Límite y continuidad de funciones by Cristian Manrique

Límite y Continuidad de Funciones Entorno de un punto.Sea f una función definida en un intervalo abierto que contenga a un punto p. Cualquier intervalo abierto que contenga un punto p como su punto medio se denomina entorno de p. Se denota a entorno de p con: Puesto que un entorno

N ( p)

N ( p) , N 1 ( p) , N 2 ( p) ,

etc.

es un intervalo abierto simétrico respecto a p,

consta de todos los número reales x que satisfagan

p−r 〈 x p+r

r 〉0

para un cierto

. El número positivo r se llama radio del entorno, y se utiliza la notación cuando se especifica el radio.

N ( p, r )

Las siguientes desigualdades son equivalentes a , pues se trata, en cada caso, de todos los puntos x cuya distancia a p es menor que r.

p−r 〈 x p+r −r 〈 x− p 〈 r x− p 〈 r

Definición de límite de una función.En la siguiente definición se considera A un número real y f una función definida en un cierto entorno de un punto p excepto, tal vez, en el mismo punto p.

lím f ( x ) = A x→ p

El símbolo entorno

N 2 ( p)

significa que para todo entorno

tal que

f ( x ) ∈ N 1 ( A)

siempre que

En la definición se observa que el entorno próximo que se quiere que sea El segundo entorno

N 2 ( p)

f ( x)

x ∈ N 2 ( p)

N 1 ( A)

N 1 ( A) x≠ p

existe un cierto

que se cita en primer lugar indica lo

a su límite A.

indica lo próximo que debe estar x de p para que

sea interior al primer entorno. Lo esencial de la definición es que, para cada

N 1 ( A)

f ( x)

, por

pequeño que sea, existe un cierto entorno función

f ( x)

N 2 ( p)

que satisface la definición de límite de la

La definición de límite se puede ilustrar geométricamente para los dos casos posibles de una función, uno donde la función sea definida en el entorno de p, pero no en el mismo p; lo que no es obstáculo para la existencia del límite; y otro donde la función es continua para todos los puntos del entorno de p, incluido el mismo p. En esta última situación se tiene que

existe

A = f ( p)

aunque f no esté definida en p

existe

cuando f es definida en p

La definición de límite de una función se formula también por medio de los radios de los entornos

N 1 ( A)

N 2 ( p)

. Es común designar el radio de

N 1 ( A)

por

N 2 ( p)

δ (letra griega épsilon), y el de por , (letra griega delta). De esa manera, la definición de límite de una función resulta:

lím f ( x ) = A significaque para todo ε 〉 0 existe un δ 〉 0 x→ p

tal que f ( x ) − A 〈 ε siempre que 0 〈 x − p 〈 δ

De la definición del concepto de límite de una función se tiene que:

lím f ( x ) = A x→ p

equivale a considerar que

f ( x) → A

cuando

x→ p

Haciendo que h = x − p , lím f ( x ) = A equivale a : lím f ( p + h ) = A x→ p

h →0

Si f ( x ) → A cuando x → p

con valores mayores de p, A es el límite por la

lím f ( x ) = A

x→ p +

derecha de f en p y se expresa: que

x ∈ N 2 ( p) y x 〉 0

que significa que

con valores menores de p, A es el límite por la

lím f ( x ) = A

x→ p −

izquierda de f en p y se expresa que

siempre

Si f ( x ) → A cuando x → p

x ∈ N 2 ( p) y x 〈 0

f ( x ) ∈ N 1 ( A)

que significa que

f ( x ) ∈ N 1 ( A)

siempre

Si una función tiene límite A en p, también tiene límite a la derecha y límite a la izquierda de p, y ambos son iguales a A. Cuando una función tiene el límite a la derecha de p distinto del límite a la izquierda, entonces el límite de la función no existe. Propiedades de límites.-

lim f ( x ) = A

lim g ( x ) = B

x→ p

Sean f y g dos funciones tales que

x→ p

. Se tiene entonces:

lím [ f ( x ) + g ( x ) ] = lím f ( x ) + lím g ( x ) = A + B x→ p

x→ p

[1]

lím [ f ( x ) − g ( x ) ] = lím f ( x ) − lím g ( x ) = A − B x→ p

x→ p

[2]

lím [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = lím f ( x ) ⋅ lím g ( x ) = A ⋅ B x→ p

x→ p

[3] Un caso particular de 3) se presenta cuando f es una constante, en cuyo caso,

siendo A su límite, se puede expresar:

  A ⋅ lím g ( x )  = A ⋅ B x→ p 

lím f ( x ) A  f ( x)  x→ p = ; si B ≠ 0 lím  = x→ p  g ( x)  lím g ( x ) B x→ p

[4]

[

lím ( f ( x ) ) x→ p

]

[5]

  =  lím f ( x )  = An  x→ p 

n lím x = n p ; ∀p si n es par x→ p

;

Límites importantes.Los límites de varias funciones, varias de ellas trascendentes, requieren para su cálculo, de Fundamentos matemáticos que trascienden los propósitos del presente curso, por lo que varios de ellos sólo se enuncian.

1) Sí 2) Sí

f ( x) = c

lím f ( x ) = lím [ c ] = c x→ p

x→ p

donde c es una constante, entonces

f ( x ) = c + ∆x ; donde c es una constante y

∆x

es una cantidad infinitamente pequeña,

lím f ( x ) = lím [ c] + lím [ ∆x ] = c + 0 = c entonces

3) Sí

4) Sí

x →0





x→ p



lím [ cf ( x ) ] = c lím f ( x ) 

cf ( x )

x→ p

donde c es una constante, entonces

f ( x) = x

lím f ( x ) = p x→ p

, llamada función identidad, entonces se tiene

lím ( 1) 1  1  x →1 = = =0 lím   x →∞  x  lím ( x ) ∞ 5)

x →∞

 x − 1 lím  = x →1  x  6)

lím ( x − 1) x →1

lím ( x ) x →1

lím ( x ) + lím ( − 1) x →1

x →1

lím ( x ) x →1

1−1 0 = =0 1 1

lím ( x ) lím ( x ) 1 1  x  x →1 x →1 = = = = =∞ lím   x →1  x − 1  lím ( x − 1) lím ( x ) + lím ( − 1) 1 − 1 0 x →1

x →1

Teorema de intercalación.- Si entre los valores correspondientes de tres funciones

f ( x ) , g ( x ) y h( x )

f ( x ) y h( x )

se cumplen las desigualdades

tienden a un mismo límite b, cuando

g( x ) tiende a ese mismo límite cuando

x →a

(o cuando

f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x )

(o cuando

x →∞

y además ), entonces

El teorema y las anteriores propiedades de los límites son útiles para obtener:

lím [ sen( x ) ] = 0 8)

x →0



 x   

lím  sen  = 0 2 x →0 9)



lím [ cos( x ) ] = 1 10)

x →0

Un resultado particularmente importante es el límite de la función

f ( x) =

senx x

cuando

x → 0.

Dado que el denominador de la función tiende a 0 cuando

x → 0,

la propiedad de los límites No. 9 relativa a cociente de límites no se puede emplear, pero del teorema de intercalación resulta:  senx   =1 x →0  x 

lím  11)

 senx   = lím [ tan x ] = lím  x →0

12)

x →0  cos

x 

lím ( senx ) x →0

lím ( cos x ) x →0

0 =0 1

 senx   1     tan x   senx    1   1 = lím  ⋅   = lím   ⋅ lím    = ( 1) ⋅   = 1  x →0  x  x → 0  x   cos x    1  x →0  x   x →0  cos x  

lím  13)

 cos x   = lím [ cot x] = lím  x →0

x →0 

senx 

14)

lím ( cos x ) x →0

lím ( senx ) x →0

1 =∞ 0

lím ( 1) 1  1 x →0 = = =1  x →0  cos x  lím ( cos x ) 1

 lím [ sec x] = lím  x →0

x →0

15)

lím ( 1) 1  1 x →0 = = =∞  x →0  senx   lím ( senx ) 0

 lím [ csc x] = lím  x →0

x →0

16)

17)

x  1  lím  1 +   = e x   x → ∞  

Ejemplos de cálculo de límites.  x →2

 

lím ( 5 x ) = 5 lím ( x )  = 5( 2 ) = 10 1.-

x →2

  x →2

 

lím ( 2 x + 8 ) = lím ( 2 x ) + lím ( 8 ) = 2 lím ( x )  + lím ( 8 ) = 2( 2 ) + 8 = 4 + 8 = 12 x →2

2.-

x →2

2 2 2 lím ( x + 7 x − 5 ) = lím ( x ) + lím (7 x ) + lím ( − 5 ) = lím ( x ) + 7 lím ( x ) − lím ( 5 ) =

3.-

x →3

= ( 3 ) + 7 ( 3 ) − ( 5 ) = 9 + 21 − 5 = 25 2

2 2 2 lím ( x − 4 x + 1) = lím ( x ) + lím ( − 4 x ) + lím ( 1) = lím ( x ) − 4 lím ( x ) + lím ( 1) =

3.-

x →2

x→2

x →2

= ( 2 ) − 4 ( 2 ) + 1 = 4 − 8 + 1 = −3 2

lím ( x − 2 ) lím ( x ) + lím ( − 2 ) 3 − 2 1  x − 2  x →3 x →3 = = x →3 = = lím   ( ) ( ) x + 2 x + 2 x + x →3   lím lím lím ( 2 ) 3 + 2 5 x →3

x →3

4.-

2   1   2  3x 2   3 −   − 3 − lím    x  3 x − 2   x x   x →∞  3x − 2  x = x = lím    = lím   = lím  = lím   1 9 x 7 7 7  9 x + 7  x →∞  x →∞  9 x + 7  x →∞  +  x →∞  9 +  lím  9 +     x x     x   x  x →∞  x 5.-

2 3−0 3 1 x →∞  x  = x →∞ = = = 9+0 9 3 7  lím ( 9 ) +  

lím ( 3) − lim    x

x →∞

 x + 2x + 3  = x 2 + 5  x →2 

lím  6.-

3 lím ( x + 2 x + 3) x →2

lím ( x + 5 ) 2

3 lím ( x ) + 2 lím ( x ) + lím ( 3) x→2

x →2

x →2 2

x→2

lím ( x ) + lím ( 5 ) x →2

x →2

3 ( 2 ) + 2 ( 2 ) + ( 3 ) 15 5 = = = 9 3 ( 2) 2 + ( 5)

(

7.-

 x 3 − 27   ( x − 3) x 2 + 3 x + 9    = lím   lím  x−3 x →3  x − 3  x →3 

)  =  

2 lím ( x + 3 x + 9 ) = x →3

( )

= lím x 2 + 3 lím ( x ) + lím ( 9 ) = ( 3) 2 + 3( 3) + 9 = 27 x →3

8.-

    6 x 2 + 2 x + 1  lím  x → ∞ =  lím  2   x →∞  x − 3 x + 4 

x →3

1 x2 1 x2

x →3

 6 x 2 2 x 1    2 + 2 + 2  2  6 x + 2 x + 1 x x   = lím  x 2 2    3x 4  x − 3 x + 4  x →∞  x   2 − 2 + 2   x x   x

   =   

2 1  lím  6 + 2 + 1   6 + +  x x2  x x 2  = x →∞  = = lím   3 4   3 4  x →∞  1− + 2 lím  1 − + 2  x x   x x  x →∞  2  1  2  x →∞ x →∞  x  x →∞  x  = =  3  4  6 +0+0 6 lím ( 1) + lín  −  + lím  2  = =6 x  x →∞  x  1 − 0 + 0 1 x →∞ x →∞ 

lím ( 6 ) + lím   + lím 

9.-

   2  x + x − 2  lím  x → ∞    lím  3 =  x →∞  4 x − 1 

1 x3 1 x3

 x 2 x 2    3 + 3 − 3  2   x  x + x − 2  = lím  x 3x 3 1  4 x − 1  x → ∞  4 x − 3   3   x  x

   =   

2  lím  1 + 2 + 1  lím  1  + lím  1  + lím  1  1 1 + −  x x 2 x 3  x → ∞  x x 2 x 3  x →∞  x  x →∞  x 2  x →∞  x 3  = = = lím  = 1   1 1 x →∞  4− 3  lím  4 − 3  lím ( 4 ) − lím  3  x   x →∞  x →∞ x →∞  x  x 

10.-

11.-

  2 lím ( x ) = lím ( x ) 

lím x = lím ( x )

  = lím ( x )   x→2 

x →2

 x→2

x→2



0 =0 4

= [ 2] 2 = 4

= lím ( x ) = 2 x→2

2 2 2 2 lím 25 − x = lím ( 25 − x ) = lím ( 25 ) + lím ( − x ) = lím ( 25 ) − lím ( x ) =

12.-

x →4

= 25 − ( 4 ) 2 = 25 − 16 = 9 =

13.-

x3 + 2 x + 3 = lím x2 + 5 x→2

3 lím ( x + 2 x + 3) x →2

lím ( x + 5 ) 2

x→2

( 2 ) 3 + 2( 2 ) + ( 3 ) ( 2) 2 + ( 5)

3 lím ( x ) + 2 lím ( x ) + lím ( 3) x→2

x→2 2

x→2

lím ( x ) + lím ( 5 ) x →2

x →2

15 15 15 = = 9 3 9

Ejercicios de cálculo de límites.2 lím ( x − 4 x ) =

E1.-

x→2

3 2 lím ( x + 2 x − 3 x − 4 ) =

E2.-

x → −1

 x −1  = 2 x →2  x − 1 

lím  E3.-

E4.-

 x2 − 4  = lím  3  x →2  x − 5 x + 6   x−2  =  x →2  x 2 − 4 

lím  E5.-

 x−2 = 2  x →2  x − 4 

lím  E6.-

 2x + 3  = x →∞  4 x − 5 

lím  E7.-

 x  = 2 x →∞  x + 5 

lím  E8.-

x+3   = 2 x →∞  x + 5 x + 6 

lím  E9.-

E10.-

 x2 + 5 x + 6  = lím  x + 1  x →∞   2 cos x  = x →0  x + 1 

lím  E11.-

 x +1  = x →0  2 cos x 

lím  E12.-

lím ( 2 cos x + 2 ) = E13.-

x →0

lím ( senx + 2 ) = E14.-

x →0

  lím  sec x  =

E15.-

1 x →0  3



Continuidad de una función.Sea la función

y = f ( x)

N ( x0 )

definida para cierto valor x y en un entorno x 0 y0 = f ( x0 )

x0 cuyo centro es cantidad

∆x

. De esa manera, para

x0 se tiene. Al agregar a

x = x0 + ∆x

(positiva o negativa) y toma el valor

una

y , la función

resulta

y0 + ∆y = f ( x0 + ∆x ) incrementada de la forma

. El incremento de la función se expresa:

∆y = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) .

Definición de Continuidad. Continuidad en un punto.La función

y = f ( x)

x = x0

se considera continua para el valor de

x0 punto

x0 ), si está definida en un entorno con centro en

lím ∆y = 0

(o en el x0

, (incluido el punto

), y si

y = f ( x)

x →0

. En términos geométricos, la continuidad de en el punto dado significa que la distancia que la diferencia de las ordenadas de la función en los puntos x = x 0 + ∆x

x = x0 y

será, en valor absoluto, arbitrariamente pequeña a condición de

∆x que

sea lo suficientemente pequeño.

De la definición anterior pueden establecerse tres condiciones para que una función sea continua: 1.-

f ( p)

está definida

lím f ( x ) x→ p

2.-

existe

lím f ( x ) = f ( p ) x→ p

3.12

Continuidad en un intervalo abierto.Una función es continua en un intervalo abierto punto del intervalo.

( a , b)

si es continua en cada

Una función continua en el conjunto de los números reales continua en todas partes.

(∞

−

,∞ * )

Clasificación de discontinuidades.-

( a,b)

Considerando un intervalo abierto que contiene a un punto p y una función f definida en todos los puntos del intervalo excepto p, se dice que la función f tiene una discontinuidad en p; el limite de la función no existe para el punto p o el límite si existe pero es distinto de la función valuada en p.

La función no está definida en p

El límite de la función no existe

El límite de la función no es f(p)

Pueden distinguirse dos clases de discontinuidad de funciones, las evitables o removibles, si la función puede redefinirse apropiadamente para el punto considerado; e inevitables o no removibles si eso no es posible. Teoremas de funciones continuas.Teorema 1.- Si dos funciones son continuas en un punto dado, la suma de ambas es también una Función continua en el mismo punto. Teorema 2.- El producto de dos funciones continuas es una función continua. Teorema 3.- El cociente de dos funciones continuas es una función continua, si el denominador no se reduce a cero en el punto considerado.

Teorema 4.- Si una funci贸n funci贸n

bf ( x )

f ( x)

es continua en x=c, para todo n煤mero real b la

es tambi茅n continua en x=c.