1
Центр Науково – Практичних Студій Міжнародна науково – практична конференція «Теоретичні та прикладні проблеми технічних і математичних наук» ЗБІРНИК МАТЕРІАЛІВ Міжнародної науково - практичної конференції (м.Київ, Україна, 7 лютого 2014р.)
Центр Научно – Практических Студий ПРОБЛЕМИ ТА ТЕНДЕ Международная научно - практическая конференция «Теоретические и прикладные проблемы технических и математических наук» СБОРНИК МАТЕРИАЛОВ Международной научно - практической конференции (г.Киев, Украина, 7 февраля 2014 г.)
МІЖНАРОДНА НАУК ПРАКТИКА В СУЧАСНАЛЬНІ ОВО – ПРАКТИЧНА КОНКА І
Київ - 2014 2
УДК 62+51](082) ББК 30я431+22.1я431 Т33
Теоретичні та прикладні проблеми технічних і математичних наук. Збірник матеріалів Міжнародної науково – практичної конференції (м.Київ, Україна, 7 лютого 2014р.). – Центр Науково – Практичних Студій, 2014. - 66с. У збірнику містяться статті (тези доповідей) подані на Міжнародну науково практичну конференцію «Теоретичні та прикладні проблеми технічних і математичних наук». Присвячено теоретичним та практичним аспектам технічних і математичних наук. Збірник розрахований на учасників конференції, а також вчених, викладачів, аспірантів, студентів та інших фахівців, які цікавляться та здійснюють дослідження в галузі технічних і математичних наук. Усі матеріали друкуються в авторській редакції. Центр Науково – Практичних Студій не завжди поділяє погляди авторів (учасників) конференції, викладені у цьому збірнику, та не несе відповідальності за зміст матеріалів, наданих авторами для публікації.
Теоретические и прикладные проблемы технических и математических наук. Сборник материалов Международной научно - практической конференции (г.Киев, Украина, 7 февраля 2014г.). – Центр Научно - Практических Студий, 2014. - 66с. В сборнике содержатся статьи (тезисы докладов) поданные на Международную научно - практическую конференцию «Теоретические и прикладные проблемы технических и математических наук». Посвящено теоретическим и практическим аспектам технических и математических наук. Сборник рассчитан на участников конференции, а также ученых, преподавателей, аспирантов, студентов и других экспертов, которые интересуются и проводят исследования в сфере технических и математических наук. Все материалы печатаются в авторской редакции. Центр Научно - Практических Студий не всегда разделяет взгляды авторов (участников) конференции, изложенные в этом сборнике, и не несет ответственности за содержание материалов, представленных авторами для публикации.
3
ЗМІСТ / СОДЕРЖАНИЕ Стеблянко П.О., Дьомічев К.Е. Моделювання температурного удару циліндричних тіл розташованих під кутом…………………………………………………………………………5 Гой Т.П. Функції, породжені центральними факторіальними степенями,та їхні властивості………………………………………………………………………………………..8 Стеценко Н.О., Краєвська С.П., Землинська М.Д. Вивчення взаємодії насіння льону з різними рідинами……………………………………………………………………………….14 Шидловський М. С., Копчак А.В., Димань М.М. Жорсткість засобів фіксації переломів нижньої щелепи людини……………………………………………………………………….19 Шлома А. Р. Розподілена паралельна обробка даних…………………………………...…..27 Наумов В.А., Агиевич Н. А. Коэффициент гидродинамического сопротивления плоской рыболовной сети при продольном обтекании в квадратичной области……………………29 Ермоленко А. В., Осташова Н. С. Михайлов А. В. Применение итерационных методов к расчету пластин по нелинейной теории…………………………………………………........34 Ермоленко А.В., Филиппова Н. О. Об одной контактной задаче для цилиндрической пластины………………………………………………………………………………………...39 Зиганшина Ф. Т. Интервалы неопределенности для процесса поликонденсации аспарагиновой кислоты………………………………………………………………………...43 Якубовский Е. Г. Интегрируемость уравнений Эйлера-Пуассона………………………...48 Арефьев Е. А. Внедрение автоматизированной системы управления в компрессорных станциях………………………………………………………………………………………....55 Жаскайрат Ж. Ж. Об одном диофантовом уравнении..........................................................57 Савченко А.В. Формирование и реализация модели пенсионного обслуживания……….60 Проскурина В.В. Применение кольцевой арматуры для изготовления сферической полигональной самонесущей композитной панели, применяемой в строительстве цилиндрически-образных и купольных зданий. Преимущества строительства данных зданий……………………………………………………………………………………………63
4
Моделювання температурного удару циліндричних тіл розташованих під кутом Стеблянко Павло Олексійович, д. фіз.-мат.н., професор кафедри Вищої математики Дніпродзержинський державний технічний університет, Дьомічев Костянтин Едуардович, аспірант кафедри математика та методики навчання математики Черкаський національний університет ім. Б.Хмельницького Конструкції циліндричної форми широко застосовується в авіаційній, гірничодобувної, нафтової, газової промисловості, теплоенергетиці, будівництві та в інших галузях техніки. В процесі виробництва та експлуатації конструкції можуть знаходитися під впливом складного нестаціонарного силового і температурного навантаження, тому знаходження полів напруження і деформації при температурному ударі є однією із важливих задач для моделювання поведінки пружно – циліндричних тіл розташованих під кутом. Нерівномірний нагрів тіл в поєднанні з силовими навантаженнями приводить до складних процесів деформації. Для моделювання поведінки таких елементів конструкцій потрібно визначати нестаціонарний термомеханічний стан не тільки на пружній стадії деформації, але і за межею пружності. Існуючі чисельні методи розв’язання таких нестаціонарних задач приводять, як правило, до великих обчислювальних труднощів, пов'язаних з розв’язком алгебраїчних систем рівнянь, і не завжди ефективні [1,c.325]. На даний момент такі задачі розв’язуються чисельними методами : метод кінцевих елементів, метод скінченних різниць та інші. Актуальним є застосування методів, які спрощують розрахунок і мають вищу точність результатів. Метою роботи є застосування методу дробових кроків для знаходження полів напруження та деформації циліндричних тіл при температурному ударі циліндричного тіла розташованого під кутом та в процесі охолодження. Температурне поле для ізотропного тіла у випадку врахування тепла, що виділяється в процесі його циклічного деформування, визначається шляхом розв’язання нестаціонарного рівняння теплопровідності при певних початкових і граничних умовах [2,c.17] T a t H1 H 2 H 3
H 2 H 3 T 1 1 2 H1
H1 H 3 T H 2 H1 T W 2 , (1) 3 3 H 2 H 3 5
де W - функція розсіювання, Hi -параметри Ляме (i= 1, 2, 3), точкою позначені похідні за часом 1 T ii W S ij Э ij S ij Sij ii jj 3 T jj , 2G 3 t 3K Э ij ij ij , (2) Sij ij ij ,
ii
ii
3E E , K . 3 3 2(1 ) 1 2 Тут Sij , Эij - відповідно девіатори тензорів напруг і деформацій, ij , ij тензори напруг і деформацій. Початковий розподіл температури в тілі, що відповідає природному ненапруженому стану тіла, задається так t =0. (3) T T0 ( i ) при Граничні умови, які відображають вплив навколишнього середовища на температуру тіла, задаються в такий спосіб
,
, G
T (T ) q , n
(4)
де n - зовнішня нормаль до поверхні тіла, - коефіцієнт лінійного теплового розширення, - коефіцієнт теплообміну, - температура навколишнього середовища, q - тепловий потік. У загальному випадку величини , , q. можуть залежати від часу й положення точки (1, 2, 3) на поверхні тривимірного тіла V. Умова (4) при різних значеннях коефіцієнта містить три види граничних умов. Граничні умови першого роду полягають у тому, що на поверхні тіла в кожний момент часу заданий розподіл температури ( , q 0 ). Граничні умови другого роду задають тепловий потік q через поверхню тіла ( Граничні умови третього роду формулюють закон 0, q 0 ). теплообміну між поверхнею тіла й навколишнім середовищем при заданій величині ( q = 0, 0) . Розглянемо випадок, коли при розв’язанні задачі використовується циліндрична система координат (α1= r; α2= φ, α3= x). У цьому випадку параметри Ляме визначаються так H H 1, H r . У результаті рівнянню 1
3
2
(1) матиме вигляд 2 T 1 T T 1 2T 2 T aW a 2 2 . t r r r r 2 x 2 r
(5)
6
Таким чином, рівняння теплопровідності (5) разом з початковими умовами (3) і граничними умовами (4) дозволяють визначити осесиметричне температурне поле в циліндричному тілі, якщо в кожний момент часу відома величина W . Для її визначення, у випадку циклічного навантаження, потрібно в кожний момент часу знати розв’язок відповідної нестаціонарної задачі термомеханіки. Пропонується застосовувати для розв'язання рівняння теплопровідності, метод дробових кроків [4,c.32], який дозволяє підвищити точність представлення температурного навантаження тіл [3,c.48], як результат отримано чисельне представлення температурного навантаження яке може бути реалізоване за допомогою комп’ютерних пакетів Mathcad, Mathlab та порівняне з розрахунками методом кінцевих елементів реалізованим пакетом Abaqus.
1. 2.
3.
4.
Список використаної літератури: Беляев Н.М., Рядно А.А. Математические методы теплопроводности. К.: Вища школа.1993.-415с. Стеблянко П.А. Пространственные нестационарные задачи теории термоупругопластичности. НАН Украины, Институт механики, Министерство образования Украины, ДГТУ. 1997. – 273с. Стеблянко П.О., Дьомічев К.Е. Моделювання температурного навантаження на пружно – пластичне тіло за допомогою методу дробових кроків. // Тези доповідей Міжнародна наукова конференція «Математичні проблеми технічної механіки 2010». – Дніпродзержинськ.: 2010.-Ч.2. – 48с. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решение многомерных задач математической физики. АН СССР, Сибирское отделение. 1967. – 197с.
7
Функції, породжені центральними факторіальними степенями, та їхні властивості Гой Тарас Петрович, к. ф.-м. н., доцент кафедри диференціальних рівнянь і прикладної математики Прикарпатського національного університету імені Василя Стефаника (м. Івано-Франківськ) Класичні трансцендентні функції e x , sin x, cos x задаються при допомозі степеневих рядів з участю факторіалів, які можна трактувати як спадні факторіальні степені. Замінивши у цих рядах спадні факторіальні степені відповідними центральними факторіальними степенями, одержуємо нові неелементарні функції дійсної змінної E ( x), S ( x), C ( x) , дослідженню деяких властивостей яких присвячена ця стаття. Факторіальні степені. Для довільних x R і m N факторіальним степенем m з кроком k R називають вираз x( x k ) ( x 2k ) ... ( x (m 1)k ), якщо m 0, x m{k } 1, якщо m 0. Факторіальний степінь називають зростаючим, якщо k 0 , і спадним, якщо k 0 . Якщо k 0 , то маємо звичайний степінь, тобто xm{0} xm . Зростаючий факторіальний степінь m з кроком 1 і спадний факторіальний степінь m з кроком (– 1) позначатимемо через x m і x m відповідно: x m x m{1} x( x 1)( x 2) ... ( x m 1), xm x m{1} x( x 1)( x 2) ... ( x m 1). Зростаючі та спадні факторіальні степені тісно пов’язані із звичайною факторіальною функцією, адже n! 1n nn . Для довільних x R і m N центральним факторіальним степенем m з кроком k 0 називають вираз mk mk mk x x 2 k x 2 2k ... x 2 k , якщо m 0, m[ k ] x 1, якщо m 0. Центральний факторіальний степінь m з кроком 1 позначатимемо через [m] x , тобто x[ m] xm[1] . Наприклад, 3 1 1 3 1 9 x[5] x x x x x x x 2 x 2 , 2 2 2 2 4 4 x[6] ( x 2)( x 1) x2 ( x 1)( x 2) x2 ( x2 1)( x2 4). Основна властивість спадних факторіальних степенів x m і зростаючих факторіальних степенів x m виражається відповідно формулами (1) ( x m ) m x m1 , ( x m ) mx m 1 , 8
де f ( x) f ( x 1) f ( x) – різниця функції f ( x) , а f ( x) f ( x) f ( x 1) – запізніла різниця цієї функції. Для центральних факторіальних степенів з кроком 1 справджується формула, аналогічна до формул (1), тобто (2) ( x[ m] ) mx[ m1] , де f ( x) f ( x 1/ 2) f ( x 1/ 2) – центральна різниця функції f ( x) . Відомо, що у комбінаторному аналізі зростаючим, спадним і центральним факторіальним степеням притаманна двоїстість: якщо комбінаторна задача приводить до комбінаторної тотожності, побудованої при допомозі, наприклад, спадних факторіальних степенів, то зазвичай існує змістовна комбінаторна задача, яка приводить до двоїстої тотожності з участю зростаючих або центральних факторіальних степенів. Основні властивості та застосування факторіальних степенів (зростаючих, спадних, центральних) можна знайти, наприклад, у [2], [6]–[9]. Аналіз останніх досліджень і публікацій. За аналогією з відомими степеневими розвиненнями (1) n 2 n (1)n 2 n 1 xn x cos x x , sin x x , e , n 0 (2n)! n 0 (2n 1)! n0 n! які, враховуючи, що n! nn , можна трактувати як ряди, побудовані при допомозі спадних факторіальних степенів, у [4, 5] означені нові неелементарні функції дійсної змінної Exp( x), Cos( x), Sin( x) , побудовані при допомозі зростаючих факторіальних степенів: xn (1)n x 2 n (1)n x 2 n 1 Exp( x) n , Cos( x) , Sin( x) . 2n 2 n 1 n 0 n n 0 (2n) n 0 (2n 1) Зокрема, там встановлені деякі властивості функцій Exp( x), Cos( x), Sin( x) , виведені формули для їхнього аналітичного представлення, побудовані графіки та доведені формули, які пов'язують ці функції. Також показано, що кожна з цих функцій є розв'язком задачі Коші для звичайного лінійного неоднорідного диференціального рівняння (першого порядку – для функції Exp( x) ) і другого порядку – для двох інших функцій). Деякі результати представлених у цій статті досліджень були анонсовані в [2]. Функція Exp( x) , побудована при допомозі центральних факторіальних степенів. Через E ( x) позначимо функцію дійсної змінної, визначену при допомозі степеневого ряду xn x x2 x3 x4 E ( x) [ n ] 1 ... . 1 2 2 5/ 2 3 7 / 2 3 4 4 5 n 0 n Очевидно, що 1 (n 1)! 2 n 4n (2n 1)!! 2 n 1 (3) E ( x) x 1 x x , 2 n 1 (3n 1)! n 1 (6n 1)!! 9
причому обидві ряди у (3) збігається на всій дійсній числовій осі. Розглянемо окремо кожен з рядів у (3). Для першого з них маємо: 1 (n 1)! 2 n x 2 x 2 n 1 (3n 1)! 4
n 0
1n
4 3
n
5 3
n
x2 4 5 x2 x2 1 F2 1; , ; , n 27 4 3 3 27 n!
де 1 F2 a1 ; b1 , b2 ; z – узагальнена гіпергеометрична функція, тобто функція, визначена при допомозі узагальненого гіпергеометричного ряду [1, с. 183] an z n F a1 ; b1 , b2 ; z n 1 n , n! n 0 b1 b2 де a1n , b1n , b2n – зростаючі факторіальні степені. Другий ряд з (3), враховуючи, що (2s 1)! (2s 1)!! , 2s s ! запишемо у вигляді 4n (2n 1)!! 2 n 1 16n (2n 1)!(3n 3)! 2 n 3 x 32 x x n!(6n 7)! n 1 (6n 1)!! n 0
x n 0
1n
5 6
n
7 6
n
x2 5 7 x2 x x 1 F2 1; , ; x. n 6 6 27 n ! 27
Отже, для функції E ( x) остаточно маємо формулу 4 5 x2 5 7 x2 x2 1 F2 1; , ; x F , ; . 1 2 1; 4 3 3 27 6 6 27 Графік функції y E ( x) наведений на рис. 1. E ( x) 1
(4)
Рис. 1. Графік функції y E ( x) 10
Єдиним нулем функції E ( x) є число x0 1,39945361... , а свого найменшого значення вона досягає у точці x1 6, 47065797... . Функції S ( x), C ( x) , побудовані при допомозі центральних факторіальних степенів. Через S ( x) і C ( x) позначимо функції дійсної змінної, визначені при допомозі степеневих рядів (1)n (1)n 2 n 2 n 1 S ( x) x , C ( x) x . [2 n 1] [2 n ] n 0 (2n 1) n 0 (2n) Очевидно, що функція S ( x) є непарною, функція C ( x) – парною, і аналогічно до доведення формули (4) одержуємо формули 5 7 x2 (5) S ( x) x 1 F2 1; , ; , 6 6 27 4 5 x2 x2 C ( x) 1 1 F2 1; , ; . 4 3 3 27
(6)
Графіки функцій y S ( x) і y C ( x) зображені на рисунках 2 і 3. На 7x рис. 2 пунктиром проведені параболи y 2 , а на рис. 3 – параболи 12 7x 2 y 1 2 . 12
Рис. 2. Графік функції y S ( x)
11
Рис. 3. Графік функції y C ( x) Найменшими додатними нулями функцій s0 6,12358366... і c0 2,07375071... відповідно.
S ( x) ,
C ( x)
є числа
На рис. 4 зображений графік параметрично заданої функції x C (t ),
y S (t ) (графіком функції x cos t , y sin t , 0 t 2 , є одиничне коло).
Рис. 4. Графік параметрично заданої функції x C (t ), y S (t )
12
З формули (4), враховуючи (5), (6), одержуємо формулу, аналогічну до відомої формули Ейлера: E ( ix) C ( x) iS ( x). Звідси випливає, що C ( x) ( E (ix) E (ix)) 2, S ( x) ( E (ix) E (ix)) (2i), а тому 2
2
C ( x) S ( x) E (ix) E (ix).
Список використаної літератури: 1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 1. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. – М. : Наука, 1973. – 294 с. 2. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. – М. : Либроком, 2012. – 374 с. 3. Гой Т. П. Про диференціальні рівняння функцій, породжених центральними факторіальними степенями / Тези Кримської міжнар. матем. конф. Том 2. – Сімферополь : Вид-во КНЦ НАНУ, 2013. – 4-5 с. 4. Гой Т. П., Заторський Р. А. Нові функції, породжені зростаючими факторіалами, та їх властивості / Буковинський математичний журнал. – 2013. – Т.1, № 1-2. – С. 28-33. 5. Гой Т. П., Заторський Р. А. Про нові функції, породжені зростаючими факторіальними степенями, та їх властивості / Матеріали Міжнар. наук.практ. інтернет-конф. «Математичне моделювання прикладних задач математики, фізики, механіки». – Харків : Екограф, 2013. – С. 103-106. 6. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основания математики. – М. : Мир, 1998. – 703 с. 7. Заторський Р. А. Числення трикутних матриць та його застосування. – Івано-Франківськ : Сімик, 2010. – 508 с. 8. Риордан Дж. Комбинаторные тождества. – М. : Наука, 1982. – 254 с. 9. Jordan C. Calculus of Finite Differences. – New York : Chelsea Publishing, 1939. – 652 p.
13
Вивчення взаємодії насіння льону з різними рідинами Стеценко Наталія Олександрівна, к.х.н., доцент кафедри технології оздоровчих продуктів Національного університету харчових технологій Краєвська Світлана Петрівна, аспірант кафедри технології оздоровчих продуктів Національного університету харчових технологій Землинська Марія Дмитрівна, студентка Коледжу ресторанного господарства Національного університету харчових технологій У США, Канаді та інших країнах спостерігається сплеск досліджень щодо лікувально-профілактичного застосування насіння льону і лляної олії. В Німеччині при виробництві хлібопекарської продукції і для приготування різних страв щорічно використовується більше 60 000 тон лляного насіння. У середньому це становить близько 1 кг на 1 людину в рік або 2,5 грама на день. В Канаді та США розроблені рекомендації на рівні міністерств охорони здоров‘я про обов‘язкове щоденне вживання насіння льону в їжу [1]. Основними компонентами, що визначають біологічну активність лляного насіння, є олія, білкові речовини, ферменти, слиз, вуглеводи, органічні кислоти та ін. Насіння льону містить білок з високою біологічною цінністю, який за своїм складом близький до ідеального білка. Це насіння – найбагатше рослинне джерело незамінних поліненасичених жирних кислот: ω-3, ω-6, ω-9. За вмістом кислот ω-3 і ω-6 насіння льону перевершує всі інші продукти звичайного раціону людини. Якщо ω-6 міститься і в інших продуктах, то ω-3 в достатній кількості міститься лише в риб’ячому жирі та в насінні льону. Також в насінні льону містяться вітаміни групи В, D, E, макро- і мікроелементи (калій, кальцій, магній, залізо, марганець, мідь, хром, селен, алюміній, нікель, йод, бор, цинк). Також міститься від 30 до 42 % харчових волокон, 7% з яких – клітковина, яка є необхідним компонентом харчування людини. Вона забезпечує моторну функцію шлунково-кишкового тракту, ефективно очищуючи організм людини. Лляне насіння є найбагатшим джерелом лігнанів. Лігнани діють на різних стадіях канцерогенезу, запобігаючи росту пухлин і мають сильну антиоксидантну дію [2, c. 178]. Насіння льону містить компоненти, що допомагають захищати організм від серцево-судинних, онкологічних, шлунково-кишкових та інших захворювань. Його можна додавати у випічку, використовувати в кисломолочних десертах, стравах із зернових продуктів і салатах. Крім корисності і смаку випічка або інші продукти набувають ще двох привабливих структурних особливостей: ніжність, викликану жировою складовою і характерний хрусткий характер, який надає зернова оболонка. 14
Все зазначене вказує на перспективність використання насіння льону в якості функціонального інгредієнту при створенні продукції оздоровчої дії. У зв’язку з цим актуальним є вивчення хімічного складу насіння, розроблення оптимальних технологій його перероблення й розширення сфер використання. При створенні продуктів оздоровчого та функціонального призначення одним із важливих етапів є дослідження взаємодії між функціональним інгредієнтом та компонентами харчової основи, а також встановлення оптимальних умов підготовки інгредієнту до внесення в базовий продукт. Оскільки насіння льону має жорстку тверду структуру, зумовлену наявністю оболонки, необхідно дослідити процеси його взаємодії з рідинами, які найчастіше використовуються в харчовій промисловості. Для забезпечення високих смакових якостей, привабливого зовнішнього вигляду і потрібної ступені твердості насіння необхідно підібрати таку рідину, при взаємодії з якою оболонка буде поглинати максимальну кількість вологи і ставати м‘якішою. Для порівняння досліджували також насіння кмину та кунжуту. Метою досліджень було визначення здатності до набухання насіння різних культур, підбір ефективних рідин, при контакті з якими досягаються максимальні значення граничного ступеня набухання, а також встановлення оптимальних параметрів проведення процесу набухання. Було досліджено процес взаємодії насіння льону, кунжуту та кмину з такими рідинами: дистильована вода, молоко та сироватка. Вибір рідин був обумовлений наступними чинниками. Молоко та сироватка використовуються в технологіях оздоровчих харчових продуктів для підвищення харчової та біологічної цінності готових виробів, тому оцінка їх впливу на ступінь набухання насіння представляє практичний інтерес. Крім того, їх застосування може позитивно вплинути на органолептичні властивості функціональної добавки з насіння льону, кунжуту та кмину. Вода, як полярний розчинник, може бути однією з рідин, що забезпечить максимальне збільшення ступеня набухання при взаємодії з полярними молекулами природних високомолекулярних речовин. Вплив всіх рідин на процес набухання оцінювали за значенням граничного ступеня набухання та за швидкістю набухання. Ступінь набухання визначається як відношення маси поглинутої рідини до початкової маси наважки насіння. Граничний ступінь набухання відповідає такому стану, коли більша кількість рідини не може бути поглинута і швидкість набухання зменшується до нульового значення. На рис. 1 представлено криві набухання, тобто графічні залежності ступеня набухання насіння льону, кунжуту та кмину від часу для води, отримані при 200С. Для всіх досліджених зразків вид кривих набухання має подібний характер, а саме: на початковій ділянці спостерігається різке зростання ступеня набухання, що відбувається з постійною швидкістю. При цьому проходить процес гідратації високомолекулярних сполук сировини. Далі швидкість набухання зменшується, ступінь набухання зростає повільніше і за певних умов досягає максимального, так званого граничного 15
значення. На цій стадії молекули розчинника дифундують у макромолекули ВМС, полярні молекули розчинника утворюють гідратний шар, відбувається відштовхування однойменних зарядів сольватних оболонок і слабкі зв’язки між макромолекулами рвуться. Рисунок 1. Криві набухання насіння льону, кмину та кунжуту у воді
Також видно, що з трьох досліджених зразків найбільше набухає насіння льону, найслабше – насіння кунжуту. Для насіння льону максимальною є і швидкість набухання, і кількість поглиненої рідини за одиницю часу. Це можна пояснити присутністю в складі насіння льону найбільшої кількості харчових волокон. При 200С час досягнення практично повного набухання у воді складає: для насіння кунжуту – 155 хвилин, для кмину – 160 хвилин, для льону – 240 хвилин. Аналогічно було проведено дослідження процесу набухання різних видів насіння в таких рідинах, як молоко та сироватка. Для прикладу, на рис.2 показано порівняння кривих набухання насіння льону в досліджених рідинах. Видно, що процес набухання проходить з максимальною швидкістю та з максимальною кількістю поглиненої рідини при контакті з водою. Причиною цього можуть бути наявність в молоці та сироватці електролітів, тобто солей кальцію та інших мінеральних речовин. Вони мають властивість утворювати гідратні оболонки і утримувати певну кількість низькомолекулярної рідини, не дозволяючи їй вступати в контакт з макромолекулами високомолекулярних речовин насіння. Найгірше процес набухання відбувається в молоці, тому що крім наявності солей в даному випадку певний вплив чинить більш висока в’язкість даної рідини. 16
Рисунок 2. Криві набухання насіння льону у воді, молоці та сироватці
Аналогічні результати отримано для насіння кмину та кунжуту. Було розраховано граничний ступінь набухання для досліджених видів насіння, результати розрахунків наведено в таблиці 1. Таблиця 1. Граничний ступінь набухання насіння в різних рідинах Граничний ступінь набухання в рідині, % Вид насіння
вода
сироватка
молоко
Льон
262
163
125
Кмин
205
150
146
Кунжут
164
99
82
Наведені дані підтверджують, що максимальний ступінь набухання спостерігався у воді. Отже, проводити процес набухання в молоці і сироватці недоцільно як з економічної точки зору, так і з технологічної, оскільки неможливо забезпечити високу ефективність процесу поглинання рідин насінням. На наступному етапі визначали вплив температури на процес набухання насіння у воді. Температура належить до чинників, збільшення яких прискорює проходження більшості фізико-хімічних процесів. Досліди проводили в інтервалі температур 20, 40 60 і 800С. Результати розрахунків граничного ступеня набухання насіння льону наведено на рис. 3.
17
Рисунок 3. Вплив температури на граничний ступінь набухання льону
Встановлено, що найшвидше процес набухання протікає при температурі 800С, найповільніше – при температурі 200С. Визначено, що з підвищенням температури ефективність набухання збільшується. В даному випадку ступінь набухання і швидкість набухання зростають завдяки збільшенню швидкості дифузії молекул розчинника, які легко проникають в об’єм високомолекулярних сполук, а також за рахунок збільшення енергії системи, яка викликає розриви зв’язків між макромолекулами високомолекулярних сполук. З отриманих результатів можна зробити висновок, що насіння льону найбільш повно може відновлюватись за рахунок набухання у воді, температура якої 80 0С. Про це свідчить максимальне значення граничного ступеня набухання, яке дорівнює 486%. Це на 26% більше, ніж при температурі 60 0С, коли граничний ступінь набухання складає 460%. При температурі 20 0С ця величина вдвічі менша і складає 224% і при 400С – 375%. Отже, можна зробити висновки, що різниця у величині граничного ступеня набухання при 60 та 800С не є значною. Тому з метою економії енергоресурсів рекомендовано проводити процес набухання насіння льону при температурі 600С. При цьому тривалість процесу повинна складати 60 хвилин, а не 4 години, як при 200С. Аналогічні результати були отримані для інших видів насіння – для кунжуту та кмину. Підготовлене запропонованим способом насіння льону можна використовувати в якості функціонального інгредієнту при виробництві хлібобулочних виробів, кисломолочних продуктів, соусів, салатів тощо. Список використаної літератури: 1. ВНИИ льна. Ценность льняного семени [Електронний ресурс] / Режим доступу : http://vniil.narod.ru/semja.htm. 2. Капрельянц Л.В. Лікувально-профілактичні властивості харчових продуктів та основи дієтології : підруч. / Л.В. Капрельянц, А.П. Петросьянц. – Одеса : Друк, 2011. – 269 с. 18
УДК 616.728.2-089-77-053.9
Жорсткість засобів фіксації переломів нижньої щелепи людини М. С. Шидловський1, доц., к.т.н., А. В. Копчак2 , доц., к.м.н.; М.М. Димань1 , студентка 1-НТУ України "Київський політехнічний інститут", м. Київ 2-Національний медичний університет імені О.О. Богомольця, м. Київ Вступ. Переломи нижньої щелепи (НЩ) є одним з найпоширеніших травматичних ушкоджень кісток обличчя [1]. Їх лікування передбачає точне співставлення і надійне закріплення (остеосинтез) кісткових уламків на період необхідний для формування повноцінного кісткового зрощення. Системи для остеосинтезу мають ефективно протидіяти зовнішнім силам, що дестабілізують зону перелому і спричинюють вторинне зміщення уламків [2]. Нижня щелепа, що є єдиною рухливою кісткою лицевого черепа, в процесі функції зазнає значних навантажень, які можуть досягати 1500 Н . При змиканні зубів в різних положеннях в ній виникає складний напруженодеформований стан та ділянки локальної концентрації напружень. Суглобовий відросток, що дуже часто уражається при травмі, є однією з найбільш навантажених ділянок нижньої щелепи [1]. При цьому вид напружено-деформованого стану, величина і градієнти локальних (діючих) напружень в різних фазах жувального циклу суттєво змінюються. Це створює передумови для виникнення вторинного зміщення уламків, деформації пластин, розхитування і втрати шурупів після проведення остеосинтезу [2, 3, 4]. Численні системи фіксації, запропоновані для лікування переломів НЩ на ділянці суглобового відростку, не завжди забезпечують необхідну жорсткість і надійність [5]. Це зумовлює необхідність ретельного вивчення їх біомеханічних характеристик з метою визначення доцільності застосування того чи іншого типу фіксатора при різних типах перелому. Мета роботи: для оптимізації зазначених засобів остеосинтезу в натурному експерименті вивчити деформаційні характеристики систем «фіксатор-кістка» при переломах НЩ на різних ділянках в залежності від типу фіксатора та його розташування. Матеріали та методи. Типові переломи суглобового відростку нижньої щелепи було відтворено шляхом остеотомії 5 трупних щелеп людини. Для фіксації уламків застосовували традиційні титанові мініпластини лінійної та L-подібної форми, виготовлені з титану марки ASTM F 67, DIN 17 850. Товщина пластин дорівнювала 1 мм, діаметр шурупів, які застосовували для їх фіксації, - 2 мм, довжина шурупів - 7 мм. Пластини розташовували на ділянці заднього та переднього краю суглобового відростка, а також по середині його зовнішньої поверхні. Крім того досліджували комбінацію з 2 лінійних пластин, розташованих на 19
зовнішній поверхні гілки нижньої щелепи під кутом одна до одної (рис.1 та 2). Препарати НЩ після проведення остеосинтезу навантажували в випробувальної машині TIRA-test (Німеччина), відтворюючи варіанти напружено-деформованого стану системи, що можуть виникати при жувальних навантаженнях: згин в різних площинах, зсув, крутіння та комбіноване деформування (рис. 3). Спосіб закріплення препарату у випробувальній машині визначалося типом деформації, що відтворювалась. В процесі дослідження проводили зйомку препарату з реперними точками, нанесеними на його поверхню, та еталонним об’єктом з відомими розмірами. Переміщення реперних точок визначали на основі розрахунку масштабного коефіцієнту за еталонним об’єктом. Оскільки на різних ділянках щілини перелому виникали різні за величиною і напрямком деформації, для визначення жорсткості системи фіксатор-кістка вимірювали найбільше переміщення між 2 реперними точками, і розраховували жорсткість, як відношення навантаження до цього переміщення.
Рис. 1 – Способи фіксації переломів нижньої щелепи на ділянці суглобового відростка, відтворені в експерименті: 1) фіксація прямою пластиною; 2) фіксація L-подібною пластиною; 3) фіксація двома прямими пластинами
Х - подібна пластина
L - подібна пластина
Комбінація з 2-х пластин
Рис. 2. Типи пластин та схеми закріплень, що використовували. 20
Рис. 3. Схема навантаження та вимірювання деформацій при випробуваннях систем фіксації переломів нижньої щелепи Для стандартизації умов досліду було застосовано систему координат, прийняту в анатомічних та біомеханічних дослідженнях (рис. 4). В ході експерименту був відтворений згин у сагітальній площині YZ. Такий вид навантаження є домінуючим в цієї зони в умовах відкушування їжі при широко відкритому роті. Інші типи деформування, що були відтворені (згин у фронтальній площині ХZ та зсув із компонентами згину в сагітальній площині YZ), відповідали функціональним умовам деформування щелепи під дією латерального крилоподібного м’язу.
Рис. 4 – Система координат, що прийнята в біомеханічних дослідженнях: 21
YZ - сагітальна площина, ХZ - фронтальна площина, ХY - горизонтальна площина Хоча ці типи деформацій повною мірою не відтворюють складні умови деформування суглобового паростку в процесі жування, вони дозволили здійснити порівняння різних способів фіксації, зрозуміти основні закономірності поведінки систем фіксатор-кістка та передбачити низку проблем, що можуть виникати при застосуванні того чи іншого способу фіксації. Особливості закріплення і навантаження препарату у випробувальної машині визначалися типом деформації, що відтворювалась. Щелепи жорстко закріплювали на рухомому столі машини гвинтовими затискачами, що кріпились на ділянці її підборіддя чи тіла. Навантаження прикладали на ділянці суглобової головки чи шийки суглобового паростку НЩ через жорсткий сталевий стрижень, з’єднаний з динамометром дослідної машини, шляхом вертикального переміщення рухомого стола дослідної машини. Діапазон навантаження становив від 0 до 50 Н. У випадках, коли жорсткість системи виявлялась недостатньою, величину навантажень зменшували для уникнення повного руйнування зразка. Для реєстрації взаємного переміщення уламків застосовували цифрову фотокамеру Panasonic DMC-TZ7 в режимі макрозйомки, встановлену на жорстко закріпленому штативі. В процесі дослідження проводили зйомку препарату з реперними точками, нанесеними на його поверхню, та еталонним об’єктом з відомими розмірами. Зображення обробляли в програмному середовищі Adobe Photoshop CS3, переміщення в міліметрах визначали на основі розрахунку масштабного коефіцієнту за еталонним об’єктом. Цей метод детально описаний в [6 - 9]. Оскільки на різних ділянках щілини перелому виникали різні за величиною і напрямком деформації, для визначення жорсткості системи фіксатор-кістка вимірювали найбільше переміщення одного уламка відносно іншого і розраховували жорсткість, як відношення навантаження до цього переміщення. Результати випробувань. Встановлено, що жорсткість системи фіксатор-кістка суттєво відрізнялась в різних напрямках і при різних типах деформування. При згині в площині ХZ зона переважного стиску знаходилася на ділянці заднього краю щелепи, натомість вздовж переднього краю виникало розходження фіксатора вздовж заднього краю (зона переважного стиску) або на ділянці нейтральної лінії (бокова поверхня щелепи) жорсткість системи виявлялась низькою. Виникали значні деформації, а розходження уламків сягало кількох міліметрів при незначних зусиллях (рис.3).
22
Рис. 5 – Деформація системи фіксатор-кістка в умовах сагітального згину із зусиллям 25 Н. Для діаграм деформування (рис. 6 та 7) були притаманні ознаки нелінійності, зумовлені головним чином виникненням незворотних деформацій та руйнуванням кістки на ділянці розташування шурупів, а також пластичною деформацією фіксатора. Підтвердженням цьому була досить значна залишкова деформація, яку відзначали після розвантаження системи. При великих деформаціях в площині відтвореного перелому відзначали появу крутильного моменту і зсувів, що зменшували площу контакту кісткових уламків в зоні стиску. Особливо виразним це явище виявлялося при відтворенні косих переломів. Найбільшу жорсткість (біля 250 Н/мм) виявляла система фіксації з використанням 2 пластин, одна з яких працює на розтяг, інша – на стиск. Деформація системи в цьому випадку розвивалась за лінійним законом, а залишкові деформації виявлялися нехтовно-малими.
23
Рис. 6 – Діаграми деформування систем фіксатор-кістка при сагітальному згині: 1) фіксація лінійною пластиною на ділянці заднього краю щелепи; 2) фіксація лінійною пластиною по середині зовнішньої поверхні гілки щелепи; 3) фіксація L-подібною пластиною; 4) фіксація двома прямими пластинами
Рис. 7 – Діаграми деформування систем фіксатор-кістка при сагітальному згині. Фіксація лінійною пластиною на ділянці заднього краю щелепи Фіксація лінійною пластиною по середині зовнішньої поверхні гілки щелепи Фіксація L-подібною пластиною. 4. Фіксація 2 прямими пластинами. При відтворенні зсуву у фронтальній площині розбіжності в жорсткості лінійних та L-подібних пластин виявлялися незначними (жорсткість сягала 100 і більше Н/мм), а при застосуванні 2 пластин зростала дуже суттєво (до 1250 Н/мм). Із збільшенням навантаження розрахункова жорсткість системи зменшувалась, а в кістковій тканині розвивались пластичні та в’язко-пружні деформації. Здатність пластин протидіяти згину у фронтальній площині виявлялася дещо меншою порівняно із сагітальним згином і зсувом (за виключенням пластини фіксованої вздовж заднього краю). Натомість розбіжності у величині жорсткості різних систем фіксації виявлялися меншими. В усіх випадках відзначали нелінійність діаграм деформування, що однак мала принципово інший характер. На початковій стадії деформування навантаження сприймалось виключно фіксатором і передавалось на кістку в ділянці фіксуючих шурупів. При збільшенні навантаження і подальшому деформуванні системи виникав контакт між уламками на внутрішній поверхні гілки щелепи. Кістка 24
починала безпосередньо сприймати навантаження, в наслідок чого жорсткість системи зростала. Найбільшу жорсткість (до 100 Н/мм), як і в попередніх випадках демонструвала система фіксації основана на поєднаному застосуванні 2 накісних пластин. Аналіз отриманих даних. Як свідчать результати проведеного дослідження, інтегральна жорсткість систем фіксатор-кістка визначалася не лише типом фіксатора, але й його розташуванням, типом перелому, що відтворювали та механічними властивостями кісткової тканини. Навіть при відтворенні відносно простих стандартних умов деформування в більшості випадків відзначали складну нелінійну залежність між навантаженням і величиною взаємного зміщення уламків. Останнє було пов’язано, як із складною механічною поведінкою кісткової тканини навколо елементів фіксації (пластичні, в’язко-пружні деформації, руйнування структурних елементів кістки, тощо), так і з особливостями перерозподілу навантажень між фіксатором і кісткою, що знаходиться в зонах переважного стиску. Встановлено, що залежно від розташування та конструкційних особливостей фіксатора жорсткість всієї системи може відрізнятися в кілька разів. Причому здатність фіксатора протидіяти різним типам деформацій виявляється різною. Тому, при обранні методу остеосинтезу хірург завжди повинен брати до уваги особливості функціонального навантаження ураженої НЩ в післяопераційному періоді. З клінічної точки зору необхідна жорсткість фіксації є необхідною передумовою для формування повноцінного кісткового зрощення. Значні зміщення уламків один відносно одного при циклічних функціональних навантаженнях унеможливлюють формування кісткової тканини в щілині перелому і сприяють формуванню несправжнього суглоба. За нашими даними застосування лінійних та L-подібних пластин не може в більшості випадків забезпечити необхідної жорсткості системи в умовах звичайних жувальних навантажень. Їх застосування вимагає певних функціональних обмежень, або знерухомлення НЩ на період консолідації уламків. Натомість при застосуванні 2-х пластин, одна з яких розташована вздовж заднього краю щелепи, а інша вздовж переднього під кутом одна до одної забезпечує необхідну жорсткість при всіх видах деформацій, втім така методика є більш травматичною для пацієнта і спричиняє низку негативних біологічних ефектів. Висновки. 1. Жорсткість систем фіксатор-кістка залежить від характеристик фіксатора, його розташування, типу перелому і механічних властивостей кісткової тканини та умов навантаження, що необхідно враховувати при проведенні остеосинтезу НЩ на ділянці суглобового відростку. 2. Найбільшу жорсткість в різних режимах деформування виявляла систем із застосуванням двох лінійних пластин, розташованих на ділянці переднього і заднього краю суглобового паростку. Ця система за своїми біомеханічними характеристиками є найбільш доцільною для фіксації 25
переломів при застосуванні режимів раннього функціонального навантаження. Отже вибір оптимального способу фіксації потребує урахування багатьох чинників. З цієї точки зору, проведені нами дослідження дозволяють клініцисту отримати об’єктивну інформацію про основні закономірності механічної поведінки системи фіксатор - кістка та надати порівняльну оцінку різним типам фіксаторів на основі точних і відтворюваних критеріїв. Література: 1. Швырков М.Б., Афанасьев В.В., Стародубцев В.С. Неогнестрельные переломы челюстей. – М.: Медицина, 1999. – 336 с. 2. Матрос-Таранец И. Н. Биомеханические исследования в экспериментальной стоматологии. – Донецк, 1998. – 122 с. 3. Семенников В.И., Туманюк А.Н. Метод механико-математического исследования усилий и напряжений в нижней челюсти при физиологической нагрузке // Стоматология. – 1983. – №3. – С.23-25. 4. Чуйко А. Н. Особенности биомеханики в стоматологии / Чуйко А.Н., Вовк В.Е. – Харків.: Прапор, 2006. – 304 с. 5. Maxillo-facial trauma and esthetic facial reconstruction / edited by P.W. Booth, B.L. Eppley, R. Schmelzeisen. – Churchill Livingstone, 2003. – 662 p. 6. Шидловський М.С., Маланчук В.О., Копчак А.В. Натурне дослідження міцності та структури кісткового зрощування переломів нижніх щелеп // Вісник Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут", Серія Машинобудування, – К: 2008, – № 54. – С. 63-71. 7. Шидловский Н.С. О методах исследования систем остеосинтеза конечностей человека // Вісник Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут", Серія Машинобудування, – К: 2010, – № 58. – С. 195-203. 8. Шидловский Н.С. Методы исследования деформационной надежности систем остеосинтеза конечностей человека // Біомедична інженерія, – К: 2011, – № 1. – С. 24-31. 9. Патент на корисну модель № 68177 «Спосіб вимірювання зміщень уламків кісток людини в експерименті» // Шидловський М.С., Радомський О.А., Літун Ю.М., Аксютін А.Г. Зареєстровано 12.03.2012 р., Бюл. № 5, 2012.
26
Розподілена паралельна обробка даних Шлома Антон Ростиславович, аспірант, кафедра математичної інформатики факультету кібернетики КНУ імені Тараса Шевченка Розподілені обчислення - це спосіб вирішення трудомістких обчислювальних задач, які частіш за все об’єднані у паралельну обчислювальну систему. Розподілені обчислення застосовуються також у розподілених системах управління [1]. Послідовні обчислення у розподілених системах виконуються з урахуванням одночасного розв’язку багатьох задач. Головна особливість такої системи - можливість нарощування продуктивності шляхом додавання до неї нових комп’ютерів для опрацювання задач. Кожна окрема обчислювальна машина у розподіленій системі зветься “нодом” (англ. node вузол). Перші напрацювання у даному напрямку можна віднести до 70-х років минулого століття. Так у 1973 році Д. Шох та Д. Хапп, які працювали у каліфорнійському науково-дослідному центрі Xerox PARC створили програму, яка щоночі завантажувалась у локальну мережу та змушувала працюючі комп’ютери виконувати обчислення. У 1978 році радянський математик В. Глушков працював над проблемою макроконвеєрних розподілених обчислень. Він запропонував ряд принципів розподілу роботи між процесорами. На базі цих принципів ним була розроблена ЕОМ ЄС-2701 [2]. На початку 2002 року завершилася розробка Каліфорнійським Університетом в Берклі відкритої платформи BOINC (Berkeley Open Infrastructure for Network Computing), яка розроблялась з квітня 2000 року спочатку для SETI@Home, але першим на платформі BOINC став проект Predictor@home, запущений 9 червня 2004. Проблема розподілу різних обчислювальних завдань в рамках розподіленої системи відноситься до проблеми прийняття рішень в умовах невизначеності. Дана проблема розглядається в теорії прийняття рішень і в теорії невизначеності. Розподілена ОС, динамічно і автоматично розподіляючи роботу системи для обробки задач, змушує набір мережевих машин обробляти інформацію паралельно. Користувач розподіленої ОС, взагалі кажучи, не має відомостей про те, на якій машині виконується його робота. [1] Розподілена ОС існує як єдина операційна система в масштабах обчислювальної системи. Кожен комп'ютер мережі, що працює під управлінням розподіленої ОС, виконує частину функцій цієї глобальної ОС. Розподілена ОС об'єднує всі комп'ютери мережі в тому сенсі, що вони працюють в тісній кооперації один з одним для ефективного використання всіх ресурсів комп'ютерної мережі. 27
Якщо операційна система окремого комп'ютера дозволяє йому працювати в мережі, і може надавати свої ресурси в загальне користування та/або використовувати ресурси інших комп'ютерів мережі, то така операційна система окремого комп'ютера також називається мережевою ОС. Нижче хочу акцентувати увагу на готовому рішенні у розподіленій паралельній обробці - фреймворку MapReduce. MapReduce - модель розподілених обчислень, представлена компанією Google, яка використовується для паралельних обчислень над дуже великими наборами даних у комп'ютерних кластерах [3]. Робота MapReduce складається з двох кроків: Map і Reduce . На Map - кроці відбувається попередня обробка вхідних даних. Для цього один з комп'ютерів (так званий головний вузол - master node) отримує вхідні дані завдання, поділяє їх на частини і передає іншим комп’ютерам (робочим вузлам - worker node) для попередньої обробки. Назву даний крок отримав від однойменної функції вищого порядку. На Reduce - кроці відбувається згортка попередньо оброблених даних. Головний вузол отримує відповіді від робочих вузлів і на їх основі формує результат - рішення задачі, яка спочатку формулювалася. Перевага MapReduce полягає в тому, що він дозволяє розподілено робити операції попередньої обробки і згортки. Операції попередньої обробки працюють незалежно один від одного і можуть проводитися паралельно (хоча на практиці це обмежено джерелом вхідних даних та/або кількістю задіяних процесорів). Аналогічно, безліч робочих вузлів можуть здійснювати згортку - для цього необхідно тільки щоб всі результати попередньої обробки з одним конкретним значенням ключа оброблялися одним робочим вузлом в один момент часу. Хоча цей процес може бути менш ефективним в порівнянні з більш послідовними алгоритмами, MapReduce може бути застосований до великих обсягів даних, які можуть оброблятися великою кількістю серверів. Так, MapReduce може бути використаний для сортування петабайта даних, що займе всього лише кілька годин. Паралелізм також дає деякі можливості відновлення після часткових збоїв серверів: якщо в робочому вузлі, що виробляє операцію попередньої обробки або згортки, виникає збій, то його робота може бути передана іншому вузлу (за умови, що вхідні дані для проведеної операції будуть доступні). Список використаної літератури: 1. Эндрю Таненбаум, Мартин ван Стеен Распределенные системы. Принципы и парадигмы = Andrew S. Tanenbaum, Maarten van Steen. "Destributed systems. Principles and paradigms". — Санкт-Петербург: Питер, 2003. — 877 с. — (Классика computer science) 2. Словарь по кибернетике / Под редакцией академика В. С. Михалевича. — 2-е. — Киев: Главная редакция Украинской Советской Энциклопедии имени М. П. Бажана, 1989. — 751 с. 3. «Our abstraction is inspired by the map and reduce primitives present in Lisp and many other functional languages.» - «MapReduce: Simplified Data Processing on Large Clusters», by Jeffrey Dean and Sanjay Ghemawat; from Google Labs
28
Коэффициент гидродинамического сопротивления плоской рыболовной сети при продольном обтекании в квадратичной области Наумов Владимир Аркадьевич, д.т.н., профессор, зав. кафедрой водных ресурсов и водопользования Калининградского государственного технического университета, Агиевич Надежда Андреевна, аспирант Значительная часть сетного полотна многих орудий промышленного рыболовства расположена параллельно направлению движения. Сила гидродинамического сопротивления, действующая на плоскую рыболовную сеть при продольном обтекании (1) R 0 0,5 C0 F V 2 , где F – габаритная площадь сети; F = Lb, L – длина сети, b – ширина сети; ρ – плотность воды; V – скорость; C0 – коэффициент гидродинамического сопротивления при угле атаки α = 0. Опытные исследования [1,с.58-65] показали, что C0 может зависеть от параметров сети: диаметра нити d; шага ячеи a; коэффициентов посадки ux, uy; длины сети L; относительной площади нитей F0 = FH / F (FH – площадь нитей сети в плане) и чисел Рейнольдса: VL Vd d 1 , Fo , (2) Re L , Re d a ux uy где ν – коэффициент кинематической вязкости воды. Одна из первых формул, предложенная японскими исследователями по результатам их экспериментов (см. [2,с.145]), (3) R 0 18 F V 2 . Формула (3) не показывает влияние числа Рейнольдса, коэффициентов посадки или относительной площади нитей сети Fo на силу гидродинамического сопротивления; она связывает среднее значение R0 со скоростью V в серии проведенных опытов. Но, сравнивая формулу (3) с (1), можно оценить средний коэффициент гидродинамического сопротивления сети при продольном обтекании в указанных опытах C0 2 18 / 0,036 0,04 . В (3) не учитывается влияние длины сети на коэффициент гидродинамического сопротивления. Такое влияние было установлено Н.Т. Сениным, который провел серию опытов с длинными образцами сетей. Ф.И. Баранов [3,с.217], используя эти опытные данные и соображения гидродинамической теории, предложил формулу, которая прогнозирует уменьшение коэффициента сопротивления при увеличении длины рыболовной сети, (4) R 0 18 F L0,2 V1,75 . 29
Чтобы понять механизм влияния длины сети, рассмотрим продольное обтекание плоской платины, как в [4,с.94-97]. На рис. 1 представлено изменение коэффициента гидродинамического сопротивления пластины при продольном обтекании в зависимости от числа Рейнольдса, рассчитанного по длине пластины ReL. При полностью ламинарном пограничном слое (ЛПС) коэффициент рассчитывается по формуле [5,с.458] (5) Cf 1,328 Re L0,5 . График 1. Коэффициент гидродинамического сопротивления пластины при продольном обтекании: 1 – ЛПС; 2 – ТПС на гладкой пластине; 3, 4 – ТПС при разных величинах относительной шероховатости (Δ3/L >> Δ4/L)
При полностью турбулентном пограничном слое (ТПС) на гидравлически гладкой пластине – по формуле [5,с.603] (6) Cf 0,0307 Re L1/ 7 . Сеть не является гидравлически гладкой поверхностью, поэтому важно рассмотреть аналог – течение вдоль равномерно шероховатой пластины. Важную роль при этом играет отношение Δ/δ, где Δ – абсолютная шероховатость, характеризующая средний размер неровностей на поверхности, δ – толщина пограничного слоя. Так как толщина пограничного слоя увеличивается вниз по течению, отношение Δ/δ будет уменьшаться по мере удаления от передней кромки пластины. На графике 1 показано отличие коэффициента гидродинамического сопротивления плоской пластины при сравнительно небольшой величине Δ/L (линия 4) и значительно большей (линия 3). Обе линии, начиная с некоторого значения ReL, становятся параллельными оси абсцисс, что говорит о наличии автомодельной области. Но линия 4 проходит заметно ниже линии 3 и достигает квадратичной области при больших числах Рейнольдса ReL. В [1,с.65] после обработки результатов серии опытов предложены две формулы для коэффициента гидродинамического сопротивления плоской рыболовной сети при продольном обтекании. В области больших чисел Рейнольдса (7) и в переходной области сопротивления (8) СЭ 0,0151 1,036 Fo , ReL = 106; (7) 30
(8) СЭ 0,102 Re 0d,14 , 102 < Red < 6·106. Формулы получены для разных областей сопротивления, их нельзя использовать при произвольных числах Рейнольдса и параметрах рыболовных сетей. Заметим, что в качестве базовой площади (см. формулу (1)) принята не габаритная, а площадь нитей Fн F F0 . Поэтому коэффициент CЭ следует умножить на относительную площадь нитей: C0 СЭ F0 . На графике 1 прослеживается возрастание коэффициента C0 с увеличением ReL, что соответствует участкам линий 3, 4 на рис. 1 перед квадратичной областью сопротивления. В [6,с.34] приводятся формулы, предсказывающие уменьшение коэффициента C0 с ростом чисел Рейнольдса. Как видно, такое также возможно на предшествующих участках линий 3, 4. В таблице 1 представлены параметры образцов плоских сетей, исследованных в [1,с.60] при продольном обтекании. CЭ – значения коэффициента гидродинамического сопротивления, полученные в [1,с.62] для квадратичной области. Таблица 1. Параметры образцов плоских сетей при продольном обтекании d № d, a, ux/ uy Fo L, м CЭ СТ ε, % 10 3 L пп мм мм 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1,61 1,80 2,10 2,66 2,10 1,80 2,10 2,10 2,10 2,10 2,10
60 60 60 60 40 30 30 40 20 20 20
0,707/0,707 0,707/0,707 0,707/0,707 0,707/0,707 0,707/0,707 0,707/0,707 0,707/0,707 0,333/0,943 0,707/0,707 0,707/0,707 0,707/0,707
0,054 0,060 0,070 0,089 0,105 0,120 0,140 0,167 0,210 0,210 0,210
1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,25 1,5
1,61 1,80 2,10 2,66 2,10 1,80 2,10 2,10 2,10 1,66 1,40
0,072 0,078 0,089 0,105 0,111 0,132 0,140 0,180 0,208 0,149 0,128
0,066 0,076 0,091 0,121 0,117 0,128 0,141 0,157 0,181 0,158 0,143
-7,95 -3,13 2,28 15,6 5,75 -3,31 0,42 -12,8 -12,8 6,11 11,9
Для обработки экспериментальных данных необходимо выдвинуть гипотезу, от каких параметров будет зависеть коэффициент CT в эмпирической формуле. Очевидно, что первым из таких параметров является относительная площадь нитей, что подтверждает формула (7). Авторы [1] приводят формулу, отличную от (7), при ReL = 5·105. В [6,с.34] обращено внимание, это противоречит концепции автомодельной области. В действительности, как следует из рисунков, приведенных в [1,с.62], автомодельная область достигается только при ReL = 106. Аналогом абсолютной шероховатости пластины при продольном обтекании является размер узлов сетного полотна D. Как известно, величина D тесно связана с диаметром нитей d. Поэтому аналогом относительной шероховатости пластины Δ/L для продольного обтекания сетного полотна будем считать отношение диаметра нитей к длине сетного полотна d/L. Нами 31
была выдвинута гипотеза, что в квадратичной области сопротивления коэффициент можно вычислить по формуле (9) CT A Fon d / Lm . После логарифмирования (9) получаем линейную функцию: lg CT lg A n lg Fo m lg d / L . (10) Обработка с помощью стандартного метода наименьших квадратов в среде Mathcad данных таблицы 1 позволила получить значения коэффициента и показателей степеней в эмпирической формуле (9): A = 17,45; n = 0,627; m = 0,582. Тогда зависимость (9) будет иметь вид (11) CT 17,45 Fo0,627 d / L0,582. Найдем относительную погрешность вычисления коэффициента гидродинамического сопротивления по формуле (11) в процентах CT / CЭ 1 100 . По последнему столбцу таблицы 1 видно, что модуль относительной погрешности не превышает 16 %, что можно признать вполне удовлетворительной точностью аппроксимации. Если в качестве базовой принять габаритную площадь F, как в формуле (1), то (11) нужно умножить на Fo: (12) C0 17,45 Fo1,627 d / L0,582 . На графике 2 представлены рассчитанные по формуле (11) зависимости коэффициента гидродинамического сопротивления плоской сети C0 в квадратичной области от безразмерных параметров: относительного диаметра нитей и относительной площади нитей. Видно, что увеличение обоих параметров приводит к росту C0, что соответствует физическому смыслу процесса. Заметим, если Fo стремится к нулю, то и коэффициент гидродинамического сопротивления стремится к нулю. График 2. Зависимость коэффициента гидродинамического сопротивления плоской сети от относительной площади нитей по (12): 1 – d/L = 0,002; 2 – d/L = 0,003; 3 – d/L = 0,004; 4 – d/L = 0,005
32
Список использованной литературы: 1. Буй-Ван-Ки, Данилов Ю.А. Сопротивление плоской сети, параллельной потоку / Буй-Ван-Ки, // Сборник научных трудов КТИРПХ. - 1971. - Вып. 32. - С. 58-65. 2. Розенштейн М.М. Механика орудий рыболовства. – Калининград: Изд-во КГТУ, 2000. – 363 с. 3. Баранов Ф.И. Техника промышленного рыболовства. – М: Пищепромиздат, 1960. - 696 с. 4. Великанов Н.Л., Наумов В.А. Коэффициент гидродинамического сопротивления плоских сетей при продольном обтекании // Рыбное хозяйство. – 2013. – № 2. – С. 94-97. 5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. – М.: Наука, 1978. – 736 с. 6. Недоступ А.А. Методы расчета пассивных сетных орудий внутреннего и прибрежного рыболовства. – Калининград: Изд-во КГТУ, 2010. – 280 с.
33
Применение итерационных методов к расчету пластин по нелинейной теории Ермоленко Андрей Васильевич, Сыктывкарский государственный университет, Россия к.ф.-м.н., доцент Осташова Надежда Семеновна, Сыктывкарский государственный университет, Россия студентка 1 курса магистратуры Михайлов Александр Вениаминович, Сыктывкарский государственный университет, Россия студентка 1 курса магистратуры Уравнения типа Кармана–Тимошенко–Нагди, приведенные к нижней лицевой поверхности. В работе [3] построена нелинейная теория плоских пластин типа Кармана–Тимошенко–Нагди. Особенностью этой теории является учет вариаций параметров поперечного обжатия. Роль, внесенных в теорию Кармана уточнений, показана на решении контактных задач(см., например, [3]). При этом, оказалось что, при формулировании условий сопряжения контактирующих частей необходимо использовать параметры напряженно-деформированного состояния, приведенные к одной из лицевых поверхностей, в то время как параметры, приведенные к срединной поверхности, по сути не нужны при задании итерационных схем. Поэтому на основе подхода работы [3] была построена теория типа Кармана–Тимошенко–Нагди, разрешающие уравнения которой приведены к произвольной базовой поверхности [1]. Если в качестве базовой поверхности взять нижнюю лицевую, то уравнения изгиба плоских пластин принимают вид: 2 h D2 w L(, w) 2 L(, w), R
1
2
Eh
E
,
1
mn
h
1 L( w, w), 2
(qn L(, w)).
(1)
Здесь h – толщина пластины; qn qn qn – нормальная нагрузка; mn hqn – нагрузочный (фиктивный) момент, E и ν – модуль Юнга и коэффициент Пуассона; по повторяющемуся в одночлене греческому индексу следует суммировать от 1-го до 2-х; 34
h2 E Eh 3 2 2 h h ,μ D , ; 2 * 6(1 ) 12( 1 ν ) 2( 1 ν) L(Φ, w) Φ w 2Φ w Φ w ; ,11 ,22 ,12 ,12 ,22 ,11 w (2) . w w,11 w,22 , wi xi Заметим, что система (1) по внешнему виду совпадает с уравнениями типа Кармана–Тимошенко–Нагди. Однако следует помнить, что неизвестные функции w (прогиб), Φ (функция напряжения), i , i 1,2 (поперечные
сдвиги) являются функциями нижней лицевой плоскости. Кроме этого изменяются выражения для фиктивного момента mn и константы h 2 . * Приведем основные положения, используемые при выводе уравнений (1). Во-первых, пластиной будем называть трехмерное тело, занимающее область V {(x1,x2 ,x3 ): (x1,x2 ), x3 ζ [ h, 0 ]}. Отметим,что традиционно считают, что ζ [h / 2, h / 2]. Во-вторых, усилия и моменты вводятся по следующим несимметричным формулам: h ζ δ )dζ ; Tij 0 (Jσijζ λ Jσ33 ij λ2 μ λ h ζ M ij 0 (Jσ ijζ Jσ 33 δij )d . λ 2μ
(3)
Здесь Jσ ijζ – компоненты тензора напряжений Пиолы-Кирхгофа; λ, μ – упругие константы Ламе, δ – символ Кронекера. ij В третьих, несимметричность формул (3) приводит к тому, что усилия и моменты зависят и от компонент тензора Грина-Лагранжа, и от компонент тензора кривизны и поперечных сдвигов. При подстановке усилий и моментов в вариационное уравнение Лагранжа и приравнивании коэффициентов при независимых вариациях получаются полевые уравнения (3). Применим уравнение (3) к решению задачи о расчете круглой пластины по нелинейной теории. Постановка задачи. Требуется определить параметры напряженно– деформированного состояния круглой пластины радиуса R и толщин , жестко закрепленной по контуру так, что под действием равномерной
нормальной нагрузки qn q0 const реализуется осесимметричный изгиб. Для решения данной задачи используются уравнения типа Кармана– Тимошенко–Нагди, приведенное к нижней лицевой поверхности (1). 35
Учитывая осесимметричность задачи и вводя безразмерную величину r , где [0,1] , систему уравнений (1)можно записать в виде R h2 2 D w L(, w) 2 L(, w), R Eh 2 R 2 mn L( w, w), 2 1 d ( ) R 1 L(, w). (4) d h R 4 Здесь 1 d ( 1 ) – оператор Лапласа в полярных координатах; w – d d функция прогиба; – функция напряжений; R – радиус пластины; оператор L(, w) имеет вид: 1 w L(, w) . r r r r Граничные условия типа жестко защемленного тангенциально свободного края примем в виде [2]: w(1) 0,
dw d 0, (1) 0, d 1 d
0.
(5)
1
Функции Грина для прогиба w и функции напряжений совпадают и имеют следующий вид: 1 G( , ) Gw ( , ) G ( , ) ( 2 2 ) ln ( 2 2 ) H ( ) 4 1 (6) 2( 2 2 ) ln (1 2 )(1 2 ) , 8 где H ( , ) – функция Хевисайда. Используя функцию Грина (6), решение краевой задачи (4), (5) записывается в виде следующих интегро-дифференциальных уравнений:
1 h2 1 w( ) L(, w) 2 L(, w) G( , )d , D 0 R
Eh ( ) R 2 mn L( w, w)G( , )d . 2 0 Систему (7) будем решать, используя следующую итерационную схему: 1
h2 1 1 wk L( k , wk 1 ) 2 L( k , wk 1 ) G( , )d , D 0 R
(7)
где
36
Eh k ( ) R 2 mn L( wk 1 , wk 1 )G( , )d , 2 0 1
1
R4 w0 ( ) q n G ( , )d . D 0 В качестве примера на рисунке 1 приведен расчет стальной пластины со следующими физическими и параметрами:геометрическими R=2 см; h=40м; τ=0.1, q0=100 кГ/см2, 0,3; Е= 2*106кГ/см2.
Рис. 1. Графики прогиба (w) и функции напряжений ( ) для стальной пластины На рисунке 2 приведен расчет пластины из резины со следующими физическими и геометрическими параметрами: R=2 см; h=40см; τ=0.1, q0=0,003кГ/см2, 0,49; Е= 100 кГ/см2.
Рис. 2. Графики прогиба (w) и функции напряжений ( ) для пластины из резины
37
Список использованной литературы: 1. Ермоленко А.В. Теория плоских пластин типа Кармана–Тимошенко– Нагди относительно произвольной базовой плоскости// В мире научных открытий. Красноярск: НИЦ, 2011. №8.1 (20). С. 336-347. 2. Ермоленко А.В. Расчет круглой пластины по уточненным теориям// Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1.Вып. 6. 2006. С. 79–86. 3. Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко А.В. Теория изгиба пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1. Мат. Мех. Инф. Вып. 3. 1999. С. 181–202.
38
Об одной контактной задаче для цилиндрической пластины Ермоленко Андрей Васильевич, к.ф.-м.н., доцент ФГБОУ ВПО «Сыктывкарский государственный университет», г. Сыктывкар, Россия Филиппова Наталья Олеговна, студентка 3 курса ФГБОУ ВПО «Сыктывкарский государственный университет», г. Сыктывкар, Россия В работе [3] решена задача о контактном взаимодействии цилиндрической жестко закрепленной пластины с абсолютно жестким идеально гладким основанием. Показано, что в случае решения этой задачи по классической теории контактные реакции содержат сосредоточенные силы. Если же решить задачу по теории типа Кармана–Тимошенко–Нагди (см. также [1]), то контактные реакции не содержат сосредоточенных сил. В данной работе применяется подход, используемый в работах [1, 3] к решению следующей задачи. Пластина, толщины h и ширины l , расположена параллельно абсолютно жесткому идеально гладкому основанию с зазором и находится под действием нормальной нагрузки qn q0 const . При этом на краю пластины x 0 выполняется условие жесткого закрепления, край x l закреплен шарнирно, а два других края бесконечно удалены или загружены так, что в пластине реализуется цилиндрический изгиб. При определенной нагрузке пластина выстилается без зазоров, образуя область контакта [ x1 , x2 ] . Требуется определить прогиб пластины и возникающие контактные реакции. Для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением Софи Жермен–Лагранжа, см., например, [1]. Данное уравнение имеет следующий вид: (1) D2 w qn . Здесь w – прогиб пластины (т. е. перемещение по нормали), qn qn qn – нормальная нагрузка, qn , qn – действующие на верхнюю и нижнюю лицевые поверхности пластины нагрузки, D
Eh3
– цилиндрическая жесткость, 12(1 2 ) h – толщина пластины, E и – модуль Юнга и коэффициент Пуассона, 2 2 2 2 – бигармонический оператор. x1 x2 Учитывая, что рассматривается цилиндрический изгиб, уравнение (1) примет вид (2) Dw IV qn . Граничные условия принимают вид 39
w0 0, w0 0, (3) wl 0, wl 0. Здесь условия (3)1 – условия жесткого закрепления, (3)2 – условия шарнирного закрепления. Решение краевой задачи {(2), (3)} будем решать, используя метод функции Грина. Названную функцию определим из следующей вспомогательной задачи: IV x, x , x, 0, l , Gxxxx G 0, 0, (4) G x x, 0, G l , 0, l , 0. G xx (5) Здесь x – -функция Дирака. Решением краевой задачи {(4), (5)} будет следующая функция: 12 1 3 1 3 1 Gx, x 3 H x 2 x 3 6 4 12 6 l l 1 3 2 1 3 2 2 x . (6) 2 4 l 4 l Здесь H x – функция Хевисайда. Рассмотрим теперь пластину на отрезке [ x1 , x2 ] . В этом случае прогиб примет вид wx . (7) Подставив выражение (7) в (2), получаем, что qn 0 при x1 , x2 . Учитывая, что на лицевые поверхности пластины действует два вида нагрузок: активная qn q0 и реактивная qn r x , получаем, что r x q0 при x x1 , x2 . (8) Тогда общее выражение для реакции имеет вид r x q0 H x x1 H x x2 Q1 x x1 Q2 x x2 , (9) где Q1 , Q2 – сосредоточенные реакции на границе области контакта. Используя соотношение (9), нормальная нагрузка qn x в виде qn x q0 H x1 x H x x2 Q1 x x1 Q2 x x2 . (10) Используя функцию Грина, решение краевой задачи {(2), (3)} с правой частью в виде (10) имеет вид x l q0 3 3 wx x H x d x H x d D 0 x 3 3 3 4 3 2 2 2 3 2 4 3 q x x1 x x1 x x1 x x1 x x1 x x1 5 x l 0 D 12l 2 48l 3 6 4 4l 48 16l 2
1
2
40
x 2l 2 x 3 x23 x 3 x24 x 3 x2 x 2 x22 x 2 x23 x 2 x24 16 6 4 4l 12l 2 48l 3 16l 2 Q1 1 x3 x12 x3 x13 x3 x 2 x1 3 x x1 H x x1 2 D 6 2 4l 12l 3 6 3x 2 x12 x 2 x13 Q2 1 x 3 x22 3 2 x x2 H x x2 2 4l 4l D 6 4l x3 x23 x3 x 2 x2 3x 2 x22 x 2 x23 2 . 2 4l 12l 3 6 4l Прогиб wx при x1 x x2 записывается в виде
(11)
q0 x q0 x 3 x13 x 3 x14 x 3 x1 x 2 x12 3 x d 2 3 wx 6D 0 D 12l 6 4 48l 1
x 2 x13 x 2 x14 5 x 3l x 2l 2 x 3 x23 x 3 x24 x 3 x2 4l 48 16 6 16l 2 12l 2 48l 3 x 2 x22 x 2 x23 x 2 x24 Q1 Q1 x 3 x12 x 3 x13 3 x x 1 4 4l D 4l 2 16l 2 6 D 12l 3 x 3 x 2 x1 3x 2 x12 x 2 x13 Q2 x 3 x22 x 3 x23 x 3 2 6 2 4l 6 4l D 4l 2 12l 3 x 2 x2 3x 2 x22 x 2 x23 2 . 2 4l 4l (12) Отметим, что выражения (7) и (12) должны совпадать при x1 x x2 . Поэтому приравнивая в правых частях выражений (7) и (12) коэффициенты при одинаковых степенях x, получим следующие уравнения: q0 q0 5q0 q0 q0 q0 3 4 3 4 x x l x x x2 1 1 2 2 48D 12 Dl 2 6D 12 Dl 2 48Dl 3 48Dl 3 Q Q1 3 Q2 2 Q2 3 Q2 1 2 x12 x x x2 0, 1 2 6D 4 Dl 12 Dl 3 4 Dl 2 12 Dl 3 q q0 q0 2 q0 2 q0 3 q0 4 4 0 x13 x l x x x 1 2 2 2 4 Dl 16 D 4D 4 Dl 16 Dl 2 16 Dl 2 3Q Q Q 3Q Q 1 x12 1 2 x13 2 x2 2 x22 2 2 x23 0, 4 Dl 2D 4 Dl 4 Dl 4 Dl q0 3 Q1 2 x1 x1 0, 6D 2D q Q 0 x14 1 x13 . (13) 24 D 6D
41
Решение системы (13) можно записать в виде 72 D 24 D x1 4 , x2 l 4 q0 q0
(14)
q0 q (15) x1 , Q2 0 l x2 3 2 Отметим, что выражения для x2 , Q2 согласуются с полученными в Q1
статьях [1, 3]. В качестве примера на рисунке 1 приведем график прогиба пластины со следующими физическими и геометрическими параметрами: кГ кГ E 2 10 6 2 , 0,3, h 1см, q0 10 2 , l 70 см. (16) см см При параметрах (16) получаем следующие значения граничных точек зоны контакта и сосредоточенные реакции: x1 33.9, x2 44.3, Q1 2.5, Q2 2.8 (17)
Рис.1. График прогиба w Список использованной литературы: 1. Ермоленко А.В. Аналитическое решение контактной задачи для жестко закрепленной пластины и основания. В мире научных открытий. Красноярск: НИЦ, 2011. С.11-17. 2. Михайловский Е.И. Элементы конструктивно–нелинейной механики. Сыктывкар: Издво Сыктывкарского университета, 2011. 212 с. 3. Михайловский Е.И., Бадокин К.В., Ермоленко А.В. Теория изгиба пластин типа Кармана без гипотез Кирхгофа // Вестник Сыктывкарского университета. Сер.1: Мат. Мех. Инф. 1999. Вып.3. С.181-202.
42
Интервалы неопределенности для процесса поликонденсации аспарагиновой кислоты Зиганшина Файруза Тахваловна, канд. физико-математических наук, доцент Уфимского государственного нефтяного технического университета, г. Уфа При решении обратной задачи химической кинетики нередко приходится сталкиваться с неоднозначностью решения. Факт неоднозначности решения обратных задач химической кинетики хорошо известен и неоднократно обсуждался. Рассмотрим химический процесс поликонденсации аспарагиновой кислоты, который проходит в двух зонах твердой фазы. Механизм и моделирование процесса были исследованы в работах [2,3]. Результаты решения обратной задачи приведены в статье [3]. Рассмотрим данный химический процесс, который проходит в двух зонах твердой фазы и кинетическая схема имеет следующий вид: Первая зона Вторая зона αA→B+C константа k1 (1-α)A→B+C константа k4 αA+C→ B+C константа k2 (1-α)A+C→ B+C константа k5 С→D+B константа k3 С→D+B константа k6 Здесь: A – исходный мономер; B – вода, выделяющаяся в каждой из проходящих реакций; C – автокатализирующий промежуточный продукт димер, тример и т. п.; D – конечный продукт; α - параметр, отражающий долю исходного мономера в данной зоне матрицы. Математическая модель для каждой из зон представлена в виде систем дифференциальных уравнений (СДУ). СДУ для описания кинетики поликонденсации в первой зоне процесса: dA dt k1 ( A) k2 ( A)C dC k ( A) k ( A)C k C 1 2 3 dt dB k ( A) k ( A)C k C 1 2 3 dt dD k3 C dt
(1)
СДУ для второй зоны процесса:
43
dA dt k4 (1 ) A k5 (1 ) A C dC k (1 ) A k (1 ) A C k C 4 5 6 dt dB k (1 ) A k (1 ) A C k C 4 5 6 dt dD k6 C dt
(2)
В соответствии с этой математической моделью были определены 6 констант скоростей и параметр α при различных температурах в диапазоне от 1690С до 2270С, т.е. была решена обратная задача химической кинетики [3]. Численные значения рассчитанных констант приведены в первом столбце таблицы 1. Проблема решения обратной задачи заключается в нахождение нескольких наборов параметров констант скоростей для системы дифференциальных уравнений при одинаковых условиях, что позволяет делать вывод о неоднозначности решения. Тем самым есть необходимость расчета интервалов неопределенности для полученных констант скоростей в пределах величины их погрешности. В [1] приведена математическая постановка задачи расчета интервалов неопределенности. Данная постановка задачи состоит в определении min kj и max kj (j=1..6) по всем константам, входящие в системы (1) и (2), при этом должно соблюдаться необходимая точность описания. В качестве критерия соответствия расчета измерения используется неравенство, который характеризует вариацию экспериментальных данных в пределах величины их максимальной относительной погрешности:
max i
Yi эксп Yi расч Yi эксп
,
i 1, n
(3)
где n – число экспериментальных точек, Yi ýêñï - экспериментальное значение, Yi ðàñ÷ - расчетные значения, которое находится из решения систем дифференциальных уравнений (1) и (2), - предельно допустимая погрешность измерений. Начальными точками для поиска интервалов неопределенностей будут служить найденные в ходе решения обратной задачи кинетические константы [2]. Интервалы неопределенности для процесса поликонденсации аспарагиновой кислоты при температуре t=1870C имеют следующий вид: Таблица 1. Интервалы неопределенности при температуре t=1870C Констан ты скорости k1 k2 k3 k4
Константы для СДУ (1) и (2) α=0.6 0.00380134 0.1234692 0.0163344 0.0040703
Интервал неопределенности для СДУ (1) и (2), =1%
Интервал неопределенности для СДУ (1) и (2), =2%
Интервал неопределенности для СДУ (1) и (2), =3%
[0.002507; 0.0066] [0.09847; 0.15547] [0.00683; 0.02583] [0.00267; 0.0072]
[0.001501; 0.0103] [0.07047; 0.19547] [0; 0.04183] [0.00147; 0.01207]
[0.0008; 0.0159] [0.04347; 0.24446] [0; 0.068334] [0.0007; 0.01937] 44
k5 k6
0.35839844 0.0221875
[0.297398;0.424398] [0.013187;0.02969]
[0.228398;0.52039] [0.000188;0.04419]
[0.164398;0.63439] [0; 0.06369]
Как видно из таблицы интервал для константы k3 в пределах величины погрешности =2% включают точку нуль. Это означает, что если взять k3=0, то стадия первой зоны, где происходит реакция полимер аналогичного превращения получающегося полимера с образованием сукцинимидного цикла, будет отсутствовать, т.е. образование конечного продукта: Первая зона Вторая зона αA→B+C константа k1 (1-α)A→B+C константа k4 αA+C→ B+C константа k2 (1-α)A+C→ B+C константа k5 С→D+B константа k6 Тем самым, образование конечного продукта приходится только на вторую зону. Не смотря на это, при k3=0 с величиной погрешности =2% полученная кинетическая модель будет хорошо описывать имеющийся массив экспериментальных данных. Для проверки этого предположения построены графики соответствия экспериментальных и расчетных данных (рис. 1)
Рис.1 График соответствия экспериментальных и расчетных данных по потери веса, при k3=0 Как видно из графика кинетическая константа, включающая k3=0, хорошо описывает эксперимент, это говорит о том, что данную стадию с участием константы k3 можно исключить из кинетической схемы реакции. Рассмотрим константы скорости (табл. 2): Таблица 2. Константы скорости при температуре t=1870C =1% Константы скорости k1 k2 k3 k4 k5 k6
Константы для СДУ (1) и (2) α=0.6 0.0038 0.123 0.016 0.0041 0.29 0.022 45
При данных константах точность описания эксперимента кинетической моделью составляет 1%, график соответствия будет выглядеть следующим образом (Рис. 3): 1,01 0,99 расчет
вес, относит.един.
0,97 эксперимент
0,95 0,93 0,91 0,89 0,87
266,22
250,56
234,9
219,24
203,58
187,92
156,6
время, мин
172,26
140,94
125,28
109,62
93,96
78,3
62,64
46,98
31,32
15,66
0
0,85
Рис.3 График соответствия экспериментальных и расчетных данных по потери веса, при 1870С, =1% Так же анализируя полученные интервалы неопределенности, следует отметить, что при уменьшении максимальной относительной погрешности интервалы неопределенности уменьшаются, что можно также заметить на зависимости констант скоростей от температуры (рис.4-5):
4
константа скорости, 1/мин
3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 187
197
208
218
223
227
t, температура
Рис.4 Зависимость константы скорости k6 от температуры, =1%
46
10 9
константа скорости, 1/мин
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1
187
197
208
218
223
227
t, температура
Рис.5 Зависимость константы скорости k6 от температуры, =3% Характер зависимостей других констант скоростей от температуры аналогичен. Отметим, что из факта минимума каких-либо констант равных нулю, не следует, что соответствующая стадия не следует, что соответствующая стадия идет. Следует больше то, что соответствующая экспериментальная информация не дает возможности ее определения. Возникает задача планирования специального эксперимента с целью уменьшения величины интервала неопределенности, выхода минимума на положительное значение. Планирование таких измерений специальная задача и станет предметом наших дальнейших исследований. Список литературы: 1. Аристархов А.В. Области неопределенности при решении обратных задач определения параметров математических моделей химической кинетики: Автореф. Дис. кан. наук, Уфа, 2010. 23 с. 2. Кинетический анализ твердофазной поликонденсации аспарагиновой кислоты. / В. М. Гольдберг [и др. ]. - // Доклады Академии наук. - 2008. Т. 423, N 5, декабрь. - С.583-587. - ISSN 0869-5652. - Библиогр.: с. 638. 3. Кинетическая модель процесса поликонденсации аспарагиновой кислоты по данным термогравиметрии. / Ф.Т. Бадртдинова, С.И. Спивак, В.М. Гольдберг, Л.А. Бигаева. - // Пластические массы, 2011. №7.
47
УДК 517.912 + 517.925
Интегрируемость уравнений Эйлера-Пуассона Евгений Георгиевич Якубовский, Инженер вычислительного центра, НМСУГ Ключевые слова: сведение системы нелинейных уравнений к отдельным уравнениям, положения равновесия, турбулентный и ламинарный режим Аннотация Для интегрирования системы нелинейных уравнений, она сводится к отдельным уравнениям, зависящим от одного неизвестного, относительно монотонной функции времени. При этом используются положения равновесия этой системы нелинейных уравнений. 1. Новый способ решения системы нелинейных уравнений с помощью положений равновесия Рассмотрим систему нелинейных автономных дифференциальных уравнений dxl (1.1) Fl ( x1 ,...,x N ), l 1,...,N dt Исследуются комплексные и действительные решения задачи Коши этого дифференциального уравнения в случае действительных и комплексных начальных условиях, при действительном аргументе t , т.е. xl (t 0 ) xl0 , l 1,...,N , где величина t 0 соответствует начальному моменту интегрирования, а величина xl0 в общем случае комплексная. Причем в случае действительных значениях xk , k 1,...,N , правая часть (1.1) действительна. Систему дифференциальных уравнений (1.1) можно представить при не кратных положениях равновесия в виде S dxl exp[Gl ( x1 ,...,x N )] ( xl als ) , (1.2) dt s 1 где введен не обращающийся в ноль множитель exp[Gl ( x1 ,...,x N )] , который S
равен exp[Gl ( x1 ,...,x N )] Fl ( x1 ,...,x N ) / ( xl als ) . При подстановке этого s 1
множителя в (1.2), получим (1.1). Покажем, что этот множитель в ноль не обращается. Величины удовлетворяют условию als s Fk (a1s ,...,a N ) 0, k 1,...,N ; s 1,...,S , где величина S конечна.
При условии xl al , l 1,...,N имеем конечный предел
48
Fl (a1 ,...,aN ) exp[Gl ( x1 ,...,x N )] /[(al a1l )...(al al 1 )(al al 1 )...(al alS )] xl
Где произвели сокращение множителя xl al , числитель дроби в ноль не обращается, так как рассматриваются не совпадающие корни, являющиеся координатами положения равновесия. При этом дифференциальное уравнение можно записать в виде S dxl ( xl als ) dH l (t , t 0 ) s 1 , (1.3) t
H l (t , t 0 )
exp{Gl [ x1 (t ),...,x N (t )]}dt
t0
где H l (t , t 0 ) стремящаяся к бесконечности функция при условии t . В случае решения в действительной плоскости это монотонная функция. Решением дифференциального уравнения (1.1) является функция xl (t ) , удовлетворяющая формуле (1.4). Для получения (1.4) разделим уравнение (1.3) на произведение множителей xl als и умножим (1.4) на величину dH l (t , t 0 ) . Раскладываем полученную дробь на сумму простых дробей и их интегрируем. Потенцируя полученное выражение, получим (1.4) S
s 1
( xl
s als ) l
S
/ ( xl0 als ) l exp[ H l (t , t 0 )]; s
,
s 1
(1.4)
ls 1/[(als al1 )...(als als1 )(als als1 )...(als alS )] где все значения координат положения равновесия не одинаковы. Сумма коэффициентов
ls
S
по индексу s равна нулю, т.е.
s 1
доказательства этого тождества рассмотрим полином относительно y S
P( y )
s 1
ls 0 . Для
S 1 степени
( y a1l )...(y als 1 )( y als 1 )...(y alS )
(als a1l )...(als als 1 )(als als 1 )...(als alS )
,
В точках положения равновесия y als , s 1,...,S полином удовлетворяет P(als ) 1. В силу единственности полинома степени S 1 , проходящего через S точек, получаем P( y) 1 , так как это значение удовлетворяет точкам аппроксимации. Распишем формулу для полинома, равного единице, разделив его на произведение ( y a1l )...(y alS ) , получим
49
S
1
s 1
(als a1l )...(als als 1 )(als als 1 )...(als alS )(als y )
полагая, y S 1
alS 1
1 ( y a1l )...(y als 1 )( y als )( y als 1 )...(y alS ) S 1
получим тождество
s 1
,
0
ls 0 , в случае, если имеется
положение равновесия. 2. Исследование уравнений Эйлера-Пуассона
Вращение твердого тела вокруг закрепленной точки описывается следующими уравнениями [1] Ap ( B C )qr Mg ( z0 2 y0 3 ) Bq (C A) pr Mg ( x0 3 z 0 1 ) Cr ( A B) pq Mg ( y0 1 x0 2 ) 1 r 2 q 3 ; 2 p 3 r 1 ; 3 q 1 p 2
.
Где величины A, B, C, M , G, x0 , y0 , z0 константы. Эту автономную систему дифференциальных уравнений можно записать в виде 6 6 dxl Flmn xm xn Glm xm , l 1,...,6 dt m,n1 m1
(2.1)
Положения равновесия этой автономной нелинейной системы могут быть комплексными и действительными. Отметим, что подобная система уравнений со счетным количеством неизвестных получается при решении уравнения Навье – Стокса. Также как у уравнения Навье – Стокса получается ламинарный и турбулентный режим, у этих уравнений имеется плавное – ламинарное и пульсирующее – турбулентное решение. При этом докажем следующую теорему. Теорема 1. Рассматривается задача Коши при произвольных действительных начальных условиях для системы нормальных нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (2.1). Случай вырожденного решения задачи Коши – положения равновесия, не рассматривается. В случае, если у системы (2.1) имеются комплексно-сопряженные положения равновесия, то при конечном аргументе t действительное решение задачи Коши системы (2.1) при действительных начальных условиях стремится к бесконечности, а потом переходит в комплексное решение, стремящееся к комплексному положению равновесия. При этом правую часть (2.1) считаем регулярной функцией. Она имеет конечное число не кратных положений равновесия. Доказательство. Если решать систему (2.2) в действительной плоскости при не кратных положениях равновесия, то получим 50
s {2iml arctan[(xl als ) / bls ] srel ln[( xl als ) 2 (bls ) 2 ]} |tt0
lk ln( xl clk ) |tt0 H l (t , t0 ),
, (2.3)
k
где
als
ibls
выделенное комплексное положение равновесия, cls остальные
положения равновесия. Коэффициенты ls удовлетворяют
ls 0 . При
s
этом в сумме
S
s 1
ls величина действительной части srel в случае
комплексного значения ls участвует дважды и в силу того, что все числа ls удовлетворяют условию
ls 0 , имеем формулу 2srel lk 0 .
s
k
Обоснуем формулу (2.3). Для этого два комплексно сопряженных члена решения преобразуем (для упрощения записи индекс l опускаем) s s s sre iim sre iim 2( x a s )sre 2bs im , (2.4) x a s ibs x a s ibs ( x a s ) 2 bs2 s где s sre iim . После интегрирования (2.4) по аргументу x , получим формулу (2.3) x as s sre ln[( x a s ) 2 bs2 ] 2im arctan . bs Решение равняется xl (t ) als bls tan Dl (t ) , При условии Dl (t ) / 2 получаем бесконечное решение. При этом решение дифференциального уравнения при росте H l (t , t 0 ) может иметь комплексные корни lk ln( xl alk ) |tt0 H l (t , t0 ) . k
При этом, так как справедливо
lk 0 имеются числа с отрицательной
k
действительной частью значит неизвестная функция будет стремиться к одному из положений равновесия, чтобы обеспечить бесконечность правой части. Значит, если при комплексных положениях равновесия получается H l (t , t 0 ) . конечное комплексное решение при условии бесконечности Решение не может стремиться к действительному положению равновесия, так как действительное решение стремится к бесконечности. Решение будет стремиться к комплексному положению равновесия, пройдя через бесконечность решения, при этом нарушатся условия существования решения задачи Коши. Т.е. в некоторой точке начнется комплексное решение. С помощью предлагаемого метода решения можно определить глобально устойчивые положение равновесия. Устойчивым положениям равновесия k l ,
51
соответствует координата положения равновесия xl als , у которых имеем
s Re ls 0, l 1,...,N ; причем устойчивым положениям условие равновесия соответствуют одинаковые s . Конец доказательства. Приведем пример, описывающий это свойство дифференциального уравнения, переход к комплексному решению. Так для дифференциального уравнения может возникнуть комплексное решение, вместо бесконечного действительного решения dx 1 x2 . dt Причем положения равновесия чисто мнимые x i , и значит, решение может не стремиться к положению равновесия. Используя неявную схему решения, получим следующее уравнение x x0 (1 x 2 )t 0(t ) 2 . Разрешая относительно неизвестной функции x , получим неявную схему x
1 1 4[ x0 t 0(t ) 2 ]t
2t x0 1 /(4t ) t 0(t ) 2
.
Которое при условии определит конечное комплексное решение. Причем комплексное решение обладает новыми свойствами, оно сложным образом вращается вокруг положения равновесия. При этом действительное решение стремится к бесконечности, т.е. правая часть дифференциального уравнения стремится к бесконечности, и нарушаются условия существования и единственности решения задачи Коши, и возникает дополнительное комплексное решение. 3. Физический смысл мнимой части комплексной скорости Опишем физический смысл комплексного турбулентного решения. Итак, рассмотрим действительное решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений x (t ) . Пусть начальные данные имеют среднее x0 и дисперсию [x0 ]2 (дисперсия начальных данных получается например, за счет шероховатости поверхности, или не точно известных начальных данных). Тогда для дисперсии решения имеем [x (t )]2 [ x (t ) x (t ) ]2 [ x (t )]2 2 x (t ) x (t ) [ x (t ) ]2 [ x (t )]2 [ x (t ) ]2
Откуда имеем
[ x (t )]2 [ x (t ) ]2 [x (t )]2 | x (t ) i [x (t )]2 |2 (3.1) При этом решение усредняется по некоторому мнимому случайному параметру, с математическим ожиданием, равным нулю. Разложим комплексное решение по этому параметру 52
x (t ,0) 2 x (t ,0) 2 x (t , i ) x (t ,0) / 2 ... 2
Причем решение содержит как действительную, так и мнимую часть, так как решение получится комплексным. Средний квадрат действительного решения слагается из квадрата модуля комплексной величины, с математическим ожиданием в качестве действительной части и математическим отклонением как мнимой части решения. Если имеем комплексное решение обыкновенного дифференциального уравнения, то модуль величины x (t ) i [x (t )]2 нужно рассматривать как квадрат некоторого среднего действительного решения [ x (t )]2 , при этом получим квадрат поступательной и колебательной в одномерном случае и вращательной в трехмерном случае энергии тела. Т.е. по комплексному решению восстанавливаем действительное решение. При этом, не обязательно, чтобы описываемые переменные были случайными. Достаточно, чтобы они имели пульсирующую или вращательную зависимость от времени для определения среднего и дисперсии во времени в фазовом пространстве. Следовательно, алгоритм нахождения среднего решения, или среднего в фазовом пространстве решения, и его дисперсию сводится к нахождению комплексного решения, причем среднее решение соответствует действительной части решения, а квадрат комплексной части соответствует дисперсии решения. Таков физический смысл комплексного решения, действительная часть - это среднее решение, а мнимая часть – это его математическое отклонение. Причем действительная и мнимая часть ортогональны, и образуют комплексное пространство. В самом деле, согласно обратной теореме Пифагора в силу формулы (3.1) математическое ожидание и математическое отклонение образуют катеты, а средний квадрат является гипотенузой. Покажем, что мнимая часть комплексной производной от координаты в фазовом пространстве дифференциального уравнения, которую назовем скоростью, образует пульсирующее перемещение координаты в фазовом пространстве. Мнимая часть скорости соответствует скорости вращения в фазовом пространстве. Так как известен радиус вращения, то можно определить и частоту вращения. В плоскости вращения комплексную скорость с постоянным радиусом вращения и постоянной частотой можно представить в виде Vx iVy V0 exp(it ) . В случае переменной по пространству стационарной скорости эту формулу можно представить локально в одной плоскости в виде t
Vx ( x, y) iVy ( x, y) V0 ( x, y) exp[i ( x, y, u )du ] , причем частота зависит от 0
времени,
так
как
смещение
фазы
обеспечивается
гармоническими 53
колебаниями в соседних точках. Сумма гармонических колебаний с разными частотами, зависящими от времени, определяет пульсирующий режим в фазовом пространстве, при стационарной комплексной скорости. Т.е. получается, что комплексная скорость описывает пульсирующие во времени координаты точек фазового пространства. Ситуация аналогична наличию нескольких стационарных вихрей, описывающих не стационарное вращение потока. Т.е. комплексное решение описывает режим гироскопа с биениями. Причем понятно как избавиться от этого режима, для чего все положения равновесия должны быть действительны. Заключение Система уравнений Эйлера-Пуассона допускает как плавное – ламинарное решение, так и пульсирующее - турбулентное решение. Причем пульсирующему турбулентному решению соответствуют комплексные положения равновесия. По существу доказано более сильное утверждение. Нелинейные системы обыкновенных автономных дифференциальных уравнений, имеющие комплексные положения равновесия, имеют пульсирующее турбулентное комплексное решение, мнимая часть которого соответствует вращениям в фазовом пространстве. Список использованной литературы: 1. Голубев В.В. Лекции по интегрированию движения твердого тела около неподвижной точки. – М.: Гостехиздат, 1953
54
Внедрение автоматизированной системы управления в компрессорных станциях Арефьев Евгений Александрович, магистрант Тольяттинского государственного университета На сегодняшний день в России эксплуатируется около 400 тысяч промышленных компрессоров, которые совместно с насосами и вентиляторами потребляют около 10% вырабатываемой в стране электроэнергии. В производстве, ремонте и эксплуатации компрессоров занято примерно 600 тыс. человек. В связи с этим вопросы повышения технического уровня компрессоров, в частности их эффективности и надежности, являются одними из основных в деятельности многих научноисследовательских организаций, а также промышленных предприятий отрасли компрессорного машиностроения [1]. Автоматизированная система управления необходима для осуществления контроля и управления компрессорной станцией, бесперебойного снабжения предприятия сжатым воздухом, повышения экологических показателей эксплуатации компрессорной станцией, информирования обслуживающего рабочего персонала о протекании технологического процесса [3]. Создание и внедрение данной системы является достижение экономических, технологических и технических параметров работы компрессоров за счет внедрения современных технологий управления. Автоматизированная система управления обеспечивает: - повышение точности управления параметрами технологического процесса; - расширение информационных и управляющих функций системы; - предоставление персоналу достоверной и подробной информации о протекании технологического процесса и техническом состоянии эксплуатируемого оборудования; - уменьшение непосредственного влияния человеческого фактора; - экономию потребляемой электроэнергии. Автоматизированная система смоделирована на непрерывный технологический процесс и выполняет следующие функции: - сбор, обработка аналоговых и дискретных сигналов; - регулирование и контроль параметров технологического процесса: давления в воздушной магистрали; - дистанционное и автоматическое управление исполнительными механизмами; - самодиагностика технических средств; - защита от разрушения программного обеспечения и несанкционированного доступа к информации; - информирование рабочего персонала при выходе за допустимые пределы параметров электропривода или технологического процесса. 55
На панели управления со встроенным контроллером отображаются параметры технологического процесса. Одним из основных преимуществ предлагаемой системы управления является её надежность и простота работы оперативно-технического персонала, занимающегося обслуживанием основного и вспомогательного технологического оборудования. Система помогает повысить качество работы компрессоров на переменных нагрузках, так как быстродействие частотных преобразователей на порядок выше, чем у шиберов [2]. Внедрение предоставленной системы увеличит эффективность функционирования объекта управления, а именно: - обеспечит визуальный контроль технологического процесса; - сократит потребление электроэнергии на 25-30% в результате использования частотных преобразователей питающего напряжения электродвигателей компрессоров; - повысит качество работы оборудования; - увеличит надёжность оборудования и повысит культуру производства. Список использованной литературы: 1. Гук Ю.Б. Анализ надёжности электроэнергетических установок. Д.: Энергоатомиздат, 1988. -224с. 2. Розанов М.Н. Надежность электроэнергетических систем. - М.: Энергия, 1974,-176с. 3. V.D. Vidineev, B.A. Ivanov, N.A. Alexandrov, B.T. Marinuk. Analysis and optinuzazation of natural gas liquefaction. Ninth international conference on LNG, vol.1 of2., Nice, France, Octobre 17-20, 1989.
56
Об одном диофантовом уравнении Жаскайрат Жанар Жумакельдыкызы, магистрант ІІ курса ГУ имени Шакарима города Семей Во все времена одной из центральных проблем так называемой аналитической теории чисел является решение задач на диофантовы уравнения. Этими задачами много занимались самые выдающиеся математики древности, например Пифагор, Герон, Диофан, Брахмагупта т и лучшие математики более близкой к нам эпохи – П. Ферма, Л. Эйлер, Ж.Л. Лагранж, К.Ф. Гаусс и другие. Известно, что в общей постоновке задача описания множества решений системы диофантовых уравнений алгоритмически неразрешима. Проблематика теории диофантовых уравнений обманчиво проста и состоит в отыскании целочисленных решений неопределенных уравнений с целыми коэффициентами. Универсальность диофантовых уравнениий требует для их изучения огромного арсенала понятий и методов. В настоящее время этот арсенал достаточно солиден и включает в себя не только классические методы арифметики, геометрии чисел и анализа, но и современные методы алгебраической геометрии, математической логики и теории диофантовых приближений. Надо отметить, что последние десятилетия ознаменовались созданием достаточно общих методов, применимых к широким классам диофантовых уравнений. В этом велика заслуга методов алгебраической геометрии, математической логики и теории диофантовых приближений. Следует заметить, что в последние годы пальма первенства при решении задач теории диофантовых уракнений снова перещла к алгебраической геометрии. Рассмотрим одно из классических диофантовых уравнений пифагорово уравнение: х2 y2 z 2 (1) где (1’) x, y, z N Геометически решение этого уравнения в целых числах можно истолковать как нахождение всех пифагоровых треугольников , т.е. прямоугольных треугольников, у которых и катеты x, y и гипотенуза z выражаются целыми числами. Обозначим через d общий наибольший делитель чисел x и y : d x, y . тогда x x1d ,
y y1d ,
и уравнение (1) примет вид x12 d 2 y12 d 2 z 2 .
Отсюда следует, что z 2 делится на d 2 и, значит, z кратно d : z z1d . Теперь уравнение (1) можно записать в виде 57
x12 d 2 y12 d 2 z12 d 2 ;
Сокращая на d 2 , получим x12 y12 z12 .
Мы пришли к уравнению того же вида, что и исходное, причем теперь величины х1 и у1 не имеют общих делителей, кроме 1. Таким образом, при решении уравнения (1) можно ограничиться случаем, когда x и y взаимно просты. Итак, пусть x, y 1 . Тогда хотя бы одна из величин x и y (например, x) будет нечетной. Перенося у 2 в правую часть уравнения (1), получим x2 z 2 y2 ; x 2 z y z y . (2) Обозначим через d1 общий наибольший делитель выражений z у и z у . Тогда z у ad1 , z y bd1 , (3) Подставляя в (2) значения z у и z у получим x 2 abd12 . Так как числа a и b не имеют общих делителей, то полученное равенство возможно только в том случае, когда a и b будут полными квадратами: a u2 , b v2.
Но тогда x 2 u 2 v 2 d12
и x uvd1 .
(4)
Найдем теперь у и z из равенства (3). Сложение этих равенств дает: 2 z ad1 bd1 u 2 d1 v 2 d1 ;
z
u2 v2 d1 . 2
(5)
Вычитывая второе из равенств (3) из первого, получим 2 y ad1 bd1 u 2 d1 v 2 d1 ;
у
u2 v2 d1 . 2
(6)
В силу нечетности х из (4) получаем, что u, v и d1 также нечетны. Более того, d1 1 , так как иначе из равенств x uvd1
и
у
u2 v2 d1 2
следовало бы, что величины х и у имеют общий делитель d1 1, что противоречит предположению об их взаимной простоте. Числа u и v связаны со взаимно простыми числами a и b равенствами a u2 , b v2 и в силу этого сами взаимно просты; v u , так как b a , что ясно из равенств
(3). Подставляя в равенства (4) – (6) d1 1 , получим формулы: u2 v2 u2 v2 , z , (7) 2 2 дающие при нечетных взаимно простых u и v ( v u ) все свободные от общих делителей тройки целых положительных чисел x, y, z , удовлетворяющие
x uv , у
58
уравнению (1). Простой подстановкой x, y, z в уравнение (1) легко поверить, что при любых u и v числа (7) удовлетворяют этому уравнению. Для начальных значений u и v формулы (7) приводят к следующим часто встречающимся равенствам: 32 4 2 5 2 5 12 13 2
2
2
15 2 8 2 17 2
v 1, u 3, v 1, u 5, v 3, u 5
В течение нескольких тысячелетий пифагорово уравнение (1) с условием (1’) было предметом самых тщательных исследований. В результате получены следующие формулы: x r (s 2 t 2 ), y 2rst, z r (s 2 t 2 ), (8) где (8’) r, s, t N , s t , (s, t ) 1, st четно ; 2 2 2 2 x 2rst, у r (s t ), z r (s t ), (9) где (9’) r, s, t N , s t , (s, t ) 1, st четно ; x rst, у r
(s 2 t 2 ) (s 2 t 2 ) , zr , 2 2
(10)
где r, s, t N , s t , (s, t ) 1, st нечетно ;
xr
(s t ) (s t ) , y rst, z r , 2 2 2
2
2
(10’)
2
(11)
где r, s, t N , s t , (s, t ) 1, st нечетно.
(11’) Неизвестно кем и когда, но принято считать, что все пифагоровы тройки могут быть получены каждым из пяти способов (7)-(11). Интерес к теории диофантовых уравнении, которая время от времени переживает свои неизбежные спады и подъемы, не ослабевает, а за последние полвекаон особенно возрос. Тем не менее, в теории диофантовых уравнений поиск решений в натуральных и целых числах был, есть и остается главнейшим на все времена. Литература: 1. Башмакова Н.Г., Славутин Е.Н. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма. – М.: Наука, 1984. 256с. 2. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. – М.: Наука, 1978. 64 с. 3. Кожегельдиев С.Ш. Некоторые классические диофантовы уравнения от трех и более переменных: в 5-ти т. Т.1. Знаменитые диофантовы уравнения. – Новосибирск, 2002. -72с.
59
Формирование и реализация модели пенсионного обслуживания Савченко Анастасия Валериевна, аспирант кафедры высшей и прикладной математики ПГТУ Сегодня пенсионное обслуживания основано на двух принципах: вопервых, - страхование и, во-вторых, - социальная защита. Первый реализуется в использовании ежемесячных отчислений как своеобразных страховых выплат в Пенсионный Фонд, а также прямой зависимости размера пенсий от величины отчислений и трудового стажа. Второй - в необходимости постоянных доплат в ПФ из бюджета, с тем, чтобы уровень пенсий соответствовал прожиточному минимуму. Суть второго подхода воплощается в утверждении, что каждое поколение содержит своих стариков, что подтверждается практикой почти всех государств.[1] Система пенсионного обслуживания включает государственные и частные пенсионные фонды, причем последние могут быть организованны как финансовыми компаниями, так и производственными предприятиями. С точки зрения получателей, пенсионное обслуживание представляет сочетание государственной заботы (государственные пенсионные фонды), частного интереса (предприятия, организующие при себе пенсионный фонд имеют дополнительные источники финансирования, причем они не облагаются налогами), собственной заинтересованности людей в пределах дополнительного пенсионных отчислений. Эта система, называемая 3-х ярусной или 3-х уровневой, была зафиксирована как наиболее рациональная Всемирным банком развития и рекомендована для внедрения. Первый - предотвращает бедность в пожилом возрасте, предоставляя минимум социальных пенсий, финансируемых из бюджета; Второй - функция сохранения привычного уровня жизни и получения достаточного дохода через обязательную профессиональную пенсию полностью формируемую с помощью накопительной системы; Третий - функция сохранения высокого уровня жизни и дохода, обеспеченная самой личностью.[3] Назначение и выплата пенсий и пособий (пенсионное обслуживание) – это дело районных и городских отделов социальной защиты. Информация, необходимая для реализации такой функции, поступающей от предприятий и организаций, расположенных на этой территории, и от граждан, которые здесь живут. Объемы работ по переработке соответствующего потока информации постоянно растут. Установлено, что в среднем один инспектор РВСЗН обслуживает около 2000 граждан. Наблюдается тенденция роста числа пенсионеров (сейчас их в Украине 14 млн. человек). Кроме того, процесс назначения и выплаты пенсий и помощи весьма трудоемкий. Учитывая указанное было принято решение о создании многоуровневой компьютерной информационной системы «Пенсионное обслуживание», которая должна автоматизировать все процессы по пенсионному 60
обеспечению населения Украины, включая назначение пенсий, пособий и компенсационных расходов, их начисления, формирование документов для выплаты отделениями связи» связи и Сбербанком, выполнение индивидуальных и массовых перечислений пенсий и помощи, выдачу исков предприятиям или организациям по суммам, которые выплатили органы социального обеспечения пенсионеров по инвалидности, вызванной увечьем или профессиональным заболеванием по вине предприятия. Автоматизированная информационная система «Пенсионное обслуживание» – это сеть АРМ специалистов управления социальной защитой населения (например, старшего инспектора и специалистов операционных отделов по выплате пенсий и т.п.), предназначенная для автоматизации выполняемых ими функций. Актуальность темы исследования обусловлена необходимостью разработки направлений и механизмов повышения эффективности деятельности организаций, предоставляющих пенсионные услуги населению Украины. Требуются новые подходы в области управления организациями пенсионного обслуживания населения и в связи с широкой, фактически глобальной в рамках страны их информатизацией, которая позволяет интегрировать обширные данные в национальных сетях. Кроме того, остро стоит проблема ограничения расходов на обеспечение функционирования организаций, осуществляющих пенсионное обслуживание населения. По мере реализации пенсионной реформы передовые технологии управления становятся все более значимым фактором в повышении качества предоставляемых услуг. В связи с этим возникает острая необходимость исследования передовых технологий управления региональными структурами Пенсионного фонда Украины. При этом важным представляется определить как, с одной стороны, обеспечить унификацию структур пенсионной системы, а с другой, - создать экономичную, мало затратную, простую и удобную для клиентов организацию, осуществляющую их пенсионное обслуживание. В таком аспекте проблема совершенствования управления структурами системы пенсионного обслуживания населения приобретает особую актуальность, имеющую как научную, так и практическую значимость. Общая цель исследования состоит в поиске и аргументации новых путей решения важной научной задачи - дополнить концептуальные основы управления организациями, осуществляющими пенсионное обслуживание населения, механизмами, способствующими повышению их эффективности, улучшению качества предоставляемых услуг, и обосновать научно-практические рекомендаций по их использованию. Для достижения данной цели предполагается решение следующих конкретных задач: -уточнить сущность организаций, осуществляющих пенсионное обслуживание населения; -выявить и обосновать основные деловые процессы, протекающие в организациях, осуществляющих пенсионное обслуживание населения, 61
доказать целесообразность их учета при формировании структур управления данными организациями; -установить и обосновать основные направления совершенствования организационной культуры в структурах, осуществляющих пенсионное обслуживание населения; -установить и обосновать специфические показатели эффективного функционирования организаций пенсионного обслуживания населения; разработать и предложить стратегию совершенствования управления организациями, осуществляющими пенсионное обслуживание населения, в условиях пенсионной реформы; -определить особенности и тенденции формирования негосударственных организаций пенсионного обслуживания населения, мотивы и стимулы, привлекающие клиентов к сотрудничеству с ними. Объектом исследования являются процессы совершенствования управления организациями пенсионного обслуживания населения. Предметом исследования являются управленческие и связанные с ними социально-экономические отношения, возникающие в процессе совершенствования организационно-экономических механизмов управления организациями пенсионного обслуживания населения. 1. 2. 3. 4.
5.
Список использованной литературы: Брунев В.В /Монетизация экономики Украины / Финансы Украины 1999 - № 6 - С 18-22 Булгакова С.О, Колодий О.Т/ История казначейства:/Учебное пособие М.: КНТЭУ, 2002 - с 138 Вирван Л /Международный валютный фонд и Украина: перспективы развития / Банковское дело - 1999 - № 6 - С 17-19 Итоги социально-экономического развития Украины в 2000 году и задачи на 2001 год Выступление Президента Украины ЛД Кучмы на заседании Национального совета по согласованию деятельности общегосударственных и р региональных органов и местного самоуправления / / Правительственный курьер - 2001 - 14 мартаерезня. Шевчук В.О. /Государственные финансы зарубежных странах/ Финансы Украины - 2002 - № 2 - С 3-12
62
Применение кольцевой арматуры для изготовления сферической полигональной самонесущей композитной панели, применяемой в строительстве цилиндрически-образных и купольных зданий. Преимущества строительства данных зданий Проскурина Вероника Владимировна, студентка Архитектурно - строительного института Тольяттинского государственного университета Изготовление сферических полигональных композитных панелей происходит методом многоярусного бетонирования с применением «пленочной технологии». Опалубка и оснастка для многоярусного литья конструкций цилиндрически-образных и купольных зданий разработана на принципе использования специального скользящего элемента, позволяющего изогнуть несущую арматуру, - кольцевой арматуры.
Рисунок 1. Изготовление панелей методом многоярусного бетонирования с использованием кольцевой арматуры Использование кольцевой арматуры позволяет создавать каркас с подвижными узлами, несопротивляющийся изгибу конструкции и позволяющий, при её переводе в проектную пространственную форму, сохранять расстояние между верхним и нижним поясами посредством скольжения. Для исключения возникновения «мостиков холода» в конструкцию закладывается сплошной слой утеплителя.
63
Рисунок 2. Состав конструкции. Движение кольцевой (проскальзывающей) арматуры происходит за счет изгибания утеплителя.
Рисунок 3. Принцип движения кольцевой арматуры. Жесткость конструкции (сопротивление изгибу) обеспечивается сцеплением верхнего и нижнего поясов кольцевой арматурой, которая после затвердевания бетона становится прочным связывающим элементом.
Рисунок 4. Сопротивление изгибу за счет кольцевой арматуры. Строительство купольных зданий, состоящих из сферических полигональных самонесущих композитных панелей, имеет ряд преимуществ: Способность выдерживать большую снеговую нагрузку. Высокая сейсмоустойчивость. Аэродинамика куполов обеспечивает огибание ветрами. 64
Энергосбережение: снижаются расходы на обогрев и кондиционирование. Возможность моделирования сложных объемов из простых по принципу полигональности; Элементы строительной конструкции являются самонесущими и композитными (тёплыми и легкими); Простая опалубка и упрощенная схема монтажа делают данные конструкции дешевыми; Отливка многоярусным способом – экономия средств на опалубку, уменьшение площадей и затрат на складирование; Изготовление всех элементов конструкции на месте монтажа.
Рисунок 5. Аэродинамика и энергосбережение купольных зданий.
65
Наукове видання Міжнародна науково – практична конференція «Теоретичні та прикладні проблеми технічних і математичних наук» Збірник матеріалів Міжнародної науково - практичної конференції (м.Київ, Україна, 7 лютого 2014р.)
66
67