9781009317122book_p001-331

University Printing House, Cambridge CB2 8BS, United Kingdom

One Liberty Plaza, 20th Floor, New York, NY 10006, USA

477 Williamstown Road, Port Melbourne, VIC 3207, Australia 314–321, 3rd Floor, Plot 3, Splendor Forum, Jasola District Centre, New Delhi – 110025, India 103 Penang Road, #05-06/07, Visioncrest Commercial, Singapore 238467

Cambridge University Press is part of the University of Cambridge.

It furthers the University’s mission by disseminating knowledge in the pursuit of education, learning and research at the highest international levels of excellence.

www.cambridge.org

© Cambridge University Press 2022

This publication is in copyright. Subject to statutory exception and to the provisions of relevant collective licensing agreements, no reproduction of any part may take place without the written permission of Cambridge University Press.

First edition 2022

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Printed in Vietnam by FAHASA Printing House.

A catalogue record for this publication is available from the British Library ISBN 978-1-009-31712-2 Paperback with Digital Access (1 Year) ISBN 555-5-559-50384-7 Digital Learner's Book (1 Year)

Cambridge University Press has no responsibility for the persistence or accuracy of URLs for external or third-party internet websites referred to in this publication, and does not guarantee that any content on such websites is, or will remain, accurate or appropriate. Information regarding prices, travel timetables, and other factual information given in this work is correct at the time of first printing but Cambridge University Press does not guarantee the accuracy of such information thereafter.

Projects and their accompanying teacher guidance have been written by the NRICH team. NRICH is an innovative collaboration between the Faculties of Mathematics and Education at the University of Cambridge, which focuses on problem solving and on creating opportunities for students to learn mathematics through exploration and discussion.

https://nrich.maths.org

Welcome to Cambridge Lower Secondary Mathematics Stage 9

The Cambridge Lower Secondary Mathematics course covers the Cambridge Lower Secondary Mathematics curriculum framework and is divided into three stages: 7, 8 and 9.

During your course, you will learn a lot of facts, information and techniques. You will start to think like a mathematician. This book covers all you need to know for Stage 9. The curriculum is presented in four content areas:

• Number

•

Algebra

• Geometry and measures

• Statistics and probability.

This book has 15 units, each related to one of the four content areas. However, there are no clear dividing lines between these areas of mathematics; skills learned in one unit are often used in other units. The book encourages you to understand the concepts that you need to learn, and gives opportunity for you to practise the necessary skills.

Many of the questions and activities are marked with an icon that indicates that they are designed to develop certain thinking and working mathematically skills. There are eight characteristics that you will develop and apply throughout the course:

• Specialising – testing ideas against specific criteria;

• Generalising – recognising wider patterns;

• Conjecturing – forming questions or ideas about mathematics;

• Convincing – presenting evidence to justify or challenge a mathematical idea;

• Characterising – identifying and describing properties of mathematical objects;

• Classifying – organising mathematical objects into groups;

• Critiquing – comparing and evaluating ideas for solutions;

• Improving – refining your mathematical ideas to reach more effective approaches or solutions.

Your teacher can help you develop these skills, and you will also develop your ability to apply these different strategies. We hope you will find your learning interesting and enjoyable.

Lynn Byrd, Greg Byrd and Chris Pearce

Lời mở đầu

Chào mừng các em học sinh đến với Giai đoạn 9 của Chương trình Cambridge Toán học bậc Trung học cơ sở.

Giáo trình Cambridge Toán học bậc Trung học cơ sở bao gồm khung chương trình giảng dạy của Chương trình Cambridge Toán học bậc Trung học cơ sở và được chia thành ba giai đoạn: 7, 8 và 9. Xuyên suốt chương trình, các em sẽ học được rất nhiều dữ kiện, thông tin và phương pháp. Các em sẽ bắt đầu tư duy như một nhà Toán học. Cuốn sách này sẽ bao gồm tất cả những kiến thức các em cần biết cho Giai đoạn 9. Chương trình học được trình bày theo bốn lĩnh vực nội dung:

• Số học

• Đại số

• Hình học và đo lường

• Thống kê và xác suất.

Quyển sách này gồm 15 học phần, mỗi học phần liên quan đến một trong bốn lĩnh vực nội dung kể trên.

Tuy nhiên, không có sự phân chia ranh giới rõ ràng giữa các lĩnh vực Toán học này; các kĩ năng được học trong mỗi học phần cũng thường được sử dụng trong các học phần khác.

Cuốn sách này khuyến khích các em hiểu rõ các khái niệm mà các em cần phải học và tạo cho các em cơ hội để thực hành các kĩ năng cần thiết.

Nhiều câu hỏi và hoạt động được đánh dấu bằng biểu tượng nhằm thể hiện rằng chúng được thiết kế để phát triển kĩ năng Tư duy và Làm việc theo Toán học nào đó.

Có tám đặc tính mà các em sẽ học và ứng dụng trong suốt chương trình học:

• Cụ thể hoá – thử nghiệm các ý tưởng dựa trên các tiêu chí cụ thể;

• Khái quát hoá – nhận biết bao quát các quy luật hơn;

• Phỏng đoán – hình thành các câu hỏi hoặc ý tưởng về Toán học;

• Thuyết phục – trình bày bằng chứng để lí giải hoặc thử thách một ý tưởng Toán học;

• Đặc điểm hoá – xác định và mô tả các tính chất của các đối tượng Toán học;

• Phân loại – sắp xếp các đối tượng Toán học thành các nhóm;

• Phản biện – so sánh và đánh giá các ý tưởng cho lời giải;

• Cải tiến – tinh chỉnh các ý tưởng Toán học của mình để có phương pháp tiếp cận hoặc lời giải hiệu quả hơn. Giáo viên có thể giúp học sinh phát triển những kĩ năng này, và các em sẽ phát triển được khả năng ứng dụng những chiến lược khác nhau vào Toán học.

Chúng tôi hi vọng các em sẽ cảm thấy Toán học luôn hấp dẫn và thú vị.

Lynn Byrd, Greg Byrd và Chris Pearce

Page Unit

5–6 How to use this book

7 Acknowledgements

8–19 1 Number and calculation

Strand of mathematics

1.1 Irrational numbers

1.2 Standard form

1.3 Indices Number

20–53 2 Expressions and formulae

2.1 Substituting into expressions

2.2 Constructing expressions

2.3 Expressions and indices

2.4 Expanding the product of two linear expressions

2.5 Simplifying algebraic fractions

2.6 Deriving and using formulae

54–80 3 Decimals, percentages and rounding

Algebra

3.1 Multiplying and dividing by powers of 10

3.2 Multiplying and dividing decimals

3.3 Understanding compound percentages

3.4 Understanding upper and lower bounds Number

81 Project 1 Cutting tablecloths

82–101 4 Equations and inequalities

4.1 Constructing and solving equations

4.2 Simultaneous equations 4.3 Inequalities

Algebra 102–125 5 Angles

Geometry and measure

5.1 Calculating angles

5.2 Interior angles of polygons

5.3 Exterior angles of polygons

5.4 Constructions

5.5 Pythagoras’ theorem

126 Project 2 Angle tangle

127–136 6 Statistical investigations

6.1 Data collection and sampling 6.2 Bias

Statistics and probability 137–165 7 Fractions

7.1 Fractions and recurring decimals

7.2 Fractions and the correct order of operations

7.3 Multiplying fractions

7.4 Dividing fractions

7.5 Making calculations easier Number

166 Project 3 Selling apples

Trang Học phần

5–6 Hướng dẫn sử dụng sách

7 Lời cảm ơn

8–19 1 Số và phép toán 1.1 Số vô tỉ 1.2 Dạng chuẩn 1.3 Số mũ

20–53 2 Biểu thức và công thức

2.1 Thay vào biểu thức

2.2 Xây dựng biểu thức

2.3 Biểu thức và số mũ

2.4 Khai triển tích của hai biểu thức bậc nhất

2.5 Rút gọn phân thức đại số 2.6 Biến đổi và sử dụng công thức

54–80 3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

3.1 Phép nhân và phép chia cho luỹ thừa của 10

3.2 Phép nhân và phép chia số thập phân

3.3 Hiểu về tỉ số phần trăm kép

3.4 Hiểu về cận trên và cận dưới

81 Dự án 1 Cắt khăn trải bàn

82–101 4 Phương trình và bất phương trình

4.1 Lập và giải phương trình

4.2 Hệ phương trình

4.3 Bất phương trình

102–125 5 Góc

5.1 Tính góc

5.2 Góc trong của đa giác

5.3 Góc ngoài của đa giác

5.4 Phép dựng hình 5.5 Định lí Pythagoras

126 Dự án 2 Đố góc

127–136 6 Khảo sát thống kê

6.1 Thu thập dữ liệu và lấy mẫu 6.2 Tính chệch

137–165 7 Phân số

7.1 Phân số và số thập phân vô hạn tuần hoàn

7.2 Phân số và thứ tự đúng để thực hiện phép tính

7.3 Phép nhân phân số

7.4 Phép chia phân số 7.5 Tính nhanh

166 Dự án 3 Bán táo

Mạch toán học

Số học

Đại số

Số học

Đại số

Hình học và đo lường

Thống kê và xác suất

Số học

How to use this book

How to use this book

In this book you will find lots of different features to help your learning.

Questions to find out what you know already.

What you will learn in the unit.

Important words to learn.

Step-by-step examples showing how to solve a problem.

These questions help you to develop your skills of thinking and working mathematically.

Hướng dẫn sử dụng sách

Quyển sách này bao gồm nhiều phần khác nhau để hỗ trợ cho quá trình học tập của em.

Những câu hỏi kiểm tra kiến thức em đã biết.

Những nội dung em sẽ học trong học phần.

Những từ vựng quan trọng cần học.

Ví dụ trình bày cách giải một bài toán theo từng bước.

Những câu hỏi này giúp các em phát triển các kĩ

These investigations, to be carried out with a partner or in a group, will help develop skills of thinking and working mathematically.

Questions to help you think about how you learn.

This is what you have learned in the unit.

Questions that cover what you have learned in the unit.

At the end of several units, there is a project for you to carry out, using what you have learned. You might make something or solve a problem.

How

Mục lục

Những cuộc khảo sát được thực hiện theo cặp hoặc theo nhóm sẽ giúp các em phát triển các kĩ năng Tư duy và Làm việc theo Toán học.

Các câu hỏi giúp em tư duy về cách học tập.

Đây là những nội dung các em đã học được trong mỗi học phần.

Trong các câu hỏi 2, 4c và 4d, các em đã tính diện tích khi được cho bán kính.

Các em có thể viết công thức tính diện tích trong đó sử dụng d (đường kính) thay vì r (bán kính) không?

Viết công thức của các em dưới dạng tối giản.

Kiểm tra công thức của các em với các bộ của em

1 Tính chu vi của những hình tròn sau. Sử dụng nút π trên máy tính cầm tay của em.

Trình bày đáp số đúng đến 2 chữ số thập phân (2 cstp).

Những câu hỏi bao quát những nội dung em đã học trong học phần.

a đường kính = 12,5 cm b bán kính = 3,4 m

2 Tính diện tích những hình tròn sau. Sử dụng nút π trên máy tính cầm tay của em.

Trình bày đáp số đúng đến 3 chữ số có nghĩa (3 cscn).

a đường kính = 12,5 cm b bán kính = 3,4 m

3 Tính diện tích những hình ghép sau.

Sử dụng nút π trên máy tính cầm tay của em.

Trình bày đáp số đúng đến 1 chữ số thập phân (1 cstp).

Cắt

Ở cuối một số học phần, em sẽ thực hiện một dự án bằng cách vận dụng những kiến thức đã học. Em có thể tạo ra một sản phẩm hoặc giải một bài toán nào đó. và 4b, các em đã tính diện tích khi được cho bán kính.

Tưởng tượng một tấm vải hình vuông có diện tích 1 mét × 1 mét có thể được thay đổi để làm khăn trải cho một chiếc bàn hình chữ nhật. Em có thể cắt rời một miếng vải chiếm 20% dọc theo tấm vải hình vuông, xoay miếng vải mới cắt đó lại, rồi gắn vào cạnh kia của tấm vải hình vuông ban đầu để tạo thành một hình chữ nhật. Miếng vải sẽ dư

Acknowledgements

The authors and publishers acknowledge the following sources of copyright material and are grateful for the permissions granted. While every effort has been made, it has not always been possible to identify the sources of all the material used, or to trace all copyright holders. If any omissions are brought to our notice, we will be happy to include the appropriate acknowledgements on reprinting.

Thanks to the following for permission to reproduce images:

Cover image: ori-artiste/Getty Images

Inside: Unit 1 Mohamad Faizal Ramli/EyeEm/GI; Bernt Ove Moss/GI; Ernest Andrei; Unit 2 Adrienne Bresnahan/GI; Brian Ach/GI; Feellife/GI; Abstract Aerial Art/GI; Image by Chris Winsor/GI; Unit 3 AlpamayoPhoto/GI; M.Arai/GI; © Razvan Ciuca/GI; Mint Images/GI; Images By Tang Ming Tung/GI; Grassetto/ GI; Alexander Spatari/GI; Focus on Sport/GI; Witthaya Prasongsin/GI; SolStock/GI; Mr.Cole_Photographer/GI; Dddb/GI; Unit 4 Nick Brundle Photography/GI; DEA Picture Library/De Agostini/GI; AaronAmat/GI; Daniel Milchev/GI; Andrew Brookes/GI; RobinOlimb/GI; Unit 5 Adrienne Bresnahan/GI; hanohiki/ GI; ExpressIPhoto/GI; OsakaWayne Studios/GI; Paula Daniëlse/GI; Unit 6 Sean Gladwell/GI; Mark Edward Atkinson/GI; Henrik Sorensen/GI; Rubberball/GI; Hello World/GI;Unit 11 Westend61/GI; MirageC/GI; Westend61/GI; Kevin Horgan/ GI; Skarie20/GI;Yevgen Romanenko/GI; Suriyo Hmun Kaew/GI; Pictafolio/GI; Studiocasper/GI; Unit 7 Epoxydude/GI; Christian Lagarek/Science Photo Library/ GI; Westend61/GI; Weng Hock Goh/GI; Unit 8 Oxygen/GI; Konstik/GI; © Jackie Bale/GI; Silentfoto/GI; Nora Carol Photography/GI; Unit 9 Somyot Techapuwapat/ GI; Monty Rakusen/GI; Gary John Norman/GI; EujarimPhotography/GI; John Eder/GI; Unit 10 Abstract Aerial Art/GI; Hybrid Images/GI; Brianbalster/ GI; RealPeopleGroup/GI; Heidi Harting/GI; Westend61/GI; Alan Schein/GI; Jose A.Bernat Bacete/GI; rezkrr/GI; Unit 14 Peter Dazeley/GI; ImageJournalPhotography/GI; Riou/GI; Helen Camacaro/GI; Unit 12 Ask Goldstein/GI; Roman Becker/GI; Christopher Daley/GI; Busà Photography/GI; Unit 13 Abstract Aerial Art/GI; Unit 15 Gary John Norman/GI; Irin717/GI; Dougal Waters/GI; PhotoStockIsrael/GI; Peter Dowell(peterocks)/GI; Omersukrugoksu/GI; Joseph Van Os/GI; Maskot/GI; John P Kelly/GI

Key: GI= Getty Images.

Lời cảm ơn

Nhóm tác giả và nhà xuất bản xin gửi lời cảm ơn đến các nguồn tài liệu có bản quyền dưới đây và chúng tôi rất biết ơn vì đã nhận được sự cho phép từ các đơn vị này. Tuy đã nỗ lực rất nhiều, nhưng chúng tôi không phải lúc nào cũng xác định được toàn bộ các nguồn tài liệu đã sử dụng hoặc tìm ra tất cả những cá nhân/tổ chức nắm giữ bản quyền. Nếu được thông báo về bất kì thiếu sót nào, chúng tôi rất sẵn lòng gửi đến họ lời cảm ơn trong lần in tiếp theo.

Xin gửi lời cảm ơn tới các đơn vị, cá nhân sau đây đã cho phép chúng tôi sử dụng hình ảnh:

Ảnh bìa được thiết kế bởi: ori-artiste/Getty Images

Hình ảnh trong sách: Học phần 1 Mohamad Faizal Ramli/EyeEm/GI; Bernt Ove Moss/GI; Ernest Andrei; Học phần 2 Adrienne Bresnahan/GI; Brian Ach/GI; Feellife/GI; Abstract Aerial Art/GI; Hình ảnh được tạo bởi Chris Winsor/GI; Học phần 3 AlpamayoPhoto/ GI; M.Arai/GI; © Razvan Ciuca/GI; Mint Images/GI; Images By Tang Ming Tung/ GI; Grassetto/ GI; Alexander Spatari/GI; Focus on Sport/GI; Witthaya Prasongsin/ GI; SolStock/GI; Mr.Cole_Photographer/GI; Dddb/GI; Học phần 4 Nick Brundle Photography/GI; DEA Picture Library/De Agostini/GI; AaronAmat/GI; Daniel Milchev/ GI; Andrew Brookes/GI; RobinOlimb/GI; Học phần 5 Adrienne Bresnahan/GI; hanohiki/ GI; ExpressIPhoto/GI; OsakaWayne Studios/GI; Paula Daniëlse/GI; Học phần 6 Sean Gladwell/GI; Mark Edward Atkinson/GI; Henrik Sorensen/GI; Rubberball/GI; Hello World/GI; Học phần 11 Westend61/GI; MirageC/GI; Westend61/GI; Kevin Horgan/ GI; Skarie20/GI;Yevgen Romanenko/GI; Suriyo Hmun Kaew/GI; Pictafolio/GI; Studiocasper/ GI; Học phần 7 Epoxydude/GI; Christian Lagarek/Science Photo Library/ GI; Westend61/ GI; Weng Hock Goh/GI; Học phần 8 Oxygen/GI; Konstik/GI; © Jackie Bale/GI; Silentfoto/GI; Nora Carol Photography/GI; Học phần 9 Somyot Techapuwapat/ GI; Monty Rakusen/GI; Gary John Norman/GI; EujarimPhotography/GI; John Eder/GI; Học phần 10 Abstract Aerial Art/GI; Hybrid Images/GI; Brianbalster/ GI; RealPeopleGroup/GI; Heidi Harting/GI; Westend61/GI; Alan Schein/GI; Jose A.Bernat Bacete/GI; rezkrr/GI; Học phần 14 Peter Dazeley/GI; ImageJournalPhotography/GI; Riou/GI; Helen Camacaro/GI; Học phần 12 Ask Goldstein/GI; Roman Becker/GI; Christopher Daley/GI; Busà Photography/ GI; Học phần 13 Abstract Aerial Art/GI; Học phần 15 Gary John Norman/GI; Irin717/GI; Dougal Waters/GI; PhotoStockIsrael/GI; Peter Dowell(peterocks)/GI; Omersukrugoksu/GI; Joseph Van Os/GI; Maskot/GI; John P Kelly/GI

Từ khoá: GI = Getty Images.

1 Number and calculation

Getting started

1 Write as a number: 122 b 81 53 64

2 28 = 256

Use this fact to work out the value of a 29 b 27

3 Here is a multiplication: 155 × 152

a Write the correct answer from this list: 157 1510 307 3010

b Write the answer to 155 ÷ 152 in index form.

4 Look at these numbers: 4 −4.5 3000 17 3 20 225

a Which of these numbers are integers?

b Which of these numbers are rational numbers?

5 Write one million as a power of 10.

Bắt đầu nào!

1 Viết dưới dạng số:

a 122 b 81 c 53 d 643

2 28 = 256 Sử dụng phép tính này để tính giá trị của a 29 b 27

3 Cho phép nhân: 155 × 152

a Tìm đáp số đúng cho phép tính trên từ dãy sau: 157 1510 307 3010 b Viết đáp số của 155 ÷ 152 dưới dạng luỹ thừa.

4 Quan sát những số sau: 4 −4,5 3 000 17 3 20 225 a Những số nào trong những số trên là số nguyên? b Những số nào trong những số trên là số hữu tỉ?

5 Viết số một triệu dưới dạng luỹ thừa của 10.

1 Number and calculation

1, 4, 9 and 16 are the first four square numbers. They have integer square roots. 12 = 1 and 11 = 22 = 4 and 42 = 32 = 9 and 93 = 42 = 16 and 164 =

What about 2 ? Is there a rational number n for which n2 = 2? Remember that you can write a rational number as a fraction.

1 1 2 1 2 2 1() = × 1 21 2 1 4 = so 2 must be a little less than 1 1 2 .

A closer answer is 1 5 12 because 12 5 12 1 144 2() = .

An even closer answer is 1 169 408 because 12 169 408 1 166464 2() = .

Do you think you can find a fraction which gives an answer of exactly 2 when you square it?

A calculator gives the answer 21 414213562= . . This is a rational number because you can write it as a fraction: 1 414213562 1000000000 Is 1.414213562 × 1.414213562 exactly 2? In this unit, you will look at numbers such as 2 .

1 Số và phép toán

1, 4, 9 và 16 là bốn số chính phương đầu tiên. Những số này có căn bậc hai nguyên.

12 = 1 và 11 = 22 = 4 và 42 = 32 = 9 và 93 = 42 = 16 và 164 =

Với 2 thì sao? Có tồn tại số hữu tỉ n sao cho n2 = 2 không? Hãy nhớ rằng em có thể viết một số hữu tỉ dưới dạng phân số.

1 1 2 1 2 2 1() = × 1 21 2 1 4 = do đó 2 phải nhỏ hơn 1 1 2 một chút.

Một đáp số gần đúng hơn là 1 5 12 bởi vì 12 5 12 1 144 2() = .

Một đáp số gần đúng hơn nữa là 1 169 408 bởi vì 12 169 408 1 166464 2 ()= .

Em có nghĩ rằng có thể tìm được một phân số mà bình phương của nó đúng bằng 2?

Máy tính cầm tay đưa ra kết quả 21 414213562= , . Đây là một số hữu tỉ vì

em có thể viết nó dưới dạng phân số: 1414213562 1000000000.

Liệu 1,414213562 × 1,414213562 có chính xác bằng 2?

Trong học phần này, em sẽ tìm hiểu những số như 2 .

1.1 Số vô tỉ

Trong phần này, em sẽ…

• học về sự khác nhau giữa số hữu tỉ áp kiến về chính để ước lượng căn bậc áp dụng kiến thức của em về số lập phương để ước lượng căn bậc

Từ vô tỉ số hữu tỉ số vô tỉ dạng căn

1 Number and calculation

Integers are whole numbers. For example, 13, −26 and 100 004 are integers.

You can write rational numbers as fractions. For example, 9 3 4 , 3 4 15 and 18 5 11 are rational numbers.

You can write any fraction as a decimal.

9 9753 4 = . -=33 266666664 15 ... 18184545454 5 11 = ...

The fraction either terminates (for example, 9.75) or it has recurring digits (for example, −3.266666666666… continues with 6s and 18.45454545454… continues with the digits 4 and 5 repeating).

There are many square roots and cube roots that you cannot write as fractions. When you write these fractions as decimals, they do not terminate and there is no recurring pattern. For example, a calculator gives the answer 72 645751= . ... The calculator answer is not exact. The decimal does not terminate and there is no recurring pattern. Therefore, 7 is not a rational number.

Numbers that are not rational are called irrational numbers 7 , 23 , 103 and 453 are irrational numbers. Irrational numbers that are square roots or cube roots are called surds

There are also numbers that are irrational but are not square roots or cube roots. One of these irrational numbers is called pi, which is the Greek letter π. Your calculator will tell you that π = 3.141592… You will meet π later in the course.

Worked example 1.1

Do not use a calculator for this question.

a Show that 90 is between 9 and 10.

b N is an integer and 903 is between N and N + 1. Find the value of N. Answer

a 92 = 81 and 102 = 100 < 90 < 100

So 8190100

And so 99010

b 43 = 64 and 53 = 125 < 90 < 125 and so

So 4905 3 and N = 4

This means 90 is between 81 and 100.

Tip

The set of rational numbers includes integers. Tip Square roots of negative numbers do not belong to the set of rational or irrational numbers. You will learn more about these numbers if you continue to study mathematics to a higher level.

1 Số và phép toán

Số nguyên là những số nguyên vẹn. Ví dụ 13, −26 và 100 004 là các số nguyên.

Em có thể viết các số hữu tỉ dưới dạng phân số. Ví dụ, 9 3 4 , 3 4 15 và 18 5 11 là các số hữu tỉ.

Em có thể viết bất kì phân số nào dưới dạng số thập phân.

9 9753 4 = , −=33,26666666... 4 15 1818,4545454... 5 11 =

Các phân số khi viết dưới dạng số thập phân hoặc có hữu hạn chữ số (ví dụ 9,75) hoặc có các chữ số vô hạn tuần hoàn (ví dụ –3,266666666666… kéo dài với các chữ số 6 và 18,45454545454… kéo dài với các chữ số 4 và 5 lặp lại).

Có rất nhiều căn bậc hai và căn bậc ba mà em không thể viết dưới dạng phân số. Khi em viết những số này dưới dạng số thập phân, chúng không hữu hạn và không có quy luật lặp lại. Ví dụ, máy tính cầm tay đưa ra kết quả

72 Kết quả của máy tính cầm tay chưa đủ chính xác. Phần thập phân không hữu hạn và không có quy luật lặp lại. Do đó, 7 không phải số hữu tỉ.

Những số không phải hữu tỉ được gọi là số vô tỉ. 7 , 23 , 103 và 453 là các số vô tỉ. Số vô tỉ là kết quả căn bậc hai hoặc căn bậc ba được gọi là số vô tỉ dạng căn. Có những số cũng vô tỉ nhưng không phải là căn bậc hai hoặc căn bậc ba. Một trong những số vô tỉ đó là số pi, được kí hiệu bằng chữ cái Hy Lạp π. Máy tính cầm tay của em sẽ hiển thị rằng π = 3,141592… Em sẽ gặp π trong phần sau của giáo trình này.

Mách nhỏ

Tập hợp số hữu tỉ chứa các số nguyên.

Mách nhỏ

Căn bậc hai của số âm không

thuộc tập hợp số hữu tỉ hay vô tỉ. Các em sẽ học thêm về những số đó khi học toán tiếp lên trình độ cao hơn.

Exercise 1.1

1 Write whether each of these numbers is an integer or an irrational number. Explain how you know.

a 9 b 19 c 39 d 49 e 99

2 a Write the rational numbers in this list. 1 7 5 12 −38 160 22 5. 35 b Write the irrational numbers in this list. 0.3333… −16 200 12 1. 23 8 3433

3 Write whether each of these numbers is an integer or a surd. Explain how you know.

a 100 b 1003 c 1000 d 10003 e 10000 f 100003

4 Is each of these numbers rational or irrational? Give a reason for each answer.

a 22 + b 22 + c 44 3+ d 443 +

5 Find

a two irrational numbers that add up to 0 b two irrational numbers that add up to 2.

Think like a mathematician

6 a Use a calculator to find i ii 312× iii 205× iv 218× b What do you notice about your answers? c Find another multiplication similar to the multiplications in part a. d Find similar multiplications using cube roots instead of square roots. 82 ×

7 Without using a calculator, show that a 7558 << b 41005 3 <<

8 Without using a calculator, find an irrational number between a 4 and 5 b 12 and 13.

9 Without using a calculator, estimate a 190 to the nearest integer b 1903 to the nearest integer.

1 Số và phép toán

Bài tập 1.1

1 Xác định những số sau là số nguyên hay số vô tỉ. Giải thích cách em nhận biết.

a 9 b 19 c 39 d 49 e 99

2 a Xác định những số hữu tỉ trong các số sau. 1 7 5 12 −38 160 22 5, 35 b Xác định những số vô tỉ trong các số sau.

0,3333… −16 200 12 1, 23 8 3433

3 Xác định những số sau là số nguyên hay số vô tỉ dạng căn. Giải thích cách em nhận biết.

a 100 b 1003 c 1 000 d 31000 e 10000 f 100003

4 Những số sau là hữu tỉ hay vô tỉ? Giải thích lí do. a 22 + b 22 + c 44 3+ d 443 +

5 Tìm

a hai số vô tỉ b hai số vô tỉ có tổng bằng 2. a Sử ii iii Em nhận thấy điều gì về các đáp số của mình? c Tìm phép nhân khác tương tự như những

1 Number and calculation

10 a Use a calculator to find

i ()() 212 + × 1 ii ( )( 3131) +× iii ( )( 4141) +×

b Continue the pattern of the multiplications in part a.

c Generalise the results to find ( )( )NN+-11 × where N is a positive integer.

d Check your generalisation with further examples.

11 Here is a decimal: 5.020 020 002 000 020 000 020 000 002… Arun says:

There is a regular pattern: one zero, then two zeros, then three zeros, and so on. This is a rational number.

a Is Arun correct? Give a reason for your answer.

b Compare your answer with a partner’s. Do you agree? If not, who is correct?

In this exercise, you have looked at the properties of rational and irrational numbers.

a Are the following statements true or false?

i The sum of two integers is always an integer

ii The sum of two rational numbers is always a rational number.

iii The sum of two irrational numbers is always an irrational number.

b Here is a calculator answer: 3.646 153 846

The answer is rounded to 9 decimal places. Can you decide whether the number is rational or irrational?

Summary checklist

I can use square numbers and cube numbers to estimate square roots and cube roots.

I can say whether the square root or the cube root of a positive integer is rational or irrational.

1 Số và phép toán

10 a Sử dụng máy tính cầm tay để tính

i ()() 212 + × 1 ii ( )( 3131) +× iii ( )( 4141) +×

b Viết tiếp quy luật của dãy phép nhân trong phần a.

c Khái quát hoá các kết quả để tìm ( )( )NN+-11 × trong đó N là một số nguyên dương.

d Kiểm tra tính khái quát trong câu trả lời của em bằng những ví dụ bổ sung.

11 Cho số thập phân: 5,020020002000020000020000002... Arun nói rằng:

a Arun nói đúng không? Đưa ra lí do cho câu trả lời của em.

b So sánh câu trả lời của em với một bạn cùng lớp. Em có đồng ý với bạn không? không, câu trả lời của ai là đúng?

a Những

i Tổng Tổng

1.2 Standard form

In this …

Look at these numbers:

You can use powers of 10 in this way to write large numbers. For example, the average distance to the Sun is 149 600 000 km. You can write this as 1.496 × 108 km. This is called standard form. You write a number in standard form as a × 10n where 1 ⩽ a < 10 and n is an integer. You can write small numbers in a similar way, using negative integer powers of 10. For example:

Key words scientific notation standard form

Tip

4.67 × 102 is the same as 4.67 × 100 or 4.67 × 10 × 10

Small numbers occur often in science. For example, the time for light to travel 5 metres is 0.000 000 017 seconds. In standard form, you can write this as 1 710 8.× seconds.

Worked example 1.2

Write these numbers in standard form. 256 million b 25.6 billion c 0.000 025 6

Answer

a 1 million = 1 000 000 or 106 256 million = 256 000 000 = 2.56 × 108 b 1 billion = 1 000 000 000 or 109 25.6 billion = 25 600 000 000 = 2.56 × 1010 0.000 025 6 = 2.56 × 10−5

Tip

Think of 4.67 × 10−1 as 4.67 ÷ 10

Tip

Standard form is also sometimes called scientific notation

Tip

Notice that in every case the decimal point is placed after the 2, the first non-zero digit.

Quan sát những số

1 Số và phép toán

Em có thể sử dụng luỹ thừa của 10 theo cách này để viết những số lớn. Ví dụ, khoảng cách trung bình đến Mặt Trời là 149 600 000 km. Em có thể viết số đó dưới dạng 1,496 × 108 km. Đây được gọi là dạng chuẩn. Em viết một số dưới dạng chuẩn là a × 10n trong đó 1 ⩽ a < 10 và n là một số nguyên.

Em có thể viết những số nhỏ theo cách tương tự, bằng cách sử dụng luỹ thừa nguyên âm của 10. Ví dụ: 671000467 6710000467 Những số nhỏ thường xuất hiện trong khoa học. Ví dụ, thời gian để ánh sáng di chuyển 5 mét là 0,000000017 giây. Dưới dạng chuẩn, em có thể viết số

Mách nhỏ

4,67 × 102 bằng 4,67 × 100 hoặc 4,67 × 10 × 10

Mách nhỏ

Hãy nghĩ 4,67 × 10−1 bằng 4,67 ÷ 10

Mách nhỏ

Dạng chuẩn đôi khi được gọi là kí hiệu khoa học

Exercise 1.2

1 Write these numbers in standard form.

a 300 000 b 320 000 c 328 000 d 328 710

2 Write these numbers in standard form.

a 63 000 000 b 488 000 000 c 3 040 000 d 520 000 000 000

3 These numbers are in standard form. Write each number in full. a 5.4 × 103 b 1.41 × 106 c 2.337 × 1010 d 8.725 × 107

4 Here are the distances of some planets from the Sun. Write each distance in standard form.

Planet Mercury Mars Uranus Distance (km) 57 900 000 227 900 000 2 870 000 000

5 Here are the areas of four countries.

Country China Indonesia Russia Kazakhstan Area (km2) 9.6 × 106 1.9 × 106 1.7 × 107 2.7 × 106

a Which country has the largest area?

b Which country has the smallest area?

c Copy and complete this sentence with a whole number: The largest country is approximately … times larger than the smallest country.

6 Write these numbers in standard form.

a 0.000 007 b 0.000 812 c 0.000 066 91 d 0.000 000 205

7 These numbers are in standard form. Write each number in full. a 1.5 × 10−3 b 1.234 × 10−5 c 7.9 × 10−8 d 9.003 × 10−4

8 The mass of an electron is 9.11 × 10−31 kg. This is 0.000…911 kg.

a How many zeros are there between the decimal point and the 9?

b Work out the mass of 1 million electrons. Give the answer in kilograms in standard form.

1 Số và phép toán

Bài tập 1.2

1 Viết những số sau dưới dạng chuẩn.

a 300 000 b 320 000 c 328 000 d 328 710

2 Viết những số sau dưới dạng chuẩn.

a 63 000 000 b 488 000 000 c 3 040 000 d 520 000 000 000

3 Những số sau đang ở dạng chuẩn. Viết mỗi số đó dưới dạng đầy đủ.

a 5,4 × 103 b 1,41 × 106 c 2,337 × 1010 d 8,725 × 107

4 Đây là khoảng cách từ Mặt Trời đến một số hành tinh. Viết mỗi khoảng cách đó dưới dạng chuẩn.

Hành tinh Thuỷ tinh Hoả tinh Thiên Vương tinh Khoảng cách (km) 57 900 000 227 900 000 2 870 000 000

5 Đây là diện tích của bốn quốc gia.

Quốc gia Trung Quốc Indonesia Nga Kazakhstan Diện tích (km2) 9,6 × 106 1,9 × 106 1,7 × 107 2,7 × 106

a Quốc gia nào có diện tích lớn nhất?

b Quốc gia nào có diện tích nhỏ nhất?

c Chép lại và hoàn thành phát biểu sau bằng một số tự nhiên: Quốc gia có diện tích lớn nhất rộng lớn hơn quốc gia có diện tích nhỏ nhất xấp xỉ … lần.

6 Viết những số sau dưới dạng chuẩn.

a 0,000007 b 0,000812

c 0,00006691 d 0,000000205

7 Những số sau đang ở dạng chuẩn. Viết mỗi số dưới dạng đầy đủ.

a 1,5 × 10−3 b 1,234 × 10−5

c 7,9 × 10−8 d 9,003 × 10−4

8 Khối lượng của một hạt electron là 9,11 × 10−31 kg.

Tức là 0,000…911 kg.

a Có bao nhiêu chữ số 0 ở giữa dấu thập phân và chữ số 9?

b Tính khối lượng của 1 triệu hạt electron. Đưa ra đáp số sử dụng đơn vị ki-lô-gam dưới dạng chuẩn.

1 Number and calculation

9 Here are four numbers:

w = 9.81 × 10−5 x = 2.8 × 10−4 y = 9.091 × 10−5 z = 4 × 10−4

a Which number is the largest?

b Which number is the smallest?

10 a Explain why the number 65 × 104 is not in standard form.

b Write 65 × 104 in standard form.

c Write 48.3 × 106 in standard form.

11 Write these numbers in standard form.

a 15 × 10−3 b 27.3 × 10−4 c 50 × 10−9

12 Do these additions. Write the answers in standard form.

a 2.5 × 106 + 3.6 × 106 b 4.6 × 105 + 1.57 × 105 c 9.2 × 104 + 8.3 × 104

13 Do these additions. Write the answers in standard form.

a 4.5 × 10−6 + 3.1 × 10−6 b 5.12 × 10−5 + 2.9 × 10−5

c 9 × 10−8 + 7 × 10−8

14 a Multiply these numbers by 10. Give each answer in standard form.

i 7 × 105 ii 3.4 × 106

iii 4.1 × 10−5 iv 1.37 × 10−4

b Generalise your results from part a

c Describe how to multiply or divide a number in standard form by 1000.

What are the advantages of writing numbers in standard form?

Summary checklist

I can write large and small numbers in standard form.

1 Số và phép toán

9 Cho bốn số:

w = 9,81 × 10−5 x = 2,8 × 10−4 y = 9,091 × 10−5 z = 4 × 10−4

a Số nào lớn nhất?

b Số nào nhỏ nhất?

10 a Giải thích tại sao 65 × 104 không phải số được viết dưới dạng chuẩn.

b Viết 65 × 104 dưới dạng chuẩn.

c Viết 48,3 × 106 dưới dạng chuẩn.

11 Viết những số sau dưới dạng chuẩn.

a 15 × 10−3 b 27,3 × 10−4 c 50 × 10−9

12 Thực hiện những phép cộng sau. Viết đáp số dưới dạng chuẩn

a 2,5 × 106 + 3,6 × 106 b 4,6 × 105 + 1,57 × 105 c 9,2 × 104 + 8,3 × 104

13 Thực hiện những phép cộng sau. Viết đáp số dưới dạng chuẩn

a 4,5 × 10−6 + 3,1 × 10−6 b 5,12 × 10−5 + 2,9 × 10−5 c 9 × 10−8 + 7 × 10−8

14 a Nhân những số sau với 10. Viết đáp số dưới dạng chuẩn.

i 7 × 105 ii 3,4 × 106

iii 4,1 × 10−5 iv 1,37 × 10−4 b Khái quát hoá các đáp số của em trong phần a.

c Mô tả cách nhân chuẩn cho 1 000.

1.3 Indices

This table shows powers of 3. 32 33 34 35 36 9 27 81 243 729

When you move one column to the right, the index increases by 1 and the number multiplies by 3. 9 × 3 = 27 27 × 3 = 81 81 × 3 = 243, and so on.

When you move one column to the left, the index decreases by 1 and the number divides by 3. You can use this fact to extend the table to the left:

3−4 3−3 3−2 3−1 30 31 32 33 34 35 36 1 81 1 27 1 9 1 3 1 3 9 27 81 243 729

9 ÷ 3 = 3 3 ÷ 3 = 1 1 3 1 3 ÷ = 1 3 1 9 3÷ = 1 9 1 27 3÷ = , and so on.

You can see from the table that 31 = 3 and 30 = 1.

Also: 3 1 1 3 = 3 2 1 32 = 3 3 1 33 = , and so on.

In general, if n is a positive integer then 3 1 3 = n n . These results are not only true for powers of 3. They apply to any positive integer.

For example: 5 2 2 1 5 1 25 == 8 3 3 1 8 1 512 == 60 = 1 In general, if a and n are positive integers then a0 = 1 and an n a = 1

Exercise 1.3

1 Write each number as a fraction. a 4−1 b 2−3 c 9−2 d 6−3 e 10−4 f 2−5

2 Here are five numbers: 2−4 3−3 4−2 5−1 60 List the numbers in order of size, smallest first.

Tip

The index is the small red number.

Tip 30 = 1 seems strange but it fits the pattern.

1 Số và phép toán

Bảng dưới đây trình bày các luỹ thừa của 3.

32 33 34 35 36 9 27 81 243 729

Khi em di chuyển sang phải một cột, số mũ sẽ tăng 1 và kết quả sẽ nhân 3.

9 × 3 = 27 27 × 3 = 81 81 × 3 = 243, và tiếp tục như vậy

Khi em di chuyển sang trái một cột, số mũ giảm 1 và kết quả sẽ chia 3. Em có thể sử dụng dữ kiện này để mở rộng bảng về phía bên trái: 3−4 3−3 3−2 3−1 30 31 32 33 34 35 36 1 81 1 27 1 9 1 3 1 3 9 27 81 243 729

9 ÷ 3 = 3 3 ÷ 3 = 1 1 3 1 3 ÷ = 1 3 1 9 3÷ = 1 9 1 27 3÷ = , và tiếp tục như vậy.

Em có thể nhận ra từ bảng trên rằng 31 = 3 và 30 = 1.

Đồng thời: 3 1 1 3 = 3 2 1 32 = 3 3 1 33 = , và tiếp tục như vậy.

Nói chung, nếu n là một số nguyên dương thì 3 1 3 = n n . Những kết quả này không chỉ đúng cho luỹ thừa của 3. Những kết quả này áp dụng cho số nguyên dương bất kì.

Ví dụ: 5 2 2 1 5 1 25 == 8 3 1 8 1 512 == 60 = 1 Nói chung, nếu a và n là các số

Mách nhỏ

Số mũ là số nhỏ màu đỏ.

1 Number and calculation

3 Write these numbers as powers of 2.

a 1 2 b 1 4 c 64 d 1 64 e 1 f 8−1

4 Write each number as a power of 10. a 100 b 1000 c 1 d 0.1 e 0.001 f 0.000 001

5 Write 1 64

a as a power of 64 b as a power of 8 c as a power of 4 d as a power of 2.

6 a Write 1 81 as a power of a positive integer.

b How many different ways can you write the answer to part a?

7 When x = 6, find the value of a x2 b x−2 c x0 d x−3

8 Write m−2 as a fraction when a m = 9 b m = 15 c m = 1 d m = 20

9 yxx =+22 and x is a positive number.

a Write y as a mixed number when i x = 1 ii x = 2 iii x = 3

b Find the value of x when i y = 25.04 ii y = 100.01

10 a Write the answer to each multiplication as a power of 3. i 3323 × ii 3345 × iii 3364 × iv 335 ×

b In part a you used the rule 3 33 abab × = + when the indices are positive integers.

In the following multiplications, a or b can be negative integers. Show that the rule still gives the correct answers. i 3321 × ii 33 2 × iii 3331 × iv 3311 × v 3321 ×

c Write two examples of your own to show that the rule works. d Give your work to a partner to check.

11 Write the answer to each multiplication as a power of 5.

a 5542 × b 5542 × c 5542 × d 5542 ×

Tip

Write out the numbers and multiply.

1 Số và phép toán

3 Viết những số sau dưới dạng luỹ thừa của 2.

a 1 2 b 1 4 c 64 d 1 64 e 1 f 8−1

4 Viết những số sau dưới dạng luỹ thừa của 10.

a 100 b 1 000 c 1 d 0,1 e 0,001 f 0,000001

5 Viết 1 64

a dưới dạng luỹ thừa của 64 b dưới dạng luỹ thừa của 8

c dưới dạng luỹ thừa của 4 d dưới dạng luỹ thừa của 2.

6 a Viết 1 81 dưới dạng luỹ thừa của một số nguyên dương.

b Em có thể viết được đáp số của phần a theo bao nhiêu cách?

7 Biết x = 6, tìm giá trị của

a x2 b x−2 c x0 d x−3

8 Viết m−2 dưới dạng phân số biết

a m = 9 b m = 15 c m = 1 d m = 20

9 yxx =+22 và x là một số dương.

a Viết y dưới dạng hỗn số biết

i x = 1 ii x = 2 iii x = 3

b Tính giá trị của x biết i y = 25,04 ii y = 100,01

10 a Viết đáp số cho mỗi phép nhân sau dưới dạng luỹ thừa của 3. i 3323 × ii 3345 × iii 3364 × iv 335 ×

b Trong phần a, em đã áp dụng quy tắc 3 33 abab × = + khi số mũ là số nguyên dương.

Trong những phép nhân sau, a hoặc b có thể là số nguyên âm. Chỉ ra rằng quy tắc đó vẫn cho ra đáp số đúng. i 3321 × ii 33 2 × iii 3331 × iv 3311 × v 3321 ×

c Viết ra hai ví dụ của chính em để chỉ ra rằng quy tắc trên là đúng. d Đưa bài của em với một bạn cùng lớp để kiểm tra.

11 Viết đáp số cho mỗi phép nhân sau dưới dạng luỹ thừa của 5. a 5542 × b 5542 × c 5542 × d

Mách nhỏ Viết ra các số, sau đó thực hiện phép nhân. 5542 ×

1 Number and calculation

12 Write the answer to each multiplication as a single power.

a 6632 × b 7752 × c 111146 × d 4462 ×

13 Find the value of x in each case.

a 2 22 59 × x = b 3 3324x × = c 44 4 35x × = d 121212 32 =× x

Think like a mathematician

14 a Write as a single power: i 2253 ÷ ii 4452 ÷ iii 5565 ÷ iv 22107 ÷

b The rule for part a is that nabnnab ÷ = when the indices a and b are positive integers.

Write some examples to show that this rule also works for indices that are negative integers.

c Give your examples to a partner to check.

15 Write the answer to each division as a single power. a 6625 ÷ b 9934 ÷ c 151526 ÷ d 101038 ÷

16 Write the answer to each division as a single power. a 2223 ÷ b 8852 ÷ c 5542 ÷ d 121235 ÷

17 Write down

a 82 as a power of 2 b 8−2 as a power of 2 c 272 as a power of 3 d 27−2 as a power of 3 e 272 as a power of 9 f 27−2 as a power of 9.

Summary checklist

I can understand positive, negative and zero indices.

I can use the addition rule for indices to multiply powers of the same number.

I can use the subtraction rule for indices to divide powers of the same number.

c Đưa các ví dụ của em với một bạn cùng lớp để kiểm tra.

15 Viết đáp số cho mỗi phép chia sau dưới dạng luỹ thừa đơn. a 6625 ÷ b 9934 ÷ c 151526 ÷ d 101038 ÷

16 Viết đáp số cho mỗi phép chia sau dưới dạng luỹ thừa đơn. a 2223 ÷ b 8852 ÷ c 5542 ÷ d 121235 ÷

17 Viết

a 82 dưới dạng luỹ thừa của 2 b 8−2 dưới dạng luỹ thừa của 2 c 272 dưới dạng luỹ thừa của 3 d 27−2 dưới dạng luỹ thừa của 3 e 272 dưới dạng luỹ thừa của 9 f 27−2 dưới dạng luỹ thừa của 9.

Check your progress

1 Write whether each number is rational or irrational. a 4 b 5 c 62 5. d 625. e 625

2 Write whether each number is rational or irrational. Give a reason for each answer. a 3422 + b 97 +

3 Without using a calculator, find an integer n such that nn << + 5013

4 Write each number in standard form. a 86 000 000 000 b 0.000 006 45

5 Write these numbers in order of size, smallest first.

A = 9 × 10−4 B = 6 × 10−3 C = 8 × 10−5 D = 7.5 × 10−4

6 Write each number as a fraction.

a 7−2 b 3−4 c 2−7

7 Write each number as a power of 5. a 125 b 1 c 0.04

8 Write the answer to each calculation as the power of a single number. a 6683 × b 121223 × c 4428 ÷ d 151546 ÷

Getting started

1 Sara thinks of a number, x. She divides the number by 3, then adds 7. Write an expression for the number Sara gets.

2 Copy and complete a 32 × 34 = 3 b 5 5 12 9 = 5 c (72)5 =7

3 Expand a x(x + 2) b 3y(4y – 7w)

4 Factorise a 4x + 12 b 4x2 + 14x

5 Work out a 3 4 2 3 + b 2 11 2 3 10

6 a Use the formula F = ma to work out F when m = 10 and a = 2.5.

b Rearrange the formula F = ma to make a the subject.

c Use your formula in part b to work out a when F = 72 and m = 12. Expressions and formulae

You might not be surprised that computer programmers, scientists, engineers and statisticians all use algebra in their jobs. But you might be surprised at some other jobs that also need algebra.

Cooks and chefs prepare food for other people. They work in all sorts of places, from cafés and restaurants to international business headquarters. They need to plan menus and adapt recipes for the number of people they are feeding. They must work out quantities of ingredients, their cost and the price their customers will pay for the food. They use algebra when they deal with ingredients and prices.

Farm and ranch managers deal with the dayto-day activities of a ranch or farm. They use algebra when they manage the farm accounts and write yearly business plans. If they grow crops, they need to plan how much fertiliser to apply and when to put it on the crops. They might use quite complicated algebra, as they need to consider lots of different things such as soil type, crop to be grown, type of fertiliser, cost of fertiliser, etc.

Whatever job you do, you never know when algebra will be there to help you! are 42, 73, (−2)2 and (−3)3.

2 Biểu thức và công thức

Có thể em sẽ không ngạc nhiên khi biết rằng tất cả những lập trình viên máy tính, nhà khoa học, kĩ sư và nhà thống kê đều sử dụng đại số trong công việc của mình. Nhưng có thể em sẽ ngạc nhiên khi biết rằng những ngành nghề khác cũng cần đến đại số.

Đầu bếp và bếp trưởng chuẩn bị đồ ăn cho mọi người. Họ làm việc ở khắp nơi, từ quán cà phê, nhà hàng đến những trụ sở doanh nghiệp quốc tế. Họ cần lên kế hoạch thực đơn và điều chỉnh công thức phù hợp với số người mà họ phục vụ. Họ phải tính toán lượng nguyên liệu, giá nguyên liệu và giá khách hàng trả cho đồ ăn. Họ sử dụng đại số khi xử lí nguyên liệu và giá thành. Những nhà quản lí trang trại xử lí những hoạt động thường ngày của một trang trại. Họ sử dụng đại số khi quản lí sổ sách một trang trại và viết kế hoạch kinh doanh hằng năm. Nếu họ trồng trọt, họ cần lên kế hoạch lượng phân bón để dùng và khi nào thì dùng cho cây cối. Họ có thể sử dụng đại số khá phức tạp vì họ cần cân nhắc nhiều yếu tố khác nhau như loại đất, cây trồng để phát triển, loại phân bón, giá phân bón, v.v. Bất kể các em làm nghề gì, các em sẽ đều thấy đại số thật hữu ích!

2.1 Thay vào biểu thức

Trong phần này, em sẽ…

• áp dụng đúng thứ tự thực hiện phép tính trong các biểu thức đại số.

Khi em thay số vào biểu thức, hãy nhớ thứ tự thực hiện phép toán:

• Tính toán trong dấu ngoặc và số mũ trước, sau đó đến phép chia và phép nhân.

• Luôn luôn tính phép cộng và phép trừ cuối cùng.

Từ khoá phản ví dụ

Mách nhỏ Những ví dụ về số mũ là 42, 73, (−2)2 và (−3)3.

Worked example 2.1

a Work out the value of the expression 5a − 6b when a = 4 and b = −3.

b Work out the value of the expression 3x2 − 2y3 when x = −5 and y = 2.

c Work out the value of the expression pq p 54 () when p = 2 and q = −3.

Answer

a 5a –6b =5×4–6×–3 =20+18

Substitute a = 4 and b = −3 into the expression.

Work out the multiplications first: 5 × 4 = 20 and 6 × −3 = −18.

Subtracting −18 is the same as adding 18.

b 59= 3x2 –2y3 =3×(–5)2–2×23 =3×25–2×8 =75–16

Substitute x = −5 and y = 2 into the expression.

Work out the indices first: (−5)2 = −5 × −5 = 25 and 23 = 2 × 2 × 2 = 8.

Then work out the multiplications. 3 × 25 = 75 and 2 × 8 = 16. Finally work out the subtraction. ×–3

Substitute p = 2 and q = −3 into the expression.

Work out the term in brackets first. Start with the fraction.

4 × −3 = −12; −12 ÷ 2 = −6.

Subtracting −6 is the same as adding 6.

Finally, multiply the value of the term in brackets by 2; 2 × 11 = 22.

Tip

In part a, there are no brackets and no indices, so first deal with any divisions and multiplications and then with any additions and subtractions.

Ví dụ minh hoạ 2.1

a Tính giá trị của biểu thức 5a − 6b biết a = 4 và b = −3.

b Tính giá trị của biểu thức 3x2 − 2y3 biết x = −5 và y = 2.

c Tính giá trị của biểu thức pq p 54 () biết p = 2 và q = −3.

Lời giải

a 5a –6b =5×4–6×–3 =20––18 =20+18 =38

b 59= 3x2 –2y3 =3×(–5)2–2×23 =3×25–2×8 =75–16

Thay a = 4 và b = −3 vào biểu thức.

Thực hiện phép nhân đầu tiên:

5 × 4 = 20 và 6 × −3 = −18.

Trừ −18 tương đương với cộng 18.

2 Biểu thức và công thức

Thay x = −5 và y = 2 vào biểu thức.

Tính số mũ trước:

(−5)2 = −5 × −5 = 25 và

23 = 2 × 2 × 2 = 8.

Sau đó thực hiện các phép nhân.

3 × 25 = 75 và 2 × 8 = 16.

Cuối cùng thực hiện phép trừ.

Thay p = 2 và q = −3 vào biểu thức.

Trước tiên, tính các hạng tử trong dấu ngoặc. Bắt đầu với phân số.

4 × −3 = −12; −12 ÷ 2 = −6.

Trừ −6 tương đương với cộng 6.

Cuối cùng nhân giá trị trong dấu ngoặc với 2; 2 × 11 = 22.

Mách nhỏ

Trong phần a, không có dấu ngoặc và không có số mũ, nên đầu tiên phải xử lí mọi phép chia và phép nhân, sau đó là phép cộng và phép trừ.

Exercise 2.1

1 Copy and complete the workings to find the value of each expression when x = 3 and y = 5. a = =3–x – 2y =3–2×5 b x xy 33+=335 +× =+ = c y x y 2210103 5 30 5 –=5()×

2 Work out the value of each expression when a = −2, b = 3, c = −4 and d = 6.

a b + d b a + 2b c 2d − b d 4b + 2a e bd − 10 f d 2 + ab g da 2 h 20 + b3 ab + cd bc da +

Think like a mathematician

3 Work with a partner to answer this question.

a The expression ab c d has a value of 24. Write values for a, b, c and d when i a, b, c and d are all positive numbers

ii a, b, c and d are all negative numbers iii a, b, c and d are a mixture of positive and negative numbers.

b Discuss the methods you used, and the values you found, with other learners in your class.

c Look at the Thinking and Working Mathematically characteristics. Which characteristics do you think you have used here?

4 This is part of Pierre’s homework.

Question

Work out the value of each expression when x = –3 and y = –2. a x 2 + xy b y3 –6x yAnswer

a –32 + –3 × –2 = –9 + 6 b (–2)3 –6 × 3 –2 = 8 – 18 –2 = –3 = 8 – 9 = –1

a Biểu thức ab c d có giá trị là 24. Tìm giá trị của a, b, c và d biết

i a, b, c và d đều là số dương

ii a, b, c và d đều là số âm

iii a, b, c và d bao gồm cả số dương và âm.

b Thảo luận với những bạn khác trong lớp về những phương pháp các em đã sử dụng và các giá trị các em đã tìm ra.

c Quan sát các đặc tính trong Tư duy và làm việc theo Toán học. Đặc tính nào các em đã áp dụng trong bài này?

4 Đây là một phần trong bài tập về nhà của Pierre. –3 và

2 Expressions and formulae

a Look at Pierre’s answers. Do you think his working and answers are correct?

Give a reason for your answer.

b Discuss your answers to part a with other learners in your class. Do you agree or disagree with the other learners?

If you made a mistake, do you understand the mistake you made? If other learners made a mistake, explain to them the mistake they made.

Think like a mathematician

5 Work with a partner to answer this question. The expression xy 2 + has a value of 15.

Write down three pairs of integer values for x and y when

a x and y are both positive numbers

b x and y are both negative numbers

c x is negative and y is positive, or vice versa.

Discuss the methods you used, and the values you found, with other learners in your class.

6 Copy and complete the workings to find the value of each expression when m = 2 and p = −4.

a 42 4(m+2p)=4(2+2×–4) b =+ p3–3mp =(–4)3–3×2×–4

c p

2 Biểu thức và công thức

a Quan sát các đáp số của Pierre. Em nghĩ rằng bài làm và đáp số của bạn ấy có đúng không?

Đưa ra lí do cho câu trả lời của em.

b Thảo luận câu trả lời của em trong phần a với các bạn khác trong lớp. Em có đồng ý với các bạn trong lớp không?

Nếu em trả lời sai, em có hiểu vì sao mình sai không?

Nếu bạn của em làm sai, em hãy giải thích cho bạn lí do sai.

Tư duy như một nhà Toán học

5 Trả lời những câu hỏi sau với một bạn cùng lớp. Biểu thức xy 2 + có giá trị là 15.

Viết ba cặp giá trị nguyên cho x và y biết

a x và y đều là số dương b x và y đều là số âm

c x âm và y dương, hoặc ngược lại.

Thảo luận các phương pháp em đã sử dụng và các giá trị em tìm ra với các bạn khác trong lớp.

6 Chép lại và hoàn thành những bài làm sau để tìm giá trị của mỗi biểu thức biết m = 2 và p = −4. a 42 =− 4(m+2p)=4(2+2×–4) b p3–3mp =(–4)3–3×2×–4

7 Work out the value of each expression when w = 5, x = 2, y = −8 and z = −1.

a 3(w + x) b x(2w − y) c 3w − z3 d (2x)3

e x2 + y2 f wxzy + g 2(x3 − z2) h 25 − 2w2

i w + z(2x − y) j (3z)4 – z7

Activity 2.1

Work with a partner for this activity. With your partner, choose different values for the letters m and p. Write three expressions that use m and p, similar to those in Question 6, and work out the values of your expressions. You can make your expressions as easy or as difficult as you like but they must have whole number answers. Write your expressions on a piece of paper, then swap your piece of paper with another pair of learners in your class.

Work out the values of each other’s expressions. Swap back and mark each other’s work. Discuss any mistakes that have been made.

8 This is part of Dai’s homework.

Question

Use a counter-example to show that the state ment

2x 2 = (2x)2 is not true (x ≠ 0). Answer

Let x = 3, so 2x 2 = 2 × 32 = 2 × 9 = 18 and (2x)2 = (2 × 3)2 = 62 = 36 18 ≠ 36, so 2x 2 ≠ (2x)2.

Use a counter-example to show that these statements are not true (x ≠ 0, y ≠ 0).

Tip

A counterexample is just one example that shows a statement is not true.

a 3x2 = (3x)2 b (−y)4 = −y4 c 2(x + y) = 2x + y

9 Work out the value of each expression.

a 41 122 3 4()xx -+ + when x = 2 b 35 2 212 3y y y +- when y = 3

2 Biểu thức và công thức

7 Tính giá trị của mỗi biểu thức biết w = 5, x = 2, y = −8 và z = −1. a 3(w + x) b x(2w − y) c 3w − z3 d (2x)3 e x2 + y2 f wxzy g 2(x3 − z2) h 25 − 2w2 (2 (3 )4

Hoạt động 2.1

Làm hoạt động này với một bạn cùng lớp.

Hãy cùng một bạn cùng lớp chọn những giá trị khác nhau cho các chữ cái m và p.

Viết ba biểu thức sử dụng m và p, tương tự Câu hỏi 6, và tính giá trị biểu thức của các em. Các em có thể tạo nên biểu thức dễ hay khó tuỳ thích nhưng biểu thức phải có đáp số là số tự nhiên.

Viết những biểu thức của các em vào một mảnh giấy, sau đó trao đổi với một cặp học sinh khác trong lớp.

Tính giá trị các biểu thức vừa trao đổi với bạn học. Sau đó đổi lại và chấm điểm bài làm của cặp học sinh đó.

Thảo luận về những lỗi sai.

8 Đây

Mách nhỏ

Phản ví dụ là một ví dụ để chỉ ra một phát biểu nào đó là không đúng.

10 Show that 5 972 5 2 abaab b ++() = + 59 6 34 23 a bba aab () when a = −2 and b = −1.

Look back at the questions in this exercise.

• Which questions did you find easy to answer? Why?

• Which questions did you find difficult to answer? Why?

• Do you feel confident using the correct order of operations?

• Do you feel confident substituting negative numbers into expressions?

• What can you do to improve your skills in this topic?

Summary checklist

I can use the correct order of operations in algebraic expressions.

2.2 Constructing expressions

In this section you will ...

• use letters to represent numbers

• use the correct order of operations in algebraic expressions.

In algebraic expressions, letters represent unknown numbers. You often need to construct algebraic expressions to help you solve problems. Suppose you want to work out the price of tickets for a day out. You might choose to let a represent the price of an adult’s ticket and c represent the price of a child’s ticket.

• You can write the total price for an adult’s ticket and a child’s ticket as a + c.

• You can write the difference between the price of an adult’s ticket and a child’s ticket as a − c.

• You can write the total price of tickets for 2 adults and 2 children as 2(a + c) or 2a + 2c. These expressions are written in terms of a and c.

Key word in terms of

• Em có cảm thấy tự tin khi thay số âm vào biểu thức không?

• Em có thể làm gì để cải thiện các kĩ năng trong chủ đề này?

Trong biểu thức đại số, các chữ cái đại diện cho những số chưa biết. Thông thường em cần xây dựng biểu thức đại số để giúp em giải bài toán. Giả sử em muốn tính giá vé cho những tấm vé cho một ngày đi chơi. Em có thể chọn a đại diện cho giá vé người lớn và c đại diện cho giá vé trẻ em.

• Em có thể viết tổng giá cho một vé người lớn và một vé trẻ em thành a + c.

• Em có thể viết hiệu giá cho một vé người lớn và một vé trẻ em thành a − c

• Em có thể viết

Worked example 2.2

a Ahmad thinks of a number, n.

Write an expression, in terms of n, for the number Ahmad gets when he i divides the number by 3, then subtracts 6 ii adds 3 to the number, then multiplies the result by 4 iii multiplies the number by itself, then halves the result iv square roots the number then adds 5.

b The diagram shows a rectangle. Write an expression in terms of x for i the perimeter ii the area.

Write each expression in its simplest form.

Answer

a i n 3 6

ii 4(n + 3)

iii n 2 2

3x + 4 x2

Divide n by 3, then subtract 6. Write n ÷ 3 as n 3

Add 3 to n, then multiply the result by 4. Write n + 3 inside brackets to show this must be done before multiplying by 4.

Multiply n by itself to give n × n; write this as n2

Then divide the result by 2. Write n2 ÷ 2 as n 2 2 . iv n + 5 Square root n. Then add 5.

b i 3x + 4 + 3x + 4 + x2 + x2 = 2x2 + 6x + 8

ii x2(3x + 4) = 3x3 + 4x2

Exercise 2.2

1 Kara thinks of a number, n.

Add together the lengths of the four sides to work out the perimeter.

Simplify the expression by collecting like terms.

Multiply the length by the width to work out the area. Simplify the expression by multiplying out the bracket.

Write the correct expression from the cloud for the number Kara gets when she: a adds five to the number b multiplies the number by five, then subtracts five c divides the number by five, then adds five d adds five to the number, then multiplies by five e subtracts five from the number, then divides by five f subtracts the number from five.

5 – n 5(n + 5)

5n – 5 n 5 5 n + 5 n 55 +

2 Biểu thức và công thức

Ví dụ minh hoạ 2.2

a Ahmad nghĩ đến một số, n.

Viết một biểu thức, theo biến n, cho số Ahmad thu được khi bạn ấy

i chia số đó cho 3, sau đó trừ 6

ii cộng 3 vào số đó, sau đó nhân kết quả với 4

iii nhân số đó với chính nó, sau đó chia đôi kết quả

iv lấy căn bậc hai số đó, sau đó cộng 5.

b Hình bên biểu diễn một hình chữ nhật. Viết biểu thức theo biến x để tính

i chu vi

ii diện tích.

Viết mỗi biểu thức dưới dạng tối giản.

Lời giải

a i n 3 6

ii 4(n + 3)

iii n 2 2

iv n + 5

b i 3x + 4 + 3x + 4 + x2 + x2 = 2x2 + 6x + 8

ii x2(3x + 4) = 3x3 + 4x2

Bài tập 2.2

1 Kara nghĩ đến một số n. Từ hình

Chia n cho 3, sau đó trừ 6. Viết n ÷ 3 thành n 3

3x + 4 x2

Cộng 3 vào n, sau đó nhân kết quả với 4. Viết n + 3 trong ngoặc tròn để diễn tả rằng phép tính đó phải thực hiện xong trước khi nhân 4.

Nhân n với chính nó để ra n × n; viết thành n2

Sau đó chia kết quả cho 2. Viết n2 ÷ 2 thành n 2 2 .

Lấy căn bậc hai n. Sau đó cộng 5.

Cộng các độ dài của bốn cạnh với nhau để tính chu vi.

Rút gọn biểu thức bằng cách nhóm các hạng tử đồng dạng.

Nhân chiều dài với chiều rộng để tính diện tích.

Rút gọn biểu thức bằng cách nhân phá ngoặc.

2 Luis thinks of a number, x.

Write an expression, in terms of x, for the number Luis gets when he: a multiplies the number by 7 b subtracts the number from 20 c multiplies the number by 2, then adds 9 d divides the number by 6, then subtracts 4 e multiplies the number by itself f divides 100 by the number g subtracts 7 from the number, then multiplies the result by 5 h square roots the number i cubes the number j cube roots the number k multiplies the number by 3, squares the result, then adds 7 l multiplies the number by 2, cubes the result, then subtracts 100.

3 Write an expression for i the perimeter and ii the area of each rectangle. Write each expression in its simplest form. This is part of an the

2 Biểu thức và công thức

2 Luis nghĩ đến một số x.

Viết biểu thức theo biến x cho số Luis thu được khi bạn ấy:

a nhân số đó với 7

b lấy 20 trừ đi số đó

c nhân số đó với 2, sau đó cộng 9

d chia số đó cho 6, sau đó trừ 4

e nhân số đó với chính nó

f chia 100 cho số đó

g lấy số đó trừ 7, sau đó nhân kết quả với 5

h lấy căn bậc hai số đó

Mách nhỏ

i lập phương số đó

j lấy căn bậc ba số đó

k nhân số đó với 3, bình phương kết quả, sau đó cộng 7 l nhân số đó với 2, lập phương kết quả, sau đó trừ đi 100.

3 Viết biểu thức tính i chu vi và ii diện tích của mỗi hình chữ nhật.

Viết biểu thức dưới dạng tối giản.

Nhớ rằng em viết căn bậc ba bằng hiệu Đây là một phần trong bài tập về nhà của và

a Read what Sofia says.

I use a different method to write the expression for the perimeter. I work out perimeter = 2(x + 5) + 2(2x), then I expand the brackets and simplify.

Show that Sofia’s method will give the correct expression for the perimeter.

b Critique each method. Whose method do you prefer to use to write the expression for the perimeter? Explain why.

c When x = 3, copy and complete these workings: length of rectangle = x + 5 = 3 + 5 = width of rectangle = 2x = 2 × 3 = perimeter = 2 × length + 2 × width = 2 × + 2 × = area = length × width = × =

d When x = 3, copy and complete these workings: perimeter = 6x + 10 = 6 × 3 + 10 = area = 2x2 + 10x = 2 × 32 + 10 × 3 = + =

e What do you notice about your answers for the perimeter and area in parts c and d? Do you think this is a good method to use to check your expressions are correct? Explain your answer.

5 Write an expression for i the perimeter and ii the area of each rectangle. Write each expression in its simplest form.

iii Then use the values given, and the method from Question 4, to check your expressions are correct.

a x+ 2 3 x = 4 b y – 6 4 y = 10 c n + = p2

2 Biểu thức và công thức

a Đọc phát biểu của Sofia. Chỉ ra rằng phương pháp của Sofia sẽ cho ra biểu thức chính xác tính chu vi.

Tớ sử dụng phương pháp khác để viết biểu thức tính chu vi. Tớ tính chu vi = 2(x + 5) + 2(2x), sau đó tớ khai triển dấu ngoặc và rút gọn.

b Phản biện mỗi phương pháp. Em thích sử dụng phương pháp nào hơn để viết biểu thức tính chu vi? Giải thích tại sao.

c Biết x = 3, chép lại và hoàn thành những bài làm sau: chiều dài hình chữ nhật = x + 5 = 3 + 5 = chiều rộng hình chữ nhật = 2x = 2 × 3 = chu vi = 2 × chiều dài + 2 × chiều rộng = 2 × + 2 × = diện tích = chiều dài × chiều rộng = × =

d Biết x = 3, chép lại và hoàn thành các bài làm sau: chu vi = 6x + 10 = 6 × 3 + 10 = diện tích = 2x2 + 10x = 2 × 32 + 10 × 3 = + =

e Em kết luận điều gì về các đáp số tính chu vi và diện tích trong phần c và d?

Em có nghĩ rằng đây là một phương pháp tốt để sử dụng nhằm kiểm tra biểu thức của em có đúng hay sai không?

Giải thích câu trả lời của em.

5 Viết các biểu thức tính i chu vi và ii diện tích của hình chữ nhật. Viết mỗi biểu thức dưới dạng tối giản.

iii Sau đó sử dụng những giá trị cho sẵn và phương pháp từ Câu hỏi 4, để kiểm tra biểu thức của em có đúng không.

a x+ 2 b y – 6 4 y = 10 p =

Think like a mathematician

6 Work with a partner to answer these questions.

Alicia and Razi have rods of four different colours.

The blue rods have a length of x + 1.

The red rods have a length of x + 2.

The green rods have a length of 2x + 1. The yellow rods have a length of 3x. x + 1 x + 2 2x + 1 3x

Alicia shows Razi that the total length of 3 red rods and 5 yellow rods is the same as 6 green rods and 2 yellow rods, like this.

3 red + 5 yellow = 3(x + 2) + 5(3x) = 3x + 6 + 15x = 18x + 6 6 green + 2 yellow = 6(2x + 1) + 2(3x) = 12x + 6 + 6x = 18x + 6

a Show that

i the total length of 2 red rods and 2 yellow rods is the same as 4 green rods

ii the total length of 3 red rods and 3 yellow rods is the same as 6 green rods

iii the total length of 4 red rods and 4 yellow rods is the same as 8 green rods.

b What do your answers to part a tell you about the connection between the number of red and yellow rods and the number of green rods?

c Show that

i the total length of 6 red rods and 2 yellow rods is the same as 12 blue rods ii the total length of 9 red rods and 3 yellow rods is the same as 18 blue rods

iii the total length of 12 red rods and 4 yellow rods is the same as 24 blue rods.

d What do your answers to part c tell you about the connection between the number of red and yellow rods and the number of blue rods?

e Discuss your answers to parts b and d with other learners in your class.

2 Biểu thức và công thức

Tư duy như một nhà Toán học

6 Hãy trả lời những câu hỏi sau với một bạn cùng lớp.

Alicia và Razi có bốn cây gậy với bốn màu sắc khác nhau.

Gậy màu xanh dương có chiều dài x + 1.

Gậy màu đỏ có chiều dài x + 2.

Gậy màu xanh lá có chiều dài 2x + 1.

Gậy màu vàng có chiều dài 3x. x + 1 x + 2 2x + 1 3x

Alicia chỉ cho Razi rằng tổng chiều dài của 3 gậy đỏ và 5 gậy vàng sẽ bằng tổng chiều dài của 6 gậy xanh lá và 2 gậy vàng, như sau.

3 đỏ + 5 vàng = 3(x + 2) + 5(3x) = 3x + 6 + 15x = 18x + 6 6 xanh lá+ 2 vàng = 6(2x + 1) + 2(3x) = 12x + 6 + 6x = 18x + 6

a Hãy chỉ ra rằng

i tổng độ dài của 2 gậy đỏ và 2 gậy vàng bằng 4 gậy xanh lá

ii tổng độ dài của 3 gậy đỏ và 3 gậy vàng bằng 6 gậy xanh lá

iii tổng độ dài của 4 gậy đỏ và 4 gậy vàng bằng 8 gậy xanh lá.

b Những câu trả lời trong phần a cho em biết gì về mối liên hệ giữa số gậy đỏ và vàng với số gậy xanh lá?

c Chỉ ra rằng

i tổng độ dài của 6 gậy đỏ và 2 gậy vàng bằng 12 gậy xanh dương

ii tổng độ dài của 9 gậy đỏ và 3 gậy vàng bằng 18 gậy xanh dương

iii tổng độ dài của 12 gậy đỏ và 4 gậy vàng bằng 24 gậy xanh dương.

d Những câu trả lời trong phần c cho em biết gì về mối liên hệ giữa số gậy đỏ và vàng với số gậy xanh dương?

e Thảo luận các câu trả lời trong phần b và d với những bạn khác trong lớp.

7 The diagram shows a triangle.

The lengths of the sides of the triangle are written as expressions.

a Work out the lengths of the sides of the triangle when w = 2 and v = 3.

b Use your answers to part a to work out the perimeter of the triangle when w = 2 and v = 3.

c Write an expression for the perimeter of the triangle. Show that the expression can be simplified to 14w2 + vw + 6v2 .

d Substitute w = 2 and v = 3 into the expression for the perimeter from part c

Check that your answers to parts b and d are the same.

Think like a mathematician

8 Work with a partner to answer this question. The diagram shows a quadrilateral. The lengths of the sides of the quadrilateral are written as expressions. 3a2 – 7b a2 + 6b 4(a + 3b)

8b – 3a

a Work out the lengths of the sides of the quadrilateral when a = −5 and b = 2.

b Use your answers to part a to work out the perimeter of the quadrilateral when a = −5 and b = 2.

c Write an expression for the perimeter of the quadrilateral. Show that the expression can be simplified to a + 4a2 + 19b.

d Use the expression in part c to work out the perimeter of the quadrilateral when a = −5 and b = 2.

Are your answers to parts b and d the same? If not, check your working.

e Work out the perimeter of the quadrilateral when a = 4 and b = −3.

f Is your answer to part e a valid measurement for the perimeter? Explain your answer.

Discuss your answer with other learners in your class.

2 Biểu thức và công thức

7 Hình bên biểu diễn một tam giác.

Độ dài các cạnh của tam giác được viết dưới dạng biểu thức.

a Tính độ dài của các cạnh tam giác biết w = 2 và v = 3.

b Sử dụng đáp số phần a để tính chu vi của tam giác biết w = 2 và v = 3.

c Viết biểu thức tính chu vi của tam giác.

Chỉ ra rằng biểu thức có thể rút gọn thành 14w2 + vw + 6v2

8b – 3a

d Thay w = 2 và v = 3 vào biểu thức tính chu vi từ phần c Kiểm tra xem các đáp số của em cho phần b và d có giống nhau không. 5w(w + v) (3w)2 2v(3v – 2w) câu hỏi sau với một bạn cùng lớp. Hình vẽ sau biểu diễn một tứ giác. Độ dài của các cạnh tứ giác được viết dưới dạng biểu thức. 3a2 – 7b a2 + 6b 4(a + 3b)

a Tính độ dài các cạnh của tứ giác biết a = −5 và b = 2.

b Sử dụng các đáp số phần a để tính chu vi của tứ giác biết a = −5 và b = 2.

c Viết biểu thức tính chu vi của tứ giác. Chỉ ra rằng biểu thức có thể rút gọn thành a + 4a2 + 19b.

d Sử dụng biểu thức trong phần c để tính chu vi của tứ giác biết a = −5 và b = 2.

Đáp số các phần b và d của em có giống nhau không? Nếu không, kiểm tra bài làm của em.

e Tính chu vi của tứ giác biết a = 4 và b = −3.

f Đáp số của em cho phần e có là một số đo hợp lí cho chu vi không?

Giải thích câu trả lời của em.

Thảo luận câu trả lời của em với những bạn khác trong lớp.

9 a Write an expression for the perimeter of this rectangle.

b Show that the expression can be simplified to 2(2x2 + 9).

c Read what Arun says.

When x = 2 and when x = −2, you get the same perimeter.

Is Arun correct? Explain your answer. Show your working.

10 a A square has an area of 25 cm2. Show that the perimeter of the square is 20 cm.

b A square has an area of 49 cm2. Work out the perimeter of the square.

c A square has an area of x cm2. Write an expression for the perimeter of the square.

Use your working for parts a and b to help you.

11 a A cube has side length x cm. Write an expression for the volume of the cube.

b A cube has a volume of y cm3. Write an expression for the side length of the cube. x2 checklist

• When the xa × xb = xa+b

• When you divide powers of the same variable, you subtract the indices. xa ÷ xb = xab

• When you simplify the power of a power, you multiply the indices. ( x a ) b = x a × b

Tip You might need to remind yourself how to factorise expressions.

2 Biểu thức và công thức

9 a Viết biểu thức tính chu vi hình chữ nhật bên.

b Chỉ ra rằng biểu thức có thể rút gọn thành 2(2x2 + 9).

c Đọc phát biểu của Arun.

Khi x = 2 và khi x = −2, bạn sẽ có được chu vi bằng nhau.

10 a Một hình vuông có diện tích 25 cm2. Chỉ ra rằng chu vi của hình vuông bằng 20 cm.

b Một hình vuông có diện tích 49 cm2. Tính chu vi của hình vuông.

c Một hình vuông có diện tích x cm2. Viết biểu thức tính chu vi của hình vuông.

Arun có đúng không? Giải thích câu trả lời của em. Trình bày bài làm của em.

Sử dụng bài làm phần a và b để giúp em.

11 a Một hình lập phương có độ dài cạnh là x cm.

Viết biểu thức tính thể tích của hình lập phương đó.

b Một hình lập phương có thể tích y cm3.

Viết biểu thức tính độ dài cạnh của hình lập phương đó. 3x2 + 4 cần nhớ lại cách

Worked example 2.3

Simplify each expression.

a () d 6244 ww

a x

To multiply, add the indices. 2 + 3 = 5, so the answer is x5 . b y7 ÷ y = y = y

To divide, subtract the indices. 7 − 4 = 3, so the answer is y3 c zz z 3434

To simplify the power of a power, multiply the indices. 3 × 4 = 12, so the answer is z12 . d 62 844 6w4 and 2w4 are like terms, so add 6 and 2 together. The index stays the same.

Exercise 2.3

1 Copy and complete. x b yyy y 2424 c d www w 551 f hh51251

2 Simplify each expression. p q9 ÷ x 7 h y 2

2 Biểu thức và công thức

Ví minh hoạ

Rút gọn mỗi biểu thức sau.

a x2 × x3 b y7 ÷ y4 c z 3 4 () d 6244 ww + Lời giải

a x2 × x3 = x2 + = x

b y7 ÷ y4 = y7 – 4 = y

Để thực hiện phép nhân, ta cộng các số mũ.

2 + 3 = 5 nên đáp số là x5

Để thực hiện phép chia, ta trừ các số mũ.

7 − 4 = 3 nên đáp số là y3 .

c zz z 3434 12 ()= = × Để rút gọn luỹ thừa của luỹ thừa, ta nhân các số mũ.

3 × 4 = 12 nên đáp số là z12 .

d 62 844 4 www += 6w4 và 2w4 là các hạng tử đồng dạng, do đó cộng 6 và 2 với nhau.

Số mũ giữ nguyên.

Bài

1 Chép lại và hoàn thành phép toán sau.

a x xx x 4545 ×= + b yyy y 2424 ×= + uuu u 8686 d www w 551 = gg f hh51251 ()2 5 3 33 h 8 22 2 nnn

2 Rút gọn từng biểu thức sau

a m8 × m6 b n9 × n3 c p6 × p d q9 ÷ q4 e r6 ÷ r3 f t7 ÷ t2 g x 7 3 () h y 2 5 () i z 3 4 () j 3277 tt + k 8322 gg l 35 99 9hhh +-

Think like a mathematician

3 Arun, Sofia and Zara simplify the expression xx22 what they say.

I think the answer is 0. think the answer is 1. think the answer is x

a What do you think? you agree with Arun, Sofia, Zara or none of them?

b Discuss your answer with other learners in the class. Following your discussions, write down the correct simplified expression for xx22

d What can you say the answers

4 This is part of Kai’s homework. Kai’s method these could try values and work numerical

2 Biểu thức và công thức

Tư duy như một nhà Toán học

3 Arun, Sofia và Zara rút gọn biểu thức xx22 ÷ . Đọc phát biểu của các bạn.

Mình nghĩ đáp số là 1.

Mình nghĩ đáp số là 0.

Mình nghĩ đáp số là x.

a Em nghĩ sao? Em đồng ý với Arun, Sofia, Zara hay không ai trong số các bạn ấy?

b Thảo luận câu trả lời của em với các bạn khác trong lớp.

c Tiếp tục cuộc thảo luận của em, hãy viết biểu thức rút gọn đúng cho xx22 ÷ .

d Em có thể phát biểu gì khi rút gọn những biểu thức sau? xx55 ÷ yy44 ÷ aabb ÷ ccdd ÷ Giải thích câu trả lời của em.

Mách nhỏ có thể thử những giá trị khác nhau cho x và tính kết quả ra số trước.

4 Đây x2 × × x × x × × ×

2 Biểu thức và công thức

Tư duy như một nhà Toán học

5 Harsha và Sasha rút gọn biểu thức 6352xx ÷ như sau.

a Phản biện các phương pháp của Harsha và Sasha. Em thích phương pháp của ai hơn? Tại sao?

Em có thể nghĩ ra một phương pháp tốt hơn để áp dụng không?

b Em thích viết một phép chia biểu thức sử dụng dấu chia (6352xx ÷ ) hay dạng phân số 6 3 5 2 x x ()? Tại sao?

c Thảo luận câu trả lời của em trong phần a và b với những bạn khác trong lớp. Thảo luận cách các em có thể rút gọn các biểu thức như 4653xx ÷ , 12876yy ÷ và 636 94zz ÷ . Với những biểu thức

8 Marcus and Arun simplify the expression Read what they say.

I think the answer think the answer Who is correct, Marcus or Arun? Explain why. Simplify these expressions.

Activity 2.3

a Make a copy of this spider diagram. In each empty circle, write an expression that simplifies to the expression in the centre circle. expressions similar to those in questions

c Swap your spider diagram with a partner’s diagram mark each other’s work. Discuss any mistakes that have been made.

9 Simplify these expressions. your answers using a negative power and a fraction. a has been done for you.

10 Here are six rectangular cards and seven oval cards. expressions on the rectangular cards have been simplified to give the expressions on the oval cards. the rules negative

8 Marcus và Arun rút gọn biểu thức (3x2)3. Đọc phát biểu của các bạn. Mình nghĩ đáp số là 3x6 Mình nghĩ đáp số là 27x6

2 Biểu thức và công thức

a Bạn nào đúng, Marcus hay Arun? Giải thích tại sao. Rút gọn các biểu thức sau. (4 5)2 (5y (2z7)4

a Vẽ lại sơ đồ mạng nhện sau.

b Trong mỗi hình tròn trống, viết một biểu thức để rút gọn thành biểu thức trong hình tròn trung tâm.

Sử dụng các biểu thức tương tự như trong câu hỏi 4, 6 và 8

c Đổi sơ đồ mạng nhện của em với sơ đồ của một bạn cùng lớp và chấm điểm bài làm của nhau.

Thảo luận về các lỗi sai nếu có.

9 Rút gọn những biểu thức sau.

Viết đáp số của em sử dụng luỹ thừa âm và phân số. Phần a đã được hoàn thành sẵn cho em.

a qqqq q 474731 3 ÷=== b r3 ÷ t7 ÷ t12 d v6 ÷ v7

10 Dưới đây là sáu thẻ hình chữ

In this section, you have used the rules for indices in algebraic expressions. In Unit 1, you used the rules for indices with numbers. Do you find it easier to use the rules for indices with expressions or with numbers, or is there no difference? Why?

Summary checklist

I laws indices algebraic expressions.

When you multiply together two expressions in brackets, you must multiply each term in the first pair of brackets by each term in the second pair of brackets.

a Match each rectangular card with the correct oval card. b There is one oval card left. Write an expression that simplifies to give the expression on this card. words of squares perfect square

Worked example 2.4

Expand and simplify these expressions.

a (x + 2)(x + 3) b (y + 8)(y − 4) Answer

a (x + 2)(x + 3)

First, multiply the x in the first brackets by the x in the second brackets to give x2 .

Then, multiply the x in the first brackets by the 3 in the second brackets to give 3x.

Then, multiply the 2 in the first brackets by the x in the second brackets to give 2x.

Finally, multiply the 2 in the first brackets by the 3 in the second brackets to give 6.

= x2 + 3x + 2x + 6

= x2 + 5x + 6

b (y + 8)( y − 4)

Write each term as you work it out.

Collect like terms, 3x + 2x = 5x, to simplify your answer.

First, multiply the y in the first brackets by the y in the second brackets to give y2 .

Then, multiply the y in the first brackets by the −4 in the second brackets to give −4y.

Then, multiply the 8 in the first brackets by the y in the second brackets to give 8y.

Finally, multiply the 8 in the first brackets by the −4 in the second brackets to give −32.

= y2 − 4y + 8y – 32

= y2 + 4y – 32

Write each term as you work it out.

Collect like terms, −4y + 8y = 4y, to simplify your answer.

2 Biểu thức và công thức

Ví dụ minh hoạ 2.4

Khai triển và rút gọn những biểu thức sau.

a (x + 2)(x + 3) b (y + 8)(y − 4)

Lời giải

a (x + 2)(x + 3)

Đầu tiên, nhân x trong dấu ngoặc đầu tiên với x trong dấu ngoặc thứ hai để ra x2

Sau đó, nhân x trong dấu ngoặc đầu tiên với số 3 trong dấu ngoặc thứ hai để ra 3x

Sau đó, nhân số 2 trong dấu ngoặc đầu tiên với x trong dấu ngoặc thứ hai để ra 2x

Cuối cùng nhân số 2 trong dấu ngoặc đầu tiên với số 3 trong dấu ngoặc thứ hai để ra 6. = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6

b (y + 8)( y − 4)

Viết ra các hạng tử như em vừa tính.

Nhóm các hạng tử đồng dạng, 3x + 2x = 5x, để rút gọn đáp số của em.

Đầu tiên, nhân y trong dấu ngoặc đầu tiên với y trong dấu ngoặc thứ hai để ra y2 .

Sau đó, nhân y trong dấu ngoặc đầu tiên với số −4 trong dấu ngoặc thứ hai để ra −4y.

Sau đó, nhân số 8 trong dấu ngoặc đầu tiên với y trong dấu ngoặc thứ hai để ra 8y.

Cuối cùng nhân số 8 trong dấu ngoặc đầu tiên với –4 trong dấu ngoặc thứ hai để ra −32.

= y2 − 4y + 8y – 32 Viết ra các hạng tử như em vừa tính.

= y2 + 4y – 32

Nhóm các hạng tử đồng dạng, −4y + 8y = 4y, để rút gọn đáp số của em.

Exercise 2.4

1 Copy and complete these multiplications.

a (x + 4)(x + 1) = x2 + 1x + x + = x2 + x + (x + 2)(x − 8) = x2 − x + x − = x2 − x −

b (x − 3)(x + 6) = x2 + 6x − x − = x2 + x − (x − 4)(x − 1) = x2 − x − x + = x2 − x +

2 Expand and simplify. (x + 3)(x + 7) (x + 1)(x + 10) + 5)(x − 3) − 7)( − mathematician

3 Sofia and Zara discuss the different methods they use to expand two brackets. Read what they say.

I use the same method as in Question 1

This is the method I use: (x + 4)(x + 1) = x(x + 1) + 4(x + 1) = x2 + x + 4x + 4 = x2 + 5x + 4

a Critique Zara’s method. Do you prefer Zara’s method or Sofia’s method? Why?

b Can you think of another method you can use to expand two brackets?

c Discuss your answers to parts a and b with other learners in your class.

4 Expand and simplify these expressions. Use your favourite method.

a (y + 2)(y + 4) (z + 6)(z + 8) (m + 4)(m − 3) (a − 9)(a + 2) (p − 6)(p − 5) (n − 10)(n − 20)

b (x − 3)(x + 6) = x2 + 6x − x − = x2 + x − d (x − 4)(x − 1) = x2 − x − x + = x2 − x +

3 Sofia và Zara thảo luận hai phương pháp khác nhau mà các bạn ấy sử dụng để khai triển biểu thức chứa hai dấu ngoặc. Hãy đọc những điều các bạn ấy nói. Tớ sử dụng phương pháp giống trong Câu hỏi 1

Đây là phương pháp tớ sử dụng: (x + 4)(x + 1) = x(x + 1) + 4(x + 1) = x2 + x + 4x + 4 = x2 + 5x + 4

a Phản biện phương pháp của Zara. Em thích phương pháp của Zara hay phương pháp của Sofia hơn? Tại sao?

b Em có thể nghĩ ra phương pháp khác em có thể sử dụng để khai triển hai dấu ngoặc?

c Thảo luận câu trả lời của em cho phần a và b với các bạn khác trong lớp.

Think like a mathematician

5 Work with a partner to answer this question.

a Look at this expansion. (x + 5)(x + 4) = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20

How would the expansion change if the red + sign changed to ?

b Here is the expansion again. (x + 5)(x + 4) = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20

How would the expansion change if the red + sign changed to ?

c Here is the expansion again. (x + 5)(x + 4) = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20

How would the expansion change if both of the + signs changed to signs?

d Write down the missing signs (+ or ) in these expansions.

In each expression, the number represented by A is greater than the number represented by B. C is the sum of A and B in each equation, and D is the product of A and B in each equation.

i (x + A)(x + B) = x2 Cx D

ii (x + A)(x − B) = x2 Cx D

iii (x − A)(x + B) = x2 Cx D

iv (x − A)(x − B) = x2 Cx D

Discuss your answers to these questions with other learners in your class.

6 Which is the correct expansion of the expression, A, B or C?

Use what you have learned from Question 5 to help you.

a (w + 9)(w + 3) = A w2 + 12w − 27 B w2 − 12w + 27 C w2 + 12w + 27 b (x + 7)(x − 5) = A x2 + 2x − 35 B x2 − 2x + 35 C x2 − 2x − 35 c (y − 8)(y + 6) = A y2 − 2y + 48 B y2 − 2y − 48 C y2 + 2y − 48 d (z − 4)(z − 5) = A z2 − 9z + 20 B z2 − 9z − 20 C z2 + 9z + 20

7 Copy and complete each expansion.

a (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + x + = x2 + x + b (x − 3)2 = (x − 3)(x − 3) = x2 − 3x − x + = x2 − x +

8 a Expand and simplify each expression. i (y + 5)2 ii (z + 1)2 iii (m + 8)2 iv (a − 2)2 v (p − 4)2 vi (n − 9)2

b Look carefully at your answers to part a. Use these answers to complete the general expansion: (x + a)2 = x2 + x +

Tip

Use the same method as in Question 7

Tip

This type of expansion is called a perfect square.

2 Biểu thức và công thức

Tư duy như một nhà Toán học

5 Trả lời câu hỏi sau với một bạn cùng lớp.

a Quan sát phép khai triển bên. (x + 5)(x + 4) = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20

Phép khai triển sẽ thay đổi như thế nào nếu dấu + đỏ thay bằng ?

b Đây lại là phép khai triển đó. (x + 5)(x + 4) = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20

Phép khai triển sẽ thay đổi như thế nào nếu dấu + đỏ thay bằng ?

c Đây vẫn là phép khai triển đó. (x + 5)(x + 4) = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20

Phép khai triển sẽ thay đổi như thế nào nếu dấu + đỏ thay bằng ?

d Viết ra những dấu (+ hoặc ) còn thiếu trong những phép khai triển sau.

Trong mỗi phép khai triển, số được đại diện bởi A lớn hơn số được đại diện bởi B. C là tổng của A và B trong mỗi phương trình, và D là tích của A và B trong mỗi phương trình.

i (x + A)(x + B) = x2 Cx D

ii (x + A)(x − B) = x2 Cx D

iii (x − A)(x + B) = x2 Cx D

iv (x − A)(x − B) = x2 Cx D Thảo luận đáp số của em cho những câu hỏi này với các bạn khác trong lớp.

6 Đâu là phép khai triển đúng cho biểu thức, A, B hay C? Áp dụng điều em đã học được từ Câu hỏi 5 để hỗ trợ bài tập này.

a (w + 9)(w + 3) = A w2 + 12w − 27 B w2 − 12w + 27 C w2 + 12w + 27 b (x + 7)(x − 5) = A x2 + 2x − 35 B x2 − 2x + 35 C x2 − 2x − 35 c (y − 8)(y + 6) = A y2 − 2y + 48 B y2 − 2y − 48 C y2 + 2y − 48 d (z − 4)(z − 5) = A z2 − 9z + 20 B z2 − 9z − 20 C z2 + 9z + 20

7 Chép lại và hoàn thành từng phép khai triển sau.

a (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2) = x2 + 2x + x + = x

9 a Show that when you expand and simplify (x + 3)(x − 3) you will have an expression with only two terms.

b Expand and simplify these expressions.

i (x + 2)(x − 2) ii (x − 5)(x + 5) iii (x + 7)(x − 7)

c What do you notice about your answers in part b?

d Use your answer to part c to write the simplified expansion of (x − 10)(x + 10).

e Look carefully at your answers to this question so far. Use these answers to complete the general expansion: (x + a) ( type of expansion called the difference of two squares

Activity 2.4

Work with a partner on this activity. Here is part of a number grid. Look at the red block of four squares, and follow these steps.

1 Multiply the number in the bottom left square by the number in the top right square: 9 × 5 = 45

2 Multiply the number in the top left square by the number in the bottom right square: 4 × 10 = 40

3 Subtract the second answer from the first: 45 − 40 = 5

a Repeat these three steps with the blue block of four squares.

b Repeat these three steps with the green block of four squares.

c What do you notice about your answers to parts a and b?

d Here is a general block of four squares from the same number grid. Copy the block of four squares and write an expression, in terms of n, in each of the other squares to represent the missing numbers.

e Repeat the three steps with the block of four squares in part d. What do you notice about your answer? Now you have completed this activity, compare your answers with other learners in your class. Discuss any differences in your answers and explain any mistakes that have been made.

Summary checklist

I can expand two brackets.

9 a Chỉ ra rằng khi em khai khiển và rút gọn (x + 3)(x − 3) em sẽ có một biểu thức chỉ với hai hạng tử.

b Khai triển và rút gọn những biểu thức sau. i (x + 2)(x − 2) ii (x − 5)(x + 5) iii (x + 7)(x − 7)

c Em nhận thấy điều gì về các đáp số trong phần b?

d Áp dụng câu trả lời của em từ phần c để viết khai triển rút gọn cho (x − 10)(x + 10).

e Quan sát cẩn thận các đáp số của câu hỏi này cho đến đây. Áp dụng những đáp số đó để hoàn thành khai triển tổng quát: (x + a)(x – a) = x2 –

Hoạt động 2.4

Làm hoạt động này với một bạn cùng lớp. Đây là một phần của bảng số. Quan sát khối màu đỏ gồm bốn ô và theo dõi những bước sau.

1 Nhân số ở ô phía dưới bên trái với số ở ô phía trên bên phải: 9 × 5 = 45

2 Nhân số ở ô phía trên bên trái với số ở ô phía dưới bên phải: 4 × 10 = 40

3 Lấy kết quả thứ nhất trừ cho kết quả thứ hai: 45 − 40 = 5

a Lặp lại ba bước trên với khối bốn ô xanh dương.

b Lặp lại ba bước trên với khối bốn ô xanh lá

c Em kết luận điều gì về các kết quả phần a và b?

d Đây là một khối tổng quát gồm bốn ô trong cùng bảng số.

2 Biểu thức và công thức

Mách nhỏ

Loại khai triển này được gọi là hiệu của hai bình phương.

Chép lại khối bốn ô và viết một biểu thức theo biến n biểu thị những số bị thiếu.

e Lặp lại ba bước từ 1 đến 3 với khối bốn ô trong phần d

Em kết luận điều gì về câu trả lời của mình?

Bây giờ em đã hoàn thành hoạt động này, so sánh các kết quả của em với những bạn khác trong lớp. Thảo luận mọi điểm khác nhau trong kết quả của các em và giải thích những lỗi sai nếu có. n

Em có thể khai triển biểu thức chứa hai dấu ngoặc.

2.5 Simplifying algebraic fractions

In this section you will …

• simplify algebraic fractions.

An algebraic fraction is a fraction that contains an unknown variable, or letter. For example, x 4 , y 2 , 8 z , 2 3 a and 5 4 b are all algebraic fractions.

You can write the fraction x 4 (say ‘x over 4’) as 1 4 x (say ‘one-quarter of x’).

You can write the fraction 2 3 a (say ‘2a over 3’) as 2 3 a (say ‘two-thirds of a’).

To add and subtract algebraic fractions, use the same method as for normal fractions.

• If the denominators are the same, simply add or subtract the numerators.

• If the denominators are different, write the fractions as equivalent fractions with the same denominator, then add or subtract the numerators.

• Cancel your answer to its simplest form.

Key word algebraic fraction

The denominators are the same, so add the numerators.

Cancel the fraction to its simplest form.

Write 1 3 x as x

The denominators are different, so change 4 y to 8 2 y

The denominators are now the same, so subtract the numerators.

3 2 y cannot be simplified, so leave it as it is.

2 Biểu thức và công thức

Trong phần này, em sẽ…

• rút gọn phân thức đại số.

Một phân thức đại số là một phân số bao gồm biến hoặc chữ cái chưa biết.

Ví dụ, x 4 , y 2 , 8 z , 2 3 a và 5 4 b đều là những phân thức đại số.

Em có thể viết phân thức x 4 (đọc là “x phần 4ˮ) thành 1 4 x (đọc là “một phần tư của xˮ).

Em có thể viết phân thức 2 3 a (đọc là “2a phần 3ˮ) thành 2 3 a (đọc là “hai phần ba của aˮ).

Để cộng và trừ các phân thức đại số, sử dụng phương pháp tương tự như phân số thông thường.

• Nếu mẫu số giống nhau, chỉ cần cộng hoặc trừ các tử số.

• Nếu mẫu số khác nhau, viết các phân thức dưới dạng phân thức bằng nhau với cùng mẫu số, sau đó cộng hoặc trừ các tử số.

• Rút gọn phân thức về dạng tối giản. khoá phân thức đại số

Mẫu số giống nhau, do đó cộng các tử số.

Rút gọn phân thức về dạng tối giản. khác nhau cho nên đổi 4 y thành 8 số bây giờ đã giống nhau, tiếp theo trừ các tử số. 2 y không thể rút gọn, vì vậy giữ nguyên đáp số đó.

Continued c n p np pp np pp np p 5 2 3 3 53 25 35 3 15 10 15 310 15 +=+ × × × + +

Exercise 2.5

Find equivalent fractions which have a common denominator.

The denominators are now the same, so add the numerators. 310 15 np p + cannot be simplified, so leave it as it is.

Throughout this exercise, give each answer as a fraction in its simplest form.

1 Simplify these expressions. a xx 55 + b xx 7 3 7 + c 35 xx + d 2 33 xx + e 7 1515 xx f 117 xx

2 Simplify these expressions. The first two have been started for you. a 2 5 3 1010 3 1010 yyyyy +=+= b 2 5 1 2525 1 2525 yyyyy -= -= c yy 24 + d yy 28 e 2 3 5 9 yy + f 4 7 5 14 yy

3 Copy and complete these additions and subtractions.

a aaaa aa a 25 5 1010 5 10 10 += + + b bbbb bb b 43 3 1212 3 12 12 += + = = + c 5 7 2 5 25 3535 25 35 35 cccc c c + + =+ = = d 5 6 3 53030 30 30 dddd dd d -= e 7 8 2 32424 24 24 eeee ee e -= f 9 10 3 42020 20 20 ffff f f -=

2 Biểu thức và công thức

Tìm những phân thức bằng nhau có cùng mẫu số. số bây giờ đã giống nhau, tiếp theo cộng các tử số. 15 np p + không thể rút gọn, vì vậy giữ nguyên đáp số đó.

Bài tập 2.5

Trong bài tập này, đưa ra đáp số là phân thức dưới dạng tối giản.

1 Rút gọn những biểu thức sau.

a xx 55 + b xx 7 3 7 + c 35 xx + 2 33 xx e 7 1515 f 117

2 Rút gọn những biểu thức sau. Hai biểu thức đầu tiên đã được gợi ý cho em. 2 5 3 1010 3 1010 yyyyy b 2 5 1 2525 1 2525 yyyyy c yy 24 + yy 28 e 2 3 5 9 yy f 4 7 5 14 yy

3 Chép lại và hoàn thành những phép cộng và trừ sau. aaaa aa a 25 5 1010 b bbbb 43 3 1212 3 12 12 c 5 7 2 5 25 3535 25 35 35 cccc 5 6 7 8 2 32424 f 9 10 3 42020 ffff n p5 2 3 3 53 25 15 0

4 Here are some algebraic fraction cards. The red cards are question cards. The blue cards are answer cards.

A 9 10 13 20 xx B xx 63 + C 2 7 3 14 xx + D 11 18 13 36 xx

E 7 9 5 18 xx xx 126 + G xx 30 3 10 + i x 4 ii x 2

a Which question cards match answer card i? Show your working.

b Which question cards match answer card ii? Show your working.

c Which question card does not match either of the answer cards?

Work out the answer to this card.

Think like a mathematician

5 Work with a partner to answer this question. This is part of Su-Lin’s homework.

a Substitute x = 1 and y = 2 into xy 26 + and work out the answer.

b Substitute x = 1 and y = 2 into xy + 2 and work out the answer.

c Use your answers to parts a and b to show that Su-Lin’s answer is incorrect.

d Look back at Su-Lin’s solution and explain the mistake she has made. Write the correct answer.

Question

Simplify x 2 + y 6

Answer x 2 + y 6 = 3x 6 + y 6 = 3x + y 6 = 1 3 x + y 2 6 = x + y 2

e Discuss your answers to parts a to d with other learners in your class.

f Use what you have learned to decide if these simplified fractions are correct or incorrect. If they are incorrect, work out the correct answer.

i

a Những thẻ câu hỏi nào phù hợp với thẻ đáp số i? Trình bày bài làm của em Những thẻ câu hỏi nào phù hợp với thẻ đáp số ii? Trình bày bài làm của em Những thẻ câu hỏi nào không phù hợp với các thẻ đáp số?

Tính đáp số cho thẻ đó.

Tư duy như một nhà Toán học

5 Trả lời câu hỏi sau với một bạn cùng lớp.

Đây là một phần trong bài tập về nhà của Su-Lin.

a Thay x = 1 và y = 2 vào xy 26 + và tính đáp số.

b Thay x = 1 và y = 2 vào xy + 2 và tính đáp số.

c Sử dụng đáp số trong các phần a và b để chỉ ra rằng đáp số của Su-Lin không đúng.

d Đọc lại lời giải của Su-Lin và giải thích những lỗi sai mà bạn ấy đã mắc phải. Viết đáp số đúng.

e Thảo luận đáp số các phần từ a đến d với những bạn khác trong lớp.

f Áp dụng những điều em vừa

6 a Simplify these expressions.

b For each expression in part a, choose values for a and b Substitute your values into the questions and work out the numerical answers. Substitute your values into your algebraic answer and work out the numerical answers. Check your numerical answers match, to show your algebraic expressions are correct. a for this activity. fractions

Take it in turns to ask your partner to add or subtract two of the cards. For example, you could say ‘C + F’ or ‘H – B’. You can choose. Work out the answer yourself and mark your partner’s work. Discuss any mistakes that have been made. Do this twice each. Iain’s

6 a Rút gọn những biểu thức sau.

i ab 55 + ii 5 12 3 4 ab + iii 2 15 3 5 a + iv a b4 3+ v 3 10 4a b + vi 4 9 3 2 a b +

b Với những biểu thức trong phần a, chọn các giá trị cho a và b Thay những giá trị vừa chọn vào các câu hỏi và tính kết quả bằng số.

Thay những giá trị vừa chọn vào đáp số đại số của em và tính kết quả bằng số.

Kiểm tra kết quả bằng số của em có hợp lí không để chỉ ra rằng biểu thức đại số của em là chính xác.

2 Biểu thức và công thức

Mách nhỏ

Làm hoạt động này với một bạn cùng lớp. Đây là tám thẻ phân thức được gắn nhãn từ A đến H.

A

Lấy lần lượt từng thẻ và yêu cầu bạn em cộng hoặc trừ hai tấm thẻ với nhau.

Ví dụ, em có thể nói “C + F“ hoặc “H – B“. Em có thể tuỳ chọn.

Em tự tính kết quả và và chấm điểm bài làm của bạn cùng lớp.

Thảo luận những lỗi sai đã mắc. Mỗi bạn thực hiện hai lần.

Tư duy như một nhà Toán học

7 Trả lời câu hỏi sau với một bạn cùng lớp. Đây là một phần trong bài tập về nhà của Iain.

Câu hỏi gọn x + x = 1(3x = x

Continued

a Substitute x = 3 into 62 2 x + and work out the answer.

b Substitute x = 3 into 3x + 1 and work out the answer.

c Use your answers to parts a and b to show that Iain’s answer is correct.

d Look back at Iain’s solution and explain why his method works.

e Read what Arun says:

I use a much easier method, I just cancel the numbers that are the same 62 2 1 161x x + =+

Show that when x = 3, Arun’s answer is incorrect. Explain why his method is incorrect.

f Discuss your answers to parts a to e with other learners in your class. How will you convince them about your findings if your answers are different?

8 Simplify these expressions. Make sure you factorise the numerator before you cancel with the denominator.

a 63 3 x + b 510 5 x + c 69 3 x d 820 4 x

9 Show that 64 2 2025 5 xx-+ + simplifies to 7x + 3.

10 This is how Shania and Taylor simplify the fraction 618 3 x + Shania

Tip In Question 9, simplify each fraction separately, then add the answers together.

Fully factorise 6x + 18 = 6(x + 3) 6x + 18 3 = 6(x + 3) 3 = 2 6(x + 3) 1 3 = 2(x + 3) Taylor

The denominator is 3, so take out a factor of 3: 6x + 18 = 3(2x + 6) 6x + 18 3 = 3(2x + 6) 3 = 1 3(2x + 6) 1 3 = 2x + 6

a Show that Shania’s answer is equivalent to Taylor’s answer.

b Critique both methods. Whose method do you prefer, Shania’s or Taylor’s? Explain why.

c Sử dụng đáp số các phần a và b để chỉ ra rằng đáp số của Iain là chính xác.

d Xem kĩ lại lời giải của Iain và giải thích tại sao phương pháp của bạn ấy hiệu quả.

e Đọc phát biểu của Arun:

Tớ sử dụng phương pháp dễ hơn nhiều, tớ chỉ cần rút gọn những số giống nhau 62 2 1 161x x + =+

Chỉ ra rằng khi x = 3, đáp số của Arun không chính xác. Giải thích tại sao phương pháp của bạn ấy không đúng.

f Thảo luận những câu trả lời của em từ phần a đến e với các bạn khác trong lớp. Nếu câu trả lời của các em khác nhau, em sẽ thuyết phục các bạn như thế nào về lời giải của mình?

Mách nhỏ

Trong Câu hỏi 9, rút gọn mỗi phân thức riêng biệt, sau đó cộng các kết quả với nhau.

c Simplify these fractions. Use your favourite method.

While answering the questions in this exercise, you have used skills you have learned before. Make a list of the skills you have used while simplifying these algebraic fractions (for example, one skill you have used is factorising expressions). If you are not sure of the other skills, look back through the questions in the exercise.

Summary checklist

I can simplify algebraic fractions.

2.6 Deriving and using formulae

In this section you will … use formulae the subject of a formula.

A formula is a mathematical rule that shows the relationship between two or more variables. For example, a formula that is often used in physics is: v = u + at In this formula, v is the subject of the formula. It is written on its own, on one side of the equation. Depending on the information you are given and the variable you want to find, you might need to rearrange the formula. This is called changing the subject of the formula. For example, if you know the values of v, a and t in the formula v = u + at and you want to work out the value of u, you would rearrange the equation as shown. This makes u the subject of the formula.

Key words changing the subject subject of a formula Tip

You usually write the subject of the formula (in this example, v) on the left-hand side of the equation.

Nếu em không chắc về những kĩ năng khác, hãy đọc kĩ lại thông qua những câu hỏi trong phần bài tập.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể rút gọn phân thức đại số.

Từ

thay đổi chủ thể chủ thể của công thức

Công thức là một quy tắc Toán học chỉ ra mối quan hệ giữ hai hay nhiều biến. Ví dụ, một công thức thường được sử dụng trong Vật lí là: v = u + at Trong công thức này, v là chủ thể của công thức. Nó được viết riêng lẻ, ở vế trái của phương trình.

Phụ thuộc vào thông tin em được cho và biến em muốn tìm, em có thể cần sắp xếp lại công thức. Hành động này được gọi là thay đổi chủ thể của công thức. Ví dụ, nếu em biết giá trị của v, a và t trong công thức v = u + at và em muốn tính giá trị của u, em sẽ sắp xếp lại phương trình như sau.

Cách làm này biến u thành chủ thể

Mách nhỏ

Em thường viết chủ thể của công thức (trong ví dụ này là v) ở vế trái của phương trình. v=u+at u+at=v u=v−at

If you know the values of v, u and a in the formula v = u + at and you want to work out the value of t, you would rearrange the equation as shown. This makes t the subject of the formula.

Worked example 2.6

v=u+at u+at=v at=v–u tvu a =

a Each day, Li is paid a fixed wage W dollars, and an extra R dollars per hour he works. Write a formula for the total pay, P dollars, Li earns when he works H hours one day.

b Use the formula in part a to work out P when W = 60, H = 8 1 4 and R = 4.80.

c Rearrange the formula in part a to make H the subject.

d Use your answer to part c to work out H when P = 91, W = 65 and R = 5.20.

Answer

a P = W + HR

b P = 60 + 8.25 × 4.80 = $99.60

c PWHR -=

pay (P) = fixed wage (W) + number of hours (H) × rate of pay (R) Remember to write H × R as HR

Substitute W = 60, H = 8.25 and R = 4.80 into the formula.

Work out the answer and remember the units ($).

To make H the subject, use inverse operations. Start by subtracting W from P.

PW R H= Now divide by R.

HPW R =

d H = 9165 52 0.

= 5 hours

Now rewrite the formula with H as the subject on the left-hand side.

Substitute P = 91, W = 65 and R = 5.20 into the formula.

Work out the answer and remember the units (hours).

2 Biểu thức và công thức Nếu em biết giá trị của v, u và a trong công thức v = u + at và em muốn tính giá trị của t, em sẽ sắp xếp lại phương trình như sau. Cách làm này biến t thành chủ thể của công thức. v=u+at u+at=v at=v–u tvu a =

Ví dụ minh hoạ 2.6

a Mỗi ngày, Li được trả một khoản lương cố định là W dollar, và R dollar thêm cho mỗi giờ anh ấy làm việc.

Viết công thức tổng thu nhập P dollar mà Li kiếm được khi anh ấy làm việc H giờ đồng hồ một ngày.

b Áp dụng công thức trong phần a để tính P biết W = 60, H = 8 1 4 và R = 4,80.

c Sắp xếp lại công thức trong phần a để biến H thành chủ thể.

d Sử dụng đáp số phần c để tính H biết P = 91, W = 65 và R = 5,20.

Lời giải

a P = W + HR thu nhập (P) = lương cố định (W) + số giờ (H) × hệ số (R)

Hãy nhớ viết H × R thành HR.

b P = 60 + 8,25 × 4,80 = $99,60

c PWHR -=

Thay W = 60, H = 8,25 và R = 4,80 vào công thức. Tính đáp số và nhớ ghi đơn vị ($).

Để H là chủ thể, sử dụng những phép toán ngược.

Bắt đầu bằng phép tính P trừ cho W

PW R H= Tiếp theo chia cho R.

HPW R =

d H =–9165 52 0,

Bây giờ viết lại công thức với H là chủ thể trong vế trái.

Thay P = 91, W = 65 và R = 5,20 vào công thức. = 5 giờ

Tính đáp số và nhớ ghi đơn vị (giờ).

Exercise 2.6

1 a Write a formula for the number of seconds, S, in any number of minutes, M.

b Use your formula in part a to work out S when M = 15.

c Rearrange your formula in part a to make M the subject.

d Use your formula in part c to work out M when S = 1350.

2 a Use the formula F = ma to work out the value of i F when m = 12 and a = 5 ii F when m = 26 and a = −3.

b Rearrange the formula F = ma to make m the subject. Work out the value of m when F = 30 and a = 2.5.

c Rearrange the formula F = ma to make a the subject. Work out the value of a when F = −14 and m = 8.

Think like a mathematician

3 Work with a partner to answer these questions.

a Copy and complete this table showing the number of faces, edges and vertices of 3D shapes.

3D shape

Number of faces Number of vertices Number of edges cube cuboid triangular prism triangular-based pyramid square-based pyramid

b Write a formula that connects the number of faces (F), vertices (V) and edges (E). Check your formula works for the shapes in the table.

c Make V the subject of your formula. Work out V when i E = 10 and F = 6 ii E = 12 and F = 7.

Tip

Make a sketch of each shape to help you.

Tip You studied Euler’s formula in Stage 8.

2 Biểu thức và công thức

Bài tập 2.6

1 a Viết công thức tính số giây S, trong số phút M bất kì.

b Áp dụng công thức trong phần a để tính S biết M = 15.

c Sắp xếp lại công thức của em trong phần a để biến M thành chủ thể.

d Áp dụng công thức trong phần c để tính M biết S = 1 350.

2 a Áp dụng công thức F = ma để tính giá trị của

i F biết m = 12 và a = 5

ii F biết m = 26 và a = −3.

b Sắp xếp lại công thức F = ma để biến m thành chủ thể.

Tính giá trị m biết F = 30 và a = 2,5.

c Sắp xếp lại công thức F = ma để biến a thành chủ thể.

Tính giá trị a biết F = −14 và m = 8.

Tư duy như một nhà Toán học

3 Trả lời những câu hỏi sau với một bạn cùng lớp.

a Chép lại và hoàn thành bảng sau thể hiện số mặt, cạnh và đỉnh của các hình 3D.

Hình 3D Số mặt Số đỉnh Số cạnh hình lập phương hình hộp chữ nhật hình lăng trụ tam giác hình chóp đáy tam giác hình chóp đáy vuông

b Viết công thức chỉ ra mối liên hệ giữa số mặt (F), số đỉnh (V) và số cạnh (E). Kiểm tra công thức của em có đúng với các hình trong bảng không.

c Biến V thành chủ thể của công thức của em. Tính V biết i E = 10 và F = 6 ii E = 12 và F = 7.

Mách nhỏ

Vẽ minh hoạ mỗi hình để hình dung.

Mách nhỏ

Em đã học công thức Euler trong Giai đoạn 8.

Continued

d Can you identify the shapes in parts ci and cii?

e Make F the subject of your formula. Work out F when E = 5 and V = 7. What does your value of F tell you?

f Compare and discuss your answers to parts a to e with other pairs in your class.

4 Amy is x years old. Ben is 2 years older than Amy. Alice is six years younger than Amy.

a Write an expression for Ben’s age and Alice’s age in terms of x.

b Write a formula for the total age, T, of Amy, Ben and Alice.

c Use your formula in part b to work out T when x = 19.

d Rearrange your formula in part b to make x the subject.

e Use your formula in part d to work out x when T = 62.

5 Use the formula v = u + at to work out the value of

a v when u = 7, a = 10, t = 8

b v when u = 0, a = 5, t = 25

c u when v = 75, a = 4, t = 12 d u when v = 97, a = 6, t = 8.5

e t when v = 80, u = 20, a = 6

f a when v = 72, u = 34, t = 19.

6 Adrian buys and sells paintings.

He uses the formula shown to work out the percentage profit he makes.

Tip Compare your answers to parts ci and cii with the shapes in the last two rows of the table in part a.

Work out Adrian’s percentage profit on each of these paintings.

a Cost price $250, selling price $300

b Cost price $120, selling price $192

c Cost price $480, selling price $1080

Tip

In parts c to f start by changing the subject of the formula.

2 Biểu thức và công thức

Tiếp theo

d Em có thể xác định các hình trong phần ci và cii không?

e Biến F thành chủ thể trong công thức của em.

Tính F biết E = 5 và V = 7.

Giá trị F nói lên điều gì?

f So sánh và thảo luận đáp số của em trong các phần từ

a đến e với những bạn khác trong lớp.

4 Amy năm nay x tuổi. Ben lớn hơn Amy 2 tuổi.

Alice nhỏ hơn Amy 6 tuổi.

a Viết biểu thức tính tuổi của Ben và tuổi của Alice theo biến x

b Viết công thức tính tổng số tuổi T của Amy, Ben và Alice.

c Áp dụng công thức trong phần b để tính T biết x = 19.

d Sắp xếp lại công thức của em trong phần b để biến x thành chủ thể.

e Áp dụng công thức trong phần d để tính x biết T = 62.

5 Áp dụng công thức v = u + at để tính giá trị của

a v biết u = 7, a = 10, t = 8 b v biết u = 0, a = 5, t = 25

c u biết v = 75, a = 4, t = 12 d u biết v = 97, a = 6, t = 8,5 e t biết v = 80, u = 20, a = 6 f a biết v = 72, u = 34, t = 19.

6 Adrian mua và bán các bức tranh.

Anh ấy áp dụng công thức dưới đây để tính tỉ số phần trăm lợi nhuận tạo ra.

Tỉsốphầntrămlợinhuậngiábán–giávốn giávốn =×100

Tính phần trăm lợi nhuận của Adrian cho mỗi bức tranh sau.

a Giá vốn $250, giá bán $300 b Giá vốn $120, giá bán $192 c Giá vốn $480, giá bán $1 080

Mách nhỏ

So sánh đáp số phần ci và cii của em với các hình trong hai hàng cuối của bảng trong phần a.

Mách nhỏ

Các phần từ c đến f, bắt đầu bằng việc thay đổi chủ thể của công thức.

7 In some countries, the mass of a person is measured in stones (S) and pounds (P).

The formula to convert a mass from stones and pounds to kilograms is shown.

KSP = +514 11 () where: K is the number of kilograms S is the number of stones

P is the number of pounds.

Work out the mass, in kilograms, of a person with a mass of a 10 stones and 3 pounds b 7 stones and 10 pounds c 15 stones and 1 pound d 9 stones.

Tip 9 stones exactly means 9 stones and 0 pounds.

Think like a mathematician

8 Work with a partner to answer this question.

a Make x the subject of each of these formulae.

Write down if A, B or C is the correct answer.

i y = 2x + z A xy = + z 2 B xy = z 2 C xy=2 z ii yx=523h A xy = + 23 5 h B xy = 26 5 h C xy = + 23 5 () h

iii yx =+67k A x = 7k(y – 6) B x = 7ky – 6 C x = 7k(y + 6)

iv yx = m n3 A xy=3nm B xy = 3n m C xy=+ 3nm

v y = w – 7x A xy = w 7 B xy = + w 7 C xy = w 7

b Discuss with your partner and with other learners in the class. Explain what mistakes have been made to get the incorrect answers.

9 Make t the subject of each of these formulae.

a m = 7t + 9 b km t =5 c p ht v = + d q tw = 5 9

10 The diagram shows a shape made from a square and a rectangle. a a b c

a Write a formula for the area (A) of the shape.

b Work out A when a = 6, b = 3 and c = 4.5.

c Show that you can rearrange your formula to give aAbc=.

d Work out a when A = 80, b = 8 and c = 2.

2 Biểu thức và công thức

7 Ở một số quốc gia, khối lượng của một người được đo bằng stone (S) và pound (P).

Công thức đổi khối lượng từ stone và pounds thành ki-lô-gam được hiển thị bên cạnh.

Tính khối lượng của một người bằng đơn vị ki-lô-gam, tương ứng với khối lượng của

a 10 stone và 3 pound b 7 stone và 10 pound c 15 stone và 1 pound d 9 stone.

Mách nhỏ 9 stone có nghĩa chính xác là 9 stone và 0 pound. y = w – 7x A xy = w 7 B xy = + w 7 C xy = w 7

b Thảo luận với một bạn cùng lớp và với những bạn khác trong lớp. Giải thích những lỗi sai mắc phải đã dẫn đến các kết quả sai.

9 Biến t thành chủ thể của từng công thức sau.

a m = 7t + 9 b km t =5 c p ht v = + d q tw = 5 9

10 Hình vẽ dưới đây biểu diễn một

11 The formula for the area of a circle is A r= π 2

a Work out the area of a circle with radius 5 cm. Use the button on your calculator.

Write your answer correct to 3 significant figures (3 s.f.).

b Make r the subject of the formula.

c Work out the radius of a circle with an area of 122.7 cm2. Write your answer correct to 3 significant figures (3 s.f.).

12 Simon uses the formula Vl = 3 to work out the volume of a cube.

a Make l the subject of the formula.

b Simon works out that the volumes of two different cubes are 64 cm3 and 216 cm3

Work out the difference in the side length of the cubes.

13 Sasha uses the relationship shown to change between temperatures in degrees Fahrenheit (°F) and temperatures in degrees Celsius (°C).

Sasha thinks that 30 °C is higher than 82 °F.

Is she correct? Show how you worked out your answer.

14 A doctor uses the formula in the box to calculate a patient’s body mass index (BMI).

A patient is described as underweight if their BMI is below 18.5.

a Tina’s mass is 48.8 kg and her height is 1.56 m. Is she underweight? Explain your answer. Show your working.

b Stephen’s height is 1.80 m and his mass is 68.5 kg. He wants to have a BMI of 20.

5F = 9C + 160

where: F is the temperature in degrees Fahrenheit (°F)

C is the temperature in degrees Celsius (°C)

BMI = m h 2

where: m is the mass in kilograms h is the height in metres.

How many kilograms must he lose to reach a BMI of 20? Show your working.

Summary checklist

I can write and use formulae.

I can change the subject of a formula.

2 Biểu thức và công thức

11 Công thức tính diện tích hình tròn là A r= π 2

a Tính diện tích hình tròn với bán kính 5 cm.

Sử dụng phím bấm trên máy tính cầm tay của em.

Viết đáp số của em đúng đến 3 chữ số có nghĩa (3 cscn).

b Biến r thành chủ thể của công thức.

c Tính bán kính của hình tròn có diện tích 122,7 cm2 .

Viết đáp số của em đúng tới 3 chữ số có nghĩa (3 cscn).

12 Simon sử dụng công thức Vl = 3 để tính thể tích của một hình lập phương.

a Biến l thành chủ thể của công thức.

b Simon tính ra thể tích của hai hình lập phương khác nhau là 64 cm3 và 216 cm3

Tính hiệu độ dài cạnh của hai hình lập phương đó.

13 Sasha sử dụng hệ thức như sau để đổi nhiệt độ đơn vị Fahrenheit (°F) sang nhiệt độ đơn vị Celsius (°C).

Sasha nghĩ rằng 30 °C cao hơn 82 °F.

Bạn ấy nghĩ vậy có đúng không?

Trình bày cách em tính ra đáp số của mình.

14 Một bác sĩ áp dụng công thức trong ô bên cạnh để tính chỉ số khối cơ thể (BMI) của bệnh nhân.

Một bệnh nhân được mô tả là thiếu cân nếu BMI của họ dưới 18,5.

a Cân nặng của Tina là 48,8 kg và chiều cao là 1,56 m. Liệu bạn ấy có thiếu cân không?

5F = 9C + 160

trong đó: F là nhiệt độ đơn vị Fahrenheit (°F)

C là nhiệt độ đơn vị Celsius (°C)

BMI = m h 2

trong đó: m là cân nặng bằng ki-lô-gam h là chiều cao bằng mét.

Giải thích câu trả lời của em. Trình bày bài làm của em.

b Chiều cao của Stephen là 1,80 m và cân nặng là 68,5 kg.

Bạn ấy muốn có chỉ số BMI là 20.

Vậy bạn ấy phải giảm bao nhiêu ki-lô-gam để đạt được BMI bằng 20?

Trình bày bài làm của em.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể viết và sử dụng công thức.

Em có thể thay đổi chủ thể của công thức.

Check your progress

1 Work out the value of each expression when x = 3, y = 5 and z = −2.

a x(3y + z) b (2x)2 + y3 c ()xyz + 4 5

2 Write an expression for the perimeter and area of this rectangle. Write each answer in its simplest form.

3 Simplify each expression.

a x2 × x3 b q8 ÷ q2 c (h2)5 d 3m7 × 5m2 e 12 6 5 3 u u f 4p2 – p2

4 Expand and simplify each expression.

a (x + 2)(x + 5) b (x − 3)(x + 4) c (x + 6)(x − 9) d (x − 10)(x − 4) e (x − 8)(x + 8) f (x − 6)2

5 Simplify each expression.

a xx 33 + b yy 515 c 3 520 xy d 915 3 x

6 a Use the formula x = y2 + 5z to work out the value of x when y = 4 and z = 3.

b Make z the subject of the formula. Work out the value of z when x = 55 and y = 5.

c Make y the subject of the formula. Work out the value of y when x = 46 and 5x 3x + 4

b Biến z thành chủ thể của công thức. Tính giá trị của z biết x = 55 và y = 5. Biến y thành chủ thể của công thức. Tính giá trị của y biết x = 46 và 3x + 4

The world record for the fastest growing plant belongs to a certain type of bamboo. Bamboo is a member of the grass family. The plant produces new shoots (culms) in the spring, and these grow into canes. The canes increase in height and diameter for about 60 days. They then stop growing. The fastest growing bamboo can grow at a rate of 0.9 m per day, which is equivalent to 0.000 04 km/h. Over time, the roots of the plant spread out. Each spring the new canes grow larger in height and diameter than the previous spring. This is due to the increase in the underground system of roots. Finally, after several years, the maximum size for that particular type of bamboo is reached.

The number of new canes that grow each year also increases. In the first year, there is one cane. In the second year, there are usually three canes. In the third year, there are nine canes and in the fourth year there are 27 canes. This is a 200% increase in the number of canes each year for the first four years. For the next four years, the number of canes increases, on average, by 120% each year.

This information about bamboo includes decimals and percentages. To make the information easier to read and understand, a lot of the values are rounded. In this unit, you will work with decimals and percentages and discuss the values that rounded numbers can take.

A new bamboo shoot (culm)

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Kỉ lục thế giới về tốc độ mọc nhanh nhất thuộc về một loài tre. Tre thuộc họ Hoà thảo. Măng (chồi cây tre) mọc từ cây tre vào mùa xuân sau đó phát triển thành cây tre. Chiều cao và đường kính các cây tre tăng dần trong khoảng 60 ngày rồi ngừng lại. Cây tre phát triển nhanh nhất đạt tốc độ 0,9 m mỗi ngày, tương đương với 0,00004 km/h. Theo thời gian, rễ tre lan ra. Mỗi mùa xuân đến, những thân tre lại cao hơn và có đường kính lớn hơn. Điều này xảy ra là nhờ sự phát triển của hệ thống rễ tre ngầm dưới mặt đất. Cuối cùng, sau vài năm, cây tre đạt được kích thước tối đa của loài đó. Số lượng cây tre mọc lên mỗi năm cũng gia tăng. Trong năm đầu tiên chỉ có một cây tre. Sang năm thứ hai thường sẽ thành ba cây tre. Năm thứ ba có chín cây và năm thứ tư có 27 cây. Đây là mức tăng 200% mỗi năm trong 4 năm đầu tiên. Trong 4 năm tiếp theo, số lượng cây tre tiếp tục tăng trung bình 120% mỗi năm. Những thông tin trên về cây tre có chứa số thập phân và tỉ số phần trăm. Để làm cho thông tin dễ đọc và dễ hiểu hơn, nhiều giá trị cần phải được làm tròn. Trong học phần này, em sẽ tìm hiểu về số thập phân và tỉ số phần trăm và thảo luận các giá trị mà các số làm tròn có thể nhận.

Măng mới mọc (chồi cây tre)

Look at this section of the decimal place-value table. 1 10 1 100 1 1000

You can write the numbers 10, 100, 1000, … as positive powers of 10. You can write the numbers 1 10 , 1 100 , 1 1000, … as negative powers of 10.

Look at this pattern of numbers, written as powers of 10. Is there a link between the powers and the values?

..., 1000 = 103, 100 = 102, 10 = 101, 1 = 100, 1 10 = 10−1, 1 100 = 10−2, 1 1000 = 10−3, ...

This pattern continues as the numbers get bigger and smaller. For example, 10 000 = 104 and 1 10000 = 10−4, 100 000 = 105 and 1 100000 = 10−5. It is important to remember these two key points:

1 Multiplying a number by 1 10 , 1 100 , 1 1000, … is the same as dividing the same number by 10, 100, 1000, …

2 Dividing a number by 1 10 , 1 100 , 1 1000, … is the same as multiplying the same number by 10, 100, 1000, …

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

3.1 Phép nhân và phép chia cho luỹ thừa của 10

Trong phần này, em sẽ…

Nhìn vào phần này của bảng giá trị - hàng thập phân. hàng nghìn hàng hàng hàng vị hàng phần hàng phần hàng phần 000 100 10 1 1 10 1 100

Em có thể viết các số 10; 100; 1 000; … dưới dạng luỹ thừa dương của 10.

Em có thể viết các số 1 10 ; 1 100 ; 1 1000 ; … dưới dạng luỹ thừa âm của 10.

Quan sát quy luật các số được viết dưới dạng luỹ thừa của 10 sau đây. Có mối liên

hệ nào giữa các luỹ thừa và các giá trị không?

...; 1 000 = 103; 100 = 102; 10 = 101; 1 = 100; 1 10 = 10−1; 1 100 = 10−2; 1 1000 = 10−3; ...

Mách nhỏ

Lưu ý: Em có thể viết số thập phân 0,1 dưới dạng 1 10 hoặc 10−1.

Em có thể viết số thập phân 0,01 dưới dạng 1 100 hoặc 10−2.

Quy luật này tiếp tục khi các số tăng lên hoặc giảm đi.

Ví dụ, 10 000 = 104 và 1 10000 = 10−4; 100 000 = 105 và 1 100000 = 10−5. Hai điểm chính cần ghi nhớ:

1 Nhân một số với 1 10 ; 1 100 ; 1 1000 ; … tương tự như chia số đó cho 10; 100; 1 000; …

2 Chia một số với 1 10 ; 1 100 ; 1 1000 ; … tương tự như nhân số đó cho 10; 100; 1 000; …

• nhân các số với 10 luỹ thừa một số dương hoặc âm.

Worked example 3.1

Work out

a 2.5 × 103 b 12 × 10−2 c 365 ÷ 104 d 0.45 ÷ 10−3

Answer

a 103 = 1000 2.5 × 1000 = 2500

b 10−2 = 1 100 12 × 1 100 = 12 ÷ 100 = 0.12

c 104 = 10 000 365 ÷ 10 000 = 0.0365

d 10−3 = 1 1000 0.45 ÷ 1 1000 = 0.45 × 1000 = 450

Exercise 3.1

Start by writing 103 as 1000. Rewrite the multiplication as 2.5 × 1000 and work out the answer.

Start by writing 10−2 as 1 100 Multiplying 12 by 1 100 is the same as dividing 12 by 100. Work out the answer.

Start by writing 104 as 10 000. Rewrite the division as 365 ÷ 10 000 and work out the answer.

Start by writing 10−3 as 1 1000 Dividing 0.45 by 1 1000 is the same as multiplying 0.45 by 1000. Work out the answer.

1 Match each decimal with the correct fraction and power of 10. The first one has been done for you: a, D and ii a 0.1 A 1 1000 i 10 2 b 0.001 B 1 10000 ii 10 1 c 0.000 01 C 1 100 iii 10 4 d 0.01 D 1 10 iv 10 5 e 0.0001 E 1 100000 v 10 3

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Ví dụ minh hoạ 3.1

Tính

a 2,5 × 103 b 12 × 10−2 c 365 ÷ 104 d 0,45 ÷ 10−3 Lời giải

a 103 = 1 000 2,5 × 1 000 = 2 500

b 10−2 = 1 100 12 × 1 100 = 12 ÷ 100 = 0,12

c 104 = 10 000 365 ÷ 10 000 = 0,0365

d 10−3 = 1 1000 0,45 ÷ 1 1000 = 0,45 × 1 000 = 450

Bài tập 3.1

Đầu tiên, viết 103 dưới dạng 1 000.

Viết lại phép nhân thành 2,5 × 1 000 rồi tính đáp số.

Đầu tiên, viết 10−2 dưới dạng 1 100

Nhân 12 với 1 100 thì tương tự như chia 12 cho 100. Tính đáp số.

Đầu tiên, viết 104 dưới dạng 10 000.

Viết lại phép chia thành 365 ÷ 10 000 rồi tính đáp số.

Đầu tiên, viết 10−3 dưới dạng 1 1000

Chia 0,45 cho 1 1000 thì tương tự như nhân 0,45 với 1 000.

Tính đáp số.

1 Nối mỗi số thập phân với dạng phân số và luỹ thừa của 10 tương ứng. Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em: a, D và ii. a 0,1 A 1 1000 i 10 2 b 0,001 B 1 10000 ii 10 1 c 0,00001 C 1 100 iii 10 4 d 0,01 D 1 10 iv 10 5 e 0,0001 E 1 100000 v 10 3

3 Decimals, percentages and rounding

2 Copy and complete

a 3.2 × 103 = 3.2 × 1000 = … b 3.2 × 102 = 3.2 × 100 = … c 3.2 × 101 = 3.2 × … = … d 3.2 × 100 = 3.2 × 1 = …

e 3.2 × 10−1 = 3.2 ÷ 10 = … f 3.2 × 10−2 = 3.2 ÷ 100 = … g 3.2 × 10−3 = 3.2 ÷ … = … h 3.2 × 10−4 = 3.2 ÷ … = …

3 Look at your answers to Question 2. Compare all your answers with the number you started with, 3.2. Arun makes this conjecture.

Whenyoumultiply3.2 by 10toanegativepower, theanswerisalways smallerthan3.2.

a Is Arun correct? Use specialising to explain your answer. b Copy and complete these generalising statements:

i When you multiply a number by 10 to a negative power, the answer is always ……… than the number you started with.

ii When you multiply a number by 10 to the power zero, the answer is always ……… as the number you started with.

iii When you multiply a number by 10 to a positive power, the answer is always ……… than the number you started with.

4 Work out

a 13 × 102 b 7.8 × 103 c 24 × 10 d 8.55 × 104 e 6.5 × 101 f 0.08 × 105 g 17 × 100 h 8 × 10−1 i 8.5 × 10−2 j 4500 × 10−4 k 32 × 10−3 l 125 × 10−2

5 Copy and complete

a 320 ÷ 103 = 320 ÷ 1000 = … b 320 ÷ 102 = 320 ÷ 100 = … c 320 ÷ 101 = 320 ÷ … = … d 320 ÷ 100 = 320 ÷ 1 = …

6 Work out

a 27 ÷ 10 b 450 ÷ 103 c 36 ÷ 102 d 170 ÷ 104 e 0.8 ÷ 101 f 2480 ÷ 105 g 9 ÷ 100 h 0.25 ÷ 102 100=1 101=10

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

2 Chép lại và hoàn thành

a 3,2 × 103 = 3,2 × 1 000 = … b 3,2 × 102 = 3,2 × 100 = … c 3,2 × 101 = 3,2 × … = … d 3,2 × 100 = 3,2 × 1 = … e 3,2 × 10−1 = 3,2 ÷ 10 = … f 3,2 × 10−2 = 3,2 ÷ 100 = … g 3,2 × 10−3 = 3,2 ÷ … = … h 3,2 × 10−4 = 3,2 ÷ … = …

3 Nhìn vào các đáp số của em trong Câu hỏi 2. So sánh các đáp số đó với số em dùng để bắt đầu phép tính, tức 3,2. Arun đưa ra phỏng đoán sau.

Khi nhân 3,2 với 10 luỹ thừa âm, đáp số luôn nhỏ hơn 3,2.

a Arun nói có đúng không? Sử dụng tính cụ thể hoá để giải thích câu trả lời của em.

b Chép lại và hoàn thành những phát biểu có tính khái quát hoá sau:

i Khi nhân một số với 10 luỹ thừa âm, đáp số luôn …….. số đó.

ii Khi nhân một số với 10 luỹ thừa 0, đáp số luôn …….. số đó.

iii Khi nhân một số với 10 luỹ thừa dương, đáp số luôn …….. số đó.

4 Tính

a 13 × 102 b 7,8 × 103 c 24 × 10 d 8,55 × 104 e 6,5 × 101 f 0,08 × 105 g 17 × 100 h 8 × 10−1 i 8,5 × 10−2 j 4 500 × 10−4 k 32 × 10−3 l 125 × 10−2

5 Chép lại và hoàn thành phép tính dưới đây

a 320 ÷ 103 = 320 ÷ 1 000 = … b 320 ÷ 102 = 320 ÷ 100 = … c 320 ÷ 101 = 320 ÷ … = … d 320 ÷ 100 = 320 ÷ 1 = …

6 Tính

a 27 ÷ 10 b 450 ÷ 103 c 36 ÷ 102 d 170 ÷ 104 e 0,8 ÷ 101 f 2 480 ÷ 105 g 9 ÷ 100 h 0,25 ÷ 102

Mách nhỏ Nhớ rằng: 100 = 1 101 = 10

Think like a mathematician

7 Work with a partner to answer these questions. This is how Cesar and Domonique work out 2.6 ÷ 10−2. Cesar 10−2 = 1 10 2 = 1 100 2.6 ÷ 1 100 = 2.6 × 100 1 = 2.6 × 100 = 260 Domonique 2.6 = 2 6 10 = 26 10 = 26 101 = 26 × 10–1 26 × 10–1 ÷ 10 –2 = 26 × 10 1 10 –2 = 26 × 10 –1 – –2 = 26 × 10 1= 260

a Do you understand how Cesar’s method and Domonique’s method work?

b Try using both of their methods to work out i 6.8 ÷ 10−3 ii 0.07 ÷ 10−4

c Whose method do you prefer? Explain why.

d Can you think of a better method to use to divide a decimal by 10 to a negative power?

e Discuss your answers to parts a to d with other learners in your class.

8 Copy and complete

a 3.2 ÷ 103 = 3.2 ÷ 1000 = … b 3.2 ÷ 102 = 3.2 ÷ 100 = …

c 3.2 ÷ 101 = 3.2 ÷ … = … d 3.2 ÷ 100 = 3.2 ÷ 1 = …

e 3.2 ÷ 10−1 = 3.2 × 10 = … f 3.2 ÷ 10−2 = 3.2 × 100 = … g 3.2 ÷ 10−3 = 3.2 × … = … h 3.2 ÷ 10−4 = 3.2 × … = …

9 Look at your answers to Question 8. Compare all your answers with the number you started with, 3.2. Zara makes this conjecture.

When you divide 3.2 by 10 to a negative power, the answer is always greater than 3.2.

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Tư duy như một nhà Toán học

7 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời các câu hỏi sau.

Đây là cách Cesar và Domonique tính 2,6 ÷ 10−2.

Cesar

10−2 = 1 10 2 = 1 100

2,6 ÷ 1 100 = 2,6 × 100 1 = 2,6 × 100 = 260

Domonique 2.6 = 2 6 10 = 26 10 = 26 101 = 26 × 10–1 26 × 10–1 ÷ 10 –2 = 26 × 10 1 10 –2 = 26 × 10 –1 – –2 = 26 × 10 1= 260

a Em có hiểu cách tính của Cesar và Domonique không?

b Thử dùng cả hai cách đó để tính

i 6,8 ÷ 10−3 ii 0,07 ÷ 10−4

c Em thích cách tính của bạn nào hơn? Giải thích vì sao.

d Em có nghĩ ra cách nào hay hơn để chia một số thập phân cho luỹ thừa âm của 10 không?

e Thảo luận câu trả lời của em trong phần a và d với các bạn trong lớp.

8 Chép lại và hoàn thành phép tính sau

a 3,2 ÷ 103 = 3,2 ÷ 1 000 = … b 3,2 ÷ 102 = 3,2 ÷ 100 = … c 3,2 ÷ 101 = 3,2 ÷ … = … d 3,2 ÷ 100 = 3,2 ÷ 1 = … e 3,2 ÷ 10−1 = 3,2 × 10 = … f 3,2 ÷ 10−2 = 3,2 × 100 = … g 3,2 ÷ 10−3 = 3,2 × … = … h 3,2 ÷ 10−4 = 3,2 × … = …

9 Nhìn vào các đáp số của em trong Câu hỏi 8. So sánh các đáp số với số em đã dùng để bắt đầu phép tính, tức là 3,2. Zara đưa ra phỏng đoán sau.

Khi chia 3,2 cho 10 luỹ thừa âm, đáp số luôn lớn hơn 3,2.

a Is Zara correct? Use specialising to explain your answer.

b Copy and complete these generalising statements:

i When you divide a number by 10 to a negative power, the answer is always ……… than the number you started with.

ii When you divide a number by 10 to the power zero, the answer is always ……… as the number you started with.

iii When you divide a number by 10 to a positive power, the answer is always ……… than the number you started with.

10 Work out

a 0.25 ÷ 10−1 b 4.76 ÷ 10−4 c 0.07 ÷ 10−3 d 0.085 ÷ 10−2

11 Copy this table, which contains a secret coded message. 3 3.3 0.3 3.3 300 300 33 6 6 0.6 0.3 0.33 33 33 600 33 300

Work out the answers to the calculations in the code box.

Find the answer in your secret code table. Write the letter from the code box above the number in your table.

For example, the first calculation is 0.6 × 102. 0.6 × 102 = 60, so write S above 60 in the table as shown.

What is the secret coded message?

12

0.6 × 102 = S 60 × 10−1 = L 0.06 ÷ 10−1 = A 600 ÷ 100 = R 60 × 10−3 = H 33 ÷ 101 = O 0.33 × 100 = Y 300 × 10−3 = N 300 ÷ 104 = C 3300 × 10−2 = E 0.3 ÷ 10−3 = T 300 ÷ 102 = D

a Work out i 4 × 102 ii 4 × 101 iii 4 × 100 iv 4 × 10−1 v 4 × 10−2 vi 4 × 10−3

b Use specialising to answer this question.

When you multiply a number by 10−4, is the answer larger or smaller than when you multiply the same number by 10−3?

a Zara nói có đúng không? Sử dụng tính cụ thể hoá để giải thích câu trả lời của em.

b Chép lại và hoàn thành những phát biểu có tính khái quát hoá sau:

i Khi chia một số cho 10 luỹ thừa âm, đáp số luôn …….. số đó.

ii Khi chia một số cho 10 luỹ thừa 0, đáp số luôn …….. số đó.

iii Khi chia một số cho 10 luỹ thừa dương, đáp số luôn …….. số đó.

10 Tính

a 0,25 ÷ 10−1 b 4.76 ÷ 10−4 c 0,07 ÷ 10−3 d 0,085 ÷ 10−2

11 Chép lại bảng sau trong bảng có chứa một thông điệp bí mật cần được mã hoá.

Tính các phép tính trong hộp mật mã.

Tìm đáp số trong bảng mật mã.

Viết chữ cái trong hộp mật mã lên phía trên của số tương ứng trong bảng mật mã.

Ví dụ, phép tính đầu tiên là 0,6 × 102

0,6 × 102 = 60, vì thế viết S bên trên số 60 trong bảng như đã cho.

Thông điệp bí mật đã được mã hoá là gì?

0,6 × 102 = S 60 × 10−1 = L 0,06 ÷ 10−1 = A 600 ÷ 100 = R 60 × 10−3 = H 33 ÷ 101 = O 0,33 × 100 = Y 300 × 10−3 = N 300 ÷ 104 = C 3 300 × 10−2 = E 0,3 ÷ 10−3 = T 300 ÷ 102 = D

c Which word, smaller or larger, is missing from this generalising sentence?

When you multiply a number by 10 x , the smaller the power, the ……… the answer.

e Use specialising to answer this question. When you divide a number by 10−4, is the answer larger or smaller than when you divide the same number by 10−3?

f Which word, smaller or larger, is missing from this generalising sentence?

When you divide a number by 10 x , the smaller the power, the ……… the answer.

g Discuss your answers to parts b, c, e and f with other learners in your class.

13 Work out the missing power in each question in these spider diagrams.

In each part, all the questions in the outer shapes should give the answer in the centre shape. a

Continued

a Take it in turns, twice each, to choose one number card and one multiplication card. Ask your partner to work out the answer. Mark each other’s work and discuss any mistakes that have been made.

b Take it in turns, twice each, to choose one number card and one division card. Ask your partner to work out the answer. Mark each other’s work and discuss any mistakes that have been made.

In Activity 3.1, did you get the multiplication questions and the division questions correct?

If you didn’t, do you understand the mistakes you made?

Discuss with your partner ways to remember the methods for these types of question.

Summary checklist

I can multiply and divide numbers by 10 to the power of any positive or negative number.

3.2 Multiplying and dividing decimals

In this section you will …

• estimate, multiply and divide decimals by integers and decimals.

When you multiply or divide a number by a decimal, use the place value of the decimal to work out an equivalent calculation. For simple questions, you can do this ‘in your head’, or mentally. For more difficult questions, you will need to write down the steps in your working.

Key word equivalent calculation

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Tiếp theo

a Lần lượt từng em, mỗi em hai lượt, lấy một thẻ số và một thẻ phép nhân. Yêu cầu bạn cùng lớp của em tìm đáp số. Chấm bài chéo và thảo luận các lỗi mắc phải nếu có.

b Lần lượt từng em, mỗi em hai lượt, lấy một thẻ số và một thẻ phép chia. Yêu cầu bạn cùng lớp của em tìm đáp số. Chấm bài chéo và thảo luận các lỗi mắc phải, nếu có. số với 10 luỹ thừa dương hoặc âm.

3.2 Phép nhân và phép chia số thập phân

Trong phần này, em sẽ…

• ước lượng, nhân và chia số thập phân với số nguyên và số thập phân.

Khi em nhân hoặc chia một số với một số thập phân, hãy sử dụng giá trị theo hàng của phần thập phân để tìm ra phép tính có đáp số bằng nhau Với các câu hỏi đơn giản, các em có thể nhẩm tính trong đầu. Với các câu hỏi khó, em cần viết ra các bước thực hiện.

Từ khoá phép tính có đáp số bằng nhau

Worked example 3.2

Work out

a 12 × 0.6 b 0.3 × 0.15 c −16 ÷ 0.4 d 9.6 ÷ −0.12 e 3605 0245 × ×

Answer

a 12 × 6 = 72

12 × 0.6 = 7.2

b 3 × 15 = 45

0.3 × 0.15 = 0.045

c –× × 1610 0410.

160 4 40

d 96100 012100 .

Ignore the decimal point and work out 12 × 6 = 72.

The answer 72 is 10 times bigger than the actual answer, because 6 is 10 times bigger than 0.6.

Divide 72 by 10 to get 7.2

Ignore the decimal points and work out 3 × 15 = 45.

3 × 15 = 45 → 0.3 × 15 = 4.5 → 0.3 × 0.15 = 0.045

Think of the division as a fraction.

Multiply the top and the bottom of the fraction by 10 to eliminate the decimal from the division.

This makes an equivalent calculation, which is much easier to do.

Again, think of the division as a fraction.

Multiply the top and the bottom of the fraction by 100 to eliminate the decimal.

960 12 80=-

e 36 × 0.5 = 18

As before, this makes an equivalent calculation, which is much easier to do.

Work out the answer to the numerator first. Since 0.5 is the same as one half, work out 1 2 3618×= . 2 × 4.5 = 9

Now work out the denominator: 2 × 4.5 = 9

2 is 10 times bigger than 0.2, so divide 9 by 10 to get 0.9 3605 0245 18 09 × =

So 0.2 × 4.5 = 0.9

1810 0910 ×

180 9 20=

Rewrite the fraction using the numerator and denominator you just worked out.

Multiply the top and the bottom of the fraction by 10 to eliminate the decimal.

This makes an equivalent calculation, which is much easier to do.

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Ví dụ minh hoạ 3.2

Tính

a 12 × 0,6 b 0,3 × 0,15 c −16 ÷ 0,4 d 9,6 ÷ −0,12 e 3605 0245 × × , ,,

Lời giải

a 12 × 6 = 72

12 × 0,6 = 7,2

b 3 × 15 = 45 0,3 × 0,15 = 0,045

c –× × 1610 0410,

Bỏ qua dấu thập phân và tính 12 × 6 = 72.

Đáp số 72 này gấp 10 lần đáp số của phép tính ban đầu vì 6 lớn gấp 10 lần so với 0,6.

Chia 72 cho 10 được 7,2

Bỏ qua các dấu thập phân và tính 3 × 15 = 45.

3 × 15 = 45 → 0,3 × 15 = 4,5 → 0,3 × 0,15 = 0,045

Nhìn nhận phép chia này như một phân số.

Nhân tử và mẫu số của phân số với 10 để loại bỏ dấu thập phân khỏi phép chia. 160 4 40

Cách làm này tạo một phép tính có đáp số bằng nhau, dễ tính hơn rất nhiều. 96100 2100

Tiếp tục nhìn nhận phép chia này như một phân số.

Nhân tử số và mẫu số với 100 để loại bỏ dấu thập phân khỏi phép chia. 12 80

e 36 × 0,5 = 18

Cách làm này cũng tạo ra một phép tính tương đương, dễ tính hơn.

Tính đáp số cho tử số trước. Vì 0,5 tương đương với một nửa, tính 1 2 3618

Tiếp tục tính mẫu số: 2 × 4,5 = 9 Vì thế 0,2 × 4,5 = 0,9 2 gấp 10 lần của 0,2, do đó chia 9 cho 10 được 0,9

2 × 4,5 = 9

Viết lại phân số sử dụng tử số và mẫu số mới em vừa mới tính được.

Nhân tử số và mẫu số của phân số với 10 để loại bỏ dấu thập phân. 9 20

Điều này giúp tạo ra một phép tính có đáp số bằng nhau, dễ tính hơn nhiều.

Exercise 3.2

1 Work out mentally

a 8 × 0.2 b 8 × −0.7 c −0.6 × 9 d −0.4 × −15

e 6 × 0.05 f −22 × 0.03 g 0.12 × 30 h 0.11 × −4

2 Copy and complete

a 0.08 × 0.2 8 × 2 = … 8 × 0.2 = … 0.08 × 0.2 = … b 0.4 × 0.007 4 × 7 = … 4 × 0.007 = … 0.4 × 0.007 = …

3 Sort these cards into groups that have the same answer.

A 3 × 0.05 B 30 × 0.05 C 0.3 × 0.05 D 0.005 × 3

E 500 × 0.03 F 5 × 0.03 G 0.3 × 5 H 0.3 × 0.5

I 0.003 × 5 J 0.005 × 30 K 0.03 × 0.5 L 0.5 × 3

4 Work out mentally

a 4 ÷ 0.2 b −25 ÷ 0.5 c 12 ÷ −0.4 d −60 ÷ −0.1

e 2 ÷ 0.05 f 28 ÷ −0.07 g −24 ÷ −0.12 h −45 ÷ 0.15

5 Copy and complete.

a 0.81 ÷ 0.09 081100 009100 81 . × × == b 6.4 ÷ 0.004 641000 00041000 . × × ==

6 Which answer is correct, A, B, C or D?

a 0.8 ÷ 0.02 = A 0.04 B 0.4 C 4 D 40 b 4.5 ÷ 0.5 = A 0.9 B 9 C 90 D 900 c 0.09 ÷ 0.003 = A 0.3 B 3 C 30 D 300 d 3.6 ÷ 0.006 = A 0.6 B 6 C 60 D 600

Think like a mathematician

7 a Work out mentally i 8 × 0.1 ii 8 × 0.3 iii 8 × 0.5 iv 8 × 0.7 v 8 × 0.9 vi 8 × 1.1

b Use your answers to part a to answer these questions.

i When you multiply a number by 0.8, do you expect the answer to be larger or smaller than your answer when you multiply the same number by 0.7?

ii When you multiply a number by a decimal between 0 and 1, do you expect the answer to be larger or smaller than the number you started with?

Bài tập 3.2

1 Tính nhẩm

a 8 × 0,2 b 8 × −0,7 c −0,6 × 9 d −0.4 × −15 e 6 × 0,05 f −22 × 0,03 g 0,12 × 30 h 0,11 × −4

2 Chép lại và hoàn thành những phép tính sau

a 0,08 × 0,2 8 × 2 = … 8 × 0.2 = … 0,08 × 0,2 = … b 0,4 × 0,007 4 × 7 = … 4 × 0,007 = … 0,4 × 0,007 = …

3 Sắp xếp các tấm thẻ sau vào các nhóm có giá trị giống nhau.

A 3 × 0,05 B 30 × 0,05 C 0,3 × 0,05 D 0,005 × 3 E 500 × 0,03 F 5 × 0,03 G 0,3 × 5 H 0,3 × 0,5

I 0,003 × 5 J 0,005 × 30 K 0,03 × 0,5 L 0,5 × 3

4 Tính nhẩm

a 4 ÷ 0,2 b −25 ÷ 0,5 c 12 ÷ −0,4 d −60 ÷ −0,1

e 2 ÷ 0,05 f 28 ÷ −0,07 g −24 ÷ −0,12 h −45 ÷ 0,15

5 Chép lại và hoàn thành phép tính sau.

a 0,81 ÷ 0,09 081100 009100 ,81 , × × == b 6,4 ÷ 0,004 641000 00041000 , , × × ==

6 Đáp số nào đúng, A, B, C hay D?

a 0,8 ÷ 0,02 = A 0,04 B 0,4 C 4 D 40 b 4,5 ÷ 0,5 = A 0,9 B 9 C 90 D 900 c 0,09 ÷ 0,003 = A 0,3 B 3 C 30 D 300 d 3,6 ÷ 0,006 = A 0,6 B 6 C 60 D 600

Tư duy như một nhà Toán học

7 để các câu hỏi sau. Theo em, khi nhân

d Use your answers to part c to answer these questions.

i When you divide a number by 0.7, do you expect your answer to be larger or smaller than when you divide the same number by 0.6?

ii When you divide a number by a decimal between 0 and 1, do you expect the answer to be larger or smaller than the number you started with?

e Discuss your answers to parts a to d with other learners in your class.

8 Write ‘True’ ‘False’ each of 5.729 × 0.62 > 5.729 4.332 ÷ 0.95 > 4.332 12.664 × 1.002 < 12.664 45.19 ÷ 1.45 < 45.19 This is part of Hassan’s

8 Viết “Đúng” hay “Sai” cho mỗi phát biểu sau.

a 5,729 × 0,62 > 5,729 b 4,332 ÷ 0,95 > 4,332 c 12,664 × 1,002 < 12,664 d 45,19 ÷ 1,45 < 45,19

9 Đây là một phần trong bài tập về nhà của Hassan.

Mách nhỏ Câu hỏi 8, em không cần tìm đáp số cho các phép nhân và chia, mà hãy vận dụng câu trả lời của em từ Câu hỏi 7 ÷ 12 ÷ 0,4 12 ÷ 0,6 ÷ 1,0 12 ÷ Sử dụng các đáp số của em trong phần c để trả lời các câu hỏi sau. Theo em, khi chia một số cho 0,7

Câu hỏi 24 × 0,25 0,2 0,6 giải số = 1 của 24 = 6 mẫu số = 0,2 × 0,6 = 1,2 ÷ 1,2 = 60 ÷ = Hassan làm có đúng không? Giải thích câu trả lời của em. bày bài làm của em. Tính 12003

i 2.4 ii 0.024 iii 0.24 iv 24

v −24 vi −0.24 vii −2.4

a Match each question card with the correct answer card.

b There is one answer card left over. Write a question card to go with that answer card.

c Ask a partner to check that your question gives the correct answer.

Think like a mathematician

12 Work with a partner to answer this question.

Here is a calculation: 28 × 0.57 = 15.96

What other calculations can you deduce from this calculation? Discuss your answers with other learners in your class.

13 a Work out 123 × 57.

b Use your answer to part a to write the answers to these calculations.

i 12.3 × 57 ii 123 × 5.7 iii 12.3 × 5.7 iv 1.23 × 5.7 v 12.3 × 0.57 vi 0.123 × 0.57

14 Hugo uses these methods to estimate and work out the answer to this question.

Question

Work out 0.23 × 37.8 Estimate

Round 0.23 to 0.2 and 37.8 to 40 → 0.2 × 40 = 8 Answer 378 × 20 = 378 × 2 × 10 = 756 × 10 = 7560 378 × 3 = 1134 7560 + 1134 = 8694 0.23 × 37.8 = 8694 ÷ 1000 = 8.694 8.694 is close to 8, so this answer is probably correct.

a Critique Hugo’s methods.

b Can you improve his methods? If you can, write down your method(s).

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

v −24 vi −0,24 vii −2,4

a Nối mỗi tấm thẻ câu hỏi với tấm thẻ đáp số tương ứng.

b Có một tấm thẻ đáp số bị thừa. Hãy viết một tấm thẻ câu hỏi cho đáp số đó.

c Yêu cầu một bạn cùng lớp kiểm tra đáp số các câu hỏi của em.

12 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời câu hỏi sau.

Cho phép tính: 28 × 0,57 = 15,96

Từ phép tính này, em có thể suy ra các phép tính nào khác?

Thảo luận các đáp án của em với các bạn trong lớp.

13 a Tính 123 × 57.

b Sử dụng đáp số của phần a để viết đáp số của các phép tính sau.

i 12,3 × 57

iv 1,23 × 5,7

ii 123 × 5,7

v 12,3 × 0,57

14 Hugo dùng những cách tính sau để ước lượng và tìm đáp số cho câu hỏi này

Câu hỏi

Tính 0,23 × 37,8 Ước lượng

Làm tròn 0,23 thành 0,2 và làm tròn 37,8 thành 40 → 0,2 × 40 = 8 Lời giải 378 × 20 = 378 × 2 × 10 = 756 × 10 = 7 560 × 3 = 1 134 560 + 1 134 = 8 694 × 37,8 = 8 694 ÷ 1 000 = 8,694 gần với 8, nên đáp số này có thể chính xác.

a Nhận xét các cách tính của Hugo.

b Em có thể cải tiến những cách tính của Hugo không? có, hãy viết ra (các) cách tính của em.

iii 12,3 × 5,7

vi 0,123 × 0,57

c Estimate and work out the answers to these calculations. Use your favourite methods.

i 4.35 × 27.5 ii 11.78 ÷ 0.19 iii 6436 0012 ×. .

15 The diagram shows a rectangle. The area of the rectangle is 0.171 m2

a Estimate the length of the rectangle.

b Work out the length of the rectangle.

c Compare your answers to parts a and b Do you think your answer to part b is correct? Explain why. length 0.38m

Summary checklist

I can estimate, multiply and divide decimals by integers and decimals.

3.3 Understanding compound percentages

In this section you will … • use and understand compound percentages.

You already know how to work out a percentage increase and decrease using a multiplier. For example:

Key word compound percentage

When a price of $300 is increased by 20%, the new price is 300 × 1.2 = $360. When a price of $300 is decreased by 20%, the new price is 300 × 0.8 = $240.

The multiplier is 1.2 because 10020120 12120 100%% %.+= ==

The multiplier is 0.8 because 1002080 0880 100%% %.-= ==

A compound percentage change is when a percentage increase or decrease is followed by another percentage increase or decrease.

c Ước lượng và tìm đáp số cho các phép tính sau. Sử dụng cách tính em thích nhất.

i 4,35 × 27,5 ii 11,78 ÷ 0,19 iii 6436 0012 ×, ,

15 Hình bên biểu thị một hình chữ nhật. Diện tích của hình chữ nhật là 0,171 m2

a Ước lượng chiều dài của hình chữ nhật.

b Tính chiều dài của hình chữ nhật.

c So sánh các đáp số của em trong phần a và b Theo em, đáp số phần b của em có chính xác không? Giải thích tại chiều dài 0,38 m

Tỉ số phần trăm kép xảy ra khi một tỉ số phần trăm tăng hoặc giảm được theo sau bởi một tỉ số phần trăm tăng hoặc giảm khác.

Worked example 3.3

The value of a new car is $12 000.

In the first year, the value of the car decreases by 20%.

In the second year, the value of the car decreases by 15%. Work out the value of the car at the end of the second year.

Answer

1002080 08 %% %-= =

12 000 × 0.8 = $9600

1001585 085 %% %-= =

9600 × 0.85 = $8160

Exercise 3.3

In the first year, the value of $12 000 decreases by 20%.

So the multiplier is 0.8

At the end of the first year, the value of the car is $9600

In the second year, the value of $9600 decreases by 15%.

So the multiplier is 0.85

At the end of the second year, the value of the car is $8160

1 Copy and complete the workings for these compound percentage changes.

a $200 increased by 10%, then increased by 15%.

200 × 1.1 = 220 → 220 × 1.15 = $…

b $200 decreased by 10%, then decreased by 15%.

200 × 0.9 = … → … × … = $…

c $200 increased by 20%, then decreased by 5%.

200 × … = … → … × … = $…

Tip Remember: for an increase, add the percentage on to 100% for a decrease, subtract the percentage from 100%.

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Ví dụ minh hoạ 3.3

Một chiếc xe mới có giá trị $12 000.

Trong năm đầu tiên, giá trị của chiếc xe giảm 20%.

Trong năm thứ hai, giá trị của chiếc xe giảm 15%.

Tính giá trị của chiếc xe vào cuối năm thứ hai.

Lời giải

1002080 08 %%% , −= =

12 000 × 0,8 = $9 600

1001585 085 %%%

9 600 × 0,85 = $8 160

Bài tập 3.3

Trong năm đầu tiên, giá trị của chiếc xe $12 000 bị giảm 20%.

Vì thế, số nhân là 0,8.

Vào cuối năm đầu tiên, giá trị của chiếc xe là $9 600

Trong năm thứ hai, giá trị của chiếc xe $9 600 giảm đi 15%.

Vì thế, số nhân là 0,85

Vào cuối năm thứ hai, giá trị của chiếc xe là $8 160

1 Chép lại và hoàn thành các bước tính trong các thay đổi về tỉ số phần trăm kép sau.

a $200 tăng 10%, sau đó tăng 15%.

200 × 1,1 = 220 → 220 × 1,15 = $…

b $200 giảm 10%, sau đó giảm 15%.

200 × 0,9 = … → … × … = $…

c $200 tăng 20%, sau đó giảm 5%.

200 × … = … → … × … = $…

Mách nhỏ Hãy nhớ rằng: khi tăng thì cộng thêm số phần trăm vào 100%

khi giảm thì lấy 100% trừ cho số phần trăm

Think like a mathematician

2 Work with a partner to answer this question.

The value of a gold coin is $800. It has a 10% increase in value followed by a 10% decrease in value. Read what Marcus and Sofia say.

I think that after the increase and decrease, the value of the coin will still be $800.

I think that after the increase and decrease, the value of the coin will be less than $800.

a Who do you think is correct, Marcus or Sofia? Explain why.

b Work out who is correct. Explain the mistake the other person has made.

c If the gold coin has a 10% decrease in value followed by a 10% increase in value, do you think the final value of the coin will be more or less than $800? Explain why.

Check your answer by working out the new value of the coin.

d Discuss your answers to parts a, b and c with other learners in your class.

3 a Work out these compound percentage changes.

i 60 increased by 20%, then decreased by 20%

ii 60 decreased by 20%, then increased by 20%

b Which sign, <, > or = is missing from this sentence? 60 increased by 20%, then decreased by 20% 60 decreased by 20%, then increased by 20%

c Without doing any calculations, decide which sign, <, > or = is missing from each sentence.

i 72 decreased by 15%, then increased by 15% 72 increased by 15%, then decreased by 15%

ii 140 increased by 8%, then decreased by 8% 140 decreased by 8%, then increased by 8%

Think like a mathematician

4 Work with a partner to answer this question.

Anil, Raj and Mari use different methods to work out 50 increased by 20%, then increased by 10%. This is what they write.

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Tư duy như một nhà Toán học

2 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời câu hỏi sau. Giá trị của một đồng xu vàng là $800. Đồng xu có giá trị tăng lên 10%, rồi giảm đi 10%. Hãy đọc phát biểu của Marcus và Sofia.

Tớ nghĩ sau khi tăng rồi giảm, giá trị của đồng xu sẽ vẫn là $800.

Tớ nghĩ sau khi tăng rồi giảm, giá trị của đồng xu sẽ ít hơn $800.

a Theo em, Marcus hay Sofia nói đúng? Giải thích vì sao.

b Tính kết quả để xem bạn nào nói đúng. Giải thích lỗi sai mà bạn kia mắc phải.

c Nếu giá trị đồng xu vàng giảm 10% rồi sau đó tăng lên 10%, theo em giá trị cuối cùng của đồng xu sẽ nhiều hơn hay ít hơn $800? Giải thích vì sao.

Kiểm tra câu trả lời bằng cách tính ra giá trị mới của đồng xu.

d Thảo luận các câu trả lời của em trong phần a, b và c với các bạn cùng lớp.

3 a Tính những thay đổi tỉ số phần trăm kép sau.

i 60 tăng 20%, sau đó giảm 20%

ii 60 giảm 20%, sau đó tăng 20%

b Câu sau còn thiếu dấu <, > hay = ? 60 tăng 20%, sau đó giảm 20% 60 giảm 20%, sau đó tăng 20%

c Không làm phép tính, hãy điền dấu <, > hay =, còn thiếu trong mỗi câu sau.

i 72 giảm 15%, sau đó tăng 15% 72 tăng 15%, sau đó giảm 15%

ii 140 tăng 8%, sau đó giảm 8% 140 giảm 8%, sau đó tăng 8%

Tư duy như một nhà Toán học

4 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời câu hỏi sau. Anil, Raj và Mari sử dụng các cách khác nhau để tính 50 tăng lên 20%, rồi tăng lên 10%. Các bạn ấy viết như sau.

Continued Anil

First increase: 50 × 1.2 = 60

Second increase: 60 × 1.1 = 66 Raj

Both increases: 50 × 1.2 × 1.1 = 66 Mari

Multiplier: 1.2 × 1.1 = 1.32

Final value: 50 × 1.32 = 66

Discuss with your partner:

a What is the difference between Anil’s method and Raj’s method?

b What is the difference between Raj’s method and Mari’s method?

c Whose method is easiest to use if you have a calculator?

d Whose method is easiest to use if you do not have a calculator?

e Whose method do you prefer? Explain why.

Use a calculator for the rest of the questions in this exercise.

5 a Work out the final value after these compound percentage increases.

Use Raj’s method from Question 4.

i 120 increased by 25%, then increased by 30%.

ii 40 increased by 15%, then increased by 40%.

b Work out the final value after these compound percentage increases.

Use Mari’s method from Question 4

i 400 increased by 50%, then increased by 5%.

ii 90 increased by 12%, then increased by 8%.

6 Mari uses the train company ‘GoRail’ to travel to work.

In 2018, GoRail increased the cost of a ticket by 7%.

In 2019, GoRail increased the cost of a ticket by 5%.

a Use Mari’s method from Question 4 to work out the multiplier for the compound percentage increase.

b In 2017, Mari buys a ticket for $60. How much will this ticket cost her in 2019?

Tip Remember that in part b i the multiplier for a 5% increase is 1.05.

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Tiếp theo

Anil

Lần tăng đầu tiên: 50 × 1,2 = 60

Lần tăng thứ hai: 60 × 1,1 = 66 Raj Hai lần tăng: 50 × 1,2 × 1,1 = 66 Mari Số nhân: 1,2 × 1,1 = 1,32 Giá trị cuối cùng: 50 × 1,32 = 66

Thảo luận với bạn cùng lớp:

a Cách tính của Anil và cách tính của Raj có điểm gì khác nhau?

b Cách tính của Raj và cách tính của Mari có điểm gì khác nhau?

c Nếu em có máy tính cầm tay thì cách tính của ai dễ áp dụng nhất?

d Nếu em không có máy tính cầm tay thì cách của ai dễ áp dụng nhất?

e Em thích cách tính của ai? Hãy giải thích vì sao.

Sử dụng máy tính cầm tay để trả lời các câu hỏi còn lại trong bài tập này.

5 a Tính giá trị cuối cùng của những lần tăng tỉ số phần trăm kép sau. Áp dụng cách tính của Raj trong Câu hỏi 4

i 120 tăng 25%, sau đó tăng 30%.

ii 40 tăng 15%, sau đó tăng 40%.

b Tính giá trị cuối cùng của những lần tăng tỉ số phần trăm kép sau. Áp dụng cách tính của Mari trong Câu hỏi 4.

i 400 tăng 50%, sau đó tăng 5%.

ii 90 tăng 12%, sau đó tăng 8%.

6 Mari đi tàu của công ty “GoRail” đến chỗ làm.

Năm 2018, GoRail tăng 7% giá vé.

Năm 2019, GoRail tăng 5% giá vé.

a Áp dụng cách tính của Mari trong Câu hỏi 4 để tính số nhân trong mức tăng tỉ số phần trăm kép đó.

b Năm 2017, Mari mua vé với giá $60. Năm 2019, cô ấy phải trả bao nhiêu tiền để mua chiếc vé này?

Mách nhỏ

Nhớ rằng trong phần b i, số nhân cho mức tăng 5% là 1,05.

7 a Work out the final value after these compound percentage decreases.

Use Raj’s method from Question 4.

i 100 decreased by 10%, then decreased by 20%.

ii 80 decreased by 25%, then decreased by 12%.

b Work out the final value after these compound percentage decreases.

Use Mari’s method from Question 4.

i 600 decreased by 50%, then decreased by 5%.

ii 76 decreased by 30%, then decreased by 9%.

8 Mari buys a new motorbike.

In the first year, the value of the motorbike decreases by 18%.

In the second year, the value of the motorbike decreases by 12%.

a Use Mari’s method from Question 4 to work out the multiplier for the compound percentage decrease.

b Mari pays $6400 for her motorbike. What will be the value of her motorbike after two years?

9 The rectangular cards show percentage changes. The oval cards show multipliers.

A 20% increase then 10% decrease

C 12% decrease then 20% increase

E 15% increase then 32% decrease

i 1.056

B 18% increase then 30% decrease

D 40% decrease then 35% increase

F 5% decrease then 8% increase

a Match each oval card with the correct rectangular card.

b There is one rectangular card left over. Work out the multiplier that goes with this card.

Tip

Forcard A,the multiplieris

1.2×0.9=…

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

7 a Tính giá trị cuối cùng của những lần giảm tỉ số phần trăm kép sau.

Áp dụng cách tính của Raj trong Câu hỏi 4.

i 100 giảm 10%, sau đó giảm 20%.

ii 80 giảm 25%, sau đó giảm 12%.

b Tính giá trị cuối cùng của những lần giảm tỉ số phần trăm kép sau.

Áp dụng cách tính của Mari trong Câu hỏi 4.

i 600 giảm 50%, sau đó giảm 5%.

ii 76 giảm 30%, sau đó giảm 9%.

8 Mari mua một chiếc xe máy mới.

Trong năm đầu tiên, giá trị chiếc xe giảm 18%.

Trong năm thứ hai, giá trị chiếc xe giảm 12%.

a Áp dụng cách tính của Mari trong Câu hỏi 4 để tính số nhân cho sự giảm tỉ số phần trăm kép đó.

b Mari chi trả $6 400 để mua chiếc xe máy đó.

Giá trị của chiếc xe sau 2 năm là bao nhiêu?

9 Những tấm thẻ hình chữ nhật thể hiện sự thay đổi phần trăm. Những tấm thẻ hình bầu dục thể hiện các số nhân.

A tăng 20% sau đó giảm 10%

C giảm 12% sau đó tăng 20%

E tăng 15% sau đó giảm 32%

B tăng 18% sau đó giảm 30%

D giảm 40% sau đó tăng 35%

F giảm 5% sau đó tăng 8%

i 1,056 ii 0,782 iii 1,08 iv 0,826 v 1,026

a Nối mỗi tấm thẻ hình bầu dục với tấm thẻ hình chữ nhật tương ứng.

b Có một tấm thẻ hình chữ nhật bị thừa. Hãy tìm số nhân của từng tấm thẻ đó.

Mách nhỏ

Trong tấm thẻ A, số nhân là 1,2 × 0,9 = …

10 An investor invests $5000 in a bank account. The investor gets 4% of the money in their account added to this account at the end of each year. The investor works out how much they will have in their account at the end of each year for five years. This is what they write:

End of year Calculation Amount

1 5000 × 1.04 $5200.00

2 5000 × 1.04 × 1.04 $5408.00

3 5000 × 1.04 × 1.04 × 1.04 $5624.32

4 5000 × 1.04 × 1.04 × 1.04 × 1.04 $5849.29

5 5000 × 1.04 × 1.04 × 1.04 × 1.04 × 1.04 $6083.26

a Read what Zara says.

Fortheendofyear2, insteadofwriting 5000×1.04×1.04, theinvestorcouldwrite 5000×(1.04)2 .

Is Zara correct? Explain your answer.

b For the end of year 3, instead of writing 5000 × 1.04 × 1.04 × 1.04, what calculation could the investor write?

c For the end of year 4, instead of writing 5000 × 1.04 × 1.04 × 1.04 × 1.04, what calculation could the investor write?

d The investor writes the calculation 5000 × (1.04)8 to work out how much money they have in their account. For how many years have they invested the money? Explain how you worked out your answer.

e What calculation could the investor write to work out how much money they would have at the end of:

i 12 years ii 20 years iii n years?

f After how many years will the investor have more than $9000 in their account?

Show how you worked out your answer.

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

10 Một nhà đầu tư gửi $5 000 vào một tài khoản ngân hàng. Cuối mỗi năm, số tiền này tăng lên 4%. Nhà đầu tư tính số tiền mình sẽ có trong tài khoản cuối mỗi năm trong vòng 5 năm. Bảng tính như sau: Cuối năm Phép tính Số tiền

1 5 000 × 1,04 $5 200,00

2 5 000 × 1,04 × 1,04 $5 408,00

3 5 000 × 1,04 × 1,04 × 1,04 $5 624,32

4 5 000 × 1,04 × 1,04 × 1,04 × 1,04 $5 849,29

5 5 000 × 1,04 × 1,04 × 1,04 × 1,04 × 1,04 $6 083,26

a Hãy đọc phát biểu của Zara.

Ở cuối năm 2, thay vì viết 5 000 × 1,04 × 1,04, nhà đầu tư có thể viết 5 000 × (1,04)2.

Zara nói có đúng không? Giải thích câu trả lời của em.

b Ở cuối năm 3, thay vì viết 5 000 × 1,04 × 1,04 × 1,04; nhà đầu tư có thể viết phép tính nào?

c Ở cuối năm 4, thay vì viết 5 000 × 1,04 × 1,04 × 1,04 × 1,04; nhà đầu tư có thể viết phép tính nào?

d Nhà đầu tư viết phép tính 5 000 × (1,04)8 để tính số tiền mình có trong tài khoản. Nhà đầu tư đã đầu tư bao nhiêu năm để có số tiền đó? Giải thích cách tính đáp án của em.

e Nhà đầu tư có thể viết phép tính nào để tính số tiền mình sẽ có sau:

i 12 năm

ii 20 năm

iii n năm?

f Sau bao nhiêu năm nhà đầu tư sẽ có hơn $9 000 trong tài khoản?

Trình bày cách tính của em.

11 The population of a town is 10 000 people.

The population is predicted to decrease at a steady rate of 10% per year.

a Write down a calculation to work out the population of the town after

i 1 year ii 2 years iii 3 years.

b What does the calculation 10 000 × (0.9)5 represent?

c What does the calculation 10 000 × (0.9)10 represent?

d After how many years does the population of the town first fall below 6000 people?

Show how you worked out your answer.

e Write a calculation to work out the population of the town after n years.

Activity 3.3

Work with a partner to answer this question. Here are two calculation cards.

A 800 × 1.154 B 500 × 0.958

a What situations could these calculations represent?

b Discuss and compare your situations in part a with those of other learners in your class.

Were all of the situations realistic? Who described the best situations? Are you happy with the situations you described, or could you have thought of something better?

Summary checklist can percentages.

11 Dân số của một thị trấn là 10 000 người.

Số dân được dự đoán sẽ giảm đều ở mức 10%/năm.

a Viết phép tính để tính số dân của thị trấn sau i 1 năm ii 2 năm iii 3 năm.

b Phép tính 10 000 × (0,9)5 thể hiện điều gì?

c Phép tính 10 000 × (0,9)10 thể hiện điều gì?

d Sau bao nhiêu năm thì số dân của thị trấn giảm xuống dưới 6 000 người lần đầu tiên?

Trình bày cách tính của em.

e Viết một phép tính để tính số dân của thị trấn sau n năm.

Hoạt động 3.3

Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời câu hỏi sau.

Đây là hai tấm thẻ phép tính.

A 800 × 1,154 B 500 × 0,958

a Những phép tính này có thể thể hiện được những tình huống nào?

b Thảo luận và so sánh các tình huống ở phần a của em với các bạn trong lớp.

Tất cả những tình huống đó có thực tế không? Bạn nào mô tả các tình huống tốt nhất?

Em có hài lòng với những tình huống em đã mô tả không, hay em có thể nghĩ ra một tình huống nào tốt hơn không?

3.4 Understanding upper and lower bounds

In this section you will … • work out upper and lower bounds. Key words lower bound upper bound

You already know how to round numbers to a given number of decimal places or significant figures. When you are given a number that has already been rounded, have you ever wondered what the original number was, before it was rounded? Read this information about the Super Bowl:

The Super Bowl is an American football game played to decide the champion of the National Football League (NFL). It is one of the most widely watched sporting events in the world. The Super Bowl in 1979 holds the record for the highest number of fans actually in the stadium at 104 000 (to the nearest 1000).

How many fans were actually in the stadium? It is impossible to know the exact number of fans from the information given. However, you can work out the smallest number of fans there could have been. This is called the lower bound. You can also work out the greatest number of fans there could have been. This is called the upper bound.

Tip

For the rounded number of fans 104 000: lower bound = 103 500 fans upper bound = 104 499 fans

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

3.4 Hiểu về cận trên và cận dưới

Trong phần này, em sẽ…

• tính cận trên và cận dưới.

Em đã biết cách làm tròn các số đến hàng thập phân hoặc đến các chữ số có nghĩa cho trước. Khi được cho một số đã được làm tròn, em có bao giờ tự hỏi số ban đầu, khi chưa làm tròn, là số nào không? Hãy đọc đoạn văn sau về giải Super Bowl:

Super Bowl là trận tranh chức vô địch bóng bầu dục Mỹ nhằm chọn ra nhà vô địch Giải Bóng Bầu dục Quốc gia (National Football League – NFL).

Đó là một trong số những sự kiện thể thao được xem rộng rãi nhất trên thế giới. Trận Super Bowl năm 1979 giữ kỉ lục với số lượng người hâm mộ đến sân vận động cao nhất ở mức 104 000 (làm tròn đến hàng nghìn).

Bao nhiêu người hâm mộ đã đến sân vận động trên thực tế? Không thể biết được số lượng người hâm mộ chính xác từ thông tin được cung cấp. Tuy nhiên, em có thể tính được số lượng ít người hâm mộ nhất có thể đã đến sân vận động. Đây là được gọi là cận dưới. Em cũng có thể tính được số lượng nhiều người hâm mộ nhất có thể đã đến sân vận động. Đây được gọi là cận trên

Mách nhỏ

Với số lượng người hâm mộ được làm tròn là 104 000:

cận dưới = 103 500 người hâm mộ cận trên = 104 499 người hâm mộ

Từ khoá cận dưới cận trên

Worked example 3.4

A whole number is rounded to the nearest 10. The answer is 80.

a List the integer values the number could be.

b What is the i lower bound ii upper bound?

Answer

a 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84 These are the only whole numbers that round to 80 (to the nearest 10).

b i 75 This is the smallest whole number that rounds up to 80 (to the nearest 10).

ii 84 This is the largest whole number that rounds down to 80 (to the nearest 10).

Exercise 3.4

1 All of these whole numbers have been rounded to the nearest 10.

For each part write i a list of the integer values the number could be ii the lower bound iii the upper bound.

a 30 b 90 c 270 d 850

2 A number with one decimal place is rounded to the nearest whole number. The answer is 12.

Copy and complete these sentences.

a The numbers with one decimal place that round to 12 are 11.5, 11.6, 11.7, …, …, …, …, …, …, …

b The lower bound is …

c The upper bound is …

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Ví dụ minh hoạ 3.4

Một số tự nhiên được làm tròn đến hàng chục. Đáp số là 80.

a Liệt kê các giá trị là số nguyên có thể là số đó.

b Số nào là

i cận dưới?

Lời giải

ii cận trên?

a 75; 76; 77; 78; 79; 80; 81; 82; 83; 84 Đây chỉ là các số tự nhiên được làm tròn thành 80 (đến hàng chục).

b i 75 Đây là số tự nhiên nhỏ nhất được làm tròn lên 80 (đến hàng chục).

ii 84 Đây là số tự nhiên lớn nhất được làm tròn xuống 80 (đến hàng chục).

Bài tập 3.4

1 Tất cả các số tự nhiên sau đã được làm tròn đến hàng chục.

Trong mỗi phần, hãy viết

i dãy các giá trị là số nguyên có thể là số đó cận dưới

3 This is part of Aashi’s homework.

There are marks on her work, covering some of the numbers.

Question

Increase $42 by 30 %. Round your answer to the nearest whole number.

Solution

42 × 1.3 = 54.6 = $55 (to the nearest whole number)

The number she rounds to $55 has one decimal place.

a Write

i a list of the numbers with one decimal place that round to 55

ii the lower bound

iii the upper bound.

b The question is ‘Increase $42 by 30%’.

What are the numbers covered by the marks in Aashi’s solution?

Think like a mathematician

4 Work with a partner to answer this question.

A decimal number is rounded to the nearest whole number. The answer is 8. Read what Arun and Zara say.

I think the lower bound is 7.5 and the upper bound is 8.4.

I agree with the lower bound, but disagree with the upper bound.

a Do you agree with the lower bound of 7.5? Explain why.

b Zara knows that the upper bound is not 8.4 but she has not said what she thinks it is.

What do you think the upper bound is? Explain your answer.

c Discuss your answers to parts a and b with other learners in the class.

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

3 Đây là một phần trong bài tập về nhà của Aashi.

Một vài số trong bài của bạn ấy bị dính màu.

Câu hỏi

$42 tăng lên 30 %. Làm tròn đáp số đến hàng đơn vị. Lời giải 42 × 1,3 = 54,6 = $55 (làm tròn đến hàng đơn vị)

Số mà bạn ấy làm tròn thành $55 có một chữ số phần thập phân.

a Hãy viết

i dãy các số có một chữ số phần thập phân làm tròn thành 55

ii cận dưới

iii cận trên.

b Câu hỏi là “Tăng $42 lên 30%”. Các số khác bị che mất trong lời giải của Aashi là gì?

Tư câu hỏi Hãy đọc dưới đồng ý với cậu về cận dưới, nhưng không đồng ý về

a có 7,5 không? Giải thích tại sao.

b Zara biết cận trên không phải là 8,4 nhưng bạn ấy chưa nói bạn ấy nghĩ số đó là bao nhiêu. Em nghĩ cận trên là bao nhiêu? Hảy giải thích đáp án của em.

c Thảo luận các câu trả lời của em trong phần a và b với các bạn trong lớp.

Think like a mathematician

5 Work with a partner to answer this question. Sofia and Marcus are discussing the answers to Question 4. Read what they say.

I would write the range of values that round to 8 as an inequality as 7.5 ⩽ x ⩽ 8.49 999 999...

I would write the range of values that round to 8 as an inequality as 7.5 ⩽ x < 8.5.

a Who do you think has written the inequality in the better way, Sofia or Marcus? Explain why.

b Can you think of another way to write the inequality?

c Discuss your answers to parts a and b with other learners in the class.

6 A decimal number is rounded to the nearest whole number.

Write an inequality to show the range of values the number can be when

a the answer is 4 b the answer is 12 c the answer is 356 d the answer is 670.

7 A decimal number is rounded to the nearest ten.

Copy and complete each inequality to show the range of values the number can be when

a the answer is 20 15 ⩽ x < ... b the answer is 340 ... ⩽ x < 345

c the answer is 4750 ... ⩽ x < ... d the answer is 6300 ... ⩽ x < ...

8

A decimal number is rounded to the nearest one hundred.

Copy and complete each inequality to show the range of values the number can be when a the answer is 300 250 ⩽ x < ... b the answer is 1900 ⩽ x < 1950 c the answer is 4700 ⩽ x < ... d the answer is 8000 ... ⩽ x < ...

Tip

Use Marcus’ method of writing the inequality from Question 5. So for part a the answer is 3.5 ⩽ x < ... .

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Tớ sẽ viết dãy số làm tròn thành 8 ở dạng bất phương trình là 7,5 ⩽ x ⩽ 8,49999999...

Tớ sẽ viết dãy số làm tròn thành 8 ở dạng bất phương trình là 7,5 ⩽ x < 8,5.

a Theo em, Sofia hay Marcus viết dạng bất phương trình chính xác hơn?

Hãy giải thích vì sao.

b Em có nghĩ ra cách viết bất phương trình nào khác không?

c Thảo luận câu trả lời của em trong phần a và b với các bạn trong lớp.

6 Một số thập phân được làm tròn đến hàng đơn vị. Viết một bất phương trình để thể hiện khoảng biến thiên các giá trị của số đó biết

a đáp số là 4 b đáp số là 12 c đáp số là 356 d đáp số là 670.

7 Một số thập phân được làm tròn đến hàng chục.

Chép lại và hoàn thành mỗi bất phương trình thể hiện khoảng biến thiên các giá trị của số đó biết

Áp dụng cách của Marcus để viết bất phương trình trong Câu hỏi 5. Vì thế trong phần a, câu trả lời là 3,5 ⩽ x < ... . cùng lớp để trả lời câu hỏi sau. Sofia và Marcus đang thảo luận các câu trả lời cho Câu hỏi 4. Hãy đọc những gì các bạn ấy nói.

a đáp số là 20 15 ⩽ x < ... b đáp số là 340 ... ⩽ x < 345 c đáp số là 4 750 ... ⩽ x < ... d đáp số là 6 300 ⩽ x < ...

8 Một số thập phân được làm tròn đến hàng trăm. Chép lại và hoàn thành mỗi bất phương trình thể hiện khoảng biến thiên các giá trị của số đó biết

a đáp số là 300 250 ⩽ x < ...

b đáp số là 1 900 x đáp đáp

Mách nhỏ

Think like a mathematician

9 Work with a partner to answer this question.

Look back at your answers to questions 6, 7 and 8. What do you notice about the methods you use to work out the lower and upper bounds?

a Copy and complete these generalising sentences.

i When you round to the nearest whole number, the lower and upper bounds will be … below and above the rounded number.

ii When you round to the nearest ten, the lower and upper bounds will be … below and above the rounded number.

iii When you round to the nearest one hundred, the lower and upper bounds will be … below and above the rounded number.

b Can you describe a general rule to explain how you work out the lower and upper bounds of a rounded number?

10 Vihaan works out the circumference of this pond to be 1560 cm, correct to the nearest 10 cm.

a Write

i the lower bound of the circumference ii the upper bound of the circumference.

b Write an inequality to show the range of values the circumference could have.

11 Saarya works out the mean height of the members in their netball team to be 172 cm, correct to the nearest centimetre.

a Write i the lower bound of the mean height ii the upper bound of the mean height.

b Write an inequality to show the range of values the mean height could have.

3 Số thập phân, tỉ số phần trăm và làm tròn

Tư duy như một nhà Toán học

9 Làm việc với một bạn cùng lớp, trả lời câu hỏi sau.

Nhìn lại các câu trả lời của em trong các câu hỏi 6, 7 và 8. Em có lưu ý gì về các cách em sử dụng để tính cận dưới và cận trên?

a Chép lại và hoàn thành những câu mang tính khái quát sau.

i Khi em làm tròn đến hàng đơn vị, cận dưới và cận trên sẽ … dưới và trên số được làm tròn.

ii Khi em làm tròn đến hàng chục, cận dưới và cận trên sẽ … dưới và trên số được làm tròn.

iii Khi em làm tròn đến hàng trăm, cận dưới và cận trên sẽ … dưới và trên số được làm tròn.

b Em có thể mô tả một quy tắc chung để giải thích cách em tính cận dưới và cận trên cho một số được làm tròn không?

10 Vihaan tính ra chu vi của cái ao này là 1 560 cm, làm tròn đến hàng chục cm.

a Hãy viết

i cận dưới của chu vi

ii cận trên của chu vi.

b Viết một bất phương trình thể hiện khoảng biến thiên các giá trị của chu vi.

11 Saarya tính ra chiều cao trung bình của các thành viên trong đội bóng lưới là 172 cm, làm tròn đến hàng xăng-ti-mét.

a Hãy viết

i cận dưới của chiều cao trung bình

ii cận trên của chiều cao trung bình.

b Viết một bất phương trình thể hiện khoảng biến thiên các giá trị của chiều cao trung bình.

12 The rectangular cards show a range of values that a rounded number can be. oval cards show the degree of accuracy of the rounding. The hexagonal cards show the rounded numbers. each rectangular card with the correct oval and hexagonal card.

Check your progress

1 Work out

a 7.45 × 104 b 12 × 100 c 46 × 10−3

d 5.9 × 101 e 7280 ÷ 105 f 0.5 ÷ 10−1

g 0.037 ÷ 10−3 h 18 ÷ 100

2 Work out

a 8 × −0.2 b 0.12 × 30 c −0.4 × 0.007

d −60 ÷ −0.1 e 6 ÷ 0.02 f 0.81 ÷ 0.09

g −3 × −5 × 0.5 h 132 3004 .×

3 Use your calculator to work out the final value after $240 is increased by 30%, then decreased by 15%.

4 A painting has a value of $20 000. The value is predicted to increase at a steady rate of 8% per year.

a Write a calculation to work out the value of the painting after i 1 year ii 2 years iii 3 years.

b What does the calculation $20 000 × (1.08)5 represent?

c What does the calculation $20 000 × (1.08)20 represent?

d After how many years does the value of the painting first go above $30 000?

Show how you worked out your answer. You can use a calculator.

e Write a calculation to work out the value of the painting after n years.

5 Alexi works out the area of a soccer pitch to be 7200 m2, correct to the nearest 100 m2

a Write

i the lower bound of the area of the soccer pitch

ii the upper bound of the area of the soccer pitch.

b Write the range of values the area of the soccer pitch could have.

1 Tính 7,45 × 104 b 12 × 100 c 46 × 10−3 5,9 × 101 e 7 280 ÷ 105 f 0,5 ÷ 10−1 0,037 ÷ 10−3 h 18 ÷ 100

2 Tính

a 8 × −0,2 b 0,12 × 30 c −0,4 × 0,007 −60 ÷ −0,1 e 6 ÷ 0,02 f 0,81 ÷ 0,09 g −3 × −5 × 0,5 h 132 3004 , ,×

3 Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị cuối cùng sau khi $240 được tăng lên 30%, sau đó giảm đi 15%.

4 Một bức tranh có giá trị $20 000. Giá trị này được dự đoán sẽ tăng đều ở mức 8%/năm.

a Viết phép tính để tính giá trị của bức tranh sau thời gian i 1 năm ii 2 năm iii 3 năm.

b Phép tính $20 000 × (1,08)5 thể hiện điều gì?

c Phép tính $20 000 × (1,08)20 thể hiện điều gì?

d Sau bao nhiêu năm thì giá trị của bức tranh lên đến hơn $30 000?

Trình bày cách tính của em. Em có thể sử dụng máy tính cầm tay.

e Viết phép tính để tính giá trị của bức tranh sau n năm.

5 Alexi tính ra diện tính của một sân bóng đá là 7 200 m2, làm tròn đến hàng trăm m2 .

a Hãy viết

i cận dưới của diện tích sân bóng đá ii cận trên của diện tích sân bóng đá.

b Viết khoảng biến thiên các giá trị có thể của diện tích sân bóng.

Project

Cutting tablecloths

Imagine a square piece of cloth 1 metre by 1 metre that could be altered to make a tablecloth for a rectangular table. You could cut off a strip 20% of the way along the square, rotate it, and attach it to the other edge to make a rectangle. There would be a little bit of cloth left over!

• The purple square is the original tablecloth.

• The blue rectangle is the new tablecloth.

• The red piece shows the cloth that is left over. Look at the diagram.

• What percentage of the original cloth has been used to make the new tablecloth? Instead of cutting off a 20% strip, you could cut a 10% strip, or a 15% strip, or a different percentage. Choose some percentages to try. For each example, think about the following questions:

• What percentage of the original tablecloth is used to make the new tablecloth?

• What percentage of the original tablecloth is wasted?

• Is there a quick way to work out the percentage of cloth used and wasted, if you know what percentage strip was cut off? Then answer these questions.

• To make a rectangular tablecloth in this way, with an area of 75% of the original cloth, what percentage strip would you need to cut off?

• To make a rectangular tablecloth in this way, with an area of 50% of the original cloth, what percentage strip would you need to cut off?

Dự án 1

Cắt khăn trải bàn Tưởng tượng một tấm vải hình vuông có diện tích 1 mét × 1 mét có thể được thay đổi để làm khăn trải cho một chiếc bàn hình chữ nhật.

Em có thể cắt rời một miếng vải chiếm 20% dọc theo tấm vải hình vuông, xoay miếng vải mới cắt đó lại, rồi gắn vào cạnh kia của tấm vải hình vuông ban đầu để tạo thành một hình chữ nhật. Miếng vải sẽ dư ra một ô nhỏ.

• Hình vuông màu tím là tấm khăn trải bàn ban đầu.

• Hình chữ nhật màu xanh dương là tấm khăn trải bàn mới.

• Mẩu vải màu đỏ là phần dư.

Hãy nhìn vào hình trên.

• Tỉ số phần trăm của tấm vải ban đầu đã được sử dụng để làm tấm khăn trải bàn mới?

Thay vì cắt đi 20% tấm vải ban đầu, em có thể cắt đi 10% hoặc 15%, hoặc một tỉ số phần trăm khác.

Chọn một vài tỉ số phần trăm để thử. Với mỗi ví dụ, hãy suy nghĩ các câu hỏi sau:

• Tỉ số phần trăm của tấm khăn trải bàn ban đầu được sử dụng để làm tấm khăn trải bàn mới là bao nhiêu?

• Tỉ số phần trăm của tấm khăn trải bàn ban đầu bị bỏ phí là bao nhiêu?

• Có cách nào tính nhanh được tỉ số phần trăm của tấm vải được sử dụng và bỏ phí không nếu em biết tỉ số phần trăm của phần vải bị cắt?

Sau đó hãy trả lời các câu hỏi sau.

• Để làm một tấm khăn trải bàn theo cách này, với diện tích bằng 75% tấm vải ban đầu, em cần cắt đi bao nhiêu phần trăm của tấm vải?

• Để làm một tấm khăn trải bàn theo cách này, với diện tích bằng 50% tấm vải ban đầu, em cần cắt đi bao nhiêu phần trăm của tấm vải?

4 Equations and inequalities

Getting started

1 Solve these equations.

a 3x + 7 = 22 b 2x − 8 = 10 c y 5 38+= d 2y + 2 = y + 27

2 For the inequality 4 < y ⩽ 7, write a the smallest integer that y could be b the largest integer that y could be c a list of the integer values that y could be.

3 Copy and complete these equivalent inequalities.

a x > 5 is equivalent to 2x > … b x < 9 is equivalent to … x < 36 c y ⩾ 8 is equivalent to y + 5 ⩾ d y ⩽ −6 is equivalent to y − 5 ⩽

The Rhind Papyrus is a famous document kept in the British Museum in London. It was written in Egypt in 1650 bce. It is a list of 84 practical problems and their solutions. It shows how the people of Ancient Egypt carried out mathematical calculations. Some of the problems are easy to solve using algebra. However, this technique was not known at that time in Egypt. They wrote their problems and solutions in words, rather than using symbols. In this unit you will use algebra to solve problems; hopefully, this will make them much easier to solve!

Phương trình và bất phương trình

Bắt đầu nào!

1 Giải các phương trình sau.

a 3x + 7 = 22

b 2x − 8 = 10 c y 5 38+= d 2y + 2 = y + 27

2 Cho bất phương trình 4 < y ⩽ 7, hãy viết

a số nguyên nhỏ nhất có thể của y b số nguyên lớn nhất có thể của y c dãy số nguyên có thể là các giá trị của y.

3 Chép lại và hoàn thành các bất phương trình tương đương sau

a x > 5 tương đương với 2x > … b x < 9 tương đương với … x < 36 c y ⩾ 8 tương đương với y + 5 ⩾ d y ⩽ −6 tương đương với y − 5 ⩽ Cuộn giấy Rhind là một tài liệu nổi tiếng được lưu giữ tại Bảo tàng Anh ở London. Nó được viết ở Ai Cập vào năm 1650 trước Công nguyên và là danh sách 84 bài toán thực tiễn cùng với lời giải của chúng. Tài liệu này cho thấy cách người Ai Cập cổ đại thực hiện các phép tính toán học như thế nào. Một số bài toán có thể giải dễ dàng bằng đại số. Tuy nhiên, kĩ thuật này chưa được biết đến vào thời điểm đó ở Ai Cập. Người ta vẫn viết các bài toán và lời giải bằng chữ, thay vì sử dụng các kí hiệu. Trong học phần này, em sẽ sử dụng đại số để giải các bài toán, hi vọng rằng điều này sẽ làm cho các bài toán dễ giải hơn nhiều!

4.1 Constructing and solving equations

In this section you will … • write and solve equations.

When you are given a problem to solve, you can construct, or write, an equation to help you solve the problem.

Worked example 4.1

Write an equation to represent each problem, then solve your equations.

Key words construct (algebra) sector solve

a Xavier thinks of a number. He doubles the number, then adds 3. Then he doubles the result. The answer is 70. What number did Xavier think of first?

b 120 sweets are shared between some children. Each child gets 8 sweets. How many children are there?

Answer

a Call the number x You can use any letter.

2x + 3

2(2x + 3) = 70

2x + 3 = 35

2x = 32

x = 16

Double it and add 3.

Double 2x + 3 is 70. Now solve the equation.

Divide both sides by 2.

Subtract 3 from both sides.

Divide both sides by 2. The number is 16.

b Call the number of children c You can use any letter.

120 8 c =

120 = 8c

120 8 = c

c = 15

Write the equation. Now solve the equation.

Multiply by c, to remove c from the denominator.

Divide both sides by 8.

There are 15 children.

4 Phương trình và bất phương trình

4.1 Lập và giải phương trình

Trong phần này, em sẽ…

• viết và giải phương trình.

Khi được cho một bài toán để giải, em có thể lập, hoặc viết một phương trình để giúp em giải bài toán.

Ví dụ minh hoạ 4.1

Viết phương trình cho mỗi bài toán dưới đây rồi giải chúng.

Từ khoá lập (đại số) hình quạt giải

a Xavier nghĩ đến một số. Bạn ấy nhân đôi số đó lên, rồi cộng thêm 3. Sau đó, bạn ấy nhân đôi kết quả. Đáp số là 70. Số Xavier nghĩ đến lúc đầu là số nào?

b 120 chiếc kẹo được chia cho các em nhỏ. Mỗi em được 8 chiếc kẹo. Vậy có bao nhiêu em nhỏ?

Lời giải

a Gọi số đó là x

2x + 3

2(2x + 3) = 70

2x + 3 = 35

2x = 32

x = 16

b Gọi số em nhỏ là c

120 8 c =

120 = 8c

120 8 = c

c = 15

Em có thể sử dụng bất kì chữ cái nào.

Nhân đôi số đó lên rồi cộng với 3.

Nhân đôi 2x + 3 được 70. Bây giờ hãy giải phương trình.

Chia cả hai vế cho 2.

Trừ mỗi vế cho 3.

Chia cả hai vế cho 2. Số đó là 16.

Em có thể sử dụng bất kì chữ cái nào.

Viết phương trình. Bây giờ hãy giải phương trình.

Nhân với c để loại bỏ c khỏi mẫu số.

Chia cả hai vế cho 8.

Có 15 em nhỏ.

Exercise 4.1

1 Copy and complete the workings to solve these equations. a b c d

2 Solve these equations.

a 2x + 14 = −8 b −2x + 8 = 14 c 12 − 2y = 4 d −4 = 12 − 2y e a − 15 = 4a + 3 f 5 + 3a = −3 − 5a g 3x + 6 = 20 − 4x h z + 11 = 35 − 5z

3 Here is an equation: 2(x + 12) = 4x − 6

a Solve the equation by first multiplying out the brackets. b Solve the equation by first dividing both sides by 2.

c Critique each method in parts a and b. Can you improve these methods? Which is your favourite method? Explain why. 81430 8 8 x x x x x + = 29 10 10 () x x x x x 2 3 2 3 2 3 2 511 2 2 y y y y y y

Think like a mathematician

4 Work with a partner to answer this question.

This is part of Shen’s homework.

a How can you use the answer to show that Shen’s working is incorrect?

b Work through Shen’s solution. Explain all the mistakes he has made.

Question

Solve the equation 2(x + 8) = 3(6 – x) Answer 2x + 8 = 18 – 3x – x+ 8 = 18 x= 26

c Work out the correct answer, and show how to check that your answer is correct.

d Discuss your answers to parts a, b and c with other learners in your class.

4 Phương trình và bất phương trình

Bài tập 4.1

1 Chép lại và hoàn thành các bước tính để giải các phương trình sau. a b c d

2 Giải các phương trình sau.

a 2x + 14 = −8 b −2x + 8 = 14 c 12 − 2y = 4 d −4 = 12 − 2y e a − 15 = 4a + 3 f 5 + 3a = −3 − 5a g 3x + 6 = 20 − 4x h z + 11 = 35 − 5z

3 Cho phương trình: 2(x + 12) = 4x − 6

a Giải phương trình bằng cách nhân phá ngoặc trước tiên.

b Giải phương trình bằng cách chia cả hai vế cho 2 trước tiên.

c Phản biện mỗi cách tính trong các phần a và b. Em có thể cải tiến những cách tính này không? Em thích cách tính nào nhất? Giải thích vì sao.

4 Làm việc với một bạn cùng lớp, trả lời câu hỏi sau.

Hình bên là một phần trong bài tập về nhà của Shen.

a Em có thể làm cách nào để dùng ngay đáp số của Shen và chỉ ra được cách tính của bạn là sai?

b Kiểm từng bước trong lời giải của Shen. Giải thích tất cả các lỗi sai mà bạn ấy đã mắc phải.

Câu hỏi Giải phương trình 2(x + 8) = 3(6 – x) Lời giải x + 8 = 18 – 3x x+ 8 = 18 x= 26

c Tính đáp số đúng và chỉ ra cách kiểm tra đáp số của em là đúng.

d Thảo luận câu trả lời của em trong các phần a, b và c với các bạn trong lớp.

5 Jacob and Zander solve the equation 10( 5

a Jacob starts to solve the equation by multiplying out the brackets.

Complete Jacob’s solution.

b Zander starts to solve the equation by dividing both sides of the equation by 5.

Complete Zander’s solution.

c Critique Jacob and Zander’s methods. Whose method do you prefer? Explain why.

6 Copy and complete the workings to solve these equations.

7

4 Phương trình và bất phương trình

5 Jacob và Zander giải phương trình 10(x − 4) = 5x + 25

a Khi bắt đầu giải phương trình, Jacob nhân phá ngoặc trước tiên.

Hãy hoàn thiện lời giải của Jacob.

b Khi bắt đầu giải phương trình, Zander chia cả hai vế cho 5. Hãy hoàn thiện lời giải của Zander.

c Phản biện cách giải phương trình của Jacob và Zander. Em thích cách nào hơn? Giải thích vì sao.

6 Chép lại và hoàn thành các bước giải các phương trình sau.

7 Giải các phương trình sau. Kiểm tra đáp số của em bằng cách thay thế đáp số vào phương trình ban đầu. 81

Continued

a Critique Steffan’s and Heidi’s methods. Whose method do you prefer? Explain why.

b Can you improve their methods?

c Discuss your answers to parts a and b with other learners in the class.

d Try solving these equations using your favourite method. i 9124x = ii 2 75 = x iii 8 110x + =

e Is your favourite method still your favourite method? Explain your answer.

9 Adeline is A years old.

a Write an expression for i Adeline’s age in 10 years’ time ii Adeline’s age 6 years ago.

b Use the information from Adeline to write an equation for A.

c Solve the equation to find Adeline’s age now.

In 10 years' time, I will be twice as old as I was 6 years ago.

10 The sides of a triangle, in centimetres, are 2(x + 3), 7x − 5 and 5(7 − x).

The perimeter of the triangle is 48 cm.

a Write an equation for x.

b Solve your equation to find the value of x.

c Work out the lengths of the three sides of the triangle.

11 This equilateral triangle and this rectangle have equal perimeters.

a Write an equation to show this.

b Solve the equation.

c Find the lengths of the sides of the shapes.

12 Su draws a pie chart with x equal size sectors. She works out that the angle of each sector is 24°.

a Which two of these equations represent the situation?

a + 3cm a + 7cm 3a cm

A 360x = 24 B 360 24 x = C x 360 24=

D 24x = 360 E 24 360 x =

b Solve all of the equations in part a

Use your answers to decide if you chose the correct two equations in part a.

4 Phương trình và bất phương trình

Tiếp theo

a Phản biện cách giải phương trình của Steffan và Heidi. Em thích cách nào hơn? Giải thích vì sao.

b Em có thể cải tiến cách làm của các bạn ấy không?

9 Adeline năm nay A tuổi.

a Viết biểu thức thể hiện

i số tuổi của Adeline trong 10 năm nữa

ii số tuổi của Adeline lúc 6 năm trước.

b Sử dụng những thông tin Adeline cho biết để viết phương trình cho A

c Giải phương trình để tìm số tuổi của Adeline hiện tại.

10 Một hình tam giác có các cạnh, đơn vị xăng-ti-mét, là 2(x + 3), 7x − 5 và 5(7 − x).

Chu vi của hình tam giác là 48 cm.

a Viết phương trình thể hiện x.

b Giải phương trình để tìm ra giá trị của x

c Tính chiều dài ba cạnh của tam giác.

11 Tam giác đều và hình chữ nhật ở hình bên có chu vi bằng nhau.

a Viết phương trình để thể hiện dữ kiện này.

b Giải phương trình.

c Tìm chiều dài các cạnh của các hình đó.

c Thảo luận câu trả lời của em trong phần a và b với các bạn trong lớp. Hãy thử giải những phương trình sau bằng phương pháp em thích nhất. 9 Em có còn thích phương pháp mà em thích lúc đầu không? Giải thích vì sao. + 3cm + 7cm a

Trong 10 năm nữa, số tuổi của mình sẽ gấp đôi số tuổi của mình lúc 6 năm trước.

12 Su vẽ biểu đồ tròn gồm x hình quạt có kích thước bằng nhau. Bạn ấy tính ra số đo mỗi góc hình quạt là 24°.

a Trong số các phương trình sau, hai phương trình nào thể hiện đúng tình huống này?

A 360x = 24 B 360 24 24

D 24x = 360 E 360

b Giải tất cả các phương trình trong phần a Dựa vào các đáp số của em để quyết định xem em đã chọn đúng hai phương trình trong phần a hay không.

13 There are y learners in class 9T. Mrs Leclerc shares 85 pencils between the learners in class 9T. Each learner gets five pencils.

a Write an equation to represent this situation. Do not solve your equation.

There are 2 more learners in class 9S than in class 9T. Mrs Leclerc shares 152 pencils between the learners in class 9S. They each get eight pencils.

b Write an equation to represent this situation.

c Solve both of your equations to find the number of learners in class 9T.

d In part c, is the value for y the same in both of your equations? If not, check to see where you have made a mistake.

Activity 4.1

Work in a group of three or four. For each part of this question

i individually write an equation to represent the situation

ii compare the equation you have written with the equations written by the other members of your group. Decide who has written the correct equation in the easiest way

iii solve the equation you chose in part ii

a Xavier thinks of a number. He multiplies the number by 5, then adds 12. The answer is the same as when he multiplies his number by 10 and then subtracts 8. What number did he think of?

b Anders thinks of a number. He subtracts 5, then multiplies the result by 12. The answer is the same as when he adds 1 to the number, then multiplies the result by 4. What number did he think of?

c Sasha thinks of a number. She multiplies her number by 5, then subtracts 4. The answer is the same as 2 times the number plus 20. What number did Sasha think of?

d Alicia thinks of a number. She adds 7 to the number, then divides 75 by the result. The answer is 5. What number did Alicia think of?

e Jake thinks of a number. He doubles the number, then divides 126 by the result. The answer is 9. What number did Jake think of?

14 The diagram shows the sizes of the two equal angles in an isosceles triangle.

a Write an equation to represent the situation.

b Solve your equation to find the value of x.

c Work out the size of all three of the angles in the triangle.

4 Phương trình và bất phương trình

13 Lớp 9T có y học sinh. Cô Leclerc chia 85 chiếc bút chì cho các bạn học sinh trong lớp 9T. Mỗi bạn được năm chiếc.

a Viết phương trình thể hiện tình huống này. Không giải phương trình. Lớp 9S có nhiều hơn lớp 9T 2 học sinh. Cô Leclerc chia 152 chiếc bút chì cho các bạn học sinh trong lớp 9S. Mỗi bạn được tám chiếc.

b Viết phương trình thể hiện tình huống này.

c Giải cả hai phương trình để tìm ra số học sinh trong lớp 9T.

d Trong phần c, giá trị của y có giống nhau trong cả hai phương trình của em không? Nếu không, hãy kiểm tra xem em đã sai ở đâu.

Hoạt động 4.1

Làm việc theo nhóm ba hoặc bốn bạn. Trong mỗi phần của câu hỏi sau, hãy

i tự viết một phương trình thể hiện mỗi tình huống

ii so sánh phương trình em vừa viết với các phương trình của các bạn khác trong nhóm. Tìm ra xem ai là người viết được phương trình chính xác theo cách dễ nhất iii giải phương trình các em đã chọn trong phần ii.

a Xavier nghĩ đến một số. Bạn ấy nhân số đó với 5, sau đó cộng thêm 12.

Đáp số tương tự như khi bạn ấy nhân số đó với 10, rồi trừ đi 8. Bạn ấy đã nghĩ đến số nào?

b Anders nghĩ đến một số. Bạn ấy trừ số đó cho 5, sau đó nhân kết quả với 12. Đáp số tương tự như khi bạn ấy cộng 1 vào số ban đầu, rồi nhân kết quả với 4. Bạn ấy đã nghĩ đến số nào?

c Sasha nghĩ đến một số. Bạn ấy nhân số đó với 5, sau đó trừ đi 4. Đáp số bằng chính số đó nhân lên 2 lần rồi cộng với 20. Sasha đã nghĩ đến số nào?

d Alicia nghĩ đến một số. Bạn ấy cộng 7 vào số đó, sau đó lấy 75 chia kết quả. Đáp số là 5. Alicia đã nghĩ đến số nào?

e Jake nghĩ đến một số. Bạn ấy nhân đôi số đó lên, sau đó chia 126 cho kết quả. Đáp số là 9. Jake đã nghĩ đến số nào?

14 Hình bên cạnh cho thấy số đo của hai góc bằng nhau trong một tam giác cân.

a Viết một phương trình thể hiện tình huống này.

b Giải phương trình để tìm giá trị của x.

c Tính số đo tất cả các góc trong tam giác.

15 a Write a problem to represent each equation.

i x + 2(x + 1) + 3(x + 2) + 4(x + 3) = 80 ii 6(3a − 4) = 3(4a − 3) iii 180 5 15 x =

b Solve the equations in part a.

Summary checklist

I can understand and solve equations. I can write and solve equations.

4.2 Simultaneous equations

In this section you will …

• solve simultaneous equations.

The sum of two numbers is 37. The difference between the two numbers is 13. What are the numbers?

Call the numbers x and y. Then: x + y = 37 and x − y = 13

Now you have two equations and two unknowns. These are simultaneous equations. You need to find the values of x and y that solve both equations simultaneously. There is only one value for x and one value for y for which both of the equations are true. In this case, x = 25 and y = 12 because 25 + 12 = 37 and 25 − 12 = 13.

Worked example 4.2

Solve these simultaneous equations: y = 3x + 1 and y = x + 9 Answer

Key words method of elimination method of substitution simultaneous equations

Step 1 3x + 1 = x + 9 You know from the first equation that y = 3x + 1, so you can use the method of substitution and substitute the y in the second equation with 3x + 1.

3x − x = 9 − 1 Rearrange the equation to get the xs on one side and the numbers on the other side.

28 48 2 x x = ==

Solve as normal to find the value of x.

4 Phương trình và bất phương trình

15 a Viết một bài toán thể hiện mỗi phương trình.

i x + 2(x + 1) + 3(x + 2) + 4(x + 3) = 80 ii 6(3a − 4) = 3(4a − 3) iii 180 5 15 x =

b Giải các phương trình trong phần a.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể hiểu và giải các phương trình.

Em có thể viết và giải các phương trình.

4.2 Hệ phương trình

Trong phần này, em sẽ…

• giải hệ phương trình.

Tổng của hai số là 37. Hiệu của hai số là 13. Đó là hai số nào?

Gọi hai số là x và y. Khi đó: x + y = 37 và x − y = 13

Bây giờ em có hai phương trình và hai ẩn. Chúng tạo thành hệ phương trình. Em cần tìm ra giá trị của x và y để giải hai phương trình cùng một lúc. Chỉ có một giá trị của x và một giá trị của y để cả hai phương trình đều đúng. Trong tình huống này, x = 25 và y = 12 vì 25 + 12 = 37 và 25 − 12 = 13.

Từ khoá phương pháp khử phương pháp thế hệ phương trình

Ví dụ minh = và giải = + 9 Từ phương trình đầu tiên, em biết y = 3x + 1, vì thế em có thể sử

Continued

Step 2 yx=+ = × + = 31 341 13

Step 3 yx=+ =+ = 9 49 13

Step 4 x = 4 y = 13

Exercise 4.2

Substitute x = 4 into either of the equations to find the value of y

Substitute x = 4 into the other equation to check you get the same value for y. If you don’t get the same value, you have made a mistake.

Clearly write your answers at the end of your working.

1 Copy and complete the workings to solve the equations y = 5x − 3 and y = 2x + 15

Step 1: Work out x. 53 215 5 15 xx x x x -= + -= +

Step 2: Work out y. yx=− = × =− = 53 53 3

Step 3: Check values are correct. yx=+ = × + =+ = 215 215 15

Step 4: Write the answers: x = and y =

2 Solve the simultaneous equations y = 2x − 1 and y = x + 4 3 Solve the simultaneous equations y = x + 9 and y = 3x + 1 Solve the simultaneous equations y = 9 − 2x and y = x − 12

Think

5 a Copy and complete the tables of values for each equation. y = 3x + 1 x 0 3 6 y y = x + 9 x 0 3 6 y

4 Phương trình và bất phương trình

Tiếp theo

Bước 2 yx=+ = × + = 31 341 13

Bước 3 yx=+ =+ = 9 49 13

Bước 4 x = 4 y = 13

Bài tập 4.2

Thế x = 4 vào một trong hai phương trình để tìm giá trị của y.

Thế x = 4 vào phương trình còn lại để kiểm tra xem có được giá trị của y tương tự không.

Nếu không, tức là em vừa tính sai.

Viết đáp số rõ ràng ở cuối phần bài làm của em.

1 Chép lại và hoàn thành các bước tính để giải các phương trình sau y = 5x − 3 = 1: Tìm 2: Tìm y yx Bước 3: Kiểm

Continued

b On graph paper, draw a coordinate grid from 0 to 6 on the x-axis and from 0 to 20 on the y-axis.

Plot the points from your tables on the grid and draw the straight lines y = 3x + 1 and y = x + 9.

c Write the coordinates of the points where your two lines intersect.

d What do you notice about your answers to part c, and the solution to the simultaneous equations in Worked example 4.2?

e Discuss your answer to part d with other learners in your class.

In general, what can you say about the solution of two simultaneous equations and the coordinates of the point where the lines of the two equations intersect?

6 a Solve these simultaneous equations using i a graphical method ii an algebraic method.

y = 3x and y = x + 4

b Check that your answers to part ai and aii are the same.

c Which method do you prefer, the graphical or the algebraic method? Explain why.

Think like a mathematician

7 Work with a partner to answer these questions.

a Solve these simultaneous equations.

i y = 3x + 1 and 5x = y + 3 ii x = 4y − 2 and y + x = 8

b Discuss the methods you used in part a with other learners in your class.

Critique the various methods and decide which method is easiest to use.

Tip

For the graphical method, use the same method as in Question 5.

For the algebraic method, use the same method as in questions 1 to 4.

4 Phương trình và bất phương trình

Tiếp theo

b Trên một trang giấy kẻ ô, vẽ một hệ trục toạ độ từ 0 đến 6 trên trục hoành và từ 0 đến 20 trên trục tung. Xác định vị trí của các điểm trong các bảng của em trên hệ trục toạ độ và vẽ các đường thẳng y = 3x + 1 và y = x + 9.

c Vẽ toạ độ của các giao điểm của hai đường thẳng này.

d Em có lưu ý điều gì về các câu trả lời của em trong phần c, và nghiệm của phương trình trong phần Ví dụ minh hoạ 4.2 không?

e Thảo luận câu trả lời của em trong phần d với các bạn trong lớp. Nhìn chung, em có thể nhận định gì về nghiệm của phương trình và toạ độ giao điểm của hai đường thẳng thể hiện hai phương trình?

6 a Giải hệ phương trình sau bằng

i phương pháp đồ thị

ii phương pháp đại số.

y = 3x và y = x + 4

b Kiểm tra xem đáp số của em trong phần ai và aii có giống nhau không.

c Em thích phương pháp đồ thị hay phương pháp đại số hơn?

Giải thích vì sao.

Tư duy như một nhà Toán học

7 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời các câu hỏi sau.

a Giải các hệ phương trình sau. i y = 3x + 1 và 5x = y + 3 ii x = 4y − 2 và y + x = 8

b Thảo luận các phương pháp em đã sử dụng trong phần a với các bạn trong lớp. Phản biện các phương pháp và quyết định xem phương pháp nào dễ sử dụng nhất.

Mách nhỏ

Đối với phương pháp đồ thị, hãy sử dụng phương pháp tương tự như trong Câu hỏi 5

Đối với phương pháp đại số, sử dụng phương pháp tương tự như trong các câu hỏi từ 1 đến 4

8 Sergio and Fausta solve the simultaneous equations x + 3y = 25 and 4x = 3y + 10. They both use the method of substitution, but their methods are slightly different. This is what they write:

Sergio

Rearrange x + 3y = 25 → x = 25 – 3y

Substitute x = 25 – 3y into 4x = 3y + 10

4(25 – 3y) = 3y + 10 100 – 12y = 3y + 10 100 – 10 = 3y + 12y 90 = 15y y = 90 15 = 6

Substitute y = 6 into x = 25 – 3y x = 25 – 3 × 6 = 25 – 18 = 7

Check in second equation:

4 × 7 = 3 × 6 + 10 → 28 = 28  x = 7 and y = 6

a Use Sergio’s method to solve these simultaneous equations.

i x + 2y = 17 and 3x = 4y + 11 ii 2x + y = 28 and 4y = x + 22

b Use Fausta’s method to solve these simultaneous equations.

i x + 2y = 8 and 5x = 2y + 4 ii 3x + 2y = 28 and 3y = 3x + 12

9 Solve each pair of simultaneous equations. Use your favourite algebraic method.

Fausta

Rearrange x + 3y = 25 → 3y = 25 – x

Substitute 3y = 25 – x into 4x = 3y + 10 4x = 25 – x + 10 5x = 35 x = 35 5 = 7

Substitute x = 7 into 3y = 25 – x 3y = 25 – 7 3y = 18 y = 18 3 = 6

Check in second equation:

4 × 7 = 3 × 6 + 10 → 28 = 28  x = 7 and y = 6

Tip

For part i, rearrange x + 2y = 17 to get x = … For part ii, rearrange 2x + y = 28 to get y = … OR rearrange 4y = x + 22 to get x = …

Tip

For part i, rearrange x + 2y = 8 to get 2y = … For part ii, rearrange 3x + 2y = 28 to get 3x = … OR rearrange 3y = 3x + 12 to get 3x = …

a x + y = 7 b y + x = 19 c 2x + y = 18 d y = 2x y = 2x − 8 x = 5y + 1 y = 2x − 10 x = 2y − 9

4 Phương trình và bất phương trình

8 Sergio và Fausta giải hệ phương trình x + 3y = 25 và 4x = 3y + 10. Cả hai bạn đều dùng phương pháp thế, nhưng cách làm của mỗi bạn khác nhau một chút. Các bạn ấy viết như sau:

Sergio

Sắp xếp lại x + 3y = 25 → x = 25 – 3y

Thế x = 25 – 3y vào 4x = 3y + 10

4(25 – 3y) = 3y + 10

100 – 12y = 3y + 10 100 – 10 = 3y + 12y 90 = 15y y = 90 15 = 6

Thế y = 6 vào x = 25 – 3y x = 25 – 3 × 6 = 25 – 18 = 7

Kiểm tra ở phương trình thứ hai:

4 × 7 = 3 × 6 + 10 → 28 = 28  x = 7 và y = 6

a Sử dụng cách tính của Sergio để giải các hệ phương trình sau.

i x + 2y = 17 và 3x = 4y + 11

ii 2x + y = 28 và 4y = x + 22

b Sử dụng cách tính của Fausta để giải hệ phương trình sau.

i x + 2y = 8 và 5x = 2y + 4

ii 3x + 2y = 28 và 3y = 3x + 12

9 Giải mỗi hệ phương trình sau. Sử dụng phương pháp đại số em thích nhất.

Fausta

Sắp xếp lại x + 3y = 25 → 3y = 25 – x

Thế 3y = 25 – x vào 4x = 3y + 10

4x = 25 – x + 10 5x = 35 x = 35 5 = 7

Thế x = 7 vào 3y = 25 – x 3y = 25 – 7 3y = 18 y = 18 3 = 6

Kiểm tra ở phương trình thứ hai:

4 × 7 = 3 × 6 + 10 → 28 = 28  x = 7 và y = 6

Mách nhỏ

Trong phần i, sắp xếp lại x + 2y = 17 để có x = … Trong phần ii, sắp xếp lại 2x + y = 28 để có y = … HOẶC sắp xếp lại 4y = x + 22 để có x = …

Mách nhỏ

Trong phần i, sắp xếp lại x + 2y = 8 để có 2y = … Trong phần ii, sắp xếp lại 3x + 2y = 28 để có 3x = … HOẶC sắp xếp lại 3y = 3x + 12 để có 3x = …

a x + y = 7 b y + x = 19 c 2x + y = 18 d y = 2x y = 2x − 8 x = 5y + 1 y = 2x − 10 x = 2y − 9

4 Equations and inequalities

10 Sofia and Zara solve the simultaneous equations y = 3(x + 5) and 2x + y = 0. Read what they say.

I think the answers are x = −3 and y = 6.

I think the answers are x = 3 and y = −6.

Is either of them correct? Explain your answer and show your working.

11 Afua uses the method of elimination to solve the simultaneous equations

x + y = 37 and x − y = 13. This is what she writes.

Step 1: Add the two equations.

x + y = 37 + x – y = 13

2x + 0y = 50

2x = 50, x = 50 2 = 25

Step 2: Substitute x = 25 into the first equation: 25 + y = 37 y = 37 – 25 = 12

Step 3: Check in second equation 25 – 12 = 13 

Step 4: State answers x = 25 and y = 12

Tip

When Afua adds the two equations, she eliminates the ys as one is positive and one is negative: y + −y = 0y = 0

Use the method of elimination to copy and complete the workings to solve these simultaneous equations.

4 Phương trình và bất phương trình

10 Sofia và Zara giải hệ phương trình y = 3(x + 5) và 2x + y = 0. Hãy đọc những gì các bạn ấy nói.

Tớ nghĩ đáp số là x = −3 và y = 6. Tớ nghĩ đáp số là x = 3 và y = −6.

Có bạn nào trả lời đúng không? Giải thích câu trả lời và trình bày cách giải của em.

11 Afua sử dụng phương pháp khử để giải hệ phương trình x + y = 37 và x − y = 13. Bạn ấy viết như sau.

Bước 1: Cộng hai phương trình. x + y = 37 + x – y = 13 2x + 0y = 50 2x = 50, x = 50 2 = 25

Bước 2: Thế x = 25 vào phương trình đầu tiên. 25 + y = 37 y = 37 – 25 = 12

Bước 3: Kiểm tra ở phương trình thứ hai. 25 – 12 = 13 

Bước 4: Viết các đáp số. x = 25 và y = 12

Mách nhỏ

Khi Afua cộng hai phương trình, bạn ấy loại trừ các chữ y vì có một y mang dấu dương và một y mang dấu âm: y + −y = 0y = 0

Sử dụng phương pháp khử, chép lại và hoàn thành các bước tính để giải các hệ phương trình sau.

a 2x + y = 50 and x − y = 4

Step 1: Add the two equations. 2x + y = 50 + x − y = 4 3x + 0y = 3x = , x == 3

Step 2: Substitute x = into the first equation: 250 50 × += =− = y y

Step 3: Check in second equation. − =

Step 4: State answers. x = and y =

b x + 4y = 41 and x + 2y = 23

Step 1: Subtract the two equations. x + 4y = 41 − x + 2y = 23 0x + 2y = 2y = , y == 2

Step 2: Substitute y = into the first equation: x x + × = =− = 441 41

Step 3: Check in second equation. + 2 × =

Step 4: State answers. x = and y =

c 3x + 2y = 38 and 3x − y = 26

Step 1: Subtract the two equations.

3x + 2y = 38 − 3x − y = 26 0x + 3y = 3y = , y == 3

Step 2: Substitute y = into the first equation: 3238 338 3 3 x x xx + × = =− === ,

Step 3: Check in second equation. 3 × − =

Step 4: State answers. x = and y =

Tip

Be careful with the double negative in part c: 2y − −y = 2y + y.

4 Phương trình và bất phương trình

a 2x + y = 50 và x − y = 4

Bước 1: Cộng hai phương trình. 2x + y = 50 + x − y = 4 3x + 0y = 3x = ; x == 3

Bước 2: Thế x = vào phương trình đầu tiên: 250 50 × += =− = y y

Bước 3: Kiểm tra ở phương trình thứ hai. − =

Bước 4: Viết các đáp số. x = và y =

b x + 4y = 41 và x + 2y = 23

Bước 1: Trừ hai phương trình. x + 4y = 41 − x + 2y = 23 0x + 2y = 2y = ; y == 2

c 3x + 2y = 38 và 3x − y = 26

Bước 2: Thế y = vào phương trình đầu tiên:

x x + × = =− = 441 41

Bước 3: Kiểm tra ở phương trình thứ hai. + 2 × =

Bước 4: Viết các đáp số. x = và y =

Bước 1: Trừ hai phương trình. 3x + 2y = 38 − 3x − y = 26 0x + 3y = 3y = ; y == 3 Bước 2: Thế y = vào phương trình đầu tiên: 3238 338 3 3 x x xx + × = =− === , Bước 3: Kiểm tra ở phương trình thứ hai. 3 × − = Bước 4: Viết các đáp số. x = và y =

Mách nhỏ

Cẩn thận với hai dấu âm trong phần c: 2y − −y = 2y + y.

Think like a mathematician

12 a Look at the following simultaneous equations.

Discuss with a partner how you can decide whether you need to add or subtract the equations in each part when you solve them using elimination. In one part you can do either. Which part is it?

i x + y = 15 ii x + 6y = 9 iii 2x + y = 19 iv 3x + 2y = 37 x − y = 3 x + 2y = 1 3x − y = 21 x + 2y = 19

b Discuss your answers to part a with other learners in the class.

c Describe a general rule you can follow to help you to decide when you should add or subtract simultaneous equations when you solve them using elimination.

d On your own, solve the simultaneous equations in part a using elimination. Check your workings and answers with your partner.

Activity 4.2

Work with a partner for this activity. Here are five equation cards.

A y = 3x B 5x + y = 48 C x + y = 24

D y= 4x 6 E x = 3y − 48

a Choose two cards. Ask your partner to solve the simultaneous equations you have chosen.

Make sure you give your partner a different pair of equations to the pair they choose for you.

Use your favourite method to solve the equations, then ask your partner to check your working and answers.

b Compare your answers with your partner’s answers. Did you get the same answers? If you got different answers, check each other’s working again, as your answers should be the same.

13 Solve these simultaneous equations. Use any method.

a 2x + y = 22 b y = 2x − 12 x − y = 5 x + y = 3 c y = 2x d 6x + 7y = 49 x + 3y = 14 3x − 7y = 14

4 Phương trình và bất phương trình

Tư duy như một nhà Toán học

12 a Quan sát các hệ phương trình sau.

Làm việc với một bạn cùng lớp để tìm ra xem làm cách nào ta biết được nên cộng hay trừ các phương trình trong mỗi phần khi giải bằng phương pháp khử.

Có một phần có thể thực hiện cách nào cũng được. Đó là phần nào?

i x + y = 15 ii x + 6y = 9 iii 2x + y = 19 iv 3x + 2y = 37 x − y = 3 x + 2y = 1 3x − y = 21 x + 2y = 19

b Thảo luận đáp số của em trong phần a với các bạn cùng lớp.

c Mô tả một quy tắc chung em có thể dựa vào để quyết định nên cộng hay trừ các hệ phương trình khi giải bằng phương pháp khử.

d Hãy tự giải các hệ phương trình trong phần a bằng phương pháp khử.

Kiểm tra các bước tính và đáp số của em với bạn cùng lớp.

Hoạt động 4.2

Làm việc với một bạn cùng lớp trong hoạt động này. Dưới đây là năm tấm thẻ phương trình.

A y = 3x B 5x + y = 48 C x + y = 24

D y = 4x 6 E x = 3y − 48

a Chọn hai tấm thẻ. Yêu cầu bạn cùng lớp của em giải hệ phương trình mà em đã chọn. Hãy chắc chắn rằng cặp thẻ em chọn cho bạn khác cặp thẻ bạn chọn cho em. Sử dụng phương pháp em thích nhất để giải phương trình, sau đó yêu cầu bạn cùng lớp kiểm tra các bước tính và đáp số của em.

b So sánh các đáp số của em với các đáp số của bạn. Các em có tìm ra đáp số giống nhau không? Nếu không, hãy kiểm tra cách làm của nhau lại một lần nữa vì các đáp số phải giống nhau.

13 Giải các hệ phương trình sau. Sử dụng bất kì phương pháp nào. a 2x + y = 22 b y = 2x − 12 x − y = 5 x + y = 3 c y = 2x d 6x + 7y = 49 y = 14 − 7y = 14

14 a Solve these simultaneous equations using a graphical method.

3x + y = 8

4x + 2y = 12

b Show that your values for x and y are correct by substituting them into both equations.

Tip

Rearrange both equations to make y the subject, then draw tables of values for x = 0, 2 and 4.

Tip

When you are told to use a graphical method you must not use an algebraic method.

In this section, you have learned to solve simultaneous equations using three different methods:

1 Drawing a graph 2 Using substitution 3 Using elimination

Write down the method numbers, 1, 2, and 3, in order from your favourite method to your least favourite method.

What do you like about your favourite method?

What do you dislike about your least favourite method?

Imagine your partner has never solved simultaneous equations.

Describe to your partner how to solve simultaneous equations using your favourite method.

Mách xếp lại cả hai phương trình để y trở thành chủ thể trong mỗi phương trình, sau đó vẽ bảng giá trị x = 0, 2 và 4.

Mách được yêu cầu sử dụng phương pháp đồ thị, em không được dùng phương pháp đại số.

Trong phần này, em đã học cách giải các hệ phương trình bằng ba phương pháp:

1 Vẽ đồ thị 2 Phương pháp thế 3 Phương pháp khử

Viết số của ba phương pháp 1, 2 và 3 theo thứ tự mà em yêu thích nhất đến ít yêu thích nhất.

Em thích điểm gì ở phương pháp yêu thích nhất? Em không thích điểm gì ở phương pháp ít yêu thích nhất?

Hãy tưởng tượng rằng bạn cùng lớp chưa bao giờ giải hệ phương trình. Hãy mô tả cho bạn cách giải hệ phương trình bằng cách sử dụng phương pháp em yêu thích nhất.

4.3 Inequalities

In this section you will …

• solve inequalities.

Here is an equation:

To solve it, first subtract 3. Then divide by 2.

2 310 27 35 x x x += = = .

Now here is an inequality: 2x + 3 < 10. You can solve an inequality in the same way as an equation.

First subtract 3. Then divide by 2. 27 35 x x < < .

The solution set is any value of x less than 3.5. You can show this on a number line:

654321 0−1−2−3

The open circle ( ) shows that 3.5 is not included.

Tip

Remember the inequality signs:

< means ‘is less than’

⩽ means ‘is less than or equal to’

> means ‘is greater than’

⩾ means ‘is greater than or equal to’

Worked example 4.3

The perimeter of this triangle is at least 50 cm.

Key words inequality solution set Tip

The solution to an equation is a single value. Tip

The solution to an inequality is a range of values.

Tip

For the solution x ⩽ 3.5, 3.5 is included and you would use a closed circle ( ) on your number line.

a Write an inequality to show this.

b Solve the inequality.

c Show the solution set on a number line. x + 2 cm x + 3 cm x cm

4 Phương trình và bất phương trình

4.3 Bất phương trình

Trong phần này, em sẽ...

• giải bất phương trình.

Đây là một phương trình: Để giải phương trình này, đầu tiên hãy trừ đi 3.

Sau đó chia cho 2. 2310 27 35 x x x += = =,

Còn đây là một bất phương trình: 2x + 3 < 10. Em có thể giải bất phương trình này bằng cách tương tự như đối với phương trình.

Từ khoá bất phương trình tập nghiệm

Mách nhỏ

Nghiệm của một phương trình là một giá trị đơn.

Đầu tiên, hãy trừ đi 3.

Sau đó chia cho 2. 27 35 x x < < ,

Tập nghiệm là bất kì giá trị của x nhỏ hơn 3,5. Em có thể biểu diễn tập nghiệm này trên trục số: 654321 0−1−2−3 Hình tròn rỗng ( ) nghĩa là không bao gồm 3,5.

Mách nhỏ

Nghiệm của một bất phương trình là một khoảng giá trị.

Mách nhỏ

Trong nghiệm x ⩽ 3,5 có bao gồm 3,5 và em sẽ sử dụng hình tròn kín ( ) trên trục số.

Continued Answer

a Perimeter = x + x + 2 + x + 3 = 3x + 5

3x + 5 ⩾ 50

Write an expression for the perimeter of the triangle and simplify.

Write the inequality using ⩾. ‘At least 50’ means ‘50 or more’.

Subtract 5 from both sides. Divide both sides by 3. c –15–10–5051015202530

b 3x ⩾ 45 x ⩾ 15

The closed circle ( ) shows that 15 is in the solution set.

Exercise 4.3

1 Write an inequality to describe each of these solution sets.

a –4–3–2–101234 b –6–4–202468 c –20–15–10–505101520 d –40–30–20 –10 010203040 e –4–3–2–101234 f –20–15–10–505101520

2 Show each of these solution sets on a number line. a x > 3 b x ⩽ −3 c x < 0 d x ⩾ −20 e 0 < x ⩽ 7 f −2 ⩽ x <5

3 N is an integer. Work out a the smallest possible value of N when N ⩾ 6.5 b the largest possible value of N when N < −3 c the possible values of N when −2 ⩽ N < 2

b 3x ⩾ ⩾

Viết bất phương trình sử dụng dấu ⩾. “Nhỏ nhất là 50” nghĩa là “lớn hơn hoặc bằng 50”.

Trừ cả hai vế cho 5. cả hai vế cho 3. tròn kín ( ) cho thấy 15 thuộc tập nghiệm.

4 Equations and inequalities

4 Solve these inequalities.

a 5x > 10

c 3x + 1 < −8

b 4x + 1 ⩽ 17

d 3(x + 1) ⩾ −6

5 Show each solution set in Question 4 on a number line.

Think like a mathematician

6 Work with a partner to answer this question.

a Solve the inequality 4x + 5 < 17

b What methods can you use to check that your solution set is correct?

c Discuss your answers to part b with other learners in your class. Critique and improve the different methods to decide which method is best.

7 This is part of Franco’s homework.

Question

a Solve the inequality 3(x + 2) ⩽ 2x − 5

b Check your solution set is correct. Answer

a Expand brackets: 3x + 2 ⩽ 2x − 5

Collect like terms: 3x − 2x ⩽ −5 − 2

Simplify: x ⩽ −7

b When x = −7 3(− 7 + 2) ⩽ 2 × − 7 − 5 −15 ⩽ −19 (false)

When Franco checks his solution set in part b, he gets an incorrect inequality. This shows he has made a mistake.

a Look back at Franco’s working and find the mistake he has made.

Show that the correct solution set is x ⩽ −11

b Substitute i x = −12, ii x = −11 and iii x = −10 into 3(x + 2) ⩽ 2x − 5 Explain how this shows that the correct solution set is x ⩽ −11

8 a Show that the solution set to the inequality 4(2y + 3) − 5y < 18 − y is y < 1.5

b Substitute i y = 1, ii y = 1.5 and iii y = 2 into 4(2y + 3) − 5y < 18 − y to show that the solution set is correct.

4 Phương trình và bất phương trình

4 Giải các bất phương trình sau.

a 5x > 10 b 4x + 1 ⩽ 17

c 3x + 1 < −8 d 3(x + 1) ⩾ −6

5 Biểu diễn mỗi tập nghiệm trong Câu hỏi 4 trên một trục số.

Tư duy như một nhà Toán học

6 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời câu hỏi sau.

a Giải bất phương trình 4x + 5 < 17

b Em có thể sử dụng những phương pháp nào để kiểm tra xem tập nghiệm của em đã chính xác hay chưa?

c Thảo luận các câu trả lời của em trong phần b với các bạn trong lớp. Phản biện và cải tiến các phương pháp để xem phương pháp nào là tốt nhất.

7 Đây là một phần trong bài tập về nhà của Franco.

Câu hỏi

a Giải bất phương trình 3(x + 2) ⩽ 2x − 5

b Kiểm tra xem tập nghiệm của em có chính xác không.

Lời giải

a Khai triển để phá ngoặc: 3x + 2 ⩽ 2x − 5

Tập hợp các hạng tử đồng hạng: 3x − 2x ⩽ −5 − 2

Rút gọn: x ⩽ −7

b Khi x = −7 3(− 7 + 2) ⩽ 2 × − 7 − 5 −15 ⩽ −19 (sai)

Khi Franco kiểm tra tập nghiệm của bạn ấy trong phần b, bạn ấy có một bất phương trình không chính xác. Điều đó cho thấy bạn ấy đã mắc lỗi.

a Nhìn lại cách tính của Franco và tìm lỗi sai đó. Giải thích rằng tập nghiệm đúng là x ⩽ −11

b Thế i x = −12; ii x = −11 và iii x = −10 vào bất phương trình 3(x + 2) ⩽ 2x − 5 Giải thích vì sao điều này có thể cho thấy tập nghiệm đúng là x ⩽ −11

8 a Giải thích rằng bất phương trình 4(2y + 3) − 5y < 18 − y có tập nghiệm là y < 1,5

b Thế i y = 1; ii y = 1,5 và iii y = 2 vào bất phương trình 4(2y + 3) − 5y < 18 − y để cho thấy rằng tập nghiệm là chính xác.

4 Equations and inequalities

9 Solve these inequalities. Check each solution set.

a 2(a + 4) < 15

b 3b − 4 ⩾ b + 18

c c + 18 ⩽ 30 − c d 3(d + 5) > 2(d − 6)

10 The perimeter of this triangle is not more than 30 cm.

a Write an inequality to show this.

b Solve the inequality.

c What are the largest possible lengths of the sides? 2n + 2cm 2n + 3cm n cm

Think like a mathematician

11 Work with a partner to answer this question.

Look at the methods Sergey and Natalia use to solve the inequality, 2x + 1 < 3x + 7 Sergey

2x + 1 < 3x + 7

2x − 3x < 7 − 1 − x < 6 − x − 6 < 0 −6 < x x > −6

Natalia

2x + 1 < 3x + 7 2x − 3x < 7 − 1 − x < 6 −x 1 > 6 −1 x > −6

a Discuss the differences in their methods at the fourth line of each solution. Do you understand how each method works?

Whose method do you prefer, Sergey’s or Natalia’s? Explain why.

b Discuss your answers to part a with other learners in your class.

c Show that the solution to the inequality 2(x − 8) ⩾ 4x − 26 is x ⩽ 5

12 Solve these inequalities. Check each solution set.

a –3x < 12 b –4x ⩽ –20 c –42 > –7x d 6 – x ⩾ 19

e 21 – 3x > x + 5 f 4 – 10x ⩽ 20 – 2x

13 The diagram shows triangle ABC.

Side length AB is less than side length AC.

a Write an inequality to show this information.

b Solve your inequality.

c Check your solution is correct. 4x − 113x − 7 A BC

4 Phương

9 Giải các bất phương trình sau. Kiểm mỗi tập nghiệm

a 2(a + 4) < 15 3b − 4 ⩾ b + 18 c + 18 ⩽ 30 − 3(d + 5) > 2(d − 6)

10 Chu vi của tam giác này không lớn hơn 30 cm.

a Viết một bất phương trình thể hiện điều này.

b Giải bất phương trình đó.

c Các cạnh của tam giác thể có độ lớn nhất là bao nhiêu? n + 2 cm n + 3 cm như

11 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời câu hỏi sau.

Quan sát các phương pháp mà Sergey và Natalia sử dụng để giải bất phương trình 2x + 1 < 3x + 7

a Thảo luận sự khác biệt trong phương pháp làm bài của hai bạn ở dòng thứ 4 của mỗi bài giải.

Em có hiểu cách giải của mỗi phương pháp không?

Em thích cách tính của Sergey hay của Natalia hơn? Giải thích tại sao.

b Thảo luận câu trả lời trong phần a với các bạn trong lớp.

c Giải thích rằng nghiệm của

Summary checklist leave in the central section the inequality, all three sections of the inequality. This keeps the inequality balanced.

Check your progress

1 Solve these equations. Check each of your answers by substituting the answer back into the equation.

a 5x + 14 = −6 b a − 12 = 5a − 2 c 6(x + 2) = 4(9 − x) d 0 = 12 − 2(y − 3) e 64 4 m = f 75 5 5 n + =

2 Solve these simultaneous equations using the substitution method. y = 4x − 1 y = 2x + 9

3 Solve these simultaneous equations using the elimination method. x + y = 26 x − y = 12

4 Solve these inequalities. Check each solution set.

a 2a + 6 < 10 b 5b − 1 ⩾ b + 19 c 3(c + 5) > 2(5 − c) d 4d ⩽ 7d + 15

5 Solve these inequalities. Represent each answer on a number line.

a 3 < x + 4 ⩽ 6 b −12 < 3n < 3

Getting started

1 Two angles of a quadrilateral are 70° and one angle is 80°. Work out the fourth angle. ° 35°

Work out the value of x.

3 From this diagram, give an example of a two corresponding angles b two alternate angles c two vertically opposite angles.

4 Use this diagram to explain why a + b + c = 180°.

5 a Use a protractor to draw an angle of 75°. b Use a ruler and compasses to bisect the angle in part a c Ask a partner to check that your bisection is accurate. Angles a d f e c b

Bắt đầu nào!

1 Một tứ giác có hai góc 70o và một góc 80o. Tính số đo góc thứ tư.

2 ° 35° 27° Tính giá trị của x

3 Từ hình vẽ sau, hãy cho ví dụ về a hai góc đồng vị b hai góc so le c hai góc đối đỉnh.

5 a Dùng thước đo góc để vẽ một góc 75°. b Dùng thước kẻ và com-pa để dựng đường phân giác cho góc em đã vẽ ở phần a. c Nhờ bạn cùng lớp kiểm tra xem đường phân giác có chính xác không. d f e c b

4 Dùng hình vẽ sau để giải thích tại sao a + b + c = 180°. a bc

Islamic patterns are made from polygons. Here are two examples.

The second pattern is simpler. What polygons can you see in the second pattern?

5.1 Calculating angles

In this section will …

• use the properties of parallel lines to calculate angles

• use the properties of triangles and quadrilaterals to calculate angles

• use several different angle properties together.

In earlier stages, you have learned about angle properties of triangles, quadrilaterals and parallel lines. In this section, you will need to decide which properties to use to work out missing angles.

Các hoa văn Hồi giáo được tạo thành từ các hình đa giác. Đây là hai ví dụ. Ví dụ thứ hai đơn giản hơn. Em nhìn thấy những đa giác nào trong hoa văn thứ hai?

5.1 Tính góc

Trong phần này, em sẽ…

• dùng các tính chất của đường thẳng song song để tính góc

• dùng các tính chất của tam giác và tứ giác để tính góc

• dùng đồng thời một số tính chất của góc.

Ở các giai đoạn trước, em đã học về các tính chất của góc trong tam giác, tứ giác và các đường thẳng song song. Trong phần này, em sẽ cần quyết định sẽ dùng tính chất nào để tính các góc còn thiếu.

Continued Answer

The sum of angles on a straight line is 180° and so x = 180° − 118° = 62° Angle C of the quadrilateral is 360628013484 °- °+°+ °= °() Angles DCF and ADC are alternate angles so angle DCF = x° = 62°

Then y = 180° − (84° + 62°) = 34°

Exercise 5.1

1 Work out the angles of this triangle. 120° 155°

2 In this diagram, AB = AC = AD

a Calculate x and y

b Work out angle C of quadrilateral ABCD

c Show that the sum of the four angles of the quadrilateral is 360°.

3 Calculate angles a, b, c and d. a° 30° 40° 50° c° b°d°

4 The angles of a quadrilateral are x°, (x + 10)°, (x+ 20)° and (x+ 30)°. Work out the value of x. 80° y° x A D BC 72°

Tiếp theo

Lời giải Tổng các góc trên một đường thẳng là 180° vì thế x = 180° − 118° = 62°

Góc C của tứ giác là 360628013484 °- °+°+ °= °()

Góc DCF và ADC là hai góc so le, nên góc DCF = x° = 62°

Vậy y = 180° − (84° + 62°) = 34°

Bài tập 5.1

1 Tính các góc của hình tam giác sau. 120° 155°

2 Trong hình vẽ sau, AB = AC = AD a Tính x và y b Tính góc C của tứ giác ABCD c Chỉ ra rằng tổng bốn góc của tứ giác là 360°.

3 Tính các góc a, b, c và d ° 30° 40° 50° b

4 Một hình tứ giác có các góc là x°, (x + 10)°, (x + 20)° và (x + 30)°. Tính giá trị của x. 80° y A D BC 72°

5 a What type of quadrilateral is ABCD? Give a reason for your answer.

b Work out the angles of ABCD

6 ABCD is a kite. Work out the angles of ABCD

7 O is the centre of the circle. OA, OB and OC are radii.

Angle AOB = 72°. Work out a angle OAB b angle OCB c angle ABC. Give reasons for your answers.

8 Work out the values of x and y. Justify your answers.

9 Work out the value of

Discuss with a partner how you each solved the problem

5 a ABCD là dạng tứ giác gì? Giải thích đáp án của em.

b Tính các góc của tứ giác ABCD

6 ABCD là một cái diều. Tính các góc của tứ giác ABCD

7 O là tâm đường tròn. OA, OB và OC là các bán kính. Góc AOB = 72°. góc OAB b góc OCB c góc ABC. Giải thích đáp số của em.

8 Tính các giá trị của x và y. Lí giải đáp số của em.

9 Tính giá trị của 120° 135° 80° 140°

A B O 72° C

Thảo luận với bạn cùng lớp về cách em giải Câu hỏi 9. Các em dùng phương pháp tương tự hay khác nhau?

10 ACE is a straight line.

a Calculate angle BAD.

b Show that the sum of the angles of ABCD is 360°.

Summary checklist

I can solve problems using the angle properties of triangles, quadrilaterals and parallel lines.

I can use several different angle properties together.

5.2 Interior angles of polygons

In this section

• derive and use a formula for the sum of the interior angles a

• work out the interior angles of regular polygons.

This is a pentagon. It has five sides and five angles. By joining vertices, you can split the pentagon into three triangles as shown. You can see that the angles of the triangles make the interior angles of the pentagon. The sum of the interior angles of the pentagon = the sum of the angles of the three triangles = 3 × 180° = 540°

The sum of the interior angles of any pentagon is 540°.

Key word polygon

10 ACE là một đường thẳng.

a Tính góc BAD.

b Chỉ ra rằng tổng các góc của ABCD là 360°.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể giải bài toán bằng cách dùng các tính chất của các góc trong tam giác, tứ giác và các đường thẳng song song.

Em có thể dùng một số tính chất của góc kết hợp với nhau.

5.2 Góc trong của đa giác

Trong phần này, em sẽ…

• suy ra và dùng công thức tính tổng các góc trong của một đa giác

• tính các góc trong của đa giác đều.

Hình sau là một hình ngũ giác. Nó có năm cạnh và năm góc. Bằng cách nối các đỉnh, em có thể chia hình ngũ giác thành ba tam giác như hình bên cạnh. Em có thể thấy rằng các góc của các hình tam giác tạo thành các góc trong của hình ngũ giác.

Tổng các góc trong của hình ngũ giác = tổng các góc của ba hình tam giác = 3 × 180° = 540°

Tổng các góc trong của bất kì ngũ giác nào cũng là 540°.

Từ khoá đa giác đều

In a regular polygon, all the sides are the same length and all the angles are the same size. This is a regular pentagon. The sum of the five angles is 540°, so each angle of a regular pentagon is 540° ÷ 5 = 108°.

Exercise 5.2

1 Work out the missing interior angle of this pentagon. 100° 125° 120° 85°

2 Four angles of a pentagon are 125° each. Work out the size of the fifth angle.

3 Two angles of a pentagon are 112° each and two angles are 90° each.

Calculate the fifth angle.

4 a Work out the value of x b Work out the largest angle of the pentagon. x° x°x° x° (x+ 25)°

5 The angles of a pentagon are y°, (y +10)°, (y +20)°, (y +30)° and (y +40)°.

a Work out the value of y b Work out the largest angle of the pentagon.

6 a A hexagon has 6 sides. Draw a hexagon.

b By joining vertices, split the hexagon into triangles.

c Show that the sum of the interior angles of a hexagon is 720°.

d How big is each angle of a regular hexagon?

Trong một đa giác đều, tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau và các góc có số đo bằng nhau. Hình bên là một đa giác đều. Tổng năm góc là 540°, vì thế mỗi góc của đa giác đều bằng 540° ÷ 5 = 108°.

Bài tập 5.2

1 Tính góc trong còn thiếu trong hình ngũ giác sau.

2 Một hình ngũ giác có số đo bốn góc là 125° cho mỗi góc. Tính số đo của góc thứ năm.

3 Một hình ngũ giác có hai góc với số đo là 112° cho mỗi góc và hai góc khác với số đo là 90° cho mỗi góc. Tính số đo của góc thứ năm.

4 a Tính giá trị của x. b Tính góc lớn nhất của ngũ giác. x° x° (x+ 25)°

5 Một hình ngũ giác có các góc y°, (y +10)°, (y +20)°, (y +30)° và (y +40)°.

a Tính giá trị của y. b Tính góc lớn nhất của hình ngũ giác.

6 a Hình lục giác có 6 cạnh. Hãy vẽ một hình lục giác. b Chia hình lục giác thành các hình tam giác bằng cách nối các đỉnh lục giác lại với nhau.

c Chỉ ra rằng tổng các góc trong của một hình lục giác là 720°.

d Một hình lục giác đều có số đo mỗi góc là bao nhiêu?

7 a Calculate the missing angle of this hexagon. 132° ° °

b Calculate the value of x. 130° 150° 150° x° x°

8 Work out the sum of the interior angles of a an octagon b a decagon. Justify your answer in each case.

9 a Copy and complete this table.

Polygon of sides Sum of 360°

Tip

An octagon has 8 sides. A decagon has 10 sides.

b Derive a formula for the sum of the interior angles of a polygon with n sides.

c A nonagon is a polygon with 9 sides. Show that your formula from part b gives the correct answer for the sum of the angles of a nonagon.

10 a 7 of the interior angles of an octagon are 140° each. Work out the eighth angle.

b Work out the interior angle of a regular octagon.

11 This is a regular decagon. How big is each interior angle?

7 a Tính góc còn thiếu của hình lục giác sau. 132° 110

b Tính giá trị của x

8 Tính tổng các góc trong của a một hình bát giác b một hình thập giác. Lí giải đáp số của em trong mỗi trường hợp.

9 a Chép lại và hoàn thành bảng sau. Đa giác Số cạnh Tổng số đo các góc trong hình tam giác 3 hình tứ giác 4 360° hình ngũ giác hình lục giác hình bát giác hình thập giác 10

b Hãy suy ra công thức tính tổng các góc trong của một đa giác có n cạnh.

c Hình cửu giác là một đa giác có 9 cạnh. Chỉ ra rằng công thức ở phần b của em cho đáp số đúng về tổng số đo các góc của một hình cửu giác.

10 a Một hình bát giác có số đo 7 góc là 140° mỗi góc. Tính số đo góc thứ tám.

b Tính số đo góc trong của một hình bát giác đều.

11 Hình dưới đây là một hình thập giác đều.

Số đo của mỗi góc trong là bao nhiêu?

Mách nhỏ

Hình bát giác có 8 cạnh. Hình thập giác có 10 cạnh.

12 a Show that it is possible for 2 squares and 3 equilateral triangles to meet at one point.

b Draw a different way for 2 squares and 3 equilateral triangles with sides the same length to meet at one point.

c Can you work out a third way for 2 squares and 3 equilateral triangles to meet at one point? Give a reason for your answer.

Think like a mathematician

13 A tessellation is an arrangement of shapes that completely covers a space. Squared paper is a tessellation of squares.

a Draw a tessellation of equilateral triangles.

b Draw a tessellation of regular hexagons.

c Explain why it is not possible to draw a tessellation of regular pentagons.

d Draw a tessellation of squares and equilateral triangles. Is there more than one way to do this?

e Draw a tessellation using regular octagons and squares.

f What other tessellations can you draw using regular polygons?

Here is a different way to split a pentagon into triangles, using a point inside the shape. Can you use the diagram to work out the sum of the angles of the pentagon?

Tip For part d, look at your answer to Question 12.

Does it give the same answer as the previous method?

Summary checklist

I can use the formula (n − 2) × 180° to work out the sum of the interior angles of a polygon with n sides.

I can calculate the interior angles of a regular polygon.

12 a Chỉ ra rằng 2 hình vuông và 3 hình tam giác đều có thể giao nhau tại một điểm.

b Vẽ cách khác sao cho 2 hình vuông và 3 hình tam giác đều có độ dài các cạnh bằng nhau có thể giao nhau tại một điểm.

c Em có thể tìm ra cách thứ ba để 2 hình vuông và 3 hình tam giác đều có thể giao nhau tại một điểm không? Giải thích đáp án của em.

Tư duy như một nhà Toán học

13 Lát mặt phẳng là sự sắp xếp các hình phủ kín hoàn toàn một khoảng diện tích. Giấy kẻ ô vuông là một hình lát mặt phẳng bằng các hình vuông.

a Vẽ một hình lát mặt phẳng bằng các tam giác đều.

b Vẽ một hình lát mặt phẳng bằng các lục giác đều.

c Giải thích vì sao không thể vẽ một hình lát mặt phẳng bằng các ngũ giác đều.

d Vẽ một hình lát mặt phẳng bằng các hình vuông và tam giác đều. Có thể có nhiều hơn một cách để thực hiện điều này không?

e Vẽ một hình lát mặt phẳng bằng cách dùng các bát giác đều và các hình vuông.

f Em có thể dùng các đa giác đều để vẽ các hình lát mặt phẳng nào khác?

Hình dưới đây minh hoạ một cách khác để chia một hình ngũ giác thành các tam giác bằng cách dùng một điểm bên trong hình.

Em có thể dùng hình vẽ bên dưới để tính tổng các góc của hình ngũ giác không?

Mách nhỏ

Trong phần d, hãy xem lại đáp án của em trong Câu hỏi 12

Em có tính ra đáp số thể hiện cách như khi dùng phương pháp trước đó không?

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể dùng công thức (n − 2) × 180° để tính tổng các góc trong của một đa giác có n cạnh.

Em có thể tính được các góc trong của một đa giác đều.

5.3 Exterior angles of polygons

Here is a pentagon ABCDE. The exterior angles are shown. Imagine you are walking round the pentagon in an anticlockwise direction, starting and finishing at P. At A you turn through a°. At B you turn through b°, and so on. When you get back to P, you have turned through one whole turn or 360°. This shows that a° + b° + c° + d° + e° = 360° and so the sum of the exterior angles of a pentagon is 360°. There is nothing special about a pentagon. You can do the same for any polygon.

The sum of the exterior angles of any polygon is 360°.

Worked example 5.2

The exterior angle of a regular polygon is 36°. How many sides does it have?

Answer

All the exterior angles are 36° and the sum of the exterior angles is 360°. The number of sides is 360 ÷ 36 = 10 sides.

Exercise 5.3

1 a Draw a hexagon.

b Draw the exterior angles on your hexagon.

c Explain why the sum of the exterior angles is 360°.

In this section you will … learn about the sum of the exterior angles of a polygon work out and use the exterior angles of regular polygons.

C

Key word exterior angle of a polygon

5.3 Góc ngoài của

đa giác

Trong phần này, em sẽ…

• học về tổng các góc ngoài của một đa giác

• tính và dùng các góc ngoài của đa giác đều.

Cho hình ngũ giác ABCDE. Các góc ngoài đã được thể hiện.

Tưởng tượng rằng em đang đi xung quanh hình ngũ giác này theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu và kết thúc tại điểm P. Tại điểm A em quay một góc a°. Tại điểm B em quay một góc b°, và cứ tiếp tục như vậy. Khi quay lại điểm P, em đã quay được một vòng tròn hoặc 360°. Điều đó cho thấy rằng a° + b° + c° + d° + e° = 360° và do đó tổng các góc ngoài của một hình ngũ giác là 360°. Không hề có điểm gì đặc biệt về một hình ngũ giác cả. Em có thể làm điều tương tự với bất kì đa giác nào.

Tổng các góc ngoài của bất kì đa giác nào cũng là 360°.

Ví dụ minh hoạ 5.2

Từ khoá góc ngoài của đa giác

C B EPA D d° c° b° a° e°

Một đa giác đều có góc ngoài là 36o. Đa giác đều này có bao nhiêu cạnh?

Lời giải

Tất cả các góc ngoài đều có số đo là 36o và tổng số đo các góc ngoài là 360°.

Số cạnh là 360 ÷ 36 = 10 cạnh.

Bài tập 5.3

1 a Vẽ một hình lục giác.

b Vẽ các góc ngoài của hình lục giác đó.

c Giải thích vì sao tổng các góc ngoài là 360°.

2 Work out the lettered angles in these diagrams.

a°

3 a There are two exterior angles at one vertex in this diagram. Are these two angles equal? Give a reason for your answer.

b Do these four angles add up to 360°? Give a reason for your answer.

4 What are the exterior angles of a an equilateral triangle b a square c a regular pentagon?

5 a What is the sum of the exterior angles of an octagon?

b Work out the exterior angle of a regular octagon.

6 a Copy and complete this table of regular polygons. polygon of sides Exterior angle

b Derive a formula for the exterior angle of a regular polygon with n sides.

c Use your formula from part b to work out the exterior angle of a regular polygon with i 12 sides ii 20 sides.

7 The exterior angle of a regular polygon is 40°.

a Work out the number of sides.

b Write the interior angle.

2 Tính các góc được viết bằng chữ cái trong các hình vẽ sau.

a° 125° b° 103° 80° 80° 30° 45° c° 55° 136°

3 a Một đỉnh trong hình vẽ dưới đây có hai góc ngoài. Hai góc này có bằng nhau không? Giải thích câu trả lời của em.

b Bốn góc này có tổng số đo bằng 360° không? Giải thích câu trả lời của em.

4 Tìm số đo các góc ngoài của

a một hình tam giác đều b một hình vuông c một hình ngũ giác đều?

5 a Tổng số đo các góc ngoài một hình bát giác đều là bao nhiêu?

b Tính góc ngoài của một hình bát giác đều.

6 a Chép lại và hoàn thành bảng các đa giác đều sau.

Đa giác đều Số cạnh Góc ngoài hình tam giác đều 3 120° hình vuông 4 hình ngũ giác đều 5 72° hình lục giác đều hình bát giác đều 8 hình thập giác đều

b Suy ra công thức tính góc ngoài của một đa giác đều có n cạnh.

c Dùng công thức ở phần b để tính góc ngoài của một đa giác đều có i 12 cạnh ii 20 cạnh.

7 Một đa giác đều có góc ngoài 40°.

a Tính số cạnh của đa giác đều này.

b Viết các góc trong của đa giác đều này.

8 a Work out the interior angle of a regular polygon when the exterior angle is i 30° ii 20° iii 10°.

b Work out the number of sides of each of the regular polygons in part a.

9 Here is part of a regular polygon. How many sides does the polygon have?

10 Work out the number of sides in a regular polygon when the exterior angle is a 45° b 30° c 18° d 15°.

11 Here are two regular octagons.

a Show that the angle ABC is a right angle.

b Draw a diagram to show how four regular octagons can be arranged around a square.

12 This diagram shows part of three identical regular polygons joined together around an equilateral triangle. Work out the number of sides of each regular polygon. Show how you get your answer.

13 Show that it is possible for the interior angle of a regular polygon to be 168° or 170° but it is not possible for the interior angle of a regular polygon to be 169°. B C

If a regular polygon has n sides, each interior angle, in degrees,

However, the sum of the interior angles is () n–×2 degrees Therefore, each interior angle, in degrees, the formulae the answers?

8 a Tính góc trong của một đa giác đều khi góc ngoài là

i 30° ii 20° iii 10°.

b Tính số cạnh của mỗi đa giác đều trong phần a.

9 Hình bên là một phần của một đa giác đều. Đa giác đều này có bao nhiêu cạnh?

10 Tính số cạnh của một đa giác đều, biết góc ngoài là

a 45° b 30° c 18° d 15°.

11 Bên cạnh là hai hình bát giác đều.

a Chỉ ra rằng góc ABC là góc vuông.

b Vẽ một hình thể hiện cách sắp xếp bốn hình bát giác đều xung quanh một hình vuông.

12 Hình vẽ bên cho thấy một phần của ba đa giác đều giống nhau hoàn toàn được kết hợp với nhau quanh một tam giác đều. Tính số cạnh của mỗi đa giác đều.

Giải thích cách làm của em.

13 Chỉ ra rằng góc trong của một đa giác đều có thể là 168° hoặc 170° nhưng không thể là 169°.

A B C Nếu một đa giác đều có n cạnh, thì số đo bằng độ của mỗi góc trong là 180360 n (1)

Tuy nhiên, tổng số đo các góc trong là () n–×2 180 độ Do đó, số đo bằng độ của mỗi góc trong là () nn÷2–× 180 (2)

Phép tính (1) và (2) có cho ra đáp số giống nhau không?

Summary checklist

I can show that the sum of the exterior angles of a polygon is 360°.

I can work out the exterior angle of a regular polygon.

5.4 Constructions

In this section you will …

• learn to construct angles of 60°, 45° and 30°

• learn to use a circle to draw a regular polygon.

You know how to construct a perpendicular or bisect an angle using a ruler and compasses. In this section, you will learn to do more constructions with a ruler and compasses. Here are three examples.

Worked example 5.3

Inscribe a square in a circle.

Answer

a Draw a circle and a diameter.

Key word inscribe construct (geometry)

b Construct the perpendicular bisector of the diameter.

Tip

Put the point of the compasses on the end of the diameter.

c The points where the diameters meet the circle are the vertices of a square.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể chỉ ra rằng tổng số đo các góc ngoài của một đa giác là 360°.

Em có thể tính số đo góc ngoài của một đa giác đều.

5.4 Phép dựng hình

Trong phần

• học cách dựng các góc 60°, 45° và 30°

• học cách dùng một đường tròn để vẽ một đa giác đều.

Em biết cách dựng một đường vuông góc hoặc dựng đường phân giác cho một góc bằng cách dùng thước kẻ và com-pa. Trong phần này, em sẽ học cách dựng nhiều hình và góc hơn với thước kẻ và com-pa. Cho ba ví dụ sau.

Ví dụ minh hoạ 5.3

Vẽ một hình vuông nội tiếp đường tròn. Lời giải

a Vẽ một đường tròn và một đường kính.

b Dựng đường trung trực của đường kính

Từ khoá vẽ nội tiếp dựng (hình học)

Mách nhỏ

Đặt đầu nhọn của com-pa ở đầu đường kính.

c Giao điểm của đường kính và đường tròn là các đỉnh của hình vuông.

Worked example 5.4

Construct an angle of 45°.

Answer

Draw a line segment and its perpendicular bisector.

Bisect one of the right angles. This gives two angles of 45°. 45°

Worked example 5.5

Construct an angle of 60°.

Answer

Draw a line segment AB. AB

Open the compasses to the length of AB Draw arcs from A and B. The point where the arcs cross is C. C

Ví dụ minh hoạ 5.4

Dựng một góc 45°.

Lời giải

Vẽ một đoạn thẳng và đường trung trực của nó.

Vẽ đường phân giác cho một góc vuông bất kì, em sẽ có hai góc 45°.

Ví dụ minh hoạ 5.5

Dựng một góc 60°.

Lời giải

Vẽ đoạn thẳng AB. AB

Mở com-pa tương ứng với độ dài AB.

Vẽ các cung tròn từ điểm A và B.

Giao điểm của hai cung tròn là điểm C.

Continued

Join A to C. Angle CAB is 60°.

Join B to C. Angle CBA is 60°.

A 60° B C

A 60°60° 60° B C

Exercise 5.4

Use plain paper for your constructions in this exercise. Only use a ruler and compasses for the constructions.

1 a Construct an angle of 60°.

b Bisect your angle in part a to make an angle of 30°.

c Use a protractor to check the accuracy of your angles.

2 a Draw an equilateral triangle with each side 6 cm long.

b Use a ruler and protractor to check the accuracy of your drawing.

3 a Draw a circle with a radius of 4 cm.

b Inscribe a square in the circle.

c Measure the length of each side of your square.

4 a Construct two perpendicular diameters in a circle.

b Construct a diameter bisecting each of the diameters in part a. Your diagram should look like this:

c Join the ends of the diameters to form a regular octagon.

d What is the interior angle of a regular octagon?

e Ask a partner to check that your octagon is regular by measuring the sides and angles.

5 a Construct a triangle with angles 30°, 60° and 90°.

b The longest side of your triangle should be double the length of the shortest side. Use this fact to check the accuracy of your drawing.

Tiếp theo

Nối A và C. Góc CAB có số đo 60°.

A 60° B C

Nối B và C. Góc CBA có số đo 60°.

A 60°60° 60° B C

Bài tập 5.4

Dùng giấy trắng để dựng các hình trong bài tập này. Chỉ dùng thước kẻ và com-pa để dựng hình.

1 a Dựng một góc 60°.

b Dựng đường phân giác cho góc trong của phần a để tạo thành một góc 30°.

c Dùng thước đo góc để kiểm tra độ chính xác các góc em đã dựng.

2 a Vẽ một tam giác đều với mỗi cạnh dài 6 cm.

b Dùng thước kẻ và thước đo góc để kiểm tra độ chính xác của hình vẽ.

3 a Vẽ một đường tròn có bán kính 4 cm.

b Vẽ một hình vuông nội tiếp đường tròn.

c Đo độ dài mỗi cạnh hình vuông.

4 a Dựng hai đường kính vuông góc trong một hình tròn.

b Dựng một đường kính chia đôi mỗi đường kính em vừa dựng trong phần a. Hình vẽ của em cần giống như hình bên.

c Nối đầu của các đường kính để tạo thành một hình bát giác đều.

d Góc trong của hình bát giác đều có số đo là bao nhiêu?

e Nhờ bạn cùng lớp kiểm tra xem hình bát giác của em có đều hay không bằng cách đo các cạnh và các góc.

5 a Dựng một hình tam giác có các góc 30°, 60° và 90°.

b Cạnh dài nhất của tam giác phải dài gấp đôi cạnh ngắn nhất.

Dùng dữ kiện này để kiểm tra độ chính xác của hình vẽ.

6 a Construct an equilateral triangle.

b Use your equilateral triangle to construct a triangle with angles 30°, 30° and 120°.

7 O is the centre of a circle. OAB and OCB are equilateral triangles.

a Construct a copy of the diagram.

b Extend the diagram to inscribe a regular hexagon in the circle.

c What size are the angles of a regular hexagon?

d Ask a partner to check the accuracy of your construction.

8 Use a ruler and compasses to construct angles of a 120° b 15°.

9

a Draw a circle with a radius of 6 cm.

b Mark point P on the circumference. Put your compass point on P. Draw two arcs on the circumference of radius 6 cm.

c Draw more arcs on the circumference from these two points. Do not change the angle between the arms of your compasses when you do this.

d Keep your compasses the same and draw one more arc so you have six points on the circumference.

e Join the six points to make a hexagon.

f Check that your hexagon is regular and that the length of each side is 6 cm.

10 a This diagram shows four identical equilateral triangles.

Construct a copy of the diagram.

b This diagram shows four identical triangles with angles 30°, 60° and 90°.

Construct a copy of the diagram.

11 a Draw a large circle. Inscribe a regular dodecagon inside the circle.

b What is the size of each angle of a regular dodecagon? Use this fact to check the accuracy of your drawing. C P

Tip

A dodecagon has 12 sides.

6 a Dựng một hình tam giác đều.

b Dùng hình tam giác đều của em để dựng tiếp một hình tam giác có các góc 30°, 30° và 120°.

7 O là tâm của một đường tròn. OAB và OCB là hai hình tam giác đều

a Dựng lại hình bên.

b Mở rộng hình để vẽ một hình lục giác đều nội tiếp đường tròn.

c Các góc của hình lục giác đều có số đo là bao nhiêu?

d Nhờ bạn cùng lớp kiểm tra độ chính xác hình vẽ của em.

8 Dùng thước kẻ và com-pa để dựng góc có số đo

a 120° b 15°.

9 a Vẽ một hình tròn có bán kính 6 cm.

b Đánh dấu điểm P trên chu vi đường tròn. Đặt đầu nhọn com-pa tại điểm P. Vẽ hai cung tròn trên chu vi đường tròn có bán kính 6 cm.

c Vẽ thêm các cung tròn trên chu vi đường tròn từ hai điểm này. Không thay đổi góc com-pa khi vẽ hình.

d Giữ nguyên góc com-pa và vẽ thêm một cung tròn nữa để có sáu điểm trên chu vi đường tròn.

e Nối sáu điểm để tạo thành một hình lục giác.

f Kiểm tra xem hình lục giác của em có đều hay không và mỗi cạnh có độ dài 6 cm hay không.

10 a Hình vẽ sau cho thấy bốn tam giác đều giống nhau hoàn toàn.

Hãy dựng lại hình này.

b Hình vẽ sau cho thấy bốn tam giác giống nhau hoàn toàn có các góc 30°, 60° và 90°.

Hãy dựng lại hình này.

11 a Vẽ một đường tròn lớn. Vẽ một hình thập nhị giác đều nội tiếp đường tròn.

b Mỗi góc của hình thập nhị giác đều có số đo là bao nhiêu? Dùng dữ kiện này để kiểm tra độ chính xác của hình em vừa vẽ. C OB P

Mách nhỏ

Hình thập nhị giác có 12 cạnh.

12 This pattern has rotational symmetry of order 6.

a i Construct a copy of the pattern.

ii How did you do the construction? Is there a different way? Which way is better?

This pattern has rotational symmetry of order 4.

b i Construct a copy of the pattern.

ii How did you do the construction? Is there a different way? Which way is better?

13 Here are two rhombuses. 60° 120°

a Construct a copy of each rhombus.

b Ask a partner to check the accuracy of your drawings.

12 Hình bên có bậc đối xứng quay là 6.

a i Dựng lại hình bên.

ii Em dựng hình bằng cách nào? Có cách dựng nào khác không? Cách nào hay hơn?

Hình bên có bậc đối xứng quay là 4.

b i Dựng lại hình này.

ii Em dựng hình bằng cách nào? Có cách dựng nào khác không? Cách nào hay hơn?

13 Cho hai hình thoi.

a Dựng lại từng hình thoi. b Nhờ bạn cùng lớp kiểm tra độ chính xác của hình em vừa dựng.

5.5 Pythagoras’ theorem

• the the three of a right-

• use two sides of a right-angled triangle to calculate the third side.

A builder has built a wall. He wants to build a second wall at right angles to the first wall. How can he do this? One way is to use the 3-4-5 rule.

The builder measures out lengths of 3 metres, 4 metres and 5 metres on the ground in a triangle with the 3-metre side along the first wall as shown.

They build the second wall along the 4-metre side. The triangle is right-angled.

The right angle is between the 3 m and 4 m sides

The longest side of a right-angled triangle is called the hypotenuse. In this example, the hypotenuse is 5 m long.

39 416 and 525

Hence 2245

The square of the hypotenuse is equal to the sum of the squares of the other two sides.

This result is true for any right-angled triangle: abc 22 2+=

This result is called Pythagoras’ theorem. Pythagoras was born on the Greek island of Samos and wrote a proof of this theorem over 2500 years ago.

Key words hypotenuse Pythagoras’ theorem

First wall

Second wall 3m 4m 5m Tip 9 + 16 = 25

In this section …

5.5 Định lí Pythagoras

Trong phần này, em sẽ…

• học về mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông

• dùng số đo hai cạnh của tam giác vuông để tính cạnh thứ ba.

Từ khoá cạnh huyền định lí Pythagoras

Một người thợ xây dựng vừa xây xong một bức tường. Anh ta muốn xây thêm bức tường thứ hai vuông góc với bức tường đầu tiên. Anh ta làm điều này bằng cách nào? Có một cách là dùng quy tắc 3-4-5.

Người thợ đo các độ dài 3 mét, 4 mét và 5 mét tạo thành một hình tam giác trên mặt đất với cạnh 3 mét dọc theo bức tường thứ nhất như trong hình vẽ.

Họ xây bức tường thứ hai dọc theo cạnh 4 mét. Tam giác này là tam giác vuông. Góc vuông nằm giữa cạnh 3 m và cạnh 4 m. Cạnh dài nhất của một tam giác vuông được gọi là cạnh huyền. Trong ví dụ này, cạnh huyền dài 5 m.

39 2 = ; 416 2 = và 525 2 = Vì thế 32245 2+=

Bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại.

Kết quả này đúng với mọi tam giác vuông: abc 22 2+=

Mách nhỏ 9 + 16 = 25

Kết quả này được gọi là định lí Pythagoras Pythagoras được sinh ra ở đảo Samos thuộc Hy Lạp và đã chứng minh định lí này hơn 2 500 năm trước. a cb

Worked example 5.6

ABCD is a rectangle. Calculate the length of the diagonal AC A D B C 7.5cm 11.3cm

Answer

ADC is a right-angled triangle. AC is the hypotenuse.

If AC is x cm, then by Pythagoras’ theorem: x 22 275 11318394=+ = .. .

So x ==18394136 to 1 d.p.

Worked example 5.7

The square root of 183.94 is an irrational number. Round to 1 decimal place.

Ari says: a 22 26035 4825=+ = , and so a == 4825 69

a Show that Ari is incorrect.

b Work out the correct value of a.

Answer

a Ari is incorrect because the hypotenuse is the 6.0 cm side, not the a cm side.

b Using Pythagoras’ theorem: a 22 23560+= So a 22 26035 2375=- = .. . and a == 2375 49 to 1 d.p. 6.0cm a cm3.5cm

The hypotenuse is the side opposite the right angle.

Ví dụ minh hoạ 5.6

ABCD là một hình chữ nhật. Tính độ dài đường chéo AC.

A D B C 7,5 cm 11,3 cm

Lời giải

ADC là tam giác vuông. AC là cạnh huyền.

Nếu AC dài x cm, thì theo định lí Pythagoras:

x 2227511318394=+=,,,

Vì thế x ==18394136 ,, làm tròn đến 1 cstp. Căn bậc hai của 183,94 là một số vô tỉ. Làm tròn đến một chữ số thập phân.

Ví dụ minh hoạ 5.7

Ari nói: a 22260354825=+=,,, , vì thế a ==482569 ,,

a Chỉ ra rằng Ari nói không chính xác.

b Tính giá trị đúng của a.

Lời giải

a Ari nói không chính xác vì cạnh huyền là cạnh dài 6,0 cm, không phải cạnh a cm.

Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông.

b Áp dụng định lí Pythagoras: a 222 3560+=,, Vì thế a 22260352375=−= ,,, và a ==237549 ,, làm tròn đến 1 cstp. 6,0 cm a cm3,5 cm

Exercise 5.5

1 Calculate the length of the hypotenuse in each of these triangles. a b c

2 Calculate the length of the hypotenuse in each of these triangles. Round your answers to 1 decimal place. a b c

3 Calculate the length of the missing side in each of these triangles. a b c

4 Calculate the length of the missing side in each of these triangles. Round your answers to 1 decimal place. a b c 8 cm 6 cm 5 cm 12 cm 8 cm 15cm

2.5cm 3.5cm 7.4cm 9.6cm 13.5 cm 4.5 cm 9cm 15cm 6.4m 8.0m 85 mm 40 mm 8.0cm 4.5cm 8.9cm 10.2cm 12.6 m 4.8 m

Bài tập 5.5

1 Tính độ dài cạnh huyền trong mỗi hình tam giác sau. a b c

2 Tính độ dài cạnh huyền trong mỗi hình tam giác sau. Làm tròn đáp số đến 1 chữ số thập phân. a b c

3 Tính độ dài cạnh còn thiếu trong mỗi hình tam giác sau. a b c

4 Tính độ dài cạnh còn thiếu trong mỗi hình tam giác sau. Làm tròn đáp số đến 1 chữ số thập phân. a b c 8 cm 6 cm 5 cm 12 cm 8 cm 15 cm 2,5 cm 3,5 cm 7,4 cm 9,6 cm 13,5 cm 4,5 cm 9 cm 15 cm 6,4 m 8,0 m 85 mm 40 mm 8,0 cm 4,5 cm 8,9 cm 10,2 cm 12,6 m 4,8 m

5 In this question, you can leave your answers as square roots.

AB = BC = CD = DE = 1 unit

a Calculate the length of AC.

b Calculate the length of AD

c Calculate the length of AE.

d Show how the pattern continues.

e If you continue the pattern, will there be a line with length 3? Or with length 4? Explain your answer.

6 The size of a TV screen is the length of the diagonal.

a A TV screen is 70 cm wide and 39 cm high. Show that this is an 80 cm screen.

b Another TV screen is 105 cm wide and 58 cm high. Calculate the size of this screen.

7 A ladder is leaning against a wall. The length of the ladder is 3.50 m.

The foot of the ladder is 0.91 m from the foot of the wall.

How far up the wall is the top of the ladder? Round your answer to the nearest centimetre.

5 Trong câu hỏi sau, em có thể để đáp số ở dạng căn bậc hai.

AB = BC = CD = DE = 1 đơn vị

a Tính độ dài AC.

b Tính độ dài AD

c Tính độ dài AE.

d Chỉ ra cách tiếp tục hình theo quy luật.

e Nếu em tiếp tục quy luật, sẽ có cạnh nào có độ dài là 3 hay không? Hoặc độ dài là 4? Giải thích câu trả lời của em.

6 Kích thước của một màn hình TV chính là độ dài của đường chéo.

a Một màn hình TV có chiều rộng 70 cm và chiều cao 39 cm.

Chỉ ra rằng đây là một màn hình có kích thước 80 cm.

b Một màn hình TV khác có chiều rộng 105 cm và chiều cao 58 cm. Tính kích thước của màn hình này.

7 Một chiếc thang đang tựa vào tường. Độ dài của chiếc thang là 3,50 m. Khoảng cách từ chân thang đến chân bức tường là 0,91 m. Độ dài từ chân bức tường lên đến đỉnh thang là bao nhiêu? Làm tròn đáp số đến hàng xăng-ti-mét. cm cm 0,91 m

8 a Construct a triangle with sides 5.1 cm, 6.8 cm and 8.5 cm.

b Use a calculation to show that one of the angles must be a right angle.

c Check that the triangle you have drawn is right-angled.

9 Two sides of a right-angled triangle are 15 cm and 20 cm. Work out the possible lengths of the third side. Give reasons for your answers.

10 A soccer pitch is 90 m long and 40 m wide. Zena walks from A to B round the edge of the pitch.

a How far does Zena walk?

b How much shorter is the distance if Zena walks from A to B in a straight line?

11 Here are a square and a rectangle.

a Show that the square and rectangle have the same perimeter.

b Calculate the length of the diagonal of each shape.

c Sketch another rectangle with the same perimeter. Calculate its diagonal.

d Sofia says: When a square and a rectangle have the same perimeter, the square has a smaller diagonal than the rectangle.

What evidence can you find to support Sofia’s conjecture?

12 One side of a right-angled triangle is 17 units. The other two sides are integers. How long are the other two sides? Is there more than one possible answer?

8 a Dựng một hình tam giác có các cạnh dài 5,1 cm, 6,8 cm và 8,5 cm.

b Dùng máy tính cầm tay để chỉ ra rằng một trong ba góc của hình tam giác chắc chắn là góc vuông.

c Kiểm tra xem hình tam giác em vừa vẽ có phải là tam giác vuông hay không.

9 Hai cạnh của một tam giác vuông dài 15 cm và 20 cm. Tính các độ dài có thể của cạnh thứ ba. Hãy giải thích các đáp số của em.

10 Một sân bóng dài 90 m và rộng 40 m.

Zena đi bộ từ A đến B theo đường quanh sân bóng.

a Zena đi bộ bao xa?

b Khoảng cách sẽ ngắn hơn bao nhiêu nếu Zena đi từ A đến B theo đường thẳng?

11 Cho một hình vuông và một hình chữ nhật.

a Chỉ ra rằng hình vuông và hình chữ nhật có chu vi bằng nhau.

b Tính độ dài đường chéo của mỗi hình.

c Vẽ một hình chữ nhật khác có chu vi tương tự. Tính đường chéo của hình chữ nhật đó.

d Sofia nói:

Khi một hình vuông và một hình chữ nhật có chu vi bằng nhau, hình vuông có đường chéo ngắn hơn hình chữ nhật.

Em có thể tìm những dẫn chứng nào để ủng hộ phỏng đoán của Sofia?

12 Một cạnh của tam giác vuông có độ dài 17 đơn vị. Hai cạnh còn lại là những số nguyên.

Độ dài hai cạnh còn lại của tam giác là bao nhiêu? Có thể có nhiều hơn một đáp số không?

Think like a mathematician

13 a Here is a rectangle. 7.5 units 5.5 units

Show that the length of the diagonal is 86 units.

b Here is a rectangle. x units 5.5 units

Show that the length of the diagonal is x 23025 + . units. c Here is a rectangle. x yd

Find a formula for the length of the diagonal, d, in terms of x and y

14 a Each side of this square is 7 units.

Show that:

i the length of the diagonal is 98 ii 98 72=

b Each side of this square is x. x

Show that the length of the diagonal is x 2

Summary checklist

I can use Pythagoras’ theorem to calculate the third side of a right-angled triangle.

Check your progress

1 the pentagon the size of the three sides of a regular polygon. many sides the polygon a square only the square.

Angle tangle

Construct a right-angled triangle, and bisect the two angles that are not 90°.

Now measure the angle a, where the two bisectors cross each other.

Do this a few times, starting with different right-angled triangles.

What do you notice?

Can you explain what is happening?

Next, construct a triangle where one of the angles is 60° and bisect the other two angles.

Again, measure the angle a, where the two bisectors cross each other.

Do this a few times, starting with different triangles with a 60° angle.

What do you notice?

Can you explain what is happening?

Next, construct a triangle where one of the angles is 120° and bisect the other two angles.

Again, measure the angle a, where the two bisectors cross each other.

What do you notice this time?

If you draw a triangle with an angle of x° and bisect the other two angles, is there a formula to work out the angle a, where the two bisectors cross, in terms of x? 120° a a 60° a

Đố góc

Dựng một tam giác vuông và dựng đường phân giác cho hai góc khác góc 90° của tam giác.

Hãy đo góc a hình thành tại giao điểm của hai đường phân giác.

Lặp lại một vài lần nữa với các tam giác vuông khác.

Em nhận thấy điều gì?

Em có thể giải thích điều này không?

Tiếp theo, dựng một tam giác có một góc 60° và dựng đường phân giác cho hai góc còn lại.

Tiếp tục đo góc a hình thành tại giao điểm của hai đường phân giác.

Lặp lại một vài lần nữa với các tam giác khác có một góc 60°.

Dự án a 60° a

Em nhận thấy điều gì?

Em có thể giải thích điều này không?

120° a

Tiếp theo, dựng một tam giác có một góc 120° và dựng đường phân giác cho hai góc còn lại.

Tiếp tục đo góc a hình thành tại giao điểm của hai đường phân giác. Lần này, em nhận thấy điều gì?

Nếu em vẽ một tam giác có góc x° và vẽ đường phân giác cho hai góc còn lại, thì có công thức nào tính được góc a (theo biến x) hình thành tại giao điểm của hai đường phân giác không?

6 Statistical investigations

Getting started

1 You are doing a statistical survey of cars in a car park. Give two examples of a continuous data b discrete data c categorical data.

2 You want to test the hypothesis that older learners in your school do more homework than younger learners. Describe two ways to choose a representative sample of 20 learners from your school.

3 Calculators and computer software can be used to generate random numbers. Explain how you could use these to pick a random sample of 50 people from a population of 632 people.

Bắt đầu nào!

1 Em sẽ thực hiện khảo sát thống kê xe ô tô trong bãi đỗ xe. Cho hai ví dụ về a dữ liệu liên tục b dữ liệu rời rạc c dữ liệu phân loại.

2 Em muốn kiểm tra giả thuyết cho rằng những học sinh lớn trong trường làm nhiều bài tập hơn những học sinh nhỏ. Mô tả hai cách chọn mẫu đại diện gồm 20 học sinh trong trường em.

3 Máy tính cầm tay và phần mềm máy tính có thể được sử dụng để tạo ra các số ngẫu nhiên. Giải thích cách em sử dụng những số này để chọn mẫu ngẫu nhiên bao gồm 50 người trong tập hợp 632 người.

Here are some survey results found on the internet.

1 in 4 US citizens think the Sun goes round the Earth.

The average reading age in Britain is 9 years.

A third of employees are annoyed by colleagues who do not read their emails.

92% of people taking vitamin pills said the pills gave them more energy.

38% of UK shoppers buy online at least once a week.

60% of people think data collection by smart devices invades their privacy.

When you see a survey result, before you believe the information, you should check its reliability. Ask yourself:

• Who did the survey?

• How was the survey carried out?

• How big was the sample?

• How was the sample chosen?

• Was it a representative sample?

Check that the people doing the survey are not prejudiced and are not trying to influence you in a particular way. For example, someone selling a particular product might want to persuade you to buy it. Do not trust results that are based on a small unrepresentative sample. You must also make sure the subject is clearly defined. For example, what exactly is ‘reading age’? How do people decide they have ‘more energy’?

6 Khảo sát thống kê

Dưới dây là một số kết quả khảo sát trên internet.

Cứ 4 công dân Mỹ thì có 1 người nghĩ rằng Mặt Trời quay quanh Trái Đất.

Tuổi trung bình của người biết đọc ở Anh là 9 tuổi.

Một phần ba nhân viên cảm thấy khó chịu vì những đồng nghiệp không đọc email của họ.

92% người uống viên vitamin nói rằng những viên đó bổ sung thêm năng lượng cho họ.

38% người mua sắm tại Vương quốc Anh mua hàng trực tuyến ít nhất một tuần một lần.

60% người nghĩ rằng việc thu thập dữ liệu qua các thiết bị thông minh là xâm phạm quyền riêng tư của họ.

Khi em nhìn một kết quả khảo sát, em nên kiểm tra độ tin cậy trước khi tin vào thông tin đó. Hãy tự hỏi:

• Ai đã tiến hành khảo sát?

• Khảo sát được tiến hành như thế nào?

• Mẫu khảo sát lớn như thế nào?

• Mẫu đã được lựa chọn bằng cách nào?

• Đó có phải là mẫu đại diện không?

Kiểm tra để đảm bảo rằng những người thực hiện khảo sát không có định kiến và không cố tạo ảnh hưởng đến người tham gia theo một cách nhất định. Ví dụ, một số người bán những sản phẩm nhất định có thể muốn thuyết phục em mua mặt hàng của họ. Đừng tin vào kết quả dựa trên một mẫu nhỏ không có tính đại diện. Em cũng cần phải đảm bảo rằng chủ đề được xác định rõ ràng. Ví dụ, “tuổi của trẻ có khả năng đọc” chính xác là gì? Mọi người xác định họ được “bổ sung thêm năng lượng” bằng cách nào?

6.1 Data collection and sampling

How is height related to other body measurements? This is something you can investigate by collecting data. First you need to ask some statistical questions, for example:

• Are height and shoe size connected?

• Are height and hand span connected?

• Do boys and girls of the same height have the same size hands?

• Do people with large hands also have large feet?

• Are arm length and leg length connected?

When you have some questions, you can make predictions to test, for example:

1 Taller boys have a larger shoe size than shorter boys.

2 Girls with large hands also have large feet.

3 People with long arms also have long legs.

To test your predictions, you need to think about the data you want to collect. For prediction 1, height could be continuous data if you use a tape measure, or it could be categorical data if you decide to classify people as short, average or tall. Shoe sizes are discrete numerical data. For prediction 3, you will need to decide how to collect the measurements. To measure the length of an arm or a leg might make people uncomfortable. You will need a sample. You must think about different ways to choose a sample and the best method to use. It is a good idea to test your data collection method in a small trial. You might want to change your design after you have done this.

In this section you will …

• plan how to collect statistical data to test a set of predictions

• use data to make inferences and generalisations

• look at alternative ways to choose a sample and decide which is the best method to use.

6.1 Thu thập dữ liệu và lấy mẫu

Chiều cao có liên hệ như thế nào đến những số đo khác của cơ thể? Em có thể khảo sát câu hỏi này bằng cách thu thập dữ liệu. Đầu tiên, em cần đặt một số câu hỏi thống kê, ví dụ:

• Chiều cao và cỡ giày có liên quan đến nhau không?

• Chiều cao và gang tay có liên quan đến nhau không?

• Có phải nam và nữ có cùng chiều cao sẽ có cùng cỡ bàn tay không?

• Có phải những người có đôi bàn tay lớn cũng có đôi bàn chân lớn không?

• Chiều dài cánh tay và chiều dài chân có liên quan đến nhau không?

Khi em đặt một số câu hỏi, em có thể đưa ra dự đoán để kiểm tra, ví dụ:

1 Những bạn nam cao thường có cỡ giày lớn hơn những bạn nam thấp hơn.

2 Những bạn nữ có bàn tay lớn cũng có bàn chân lớn.

3 Những người có cánh tay dài cũng có đôi chân dài. Để kiểm tra dự đoán của mình, em cần suy nghĩ dữ liệu em muốn thu thập. Với dự đoán 1, chiều cao có thể là dữ liệu liên tục nếu em sử dụng thước dây hoặc là dữ liệu rời rạc nếu em phân loại mọi người theo nhóm thấp, trung bình và cao. Cỡ giày là dữ liệu số rời rạc. Với dự đoán 3, em sẽ cần xác định cách thu thập các số đo. Việc đo chiều dài cánh tay hoặc chân có thể khiến vài người cảm thấy không thoải mái. Em sẽ cần một mẫu. Em cần suy nghĩ các cách chọn mẫu khác nhau và phương pháp hiệu quả nhất để sử dụng. Việc kiểm tra phương pháp thu thập dữ liệu bằng một thử nghiệm quy mô nhỏ là một ý tưởng tốt. Có thể em sẽ muốn thay đổi thiết kế ban đầu sau khi hoàn thành thử nghiệm đó.

Worked example 6.1

You want to investigate the prediction that, in your school, teenagers with small feet also have small hands and teenagers with large feet also have large hands. What data could you collect to do this investigation? Decide which data you would collect and give a reason for your answer.

Answer

To measure the size of feet, I could measure the length of the foot or I could use shoe size. Foot lengths are continuous data and more accurate. However, it might be embarrassing to measure someone’s feet and so it might be more appropriate to use shoe size instead. This is easy to collect.

To measure hand size, I could ask each person to put their hand on a sheet of squared paper, draw round it and work out the area by counting squares. A second way would be to measure the hand span or the length (for example, from the wrist to the end of the middle finger).

Measuring a length will be easier than trying to count squares. I can do a trial where I measure both hand span and length to see which I prefer.

Exercise 6.1

Each question in this exercise is about planning a statistical investigation. It is a good idea to work on each question in pairs.

1 You are going to investigate the ability of learners in your school to estimate. This could be the ability to estimate the length of a line, the size of an angle, the number of items in a jar, a particular length of time, or something else.

a Write some questions you could ask about estimation.

b Write some predictions you could test.

c Describe some different ways of choosing a sample to test one or more of your predictions.

d Which sample method is best? Give a reason for your answer.

e Carry out a small trial of your investigation. Can you think of ways to improve your investigation?

f Use the results of your trial to make a generalisation about learners’ ability to estimate.

Example generalisations: ‘Older learners are better at estimating.’ or ‘Girls are better at estimating than boys.’

handspan

hand length

6 Khảo sát thống kê

Ví dụ minh hoạ 6.1

Em muốn khảo sát dự đoán cho rằng trong trường học, thanh thiếu niên có bàn chân nhỏ

cũng có bàn tay nhỏ và thanh thiếu niên có bàn chân to cũng có bàn tay to.

Em sẽ thu thập dự liệu gì để tiến hành khảo sát này? Xác định loại dữ liệu em sẽ thu thập và giải thích câu trả lời của mình.

Lời giải Để đo cỡ bàn chân, em có thể đo chiều dài của bàn chân hoặc em có thể sử dụng cỡ giày. Chiều dài bàn chân là dữ liệu liên tục và chính xác hơn. Tuy nhiên, việc đo bàn chân của ai đó sẽ hơi xấu hổ, thay vào đó thì đo cỡ giày sẽ hợp lí hơn. Dữ liệu này dễ thu thập.

Để đo cỡ bàn tay, em có thể yêu cầu mỗi người đặt tay lên một tờ giấy kẻ ô vuông, vẽ quanh bàn tay đó và tính diện tích bằng cách đếm các ô vuông. Cách thứ hai có thể là đo gang tay hoặc chiều dài bàn tay (ví dụ, đo từ cổ tay đến đầu ngón tay giữa).

Đo chiều dài sẽ dễ dàng hơn đếm ô vuông. Em có thể làm thử bằng cách đo cả gang tay và chiều dài để xem mình thích cách nào hơn.

Bài tập 6.1

Mỗi câu hỏi trong bài tập này liên quan đến việc lên kế hoạch một khảo sát thống kê. Các em nên làm việc theo cặp đối với những câu hỏi sau.

1 Em dự định khảo sát khả năng ước lượng của các học sinh trong trường mình. Đó có thể là khả năng ước lượng chiều dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, số đồ vật trong một chiếc lọ, một khoảng thời gian cụ thể hoặc những thứ khác.

a Viết một số câu hỏi em có thể hỏi về phương pháp ước lượng.

b Viết một số dự đoán em có thể kiểm tra.

c Mô tả một số cách chọn mẫu khác nhau để kiểm tra một hoặc nhiều dự đoán của em.

d Phương pháp lấy mẫu nào tốt nhất? Giải thích câu trả lời của em.

e Tiến hành một thử nghiệm quy mô nhỏ cho khảo sát của em. Em có thể nghĩ ra các cách nhằm cải tiến khảo sát của mình không?

f Sử dụng kết quả của thử nghiệm để đưa ra khái quát hoá về khả năng ước lượng của các học sinh.

gangtay chi ề u dài bàn tay

Mách nhỏ

Ví dụ về khái quát hoá: “Những học sinh lớn hơn ước lượng tốt hơn.” hoặc “Học sinh nữ ước lượng tốt hơn học sinh nam.”

2 You are going to investigate the attitudes of learners to the structure of the school day. Here are some things you could think about: the length of lessons; the number of lessons in a day; breaks; start and finish times. You might think of other areas of interest.

a Write some questions you could ask about the structure of the school day.

b Write some predictions you can test.

c Describe some different ways of choosing a sample to test one or more of your predictions.

d Which sample method is best? Give a reason for your answer.

e Carry out a small trial of your investigation. Can you think of ways to improve your investigation?

f Use the results of your trial to make a generalisation about learners’ attitudes to the structure of the school day.

3 You are going to investigate news articles. The articles could be in newspapers or online. You could investigate readability, length, vocabulary or other aspects.

a Write some questions you could ask about news articles.

b Write some predictions you can test.

c Describe some different ways of choosing a sample to test one or more of your predictions.

d Which sample method is best? Give a reason for your answer.

e Carry out a small trial of your investigation. Can you think of ways to improve your investigation?

f Use the results of your trial to make a generalisation about news articles.

In this exercise, you have carried out several statistical investigations. What advice would you give to someone who is going to plan a statistical investigation? Suggest three pieces of advice.

Summary checklist

I can make related predictions and plan a statistical investigation to test the predictions.

I can use data to make inferences and generalisations.

I can describe several ways to select a sample and choose the best method, with a reason.

Tip Example generalisation: ‘Learners think lessons should be longer.’

6 Khảo sát thống kê

2 Em dự định khảo sát thái độ của học sinh về thời gian biểu một ngày ở trường. Sau đây là một số gợi ý: thời lượng tiết học; số tiết học trong một ngày; giờ giải lao; giờ bắt đầu và kết thúc. Em có thể nghĩ đến những khía cạnh đáng chú ý khác.

a Viết một số câu hỏi em có thể hỏi về thời gian biểu một ngày ở trường.

b Viết một số dự đoán em có thể kiểm tra.

c Mô tả một số cách chọn mẫu khác nhau để kiểm tra một hoặc nhiều dự đoán của em.

d Phương pháp lấy mẫu nào tốt nhất? Giải thích câu trả lời của em.

e Tiến hành một thử nghiệm quy mô nhỏ cho khảo sát của em.

Em có thể nghĩ ra các cách nhằm cải tiến khảo sát của mình không?

f Sử dụng kết quả của thử nghiệm để khái quát hoá về thái độ của học sinh với thời gian biểu một ngày ở trường.

Mách nhỏ

Ví dụ về khái quát hoá: ”Học sinh cho rằng tiết học nên dài hơn.”

3 Em dự định khảo sát các bài báo tin tức. Có thể là bài báo in giấy hoặc trực tuyến.

Em có thể khảo sát mức độ dễ đọc, độ dài, vốn từ hoặc những khía cạnh khác.

a Viết một số câu hỏi em có thể hỏi về các bài báo tin tức.

b Viết một số dự đoán em có thể kiểm tra.

c Mô tả một số cách chọn mẫu khác nhau để kiểm tra một hoặc nhiều dự đoán của em.

d Phương pháp lấy mẫu nào tốt nhất? Giải thích câu trả lời của em.

e Tiến hành một thử nghiệm quy mô nhỏ cho khảo sát của em. Em có thể nghĩ ra các cách nhằm cải tiến khảo sát của mình không?

f Sử dụng kết quả của thử nghiệm để khái quát hoá về các bài báo tin tức.

Trong bài tập này, em đã thực hiện một số khảo sát thống kê. Em sẽ khuyên điều gì cho một người bạn dự định thực hiện một khảo

6.2 Bias

Key words bias misleading

The reliability of the results of a statistical investigation depend on the quality of the data collected. Data from a sample that is not representative of the whole population might not give a valid outcome. A sample that does not represent the whole population is biased There are different possible sources of bias.

Worked example 6.2

An investigation is carried out to test the prediction that people in a town are in favour of building a new library.

A survey is carried out on people using a supermarket between 09:00 and 12:00 one Wednesday and Thursday.

a Explain why this will give a biased sample.

b Suggest a way to improve the investigation.

Answer

a A survey at that time and in that place will include few people who are at work during the day. The sample will be biased if people who work during the day are underrepresented. It could include people who do not use the present library and who will not have an opinion.

b It would be better to do the survey in different places and at different times. The survey could be carried out at the present library. This will give a variety of people who actually use the library, especially if you speak to people at different times of day and on different days.

In this section you will …

• learn about sources of bias

• learn about ways to choose an unbiased sample

• learn how to identify wrong or misleading information.

6 Khảo sát thống kê

6.2 Tính chệch

Trong phần này, em sẽ...

• học về các nguồn gây ra tính chệch

• học các cách lựa chọn mẫu không bị chệch

• học cách xác định những thông tin sai hoặc gây nhầm lẫn.

Độ tin cậy của các kết quả trong khảo sát thống kê phụ thuộc vào chất lượng của dữ liệu được thu thập. Dữ liệu từ mẫu không đại diện cho toàn bộ tổng thể có thể không mang lại kết quả giá trị. Mẫu bị chệch là mẫu không đại diện cho toàn bộ tổng thể. Có rất nhiều nguồn gây ra tính chệch.

Ví dụ minh hoạ 6.2

Người ta đã khảo sát để kiểm tra dự đoán cho rằng người dân trong một thị trấn tán thành việc xây dựng một thư viện mới.

Người ta cũng đã khảo sát với những người đi siêu thị từ 9:00 đến 12:00 vào một ngày thứ Tư và thứ Năm.

a Hãy giải thích tại sao cách tiến hành trên sẽ tạo ra mẫu bị chệch.

b Hãy đề xuất một cách để cải tiến khảo sát trên. Lời giải

Từ khoá tính chệch gây nhầm lẫn

a Khảo sát vào thời điểm đó và tại nơi đó sẽ không bao gồm những người làm việc vào ban ngày. Mẫu sẽ bị chệch nếu thiếu những người làm việc vào ban ngày. Mẫu đó có thể bao gồm những người không sử dụng thư viện hiện tại và những người không đưa ra ý kiến.

b Thực hiện khảo sát ở nơi khác và vào thời điểm khác sẽ tốt hơn. Khảo sát có thể được tiến hành tại thư viện hiện tại. Cách này sẽ cho số liệu về nhiều người thực sự sử dụng thư viện, đặc biệt nếu em khảo sát mọi người vào những thời điểm khác nhau trong ngày và vào những ngày khác nhau.

Worked example 6.3

A company employs 187 men and 362 women.

You want to choose a representative sample of 40 men and women.

a How many men and women should you choose?

b List three other factors to consider when choosing a representative sample.

Answer

a The company has 187 + 362 = 549 employees.

The percentage who are men = 187 549 100341×=%.%

34.1% of the sample should be men.

34.1% of 40 = 0.341 × 40 = 14 to the nearest whole number.

The sample should have 14 men and 26 women.

b Other possible factors are, for example, age, job and salary.

Exercise 6.2

1 In a college there are 200 girls and 150 boys.

You want to choose a representative sample of 30 students. How many girls and boys should you choose?

2 Look at this advert.

a What is the purpose of the advert?

b List two possible sources of bias.

3 You are doing a statistical investigation. You need to find the opinions of a large sample of people.

a Give two advantages of using social media.

b Give two disadvantages of using social media.

In a survey of 142 customers, 85% said Supremo Shampoo made their hair feel softer.

6 Khảo sát thống kê

Ví dụ minh hoạ 6.3

Một công ty thuê 187 nam và 362 nữ nhân viên.

Em muốn lựa chọn mẫu đại diện gồm 40 người cả nam và nữ.

a Em nên lựa chọn bao nhiêu nam và bao nhiêu nữ?

b Liệt kê ba yếu tố để xem xét khi lựa chọn mẫu đại diện.

Lời giải

a Công ty có 187 + 362 = 549 nhân viên.

Tỉ số phần trăm nhân viên nam = 187 549 100341×=%,%

Mẫu cần có 34,1% nam.

34,1 % của 40 = 0,341×40=14 làm tròn đến hàng đơn vị.

Mẫu cần có 14 nam và 26 nữ.

b Yếu tố khác có thể là, ví dụ như, tuổi, nghề nghiệp và mức lương.

Bài tập 6.2

1 Một trường cao đẳng có 200 sinh viên nữ và 150 sinh viên nam.

Em muốn chọn mẫu đại diện gồm 30 sinh viên.

Hỏi em nên chọn bao nhiêu nữ và bao nhiêu nam?

2 Quan sát đoạn quảng cáo sau.

Trong một cuộc khảo sát gồm 142 khách hàng, 85% nói rằng Dầu gội Supremo giúp tóc họ có cảm giác mềm mượt hơn.

a Mục đích của đoạn quảng cáo trên là gì?

b Liệt kê hai nguồn có khả năng dẫn tới tính chệch.

3 Em sẽ làm một khảo sát thống kê. Em cần thu thập ý kiến của một mẫu lớn bao gồm nhiều người.

a Nêu hai ưu điểm khi sử dụng phương tiện truyền thông xã hội.

b Nêu hai nhược điểm khi sử dụng phương tiện truyền thông xã hội.

4 This table shows the numbers of students in a college.

You want a representative sample of 40 students.

a How many students in your sample should be 16-year-old males?

b How many students in your sample should be females?

The graph shows the data in the table.

c Explain why the graph is misleading

d Draw an improved version of the graph.

5 A statistician wants to investigate people’s attitudes towards a plan for a new housing development.

The statistician gives out 350 questionnaires and receives 105 replies.

a Work out the percentage of replies.

b How might the low percentage of replies cause bias?

6 A sample of people were given two versions of a drink, the original recipe and a new recipe.

They were asked, ‘Do you prefer the new recipe?’ 85% said, ‘yes’.

a Why might this result be biased?

b How could you arrange the tasting and questioning to avoid bias?

7 Here are questions from surveys that will give biased results. For each question

i explain why it will give a biased result

ii rewrite the question in a better way.

a Do you agree that global warming is caused by humans?

b Do you think entry to this exhibition should be free?

c Are you overweight?

d Do you think you take enough exercise?

8 Customers who have stayed at a hotel are asked to complete an online survey. The hotel wants to know if the customers felt they received good service and value for money.

How could the results from this survey be biased?

6 Khảo sát thống kê

4 Bảng dưới đây thể hiện số sinh viên trong một trường cao đẳng.

Nam Nữ Tổng

Tuổi 16 50 75 125

Tuổi 17 42 92 134

Tổng 92 167 259

Em cần một mẫu đại diện gồm 40 sinh viên.

a Mẫu của em cần bao nhiêu sinh viên nam 16 tuổi?

b Mẫu của em cần bao nhiêu sinh viên nữ?

Biểu đồ bên biểu diễn dữ liệu trong bảng.

c Giải thích lí do biểu đồ gây nhầm lẫn

d Vẽ một phiên bản cải tiến của biểu đồ đó.

5 Một nhà thống kê muốn tiến hành khảo sát thái độ của mọi người về kế hoạch phát triển nhà mới.

Nhà thống kê đưa ra 350 bảng câu hỏi và nhận được 105 câu trả lời.

a Tính tỉ số phần trăm số câu trả lời.

b Tỉ số phần trăm trả lời thấp có thể dẫn đến tính chệch như thế nào?

6 Một mẫu gồm những người được thử hai phiên bản của một đồ uống, công thức nguyên bản và công thức mới.

Họ được hỏi “Bạn có thích công thức mới không?”

85% nói “có”.

a Tại sao kết quả này có thể bị chệch?

b Em có thể sắp xếp để họ nếm thử và đặt câu hỏi để tránh bị chệch bằng cách nào?

7 Dưới đây là các câu hỏi từ những cuộc khảo sát sẽ tạo ra kết quả bị chệch.

Với mỗi câu hỏi sau, hãy

i giải thích tại sao khảo sát tạo ra kết quả bị chệch ii viết lại câu hỏi theo cách phù hợp hơn.

a Em có đồng ý rằng sự nóng lên toàn cầu là do con người gây ra không?

b Em có nghĩ rằng triển lãm này nên miễn phí vé vào cổng không?

c Em có thừa cân không?

d Em có nghĩ rằng mình tập thể dục đủ không?

8 Khách hàng lưu trú tại một khách sạn được yêu cầu hoàn thành một cuộc khảo sát trực tuyến. Khách sạn muốn biết liệu khách hàng có cảm thấy họ nhận được dịch vụ tốt và xứng đáng với số tiền bỏ ra không.

Những kết quả từ cuộc khảo sát này có thể bị chệch thế nào? 80 30 16171617 50 70 90 Nam Nữ 60 100 S ố sinh viên

9 You are planning to do a survey of customers in a supermarket or shopping mall. You will do the survey on a Sunday. You will ask a sample of customers a small number of questions. You want equal numbers of men and women. You want 25% of your sample to be under 30 and the rest to be aged 30 or over. You want to ask 120 people altogether. Describe how you could carry out this survey. In particular, describe how you will choose your sample and when you will do your survey.

10 Marcus wants to know if more men or women use a gym on Monday evening and on Friday evening. He looks at the first 30 visitors on a Monday evening and on a Friday evening. He records the results in a table and draws a diagram to illustrate the data as shown.

Men Women Total Monday 18 12 30 Friday 13 17 30

Marcus says:

More men than women use the gym on a Monday evening. More women than men use the gym on a Friday evening.

a Are Marcus’ conclusions valid? Give a reason for your answer.

b Explain why Marcus’ diagram is misleading.

c Draw an improved version of the diagram. 18

Summary checklist

I can explain sources of bias when collecting data.

I can ask questions about the validity of a statistical investigation. I can identify wrong or misleading information.

6 Khảo sát thống kê

9 Em dự định thực hiện một cuộc khảo sát với khách hàng của một siêu thị hoặc trung tâm thương mại. Em sẽ thực hiện cuộc khảo sát vào Chủ nhật. Em sẽ đặt một ít câu hỏi cho một mẫu bao gồm các khách hàng. Em cần số khách hàng nam và nữ bằng nhau. Em mong muốn 25% người trong mẫu dưới 30 tuổi và số còn lại bằng hoặc trên 30 tuổi. Em mong muốn hỏi tổng cộng 120 người.

Mô tả cách em có thể thực hiện cuộc khảo sát này. Mô tả chi tiết cách em chọn mẫu và thời điểm em tiến hành cuộc khảo sát.

10 Marcus muốn biết số lượng khách nam hay khách nữ sử dụng phòng gym nhiều hơn vào tối thứ Hai và tối thứ Sáu.

Bạn ấy quan sát 30 khách đầu tiên đến vào một buổi tối thứ Hai và một buổi tối thứ Sáu. Bạn ấy ghi lại kết quả vào bảng và vẽ sơ đồ để minh hoạ dữ liệu như sau.

Nam Nữ thích các nguồn gây ra tính chệch khi thu thập dữ liệu. có thể đặt những câu hỏi về tính đúng đắn của một cuộc khảo sát thống kê. có thể xác định thông tin sai hoặc gây nhầm lẫn.

Khách nam đến phòng gym nhiều hơn khách nữ vào tối thứ Hai. Tối thứ Sáu khách nữ đến phòng gym nhiều hơn khách nam vào tối thứ Sáu.

Check your progress

1 You have been asked to find out the opinions of people about different types of cake.

a Give three examples of questions you could ask.

b Write a prediction for each of your questions.

2 You want to do a survey of the parents of learners in your school. Describe what you think is a good way to select a sample of 20 parents. Give a reason for your method.

3 A train company wants to do a survey of customers travelling on a particular line. They decide to give a questionnaire to 100 customers on the train leaving the station at 08:00 on a Monday morning.

a Describe ways this sample will be biased.

b Suggest how to choose a less biased sample of customers.

6 Khảo sát thống kê

Kiểm tra sự tiến bộ của em

1 Em được yêu cầu tìm hiểu ý kiến của mọi người về các loại bánh khác nhau.

a Nêu ba ví dụ về những câu hỏi em có thể đặt ra.

b Viết một dự đoán cho mỗi câu hỏi đó.

2 Em muốn thực hiện một khảo sát về phụ huynh của học sinh trong trường em. Mô tả một cách em nghĩ là hiệu quả để lựa chọn một mẫu bao gồm 20 phụ huynh. Giải thích phương pháp của em.

3 Một công ty tàu hoả muốn thực hiện khảo sát các khách hàng di chuyển trên một chuyến nhất định.

Họ quyết định phát bảng câu hỏi cho 100 khách hàng trên chuyến tàu rời ga lúc 8:00 sáng thứ Hai.

a Mô tả những khía cạnh khiến mẫu này sẽ bị chệch.

b Đề xuất cách lựa chọn mẫu khách hàng ít bị chệch hơn.

Fractions

Getting started

1 Use a written method to convert these fractions into decimals. if the fraction is a terminating or recurring decimal. 5 5

2 Work out these calculations. Give each answer as a mixed number in its simplest form.

a 3 21 9 41 5 7 10 8 23 1

3 Work out 51 6

4 Work out these calculations. Give each answer in its simplest form. 3 5

5 Work 2

This is a well-known puzzle, called a tangram. There are seven parts, called tans. These parts can be used to make different shapes. The idea of the puzzle is to form a specific shape, given only an outline, using all seven pieces. The pieces are not allowed to overlap.

For example:

Which tans have the same area?

Suppose the whole shape has area 1. If you find the area of each tan as a fraction, you should find that each area is 1 4 , 1 8 or 1 16 .

Work out the area of this shape. Can you work out your answer in different ways? For example, by addition or by subtraction?

In this unit you will continue working with fractions. You will add, subtract, multiply and divide fractions using both written and mental methods. You will also learn how to make calculations with fractions and decimals easier.

Dưới đây là tangram, một dạng bộ xếp hình nổi tiếng. Có bảy phần, được gọi là các tan. Những phần này có thể được sử dụng để tạo ra các hình dạng khác nhau. Ý tưởng của câu đố này là ghép thành một hình cụ thể bằng cách sử dụng toàn bộ bảy mảnh ghép khi biết được hình dáng đường nét bên ngoài ngoài. Những mảnh ghép không được xếp chồng lên nhau.

Ví dụ:

Những tan nào có diện tích bằng nhau? Giả sử toàn bộ hình có diện tích là 1. Nếu em tính diện tích của mỗi tan dưới dạng phân số, em sẽ tính ra các diện tích là 1 4 , 1 8 hoặc 1 16 Tính diện tích của hình bên. Em có thể tính đáp số bằng nhiều cách khác nhau không? Ví dụ, sử dụng phép cộng hay phép trừ? Trong học phần này, em sẽ tiếp tục học về phân số. Em sẽ cộng, trừ, nhân và chia phân số bằng cách sử dụng cả phương pháp đặt tính và phương pháp tính nhẩm. Em cũng sẽ học cách biến đổi các phép tính chứa phân số và số thập phân đơn giản hơn.

7.1 Fractions and recurring decimals

In this section you will …

• fractions recurring or terminating

You already know how to use equivalent fractions to convert a fraction to an equivalent decimal. For example: 1 5 2 10 02== . You also know how to use division to convert a fraction to an equivalent decimal. For example: 13 25 1325052=÷=

The decimals 0.2 and 0.52 are terminating decimals because they come to an end. You also know that you can write the fraction 1 3 as 0.3 . and that this is a recurring decimal because the digit 3 is repeated forever. You can use what you already know about terminating and recurring decimals to deduce whether other fractions are terminating or recurring.

Worked example 7.1

Key words equivalent decimal recurring decimal terminating decimal

Tip

You can use a written method or a calculator to use division to convert a fraction to an equivalent decimal.

a 1 5 is equivalent to a terminating decimal. Use this information to deduce if 3 5 is a terminating or recurring decimal.

b 1 3 is equivalent to a recurring decimal. Use this information to deduce if 2 3 is a terminating or recurring decimal.

You know that 1 5 = 0.2, which is a terminating decimal.

3 5 is three times 1 5

The whole number 3 multiplied by the terminating decimal 0.2 will give the terminating decimal 0.6

b 1

You know that 1 3 03= . . , which is a recurring decimal.

2 3 is two times 1 3

The whole number 2 multiplied by the recurring decimal 03 . . will give the recurring decimal 06

7.1 Phân số và số thập phân vô hạn tuần hoàn

Trong phần này, em sẽ…

• suy luận một phân số tương đương với số thập phân vô hạn tuần hoàn hay hữu hạn.

Em đã biết cách sử dụng phân số bằng nhau để đổi một phân số sang số thập phân tương đương. Ví dụ: 1 5 2 10 02== ,

Em cũng biết cách sử dụng phép chia để đổi một phân số sang số thập phân tương đương. Ví dụ: 13 25 1325052=÷= , Các số thập phân 0,2 và 0,52 đều là các số thập phân hữu hạn vì hai số đó có kết thúc. Em cũng biết rằng em có thể viết phân số 1 3 thành 0,3 . và đó là số thập phân vô hạn tuần hoàn vì chữ số 3 được lặp lại mãi mãi. Em có thể sử dụng những kiến thức đã biết về số thập phân hữu hạn và vô hạn tuần hoàn để suy luận những phân số khác là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ minh hoạ 7.1

Từ khoá số thập phân tương đương số thập phân vô hạn tuần hoàn số thập phân hữu hạn

Mách nhỏ

Em có thể sử dụng phương pháp đặt tính hoặc máy tính cầm tay để đổi một phân số sang số thập phân tương đương.

a 1 5 tương đương với một số thập phân hữu hạn. Sử dụng thông tin này để suy luận xem 3 5 là số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.

b 1 3 tương đương với một số thập phân vô hạn tuần hoàn. Sử dụng thông tin này để suy luận xem 2 3 là số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.

Lời giải

a 1 dođóđâylàsố thậpphânhữuhạn

Ta biết rằng 1 5 = 0,2 là số thập phân hữu hạn.

3 5 bằng ba lần 1 5 Số tự nhiên 3 nhân với số thập phân hữu hạn 0,2 sẽ ra số thập phân hữu hạn 0,6

Ta biết rằng 1 3 03= , . là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

2 3 bằng hai lần 1 3 Số tự nhiên 2 nhân với số thập phân vô hạn tuần hoàn 03 , . sẽ ra số thập phân vô hạn tuần hoàn 06do đó đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn

Exercise 7.1

1 a Copy and complete:

1 4 025= which is a terminating decimal

2 4 1 4 22025=××== which is a ………… decimal

3 4 1 4 33025=××== which is a ………… decimal

b Copy and complete:

1 5 02= . which is a terminating decimal

2 5 1 5 2202=××== which is a ………… decimal

4 5 1 5 4402 =×=×= which is a ………… decimal

2 a Work out the decimal equivalent of 1 9

b Is 1 9 a terminating or recurring decimal?

c Use your answers to parts a and b to write the decimal equivalents of these fractions. Write if each decimal is terminating or recurring.

i 2 9 ii 3 9 iii 4 9 iv 5 9 v 6 9 vi 7 9 vii 8 9

Think like a mathematician

3 Work with a partner to answer this question.

a Look back at your answers to Question 2, parts c ii and v. You have met these recurring decimals before, but for different fractions. Which fractions? Explain the connection between these fractions and the fractions 3 9 and 6 9

b Read what Marcus and Zara say:

If I follow the pattern for the ninths, then 9 909 = But 9 91 = . Why are our answers different?

Discuss Marcus’ and Zara’s statements. Are their answers different? Explain your answer.

Bài tập 7.1

1 a Chép lại và hoàn thành:

1 4 025= , là số thập phân hữu hạn

2 4 1 4 22025=××== , là số thập phân ……………

3 4 1 4 33025=××== , là số thập phân ……………

b Chép lại và hoàn thành:

1 5 02= , là số thập phân hữu hạn

2 5 1 5 2202=××== , là số thập phân ………… 4 5 1 5 4402 =×=×= , là số thập phân …………

2 a Tính số thập phân tương đương với 1 9

b 1 9 là số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?

c Sử dụng đáp số của phần a và b để viết số thập phân tương đương với những phân số sau. Xác định xem từng số thập phân sau là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn. i 2 9 ii 3 9 iii 4 9 iv 5 9 v 6 9 vi 7 9 vii 8 9

3 Làm việc với bạn cùng nhóm để trả lời câu hỏi sau.

a Quan sát lại các đáp số của Câu hỏi 2, phần c ii và v. Em đã gặp những số thập phân vô hạn tuần hoàn này trước đó, nhưng với các phân số khác nhau. Đó là những phân số nào?

Giải thích mối liên hệ giữa những phân số trên và hai phân số 3 9 và 6 9

b Đọc phát biểu của Marcus và Zara:

Nếu tớ tuân theo quy luật trên với các số phần chín, khi đó 9 909 = , . Nhưng 9 91 = . Tại sao đáp số của chúng mình lại khác nhau?

Thảo luận về các phát biểu của Marcus và Zara. Đáp số của hai bạn có khác nhau không?

Giải thích câu trả lời của em.

Tư duy như một nhà Toán học

4 a Work out the decimal equivalent of 1 8 .

b Is 1 8 a terminating or recurring decimal?

c Use your answers to parts a and b to write down the decimal equivalents of these fractions. Write if each decimal is terminating or recurring.

i 2 8 ii 3 8 iii 4 8 iv 5 8 v 6 8 vi 7 8

d Look at your answers to part c i, iii and v. Did you write these fractions in their simplest form before you changed them into decimals? If you did, explain why. If you did not, do you think it would have been easier if you had?

Think like a mathematician

5 Work with a partner to answer this question.

You have seen from Question 2 that 1 9 is a recurring decimal and that all proper fractions with the denominator 9 are recurring decimals.

a 1 6 is a recurring decimal. Are all proper fractions with the denominator 6 recurring decimals?

b 1 7 is a recurring decimal. Are all proper fractions with the denominator 7 recurring decimals?

c Why are your answers to parts a and b different?

d Investigate other unit fractions that are recurring decimals, such as 1 11 and 1 12

Are all the fractions with the same denominator (e.g. 11 or 12) recurring decimals? Can you find a general rule to help you to decide if all the fractions with the same denominator as such unit fractions will be recurring decimals as well?

6 Here are five fraction cards.

A 1 3 B 1 6 C 1 9 D 1 12 E 1 15

a Without doing any calculations, answer this question. Are these fractions terminating or recurring decimals? Explain how you know.

b All the numerators are changed from 1 to 2, so the cards now look like this:

A 2 3 B 2 6 C 2 9 D 2 12 E 2 15

Are these fractions terminating or recurring decimals? Explain your answer.

4 Tính

b là thập phân hạn vô hạn tuần hoàn?

c Sử dụng đáp số ở phần a và b để viết các số thập phân tương đương với những phân số sau. Xác định từng số thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn.

d Quan sát các đáp số ở phần c i, iii và v. Em có viết những phân số đó dưới dạng hiện bước đó không? để lời câu hỏi Câu hỏi 2 em đã nhận ra rằng 1 9 là số thập phân vô hạn tuần hoàn và tất cả những phân số nhỏ hơn 1 có mẫu số 9 là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

a 1 6 là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Có phải tất cả những phân số nhỏ hơn 1 có mẫu số bằng 6 đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn không?

b 1 7 là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Có phải tất cả những phân số nhỏ hơn 1 có mẫu số bằng 7 đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn không?

c Tại sao đáp số ở phần a và b khác nhau?

d Hãy khảo sát những phân số đơn vị khác là số thập phân vô hạn tuần hoàn như 1 11 và 1 12 . Có phải tất cả các phân số có cùng mẫu số (ví dụ như 11 hoặc 12) đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn không? Em có thể tìm ra quy tắc tổng quát giúp xác định xem tất cả các phân số có cùng mẫu số với phân số đơn vị có phải là số thập phân vô hạn tuần hoàn hay không?

6 Dưới đây là năm thẻ phân số.

A 1 3 B 1 6 C 1 9 D 1 12 E 1 15

a Không thực hiện phép tính, hãy trả lời câu hỏi sau. Những phân số trên tương đương với số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Giải thích cách em xác định.

b Tất cả tử số thay đổi từ 1 thành 2, do đó lúc này các thẻ sẽ thành:

A 2 3 B 2 6 C 2 9 D 2 12 E 2 15

Những phân số trên tương đương với số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Hãy giải thích câu trả lời của em.

c If all the numerators in part b are changed from 2 to 3, are the fractions terminating or recurring decimals? Explain your answer.

d Look back at your answers to parts b and c and answer this question.

When a fraction has a denominator which has a factor of 3, is the fraction always equivalent to a recurring decimal? Discuss your answer with other learners in your class.

7 Decide if these statements about proper fractions are ‘Always true’, ‘Sometimes true’ or ‘Never true’.

Justify your answers.

a A fraction with a denominator of 7 is a recurring decimal.

b A fraction with a denominator which is a multiple of 2 is a recurring decimal.

c A fraction with a denominator which is a multiple of 10 is a terminating decimal.

d A fraction with a denominator which is a power of 2 is a recurring decimal.

8 Here are five fraction cards.

A 5 7 B 3 14 C 11 21 D 9 35 E 3 42

a Without doing any calculations, answer this question. Do you think these fractions are terminating or recurring decimals? Explain why.

b Which fraction is different from the others? Explain this difference.

Does this change your answer to part a? Explain why.

c Read what Sofia and Arun say.

Any fraction which has a denominator that is a multiple of 7 is a recurring decimal.

Tip

7d The numbers which are powers of 2 are 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8 etc.

That’s not true, because 7 14 1 2 = which is not recurring and 7 28 1 4 = which is not recurring.

What must Sofia add to her statement to make her statement true?

c Nếu tất cả tử số trong phần b đổi từ 2 thành 3, hỏi các phân số đó tương đương với số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?

Giải thích câu trả lời của em.

d Quan sát lại các đáp án ở phần b và c của em và trả lời câu hỏi sau.

Khi một phân số có mẫu số là bội của 3, phân số đó có luôn tương đương với một số thập phân vô hạn tuần hoàn không?

Thảo luận câu trả lời của em với các bạn khác trong lớp.

7 Xác định xem những phát biểu sau về phân số nhỏ hơn 1 là “Luôn đúng”, “Đôi khi đúng” hay “Không bao giờ đúng”.

Lí giải các câu trả lời của em.

a Một phân số có mẫu số bằng 7 là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

b Một phân số có mẫu số là bội của 2 là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

c Một phân số có mẫu số là bội của 10 là số thập phân hữu hạn.

d Một phân số có mẫu số là luỹ thừa của 2 là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

8 Dưới đây là năm thẻ phân số.

A 5 7 B 3 14 C 11 21 D 9 35 E 3 42

a Không thực hiện phép tính, hãy trả lời câu hỏi sau.

Theo em, những phân số trên tương đương với số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Hãy giải thích tại sao.

b Phân số nào khác với những phân số còn lại?

Giải thích điểm khác nhau.

Điều này có làm thay đổi đáp án của em ở phần a không?

Giải thích vì sao.

c Đọc phát biểu của Sofia và Arun.

Bất kì phân số nào có mẫu số là

bội của 7 đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Mách nhỏ

7d Các số là luỹ thừa của 2 gồm 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, v.v.

Điều đó không đúng, bởi vì 7 14 1 2 = không vô hạn tuần hoàn và 7 28 1 4 = không vô hạn tuần hoàn.

Sofia phải nói thêm điều gì để làm cho phát biểu đó đúng?

9 This is part of Ed’s homework.

Question

Write 12 minutes as a fraction of an hour. Is your answer a terminating or recurring decimal? Answer

12 minutes is the same as 12 60 = 1 5 of an hour and 1 5 = 0.2, so terminating.

Use Ed’s method to decide if these lengths of time, as a fraction of an hour, are terminating or recurring decimals.

a 20 minutes b 36 minutes

c 45 minutes d 55 minutes

e 1 hour 8 minutes f 3 hours 21 minutes

10 Without using a calculator, decide if these fractions are terminating or recurring decimals.

a 8 3 b 21 5 c 28 9 d 39 12

11 The table shows the number of hours that six friends work each week.

There are 168 hours in one week.

Number of hours worked in one week.

Abi 21 Bim 28 Caz 32

Dave 35 Enid 40 Fin 42

a Sort the friends into two groups according to the number of hours they work, as a fraction of one week. Explain the criteria you used to group them.

b Sort the friends into two different groups according to the number of hours they work, as a fraction of one week. Explain the criteria you used to group them this time.

Activity

Work

Here are 10 21 36

Tip Think about the number of minutes in an hour.

Tip Change the improper fractions into mixed numbers first.

9 Đây là một phần bài tập về nhà của Ed.

Câu hỏi

Viết 12 phút dưới dạng phân số của một giờ.

Đáp số của em tương đương với số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn?

Lời giải

12 phút bằng 12 60 = 1 5 giờ và 1 5 = 0,2, do đó đáp số tương đương với số thập phân hữu hạn.

Sử dụng phương pháp của Ed để xác định những thời lượng dưới đây tương đương với số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn (dưới dạng phân số của một giờ).

a 20 phút b 36 phút c 45 phút d 55 phút

e 1 giờ 8 phút f 3 giờ 21 phút

10 Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy xác định những phân số sau tương đương với số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn. a 8 3 b 21 5 c 28 9 d 39 12

11 Bảng sau trình bày số giờ mà sáu người bạn làm việc mỗi tuần. Một tuần có 168 giờ.

Số giờ làm việc trong một tuần.

Abi 21 Bim 28 Caz 32

Dave 35 Enid 40 Fin 42

a Sắp xếp các bạn trên thành hai nhóm dựa theo số giờ các bạn đó đã làm việc, dưới dạng phân số của một tuần. Giải thích tiêu chí em đã sử dụng để phân nhóm các bạn.

b Sắp xếp các bạn trên thành hai nhóm khác dựa theo số giờ các bạn ấy đã làm việc, dưới dạng phân số của một tuần. Giải thích tiêu chí em đã sử dụng để phân nhóm các bạn lần này.

Hoạt động 7.1

Làm việc với một bạn cùng nhóm trong hoạt động sau. Dưới đây là 10 thẻ phân số.

Mách nhỏ Hãy nghĩ đến số phút có trong một giờ.

Mách nhỏ Đổi các phân số lớn hơn 1 thành hỗn số trước.

Continued

Decide who is going to go first, you or your partner. The first person chooses a card. The other person must decide if the fraction is a terminating or recurring decimal, and then choose a card that is the same (a terminating or recurring decimal). Check the cards match, then swap over. Do this twice each; when a card has been used, it cannot be used again.

In this section, you have learned to deduce whether fractions have recurring or terminating decimal equivalents. Explain to a partner one important thing you have learned from this section that will help you to decide whether fractions have recurring or terminating decimal equivalents.

Summary checklist

I can deduce whether fractions have recurring or terminating decimal equivalents.

7.2 Fractions and the correct order of operations this section you will …

• carry out calculations involving fractions and mixed numbers using the correct order of operations

• estimate the answers to calculations.

You already know how to carry out a variety of calculations involving fractions and mixed numbers. In this section you will develop these skills, making sure you use the correct order of operations.

Bạn đầu tiên sẽ chọn một thẻ. Bạn còn lại phải xác định phân số đó tương đương với số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn, và sau đó chọn một thẻ giống vậy (thẻ tương đương với số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn). Kiểm tra các thẻ có tương xứng không, sau đó đổi lại.

Mỗi bạn thực hiện hai lần; một thẻ khi đã được sử dụng sẽ không thể sử dụng lại.

Trong phần này, em đã học cách suy luận xem các phân số tương đương với số thập phân vô hạn tuần hoàn hay hữu hạn.

Giải thích với bạn cùng nhóm về một kiến thức quan trọng em đã học được từ phần này mà sẽ giúp em xác định được rằng các phân số tương đương với số thập phân vô hạn tuần hoàn hay hữu hạn.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em đã biết cách thực hiện nhiều dạng phép tính chứa chọn người sẽ thực hiện trước, em hoặc bạn cùng nhóm.

Em có thể suy luận xem các phân số tương đương với số thập phân vô hạn tuần hoàn hay hữu hạn.

Work out the brackets first. 3 1 2 as an improper fraction with a denominator of 20.

Finally do the subtraction. Write the answer as a mixed number in its simplest form.

Work out the multiplication first. Write the answer in its simplest form.

Write 2 1 3 as a mixed number with a denominator of 9.

Finally do the addition. Write the answer as a mixed number in its simplest form.

b

Viết 3 1 2 dưới dạng phân số lớn hơn 1 với mẫu số bằng

Cuối cùng, thực hiện phép trừ. Viết đáp số dưới dạng hỗn số tối giản.

Thực hiện phép nhân trước. Viết đáp số dưới dạng tối giản. 21 3

Viết 2 1 3 dưới dạng hỗn số với mẫu số bằng 9.

Cuối cùng, thực hiện phép cộng. Viết đáp số dưới dạng hỗn số tối giản.

Mách nhỏ

Hãy đảm bảo em viết đáp số dưới dạng tối giản.

2 Work out these calculations. Write each answer as a mixed number in its simplest form. Show all the steps in your working.

a 21 8 1 4 3 4 +× b 9 10 1 2 4 5 2×+ c 453 1 3 1 2 1 6 () d 2 3 4 9 1 4 2÷+

Think like a mathematician

3 Work with a partner or in a small group to discuss this question.

a Estimate an answer to this calculation. 6352 4 5 1 4 2 3 7 10+− ()Write how you worked out your estimate.

b Work out the accurate answer to the calculation.

c Do you think your estimate was a good estimate of the accurate answer? Critique the method you used and explain how you could improve it.

d Discuss your answers to parts a and c with other learners in the class, and decide on the best method to use to estimate the answers to fraction calculations.

4 Work out i an estimate ii the accurate answer to these calculations. Show all the steps in your working.

a 823 9 10 1 5 5 8 −+() b 72 2 3 5 12 7 8 +−() c 5216 1 9 1 3 +× d 153 4 7 12 1 2 −×

5 This is part of Fiona’s homework. Her method is to change all the mixed numbers into improper fractions, then work through the solution and change back to a mixed number at the very end. improper

a Critique Fiona’s method.

b Can you think of a better/easier method to use to answer this type of question?

b Tính đáp số chính xác cho phép tính trên.

c Em có nghĩ rằng ước lượng của em là một cách hiệu quả để ước lượng đáp số chính xác không? Phản biện phương pháp em đã sử dụng và giải thích cách em cải tiến phương pháp đó.

d Thảo luận đáp số của em trong phần a và c với những bạn khác trong lớp, và xác định phương pháp tốt nhất để ước lượng đáp số cho các phép tính phân số.

4 Tính i đáp số ước lượng ii đáp số chính xác cho các phép tính sau. Trình bày tất cả các bước trong bài làm của em.

a 823 9 10 1 5 5 8 −+() b 72 2 3 5 12 7 8 +−() c 5216 1 9 1 3 +× d 153 4 7 12 1 2 −×

5 Dưới đây là một phần bài tập về nhà của Fiona. Phương pháp của bạn ấy là đổi tất cả hỗn số thành phân số lớn hơn 1, sau đó thực hiện bài

6 The diagram shows the lengths of two sides of a triangle.

The triangle has a perimeter of 25 m.

a Write the calculation you must do to work out the length of the third side of the triangle.

b Read what Zara says:

I estimate the length of the third side of the triangle to be about 151 2 m.

What do you think of Zara’s estimate? Explain your answer.

c Work out the length of the third side of the triangle. Was your answer to part b correct? Explain your answer.

7 Holly has three bags of apples.

The first bag has a mass of 2 4 5 kg.

The mass of the second bag is twice the mass of the first bag.

The total mass of the three bags is 11 13 20 kg.

Work out the mass of the third bag.

8 Copy and complete the workings to calculate the answer to 635 4 5 Division: 66

9 Work out the area of each shape. Show all your working. a b

6 Hình bên biểu diễn độ dài hai cạnh của một hình tam giác.

Hình tam giác có chu vi 25 m.

a Viết các phép tính cần thực hiện để tính độ dài cạnh thứ ba của hình tam giác.

b Đọc phát biểu của Zara:

Tớ ước lượng độ dài cạnh thứ ba của hình tam giác khoảng

151 2 m.

Em nghĩ sao về ước lượng của Zara? Giải thích câu trả lời của em.

c Tính độ dài cạnh thứ ba của hình tam giác. Đáp án phần b của em có đúng không? Giải thích câu trả lời của em.

7 Holly có ba túi đựng táo.

Túi đầu tiên có khối lượng 2 4 5 kg.

Khối lượng của túi thứ hai gấp hai lần khối lượng túi thứ nhất.

Tổng khối lượng của ba túi là 11 13 20 kg.

Tính khối lượng của túi thứ ba.

8 Chép lại và hoàn thành những bài làm sau để tính đáp số của

Phép chia:

Phép nhân:

Phép cộng:

9 Tính diện tích mỗi hình sau. Trình bày toàn bộ bài làm của em. b

Think like a mathematician

10 Work with a partner to answer these questions. Marcus and Arun are discussing how to square a mixed number. Read what they say.

I would turn the mixed number into an improper fraction, then square the numerator and square the denominator. Then I would write the answer as a mixed number.

I would split the mixed number into its whole number part and fraction part. Then I would square the whole number part and square the fraction part, before putting the two answers back together.

a Try both their methods to square the mixed number 1 1 2 . Do you get the same answers?

Whose method do you think is correct? Explain why. Check the answer by using a calculator to work out 1 1 2 2()

b Discuss your answers to part a with other learners in your class.

Write a general rule that you must use when you square a mixed number.

11 Work out the answers to these calculations. 22 1 1 2 41101

12 The diagram shows a compound shape made of a square joined to a rectangle.

a Write the calculation you must do to work out the total area of the shape. b Work out the area of the shape.

Tư duy như một nhà Toán học

10 Làm việc với một bạn cùng nhóm để trả lời các câu hỏi sau.

Marcus và Arun đang thảo luận về cách bình phương một hỗn số. Hãy đọc phát biểu của hai bạn ấy.

Mình sẽ đổi hỗn số thành phân số lớn hơn 1, sau đó bình phương tử số và bình phương mẫu số. Sau đó mình sẽ viết đáp số dưới dạng hỗn số.

Mình sẽ tách hỗn số thành phần số nguyên và phần phân số. Sau đó mình sẽ bình phương phần số nguyên và bình phương phần phân số trước khi ghép hai đáp số lại với nhau.

a Thử cả hai phương pháp trên để bình phương hỗn số 1 1 2 . Em có tính ra các đáp số giống nhau không?

Em nghĩ phương pháp của bạn nào là đúng? Giải thích tại sao.

Kiểm tra đáp số của em bằng cách sử dụng máy tính cầm tay để tính 1 1 2 2()

b Thảo luận những câu trả lời của em trong phần a với những bạn khác trong lớp.

Viết một quy tắc tổng quát em cần sử dụng khi bình phương một hỗn số.

11 Tính đáp số cho những phép tính sau. 1 1 931 2 101 1 2+×()

12 Hình bên biểu diễn hình ghép tạo thành từ một hình vuông ghép với một hình chữ nhật. Viết phép tính em cần thực hiện để tính tổng diện tích của hình bên. Tính diện tích của hình bên.

7.3 Multiplying fractions this

You already know how to multiply an integer by a fraction and a fraction by a fraction. You can complete multiplications more easily by cancelling common factors before you multiply.

Key word 5 7 4 9 2 7 14 21 5 15

Divide 3 and 18 by 3. The 3 cancels to 1 and the 18 cancels to 6.

2 1 is the same as 2, so just work out 2 × 6 = 12.

4 does not divide into 26, but 4 and 26 can both be divided by 2 to give 2 and 13.

3 × 13 = 39, so the answer is 39 2

This is an improper fraction, so change it to a mixed number.

There are no common factors between the numbers in the numerators and denominators, so simply multiply 5 by 4 and multiply 7 by 9.

20 63 cannot be cancelled further and is a proper fraction.

7 divides into 7 and into 14 to give 1 and 2. There are no other common factors.

Now multiply 2 by 2 and multiply 1 by 15.

4 15 cannot be cancelled further and is a proper fraction.

Chia 3 và 18 cho 3. 3 rút gọn thành 1 và 18 rút gọn thành 6. 2 1 bằng 2, do đó chỉ tính 2 × 6 = 12. 3 39 226 13

26 không chia hết cho 4 nhưng 4 và 26 cùng chia hết cho 2 để được

2 và 13.

3 × 13 = 39, do đó đáp số là 39 2 .

Đây là một phân số lớn hơn 1, do đó đổi phân số đó thành hỗn số.

Không có ước chung giữa các tử số và mẫu số, do đó chỉ cần nhân

5 với 4 và nhân 7 với 9.

20 63 không thể rút gọn hơn được nữa và đó là phân số nhỏ hơn 1.

7 chia 7 và 14 chia 7 lần lượt được 1 và 2. Không có ước chung nào khác.

Bây giờ, nhân 2 với 2 và nhân 1 với 15.

4 15 không thể rút gọn hơn được nữa và đó là phân số nhỏ hơn 1.

Write 2 1 5 as an improper fraction first. 5 divides into 5 and into 15 to give 1 and 3. 11 divides into 11 and into 22 to give 1 and 2. Now multiply 1 by 3 and multiply 1 by 2. 3 2 is an improper fraction, so change it to a mixed number.

Exercise 7.3

1 Copy and complete these multiplications. Cancel common factors before multiplying. 3 5 7 5 7 28285 3 8 3 8 72723

2 Copy and complete these multiplications. Cancel common factors before multiplying. Write each answer as a mixed number in its simplest form.

Đầu tiên, viết 2 1 5 dưới dạng phân số lớn hơn 1. 5 chia hết cho 5 và 15 chia hết cho 5 lần lượt được 1 và 3. 11 chia hết cho 11 và 22 chia hết cho 11 lần lượt được 1 và 2.

Bây giờ, nhân 1 với 3 và nhân 1 với 2. 3 2 là phân số lớn hơn 1, do đó đổi thành hỗn số.

Bài tập 7.3

1 Chép lại và hoàn thành những phép tính sau. Rút gọn ước chung trước khi nhân.

a 3 4 3 4 12123 b 5 7 5 7 28285 1 ×=×=×= 3 8 3 8 72723

2 Chép lại và hoàn thành những phép nhân sau. Rút gọn ước chung trước khi nhân. Viết các đáp số dưới dạng hỗn số tối giản. 3 8 3 4

Think like a mathematician

3 Work with a partner to answer this question. This is part of Sofia’s homework.

Question Work out 16 × 11 24 Answer × 11 24 164 4 × 11 6 44

Read what Sofia says:

I don’t understand why my answer of 72 6 wasn’t in its lowest terms. I cancelled common factors before multiplying but my answer could be cancelled further to 71 3

a Look at Sofia’s solution. Discuss why she had to cancel her answer at the end, even though she had cancelled common factors before she multiplied.

b Write a solution for Sofia where she would not have to cancel her answer at the end.

c What words are missing from this general statement? When you cancel common factors before multiplying, if you cancel using the ……………………….., your answer will always be in its simplest form.

d Discuss your answers to parts a, b and c with other learners in your class.

4 Work out these multiplications. Cancel common factors before multiplying. 7 11 132 180 1 12 30 9 14 35

5 Work out these multiplications. Cancel common factors before multiplying. Write each answer in its lowest terms. Two of them have been started for you. 6 b 3 8 5 6 × c 8 9 3 13 × 9 20 2 5 15 16

6 This is part of Razi’s homework. Razi works out the answer to the question by cancelling common factors before multiplying. He checks his answer is correct by cancelling common factors after multiplying.

Câu hỏi Tính 16 × 11 24 Lời giải 16 × 11 24 = 164 × 11 246 = 4 × 11 6 = 44 6 = 7 2 6 = 7 1 3

Tớ không hiểu tại sao đáp số 72 6không phải dạng tối giản. Tớ đã rút gọn ước chung trước khi nhân nhưng đáp số có thể rút gọn tiếp thành 71 3 .

a Quan sát lời giải của Sofia. Thảo luận tại sao bạn ấy phải rút gọn đáp số ở bước cuối cùng mặc dù bạn ấy đã rút gọn ước chung trước khi nhân.

b Viết lời giải cho Sofia sao cho bạn ấy không cần phải rút gọn đáp số ở bước cuối cùng.

c Từ nào còn thiếu trong phát biểu tổng quát sau? Khi rút gọn ước chung trước khi nhân, nếu ta rút gọn bằng cách sử dụng ……………………….., đáp số sẽ luôn luôn ở dạng tối giản.

d Thảo luận câu trả lời của em trong các phần a, b và c với các bạn khác trong lớp. Đọc phát biểu của Sofia:

Question

I eat 1 4 of a pizza. My brother eats 2 3 of what is left. What fraction of the pizza does my brother eat? Answer

3 4 is left, so 3 4 × 2 3 = 31 42 × 21 31 = 1 2 × 1 1 = 1 2

Check

3 4 × 2 3 = 61 122 = 1 2

Use Razi’s method to work out and check the answers to these questions.

a The guests at a party eat 5 8 of a cake. Sam eats 1 3 of what is left. What fraction of the cake does Sam eat?

b The guests at a party eat 7 10 of the rolls. Ed eats 5 6 of what is left. What fraction of the rolls does Ed eat?

7 Lewis uses this formula to work out the distance, in kilometres, his car will travel when he knows the average speed, in kilometres per hour, and the time in hours.

distance = average speed × time

Lewis thinks that if he drives for 50 minutes at an average speed of 220 kilometres per hour he will travel more than 180 km. Is Lewis correct? Explain your answer. Show all your working.

8 This is part of Mia’s classwork.

Question

Work out 21 2 × 2 4 15

Estimate 21 2 × 2 = 5

Tip

Start by changing 50 minutes into a fraction of an hour, so you can use this fraction in the formula.

Câu hỏi

Tớ ăn 1 4 cái bánh pizza. Anh trai tớ ăn 2 3 phần còn lại. Hỏi anh trai tớ đã ăn bao nhiêu phần của cái bánh pizza?

Lời giải

3 4 là phần còn lại, do đó 3 4 × 2 3 = 31 42 × 21 31 = 1 2 × 1 1 = 1 2

Kiểm tra

3 4 × 2 3 = 61 122 = 1 2

Sử dụng phương pháp của Razi để tính và kiểm tra đáp số của những câu hỏi sau.

a Các vị khách trong một bữa tiệc ăn 5 8 cái bánh. Sam ăn 1 3 phần còn lại. Hỏi Sam đã ăn bao nhiêu phần của cái bánh?

b Các vị khách trong một bữa tiệc ăn 7 10 số bánh mì. Ed ăn 5 6 phần còn lại. Hỏi Ed đã ăn bao nhiêu phần của số bánh mì?

7 Lewis sử dụng công thức sau để tính quãng đường (ki-lô-mét) mà ô tô của anh ấy di chuyển khi biết vận tốc trung bình (ki-lô-mét trên giờ) và thời gian (giờ).

quãng đường = vận tốc trung bình × thời gian

Lewis nghĩ rằng nếu anh ấy lái xe 50 phút với vận tốc trung bình 220 ki-lô-mét trên giờ, thì anh ấy sẽ di chuyển được hơn 180 km. Suy nghĩ của Lewis có đúng không? Giải thích câu trả lời của em. Trình bày toàn bộ lời giải của em.

8 Dưới đây là một phần bài làm trên lớp của Mia.

Câu hỏi

Tính 2 1 2 × 2 4 15

Ước lượng 2 1 2 × 2 = 5

Mách nhỏ

Bắt đầu bằng cách đổi 50 phút thành phân số của một giờ, để em có thể sử dụng phân số đó trong công thức.

Answer

1 Change to improper fractions: 5 2 × 34 15

2 Cancel common factors: 51 21 × 3417 153

3 Multiply: 1 1 × 17 3 = 17 3

4 Change to a mixed number: 17 3 = 5 2 3

5 Check with estimate: 5 2 3 ≈ 5 

Mia’s method to estimate the answer is to round one of the fractions to the nearest half and to round the other fraction to the nearest whole number.

Use Mia’s method to estimate and to work out these multiplications. Write each answer as a mixed number in its simplest form.

Think like a mathematician

9 Work with a partner to answer this question.

a Read what Marcus says.

If I multiply any positive number by a proper fraction, the answer will always be smaller than the original number.

Use specialising to show that Marcus is correct.

b Use specialising to complete these general statements.

i When you multiply any positive number by an improper fraction, the answer will always be …….. than the original number.

ii When you multiply any positive number by a mixed number, the answer will always be …….. than the original number.

c Discuss your answers to parts a and b with other learners in your class.

Tip You can specialise by testing examples such as 81 2× , 41 2 2 3 × , 5 9 3 10 × , etc.

Sử dụng phương pháp cụ thể hoá để chỉ ra rằng Marcus đúng.

b Sử dụng phương pháp cụ thể hoá để hoàn thành những phát biểu tổng quát sau.

i Khi em nhân bất kì số dương nào với một phân số lớn hơn 1, đáp số sẽ luôn ………. hơn số ban đầu.

ii Khi em nhân bất kì số dương nào với một hỗn số, đáp số sẽ luôn ………. hơn số ban đầu.

c Thảo luận đáp án của em trong các phần a và b với những bạn khác trong lớp.

Mách nhỏ

Em có thể cụ thể hoá bằng cách kiểm tra các ví dụ như 81 2× , 41 2 2 3 × , 5 9 3 10 × , v.v.

10 Work out these calculations. Before you do each calculation, write down the answer should be bigger or smaller than the first number in the calculation.

11 calculation

a Work out the answers to the calculations.

b Sort the cards into groups.

Describe the characteristics of the groups you have chosen.

c Sort the cards again but this time into different groups.

Describe the characteristics of the new groups you have chosen.

Mách nhỏ

“Mô tả đặc trưng của các nhóm” cũng tương tự như giải thích lí do tại sao em nhóm các phép tính đó lại với nhau.

c Sắp xếp lại các thẻ lại, nhưng lần này chia nhóm kiểu khác.

Mô tả đặc trưng của các nhóm mới em vừa chọn.

You already know how to divide an integer by a fraction and also a fraction by a fraction. In both cases, you turn the fraction you are dividing by upside down, and then multiply instead. This is called multiplying by the reciprocal of the fraction. Just as you did in Section 7.3, you can cancel common factors before you multiply, to make the calculations easier. Dividing fractions

Start by turning the fraction you are dividing by upside down and multiplying.

2 divides into 2 and into 18, so the 2 cancels to 1 and the 18 cancels to 9.

3 1 is the same as 3, so work out 9 × 3.

Start by turning the fraction you are dividing by upside down and multiplying.

There are no common factors to cancel, so multiply 26 by 4. Change 104 3 to a mixed number.

Start by turning 5 21 upside down and multiplying.

7 divides into 7 and into 21, so the 7 cancels to 1 and the 21 cancels to 3.

Multiply 1 by 3 and multiply 1 by 5. The answer is a proper fraction, so leave it as it is.

Em đã biết cách chia một số nguyên cho một phân số và chia một phân số cho một phân số. Trong cả hai trường hợp, ta đảo ngược phân số chia, sau đó thực hiện phép nhân thay vì phép chia. Phương pháp này được gọi là nhân với nghịch đảo của phân số. Tương tự như cách em đã làm trong Phần 7.3, em có thể rút gọn ước chung trước khi nhân để biến đổi các phép tính trở nên dễ dàng hơn. phần nghịch phân chia và thực hiện phép nhân. và 18 chia hết cho 2, do đó rút gọn 2 thành 1 và 18 thành 9. 1 bằng 3, do đó tính 9 × đầu bằng cách lấy nghịch đảo phân số chia và thực hiện phép nhân.

Không có ước chung để rút gọn, do đó nhân 26 với 4.

Đổi 104 3 sang hỗn số. và thực phép do đó rút gọn thành và 21 rút gọn thành với Đáp phân do đó

1 complete these divisions. each its simplest a mixed number complete these a mixed number by changing the mixed numbers into improper upside down and multiply. Cancel any common factors. multiply mixed

4 Write these cards in order of answer size, starting with the smallest.

5 This is part of Jake’s homework. out 2 ÷

1 to improper Invert Cancel common

Jake’s method to estimate the answer is to round each fraction to the nearest whole number. Use Jake’s method to estimate and work out these divisions.

Write each answer in its simplest form and as a mixed number where appropriate.

4 Viết những thẻ sau theo thứ tự đáp số từ nhỏ đến lớn.

A 25 31 5 8 ÷ B 8 15 12 25 ÷ C 9 28 15 42 ÷ 6 7 9 10 ÷

5 Dưới đây là một phần bài tập về nhà của Jake.

Câu hỏi 2 1 2 ÷ 3 4 7 Ước lượng

3 ÷ 4 = 3 4 Lời giải

1 Đổi thành phân số lớn hơn 1: 5 2 ÷ 25 7

2 Lấy nghịch đảo và nhân: 5 2 × 7 25

3 Rút gọn ước chung: 5 1 2 × 7 25

4 Nhân: 1 2 × 7 5 = 7 10

5 Kiểm tra với ước lượng:

Jake ước lượng đáp số bằng phương pháp làm tròn mỗi phân số đến hàng đơn vị. Sử dụng phương pháp của Jake để ước lượng và tính những phép chia sau. các đáp số dưới dạng tối giản và hỗn số khi thích hợp. 45 1 8 1 6

Think like a mathematician

6 Work with a partner to answer this question.

a Read what Zara says.

If I divide any positive number by a proper fraction, the answer will always be greater than the original number.

Use specialising to show that Zara is correct.

b Use specialising to complete these general statements.

Tip can specialise by testing examples such as 31 2 ÷ , 1 1 2 2 3 , 5 8 1 6 etc.

i When you divide any positive number by an improper fraction, the answer will always be …….. than the original number.

ii When you divide any positive number by a mixed number, the answer will always be …….. than the original number.

c Discuss your answers to parts a and b with other learners in your class.

7 Work out these calculations. Before you do each calculation, write down if the answer to the division should be bigger or smaller than the first number in the calculation. a 7 3 4 ÷ b 41 2 5 1 10 ÷ c 3 2 3 7 4 ÷

Think like a mathematician

8 Work with a partner to answer this question. Arun makes this conjecture.

If I divide a mixed number by a different mixed number, my answer will always be a mixed number.

Do you think Arun’s conjecture is true? Show working to support your decision.

6 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời câu hỏi sau.

a Đọc phát biểu của Zara. Nếu chia bất kì số dương nào cho một phân số nhỏ hơn 1, thì đáp số sẽ luôn lớn hơn số ban đầu.

Sử dụng phương pháp cụ thể hoá để chỉ ra rằng Zara đúng.

7 Thực hiện những phép tính sau. Trước khi em thực hiện mỗi phép tính, hãy viết ra trước xem đáp số của phép chia sẽ lớn hơn hay nhỏ hơn số đầu tiên trong phép tính. duy như một nhà Toán học

b Sử dụng phương pháp cụ thể hoá để hoàn thành những phát biểu tổng quát sau.

i Khi chia bất kì số dương nào cho một phân số lớn hơn 1, đáp số sẽ luôn …….. hơn số ban đầu.

ii Khi chia bất kì số dương nào cho một hỗn số, đáp số sẽ luôn …….. hơn số ban đầu.

c Thảo luận đáp án của phần a và b với những bạn trong lớp. tớ chia một hỗn

9 This is part of Helen’s homework. out

Helen uses inverse operations to check her answer is correct.

Work out the answers to these divisions. Use Helen’s method to check your answers are correct. The circumference of a circle is 14 1 7 cm. Sofia makes this conjecture. Without actually calculating the answer, I estimate the diameter of the circle to be just under 5 cm. Explain how Sofia estimated this value for the diameter. Show that Sofia’s estimate is a good estimate of the accurate answer. = 22

9 Dưới đây là một phần bài tập về nhà của Helen. hỏi sử dụng các phép tính ngược để kiểm tra đáp số của bạn ấy. đáp số của những phép chia sau. dụng phương pháp của Helen để kiểm tra các đáp số của Một ước lượng kính của

11 Work out

12 Sebastian uses this formula to work out the average speed of his car, in kilometres per hour, when he knows the distance, in kilometres, and the time in hours. average speed = distance time

Sebastian travels 115 5 8 km in 1 1 4 hours. What is Sebastian’s average speed?

13 Which is greater: 21 2 4 5 34 2 3 5 6 12 15 ? Show your working. checklist

When you are calculating using fractions and decimals, you can often make a calculation easier by using different strategies. This section will help you to practise the skills you need to choose the best strategy to use. You will be able to do some of the calculations mentally. For other calculations you will need to write your working. Whatever calculation you do, you must remember to use the correct order of operations.

11 Tính a 11 1 3 3 5 ()() ÷ 2 5 3 10 7 15 + ()÷ 5 11 3 3 7 5 14

12 Sebastian sử dụng công thức sau để tính vận tốc trung bình (ki-lô-mét trên giờ) cho xe ô tô của anh ấy khi biết quãng đường (ki-lô-mét) và thời gian (giờ).

vậntốctrungbình=quãngđường thờigian

Sebastian di chuyển 115 5 8 km trong 1 1 4 giờ. Hỏi vận tốc trung bình của Sebastian là bao nhiêu?

13 Phép tính nào có đáp số lớn hơn 21 2 4 5 34 15 −÷() hay 2 3 5 6 1 2 2 15()+÷ ? Trình bày bài làm của em.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể rút gọn ước chung trước khi chia phân số.

Em có thể ước lượng đáp số của các phép tính.

Trong phần này, em sẽ…

• rút gọn các phép tính chứa số thập phân và phân số.

Khi tính toán bằng cách sử dụng phân số và số thập phân, em có thể thường xuyên biến đổi phép tính dễ dàng hơn bằng nhiều chiến lược khác nhau. Phần này sẽ giúp em thực hành các kĩ năng cần thiết giúp chọn chiến lược tốt nhất để sử dụng. Em sẽ có thể thực hiện một số phép tính nhẩm. Với những phép tính khác, em sẽ cần viết ra bài làm của mình. Dù thực hiện bất kì phép tính nào, em hãy nhớ sử dụng đúng thứ tự thực hiện phép tính.

Ví dụ minh hoạ 7.5

Tính 1 4 2752 2 ++ , b 1,5×1,5×16 c 0,32×52

Từ khoá chiến lược

Brackets first: you can think of 1 4 as 0.25 or you can think of 2.75 as 2 3 4 . The total is 3. Indices second, then finally the addition. 1.5 as 3 2 so you can cancel the 2s into the 16. Multiply the fractions, then divide the 4 into the 16.

The answer is now easy to calculate: 9 1 9= and 9 × 4 = 36

Indices first: 52 = 25. Write 0.32 as 32 100 because you know 25 divides into 100 exactly 4 times.

The answer is now easy to calculate, 32 ÷ 4 = 8

Exercise 7.5

1 Work calculations. working has been shown to help

2

3 been shown to help

Nhân các phân số với nhau, sau đó chia 16 cho 4. 9436 Lúc này, ta dễ dàng tính đáp số hơn: 9 1 9= và 9 × 4 = 36

c 32 100 32 100 32 4 2525 8 4 1 ×=×

Tính số mũ trước: 52 = 25. Viết 0,32 thành 32 100 vì em biết 100 chia 25 bằng đúng 4 lần.

Lúc này, ta dễ dàng tính đáp số hơn: 32 ÷ 4 = 8

4 Work out these calculations. Use the same strategies as in Question 3.

a 153524 ..×× b 2.25 ××1312 2 c 3.75 × 28

5 Akeno and Dae use different methods to work out the volume of this cuboid. 2.5 cm 2.5 cm 12 cm

This is what they write.

Akeno

Volume = 2.5 × 2.5 × 12 = 5 2 × 5 2 × 12 = 25 4 1 × 123 = 25 × 3 = 75cm 3

a Critique their methods.

Volume = 2.5 × 2.5 × 12

Dae

2.5 × 12 = 2 × 12 + 1 2 × 12 = 24 + 6 = 30

2.5 × 30 = 2 × 30 + 1 2 × 30 = 60 + 15= 75cm 3

b Whose method do you prefer? Explain why.

c Whose method would be easier to use when, instead of 12 cm, the length of the cuboid is i 14 cm ii 15 cm? Explain your answers.

6 Work out these calculations. Some working has been shown to help you.

a

7 Work out these calculations. Use the same strategies as in Question 6.

a × b × c 032853 . ×

4 Thực hiện những phép tính sau. Sử dụng chiến lược giống trong Câu hỏi 3.

a 153524 ,,×× b 2,25 ××1312 2 c 3,75 × 28

5 Akeno và Dae dùng những cách khác nhau để tính thể tích của hình hộp chữ nhật này.

2,5 cm 2,5 cm 12 cm

Đây là lời giải của các bạn.

Akeno

Thể tích = 2,5 × 2,5 × 12 = 5 2 × 5 2 × 12 = 25 4 1 × 123 = 25 × 3 = 75cm 3

Dae Thể tích = 2,5 × 2,5 × 12

2,5 × 12 = 2 × 12 + 1 2 × 12 = 24 + 6 = 30 2,5 × 30 = 2 × 30 + 1 2 × 30 = 60 + 15= 75cm 3

a Phản biện các phương pháp của hai bạn đó.

b Em thích phương pháp của bạn nào hơn? Giải thích tại sao.

c Phương pháp của bạn nào sẽ dễ sử dụng hơn khi, thay vì 12 cm, chiều dài của hình hộp chữ nhật là i 14 cm ii 15 cm? Giải thích cách em tính ra đáp số.

6 Thực hiện những phép tính sau. Một số bước giải đã được hoàn thành sẵn cho em.

a 02

c

7 Thực hiện những phép tính sau. Sử dụng chiến lược giống trong Câu hỏi 6.

a c 0,328 × 53

8 The diagram shows a path.

The length of the path is 3.2 m.

The width of the path is 5 8 m.

What is the area of the path? 3.2m 5 8 m

Think like a mathematician

9 Work with a partner to answer these questions.

a What strategy could you use to work out 02122 3 × and 075224 9 × ?

b Decide if it is best to write each answer as a decimal or a fraction.

c Discuss your strategies with other learners in your class. Critique and improve on these strategies, and decide on the best strategy.

d Use the best strategy to work out 08721 2 ×

10 The area of this triangle is 1 1 20 m2. Work out the length of the triangle.

Think like a mathematician

11 Work with a partner to answer these questions.

a What strategy could you use to work out 22551 .2 + and 101225 . ?

b Decide if it is best to write each answer as a decimal or a fraction.

c Discuss your strategies with other learners in your class.

Critique and improve on these strategies, and decide on the best strategy.

12 Hiromi uses this formula in his science lesson. Kmv = 1 2 2

b This is how Hiromi rearranges the formula to make v the subject: 1 2 mv 2 = K ⇒ mv 2 = 2K ⇒ mv = √2K ⇒ v = √2K m length 0.9m

d Use the best strategy to work out 42517 9 × Tip

a Use the formula to work out the value of K when m = 2 1 4 and v = 1 1 3

Remember: 1 2 2mv means 1 2 2××mv

c lược tốt nhất.

d Sử dụng chiến lược tốt nhất để tính 08721 ,2 ×

10 Hình tam giác bên

Tư duy như một nhà Toán học

11 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời những câu hỏi sau.

a Em có thể sử dụng chiến lược gì để tính 22551 ,2 + và 101225 , ?

b Xác định xem nên viết các đáp số dưới dạng số thập phân hay phân số.

c Thảo luận chiến lược của em với các bạn khác trong lớp. Phản biện và cải tiến những chiến lược đó, và xác định chiến lược tốt nhất.

d Sử dụng chiến lược tốt nhất để tính 42517 ,9 × Mách nhỏ Ghi nhớ: 1 2 2mv nghĩa là 1 2 2××mv

Use your values of K, m and v from part a to show that Hiromi has rearranged the formula incorrectly.

c Rearrange the formula correctly to make v the subject.

d Use your formula in part c to work out the value of v when K = 18 and m = 25. Check your answer is correct by substituting m = 25 and your value for v into the original formula.

Activity 7.5

Work with a partner for this activity. Here are four expression cards and four cards with different values for x.

A 051

Take it in turns to give your partner one expression card and one x-value card. Ask them to work out the value of the expression using the x-value card. While they are working it out, work out the answer yourself. Then compare your answers. Discuss any mistakes that have been made. Do this twice each.

In this exercise, you have used different strategies to work out calculations involving fractions and decimals.

Look back at Worked example 7.5 and the types of question shown in parts a, b and c.

a Which type of question have you found i the easiest ii the most difficult to work out?

b Which types of question are you confident in working out?

c Which types of question do you need more practice in working out?

Summary checklist

I can simplify calculations containing decimals and fractions.

Sử dụng giá trị của K, m và v từ phần a để chỉ ra rằng Hiromi đã sắp xếp lại công thức không đúng.

c Sắp xếp lại công thức đúng để biến v thành chủ thể.

d Sử dụng công thức của em trong phần c để tính giá trị của v biết K = 18 và m = 25.

Kiểm tra đáp số của em bằng cách thay m = 25 và giá trị v vào công thức ban đầu.

Làm việc với một bạn cùng nhóm trong hoạt động sau.

Dưới đây là bốn thẻ biểu thức và bốn thẻ giá trị x khác nhau.

A 051 2 , (+) x B 158, x ×× C 101 2 + x D 1096 () , x

i x = 1 2 ii x = 41 2 iii x = 121 2 iv x = 241

Lần lượt đưa cho bạn cùng nhóm một thẻ biểu thức và một thẻ giá trị x.

Yêu cầu các bạn tính giá trị của biểu thức bằng thẻ giá trị x.

Trong lúc các bạn đang thực hiện phép tính, hãy tính ra đáp số của em. Sau đó, so sánh đáp số với nhau.

Thảo luận các lỗi sai đã mắc phải.

Mỗi bạn thực hiện hai lượt.

Trong bài tập này, em đã sử dụng những chiến lược khác nhau để tính các phép tính chứa phân số và số thập phân.

Quan sát lại Ví dụ minh hoạ 7.5 và các dạng câu hỏi trình bày trong phần a, b và c.

a Em cảm thấy dạng câu hỏi nào

i dễ nhất

ii khó thực hiện nhất?

b Em tự tin thực hiện dạng câu hỏi nào?

c Em cần thực hành thêm dạng câu hỏi nào?

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể rút gọn các phép tính chứa số thập phân và phân số.

Project 3

Selling apples

Sofia picked 93 apples from the trees in her orchard.

• On the first day, she ate three apples and then sold 4 15 of the apples that were left.

• On the second day, she ate three apples and then sold 4 9 of the apples that were left.

• On the third day, she ate three apples and then sold 1 8 of the apples that were left.

• On the fourth day, she ate three apples and then sold 2 5 of the apples that were left.

• On the fifth day, she ate three apples and then sold 3 4 of the apples that were left.

How many apples did Sofia have left at the end of the fifth day?

Zara picked 78 apples. Every morning, she ate three apples and then sold as many apples as she could. Zara recorded the fraction she sold each day. At the end of the sixth day, she only had three apples left. Here are the fractions she sold each day. Unfortunately, they are mixed up. Can you work out which is the correct fraction for each of the six days? 1 4 1 4 4 15 1 2 2 9 2 5

Arun picked almost 100 apples, and they lasted for more than two weeks!

Each day, he started by eating three apples. Then he sold a fraction of the apples left. The fraction always had a denominator that was smaller than the number of apples.

• Can you suggest what fraction Arun might have sold each day?

• What is the largest number of days for which the apples could have lasted?

Dự án 3

Bán táo

Sofia hái 93 quả táo từ các cây trong vườn.

• Ngày đầu tiên, bạn ấy ăn ba quả táo và sau đó bán 4 15 số táo còn lại.

• Ngày thứ hai, bạn ấy ăn ba quả táo và sau đó bán 4 9 số táo còn lại.

• Ngày thứ ba, bạn ấy ăn ba quả táo và sau đó bán 1 8 số táo còn lại.

• Ngày thứ tư, bạn ấy ăn ba quả táo và sau đó bán 2 5 số táo còn lại.

• Ngày thứ năm, bạn ấy ăn ba quả táo và sau đó bán 3 4 số táo còn lại.

Hỏi Sofia còn lại bao nhiêu quả táo khi kết thúc ngày thứ năm?

Zara hái 78 quả táo.

Mỗi sáng, bạn ấy ăn ba quả táo và sau đó bán nhiều táo nhất có thể.

Zara ghi lại phân số bạn ấy bán mỗi ngày. Cuối ngày thứ sáu, bạn ấy chỉ còn lại ba quả táo.

Dưới đây là những phân số bạn ấy bán mỗi ngày. Không may, những phân số này đã bị sắp xếp lẫn lộn. Em có thể tính phân số đúng từng ngày trong sáu ngày đó không?

1 4 1 4 4 15 1 2 2 9 2 5

Arun hái gần 100 quả táo, và số táo đó vẫn còn sau hơn hai tuần! Mỗi ngày, bạn ấy bắt đầu bằng việc ăn ba quả táo. Sau đó bạn ấy bán một phân số của số táo còn lại. Phân số luôn có mẫu số nhỏ hơn số táo.

• Em có thể nêu phân số Arun có thể đã bán mỗi ngày không?

• Trong tối đa bao nhiêu ngày thì số táo trên sẽ không còn nữa?