INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CHILPANCINGO ACADEMIA DE CIENCIAS DE LA TIERRA
D2
MATEMÁTICAS I Función Logaritmo Función Exponencial
Graciela Castañón Alfaro
Febrero de 2010
Funciones logarítmicas y exponenciales Logaritmo de un número Dado un número a ≠ 0 y a ≠ 1; si a p = N , se define al exponente p como el logaritmo de base a del número N, escrito p = loga N . Cuando a=10 los logaritmos se dicen de Briggs, también conocidos como logaritmos comunes y se prescinde de señalar la base. Cuando a=e, los logaritmos se llaman naturales o neperianos, en cuyo caso se tiene el símbolo loge N = ln N =1 Para el casoa ≠ 0de números , se tiene la convención dea que , de donde se deduce que el n logaritmos negativos. logaritmo1 del número en cualquier base es 0 y no existen logaritmos de números negativos. 0
Funciones Logarítmica y Exponencial La relación de potencias de base no nula de la que resulta un número positivo, da lugar a la definición de funciones logarítmicas y funciones exponenciales, inversas unas de las otras de acuerdo con su particular definición, que en lo general se expresan: con a 〉 0
con a 〉 0
Funciones logarítmicas Función logaritmo común o de base 10.f :X→ x
Y
f ( x ) = loga x
con a = 10
y = log x usualmente se denota como ; pudiéndose considerar esta expresión como la definición de una función m n estándar que corresponde al modelo y = a loggeneral +c 10 ( bx )
[
]
y = log x La función n logaritmos deestándar números negativos.
tiene como dominio a todos los números reales positivos; como codominio a todos los números reales y como rango a todos los elementos del codominio, que simbólicamente se expresan: La gráfica de esta función resulta: y
Cf = R =Y 3
2
1
xx -5 -5
-4 -4
-3 -3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
33
44
55
Funciones logarítmicas Función logaritmo natural o de base e.f :X→ x
Y
f ( x ) = loga x
con a = e
usualmente se denota comoy = ln x ; pudiéndose considerar esta expresión como la definición de una función n estándar que corresponde al modelo ( bx ) m + c y = a lngeneral
[
]
y = ln x La función n logaritmos deestándar números negativos.
tiene como dominio a todos los números reales positivos; como codominio a todos los números reales y como rango a todos los elementos del codominio, que simbólicamente se expresan: La gráfica de esta función resulta: y y
Cf = R =Y 33
22
1
xx -5-5
-4-4
-3-3
-2 -2
-1 -1
11
-1
-2 -2
-3 -3
22
33
44
55
Funciones logarĂtmicas Semejanzas y diferencias entre las funciones y = log10 x y y = ln x y
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
y = log10 x
y = ln x
2
3
4
5
Funciones exponenciales Función exponencial de base 10.usualmente se denota comoy = 10 x ; pudiéndose considerar esta expresión como la definición n de una función bx m estándar que corresponde al modelo general ) +c y = a ( 10
a = 10
y = 10negativos. La función de estándar tiene como dominio a todos los números reales; como n logaritmos números x
codominio a todos los números reales y como rango a todos los elementos positivos del codominio, que simbólicamente se expresan: La gráfica de esta función resulta: y
Cf = R =Y
3
2
1
y = 10 x
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
Funciones exponenciales Función exponencial de base e.usualmente se denota comoy = e x ; pudiéndose considerar esta expresión como la definición de una función m n estándar que corresponde al modelo y = ageneral e bx + c
[ ]
a=e
y = e negativos. La función de estándar tiene como dominio a todos los números reales; como n logaritmos números x
codominio a todos los números reales y como rango a todos los elementos positivos del codominio, que simbólicamente se expresan: La gráfica de esta función resulta: y
Cf = R =Y
3
2
1
y = ex
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
Funciones exponenciales Semejanzas y diferencias entre las funciones y = 10 x y y = e x y
3
2
1
y = 10 x y = ex
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
Función logaritmo Base 10.-
Familia :
[
y = a log10 ( bx )
]
m n
+c
Con : b = 1 ; m = 1 ; n = 1 ; c = 0 y
y = − log 10 x y = −2 log 10 x
Subfamilia : y = a log10 x
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
y = log10 x y = 2 log 10 x
2
3
4
5
Función logaritmo Base 10.-
Familia :
[
y = a log10 ( bx )
]
m n
+c
Con : a = 1 ; c = 0 ; m = 1 ; n = 1
Subfamilia : y = log10 ( bx )
y
3
y = log10 ( − 4 x )
2
y = log10 ( − x ) 1 y = log10 − 2
x
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
y = log10 x y = log10 2 x y = log10 3 x
2
3
4
5
Funci贸n logaritmo Base 10.-
Familia :
[
y = a log10 ( bx )
]
m n
+c Subfamilia : y = log10 ( x )
Con : a = 1 ; b = 1 ; c = 0 ; n = 1 y
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
y = log10 x y = log10 x 2 y = log10 x 3
y = log10 x 4
3
4
5
n
Funci贸n logaritmo Base 10.-
Familia :
[
y = a log10 ( bx )
]
m n
+c Subfamilia : y = [ log10 ( x ) ] = [ log10 x ] n
Con : a = 1 ; b = 1 ; c = 0 ; n = 1 y = [ log10 x ]
y
4
y = [ log10 x ]
2
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
y = [ log10 x ]
1
y = [ log10 x ]
3
2
3
4
5
n
Función logaritmo Base 10.-
Familia :
[
y = a log10 ( bx )
]
m n
+c Subfamilia : y = log10 x + c
Con : a = 1 ; b = 1 ; m = 1 ; n = 1 y
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
y = log10 x y = log10 x + 1
y = log10 ( x ) − 1
y = log10 ( x ) + 2
y = log10 ( x ) − 2
3
4
5
Función logaritmo Base e.-
Familia :
[
y = a ln( bx )
]
m n
+c
Con : b = 1 ; m = 1 ; n = 1 ; c = 0 y
y = − ln x y = −2 ln x
Subfamilia : y = a ln x
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
y = 2 ln x
y = ln x
2
3
4
5
Función logaritmo Base e.-
Familia :
[
y = a ln( bx )
]
m n
+c
Con : a = 1 ; m = 1; n = 1 ; c = 0 Subfamilia : y = ln( bx ) y
y = ln( − 2 x )
3
y = ln( − x )
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
y = ln( 2 x )
y = ln x
2
3
4
5
Funci贸n logaritmo Base e.-
Familia :
[
y = a ln( bx )
]
m n
+c Subfamilia : y = ln( x )
Con : a = 1 ; b = 1; n = 1 ; c = 0 y
y = ln x 2
y = ln x 4
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
y = ln x
y = ln x 3
2
3
4
5
m
Funci贸n logaritmo Base e.-
Familia :
[
y = a ln( bx )
]
m n
+c Subfamilia : y = [ ln x ]
Con : a = 1 ; b = 1; m = 1; c = 0 y = [ ln x ]
y
2
y = [ ln x ]
4
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
y = [ ln x ]
3
y = ln x
2
3
4
5
n
FunciĂłn logaritmo Base e.-
Familia :
[
y = a ln( bx )
]
m n
+c
Con : a = 1 ; b = 1; m = 1 ; n = 1 Subfamilia : y = ln x + c y
3
2
1
x -5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
y = ln x + 2
y = ln x − 2
y = ln x + 1
y = ln x
3
4
5
Función exponenciales
Familia :
[ ] +c
y = a e bx
m n
Subfamilia : y = ae x
Con : b = 1 ; m = 1 ; n = 1 ; c = 0 y
3
2
y=e
x
y = 2e
1
x
x -5
y = −e x
y = −2 e x
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
Función exponenciales
Familia :
[ ] +c
y = a e bx
m n
Subfamilia : y = e bx
Con : b = 1 ; m = 1 ; n = 1 ; c = 0
y=e
y
( −1 ) x
y = e ( −2 ) x 3
2
y = e( 0 ) x
1
y = e ( 1) x
x -5
y = e( 2) x
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
Funci贸n exponenciales
Familia : y = ex
[ ] +c
y = a e bx
m n
Subfamilia : y = e x
Con : a = 1 ; b = 1; m = 1 ; c = 0
( 2)
y
3
2
y=e
1
x( 3 )
x
y = ex
( 1)
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
y=e
x5 -2
-3
2
3
4
5
n
Funci贸n exponenciales
Familia :
[ ] +c
y = a e bx
m n
[ ]
Subfamilia : y = e x
Con : a = 1 ; b = 1; n = 1 ; c = 0 y
3
2
[ ]
y= e
x 2
y = ex
[ ] y = [e ] y= e -5
1
x 4
x 3
x -4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
2
3
4
5
n
Función exponenciales
Familia :
[ ] +c
y = a e bx
m n
Subfamilia : y = e x
Con : a = 1 ; b = 1; m = 1 ; n = 1 y
3
2
y = ex + 1
1
x
y = ex
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
y =e −1 x
5 y=e − 2
-2
x
-3
2
3
4
5