Funciones de variables reales [1] by Cristian Manrique

2010 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGO MATEMÁTICAS I Jorge Edgardo Alcaraz Vega [PLAMA]

Cálculo Diferencial

2010 Chilpancingo, Gro.

Propiedades de los Números Reales Para tres números reales cualesquiera se tiene siempre una de dos situaciones:

( a = b) ∨ ( a ≠ b)

De no ser iguales a y b, ocurre solo una de dos situaciones posibles:

〈 b) ∨ ( a 〉 b)

, En el conjunto de los números reales se cumple:

Definición

Propiedades

Suma Asociativa de la Suma Existencia de elemento neutro aditivo Existencia de inverso aditivo Conmutativa de la suma

Multiplicación Asociativa de la Multiplicación Existencia de elemento neutro multiplicativo Existencia de inverso multiplicativo Conmutativa de la multiplicación

Distributiva de Suma y Multiplicación

Funciones de variables reales Al estudiar diversos procesos de la naturaleza, explicar determinados hechos y resolver distintos problemas se requiere, a menudo, de la matemática para examinar la variación de una magnitud en dependencia de la variación de otra. Al estudiar el movimiento de un cuerpo, por ejemplo, el espacio recorrido por el cuerpo se considera como una variable que cambia en dependencia de la variación del tiempo. De ese modo el espacio recorrido es función del tiempo. 3

Existen diversas formas para definir a las funciones. Algunas de ellas son las siguientes: Definición 1)1.- Si a cada valor de la variable x, perteneciente a cierto campo le corresponde un único valor determinado de otra variable y, entonces ésta y = f ( x)

y = ϕ( x )

será función de x, y puede escribirse simbólicamente: , , etc. 2 Definición 2) .- Sean X y Y dos conjuntos cualesquiera. Una relación f de X a Y se llama una ( x, y) ∈ f y ∈Y x∈ X función, si para toda hay una única, de modo que . x∈ X Definición 3)3.- Sea X un conjunto de números reales x. Sí, según una ley, a todo se le ha puesto en correspondencia un número real determinado y, se dice que sobre el conjunto X está dada la función f y se escribe y = y( x )

x∈ X

y = f ( x)

o bien

Del análisis de las anteriores definiciones se concluye que pueden ser diferentes los contextos en los que cada una está dada, y no existe contradicción alguna entre ellas reconociendo dichos contextos. Sin embargo parecen no hacer explícita la naturaleza general de las funciones, al menos en la matemática. Tal vez con una definición más pueda conseguirse esto. Definición 4)4.- Todo procedimiento que a todos y cada uno elemento de un cierto conjunto A lo transforma en algún único elemento de otro conjunto B es una función, aplicación o transformación. La definición general en símbolos resulta ser: f :A → B x 

f ( x)

Ejemplos de Funciones.1 Cálculo Diferencial e Integral. N. Piskunov. Vol. 1. Editorial MIR, Moscú. 6ª. Edición. 1983 2 Matemáticas Discretas. J. P. Tremblay, R. Manohar. Compañía Editorial Continental, México 1ª. Edición. 2000 3 Curso de matemáticas superiores para ingenieros. M. Krasnov, A. Kiseilov, G. Makarenko, E. Shkin. Editorial MIR Tomo 1., Moscú. 1990.

4 De Matemáticas I. G. Castañón. Material Didáctico para el Curso Matemáticas I. ITCh. México 2005.

Ejemplos de Relaciones que no son Funciones.-

Cuando los conjuntos A y B son el mismo conjunto de los números reales, aunque denominados X y Y, respectivamente para efectos de la construcción del sistema cartesiano la forma general de las funciones se expresa: f :X → Y x 

f ( x)

En términos de conjuntos, una función f se ilustra mediante el siguiente diagrama: De esa manera se tiene: El Dominio de la función f; (también llamado campo de definición o campo de Df existencia de la función) es el conjunto

de valores de X que son transformados por f. Df ⊆ X

El conjunto Y es denominado Codominio (contradominio) de la función f; es

Cf ⊆ Y decir El conjunto de todas las transformaciones de los elementos del dominio Rf ⊆ Y mediante la función se denomina Rango (o Imagen de la función):

Ejemplos de funciones: Ejemplo 1.-

Es común decir que

y = 2x2 + 2

es una función. Y se considera equivalente a

f ( x) = 2 x 2 + 2 En términos formales, cualquiera de las anteriores expresiones define, expresa o representa a una función.

f :X →Y x  f ( x) = 2 x 2 + 2 = y

De acuerdo con la Definición 4) se tiene De esa manera, la función definida por procedimiento constituido por las acciones de:

y = 2x2 + 2

o por

f ( x) = 2x 2 + 2

es el

Función: 1 )

Multiplicar x por sí misma

2 )

3 )

Multiplicar Sumar

por

2x2

Otra forma de expresar lo anterior consiste en enunciar las operaciones (y el orden en que deban ser realizadas) para transformar a cada uno de los elementos del dominio de la función en un elemento del codominio. El conjunto de las transformaciones que se obtienen por la función es el Rango o Conjunto Imagen de la función. En el plano cartesiano, la geometría de la función definida por

y = 2x2 + 2

resulta:

Ejemplo 2.Sea la función definida por:

y = x3 + 2x2 − x − 2

f :X →Y x De acuerdo con la Definición 4) se tiene De esa manera, la función definida por procedimiento constituido por las acciones de:

f ( x) = x 3 + 2 x 2 − x − 2 = y

y = x3 + 2x2 − x − 2 es el Función: 1 )

Multiplicar x por sí misma

2 )

3 ) 4 )

Multiplicar Multiplicar Sumar

2x2

por x por

5 ) 6 )

Sumar Sumar

( − x)

( − 2)

x3 + 2x2

x + 2x − 2 3

La representación gráfica de la función es:

Clasificación de funciones Las funciones de variables reales son objeto de diversas formas de clasificación. Para propósitos de este trabajo se considera una clasificación basada en sus

propiedades analíticas y una más fundada en el desarrollo histórico de la matemática. Ambas clasificaciones no son excluyentes.

Clasificación 1.-

Clasificación 2.-

Funciones Inyectivas.f : X →Y

Una función

x

f ( x)

es una función inyectiva cuando: ∀x1 , x2 ∈ X ∧ x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )

Funciones No Inyectivas.-

Una función

f : X →Y x  f ( x)

es una función No inyectiva cuando:

∃x1 , x2 ∈ X ∧ x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) = f ( x2 )

Funciones Sobreyectivas.-

Una función

f : X →Y x  f ( x)

es una función sobreyectiva cuando:

Rf =Cf

Funciones No Sobreyectivas.-

Una función

f : X →Y x  f ( x)

es una función No sobreyectiva cuando:

Rf ⊂ Cf

Funciones Binyectivas.f : X →Y x

Una función

f ( x)

es una función biyectiva cuando:

 f ( x1 ) ≠ f ( x 2 ) ∀x 1 , x 2 ∈ X ∧ x 1 ≠ x 2 ⇒   Rf = Cf

Funciones Inversas.-

Cuando

f : X →Y x  f ( x)

es una función biyectiva 10

f −1 : Entonces la función

Y→

y = f ( x) 

X f

−1

[ f ( x) ] = x

es una función inversa de f.

Funciones Algebraicas. Polinomios algebraicos.En la Teoría de las Ecuaciones Algebraicas se define como polinomio algebraico x x en la variable de coeficientes reales, o simplemente polinomio en , a toda expresión de la forma: p( x ) = a0 x n + a1 x n −1 + a 2 x n −2 + ... + ai x n −i + ... + a n − 2 x 2 + a n −1 x + a n

ai ∈ R ∧ n ∈ N

con ; donde define el conjunto de los números reales y conjunto de los números naturales.

[A]

define al

En la definición anterior puede observarse que el concepto de polinomio algebraico difiere de la forma en que se trata a los polinomios en álgebra elemental, donde se consideran solo de expresiones matemáticas de más de un término. Del análisis de la expresión [A] se deduce que los polinomios algebraicos contienen una sola variable; cada término presenta a la variable de la que se trate solo con exponentes naturales, y que en dichos términos cada potencia de la variable tiene como factor a un coeficiente constante real. Lo anterior implica que cualquier expresión matemática con más de una variable o con una sola variable que esté afectada por exponentes negativos o fraccionarios no es un polinomio algebraico. La expresión [A] también puede presentarse como: n

p( x ) = ∑ ai x n i =0

; con

ai ∈ R ∧ n ∈ N

[B]

Como una de las propiedades importantes de los polinomios algebraicos cabe n destacar que si es un polinomio de grado , entonces: 11

p ( x ) = a0 ( x − α 1 )( x − α 2 )( x − α 3 ) ...( x − α i ) ...( x − α n − 2 )( x − α n−1 )( x − α n )

[C]

α 1 ,α 2 ,α 3 ,...,α i ,...,α n − 2 ,α n−1 ,α n

donde son las raíces del polinomio; entendiéndose por raíz de polinomio a toda cantidad que sustituida por la variable y al efectuar las operaciones indicadas en el polinomio, se obtiene que el polinomio es igual a cero. Es decir, De esa manera, el polinomio en x de grado tres: se puede también representar por:

p ( x ) = ( 2 ) x 3 + ( − 6 ) x 2 + ( − 10 ) x + ( 12 ) p( x ) = ( 2 )( x − 1)( x − 3 )( x + 2 )

p(α i ) = 0

p( x ) = 2 x 3 − 6 x 2 − 10 x + 12

, de acuerdo con la expresión [A] de acuerdo con la expresión [C]

Funciones Polinómicas.f X → Y x 

Se define como función polinómica a: Donde

p( x )

f ( x ) = p( x )

es un polinomio en x.

Una manera de realizar el estudio de las funciones polinómicas, consiste en utilizar algunos cambios de nomenclatura, sin pérdida de formalidad y rigor matemático al tratar algunos casos de “familias” de funciones. Cuando se ha establecido que el contexto en que se tratan las funciones X × Y = {( x , y ) x ∈ X ∧ y ∈ Y }

Polinómicas es el llamado plano real usual definir a la función polinómica por:

donde

X =Y = R

f ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + a2 x n−2 + ... + ai x n−i + ... + an−2 x 2 + an−1 x + an f ( x ) = a( x − b ) + c n

Considérese ahora la expresión:

con

a ,b , c ∈ R y n ∈ N

; es

[D] [E]

Puede observarse que las expresiones [D] y [E] son formas distintas para la definición de las funciones polinómicas; con la ventaja de que [E] facilita la identificación a ,b , c ∈ R y n ∈ N de todas las funciones en razón de los parámetros . De esa manera, la 12

expresión [E] es llamada la familia de funciones parabólicas, denominación que se origina b y c del hecho de que para valores de los parámetros son la abscisa y la ordenada del punto considerado vértice de la parábola V(b,c), es decir el punto donde la curva que representa la función tiene cambio de inflexión.

f ( x ) = a( x − b ) + c n

Ejemplo 1.- Sea la función

, con los valores

a = 1; b = 0; c = 0 y n = 1

f ( x ) = ( 1)( x − 0 ) + 0 = x 1

y la función está definida entonces por:

f ( x) = x

Entonces es una función cuya gráfica es el lugar geométrico de una línea recta, de la que toma el nombre para definir a las funciones lineales. Con el propósito de generalización, aunque la gráfica sea una recta, la función se considera una parábola de grado uno.

f ( x ) = a( x − b ) + c n

Ejemplo 2.- Sea la función

, con los valores

a = 1; b = 0 ; c = 0 y n = 2

f ( x ) = ( 1)( x − 0 ) + 0 = x 2 2

y la función está definida entonces por: Entonces:

f ( x) = x2

es la función cuya gráfica es el lugar geométrico llamado

parábola estándar de grado dos, con vértice en el punto

V ( 0 ,0 )

f ( x ) = a( x − b ) + c n

Ejemplo 3.- Sea la función

a = 1; b = 0 ; c = 0 y n = 3

, con los valores f ( x ) = ( 1)( x − 0 ) + 0 = x 3 3

y la función está definida entonces por:

f ( x) = x3 Entonces:

es la función cuya gráfica es el lugar geométrico llamado parábola

V ( 0 ,0 )

cúbica estándar, con vértice en el punto

f ( x ) = a( x − b ) + c

Ejemplo 3.- Sea la función

, con los valores

a = 1; b = 0; c = 0 y n = 4

f ( x ) = ( 1)( x − 0 ) 4 + 0 = x 4

f ( x) = x4

y la función está definida entonces por: Entonces: es la función cuya gráfica es el lugar geométrico llamado parábola cuartica estándar, con vértice en el punto

V ( 0 ,0 )

Relación de Ejercicios No. 1.14

Determine el dominio, el codominio y el rango de cada una de las siguientes funciones cuyas gr谩ficas se muestran. Para cada una determine si es o no inyectiva; si resulta o no sobreyectiva y, en su caso, si se trata de una funci贸n biyectiva. 1)

10)

11)

12)

Relación de Ejercicios No. 2.- De cada una de las siguientes funciones, determine el dominio, el codominio y el rango. Para cada una determine si es o no inyectiva; si resulta o no sobreyectiva y, en su caso, si se trata de una función biyectiva. Inyectiva

y = 2x − 3

No Inyectiva

Sobreyectiv a

No Sobreyectiva

Biyectiva

Df = Cf = Rf = 2)

y = −2 x +

1 3

Df = Cf = Rf = 3)

y = 2x 2 + x − 2 Df = Cf = Rf =

2 y = − x2 + x + 1 3 Df = Cf = Rf =

3 2 x − x−3 2

Df = Cf = Rf =

y = 2 x( x − 1)( x + 2 ) Df = Cf = Rf = Df =

Cf =

y = x3 + x + 1 R f = Funciones Racionales.f :

X→ Y x

Se define como función racional a: Donde respectivamente y

p( x ) y q( x )

q( x ) ≠ 0



f ( x) =

p( x ) q( x )

son polinomios en la misma variable de grados m y n,

A diferencia de las funciones polinómicas, que están definidas para todo valor del conjunto de los números reales, para las funciones racionales debe ser identificado todo valor de la variable que haga que la función no se encuentre definida, lo que ocurre para los casos en que el denominador del cociente tenga valor cero. Para determinar el dominio de funciones racionales habrá que considerar, en primera instancia, todos aquellos valores con los que se tiene que

q( x ) = 0

; es decir, las

q( x ) = 0

raíces de la ecuación algebraica son valores de x para los que la función no está definida y deben, por lo tanto, no ser considerados como del dominio de la función. En el caso de funciones racionales tienen que considerarse las rectas que adquieren la denominación de asíntotas, definidas como rectas a las que las curvas que representan geométricamente a las funciones racionales se acercan tanto como se quiera sin llegar a punto alguno de intersección entre ambas.

De esa manera, si

q( x ) = 0

xi = a i

es la expresión que denota cada una de las raíces

reales de la ecuación , esa expresión es la ecuación de cada una de las asíntotas verticales que se relacionan con la curva de la función racional de que se trate. y=

p( x ) q( x )

De manera análoga, para definir el rango de una función racional dada como

, deberá considerarse el caso particular cuando

p( x ) = a

donde a es una a y= +c ( x − b) n constante real; que constituye la familia de funciones racionales . Las funciones de esta familia tienen la característica común de tener al eje X como asíntota horizontal.

n = 1, a = 1, b = 0 y c = 0

1 x

Con los valores se tiene la función . Es de observarse que, en principio, para valores negativos de x se tienen valores negativos para y que resultan, entre más pequeños sean los de x, más cercanos a cero los de y; en tanto que mientras x sea de valores negativos cercanos a cero, los valores x =0 de y son negativos mucho más pequeños; la función no está definida para ; es decir, y x =0 cuando no existe valor para ; y para valores positivos entre mas cercanos a cero de x, los valores de y resultan positivos infinitamente grandes y entre más grandes de x se tienen infinitamente pequeños los de y.

x =0 El hecho de la indefinición de la función para , (la ecuación del eje Y en este caso), da lugar a identificar esta expresión como la ecuación de una recta asíntota a la curva que representa geométricamente a la función. De esa manera el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales excepto cero, que en términos formales se expresa: D f = ( ∞− ,0 ) ∪ (0 , ∞+ )

D f = { x x ∈ R ∧ x ≠ 0}

o bien:

Cf =Y

x =0 ; y dado que de la indefinición de la función en y=0 resulta una asíntota horizontal de ecuación , (la ecuación del eje X en este caso) el

El codominio es

rango está dado por:

R f = ( ∞ − ,0 ) ∪ (0 ,∞ + )

Ejemplo No. 1.- Familia:

Con los valores

y= La función

a +c ( x − b) n

, o bien

R f = { y y ∈ R ∧ y ≠ 0} ⊂ Y

n = 1, a = 2 , b = −1 y c = 0

2 x+1

y= se tiene la función

está indefinida para el caso de

(

) (

D f = ∞ − ,−1 ∪ − 1, ∞ +

)

x +1=0

2 x+1

, es decir

x = −1

D f = { x x ∈ R ∧ x ≠ −1}

por lo tanto, el dominio es o bien: Cf =Y y=0 El codominio es ; asíntota horizontal de ecuación , (la ecuación del eje X en R f = ( ∞ − ,0 ) ∪ (0 , ∞ + )

este caso) el rango está dado por: . Relación de Ejercicios No. 3.- De cada una de las siguientes funciones, determine el dominio, el codominio y el rango. Para cada una determine si es o no inyectiva; si resulta o no sobreyectiva y, en su caso, si se trata de una función biyectiva.

Funciones TrigonomĂŠtricas 21

θ Un Radian es la medida del ángulo subtendido en el centro O de una circunferencia por un arco MN de longitud igual al radio r.

Como O

π = 2.141592654 

2π radianes = 360 

1 radian =

1 =

π 180 

se tiene que:

180  = 57.29577... π

= 0.0174582925...radianes

Estas relaciones permiten establecer la medida de ángulos tanto en grados sexagesimales como en números reales expresados en unidades basadas en el sistema de numeración decimal, por lo que la gráfica de una función trigonométrica en un sistema cartesiano se muestra, por lo regular, considerando el radian como unidad de medida para los ángulos; pudiéndose hacer corresponder escalas con ambos sistemas de medida, en el sistema cartesiano, en el eje que usualmente se define el dominio de las funciones.

ESCALA EN RADIANES ESCALA EN GRADOS

Funciones trigonométricas circulares Considerando un punto O del plano como centro de un círculo de radio ON de longitud unidad, al trazar por N una perpendicular a otro radio OM, se define el triángulo rectángulo ONP. El ángulo argumento.

recibe, en la definición de la función, el nombre de

Las funciones trigonométricas se definen mediante las relaciones entre los ángulos agudos y los lados del triángulo rectángulo ONP: Funciones Trigonométricas Función Seno

senθ =

NP NP = = NP ON 1

Función Coseno

cos θ =

OP OP = = OP ON 1

Función Tangente

tanθ =

NP senθ = OP cos θ

Función

cot θ =

OP 1 cos θ = = NP tanθ senθ

Función Secante

sec θ =

ON 1 1 = = OP OP cos θ

Función Cosecante

csc θ =

ON 1 1 = = NP NP senθ

Cotangente

En el caso de funciones trigonométricas se define como período de la función el menor intervalo de valores de la variable independiente que corresponde a un ciclo completo de valores de la función; y por amplitud el valor máximo de la función en el período de la misma.

Gráficas de funciones trigonométricas Para el estudio de las funciones trigonométricas es de utilidad considerar, para cada una de ellas, un modelo que puede ser llamado familia para representar a las

funciones de ese tipo y, como elemento para deducir relaciones de semejanzas y diferencias, en el caso de cada modelo, la función que se denominará función estándar. Función Seno

Familia:

[ ( )]

y = a sen bx m

Parámetros

función estándar

a=1 b=1 c=0 m=1

y = senx

n=1

La función seno estándar tiene como dominio a todos los números reales;

(

)

D f = ∞ − ,∞ + = X = R

Como Codominio a todos los números reales:

(

)

C f = ∞ − ,∞ + = Y = R

El rango está dado por: R f = [ − 1,1] ⊂ C f Su período es igual a no sobreyectiva.

2π

y su amplitud es igual a 1. Es una función no inyectiva y

PERÍODO DE

AMPLITUD DE

-4 0 62 2 -4 -6

ESCALA EN GRADOS ESCALA EN RADIANES

y = senx GRÁFICAS DE

Subfamilia

y = sen( bx )

( )

y = sen x m Subfamilia

Subfamilia

y = [ sen( x ) ] n = sen n x

y = asen( x )

Subfamilia

y = sen( x ) + c

Función Coseno

Familia:

[ (

y = a cos bx m

)]

Parámetros +c

función estándar

a=1 b=1 c=0 m=1 n=1

y = cos x

La función coseno estándar tiene como dominio a todos los números reales;

(

)

D f = ∞ − ,∞ + = X = R

Como Codominio a todos los números reales:

(

)

C f = ∞ − ,∞ + = Y = R

El rango está dado por: R f = [ − 1,1] ⊂ C f Su período es igual a no sobreyectiva.

2π

y su amplitud es igual a 1. Es una función no inyectiva y

PERÍODO DE

AMPLITUD DE

-6

-4

-2

ESCALA EN GRADOS

ESCALA EN RADIANES

y = cos x GRÁFICAS DE

Subfamilia

y = cos( bx )

( )

y = cos x m Subfamilia

Subfamilia

y = [ cos( x ) ] n = cos n x

y = a cos( x )

Subfamilia

y = cos( x ) + c

Función Tangente

Familia:

[ (

y = a tan bx m

)]

Parámetros

función estándar

a=1 b=1 c=0 m=1

y = tan x

n=1

y = tan x =

senx cos x

La función tangente estándar se expresa por , por lo que hay cos x = 0 indefinición cada vez que ; por lo que el dominio está dado por todos los cos x = 0 números reales excepto aquellos para los que :  ( 2n − 1)π , y n ∈ Z  D f = x x ∈ R ∧ x ≠  2   Tiene como Codominio a todos los números reales:

(

)

C f = ∞ − ,∞ + = Y = R

El rango está dado por:

(

)

R f = ∞ − ,∞ + = C f Su período es igual a inyectiva y sobreyectiva.

y su amplitud no está definida. Es una función no

PERÍODO DE

-4 2 -0 -6 462

ESCALA EN GRADOS

LA AMPLITUD DE

Subfamilia

NO ESTÁ DEFINIDA

ESCALA EN RADIANES

y = tan( bx )

( )

y = tan x m

Subfamilia

y = [ tan( x ) ] n = tann ( x )

y = a tan( x )

Subfamilia

y = tan( x ) + c

Función Cotangente

Familia:

[ ( )]

y = a cot bx m

Parámetros

función estándar

a=1 b=1 c=0 m=1

y = cot x

n=1

y = cot x =

cos x senx

La función tangente estándar se expresa por , por lo que hay senx = 0 indefinición cada vez que ; por lo que el dominio está dado por todos los senx = 0 números reales excepto aquellos para los que : D f = { x x ∈ R ∧ x ≠ nπ , y n ∈ Z } Tiene como Codominio a todos los números reales:

(

)

C f = ∞ − ,∞ + = Y = R

El rango está dado por:

(

)

R f = ∞ − ,∞ + = C f Su período es igual a inyectiva y sobreyectiva.

y su amplitud no está definida. Es una función no

PERÍODO DE

-6

-4

-2

ESCALA EN GRADOS

ESCALA EN RADIANES

LA AMPLITUD DE

Subfamilia

NO ESTÁ DEFINIDA

y = cot ( bx )

( )

y = cot x m

Subfamilia

y = cot n ( x ) = [ cot ( x ) ] n

y = a cot ( x )

Subfamilia

y = cot ( x ) + c

Función Secante

Familia:

[ ( )]

y = a sec bx m

Parámetros +c

función estándar

a=1 b=1 c=0 m=1 n=1

y = sec x =

y = sec x

1 cos x

La función tangente estándar se expresa por , por lo que hay cos x = 0 indefinición cada vez que ; por lo que el dominio está dado por todos los cos x = 0 números reales excepto aquellos para los que :   nπ D f = x x ∈ R ∧ x ≠ , y n∈ Z 2   Tiene como Codominio a todos los números reales:

(

)

C f = ∞ − ,∞ + = Y = R

El rango está dado por:

(

) [

)

R f = ∞ − ,−1 ∪ 1, ∞ + ⊂ C f Su período es igual a inyectiva y no sobreyectiva.

2π

y su amplitud no está definida. Es una función no

PERÍODO DE

-4 6 2 0 -2 -6 4

ESCALA EN GRADOS LA AMPLITUD DE

Subfamilia

ESCALA EN RADIANES

NO ESTÁ DEFINIDA

y = sec ( bx )

( )

y = sec x m

Subfamilia

y = sec n ( x ) = [ sec ( x ) ] n

y = a sec ( x )

Subfamilia

y = sec ( x ) + c

Función Cosecante

Familia:

[ (

y = a csc bx m

)]

Parámetros

función estándar

a=1 b=1 c=0 m=1

y = csc x

n=1

y = csc x =

1 senx

(

)

C f = ∞ − ,∞ + = Y = R

El rango está dado por:

(

) [

)

R f = ∞ − ,−1 ∪ 1, ∞ + ⊂ C f Su período es igual a inyectiva y no sobreyectiva.

2π

y su amplitud no está definida. Es una función no

PERÍODO DE

-4 6 2 -0 -6 42

ESCALA EN GRADOS

LA AMPLITUD DE

Subfamilia

ESCALA EN RADIANES

NO ESTÁ DEFINIDA

y = csc ( bx )

( )

y = csc x m

Subfamilia

y = csc n ( x ) = [ csc ( x ) ] n

y = a csc ( x )

Subfamilia

y = csc ( x ) + c

Relación de Ejercicios No. 4.Determine el dominio, el codominio y el rango de cada una de las siguientes funciones cuyas gráficas se muestran. Para cada una determine si es o no inyectiva; si resulta o no sobreyectiva y, en su caso, si se trata de una función biyectiva. 1)

y = 3 cos x − 2

y = − tan x 3)

y = 2 csc x

1 y = − csc x 4

y = −2 senx + 1

y = −2 sec x + 1

y = 3 cos 2 2 x 6)

y = cos x + senx

1 1 y = â&#x2C6;&#x2019; sen 2 x + 2 cos x 3 3

y = senx cot x 10)