INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGO ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS ACADEMIA DE CIENCIAS DE LA TIERRA
Propedéutico de Matemáticas Módulo
I
Introducción a la lógica matemática
Graciela Castañón Alfaro
Irma Leticia Cabañas Ovando Jorge Edgardo Alcaraz Vega
Marzo de 2010
CONOCIMIENTO Sensación Reflejo de algunas propiedades de los objetos o fenómenos del mundo material que accionan directamente sobre los sentidos del ser humano.
Conocimiento Sensitivo Relación directa e inmediata del ser humano con el mundo material
Percepción Reflejo íntegro de un objeto material que surte un efecto directo en los sentidos, y depende de las experiencias pasadas. Noción Imagen sensitiva de un objeto no percibido en un momento dado, pero percibido con anterioridad.
Conocimiento Concepto Forma del pensamiento que refleja los indicios sustanciales de un Objeto o clase de objetos
Pensamiento Abstracto Relación indirecta y mediata del ser humano con la realidad
Proposición, Juicio o Enunciado Lógico Forma del pensamiento por la cuál se afirma o se niega alguna cualidad de algún objeto Razonamiento Forma del pensamiento mediante la cuál, partiendo de uno o varios juicios verdaderos, se obtiene alguna conclusión conforme a ciertas reglas de inferencia.
FUENTE: LOGICA, Alexandra Guetmanova. Editorial Progreso. Moscú. 1986.
RELACIÓN PENSAMIENTO - LENGUAJE Concepto Juicio
Sintaxis
Pensamiento
Lenguaje
Razonamiento
Semiótica
Concepto Fo Co rma nc ció ep n d to el
Objeto
de ión n ac ció r m ini Fo Def la
(del Objeto)
Semántica
Definición del concepto (del objeto)
LÓGICA MATEMÁTICA DEFINICIONES
CÁLCULO PROPOSICIONAL
SIMBOLOGÍA OPERACIONES CÁLCULO
LEYES LÓGICAS
DEFINICIONES
CÁLCULO DE PREDICADOS
SIMBOLOGÍA OPERACIONES CÁLCULO
LÓGICA MATEMÁTICA
CÁLCULO PROPOSICIONAL RELACIONES EXTERNAS
LEYES LÓGICAS
Proposición 1
Proposición 2
CÁLCULO DE PREDICADOS RELACIONES INTERNAS
Objeto
Proposición 1
Predicado
Proposición
Concepto
(de la proposición)
Fo Co rma nc ció ep n d to d e el la pr op
os
ici ó
n
REPRESENTACIÓN DE PROPOSICIONES
Objeto
Predicado
Concepto del objeto
Cópula
Propiedad
Concepto
Forma ció Concep n del to
(del Objeto)
Oración Gramatical Categórica Sujeto
Objeto
Verbo
Complemento
LEYES DE LA LÓGICA MATEMÁTICAS Proposición, Juicio o Enunciado Lógico.Forma del pensamiento por la cuál se afirma o se niega alguna cualidad de algún objeto Juicios opuestos o contradictorios.Una afirmación de que un objeto tenga alguna cualidad y la negación de que ese objeto posea esa cualidad son juicios opuestos o contradictorios.
I] Ley de identidad.-
Todo concepto y juicio deben ser idénticos a sí mismos.
II] Ley de no contradicción.-
Dos juicios opuestos no pueden ser verdaderos en un mismo tiempo y en una misma relación.
III] Ley del Tercero excluido.-
Uno de dos juicios contradictorios es verdadero y el otro falso, y no es posible un tercer valor.
IV] Ley de la razón suficiente.-
Toda idea verdadera debe ser suficientemente fundamentada.
CÁLCULO PROPOSICIONAL
Una oración declarativa en la que se afirma o niega alguna característica al sujeto representa una proposición o juicio lógico. Una proposición es simple (o atómica) cuando no contiene componentes que sean, a su vez, proposiciones. Una proposición es compuesta (o molecular) cuando, con excepción del caso de las negaciones, está integrada por dos o más proposiciones simples, enlazadas por medio de ciertas expresiones como y, o, si … entonces, si y solo si. Toda Las proposiciones por letras minúsculas: proposición en lasimples que sesuelen niega simbolizarse alguna cualidad de algún objeto a, c, proposición ..., p, q, ... compuesta. cuando se trata del cálculo proposicional. Las es b, una proposiciones compuestas se forman enlazando proposiciones simples con símbolos denominados conectivos lógicos, que expresan La de las yproposiciones como o compuestas se las identificación operaciones lógicas, que se rigen por lassimples leyes lógicas facilita con el análisis de su representación lingüística; es decir, por medio del análisis de las oraciones enunciativas con las que las En ese sentido, es conveniente la transformación proposiciones se manifiestan en forma materializada. de la expresión sintáctica de la proposición hasta lograr, sin alterar el significado y el sentido original de la proposición, mostrar explícitamente los componentes de ésta.
EJEMPLOS DE PROPOSICIONES SIMPLES pez pequeño
perro negro
pequeño pez
negro perro
es pequeño el pez
es negro el perro
pequeño es el pez
negro es el perro
el pez es pequeño
el perro es negro
proposiciones simples (concepto de un solo objeto en el sujeto de la oración y una sola cualidad en el complemento)
casas grandes
verdes bosques
grandes casas
bosques verdes
son las casas grandes
son verdes los bosques
las casas son grandes
los bosques son verdes
proposiciones simples (concepto de una sola clase de objetos en el sujeto de la oración y una sola cualidad en el complemento)
EJEMPLOS DE PROPOSICIONES COMPUESTAS la situación es anómala
perro y gato negros
es anómala la situación
son el perro y el gato negros
no es normal la situación
son negros el gato y el perro
la situación no es normal
negros son el gato y el perro
nola situación es normal Conectivo negación
proposición simple
Una proposición es compuesta: a) si es una negación la oración que la representa. b) si hay más de un objeto en el sujeto en la oración que la representa. c) si hay más de una cualidad en el complemento de la oración que la representa.
el gato es negro y el perro es negro proposición simple
conectivo conjunción
proposición simple
gran perro negro perro negro grande el perro es negro y grande
el perro es negro y el perro es grande
CONECTIVOS LÓGICOS DEL CALCULO PROPOSICIONAL
∧ I.- Conjunción corresponde a la palabra "y"; se simboliza por ∨ II.- Disyunción corresponde a la palabra "o"; se simboliza por ◊ para el caso de la “o inclusiva”, y para el caso de la “o exclusiva” ¬ III.- Negación corresponde a la palabra “no"; se simboliza por antecediendo a la proposición que se niega.
,
IV.- Condicional corresponde a las palabras “si ... entonces"; → se simboliza por . La proposición que condiciona se denomina antecedente y consecuente a la proposición condicionada. V.- Equipolencia, (doble condicional o bicondicional), corresponde a las palabras “sí y sólo↔sí"; se simboliza por .
pensamiento proposición simple
lenguaje Oración gramatical que exprese solo una cualidad para un solo objeto o clase de objetos
Oración gramatical que exprese dos o más cualidades de un solo objeto o clase de objetos
proposición compuesta
El maestro es joven Los estudiantes son puntuales
El maestro es exigente y puntual Los estudiantes son jóvenes y puntuales
Oración gramatical que exprese dos o más objetos o clase de objetos con solo una cualidad
Los estudiantes y el maestro son puntuales
Oración gramatical que exprese más de un objeto o clase de objetos con más de una cualidad
Los estudiantes y el maestro son jóvenes y puntuales
lenguaje
componentes
símbolos
El maestro es joven
p
Los estudiantes son jóvenes
q
El maestro es puntual
r
Los estudiantes son puntuales
t El maestro es joven
El maestro es joven y puntual
p∧q
y El maestro es puntual
Los estudiantes son jóvenes Los estudiantes son jóvenes y puntuales
q∧t
y Los estudiantes son puntuales Los estudiantes son jóvenes
Los estudiantes y el maestro son jóvenes y puntuales
El maestro es joven
y
Los estudiantes son puntuales El maestro es puntual
y
y
( q ∧ p) ∧ ( t ∧ r )
REGLAS DE OPERACIÓN DE LOS CONECTIVOS LÓGICOS
NEGACIÓN La negación de una proposición es verdadera sólo si la proposición que se niega es falsa DISYUNCIÓN La disyunción de dos proposiciones es verdadera sí al menos una de las dos proposiciones es verdadera CONJUNCIÓN La conjunción de dos proposiciones es verdadera sólo si ambas proposiciones son también verdaderas CONDICIONAL La condicional de dos proposiciones es falsa, sólo sí siendo verdadero el antecedente, el consecuente es falso; y resulta verdadera en todos los demás casos. EQUIPOLENCIA La Equipolencia entre dos proposiciones es verdadera en los casos en que las dos proposiciones sean ambas verdaderas o ambas falsas.
VALOR DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
Para calcular el valor de verdad que tenga una proposición compuesta debe identificarse aquel conectivo que relacione a dos últimas proposiciones (simples o compuestas), entendiendo por “últimas proposiciones” aquellas cuyo valor de verdad sea posible de calcularse porque se conoce ya el valor de verdad de las proposiciones que el conectivo enlaza. A este conectivo se le 1) Queconectivo la proposición compuesta lo sea ados partir de posibles: dos proposiciones simples. llama Se distinguen casos pprincipal. q p∧q Sean, por ejemplo y dos proposiciones simples. Entonces, es una p q ∧ proposición compuesta formada mediante la conjunción de y y de esa forma a la conjunción se le considera conectivo principal. 2) Que la proposición compuesta lo sea a partir de proposiciones compuestas, en cuyo caso siempre se puede establecer un conectivo principal que enlace a solo dos proposiciones, simples o compuestas, mediante el recurso de asociar, ) ∧ t] p ∧ q ) ∨ t ] entre ↔ [ ( p ∨ qproposiciones. dos cada[ (enlace En a dos, la donde p , q y t son proposiciones advertirse a partir de las expresión que los paréntesis circulares se establecen simples, puede proposiciones simples, dos a dos; las cuales dan lugar a nuevos enlaces que se ↔ manifiestan mediante los paréntesis rectangulares, hasta permitir identificar a la bicondicional como el conectivo principal.
DETERMINACIÓN DE ORDEN Y CONECTIVO PRINCIPAL
Actividad 1)
Establecimiento de la simbolización de proposiciones simples con los conectivos lógicos para definir las proposiciones compuestas componentes de la proposición en estudio.
Actividad 2)
Definición de los elementos de la tabla de Valor de Verdad en función de proposiciones simples, sus valores posibles de verdad; las proposiciones compuestas componentes y sus respectivos valores de verdad que se obtienen de la aplicación de las reglas de los conectivos lógicos.
p ∨ ( q → p)
Ejemplo 1) 2 1
[ p ↔ ( q ↔ r)] ∧ ( r ∨ t)
Ejemplo 2) 2 Ejemplo 3)
1 4 ( q → p) ∨ [ p ↔ ( q ↔ r )]
1
2 4
3
3
TABLAS DE VERDAD
Las tablas de verdad son arreglos en columnas y renglones que relacionan las proposiciones que están contenidas en una proposición compuesta de la que se requiere su valor de verdad, considerando todos los valores posibles de asignar a cada una componentes. De esa manera, sí kdeeslas el proposiciones número de proposiciones simples que se encuentran
comprendidas en una proposición compuesta, una regla para construir la tabla de verdad para la proposición compuesta consiste en calcular el número necesario de renglones mediante la fórmula: No. de renglonesla= 2k . El número de columnas se determina considerando suma de las proposiciones simples y compuestas que intervienen. Para la primera proposición simple, los dos únicos valores de verdad se repiten tantas veces como renglones haya. Para la segunda proposición simple, sus dos valores de verdad se repiten también, sólo que ahora duplicando Una vez dede verdad de todas que las proposiciones simples cada unodefinidos de ellos los en valores términos los renglones deben ocupar. Y así involucradas, se procede a determinar, cadade unaverdad de las combinaciones sucesivamente hasta registrar los para valores de la última posibles, los valores de verdad de cada una de las proposiciones compuestas proposición simple que intervenga. conforme a cada conectivo presente y su respectiva regla de cálculo.
PROCEDIMIENTO PARA DEFINIR TABLAS DE VALOR DE VERDAD
Dada la [ ( p ∧ q ) ∨ t ] ↔ [ ( p ∨ q ) ∧ t ] , la Tabla de Valor de verdad p, q, r proposición resulta: Proposiciones simples: de Proposiciones Número simples: Número de conectivos Conectivo lógicos: Principal: Número de Proposiciones compuestas: Número de Renglones de la Tabla de Verdad: Número de Columnas de la Tabla de Verdad: 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
k=3 5 ↔ 5
( 2)
3
=8
3+5 = 8
PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR VALOR DE VERDAD DE PROPOSICIONES
1) 2) 3)
Estudio de la expresión que representa a la proposición Identificación de proposiciones simples
4)
Identificación y definición del orden de los conectivos lógicos Determinación del conectivo principal
5)
Construcción de la Tabla de Valor de Verdad
6)
Aplicación de Reglas de los Conectivos Lógicos
VERDAD FORMAL Y VERDAD EMPÍRICA
Cualquier proposición es verdadera o falsa; y algunas lo son por su pura forma lógica, (independientemente de los hechos de la realidad), en tanto otras lo son según reflejen o no fielmente a la realidad. Las que resultan verdaderas por su pura forma lógica poseen una verdad formal, la cual depende exclusivamente de la manera en que se relacionan entre sí las proposiciones, sin que los hechos reales puedan servir para confirmar o refutar este tipo de verdad. La verdad de proposiciones se constata porque los no hechos, que se comprueba lógica matemática es unaque disciplina con la se puede decidir si una con la experiencia, es llamada una verdad empírica. proposición es empíricamente verdadera; con ella se establecen las verdades formales, sus estructuras y sus leyes, de manera que sea posible determinar si una proposición cualquiera, con un contenido variable, es verdadera o falsa formalmente, independientemente de los hechos a que se refiere. Sin embargo, cuando ocurre que determinadas proposiciones resultan ser verdaderas formal y empíricamente, dichas proposiciones se consideran componentes del saber científico.
IMPLICACIONES
En el contexto del cálculo proposicional, Las proposiciones, conforme a su estructura lógica, pueden resultar: 1.- Verdaderas para todos los casos posibles. 2.- Verdaderas en algunos casos y falsas en otros. 3.- Falsas en todos los casos. Las del primer tipo reciben el nombre de Tautología, las del segundo tipo son llamadas Indeterminadas o Contradictorias y Falacias las del tipo tercero. Una proposición compuesta cuyo conector principal es una condicional y que → resulte una tautología se define como una implicación. Para señalar que se ⇒ trata implicación, el símbolo “ “ del conectivo principal se ( p ∧ qde ) → una p ( p ∧ qla ) ⇒proposición p sustituyeppor elqsímbolo “ “. De esa manera, condicional una vez que se conoce que resulta verdadera para todos los casos posibles de valor de verdad de modelos y de mediante , se representa porsílauna Las leyes de implicación constituyen los cuales, implicación . cuya estructura lógica se corresponde con uno de proposición compuesta dada dichos modelos, se puede de inmediato, (sin el uso de la tabla de verdad), afirmar que es verdadera.
IMPLICACIONES
Entre las m谩s importantes leyes de implicaci贸n se encuentran: 1
8
2
9
3
10
4
11
5
12
6
13
7
14
EQUIVALENCIAS
Una proposición compuesta se define como una equivalencia, cuando su ↔ conector principal es una bicondicional y es tautológica. Para señalar que se ⇔ trata de una equivalencia, el símbolo “ “ del conectivo principal se sustituye por el símbolo “ “. En toda equivalencia, la bicondicional relaciona a dos proposiciones que tienen idéntica tabla de verdad, por lo que se dice que son Entre las más importantes leyes de equivalencia se encuentran: equivalentes; y tienen utilidad en un argumento dado que puede ser sustituida Leyes de Idempotencia alguna proposición por su equivalente Leyes asociativas Leyes conmutativas Leyes distributivas Leyes de absorción Leyes de Morgan
ARGUMENTOS
Un razonamiento o argumento es una secuencia o serie de proposiciones verdaderas, llamadas premisas, de las que se obtiene o desprende, de acuerdo con alguna regla de inferencia, una o más proposiciones llamadas conclusiones. En un argumento es posible la obtención de una proposición nueva (conclusión), a partir de proposiciones previamente establecidas (las premisas); lo que expresa la posibilidad de ampliar el conocimiento, pues pueden obtenerse nuevas proposiciones verdaderas a partir de lo que ya se ha aceptado como verdadero. Precisamente en esto consiste la validez de un argumento; en que no ocurra que siendo verdaderas las premisas de las que se parte, sea falsa la conclusión a la que se llega .En otras palabras, un argumento Los razonamientos o argumentos, aunque constituidos por proposiciones, no no válido sí: siendo verdaderas las premisas, es falsa la conclusión. todos sonesverdaderos o falsos; sino correcta o incorrectamente construidos,Enválidos los demás casos argumentopara es válido. o no válidos. Enelparticular, los efectos del curso, sólo se analizarán los argumentos deductivos, caracterizados porque en ellos la conclusión se obtiene necesariamente de las premisas; y donde una conclusión, una vez demostrada haber sido correctamente (o válidamente) inferida o deducida, puede ser integrada al cuerpo del argumento como una nueva premisa.
ARGUMENTOS
Para determinar la validez de un argumento con los recursos del cálculo proposicional, se construye la estructura lógica del argumento, mediante la identificación y simbolización de las proposiciones simples y compuestas que comprende el enunciado del argumento. De dichas proposiciones se identifican ∴ como premisas las que resultan ser verdaderas y como conclusiones aquellas cuyo valor de verdad se desconoce, conservando el orden de relación que en el argumento introduciendo símbolo "a su vez, " para la fórmula palabra La estructurapresenten; lógica de un argumento seeltransforma, en una "luego" ,“por lo tanto”mediante o "por consiguiente”, separa premisas con de las lógica del argumento el recurso de que formar una las proposición la conclusiones. conjunción de premisas y otra proposición con la conjunción de conclusiones; para obtener una nueva de carácter condicional cuyo antecedente sea la La fórmula de lógica del argumento puede ahora ser tratada para determinar su conjunción premisas y el consecuente la conjunción de conclusiones. valor de verdad y de ello definir el carácter de validez del argumento. En lo general, resulta la siguiente regla para los argumentos: Todo argumento es válido sí al ser transformado en una proposición condicional, ésta resulta ser tautológica.
ARGUMENTOS
Una ley de implicación es la forma lógica que pueden tener los argumentos válidos cuando se expresan como proposición compuesta, y cuando cualquier argumento llevado a una proposición compuesta que tenga por conector principal una condicional, adquiere la forma de alguna ley de implicación, puede asegurarse que eso es suficiente para considerar válido al argumento. De esa manera, las leyes de implicación constituyen una especie de elementos de comparación para los argumentos que se analizan; y pueden ser útiles para Para los argumentos se tiene que: hacer más reducidos los procesos para validar argumentos. SI LAS PROPOSICIONES INICALES SON:
Y LA CONCLUSION ES:
EL ARGUMENTO RESULTA:
VERDADERAS
VERDADERA
VALIDO
VERDADERAS
FALSA
NO VALIDO
FALSAS
VERDADERA
VALIDO
FALSAS
FALSA
VALIDO
PROCESO DE VALIDACIÓN DE ARGUMENTOS (Argumento)
1
Sí el mercurio es un metal entonces el mercurio es buen conductor de electricidad El mercurio es un metal
2 Luego El mercurio es buen conductor de electricidad 3
(Estructura Lógica)
1) 2) 3)
p→q p
∴ q
(Fórmula Lógica)
[ ( p → q ) ∧ p] → q
(Tabla de Verdad)
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 0 0 0
1 1 1 1
27
CÁLCULO DE PREDICADOS
En el Cálculo de predicados, además de considerar las relaciones externas entre proposiciones que se tratan en el Cálculo proposicional, es fundamental considerar la relación entre los objetos y las afirmaciones o negaciones que sobre ellos se hagan para determinar el valor de verdad de la proposición. La simbología utilizada para el estudio del cálculo de valor de verdad de las proposiciones debe, para el caso del cálculo de predicados, ser modificada atendiendo a los componentes internos de las proposiciones. A toda proposición se le reconocen dos componentes de su estructura interna: el relativo a los objetos (la palabra “objeto” se utiliza en un sentido general que incluye individuos), y el referente a las cualidades o propiedades que se le asignan a los objetos, denominado predicado. Q( p ) Para el cálculo de predicados se simbolizan los predicados con letras mayúsculas y los nombres de los individuos y objetos, en general con letras minúsculas. Por lo tanto, una proposición puede escribirse simbólicamente con la letra predicado, seguido por el nombre o nombres de los objetos para los que el predicado se aplica.
Una proposición que se expresa usando una letra predicado debe tener, al menos, el nombre de un objeto asociado con el predicado. Cuando un número adecuado de nombres se asocian a un predicado, entonces se obtiene una proposición. Usar una letra mayúscula para indicar un predicado puede que no indique el número apropiado de nombres asociados con ella. Por lo general este número es claro en el contexto o en la notación que se usa. Esta numeración puede también lograrse poniendo un subíndice a la letra predicado,Pedro indicando el número de nombres que aparecen El enunciado: es hombre donde el predicado “hombre” en se H ( p ) la letra predicado. Un predicado que requiere m nombres se llama simboliza por H y “Pedro” por p se representa: un depredicado m posiciones. y sepredicado trata de un de una posición. El enunciado: Pedro es más alto que José donde el predicado “es más alto que” se simboliza por A, “Pedro” por p y “José” por j, es un A( p , j ) predicado de dos posiciones que se representa por: En general, un predicado de n posiciones requiere n nombres de objetos para insertarlos en posiciones fijas, con el fin de obtener un enunciado donde es importante el orden en que estos nombres se presentan.
La definición formal de un enunciado no requiere que los nombres de los objetos se elijan de un conjunto específico, aunque en el lenguaje común la relación entre objeto y predicado pareciera no S(t) tener sentido. El predicado S, que denota, por ejemplo, “es soltera”; y el objeto t que representa “la mesa”, se simboliza: que se lee “t es S” para expresar la proposición “La mesa es soltera”, aunque en el Los conectivos estudiados en el cálculo proposicional pueden lenguaje común no es admisible, en términos de la lógica constituye utilizarse ahora para relacionar enunciados simples y formar un enunciado. enunciados compuestos. Considerando, R( p ) Apor ( m ) ejemplo que R es el predicado “rojo” y p el símbolo que denota “esta pintura”; A el predicado “es alto” y m que significa “Manuel”, de los enunciados simples y se obtienen diversos enunciados “Manuel no es alto” ¬ A(m) compuestos, por ejemplo: “La pintura es roja y Manuel es alto”
R( p ) ∧ A(m)
“La pintura es roja o Manuel es alto”
R ( p )∨ A(m)
FUNCIONES ENUNCIATIVAS
Un predicado de una o más posiciones constituye una proposición siempre que en dichas posiciones se expresen objetos específicos. Esos objetos, cuando son específicos, se representan por lo común con las primeras letras del alfabeto y son llamados objetos constantes. Cuando un predicado de una o más posiciones no expresa objetos específicos, las posiciones se ocupan con las últimas letras del alfabeto, y se denominan objetos variables y no constituyen ( p ) de verdad. proposiciones dado carecen de Hvalor Un predicado Para el Predicado “Hombre” y elque objeto “Pedro”, es una proposición. con objetos variables es entonces una función enunciativa. Para el Predicado “Alto” y los objetos “Pedro” y “José”,A( p, j ) es una proposición.
ra el Predicado “Hombre” y el objeto “x”,
a el Predicado “Alto” y los objetos “x” y “y”,
H ( x ) es una función enunciativa, no una propos
A( x , y ) es una función enunciativa, no una pro
FUNCIONES ENUNCIATIVAS
Una función enunciativa de una variable, simple o compuesta, por ejemplo, que admite por reemplazo de la variable a cualquiera de los objetos de un conjunto específico, se transforma en una proposición cuando en su expresión se incorpora un nuevo símbolo que precisa esa propiedad de los objetos. Al conjunto específico que( ∀) comprende los objetos que se ( ) reemplazan por la variable se le denomina universo de la variable de la función; la propiedad de que cualquiera de los objetos del universo convierte a la función enunciativa en una proposición adquiere el nombre de cuantificador universal cuyo símbolo es “ x” x x ombres sonomortales” puede la forma:a“Para todo que sí se cuantifica, es hombre entonces simplemente “ reducirse ” y debeacontener la variable precediendo a Hlapara expresión de los predicados y sus combinaciones Asignando los símbolos: “hombre” con los conectivos que los relacionan. M para “mortal” ( x ) “Para todo x”, se tiene la proposición: ( ∀x )[ H ( x ) → M ( x ) ] o ( ∀x ) para
FUNCIONES ENUNCIATIVAS
La definición formal de un enunciado no requiere que los nombres de los objetos se elijan de un conjunto específico, aunque en el lenguaje común la relación entre objeto y predicado pareciera no tener sentido. El predicado Q, que denota, por ejemplo, “es soltera”; y el objeto t que representa “la mesa”, se simboliza Q(t); que se lee “t es Q“ para expresar la proposición “la mesa es soltera”; no Una función de una variable define como una admisible en enunciativa el lenguaje simple diario dado que en estesecontexto se exige expresión que persona; consiste pero de unlógicamente símbolo predicado y una el nombre lógica de una constituye un variable individual, que se convierte en un enunciado cuando la enunciado. variable se reemplaza por el nombre de cualquier objeto. El enunciado resultante de un reemplazo se denomina un caso de sustitución de la función enunciativa y es una fórmula del cálculo de predicados. Las funciones enunciativas compuestas son aquellas que se obtienen al combinar, una o más, funciones enunciativas simples y los conectivos lógicos. Por ejemplo, sí H(x) representa “x es un hombre” y M(x) significa “x es mortal”, se pueden formar funciones enunciativas compuestas tales como: ¬Η(ξ) ∧ Μ(ξ): “ ξ νο εσ υν ηοµβρε ψ ξ εσ µορταλ”. Η(ξ) ∧ Μ(ξ): “ ξ εσ υν ηοµβρε ψ ξ εσ µορταλ”.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Definiciones:
Conjunto es un grupo de objetos que poseen una característica común, los términos “clase”, “colección”, “conglomerado” y “agrupación” se usan como sinónimos de conjunto. A los objetos que pertenezcan a cualquier conjunto se le asigna la denominación de “elemento” o “miembro” de este conjunto; y el conjunto se considera bien definido siempre que sea posible determinar, mediante ciertas reglas, si cualquier objeto dado pertenece al conjunto. Letras mayúsculas, con o sin índices, denotan conjuntos y las minúsculas a sus elementos; aunque existen excepciones para casos especiales.
TEORÍA DE CONJUNTOS Simbología
Significado
{ }
Símbolo que expresa un conjunto, comprendiendo entre la “llave que abre “ y la “llave que cierra” a la representación de los elementos del conjunto.
{ x P ( x )}
A = { a ,b , c} A = { x P ( x )}
Se define un conjunto “por comprensión” cuando se establece una característica común de todos los objetos comprendidos en el conjunto. P denota un predicado. La barra vertical “ | ” establece la condición que los objetos representados por la variable que le antecede tienen respecto al predicado. Un elemento b pertenece a este conjunto cuando el enunciado P(b) es verdadero, de lo contrario, b no pertenece al conjunto. Cuando los conjuntos se especifican mediante un listado de todos sus elementos se dice que están definidos “por extensión”. Cuando un conjunto se especifica con una letra mayúscula se dice que el conjunto se define “por denominación”.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Simbología
∈
p∈ A
∉
q∉ A
Significado Símbolo de pertenencia o membresía de objetos de un conjunto; relaciona a elementos de un conjunto con éste. Un elemento p pertenece a un conjunto A; se lee: “p pertenece al conjunto A” “p es un elemento del conjunto A” “p es un miembro del conjunto A” “p está en A”. Símbolo que niega pertenencia o membresía de objetos a un conjunto; relaciona a objetos y conjunto, cuando éste no los comprende. El objeto q no pertenece al conjunto A “q no pertenece al conjunto A” “q no es un elemento del conjunto A” “q no es un miembro del conjunto A” “q no está en A”.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Relaciones lógicas de la definición de Conjuntos y∈{ x | P(x)}
⇔ (y)(P(y))
A = { x | P(x)}
⇔ (y)(y∈ A) ⇔ y∈{ x | x∈ A}
A = { x | P(x)}
⇔ A = { x | x ∈ A}
⊆
Símbolo de inclusión de conjuntos
A⊆ B
Cada elemento del conjunto A es un elemento del conjunto B, y la expresión se lee: A es un subconjunto de B A está incluido en B B incluye a A.
Relaciones lógicas de la inclusión de Conjuntos A⊆ B
⇔ (x)(x∈ A → x∈ B)
TEORÍA DE CONJUNTOS
Relaciones lógicas de la definición de Conjuntos
TEORÍA DE CONJUNTOS
⊂
Símbolo de inclusión propia de conjuntos
A⊂ B
Un conjunto A se llama subconjunto propio de un conjunto B, si A es subconjunto de B y A es distinto de B.
Relaciones lógicas de la inclusión propia de Conjuntos A⊂ B
⇔ (A ⊆ B ∧ A ≠ B)
=
Símbolo de igualdad de conjuntos
A=B
Dos conjuntos A y B se dice que son iguales sí y sólo sí A ⊆ B y B ⊆ A
Relaciones lógicas de la igualdad de Conjuntos A=B
⇔ (x)(x∈ A ↔ x∈ B)
TEORÍA DE CONJUNTOS CONJUNTOS ESPECIALES Símbolo para representar al Conjunto Universal, conjunto que incluye a todos los conjuntos, es decir, para cada elemento x∈ U se tiene verdadero el enunciado (x)(x∈ U).
U
A⊆ U
Para cualquier conjunto A Relaciones lógicas del Conjunto Universal
U = { x | x ∈ U}
⇔
∅
{ x | P(x) ∨ ¬ P(x)} , donde P es cualquier predicado Símbolo para representar al Conjunto Vacío, conjunto que no contiene elementos. Se conviene que el conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto, incluso de sí mismo, es decir ∅⊆∅
∅ ={ }
Relaciones lógicas del Conjunto Vacío
∅ = { x | x ∉ U}
⇔
{ x | P(x) ∧¬ P(x)} , donde P es cualquier predicado
TEORÍA DE CONJUNTOS
ρ (A)
Símbolo para representar al Conjunto Potencia de un cierto conjunto A.
ρ (A) = { x | x ⊆ A}
Dado cualquier conjunto A, el Conjunto Potencia del conjunto A es la colección o familia de todos los subconjuntos de A; de manera que x representa a los objetos que en este caso son conjuntos.
TEORÍA DE CONJUNTOS CONVENCIONES En cualquier conjunto se expresan los elementos que comprende; si se representa más de una vez alguno se puede prescindir de las repeticiones sin alterar al conjunto. La cantidad de elementos distintos presentes en un conjunto puede ser finita o infinita. Un conjunto es llamado finito cuando contiene un número finito de elementos distinguibles entre sí; de lo contrario, es un conjunto infinito.
EJEMPLOS
A = { a ,b ,b ,c ,c ,c} = { a ,b ,c}
A = { a ,b ,c} A = { a1 ,a2 ,a3 ,...,an }
En términos de la cantidad de elementos que un conjunto comprende, todos los conjuntos finitos son conmensurables, pero los conjuntos infinitos son conmensurables algunos y otros son inconmensurables.
Conjunto finito:
Se define cardinalidad de un conjunto a la cantidad de elementos que comprende un conjunto dado.
Si A = { a, b, c} , entonces: #(A) = 3 #(∅ ) = 0
A = { a, b, c} Conjunto infinito conmensurable: B = { a1, a2, a3, …, an} Conjunto infinito inconmensurable: C = { cada una de las ideas de una persona}
TEORÍA DE CONJUNTOS DIAGRAMAS DE VENN
U A
φ
Por Definición:
A ⊆U
Por Convención:
φ ⊆U y φ ⊆ A
(A ≠B)
∧
(A = B)
A y B Disjuntos
U
B
A
Tipos de Relaciones entre dos Conjuntos A y B cualesquiera
A y B Parcialmente Intersectos
B
A
U
A y B Totalmente Intersectos
A
U B
B
U A
A=B
U
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
El álgebra de conjuntos se funda en la definición de ciertas operaciones básicas para relacionar conjuntos que producen nuevos conjuntos. La definición de tales operaciones es de naturaleza binaria, esto es, basta expresarlas para dos conjuntos y son aplicables, en razón de algunas propiedades específicas, para cualquier número de conjuntos que intervengan para ser operados. La unión de dos conjuntos A ∪ B = { x x ∈ A ∨ x ∈ B} cualesquiera A y B: La intersección de dos conjuntos cualesquiera A y B: El producto cartesiano de dos conjuntos cualesquiera A y B: El complemento relativo de B y A: El conjunto potencia del conjunto A:
A ∩ B = { x x ∈ A ∧ x ∈ B} AXB = {( x, y ) x ∈ A ∧ y ∈ B}
B Ac = A − B = { x x ∈ A ∧ x ∉ B}
ρ ( A) = { x x ⊆ A}
Para dos conjuntos A y B cualesquiera, La unión de A y B escrita como A ∪ B es el conjunto que consiste de todos los elementos que son miembros de A, o del conjunto B o en ambos: A ∪ B = {x | x∈A ∨ x∈B }
A ∪ B = {x | x∈A ∨ x∈B }
La intersección de dos conjuntos A y B cualesquiera, escrita como A ∩ B es el conjunto que consiste de todos los elementos que pertenezcan tanto a A como a B: A ∩ B = {x | x∈A ∧ x∈B }
B
U
A
A ∩ B = { x x ∈ A ∧ x ∈ B} B
U
A
U
A B
B
U A
A=B
U
A ∪ B de A y B Para dos conjuntos A y B cualesquiera, la unión escrito es el conjunto queA ∪consiste de todos los B = { x x ∈ A ∨ x ∈ B} elementos que son miembros de A, los que sean miembros de B odos losconjuntos que sean Amiembros de ambos; decir: A ∩ B de A Para y B cualesquiera, la es intersección y B escrito esAel conjunto que consiste de todos los ∩ B = { x x ∈ A ∧ x ∈ B} elementos que son miembros de A y que, a la vez, sean miembros de B; es decir:
Para un conjunto A cualquiera, el complemento de A escrito A es el conjunto que consiste de todos los elementos que no son miembros de A; es decir: A = { x x ∉ A} C
C
Ejercicios: Sean A el conjunto de las cinco primeras letras del alfabeto español y B el conjunto de las letras vocales. 1.- Definir el conjunto A ∪ B 2.- Definir el conjunto A ∩ B 3.- Dibujar un diagrama de Venn de cada resultado
Sean A = {1, 2, 3, 4 }; B = {a, b, c } y C = {α, β} 4.- Definir el conjunto A ∪ B ∪ C 5.- Definir el conjunto A ∩ B ∩ C 6.- Definir el conjunto A ∪ B ∩ C 7.- Definir el conjunto A ∩ B ∪ C 6.- Dibujar un diagrama de Venn de cada resultado
B
Para dos conjuntos A y B cualesquiera, el producto cartesiano de A y B escrita como AXB es el conjunto que consiste de todos los pares ordenados tales que el primer miembro de cada par es un elemento de A y el segundo de B.
U A×B
A
AXB = {(x, y) | x∈A ∧ x∈B} B
U
A A×B
U
A B
A×B
B
U
A=B
U
A A×B
A×B = A×A
Ejemplos de producto cartesiano: Dados los conjuntos A = {1, 2, 3} B = {a, b, c} Determinar A x B A x B = {1, 2, 3} x {a, b, c}= {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c), (3, a), (3, b), (3, c)}
A
•1 •2 •3
B
•a •b •c
U
AxB
• (2, a) • (1, a) • (1, b) • (3, b) • (1, c) • (2, b)
• (2, c) • (3, a)
• (3, c)
Ejemplos de producto cartesiano: Dados los conjuntos A = {x | x∈A} B = {y | y∈B} C = {z | z∈C} Determinar A x B x C A x B x C = {x | x∈A} x {y | y∈B} x C = {(x, y) | x∈A ∧ y ∈B} x C = = {(x, y) | x∈A ∧ y ∈B} x C ={(x, y) | x∈A ∧ y ∈B} x {z | z∈C} = = {[ (x, y), z ] | x∈A ∧ y ∈B ∧ z ∈C}= {(x, y, z) | x∈A ∧ y ∈B ∧ z ∈C}
Complemento de un Conjunto Sea A = {x | x∈A}, un conjunto cualquiera. Se define como Conjunto Complemento del conjunto A, (también llamado Complemento absoluto de A) denominado AC:
AC = {x | x ∉A}
AC = {x | x ∉A} ={x | x∈U ∧ x ∉A} = U - A
U
A
A
C
Sean dos conjuntos A y B cualesquiera, el complemento relativo de B y A (o de B con respecto a A), también llamado la diferencia de B y A; escrito como B – A, es el conjunto que consiste de todos los elementos de B que no son elementos de A: B – A = {x | x∈B ∧ x∉A }
B
U
A
B – A = {x | x∈B ∧ x∉A } B
U
A
U
A B
B
U A
A=B
U
Identidades básicas del álgebra de conjuntos
Leyes de Idempotencia A∩A = A A∪A = A Leyes asociativas (A∩B)∩C = A∩(B∩C) (A∪B)∪C = A∪(B∪C) Leyes conmutativas A∩B = B∩A A∪B = B∪A
Identidades básicas del álgebra de conjuntos
Leyes distributivas A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) Leyes de absorción A∩AC = ∅ A∪(A∩B) = A Leyes De Morgan A∩(A∪B) = A (A∪B)C = AC ∩ BC (A∩B)C = AC ∪ BC ∅C = U UC = ∅
Leyes de Idempotencia
Demostrar que: A∩A = A A = {x|x∈A} A∩A = {x|x∈A}∩{x|x∈A} = {x|x∈A ∧ x∈A} = {x|x∈A}= A A∩A = A
Demostrar que: A∪A = A A = {x|x∈A} A∪A = {x|x∈A} ∪ {x|x∈A} = {x|x∈A ∨ x∈A} = {x|x∈A}= A A∪A = A
Leyes Asociativas
(A∩B)∩C = A∩(B∩C) A = { ξ |x∈A} B = { ξ |x∈B} C = { ξ |x∈C} (A∩B)∩C = ({x|x∈A}∩{x|x∈B})∩C ={x|x∈A ∧ x∈B}∩{x|x∈C} = = {x|x∈{x|x∈A ∧ x∈B} ∧ x∈{x|x∈C}} ={x|x∈A ∧ x∈B ∧ x∈C} = ={x|x∈{x|x∈A} ∧ x∈{x|x∈B ∧ x∈C}} = {x|x∈A}∩{x|x∈B ∧ x∈C}= = A∩({x|x∈B ∧ x∈C}) =A∩({x|x∈B}∩{x|x∈C}) = A∩(B∩C)
Leyes Asociativas
(A∪B)∪C = A∪(B∪C) A = { ξ |x∈A} B = { ξ |x∈B} C = { ξ |x∈C} (A∪B)∪C = ({x|x∈A}∪{x|x∈B})∪C ={x|x∈A ∨ x∈B}∪{x|x∈C} = = {x|x∈{x|x∈A ∨ x∈B} ∨ x∈{x|x∈C}} ={x|x∈A ∨ x∈B ∨ x∈C} = ={x|x∈{x|x∈A} ∨ x∈{x|x∈B ∨ x∈C}} = {x|x∈A}∪{x|x∈B ∨ x∈C}= = A∪({x|x∈B ∨ x∈C}) =A∪({x|x∈B}∪{x|x∈C}) = A∪(B∪C)
Leyes Conmutativas
A∩B = B∩A
A = { ξ |x∈A} B = { ξ |x∈B}
A∩B = {x|x∈A}∩{x|x∈B} = {x|x∈A ∧ x∈B} = {x|x∈B ∧ x∈A} = = {x|x∈B}∩{x|x∈A} = B∩A
A∪B = B∪A
A = { ξ |x∈A} B = { ξ |x∈B}
A∪B = {x|x∈A}∪{x|x∈B} = {x|x∈A ∨ x∈B} = {x|x∈B ∨ x∈A} = = {x|x∈B}∪{x|x∈A} = B∪A
Leyes Distributivas
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
x∈A ⇔ A(x) = p x∈B ⇔ B(x) = q x∈C ⇔ C(x) = r y la equivalencia E8; Pág. 17 del Material :
si se considera que:
A = { ξ |x∈A} B = { ξ |x∈B} C = { ξ |x∈C} A∩(B∪C) = A∩({x|x∈B ∨ x∈C}) = {x|x∈A}∩{x|x∈B ∨ x∈C} =
= { x|x∈A ∧ x∈{x|x∈B ∨ x∈C} }= { x|x∈A ∧ x∈(x∈B ∨ x∈C)} = = { x|A(x) ∧ (B(x) ∨ C(x))} = { x|(p ∧ (q ∨ r)} = = { x|(p ∧ (q ∨ r)} = { x|(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)} = = { x|(A(x) ∧ B(x)) ∨ (A(x) ∧ C(x))} =
= { x|x∈A ∧ x∈B} ∪ { x|x∈A ∧ x∈C} = = ({x|x∈A}∩{x|x∈B} )∪ ({x|x∈A}∩{ x|x∈C} ) =(A∩B)∪(A∩C)
Leyes Distributivas
A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
x∈A ⇔ A(x) = p x∈B ⇔ B(x) = q x∈C ⇔ C(x) = r y la equivalencia E7; Pág. 17 del Material :
si se considera que:
A = { ξ |x∈A} B = { ξ |x∈B} C = { ξ |x∈C} A∪(B∩C) = A∪({x|x∈B ∧ x∈C}) = {x|x∈A}∪{x|x∈B ∧ x∈C} =
= { x|x∈A ∨ x∈{x|x∈B ∧ x∈C} }= { x|x∈A ∨ x∈(x∈B ∧ x∈C)} = = { x|A(x) ∨ (B(x) ∧ C(x))} = { x|(p ∨ (q ∧ r)} = = { x|(p ∨(q ∧ r)} = { x|(p ∨ q) ∧ (p ∨ r)} = = { x|(A(x) ∨ B(x)) ∧ (A(x) ∨ C(x))} =
= { x|x∈A ∨ x∈B} ∩ { x|x∈A ∨ x∈C} = = ({x|x∈A}∪{x|x∈B} )∩ ({x|x∈A}∪{ x|x∈C} ) =(A∪B)∩(A∪C)
Leyes de Absorción
A∩AC = ∅
A = { ξ |x∈A} Ac = { ξ |x∉A}
A∩ AC = {x|x∈A}∩{x|x ∉A } ={x|x∈A ∧ x∉A } ={ } = ∅ : si se considera que:
A∪(A∩B) = A
x∈A ⇔ A(x) = p x∈B ⇔ B(x) = q
y la equivalencia E9; Pág. 17 del Material
A = { ξ |x∈A} B = { ξ |x∈B}
A∪(A∩B) = A∪({x|x∈A}∩ {x|x∈B}) =A∪{x|x∈A ∧ x∈B} = = {x|x∈A}∪{x|x∈B ∧ x∈A} ={ x|x∈A ∨ x∈{x|x∈A ∧ x∈B} } = = { x|A(x) ∨ (A(x) ∧ B(x))} = { x|(p ∨ (p ∧ q)} = = { x|(p ∨(p ∧ q))} = { x|p} ={ x|A(x)} = { x|x∈A} = A
CONJUNTOS NUMÉRICOS
−4
−3
−2 − 5
−3
2
−1
−1
2
0
1
2
11
− 2
Conjunto de los Números Naturales Conjunto de los Números Enteros Conjunto de los Números Racionales Conjunto de los Números Irracionales Conjunto de los Números Reales
3
2
33
22
2
5
N = {1,2 ,3 ,...} Z = { ...,−2 ,−1,0 ,1,2 ,...} a Q = x x = , a ,b ∈ Z ∧ b ≠ 0 b I = { x x ∉ Q} R =Q∪I
44
Q Z R N I