9781009317030book_p001-375

University Printing House, Cambridge CB2 8BS, United Kingdom

One Liberty Plaza, 20th Floor, New York, NY 10006, USA

477 Williamstown Road, Port Melbourne, VIC 3207, Australia 314–321, 3rd Floor, Plot 3, Splendor Forum, Jasola District Centre, New Delhi – 110025, India 103 Penang Road, #05-06/07, Visioncrest Commercial, Singapore 238467

Cambridge University Press is part of the University of Cambridge. It furthers the University’s mission by disseminating knowledge in the pursuit of education, learning and research at the highest international levels of excellence. www.cambridge.org

© Cambridge University Press 2022

This publication is in copyright. Subject to statutory exception and to the provisions of relevant collective licensing agreements, no reproduction of any part may take place without the written permission of Cambridge University Press.

First edition 2022 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Printed in Vietnam by FAHASA Printing House

A catalogue record for this publication is available from the British Library ISBN 978-1-009-31703-0 Paperback with Digital Access (1 year) ISBN 555-5-559-50382-3 Digital Learner's Book (1 year)

Cambridge University Press has no responsibility for the persistence or accuracy of URLs for external or third-party internet websites referred to in this publication, and does not guarantee that any content on such websites is, or will remain, accurate or appropriate. Information regarding prices, travel timetables, and other factual information given in this work is correct at the time of first printing but Cambridge University Press does not guarantee the accuracy of such information thereafter.

Projects and their accompanying teacher guidance have been written by the NRICH team. NRICH is an innovative collaboration between the Faculties of Mathematics and Education at the University of Cambridge, which focuses on problem solving and on creating opportunities for students to learn mathematics through exploration and discussion https://nrich.maths.org

Welcome to Cambridge Lower Secondary Mathematics Stage 7

The Cambridge Lower Secondary Mathematics course covers the Cambridge Lower Secondary Mathematics curriculum framework and is divided into three stages: 7, 8 and 9.

During your course, you will learn a lot of facts, information and techniques. You will start to think like a mathematician.

This book covers all you need to know for Stage 7. The curriculum is presented in four content areas:

• Number

• Algebra

• Geometry and measures

• Statistics and probability.

This book has 16 units, each related to one of the four content areas. However, there are no clear dividing lines between these areas of mathematics; skills learned in one unit are often used in other units.

The book encourages you to understand the concepts that you need to learn, and gives opportunity for you to practise the necessary skills.

Many of the questions and activities are marked with an icon that indicates that they are designed to develop certain thinking and working mathematically skills. There are eight characteristics that you will develop and apply throughout the course:

• Specialising – testing ideas against specific criteria;

• Generalising – recognising wider patterns;

•

Conjecturing – forming questions or ideas about mathematics;

• Convincing – presenting evidence to justify or challenge a mathematical idea;

• Characterising – identifying and describing properties of mathematical objects;

• Classifying – organising mathematical objects into groups;

• Critiquing – comparing and evaluating ideas for solutions;

• Improving – Refining your mathematical ideas to reach more effective approaches or solutions. Your teacher can help you develop these skills, and you will also develop your ability to apply these different strategies. We hope you will find your learning interesting and enjoyable.

Greg Byrd, Lynn Byrd and Chris Pearce

Chào mừng các em học sinh đến với Giai đoạn 7 của Chương trình Cambridge Toán học bậc Trung học cơ sở Giáo trình Cambridge Toán học bậc Trung học cơ sở bao gồm khung chương trình giảng dạy của Chương trình Cambridge Toán học bậc Trung học cơ sở và được chia thành ba giai đoạn: 7, 8 và 9. Xuyên suốt chương trình, các em sẽ học được rất nhiều dữ kiện, thông tin và phương pháp. Các em sẽ bắt đầu tư duy như một nhà Toán học.

Cuốn sách này sẽ bao gồm tất cả những kiến thức các em cần biết cho Giai đoạn 7. Chương trình học được trình bày theo bốn lĩnh vực nội dung:

• Số học

• Đại số

• Hình học và đo lường

• Thống kê và xác suất.

Cuốn sách này gồm 16 học phần, mỗi học phần liên quan đến một trong bốn lĩnh vực nội dung kể trên.

Tuy nhiên, không có sự phân chia ranh giới rõ ràng giữa các lĩnh vực Toán học này; các kĩ năng được học trong mỗi học phần cũng thường được sử dụng trong các học phần khác.

Cuốn sách này khuyến khích các em hiểu rõ các khái niệm mà các em cần phải học và tạo cho các em cơ hội để thực hành các kĩ năng cần thiết.

Nhiều câu hỏi và hoạt động được đánh dấu bằng biểu tượng nhằm thể hiện rằng chúng được thiết kế để phát triển kĩ năng Tư duy và Làm việc theo Toán học cụ thể.

Có tám đặc tính mà các em sẽ học và ứng dụng trong suốt chương trình học:

• Cụ thể hoá – thử nghiệm các ý tưởng dựa trên các tiêu chí cụ thể;

• Khái quát hoá – nhận biết bao quát các quy luật hơn;

• Phỏng đoán – hình thành các câu hỏi hoặc ý tưởng Toán học;

• Thuyết phục – trình bày bằng chứng để lí giải hoặc thử thách một ý tưởng Toán học;

• Đặc điểm hoá – xác định và mô tả các tính chất của các đối tượng Toán học;

• Phân loại – sắp xếp các đối tượng Toán học thành các nhóm;

• Phản biện – so sánh và đánh giá các ý tưởng cho lời giải;

• Cải tiến – tinh chỉnh các ý tưởng Toán học của mình để có phương pháp tiếp cận hoặc lời giải hiệu quả hơn. Giáo viên có thể giúp học sinh phát triển những kĩ năng này, và các em sẽ phát triển được khả năng ứng dụng những chiến lược khác nhau vào Toán học.

Chúng tôi hi vọng các em sẽ cảm thấy Toán học luôn hấp dẫn và thú vị.

Greg Byrd, Lynn Byrd và Chris Pearce

Page Unit

5–6 How to use this book

7 Acknowledgements

8–29 1 Integers

Strand of mathematics

1.1 Adding and subtracting integers

1.2 Multiplying and dividing integers

1.3 Lowest common multiples

1.4 Highest common factors

1.5 Tests for divisibility

1.6 Square roots and cube roots Number

30 Project 1 Mixed-up properties

31–60 2 Expressions, formulae and equations

2.1 Constructing expressions

2.2 Using expressions and formulae

2.3 Collecting like terms

2.4 Expanding brackets

2.5 Constructing and solving equations

2.6 Inequalities

Algebra

61–74 3 Place value and rounding

3.1 Multiplying and dividing by powers of 10

3.2 Rounding Number 75–100 4 Decimals

4.1 Ordering decimals

4.2 Adding and subtracting decimals

4.3 Multiplying decimals

4.4 Dividing decimals

4.5 Making decimal calculations easier Number 101–127 5 Fractions

5.1 Ordering fractions

5.2 Adding mixed numbers

5.3 Multiplying fractions

5.4 Dividing fractions

5.5 Making fraction calculations easier Number

128 Project 2 Fraction averages 129–149 6 Angles and constructions

6.1 A sum of 360°

6.2 Intersecting lines 6.3 Drawing lines and quadrilaterals

150 Project 3 Clock rectangles 151–176 7 Shapes and symmetry

7.1 Identifying the symmetry of 2D shapes

7.2 Circles and polygons

7.3 Recognising congruent shapes 7.4 3D shapes

177–188 8 Collecting data

8.1 Conducting an investigation

8.2 Taking a sample

Geometry and measure

Geometry and measure

Statistics

Trang Học phần

5–6 Hướng dẫn sử dụng sách

7 Lời cảm ơn

8-29 1 Số nguyên

1.1 Phép cộng và phép trừ số nguyên

1.2 Phép nhân và phép chia số nguyên

1.3 Bội chung nhỏ nhất

1.4 Ước chung lớn nhất

1.5 Dấu hiệu chia hết 1.6 Căn bậc hai và căn bậc ba

30 Dự án 1 Các tính chất bị xáo trộn

31–60 2 Biểu thức, công thức và phương trình

2.1 Xây dựng biểu thức

2.2 Sử dụng biểu thức và công thức

2.3 Thu gọn hạng tử đồng dạng

2.4 Khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc

2.5 Lập và giải phương trình

2.6 Bất phương trình

61–74 3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

3.1 Phép nhân và phép chia cho luỹ thừa của 10

3.2 Làm tròn số

75–100 4 Số thập phân

4.1 Sắp xếp các số thập phân theo thứ tự

4.2 Phép cộng và phép trừ số thập phân

4.3 Phép nhân số thập phân

4.4 Phép chia số thập phân

4.5 Tính nhanh với số thập phân

101–127 5 Phân số

5.1 Sắp xếp các phân số theo thứ tự

5.2 Phép cộng hỗn số 5.3 Phép nhân phân số

5.4 Phép chia phân số 5.5 Tính nhanh với phân số

128 Dự án 2 Trung bình của phân số

129–149 6 Góc và cách dựng góc

6.1 Tổng các góc bằng 360o

6.2 Các đường thẳng cắt nhau 6.3 Vẽ đường thẳng và tứ giác

150 Dự án 3 Hình chữ nhật trên mặt đồng hồ

151–176 7 Hình và tính đối xứng của hình

7.1

Mạch Toán học

Số học

Đại số

Số học

Số học

Số học

Hình học và đo lường

How to use this book

How to use this book

In this book you will find lots of different features to help your learning.

Questions to find out what you know already.

What you will learn in the unit.

Important words to learn.

Step-by-step examples showing how to solve a problem.

These questions will help you develop your skills of thinking and working mathematically.

Quyển sách này bao gồm nhiều phần khác nhau để hỗ trợ cho quá trình học tập của em.

Những câu hỏi kiểm tra kiến thức em đã biết.

Những nội dung các em sẽ học trong mỗi học phần.

Những từ vựng quan trọng cần học.

Ví dụ trình bày cách giải một bài toán theo từng bước.

5t 3t = 2t và 7 + 3 = 10, nhưng 2t và 10 không phải là các hạng tử đồng dạng, nên em không thể rút gọn thêm nữa.

Những câu hỏi này sẽ giúp các em phát triển các kĩ năng Tư duy và Làm trục số số nguyên âm số nguyên dương 2x và 3x là các hạng tử đồng dạng, cộng chúng lại, ta được 5x 7y và 2y là các hạng tử đồng dạng, thực hiện phép tính trừ, ta được 5y 4p + 2p = 6p và 3q q = 2q, nhưng 6p và 2q không phải là các hạng tử đồng dạng, nên em không thể rút gọn thêm nữa.

Nhân để bỏ dấu ngoặc giải

Đây là một phần trong bài tập về nhà của Bethan, bạn ấy đã mắc lỗi ở tất cả các câu trả lời. Hãy chỉ rõ những lỗi sai của Bethan và giúp bạn sửa lại cho đúng.

Câu hỏi

These investigations, to be carried out with a partner or in a group, will help develop skills of thinking and working mathematically.

Questions to help you think about how you learn.

This is what you have learned in the unit.

Questions that cover what you have learned in the unit. If you can answer these, you are ready to move on to the next unit.

At the end of several units, there is a project for you to carry out, using what you have learned. You might make something or solve a problem.

How use this book

Những cuộc khảo sát được thực hiện theo cặp hoặc theo nhóm sẽ giúp các em phát triển các kĩ năng Tư duy và Làm việc theo Toán học.

Các câu hỏi giúp em tư duy về cách học tập.

Đây là những gì các em đã học được trong mỗi học phần.

Những câu hỏi bao quát những nội dung em đã học trong học phần. Nếu em có thể trả lời được những câu hỏi này, em đã sẵn sàng để chuyển sang học phần tiếp theo.

Ở cuối một số học phần, em sẽ thực hiện một dự án bằng cách vận dụng những kiến thức đã học. Em có thể tạo ra một sản phẩm hoặc giải một bài toán nào đó.

Hướng dẫn sử dụng sách kiến thức

Em có thể cộng tra sự tiến bộ của

Tìm hai số nguyên có tổng bằng 2 và tích bằng –15.

Tìm hai số nguyên có tổng bằng 3 và tích bằng –70. Tìm số còn thiếu.

Tìm tất cả các ước chung của 16 và 24.

Tìm tất cả các bội chung lớn hơn 50 và nhỏ hơn 70 của 6.

Tìm bội chung nhỏ nhất của 6 và 15.

Tìm ước chung lớn nhất của 26 và 65. Rút gọn

Acknowledgements

The authors and publishers acknowledge the following sources of copyright material and are grateful for the permissions granted. While every effort has been made, it has not always been possible to identify the sources of all the material used, or to trace all copyright holders. If any omissions are brought to our notice, we will be happy to include the appropriate acknowledgements on reprinting.

Thanks to the following for permission to reproduce images:

Cover image: ori-artiste

Inside: Pinghung Chen/GI; Tetra Images/GI; Rzelich/GI; Funnybank/GI; Viktoria Molodkina/GI; Filo/GI; Amtitus/GI; Nitat Termmee/GI; MediaNews Group/GI; Aeduard/GI; Lucas Allen/GI; Marco Guidi /GI; Veronica Vacis/GI; Sergio Parisi/GI; Triloks/GI; Luis Dafos/GI; KHH 1971/GI; Marco Guidi/GI; Bubaone/GI; Fotog/ GI; Alex Segre/GI; Narvikk/GI; AndreyPopov/GI; Shafiq Amirul /GI; ROBERT BROOK/GI; Jeff Greenberg/GI; DGLimages/GI; Tetra Images/GI; Witthaya Prasongsin/GI; PHAS/GI; Fanjianhua/GI; Traffic analyzer/GI; Filo/GI; RobHowarth/ GI; Luoman/GI; Tolimir/GI; Luis Diaz Devesa/GI; Luis Diaz Devesa/GI; Flashpop/ GI; Luis Diaz Devesa/GI; Tim Platt/GI; Fancy/Veer/GI; Luis Diaz Devesa/GI; ROBERT BROOK/GI; Filo/GI; Vale t/GI; Sean Gallup/GI; WIN Initiative/GI; 35007/GI; Lasagnaforone/GI; Brighton Dog Photography/GI; Stefano Bianchetti/ GI; Mohamad Ridzuan Abdul Rashid/GI; 2ndLookGraphics/GI; DesignSensation/ GI; BlackJack3D/GI; Anton Luhr/GI; Andreas Naumann /GI; Jorg Greuel/GI; MarsYu/GI; Filo/GI; JESPER KLAUSEN/GI; Mohd Azri Suratmin/GI; Witthaya Prasongsin/GI; Ahlobystov/GI; Matteo Colombo/GI; Andresr/GI; Spooh/GI; John shepherd/GI; Simonlong/GI; SEAN GLADWELL/GI; Piranka/GI; SolStock/GI; SERGII IAREMENKO/GI; Imagenavi/GI; Christine Korten/GI; Jonathan Kitchen/ GI; Jekaterina Nikitina/GI; Westend61/GI; JoeGough/GI; John Seaton Callahan/GI; Inkit/GI; DariuszPa/GI; Mirrorpix/GI; Jekaterina Nikitina/GI; FotografiaBasica/GI; Mustafahacalaki/GI; Omar Vega/GI; Hiroshi Watanabe/GI; Oxygen/GI; Peerapong Peattayakul/GI; Paper Boat Creative/GI; Deepblue4you/GI; Scaliger/GI; Carmen Martínez Torrón/GI; Itsskin/GI; Beastfromeast/GI; Monal Chang/GI; Mike Powles/ GI; Rosley Majid/GI; EdoMor/GI.

Key: GI= Getty Images

Lời cảm

Nhóm tác giả và nhà xuất bản xin gửi lời cảm ơn đến các nguồn tài liệu có bản quyền dưới đây và chúng tôi rất biết ơn vì đã nhận được sự cho phép từ các đơn vị này. Tuy đã nỗ lực rất nhiều, nhưng chúng tôi không phải lúc nào cũng xác định được toàn bộ các nguồn tài liệu đã sử dụng hoặc tìm ra tất cả những cá nhân/tổ chức nắm giữ bản quyền. Nếu được thông báo về bất kì thiếu sót nào, chúng tôi rất sẵn lòng gửi đến họ lời cảm ơn trong lần in tiếp theo.

Xin gửi lời cảm ơn tới các đơn vị, cá nhân sau đây đã cho phép chúng tôi sử dụng hình ảnh:

Ảnh bìa được thiết kế bởi: ori-artiste

Hình ảnh trong sách: Pinghung Chen/GI; Tetra Images/GI; Rzelich/GI; Funnybank/GI; Viktoria Molodkina/GI; Filo/GI; Amtitus/GI; Nitat Termmee/GI; MediaNews Group/ GI; Aeduard/GI; Lucas Allen/GI; Marco Guidi /GI; Veronica Vacis/GI; Sergio Parisi/GI; Triloks/GI; Luis Dafos/GI; KHH 1971/GI; Marco Guidi/GI; Bubaone/GI; Fotog/GI; Alex Segre/GI; Narvikk/GI; AndreyPopov/GI; Shafiq Amirul /GI; ROBERT BROOK/GI; Jeff Greenberg/GI; DGLimages/GI; Tetra Images/GI; Witthaya Prasongsin/GI; PHAS/GI; Fanjianhua/GI; Traffic analyzer/GI; Filo/GI; RobHowarth/GI; Luoman/GI; Tolimir/GI; Luis Diaz Devesa/GI; Luis Diaz Devesa/GI; Flashpop/GI; Luis Diaz Devesa/GI; Tim Platt/ GI; Fancy/Veer/GI; Luis Diaz Devesa/GI; ROBERT BROOK/GI; Filo/GI; Vale t/GI; Sean Gallup/GI; WIN Initiative/GI; 35007/GI; Lasagnaforone/GI; Brighton Dog Photography/ GI; Stefano Bianchetti/GI; Mohamad Ridzuan Abdul Rashid/GI; 2ndLookGraphics/ GI; DesignSensation/GI; BlackJack3D/GI; Anton Luhr/GI; Andreas Naumann /GI; Jorg Greuel/GI; MarsYu/GI; Filo/GI; JESPER KLAUSEN/GI; Mohd Azri Suratmin/GI; Witthaya Prasongsin/GI; Ahlobystov/GI; Matteo Colombo/GI; Andresr/GI; Spooh/GI; John shepherd/GI; Simonlong/GI; SEAN GLADWELL/GI; Piranka/GI; SolStock/GI; SERGII IAREMENKO/GI; Imagenavi/GI; Christine Korten/GI; Jonathan Kitchen/GI; Jekaterina Nikitina/GI; Westend61/GI; JoeGough/GI; John Seaton Callahan/GI; Inkit/GI; DariuszPa/ GI; Mirrorpix/GI; Jekaterina Nikitina/GI; FotografiaBasica/GI; Mustafahacalaki/GI; Omar Vega/GI; Hiroshi Watanabe/GI; Oxygen/GI; Peerapong Peattayakul/GI; Paper Boat Creative/GI; Deepblue4you/GI; Scaliger/GI; Carmen Martínez Torrón/GI; Itsskin/GI; Beastfromeast/GI; Monal Chang/GI; Mike Powles/GI; Rosley Majid/GI; EdoMor/GI.

Getting started

1 Put these numbers in order, from smallest to largest: 9, −7, 6, −5, 3, 0.

2 Find the multiples of 9 that are less than 50.

3 Find the factors of 15.

4 Work out 132 − 122. Write your answer as a square number

When you count objects, you use the positive whole numbers 1, 2, 3, 4, … Whole numbers are the first numbers that humans invented.

You can use these numbers for more than counting. For example, to measure temperature it is useful to have the number 0 (zero) and negative whole numbers −1, −2, −3, …

You can put these numbers on a number line.

1, 2, 3, 4, … are sometimes called positive numbers to distinguish them from the negative numbers −1, −2, −3, −4, … Positive and negative whole numbers together with zero are called integers In this unit you will learn about integers and their properties. Integers

Số nguyên

Bắt đầu nào!

1 Sắp xếp các số sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: 9, 7, 6, 5, 3, 0.

2 Tìm các bội nhỏ hơn 50 của 9.

3 Tìm các ước của 15.

4 Tính 132 – 122. Viết kết quả dưới dạng số chính phương

Khi đếm các đồ vật, các em sử dụng số nguyên dương 1, 2, 3, 4,… Số nguyên là các số đầu tiên mà con người phát minh ra.

Những số này không chỉ được dùng để đếm.

Ví dụ, việc sử dụng số 0 (không) và các số nguyên âm –1, –2, –3,… rất hữu ích khi

đo nhiệt độ.

Các em có thể biểu diễn các số này trên trục số

Các số 1, 2, 3, 4,… đôi khi còn được gọi là số dương để phân biệt với các số âm như

–1, –2, –3, –4,…

Số nguyên dương và số nguyên âm cùng với số 0 được gọi là các số nguyên

Trong học phần này, các em sẽ học về các số nguyên và tính chất của chúng.

1.1 Adding and subtracting integers

In this section

• add subtract integers.

Integers are positive and negative whole numbers, together with zero. You can show integers on a number line.

–6–5–4–3–2–10123456

Integers greater than zero are positive integers: 1, 2, 3, 4, … Integers less than zero are negative integers: −1, −2, −3, −4, … You can use a number line to help you to add integers.

Key words integers inverse inverse operation number negative integers positive integers Tip The ‘…’ (called an elipsis) shows that the lists continue forever.

Worked example

Work out: a −4 + 6 b 8 + −3 c −3 + −5 Answer

a You can use a number line to help you. Start at −4. Move 6 to the right. –5–4 –3 –2 –1 0123456 −4 + 6 = 2

b Start at 8. Move 3 to the left. You move to the left because it is −3. –3–2–1012345678 9 8 + −3 = 5

c Start at −3. Move 5 to the left. −3 + −5 = −8

1 Số nguyên

1.1 Phép cộng và phép trừ số nguyên

Trong phần này, em sẽ… • cộng và trừ các số nguyên dương và số nguyên âm.

Số nguyên gồm các số nguyên dương, số nguyên âm và số 0. Các số nguyên có thể được biểu diễn trên trục số.

–6–5–4–3–2–10123456

Các số nguyên lớn hơn 0 là số nguyên dương: 1, 2, 3, 4,…

Các số nguyên nhỏ hơn 0 là số nguyên âm: 1, 2, 3, 4,…

Em có thể sử dụng trục số để cộng các số nguyên.

Từ khoá số nguyên số đối phép toán ngược trục số số nguyên âm số nguyên dương

Mách nhỏ

Dấu “…“ (được gọi là dấu chấm lửng) thể hiện rằng danh sách kéo dài vô tận.

Subtraction is the inverse operation of addition. The inverse of 3 is −3. The inverse of −5 is 5. To subtract an integer, you add the inverse. You can draw a number line to help you.

Worked example 1.2

Work out:

a 2 − 6 b −4 − −3 c 2 − −4

Answer

a 2 − 6 = 2 + −6 –3–4–5–2–10123–6 2 − 6 = 2 + −6 = −4

b −4 − −3 = −4 + 3 –2–3–4–1012–5 −4 − −3 = −4 + 3 = −1

c 2 − −4 = 2 + 4 = 6 32145680 7

Worked example 1.3

Add the inverse of 6. The inverse of 6 is −6.

Add the inverse of −3. The inverse of −3 is 3.

Estimate the answers to calculations by rounding the numbers.

a −48 + −73 b 123 − 393 c 6.15 − −4.87

Answer

a −48 + −73 is approximately −50 + −70 = −120 This is rounding to the nearest 10.

b 123 − 393 is approximately 100 − 400 = −300

c 6.15 − −4.87 is approximately 6 − −5 = 6 + 5 = 11

This is rounding to the nearest hundred.

This is rounding to the nearest whole number.

Phép trừ là phép toán ngược của phép cộng. Số đối của 3 là 3. Số đối của 5 là 5.

Để trừ cho một số nguyên, em cộng với số đối của nó. Em có thể vẽ trục số để thực hiện phép tính.

Ví dụ minh hoạ 1.2

Tính: a 2 − 6 b −4 − −3 c 2 − −4

Lời giải a 2 − 6 = 2 + −6 –3–4–5–2–10123–6 2 − 6 = 2 + −6 = −4 Cộng với số đối của 6. Số đối của 6 là 6. b −4 − −3 = −4 + 3 –2–3–4–1012–5 −4 − −3 = −4 + 3 = −1

c 2 − −4 = 2 + 4 = 6 32145680 7

Ví dụ minh hoạ 1.3

Ước lượng kết quả của

Cộng với số đối của 3. Số đối của 3 là 3.

Exercise 1.1

1 Do these additions.

a −3 + 4 b 3 + −7 c −4 + −4 d 9 + −5

2 Do these subtractions.

a −1 − 5 b 3 − −5 c −3 − 7 d −4 − −6

3 Work out: a 4 + −6 b 4 − −6 c −4 + 6 d −4 − 6

4 Work out the missing integers.

a 6 + = 10 b 6 + = 4 c 6 + = −4 d 6 + = 0

5 Two integers add up to −4. One of the integers is 5. Work out the other integer.

6 −1 and 7 is a pair of integers that add up to 6.

a Find four pairs of integers that add up to 1. b How can you see immediately that two integers add up to 1?

7 ● and ▲ are two integers.

a Show that ● + ▲ and ▲ + ● have the same value.

b Do ● − ▲ and ▲ − ● have the same value? Give evidence to justify your answer.

8 Copy and complete this addition table. + −4 6 −2 3 9 −5

Tip A ‘pair of integers’ means ‘two integers’.

9 Copy and complete these addition pyramids. The first one has been started for you. a –2 3–51 b –2–35 c 2–4–6 d –3 2 3 e –6 2 –7

Tip

In part a, 3 + −5 = −2.

1 Số nguyên

Bài tập 1.1

1 Thực hiện các phép cộng sau.

a −3 + 4 b 3 + −7 c −4 + −4 d 9 + −5

2 Thực hiện các phép trừ sau.

a −1 − 5 b 3 − −5 c −3 − 7 d −4 − −6

3 Tính:

a 4 + −6 b 4 − −6 c −4 + 6 d −4 − 6

4 Tìm các số nguyên còn thiếu.

a 6 + = 10 b 6 + = 4 c 6 + = −4 d 6 + = 0

5 Tổng của hai số nguyên bằng −4. Một trong hai số đó là 5. Tìm số còn lại.

6 −1 và 7 là một cặp số nguyên có tổng bằng 6.

a Tìm bốn cặp số nguyên có tổng bằng 1.

b Làm thế nào em có thể nhận ra ngay hai số nguyên có tổng bằng 1?

7 ● và ▲ là hai số nguyên.

a Cho biết vì sao ● + ▲ và ▲ + ● có giá trị bằng nhau.

b ● ▲ và ▲ ● có bằng nhau không? Đưa ra dẫn chứng để lí giải cho câu trả lời của em.

8 Chép lại và hoàn thành bảng tính cộng sau. −4 6 −2

9 Chép lại và hoàn thành các kim tự tháp cộng sau. Một ô trong tháp cộng đầu tiên đã được điền sẵn.

Mách nhỏ

Một “cặp số nguyên“ có nghĩa là “hai số nguyên“.

Mách nhỏ

Trong phần a, 3 + −5 = −2.

a –2 b –2–35 e –6 2 –7

How are parts d and e different from parts a, b and c?

10 Estimate the answers to these questions. Round the numbers to the nearest whole number.

a −3.14 + 8.26 b −5.93 6.37

c 3.2 −6.73 d −13.29 + −5.6

11 Estimate the answers to these questions.

a −67 + 29 b −82 47

c 688 −512 d −243 + −514

12 a Work out:

i −3 + 4 + −5

ii −5 + 4 + −3

iii −3 + −5 + 4 iv −3 + 4 + −5

b What do the answers to part a show? Is this true for any three integers?

Think like a mathematician

13 a Copy and complete this addition table.

Tip

For part i, first add −3 and 4. Then add −5 to the answer.

b Add the four answers inside the addition table.

c Add the four integers on the side and the top of the addition table.

d What do you notice about the answers to parts b and c? Is this true for any addition table? Give evidence to justify your answer. + −5 7 4 −3

How did you do the investigation in part d? Could you improve your method?

14 Three integers are equally spaced on a number line. Two of the integers are −3 and 7.

a What is the other integer? Is there more than one possible answer?

b Compare your answer with a partner’s. Critique each other’s method.

Summary checklist

I can add positive and negative integers. I can subtract positive and negative integers.

10 Ước lượng kết quả của các phép tính sau. Làm tròn các số đến hàng đơn vị. −3,14 + 8,26 −5,93 6,37 3,2 −6,73 −13,29 + −5,6

11 Ước lượng kết quả của các phép tính sau. −67 + 29 −82 47 688 −512 −243 + −514 a Tính: −3 + 4 + −5 −5 + 4 + −3 −3 + −5 + −3 + 4 + −5 Các kết quả trong phần thể điều gì? Điều này có đúng với mọi ba số nguyên

Mách nhỏ phần hãy được.

1.2 Multiplying and dividing integers

In this section you will … • multiply and divide with positive and negative integers.

3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12

In a similar way, −3 × 4 = −3 + −3 + −3 + −3 = −12.

5 × 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

In a similar way, 5 × −2 = −2 + −2 + −2 + −2 + −2 = −10.

Worked example 1.4

Work out:

a 6 × −4 b −9 × 3

Answer a 6 × 4 = 24 So 6 × −4 = −24. b 9 × 3 = 27 So −9 × 3 = −27.

Division is the inverse operation of multiplication.

3 × 4 = 12 So 12 ÷ 4 = 3.

This is also true when you divide a negative integer by a positive integer. −3 × 4 = −12 So −12 ÷ 4 = −3.

The product of a positive and a negative integer is always negative. For example, 6 × −9 = −54 and −4 × 12 = −48.

The same is true for division. When one integer is positive and the other is negative, the answer is negative. For example, −48 ÷ 6 = −8 and 63 ÷ −7 = −9.

Worked example 1.5

Work out:

a −20 ÷ 5 b 20 ÷ 10 c 5 × (1 + −4)

Key word product

Tip

You say that ‘12 is the product of 3 and 4’ and that ‘−12 is the product of −3 and 4’.

Phép chia là phép toán ngược của phép nhân. 3 × 4 = 12 Vì vậy, 12 ÷ 4 = 3. Điều này cũng đúng khi em chia một số nguyên âm cho một số nguyên dương. −3 × 4= −12 Vì vậy, −12 ÷ 4 = −3. của một số nguyên dương và một số nguyên âm luôn là một số nguyên âm. Ví dụ, 6 × −9 = −54 và −4 × 12 = −48. tự với phép chia. Khi chia một số nguyên dương cho một số nguyên âm hoặc ngược lại, kết quả luôn là một số nguyên âm. Ví dụ, −48 ÷ 6 = −8 và 63 ÷ −7 = −9.

Ví

Tính: −20 ÷ 5 b 20 ÷ −10 5 × (1 + −4)

Continued Answer

a 20 ÷ 5 = 4, so −20 ÷ 5 = −4.

b 20 ÷ 10 = 2, so 20 ÷ 10 = −2.

c 1 + −4 = −3 5 × (1 + −4) = 5 × −3 = −15.

Exercise 1.2

1 Work out:

First, do the addition in the brackets Then multiply the answer by 5.

a 3 × −2 b 5 × −7 c 10 × −4 d 6 × −6

2 Work out:

a −15 ÷ 3 b −30 ÷ 6 c −24 ÷ 4 d 27 ÷ −9

3 Work out the missing numbers.

a 9 × = −18 b 5 × = −30 c −2 × = −14 d −8 × = −40

4 Work out the missing numbers.

a −12 ÷ = −3 b 18 ÷ = −9 c ÷ 4 = −4 d ÷ 10 = −2

5 The product of two integers is −10. Find the possible values of the two integers.

How can you be sure you have found all the possible answers?

6 Copy and complete this multiplication table.

7 Estimate the answers to these calculations by rounding to the nearest whole number.

a −3.2 × 6.8 b 9.8 × −5.35 c −16.1 ÷ 1.93 d 7.38 ÷ −1.86

8 Estimate the answers to these calculations by rounding the numbers.

a −53 × 39 b 32 × −61 c −38 × 9.3 d 493 ÷ −5.1

9 Work out these calculations. Do the calculation in the brackets first.

a 3 × (−6 + 2) b −4 × (−1 + 7) c 5 × (−2 − 4) d −2 × (3 − −7) × −3 −5 5 7

1 Tính:

a 3 × −2 b 5 × −7 10 × −4 d 6 × −6

2 Tính: −15 ÷ 3 b −30 ÷ 6 c −24 ÷ 4 d 27 ÷ −9

3 Tìm các số còn thiếu.

a 9 × = −18 b 5 × = −30 c −2 × = −14 d −8 × = −40

4 Tìm các số còn thiếu.

a −12 ÷ = −3 b 18 ÷ = −9 c ÷ 4 = −4 d ÷ 10 = −2

10 a Copy and complete these divisions.

For example, −20 ÷ 2 = −10.

b Can you add any more lines to the diagram? You must divide by a positive integer. The answer must be an integer.

c Draw a similar diagram with −28 in the centre.

d Compare your answer to part c with a partner’s. Do you agree?

11 In these diagrams, the integer in a square is the product of the integers in the circles next to it. For example, −3 × 4 = −12. Copy and complete the diagrams.

a –3 –5 –124 2 b 6–18 –12 –5 –20 ÷4÷2 ÷10÷5 –10

Think like a mathematician

12 This diagram is similar to the diagrams in Question 11. The numbers in the circles must be integers. Copy and complete the diagram. Are there different ways to do this? –10 –30–8 –24

Summary checklist

I can multiply a negative integer by a positive integer. I can divide a negative integer by a positive integer.

1 Số nguyên

10 a Chép lại và hoàn thành các phép chia sau. Ví dụ, −20 ÷ 2 = −10.

b Em có thể thêm nhánh vào sơ đồ không? Phép chia mà em thêm vào phải có số chia là một số nguyên dương. Kết quả của phép chia phải là một số nguyên.

c Vẽ một sơ đồ tương tự với số −28 nằm ở trung tâm.

d So sánh đáp số cho phần c với bạn cùng nhóm. Em có đồng tình với đáp số của bạn không?

11 Trong các sơ đồ sau, số nguyên trong mỗi ô vuông là tích của hai số nguyên nằm trong các hình tròn bên cạnh nó. Ví dụ, −3 × 4 = −12. Chép lại và hoàn thành các sơ đồ. a –3 –5 –124 2 b 6–18 –12 –5 –20 ÷4÷2 ÷10÷5 –10

12 Sơ đồ bên tương tự với sơ đồ ở Câu hỏi 11. Các số ở trong các hình tròn phải

1.3 Lowest common multiples

In this section you will …

• find out about lowest common multiples.

The multiples of 4 are 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, …

The multiples of 6 are 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, …

The common multiples of 4 and 6 are 12, 24, 36, …

The lowest common multiple (LCM) of 4 and 6 is 12.

Worked example 1.6

Find the lowest common multiple of 6 and 10.

Answer

The multiples of 6 are 6, 12, 18, 24, 30, 36, …

Key words common multiple digit lowest common multiple multiple

Tip

4 × 1, 4 × 2, 4 × 3, and so on.

12 is the smallest number that is a multiple of both 4 and 6.

The last digit of a multiple of 10 is 0, so 30 is a multiple of 10 and it must be the LCM of 6 and 10.

Exercise 1.3

1 Write the first five multiples of: a 5 b 10 c 7 d 12

2 a Write the multiples of 3 that are less than 40.

b Write the multiples of 5 that are less than 40.

c Find the common multiples of 3 and 5 that are less than 40.

3 a Find the common multiples of 4 and 3 that are less than 50.

b Complete this sentence: The common multiples of 4 and 3 are multiples of …

1.3 Bội chung nhỏ nhất

Trong phần này, em sẽ…

• tìm hiểu về bội chung nhỏ nhất.

Các bội của 4 là 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40;…

Các bội của 6 là 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42;…

Các bội chung của 4 và 6 là 12; 24; 36;…

Bội chung nhỏ nhất (BCNN) của 4 và 6 là 12.

Từ khoá bội chung chữ số bội chung nhỏ nhất bội

Mách nhỏ

4 × 1, 4 × 2, 4 × 3, ... 12 là số nhỏ nhất mà vừa là bội của 4, vừa là bội của 6.

Ví dụ minh hoạ 1.6

Tìm bội chung nhỏ nhất của 6 và 10. Lời giải Các bội của 6 là 6, 12, 18, 24, 30, 36,… Chữ số tận cùng của một bội của 10 là 0, nên 30 là bội của 10 và 30 chính là BCNN của 6 và 10.

Bài

1 Viết năm bội đầu tiên của: a 5 b 10 c 7 d 12

2 a Viết các bội nhỏ hơn 40 của 3. b Viết các bội nhỏ hơn 40 của 5.

c Tìm các bội chung nhỏ hơn 40 của 3 và 5.

3 a Tìm các bội chung nhỏ hơn 50 của 4 và 3.

b Hoàn thành câu sau: Các bội chung của 4 và 3 là bội của…

4 Find the LCM of 8 and 12.

5

Find the LCM of 10 and 15.

6 Find the LCM of 7 and 8.

Think like a mathematician

7 Look at this statement: If A and B are two whole numbers, then A × B is a common multiple of A and B.

a Show that the statement is true when A = 4 and B = 7.

b Show that the statement is true when A = 6 and B = 5.

c Is the statement always true? Give evidence to justify your answer.

d Look at this statement: If A and B are two whole numbers, then A × B is the lowest common multiple of A and B. Is this statement true? Give evidence to justify your answer.

8 Find the LCM of 3, 4 and 6.

9 Find the LCM of 18, 9 and 4.

10 21 is the LCM of two numbers. What are the numbers?

11 30 is the LCM of two numbers. What are the numbers?

How did you answer questions 10 and 11? If you were asked another question similar to questions 10 and 11, would you do it the same way?

Summary checklist

I can find the lowest common multiple of two numbers by listing the multiples of each number.

1 Số nguyên

4 Tìm BCNN của 8 và 12.

5 Tìm BCNN của 10 và 15.

6 Tìm BCNN của 7 và 8.

Tư duy như một nhà Toán học

7 Cho phát biểu: Nếu A và B là hai số nguyên, thì A × B là một bội chung của A và B.

a Hãy chỉ ra phát biểu trên đúng với A = 4 và B = 7.

b Tương tự, hãy chỉ ra phát biểu vẫn đúng với A = 6 và B = 5.

c Liệu có phải phát biểu này luôn luôn đúng? Đưa ra dẫn chứng để lí giải cho câu trả lời của em.

d Xem xét phát biểu: Nếu A và B là hai số nguyên, thì A × B là bội chung nhỏ nhất của A và B. Phát biểu này có đúng không? Đưa ra dẫn chứng để lí giải cho câu trả lời của Tìm BCNN của và Tìm BCNN của 9 và 21 là BCNN của số. Đó là hai số nào? 30 là BCNN của hai số. Đó là hai số nào?

1.4 Highest common factors

In this section you will … • find out about highest common factors.

The factors of 18 are 1, 2, 3, 6, 9 and 18.

The factors of 27 are 1, 3, 9 and 27. The common factors of 18 and 27 are 1, 3 and 9. The highest common factor (HCF) of 18 and 27 is 9.

Worked example 1.7

Find the highest common factor of 28 and 42.

Answer

Find pairs of whole numbers that have a product of 28.

28 = 1 × 28 28 = 2 × 14 28 = 4 × 7

The factors of 28 are 1, 2, 4, 7, 14 and 28.

Find pairs of whole numbers that have a product of 42. 42 = 1 × 42 = 2 × 21 = 3 × 14 = 6 × 7

The factors of 42 are 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 and 42.

The common factors are 1, 2, 7 and 14. The highest common factor of 28 and 42 is 14.

Tip

Key words common factor factor highest common factor

18 = 1 × 18 or 2 × 9 or 3 × 6.

9 is the largest factor of both 18 and 27.

The common factors are in both of the lists of factors.

You can use a highest common factor to simplify a fraction as much as possible.

1.4 Ước chung lớn nhất

Trong phần này, em sẽ…

• tìm hiểu về ước chung lớn nhất.

Các ước của 18 là 1; 2; 3; 6; 9 và 18. Các ước của 27 là 1; 3; 9 và 27.

Các ước chung của 18 và 27 là 1; 3 và 9. Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của 18 và 27 là 9.

Ví dụ minh hoạ 1.7

Tìm ước chung lớn nhất của 28 và 42. Lời giải Tìm các cặp số nguyên mà tích của chúng bằng 28. 28 = 1 × 28 28 = 2 × 14 28 = 4 × 7

Các ước của 28 là 1; 2; 4; 7; 14 và 28.

Tìm các cặp số nguyên mà tích của chúng bằng 42. 42 = 1 × 42 = 2 × 21 = 3 × 14 = 6 × 7

Các ước của 42 là 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21 và 42.

Các ước chung là 1; 2; 7 và 14.

Ước chung lớn nhất của 28 và 42 là 14.

Từ khoá ước chung ước ước chung lớn nhất

Mách nhỏ

18 = 1 × 18 hay 2 × 9 hay 3 × 6.

9 là ước lớn nhất của cả 18 và 27.

Ước chung là các số nằm ở cả hai danh sách liệt kê các ước của hai số.

Em có thể sử dụng ước chung lớn nhất để rút gọn phân số đến mức tối giản.

Worked example 1.8

a Find the HCF of 16 and 40.

b Use your answer to part a to write the fraction 16 40 as simply as possible.

Answer

a The factors of 16 are 1, 2, 4, 8 and 16.

The largest number in this list that is a factor of 40 is 8 (because 8 × 5 = 40).

So, the HCF of 16 and 40 is 8.

b Simplify the fraction by dividing 16 and 40 by the HCF of 16 and 40.

From part a, the HCF of 16 and 40 is 8.

So, divide both 16 and 40 by 8. 16 40 2 5 =

Exercise 1.4

1 Find the factors of:

a 24 b 50 c 45 d 19

2 Find the factors of: a 33 b 34 c 35 d 36 e 37

3 a Find the common factors of 18 and 48. b Find the highest common factor of 18 and 48.

4 Find the highest common factor of: a 12 and 28 b 12 and 30 c 12 and 36

5 Find the highest common factor of: a 18 and 24 b 19 and 25 c 20 and 26 d 21 and 28

6 Find the highest common factor of: a 60 and 70 b 60 and 80 c 60 and 90

7

a Find the highest common factor of 35 and 56.

b Use your answer to part a to simplify the fraction 35 56 as much as possible.

Ví dụ minh hoạ 1.8

a Tìm ƯCLN của 16 và 40.

b Sử dụng kết quả ở phần a của em để viết phân số 16 40 dưới dạng phân số tối giản.

Lời giải

a Các ước của 16 là 1, 2, 4, 8 và 16.

Số lớn nhất trong các ước của 16, đồng thời cũng là ước của 40 là 8 (vì 8 × 5 = 40).

Do đó, ƯCLN của 16 và 40 là 8.

b Rút gọn phân số bằng cách chia 16 và 40 cho ƯCLN của chúng.

Từ phần a, ta có ƯCLN của 16 và 40 là 8. Vì vậy, ta chia cả 16 và 40 cho 8. 16 40 2 5 =

Bài tập 1.4

1 Tìm các ước của: a 24 b 50 c 45 d 19

2 Tìm các ước của: a 33 b 34 c 35 d 36 e 37

3 a Tìm các ước chung của 18 và 48. b Tìm ước chung lớn nhất của 18 và 48.

4 Tìm ước chung lớn nhất của: a 12 và 28 b 12 và 30 c 12 và 36

5 Tìm ước chung lớn nhất của: a 18 và 24 b 19 và 25 c 20 và 26 d 21 và 28

6 Tìm ước chung lớn nhất của:

a 60 và 70 b 60 và 80 c 60 và 90

7 a Tìm ước chung lớn nhất của 35 và 56.

b Sử dụng kết quả của phần a để viết phân số 35 56 dưới dạng phân số tối giản.

How did knowing the highest common factor help you to answer part b?

8

a Find the highest common factor of 25 and 36.

b Explain why the fraction 25 36 cannot be simplified.

9 Find the highest common factor of 54, 72 and 90.

10 Two numbers have a highest common factor of 4. One of the numbers is between 10 and 20. The other number is between 20 and 40.

a What are the two numbers? Find all the possible answers.

b How can you be sure you have all the possible answers?

Think like a mathematician

11 a Find the HCF of 8 and 12.

b Find the LCM of 8 and 12.

c Find the product of 8 and 12.

d Find the product of the HCF and the LCM of 8 and 12.

e What do you notice about the answers to parts c and d?

f Can you generalise the result in part e for different pairs of numbers? Investigate.

12 The HCF of two numbers is 3. The LCM of the two numbers is 45.

a Explain why each number is a multiple of 3.

b Explain why each number is a factor of 45.

c Find the two numbers.

d Check with a partner to see if you have the same answers. Did you both answer the question in the same way?

Summary checklist

I can find the highest common factor of two numbers by listing the factors of each number.

1 Số nguyên

Việc biết ước chung lớn nhất đã giúp em trả lời phần b như thế nào?

8 a Tìm ước chung lớn nhất của 25 và 36.

b Giải thích tại sao phân số 25 36 không thể rút gọn được nữa.

9 Tìm ước chung lớn nhất của 54, 72 và 90.

10 Ước chung lớn nhất của hai số là 4. Một trong hai số nằm giữa 10 và 20. Số còn lại nằm giữa 20 và 40.

a Đó là hai số nào? Tìm tất cả các đáp số có thể.

b Làm thế nào em có thể chắc chắn rằng mình đã tìm ra tất cả các đáp số có thể?

Tư duy như

11 a Tìm ƯCLN của 8 và 12.

b Tìm BCNN của 8 và 12.

c Tìm tích của 8 và 12.

d Tìm tích của ƯCLN và BCNN của 8 và 12.

e Em có nhận xét gì về các kết quả của phần c và d?

f Em có thể khái quát kết quả ở phần e cho các cặp số khác được không? Hãy khảo sát.

12 ƯCLN của hai số là 3. BCNN của hai số đó là 45.

a Giải thích tại sao cả hai số đều là bội của 3.

b Giải thích tại sao cả hai số đều là ước của 45.

c Tìm hai số đó.

d Kiểm tra xem đáp số của em có giống với đáp số của bạn cùng nhóm hay không. Hai em có cách làm giống hay khác nhau?

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể tìm ước chung lớn nhất của hai số bằng cách liệt kê các ước của mỗi số.

1.5 Tests for divisibility

2, 3 and 5 are all factors of 30.

You say that ‘30 is divisible by 2’ because 30 ÷ 2 does not have a remainder.

30 is divisible by 3 and 30 is divisible by 5.

30 is not divisible by 4 because 30 ÷ 4 = 7 with remainder 2 (which can be written as 7 r 2).

87 654 is a large number.

Is 87 654 divisible by 2? By 3 By 4? By 5?

Here are some rules for divisibility:

• A number is divisible by 2 when the last digit is 0, 2, 4, 6 or 8.

87 654 is divisible by 2 because the last digit is 4.

• A number is divisible by 3 when the sum of the digits is a multiple of 3.

8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 30 and 30 = 10 × 3, so 87 654 is divisible by 3.

• A number is divisible by 4 when the number formed by the last two digits is divisible by 4.

The last two digits of 87 654 are 54 and 54 ÷ 4 = 13 r 2. So 87 654 is not divisible by 4.

• A number is divisible by 5 when the last digit is 0 or 5.

The last digit of 87 654 is 4, so it is not divisible by 5.

•

A number is divisible by 6 when it is divisible by 2 and 3.

87 654 is divisible by 6.

• To test for divisibility by 7, remove the last digit, 4, to leave 8765

• Subtract twice the last digit from 8765, that is: 8765 2 × 4 = 8765 − 8 = 8757

• If this number is divisible by 7, so is the original number.

• 8757 ÷ 7 = 1252 with no remainder and so 87 654 is divisible by 7.

• A number is divisible by 8 when the number formed by the last three digits is divisible by 8.

654 ÷ 8 = 81 r 6, so 87 654 is not divisible by 8.

Key words divisible tests for divisibility

Tip

A whole number is divisible by 2 when 2 is a factor of the number.

In this section you will …

• learn tests of divisibility to find factors of large numbers.

2, 3 và 5 đều là các ước của 30. Các em nói rằng “30 chia hết cho 2” vì phép chia 30÷2 không có số dư.

30 chia hết cho 3 và 30 chia hết cho 5.

30 không chia hết cho 4, bởi vì 30 ÷ 4 = 7 và có dư là 2 (có thể viết là 7 dư 2).

87 654 là một số lớn.

87 654 có chia hết cho 2 không? Cho 3? Cho 4? Cho 5 không? Dưới đây là một số dấu hiệu chia hết:

• Một số chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng của nó là 0; 2; 4; 6 hoặc 8.

87 654 chia hết cho 2 vì nó có chữ số tận cùng là 4.

• Một số chia hết cho 3 nếu tổng các chữ số của nó là bội của 3. 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 30 và 30 = 10 × 3, nên 87 654 chia hết cho 3.

• Một số chia hết cho 4 nếu số tạo bởi hai chữ số tận cùng của nó chia hết cho 4. Số tạo bởi hai chữ số tận cùng của 87 654 là 54 và 54 ÷ 4 = 13 dư 2. Vì vậy, 87 654 không chia hết cho 4.

• Một số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. Chữ số tận cùng của 87 654 là 4, nên 87 654 không chia hết cho 5.

• Một số chia hết cho 6 nếu số đó chia hết cho cả 2 và 3. 87 654 chia hết cho 6.

• Để kiểm tra dấu hiệu chia hết cho 7, ta bỏ chữ số tận cùng là 4, giữ lại 8 765

• Lấy 8 765 trừ đi hai lần chữ số tận cùng như sau: 8 765 2 × 4 = 8 765 − 8 = 8 757

• Nếu số này chia hết cho 7 thì số ban đầu cũng chia hết cho 7. do đó 87 654 cũng chia hết cho 7. chia cho đó có ba chữ số tận cùng của nó tạo thành

•

A number is divisible by 9 when the sum of the digits is divisible by 9.

8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 30 and 30 is not divisible by 9. So 87 654 is not divisible by 9.

• A number is divisible by 10 when the last digit is 0.

The last digit of 87 654 is 4, so 87 654 is not divisible by 10.

• A number is divisible by 11 when the difference between the sum of the odd digits and the sum of the even digits is 0 or a multiple of 11.

The sum of the odd digits of 87 654 is 4 + 6 + 8 = 18.

The sum of the even digits of 87 654 is 5 + 7 = 12.

18 − 12 = 6, so 87 654 is not a multiple of 11.

Worked example 1.9

The number *7 258 has one digit missing.

a Find the missing digit when:

i the number is divisible by 6 ii the number is divisible by 11

b A number is divisible by 66 when it is divisible by 6 and 11. Could *7 258 be divisible by 66? Give a reason for your answer.

Answer

a i The number must be a multiple of 2 and 3.

The last digit is 8, so the number is divisible by 2.

The sum of the digits is * + 7 + 2 + 5 + 8 = * + 22.

If this is a multiple of 3, then * is 2 or 5 or 8. There are three possible values for *.

ii The sum of the odd digits is 8 + 2 + * = 10 + *.

The sum of the even digits is 5 + 7 = 12.

When * = 2 the difference between these will be zero, so 27 258 is divisible by 11.

b The answer to part a shows that the number is divisible by 66 when * = 2. This is the only possibility.

1 Số nguyên

• Một số chia hết cho 9 nếu số đó có tổng các chữ số chia hết cho 9. 8 + 7 + 6 + 5 + 4 = 30 và 30 không chia hết cho 9. Do đó, 87 654 không chia hết cho 9.

• Một số chia hết cho 10 khi chữ số tận cùng của nó là 0. Chữ số tận cùng của 87 654 là 4, nên 87 654 không chia hết cho 10.

• Một số chia hết cho 11 khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ số hàng chẵn là 0 hoặc là một bội của 11.

Tổng các chữ số hàng lẻ của số 87 654 là 4 + 6 + 8 = 18. Tổng các chữ số hàng chẵn của số 87 654 là 5 + 7 = 12. 18 12 = 6, nên 87 654 không phải là bội 11.

Ví dụ minh hoạ 1.9

Số *7 258 bị khuyết một chữ số.

a Tìm chữ số bị khuyết, biết: i số đó chia hết cho 6 ii số đó chia hết cho 11

b Một số chia hết cho 66 nếu nó chia hết cho cả 6 và 11. *7 258 có chia hết cho 66 không?

Nêu lí do cho câu trả lời của em.

Lời giải

a i Số này phải chia hết cho cả 2 và 3.

Chữ số tận cùng của nó là 8, nên số này chia hết cho 2.

Tổng của các chữ số là * + 7 + 2 + 5 + 8 = * + 22.

Nếu đây là một bội của 3, thì * là 2, 5 hoặc 8.

Đây là ba giá trị mà chữ số tại dấu * có thể nhận.

ii Tổng các chữ số hàng lẻ là 8 + 2 + * = 10 + *.

Tổng các chữ số hàng chẵn là 5 + 7 = 12.

Với * =2 thì tổng các chữ số hàng chẵn bằng tổng các chữ số hàng lẻ, nên 27 258 sẽ chia hết cho 11.

b Kết quả của phần a chứng minh cho thấy số này chia hết cho 66 khi * =2. Đây là trường hợp khả thi duy nhất.

Exercise 1.5

1 a Show that the number 28 572 is divisible by 3 but not by 9.

b Change the final digit of 28 572 to make a number that is divisible by 9.

2 a Show that 57 423 is divisible by 3 but not by 6.

b The number 57 42* is divisible by 6. Find the possible values of the digit *.

3 a Show that 25 764 is divisible by 2 and by 4.

b Is 25 764 divisible by 8? Give a reason for your answer.

4 a Show that 3 and 4 are factors of 25 320.

b Find two more factors of 25 320 that are between 1 and 12.

5 a Choose any four digits.

b If it is possible, arrange your digits to make a number that is divisible by i 2 ii 3 iii 4 iv 5 v 6

c Can you arrange your digits to make a number that is divisible by all five numbers in part a? If not, can you make a number that is divisible by four of the numbers?

d Give your answers to a partner to check.

6 a Show that 924 is divisible by 11.

b Is 161 084 divisible by 11? Give a reason for your answer.

7 Use a test for divisibility test to show that:

8

a 2583 is divisible by 7. b 3852 is not divisible by 7.

a Show that only two numbers between 1 and 10 are factors of 22 599.

b What numbers between 1 and 10 are factors of 99 522?

9 Copy and complete this table. The first line has been done for you.

Number Factors between 1 and 10 2, 3, 4,

Bài tập 1.5

1 a Hãy chỉ ra rằng số 28 572 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

b Thay đổi chữ số cuối cùng của 28 572 để tạo thành một số chia hết cho 9.

2 a Tại sao 57 423 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 6?

b Số 57 42* chia hết 6. Tìm các giá trị có thể của chữ số *.

3 a Chỉ ra lí do cho thấy 25 764 chia hết cho 2 và 4.

b 25 764 có chia hết cho 8 không? Nêu lí do cho câu trả lời của em.

4 a Chỉ ra rằng 3 và 4 đều là ước của 25 320.

b Tìm thêm hai ước lớn hơn 1 và nhỏ hơn 12 của 25 320.

5 a Chọn bốn chữ số bất kì.

b Nếu có thể, hãy sắp xếp các chữ số đó thành một số chia hết cho i 2 ii 3 iii 4 iv 5 v 6

c Em có thể sắp xếp các chữ số đã chọn thành một số chia hết cho cả năm số ở phần a không? Nếu không, em có thể tạo thành một số chia hết cho bốn trong năm số đó hay không?

d Nhờ một bạn cùng lớp kiểm tra các đáp số của em.

6 a Chỉ ra rằng 924 chia hết cho 11.

b 161 084 có chia hết cho 11 không? Nêu lí do cho câu trả lời của em.

7 Sử dụng dấu hiệu chia hết để khẳng định:

a 2 583 chia hết cho 7. b 3 852 không chia hết cho 7.

8 a Chỉ ra rằng trong các số nằm giữa 1 và 10, chỉ có hai số là ước của 22 599.

b Các số nào là ước nằm giữa 1 và 10 của 99 522?

9 Chép lại và hoàn thành bảng sau. Dòng đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

Số Ước nằm giữa 1 và 10 2, 3, 4, 6

10 Use the digits 4, 5, 6 and 7 to make a number that is a multiple of 11. How many different ways can you find to do this?

11 a Show that 2521 is not divisible by any integer between 1 and 12.

b Rearrange the digits of 2251 to make a number divisible by 5.

c Rearrange the digits of 2251 to make a number divisible by 4.

d Rearrange the digits of 2251 to make a number divisible by 8.

e Find the smallest integer larger than 2521 that is divisible by 6.

f Find the smallest integer larger than 2521 that is divisible by 11.

12 44 and 44 444 are numbers where every digit is 4.

a Explain why any positive integer where every digit is 4 must be divisible by 2 and by 4.

b Here are two facts about a number: Every digit is 4. It is divisible by 5. Explain why this is impossible.

c Here are two facts about a number: Every digit is 4. It is divisible by 3.

i Find a number with both these properties.

ii Is there more than one possible number? Give a reason for your answer.

d Here are two facts about a number: Every digit is 4. It is divisible by 11.

i Find a number with both these properties.

ii Is there more than one possible number? Give a reason for your answer.

Think like a mathematician

13 a 2 × 4 = 8

Look at this statement: A number is divisible by 8 when it is divisible by 2 and by 4. Do you think the statement is correct? Give evidence to justify your answer. b 2 × 5 = 10

Look at this statement: A number is divisible by 10 when it is divisible by 2 and by 5. Do you think the statement is correct? Give evidence to justify your answer.

10 Sử dụng các chữ số 4, 5, 6 và 7 để tạo thành một số là bội của 11.

Em có thể tạo ra bao nhiêu số như vậy?

11 a Chỉ ra rằng 2 521 không chia hết cho bất kì số nguyên nào nằm giữa 1 và 12.

b Sắp xếp lại các chữ số của số 2 251 để tạo thành một số chia hết cho 5.

c Sắp xếp lại các chữ số của số 2 251 để tạo thành một số chia hết cho 4.

d Sắp xếp lại các chữ số của số 2 251 để tạo thành một số chia hết cho 8.

e Tìm số nguyên nhỏ nhất lớn hơn 2 521 và chia hết cho 6.

f Tìm số nguyên nhỏ nhất lớn hơn 2 521 và chia hết cho 11.

12 44 và 44 444 là các số mà tất cả các chữ số của nó đều là 4.

a Giải thích tại sao mọi số có tất cả các chữ số đều là 4 phải chia hết cho 2 và 4.

b Dưới đây là hai dữ kiện về một số:

Mọi chữ số của số đó đều là 4.

Số đó chia hết cho 5.

Giải thích tại sao không thể tồn tại một số như vậy

c Dưới đây là hai dữ kiện về một số:

Mọi chữ số của số đó đều là 4.

Số đó chia hết cho 3.

i Tìm một số thoả mãn cả hai tính chất trên.

ii Có thể có nhiều hơn một số như vậy hay không? Nêu lí do cho câu trả lời của em.

d Dưới đây là hai dữ kiện về một số:

Mọi chữ số của số đó đều là 4.

Số đó chia hết cho 11.

i Tìm một số thoả mãn cả hai tính chất trên.

ii Có thể có nhiều hơn một số như vậy hay không? Nêu lí do cho câu trả lời của em.

1 Số nguyên

Tư duy như một nhà Toán học

13 a 2 × 4 = 8

Xem xét phát biểu sau: Một số chia hết cho 8 khi số đó chia hết cho cả 2 và 4.

Theo em, phát biểu như vậy có đúng không? Đưa ra dẫn chứng để lí giải cho câu trả lời của em.

b 2 × 5 = 10

Xem xét phát biểu sau: Một số chia hết cho 10 khi số đó chia hết cho cả 2 và 5.

Theo em, phát biểu này có đúng không? Đưa ra dẫn chứng để lí giải cho câu trả lời của em.

1.6 Square roots and cube roots

1 × 1 × 1 = 1 2 × 2 × 2 = 8 3 × 3 × 3 = 27

The cube numbers are 1, 8, 27, …

You use an index of 3 and write 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, … You read 13 as ‘1 cubed’ and you read 23 as ‘2 cubed’. You say ‘2 is the cube root of 8’, which is written as 2 = 83

Worked example 1.11

Work out 6464 3 ÷.

Answer

82 = 64 and so 648=. 43 = 64 and so 6443 .= Hence, 6464 8423 ÷= ÷=

You can estimate the square roots of integers that are not square numbers.

Worked example 1.12

a Show that 9 is the closest integer to 79 b Show that 215 is between 14 and 15.

Answer

a 92 = 81 and 82 = 64.

79 is between 64 and 81 so 79 is between 8 and 9.

79 is much closer to 81 than to 64 so 9 is the closest integer to 79 b 142 = 196 and 152 = 225.

210 is between 196 and 225 and so 215 is between 14 and 15.

Exercise 1.6

1 Copy and complete the following. a 32 = b 52 = c 82 = d 102 = e 152 =

2 An equivalent statement to 72 = 49 is 497=. Write equivalent statements to your answers to Question 1.

3 Find: a 36 b 81 c 121 d 144

Tip

The symbol for cube root is 3

1 × 1 × 1 = 1 2 × 2 × 2 = 8 3 × 3 × 3 = 27

Số lập phương là các số 1; 8; 27;…

Các em sử dụng số mũ 3 và viết 13 = 1, 23 = 8, 33 = 27, …

Các em đọc 13 là “1 lập phương” và 23 là “2 lập phương”.

Các em nói “2 là căn bậc ba của 8” có nghĩa là 2 = 83 .

Ví dụ minh hoạ 1.11

Tính 6464 3 ÷.

Lời giải

82 = 64 vì thế 648=. 43 = 64 vì thế 6443 .=

Do đó, 6464 8423 ÷= ÷=

Mách bậc ba được kí hiệu là 3

Các em có thể ước lượng giá trị căn bậc hai của các số nguyên không phải là số chính phương.

Ví dụ minh hoạ 1.12

a Chỉ ra rằng 9 là số nguyên gần nhất với 79

b Chỉ ra rằng 215 nằm giữa 14 và 15. Lời giải

a 92 = 81 và 82 = 64. 79 nằm giữa 64 và 81, nên 79 nằm giữa 8 và 9. 79 gần với 81 hơn so với 64, nên 9 là số nguyên gần nhất với 79

b 142 = 196 và 152 = 225. 210 nằm giữa 196 và 225, nên 215 nằm giữa 14 và 15.

Bài tập 1.6

1 Chép lại và hoàn thành các phép tính sau. a 32 = b 52 = c 82 = d 102 = e 152 =

2 Phát biểu tương đương với 72 = 49 là 497=. Viết phát biểu tương đương với các câu trả lời của em ở Câu hỏi 1. Tìm: 36 b 81 c 121 d 144

4 Copy and complete the following.

a 13 = b 23 = c 33 = d 43 = e 53 =

5 An equivalent statement to 63 = 6 × 6 × 6 = 216 is 21663 =. Write equivalent statements to your answers to Question 4.

6 Work out the integer that is closest to a 15 b 66 c 150

7

a Show that 90 is between 9 and 10.

b Find two consecutive integers to complete this sentence: 180 is between … and …

c Find two consecutive integers to complete this sentence: 903 is between … and …

8 a Use a calculator to find 172.

b Complete this statement: =17

9 Complete the following statements.

a =18 b =20 c =23 d =26

10 Complete the following statements.

a 3 7= b 3 9= c 3 10= d 3 12=

11 a Show that 36 has nine factors.

b Find the factors of these square numbers. i 9 ii 16 iii 25

c Explain why every square number has an odd number of factors.

d Find a number that is not square that has an odd number of factors.

e Does every cube number have an odd number of factors? Give a reason for your answer.

f Investigate how many factors different square numbers have.

How did you do part f? Would it be helpful to work with a partner?

4 Chép lại và hoàn thành các phép tính sau.

a 13 = b 23 = c 33 = d 43 = e 53 =

5 32166 = là phát biểu tương đương với 63 = 6 × 6 × 6 = 216.

Viết phát biểu tương đương với các câu trả lời của em ở Câu hỏi 4.

6 Tìm số nguyên gần nhất với:

a 15 b 66 c 150

7 a Chỉ ra rằng 90 nằm giữa 9 và 10.

b Tìm hai số nguyên liên tiếp để hoàn thành câu sau: 180 nằm giữa … và …

c Tìm hai số nguyên liên tiếp để hoàn thành câu sau: 903 nằm giữa … và …

8 a Sử dụng máy tính cầm tay để tìm 172 .

b Hoàn thành câu sau: =17

9 Hoàn thành các phép tính sau.

a =18 b =20 c =23 d =26

10 Hoàn thành các phép tính sau.

a 3 7= b 3 9= c 3 10= d 3 12=

11 a Chỉ ra rằng 36 có chín ước.

b Tìm ước của các số chính phương sau.

i 9 ii 16 iii 25

c Giải thích tại sao mọi số chính phương đều có số ước là số lẻ.

d Tìm một số không phải là số chính phương cũng có số ước là số lẻ.

e Có phải mọi số lập phương đều có số ước là số lẻ hay không?

Nêu lí do cho câu trả lời của em.

f Khảo sát xem các số chính phương khác có bao nhiêu ước.

Em đã làm phần f như thế nào? Hoạt động làm việc theo cặp có hữu ích không?

1 Số nguyên

Think like a mathematician

12 12 = 1 and 22 = 4 and so 22 12 = 3.

12 and 22 are consecutive square numbers. The difference between 12 and 22 is 3.

a Copy and complete this diagram, showing the differences between consecutive square numbers.

Square numbers: 12 22 32 42 52 62 Difference: 3

b Describe any pattern in your answers.

c Investigate the differences between consecutive cube numbers.

Cube numbers: 13 23 33 43 53 63

Difference: 7

13 a Work out:

i 13 ii 1233 + iii 12 333 3++

b What do you notice about your answers to part a?

c Does the pattern continue when you add more cube numbers? Give a reason for your answer.

d Compare your answer to part c with a partner’s. Can you improve your answer?

14 a Add up the first three odd numbers and find the square root of the answer.

b Add up the first four odd numbers and find the square root of the answer.

c Can you generalise the results of parts a and b?

d Look at this diagram.

How is this diagram connected with the earlier parts of this question?

Summary checklist

I can find square numbers and their corresponding square roots.

I can find cube numbers and their corresponding cube roots.

Tư duy như một nhà Toán học

12 12 = 1 và 22 = 4, nên 22 12 = 3.

12 và 22 là hai số chính phương liên tiếp. Hiệu giữa 12 và 22 là 3.

a Chép lại và hoàn thành sơ đồ thể hiện hiệu hai số chính phương liên tiếp như sau.

Số chính phương 12 22 32 42 52 62

Hiệu:

b Mô tả quy luật của các kết quả trên.

c Khảo sát hiệu hai số lập phương liên tiếp.

Số lập phương: 13 23 33 43 53 63

Hiệu:

13 a Tính: i 13 ii 1233 + iii 12 333 3++

b Em có nhận xét gì về các kết quả ở phần a của em?

c Quy luật này có còn đúng khi em thêm vào nhiều số lập phương hơn hay không? Nêu lí do cho câu trả lời của em.

d So sánh lời giải ở phần c của em với lời giải của bạn cùng nhóm.

Em có thể cải thiện lời giải của em không?

14 a Tính tổng của ba số lẻ đầu tiên rồi tìm căn bậc hai của tổng này

b Tính tổng của bốn số lẻ đầu tiên rồi tìm căn bậc hai của tổng này

c Em có thể khái quát hoá kết quả của phần a và phần b không?

d Cho sơ đồ sau.

Bảng

Sơ đồ này có liên hệ với các phần trước như thế nào?

Em có thể được các số chính phương và căn bậc hai tương ứng của chúng.

Em có thể tìm được các số lập phương và căn bậc ba tương ứng của chúng.

Mixed-up properties

Here are nine property cards:

Their difference is a factor of their sum

Their difference is prime

Their highest common factor (HCF) is 1

Their sum is a square number

They are both factors of 30

They are both prime

Their product has exactly 4 factors

Their lowest common multiple (LCM) is 12

Their product is a cube number

Here are six number cards: 2 3 4 5 6 7

Can you find a way to arrange the property cards and the number cards in a grid, so that each property card describes the pair of numbers at the top of the column and on the left of the row?

For example, the cell marked * could contain the card ‘They are both prime’ because 2 and 5 are both prime. 5 7

Can you find more than one way to arrange the cards?

Which cards could go in lots of different places? Which cards can only go in a few places?

Could you replace the six numbers with other numbers and still complete the grid?

Tích của hai số là một số lập phương

Dưới đây là sáu thẻ số: 2 3 4 5 6 7

Em có thể tìm được cách sắp xếp các thẻ tính chất và thẻ số trong một bảng, sao cho mỗi thẻ tính chất mô tả cặp số ở hàng đầu tiên và ở cột bên trái của bảng không?

Ví dụ: Ô được đánh dấu * có thể chứa thẻ “Cả hai số đều là số nguyên tố” vì 2 và 5 đều là số nguyên tố.

4 5 7

Em có thể tìm được nhiều hơn một cách sắp xếp các thẻ không?

Những thẻ nào có thể đặt vào nhiều ô khác nhau trong bảng?

Những thẻ nào chỉ có thể đặt vào một vài ô?

Em có thể thay thế sáu số trong bảng bằng các số khác mà vẫn hoàn thành được bảng không?

Getting started

1 Work out:

a 14 + 5 12 − 4 8 45 −8 2 36 −3

2 Work out the following. Remember to use the correct order of operations. 7 + 2 × 3 b (8 + 4) × 7 9 + 12 ÷ 3 d (8 − 5) ÷ 3 15 5 7� f 186 −6 × 2 − 8 h +5 10 2

3 Fill in the missing numbers in each of these calculations. Choose from the numbers in the circle on the right.

a + 6 = 8 b × 4 = 2 = − 2 = 9 4 = −20 −18 = −6

4 Work out the answers to these problems. Show all your working.

5 In this number pyramid, you find the number in each block by adding the numbers in the two blocks below it. Complete the number pyramid. 8+12=20, so 20 goes here and

a Karin buys three pizzas that cost $2.75 each and a drink that costs $0.89. What is the total cost? b Izzy and Sam go for a meal in a restaurant. They order food that costs $8.70, $3.45 and $12.25. They share the cost of the meal between them. How much do they each pay?

a Karin mua ba chiếc bánh pizza có giá $2,75 mỗi chiếc và một món đồ uống có giá $0,89. Hỏi tổng số tiền phải trả là bao nhiêu?

b Izzy và Sam đi ăn ở một nhà hàng. Họ gọi các món ăn có giá $8,70, $3,45 và $12,25. Họ chia đôi chi phí cho bữa ăn. Hỏi mỗi người phải trả bao nhiêu tiền?

5 Trong kim tự tháp số bên, tìm ra số trong mỗi khối bằng cách cộng các số trong hai ô nằm bên dưới nó. Hoàn thành kim tự tháp số ở bên. nên 20 nằm ở đây.

2 Expressions, formulae and equations

Algebra is the part of mathematics in which you use letters and other symbols to represent numbers. It is the most important part of mathematics because it links together the other strands such as geometry, statistics and number. Algebra allows you to take a situation and make it more general. You can use formulae (rules) that work in every case. This can help you in your everyday life, such as working out the area of your garden, calculating the best deals at a supermarket, applying for a bank loan or hiring a car.

Algebra is used in all modern technology jobs, from creating websites on the internet to making cell phones and smart televisions. As well as technology, algebra is used in many other jobs, such as engineering, medicine, economics, food science and traffic management. Studying algebra helps you to think logically. It teaches you to solve problems. This will help you in all aspects of life, not just in your algebra lessons.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Đại số là một phần của toán học, trong đó, các chữ cái và các kí hiệu được sử dụng để đại diện cho các số.

Đại số là phần quan trọng nhất của toán học, vì nó liên kết các mạch khác của toán như hình học, thống kê và số lại với nhau.

Đại số cho phép các em nắm bắt một tình huống và tổng quát hoá tình huống đó hơn.

Các em có thể sử dụng các công thức (quy tắc) thực hiện được trong mọi trường hợp. Điều này có thể giúp các em trong cuộc sống hằng ngày, chẳng hạn như tìm diện tích khu vườn của các em, tính toán những đợt khuyến mãi giá rẻ nhất tại siêu thị, đăng kí vay ngân hàng hoặc thuê một chiếc xe ô tô.

Đại số được sử dụng trong tất cả các công việc ứng dụng công nghệ hiện đại, từ việc tạo ra các trang web trên internet đến sản xuất điện thoại di động và tivi thông minh. Cũng như công nghệ, đại số được sử dụng trong nhiều công việc khác như kĩ thuật, y học, kinh tế, khoa học thực phẩm và quản lí giao thông.

Học đại số giúp các em tư duy một cách logic. Môn này dạy các em cách giải quyết các vấn đề. Điều này sẽ giúp ích cho các em không chỉ trong các bài học đại số, mà còn trong tất cả các khía cạnh của cuộc sống.

2.1 Constructing expressions

In this section you will …

• use letters to represent numbers

• use the correct order of operations in algebraic expressions

• write and use expressions.

In algebra you can use a letter to represent an unknown number. An expression contains numbers and letters, but not an equals sign. An equation contains numbers and letters and an equals sign.

Example: 5n + 4 is an expression.

5n + 4 = 19 is an equation.

In the expression 5n + 4, there are two terms. 5n is one term. The other term is 4.

The letter n is called the variable because it can have different values. The coefficient of n is 5 because it is the number that multiplies the variable.

In the equation 5n + 4 = 19, n is the unknown number, 5 is the coefficient of n, and the numbers 4 and 19 are constants. A constant may also be written as a letter, such as π. π is the ratio of a circle’s circumference to its diameter. It is approximately 3.14. You can use a letter to represent an unknown number to solve problems.

Example: Shown is a bag of sweets. You don’t know how many sweets are in the bag.

Key words coefficient constant expression equation equivalent expression term unknown variable

Tip 5n + 4 means 5 × n + 4. Use the correct order of operations. Do the multiplication before the addition.

You will learn more about π later in your studies.

n sweets

n represents the unknown number of sweets in the bag. 3sweets

Three sweets are taken out of the bag. Now there are n − 3 sweets left in the bag.

Worked example 2.1

Mathew is x years old. David is 4 years older than Mathew. Adam is 2 years younger than Mathew. Kathryn is three times Mathew’s age. Ella is half Mathew’s age.

Write down an expression for each person’s age.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

2.1 Xây thức

Trong đại số, em có thể dùng chữ cái để đại diện cho ẩn số.

Một biểu thức bao gồm các số và chữ cái, nhưng không có dấu bằng (=).

Một phương trình bao gồm các số, chữ cái và một dấu bằng (=).

Ví dụ: 5n + 4 là một biểu thức.

5n + 4 = 19 là một phương trình.

Trong biểu thức 5n + 4, có hai hạng tử. 5n là một hạng tử. Hạng tử còn lại là 4.

Chữ cái n được gọi là biến, nó có thể nhận các giá trị khác nhau.

Hệ số của n là 5, nó là số được nhân với biến.

Trong phương trình 5n + 4 = 19, n là ẩn số, 5 là hệ số của n, còn các số 4 và 19 là các hằng số. Có những hằng số cũng được viết dưới dạng một chữ cái, ví dụ như π π là tỉ số giữa chu vi hình tròn và đường kính của nó. Giá trị của nó xấp xỉ 3,14.

Em có thể dùng chữ cái viết tắt để đại diện cho ẩn số khi giải bài toán có lời văn.

Ví dụ: Dưới đây là một túi kẹo. Em không biết bên trong túi có bao nhiêu viên kẹo.

Từ khoá hệ số hằng số biểu thức phương trình biểu thức tương đương hạng tử ẩn biến

Mách nhỏ

5n + 4 có nghĩa là 5 × n + 4. Vận dụng đúng thứ tự thực hiện phép tính. Nhân chia trước, cộng trừ sau.

Em sẽ học thêm về số π ở các lớp sau.

Continued Answer

Mathew is x years old. This is the information you have to start with. David is x + 4 years old. David is 4 years older than Mathew, so add 4 to x. Adam is x − 2 years old. Adam is 2 years younger than Mathew, so subtract 2 from x Kathryn is 3x years old. Kathryn is 3 times Mathew’s age so multiply 3 by x.

You write 3 × x as 3x. Always write the number before the letter. Ella is x 2 years old. Ella is half Mathew’s age. You need to divide x by 2.

You write x ÷ 2 as x 2 .

Exercise 2.1

1 Sofia has a bag that contains n counters. Write an expression for the total number of counters she has in the bag when: a she puts in two more counters b she takes out three counters.

Think like a mathematician

2 Discuss in pairs or groups. Zara uses the following method to answer Question 1.

a What do you think of Zara’s method?

b Do you think that this method will help you write expressions?

c Can you improve her method?

First, I said that Sofia has 10 counters instead of n. For part a I need to work out 10 + 2. For part b I need to work out 10 3. Then I replace the 10 with n, so part a becomes n + 2 and part b becomes n – 3.

3 The temperature on Tuesday was t °C.

Write an expression for the temperature when it is: a 2 °C higher than it was on Tuesday b twice as warm as it was on Tuesday c half as warm as it was on Tuesday

Tip

Twice means × 2.

Half means ÷ 2.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Tiếp theo

Lời giải

Số tuổi của Mathew là x tuổi. Em bắt đầu với thông tin này.

Số tuổi của David là x + 4 tuổi. David hơn Mathew 4 tuổi, nên cộng thêm 4 vào x

Số tuổi của Adam là x − 2 tuổi. Adam ít hơn Mathew 2 tuổi, nên lấy x trừ đi 2.

Số tuổi của Kathryn là 3x tuổi. Kathryn có số tuổi gấp 3 lần số tuổi của Mathew, nên nhân x với 3.

Em viết 3 × x là 3x. Luôn luôn viết số trước chữ cái.

Số tuổi của Ella là x 2 tuổi. Ella có số tuổi bằng một nửa số tuổi của Mathew. Em cần chia x cho 2.

Em viết x ÷ 2 là x 2 .

Bài tập 2.1

1 Sofia có một túi chứa n đồng xu đếm. Viết biểu thức thể hiện tổng số đồng xu đếm mà Sofia có trong túi khi:

a bạn ấy cho thêm hai đồng xu đếm nữa vào túi

b bạn ấy lấy ba đồng xu đếm ra khỏi túi.

Tư duy như một nhà Toán học

2 Thảo luận theo cặp hoặc theo nhóm. Zara sử dụng cách làm sau để trả lời Câu hỏi 1.

a Em nghĩ gì về cách làm của Zara?

b Em có nghĩ rằng cách làm này giúp em viết được biểu thức không?

c Em có thể cải tiến cách làm của bạn ấy không? Đầu tiên, tớ coi số đồng xu đếm của Sofia là 10 thay vì n Ở phần a, tớ cần tính 10 + 2. Với phần b, tớ cần tính 10 3. Sau đó, tớ thay 10 thành n, nên phần a trở thành n + 2 và phần b trở thành n – 3.

3 Nhiệt độ vào thứ Ba là t °C. Viết biểu thức thể hiện nhiệt độ khi nhiệt độ:

a cao hơn nhiệt độ vào thứ Ba 2 °C b cao gấp đôi nhiệt độ vào thứ Ba

c cao bằng một nửa nhiệt độ vào thứ Ba

Mách nhỏ Gấp đôi có nghĩa là × 2.

Một nửa có nghĩa là ÷ 2.

4 Write an expression for the answer to each of these.

a Dravid has x DVDs. He buys six more. How many DVDs does Dravid now have?

b Molly is m years old and Barney is b years old. What is the total of their ages?

c Ted can store g photographs on one memory card. How many photographs can he store on three memory cards of the same size?

Think like a mathematician

5 Discuss in pairs or groups.

How would you write an expression for each of these?

a I think of a number x. I multiply the number by 6, then add 1.

b I think of a number x. I multiply the number by 4, then subtract 9.

c I think of a number x. I divide the number by 6, then subtract 1.

d I think of a number x. I divide the number by 2, then add 7.

e I think of a number x. I multiply the number by 2, then subtract the result from 25.

6 Maliha thinks of a number, y.

a Write an expression for the number Maliha gets when she: i multiplies the number by 3 ii divides the number by 2 iii multiplies the number by 4, then adds 1 iv multiplies the number by 2, then subtracts 5 v multiplies the number by 5, then subtracts the result from 52

vi divides the number by 4, then adds 3

b Check that your expressions are correct by replacing the y with a number.

Activity 2.1

Tip

For part iii, if my number is 5, I need to work out 4 × 5 + 1 = 20 + 1 = 21.

Four times my number is 20, and 20 add 1 equals 21.

So, my expression is 4y + 1.

Work with a partner to take it in turns to make up an ‘I think of a number’ question, like those in Question 5

For example, ‘I think of a number. I multiply by 3, then subtract 2.’ Your partner must write down the expression correctly, using a letter of their choice. Check that their expression is correct. If it is correct, then your partner scores 1 point. Do this five times each, then check your scores.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

4 Viết biểu thức biểu diễn đáp số của những bài toán sau

a David có x đĩa DVD. Bạn ấy mua thêm sáu đĩa nữa. Hiện David có bao nhiêu đĩa DVD?

b Molly m tuổi và Barney b tuổi. Tổng số tuổi của hai người là bao nhiêu?

c Ted có thể lưu g bức ảnh trên một thẻ nhớ. Hỏi bạn ấy có thể lưu bao nhiêu bức ảnh trên ba thẻ nhớ có cùng dung lượng?

Tư duy như một nhà Toán học

5 Thảo luận theo cặp hoặc theo nhóm.

Làm cách nào để các em viết được biểu thức biểu diễn các phát biểu sau?

a Tôi nghĩ đến một số x. Tôi nhân số đó với 6, sau đó cộng thêm 1.

b Tôi nghĩ đến một số x. Tôi nhân số đó với 4, sau đó trừ đi 9.

c Tôi nghĩ đến một số x. Tôi chia số đó cho 6, sau đó trừ đi 1.

d Tôi nghĩ đến một số x. Tôi chia số đó cho 2, sau đó cộng thêm 7.

e Tôi nghĩ đến một số x. Tôi nhân số đó với 2, rồi lấy 25 trừ đi kết quả đó.

6 Maliha nghĩ đến một số y

a Viết biểu thức biểu diễn số mà Maliha nhận được khi:

i nhân số đó với 3

ii chia số đó cho 2

iii nhân số đó với 4, sau đó cộng thêm 1

iv nhân số đó với 2, sau đó trừ đi 5

v lấy 52 trừ đi tích của số đó với 5

vi chia số đó cho 4, sau đó cộng thêm 3

b Kiểm tra xem biểu thức đã đúng hay chưa bằng cách thay y bằng một số.

Mách nhỏ

Với phần iii, nếu số của tớ là 5, tớ cần tính

4 × 5 + 1 = 20 + 1 = 21.

Bốn lần số của tớ là 20, và 20 cộng thêm 1 bằng 21.

Vì vậy, biểu thức của tớ là 4y + 1.

Hoạt động 2.1

Thay phiên đặt câu hỏi “Tớ nghĩ đến một số“ với một bạn cùng nhóm như các bạn trong Câu hỏi 5

Ví dụ: “Tớ nghĩ đến một số. Tớ nhân số đó

7 a Zara is classifying some expression cards into groups of equivalent expressions. Explain why Zara is correct.

b Classify these cards into groups of equivalent expressions.

A 2n + − 2

8 This is part of Pedro’s classwork.

Question

The expression 5n + 4 is the same as 5 × n + 4 and 4 + 5 × n

In a clothes shop, T-shirts cost $t and shirts cost $s. Write an expression for the total cost of: a one T-shirt and one shirt b four T-shirts and two shirts

Answers a t × s b 2t + 4s

Explain the mistakes that Pedro has made and write down the correct answers.

9 Write an expression for each of these situations. You can choose your own letters, but make sure that you explain what your letters represent.

a the total cost of two tacos and four burritos b the total cost of eight lemon cakes and five carrot cakes

c the total value of six gold coins is doubled d the total value of five silver coins is tripled

10 Write an expression for each of these.

a x more than y b x less than y c m more than two times n d a less than three times b e p multiplied by q f four times g multiplied by h

Tips

In question 9 part a, you could start by explaining ‘Let the cost of one taco be $t and the cost of one burrito be $b. ‘Doubled’ means × 2. ‘Tripled’ means × 3.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

7 a Zara đang phân loại một số thẻ biểu thức thành các nhóm biểu thức tương đương.

Giải thích tại sao Zara phân loại đúng.

b Phân loại các thẻ sau thành các nhóm biểu thức tương đương.

Biểu thức 5n + 4 tương

đương với 5 × n + 4 và 4 + 5 × n

A

8 Đây là một phần bài tập trên lớp của Pedro.

Câu hỏi

Trong một cửa hàng quần áo, áo phông có giá $t và áo sơ mi có giá $s.

Viết biểu thức thể hiện tổng số tiền của:

a một áo phông và một áo sơ mi b bốn áo phông và hai áo sơ mi Đáp số

a t × s b 2t + 4s

Giải thích lỗi sai mà Pedro đã mắc phải và viết lại đáp số đúng.

9 Viết một biểu thức biểu diễn mỗi tình huống dưới đây. Em có thể tự chọn các chữ cái, nhưng hãy đảm bảo rằng em giải thích được các chữ cái đại diện cho điều gì.

a tổng số tiền phải trả cho hai chiếc bánh taco và bốn chiếc bánh burrito

b tổng số tiền phải trả cho tám chiếc bánh chanh và năm chiếc bánh cà rốt c gấp đôi tổng giá trị của sáu đồng tiền vàng d gấp ba tổng giá trị của năm đồng tiền bạc

10 Viết một biểu thức biểu thị mỗi câu phát biểu sau.

a x lớn hơn y b x nhỏ hơn y c m lớn hơn hai lần n d a nhỏ hơn ba lần b e p nhân với q f 4 lần g nhân với h

Mách nhỏ

Trong câu hỏi 9 phần a, em có thể bắt đầu bằng cách giải thích

’Gọi giá tiền của một bánh taco là $t và giá tiền của một bánh burrito là $b.

“Gấp đôi“ có nghĩa là × 2.

“Gấp ba“ có nghĩa là × 3.

11 The diagram shows two rectangles. length length cm cm

The green rectangle on the left has a width of x cm. The length is six times the width.

The blue rectangle on the right has a width of y cm. The length is 3 cm more than two times the width.

Write an expression for the difference in the lengths of the rectangles.

Summary checklist

I can use letters to represent unknown numbers.

I can use the correct order of operations in algebraic expressions. I can write and understand expressions.

2.2 Using expressions and formulae

In this section you will …

• substitute numbers into expressions

• write and use formulae.

A formula is a mathematical rule that shows the relationship between two quantities (variables).

You can write a formula using words: Area of rectangle = length × width or using letters: A = l × w You can substitute numbers into expressions and formulae.

When l = 5 cm and w = 4 cm, A = 5 × 4 = 20 cm2 You can write or derive your own formulae, to help you solve problems.

Key words derive formula formulae substitute

2 Biểu thức, công thức và phương trình

11 Cho hai hình chữ nhật dưới đây. chiều dài chiều dài x cm y cm

Hình chữ nhật màu xanh lá bên trái có chiều rộng là x cm. Chiều dài gấp sáu lần chiều rộng.

Hình chữ nhật màu xanh dương bên phải có chiều rộng là y cm. Chiều dài lớn hơn hai lần chiều rộng 3 cm.

Viết biểu thức thể hiện hiệu các chiều dài của hai hình chữ nhật.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể sử dụng chữ cái để đại diện cho ẩn số.

Em có thể vận dụng đúng thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức đại số.

Em có thể viết và hiểu được các biểu thức. Sử dụng biểu thức và công thức

Trong phần này, em sẽ…

• thế số vào biểu thức

• viết và sử dụng công thức.

Công thức là một quy tắc toán học thể hiện mối quan hệ giữa hai đại lượng (biến).

Công thức có thể được viết bằng lời văn: Diện tích hình chữ nhật (A) = chiều dài (l) × chiều rộng (w), hoặc bằng chữ cái: A = l × w

Em có thể thế số vào biểu thức và công thức.

Khi l = 5 cm và w = 4 cm, A = 5 × 4 = 20 cm2. Em có thể viết hoặc suy ra các công thức của riêng mình để giúp em giải quyết bài toán.

Từ khoá suy ra công thức các công thức thế

Worked example 2.2

a Work out the value of these expressions.

i a + b when a = 2 and b = 4

ii 2w − 3v when w = 12 and v = 5

b Write a formula for the number of days in any number of weeks, in: i words ii letters

c Use the formula in part b to work out the number of days in eight weeks. Answer

a i a + b = 2 + 4

Substitute 2 for a and 4 for b in the expression. = 6

Add 2 and 4 together to give a total of 6.

ii 2w − 3v = 2 × 12 − 3 × 5 Substitute 12 for w and 5 for v in the expression. = 24 − 15

Use the correct order of operations and do the multiplications before the subtraction.= 9

b i number of days = 7 × number of weeks

ii d = 7w

c d = 7 × 8

There are seven days in a week, so multiply the number of weeks by 7.

Choose d for days and w for weeks and write 7 × w as 7w. Always write the number before the letter, so write 7w not w7.

Substitute w = 8 into the formula. = 56

Exercise 2.2

1 Copy and complete the workings to find the value of each expression. a xx x += += + = 913 9139 when b x x x 5 5 40 5 40when = = = Tip x 5 means x ÷ 5.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Ví dụ minh hoạ 2.2

a Tính giá trị của các biểu thức sau.

i a + b biết a = 2 và b = 4

ii 2w − 3v biết w = 12 và v = 5

b Viết công thức biểu diễn số ngày trong một số tuần bất kì, bằng: i lời văn ii chữ cái

c Sử dụng công thức ở phần b để tính số ngày trong tám tuần.

Lời giải

a i a + b = 2 + 4

Thế 2 cho a và 4 cho b vào biểu thức. = 6

Cộng 2 và 4 được tổng là 6.

ii 2w − 3v = 2 × 12 − 3 × 5

Thế 12 cho w và 5 cho v vào biểu thức. = 24 − 15

Sử dụng đúng thứ tự thực hiện phép tính và thực hiện phép nhân trước phép trừ.= 9

b i số ngày = 7 × số tuần

ii d = 7w

c d = 7 × 8

Có bảy ngày trong một tuần, nên ta nhân số tuần với 7.

Chọn d là số ngày và w là số tuần, và viết 7 × w thành 7w

Luôn viết số trước chữ, nên ta viết 7w, chứ không viết w7.

Thế w = 8 vào công thức. = 56

Bài tập 2.2

1 Chép lại và hoàn thành phép tính để tìm giá trị của mỗi biểu thức. a xx x += += + = 913 9139 biết b x x x 5 5 40 5 40biết = = = Mách nhỏ x 5 có nghĩa là x ÷ 5.

2 Expressions, formulae and equations

e 75 775 xx x when= = = × d 276 2276 6 mn mn mn +== +=+ = = whenand × + f abc abc ab c === = = = whenand9832 9832 32 , ×

c 10 1010 3 = = = x x xwhen 3

2 Work out the value of each expression.

a a + 5 when a = 3 b x – 9 when x = 20 c f + g when f = 7 and g = 4 d m – n when m = 100 and n = 25 e 3k when k = 5 f p + 2q when p = 5 and q = 3

g 2h + 3t when h = 8 and t = 5 h y 4 when y = 32 i 30 2 c when c = 6 j xy + 2 when x = 19 and y = 11

3 Raul writes a formula for the number of hours in any number of days. He writes: number of hours = 24 × number of days

a Explain why this formula is correct.

b Write the formula using letters. Use h for hours and d for days.

c Use your formula to work out the number of hours in five days.

4 a Write a formula for the number of minutes in any number of hours, in: i words ii letters

b Use your formula in part a ii to work out the number of minutes in five hours.

5 Kristina goes out for a meal at a restaurant with four friends. They share the total cost of the meal equally between the five of them.

a Write a formula to work out the amount they each pay, in: i words ii letters

b Use your formula in part a ii to work out the amount they each pay when the total cost of the meal is $85.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

e 75 77 5 xx x biết = = = × d 2 76 22 76 6 mn mn mn +== += + = = vàbiết × + f abc abc ab c== = = = = biết và98 32 98 32 32 , ×

c 10 10103 = = = x x xbiết 3

2 Tính giá trị của mỗi biểu thức sau.

a a + 5 biết a = 3 b x – 9 biết x = 20

c f + g biết f = 7 và g = 4 d m – n biết m = 100 và n = 25 e 3k biết k = 5 f p + 2q biết p = 5 và q = 3

g 2h + 3t biết h = 8 và t = 5 h y 4 biết y = 32 i 30 2 c biết c = 6 j xy + 2 biết x = 19 và y = 11

3 Raul viết công thức biểu diễn số giờ trong một số ngày bất kì.

Bạn ấy viết: số giờ = 24 × số ngày

a Giải thích tại sao công thức trên đúng.

b Viết công thức bằng chữ cái. Sử dụng h cho giờ và d cho ngày.

c Sử dụng công thức để tính số giờ trong năm ngày.

4 a Viết công thức biểu thị số phút trong một số giờ bất kì, bằng: i lời văn ii chữ cái

b Sử dụng công thức ở phần a ii để tính số phút trong năm giờ.

5 Kristina đi ăn ở nhà hàng cùng bốn người bạn. Họ chia đều tổng chi phí của bữa ăn cho cả năm người.

a Viết công thức để tính số tiền mà mỗi người phải trả, bằng: i lời văn ii chữ cái

b Sử dụng công thức ở phần a ii để tính số tiền mà mỗi người phải trả, biết tổng chi phí cho bữa ăn là $85.

Think like a mathematician

Work with a partner, or in a small group, to answer questions 6 and 7.

When you have answered the questions, discuss your answers with other groups.

6 Sanjay is paid $9 per hour. He writes this formula T= 9h.

a What do you think the letters h and T stand for?

b Write the formula in words.

c Work out the value of T when h= 30.

7 Every week, Yim pays for petrol and insurance for her car. She writes the formula C= p + i.

a What do you think the letters C, p and i stand for?

b Write the formula in words.

c Work out the value of C when p = $25 and i = $7.

8 Jan calculates how much money he has left each week, using the formula:

M = P – E, where: M is the money he has left over P is the money he is paid for working E are his expenses

a Find the value of M when: i P = $225 and E = $72 ii P = $178 and E = $36

b Work out the value of P when M = $160 and E = $45. Explain how you worked out your answer.

9 A formula used in Science is:

V = IR, where: V is the voltage I is the current R is the resistance

Work out the value of V when:

a I = 3 and R = 7 b I = 4 and R = 9 You can use inverse operations to work out:

• the value of I if you know V and R

• the value of R if you know V and I.

c Work out the value of I when V = 30 and R = 6

d Work out the value of R when V = 40 and I = 5.

Tip Jan’s expenses are things that he must pay for, such as food, transport, bills, etc.

Tip IR means I× R.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Khi các em đã trả lời được các câu hỏi, hãy thảo luận lời giải của các em với các nhóm khác.

6 Sanjay được trả $9 mỗi giờ. Bạn ấy viết công thức T= 9h.

a Theo em, các chữ cái h và T là viết tắt của chữ gì?

b Viết công thức bằng lời văn.

c Tính giá trị của T biết h = 30.

7 Hằng tuần, Yim cần trả tiền xăng và tiền bảo hiểm cho chiếc xe của mình. Bạn ấy viết công thức C= p + i.

a Theo em, các chữ cái C, p và i là viết tắt của những chữ gì?

b Viết công thức bằng lời văn.

c Tính giá trị của C biết p = $25 và i = $7.

8 Jan tính số tiền mà bạn ấy còn lại mỗi tuần, sử dụng công thức:

M = P – E, trong đó: M là số tiền còn lại

P là số tiền bạn ấy được trả để làm việc

E là chi tiêu của bạn ấy

a Tìm giá trị của M biết: i P = $225 và E = $72 ii P = $178 và E = $36

b Tính giá trị của P biết M = $160 và E = $45. Giải thích cách em tìm ra đáp số.

9 Một công thức được sử dụng trong Khoa học là:

V = IR, trong đó:

Tính giá trị của V biết:

V là hiệu điện thế

I là cường độ dòng điện

R là điện trở

Mách nhỏ

Chi tiêu của Jan là những thứ mà bạn ấy cần phải trả, chẳng hạn như đồ ăn, phương tiện đi lại, hoá đơn,…

Mách nhỏ

IR có nghĩa là I× R

a I = 3 và R = 7 câu hỏi 6 và 7.

2 Expressions, formulae and equations

10 Yola uses the formula C = x + y to work out the total cost of tickets for an adult and a child to go swimming.

a Arun considers the formula.

I think that x is the cost of an adult ticket and y is the cost of a child ticket.

Explain why Arun could be correct, but also why he could be incorrect.

b How could you improve Yola’s formula to make it easier to use?

11 Mateo cuts a small piece of wire from a large piece of wire. He works out how much wire he has left using the formula W = p – q.

a Sofia considers the formula.

I think that p is the length of the small piece of wire and q is the length of the large piece of wire.

Is Sofia correct? Explain your answer.

b How could you improve Mateo’s formula to make it easier to use?

12 What value of k can you substitute into these expressions to give you the same answer? k + 10 3k 20 − k

2 Biểu thức, công thức và phương trình

10 Yola sử dụng công thức C = x + y để tính tổng tiền vé cho một người lớn và một trẻ em đi bơi.

a Arun xét công thức.

Tớ nghĩ rằng x là giá tiền của một vé người lớn và y là giá tiền của một vé trẻ em.

Giải thích tại sao Arun có thể đúng, nhưng cũng có thể sai.

b Em có thể cải thiện công thức của Yola như thế nào để dễ tính hơn?

11 Mateo cắt một đoạn dây nhỏ từ một đoạn dây lớn. Bạn ấy tính xem mình còn lại bao nhiêu dây bằng cách sử dụng công thức W = p – q.

a Sofia xét công thức.

Tớ nghĩ rằng p là độ dài của đoạn dây nhỏ và

Sofia có đúng không? Giải thích câu trả lời của em.

b Em có thể cải thiện công thức của Mateo như thế nào để dễ tính hơn?

12 Với giá trị nào của k thì khi em thế vào cả ba biểu thức dưới đây thu được cùng một kết quả?

k + 10 3k 20 − k

2.3 Collecting like terms

Here are two different bricks.

The length of the red brick is x cm. The length of the blue brick is y cm.

When you join together three red bricks, the total length is 3x cm. When you join together two blue bricks, the total length is 2y cm. When you join together three red bricks and two blue bricks the total length is 3x cm + 2y cm.

You can add, subtract or combine like terms.

You cannot combine terms that contain different letters.

You can simplify an expression by collecting like terms.

This means that you rewrite the expression in as short a way as possible.

This table shows examples of good practice when you write simplified expressions. words collecting like terms like is the best way to write simplified expressions. ✗ is not the best way to write simplified expressions.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

2.3 Thu gọn hạng tử đồng dạng

Đây là hai viên gạch khác nhau.

Chiều dài của viên gạch màu đỏ là x cm.

Chiều dài của viên gạch màu xanh dương là y cm.

Khi ghép ba viên gạch đỏ với nhau, tổng độ dài là 3x cm. Khi ghép hai viên gạch xanh dương với nhau, tổng độ dài là 2y cm. Khi ghép ba viên gạch đỏ và hai viên gạch xanh dương với nhau thì tổng chiều dài của chúng là 3x cm + 2y cm.

Các em có thể cộng, trừ hay kết hợp các hạng tử đồng dạng.

Các hạng tử chứa các chữ cái khác nhau không thể kết hợp được.

Các em có thể rút gọn một biểu thức bằng cách thu gọn hạng tử đồng dạng. Điều này có nghĩa là các em có thể viết lại biểu thức theo cách ngắn nhất có thể. Bảng dưới đây minh hoạ ví dụ về cách rút gọn biểu thức đúng. phần này, sẽ… gọn

thu gọn hạng tử đồng dạng hạng tử đồng dạng rút gọn là cách rút gọn biểu thức tốt nhất. ✗ không phải là cách rút gọn biểu thức tốt nhất.

Worked example 2.3

Simplify each expression.

a 2x + 3x b 7y − 2y c 4p + 3q + 2p − q d 5t + 7 − 3t + 3 Answer

a 2x + 3x = 5x 2x and 3x are like terms, so add them to get 5x. b 7y − 2y = 5y 7y and 2y are like terms, so subtract to get 5y c 4p + 3q + 2p – q = 6p + 2q 4p + 2p = 6p and 3q − q = 2q, but 6p and 2q are not like terms so you cannot simplify any further.

d 5t + 7 − 3t + 3 = 2t + 10 5t − 3t = 2t and 7 + 3 = 10, but 2t and 10 are not like terms so you cannot simplify any further.

Exercise 2.3

1 Erik has yellow, green and blue bricks. The length of a yellow brick is a The length of a green brick is b The length of a blue brick is c.

Work out the total length of these arrangements of bricks. Give your answer in its simplest form. a ? b ? c ? d ? e ? f ?

2 Match each expression, a to f, to its correctly simplified expression, i to vi.

The first one has been done for you: a and v. a x + x i 7x b 5x + 4x ii x c x + 6x iii 4x d 5x − 2x iv 9x e 2x − x v 2x f 8x − 4x vi 3x c

Tip

Remember that x is the same as 1x.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Ví dụ minh hoạ 2.3

Rút gọn các biểu thức.

a 2x + 3x b 7y − 2y c 4p + 3q + 2p − q d 5t + 7 − 3t + 3 Lời giải

a 2x + 3x = 5x 2x và 3x là các hạng tử đồng dạng, cộng chúng lại, ta được 5x.

b 7y − 2y = 5y 7y và 2y là các hạng tử đồng dạng, thực hiện phép tính trừ, ta được 5y

c 4p + 3q + 2p – q = 6p + 2q 4p + 2p = 6p và 3q − q = 2q, nhưng 6p và 2q không phải là các hạng tử đồng dạng, nên em không thể rút gọn thêm nữa.

d 5t + 7 − 3t + 3 = 2t + 10 5t − 3t = 2t và 7 + 3 = 10, nhưng 2t và 10 không phải là các hạng tử đồng dạng, nên em không thể rút gọn thêm nữa.

Bài tập 2.3

1 Erik có các viên gạch màu vàng, xanh lá và xanh dương.

Chiều dài của một viên gạch vàng là a Chiều dài của một viên gạch xanh lá là b Chiều dài của một viên gạch xanh dương là c.

Tính tổng độ dài của các cách xếp gạch sau. Viết đáp số của em về dạng rút gọn. b

ab c

2 Ghép mỗi biểu thức từ a đến f, với biểu thức ở dạng rút gọn tương ứng từ i đến vi. Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em: a và v.

a x + x i 7x b 5x + ii 5

Mách nhỏ

Hãy nhớ rằng x giống như 1x.

2 Expressions, formulae and equations

3 Simplify each of these expressions.

a x + x + x + x + x b 2y + 4y c 5d + 3d d 6t + 3t + 4t e 8g + 5g + g f 9p + p + 6p g 7w − 4w h 8n − n i 9b2 − 5b2 j 6f + 2f − 3f k 9j + j − 7j l 8k3 − 5k3 − 2k3

4 In an algebraic pyramid, you find the expression in each block by adding the expressions in the two blocks below it. Copy and complete these pyramids. a 5x + x =6x 5x3x 6x x b 7p 8p 12p Startbyworking out12p –8p

5 Copy and complete the workings to simplify these expressions. a 2x + 8x + 6y + 9y = 10x + y b 9d − 7d + 3h − h = d + 2h c 2g + 8 + 3g – 5 = 2g + 3g + 8 – 5 = g + d 8p + 12t − 3p + t = 8p − 3p + 12t + t = p + t e 3a + 4b + 5c − 2b − 8c = 3a + 4b − 2b + 5c − 8c = a + b − c

6 Simplify these expressions by collecting like terms. a 2a + 3a + 5b b 3c + 5c + 2d + d c 4t + 1 + 3t + 9 d 6m − 2m + 7n − 3n e 9k + 5f − 3k − 2f f 10q − 5q + 17 − 9 g 7r + 2s + 3t − 2r + s + 2t h 12 + 6h + 8k − 6 − 3h − 3k

Think like a mathematician

7 In pairs or groups, discuss what the terms xy and yx mean. Also discuss how you can simplify these expressions: a 4xy + 3yx b 8pq + 2ed − 3qp + 2de What can you say, in general, about terms that have the same letters but are in a different order?

2 Biểu thức, công thức và phương trình

3 Thu gọn các biểu thức sau.

a x + x + x + x + x b 2y + 4y c 5d + 3d d 6t + 3t + 4t e 8g + 5g + g f 9p + p + 6p g 7w − 4w h 8n − n i 9b2 − 5b2 j 6f + 2f − 3f k 9j + j − 7j l 8k3 − 5k3 − 2k3

4 Trong một kim tự tháp đại số, biểu thức trong mỗi khối được tìm thấy bằng cách cộng các biểu thức trong hai khối nằm bên dưới nó. Chép lại và hoàn thành các kim tự tháp sau. a 5x + x =6x 5x3x 6x x b 7p 8p 12p 12p –8p

5 Chép lại và hoàn thành các phép tính để rút gọn các biểu thức sau.

a 2x + 8x + 6y + 9y = 10x + y b 9d − 7d + 3h − h = d + 2h c 2g + 8 + 3g – 5 = 2g + 3g + 8 – 5 = g + d 8p + 12t − 3p + t = 8p − 3p + 12t + t = p + t e 3a + 4b + 5c − 2b − 8c = 3a + 4b − 2b + 5c − 8c = a + b − c

6 Rút gọn các biểu thức sau bằng cách thu gọn các hạng tử đồng dạng.

a 2a + 3a + 5b b 3c + 5c + 2d + d c 4t + 1 + 3t + 9 d 6m − 2m + 7n − 3n e 9k + 5f − 3k − 2f f 10q − 5q + 17 − 9 g 7r + 2s + 3t − 2r + s + 2t h 12 + 6h + 8k − 6 − 3h − 3k

2 Expressions, formulae and equations

8 Write each expression in its simplest form.

The first one has been done for you.

a 2ab + 3ab + 5pq + 7qp = 5ab + 12pq

b 3st + 5st + 9pu + 7up

c 4vb + 2bv + 6ad − 4da

d 11rt + 9gh − 2rt − 7hg

e 8xy + 12xz + 3yx − 9zx

f 6a + 7ac − 2a + ca g 4mn − 3nm + 7gh − 7hg

9 This is part of Dai’s homework.

Question

Write these expressions in their simplest form.

Tip

In part a, start by rewriting 7qp as 7pq

In part d, start by rewriting the expression with like terms together and all of the letters in alphabetical order, like this: 11rt − 2rt+ 9gh − 7gh.

a 2x + 8 + 6x 4 b 3bc + 5bd 2bc + 3db

Solution

a 2x + 8 + 6x 4 = 8x + 4 = 12x b 3bc + 5bd 2bc + 3db = 5bc + 5bd + 3db

Dai has made several mistakes. Explain what Dai has done wrong. Work out the correct answers.

10 Copy and complete this algebraic pyramid. Remember that you find the expression in each block by adding the expressions in the two blocks below it.

Activity 2.2

4kj +3mp jk +2pm 2kj mp

Design an algebraic pyramid like the one in Question 10, for a partner to complete. On a piece of paper, draw your pyramid and fill in the bottom row of the pyramid. You may use single or double letter terms. You may use addition and subtraction signs. Before you ask your partner to complete your pyramid, make sure you write down the answers on a different piece of paper. Swap pyramids with a partner, complete their pyramid, then swap back and mark each other’s work. Discuss any mistakes that have been made.

8 Viết biểu thức về dạng rút gọn. Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

a 2ab + 3ab + 5pq + 7qp = 5ab + 12pq

b 3st + 5st + 9pu + 7up c 4vb + 2bv + 6ad − 4da d 11rt + 9gh − 2rt − 7hg

e 8xy + 12xz + 3yx − 9zx f 6a + 7ac − 2a + ca g 4mn − 3nm + 7gh − 7hg

9 Đây là một phần bài tập về nhà của Dai.

Câu hỏi

Viết các biểu thức sau về dạng rút gọn.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Mách nhỏ

Ở phần a, bắt đầu bằng cách viết lại 7qp thành 7pq

Ở phần d, bắt đầu bằng cách viết lại mỗi hạng tử theo thứ tự bảng chữ cái rồi đặt những hạng tử đồng dạng cạnh nhau trong biểu thức: 11rt − 2rt+ 9gh − 7gh.

a 2x + 8 + 6x − 4 b 3bc + 5bd − 2bc + 3db

Lời giải

a 2x + 8 + 6x − 4 = 8x + 4 = 12x b 3bc + 5bd − 2bc + 3db = 5bc + 5bd + 3db

Dai đã mắc một số lỗi sai. Em hãy giải thích những lỗi sai của Dai rồi giúp bạn ấy sửa lại lời giải cho đúng.

10 Chép lại và hoàn thành kim tự tháp đại số bên.

Em hãy nhớ rằng, các biểu thức trong mỗi khối được tìm thấy bằng cách cộng các biểu thức trong hai khối nằm bên dưới nó. 4kj +3mp jk +2pm 2kj mp

Hoạt động 2.2

Thiết kế một kim tự tháp đại số giống như trong Câu hỏi 10 để cho một bạn cùng lớp hoàn thành nó. Em hãy vẽ kim tự tháp của mình lên một mảnh giấy và điền hàng cuối cùng của kim tự tháp.

Em có thể sử dụng hạng tử chứa một hoặc hai chữ cái. Em cũng có thể tuỳ ý sử dụng dấu cộng và dấu trừ.

Trước khi yêu cầu bạn cùng lớp hoàn thành kim tự tháp, hãy đảm bảo rằng em đã viết ra tất cả các đáp số vào một mảnh giấy khác.

Đổi kim tự tháp với bạn của em, hoàn thành kim tự tháp của bạn đó, rồi đổi lại và chấm điểm đáp số của nhau. Thảo luận về các lỗi sai đã mắc phải.

11 Marcus is trying to complete this algebraic pyramid. 12c +11d 7c +3d 2c +6d c + d

I don’t think there is enough information to be able to fill in all the blocks.

Is Marcus correct? Explain your answer. Copy the pyramid and fill in as many blocks as you can.

12 This is the method Giovanna uses to simplify the expression 3 4 5 12 aa + .

To work out 3a 4 + 5a 12 , I need to use a common denominator of 12.

3a 4 = 3 × 3a 3 × 4 = 9a 12 , so 9a 12 + 5a 12 = 14a 12

I can now write 14a 12 in its simplest form as 7a 6

a Critique Giovanna’s method. Is it easy to follow? Do you think this is the best method to use to answer this type of question or can you improve the method? Discuss your answers with a partner.

b Simplify these expressions. Write your answers in their simplest form.

i aa 2 5 8 + ii yy 26 iii 2 3 5 12 xx

13 Simplify these expressions. Write your answers in their simplest form and as an improper fraction a 3 42 aa + b 3 5 7 15 bb + c 2 3 c c+

Summary checklist

I can collect like terms. Tip An improper fraction is a fraction where the numerator is larger than the denominator.

11 Marcus cố gắng hoàn thành tự tháp số học sau.

Marcus có đúng không? Giải thích câu trả lời của em. lại kim tự tháp và điền vào nhiều khối nhất có thể.

12 Dưới đây là phương pháp Giovanna sử dụng để rút gọn biểu thức 4 5 12 aa + tính + 5a 12 , tớ cần sử dụng mẫu số chung của 12. 3a 4 = 3 × 3a 3 × 4 = 9a 12 , nên 9a 12 + 5a 12 = 14a 12 .

Giờ đây, tớ có thể viết 14a 12 về dạng rút gọn là 7a 6 .

a Phản biện cách làm của Giovanna. Nó có dễ để theo dõi không? Em có nghĩ rằng đây là cách tốt nhất để giải dạng bài này không hay em có thể cải tiến cách làm? Thảo luận với bạn cùng nhóm.

b Rút gọn các biểu thức sau. Viết đáp số của em về dạng rút gọn.

i aa 2 5 8 + ii yy 26 iii 2 3 5 12 xx

13 Rút gọn các biểu thức đáp số của em về dạng rút gọn và về dạng phân số lớn hơn có đồng dạng.

Mách nhỏ

Phân số lớn hơn 1 là một phân số mà tử số lớn hơn mẫu số.

2.4 Expanding brackets

In this section you will …

• expand brackets.

Some algebraic expressions include brackets.

To expand a term with brackets, you multiply each term inside the brackets by the term outside the brackets. Expanding a term with brackets is sometimes called ‘expanding the brackets’ or ‘multiplying out the brackets’.

Worked example 2.4

Expand the brackets.

a 4(n + 3) b 2(x − 5) c 3(2g + h − 7)

Answer

a 4(n + 3) = 4 × n + 4 × 3

Key words brackets expand

Tip

4(n + 3) means 4 × (n + 3), but you usually write an expression like this without the ×.

Multiply the 4 by the n, then multiply the 4 by the 3. = 4n + 12

Simplify the 4 × n to 4n and simplify the 4 × 3 to 12. Add the two terms together.

b 2(x – 5) = 2 × x − 2 × 5

There is a minus sign before the 5, = 2x − 10 so you need to take away the 10 from the 2x.

c 3(2g + h − 7) = 3 × 2g + 3 × h − 3 × 7

The first term is 3 × 2g, which is the same as 3 × 2 × g, which simplifies to 6g. = 6g + 3h − 21

There are three terms. You need to add the first two terms and then subtract the third term.

Exercise 2.4

1 Copy and complete the following. Expand the brackets first. a 2 92 29 2 ()xx x + =× + × =+ b 3 13 31 3 ()yy y −= ×−× =− c 47 47 4()+= + × =+ pp × d 5 35 53()qq −= ×−×

2 Biểu thức, công thức và phương trình

2.4 Khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc

Trong phần này, em sẽ…

• khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc.

Một vài biểu thức đại số có chứa dấu ngoặc.

Để khai triển một hạng tử có chứa dấu ngoặc, em nhân từng số hạng trong ngoặc với số hạng bên ngoài dấu ngoặc. Khai triển hạng tử chứa dấu ngoặc đôi khi được gọi là “khai triển dấu ngoặcˮ hoặc “nhân để bỏ dấu ngoặcˮ.

Ví dụ minh hoạ 2.4

Khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc.

a 4(n + 3) b 2(x − 5) c 3(2g + h − 7) Lời giải

a 4(n + 3) = 4 × n + 4 × 3 Nhân 4 với n, rồi nhân 4 với 3. = 4n + 12

b 2(x – 5) = 2 × x − 2 × 5

Từ khoá dấu ngoặc khai triển

Mách nhỏ

4(n + 3) có nghĩa là 4 × (n + 3), nhưng ta thường viết một biểu thức không có dấu × như vậy.

Rút gọn 4 × n thành 4n và rút gọn 4 × 3 thành 12. Cộng hai hạng tử với nhau.

Có một dấu trừ trước số 5, = 2x − 10 nên em cần lấy 2x trừ đi 10.

c 3(2g + h − 7) = 3 × 2g + 3 × h − 3 × 7 Hạng tử thứ nhất là 3 × 2g, tương đương với 3 × 2 × g, rút gọn thành 6g. = 6g + 3h − 21 Có ba hạng tử. Em cần cộng hai hạng tử đầu tiên, sau đó trừ đi hạng tử thứ ba. Chép lại và hoàn thành các phép tính sau. Khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc trước. b 3 13 31 3 ()yy×−× d 5 35 53()qq

2 Expressions, formulae and equations

2 Su and Li compare the methods they use to expand 6(x + 4).

Su uses a multiplication box like this: Li uses multiplication arcs like this: × x + 4 6 6x + 24

So 6(x + 4) = 6x + 24 6(x + 4) = 6x + 24 So 6(x + 4) = 6x + 24

a Write down the advantages and disadvantages of Su’s method.

b Write down the advantages and disadvantages of Li’s method.

c Write down the advantages and disadvantages of the method used in Question 1

d Which method do you think is best for expanding brackets correctly?

Explain why.

3 Expand the brackets.

a 3(y + 6) b 4(w + 2) c 5(z + 5) d 3(b − 1) e 6(d − 9) f 2(e − 8) g 6(2 + f ) h 2(1 + g)

i 9(3 + i) j 6(2 − x) k 2(1 − y) l 5(7 − p)

4 Expand these brackets. Copy and complete the workings.

a 2 21 22 21 4 ()xx x += ×+× =+ b 5 32 53 52 15 ()yy y −= ×−× =− c 7 29 72 79() gp gp+= ×+× =+ d 44 11 44 4114() qr qr −+=×−×+× =− +

5 Multiply out the brackets.

a 3(2x + 1) b 4(3y + 5) c 5(2w + 3) d 6(4z + 7v + 9)

e 2(3b − 4) f 4(2c − 3) g 6(5d − 1) h 8(3e − 6 + 2f )

i 3(a + 2f ) j 5(3b + 4g) k 7(6c − 7h) l 9(5 + 3h − 4i)

2 Biểu thức, công thức và phương trình

2 Su và Li so sánh phương pháp mà hai bạn sử dụng để khai triển 6(x + 4).

Su sử dụng bảng nhân như sau: Li sử dụng cung nhân như sau: × x + 4 6 6x + 24 Nên 6(x + 4) = 6x + 24 6(x + 4) = 6x + 24 Nên 6(x + 4) = 6x + 24

a Viết ra ưu điểm và nhược điểm trong phương pháp của Su.

b Viết ra ưu điểm và nhược điểm trong phương pháp của Li.

c Viết ra ưu điểm và nhược điểm trong phương pháp được dùng ở Câu hỏi 1

d Theo em, phương pháp nào là phương pháp tốt nhất để khai triển dấu ngoặc một cách chính xác?

Giải thích lựa chọn của mình.

3 Khai triển các biểu thức có chứa dấu ngoặc sau.

a 3(y + 6) b 4(w + 2) c 5(z + 5) d 3(b − 1) e 6(d − 9) f 2(e − 8) g 6(2 + f ) h 2(1 + g) i 9(3 + i) j 6(2 − x) k 2(1 − y) l 5(7 − p)

4 Khai triển các biểu thức có chứa dấu ngoặc sau. Chép lại và hoàn thành các phép tính sau. a 2 21 22 21 4 ()xx x += ×+× =+ b 5 32 53 52 15 ()yy y −= ×−× =− c 7 29 72 79() gp gp+= ×+× =+ d 44 11 44 4114() qr qr −+=×−×+× =− +

5 Nhân để bỏ dấu ngoặc.

a 3(2x + 1) b 4(3y + 5) c 5(2w + 3) d 6(4z + 7v + 9) e 2(3b − 4) f 4(2c − 3) g 6(5d − 1) h 8(3e − 6 + 2f ) i 3(a + 2f ) j 5(3b + 4g) k 7(6c − 7h) l 9(5 + 3h − 4i)

2 Expressions, formulae and equations

6 This is part of Bethan’s homework. Bethan has made a mistake in every answer. Explain what Bethan has done wrong. Work out the correct answers.

Question

Multiply out the brackets.

a 4(x + 4) b 2(6x 3)

c 3(2 5x) d 6(2 x)

Solution

a 4(x + 4) = 4x + 8 b 2(6x 3) = 12x – 3

c 3(2 5x) = 6 + 15x d 6(2 x) = 12 6x = 6x

Look again at Question 6. What method did you use to answer this question? Do you think this was the best method or would you use a different method if you had to answer the question again?

7 Arun looks at these four expressions. 4(6x + 26) 2(12x + 15) 6(5 + 4x) 3(10 + 8x)

Is Arun correct? Explain your answer and show your working. When I expand the brackets in all of these expressions, the answers are all the same.

Think like a mathematician

8 Discuss with a partner the answers to these questions.

a When you expand the brackets in the expressions 3(4b+ 5) and 3(5 + 4b), do you get the same answer?

b When you expand the brackets in the expressions 2(5c − 1) and 2(1 − 5c), do you get the same answer? Give evidence to justify your answers.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

6 Đây là một phần trong bài tập về nhà của Bethan, bạn ấy đã mắc lỗi ở tất cả các câu trả lời. Hãy chỉ rõ những lỗi sai của Bethan và giúp bạn sửa lại cho đúng.

Câu hỏi Nhân để bỏ dấu ngoặc.

a 4(x + 4) b 2(6x − 3) 3(2 − 5x) d 6(2 − x) Lời giải

a 4(x + 4) = 4x + 8 b 2(6x − 3) = 12x – 3

c 3(2 − 5x) = 6 + 15x d 6(2 − x) = 12 − 6x = 6x

Nhìn lại Câu hỏi 6. Em đã sử dụng phương pháp nào để trả lời câu hỏi này? Em có nghĩ đây là cách tốt nhất, hay em làm khác đi nếu phải trả lời câu hỏi một lần nữa?

7 Arun xem xét bốn biểu thức sau. 4(6x + 26) 2(12x + 15) 6(5 + 4x) + 8x)

Arun có đúng không? Giải thích câu trả lời của em và trình bày lời giải.

Khi tớ khai triển cả bốn biểu thức dưới đây, kết quả thu được đều giống nhau.

Tư duy như một nhà Toán học

8 Thảo luận với một bạn cùng nhóm về đáp án của những câu hỏi sau.

a Khi khai triển các biểu thức 3(4b+ 5) và 3(5 + 4b), em có nhận được kết quả giống nhau không?

b Khi khai triển các biểu thức 2(5c − 1) và 2(1 − 5c), em có nhận được kết quả giống nhau không?

Đưa ra dẫn chứng để lí giải cho câu trả lời của em.

2 Expressions, formulae and equations

9 The diagram shows a rectangle.

The width of the rectangle is 8 cm.

The length of the rectangle is 3y + 4 cm.

Write an expression, in its simplest form, for the: a area of the rectangle b perimeter of the rectangle

10 In the triangle ABC, the angle at A is (4k − 7m) °.

The angle at B is two times the size of the angle at A

Write an expression, in its simplest form, for the size of the angle at B.

11 This is how Rachel expands and simplifies the expression 5(2x + 4) − 12.

Expand and simplify: a 4(x + 7) − 1 b 7(x + 3) + 5x c 12 + 3(2x − 3) y +4cm

5(2x + 4) – 12 = 5 × 2x + 5 × 4 – 12 = 10x + 20 – 12 = 10x + 8

Summary checklist

2.5 Constructing and solving equations

In this section you will … • write and use equations.

To solve an equation, you need to find the value of the unknown letter. Consider the equation: x + 5 = 12 Subtract 5 from both sides of the equation: x + 5 − 5 = 12 − 5 You have found the solution to the equation: x = 7

Worked example 2.5

Solve these equations and check your answers.

a x − 3 = 12 b 2y + 4 = 16 Answer

a x − 3 + 3 = 12 + 3

Add 3 to both sides. x = 15

Check: 15 − 3 = 12 ✓

b 2y = 16 − 4

Key words solve solution

Work out the value of x, then substitute this value back into the equation to check that the answer is correct.

Subtract 4 from both sides. 2y = 12 Simplify the right-hand side. y = 12 2 Divide both sides by 2. y = 6

Work out the value of y, then substitute this value back into the equation to check that the answer is correct.

Check: 2 × 6 + 4 = 12 + 4 = 16 ✓

2 Biểu thức, công thức và phương trình

2.5 Lập và giải phương trình

Trong phần này, em sẽ…

• viết và sử dụng phương trình.

Để giải một phương trình, các em cần tìm ra giá trị của chữ cái chưa biết.

Xét phương trình: x + 5 = 12

Trừ cả hai vế của phương trình cho 5: x + 5 − 5 = 12 − 5

Em tìm được nghiệm của phương trình: x = 7

Ví dụ minh hoạ 2.5

Giải các phương trình sau và kiểm tra lại đáp số.

a x − 3 = 12 b 2y + 4 = 16

Lời giải

a x − 3 + 3 = 12 + 3

Cộng 3 vào cả hai vế. x = 15

Kiểm tra: 15 − 3 = 12 ✓

b 2y = 16 − 4

Từ khoá giải nghiệm

Tính giá trị của x, sau đó thế giá trị này vào lại phương trình để kiểm tra xem đáp số có đúng hay không.

Trừ cả hai vế cho 4. 2y = 12

Rút gọn vế phải. y = 12 2

Chia cả hai vế cho 2. y = 6

Kiểm tra: 2 × 6 + 4 = 12 + 4 = 16 ✓

Tính giá trị của y, sau đó thế giá trị này vào lại phương trình để kiểm tra xem đáp số có đúng hay không.

Exercise 2.5

1 Copy and complete the workings to solve these equations. Check your answers are correct.

a x x x += +- == 610 66 10 b x x x -= -+ =+ = 610 66 10 c 210 2 2 10 x x x = = =

2 Solve each of these equations and check your answers.

a x + 4 = 11 b x + 3 = 6 c 2 + x = 15 d 7 + x = 19 e x − 4 = 9 f x − 2 = 8 g x − 12 = 14 h x − 18 = 30 i 3x = 12 j 5x = 30 k 7x = 70 l 12x = 72

3 Dayita uses this method to solve an equation when the unknown is on the right-hand side of the equation.

Solve the equation: 12 = y + 3

Write this as: y + 3 = 12 Solve as normal: y + 3 3 = 12 3 y = 9

Use Dayita’s method to solve these equations.

a 15 = y + 3 b 9 = y + 2 c 13 = y − 5 d 25 = y − 3 e 24 = 8y f 42 = 6y

4 Write an equation for each of the following. Then solve each equation to find the value of the unknown number.

a I think of a number and add 3. The answer is 18. b I think of a number and subtract 4. The answer is 10. c I think of a number and multiply it by 4. The answer is 24.

5 Zara is considering the equation 4n = 24.

a Write an ‘I think of a number’ statement for each of these equations.

i n – 8 = 3 ii n + 5 = 12 iii 8n = 96

This equation could come from the statement: I think of a number, multiply it by 4, and the answer is 24.

b Solve the equations in part a Tip

In part a, n + 3 = 18.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Bài tập 2.5

1 Chép lại và hoàn thành phép tính để giải các phương trình sau. Kiểm tra lại đáp số.

a x x x += +- == 610 66 10 b x x x -= -+ =+ = 610 66 10 c 210 2 2 10 x x x = = =

2 Giải các phương trình sau và kiểm tra lại đáp số.

a x + 4 = 11 b x + 3 = 6 c 2 + x = 15 d 7 + x = 19 e x − 4 = 9 f x − 2 = 8 g x − 12 = 14 h x − 18 = 30 i 3x = 12 j 5x = 30 k 7x = 70 l 12x = 72

3 Dayita sử dụng phương pháp sau để giải phương trình có ẩn nằm ở vế bên phải.

Giải phương trình: 12 = y + 3 Viết lại thành: y + 3 = 12 Giải bình thường: y + 3 − 3 = 12 − 3 y = 9

Sử dụng phương pháp của Dayita để giải các phương trình sau.

a 15 = y + 3 b 9 = y + 2 c 13 = y − 5 d 25 = y − 3 e 24 = 8y f 42 = 6y

4 Viết phương trình cho các phát biểu sau. Sau đó, giải phương trình để tìm giá trị của ẩn số.

a Tớ nghĩ đến một số, rồi cộng số đó với 3. Tớ thu được kết quả là 18.

b Tớ nghĩ đến một số, rồi lấy số đó trừ đi 4. Tớ thu được kết quả là 10.

c Tớ nghĩ đến một số, rồi nhân số đó với 4. Tớ thu được kết quả là 24.

5 Zara xét phương trình 4n = 24.

a Viết phát biểu bắt đầu với 'Tớ nghĩ đến một số' cho mỗi phương trình sau. n – 8

b Giải các phương trình ở phần a

Phương trình này có thể xuất phát từ phát biểu: Tớ nghĩ đến một số, nhân số đó với 4, và kết quả thu được là 24.

Mách nhỏ

Trong phần a, n + 3 = 18.

6 This is part of Steffan’s homework. Question

Solve these equations.

a x + 7 = 2 b x – 6 = 2 c 5x = 35 Solution

a x + 7 = 2 x = 2 7 x = 5 b x 6 = 2 x = 2 6 x = 8 c 5x = 35 x = 35 5 x = 7

Mark Steffan’s homework. If he has made any mistakes, explain the mistakes and work out the correct answers.

7 Solve each of these equations and check your answers.

a 2a + 3 = 13 b 4a + 1 = 17 c 3a – 2 = 13 d 4 = 2c − 8 e 14 = 3c + 2 f 29 = 4c – 3

Think like a mathematician

8 In pairs or groups, discuss how you could answer this question. The total length of each set of bricks is shown.

a Write an equation involving the lengths of the bricks. i a cm a cm8cm 20cm ii b cm b cm b cm3cm 24cm

b Solve your equations to find the lengths of the bricks.

c Compare your equations and answers with those of other groups and discuss any differences. How could you improve your work?

2 Biểu thức, công thức và phương trình

6 Đây là một phần bài tập về nhà của Steffan. Câu hỏi Giải các phương trình sau.

a x + 7 = −2 b x – 6 = 2 c 5x = −35 Lời giải a x + 7 = −2 x = −2 −7 x = −5 b x − 6 = −2 x = −2 −6 x = −8 c 5x = −35 x = −35 5 x = 7 Chấm điểm bài của Steffan. Nếu bạn ấy mắc lỗi, hãy giải thích lỗi sai và tính ra đáp số đúng.

7 Giải phương trình và kiểm tra lại đáp số. a 2a + 3 = 13 b 4a + 1 = 17 c 3a – 2 = 13 d 4 = 2c − 8 e 14 = 3c + 2 f 29 = 4c – 3

Tư như một

8 Thảo luận theo cặp hoặc theo nhóm cách các em trả lời các câu hỏi sau. Cho tổng chiều dài mỗi mẫu gạch như dưới đây.

a Viết phương trình thể hiện độ dài của các mẫu gạch.

i a cm a cm8cm 20cm ii b cm b cm b cm3cm 24cm

b Giải các phương trình trên để tìm chiều dài của mỗi viên gạch.

c So sánh phương trình và đáp số của em với các bạn khác trong nhóm và thảo luận về những điểm khác biệt. Em có thể cải tiến cách làm của mình như thế nào?

9 The diagrams show the lengths of the equal sides of these isosceles triangles. For each triangle:

i Write an equation. ii Solve your equation to find the value of p. a 142p +1 b 374p –5 c 26 6p 10

10 a Write an equation for each of these situations.

i Paul has some DVDs. He sells three of the DVDs. He has 26 DVDs left.

ii Yaz has some books. She buys five more books. She now has 18 books.

iii On Monday, Nial goes for a bike ride. On Tuesday he rides twice as far as he did on Monday. On Tuesday he rides 48 km.

iv Jana’s age is three more than twice the age of Jin. Jana is 35 years old.

b Solve your equations in part a to answer the following questions.

i How many DVDs does Paul have to start with?

ii How many books does Yaz have to start with?

iii How far does Nial ride on Monday?

iv How old is Jin?

Activity 2.3

Work in pairs for this activity.

On a piece of paper, write down four situations like the ones in Question 10. Swap your paper with another pair of learners.

Write down an equation for each of the situations you have been given. Solve each of the equations. Swap back your pieces of paper and mark each other’s work. Discuss any mistakes that have been made.

11 Kenji has the following cards. 4m +4 2m –6 6m +2 = 32 44 20

He chooses one blue card, the red card and one yellow card to make an equation.

Which blue and yellow card should he choose to give him the equation with: a the largest solution for m? b the smallest solution for m?

Explain your decisions and show that your answers are correct.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

9 Các hình dưới đây cho biết độ dài hai cạnh bằng nhau của các tam giác cân. Với mỗi tam giác:

i Viết phương trình. ii Giải phương trình để tìm giá trị của p. a 142p +1 b 374p –5 c 26 6p 10

10 a Viết phương trình cho mỗi tình huống sau.

i Paul có một số đĩa DVD. Bạn bán đi ba đĩa DVD, còn lại 26 đĩa.

ii Yaz có một số quyển sách. Bạn mua thêm năm quyển nữa nên hiện đã có 18 quyển sách.

iii Vào thứ Hai, Nial đi đạp xe. Vào thứ Ba, bạn ấy đã đi được 48km, gấp đôi quãng đường đi được vào thứ Hai.

iv Số tuổi của Jana là 35, nhiều hơn 3 đơn vị so với hai lần số tuổi của Jin.

b Giải các phương trình ở phần a để trả lời các câu hỏi sau.

i Ban đầu, Paul có bao nhiêu đĩa DVD?

ii Ban đầu, Yaz có bao nhiêu quyển sách?

iii Nial đã đi được bao xa vào thứ Hai?

iv Jin bao nhiêu tuổi?

Hoạt động 2.3

Thực hiện hoạt động này theo cặp.

Viết ra một mảnh giấy bốn tình huống giống như các tình huống ở Câu hỏi 10.

Đổi tờ giấy của các em với một cặp khác.

Viết phương trình cho mỗi tình huống trong tờ giấy mà các em nhận được.

Giải các phương trình đó.

Đổi lại giấy và chấm điểm bài làm của nhau.

Thảo luận về các lỗi sai đã mắc phải.

11 Kenji có những thẻ sau. 20

Bạn ấy chọn một thẻ màu xanh dương, thẻ màu đỏ và một thẻ màu vàng để tạo thành một phương trình

Bạn ấy cần chọn thẻ màu xanh dương và màu vàng nào để tạo được phương trình có nghiệm theo

a đạt đạt thích cách của em và chứng tỏ rằng đáp số là chính xác.

Summary checklist

I can understand and solve equations. I can write equations and solve them.

2.6 Inequalities

In this unit so far, you have used a letter to represent an unknown number. You can also use a letter and an inequality to represent an open interval.

The inequality symbols used to represent open intervals are: < meaning ‘is less than’ > meaning ‘is greater than’.

Example: The inequality x > 4 means that x can be any number greater than 4.

Key words advantages disadvantages inequality inequality symbols integer infinity open interval positive infinity this section …

The inequality y < 7 means that y can be any number less than 7. Each inequality represents an open interval. In the first interval, x cannot be equal to 4. In the second interval, y cannot be equal to 7. You can show an open inequality on a number line like this:

The arrow pointing to the right shows that x can be any number above 4 and continues towards positive infinity.

The arrow pointing to the left shows that y can be any number below 7 and continues towards negative infinity.

Tip You use an open circle for < and > inequalities.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Trong các phần trước của học phần này, em đã sử dụng chữ cái để đại diện cho một ẩn số.

Em có thể sử dụng chữ cái và bất phương trình để biểu diễn một khoảng mở.

Các dấu bất phương trình được sử dụng để biểu diễn khoảng mở là:

< có nghĩa là “nhỏ hơnˮ

> có nghĩa là “lớn hơnˮ.

Ví dụ: Bất phương trình x > 4 có nghĩa x là một số bất kì lớn hơn 4.

Bất phương trình y < 7 có nghĩa y là một số bất kì nhỏ hơn 7.

Mỗi bất phương trình biểu diễn một khoảng mở. Trong khoảng mở thứ nhất, x không thể là 4. Trong khoảng mở thứ hai, y không thể là 7.

Các em có thể biểu diễn một bất phương trình trên trục số như sau:

Mũi tên chỉ về phía bên phải chỉ ra rằng, x là bất cứ số nào đằng trước 4 (tính từ bên phải) và ưu điểm nhược điểm bất phương trình dấu bất phương trình số nguyên âm vô cực khoảng mở dương vô cực

Mách nhỏ Các em sử dụng vòng tròn mở cho các bất phương trình chứa dấu > và <.

Worked example 2.6

a i Show the inequality x > 5 on a number line.

ii What is the smallest integer that x could be?

iii List the integer values that x could be.

b i Show the inequality y < 2 on a number line.

ii What is the largest integer that y could be?

iii List the integer values that y could be.

Answer

Remember that an integer is a whole number.

a i You use an open circle for the > sign, and start the line at the number 5.

The line goes to the right because it is greater than.

ii 6 x is greater than 5, so 6 is the smallest number.

iii 6, 7, 8, 9, 10, …

You cannot list all of the integers because the list goes on forever, so list the first five and write ‘…’ (called ellipses) to show that the list goes on forever.

b i You use an open circle for the < sign, and start the line at the number 2.

The line goes to the left because it is less than.

ii 1 y is less than 2, so 1 is the largest number.

iii 1, 0, −1, −2, −3, …

You cannot list all of the integers because the list goes on forever, so list the first five and write ‘…’ to show that the list goes on forever. –1

Exercise 2.6

1 Write in words what each of these inequalities means. The first one has been done for you.

a x < 10 x is less than 10 b x > 10 c x < −4 d x > −4

Ví dụ minh hoạ 2.6

a i Biểu diễn bất phương trình x > 5 trên trục số.

ii Hãy chỉ ra giá trị nguyên nhỏ nhất x có thể nhận.

iii Liệt kê những giá trị nguyên có thể của x

b i Biểu diễn bất phương trình y < 2 trên trục số.

ii Hãy chỉ ra giá trị nguyên lớn nhất y có thể nhận.

iii Liệt kê những giá trị nguyên có thể của y. Lời giải

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Hãy nhớ rằng số nguyên có giá trị nguyên.

a i Em sử dụng vòng tròn mở biểu thị cho dấu >, đặt tại điểm số 5.

98765 43 43210 –1

Mũi tên của vòng tròn mở chỉ về phía bên phải, bởi vì nó chỉ về phía lớn hơn.

ii 6 x lớn hơn 5, nên 6 là giá trị nhỏ nhất.

iii 6, 7, 8, 9, 10, …

Em không thể liệt kê được tất cả các số nguyên thoả mãn bất phương trình vì dãy số này sẽ còn tiếp tục đến vô cực, nên hãy liệt kê năm số đầu tiên rồi viết “…ˮ (được gọi là dấu chấm lửng) để chỉ ra rằng dãy số này kéo dài vô hạn.

b i Em sử dụng vòng tròn mở biểu thị cho dấu <, và đường thẳng được bắt đầu tại điểm số 2. Mũi tên của vòng tròn mở chỉ về phía bên trái, bởi vì nó chỉ về phía nhỏ hơn.

ii 1 y lớn hơn 2, nên 1 là giá trị lớn nhất.

iii 1, 0, −1, −2, −3, …

Em không thể liệt kê được tất cả các số nguyên thoả mãn bởi vì dãy số này sẽ còn tiếp tục đến vô cực, nên hãy liệt kê năm số đầu tiên rồi viết “…ˮ để chỉ ra rằng dãy số này kéo dài vô hạn.

Bài tập 2.6

1 Mô tả các bất phương trình sau bằng lời văn. Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

a x < 10 x nhỏ hơn 10 b x > 10 c x < −4 d x > −4

2 Expressions, formulae and equations

2 Write these statements as inequalities. The first one has been done for you.

a y is greater than 8 y > 8 b n is greater than −1 c p is less than zero d q is less than −2

3 Copy each number line and show each inequality on the number line.

a x > 3 65432 1 b x < 5 65432 7 c x > −3 –2–3–4–5–6 –1 d x < −1 0 1–4–2–3 –1

4 Write down the inequality that each of these number lines shows. Use the letter x.

a 43210 b 109876 c 210–1–2 d –3–4–5–6–7

5 This is part of Katya’s homework.

Question

Given the inequality x > 7, write down: i the smallest integer that x could be ii a list of the integer values that x could be. Solution

i The smallest integer is 7. ii x could be 7, 8, 9, 10, 11, …

a Explain the mistakes that Katya has made and write down the correct solutions.

b Discuss your answers to part a with a partner. Make sure you have corrected all of Katya’s mistakes.

Tip In the solution to part ii, the three dots (called ellipses) after the number 11 show that the list goes on forever.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

2 Viết các phát biểu sau thành bất phương trình. Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

a y lớn hơn 8 y > 8 b n lớn hơn −1 p nhỏ hơn 0 q nhỏ hơn −2

3 Chép lại và biểu diễn các bất phương trình trên các trục số sau.

a x > 3 65432 1 x < 5 65432 7 x > −3 –2–3–4–5–6 –1 x < −1 0 1–4–2–3 –1

4 Viết ra các bất phương trình được biểu diễn trên các trục số sau. Sử dụng chữ x.

a 43210 b 109876 c 210–1–2 d –3–4–5–6–7

5 Đây là một phần bài tập về nhà của Katya.

Câu hỏi

Cho bất phương trình x > 7, hãy viết:

i số nguyên nhỏ nhất có thể của x

ii dãy tất cả các số nguyên có thể của x.

Lời giải

i Số nguyên nhỏ nhất là 7.

ii x có thể là 7, 8, 9, 10, 11,…

a Giải thích các lỗi sai mà Katya có thể đã mắc phải và viết lại lời giải chính xác.

b Thảo luận câu trả lời cho phần a của em với bạn cùng lớp.

Hãy đảm bảo rằng em đã sửa lại tất cả các lỗi sai của Katya.

Mách nhỏ

Trong lời giải của phần ii, ba dấu chấm (gọi là dấu chấm lửng) sau số

11 chỉ ra rằng dãy số còn kéo dài đến vô cực.

2 Expressions, formulae and equations

6 For each of these inequalities:

a y > 4 b y > −7 c y > 2.5

i Write down the smallest integer that y could be.

ii Write a list of the integer values that y could be.

7 For each of these inequalities:

a n < −6 b n < 12 c n < 4.5

i Write down the largest integer that n could be.

ii Write a list of the integer values that n could be.

Think like a mathematician

8 Refer back to questions 6 and 7. Discuss the answers to these questions with a partner.

a In Question 6, why can’t you write down the largest integer that y could be?

b In Question 7, why can’t you write down the smallest integer that n could be?

9 Arun is considering the following problem.

Match each inequality on the left to the correct largest or smallest integer in the middle, and to the correct list of integers on the right. The first one has been done for you. or smallest integer

a Trong Câu hỏi 6, tại sao em không viết được giá trị nguyên lớn nhất có thể của y?

b Trong Câu hỏi 7, tại sao em không viết được giá trị nguyên nhỏ nhất có thể của n?

9 Arun xem xét vấn đề sau. Nối mỗi bất phương trình ở cột bên trái với giá trị nguyên lớn (hoặc nhỏ) nhất ở cột giữa và với dãy số nguyên tương ứng ở cột bên phải. Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

Bất phương trình Số nguyên lớn hoặc nhất các

2 Expressions, formulae and equations

The method I am going to use is to first show each inequality on a number line. Then I can easily see which green and blue rectangles I need to join with each inequality.

g Use Arun’s method to answer the question.

h Critique Arun’s method by describing the advantages and disadvantages of his method.

i Can you improve his method or suggest a better method?

Summary checklist

I can understand open inequalities.

I can draw open inequalities.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Phương pháp tớ sẽ dùng là biểu diễn từng bất phương trình trên một trục số trước.

Từ đó, tớ có thể dễ dàng nhìn thấy hình chữ nhật màu xanh lá và hình chữ nhật màu xanh dương mà tớ cần nối với mỗi bất phương trình.

g Sử dụng phương pháp của Arun để trả lời câu hỏi.

h Phản biện phương pháp giải của Arun bằng cách nêu ưu điểm và nhược điểm của phương pháp đó.

i Em có thể cải thiện phương pháp của bạn ấy hoặc đề xuất một phương pháp tốt hơn không?

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể hiểu bất phương trình với khoảng nghiệm mở.

Em có thể vẽ được bất phương trình với khoảng nghiệm mở.

Check your progress

1 Nimrah thinks of a number, n Write an expression for the number Nimrah gets each time when she a multiplies the number by 4 b subtracts 6 from the number c adds 12 to the number d multiplies the number by 3, then adds 5.

2 Work out the value of each expression.

a 2a + 3 when a = 8 b p − q when p = 13 and q = 7 c b 3 5 when b = 27

3 Loli lives with three friends. They share the gas bill equally between the four of them.

a Write a formula to work out the amount they each pay, in: i words ii letters

b Use your formula in part a ii to work out the amount they each pay when the gas bill is $96.

4 Simplify these expressions.

a n + n + n b 3c + 5c c 9x2 − x2 d 3xy + 5yz − 2xy + 3zy

5 Expand the brackets.

a 3(x + 2) b 6(3 − w) c 4(3x + 2) d 3(7 − 4v + 6w)

6 Solve each of these equations and check your answers.

a n + 3 = 8 b m – 4 = 12 c 3p = 24 d 2h + 6 = 24

7 Marcus and Zara have set some puzzles. Write an equation for each puzzle. Solve your equations to find the values of the unknown numbers. a b

8 Write down the inequality shown on this number line.

3 Loli sống với ba bạn khác. Họ chia đều hoá đơn tiền gas cho cả bốn người.

a Viết công thức để tính số tiền mà mỗi người phải trả, bằng: i lời văn ii chữ cái

b Sử dụng công thức ở phần a ii để tính số tiền mà mỗi người phải trả nếu hoá đơn gas là $96.

4 Rút gọn các biểu thức sau.

a n + n + n b 3c + 5c c 9x2 − x2 d 3xy + 5yz − 2xy + 3zy

5 Khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc.

a 3(x + 2) b 6(3 − w) c 4(3x + 2) d 3(7 − 4v + 6w)

6 Giải các phương trình

You use numbers every day, but you do not always need the numbers to be exact. Numbers are often rounded. This is because it is easier to work with rounded numbers and to compare them.

You can usually round numbers when exact accuracy isn’t important. For example, look at these two newspaper articles:

Real Madrid take the top spot!

On Saturday afternoon 74 836 football fans saw Real Madrid beat FC Barcelona by two goals to take the top spot in La Liga (Spain’s top football league).

Real Madrid Take The Top Spot!

On Saturday afternoon 75 000 football fans saw Real Madrid beat FC Barcelona by two goals to take the top spot in La Liga (Spain’s top football league).

The article on the left gives the accurate number of football fans, that is, 74 836. The article on the right rounds the number to 75 000. This means the second article is easier to read, and it isn’t really important to the story whether 74 836 or 75 000 football fans watched the game. For market research, companies usually use accurate numbers in their calculations. They will generally round their answers to give final figures that are easier to compare.

For example, a telephone company may look at the population figures of different countries and the numbers of phones used in those countries. The company can use these figures to help it decide how to increase sales of phones or to decide whether more network coverage is needed.

Look at this information about Bangladesh and Hong Kong:

Bangladesh Population: 158 570 535

Number of phones: 74 192 350

Number of phones per person: 882...

Hong Kong Population: 7 122 508

Number of phones: 13 264 896

Number of phones per person:

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Mặc dù phải sử dụng các chữ số mỗi ngày, nhưng không phải lúc nào em cũng cần đến giá trị chính xác của chúng. Người ta thường làm tròn số để dễ tính toán và dễ so sánh hơn. Em thường có thể làm tròn số trong trường hợp có thể bỏ qua sai số nhỏ. Ví dụ, quan sát hai bài báo sau:

Real Madrid giành chức vô địch!

Vào chiều ngày thứ Bảy, 74 836 người hâm mộ bóng đá đã chứng

kiến Real Madrid đánh bại FC Barcelona với hai bàn thắng để chính thức lên ngôi vô địch tại La Liga (giải bóng đá vô địch quốc gia Tây Ban Nha).

Real Madrid giành chức vô địch!

Vào chiều ngày thứ Bảy, 75 000 người hâm mộ bóng đá đã chứng

kiến Real Madrid đánh bại FC

Barcelona với hai bàn thắng để chính thức lên ngôi vô địch tại La Liga (giải bóng đá vô địch quốc gia Tây Ban Nha).

Bài báo bên trái đưa ra con số chính xác về số lượng người hâm mộ bóng đá là 74 836. Bài báo bên phải lại làm tròn con số này thành 75 000. Thông tin trong bài báo thứ hai dễ đọc hơn nhiều, và việc có 74 836 hay 75 000 người hâm mộ bóng đá xem trận đấu không thực sự quan trọng đối với sự kiện này. Trong lĩnh vực nghiên cứu thị trường, các công ty thường dùng đến số liệu chính xác trong những tính toán trung gian nhưng sẽ làm tròn các kết quả cuối cùng để người đọc dễ so sánh hơn. Ví dụ, một công ty điện thoại muốn tìm hiểu về số liệu dân số và số lượng điện thoại được sử dụng ở một số quốc gia khác nhau. Công ty đó có thể sử dụng các số liệu này để đưa ra quyết định về phương án làm tăng doanh thu bán điện thoại hoặc quyết định xem có cần mở rộng vùng phủ sóng mạng hay không.

Quan sát dữ liệu dưới đây về Bangladesh và Hong Kong:

Bangladesh

Dân số: 158 570 535

Số lượng điện thoại: 74 192 350

Số lượng điện thoại bình quân

đầu người:

0,467882...

Hong Kong

Dân số: 7 122 508

Số lượng điện thoại: 13 264 896

Số lượng điện thoại bình quân

đầu người:

1,862391...

3 Place value and rounding

Bangladesh has a much bigger population than Hong Kong. However, when you compare the number of phones per person, you can see that there are more phones per person in Hong Kong than in Bangladesh. You can round both the decimal numbers that have been calculated. You can then say that there are approximately 0.5 phones per person in Bangladesh compared with approximately 2 phones per person in Hong Kong.

3.1 Multiplying and dividing by powers of 10

In this section you will …

• multiply and divide whole numbers by powers of 10

• multiply and divide decimals by powers of 10.

You can write all the numbers 10, 100, 1000, 10 000, … as powers of 10.

The power of 10 is written as an index. This is the number of 10s that you multiply together to get the final number. It is also the same as the number of zeros that follow the digit 1. Look at this pattern of numbers:

10 = 101 10 is ten to the power of 1 or simply 10. 100 = 10 × 10 = 102 100 is ten to the power of 2 or ‘10 squared’. 1000 = 10 × 10 × 10 = 103 1000 is ten to the power of 3 or ‘10 cubed’.

10 000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 104 10 000 is ten to the power of 4.

Worked example 3.1

a Write 106 in: i numbers ii words

b Write the number 100 000 as a power of 10.

Key words classify index (plural indices) powers of 10 power

Tip As this pattern continues, the numbers get bigger and bigger.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Bangladesh có dân số cao hơn rất nhiều so với Hong Kong. Tuy nhiên, khi so sánh số lượng điện thoại bình quân đầu người, có thể thấy rằng số lượng điện thoại trung bình mỗi người sở hữu ở Hong Kong cao hơn so với ở Bangladesh.

Em có thể làm tròn cả hai số thập phân được tính trong bảng.

Em có thể nói rằng trung bình mỗi người dân ở Bangladesh có khoảng 0,5 chiếc điện thoại và trung bình mỗi người dân ở Hong Kong có khoảng 2 chiếc điện thoại.

• nhân và chia số tự nhiên cho luỹ thừa của 10

• nhân và chia số thập phân cho luỹ thừa của 10.

Em có thể viết lại các số 10, 100, 1 000, 10 000,... dưới dạng luỹ thừa của 10

Luỹ thừa của 10 được viết dưới dạng số mũ. Đây là số các thừa số của 10 được nhân lại với nhau để tạo ra tích, đồng thời cũng là số các chữ số 0 theo sau số 1. Quan sát dãy số sau:

10

100

1 000

10 là mười luỹ thừa 1 hay đơn giản là 10.

100 là mười luỹ thừa 2 hay “10 bình phương”.

1 000 là mười luỹ thừa 3 hay “10 lập phương”. 10 000 là mười luỹ thừa 4.

Từ

phân loại số mũ (các số mũ) luỹ thừa của 10 luỹ thừa

Mách nhỏ

Tiếp tục theo quy luật này, các số sẽ càng ngày càng lớn.

Continued Answer

a i 1 000 000

106 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

You write this as a 1 followed by six zeros.

ii one million 1 000 000 in words is ‘one million’.

b 105

There are five zeros after the 1 in 100 000, so 100 000 = 105.

When you multiply a number by a power of 10, you move the digits in the number to the left in the place value table.

When you divide a number by a power of 10, you move the digits in the number to the right in the place value table.

Worked example 3.2

Work out the answer to each of the following.

a 23 × 104 b 3.581 × 106 c 45 000 ÷ 105 Answer

a 23102310000

104 is the same as 10 000.

The digits 2 and 3 move four places to the left in the place value table.

The four empty spaces are filled with zeros.

b 35811035811000000

106 is the same as 1 000 000.

The digits 3, 5, 8 and 1 move six places to the left in the place value table.

The three empty spaces are filled with zeros.

105 is the same as 100 000.

c

The digits 4 and 5 move five places to the right in the place value table.

The one empty space before the decimal point is filled with a zero.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Tiếp theo

Lời giải

a i 1 000 000

ii một triệu

106 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10

Em viết một chữ số 1 và sáu chữ số 0 theo sau.

1 000 000 bằng lời đọc và viết là “một triệu”.

b 105 Có năm số 0 theo sau 1 trong số 100 000, do đó 100 000 = 105

Khi nhân một số với luỹ thừa của 10, em di chuyển đồng loạt các chữ số của số đó sang bên trái trong bảng giá trị theo hàng.

Khi chia một số cho luỹ thừa của 10, em di chuyển đồng loạt các chữ số của số đó sang bên phải trong bảng giá trị theo hàng.

Ví dụ minh hoạ 3.2

Tính giá trị của mỗi phép tính sau.

a 23 × 104 b 3,581 × 106 c 45 000 ÷ 105

Lời giải

a 23102310000

104 bằng với 10 000.

Các chữ số 2 và 3 di chuyển sang bên trái bốn hàng trong bảng giá trị theo hàng.

Điền số 0 vào bốn hàng bị trống.

b 35811035811000000

106 bằng với 1 000 000.

Các chữ số 3, 5, 8 và 1 di chuyển sang bên trái sáu hàng trong bảng giá trị theo hàng.

Điền số 0 vào ba hàng bị trống.

c 450001045000100000

105 bằng với 100 000.

Các chữ số 4 và 5 di chuyển sang bên phải năm hàng trong bảng giá trị theo hàng.

Điền số 0 vào hàng bị trống trước dấu phẩy thập phân.

3 Place value rounding

Exercise 3.1

1 Write the following in: i numbers ii words

a 103 b 105 c 107 d 101

2 Write each number as a power of 10. a 100 b 100 000 000 c 10 000 d 10 000 000 000

3 Copy and complete the working for each of these.

a 310310000 4 ×=× b 51051000000 6 ×=× c 451045100000 5

d 291102911000

4 Marcus says: ‘When I multiply a whole number by 104, I just have to add four zeros to the end of the number. When I multiply a whole number by 105, I just have to add five zeros to the end of the number. This works for any positive whole number power.’

Is Marcus correct? Discuss in pairs or groups.

5 Work out: a 23 × 102 b 768 × 104 c 9 × 106

6 Copy and complete the working for each of these.

a 421042100 2 .. ×=× b 65106510000 4 c 1271013271000 d 287102871000000

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Bài tập 3.1

1 Viết các số sau dưới dạng: i số ii chữ a 103 b 105 c 107 d 101

2 Viết mỗi số sau dưới dạng luỹ thừa của 10. a 100 b 100 000 000 c 10 000 d 10 000 000 000

3 Chép lại và hoàn thành mỗi phép tính sau. a 310310000 4 ×=× b 51051000000 6 ×=× c 451045100000 5 ×=× d 291102911000 3 ×=×

4 Marcus nói rằng: “Khi tớ nhân một số tự nhiên với 104, tớ chỉ cần viết thêm bốn chữ số 0 vào tận cùng số đó. Khi tớ nhân một số tự nhiên với 105, tớ chỉ cần viết thêm năm chữ số 0 vào tận cùng số đó. Cách làm này áp dụng được cho luỹ thừa của 10 với số mũ nguyên dương bất kì.”

Marcus có nói đúng không? Thảo luận theo cặp hoặc theo nhóm.

5 Tính: a 23 × 102 b 768 × 104 c 9 × 106

6 Chép lại và hoàn thành mỗi phép tính sau. a 421042100 2 ,, ×=× b 65106510000 4 ,, ×=× c 1271013271000,, ×=× d 287102871000000 6 ,, ×=×

Think like a mathematician

7 Sofia and Maya use different methods to work out 4.56 × 105. This is what they write: Sofia Maya

Question 4.56 × 105 Answer

There are five zeros in 105, so move the decimal point five places to the right. = 4 . 5 . 6 . . . .

There are three empty spaces, so fill them with zeros. So, 4.56 × 105 = 456 000.

Question 4.56 × 105 Answer

The number 4.56 has two decimal places. The number 105 has five zeros. 5 – 2 = 3 This means I must add three zeros to the end of the number and cross out the decimal point. So, 4.56 × 105 = 456 000.

a Do you understand how both methods work?

b Critique the two methods. Explain the advantages and disadvantages of each method.

c Which method do you prefer?

d Why doesn’t Marcus’ method work for this type of question? Discuss in pairs or groups.

8 Work out:

a 4.7 × 104 b 91.5 × 103 c 0.33 × 107

9 Copy these calculations and fill in the missing numbers.

a 1.5 × 103 = b 32.1 × = 3210

c × 105 = 612 000 d 124.63 × 10 = 12 4630 000

10 Copy and complete the working for each of the following.

a 80001080001000 3 ÷=÷

b 805000001080500000100000

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Tư duy như một nhà Toán học

7 Sofia và Maya tính 4,56 × 105 bằng hai cách khác nhau. Dưới đây là lời giải của mỗi bạn: Sofia Maya

Câu hỏi 4,56 × 105

Lời giải

Có năm chữ số 0 trong 105, do đó, cần di chuyển dấu phẩy thập phân sang bên phải năm hàng.

= 4 . 5 . 6 . . . . Điền chữ số 0 vào ba hàng bị trống.

Vậy, 4,56 × 105 = 456 000.

Câu hỏi 4,56 × 105

Lời giải

Số 4,56 có hai hàng thập phân. Số 105 có năm chữ số 0. 5 – 2 = 3

Điều này có nghĩa là tớ phải viết thêm ba chữ số 0 vào tận cùng của số thập phân và gạch bỏ dấu phẩy thập phân.

Vậy, 4,56 × 105 = 456 000.

a Em có hiểu cách làm của cả hai bạn không?

b Phản biện hai cách làm trên. Giải thích ưu điểm và nhược điểm của mỗi cách làm.

c Em thích cách làm nào hơn?

d Vì sao không sử dụng được cách làm của Marcus với dạng đề bài này?

Thảo luận theo cặp hoặc theo nhóm.

8 Tính:

a 4,7 × 104 b 91,5 × 103 c 0,33 × 107

9 Chép lại các phép tính sau và điền số còn thiếu vào ô trống. 1,5 × 103 = b 32,1 × = 3 210 c × 105 = 612 000 d 124,63 × 10  = 12 4 630 000

10 Chép lại và hoàn thành mỗi phép tính sau. 80001080001000 3 ÷=÷

3 Place value and rounding

11 Marcus says: ‘When I divide a whole number by 104, I just have to cross four zeros off the end of the number. When I divide a whole number by 105, I just have to cross five zeros off the end of the number. This works for any positive whole number power.’ Is Marcus correct? Discuss in pairs or groups.

12 Work out: a 80 000 ÷ 104 b 510 000 ÷ 103 c 8 460 000 000 ÷ 105

Think like a mathematician

13 Sofia and Maya use different methods to work out 2 350 000 ÷ 105. This is what they write: Sofia Maya

Question 2 350 000 ÷ 105

Answer

There are five zeros in 105, so move the decimal point five places to the left.

= 23 . 5 . 0 . 0 . 0 . 0 .

The decimal point stops be tween the 3 and the 5.

So, 2 350 000 ÷ 105 = 23.5.

Question 2 350 000 ÷ 105

Answer

The number 2 350 000 has four zeros. The number 105 has five zeros. 5 – 4 = 1, so there must be one digit (non-zero) after the decimal point.

So 2 350 000 ÷ 105 = 23.5.

a Do you understand how both methods work?

b Critique the two methods by explaining the advantages and disadvantages of each method.

c Which method do you prefer?

d Can you think of a better method to use for this type of question? Discuss in pairs or groups.

Câu hỏi 2 350 000 ÷ 105

Lời giải

Có năm chữ số 0 trong 105, do đó, cần di chuyển dấu phẩy thập phân sang bên trái năm hàng.

= 23 . 5 . 0 . 0 . 0 . 0 . Dấu phẩy thập phân dừng ở vị trí giữa chữ số 3 và chữ số 5.

Vậy, 2 350 000 ÷ 105 = 23,5.

Câu hỏi

2 350 000 ÷ 105

Lời giải

Số 2 350 000 có bốn chữ số 0.

Số 105 có năm chữ số 0.

5 – 4 = 1, do đó, phải có một chữ số (khác 0) sau dấu phẩy thập phân.

Vậy 2 350 000 ÷ 105 = 23,5.

d Liệu em có thể nghĩ ra cách làm tốt hơn để áp dụng với dạng đề bài này không? Thảo luận theo cặp hoặc theo nhóm.

3 Place value and rounding

14 Work out:

a 230 ÷ 10 b 230 ÷ 102 c 230 ÷ 103 d 230 ÷ 104

e 65 ÷ 10 f 65 ÷ 102 g 65 ÷ 103 h 65 ÷ 104

i 9 ÷ 10 j 9 ÷ 102 k 9 ÷ 103 l 9 ÷ 104

15 Choose the correct answer, A, B or C, for each of the following.

a 670 000 ÷ 105 A 670 B 6.7 C 0.67

b 9520 ÷ 104 A 0.952 B 9.52 C 0.0952

c 18 500 000 ÷ 106 A 185 B 1.85 C 18.5

16 These formulae show how to convert between some metric units of length.

number of mm = number of cm × 10

number of mm = number of m × 103

number of mm = number of km × 106

Use the formulae to work out the missing numbers in these conversions.

a mm = 8 cm b mm = 15 cm c mm = 7 m d mm = 3.4 m

e mm = 9 km f mm = 0.6 km g mm = 12.4 cm h mm = 32.25 km

17 a Convert 8 000 000 mm to km.

b Write a formula that will convert a length in mm to a length in km.

c Use your formula from part b to work out the missing numbers in these conversions.

i km = 90 000 000 mm ii km = 15 600 000 mm iii km = 770 000 mm

18 a Classify these number cards into groups of the same value. There should be one card left over.

Tip

Look back at Section 2.2 for a reminder on how to use formulae.

Tip

Start by converting mm to cm, then cm to m, and finally m to km.

7.8 × 103 7 800 000 000 ÷ 107 0.0078 × 104 × ÷ × 10000 000 ÷ 104 ÷ 000 ÷

b Write two new cards that have the same value as the card that is left over.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

14 Tính:

a 230 ÷ 10 b 230 ÷ 102 c 230 ÷ 103 d 230 ÷ 104 e 65 ÷ 10 f 65 ÷ 102 g 65 ÷ 103 h 65 ÷ 104 i 9 ÷ 10 j 9 ÷ 102 k 9 ÷ 103 l 9 ÷ 104

15 Chọn đáp số đúng, A, B hoặc C, cho mỗi phép tính sau.

a 670 000 ÷ 105 A 670 B 6,7 C 0,67 b 9 520 ÷ 104 A 0,952 B 9,52 C 0,0952

c 18 500 000 ÷ 106 A 185 B 1,85 C 18,5

16 Các công thức dưới đây cho biết cách quy đổi giữa một số đơn vị đo độ dài

Sử dụng các công thức trên để tìm số còn thiếu trong mỗi quy đổi sau.

a mm = 8 cm b mm = 15 cm c mm = 7 m d mm = 3,4 m e mm = 9 km f mm = 0,6 km g mm = 12,4 cm h mm = 32,25 km

17 a Đổi 8 000 000 mm sang km.

b Viết công thức mô tả cách quy đổi độ dài từ mm sang km.

c Sử dụng công thức ở phần b của em để tìm số còn thiếu trong mỗi quy đổi sau.

i km = 90 000 000 mm ii km = 15 600 000 mm iii km = 770 000 mm

18 a Phân loại những thẻ số sau vào các nhóm có Phần 2.2 để nhớ lại cách sử dụng các công thức. tiên, hãy đổi mm sang cm, sau đó là cm sang m, và cuối cùng là m sang

3 Place value rounding

Explain to a partner the methods you would use to work out the answers to these questions. 0.39 × 105 36 800 000 ÷ 106

Explain why you like to use these methods. Does your partner use the same methods? If your partner uses different methods, do you understand their methods?

Summary checklist

I can multiply and divide whole numbers by powers of 10. I can multiply and divide decimal numbers by powers of 10.

3.2 Rounding

In this section you will …

• round numbers to a given number of decimal places.

When you are asked to round a number, you will be told how accurate your answer should be. This is called the degree of accuracy.

For any degree of accuracy, the method is always the same.

Look at the digit in the position of the required degree of accuracy. What you do to this digit depends on the value of the digit to the right of it.

• If the value of the digit to its right is 5 or more, increase the original digit by 1.

• If the value of the digit to the right is less than 5, leave the original digit as it is.

Key words round degree of accuracy

Em có thể nhân và chia số thập phân cho luỹ thừa của 10.

Trong phần này, em sẽ...

• làm tròn số với số chữ số thập phân cho trước.

Trong những bài tập về làm tròn số, đề bài sẽ nêu rõ yêu cầu về

độ chính xác của đáp số.

Với mọi độ chính xác cho trước, phương pháp làm tròn số là như nhau.

Quan sát chữ số ở vị trí tương ứng với độ chính xác được yêu cầu.

Những tác động của em đối với chữ số này phụ thuộc vào giá trị của chữ số nằm ngay bên phải của nó.

• Nếu chữ số bên phải lớn hơn hoặc bằng 5, cộng thêm 1 vào chữ số ban đầu.

• Nếu chữ số bên phải nhỏ hơn 5, giữ nguyên chữ số ban đầu.

Từ khoá làm tròn số độ chính xác

Worked example 3.3

Round the number 5.376 398 to the given degree of accuracy. a one decimal place b three decimal places c five decimal places Answer

a 5.376 398 = 5.4 (to 1 d.p.) The digit in the first decimal place is 3.

The digit to the right of the 3 is 7.

7 is more than 5, so round the 3 up to 4. The letters ‘d.p.’ stand for ‘decimal place’.

b 5.376 398 = 5.376 (to 3 d.p.) The digit in the third decimal place is 6.

The digit to the right of the 6 is 3.

3 is less than 5, so the 6 stays the same.

c 5.376 398 = 5.376 40 (to 5 d.p.) The digit in the fifth decimal place is 9.

The digit to the right of the 9 is 8.

8 is more than 5, so round the 9 up to 10.

This has the effect of rounding the fourth and fifth digits (i.e. 39) up to 40. Notice that you must write down the zero at the end, as the number must have five decimal places.

Exercise 3.2

1 Round each of these numbers to two decimal places (2 d.p.). The first one has been done for you.

a 5.673 = 5.67 (to 2 d.p.) b 8.421 c 39.555 d 0.487 e 138.2229 f 0.069 01

2 Arun and Sofia round the number 34.8972 to two decimal places.

I think the answer is 34.9.

I think the answer is 34.90.

a Who is correct? Explain how they got this answer.

b Explain the mistake that the other learner has made.

Tip Remember that all of your answers in question 1 must have exactly two digits after the decimal point.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Ví dụ minh hoạ 3.3

Làm tròn số 5,376398 theo độ chính xác được cho như sau.

a một chữ số thập phân b ba chữ số thập phân c năm chữ số thập phân

Lời giải

a 5,376398 = 5,4 (đến 1 cstp)

b 5,376398 = 5,376 (đến 3 cstp)

c 5,376398 = 5,37640 (đến 5 cstp)

Chữ số ở hàng thập phân thứ nhất là 3.

Chữ số bên phải của 3 là 7.

7 lớn hơn 5, nên cộng thêm 1 vào 3 được 4.

Chữ “cstp” (tiếng Anh là d.p) viết tắt cho “chữ số thập phân”.

Chữ số ở hàng thập phân thứ ba là 6.

Chữ số bên phải của 6 là 3.

3 nhỏ hơn 5, nên giữ nguyên 6.

Chữ số ở hàng thập phân thứ năm là 9.

Chữ số bên phải của 9 là 8.

8 lớn hơn 5, nên cộng thêm 1 vào 9 được 10.

Đây là kết quả của việc làm tròn chữ số thập phân thứ tư và chữ số thập phân thứ năm (tức 39) đến 40. Lưu ý rằng, em phải viết số 0 ở tận cùng, bởi vì số sau khi làm tròn phải có năm chữ số thập phân.

Bài tập 3.2

1 Làm tròn mỗi số sau đến hai chữ số thập phân (2 cstp). Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

a 5,673 = 5,67 (đến 2 cstp) b 8,421 c 39,555 d 0,487 e 138,2229 f 0,06901

2 Arun và Sofia làm tròn số 34,8972 đến hai chữ số thập phân.

Tớ nghĩ đáp số là 34,9.

Mách nhỏ

Hãy nhớ rằng, tất cả các đáp số của em ở câu hỏi 1 phải có chính xác hai chữ số sau dấu phẩy thập phân.

Tớ nghĩ đáp số là 34,90.

a Bạn nào đúng? Giải thích làm thế nào bạn ấy có được đáp số đó.

b Giải thích lỗi sai mà bạn còn lại mắc phải.

Think like a mathematician

3 A pedometer measures the distance that you walk.

Liam has a pedometer. It shows that he has walked 9.55 km. This distance is given to two decimal places. What distances might Liam have actually walked? Discuss in pairs or in groups.

4 Round each of these numbers to three decimal places (3 d.p.).

a 12.894 3 b 127.996 52 c 0.200 53 d 9.349 612

5 Fina explains her method to round 17.825 684 to four decimal places (4 d.p.).

First, I draw a line after the digit in the fourth decimal place. 17.8256|84

Then I circle the digit in the fifth decimal place. 17.8256|8 4

The digit I have circled is 8, so I must increase the digit before the line by 1, so the 6 becomes a 7. 17.8257 (4 d.p.)

a Do you like this method that Fina uses?

b What are the advantages and disadvantages of this method?

c Can you think of a better/easier method to use? If you can, then write down an explanation of your method.

d Explain how you would use Fina’s method to round another number to six decimal places.

6 Choose the correct answer, A, B or C, for each of the following. Round each of these numbers to four decimal places (4 d.p.).

a 5.662 198 A 5.6621 B 5.6622 C 5.6623 b 197.020 549 A 197.0206 B 197.0215 C 197.0205

c 0.008 973 2 A 0.0090 B 0.009 C 0.0089

7 Round each of these numbers to the given degree of accuracy.

a 126.992 31 (4 d.p.)

b 0.7785 (1 d.p.) c 782.029 72 (3 d.p.)

d 3.141 592 654 (7 d.p.) e 3.9975 (2 d.p.) f 99.9961 (1 d.p.)

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Tư duy như một nhà Toán học

3 Máy đo bước là thiết bị đo quãng đường đi bộ của em.

Liam có một chiếc máy đo bước. Máy hiển thị rằng bạn ấy đã đi bộ được 9,55 km. Quãng đường này đã được làm tròn đến hai chữ số thập phân.

Hỏi quãng đường thực tế mà Liam đã đi bộ có thể là bao nhiêu?

Thảo luận theo cặp hoặc theo nhóm.

4 Làm tròn mỗi số sau đến ba chữ số thập phân (3 cstp). a 12,8943 b 127,99652 c 0,20053 d 9,349612

5 Fina trình bày cách làm tròn số 17,825684 đến bốn chữ số thập phân (4 cstp) như sau.

Đầu tiên, tớ kẻ một vạch sau chữ số thập phân thứ tư.

17,8256|84 Sau đó, tớ khoanh tròn chữ số thập phân thứ năm. 17,8256|8 4 Chữ số tớ vừa khoanh tròn là 8, nên tớ phải cộng thêm 1 vào chữ số trước vạch kẻ, tức là thay số 6 bằng số 7. 17,8257 (4 cstp)

a Em có thích cách làm của Fina không?

b Có những ưu điểm và nhược điểm nào trong cách làm trên?

c Em có nghĩ ra cách làm nào hay hơn/dễ thực hiện hơn không?

Nếu có, hãy trình bày cách làm của em.

d Sử dụng cách làm của Fina để làm tròn số khác đến sáu chữ số thập phân.

6 Chọn đáp số đúng, A, B hoặc C, cho mỗi câu sau.

Làm tròn mỗi số sau đến bốn chữ số thập phân (4 cstp). 5,662198 A 5,6621 B 5,6622 C 5,6623 197,020549 A 197,0206 B 197,0215 C 197,0205 0,0089732 A 0,0090 B 0,009 C 0,0089

7 Làm tròn mỗi số sau theo độ chính xác đã cho. 126,99231 (4 cstp) b 0,7785 (1 cstp) c 782,02972 (3 cstp) 3,141592654 (7 cstp) 3,9975 (2 cstp) 99,9961 (1 cstp)

3 Place value and rounding

8 Zara is looking at this question: Match the original number on the left to the rounded number in the middle, to the degree of accuracy on the right. The first one has been done for you.

Original number

Rounded number Degree of accuracy

A 32.7819045

B 32.8729045

C 32.7189045

D 32.7891045 E 32.8792045

F 32.8179045 a 32.873 b 32.789105 c 32.7819 d 32.81790 e 32.7 f 32.88

Zara makes the following statement.

The method I am going to use is to start with an original number and round it to 1 d.p. If my answer is in the rounded number list, I will join it with a line. If not, I’ll round it to 2 d.p. and see if this number is in the list. If not, I’ll continue rounding to more decimal places until I find the answer.

a Use Zara’s method to answer the question.

b Critique Zara’s method by explaining the advantages and disadvantages of her method.

c Can you improve her method or suggest a better method?

9 Work out the answers to these questions on a calculator. Round each of your answers to the given degree of accuracy.

a 9 ÷ 7 (2 d.p.)

b 4 8 15 + () 4 d.p.

c 622 () 3 d.p

i 1 d.p ii 2 d.p iii 3 d.p iv 4 d.p v 5 d.p vi 6 d.p

8 Zara đang quan sát bài toán sau: Nối số ban đầu ở cột bên trái với số sau khi được làm tròn ở cột giữa và độ chính xác tương ứng ở cột bên phải. Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

Số ban đầu được làm tròn Độ chính xác 32,7819045 32,8729045 32,7189045 32,7891045 32,8792045 32,8179045 32,873 32,789105 32,7819 32,81790 32,7 32,88 i 1 cstp ii 2 cstp iii 3 cstp iv 4 cstp v 5 cstp vi 6 cstp

Zara phát biểu như sau.

Cách làm tớ định sử dụng là làm tròn một số

ban đầu đến 1 cstp. Nếu kết quả của tớ nằm trong danh sách các số sau khi được làm tròn, tớ sẽ nối chúng lại với nhau. Nếu không, tớ sẽ làm tròn số ban đầu đến 2 cstp và xem kết quả có nằm trong danh sách không. Cứ như vậy, tớ sẽ tiếp tục làm tròn đến nhiều chữ số thập phân hơn cho đến khi tìm thấy kết quả tương ứng.

a Sử dụng cách làm của Zara để tìm đáp số cho bài toán trên.

b Phản biện cách làm của Zara bằng cách giải thích những ưu điểm và nhược điểm trong cách làm của bạn ấy.

c Em có thể cải tiến cách làm của bạn ấy hoặc đề xuất một cách làm tốt hơn hay không?

9 Sử dụng máy tính cầm tay để tìm đáp số cho mỗi phép tính sau. Làm tròn đáp số của em theo độ chính xác đã cho.

a 9 ÷ 7 (2 cstp)

b 48 15 +(4cstp)

c 62 2–(3cstp)

Activity 3.1

You will write a question for a partner to answer. On a piece of paper write down a question of your own that is similar to Question 7. Make sure your question has parts a to f and that each part uses six different numbers. Also, make sure your question asks for the numbers to be rounded to different degrees of accuracy.

Before you ask your partner to answer your question, write the answers on a different piece of paper. Swap questions with your partner. Answer their question, then swap back and mark each other’s work. Discuss any mistakes that have been made.

10 Sofia, Marcus and Arun go out for lunch. The total bill for lunch is $46.48. They decide to share the bill equally between the three of them. They use a calculator to work out how much each of them should pay. This is what they say:

I think we should round the answer on the calculator to one decimal place.

I think we should round the answer on the calculator to the nearest whole number.

I think we should round the answer on the calculator to two decimal places.

a Work out how much Sofia, Marcus and Arun think they should each pay.

b Who do you think has made the best rounding decision? Explain your answer.

c Can you think of a better way to round the answer to help decide how much they should each pay?

Summary checklist

I can round numbers to a given number of decimal places.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Hoạt động 3.1

Em sẽ ra một đề toán cho bạn cùng nhóm của mình.

Viết một bài toán của riêng em tương tự với Câu hỏi 7 vào một mảnh giấy.

Đảm bảo rằng bài toán của em phải có các phần từ a đến f với sáu số khác nhau.

Ngoài ra, cần đảm bảo rằng độ chính xác được cho ở các phần cũng phải khác nhau.

Trước khi yêu cầu bạn cùng nhóm giải bài toán này, hãy viết đáp số vào một mảnh giấy khác.

Hoán đổi bài toán của em với bạn cùng nhóm. Viết đáp số, rồi đổi lại và chấm chéo cho nhau. Thảo luận về những lỗi sai mà các em mắc phải.

10 Sofia, Marcus và Arun cùng nhau đi ăn trưa. Tổng hoá đơn cho bữa trưa hết $46,48.

Các bạn quyết định sẽ chia đều hoá đơn cho ba người.

Các bạn dùng một chiếc máy tính cầm tay để tính số tiền mà mỗi người sẽ trả. Dưới đây là cuộc đối thoại của các bạn ấy:

Tớ nghĩ chúng ta nên làm tròn kết quả hiển thị trên máy tính cầm tay đến hàng đơn vị.

Tớ nghĩ chúng ta nên làm tròn kết quả hiển thị trên máy tính cầm tay đến một chữ số thập phân.

Tớ nghĩ chúng ta nên làm tròn kết quả hiển thị trên máy tính cầm tay đến hai chữ số thập phân.

a Tính số tiền mà Sofia, Marcus và Arun phải trả theo đề xuất của từng bạn.

b Theo em, ai là người có quyết định làm tròn số tiền hợp lí nhất? Trình bày lí do của em.

c Em có nghĩ ra cách làm tròn nào hợp lí hơn để giúp các bạn quyết định số tiền mà mỗi người nên trả không?

Em có số với số chữ số thập phân cho trước.

Check your progress

1 104

2 both of these numbers a power of 10. 1000 1 000 000

3 Work 4 12 106 8.9 105 4.66 103 Work out: 7000 103 3 400 000 104 140 102 31 200 ÷ 105

5 Round each of these numbers to the given degree of accuracy.

a 78.931 (2 decimal places) 0.667 39 (4 decimal places) 154.829 09 (3 decimal places) 6.505 049 93 (6 decimal places)

Getting started

1 Write the correct inequality, < or >, between each pair of decimal numbers.

The first one has been done for you. a 4.2 > 3.9 b 6.4 8.1 c 12.5 11.9 d 3.7 3.2 e 0.5 0.4 f 32.7 32.8

2 Here are four decimal number cards. 15.6 15.915.3 15.0

Write the numbers in increasing value, from smallest to largest.

3 Write T (true) or F (false) for each of the following.

a 4.32 > 5.12 b 8.91 < 9.91 c 12.03 > 11.95 1.45 < 1.35 e 0.72 > 0.79 f 10.85 < 10.99

4 Work out the following, showing your working. a 4.56 + 8.35 b 9.7 + 4.48 c 16.78 14.93 d 7.87 3.9 each yellow question card with its correct blue answer card.

Tip Remember that: < means ‘less than’ means ‘greater than’. Decimals Set out these calculations each other. So, part a

1 Điền < hoặc > vào giữa mỗi số thập phân sau. đầu tiên đã được hoàn thành

a 4,2 > 3,9 6,4 8,1 c 12,5 11,9 3,7 0,5 0,4 f 32,7 32,8

2 các từ đến lớn.

3 Ghi Đ (đúng) (sai) mỗi câu sau.

a 4,32 > 5,12 b 8,91 < 9,91 c 12,03 > 11,95 1,45 < 1,35 e 0,72 > 0,79 f 10,85 < 4,56 16,78

Mách nhỏ Nhớ rằng: < có nghĩa là “nhỏ hơn“ có nghĩa là “lớn hơn“.

Mách nhỏ Đặt tính bằng cách viết số hạng này dưới số hạng kia, sao cho các chữ số ở cùng một hàng đặt thẳng cột với nhau. Do đó, với phần a, em đặt tính như sau:

The decimal system is a number system based on 10. You can write all the numbers using just the ten digits: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9. The world’s earliest decimal system used lines to represent numbers, so their digits 1 to 9 looked similar to this: 123456789

Before the symbol for zero (0) was invented, people used a blank space to represent zero. Many countries in the world use a decimal system for their currency, whereby each unit of currency is based on a multiple of 10. For example:

USA, 1 dollar = 100 cents ($1 = 100 c) UK, 1 pound = 100 pence (£1 = 100 p) Europe, 1 euro = 100 cents (€1 = 100 c)

Gambia, 1 dalasi = 100 bututs China, 1 yuan = 100 fen Thailand, 1 baht = 100 satang

When you travel to different countries, you need to use different currencies. It is easier to understand new currencies if they are based, like that of your own country’s, on the decimal system.

Hệ thập phân là hệ thống số dùng số 10 làm cơ số. Em có thể biểu diễn tất cả các số trong hệ thống này chỉ với mười chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9.

Hệ thập phân cổ nhất thế giới sử dụng các vạch thẳng để biểu diễn số, vì vậy, các chữ số từ 1 đến 9 từng giống với biểu diễn dưới đây: 123456789

Trước khi kí tự số không (0) ra đời, người ta dùng một khoảng trống để biểu diễn nó.

Nhiều quốc gia trên thế giới sử dụng hệ thập thân trong hệ thống tiền tệ của họ, trong đó, mỗi đơn vị tiền được tính theo một bội số của 10. Ví dụ:

Mỹ, 1 dollar = 100 cent ($1 = 100c)

Anh, 1 pound = 100 pence (£1 = 100p) Châu Âu, 1 euro = 100 cent (€1=100c)

Gambia, 1 dalasi = 100 bututs Trung Quốc, 1 yuan = 100 fen Thái Lan, 1 baht = 100 satang

Khi đi du lịch nước ngoài, em cần sử dụng đến nhiều loại tiền khác nhau. Việc hiểu được những đơn vị tiền tệ mới sẽ trở nên dễ dàng hơn nếu chúng cũng được tính theo hệ thập phân như ở đất nước em sống.

4.1 Ordering decimals

In this section you will …

• compare and order decimals.

To order decimal numbers, you write them from the smallest to the largest.

Different whole-number parts

First, compare the whole-number part of the numbers.

Consider these three decimal numbers: 8.9, 14.639, 6.45

If you highlight just the whole-number parts, you get: 8.9, 14.639, 6.45

You can see that 14 is the biggest of the whole numbers and 6 is the smallest.

So, in order of size, the numbers are: 6.45, 8.9, 14.639

Same whole-number parts

When you have to put in order numbers with the same whole-number part, you must first compare the tenths, then the hundredths, and so on.

Consider these three decimal numbers: 2.82, 2.6, 2.816

They all have the same whole number of 2. 2.82, 2.6, 2.816

If you highlight just the tenths, you get: 2.82, 2.6, 2.816

You can see that 2.6 is the smallest, but the other two numbers both have 8 tenths, so highlight the hundredths. 2.6, 2.82, 2.816

You can see that 2.816 is smaller than 2.82. So, in order of size, the numbers are: 2.6, 2.816, 2.82

Worked example 4.1

For each set, write the decimal numbers in order of size. a 6.8, 4.23, 7.811, 0.77 b 4.66, 4.6, 4.08

Key words compare decimal number fourth hundredths order tenths whole-number part

Tip Write the 2.6 at the start because you know it is the smallest number.

4 Số thập phân

4.1 Sắp xếp các số thập phân theo thứ tự

Trong phần này, em sẽ…

• so sánh và sắp xếp các số thập phân theo thứ tự.

Để sắp xếp các số thập phân theo thứ tự, em liệt kê chúng từ nhỏ đến lớn.

Phần nguyên khác nhau

Đầu tiên, so sánh phần nguyên của các số.

Xét ba số thập phân sau: 8,9; 14,639; 6,45

Tô đậm phần nguyên của các số đó, em được: 8,9; 14,639; 6,45

Em có thể thấy rằng 14 là phần nguyên lớn nhất và 6 là phần nguyên nhỏ nhất.

Vì vậy, thứ tự về độ lớn của các số là: 6,45; 8,9; 14,639

Phần nguyên giống nhau

Để sắp xếp các số thập phân theo thứ tự có phần nguyên giống nhau, em phải so sánh hàng phần mười, rồi đến hàng phần trăm và cứ tiếp tục như vậy.

Xét ba số thập phân sau: 2,82; 2,6; 2,816

Các số trên đều có phần nguyên bằng 2. 2,82; 2,6; 2,816

Tô đậm hàng phần mười của các số đó, em được: 2,82; 2,6; 2,816

Em có thể thấy rằng 2,6 là số nhỏ nhất, tuy nhiên, hai số còn lại đều có 8 là hàng phần mười, do đó, cần tô đậm hàng phần trăm của chúng. 2,6; 2,82; 2,816

Em có thể thấy rằng 2,816 nhỏ hơn 2,82.

Vì vậy, thứ tự về độ lớn của các số là: 2,6; 2,816; 2,82

Ví dụ minh hoạ 4.1

Viết các số thập phân trong mỗi nhóm dưới đây theo thứ tự tăng dần.

a 6,8; 4,23; 7,811; 0,77 b 4,66; 4,6; 4,08

Từ khoá so sánh số thập phân thứ tư hàng phần trăm sắp xếp thứ tự hàng phần mười phần nguyên

Mách nhỏ

Viết số 2,6 đầu tiên vì em đã biết đây là số nhỏ nhất.

Answer

a 0.77, 4.23, 6.8, 7.811

b 4.08, 4.6, 4.66

All these numbers have a different whole-number part, so you don’t need to compare the decimal part. Simply write the numbers in order of their whole-number parts, which are 0, 4, 6 and 7.

All these numbers have the same whole-number part, that is, 4. Start by comparing the tenths. 4.08 comes first as it has the smallest number of tenths (0 tenths). 4.6 and 4.66 have the same number of tenths (6 tenths), so compare the hundredths. 4.6 is the same as 4.60, so it has 0 hundredths. 4.6 comes before 4.66, which has 6 hundredths.

Exercise 4.1

1 For each pair, write down which is the smallest decimal number. a 13.5, 9.99 b 4.32, 3.67 c 12.56, 21.652 d 127.06, 246.9 e 0.67, 0.72 f 3.4, 3.21 g 18.54, 18.45 h 0.05, 0.043 i 0.09, 0.1

2 The table shows six of the fastest times run by women in the 100 m race.

Name Country Year Time (seconds)

Kerron Stewart Jamaica 2009 10.75 Marion Jones USA 1998 10.65 Merlene Ottey Jamaica 1996 10.74 Carmelita Jeter USA 2009 10.64 Shelly-Ann Fraser Jamaica 2009 10.73 Florence Griffith-Joyner USA 1988 10.49

a Write the times in order of size.

b Which woman has the fourth fastest time?

3 Marcus is comparing the numbers 8.27 and 8.4. Is Marcus correct? Explain your answer. 8.27 is greater than 8.4 because 27 is greater than 4.

4 Số thập phân

Lời giải

a 0,77; 4,23; 6,8; 7,811 Tất cả các số đã cho có phần nguyên khác nhau, nên em không cần phải so sánh phần thập phân. Chỉ cần viết các số theo thứ tự về độ lớn của phần nguyên, lần lượt là 0, 4, 6 và 7.

b 4,08; 4,6; 4,66 Tất cả các số đã cho đều có phần nguyên bằng 4. Bắt đầu bằng việc so sánh hàng phần mười. 4,08 đứng đầu dãy, bởi vì nó có hàng phần mười nhỏ nhất (0 hàng phần mười). 4,6 và 4,66 có cùng hàng phần mười (6 hàng phần mười), nên cần so sánh hàng phần trăm. 4,6 bằng với 4,60; nên nó có 0 hàng phần trăm. 4,6 đứng trước 4,66; số có 6 hàng phần trăm.

Bài tập 4.1

1 Viết số thập phân nhỏ nhất trong mỗi cặp số sau. a 13,5; 9,99 b 4,32; 3,67 c 12,56; 21,652 d 127,06; 246,9 e 0,67; 0,72 f 3,4; 3,21 g 18,54; 18,45 h 0,05; 0,043 i 0,09; 0,1

2 Bảng dưới đây cho biết sáu trong số những lượt chạy nhanh nhất ở nội dung 100 m dành cho nữ giới.

Tên Quốc gia Năm Thời gian (giây)

Kerron Stewart Jamaica 2009 10,75 Marion Jones Mỹ 1998 10,65 Merlene Ottey Jamaica 1996 10,74 Carmelita Jeter Mỹ 2009 10,64 Shelly-Ann Fraser Jamaica 2009 10,73 Florence Griffith-Joyner Mỹ 1988 10,49

a Viết các khoảng thời gian trong bảng theo thứ tự tăng dần.

b Vận động viên nữ nào có lượt chạy nhanh thứ tư?

3 Marcus đang so sánh hai số 8,27 và 8,4. Marcus có đúng không? Giải thích câu trả lời của em.

Tiếp theo 8,27 lớn hơn 8,4 vì 27 lớn hơn 4.

4 Greg uses the inequalities < and > to show that one number is smaller than or is larger than another number.

4.07 is smaller then 4.15, so 4.07 < 4.15. 2.167 is bigger than 2.163, so 2.167 > 2.163.

Write the correct sign, < or >, between each pair of numbers.

a 6.03 6.24 b 9.35 9.41

c 0.49 0.51 d 18.05 18.02

e 9.2 9.01 f 2.19 2.205 g 0.072 0.06 h 29.882 29.88

5 Lin uses the symbol = to show that one number is equal to another. She uses the symbol ≠ to show that one number is not equal to another.

8.9 has the same value as 8.90, so 8.9 = 8.90. 0.183 does not have the same value as 0.18, so 0.183 ≠ 0.18.

Write the correct sign, = or ≠, between each pair of numbers.

a 4.2 4.20 b 3.75 3.57

c 0.340 0.304 d 9.58 9.580

e 128.00 128 f 0.0034 0.034

6 Ulrika uses a different method to order decimals. Her method is shown here.

Question

Write the decimal numbers 4.23, 4.6 and 4.179 in order of size.

Solution

4.179 has the most decimal places, so give all the other numbers three decimal places by adding zeros at the end: 4.230, 4.600, 4.179

Now compare 230, 600 and 179: 179 is the smallest, then 230, and 600 is the biggest. In order of size, the numbers are: 4.179, 4.23, 4.6

Tip

The symbol < means ‘is smaller than’.

The symbol > means ‘is bigger than’.

Tip The symbol ≠ means ‘is not equal to’.

4 Greg sử dụng các dấu bất đẳng thức < và > để biểu diễn một số nhỏ hơn hay lớn hơn số khác.

4,07 nhỏ hơn 4,15; nên 4,07 < 4,15. 2,167 lớn hơn 2,163; nên 2,167 > 2,163.

Điền dấu < hoặc > vào giữa mỗi cặp số sau.

a 6,03 6,24 b 9,35 9,41

c 0,49 0,51 d 18,05 18,02

e 9,2 9,01 f 2,19 2,205 g 0,072 0,06 h 29,882 29,88

5 Lin sử dụng dấu = để biểu diễn một số bằng với số khác.

Bạn ấy sử dụng dấu ≠ để biểu diễn một số không bằng với số khác. 8,9 bằng với 8,90; nên 8,9 = 8,90. 0,183 không bằng với 0,18; nên 0,183 ≠ 0,18.

Điền dấu = hoặc ≠ vào giữa mỗi cặp số sau.

a 4,2 4,20 b 3,75 3,57 c 0,340 0,304 d 9,58 9,580 e 128,00 128 f 0,0034 0,034

6 Ulrika sử dụng một cách làm khác để sắp xếp các số thập phân theo thứ tự. Cách làm của bạn ấy được mô tả như sau.

Câu hỏi Viết các số thập phân 4,23; 4,6 và 4,179 theo thứ tự tăng dần.

Lời giải 4,179 có nhiều hàng thập phân nhất, nên ta viết lại các số khác với ba hàng thập phân bằng cách thêm các chữ số 0 vào tận cùng mỗi số: 4,230; 4,600; 4,179.

Bây giờ, so sánh 230; 600 và 179: 179 là số nhỏ nhất, rồi đến 230, và 600 là số lớn nhất.

Thứ tự về độ lớn của các số là: 4,179; 4,23; 4,6.

4 Số thập phân

Mách nhỏ

Dấu < có nghĩa là “nhỏ hơn“.

Dấu > có nghĩa là “lớn hơn“.

Mẹo

Dấu ≠ có nghĩa là “không bằng với“.

For each set, use Ulrika’s method to write the decimal numbers in order of size.

a 2.7, 2.15, 2.009

b 3.45, 3.342, 3.2

c 17.05, 17.1, 17.125, 17.42 d 0.71, 0.52, 0.77, 0.59

e 5.212, 5.2, 5.219, 5.199 f 9.08, 9.7, 9.901, 9.03, 9.99

g Critique Ulrika’s method by explaining the advantages and disadvantages of her method. Can you improve Ulrika’s method?

In pairs or groups, discuss the different methods you can use to order decimals.

Look back at the methods used in the worked example and also in Question 6

Individually, decide which is your favourite method and explain to your partner or group why you prefer this method.

7 Write these amounts in order of size. Use the tip box to help you.

a 38.1 cL, 300 mL, 0.385 L

b 725 mm, 7.3 cm, 0.705 m

c 5.12 kg, 530 g, 0.0058 t, 519 000 mg

d 461.5 cm, 0.0046 km, 0.45 m, 4450 mm

8 Brad puts these decimal number cards in order of size. There is a mark covering part of the number on the middle card. 3.07 3 3.083

a Write down three possible numbers that could be on the middle card.

b How many different numbers with three decimal places do you think could be on the middle card?

Tip Remember:

10 mm = 1 cm 100 cm = 1 m

1000 m = 1 km 10 mL = 1 cL 100 cL = 1 L 1000 mL = 1 L 1000 mg = 1 g 1000 g = 1 kg 1000 kg = 1 t

c Show how you can convince others that your answer to part b is correct.

Summary checklist

I can compare and order decimal numbers.

Sử dụng cách làm của Ulrika để viết các số thập phân trong mỗi nhóm sau theo thứ tự về độ lớn. a 2,7; 2,15; 2,009 b 3,45; 3,342; 3,2 c 17,05; 17,1; 17,125; 17,42 d 0,71; 0,52; 0,77; 0,59 e 5,212; 5,2; 5,219; 5,199 f 9,08; 9,7; 9,901; 9,03; 9,99 g Phản biện cách làm theo cặp hoặc theo nhóm về những cách làm khác nhau em có thể sử dụng để sắp xếp các số thập phân theo thứ tự. Xem lại những cách làm đã được sử dụng trong ví dụ minh hoạ và Câu hỏi 6

Hãy tự quyết định xem em thích nhất cách làm nào và giải thích lí do em chọn cách làm đó cho bạn cùng nhóm.

7 Viết các giá trị sau theo thứ tự tăng dần.

Sử dụng phần mách nhỏ trong bảng bên.

a 38,1 cL; 300 mL; 0,385 L

b 725 mm; 7,3 cm; 0,705 m

c 5,12 kg; 530 g; 0,0058 t; 519 000 mg

d 461,5 cm; 0,0046 km; 0,45 m; 4450 mm

8 Brad sắp xếp các thẻ số thập phân sau theo thứ tự tăng dần.

Có vết mực che đi một phần của số nằm trên tấm thẻ ở giữa. 3,07 3 3,083

a Viết ra ba số có thể là số được ghi trên tấm thẻ ở giữa.

b Theo em, có bao nhiêu số khác nhau với ba hàng thập phân có thể nằm trên tấm thẻ ở giữa?

4.2 Adding and subtracting decimals

In this section you will …

• add and subtract decimals.

When you add and subtract decimal numbers mentally, there are different methods you can use.

• When you are adding, you can separate the numbers into their whole-number part and their decimal part. You can then separately add the whole-number parts and add the decimal parts, and finally add the whole-number answer to the decimal answer.

• When you are subtracting, you can separate the number you are subtracting into its whole-number part and its decimal part. Subtract the whole-number part first and then subtract the decimal part second.

• If one of the numbers you are adding or subtracting is close to a whole number, you can round it to the nearest whole number, do the addition or subtraction, then adjust your answer at the end.

Worked example 4.2

Work these out mentally.

a 2.3 + 7.8

Answer

b 6.9 + 12.4 c 13.3 5.8

Key words decimal part mentally/using a mental method written method

a 2.3 + 7.8 = 2 + 7 + 0.3 + 0.8

= 9 + 1.1

= 10.1

b 6.9 + 12.4 = 7 + 12.4 0.1

= 19.4 0.1

= 19.3

c 13.3 5.8 = 13.3 6 + 0.2

= 7.3 + 0.2

= 7.5

Separate the numbers into whole-number parts and decimal parts.

Separately, add the whole-number parts and add the decimal parts.

Add the whole-number answer to the decimal answer.

Round 6.9 up to 7.

Add 7 to 12.4.

Subtract 0.1.

Round 5.8 up to 6.

Subtract 6 from 13.3.

Add 0.2.

4 Số thập phân

4.2 Phép cộng và phép trừ số thập phân

Trong phần này, em sẽ…

• cộng và trừ các số thập phân.

Muốn tính nhẩm cộng và trừ các số thập phân, em có thể sử dụng các phương pháp sau.

• Khi thực hiện phép cộng, có thể tách các số đã cho thành phần nguyên và phần thập phân. Sau đó, em cộng riêng các phần nguyên và cộng riêng các phần thập phân. Cuối cùng, em cộng các kết quả phần nguyên và phần thập phân tính được lại với nhau.

• Khi thực hiện phép trừ, em có thể tách số trừ thành phần nguyên và phần thập phân. Lấy số bị trừ trừ đi phần nguyên trước, sau đó trừ đi phần thập phân.

• Nếu một trong các số mà em đang cộng hoặc trừ có giá trị gần với một số tự nhiên, hãy làm tròn số đó đến hàng đơn vị, thực hiện phép cộng hoặc phép trừ, rồi điều chỉnh đáp số sau cùng một cách hợp lí.

Ví dụ minh hoạ 4.2

Tính nhẩm.

a 2,3 + 7,8 b 6,9 + 12,4 c 13,3 5,8 Lời giải

a 2,3 + 7,8 = 2 + 7 + 0,3 + 0,8

Từ khoá phần thập phân tính nhẩm/sử dụng phương pháp tính nhẩm phương pháp đặt tính

Tách các số thành phần nguyên và phần thập phân. = 9 + 1,1

= 10,1

b 6,9 + 12,4 = 7 + 12,4 0,1

= 19,4 0,1

= 19,3

c 13,3 5,8 = 13,3 6 + 0,2

= 7,3 + 0,2

= 7,5

Cộng riêng các phần nguyên và cộng riêng các phần thập phân.

Cộng kết quả phần nguyên với kết quả phần thập phân.

Làm tròn 6,9 thành 7.

Cộng 7 với 12,4.

Trừ đi 0,1.

Làm tròn 5,8 thành 6.

Lấy 13,3 trừ đi 6.

Cộng thêm 0,2.

When you use a written method to add and subtract decimal numbers, always write the calculation in columns, with the decimal points vertically in line. Then add and subtract as normal, but remember to write the decimal point in your answer.

Worked example 4.3

Work out: a 27.52 + 4.8 b 43.6 5.45 Answer

a + 27 52 48 0 32 32 11 . .

b 3 1 5 143 60 5. .

First write 4.8 as 4.80. Start with the hundredths column: 2 + 0 = 2

Next add the tenths: 5 + 8 = 13. Write down the 3 and carry the 1.

Now add the units: 7 + 4 + 1 = 12. Write down the 2 and carry the 1.

Finally, add the tens: 2 + 1 = 3

First, write 43.6 as 43.60.

Start with the hundredths column. You can’t take 5 from 0 (0 5), so borrow from the 6-tenths, then work out 10 5 = 5.

Now subtract the tenths: 5 4 = 1

Now subtract the units. You can’t take 5 from 3 (3 5), so borrow from the 4 tens, then work out 13 5 = 8.

Finally, subtract the tens: 3 0 = 3

Exercise 4.2

1 Use a mental method to work out the answers to the following. a 3.5 + 4.2 b 12.7 + 4.5 c 4.9 1.5 d 14.6 6.6

Think like a mathematician

2

Tip Separate the numbers into their wholenumber parts and their decimal parts.

For

4 Số thập phân

Khi em sử dụng phương pháp đặt tính để cộng và trừ các số thập phân, luôn phải viết phép tính theo cột, sao cho các dấu phẩy thập phân được đặt thẳng hàng dọc. Sau đó, thực hiện cộng và trừ như với các số tự nhiên, nhưng nhớ phải viết dấu phẩy thập phân vào đáp số của em.

Ví dụ minh hoạ 4.3

Tính: a 27,52 + 4,8 b 43,6 5,45 Lời giải

a + 27 52 48 0 32 32 11 , , ,

b 3 1 5

Đầu tiên, viết 4,8 thành 4,80. Bắt đầu cộng từ hàng phần trăm: 2 + 0 = 2. Sau đó, cộng hàng phần mười: 5 + 8 = 13. Viết 3, nhớ 1.

Bây giờ, cộng hàng đơn vị: 7 + 4 + 1 = 12. Viết 2, nhớ 1.

Cuối cùng, cộng hàng chục: 2 + 1 = 3.

Đầu tiên, viết 43,6 thành 43,60.

Bắt đầu từ hàng phần trăm. Em không thể lấy 0 trừ đi 5 (0 5), nên mượn từ hàng phần mười 6, rồi tính 10 5 = 5.

Bây giờ, trừ hàng phần mười: 5 4 = 1.

Tiếp theo là trừ hàng đơn vị. Em không thể lấy 3 trừ đi 5 (3 5), nên mượn từ hàng phần chục 4, rồi tính 13 5 = 8. Cuối cùng, trừ hàng chục: 3 0 = 3. các số đã cho thành phần nguyên và phần thập phân.

3 Match each green question card with its correct pink answer card.

1 0.36 1 0.44 0.641 0.78 0.716 0.56 1 0.284 0.5681 0.432 0.22

4 Zara mentally works out 14.4 6.5 like this:

Whole-number part: 14 6 = 8

Decimal part: 0.4 0.5 = –0.1

Use Zara’s method to mentally work out the following. The first one has been started for you.

a 7.4 2.6 b 8.3 2.9 c 12.5 9.8

d 15.1 5.7

Combine the answers: 8 0.1 = 7.9 − 2 = 5 0.6 − 0.2 =

Think like a mathematician

5 Zara works out 7.5 + 4.8 mentally like this. She says: Is Zara correct?

Discuss in pairs or small groups.

If I round 4.8 up to 5, I can change 7.5 + 4.8 to 7.5 + 5, which equals 12.5. Then I must add the extra 0.2, which gives me 12.7.

Nếu tớ làm tròn 4,8 5, tớ có thể đổi 7,5 + 4,8 7,5 + 5, tính ra bằng 12,5. đó, tớ phải cộng thêm 0,2 được kết quả là 12,7.

6 Mentally work out the following.

Use the method of rounding one of the numbers to a whole number. Two of them have been started for you.

4.3 + 8 = 12.3 12.3 0.1 =

a 4.3 + 7.9 c 22.8 + 3.3 b 8.9 + 9.6 d 5.4 1.9

8 Bo records his mass at the start and end of every month. Here are his records for June and July. 5.4 2 = 3.2 3.2 + 0.1 =e 14.9 4.4 f 21.1 6.7

7 Use a written method to work out the following. a + 25 81 84 . b 87 6 41 . c 3891 97 8 .

Mass (kg) Mass (kg)

Start of June of June

Start of July of July

a During which month, June or July, did Bo’s mass decrease the most?

b At the start of August Bo’s mass was 88.35 kg. During August his mass decreased by 1.82 kg. What was Bo’s mass at the end of August?

9 Use a written method to work out the following.

a 4.76 − −12.52 b 32.6 − −0.742

Tip Subtracting a negative is the same as adding.

4 Số thập phân

6 Tính nhẩm các phép tính sau. Sử dụng phương pháp làm tròn một trong các số thành số tự nhiên. Có hai phép tính đã được làm mẫu cho em. 4,3 + 8 = 12,3 12,3 0,1 =

7 Sử dụng phương pháp đặt tính để thực hiện các phép tính sau. a + 25 81 84 , , b 87 6 41 , , c 38 91 97 8 , , a 4,3 + 7,9 c 22,8 + 3,3 b 8,9 + 9,6 d 5,4 1,9

8 Bo ghi chép lại cân nặng của mình vào thời điểm đầu và cuối mỗi tháng. Dưới đây là bản ghi của bạn ấy cho tháng Sáu và tháng Bảy. 5,4 2 = 3,2 3,2 + 0,1 =

e 14,9 4,4 f 21,1 6,7

Cân nặng (kg) Cân nặng (kg) Đầu tháng Sáu 95,45 Cuối tháng Sáu 91,92 Đầu tháng Bảy 91,92 Cuối tháng Bảy 88,35

a Trong tháng Sáu hay tháng Bảy, cân nặng của Bo giảm nhiều nhất?

b Vào thời điểm đầu tháng Tám, cân nặng của Bo là 88,35 kg.

Trong tháng Tám, cân nặng của bạn ấy giảm đi 1,82 kg. Hỏi cân nặng của Bo cuối tháng Tám là bao nhiêu?

9 Sử dụng phương pháp đặt tính để thực hiện các phép tính sau.

a 4,76 − −12,52 b 32,6 − −0,742

Mách nhỏ

Trừ đi một số âm chính là cộng với số đối của nó.

10 Marcus and Arun use different methods to work out 10 4.83.

First of all, I change 10 units to 9 units + 9 tenths + 10 hundredths. Then I can do the subtraction. 0991 00 10 483 517 . . .

I work it out like this:

10 4 = 6 6.0 0.8 = 5.2 5.20 0.03 = 5.17

a Critique both methods by explaining the advantages and disadvantages of each of their methods.

b Can you improve on their methods?

c Which method do you prefer to use to work out subtractions like these? Explain why you prefer this method.

11 Work out:

a 10 6.42 b 20 12.83 c 30 4.55 d 40 16.782

12 At the cinema, Priya spends $4.75 on a ticket, $1.75 on sweets and $0.85 on a drink.

a How much does she spend in total?

b Priya pays with a $10 note. How much change will she receive?

13 Jed works as a plumber. He has four lengths of pipe that measure 1.8 m, 3.5 m, 2.45 m and 0.85 m.

a What is the total length of the four pipes?

b Jed needs 10 m of pipe in total to finish a job. How much more pipe must he buy?

4 Số thập phân

10 Marcus và Arun sử dụng hai cách khác nhau để tính 10 – 4,83. Đầu tiên, tớ đổi 10 hàng đơn vị thành

9 hàng đơn vị + 9 hàng phần mười + 10 hàng phần trăm. Sau đó, tớ thực hiện phép trừ. 0991 00 10 483 517 , , ,

Tớ tính như sau: 10 4 = 6 6,0 0,8 = 5,2 5,20 0,03 = 5,17

a Phản biện hai cách làm trên bằng cách chỉ ra những ưu điểm và nhược điểm của mỗi cách làm.

b Em có thể cải tiến cách làm của hai bạn không?

c Em thích sử dụng cách nào để thực hiện các phép trừ tương tự?

Giải thích vì sao em chọn cách làm đó.

11 Tính:

a 10 6,42 b 20 12,83 c 30 4,55 d 40 16,782

12 Tại một rạp chiếu phim, Priya mua vé hết $4,75; mua kẹo hết $1,75 và mua đồ uống hết $0,85.

a Hỏi bạn ấy đã tiêu hết tổng cộng bao nhiêu tiền?

b Priya thanh toán bằng một tờ tiền $10. Hỏi bạn ấy sẽ được trả lại bao nhiêu tiền?

13 Jed là một người thợ sửa ống nước.

Anh ấy có bốn ống dẫn nước với độ dài lần lượt

là 1,8 m; 3,5 m; 2,45 m và 0,85 m.

a Hỏi tổng độ dài của bốn ống dẫn nước bằng bao nhiêu?

b Jed cần tổng cộng 10 m ống dẫn nước để hoàn thành một công việc. Hỏi anh ấy phải mua thêm bao nhiêu mét ống dẫn nước?

14 This is how Zara works out 4.6 8.21. 8.21 4.6 3.61 4.6 8.21 –3.61

Use Zara’s method to work out the following.

a 5.43 9.57 b 8.12 15.4

c −13.8 + 7.92 d 6.582 (4.5 + 5.061)

15 Use a written method to work out the following.

a −5.43 − 9.57 b −8.12 − 15.4

c −5.43 − −9.57 d −8.12 − −15.4

Summary checklist

I know the answer is going to be negative because 4.6 < 8.21. So I’ll work out 8.21 4.6 instead, then simply write the answer with a negative sign.

Tip For part c: −13.8 + 7.92 = 7.92 13.8

I can add numbers with different numbers of decimal places.

I can subtract numbers with different numbers of decimal places.

14 Dưới đây là cách Zara thực hiện phép tính 4,6 – 8,21. 821 , , , 8,21 4,6 = 3,61 Vì vậy 4,6 8,21 = –3,61

Sử dụng cách làm của Zara để thực hiện các phép tính sau.

a 5,43 9,57 b 8,12 15,4 −13,8 + 7,92 d 6,582 (4,5 + 5,061)

15 Sử dụng phương pháp đặt tính để tính.

a −5,43 − 9,57 b −8,12 − 15,4

c −5,43 − −9,57 d −8,12 − −15,4

Tớ biết rằng đáp số sẽ là một số âm, bởi vì 4,6 < 8,21. Nên thay vào đó, tớ sẽ tính 8,21 – 4,6, sau đó chỉ cần viết đáp số có kèm theo dấu âm là được.

Mách nhỏ Với phần c: –13,8 + 7,92 = 7,92 – 13,8

4.3 Multiplying decimals

In this section you will …

• multiply decimals by whole numbers.

Follow these steps when you multiply a decimal by a whole number:

• First, work out the multiplication without the decimal point.

• Finally, put the decimal point in the answer. There must be the same number of digits after the decimal point in the answer as there were in the question.

Worked example 4.4

a Work these out mentally.

i 0.002 × 4 ii 30 × 0.06

b Use a written method to work out 476 × 3.7.

Answer

a i 2 × 4 = 8 0.002 × 4 = 0.008

ii 30 × 6 = 180 30 × 0.06 = 1.80 30 × 0.06 = 1.8

b 476 ×

Key word fill in

476 × 3.7 = 1761.2

Do the multiplication without the decimal point.

Put the decimal point back in the answer. There are three digits after the decimal point in the question, so there must be three digits after the decimal point in the answer.

Do the multiplication without the decimal point.

Put the decimal point back in the answer. There are two digits after the decimal point in the question, so there must be two digits after the decimal point in the answer.

You can write 1.80 as 1.8 because the zero is not needed.

Do the multiplication without the decimal point.

Use your favourite method for multiplication.

Work out 476 × 7.

Work out 476 × 30. Add together the answers to the multiplications.

Put the decimal point back into the answer. There is one digit after the decimal point in the question, so there must be one digit after the decimal point in the answer.

4 Số thập phân

4.3 Phép nhân số thập phân

Trong phần này, em sẽ…

• nhân số thập phân với số tự nhiên.

Muốn nhân một số thập phân với một số tự nhiên, em làm theo các bước sau:

• Đầu tiên, thực hiện phép nhân như khi không có dấu phẩy thập phân.

• Cuối cùng, điền dấu phẩy thập phân vào đáp số tính được. Lưu ý, số chữ số sau dấu phẩy thập phân của đáp số và của số trong đề bài phải bằng nhau.

Ví dụ minh hoạ 4.4

a Tính nhẩm.

i 0,002 × 4 ii 30 × 0,06

b Sử dụng phương pháp đặt tính để tính 476 × 3,7.

Lời giải

a i 2 × 4 = 8 0,002 × 4 = 0,008

ii 30 × 6 = 180 30 × 0,06 = 1,80 30 × 0,06

Từ khoá điền vào

Thực hiện phép nhân khi không có dấu phẩy thập phân. Điền lại dấu phẩy thập phân vào đáp số tính được. Có ba chữ số sau dấu phẩy thập phân trong đề bài, nên cũng phải có ba chữ số sau dấu phẩy thập phân trong đáp số.

Thực hiện phép nhân khi không có dấu phẩy thập phân.

Điền lại dấu phẩy thập phân vào đáp số tính được. Có hai chữ số sau dấu phẩy thập phân trong đề bài, nên cũng phải có hai chữ số sau dấu phẩy thập phân trong đáp số.

Em có thể viết 1,8 thay cho 1,80 vì không cần thiết phải viết số 0.

Thực hiện phép nhân khi không có dấu phẩy thập phân.

Sử dụng phương pháp tính phép nhân mà em yêu thích nhất.

Tính 476 × 7.

Tính 476 × 30.

Cộng các tích riêng lại với nhau. 476 3,7 1 761,2

Điền lại dấu phẩy thập phân vào đáp số tính được. Có một chữ số sau dấu phẩy thập phân trong đề bài, nên cũng phải có một chữ số sau dấu phẩy thập phân trong đáp số.

Exercise 4.3

1 Use a mental method to work out the following.

a 0.1 × 8 b 0.5 × 5 c 0.9 × 2

2 Use a mental method to work out the following. All the answers are shown in the cloud.

a 6 × 0.02 b 4 × 0.3 c 3 × 0.004 d 120 × 0.1

3 Copy this diagram and fill in the missing numbers.

All the calculations give the answer in the centre oval. All the missing numbers are given in the rectangle.

2 3 8 3 0.3 3 3 0.1 0.4 0.2 0.6 1.2 0.06 0.08 0.12 1.2 0.012

4 Kai works out that 521 × 53 = 27 613.

Use this information to write down the answer to the following.

a 521 × 5.3 b 521 × 0.53

6 a Work out 162 × 34.

b Use your answer to part a to write down the answers to the following.

i 162 × 3.4 ii 162 × 0.34 iii 162 × 0.034 iv 16.2 × 34 v 1.62 × 34 vi 0.162 × 34

Think like a mathematician

5 Look again at Question 4.

a What is the answer to 52.1 × 53? What do you notice about this answer and the answer to part a of Question 4?

b Why is the answer to 521 × 0.53 the same as the answer to 5.21 × 53?

4 Số thập phân

Bài tập 4.3

1 Sử dụng phương pháp tính nhẩm để thực hiện các phép tính sau.

a 0,1 × 8 b 0,5 × 5 c 0,9 × 2

2 Sử dụng phương pháp tính nhẩm để thực hiện các phép tính sau. Tất cả các đáp số đều nằm trong đám mây bên cạnh.

a 6 × 0,02 b 4 × 0,3 c 3 × 0,004 d 120 × 0,1

3 Chép lại sơ đồ dưới đây và điền các số còn thiếu.

Tất cả các phép tính đều cho ra kết quả nằm

Activity 4.1

On a piece of paper, write a question of your own that is similar to Question 5. On a different piece of paper, write down the answers to your question. Swap questions with a partner and work out the answers to their question. Swap your papers back and mark each other’s work. Discuss any mistakes.

7 Raj uses these methods to work out and check his answer.

Question Work out 0.45 × 372.

Solution First, work out 45 × 372.

× 300 70 2 13500

40 12 000 2800 80 3150

5 1500 350 10 + 90

Total 13 500 3150 90 16740

So 0.45 × 372 = 167.40 = 167.4

Check Round 0.45 to 0.5. Round 372 to 400. 0.5 × 400 = 200, which is close to 167.4.

a Write down the advantages and disadvantages of Raj’s method. b Can you improve his method?

Which method do you prefer to use to multiply decimals? Explain why you prefer this method.

8 Work out these multiplications. Show how to check your answers.

a 3.2 × 52 b 8.1 × 384 c 0.78 × 41 Tip

For the check for part c, work out 0.8 × 40.

4 Số thập phân

Hoạt động 4.1

Viết một bài toán của riêng em tương tự với bài toán ở Câu hỏi 5 vào một mảnh giấy.

Viết đáp số cho bài toán đó vào một mảnh giấy khác.

Đổi bài toán của em với bạn cùng nhóm, rồi tìm đáp số cho bài toán của bạn.

Đổi các mảnh giấy về lại chỗ cũ và chấm chéo bài của nhau. Thảo luận về những lỗi sai mắc phải.

7 Raj sử dụng cách làm dưới đây để tính và kiểm tra lại đáp số của bạn ấy.

Câu hỏi Tính 0,45 × 372. Lời giải Đầu tiên, tính 45 × 372. × 300 70 2 13 500 40 12 000 2 800 80 3 150 5 1 500 350 10 + 90 Tổng 13 500 3 150 90 16 740 Vì vậy 0,45 × 372 = 167,40 = 167,4

Kiểm tra Làm tròn 0,45 thành 0,5. Làm tròn 372 thành 400. 0,5 × 400 = 200, gần với 167,4.

a Viết ra những ưu điểm

9 This is part of Anna’s homework.

Question Work out 47.35 × 18.

Solution First, work out 4735 × 18. 7 3 5 0 5 2 4 2 3 0 1

So 47.35 × 18 = 85.23

a Without checking the method and working out the answer, how can you tell that Anna is incorrect?

b Work out the correct answer, showing all your working.

10 In 1 gram of green gold there is 0.23 g of copper. How many grams of copper are there in 36 g of green gold?

11 Darren exchanges some British pounds (£) to US dollars ($). For every £1 he receives $1.29.

Darren says, ‘If I exchange £275, I should receive about $350.’ Is Darren correct? Explain your answer.

12 Samir manages a hotel.

The table shows the cost of items that he buys for the hotel bathrooms.

Samir buys:

• 350 bottles of shampoo

• 425 bottles of shower gel

• 275 bottles of hand lotion

• 600 bars of soap.

What is the total cost of these items?

Summary checklist

I multiply

4 Số thập phân

9 Dưới đây là một phần trong bài tập về nhà của Anna.

Câu hỏi Tính 47,35 × 18.

Lời giải Đầu tiên, tính 4 735 × 18.

Vì vậy 47,35 × 18 = 85,23

a Không kiểm tra lại cách làm hay thực hiện phép nhân, làm thế nào em có thể khẳng định rằng Anna giải không đúng?

b Tìm đáp số đúng và trình bày toàn bộ bài giải của em.

10 Trong 1 gam vàng lục chứa 0,23 g đồng.

Hỏi có bao nhiêu gam đồng trong 36 g vàng lục?

11 Darren đổi một số đồng bảng Anh (£) sang dollar Mỹ ($).

Cứ mỗi £1 bạn ấy nhận được $1,29.

Darren nói rằng, “Nếu mình đổi £275, mình sẽ nhận được khoảng $350.

Darren có đúng không? Giải thích câu trả lời của em.

12 Samir quản lí một khách sạn.

Bảng bên cho biết giá tiền của những mặt hàng mà anh ấy mua để cung cấp cho các phòng tắm của khách sạn.

Samir mua:

• 350 lọ dầu gội

• 425 lọ sữa tắm

• 275 lọ kem

4.4 Dividing decimals

In this section you will …

• divide decimals by whole numbers.

Follow these steps when you divide a decimal by a whole number:

• Use short division (or the method that you prefer).

• Keep the decimal point in the question, and remember to write the decimal point in the answer above the decimal point in the question.

Worked example 4.5

Work out: 4.258 b 41.481 ÷ 18

a 2

Key words estimation inverse calculation division

First, work out 4 ÷ 2 = 2. Write 2 above the 4.

Now write the decimal point in the answer.

Then continue the division: 2 ÷ 2 = 1. Write 1 above the 2.

5 ÷ 2 = 2 r1. (Note: ‘r’ means ‘remainder’.) Write 2 above the 5 and carry the 1 onto the 8. ÷ 2 = 9 exactly. Write 9 above the 18.

Trong ở ngay trên dấu phẩy thập phân trong đề bài.

Ví dụ minh

Tính:

a 4,258 ÷ b 41,481 ÷ 18

Lời giải

a 2 2 4 , Đầu tiên, tính 4 ÷ 2 = 2. Viết 2 ở trên 4. , 4 ,

Bây giờ, điền dấu phẩy thập phân vào đáp số. , 1 2 Sau đó, tiếp tục chia: 2 ÷ 2 = 1. Viết 1 ở trên 2. 5 ÷ 2 = 2 dư 1. (Chú ý: “r” có nghĩa là “số dư”.) Viết 2 ở trên 5 và nhớ 1 lên 8. , 1 2

18 ÷ 2 = 9 đúng. Viết 9 ở trên 18.

Continued

b 2 18 4 1 . 4 8 1

2 . 18 4 1 . 4 8 1

2 . 3 0 4 1 . 4 8 1

2 . 3 0 4 1 .

First, work out 41 ÷ 18 = 2 r 5. Write 2 above the 1. Carry the 5 onto the 4.

Now write the decimal point in the answer.

Then continue the division: 54 ÷ 18 = 3 exactly. Write 3 above the 54.

8 ÷ 18 = 0 r 8. Write the 0 above the 8 and carry the 8 onto the 1.

81 ÷ 18 = 4 r 9. Write 4 above 81 and carry the 9 onto a new zero.

90 ÷ 18 = 5 exactly.

Exercise 4.4

1 Copy and complete these divisions. 2 1 6 1 8 9 8 5 0 8 6 5 2 81

2 Work out: 8.654 32.925 58.912

3 Maggie pays $9.28 for 8 m of ribbon. What is the cost of the ribbon, per metre?

4 In a supermarket, five chickens cost $18.25. What is the cost of one chicken?

5 Six friends have a meal in a restaurant. The total bill is $145.50. share the bill equally between them. How much do they each pay?

4 Số thập phân

Tiếp theo

b 2 18 4 1 , 4 8 15

Đầu tiên, tính 41 ÷ 18 = 2 dư 5. Viết 2 ở trên 1. Nhớ 5 lên 4. , 18 4 1 , 4 8 15

Bây giờ, điền dấu phẩy thập phân vào đáp số. , 3 0 18 4 1 , 4 8 15 8

Sau đó, tiếp tục chia: 54 ÷ 18 = 3 đúng. Viết 3 trên 54. ÷ 18 = 0 dư 8. Viết 0 ở trên 8 và nhớ 8 lên 1. , 3 0 4 5 4 1 , 4 8 1 05 8 9 ÷ 18 = 4 dư 9. Viết 4 ở trên 81 và nhớ 9 lên số 0 mới được bổ sung. 90 ÷ 18 = 5 đúng.

Bài tập

1 Chép lại và hoàn thành các phép chia sau. 2 1 6 1 , 8 9 8 0 , 8 6 , 5 2 81 , 6 0 9 0 , 8 4

2 Tính: a 8,654 ÷ 2 b 8,922 ÷ 6 c 32,925 ÷ 5 d 58,912 ÷ 8

3 Maggie mua 8 m dây ruy băng hết $9,28. Hỏi giá tiền của mỗi mét dây ruy băng là bao nhiêu?

4 Trong một siêu thị, năm con gà được bán với giá $18,25. Hỏi giá tiền của một con gà là bao nhiêu?

5 Sáu người bạn dùng bữa tại một nhà hàng. Tổng hoá đơn là $145,50.

Họ chia đều hoá đơn để thanh toán. Hỏi mỗi người phải trả bao nhiêu tiền?

6 Copy and complete these divisions.

a 2 . 2 7 8 5 23 3 . 15 4 6 8 7 51 3 . 25 7 8 2 8 2 53

7 Lara works out 112.4 ÷ 16. She writes:

This is my 16 times table.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 32 48 64 80 96 112 128 144

I can use the table to work out the division like this: 7 . 2 5 16 1 1 2 . 4 0 04 8 So, 112.4 ÷ 16 = 7.25.

a Explain the mistake that Lara has made.

b Write down the correct answer.

8 Kyle works out 251.55 ÷ 26. He writes:

This is my 26 times table.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 52 78 104 130 156 182 208 234

I can use the table to work out the division like this: 9 . 6 7 r13 26 2 5 1 . 5 517 19

So, 251.55 ÷ 26 = 9.67 remainder 13.

a Instead of stopping the division and writing ‘remainder 13’, what should Kyle have done?

b Work out the correct answer.

6 Chép lại và hoàn thành các phép chia sau. 2 , 2 7 , 8 5 23 3 , 15 4 6 , 8 7 51 c 3 , 7 8 2 , 8 2 53

7 Lara tính 112,4 ÷ 16. Bạn ấy viết: là bảng nhân của tớ. 2 3 4 5 6 7 8 9 32 48 64 80 96 112 128 144 có thể sử dụng bảng trên để thực hiện phép chia như sau: , 2 5 1 1 2 , 4 0 04 8 vậy, 112,4 ÷ 16 = 7,25.

a Giải thích lỗi sai mà Lara mắc phải. Viết lại đáp số đúng.

8 Kyle tính 251,55 ÷ 26. Bạn ấy viết: là bảng nhân của tớ. 2 8 52 104 130 156 182 208 có thể sử dụng bảng trên để thực hiện phép chia như sau: 6 2 5 1 , 5 vậy, 251,55 ÷ = 9,67 dư

a Thay vì dừng phép chia lại và viết “dư 13”, đáng lẽ ra Kyle nên làm gì?

b Tìm đáp số đúng.

Think like a mathematician

9 What calculations could you do to check that the answer to a division is correct?

For example, how can you check that 56.322 ÷ 9 = 6.258 is: a approximately correct? b exactly correct? Discuss in pairs or small groups.

10 a Copy and complete the table below, which shows the 14 times table.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 28 42

b Use the table to help you to work out 126.392 ÷ 14.

c Show how to check that your answer to part b is correct. Use estimation and an inverse calculation.

11 Work with a partner to answer this question.

a Mair works out that 235 × 47 = 11 045. Use this information to work out:

Tip Your rounded answer to part b × 14 should equal approximately 126.

i 11 045 ÷ 47 ii 1104.5 ÷ 47 iii 110.45 ÷ 47 iv 11.045 ÷ 47

b Explain the method you used to work out the answers to parts a i, ii, iii and iv

c Use this method to work out the answers to the following.

i 1104.5 ÷ 235 ii 110.45 ÷ 235 iii 11.045 ÷ 235

d Check your answers with those of other learners in your class to see if you agree.

If you disagree on any of the answers, discuss where any mistakes have been made.

4 Số thập phân

Tư duy như một nhà Toán học

9 Em có thể thực hiện những phép tính nào để kiểm tra xem đáp số của một phép chia đúng hay chưa?

Ví dụ, làm thế nào để kiểm tra phép tính 56,322 ÷ 9 = 6,258 là: a gần đúng? b chính xác tuyệt đối?

Thảo luận theo cặp hoặc theo nhóm nhỏ.

10 a Chép lại và hoàn thành bảng nhân 14 sau.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 28 42

b Sử dụng bảng trên để tính 126,392 ÷ 14.

c Trình bày cách để kiểm tra xem đáp số của em ở phần b đã đúng chưa.

Sử dụng sự ước lượng và phương pháp tính ngược.

11 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời các câu hỏi sau.

a Mair tính được 235 × 47 = 11 045. Sử dụng kết quả trên để tính:

Mách nhỏ

Kết quả được làm tròn ở phần b × 14 xấp xỉ bằng 126.

i 11 045 ÷ 47 ii 1 104,5 ÷ 47 iii 110,45 ÷ 47 iv 11,045 ÷ 47

b Giải thích cách làm em đã sử dụng để tìm đáp số cho các phần a i, ii, iii và iv.

c Sử dụng cách làm đó để tìm đáp số cho các phép tính sau.

i 1 104,5 ÷ 235 ii 110,45 ÷ 235 iii 11,045 ÷ 235

d Đối chiếu đáp số của em với đáp số của các bạn cùng lớp. Nếu em không đồng tình với đáp số nào trong số đó, hãy cùng nhau thảo luận xem đã mắc lỗi sai ở đâu.

12 This is part of Zara’s homework.

Question Work out 8.46 ÷ 7. Give your answer to 2 d.p. Solution . 2 0 8 1.208… 1.21 (2 d.p.)

Use Zara’s method to work out the following.

I must give my answer to 2 d.p., so I need to work out the division to only 3 d.p. and then I can round my answer.

Round each of your answers to the required degree of accuracy. a 7.62 ÷ 5 (1 d.p.) b 9.428 ÷ 7 (2 d.p.) c 8.6 ÷ 13 (3 d.p.)

13 Copy and complete these divisions. a 3 8 2 2 19 b . 5 0 7 6 9 2 c 1 9 8 4 9

Tip You need to work out the division to only one decimal place more than the degree of accuracy you need.

Which questions did you find the easiest? Which questions did you find the hardest?

Are you confident in answering these types of questions? What can you do to increase your confidence?

Summary checklist

I can divide decimals by whole numbers.

13 Chép lại và hoàn thành các phép chia sau. 3 , 5 0 7 6 9 , 2

Tớ phải lấy đến 2 cstp trong phần đáp số, vì vậy, tớ cần thực hiện phép chia tới khi có 3 cstp rồi làm tròn đáp số đó.

Mách nhỏ

Em chỉ cần thực hiện phép chia đến hơn một hàng thập phân so với độ chính xác được yêu cầu.

4.5 Making decimal calculations easier

In this section you will …

• simplify calculations containing decimals.

When you are calculating using decimals, you can often make a calculation easier using a variety of methods, such as:

• using the place value of the decimal

• using the correct order of operations.

Worked example

Work out:

a 0.06 × 3500 b 8.2 × 9 c 12.56 ÷ 40

Answer

a 0066100 6 100 == ÷

0.06 × 3500 6 100 = 6

Key words fraction value

b 8.2 × 9 = 8.2 × (10 1) = 8.2 × 10 8.2 1 = 82 =

In this method, you write the place value of the decimal as an equivalent fraction and then as a division.

Rewrite the decimal as a division.

You can do the × and ÷ in any order. Do 3500 ÷ 100 first, then 6 × 35. Use partitioning to make the multiplication easier.

Swap the 9 for (10 1) Separately, work out 8.2 × 10 and 8.2 × 1 Now subtract 8.2 from 82. First subtract the 8 and then subtract the 0.2, which gives an answer of 73.8.

4 Số thập phân

4.5 Tính nhanh với số thập phân

Trong phần này, em sẽ…

• rút gọn các phép tính chứa số thập phân.

Khi tính toán với số thập phân, em có thể làm cho phép tính đơn giản hơn bằng nhiều cách khác nhau, chẳng hạn như:

• sử dụng giá trị theo hàng của số thập phân

• sử dụng thứ tự thực hiện các phép tính hợp lí.

Ví dụ minh hoạ 4.6

Tính:

a 0,06 × 3 500 b 8,2 × 9 c 12,56 ÷ 40 Lời giải

a 0066100 6 ,100

0,06 × 3 500 = 6 ÷ 100 × 3 500 = 6 × 3 500 100 = 6 × 35 = 6 × 30 + 6 = 180 + = 210

b 8,2 × 9 = 8,2 × (10 1) = 8,2 × 10 8,2 × 1 = 82 8,2 = 82 8 0,2 = 74 0,2 = 73,8

Từ khoá phân số bằng nhau giá trị theo hàng cấu tạo số

Với phương pháp này, em viết số thập phân về dạng phân số bằng nhau và sau đó thực hiện phép chia.

Viết lại số thập phân dưới dạng phép chia.

Em có thể thực hiện × và ÷ theo bất kì thứ tự nào.

Tính 3 500 ÷ 100 trước, sau đó là 6 × 35. Sử dụng cấu tạo số để thực hiện phép nhân thuận tiện hơn.

Thay 9 bằng (10 1)

Lần lượt tính 8,2 × 10 và 8,2 × 1 Bây giờ, lấy 82 trừ 8,2.

Đầu tiên trừ 8 và sau đó trừ 0,2; được đáp số là 73,8.

Tiếp theo

Chia cho 40 không dễ để thực hiện. Bắt đầu bằng việc chia cả tử số và mẫu số của phân số cho 10. Bây giờ, em chỉ việc chia số thập phân cho 4. Sử dụng phương pháp chia mà em yêu thích nhất. Đáp số cuối cùng là 0,314.

Bài Hoàn thành các bài giải sau để tính theo cách thuận tiện hơn. Sử dụng phương pháp giá trị theo hàng. Thực hiện các phép tính sau. Sử dụng phương pháp giống với Câu hỏi 1 0,02 200 d 0,08

Mách nhỏ Nhớ sử dụng cấu tạo số để nhân các số tự nhiên thuận tiện hơn. Ví dụ, 7 × 18 = 7 × 10 + 7 × 8.

4 Alek $3450 some table shows the amount will on each item. $3450 $3450 Copy and complete the table. Show how you can check that your answers are correct. Complete the workings to make these calculations easier. Do your answer. Pedro two-digit decimal (7.6) by a one-digit whole number method

c Theo em, việc sử dụng cách làm này để thực hiện các phép tính như 5,67 × 7 hay 5,6 × 45 có dễ hay không? Giải thích câu trả lời của em.

8 Use Pedro’s method to work out the following. 4.2 7.8 6.3

9 A square has a side length of 8.6 m. The formula to work out the perimeter of a square is: P = 4L where: P is the perimeter L is the side length Use the formula to work out the perimeter of the square. back at Unit 2.2 for a reminder on how to use formulae.

10 Complete the workings to make these divisions easier. Then work out the answer. 89362008936

11 Write an explanation to convince that the answer to 456 30 is the same as the answer to 456 3

12 Twenty members of a football club go out for dinner at a restaurant. The total cost of the meal is $564.25. The total cost is shared equally between them.

a How much does each member pay? Round your answer to the nearest i cent ii dollar

b Which of your answers in part a i or ii is the most suitable amount for each member to pay? Explain your answer.

Summary checklist use different methods to make decimal calculations easier.

11 Viết một lời giải thích để thuyết phục rằng 456 30 , cho kết quả giống với 456

12 Hai mươi thành viên của một câu lạc bộ bóng đá cùng ra ngoài ăn tối tại một nhà hàng. Tổng chi phí cho bữa ăn là $564,25. Chi phí này được chia đều để thanh toán.

a Hỏi mỗi thành viên phải trả bao nhiêu tiền? Làm tròn đáp số của em đến i số cent ii số dollar b Đáp số nào trong hai đáp số ở phần a i và ii là số tiền phải trả phù hợp nhất? Giải thích lựa chọn của em.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể sử dụng nhiều cách khác nhau để tính nhanh số thập phân.

Check your progress

1 Write these decimals in order of size. 6.481, 6.549, 6.5, 6.45, 6.09

2 Use a mental method to work out: a 5.4 + 12.9 b 8.2 5.7

3 Use a written method to work these out: a + 3297 1932 . b 4235 67 .

4 Work out:

a 1 0.674 b 10 5.78

5 Use a mental method to work out:

a 2 × 0.04 b 7 × 0.003

6 Tuong works out that 638 × 21 = 13 398. Use this information to write down the answer to the following.

a 638 × 2.1 b 6.38 × 21 7 Work out 0.53 × 481.

8 Work out 51.492 ÷ 7.

9 a Copy and complete the table, which shows the 13 times table. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 26 39

b Use the table to help you work out 238.745 ÷ 13. c Show how to check that your answer to part b is correct. Use a reverse calculation.

10 Work out the following. Use the methods you have learned to make solving the questions easier.

a 0.03 × 2100 b 8.6 × 9 c 34.8 ÷ 30

Getting started

1 a Copy the number line.

01 Write the fractions 1 2 and 2 3 in the correct positions on the number line.

b Which is the larger fraction: 1 2 or 2 3 ?

2 Write the correct symbol, < or >, between each pair of fractions.

Remember that < means ‘is less than’ and > means ‘is greater than’. The first one has been done for you.

a 5 8 3 8 > b 7 9 8 9 c 1 3 1 6 3 5 7 10 2 3 7 9 f 7 12 3 4

3 Write each of these improper fractions as a mixed number.

a 5 3 b 7 5 c 11 9 d 15 4

4 Work out the following. Give each answer as a mixed number, in its simplest form.

a 2 5 7 10 + b 5 6 3 4 +

5 Work out: a 1 2 12× b 2 3 15× c 3 5 30×

Tip

In part c, first write 1 3 as 2 6 and then compare with 1 6

Tip

In an improper fraction, the numerator is bigger than the denominator; e.g. 3 2 . You can write 3 2 as the mixed number 11 2 .

Bắt đầu nào!

1 a Chép lại trục số sau. 01 Viết các phân số 1 2 và 2 3 vào vị trí đúng trên trục số.

b Phân số nào lớn hơn: 1 2 hay 2 3 ?

2 Điền dấu đúng, < hoặc >, vào giữa mỗi cặp phân số. Nhớ rằng < có nghĩa là “nhỏ hơn” và > có nghĩa là “lớn hơn”. Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

a 5 8 3 8 > b 7 9 8 9 c 1 3 1 6 d 3 5 7 10 e 2 3 7 9 f 7 12 3 4

3 Viết mỗi phân số lớn hơn 1 sau dưới dạng hỗn số. a 5 3 b 7 5 c 11 9 d 15 4

4 Tính các tổng sau. Viết kết quả dưới dạng hỗn số tối giản. a 2 5 7 10 + b 5 6 3 4 + Tính: a 1 2 12× b 2 3 15× c 3 5 30× Phân số

Mách nhỏ

Trong phần c, đầu tiên, viết 1 3 thành 2 6 rồi so sánh với 1 6 . Mách nhỏ

Trong một phân số lớn hơn 1, tử số lớn hơn mẫu số; ví dụ: 3 2 . Em có thể viết 3 2 dưới dạng hỗn số 11 2 .

The word ‘fraction’ originates from the Latin word fractio, which means ‘breaking into pieces’.

From as early as 1800 bce, the ancient Egyptians were writing fractions. They used pictures, called hieroglyphs, to write words and numbers. Here are the hieroglyphs the ancient Egyptians used for some numbers. 12345101001000

The ancient Egyptians wrote all their fractions with a numerator (number at the top) of 1. To show they were writing a fraction, they drew a mouth picture, which meant ‘part’, above the number.

So, meant 1 5 and meant 1 100 .

Can you use Egyptian hieroglyphs to write the fraction shaded in each of these diagrams?

You see fractions often in everyday life, from signs showing distances, to posters in shops and recipes in cookery books.

Từ “fraction” bắt nguồn từ tiếng Latin “fractio”, có nghĩa là “chia thành nhiều mảnh”.

Ngay từ những năm 1800 trước Công nguyên, người Ai Cập cổ đại đã viết phân số. Họ sử dụng hình ảnh, được gọi là chữ tượng hình, để viết các từ và các số.

Dưới đây là các chữ tượng hình mà người Ai Cập cổ đại sử dụng để viết một vài số.

12345101001000

Người Ai Cập cổ đại đã viết tất cả các phân số với tử số (số ở trên) là 1. Để thể hiện một phân số, họ vẽ một hình miệng, có nghĩa là “phần”, ở phía trên số đó.

Vì vậy, có nghĩa là 1 5 và có nghĩa là 1 100 .

Em có thể sử dụng chữ tượng hình của người Ai Cập để viết các phân số được tô màu trong các hình sau không?

Em thường thấy các phân số trong cuộc sống hằng ngày, từ các biển hiệu chỉ khoảng cách đến poster trong các cửa hàng và các công thức nấu ăn trong sách nấu ăn.

5.1 Ordering fractions

In this section you will …

• compare and order fractions.

When you write fractions in order of size, you must first compare them. You can compare fractions in two ways:

1 Write them as fractions that have the same denominator.

2 Write them as decimals. Sometimes when you change a fraction to a decimal, you will get a decimal that goes on forever; for example, 1 7 01428=

Tip

The three dots (called ellipses) at the end of the decimal show that it goes on forever.

Sometimes there are repeating numbers in the decimal; for example, 2 3 06666= and 21 37 0567567567

These decimals are called recurring decimals. You can write 0.66666… as 0.6 . You can write 0.567567567… as 0.5 67.

Tip

The dots above the 5 and 7 show that the 567 is recurring (or repeating).

Worked example 5.1

a Write these fractions in order of size, starting with the smallest. 3 2 , 2 3 and 8 5

b Use decimals to decide which fraction is larger: 2 6 11 or 23 9 ?

Key words compare common denominator denominator fractional part improper fraction mixed number order of size whole-number part

Tip

The dot above the 6 shows that the 6 is recurring (or repeating).

Trong phần này, em sẽ…

• so sánh và sắp xếp các phân số theo thứ tự.

Khi viết các phân số theo thứ tự tăng dần, đầu tiên, em phải so sánh chúng. Em có thể so sánh phân số theo hai cách:

1 Viết chúng thành các phân số có mẫu số giống nhau.

2 Viết chúng dưới dạng số thập phân.

Đôi khi, trong lúc đổi phân số thành số thập phân, em sẽ thu được một số thập phân vô hạn; ví dụ: 1 7 01428= ,…

Mách nhỏ

Ba dấu chấm (được gọi là dấu chấm lửng) ở cuối số thập phân chỉ ra rằng số thập phân đó là vô hạn.

Từ khoá so sánh mẫu số chung mẫu số phần phân số phân số lớn hơn 1 hỗn số thứ tự tăng dần phần nguyên

Các dấu chấm ở trên số 5 và số 7 chỉ ra rằng 567 được lặp đi phân; 06666 thập phân này được gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn. có thể

Mách nhỏ

Dấu chấm ở trên số 6 chỉ ra rằng số 6 được lặp đi lặp lại.

Mách nhỏ

a Viết các phân số sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. ,

b Sử dụng phân số nào lớn hơn: 2 6 11 và 23 9 ?

Continued Answer

a 3 2 1 2 1 8

2 3

1 11 2 5 1 1 6

2 3 1

2

b 2 2

First, write any improper fractions as mixed numbers

2 3 is smaller than 1 1 2 and 1 3 5 , so write 2 3 first.

Now compare the other two fractions by writing them with a common denominator of 10.

1 15 10 6 10 < , so 1 1 2 is less than 1 3 5

Finally, write the answer, using the original fractions given in the question.

First, write any improper fractions as mixed numbers.

As the whole-number parts are the same, you now compare the fractional parts, 6 11 and 5 9 . 11 611

Use division to write 6 11 as a decimal.

0 . 5 6 11 as a decimal is 0.5 . 4 .

Use division to write 5 9 as a decimal.

0 5 9 as a decimal is 0.5 2 5 9 is larger than 2 6 11 because 2.55… > 2.54…

Finally, write the answer, using the original fractions given in the question. .

Tiếp theo

Lời giải

a 3 2 1 2 1= ; 8 5 3 5 1= Đầu tiên, viết tất cả các phân số phân số lớn hơn 1 dưới dạng hỗn số.

2 3 ; 2 3 nhỏ hơn 1 1 2 và 1 3 5 , nên viết 2 3 trước. 11 2 13 6 Bây giờ, so sánh hai phân số còn lại bằng cách viết chúng thành các phân số có mẫu số chung là 10

2 3 ; 1 1 2 1 15 10 6 10 < , nên 1 1 2 nhỏ hơn 1 3 5

2 3 ; 3 2 ; 8

Cuối cùng, viết đáp án, sử dụng các phân số ban đầu được cho trong câu hỏi.

b 2 26 Đầu tiên, viết tất cả các phân số phân số lớn hơn 1 dưới dạng hỗn số.

Vì phần nguyên bằng nhau, bây giờ, ta sẽ so sánh phần phân số, 6 11 và 5 9 .

Dùng phép chia để viết 6 11 thành một số thập phân.

0

6 11 viết dưới dạng số thập phân là 0,5 . 4 .

Dùng phép chia để viết 5 9 thành một số thập phân.

5 9 viết dưới dạng số thập phân là 0,5.

2 5 9 lớn hơn 2 6 11 bởi vì 2,55… > 2,54…

Cuối cùng, viết đáp án, sử dụng các phân số ban đầu được cho trong câu hỏi.

Exercise 5.1

Use the common denominator method to answer questions 1 to 5.

1 This is part of Taylor’s homework. The symbol = shows that a fraction is equal to another. The symbol ≠ shows that a fraction is not equal to another.

Question Write the correct symbol, = or ≠, be tween each pair of fractions.

a 2 3 10 15 b 3 5 13 20

Solution a 2 3 = 2 × 5 3 × 5 = 10 15 , so 2 3 = 10 15 . b 3 5 = 3 × 4 5 × 4 = 12 20 and 12 20 ≠ 13 20 , so 3 5 ≠ 13 20 .

Write the correct symbol, = or ≠, between each pair of fractions. a 1 3 2 9 b 3 4 12 16 c 2 7 9 35 d 14 25 3 5 e 20 24 5 6 f 18 27 7 9

2 Write the correct symbol, < or >, between each pair of fractions. Two of them have been done for you. a 21 5 4 5 3

Working: 21 5 1 5 4= and 43 1 5 4 5 >

Answer: 21 5 4 5 3> b 4 8 9 46 9 c 37 4 3 4 9 d 7 2 3 22 3 e 17 3

Working: 17 3 2 3 4 6 55== and 5 54 6 5 6 < .

Answer: 17 3 5 6 5< f 25 12 1 3 5 7 67 21 h 9 3 4 77 8

Tip

First, change any improper fractions to mixed numbers. When the whole number parts are the same, compare the fractional parts. Use a common denominator if needed.

Sử dụng phương pháp tìm mẫu số chung để trả lời các câu hỏi từ 1 đến 5.

1 Đây là một phần bài tập về nhà của Taylor.

Dấu = biểu thị rằng một phân số này bằng với một phân số kia.

Dấu ≠ biểu thị rằng một phân số này không bằng với một phân số kia. ≠ ≠ dấu đúng, = hoặc , vào giữa mỗi cặp phân số. c 2 7 9 Điền dấu đúng, < hoặc >, vào giữa mỗi cặp phân số. Hai trong số các câu dưới đây đã được hoàn thành sẵn cho em.

Mách nhỏ

Đầu tiên, đổi tất cả các phân số phân số lớn hơn 1 thành hỗn số. Khi phần nguyên giống nhau, so sánh phần phân số. Đưa về mẫu số chung nếu cần.

3 Marcus and Arun compare the methods they use to work out which fraction is larger: 25 4 or 63 10

First, I change both fractions to mixed numbers. 4 1 4 6 and 63 10 3 10 6

Now I compare 1 4 and 3 10 , using a common denominator of 40. 4 10 40 and 3 10 12 40 10 > , so 3 10 1 4 > . This means that 66 1 , so 63 10 25 4 compare 25 4 and 63 10 , using a common denominator of 40. and 63 10 63 10 252 40 250 > , so 63 10 25 4

a Critique their methods by explaining the advantages and disadvantages of each method.

b Can you improve either of their methods?

What is your favourite method for comparing fractions? Explain why.

4 Work out which fraction is larger. 47 or 33 or 49 or 33

Think like a mathematician What method would you use to answer this question? these fraction cards in order of size, starting with the smallest. When you compare fractions by converting them to decimals, how many decimal places do to look at?

3 Marcus và Arun so sánh phương pháp các bạn ấy dùng để tìm ra phân lớn hơn: hay 63

b Em có thể cải tiến một trong hai phương pháp không? tiên, tớ đổi cả phân thành hỗn số. giờ,

a Phản biện phương pháp của hai bạn bằng cách giải thích các ưu điểm và nhược điểm của từng phương pháp.

Use the division method to answer questions 7 to 9.

7 a Copy and complete the workings to write each of these improper fractions as a decimal.

i 11 6 5 6 1= 0 . 8 3 6 5 50 20 20 0 5 6 = 11 6 18333 =… 19 11 8 11 1= 0 . 7 2 8 80 30 80 0 8 11 = 19 11 = 17 9 8 9 1= 0 . 8 9 8 . 80 80 0 0 8 9 = 17 9 =

b Write the fractions 11 6 , 19 11 and 17 9 in order of size, starting with the smallest.

8 a Match each of these fractions to its correct decimal. 7 3 16 7 58 25 9 4 2.25 2.322.28… 2.33…

b Write the fractions 7 3 , 16 7 , 58 25 and 9 4 in order of size, starting with the smallest.

9 Write these fractions in order of size, starting with the smallest. 3 4 5 15 4 37 10 3 5 7

10 Yasmeen has five improper fraction cards. She puts them in order, starting with the smallest. There are marks on two of the cards. 9 8 5 7 4

What fractions could be under the marks? Give two examples for each card. Explain how you worked out your answer.

Summary checklist compare and order fractions.

10 Yasmeen có năm thẻ phân số phân số lớn hơn 1. Bạn ấy sắp xếp chúng theo thứ

5.2 Adding mixed numbers

In

You already know that you can only add fractions when the denominators are the same.

When the denominators are different, you must write the fractions as equivalent fractions with a common denominator, then add the numerators. Here is a method for adding mixed numbers, and estimating the answer.

Step 1 : Add the whole-number parts. Use this answer as your estimate.

Step 2 : Add the fractional parts and cancel this answer to its simplest form. If this answer is an improper fraction, write it as a mixed number.

Step 3 : Add your answers to steps 1 and 2 .

Worked example 5.2

Work out: 2 31

a 1

b

Add the whole-number parts. You can say your estimate is just over 8.

Add the fractional parts. (In this case, they have a common denominator of 7.)

4 7 is a proper fraction and is already in its simplest form.

Add the two parts together to get the final answer.

Add the whole-number parts to give 5. 5 6 is close to 1, so your estimate is around 6.

Add the fractional parts, using a common denominator of 12.

Check that this fraction is in its simplest form and write it as a mixed number.

Add the two parts together to get the final answer.

Key words cancel collecting like terms equivalent fractions like terms numerator proper fraction simplest form

5.2 Phép cộng hỗn số

Trong phần này,

• cộng các hỗn số.

Các em đã biết cộng các phân số khi chúng có mẫu số giống nhau.

Khi cộng các phân số khác mẫu, ta dùng (những cặp) phân số bằng nhau để

đưa tất cả các số hạng về dạng mẫu chung, cộng các tử số mới với nhau.

Đây là phương pháp cộng phân số và ước lượng đáp số.

Bước 1 : Cộng phần nguyên. Dùng kết quả này làm ước lượng của tổng.

Bước 2 : Cộng phần phân số và rút gọn kết quả về dạng tối giản.

Nếu kết quả này là một phân số phân số lớn hơn 1, hãy viết nó dưới dạng hỗn số.

Bước 3 : Cộng kết quả từ bước 1 và bước 2 với nhau.

Ví

Tính: 31 4 5 6 Lời giải 1

Từ khoá rút gọn thu gọn hạng tử đồng dạng

phân số bằng nhau hạng tử đồng dạng tử số phân số nhỏ hơn 1 dạng tối giản

Cộng các phần nguyên. Em có thể nói em ước lượng đáp số sẽ lớn hơn 8 một chút.

Cộng các phần phân số. (Trong trường hợp này, chúng có mẫu số chung là 7.)

4 7 là phân số nhỏ hơn 1 và đã ở dạng tối giản.

Cộng hai phần với nhau để có được đáp số cuối cùng.

Cộng các phần nguyên được 5. 5 6 gần với 1, nên kết quả ước lượng của em là khoảng 6.

Cộng các phần phân số, dùng mẫu số chung là 12. Kiểm tra xem phân số này đã ở dạng tối giản hay chưa và viết nó thành hỗn số.

Cộng hai phần lại với nhau để có được đáp số cuối cùng.

Exercise 5.2

1 Copy and complete these additions. Write down an estimate for each of the additions first.

a 2 14 9 4 9 + 1 2 + 1 = 3 2 4 9 4 99 += 3 3 3 99 +=

b 7 31 8 3 8 + 1 7 + 3 = 2 1 8 3 88 2 += = 3 += 2 2

c 1 65 7 4 7 + 1 1 + 6 = 2 5 7 4 77 7 += = 3 += 77

2 The diagram shows the lengths of the three sides of a triangle.

3m 2 9 7m 8 9 5m 5 9

Work out the perimeter of the triangle. Write your answer as a mixed number, in its simplest form.

3 Copy and complete these additions. Write down an estimate for each of the additions first.

Tip

The perimeter is the total distance around the edge of the shape.

a 2 11 2 1 4 + 1 2 + 1 = 3 2 1 2 1 4 2 4 1 4 4 +=+= 3 3 44 3+= b 5 21 3 1 6 + 1 5 + 2 = 2 1 3 1 66 1 66 2 +=+= = 3 + 22 =

c 1 35 12 3 4 + 1 1 + 3 = 2 5 12 3 4 5 121212 66 += +=== 3 + 66 =

4 Andrew uses these two pieces of wood to make a shelf.

2m 5 81m 3 4

a What is the total length of the shelf?

b Andrew has a wall that is 4 1 2 m long. Will the shelf fit on this wall? Explain your answer.

2 Hình dưới đây cho biết chiều dài ba cạnh của một tam giác.

3m 2 9 7m 8 9 5m 5 9

Tính chu vi hình tam giác.

Viết đáp số của em thành hỗn số ở dạng tối giản.

3 Chép lại và hoàn thành các phép cộng sau.

Viết kết quả ước lượng cho mỗi phép cộng trước.

a 2 11 2 1 4 + 1 2 + 1 = 3 2 1 2 1 4 2 4 1 4 4 +=+= 3 3 44 3+= b 5 21 3 1 6 + 1 5 + 2 = 2 1 3 1 66 1 66 2 +=+= = 3 + 22 = c 1 35 12 3 4 + 1 1 + 3 = 2 5 12 3 4 5 121212 66 += +=== 3 + 66 =

4 Andrew sử dụng hai mảnh gỗ để làm một cái giá.

2m 5 81m 3 4

a Tổng chiều dài của giá là bao nhiêu?

b Andrew có một bức tường dài 4 1 2 m. Giá có vừa với bức

5 Hoa drives 12 3 4 km from her home to the doctor’s clinic

She then drives 5 2 3 km from the clinic to her place of work.

What is the total distance that she drives?

6 This is part of Kia’s homework. She has made a mistake in her solution.

Tip

To add 3 4 and 2 3 , use the common denominator 12.

If cannot see Kia’s mistake, work through the question and then compare your solution with her solution.

a Explain the mistake that Kia has made.

b Work out the correct answer.

7 In this pyramid, you find the mixed number in each block by adding the mixed numbers in the two blocks below it. One addition is shown.

Copy and complete the pyramid.

5 Hoa lái xe 12 3 4 km từ nhà của cô ấy đến phòng khám của bác sĩ

Sau đó, cô ấy lái xe 5 2 3 km từ phòng khám đến chỗ làm.

Hỏi tổng quãng đường cô ấy lái xe là bao nhiêu?

6 Đây là một phần bài tập về nhà của Kia. Bạn ấy đã mắc một lỗi trong lời giải.

Mách nhỏ

Để cộng 3 4 và 2 3 , lấy 12 làm mẫu số chung.

Mách nhỏ

Nếu em không tìm được lỗi sai của Kia, hãy thực hiện phép tính, sau đó so sánh lời giải của em với lời giải của bạn ấy.

a Giải thích lỗi sai mà Kia đã mắc phải.

b Tìm lời giải đúng.

7 Trong kim tự tháp dưới đây, hỗn số trong mỗi khối bên trên được tính bằng tổng của các hỗn số nằm trong hai khối bên dưới nó. Một phép cộng đã được cho sẵn.

Chép lại và hoàn thành kim tự tháp sau.

Sử dụng phương pháp của Leah để rút gọn các biểu thức sau bằng cách thu gọn các hạng

Không cần cộng phân số, tớ cũng chắc chắc kết quả nằm giữa 12 và 14.

“Khi em cộng hai hỗn số với nhau, tổng của chúng sẽ nằm giữa và .”

Kiểm tra xem đáp số của em đã đúng chưa.

c Think of adding any two mixed numbers. down a general rule for working out between which two whole numbers the total will be.

d How would you change this rule to add three, four or five mixed numbers?

10 Work out the perimeter of this quadrilateral.

First, change the improper fractions mixed numbers.

Summary checklist

I can add mixed numbers.

5.3 Multiplying fractions

In this section will … multiply two proper fractions. word square

To find a fraction of a fraction, you multiply the fractions together. The diagram shows a rectangle. 3 of the rectangle is blue. can see from the diagram that of means that

So, when you multiply fractions, you multiply the numerators together and you multiply the denominators together.

Worked example 5.3

a Work out 2 5 7 8 × . Write your answer in its simplest form.

b In a swimming club, 4 5 of the members are children. 1 3 of the children are boys. What fraction of the swimming club members are boys?

Answer

a 27 58 14 40 × × =

Multiply the numerators together and multiply the denominators together. 14 40 7 20 =

b 1 3 4 5 4 15 × =

Exercise 5.3

1 Work out the following.

Both 14 and 40 can be divided by 2, so cancel the answer to its simplest form.

Work out 1 3 of 4 5 by multiplying the fractions.

a 1 4 1 2 × b 3 4 1 4 × c 2 3 1 5 × d 4 5 2 5 × e 3 7 3 4 × f 7 9 2 3 ×

2 Work out the following. Write each answer in its simplest form. a 3 4 2 5 × b 2 3 3 4 × c 4 5 3 8 × d 1 4 8 9 × e 3 10 5 6 × f 6 11 1 3 ×

3 Benji is making a sauce. This is the recipe he uses.

Ví dụ minh hoạ 5.3

a Tính 2 5 7 8 × . Viết lời giải của em ở dạng phân số tối giản.

b Trong câu lạc bộ bơi lội, 4 5 thành viên là trẻ em. 1 3 trẻ em là nam giới. Số phần của trẻ em nam trong câu lạc bộ bơi lội là bao nhiêu?

Lời giải

a 27 58 14 40 × × =

Nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu số với nhau. 14 40 7 20 = Cả 14 và 40 đều chia hết cho 2, do đó, rút gọn kết quả về dạng tối giản.

b 1 3 4 5 4 15 × =

Tính 1 3 của 4 5 bằng cách nhân các phân số.

1 Thực hiện những phép tính sau. a 1 4 1 2 × b 3 4 1 4 × c 2 3 1 5 × d 4 5 2 5 × e 3 7 3 4 × f 7 9 2 3 ×

2 Tính rồi viết đáp số dưới dạng tối giản. a 3 4 2 5 × b 2 3 3 4 × c 4 5 3 8 × 1 4 8 9 × e 3 10 5 6 × f 6 11 1 3 ×

3 Benji đang làm nước xốt. Đây là công thức mà anh ấy sử dụng.

Benji makes sauce for two people, so he multiplies all the amounts by 1 2 Copy and complete the table, which shows the amount of each ingredient that Benji needs.

Amount for 4 people Working Amount for 2 people

2 3 cup of cashew nuts

1 2 2 3× = cup of cashew nuts

1 3 cup of water cup of water

1 4 cup of vinegar cup of vinegar

2 tablespoons of honey tablespoons of honey

1 2 teaspoon of salt teaspoon of salt

4 Find the area of this rectangle.

4m 9 1m 10

5 Work out the area of this square.

3m 4

Think like mathematician

6 Look back at Question 5

What methods can you use to square a fraction?

For example, what is 3 4 2 ()?

7 At a hotel, 5 9 of the staff are employed part-time.

a What fraction of the staff are not employed part-time?

Of the part-time members of staff, 3 7 are men.

b What fraction of the part-time members of staff are women?

c What fraction of the staff are men employed part-time?

d What fraction of the staff are women employed part-time?

Tip

Use the formula: Area = length × width

Tip

In part c, you need to work out 3 7 of 5 9 .

Benji làm nước xốt cho hai người, vì vậy, anh ấy nhân tất cả lượng nguyên liệu với 1 2 . Chép lại và hoàn thành bảng thể hiện lượng nguyên liệu mà Benji cần. Lượng nguyên liệu cho người Phép tính Lượng nguyên liệu cho 2 người

2 3 cốc hạt điều 1 2 2 3× = cốc hạt điều

1 3 cốc nước cốc nước 1 4 cốc giấm cốc giấm

2 thìa canh mật ong thìa canh mật ong

1 2 thìa cà phê muối thìa cà phê muối

4 Tìm diện tích hình chữ nhật

5 Tính diện tích hình vuông

Mách nhỏ Sử dụng công thức: Diện tích=chiều dài × chiều rộng Tại viên là nhân viên bán thời

a Bao nhiêu viên không phải là nhân viên bán thời gian? các nhân viên bán thời gian, 3 7 là nam.

b Bao nhiêu phần số nhân viên bán thời gian là nữ?

c Bao nhiêu phần số nhân viên là nhân viên nam làm việc bán thời gian?

d Bao nhiêu phần số nhân viên là nhân viên nữ làm việc bán thời gian?

8 In a cinema, 3 5 of the people watching the film are children. 3 4  of the children are girls.

a What fraction of the people watching the film are girls?

b What fraction of the people watching the film are boys?

Think like a mathematician

9 Work out the answer to 6 9 3 12× .

What different methods could you use to work out the answer?

Discuss in pairs or in groups.

10 Arun says:

Is Arun correct? Explain your answer. Look back at the questions you have completed in this exercise to help you explain.

11 Samara uses the following method to estimate the answer to a multiplication.

When you multiply two proper fractions together, you will never get an answer bigger than 1.

Tip Can you simplify the fractions before you multiply them?

Question Work out 3 4 × 1 6 .

Estimate 3 4 is greater than 1 2 , but is less than 1. 1 2 of 1 6 is 1 12 , and 1 × 1 6 = 1 6 .

So, I know that the answer to 3 4 × 1 6 must be greater than 1 12 but is smaller than 1 6

Accurate 3 4 × 1 6 = 3 × 1 4 × 6 = 3 24 = 1 8 1 8 is greater than 1 12 but is smaller than 1 6 ✓

8 Tại một rạp chiếu phim, 3 5 số người đang xem phim là

trẻ em 3 4 số trẻ em đó là các bạn nữ.

a Bao nhiêu phần số người đang xem phim là các bạn nữ?

b Bao nhiêu phần số người đang xem phim là các bạn nam?

10 Arun nói: Arun có đúng không? Giải thích đáp án của em. Xem lại các câu hỏi em đã hoàn thành trong bài tập này để giúp em giải thích.

11 Samara sử dụng cách sau để ước lượng kết quả của một phép nhân. nhân hai phân số nhỏ hơn 1 với nhau, bạn sẽ không bao giờ nhận được đáp số lớn hơn 1.

Tip

For each of the following, use Samara’s method to first work out an estimate and then to find the accurate answer. 2 1

Use the fact that 2 3 is greater than 1 2 , but is less than 1.

Use the fact that 2 9 is greater than zero, but is less than 1 2 .

Use the fact that 5 8 is greater than 1 2 , but is less than 1.

12 Copy this secret code box.

Work out the answer to each of the multiplications in the box on the right.

Find the answer in the secret code box, then write the letter from the multiplications box above the answer.

For example, the first multiplication is 1 4 2 3 × . 4 2 1× , so write E above 1 6 in the secret code box.

What is the secret message?

13 The diagram shows a square joined to a rectangle. 2 5m 8m

What is the total area of the shape?

Look back at this section on multiplying fractions. What did you find easy? What did you find hard? Are there any parts that you think you need to practise more?

Summary checklist

I can multiply two proper fractions.

Tính kết quả của mỗi phép nhân ở trong hộp bên phải. Tìm kết quả trong hộp mã số bí mật, rồi viết chữ cái từ các phép nhân lên trên kết quả đó. Ví dụ, phép nhân đầu tiên là 1 4 2 3 × 1 4 2 3 2 12 1 6 × == , do đó hãy viết chữ E bên trên 1 6 trong hộp mã số bí mật.

Tin nhắn bí mật này là gì?

13 Cho một hình vuông ghép với một hình chữ nhật như hình dưới. 2 5m 8m 4m

Tổng diện tích của hai hình là bao nhiêu?

5.4 Dividing fractions

The diagram shows a rectangle.

Key words reciprocal upside down

2 3 of the rectangle is yellow.

1 6 of the rectangle is also shown.

Solving 2 3 1 6 ÷ is the same as asking ‘How many 1 6 are there in 2 3 ?’.

You can see that the answer is 4, so 2 3 1 6 4÷

The calculation is 2 3 1 6 2 3 6 1 26 31 12 3 4

Here is a method for dividing a fraction by a fraction.

1 Turn the second fraction upside down.

2 Multiply the fractions together, as usual.

3 Write the answer in its simplest form and as a mixed number when possible. 3 1 6

In this example 5.4

Work out

Tip When you turn a fraction upside down you get a reciprocal fraction. For example the reciprocal of 2 3 is 3 2 .

Turn the second fraction upside down.

Multiply the numerators together, and multiply the denominators together.

Both 20 and 15 can be divided by 5, so cancel the fraction to its simplest form. 4 3 is an improper fraction, so write the answer as a mixed number.

Cho hình 3 hình chữ 6 hình chữ nhật cũng được thể hiện trong hình vẽ.

Giải phép tính 2 3 1 6 ÷ cũng giống với câu hỏi “Có bao nhiêu 1 6 trong 2 3 ?”.

Em có thể thấy đáp số là 4, ta viết 2 3 1 6 4÷ = .

Cách tính là 2 3 1 6 2 3 6 1 26 31 12 3 4÷ = × === × × .

Đây là phương pháp để thực hiện phép chia hai phân số:

1 Đảo ngược phân số thứ hai.

2 Nhân các phân số với nhau, như cách thông thường.

3 Viết kết quả dưới dạng phân số tối giản và hỗn số nếu có thể. 3 1 6

Mách nhỏ

Khi đảo ngược một phân số, em sẽ nhận được một phân số nghịch đảo. Ví dụ, nghịch đảo của 2 3 là 3 2 .

Exercise 5.4

1 Copy and complete: 1 5 2 6

2 Work out: 1 5

3 Work out the following. Write each answer in its simplest form and as a mixed number when possible. 3 1 5 6 4 9 1 6 7 7

4 This is part of Sofia’s homework. She has made a mistake in her solution.

Tip

In parts d, e and f write your answer as a mixed number.

a Explain Isaac’s mistake. Work out the correct answer.

5 The area of this rectangle is 2 15 2 m. The width is 3 10 m m length 3 10

Work out the length of the rectangle.

6 Cheng is using fraction cards to make correct calculations.

Which of these four fraction cards is the correct card for the missing fraction in the division? 15

Tip

The formula for the area of a rectangle is Area = length × width, so Length = area ÷ width.

Think like a mathematician

7 Look again at Question 6.

a As a class, discuss the different methods that you used to answer the question.

b Critique each method by explaining the advantages and disadvantages of each method.

c Which is the best method that was used? Can you improve this method?

Activity 5.1

On a piece of paper, write four fraction division questions that are similar to the divisions shown in Question 3. You must use proper fractions and not mixed numbers.

On a separate piece of paper, work out the answers. Swap your questions with a partner and answer their questions. Swap back and mark each other’s work. Discuss any mistakes that have been made.

5 Diện tích hình chữ nhật sau là 2 15 2 m.

Chiều rộng là 3 10 m m chiều dài 3 10

Tính chiều dài hình chữ nhật.

6 Cheng đang sử dụng các thẻ phân số để tạo thành các phép tính đúng.

Mách nhỏ

Công thức tính diện tích hình chữ nhật là Diện tích = chiều dài × chiều rộng, nên Chiều dài = diện tích ÷ chiều rộng.

Trong bốn thẻ phân số sau, thẻ nào là thẻ còn thiếu trong phép chia trên?

7 Xem lại Câu hỏi

a Thảo luận theo lớp về các phương pháp khác nhau mà các em sử dụng để trả lời câu hỏi.

b Phản biện mỗi phương pháp bằng cách giải thích các ưu điểm và nhược điểm của từng phương pháp.

c Phương pháp tốt nhất được sử dụng là gì? Em có thể cải tiến phương pháp này không?

Hoạt động 5.1

Trên một mảnh giấy, viết bốn phép chia phân số giống với phép chia trong Câu hỏi 3. Em cần sử dụng phân số nhỏ hơn 1 và không sử dụng hỗn số.

Trên một mảnh giấy khác, tính kết quả của các phép tính đó.

Đổi các phép tính của em với một bạn cùng lớp và trả lời các câu hỏi của bạn.

Đổi lại và chấm điểm lẫn nhau. Thảo luận các lỗi sai đã mắc phải.

8 Arun is looking for general patterns in the fraction division questions.

He thinks of two ideas.

Are Arun’s ideas correct? Explain your answers. Look back at the questions you have completed in this exercise to help you to explain.

When you divide two proper fractions:

1 If the first fraction is bigger than the second fraction, then the answer will be smaller than 1.

2 If the first fraction is smaller than the second fraction, then the answer will be bigger than 1.

9 at this fractions

At which pattern does the answer become greater than

8 Arun đang tìm quy luật tổng quát cho phép chia phân số. Bạn ấy nghĩ ra hai ý tưởng.

Các ý tưởng của Arun có đúng không? Giải thích đáp án của em. Xem lại các câu hỏi em đã hoàn thành trong bài tập này để giúp em giải thích.

Khi chia hai phân số nhỏ hơn 1:

1 Nếu phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai, thì kết quả sẽ nhỏ hơn 1.

2 Nếu phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai, thì kết quả sẽ lớn hơn 1.

9 Quan số

In

•

5.5 Making fraction calculations easier

Key word factor

When you are calculating with fractions, there are methods that you can use to make a calculation easier, such as:

• Break a fraction into parts using factors.

• Use equivalent fractions.

• Find factors that are the same in the numerator and the denominator.

• Instead of working out a large fraction of a number, work out the corresponding small fraction and subtract it from the number.

For all calculations, you must always remember to use the correct order of operations.

Worked example

Work out:

a 1 4 600× b 3 5 120× c 7 8 4 5 ×

Answer a 1 4 1 2 1 2 = ×

Use factors to change the 4 to 2 × 2. Note that finding 1 4 of a number is the same as halving the number and then halving the number again. ÷ 2 300 1 2 of 600 is 300. ÷ 1 2 of 300 is 150. b 3 5 6 Change 3 5 to 6 10 because dividing by 10 is easier than dividing by 5. ÷ 10 12

Work out 1 10 of 120 by dividing 120 by 10. 12 × 6 = 72

Work out 6 10 of 120 by multiplying 1 10 , which is 12, by 6.

5.5 Tính nhanh với phân số

Trong phần này, em sẽ… rút gọn các phép tính chứa phân số.

Khi thực hiện tính toán với phân số, có nhiều phương pháp em có thể dùng để tính nhanh, như:

• Tách phân số thành các phần bằng các thừa số của tử và (hoặc) mẫu.

• Sử dụng các phân số bằng nhau.

• Tìm các thừa số giống nhau ở cả tử số và mẫu số.

• Thay vì tính phân số lớn của một số, tính phân số nhỏ tương ứng và lấy số ban đầu trừ đi kết quả thu được (tìm phần bù).

Với tất cả các phép tính, em phải luôn nhớ viết và thực hiện đúng thứ tự các phép tính.

Từ khoá thừa số

Tính: 1 3 5 120× c 7 8 4 5 × giải 1 4 1 Sử dụng các thừa số để thay 4 thành 2 × 2. Chú ý rằng, tìm 1 4 của một số giống như việc chia đôi một số, rồi chia đôi số đó thêm một lần nữa. 1 2 của 600 là 300. 1 2 của 300 là 150.

b 3 5

120

12 6 72

Đổi 3 5 thành 6 10 bởi vì chia cho 10 dễ hơn chia cho 5.

Tính 1 10 của 120 bằng cách chia 120 cho 10.

Tính 6 10 của 120 bằng cách nhân với 1 10 , được 12, nhân tiếp với 6.

Multiply the numerators and denominators, as usual.

Replace 8 with 2 × 4 because there is a 4 in the numerator.

Rearrange the numerator and denominator to get × 4 at the end.

Rearrange to get × 4 4 at the end. so multiply 7 10 by 1 to get 7 10

1 the workings to make these calculations easier.

Tip

In part b, to work out 520 ÷ 2, first work out 52 ÷ 2 = 26. Then multiply by 10, which gives 26 × 10 = 260.

3 Work out the following. Use factors to change the fractions, showing all your working.

a 1 4 108× b 1 6 150× c 1 8 280× d 1 15 180×

4 Copy and complete the workings to make these calculations easier. Use equivalent fractions.

a 1 5 340× 1 5 2 10 = 34010 2 ÷ = × = b 2 5 160× 2 5 4 10

5 Work out the following. Use equivalent fractions, showing all your working.

a 1 5 270× b 4 5 80× c 3 5 210× d 2 5 320×

6 Emyr uses the following method to work out 3 20 4500× . 1 20 × × c 7 20 900× d 11 20 7000×

In part b, remember that × 4 is the same as × 2 × 2.

Tip

In part c you can use partitioning to work out 6 × 21. So, 6 × 21 = 6 × 20 + 6 × 1.

5 Phân

3 Tính các câu sau. Sử dụng các thừa số để biến đổi các phân số, trình bày toàn bộ lời giải của em.

a 1 4 108× b 1 6 150× c 1 8 280× d 1 15 180×

4 Chép lại và hoàn thành các bài toán sau theo cách tính nhanh. Sử dụng các phân số bằng nhau. a 1 5 340× 1 5 2 10 = 34010 2 ÷ = × = b 2 5 160× 2 5 4 10 = 16010 4 ÷ = × =

5 Tính các câu sau. Sử dụng các phân số bằng nhau, trình bày toàn bộ lời giải của em.

a 1 5 270× b 4 5 80× c 3 5 210× d 2 5 320×

6 Emyr sử dụng phương pháp như sau để tính 3 20 4500.× 1 20 × b × c 7 20 900× d 11 20 7000×

Mách nhỏ

Trong phần b, nhớ rằng × 4 giống với × 2 × 2. Mách nhỏ

Trong phần c, em có thể sử dụng cấu tạo số để tính 6 × 21. Vì vậy, 6 × 21 = 6 × 20 + 6 × 1.

7 Copy and complete the workings to make these calculations easier. Use the method of finding factors that are the same in the numerator and the denominator.

a 5 6

b 3

8 Work out the following.

Use the method you used in Question 7 Show all your working.

a 3

9 This is part of Iqra’s homework.

Question Work out 5 ×

Solution

Check every step of her homework. Is Iqra’s homework correct? Explain your answer.

7 Chép lại và hoàn thành các bài toán sau theo cách tính nhanh. dụng phương pháp tìm các thừa số giống nhau ở tử số và mẫu số. 5 6 2

8 Thực hiện các phép tính sau. dụng phương pháp tương tự như Câu hỏi 7 để tính nhanh. Trình bày toàn bộ lời giải của 3 8 5 7 9 18 25 12 19 2 3

10 This is how Arun works out 5 6 180× .

a Explain how Arun’s method works.

First, I work out 180 ÷ 6, which is 30.

Then I work out 30 × 5, which is 150.

This is how Sofia works out 5 6 180× .

b Explain how Sofia’s method works.

First, I work out 180 ÷ 6, which is 30. Then I work out 180 – 30, which is 150.

c Use both Arun’s method and Sofia’s method to work out:

i 6 7 280× ii 14 15 900×

d Whose method did you find it easiest to use to work out the answers to part c? Explain why.

e Critique each method by explaining the advantages and disadvantages of each method.

f What do you think is the best method to use to work out questions such as

19 20 1800× , 24 25 800× and 13 14 2240× ? Explain why.

g Use your favourite method to work out the answers to the following.

i 19 20 1800× ii 24 25 800× iii 13 14 2240×

10 Đây là cách Arun tính 5 6 180× .

a Giải thích cách làm của Arun.

Đầu tiên, tớ tính 180 ÷ 6, được 30.

Sau đó, tớ tính 30 × 5, được 150.

Đây là cách Sofia tính 5 6 180× .

b Giải thích cách làm của Sofia.

Đầu tiên, tớ tính 180 ÷ 6, được 30.

Sau đó, tớ tính 180 – 30, được 150.

c Sử dụng phương pháp của cả Arun và Sofia để tính: i 6 7 280× ii 14 15 900×

d Em thấy phương pháp của bạn nào nhanh nhất để tìm ra kết quả của phần c? Giải thích tại sao.

e Phản biện phương pháp của hai bạn bằng cách giải thích các ưu điểm và nhược điểm của từng phương pháp.

f Em nghĩ phương pháp nào là tốt nhất để tính các phép tính như

19 20 1800× ; 24 25 800× và 13 14 2240?× Giải thích tại sao.

g Sử dụng phương pháp em thích nhất để tính đáp số của các câu sau.

i 19 20 1800× ii 24 25 800× iii 13 14 2240×

Check your progress

1

Project

Fraction averages

Here is a set of five fractions: 1 5 1 2 1 2 1 2 4 5

The mode of this set of fractions is 1 2 The median is 1 2 The mean is 1 2

Can you find some other sets of five fractions between 0 and 1 for which the mean, median and mode are all 1 2 ?

In the set of fractions shown above, the fraction 1 2 appears three times.

Can you find examples that include 1 2 only twice?

In the set of fractions shown above, the range of the fractions is 3 5, which is just a little bit more than 1 2

Can you find other examples for which the range is more than 1 2 ?

Can you find examples for which the range is less than 1 2 ?

Can you find examples for which the range is exactly 1 2 ?

Dự án 2

Trung bình của phân số

Dưới đây là một tập năm phân số: 1 5 1 2 1 2 1 2 4 5

Mốt của tập phân số trên là 1 2

Trung vị là 1 2

Trung bình cộng là 1 2

Em có thể tìm các tập khác gồm năm phân số nằm giữa 0 và 1, sao cho trung bình cộng, trung vị và mốt đều bằng 1 2 không?

Trong tập phân số cho ở trên, phân số 1 2 xuất hiện ba lần.

Em có thể tìm các ví dụ mà trong đó 1 2 chỉ xuất hiện hai lần không?

Trong tập phân số cho ở trên, khoảng giá trị là 3 5, nó chỉ lớn hơn 1 2 một chút.

Em có thể tìm các ví dụ khác mà có khoảng giá trị lớn hơn 1 2 không?

Em có thể tìm các ví dụ mà có khoảng giá trị nhỏ hơn 1 2 không?

Em có thể tìm các ví dụ mà có khoảng giá trị đúng bằng 1 2 không?

Angles and constructions

Getting started

1 Estimate the size of each angle.

2 State whether each of the angles in Question 1 is acute, right, obtuse or reflex.

3 ABC is a straight line. Calculate the value of x. Show how you worked out your answer.

4 Two angles of a triangle are 50 ° and 72 °.

a Calculate the third angle. Explain how you worked out the third angle.

A length is the distance between two points.

You can use units, for example, metres, kilometres and millimetres, to measure lengths.

When you change direction, you turn through an angle. You measure the size of an angle in degrees. A whole turn is 360 degrees. You write this as 360 °.

Why is a whole turn 360?

The Babylonians and ancient Egyptians divided a whole turn into 360 parts as long ago as 1500 bce. This clay tablet excavated in Shush in modern-day Iran shows this.

The Babylonians and ancient Egyptians may have used 360 parts because some calendars at that time divided the year into 360 days. 360 is a useful number because many simple fractions of 360 are whole numbers, including 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 and 1 6

You already know that the sum of the angles on a straight line is 180 °. You also know that the sum of the angles of a triangle is 180 °.

In this unit you will discover other useful angle facts and use angles to solve problems. of

A whole turn is 360 °. The sum of the angles around a point is 360 °.

Độ dài là một con số chỉ khoảng cách giữa hai điểm.

Em có thể sử dụng các đơn vị, ví dụ như mét, ki-lô-mét và mi-li-mét để đo độ dài.

Khi chuyển hướng đi, em sẽ quay theo một góc nào đó. Độ lớn của một góc được đo bằng độ.

Một vòng quay hoàn chỉnh bằng 360 độ, được viết là 360 °

Vì sao một vòng quay hoàn chỉnh bằng 360?

Người Babylon và người Ai Cập cổ đại đã chia một vòng quay hoàn chỉnh thành 360 phần vào khoảng 1 500 năm trước Công Nguyên. Phiến đất sét được khai quật tại Shush ở Iran ngày nay đã chứng minh điều đó.

Người Babylon và người Ai Cập cổ đại có thể đã sử dụng 360 phần vì một số lịch ở thời điểm đó chia một năm thành 360 ngày.

360 là một con số hữu ích vì có nhiều phân số tối giản của 360 là các số tự nhiên, bao gồm 1 2 , 1 3 , 1 4 , 1 5 và 1 6 .

Em đã biết rằng tổng các góc kề nhau đặt trên cùng một đường thẳng bằng 180 °.

Em cũng biết rằng tổng ba góc của một tam giác bằng 180 °.

Trong học phần này, em sẽ khám phá các tính chất hữu dụng khác của góc và sử dụng góc để giải toán. phần này, em sẽ... điểm

6 Góc và cách dựng góc

You can apply your algebra skills to find unknown angles, represented by letters.

Worked example 6.1

Here are three angles around a point.

142° a 77°

Answer

142 ° + 77 ° = 219 °

The sum of the three angles is 360 °, so a = 360 ° 219 ° = 141 °.

The sum of the angles of a triangle is 180 °. A quadrilateral has four straight sides and four angles.

You can draw a straight line to divide the quadrilateral into two triangles.

Tip

See Unit 2 for a reminder on using algebra.

The six angles of the two triangles make the angles of the quadrilateral. The sum of the angles of each triangle is 180 °. The sum of the angles of the quadrilateral is 2 × 180 ° = 360 °. This result is true for any quadrilateral.

You can use the geometrical properties of shapes to calculate missing angles.

Em có thể áp dụng những kĩ năng đại số của mình để tìm các góc chưa biết, được kí hiệu bằng chữ cái.

Ví dụ minh hoạ 6.1

Cho ba góc xung quanh một điểm như sau. a 77°

Lời giải 142 ° + 77 ° = 219

Tổng ba góc bằng 360 °, do đó, a = 360 ° 219 ° = 141 °.

Tổng ba góc của một tam giác bằng 180 °. Một tứ giác có bốn cạnh và bốn góc.

Em có thể vẽ một đường thẳng chia tứ giác trên thành hai tam giác.

6 Góc và cách dựng góc

Mách nhỏ Xem Học phần 2 để nhớ lại cách sử dụng đại số.

Sáu góc của hai tam giác gộp lại được các góc của tứ giác.

Tổng các góc của mỗi tam giác bằng 180 °.

Tổng các góc của tứ giác bằng 2 × 180 ° = 360 °.

Kết quả này đúng với mọi tứ giác.

Em có thể sử dụng các tính chất hình học của hình phẳng để tìm góc còn thiếu.

Worked example 6.2

Three of the angles of a quadrilateral are each equal to 85 °. Work out the fourth angle.

Answer

3 × 85 ° = 255 °

The sum of three of the angles is 255 °. All four angles add up to 360 °. The fourth angle is 360 ° 255 ° = 105 °.

Worked example 6.3

This shape is a kite. Calculate the missing angles.

Answer

There is a vertical line of symmetry, so angle a = 80 °. The four angles add up to 360 °. 135 ° + 80 ° + 80 ° = 295 °, so angle b = 360 ° – 295 ° = 65 °

Ví dụ minh hoạ

Ba góc của một tứ giác có số đo bằng 85 °. Tính góc thứ tư.

Lời giải

3 × 85 ° = 255 °

Tổng ba góc của tứ giác đã cho bằng 255 °.

Tổng bốn góc bằng 360 °. Góc thứ tư bằng 360 ° 255 ° = 105 °.

Ví dụ minh a b

Hình trên là một hình cánh diều. Tính các góc còn thiếu.

Lời giải

Có một trục đối xứng dọc trong hình, do đó, góc a = 80 °.

Tổng bốn góc bằng 360 °. 135 ° + 80 ° + 80 ° = 295 °, do đó, góc b = 360 ° – 295 ° = 65 °

6 Góc và cách dựng góc

Exercise 6.1

Throughout this exercise, you need to apply your algebra skills to find unknown values, represented by letters.

1 Work out the size of the angle that has a letter. a b c d

2 Calculate the size of each angle that has a letter. a b c d a116° b 55° c60° 24° 34° d a 130° 120° b 37°155° 42°

Tip

See Unit 2 for a reminder on using algebra.

Bài tập 6.1

Trong những bài tập dưới đây, em cần áp dụng những kĩ năng đại số của mình để tìm các góc chưa biết, được kí hiệu bằng chữ cái.

1 Tính số đo của góc chứa một chữ cái. b Tính số đo của góc chứa một chữ cái. b 130°

6 Góc và cách dựng góc nhỏ Học phần 2 để nhớ lại cách sử dụng đại số.

3 The angles in each of these diagrams are all the same size. What is the size of each angle?

a b

4 Calculate the size of angle B in each of these triangles. a b c

5 Three angles of a quadrilateral are 60 °, 80 ° and 110 °. Work out the fourth angle.

6 In these quadrilaterals, calculate the size of the angles that have a letter.

a b c

7 All the angles of a quadrilateral are equal. What can you say about the quadrilateral?

8 Sofia measures three of the angles of a quadrilateral. Sofia says:

a Show that she has made a mistake.

b Show your answer to part a to another learner. Is your answer clear? Could you improve your answer?

9 One angle of a quadrilateral is 160 °. The other angles are all the same size. Work out the size of the other three angles.

10 This shape is a parallelogram. Work out angles x, y and z. A 38° 25° C CB B A 57°49° B A 28° C 62° 35° 40° b 63° 95° 110° a 35° 172° 100° c

The angles are 125 °, 160 ° and 90 °. 68° x y z

3 Các góc trong mỗi hình sau có số đo bằng nhau. Số đo của mỗi góc bằng bao nhiêu?

a b

4 Tính số đo của góc B trong mỗi tam giác sau. a b c

6 Góc và cách dựng góc

5 Ba góc của một tứ giác bằng 60 °, 80 ° và 110 °. Tính góc thứ tư.

6 Trong các tứ giác sau, tính số đo của góc chứa một chữ cái. a b c

7 Một tứ giác có bốn góc bằng nhau. Em có thể phát biểu điều gì về tứ giác này?

8 Sofia đo ba góc của một tứ giác. Sofia nói rằng:

a Chỉ ra lỗi sai mà bạn ấy mắc phải.

b Cho bạn khác xem đáp số ở phần a của em. Đáp số của em có rõ ràng không? Em có thể cải thiện đáp số của mình không?

9 Một góc trong một tứ giác bằng 160 °. Các góc còn lại có số đo bằng nhau.

Tính số đo của ba góc còn lại.

10 Hình bên là một hình bình hành.

Tính số đo các góc x, y và z. Các góc bằng 125 °, 160 ° và 90 °.

11 ABCD is a quadrilateral. A = 60 ° and angle B = 50 °. angles C and D B C

Think like a mathematician

12 All the angles of a quadrilateral are multiples of 30 °.

a When all the angles are different, show that there is only one possible set of angles.

b If one of the angles is 90 °, find the other three angles. Show that you have found all possible answers.

13 This is a rectangle. out the angles that have a letter.

In what order did you find the angles? you find the angles a different order?

14 Here are two identical triangles.

You can put the triangles together to make a quadrilateral, as shown.

a i Find the angles of this quadrilateral.

ii Show that the sum of the angles is 360 °.

13 Cho hình chữ nhật sau. các

Em đã lần lượt tìm các góc theo thứ tự nào? có thể

b Find all the different ways of putting the two triangles together to make a quadrilateral. You can turn the triangle over, as shown, if you prefer.

c i Find the angles of your quadrilaterals.

ii Show that the sum is 360 ° for each quadrilateral. 30°

Compare your answers with a partner’s answers. Have you got the same answers? Are your diagrams the same or are they different?

Summary checklist

I know that the sum of the angles around a point is 360 °. I can use this fact to calculate missing angles. I know that the sum of the angles of a quadrilateral is 360 °. I can use this fact to calculate missing angles.

6.2 Intersecting lines

Key words opposite angles parallel transversal this section

• recognise the properties of angles on perpendicular lines intersecting lines recognise the properties of angles on parallel lines. two lines intersect When two lines intersect, opposite angles are equal.

6 Góc và cách dựng góc

b Tìm tất cả các cách khác nhau để ghép hai tam giác đã cho thành một tứ giác. Em có thể lật tam giác như

So sánh đáp số của em với bạn cùng nhóm. Các em có đáp số giống nhau không? Hình vẽ tứ giác của em giống hay khác hình của các bạn?

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em biết rằng tổng các góc xung quanh một điểm bằng 360 °. Em có thể sử dụng tính chất này để tính các góc còn thiếu.

Em biết rằng tổng các góc của một tứ giác bằng 360 °. Em có thể sử dụng tính chất này để tính các góc còn thiếu.

In this diagram, a and c are opposite angles. Angles a and c are equal. Also b and d are opposite angles. Angles b and d are equal. You can use your algebra skills to find unknown angles, represented by letters. See Unit 2 for a reminder on using algebra.

Worked example 6.4

Work out angles p, q and r p 53° Answer

53 ° and p are angles on a straight line. The sum of 53 ° and p is 180 °. So p = 180 ° – 53 ° = 127 °. 53 ° and q are opposite angles, so q = 53 °. p and r are opposite angles, so r = 127 °.

These two lines intersect, as shown. The angle between the two lines is a right angle. They are perpendicular lines.

AB and CD are two lines that do not intersect. They are parallel

The arrows show that the lines are parallel. The line EF crosses the parallel lines. This line is called a transversal.

In the previous diagram there are only two different sizes of angle. The four angles at the top are the same as the four angles at the bottom.

70

Trong hình này, a và c là hai góc đối đỉnh. Góc a và góc c bằng nhau. Tương tự, b và d là hai góc đối đỉnh. Góc b và góc d bằng nhau.

Em có thể sử dụng những kĩ năng đại số của mình để tìm các góc chưa biết, được kí hiệu bằng chữ cái.

Ví dụ minh hoạ 6.4

Tính các góc p, q và r. p 53° q r

Lời giải

53 ° và p là hai góc kề bù.

Tổng của 53 ° và p là 180 °.

Do đó, p = 180 ° – 53 ° = 127 °.

53 ° và q là hai góc đối đỉnh, nên q = 53 °.

p và r là hai góc đối đỉnh, nên r = 127 °.

Cho hai đường thẳng cắt nhau như hình vẽ. Góc nằm giữa hai đường thẳng đó là một góc vuông. Chúng được gọi là hai đường thẳng vuông góc

AB và CD là hai đường thẳng không cắt nhau. Chúng song song với nhau.

Các mũi tên biểu thị hai đường thẳng song song với nhau.

Đường thẳng EF cắt hai đường thẳng song song, đường thẳng EF được gọi là đường cắt ngang.

6 Góc và cách dựng góc

Mách nhỏ

Xem Học phần 2 để nhớ lại cách sử dụng đại số.

Ở hình vẽ trên, có 8 góc nhưng đó chỉ có hai số đo góc khác nhau.

Bốn góc ở phía trên tương ứng bằng với bốn góc ở phía dưới.

Worked example 6.5

Work out the unknown angles, a, b, c and d, in this diagram.

82 ° and a are angles on a straight line. The sum is 180 °. a = 180 ° – 82 ° = 98 ° 82 ° and d are opposite angles. They are equal. d = 82 ° a and b are in the same position. They are equal. b = 98 ° c and b are opposite angles. They are equal. c = 98 ° 82° a c b d

Answer

Compare the angles at the two points where the transversal crosses the parallel lines.

Exercise 6.2

Throughout this exercise, you need to apply your algebra skills to find unknown values, represented by letters.

1 Work out the angles that have a letter. a b

2 Two straight lines are shown. There are four angles. One of the angles is 87 °. Work out the other three angles. y x53° w z 114°

6 Góc và cách dựng góc

Ví dụ minh hoạ 6.5

Tính các góc chưa biết, a, b, c và d, trong hình sau.

Lời giải

82 ° và a là hai góc kề bù cùng nằm trên một đường thẳng. Tổng bằng 180 °.

a = 180 ° – 82 ° = 98 °

82 ° và d là hai góc đối đỉnh nên chúng bằng nhau. d = 82 ° a và b là hai góc đồng vị nên chúng bằng nhau. b = 98 ° c và b là hai góc đối đỉnh nên chúng bằng nhau. c = 98 ° 82° a c b d

So sánh các góc tại hai giao điểm của đường cắt ngang với hai đường thẳng song song.

Bài tập 6.2

Xuyên suốt bài tập dưới đây, em cần áp dụng những kĩ năng đại số của mình để tìm các góc chưa biết, được kí hiệu bằng chữ cái.

1 Tính số đo của các góc chứa một chữ cái. a b

2 Cho hai đường thẳng như hình bên. Có bốn góc được tạo thành. Một trong số đó bằng 87 °. Tính ba góc còn lại. y x53° w z 114°

3 Three straight lines meet at a point. 61° d c b a 46°

Calculate the values of a, b, c and d. Give reasons for your answers.

4 There are two parallel lines in this diagram. One angle is 42 °. 42°

Copy the diagram and write in the size of all the other angles.

5 Work out the unknown angles a, b and c. 113° a bc

6 Lines WX and YZ are parallel. 77° X Z WY ca b

One angle is 77 °. Find a, b and c.

3 Cho ba đường thẳng cùng đi qua một điểm. 61° d c b a 46° Tính các số đo của a, b, c và d. Đưa ra lời giải thích cho đáp số của em.

4 Có hai đường thẳng song song trong hình dưới đây. Một góc bằng 42 °. 42° Vẽ lại hình trên và viết số đo của tất cả các góc còn lại.

5 Tính số đo của các góc chưa biết a, b và c. 113° a bc

6 Hai đường thẳng WX và YZ song song với nhau. 77° Z WY ca b Một góc bằng 77 °. Tìm a, b và c.

6 Góc và cách dựng góc

7 AB and CD are parallel lines. Calculate s and t. 75° BD C t s

8 Look at the diagram.

a Explain why these two lines cannot be parallel.

b Give your answer to part a to a partner to read. Can your answer be improved?

9 This shape is made from eight identical triangles.

a Sketch the diagram and label the other angles equal to a, b or c.

b Use arrows to mark any parallel lines.

10 The diagram shows angle X is 45 °.

a Calculate a.

b Angle X is increased to 90 °. Find the new value of a.

c Angle X is increased to 119 °. Find the new value of a

d Can angle X be more than 119 °? Give a reason for your answer.

11 This trapezium has a pair of parallel sides. Use this fact to calculate the missing angles. A C B 67° 45° 56° 126° a b c a X 60° 45°

7 AB và CD là hai đường thẳng song song. Tính s và t. 75° BD

A C t s

8 Quan sát hình vẽ bên.

a Giải thích vì sao hai đường thẳng đã cho không thể song song với nhau.

b Đưa bài giải phần a của em cho bạn cùng nhóm đọc. Bài giải của em có thể được cải thiện không?

9 Hình vẽ bên được ghép bởi tám tam giác bằng nhau.

a Vẽ lại hình và đánh nhãn các góc bằng với a, b hoặc c.

b Dùng mũi tên để đánh dấu các đường thẳng song song.

10 Ở hình vẽ bên, cho biết góc X bằng 45 °.

a Tính a.

b Góc X tăng lên đến 90 °. Tìm số đo mới của a.

c Góc X tăng lên đến 119 °.

Tìm số đo mới của a

d Góc X có thể lớn hơn 119 ° không? Giải thích câu trả lời của em.

11 Hình thang dưới đây có một cặp cạnh song song với nhau. Sử dụng tính chất này để tính các góc còn thiếu. B

6 Góc và cách dựng góc

Think like a mathematician

12 These shapes are an equilateral triangle, a rhombus and a square.

All the sides are the same length. Two squares and three triangles can be placed around a point, as shown.

a How do you know that the shapes fit exactly around a point?

b Find a different way to fit two squares and three triangles around a point.

c Show how to fit only triangles around a point.

d Find all the possible ways of fitting only rhombuses around a point.

Can you be sure you have found all the possible ways in part d?

Look back through this exercise. What facts do you need to remember? Make brief notes, with diagrams, to help you remember these facts.

Summary checklist

I know the angle properties of perpendicular lines.

I know the angle properties of intersecting lines.

I know the angle properties of parallel lines and transversal lines.

6 Góc và cách dựng góc

Tư duy như một nhà Toán học

12 Các hình sau bao gồm một hình tam giác đều, một hình thoi và một hình vuông.

Tất cả các cạnh bằng nhau.

Có thể xếp hai hình vuông và ba hình tam giác xung quanh một điểm, như hình dưới.

a Làm sao để biết các hình đã cho được xếp khít xung quanh một điểm?

b Tìm một cách khác để xếp khít được hai hình vuông và ba hình tam giác xung quanh một điểm.

c Trình bày cách để xếp khít các hình tam giác xung quanh một điểm.

d Tìm tất cả các cách có thể để xếp khít các hình thoi xung quanh một điểm.

Em có thể chắc chắn rằng mình đã tìm được tất cả các cách trong phần d không?

Rà soát lại bài tập trên. Em cần nhớ những tính chất nào?

Viết chú thích ngắn gọn kèm theo hình vẽ sẽ giúp em nhớ được những tính chất đó.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em biết các tính chất về góc tạo bởi hai đường thẳng vuông góc.

Em biết các tính chất về góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau.

Em biết các tính chất về góc tạo bởi đường thẳng song song và đường cắt ngang cắt hai đường thẳng song song.

6.3 Drawing lines and quadrilaterals

In this section you will …

• draw quadrilaterals, perpendicular lines and parallel lines.

You can use a ruler and a protractor or a set square to make accurate drawings.

1 Here is a line. A

This diagram shows how you can use a set square to draw a second line at A that is perpendicular to the first line. Put one edge of the set square on the line. Draw along the other edge. A

Key words protractor perpendicular parallel quadrilateral set square

The next diagram shows how you can also use a protractor to draw the same line. Put the centre mark of the flat edge of the protractor at A so that the 90 degree marker is on the line. Draw along the flat edge of the protractor.

A

6 Góc và cách dựng góc

6.3 Vẽ đường thẳng và tứ giác

Trong phần này, em sẽ…

• vẽ tứ giác, các đường thẳng song song và các đường thẳng vuông góc.

Em có thể sử dụng thước kẻ thẳng và thước đo góc hoặc ê-ke để tạo ra những hình vẽ chính xác.

1 Cho đường thẳng dưới đây.

A

Hình vẽ sau minh hoạ cách sử dụng ê-ke để vẽ đường thẳng thứ hai vuông góc với đường thẳng thứ nhất tại A. Đặt một cạnh của ê-ke trùng với đường thẳng đã cho. Vẽ dọc theo cạnh còn lại. A

Từ khoá thước đo góc vuông góc song song tứ giác ê-ke

Hình vẽ tiếp theo minh hoạ cách sử dụng thước đo góc để vẽ đường thẳng tương tự. Đặt tâm nằm trên cạnh thẳng của thước đo góc trùng với điểm A, sao cho vạch 90 độ trùng với đường thẳng đã cho. Vẽ dọc theo cạnh thẳng của thước đo góc.

2 Here are a line and a point B.

This diagram shows how you can use a set square to draw a second line through B that is perpendicular to the first line. Draw a line along the edge of it.

The next diagram shows how you can also use a protractor to draw the same line. Draw a line along the protractor’s flat edge, with the original line aligned with the 90 ° mark.

3 Here is a line.

You want to draw a second line that is parallel to the first line. The lines must be 5 cm apart. Draw a perpendicular line with a set square or a protractor. Measure 5 cm. 5cm

2 Cho một đường thẳng và điểm B như sau. B

Hình vẽ sau minh hoạ cách sử dụng ê-ke để vẽ đường thẳng thứ hai đi qua B và vuông góc với đường thẳng thứ nhất. Vẽ một đường thẳng dọc theo cạnh của thước.

6 Góc và cách dựng góc

cm1 2

Hình tiếp theo minh hoạ cách sử dụng thước đo góc để vẽ đường thẳng tương tự. Vẽ một đường thẳng dọc theo cạnh thẳng của thước đo góc sau khi đặt đường thẳng ban đầu trùng với vạch 90 độ.

B 10

3 Cho đường thẳng dưới đây.

Em cần vẽ đường thẳng thứ hai song song với đường thẳng thứ nhất. Hai đường thẳng phải cách nhau 5 cm.

Vẽ một đường thẳng vuông góc bằng ê-ke hoặc thước đo góc. Đo 5 cm.

5cm

Use a protractor to draw the parallel line, as shown. 20 30 70 80 90 100 110 20 30 40 7080100 5cm

You can also use a set square to draw the same line. If you want to draw a quadrilateral, you need to know some of the sides and angles. You don’t need to know all of the sides and angles.

Worked example 6.6 shows you how to draw a quadrilateral using a ruler and a protractor.

Worked example 6.6

This is a sketch of a quadrilateral. C B 110° 130° 4cm 6cm 3cm

Make an accurate drawing of the quadrilateral.

6 Góc và cách dựng góc

Sử dụng thước đo góc để vẽ đường thẳng song song, như hình vẽ sau. 20 60 70 80 90 100 110 17010 20 30 70 5cm

Em cũng có thể sử dụng ê-ke để vẽ đường thẳng tương tự. Muốn vẽ một tứ giác, em cần biết một số cạnh và góc của hình. Em không cần phải biết tất cả các cạnh và các góc. Ví dụ minh hoạ 6.6 biểu diễn cách vẽ một tứ giác bằng thước kẻ thẳng và thước đo góc.

Ví dụ minh hoạ 6.6 Dưới đây là hình vẽ của một tứ giác. A C B 110° 130° 4cm 6cm 3cm Vẽ tứ giác đã cho một cách chính xác.

Continued Answer

Draw a line whose length you know. Choose, for example, AD

Place the protractor at vertex A. Draw a line at an angle of 130 °. Measure 3 cm and label the end point of the line B

Now put the protractor at D. Draw a line at an angle of 110 °. Measure 6 cm and label the end point of the line C.

6 Góc và cách dựng góc

Tiếp theo giải 4 cm

A B 130° 3cm C B 110° 6cm

Vẽ một cạnh với độ dài cho trước, ví dụ: AD.

Đặt thước đo góc tại đỉnh A. Vẽ một đường thẳng trùng với vạch góc 130 °. Đo 3 cm và đánh dấu đầu mút còn lại là điểm B

Bây giờ, đặt thước đo góc tại đỉnh D. Vẽ một đường thẳng trùng với vạch góc 110 °. Đo 6 cm và đánh dấu đầu mút còn lại là điểm C.

D A C B 110° 130° 4 cm 6cm 3cm

Exercise 6.3

1 a Make an accurate drawing of this line.

Now join points B and C

You did not need to know the angles at B and C or the length of BC

If you started by drawing line CD, what would be the next step?

b Draw a line at B that is perpendicular to AD

c Draw a line at C that is perpendicular to AD.

d Your lines from parts b and c should be parallel. Are they?

2 a Make an accurate drawing of this diagram.

b Draw a perpendicular line from X to line YZ. Label the intersection as P.

c Measure: i XP ii YP

d Compare your answers to part c with a learner’s answers. Do you have the same answers? If not, check your accuracy. A B C D 4cm 3cm 3cm Y X Z 7cm 52° 6cm

6 Góc và cách dựng góc

Tiếp theo

D C 6cm

Bài tập 6.3

1 a Vẽ đoạn thẳng sau một cách chính xác.

b Vẽ một đường thẳng vuông góc với AD tại B

c Vẽ một đường thẳng vuông góc với AD tại C.

d Hai đường thẳng ở phần b và c của em phải song song với nhau. Điều đó có đúng với hình vẽ của em không?

2 a Vẽ hình sau một cách chính xác.

Nối điểm B với điểm C

Em không cần phải biết các góc tại B và C hay độ dài của BC

Nếu bắt đầu dựng hình bằng việc vẽ đoạn thẳng CD, em sẽ làm gì ở bước tiếp theo?

b Vẽ một đường thẳng vuông góc từ X đến đoạn thẳng YZ. Đánh nhãn giao điểm là P.

c Đo độ dài: i XP ii YP

d So sánh đáp số ở phần c của em với đáp số của một bạn khác. Các em có đáp số giống nhau không? Nếu không, hãy kiểm tra lại độ chính xác trong bài làm của em.

A B C D Y X Z 52°

3 a Make an accurate drawing of this diagram. The length of PC is 4.5 cm. B P A C 4.5cm 63°

b Draw a line through P that is parallel to AB.

4 a Make an accurate drawing of this quadrilateral. AB C D 5.1cm 6.9cm 8.2 cm 120° 110°

b Measure CD

c The length of CD should be 13.3 cm. Is your measurement in part b close to 13.3 cm? If not, check your drawing.

5 This diagram has two pairs of parallel lines.

a Make an accurate drawing of the diagram.

b Draw the line AC and measure the length of this line.

c The length of AC should be 5.4 cm. Is your measurement in part b close to 5.4 cm? If not, check your drawing.

6 Three angles of a quadrilateral are 60 °, 75 ° and 130 °.

a Calculate the fourth angle of the quadrilateral.

b Draw a quadrilateral with these four angles. The 60 ° angle must be opposite the 75 ° angle, as shown in this diagram.

c Draw a different quadrilateral with the same four angles. This time put the 60 ° angle opposite the 130 ° angle. 70° D AB C 3cm 4cm 75° 60° opposite angles

6 Góc và cách dựng góc

3 a Vẽ hình sau một cách chính xác. Độ dài của PC bằng 4,5 cm. B P A C 4,5cm 63°

b Vẽ một đường thẳng đi qua P và song song với AB

4 a Vẽ tứ giác sau một cách chính xác.

AB C D 5,1cm 6,9cm 8,2 cm 120° 110°

b Đo độ dài CD.

c Độ dài của CD bằng 13,3 cm. Số liệu em đo được ở phần b có gần với 13,3 cm không? Nếu không, hãy kiểm tra lại hình vẽ của em.

5 Hình vẽ sau có hai cặp cạnh song song với nhau.

a Vẽ hình đã cho một cách chính xác.

b Vẽ đoạn thẳng AC và đo độ dài của đoạn thẳng này.

c Độ dài của AC bằng 5,4 cm. Số liệu em đo được ở phần b có gần với 5,4 cm không? Nếu không, hãy kiểm tra lại hình vẽ của em.

6 Ba góc của một tứ giác bằng 60 °, 75 ° và 130 °.

a Tính góc thứ tư của tứ giác.

b Vẽ một tứ giác với bốn góc đã biết. Góc 60 ° phải đối diện với góc 75 ° như hình bên.

c Vẽ một tứ giác khác với bốn góc đã biết. Lần này, đặt góc 60 ° đối diện với góc 130 °. 70°

D AB C 3cm 4cm 75° 60° góc đối diện

b were given the size of every side and this information the quadrilateral? is the least of need to draw the quadrilateral

c the least set of need in general to draw a quadrilateral

Summary checklist draw parallel quadrilaterals.

8 a Vẽ tứ giác sau một cách chính xác.

b Em được cho biết số đo của mỗi cạnh và mỗi góc. Em có cần tất cả những thông tin này để vẽ tứ giác không? Em cần tối thiểu bao nhiêu số đo để có thể vẽ được chính xác tứ giác đã cho?

c Mô tả tổng quát tập hợp các số đo tối thiểu em cần để vẽ tứ giác một cách chính xác. 7,5cm 10,5cm

Bảng kiểm tóm lược kiến

Em có thể vẽ các đường thẳng vuông góc với nhau.

Em có thể vẽ các đường thẳng song song với nhau.

Em có thể vẽ các tứ giác.

Check your progress

1 Here are three angles. Two of the angles are equal. diagram shows one angle of 100 °. Calculate the other two angles. There are two possible answers. Calculate angle an accurate drawing of the Work out the unknown an accurate drawing of this diagram.

Clock rectangles

The diagram shows a clock face with 12 equally spaced points around a circle.

Can you find four points that join together to make a rectangle? How do you know it is a rectangle?

Can you find more than one rectangle?

How many different rectangles is it possible to draw on a clock face?

Once you have explored rectangles on a clock face, here are some more questions you might like to explore.

Consider a clock face that has only eight equally spaced points around the edge. How many rectangles can you find now?

What about a clock face with 18 equally spaced points?

Is there a way to predict the number of rectangles for a clock face with any number of equally spaced points?

What other quadrilaterals can you find on different clock faces?

Which of these is it possible to draw?

• kite

• parallelogram

• rhombus

• trapezium

Do your answers depend on the number of equally spaced points?

Dự án

Hình chữ nhật trên mặt đồng hồ

Hình vẽ bên minh hoạ mặt đồng hồ với 12 điểm cách đều nhau xung quanh một hình tròn.

Em có thể tìm được bốn điểm nối với nhau để tạo thành một hình chữ nhật không?

Làm sao em biết được đó là một hình chữ nhật?

Em có thể tìm được nhiều hơn một hình chữ nhật không?

Có thể vẽ bao nhiêu hình chữ nhật khác nhau trên mặt đồng hồ?

Một khi đã khám phá ra các hình chữ nhật trên mặt đồng hồ, em có thể sẽ muốn tìm hiểu thêm về các câu hỏi dưới đây.

Xét một mặt đồng hồ chỉ có tám điểm cách đều nhau xung quanh viền của đồng hồ.

Lần này, em có thể tìm được bao nhiêu hình chữ nhật?

Điều gì sẽ xảy ra với mặt đồng hồ có 18 điểm cách đều nhau?

Có cách nào để dự đoán được số hình chữ nhật trên mặt đồng hồ với số điểm cách đều nhau bất kì không?

Em có thể tìm được tứ giác nào khác trên những mặt đồng hồ đó?

Có thể vẽ được hình nào dưới đây?

• hình cánh diều

• hình bình hành

• hình thoi

• hình thang

Đáp án của em có phụ thuộc vào số các điểm cách đều nhau không?

4 Match each of these 3-dimensional (3D) shapes with its correct name. Choose from the words in the box on the right. b c d e f g h sphere, tetrahedron, cone, cube, square-based pyramid, cylinder, cuboid, triangular prism

Throughout history, symmetry has been an important part of the design of everyday objects. Granada is a city in the south of Spain, in the province of Andalucía. The Alhambra Palace in Granada is full of symmetrical designs.

The palace was built in the thirteenth century. It was originally designed as a military area, but it then became the residence of royalty and of the court of Granada. You can see symmetry everywhere you look, from the design of the gardens and buildings to the tile patterns on the walls.

7 Hình và tính đối xứng của hình

Tiếp theo

4 Ghép mỗi hình khối (3D) sau với tên đúng của nó. Chọn các từ ở trong hộp bên phải. a b c d e f g h hình cầu, hình tứ diện, hình nón, hình lập phương, hình chóp có đáy vuông, hình trụ, hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ tam giác

Trong suốt lịch sử, đối xứng đã là một phần quan trọng trong việc thiết kế các đồ vật hằng ngày.

Granada là một thành phố ở phía nam của Tây Ban Nha, thuộc tỉnh của Andalucía. Cung điện Alhambra ở Granada chứa rất nhiều các thiết kế đối xứng. Cung điện này được xây dựng vào thế kỉ thứ mười ba. Ban đầu, nó được thiết kế như một khu quân sự, nhưng sau đó, nó trở thành nơi ở của hoàng gia và vương triều Granada.

Em có thể nhìn thấy đối xứng ở khắp mọi nơi, từ thiết kế của các khu vườn và toà nhà đến các mẫu gạch lát trên các bức tường.

7.1 Identifying the symmetry of 2D shapes

In this section you will …

• identify the reflective symmetry of 2D shapes and patterns

• identify the order of rotational symmetry of 2D shapes and patterns.

A 2-dimensional (2D) shape might have line symmetry and it might have rotational symmetry.

vertical line of symmetry

horizontal line of symmetry

This rectangle has two lines of symmetry. One line of symmetry is horizontal. The other line of symmetry is vertical

You can use dashed lines to show lines of symmetry on a shape.

When you fold a shape along its lines of symmetry, one half of the shape will fit exactly on top of the other half of the shape. This rectangle also has rotational symmetry of order 2.

The order of rotational symmetry is the number of times a shape looks the same as it is rotated through one full turn.

Worked example 7.1

For each of these shapes, write down:

i the number of lines of symmetry

ii the order of rotational symmetry a b

Key words conjecture full turn horizontal line line symmetry once rotational symmetry twice vertical line

trục đối xứng thẳng đứng trục đối xứng nằm ngang

Từ khoá phỏng đoán vòng quay 360o trục nằm trục đối xứng một lần phép đối xứng quay hai lần trục thẳng đứng hình (2D) có thể có trục đối xứng và cũng có thể có tính đối xứng quay.

Hình chữ nhật này có hai trục đối xứng. Một trục đối xứng là trục nằm ngang. Trục đối xứng còn lại là trục thẳng đứng.

Em có thể sử dụng các đường nét đứt để thể hiện các trục đối xứng trên một hình.

Khi em gấp một hình dọc theo trục đối xứng của nó, một nửa của hình sẽ nằm vừa đúng lên trên một nửa còn lại của hình đó.

Hình chữ nhật này cũng có đối xứng quay bậc 2.

Bậc đối xứng quay là số lần một hình trùng khít (lặp lại) hoàn toàn về vị trí, trạng thái ban đầu khi thực hiện toàn bộ một vòng quay vòng quay 360o

Ví dụ minh hoạ 7.1

Với mỗi hình sau, viết ra:

i số trục đối xứng

ii bậc đối xứng quay a b

Answer

a i two lines of symmetry ii order 2 rotational symmetry

This shape has two diagonal lines of symmetry.

In one full turn, the shape will look exactly the same twice: once after rotating through 180 ° and once again after 360 °.

b i no lines of symmetry ii order 2 rotational symmetry

It is not possible to draw any lines of symmetry onto this parallelogram.

In one full turn, the parallelogram will look exactly the same twice: once after rotating through 180 ° and once again after 360 °.

Exercise 7.1

1 Copy each of these shapes and draw on them the lines of symmetry. a b c d e f g h i j k l

2 For each shape in Question 1, write down the order of rotational symmetry. 3 Write down the number of lines of symmetry for each of the following shapes. a b c d e f g h

4 For each shape in Question 3, write down the order of rotational symmetry.

Lời giải

a i hai trục đối xứng

ii đối xứng quay bậc 2

7 Hình và tính đối xứng của hình

b i không có trục đối xứng

ii đối xứng quay bậc 2

Hình này có hai trục đối xứng chính là các đường chéo.

Trong một vòng quay 360 °, hình sẽ lặp lại trạng thái ban đầu đúng hai lần: một lần sau khi quay 180 ° và một lần nữa khi quay 360 °

Không thể vẽ được bất kì trục đối xứng nào lên trên hình bình hành này.

Trong một vòng quay 360 °, hình bình hành này sẽ lặp lại trạng thái ban đầu đúng hai lần: một lần sau khi quay 180 ° và một lần nữa khi quay 360 ° .

Bài tập 7.1

1 Vẽ lại mỗi hình sau và vẽ trục đối xứng của chúng. a b c d e f g h i j k l

2 Với mỗi hình trong Câu hỏi 1, viết bậc đối xứng quay.

3 Viết số trục đối xứng cho mỗi hình sau. a b c d e f g h

4 Với mỗi hình trong Câu hỏi 3, viết bậc đối xứng quay.

5 Copy and complete the table to show the symmetry properties of these quadrilaterals.

Shape square rectangle rhombus parallelogram kite trapezium isosceles trapezium

Number of lines of symmetry

Order of rotational symmetry

6 For each triangle shown: a equilateral triangle b isosceles triangle c scalene triangle d right-angled isosceles triangle

i Write down the number of lines of symmetry.

ii Write down the order of rotational symmetry.

Think like a mathematician

7 a How many lines of symmetry does a circle have?

b What is the order of rotation of a circle?

8 In each diagram, the dashed lines are lines of symmetry. a Copy and complete the pattern in each diagram. i ii iii b Write down the order of rotation of each of the patterns given in part a.

7 Hình và tính đối xứng của hình

5 Vẽ lại và hoàn thành bảng thể hiện tính chất đối xứng của các tứ giác sau. Hình hình vuông hình chữ nhật hình thoi hình bình hành hình cánh diều hình thang hình thang cân

Số trục đối xứng

Bậc đối xứng quay

6 Với mỗi tam giác được cho dưới đây:

a tam giác đều b tam giác cân c tam giác không cân d tam giác vuông cân

i Viết số trục đối xứng.

ii Viết bậc đối xứng quay.

Tư duy như một nhà Toán học

7 a Một hình tròn có bao nhiêu trục đối xứng?

b Bậc đối xứng quay của một hình tròn là bao nhiêu?

8 Đường nét đứt trong mỗi hình sau là các trục đối xứng của hình.

a Vẽ lại và hoàn thành hình mẫu trong mỗi hình. i ii iii

b Viết bậc đối xứng quay của mỗi hình mẫu được cho ở phần a.

9 Ali and Ritesh are trying to complete this pattern.

The dashed line is a line of symmetry. This is what they draw.

Ali: Ritesh:

a Who has drawn the correct diagram?

b Explain the mistake that the other person has made.

10 Copy these patterns onto squared grid paper.

a b c d

i Add one blue square to each pattern to make a new pattern that has a line of symmetry.

ii Draw the line of symmetry onto each of your patterns.

iii Describe each line of symmetry; that is, is each line a horizontal, vertical or diagonal line of symmetry?

11 Sofia has made this pattern from yellow and blue tiles. She also has two spare blue tiles.

There are eight different ways I can add the two blue tiles to the pattern to make a pattern with only one line of symmetry. There are two different ways I can add the two blue tiles to the pattern to make a pattern with two lines of symmetry. There is only one way I can add the two blue tiles to the pattern to make a pattern with four lines of symmetry.

Show that Sofia’s statements are correct. You may join the tiles either side to side or corner to corner .

9 Ali và Ritesh đang cố gắng để hoàn thành hình mẫu sau.

7 Hình và tính đối xứng của hình

Đường nét đứt là trục đối xứng của hình.

Đây là hình mẫu do các bạn vẽ

Ali:

Ritesh:

a Bạn nào đã vẽ hình đúng?

b Giải thích lỗi sai mà bạn còn lại mắc phải.

10 Vẽ lại các hình mẫu sau vào giấy kẻ ô vuông.

a b c d

i Thêm một ô vuông màu xanh dương vào mỗi hình mẫu để tạo thành một hình mẫu mới có trục đối xứng.

ii Vẽ trục đối xứng cho mỗi hình mẫu của em.

iii Mô tả từng trục đối xứng: chỉ rõ trục đối xứng đó nằm ngang, thẳng đứng hay là một đường chéo.

11 Sofia đã tạo ra hình mẫu sau từ các ô lát màu vàng và màu xanh dương. Bạn ấy cũng có hai ô màu xanh dương dự phòng.

Tớ có tám cách thêm hai ô màu xanh dương vào hình mẫu để hình tạo thành chỉ có một trục đối xứng.

Có hai cách để tớ thêm hai ô màu xanh dương để hình mẫu tạo thành có hai trục đối xứng.

Chỉ có một cách để tớ thêm hai ô màu xanh dương để tạo thành một hình mẫu có bốn trục đối xứng.

Chỉ ra rằng phát biểu của Sofia là đúng. Em có thể ghép các ô cạnh nhau hoặc ghép các đỉnh lại với nhau .

Think like a mathematician

12 In pairs or groups, read through Question 13a

a Without drawing any diagrams, conjecture if the pattern of tiles will be a rectangle, a square or neither. How do you know?

b i Where in the pattern must you definitely place one red tile? Explain why. ii Now draw the patterns.

13 Song has five red tiles and four white tiles.

a Draw two different ways that Song could arrange these tiles so that he has a shape with an order of rotational symmetry of 4.

b For each of the patterns you drew in part a, how many lines of symmetry do your patterns of tiles have?

Activity 7.1

Here are 12 different road signs. g h i j k l b c d e f

a Copy and complete this table to characterise these road signs. Road sign a b c d e f g h i j k l

Number of lines of symmetry Order of rotational symmetry

b Compare your table with a partner’s and check each other’s work. If you disagree with any of the answers, discuss why and then agree on the correct answer.

7 Hình và tính đối xứng của hình

Tư

12 Theo cặp hoặc theo nhóm, đọc qua Câu hỏi 13a

a Không vẽ bất kì hình nào, hãy phỏng đoán xem hình mẫu ô lát có phải là một hình chữ nhật, một hình vuông hay không phải cả hai. Làm thế nào em biết?

b i Em chắc chắn phải đặt một ô màu đỏ ở đâu trong hình? Giải thích vì sao.

ii Bây giờ, hãy vẽ hình mẫu.

13 Song có năm ô lát màu đỏ và bốn ô lát màu trắng.

a Vẽ hai cách khác nhau mà Song có thể sắp xếp các ô này để có được một hình với bậc đối xứng quay là 4.

b Có bao nhiêu trục đối xứng trong mỗi hình mẫu em đã vẽ ở phần a?

Hoạt động 7.1 Đây là 12 biển báo giao thông khác nhau. a g h i j k l b c d e f

a Vẽ lại và hoàn thành bảng phân tích đặc điểm các biển báo giao thông. báo giao thông b c d e f g h i j k l

b So sánh bảng của em với bảng của bạn khác và kiểm tra kết quả của từng người. các em không đồng ý với bất kì câu trả lời nào, hãy thảo luận xem tại sao, rồi cùng thống nhất câu trả lời chính xác.

Summary checklist

I can identify reflective symmetry of 2D shapes and patterns.

I can identify the order of rotational symmetry of 2D shapes and patterns.

7.2 Circles and polygons

In this section will

• name the parts of a circle

• polygons.

You already know these parts of a circle.

There are two other parts of a circle that you must know.

A chord of a circle is a straight line that starts and finishes on the circumference of the circle. If the chord passes through the centre of the circle, it is called the diameter. A tangent to a circle is a straight line that touches the circumference of the circle at only one point.

Key words chord polygon polygon polygon centre

Worked example 7.2

For the diagram shown, write down the letters of the lines that are: a tangents to the circle b chords of the circle

7 Hình và tính đối xứng của hình

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể xác định tính đối xứng của hình 2D và các hình mẫu.

Em có thể xác định bậc của phép đối xứng quay của hình 2D và các hình mẫu.

7.2 Đường tròn và đa giác

Trong

•

•

Các em đã biết các bộ phận này của một đường tròn.

Các em cần biết thêm hai bộ phận khác nữa của hình tròn.

Một dây cung của một đường tròn là một vạch thẳng bắt đầu và kết thúc trên chu vi hình tròn đó. Nếu dây cung đi qua tâm đường tròn, nó được gọi là đường kính.

Một tiếp tuyến của một đường tròn là một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn đó tại điểm duy nhất.

Từ dây cung đa giác không đều

Continued Answer

a A, D, F

b B, C, E

These lines touch the circumference of the circle at only one point, so they are tangents to the circle.

These lines start and finish on the circumference of the circle, so they are chords of the circle.

You already know the difference between a regular polygon and an irregular polygon.

You must be able to describe the properties of a regular polygon, as well as sketch the polygon. For example, a regular pentagon has:

• five sides the same length

• five angles the same size

• five lines of symmetry

• rotational symmetry of order 5.

Worked example 7.3

a Sketch a regular octagon.

b Describe the properties of the octagon.

Answer

a b A regular octagon has:

• eight sides the same length

• eight angles the same siz e

• eight lines of symmetry

• rotational symmetry of order 8.

Exercise 7.2

1 For the diagram shown, write down the letters of the lines that are: a tangents to the circle b chords of the circle E C G F

7 Hình và tính đối xứng của hình

Tiếp theo

Lời giải

a A, D, F Các đường này tiếp xúc với chu vi hình tròn tại một điểm duy nhất, vì vậy, chúng là các tiếp tuyến của đường tròn.

b B, C, E Các đường này bắt đầu và kết thúc trên chu vi hình tròn, vì vậy, chúng là các dây cung của đường tròn.

Em đã biết sự khác nhau giữa một đa giác đều và một đa giác không đều.

Em có thể mô tả các tính chất của một đa giác đều, cũng như phác thảo đa giác đó.

Ví dụ, một ngũ giác đều có:

• năm cạnh bằng nhau

• năm góc bằng nhau

• năm trục đối xứng

• đối xứng quay bậc 5.

Ví dụ minh hoạ 7.3

a Phác thảo một bát giác đều.

b Mô tả các tính chất của bát giác đó.

Lời giải

a b Một bát giác đều có:

• tám cạnh bằng nhau

• tám góc bằng nhau

• tám trục đối xứng

• đối xứng quay bậc 8.

Bài tập 7.2

1 Cho hình vẽ bên, viết tên chữ cái tương ứng với:

a tiếp tuyến của đường tròn

b dây cung của đường tròn E C A B

2 This is part of Omar’s homework. Label the parts of the circle. chord radius tangent centre circumference diameter

Omar has made a lot of mistakes. Copy the diagram and correctly label the parts of the circle.

Think like a mathematician

3 a Use a pair of compasses to draw four circles of different sizes.

b On each circle draw a tangent to the circle.

c At the point where your tangent meets your circle, draw a radius onto the circle. An example is shown. tangent radius centre measure this angle

d On each of your circles, measure the angle the radius makes with the tangent.

e What do you notice about all your answers? Discuss your answers with a partner. Copy and complete this general statement: The angle between a tangent and a radius is always ° .

7 Hình và tính đối xứng của hình

2 Đây là một phần bài tập về nhà của Omar.

Ghi nhãn các phần của đường tròn. dây cung bán kính tiếp tuyến tâm chu vi đường kính

Omar đã mắc khá nhiều lỗi. Vẽ lại hình và dán nhãn đúng các bộ phận của đường tròn. Tư duy như một nhà Toán học

3 a Sử dụng com-pa để vẽ bốn hình tròn có kích thước khác nhau.

b Trên mỗi hình tròn, vẽ một tiếp tuyến của đường tròn đó.

c Tại điểm mà tiếp tuyến và đường tròn của em gặp nhau, vẽ một bán kính của đường tròn. Xem ví dụ trong hình dưới đây. tiếp tuyến bán kính tâm đo độ lớn của góc này

d Trên mỗi đường tròn của em, hãy đo độ lớn của góc tạo bởi bán kính và tiếp tuyến.

e Em có nhận xét gì về tất cả các kết quả tìm được? Thảo luận các kết quả của em với một bạn khác. Viết lại và hoàn thành phát biểu tổng quát sau: Góc giữa tiếp tuyến và bán kính luôn bằng

4 Marcus draws this diagram.

I can draw three chords inside a circle that make an isosceles triangle.

Draw three circles.

a Inside the first circle draw three chords that make a scalene triangle.

b Inside the second circle draw four chords that make a rectangle.

c Inside the third circle draw four chords that make a kite.

Think like a mathematician

5 a In pairs or groups, discuss the best method to use to draw three chords inside a circle that will make a right-angled triangle.

b Individually, draw the diagram from part a.

c When all learners in your group have drawn a diagram, compare your diagrams.

d What do you notice about the longest chord of the circle?

6 Zara draws this diagram.

I can draw four tangents to the circle to make a rhombus.

I know it is a rhombus because it has:

• two pairs of parallel sides

• four sides of equal length

• opposite angles are equal

• two lines of symmetry

• rotational symmetry of order 2.

a Draw a circle. Draw four tangents to the circle to make a square.

b Describe the properties that characterise a square.

7 Hình và tính đối xứng của hình

4 Marcus vẽ hình sau.

Vẽ ba đường tròn.

a Bên trong đường tròn đầu tiên, vẽ ba dây cung để tạo thành một tam giác không cân.

b Bên trong đường tròn thứ hai, vẽ bốn dây cung để tạo thành một hình chữ nhật.

c Bên trong đường tròn thứ ba, vẽ bốn dây cung để tạo thành một hình cánh diều. Tớ có thể vẽ ba dây cung bên trong hình tròn để tạo thành một tam giác cân.

5 a Theo cặp hoặc theo nhóm, thảo luận cách tốt nhất để vẽ ba dây cung bên trong một hình tròn để tạo thành một tam giác vuông.

b Tự vẽ hình ở phần a.

c Khi tất cả các học sinh trong nhóm em đều đã vẽ được hình, hãy so sánh hình vẽ của nhau.

d Em có nhận xét gì về dây cung dài nhất của đường tròn?

6 Zara vẽ hình sau.

Tớ có thể vẽ bốn tiếp tuyến của đường tròn để tạo thành một hình thoi.

Tớ biết đó là một hình thoi bởi vì:

• hai cặp cạnh song song

• bốn cạnh bằng nhau

• các góc đối diện bằng nhau

• hai trục đối xứng

• đối xứng quay bậc 2.

a Vẽ một đường tròn. Vẽ bốn tiếp tuyến của đường tròn để tạo thành một hình vuông.

b Mô tả các tính chất đặc trưng của một hình vuông.

Tư duy như một nhà Toán học

7 This is what Zara says:

It is possible to draw four tangents to a circle that make a trapezium.

a Is Zara correct? Draw a diagram to help you explain your answer.

b Describe the properties that characterise a trapezium.

8 a Sketch a regular hexagon.

b Describe the properties that characterise a regular hexagon.

9 The diagram shows a regular decagon.

Copy and complete the properties that characterise a regular decagon.

A regular decagon has:

• sides the same length

• angles the same size

• lines of symmetry

• rotational symmetry of order

10 Yasiru has these cards. The cards have different shapes on them.

a Classify the cards into groups. You must have at least two groups. You can choose how you organise the shapes, but you must explain why you have put the shapes in these groups.

b Re-classify the cards into different groups. You must have at least two groups. Explain why you have put the shapes into their new groups.

A E G L B C D F H I J K M

Tip You can classify using symmetry properties or lengths of sides or number of equal angles, etc.

7 Hình và tính đối xứng của hình

7 Zara nói như sau:

Có thể vẽ bốn tiếp tuyến của đường tròn để tạo thành một hình thang.

a Zara có đúng không? Vẽ một hình để giải thích cho câu trả lời của em.

b Mô tả các tính chất đặc trưng của một hình thang.

8 a Phác thảo một lục giác đều.

b Mô tả các tính chất đặc trưng của một lục giác đều.

9 Cho một hình thập giác đều như hình bên.

Viết lại và hoàn thành các tính chất đặc trưng của một hình thập giác đều.

Một thập giác đều có:

• cạnh dài bằng nhau

• góc bằng nhau

• trục đối xứng

• đối xứng quay bậc

10 Yasiru có các thẻ sau. Các thẻ này chứa các hình khác nhau ở bên trong.

a Phân loại các thẻ thành các nhóm. Em phải có ít nhất hai nhóm. Em có thể chọn cách sắp xếp các hình, nhưng cần phải giải thích cách em xếp các hình vào các nhóm.

b Phân loại lại các thẻ thành các nhóm. Em phải có ít nhất hai nhóm. Giải thích tại sao em xếp các hình vào các nhóm mới như vậy.

Mách nhỏ

Em có thể phân loại bằng tính đối xứng hoặc độ dài các cạnh hoặc số góc bằng nhau,v.v.

A E G L B C D F H I J K M

11 This is what Zara says:

If I draw a dot in the centre of a regular pentagon, I can divide the pentagon into five identical triangles, as shown.

a Sketch a regular hexagon. Use Zara’s method to divide the hexagon into identical triangles. How many identical triangles are there?

b Without drawing any more shapes, copy and complete this table. Explain how you worked out the answers.

Name of regular polygon Number of identical triangles inside pentagon 5 hexagon heptagon (7 sides) octagon nonagon (9 sides) decagon

c To convince that your method is correct, draw one of the other regular polygons and divide the shape into identical triangles. How many identical triangles are there?

Write down the difference between a tangent and a chord. Explain why the diameter of a circle is also a chord of the circle. Explain why the diameter of a circle is never a tangent to the circle.

Summary checklist

I can identify, describe and sketch regular polygons. I can name the parts of a circle.

7 Hình và tính đối xứng của hình

11 Zara nói như sau:

Nếu tớ vẽ một chấm vào tâm của ngũ giác đều, tớ có thể chia ngũ giác đó thành năm tam giác giống hệt nhau, như hình bên.

a Phác thảo một lục giác đều. Sử dụng cách của Zara để chia lục giác này thành các tam giác giống hệt nhau.

Có bao nhiêu tam giác giống hệt nhau như vậy?

b Không vẽ thêm hình, viết lại và hoàn thành bảng sau. Giải thích cách em tìm ra các câu trả lời.

Tên đa giác đều Số tam giác giống hệt nhau nằm bên trong ngũ giác 5 lục giác thất giác (7 cạnh) bát giác cửu giác (9 cạnh) thập giác

c Để thuyết phục rằng cách làm của em là đúng, vẽ một trong những đa giác đều khác và chia hình thành các tam giác giống hệt nhau. Có bao nhiêu tam giác như vậy?

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể xác định, mô tả và phác thảo các đa giác đều.

7.3 Recognising congruent shapes

In this section you will … • identify congruent shapes.

Here are two right-angled triangles, LMN and XYZ L M N X Y Z

Can you see that the triangles are identical in shape and size? Shapes that are identical in shape and size are congruent.

The side LM is equal in length to the side XY. So sides LM and XY are corresponding sides. Angle MLN is equal in size to angle YXZ.

So angle MLN and angle YXZ are corresponding angles

In congruent shapes, corresponding sides are equal and corresponding angles are equal.

In triangles LMN and XYZ, LM = XY, MN = YZ and LN = XZ and ∠MLN = ∠YXZ, ∠LNM = ∠XZY and ∠NML = ∠ZYX

Key words congruent corresponding sides corresponding angles different orientation

Tip

When an angle is described using three letters, the middle letter tells you the angle that is being discussed. So, the angle LMN is the angle at the vertex M. ∠ MLN is a mathematical way of writing ‘angle MLN’.

7 Hình và tính đối xứng của hình

7.3 Nhận biết các hình bằng nhau

Trong phần này, em sẽ…

• xác định các hình bằng nhau.

Dưới đây là hai tam giác vuông, LMN và XYZ.

L M N X Y Z

Em có thấy rằng các tam giác này giống hệt nhau về hình dạng và kích thước không?

Các hình giống hệt nhau về hình dạng và kích thước thì bằng nhau.

Cạnh LM có độ dài bằng với cạnh XY. Vì vậy, các cạnh LM và XY là các cạnh tương ứng.

Góc MLN có độ lớn bằng với góc YXZ.

Cho nên góc MLN và góc YXZ là các góc tương ứng.

Trong các hình bằng nhau, các cạnh tương ứng thì bằng nhau và các góc tương ứng cũng bằng nhau.

Trong các tam giác LMN và XYZ, LM = XY, MN = YZ và LN = XZ và ∠MLN = ∠YXZ, ∠LNM = ∠XZY và ∠NML = ∠ZYX

Từ khoá bằng nhau các cạnh tương ứng các góc tương ứng hướng khác nhau

Mách nhỏ

Khi một góc được mô tả bằng ba chữ cái, chữ cái ở giữa cho em biết về góc đang được nhắc đến. Vì vậy, góc LMN là góc tại đỉnh M. ∠MLN là cách viết của “góc MLN” trong toán học.

Answer

a C, E and G

Even though E and G are pointing in different directions to A, they are still identical in shape and size, so they are congruent to A. Shapes B, D, F and H are not congruent to A because B is shorter than A, D is longer than A, F has a longer arrow head than A, and H is wider than A. The two triangles are congruent but in a different orientation.

b i BC = 10.9 cm

JL = 5.1 cm

ii ∠BAC = 108

∠KLJ = 45 °

Exercise 7.3

BC and LK are corresponding sides, so BC = LK. JL and AB are corresponding sides, so JL = AB

∠BAC and ∠LJK are corresponding angles, so ∠BAC = ∠LJK.

∠KLJ and ∠CBA are corresponding angles, so ∠KLJ = ∠CBA.

1 Which of these triangles are congruent to triangle A? F H CB

2 Which of these shapes are congruent to shape A? BC

Tip

If you are not sure, use some tracing paper. Trace triangle A, then see which other triangles your tracing fits onto exactly. Remember you can rotate the tracing paper around or flip the tracing paper over.

3 Rectangle ABCD is congruent to rectangle EFGH E F H G A 3cm 8cm B D C

a Write down the length of the side EF

b Write down the length of the side FG

Lời giải

a C, E và G Mặc dù E và G đang chỉ về các hướng khác với A, nhưng chúng vẫn giống hệt nhau về hình dạng và kích thước, nên chúng bằng với A. Các hình B, D, F và H không bằng với A, bởi vì B ngắn hơn A, D dài hơn A, F có đầu mũi tên dài hơn A và H rộng hơn A. Hai tam giác bằng nhau nhưng đặt ở hướng khác nhau

b i BC = 10,9 cm

JL = 5,1 cm

ii ∠BAC = 108 °

∠KLJ = 45 °

BC và LK là các cạnh tương ứng, nên BC = LK.

JL và AB là các cạnh tương ứng, nên JL = AB.

∠BAC và ∠LJK là các góc tương ứng, nên ∠BAC = ∠LJK

∠KLJ và ∠CBA là các góc tương ứng, nên ∠KLJ = ∠CBA.

Nếu em không chắc chắn, hãy sử dụng giấy can. Kẻ lại tam giác A, rồi xem tam giác nào vừa khít với bản vẽ của em. Nhớ rằng em có thể quay hoặc lật ngược tờ giấy can tuỳ ý.

4 Triangle ABC is congruent to triangle DEF.

a Write down the length of the side: i AB ii BC iii DF

b Work out the size of ∠BAC.

c Write down the size of: i ∠EDF ii ∠DFE

d Copy and complete these sentences. The first one has been done for you.

i Side AB corresponds to side DE. ii Side BC corresponds to side .

iii Side AC corresponds to side iv ∠ABC corresponds to ∠

v ∠BAC corresponds to ∠  . vi ∠ACB corresponds to ∠  .

5 These two triangles are congruent.

b Write down the size of: i ∠UVW ii ∠UWV iii ∠YXZ .

a Write down the length of the side: i UW ii XZ iii YZ

6 Sofia

I think my two triangles are congruent.

Without knowing the lengths of any of the sides, how do you know that Sofia is incorrect?

4 Tam giác ABC bằng với tam giác

a Viết độ dài cạnh: AB ii BC iii DF

b Tính số đo ∠BAC

c Viết số đo: ∠EDF ii ∠DFE

d Viết lại và hoàn thành các câu sau. Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

i Cạnh AB tương ứng với cạnh DE. ii Cạnh BC tương ứng với cạnh

iii Cạnh AC tương ứng với cạnh

iv ∠ABC tương ứng với ∠

v ∠BAC tương ứng với ∠  ∠ACB tương ứng với ∠

Think like a mathematician

7 Sofia says:

In an equilateral triangle all the angles are 60 °. This means that all equilateral triangles must be congruent, as all the angles are the same size.

Is she correct? Discuss.

8 Sofia and Zara are looking at these two triangles. 7.1 cm 7.1 cm 9.5 cm 9.5 cm 5.3 cm 5.3 cm

Sofia says: Zara says:

I think these triangles are congruent because the corresponding sides are the same length.

You can’t tell if these triangles are congruent because you don’t know any of the angles.

Who is correct, Sofia or Zara? Explain your answer.

9 Arun is looking at the perimeters of congruent shapes.

Congruent shapes will always have the same perimeter.

a Is Arun correct? Explain your answer.

b What can you say in general about the areas of congruent shapes?

7 Hình và tính đối xứng của hình

Tư duy như một nhà Toán học

7 Sofia nói:

Trong một tam giác đều, tất cả các góc bằng 60o. Điều này có nghĩa là tất cả các tam giác đều phải bằng nhau, vì tất cả các góc có cùng độ lớn.

Bạn ấy nói có đúng không? Thảo luận.

8 Sofia và Zara đang xem xét hai tam giác sau. 7,1 cm cm 9,5 cm 9,5 cm 5,3 cm 5,3 cm

Sofia nói: Zara nói:

Tớ nghĩ rằng các tam giác này bằng nhau bởi vì các cạnh tương ứng đều bằng nhau.

Bạn không thể nói các tam giác này có bằng nhau hay không bởi vì bạn chưa biết bất kì góc nào.

Ai nói đúng, Sofia hay Zara? Giải thích đáp án của em.

9 Arun đang xem xét chu vi của các hình bằng nhau.

Các hình bằng nhau luôn có chu vi bằng nhau.

a Arun nói có đúng không? Giải thích đáp án của em.

b Em có nhận xét gì về diện tích của các hình bằng nhau nói chung?

10 Classify these shapes into groups. Describe the properties that characterise each of your groups. B C D cm 6 cm 3 cm 2 cm 4 cm P 5 cm cm cm cm 2 cm 3 cm cm 6 cm 5 cm 10 cm cm 12 cm 9 cm 15 cm 6 cm cm 3 cm 5 cm 3 cm 5 cm cm 2 cm cm cm

Summary checklist

I can identify congruent shapes.

7.4 3D shapes

In this section

• describe

Key words

front view side view top view visualise

You already know the names of some 3D shapes. Here are the 3D shapes you should know, as well as some 3D shapes that you might not have seen before. Sphere Cone triangular prism pyramid) pyramid

You must be able to identify and describe the properties of a 3D shape. For example, a cuboid has:

• six faces

• eight vertices

• twelve edges

• all angles are right angles.

Tip Remember that the vertices are the corners of a shape.

Equilateral prism prism

7 Hình và tính đối xứng của hình

7.4 Hình 3D

Trong phần này, em sẽ…

• xác định và mô tả các hình 3D

Các em đã biết tên của một số hình 3D.

Dưới đây là các hình 3D mà em nên biết, cũng như một số hình 3D có thể em chưa từng thấy trước đó.

Hình lập phương

Hình chóp có đáy là hình vuông Hình hộp chữ nhật

Hình tứ diện (Hình chóp tam giác)

Hình cầu Hình nón Hình trụHình bát diện đềuHình lăng trụ tam giác vuông

Hình lăng trụ tam giác đều

Hình lăng trụ ngũ giác Hình lăng trụ có đáy là hình thang

You must also be able to visualise and draw what a 3D shape looks like from different directions.

The top view is the view from above the shape. The front view is the view from the front of the shape. The side view is the view from the side of the shape. Example: Look at this cylinder.

front view side view top view

Tip

From above you will see a circle, but from the side and the front you will see a rectangle.

The top view can also be called the plan view or just plan. The side and front views can also be called the side and front elevations.

top viewfront viewside view

Worked example 7.5

a I have eight faces, where two of my faces are congruent regular hexagons and six of my faces are congruent rectangles. I have twelve vertices and eighteen edges. What shape am I?

b Draw the top view, front view and side view of the shape described in part a.

Answer

a hexagonal prism

Two of the faces are hexagons, so these faces must be the front and the back of the shape.

The other six faces are all rectangles, so they must join the front face to the back face.

A hexagon has six sides, so there will be six vertices at the front of the prism and six vertices at the back, giving a total of twelve vertices.

There will be six edges at the front of the prism, six edges at the back of the prism and six horizontal edges joining the front to the back, giving a total of eighteen edges.

7 Hình và tính đối xứng của hình

Em cũng cần phải biết cách hình dung và vẽ hình 3D từ nhiều hướng khác nhau.

Hình chiếu bằng là hình chiếu từ phía trên của hình.

Hình chiếu đứng là hình chiếu từ phía trước của hình.

Hình chiếu cạnh là hình chiếu từ mặt bên của hình.

Ví dụ: Cho hình trụ sau.

hình chiếu cạnh hình chiếu bằng

hình chiếu đứng

Mách nhỏ

Nhìn từ trên xuống, em sẽ thấy một hình tròn, nhưng nhìn từ bên cạnh và từ phía trước, em sẽ thấy một hình chữ nhật.

hình chiếu bằnghình chiếu đứnghình chiếu cạnh

Ví dụ minh hoạ 7.5

Hình chiếu bằng cũng có thể được gọi là hình chiếu mặt bằng hoặc chỉ là mặt bằng. Các hình chiếu cạnh và mặt chiếu đứng cũng có thể được gọi là mặt chiếu từ bên cạnh hoặc hình chiếu từ phía trước.

a Tôi có tám mặt, hai trong số các mặt là các lục giác đều bằng nhau và sáu mặt còn lại là các hình chữ nhật bằng nhau. Tôi có mười hai đỉnh và mười tám cạnh. Hỏi tôi là hình gì?

b Vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của hình được mô tả trong phần a.

Lời giải

a hình lăng trụ lục giác Hai trong các mặt là hình lục giác, nên các mặt này phải là mặt trước và mặt sau của hình.

Sáu mặt còn lại đều là hình chữ nhật, nên chúng phải nối mặt trước với mặt sau.

Một hình lục giác có sáu cạnh, nên sẽ có sáu đỉnh ở phía trước của hình trụ và sáu đỉnh ở phía sau, cho ra tổng cộng mười hai đỉnh.

Sẽ có sáu cạnh ở phía trước của hình lăng trụ, sáu cạnh ở phía sau của hình lăng trụ và sáu cạnh nằm ngang nối mặt trước với mặt sau, cho ra tổng cộng mười tám cạnh.

b top view

front view

side view

The sides of the hexagonal prism are all rectangles. When you look at the prism from the top, you will see one complete rectangle.

You will also see the rectangles that are on either side of the top one, but they will look smaller because they are at an angle to the top one.

Looking at the front of the shape you will see a hexagon.

When you look at the prism from the side, you will see two rectangles.

They will look smaller than their actual siz e because they are at an angle to the vertical.

Exercise 7.4

1 Match the properties (a to d) of each 3D shape with its name (A to D) and picture (i to iv). The first one has been done for you.

Properties Name of shape Picture of shape

a I have two faces that are congruent circles. I have one curved surface. I have two edges and no vertices.

b I have four faces. All of my faces are congruent equilateral triangles. I have six edges and four vertices.

c I have only one curved surface. I have no edges or vertices.

d I have seven faces. Two of my faces are congruent pentagons and the other faces are congruent rectangles. I have 15 edges and ten vertices.

7 Hình và tính đối xứng của hình

b hình chiếu bằng

Các cạnh của hình lăng trụ lục giác đều đều là hình chữ nhật.

Khi em nhìn hình lăng trụ từ phía trên, em sẽ thấy một hình chữ nhật đầy đủ.

Em cũng sẽ thấy các hình chữ nhật nằm ở cả hai bên của hình trên cùng, nhưng trông chúng sẽ nhỏ hơn, bởi vì chúng nằm ở một góc so với mặt bên trên. hình chiếu đứng

Nhìn vào mặt trước của hình, em sẽ thấy một hình lục giác.

Khi nhìn hình lăng trụ từ phía bên cạnh, em sẽ thấy hai hình hình chiếu cạnh chữ nhật.

Trông chúng sẽ nhỏ hơn kích thước thực sự, bởi vì chúng nằm ở một góc so với mặt thẳng đứng.

Bài tập 7.4

1 Nối các tính chất (từ a đến d) của mỗi hình 3D với tên của nó (từ A đến D) và với hình ảnh của nó (từ i đến iv). Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

Tính chất Tên hình Hình ảnh

a Tôi có hai mặt là các hình tròn bằng nhau. Tôi có một mặt cong. Tôi có hai cạnh và không có đỉnh.

b Tôi có bốn mặt. Tất cả các mặt đều là các tam giác đều bằng nhau. Tôi có sáu cạnh và bốn đỉnh.

c Tôi chỉ có một mặt cong. Tôi không có cạnh, cũng không có đỉnh.

d Tôi có bảy mặt. Hai trong số các mặt là các ngũ giác bằng nhau và các mặt còn lại là các hình chữ nhật bằng nhau. Tôi có 15 cạnh và mười đỉnh.

A hình tứ diện i

B hình lăng trụ ngũ giác đều

C hình trụ

D hình cầu

2 Write down the properties that characterise a cube. You must include information about the faces, edges and vertices.

Activity 7.2

a Choose a 3D shape. On a piece of paper write down the properties of that shape.

b Swap your piece of paper with a partner’s shape. Try to work out what shape they are describing.

c Check each other’s answers. If either of you couldn’t work out the shape your partner was describing, then discuss what information was either incorrect or missing.

4 For each of the shapes given, work through this classification flow chart. Write down the letter you get at the end for each shape.

Two edges? Eight triangle faces? Start Any curved surface?Yes No No IH G K L NoNo NoYes Yes Yes YesOne at face? Six vertices?

a hexagonal prism b cone c triangular prism d sphere e octahedron cylinder

5 Marcus makes a table that shows the number of faces, vertices and edges of different prisms. This is what he has done so far.

7 Hình và tính đối xứng của hình

2 Viết các tính chất đặc trưng của một hình lập phương.

Em cần phải nêu thông tin về các mặt, các cạnh và các đỉnh.

Hoạt động 7.2

a Chọn một hình 3D. Trên một mảnh giấy, viết ra các tính chất của hình đó.

b Đổi giấy của em với hình của một bạn khác. Cố gắng tìm ra hình mà bạn đó đang mô tả.

c Kiểm tra đáp án của nhau. Nếu một trong hai em không thể tìm ra hình mà bạn mình đang mô tả, thì hãy thảo luận xem có thông tin nào không chính xác hoặc còn thiếu hay không.

4 Với mỗi hình được cho dưới đây, xét qua lưu đồ phân loại sau.

Viết các chữ cái em nhận được ở cuối mỗi hình.

Có Không

Có mặt cong không?

Hai cạnh (đường mép)? Tám mặt tam giác? Bắt đầu

J IH G K L KhôngKhông KhôngCó Có Có CóMột mặt phẳng? Sáu đỉnh? a hình lăng trụ lục giác b   hình

Không

7 Shapes and symmetry

a Copy and complete the table.

b Marcus says:

A triangle has three sides. A triangular prism has five faces, so the number of faces is two more than the number of sides of the original shape.

Is this true for every prism? Explain your answer.

c i Look back at the table. Compare the number of sides of the original shapes with the number of vertices of the prisms. What do you notice?

ii Write down a general rule that connects the number of sides of the original shapes with the number of vertices of the prisms.

d i Look back at the table. Compare the number of sides of the original shapes with the number of edges of the prisms. What do you notice?

ii Write down a general rule that connects the number of sides of the original shapes with the number of edges of the prisms.

e Use your answer to part d to complete this statement. The number of edges of a prism is always a multiple of _________.

7 The table shows view of some 3D shapes. The names the

7 Hình và tính đối xứng của hình

a Viết lại và hoàn thành bảng trên.

b Marcus nói:

Một tam giác có ba cạnh. Một hình lăng trụ tam giác có năm mặt, nên số mặt sẽ nhiều hơn hai so với số cạnh của hình gốc.

Điều này có đúng với mọi hình lăng trụ không? Giải thích đáp án của em.

c i Quan sát lại bảng. So sánh số cạnh của các hình gốc với số đỉnh của các hình lăng trụ.

Em có nhận xét gì?

ii Viết quy tắc tổng quát liên hệ giữa số cạnh của các hình gốc với số đỉnh của các hình lăng trụ.

d i Quan sát lại bảng. So sánh số cạnh của các hình gốc với số cạnh của các hình lăng trụ.

Em có nhận xét gì?

ii Viết quy tắc tổng quát liên hệ giữa số cạnh của các hình gốc với số cạnh của các hình lăng trụ.

e Sử dụng kết quả ở phần d của em để hoàn thành phát biểu sau.

Số cạnh của một hình lăng trụ luôn luôn là bội của _________.

Tư

6 Thảo luận với một bạn khác hoặc theo nhóm quy tắc em tìm được trong các phần c và d của Câu hỏi 5.

Em có thể giải thích cách các quy tắc này hoạt động không? Các quy tắc này có đúng với mọi hình lăng trụ không? Giải thích lí do. Làm thế nào em có thể viết các quy tắc này dưới dạng công thức đại số?

7 Bảng sau cho biết hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một số hình 3D. Tên của các hình 3D đang bị thiếu. hình 3D Hình chiếu bằng Hình chiếu đứng Hình chiếu cạnh

Name of 3D shape Top view

Front view Side view

Write the missing names of the 3D shapes.

8 Draw the top view, front view and side view of a right-angled triangular prism.

Think like a mathematician

9 What 3D shapes have the same top view, front view and side view?

10 These diagrams show the top view of three prisms. A B C

Match each diagram with the correct name of the prism given in the coloured box. Explain how you worked out your answer.

11 Emily is drawing 3D shapes on isometric paper. This is the first shape she draws. top front side

a Write down which of these is the front view, side view and top view. i ii iii

hexagonal prism pentagonal prism octagonal prism

7 Hình và tính đối xứng của hình

Tên hình 3D Hình chiếu bằng Hình chiếu đứng Hình chiếu cạnh Viết tên các hình 3D còn thiếu.

8 Vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một hình lăng trụ tam giác vuông.

Tư duy như một nhà Toán học

9 Hình 3D nào có hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh giống hệt nhau?

10 Các hình vẽ sau cho biết hình chiếu bằng của ba hình lăng trụ. A B C

Nối mỗi hình vẽ với tên hình lăng trụ tương ứng của nó được cho trong các ô màu sau.

Giải thích cách em tìm ra câu trả lời.

hình lăng trụ lục giác hình lăng trụ ngũ giác hình lăng trụ bát giác

11 Emily đang vẽ các hình 3D trên giấy isometric.

Đây là hình đầu tiên bạn ấy vẽ. phía trên

phía trước bên cạnh

a Viết ra xem mặt nào trong những mặt sau là hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng. ii iii

b Draw the front view, side view and top view for each of the shapes i to iv. The arrows show the direction that you must look at the shape for the front view (F), side view (S) and top view (T). T S ii T iii T S iv T S

Check your progress

1 a Write down the number of lines of symmetry for each of these shapes. Write down the order of rotational symmetry for each of these shapes. ii iii iv

2 Copy and complete the pattern so that the dashed lines are lines of symmetry.

3 The diagram shows a regular heptagon. Copy and complete the properties that characterise a regular heptagon. A regular heptagon has:

• sides the same length

• angles the same size

• lines of symmetry

• rotational symmetry of order

4 Triangle ABC is congruent to triangle DEF

a Write down the length of side AC Write down the size Work out the size of BAC

5 a Write down the properties that characterise a square-based pyramid. You must include information about the faces, edges and vertices.

b Draw the top view, front view and side view of a squarebased pyramid.

Getting started

1

a What is a questionnaire?

b Why would you use a questionnaire?

2 You are planning an investigation of the vehicles using a road.

a List four statistical questions you could ask.

b List a prediction you could make for each question.

3 Here are two predictions:

• 12-year-old boys are heavier than 12-year-old girls.

• 12-year-old boys are taller than 12-year-old girls.

a How could you collect data to test this prediction?

b How would you analyse the data?

4 Here are 20 test marks.

7 8 8 9 12 14 14 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 18 20

a Which mark is the mode?

b Which mark is the median?

c The sum of the marks is 290. Work out the mean mark. Collecting data

Look at the following three situations.

1. People use a website to make hotel reservations online. The company that manages the website wants to know if people find the site easy to use. The company also wants feedback on the quality of the hotels.

2. A drug company is testing a new drug to help people sleep. There are already drugs available for this. The company wants to know whether people think the new drug is better than existing drugs.

Bắt đầu nào!

1 a Bảng câu hỏi là gì?

b Tại sao em sử dụng bảng câu hỏi?

2 Em đang lên kế hoạch khảo sát về các phương tiện giao thông đường bộ.

a Liệt kê bốn câu hỏi thống kê mà em có thể sử dụng.

b Nêu một dự đoán của em cho mỗi câu hỏi.

3 Dưới đây là hai dự đoán:

• Các bạn nam 12 tuổi nặng hơn các bạn nữ 12 tuổi.

• Các bạn nam 12 tuổi cao hơn các bạn nữ 12 tuổi.

a Em có thể thu thập dữ liệu để kiểm tra dự đoán này như thế nào?

b Em phân tích các dữ liệu như thế nào?

4 Dưới đây là 20 điểm số của một bài kiểm tra.

7 8 8 9 12 14 14 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 18 20

a Điểm số nào là mốt?

b Điểm số nào là trung vị?

c Tổng các điểm là 290. Tính điểm trung bình cộng.

Thu thập dữ liệu Đọc ba tình huống sau.

1. Mọi người sử dụng một trang web để đặt phòng khách sạn theo hình thức trực tuyến. Công ty quản lí trang web muốn biết xem liệu mọi người có thấy trang web này dễ sử dụng hay không. Công ty cũng muốn nhận được phản hồi về chất lượng của các khách sạn.

2. Một công ty dược phẩm đang thử nghiệm một loại thuốc ngủ mới. Công ty đã có sẵn các loại thuốc cho việc này. Họ muốn biết liệu người dùng có đánh giá loại thuốc mới tốt hơn các loại thuốc hiện có hay không.

3. Teachers think that drivers are exceeding the speed limit

when they drive past a school. This is dangerous for the learners. The teachers want to find out if the drivers are speeding.

In all three cases you need to collect data. You can collect data in different ways.

In the first case, the company could use an online questionnaire.

In the second case, the drug company could interview people using the new drug and ask them about their experience.

In the third case, the teachers could record the speeds of cars as they drive past the school.

In all three cases you have statistical questions. You collect data to answer the questions.

You need to decide:

• what sort of data you want to collect

• how you will collect the data.

8.1 Conducting an investigation

In this section you will …

• learn how to collect data to investigate statistical questions.

Look at these examples of statistical questions.

1 How many brothers do the learners in your class have?

2 What is the average mass of a baby born in your country?

3 What sports do learners in your school like to watch?

To answer a statistical question you need to collect data.

There are different types of data. The number of brothers you have, the mass of a baby and a sport you watch are all examples of different types of data.

The type of data needed to answer Question 1 is discrete data.

The values can be only 0, 1, 2, … Discrete data can take particular values only.

Key words continuous data categorical data data discrete data prediction statistical question

8 Thu thập dữ liệu

3. Các giáo viên cho rằng nhiều tài xế đang chạy quá tốc độ cho phép khi họ lái xe ngang qua một trường học, gây nguy hiểm cho học sinh. Các giáo viên muốn tìm hiểu tốc độ lái xe của các tài xế.

Trong cả ba trường hợp, các em cần thu thập dữ liệu. Dữ liệu có thể được thu thập bằng nhiều cách khác nhau.

Trong trường hợp đầu tiên, có thể sử dụng bảng câu hỏi trực tuyến.

Trong trường hợp thứ hai, công ty dược phẩm có thể phỏng vấn những người sử dụng thuốc mới và hỏi về trải nghiệm của họ.

Trong trường hợp thứ ba, các giáo viên có thể ghi lại tốc độ của các xe ô tô khi đi ngang qua trường học.

Trong cả ba trường hợp đều cần có câu hỏi thống kê và thu thập dữ liệu để trả lời các câu hỏi đó.

Em cần quyết định:

• loại dữ liệu muốn thu thập

• cách thu thập dữ liệu.

Trong phần này, em sẽ…

• học cách thu thập dữ liệu để khảo sát các câu hỏi thống kê.

Nhìn vào các ví dụ về câu hỏi thống kê như sau.

1 Các học sinh trong lớp có bao nhiêu anh em trai?

2 Cân nặng trung bình của một em bé sơ sinh ở đất nước của các em là bao nhiêu?

3 Môn thể thao mà học sinh trong trường em thích xem nhất là gì?

Để trả lời một câu hỏi thống kê, em cần thu thập dữ liệu.

Có nhiều loại dữ liệu khác nhau. Số anh em trai của các em, cân nặng của một em bé và môn thể thao các em xem là tất cả những ví dụ về các loại dữ liệu khác nhau.

Loại dữ liệu cần để trả lời Câu hỏi 1 là dữ liệu rời rạc.

Các giá trị có thể chỉ là 0, 1, 2,… Dữ liệu rời rạc chỉ có thể nhận các giá trị cụ thể.

Từ khoá dữ liệu liên tục dữ liệu phân loại dữ liệu dữ liệu rời rạc dự đoán câu hỏi thống kê

The type of data needed to answer Question 2 is continuous data. Masses, lengths and times are all examples of continuous data. They are measurements. They are numbers that can take any value.

The type of data needed to answer Question 3 is categorical data. The data are words, not numbers.

There are several ways to collect data. You can:

• use a questionnaire

• carry out measurements

• make observations

• interview people.

Worked example 8.1

Explain what method you would use to collect data to test each of these predictions. For each case, describe what type of data it is.

a 11-year-old girls can run a distance of 50 metres faster than 11-year-old boys.

b Most teachers in my school wear glasses.

c Plants in the sun grow taller than plants in the shade.

Answer

a Choose some girls and boys to run 50 metres and time each one. This is continuous data.

b Observe each teacher. You can also interview the teachers to ask if they wear glasses for some activities, such as driving or reading. This is categorical data.

c You could do an experiment. Plant some seeds in the sun and plant some of the same type of seeds in the shade. When they grow, measure the height of each plant. This is continuous data.

Exercise 8.1

1 discrete continuous categorical

Choose the correct word to describe the following. a the mass of a book b the colour of a book c the number of pages in a book

2 Here are some facts about a person. Write down the type of data for each fact.

a age, in years b shoe siz e c height d time taken to travel to school e favourite subject

Loại dữ liệu cần để trả lời Câu hỏi 2 là dữ liệu liên tục. Cân nặng, độ dài và số lần là tất cả những ví dụ về dữ liệu liên tục. Chúng là các kích thước và là các số có thể nhận bất kì giá trị nào.

Loại dữ liệu cần để trả lời Câu hỏi 3 là dữ liệu phân loại. Dữ liệu là lời văn không phải số.

Có nhiều cách để thu thập dữ liệu. Các em có thể:

• sử dụng bảng câu hỏi

• tiến hành đo đạc

• tiến hành quan sát

• phỏng vấn.

Ví dụ minh hoạ 8.1

Giải thích phương pháp em sử dụng cho việc thu thập dữ liệu để kiểm tra từng dự đoán sau. Với mỗi trường hợp, hãy mô tả loại dữ liệu thu được.

a Các bạn nữ 11 tuổi có thể chạy cự li 50 mét nhanh hơn các bạn nam 11 tuổi.

b Hầu hết giáo viên trong trường đều đeo kính.

c Cây ở ngoài nắng mọc cao hơn cây trong bóng râm.

Lời giải

a Chọn một vài bạn nữ và bạn nam để chạy 50 mét và bấm thời gian chạy của mỗi người. Đây là dữ liệu liên tục.

b Quan sát từng giáo viên. Em cũng có thể phỏng vấn các giáo viên để hỏi xem liệu thầy cô có đeo kính cho một số hoạt động, chẳng hạn như lái xe hoặc đọc sách, hay không. Đây là dữ liệu phân loại.

c Em có thể làm một thí nghiệm. Gieo một số hạt giống dưới ánh nắng mặt trời và gieo một số hạt giống cùng loại trong bóng râm. Khi chúng phát triển, hãy đo chiều cao của từng cây. Đây là dữ liệu liên tục.

Bài tập 8.1

1 rời rạc liên tục phân loại Chọn từ đúng để mô tả các đối tượng sau. a khối lượng của một quyển sách b màu sắc của một quyển sách c số trang trong một quyển sách

2 Dưới đây là một vài thông tin về một người. Viết loại dữ liệu cho mỗi thông tin. a tuổi, tính bằng năm b cỡ giày c chiều cao d thời gian cần để đi đến trường e môn học yêu thích

3 Liling is comparing different models of cars. She is collecting data about cars. Give some examples of data about cars that are: a categorical data b discrete data

c continuous data

4 Here is a question from a questionnaire. The questionnaire is given to people who stayed at a hotel.

How clean was your room? Circle one number. 1 2 3 4 5

a What is missing from the question?

This table shows some people’s replies to this question.

Score 1 2 3 4 5

Frequency 2 4 9 17 21

b How many people replied?

c What was the modal score?

5 Here is a question from a questionnaire.

How many hours of homework do you do? Tick one box. Between 1 and 2 hours Between 2 and 3 hours More than 3 hours

a Write down two things that are wrong with this question.

b Write a better question.

6 You are investigating what people of your age do in their leisure time.

a List some activities that you think should be included.

b Write four questions you would ask in your investigation. Each question should have several tick boxes to choose from that show the possible answers.

c Ask your questions to a partner. Use their replies to help you decide whether you can improve your questions.

7 Work in pairs for this question.

A teacher asks learners to estimate the number of sweets in a jar. She makes two predictions:

• The estimates of the boys will be too big.

• The estimates of the girls will be too small.

a Explain how the teacher can test her predictions.

i What type of data will the teacher need to collect?

ii How can she collect the data?

iii How can she analyse the data?

8 Thu thập dữ liệu

3 Liling đang so sánh các mô hình xe ô tô khác nhau. Bạn ấy đang thu thập dữ liệu về ô tô. Nêu một số ví dụ cho dữ liệu về ô tô là:

a dữ liệu phân loại b dữ liệu rời rạc c dữ liệu liên tục

4 Đây là câu hỏi từ một bảng câu hỏi. Mọi người nhận được bảng câu hỏi này khi lưu trú tại một khách sạn.

Phòng của bạn sạch sẽ như thế nào? Khoanh tròn một số. 1 2 3 4 5

a Câu hỏi còn thiếu thông tin gì?

Bảng dưới đây cho biết câu trả lời của một số người đã lưu trú tại khách sạn.

Điểm 1 2 3 4 5

Tần số 2 4 9 17 21

b Có bao nhiêu người đã trả lời câu hỏi?

c Điểm số nào là mốt của bảng dữ liệu trên?

5 Đây là câu hỏi từ một bảng câu hỏi.

Em đã làm bài tập về nhà trong bao nhiêu giờ? Đánh dấu () vào một ô.

Từ 1 đến 2 giờ Từ 2 đến 3 giờ

Hơn 3 giờ

a Chỉ ra hai lỗi trong câu hỏi.

b Viết một câu hỏi phù hợp hơn, khắc phục những lỗi đó.

6 Em đang khảo sát xem những bạn bằng tuổi làm gì vào thời gian rảnh rỗi của họ.

a Liệt kê một số hoạt động để gợi ý cho người tham gia.

b Viết bốn câu hỏi cho bản khảo sát của mình.

Mỗi câu hỏi cần có một số ô đánh dấu () để lựa chọn từ các câu trả lời khả thi.

c Đặt các câu hỏi của em cho một bạn khác. Sử dụng các câu trả lời của bạn đó

để cân nhắc xem liệu em có cần cải tiến các câu hỏi của mình hay không.

7 Làm việc theo cặp cho câu hỏi này.

Một giáo viên yêu cầu học sinh ước lượng số viên kẹo có trong một chiếc lọ. Cô giáo ấy đưa ra hai dự đoán:

• Ước lượng của các bạn nam sẽ quá lớn.

• Ước lượng của các bạn nữ sẽ quá nhỏ.

a Giải thích cách cô giáo có thể kiểm tra các dự đoán của mình.

i Loại dữ liệu mà cô giáo sẽ cần phải thu thập là gì?

ii Cô giáo có thể thu thập dữ liệu bằng cách nào?

iii Cô giáo có thể phân tích dữ liệu như thế nào?

b Compare your answers to part a with the answers of another pair in your class. Can your answer be improved?

8 Adekunle is investigating the number of emails people receive at work. He makes the prediction:

• People get more emails on Mondays than on Fridays.

a How can Adekunle collect data to test his prediction?

b How can he analyse the results?

9 Sofia and Zara throw two dice and add the scores to get the total. Sofia makes this prediction: Zara makes this prediction:

7 is the most likely total.

All totals are equally likely.

They throw the two dice 100 times. Their results are shown in the table. 10 9 10 11 9 5 10

a Explain why this is not a good way to record the results.

b Show the frequencies for each number in a suitable table.

c Show the results in a bar chart.

d Is Sofia’s prediction correct? Give a reason for your answer.

e Is Zara’s prediction correct? Give a reason for your answer.

8 Thu thập dữ liệu

b So sánh các câu trả lời ở phần a của các em với các câu trả lời của một cặp khác trong lớp. Các em có thể cải thiện câu trả lời của mình không?

8 Adekunle đang khảo sát số lượng email mọi người nhận được tại nơi làm việc. Bạn ấy đưa ra dự đoán:

• Mọi người sẽ nhận được nhiều email vào thứ Hai hơn thứ Sáu.

a Adekunle thu thập dữ liệu để kiểm tra dự đoán của bạn ấy như thế nào?

b Bạn ấy có thể phân tích kết quả như thế nào?

9 Sofia và Zara gieo hai viên xúc xắc và cộng số chấm để thu được bạn hiện trong bảng sau.

7 là tổng có khả năng thu được cao nhất.

a Giải thích tại sao cách này không phù hợp để ghi chép kết quả.

b Biểu diễn tần số của mỗi tổng thu được trong một bảng thích hợp.

c Biểu diễn kết quả bằng biểu đồ cột.

d Dự đoán của Sofia có đúng không? Nêu lí do cho câu trả lời của em.

e Dự đoán của Zara có đúng không? Nêu lí do cho câu trả lời của em. Tất cả các tổng đều có khả năng thu được là như nhau.

Think like a mathematician

10 Work in pairs for this question.

A healthy diet includes fruit and vegetables.

Do people your age eat enough fruit and vegetables?

You are going to collect data to investigate this question.

a Write down three predictions to test.

b Explain how you can collect data to test your predictions.

c Describe how you can analyse your data.

d Compare your answers to parts a, b and c with the answers of another pair in your class. Can you improve your answers?

Summary checklist

I know the difference between discrete, continuous and categorical data.

I can plan an investigation to answer a statistical question.

I can decide what data I need to collect.

8.2 Taking a sample

In this section you will …

• learn about taking a sample

Here is a prediction: Newborn baby boys are heavier than newborn baby girls.

How could you investigate whether this prediction is true?

It would be very difficult to find the masses of all the babies born. You could find the masses of some of the babies born. This would be a sample of the whole population.

The population, in this case, is all newborn babies. The sample is the group of babies you choose.

Key words population sample sample size

• learn about the effect of sample size.

8 Thu thập dữ liệu

Tư duy như một nhà Toán học

10 Làm việc theo cặp để trả lời câu hỏi sau.

Một chế độ ăn uống lành mạnh bao gồm trái cây và rau quả.

Các bạn bằng tuổi các em có ăn đủ trái cây và rau quả không?

Các em sẽ thu thập dữ liệu để khảo sát câu hỏi này.

a Viết ba dự đoán để kiểm tra.

b Giải thích cách các em thu thập dữ liệu để kiểm tra các dự đoán.

c Mô tả cách các em phân tích dữ liệu.

d So sánh câu trả lời cho các phần a, b và c của các em với câu trả lời của một cặp khác trong lớp. Các em có thể cải tiến câu trả lời của mình không?

Bảng

Em biết cỡ mẫu.

Cho dự đoán sau: Bé trai sơ sinh nặng hơn bé gái sơ sinh.

Làm thế nào để em có thể khảo sát xem dự đoán này có đúng không ?

Sẽ rất khó để tìm cân nặng của tất cả các em bé sơ sinh. Em có thể tìm cân nặng của một vài em bé. Đây sẽ là một mẫu của toàn bộ tổng thể.

Trong trường hợp này, tổng thể là tất cả các em bé sơ sinh.

Mẫu là nhóm các em bé được chọn.

If you can, it is best to get information from the whole population. However, this may take too long or cost too much. In such cases, you can choose a sample. The sample should not be too small or it will not represent the whole population.

In Worked example 8.2 you will see different ways to choose a sample.

Worked example 8.2

Arun is investigating how long learners in his school can hold their breath. He makes a prediction:

Boys can hold their breath longer than girls.

a What is the population in this investigation?

Arun decides to select a sample of learners.

b Why do you think he uses a sample instead of the whole school?

c Explain the different ways he can choose the sample.

d What data must Arun collect?

e How can he analyse the results?

Answer

a The population is all the learners in the school.

b Testing the whole school would take a long time and may not be practical.

c Arun could, for example:

• Put names in a hat and select 40 learners.

• Choose the names from the list of learners in each class.

• Select one or two classes and test all the learners.

d Arun must ask each learner to hold their breath and time it. He must also record whether each learner is a boy or a girl.

e Arun can analyse the boys’ data and girls’ data separately. He can draw a chart and find an average for the boys’ data and an average for the girls’ data. He can then compare the averages.

Nếu có thể, tốt nhất em nên lấy thông tin từ toàn bộ tổng thể. Tuy nhiên, điều này có thể mất quá nhiều thời gian hoặc tốn quá nhiều chi phí. Trong những trường hợp như vậy, em có thể chọn một mẫu. Để đảm bảo tính đại diện cho toàn bộ tổng thể, mẫu này không được quá nhỏ. Trong Ví dụ minh hoạ 8.2, em sẽ thấy được những cách khác nhau để chọn mẫu.

Ví dụ minh hoạ 8.2

Arun đang khảo sát các học sinh trong trường của bạn ấy có thể nín thở được bao lâu.

Bạn ấy đưa ra một dự đoán:

Các bạn nam có thể nín thở được lâu hơn các bạn nữ.

a Tổng thể trong cuộc khảo sát này là gì?

Arun quyết định chọn một mẫu các học sinh.

b Theo em, tại sao bạn ấy chọn một mẫu thay vì toàn trường?

c Giải thích những cách khác nhau mà bạn ấy có thể chọn mẫu.

d Arun phải thu thập dữ liệu gì?

e Bạn ấy phân tích kết quả như thế nào?

Lời giải

a Tổng thể là tất cả các học sinh ở trong trường.

b Kiểm tra toàn trường sẽ mất rất nhiều thời gian và có thể sẽ không có tính thực tế.

c Ví dụ, Arun có thể:

• Đặt tên của các học sinh vào trong một cái mũ và chọn ra 40 bạn.

• Chọn tên từ danh sách học sinh của mỗi lớp.

• Chọn một hoặc hai lớp và kiểm tra tất cả các học sinh trong lớp đó.

d Arun phải yêu cầu mỗi học sinh nín thở và tính thời gian. Bạn ấy cũng phải ghi lại xem từng bạn một là nam hay nữ.

e Arun có thể phân tích dữ liệu của các bạn nam và dữ liệu của các bạn nữ một cách độc lập. Bạn ấy có thể vẽ một biểu đồ và tìm số trung bình cho dữ liệu của các bạn nam và số trung bình cho dữ liệu của các bạn nữ. Sau đó, bạn ấy có thể so sánh các số trung bình đó.

Exercise 8.2

1 Wei is investigating at her school how many hours of homework the learners in her year do each evening.

She predicts that most learners do more than 2 hours each evening.

a How can she collect data to test this prediction?

Wei decides to question a sample of learners.

b Give a reason why it is easier to use a sample than the whole year group.

c What data does she need to collect?

Here are the results of a question given to 25 learners.

How many hours of homework did you do last night?

Homework Less than 1 hour Between 1 and 2 hours Between 2 and 3 hours More than 3 hours

Frequency 3 6 11 5

d Show the results in a suitable chart.

e What can you say about Wei’s prediction?

2 Sofia is investigating birthdays of young people.

She predicts that birthdays in autumn are more common than birthdays in other seasons.

a Why is it not possible to collect data from the whole population?

Sofia decides to use the learners in her school as a sample.

b What data does she need? How can she collect the data?

c She starts to write down the birthday month of each learner in a list like this:

March, October, December, April, … Explain why this is not a good way to record the data. Suggest a better way.

Sofia displays her results in a table, as shown.

Season Spring Summer Autumn Winter

Frequency 200 170 230 220

d What is the size of the sample?

e What can you say about Sofia’s prediction?

8 Thu thập dữ liệu

Bài tập 8.2

1 Wei đang khảo sát số giờ làm bài tập mỗi tối của các bạn học sinh cùng khoá tại trường của bạn ấy.

Bạn ấy dự đoán rằng hầu hết các học sinh làm bài tập nhiều hơn 2 giờ vào mỗi tối.

a Làm thế nào bạn ấy có thể thu thập dữ liệu để kiểm tra dự đoán này?

Wei quyết định đặt câu hỏi cho một mẫu học sinh.

b Nêu lí do tại sao sử dụng một mẫu sẽ dễ dàng hơn toàn khoá.

c Bạn ấy cần thu thập dữ liệu gì?

Dưới đây là kết quả của 25 học sinh được khảo sát.

d Biểu diễn kết quả bằng một biểu đồ phù hợp.

e Em có nhận xét gì về dự đoán của Wei?

2 Sofia đang khảo sát ngày sinh nhật của các thanh thiếu niên.

Bạn ấy dự đoán rằng sinh nhật vào mùa thu phổ biến hơn sinh nhật vào các mùa khác.

a Tại sao không thể thu thập dữ liệu từ toàn bộ tổng thể?

Sofia quyết định chọn học sinh trong trường của bạn ấy làm mẫu.

b Bạn ấy cần dữ liệu gì? Bạn ấy có thể thu thập dữ liệu bằng cách nào?

c Bạn ấy bắt đầu viết tháng sinh nhật của các học sinh theo một danh sách như sau:

Tháng Ba, tháng Mười, tháng Mười hai, tháng Tư, … Giải thích tại sao đây không phải là cách thực sự tốt để ghi chép dữ liệu.

Gợi ý một cách làm tốt hơn. Sofia biểu diễn kết quả vào một

3 A company investigates the success of a telephone helpline.

A survey of callers using the telephone helpline are asked the question:

Was the service you received helpful? Please circle one number.

Not helpful at all 1 2 3 4 5 Very helpful

a What prediction is this question testing?

b What is an advantage of asking the question in this way?

c The population is all the callers who use the helpline. Why will the survey only be a sample?

The table summarises the scores received in one day.

Score 1 2 3 4 5

Frequency 10 12 6 1 8

d What can you say about your prediction in part a? Give a reason for your answer.

4 Dakarai is comparing two books: A and B.

He predicts that book A has longer words than book B.

a What are the two populations here?

Dakarai decides to choose a page from each book as a sample. He will count the length of every word on the page.

b How could he choose the page each time?

c Describe how he can collect the data.

d Describe a chart he can use to display the data.

e Dakarai wants to find the average length of the words on each page. What is the best average to use? Give a reason for your answer.

f How can he use the average to see if his prediction is correct?

g Do you think the sample is large enough to be sure that he has the correct answer to his prediction?

5 Suki has a dice. She predicts that the dice is not fair.

To test her prediction Suki throws the dice 20 times. Here are the results.

Score 1 2 3 4 5 6

Frequency 4 3 1 4 5 3

3 Một công ty khảo sát về sự thành công của đường dây hỗ trợ qua điện thoại.

Trong cuộc khảo sát những người gọi tới đường dây này được đặt câu hỏi như sau:

Dịch vụ bạn nhận được có hữu ích không? Xin hãy khoanh tròn một số. Không hữu ích chút nào 1 2 3 4 5 Rất hữu ích

a Câu hỏi này kiểm tra dự đoán nào?

b Ưu điểm của việc hỏi theo cách này là gì?

c Tổng thể là tất cả những người sử dụng đường dây hỗ trợ qua điện thoại. Tại sao cuộc khảo sát sẽ chỉ là một mẫu?

Bảng dưới đây tổng hợp các điểm nhận được trong một ngày.

Điểm 1 2 3 4 5 Tần số 10 12 6 1 8

d Em có nhận xét gì về dự đoán của em ở phần a? Nêu lí do cho câu trả lời của em.

4 Dakarai đang so sánh hai quyển sách: A và B.

Bạn ấy dự đoán rằng quyển A có các chữ dài hơn quyển B.

a Hai tổng thể khảo sát ở đây là gì?

Dakarai quyết định chọn một trang từ mỗi quyển sách làm một mẫu.

Bạn ấy sẽ đếm độ dài của mỗi chữ ở các trang.

b Bạn ấy có thể chọn trang trong mỗi lần như thế nào?

c Mô tả cách bạn ấy thu thập dữ liệu.

d Mô tả biểu đồ bạn ấy có thể sử dụng để biểu diễn dữ liệu.

e Dakarai muốn tìm độ dài trung bình của các chữ trong mỗi trang. Sử dụng loại trung bình nào là tốt nhất? Nêu lí do cho câu trả lời của em.

f Bạn ấy có thể sử dụng số trung bình như thế nào để xem dự đoán của mình có chính xác hay không?

g Theo em, mẫu này có đủ lớn để bạn ấy chắc chắn có đáp án chính xác cho dự đoán của mình không?

5 Suki có một viên xúc xắc. Bạn ấy dự đoán viên xúc xắc này không cân đối.

Để kiểm tra dự đoán của mình, Suki gieo xúc xắc 20 lần. Đây là kết quả.

Điểm

8 Thu thập dữ liệu

a What can you say about Suki’s prediction?

Suki decides to throw the dice 100 times. Here are the results.

Score 1 2 3 4 5 6

Frequency 17 19 16 14 11 23

b What can you say about Suki’s prediction now? Suki goes on to throw the dice 500 times. Here are the results.

Score 1 2 3 4 5 6

Frequency 93 92 83 74 48 110

c Do these results confirm your conclusion in part b? Give a reason for your answer.

d Is there any benefit in Suki doing more trials? Give a reason for your answer.

6 You may choose to work with a partner on this question. Hospital management wants to know what patients think of the emergency service provided by the hospital. The management decides to employ a company to carry out a survey of patients.

a Why is a large sample better than a small sample?

b What are the disadvantages of a large sample size?

c Write two survey questions you could ask patients about the amount of time they waited before they were treated.

d For each question, describe how you would analyse the answers.

e Compare your questions with other learners’ questions. Can you suggest improvements to your questions or their questions?

Think like a mathematician

7 Work on this question in a group.

The staff at a theatre want to know more about their customers. They want to know:

• how frequently customers come to the theatre

• if the theatre is attracting people of different ages

• what customers enjoy about the theatre

• how the staff could improve their service.

a Write down two predictions you could test.

The staff ask you to write a short questionnaire. The questionnaire must be easy for people to complete. The staff also want you to analyse the results.

b How could you contact people to complete the questionnaire?

c Write three suitable questions.

d Describe how you will analyse the results.

a Em có nhận xét gì về dự đoán của Suki?

Suki quyết định gieo xúc xắc 100 lần. Đây là kết quả.

Điểm 1 2 3 4 5 6

Tần số 17 19 16 14 11 23

b Bây giờ, em có nhận xét gì về dự đoán của Suki?

Suki tiếp tục tung xúc xắc 500 lần. Đây là kết quả.

Điểm 1 2 3 4 5 6 Tần số 93 92 83 74 48 110

c Các kết quả này có củng cố cho kết luận của em ở phần b không? Nêu lí do cho câu trả lời của em.

d Có lợi ích gì khi Suki thực hiện nhiều phép thử hơn không?

Nêu lí do cho câu trả lời của em.

6 Em có thể chọn làm câu hỏi này cùng một bạn khác.

Ban giám đốc bệnh viện muốn biết các bệnh nhân nghĩ gì về dịch vụ cấp cứu do bệnh viện cung cấp. Họ quyết định thuê một công ty để thực hiện một cuộc khảo sát các bệnh nhân.

a Tại sao mẫu lớn tốt hơn mẫu nhỏ?

b Nhược điểm của cỡ mẫu lớn là gì?

c Viết hai câu hỏi khảo sát em có thể hỏi bệnh nhân về lượng thời gian mà họ phải chờ trước khi được chữa trị.

d Với mỗi câu hỏi, mô tả cách em sẽ phân tích câu trả lời.

e So sánh câu hỏi của em với câu hỏi của các bạn khác. Em có thể đưa ra đề xuất cải tiến cho câu hỏi của em hoặc câu hỏi của các bạn không?

8 Thu thập dữ liệu

7 Thực hiện câu hỏi này theo nhóm. Các nhân viên tại một rạp hát muốn hiểu hơn về khách hàng của họ. Họ muốn biết:

• tần suất khách hàng đến rạp

• rạp có thu hút khách hàng ở những lứa tuổi khác nhau hay không

• khách hàng thích thú điều gì ở rạp

• đội ngũ nhân viên có thể cải thiện dịch vụ của họ như thế nào.

a Viết hai dự đoán các em có thể kiểm tra.

Nhân viên yêu cầu các em viết một bảng câu hỏi ngắn. Bảng câu hỏi cần phải thuận lợi cho người tham gia trả lời. Họ cũng muốn các em phân tích kết quả thu được.

b Làm thế nào các em có thể liên lạc với những người hoàn thành bảng câu hỏi?

c Viết ba câu hỏi phù hợp.

d Mô tả cách các em sẽ phân tích kết quả.

You sample

a is the of a large sample size?

b What things do to about want to sample

Summary checklist

Check your progress

1 Identify whether the following data is categorical, discrete or continuous.

a the mass of rice in a recipe

b the number of people eating a meal

c the colour of a fruit

d the time taken to eat a meal

2 You are describing a person. Give an example of something about a person that is: a discrete data b continuous data c categorical data

3 A restaurant manager asks customers to fill in an online questionnaire after they have had a meal.

a Write down two possible predictions the restaurant could test.

Here is one question from the questionnaire:

The customer replies by choosing from one to five stars.

b Why is this a good way to collect the data?

‘Were the staff polite and helpful?’

c You have the results of this question from 65 customers. How can you analyse the results?

4 A gym manager interviews some members to investigate how they use the gym.

a The manager interviews 10 members. Explain why this sample is too small.

b What are the disadvantages of interviewing everyone who uses the gym?

c How could the manager choose a sample of 50 members to interview?

d State two ways of giving out a questionnaire to the chosen members.

8 Thu thập dữ liệu

Kiểm sự tiến bộ của

1 Xác định mỗi dữ liệu sau là dữ liệu phân loại, dữ liệu rời rạc hay dữ liệu liên tục.

a khối lượng gạo trong một công thức nấu ăn

b số người dùng một bữa ăn

c màu sắc của một loại quả d thời gian cần để dùng một bữa ăn

2 Em đang mô tả một người. Hãy đưa ra một ví dụ về điều gì đó của một người mà là:

a dữ liệu rời rạc b dữ liệu liên tục c dữ liệu phân loại

3 Một người quản lí nhà hàng yêu cầu khách hàng điền vào bảng câu hỏi trực tuyến sau khi họ dùng bữa.

a Viết hai dự đoán nhà hàng có thể kiểm tra. Đây là một câu hỏi từ bảng câu hỏi: Khách hàng trả lời bằng cách chọn từ một đến năm sao.

“Nhân viên có lịch sự và hỗ trợ cho bạn không?”

b Tại sao đây là một cách phù hợp để thu thập dữ liệu?

c Em có kết quả của câu hỏi trên từ 65 khách hàng. Em phân tích các kết quả này như thế nào?

4 Một người quản lí phòng tập thể hình phỏng vấn một số thành viên để khảo sát cách họ sử dụng phòng tập.

a Người quản lí phỏng vấn 10 thành viên. Giải thích tại sao mẫu này quá nhỏ.

b Nhược điểm của việc phỏng vấn toàn bộ những người sử dụng phòng tập là gì?

c Làm thế nào người quản lí có thể chọn ra một mẫu gồm 50 thành viên để phỏng vấn?

d Nêu hai cách đưa ra bảng câu hỏi cho các thành viên được chọn.