La razón de esto resulta clara cuando se traza el diagrama de cuerpo libre de la cuerda CE y se aplican la con dición de equilibrio y el principio de acción, que es igual pero opues to a la fuerza de reacción (tercera ley de Newton), figura 3-7d.
Diagrama de cuerpo libre.
(e)
La fuerza de la cuerda EC actuando sobre el anillo E)
� E
TEC
=
Ecuaciones de equilibrio. Al establecer los ejes x, y y observar que 38. 6 lb \ (La fuerza del anillo E las componentes de TCD son proporcionales a la pendiente de la cuer � Acciónactuando sobre la cuerda EC) da como está definida por el triángulo 3-4-5, tenemos reacción Acciónreacción (La fuerza del anillo C "L Fx = O·' 38.6 cos 4SO lb ( �)TCD = O (3 ) c-::-: \ 38 .6 lb actuando sobre la cuerda EC) � , O' 38.6 sen 45° lb W B = O "L F (�)T CD + (4 ) � y (La fuerza de la cuerda EC e actuando sobre el anillo C)
�
-
(d) Fig. 3--7
Al resolver la ecuación 3 y sustituir el resultado en la ecuación 4 resulta TCD
WB
=
=
34.2 lb 47.8 lb
Resp. Resp.
SECCIÓN 3.3 Sistemas de fuerzas (oplanares
Determine la longitud requerida de la cuerda AC en la figura 3-8a de manera que la lámpara de 8 kg esté suspendida en la posición mos trada. La longitud no deformada del resorte AB es l'AB = 0.4 m, y el resorte tiene rigidez kAB = 300 N/m. �------ 2 m --------�
y
e
...L. __ ... _
__
B
'()-
A
W = 78.5 N
(b)
(a)
Fig. 3-8
Solución
Si se conoce la fuerza presente en el resorte AB, el alargamiento de éste puede hallarse usando F = ks. A partir de la geometría del pro blema, es posible calcular entonces la longitud requerida de AC.
La lámpara tiene un peso W = 8(9.81) = 78.5 N. El diagrama de cuerpo libre del anillo en A se muestra en la figura 3-8b.
Diagrama de cuerpo libre.
Ecuaciones de equilibrio.
� '2. Fx
+ j '2.Fy
=
=
Usando los ejes x, y,
TAB - TAC cos 30° = O
O·,
T AC sen 30° - 78.5 N = O
O·,
Al resolver estas ecuaciones obtenemos TAC = 157.0 N TAB = 136.0 N El alargamiento del resorte AB es entonces
136.0 N = 300 N/m(sAB) SAB = 0.453 m
por lo que la longitud alargada es IAB
=
I A B + SAB IAB = 0.4 m + 0.453 m = 0.853 m La distancia horizontal de C a B, figura 3-8a, requiere que
2 m = IAC cos 30° + 0.853 m IAC = 1 .32 m
Resp.
TAB
......
_ _
-- x
•
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90
CAPíTULO 3 E q u i l i brio de una partíc u l a
PROB L E MA S 3- 1 . Determine las magnitudes de F l y F 2 necesarias para que la partícula P esté en equilibrio.
3-3. Determine la magnitud y el ángulo 8 de F} necesa rios para que la partícula P esté en equilibrio.
y
y
300 N
400 lb
--------.��- x
------�---CL-----�-- x
Prob. 3-1
Prob. 3-3
3-2. Determine la magnitud y la dirección 8 de F nece sarias para que la partícula esté en equilibrio.
*3-4. Determine la magnitud y el ángulo 8 de F necesa rios para que la partícula esté en equilibrio.
y
F
7 kN
---- �-----.-- x F 3 kN
Prob. 3-2
7.5 kN
Prob. 3-4
PROBLEMAS
3-5. Las barras de una armadura están articuladas en el nudo O. Determine las magnitudes de Fl y F2 por equi librio. Considere B 60°.
*3-8. Determine la fuerza en los cables AB saria para soportar el semáforo de 12 kg.
y AC
91
nece
=
3-6. Las barras de una armadura están articuladas en el nudo O. Determine la magnitud de Fl y su ángulo () por equilibrio. Considere F2 6 kN. =
5 leN
y
��--r--- X
Prob. 3-8
Probs. 3-5/6
3-7. El dispositivo mostrado se usa para enderezar los bastidores de autos chocados. Determine la tensión de cada segmento de la cadena, es decir, AB y BC, si la fuer za que el cilindro hidráulico DB ejerce sobre el punto B es de 3.50 kN, como se muestra.
3-9. Cada una de las cuerdas AB y AC puede sostener una tensión máxima de 800 lb. Si el tubo pesa 900 lb, de termine el ángulo B más pequeño con que las cuerdas pue den unirse a él.
Prob. 3-7
Prob. 3-9
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CAPíTULO 3 E q u i l i brio de u n a partícula
3- 1 0. El cajón de 500 lb va a ser levantado usando las cuerdas AB y AC. Cada cuerda puede resistir una tensión máxima de 2500 lb antes de romperse. Si AB siempre per manece horizontal, determine el ángulo () más pequeño con que el cajón puede ser levantado.
*3-12. El tubo e n codo de concreto pesa 400 lb Y su cen tro de gravedad se localiza en el punto G. Determine la fuerza necesaria en los cables AB y CD para soportarlo.
B
B O>==....
..... F
-
Prob. 3-12 Prob. 3-1O
3- 13. Determine el alargamiento producido en cada re sorte cuando el bloque de 2 kg está en equilibrio. Los resortes se muestran en posición de equilibrio. 3-14. La longitud no alargada del resorte AB es de 2 m. Si el bloque es mantenido en la posición de equilibrio mostrada, determine la masa del bloque en D.
3-1 1. Dos bolas cargadas eléctricamente, cada una con masa de 0.2 g, están suspendidas de cuerdas ligeras de igual longitud. Determine la fuerza horizontal resultante de repulsión, F, que actúa sobre cada bola si la distancia medida entre ellas es r = 200 mm.
150mmI +
+
¡----
3 m---+--- 4 m-----�
kAD
--- r =
+
200 mm ---
Prob. 3-1 1
=40 N/m
+
Prob�. 3-13/14
PROBLEMAS
3-15_ El resorte ABC tiene una rigidez de 500 N/m y longitud no alargada de 6 m. Determine la fuerza hori zontal F aplicada a la cuerda que está unida a la peque ña polea en B cuando el desplazamiento de la polea con respecto a la pared es d = 1 .5 m.
93
3-19. Cada una de las cuerdas BCA y CD puede sopor tar una carga máxima de 100 lb. Determine el peso má ximo de la caja que puede ser levantado a velocidad cons tante, y el ángulo O por equilibrio.
*3-16. El resorte ABC tiene una rigidez de 500 N/m y longitud no alargada de 6 m. Determine el desplazamien to d de la cuerda con respecto a la pared cuando se apli ca una fuerza F 175 N a la cuerda. =
F
Probs. 3--15/16
3-17. Determine el peso máximo de la maceta que pue de ser soportado sin exceder una tensión en el cable de 50 lb en cualquiera de los cables AB o AC.
Probs. 3--18/19
*3-20. Determine las fuerzas necesarias en los cables AC y AB para mantener la bola D de 20 kg en equilibrio. Considere F 300 N Y d 1 m. =
=
La bola D tiene masa de 20 kg. Si una fuerza 100 N se aplica horizontalmente al anillo localizado en A, determine la dimensión d más grande necesaria para que la fuerza en el cable AC sea igual a cero. 3-21. F
=
B
..,-�
Prob. 3--1 7
3-18. El motor en B enrolla la cuerda unida a la caja de 65 lb con rapidez constante. Determine la fuerza en la cuerda CD que soporta la polea y el ángulo O por equi librio. Ignore el tamaño de la polea en C.
f---- 2 m
c:)-----l� F D
Probs. 3--20/21
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CAPíTULO 3 E q u i l ibrio de u n a partíc u l a
3-22. El bloque pesa 20 lb Y está siendo levantado a ve locidad uniforme. Determine el ángulo (J por equilibrio y la fuerza requerida en cada cuerda.
3-25. Los bloques D y F pesan 5 lb cada uno y el blo que E pesa 8 lb. Determine la deflexión s por equilibrio. Ignore el tamaño de las poleas.
3-23. Determine el peso máximo W del bloque que puede ser suspendido en la posición mostrada si cada cuerda puede soportar una tensión máxima de 80 lb. ¿Cuál es el ángulo (J en la posición de equilibrio?
3-26. Si los bloques D y F pesan 5 lb cada uno, deter mine el peso del bloque E si la deflexión s = 3 pies. Ig nore el tamaño de las poleas.
B
4 Pies !
i 4 Pies �
_ _ _
D
e
Ts l F
Probs. 3-25/26
Probs. 3-22/23
*3-24. Determine la magnitud y la dirección (J de la fuer za de equilibrio FAB ejercida a lo largo del eslabón AB por el aparato de tracción mostrado. La masa suspen dida pesa 10 kg. Ignore el tamaño de la polea ubicada en A .
3-27. La eslinga se usa para levantar un recipiente que tiene una masa de 500 kg. Determine la fuerza en cada uno de los cables AB y AC como función de (J. Si la ten sión máxima permitida en cada cable es de 5 kN, deter mine las longitudes más cortas de los cables AB y AC que pueden usarse para efectuar el izado. El centro de grave dad del recipiente está en G.
F
•G Prob. 3-24
Prob. 3-27
PROBLEMAS
*3-28. La carga tiene una masa de 15 kg Y es levantada por el sistema de poleas mostrado. Determine la fuerza F en la cuerda como función del ángulo (). Grafique la función de fuerza F versus el ángulo () para O � () � 90°.
95
3-30. El tanque de dimensiones uniformes y peso de 200 lb está suspendido por medio de un cable de 6 pies de longitud que va unido a dos lados del tanque y pasa sobre la pequeña polea localizada en O. Si el cable pue de ser unido a los puntos A y B o C y D, determine qué unión produce la menor tensión en el cable. ¿Cuál es esta tensión?
F
o
Prob. 3-28
Prob. 3-30
3-29. El cuadro pesa 1 0 lb Y va a ser colgado del pasa dor liso B. Si una cuerda es unida al marco en los puntos A y C, y la fuerza máxima que la cuerda puede soportar es de 15 lb, determine la cuerda más corta que puede usar se con seguridad.
•
=
10 lb es ap'licada a los 3-31. Una fuerza vertical P extremos de la cuerda A B de 2 pies y del resorte AC. Si el resorte tiene una longitud no alargada de 2 pies, deter mine el ángulo () por equilibrio. Considere k 15 lb/pie. =
*3-32. Determine la longitud no alargada del resorte AC si una fuerza P 80 lb genera el ángulo () = 60° en la posición de equilibrio. La cuerda AB tiene 2 pies de lon gitud. Considere k 50 lb/pie. =
=
A
e
� 9 pulg. � 9 pulg. � Prob. 3-29
P
Probs. 3-31132
96
•
CAPíTULO 3 E q u i l ibrio de u n a partíc u l a
. 3-33. Se construye una "escala" con una cuerda de 4 pies de longitud y el bloque D de 10 lb. La cuerda está fija a un pasador situado en A y pasa sobre dos pequeñas poleas. Determine el peso del bloque B suspendido si el sistema está en equilibrio cuando s = 1 .5 pies.
¡I Pie
A
s = 1 .5
. 3-35. El resorte tiene una rigidez k = 800 N/m y lon gitud no alargada de 200 mm. Determine la fuerza en los cables BC y BD cuando el resorte se mantiene en la po sición mostrada.
pies 500 rnm --+--
Prob. 3-33
. 3-34. Un automóvil va a ser remolcado usando el arre glo de cuerdas que se muestra. La fuerza de remolque requerida es de 600 lb. Determine la longitud l mínima de cuerda AB para que la tensión en las cuerdas AB o AC no exceda de 750 lb. Sugerencia: Use la condición de equilibrio en el punto A para determii1ar el ángulo O requerido para la conexión, luego determine l usando tri gonometría aplicada al triángulo ABe.
Prob. 3-35
*3-36. La eslinga BAC se usa para izar la carga de 1 00 lb con velocidad constante. Determine la fuerza en la eslinga y grafique su valor T (ordenada) como función de su orientación O, donde O :::; O :::; 90°.
600 lb 1 00 lb
Prob. 3-34
Prob. 3-36
PROBLEMAS • 3-37. La lámpara de 1 0 lb está suspendida de dos resortes, cada uno con longitud no alargada de 4 pies y rigidez k 5 lb/pie. Determine el ángulo () por equi librio. =
•
97
3-39. Una esfera de 4 kg descansa sobre la superficie parabólica lisa mostrada. Determine la fuerza normal que ejerce la esfera sobre la superficie y la masa m s del blo que B necesaria para mantenerla en la posición de equi librio que aparece en la figura. y
A
oL
I
y 0 2 5"
l �----;---
Prob. 3-37
1-- 0.4 m -l
_ -
x
Prob. 3-39
3-38. La cubeta y su contenido tienen una masa de 60 kg. Si el cable tiene 15 m de longitud, determine la dis tancia y de la polea por equilibrio. Ignore el tamaño de la polea ubicada en A .
*3-40. El tubo de 30 kg está soportado en A por un sis tema de cinco cuerdas. Determine la fuerza necesaria en cada cuerda para obtener el equilibrio.
D e
E
T J
!
2m
L
y
,<"y
_ _
1----- 1 0 m
1
------
Prob. 3-38
Prob. 3-40
98
3 .4
•
CAPíTULO 3 Eq u i l i brio de una partíc u l a
Sistemas tridimensionales de fuerzas Para el equilibrio de una partícula se requiere
LF
=
O
(3-4 )
Si las fuerzas son resueltas en sus respectivas componentes i, j, k, figu ra 3-9, tenemos entonces
Por consiguiente, para garantizar el equilibrio, es preciso que las siguien tes tres ecuaciones de componentes sean satisfechas:
L Fx = O L Fy = O L Fz = O
(3-5)
Estas ecuaciones representan las sumas algebraicas de las componentes Z de fuerza que actúan sobre la partícula. Usándolas podemos re solver un máximo de tres incógnitas representadas generalmente como ángulos o magnitudes de fuerzas mostradas sobre el diagrama de cuer po libre de la partícula.
x, y,
z
Fig. 3-9
SECCIÓN 3.4 Sistemas trid i mensiona les de fuerzas
w
FB F FD e
El anillo en A está sometido a la fuerza del gancho así como a las fuerzas de cada una de las tres cadenas. Si el electroimán y su carga tienen un peso W, entonces la fuerza del gan cho será W, y las tres ecuaciones escalares de equilibrio pueden ser aplicadas al diagrama de cuerpo libre del anillo para determinar las fuerzas en las cadenas, FB, Fe y FD'
R P O CEDIMIENTO
DE ANÁLISIS
Los problemas de equilibrio tridimensional de fuerzas para una par tícula pueden ser resueltos usando el siguiente procedimiento. Diagrama de cuerpo libre •
• •
Establezca los ejes x, y, z con cualquier orientación apropiada.
Rotule todas las magnitudes y direcciones de las fuerzas conoci das y desconocidas sobre el diagrama.
El sentido de una fuerza que tenga magnitud desconocida puede ser supuesto.
Ecuaciones de equilibrio •
•
o¡
Use las ecuaciones escalares de equilibrio, '2:.Fx = 0, '2:.Fy = 0, '2:.Fz = 0, en los casos en que sea fácil resolver cada fuerza en sus componentes x, y, z .
Si la geometría tridimensional parece difícil, entonces exprese pri mero cada fuerza como un vector cartesiano, sustituya esos vecto res en '2:.F = 0, y luego haga las componentes i, j , k igual a cero. Si la solución da un resultado negativo, esto indica que el sentido de la fuerza es el inverso del mostrado en el diagrama de cuerpo libre.
99
1 00
•
CAPíTULO 3 E q u i l i brio de una partícula
Una carga de 90 lb está suspendida del gancho mostrado en la figura 3 - lOa . La carga está soportada por dos cables y un resor te con rigidez k = 500 lb/pie. D etermine la fuerza presente en los cables y el alargamiento del resorte en la posición de equilibrio. El cable AD se encuentra en el plano x -y y el cable AC en el plano X - Z .
z e
---� �. 30°
/sj 3 /A SOO lb/pie =
Y-�·�� A�HH�B
-----
y
..
D x
Solución
El alargamiento del resorte puede ser determinado una vez que la fuerza presente en él sea calculada. 90 lb Diagrama de cuerpo libre. La conexión en A es la seleccionada pa ra el análisis del equilibrio ya que las fuerzas presentes en los cables son concurrentes en este punto. El diagrama de cuerpo libre se mues tra en la figura 3 - l0b.
(a) z
y
Ecuaciones de equilibrio. Por inspección, cada fuerza puede ser re suelta fácilmente en sus componentes x, y, Z, y, por tanto, es posible aplicar directamente las tres ecuaciones escalares de equilibrio. Con siderando las componentes dirigidas a lo largo de los ejes positivos como "positivas", tenemos
2:- Fx
x
90 lb
2:- Fy 2:- Fz
(b)
Fig. 3-10
=
=
=
O;
F D sen 30° - �Fe
O;
- FD cos 30° + FB
O;
�Fe - 90 lb
= =
=
O
(1)
O
(2)
O
(3 )
Despejando Fe de la ecuación 3, luego FD de la ecuación 1 , y final mente FB de la ecuación 2, obtenemos Fe = 150 lb FD
FB
=
=
Re!>p.
240 lb
Resp.
208 lb
Resp
.
El alargamiento del resorte es entonces FB
208 lb S AB
=
=
=
k SAB 500 1b/pie (sAB) 0 .4 1 6 pies
Rew
SECCiÓN 3.4 Sistemas tridimensiona les de fuerzas
Determine la magnitud y los ángulos coordenados de dirección de la fuerza F en la figura 3 - 1 1a que son requeridos para obtener el equi librio de la partícula O. Solución
Sobre la partícula O actúan cuatro fuer
Diagrama de cuerpo libre
zas, figura 3 - 1 1 b.
Cada una de las fuerzas puede ser expresa da en forma vectorial cartesiana, y las ecuaciones de equilibrio pueden ser aplicadas para determinar las componentes x, y, z de F. Observan do que las coordenadas de B son B( -2 m, -3 m, 6 m), tenemos
F}
=
( )
=
F = Fxi
+
Por equilibrio,
'i,F
=
2m
--- y
F2
[
O;
'i, Fx = O; 22 Fz
=
800 N
x
-
Fyj . + Fzk
]
z
F3
-
Fl + F2 + F3 + F = O 200i - 300j + 600k + Fxi + Fyj
+
Fzk
=
=
700 N
O
Al igualar las respectivas componentes i, j, k a cero, tenemos =
=
---
400j - 800k
22 Fy
700 N
( a)
{400j } N
{ - 800k} N r - 2i - 3j + 6k F3 = F3 B = 700 N rB V( -2 f + ( -3 ) 2 + (6) 2 = { - 20Oi 300j + 600k} N
F2
=
\
Ecuaciones de equilibrio.
Fl
- 200
+
Fx = O
400 - 300 + Fy = O
O;
- 800
O;
101
z
B
í\
•
+
600 + Fz
=
O
Fx Fy
=
=
F2
=
y
800 N
x
200 N -100 N
(b)
Fz = 200 N
z
Entonces,
F = {20Oi - 1 00j + 200k} N F = V(200) 2 + ( - 1 00) 2 + (200) 2 = 300 N F 200 . 100 . 200 + k = UF = J 1 300 300 300 F
( ) ( ) COS-l(���)
a
= cos- 1
f3
=
l' =
cos-1
200 300
=
- 100 300
=
Resp.
F . 300 N
48.20
�I
I----'---- y
48 . 2°
Resp.
= 1 09°
Resp.
48.2°
Resp.
La magnitud y la dirección correctas de F se muestran en la figura 3 - 1 1 c.
x
(e) Fig. 3--1 1
1 02
•
CAPíTULO 3 E q u i l i brio de una partícula
Determine la fuerza desarrollada en cada cable usado para soportar el cajón de 40 lb que se muestra en la figura 3 - 12a.
z
Solución
Como se aprecia en la figura 3 - 12b, el diagrama de cuerpo libre del punto A es considerado para "exponer" las tres fuerzas desconocidas en los cables.
Diagrama de cuerpo libre.
Primero expresaremos cada fuerza en for ma vectorial cartesiana. Como las coordenadas de los puntos B y e son B( - 3 pies, -4 pies, 8 pies) y C( -3 pies, 4 pies, 8 pies), tenemos
Ecuaciones de equilibrio.
x---D
[ [
]
-3i - 4j + 8k Y( -3 f + ( -4) 2 + (8) 2 = - 0.318FBi - 0.424Fsj + 0.848FBk -3i + 4j + 8k Fe = Fe --;====:===::;=====: Y( -3 ) 2 + ( 4 f + ( 8 ) 2 = -0.318Fei + 0.424Fd + 0.484Fek FD = FDi W = { -40k} lb FB = FB
(a)
---;= ; ===== = ======:==�
]
Por equilibrio se requiere que
z
LF = O; FB + Fe + FD + W = O -0.318FBi - 0.424Fsj + 0.848FBk - 0.318Fci + 0.424Fd +0.848Fek + FDi - 40k
=
O
Al igualar las respectivas componentes i, j, k a cero resulta
L Fx L Fy L Fz y (h)
hg. 3-12
=
=
=
O; O; O;
- 0.318FB - 0.318Fe + FD -0.424FB + 0.424Fe 0.848FB + 0.848Fe - 40
=
O
=
O
=
O
(1) (2) (3)
La ecuación 2 establece que FB = Fe. Entonces, despejando FB y Fe de la ecuación 3 y sustituyendo el resultado en la ecuación 1 pa ra obtener FD, tenemos
FB = Fe = 23.6 lb FD = 15.0 lb
Re5p. ReW
SECCiÓN 3.4 Sistemas trid i mensiona l es de fuerzas
El cajón de 100 kg mostrado en la figura 3 - 13a está soportado por tres cuerdas, una de las cuales se conecta a un resorte. Determine la tensión en las cuerdas AC y AD, así como el alargamiento del resorte. La fuerza presente en cada una de las cuerdas puede ser determinada investigando el equilibrio del punto A. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 3 - 13b. El pe so del cajón es W = 100(9.81) = 981 N.
Diagrama de cuerpo libre.
Cada vector trazado en el diagrama de cuerpo libre se expresa primero en forma vectorial cartesiana. Usan do la ecuación 2 - 1 1 para Fe Y el punto D( - 1 m, 2 m, 2 m) para FD, tenemos
Ecuaciones de equilibrio
[
]
(a)
z
Jr---- y
Por equilibrio se requiere que O;
FB + Fe + FD + W = O Fsi - 0.5Fei - 0.707Fd + 0.5Fek - 0.333FDi + 0.667FDj + 0.667FDk - 981k Al igualar las respectivas componentes i, j, k a cero resulta :¿ F
=
:¿ Fx = O; :¿ Fy = O; :¿ Fz = O;
Fs - 0.5Fe - 0.333FD -0.707Fe + 0.667FD 0.5Fe + 0.667FD - 981
=
O
=
O
=
O
=
O
(1) (2) (3)
Despejando FD en la ecuación 2 en términos de Fe, y sustituyendo este resultado en la ecuación 3, se obtiene Fe. FD se determina con la ecuación 2. Finalmente, al sustituir los resultados en la ecuación 1 re sulta Fs. Por consiguiente,
Fe = 813 N FD = 862 N FB = 693.7 N
Resp. Resp.
El alargamiento del resorte es entonces
F
=
ks;
693.7 s
= =
1500s 0.462 m
Resp.
103
D
Solución
FB = Fsi Fe = Fe cos 1200i + Fe cos 135°j + Fe cos 600k = -0.5Fci - 0.707 Fd + 0.5Fek -li + 2j + 2k FD = FD ---¡==;::===::;;===;::2 V( - l f + (2 f + ( 2 ) = -0.333FDi + 0.667Fvj + 0.667FDk W = { -981k} N
•
(b)
Hg. 3--13
1 04
•
CAPíTULO 3 E q u i l i brio de u n a partícula
PROBLEMA S 3-41. Determine la magnitud y la dirección de F¡ reque ridas para mantener el sistema de fuerzas concurrentes en equilibrio.
3-43. Determine las magnitudes necesarias de F¡, F2 F3 para que la partícula esté en equilibrio.
z
Y
z
�
(-2 m, -6 m, 3 m)
F¡ F¡
---.
_ _ _
1/"-
...
8.5kN
F3 = 400 N F2 = 500 N ..
-(�
-
-'--
-
--+-- Y
x
x
Prob. 3-43
Prob. 3-41
3-42. Determine las magnitudes necesarias de F ¡ , F2 F3 para que la partícula esté en equilibrio.
Y
*- 3-44. Determine la magnitud y la dirección de la fuer za P requerida para mantener el sistema de fuerzas con currentes en equilibrio.
z
/
(- 1 .5 m, 3 m,
P
3 m)
/ F2 = 0.75 kN 1 200
�--��1-.--�--- Y
800 N
Prob. 3-42
x
Prob. 3-44
PROBLEMAS
3-45. Los tres cables se usan para dar soporte a la lám para de 800 N. Determine la fuerza desarrollada en cada cable en la posición de equilibrio.
•
105
3-47. Determine e l alargamiento d e cada uno d e los dos resortes requeridos para mantener el cajón de 20 kg en la posición de equilibrio mostrada. Cada resorte tiene una longitud no alargada de 2 m y rigidez k 300 N/m. =
z
I
z
e
y B
x
x
Prob. 3-47
Prob. 3-45
3-46. Si el cable AB está sometido a una tensión de 700 N, determine la tensión presente en los cables AC y AD Y la magnitud de la fuerza vertical F.
*3-48. Si la cubeta y su contenido tienen un peso total de 20 lb, determine la fuerza presente en los cables de so porte DA , DB Y De. z
2.5
F
pies ---¡
e
A A �------�-- y -L __
�
��
__ __ __ __ __ __
\
__
__ ��____ -L �
_ __
x
y
x
Prob. 3-46
Prob. 3-48
1 06
CAPíTULO 3 E q u i l i brio de u n a partíc u l a
*3-52. Determine la tensión presente en los cables AB, AC y AD, los cuales son requeridos para mantener la ca ja de 60 lb en equilibrio.
. 3-49. La caja de 2500 N va a ser levantada, con velo cidad constante, desde la bodega de un buque usando el arreglo de cables que se muestra. Determine la tensión en cada uno de los tres cables por equilibrio. z
I
z
F = 2500 N
m y
y
x
. 3-50. La lámpara tiene masa de 1 5 kg Y está soporta da por un poste AG y los cables AB y AC. Si la fuerza presente en el poste actúa a lo largo de su eje, determi ne las fuerzas en AG, AB Y AC por equilibrio.
Prob. 3-52
3-51 . Los cables AB y AC pueden soportar una tensión máxima de 500 N, Y el poste soporta una compresión má xima de 300 N. Determine el peso máximo de una lámpa ra para que pueda ser sostenida en la posición mostrada. La fuerza presente en el poste actúa a lo largo del eje del poste.
3-53. El cable AC soporta una cubeta y su contenido que tienen una masa total de 300 kg. Determine las fuerzas desarrolladas en los puntales AD y AE Y la tensión en el cable AB en la posición de equilibrio. La fuerza en cada puntal actúa a lo largo de su eje.
A
í
z
�B 7
6m -L __
.L/'/����
x
� __ __ __ __ __ __
__ __
x
Probs. 3--50/51
Prob. 3-53
y
PROBLEMAS
3-54. Determine la fuerza necesaria en cada uno de los tres cables para elevar el tractor que tiene una masa de 8 MI!:. z
1 07
3-57. Determine la altura d del cable AB de manera que la fuerza en los cables AD y AC tenga la mitad del valor de la fuerza presente en el cable AB. ¿Cuál es la fuerza presente en cada cable para este caso? La maceta tiene una masa de 50 kg. z
2m
2m
----�--���----�- y
x
x
Prob�, 3-56/57 Prob. 3-54
3-58. El candelabro de 80 lb está soportado por tres alambres como se muestra. Determine la fuerza en cada alambre en la posición de equilibrio.
3-55. Determine la fuerza que actúa a lo largo del eje de cada uno de los tres puntales necesarios para dar so porte al bloque de 500 kg.
3-59. Si cada alambre puede soportar una tensión peso del candelabro que los alambres soportarán en la posición mostrada.
Prob. 3-55
3-56. La maceta de 50 kg está soportada en A por los tres cables mostrados. Determine la fuerza que actúa en cada cable en la posición de equilibrio. Considere d 2.5 m. =
_ _ __ __ -L -L __ __ __
I
��------�------- y
x
Proh\, 3- 58/59
CAPíTULO 3 E q u i l i brio de u na partícula
1 08
*3-60. Tres cables se usan para soportar un anillo de 900 lb. Determine la tensión en cada cable en la posición de eq uilibrio. z
I
F
3-62. Una pequeña clavija P descansa sobre un resorte que está contenido dentro de un tubo liso. Cuando el re sorte se comprime de modo que s = 0. 15 m, ejerce hacia arriba una fuerza de 60 N sobre la clavija. Determine el punto de unión A (x, y, O) de la cuerda PA para que la tensión en las cuerdas PB y pe sea de 30 y 50 N, respec tivamente.
4 , <iloll-----'-- y
�o.4 m -/ x�
B Á-----����--���-- y
x
y ------:7 A
Prob. 3-60
3-61. El cilindro de 800 lb está soportado por tres ca denas como se muestra. Determine la fuerza presente en cada cadena en la posición de equilibrio. Considere d 1 pie. =
Prob. 3-62
3-63. Determine la fuerza necesaria en cada cable para soportar la plataforma de 3500 lb. Considere d = 4 pies. z
I
3500 lb
x
Prob. 3-6 1
LX
Prob. 3-63
REPASO DEL CAPíTULO
-*3-64. La bola de 80 lb está suspendida del anillo ho rizontal usando tres resortes, cada resorte tiene longitud no alargada de 1 . 5 pies y rigidez de 50 lb/pie. Determine la distancia vertical h del anillo hasta el punto A por equi librio.
1 09
3-65. Determine la tensión desarrollada en los cables OD y OB Y en la barra OC requerida para sostener la caja de 50 kg. El resorte OA tiene una longitud no alar gada de 0.8 m y rigidez kOA = 1 .2 kN/m. La fuerza pre sente en la barra actúa a lo largo del eje de ésta.
B
Prob. 3-64
RE PASO
Prob. H5
DE L CAPíTUL O
•
Equilibrio. Cuando una partícula está en reposo o se mueve con velocidad constante, se dice que está en equilibrio. Esto requiere que todas las fuerzas que actúan sobre la partícula formen una re sultante de fuerza nula. Para tomar en cuenta todas estas fuerzas es necesario trazar un diagrama de cuerpo libre. Este diagrama es una forma delineada de la partícula y muestra todas las fuerzas, indi cadas con sus magnitudes y direcciones conocidas o desconocidas.
•
Dos dimensiones. Las dos ecuaciones escalares de equilibrio de fuerzas "'l:.Fx = O Y "'l:.Fy = O pueden ser aplicadas al referirlas a un sistema coordenado x, y establecido. Si la solución para una magnitud de fuerza da un escalar negativo, entonces la fuerza actúa en la dirección opuesta a la mostrada sobre el diagrama de cuerpo libre. Si el problema implica un resorte elástico lineal, entonces el alar gamiento o la compresión s del resorte pueden ser relacionados a la fuerza aplicada usando F = ks.
•
Como la geometría tridimensional puede ser difícil de visualizar, la ecuación de equilibrio "'l:. F = O debe ser aplicada usando un análisis vectorial cartesiano. Esto requiere expresar primero cada fuerza sobre el diagrama de cuerpo libre como un vector cartesiano. Cuando las fuer zas se suman y se igualan a cero, entonces las componentes i, j Y k son también cero, de modo que "'l:.Fx = O, "'l:.Fy = O Y "'l:.Fz = O. Tres dimensiones.
110
CAPíTULO 3 E q u i l ibrio d e una partícula
PROBLEMA S
D E R E P A SO
3-66. El tubo es mantenido en su lugar por la prensa mecánica. Si el perno ejerce una fuerza de 50 lb sobre el tubo en la dirección mostrada, determine las fuerzas FA y FB que los contactos lisos en A y B ejercen sobre el tubo.
3-69. Romeo trata de llegar a Julieta trepando con ve locidad constante por una cuerda que está anudada en el punto A. Cualquiera de los tres segmentos de la cuerda puede soportar una fuerza máxima de 2 kN antes de rom perse. Determine si Romeo, quien tiene una masa de 65 kg, puede trepar por la cuerda y luego descender junto con Julieta, quien tiene una masa de 60 kg, con velocidad constante.
e
Prob. 3-66
3-67. Cuando y es cero, los resortes soportan una fuer za de 60 lb. Determine la magnitud requerida de las fuer zas verticales aplicadas F y - F para separar el punto A del punto B una distancia y = 2 pies. Los extremos de las cuerdas CAD y CBD están unidos a anillos situados en C y D. *3-68. Cuando y es cero, cada uno de los resortes está estirado 1.5 pies. Determine la distancia y si una fuerza F = 60 lb es aplicada a los puntos A y B como se mues tra. Los extremos de las cuerdas CAD y CBD están uni dos a anillos situados en C y D.
Prob. 3-69
. 3-70. Determine las magnitudes de las fuerzas F] , F2 F3 necesarias para mantener la fuerza F = { - 9i -8j -SkI kN en equilibrio.
Y
z
F
A
/��----�-Y
-<p:::-T �es y
ol --"'9�""'""p,JW= �==e:il::-- ""'-� . ��D k = 4O I b/p i e � -'].. \1 8
-F
Probo 3-67/68
-AI ¡--��;��� U _h.U h.
x
"-
F
"
"-
"-
" •
(4 m, 4m, -2m) Prob. 3-70
PROBLEMAS DE REPASO
3-71_ El hombre intenta jalar el tronco ubicado en C usando las tres cuerdas. Determine la dirección (} en que debe jalar su cuerda con una fuerza de 80 lb de manera que ejerza una fuerza máxima sobre el tronco. ¿Cuál es la fuerza aplicada sobre el tronco en este caso? Determi ne también la dirección en que debe jalarse para maxi mizar la fuerza en la cuerda unida a B. ¿Cuál es esta fuer za máxima?
111
3-73. Determine el peso máximo del motor que puede ser sostenido sin exceder una tensión de 450 lb en la ca dena AB ni de 480 lb en la cadena Ae.
B
Prob. 3-73
3-74. Determine la fuerza necesaria en cada cable para sostener la carga de 500 lb. z
pies
y
Prob. 3-71
*-3-72. El anillo de tamaño insignificante está someti do a una fuerza vertical de 200 lb. Determine la longitud requerida l de la cuerda AC tal que la tensión que actúa en AC sea de 1 60 lb. También, ¿cuál es la fuerza que ac túa en la cuerda AB? Sugerencia: Use la condición de equilibrio para determinar el ángulo (} requerido para la unión, y luego determine l usando trigonometría en el triángulo ABe.
Prob. 3-74
3-75. El nodo de un marco espacial está sometido a cua tro fuerzas. La barra OA se encuentra en el plano x -y y la barra OB en el plano y -Z. Determine las fuerzas que actúan en cada barra y que son requeridas para obtener equilibrio en el nodo. z
200 lb x
Prob. 3-72
200 lb
Prob. 3-75