9781009317627book_p001-391

University Printing House, Cambridge CB2 8BS, United Kingdom

One Liberty Plaza, 20th Floor, New York, NY 10006, USA

477 Williamstown Road, Port Melbourne, VIC 3207, Australia 314–321, 3rd Floor, Plot 3, Splendor Forum, Jasola District Centre, New Delhi – 110025, India 103 Penang Road, #05-06/07, Visioncrest Commercial, Singapore 238467

Cambridge University Press is part of the University of Cambridge.

It furthers the University’s mission by disseminating knowledge in the pursuit of education, learning and research at the highest international levels of excellence. www.cambridge.org

© Cambridge University Press 2022

This publication is in copyright. Subject to statutory exception and to the provisions of relevant collective licensing agreements, no reproduction of any part may take place without the written permission of Cambridge University Press.

First edition 2022

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

Printed in Vietnam by FAHASA Printing House.

A catalogue record for this publication is available from the British Library ISBN 978-1-009-31762-7 Paperback with Digital Access (1 Year) ISBN 555-5-559-50393-9 Digital Learner's Book (1 Year)

Cambridge University Press has no responsibility for the persistence or accuracy of URLs for external or third-party internet websites referred to in this publication, and does not guarantee that any content on such websites is, or will remain, accurate or appropriate. Information regarding prices, travel timetables, and other factual information given in this work is correct at the time of first printing but Cambridge University Press does not guarantee the accuracy of such information thereafter.

Projects and their accompanying teacher guidance have been written by the NRICH team. NRICH is an innovative collaboration between the Faculties of Mathematics and Education at the University of Cambridge, which focuses on problem solving and on creating opportunities for students to learn mathematics through exploration and discussion https://nrich.maths.org

Welcome to Cambridge Lower Secondary Mathematics Stage 8

The Cambridge Lower Secondary Mathematics course covers the Cambridge Lower Secondary Mathematics curriculum framework and is divided into three stages: 7, 8 and 9.

During your course, you will learn a lot of facts, information and techniques. You will start to think like a mathematician. This book covers all you need to know for Stage 8.

The curriculum is presented in four content areas:

• Number

• Algebra

• Geometry and measures

• Statistics and probability.

This book has 16 units, each related to one of the four content areas. However, there are no clear dividing lines between these areas of mathematics; skills learned in one unit are often used in other units. The book encourages you to understand the concepts that you need to learn, and gives opportunity for you to practise the necessary skills.

Many of the questions and activities are marked with an icon that indicates that they are designed to develop certain thinking and working mathematically skills.

There are eight characteristics that you will develop and apply throughout the course:

• Specialising – testing ideas against specific criteria;

• Generalising – recognising wider patterns;

• Conjecturing – forming questions or ideas about mathematics;

• Convincing – presenting evidence to justify or challenge a mathematical idea;

• Characterising – identifying and describing properties of mathematical objects;

• Classifying – organising mathematical objects into groups;

• Critiquing – comparing and evaluating ideas for solutions;

• Improving – Refining your mathematical ideas to reach more effective approaches or solutions.

Your teacher can help you develop these skills, and you will also develop your ability to apply these different strategies. We hope you will find your learning interesting and enjoyable.

Greg Byrd, Lynn Byrd and Chris Pearce

Chào mừng các em học sinh đến với Giai đoạn 8 của Chương trình Cambridge

Toán học bậc Trung học cơ sở Giáo trình Cambridge Toán học bậc Trung học cơ sở bao gồm khung chương trình giảng dạy của Chương trình Cambridge Toán học bậc Trung học cơ sở và được chia thành ba giai đoạn: 7, 8 và 9.

Xuyên suốt chương trình, các em sẽ học được rất nhiều dữ kiện, thông tin và phương pháp. Các em sẽ bắt đầu tư duy như một nhà Toán học.

Cuốn sách này sẽ bao gồm tất cả những kiến thức các em cần biết cho Giai đoạn 8. Chương trình học được trình bày theo bốn lĩnh vực nội dung:

• Số học

• Đại số

• Hình học và đo lường

• Thống kê và xác xuất.

Cuốn sách này gồm 16 học phần, mỗi học phần liên quan đến một trong bốn lĩnh vực nội dung kể trên.

Tuy nhiên, không có sự phân chia ranh giới rõ ràng giữa các lĩnh vựcToán học này; các kĩ năng được học trong mỗi học phần cũng thường được sử dụng trong các học phần khác.

Cuốn sách này khuyến khích các em hiểu rõ các khái niệm mà các em cần phải học và tạo cho các em cơ hội để thực hành các kĩ năng cần thiết. Nhiều câu hỏi và hoạt động được đánh dấu bằng biểu tượng nhằm thể hiện rằng chúng được thiết kế để phát triển kĩ năng Tư duy và Làm việc theo Toán học cụ thể. Có tám đặc tính mà các em sẽ học và ứng dụng trong suốt chương trình học:

• Cụ thể hoá – thử nghiệm các ý tưởng dựa trên cáctiêu chí cụ thể;

• Khái quát hoá – nhận biết bao quát các quy luật hơn;

• Phỏng đoán – hình thành các câu hỏi hoặc ý tưởng về Toán học;

• Thuyết phục – trình bày bằng chứng để lí giải hoặc thử thách một ý tưởng Toán học;

• Đặc điểm hoá – xác định và mô tả các tính chất của các đối tượng Toán học;

• Phân loại – sắp xếp các đối tượng toán học thành các nhóm;

• Phản biện – so sánh và đánh giá các ý tưởng cho lời giải;

• Cải tiến – tinh chỉnh các ý tưởng Toán học của mình để có phương pháp tiếp cận hoặc lời giải hiệu quả hơn. Giáo viên có thể giúp học sinh phát triển những kĩ năng này, và các em sẽ phát triển được khả năng ứng dụng những chiến lược khác nhau vào Toán học.

Chúng tôi hi vọng các em sẽ cảm thấy Toán học luôn hấp dẫn và thú vị.

Greg Byrd, Lynn Byrd và Chris Pearce

Page Unit

5 How to use this book

8–27 1 Integers

Strand of mathematics

1.1 Factors, multiples and primes

1.2 Multiplying and dividing integers

1.3 Square roots and cube roots

1.4 Indices Number

28–63 2 Expressions, formulae and equations

2.1 Constructing expressions

2.2 Using expressions and formulae

2.3 Expanding brackets

2.4 Factorising

2.5 Constructing and solving equations

2.6 Inequalities

64 Project 1 Algebra chains

65–78 3 Place value and rounding

Algebra

3.1 Multiplying and dividing by 0.1 and 0.01

3.2 Rounding Number

79–102 4 Decimals

4.1 Ordering decimals

4.2 Multiplying decimals

4.3 Dividing by decimals

4.4 Making decimal calculations easier Number 103 Project 2 Diamond decimals

104–137 5 Fractions

5.1 Fractions and recurring decimals

5.2 Ordering fractions

5.3 Subtracting mixed numbers

5.4 Multiplying an integer by a mixed number

5.5 Dividing an integer by a fraction

5.6 Making fraction calculations easier Number

138–158 6 Angles and constructions

6.1 Parallel lines

6.2 The exterior angle of a triangle 6.3 Constructions

7.1 Quadrilaterals and polygons

7.2 The circumference of a circle 7.3 3D shapes

185 Project 3 Quadrilateral tiling 186–196 8 Collecting data

Geometry and measure

Geometry and measure 159–184 7 Shapes and symmetry

8.1 Data collection

8.2 Sampling Statistics

Trang Học phần

5 Hướng dẫn sử dụng sách

8–27 1 Số nguyên

1.1 Ước, bội và số nguyên tố

1.2 Phép nhân và phép chia hai số nguyên

1.3 Căn bậc hai và căn bậc ba

1.4 Số mũ

28–63 2 Biểu thức, công thức và phương trình

2.1 Lập biểu thức

2.2 Sử dụng các biểu thức và công thức

2.3 Khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc

2.4 Phân tích biểu thức thành nhân tử

2.5 Lập và giải phương trình

2.6 Bất đẳng thức

64 Dự án 1 Chuỗi đại số

65–78 3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

3.1 Phép nhân và phép chia cho 0,1 và 0,01

3.2 Làm tròn số

79–102 4 Số thập phân

4.1 Sắp xếp các số thập phân theo thứ tự

4.2 Phép nhân số thập phân

4.3 Phép chia số thập phân

4.4 Tính nhanh với số thập phân

103 Dự án 2 Kim cương số thập phân

104–137 5 Phân số

5.1 Phân số và số thập phân vô hạn tuần hoàn

5.2 Sắp xếp các phân số theo thứ tự

5.3 Phép trừ hỗn số

5.4 Phép nhân số nguyên với hỗn số 5.5 Phép chia số nguyên cho phân số 5.6 Tính nhanh với phân số

138–158 6 Góc và cách dựng hình

6.1 Hai đường thẳng song song

6.2 Góc ngoài của tam giác 6.3 Cách dựng hình

159–184 7 Hình và tính đối xứng của hình

7.1 Tứ giác và đa giác

7.2 Chu vi hình tròn 7.3 Hình 3D

185 Dự án 3 Ốp gạch hình tứ giác

186–196 8 Thu thập dữ liệu

8.1 Thu thập dữ liệu

8.2 Phương pháp lấy mẫu

Mạch toán học

Số học

Đại số

Số học

Số học

Số học

Hình học và đo lường

Hình học và đo lường

Thống kê

How to use this book

How to use this book

In this book you will find lots of different features to help your learning.

Questions to find out what you know already.

What you will learn in the unit.

Important words to learn.

Step-by-step examples showing how to solve a problem.

Worked example 15.1a

These questions will help you develop your skills of thinking and working mathematically.

các góc so le đường cắt ngang các các góc

Xác suất để ngày mai trời nắng là 40%.

Xác suất để ngày mai trời không mưa là 95%.

Tính xác suất để ngày mai trời không nắng trời mưa.

Ví dụ minh hoạ 15.1a a b a Lời giải b

P (không nắng) = 1 – P (nắng) = 100% - 40% = 60%

P (mưa) = 1 – P (không mưa) = 100% - 95% = 5%

Quy luật của dãy số trên là gì?a 7 nhân với 2 rồi trừ đi 6A

Cho dãy số sau: 8, 10, 14, …

B C chia cho 2 rồi cộng với 6

Số hạng đầu tiên trong dãy số lớn hơn 50 là số nào?b trừ đi 3 rồi nhân với 2 Từ khoá

These investigations, to be carried out with a partner or in a group, will help develop skills of thinking and working mathematically.

Questions to help you think about how you learn.

This is what you have learned in the unit.

Questions that cover what you have learned in the unit.

At the end of several units, there is a project for you to carry out, using what you have learned. You might make something or solve a problem.

How

Những cuộc khảo sát được thực hiện theo cặp hoặc theo nhóm sẽ giúp các em phát triển các kĩ năng tư duy và làm việc theo Toán học.

Các câu hỏi giúp em tư duy về cách học tập.

Đây là những gì các em đã học được trong mỗi học phần.

Những câu hỏi bao quát những nội dung em đã học trong học phần.

2 a Sử dụng công thức K mg để tính giá trị của K khi m 12 và g 4 .

b Biến đổi công thức K mg để lập công thức thể hiện m c Sử dụng công thức trong phần b để tính giá trị của m khi K = 75 và g = 10.

3 Khai triển biểu thức: a x(x + 3) b 5y(7y 4w)

4 Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử: a 6x + 9 b 2y2 12y

5 Tìm giá trị của x và y trong hình sau. Đơn vị đo độ dài là xăng-ti-mét.

Ở cuối một số học phần, em sẽ thực hiện một dự án bằng cách cm × 5 cm.

Từ tờ giấy có kích thước là 12cm × 12 cm, em có thể tạo các hình hộp chữ nhật có thể tích khác đó cho 2 rồi cộng với 5.

Còn nhiều giấy giữa các hình chữ nhật được cắt ra. Chúng ta đáng lẽ có thể tạo ra một hình hộp chữ nhật với diện tích và thể tạo ra hình hộp có thể tích lớn nhất là bao nhiêu?

Acknowledgements

The authors and publishers acknowledge the following sources of copyright material and are grateful for the permissions granted. While every effort has been made, it has not always been possible to identify the sources of all the material used, or to trace all copyright holders. If any omissions are brought to our notice, we will be happy to include the appropriate acknowledgements on reprinting.

Thanks to the following for permission to reproduce images:

Cover Photo: ori-artiste/Getty Images PeskyMonkey/Getty Images; pressureUA/Getty Images; Andriy Onufriyenko/ Getty Images; Jonathan Kitchen/Getty Images; Witthaya Prasongsin/Getty Images; ilyast/Getty Images; Bob Langrish/Getty Images; Sean Gladwell/Getty Images; stilllifephotographer/Getty Images; Abstract Aerial Art/Getty Images; Zsschreiner/ Shutterstock; Leon Ritte/Shutterstock; Carl De Souza/Getty Images; krisanapong detraphiphat/Getty Images; ROBERT BROOK/SCIENCE PHOTO LIBRARY/ Getty Images; Roberto Machado Noa/Getty Images; Tetra Images/Getty Images; Wavebreakmedia/Getty Images; Yuji Sakai/Getty Images; Mina De La O/Getty Images; 661031668/Getty Images; Rizky Panuntun/Getty Images; Bim/Getty Images; Sean Gladwell/Getty Images; Cravetiger/Getty Images; Westend61/Getty Images; mammuth/ Getty Images; AtWaG/Getty Images; Nataliia Tymofieieva/Getty Images; Sir Francis Canker Photography/Getty Images; diego_cervo/Getty Images; Photolibrary/Getty Images; fotograzia/Getty Images; JESPER KLAUSEN/SCIENCE PHOTO LIBRARY/ Getty Images; Fernando Trabanco Fotografía/Getty Images; Dimitri Otis/Getty Images; Halfdark/Getty Images; Hollie Fernando/Getty Images; Berkah/Getty Images; traveler1116/Getty Images; Bill Ross/Getty Images CHRISTOPH BURGSTEDT/ SCIENCE PHOTO LIBRARY/Getty Images; Stanzi11/Getty Image; Peter Cade/ Getty Images; Adam Gault/Getty Images; Maskot/Getty Images; fstop123/Getty Images; Arthur Tilley/Getty Images; Adam Smigielski/Getty Images; SAUL LOEB/ Getty Images; MirageC/Getty Images; Boris SV/Getty Images; FotografiaBasica/Getty Images; Xuanyu Han/Getty Images; Geoff Brightling/Getty Images; Ilona Nagy/Getty Images; GeorgiosArt/Getty Images; Paula Daniëlse/Getty Images; Peter Zelei Images/ Getty Images; Universal History Archive /Getty Images; Kenny Williamson/Getty Images; Andriy Onufriyenko/Getty Images; ShaneMyersPhoto/Getty Images; SEAN GLADWELL/Getty Images; Peter Dazeley/Getty Images.

Lời mở đầu

Lời cảm ơn

Nhóm tác giả và nhà xuất bản xin gửi lời cảm ơn đến các nguồn tài liệu có bản quyền dưới đây và chúng tôi rất biết ơn vì đã nhận được sự cho phép từ các đơn vị này. Tuy đã nỗ lực rất nhiều, nhưng chúng tôi không phải lúc nào cũng xác định được toàn bộ các nguồn tài liệu đã sử dụng hoặc tìm ra tất cả những cá nhân/tổ chức nắm giữ bản quyền. Nếu được thông báo về bất kì thiếu sót nào, chúng tôi rất sẵn lòng gửi đến họ lời cảm ơn trong lần in tiếp theo.

Xin gửi lời cảm ơn tới các đơn vị, cá nhân sau đây đã cho phép chúng tôi sử dụng hình ảnh: Ảnh bìa được thiết kế bởi: ori-artiste/Getty Images PeskyMonkey/Getty Images; pressureUA/Getty Images; Andriy Onufriyenko/Getty Images; Jonathan Kitchen/Getty Images; Witthaya Prasongsin/Getty Images; ilyast/Getty Images; Bob Langrish/Getty Images; Sean Gladwell/Getty Images; stilllifephotographer/Getty Images; Abstract Aerial Art/Getty Images; Zsschreiner/Shutterstock; Leon Ritte/Shutterstock; Carl De Souza/Getty Images; krisanapong detraphiphat/Getty Images; ROBERT BROOK/ SCIENCE PHOTO LIBRARY/Getty Images; Roberto Machado Noa/Getty Images; Tetra Images/Getty Images; Wavebreakmedia/Getty Images; Yuji Sakai/Getty Images; Mina De La O/Getty Images; 661031668/Getty Images; Rizky Panuntun/Getty Images; Bim/Getty Images; Sean Gladwell/Getty Images; Cravetiger/Getty Images; Westend61/Getty Images; mammuth/Getty Images; AtWaG/Getty Images; Nataliia Tymofieieva/Getty Images; Sir Francis Canker Photography/Getty Images; diego_cervo/Getty Images; Photolibrary/Getty Images; fotograzia/Getty Images; JESPER KLAUSEN/SCIENCE PHOTO LIBRARY/ Getty Images; Fernando Trabanco Fotografía/Getty Images; Dimitri Otis/Getty Images; Halfdark/Getty Images; Hollie Fernando/Getty Images; Berkah/Getty Images; traveler1116/ Getty Images; Bill Ross/Getty Images CHRISTOPH BURGSTEDT/SCIENCE PHOTO LIBRARY/Getty Images; Stanzi11/Getty Image; Peter Cade/Getty Images; Adam Gault/ Getty Images; Maskot/Getty Images; fstop123/Getty Images; Arthur Tilley/Getty Images; Adam Smigielski/Getty Images; SAUL LOEB/Getty Images; MirageC/Getty Images; Boris SV/Getty Images; FotografiaBasica/Getty Images; Xuanyu Han/Getty Images; Geoff Brightling/Getty Images; Ilona Nagy/Getty Images; GeorgiosArt/Getty Images; Paula Daniëlse/Getty Images; Peter Zelei Images/Getty Images; Universal History Archive / Getty Images; Kenny Williamson/Getty Images; Andriy Onufriyenko/Getty Images; ShaneMyersPhoto/Getty Images; SEAN GLADWELL/Getty Images; Peter Dazeley/Getty Images.

Getting started

1

a Find all the prime numbers less than 20.

b Show that there are two prime numbers between 20 and 30.

2 a Find all the factors of 18.

b Find all the 2-digit multiples of 18.

c Find the highest common factor of 18 and 12.

d Find the lowest common multiple of 18 and 12.

3 Work out a -+63 b 63 c d e 810 +- f 59

Some examples of prime numbers are 7, 31, 83, 239 and 953. The number 39 is the product of two prime numbers (3 and 13). It is quite easy to find these two numbers. The number 2573 is also the product of two prime numbers (31 and 83). It is much harder to find the two numbers in this case. It is easy to multiply two prime numbers together using a calculator or a computer. −6÷3 −6×3

4 Write whether each of these numbers is a square number, a cube number or both. a 49 b 27 c 1000 d 64 e 121 f 225

5 Find a 100 b 1253 c 151222

Prime numbers have exactly two factors, 1 and the number itself.

It is much harder to carry out the inverse operation – that is, to find the two prime numbers that multiply to a given product. This fact is the basis of a system used to encode messages sent across the internet.

The RSA cryptosystem was invented by Ronald Rivest, Adi Shamir and Leonard Adleman in 1977. It uses two large prime numbers with about 150 digits each. These numbers are kept secret, but anybody can use their product, N, which has about 300 digits.

If someone sends their credit card number to a website, their computer does a calculation using N to encode their credit card number. The computer that receives the coded number does another calculation to decode it. Anyone who does not know the two factors of N will not be able to do this. Your credit card number is protected.

1 Số nguyên

Tìm hai số nguyên tố có tích là một số cho trước được gọi là phép toán ngược. Để thực hiện phép toán ngược này thì khó hơn nhiều. Phép toán này là cơ sở của một hệ thống được sử dụng để mã hoá các tin nhắn gửi qua Internet. Hệ thống mật mã RSA được Ronald Rivest, Adi Shamir và Leonard Adleman phát minh vào năm 1977. Hệ thống sử dụng hai số nguyên tố lớn mà mỗi số này có khoảng 150 chữ số. Hai số này được bảo mật, nhưng bất cứ ai cũng có thể sử dụng tích (N) của chúng – đây là một số có khoảng 300 chữ số.

Khi một người nhập số thẻ tín dụng của họ lên một trang web, máy vi tính sẽ thực hiện một phép tính sử dụng N để mã hoá số thẻ tín dụng đó. Máy vi tính nhận được số đã mã hoá sẽ thực hiện một phép tính khác để giải mã.

Bất cứ ai không biết hai ước của N sẽ không thể thực hiện được việc này. Do đó, số thẻ tín dụng của bạn được bảo mật.

1.1 Factors, multiples and primes

In this section will …

• write a positive integer as a product of prime factors

• use prime factors to find a highest common factor (HCF) and a lowest common multiple (LCM).

Any integer bigger than 1:

• is a prime number, or

• can be written as a product of prime numbers.

Example:

46 = 2 × 23 47 is prime 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 49 = 7 × 7 50 = 2 × 5 × 5

You can use a factor tree to write an integer as a product of its prime factors.

This is how to draw a factor tree for 120.

1 Write 120.

2 Draw branches to two numbers that have a product of 120. Do not use 1 as one of the numbers. Here we have chosen 12 and 10.

3 Do the same with 12 and 10. Here 12 = 3 × 4 and 10 = 2 × 5

Key words factor tree common factor (HCF) integer lowest common multiple (LCM) factor 120 1210 34 22 25 120 = 12×10

4 3, 2 and 5 are prime numbers, so circle them.

5 Draw two more branches from 4. 4 = 2 × 2. Circle the 2s.

6 Now all the end numbers are prime, so stop.

7 120 is the product of all the end numbers:

120 = 2×2×2×3×5 120 = 23×3×5 75 = 3×52

8 You can check that this is correct using a calculator. You can also write the result like this: 23 means 2 × 2 × 2 and the small 3 is an index Now check that You can use products of prime factors to find the HCF and LCM of two numbers.

1 Số nguyên

Trong phần này, em sẽ…

• phân tích một số nguyên dương ra thừa số nguyên tố

• sử dụng các thừa số nguyên tố để tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN).

Bất kì số nguyên nào lớn hơn 1:

• hoặc là một số nguyên tố

• hoặc có thể viết dưới dạng tích các thừa số nguyên tố.

Ví dụ: 46 = 2 × 23 47 là số nguyên tố 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 49 = 7 × 7 50 = 2 × 5 × 5 Em có thể sử dụng sơ đồ cây thừa số để viết một số nguyên dưới dạng tích các thừa số nguyên tố Dưới đây là cách vẽ một sơ đồ cây thừa số cho số 120.

1 Viết số 120.

2 Vẽ nhánh đến hai số có tích là 120. Không lấy thừa số là l. Ở đây chúng ta đã chọn hai số là 12 và 10.

3 Thực hiện tương tự với 12 và 10. Ta có 12 = 3 × 4 và 10 = 2 × 5

4 3, 2 và 5 là các số nguyên tố, nên ta khoanh tròn các số này.

5 Vẽ thêm hai nhánh từ số 4. 4 = 2 × 2. Khoanh tròn các số 2.

6 Bây giờ tất cả các số ở cuối đều là số nguyên tố, vì vậy ta dừng lại.

7 120 là tích của tất cả các số ở cuối:

8 Em có thể kiểm tra lại đáp số này với máy tính cầm tay.

Em cũng có thể viết kết quả như sau:

23 = 2 × 2 × 2 với 3 gọi là số mũ Bây giờ hãy kiểm có thể sử dụng tích các thừa số nguyên tố để tìm ƯCLN và BCNN của hai số.

Từ khoá đồ cây thừa số ước chung lớn nhất (ƯCLN) mũ số nguyên bội chung nhỏ nhất (BCNN) số nguyên tố 22 25= 12×10 = 2×2×2×3×5 = =

Worked example 1.1

a Find the LCM of 120 and 75.

b Find the HCF of 120 and 75. Answer

a Write 120 and 75 as products of their prime factors:

120 = 2×2×2×3 ×5

Look at the prime factors of both numbers.

For the LCM, use the larger frequency of each prime factor.

• 120 has three 2s and 75 has no 2s. The LCM must have three 2s.

• 120 has one 3 and 75 has one 3. The LCM must have one 3.

• 120 has one 5 and 75 has two 5s. The LCM must have two 5s.

The LCM is

2×2×2×3×5×5 = 23×3×52 = 8×3×25 = 600 75 = 3× 5 ×5

b For the HCF use the smaller frequency of each factor: there are no 2s in 75, and there is one 3 and one 5 in both numbers.

Multiply these factors. The HCF is 3 × 5 = 15

Exercise 1.1

Think like a mathematician

1 The factor tree for 120 in Section 1.1 started with 12 × 10.

a Draw a factor tree for 120 that starts with 6 × 20.

b Compare your answer to part a with a partner’s. Are your trees the same or different?

c Draw some different factor trees for 120. Can you say how many different trees are possible?

d Do all factor trees for 120 have the same end points? 120 206

2 a Complete this factor tree for 108.

b Draw a different factor tree for 108.

c Write 108 as a product of its prime factors.

d Compare your factor trees and your product of prime factors with a partner’s. Have you drawn the same trees or different ones? Are your trees correct? 2

Ví dụ minh hoạ 1.1

a Tìm BCNN của 120 và 75.

b Tìm ƯCLN của 120 và 75.

Lời giải

a Phân tích 120 và 75 thành các thừa số nguyên tố: Xem xét các thừa số nguyên tố của cả hai số. Để tìm BCNN, trong các thừa số nguyên tố chung và riêng, ta chọn số có số mũ lớn hơn

• Số 120 có ba số 2 và số 75 không có số 2 nào. BCNN phải có ba số 2.

• Số 120 có một số 3 và số 75 có một số 3. BCNN phải có một số 3.

• Số 120 có một số 5 và số 75 có hai số 5. BCNN phải có hai số 5. BCNN là

b Để tìm ƯCLN, trong các thừa số nguyên tố chung, ta chọn số có số mũ nhỏ hơn: 75 không có thừa số 2, cả hai số đều có thừa số 3 và 5. Nhân các thừa số này với nhau. ƯCLN là 3 × 5 = 15

Bài tập 1.1

Tư duy như một nhà Toán học

1 Sơ đồ cây thừa số cho số 120 trong Phần 1.1 bắt đầu với 12 × 10.

a Vẽ một sơ đồ cây thừa số cho số 120 bắt đầu với 6 × 20.

b So sánh đáp số của em ở phần a với một bạn trong lớp. Sơ đồ của các em giống nhau hay khác nhau?

c Vẽ một số sơ đồ cây thừa số khác cho số 120. Em có thể vẽ được bao nhiêu sơ đồ cây khác nhau?

2 a Hoàn thành sơ đồ cây thừa số cho số 108 ở hình bên.

d Có phải tất cả các sơ đồ cây thừa số cho số 120 đều có các số ở cuối giống nhau không? 120 206

b Vẽ một sơ đồ cây thừa số khác cho số 108.

c Phân tích số 108 ra thừa số nguyên tố.

d So sánh sơ đồ cây thừa số và tích các thừa số nguyên tố của em với bạn. Sơ đồ cây các em đã vẽ giống nhau hay khác nhau? Sơ đồ cây của các em có đúng không? = 2×2×2×3 ×5 2×2×2×3×5×5 = 23×3×52 = 8×3×25 = 600 = 3× 5 ×5

3 a Draw a factor tree for 200 that starts with 10 × 20.

b Write 200 as a product of prime numbers.

c Compare your factor tree with a partner’s. Have you drawn the same tree or different ones? Are your trees correct?

d How many different factor trees can you draw for 200 that start with 10 × 20?

4 a Draw a factor tree for 330.

b Write 330 as a product of prime numbers.

5 Match each number to a product of prime factors. The first one has been done for you: a and i.

a 20 i 2² × 5

b 24 ii 2 × 3 × 7

c 42 iii 2² × 3² × 5

d 50 iv 2 × 5²

e 180 v 2³ × 3

6 Work out the product of each set of prime factors. a b c d e

Tip You can use a factor tree to help you. 32×5×7 23×53 22×32×11 24×72 3×172

7 Write each of these numbers as a product of prime factors. a 28 b 60 c 72 d 153 e 190 f 275

8 a Copy the table and write each number as a product of prime numbers.

Number Product of prime numbers 35 5 × 7 70 140 280

b Add more rows to the table to continue the pattern.

9

a Write 1001 as a product of prime numbers.

b Write 4004 as a product of prime numbers.

c Write 6006 as a product of prime numbers.

10 a Use a factor tree to write 132 as a product of prime numbers. b Write 150 as a product of prime numbers.

c 132 × 150 = 19 800. Use this fact to write 19 800 as a product of prime numbers.

3 a Vẽ một sơ đồ cây thừa số cho số 200 bắt đầu với 10 × 20.

b Phân tích số 200 ra các thừa số nguyên tố.

c So sánh sơ đồ cây thừa số của em với một bạn trong lớp. Sơ đồ cây các đã em vẽ giống nhau hay khác nhau? Sơ đồ cây của các em có đúng không?

d Em có thể vẽ bao nhiêu sơ đồ cây thừa số khác nhau cho số 200 bắt đầu với 10 × 20?

4 a Vẽ một sơ đồ cây thừa số cho số 330. b Phân tích số 330 ra thừa số nguyên tố.

5 Nối mỗi số sau với phép nhân các thừa số nguyên tố tương ứng. Cặp đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em: a và i a 20 i 2² × 5 b 24 ii 2 × 3 × 7 c 42 iii 2² × 3² × 5 d 50 iv 2 × 5² e 180 v 2³ × 3

6 Tính tích của mỗi phép nhân các thừa số nguyên tố sau. a b c d e

7 Phân tích các số sau thành thừa số nguyên tố. a 28 b 60 c 72 d 153 e 190 f 275

Mách nhỏ

Em có thể sử dụng sơ đồ cây thừa số để giúp em làm bài. 32×5×7 23×53 22×32×11 24×72 3×172

8 a Chép lại bảng và phân tích mỗi số thành thừa số nguyên tố. Số Tích các thừa số nguyên tố 35 5 × 7 70 140 280

b Kẻ thêm các hàng vào bảng để tiếp tục viết các số theo quy luật.

9 a Phân tích số 1 001 thành thừa số nguyên tố.

b Phân tích số 4 004 thành thừa số nguyên tố.

c Phân tích số 6 006 thành thừa số nguyên tố.

10 a Vẽ sơ đồ cây thừa số để phân tích số 132 ra thừa số nguyên tố.

b Phân tích số 150 thành thừa số nguyên tố.

c Cho 132 × 150 = 19 800. Phân tích số 19 800 thành thừa số nguyên tố.

11 a Write each of these numbers as a product of prime numbers.

i 15 ii 15² iii 28 iv 28² v 36 vi 36²

b What do you notice about your answers to i and ii, iii and iv, v and vi?

96=25 ×3

c If , show how to find the prime factors of 96 2 Will your method work for all numbers?

12 40 = 2 × 2 × 2 × 5 and 28 = 2 × 2 × 7

Use these facts to find

a the HCF of 40 and 28 b the LCM of 40 and 28.

13 450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 and 60 = 2 × 2 × 3 × 5

Use these facts to find

a the HCF of 450 and 60 b the LCM of 450 and 60.

14 180 = 2² × 3² × 5 and 54 = 2 × 3³

Use these facts to find

a the HCF of 180 and 54 b the LCM of 180 and 54.

15 a Write 45 as a product of prime numbers.

b Write 75 as a product of prime numbers.

c Find the LCM of 45 and 75.

d Find the HCF of 45 and 75.

16 a Draw factor trees to find the LCM of 90 and 140.

b Compare your answer with a partner’s. Did you draw the same factor trees? Have you both got the same answer?

17 a Write 396 as a product of prime numbers.

b Write 168 as a product of prime numbers.

c Find the HCF of 396 and 168.

d Find the LCM of 396 and 168.

18 a Find the HCF of 34 and 58.

b Find the LCM of 34 and 58.

19 Show that the HCF of 63 and 110 is 1.

20 37 and 47 are prime numbers.

a What is the HCF of 37 and 47?

b What is the LCM of 37 and 47?

c Write a rule for finding the HCF and LCM of two prime numbers.

d Compare your answer to part c with a partner’s answer. Check your rules by finding the HCF and LCM of 39 and 83.

Tip

Use a calculator to help you.

11 a Phân tích các số sau thành thừa số nguyên tố.

i 15 ii 15² iii 28 iv 28² v 36 vi 36²

b Nhận xét đáp số của phần i và ii, phần iii và iv, phần v và vi?

c Hãy trình bày cách tìm ra các thừa số nguyên tố của 962, biết 96=25 ×3. Cách làm của em áp dụng được cho tất cả các số không?

12 Biết 40 = 2 × 2 × 2 × 5 và 28 = 2 × 2 × 7 Tìm

a ƯCLN của 40 và 28 b BCNN của 40 và 28.

13 Biết 450 = 2 × 3 × 3 × 5 × 5 và 60 = 2 × 2 × 3 × 5

Tìm

a ƯCLN của 450 và 60 b BCNN của 450 và 60.

14 Biết 180 = 2² × 3² × 5 và 54 = 2 × 3³

Tìm

a ƯCLN của 180 và 54 b BCNN của 180 và 54.

15 a Phân tích số 45 thành thừa số nguyên tố.

b Phân tích số 75 thành thừa số nguyên tố.

c Tìm BCNN của 45 và 75.

d Tìm ƯCLN của 45 và 75.

16 a Vẽ sơ đồ cây thừa số để tìm BCNN của 90 và 140.

b So sánh bài làm của em với một bạn trong lớp. Hai em có vẽ sơ đồ cây thừa số giống nhau không? Đáp số của cả hai có giống nhau không?

17 a Phân tích số 396 thành thừa số nguyên tố.

b Phân tích số 168 thành thừa số nguyên tố.

c Tìm ƯCLN của 396 và 168.

d Tìm BCNN của 396 và 168.

18 a Tìm ƯCLN của 34 và 58.

b Tìm BCNN của 34 và 58.

19 Chứng tỏ rằng ƯCLN của 63 và 110 là 1.

20 37 và 47 đều là số nguyên tố.

a Tìm ƯCLN của 37 và 47?

b Tìm BCNN của 37 và 47?

c Viết một quy tắc để tìm ƯCLN và BCNN của hai số nguyên tố.

d So sánh bài làm của em ở phần c với bạn.

Kiểm tra quy tắc của em bằng cách tìm ƯCLN và BCNN của 39 và 83.

1 Số nguyên

Mách nhỏ

Sử dụng máy tính cầm tay giúp em làm bài.

In this exercise

• used factor trees to write an integer as a product of prime factors

• found the HCF of two integers by first writing each one as a product of prime numbers

• found the LCM of two integers by first writing each one as a product of prime numbers.

a Which questions have you found the easiest? Explain why. Which questions you found the hardest? Explain why.

Summary checklist

I can write an integer as a product of prime numbers. find the HCF LCM of two integers first writing each one as a product of prime numbers. integers. multiply integer positive this section investigate multiply any two and dividing integers this section

1 Số nguyên

Trong bài tập này em đã:

• sử dụng sơ đồ cây thừa số để phân tích một số nguyên ra thừa số nguyên tố.

• tìm ƯCLN của hai số nguyên bằng cách phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

• tìm BCNN của hai số nguyên bằng cách phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

a Em thấy câu hỏi nào dễ nhất? Giải thích.

b Em thấy câu hỏi nào khó nhất? Giải thích.

Bảng kiểm tóm

Worked example 1.2

Look at this sequence of subtractions. 63 41 32 30 32 34

a Copy the sequence and fill in the missing answers.

b Write the next three lines in the sequence.

c Describe any patterns in the sequence.

Answer a 3 21-= 3 03-= 3 25 = 3 47 = b 3 69 = 3 811 = 31013

c The first number, 3, does not change.

The number being subtracted decreases by 2 each time. The answer increases by 2 each time.

Exercise 1.2

Think like a mathematician

1 Here is the start of a sequence of multiplications.

A sequence is a set of numbers or expressions made and written in order, according to some pattern.

a Copy the sequence and write six more terms. Use a pattern to fill in the answers.

b Describe the patterns in the sequence.

1 Số

Ví dụ minh hoạ

Quan sát các dãy các phép trừ sau. 63 41

a Chép lại dãy các phép trừ và điền đáp số còn thiếu.

b Viết tiếp ba phép trừ trong dãy trên.

c Trình bày quy luật trong dãy.

Lời giải

a 3 21 3 03 25 47 b 3 69 3 811

c Số đầu tiên là 3 không thay đổi.

Số trừ lần lượt giảm đi 2 đơn vị.

Kết quả lần lượt tăng lên 2 đơn vị.

Bài tập 1.2

Một dãy là một tập hợp các số hoặc biểu thức được thực hiện và viết theo thứ tự, đồng thời tuân theo một quy luật nào đó.

Continued

c Here is the start of another sequence of multiplications. Copy the sequence and write six more terms. Describe any patterns in the sequence.

d In the sequences in a and c, you have some products of two negative integers. What can you say about the product of two negative integers?

e Make up a sequence of your own like the ones in a and c.

f Share your answers to parts d and e with a partner. Are your partner’s sequences correct?

2 Work out these multiplications.

a 5 × −2 b −5 × 2 c −5 × −2 d −2 × −5

3 Work out these multiplications.

a −6 × −4 b −7 × −7 c −10 × −6 d −8 × −11

4 Copy and complete this multiplication table. × −5 3 −8 4 −3 −9 −6 30

5 Work out a (3 + 5) × −4 b (−3 + −5) × −6 c −4 × (5 − 8) d −6 × (−2 − −7)

Tip Do the calculation in brackets first. –5×4 = –5×3 = –5×2 =

6 Round these numbers to the nearest whole number to estimate the answer.

a 3.9 × −6.8 b −11.2 × 2.95 c (−6.1)2 d (−4.88)2

7 a Put these multiplications into groups based on the answers. 3 × −4 −6 × −2 12 × 1 −4 × −3 2 × −6 −12 × −1

b Find one more product to put in each group.

Tiếp theo

c Một dãy các phép nhân khác bắt đầu như sau. Chép lại dãy phép nhân trên và viết thêm sáu phép nhân nữa. Trình bày bất kì quy luật nào trong dãy trên.

d Trong dãy các phép nhân ở phần a và phần c, em có một số phép tính là tích của hai số nguyên âm. Em nhận xét gì về tích của hai số nguyên âm?

e Em hãy tự tạo một dãy các phép nhân giống như ở phần a và phần c. f Chia sẻ bài làm phần d và phần e của em với một bạn trong lớp. Dãy phép nhân của bạn đó có đúng không?

2 Thực hiện các phép nhân sau: a 5 × −2 b −5 × 2 c −5 × −2 d −2 × −5

3 Thực hiện các phép nhân sau: a −6 × −4 b −7 × −7 c −10 × −6 d −8 × −11

4 Chép lại và hoàn thành bảng phép nhân

Mách nhỏ Thực hiện phép tính trong dấu ngoặc trước.

8 These are multiplication pyramids.

a –8 2–4–3 b –35–1 c –4–5–2

Each number is the product of the two numbers below it. For example, in a, 2 × −4 = −8 Copy and complete the multiplication pyramids.

9 a Draw a multiplication pyramid like those in Question 8, with the integers −2, 3 and −5 in the bottom row, in that order. Complete your pyramid. If you change the order of the bottom numbers, the number at the top of the pyramid is the same.

b Is Zara correct? Test her idea by changing the order of the numbers in the bottom row of your pyramid.

10 Find the missing numbers in these multiplications.

a −3 × = −12 b −5 × = 45 c × −6 = 24 d × −10 = 80

Think like a mathematician

11 A multiplication can be written as a division.

For example, 5 × 8 = 40 can be written as 40 ÷ 8 = 5 or 40 ÷ 5 = 8

a Here is a multiplication: −4 × 6 = −24

Write it as a division in two different ways.

b Write a multiplication of a positive integer and a negative integer. Then write it as a division in two different ways.

c Here is a multiplication: −7 × −2 = 14 Write it as a division in two different ways.

d Write a multiplication of two negative integers. Then write it as a division in two different ways.

Tip A conjecture is a possible value based on what you know.

8 Dưới đây là các kim tự tháp phép nhân.

a –8 2–4–3 b –35–1 c –4–5–2

Mỗi số là tích của hai số bên dưới. Ví dụ, trong phần a, 2 × −4 = −8 Chép lại vào vở và hoàn thành các kim tự tháp phép nhân.

9 a Vẽ một kim tự tháp phép nhân giống như câu hỏi 8 với các số nguyên −2, 3 và −5 ở hàng dưới cùng theo đúng thứ tự này. Hoàn thành kim tự tháp của em.

Nếu bạn thay đổi thứ tự các số ở hàng dưới cùng thì số ở hàng trên cùng của kim tự tháp không thay đổi.

b Zara phát biểu đúng không? Kiểm tra phát biểu của bạn ấy bằng cách thay đổi thứ tự các số ở hàng dưới cùng trong kim tự tháp của em. Tìm số còn thiếu trong các phép nhân dưới đây: −3 × = −12 −5 × = 45 × −6 = × −10 = 80

Tư duy như một nhà Toán học

11 Một phép nhân có thể được viết dưới dạng một phép chia. Ví dụ, 5 × 8 = 40 có thể được viết thành 40 ÷ 8 = 5 hoặc 40 ÷ 5 = 8

a Cho phép nhân: −4 × 6 = −24

Viết phép nhân trên dưới dạng hai phép chia khác nhau.

b Viết phép nhân của một số nguyên dương với một số nguyên âm.

Sau đó viết phép nhân này dưới dạng hai phép chia khác nhau.

c Cho phép nhân: −7 × −2 = 14

Viết phép nhân trên dưới dạng hai phép chia khác nhau.

d Viết một phép nhân hai số nguyên âm.

Sau đó viết phép nhân này dưới dạng hai phép chia khác nhau.

Mách nhỏ

Một phỏng đoán là dự đoán một giá trị hoặc kết quả khả thi dựa trên những điều đã biết.

Continued

e Can you make a conjecture about the answer when you divide an integer by a negative integer? Test your conjecture.

f Compare your answer with a partner’s answers. Have you made the same conjectures?

12 Work out these divisions.

a 18 ÷ −6 b −28 ÷ −4 c 30 ÷ −6 d −30 ÷ −10 e 42 ÷ −6 f −24 ÷ −4 g 60 ÷ −5 h −25 ÷ −5

13 Here are three multiplication pyramids.

a 6 5–1 b 12 –2 –8 c –20 –200 –4

Copy and complete each pyramid.

14 Work out

a (3 × −4) ÷ −2 b (2 − 20) ÷ −3 c (−3 + 15) ÷ −4 d 24 ÷ (2 × −4)

15 Find the value of x

a x ÷ −4 = 8 b x ÷ −3 = −15 c 16 ÷ x = −2 d −15 ÷ x = 3

16 Round these numbers to the nearest whole number to estimate the answer.

a −8.75 ÷ 2.8 b 18.1 ÷ −5.9 c −28.2 ÷ −3.8 d −35.2 ÷ −6.9

17 Round these numbers to the nearest 10 to estimate the answer.

a −48 × −29 b −18.1 × 61.5 c −71.4 ÷ −11.8 d −99.4 ÷ 19

Summary checklist

I can multiply two negative integers. I can divide any integer by a negative integer.

Tip Remember, division is the inverse of multiplication so you will divide as you work down the pyramid.

Tiếp theo

e Em có thể đưa ra một phỏng đoán về giá trị tuyệt đối và dấu của đáp số khi chia một số nguyên cho một số nguyên âm?

Kiểm tra phỏng đoán của em.

f So sánh đáp số của em với một bạn trong lớp. Các em có đưa ra phỏng đoán giống nhau không?

12 Thực hiện các phép chia sau:

a 18 ÷ −6 b −28 ÷ −4 c 30 ÷ −6 d −30 ÷ −10 e 42 ÷ −6 f −24 ÷ −4 g 60 ÷ −5 h −25 ÷ −5

13 Dưới đây là ba kim tự tháp phép nhân.

a 6 5–1 b 12 –2 –8 c –20 –200 –4 Chép lại vào vở và hoàn thành từng kim tự tháp.

14 Tính

a (3 × −4) ÷ −2 b (2 − 20) ÷ −3 c (−3 + 15) ÷ −4 d 24 ÷ (2 × −4)

15 Tìm giá trị của x. a x ÷ −4 = 8 b x ÷ −3 = −15 c 16 ÷ x = −2 d −15 ÷ x = 3

16 Làm tròn các số sau đến hàng đơn vị để ước lượng đáp số các phép tính.

a −8,75 ÷ 2,8 b 18,1 ÷ −5,9 c −28,2 ÷ −3,8 d −35,2 ÷ −6,9

17 Làm tròn các số sau đến hàng chục để ước lượng đáp số các phép tính. −48 × −29 b −18,1 × 61,5 −71,4 ÷ −11,8 d −99,4 ÷ 19

Mách nhỏ

Nhớ rằng phép chia là ngược của phép nhân, vì vậy em sẽ thực hiện phép chia theo thứ tự từ trên xuống dưới kim tự tháp.

1.3 Square roots and cube roots

In this section you will …

• find the squares of positive and negative integers and their corresponding square roots

• find the cubes of positive and negative integers and their corresponding cube roots

• learn to recognise natural numbers, integers and rational numbers.

52 = 25

This means that the square root of 25 is 5. This can be written as 255 = . This is the only answer in the set of natural numbers.

However (−5)2 = −5 × −5 = 25

This means that the integer −5 is also a square root of 25.

Every positive integer has two square roots, one positive and one negative.

5 is the positive square root of 25 and −5 is the negative square root.

No negative number has a square root. For example, the integer −25 has no square root because the equation x2 = −25 has no solution.

53 = 125

This means that the cube root of 125 is 5. This can be written as 12553 = You might think −5 is also a cube root of 125. However (−5)3 = −5 × −5 × −5 = (−5 × −5) × −5 = 25 × −5 = −125

So -=12553

Every number, positive or negative or zero, has only one cube root.

Worked example 1.3

Solve each equation.

a x2 = 64

b x3 = 64 c x3 + 64 = 0

Key words cube root natural numbers rational numbers square root

Tip The natural numbers are the counting numbers and zero.

1 Số nguyên

1.3 Căn bậc hai và căn bậc ba

Trong phần này, em sẽ…

• tính bình phương các số nguyên dương, nguyên âm và căn bậc hai của số nguyên dương

• tính lập phương các số nguyên dương, nguyên âm và căn bậc ba tương ứng

• học cách nhận biết số tự nhiên, số nguyên và số hữu tỉ.

52 = 25

Điều này có nghĩa căn bậc hai của 25 là 5. Ta có thể viết 255 = Đây là đáp số duy nhất trong tập hợp các số tự nhiên

Tuy nhiên: (−5)2 = −5 × −5 = 25

Điều này có nghĩa số nguyên –5 cũng là một căn bậc hai của 25. Mọi số nguyên dương đều có hai căn bậc hai, một số dương và một số âm.

5 là căn bậc hai dương và –5 là căn bậc hai âm của 25.

Số âm không có căn bậc hai.

Ví dụ: số nguyên –25 không có căn bậc hai vì phương trình x2 = −25 không có nghiệm.

53 = 125

Điều này có nghĩa căn bậc ba của 125 là 5. Ta có thể viết 12553 = Có thể em nghĩ rằng −5 cũng là một căn bậc ba của 125.

Tuy nhiên: (−5)3 = −5 × −5 × −5 = (−5 × −5) × −5 = 25 × −5 = −125

Nên -=12553

Mọi số, dù là số dương, số âm hay số 0, đều chỉ có một căn bậc ba.

Ví dụ minh hoạ 1.3

Giải các phương trình sau.

a x2 = 64

b x3 = 64 c x3 + 64 = 0

Từ khoá căn bậc ba số tự nhiên số hữu tỉ căn bậc hai

Mách nhỏ

Số tự nhiên bao gồm các số đếm và số 0.

Continued Answer

a 64 has two square roots. One is 648 = and the other is -=648

So the equation has two solutions: x = 8 or x = −8 b 6443 = . This means 43 = 4 × 4 × 4 = 64 and so x = 4

c If x3 + 64 = 0 then x3 = −64. So x =- =6443

Exercise 1.3

1 Work out

a 72 b (−7)2 c 73 d (−7)3

2 Find

a 1253 b 273 c 13 d 83

3 Solve these equations.

a x2 = 100 b x2 = 144 c x2 = 1 d x2 = 0 e x2 + 9 = 0

4 Solve these equations.

a x3 = 216 b x3 + 27 = 0 c x3 + 1 = 0 d x3 + 125 = 0

5 272 = 93 = 729

Use this fact to find

a 729 b 729 c 7293 d 7293

6 a A calculator shows that 88 022 =() Explain why this is correct.

b Find the value of 44 33 33 () . Show your working.

7 The square of an integer is 100. What can you say about the cube of the integer?

8 The integer 1521 = 32 × 132

Use this fact to a find 1521 b solve the equation x2 = 1521

9 a How is −52 different from (−5)2?

b What is the difference between −53 and (−5)3?

1 Số nguyên

Tiếp theo

Lời giải

a 64 có hai căn bậc hai. Là 648 = và -=648 Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 8 hoặc x = −8

b 6443 = Điều này có nghĩa 43 = 4 × 4 × 4 = 64 và vì vậy x = 4

c Nếu x3 + 64 = 0 thì x3 = −64. Vậy x =- =6443

Bài tập 1.3

1 Tính

a 72 b (−7)2 c 73 d (−7)3

2 Tính a 1253 b 273 c 13 d 83

3 Giải các phương trình sau:

a x2 = 100 b x2 = 144 c x2 = 1 d x2 = 0 e x2 + 9 = 0

4 Giải các phương trình sau:

a x3 = 216 b x3 + 27 = 0 c x3 + 1 = 0 d x3 + 125 = 0

5 Cho 272 = 93 = 729 Sử dụng dữ kiện này để tính a 729 b 729 c 7293 d 7293

6 a Máy tính cầm tay hiển thị 88 022 =()

Giải thích tại sao phép tính trên đúng. b Tìm giá trị của 44 33 33 () . Trình bày cách giải của em.

7 Bình phương của một số nguyên là 100. Em hãy nhận xét về lập phương của số nguyên này?

8 Cho 1 521 = 32 × 132

Dựa vào phép tính trên để a tính 1521 b giải phương trình x2 = 1 521

9 a −52 khác với (−5)2 như thế nào?

b −53 và (−5)3 khác nhau như thế nào?

10 a Show that 32 + 42 = 52

b Are these statements true or false?

Give a reason for your answer each time.

i (−3)2 + (−4)2 = (−5)2

ii (−13)2 = 122 + (−5)2

iii 82 = −102 − 62

c Show your work to a partner. Do they find your explanation clear?

Think like a mathematician

11 a Here is an equation: x2 + x = 6

i Show that x = 2 is a solution of the equation.

ii Show that x = −3 is a solution of the equation.

b Here is another equation: x2 + x = 12

i Show that x = 3 is a solution of the equation.

ii Find a second solution to the equation.

c Find two solutions to this equation: x2 + x = 20

d What patterns can you see in the answers to a, b and c? Find some more equations like this and write down the solutions.

e Compare your answers with a partner’s.

12 a Copy and complete this table.

x x − 1 x3 − 1 x2 + x + 1

b What pattern can you see in your answers?

c Add another row to see if the pattern is still the same.

d Add three rows where x is a negative integer. Is the pattern still the same if x is a negative integer?

e Compare your answers with a partner’s.

10 a Chứng tỏ rằng 32 + 42 = 52

b Các đẳng thức sau đúng hay sai?

Giải thích câu trả lời của em cho mỗi đẳng thức.

i (−3)2 + (−4)2 = (−5)2

ii (−13)2 = 122 + (−5)2

iii 82 = −102 − 62

c Trình bày cách làm của em với một bạn cùng lớp. Các bạn có thấy giải thích của em rõ ràng không?

Tư duy như một nhà Toán học

11 a Cho phương trình: x2 + x = 6

i Chứng tỏ rằng x = 2 là một nghiệm của phương trình.

ii Chứng tỏ rằng x = −3 là một nghiệm của phương trình.

b Cho phương trình: x2 + x = 12

i Chứng tỏ rằng x = 3 là một nghiệm của phương trình.

ii Tìm nghiệm thứ hai của phương trình.

c Tìm hai nghiệm của phương trình: x2 + x = 20

d Em có thể phát hiện ra quy luật nào trong các đáp số của phần a, b và c không?

Tìm thêm một vài phương trình tương tự và viết ra các nghiệm.

e So sánh bài làm của em với một bạn trong lớp.

12 a Chép lại và hoàn thành bảng sau: x − 1 x3 − 1 2 + x + 1

b Em có thể phát hiện ra quy luật nào trong các đáp số không?

c Thực hiện thêm một hàng nữa để xác định quy luật đó có đúng không.

d Thực hiện thêm ba hàng nữa, trong đó x là số nguyên âm.

Quy luật còn đúng nếu x là số nguyên âm không?

e So sánh đáp số của em với một bạn trong lớp.

13 Any number that can be written as a fraction is a rational number.

Examples are 7 3 4 , 12 18 25 , 6, 1 15 , 2 9 10

Here is a list of six numbers:

5 1 5 −500 16 −4.8 99 1 2

Write

a all the integers in the list b all the natural numbers in the list c all the rational numbers in the list.

14 This Venn diagram shows the relationship between natural numbers and integers. N stands for natural numbers and I for integers.

a Copy the Venn diagram.

b Write each of these numbers in the correct part of the diagram.

1 −3 7 −12 41 −100 2 1 2

c Add another circle to your Venn diagram to show rational numbers.

d Add these numbers to your Venn diagram.

8 3 7 3 5 0 6.3 10 3

e Give your diagram to a partner to check.

Summary checklist

N I

Tip Remember, all integers are included in the rational numbers. Tip Integers and fractions are included in the set of rational numbers.

I can find and recognise square numbers and their two corresponding square roots.

I can find and recognise positive and negative cube numbers and their cube roots.

I can recognise natural numbers, integers and rational numbers.

Ví dụ: 7 3 4 ; 12 18 25 ; 6; 1 15 ; 2 9 10 Cho 6 số: 5 1 5 −500 16 −4,8 99 1 2 Tìm

a tất cả các số nguyên trong dãy số trên

b tất cả các số tự nhiên trong dãy số trên

c tất cả các số hữu tỉ trong dãy số trên.

14 Sơ đồ Venn này thể hiện mối quan hệ giữa số tự nhiên và số nguyên.

N là kí hiệu của tập hợp các số tự nhiên và Z là kí hiệu của tập hợp các số nguyên.

a Vẽ lại sơ đồ Venn.

b Viết các số sau vào vào đúng vị trí trong sơ đồ.

1 −3 7 −12 41 −100 2 1 2

c Vẽ thêm một hình tròn vào sơ đồ Venn của em để biểu diễn tập hợp các số hữu tỉ.

d Thêm các số sau vào sơ đồ Venn của em. 8 3 7 3 5 0 6,3 10 3

e Đưa sơ đồ của em cho một bạn cùng lớp kiểm tra.

N Z

Mách nhỏ

Nhớ rằng tất cả các số nguyên đều thuộc tập hợp các số hữu tỉ.

• use positive and zero

In this section you will investigate numbers written as powers. Look at these powers of 5

n 0 1 2 3 4 5

5n 25 125 625 3125

So 53 = 5 × 5 × 5 = 125 and 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625 and so on.

As you move to the right the numbers in the bottom row multiply by 5.

As you move to the left the numbers in the bottom row divide by 5.

3125 ÷ 5 = 625, 625 ÷ 5 = 125, 125 ÷ 5 = 25

If you continue to divide by 5, 25 ÷ 5 = 5 so 51 = 5

There is another number missing in the table. What is 50?

Divide by 5 again: 50 = 51 ÷ 5 = 5 ÷ 5 = 1

So 50 = 1

If n is any positive integer then n0 = 1. Indices

Key words generalise power

Trong phần này, các em sẽ khảo sát các số được viết dưới dạng luỹ thừa.

Quan sát các luỹ thừa của 5 dưới đây:

n 0 1 2 3 4 5 5n 25 125 625 3 125

Vậy 53 = 5 × 5 × 5 = 125 và 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625, v.v..

Khi di chuyển sang bên phải thì các số ở hàng dưới sẽ nhân với 5.

Khi di chuyển sang bên trái thì các số ở hàng dưới sẽ chia cho 5.

3 125 ÷ 5 = 625, 625 ÷ 5 = 125, 125 ÷ 5 = 25

Nếu tiếp tục chia cho 5 thì, 25 ÷ 5 = 5 nên 51 = 5

Vẫn còn một số bị khuyết trong bảng trên. Vậy 50 bằng bao nhiêu?

Chia cho 5 một lần nữa: 50 = 51 ÷ 5 = 5 ÷ 5 = 1

Vậy 50 = 1

Nếu n là một số nguyên dương

1 Số nguyên

Exercise 1.4

1 Copy and complete this list of powers of 2.

Power 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 Number 1 2 8 64 512

2 Copy and complete this list of powers of 3.

Power 30 31 32 33 34 35 36 37 38 Number 3 27 2187

Think like a mathematician

3 Look at this multiplication: 4 × 16 = 64

You can write all the numbers as powers of 2: 22 × 24 = 26

a Write each of these multiplications as powers of 2. i 8 × 4 = 32 ii 16 × 8 = 128 iii 4 × 32 = 128 iv 2 × 128 = 256 v 16 × 32 = 512

b Can you see a pattern in your answers? Make a conjecture about multiplying powers of 2. Test your conjecture on some more multiplications of your own.

c Make a conjecture about multiplying powers of 3. Use some examples to test your conjecture.

d Generalise your results so far.

4 Write the answers to these calculations as powers of 6. a 62 × 63 b 66 4 × c 6652 × d 6633 × 5 Write the answers to these calculations in index form.

a 101032 × b 2020 5 × c 151533 × d 5553 × 6 a 38 = 6561 Use this fact to find 39 and show your method. b 56 = 15 625 Use this fact to find 57 and show your method.

7 Find the missing power.

a 33 × 3 = 35 b 93 × 9 = 98 c 124 × 12 = 126 d 15 × 153 = 1510

Tip ‘Generalising’ means using a set of results to come up with a general rule.

Bài tập

1 Chép lại và hoàn thành bảng các luỹ thừa của thừa luỹ thừa

2 Chép lại và hoàn thành bảng các luỹ thừa của luỹ thừa như một nhà Toán học

3 Quan sát phép nhân: 4 × 16 = 64 có thể viết tất cả các số dưới dạng luỹ thừa của 2: 22 × 24 Viết mỗi phép nhân sau dưới dạng luỹ thừa của 2. i 8 × 4 = 32 ii 16 × 8 = 128 iii 4 × 32 = 128 iv 2 × 128 = 256 v 16 × 32 = 512

b Em có thể phát hiện ra quy luật trong các đáp số của mình không? Đưa ra một phỏng đoán về phép nhân các luỹ thừa của 2. Kiểm tra phỏng đoán trên với một số phép nhân khác của em.

c Đưa ra một phỏng đoán về phép nhân các luỹ thừa của 3. Đưa ra một số ví dụ để kiểm tra phỏng đoán của em. d Khái quát hoá đáp số của em.

4 Viết đáp số của các phép tính sau dưới dạng luỹ thừa của 6.

a 62 × 63 b 66 4 × c 6652 × d 6633 ×

5 Viết đáp số của các phép tính sau dưới dạng số mũ:

a 101032 × b 2020 5 × c 151533 × d 5553 ×

6 a Cho 38 = 6 561 Sử dụng dữ kiện trình bày cách giải. trình bày cách

Mách nhỏ

“Khái quát hoá“ có nghĩa là sử dụng một tập hợp các đáp số để đưa ra một quy tắc tổng quát.

8 Read what Sofia

Is Sofia correct? a for your

9 million is 106. A billion is 1000 million. as a power of one billion 1000 billion

10 Write in index form 22 × 23 × 33 × 34 × 32 5 × 53 × 103 × 102 × 104

11 a (32)3 × (32)3 a single power of 3.

b Write in index (23)2 (53)2 (42)3 (152)4 (104)3

c a positive index () () N () N generalise of and b of other positive integers. a partner’s. is equal to and equal to

8 Đọc phát biểu của Sofia. phát biểu có đúng không? Giải thích câu trả lời của em.

9 Một triệu là 106. Một tỉ là 1 000 triệu. mỗi số sau dưới dạng luỹ thừa của 10: một tỉ 1 000 tỉ

10 Viết đáp số của các phép tính sau dưới dạng số mũ: 22 × 23 × 2 b 33 × 34 × 32 5 × 53 × 53 d 103 × 102 × 104 a Cho (32)3 = 32 × 32 × 32 Viết (32)3 dưới dạng một luỹ thừa của 3. Viết các số () ()

15 Read what Zara says.

I think that 55 2 3 3 2( ) ( =)

a Is Zara correct? Give a reason for your answer.

b Is a similar result true for other indices?

16 15 = 3 × 5

Use this fact to write as a product of prime factors

a 152 b 153 c 155 d 158

17 a Write 5564 ÷ as a power of 5.

b Write 5566 ÷ as a power of 5.

c Is it possible to write 5546 ÷ as a power of 5?

Summary checklist

I can use index notation for positive integers where the index is a positive integer or zero.

I can multiply and divide numbers written as powers of a positive integer.

Check your progress

1 a Draw a factor tree for 350.

b Write 350 as a product of prime factors. Write 112 as a product of prime factors. Find the HCF of 350 and 112. Find the LCM of 350 and 112.

2 Copy and complete this multiplication table × −6 −5 7 −10 3 −18 −7

3 Are these calculations correct? If not, correct them.

a ()-=525 2 −9×−11=−99 45÷−9=−6 (−10)3 =−1 000

4 Work out 40÷−5 −36÷−6 100÷(2−7) (12−−18)÷−3 Solve these equations. x 2 36= b x 2 160+= c x 3 8= d x 3 270+= Work out a ()54() 22 b 336464 +Here is an expression: xx 32 + Find the value of the expression when a x = 3 b x = −3 Write as a single power of 8 82 × 83 b 86 ÷ 82 1 d (83)3 a Write 46 as a power of 2. Write 94 as a power of 3.

Getting started

1 Alex thinks of a number, n.

Write an expression for the number Alex gets when a she multiplies the number by 2 b she adds 5 to the number.

2 Work out the value of p q when p = 15 and q = 3

3 Simplify these expressions by collecting like terms.

a 3c + 4c + 9d 2d b 4xy + 7yz 2xy + zy

4 Expand the brackets.

a 4(x + 3) b 6(2 3y)

5 Solve these equations.

a n + 12 = 15 b m 7 = 2 c 3p = 27 d 2r + 7 = 19

6 Write the inequality shown by this number line. 654321 Expressions, formulae and equations

2 Expressions, formulae and equations

A formula is a set of instructions for working something out.

It is a rule written using letters or words. The plural of formula is formulae.

People use formulae in everyday life to work out all sorts of things. An employer may use a formula to work out how much to pay the people who work for them. For example, they could use the formula P = R × H, where P is the pay, R is the amount paid per hour and H is the number of hours worked.

Doctors may use a formula to assess a person’s health. For example, they could use a formula to find the person’s body mass index (BMI).

This formula is: BMI mass height 2 = , where the person’s mass is measured in kilograms and their height is measured in metres. If a person’s BMI is too high or too low, the doctor may ask them to lose or put on weight, to make them healthier.

2.1 Constructing expressions

In this section you will …

• use letters to represent numbers

• use the correct order of operations in algebraic expressions

• use words or letters to represent a situation.

You can write an algebraic expression by using a letter to represent an unknown number.

In the expression 3n + 8 there are two terms. 3n is one term. The other term is 8.

The letter n is called the variable, because it can have different values. The coefficient of n is 3, because it is the number that multiplies the variable.

The number 8 is called a constant. Example:

Let n represent a mystery number.

You write the number that is 5 more than the mystery number as n + 5 or 5 + n.

You write the number that is three times the mystery number as 3 × n or simply 3n

Key words

coefficient constant equivalent expression

linear expression term unknown variable

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Công thức là một biểu thức toán học khi các biến được xác định cụ thể. Công thức là một quy tắc được viết bằng chữ cái hoặc từ ngữ.

Từ “formula” (công thức) có dạng số nhiều là “formulae”.

Công thức được sử dụng nhiều trong cuộc sống hằng ngày.

Người sử dụng lao động có thể dùng công thức để tính tiền lương của nhân viên. Ví dụ: Họ có thể sử dụng công thức P = R × H, trong đó P là tiền lương, R là số tiền phải trả mỗi giờ và H là số giờ làm việc.

Các bác sĩ có thể dùng công thức để đánh giá sức khỏe của một người. Ví dụ: Họ có thể sử dụng một công thức để tính chỉ số khối cơ thể (BMI) của từng cá nhân.

Công thức này là: BMI khối lượng chiều cao2 = , trong đó khối lượng của một người được tính bằng đơn vị ki-lô-gam và chiều cao của người đó được đo bằng đơn vị mét. Nếu chỉ số BMI quá cao hoặc quá thấp, bác sĩ có thể yêu cầu bệnh nhân giảm cân hoặc tăng cân để giúp họ khỏe mạnh hơn.

Trong phần này, em sẽ…

• sử dụng chữ cái để biểu thị số biết cách thực hiện đúng thứ tự các phép tính trong các biểu thức đại số

• dùng lời hoặc chữ cái để để mô tả biểu thức.

Em có thể viết một biểu thức đại số bằng cách sử dụng một chữ cái để biểu thị một ẩn số.

Trong biểu thức 3n + 8, có hai hạng tử là: 3n và 8. Chữ cái n được gọi là biến, vì nó có thể có các giá trị khác nhau.

Hệ số của n là 3, vì nó là số được nhân với biến.

Số 8 được gọi là hằng số Ví dụ: Đặt n đại diện cho một số chưa biết cần tìm (gọi là “ẩn số”).

Em có thể biểu diễn một số lớn hơn ẩn số 5 đơn vị dưới dạng n + 5 hoặc 5 + n

Em có thể biểu diễn một số lớn gấp ba lần ẩn số dưới dạng 3 × n hoặc đơn giản là 3n.

Từ khoá hệ số hằng số tương đương biểu thức biểu thức bậc nhất hạng tử ẩn biến

2 Expressions, formulae and equations

You write the mystery number multiplied by itself as n × n or simply n2 . n + 5 and 3n are called linear expressions because the variable is only multiplied by a number.

n2 is not a linear expression because the variable is multiplied by itself.

Worked example 2.1

Tip

n + 5 is the same as 1 × n + 5.

Tyler thinks of a number, x. Write an expression for the number Tyler gets when he a doubles the number and subtracts 3 b divides the number by 3 and adds 2 c adds 2 to the number, then multiplies by 4. Answer

a 2x 3

Multiply x by 2, then subtract 3. Write 2 × x as 2x b x 3 2+ Divide x by 3, then add 2. Write x ÷ 3 as x 3 c 4(x + 2)

Add 2 to x, then multiply the answer by 4. Write x + 2 in brackets to show this must be done before multiplying by 4.

Exercise 2.1

1 Copy and complete these sentences. Use the words from the cloud.

In the ................... 4x + 9, x is a ....................

4x and 9 are ................... of the expression.

4 is the ................... of x. 9 is a ....................

The expression is not equal to anything so cannot be .................... 2 a Tanesha has a box that contains x DVDs. Choose the correct expression from the cloud that shows the total number of DVDs she has in the box when i she takes 2 out ii she puts in 2 more iii she takes out half of the DVDs iv she doubles the number of DVDs in the box.

b Tanesha starts with 12 DVDs in the box. Work out how many she will have for Question 2a, parts i to iv.

solved coefficient terms variable constant expression x 2 x + 2 x 2 2x

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Em có thể biểu diễn ẩn số nhân với chính nó dưới dạng n × n hoặc đơn giản là n2 .

n + 5 và 3n được gọi là các biểu thức bậc nhất bởi vì biến chỉ nhân với một số.

n2 không phải là một biểu thức bậc nhất bởi vì biến nhân với chính nó.

Ví dụ minh hoạ 2.1

Tyler nghĩ đến một số x. Viết biểu thức thể hiện số mà Tyler có được khi bạn ấy:

a nhân đôi số đó và trừ đi 3

b chia số đó cho 3 và cộng với 2

c cộng số đó với 2 rồi nhân với 4.

Lời giải

a 2x 3

b x 3 2+

c 4(x + 2)

Bài tập 2.1

Nhân x với 2 rồi trừ đi 3. Viết 2 × x thành 2x.

Chia x cho 3 rồi cộng với 2. Viết x ÷ 3 thành x 3

Mách nhỏ

n + 5 và 1 × n + 5 là như nhau.

Cộng 2 với x, rồi nhân đáp số với 4. Viết x + 2 trong dấu ngoặc để thể

hiện rằng phải thực hiện phép tính này trước khi nhân với 4.

1 Chép lại và hoàn thành các câu sau. Sử dụng các từ cho ở hình bên. Trong ................... 4x + 9, x là một .................... 4x và 9 là ................... của biểu thức. 4 là ................... của x. 9 là một .................... Biểu thức không có giá trị tương đương nên không thể ....................

2 a Tanesha có một chiếc hộp chứa x đĩa DVD. Chọn biểu thức đúng từ hình bên thể hiện tổng số đĩa DVD bạn ấy có trong hộp khi:

i bạn ấy lấy ra 2 đĩa DVD

ii bạn ấy cho vào thêm 2 đĩa DVD

iii bạn ấy lấy ra một nửa số đĩa DVD

iv bạn gấp đôi số đĩa DVD trong hộp.

b Lúc đầu Tanesha có 12 đĩa DVD trong hộp. Tính xem bạn ấy có bao nhiêu đĩa DVD trong Câu hỏi 2a, lần lượt từ phần i đến iv.

giải được hệ số các hạng tử biến hằng số biểu thức x 2 x + 2 x 2 2x

3 a Jake thinks of a number, n.

Write an expression for the number Jake gets when he: i multiplies the number by 6, then adds 1 ii divides the number by 4, then adds 5 iii multiplies the number by 2, then subtracts 3 iv divides the number by 10, then subtracts 7.

b Jake thinks of the number 20. Work out the numbers he gets in Question 3a, parts i to iv

4 Match each description with the correct expression. The first one has been done for you: a and iv

Tip Remember the order of operations: Brackets, Indices, Division, Multiplication, Addition, Subtraction

a Multiply n by 5 and subtract 4 b Add 4 and n, then multiply by 5 c Multiply n by 5 and add 4 d Add 5 and n, then multiply by 4 e Subtract 4 from n, then multiply by 5 f Subtract 5 from n, then multiply by 4 i 5(n + 4) ii 4(n + 5) iii 4(n 5) iv 5n 4 v 5n + 4 vi 5(4 n) vii 5(n 4)

Write a description for the expression that has not been matched.

Think like a mathematician

5 In pairs or in a small group, discuss. Sofia and Zara discuss what to write for this problem.

‘I think of a number, n. I halve the number then add 4.’

I think the expression is n 2 4+ I think the expression is n + 4 2

What do you think?

Make a conjecture and convince the other members of your group.

6 Kia thinks of a number, x

Write an expression for the number Kia gets when she: a divides the number by 3, then adds 1 b adds 1 to the number, then divides by 3 c subtracts 1 from the number, then divides by 3 d divides the number by 3, then subtracts 1.

3 a Jake nghĩ đến một số n. Viết biểu thức thể hiện số mà Jake có được khi bạn ấy:

i nhân số đó với 6 rồi cộng thêm 1

ii chia số đó cho 6 rồi cộng thêm với 5

iii nhân số đó với 2 rồi trừ đi 3

iv chia số đó cho 10 rồi trừ đi 7.

b Jake nghĩ đến số 20. Tìm các số mà bạn ấy có được trong Câu hỏi 3a, lần lượt từ phần i đến iv

Mách nhỏ

Ghi nhớ thứ tự thực hiện các phép tính: Dấu ngoặc, Lũy thừa, Phép chia, Phép nhân, Phép cộng, Phép trừ

4 Nối mỗi mô tả với biểu thức phù hợp. Cặp đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em: a nối Nhân với và Cộng n với rồi nhân với Nhân với và cộng với Cộng n với 5, rồi nhân với Lấy n trừ đi 4 rồi nhân với Lấy n trừ đi 5 rồi nhân với 4(

Tư như một nhà Toán học

5 Thảo luận theo cặp hoặc theo nhóm nhỏ. Sofia và Zara thảo luận xem cách viết biểu thức cho mô tả sau là gì. “Tớ nghĩ đến một số n. Tớ giảm số đó đi một nửa rồi cộng với 4.“

Em nghĩ sao?

Hãy đưa ra một phỏng đoán và giải thích để thuyết phục các bạn.

2 Biểu thức, công thức và phương trình Kia nghĩ đến một số x Viết biểu thức thể hiện số mà Kia có được khi bạn ấy: chia số đó cho 3 rồi cộng với 1 cộng số đó với 1 rồi chia cho 3 lấy số đó trừ đi 1 rồi chia cho chia số đó cho 3 rồi trừ đi 1.

Think like a mathematician

7 In pairs or in a small group, discuss. Sofia, Zara and Arun discuss what to write for this problem. ‘I think of a number, n. I divide by 3, then multiply by 2.’

I think the expression is 2 3 n .

I think the expression is n 3 2×

What do you think? Make a conjecture and convince the other members of your group.

8 a Sort these cards into groups of equivalent expressions. A 3 4 × B + 3 C 4 3 x D 3 E 3 4 F 3 4 x G + x H 3 4 x I 4 3 x J 3 4

b Which card is in a group on its own?

9 This is part of Pedro’s classwork. Are Pedro’s answers correct? If not, write the correct answers for him.

If you divide by 3 then times by 2, you are finding 2 3 of the number, so you can write 2 3 n x + b 2y 5

Sofia, Zara và Arun thảo luận xem cách viết biểu thức cho mô tả sau là gì. “Tớ nghĩ đến một số n. Tớ chia số đó cho 3 rồi nhân với 2.“

Tớ nghĩ biểu thức là n 3 2× nghĩ biểu thức thể hiện là 2 3 n các cậu chia số đó cho 3 rồi nhân với 2 thì các cậu sẽ có 2 3 của số đó, vì vậy các cậu có thể viết là 2 3 n

Em nghĩ sao?

Hãy đưa ra một phỏng đoán và giải thích để thuyết phục các bạn của mình.

Câu hỏi biểu thức thể hiện: một phần ba của x cộng với 4 5 trừ đi hai phần năm của y Lời giải x 3 + 4 b 2y 5 5

2 Expressions, formulae and equations

10 a Write an expression for each description.

i one-half of x add 8 ii three-quarters of x subtract 12 iii 7 add four-fifths of x iv 20 subtract five-ninths of x b Describe each expression in words.

i ii 5 7 4x iii 8 2 3 x iv 3 7 8 + x

11 This is part of Maya’s homework.

Question

Write an expression for a the perimeter of this rectangle b the area of this rectangle. Answers

a perimeter = 1 3a + 1 3a + 4b+ 4b= 2 3a + 8bcm

b area = 1 3a × 4b= 4 3abcm 2

Use Maya’s method to write an expression for the perimeter and area of each of these rectangles. Simplify each expression.

a 6b cm a cm1 2 d cm3 5 7c cm x 6 2+ a cm1 3 4b cm b

Activity 2.1

Work with a partner. Take it in turns to say ‘Write an expression for …’ and give a description like those in Question 10a. For example, ‘Write an expression for two-thirds of x add 9.’ Your partner must write the expression correctly. Check their expression. If it is correct, they score 1 point. Write five expressions each, then check the scores!

2 Biểu thức, công thức và phương trình

10 a Viết biểu thức thể hiện:

i một phần hai của x cộng với 8

ii ba phần tư của x trừ đi 12

iii 7 cộng với bốn phần năm của x

iv 20 trừ đi năm phần chín của x

b Mô tả mỗi biểu thức sau bằng lời:

i ii 5 7 4x iii 8 2 3 x iv 3 7 8 + x

11 Dưới đây là một phần trong bài tập về nhà của Maya.

Câu hỏi Viết biểu thức thể hiện:

a chu vi của hình chữ nhật bên b diện tích của hình chữ nhật bên. Lời giải

a chu vi = 1 3 a + 1 3 a + 4b + 4b = 2 3 a + 8b cm b diện tích = 1 3 a × 4b = 4 3 ab cm 2

Sử dụng cách làm của Maya để viết biểu thức thể hiện chu vi và diện tích của mỗi hình chữ nhật sau. Rút gọn mỗi biểu thức.

a 6b cm1 2 b

Hoạt động 2.1

Các em làm việc với một bạn trong lớp.

Từng em lần lượt nói, “Viết biểu thức thể hiện …“ và mô tả biểu thức giống như trong Câu hỏi 10a.

Ví dụ: “Viết biểu thức thể hiện hai phần ba của x cộng với 9.“

Bạn còn lại phải viết đúng biểu thức.

Em kiểm tra biểu thức của bạn. Nếu biểu thức đúng thì bạn ấy được 1 điểm.

Mỗi bạn viết năm biểu thức rồi kiểm tra điểm số!

12 The shortest side of a triangle is y cm.

The second side is 3 cm longer than the shortest side. The third side is twice as long as the second side.

Write an expression, in its simplest form, for the perimeter of the triangle.

13 The price of one bag of cement is $c

The price of one bag of gravel is $g

The price of one bag of sand is $s

Write an expression for the total cost of a one bag of cement and three bags of sand b three bags of cement, four bags of gravel and six bags of sand.

14 The price of one kilogram of apples is $a.

The price of one kilogram of bananas is $b.

The price of one kilogram of carrots is $c.

Tip

Write an expression for the total cost of a one kilogram of apples and half a kilogram of bananas b two kilograms of bananas and three-quarters of a kilogram of carrots c three kilograms of apples, a quarter of a kilogram of bananas and four-fifths of a kilogram of carrots.

15 Brad thinks of a number, y

Choose the correct expression from the cloud for when Brad

a adds 2 to one-half of y, then multiplies by 6 b adds 6 to one-fifth of y, then multiplies by 2 c adds 2 to five-sixths of y, then multiplies by 6 d adds 5 to two-fifths of y, then multiplies by 6.

Start by writing expressions for the second and third sides.

12 Cạnh ngắn nhất của một tam giác là y cm.

Cạnh thứ hai dài hơn cạnh ngắn nhất 3 cm.

Cạnh thứ ba dài gấp hai lần cạnh thứ hai.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Mách nhỏ

Viết biểu thức dưới dạng rút gọn thể hiện chu vi của hình tam giác ấy.

13 Giá tiền của một bao xi măng là $c.

Giá tiền của một bao sỏi là $g.

Giá tiền của một bao cát là $s.

Viết biểu thức thể hiện tổng giá tiền của a một bao xi măng và ba bao cát b ba bao xi măng, bốn bao sỏi và sáu bao cát.

14 Giá của một ki-lô-gam táo là $a. Giá của một ki-lô-gam chuối là $b Giá của một ki-lô-gam cà rốt là $c

Viết biểu thức thể hiện tổng giá tiền của a một ki-lô-gam táo và nửa ki-lô-gam chuối b hai ki-lô-gam chuối và ba phần tư ki-lô-gam cà rốt c ba ki-lô-gam táo, một phần tư ki-lô-gam chuối và bốn phần năm ki-lô-gam cà rốt.

15 Brad nghĩ đến một số y.

Chọn biểu thức thể hiện đúng ở hình bên khi Brad:

a cộng 2 với một phần hai của y, rồi nhân với 6

b cộng 6 với một phần năm của y, rồi nhân với 2 c cộng 2 với năm phần sáu của y, rồi nhân với 6 d cộng 5 với hai phần năm của y, rồi nhân với 6.

Đầu tiên hãy viết biểu thức thể hiện cạnh thứ hai và cạnh thứ ba. 62 y y 5 y 65 + 5 y + 26

Which statement best describes how you found the questions in this exercise?

A I found the questions very difficult to answer.

B I found the questions difficult to answer.

C I answered the questions but I had to think carefully.

D I found the questions easy to answer.

What can you do to improve your knowledge and understanding of this topic?

Summary checklist

I can use letters to represent unknown numbers.

I can use the correct order of operations in algebraic expressions. I can use words or letters to represent situations.

Phát

A thấy

B thấy

C có

D thấy

Em có

Bảng

Em

Em có

Em có

2.2 Using expressions and formulae

In this section you will …

• use the correct order of operations in algebraic expressions

• represent a situation either in words or as a formula

• change the subject of a formula.

A formula is a mathematical rule that shows the relationship between two or more quantities (variables). It is a rule that can be written in letters or words. The plural of formula is formulae

You can write, or derive, your own formulae to solve problems.

An example of a formula is F = ma.

In this formula, F is the subject of the formula. The variable F is written on its own on the left hand side of the formula.

You may need to rearrange a formula to make a different variable the subject. This is called changing the subject of the formula.

For example, if you know the values of F and a, and you want to find the value of m, you will rearrange the equation like this:

When you substitute numbers into formulae and expressions, remember the order of operations. Brackets and indices must be worked out before divisions and multiplications. Additions and subtractions are always worked out last.

Key words changing the subject derive formula formulae inverse operation solve subject of a formula substitute Tip Examples of indices are 22, 52, 43 and 73 F a F a ma m m

Worked example 2.2

a Work out the value of the expression 2x + 4y when x = 5 and y = −2.

b Work out the value of the expression 34 2 x + when x = 10.

c Write a formula for the number of hours (h) in any number of days (d), using i words ii letters.

d Use the formula in part c to work out the number of hours in 7 days.

e Rearrange the formula in part cii to make d the subject.

Công thức là một quy tắc toán học thể hiện mối quan hệ giữa hai hoặc nhiều đại lượng (biến) có thể được viết bằng chữ cái hoặc bằng lời. Dạng số nhiều của "formula" (công thức) là formulae

Em có thể viết hoặc suy ra công thức của mình để giải các bài toán.

Ví dụ về một công thức F = ma.

Trong công thức này, F là chủ thể của công thức. Biến F được viết ở phía bên trái của công thức.

Em có thể phải biến đổi một công thức để tạo ra một chủ thể có biến khác. Đây được gọi là thay đổi chủ thể của công thức.

Ví dụ: Nếu em muốn tìm giá trị của m khi đã biết giá trị của F và a, em sẽ biến đổi phương trình như sau: Khi em thế các số vào công thức hay biểu thức, hãy nhớ thứ tự thực hiện các phép tính. Phép tính trong dấu ngoặc và lũy thừa phải được thực hiện trước phép chia và phép nhân. Phép cộng và phép trừ luôn được thực hiện cuối cùng.

e Biến đổi công thức ở phần cii để lập công thức thể hiện d

Continued Answer

a 2 × 5 + 4 × −2 = 10 + −8 = 10 8 = 2

b 3×102+4 = 3 × 100 + 4 = 300 + 4 = 304

c i hours = 24 × days ii h = 24d

d h = 24 × 7 = 168

e h = 24d h 24 = d d = h 24

Exercise 2.2

Substitute x = 5 and y = −2 into the expression. Work out 2 × 5 and 4 × −2. Adding −8 is the same as subtracting 8.

Substitute x = 10 into the expression. Work out 102 first. Work out the multiplication before the addition.

There are 24 hours in every day. Use h for hours and d for days.

Substitute d = 7 into the formula.

The formula is h = 24 × d

Use the inverse operation to make d the subject by dividing by 24. Rewrite the formula with the subject, d, on the left hand side.

1 Copy and complete the working to find the value of each expression.

a p + 5 when p = −3 p + 5 = −3 + 5 = b q 6 when q = 4 q 6 = 4 6 = c 6h when h = −3 6h = 6 × −3 = d j 4 when j = −20 j 4 20 4 == e a + b when a = 6 and b = −3 a + b = 6 + −3 = 6 3 = f c d when c = 25 and d = 32 c d = 25 32 =

2 Work out the value of each expression.

a 8m 5 when m = −2 b 3z + v when z = 8 and v = −20 c 2x + 3y when x = 4 and y = 5 d 20 3n when n = 9 e u 2 5 when u = 4 f pq 52 + when p = 30 and q = −8

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Tiếp theo

Lời giải

a 2 × 5 + 4 × −2 = 10 + −8 = 10 8 = 2

b 3×102+4 = 3 × 100 + 4 = 300 + 4 = 304

c i giờ = 24 × ngày ii h = 24d

d h = 24 × 7 = 168

e h = 24d h 24 = d d = h 24

Bài tập 2.2

Thế x = 5 và y = −2 vào biểu thức.

Tính 2 × 5 và 4 × −2.

Khi cộng thêm −8 cũng giống như trừ đi 8.

Thế x = 10 vào biểu thức. Đầu tiên, tính 102

Thực hiện phép nhân trước phép cộng.

Mỗi ngày có 24 giờ.

Đặt h thể hiện số giờ và d thể hiện số ngày.

Thế d = 7 vào công thức.

Công thức là h = 24 × d

Dùng phép toán ngược để lập công thức tìm d bằng cách chia h cho 24.

Viết lại công thức với chủ thể d đặt ở phía bên trái.

1 Chép lại và hoàn thành các phép tính để tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a p + 5 khi p = −3 p + 5 = −3 + 5 = b q 6 khi q = 4 q 6 = 4 6 = c 6h khi h = −3 6h = 6 × −3 = d j 4 khi j = −20 j 4 20 4 == e a + b khi a = 6 và b = −3 a + b = 6 + −3 = 6 3 = f c d khi c = 25 và d = 32 c d = 25 32 =

2 Tính giá trị của mỗi biểu thức: a 8m 5 khi m = −2 b 3z + v khi z = 8 và v = −20 c 2x + 3y khi x = 4 và y = 5 d 20 3n khi n = 9 e u 2 5 khi u = 4 f pq 52 + khi p = 30 và q = −8

3 Work out the value of each expression.

a x 2 5+ when x = 4 b 10 y 2 when y = 5

c g2 + h2 when g = 3 and h = 6 d m2 n2 when m = 7 and n = 8

e 4 k 2 when k = 2 f 3 3 r when r = 1 g 2y3 when y = 3 h x 3 − 5 when x = 2 i 20 w3 when w = 4 j y 2 2 when y = 4

Tip

Remember that r3 means r × r × r.

4 This is part of Dakarai’s homework. He has made a mistake in his working.

Question

Work out the value of x2 8 when x = –3. Answer

x2 8 = (–3)2 8 = –3 × –3 8 = –9 8 = –17

a Explain the mistake he has made.

b Work out the correct answer.

c Work out the value of y 2 4+ when y = −5.

5 This is part of Oditi’s homework. She has made a mistake in her working.

Question

Work out the value of 5x3 when x = –2. Answer

5x3 = 5 × (–2)3 = (–10)3 = –10 × –10 × –10 = –1000

a Explain the mistake she has made.

b Work out the correct answer.

c Work out the value of 2y3 when y = −3.

6 a Write a formula for the number of months in any number of years, in i words ii letters.

b Use your formula in part aii to work out the number of months in 8 years.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

3 Tính giá trị của mỗi biểu thức:

a x 2 5+ khi x = 4 b 10 y 2 khi y = 5

c g2 + h2 khi g = 3 và h = 6 d m2 n2 khi m = 7 và n = 8

e 4 k 2 khi k = 2 f 3 3 r khi r = 1 g 2y3 khi y = 3 h x 3 − 5 khi x = 2 i 20 w3 khi w = 4 j y 2 2 khi y = 4

Mách nhỏ Nhớ rằng r3 = r × r × r.

4 Dưới đây là một phần trong bài tập về nhà của Dakarai. Bạn ấy đã mắc một lỗi sai trong khi làm bài.

Câu hỏi Tính giá trị của biểu thức x2 8 khi x = –3.

Lời giải x2 8 = (–3)2 8 = –3 × –3 8 = –9 8 = –17

a Giải thích lỗi sai của bạn ấy.

b Tính đáp số đúng.

c Tính giá trị của y 2 4+ khi y = −5.

5 Dưới đây là một phần trong bài tập về nhà của Oditi. Bạn đã mắc một lỗi sai trong khi làm bài.

Câu hỏi

Tính giá trị của biểu thức 5x3 khi x = –2. Lời x (–2) –10 × –10 × –10

a Giải thích lỗi sai của bạn ấy.

b Tính đáp số đúng.

c Tính giá trị của 2y3 khi y = −3.

6 a Viết công thức thể hiện số tháng trong một số năm bất kì bằng: i lời văn ii chữ cái

b Sử dụng công thức em viết ở phần aii để tính số tháng trong 8 năm.

7 This is how a taxi company works out the cost of a journey for a customer: There is a fixed charge of $6 plus $2 per kilometre.

a Write a formula for the cost of a journey, in i words ii letters.

b Use your formula in part aii to work out the cost of a journey of 35 km.

8 Use the formula v = u + 10t to work out the value of v when a u = 5 and t = 12 b u = 8 and t = 15 c u = 0 and t = 20.

9 Use the formula F = ma to work out F when a m = 6 and a = 2 b m = 18 and a = 3 c m = 8 and a = −4.

10 The height of a horse is measured in hands (H) and inches (I). This formula is used to work out the height of a horse in centimetres (C ).

C = 2.5(4H + I) where: C is the number of centimetres H is the number of hands I is the number of inches.

Sasha has a horse with a height of 16 hands and 1 inch. She uses the formula to work out the height of her horse, in centimetres.

C = 2.5(4 × 16 + 1) = 2.5(64 + 1) = 2.5 × 65 = 162.5 cm

Work out the height, in centimetres, of a horse with height a 14 hands and 2 inches b 15 hands and 3 inches c 13 hands and 1 inch d 17 hands and 2 inches e 16 hands f 12 hands.

Tip 16 hands exactly means 16 hands and 0 inches.

Would it matter if the formula used the letters D, E and F instead of C, H and I? Do the letters help you to understand a formula? Explain your answer.

11 Use the formula C = πd to a estimate the value of C when d = 19 m b calculate the value of C when d = 19 m. Give your answer to one decimal place.

Tip Remember that π is approximately 3.14.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

7 Đây là cách một công ti taxi tính chi phí hành trình cho một khách hàng: Mức phí cố định là $6 và cộng thêm $2 cho mỗi ki-lô-mét.

a Viết công thức thể hiện chi phí hành trình bằng: i lời văn ii chữ cái

b Sử dụng công thức em viết ở phần aii để tính chi phí của hành trình dài 35 km.

8 Cho công thức v = u + 10t, tính giá trị của v khi:

a u = 5 và t = 12 b u = 8 và t = 15 c u = 0 và t = 20.

9 Cho công thức F = ma, tính giá trị của F khi:

a m = 6 và a = 2 b m = 18 và a = 3 c m = 8 và a = −4.

10 Chiều cao của một con ngựa được đo bằng gang tay (H) và bằng inch (I). Đây là công thức được sử dụng để tính chiều cao của ngựa bằng xăng-ti-mét (C).

C = 2,5 (4H + I) trong đó: C là chiều cao được tính bằng xăng-ti-mét

H là chiều cao được tính bằng gang tay

I là chiều cao được tính bằng inch.

Sasha có một con ngựa cao 16 gang tay và 1 inch. Bạn ấy sử dụng công thức để tính chiều cao của ngựa bằng xăng-ti-mét.

C = 2,5(4 × 16 cm

Tính chiều cao bằng xăng-ti-mét của ngựa có chiều cao: a 14 gang tay và 2 inch b 15 gang tay và 3 inch c 13 gang tay và 1 inch d 17 gang tay và 2 inch e gang 12 gang tay.

12 Xavier uses this formula to work out the volume of a triangular prism.

V bhl = 2 where: V is the volume; b is the base; h is the height; l is the length.

Xavier compares two prisms.

Prism A has a base of 8 cm, height of 5 cm and length of 18 cm.

Prism B has a base of 9 cm, height of 14 cm and length of 6 cm.

Xavier works out that Prism A has the larger volume by 12 cm3 Is Xavier correct? Explain your answer.

Think like a mathematician

13 Work with a partner to answer this question.

Discuss which answers are correct. Identify the mistakes that have led to the incorrect answers. Make x the subject of each formula. Write which answer is correct, A, B or C.

a y = x + 9 A x = y + 9 B x = y 9 C x = 9 y

b y = mx A x = my B x m y = C x y m =

c y = x c A x = y + c B x = y c C x = c y

d y x k = A x y k = B x = ky C x k y =

e y = 7x 3 A x y = + 3 7 B x y =+ 7 3 C x y = 3 7

Tip Remember that bhl means b× h× l.

Tip To answer this question, you will need to critique the given answers and improve them.

14 a Use the formula T = mg to work out the value of T when m = 4.5 and g = 10.

b Rearrange the formula T = mg to make m the subject.

c Use your formula to work out the value of m when T = 320 and g = 10.

15 a Use the formula h = k d to work out the value of h when k = 72 and d = 37.

b Rearrange the formula h = k d to make k the subject.

c Use your formula to work out the value of k when h = 0.42 and d = 1.83

Tip Use inverse operations on T= m × g to make the formula m =

2 Biểu thức, công thức và phương trình

12 Xavier sử dụng công thức dưới đây để tính thể tích của một khối lăng trụ tam giác:

V bhl = 2 , trong đó V là thể tích; b là độ dài cạnh đáy; h là chiều cao khối lăng trụ; l là độ dài chiều cao của tam giác đáy.

Xavier so sánh hai khối lăng trụ.

Khối lăng trụ A có độ dài cạnh đáy là 8 cm, chiều cao là 5 cm và độ dài đường cao của tam giác đáy là 18 cm. Khối lăng trụ B có độ dài cạnh đáy là 9 cm, chiều cao là 14 cm và độ dài đường cao của tam giác đáy là 6 cm. B x = ky C x k y = e y = 7x 3 A x y = + 3 7 B x y =+ 7 3 C x y = 3 7

Xavier

Mách nhỏ Để trả lời câu hỏi này, em cần phản biện các phương án đã cho và cải tiến chúng.

Mách nhỏkhi = 4,5 và g = 10.

b Biến đổi công thức T = mg để lập công thức biểu diễn m.

c Sử dụng công thức em vừa lập để tính giá trị của m khi T = 320 và g = 10.

15 a Sử dụng công thức h = k − d để tính giá trị của h khi = 72 và d = 37.

b Biến đổi công thức h = k − d để lập công thức biểu diễn

c Sử thức 0,42 và = 1,83

16 a Use the formula f w p = to work out the value of f when w = 60 and p = 12.

b Rearrange the formula f w p = to make w the subject.

c Use your formula to work out the value of w when f = 0.25 and p = 52.

17 Polly and Theo use different methods to work out the answer to a question. This is what they write.

Question

Use the formula P= 3n + b to work out the value of n when P= 72 and b= 6. Answers Polly Theo Step 1: Make n the subject of the formula.

P= 3n + b P− b= 3n

P b 3 = n n = P− b 3

a Look at Polly and Theo’s methods.

Do you understand both methods?

P= 3n + b 72 = 3n + 6

Step 2: Substitute in the numbers. n = 72 6 3 = 66 3 = 22 Step 1: Substitute in the numbers.

Step 2: Solve the equation.

72 6 = 3n 66 = 3n 66 3 = n 22 = n n = 22

Do you think you would be able to use both methods?

b Which method do you prefer and why?

c Use your preferred method to answer these questions.

i Use the formula H = 6p k to work out the value of p when H = 40 and k = 14.

ii Use the formula y = mx + 7 to work out the value of m when y = 25 and x = 3.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

16 a Sử dụng công thức f w p = để tính giá trị của f khi w = 60 và p = 12.

b Biến đổi công thức f w p = để lập công thức biểu diễn w.

c Sử dụng công thức em vừa lập để tính giá trị của w khi f = 0,25 và p = 52.

17 Polly và Theo sử dụng các phương pháp khác nhau để tìm đáp số cho một câu hỏi.

Dưới đây là lời giải của hai bạn.

Câu hỏi Sử dụng công thức P=3n+b để tính giá trị của n khi P=72 và b=6. Lời giải

Polly Theo

Bước 1: Lập công thức thể hiện n.

P = 3n + b P b = 3n P b 3 = n n = P b 3

Bước 2: Thế các số vào công thức. n = 72 6 3 = 66 3 = 22

Bước 1: Thế các số vào công thức.

P = 3n + b 72 = 3n + 6

Bước 2: Giải phương trình. 72 6 = 3n 66 = 3n 66 3 = n 22 = n n = 22

a Quan sát phương pháp giải của Polly và Theo.

Em hiểu cả hai phương pháp này không?

Em có thể sử dụng cả hai phương pháp này không?

b Em thích phương pháp nào hơn và tại sao?

c Sử dụng phương pháp em thích hơn để làm hai câu sau:

i Sử dụng công thức H = 6p − k để tính giá trị của p khi H = 40 và k = 14.

ii Sử dụng công thức y = mx + 7 để tính giá trị của m khi y = 25 và x = 3.

Summary checklist

I can substitute numbers into expressions.

I can write formulae.

I can understand and use formulae. I can change the subject of formulae.

2.3 Expanding brackets

In this section you will …

• expand brackets.

To expand brackets, multiply each term inside the brackets by the term directly in front of the brackets.

Tip

Expanding brackets is sometimes called multiplying out brackets.

Worked example 2.3

a Expand these expressions. i 3(2b + 5) ii a(a 3)

b Expand and simplify this expression. 4(2x + 3x2) x(6 + x)

Answer

a i 3(2b + 5) = 3 × 2b + 3 × 5 = 6b + 15 ii a(a 3) = a × a a × 3 = a2 3a

b 4(2x + 3x2) x(6 + x) = 8x + 12x2 6x x2 = 2x + 11x2

Multiply 3 by 2b then multiply 3 by 5.

Key words expand brackets

Simplify 3 × 2b to 6b and simplify 3 × 5 to 15.

Multiply a by a then multiply a by −3.

Simplify a × a to a 2 and simplify a × −3 to −3a.

Start by multiplying out both brackets.

So, 4 × 2x = 8x, 4 × 3x2 = 12x2, −x × 6 = −6x, −x × x = x2

Collect like terms: 8x 6x = 2x and 12x2 x2 = 11x2

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể thay các số vào biểu thức.

Em có thể viết các công thức.

Em có thể hiểu và sử dụng các công thức.

Em có thể thay đổi chủ thể của công thức.

Trong phần này, em sẽ…

• khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc.

Để khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc, em hãy nhân từng hạng tử ở bên trong dấu ngoặc với nhân tử ngay trước dấu ngoặc.

Mách nhỏ Khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc đôi khi còn được gọi là phép nhân phá dấu ngoặc.

Từ khoá khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc

a Khai triển các biểu thức: i 3(2b + 5) ii a(a 3)

b Khai triển và rút gọn biểu thức sau: 4(2x + 3x2) x(6 + x)

Lời

a i 3(2b + 5) = 3 × 2b + 3 × 5 = 6b + 15 ii a(a 3) = a × a a × 3 = a2 3a

b 4(2x + 3x2) x(6 + x) = 8x + 12x2 6x x2 = 2x + 11x2

Nhân 3 với 2b rồi nhân 3 với 5.

Rút gọn 3 × 2b thành 6b và rút gọn 3 × 5 thành 15.

Nhân a với a rồi nhân a với −3.

Rút gọn a × a thành a 2 và rút gọn a × (−3) thành −3a.

Bắt đầu với phép nhân phá dấu ngoặc.

Ta có: 4 × 2x = 8x; 4 × 3x2 = 12x2; −x × 6 = −6x; −x × x = x2

Rút gọn các hạng tử đồng dạng: 8x 6x = 2x và 12x2 x2 = 11x2 .

Exercise 2.3

1 Copy and complete the working. Expand the brackets.

a 3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 b 8(y 2) = 8 × y 8 × 2 = 3x + = 8y

c 9(3q 4) = 9 × 3q 9 × 4 =

2 Expand each expression.

a 4(x + 6) b 7(z 2) c 2(a + 8) d 6(3 4e)

e 2(2p + 3q) f 9(6t 2s) g 7(6xy 2z) h 5(2x + y + 4)

3 Copy and complete the working. Expand the brackets.

a x(y + 3) = x × y + x × 3 b y(y 2) = y × y y × 2 = xy + = y2 c p(3 + 4p) = p × 3 + p × 4p d q(6q 15) = q × 6q q × 15 = + 4p2 =

4 Expand each expression.

a y(y + 8) b z(2w 1) c m(m 4) d n(2n + 5) e n(9 8n) f a(1 3b) g e(2e + 7f) h g(3h + 7g) i h(2h 5k) j d(3c 5e)

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Bài tập 2.3

1 Chép lại và hoàn thành các phép tính. Khai triển các biểu thức có chứa dấu ngoặc sau:

a 3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 b 8(y 2) = 8 × y 8 × 2 = 3x +  = 8y c 9(3q 4) = 9 × 3q 9 × 4 =

2 Khai triển các biểu thức:

a 4(x + 6) b 7(z 2) c 2(a + 8) d 6(3 4e) e 2(2p + 3q) f 9(6t 2s) g 7(6xy 2z) h 5(2x + y + 4)

3 Chép lại và hoàn thành các phép tính. Khai triển các biểu thức có chứa dấu ngoặc x(y + 3) × y + x × y(y 2) = y × y y × 2 xy y p(3 + × q(6q 15) q × 6q ×

4 Khai triển y(y + z(2w 1) m(m 4) d n(2n + 5) n(9 8 a(1 3b g e(2e + 7f) h g(3h + 7g h(2h (3c 5

6 Jing, Jun and Amira compare the methods they use to expand the bracket 5k(6m 8k).

Jing uses the method shown in Question 3.

Jun uses a multiplication box. Amira uses multiplication arcs. 5k(6m 8k)

= 5k × 6m 5k × 8k = 30km 40k2

× 6m –8k 5k 30km –40k2 So 5k(6m 8k) = 30km – 40k2

5k(6m – 8k) = 30km – 40k2 So 5k(6m 8k) = 30km 40k2

a What do you think about Jing, Jun and Amira’s methods?

b Which method do you think is best for expanding brackets correctly? Explain why.

c Use your favourite method to expand

i 2x(x + 3y) ii 3y(5y + 6) iii 4b(6b 2a) iv 2f(2f + g 3)

7 Here are some expression cards. Sort the cards into groups of equivalent expressions.

A 286 2 xx x+ () 1032 2 xx + () 21229xx(+ )

D 210152 368 2 (+ ) 564 3 + 6342 x+ () I xx 21216 (+ )

Think like a mathematician

Tip For card A, 2x(8x2 + 6x) = 16x3 + 12x2

8 Work with a partner to discuss this question. Look at this expansion. x(2x + 5) + 3x(2x + 4) = 2522612xx xx++ +

a How would the expansion change if the + changed to ? Here is the expansion again. x(2x + 5) + 3x(2x + 4) = 2522612xx xx++ +

b How would the expansion change if both the + changed to ? c Copy these expansions and fill in the missing signs (+ or −).

2 Biểu thức, công thức và phương trình

6 Jing, Jun và Amira so sánh cách các bạn khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc: 5k(6m 8k).

Jing dùng cách làm như trong Câu hỏi 3.

5k(6m 8k)

Jun dùng bảng phép nhân. Amira dùng mũi tên hình cung để thể hiện phép nhân.

= 5k × 6m 5k × 8k = 30km 40k2 Do đó 5k(6m 8k) = 30km 40k2 5k(6m 8k) = 30km 40k2 Do đó 5k(6m 8k) = 30km 40k2

a Em hãy nhận xét về cách làm của Jing, Jun và Amira.

b Em nghĩ cách làm nào hay nhất để khai triển biểu thức có chứa dấu ngoặc chính xác? Giải thích câu trả lời của em.

c Áp dụng cách làm yêu thích của em để khai triển: i 2x(x + 3y) ii 3y(5y + 6) iii 4b(6b 2a) iv 2f(2f + g 3)

7 Cho các biểu thức dưới đây.

Phân loại các biểu thức sau vào các nhóm biểu thức tương đương.

A 286 2 xx x+ () B 1032 2 xx + () C

2 Expressions, formulae equations

9 Expand each expression and simplify by collecting like terms.

a x(x + 2) + x(x + 5)

b z(2z + 1) + z(4z + 5)

c u(2u + 5) u(u + 3) d w(6w + 2x) 2w(2w 9x)

10 This is part of Shen’s homework. He has made a mistake in every question.

Question

Expand and simplify

1 8(x + 5) – 3(2x + 7) 2 a(2b+ c) + b(3c – 2a)

3 2y(y + 5x) + x(3x + 4y)

1 8(x + 5) 3(2x + 7) = 8x + 40 6x + 21 = 2x + 61

2 a(2b+ c) + b(3c 2a) = 2ab+ ac + 3bc 2ab= ac + 3bc= 3abc2

3 2y(y + 5x) + x(3x + 4y) = 2y2 + 10xy + 9x2 + 4xy = 9x2 + 2y2 + 14xy

a Explain what Shen has done wrong. b Work out the correct answers.

Activity 2.3

Work with a partner to answer this question. Here are six expressions.

A x(5x + 2) + 3x(4x + 1) B y(y2 + 4) + 6y2(y + 8)

C 72 71 29pp pp() +- + D 618345 2kk k+- ()

E 542222nn nn() () + F 8m ( m + 3) 2m (4m 3)

a Choose one of the expressions and ask your partner to expand the brackets and simplify the expression. While they are working, you work out the answer too. Mark your partner’s work. If your answers are different, discuss any mistakes that have been made.

b Now ask your partner to choose an expression for you. Expand the brackets and simplify the expression. Ask your partner to mark your work. Discuss any mistakes that have been made.

c Do this twice each, so four of the expressions have been chosen altogether.

Summary checklist

I can multiply out a bracket and collect like terms.

9 Khai triển và rút gọn mỗi biểu thức bằng cách rút gọn các hạng tử đồng dạng.

a x(x + 2) + x(x + 5) z(2z + 1) + z(4z + 5) u(2u + 5) (u + 3) w(6w + 2x) 2w(2w 9x)

10 Dưới đây là một phần bài tập về nhà của Shen. Bạn ấy đã mắc lỗi sai ở mỗi câu 8(x + 5) x + 7) a(2b + c) + b(3c 2a) 2y(y + 5x) + x(3x + 4y) giải

1 8(x + 5) 3(2x + 7) = 8x + 40 6x + 21 = 2x + 61

2 a(2b + c) + b(3c 2a) = 2ab + ac + 3bc 2ab = ac + 3bc = 3abc2

3 2y(y + 5x) + x(3x + 4y) = 2y2 + 10xy + 9x2 + 4xy = 9x2 + 2y2 + 14xy

a Giải thích lỗi sai của bạn ấy.

b Tính lại đáp số đúng.

Hoạt động 2.3

Làm việc với một bạn trong lớp để trả lời câu hỏi sau.

Cho 6 biểu thức:

A x(5x + 2) + 3x(4x + 1) B y(y2 + 4) + 6y2(y + 8)

C 72 71 29pp pp() +- + D 618345 2kk k+- ()

E 542222nn nn() () + F 8m ( m + 3) 2m (4m 3)

a Chọn một trong các biểu thức và yêu cầu bạn của em khai triển và rút gọn biểu thức.

Trong khi bạn làm, em cũng cùng làm để tìm ra đáp số.

Chấm điểm cho bài làm của bạn ấy. Nếu đáp số của hai em khác nhau, hãy thảo luận lỗi sai hai em đã mắc phải.

b Bây giờ, em hãy yêu cầu bạn ấy chọn một biểu thức cho em.

Khai triển và rút gọn biểu thức.

Yêu cầu bạn ấy chấm điểm cho bài làm của em. Thảo luận về đáp số rút gọn.

c Mỗi bạn thực hiện yêu cầu hai lần, nên bốn trong số các biểu thức ở trên đã được chọn.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể thực hiện phép nhân phá dấu ngoặc và rút gọn các hạng tử đồng dạng.

2.4 Factorising

In this section you will …

• use the HCF to factorise an expression.

To expand a term with brackets, you multiply each term inside the brackets by the term outside the brackets.

When you factorise an expression, you take the highest common factor (HCF) and put it outside the brackets.

Worked example 2.4

Factorise these expressions.

4(x + 3) = 4x + 12

Key words factorisations factorise highest common factor (HCF)

4x + 12 = 4(x + 3)

a 2x + 10 b 8 12y c 4a + 8ab d xx 2 5

Answer

a 2x + 10 = 2(x + 5)

b 8 12y = 4(2 3y)

The HCF of 2x and 10 is 2, so put 2 outside the brackets.

Divide both terms by 2 and put the results inside the brackets.

Check the answer by expanding: 2 × x = 2x and 2 × 5 = 10.

The HCF of 8 and 12y is 4, so put 4 outside the brackets.

Divide both terms by 4 and put the results inside the brackets.

Check the answer by expanding: 4 × 2 = 8 and 4 × −3y = −12y.

c 4a + 8ab = 4a(1 + 2b)

d x2 −5x = x(x 5)

The HCF of 4a and 8ab is 4a, so put 4a outside the brackets.

Divide both terms by 4a and put the results inside the brackets.

Check the answer: 4a × 1 = 4a and 4a × 2b = 8ab.

The HCF of x2 and 5x is x, so put x outside the brackets.

Divide both terms by x and put the results inside the brackets.

Check the answer: x × x = x2 and x × −5 = −5x

2 Biểu thức, công thức và phương trình

2.4 Phân tích biểu thức thành nhân tử

Trong phần này, em sẽ…

• sử dụng ƯCLN để phân tích một biểu thức thành nhân tử.

Để khai triển một hạng tử có chứa dấu ngoặc, em nhân từng hạng tử ở bên trong dấu ngoặc với nhân tử ở bên ngoài dấu ngoặc.

Khi phân tích một biểu thức thành nhân tử, em tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và đặt nó ở bên ngoài dấu ngoặc.

Ví dụ minh hoạ 2.4

Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử:

Từ khoá

4x + 12 = 4(x + 3)

phép phân tích biểu thức thành nhân tử phân tích biểu thức thành nhân tử ước chung lớn nhất (ƯCLN)

a 2x + 10 b 8 12y c 4a + 8ab d xx 2 5 Lời giải

a 2x + 10 = 2(x + 5) ƯCLN của 2x và 10 là 2, nên ta đặt 2 ở bên ngoài dấu ngoặc.

Chia cả hai hạng tử cho 2 và đặt đáp số ở bên trong dấu ngoặc.

Kiểm tra đáp số bằng cách khai triển: 2 × x = 2x và 2 × 5 = 10.

b 8 12y = 4(2 3y) ƯCLN của 8 và 12y là 4, nên ta đặt 4 ở bên ngoài dấu ngoặc.

Chia cả hai hạng tử cho 4 và đặt đáp số ở bên trong dấu ngoặc.

Kiểm tra đáp số bằng cách khai triển: 4 × 2 = 8 và 4 × −3y = −12y

c 4a + 8ab = 4a(1 + 2b) ƯCLN của 4a và 8ab là 4a, nên ta đặt 4a ở bên ngoài dấu ngoặc.

Chia cả hai hạng tử cho 4a và đặt đáp số ở bên trong dấu ngoặc.

Kiểm tra đáp số: 4a × 1 = 4a và 4a × 2b = 8ab. d x2 −5x = x(x 5) ƯCLN của x2 và 5x là x, nên ta đặt ở bên ngoài dấu ngoặc.

Chia cả hai hạng tử cho x và đặt đáp số ở bên trong dấu ngoặc.

Kiểm tra đáp số: x × x = x2 và x × −5 = −5x. 4(x + 3) = 4x + 12

Exercise 2.4

1 Copy and complete these factorisations.

All the numbers you need are in the cloud.

a 3x + 15 = 3(x + ) b 10y 15 = 5(2y )

c 14 28x = 7( − 4x) d 12 9y = 3( 3y)

2 Copy and complete these factorisations. All the numbers you need are in the cloud.

a 4x2 + 5x = x(4x + ) b 6xy + 12y = 6y(x + )

c 7y 7y2 = 7y( y) d 21x 12xy = 3x( 4y)

Think like a mathematician

3 In pairs or a small group, discuss what Marcus and Arun say.

Do you agree with Arun? Explain your answer. 2 3 4 5 1 2 5 7

When I factorise 6x + 18 I get 3(2x + 6) I don’t, I get 6(x + 3) so one of us must be wrong!

4 Factorise each of these expressions.

Each one has a highest common factor of 2.

a 2x + 4 b 4b 6 c 8 + 10y d 18 20m

5 Factorise each of these expressions. Each one has a highest common factor of 3. a 18 + 21p b 3y 18 c 9 + 15m d 12 27x

6 Factorise each of these expressions. Make sure you use the highest common factor. a 10z + 5 b 8a 4 c 14 + 21x d 18 24z

1 Chép lại và hoàn thành các phép phân tích biểu thức thành nhân tử dưới đây.

Tất cả các số cần điền có ở hình bên. 3x + 15 = 3(x + ) b 10y 15 = 5(2y ) c 14 28x = 7( − 4x) d 12 9y = 3( 3y)

2 Chép lại và hoàn thành các phép phân tích biểu thức thành nhân tử dưới đây. Tất cả các số cần điền có ở hình bên. thức sau thành nhân tử. Đảm bảo rằng em sử dụng ước chung lớn nhất. 10z + 5 8a 4 14 + 21x 18 24z

a 4x2 + 5x = x(4x + ) 6xy + 12y = 6y(x + ) 7y 7y2 = 7y( y) 21x 12xy = 3x( 4y)

Khi tớ phân tích biểu thức 6x + 18 thành nhân tử, tớ được đáp số là 3(2x + 6)

Tớ không giải ra đáp số giống cậu. Tớ được đáp số là 6(x + 3), nên một trong hai chúng ta đã làm sai!

Think like a mathematician

7 In pairs or a small group, discuss what Zara and Sofia say.

I think the highest common factor of 6x and 9x2 is 3.

I think the highest common factor of 6x and 9x2 is 3x

a What do you think? Explain your answer. b What is the highest common factor of i 8y and 4y2 ii 12p2 and 15p iii 4ab and 5a?

8 Each expression on a yellow card has been factorised to give an expression on a blue card. Match each yellow card with the correct blue card.

A 6x2 + 12x B 6x2 + 15x C 6x2 + 9x D 6x2 + 18x i 3x(2x + 5) ii 6x(x + 3) iii 6x(x + 2) iv 3x(2x + 3)

9 Factorise each of these expressions.

a 3x2 + x b 6y2 12y c 3b + 9b2 d 12n 15n2 e 18y 9x f 12y + 9x g 8xy 4y h 15z + 10yz

10 Copy and complete these factorisations.

a 2x + 6y + 8 = 2(x + 3y + ) b 4y 8 + 4x = 4(y + x) c 9xy + 12y 15 = 3(3xy + 5) d 5x2 + 2x + xy = x(5x + + ) e 9y y2 xy = y( ) f 3y2 9y + 6xy = 3y( + )

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Tư nhà Toán

7 Thảo luận với một bạn trong lớp hoặc theo nhóm nhỏ về Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử: 3x2 + x b 6y2

8 Các biểu thức ở hàng trên được phân tích thành nhân tử và cho đáp số ở hàng dưới. Nối mỗi biểu thức trong thẻ màu vàng với đáp số trong thẻ màu xanh dương tương ứng.

A 6x2 + 12x B 6x2 + 15x C 6x2 + 9x D 6x2 + 18x i 3x(2x + 5) ii 6x(x + 3) iii 6x(x + 2) iv 3x(2x + 3)

11 Read what Zara says.

When I expand 5(2x + 6) + 2(3x 5), then collect like terms and finally factorise the result, I get the expression 4(4x + 5)

Show that she is right.

12 Read what Marcus says.

When I expand 6(3y + 2) 4(y 2), then collect like terms and finally factorise the result, I get the expression 2(7y + 2)

Show that he is wrong.

Explain the mistake Marcus has made.

13 The diagrams show two rectangles.

2a length

3dA B

length

The area of rectangle A is 2a2 + 18a The perimeter of rectangle B is 14d 10c.

Write an expression for the length of each rectangle, in its simplest form.

Work with a partner. Take it in turns to define the following terms.

a What is a factor?

b What is the highest common factor?

c What is factorising?

How did your answers to a and b help with your answer to c?

Summary checklist

Tip You need to factorise the expressions to find the lengths of A and B. You will need an extra step first for rectangle B.

I can use the highest common factor (HCF) to factorise an expression.

11 Đọc phát biểu của Zara.

Tớ khai triển biểu thức 5(2x + 6) + 2(3x 5), rồi rút gọn các hạng tử đồng dạng, cuối cùng phân tích đáp số đó thành nhân tử, tớ thu được biểu thức 4(4x + 5)

Chỉ ra rằng bạn ấy làm đúng.

12 Đọc phát biểu của Marcus.

Tớ khai triển biểu thức 6(3y + 2) 4(y 2), rồi rút gọn các hạng tử đồng dạng, cuối cùng phân tích đáp số đó thành nhân tử, tớ thu được biểu thức 2(7y + 2)

Chỉ ra rằng bạn ấy làm sai. thích lỗi sai mà Marcus đã mắc phải. Cho hai hình chữ nhật sau: ề a ều dài d

Diện tích của hình chữ nhật A là 2a2 + 18a vi của hình chữ nhật B là 14d 10c. biểu thức thể hiện chiều dài của mỗi hình nhỏ

Em cần phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử để tìm được chiều dài của hình A và B. Đối với hình chữ nhật B, trước hết, em sẽ cần thực hiện một bước bổ sung.

2.5 Constructing and solving equations

In this section you will … • write and solve equations. Key word construct

You already know the difference between a formula, an expression and an equation.

Remember Examples

A formula is a rule that shows the relationship between two or more quantities (variables). It must have an equals sign.

An expression is a statement that involves one or more variables, but does not have an equals sign.

F= ma v = u + 10t

3x 7 ab 2 2+

An equation contains an unknown number. It must have an equals sign, and it can be solved to find the value of the unknown number. 3x 7 = 14 4 = 6y + 22

When you are given a problem to solve, you may need to construct, or write, an equation.

Worked example 2.5

a Write if each of the following is a formula, an expression or an equation. i 4c + 3e ii P = 8h + b iii 9k 2 = 16

b The diagram shows a rectangle. Work out the values of x and y.

Answer

a i expression 4c + 3e involves two variables but does not have an equals sign.

ii formula P = 8h + b is a rule showing the relationship between three quantities, P, h and b

iii equation 9k 2 = 16 contains an unknown number, k, it has an equals sign, and it can be solved to find the value of k. 3(x + 3) cm 24 cm 5y − 4 cm 3y + 8 cm

Em đã biết sự khác nhau giữa công thức, biểu thức và phương trình.

Ghi nhớ Ví dụ

Công thức là một quy tắc thể hiện mối quan hệ giữa hai hoặc nhiều đại lượng (biến). Công thức phải có dấu bằng.

F= ma

v = u + 10t

3x 7 ab 2 2+ Phương trình chứa một ẩn. Phương trình phải có dấu bằng và có thể giải được để tìm ra giá trị của ẩn đó.

Biểu thức là một phép toán bao gồm một hoặc nhiều biến, nhưng không có dấu bằng.

3x 7 = 14 4 = 6y + 22

Khi giải một bài toán cho trước, em có thể cần phải lập hoặc viết một phương trình.

iii phương trình 9k 2 = 16 chứa ẩn k. Nó có dấu bằng và có thể giải được để tìm giá trị của k. 3(x + 3) cm 24 cm 5y − 4 cm 3y + 8 cm

Continued

b 3(x + 3) = 24

3x + 9 = 24

3x + 9 9 = 24 9

3x = 15 x = 15 3 = 5

5y 4 = 3y + 8

5y 4 3y = 3y + 8 3y 2y 4 = 8 2y 4 + 4 = 8 + 4

The two lengths must be equal, so construct an equation by writing one length equal to the other.

First, multiply out the brackets.

Then use inverse operations to solve the equation. Start by subtracting 9 from both sides.

Simplify both sides of the equation. Divide 15 by 3 to find the value of x.

The two widths must be equal, so write one width equal to the other.

Rewrite the equation by subtracting 3y from both sides.

Simplify. Use inverse operations to solve the equation. Start by adding 4 to both sides.

2y = 12 y = 12 2 = 6

Exercise 2.5

Simplify both sides of the equation. Divide 12 by 2 to work out the value of y.

1 Write if each of the following is a formula, an expression or an equation.

a 3y + 7 = 35 b 6(x + 5) c T = 3a2 8d d 9u vw

2 Copy and complete the workings to solve these equations.

a 3x + 5 = 26 (subtract 5 from both sides)

3x + 5 5 = 26 5 (simplify) 3x = (divide both sides by 3) x = 3 (simplify) x =

b 4(x 3) = 24 (multiply out the brackets) 4x 12 = 24 (add 12 to both sides)

4x 12 + 12 = 24 + 12 (simplify) 4x = (divide both sides by 4) x = 4 (simplify) x =

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Tiếp theo

b

2y = 12 y = 12 2 = 6

Bài tập 2.5

Hai cạnh chiều dài bằng nhau, nên ta lập một phương trình với chiều dài cạnh này bằng chiều dài cạnh kia.

Đầu tiên, nhân phá dấu ngoặc.

Sau đó dùng các phép toán ngược để giải phương trình.

Đầu tiên, trừ cả hai vế cho 9.

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Chia 15 cho 3 để tìm giá trị của x

Hai cạnh chiều rộng bằng nhau, nên ta viết chiều rộng cạnh này bằng chiều rộng cạnh kia.

Viết lại phương trình bằng cách trừ cả hai vế cho 3y.

Rút gọn.

Dùng các phép toán ngược để giải phương trình.

Đầu tiên, cộng 4 vào cả hai vế.

Rút gọn cả hai vế của phương trình.

Chia 12 cho 2 để tìm giá trị của y.

1 Xác định đâu là công thức, biểu thức hay phương trình.

a 3y + 7 = 35 b 6(x + 5)

c T = 3a2 8d d 9u vw

2 Chép lại và hoàn thành các bước tính để giải các phương trình sau.

a 3x + 5 = 26 (trừ cả hai vế cho 5) 3x + 5 5 = 26 5 (rút gọn) 3x = (chia cả hai vế cho 3) x = 3 (rút gọn) x =

b 4(x 3) = 24 (nhân phá dấu ngoặc) 4x 12 = 24 (cộng cả hai vế với 12) 4x 12 + 12 = 24 + 12 (rút gọn) 4x = (chia cả hai vế cho 4) x = 4 (rút gọn) x =

c y 4 10 1-= (add 10 to both sides) y 4 10 + 10 = 1 + 10 (simplify) y 4 = (multiply both sides by 4) y = × 4 (simplify) y =

d 6y + 2 = 4y + 18 (subtract 4y from both sides) 6y 4y + 2 = 4y 4y + 18 (simplify) y + 2 = 18 (subtract 2 from both sides) y + 2 2 = 18 (simplify) y = (divide both sides by ) y = (simplify) y =

3 For each learner

i write an equation to represent what they say ii solve your equation to find the value of x The first one has been started for you.

a

My sister is 15 years old. My Dad is x years old. Half of my Dad’s age minus 3 is the same as my sister’s age.

x 2 − 3 = 15 x 2 − 3 + 3 = 15 + 3 x 2 = x = × 2 x =

b c

My brother is 12 years old. My Mum is x years old. One-third of my Mum’s age plus 1 is the same as my brother’s age.

My Aunt is 30 years old. My Gran is x years old. One-quarter of my Gran’s age plus 9 is the same as my Aunt’s age.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

c y 4 10 1-= (cộng cả hai vế với 10) y 4 10 + 10 = 1 + 10 (rút gọn) y 4 = (nhân cả hai vế với 4) y = × 4 (rút gọn) y =

d 6y + 2 = 4y + 18 (trừ cả hai vế cho 4y) 6y 4y + 2 = 4y 4y + 18 (rút gọn) y + 2 = 18

(trừ cả hai vế cho 2) y + 2 2 = 18 (rút gọn) y =

(chia cả hai vế cho ) y = (rút gọn) y =

3 Với mỗi bạn dưới đây, hãy:

i viết một phương trình biểu diễn phát biểu của các bạn.

ii giải phương trình để tìm giá trị của x Phương trình đầu tiên đã được viết và giải một phần.

a

Em trai tớ 12 tuổi.Mẹ tớ x tuổi. Một phần ba tuổi của mẹ tớ cộng thêm 1 thì bằng tuổi của em trai tớ.

Chị gái tớ 15 tuổi.Bố tớ x tuổi. Một nửa tuổi của bố tớ trừ đi 3 thì bằng tuổi của chị tớ. b c x 2 3 = 15 x 2 3 + 3 = 15 + 3 x 2 = x = × 2 x =

Dì tớ 30 tuổi.Bà tớ x tuổi. Một phần tư tuổi của bà tớ cộng thêm 9 thì bằng tuổi của dì tớ.

Think like a mathematician

4 Marcus and Sofia are discussing what equation to write to answer this question. The diagram shows an isosceles triangle. All measurements are in centimetres. Work out the value of y

As the triangle is an isosceles triangle, the two sides shown are equal in length.

So I would write the equation 2y + 7 = 5y 17 would write the equation y 17 = 2y + 7 because I think this is easier to solve.

5 Work out the value of x in each isosceles triangle. All measurements are in centimetres.

7 Work out the value of y in each shape. All measurements are in centimetres. your answers are

8 Work out the value of x and y in each diagram. All measurements are in centimetres. Show how to check your answers are correct.

9 Work in a group of three or four. For each part of this question:

i Write an equation to represent the problem.

ii Compare the equation you have written with the equations written by the other members of your group. Decide who has written the correct equation in the easiest way.

iii Solve the equation you chose in part ii.

a Emily thinks of a number. She multiplies it by 3 then adds 8. The answer is 23. What number did she think of?

b Anders thinks of a number. He divides it by 4 then subtracts 8. The answer is 5. What number did he think of?

c Sasha thinks of a number. She multiplies it by 5 then subtracts 4. The answer is the same as 2 times the number plus 20. What number did Sasha think of?

d Jake thinks of a number. He adds 5 then multiplies the result by 2. The answer is the same as 5 times the number take away 14. What number did Jake think of?

10 The diagram shows the sizes of the angles in a triangle.

a Write an equation to represent the problem.

b Solve your equation to find the value of n.

c Work out the size of each of the angles in the triangle.

Tip

Start by writing an expression for the total of the angles in the triangle. Then write an equation. Use the fact that the angles in a triangle add up to …

2 Biểu thức, công thức và phương trình

8 Tìm giá trị của x và y trong mỗi hình sau. Đơn vị đo độ dài là xăng-ti-mét. Trình bày cách em kiểm tra đáp số của mình. 5x − 3 y + y x + 1 y x y − y −

9 Làm việc theo nhóm ba hoặc bốn bạn. Đối với mỗi phần trong câu hỏi này, hãy:

i Viết phương trình biểu diễn bài toán.

ii So sánh phương trình em vừa viết với phương trình của các bạn khác trong nhóm. Quyết định xem ai là người viết đúng phương trình theo cách đơn giản nhất?

iii Giải phương trình mà các em đã chọn trong phần ii.

a Emily nghĩ đến một số. Bạn ấy nhân số đó với 3 rồi cộng với 8. Đáp số nhận được là 23. Bạn ấy đã nghĩ đến số nào?

b Anders nghĩ đến một số. Bạn ấy chia số đó cho 4 rồi trừ đi 8. Đáp số nhận được là 5. Bạn ấy đã nghĩ đến số nào?

c Sasha nghĩ đến một số. Bạn ấy nhân số đó với 5 rồi trừ đi 4. Đáp số nhận được gấp 2 lần số bạn ấy nghĩ đến và cộng với 20. Sasha đã nghĩ đến số nào?

d Jake nghĩ đến một số. Bạn ấy cộng với 5 rồi nhân đáp số đó với 2. Đáp số nhận được gấp 5 lần số bạn ấy nghĩ đến và trừ đi 14. Jake đã nghĩ đến số nào?

10 Hình bên thể hiện số đo của các góc trong một tam giác.

a Viết phương trình biểu diễn bài toán.

b Giải phương trình để tìm giá trị của n.

c Tính số đo của mỗi góc trong tam giác.

Mách nhỏ

Trước hết, viết biểu thức biểu diễn tổng các góc trong một tam giác.

Sau đó viết một phương trình. Áp dụng kiến thức về tổng các góc trong một tam giác bằng…

11 The diagram shows the sizes of the two equal angles in an isosceles triangle.

4x − 6 ° 2x + 18 °

a Write an equation to represent the problem.

b Solve your equation to find the value of x

c Work out the size of each of the angles in the triangle.

12 Solve these equations. Use the Tip box to help.

a 5(2x + 3) + 2(x 4) = 31

b 4(3x 1) 3(5 2x) = 35 c 2 3 8y = d 3 5 119y +=

13 This is part of Mo’s homework.

Question

Solve the equation 4(2b 3) = −8b Answer

Tip

Start by expanding the brackets and simplifying the left hand side. 2 3 y is the same as 2 3 × y so start by multiplying both sides by 3.

Divide both sides by 4 4(2b− 3) 4 = −8b 4 → 2b 3 = −2b

Add 3 to both sides 2b 3 + 3 = −2b+ 3 → 2b= −2b+ 3

Add 2b to both sides 2b+ 2b= −2b+ 2b+ 3 → 4b= 3

Divide both sides by 4 4b 4 = 3 4 → b= 3 4

You can see that instead of multiplying out the bracket, Mo’s first step is to divide both sides of the equation by 4. Use Mo’s method to solve these equations.

a 6(3a + 4) = 12a b 5(4c 9) = 25 c 3 4182 5 d ()+=

2 Biểu thức, công thức và phương trình

11 Hình dưới đây thể hiện số đo của hai góc bằng nhau trong một tam giác cân. 4x − 6 ° 2x + 18 °

a Viết phương trình biểu diễn bài toán.

b Giải phương trình để tìm giá trị của x c Tính số đo của mỗi góc trong tam giác.

12 Giải các phương trình sau. Tham khảo hộp Mách nhỏ để biết cách giải.

a 5(2x + 3) + 2(x 4) = 31 b 4(3x 1) 3(5 2x) = 35 c 2 3 8y = d 3 5 119y +=

13 Dưới đây là một phần trong bài tập về nhà của Mo.

Câu hỏi

Mách nhỏ

Trước hết, khai triển các biểu thức có chứa dấu ngoặc và rút gọn vế bên tay trái.

2 3 y = 2 3 × y nên đầu tiên ta nhân cả hai vế với 3.

Giải phương trình 4(2b 3) = −8b Lời giải Chia cả hai vế cho 4 4(2b 3) 4 = 8b 4 → 2b 3 = −2b

Cộng cả hai vế với 3 2b 3 + 3 = −2b + 3 → 2b = −2b + 3 Cộng cả hai vế với 2b 2b + 2b = −2b + 2b + 3 → 4b = 3 Chia cả hai vế cho 4 4b 4 = 3 4 → b = 3 4

Em có thể thấy thay vì nhân phá dấu ngoặc, bước đầu tiên của Mo là chia cả hai vế của phương trình cho 4. Áp dụng cách làm của Mo để giải các phương trình sau:

a 6(3a + 4) = 12a b 5(4c 9) = 25 c 3 4182 5 d ()+=

14 Art has these cards.

2y 14 18 −2 −20

He chooses one blue card, the red card and one yellow card to make an equation.

Which blue and yellow card should he choose to give him the equation with a the largest value for y b the smallest value for y?

Explain your decisions and show that your answers are correct.

Summary checklist

I can understand equations and solve them.

I can write equations and solve them.

2.6 Inequalities

In this section you will …

• use letters and inequalities to represent open and closed intervals.

You have already learned how to use a letter and an inequality sign to represent lots of numbers. Remember the inequality signs:

< means ‘is less than’

⩽ means ‘is less than or equal to’

> means ‘is greater than’

⩾ means ‘is greater than or equal to’ So if you see the inequality x > 5, this means that x can be any number greater than 5.

If you see the inequality y ⩽ 2, this means that y can be any number less than, or equal to, 2.

Key words closed interval inequality integer

Tip

Remember that you use an open circle ( ) for the < and > inequalities and a closed circle ( ) for the ⩽ and ⩾ inequalities.

Em đã học cách sử dụng chữ cái và dấu bất đẳng thức để đại diện cho rất nhiều số.

Ghi nhớ các dấu bất đẳng thức sau:

< có nghĩa là “nhỏ hơn” ⩽ có nghĩa nghĩa thể hơn thấy hoặc

If you see the inequality 3 ⩽ x < 9, this means that x is greater than or equal to 3 and is also less than 9. This inequality represents a closed interval. You can show this on a number line like this.

Tip

This closed interval includes the endpoints 3 and 9.

Worked example 2.6

a i Show the inequality 2 ⩽ x < 6 on a number line.

ii List the possible integer values for.

b i Show the inequality −5 < y ⩽ −1 on a number line.

ii List the possible integer values for y Answer

a i 87654321

ii 2, 3, 4, 5

b i −6−5−4−3−2−10

ii −4, −3, −2, −1

Tip

Remember that an integer is a whole number.

Use a closed circle for the ⩽ sign and start the line at 2.

Extend the line to 6, where you use an open circle for the < sign.

x is greater than or equal to 2, so 2 is the smallest integer. x is less than 6, so 5 is the greatest integer.

Use an open circle for the < sign and start the line at −5.

Extend the line to −1, where you use a closed circle for the ⩽ sign.

y is greater than −5, so −4 is the smallest integer.

y is less than or equal to −1, so −1 is the greatest integer.

Exercise 2.6

1 Write in words what each of these inequalities means. Part a has been done for you.

a 611 << x x is greater than 6 and less than 11 b 12 ⩽ x ⩽ 18

c 0 < 20

d −9 ⩽ < −1

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Nếu em thấy bất đẳng thức 3 ⩽ x < 9, thì có nghĩa x lớn hơn hoặc bằng 3 và nhỏ hơn 9. Bất đẳng thức này đại diện cho một khoảng đóng. Em có thể biểu diễn bất đẳng thức này trên trục số như sau. 10

a i Biểu diễn bất đẳng thức 2 ⩽ x < 6 trên trục số.

ii Liệt kê các giá trị nguyên của x.

b i Biểu diễn bất đẳng thức −5 < y ⩽ −1 trên trục số.

ii Liệt kê các giá trị nguyên của y Lời giải

Mách nhỏ

Khoảng đóng này gồm hai điểm giới hạn là 3 và 9.

Mách nhỏ

Nhớ rằng số nguyên là một con số.

a i 87654321 Sử dụng hình tròn đóng để thể hiện dấu ⩽ và bắt đầu đường kẻ tại số 2. Kéo dài đường kẻ đến số 6, tại điểm đó em sử dụng hình tròn mở thể hiện dấu < .

ii 2; 3; 4; 5 x lớn hơn hoặc bằng 2, nên số 2 là giá trị nguyên nhỏ nhất.

x nhỏ hơn 6, nên 5 là giá trị nguyên lớn nhất.

b i −6−5−4−3−2−10

Sử dụng hình tròn mở để thể hiện dấu < và bắt đầu đường kẻ tại số –5.

Kéo dài đường kẻ đến số −1, tại điểm đó em sử dụng hình tròn đóng thể hiện dấu ⩽.

ii −4; −3; −2; −1 y lớn hơn −5, nên −4 là giá trị nguyên nhỏ nhất.

y nhỏ hơn hoặc bằng −1, nên −1 là giá trị nguyên lớn nhất.

1 Viết các bất đẳng thức sau thành lời. Phần a đã được hoàn thành sẵn cho em. lớn hơn 6 và nhỏ hơn 11

2 Expressions, equations

2 Write each statement as an inequality. Part a has been done for you.

a y is greater than or equal to 3 and less than 17 3 <17< y b y is greater than 15 and less than 25 c y is greater than −2 and less than or equal to 5 d y is greater than or equal to −9 and less than or equal to −3

3 Copy each number line and show each inequality on the number line. 47 6 ⩽ x ⩽ 9 −4

4 Write the inequality that each of these number lines shows. the letter −3−2−1 0123 1012

Think like a mathematician

5 Sofia and Zara are looking at the inequality x > 5. In pairs or small groups, discuss Sofia’s and Zara’s comments.

The inequality x > 5 is equivalent to 2x > 10.

The inequality x > 5 is equivalent to x 2 > 3.

a How can you show that Sofia and Zara are correct?

b Write two different inequalities that are equivalent to x > 5.

c Is it possible to say how many different inequalities there are that are equivalent to x > 5? Explain your answer.

Tip

Remember that ‘equivalent to’ means ‘the same as’ or ‘equal to’.

6 Copy and complete these equivalent inequalities.

a x > 8 is equivalent to 3x > b x < 3 is equivalent to x < 15 c y > 7 is equivalent to y + 3⩾ d y ⩽ 2 is equivalent to y 4 ⩽

7 This is part of Ryan’s homework.

Question

Use the inequality 12 ⩽ x < 18 to write i the smallest integer that x could be ii the largest integer that x could be iii a list of the integer values that x could be. Answer

i smallest integer is 13 ii largest integer is 18 iii x could be 13, 14, 15, 16, 17, 18

a Explain the mistakes Ryan has made and write the correct solutions.

b Discuss your answers to part a with a partner. Make sure you have corrected all of Ryans’s mistakes.

8 For each of these inequalities, write i the smallest integer that y could be ii the largest integer that y could be iii a list of the integer values that y could be.

a 38 << y b 4 < y ⩽ 7 c 0 ⩽ y < 6 d −10 ⩽ y ⩽ −6

Think like a mathematician

9 Arun and Sofia are looking at the inequality 2 < y < 9. In pairs or small groups discuss Arun’s and Sofia’s comments.

I think the inequality 2 < y < 9 can be written as 9 > y > 2

What do you think? Explain your answers.

I think the inequality 2 < y < 9 can be written as 2 > y > 9

2 Biểu thức, công thức và phương trình

6 Chép lại và hoàn thành các bất đẳng thức tương đương dưới đây.

a x > 8 tương đương với 3x > b x < 3 tương đương với x < 15

c y > 7 tương đương với y + 3⩾ d y ⩽ 2 tương đương với y 4 ⩽

7 Dưới đây là một phần trong bài tập về nhà của Ryan.

Câu hỏi

Sử dụng bất đẳng thức 12 ⩽ x < 18 để viết:

i giá trị nguyên nhỏ nhất của x

ii giá trị nguyên lớn nhất của x

iii tất cả các giá trị nguyên của x.

Lời giải

i giá trị nguyên nhỏ nhất là 13

ii giá trị nguyên lớn nhất là 18

iii x có thể là 13; 14; 15; 16; 17; 18

a Giải thích lỗi sai Ryan đã mắc phải và viết lại lời giải đúng.

b Thảo luận với một bạn trong lớp về bài làm ở phần a của em. Đảm bảo rằng các em đã sửa hết tất cả lỗi sai của Ryans.

10 Write true (T) or false (F) for each statement.

Part a has been done for you.

a 7 ⩾ y > 3 means the same as 3 < y ⩽ 7 T

b 15 > y ⩾ 5 means the same as 5 < y ⩽ 15

c 10 ⩾ y ⩾ −6 means the same as −6 ⩽ y ⩽ 10

d 8 > y ⩾ −8 means the same as −8 < y ⩽ 8

11 Samir combines two inequalities into one.

The two inequalities m < 10 and m > 2 can be com bined like this: Step 1:

m > 2 is the same as 2 < m Step 2: The two inequalities are now 2 < m and m < 10

I can write these as one inequality: 2 < m < 10 I can use a number line to help me: 101286420

m > 2 or 2 < m 101286420 m < 10 101286420 2 < m < 10

a Use Samir’s method to combine each pair of inequalities into one.

Use a number line to help if you want to.

i m < 15 and m > 8

ii m ⩽ 10 and m > 7 iii m > 0 and m < 6

b Is it possible to write m > 14 and m < 8 as one inequality?

Give a reason for your answer. Discuss your answer with a partner.

2 Biểu thức, công thức và phương trình

10 Các phát biểu sau đây đúng (Đ) hay sai (S). Phần a đã được hoàn thành sẵn cho em.

a 7 ⩾ y > 3 tương đương với 3 < y ⩽ 7 Đ

b 15 > y ⩾ 5 tương đương với 5 < y ⩽ 15

c 10 ⩾ y ⩾ −6 tương đương với −6 ⩽ y ⩽ 10

d 8 > y ⩾ −8 tương đương với −8 < y ⩽ 8

11 Samir kết hợp hai bất đẳng thức thành một.

Hai bất đẳng thức m < 10 và m > 2 có thể kết hợp như dưới đây:

Bước 1: m > 2 có thể viết thành 2 < m 2:

Hai bất đẳng thức bây giờ là 2 < m và m < 10

Tớ có thể viết thành một bất đẳng thức khác:

2 < m < 10

Tớ có thể sử dụng trục số để hỗ trợ giải bài: 101286420 m > 2 hoặc 2 < m 101286420 m < 10 101286420 2 < m < 10

a Áp dụng phương pháp của Samir để kết hợp các cặp bất đẳng thức thành một.

Em có thể sử dụng trục số để hỗ trợ nếu muốn. i m < 15 và m > 8 ii m ⩽ 10 và m > 7 iii m > 0 và m < 6

b Có thể viết m > 14 và m < 8 thành một bất đẳng thức được không?

Giải thích câu trả lời của em.

Thảo luận bài làm của em với một bạn trong lớp.

12 This is part of Sandeep’s classwork.

Question

a Show the inequality 2 1 2 ⩽ m < 7 1 4 on a number line. b Write i the smallest integer that m could be ii the greatest integer that m could be iii a list of the integer values that m could be. Solution

a 67854321

b i smallest integer is 2 ii largest integer is 7 iii m could be 2, 3, 4, 5, 6, 7

a Sandeep has made two mistakes. What are they?

b For each of these inequalities, write i the smallest integer that m could be ii the greatest integer that m could be ii a list of the integer values that m could be. A 5 3 4 ⩽ m < 9 1 3 B 6 1 2 ⩽ m < −2 1 8

13 Zara is looking at this question. Draw a line linking each inequality on the left with: the correct smallest integer; the correct largest integer; and the correct list of integers. The first one has been done for you: a and ii and D and Z

Inequality Largest integers

2 Biểu thức, công thức và phương trình

12 Dưới đây là một phần trong bài tập trên lớp của Sandeep.

Câu hỏi

a Biểu diễn bất đẳng thức 2 1 2 ⩽ m < 7 1 4 trên trục số.

b Viết

i giá trị nguyên nhỏ nhất của m

ii giá trị nguyên lớn nhất của m

iii tất cả các giá trị nguyên của m.

Lời giải a 67854321

b i giá trị nguyên nhỏ nhất là 2

ii giá trị nguyên lớn nhất là 7

iii m có thể là 2; 3; 4; 5; 6; 7

a Sandeep đã mắc hai lỗi sai. Hai lỗi sai này là gì?

b Đối với mỗi bất đẳng thức sau, em hãy viết:

i giá trị nguyên nhỏ nhất của m

ii giá trị nguyên lớn nhất của m

ii tất cả các giá trị nguyên của m.

A 5 3 4 ⩽ m < 9 1 3 B 6 1 2 ⩽ m < −2 1 8

13 Zara đang xem câu hỏi sau.

Kẻ một đường thẳng nối bất đẳng thức ở bên trái với: giá trị nguyên nhỏ nhất thoả mãn; giá trị nguyên lớn nhất thoả mãn; tất cả các giá trị nguyên thoả mãn. Bất đẳng thức đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho nối với

Read Zara’s comments.

The method I am going to use is to identify the smallest integer for each inequality first. Then I’ll identify the largest integer for each inequality. Then I’ll work out the list of integers for each inequality.

a What do you think of Zara’s method? Can you improve her method, or suggest a better one?

b Use what you think is the best method to answer the question.

Summary checklist

I can understand inequalities. I can draw inequalities.

Check your progress

1 Jin thinks of a number, x

Write an expression for the number Jin gets when he divides the number by 2 then adds 5.

2 a Use the formula K = mg to work out K when m = 12 and g = 4 .

b Rearrange the formula K = mg to make m the subject.

c Use your formula in part b to work out m when K = 75 and g = 10.

3 Expand x(x + 3) 5y(7y 4w) 6x + 9 2y2 12

5 Work out the value of x and y in this diagram. measurements are in centimetres. x + 1) the inequality shown by this number line. Use the letter x

Project 1

Algebra chains

An algebra chain is a sequence of expressions where an input number is substituted as the value of x in the first expression, and then the output of each expression is substituted as the value of x in the following expression. So, in the algebra chain below: 3 is substituted for x in the expression 4x 10, giving the output 2 Then 2 is substituted for x in the expression 8x + 4, giving the output 20 4 8 + 4 20

Can you find a way to arrange the eight cards below into four algebra chains that take the inputs 1, 2, 3 and 4 and give the outputs 40, 30, 20 and 10? 20 4 10

Now choose any two cards and an input number. Work out what the output of your algebra chain would be. Tell a partner the input you chose and the output you got. Can your partner work out which cards you used? Can they still work it out when you make an algebra chain with three cards?

2 Biểu thức, công thức và phương trình

Dự

Chuỗi đại số Một chuỗi đại số là một dãy các biểu thức, trong đó số đầu vào thế cho giá trị của x trong biểu thức đầu tiên. Sau đó, số giá trị của biểu thức này thế cho giá trị của x trong biểu thức tiếp theo. Vì vậy, trong chuỗi đại số dưới đây: Khi thế 3 cho x trong biểu thức 4x 10, ta được số đầu ra là 2 Thế 2 cho x trong biểu thức 8x+4, ta được số đầu ra là 20 4x 10 8x + 4 20

Em có thể sắp xếp tám thẻ dưới đây thành bốn chuỗi đại số với các số đầu và và cho các số cuối là 40, 30, 20 và 10 không?

Bây giờ, em hãy chọn hai thẻ bất kì và một số

3 Place value and rounding

Getting started

1 Work out

a 4.5 × 10 b 18 × 10 82 × 100 4.6 × 100

2 Work out a 70 ÷ 10 b 342 ÷ 10 c 140 ÷ 100 d 3120 ÷ 100

3 Write the correct answer, A or B, for each part.

Round each number to one decimal place.

a 7.23 A 7.2 B 7.3 b 12.45 A 12.4 B 12.5 c 0.793 A 0.7 B 0.8

4 Round each number to the given degree of accuracy.

a 4.587 (2 d.p.) b 0.672 315 (4 d.p.)

c 54.788 99 (3 d.p.) d 12.050 299 7 (5 d.p.)

Today, there are hundreds of different languages in use in the world. However, all over the world people write numbers in the same way. Everyone uses the decimal system to write numbers.

• The decimal system was first developed in India.

• It was adopted by Persian and Arab mathematicians in the 9th century.

• It was introduced to Europe about 1000 years ago.

• At first it was banned in some European cities because people did not understand it and thought they were being cheated.

Bắt đầu nào!

1 Tính

a 4,5 × 10 b 18 × 10 c 82 × 100 d 4,6 × 100

2 Tính a 70 ÷ 10 b 342 ÷ 10 c 140 ÷ 100 d 3 120 ÷ 100

3 Chọn câu trả lời đúng A hoặc B cho mỗi phần sau.

Làm tròn mỗi số sau đến chữ số thập phân thứ nhất.

a 7,23 A 7,2 B 7,3 b 12,45 A 12,4 B 12,5 c 0,793 A 0,7 B 0,8

4 Làm tròn mỗi số sau đến độ chính xác được cho dưới đây.

a 4,587 (2 cstp) b 0,672315 (4 cstp) c 54,78899 (3 cstp) d 12,0502997 (5 cstp)

Hiện nay, có hàng trăm ngôn ngữ khác nhau được sử dụng trên khắp thế giới.

Tuy nhiên, tất cả mọi người trên khắp thế giới đều có cùng cách viết số.

Mọi người viết số theo hệ thập phân.

• Hệ thập phân được phát triển lần đầu tiên ở Ấn Độ.

• Các nhà toán học Ba Tư và Ả Rập vào thế kỉ thứ 9 đã chấp nhận hệ thập phân.

• Châu Âu biết đến hệ thập phân vào khoảng 1 000 năm trước.

• Lúc đầu, hệ thập phân bị cấm ở một vài thành phố ở Châu Âu vì mọi người không hiểu biết về nó và cho rằng họ bị lừa gạt. trị theo hàng và làm tròn số

3 Place value and rounding

One system that was used in the past is Roman numerals. 2000 years ago the Romans used letters to represent numbers. You can still see them on clock faces and carvings. Their use continued in Europe for over 1000 years. Here are some examples.

Roman III VII IX XX C MCMXXX S Decimal 3 7 9 20 100 1930 0.5

Here are some calculations, multiplying or dividing by 10 (X) or 100 (C), written using Roman numerals. III × X = XXX V × C = D

M ÷ C = X LV ÷ X VS

Can you work out what D, M and L represent?

You can see that arithmetic with Roman numerals is very difficult. You keep needing new letters.

The decimal system uses place value. That is why it only needs ten symbols: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 and 9. It makes the arithmetic we do today much easier than the arithmetic the Romans did!

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Một hệ đếm nữa đã từng được sử dụng trước đây là số La Mã.

Vào 2 000 năm trước, người La Mã đã sử dụng các chữ cái để biểu diễn số.

Các em vẫn có thể thấy chúng trên mặt đồng hồ và các đồ vật chạm khắc.

Hệ đếm này được tiếp tục sử dụng ở Châu Âu trong hơn 1 000 năm. Dưới đây là một số ví dụ.

La Mã III VII IX XX C MCMXXX S

Thập phân 3 7 9 20 100 1930 0,5

Một số phép tính nhân hoặc chia với 10 (X) hoặc 100 (C) sử dụng số La Mã như sau.

III × X = XXX V × C = D

M ÷ C = X LV ÷ X = VS

Em có thể tính ra D, M và L biểu diễn cho số nào không?

Các em có thể thấy rằng rất khó ghi nhớ số học biểu diễn bằng số La Mã.

Em liên tục cần sử dụng các chữ cái mới.

Hệ thập phân sử dụng giá trị theo hàng. Đó là lí do tại sao hệ đếm này chỉ cần mười kí tự: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9. Điều này giúp cho số học ngày nay của chúng ta dễ dàng hơn nhiều so với số học của người La Mã!

3.1 Multiplying and dividing by 0.1 and 0.01

In

•

Key words

• 0.1 and 0.01.

The decimal number 0.1 is the same as 1 10

So when you multiply a number by 0.1, it has the same effect as dividing the number by 10.

Example:

8 × 0.1 = 8 × 1 10 and 8 × 1 10 = 8 ÷ 10

The decimal number 0.01 is the same as 1 100 .

So when you multiply a number by 0.01, it has the same effect as dividing the number by 100.

Example:

8 × 0.01 = 8 × 1 100 and 8 × 1 100 = 8 ÷ 100

When you divide a number by 0.1, it has the same effect as multiplying the number by 10.

Example:

8 ÷ 0.1 = 8 ÷ 1 10 and 8 ÷ 1 10 = 8 × 10

When you divide a number by 0.01, it has the same effect as multiplying the number by 100.

Example:

8 ÷ 0.01 = 8 ÷ 1 100 and 8 ÷ 1 100 = 8 × 100

Worked example 3.1

Work out

a 32 × 0.1 b 4.2 × 0.01 c 6 ÷ 0.1 d 4.156 ÷ 0.01

Answer

a 32 × 0.1 = 3.2

Multiplying by 0.1 is the same as dividing by 10, and 32 ÷ 10 = 3.2

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

3.1 Phép nhân và phép chia cho 0,1 và 0,01

Trong phần này, em sẽ…

• Nhân các số với 0,1 và 0,01

• Chia các số cho 0,1 và 0,01.

Số thập phân 0,1 bằng với 1 10

Do đó, khi nhân một số với 0,1 thì giống như ta chia số đó cho 10.

Ví dụ: 8 × 0,1 = 8 × 1 10 và 8 × 1 10 = 8 ÷ 10

Số thập phân 0,01 bằng với 1 100 .

Do đó, khi nhân một số với 0,01 thì giống như ta chia số đó cho 100.

Ví dụ: 8 × 0,01 = 8 × 1 100 và 8 × 1 100 = 8 ÷ 100

Khi chia một số cho 0,1 thì giống như ta nhân số đó với 10.

Ví dụ: 8 ÷ 0,1 = 8 ÷ 1 10 và 8 ÷ 1 10 = 8 × 10

Khi chia một số cho 0,01 thì giống như ta nhân số đó với 100.

Ví dụ: 8 ÷ 0,01 = 8 ÷ 1 100 và 8 ÷ 1 100 = 8 × 100

Ví

Tính:

Từ khóa số thập phân biến đổi tương đương phép toán ngược

a 32 × 0,1 b 4,2 × 0,01 c 6 ÷ 0,1 d 4,156 ÷ 0,01 Lời giải

a 32 × 0,1 = 3,2 Nhân với 0,1 tương đương chia cho 10 và 32 ÷ 10 = 3,2

Continued

b 4.2 × 0.01 = 0.042

c 6 ÷ 0.1 = 60

d 4.156 ÷ 0.01 = 415.6

Exercise 3.1

Multiplying by 0.01 is the same as dividing by 100, and 4.2 ÷ 100 = 0.042

Dividing by 0.1 is the same as multiplying by 10, and 6 × 10 = 60

Dividing by 0.01 is the same as multiplying by 100, and 4.156 × 100 = 415.6

1 Copy and complete these calculations.

All the answers are in the cloud.

a 20 × 0.1 = 20 ÷ 10 =

b 200 × 0.1 = 200 ÷ 10 =

c 2000 × 0.1 = 2000 ÷ 10 = d 2 × 0.1 = 2 ÷ 10 =

2 Copy and complete these calculations.

All the answers are in the cloud.

a 400 × 0.01 = 400 ÷ 100 = b 40 000 × 0.01 = 40 000 ÷ 100 =

c 40 × 0.01 = 40 ÷ 100 = d 4000 × 0.01 = 4000 ÷ 100 =

Think like a mathematician

20 200 0.2 2 0.4 40 400 4

3 Work with a partner or in a small group to discuss this question. Sofia and Arun are discussing the best way to work out 56 × 0.1

When I multiply 56 by 0.1, I move the digits 5 and 6 one place to the right in the place value table. This gives me an answer of 5.6

When I multiply 56 by 0.1, I move the decimal point one place to the left. This gives me an answer of 5.6

a Can you explain how both of these methods work? Whose method do you prefer?

b Describe how you would work out 56 × 0.01 using Sofia’s method and using Arun’s method.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Tiếp theo

b 4,2 × 0,01 = 0,042 Nhân với 0,01 tương đương chia cho 100 và 4,2 ÷ 100 = 0,042

c 6 ÷ 0,1 = 60

Chia cho 0,1 tương đương nhân với 10 và 6 × 10 = 60

d 4,156 ÷ 0,01 = 415,6 Chia một số cho 0,01 tương đương nhân số đó với 100 và 4,156 × 100 = 415,6

Bài tập 3.1

1 Chép lại và hoàn thành các phép tính.

Biết các đáp số có trong hình bên.

a 20 × 0,1 = 20 ÷ 10 =

b 200 × 0,1 = 200 ÷ 10 =

c 2 000 × 0,1 = 2 000 ÷ 10 = d 2 × 0,1 = 2 ÷ 10 =

2 Chép lại và hoàn thành các phép tính. Biết các đáp số có trong hình bên.

a 400 × 0,01 = 400 ÷ 100 =

b 40 000 × 0,01 = 40 000 ÷ 100 =

c 40 × 0,01 = 40 ÷ 100 = d 4 000 × 0,01 = 4 000 ÷ 100 =

Tư duy như một nhà Toán học

3 Thảo luận câu hỏi sau theo cặp hoặc theo nhóm nhỏ. Sofia và Arun đang trao đổi cách hay nhất để tính 56 × 0,1.

Khi nhân 56 với 0,1, tớ chuyển chữ số 5 và 6 sang bên phải một đơn vị theo bảng giá trị theo hàng. Khi đó, tớ được đáp số là 5,6.

Khi nhân 56 với 0,1, tớ chuyển dấu phẩy thập phân sang trái một đơn vị. Khi đó, tớ được đáp số là 5,6.

a Em có thể giải thích hai phương pháp này được thực hiện như thế nào không?

Em thích phương pháp nào hơn?

b Mô tả cách em tính 56 × 0,01 khi dùng phương pháp của Sofia và Arun.

3 Place

4 Work out

a 62 0.1 37 0.01

5 Copy and complete these calculations. All the answers are in the cloud.

a 2 ÷ 0.1 = 20 0.1 200 0.2

6 Copy and complete these calculations.

All the answers are in the cloud.

a 4 0.01 40 0.01 400 0.4 =

Think like

8 Work

3 Place value and rounding

9 Jake works out 23 × 0.1 and 8.3 ÷ 0.01 He checks his answers by using an inverse operation.

i 23 × 0.1 = 23 ÷ 10 = 2.3 ii 8.3 ÷ 0.01 = 8.3 × 100 = 8300 Check: 2.3 × 10 = 23  Check: 8300 ÷ 100 = 83  Correct answer: 830

Work out the answers to these questions. Check your answers by using inverse operations.

a 18 × 0.1 b 23.6 × 0.01 c 0.6 ÷ 0.1 d 4.5 ÷ 0.01

10 Which symbol, × or ÷, goes in each box?

a 6.7 0.1 = 67 b 4.5 0.01 = 0.045 c 0.9 0.1 = 0.09

d 550 0.01 = 5.5 e 0.23 0.1 = 2.3 f 12 0.01 = 1200

11 Which of 0.1 or 0.01 goes in each box?

a 26 × = 0.26 b 3.4 ÷ = 34 c 0.06 × = 0.0006

d 7 ÷ = 70 e 8.99 × = 0.899 f 52 ÷ = 520

12 A jeweller uses this formula to work out the mass of copper in green gold.

C = 0.1G where: C is the mass of copper G is the mass of green gold

a Work out the mass of copper in 125 g of green gold. The jeweller uses this formula to work out the mass of zinc in yellow gold.

Z = 0.01Y where: Z is the mass of zinc Y is the mass of yellow gold

b Work out the mass of zinc in 80 g of yellow gold. The jeweller says, ‘I think that 10% of green gold is copper.’

c Is the jeweller correct? Explain your answer. d What percentage of yellow gold is zinc? Explain how you worked out your answer.

13 a Sort these expressions into groups of the same value. There should be one expression left over.

Tip Remember, 0.1G means 0.1 × G.

Tip Remember, ‘percent’ means ‘out of 100’, so 10 10 %100 = .

A 24 × 0.1 B 240 × 0.1 C 2.4 ÷ 0.01 D 24 ÷ 0.01 E 2.4 ÷ 0.1

F 24 × 0.01 G 24 ÷ 0.1 H 0.24 ÷ 0.01 I 2 400 × 0.1 J 0.24 ÷ 0.1

b Write two new expressions that have the same value as the expression that is left over.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

9 Jake tính 23 × 0,1 và 8,3 ÷ 0.01 Bạn ấy kiểm tra đáp số của mình bằng một phép toán ngược.

i 23 × 0,1 = 23 ÷ 10 = 2,3 ii 8,3 ÷ 0,01 = 8,3 × 100 = 8 300 Kiểm tra: 2,3 × 10 = 23  Kiểm tra: 8 300 ÷ 100 = 83  Đáp số đúng: 830

Tính đáp số cho các phép tính sau. Kiểm tra đáp số của em bằng phép toán ngược.

a 18 × 0,1 b 23,6 × 0,01 c 0,6 ÷ 0,1 d 4,5 ÷ 0,01

10 Điền kí hiệu × hoặc ÷ vào mỗi ô sau:

a 6,7 0,1 = 67 b 4,5 0,01 = 0,045 c 0,9 0,1 = 0,09 d 550 0,01 = 5,5 e 0,23 0,1 = 2,3 f 12 0,01 = 1 200

11 Điền 0,1 hoặc 0,01vào mỗi ô sau:

a 26 × = 0,26 b 3,4 ÷ = 34 c 0,06 × = 0,0006 d 7 ÷ = 70 e 8,99 × = 0,899 f 52 ÷ = 520

12 Một thợ kim hoàn sử dụng công thức sau để tính khối lượng của đồng trong vàng xanh.

C = 0,1G trong đó: C là khối lượng của đồng

G là khối lượng của vàng xanh

a Tính khối lượng đồng có trong 125g vàng xanh. Người thợ kim hoàn sử dụng công thức sau để tính khối lượng của kẽm trong vàng xanh.

Z = 0,01Y trong đó: Z là khối lượng của kẽm

Y là khối lượng của vàng xanh

b Tính khối lượng kẽm có trong 80g vàng xanh.

Người thợ kim hoàn nói rằng: “Tôi nghĩ 10% của vàng xanh là đồng.”

c Người thợ kim hoàn phát biểu đúng không?

Giải thích câu trả lời của em.

d Tỉ số phần trăm của kẽm trong vàng xanh là bao nhiêu?

Giải thích cách tính của em.

13 a Nhóm các biểu thức có cùng giá trị trong các biểu thức sau:

Có một biểu thức sẽ không cùng nhóm nào.

Mách nhỏ Ghi nhớ 0,1G = 0,1 × G.

Mách nhỏ

Ghi nhớ rằng

“phần trăm“ nghĩa là “ trong tổng số 100“, do đó 10 10 %100 = .

A 24 × 0,1 B 240 × 0,1 C 2,4 ÷ 0,01 D 24 ÷ 0,01 E 2,4 ÷ 0,1 F 24 × 0,01 G 24 ÷ 0,1 H 0,24 ÷ 0,01 I 2 400 × 0,1 J 0,24 ÷ 0,1

b Viết hai biểu thức mới có cùng giá trị với biểu thức còn lại.

3 Place value and rounding

14 Razi thinks of a number. He multiplies his number by 0.1, and then divides the answer by 0.01.

Razi then divides this answer by 0.1 and gets a final answer of 12 500. What number does Razi think of first? Explain how you worked out your answer.

15 This is part of Harsha’s homework.

Question

Write one example to show that this statement is not true. ‘When you multiply a number with one decimal place by 0.01 you will always get an answer that is smaller than zero.’

Answer

345.8 × 0.01 = 3.458 and 3.458 is not smaller than zero so the statement is not true.

Write down one example to show that each of these statements is not true.

a When you multiply a number other than zero by 0.1 you will always get an answer that is greater than zero.

b When you divide a number with one decimal place by 0.01 you will always get an answer that is greater than 100.

Look at these two questions.

a 56 × 0.1 b 3.2 ÷ 0.01

Explain to a partner the methods you would use to work out the answers to these questions.

Explain why you would use these methods. Does your partner use the same methods? If they use different methods, do you understand their methods?

Summary checklist

I can multiply numbers by 0.1 and 0.01.

I can divide numbers by 0.1 and 0.01.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

14 Razi nghĩ ra một số. Bạn ấy nhân số này với 0,1 và sau đó chia đáp số cho 0,01.

Tiếp theo, Razi lại chia đáp số này cho 0,1 và ra đáp số cuối cùng là 12 500.

Số đầu tiên mà Razi nghĩ đến là số nào?

Giải thích cách làm của em.

15 Đây là một phần bài tập về nhà của Harsha.

Câu hỏi

Viết một ví dụ để chứng tỏ rằng phát biểu sau không đúng.

“Khi nhân một số có một chữ số thập phân với 0,01, ta luôn được đáp số là một số nhỏ hơn 0.”

Lời giải

345,8 × 0,01 = 3,458 và 3,458 không nhỏ hơn 0. Do đó, phát biểu trên không đúng.

Viết một ví dụ để chứng tỏ mỗi phát biểu sau không đúng.

a Khi nhân một số khác 0 với 0,1, ta luôn được đáp số là số lớn hơn 0.

b Khi chia một số có một chữ số thập phân cho 0,01, ta luôn được đáp số là số lớn hơn 100.

Xem hai phép tính sau:

a 56 × 0,1

b 3,2 ÷ 0,01

Giải thích với bạn cùng lớp các phương pháp mà em sẽ sử dụng để tính đáp số của hai phép tính trên.

Giải thích lí do em dùng các phương pháp đó.

Bạn của em có sử dụng phương pháp giống em không?

Nếu bạn sử dụng phương pháp khác, em có hiểu phương pháp của bạn không?

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể nhân các số với 0,1 và 0,01.

Em có thể chia các số cho 0,1 và 0,01.

3.2 Rounding

• round numbers to a given number of significant figures.

You already know how to round decimal numbers to a given number of decimal places (d.p.).

You also need to know how to round numbers to a given number of significant figures (s.f.).

The first significant figure in a number is the first non-zero digit in the number.

For example:

• In the number 450, 4 is the first significant figure, 5 is the second significant figure and 0 is the third significant figure.

• In the number 0.008 06, 8 is the first significant figure, 0 is the second significant figure and 6 is the third significant figure.

To round a number to a given number of significant figures, follow these steps:

• Look at the digit in the position of the degree of accuracy. The ‘degree of accuracy’ is the number of significant figures you are working to. So, if you have been asked to round to 3 significant figures, look at the third significant figure in the number.

• If the number to the right of this digit is 5 or more, increase the digit by 1. If the number is less than 5, leave the digit as it is.

Worked example 3.2

a Round 4286 to one significant figure.

b Round 0.080 69 to three significant figures.

c Round 0.7963 to two significant figures.

Answer

a 4286 = 4000 (1 s.f.) The first significant figure is 4. The digit to the right of it is 2.

2 is less than 5, so 4 stays the same.

Replace the 2, the 8 and the 6 with zeros to keep the place value consistent.

In this case, rounding to one significant figure is the same as rounding to the nearest 1000.

The letters ‘s.f.’ stand for ‘significant figure’.

In this section you will …

Key words decimal places (d.p.) degree of accuracy round significant figures (s.f.)

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

3.2 Làm tròn số

Trong phần này, em sẽ…

• làm tròn số đến một số nhất định có các chữ số có nghĩa.

Các em đã biết cách làm tròn các số thập phân khi biết số lượng chữ số thập phân (cstp) của số đó.

Các em cũng cần biết cách làm tròn số khi biết số lượng chữ số có nghĩa (cscn) của số đó.

Chữ số có nghĩa đầu tiên trong một số là chữ số khác 0 đầu tiên trong số đó.

Ví dụ:

• Trong số 450 thì 4 là chữ số có nghĩa đầu tiên, 5 là chữ số có nghĩa thứ hai và 0 là chữ số có nghĩa thứ ba.

• Trong số 0,00806 thì 8 là chữ số có nghĩa đầu tiên, 0 là chữ số có nghĩa thứ hai và 6 là chữ số có nghĩa thứ ba.

Để làm tròn một số khi biết số lượng chữ số có nghĩa của số đó, ta thực hiện các bước sau:

• Xét chữ số ở vị trí quyết định độ chính xác. “Độ chính xác” là số các chữ số có nghĩa mà ta đang cần làm tròn. Do đó, nếu em được yêu cầu làm tròn một số đến 3 chữ số có nghĩa thì hãy xét chữ số có nghĩa thứ ba trong số đó.

• Nếu số ở bên phải của chữ số này lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta tăng chữ số cần làm tròn đó lên 1 đơn vị. Nếu số đó nhỏ hơn 5 thì ta giữ nguyên chữ số cần làm tròn.

Ví dụ minh

a Làm tròn 4 286 đến một chữ số có nghĩa.

b Làm tròn 0,08069 đến ba chữ số có nghĩa.

c Làm tròn 0,7963 đến hai chữ số có nghĩa.

Lời giải

Từ khóa chữ số thập phân (cstp) độ chính xác làm tròn chữ số có nghĩa (cscn)

a 4 286 = 4 000 (1 cscn) Chữ số có nghĩa đầu tiên là 4. Chữ số bên phải của nó là 2. 2 nhỏ hơn 5, do đó 4 giữ nguyên.

Thay các số 2, 8 và 6 thành số 0 để cho giá trị theo hàng được nhất quán.

Trong trường hợp này, làm tròn đến một chữ số có nghĩa tương tự như làm tròn đến số tròn nghìn.

Chữ cái “cscn” (tiếng Anh là significant figure - s.f.) viết tắt cho “chữ số có nghĩa”.

Continued

b 0.080 69 = 0.080 7 (3 s.f.) The first significant figure is 8, the second is 0 and the third is 6.

The digit to the right of the 6 is 9. 9 is more than 5 so round the 6 up to 7.

You must keep the zeros at the start of the number to keep the place value consistent.

In this case, rounding to 3 s.f. is the same as rounding to 4 d.p.

c 0.7963 = 0.80 (2 s.f.) The first significant figure is 7 and the second is 9.

The digit to the right of the 9 is 6.

6 is more than 5 so round the 9 up to 10. This has the effect of rounding ‘79’ up to ‘80’.

You must keep the zero after the 8 to show that you have rounded to 2 s.f.

In this case, rounding to 2 s.f. is the same as rounding to 2 d.p. because the first significant figure is also the first decimal place.

Exercise 3.2

1 Round each of these numbers to one significant figure (1 s.f.).

Choose the correct answer: A, B or C

a 352 A 4 B 40 C 400 b 7.291 A 7 B 7.3 C 7.29 c 11 540 A 12 000 B 10 000 C 11 000 d 0.0087 A 9 B 0.09 C 0.009

2 Round each of these numbers to two significant figures (2 s.f.).

All the answers are in the cloud.

a 243 b 0.235 c 24.15 d 0.002 380 1 e 2396 f 2.3699 0.0024 0.24 2.4 24 240 2400

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Tiếp theo

b 0,08069 = 0,0807 (3 cscn) Chữ số có nghĩa đầu tiên là 8, thứ hai là 0 và thứ ba là 6.

Chữ số bên phải của 6 là 9.

9 lớn hơn 5 nên ta làm tròn 6 lên 7.

Ta phải giữ các số 0 ở phần đầu của số để cho giá trị theo hàng được nhất quán.

Trong trường hợp này, làm tròn đến 3 cscn tương tự như làm tròn đến 4 cstp.

c 0,7963 = 0,80 (2 cscn) Chữ số có nghĩa đầu tiên là 7 và thứ hai là 9. Chữ số bên phải của 9 là 6.

6 lớn hơn 5 nên ta làm tròn 9 lên 10. Bài này có đáp số như làm tròn “79” lên “80”.

Em phải giữ số 0 ngay sau số 8 để chứng tỏ rằng em đã làm tròn đến 2 cscn.

Trong trường hợp này, làm tròn đến 2 cscn tương tự như làm tròn đến 2 cstp vì chữ số có nghĩa đầu tiên cũng chính là chữ số thập phân đầu tiên.

Bài tập 3.2

1 Làm tròn mỗi số sau đến một chữ số có nghĩa (1 cscn). Chọn đáp số đúng: A, B hoặc C.

a 352 A 4 B 40 C 400 b 7,291 A 7 B 7,3 C 7,29 c 11 540 A 12 000 B 10 000 C 11 000 d 0,0087 A 9 B 0,09 C 0,009

2 Làm tròn mỗi số sau đến hai chữ số có nghĩa (2 cscn).

Tất cả các đáp số có trong đám mây thoại bên.

a 243 b 0,235 c 24,15 d 0,0023801 e 2 396 f 2,3699 0,0024 0,24 2,4 24 240 2 400

Think like a mathematician

3 Work with a partner to discuss the answers to this question. This is part of Harry’s homework.

Question

Round these numbers to 2 s.f. a 45 150 b 0.032 84 Answer a 45 b 0.03

Harry has rounded one large number and one small number to two significant figures. Both of his answers are wrong.

a Explain the mistakes he has made. Write the correct answers.

b What must you remember to do when you round a large number to a given number of significant figures?

c What must you remember to do when you round a small number to a given number of significant figures?

4 Round each number to the stated number of significant figures (s.f.). a 135 (1 s.f.) b 45 678 (2 s.f.) c 18.654 (3 s.f.) d 0.0931 (1 s.f.) e 0.7872 (2 s.f.) f 1.409 48 (4 s.f.) g 985 (1 s.f.) h 0.697 (2 s.f.) i 8.595 (3 s.f.)

5 Which answer is correct: A, B, C or D?

a 2569 rounded to 1 s.f. A 2 B 3 C 2000 D 3000 b 47.6821 rounded to 3 s.f. A 47.6 B 47.682 C 47.7 D 48.0 c 0.0882 rounded to 2 s.f. A 0.08 B 0.088 C 0.09 D 0.1 d 3.089 62 rounded to 4 s.f. A 3.089 B 3.0896 C 3.09 D 3.090 e 19.963 rounded to 3 s.f. A 2 B 20 C 20.0 D 19.96

6 Round the number 209.095 046 to the stated number of significant figures (s.f.).

a 1 s.f. b 2 s.f. c 3 s.f. d 4 s.f. e 5 s.f. f 6 s.f.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Tư duy như một nhà Toán học

3 Thảo luận theo cặp để trả lời cho câu hỏi sau. Đây là một phần bài tập về nhà của Harry.

Câu hỏi

Làm tròn các số sau đến 2 cscn a 45 150 b 0,03284 Đáp số a 45 b 0,03

Harry đã làm tròn một số lớn và một số nhỏ đến hai chữ số có nghĩa.

Cả hai đáp số của bạn ấy đều sai.

a Giải thích lỗi sai mà bạn ấy đã mắc phải. Viết lại các đáp số đúng.

b Em phải ghi nhớ điều gì khi làm tròn một số lớn biết số lượng chữ số có nghĩa của số đó?

c Em phải ghi nhớ điều gì khi làm tròn một số nhỏ biết số lượng chữ số có nghĩa của số đó?

4 Làm tròn các số sau đến số có các chữ số có nghĩa (cscn) dưới đây

a 135 (1 cscn) b 45 678 (2 cscn) c 18,654 (3 cscn) d 0,0931 (1 cscn) e 0,7872 (2 cscn) f 1,40948 (4 cscn) g 985 (1 cscn) h 0,697 (2 cscn) i 8,595 (3 cscn)

5 Câu trả lời nào sau đây đúng: A, B, C hay D? a 2 569 làm tròn đến 1 cscn A 2 B 3 C 2 000 D 3 000 b 47,6821 làm tròn đến 3 cscn A 47,6 B 47,682 C 47,7 D 48,0 c 0,0882 làm tròn đến 2 cscn A 0,08 B 0,088 C 0,09 D 0,1 d 3,08962 làm tròn đến 4 cscn A 3,089 B 3,0896 C 3,09 D 3,090 e 19,963 làm tròn đến 3 cscn A 2 B 20 C 20,0 D 19,96

6 Làm tròn số 209,095046 đến số có các chữ số có nghĩa (cscn) dưới đây. a 1 cscn b 2 cscn c 3 cscn d 4 cscn e 5 cscn f 6 cscn

Activity 3.2

You are going to write a question for a partner to answer. On a piece of paper, write a question of your own similar to Question 4. Make sure:

• you have parts a to d

• you use four different numbers

• you ask for the numbers to be rounded to different degrees of accuracy

• you write the answers on a different piece of paper. Exchange questions with your partner. Answer their question, then exchange back and mark each other’s work. Discuss any mistakes that have been made.

7 a Use a calculator to work out the answer to 2658 2 + Write all the numbers on your calculator display.

b Round your answer to part a to the stated number of significant figures (s.f.).

i 1 s.f. ii 2 s.f. iii 3 s.f. iv 4 s.f. v 5 s.f. vi 6 s.f.

8 At a football match there were 63 475 Barcelona supporters and 32 486 Arsenal supporters.

How many supporters were there altogether? Give your answer correct to two significant figures.

9 Ahmad has a bag of peanuts that weighs 150 g. There are 335 peanuts in the bag.

Work out the average (mean) mass of one peanut. Give your answer correct to one significant figure.

10 The speed of light is approximately 670 616 629 miles per hour. This formula changes a speed in miles per hour into a speed in metres per second.

metres per second = miles per hour 22 5.

Work out the speed of light in metres per second. Give your answer correct to three significant figures.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Hoạt động 3.2

Em sẽ viết một câu hỏi để bạn cùng lớp trả lời.

Viết câu hỏi của em tương tự Câu hỏi 4 vào một mảnh giấy.

Đảm bảo:

• em có các phần từ a đến d

• em sử dụng bốn số khác nhau

• em yêu cầu làm tròn các số đến các độ chính xác khác nhau

• em viết các đáp số vào một mảnh giấy khác.

Hãy trao đổi câu hỏi với bạn cùng lớp. Trả lời câu hỏi của bạn đó, sau đó đổi lại mảnh giấy và chấm bài làm của nhau. Thảo luận các lỗi sai đã mắc phải.

7 a Sử dụng máy tính cầm tay để tính đáp số của 2658 2 + Viết tất cả các số hiển thị trên màn hình máy tính cầm tay của em.

b Làm tròn đáp số ở phần a đến số khi biết số lượng chữ số có nghĩa (cscn) dưới đây.

i 1 cscn ii 2 cscn iii 3 cscn iv 4 cscn v 5 cscn vi 6 cscn

8 Ở một trận đấu bóng đá, có 63 475 cổ động viên Barcelona và 32 486 cổ động viên Arsenal.

Hỏi có tất cả bao nhiêu cổ động viên?

Em hãy đưa ra đáp số đúng đến hai chữ số có nghĩa.

9 Ahmad có một túi đậu phộng nặng 150g.

Trong túi có tất cả 335 hạt đậu phộng.

Tính khối lượng trung bình của một hạt đậu phộng. Em hãy đưa ra đáp số đúng đến một chữ số có nghĩa.

10 Tốc độ ánh sáng xấp xỉ 670 616 629 dặm trên giờ.

Công thức sau thay đổi tốc độ tính bằng dặm trên giờ thành mét trên giây.

méttrêngiây=dặmtrêngiờ 2,25

Tính tốc độ ánh sáng theo mét trên giây.

Em hãy đưa ra đáp số đúng đến ba chữ số có nghĩa.

3 Place value and rounding

11 Zara and Sofia are looking at this question.

Work out the area of this rectangle.

0.87 m

9.6 m

Give your answer to an appropriate degree of accuracy.

Read Zara’s and Sofia’s comments.

area = 9.6 × 0.87 = 8.352 m2

I think we should give 8.352 m2 as our answer.

What do you think? Explain your answers.

9.6 and 0.87 are both written to 2 s.f., so I think we should round our answer to 2 s.f. I think our answer should be 8.4 m2

12 A rugby club sells, on average, 12 600 tickets to a match each week. The average cost of a ticket is $26.80

How much money does the club get from ticket sales, on average, each week?

Round your answer to an appropriate degree of accuracy.

13 This formula is often used in science.

F = ma

Work out the value of a when F = 32 and m = 15.

Round your answer to an appropriate degree of accuracy.

Tip Change the subject of the formula first.

Tip Choose a sensible degree of accuracy for the context. Think about how accurate you need your answer to be.

11 Zara và Sofia đang xem xét câu hỏi dưới đây.

Tính diện tích của hình chữ nhật sau.

0,87 m

9,6 m

Em hãy đưa ra đáp số có độ chính xác thích hợp.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

Mách nhỏ

Chọn một độ chính xác hợp lí cho tình huống.

Hãy nghĩ xem em cần sự chính xác như thế nào cho đáp số của mình.

Đọc nhận xét của Zara và Sofia.

diện tích = 9,6 × 0,87 = 8,352 m2

Tớ nghĩ chúng ta nên đưa ra đáp số là 8,352 m2.

Em nghĩ như thế nào? Giải thích đáp số của em.

9,6 và 0,87 đều được viết đến 2 cscn, do đó, tớ nghĩ chúng ta nên làm tròn đáp số đến 2 cscn. Theo tớ, đáp số của chúng ta nên lấy là 8,4 m2.

12 Một câu lạc bộ bóng bầu dục trung bình bán được 12 600 vé cho một trận đấu mỗi tuần.

Giá trung bình của một vé là $26,80.

Trung bình câu lạc bộ thu được bao nhiêu tiền từ việc bán vé mỗi tuần? Làm tròn đáp số của em đến độ chính xác thích hợp.

13 Công thức sau thường được sử dụng trong khoa học.

F = ma

Tính giá trị của a khi F = 32 và m = 15.

Làm tròn đáp số của đến một độ chính xác thích hợp.

Mách nhỏ

Trước tiên, hãy biến đổi công thức theo đại lượng cần tìm.

3 Place value and rounding

14 This is part of Jake’s homework.

He works out an estimate by rounding each number to one significant figure.

Question

a Work out an estimate of 0.238 × 576 39.76

b Work out the accurate value.

c Compare your estimate with the accurate value. Answer

a 0.238 ≈ 0.2, 576 ≈ 600, 39.76 ≈ 40 0.2 × 600 = 120 and 120 ÷ 40 = 3 Estimate = 3

b 0.238 × 576 = 137.088 137.088 ÷ 39.76 = 3.45 (3 s.f.)

Accurate value = 3.45 (3 s.f.)

c My estimate is close to the accurate value, so my accurate answer is probably correct.

Follow these steps for each of the calculations below.

i Use Jake’s method to work out an estimate of the answer.

ii Use a calculator to work out the accurate answer. Give this answer correct to three significant figures.

iii Compare your estimate with the accurate answer. Decide if your accurate answer is correct. 276484695 968741

Summary checklist

I can round numbers to a given number of significant figures.

Tip The symbol ≈ means ‘is approximately equal to’.

3 Giá trị theo hàng và làm tròn số

14 Đây là một phần bài tập về nhà của Jake.

Bạn ấy tính giá trị ước lượng bằng cách làm tròn mỗi số đến một chữ số có nghĩa.

Câu hỏi

a Ước lượng đáp số của 0,238 × 576 39,76

b Tính giá trị chính xác.

c So sánh giá trị ước lượng của em và giá trị chính xác. Lời giải

a 0,238 ≈ 0,2; 576 ≈ 600; 39,76 ≈ 40 0,2 × 600 = 120 và 120 ÷ 40 = 3 Giá trị ước lượng = 3

b 0,238 × 576 = 137,088

137,088 ÷ 39,76 = 3,45 (3 cscn)

Giá trị chính xác = 3,45 (3 cscn)

c Giá trị ước lượng của em xấp xỉ giá trị chính xác, do đó, đáp số này của em có thể đúng.

Mách nhỏ

Kí hiệu ≈ nghĩa là “gần bằng“ hoặc “xấp xỉ“.

Thực hiện theo các bước sau cho từng phép tính dưới đây.

i Sử dụng phương pháp của Jake để tính giá trị ước lượng của đáp số.

ii Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị chính xác. Em hãy đưa ra đáp số đúng đến ba chữ số có nghĩa.

iii So sánh giá trị ước lượng của em và giá trị chính xác. Quyết định giá trị chính xác em tính có đúng không. b 2,76484,695 9,6874,19 5843200 02348

Em có thể làm tròn số đến một số nhất định có các chữ số có nghĩa.

Check your progress

1 Work out 90 × 0.1 552 × 0.1 135 × 0.01 8 × 0.01 6 ÷ 0.1 23.5 ÷ 0.1 5.2 ÷ 0.01 0.68 ÷ 0.01

2 Which calculation, A, B, C or D, gives a different answer from the others? your working. 5.2 × 0.1 5.2 ÷ 0.01 0.052 ÷ 0.1 52 × 0.01

3 Round each of these numbers to the given degree of accuracy. 78.023 (2 s.f.) 0.067 91 (3 s.f.) 1.549 62 (4 s.f.) 12 452 673 (5 s.f.)

4 Use a calculator to work out the answer to 89 482 Give your answer correct to two significant figures.

Getting started

1 Write the correct symbol, < or >, between each pair of decimal numbers.

a 4.5 4.1 b 6.57 6.68 c 10.52 10.59 d 2.784 2.781

2 Here are four decimal number cards. 0.763 0.756 0.761 0.759

Write the numbers in order of size, starting with the smallest.

3 Write true (T) or false (F) for each of these.

a 6 × 0.1 = 0.6 b 12 × 0.7 = 0.84 0.03 × 2500 = 750 d 0.04 × 25 = 1

4 Match each blue question card with the correct yellow answer card. 12 × 1.8 19 × 1.2 9 × 2.5 25 × 0.87 320 × 0.07 21.75 22.4 21.6 22.5 22.8

5 Work out. a 12.3 ÷ 3 b 44.1 ÷ 7 c 152.88 ÷ 6 d 28.86 ÷ 12

Tip Remember: < means ‘is less than’ and > means ‘is greater than’.

There are many situations in everyday life where we have to calculate with decimals. If you go to an airport, you will always see a currency exchange desk. This is where you can change money from one currency to another. The exchange rates are shown on a board. They tell you how much of one currency you can exchange for another.

An architect is a person who designs buildings, and in many cases, supervises their construction. They need to measure accurately and also calculate using decimals. An incorrect decimal calculation could result in a disaster for the building!

4 Số thập phân

Trong đời sống hằng ngày, có nhiều tình huống chúng ta cần tính toán bằng số thập phân.

Khi đến sân bay, em sẽ luôn thấy quầy đổi tiền. Đây là nơi mà em có thể chuyển đổi từ loại đơn vị tiền tệ này sang loại đơn vị tiền tệ khác. Tỉ giá trao đổi ngoại tệ được hiển thị trên bảng, bảng này cho biết mệnh giá đồng tiền của quốc gia này đổi ra được bao nhiêu đơn vị tiền tệ của quốc gia khác.

Kiến trúc sư là người thiết kế các toà nhà, và trong nhiều trường hợp, họ phải giám sát việc xây dựng. Họ cần đo lường chính xác và cũng dùng số thập phân để tính toán.

Một phép tính thập phân không chính xác có thể gây ra thảm hoạ cho toà nhà!

4.1 Ordering decimals

In this section you will …

• compare and order decimals.

To order decimal numbers, compare the whole-number part first. When the numbers you are ordering have the same whole-number part, look at the decimal part and compare the tenths, then the hundredths, and so on.

Look at the three decimal numbers on the right. 8.56 7.4 8.518

1 Highlight the whole numbers.

You can see that 7.4 is the smallest number, so 7.4 goes first. 8.56 7.4 8.518

2 The other two numbers both have 8 units, so highlight the tenths. 7.4 8.56 8.518

3 They both have the same number of tenths, so highlight the hundredths. 7.4 8.56 8.518

4 You can see that 8.518 is smaller than 8.56, so in order of size the numbers are: 7.4 8.518 8.56

When you order decimal measurements, you must make sure they are all in the same units You need to remember these conversion factors.

Key words compare decimal number order

term-to-term rule

Tip

The number of digits after the decimal point is the number of decimal places (d.p.) in the number.

Tip

When you compare decimal numbers you can use these symbols.

= means ‘is equal to’

≠ means ‘is not equal to’

> means ‘is bigger than’

< means ‘is smaller than’

4 Số thập phân

4.1 Sắp xếp các số thập phân theo thứ tự

Trong phần này, em sẽ…

• so sánh và sắp xếp các số thập phân theo thứ tự.

Để sắp xếp các số thập phân theo thứ tự, ta so sánh phần nguyên trước. Khi sắp xếp các số có cùng phần nguyên, hãy xét đến phần thập phân và so sánh hàng phần mười, sau đó là hàng phần trăm và cứ tiếp tục như vậy.

Xét ba số thập phân ở các cột bên phải. 8,56 7,4 8,518

1 Tô đậm số nguyên.

Em có thể thấy 7,4 là số nhỏ nhất, do đó 7,4 được viết đầu tiên.

8,56 7,4 8,518

2 Hai số còn lại đều có hàng đơn vị là 8, do đó hãy tô đậm hàng phần mười. 7,4 8,56 8,518

3 Hai số đều có hàng phần mười bằng nhau, do đó hãy tô đậm hàng phần trăm. 7,4 8,56 8,518

4 Em có thể thấy 8,518 nhỏ hơn 8,56 nên thứ tự của các số là: 7,4 8,518 8,56

Khi sắp xếp các số đo thập phân, em phải đảm bảo các số này đều có cùng đơn vị đo.

Em cần phải nhớ các yếu tố quy đổi đơn vị sau. lượng tích mm = 1 cm 000 g = 1 kg 1 000 ml = 1 l cm = =

Từ khoá

so sánh số thập phân sắp xếp/thứ tự quy luật chuyển số hạng-tới-số hạng

Mách nhỏ

Số các chữ số sau dấu phẩy thập phân là số lượng các chữ số thập phân (cstp) của số đó.

Mách nhỏ

Khi so sánh các số thập phân, em có thể dùng các dấu sau.

= nghĩa là “bằng”

≠ nghĩa là “khác”

> nghĩa là “lớn hơn”

< nghĩa là “nhỏ hơn”

Worked example 4.1

a Write these decimal numbers in order of size. 5.6, 4.95, 5.68, 5.609

b Write the correct symbol, = or ≠, between these measures. 7.5 m 75 cm

c Write the correct symbol, > or <, between these measures. 4.5 kg 450 g

Answer

a 4.95, 5.6, 5.609, 5.68 The smallest number is 4.95 as it has the smallest whole-number part.

The other three numbers have the same whole-number part and the same number of tenths, so compare the hundredths.

5.68 has 8 hundredths compared with 5.6 and 5.609 which have 0 hundredths, so 5.68 is the biggest number. Now compare the thousandths in 5.6 and 5.609

5.6 has 0 thousandths and 5.609 has 9 thousandths, so 5.6 is smaller.

b 7.5 m ≠ 75 cm

c 4.5 kg > 450 g

Exercise 4.1

There are 100 cm in 1 m. 7.5 m × 100 = 750 cm, so the measures are not equal. Use the ‘≠’ symbol.

There are 1000 g in 1 kg. 4.5 kg × 1000 = 4500 g, so 4.5 kg is greater. Use the ‘>’ symbol.

1 Write these decimal numbers in order of size, starting with the smallest. They have all been started for you.

a 5.49, 2.06, 7.99, 5.91 2.06, , , b 3.09, 2.87, 3.11, 2.55 2.55, , , c 12.1, 11.88, 12.01, 11.82 11.82, , ,

d 9.09, 8.9, 9.53, 9.4 8.9, , ,

2 Write the correct sign, < or >, between each pair of numbers.

a 4.23 4.54 b 6.71 6.03 c 0.27 0.03 d 27.9 27.85 e 8.55 8.508 f 5.055 5.505

4 Số thập phân

Ví dụ minh hoạ 4.1

a Viết các số thập phân sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. 5,6 ; 4,95 ; 5,68 ; 5,609

b Đánh dấu = hoặc ≠ thích hợp vào chỗ trống giữa các số đo. 7,5 m 75 cm

c Đánh dấu > hoặc < thích hợp vào chỗ trống giữa các số đo. 4,5 kg 450 g

Lời giải

a 4,95 ; 5,6 ; 5,609 ; 5,68 Số nhỏ nhất là 4,95 vì số này có phần nguyên nhỏ nhất.

Ba số còn lại có cùng phần nguyên và cùng hàng phần mười, do đó ta so sánh hàng phần trăm.

5,68 có hàng phần trăm là 8 trong khi 5,6 và 5,609 có hàng phần trăm là 0, vậy nên 5,68 là số lớn nhất.

Bây giờ, hãy so sánh hàng phần nghìn của số 5,6 và 5,609

5,6 có hàng phần nghìn là 0 và 5,609 có hàng phần nghìn là 9, vậy nên 5,6 là số nhỏ hơn.

b 7,5 m ≠ 75 cm

c 4,5 kg > 450 g

Ta có 100 cm = 1 m. 7,5 m × 100 = 750 cm, do đó hai số đo này không bằng nhau. Ta sử dụng dấu “≠”.

Ta có 1 000 g = 1 kg. 4,5 kg × 1 000 = 4 500 g, do đó 4,5 kg lớn hơn. Ta sử dụng dấu “>”.

Bài tập 4.1

1 Viết các số thập phân sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Số đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em. a 5,49; 2,06; 7,99; 5,91 2,06; ; ; b 3,09; 2,87; 3,11; 2,55 2,55; ; ; c 12,1; 11,88; 12,01; 11,82 11,82; ; ; d 9,09; 8,9; 9,53; 9,4 8,9; ; ;

2 Điền dấu < hoặc > thích hợp vào chỗ trống giữa các số. a 4,23 4,54 b 6,71 6,03 c 0,27 0,03 d 27,9 27,85 e 8,55 8,508 f 5,055 5,505

Think like a mathematician

3 Maya uses this method to order decimals.

Question

Write these numbers in order of size, starting with the smallest. 26.5 26.41 26.09 26.001 26.92 Answer

The greatest number of decimal places in the numbers is 3. Step 1: Write all the numbers with 3 decimal places. 26.500 26.410 26.090 26.001 26.920 Step 2: Compare only the numbers after the decimal point. 500 410 090 001 920 Step 3: Write these numbers in order of size. 001 090 410 500 920

Step 4: Now write the decimal numbers in order. 26.001 26.09 26.41 26.5 26.92

Discuss the answers to these questions with a partner.

a Do you understand how Maya’s method works?

b Do you like Maya’s method?

c Do you prefer Maya’s method to the method shown in Worked example 4.1? Explain your answer.

4 Use your preferred method to write these decimal numbers in order of size, starting with the smallest. a 23.66, 23.592, 23.6, 23.605 b 0.107, 0.08, 0.1, 0.009 c 6.725, 6.78, 6.007, 6.71 d 11.02, 11.032, 11.002, 11.1

5 Write the correct sign, = or ≠, between each pair of measurements. a 6.7 l 670 ml b 4.05 t 4500 kg c 0.85 km 850 m d 0.985 m 985 cm

e 14.5 cm 145 mm f 2300 g 0.23 kg

6 Write the correct sign, < or >, between each pair of measurements. a 4.5 l 2700 ml b 0.45 t 547 kg c 3.5 cm 345 mm d 0.06 kg 550 g e 7800 m 0.8 km f 0.065 m 6.7 cm

Tip Start by converting one of the measurements so that both measurements are in the same units.

Lời giải

Trong các số, số chữ số của hàng thập phân nhiều nhất là 3. Bước 1: Viết tất cả các số dưới dạng 3 chữ số thập phân.

26,500 26,410 26,090 26,001 26,920

Bước 2: Chỉ so sánh các số sau dấu phẩy thập phân.

500 410 090 001 920

Bước 3: Viết các số này theo thứ tự. 001 090 410 500 920

Bước 4: Bây giờ, ta viết các số thập phân theo thứ tự.

26,001 26,09 26,41 26,5 26,92

Thảo luận đáp án của các câu hỏi sau theo cặp.

a Em có hiểu phương pháp của Maya không?

b Em có thích phương pháp của Maya không?

4 theo thứ tự từ 23,66; 23,592; 23,6; 23,605 0,107; 0,08; 0,1; 0,009 6,725; 6,78; 6,007; 6,71 111,02; 11,032; 11,002; 11,1 Điền các đo. 6,7 670 4,05 t 4500 kg 0,85 0,985 985 2 300 0,23 nhỏ đến lớn. 26,5 26,41 26,09 26,001 26,92

c Em thích phương pháp của Maya hay phương pháp trong ví dụ minh hoạ 4.1 hơn? Giải thích câu trả lời của em.

7 Write these measurements in order of size, starting with the smallest.

a 2.3 kg, 780 g, 2.18 kg, 1950 g

b 5.4 cm, 12 mm, 0.8 cm, 9 mm

c 12 m, 650 cm, 0.5 m, 53 cm

d 0.55 l, 95 ml, 0.9 l, 450 ml

e 6.55 km, 780 m, 6.4 km, 1450 m

f 0.08 t, 920 kg, 0.15 t, 50 kg

Think like a mathematician

8 Look at Arun’s solution to this question.

Tip

Make sure all the measurements are in the same units before you start to order them.

Write these decimal numbers in order of size, starting with the smallest. −4.52 −4.31 −4.05 −4.38

All the numbers start with −4 so I will just compare the decimal parts: 52, 31, 05 and 38. In order, they are 05, 31, 38, 52.

So the order is −4.05, −4.31, −4.38, −4.52

Discuss the answers to these questions with a partner.

a Is Arun correct? Explain your answer.

b What do you think is the best method to use to order negative decimal numbers?

9 Write the correct sign, < or >, between each pair of numbers.

a −4.27 −4.38 b −6.75 −6.25 c −0.2 −0.03 d −8.05 −8.9

10 Write these decimal numbers in order of size, starting with the smallest.

a −4.67, −4.05, −4.76, −4.5

b −11.525, −11.91, −11.08, −11.6

Tip

Draw a number line to help if you want to.

a 2,3 kg; 780 g; 2,18 kg; 1 950 g

b 5,4 cm; 12 mm; 0,8 cm; 9 mm c 12 m; 650 cm; 0,5 m; 53 cm

d 0,55 l; 95 ml; 0,9 l; 450 ml e 6,55 km; 780 m; 6,4 km; 1 450 m f 0,08 t; 920 kg; 0,15 t; 50 kg bảo tất cả các số đều có cùng đơn trước khi em bắt

Tất cả các số đều bắt đầu bằng −4, vì vậy mình chỉ cần so sánh phần thập phân: 52; 31; 05 và 38.

Thứ tự đúng là: 05; 31; 38; 52

Vì thế thứ tự các số là: –4,05; –4,31; –4,38; –4,52.

8 Xem −4,31 −4,05 −4,38 luận các câu hỏi sau theo cặp.

a Arun làm đúng không? Giải thích câu trả lời của em.

b Theo em, phương pháp nào là tốt nhất để so sánh các số thập phân âm?

9 Điền dấu < hoặc > thích hợp vào chỗ trống giữa các số.

a −4,27 −4,38 b −6,75 −6,25

c −0,2 −0,03 d −8,05 −8,9

10 Viết các số thập phân sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. a −4,67; −4,05; −4,76; −4,5 b −11,525; −11,91; −11,08; −11,6

11 Shen and Mia swim every day. They record the distances they swim each day for 10 days. These are the distances that Shen swims each day.

250 m 1.25 km 0.5 km 2500 m 2 km 1.75 km 750 m 1500 m 25 km 0.75 km

a Shen has written down one distance incorrectly. Which one do you think it is? Explain your answer. These are the distances that Mia swims each day.

1.2 km 240 m 0.4 km 1.64 km 820 m 640 m 0.2 km 1.42 km 960 m 0.88 km

b Mia says that the longest distance she swam is more than eight times the shortest distance she swam. Is Mia correct? Explain your answer.

Shen and Mia swim in different swimming pools. One of the swimming pools is 25 m long. The other swimming pool is 20 m long. Shen and Mia always swim a whole number of lengths.

c Who do you think swims in the 25 m swimming pool? Explain how you made your decision.

12 Each of the cards describes a sequence of decimal numbers.

A First term: 0.5 Term-to-term rule: ‘add 0.5’

B First term: 0.15 Term-to-term rule: ‘multiply by 2’

C First term: −1.7 Term-to-term rule: ‘add 1’

D First term: 33.6 Term-to-term rule: ‘divide by 2’

E First term: 1.25 Term-to-term rule: ‘add 0.25’

F First term: 10.45 Term-to-term rule: ‘subtract 2’

a Work out the fifth term of each sequence.

b Write the numbers from part a in order of size, starting with the smallest.

4 Số thập phân

11 Hằng ngày, Shen và Mia đi bơi. Hai bạn ghi lại quãng đường bơi được mỗi ngày trong 10 ngày. Dưới đây là quãng đường bơi của Shen mỗi ngày.

250 m 1,25 km 0,5 km 2 500 m 2 km 1,75 km 750 m 1 500 m 25 km 0,75 km

a Shen đã viết không chính xác một quãng đường.

Theo em, đó là quãng đường nào? Giải thích đáp án của em. Dưới đây là quãng đường bơi của Mia mỗi ngày.

1,2 km 240 m 0,4 km 1,64 km 820 m 640 m 0,2 km 1,42 km 960 m 0,88 km

b Mia nói rằng quãng đường dài nhất mà bạn ấy bơi được gấp tám lần quãng đường ngắn nhất.

Mia nói có chính xác không? Giải thích đáp án của em.

Shen và Mia bơi ở các hồ bơi khác nhau. Một hồ bơi dài 25 m. Hồ bơi còn lại dài 20 m. Shen và Mia luôn bơi hết chiều dài của hồ.

c Theo em, ai là người bơi ở hồ dài 25 m?

Giải thích đáp án của em.

12 Mỗi thẻ sau mô tả một dãy các số thập phân.

A Số hạng đầu: 0,5 Quy luật chuyển số hạng-tới-số hạng của dãy: “cộng 0,5”

B Số hạng đầu: 0,15 Quy luật chuyển số hạng-tới-số hạng của dãy: “nhân với 2”

C Số hạng đầu: –1,7 Quy luật chuyển số hạng-tới-số hạng của dãy: “cộng 1”

D Số hạng đầu: 33,6 Quy luật chuyển số hạng-tới-số hạng của dãy: “chia cho 2”

E Số hạng đầu: 1,25 Quy luật chuyển số hạng-tới-số hạng của dãy: “cộng 0,25”

F Số hạng đầu: 10,45

Quy luật chuyển số hạng-tới-số hạng của dãy: “trừ 2”

a Tính số hạng thứ năm của mỗi dãy.

b Viết các số ở phần a theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

13 Zara is looking at this inequality: 3.27 ⩽ x <3.34

If x is a number with two decimal places, there are 8 possible numbers that x could be.

Is Zara correct? Explain your answer.

14 y is a number with three decimal places, and –0.274 < y ⩽ –0.27 Write all the possible numbers that y could be.

In this exercise you have written positive decimal numbers, negative decimal numbers and decimal measurements in order of size.

a Which have you found the easiest? Explain why.

b Which have you found the hardest? Explain why.

Summary checklist

I can compare and order positive decimal numbers. I can compare and order negative decimal numbers. I can compare and order decimal measurements.

•

Follow these steps when you multiply a decimal by a whole number or a decimal.

• First, work out the multiplication without the decimal points.

• Finally, put the decimal point in the answer. There must be the same number of digits after the decimal point in the answer as there were in the question.

13 Zara đang xét bất đẳng thức sau: 3,27 ⩽ x <3,34 Nếu x là một số có hai chữ số thập phân, thì x có 8 giá trị thoả mãn bất đẳng thức này.

Zara phát biểu đúng không? Giải thích đáp án của em.

14 y là một số có ba chữ số thập phân, và –0,274 < y ⩽ –0,27 Viết tất cả các số y thoả mãn bất đẳng thức trên.

Trong bài tập này, em đã viết các số thập phân dương, các số thập phân âm và các số đo thập phân theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

a Em thấy phần nào dễ nhất? Vì sao?

b Em thấy phần nào khó nhất? Vì sao?

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể so sánh và sắp xếp các số thập phân dương theo thứ tự.

Em có thể so sánh và sắp xếp các số thập phân âm theo thứ tự.

Em có thể so sánh và sắp xếp các số đo thập phân theo thứ tự.

4 Số thập phân

Thực hiện các bước dưới đây khi nhân một số thập phân với một số nguyên hoặc với một số thập phân.

• Đầu tiên, tính kết quả của phép nhân không có dấu phẩy thập phân.

• Cuối cùng, thêm dấu phẩy thập phân

Worked example 4.2

a Work out mentally i 0.02 × −12

ii 3.2 × 0.04

b Use a written method to work out 5.96 × 0.35 Check your answer using estimation. Answer

a i 2 × −12 = −24 0.02 × −12 = −0.24

ii 32 × 4 = 128 3.2 × 0.04 = 0.128

Work out the multiplication without the decimal points.

Put the decimal point back in the answer. There are 2 digits after the decimal point in the question, so there must be 2 digits after the decimal point in the answer.

Work out the multiplication without the decimal points.

Put the decimal point back in the answer. There are 3 digits in total after the decimal points in the question, so there must be 3 digits after the decimal point in the answer.

b Work out the multiplication without the decimal points.

5.96 × 0.35 = 2.0860

5.96 × 0.35 = 2.086

Check 6 × 0.4 = 2.4 ✓

Exercise 4.2

(Use your preferred method for multiplication.)

Work out 596 × 5

Work out 596 × 30

Add together the two lines above.

Put the decimal point back in the answer. There are 4 digits in total after the decimal points in the question, so there must be 4 digits after the decimal point in the answer. The zero at the end of the number can now be ignored.

Round both of the numbers in the question to one significant figure. 2.4 is close to 2.086, so the answer is probably correct. 5 9 6 × 3 5 2 9 8 0 + 1 7 8 8 0 2 0 8 6 0

1 Use a mental method to work out a 0.1 × −8 b 0.2 × 3 c 0.3 × −7 d 0.7 × 8 e 0.9 × −4

4 Số thập phân

Ví dụ minh hoạ 4.2

a Tính nhẩm

i 0,02 × −12

ii 3,2 × 0,04

b Dùng phương pháp đặt tính để tính 5,96 × 0,35 Kiểm tra đáp số của em bằng ước lượng.

Lời giải

a i 2 × −12 = −24 0,02 × −12 = −0,24

ii 32 × 4 = 128 3,2 × 0,04 = 0,128

Tính phép nhân không có dấu phẩy thập phân.

Thêm dấu phẩy thập phân vào đáp số. Số thập phân trong phép tính có 2 chữ số sau dấu phẩy thập phân, do đó đáp số cũng phải có 2 chữ số sau dấu phẩy thập phân.

Tính phép nhân không có dấu phẩy thập phân.

Thêm dấu phẩy thập phân vào đáp số. Số thập phân trong phép tính có

tổng cộng 3 chữ số sau dấu phẩy thập phân, do đó kết quả cũng phải có 3 chữ số sau dấu phẩy thập phân.

b Tính phép nhân không có dấu phẩy thập phân.

(Hãy tính phép nhân theo phương pháp em thích.)

Tính 596 × 5

Tính 596 × 30 Cộng kết quả của hai phép tính trên.

5,96 × 0,35 = 2,0860

5,96 × 0,35 = 2,086

Kiểm tra

6 × 0,4 = 2,4 ✓

Bài tập 4.2

Thêm dấu phẩy thập phân vào đáp số. Số thập phân trong phép tính có tổng cộng 4 chữ số sau dấu phẩy thập phân, do đó đáp số cũng phải có 4 chữ số sau dấu phẩy thập phân.

Có thể bỏ qua chữ số 0 ở cuối.

Làm tròn cả hai số trong phép tính đến một chữ số có nghĩa.

2,4 gần bằng với 2,086; do đó đáp số có thể chính xác.

1 Dùng phương pháp tính nhẩm để tính

a 0,1 × −8 b 0,2 × 3 c 0,3 × −7 d 0,7 × 8 e 0,9 × −4

2 Use a mental method to work out

a −6 × 0.03 b −9 × 0.2

c −18 × 0.001 d −20 × 0.9

All the answers are in the cloud.

3 Here are five calculation cards.

−18 −0.18 −1.8 −0.018

4

A 0.6 × −12 B 0.039 × −180 C 0.85 × −9

D 0.44 × −16 E 0.04 × −182

a Work out the

b

I don’t understand why 0.2 × 0.3 is 0.06 and not 0.6

Zara Arun this pattern.

How can you use the place value of the in 0.2 and 0.3 to to Arun why the answer is 0.06 and not

5 a Copy and complete these patterns.

i 2 × 4 = 8 ii 3 × 5 = 15 0.2 × 4 = 0.3 × 5 = 0.2 × 0.4 = 0.3 × 0.5 = 0.2 × 0.04 = 0.3 × 0.05 = 0.2 × 0.004 = 0.3 × 0.005 =

b Work out.

i 0.1 × 0.09 0.6 × 0.8 iii 0.07 × 0.4 0.03 × 0.05 0.12 × 0.3 0.06 × 0.11

6 Fill in the missing spaces in this spider diagram. All the calculations give the answer in the middle. All the answers are in the yellow rectangle on the right. 3 0.6 3 0.6 4 3 0.9 3 3 9 3 0.12 3 1.2 0.36 3 0.4 0.3 36 0.04 0.06 0.09 3 0.01

7

Jan

a Use this information to write the answers to these × × × ×

b Explain why your answers to ai and aiii are the same, and why your answers to aii and aiv are the same.

c Use generalising to describe a method that someone could follow to work out the answer to any change in 42 × 87 = 3654 that involves decimals.

Tip An example calculation in part c could be 0.42 × 0.87 or 0.042 × 8.7

5 a Chép lại và hoàn thành các quy luật sau. 2 × 4 = 8 ii 3 × 5 = 15 0,2 × 4 = 0,3 × 5 = 0,2 × 0,4 = 0,3 × 0,5 = 0,2 × 0,04 = 0,3 × 0,05 = 0,2 × 0,004 = 0,3 × 0,005 = Tính. 0,1 × 0,09 0,6 × 0,8 0,07 × 0,4 0,03 × 0,05 v 0,12 × 0,3 0,06 × 0,11

6 Điền vào chỗ trống trong sơ đồ sau.

Tất cả các phép tính đều cho ra đáp số ở giữa. cả các đáp số đều có trong hình chữ nhật màu vàng bên cạnh. × 0,6 × 0,6

8 a Work out

b Use your answer the to these

Activity 4.2

a a piece of paper, a question of your own similar to Question 8 a different piece of the answers to your question.

b Exchange a out the answers to their question.

c Exchange back and mark each other’s work. Discuss any mistakes.

9 Sam uses this method to work and check her answer.

a Write the advantages and disadvantages of Sam’s method.

b you

c Which method you prefer to use to multiply decimals? this method.

10 Work out these multiplications. Show how to your

a

Tip the in the to one significant figure.

8 a Tính 158 × 46

b Dùng đáp số của em trong phần a để tính đáp số cho các phép nhân sau i 15,8 × 46 ii 158 × 4,6 iii 15,8 × 4,6 iv 1,58 × 4,6 v 15,8 × 0,46 vi 1,58 × 0,046

a Trên một tờ giấy, hãy tự viết một phép tính tương tự như Câu hỏi 8 Trên một tờ giấy khác, hãy viết đáp số cho phép tính của em.

b Trao đổi phép tính với một bạn cùng lớp và tính đáp số cho phép tính của bạn ấy.

c Trao đổi lại và chấm bài làm của nhau. Thảo luận các lỗi sai.

9 Sam dùng phương pháp sau để tính và kiểm ra đáp số. đó 0,67 tròn 0,67 thành 0,7 tròn thành = 2,8 số gần với 2,8676

b Em có thể cải tiến phương pháp của bạn ấy không? nhỏ kiểm tra đáp số, hãy ước lượng cách làm tất cả các số trong phép tính đến một chữ số có nghĩa.

a Viết các ưu điểm và nhược điểm từ phương pháp của Sam.

11 This is part of Syra’s homework.

Question Work out

a 0.45 × 2.8 b 7.8 × 0.0093 c 0.065 × 0.043 Answer a 12.6 b 0.072 54 c 0.027 95

Use estimation to check if Syra’s answers could be correct. If you don’t think they are correct, explain why.

12 A vet needs to work out how much medicine to give to a cat. The instructions for the medicine say:

Give 7.3 mg (medicine) per kg (mass of cat)

The cat has a mass of 5.8 kilograms.

a Work out an estimate of the number of milligrams (mg) of medicine that the cat needs.

b Calculate the accurate number of milligrams (mg) of medicine that the cat needs.

13 A coin is made from silver and copper.

The mass of the coin is 4.2 g.

You can use this formula to work out the mass of silver in the coin: mass of silver = 0.775 × mass of coin

a Work out an estimate of the mass of the silver in this coin.

b Calculate the accurate mass of the silver in this coin.

Summary checklist

I can

I can

11 Đây là một phần bài tập về nhà của Syra.

Câu

a 0,45 × 2,8 b 7,8 × 0,0093 c 0,065 × 0,043 Đáp số a 12,6 b 0,07254 c 0,02795

Hãy ước lượng để kiểm tra xem đáp số của Syra đúng hay sai. Nếu em nghĩ phép tính không đúng, hãy giải thích vì sao.

12 Một bác sĩ thú y cần tính lượng thuốc cho một chú mèo.

Hướng dẫn sử dụng thuốc cho biết: Cho 7,3 mg (thuốc) trên mỗi kg (cân nặng của mèo)

Mèo cân nặng 5,8 ki-lô-gam.

a Ước lượng số lượng mi-li-gam (mg) thuốc cho mèo.

b Tính chính xác số lượng mi-li-gam (mg) thuốc cho mèo.

13 Một đồng xu được làm từ bạc (silver) và đồng (copper).

Khối lượng của đồng xu là 4,2 g.

Em có thể dùng công thức sau để tính khối lượng bạc có trong đồng xu:

khối lượng bạc = 0,775 × khối lượng của đồng xu

a Ước lượng khối lượng bạc có trong đồng xu này.

b Tính khối lượng bạc chính xác có trong đồng xu.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể nhân số thập phân với số nguyên.

Em có thể nhân số thập phân với số thập phân.

4.3 Dividing by decimals

In

When you divide a number by a decimal, you can use the place value of the decimal to work out an easier equivalent calculation. An easier equivalent calculation is to divide by a whole number instead of a decimal.

For example, you can write 567..07 ÷ as 567 07 . Multiplying the numerator and denominator of the fraction by 10 gives 56710 0710 567

This makes an equivalent calculation that is much easier to do because dividing by 7 is much easier than dividing by 0.7.

Worked example 4.3

Work out

a −32 ÷ 3.468

a ÷ = 320232

Key words equivalent calculation reverse calculation division

First of all write ÷ 3202 . as a fraction. 3210 0210

Multiply numerator and denominator by 10. −320

b 3468083468

Finally work out the division.

First, write 3.468 ÷ 0.8 as a fraction. 346810

Multiply the numerator and denominator by 10.

Now use short division to work out 34688 . ÷ So 3468084335

4 Số thập phân

4.3 Phép chia số thập phân

Trong phần này, em sẽ… • chia số thập phân cho số có một chữ số thập phân.

Khi chia một số cho một số thập phân, em có thể dùng giá trị theo hàng của số thập phân để dễ thực hiện biến đổi tương đương hơn. Biến đổi tương đương dễ hơn khi ta chia cho một số nguyên thay vì chia cho một số thập phân.

Ví dụ, em có thể viết 56707,, ÷ dưới dạng 567 07 , ,Nhân cả tử và mẫu của phân số trên cho 10, ta được: 56710 0710 567 7 , , ,× × = Cách này tạo ra một biến đổi tương đương dễ thực hiện hơn vì chia cho 7 thì dễ hơn nhiều so với chia cho 0,7.

Ví dụ minh hoạ 4.3

Tính

Từ khoá biến đổi tương đương phương pháp tính ngược phép chia nhanh

a −32 ÷ 0,2 3,468 giải Đầu tiên, viết phép chia ÷ 3202 , dưới dạng phân số. Nhân cả tử và mẫu của phân số với 10. cùng, tính phép chia. tiên, viết phép chia 3,468 ÷ 0,8 dưới dạng phân số. cả tử và mẫu của phân số với giờ, hãy sử dụng phép chia nhanh để tính

Exercise 4.3

1 Copy and complete these divisions. 240424 ..04 ÷ = 2410 0410 × 720972 ..09 = 7210 0910 × ÷ = 420642 .06 × × == 4210 0610. ÷ = 450545 .05 . × × == 4510 0510.

2 Which of these calculation cards is the odd one out? Explain why.

A 6.3 ÷ 0.9 1.4 ÷ 0.2 4.9 ÷ 0.7 4.8 0.6 5.6 0.8

Think like a mathematician

3 Discuss this question with a partner or in a small group. Arun is working out 3 ÷ 0.6. This is what he says.

I understand that I must do 3 06 31 0 06 10 30 6 5== = × × because that makes the calculation a lot easier.

But I don’t understand why we don’t divide the answer at the end by 10 as we multiplied the numbers at the start by 10.

I think the answer should be 5 ÷ 10 = 0.5.

What explanation could you give to Arun to show that he is wrong?

4 Work 0920 574 −774

5 Artur pays $1.08 for a piece of string 0.8 m long. Artur uses this formula to work out the cost of the string per metre.

cost per metre = price of piece length of piece

What is the cost of the string per metre?

Tip Follow these steps

1 Write the division as a fraction.

2 Multiply the numerator and denominator by 10.

6 Discuss in pairs small do to check that the example, can check that 20504..2563 probably

7 This is part of Jamal’s

3 Use short division to work out the answer. Remember, the symbol means approximately equal to’.

4 Số thập phân

4 Tính a 09204,, b 57407 c −774 ÷ 0,9 d −288 ÷ 0,3

5 Artur trả $1,08 cho một đoạn dây dài 0,8 m.

Artur dùng công thức sau để tính giá tiền cho mỗi mét dây.

giátiềncủamỗimét=giátiềncủađoạndây độdàicủađoạndây

Giá tiền cho mỗi mét dây là bao nhiêu?

Tư duy như một nhà Toán học

Mách nhỏ

Thực hiện các bước sau

1 Viết phép chia dưới dạng một phân số.

2 Nhân cả tử và mẫu với 10.

3 Sử dụng phép chia nhanh để tính đáp số.

6 Thảo luận theo cặp hoặc nhóm nhỏ để có thể tính nào để kiểm tra đáp số của một phép chia? dụ, em làm thế nào để kiểm tra đáp số của phép chia 20504 08 ,,2563 , ÷=

7 Dưới đây là một phần bài tập về nhà của Jamal. hỏi

Mách nhỏ Ghi nhớ, dấu ≈ nghĩa là “gần bằng”

8 Isla works out 50461..2 ÷ . This is what she writes.

a Explain the mistake that Isla has made.

b Write the correct answer.

9 Raffa works out 461 71 ..8 ÷ . This is what he writes. can use the table to work out the division like this. 5 6 461.7 9

a What should Raffa have done, instead of stopping the division and writing ‘remainder 9’?

b Work out the correct answer.

10 a Copy and complete the table below showing the 19 times table. 2 3 4 5 6 7 8 9

b Use the table to help you work out 59375..19 ÷

c Show how to check your answer to part b is correct. Use estimation with a reverse calculation

11 a Complete the table below showing the 25 times table. part c, your rounded answer to part b × 2 should equal about 60.

a

b đúng.

9 Raffa tính giải như để tính phép 2 5 6 dư 9 18 4 6 101 117 Vậy, 461,7 ÷ 1,8 = 256 dư 9

a Raffa nên làm tiếp phép chia như thế nào, thay vì ngừng tính và viết “dư 9“?

b Tính lại đáp số đúng.

10 a Chép lại

b Helen buys a piece of wood for $58.90

The piece of wood is 2.5 m long. Work out the cost per metre of the wood.

c Show how to check your answer to part b is correct. Use estimation with a reverse calculation.

Tip

You can use the same formula as in Question 5.

3.4 m

Area = 50.15 m2

12 The diagram shows a rectangle with an area of 50.15 m2. The width of the rectangle is 3.4 m. length

Work out the length of the rectangle.

13 Work with a partner to answer this question.

a Balsem works out that 425 × 27 = 11 475 Use this information to work out

i 11 475 ÷ 27 ii 11 475 ÷ 425

iii 11 475 ÷ 2.7 iv 11 475 ÷ 42.5

b Explain the method you used to work out the answers to part a. c Work out

i 1147.5 ÷ 2.7 ii 114.75 ÷ 2.7 iii 11.475 ÷ 2.7 iv 1.1475 ÷ 2.7

d Explain the method you used to work out the answers to part c.

e Check your answers with some other learners in your class to see if you agree.

If you disagree about any of the answers, discuss where mistakes have been made.

14 This is part B of Marcus’s homework.

I must give my answer to 1 d.p. so I only need to work out the division to 2 d.p. and then I can round.

b Helen mua một thanh gỗ với giá $58,90

Thanh gỗ dài 2,5 m.

Tính giá tiền cho mỗi mét gỗ.

c Trình bày cách em kiểm tra đáp số ở phần b. Ước lượng bằng phương pháp tính ngược.

4 Số thập phân

Mách nhỏ

Diện tích = 50,15 m23,4 m

12 Cho một hình chữ nhật có diện tích 50,15 m2. Chiều rộng của hình chữ nhật là 3,4 m. chiều dài

Tính chiều dài của hình chữ nhật.

13 Thảo luận theo cặp để trả lời câu hỏi sau.

a Balsem tính 425 × 27 = 11 475 Dùng phép tính trên để tính

i 11 475 ÷ 27 ii 11 475 ÷ 425

iii 11 475 ÷ 2,7 iv 11 475 ÷ 42,5

b Giải thích phương pháp em đã dùng để tính ra đáp số ở phần a. c Tính

i 1 147,5 ÷ 2,7 ii 114,75 ÷ 2,7 iii 11,475 ÷ 2,7 iv 1,1475 ÷ 2,7

d Giải thích phương pháp mà em đã dùng để tính ra đáp số ở phần c.

e Kiểm tra đáp số của em với một số bạn khác trong lớp để xem em có đồng ý với đáp số của các bạn không. Nếu em không đồng ý với bất kì đáp số nào, hãy thảo luận xem lỗi sai ở đâu. 14 Dưới đây là phần B bài tập về nhà của Marcus.

Em có thể dùng công thức tương tự Câu hỏi 5. Mình phải đưa ra đáp số có 1 cstp nên mình chỉ cần tính phép chia đến 2 cstp rồi làm tròn.

Use Marcus’s method to work out these calculations. Round each of your answers to the given degree of accuracy.

a 379..06 ÷ (1 d.p.)

b 82351 1÷ (2 d.p.)

c 5689 23÷ (1 d.p.)

Tip You only need to work out the division to one decimal place more than the degree of accuracy you need.

Summary checklist

I can divide decimals by numbers with one decimal place.

4.4 Making decimal calculations easier

In this section you will …

• simplify calculations containing decimals.

When you are calculating using decimals, there are several methods you can use to make a calculation easier, such as

• using the place value of the decimal

• breaking a decimal into parts using factors

• using the correct order of operations.

Key word factor

Worked example 4.4

Work out mentally

a (0.6 0.2) × 0.8 b 22 × 0.9 c 4 × 12.6 × 2.5 d 12 × 0.15

Answer

a 0.6 0.2 = 0.4 0.4 × 0.8 = 0.32

b 22 × 0.9 = 22 × (1 0.1)

= 22 × 1 22 × 0.1 = 22 2.2 = 22 2 0.2 = 20 0.2 = 19.8

c 4 × 12.6 × 2.5 = 4 × 2.5 × 12.6 = 10 × 12.6 = 126

d 12 × 0.15 = 12 × 0.5 × 0.3 = 6 × 0.3 = 6 × 3 ÷ 10 = 18÷ 10 = 1.8

Exercise 4.4

Work out the brackets first. 4 × 8 = 32 so 0.4 × 0.8 = 0.32

Replace 0.9 with (1 0.1) Work out 22 × 1 and 22 × 0.1 Now subtract 2.2 from 22 by subtracting the 2 first and then subtracting the 0.2 This gives an answer of 19.8

You can do the multiplications in any order. Notice that 4 × 2.5 = 10, so rearrange the question. Replace 4 × 2.5 with 10 and work out 10 × 12.6

Use factors of 15 to make the calculation easier: 0.15 = 0.5 × 0.3 12 × 0.5 is the easier calculation so do this first: (12 × 0.5 = 6) Then work out 6 × 0.3 Replace 0.3 with 3 ÷ 10, then do 3 × 6 = 18 Finally 18 ÷ 10 = 1.8

1 Copy and complete the workings for these questions.

a (0.3 + 0.4) × 0.2 = × 0.2 b (1.1 0.8) × 0.4 = × 0.4 = =

2 Use the same method as in Question 1 to work out

a (0.7 + 0.1) × 0.6 b (0.3 + 0.9) × 0.5 c (0.6 0.4) × 1.2 d (1.8 1.5) × 1.1

4 Số thập phân

Ví dụ minh hoạ 4,4

Tính nhẩm

a (0,6 0,2) × 0,8 b 22 × 0,9 c 4 × 12,6 × 2,5 d 12 × 0,15 Lời giải

a 0,6 0,2 = 0,4 0,4 × 0,8 = 0,32

b 22 × 0,9 = 22 × (1 0,1)

= 22 × 1 22 × 0,1 = 22 2,2 = 22 2 0,2 = 20 0,2 = 19,8

c 4 × 12,6 × 2,5 = 4 × 2,5 × 12,6 = 10 × 12,6 = 126

d 12 × 0,15 = 12 × 0,5 × 0,3 = 6 × 0,3 = 6 × 3 ÷ 10 = 18÷ 10 = 1,8

Tính trong ngoặc trước.

4 × 8 = 32 do đó 0,4 × 0,8 = 0,32

Thay 0,9 bằng (1 – 0,1)

Tính 22 × 1 và 22 × 0,1 Bây giờ, lấy 22 trừ đi 2,2 bằng cách

trừ 2 trước

rồi trừ tiếp cho 0,2 Đáp số là 19,8.

Em có thể tính phép nhân theo bất kì thứ tự nào.

Nhận thấy rằng 4 × 2,5 = 10, nên sắp xếp lại phép tính.

Thay 4 × 2,5 bằng 10 và tính 10 × 12,6

Sử dụng các thừa số của 15 để thực hiện phép tính dễ dàng hơn: 0,15 = 0,5 × 0,3

12 × 0,5 là một phép tính dễ hơn nên thực hiện phép tính này trước: (12 × 0,5 = 6) Sau đó tính 6 × 0,3

Thay 0,3 bằng 3 ÷ 10, và sau đó 3 × 6 = 18 Cuối cùng 18 ÷ 10 = 1,8

Bài tập 4.4

1 Chép lại và hoàn thành các phép tính sau.

a (0,3 + 0,4) × 0,2 = × 0,2 b (1,1 0,8) × 0,4 = × 0,4

2 Dùng phương pháp tương tự ở Câu hỏi 1 để tính

a (0,7 + 0,1) × 0,6 b (0,3 + 0,9) × 0,5 c (0,6 0,4) × 1,2 d (1,8 1,5) × 1,1

3 Complete the workings to make these calculations easier.

a 52 × 0.9 = 52 × (1 0.1)

b 8.3 × 0.9 = 8.3 × (1 0.1)

= 52 × 1 52 × 0.1 = 8.3 × 1 8.3 × 0.1 = = = =

4 Use the same method as in Question 3 to work out a 28 × 0.9 b 17 × 0.9 c 4.9 × 0.9

Think like a mathematician

5 Work in pairs or small groups to discuss this question. Look again at the working and method for Question 3a.

a Describe a similar method you could use to work out 52 × 9.9

b Describe a similar method you could use to work out 52 × 0.99

c Use your methods to work out i 26 × 9.9 ii 26 × 0.99 Check your methods and answers with other learners in the class. Discuss any mistakes that have been made.

6 The diagram shows a rectangle. The width is 6 m and the length is 9.9 m. Work out the area of the rectangle.

7 A new medicine was given to 3200 patients. It made 99% of them feel better. For the other 1% the medicine made no difference. Work out how many of the patients the new medicine made better.

8 Work out the answers to these calculations. Look for different ways to make the calculations easier. There are some tips in the cloud.

e (720 120) × 0.07 9.9 m 6 m

Tip 99% = 0.99, so 3200 × 0.99 =

a 2.5 × 32.7 × 4 b 0223 01 × c (420 + 360) × 0.7 d 8 × 1.32 × 2.5

4 Số thập phân

3 Hoàn thành các bước sau để tính nhanh. a 52 × 0,9 = 52 × (1 0,1) 8,3 × 0,9 = 8,3 × (1 0,1) 52 × 1 52 × 0,1 = 8,3 × 1 8,3 × 0,1

4 Dùng phương pháp tương tự ở Câu hỏi 3 để tính a 28 × 0,9 b 17 × 0,9 c 4,9 × 0,9

5 Thảo luận theo cặp hoặc nhóm nhỏ để trả lời câu hỏi sau. Xem lại bài giải và cách làm ở Câu hỏi 3a.

a Mô tả một phương pháp tương tự mà em có thể dùng để tính 52 × 9,9

b Mô tả một phương pháp tương tự mà em có thể dùng để tính 52 × 0,99

c Dùng các phương pháp của em để tính i 26 × 9,9 ii 26 × 0,99

Kiểm tra phương pháp và đáp số của em với các bạn khác trong lớp. Thảo luận về các lỗi sai mắc phải.

6 Cho một hình chữ nhật.

Chiều rộng là 6 m và chiều dài là 9,9 m.

Tính diện tích của hình chữ nhật.

7 Một loại thuốc mới được cấp cho 3 200 bệnh nhân.

Loại thuốc này giúp 99% số bệnh nhân cảm thấy khoẻ hơn.

Còn lại 1% số bệnh nhân thì không có tác dụng.

Tính số bệnh nhân cảm thấy khoẻ hơn nhờ loại thuốc mới?

8 Tính đáp số của các phép tính sau. Hãy tìm những cách khác nhau để thực hiện các phép tính dễ dàng hơn. Có một số mẹo ở hình bên. 2,5 (420

Mách nhỏ = 0,99; nên 3 200 × 0,99

9 Complete the workings. Use factors to make these calculations easier.

a 24 × 0.35 = 24 × 0.5 × 0.7 b 32 × 0.45 = 32 × 0.5 × 0.9 = × 0.7 = × 0.9 = × 7 ÷ 10 = × 9 ÷ 10 = ÷ 10 = ÷ 10 = =

10 Use the same method as in Question 9 to work out a 80 × 0.15 b 116 × 0.25

11 This is part of Pedro’s classwork.

Question

Work out 280 × 0.12 Answer

Use 0.12 = 0.2 × 0.6 280 × 0.12 = 280 × 0.2 × 0.6 = 280 × 2 ÷ 10 × 6 ÷ 10 = 560 ÷ 10 × 6 ÷ 10 = 56 × 6 ÷ 10 = 336 ÷ 10 = 33.6

Use Pedro’s method to work out a 180 × 0.14 (use 0.14 = 0.2 × 0.7) b 120 × 0.16 c 250 × 0.18 d 450 × 0.24

Think like a mathematician

Tip

For part b, you could use 0.2 × 0.8 or 0.4 × 0.4

12 In questions 9 and 10, all the decimals had a factor of 0.5 Did you always multiply by 0.5 first? If you did, explain why you did this.

Look at Question 11. Pedro has used a factor of 0.2 and multiplied by this first. Why do you think he has not used 0.5 in these questions?

13 A grandmother gives $12 600 to be shared between her grandchildren.

Abdul gets 0.35 of the money.

Zhi gets 0.25 of the money.

Paula gets 0.22 of the money.

Yola gets 0.18 of the money.

a Work out how much they each get.

b Show how you can check that your answers are correct.

14 Zara and Sofia are trying to solve this puzzle.

13

Abdul

Zhi

Paula

a

b

Check your progress

1 Write the correct sign, < or >, between these. a 6.75 6.7 b −4.87 −4.81 c 0.65 kg 67 g

2 Write these decimals in order of size, starting with the smallest. −3.482 −3.449 −3.6 −3.44 −3.06

3 Use a mental method to work out a 0.2 × 0.4 b 0.7 × 0.3

4 Work out 0.57 × 4.62

5 Sam works out that 365 × 24 = 8760

Use this information to write the answers to these calculations.

a 365 × 2.4 b 36.5 × 2.4 c 3.65 × 0.24 876024 ÷ e 8760 24÷ . f 876 24÷ .

6 Work out 5 40 ..9 ÷

7 a Complete the table below showing the 15 times table. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 30 45

b Use the table to help you work out 38205 15÷ c Show how to check your answer to part b is correct. Use a reverse calculation.

8 Work out the answers to these calculations.

Use the methods you have learned to make the calculations easier.

a (0.7 0.4) × 0.12 b 0.9 × 27 c 14 × 0.35

Diamond decimals

The Decimal Diamond on the right was generated from the diamond on the left. Work out how the values in the squares were calculated.

Look at this Decimal Diamond. Choose a value for the top circle w, and choose a decimal g, between 0 and 1, which will fill the gaps between the values, so that: + g = x + g = y g

Work out the values that go in the five squares.

Try this a few times with different values for w and g. What do you notice?

If someone told you the values they chose for w and g, can you find a quick way to work out the values in their squares?

Now look at this Decimal Diamond. Choose a number to go in the square marked a, and choose a decimal g, between 0 and 1, which will fill the gaps between the values, so that: g

Can you work backwards to find out what numbers need to go in the circles to complete the Decimal Diamond? Is it possible to complete a Decimal Diamond if you are given only two of the entries?

Hãy quan sát Kim cương số thập phân sau. Chọn một giá trị cho ô tròn w trên đỉnh, và chọn một số thập phân g, giữa 0 và 1, để điền vào ô trống giữa các giá trị đó, sao cho: w + g = x x + g = y y + g = z

Tính các giá trị ở năm ô vuông.

Hãy thử một vài lần với các giá trị w và g khác nhau.

Em nhận thấy điều gì?

Nếu em biết các giá trị w và g, liệu em có thể tìm ra cách tính nhanh các giá trị trong ô vuông không? c ba

Nếu chỉ được cho hai số trong các số cần điền, thì em có thể hoàn thành Kim cương số thập phân không?

Getting started

1 Write the correct symbol, = or ≠, between each pair of fractions.

a 5 3 1 1 3 b 2 1 2 10 4 c 3 5 6 21 4

2 Write the correct symbol, < or >, between each pair of fractions.

a 2 3 5 3 b 2 1 2 9 4 c 2 5 3 7

3 Work these out. Give each answer as a mixed number in its simplest form.

a 2 32 9 4 9 + b 1 52 3 3 4 +

4 Work these out. Give each answer in its simplest form.

a 2 3 7 8 × b 2 3 7 8 ÷

5 Work these out using a method to make the calculation easier. Show all your working.

a 1 8 600× b 2 5 320× c 19 20 4000×

Fractions are used in everyday life more often than you might think. One important use of fractions is in music. Here is an example of a few bars of music. one bar

A bar lasts a particular length of time, measured in a number of beats. Different types of musical note last for different numbers of beats. This means that the number of notes that can fit into each bar depends on the type of notes.

Imagine a bar is like a cake. The number of slices (notes) into which it can be cut depends on how large the slices are (how many beats each note lasts for). Fractions

Phân số

Bắt đầu nào!

1 Điền dấu, = hoặc ≠, thích hợp vào ô trống.

a 5 3 1 1 3 b 2 1 2 10 4 c 3 5 6 21 4

2 Điền dấu, < hoặc >, thích hợp vào ô trống.

a 2 3 5 3 b 2 1 2 9 4 c 2 5 3 7

3 Tính. Viết đáp số ở dạng hỗn số tối giản.

a 2 32 9 4 9 + b 1 52 3 3 4 +

4 Tính. Viết đáp số ở dạng tối giản.

a 2 3 7 8 × b 2 3 7 8 ÷

5 Tính nhanh. Trình bày các bước tính của em.

a 1 8 600× b 2 5 320× c 19 20 4000×

Có thể em không biết, nhưng phân số được sử dụng rất thường xuyên trong đời sống hằng ngày

Một ứng dụng quan trọng của phân số là trong âm nhạc.

Dưới đây là ví dụ về ô nhịp.

một nhịp

Nhịp kéo dài trong một khoảng thời gian cụ thể và được đo bằng một số lượng phách.

Loại hình nốt nhạc khác nhau thì có số phách khác nhau. Điều này nghĩa là số lượng nốt nhạc tương ứng với mỗi ô nhịp phụ thuộc vào loại hình nốt nhạc. Hãy tưởng tượng rằng một nhịp giống như chiếc bánh. Số lượng miếng bánh (nốt nhạc) có thể chia được phụ thuộc vào độ lớn của các miếng bánh (số phách tương đương cho mỗi nốt nhạc).

This table shows the names of some of the different types of note. It also shows the length of time (number of beats) for which each note lasts.

You can see that two minims last for the same length of time as one semibreve. You can also see that four semiquavers last for the same length of time as two quavers or one crotchet.

In the piece of music below, each bar must contain three beats. Try to think of a combination of notes that would fill the third bar. 1 decimals words

Tip can be written as can be written as can be written as

You already know how to use equivalent fractions to convert a fraction with a denominator that is a factor of 10 or 100 to a decimal.

For example: 3 5 6 10 06== . and 3 20 15 100 015== .

You can also use division to convert a fraction to an equivalent decimal

The fraction 5 8 is ‘five eighths’, ‘five out of eight’ or ‘five divided by eight’.

To work out the fraction as a decimal, divide 5 by 8: 5 ÷ 8 = 0.625

The decimal 0.625 is a terminating decimal because it comes to an end.

When you convert the fraction 71 99 to a decimal you get: 71 ÷ 99 = 0.71717171… semibreve minim crotchet note (1) half note 1 quarter note 1 eighth note 1 8 sixteenth note 1

Bảng này trình bày tên của một số nốt nhạc.

Bảng cũng cho thấy trường độ (số phách) của mỗi nốt.

Em có thể thấy hai nốt trắng có trường độ bằng một nốt tròn.

Em cũng có thể thấy bốn nốt móc kép có trường độ bằng hai nốt móc đơn hoặc một nốt đen.

Trong đoạn nhạc dưới đây, mỗi ô nhịp phải chứa ba phách.

Nốt nhạc Tên nốt nốt tròn nốt trắng nốt đen nốt móc đơn nốt móc kép

Hãy điền một tổ hợp các nốt phù hợp vào ô nhịp thứ ba. đổi phân số 71 99 thành số thập phân, em nhận được đáp số:

một nốt (1) 4 2 1 Phân số (Giá trị của nốt) Số phách một phần hai nốt 1 2 1 2 1 4 một phần tư nốt 1 4 một phần tám nốt 1 8 một phần mười sáu nốt 1 16

Mách nhỏ

có thể viết thành

có thể viết thành

có thể viết thành

The number 0.71717171… is a recurring decimal as the digits 7 and 1 carry on repeating forever.

You can write 0.71717171… with the three dots at the end to show that the number goes on forever.

You can also write the number as 07 1. .. , with dots above the 7 and the 1, to show that the 7 and 1 carry on repeating forever. When you convert the fraction 1 14 to a decimal, you get 1 ÷ 14 = 0.0714285714285714285

You can see that 714285 in the decimal is repeating, so you write this as 00 714285. ..

You put a dot above the 7 and the 5 to show that all the digits from 7 to 5 are repeated.

Worked example 5.1

Use division to convert each fraction to an equivalent decimal. a 3 8 b 5 11 c 11 12

Answer

Tip

You can use a written method or a calculator to do this. Tip A recurring decimal can always be written as a fraction.

a 3 ÷ 8 = 0.375 This answer is a terminating decimal, so write down all the digits.

b 5 ÷ 11 = 0.45 This answer is a recurring decimal, so write it as 0.45

c 11 ÷ 12 = 0.916

Exercise 5.1

This answer is a recurring decimal, but only the 6 is recurring, so write 0.916666… as 0.916 .

1 Use a written method to convert these unit fractions into decimals. Write if the fraction is a terminating or recurring decimal. The first two have been done for you. a 1 2 b 1 3 c 1 4 d 5 e 1 6 f 1 7 g 1 8 i j 11 k

A unit fraction has a numerator of 1, e.g. 1 2 1 3 1 ,,4 , Tip

In part f, you will need to keep going with the division for quite a long time!

Số 0,71717171… là một số thập phân vô hạn tuần hoàn bởi vì hai chữ số

7 và 1 lặp lại vô hạn.

Em có thể viết 0,71717171… với dấu ba chấm ở cuối để thể hiện số đó sẽ

tiếp tục lặp đi lặp lại.

Em cũng có thể viết số ở dạng 07 1, .. , với các dấu chấm ở phía trên số 7 và số

1 để thể hiện số 7 và số 1 lặp lại vô hạn.

Khi chuyển đổi lại.

Ví dụ minh hoạ 5.1

Sử dụng phép chia để chuyển đổi mỗi phân số sau thành số thập phân tương đương.

a 3 8 b 5 11 c 11 12

Lời giải

Mách nhỏ

Em có thể thực hiện phép tính bằng phương pháp đặt tính hoặc sử dụng máy tính cầm tay.

Mách nhỏ

Số thập phân vô hạn tuần hoàn luôn có thể được viết dưới dạng phân số.

a 3 ÷ 8 = 0,375 Đáp số này là một số thập phân hữu hạn, nên phải viết ra tất cả các chữ số.

b 5 ÷ 11 = 0,45 Đáp số là một số thập phân vô hạn tuần hoàn, nên phải viết thành 0,45

.

c 11 ÷ 12 = 0,916 Đáp số là một số thập phân vô hạn tuần hoàn, nhưng chỉ lặp lại số 6, nên phải viết 0,916666… thành 0,916

Bài tập 5.1

1 Sử dụng phương pháp đặt tính để chuyển đổi các phân số đơn vị sau thành số thập phân. Xét xem mỗi phân số là số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn. Hai phân số đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

Mách nhỏ Phân số đơn vị có tử số là 1, ví dụ: 1 2 1 3 1 ;;4 ;...

Mách nhỏ Đối với phần f, em sẽ cần tiếp tục thực hiện phép chia khá lâu! thập phân

Think like a mathematician

2 Work with a partner or in a small group to answer these questions.

a Copy and complete this table. Use your answers to Question 1

Unit fraction

1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 1 12

.

T R

Decimal 0.5 0.3 Terminating (T) or recurring (R)

b Read what Zara says.

The denominators of the fractions 1 2 , 1 4 and 1 8 are all powers of 2. The powers of 2 are 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, etc. There is a pattern in the equivalent decimals for 1 2 , 1 4 and 1 8 . They are all terminating decimals. The decimals are 0.5, 0.25 and 0.125. The pattern is 0.5, 0.25, 0.125. I think that all unit fractions with a denominator which is a power of 2 will be a terminating decimal that ends in 25, apart from 1 21 which just ends in 5.

i Do you think Zara is correct? Test her idea on 1 16 and 1 32

Explain your decisions.

ii What other patterns can you see in the table in Question 1?

Test your ideas to see if they work.

iii Discuss your ideas with other groups of learners in your class.

Tip 24 = 16, 25 = 32

Luỹ thừa của 2 là 21 = 2, 22 = 4, 23 = 8, v.v.

Có một quy luật với các số thập phân tương đương của

1 2 ; 1 4 và 1 8 , đều là số thập phân hữu hạn: 0,5; 0,25 và 0,125.

Quy luật là 0,5; 0,25; 0,125. Theo tớ, tất cả các phân số

đơn vị có mẫu là luỹ thừa của 2 sẽ là một số thập phân hữu hạn có hai chữ số tận cùng là 25, ngoại trừ

1 21 chỉ có một chữ số tận cùng là 5.

iii Thảo luận ý kiến của nhóm em với các nhóm khác trong lớp. . Mẫu số của các phân số 1 2 ; 1 4 và 1 8 đều là luỹ thừa của 2.

Mách nhỏ

24 = 16; 25 = 32

3 Here are five fraction cards.

A B C D E

a Without doing any calculations, do you think these fractions are terminating or recurring decimals? Explain why.

b Use a written method to convert the fractions to decimals.

c Write the fractions in order of size, starting with the smallest.

4 Here are five fraction cards.

A B C D E

a Without doing any calculations, do you think these fractions are terminating or recurring decimals? Explain why.

b Use a written method to convert the fractions to decimals.

c Write the fractions in order of size, starting with the smallest.

Think like a mathematician

5 Work with a partner or in a small group to discuss these questions. Maddie converts four fractions to recurring decimals on her calculator. These are the gets.

a Why has the calculator a 9 at the end of two of the decimals?

b Match each of the decimals its equivalent fraction: Maddie the fraction her calculator, is what she

The answer gets

Maddie the button:

c What does this button do to the fraction? What happens when you press the same button again?

d Use a calculator to work out the decimal equivalent

3 Cho năm thẻ phân số sau.

A B C D E

a Không thực hiện phép tính, theo em những phân số này là số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn? Giải thích tại sao.

b Sử dụng phương pháp đặt tính để chuyển đổi các phân số trên thành số thập phân.

c Viết các phân số trên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

4 Cho năm thẻ phân số sau.

A B C D E

a Không thực hiện bất kì phép tính nào, theo em những phân số này là số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn? Giải thích tại sao.

b Sử dụng phương pháp đặt tính để chuyển đổi các phân số trên thành số thập phân.

c Viết các phân số theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Tư duy như một nhà Toán học

5 Làm việc với một bạn cùng lớp hoặc theo nhóm nhỏ để trả lời các câu hỏi sau. Maddie chuyển đổi bốn phân số thành các số thập

6 Use a calculator to convert these fractions to decimals.

a 7

7 Marcus and Sofia are discussing the fraction 13

My calculator tells me that 5 ÷ 13 = 0.38461538, so I think that 5 13 is a recurring decimal which I can write as 0.384615

What do you think? Explain your answer.

I don’t think the calculator shows you enough decimal places to decide it is a recurring decimal.

8 Use a calculator to convert these fractions to recurring decimals.

a 2 7 b 9 c 11

9 This is part of Kim’s homework.

Question fractions 1 37 0.9

Tip Remember, when several digits repeat in the decimal, you only put a dot over the first and the last digit of the sequence that repeats, e.g. 1 7 = 0.142857

a Use a calculator to check Kim’s homework.

b Explain any mistakes she has made and write the correct answers.

10 Without using a calculator, write these fractions as decimals. 4 3 b 13 6 19 9 d 45

Tip Change the improper fractions into mixed numbers first. Then use your answers to Question 1 to help.

6 Sử dụng máy tính cầm tay để quy đổi các phân số sau thành số thập phân.

a 7 9 b 13 20 c 2 15 d 9 40

7 Marcus và Sofia đang thảo luận về phân số 5 13

Máy tính cầm tay của tớ cho biết 5 ÷ 13 = 0,38461538, nên tớ nghĩ 5 13 là một số thập phân vô hạn tuần hoàn và tớ có thể viết thành 0,384615

Em nghĩ như thế nào? Giải thích câu trả lời của em.

Tớ nghĩ máy tính cầm tay không hiển thị đủ hàng thập phân để cậu biết được số đó là một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

8 Sử dụng máy tính cầm tay để chuyển đổi các phân số sau thành số thập phân vô hạn tuần hoàn.

a 2 7 b 9 13 c 11 14

9 Dưới đây là một phần trong bài tập về nhà của Kim. hỏi thập phân. 5 12 ii 10 11 iii 6 7 iv 1 37 5 12 = 0,416 ii 10 11 = 0,9 0 iii 6 7 = 0,85 7142 iv 1 37 = 0,02 . 7

a Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra bài tập về sau dạng số phân.

a b

Mách nhỏ

Ghi nhớ: Khi một số chữ số lặp lại trong phần thập phân, em chỉ đặt một dấu chấm ở phía trên chữ số đầu tiên và chữ số cuối cùng của dãy lặp lại, ví dụ: 1 7 = 0,142857

Mách nhỏ

Trước tiên, hãy đổi các phân số lớn hơn 1 thành dạng hỗn số. Sau đó, sử dụng đáp số của em ở Câu hỏi 1 để tính.

11 This is part of Ada’s homework.

Question

Write 2 hours and 10 minutes as a recurring decimal. Answer

10 minutes is the same as 10 60 = 1 6 of an hour and 1 6 = 0.16

So, 2 hours and 10 minutes = 2.16 hours.

Use Ada’s method to write these lengths of time as recurring decimals.

a 4 hours 20 minutes b 1 hour 40 minutes

c 6 hours 10 minutes d 3 hours 50 minutes

12 Rajim has 8 weeks holiday a year.

There are 52 weeks in a year.

What fraction of the year does he have on holiday?

Write your answer as a decimal.

13 Sasha is told that 1 15 = 0.06 and that 1 22 = 0.045

Without using a calculator, she must match each yellow fraction card with the correct blue decimal card.

4 15 7 22 0.26 . 0.318 . .

Sasha thinks that 4 15 = 0.26 and that 7 22 = 0.318

Do you think she is correct? Explain your answer. . .

In this lesson, you have used a lot of mathematical words and phrases. Write a short explanation, in your own words, for each of the following terms.

a terminating decimal b recurring decimal

c unit fraction d equivalent fractions and decimals

Summary checklist

I can recognise fractions and recurring decimals.

11 Dưới đây là một phần trong bài tập về nhà của Ada.

Câu hỏi

Viết 2 giờ 10 phút dưới dạng một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Lời giải

10 phút tương đương 10 60 = 1 6 của một giờ và 1 6 = 0,16 .

Vậy, 2 giờ 10 phút = 2,16 . giờ.

Sử dụng phương pháp của Ada để viết các khoảng thời gian sau dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn.

a 4 giờ 20 phút b 1 giờ 40 phút

c 6 giờ 10 phút

12 Rajim có 8 tuần nghỉ trong một năm.

Một năm có 52 tuần.

d 3 giờ 50 phút

Thời gian nghỉ của anh ấy chiếm bao nhiêu phần của một năm?

Viết đáp số của em dưới dạng số thập phân.

13 Sasha được biết: 1 15 = 0,06 và 1 22 = 0,045

Không sử dụng máy tính cầm tay, bạn ấy phải nối thẻ phân số màu vàng với thẻ số thập phân màu xanh tương ứng.

4 15 7 22 0,26 0,318

Sasha cho rằng 4 15 = 0,26 và 7 22 = 0,318 Theo em, bạn ấy làm đúng không? Giải thích câu trả lời của

5.2 Ordering fractions

In negative fractions.

When you write fractions in order of size, you must first compare them. You can compare fractions in two ways.

1 Write them as fractions which have the same denominator.

2 Write them as decimals.

Worked example

Key words advantages disadvantages improve

a Write these fractions in order of size, starting with the smallest: 7 3 , 8 9 and 12 5

b Use decimals to decide which is smaller: 3 4 7 or 43 12 7 3 1 12

First, write the improper fractions as mixed numbers. 9 is smaller than 2 1 3 and 2 2 5 so write that down first. 21 and 2 22 6

Now compare the other two fractions by writing them with a common denominator of 15. 9 2 1 5 15 < 2 6 15 so 2 1 3 is smaller than 2 2 5 4 and

First of all, write any improper fractions as mixed numbers.

Use division to work out 4 7 as a decimal. 3 4 7 as a decimal is −3.5714…

Use division to work out 7 12 as a decimal. 3 7 12 as a decimal is −3.583… As the numbers are negative, −3.58 is smaller than −3.57

Finally, write the answer using the original fractions given in the question.

Bây giờ, hãy so sánh hai phân số còn lại bằng cách viết chúng với mẫu số chung là 15. 5 15 < 2 6 15 nên 2 1 3 nhỏ hơn 2 2 tiên, hãy viết các phân số lớn hơn 1 dưới dạng hỗn số. dưới dạng số thập phân. đầu được

Exercise 5.2

For questions 1 to 4, use the common denominator method.

1 This is part of Seren’s homework.

She uses the symbol = to show that one fraction is equal to another.

She uses the symbol ≠ to show that one fraction is not equal to another.

Question

Write the correct sign, = or ≠, between each pair of fractions.

a 5 2 2 7 14 b –11 3 –3 4 9

Answer

a 5 2 = 2 1 2 and 2 7 14= 21 2 so 5 2 = 2 7 14

b 11 3 = –3 2 3 = –3 6 9 so –11 3 ≠ –3 4 9

Write the correct sign, = or ≠, between each pair of fractions. a 11 4 2 16 20 b 45 6 7 1 2 c 15 8 2 1 8 d 8 4 5 132 15

2 Write the correct symbol, < or >, between each pair of fractions. Parts a and e have been done for you.

Tip

a 13 2 6 5 8

Working: 13 2 1 2 4 8 66== and 6 4 8 < 6 5 8 Answer: 13 2 < 6 5 8 b 17 3 6 7 12 c 5 3 5 82 15 d 19 4 4 4 5 e 17 4 4 5 12 Working: =-=17 4 1 4 3 12 44 and 4 3 12 > 4 5 12

Answer: 17 4 > 4 5 12 f 7 3 2 5 9 g 21 5 4 2 15 h 8 5 1 5 7

Change the improper fractions to mixed numbers first. Then compare the fractions by using a common denominator.

Bài tập 5.2

Từ câu hỏi 1 đến 4, hãy sử dụng phương pháp tìm mẫu số chung.

1 Dưới đây là một phần bài tập về nhà của Seren.

Bạn ấy sử dụng dấu = để thể hiện hai phân số bằng nhau.

Bạn sử dụng dấu ≠ để thể hiện hai phân số không bằng nhau.

Câu hỏi Điền dấu = hoặc ≠, thích hợp vào ô trống.

a 5 2 2 7 14 b 11 3 –3 4 9 Lời giải

a 5 2 = 2 1 2 và 2 7 14 = 2 1 2 nên 5 2 = 2 7 14 b 11 3 = –3 2 3 = –3 6 9 nên – 11 3 ≠ –3 4 9 Điền dấu = hoặc ≠ thích hợp vào ô trống.

a 11 4 2 16 20 b 45 6 7 1 2 c 15 8 2 1 8 d 8 4 5 132 15 2 Điền dấu < hoặc > thích vào ô trống.

Mách nhỏ

Trước tiên, đổi các phân số lớn hơn 1 thành dạng hỗn số. đó, so sánh phần phân số bằng cách sử dụng mẫu số chung.

3 Zara and Sofia compare the methods they use to work out which is larger, 8 3 or 2 4 7 They both use this method to start with.

Step 1: Write both fractions as mixed numbers

first: – 8 3 = –2 2 3

Step 2: Write –2 2 3 and –2 4 7 using a common denominator of 21:

–2 2 3 = –2 14 21 and –2 4 7 = –2 12 21

Read what Zara and Sofia do next.

My step 3 is:

Without the negative signs 22 14 21 12 21 >

So with the negative signs -<22 14 21 12 21, so 8 3 < 2 4 7

My step 3 is to sketch a number line. −3 −2 −1 2 14 21 2 12 21

I can see that -<22 14 21 12 21, so 8 3 < 2 4 7

a Write the advantages and disadvantages of each method.

b Can you improve either method?

c What is your preferred method for comparing negative fractions? Explain why.

4 Work out which is larger.

a 7 4 or 113 16 b 21 5 or 83 20 c 6 2 9 or 37 6

Bước 3 của tớ là: Nếu không có dấu âm thì 22 14 21 12 21 >

Nên khi có dấu âm thì -<22 14 21 12 21,

vì vậy 8 3 < 2 4 7

Tớ thấy rằng -<22 14 21 12 21, vì vậy 8 3 < 2 4 7

a Viết các ưu điểm và nhược điểm của mỗi phương pháp.

b Em có thể cải tiến một trong hai phương pháp không?

c Để so sánh các phân số âm thì phương pháp ưa thích của em là phương pháp nào? Giải thích tại sao.

4 Tìm số lớn hơn.

a 7 4 hay 113 16 b 21 5 hay 83 20 c 6 2 9 hay 37 6 Bước 3 của tớ là vẽ một trục số. −3 −2 −1 2 14 21 2 12 21

Think like a mathematician

5 Work with a partner or in a small group to answer this question.

a With each pair of fractions, decide which is larger.

i 1 5 or 3 5 ii 7 9 or 5 9 iii 13 11 or 19 11

b Discuss your answers to part a. Copy and complete this sentence. Use either ‘larger’ or ‘smaller’.

When the denominators are the same, the larger the numerator the ................... the fraction.

c With each pair of fractions, decide which is larger.

i 1 5 or 1 7 ii 2 9 or 2 3 iii 13 4 or 13 7

d Discuss your answers to part c. Copy and complete this sentence. Use either ‘larger’ or ‘smaller’.

When the numerators are the same, the larger the denominator the ................... the fraction.

6 Write the correct symbol, < or >, between each pair of fractions.

a 3 11 5 11 b 7 18 5 18 c 12 7 10 7 8 17 8 19 e 9 13 9 10 f 15 4 15 7

Think like a mathematician

7 Work with a partner. Discuss different methods you could use to answer this question.

Put these fraction cards in order of size, starting with the smallest. 17 8 3 1 4 13 6 7 13

What do you think is the best method to use? Explain why

8 Put these fraction cards in order of size, starting with the smallest. 1 6 9 11 19 5 4 2 5

Khi hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó ……………………

c Với mỗi cặp phân số, hãy xác định phân số lớn hơn. i 1 5 hay 1 7 ii 2 9 hay 2 3 iii 13 4 hay 13 7

d Thảo luận đáp án của các em ở phần c. Chép lại và hoàn thành câu sau. Điền từ “lớn

9 Three sisters sat a maths test on the same day.

Adele scored 16 25 , Belle scored 13 20 and Catrina scored 63%.

Who had the highest percentage score?

10 Two driving instructors compare the pass rates for their students in January.

Steffan had 34 out of 40 students pass.

Irena had 87% of students pass.

Who had the higher pass rate for their students in January? Show how you worked out your answer.

For questions 11 to 13, use the division method.

11 a Complete the workings to write each fraction as a decimal. Work out the first four decimal places. i 11 7 -= 11 7 4 7 1 71 7 40 00 0 1 4 7 = −1.571… ii 14 9 -= 14 9 5 9 1 05 555 95 0000 5555 5 9 = 1 5 9 = iii 19 12 -= 19 12 7 12 1 05 83 3 127 0 00071044 7 12 = 1 7 12 =

b Write the fractions 11 7 , 14 9 and 19 12 in order of size, starting with the smallest.

12 a Match each fraction with the correct decimal.

b Write the fractions 37 9 , and 47 in order of size, starting with the smallest.

13 Write these fractions in order of size, starting with the smallest. 107 20 37 Change the fractions into percentages by writing of 100.

9 Ba chị em làm một bài kiểm tra Toán trong cùng ngày.

Adele đạt 16 25 số điểm, Belle đạt 13 20 số điểm và

Catrina đạt 63% số điểm.

Ai là người có điểm tỉ số phần trăm cao nhất?

10 Hai giáo viên dạy lái xe so sánh tỉ lệ đỗ của các học viên trong tháng Một.

Steffan có 34 trên 40 học viên thi đỗ.

Irena có 87% số học viên thi đỗ.

Ai là người có tỉ lệ học viên thi đỗ cao hơn trong tháng Một?

Trình bày cách làm của em.

Từ câu hỏi 11 đến 13, hãy dùng phép chia.

11 a Hoàn thành các bước tính sau để viết phân số dưới dạng số thập phân. bốn

14 One day, a farmer sells 92% of her eggs.

The following day, she sells 56 out of 62 eggs.

Use a calculator to work out on which day she sold the greater percentage of eggs.

15 Arun takes two English tests.

In the first test he scores 65 72 . In the second test he scores 35 38

Read what Arun and Sofia say.

If I compare my scores using a common denominator, I will have to use a common denominator of 1368!

I think you should use a calculator and change your scores into decimals or percentages. Then it will be easy to compare your scores.

a Use Arun’s method to compare the scores.

b Use Sofia’s method to compare the scores.

c Which method do you prefer and why?

d In which test did Arun get the better score?

16 In a science experiment, two groups of seeds are planted.

In group A, 175 seeds are planted and 156 start to grow.

In group B, 220 seeds are planted and 189 start to grow.

Use a calculator to work out which group is better at growing.

17 Li has 5 improper fraction cards. He puts them in order, starting with the smallest.

There are marks on two of his cards.

Tip Change 56 62 into a decimal, then multiply the answer by 100 to get a percentage.

What fractions could be under the marks? Give two examples for each card.

Summary checklist

I can compare and order fractions.

Tip Change 156 175 and 189 220 into decimals or percentages to compare.

14 Ngày nọ, một người nông dân bán được 92% số trứng bà có. Ngày hôm sau, bà bán được 56 trên 62 số trứng.

Sử dụng máy tính cầm tay để xác định ngày bà ấy bán được nhiều trứng hơn, tính theo tỉ số phần trăm.

15 Arun làm hai bài kiểm tra tiếng Anh.

Trong bài kiểm tra đầu tiên, bạn đạt 65 72 số điểm. Trong bài kiểm tra thứ hai, bạn đạt 35 38 số điểm. Đọc phát biểu của Arun và Sofia.

Nếu tớ so sánh số điểm bằng mẫu số chung, tớ sẽ có mẫu số chung là 1 368!

Mách nhỏ

Đổi 56 62 thành dạng số thập phân, sau đó nhân đáp số với 100 để nhận được giá trị tỉ số phần trăm.

Theo tớ, cậu nên sử dụng máy tính cầm tay và đổi số điểm của cậu thành số thập phân hoặc tỉ số phần trăm. Sau đó, cậu có thể dễ dàng so sánh hai số điểm này.

a Sử dụng phương pháp của Arun để so sánh số điểm.

b Sử dụng phương pháp của Sofia để so sánh số điểm.

c Em thích phương pháp nào hơn và tại sao?

d Arun đạt điểm cao hơn trong bài kiểm tra nào?

16 Trong một thí nghiệm khoa học, người ta trồng hai nhóm hạt giống.

Ở nhóm A, người ta trồng 175 hạt và 156 hạt đã nảy mầm.

Ở nhóm B, người ta trồng 220 hạt và 189 hạt đã nảy mầm.

Sử dụng máy tính cầm tay để tìm ra nhóm nào phát triển tốt hơn. Li có

Mách nhỏ

Đổi 156 175 và 189 220 thành dạng số thập phân hoặc tỉ số phần trăm để so sánh.

5.3 Subtracting mixed numbers

You already know that you can only subtract fractions when the denominators are the same.

If the denominators are different, you must write the fractions as equivalent fractions with a common denominator, then subtract the numerators.

Here is a method for subtracting mixed numbers.

1 Change each mixed number into an improper fraction.

2 Subtract the improper fractions and cancel this answer to its simplest form.

3 If the answer is an improper fraction, change it back to a mixed number.

Work

b

Change both the mixed numbers into improper fractions.

Subtract the fractions. They already have a common denominator of 5.

The answer is an improper fraction so change it back to a mixed number.

Change both the mixed numbers into improper fractions.

Subtract the fractions, using the lowest common denominator of 9.

The answer is an improper fraction so change it back to a mixed number.

Trong phần này, em sẽ…

Em đã biết rằng phép trừ phân số chỉ có thể thực hiện khi phân số có cùng mẫu số.

Nếu các phân số có mẫu số khác nhau, em phải viết chúng dưới dạng các phân số tương đương có cùng mẫu số rồi trừ tử số cho nhau. Dưới đây là phương pháp thực hiện phép trừ hỗn số

1 Đổi từng hỗn số thành dạng phân số lớn hơn 1.

2 Trừ hai phân số lớn hơn 1 cho nhau và viết đáp số dưới dạng phân số tối giản.

3 Nếu đáp số là một phân số lớn hơn 1, hãy đổi lại thành dạng hỗn số.

• thực hiện phép trừ hỗn số. giải

Đổi cả hai hỗn số thành dạng phân số lớn hơn 1.

Trừ hai phân số. Cả hai đều có mẫu số chung là 5.

Đáp số là một phân số lớn hơn 1, nên ta phải đổi lại thành dạng hỗn số. Đổi cả hai hỗn số thành dạng phân số lớn hơn 1.

Trừ hai phân số, sử dụng mẫu số chung nhỏ nhất là 9.

Đáp số là một phân số lớn hơn 1, nên ta phải đổi lại thành dạng hỗn số.

1

Step

Step

Step

Step

Step

Step

Step 1:

Step 2:

Step 3:

Step 1:

Step

Step

4 Work out these subtractions. Show all the steps in your working. Use your preferred method.

a 3 13 14 4 7 b 7 21 3 7 12 c 8 42 3 1 4 d 64 7 12 17 18

Think like a mathematician

5 Work with a partner or in a small group to answer this question. Marcus is looking at the question 93 2 7 8 9

a Is Marcus correct? Explain your answer.

b Choose two mixed numbers of your own but don’t subtract them yet. Write between which two whole numbers your total will be. Check that your answer is correct.

Without subtracting the fractions, I know the answer is going to be between 5 and 7.

c Think of subtracting any two mixed numbers. Write a rule for working out between which two whole numbers the total will be.

d How would you change this rule if you were subtracting 3, 4 or 5 mixed numbers?

6 Shen has two pieces of fabric.

One of the pieces is 1 3 4 m long. The other is 2 3 8 m long.

a estimate, then b calculate, the difference in length between the two pieces of material.

7 Zalika has a length of wood that is 5 1 4 m long.

First, Zalika cuts a piece of wood 1 3 5 m long from the length of wood.

Then she cuts a piece of wood 2 9 10 m long from the piece of wood she has left. How long is the piece of wood that Zalika has left over?

8 The diagram shows the lengths of the three sides of a triangle. a estimate, then b calculate, the difference in length between the longest and shortest sides of the triangle. 5m 6 7 7m 3 4 3 m 2 3

Write your answer to part b as a mixed number in its simplest form. 3 4 1m 3 8 2m ? m 1 4 5m 3 5 1m 9 10 2m

5 Phân

4 Thực hiện các phép trừ sau. Trình bày tất cả các bước trong lời giải của em. Hãy sử dụng phương pháp ưa thích của em.

a 3 13 14 4 7 b 7 21 3 7 12 c 8 42 3 1 4 d 64 7 12 17 18

Tư duy như một nhà Toán học

5 Làm việc với một bạn cùng lớp hoặc theo nhóm nhỏ để trả lời câu hỏi sau.

Marcus đang xem xét phép tính 93 2 7 8 9

a Marcus phát biểu đúng không?

Giải thích câu trả lời của em.

b Em hãy chọn hai hỗn số nhưng chưa thực hiện phép trừ.

Dự đoán đáp số của em sẽ nằm trong khoảng giữa hai số nguyên nào.

Dù không thực hiện phép trừ phân số, nhưng tớ biết đáp số sẽ nằm trong khoảng từ 5 đến 7.

Kiểm tra đáp số của em có đúng không.

c Nghĩ ra một phép trừ giữa hai hỗn số bất kì.

Hãy viết một quy tắc để xác định khoảng giữa hai số nguyên mà đáp số nằm trong đó.

d Em sẽ thay đổi quy tắc này như thế nào nếu em thực hiện phép trừ 3, 4 hoặc 5 hỗn số?

6 Shen có hai mảnh vải. Một mảnh vải dài 1 3 4 m. Mảnh vải còn lại dài 2 3 8 m.

a ước lượng, sau đó b tính hiệu độ dài của hai mảnh vải.

7 Zalika có một khúc gỗ dài 5 1 4 m. Đầu tiên, Zalika cắt một đoạn dài 1 3 5 m từ khúc gỗ. Sau đó, bạn ấy cắt tiếp một đoạn dài 2 9 10 m từ phần khúc gỗ còn lại. Khúc gỗ còn lại của Zalika dài bao nhiêu?

8 Cho tam giác có độ dài ba cạnh như bên dưới. a ước lượng, sau đó b tính hiệu độ dài giữa cạnh dài nhất và cạnh ngắn nhất của tam giác. 6 7m 4 m 2 3 Viết đáp số phần b của em dưới dạng hỗn số tối giản. 3 4 1m 3 8 2m ? m 1 4 5m 3 5 1m 9 10 2m

Think like a mathematician

9 Work with a partner or in a small group to discuss this question. What is the quickest method to use to work out the answer to 63 5 8 1 2 ?

10 Sami drives 16 5 8 km from his home to work.

Sami drives 11 2 5 km from his home to the supermarket.

What is the difference between the distance he drives from his home to work and from his home to the supermarket?

11 Fina has two bags of lemons.

One bag has a mass of 4 7 10 kg.

The other bag has a mass of 2 4 15 kg. What is the difference in mass between the two bags of lemons?

12 This is part of Rio’s homework. He has made a mistake in his solution.

Question

a Explain the mistake Rio has made.

b Work out the correct answer.

13 In this pyramid, you find the mixed number in each block by adding the mixed numbers in the two blocks below it. Complete the pyramid. 7 10 4kg 4 15 2kg Tip his.

10 Sami lái xe 16 5 8 km từ nhà đến nơi làm việc.

Sami lái xe 11 2 5 km từ nhà đến siêu thị.

Hiệu quãng đường anh ấy lái xe từ nhà đến nơi làm việc và từ nhà đến siêu thị là bao nhiêu?

11 Fina có hai túi chanh. Một túi có khối lượng là 4 7 10 kg.

Túi còn lại có khối lượng là 2 4 15 kg. Khối lượng chênh lệch giữa hai túi chanh là bao nhiêu?

Mách nhỏ Nếu không thể phát hiện ra lỗi sai của Rio, em hãy tự trả lời câu hỏi và sau đó so sánh đáp số của mình với đáp số của bạn. Làm

12 Dưới đây là một phần bài tập về nhà của Rio. Bạn ấy đã mắc lỗi sai trong lời giải của mình. a Giải thích lỗi sai của Rio. b Tính đáp số đúng.

13 Trong kim tự tháp này, em tìm hỗn số ở mỗi khối bằng cách cộng các hỗn số ở hai khối bên dưới. Hoàn thành kim tự tháp. 2kg

Summary checklist

You already know how to multiply a fraction by an integer. For example: 2 3 12× Solution: 12 ÷ 3 = 4 and 2 × 4 = 8 also know how to multiply two integers together using partitioning example: 8 × 23 = 8 × 20 + 8 × 3 Solution: 160 + 24 = 184 You can now combine these methods to multiply an integer by a mixed number. Multiplying an integer a mixed number integer mixed number. words example an estimate the accurate answer

Continued Answer

a i Estimate: 3 × 16 = 48 Round the fraction to the nearest whole number.

ii 21621616 328 40 1 2 1 2 × = × + × =+

Use partitioning to split the multiplication into two parts. 2 × 16 = 32 and 1 2 168× =

Add the two numbers together to get the total.

b i Estimate: 5 × 20 = 100 Round the fraction to the nearest whole number.

ii 422042020 3 2 3 × = × + × Use partitioning to split the multiplication into two parts.

=+ 80 40 3 4 × 20 = 80 and 2 3 40 3 20× =

=+8013 1 3 Change 40 3 into a mixed number.

= 93 1 3

Exercise 5.4

Add the two numbers together to get the total.

1 Copy and complete these multiplications.

a 38388 1 2 1 2 × = × + × =+ = b 211221212 4 1 4 × = × + × =+ = c 49499 2 3 2 3 × = × + × =+ = d 813081010 5 3 5 × = × + × =+ =

2 This rectangle has length 15 m and width 2 1 3 m. Work out a an estimate for the area of the rectangle b the accurate area of the rectangle. 2 m 1 3 15 m

Tiếp theo

Lời giải

a i Ước lượng: 3 × 16 = 48 Làm tròn phân số đến hàng đơn vị.

ii 21621616 328 40 1 2 1 2 × = × + × =+ = Sử dụng cấu tạo số hạng tử gần nhất để chia phép nhân thành hai phần.

2 × 16 = 32 và 1 2 168× = Tính tổng hai số.

b i Ước lượng: 5 × 20 = 100 Làm tròn phân số đến hàng đơn vị.

ii 422042020 3 2 3 × = × + ×

Sử dụng cấu tạo số hạng tử gần nhất để chia phép nhân thành hai phần.

=+ 80 40 3 4 × 20 = 80 và 2 3 40 3 20× =

=+8013 1 3 Đổi 40 3 thành dạng hỗn số.

= 93 1 3 Tính tổng hai số.

Bài tập 5.4

1 Chép lại và hoàn thành các phép nhân sau.

a 38388 1 2 1 2 × = × + × b 211221212 4 1 4 × = × + × c 49499 2 3 2 3 × = × + × d 813081010 5 3 5 × = × + ×

2 Cho hình chữ nhật bên có chiều dài 15 m và chiều rộng 2 1 3 m. Tính

a diện tích ước lượng của hình chữ nhật b diện tích chính xác của hình chữ nhật. 2 m 1 3 15 m

3 Lin has 20 containers.

The mean amount of water the containers hold is 2 2 5 litres. Lin uses this formula to work out the total amount of water that the containers hold.

totalamount ofwater ro

Lin thinks the total amount of water the containers can hold is 46 litres.

Is Lin correct? Explain your answer.

4 Copy and complete these multiplications. Use estimation to check your answers.

a 49499 4 1 2 1 2 9 2 1 2 × = × + × b 313131111 4 3 4 33 4 × × + × 57577 2 3 2 3 × d 26266 2 5 2 5 × = × + ×

Tip

For the estimate in part a, round 4 1 2 to 5, then work out 5 × 9.

5 The diagram shows a square joined to a rectangle. Work out a an estimate for the area of the shape b the accurate area of the shape. 4 912 cm 5 cm 5 cm

3 Lin có 20 thùng nước.

Lượng nước trung bình trong các thùng là 2 2 5 lít. Lin sử dụng công thức sau để tính tổng lượng nước trong các thùng.

tổnglượng nước lượngnước trungbình số thùng

Lin cho rằng tổng lượng nước trong các thùng là 46 lít. Lin suy luận đúng không? Giải thích câu trả lời của em.

4 Chép lại và hoàn thành các phép nhân sau. Sử dụng sự ước lượng để kiểm tra đáp số của Cho hình vuông ghép với hình chữ nhật như bên dưới. Tính diện tích ước lượng của hình diện tích chính xác của hình. 9 nhỏ Để ước lượng đáp số phần a, hãy làm tròn 4 1 2 thành 5, sau đó tính 5 × 9.

6 Martha is going to lay paving slabs on part of her garden.

This part of her garden is a rectangle with length 3 3 5 m and width 2 m.

a Martha estimates that the area of the rectangle is 6 m2. Is Martha correct? Explain your answer.

b Work out the area of the rectangle. Martha buys paving slabs that cost $42 per square metre.

She can only buy a whole number of square metres. Martha works out that the paving slabs will cost her $294.

c Is Martha correct? Explain your answer.

Think like a mathematician

7 Work with a partner or in a small group to discuss this question. Anders Xavier work 2 8 29

a Xavier’s Xavier’s?

Phần vườn này của cô ấy là một hình chữ nhật có chiều dài 3 3 5 m và chiều rộng 2 m.

a Martha ước lượng diện tích của hình chữ nhật là

6 m2. Martha tính đúng không?

Giải thích câu trả lời của em.

b Tính diện tích của hình chữ nhật.

Martha mua đá lát nền với giá $42 một mét vuông. Cô ấy chỉ có thể mua số nguyên mét vuông đá lát nền.

Martha tính rằng cô ấy sẽ mua đá lát nền hết $294.

c Martha tính đúng không? Giải thích câu trả lời của em.

8 This is how Zara works out 2115 6 × 30 30 30 32 2

Sofia says, ‘You changed 15 6 to a mixed number and then simplified 3 6 to 1 2 . I would have simplified 15 6 to 5 2 before changing it to a mixed number.’

a Do you prefer Zara’s method or Sofia’s method? Explain why.

b Use your preferred method to work these out. Write your answer in its simplest form.

i 3130 8 × ii 4134 4 × iii 2172 10 ×

9 Jamal works in a garden centre.

It takes him 5 1 4 minutes to plant one tray of seedlings. How long will it take him to plant 50 trays of seedlings? Give your answer in hours and minutes. starting plants.

Think like a mathematician

10 Work with a partner or in a small group to answer this question.

a Work out i 32 1 5 × ii 33 1 5 ×

b What is the smallest integer that you must multiply by 3 1 5 to get a whole number answer?

c What is the smallest integer that you must multiply by 3 2 5 to get a whole number answer? What about 3 3 5 and 3 4 5 ?

d What do you notice about your answers to b and c?

8 Dưới đây là cách Zara tính 2115 6 × 2 1 6 × 15 = 2 × 15 + 1 6 × 15 = 30 + 15 6 = 30 + 2 3 6 = 30 +2 1 2 = 32 1 2

Sofia nói, “Cậu đổi 15 6 thành dạng hỗn số và sau đó rút gọn 3 6 thành 1 2 . Tớ sẽ rút gọn 15 6 thành 5 2 trước khi đổi thành dạng hỗn số.”

a Em thích phương pháp của Zara hay phương pháp của Sofia? Giải thích tại sao.

b Hãy sử dụng phương pháp ưa thích của em để thực hiện các phép nhân sau. Viết đáp số ở dạng tối giản. i 3130 8 × ii 4134 4 × iii 2172 10 ×

9 Jamal làm việc ở trung tâm vườn ươm.

Anh ấy mất 5 1 4 phút để trồng một khay cây giống.

Anh ấy sẽ mất bao lâu để trồng 50 khay cây giống? Viết đáp số của em bằng đơn vị giờ và phút.

Mách nhỏ

Cây giống là hạt giống mới bắt đầu phát

e What is the smallest integer that you must multiply by 3 1 7 to get a whole number answer? What about 3 2 7 , 3 3 7 , 3 4 7 , 3 5 7 and 3 6 7 ? What do you notice about your answers?

f Try starting with fractions with different denominators such as 6, 8, 9 and 11, for example 2 1 6 or 4 1 8 , etc. Do the patterns you noticed in parts d and e work for these fractions as well? Explain your answers.

11 Work out an estimate for the area of the blue section of this rectangle the accurate area of the blue section of this rectangle.

Look back at this section on multiplying an integer by a mixed number.

a What did you find easy?

b What did you find hard?

c Are there any parts that you think you need to practise more?

Summary checklist

I can multiply an integer by a mixed number.

In this section you will … divide an integer by a proper fraction.

Look at this diagram. It shows three rectangles, each divided in half.

When you work out 3 1 2 ÷ , the question is asking you ‘How many halves are in three?’ Dividing an integer by a fraction

Tiếp theo

e Em phải nhân số nguyên nhỏ nhất nào với 3 1 7 để được đáp số là một số nguyên?

Với 3 2 7 ; 3 3 7 ; 3 4 7 ; 3 5 7 và 3 6 7 thì sao? Em nhận xét gì về các đáp số của mình?

f Hãy thử với các phân số có mẫu số khác nhau như 6; 8; 9 và 11, ví dụ 2 1 6 hoặc 4 1 8 ; v.v. Những quy luật em nhận xét trong phần d và e đúng với các phân số này không? Giải thích câu trả lời của em.

11 Tính

a diện tích ước lượng của phần màu xanh dương trong hình chữ nhật này

b diện tích chính xác của phần màu xanh dương trong hình chữ nhật này.

Xem lại phần này về phép nhân một số nguyên với một hỗn số.

a Em thấy phần nào dễ?

b Em thấy phần nào khó?

c Có phần nào em nghĩ mình cần

You can see that there are six, so 36 1 2 ÷ Another method you can use is to turn the fraction upside down, then multiply by the integer. This is called multiplying by the reciprocal of the fraction. So, 336 1 2 2 1 6 1

Worked example 5.5

Work out a 4 1 3 10 3 4 Answer

a 443 12 1 3 =

b 1010 13 3 4 4 3 40 3 1 3

Exercise 5.5

Tip The reciprocal of a fraction is the fraction turned upside down. So the reciprocal of 1 2 is 2 1

You can use this diagram to work out how many thirds are in four.

Use the reciprocal method to answer this question. Turn the fraction upside down to write the reciprocal and multiply. The answer is an improper fraction which cannot be cancelled down. Write the answer as a mixed number.

1 Work out the answers to these calculations. Use the diagrams to help you. a 2 1 3 ÷ b 4 1 2 ÷ c 3 1 4 d 5 1 5 ÷

2 Read what Sofia says about dividing an integer by a unit fraction.

a Can you explain why Sofia’s method works?

b Check your answers to Question 1 using Sofia’s method.

c Use Sofia’s method to work out i 12 1 3 ii 25 1 4 iii 8 1 9

The quick way to divide an integer by a unit fraction is to multiply the integer by the denominator of the fraction.

Em có thể thấy có 6 ô, nên 36 1 2 ÷ =

Một phương pháp khác em có thể sử dụng là đảo ngược phân số, sau đó nhân với số nguyên.

Phương pháp này được gọi là nhân với phân số nghịch đảo.

Vì vậy, 336 1 2 2 1 6 1

Mách nhỏ Nghịch đảo của một phân số là phân số được viết đảo ngược tử và mẫu. Vì vậy, phân số nghịch đảo của 1 2 là 2 1

b 1010

Em có thể sử dụng sơ đồ sau để tính có bao nhiêu một phần ba trong bốn.

Sử dụng phương pháp nghịch đảo để trả lời câu hỏi.

Đảo ngược phân số để viết phân số nghịch đảo và thực hiện phép nhân.

Đáp số là một phân số lớn hơn 1 không thể rút gọn.

Viết đáp số dưới dạng hỗn số.

3 The area of a rectangle is 16 m2.

The width of the rectangle is 1 5 m.

What is the length of the rectangle?

4 Kai uses this formula to work out the average speed of a car in kilometres per hour (km/h), when he knows the distance it has travelled and the time it has taken.

speed = distance ÷ time

Tip area of rectangle = length × width, so length = area ÷ width.

Work out the average speed of these cars. The first one has been done for you.

a distance = 30 km, time = 1 4 hour

b distance = 45 km, time = 1 2 hour

c distance = 16 km, time = 1 6 hour

Think like a mathematician

So, speed = 30304120 1 4 ÷ = × = km/h

5 Work with a partner in a small group to answer this

a How can you use this diagram work out 2 2 3 ÷

b How can you use this diagram work out 3 3 4 ÷

c Discuss your methods with other learners in the the method that you

Tip Think of the question as ‘How many 2 3 are in 2?’

Tip

Think of the question as ‘How many 3 4 are in 3?’

6 Work out the answers to these calculations. Use the diagrams to help you.

3 Diện tích của một hình chữ nhật là 16 m2.

Chiều rộng của hình chữ nhật là 1 5 m.

Chiều dài của hình chữ nhật là bao nhiêu?

4 Kai sử dụng công thức sau để tính vận tốc trung bình của một ô tô theo đơn vị ki-lô-mét trên giờ (km/h) khi bạn ấy biết quãng đường và thời gian ô tô đã đi được. vận tốc = quãng đường ÷ thời gian

Tính vận tốc trung bình của các ô tô sau. Câu đầu tiên đã được hoàn thành sẵn cho em.

a quãng đường = 30 km, thời gian = 1 4 giờ Vì vậy, vận tốc = 30304120 1 4 ÷ = × = km/h

b quãng đường = 45 km, thời gian = 1 2 giờ

c quãng đường = 16 km, thời gian = 1 6 giờ

Mách nhỏ

Hãy nghĩ đến câu hỏi

“Có bao nhiêu 2 3 trong 2?”

diện tích hình chữ nhật = chiều dài × chiều rộng, nên chiều dài = diện tích ÷ chiều rộng. dụng hình sau như thế nào để tính 3 3 4 ÷ ?

Mách nhỏ Hãy nghĩ đến câu hỏi “Có bao nhiêu 3 4 trong 3?”

c Thảo luận các phương pháp của nhóm em với những bạn khác trong lớp. Viết ra phương pháp em thích hơn.

Think like a mathematician

7 Work with a partner or in a small group to answer this question. Read what Zara says.

a Use the diagram to show that Zara is correct.

b Use the diagram to work out 4 3 4 ÷

The answer to 3 2 3 ÷ is 4 1 2

c Complete the reciprocal method to check your answer to part c is correct. 3 4

If your answers to parts b and c are different, explain the mistake you have made.

d Discuss your answers with other learners in the class.

e Discuss when you think it is easier to use the diagram method and the reciprocal method.

8 Work out the answers to these calculations. Use the reciprocal method. The first two have been started for you. 1111 99 5 7 12 7 10 10 4 11

9 This is part of Anil’s homework. You can see that he simplified the improper fraction to its lowest terms before he changed it into a mixed number.

e Thảo luận khi nào sử dụng phương pháp hình và khi nào sử dụng phương pháp nghịch đảo thì dễ hơn. số của 2

Read what Marcus says.

a Whose method do you prefer, Anil’s or Marcus’s? Explain why.

b Work out these calculations. Give each answer as a mixed number in its lowest terms.

I use a different method. I change the improper fraction to a mixed number, and then simplify the fraction to its lowest terms like this. 50 4 2 4 11212

Activity 5.5

a On a piece of paper, write four division questions: two like those in Question 1 and two like those in Question 8.

You must use an integer and a proper fraction.

b On a separate piece of paper, work out the answers.

c Exchange your questions with a partner and answer their questions.

d Exchange back and mark each other’s work. Discuss any mistakes that have been made.

10 Sofia is looking for patterns in the division questions. She has come up with two ideas. Are Sofia’s ideas correct? Explain your answers.

Look back at the questions you have done in this exercise to help you explain.

1. When you divide an integer by a proper fraction, the answer is always bigger than the integer you started with.

2. When you divide an integer by two different proper fractions, the larger fraction will give you the larger answer.

11 a Here is a sequence of calculations.

1 1 6 2 1

i Work out the sequence of answers.

ii Write the next two terms of the sequence.

iii Describe the sequence of answers in words.

Đọc phát biểu của Marcus.

a Em thích phương pháp của ai hơn, Anil hay Marcus? Giải thích tại sao.

b Thực hiện các phép tính sau.

Viết mỗi đáp số dưới dạng hỗn số tối giản.

i

Hoạt động 5.5

Tớ sử dụng một phương pháp khác. Tớ đổi phân số lớn hơn 1 thành dạng hỗn số, sau đó rút gọn phần phân số về dạng tối giản như thế này. 50 4 2 4 1 2 1212==

a Trên một mảnh giấy, viết bốn câu hỏi về phép chia: hai phép chia giống trong Câu hỏi 1 và hai câu giống trong Câu hỏi 8.

Em phải dùng một số nguyên và một phân số nhỏ hơn 1.

b Trên một mảnh giấy khác, hãy tính đáp số.

c Trao đổi câu hỏi của em với một bạn trong lớp và trả lời các câu hỏi của bạn.

d Đổi lại và chấm điểm bài làm của nhau. Thảo luận lỗi sai đã mắc phải.

10 Sofia đang tìm quy luật trong các câu hỏi về phép chia.

Bạn đưa ra hai ý kiến. Các ý kiến của Sofia có đúng không? Giải thích câu trả lời của em.

Xem lại các câu hỏi về phép chia em đã làm trong phần bài tập này để giúp em giải thích.

1. Khi bạn chia một số nguyên cho một phân số nhỏ hơn 1, đáp số luôn lớn hơn số nguyên bị chia.

2. Khi bạn chia một số nguyên cho hai phân số nhỏ hơn 1 khác nhau, phân số nào lớn hơn sẽ cho đáp số lớn hơn.

11 a Dưới đây là một dãy các phép chia.

1

i Tính đáp số các phép chia theo dãy.

ii Viết hai phép chia tiếp theo của dãy.

iii Mô tả dãy các đáp số bằng lời văn.

b Here is a different sequence of calculations.

1 2

i Work out the sequence of answers.

ii Write the next two terms of the sequence.

iii Describe the sequence of answers in words.

c Compare your sequences of answers in parts a and b What do you notice?

Explain why this happens.

d Look at your answers to part bi and, without actually completing the calculations, write down the sequence of answers for this sequence of calculations.

1 3

Explain how you worked out your answer.

e Here is another sequence of answers for a sequence of calculations.

Calculations: 1 1 15 3 1 15

Answers: 15, 30, 45, 60,

Use this information to write down the sequence of answers for this sequence of calculations.

1 5 15

Explain how you worked out your answer.

Summary checklist

b Dưới đây là một dãy các phép tính khác.

1 2 6 ÷ ; 2 2 6 ÷ ; 3 2 6 ÷ ; 4 2 6 ÷ ; …

i Tính đáp số các phép chia theo dãy.

ii Viết hai phép chia tiếp theo của dãy.

iii Mô tả dãy các đáp số bằng lời văn.

c So sánh dãy đáp số của em ở phần a và b. Em có nhận xét gì không?

Giải thích nhận xét của em.

d Dựa vào đáp số của em ở phần bi và không cần thực hiện phép chia, hãy viết dãy đáp số cho dãy các phép chia sau.

1 3 6 ÷ ; 2 3 6 ; 3 3 6 ; 4 3 6 ; …

Giải thích cách làm của em.

e Dưới đây là một dãy đáp số khác cho một dãy các phép tính.

Các phép chia: 1 1 15 ÷ ; 2 1 15 ÷ ; 3 1 15 ÷ ; 4 1 15 ÷ ; …

Các đáp số: 15; 30; 45; 60; … Áp dụng để viết dãy đáp số cho dãy các phép chia sau.

1 5 15 ; 2 ; 3 5 15 ; 4 5 15 ;

Giải thích cách làm của em.

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể chia một số nguyên cho một phân số nhỏ hơn 1.

In

When you are calculating using fractions, you can often make a calculation easier by using different strategies. These strategies will help you to work with fractions mentally. This means you should be able to do simple additions, subtractions, multiplications and divisions ‘in your head’. You should also be able to solve word problems mentally. This section will help you to practise the skills you need. For harder questions, it may help you to write down some of the steps in the working. These workings will help you to remember what you have done so far, and what you still need to do.

With all calculations, you must remember the correct order of operations. Making fraction calculations easier

Key word strategies 1

Change 3 4 to 6 8 so you can add it to 3 8

Then change 9 8 to a mixed number.

Numerator: Multiply the diagonal pairs of numbers, shown by the red and blue arrows – so, work out 4 × 4 and 3 × 5.

Denominator: multiply the denominators, so work out 5 × 4.

Finally do the subtraction.

This gives a numerator of 1, with a denominator of 20.

Trong phần này, em sẽ…

• rút gọn các phép tính có chứa phân số.

Khi thực hiện phép tính có chứa phân số, em thường có thể tính nhanh bằng cách sử dụng các chiến lược khác nhau. Những chiến lược này sẽ giúp em tính nhẩm các phép tính với phân số. Điều này có nghĩa là em sẽ có thể thực hiện các phép cộng, trừ, nhân và chia đơn giản “ở trong đầu”. Em cũng giải được các bài toán có lời văn bằng cách tính nhẩm. Phần này sẽ giúp em luyện tập các kĩ năng cần thiết.

Đối với những bài toán khó hơn, viết ra các bước tính trong lời giải có thể giúp ích cho em. Những bước tính này sẽ giúp em nhớ các bước đã thực hiện và cần thực hiện tiếp theo.

Dù là phép tính nào, em cũng phải nhớ thứ tự thực hiện các phép tính. 2 1 Đổi thành để em có thể cộng với Sau đó, đổi thành dạng hỗn số.

Continued

c 6 3 4 ÷ 6 × 4 = 24

Multiply the 6 by the 4. 24 ÷ 3 = 8

d 2 3 1 2 2231 32 += × + × ×

= + 43 6

Then divide the answer by 3. This is equivalent to turning the fraction upside down and multiplying by 6.

Using the correct order of operations, brackets come first.

Work out the addition.

= 7 6

Now work out the multiplication.

Leave the answer as an improper fraction. 2 5 7 6 14 30

Multiply the numerators and multiply the denominators.

= 7 15 Write the answer in its simplest form.

Exercise 5.6

In this exercise, work out as many of the answers as you can mentally. Write each answer in its simplest form and as a mixed number when appropriate.

1 Work out these additions and subtractions. Some working has been shown to help you.

a 1 3 1 6 2 6 1 6 6 +=+= = b 1 8 1 4 1 8 8 += += c 4 5 1 10 8 10 1 10 -= d 5 6 1 3 5 6 6 -= =

2 Work out these additions and subtractions.

Use the same method as in part a of the worked example.

a 1 2 1 6 + b 3 4 1 8 + c 3 5 1 10 + d 1 2 3 8 + e 3 4 5 12 f 7 15 4 5 + g 1 3 1 9 h 1 4 1 8 i 1 5 1 15 j 2 3 1 6 k 4 5 1 10 l 11 20 2 5

d 2 3 1 2 2231 32 += × + × × Áp dụng đúng thứ tự thực hiện các phép tính. Phép tính trong dấu ngoặc được thực hiện trước.

= + 43 6

Thực hiện phép cộng.

= 7 6 Để đáp số ở dạng phân số lớn hơn 1.

2 5 7 6 14 30 × =

= 7 15

Bài tập

Bây giờ, hãy thực hiện phép nhân.

Nhân các tử số với nhau và nhân các mẫu số với nhau.

Viết đáp số ở dạng tối giản.

Trong bài tập này, em hãy tính nhẩm nhiều nhất có thể. Viết các đáp số ở dạng tối giản và dạng hỗn số thích hợp.

1 Thực hiện các phép cộng và phép trừ sau. Một số bước đã được thực hiện sẵn. 1 b 1 8 1 4 1 8 8

2 Thực hiện các phép cộng và phép trừ sau. Sử dụng phương pháp tương tự như trong phần a của ví dụ minh hoạ. 1 d 1 2 3 8 1 1 Nhân 6 với ÷ 3 = 8 Sau đó, lấy đáp số chia cho 3. Điều này tương đương với việc đảo ngược phân số và nhân với 6.

3 Work out these additions and subtractions. Use the same method as in part b of the worked example. 1 3 1 5 + b 1 4 1 7 + 2 9 1 5 + 3 4 2 3 5 8 1 5 1 4 5 6 2 1 5 1 5 1 8 9

Think like a mathematician

4 a Work with a partner. Discuss the best method to use to work out the answer to this question.

In a box of chocolates, 1 5 of the chocolates are white chocolate, 1 2 are milk chocolate, and the rest are dark chocolate. What fraction of the chocolates are dark chocolate? b Compare your methods with those of other learners in the class. Do you think your method was the best method?

5 In a hockey squad, 1 3 of the players are short, 1 4 of the players are medium height and the rest are tall. What fraction of the squad are tall?

6 In a box of fruit, 2 5 are apples, 1 6 are guavas and the rest are coconuts. What fraction of the fruit in the box are coconuts?

7 Work out these calculations. Use the same method as in part a of the worked example. Some working has been shown to help you with the first two. a 4432 2 3 8854 4 5 9 1 9 10 5

Think like a mathematician

8 With a partner, work out how to use the fractions button on a calculator.

The fractions button looks like this.

5 Trong một đội khúc côn cầu, 1 3 số cầu thủ có dáng người thấp, 1 4 số cầu thủ có chiều cao trung bình và số cầu thủ còn lại có dáng người cao. Số cầu thủ cao chiếm bao nhiêu phần của cả đội?

6 Trong một hộp trái cây, 2 5 là táo, 1 6 là ổi và số còn lại là dừa. Số dừa chiếm bao nhiêu phần trong hộp?

7 Thực hiện các phép tính sau. Sử dụng phương pháp tương tự như trong phần a của ví dụ minh hoạ. câu Làm việc với một bạn cùng lớp để tìm hiểu cách sử dụng nút phân tính cầm tay.

Continued

Work out the answer to 18 5 7 ÷ . Write your answer as an improper fraction. Use the calculator to turn the improper fraction into a mixed number. You will need to use this button.

9 a Work out mentally i ii 7 3 5 ÷ 11 2 3 8 5 7

b Use a calculator to check your answers to part a. c Did you get your answers to part a correct? If not, what mistakes did you make?

10 The diagram shows a path.

The area of the path is 10 m2

The width of the path is 3 4 m.

What is the length of the path?

11 This is how Marcus mentally works out 1 3 5 1×

First, I work out 5 6 1 2 which equals 4 4 which cancels down to 1. Then I work out 1 3 1× , which equals 1 3

a Explain the mistake Marcus has made.

b Work out the correct answer.

12 Work out these calculations. If you cannot do them mentally, write down some workings to help you.

a 65 6 1 6 3 1 1 1

Tip Remember brackets come first, then indices, then division and multiplication, then addition and subtraction.

Tiếp theo

Tính 18 5 7 ÷ . Viết đáp số của em dưới dạng phân số lớn hơn 1. Sử dụng máy tính cầm tay để đổi phân số lớn hơn 1 thành dạng hỗn số.

Em sẽ cần phải sử dụng nút này

9 a Tính nhẩm

i ii 7 3 5 ÷ iii 11 2 3 ÷ iv 8 5 7 ÷

b Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra các đáp số của em ở phần a.

c Các đáp số của em ở phần a có đúng không?

Nếu không đúng, em đã mắc những lỗi sai nào?

10 Cho hình một con đường như hình bên.

Diện tích của con đường là 10 m2

Chiều rộng của con đường là 3 4 m.

Chiều dài của con đường là bao nhiêu?

11 Đây là cách Marcus tính nhẩm 1 3 5 6 1 2 × ()

Đầu tiên, tớ tính 5 6 1 2 được đáp số là 4 4 , rồi rút gọn thành 1. Sau đó, tớ tính 1 3 1× , được đáp số là 1 Giải thích lỗi sai Marcus mắc phải. Tính đáp số đúng. Thực hiện các phép tính sau. Nếu không thể tính nhẩm,

13 Zara works out the answers to these calculation cards.

Read what Zara says. Is Zara correct?

Write the first term and the term-to-term rule of the sequences you can find.

The answers to these cards can be rearranged to form two different sequences of numbers.

In this exercise, you have used mental methods to work out fraction calculations.

Look back at the worked example and the types of question shown in parts a, b, c and d.

a Which type of questions have you found i the easiest ii the hardest to work out mentally?

b Which type of questions are you confident working out mentally?

c Which type of questions do you need more practice with working out mentally?

Summary checklist

I can use different methods to make fraction calculations easier.

13 Zara tính đáp số của các thẻ phép tính sau. 9

Đọc phát biểu của Zara. Zara nói đúng không?

Hãy viết số hạng đầu tiên và quy luật chuyển số hạng-tới-số hạng trong dãy số mà em tìm được.

Đáp số của các phép tính này có thể được sắp xếp lại để tạo thành hai dãy số khác nhau.

Trong bài tập này, em đã sử dụng phương pháp tính nhẩm để thực hiện các phép tính với phân số.

Nhìn lại ví dụ minh hoạ và các loại phép tính trong các phần a, b, c và d.

a Loại phép tính nào em thấy tính nhẩm i dễ nhất ii khó nhất?

b Loại phép tính nào em thấy tự tin khi tính nhẩm?

c Loại phép tính nào em cần phải luyện tập thêm để rèn tính nhẩm?

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể sử dụng các phương pháp khác nhau để tính nhanh các phép tính với phân số.

Angles and constructions

Getting started

1 Two angles of a triangle are 55° and 70°.

a Work out the third angle.

b What is the name of this type of triangle? Choose the correct word. equilateral isosceles right-angled perpendicular

2 a Work out the size of angle D. A B 127° 50° 42° C

3 There are two parallel lines in this diagram. One of the angles is 76°. Copy the diagram and write in the values of the other angles. You do not have to draw the angles accurately.

4 a Use the measurements shown to make an accurate drawing of this shape.

b Measure the length of RS

b Work out the value of x x° x°154° 76° 100° 5 cm 2.5 cm 4 cm 140°

Bắt đầu nào!

1 Hai góc của một tam giác có số đo là 55° và 70°.

a Tính số đo của góc còn lại.

b Đây là tam giác gì? Hãy chọn từ thích hợp. tam giác đều tam giác cân tam giác vuông vuông góc

2 a Tính số đo góc D A B 127° 50° 42° C D

3 Cho một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song để tạo thành góc bằng 76°. Vẽ lại hình và tính số đo của các góc còn lại. Em không cần vẽ hình có số đo góc chính xác.

4 a Sử dụng các số đo góc đã cho để vẽ lại hình bên sao cho chính xác. b Đo độ dài cạnh RS.

b Tính giá trị của x. x° x°154° 100° P Q R 4 cm 5 cm 2,5 cm140° 76°

The sum of the angles in a triangle is 180°. Can you remember the first time you were shown this? You may have measured the angles and added them. You may have cut a triangle out of paper and folded it. This does not prove that the sum of the angles of any triangle is 180°. It only shows that it is true for the triangles you have drawn and that it is a reasonable conclusion.

A proof is a logical argument in which a reason is given for each step. Over 2000 years ago the Greek mathematician Euclid wrote a book called The Elements. He used logical arguments to prove many facts in geometry and arithmetic. His book was the most successful textbook ever written. It is still in print today.

Euclid started by defining basic things such as a point and a straight line. He also made a set of statements which he thought everyone could agree with. These were called axioms.

An example of one of his axioms is: Things that are equal to the same thing are equal to one another. From this simple starting point, he proved many complicated results. In this unit you will look at several proofs.

6.1 Parallel lines

In this section you will … • use geometric vocabulary for equal angles formed when lines intersect.

Key words alternate angles corresponding angles geometric transversal vertically opposite angles a b c d

This diagram shows two straight lines. Angles a and c are equal. They are called vertically opposite angles. Angles b and d are equal. They are also vertically opposite angles. Vertically opposite angles are equal. Angles a and b are not equal (unless they are both 90°). They add up to 180° because they are angles on a straight line.

6 Góc và cách dựng hình

Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°. Em có nhớ lần đầu tiên mình biết đến định lí này không?

Em có thể đã đo các góc và cộng chúng lại với nhau.

Em có thể đã cắt giấy một hình tam giác và gấp nó lại.

Cách làm này không chứng minh tổng ba góc trong tam giác bất kì đều bằng 180°. Nó chỉ chứng minh định lí chỉ đúng với các tam giác em vẽ và đây là kết luận hợp lí.

Chứng minh là một lập luận lôgic mà mỗi bước trong đó đều nêu ra luận cứ. Hơn 2 000 năm trước, Euclid, một nhà Toán học người Hy Lạp, đã viết cuốn sách mang tên Cơ sở. Ông sử dụng lập luận lôgic để chứng minh nhiều bài toán hình học và số học. Cuốn sách này của ông là cuốn sách giáo khoa thành công nhất từ trước đến nay. Hiện tại, cuốn sách này vẫn được in ấn. Mở đầu cuốn sách, Euclid đưa ra các định nghĩa cơ bản như điểm và đường thẳng. Ông đưa ra một loạt các phát biểu được cho là đúng. Chúng được gọi là các tiên đề

Ví dụ về một trong các tiên đề của ông là: Hai cái cùng bằng cái thứ ba thì bằng nhau.

Từ điểm khởi đầu đơn giản này, ông đã chứng minh được nhiều kết quả phức tạp.

Trong học phần này, các em sẽ tìm hiểu một số phương pháp chứng minh.

6.1 Hai đường thẳng song song

Trong phần này, em sẽ...

• sử dụng các từ vựng hình học về các góc bằng nhau khi các đường thẳng cắt nhau.

Cho hai đường thẳng cắt nhau như hình bên.

Các góc a và c bằng nhau. Hai góc này được gọi là các góc đối đỉnh.

Các góc b và d bằng nhau. Hai góc này cũng được gọi là các góc đối đỉnh

Các góc đối đỉnh thì bằng nhau.

Từ khoá các góc so le trong các góc đồng vị hình học đường cắt ngang các góc đối đỉnh a b c d

Các góc a và b không bằng nhau (trừ khi hai góc cùng bằng 90°).

Tổng số đo hai góc này bằng 180° vì chúng là hai góc kề bù.

The arrows on this diagram show that these two lines are parallel. The perpendicular distance between parallel lines is the same wherever you measure it. Here, there is a third straight line crossing two parallel lines. It is called a transversal. Where the transversal crosses the parallel lines, four angles are formed.

Angles a and e are called corresponding angles. Angles d and h are also corresponding angles. So are b and f. So are c and g. Corresponding angles are equal.

Angles d and f are called alternate angles. Angles c and e are also alternate angles.

Alternate angles are equal. These are important properties of parallel lines.

To help you remember:

• for vertically opposite angles, think of the letter X

• for corresponding angles, think of the letter F

• for alternate angles, think of the letter Z.

Exercise 6.1

1 Look at the diagram.

a Write four pairs of corresponding angles.

b Write two pairs of alternate angles.

2 a One angle of 62° is marked in the diagram.

Copy and complete these sentences.

i Because corresponding angles are equal, angle = 62°

ii Because alternate angles are equal, angle = 62°

b Write the letters of a pair of vertically opposite angles. c b g p r s q t v w u 62° a b cd

Tip We usually label pairs of parallel lines with matching arrows.

Tip Alternate angles are always between the parallel lines.

Mũi tên trên hai đường thẳng ở hình bên biểu thị hai đường này song song với nhau. Hai

đường thẳng song song có khoảng cách vuông góc với hai đường thẳng đó luôn bằng nhau.

Đường thẳng cắt hai đường thẳng song song được gọi là đường cắt ngang.

Đường thẳng này cắt hai đường thẳng song song tạo thành bốn góc.

Góc a và e được gọi là các góc đồng vị. Tương tự, góc d và h, góc b và f, c và g cũng được gọi là các góc đồng vị.

Các góc đồng vị thì bằng nhau.

Góc d và f được gọi là các góc so le trong

Góc c và e cũng được gọi là các góc so le trong. Các góc so le trong thì bằng nhau.

Đây là những tính chất quan trọng của hai đường thẳng song song.

Các em có thể ghi nhớ như sau:

• với các góc đối đỉnh, hãy nghĩ đến chữ X

• với các góc đồng vị, hãy nghĩ đến chữ F

• với các góc so le trong, hãy nghĩ đến chữ Z.

Bài tập 6.1

1 Nhìn hình bên.

6 Góc và cách dựng hình

Mách nhỏ

Ta thường kí hiệu hai đường thẳng song song bằng mũi tên giống nhau.

a Kể tên bốn cặp góc đồng vị.

b Kể tên hai cặp góc so le trong.

2 a Cho một góc bằng 62° như hình bên.

Chép lại và hoàn thành các câu sau.

i Vì các góc đồng vị bằng nhau nên góc = 62°

ii Vì các góc so le trong bằng nhau nên góc = 62°

b Liệt kê các cặp góc đối đỉnh. a c b d e g f h p r s q t v w u 62° a b cd

Mách nhỏ

Các góc so le trong luôn nằm giữa hai đường thẳng song song.

6 Angles and constructions

3 The sizes of two angles are marked in the diagram.

a Which other angles are 105°?

b Which other angles are 75°?

4 Angle APY is marked on the diagram. Complete these sentences.

a APY and CQY are .................. angles.

b APY and XQD are .................. angles.

c APX and ......... are corresponding angles.

d CQX and ......... are alternate angles.

e CQP and ......... are vertically opposite angles.

5 PQ and RS are parallel lines.

P c d b a R Q S 136°

Find the sizes of angles a, b, c and d Give a reason in each case.

6 Look at this diagram. A S T Y D B X C 130° 140° 40° 50°

Explain why AB and CD cannot be parallel lines. C B X Y D P Q 105° 75° r

6 Góc và cách dựng hình

3 Cho số đo hai góc như hình bên.

a Những góc nào có số đo 105°?

b Những góc nào có số đo 75°?

4 Cho góc APY như hình bên. Hoàn thành các câu sau.

a APY và CQY là các góc ...................

b APY và XQD là các góc ...................

c APX và ......... là các góc đồng vị.

d CQX và ......... là các góc so le trong.

e CQP và ......... là các góc đối đỉnh.

5 Cho hai đường thẳng song song là PQ và RS. P c d b a R Q S 136°

Tìm số đo các góc a, b, c và d. Giải thích cách tính mỗi góc.

6 Nhìn vào hình sau. C

Giải thích vì sao AB và CD không thể là hai đường thẳng song song. X Y D P 105° 75° p q r s t u

7 This diagram has three parallel lines and a transversal.

a Write a set of three corresponding angles that includes angle f.

b Write a pair of alternate angles that includes angle c.

c Write another pair of alternate angles that includes angle c

8 Look at this diagram.

Write whether these are corresponding angles, alternate angles or neither.

a a and d b b and f c c and g d d and e e a and h b ca d f ge h a c b d e g f h i k j l

Think like a mathematician

9 Arun gives this explanation of why angles h and d are equal. a g h b c ef d

h = b because they are corresponding angles. b = d because they are alternate angles. Therefore h = d

a Arun’s explanation is not correct. Write a correct version.

b Write a different explanation of why h = d that does not use corresponding angles.

10 AB and CD are parallel.

a Give a reason why a and d are equal.

b Give a reason why b and e are equal.

c Use your answers to a and b to show that the sum of the angles of triangle ABC must be 180°.

A C D d e c a b B

6 Góc và cách dựng hình

7 Cho ba đường thẳng song song và một đường cắt ngang như hình bên.

a Kể tên ba góc đồng vị, trong đó có góc f.

b Kể tên cặp góc so le trong, trong đó có góc c.

c Kể tên cặp góc so le trong khác, trong đó có góc c.

8 Nhìn vào hình sau. Xác định cặp góc nào dưới đây là cặp góc đồng vị, so le trong hoặc không có quan hệ với nhau. a a và d b b và f c c và g d d và e e a và h b ca d f ge h a c b d e g f h i k j l

Tư duy như một nhà Toán học

9 Arun giải thích vì sao góc h và d bằng nhau. a g h b c ef d

h = b vì chúng là các góc đồng vị.

b = d vì chúng là các góc so le trong. Vì thế h = d

a Giải thích của Arun không chính xác. Hãy viết lại cho đúng.

b Viết lời giải thích khác tại sao h = d mà không liên quan đến góc đồng vị.

10 Cho hai đường thẳng AB và CD song song với nhau.

a Giải thích vì sao a và d bằng nhau.

b Giải thích vì sao b và e bằng nhau.

c Dùng lời giải của phần a và b để chứng tỏ tổng các góc trong tam giác ABC bằng 180°.

A C D d e c a b B

Tip Use your answer to Question 10 as a guide.

Think like a mathematician

12 ABCD is a trapezium.

Two sides are extended to make the triangle AXB

a Show that the angles of triangles ABX and DCX are the same size.

b Show that angles A and D of the trapezium add up to 180°.

11 Show that the sum of the angles of triangle XYZ must be 180°. X Y Z B CD A B CD X

c What can you say about angles B and C of the trapezium? Give a reason for your answer.

13 ABCD is a parallelogram.

a Show that opposite angles of the parallelogram are equal.

b Compare your answer to part a with a partner’s answer. Can you improve his or her answer? Can you improve your own answer? A B C D

Tip Extend the sides of the parallelogram.

Imagine you have to explain corresponding angles to someone who does not know about them. How can you convince him or her that corresponding angles are equal?

Summary checklist

I can recognise vertically opposite angles and I know that they are equal. I can identify corresponding angles and alternate angles between parallel lines.

6 Góc và cách dựng hình

Mách nhỏ

Dựa vào đáp án ở

Câu hỏi 10 làm mẫu.

Tư duy như một nhà Toán học

12 Cho hình thang ABCD.

Hai cạnh bên của hình thang kéo dài tạo thành tam giác AXB

a Chứng tỏ rằng các góc của hai tam giác ABX và DCX bằng nhau.

b Chứng tỏ rằng tổng hai góc A và D của hình thang bằng 180°.

11 Chứng tỏ rằng tổng các góc trong tam giác XYZ bằng 180°. Z B CD A B CD X

c Em nhận xét gì về góc B và C của hình thang? Giải thích câu trả lời của em.

13 Cho hình bình hành ABCD.

a Chứng tỏ rằng các góc đối của hình bình hành bằng nhau.

b So sánh lời giải

6.2 The exterior angle of a triangle

In this section you will …

• learn to identify the exterior angle of a triangle

• use the fact that the exterior angle of a triangle is equal to the sum of the two interior opposite angles.

Here is a triangle ABC

The side BC has been extended to X.

Angle ACX is called the exterior angle of the triangle at C.

The angles marked at A and B are the angles opposite C.

We know that a + b + c = 180°, the sum of the angles in a triangle.

So a + b = 180° c

Also d + c = 180°, the sum of the angles on a straight line.

So d = 180° c

Compare these two results and you can see that d = a + b

This shows that:

The exterior angle of a triangle = the sum of the two interior opposite angles.

This is true for any triangle.

Key word exterior angle of a triangle

A B CX a b dc A B CX

6 Góc và cách dựng hình

6.2 Góc ngoài của tam giác

Trong phần này, em sẽ...

• học cách xác định góc ngoài của một tam giác

• áp dụng được định lí góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Cho tam giác ABC như hình bên.

CX là tia đối của cạnh BC

Góc ACX được gọi là góc ngoài của tam giác tại đỉnh C.

Các góc A và B là góc đối của góc C.

Ta biết rằng a + b + c = 180° (tổng ba góc trong một tam giác).

Do đó a + b = 180° c

Lại có d + c = 180°, tổng hai góc kề bù trên một đoạn thẳng.

Nên d = 180° c

So sánh hai đáp số trên, ta có d = a + b Điều này chứng tỏ:

A B CX a b dc A B CX

Góc ngoài của tam giác = tổng hai góc trong không kề với nó.

Định lí này đúng với mọi tam giác.

Từ khoá góc ngoài của tam giác

Worked example 6.2

Work out x and y A x° y° D B C 105° 40° 45°

Answer

x is an exterior angle of triangle ABD so x = 40 + 105 = 145° y is an exterior angle of triangle BCD

Angle BDC = 180° 105° = 75° because angles on a straight line = 180° So y = 75 + 45 = 120°

Exercise 6.2

The diagrams in this exercise are not drawn to scale.

1 Calculate the sizes of angles a, b and c. a45° 80° b 20° 20° c 134° 86°

2 a Work out each of the exterior angles shown in this triangle. c b a 67° 70°

b Work out the size of the exterior angle x in this quadrilateral. x 80° 65°

6 Góc và cách dựng hình

Ví dụ minh hoạ 6.2

Tính góc x và y A x° y° D B C 105° 40° 45°

Lời giải x là góc ngoài của tam giác ABD nên x = 40 + 105 = 145° y là góc ngoài của tam giác BCD

Góc BDC = 180° 105° = 75° vì tổng hai góc kề bù bằng 180° Do đó y = 75 + 45 = 120°

Bài tập 6.2

Các hình trong bài tập sau không được vẽ đúng tỉ lệ.

1 Tính số đo các góc a, b và c. a45° 80° b 20° 20° c 134° 86°

2 a Tính các góc ngoài của tam giác sau. c b a 67° 70°

b Tính góc ngoài x của tứ giác sau. x 80° 65°

3 An exterior angle of a triangle is 108°.

One of the interior angles of the triangle is 40°.

a Work out the other two interior angles of the triangle.

b Work out the other two exterior angles of the triangle.

4 PBC is a straight line. AQ is parallel to PC.

a Explain why y = c

b Explain why x = a + y

c Use your answers to a and b to prove that the exterior angle at B of triangle ABC is the sum of the two interior opposite angles.

5 DX is parallel to BC.

ZD is parallel to AB.

BDY is a straight line.

a Explain why angles BAD and ADZ are equal.

b Explain why angles ABD and ZDY are equal.

c Use the diagram to prove that the angle sum of quadrilateral ABCD is 360°. Do not use the fact that the angle sum of a triangle is 180°.

6 AB and CD are straight lines.

A C B D150° 160° 30° 20°

Explain why the angles cannot all be correct.

7 Look at the diagram.

a Explain why d = a + c

b Write similar expressions for e and f.

c Show that the sum of the exterior angles of a triangle is 360°.

8 ABC is an isosceles triangle.

AB = AC.

AB is parallel to DE.

Angle ABC = 68°

Work out the size of angle EDC.

Give a reason for your answer.

108° 40° b c a y x CP B C D Z X 68°

6 Góc và cách dựng hình

3 Một góc ngoài của tam giác có số đo 108°. Một trong các góc trong của tam giác có số đo 40°.

a Tính hai góc trong còn lại của tam giác.

b Tính hai góc ngoài còn lại của tam giác.

4 BP và BC là 2 tia đối nhau. AQ song song với PC.

a Giải thích vì sao y = c

b Giải thích vì sao x = a + y

c Áp dụng đáp án của phần a và b để chứng minh rằng góc ngoài tại đỉnh B của tam giác ABC bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

5 DX song song với BC

ZD song song với AB

DB và DY là 2 tia đối nhau.

a Giải thích vì sao góc BAD = ADZ

b Giải thích vì sao góc ABD = ZDY

c Sử dụng hình bên để chứng minh rằng tổng các góc trong tứ giác ABCD bằng 360°. Không sử dụng định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.

6 Cho đường thẳng AB và CD cắt nhau như hình dưới.

A C B D150° 160° 30° 20°

Giải thích vì sao không phải tất cả số đo các góc trên đều đúng.

7 Nhìn vào hình bên.

a Giải thích vì sao d = a + c

b Viết biểu thức tương tự cho e và f.

c Chứng tỏ rằng tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360°.

8 Cho tam giác cân ABC.

AB = AC.

AB song song với DE.

Góc ABC = 68°

Tính số đo góc EDC.

Giải thích câu trả lời của em. 108° 40°

B b c a y x A CP A B C D Z X Y b c a ed A D C E B 68°

9 This pentagon is divided into a triangle and a quadrilateral.

a Show that the angle sum of the pentagon is 540°.

b Compare your explanation with a partner’s. Do you both have a similar explanation?

10 PQRS is a parallelogram.

a Explain why x must be 22°. b Work out angle y

11 ABCD is a parallelogram. Show that p + q = r q r B C A

12 a Show that w + y = a + b + c + d d c b y

13 Work out angles a, b and c. b c

b Show that w + x + y + z = 360° z

Tip

Use the exterior angle property of a triangle for each angle.

6 Góc và cách dựng hình

9 Trong hình bên, hình ngũ giác bên được chia thành một tam giác và một tứ giác.

a Chứng tỏ rằng tổng các góc trong ngũ giác bằng 540°.

b So sánh cách lí giải của em với bạn cùng lớp. Hai em có cùng cách giải thích không?

10 Cho hình bình hành PQRS. a Giải thích vì sao x có số đo 22°. b Tính góc y.

11 Cho hình bình hành ABCD. Chứng tỏ rằng p + q = r p q B C A

12 a Chứng tỏ rằng w + y = a + b + c + d d c a b y

13 Tính các góc a, b và c. b c 39°

b Chứng tỏ rằng w + x + y + z = 360° Mách nhỏ Áp dụng tính chất góc ngoài của một tam giác khi tính số đo của mỗi góc.

Think like a mathematician

14 a Explain why x = b+ d

b Explain why y = c + e

c Show that the sum of the angles in the points of the star, a + b+ c + d+ e = 180°

Summary checklist

I can identify the exterior angles of a triangle. I can use the fact that the exterior angle of a triangle is equal to the sum of the two interior opposite angles. c b e x y

6.3 Constructions

In this section you will …

• construct triangles

• learn how to draw the perpendicular bisector of a line

• learn how to draw the bisector of an angle. words

You need to be able to draw a triangle when you know some of the sides and angles.

You can do this using computer software. You can also do it using a ruler and compasses. Here are four different examples of how to construct triangles.

Tư duy như một nhà Toán học

14 a Giải thích vì sao x = b+ d Giải thích vì sao y = c + e Chứng tỏ rằng tổng các góc ở mỗi đỉnh của hình ngôi sao a + b+ c + d+ e = 180°

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể nhận biết các góc ngoài của tam giác.

Em có thể sử dụng định lí góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. c

Em cần biết cách dựng một tam giác khi biết một số cạnh và góc của nó. có thể dựng hình bằng cách sử dụng phần mềm máy vi tính. Em cũng có thể vẽ hình bằng thước

1 When you know two angles and the side between them, this is known as ASA.

Step 1: Draw the side. Draw an angle at one end. 60° A B8 cm

Step 2: Draw the angle at the other end.

Where the two lines cross is the third vertex of the triangle. 60° A B C 50° 8 cm

2 When you know two sides and the angle between them, this is known as SAS.

Step 1: Draw the angle first. 42° A 60° A B C 50° 8 cm 42° 10 cm 12 cmA B C

6 Góc và cách dựng hình

1 Trường hợp em biết số đo hai góc và cạnh xen giữa, gọi là góc cạnh góc (GCG).

Bước 1: Vẽ một cạnh. Vẽ một góc tại một đầu mút. A B8 cm

Bước 2: Vẽ góc thứ hai tại đầu mút còn lại. Nơi hai đường thẳng cắt nhau là đỉnh thứ ba của tam giác. A B C 50° 8 cm

2 Trường hợp em biết số đo hai cạnh và góc xen giữa, gọi là cạnh góc cạnh (CGC).

Bước 1: Vẽ một góc trước. A A B 50° 8 cm 10 cm cmA B C

Step 2: Open your compasses to 12 cm. Put the point of the compasses on A and draw an arc to mark B. Mark C in a similar way. Draw the side BC. 42° 10 cm 12 cmA B C

3 When you know the three sides but no angles, this is known as SSS.

Step 1: Draw one side. Open your compasses to the length of a second side. Put the point of the compasses on one end of the side and draw an arc B5 cmA

Step 2: Open your compasses to the length of a third side. Put the point of the compasses on the other end of the side and draw another arc. Where the arcs cross is the third vertex. Draw the other two sides.

C B 4.5 cm 4 cm 5 cmA C B 4.5 cm 4 cm 5 cmA Tip An arc is part of a circle.

Bước 2: Mở com-pa đến 12 cm. Đặt chân trụ của com-pa ở đỉnh A và vẽ một cung tròn để đánh dấu đỉnh B. Làm tương tự với đỉnh C. Nối hai điểm B và C. 42° 10 cm 12 cmA B C

3 Trường hợp em biết số đo ba cạnh, gọi là cạnh cạnh cạnh (CCC).

C B 4,5 cm 4 cm 5 cmA

6 Góc và cách dựng hình

Mách nhỏ

Cung tròn là một phần của đường tròn.

Bước 1: Vẽ một cạnh. Mở com-pa đến độ dài của cạnh thứ hai.

Đặt chân trụ của com-pa tại một đầu mút của cạnh đầu tiên và vẽ một cung tròn.

Bước 2: Mở com-pa đến độ dài của cạnh thứ ba.

Đặt chân trụ của com-pa tại đầu mút còn lại của cạnh đầu tiên và vẽ một cung tròn khác. Giao điểm hai cung tròn chính là đỉnh thứ ba. Nối các điểm với nhau.

B5 cmA

C B 4,5 cm 4 cm 5 cmA

4 When one angle is a right angle, and you know the length of the hypotenuse and one other side, this is known as RHS.

Step 1: Draw the side. Draw a right angle at one end.

7 cmA B

Step 2: At the other end, draw an arc equal to the hypotenuse. Draw the third side. C

7 cm 9 cm A B

There are two other constructions that you need to be able to do using a ruler and compasses:

1 Construct the bisector of a line segment. This is a line through the mid-point of the line segment and perpendicular to it.

Step 1: Draw the line segment. Open the compasses to about the same length as the line. (You do not need to measure this exactly.) Draw arcs from one end of the line on both sides of the line. A B

Tip The hypotenuse is the side opposite the right angle. C 7 cm 9 cm A B

4 Trường hợp biết một góc là góc vuông, độ dài của cạnh huyền và một cạnh góc vuông; gọi là cạnh huyền-cạnh góc vuông (CH-CGV).

C

7 cm 9 cm A B

Bước 1: Vẽ một cạnh. Vẽ một góc vuông tại đầu mút cạnh đó.

6 Góc và cách dựng hình

Mách nhỏ

Cạnh huyền là

cạnh đối diện với góc vuông trong một tam giác vuông.

Bước 2: Ở một đầu mút còn lại, vẽ một cung tròn có bán kính bằng độ dài cạnh huyền. Nối hai điểm với nhau.

7 cmA B

C

7 cm 9 cm A B

Hai trường hợp khác em cần lưu ý khi dựng hình bằng thước thẳng và com-pa:

1 Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng. Đây là một đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với nó.

Bước 1: Vẽ đoạn thẳng. Mở com-pa bằng độ dài của đoạn thẳng. (Em không cần đo độ dài chính xác của đoạn thẳng.)

Tại một đầu mút, vẽ hai cung tròn ở hai phía của đoạn thẳng.

A B

Step 2: Do the same thing at the other end of the line segment. Do not change the angle between the arms of the compasses.

A B

2 Construct the bisector of an angle. This is a line that divides an angle into two equal parts.

Step 1: Open the compasses to a few centimetres. You do not need to measure this.

Put the point of the compasses on the angle and draw arcs that cross each of the lines.

Step 2: Put the compass point on each of the crosses and draw an arc between the two lines.

Do not change the angle between the arms of the compasses. Draw a line through the angle and the last cross. This is the bisector of the angle. The two angles marked are equal.

Tip

When you do any construction, do not rub out your construction lines. Draw them faintly and leave them on your drawing.

Bước 2: Làm tương tự với đầu mút còn lại của đoạn thẳng. Không thay đổi góc độ mở của com-pa.

A B

6 Góc và cách dựng hình

2 Dựng đường phân giác của một góc. Đây là đường chia góc đó thành hai góc bằng nhau.

Bước 1: Mở com-pa vài xăng-ti-mét Em không cần phải đo chính xác. Đặt chân trụ com-pa vào đỉnh của góc và vẽ cung tròn giao với hai cạnh của góc.

Bước 2: Đặt chân trụ com-pa vào mỗi giao điểm và vẽ một cung tròn giữa hai đường thẳng. Không thay đổi góc độ mở của com-pa. Vẽ một đường thẳng đi qua đỉnh của góc và giao điểm nằm giữa góc. Đây là đường phân giác của góc. Hai góc nhỏ hơn được kí hiệu bằng nhau.

Mách nhỏ

Khi dựng hình, em đừng xoá bất kì đường dựng nào. Từ đầu, chỉ cần vẽ các đường thật mờ trên hình vẽ của em.

Exercise 6.3

1 a Draw an accurate copy of this triangle. A C B 42° 6 cm 65°

b Measure the length of AC and BC

2 a Draw an accurate copy of this triangle. Z Y X 36° 100° 5 cm

b Measure the length of XY and XZ. 3 a Draw an accurate copy of this triangle. 50°P Q R 7 cm 10 cm

b Measure angle Q 4 a Draw an accurate copy of this triangle. 117° 6 cm 10 cmD E F

b Measure angle F

6 Góc và cách dựng hình

Bài tập 6.3

1 a Vẽ lại chính xác tam giác sau.

A C B 42° 6 cm 65°

b Đo độ dài của AC và BC

2 a Vẽ lại chính xác tam giác sau.

Z Y X 36° 100° 5 cm

b Đo độ dài của XY và XZ.

3 a Vẽ lại chính xác tam giác sau. 50°P Q R 7 cm 10 cm

b Đo góc Q

4 a Vẽ lại chính xác tam giác sau. 117° 6 cm 10 cmD E F

b Đo góc F

Activity 6.3

All the angles and sides of this triangle are shown.

a Choose either 2 sides and the angle between them (SAS) or 2 angles and the side between them (ASA). Use your chosen measurements to draw an accurate copy of the triangle.

b Measure the three values you did not choose. Was your drawing accurate? If not, where did you go wrong?

5 The hypotenuse of a right-angled triangle is 12.5 cm.

One of the other sides is 10 cm.

a Make an accurate drawing of the triangle.

b Measure the third side.

c Measure the other two angles.

6 The sides of a triangle are 7 cm, 8.5 cm and 9.7 cm.

a Make an accurate drawing of the triangle.

b Measure the largest angle of the triangle.

7 The sides of a triangle are 5.8 cm, 7.8 cm and 7.1 cm.

a Make an accurate drawing of the triangle.

b Give your triangle to a partner to check the accuracy of your drawing.

If necessary, correct your drawing.

Think like a mathematician

8 Two sides of a right-angled triangle are 10.5 cm and 8.3 cm.

Zara and Arun give different answers.

The third side is 6.4 cm

The third side is 13.4 cm

63° 44° 73° 6.3 cm 5.9 cm4.6 cm

Use accurate drawings to show that both of them could be correct.

6 Góc và cách dựng hình

Hoạt động 6.3

Cho tam giác biết số đo ba góc và ba cạnh như hình bên.

a Chọn 2 cạnh và một góc xen giữa (CGC)

hoặc 2 góc và một cạnh xen giữa (GCG).

Sử dụng các số đo đã chọn để vẽ lại tam giác.

b Đo ba giá trị không được chọn.

Tam giác em vẽ lại có chính xác không? Nếu không thì em đã vẽ sai ở đâu? 63° 44° 73° 6,3 cm 5,9 cm4,6 cm

5 Cạnh huyền của một tam giác vuông dài 12,5 cm.

Một trong hai cạnh góc vuông dài 10 cm.

a Vẽ chính xác tam giác này.

b Đo độ dài cạnh thứ ba.

c Đo độ lớn hai góc còn lại.

6 Các cạnh của một tam giác có độ dài lần lượt là 7 cm, 8,5 cm và 9,7 cm.

a Vẽ lại chính xác tam giác trên.

b Đo góc lớn nhất của tam giác.

7 Các cạnh của một tam giác có độ dài lần lượt là 5,8 cm, 7,8 cm và 7,1 cm.

a Vẽ lại chính xác tam giác trên.

b Đưa hình vẽ của em cho một bạn cùng lớp kiểm tra. Nếu cần, hãy sửa lại hình vẽ của em.

9 a Draw this diagram accurately.

b Construct the perpendicular bisector of AB.

c The perpendicular bisector of AB intersects AC at D. Label D on your diagram and measure AD. 39° BA C 7.5 cm 10 cm

Think like a mathematician

10 RST is a triangle. RS= 5 cm, RT= 6 cm.

a If ST= 9 cm, use a diagram to show that angle R is obtuse. Write the size of angle R

b If angle R is obtuse what can you say about the length of ST? Give reasons for your answer. 6 cm5 cm TS R

11 a Draw this triangle accurately.

b Construct the bisector of angle A.

c The bisector of angle A intersects BC at X Mark X on your triangle and measure BX.

12 Read what Marcus and Sofia say.

If you draw the perpendicular bisectors of each side of a triangle, they intersect at a single point.

The bisectors of each angle of a triangle meet at a single point.

a Draw a triangle. Construct the perpendicular bisector of each side to test Marcus’s theory.

b Look at the triangles that other learners have drawn. Do you think Marcus is correct?

c Draw another triangle. Construct the bisector of each angle to test Sofia’s theory.

d Look at the triangles that other learners have drawn. Do you think Sofia is correct? A B C 10 cm 8 cm 7 cm

6 Góc và cách dựng hình

9 a Vẽ chính xác hình bên.

b Dựng đường trung trực của đoạn AB.

c Đường trung trực của AB cắt AC tại D. Đánh dấu điểm D trên hình và đo độ dài của AD. 39° A C 7,5 cm 10 cm

Tư duy như một nhà Toán học

10 Cho tam giác RST RS= 5 cm, RT= 6 cm.

a Nếu ST= 9 cm, sử dụng hình vẽ để chứng tỏ góc R là góc tù. Viết ra số đo của góc R

b Nếu góc R là góc tù thì em có nhận xét gì về độ dài của ST? Giải thích cho câu trả lời của em. 6 cm5 cm

11 a Vẽ chính xác hình tam giác bên.

b Dựng đường phân giác của góc A.

c Đường phân giác của góc A cắt BC tại X Đánh dấu X trên hình và đo độ dài cạnh BX

12 Đọc phát biểu sau của Marcus và Sofia.

Nếu cậu vẽ đường trung trực của ba cạnh trong tam giác, chúng sẽ giao nhau tại một điểm.

A

B C 10 cm 8 cm 7 cm

Đường phân giác của ba góc trong tam giác cắt nhau tại một điểm.

a Vẽ một tam giác. Dựng đường trung trực của mỗi cạnh để kiểm tra phát biểu của Marcus.

b Đối chiếu với tam giác của các bạn khác.

Theo em, Marcus nói đúng không?

c Vẽ một tam giác khác. Dựng đường phân giác của mỗi góc để kiểm tra phát biểu của Sofia.

d Đối chiếu với tam giác của các bạn khác.

Theo em, Sofia nói đúng không?

You can draw a triangle if you know three side (SSS) or 2 sides and the angle between them (SAS) or two angles and the side between them (ASA).

Can you draw a triangle if you only know the 3 angles? Why is this different from the other examples?

Summary checklist

I can draw a triangle when I know two angles and the side between them (ASA).

I can draw a triangle when I know two sides and the angle between them (SAS).

I can draw a triangle when I know the three sides (SSS).

I can draw a right-angled triangle when I know the hypotenuse and one other side (RHS).

I can draw the perpendicular bisector of a line segment.

I can draw the bisector of an angle.

6 Góc và cách dựng hình

Em có thể vẽ một tam giác nếu biết ba cạnh (CCC) hoặc hai cạnh và một góc xen giữa (CGC) hoặc hai góc và một cạnh xen giữa (GCG).

Em có thể vẽ một tam giác khi chỉ biết ba góc của tam giác đó không?

Tại sao trường hợp này khác với ba trường hợp trên?

Bảng kiểm tóm lược kiến thức

Em có thể vẽ một tam giác khi biết hai góc và một cạnh xen giữa (GCG).

Em có thể vẽ một tam giác khi biết hai cạnh và một góc xen giữa (CGC).

Em có thể vẽ một tam giác khi biết ba cạnh của tam giác đó (CCC).

Em có thể vẽ một tam giác vuông nếu biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông (CH-CGV).

Em có thể vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng.

Em có thể vẽ đường phân giác của một góc.

Check your progress

1 the correct words to complete these sentences. and angles. and are angles. and are angles. a trapezium. the

4 Show that triangle ABC is isosceles.

B C E 40°70° A D

5 The sides of a triangle are 5.1 cm, 6.8 cm and 8.5 cm.

a Draw the triangle.

b Construct the bisector of the smallest angle.

c The angle bisector divides one of the other sides into two parts. How long is each part?

6 a Draw triangle ABC accurately. A B C 75° 8 cm 6 cm

b Construct the perpendicular bisector of AC

The perpendicular bisector meets BC at P. c Measure PC.

5 Các cạnh của một tam giác lần lượt có độ là 5,1 cm, 6,8 cm và 8,5

a Vẽ tam giác trên.

b Dựng đường phân giác của góc nhỏ nhất.

c Đường phân giác của góc đó chia một cạnh thành hai đoạn. Tính độ dài mỗi đoạn là tam giác cân.

6 a Vẽ chính xác tam giác ABC sau.

b Dựng đường trung trực của AC Đường trung trực này cắt BC tại P. Đo cạnh

Getting started

1 Write the number of lines of symmetry for each of these shapes. Write the order of rotational symmetry for each of these shapes.

2 a The diagram shows a cuboid. the number of faces edges vertices of the cuboid. Draw the top view, front view and side view of this cuboid. Make h the subject of each formula. Label the parts of the circle shown. All the words you need are in the cloud. chord Shapes and symmetry

6 A scale drawing of a building uses a scale of 1 : 20

a The height of the building on the drawing is 25 cm. What is the height, in metres, of the building in real life?

b The length of the building in real life is 12 m. What is the length, in centimetres, of the building on the drawing?

Wherever you look, you will see objects of different shapes and sizes. Many are natural, but many have been designed by someone.

An architect is a person who plans and designs buildings. Architects make scale drawings, and often scale models too, of the buildings they plan. They make sure their designs follow local rules and regulations, and they make sure the people who build their buildings follow the plans correctly.

Towns and cities all over the world have buildings designed to meet the needs of the people who live and work there.

5 Match each 3D shape with its name. b cylinder tetrahedron sphere equilateral triangular prism cone cube square-based pyramid cuboid

7 Hình và tính đối xứng của hình

Tiếp theo

5 Nối mỗi loại hình 3D sau với tên gọi tương ứng. a b c d e f g h hình trụ hình tứ diện hình cầu hình lăng trụ tam giác đều hình nón hình lập phương hình chóp đáy hình vuông hình hộp chữ nhật

6 Bản vẽ của một toà nhà có tỉ lệ 1 : 20.

a Chiều cao của toà nhà trên bản vẽ là 25 cm.

Hỏi toà nhà trên thực tế cao bao nhiêu mét?

b Chiều dài của toà nhà trên thực tế là 12 m.

Hỏi toà nhà trên bản vẽ dài bao nhiêu xăng-ti-mét?

Ở bất cứ đâu, em sẽ thấy các vật thể có hình dạng và kích thước khác nhau. Nhiều vật là tự nhiên, nhưng cũng có nhiều vật do con người tạo ra. Kiến trúc sư là người vẽ và thiết kế các công trình. Họ tạo ra bản vẽ và thường là cả mô hình của các công trình họ thiết kế. Họ đảm bảo thiết kế của mình tuân theo các quy tắc và quy định của địa phương và thợ xây dựng các công trình đó tuân thủ theo đúng bản thiết kế. Các thị thành trên khắp thế giới đều có những công trình được thiết kế để đáp ứng nhu cầu sinh sống và làm việc của con người ở đó.

The Burj Khalifa in Dubai is the tallest building in the world (as of 2018). It is over 828 metres tall and contains 163 floors. It holds the record for having an elevator with the longest travel distance in the world. Construction began in September 2004 and the building was officially opened in January 2010. The Burj Khalifa cost $1.5 billion to construct.

Tháp Burj Khalifa ở Dubai là công trình cao nhất thế giới (tính đến năm 2018). Toà tháp cao hơn 828 mét với 163 tầng. Toà tháp này đang giữ kỉ lục khoảng cách di chuyển bằng thang máy dài nhất thế giới. Công trình bắt đầu được xây dựng vào tháng 9 năm 2004 và chính thức khai trương vào tháng Một năm 2010. Tháp Burj Khalifa này đã tiêu tốn $1,5 tỉ để xây dựng.

7 Hình và tính đối xứng của hình

7.1 Quadrilaterals and polygons

You already know how to describe the side length and symmetry properties of a regular polygon.

For example, a regular pentagon has:

• 5 sides the same length

• 5 lines of symmetry

• rotational symmetry of order 5. A quadrilateral is a 2D shape with four straight sides. These are the seven quadrilaterals you need to know.

Key words hierarchy lines of symmetry quadrilateral regular polygon rotational symmetry

You can describe quadrilaterals using the properties of their sides and angles.

For example, a square has:

• all sides the same length

• two pairs of parallel sides

• all angles 90°.

In this section you will …

• identify the symmetry of regular polygons

• identify and describe the hierarchy of quadrilaterals.

square rectangle parallelogram rhombus kite trapezium isosceles trapezium

Trong phần này, em sẽ…

• xác định tính đối xứng của đa giác đều xác định Tứ và

Em đã biết cách mô tả độ dài cạnh và các tính chất đối xứng của một đa giác đều.

Ví dụ, một ngũ giác đều có:

• 5 cạnh bằng nhau

• 5 trục đối xứng

• đối xứng quay bậc 5.

Tứ giác là một hình phẳng có 4 cạnh.

Dưới đây là 7 loại tứ giác mà em cần biết.

Từ khoá phân loại trục đối xứng

tứ giác đa giác đều đối xứng quay

hình vuông hình chữ nhật hình bình hành hình thoi hình cánh diều hình thang hình thang cân

Em có thể mô tả các tứ giác bằng cách sử dụng tính chất về cạnh và góc.

Ví dụ, một hình vuông có:

• tất cả các cạnh bằng nhau

• hai cặp cạnh song song

• tất cả các góc bằng 90°.

Worked example 7.1

a Sketch a regular octagon. Describe the side length and symmetry properties of the octagon.

b Sketch a parallelogram. Describe the side and angle properties of a parallelogram.

Answer

The octagon is regular, so all sides are the same length.

The diagram shows the lines of symmetry. In one complete turn, the octagon will fit onto itself exactly 8 times.

A regular octagon has:

• 8 sides the same length

• 8 lines of symmetry

• rotational symmetry of order 8.

b

A parallelogram has:

• two pairs of sides the same length

• two pairs of parallel sides

• opposite angles that are equal.

Exercise 7.1

7 Hình và tính đối xứng của hình

Ví dụ minh hoạ 7.1

a Vẽ một hình bát giác đều. Mô tả độ dài cạnh và các tính đối xứng của hình bát giác đều này.

b Vẽ một hình bình hành. Mô tả các tính chất về cạnh và góc của hình bình hành này.

Lời giải

a Một hình bát giác đều có:

• 8 cạnh bằng nhau

• 8 trục đối xứng

• đối xứng quay bậc 8.

b

Một hình bình hành có:

• hai cặp cạnh bằng nhau

• hai cặp cạnh song song

• các góc đối bằng nhau.

Bài tập 7.1

1 Cho các hình đa giác đều sau.

Vì đây là hình bát giác đều, nên tất cả các cạnh có độ dài bằng nhau.

Hình vẽ biểu diễn các trục đối xứng.

Trong một vòng quay, hình bát giác sẽ khớp với chính nó đúng 8 lần.

7 Shapes and symmetry

a Copy and complete this table.

Name of

b What do you notice about the number of sides, the number of lines of symmetry, and the order of rotational symmetry for each of the polygons?

c Copy and complete these sentences.

The number of sides of a regular polygon is ........................... the number of lines of symmetry.

The number of sides of a regular polygon is ........................... the order of rotational symmetry.

d Use your answers to part c to answer these questions.

i A hendecagon is a regular polygon with 11 lines of symmetry.

How many sides does it have?

ii A dodecagon is a regular polygon with order of rotational symmetry 12. How many sides does it have?

2 Look at rectangle ABCD

Write true or false for each statement. If the statement is false, write the correct statement.

a AC is the same length as BD b AB is parallel to AC

c BD is parallel to AB d All the angles are 90°.

7 Hình và tính đối xứng của hình

a Chép lại và hoàn thành bảng dưới đây.

Tên đa giác đều Số cạnh Số trục đối xứng Bậc của đối xứng quay

hình ngũ giác 5 hình lục giác hình thất giác 7 hình bát giác hình cửu giác 9 hình thập giác 10

b Với mỗi đa giác, em nhận xét gì về số cạnh, số trục đối xứng và bậc của đối xứng quay?

c Chép lại và hoàn thành các câu sau.

Số cạnh của một đa giác đều ………………………… số trục đối xứng. Số cạnh của một đa giác đều ………………………… bậc của đối xứng quay.

d Áp dụng phát biểu ở phần c để trả lời các câu hỏi sau.

i Hình thập nhất giác là một hình đa giác đều có 11 trục đối xứng.

Hỏi hình đó có bao nhiêu cạnh?

ii Hình thập nhị giác là một đa giác đều có đối xứng quay bậc 12.

Hỏi hình đó có bao nhiêu cạnh?

2 Cho hình chữ nhật ABCD.

Các phát biểu sau đúng hay sai?

Nếu phát biểu nào sai, hãy sửa lại cho đúng.

a AC và BD bằng nhau.

c BD song song với AB.

b AB song song với AC.

d Tất cả các góc bằng 90°. B DC

3 Copy and complete the side and angle properties of these four quadrilaterals. Choose from the words in the box.

a

b

opposite two all

c

A square has: sides the same length pairs of parallel sides angles are 90°.

d

A rectangle has: pairs of sides the same length pairs of parallel sides angles are 90°.

A rhombus has: sides the same length pairs of parallel sides angles are equal.

Think like a mathematician

A parallelogram has: pairs of sides the same length pairs of parallel sides angles are equal.

4 Work with a partner or in a small group to discuss these questions.

a Is a square a rectangle? Is a rectangle a square?

b Is a square a rhombus? Is a rhombus a square?

c Is a parallelogram a rectangle? Is a rectangle a parallelogram?

d Is a parallelogram a rhombus? Is a rhombus a parallelogram?

Discuss your answers with other groups in the class.

5 Zara is describing a square to Marcus. Has Zara given Marcus enough information for him to work out that the quadrilateral is a square? Explain your answer.

My quadrilateral has two pairs of parallel sides and all the angles are 90º. What is the name of my quadrilateral?

3 Chép lại và hoàn thành các câu phát biểu tính chất về cạnh và góc của bốn tứ giác sau. Chọn các từ cho sẵn trong khung.

a

c

7 Hình và tính đối xứng của hình

đối hai tất cả

Một hình vuông có: cạnh bằng nhau cặp cạnh song song góc bằng 90°. b Một hình chữ nhật có: cặp cạnh bằng nhau cặp cạnh song song góc bằng 90°.

Một hình thoi có: cạnh bằng nhau cặp cạnh song song các góc bằng nhau. d

Tư duy như một nhà Toán học

Một hình bình hành có: cặp cạnh bằng nhau cặp cạnh song song các góc bằng nhau.

4 Làm việc với một bạn cùng nhóm hoặc theo nhóm nhỏ để thảo luận các câu hỏi sau.

a Hình vuông có phải là hình chữ nhật không? Hình chữ nhật có phải là hình vuông không?

b Hình vuông có phải là hình thoi không? Hình thoi có phải là hình vuông không?

c Hình bình hành có phải là hình chữ nhật không? Hình chữ nhật có phải là hình bình hành không?

d Hình bình hành có phải là hình thoi không? Hình thoi có phải là hình bình hành không?

Thảo luận đáp án của nhóm em với các nhóm khác trong lớp.

5 Zara mô tả một hình vuông cho Marcus. Zara đã cho Marcus đủ thông tin để bạn ấy xác định tứ giác đó là hình vuông chưa? Giải thích câu trả lời của em.

Tứ giác của tớ có hai cặp cạnh song song và tất cả các góc bằng 90º. Tứ giác của tớ là hình gì?

6 Look at isosceles trapezium ABCD.

Write true or false for each statement. If the statement is false, write the correct statement.

a AC is the same length as CD.

b AB is parallel to CD.

c Angle CAB is the same size as angle ACD.

d Angle BDC is the same size as angle ACD.

7 Copy and complete the side and angle properties of these three quadrilaterals. The missing words are all numbers.

a

A trapezium has: pair of parallel sides. b

c

A kite has: pairs of sides the same length pair of equal angles.

Think like a mathematician

A

This is angle CAB C D B

This is angle BDC

An isosceles trapezium has: pair of sides the same length pair of parallel sides pairs of equal angles.

8 Work with a partner or in a small group to discuss these questions.

a Is a trapezium always an isosceles trapezium? Is an isosceles trapezium always a trapezium?

b Is a kite a rhombus? Is a rhombus a kite?

c Is a parallelogram a trapezium? Is a trapezium a parallelogram?

Discuss your answers with other groups in the class.

7 Hình và tính đối xứng của hình

6 Cho hình thang cân ABCD.

Các phát biểu sau đúng hay sai?

Nếu phát biểu nào sai, hãy sửa lại cho đúng.

a AC và CD bằng nhau.

b AB song song với CD.

c Góc CAB và góc ACD bằng nhau.

d Góc BDC và góc ACD bằng nhau.

7 Chép lại và hoàn thành các câu phát biểu tính chất về cạnh và góc của ba tứ giác sau.

Các chỗ trống cần điền đều là số.

a

c

Một hình thang có: cặp cạnh song song. b

Một hình thang cân có: cặp cạnh bằng nhau cặp cạnh song song cặp góc bằng nhau.

Một hình cánh diều có: cặp cạnh bằng nhau cặp góc bằng nhau. Đây là góc CAB C D B Đây là góc BDC

8 Làm việc với một bạn cùng lớp hoặc theo nhóm nhỏ để thảo luận các câu hỏi sau.

a Hình thang có phải luôn là hình thang cân không? Hình thang cân có phải luôn là hình thang không?

b Hình cánh diều có phải là hình thoi không? Hình thoi có phải là hình cánh diều không?

c Hình bình hành có phải là hình thang không? Hình thang có phải là hình bình hành không?

Thảo luận đáp án của nhóm em với các nhóm khác trong lớp.

9 Marcus is describing a kite to Zara. My quadrilateral has two pairs of sides the same length and two pairs of equal angles.

What is the name of my quadrilateral?

Has Marcus given Zara the correct information for her to work out that the quadrilateral is a kite? Explain your answer.

10 Follow this classification flow chart for each quadrilateral. Write the letter where each shape comes out. a square b rectangle c parallelogram d kite e trapezium f rhombus g isosceles trapezium

Only one pair of parallel sides? START

9 Marcus mô tả một hình cánh diều cho Zara.

Tứ giác của tớ có hai cặp cạnh bằng nhau và hai cặp góc bằng nhau.

Tứ giác của tớ là hình gì?

Marcus đã cho Zara đúng thông tin để xác định tứ giác đó là hình cánh diều chưa? Giải thích câu trả lời của em.

10 Thực hiện phân loại tứ giác theo lưu đồ sau. Viết chữ cái vào vị trí tương ứng với mỗi hình. a hình vuông b hình chữ nhật c hình bình hành d hình cánh diều e hình thang f hình thoi g hình thang cân

Chỉ có một cặp cạnh song song? BẮT ĐẦU

7 Hình và tính đối xứng của hình

11 This diagram shows the hierarchy of quadrilaterals.

In the diagram, a quadrilateral below another is a special case of the one above it.

For example, a square is a special rectangle but a rectangle is not a square.

Use the diagram to decide if these statements are true or false.

a A parallelogram is a special trapezium.

b A kite is a special rhombus.

c A trapezium is a special quadrilateral. 7.1

Quadrilateral

Trapezium

Isosceles

7 Hình và tính đối xứng của hình

11 Sơ đồ bên mô tả về phân loại các hình tứ giác.

Trong sơ đồ, hình tứ giác bên dưới một hình tứ giác khác là trường hợp đặc biệt của hình đó.

Ví dụ, hình vuông là một hình chữ nhật đặc biệt, nhưng hình chữ nhật không phải là một hình vuông.

Sử dụng sơ đồ để xác định các phát biểu sau đúng hay sai.

a Hình bình hành là một hình thang đặc biệt.

b Hình cánh diều là một hình thoi đặc biệt.

Hình cánh diều

Tứ giác

Hoạt động 7.1

Hình thang

Hình thang cân

Hình thoi

Hình chữ nhật Hình bình hành Hình vuông

c Hình thang là một hình tứ giác đặc biệt. các hình tứ giác.

Trên một tờ giấy, hãy viết bốn phát biểu giống với các phát biểu trong Câu hỏi 11, trong đó có hai câu đúng và hai câu sai. Trao đổi các phát biểu với một bạn trong lớp. Xác định các phát biểu của bạn ấy là đúng hay sai. Đổi lại tờ giấy ghi các phát biểu và chấm điểm bài làm của nhau. Thảo luận các lỗi sai.

7.2 The circumference of a circle

In this section you will …

• know and use the formula for the circumference of a circle.

You already know the names of the parts of a circle. Did you know there is a link between the circumference of a circle and the diameter of a circle?

This table shows the circumference and diameter measurements of four circles.

Circle Circumference (cm) Diameter (cm) Circumference ÷ diameter

A 9.1 2.9 B 19.8 6.3

C 25.1 8 D 37.1 11.8

Copy the table and fill in the final column. Give your answers correct to two decimal places. What do you notice?

You should notice that all the answers are 3.14 correct to 2 decimal places.

This means that the ratio of the diameter to the circumference of a circle is approximately 1 : 3.14 The number 3.14... has a special name, pi. It is written using the symbol π. π is the number 3.141 592 653 589…, but you will often use 3.14 or 3.142 as an approximate value for π. You now know that circumference diameter = , so you can rearrange the formula to get:

C = πd where: C is the circumference of the circle d is the diameter of the circle

Key words accurate approximate value circumference diameter pi (π) radius semicircle Tip

C= πd means C= π × d

7 Hình và tính đối xứng của hình

Trong phần này, em sẽ…

• biết và sử dụng công thức tính chu vi hình tròn.

Em đã biết tên các phần của một hình tròn.

Em có biết mối liên hệ giữa chu vi và đường kính của một hình tròn không?

Bảng dưới đây cho biết chu vi và đường kính của bốn hình tròn.

Hình tròn Chu vi (cm) Đường kính (cm) Chu vi ÷ đường kính

A 9,1 2,9

B 19,8 6,3

C 25,1 8

D 37,1 11,8

Chép bảng vào vở và điền đáp số vào cột cuối cùng. Viết đáp số của em chính xác đến hai chữ số thập phân. Em có nhận thấy điều gì không?

Em sẽ thấy tất cả các đáp số đều là 3,14 khi làm tròn chính xác đến hai chữ số thập phân.

Điều này có nghĩa rằng tỉ số giữa đường kính và chu vi hình tròn là xấp xỉ 1: 3,14.

Số 3,14… có tên gọi đặc biệt là số pi Kí hiệu là π.

π = 3,141592653589…, nhưng em sẽ thường sử dụng giá trị gần đúng của π là 3,14 hoặc 3,142.

Bây giờ em đã biết chuvi đườngkính = , nên em có thể biến đổi để được công thức sau: C = πd trong đó: C là chu vi hình tròn d là đường kính Chu vi hình tròn

Từ khoá chính xác giá trị gần đúng chu vi hình tròn đường kính số pi (π ) bán kính hình bán nguyệt Mách nhỏ C= πd nghĩa là C= π × d

Worked example 7.2

Work out the circumference of a circle with

a diameter 3 cm b radius 4 m.

Use π = 3.14. Round your answers correct to 1 decimal place (1 d.p.).

Answer

a C = πd = 3.14 × 3 = 9.42 = 9.4 cm

b d = 2 × r = 2 × 4 = 8 m

C = πd = 3.14 × 8 = 25.12 = 25.1 m

Exercise 7.2

Write the formula you are going to use. Substitute π = 3.14 and d = 3 into the formula. Work out the answer.

Round your answer to 1 d.p. and remember to write the units, cm.

You are given the radius, so work out the diameter first. Write the formula you are going to use.

Substitute π = 3.14 and d = 8 into the formula. Work out the answer.

Round your answer to 1 d.p. and remember to write the units, m.

1 Copy and complete the workings to find the circumference of each circle.

Use π = 3.14. Round your answers correct to 1 decimal place (1 d.p.). a diameter = 6 cm C = πd = 3.14 × 6 = = cm (1 d.p.)

b diameter = 25 cm C = πd = 3.14 × = = cm (1 d.p.)

c diameter = 4.25 m C = πd = × = = m (1 d.p.)

2 Copy and complete the workings to find the circumference of each circle.

Use π = 3.142. Round your answers correct to 2 decimal places (2 d.p.). a radius = 7 cm d = 2 × r = 2 × 7 = 14 cm C = πd = 3.142 × 14 = = cm (2 d.p.)

b radius = 2.6 cm d = 2 × r = 2 × = cm C = πd = 3.142 × = = cm (2 d.p.)

c radius = 0.9 m d = 2 × r = 2 × = m C = πd = × = = m (2 d.p.)

7 Hình và tính đối xứng của hình

Ví dụ minh hoạ 7.2

Tính chu vi hình tròn biết

a đường kính 3 cm b bán kính 4 m.

Biết π = 3,14. Làm tròn đáp số chính xác đến 1 chữ số thập phân (1 cstp).

Lời giải

a C = πd = 3,14 × 3 = 9,42 = 9,4 cm

b d = 2 × r = 2 × 4 = 8 m

C = πd = 3,14 × 8 = 25,12 = 25,1 m

Bài tập 7.2

Viết công thức em sẽ sử dụng.

Thay π = 3,14 và d = 3 vào công thức.

Tính đáp số.

Làm tròn đáp số đến 1 chữ số thập phân và nhớ viết đơn vị đo độ dài là cm.

Đề bài đã cho sẵn bán kính, nên đầu tiên em phải tính đường kính.

Viết công thức em sẽ sử dụng.

Thay π = 3,14 và d = 8 vào công thức.

Tính.

Làm tròn đáp số đến 1 chữ số thập phân và nhớ viết đơn vị đo độ dài là m.

1 Chép lại và hoàn thành các bước tính chu vi mỗi hình tròn sau.

Biết π = 3,14. Làm tròn đáp số chính xác đến 1 chữ số thập phân (1 cstp).

a đường kính = 6 cm C = πd = 3,14 × 6 = = cm (1 cstp)

b đường kính = 25 cm C = πd = 3,14 × = = cm (1 cstp)

2 Chép lại và hoàn thành các bước tính chu vi mỗi hình tròn sau.

c đường kính = 4,25 m C = πd = × = = m (1 cstp)

Sử dụng π = 3,142. Làm tròn đáp số chính xác đến 2 chữ số thập phân (2 cstp).

a bán kính = 7 cm d = 2 × r = 2 × 7 = 14 cm C = πd = 3,142 × 14 = = cm (2 cstp)

b bán kính = 2,6 cm d = 2 × r = 2 × = cm C = πd = 3,142 × = = cm (2 cstp)

c bán kính = 0,9 m d = 2 × r = 2 × = m C = πd = × = = m (2 cstp)

Think like a mathematician

3 So far in this unit you have used approximate values for π You have used π = 3.14 and π = 3.142.

There is another approximate value you can use: π = 22 7

A more accurate value for π is stored on your calculator.

Can you find the button with the π symbol on it?

a Use the π button on your calculator to work out the accurate circumference of a circle with diameter 12 cm. Write all the numbers on your calculator screen.

b Now work out the circumference of the same circle using approximate values for π of: i 3.14 ii 3.142 iii 22 7

c Compare your answers to parts a and b. Which approximate value for π gives the closest answer to the accurate answer?

d When you answer questions and you need to use π, which value of π do you think it is best to use? Explain why.

4 Work out the circumference of each circle. Use the π button on your calculator.

Round your answers correct to 2 decimal places (2 d.p.).

a diameter = 9 cm b diameter = 7.25 m c radius = 11 cm d radius = 3.2 m

Think like a mathematician

5 Work with a partner or in a group to answer this question. So far in this unit you have used the formula, C = πd In questions 2 and 4, you found the circumference when you were given the radius. Can you write a formula to find the circumference which uses r (radius) instead of d (diameter)?

Test your formula on Question 4, parts c and d. Does it work? Compare your formula with other groups in the class.

7 Hình và tính đối xứng của hình

Tư duy như một nhà Toán học

3 Trong học phần này, em đã sử dụng giá trị gần đúng của π

Em sử dụng π = 3,14 và π = 3,142.

Em còn có thể sử dụng một giá trị gần đúng khác: π = 22 7 Giá trị chính xác hơn của π có trên máy tính cầm tay.

Em có thể tìm thấy nút ấn có kí hiệu π trên máy tính cầm tay không?

a Sử dụng nút π trên máy tính cầm tay để tính chu vi chính xác của hình tròn có đường kính 12 cm.

Viết tất cả các số hiển thị trên màn hình máy tính cầm tay của em.

b Bây giờ, hãy tính chu vi của hình tròn trên bằng cách sử dụng các giá trị gần đúng của π như sau:

i 3,14 ii 3,142 iii 22 7

c So sánh các đáp số của em trong phần a và b.

Giá trị gần đúng nào của π cho đáp số gần chính xác nhất?

d Khi làm phép tính và phải sử dụng π, theo em giá trị nào của π nên sử dụng nhất? Giải thích tại sao.

4 Tính chu vi mỗi hình tròn sau. Sử dụng nút π trên máy tính cầm tay.

Làm tròn đáp số chính xác đến 2 chữ số thập phân (2 cstp).

a đường kính = 9 cm b đường kính = 7,25 m c bán kính = 11 cm d bán kính = 3,2 m duy như một nhà Toán học

5 Làm việc với một bạn cùng nhóm hoặc theo nhóm để trả lời câu hỏi sau. Tới học phần

For questions 6 to 11, use the π button on your calculator.

6 Fu and Fern use different methods to work out the answer to this question.

Work out the diameter of a circle with circumference 16.28 cm. Give your answer correct to 3 significant figures. This is what they write.

Step 1: Make d the subject of the formula.

C = π × d C π = d d = C π

Fu Fern

Step 2: Substitute in the numbers.

d = 16.28 π = 5.18208... = 5.18 cm (3 s.f.)

Step 1: Substitute in the numbers.

C = π × d 16.28 = π × d

Step 2: Solve the equation. 16.28 = π × d 16.28 π = d 5.18208... = d d = 5.18 cm (3 s.f.)

a Look at Fu and Fern’s methods.

Do you understand both methods? Do you think you would be able to use both methods?

b Which method do you prefer and why?

c Use your preferred method to work out the diameter of a circle with:

i circumference = 28 cm ii circumference = 4.58 m

d Make r the subject of the formula Cr = 2

e Use your formula from part d to work out the radius of a circle with:

i circumference = 15 cm ii circumference = 9.25 m

7 The circumference of a circular disc is 39 cm.

Work out the diameter of the disc. Give your answer correct to the nearest millimetre.

Tip

Remember, C= 2 rπ means C r×2=× π

7 Hình và tính đối xứng của hình

Từ câu hỏi 6 đến 11, hãy sử dụng nút π trên máy tính cầm tay.

6 Fu và Fern sử dụng các phương pháp khác nhau để tìm ra đáp số cho bài toán sau.

Tính đường kính của hình tròn có chu vi 16,28 cm.

Làm tròn đáp số chính xác đến 3 chữ số có nghĩa.

Hai bạn viết như sau.

Bước 1: Viết công thức biểu diễn d. C = π × d C π = d d = C π

Fu Fern

Bước 2: Thay số vào công thức. d = 16,28 π = 5,18208... = 5,18 cm (3 cscn)

Bước 1: Thay số vào công thức. C = π × d 16,28 = π × d Bước 2: Giải phương trình. 16,28 = π × d 16,28 π = d 5,18208... = d d = 5,18 cm (3 cscn)

a Xem xét phương pháp của Fu và Fern.

Em hiểu hai phương pháp này không?

Em có thể sử dụng cả hai phương pháp này không?

b Em thích phương pháp nào hơn và tại sao?

c Sử dụng phương pháp ưa thích của em để tính đường kính của hình tròn có:

i chu vi = 28 cm

ii chu vi = 4,58 m

d Viết công thức biểu diễn r từ Cr = 2

e Sử dụng công thức của em trong phần d để tính bán kính của hình tròn có:

i chu vi = 15 cm

ii chu vi = 9,25 m

7 Cho một chiếc đĩa tròn có chu vi 39 cm.

Tính đường kính của đĩa.

Làm tròn đáp số chính xác đến hàng mi-li-mét.

Mách nhỏ

Ghi nhớ:

C= 2 rπ nghĩa là

C r×2=× π

8 A circular ring has a circumference of 5.65 cm. Show that the radius of the ring is 9 mm, correct to the nearest millimetre.

9 This is part of Ahmad’s homework.

Question

Work out the perimeter of this semicircle. Answer: perimeter = half of circumference + diameter P= πd 2 + d = π × 16 2 + 16 = 25.13 + 16 = 41.13 cm 16 cm

a Use Ahmad’s method to work out the perimeter of a semicircle with:

i diameter = 20 cm ii diameter = 15 m iii radius = 8 cm iv radius = 6.5 m

Round your answers correct to 2 d.p.

b Imagine you have a friend who does not know how to work out the perimeter of a semicircle.

Are you confident you could explain to them how to work it out?

Can you use your knowledge to explain how to work out the perimeter of a quarter-circle? Make a sketch of a quarter-circle to help you.

10 The diagram shows a semicircle and a quarter-circle. Read what Zara says.

Is Zara correct? Show working to support your answer. I think the perimeter of the semicircle is greater than the perimeter of the quarter-circle.

15 m10 m

7 Hình và tính đối xứng của hình

8 Một chiếc nhẫn hình tròn có chu vi 5,65 cm. Chứng tỏ rằng bán kính của chiếc nhẫn là 9 mm khi làm tròn chính xác đến hàng mi-li-mét.

9 Dưới đây là một phần bài tập về nhà của Ahmad.

Câu hỏi

Tính chu vi hình bán nguyệt như hình bên.

Lời giải:

chu vi = nửa chu vi hình tròn + đường kính

P = πd 2 + d = π × 16 2 + 16 = 25,13 + 16 = 41,13 cm 16 cm

a Sử dụng phương pháp của Ahamd để tính chu vi hình bán nguyệt có: i đường kính = 20 cm

ii đường kính = 15 m

iv bán kính = 6,5 m Làm tròn đáp số chính xác đến 2 cstp.

iii bán kính = 8 cm

b Giả sử em có một người bạn không biết cách tính chu vi hình bán nguyệt.

Em có thể tự tin giải thích cho bạn cách tính không?

Em có thể áp dụng kiến thức đã có để giải thích cách tính chu vi một phần tư hình tròn không?

Hãy vẽ một phần tư hình tròn để giúp em dễ hình dung.

10 Cho một hình bán nguyệt và một phần tư hình tròn dưới đây. Đọc phát biểu sau của Zara:

15 m10 m Zara nói đúng không? Trình bày các bước tính để khẳng định cho câu trả lời của em.

Tớ nghĩ chu vi hình bán nguyệt lớn hơn chu vi một phần tư hình tròn.

11 Work out the perimeter of each compound shape. Give your correct to two decimal places.

Summary checklist

Tip

In this section will …

• find the connection between the number of vertices, faces, of

• draw front, side, and top views of 3D shapes to scale.

You already know how to describe a 3D shape using the number of faces, vertices and edges.

You also know how to draw the top view, front view and side view of a 3D shape.

The top view is the view from above the shape. It is sometimes called the plan view.

The front view is the view from the front of the shape. It is sometimes called the front elevation. The side view is the view from the side of the shape. It is sometimes called the side elevation

You also need to be able to draw the top view, front view, and side view of a 3D shape to scale. 3D shapes

Key words view, front elevation view, side elevation view, plan view

Front Side Top

Đảm bảo em đã tính hết các đường bao quanh của chu vi.

Trong

• tìm mặt và số cạnh của các hình 3D.

• vẽ hình chiếu đứng, hình chiếu cạnh và hình chiếu bằng của các hình 3D theo tỉ lệ.

Em đã biết cách mô tả một hình 3D bằng cách sử dụng số mặt, số đỉnh và số cạnh.

Em cũng biết cách vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một hình 3D.

Hình chiếu bằng là hình chiếu từ phía trên một hình.

Đôi khi, người ta còn gọi đây là hình chiếu từ phía trên. Hình chiếu đứng là hình chiếu từ phía trước của một hình.

Đôi khi, người ta còn gọi đây là hình chiếu từ phía trước.

Hình chiếu cạnh là hình chiếu từ mặt bên của một hình.

Đôi khi, người ta còn gọi đây là hình chiếu từ cạnh bên.

Em cũng cần phải biết vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của một hình 3D theo tỉ lệ. Hình 3D

Từ khoá hình chiếu đứng, hình chiếu từ phía trước hình chiếu cạnh, hình chiếu từ cạnh bên hình chiếu bằng, hình chiếu từ phía trên

Hình chiếu cạnh Hình chiếu bằng

Hình chiếu đứng

Worked example 7.3

The diagram shows a cuboid.

10 cm

35 cm 15 cm

a Write the number of faces, vertices and edges of the cuboid.

b Draw accurately the top view, front view and side view of the cuboid.

Use a scale of 1 : 5

Answer

a 6 faces, 8 vertices, 12 edges

b Top view

Front view

The faces are the flat surfaces, the vertices are the corners, and the edges are where two faces meet.

Use the scale to work out the dimensions of the cuboid for the drawing. The scale is 1 : 5, so 1 cm on the drawing represents 5 cm in real life.

Length: 35 ÷ 5 = 7 cm Height: 10 ÷ 5 = 2 cm Width: 15 ÷ 5 = 3 cm

So, the top view is a rectangle 7 cm by 3 cm. The front view is a rectangle 7 cm by 2 cm. The side view is a rectangle 3 cm by 2 cm.

Side view

7 Hình và tính đối xứng của hình

Ví dụ minh hoạ 7.3

Cho một hình hộp chữ nhật. cm cm

10 cm

a Tính số mặt, số đỉnh và số cạnh của hình hộp chữ nhật này.

b Vẽ chính xác hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của hình hộp chữ nhật này.

Sử dụng tỉ lệ 1 : 5

Lời giải

a 6 mặt, 8 đỉnh, 12 cạnh

b Hình chiếu bằng

Hình chiếu đứng

Các mặt là các mặt phẳng, các đỉnh là các góc và các cạnh là nơi hai mặt giao nhau.

Sử dụng tỉ lệ để tính kích thước của hình hộp chữ nhật trên bản vẽ.

Tỉ lệ là 1 : 5, nên 1 cm trên bản vẽ tương ứng với 5 cm trên thực tế.

Chiều dài: 35 ÷ 5 = 7 cm Chiều cao: 10 ÷ 5 = 2 cm Chiều rộng: 15 ÷ 5 = 3 cm

Vì vậy, hình chiếu bằng là một hình chữ nhật có kích thước 7 cm × 3 cm.

Hình chiếu đứng là một hình chữ nhật có kích thước 7 cm × 2 cm.

Hình chiếu cạnh là một hình chữ nhật có kích thước 3 cm × 2 cm.

Hình chiếu cạnh

Exercise 7.3

Think like a mathematician

1 Work with a partner or in a small group to answer these questions.

a Copy and complete this table showing the number of faces, edges, and vertices of these 3D shapes.

3D shape Number of faces Number of vertices Number of edges cube cuboid 6 8 12 tetrahedron square-based pyramid triangular prism trapezoidal prism

b What is the connection between the number of faces, vertices and edges for all of the 3D shapes?

c Write a formula that connects the number of faces (F), vertices (V) and edges (E).

d Compare your formula with other groups in your class. Do you have the same formula or a different formula? Is your formula the same, just written in a different way?

e Does your formula work for shapes with curved surfaces, or does it only work for shapes with flat faces? Explain your answer.

Make a sketch of each shape to help you. Tip Remember, a tetrahedron is a triangular-based pyramid.

Tip You could start your formula E = … Tip

7 Hình và tính đối xứng của hình

Bài tập 7.3

Tư duy như một nhà Toán học

1 Làm việc với một bạn cùng lớp hoặc theo nhóm nhỏ để trả lời các câu hỏi sau.

a Chép lại và hoàn thành bảng dưới đây để biết số mặt, số cạnh và số đỉnh của các hình 3D sau.

Hình 3D Số mặt Số đỉnh Số cạnh hình lập phương hình hộp chữ nhật 6 8 12 hình tứ diện hình chóp đáy hình vuông hình lăng trụ tam giác hình lăng trụ đáy hình thang

b Mối liên hệ giữa số mặt, số đỉnh và số cạnh của tất cả các hình 3D trên là gì?

c Viết công thức thể hiện mối liên hệ giữa số mặt (M), số đỉnh (Đ) và số cạnh (C).

d So sánh công thức của nhóm em với các nhóm khác trong lớp.

Các nhóm có công thức giống hay khác nhau?

Công thức của các em giống nhau, nhưng có cách viết khác không?

Mách nhỏ

Vẽ từng hình để giúp em dễ hình dung.

Mách nhỏ

Ghi nhớ: Tứ diện là một hình chóp tam giác.

Mách nhỏ

Các em có thể bắt đầu công thức của mình như sau: C =

e Công thức của các em có đúng với các hình có bề mặt cong không, hay chỉ đúng với các hình có mặt phẳng?

Giải thích câu trả lời của các em.

2 Copy and complete the workings and scale drawings for this question.

Draw the top view, front view, and side view of these shapes. Use a scale of 1 : 2 a cube 6 cm b cuboid 8 cm 5 cm 3 cm c cylinder 10 cm 14 cm 7 cm

Dimensions for drawing: 6 ÷ 2 = cm

Top view: Tip

Draw a square of side length 3 cm.

Front view: Tip

Draw a square of side length 3 cm.

Side view: Tip

Draw a square of side length 3 cm.

Dimensions for drawing: 8 ÷ 2 = cm 3 ÷ 2 = cm 5 ÷ 2 = cm

Top view: Tip

Draw a rectangle 4 cm by 2.5 cm.

Front view: Tip

Draw a rectangle cm by cm.

Side view: Tip Draw a rectangle cm by cm.

Dimensions for drawing: 7 ÷ 2 = cm 10 ÷ 2 = cm 14 ÷ 2 = cm

Top view: Tip

Draw a circle of radius 3.5 cm.

Front view: Tip Draw a rectangle cm by cm.

Side view: Tip Draw a rectangle cm by cm.

7 Hình và tính đối xứng của hình

2 Chép vào vở và hoàn thành các bước tính cùng bản vẽ theo tỉ lệ cho câu hỏi dưới đây.

Vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của các hình sau.

Sử dụng tỉ lệ 1 : 2 a hình lập phương cm hình hộp chữ nhật cm cm cm c hình trụ 10 cm cm cm

Kích thước trên bản vẽ: ÷ 2 = cm Kích thước trên bản vẽ: ÷ 2 = cm ÷ 2 = cm ÷ 2 = cm

Hình chiếu bằng:

Mách nhỏ

Vẽ một hình vuông có cạnh dài 3 cm.

Hình chiếu đứng: Mách nhỏ

Vẽ một hình vuông có cạnh dài 3 cm.

Hình chiếu cạnh:

Mách nhỏ

Vẽ một hình vuông có cạnh dài 3 cm.

Hình chiếu bằng:

Mách nhỏ

Vẽ một hình chữ nhật có kích thước 4 cm × 2,5 cm.

Hình chiếu đứng: Mách nhỏ

Vẽ một hình chữ nhật có kích thước cm × cm.

Hình chiếu cạnh:

Mách nhỏ

Vẽ một hình chữ nhật có kích thước cm × cm.

Kích thước trên bản vẽ: ÷ 2 = cm ÷ 2 = cm ÷ 2 = cm

Hình chiếu bằng:

Mách nhỏ

Vẽ một hình tròn có bán kính 3,5 cm.

Hình chiếu đứng:

Mách nhỏ

Vẽ một hình chữ nhật có kích thước cm × cm.

Hình chiếu cạnh:

Mách nhỏ

Vẽ một hình chữ nhật có kích thước cm × cm.

Think like a mathematician

3 Work with a partner or in a small group to answer these questions. Li and Seb are drawing the plan view of this shape. cm

This is what they draw Seb cmcm

a Have either of them, or both of them, drawn the correct plan view?

b Have they drawn their plan views to scale?

c Discuss your answers to parts a and b with other groups in the class.

d Draw the front elevation of the shape.

e Draw the side elevation of the shape from i the left ii the right.

Are your drawings for parts i and ii the same?

f Discuss and compare your drawings in parts d and e with other groups in the class.

Tip

Remember, the plan view is the same as the top view. Tip

Remember, the side elevation is the same as the side view.

Tư

3

Li

a hoặc bạn, đúng

b Các vẽ hình chiếu từ phía trên theo tỉ lệ chưa?

c Thảo luận câu trả lời của nhóm em ở phần a và b với các nhóm khác trong lớp.

d Hãy vẽ hình chiếu từ phía trước của hình trên.

e Hãy vẽ hình chiếu từ cạnh bên của hình trên từ i bên trái ii bên phải.

Bản vẽ của nhóm em ở phần i và ii giống nhau không?

f Thảo luận và so sánh bản vẽ của nhóm em ở phần d và e với các nhóm khác trong lớp.

Mách nhỏ

Ghi nhớ: Hình chiếu từ phía trên là hình chiếu bằng.

Mách nhỏ

Ghi nhớ: Hình chiếu từ cạnh bên là hình chiếu cạnh.

4 Draw the plan view, the front elevation and the side elevation of this 3D shape.

Use a scale of 1 : 10 cm cm

Tip

If the views from the left side and from the right side are the same, you only need to draw one side elevation.

5 The diagram shows the dimensions of a shipping container. m m

Ajani makes a house from three shipping containers. The containers are arranged as shown in the diagram.

Draw the plan view, the front elevation, and the side elevation of his house.

A shipping container is a very large metal box used to move goods by lorry, train or ship.

Use a scale of 1 : 100 m

4 Vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của hình 3D sau.

Sử dụng tỉ lệ 1 : 10 30 cm 15 cm 20 cm cm 60 cm 35 cm

5 Cho một thùng chở hàng có kích thước như bên dưới. 6 m 2,4 m 2,6 m

Ajani dựng một ngôi nhà từ ba thùng chở hàng. Các thùng được sắp xếp như hình bên. Hãy vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng, và hình chiếu cạnh của ngôi nhà.

Sử dụng tỉ lệ 1 : 100.

7 Hình và tính đối xứng của hình

Mách nhỏ

Nếu hình chiếu từ bên trái và từ bên phải giống nhau, em chỉ cần vẽ một hình chiếu từ cạnh bên.

Mách nhỏ

Thùng chở hàng là một thùng kim loại cỡ lớn được sử dụng để vận chuyển hàng hoá bằng xe tải, tàu hoả hoặc tàu thuỷ.

Continued

A is a right-angled triangular prism.

B is an isosceles triangular prism.

a Will the side elevation of prism A be the same from the left side and the right side?

Explain your answer.

b Draw the plan view, the front elevation, and the side elevation of prism A.

Use the actual dimensions shown.

Discuss the methods you could use to accurately draw the triangle. Which is the best method?

c Will the side elevation of prism B be the same from the left side and the right side?

Explain your answer.

d Draw the plan view, the front elevation, and the side elevation of prism B Use a scale of 1 : 4

Discuss the methods you could use to accurately draw the triangle. Which is the best method?

7 The diagram shows the dimensions of a village hall.

The roof is an isosceles triangular prism.

Draw the plan view, the front elevation, and the side elevation of the village hall.

Use a scale of 1 : 200

Tip

Convert all the dimensions from metres to centimetres before using the scale to work out the dimensions of the scale drawings.

7 Hình và tính đối xứng của hình

Tiếp theo

A là một hình lăng trụ tam giác vuông.

B là một hình lăng trụ tam giác cân.

a Hình chiếu cạnh của hình lăng trụ A khi nhìn từ bên trái và bên phải có giống nhau không?

Giải thích câu trả lời của nhóm em.

b Hãy vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của hình lăng trụ A. Sử dụng kích thước thực tế được cho trong hình trên.

Thảo luận các phương pháp có thể sử dụng để vẽ hình tam giác chính xác.

Phương pháp nào tốt nhất?

c Hình chiếu cạnh của hình lăng trụ B khi nhìn từ bên trái và bên phải có giống nhau không?

Giải thích câu trả lời của nhóm em.

d Hãy vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của hình lăng trụ B Sử dụng tỉ lệ 1 : 4.

Thảo luận các phương pháp có thể sử dụng để vẽ hình tam giác chính xác. Phương pháp nào tốt nhất?

7 Cho hình vẽ một đình làng có kích thước như bên dưới.

Phần mái là một lăng trụ tam giác cân. Hãy vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của đình làng.

Sử dụng tỉ lệ 1 : 200. m m m m

Mách nhỏ

Trước khi tính kích thước theo tỉ lệ trên bản vẽ, hãy đổi tất cả các kích thước từ đơn vị mét sang xăng-ti-mét.

8 The diagram shows a shape drawn on dotty paper.

The shape is made from 1 cm cubes. This diagram shows the plan view, front elevation and side elevation for the shape.

A C B

The diagrams have been drawn accurately on 1 cm squared paper.

a Which diagram, A, B or C shows the i plan view ii front elevation iii side elevation?

b Is it possible to have a shape made from a different number of 1 cm cubes which has the same plan view as the shape above? Explain your answer.

c Is it possible to have a shape made from a different number of 1 cm cubes which has the same plan view, front elevation, and side elevation as the shape above? Explain your answer.

9 The diagram shows four shapes drawn on dotty paper.

The shapes are made from 1 cm cubes. Draw accurately the plan view, front elevation and side elevation for each of the shapes. Use 1 cm squared paper.

The arrows in part a show the directions from which you should look at the shapes for the plan view (P), front elevation (F) and side elevation (S). Side Front P S F a b c d

8 Cho một khối được vẽ trên giấy lưới chấm tròn như hình bên.

Khối này được tạo nên từ các hình lập phương có cạnh 1 cm.

Dưới đây là hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của khối này.

A C B

7 Hình và tính đối xứng của hình

Hình chiếu bằng

Hình chiếu đứng

Hình chiếu cạnh

Các hình chiếu đã được vẽ chính xác trên giấy kẻ ô vuông 1 cm.

a Hình vẽ nào trong các hình A, B hoặc C là i hình chiếu bằng ii hình chiếu đứng iii hình chiếu cạnh

b Có hình nào được tạo nên từ số các hình lập phương cạnh 1 cm khác có hình chiếu bằng giống hình trên không?

Giải thích câu trả lời của em.

c Có hình nào được tạo nên từ số các hình lập phương cạnh 1 cm khác có hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh giống hình trên không? Giải thích câu trả lời của em.

9 Cho bốn khối hình được vẽ trên giấy lưới chấm tròn như hình bên.

Mỗi khối được tạo nên từ các hình lập phương cạnh 1 cm.

Hãy vẽ chính xác hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của mỗi khối.

Sử dụng giấy kẻ ô vuông 1 cm.

Các mũi tên trong phần a biểu thị hướng của hình chiếu bằng (B), hình chiếu đứng (Đ) và hình chiếu cạnh (C).

B C Ð a b c d

10 This is part of Marcus’s homework. Question

Accurately draw the outline of the plan view, front elevation and side elevation of this shape. Do not include any internal lines.

P SF 20 cm 30 cm

Use a scale of 1 : 5 and use 1 cm squared paper. Answer

The length of the shape is 20 cm, so it is made from 10 cm cubes. The scale is 1 : 5, so the length of 20 cm needs to be 20 ÷ 5 = 4 cm

The height of 30 cm needs to be 30 ÷ 5 = 6 cm

The width of 10 cm needs to be 10 ÷ 5 = 2 cm

Which of Marcus’s drawings is incorrect: the plan view, front elevation or side elevation? Explain the mistake he has made.

Plan view Front elevationSide elevation

7 Hình và tính đối xứng của hình

10 Dưới đây là một phần bài tập về nhà của Marcus.

Câu hỏi Hãy vẽ chính xác đường viền của hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của hình sau. Hình vẽ không bao gồm các đường bên trong.

B CÐ 20 cm 30 cm

Vẽ theo tỉ lệ là 1 : 5 trên giấy kẻ ô vuông 1 cm.

Lời giải Chiều dài của hình là 20 cm, nên nó được tạo nên từ các hình lập phương cạnh 10 cm.

Tỉ lệ là 1 : 5, nên chiều dài 20 cm trên bản vẽ là 20 ÷ 5 = 4 cm Chiều cao 30 cm trên bản vẽ là 30 ÷ 5 = 6 cm Chiều rộng 10 cm trên bản vẽ là 10 ÷ 5 = 2 cm

Hình chiếu bằng Hình chiếu đứng Hình chiếu cạnh Trong các bản vẽ của Marcus, bản vẽ nào không chính xác: hình chiếu bằng, hình chiếu đứng hay hình chiếu cạnh? Giải thích lỗi sai bạn ấy mắc phải.

11 The diagram shows a shape drawn on dotty paper.

The shape is made from cubes.

The measurements of the shape are shown in the diagram. Accurately draw the plan view, front elevation, and side elevation for this shape.

Use a scale of 1 : 2 and use 1 cm squared paper.

P S cm cm cm

12 The diagram shows a shape drawn on dotty paper.

The shape is made from cubes.

The width of the shape is shown in the diagram. Accurately draw the plan view, front elevation and side elevation for this shape.

Use a scale of 1 : 3 and use 1 cm squared paper.

Top Side cm

11 Cho một khối được vẽ trên giấy lưới chấm tròn như hình bên.

Khối này được tạo nên từ các hình lập phương.

Kích thước đã được cho trong hình bên.

Hãy vẽ chính xác hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của khối này.

Vẽ theo tỉ lệ là 1 : 2 trên giấy kẻ ô vuông 1 cm.

7 Hình và tính đối xứng của hình

12 Cho một khối được vẽ trên giấy lưới chấm tròn như hình bên. Khối này được tạo nên từ các hình lập phương. Chiều rộng đã được cho trong hình bên.

Hãy vẽ chính xác hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của khối này.

Vẽ theo tỉ lệ là 1 : 3 trên giấy kẻ ô vuông 1 cm.

Hình chiếu bằng

Check your progress

1 Copy and complete this sentence.

A regular pentagon has sides of equal length. It has lines of symmetry and rotational symmetry of order .

2 Write True or False for each statement.

a A square is a special rectangle.

b A trapezium is a special parallelogram.

c A rhombus is a special parallelogram.

d A rhombus is a special kite.

3 Work out the circumference of these circles. Use the π button on your calculator. Round your answers correct to 2 decimal places (2 d.p.).

a diameter = 13 cm b radius = 2.7 m

4 The circumference of a circle is 27 cm. Work out the diameter of the circle. Give your answer correct to the nearest millimetre.

5 Draw the plan view, front elevation and side elevation of each shape. Use a scale of 1 : 4 and use 1 cm squared paper. a 16 cm 12 cm 6 cm b P SF 8 cm 24 cm

7 Hình và tính đối xứng của hình

Kiểm tra sự tiến bộ của em

1 Chép lại và hoàn thành câu sau.

Một hình ngũ giác đều có cạnh bằng nhau. Hình này có trục đối xứng và đối xứng quay bậc .

2 Xác định các phát biểu sau Đúng hay Sai.

a Hình vuông là một hình chữ nhật đặc biệt.

b Hình thang là một hình bình hành đặc biệt.

c Hình thoi là một hình bình hành đặc biệt.

d Hình thoi là một hình cánh diều đặc biệt.

3 Tính chu vi các hình tròn sau. Sử dụng nút π trên máy tính cầm tay.

Làm tròn đáp số chính xác đến 2 chữ số thập phân (2 cstp).

a đường kính= 13 cm b bán kính = 2,7 m

4 Chu vi của một hình tròn là 27 cm.

Tính đường kính của hình tròn.

Làm tròn đáp số chính xác đến hàng mi-li-mét.

5 Hãy vẽ hình chiếu bằng, hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh của mỗi khối sau.

Vẽ theo tỉ lệ là 1 : 4 trên giấy kẻ ô vuông 1 cm.

a 16 cm 12 cm cm b B cm cm

Quadrilateral tiling

This picture shows how you can tile an area with rectangles. They fit together with no gaps, because at each point, there are four 90° angles, which add up to 360°. A tiling pattern like this is called a tessellation.

Here is a kite, with a rectangle drawn around it.

Draw a kite of your own, and a rectangle to surround it in the same way. Then tessellate your rectangle, keeping it in the same orientation.

What do you notice? Can you use this to prove that all kites tessellate?

Next, let’s investigate parallelograms.

Draw a parallelogram, cut it out, then draw around it to make a tessellation pattern. Can you use what you know about the angles in a parallelogram to prove that they fit together without leaving any gaps?

Here is a trapezium. Can you find a way to put two identical trapezia together to make a parallelogram? Can you use this to prove that trapezia will tessellate?

Can you find some irregular quadrilaterals that tessellate?

You might like to use a dotty grid to explore different options. Look for ways to arrange your quadrilaterals so the four angles that meet at each point add up to 360°. Are there any quadrilaterals that do not tessellate?

7 Hình và tính đối xứng của hình

Ốp gạch hình tứ giác

Hình bên cho em thấy cách ốp gạch hình chữ nhật trên một diện tích. Các hình chữ nhật khớp khít nhau mà không có khoảng trống, vì tại mỗi điểm có bốn góc 90° cộng lại bằng 360°. Kiểu lát gạch như trên được gọi là lát mặt phẳng.

Đây là một hình cánh diều được hình chữ nhật bao quanh.

Tương tự, em hãy tự vẽ một hình cánh diều có hình chữ nhật bao quanh. Sau đó, hãy lát hình chữ nhật của em sao cho hình xoay theo cùng một hướng.

Em có nhận xét gì?

Em có thể áp dụng điều này để chứng minh tất cả các hình cánh diều lát kín một mặt phẳng không?

Tiếp theo, chúng ta hãy thực hiện với hình bình hành

Vẽ một hình bình hành, cắt ra rồi vẽ các hình tương tự xung quanh để tạo thành một lát mặt phẳng bao gồm các hoạ tiết lặp lại.

Em có thể áp dụng kiến thức đã học về các góc trong một hình bình hành để chứng minh các hình khớp khít nhau không?

Đây là một hình thang.

Em có thể tìm được cách ghép hai hình thang giống hệt nhau để tạo thành một hình bình hành không?

Em có thể áp dụng điều này để chứng minh các hình thang sẽ lát kín một mặt phẳng không?

Em có thể tìm được một số hình tứ giác không đều lát kín một mặt phẳng không?

Em có thể muốn dùng lưới chấm tròn để xem xét các lựa chọn khác nhau.

Hãy tìm cách sắp xếp các tứ giác của em sao cho bốn góc cộng lại bằng 360° tại mỗi điểm.

Có tứ giác nào không lát kín một mặt phẳng không?

Collecting data

Getting started

1 Give an example of a discrete data b continuous data c categorical data.

2 You want to choose a sample of 3 boys and 3 girls from your class. Describe three different ways to do this.

3 a Write one advantage of a large sample size.

b Write one disadvantage of a large sample size.

4 You want to find the number of brothers and sisters of a group of children. Describe two different ways you could collect this data.

In the United States of America, elections are held every two years to choose members for the House of Representatives. This is one of the groups of people who run the country.

Each American state chooses representatives. The number they can choose depends on how many people live in that state. The more people live in a state, the more representatives they can choose. It is therefore very important to keep accurate records of the number of people living in each state.

To maintain accurate records, a census is held every 10 years. A census is a way of collecting data. It is a questionnaire that must be filled in by every household in the USA.

Bắt đầu nào!

1 Lấy một ví dụ về

a dữ liệu rời rạc

b dữ liệu liên tục

2 Em muốn chọn mẫu gồm 3 bạn nam và 3 bạn nữ trong lớp.

Hãy mô tả ba cách thực hiện khác nhau.

3 a Nêu một ưu điểm của cỡ mẫu lớn.

b Nêu một nhược điểm của cỡ mẫu lớn.

4 Em muốn tìm số anh chị em trong một nhóm bạn nhỏ.

Hãy mô tả hai cách khác nhau để thu thập dữ liệu này.

Ở Mỹ, các cuộc bầu cử được tổ chức hai năm một lần để lựa chọn các thành viên trong Hạ viện. Đây là một trong những nhóm người điều hành đất nước.

Mỗi bang của Mỹ chọn ra các đại biểu. Số lượng đại biểu được chọn phụ thuộc vào dân số của bang đó. Bang càng đông dân thì càng được chọn nhiều đại biểu. Do đó, việc lưu trữ dữ liệu chính xác về số dân của mỗi bang rất quan trọng. Để dữ liệu luôn chính xác, một cuộc điều tra dân số được tiến hành sau mỗi 10 năm. Điều tra dân số là một cách để thu thập dữ liệu. Đó là một bảng câu hỏi mà mỗi hộ gia đình ở Mỹ đều phải thực hiện. Thu thập dữ liệu

c dữ liệu phân loại.

There was a census in 2010. The questionnaire had only 10 questions, which people were able to answer in about 10 minutes. The results of the 2010 census showed that there were 308 745 538 people living in the USA.

There are 435 representatives in the House of Representatives. This means there is one representative for roughly every 710 000 people in the USA.

The map shows the number of representatives in each state of the USA. You can see that California has the largest number of representatives, even though it is not the largest state by area. This is because more people live in California than in any other state in the USA.

WA (12) OR (7) ID (4) NV (6) CA (55) UT (6) WY (3) MT (3) AZ (11) NM (5) AK (4) HI (3) CO (9) TX (38) OK (7) KS (6) NE (5) SD (3) ND (3) MN (10) IA (6) MO (10) AR (6) LA (8) MS (6) AL (9) GA (16) FL (29) SC (9) KY (8) TN (11) IN (11) IL (20) WI (10) MI (16) OH (18) PA (20) NY (29) VT (3) NH (4) ME (4) MA (11) RI (4) CT (7) NJ (14) DE (3) MD (10) DC (3) VA (13) WV (5) NC (15)

In this unit, you will learn more about collecting data.

8 Collecting data8 Thu thập dữ liệu

Dưới đây là một cuộc điều tra dân số vào năm 2010. Bảng câu hỏi chỉ có 10 câu, mọi người có thể trả lời trong khoảng 10 phút. Kết quả của cuộc điều tra dân số năm 2010 cho thấy rằng có 308 745 538 người sinh sống tại Mỹ.

Hạ viện có 435 đại biểu. Điều này nghĩa là ở Mỹ, cứ khoảng 710 000 người thì có một đại biểu.

Bản đồ sau đây cho thấy số lượng đại biểu của mỗi bang ở Mỹ.

Em có thể thấy California có số lượng đại biểu đông nhất, mặc dù đây không phải là bang có diện tích lớn nhất. Lí do là California có đông dân cư hơn các bang khác ở Mỹ.

OR (7) ID (4) NV (6) CA (55) UT (6) WY (3) MT (3) AZ (11) NM (5) AK (4) HI (3) CO (9) TX (38) OK (7) KS (6) NE (5) SD (3) ND (3) MN (10) IA (6) MO (10) AR (6) LA (8) MS (6) AL (9) GA (16) FL (29) SC (9) KY (8) TN (11) IN (11) IL (20) WI (10) MI (16) OH (18) PA (20) NY (29) VT (3) NH (4) ME (4) MA (11) RI (4) CT (7) NJ (14) DE (3) MD (10) DC (3) VA (13) WV (5) NC (15)

WA (12)

Trong học phần này, các em sẽ tìm hiểu thêm về thu thập dữ liệu.

8.1 Data collection

To answer questions in statistics, you must collect data. First, you decide which data you need to collect. You need to know if it is discrete, continuous or categorical.

Next, you must decide how to collect the data. If you need to question people, you could use a questionnaire that they fill in by themselves. Alternatively, you could interview them and write down the answers. Sometimes, you need to make observations. For example, you might record times or count vehicles. In this case, you need a sheet to record your observations.

You may not be able to interview or give a questionnaire to everyone. In this case, you need to take a sample. You must think carefully about the best way to choose your sample. Whenever you collect data, you need to choose a method and explain why you think that method is the best one to use.

Worked example 8.1

The head teacher wants answers to the following questions:

• Are learners happy with the length of lessons? Should they be longer or shorter?

• Are learners happy with the length of their lunch break?

Your task is to investigate these questions using a sample of the learners in the school.

a What data will you collect?

b How will you choose your sample?

c How will you collect the data?

Give reasons for your answers.

In this section you will …

• select a method to collect data to answer a number of linked questions

• consider the different types of data

• consider different sampling methods.

8.1 Thu thập dữ liệu

Trong phần này, em sẽ…

• chọn một phương pháp thu thập dữ liệu để trả lời một số câu hỏi liên quan

• xem xét các loại dữ liệu khác nhau

• xem xét các phương pháp lấy mẫu khác nhau.

Để trả lời các câu hỏi trong thống kê, em phải thu thập dữ liệu.

Đầu tiên, em quyết định loại dữ liệu cần thu thập. Em cần biết đó là dữ liệu rời rạc, liên tục hay phân loại. Tiếp theo, em phải chọn cách thu thập dữ liệu. Nếu cần hỏi mọi người, em có thể sử dụng bảng câu hỏi để họ tự điền. Ngoài ra, em có thể phỏng vấn họ và ghi lại câu trả lời. Đôi khi, em cần phải quan sát. Ví dụ, em có thể ghi chép thời gian hoặc đếm số lượng phương tiện. Trong trường hợp này, em cần ghi lại quan sát của mình trên giấy.

Em không thể phỏng vấn hoặc đưa bảng câu hỏi cho tất cả mọi người. Trong trường hợp này, em cần phải lấy mẫu. Em phải suy nghĩ kĩ cách tốt nhất để chọn mẫu. Mỗi lần thu thập dữ liệu, em cần phải chọn một phương pháp và giải thích lí do em nghĩ phương pháp đó là tốt nhất.

Ví dụ minh hoạ 8.1

Hiệu trưởng muốn nhận được câu trả lời cho các câu hỏi sau:

• Học sinh có hài lòng với thời lượng tiết học không? Tiết học nên được kéo dài hay rút ngắn thời gian?

• Học sinh có hài lòng với thời lượng nghỉ trưa không?

Nhiệm vụ của em là khảo sát những câu hỏi trên bằng cách sử dụng một mẫu các học sinh trong trường.

a Em sẽ thu thập loại dữ liệu gì?

b Em sẽ chọn mẫu bằng cách nào?

c Em sẽ thu thập dữ liệu bằng cách nào?

Giải thích câu trả lời của em.

Continued Answer

a You will need to collect data for: opinion about length of lessons; opinion about whether lessons should be longer, shorter or the same; opinions about length of lunch break. There could be differences of opinion between boys and girls and between younger and older learners so you also need to collect data about the age and gender of the learners sampled.

b If there are equal numbers of boys and girls in the school, you could choose 2 girls and 2 boys from each tutor group. Use the register and choose two names at random (for example, in one tutor group, you might speak to the third and sixth girl and the third and sixth boy in the register). A random sample is more likely to be representative.

c Individual interviews would be best because this will allow you to get an answer from everyone. You could also talk to a group of students together so they can discuss their ideas. However, this might take too long or be inconvenient, in which case you could use a questionnaire.

Exercise 8.1

1 How would you collect data to answer these questions? State the type of data each time.

a When a drawing pin is dropped, is it more likely to land point up or point down?

b How many people visit a particular shop before 09:00?

c How many brothers and sisters do the members of your class have?

d How long do learners spend doing homework each night?

e What is the average number of words in a sentence in a book?

f How long do learners take to get to school each day?

2 Ahmad uses a gym. He asks these questions.

• Do people visit this gym every week?

• Do people come at a particular time of day?

• Is there a difference between the habits of men and women?

He interviews a sample of people at the gym.

a What data does he need to collect?

b What type of data is it?

c Here is his data collection sheet.

Name How often do you visit the gym?

Do you prefer to visit in the morning or the evening?

What is wrong with this data collection sheet?

Tiếp theo

Lời giải

a Em sẽ cần thu thập những dữ liệu sau: ý kiến về thời lượng tiết học; ý kiến về việc tiết học nên được kéo dài hơn, rút ngắn hay giữ nguyên; ý kiến về thời lượng nghỉ trưa. Quan điểm có thể có sự khác biệt giữa học sinh nam và học sinh nữ; giữa học sinh nhỏ tuổi hơn và học sinh lớn tuổi hơn. Vì vậy, em cũng cần thu thập dữ liệu về tuổi tác và giới tính của các học sinh được lấy mẫu.

b Nếu số học sinh nam và nữ trong trường bằng nhau, em có thể chọn ra 2 bạn nữ và 2 bạn nam từ mỗi nhóm học tập. Hãy chọn ngẫu nhiên hai cái tên theo danh sách (ví dụ, trong một nhóm học tập, em có thể nói chuyện với bạn nữ thứ ba và thứ sáu, sau đó là bạn nam thứ ba và thứ sáu trong sổ danh sách). Một mẫu ngẫu nhiên mang tính đại diện cao hơn.

c Các cuộc phỏng vấn cá nhân là lựa chọn thoả đáng nhất vì điều này giúp em nhận được câu trả lời từ mọi người. Em cũng có thể trò chuyện với một nhóm học sinh để các bạn trao đổi ý kiến với nhau. Tuy nhiên, việc này có khả năng tốn nhiều thời gian hoặc bất tiện. Trong trường hợp này, em có thể sử dụng bảng câu hỏi.

Bài tập 8.1

1 Để trả lời các câu hỏi sau, em sẽ thu thập dữ liệu bằng cách nào? Nêu loại dữ liệu tương ứng với từng câu hỏi.

a Khi một cái đinh ghim bị rơi, đầu đinh hay mũi đinh có khả năng tiếp đất trước?

b Có bao nhiêu người đến một cửa hàng trước 9 giờ sáng?

c Mỗi thành viên trong lớp em có bao nhiêu anh chị em?

d Mỗi tối, học sinh dành bao nhiêu thời gian để làm bài tập về nhà?

e Trong một cuốn sách, số từ trung bình của một câu văn là bao nhiêu?

f Mỗi ngày, học sinh mất thời gian bao lâu để đến trường?

2 Ahmad khảo sát một phòng tập thể thao. Bạn ấy đưa ra các câu hỏi như sau.

• Hằng tuần, mọi người có đến phòng tập này không?

• Mọi người có đến vào một thời gian nhất định trong ngày không?

• Có sự khác biệt giữa thói quen của nam và nữ không?

Bạn ấy phỏng vấn một mẫu gồm những người ở phòng tập.

a Bạn ấy cần thu thập dữ liệu gì?

b Đó là loại dữ liệu nào?

c Đây là bảng thu thập dữ liệu của bạn ấy.

Tên Bao lâu bạn đến phòng tập một lần?

Bạn thích đến vào buổi sáng hay buổi tối?

Bảng thu thập dữ liệu này có điểm gì sai?

8 Collecting data

d Design a better data collection sheet.

e He asks the first people who come into the gym each morning for a week. Why is this not a good way to choose his sample?

Describe a better way.

3 A cinema manager asks these questions.

• How often do people visit the cinema?

• Do younger people visit more often than older people?

• What type of film do people like?

a What data is required?

b Describe two ways to collect the data.

c The manager decides to give a questionnaire to a sample of customers. She gives it to all the customers on one night. Why is this not a good way to choose the sample?

d Describe how the manager can get a representative sample.

e Compare your answer to part d with another group’s answer. Can you improve your answer? Can you improve theirs?

4 Xavier has a simple puzzle for children. He asks these questions:

• How long does it take to solve the puzzle?

• Can girls solve it more quickly than boys?

• Can older children solve it more quickly than younger ones?

a What data must Xavier collect? What type of data is it?

b Xavier gives the puzzle to a sample of children. Design a data collection sheet for Xavier.

Activity 8.1

You are going to plan and trial the collection of data from learners in your school.

a Think of three questions you can ask about aspects of school life.

b What data do you need to answer these questions?

c Decide how you will collect the data you need. You could use a questionnaire or a data collection sheet.

d Test your data collection method on a few learners. Does it work well? Can you improve it?

e You need to choose a sample of learners. How can you do this?

What is the best way and why?

f Compare your answers with those of another group. Can you see a way to improve your work or their work?

8 Thu thập dữ liệu

d Thiết kế một bảng thu thập dữ liệu tốt hơn.

e Trong một tuần, bạn ấy phỏng vấn những người đầu tiên đến phòng tập vào mỗi sáng.

Tại sao đây không phải là một cách lựa chọn mẫu phù hợp? Hãy mô tả một cách làm tốt hơn.

3 Một người quản lí rạp chiếu phim đưa ra những câu hỏi sau.

• Bao lâu mọi người đến rạp chiếu phim một lần?

• Những người trẻ tuổi có thường xuyên đến rạp hơn so với những người lớn tuổi không?

• Mọi người thích thể loại phim nào?

a Dữ liệu phải thu thập là gì?

b Mô tả hai cách để thu thập dữ liệu.

c Người quản lí quyết định đưa ra bảng câu hỏi cho một mẫu các khách hàng. Cô ấy phát bảng câu hỏi cho tất cả các khách hàng trong một buổi tối. Tại sao đây không phải là một cách chọn mẫu phù hợp?

d Mô tả cách người quản lí có thể lấy một mẫu đại diện.

e So sánh câu trả lời của em cho phần d với một nhóm khác. Em có thể cải tiến câu trả lời của mình không? Em có thể cải tiến câu trả lời của các bạn không?

4 Xavier có một câu đố đơn giản cho các bạn nhỏ.

Anh ấy đưa ra các câu hỏi sau:

• Các bạn nhỏ mất bao lâu để giải câu đố?

• Các bạn nữ có thể giải nhanh hơn các bạn nam không?

• Các bạn lớn tuổi hơn có thể giải nhanh hơn so với các bạn nhỏ tuổi hơn không?

a Xavier phải thu thập dữ liệu gì? Đó là loại dữ liệu nào?

b Xavier đưa câu đố cho một mẫu các bạn nhỏ.

Hãy thiết kế một bảng thu thập dữ liệu cho Xavier

Hoạt động 8.1

Em dự định lập kế hoạch và thử thu thập dữ liệu từ các học sinh trong trường.

a Hãy nghĩ ra ba câu hỏi để phỏng vấn về các khía cạnh của cuộc sống học đường.

b Em cần dữ liệu nào để trả lời các câu hỏi này?

c Quyết định cách thu thập dữ liệu mà em cần.

Em có thể sử dụng bảng câu hỏi hoặc bảng thu thập dữ liệu.

d Thử nghiệm phương pháp thu thập dữ liệu của em trên một số học sinh. Phương pháp có hiệu quả không?

Em có thể cải tiến phương pháp đó không?

e Em cần chọn một mẫu các học sinh. Em thực hiện việc này bằng cách nào?

Cách thực hiện tốt nhất là gì và tại sao?

f So sánh các câu trả lời của em với một nhóm khác.

Em có thể tìm được cách cải tiến bài làm của em hoặc của các bạn không?

5 Sofia surveys cars using a busy road.

She wants to answer these questions:

• What percentage of drivers are male?

• What percentage of cars carry only one person?

• What is the average number of people in a car?

a What data does Sofia need to collect?

b What type of data is this?

c Design a data collection sheet for Sofia.

6 Anders is comparing two books, X and Y.

He thinks book X is harder to read than book Y.

a What things make a book hard or easy to read?

b What statistical questions can you ask to compare how easy it is to read each book?

c What data can you collect to answer your questions?

d How would you collect data to answer your questions?

e Choose a book and use it to test your data collection method. Does it give you the data you need? Can you improve your method?

f Compare your answers with those of another group. If you have chosen different approaches, which do you prefer?

5 Sofia khảo sát các ô tô trên một con đường đông đúc.

Bạn ấy muốn trả lời những câu hỏi sau:

• Tỉ số phần trăm nam giới lái xe là bao nhiêu?

• Tỉ số phần trăm ô tô chỉ chở một người là bao nhiêu?

• Số người trung bình trên một ô tô là bao nhiêu?

a Sofia cần thu thập dữ liệu gì?

b Đây là loại là dữ liệu nào?

c Thiết kế một bảng thu thập dữ liệu cho Sofia.

6 Anders đang so sánh hai cuốn sách X và Y.

Bạn ấy cho rằng cuốn sách X khó đọc hơn cuốn sách Y.

a Điều gì khiến một cuốn sách khó đọc hoặc dễ đọc?

b Em có thể đưa ra những câu hỏi thống kê nào để so sánh mức độ dễ đọc/khó đọc của mỗi cuốn sách?

c Em có thể thu thập dữ liệu gì để trả lời các câu hỏi của mình?

d Em sẽ thu thập dữ liệu để trả lời các câu hỏi của mình bằng cách nào?

e Chọn một cuốn sách để kiểm tra phương pháp thu thập dữ liệu của em. Phương pháp này có cung cấp dữ liệu mà em cần không? Em có thể cải tiến phương pháp của mình không?

f So sánh các câu trả lời của em với một nhóm khác. Nếu em đã chọn các phương pháp khác nhau thì em thích phương pháp nào hơn?

In this exercise, you have thought about collecting data to answer questions.

a What is the most important thing to remember?

b Explain in your own words what a representative sample is.

Summary checklist

I can choose a method to collect data to answer a number of questions and justify my choice.

I can decide on the best way to select a sample and justify my choice.

8.2 Sampling

The word ‘population’ usually refers to the people living in a town or country. In a statistical investigation, however, it means the people you are interested in.

If you are investigating your class, the population means the people in your class. If you are investigating your school, the population is all the learners in your school.

Often you cannot question the whole population. In this case, you need to choose a sample. There are different ways to choose a sample. In any investigation you need to decide on the best way to choose your sample. Sometimes, your investigation is not about people. For example, you might be investigating the traffic going past your school. If you collect data about some of the vehicles you are still taking a sample. In this case, the population is all the vehicles passing your school.

Key word population

In this section you will …

• understand the advantages of different sampling methods.

Từ “Population” (dân số) thường đề cập đến số dân sinh sống trong một thị trấn hoặc một quốc gia. Tuy nhiên, trong khảo sát thống kê, từ này có nghĩa là số người mà em quan tâm.

Nếu em đang khảo sát lớp mình thì tổng thể là những bạn trong lớp em. Nếu em đang khảo sát trường mình thì tổng thể là những học sinh trong trường em.

Thường thì em không thể đặt câu hỏi cho tất cả mọi người. Trong trường hợp này, em cần phải chọn một mẫu. Có nhiều cách khác nhau để chọn mẫu.

Trong bất cứ một khảo sát nào, em đều cần quyết định cách chọn mẫu phù hợp nhất.

Đôi khi, khảo sát của em không phải về con người. Ví dụ, em có thể đang khảo sát số lượng xe đi qua trường em. Nếu em thu thập dữ liệu về một số phương tiện thì có nghĩa là em đang lấy mẫu. Trong trường hợp này, tổng thể là tất cả các phương tiện đi qua trường em. Phương pháp lấy mẫu

Từ khoá tổng thể

Worked example 8.2

A palace has visitors every day. You are doing a survey to find out what visitors think of the visit. You want to talk to a sample of 100 people. The survey must be done on one day.

a What factors might affect a person’s opinion of the visit?

b Describe how you can choose a sample. Take account of the factors you identified in part a. Give any advantages and disadvantages of your method.

Answer

a Age and gender are two factors.

b Choose about five different age bands. Choose people arriving and ask them what age band they are in as one of the questions. Make sure you speak to an equal number of men and women. Select people at several different times during the day.

An advantage is that this includes a range of people. If you spoke to mostly older people or mostly men, for example, the answers would not represent all the visitors.

A disadvantage is that this method will take longer than simply asking the first 100 people you see. You might need to speak to more than 100 people to make sure you cover all the different age bands.

Exercise 8.2

1 A manager wants to find customers’ opinions about his shop.

The manager wants to choose a sample of 50 customers.

a The sample could be the first 50 customers in the shop after it opens.

i Write one advantage of this method.

ii Write one disadvantage of this method.

b The sample could be 10 customers chosen at random every 2 hours until 50 have been chosen.

i Write one advantage of this method.

ii Write one disadvantage of this method.

c The manager thinks that the opinions of men and women could be different.

Explain how he should choose the sample to take account of this.

d Can you think of another factor that might affect customers’ opinions?

Ví dụ minh hoạ 8.2

Một cung điện có du khách đến tham quan mỗi ngày. Em đang tiến hành khảo sát để tìm hiểu xem các du khách nghĩ gì về chuyến tham quan. Em muốn nói chuyện với một mẫu gồm 100 người. Khảo sát phải được thực hiện xong trong ngày.

a Những yếu tố nào có thể ảnh hưởng đến ý kiến của một người về chuyến tham quan?

b Mô tả cách em chọn mẫu. Cân nhắc các yếu tố em đã xác định trong phần a. Đưa ra ưu điểm và nhược điểm trong phương pháp của em.

Lời giải

a Tuổi và giới tính là hai yếu tố.

b Chọn khoảng năm nhóm tuổi khác nhau. Chọn những người đến tham quan và hỏi họ ở độ tuổi nào, đây là một trong các câu hỏi khảo sát. Đảm bảo rằng số lượng nam giới và nữ giới mà em nói chuyện bằng nhau. Chọn những người ở một vài thời điểm khác nhau trong ngày. Ưu điểm của phương pháp này là nó bao gồm nhiều nhóm người với các độ tuổi và giới tính khác nhau. Ví dụ, nếu hầu hết những người em nói chuyện đều lớn tuổi hoặc là nam giới thì câu trả lời sẽ không đại diện cho tất cả các du khách. Nhược điểm của phương pháp này là nó sẽ mất nhiều thời gian hơn so với việc chỉ hỏi 100 người đầu tiên em nhìn thấy. Em có thể cần phải nói chuyện với hơn 100 người để đảm bảo đã khảo sát tất cả các nhóm tuổi khác nhau.

Bài tập 8.2

1 Một quản lí muốn tìm hiểu ý kiến khách hàng về cửa hàng của mình. Người quản lí muốn chọn một mẫu gồm 50 khách hàng.

a Mẫu có thể là 50 khách hàng đầu tiên đến cửa hàng sau khi mở cửa.

i Nêu một ưu điểm của phương pháp này.

ii Nêu một nhược điểm của phương pháp này.

b Mẫu có thể là 10 khách hàng được chọn ngẫu nhiên sau mỗi 2 tiếng cho đến khi chọn được 50 khách hàng.

i Nêu một ưu điểm của phương pháp này

ii Nêu một nhược điểm của phương pháp này

c Người quản lí cho rằng ý kiến của nam giới và nữ giới có thể khác nhau.

Giải thích cách anh ấy nên chọn mẫu để tính đến yếu tố này.

d Theo em, có một yếu tố nào khác có thể ảnh hưởng đến ý kiến của các khách hàng không?

Think like a mathematician

2 Work with a partner to answer this question.

You are going to find the lengths of the words in a novel. Choose a book to use. You want a sample of 50 words.

a Describe three different ways of choosing a sample of 50 words.

b Use one of your methods from part a to sample 50 words from your chosen novel. Use a tally chart to record the number of letters in each word.

c Did your sampling method give you a sample that was representative of the whole book? Could you improve your method?

d Try one of your other sampling methods.

e Compare your first method with your second method. Can you improve the second method? Was one better than the other?

3 Zalika is investigating the number of people in each car on a busy road. She predicts that most cars will contain only one person, the driver.

Zalika says, ‘I will start at 08:00 and observe 200 cars.’

a Write one advantage and one disadvantage of Zalika’s method.

b Describe a better way to take a sample of 200 cars. Explain why your method is better than Zalika’s.

4 You have been asked to carry out an investigation. You want to find out if learners would like to change the school homework policy. You will choose a sample of about 50 learners.

Explain how you will choose your sample. Explain why you have chosen this method.

5 Arun and Sofia carry out a survey of parents about school homework. One conjecture is that parents want more homework. To test this, each asks this question of a sample of 50 parents:

Is the amount of homework your child gets too little / about right / too much ? (choose one)

Tư duy như một nhà Toán học

2 Làm việc với một bạn cùng lớp để trả lời câu hỏi sau.

Em dự định tìm độ dài của các từ trong một cuốn tiểu thuyết. Hãy chọn một cuốn sách để sử dụng.

Em muốn một mẫu gồm 50 từ.

a Mô tả ba cách khác nhau để chọn một mẫu gồm 50 từ.

b Sử dụng một trong các phương pháp của em từ phần a để lấy mẫu gồm 50 từ trong cuốn tiểu thuyết em đã chọn. Sử dụng biểu đồ kiểm đếm để ghi chép số lượng chữ cái trong mỗi từ.

c Phương pháp lấy mẫu của em có đưa ra một mẫu đại diện cho cả cuốn sách không? Em có thể cải tiến phương pháp của mình không?

d Hãy thử một trong các phương pháp lấy mẫu khác.

e So sánh phương pháp đầu tiên với phương pháp thứ hai. Em có thể cải tiến phương pháp thứ hai không? Phương pháp này có tốt hơn phương pháp kia không?

3 Zalika đang khảo sát số người trong mỗi ô tô trên một con đường đông đúc.

Cô ấy dự đoán rằng hầu hết các ô tô sẽ chỉ có duy nhất một người: đó là người lái xe. Zalika nói, “Tôi sẽ bắt đầu lúc 8 giờ sáng và quan sát 200 ô tô.”

a Nêu một ưu điểm và một nhược điểm trong phương pháp của Zalika.

b Mô tả cách tốt hơn để lấy một mẫu gồm 200 ô tô.

Giải thích lí do tại sao phương pháp của em thoả đáng hơn phương pháp của Zalika.

4 Em đã được yêu cầu tiến hành một khảo sát. Em muốn tìm hiểu xem liệu các học sinh có muốn thay đổi quy định về việc làm bài tập về nhà hay không.

Em sẽ chọn một mẫu khoảng 50 học sinh.

Giải thích cách em sẽ chọn mẫu. Giải thích lí do tại sao em chọn phương pháp này.

5 Arun và Sofia thực hiện một khảo sát với các phụ huynh liên quan đến bài tập về nhà.

Một phỏng đoán được đưa ra là phụ huynh muốn có nhiều bài tập về nhà hơn.

Để kiểm tra điều này, mỗi bạn đặt câu hỏi như sau với một mẫu gồm 50 phụ huynh: Số lượng bài tập về nhà mà con của phụ huynh được giao có quá ít/vừa đủ/quá nhiều không? (chọn một câu trả lời)

This chart shows the results:

a Do Arun’s results support this conjecture? Give a reason for your answer.

b Do Sofia’s results support this conjecture? Give a reason for your answer.

c Give a possible reason why the results of the two surveys are different.

6 A large factory has a restaurant where employees go for lunch. Arun is investigating ways to improve the restaurant.

a Give one disadvantage of Arun’s method.

b Describe a better way of doing the survey.

7 Here is a conjecture about the cars using a particular road:

5 0 10 15 20 25 Arun So a

Too little About right Too much Frequency I will give a questionnaire to the first 50 workers visiting the restaurant this lunchtime.

The modal number of people in a car is 1. Marcus, Zara and Sofia each do a survey of cars on the road. They count the number of people in each car, including the driver.

Each person does the survey for 15 minutes. They do their surveys at different times of day.

The results are in the graph on the right.

a Do the results of each survey support this conjecture?

b Describe any similarities or differences between the surveys.

c Why do the samples give different results?

8 An examiner has marked 250 examination papers.

To check the accuracy of her marking, a sample of 10 papers will be re-marked.

a Describe three different ways of choosing the sample.

b Which of the three ways do you think is the best? Explain why you think so.

Tip The mode is the number with the highest frequency.

Marcus Zara So aFrequency

10 0123 Number of people 456 20 30 40 50 60

Biểu đồ bên cho thấy kết quả:

a Kết quả của Arun có góp phần khẳng định

cho phỏng đoán hay không?

Giải thích câu trả lời của em.

b Kết quả của Sofia có góp phần khẳng định

cho phỏng đoán hay không?

Giải thích câu trả lời của em.

c Đưa ra lí do có thể khiến kết quả của hai khảo sát khác nhau.

6 Một nhà máy lớn có nhà hàng để nhân viên ăn trưa.

Arun đang khảo sát cách để cải thiện nhà hàng.

a Nêu một nhược điểm trong phương pháp của Arun.

b Mô tả một cách tốt hơn để tiến hành khảo sát.

7 Đây là phỏng đoán về các ô tô trên một con đường cụ thể:

Mốt của số người trên một ô tô là 1.

Marcus, Zara và Sofia, từng bạn tiến hành một khảo sát về các ô tô trên đường.

Các bạn đếm số người trên mỗi ô tô, bao gồm cả tài xế. Mỗi bạn thực hiện khảo sát trong 15 phút.

Các bạn thực hiện khảo sát vào những thời điểm khác nhau trong ngày Kết quả ở đồ thị bên phải.

a Kết quả của mỗi khảo sát có củng cố cho phỏng đoán hay không?

b Mô tả những điểm tương đồng hoặc khác biệt giữa các khảo sát.

c Tại sao các mẫu cho kết quả khác nhau?

8 Một giám khảo đã chấm 250 bài thi.

Để kiểm tra độ chính xác của điểm thi đã chấm, một mẫu gồm 10 bài sẽ được chấm lại.

a Mô tả ba cách khác nhau để chọn mẫu.

b Theo em, trong ba cách, cách nào là tốt

Check your progress

You want to answer these questions:

• Are girls or boys better at throwing a ball through a basketball hoop?

• Does height make a difference?

1 What data could you collect to answer these questions? What type of data is it?

2 How would you collect the data you need?

3 Explain how you could select a sample from your school. Justify your choice.