INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGO ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS ACADEMIA DE CIENCIAS DE LA TIERRA
Cálculo Diferencial La derivada
Graciela Castañón Alfaro
Jorge Edgardo Alcaraz Vega Agosto de 2010
Derivada de una función El concepto central del cálculo diferencial es el de derivada. Históricamente, el concepto se formuló en el Siglo XVII por el matemático francés Pierre Fermat, y fue originado por el problema geométrico de hallar la tangente en un punto a una curva, al intentar determinar valores máximos y mínimos de ciertas funciones. Las relaciones entre el problema de hallar la tangente en un punto a una curva y el de calcular el área de una región limitada por una curva, (problema este último que condujo al concepto de integral), fueron primero enunciadas por Isaac Barrow (1600-1677), maestro de Isaac Newton (1642-1727). Pero fue Newton y Gottfried W. Leibniz (16461716) quienes iniciaron el desarrollo del Cálculo Integral y Diferencial hasta el Siglo XIX cuando Auguste-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le dieron un base matemática firme, que fundamenta la teoría que ahora constituye la matemática contemporánea.
Sea y = f ( x ) una función continua en el intervalo abierto ( a ,b ) . Haciendo xo = a un primer valor de x , se tiene suficientemente definido el punto Ade la curva de f ( x.) Considerando la longitud del intervalo un incremento ∆,xse〉 0tiene también a B . definido como punto de la curva. La recta que pasa por A y B es, entonces, una secante de la curva. Por determinaciones sucesivas de puntos de la curva haciendo ∆x → 0, acercando el extremo b del intervalo hacia a, se definen otras tantas secantes con A como punto común. El límite de la sucesión de puntos en la curva cuando es precisamente ∆x → 0 el punto ; constituyéndose éste en el punto de tangencia de la curva. A Y
Secante AB
y = f ( x)
Secante AC Secante AD
B( x0 + ∆x , f ( x0 + ∆x ) ) C( c, f ( c) ) D( d , f ( d ) )
A( x0 , f ( x0 ) ) θ
( 0 ,0 )
a
0 ← ∆x
(
d
)
∆x x0
Tangente en A
)
c
)
b X
La inclinación de la recta tangente a la curva en el punto A está determinada por el ángulo θ, lo que permite (prescindiendo del índice 0 de x), establecer la relación: ∆x dy ∆y ∆lím f ( x + ∆x ) − f ( x ) x →0 tanθ = lím = = = = f ′( x ) ∆lím ∆x →0 x →0 ∆x ∆x ∆ x dx lím ∆x
y = f ( x)
Y
B
∆y A
θ
( 0 ,0 )
a
α
(
) ∆x
x
f ( x + ∆x )
b
f ( x) X
DERIVADAS IMPORTANTES
1) i)
f ( x) = c
ii)
f ( x + ∆x ) = c
Sea la función:
iii)
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = [ c ] − [ c ] = 0
iv)
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 0 = = 0 ∆x ∆x
v)
f ( x) = c
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 0 (0) = 0 = = lím lím ∆ x → 0 ∆x →0 ∆x ∆x
lím ∆x →0
f ′( x ) = 0
DERIVADAS IMPORTANTES
2) i) ii)
Sea la función:
f ( x) = x f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x )
iii)
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = [ x + ∆x ] − [ x ] = x − x + ∆x = ∆x
iv)
f ( x + ∆x ) − f ( x ) ∆x = =1 ∆x ∆x
v)
f ( x) = x
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lím [ 1] = 1 lím ∆x →0 ∆x ∆x→0
f ′( x ) = 1
DERIVADAS IMPORTANTES
3)
Sea la función:
f ( x) = x2
f ( x) = x2
i)
f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x ) 2 = x 2 + 2 x∆x + ( ∆x ) 2
ii)
(
)
iii)
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = x 2 + 2 x∆x + ( ∆x ) 2 − ( x 2 ) = 2 x∆x + ( ∆x ) 2
iv)
2 ∆x( 2 x + ∆x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) 2 x∆x + ( ∆x ) = 2 x + ∆x = = ∆x ∆x ∆x
v)
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lím [ 2 x + ∆x ] = lím ( 2 x ) + lim( ∆x ) = 2 x ∆x →0 ∆x →0 ∆ x ∆x→0
lím ∆x →0
f ′( x ) = 2 x
DERIVADAS IMPORTANTES
4) i) ii) iii)
f ( x) = x3
Sea la función:
3 f ( x) = x f ( x + ∆x ) = ( x + ∆x ) 3 = x 3 + 3( x ) 2 ∆x + 3 x( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3
(
)
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = x 3 + 3 x 2 ∆x + 3 x( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3 − ( x 3 ) = = 3 x 2 ∆x + 3 x( ∆x ) + ( ∆x ) 2
iv)
f ( x + ∆x ) − f ( x ) 3 x 2 ∆x + 3 x( ∆x ) 2 + ( ∆x ) 3 = = ∆x ∆x 2 ∆x 3 x 2 + 3 x( ∆x ) + ( ∆x ) 2 = = 3 x 2 + 3 x∆x + ( ∆x ) ∆x 2 2 f ( x + ∆x ) − f ( x ) 3 x + 3 x ∆ x + ( ∆ x ) = = lím lím ∆x →0 ∆x →0 ∆x 2 = lím ( 3 x 2 ) + lím ( 3 x∆x ) + lím ( ∆x ) =
[
v)
3
]
[
∆x →0
= 3x2
]
∆x →0
∆x →0
f ′( x ) = 3 x 2
DERIVADAS IMPORTANTES
5)
Sea la función:
f ( x) = xn , n ∈ N
Por inducción matemática, a partir de las funciones con n = 1, n = 2 , n = 3; de las que ya se han deducido sus derivadas, se prueba la validez para el caso en que n = k , se supone válida para n = k + 1, admitiéndose que para todo valor natural de n , la derivada de la función considerada es:
f ′( x ) = nx n−1
DERIVADAS IMPORTANTES
6)
Sea la función:
i)
f ( x ) = c[ u ( x ) ]
ii)
f ( x + ∆x ) = c[ u ( x + ∆x ) ]
iii) iv) v)
f ( x ) = c[ u ( x ) ]
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = c[ u ( x + ∆x ) ] − c[ u ( x ) ] = c[ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] f ( x + ∆x ) − f ( x ) c[ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] u ( x + ∆x ) − u ( x ) = = c ∆x ∆x ∆x u ( x + ∆x ) − u ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) ( c) = lím lím = ∆x →0 ∆x →0 ∆ x ∆ x u ( x + ∆x ) − u ( x ) = lím ( c ) ⋅ lím = ∆x→0 ∆x→0 ∆x = c ⋅ [ u ′( x ) ] = du ( x ) = c ⋅ dx
du ( x ) f ′( x ) = c ⋅ dx
DERIVADAS IMPORTANTES
7)
Sea la función: Donde f ( x ) , u ( x ) y v( x ) están definidas en un mismo intervalo. f ( x ) = u ( x ) + v( x ) i) f ( x + ∆x ) = u ( x + ∆x ) + v( x + ∆x ) ii) iii) iv)
v)
f ( x ) = u ( x ) + v( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = [ u ( x + ∆x ) + v( x + ∆x ) ] − [ u ( x ) + v( x ) ]
[ u( x + ∆x ) + v( x + ∆x ) ] − [ u ( x ) + v( x ) ] = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = ∆x ∆x u ( x + ∆x ) − u ( x ) v( x + ∆x ) − v( x ) = + ∆x ∆x u ( x + ∆x ) − u ( x ) v( x + ∆x ) − v( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) + = lím lím = ∆x →0 ∆ x ∆ x ∆x →0 ∆ x u ( x + ∆x ) − u ( x ) v ( x + ∆x ) − v ( x ) = lím + lím = ∆x →0 ∆ →0 ∆x ∆x du ( x ) dv( x ) = u ′( x ) + v′( x ) = + dx dx f ′( x ) = u ′( x ) + v′( x )
DERIVADAS IMPORTANTES
8)
Sea la función: Donde f ( x ) , u ( x ) y v( x ) están definidas en un mismo intervalo. f ( x ) = u ( x ) ⋅ v( x ) i) f ( x + ∆x ) = u ( x + ∆x ) ⋅ v( x + ∆x ) ii) iii)
f ( x ) = u ( x ) ⋅ v( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x ) = u ( x + ∆x ) ⋅ v( x + ∆x ) − u ( x ) ⋅ v( x ) =
Sumando y restando u ( x + ∆x ) ⋅ v( x )
= [ u ( x + ∆x ) ⋅ v( x + ∆x ) − u ( x ) ⋅ v( x ) ] + u ( x + ∆x ) ⋅ v( x ) − u ( x + ∆x ) ⋅ v( x ) = = [ u ( x + ∆x ) ⋅ v( x + ∆x ) − u ( x + ∆x ) ⋅ v( x ) ] + [ u ( x + ∆x ) ⋅ v( x ) − u ( x ) ⋅ v( x ) ] = = u ( x + ∆x ) [ v( x + ∆x ) − v( x ) ] + v( x ) [ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] iv) v)
f ( x + ∆x ) − f ( x ) u ( x + ∆x ) [ v( x + ∆x ) − v( x ) ] + v( x ) [ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] = = ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) lím u ( x + ∆x ) [ v( x + ∆x ) − v( x ) ] + v( x ) [ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] = lím = ∆x→0 ∆x ∆x →0 ∆x [ v ( x + ∆x ) − v ( x ) ] + v ( x ) [ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] = = lím u ( x + ∆x ) lím ∆x →0 ∆x →0 ∆x ∆x = u ( x ) v′( x ) + v( x ) u ′( x ) = f ′( x ) = u ( x )
dv( x ) du ( x ) + v( x ) dx dx
DERIVADAS IMPORTANTES
9)
Sea la función: Donde f ( x ) , u ( x ) y v( x ) están definidas en un mismo intervalo. u( x ) f ( x) = i) v( x ) ii) iii)
f ( x + ∆x ) =
f ( x) =
u( x ) v( x )
u ( x + ∆x ) v( x + ∆x )
u ( x + ∆x ) u ( x ) u ( x + ∆x ) v( x ) − v( x + ∆x ) u ( x ) = f ( x + ∆x ) − f ( x ) = − v( x ) = ( ) ( ) v x + ∆ x v x ( ) v x + ∆ x Sumando y restando
u ( x ) ⋅ v( x )
=
u ( x + ∆x ) v( x ) − v( x + ∆x ) u ( x ) + u ( x ) v( x ) − u ( x ) v( x ) = v ( x + ∆x ) v ( x )
=
[ u( x + ∆x ) v( x ) − u ( x ) v( x ) ] − [ v( x + ∆x ) u ( x ) − u ( x ) v( x ) ] = v ( x + ∆x ) v ( x )
=
v( x ) [ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] − u ( x ) [ v( x + ∆x ) − v( x ) ] v ( x + ∆x ) v ( x )
DERIVADAS IMPORTANTES
9)
iv)
Sea la función:
f ( x) =
u( x ) v( x )
v( x ) [ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] − u ( x ) [ v( x + ∆x ) − v( x ) ] f ( x + ∆x ) − f ( x ) v ( x + ∆x ) v ( x ) = = ∆x ∆x v( x ) [ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] − u ( x ) [ v( x + ∆x ) − v( x ) ] v ( x + ∆x ) v ( x ) = = ∆x v( x ) [ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] − u ( x ) [ v( x + ∆x ) − v( x ) ] ∆x = = v ( x + ∆x ) v ( x ) v( x ) [ u ( x + ∆x ) − u ( x ) ] − u ( x ) [ v( x + ∆x ) − v( x ) ] ∆x = = v ( x + ∆x ) v ( x ) u ( x + ∆x ) − u ( x ) v ( x + ∆x ) − v ( x ) v( x ) − u ( x ) ∆x ∆x = = v( x + ∆x ) v( x )
DERIVADAS IMPORTANTES
9)
Sea la función:
f ( x) =
u( x ) v( x )
u ( x + ∆x ) − u ( x ) v ( x + ∆x ) − v ( x ) v ( x ) − u ( x ) ∆x ∆x f ( x + ∆x ) − f ( x ) = = lím lím ∆ x → 0 ( ) ( ) v x + ∆ x v x ∆x →0 ∆x u ( x + ∆x ) − u ( x ) v ( x + ∆x ) − v ( x ) v ( x ) − u ( x ) lím ∆x →0 ∆x ∆x = = [ ( ) ( ) ] v x + ∆ x v x lím
v)
∆x →0
=
v( x ) lím ∆x →0
u ( x + ∆x ) − u ( x ) v( x + ∆x ) − v( x ) − u ( x ) lím ∆x→0 ∆x ∆x = [ ( ) ( ) ] v x + ∆ x v x lím ∆x →0
u ( x + ∆x ) − u ( x ) v ( x + ∆x ) − v ( x ) ⋅ ( v( x ) ) ⋅ lím − ( u ( x ) ) lím lím lím ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x ∆x→0 = = v( x + ∆x ) ⋅ lím v( x ) lím ∆x→0 ∆x →0 =
v( x ) ⋅ u ′( x ) − u ( x ) ⋅ v′( x ) = v( x ) ⋅ v( x )
f ′( x ) =
v( x ) ⋅ u ′( x ) − u ( x ) ⋅ v′( x ) ( v( x ) ) 2
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL SIGNO DE LA DERIVADA
y′〉0
y′〉0
y′〉0
y′〉0 y′ = 0 y′〈0
y′ = 0 y′〈0
y′〈0 y′ = 0
y′〈0 y = f ( x)
y′〈0
y′ = 0
PUNTOS CRÍTICOS EN UN INTERVALO
Máximo absoluto
Puntos de inf lexión
Máximo local
a(
y′ = ∞
Mínimo absoluto y = f ( x)
y′ = ∞
y′ = ∞ Mínimo local
)b
y ′ = 12 x 2 − 40 x + 30 y
f(x)=(x-1.5)(x+1.5)(x-3) f(x)=(x-1.5)(x+1.5)(x-3)
10
f(x)=(x+1.5+x-1.5)*(x-3)+(x-1.5)*(x+1.5)
9 8 7 6 5 4 3 2 1
x -6
-5
-4
-3
-2
-1
1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
y = 4 x 3 − 20 x 2 + 30 x − 9
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12