Naum Celakoski Verica Bakeva Borivoje Miladinovi} Jovo Stefanovski
MATEMATIKA ZA I GODINA
SREDNO SREDNO STRU^NO STRU^NO OBRAZOVANIE OBRAZOVANIE ZA SITE STRUKI
PREDGOVOR Ovaa kniga pretstavuva u~ebnik po matematika za I godina na srednoto stru~no obrazovanie. Vo nea se obraboteni site sodr`ini predvideni so nastavnite programi za site struki na srednoto stru~no obrazovanie. Spored nastavnata programa, za sekoja grupa struki se obraboteni soodvetnite temi. Sekoja tema vo knigata za soodvetnata grupa struki e obele`ena so oznaka na sledniot na~in:
Oznaka
Grupa na struki
T
elektrotehni~ka, ma{inska, grade`no-geodetska, soobra}ajna, hemisko-tehnolo{ka, geolo{ko-rudarska, metalur{ka, li~ni uslugi (o~na optika)
E
ekonomsko-pravna i trgovska, tekstilno-ko`arska, ugostitelsko-turisti~ka i
Z
zdravstvena, zemjodelsko-veterinarna, {umarsko-drvoprerabotuva~ka i li~ni uslugi (profil: kozmeti~ki tehni~ar).
grafi~ka
Sekoja tema e ozna~ena so soodveten znak za koja struka ili grupa struki e nameneta. Vo temite koi se predvideni za dve grupi na struki, nastavnite sodr`ini (lekcii) se ozna~eni za koja struka se odnesuvaat, a tie sodr`ini drugata grupa na struki ne gi izu~uva. Zada~ite {to se posebno nameneti za edna ili za dve grupi na struki se soodvetno ozna~eni i tie ne se zadol`itelni za drugite struki. Knigata sodr`i devet tematski celini. Sekoja tema zapo~nuva so pregled na nastavnite sodr`ini. Pri obrabotkata na sodr`inite }e se sretne{ so:
Potseti se! Zna~i, treba da se potseti{ na nekoi poimi i tvrdewa i da odgovori{ na dadenite barawa. Toa }e ti go olesni izu~uvaweto na novite sodr`ini.
A ,B 1
,
2
,
,...
3
,...
So ovie oznaki nastavnata edinica e podelena na delovi (porcii) {to se odnesuvaat na novite poimi. So vakvite oznaki se ozna~eni aktivnostite, pra{awata i zada~ite {to }e gi re{ava{ na ~asot samostojno ili so pomo{ na nastavnikot.
So ova se ozna~eni pra{awata na koi treba da razmisli{ i da dade{ odgovor. Kaj ovoj znak e dadena pomo{ za re{avawe na postavenoto barawe ili odgovorot.
Zapomni!
Ova te upatuva na definicijata na noviot poim ili na tvrdewata {to va`at za toj poim.
Na krajot na sekoja nastavna edinica se dadeni zada~i za samostojna rabota ozna~eni so 1
, 2 ,...
Sekoja tema na krajot sodr`i zada~i za samoproverka (tematski kontrolni zada~i) ozna~eni so
1 ,
2 , 3 ,... Vo vtoriot del na knigata se dadeni odgovori, upatstva ili re{enija na site zada~i. ]e ne raduva ako ovaa kniga ti pomogne da postigne{ soliden uspeh.
Avtorite
REALNI BROEVI
TEMA 1
T, E, Z
SODR@INA NA TEMATA
1
T, Z
Poim za iskaz. Negacija. Konjunkcija. Disjunkcija .... 4
7
T, E, Z Celi broevi. Operacii i podreduvawe .................... 27
2
T, Z
Implikacija. Ekvivalencija ...................................... 9
8
T, E, Z Racionalni broevi .......... 30
9
T, E, Z Operacii so racionalni broevi ............................... 33
10
T, E, Z Decimalni broevi. Operacii so decimalni broevi ............................... 37
11
T, E, Z Realni broevi ................. 40
3
T, E, Z Prirodni broevi. Operacii i svojstva na operaciite ................................. 11
4
T, E
Delivost na prirodnite broevi. NZS i NZD ........... 16
5
T, E
Dekaden i binaren broen sistem .............................. 21
6
T, E
Operacii vo binaren broen sistem .................... 25
`
12 13
T, E
Pribli`ni vrednosti i operacii ........................... 44
Tematski kontrolni zada~i ........ 50
Q
]
_
\ _*
\ 3
1
POIM ZA ISKAZ. NEGACIJA. KONJUNKCIJA. DISJUNKCIJA
Potseti se!
A
Vo makedonskiot jazik si u~el za: - deklarativni re~enici; - re~enici koi imaat smisla; - pra{alni re~enici; - zapovedni re~enici; - re~enici vo koi se iska`uva nekoja `elba. Poznato ti e deka nekoi tvrdewa se to~ni, a nekoi neto~ni.
T, Z
Sekoj den na ulica, vo u~ili{te ili doma se sre}ava{ so re~enici od
razli~en vid. Na primer: 1. Rekata Vardar minuva niz Veles. 2. Skopje e glaven grad na R. Makedonija. 3. @ivata e metal vo te~na sostojba. 4. Dijagonalite na rombot se ednakvi. 5. Brojot 6 e neparen broj, itn.
Koi od slednive tvrdewa se to~ni: a) !
Voo~i, sekoja od re~enicite e osmislena,
b) v) [ ]D [
ka`eme deka e vistinito ili nevistinito.
"
iska`uva edno tvrdewe za koe mo`e da Vakvite re~enici se vikaat iskazi.
Iskaz e deklarativna, osmislena re~enica koja{to e ili vistinita ili nevistinita. Na primer: 1. Re~enicata p: „Rekata Vardar minuva niz Bitola”, e iskaz i toa neto~en. So W S ja ozna~uvame logi~kata (vistinitosna) vrednost na iskazot p. Vo ovoj primer W S A (se ~ita: tau od pe e nete, W e bukva od gr~kata azbuka). Re~enicata T [ ]D [
zna~i isto {to i ˜ Spored toa, dadenata re~eni-
ca e iskaz i toa to~en iskaz, t.e. W T 7 Nekoi deklarativni re~enici ne se iskazi. Na primer, re~enicata „Matematikata e interesen predmet”, ne e iskaz. Taa e osmislena re~enica, me|utoa za nekoi u~enici taa e interesna, a za nekoi u~enici taa ne e interesna, pa ne mo`eme da tvrdime dali so nea ka`uvame vistina ili nevistina. Re~enicata q: „Triagolnicite odat vo kino”, ne e iskaz zatoa {to ne e osmislena re~enica. Re~enicite: „Sakam ”; „Mislam deka ”; „Imam `elba triagolnikot da e ramnostran”, ne se iskazi, bidej}i ne mo`e da se postavi pra{aweto za vistinitost. Re~enicata „ [ ” ne e iskaz, bidej}i za nekoi vrednosti na promenlivata x taa e to~na, a za nekoi neto~na. 4
Re~enicite koi nemaat smisla, pra{alnite, zapovednite, mislovnite, `elbenite, re~enicite koi sodr`at promenliva, ne se iskazi. 1
2
Odredi koi od re~enicite se iskazi: a) Mislam deka ;
b) [ za [ ;
d) [ ;
|) Triagolnikot ima tri temiwa.
g) Dali ;
Utvrdi koi od iskazite se vistiniti: a) ¸ ;
3
v) ;
b) [ za [ ;
v) 1 e prost broj;
g) .
Odredi na {to e ednakvo: a) U ;
b) U ;
v) U e slo`en broj);
g) U [ za [ .
a) U ? . Deklarativna re~enica koja ima smisla i koja e ili vistinita ili nevistinita se vika iskaz. Potseti se! Od gramatikata ti e poznato deka od dve deklarativni prosti ili pro{ireni re~enici, so pomo{ na svrznici, mo`eme da formirame novi re~enici, nare~eni slo`eni re~enici. Vo matematikata posebno va`ni se svrznicite „i”, „ili”, „ako..., toga{“, „ako i samo ako” i negacijata „ne”. Dadeni se re~enicite: 1) Ku~eto tr~a. 2) Ma~eto se ka~uva na drvoto. Sostavi slo`ena re~enica koja{to e: a) sostavna (t.e. konjuktivna); b) razdelna (t.e. disjunktivna); v) uslovna (t.e. kondicionalna). Sostavi odre~na (t.e. negativna) re~enica od re~enicata 1); 2).
B
Od dva dadeni iskazi, so pomo{ na svrznicite: „i”, „ili”, „ako..., toga{“, „ako i samo ako” i negacijata „ne” mo`eme da formirame slo`eni deklarativni re~enici. Sekoja od niv, kako {to }e vidime podolu, mo`e da se smeta za iskaz. Za eden iskaz se veli deka e slo`en iskaz ako vo nego se javuva nekoj od spomenatite svrznici ili negacijata „ne”. Iskaz, pak, {to ne sodr`i nieden od tie svrznici ili negacijata „ne” se vika elementaren ili prost iskaz. Neka p e iskaz. Re~enicata „Ne p” e iskaz koj{to e nevistinit koga p e vistinit, a vistinit koga p e nevistinit.
„Ne p” se vika negacija na p i se ozna~uva so º S 4
Napravi negacija od iskazot p: „[est e prost broj”. Obi~no, ~asticata „ne” stoi do glagolot, pa zatoa º S se ~ita „[est ne e prost broj” (namesto „Ne {est e prost broj”). Ovaa negacija mo`e da se pro~ita i vaka: „Ne e to~no deka {est e prost broj”. 5
Vistinitosnata (logi~kata) vrednost na iskazot p da ja pretstavime so tablica.
T
Âş S pa tablicata e:
Ako $ ^ A` toga{ so operacijata Âş mno`estvoto A vo samoto mno`estvo A se preslikuva na sledniov na~in:
A
Âş
p T T
p T T
A
A
T T
^esto pati namesto W S W Âş S }e ja upotrebuvame oznakata p, odnosno
A
W Âş S
T
W S
A
A
A
Negiraj gi iskazite i odredi ja nivnata logi~ka vrednost: a) p: 8 e paren broj; b) q: Rekata Vardar minuva niz Kavadarci; v) r: 29 e prost broj; g) s: Dijagonalite na pravoagolnikot ne se ednakvi.
5
Re{enie.
Izvr{i negacija na iskazite:
6
a) ;
;
A
v) Âş U 29 ne e prost broj, W Âş U A g) Âş V Dijagonalite na pravoagolnikot se ednakvi, W Âş V
A
a) Âş S ne e paren broj, W Âş S A b) Âş T Rekata Vardar ne minuva niz Kavadarci, W Âş T
.
b) b .
a) O e isto {to i b „Ne e 2 pogolemo od 0” e isto {to i „2 e pomalo ili ednakvo na 0”. b) O d
!
„Ne e 5 pomalo od 1 nitu e ednakvo na 1” e isto {to i „ ! ”.
Potseti se! Re~enicite: 1. Brojot 5 e paren broj. 2. Brojot 5 e delitel na 25. Napravi edna sostavna (t.e. konjuktivna) i edna razdelna (t.e. disjunktivna) re~enica. Novite re~enici se: Brojot 5 e prost broj i 5 e delitel na 25. Brojot 5 e prost broj ili 5 e delitel na 25.
Konjunkcijata na iskazite p, q ja ozna~uvame so: SšT
Konjunkcijata „p i q” na iskazite p i q e slo`en iskaz, koj e vistinit ako i dvata iskaza se vistiniti, a nevistinit koga barem eden od niv e nevistinit.
V
Disjunkcijata „p ili q” na iskazite p i q e slo`en iskaz koj e vistinit ako barem eden od niv e vistinit, a nevistinit koga i dvata iskaza se nevistiniti. Disjunkcijata na iskazite p, q ja ozna~uvame so: S›T
Zapi{i konjunkcija i disjunkcija na iskazite p i q, ako: p: Brojot 12 e deliv so brojot 4, a q: Gradot Skopje e pogolem od gradot Prilep.
6
Konjunkcijata e S š T Brojot 12 e deliv so 4 i gradot Skopje e pogolem od Prilep. Disjunkcijata e S › T Brojot 12 e deliv so 4 ili gradot Skopje e pogolem od Prilep. Tablicata na vistinitosta na konjunkcijata e: p
q
SÂ’T
p
q
S“T
T
T T
T T
T
T T
T
T T
T T
T T
T T
T
A
Ako $ ^
disjunkcijata e:
T
T T
T
T
T
A` toga{ so operacijata š RGQRVQR › mno`estvoto $ u $ vo mno`estvoto A se
preslikuva na sledniov na~in:
( , ) AA
A
›
( , ) ( , A) A
(A , ) (A , A) A
A
( , A) (A , ) (A,A) A
8
$q $
AA
A
A
A A
š
$q $
A
Odredi koi od slednive iskazi se vistiniti. a) Brojot 12 e deliv so 6 i 6 e delitel na 54; b) 16 e sodr`atel na 5 ili 1=6 v) _ L
g) ! ili
Treba da otkrieme od koi elementarni iskazi se sostaveni dadenite iskazi. sleduva W S š T W S š W T
A
W S A a W T
, pa W S › T W S › W T A ›
v) W _ L W _ š W
9
š
.
q: 1=6 A
A
b) p: 16 e sodr`atel na 5;
š A A
A A
A
i W T
A
Od W S
q: 6 e delitel na 54. A A
a) p: Brojot 12 e deliv so 6;
.
g) W S › T W S › W T A › A A
Dadeni se iskazite: S T ne e paren broj; U e deliv so 7.
Formiraj gi slo`enite iskazi: a) S š U
b) T › S
v) S Â’ OU
g) OT “ OS
Odredi ja nivnata logi~ka vrednost. 7
U OT “ OS U OT “ U OS
A
A
g) OT “ OS e paren broj ili z
“ ? .
Odredi ja vrednosta na slednive iskazi:
10
a) Brojot 72 e deliv so 5 ili 25 e deliv so 5;
b)
v) v L O b
ili
Zada~i 1
Odredi koi od slednive re~enici se iskazi: a) 5 e priroden broj. b) [ [
4
S
v) g) [ [ za [ d) @olatata boja e najprijatna boja. |) Brojot 82 e neparen broj. e) Krugot postojano {eta po parkot.
2
5
Dadeni se iskazite: p: 3 e prost broj i q: 3 e paren broj. Formiraj gi iskazite, a potoa odredi ja nivnata vistinitosna vrednost: a) OS “ T b) S ’ OT v) OS “ OT g) OS ’ T
6
Odredi gi vistinitosnite vrednosti na iskazite:
Utvrdi koj od iskazite e vistinit: a) ¸ b) ¸
Negiraj gi slednive iskazi: a) Brojot 15 e priroden broj. b) Brojot 39 ne e prost broj. v) Kockata ima 8 temiwa. g) 8 ne e paren broj. d) v b
8
T L U
Formiraj gi izrazite: a) S ’ T b) OT “ U v) OS ’ OU a potoa odredi gi nivnite logi~ki vrednosti.
v) g) @ivata e metal. d) Zbirot na aglite vo triagolnikot e n
3
Dadeni se iskazite:
a) Rekata Vardar minuva niz Skopje ili niz Prilep. b) Rekata Vardar ne minuva niz Kavadarci i ne minuva niz Negotino. v) Rekata Vardar minuva niz Veles ili minuva niz Kumanovo.
2
IMPLIKACIJA. EKVIVALENCIJA
T, Z
Implikacijata „ako p, toga{ q” e slo`en iskaz na iskazite p i q, koj{to e nevistinit koga p e vistinit i q nevistinit, a e vistinit vo site drugi slu~ai.
A
Potseti se! Dadeni se re~enicite: a) Ako triagolnikot e ramnokrak, toga{ aglite na osnovata se ednakvi. b) Triagolnikot e ramnokrak ako i samo ako ima dva ednakvi agli. Sekoja re~enica e sostavena od dva elementarni iskazi. Koi se elementarnite iskazi vo re~enicite? So koi zborovi se svrzani iskazite vo prvata re~enica, a so koi vo vtorata re~enica?
Implikacijata na iskazite p i q ja ozna~uvame so: S Â&#x; T
se ~ita: „Ako p, toga{ q”, „Od p sleduva q”, „p implicira q” itn.
Ekvivalencijata „p ako i samo ako q” e slo`en iskaz na iskazite p i q, koj{to e vistinit koga dvata iskazi imaat ista vistinitosna vrednost, a e nevistinit koga tie imaat razli~ni vistinitosni vrednosti. Ekvivalencijata na iskazite p i q ja ozna~uvame so:
B
S œ T
se ~ita: „p ako i samo ako q”, „p e ekvivalentno so q”, „p toga{ i samo toga{ koga q”. 1
Formiraj implikacija i ekvivalencija od iskazite p i q, ako S ¸ D T _ Implikacijata e:
Ako ¸ toga{ _
Ekvivalencijata e:
¸ ako i samo ako _
Elementarnite iskazi vo re~enicite „potseti se” se: p: Triagolnikot e ramnokrak. q: Triagolnikot ima dva ednakvi agli. Dadeni se iskazite: p: ^etiriagolnikot ABCD e pravoagolnik. q: Dijagonalite na ~etiriagolnikot ABCD se ednakvi. Formiraj ja implikacijata i ekvivalencijata na iskazite p i q. Tablicata na vistinitosta na implikacijata e: p
ekvivalencijata e:
q
SÂşT
p
q
S”T
T T
T T
A
A
A
T
A
A
A
A
A
A
T T
A
A
A
2
T
T T
T T 9
A
Ako $ ^
A` toga{ so operacijata Â&#x; RGQRVQR Âœ mno`estvoto $ u $ vo mno`estvoto A se
preslikuva na sledniov na~in: $q $
AA
A
( , ) ( , A) A
(A , ) (A , A) A
A
( , A) (A , ) (A,A)
œ AA
( , )
A
A
A
A A
Â&#x;
$q $
A
Odredi ja logi~kata vrednost na iskazite:
3
a) ¸ ako i sako ako ¸ b) Ako 36 e deliv so 8, toga{ 36 e deliv so 4.
v) Ako toga{ g) Brojot 36 e deliv so 3 ako i samo ako zbirot na negovite cifri e deliv so 3. a) Iskazot S ¸ D T ¸
?
.
.
Âş? ? ?
”
?
?
?
?
g) U S , U T , a U S ” T
?
?
v) U S , U T ? a U S Âş T
”
?
?
b) U S ? U T , a U S Âş T ?Âş
?
sleduva U S ” T U S ” U T
?
i U T
?
Od U S
.
?
?
Utvrdi koi od slednive iskazi se vistiniti:
4
a) ¸ ako i samo ako ¸
b) ako i samo ako
v) Ako toga{
g) Ako
toga{
Odredi ja vrednosta na iskazite:
5
a) ! œ !
b) ! Â&#x; !
v) ! œ !
g)
Â&#x;
Vo iskazot „ako p, toga{ q”, iskazot p se vika pretpostavka (hipoteza ili uslov), a iskazot q zaklu~ok (posledica ili sledstvo). Negacijata, konjunkcijata, disjunkcijata, implikacijata i ekvivalencijata se vikaat logi~ki operacii. 10
Zada~i Dadeni se iskazite S
T i
4
Formiraj gi iskazite: a) S º T b) OS ” U v) U º OT U
Odredi gi vistinitosnite vrednosti na iskazite: a) S º T b) OS ” U v) S “ OT g) S ’ OT
i odredi ja nivnata logi~ka vrednost.
2
Dadeni se iskazite S _ T _ L U _ Formiraj gi iskazite: a) S ” T b) OS ” OT v) OT º U i odredi ja nivnata logi~ka vrednost.
3
Dadeni se iskazite p: Brojot 12 e deliv so 3, q: Brojot 12 e deliv so 2; r: Brojot 12 e deliv so 6. Obrazuvaj gi iskazite:
T ¸ U
Dadeni se iskazite S
5
So pomo{ na tablica na vistinitosta ispitaj ja vrednosta na slednite iskazi: a) OT º OS b) S ’ OT v) OS ” T
6
Ako se znae deka U S Âş T i U T ? toga{ iskazot p e: a) to~en; b) neto~en.
?
1
a) OS “ U b) S ’ OT v) S ” OT g) OS º OU Odredi ja vrednosta na iskazite.
PRIRODNI BROEVI. OPERACII I SVOJSTVA NA OPERACIITE
3 Potseti se!
Prirodnite broevi se zapi{uvaat so cifri. Koi se tie cifri? Zapi{i gi broevite: dveste i pet, petstotini i devet, iljada osumstotini i sedum. Prirodnite broevi se: a mno`estvoto na prirodnite broevi go ozna~uvame so ^ , t.e.
^ ^ Q Q Q `
2
A
1
T, E, Z
Vo vrska so nizata na prirodnite broevi odgovori:
Koj e najmaliot priroden broj? Koj priroden broj e sledbenik: na brojot 2, na brojot 97, na brojot 501, na brojot n? Koj priroden broj e prethodnik: na brojot 5, na brojot 200, na brojot n?
Dali e vistinit iskazot: „Sekoj priroden broj ima svoj prethodnik”. Brojot ne go smetame za priroden broj, t.e. � ^ Mno`estvoto od site prirodni broevi i brojot se ozna~uva so i se vika pro{ireno mno`estvo na prirodnite broevi.
^ pa ^ ^ `
Zapomni! Sekoj priroden broj ima sledbenik. Ne postoi najgolem priroden broj. Mno`estvoto na prirodnite broevi e beskone~no. 11
Na crte`ot e pretstavena brojna prava a, so edini~na otse~ka 2$
3
O
A
B
0
1
2
C 3
D
M
4
m
Na to~kata O e pridru`en brojot 0, a na to~kata A e pridru`en brojot 1. Kako e odredena to~kata na koja e pridru`en: brojot 3, brojot 5, brojot m? Pravata a e naso~ena od to~kata O kon to~kata A i se vika brojna oska. Koi od slednive iskazi se vistiniti:
4
a) ;
b) ! ;
v) ?
Voop{to Brojot a e pomal od brojot b D E , ako na brojnata oska brojot a se nao|a levo od brojot b. 5
Odredi ja to~nosta na iskazot O t Q za sekoj priroden broj Q
6
Koi od slednive iskazi se vistiniti: a)
b) d
v) O
g) O t
d) O "
Zapomni! Prirodnite broevi se podreduvaat po golemina, t.e. Q Q Na sekoj priroden broj mo`e da mu se pridru`i to~no edna to~ka od brojnata oska.
B
7
Presmetaj:
Na podredeniot par prirodni broevi
mu se pridru`uva prirodniot broj 8, o kako nivni zbir, t.e.
8
Presmetaj:
˜ ˜ ˜ Na podredeniot par prirodni broevi
mu se pridru`uva prirodniot broj 15, ˜ o . kako nivni proizvod, t.e.
Sobiraweto, odnosno mno`eweto na prirodni broevi e pravilo spored koe na sekoj podreden par prirodni broevi mu e pridru`en to~no eden priroden broj, koj se vika zbir, odnosno proizvod, t.e. za koi bilo D E� ^ D E � ^ odnosno D ˜ E � ^ 12
Sobiraweto i mno`eweto na prirodni broevi se operacii vo mno`estvoto na prirodnite broevi. 9
Proveri ja to~nosta na ravenstvata: a) ; b) ; g) ˜ ˜ ˜ ˜ ; d) ˜ ˜ ˜ ;
v) ˜ ˜ ; |) ˜ ˜ ˜
Za koi bilo D E F Â? ^ va`at slednive svojstva: Za sobirawe D E E D
D E F
D E F
Komutativno svojstvo Asocijativno svojstvo Distributivno svojstvo
F D E FD FE
Za mno`ewe D ˜E E ˜D
D ˜ E ˜ F
D ˜ E ˜ F
D E F
DF EF
t.e. mno`eweto e distributivno vo odnos na sobiraweto. 10
Iska`i gi ovie svojstva so zborovi. Asocijativnoto svojstvo na sobiraweto ozna~uva deka rezultatot e ist, bez ogled na koj od dvata na~ini }e se grupiraat sobirocite. Zatoa zbirot od tri broja a, b, c mo`e da se zapi{e bez zagradi D E F D E F D E F Analogno, proizvodot od tri broja a, b, c mo`e da se zapi{e bez zagradi D ˜ E ˜ F D ˜ E ˜ F D ˜ E ˜ F
11
Presmetaj: a)
b) ˜ ˜ ˜
Komutativnoto i asocijativnoto svojstvo mo`e da se primenat i na pogolem broj sobiroci, odnosno mno`iteli. 12
Presmetaj: a)
13
So primena na distributivnoto svojstvo, poka`i deka e to~no ravenstvoto: D E F G DF DG EF EG (Upatstvo: D E (ili F G ) zameni go so P ). Potseti se! Presmetaj: a) ; b)
b) ˜ ˜ ˜ ˜
V
14
Presmetaj: a) b)
Nepoznatiot sobirok se opredeluva taka {to od zbirot }e se odzeme poznatiot sobirok.
Sigurno voo~i deka razlikata e priroden broj, dodeka, pak, razlikata ne e priroden broj.
Neka D EÂ? Razlikata D E e prirodniot broj c ako zbirot E F e ednakov na a, t.e.
Zna~i, odzemaweto e delumna operacija vo mno`estvoto na prirodnite broevi.
Re{i ja ravenkata [
^
D E F DNR E F D
13
Zapomni! Razlikata D E na prirodnite broevi D i E e priroden broj, samo ako D ! E 15
Proveri ja to~nosta na ravenstvata: a) ˜ ˜ ˜
i b) ˜ ˜ ˜
Va`i voop{to: Mno`eweto e distributivno vo odnos na odzemaweto na prirodni broevi, t.e. za koi bilo D E F � ^ i D ! E va`i: D E ˜ F D ˜ F E ˜ F i F ˜ D E F ˜ D F ˜ E . Odredi ja vistinitosnata vrednost na iskazite: a) i b)
16
Za odzemawe na prirodni broevi ne va`i nitu komutativnoto, nitu asocijativnoto svojstvo. Operaciite sobirawe, mno`ewe i odzemawe na prirodnite broevi se definiraat vo mno`estvoto ` na ist na~in kako vo ` Svojstvata na operaciite {to va`at vo mno`estvoto ` va`at i vo mno`estvoto ` i u{te: za sekoj D Â? ` D D
D
D ˜ ˜ D
D ˜ ˜ D
D
Neka D E Â? ` i D E Â? ` vo kakva zavisnost se broevite a i b?
17
Potseti se! Presmetaj Re{i ja ravenkata [
Neka D E�` koli~nikot D E e prirodniot broj q ako proizvodot E ˜ T e ednakov na a, t.e. D E T ako E ˜ T D
G
U~enicite od edna paralelka, za rodendenot na svojot sou~enik Sa{e re{ile da mu kupat podarok vreden 2635 denari. Po kolku denari treba da dade sekoj od sou~enicite na Sa{e, ako vo taa paralelka ima 32 u~enici? 18
Odredi gi koli~nicite: a) i b)
19
Sigurno voo~uva{ deka koli~nikot ne e priroden broj. Zna~i, za koi bilo D EÂ? ^ , koli~nikot D E ne e sekoga{ priroden broj. Na primer, za D i E ne postoi priroden broj T {to }e go zadovoluva ravenstvoto T W H T Zapomni! Deleweto vo mno`estvoto na prirodnite broevi e delumna operacija. 14
Koli~nikot ne e priroden broj. Me|utoa, i vo ovoj slu~aj se vr{i delewe {to se vika delewe so ostatok. Taka imame: i ostatok , t.e. ˜ . Zapomni! Za koi bilo dadeni prirodni broevi D i E postojat ednozna~no opredeleni broevi T U � ^ taka {to D E ˜ T U , d U E , pri {to T se vika koli~nik, a U ostatok od deleweto na a so b. Pri deleweto na broevite 37, 30 i 4 so 5 imame: ˜ , ˜ i ˜ 20
Proveri ja to~nosta na ravenstvata: a)
b)
Za delewe va`i svojstvoto: Ako D E F Â? ^ , D F Â? ^ , E F Â? ^ i D ! E toga{ D E F
D F E F odnosno D E F
D F E F
koe{to se vika desno distributivno svojstvo na deleweto vo odnos na sobiraweto, odnosno odzemaweto na prirodni broevi. 21
Proveri ja to~nosta na ravenstvoto [to mo`e{ da zaklu~i{?
22
Presmetaj ja na dva na~ini vrednosta na izrazite D E F i D E F za D , E i F .
Zada~i 1
Zapi{i gi tabelarno mno`estvata: a)
$
b) %
2
^ [_[ � ^ š [ d ` ^ [_ [ � ^ š d [ d `
Odredi ja vistinitosnata vrednost na iskazite: a) b) d v) O t
3
4
g) O z
So primena na komutativnoto i asocijativnoto svojstvo presmetaj: a) b) v) ˜ ˜ ;
g) ˜ ˜ ˜ ˜ .
Presmetaj: a) ˜
b) ˜
v) ˜ ˜
g) ˜ ˜ ˜
d) ˜ ˜ ˜ ˜
5
Presmetaj: a) ˜
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
b) ˜
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
Presmetaj ja vrednosta na izrazite vo prvite tri redici i voo~i go algoritamot.
15
4
DELIVOST NA PRIRODNITE BROEVI. NZS I NZD
Potseti se!
A
Ako q e koli~nik na broevite a i b, a r e ostatok, toga{
D E ˜ T U d U E
Ako vo ravenstvoto D E ˜ T U ostatokot U
1
T, E
Odredi go koli~nikot i osta-
tokot pri deleweto na broevite: a) 48 so 6; , toga{ D
b) 69 so 7. ET , pa vo toj slu~aj velime deka
brojot E e delitel na brojot D ( D e deliv so E ili D e sodr`atel na E ), a toa go ozna~uvame so E_D ). Na primer, _ , bidej}i ˜ ; _ , bidej}i ˜ . Brojot 8 ne e delitel na brojot 50 i ozna~uvame ? . Odredi koi od slednive iskazi se vistiniti:
2
a) _ ;
b) _ ;
d) 3 e delitel na 39;
v) ? ;
g) 32 e sodr`atel na 4;
|) 7 ne e delitel na 35.
Za relacijata „e delitel na”, to~ni se slednite tvrdewa. 1. Ako F e delitel na broevite D i E , toga{ F e delitel i na nivniot zbir, t.e. F_D š F_E Â&#x; F_ D E .
Prosledi go dokazot. Od pretpostavkata F_D i F_E sleduva deka D
P˜F i E
Q ˜ F pri {to P Q� ^ . Ottuka
sleduva D E P ˜ F Q ˜ F F ˜ P Q Zna~i, zbirot D E e pretstaven kako proizvod od prirodnite broevi F i P Q , pa zbirot D E e sodr`atel na brojot F t.e. F_ D E 2. Ako P_D i Q_E , toga{ P ˜ Q _ D ˜ E Prosledi go dokazot. Od P_D i od Q_E sleduva deka D D ˜E
P ˜ N L E
Q ˜ N N N � ^ Spored toa,
P ˜ N ˜ Q ˜ N P ˜ Q ˜ N ˜ N {to zna~i deka P ˜ Q _ D ˜ E
Doka`i go tvrdeweto: Ako P_D š P_E š D ! E WRJD^ P_ D E
3
16
Potseti se! Znae{ deka D
B
4
Kolku deliteli ima brojot 7? Kolku deliteli ima brojot ? Kolku deliteli ima brojot 1?
˜ D , t.e. D_D i _D .
Zapomni! Broj {to ima samo dva deliteli se vika prost broj. Broj {to ima pove}e od dva deliteli se vika slo`en broj. Brojot ne e nitu prost nitu slo`en broj. Postapkata za opredeluvawe na prostite broevi od edna kone~na niza na prirodni broevi ja dal starogr~kiot matemati~ar Eratosten (III vek, p.n.e.), i taa se vika Eratostenovo sito, a za prvite prirodni broevi izgleda vaka: 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Brojot 1 ne e nitu prost, nitu slo`en, se precrtuva. Brojot 2 e prost broj. Po nego se precrtuva sekoj paren broj. Sledniot neprecrtan broj e brojot 3, toj e prost broj. Potoa se precrtuva sekoj tret broj, bidej}i toj e deliv so 3. Na sli~en na~in se prodol`uva postapkata za sekoj nareden neprecrtan broj, koj e prost. Mno`estvoto na prostite broevi e beskone~no.
Broevite 60 i 152 razlo`i gi na prosti mno`iteli.
5
˜
˜ ˜
˜ ˜ ˜ ˜ ˜
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
Op{to: Sekoj slo`en priroden broj mo`e da se pretstavi kako proizvod od prosti broevi. Toa pretstavuvawe e ednozna~no, ako se smeta deka redosledot na mno`itelite ne e biten. Ova tvrdewe nema da go doka`uvame. 6
Odredi dali se prosti ili slo`eni broevite:
a) 127;
b) 919. 17
Broevite i razlo`i gi na prosti mno`iteli koristej}i vertikalna tablica.
7
1
˜ ˜
˜
Brojot 167 razlo`i go na prosti mno`iteli.
8
O~igledno, brojot 167 ne e deliv so 2, 3 i 5. Narednite prosti broevi se 7 i 11, pa so proverka se utvrduva deka 167 ne e deliv so niv. Brojot 167 ne e deliv nitu so 13. Bidej}i ˜ , sleduva deka 167 ne mo`e da ima deliteli pogolemi od , t.e. toj e prost broj.
Zapomni! Ako prirodniot broj S ne e deliv so nitu eden prost broj ~ij kvadrat ne e pogolem od S , toga{ brojot S e prost broj. Potseti se!
V
Deliteli na brojot 18 se: 1, 2, 3, 6, 9 i 18. Odredi gi site deliteli na brojot 24. Odredi gi zaedni~kite deliteli na broevite 18 i 24.
9
Dadeni se dve `ici, edna dolga 16 m, a druga 12 m.
Odredi ja najgolemata dol`ina so koja dadenite `ici mo`at da se podelat na ednakvi delovi.
Zaedni~kite deliteli na broevite 16 i 12 se 1, 2 i 4, a nivniot najgolem zaedni~ki delitel e brojot 4, t.e. NZD (12, 16) = 4. Dvete `ici }e bidat podeleni na par~iwa ~ija dol`ina e 4 m. Zapomni! Najgolemiot zaedni~ki delitel na dva prirodni broja a i b e najgolemiot priroden broj {to e delitel na dvata broja a i b. Odredi go najgolemiot zaedni~ki delitel na broevite 168 i 180.
10
˜ ˜ ˜ ˜
18
˜ ˜
˜ ˜ ˜ ˜
˜ ˜ pa NZD
˜ ˜ .
Zapomni! Najgolemiot zaedni~ki delitel na dva ili pove}e broja e ednakov na proizvodot od stepenite na nivnite zaedni~ki prosti mno`iteli, pri {to za pokazatel na sekoj prost mno`itel go zemame pomaliot od dvata pokazateli. Za polesno nao|awe na najgolemiot zaedni~ki delitel na dva ili pove}e prirodni broevi }e koristime vertikalna tablica. 11
Odredi go NZD (90, 135, 315) so koristewe na vertikalna tablica. 90, 135, 315 3 30, 45, 105 3 10, 15, 35 5 2, 3, 7
Voo~uva{ deka site dadeni broevi gi delime so prost broj, po~nuvaj}i od najmaliot, sè dodeka toa e mo`no. 12
Odredi go NZD na broevite:
a) 24 i 30; b) 72 i 90;
Re{avaj}i go primerot v) voo~i deka NZD (9, 14)
v) 9 i 14.
.
Zapomni! Ako NZD (a, b) =1, toga{ za broevite a i b velime deka se zaemno prosti broevi i ozna~uvame: (a, b)
.
Taka, na primer, zaemno prosti se i broevite: a) 25 i 21; b) 10 i 33; v) 27 i 35. Potseti se! Sodr`ateli na brojot 3 se: 3, 6, 9, 12, 15, ... Odredi go mno`estvoto sodr`ateli na brojot 5. Odredi go mno`estvoto na zaedni~kite sodr`ateli na broevite 3 i 5.
G
13
Od edna avtobuska stanica vo isto vreme trgnuvaat dva
avtobusi. Edniot se vra}a sekoi 12 minuti, a drugiot sekoi 16 minuti. Po kolku minuti dvata avtobusi povtorno zaedno }e trgnat od stanicata?
Sodr`ateli na brojot 12 se: 12, 24, 36, 48, ..., a na brojot 16 se: 16, 32, 48, 64, ... Spored toa, nivniot najmal zaedni~ki sodr`atel e brojot 48, t.e. NZS(12, 16) = 48. Zapomni! Najmaliot zaedni~ki sodr`atel (NZS) na dva ili pove}e dadeni broevi e najmaliot broj {to e sodr`atel na sekoj od dadenite broevi. Na primer, NZS (4, 6) ; NZS (8, 6) . 19
Odredi go NZS (18, 24).
14
Broevite 18 i 24 gi razlo`uvame na prosti mno`iteli: ˜ ˜ ˜ ; ˜ ˜ ˜ ˜ .
Zna~i, NZS (18, 24)
˜
.
Zapomni! Najmaliot zaedni~ki sodr`atel na dva ili pove}e prirodni broevi e ednakov na proizvodot od stepenite na site nivni prosti mno`iteli, pri {to za pokazatel na sekoj od prostite mno`iteli se zema pogolemiot od dvata pokazateli. Odredi go NZS (60, 72, 90), so koristewe na vertikalna tablica.
15
NZS (60, 72, 90)
˜ ˜
Odredi go NZS na broevite: a) 14 i 15;
16
b) 20 i 40;
v) 60, 90 i 12.
Sigurno voo~i deka: NZS ˜ NZS(20, 40) = 40. Zapomni! Najmaliot zaedni~ki sodr`atel na dva ili pove}e zaemno prosti broevi e nivniot proizvod. Ako brojot a e sodr`atel na brojot b, toga{ NZS (a, b) D
Zada~i 1
Koi od slednive tvrdewa se vistiniti:
6
Doka`i deka za sekoj Q Â? ^ , izrazot a) Q Q ; b) Q Q Q Q e slo`en broj.
7
Odredi:
a) _ ; b) _ ; v) _ ; g) _ "
2 3
Ako F_ D E i F_E toga{ c e delitel i na drugiot sobirok (a). Doka`i! So koj broj e deliv brojot:
a) 2n; b) 3n; v) 4n; g) 7n, ako Q Â? ^ ?
4
Ako F_D , toga{ F_D ˜ E za sekoe E � ^ . Doka`i!
5
Za koj najmal priroden broj n, brojot Q
a) Q , b) e prost broj?
20
8
a) NZD (180, 96);
b) NZD (165, 45, 75);
v) NZS (180, 96);
g) NZS (18, 60, 75).
Kolku najmnogu ednakvi paket~iwa mo`at da se napravat od 48 ~okoladi, 72 bajaderi i 120 bonboni?
5
T, E
DEKADEN I BINAREN BROEN SISTEM
Potseti se!
A
Zapi{i go tabelarno mno`estvoto od site cifri so koi se zapi{uvaat prirodnite broevi.
Pro~itaj go brojot 762354.
1
Na koja pozicija e zapi{ana cifrata 5, a na koi pozicii se cifrite 3 i 2 vo dadeniot broj?
Kako se vika brojniot sistem vo koj dosega gi zapi{uva{e broevite?
Brojot 762354 e zapi{an vo dekaden broen sistem. Imeto dekaden poteknuva od gr~kiot zbor deka {to zna~i deset, a toa e osnovata na dekadniot broen sistem. Brojniot sistem vo koj vrednosta na cifrata zavisi od mestoto (pozicijata) na koe e zapi{ana vo brojot se vika pozicionen broen sistem. Sekoja cifra na brojot {to e zapi{an vo pozicionen broen sistem, ima svoja nominalna ili cifrena vrednost i mesna ili poziciona vrednost spored mestoto (pozicijata) na koja se nao|a vo zapi{aniot broj. Vo dekadniot broen sistem pozicionata vrednost na sekoja cifra oddesno nalevo e deset pati pogolema od pozicionata vrednost na cifrata {to e na prethodnata pozicija. Vo brojot 762354 cifrata 5 ima poziciona vrednost desetki, a nejzinata vrednost vo brojot e ˜ edinici, cifrata 3 ima poziciona vrednost stotki, a vrednosta vo brojot e ˜ edinici; cifrata 2 ima poziciona vrednost iljadi, a vrednosta vo brojot i e ˜ edinici. Vo dekadniot zapis na broevite, sekoja cifra poka`uva broj na edinici ili broj na desetki ili broj na stotki itn., soodvetno na pozicijata na koja e zapi{ana. 2
Odredi gi vrednostite na cifrata 5 vo brojot 5555.
3
Razgledaj ja tabelata i brojot zapi{an vo nea. K
L
MILIJARDI SMi
DMi 3
EMi 4
A
S
MILIONI
I ILJADI
EDINICI
SM
DM
EM
SI
DI
EI
S
D
E
1
5
0
1
0
6
0
1
1
Pro~itaj go brojot vo tabelata. Koi vrednosti gi ima cifrata 1, a koi cifrata 0? 21
Prvata edinica oddesno ima vrednost 1 edinica. Vtorata edinica oddesno ima vrednost 10 edinici, t.e. ˜ Tretata edinica oddesno ima vrednost 100000 edinici, t.e. ˜ itn. Prvata nula oddesno ima vrednost nula stotki, t.e. ˜ a vtorata nula oddesno ima vrednost nula desetki iljadi, t.e. ˜ ˜ Voo~i! Nulata kako cifra se upotrebuva za da gi zapazi poziciite na cifrite ~ija vrednost e razli~na od nula. Od tabelata voo~uvame deka oddesno nalevo ima grupi od tri pozicii vo edna klasa. Pri ~itaweto na broevite se imenuvaat site klasi, osven klasata na edinicite, pa taka zapi{aniot broj se ~ita: trieset i ~etiri milijardi sto pedeset milioni sto {est iljadi i edinaeset. Zapi{i go brojot: dveste sedum iljadi sto i pet. Vo brojot {to go zapi{a kolku ima:
4
a) edinici;
b) desetki;
v) desetki iljadi;
g) stotki iljadi?
Broevite: a) 432; b) 1056; v) 3708602 zapi{i gi vo razviena, t.e. polinomna forma.
5
a) ˜ ˜
v) ˜ ˜ ˜ ˜
Neka brojot a e zapi{an so Q cifri. Toga{ negovata bukvena oznaka vo poziciona forma e: D
DQ DQ DQ DQ D D D D a negovata polinomna forma e:
D DQ ˜ Q DQ ˜ Q DQ ˜ Q DQ ˜ Q D ˜ D ˜ D ˜ D Bez da gi izvr{uva{ operaciite, zapi{i gi vo poziciona forma broevite:
6
a) ˜ ˜ ˜
b) ˜ ˜ ˜
v) ˜ ˜
b) Brojot ˜ ˜ ˜ e {estcifren, {to se gleda od najvisokiot pokazatel na brojot 10. Vo brojot ima samo tri cifri {to se razli~ni od nula, toa se cifrite na vtorata, ~evrtata i {estata pozicija, a ostanatite cifri se nuli. Spored toa, ˜ ˜ ˜
B
Se pretpostavuva deka ~ovekot mnogu odamna broel po dva, a brojot dva se povrzuva so brojot na organite za vid i sluh, brojot na racete, nozete i sl.
Brojniot sistem vo koj{to osnovata e brojot dva se vika binaren broen sistem od latinskiot zbor “bini”, {to zna~i „po dva” ili „par”. 22
Binarniot broen sistem e pozicionen, pa za broevite {to se zapi{ani vo nego va`at istite pravila {to va`at i vo dekadniot broen sistem. Vo binarniot broen sistem pozicionata vrednost na sekoja cifra oddesno nalevo e dva pati pogolema od pozicionata vrednost na cifrata {to e na prethodnata pozicija. Vo dekadniot broen sistem broevite se zapi{uvaat so desette cifri 0, 1, 2, 3,..., 9, a vo binarniot broen sistem broevite se zapi{uvaat so cifrite 0 i 1. Broevite: se zapi{ani vo binaren broen sistem. Pri ~itaweto na broevite zadol`itelno se ka`uva osnovata dva. Taka na primer, brojot se ~ita: eden nula eden eden so osnova dva. Zapomni! Binarniot broen sistem e pozicionen. Broevite vo binaren broen sistem se zapi{uvaat samo so dve cifri, 0 i 1. Osnovata 2 zadol`itelno se zapi{uva. Vo binarniot broen sistem broevite mo`e da se zapi{uvaat i vo polinomna forma, sli~no kako vo dekadniot broen sistem, samo {to namesto 10 stoi brojot 2, t.e.
D
D D
D
Q Q Q
D D D
DQ ˜ Q DQ ˜ Q DQ ˜ Q D ˜ D ˜ D .
Cifrite DQ DQ D D D imaat vrednost 0 ili 1, a DQ z . 7
Broevite: ; ; i zapi{i gi vo polinomna forma.
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ; 8
˜ ;
˜ ˜ ˜ ˜ .
Zapi{i gi vo poziciona forma so osnova dva broevite: a) ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ; b) ˜ ˜ ˜ ; v) ˜ ˜ ˜ ˜ ;
g) ˜ ˜ .
Brojot ˜ ˜ ˜ e {estcifren, cifrite od prvata, tretata i ~etvrtata pozicija se ednakvi na nula, pa ˜ ˜ ˜ = . 9
Proveri ja to~nosta na slednive ravenstva: a) ;
b)
;
v)
.
Broevite na koi ne im e zapi{ana osnovata, se dadeni vo dekaden broen sistem. a) ˜ ˜ ; b) ˜ ˜ ; v) ˜ ˜ ˜ . 23
Zapomni! Da se prevede daden broj od binaren vo dekaden zapis, treba dadeniot broj da se zapi{e vo polinomna forma i da se izvr{at nazna~enite operacii vo toj polinom.
Broevite a) 35;
10
b) 128 zapi{i vo binaren broen sistem.
a) Za pogolema preglednost, postapkata }e ja prika`eme na sledniot na~in:
i ostatok 1 i ostatok 1 i ostatok 0 i ostatok 0 i ostatok 0 i ostatok 1
Spored toa, 35 = 1 0 0 0 1 b)
i i i i i i i
ostatok ostatok ostatok ostatok ostatok ostatok ostatok
0 0 0 0 0 0 0
Spored toa,
10000000
Zada~i 1
3
Koj broj e pogolem: a) ili ; b) ili ?
2
Zapi{i gi vo poziciona forma broevite:
b) ˜ ;
a) ˜ ;
g) ˜ ˜ ;
d) ˜ ˜ ˜ ;
|) ˜ ˜ ˜ .
a) ;
b) ;
v) ;
g) .
Prevedi gi vo binaren broen sistem broevite: a) 8;
v) ˜ ˜ ;
24
4
Prevedi gi vo dekaden broen sistem broevite:
5
b) 28;
v) 100;
g) 135.
Boevite 2, 4, 8, 16, 32, 64 zapi{i gi vo binaren broen sistem. [to voo~uva{?
6 Potseti se!
A
3452 + 673
Presmetaj go zbirot:
1
.
Tablicata za sobirawe vo binarniot broen sistem izgleda vaka:
Se sobiraat edinicite od ista pozicija. Ako nivniot zbir e pogolem ili ednakov na 10 (osnova na sistemot), toga{ se obrazuva edinica od povisok red, a ostatokot se zapi{uva vo istata pozicija. Sobiraweto sekoga{ se zapo~nuva od prvata pozicija.
+
0
1
0
0
1
1
1
Sobiraweto polesno se izveduva ako broevite gi zapi{eme eden pod drug. Malite edinici nad prviot sobirok ozna~uvaat broj na preneseni edinici dobieni pri sobiraweto na edinicite od prethodnata pozicija. Presmetaj:
2
T, E
OPERACII VO BINAREN BROEN SISTEM
Re{enie.
3
+
Presmetaj: a) ;
1 2 2 21
1 1 1 11
b) .
Vnimavaj, nekoi sobiroci ne se
zapi{ani vo ist broen sistem.
B
Odzemaweto vo binarniot sistem se vr{i na ist na~in kako i vo dekadniot sistem. Se odzemaat edinicite od prvata pozicija, ako e toa mo`no. Ako odzemaweto na edinicite od ista pozicija ne e mo`no, toga{ se pozajmuva edinica od prvata povisoka pozicija. 4
Presmetaj ja razlikata: a) ;
Re{enie. a)
b) ;
v) .
02122 00200 2
b)
v)
.
To~kite nad cifrite od namalenikot ozna~uvaat deka od taa cifra e pozajmena edna edinica. Malite cifri nad namalenikot ozna~uvaat kolku edinici ostanale na taa pozicija po pozajmuvaweto ili kolku edinici ima vo poniskata pozicija po pozajmuvaweto. 25
Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
5
a) ;
b) ;
v) .
V
Presmetaj: ˜ . Mno`eweto na broevite vo binarniot broen sistem e identi~no so mno`eweto na broevite vo dekadniot broen sistem. ”
Tablicata za mno`ewe vo binaren sistem izgleda vaka:
Presmetaj go proizvodot:
6
Re{enie.
a) ˜
a) ˜
b) ˜ .
b) ˜ ˜
Zapomni! Operaciite so broevi se izveduvaat samo ako broevite se zapi{ani vo ist broen sistem. Proveri ja to~nosta na ravenstvoto:
7
a)
b) ˜
˜
v) ˜ ˜ ˜ ˜ g) ˜ ˜ ˜ Voo~i, vo binarniot broen sistem va`at istite svojstva na operaciite koi{to va`at i vo dekadniot broen sistem.
Zada~i 1
Presmetaj:
3
a) ; b) ;
2
v) ˜ .
Presmetaj ja vrednosta na izrazite: a) ; b) ; v) ˜ ; g) ˜ ˜ ˜ .
26
Proveri ja to~nosta na ravenstvoto: a)
b) ˜ ˜ ˜ v) ˜ ˜
˜
7
CELI BROEVI. OPERACII I PODREDUVAWE
Potseti se!
A
1
T, E, Z
Presmetaj: a) ;
Re{i ja ravenkata:
b) .
[
Razlikata ne e priroden broj. Za da bide definirana razlikata na koi bilo dva prirodni broevi treba mno`estvoto na pria i b e priroden broj ako D ! E . rodnite broevi da se pro{iri so novi broevi. Prvoto pro{iruvawe na mno`estvoto ^ e napraveno so brojot 0, taka {to za sekoe D Â? ^ , D D Potoa, pro{iruvaweto prodol`uva so broevite: Razlikata D E na prirodnite broevi
(kako razlika: L VO ); (kako razlika: L VO ); (kako razlika: L VO ), itn.
Broevite se vikaat negativni celi broevi, a mno`estvoto {to go so~inuvaat e mno`estvoto na negativni celi broevi. Vo taa smisla, prirodnite broevi se vikaat pozitivni celi broevi, niv gi zapi{uvame i so namesto Brojot 0 ne e nitu pozitiven, nitu negativen broj. Mno`estvoto {to gi sodr`i site prirodni broevi, site negativni celi broevi i brojot nula, se vika mno`estvo na celite broevi, i se ozna~uva so [ , t.e. [ ^ ` Prirodnite broevi gi pretstavivme na pozitivniot del na brojnata oska. Negativnite celi broevi na brojnata oska se simetri~no rasporedeni so soodvetnite prirodni broevi vo odnos na brojot nula. -3
-2
-1
0
1
2
3
Broevite 1 i , 2 i , 5 i se vikaat sprotivni broevi. Voop{to, na brojot a sprotiven e brojot D 2
Koj e sprotivniot broj na brojot: 10, , 23, ?
Poznato ti e deka apsolutnata vrednost na celiot broj D e samiot broj ako toj e pozitiven ili nula, a sprotivniot broj na D ako toj e negativen, t.e. D
Na primer,
;
 D ako ° Ž ako ° D ako ¯ ;
apsolutni vrednosti, t.e. D 3
D! D D
. Sigurno voo~i deka sprotivnite broevi imaat ednakvi
D
Odredi ja apsolutnata vrednost na broevite: -5; 7; -20; +20. 27
Prirodnite broevi se podredeni vaka: a celite broevi se podredeni na sledniov na~in: Voo~i: Sekoj pozitiven cel broj e pogolem od koj bilo negativen cel broj. Brojot nula e pogolem od sekoj negativen cel broj. Odredi ja vistinitosnata vrednost na iskazite:
4
a) ; b) ! ; v) ! ; g) ; d) ! ; |) ; e) ! . 5
Iska`i go praviloto za sporeduvawe na dva negativni celi broevi so pomo{ na nivnata apsolutna vrednost.
6
Podredi gi po golemina broevite: 2; -3; 5; 1; 0; -6; -4; 8. Zapomni! Mno`estvoto na celite broevi e beskone~no. Vo mno`estvoto [ ne postoi nitu najgolem nitu najmal broj. Mno`estvoto na pozitivnite celi broevi go ozna~uvame so mno`estvoto na negativnite celi broevi so [ ^ ` pa [ Potseti se!
a
B
Za sobirawe i mno`ewe na celi broevi imame:
7
[ ^ ` , [ ) ^ ` ) [
˜
˜
˜
˜
Za operaciite sobirawe i mno`ewe na celite broevi va`at slednive tvrdewa: a) Ako D E � [ , toga{ D E � [ a D ˜ E � [ . b) Ako D E � [ , toga{ D E � [ D ˜ E � [ . v) Ako D � [ E � [ , toga{ D E �[ za D ! E ; D E � [ za D E a D ˜ E � [ . g) Ako D � [ toga{ D D D D ˜ ˜ D L D ˜ ˜ D D
Zapi{i gi tvrdewata b), v) i g) so zborovi. a) Zbir na dva pozitivni celi broja e pozitiven broj, a i nivniot proizvod e pozitiven broj. Presmetaj: a) ˜ ˜ ;
8
b) ˜ ˜ ;
Sporedi go tvoeto re{enie so dadenoto: a) ˜ ˜
Voo~i: Op{to, zbirot na dva sprotivni celi broevi e nula, t.e. D D D D . Proveri ja to~nosta na ravenstvoto: ˜ ˜ ˜ .
9
Komutativnoto, asocijativnoto i distributivnoto svojstvo koi{to va`at za sobiraweto i mno`eweto na prirodni broevi va`at i za sobirawe i mno`ewe na celi broevi. 28
V
Odzemaweto na celi broevi se definira so pomo{ na sobiraweto, t.e. za koi bilo D E Â? [ D E D E
Na primer: ; . 10
Presmetaj: a) ˜ ;
Re{enie. a) ˜
b) ˜ ˜ .
.
Od celiot broj a da se odzeme celiot broj b zna~i, na brojot a da mu se dodade sprotivniot broj na brojot b. Poradi toa velime deka odzemaweto vo [ e inverzna (ili obratna) operacija na sobiraweto. 11
Presmetaj: a) ˜ ˜
b)
v) ˜ ˜ ˜ ˜
˜
g) ˜ ˜ ˜
Od prethodnoto voo~i deka zbirot, proizvodot i razlikata na dva celi broja e cel broj, {to zna~i deka sobiraweto, mno`eweto i odzemaweto se operacii vo mno`estvoto na celite broevi, odnosno mno`estvoto
[
e zatvoreno vo odnos na tie operacii.
Deleweto na celite broevi e delumna operacija vo mno`estvoto
[.
Koli~nikot D E na celite broevi a i b, E z e cel broj samo ako E_D . 12
Presmetaj: a) ;
b) ;
v) ;
g) .
Voo~uva{ deka koli~nikot e pozitiven ako i delenikot i delitelot se so isti znaci, a e negativen ako delenikot i delitelot se so razli~ni znaci. 13
Presmetaj ja vrednosta na izrazite: a) ˜ ;
b) ˜ .
Zada~i 1
Odredi ja vrednosta na sekoj od izrazite:
3
a) _ _ _ ˜ _; b) _ [ _ _ [_ _ [_ za [
2
a) ˜ ;
b) ˜ ; v) ; g) .
.
4
Presmetaj: b) ˜ ˜ ;
v) ˜ .
Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazite: a) ˜
Presmetaj:
a)
b) ˜ ˜ ˜ ˜
v) ˜ ˜ ˜
29
8
T, E, Z
RACIONALNI BROEVI
Potseti se!
A
Re{i gi ravenkite: [ ˜ ; [ ˜ .
Koli~nikot ne e cel broj. Poradi toa ima potreba od pro{iruvawe na mno`estvoto [ so novi broevi.
Ravenkata [ ˜ E D vo mno`estvoto [ ima re{enie samo za nekoi celi broevi a i b.
Mno`estvoto
Presmetaj go koli~nikot: a) ; b) ; v) .
1
[
}e go pro{irime so novi broevi koi se vikaat dropki. D D Sekoj koli~nik D E , E z se zapi{uva vo oblik , t.e. D E i se vika dropka. E E Na primer, dropki se: i sl. Zapomni! Mno`estvoto od site dropki se vika mno`estvo na racionalnite broevi i se ozna~uva so
] , t.e. ]
ÂD ½ ÂŽ D E Â? [ E z ž a sekoja dropka se vika racionalen broj. ÂŻE Âż
Dali celite broevi se dropki?
2
Celite broevi se racionalni broevi, odnosno dropki. Na primer: racionalen broj, t.e. Izrazite
[ ÂŽ ]
zna~i sekoj cel broj e i
; ;... nemaat smisla bidej}i deleweto so nula ne e definirano.
Odredi ja vistinitosnata vrednost na iskazite:
3
a)
^Â?[;
b)
^Â?];
v)
[Â? ];
g)
[Â?^;
Potseti se! ˜ ˜ ;
d)
]Â?[;
B
|)
Koli~nicite: ˜ ˜
i zapi{i gi kako dropki.
4
. Koli~nikot ne se menuva ako delenikot i delitelot se pomno`at ili podelat so ist broj razli~en od nula.
30
Op{to:
^ ÂŽ [ .
D E
D D˜N i E E˜N
D N N z . E N
Zapomni! Ako broitelot i imenitelot na dadena dropka se pomno`at so ist broj N , N z , se dobiva dropka ednakva so dadenata. Ovaa postapka se vika pro{iruvawe na dropka. Ako broitelot i imenitelot na dadena dropka se podelat so ist broj N , N z , se dobiva dropka ednakva na dadenata. Ovaa postapka se vika skratuvawe na dropka.
pro{iri ja so 2, a so 4.
5
Dropkata
6
Skrati ja dropkata:
.
˜ ˜
;
˜ ˜
.
ili
Dropkata e neskratliva ako broitelot i imenitelot nemaat drug zaedni~ki delitel osven brojot 1, t.e. ako tie se zaemno prosti broevi. Dropkite:
7
; i svedi gi na ist imenitel.
Dropkite }e gi sveduvame na najmal zaedni~ki imenitel, pa bidej}i NZS (4, 6, 3) = 12, dropkata
}e ja pro{irime so 3 i dobivame
i drugite dve dropki i dobivame
˜ ˜
˜ . Na sli~en na~in gi pro{iruvame ˜
˜ i ˜
.
Svedi gi na najmal zaedni~ki imenitel dropkite:
8
a)
;
b) ;
Sporedi gi dropkite: a)
9
v) ;
i ; b) i .
Od dve dropki so ednakvi imeniteli pogolema e dropkata {to ima pogolem broitel. a)
b)
pa ! t.e. !
Za koi bilo dva racionalni broja
D F ! , ako DG ! EF ; E G Na primer:
D F i E z G z va`i samo edna od relaciite: E G D F D F , ako DG EF , ako DG EF . E G E G
, bidej}i ˜ ˜ ; ! , bidej}i ˜ ! ˜ , t.e. ! . 31
Pri rabotata so dropkite sekoga{ mo`eme da se ograni~ime na dropki so pozitiven imenitel. Na primer:
˜
˜
a
mo`eme da go zapi{eme na sledniov na~in:
Podredi gi po golemina dropkite
10
pa mno`estvoto na racionalni broevi
]
ÂP ½ ÂŽ P Â? [ Q Â? ^ ž ÂŻQ Âż
NZS po pro{iruvaweto so soodvetniot broj imame:
t.e. . Na brojnata oska pretstaveni se nekolku racionalni broevi.
11
-3
-2
1
0
4
. Pretstavi gi na brojna oska broevite:
12
Zada~i 1
Za koi vrednosti na x izrazot nema smisla:
a)
4
[ [ ; b) ; v) ; g) . [ [ [ [
Odredi ja vrednosta na nepoznatiot broj vo dropkite, taka {to da se dobie to~no brojno ravenstvo:
; D v) ; F
a)
2
3
Dropkite
pro{iri gi:
a) so 2;
b) so 3;
v) so 4.
Svedi gi na najmal zaedni~ki imenitel dropkite:
a)
b)
v)
g)
32
E ; G g) . b)
5
Podredi gi po golemina dropkite: a)
v)
.
b)
;
9
OPERACII SO RACIONALNI BROEVI
Potseti se!
D E D E D E D E Voop{to: D F z F F F F F F
Zbir na dve dropki so isti imeniteli e dropka ~ij broitel e ednakov na zbirot od broitelite, a imenitel e imenitelot na tie dropki.
Za dvata dena traktoristot izoral NZS (12, 18) = 36, pa imame:
A izoral
T, E, Z
Eden traktorist prviot den
1
od edna niva, a vtoriot den izo
od istata niva. Koj del od nivata go izoral traktoristot za dvata dena?
ral
Koj del od nivata ostanal neizoran?
del od nivata.
˜ ˜ ˜ ˜
§ ¡ Neizoraniot del iznesuva: ¨ ¸ Š š
od nivata.
Zapomni! Dropki so razli~ni imeniteli se sobiraat koga prethodno }e se svedat na zaedni~ki imenitel (najmal zaedni~ki imenitel), a potoa se sobiraat kako D F DG EF DG EF dropki so ednakvi imeniteli, t.e. . E G EG EG EG 2
Presmetaj ja vrednosta na izrazot . Sogledaj ja postapkata: NZS (8, 12) = 24.
3
4
.
§ ¡ § ¡ ¨ ¸ ; b) . Proveri ja to~nosta na ravenstvata: a) ¨ ¸ Š š Š š [to voo~uva{? Za sobiraweto na racionalni broevi va`i komutativno i asocijativno svojstvo. Presmetaj: Dropkite
a)
§ ¡ ¨ ¸ ; b) . Š š
D § D¡ D D i se sprotivni, pa ¨ ¸ E Š Eš E E
D D E E
D D E
E
. 33
Potseti se! Presmetaj: Voop{to:
a)
D F ˜ E G
˜ ; D˜F E˜G
B
b) ˜ .
Presmetaj go volumenot na kvadar so dimenzii:
cm, cm, a visina za 1 cm podolga od {irinata. Visinata e cm.
Za volumenot na kvadarot dobivame:
˜ ˜ ili 9
5
FP . ˜ ˜ , t.e. 9 Voo~i deka pri mno`ewe me{anite broevi gi pretvorame vo nepravilni dropki.
9
˜ ˜ , odnosno 9
6
§ ¡ Proveri ja to~nosta na ravenstvoto: a) ¨ ˜ ¸ ˜ Š š
7
Presmetaj na dva na~ini:
a)
§ ¡ ˜¨ ¸ ; Š š
§ ¡ ¨ ˜ ¸ Š š
b) ˜
˜
§ ¡ b) ¨ ¸ ˜ . Š š
Voo~i: Za mno`eweto na racionalni broevi va`i komutativnoto i asocijativnoto svojstvo. Mno`eweto na racionalni broevi e distributivno vo odnos na sobiraweto i odzemaweto. Presmetaj: a)
8
Voop{to:
˜ ; b) ˜ ; v) ˜ .
D D D D D E D , ako z . va`i: ˜ ; ˜ i ˜ E E E E E D E Dva broja ~ij proizvod e ednakov na 1 se vikaat recipro~ni broevi.
Za sekoja dropka
Na primer, dropkite i se recipro~ni, na recipro~en broj e , a na 5 recipro~en broj e . Odredi ja recipro~nata vrednost na brojot: 9 Potseti se!
b) ˜ Presmetaj: a) ; b) . D F D F F Ako � ] z toga{ koli~nikot E G E G G [ [ F e racionalen broj ako proizvodot ˜ e \ \ G D F [ [ F D D ednakov na t.e. samo ako ˜ E G \ \ G E E a)
34
V
10
Plo{tinata na pravoagolnikot
e P a edna negova strana e m. Odredi ja dol`inata na drugata strana. Od 3
D ˜ E , sleduva
˜ E pa
E P ili E ˜ t.e. E P
Zapomni! Koli~nikot na dve dropki e ednakov na proizvodot od delenikot i recipro~nata vrednost na delitelot, t.e. za sekoi dve dropki
11
§ ¡ ¨ ¸ ; Š š
Presmetaj: a)
Voo~i ja postapkata: a)
D F D F i , F z va`i E G E G
D G ˜ E F
D˜G E˜F
b) .
§ ¡ § ¡ ˜
¨ ¸ ˜¨ ¸ ; b) ˜ . Š š Š š ˜
Po koj redosled se izveduvaat operaciite? 12
; ; zapi{i gi vo vid na dropki. . Sogledaj go re{enieto: ; ; Koli~nicite:
Dropka na koja broitelot ili imenitelot e dropka se vika dvojna dropka.
13
Dvojnite dropki: a) Sogledaj go re{enieto: a)
b)
v) ˜ ˜
svedi gi vo obi~ni dropki. g) ˜ b) . ˜
;
Dvojna dropka ja pretvorame vo obi~na, taka {to proizvodot na nadvore{nite ~lenovi go zapi{uvame za broitel, a proizvodot na vnatre{nite ~lenovi za imenitel.
14
Presmetaj:
a)
b)
. v)
Zapomni! Sobiraweto, odzemaweto i mno`eweto na racionalnite broevi se operacii vo mno`estvoto na racionalnite broevi, t.e. ] e zatvoreno mno`estvo vo odnos na tie operacii. Deleweto e operacija vo mno`estvoto ] ? ^ ` . 35
Odredi go poluzbirot na broevite: a) 5 i 7;
15
b)
i 3;
v)
i .
˜ ˜ Re{enie: v) . D E Brojot V se vika aritmeti~ka sredina na broevite a i b. 16 Za broevite: a) 5 i 9; b) i odredi ja aritmeti~kata sredina i sporedi ja so dadenite broevi.
D E na racionalnite broevi a i b D E e pogolema od D E brojot a i pomala od brojot b, t.e. D E . Doka`i.
Aritmeti~kata sredina V
E D . D E D E Od D E Â&#x; D E E E Â&#x; D E E Â&#x; E . Ottuka sleduva: D E. Odredi najmalku pet broja {to se nao|aat me|u broevite 5 i 7. 17 Dokaz. Od D E Â&#x; D D E D Â&#x; D E D Â&#x; D
V
i V Prodol`i ja postapkata na ist na~in.
, bidej}i , sleduva deka V
, pa imame:
Zapomni! Me|u koi bilo dva racionalni broja ima racionalen broj, t.e. mno`estvoto na racionalnite broevi e gusto podredeno mno`estvo.
Zada~i 1
Presmetaj: a)
v) ˜ ;
2
4
; b) .
Odredi ja vrednosta na izrazite:
§ ¡ § ¡ § ¡ ; a) ¨ ¸ ; b) ¨ ¸ ¨ ¸ Š š Š š Š š
§ Š
v) ¨
36
¡ ¸ ˜ . š
Presmetaj:
a) ; b) ; v) . ˜
Presmetaj ja vrednosta na izrazite: a)
3
; b) ; g) .
5
Neka
D F P , i se koi bilo racionalni E G Q
broevi. Doka`i deka va`i ravenstvoto:
§D F¡ P ¨ ¸˜ ŠE G š Q
D P F P ˜ ˜ E Q G Q.
DECIMALNI BROEVI. OPERACII SO DECIMALNI BROEVI
10 Potseti se! Dropkite:
A
; i zapi{i gi kako
T, E, Z
Dropkite: a)
1
; b) ; v)
zapi{i gi kako decimalni broevi.
decimalen broj.
Voo~i ja postapkata.
Decimalnite broevi: 2,6; 3,25 i 0,625 zapi{i gi kako dropki. Decimalnite broevi se ~itaat: 3,5 kako 3 celi i 5 desetinki, 0,875 kako 0 celi i 875 iljaditi, 2,09 kako 2 celi i 9 stotinki.
a)
˜ ˜
v)
˜ ˜
;
Dropkata ~ij imenitel e dekadna edinica se vika decimalna dropka. Decimalna dropka zapi{ana bez imenitel se vika decimalen broj. 2
Zapi{i ja kako decimalen broj dropkata:
Voo~i! Dropka ~ij imenitel e delitel na nekoja dekadna edinica se pretvora vo kone~en decimalen broj. 3
Decimalnite broevi: a) 0,5; b) 2,35; v) 4,125 zapi{i gi kako dropki. Sogledaj ja postapkata: b)
Potseti se! Decimalnite broevi se zapi{uvaat vo dekaden broen sistem. Kako se sobiraat i odzemaat broevite vo dekadniot broen sistem?
. (Ako pravilno ~ita{, pravilno }e zapi{e{.)
B
4
Presmetaj go zbirot i razlikata
na decimalnite broevi 45,32 i 8,865. Re{enie. 45,320 + 8,865 54,185
45,320 - 8,865 36,455
Zapomni! Sobiraweto i odzemaweto sekoga{ zapo~nuvaat od cifrite {to se na prvata pozicija, oddesno vo brojot. Decimalnata zapirka treba da e na ista vertikala. 5
Presmetaj: a) ; b) . 37
Presmetaj go proizvodot i koli~nikot na broevite: i .
6
Sogledaj ja postapkata:
˜
50
+
Decimalnite broevi se mno`at kako {to se mno`at prirodnite broevi, a vo proizvodot se oddeluvaat onolku decimalni mesta kolku {to ima decimalni mesta vo dvata mno`iteli.
150
0
Pred da se zapo~ne deleweto na decimalnite broevi, delenikot i delitelot }e gi pomno`ime so nekoja dekadna edinica taka {to delitelot da stane cel broj. Potoa deleweto se izveduva kako {to se deli so priroden broj. Presmetaj:
7
a) ˜ ;
b) .
V
Potseti se! Dropkite
i zapi{i gi kako decima
8
Dropkite
; i pretvori
gi vo decimalen broj.
len broj.
So pomo{ na postapkata za delewe }e dobieme:
Koi dropki mo`at da se zapi{at kako kone~en decimalen broj?
;
;
Voo~i! Sekoja dropka mo`e da se pretvori vo kone~en ili beskone~en decimalen broj. Pretvori gi vo decimalni broevi dropkite:
9
;
; ; .
Voo~uva{ deka pri deleweto nekoj mo`en ostatok se povtoruva, a vo koli~nikot se povtoruva edna cifra ili grupa cifri vo ist redosled.
Mo`ni ostatoci pri delewe so 6 se: 0, 1, 2, 3, 4 ili 5, a pri delewe so 11 se: 0, 1, 2, ... ili 10. Cifrata ili grupata cifri {to se povtoruva se vika period na decimalniot broj i se ozna~uva: ; , se ~ita: edno celo i 27 vo period; tri celi, osum desetinki i tri vo period. Takvite broevi se vikaat periodi~ni decimalni broevi. 38
Za prethodnoto va`i slednoto tvrdewe: Sekoj racionalen broj mo`e da se pretvori vo periodi~en decimalen broj. Doka`i! Prosledi go dokazot: D Neka , E Â? ^ , e koj bilo racionalen broj. Pri deleweto na brojot a so b mo`ni ostatoci E se: E . Po najmnogu b ~ekori vo postapkata za delewe nekoj od ovie ostatoci mora da se povtori. Vo toj slu~aj vo koli~nikot }e nastane povtoruvawe na isti cifri vo ist redosled. Ako pri deleweto se dobie kone~en decimalen broj, toga{ so dopi{uvawe na kolku bilo nuli od desna strana, brojot ne se menuva, a toj stanuva periodi~en. Na primer: itn.
, mo`ni ostatoci se . Mo`eme da o~ekuvame povtoruvawe po najmnogu 13 ~ekori, me|utoa ovde povtoruvaweto se javuva po sedmiot ~ekor, t.e. .
Na primer,
Va`i i obratnoto tvrdewe. Sekoj periodi~en decimalen broj pretstavuva nekoja dropka, t.e. racionalen broj. 10
Periodi~nite broevi: a) i b) pretvori gi vo dropki. Prosledi go re{enieto. a) [ [
[ [
[
[
[ [
[
[
b) [
, t.e.
[
.
Zada~i 1
Zapi{i gi kako decimalni broevi:
4 Pretvori gi vo decimalen broj:
2
Zapi{i gi kako neskratlivi dropki: ; ; ; .
3
Presmetaj: a) ˜ ; b) ; v) ˜ ; g) ˜ .
5
Decimalnite broevi pretvori gi vo obi~ni dropki: a) ;
b) ;
v) ; g) .
39
11
REALNI BROEVI
Potseti se! Re{i ja ravenkata [
A
1
.
Kolku e stranata na kvadratot ~ija plo{tina e: a) 16 FP ;
Stranata na kvadratot e 3 cm. Presmetaj ja negovata plo{tina.
Od 3 D sleduva: a) D ; D
T, E, Z
b) 8 FP ?
Sogledaj go re{enieto:
cm. b) D
; D "
Dali postoi racionalen broj ~ij kvadrat e ednakov na 8? Voo~i deka ne postoi racionalen broj {to e meren broj na stranata na kvadratot ~ija{to plo{tina e FP bidej}i D Re{i ja ravenkata: a) [ ; b) [ ; v) [ . g) Presmetaj ja hipotenuzata na ramnokrak pravoagolen triagolnik so kateta 1 cm.
2
Voo~i deka ravenkite [ i [ nemaat re{enie vo mno`estvoto na racionalnite broevi. Isto taka, ne postoi racionalen broj c, {to e meren broj na dol`inata na hipotenuza i go zadovoluva ravenstvoto F .
Ovie i mnogu drugi problemi ne mo`at da se re{at vo mno`estvoto na racionalnite broevi, pa od tie pri~ini se nametnuva potreba za voveduvawe na novi broevi koi se vikaat iracionalni broevi. Mno`estvoto na iracionalnite broevi go ozna~uvame so . Iracionalni broevi se: So kalkulator imame:
3
, S ;
i drugi.
Voo~i deka toa se beskone~ni neperiodi~ni decimalni broevi, bidej}i ako nekoj od niv e periodi~en, toaga{ toj e racionalen broj. I broevite ; se iracionalni broevi. Zapomni! Sekoj beskone~en neperiodi~en decimalen broj e iracionalen. Iracionalnite broevi zaedno so racionalnite, go formiraat mno`estvoto na realni broevi {to go ozna~uvame so Z , t.e. Z ) ] . 40
4
Na crte`ot so Venov dijagram pretstaveni se mno`estvata: ^ [ ] i Z
^
Odredi ja vistinitosnata vrednost na iskazite: a)
^ÂŽ[;
] ‡ ; d) Z 5 ] . v)
5
b) g)
[ ] [; Z ])[ ;
Koj broj e pogolem: a) Re{enie. a)
[
;
ili
]
Z ; b)
ili
, sleduva
; v) ili !
B
Potseti se! Me|u koi bilo dva racionalni broja postoi racionalen broj. Mno`estvoto na racionalnite broevi e gusto podredeno. Dali na brojnata oska ima mesto za iracionalnite broevi?
?
. 6
Stranite na pravoagolnik se D cm i E cm. Odredi ja
dol`inata na negovata dijagonala. Voo~i. Pri izbrana merna edinica dol`inata na sekoja otse~ka se izrazuva so pozitiven realen broj. Va`i i obratno, za koj bilo pozitiven realen broj postoi otse~ka ~ija dol`ina e toj broj.
Vo vrska so pra{aweto postaveno vo „potseti se”, mo`eme da odgovorime: na brojnata oska ima mesto za sekoj iracionalen broj. 7
Na brojnata oska odredi ja to~kata {to e pridru`ena na iracionalniot broj: ;
; .
Na brojot }e mu pridru`ime otse~ka {to e hipotenuza na ramnokrak pravoagolen triagolnik so kateta ednakva na 1. Raboti spored barawata: Na brojnata oska konstruiraj ramnokrak pravoagolen triagolnik so kateta 2$ Dol`inata na hipotenuzata, spored Pitagorovata teorema e , prenesi ja na brojnata oska levo i desno od to~kata O. Nad otse~kata ednakva na 1.
1
-1
0
1 A 1
2
3
, kako kateta, konstruiraj pravoagolen triagolnik ~ija vtora kateta e
Hipotenuzata na noviot pravoagolen triagolnik e so dol`ina
. 41
Prenesi ja otse~kata
na brojnata oska desno od to~kata O.
Ovoj na~in na odreduvawe na to~kite {to odgovaraat na iracionalnite broevi se vika geometriska konstrukcija na broj. Zapomni! Na sekoja to~ka od brojnata oska mo`e da i se pridru`i to~no eden realen broj, i obratno, na sekoj realen broj mo`e da mu se pridru`i to~no edna to~ka na brojnata oska, t.e. me|u to~kite od brojnata oska i mno`estvoto na realnite broevi mo`e da se vospostavi zaemno ednozna~no soodvetstvo. Na brojnata oska pretstavi gi broevite: a)
8
Potseti se!
b)
V
Re{i ja neravenkata: a) [ ; b) [ t vo mno`estvoto na realnite broevi.
v)
Dadeni se realnite broevi i 1.
9
Na brojnata oska odredi gi to~kite {to se pridru`eni na dadenite realni broevi.
Dobienoto re{enie zapi{i go vo vid na interval.
Na brojnata oska odredi gi realnite broevi {to se nao|aat me|u broevite i 1.
Ako x e koj bilo realen broj, toga{ konjunkcijata [ ! i [ }e ja zapi{eme na sledniov na~in: [ , zna~i deka na brojot x mu se pridru`uvaat site realni broevi koi se nao|aat me|u broevite i 1. Na brojnata oska toa go pretstavuvame vaka:
1234567890 1234567890 12345678901234567890123456789012345678901212345678901234 1234567890 1234567890123456789012345678901212345678901234 12345678901234567890123456789012345678901212345678901234 1234567890 -2
-1
0
1
a ozna~uvame: ^ [ [ Â? Z [ ` ili [ Â? . Kolku realni broevi ima {to se nao|aat me|u broevite i 1? Mno`estvoto od site realni broevi {to se nao|aat me|u dva dadeni broja a i b, D E , se vika interval. Broevite a i b se vikaat kraevi na intervalot. Vo zavisnost od toa dali kraevite na intervalot mu pripa|aat na mno`estvoto ili ne mu pripa|aat, mo`ni se slednite vidovi intervali:
1.
a
D E ^ [ 42
1234567890123456789012345678901212345 12345678901 12345678901234567890123456789012123451234567890 12345678901 1234567890123456789012345678901212345 12345678901234567890123456789012123451234567890
0
b
[ Â? Z D [ E` - otvoren interval.
> 2.
@
12345678901234567890123456789012123451234567890 1234567890 12345678901234567890123456789012345678901212345 12345678901234567890123456789012123451234567890 1234567890123456789012345678901212345
a
> D E@ ^ [
0
[ Â? Z D d [ d E` - zatvoren interval.
>
3.
b
1234567890 1234567890 12345678901234567890123456789012345678901212345 1234567890 1234567890123456789012345678901212345 1234567890123456789012345678901212345 a
> D E ^ [
0
b
[ Â? Z D d [ E` - poluotvoren interval oddesno.
@ 1234567890 12345678901 12345678901234567890123456789012345678901212345678901234567890 12345678901 1234567890123456789012345678901212345678901234567890 1234567890123456789012345678901212345678901234567890
4.
D
D E@ ^ [
E
[ Â? Z D [ d E` - poluotvoren interval odlevo.
Ako [ ! D D Â? Z , toga{ mno`estvoto ^ [ [ Â? Z [ ! D` , ili kratko D f se interval beskone~en oddesno. Ako [ d D D Â? Z , toga{ mno`estvoto ^ [ [ Â? Z [ d D` , ili kratko f D @ . se vika intervalot beskone~en odlevo.
Zapi{i go intervalot {to e pretstaven na brojnata oska.
10 a)
b)
123456789012345 123456789012345
-1
0
0
1234567890123456 1234567890123456 1234567890123456
2
Na brojna oska pretstavi gi intervalite:
11
a) ; b) @ ; v) > ; g) > @ ;
Zada~i 1
5 Zapi{i gi pokratko intervalite:
Koi od slednive iskazi se vistiniti: a)
^ Â? Z ; b) ] Â? Z ; v) ] Â? ; g) [
‡?
2 Koj broj e pogolem: a) S ili ili v) ili " b) 3 Odredi na brojna oska to~ka {to odgovara na brojot: a)
d) f .
; b) ; v) ; g) .
4 Pretstavi gi na brojna prava intervalite: ª ¡ a) > @ ; b) ; v)  ¸ ; g) f @ .  š
^ Z ` v) ^ [ [ Â? Z [ t ` .
^
Z
`
a) [ [ Â? d [ ; b) [ [ Â? [ d ;
6 Na brojna prava pretstavi go presekot na intervalite:
a) > i > @
b) @ i
v) f i > f
7 Odredi ja unijata na intervalite: a) @ i ;
b) @ i > @ ;
v) f i > f .
43
12
PRIBLI@NI VREDNOSTI I OPERACII
T, E
A
Pri re{avawe na u~ili{nite zada~i se pretpostavuva deka podatocite so koi rabotime imaat to~ni vrednosti na soodvetnite veli~ini. Vo praksa, pri merewe na soodvetni veli~ini (dol`ina, plo{tina, vreme, pritisok i dr.) naj~esto e nevozmo`no da se dojde do to~niot rezultat na mereweto, t.e. imame samo pribli`na vrednost na merenata veli~ina. I pri rabotata so iracionalnite broevi, zapi{ani kako decimalen broj, iracionalnite broevi gi zamenuvame so pribli`ni vrednosti. Bidej}i ne mo`eme da ja znaeme to~nata vrednost na merenata veli~ina se postavuva pra{awe dali mo`eme da ja odredime goleminata na gre{kata koja ja pravime pri mereweto. Na primer, pri mereweto na nekoja dol`ina dobiena e vrednost od 475 cm. Dobienata vrednost e so to~nost od 1 cm, zna~i gre{kata ne e pogolema od 1 cm, pa vo toj slu~aj to~nata vrednost na dol`inata e me|u FP L FP t.e. vo intervalot > FP FP @ Sekoja vrednost od intervalot na primer: 474 cm; 474,6 cm; 475,6 cm e pribli`na vrednost na merenata dol`ina. Vakvoto merewe naj~esto se zapi{uva na sledniov na~in r FP 1
Zapi{i nekolku pribli`uvawa koi brojot
ako
Â? > @
Nekoi pribli`uvawa se: 1,41; 1,42; 1,425; 1,49; 1,499, itn., ili pribli`uvawe e sekoj realen broj {to pripa|a vo intervalot > @
B
Edno pribli`uvawe ima prakti~no zna~ewe samo ako mo`eme da odredime za kolku toa otstapuva od to~nata vrednost. Ako D e nekoe pribli`uvawe na to~niot broj a, toga{ brojot
D D se vika apsolutna gre{ka na pribli`uvaweto D . To~niot broj a ne go znaeme, naj~esto go znaeme eden negov pomal ili pogolem pribli`en broj. Vo sekoj slu~aj ne mo`eme to~no da ja odredime apsolutnata gre{ka, koja }e ja ozna~ime so ' (se ~ita delta), no zatoa mo`eme da izvr{ime procenka za goleminata na gre{kata. 2
Izvr{i procenka na apsolutnata gre{ka ako
Â? > @
Ako za pribli`en broj odbereme 1,41 ili 1,42 ili koj bilo broj me|u dvata, apsolutnata gre{ka ne mo`eme to~no da ja odredime. Me|utoa, mo`eme da izvr{ime procenka na gre{kata. 44
Brojot D Â? > @ i pribli`niot broj a1 e vo istiot interval, t.e. D Â? > @ vidi go crte`ot.
0
1,41
a
a1
1,42
Brojot D D pretstavuva oddale~enost na to~kite {to odgovaraat na a i a1. Bidej}i to~kite a i a1 se me|u 1,41 i 1,42 toga{ va`i neravenstvoto D D d t.e. apsolutnata gre{ka ' d Brojot ' e gorna granica na apsolutnata gre{ka. Vo op{t slu~aj apsolutnata gre{ka ne e pogolema od nekoj broj ' t.e. D D d ' Brojot ' se vika ocenka za apsolutnata gre{ka. Neravenstvoto D D d ' mo`eme da go zapi{eme i vo oblikot: D ' d D d D ' ili D D r ' i dvata zapisi ozna~uvaat deka D Â? D ' D ' Masata na eden predmet e r kg. Odredi go intervalot vo koj se nao|a masata na predmetot.
3
To~nosta na mereweto e J NJ pa gre{kata ne e pogolema od NJ t.e. W d pa NJ d W d NJ t.e. NJ d W d NJ Dol`inata na edna ulica e G r P Zapi{i tri pribli`uvawa kon d i oceni ja apsolutnata gre{ka za sekoj od niv.
4
G Â? G Â? D G P G
toga{: G G
V
5
d P G G
P G
P se tri pribli`uvawa,
d P G G d P
Izmereni se dve dol`ini G e poto~no.
P
i G
P
Odredi koe merewe
Vo dvete merewa napravena e ista apsolutna gre{ka P GP Voo~i, vtoroto merewe e poto~no, bidej}i apsolutnata gre{ka od P GP e napravena na pogolema dol`ina. Zna~i, apsolutnata gre{ka ne e dobar pokazatel za ocenkata na to~nosta na mereweto. Od D D tie pri~ini se voveduva druga ocenka na gre{kata nare~ena relativna gre{ka, G D pri {to a e to~niot broj, a a1 e pribli`niot broj. Vo prethodnite merewa relativnata gre{ka e: G
GP P
D G
GP P
O~igledno mereweto e poto~no ako relativnata gre{ka e pomala. Relativnata gre{ka ~esto pati se iska`uva vo procenti, vo toj slu~aj taa se vika procentna gre{ka, G SU G ˜ Vo primerot: G SU
˜ D G SU
˜
45
Vo edno bure e preturena te~nost so volumen 9 gre{ka pri preturaweto?
6
r ?
Kolkava e relativnata
To~no ne znaeme kolku te~nost e preturena vo bureto, no znaeme deka taa e vo intervalot W H litri. Najblisku do to~noto preturawe sekako e aritmeti~kata sredina
G
litri, pa
zna~i G a G SU |
Brzinata na edno vozilo 9 NP K so relativna gre{ka Kolkava e apsolutnata gre{ka i vo koi granici e brzinata na voziloto?
7
Od formulata G
9 9
9 Â? NP K
G
sleduva 9 9
˜ NP K pa d 9 d t.e.
Pri rabota so broevi {to imaat golem broj cifri, ~esto se slu~uva potreba da se raboti so pomal broj na cifri, t.e. da se izostavat del od cifrite na broevite.
Na primer, a) dve;
9
brojot S zaokru`i go na: b) ~etiri; v) {est decimalni mesta.
Zaokru`uvaweto se vr{i spored slednoto pravilo: Ako prvata izostavena cifra e 0, 1, 2, 3 ili 4, toga{ drugite cifri od brojot {to go zaokru`uvame gi ostavame neizmeneti. Ako, pak, prvata otfrlena cifra e 5, 6, 7, 8 ili 9, toga{ poslednata zaokru`ena cifra od brojot ja zgolemuvame za 1. a)
| S |
b)
| S |
v)
| S |
Treba da se ima predvid deka zaokru`enite broevi se pribli`ni vrednosti na tie broevi. So zaokru`uvaweto se pravi odredena gre{ka. Gre{kata e pogolema dokolku brojot e zaokru`en na pomal broj decimali. Kolku e gre{kata ako brojot 17,283 se zaokru`i na dve decimali.
8
Bidej}i d zna~i gre{kata ne e pogolema od 5 iljaditi, t.e. polovina od edna stotinka: ˜ pa d ˜
Apsolutnata gre{ka e
46
Pri zaokru`uvawe na tri decimali, apsolutnata gre{ka ne e pogolema od pri zaokru`uvawe na ~etiri decimali taa ne e pogolema od
˜
˜
Voop{to pri zaokru`uvawe na n decimali apsolutnata gre{ka ne e pogolema od
˜ Q
Neka DS e cifrata od deseti~niot zapis na pribli`niot broj D Za cifrata DS velime deka e to~na (zna~ajna) cifra na brojot D ako apsolutnata gre{ka ne e pogolema od
˜ S t.e.
D D d ˜ S
Na primer vo brojot D so apsolutna gre{ka cifrite 5 i 3 se to~na cifra, bidej}i D d ˜ a cifrata 7 ne e to~na bidej}i D d ˜ Vo brojot D | so apsolutna gre{ka samo prvite tri cifri se to~ni, bidej}i D d ˜ Da pretpostavime deka e dobieno pribli`uvawe D kon nekoja veli~ina a, za koja{to znaeme deka _ D D _ d Dadeniot podatok ni ka`uva deka tretata decimala ne e sigurno to~na cifra i gre{kata nema da se izmeni ako brojot D go zaokru`ime na tri decimali, t.e. D
Poradi toa, nesigurnite decimali na pribli`uvaweto (vo ovoj broj se 8, 6, 3) nema smisla da se zapi{uvaat. Ponatamu pri zapi{uvawe na edno pribli`uvawe, brojot }e se zapi{uva samo so negovite to~ni cifri. Na primer vo broevite 27,6; 1,4142; 3,00 site cifri se to~ni. Voo~i, apsolutnata gre{ka soodvetno e: 0,05; 0,00005; 0,005.
D b)
9
Presmetaj: a)
so dve decimali; a)
so dve decimali; v)
so tri decimali.
b) v)
Vo zbirot, odnosno razlikata treba da ima tolku to~ni cifri kolku {to ima vo sobirocite. 47
Presmetaj ja plo{tinata na podot na edna pravoagolna u~ilnica ~ii dimenzii se P i P
10
3 ˜ P Bidej}i dimenziite se so po tri to~ni cifri, zna~i i plo{tinata treba da ima tri to~ni cifri, pa 3 P Proizvodot treba da ima pribli`no tolku to~ni cifri kolku {to ima mno`itelot so najmal broj to~ni cifri.
Odredi ja dol`inata na pravoagolnikot ~ija plo{tina e P a {irinata e P
11
3 E P Bidej}i plo{tinata ima dve to~ni mesta, D pa stranata b treba da ima isto tolku cifri, t.e. E P
Od 3
D ˜ E sleduva E
Stranite na pravoagolnikot se D r FP E r FP Odredi gi perimetarot i plo{tinata na pravoagolnikot i proceni ja gre{kata.
12
Voo~i, decimalite ne se zaokru`eni broevi, pa imame:
d D d d E d d D E d d D E d a
˜ d / d ˜ t.e. d / d Za pribli`na vrednost na perimetarot }e ja zememe aritmeti~kata sredina, t.e.
/
FP a apsolutnata gre{ka ne e pogolema od
˜ d D ˜ E d ˜ d D ˜ E d 3
48
D ˜E
FP D '
FP
Zada~i 1
Oceni ja relativnata gre{ka za podatocite:
r FP b) volumen 9 r FP v) brzina 9 r NP K g) napon 8 r 9 a) dol`ina D
2
Vo slednive pribli`uvawa presmetaj ja apsolutnata i relativnata gre{ka: a) | b) | v) |
7 Presmetaj na tri zna~ajni cifri.
Smetaj so ~etiri zna~ajni cifri, a rezultatot zaokru`i go na tri.
8 Presmetaj na tri decimali: a) b) v) S g)
4
5
Naponot U na elektri~nata mre`a e 220 V so relativna gre{ka 6%. Vo koi granici e naponot? Odredi koi cifri se to~ni vo slednovo pribli`uvawe: a) 32,479 (0,5); b) 0,53 (0,05); v) 12756,8 (50). Oceni ja apsolutnata gre{ka na pribli`uvaweto: a) 1,41; b) ˜ b) 0,0000179, (ako site zapi{ani cifri se to~ni).
d) ˜ S
9 Presmetaj: a)
3
so to~nost 0,001;
b) ˜ so to~nost
10 Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na pravoagolnik so osnova D FP i visina E FP 11 Stranite na pravoagolnikot se r FP r FP Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata i proceni ja gre{kata.
12 Neka D r E r Presmetaj ja vrednosta na izrazot:
6
Zaokru`i gi dadenite broevi na tri zna~ajni cifri: a) 1,732; 3,4251; b) 12783; 149500000; 1391100.
a) D E b) D E v) D E g) i proceni ja gre{kata.
D E
49
13
TEMATSKI KONTROLNI ZADA^I
Vo zada~ite eden i samo eden od ponudenite odgovori e to~en. Odredi koj e toj. 1
T, E, Z Vrednosta na izrazot e: b) 10;
a)
2
v) 2;
g)
T, E, Z Vrednosta na izrazot §¨ ¡¸ ˜ e: Š š a) b) v)
g)
3
T, E
NZS e: a) 42;
4
T, E
Brojot 17 preveden vo binaren broen sistem e: a) 100012;
b) 100102;
b) 63;
v) 98;
v) 101012;
g) 126.
g) 110002.
5
T, E
Brojot 1111012 prevedi go vo dekaden broen sistem.
6
T, E
Presmetaj ja vrednosta na izrazot
7
T, E, Z Presmetaj ja vrednosta na izrazot §¨ ¡¸ š Š
8
T, E, Z Decimalniot broj zapi{i go kako dropka.
9
T, E, Z Podredi gi po golemina broevite:
10 T, E, Z Izvr{i gi operaciite so intervalite: a) > @ T, E
11
50
ˆ @
b) @
ˆ>
v) >
‡>
Ako P _ D š P _ E š D ! E WRJD^ P _ D E Doka`i.
TEMA 2
GEOMETRISKI FIGURI VO RAMNINA
T
SODR@INA NA TEMATA
1
Osnovni i izvedeni poimi i tvrdewa. Zaemen odnos na to~ka i prava, to~ka i ramnina ...............
6
Vektori. Kolinearni vektori. Ednakvi vektori ...........................
72
7
Sobirawe i odzemawe na vektori ............................................
75
52
2
Zaemen odnos na prava i ramnina i na dve ramnini .............................
56
3
Zaemen odnos na dve pravi ..........
60
8
Mno`ewe na vektor so broj .........
79
4
Agol, iskr{ena linija, mnoguagolnik ..................................
62
9
Primena na vektori .....................
80
5
Kru`nica i krug .............................
67
10 Tematski kontrolni zada~i ......
82
51
1
OSNOVNI I IZVEDENI POIMI I TVRDEWA. ZAEMEN ODNOS NA TO^KA I PRAVA, TO^KA I RAMNINA
A
Geometrijata e edna od najstarite matemati~ki disciplini. Poteknuva od vremeto na drevnite kulturi na Sumerite i Egip}anite, a najgolemiot podem go dostignuva vo vremeto na gr~kiot matemati~ar Evklid (okolu 300 godini pred novata era), poznata kako evklidska geometrija. Pri izgradbata na evklidskata geometrija vo ramnina se trgnuva od nekoi osnovni poimi. Vo dosega{noto {koluvawe si izu~uval mnogu poimi od geometrijata, na primer: to~ka, prava, triagolnik, kvadrat, kru`nica, krug, kocka itn. Nekoi od niv se definiraat so pomo{ na drugi poznati poimi, a nekoi ne se definiraat. Poimite {to ne gi definirame, a gi objasnuvame so naveduvawe na primeri se vikaat osnovni poimi i so nivna pomo{ definirame drugi poimi. Zapomni! Osnovnite poimi ne se definiraat. Ovde kako osnovni poimi }e gi zememe poimite: to~ka, prava, ramnina i rastojanie. Site drugi poimi se izvedeni ili definirani poimi. Primer. Mno`estvoto od site to~ki vo edna ramnina {to se na isto rastojanie od dadena to~ka vo taa ramnina se vika kru`nica. Voo~i deka poimot kru`nica e napolno objasnet so edna re~enica vo koja{to logi~ki se povrzani poimite: mno`estvo od to~ki, rastojanie, ramnina i dadena to~ka. Zapomni! Re~enicata so koja{to se osmisluva eden poim i se sogleduva negovata sodr`ina preku drugi poznati poimi, se vika definicija. Vo matematikata osnoven poim e poimot mno`estvo. Na primer, mno`estvoto realni broevi, mno`estvoto u~enici vo tvojata paralelka, mno`estvoto knigi vo tvojot ranec itn. Vo geometrijata }e go razgleduvame beskone~noto mno`estvo od to~ki, koe }e go ozna~uvame so a negovite elementi, t.e. to~kite so A, B, C,... Razli~nite bukvi A i B, voobi~aeno ozna~uvaat dve razli~ni to~ki. Ako bukvite A i B se oznaki za edna ista to~ka, pi{uvame $ { % Zapomni! Sekoe podmno`estvo od se vika geometriska figura ili samo figura. 52
Samoto mno`estvo kako i sekoe ednoelementno podmno`estvo ^ $` od se figuri, a figurata se vika prostor. Pravata i ramninata, isto taka, se podmno`estva na prostorot t.e. tie se geometriski figuri. Pravite gi ozna~uvame so malite bukvi a, b, c,..., a ramninite so bukvite S 6 D E : od gr~kata azbuka. Sekoe mno`estvo od to~ki vo ramnina se vika ramninska geometriska figura. Triagolnikot, kvadratot, kru`nicata se ramninski geometriski figuri, a to~kata, pravata i ramninata se osnovni geometriski figuri.
B
Geometrijata ima zada~a da gi izu~uva svojstvata na geometriskite figuri i nivnite zaemni odnosi. Svojstvata i odnosite naj~esto se iska`uvaat vo vid na tvrdewa, t.e. to~ni iskazi, koi se doka`uvaat spored zakonite na logikata ili se prifa}aat za to~ni bez dokaz. Sli~no kako pri voveduvawe na osnovnite poimi, imame osnovni tvrdewa i tie se prifa}aat za to~ni bez doka`uvawe. Zapomni! Tvrdewata {to gi prifa}ame za to~ni bez dokaz se vikaat osnovni tvrdewa ili aksiomi. Site drugi tvrdewa se doka`uvaat i se vikaat izvedeni tvrdewa ili teoremi. Teoremite mo`e da se iska`uvaat vo vid na implikacija - uslovna forma ili vo kategori~na forma. Na primer, teoremata „Ako ~etiriagolnikot e romb, toga{ negovite dijagonali se zaemno normalni” e iska`ana vo uslovna forma. Kategori~nata forma na istata teorema glasi: „Dijagonalite na rombot se zaemno normalni”. Vo sekoja teorema treba da gi prepoznava{: 10 uslovite pod koi se razgleduva objektot, tie uslovi ja so~inuvaat pretpostavkata; 20 tvrdeweto za tie objekti, t.e. zaklu~okot ili tezata. Aksiomite }e gi ozna~uvame so A1, A2, A3, ..., a teoremite so T1, T2, T3, ...
V A1
Me|usebnite odnosi na osnovnite geometriski figuri se iska`uvaat so slednive osnovni tvrdewa ili aksiomi. Na sekoja prava le`at beskone~no mnogu to~ki, a ima i to~ki {to ne le`at na taa prava. C
Na crte`ot se pretstaveni prava i nekolku to~ki. Odredi ja vistinitosnata vrednost na iskazite: a) $ Â? D b) ' Â? D v) % Â? D
g) ( Â? D d) & Â? D
A
D B
a
E G
53
Ako A e dadena to~ka i a e dadena prava, toga{ to~kata A mo`e da i pripa|a na pravata a $ Â? D ili da ne i pripa|a na pravata a $ Â? D Ako $ Â? D toga{ velime deka to~kata A le`i na pravata a ili pravata a minuva niz to~kata A. To~kite {to le`at na ista prava se vikaat kolinearni to~ki.
A2
Niz koi bilo dve razli~ni to~ki minuva edna i samo edna prava.
Zborovite „edna i samo edna” ozna~uvaat isto {to i „to~no edna” ili „edna edinstvena”. Od aksiomata A2 sleduva deka koi bilo dve to~ki se kolinearni. Pravata {to minuva niz dve razli~ni to~ki A i B }e ja imenuvame prava AB. Ponatamu }e doka`eme nekoi teoremi koi{to neposredno sleduvaat od prifatenite aksiomi.
T1
Vo prostorot postojat barem tri nekolinearni to~ki.
Dokaz. Neka A i B se dve razli~ni to~ki i neka a e prava {to minuva niz niv. Spored A1 postoi to~ka C {to ne le`i na pravata a. Zna~i, to~kite A, B i C ne se kolinearni to~ki.
T2
Niz sekoja to~ka minuvaat beskone~no mnogu pravi.
Dokaz. Neka A e proizvolna to~ka, a B i C se to~ki {to ne se kolinearni so to~kata A. Spored A2, niz to~kite B i C minuva edinstvena prava, na koja{to A spored A1 le`at beskone~no mnogu to~ki. Niz sekoja to~ka X od pravata BC i to~kata A minuva edinstvena prava x. Bidej}i na pravata BC ima beskone~no mnogu to~ki, sleduva deka niz C X B to~kata A minuvaat beskone~no mnogu pravi. x 1
Dali poimite „pravata AB ” i „pravata BA ” opredeluvaat edno isto mno`estvo to~ki?
2
Neka A e proizvolno dadena to~ka. Poka`i deka postojat to~ki B i C, takvi {to to~kite A, B i C ne se kolinearni. a Re{enie. B Neka B e to~ka razli~na od A. Toga{ spored A2, to~kite A i B opredeluvaat edna prava a. Spored A1, postojat to~ki {to ne le`at na pravata a, pa neka C e edna takva to~ka. Zna~i, to~kite A, B i C ne se kolinearni.
3
A
C
Kolku pravi opredeluvaat to~kite A, B, C i D, ako tri od niv se kolinearni?
54
G
Me|usebnata polo`ba na to~ka i ramnini ja iska`uvame so slednive aksiomi.
A3
Na sekoja ramnina le`at barem tri nekolinearni to~ki, a postojat i to~ki {to ne pripa|aat na istata ramnina.
A4
Niz tri nekolinearni to~ki minuva samo edna ramnina.
Od ovie dve aksiomi sleduva deka pravata a i ramninata 6 se dve razli~ni vistinski podmno`estva od prostorot
T3
Vo prostorot postojat barem ~etiri to~ki {to ne le`at vo ista ramnina.
Dokaz. Spored T1, vo prostorot postojat barem tri nekolinearni to~ki A, B i C, koi spored A4 opredeluvaat edna ramnina 6 Spored A3, sigurno postoi to~ka D {to ne le`i na ramninata 6 Zna~i, to~kite A, B, C i D ne le`at vo ista ramnina.
123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890
A
B
C
D
To~kite {to le`at na edna ista ramnina se vikaat komplanarni to~ki. 4
Neka A e proizvolna to~ka. Poka`i deka postojat to~ki B, C i D, taka {to to~kite A, B, C i D ne le`at na ista ramnina. Re{enie. Ako A e proizvolna to~ka, toga{ postojat to~ki B i C, takvi {to to~kite A, B i C ne se kolinearni, vidi zada~a 2. So to~kite A, B i C e opredelena edna ramnina 6 { $%& Spored A3, postoi to~ka D, taka {to ' Â? 6 Ottuka sleduva deka to~kite A, B, C i D ne le`at vo ista ramnina.
5
Zamisli i nacrtaj figura vo prostorot od: a) ~etiri nekomplanarni to~ki; b) pet to~ki, taka {to koi bilo ~etiri od niv da ne se komplanarni. Re{enie. D a) Triagolnikot ABC i to~kata D {to ne le`i na ramninata na triagolnikot (crte`). b) Proizvolen triagolnik ABC i to~ki D i E {to le`at na razli~ni A strani vo odnos na ramninata na triagolnikot ABC.
T4
C B
Niz sekoja to~ka minuva barem edna ramnina.
Dokaz. Neka A e proizvolna to~ka. Postojat to~ki B i C niz koi{to minuva prava a. Spored A1, postojat to~ki {to ne pripa|aat na taa prava, neka e toa to~kata A. To~kite A, B i C se nekolinearni, pa spored A4, tie opredeluvaat edinstvena ramnina, {to zna~i niz to~kata A minuva barem edna ramnina. 55
6
Neka A e proizvolna to~ka. Poka`i deka postoi barem edna ramnina 6 {to ne minuva niz to~kata A. Zborovite „barem edna” zna~at deka ima „najmalku edna” {to go zadovoluva uslovot, a ne ja isklu~uvaat mo`nosta deka ima i „pove}e od edna”, so {to, pak, e zadovolen uslovot. Figurata obrazuvana od edna prava i site to~ki od ramninata {to le`at na ista strana od pravata se vika poluramnina. Poluramninata e opredelena so svojot rab i edna svoja to~ka {to ne le`i na rabot.
Potseti se! Na crte`ot se dadeni pravata a i to~kite A, B i C koi{to ne le`at na pravata a.
B
A
a
C
Ako otse~kata AB i pravata a nemaat zaedni~ka to~ka, toga{ velime deka to~kite A i B se od ista strana na pravata a. To~kite B i C se od razli~ni strani na pravata a.
Zada~i 1
Poka`i deka so ~etiri razli~ni to~ki se opredeleni edna, ~etiri ili {est pravi.
2
Poka`i deka so pet razli~ni to~ki se opredeleni edna, pet, {est, osum ili deset pravi.
3
Nacrtaj edna ~etiriagolna piramida i odredi koi nejzini temiwa se: a) kopmlanarni to~ki; b) nekomplanarni to~ki.
a
B
6
$ Â? D i $Â?6 % Â? D i % Â? 6 Kakva zaemna polo`ba imaat pravata a i ram-
A5 56
4
Neka A, B, C i D se to~ki, takvi {to koi bilo tri od niv ne se kolinearni. Kolku ramnini opredeluvaat tie to~ki?
5
Neka A, B, C, D i E se pet to~ki, takvi {to koi bilo tri od niv ne se kolinearni. Poka`i deka tie opredeluvaat edna, sedum ili deset ramnini.
A
Potseti se!
ninata 6 "
a
ZAEMEN ODNOS NA PRAVA I RAMNINA I NA DVE RAMNINI
2
A
A
Vo prethodnata lekcija vidovme deka pravata a i ramninata 6 se dve razli~ni mno`estva to~ki. Ako sekoja to~ka X od pravata a pripa|a i na ramninata 6 toga{ velime deka pravata a le`i na ramninata 6 ili deka ramninata 6 minuva niz pravata a. Odnosot me|u prava i ramnina e iska`an so aksiomata:
Ako dve to~ki A i B od pravata a le`at na ramninata 6 toga{ i pravata a le`i na ramninata 6
Spored toa, pravata a i ramninata 6 mo`e: a) da nemaat zaedni~ka to~ka, t.e. D 6 ‡ crt. a); b) da imaat samo edna zaedni~ka to~ka, t.e. D 6 ^ $` crt. b); v) sekoja to~ka od pravata a da le`i na ramninata, t.e. D 6 D crt. v).
ˆ
a
a)
6
b)
a A
ˆ 6
ˆ
v)
a
6
Zapomni! Pravata a i ramninata 6 {to nemaat zaedni~ka to~ka ili pravata a {to le`i na ramninata 6 se paralelni; ozna~uvame: D % 6 Pravata a i ramninata 6 {to imaat samo edna zaedni~ka to~ka A se se~at, t.e. pravata a ja proboduva ramninata 6 vo to~kata A. Da razgledame nekoi teoremi za zaemniot odnos na prava i ramnina.
T5
Na sekoja ramnina 6 le`i barem edna prava.
Dokaz. Spored A3, na ramninata 6 le`at barem dve to~ki. Neka se toa to~kite A i B. Spored A2, niz to~kite A i B minuva edinstvena prava a. To~kite A i B le`at na pravata a i na ramninata 6 pa spored A5, pravata a le`i na ramninata 6
T6
Ako A e to~ka {to ne le`i na pravata a, toga{ postoi edna i samo edna ramnina 6 {to minuva niz to~kata A i pravata a.
Dokaz. Spored A2, na pravata a le`at barem dve to~ki B i C. A C B Bidej}i $ Â? D sleduva deka to~kite A, B i C ne se kolia nearni, pa spored A4, tie opredeluvaat edna ramnina, 6 Zna~i, niz to~kata A i pravata a minuva barem edna ramnina. Neka 6 e proizvolna ramnina {to minuva niz to~kata A i pravata a. Bidej}i ramninata 6 minuva niz nekolinearnite to~ki A, B i C, spored A4 sleduva deka ramninite 6 i 6 se sovpa|aat. 1
Poka`i deka vo sekoja ramnina 6 le`at barem tri razli~ni pravi. Ramninata 6 sodr`i tri nekolinearni to~ki (A3) koi{to opredeluvaat tri razli~ni pravi (A2). Bidej}i sekoja od ovie pravi so ramninata ima dve zaedni~ki to~ki, spored A5 sleduva deka tie le`at na ramninata 6
2
Doka`i deka niz dadena prava a minuvaat beskone~no mnogu ramnini.
57
Dokaz. Spored A2, na pravata a postojat to~ki A i B. Spored A1, postoi to~ka & Â? D pa to~kite A, B i C ne se kolinearni, a spored A4, tie opredeluvaat edna ramnina 6 Vo prostorot ima beskone~no mnogu to~ki {to ne le`at na pravata a, pa spored T6 pravata a i sekoja to~ka X, ; Â? D opredeluvaat edna ramnina. Zna~i, niz pravata a minuvaat beskone~no mnogu ramnini. Dadeni se: a) edna to~ka; b) dve to~ki; v) tri to~ki. Kolku ramnini vo prostorot ima {to gi sodr`at dadenite to~ki?
3
a) beskone~no mnogu; b) beskone~no mnogu; v) edna ili beskone~no mnogu, vo zavisnost od toa dali trite to~ki ne se kolinearni ili se kolinearni.
B T7
Za da go sogledame me|usebniot odnos na dve ramnini, }e ja razgledame slednava teorema: Postojat barem dve ramnini {to imaat zaedni~ka prava.
Dokaz. Spored T3, vo prostorot postojat ~etiri to~ki {to ne le`at vo ista ramnina. Neka se toa to~kite A, B, C i D. Spored A4, so to~kite A, B i C e opredelena ramnina 6 a so to~kite A, B i D e opredelena ramnina 6 Pravata $% D ima dve zaedni~ki to~ki so ramninata 6 i dve zaedni~ki to~ki so ramninata 6 {to zna~i deka taa le`i vo dvete ramnini. Bidej}i 6 i 6 se razli~ni ramnini, spored A4 sleduva deka tie ne mo`e da imaat drugi zaedni~ki to~ki, osven to~kite {to le`at na pravata a. Spored toa, ramninite 6 i 6 imaat zaedni~ka prava a, t.e. 6 6 D
ˆ
Me|usebniot odnos na dve ramnini e iska`an so slednava aksioma:
A6
Ako dve ramnini imaat edna zaedni~ka to~ka, toga{ tie imaat barem u{te edna zaedni~ka to~ka.
Spored toa, dve ramnini 6 i 6 a) ili se sovpa|aat, t.e. 6 { 6 crt. a);
a)
b) ili imaat zaedni~ka prava, t.e. 6 6 D crt. b);
ˆ
6
6
b)
6
6
v) ili nemaat zaedni~ka to~ka, t.e. 6 6 ‡ crt. v).
ˆ
6
v)
a
6
Zapomni! Ramninite 6 i 6 {to nemaat zaedni~ka to~ka, ili se sovpa|aat ili se paralelni; ozna~uvame 6 % 6 Ramninite {to imaat samo edna zaedni~ka prava se se~at. 58
4
Dali dve ramnini mo`e da imaat samo edna zaedni~ka to~ka? Obrazlo`i go odgovorot.
5
To~kite A, B i C le`at vo ramninata 6 i vo ramninata 6 Dali ottuka sleduva zaklu~ok deka ramninite 6 i 6 se sovpa|aat? Obrazlo`i go odgovorot. Ne, zatoa {to vo slu~aj koga to~kite A, B i C se kolinearni, toga{ tie se se~at .
6
Kakva zaemna polo`ba mo`e da imaat ramninite opredeleni so to~kite: a) ABC i ABD; b) ABM i ADN ?
ˆ
Da razgledame u{te eden slu~aj koga pravata a i ramninata 6 se paralelni, t.e. D 6 ‡ Se pra{uvame, dali vo ramninata 6 ima prava {to e paralelna so pravata a? Neka D % 6 (crte`). Toga{ sekoja ramnina 6 {to minuva niz pravata a i ne e paralelna so ramninata 6 ja se~e a ramninata 6 vo pravata b, taka {to D % E Ako pravite 6 a i b ne se paralelni, toga{ tie se se~at bidej}i le`at 6 b vo ista ramnina 6 Vo toj slu~aj pravata a }e ja proboduva ramninata 6 {to e protivre~no so pretpostavkata deka D % 6 Spored toa, vo ramninata 6 postoi prava {to e paralelna so pravata a. Takvi pravi ima beskone~no mnogu, a sekoja od niv e presekot na ramninata 6 so koja bilo ramnina 6 {to ja sodr`i pravata a i ne e paralelna so ramninata 6 Zapomni! Edna prava a e paralelna so ramninata 6 ako vo ramninata 6 postoi prava b {to e paralelna so pravata a.
Zada~i 1
Vo sekoja ramnina 6 le`i barem edna prava a i barem edna to~ka A, taka {to $ Â? D Doka`i.
4
Neka 6 i 6 se dve razli~ni ramnini i neka 6 6 ‡ Doka`i deka postoi barem edna prava {to gi proboduva dvete ramnini.
2
Poka`i deka za sekoja ramnina 6 postoi barem edna prava {to ja proboduva ramninata 6
5
Neka a e prava, a 6 nekoja ramnina. Odredi dali e mo`no D 6 6
6
Niz dadena to~ka A {to ne le`i na dadena ramnina 6 da se povle~e prava a {to e para-
3
Doka`i deka niz to~kata A {to le`i na ramninata 6 minuvaat beskone~no mnogu pravi {to le`at na ramninata 6
ˆ
ˆ
lelna so dadenata ramnina. Kolku takvi pravi ima?
59
3
ZAEMEN ODNOS NA DVE PRAVI
Potseti se! b
p q
a
A
Dve pravi kako mno`estva od to~ki mo`e:
da nemaat nitu edna zaedni~ka to~ka, t.e. D E ‡
ˆ
da imaat samo edna zaedni~ka to~ka,
ˆ
t.e. D E Kakva zaemna polo`ba imaat pravite a i b? Vo kakva zaemna polo`ba se pravite p i q?
^ $`
da imaat pove}e zaedni~ki to~ki,
ˆ
t.e. D E
^ $ % & `
Zaemniot odnos na dve pravi }e go razgledame preku slednive teoremi:
T8
Ako dve pravi imaat barem dve zaedni~ki to~ki, toga{ tie se ednakvi kako mno`estva to~ki.
Dokaz. Ako A i B se dve razli~ni to~ki {to pripa|aat na pravata a i na pravata b, toga{ spored A2 postoi edna i samo edna prava {to minuva niz niv. Taa prava ne mo`e da bide razli~na ni od pravata a, ni od pravata b. Zna~i, pravite a i b se isto mno`estvo na to~ki.
T9
Dve razli~ni pravi ne mo`e da imaat pove}e od edna zaedni~ka to~ka.
Dokaz. Ako pravite a i b imaat pove}e od edna zaedni~ka to~ka, toga{ spored T8 tie se sovpa|aat. Zna~i, ako presekot na dve razli~ni pravi a i b ne e prazen, toga{ toj sodr`i samo edna to~ka. Vo toj slu~aj velime deka pravite a i b se se~at, a zapi{uvame D E ^ $`
ˆ
T10 Dve pravi {to se se~at opredeluvaat edna i samo edna ramnina. Dokaz. Neka pravite a i b se se~at vo to~kata A (crte`). b A B Spored A2, na pravata a, osven to~kata A postoi i to~ka B, a C 6 a na pravata b, osven to~kata A postoi to~ka C. To~kite A, B i C ne se kolinearni, pa spored A4 tie opredeluvaat edinstvena ramnina 6 Ako, pak, postoi druga ramnina 6 {to minuva niz to~kite A, B i C, toga{ spored A4 ramninite 6 i 6 se isto mno`estvo to~ki i se sovpa|aat. Voo~i.
60
Dve pravi {to se se~at sekoga{ le`at vo ista ramnina.
1
Poka`i deka so edna prava i dve to~ki {to ne le`at na pravata se opredeleni edna ili dve ramnini. Ako pravata opredelena so dvete dadeni to~ki ja se~e dadenata prava ili e paralelna so nea, toga{ e opredelena edna ramnina. Vo sprotiven slu~aj, dadenata prava i sekoja to~ka opredeluvaat po edna ramnina ili vkupno dve ramnini.
2
Dve pravi a i b se se~at vo to~kata A. Pravata a le`i vo ramninata 6 a pravata b vo ramninata 6 Dali ramninite 6 i 6 se sovpa|aat?
ˆ
Odredi go me|usebniot odnos na pravite a i b, ako D E ‡ Dali postojat pravi {to ne le`at vo ista ramnina? Odgovorot }e mo`e{ da go dade{ ako ja prosledi{ teoremata:
T11
Postojat pravi {to ne le`at na ista ramnina.
Dokaz. Spored T3, postojat barem ~etiri to~ki A, B, C i D {to ne le`at vo ista ramnina. Pravite AB i CD sigurno ne le`at vo ista ramnina, bidej}i ako ramnina {to minuva niz niv, toga{ i to~kite A, B, C i D }e le`at na taa ramnina.
D C A
B
Dve pravi {to ne se se~at: ili se paralelni ili ne le`at na ista ramnina. Zapomni! Dve pravi {to ne le`at na ista ramnina se vikaat razminuva~ki pravi. Dve pravi a i b {to le`at na ista ramnina i ne se se~at ili se sovpa|aat se vikaat paralelni pravi; ozna~uvame: D % E 3
Dadeni se ramninata 6 i pravite a i b. Ako pravite a i b se se~at vo to~kata A i ako pravata a le`i vo ramninata 6 toga{ dali pravata b mo`e da le`i vo ramninata 6 "
4
Pravata a ja proboduva ramninata 6 Dali vo ramninata 6 le`i prava {to e paralelna so pravata a?
Zada~i 1
2
Spored koi aksiomi i teoremi e opredelena edna ramnina so: a) tri nekolinearni to~ki; b) edna prava i edna to~ka {to ne le`i na taa prava; v) dve pravi {to se se~at? Poka`i deka dve razli~ni paralelni pravi opredeluvaat edinstvena ramnina.
3
Pravata a ja proboduva ramninata 6 vo to~kata M. Pravata b le`i na ramninata 6 no ne minuva niz to~kata M. Odredi go me|usebniot odnos na pravite a i b.
4
Kolku ramnini se opredeleni so tri pravi {to minuvaat niz ista to~ka?
5
Kolku ramnini se opredeleni so edna prava i tri kolinearni to~ki od koi nitu edna ne le`i na dadenata prava?
61
4
AGOL, ISKR[ENA LINIJA, MNOGUAGOLNIK A
A
Na crte`ot se dadeni prava a i to~ka O {to le`i na pravata. Spored A1, na pravata a le-
B
O
a
`at beskone~no mnogu to~ki. Zna~i, to~kata O go razdeluva mno`estvoto od site to~ki na pravata a na dve neprazni mno`estva, {to se na razli~ni strani od to~kata O. Sekoe od mno`estvata na koi to~kata O ja deli pravata a, zaedno so to~kata O e geometriska figura koja se vika poluprava so po~etok vo to~kata O. Na crte`ot se opredeleni dve polupravi, OA i OB. 1
Dali polupravite AB i BA se isti?
2
Kolku polupravi opredeluvaat dve to~ki od pravata a?
Potseti se! Na crte`ot se pretstaveni dve polupravi so zaedni~ki po~etok.
Voo~i, polupravite OA i OB na crte`ot ja delat ramninata na dva dela.
B
O
B
Geometriskata figura obrazuvana od dve polupravi so zaedni~ki po~etok i edniot del od ramninata ograni~en so tie polupravi se vika agol.
D A
Kako se vika geometriskata figura pretstavena na crte`ot? Kako se vikaat polupravite OA i OB na geometriskata figura?
Delot od ramninata {to mu pripa|a na agolot, nare~ena negova oblast ili vnatre{na oblast se ozna~uva so kru`en lak.
Kako se vika to~kata O na taa figura?
B
O
B
A
O
O
Agolot ~ii kraci se sostavni polupravi na ista prava se vika ramen agol. 62
A B
A
B
O
A
Osnovnata merna edinica za agol e agloven stepen. Eden agloven stepen se ozna~uva so 10. Ramniot agol ima 1800. C N B Aglite {to imaat zaedni~ki krak, a nemaat zaedni~ki vnatre{en del se vikaat sosedni agli. M O O P A Aglite AOB i BOC se sosedni agli. Sosednite agli MON i NOP obrazuvaat ramen agol. Zapomni! Dva sosedni agli {to obrazuvaat ramen agol se vikaat naporedni agli. Zbirot na dva naporedni agli iznesuva 1800. Agolot {to e ednakov so svojot naporeden agol se vika prav agol. 3
Dadeni se tri polupravi so zaedni~ka po~etna to~ka. Kolku agli obrazuvaat dadenite polupravi?
4
Nacrtaj dve pravi {to se se~at. Koi od dobienite agli se naporedni? Prosledi go re{enieto.
ˆ
Neka D E ^2` Dobieni se aglite D E J i G crte`. Naporedni agli se D L E D L G J L G i J L E a E Kako se vikaat aglite J L D ili aglite J L E " Kakvi J D se po golemina tie agli me|u sebe? O G b Daden e ' $2% Kolku naporedni agli na tie me|u sebe?
5
T12
' $2% mo`e da se konstruiraat i kakvi se
Site pravi agli se ednakvi me|u sebe.
Dokaz. Sekoi dva naporedni agli se dopolnuvaat do ramen agol. Spored definicijata za prav agol, sleduva deka pravite agli se dopolnuvaat do ramen agol (crte`). Bidej}i site ramni agli se ednakvi me|u sebe (imaat po 1800), sleduva deka i site pravi agli se ednakvi me|u sebe i imaat po 900.
B
C
O
A
Dva agli ~ij zbir e prav agol, t.e. 900 se vikaat komplementni agli. Dva agli ~ij zbir e ramen agol, t.e. 1800 se vikaat suplementni agli. 63
Zapomni! Agolot {to e pomal od praviot agol se vika ostar agol. Agolot {to e pogolem od praviot agol, a pomal od ramniot agol se vika tap agol. Aglite {to se pomali od ramniot agol se vikaat konveksni agli, a aglite {to se pogolemi od ramniot agol se vikaat nekonveksni agli. Naporednite agli se suplementni agli, no dva supementni agli ne mora da bidat naporedni agli. c Odredi gi negoviot komplementen i negoviot
6
Neka e daden agolot D suplementen agol.
7
Eden od dva suplementni agli e za 240 pomal od dvojnata vrednost na drugiot agol. Odredi gi tie dva agli. Prosledi go re{enieto. Neka baranite agli se D i E i neka D E Od uslovot na zada~ata imame: D E i D E Ottuka sleduva E E ili E pa E D Edniot od dvata naporedni agli e za 100 pogolem od trojnata vrednost na drugiot agol. Odredi gi tie dva agli.
8
Na crte`ot e pretstavena edna geometriska figura.
V
Potseti se! Koja od to~kite P i Q le`i me|u to~kite M i N?
Q
N
P
M
B
A
Geometriskata figura {to sodr`i dve razli~ni to~ki A i B i site to~ki {to le`at me|u niv se vika otse~ka, a se ozna~uva so AB.
Na crte`ot e pretstavena otse~kata AB. To~kite A i B se vikaat krajni to~ki na otse~kata, a rastojanieto m me|u niv se vika dol`ina na otse~kata, a se ozna~uva so $% P Figurata {to e sostavena od otse~kite AB, BC, CD, DE,..., taka {to koi bilo dve sosedni otse~ki ne le`at na ista prava se vika iskr{ena linija. To~kite A, B, C, ... se vikaat temiwa, a otse~kite AB, BC, CD, ... strani na iskr{enata linija. a)
D
E A 64
E
b) C B
v)
E
C
D
F
A
B
g)
D
D E G
C A
B
C
F
B A
Iskr{enata linija mo`e da bide otvorena ili zatvorena (crte`). Zbirot od dol`inite na stranite na iskr{enata linija se vika perimetar na iskr{enata linija. Za perimetarot na iskr{enata linija na crte`ot a) imame: /
$% %& &' '(
Zatvorena iskr{ena linija vo koja{to nema nesosedni strani {to se se~at se vika poligonalna linija. Na prethodniot crte` se dadeni ~etiri iskr{eni linii. Koja od niv e zatvorena, a koja poligonalna?
G
Delot od ramninata ograni~en so edna poligonalna linija se vika vnatre{na oblast, a ostanatiot del od ramninata se vika nadvore{na oblast.
T
d) K M
S
|) R
N
E
D
F
C
Q P
A
B
Zapomni! Geometriskata figura obrazuvana od edna poligonalna linija i nejzinata vnatre{na oblast se vika poligon ili mnoguagolnik. Vo sekoj mnoguagolnik brojot na stranite e ednakov so brojot na temiwata, pa spored toj broj mnoguagolnicite gi imenuvame: triagolnik, ~etiriagolnik, petagolnik, {estagolnik itn. Voo~i, vo mnoguagolnikot ABCDEF to~kite od koja bilo otse~ka ~ii kraevi le`at na mnoguagolnikot se to~ki od toj mnoguagolnik. Takov mnoguagolnik se vika konveksen mnoguagolnik. Mnoguagolnikot MNPQRSTK e nekonveksen mnoguagolnik. Sogledaj, ako niz koi bilo dve sosedni temiwa na konveksniot mnoguagolnik povle~eme prava, toga{ mnoguagolnikot le`i samo vo ednata poluramnina opredelena so taa prava. Koi od mnoguagolnicite ozna~eni pod v), g), d) i |) se konveksni? Vo ponatamo{noto razgleduvawe }e zboruvame samo za konveksen mnoguagolnik. Otse~kata ~ii krajni to~ki se koi bilo dve nesosedni temiwa na eden mnoguagolnik se vika dijagonala na mnoguagolnikot. Potseti se! Kolku dijagonali mo`e{ da povle~e{ od edno teme vo: a) triagolnik; b) ~etiriagolnik; v) petagolnik?
Sigurno odgovori deka vo triagolnikot ne mo`e da se povle~e nitu edna dijagonala. Vo ~etiriagolnikot od edno teme mo`e da se povle~e samo edna dijagonala, a vo petagolnikot dve. 65
Op{to, vo n-agolnikot od edno teme mo`e da povle~eme Q dijagonali. Ottuka sleduva deka brojot Dn na site dijagonali na n-agolnikot se presmetuva so formulata: 'Q
Q ˜ Q
9
Kolku dijagonali mo`e{ da povle~e{ od edno teme na mnoguagolnikot {to ima: a) sedum strani; b) dvanaeset strani?
10
Presmetaj go brojot na site dijagonali na: a) osumagolnik;
b) dvanaesetagolnik.
Kolku vkupno dijagonali ima mnoguagolnikot vo koj{to od edno negovo teme mo`e da se povle~at: a) 5 dijagonali; b) 8 dijagonali; v) 12 dijagonali? ˜
Re{enie. b) Od Q sleduva Q pa ' dijagonali. Sekoi dve sosedni strani na eden mnoguagolnik obrazuvaat eden agol na mnoguagolnikot. Na crte`ot toa se aglite D E J G L M D Brojot na aglite na mnoguagolnikot e ednakov so G 11
brojot na negovite strani. Na kolku triagolnici }e se podeli eden mnoguagolnik, ako se povle~at dijagonalite od edno negovo teme? Zbirot Sn na vnatre{nite agli na n-agolnikot se presmetuva so formulata: 6Q
E M M
G
J
J
D A D
C
E E B
Q ˜
12
Presmetaj go zbirot na vnatre{nite agli na: a) osumagolnikot;
13
Odredi go zbirot na vnatre{nite agli na mnoguagolnikot vo koj{to od edno negovo teme se povle~eni: a) 4 dijagonali ; b) 6 dijagonali; v) 10 dijagonali. Re{enie. v) Od Q sleduva Q pa 6
˜
b) desetagolnikot.
Sekoj agol {to e naporeden so nekoj vnatre{en agol na eden mnoguagolnik se vika nadvore{en agol na mnoguagolnikot. Na crte`ot nadvore{ni agli se D E J G L M Zbirot na nadvore{nite agli na sekoj mnoguagolnik e Q ˜ 6 Q
Q ˜ Q
Vo koj mnoguagolnik zbirot na vnatre{nite agli e ednakov so zbirot na nadvore{nite agli?
14
66
Zada~i 1 2
Nacrtaj dva agli D i E a potoa konstruiraj go agolot: a) J D E b) G D E
5
Dali postoi mnoguagolnik koj{to ima tolku dijagonali kolku {to ima strani?
6
Odredi gi aglite na triagolnikot ako tie se odnesuvaat kako
7
Pette agli na eden {estagolnik se po 1200. Odredi go {estiot agol.
8
Zbirot na vnatre{nite agli na eden mnoguagolnik e 21600. Kolku vkupno dijagonali mo`e da se povle~at vo toj mnoguagolnik?
Daden e agolot D Odredi go negoviot suplementen i negoviot komplementen agol.
3
Razlikata na dva naporedni agli e prav agol. Odredi gi tie agli.
4
Zatvorenata iskr{ena linija so tri strani sekoga{ le`i vo edna ramnina. Zo{to?
5
KRU@NICA I KRUG
A
Potseti se! Na crte`ot se pretstaveni kru`nica, pravi i to~ki.
Zapomni! k
p B
D A
q
C O
Mno`estvoto od site to~ki vo edna ramnina {to se na isto rastojanie r od edna dadena to~ka O vo taa ramnina se vika kru`nica.
r d N
M
a
Odredi ja vistinitosnata vrednost na iskazite: a) $ Â? N
ˆ
g) D N
Vo vovedniot del na ovaa tema rekovme deka poimot kru`nica e izveden, t.e. definiran poim.
b) % Â? N
ˆ
‡ d) S N
^'`
v) & Â? N
ˆ
|) T N
‡
Dadenoto rastojanie r se vika radius na kru`nicata, a dadenata to~ka O centar na kru`nicata. Na crte`ot e dadena kru`nicata N 2 U
Rastojanieto d od koja bilo to~ka, odnosno prava do centarot na kru`nicata se vika centralno rastojanie na taa to~ka, odnosno prava. 1
Sporeduvaj}i go centralnoto rastojanie d so radiusot r, odredi ja zaemnata polo`ba na sekoja to~ka, odnosno prava i kru`nicata spored crte`ot. %2 ! U % � N &2 U & � N '2 U ' � N rastojanieto d od pravata q do centarot O e pogolemo od radiusot r, pa N T ‡
ˆ
Mno`estvoto od site to~ki vo edna ramnina ~ie{to rastojanie do dadena to~ka O vo taa ramnina ne e pogolemo od dadeno rastojanie r se vika krug. Voo~i, krug e mno`estvoto od site vnatre{ni to~ki na kru`nicata i to~kite od kru`nicata. 67
Otse~kata ~ii krajni to~ki le`at na edna kru`nica se vika tetiva. Tetivata {to minuva niz centarot na edna kru`nica se vika dijametar. Simetralata na sekoja tetiva minuva niz centarot na kru`nicata. Zo{to?
k
s Q
O
P A
B
Koja otse~ka e tetiva, a koja dijametar na kru`nicata {to e dadena na crte`ot? Daden e prav agol so teme A. Na kracite na agolot naneseni se otse~kite $% FP i $& FP Konstruiraj kru`nica {to minuva niz to~kite A, B i C.
2
Upatstvo. Koristi go svojstvoto deka simetralata na tetivata minuva niz centarot na kru`nicata. 3
Edna tetiva so dol`ina FP e oddale~ena FP od centarot na kru`nicata. Odredi go radiusot na taa kru`nica. k Triagolnikot ASO e pravoagolen (crte`), so kateti 26 FP i O $6 $% FP pa spored Pitagorovata teorema imame: A S $2 $6 26 U a U FP B
4
Radiusot na edna kru`nica e U FP Odredi ja dol`inata na tetivata koja od centarot na kru`nicata e oddale~ena FP
Na crte`ot se dadeni kru`nica k i pravite a i p. Za niv imame: Pravata p ima samo edna zaedni~ka to~ka A so kru`nicata k i taa se vika tangenta na kru`nicata. Koja bilo tangenta na kru`nicata e normalna na radiusot na kru`nicata vo dopirnata to~ka.
A p a
k
r d
O
Pravata a ima dve zaedni~ki to~ki so kru`nicata k i se vika sekanta na kru`nicata. Edna sekanta ne mo`e da ima pove}e od dve zaedni~ki to~ki so kru`nicata. Potseti se! Kako se vikaat aglite D i E "
k E
68
O
D
Agolot ~ie teme e vo centarot na dadena kru`nica se vika centralen agol. Agolot ~ie teme e na dadena kru`nica, a negovite kraci ja se~at kru`nicata se vika periferen agol. Agolot D e centralen agol, a agolot E e periferen agol.
B T13
Za periferniot i centralniot agol nad ist kru`en lak vo edna ista kru`nica va`i slednata teorema. Sekoj periferen agol vo edna kru`nica e ednakov na polovinata od soodvetniot centralen agol.
Dokaz. ]e razgledame tri slu~ai, zavisno od toa dali centarot na kru`nicata pripa|a ili ne pripa|a vo oblasta na periferniot agol (crte`). Teoremata }e ja doka`eme za slu~aB B a) B b) v) jot koga centarot na kru`nicata e E E E vo oblasta na periferniot agol b). E E Bidej}i 2$ 2% 2& U sleduva O O D O D D A D A C D deka triagolnicite AOB i COB se C ramnokraki so osnovi AB i CB, pa C A D imame E ' %$2 i E ' %&2
Od svojstvoto za nadvore{en agol na triagolnik sleduva deka D toa, od D
D D
E E
E E E sleduva deka E
E i D
E Spored
D
Doka`i ja teoremata za slu~aite pod a) i v). Od teoremata sleduva deka: Site periferni agli vo edna kru`nica nad ist lak me|usebno se ednakvi. Sekoj periferen agol nad polukru`nicata e prav agol, (Talesova teorema za periferen agol). 5
Vo kru`nica so radius P edna tetiva otsekuva lak na koj{to mu odgovara centralen agol od 1200. Odredi go rastojanieto od centarot na kru`nicata do tetivata. Voo~i,
' $26
i
' 2$6
Zna~i, ' $62 e polovina od
ramnostran triagolnik so strana 2$ U P pa 26 t.e. 26
˜ P
$2
O A
d S
B
Zapomni! Katetata sproti agolot od 300 vo pravoagolen triagolnik e ednakva na polovina od hipotenuzata na triagolnikot. 6
Odredi go agolot me|u strelkite na ~asovnikot koga tie poka`uvaat: a) 4 ~asot; b) 1 ~asot i 25 minuti; v) 5 ~asot i 25 minuti. 69
Edna tetiva ja deli kru`nicata na kru`ni laci koi se odnesuvaat kako Odredi gi perifernite agli nad tie laci. Re{enie.
7
Neka baranite periferni agli se E L E a nivnite soodvetni centralni agli se D L D Bidej}i centralniot agol od 3600 so tetivata e podelen vo dadeniot odnos imame: D ˜ ˜ ˜ i D ˜ pa E ˜ D i E Vo sekoja kru`nica, odnosno okolu sekoja kru`nica mo`e da se vpi{e, odnosno opi{e mnoguagolnik. ^etiriagolnikot ~ii strani se tetivi na edna kru`nica se vika tetiven ~etiriagolnik.
T14 Sprotivnite agli na tetivniot ~etiriagolnik se suplementni. Doka`i ja teoremata T14. Upatstvo. Odredi go zbirot na centralnite agli {to se soodvetni na sprotivnite agli na ~etiriagolnikot. ^etiriagolnikot ~ii strani se tangenti na edna kru`nica se vika tangenten ~etiriagolnik. Za tangenten ~etiriagolnik va`i slednava teorema:
T15
Zbirovite od dol`inite na sprotivnite strani na tangentniot ~etiriagolnik se ednakvi.
Dokaz. Treba da doka`eme deka $% &' $' %& crte`. Neka M, N, P i Q se to~kite vo koi stranite na ~etiriagolnikot ABCD ja dopiraat kru`nicata (crte`). Pravoagolnite triagolnici AMO i AQO se skladni (zo{to?). Ottuka sleduva deka $0 $4 Otse~kite AM i AQ se vikaat tangentni otse~ki i tie se ednakvi me|u sebe. Od isti pri~ini %0 $0 %0 &3 '3 $% '&
%1 &3 &1 L '3
'4 pa imame:
$4 %1 &1 '4 $0 %0 &3 '3
D Q A
P
C
O
N B
M
$4 '4 %1 &1
$' %&
Centralnoto rastojanie na to~kata M do kru`nicata N 2 FP e 25 cm. Odredi ja dol`inata na tangentnata otse~ka na tangentata povle~ena od to~kata M.
8
Od to~kata M mo`e da se povle~at dve tangenti, a tangentnite
ˆ
§ ¡ otse~ki se 03 04 pri {to N ¨ 1 20 ¸ N ^ 3 4` Od pravoŠ š agolniot ' 023 imame: 03 02 23 od kade {to 03 70
FP
P
k1
k
90 0
M
r
N
90
0
Q
O
Radiusot na edna kru`nica e 5 cm, a od to~kata A se povle~eni tangenti na kru`nicata, taka {to tangentnata otse~ka e dolga 12 cm. Odredi go centralnoto rastojanie na to~kata A.
9
Za agolot me|u tetivata na edna kru`nica i tangentata povle~ena vo edna od krajnite to~ki na tetivata va`i teoremata:
T16
Agolot pome|u tetivata na edna kru`nica i tangentata povle~ena niz edna od krajnite to~ki na tetivata e ednakov na periferniot agol nad tetivata. C
Dokaz. ]e doka`eme deka G E Triagolnikot ABO e ramnokrak so osnova AB, a OD e visina kon osnovata (crte`). Od D G (agli so zaemno normalni kraci) i D E (spored teorema 13), sleduva deka G E
E
O
t
D A
D
G
B
Zada~i 1
Ako AB i CD se dijametri vo edna ista kru`nica, toga{ $&
6
Dva sosedni agli na eden tetiven ~etiriagolnik se i c Odredi gi drugite dva agli na ~etiriagolnikot.
%' i $& % %' Doka`i.
2
Edna tetiva ima dol`ina 16 cm i od centarot na kru`nicata e na rastojanie 15 cm. Odredi go radiusot na kru`nicata.
7
Dali mo`e da se opi{e kru`nica okolu ~etiriagolnikot ~ii agli se: a) b) "
3
Od edna to~ka na kru`nicata se povle~eni dijametar i tetiva {to e ednakva so radiusot. Odredi go agolot me|u niv.
8
Doka`i deka ramnokrak trapez mo`e da se vpi{e vo kru`nica.
4
Od to~kata A {to le`i na kru`nicata k se
9
Okolu kru`nica e opi{an ramnokrak trapez. Doka`i deka krakot na trapezot e ednakov so srednata linija na trapezot.
povle~eni dijametar $%
FP i tetiva
$&
FP Odredi ja dol`inata na tetivata BC.
5
Vo kru`nica e vpi{an ~etiriagolnik ABCD, a pritoa $ [ % [ i & [ Odredi go agolot vo temeto B, taka {to da ne zavisi od x.
'
'
'
10 Krajnite to~ki na dijametarot AB se oddale~eni za 4,8 dm i 1,8 dm od edna tangenta na kru`nicata. Odredi go radiusot na taa kru`nica.
71
VEKTORI. KOLINEARNI VEKTORI. EDNAKVI VEKTORI
6 Potseti se!
To~kite A i B se krajni to~ki na otse~kata AB.
A
B
Otse~kata ~ija edna krajna to~ka se smeta za po~etok, a drugata za kraj, se vika naso~ena otse~ka.
A Koj od slednite iskazi e vistnit? a) AB i BA se oznaki za edna ista otse~ka. v) ^ $ %` b) $% %$ g) $ % % $
^% $`
To~ni se iskazite a), b) i v).
Oznakite AB i BA pretstavuvaat isto mno`estvo na to~ki od pravata AB, t.e. ista otse~ka.
B A
M
oD
N
o Naso~enata otse~ka so po~etok vo A i kraj vo B ja ozna~uvame so $% Na crte`ot se prika`ani o o o naso~enite otse~ki $% i 01 Vo slu~ajot ako to~kite A i B se sovpa|aat, toga{ $$ se vika
nulta naso~ena otse~ka.
o Sekoja nenulta naso~ena otse~ka $% ima pravec opredelen so pravata AB, nasoka opredelena o so polupravata AB i dol`ina _ $% _ $% (ednakva so dol`inata na otse~kata AB). Zapomni! Sekoja naso~ena otse~ka se vika vektor. Poimite pravec na vektor, nasoka na vektor i dol`ina (ili intenzitet, modul) na vektor se identi~ni so poimite pravec, nasoka i dol`ina na naso~ena otse~ka.
o
o o Nultata naso~ena otse~ka $$ se vika nulti vektor i se ozna~uva so t.e. $$
o
ooo
Za ozna~uvawe na vektorite ~esto se koristat malite bukvi so strelki, na primer D E F itn., pritoa ne se naglasuvaat po~etokot i krajot na vektorot; dol`inite na tie vektori se o o o ozna~uvaat so _ D _ _ E _ _ F _
1
Vo ista ramnina se dadeni tri razli~ni to~ki A, B i C. Kolku vkupno vektori se opredeleni so dadenite to~ki? Kolku vkupno otse~ki opredeluvaat tie to~ki? 72
Potseti se! So kolku to~ki e opredelena edna prava? Koga velime deka pravite a i b se paralelni? Neka pravata a le`i na ramninata 6 Kolku pravi le`at vo taa ramnina {to se paralelni so pravata a?
B
Mno`estvoto od site paralelni pravi {to le`at vo ista ramnina opredeluva eden pravec. Sekoja prava od toa mno`estvo se zema za pretstavnik na pravecot.
Ako to~kite A i B se razli~ni, toga{ tie opredeluvaat
o za vektorot $% velime deka le`i na pravata p.
edinstvena prava p, t.e. so niv e odreden eden pravec p, a
p
B A
Zapomni! Vektorite {to le`at na ista prava ili na razli~ni paralelni pravi se vikaat kolinearni vektori. Vektorite {to ne se kolinearni se vikaat nekolinearni vektori. 2
Na crte`ot pravite a i b se paralelni i se pretstaveni nekolku vektori. a) Koi od niv se kolinearni vektori? b) Koi vektori se nekolinearni? v) Koi vektori se isto naso~eni, a koi se sprotivno naso~eni?
V
C
D
a
B
A
b N
M
P
Q
Dve otse~ki se ednakvi ako tie imaat ednakvi dol`ini, nezavisno od nivnata polo`ba. Dva kolinearni vektori mo`e da bidat ili isto naso~eni ili sprotivno naso~eni. Zapomni!
Dva vektori se ednakvi ako imaat ista nasoka i ednakvi dol`ini.
oD
o oE
o o
Vektorite D L E se ednakvi i ozna~uvame D
o E
o o
o o
Vektorite F L G i vektorite S L T ne se ednakvi. Zo{to?
3
oF
o G
oS oT
Koi vektori na prethodniot crte` se isto naso~eni, a koi sprotivno naso~eni? Dali dva nekolinearni vektori mo`e da bidat ednakvi? 73
Nacrtaj dva kolinearni vektori {to imaat ednakvi dol`ini i se so: a) ista nasoka; b) sprotivna nasoka. D Na stranite na rombot ABCD (crte`) se
4
C
oo o o
5
ozna~eni vektorite: $% %& &' L $' Koi vektori se ednakvi? Koi vektori se sprotivni?
A
o o
B
Bidej}i $% &' i $% % &' vektorite $% L &' se kolinearni, imaat ednakvi dol`ini, no ne se ednakvi. Nivnite nasoki se sprotivni. Zapomni! Dva sprotivno naso~eni vektori so ednakvi dol`ini se vikaat sprotivni vektori.
o
o
oD
Sprotivniot vektor na vektorot D se ozna~uva so D o o Na prethodniot crte` vektorite $% i &' se
o
sprotivni, t.e. $%
o
D
o
&'
Niz dadena to~ka A {to ne le`i na dadena prava a, nacrtaj prava p {to e paralelna so dadenata prava a. B A Re{enie. p Na pravata a izbirame proizvolni to~ki M i N, a potoa ja odreduvame to~kata B kako ~etvrto teme na paralelogramot MNBA (crte`). Baranata prava p e a M N edinstvena, spored aksiomata za paralelnost koja glasi: 6
A7
Niz dadena to~ka {to ne le`i na dadena prava, minuva edna i samo edna prava {to e paralelna so dadenata prava.
o
o
D
C
Dadeni se vektor $% i proizvolna to~ka C. Konstruiraj
7
vektor &' {to e ednakov so dadeniot vektor. a) Ako to~kata C ne pripa|a na pravata AB, toga{ re{enieto e isto kako re{enieto na prethodnata zada~a.
A
B
b) Ako to~kata C le`i na pravata AB, toga{ i baraniot vektor e na istata prava. Konstrukcijata na vektor {to e ednakov so daden vektor se narekuva prenesuvawe na vektor.
D
C
B
A
o Daden e vektorot D Kolku vektori mo`e{ da konstruira{ {to se ednakvi so dadeniot vektor?
74
Koristej}i go re{enieto na zada~ata 6 mo`eme da go iska`eme tvrdeweto:
o
o
Ako ~etiriagolnikot AMNB e paralelogram, toga{ vektorite $% L 01 se ednakvi,
o o
t.e. $%
01
Dokazot na ova tvrdewe sleduva neposredno od definicijata za ednakvost na vektori.
o
o
Va`i i obratnoto tvrdewe, t.e. ako vektorite $% L '& se ednakvi i ne le`at na
8
ista prava, toga{ ~etiriagolnikot ABCD e paralelogram.
o o
Dokaz. Od $% '& sleduva deka $% &' i $% % &' Bidej}i AC e transverzala na pravite AB i CD, sleduva deka ' %$& ' '&$ Od toa {to ' $%& # ' &'$ (zo{to?), sleduva deka ( '$& ' %&$ a bidej}i tie se naizmeni~ni agli na transverzalata AC, sleduva deka $' % %& Zna~i, ~etiriagolnikot ABCD e paralelogram. So ova e doka`ana teoremata:
T17
o
D
C
A
B
o
Dva vektori $% L '& {to ne le`at na ista prava se ednakvi ako i samo ako ~etiriagolnikot ABCD e paralelogram.
Zada~i 3
1
Izberi ~etiri razli~ni to~ki A, B, C i D. Kolku vektori i kolku otse~ki se opredeleni so izbranite to~ki?
2
Izberi ~etiri razli~ni to~ki O, A, B i C.
Neka ABCD e paralelogram i S presekot na negovite dijagonali. Odredi koi od slednive parovi vektori se ednakvi, koi se kolinearni, a koi ne se ednakvi:
Prenesi gi vektorite $% %& %$ L &$ so
a) $% L &' b) $% L '& v) %& L &%
po~etok vo izbranata to~ka O.
g) $6 L %& d) 6$ L &6
o o o
7
o
o o
o o o o
o
o
SOBIRAWE I ODZEMAWE NA VEKTORI
Potseti se!
A
o
o Prenesi go vektorot D
D
so po~etok vo to~ka O.
o o o da Prenesi go vektorot Dadeni se vektorite D i E
E
po~nuva vo krajot na vekto-
o rot D
o o
O
oD
o E
Koi svojstva va`at za sobirawe na realnite broevi?
1
Vo ista ramnina se dadeni
o o
vektorite D L E i to~kata O.
o o o o D i $% E
Konstruiraj gi vektorite 2$ Re{enie.
oD
o
oD
E
O
A
o E
B
o oo o o o o o o 2$ D $% E a 2% 2$ $% D E o o o Vektorot 2% e zbir na vektorite D L E o o o
t.e. 2%
D E
75
Zbirot na vektorite ne zavisi od izborot na to~kata O.
o o
C
Zbirot na vektorite D L E e dobien po pravilo na nadovrzuvawe.
o o
o
Za vektorite $% $& L &% na crte`ot va`i ravenstvoto
o o o
$& &% koe se vika pravilo na tri to~ki.
$%
A
B
Zapomni! Zbirot na dva nadovrzani vektori e vektorot ~ij po~etok e vo po~etokot na prviot vektor, a krajot e vo krajot na vtoriot vektor. Odredi go zbirot na dva: a) isto naso~eni vektori; b) sprotivno naso~eni vektori.
2 a)
oD
O
b)
o E
A
E
O
B
B
o
oD
A
o oo oo o o o o o oo oo o o o o 2$ D $% E 2% 2$ $% D E D $% E 2% 2$ $% D E o o Vektorite $% L %$ se sprotivni vektori, pa nivniot zbir spored praviloto na tri to~ki o o o o e $% %$ $$ Zbirot $$ pretstavuva to~ka, a spored definicijata za vektor toj e nulti o o o 2$
vektor, a se ozna~uva so $$
Intenzitetot na nultiot vektor e nula, t.e. _ $$ _ o § o¡ o Spored toa, zbirot na dva sprotivni vektori e nulti vektor, t.e. D ¨ D ¸ Š š
o o o oD oD
o
Ako D e koj bilo vektor, toga{ D
Nultiot vektor e kolinearen so koj bilo vektor.
o o o o
o o
Dadeni se nekolinearni vektori D L E Odredi gi zbirovite D E i E D
3
o o
Vektorite D L E gi prenesuvame vo ista po~etna
o o o o $% D i $' E Go dobivame
o o paralelogramot ABCD, pa za zbirot D E
to~ka A, taka {to
o E
o
$&
o
oD
D
oD
C
o
E
A
velime deka e dobien po pravilo na para-
oD
E
B
lelogram. Ottuka sleduva deka:
o o o o o
$% %&
$&
o o oE oD
$' '& W H D E
oo o
Voo~i: Ako D E L F se koi bilo vektori, toga{ za niv va`i:
o o oE oD
a) D E
76
komutativno svojstvo;
o o o b) §¨ D E ¡¸ F Š š
oD § oE oF ¡ asocijativno svojstvo. ¨ Š
¸ š
So primena na asocijativnoto svojstvo mo`e da se odredi zbir na pove}e vektori po pravilo na nadovrzuvawe, bidej}i zbirot ne zavisi od redosledot na sobirocite.
oD
o
Odredi go zbirot na vektorite dadeni na crte`ot.
4
G
oooo
oF
D
C
o
E
E
oD
A
rezultanta. Ovie poimi naj~esto se
B
o $% o %& o &' o '( o oD oE oF oG
koristat vo fizikata, pri slo`uvawe na sili.
G
o
oF
o komponenti, a nivniot zbir $( se vika Vektorite D E F G gi vikame u{te
o
E
$(
o
Ako rezultantata e zna~i silite se vo ramnote`a, a toa e isto kako na teloto da ne dejstvuva nikakva sila. C D o o o Spored praviloto na paralelogram, vektorot F e zbir na F E o o o vektorite D i E Mo`e da se ka`e i obratno, deka F e o o oD A B razlo`en na dve komponenti D i E (crte`).
o oE o E F o o D D o oF
Paralelogram so dadena dijagonala ne e ednozna~no opredelen. Spored toa, dadeniot vektor
oF
ne mo`e na
edinstven na~in da se razlo`i na komponenti (crte`).
o
o
Ako e daden vektor F i edna negova komponenta D toga{ vtorata komponenta
oE
E
na edinstven na~in mo`e da se
oD
opredeli (crte`).
o
Daden vektor F mo`e na edinstven na~in da se razlo`i na
o
dve komponenti ako se poznati nivnite pravci. Ako so pravite p i q se opredeleni pravcite na komponentite na o o o vektorot F $& vo toj slu~aj komponentite na vektorot F o o o o se D $% i E $' koi se ednozna~no opredeleni (crte`).
B
5
D
E
q
oD
A
C
oF B
p
o o o o o D i $& E Odredi go vektorot [ taka {to
Dadeni se vektorite $%
o o o
o
$& [ $% o Spored praviloto za sobirawe na vektori (crte`) imame $& [ Zapomni!
o
oE
$%
o o o o Ottuka sleduva deka [ $% $& &% t.e. deka o o o vektorot [ e razlika na vektorite D i E
A
C
oD
o[ B
Razlikata na dva vektori so zaedni~ki po~etok e vektorot ~ij po~etok e vo krajot na namalitelot, a krajot mu e vo krajot na namalenikot. 77
o o o o vektorite, t.e. D E D E Zna~i, namesto da odzemame vektori, dovolno e na vektorot
Poznato e deka za realnite broevi a i b va`i D E
D E Istoto svojstvo va`i i za
namalenik da mu go dodademe sprotivniot vektor na vektorot namalitel.
o o
Najdi ja razlikata D E taka {to na vektorot namalenik }e mu dodade{ sprotiven vektor na vektorot namalitel.
6
oE
Re{enie.
oD
A
o
E
B
o
E
oD
o $%
oD
o %&
o t.e. $&
C
o o E $&
oD oE
o o $% %&
Na stranite na triagolnikot ABC ozna~eni se vektori (crte`). Izrazi go vektorot:
7
o
o
o
o
o
o
o
o
o
oD oE
C
a) $& so %& i %$ b) &% so $% i $& v) %$ so &$ i &%
o &$ o &% o o %& o %$ o b) &% o $% o $& o v) %$
Re{enie. a) $&
B
A
Zada~i 1
oo o
Dadeni se vektorite D E L F so zaedni~-
4
o
Daden e petagolnik ABCDE. Najdi barem
ka po~etna to~ka. Konstruiraj go nivniot
~etiri mo`nosti so koi vektorot $% }e go
zbir.
izrazi{ kako zbir od nenulti vektori opredeleni so temiwata na petagolnikot.
2
Dijagonalite na paralelogramot ABCD se se~at vo to~kata O. Uprosti go izrazot:
o o o o § o o¡ o a) 2$ 2% 2& 2' b) ¨ %& 2$ ¸ 2& Šo š §o o¡ o §o o¡ v) $% '2 2$ g) '2 2$ %& ¨ Š
3
¸ š
¨ Š
¸ š
To~kata S e presek na dijagonalite na para-
o o o o o o torite 6$ L 6%
lelogramot ABCD. Izrazi go sekoj od vektorite $% $' &% L '& so pomo{ na vek-
78
5
o o o
Dadeni se tri to~ki A, B i C. Odredi go vektorot $% &$ %&
6
To~kata O le`i vo ramninata na paralelo-
o o 2% o 2' o
gramot ABCD. Doka`i deka e to~no tvrdeweto
2$ 2&
8
MNO@EWE NA VEKTOR SO BROJ
A
Potseti se!
o Daden e vektorot D Konstriraj go vektorot: o o oD a) D D
o o o b) D D D
Koi svojstva va`at za mno`ewe na realnite broevi?
o
o
Voo~uva{ deka vektorite D i D se kolinearni so dadeniot vektor.
o
1
Daden e vektorot D Kon-
oD
struiraj go vektorot:
o
o
a) ˜ D b) ˜ D Re{enie.
oD
A
B
o $% o %& o oD oD oD
a) $& b)
o
Q
D
N
o D
P
oD
C
o
M
D
o 03 o 34 o 41 o oD § oD ¡ § oD ¡
01
o
o
¨ Š
¸ ¨ š Š
o
¸ ˜ D š
o
Vektorot D e isto naso~en so vektorot D a vektorot D e sprotivno naso~en so vektorot D
Zapomni!
o
o oD ˜ N e vektor kolinearen so vektorot oD i so dol`ina ednakva
Ako N � Z toga{ N ˜ D
o
o
na _ N ˜ D _ _ N _ ˜ _ D _
o o o o Vektorot N ˜ D ima sprotivna nasoka so vektorot D ako N Vektorot N ˜ D ima ista nasoka so vektorot D ako N !
o
o oD
Daden e proizvolen vektor D Konstruiraj gi vektorite: D
2
Vektorot
o D
o e isto naso~en so vektorot D
a negovata dol`ina e ednakva so dol`inata na hipotenuzata na ramnokrak pravoagolen
o
oD
oD
o
D
L
o
˜ D
o
c
_D_
o
triagolnik so kateta _ D _ (crte`).
_D_
Od definicijata za mno`ewe na vektor so broj sleduva:
o oD
˜ D
3
o oD
˜ D
o o
˜ D
o o
N˜
N Â? Z
o
Nacrtaj proizvolen vektor D a potoa konstruiraj gi vektorite:
o
§ ¡ a) ˜ ¨ D ¸ Š š
o
§ ¡ b) ˜ ¨ D ¸ Š š
o
§ ¡ v) ¨ ¸ D Š š
Upatstvo. Najnapred izvr{i gi operaciite so broevite. 79
o o o o o
Dadeni se vektorite D L E Konst§ ¡ ruiraj go vektorot F ¨ D E ¸ Š š E B
4
E
o
O
¸ š
o
oD
o
o o
Dadeni se vektorite D L E Konstruiraj
3
go vektorot:
o o v) oD oE o Odredi go vektorot [ od ravenkata: o o o o o o a) [ D E §¨ D E ¡¸ [ o o Š o oš o b) D E [ D [ o o o o o o v) D [ E E § D [ ¡ o o
2
9
¸ š
o o
o o o o¡ ¸ š
o o
D E
Neka to~kite A, B, C i D se kolinearni i neka M i N se sredini na otse~kite AB i CD, soodvetno. Poka`i deka:
o $& o %' o $' o %& o
b) D E
¨ Š
o o
A
Zada~i
a) D E
o o
o o o
oE
Konstruiraj go vektorot F koristej}i go svojstvoto F
1
o o
a) §¨ D E ¡¸ §¨ D E ¡¸ Š š Š š § ¡ § ¡ b) ¨ D E ¸ ¨ D E ¸ Š š Š š v) §¨ D E F ¡¸ E §¨ D E F Š š Š
D
o ¨ Š
E
§o o¡ D E
C
o
o o 2% 2&
D
oD o o o 2& D E
Uprosti go izrazot:
o
o
5
01
4
Neka to~kata S e presek na dijagonalite na paralelogramot ABCD i neka O e proizvolna to~ka. Doka`i deka:
o 2$ o 2% o 2& o 2' o
26
5
Doka`i deka sredinite na stranite na koj bilo ~etiriagolnik se temiwa na paralelogram.
PRIMENA NA VEKTORI
Nekoi matemati~ki tvrdewa mo`e da se doka`uvaat na mnogu ednostaven na~in so pomo{ na vektori. Primenata na vektorite }e ja poka`eme vo slednite zada~i. Srednata linija na triagolnik e paralelna na stranata so koja{to nema zaedni~ki to~ki i nejzinata dol`ina e ednakva na polovina od dol`inata na taa strana. C Dokaz. Neka % $ e sredna linija na triagolnikot ABC (crte`). Spored praviloto za sobirawe na vektori imame: o o o o o o o A1 B1 % $ % & &$ i % $ % $ $% %$ So sobirawe na ovie dve o o o o o o B ravenstva dobivame: % $ % & &$ % $ $% %$ A o o o o §o o¡ §o o¡ o o $% Ottuka sleduva deka % $ $% ¨ % & % $ ¸ ¨ &$ %$ ¸ % $ $% t.e. % $ Š š Š š o o $% i % $ % $% _ % $ _ _ $% _ t.e. % $ 1
oo
80
2
Doka`i deka srednata linija na trapez e ednakva na poluzbirot od osnovite na trapezot i e paralelna so niv. Upatstvo. Koristi go re{enieto na prethodnata zada~a.
Neka M e sredna to~ka na otse~kata AB i neka O e proizvolna to~ka. Doka`i deka o o o A 20 2$ 2% M Dokaz. Spored praviloto za sobirawe na vektori imame: o o o o o o 20 2$ $0 i 20 2% %0 So sobirawe na ovie dve ravenstva O B o o o § o o¡ o o dobivame 20 2$ 2% ¨ $0 %0 ¸ Bidej}i $0 %0 (sprotivni vektori), sleduva Š š o o o o o o deka 20 2$ 2% od kade {to 20 2$ 2% 3
o
4
Neka A1, B1 i C1 se sredini na stranite na triagolnikot ABC. o o o Doka`i deka: $$ %% &&
o
Dokaz. So primena na re{enieto na prethodnata zada~a imame:
o o o o o o o o A $% $& %% %$ %& && &$ &% pa o o o § o o¡ § o o¡ § o o ¡ o o o $$ %% && $% %$ $& &$ %& &% $$ t.e. ¸ ¨ ¸ ¨ ¸ %% && ¨Š š Š š Š š
C A1
B1
o $$
B
C1
o o o o
Zada~i 1
Neka T e te`i{te na triagolnikot ABC i
4
Daden e ~etiriagolnik ABCD, taka {to
5
Doka`i deka te`i{nata linija t c na
neka O e proizvolna to~ka. Doka`i deka:
o 27
2
§ o o o ¡ 2$ 2% 2& ¸ ¨Š š
Neka T e te`i{te na triagolnikot ABC i neka O e proizvolna to~ka. Doka`i deka:
o o o 7$ 7% 7& 3
o
o o $% '& Doka`i deka o o o $& %' %&
triagolnikot ABC e pomala od
&$ &%
Doka`i deka sredinite na stranite na romb se temiwa na pravoagolnik.
81
10
TEMATSKI KONTROLNI ZADA^I
Vo zada~ite 1 i 2 dopolni gi re~enicite: 1
Dva agli se naporedni, ako
2
Dva vektori se kolinearni, ako Vo narednite tri zada~i samo eden odgovor e to~en. Odgovori koj e toj.
3
Dadeni se ~etiri to~ki, od koi tri se kolinearni. So dadenite to~ki se opredeleni: 1; 3; 4 ili 6 pravi.
4
Vo edna kru`nica tetivata {to e dolga 16 cm od centarot na kru`nicata e oddale~ena 15 cm. Radiusot na kru`nicata e: a) 17 cm; b) 24 cm; v) 8 cm; g) 20 cm.
5
Kolku ramnini se opredeleni so dve razli~ni paralelni pravi? a) 2; b) nitu edna; v) beskone~no mnogu; g) 1.
6
Vo eden mnoguagolnik zbirot na vnatre{nite agli e 10800. Odredi go vkupniot broj na dijagonali {to mo`e da se povle~at vo toj mnoguagolnik.
7
Zbirot od agolot D i dvata negovi naporedni agli e 2450. Odredi go agolot D
8
Niz dve pravi {to se se~at minuva edna i samo edna ramnina. Doka`i.
9
Sprotivnite agli vo tetiven ~etiriagolnik se suplementni. Doka`i.
10
Na stranite na paralelogramot ABCD se ozna~eni vektori (crte`). Koi vektori se: a) sprotivni; b) kolinearni; v) ednakvi?
C
D
A
B
11
Pravata a ja proboduva ramninata 6 vo to~kata M. Pravata b le`i na ramninata 6 no ne minuva niz to~kata M. Odredi go me|usebniot odnos na pravite a i b.
12
Doka`i deka sredinite na stranite na rombot se temiwa na pravoagolnik. 82
TEMA 3
TRIGONOMETRISKI FUNKCII OD OSTAR AGOL
T
SODR@INA NA TEMATA
1
Sli~ni triagolnici ..................... 84
7
Re{avawe na pravoagolen triagolnik .................................... 103
2
Sinus, kosinus, tangens i kotangens od ostar agol ............... 87
8
Zada~i od primena na trigonometriskite funkcii .................... 111
9
Sinus i kosinus na agli pogolemi od q ............................................. 114
3
Trigonometriski funkcii od komplementni agli ....................... 91
4
Vrednosti na trigonometriskite funkcii od 300, 450, 600 ............. 93
5
Vrski me|u trigonometriskite funkcii od ist agol .................... 94
6
Menuvawe na trigonometriskite funkcii ako agolot se menuva od q do q ........................................ 99
10 Grafici na funkciite sinus i
kosinus .......................................... 117
11 Tematski kontrolni zada~i ...... 122
83
1
SLI^NI TRIAGOLNICI Ako dol`inite na ~etiri otse~ki $$ D %% E && F L '' G obrazuvaat nekoja proporcija, na primer D E F G toga{ za tie
Potseti se! Mnoguagolnik so tri strani se vika triagolnik.
otse~ki velime deka se proporcionalni. Proveri dali se proporcionalni otse~kite so dol`ini: a) 2, 3, 10, 15; b) 4, 8, 12, 16.
Za koj triagolnik se veli deka e: raznostran; ramnokrak; ramnostran?
Ako dvata kraka od eden agol se prese~at so dve razli~ni paralelni pravi, toga{ otse~kite {to se napraveni na edniot krak se proporcionalni so soodvetnite otse~ki na drugiot krak (Talesova teorema).
Kako se delat triagolnicite spored aglite? Koj triagolnik e: pravoagolen; tapoagolen; ostroagolen?
A
Za dva triagolnika ABC i $ % & velime deka se sli~ni, ako trite agli od edniot triagolnik soodvetno se ednakvi na trite agli od drugiot triagolnik i soodvetnite
strani im se proporcionalni, t.e.
'$ '$ '% ' % ' & ' &
$% $ %
%& % &
$& $ &
Vo toj slu~aj pi{uvame: '$%& '$ % &
1
C1
C
B
A
L
Vo '()* na crte`ot, otse~kata ./ % () Poka`i deka '()* './*
G
B1
A1 F
K
E
Za ednakvosta na aglite, iskoristi go svojstvoto na agli so paralelni kraci. Za proporcionalnosta na soodvetnite strani primeni ja Talesovata teorema za proporcionalni otse~ki. Sli~nosta na dva triagolnika mo`e da se utvrdi i pri pomalku uslovi (otkolku vo definicijata) so pomo{ na nekoj od slednite tri priznaci za sli~nost na triagolnici. Dva triagolnika se sli~ni: 1) ako im se ednakvi po dva agli; 2) ako dve strani na edniot se proporcionalni so dve strani na drugiot triagolnik, a aglite {to se zafateni od tie strani se ednakvi; 3) ako trite strani na edniot se proporcionalni so trite strani na drugiot triagolnik. 84
2
Proveri dali se sli~ni triagolnicite ABC i $ % & ako: a) %&
$&
b) %&
$&
'& '&
q % &
$ &
q % &
$ &
'& '&
q
q
3
Dali se sli~ni triagolnicite so strani: a) 3, 4, 5 i 6, 8, 10; b) 2, 2, 3 i 6, 6, 8; v) 9, 12, 18 i 3, 6, 4?
4
Kako glasat priznacite za sli~ni pravoagolni triagolnici?
B
Triagolnikot kako forma e mnogu rasprostraneta vo prirodata, vo tehnikata, pri prakti~ni merewa i sli~no. So ovaa forma ti si se zapoznal u{te pred da pojde{
vo u~ili{te. Poznato e deka, sekoj triagolnik, mo`e so edna svoja visina da se razlo`i na dva pravoagolni triagolnici. Od druga strana, pak, pravoagolniot triagolnik se sre}ava i kako sostaven del na mnogu geometriski figuri kako {to se: pravoagolnikot, rombot, deltoidot, pravilnite mnoguagolnici itn. Zna~i, so pomo{ na pravoagolniot triagolnik mo`e da se izu~uvaat razni drugi geometriski figuri i da se re{avaat mnogu prakti~ni zada~i od sekojdnevniot `ivot, pa i poslo`eni problemi od oblasta na grade`ni{tvoto, geodezijata, ma{instvoto i tehnikata voop{to. Zatoa nemu }e mu posvetime posebno vnimanie. Najprvo, }e se potsetime na nekoi poimi i svojstva vo vrska so nego. Osnovni elementi na pravoagolniot triagolnik se negovite strani (katetite i hipotenuzata) i negovite ostri agli. Katetite na '$%& (crte`) }e gi ozna~uvame so D i E negovata hipotenuza so F a ostrite agli so D i E istite oznaki }e gi koristime i za nivnite merni broevi, soodvetno. Pritoa:
B
b a
F
- katetata sproti agolot D }e ja ozna~uvame so D i }e ja vikame nalegnata za agolot E i sprotivna na agolot D
D C
- katetata sproti agolot E }e ja ozna~uvame so E i }e ja vikame nalegnata za agolot D i sprotivna za agolot E
b
A
Za osnovnite elementi na pravoagolniot triagolnik $%& e to~no:
D E
F D E
q 85
Pravoagolniot triagolnik e napolno opredelen ako mu se poznati samo dva osnovni elementi od koi barem eden e strana. (Zo{to?) Da se re{i pravoagolen triagolnik zna~i od zadadenite uslovi vo zada~ata da se odredat site osnovni elementi na toj triagolnik. Slednive zada~i se poznati pod imeto osnovni zada~i za re{avawe pravoagolen triagolnik:
V
1. Da se re{i pravoagolen triagolnik ako se poznati dvete kateti. 2. Da se re{i pravoagolen triagolnik ako se poznati hipotenuzata i edna kateta. 3. Da se re{i pravoagolen triagolnik ako se poznati edna kateta i eden ostar agol. 4. Da se re{i pravoagolen triagolnik ako se poznati hipotenuzata i eden ostar agol.
So dosega{nite znaewa navedenite osnovni zada~i mo`e da se re{avaat samo delumno. Na primer: vo zada~ite 1 i 2, so koristewe na Pitagorovata teorema mo`e da se presmeta hipotenuzata, odnosno drugata kateta; vo 3 i 4 mo`e da se najde drugiot ostar agol - i samo tolku. No, ne mo`eme da gi najdeme aglite vo zada~ite 1 i 2, nitu stranite vo 3 i 4. Za taa cel potrebno e da se vospostavi opredelena vrska me|u ostrite agli i odnosite na stranite vo pravoagolniot triagolnik. Takva vrska ni ovozmo`uva voveduvaweto na takanare~enite trigonometriski funkcii.
Zada~i 1
Znaej}i deka '$%& '345 odredi gi x i y spored crte`ot. R C 12 A
2
6
15
x B
P
3
10 y
M
Q
Na crte`ot e dadeno '$%& '01& Odredi gi &% L 01 ako: &0
M A 86
&1 C
$% L &$
N
Na crte`ot vo '$%& e povle~ena visinata CD i MN||AB. Kolku pravoagolni triagolnici gleda{ i koi od niv se sli~ni me|u sebe? C
4
S
N
D A B Vo trapezot ABCD, so osnovi AB i CD, dijagonalite AC i BD se se~at vo to~kata S. a) Doka`i deka '$%6 '&'6 b) Odredi ja &' ako:
B
$% $6
L 6&
5 Zadadeni se pravoagolnite triagolnici $%& so D
E
$ % & so D
6 Nacrtaj tri razli~ni pravoagolni triagolnici koi imaat ednakvi po eden ostar agol D i izmeri im gi stranite. Presmetaj gi odnosite na sprotivnata kateta na agolot D i hipotenuzata od site tri triagolnici. Dali tie triagolnici se sli~ni?
i
F
a) Poka`i deka tie triagolnici se sli~ni. b) Odredi go razmerot na sprotivnata kateta na agolot D i hipotenuzata vo '$%& i na agolot D vo '$ % &
7
Nacrtaj dva pravoagolni triagolnici $&% i $ & % i ozna~i gi nivnite osnovni elementi. Poka`i deka: ako D
D F
D F
SINUS, KOSINUS, TANGENS I KOTANGENS OD OSTAR AGOL
2
A
Potseti se! [to e razmer? Za koi triagolnici se veli deka se sli~ni? Pri koi uslovi dva pravoagolni triagolnici se sli~ni?
Za site ovie triagolnici agolot D e zaedni~ki, {to zna~i deka sekoj od niv e sli~en so '$%&
% & $%
% & $%
$& N $%
$& $%
$& $%
Na crte`ot e daden ostriot agol
[$\ D Na krakot $\ zemame proizvolni to~ki B, B 1, B 2, ... Od to~kite % % % povlekuvame normali na krakot $[ i dobivame pravoagolni triagolnici $%& $%& $% & \ % % %
Od sli~nosta na triagolnicite sleduva proporcionalnost na nivnite soodvetni strani, t.e.
%& $%
D toga{
F
$
D E
a
&
&
&
[
Iska`i go so zborovi zna~eweto na ovie ravenstva. Vo site pravoagolni triagolnici so ostar agol D odnosot na sprotivnata kateta na toj agol D i hipotenuzata e eden ist broj (vrednosta na razmerot D F , kade {to D
%& F
$% .
Vo site pravoagolni triagolnici so ostar agol D odnosot na nalegnatata kateta na toj agol D i hipotenuzata e eden ist broj (vrednosta na razmerot E F , kade {to E
$& F
$%
87
Toj broj, t.e. koli~nikot
D se vika sinus od agolot D i se ozna~uva so VLQD F
Toj broj, t.e. koli~nikot
E se vika kosinus od agolot D i se ozna~uva so FRVD F
Zapomni!
Sinus od ostar agol vo pravoagolen triagolnik e odnosot na sprotivnata kateta na toj agol i hipotenuzata. Kosinus od ostar agol vo pravoagolen triagolnik e odnosot na nalegnatata kateta na toj agol i hipotenuzata. B
Za pravoagolniot triagolnik od crte`ot imame: VLQ D
D VLQ E F
E F
FRV D
E FRV E F
b
F
D F
D
A
a C
b
Odredi gi VLQD i FRVD od crte`ot, spored definicijata.
1 a)
6
8 a) VLQ D
B
b)
10
m
n
D p b) FRV D
Q S
D
v)
d
D
D
v) Iskoristi deka G
D D
%
Na crte`ot se dadeni pravoagolnite triagolnici $ &% i $ &% so zaedni~ka kateta BC, razli~ni agli D z D i razli~ni hipotenuzi $ % z $ %
Poradi toa
&% &% z odnosno VLQ D z VLQ D $ % $ %
Zna~i, ako D z D toga{ VLQ D z VLQ D Od seto pogore izneseno mo`e da se zaklu~i deka: Sinus na koj bilo ostar agol D e odreden broj. 88
D
$
D $
&
So menuvawe na agolot D se menuva i VLQ D t.e. VLQD e funkcija od agolot D Analogno, na crte`ot se dadeni pravoagolnite
%
triagolnici $&% i $&% so zaedni~ka kateta $&
%
razli~ni agli D z D i razli~ni hipotenuzi $% z $% O~igledno e deka
$& $& z odnosno FRV D z FRV D $% $%
D D
$
&
Zna~i, ako D z D toga{ FRV D z FRV D Kosinus na koj bilo ostar agol D e odreden broj. So menuvawe na agolot D se menuva i FRV D t.e. FRVD e funkcija od agolot D
V
%
Me|u katetite D i E na pravoagolniot triagolnik $%& daden na crte`ot, mo`e da se formiraat slednive razmeri D E i E D
Vrednostite na tie razmeri ostanuvaat isti vo site pravoagolni triagolnici so zadaden ostar agol D a
F
$
D
D E
&
se menuvaat koga agolot D }e se promeni. Obidi se da go voo~i{ toa. Pritoa potseti se kako dojdovme do poimot sinus, odnosno kosinus od ostar agol. So razmerite D E i E D se opredeleni dve drugi funkcii. Koli~nikot D E se narekuva tangens od agolot D koj{to le`i sproti katetata D vo '$%& a koli~nikot E D e kotangens na toj agol; tie se ozna~uvaat so WJD odnosno FWJD Zapomni!
Tangens od ostar agol vo pravoagolen triagolnik e odnosot na sprotivnata i nalegnatata kateta na toj agol. Kotangens od ostar agol vo pravoagolen triagolnik e odnosot na nalegnatata i sprotivnata kateta na toj agol. 89
Za pravoagolniot triagolnik od crte`ot imame: WJ D
D FWJ D E
E D
Odredi gi WJD i FWJD od crte`ot, spored definicijata.
2
D
a)
]
[
b)
v) VLQ D
D E
Zapomni!
D WJ D E
K D
D
\
K FRV D E
E
K FWJ D D
D K
v)
L
E
K
D
D
D
D K
Funkciite VLQ D FRV D WJ D i FWJD se vikaat osnovni trigonometriski funkcii. Vrz osnova na ovie funkcii e izgradena posebna matemati~ka disciplina koja se vika trigonometrija. Imeto trigonometrija poteknuva od dvata gr~ki zbora: trigonon, {to zna~i triagolnik i metria, {to zna~i mera. Trigonometrijata denes nao|a {iroka primena. Taa e osobeno zna~ajna, pa duri i nezamenliva vo mehanikata, astronomijata, navigacijata i tehnikata.
Zada~i 1 Odredi gi vrednostite na trigonometriskite funkcii od aglite D i E na pravoagolniot triagolnik, ako D i E se kateti, a F e hipotenuza na triagolnikot: a) D E b) D F v) E F g) D E
2 Konstruiraj go ostriot agol D ako e dadena
3 Odredi ja pribli`no visinata na drvo, ~ija
4 Odredi gi vrednostite na trigonometris-
vrednosta na trigonometriskata funkcija: a) VLQ D v) WJ D
b) FRV D
g) FWJ D
senka e dolga 5 m, a son~evite zraci pa|aat
kite funkcii od ostar agol vo pravoagolen
pod agol od q
triagolnik, ako negovite kateti se odnesuvaat kako
90
3
TRIGONOMETRISKI FUNKCII OD KOMPLEMENTNI AGLI
Potseti se!
A
Dva agli ~ij zbir e q se vikaat komplementni agli.
B
Odredi go komplementniot agol na D ako a) D
q b) D
q v) D
Na crte`ot e daden pravoagolen triagolnik $%&
q
a
Vo pravoagolniot triagolnik ostrite agli se komplementni, t.e. D q E i E q D
b
F
C
Od definicijata na sinus, odnosno kosinus, imame: VLQ D
D
b
D F
A
FRV E FRV D
E F
VLQ E
Ako namesto E vo gornite ravenstva zamenime q D }e dobieme FRV q D FRV D
VLQ D
Na primer, ako D 1
q i E
q bidej}i D E
Odredi go ostriot agol D ako:
VLQ q D
q imame VLQ q FRV q FRV q VLQ q
a) VLQ D
VLQ q b) VLQ D
FRV q
Poznato ti e deka: ako D z D toga{ VLQ D z VLQ D Poradi toa, ako VLQ D VLQ D toga{ D D Zapomni, vakva implikacija e to~na i za FRV D WJ D i FWJ D Spored toa: a) od VLQ D
VLQ q sleduva deka D
q
b) od VLQ D
FRV q VLQ q q t.e. od VLQ D
VLQ q sleduva deka D
q
Odredi go ostriot agol D ako:
2
a) VLQ D
B
VLQ q b) VLQ D
FRV q v) FRV D
FRV q g) FRV D
VLQ q
Po analogija mo`eme da dojdeme i do vrskite me|u tangensite i kotangensite od komplementni agli, t.e. WJ D
FWJ D
FWJ D
WJ D
Ovie dve ravenstva obidi se da gi doka`e{ sam. 3
Odredi go agolot D q D q od ravenstvoto:
a) WJ D Re{enie.
WJ q b) WJ q FWJ D v) WJ D q FWJ q g) FWJ D q WJ q
g) Prv na~in. FWJ D q FWJ q q FWJ q D q q D Vtor na~in. Od FWJ D
WJ E sleduva deka D E
q
pa D c t.e. D
c
91
4
Uprosti go izrazot: a) VLQ q FRV q
b)
a) VLQ q FRV q VLQ q VLQ q VLQ q
WJ q FWJ q WJ q FWJ q ili
VLQ q FRV q FRV q FRV q FRV q b)
5
WJ q FWJ q WJ q FWJ q
WJ q WJ q WJ q WJ q
Uprosti go izrazot: a)
WJ q WJ q
VLQ q FRV q VLQ q FRV q
b)
WJ q FWJ q WJ q
Obi~no, za funkcijata kosinus se veli deka e kofunkcija na sinus, a za sinus deka e kofunkcija na kosinus. Za funkcijata kotangens se veli deka e kofunkcija na tangens, a za tangens deka e kofunkcija na kotangens. Od seto toa {to e iska`ano dosega mo`e da se zaklu~i deka: Zapomni! Sekoja trigonometriska funkcija od daden ostar agol e ednakva so soodvetnata kofunkcija od negoviot komplementen agol.
Zada~i 1
Odredi go ostriot agol D ako:
4
a) VLQ q
FRVD
D E
b) FRV q
VLQ D
a) VLQ D FRV E
v) FWJ D
WJ q
g) FWJ q
q
b) FRV D VLQ E
WJ D
5
g) FRV D VLQ E
v) VLQ D FRV E
2 Odredi go ostriot agol D ako: a) VLQ D q VLQ q b) FRV D q FRV q v) WJ D q FWJ q g) FWJ D q WJ q d) WJ D q FWJ D q |) VLQ D q FRV q D 3
Uprosti go izrazot, ako se znae deka
Dali postoi ostar agol D koj{to go ima slednoto svojstvo: sekoja trigonometriska funkcija od toj agol e ednakva so soodvetnata kofunkcija od istiot agol?
Uprosti go izrazot: a)
92
VLQ q FWJ q FRV q WJ q
b)
VLQ q ˜ FRV q FRV q VLQ q
v)
VLQ q FRV q VLQ q FRV q
g)
WJ q FWJ q WJ q FWJ q
VREDNOSTI NA TRIGONOMETRISKITE FUNKCII OD 300, 450, 600
4
A
Potseti se! Kolku iznesuvaat ostrite agli kaj ramnokrak pravoagolen triagolnik? Koj triagolnik e ramnostran i kolku iznesuvaat negovite agli? Visinite kaj ramnostran triagolnik se sovpa|aat so : te`i{nite linii, simetralite na stranite i simetralite na aglite. Visinata na ramnostran triagolnik so strana
D e ednakva na
VLQ q
WJ q
D K
VLQ q
2
D D
D
D
D
C
FRV q
FRV q
Odredi gi vrednostite na trigonometriskite funkcii za D q Re{enie: Da zememe ramnostran triagolnik ABC so strana a. Od temeto C spu{tame visina && K Agolot $&& iznesuva q i e ostar agol od pravoagolniot triagolnik $& & Od triagolnikot $&& i definicijata za trigonometriskite funkcii imame: 1
K D
D D
FWJ q
WJ q
K D
D D
FWJ q
q
a
A
h
q D
Odredi gi vrednostite na trigonometriskite funkcii za D
B
&
q
a
c
q
Re{enie. Neka a e kateta na ramnokrakiot triagolnik ABC daden na crte`ot. a Toga{ spored Pitagorovata teorema imame: F D od kade {to F D D D Spored definicijata na trigonometriskite funkcii, dobivame: VLQ q F D D WJ q Kolku e FRV q " Kolku e FWJ q " D Koristej}i go svojstvoto na trigonometriski 3 Zapomni! funkcii od komplementni agli odredi gi vrednostite na trigonometriskite funkcii za D q q q q sin VLQ q FRV q FRV q VLQ q cos 1/2 1 tg WJ q FWJ q FWJ q WJ q ctg 1 93
FRV q VLQ q VLQ q FRV q b) Odredi ja vrednosta na izrazot: a) VLQ q FRV q WJ q ˜ WJ q
B
4
FRV q VLQ q a) VLQ q FRV q
b) b)
VLQ q FRV q
§ · ¨ ¸ © ¹
WJ q ˜ WJ q
˜ ˜
Odredi ja vrednosta na izrazot:
5
a) VLQ q VLQ q b) VLQ q ˜ WJ q FRV q ˜ FWJ q Proveri ja to~nosta na ravenstvoto FRV q FWJ q WJ q FWJ q
6
FRV q FWJ q WJ q FWJ q
Zada~i Odredi ja vrednosta na izrazot (1 - 5): a) VLQ q FRV q b) WJ q WJ q WJ q WJ q
2 3
a)
VLQ q FRV q
WJ q FWJ q
b)
5
S S S WJ FWJ b) a) S S S VLQ FRV FRV
6
Proveri ja to~nosta na ravenstvoto: b) FRV q FWJ q
FWJ q WJ q VLQ q FRV q
a) VLQ q FRV q WJ q
a) VLQ q ˜ FRV q ˜ WJ q b) WJ q VLQ q FRV q
5
VLQ
a) VLQ q FRV q
b) VLQ q FRV q FWJ q
4
Proveri ja to~nosta na ravenstvoto: a) VLQ q FRV q WJ q b) FRV q VLQ q FWJ q
7
1
7
WJ q FWJ q
v)
VLQ q FRV q FRV q VLQ q
g)
WJ q FWJ q
VLQ q FRV q
Kolkava e senkata na drvoto ~ija visina e 8 m, ako son~eviot zrak so stebloto na drvoto zafa}a agol od: a) q b) q v) q "
VRSKI ME\U TRIGONOMETRISKITE FUNKCII OD IST AGOL
Potseti se! [to e: a) sinus; b) kosinus; v) tangens; g) kotangens od ostar agol vo pravoagolen triagolnik? Spored podatocite na crte`ot, odredi: a) VLQ D FRV D WJ D FWJ D b) VLQ E FRV E WJ E FWJ E
94
2
E
3
D
A
1
B
Vo pravoagolniot triagolnik ABC odredi gi:
b
a) vrednostite na VLQD i FRV D b) brojnata vrednost na VLQ D FRV D a) Spored definicijata imame VLQD b) VLQ D FRV D
D E F F
D E F
F F
D F
FRVD
D
E F
C
VLQ D FRV D
Zna~i,
F
a
A
b
Ova e edna od osnovnite vrski me|u sinusot i kosinusot od eden ist agol D
Na primer, za D 2
§ · § · q imame: VLQ q FRV q ¨¨ ¸¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹
Proveri direktno deka: a) VLQ q FRV q b) VLQ q q So primena na formulata VLQ D FRV D dvete funkcii.
3
Odredi go FRV D ako VLQ D
mo`e da ja odredime vrednosta na edna od
Dadenata vrednost na VLQ D }e ja zamenime vo ravenstvoto VLQ D FRV D
§ · ¨ ¸ FRV D © ¹
od kade {to FRV D
§ · ¨ ¸ pa FRV D © ¹
Voo~i: Od osnovniot trigonometriski identitet VLQ D FRV D VLQ D
FRV D t.e. FRV D
4
Odredi go FRV D ako VLQ D
5
Odredi go VLQ D ako FRV D
6
Uprosti go izrazot: a) VLQ D FRV D
t.e.
sleduva:
VLQ D
b) FRV D ˜ FRV D
a) VLQ D FRV D VLQ D FRV D b) FRV D ˜ FRV D FRV D 7
VLQ D
Uprosti go izrazot: a) VLQ D ˜ VLQ D
b)
FRV D FRV D 95
B
VLQ D FRV D
Doka`i deka: a) WJ D
8
b) FWJ D
FRV D VLQ D
v) WJ D ˜ FWJ D B
Od definiciite na trigonometriskite funkcii
VLQ D a) WJ D
D i FRV D F
D E
E imame D F
F ˜ VLQ D F ˜ FRV D
v) WJ D ˜ FWJ D
VLQ D FRV D
F ˜ VLQ D i E
E D
b) FWJ D
b
F ˜ FRV D
F ˜ FRV D F ˜ VLQ D
a
FRV D VLQ D
F
D C
D E ˜ E D
b
A
So re{enieto na zada~ata 8, vsu{nost, dobivme u{te tri osnovni vrski me|u trigonometriskite funkcii:
VLQ D FRV D
WJ D
Na primer, WJ q ˜ FWJ q 9
˜
Odredi go FWJ D ako WJ D Od WJ D ˜ FWJ D
FWJ D
WJ D ˜ FWJ D
pa FWJ D WJ D
sleduva deka FWJ D
Voo~i: Od WJ D ˜ FWJ D
FRV D VLQ D
sleduva WJ D
FWJ D FWJ D
t.e. WJ D
funkciite tangens i kotangens od ist agol se recipro~ni. Odredi go a) FWJ D ako WJ D
10
b) WJ D ako FWJ D
So pomo{ na osnovnite vrski me|u trigonometriskite funkcii, ako e zadadena vrednosta na edna od niv, mo`e da se odredat vrednostite na ostanatite tri funkcii. 11
Odredi gi vrednostite na VLQ D WJ D FWJ D ako FRV D Prvo }e go odredime VLQ D t.e. VLQ D
Potoa, WJ D
96
VLQ D FRV D
FWJ D
WJ D
FRV D
§ · ¨ ¸ © ¹
Zapomni! Ako D e koj bilo ostar agol, toga{ se to~ni ravenstvata:
VLQ D FRV D FWJ D FRV D VLQ D koi se vikaat osnovni trigonometriski identiteti. VLQ D FRV D
12
WJ D
Odredi gi vrednostite na FRV D WJ D FWJ D ako VLQ D
V 13
WJ D ˜ FWJ D
]e razgledame u{te nekoi zada~i koi se re{avaat so koristewe na osnovnite vrski me|u trigonometriskite funkcii. Odredi gi vrednostite na VLQ D FRV D FWJ D ako WJ D
WJ D
Prvo }e go odredime FWJ D t.e. FWJ D
VLQ D
Od WJ D
VLQ D VLQ D imame deka FRV D FRV D
t.e.
˜ FRV D Ako ovaa vrednost za VLQD ja zamenime vo ravenstvoto VLQ D FRV D }e
§ ˜ FRV D · dobieme: ¨ ¸ FRV D © ¹
dobivame FRV D FRV D Na kraj VLQ D
FRV D
FRV D FRV D _ ˜ Mno`ej}i go ravenstvoto so
FRV D
FRV D
˜
od kade {to FRVD
Ako e dadena vrednosta na funkcijata WJD ili FWJ D toga{ vrednosta na VLQD ili FRVD mo`e da se odredi i na sledniot na~in. Na primer, ako FWJ D
odredi gi vrednostite
VLQ D FRV D i WJ D
Re{enie. Od FWJ D imame:
sleduva deka WJ D
VLQ D FRV D FRV D FRV D
§ · ¨ ¸ FRV D © ¹
Ako ravenstvoto VLQ D FRV D
So zamena za WJ D t.e. WJ D FRV D FRV D
pa FRV D FRV D
Od VLQ D FRV D sleduva deka VLQ D
t.e. FRV D
go podelime so FRV D
dobivame
97
Do istoto re{enie }e dojde{ ako gi primeni{ formulite
WJ D
VLQ D
WJ D
;
FRV D
WJ D
14
Odredi gi vrednostite na VLQ D FRV D WJ D ako FWJ D
15
Poka`i deka e to~no ravenstvoto: WJ D VLQ D
WJ D ˜ VLQ D
Vakvite ravenstva se narekuvaat trigonometriski identiteti, bidej}i vo niv se sre}avaat trigonometriski funkcii. Nivnata to~nost mo`e da se poka`e na dva na~ina: 1. Se transformiraat i levata i desnata strana na ravenstvoto, se dodeka ne se dojde do o~igledno vistinito ravenstvo; 2. Se transformira samo ednata strana na ravenstvoto i se nastojuva da se dojde do drugata. Dadenoto ravenstvo }e go doka`eme na dvata na~ini. 1. WJ D VLQ D
WJ D ˜ VLQ D œ
VLQ D VLQ D FRV D
VLQ D ˜ VLQ D œ FRV D
VLQ D FRV D ˜ œ ˜ FRV D VLQ D
FRV D FRV D
§ ¡ Âœ VLQ D ¨ ¸ Š FRV D š
VLQ D ˜
FRV D FRV D
2. ]e ja transformirame levata strana na ravenstvoto, pa imame:
WJ D VLQ D
VLQ D VLQ D FRV D
FRV D § ¡ ˜ VLQ ˜ ¨ VLQ D ¸ FRV D Š FRV D š
VLQ D ˜ VLQ D FRV D
WJ D ˜ VLQ D
Zabele{ka. Pri koristewe na ovoj na~in na doka`uvawe, mo`e da se transformira desnata strana na ravenstvoto i da se dobie levata. Za ova ravenstvo, obidi se toa da go napravi{ sam. Poka`i deka e to~no ravenstvoto: a) FRV D VLQ D
16
b) VLQ D FRV D VLQ D FRV D
VLQ D
v) VLQ D ˜ VLQ D ˜ WJ D FWJ D FWJ D
Zada~i Vo zada~ite od 1-4 odredi gi vrednostite na ostanatite trigonometriski funkcii , ako e dadena edna funkcija:
1 a) VLQ D 3 a) WJ D 98
b) VLQ D b) WJ D
v) VLQ D v) WJ D
2 a) FRV D
b) FRV D
v) FRV D
4 a) FWJ D
b) FWJ D
v) FWJ D
Uprosti go izrazot vo zada~ite (5 - 12): 5 a) VLQ D VLQ D ˜ VLQ D
b) FRV D ˜ VLQ D FRV D
7 a) VLQ D ˜ VLQ D b)
FRV D ˜ FRV D
6 a) VLQ D VLQ D ˜ FRV D
b) FRV D VLQ D ˜ FRV D
8 a)
VLQ D FRV D VLQ D
b)
FRV D VLQ D FRV D
9 a)
FRV D FRV D VLQ D VLQ D
10 a)
b)
VLQ D VLQ D FRV D FRV D
b)
11 a) WJ D WJ D ˜ VLQ D
b) FWJ D FWJ D ˜ FRV D Doka`i ja to~nosta na ravenstvoto (13-17):
13
VLQ D FRV D
FRV D VLQ D z VLQ D
14
FRV D VLQ D FWJ D VLQ D FRV D
15 a) WJ D FWJ D
VLQ D z FRVD z VLQ D ˜ FRVD
b) WJ D FWJ D
6
FWJ D FRV D z FRV D
VLQ D FRV D VLQ D FRV D FRV D VLQ D FRV D VLQ D
12 a) WJ D WJ D
b) FWJ D FWJ D
16 a) WJ D WJ D
b)
17 a)
VLQ D FRV D FWJ D WJ D WJ D WJ D
b)
FRV D
VLQ D FRV D
FWJ D FWJ D
WJ D WJ E FWJ D FWJ E
WJ D ˜ WJ E
MENUVAWE NA TRIGONOMETRISKITE FUNKCII AKO AGOLOT SE MENUVA OD 00 DO 900
Potseti se! Vo tabelata se dadeni vrednostite na trigonometriskite funkcii za agli od 300, 450 i 600. Podredi gi po golemina vrednostite na funkciite: a) VLQ D b) FRV D v) WJ D g) FWJD ako
D Â? ^ ` po~nuvaj}i od najmalata
sin
q
q
q
1/2
cos
tg
1
ctg
1
vrednost.
99
A
Pri re{avaweto na zada~ata vo Potseti se, ako to~no si rabotel, sigurno utvrdi deka VLQ q VLQ q VLQ q i WJ q WJ q WJ q dodeka FRV q ! FRV q ! FRV q i FWJ q ! FWJ q ! FWJ q
Od ova mo`e da se zaklu~i deka so zgolemuvawe na ostriot agol od q na q negoviot sinus i tangens isto taka se zgolemuva, a negoviot kosinus i kotangens se namaluva. ]e poka`eme deka toa va`i i za koi bilo drugi vrednosti na ostriot agol D Na crte`ot e nacrtana ~etvrtina od kru`nica so centar vo to~kata 2 i so radius 2% To~kite % % % se izbrani proizvolno na kru`nicata i od niv se spu{teni normali na krakot Ox ~ii podno`ja se to~kite & & & soodvetno. D D D se ostri agli vo pravoagolnite triagolnici 2& % 2& % 2& % i pritoa D D D Od crte`ot e jasno deka % & % & % & i 2%
2%
2%
pa poradi toa sleduva
% & % & % & t.e. VLQ D VLQ D VLQ D 2% 2% 2% Zna~i, ako ostriot agol D raste, toga{ i funkcijata VLQD raste, t.e. ako D D toga{ VLQ D VLQ D Dali rasteweto na VLQD e neograni~eno? Ne, bidej}i dol`inite na otse~kite % & % & % & sekoga{ se pomali od 20 t.e. VLQ D Zna~i, ako agolot D raste i se stremi kon q toga{ VLQD raste i se stremi kon 1. Ako, pak, D se namaluva i se stremi kon 0, toga{ VLQD opa|a i se stremi kon 0. Zatoa mo`eme da prifatime deka: VLQ q L VLQ q Zapomni: 1
ako q d D d q toga{ d VLQ D d
Podredi gi po golemina broevite VLQ q VLQ q VLQ q Bidej}i q q sleduva VLQ q VLQ q VLQ q
2
Podredi gi vo raste~ki redosled broevite: a) VLQ q VLQ q VLQ q b) VLQ q VLQ q VLQ q
100
B
Da se navratime u{te edna{ na crte`ot za da sogledame kako se menuva FRVD koga agolot D raste i se stremi kon q
Poradi 2& ! 2& ! 2& ! i 2%
2%
2%
sleduva deka
FRV D ! FRV D ! FRV D !
2& 2& 2& ! ! ! t.e. 2% 2% 2%
Zna~i, ako ostriot agol D raste taka {to da se stremi kon q toga{ funkcijata FRVD opa|a i se stremi kon nula. Bidej}i otse~kite 2& 2& 2& na crte`ot po dol`ina sekoga{ se pomali od 20
sleduva deka funkcijata FRVD sekoga{ e pomala od 1, t.e. FRV D Mo`eme da prifatime deka: FRV q i FRV q Zapomni:
ako q d D d q toga{ t FRV D t
Podredi gi po golemina broevite FRV q FRV q FRV q
3
Bidej}i q q q sleduva FRV q ! FRV q ! FRV q 4
Podredi gi vo raste~ki redosled broevite: a) FRV q FRV q FRV q b) FRV q FRV q FRV q
V
Na crte`ot se dadeni proizvolni pravoagolni triagolnici $&% $&% $&% Katetata
$& e zaedni~ka za site niv i nalegnata za aglite D D D pri {to D D D Od crte`ot e jasno deka, poradi
&% &% &% i $& sleduva deka
&% &% &% t.e. WJ D WJ D WJ D $& $& $& Zna~i, ako ostriot agol D raste, toga{ i funkcijata WJD raste, t.e. ako D D toga{ WJ D WJ D Rasteweto na agolot D e ograni~eno, bidej}i D q no rasteweto na WJD ne e ograni~eno. Sogledaj deka tangensite na agli blisku do q se mnogu golemi broevi. Imeno, ako D bi imal q toga{ negoviot krak bi bil paralelen so pravata &% Vo toj slu~aj velime: ako agolot D raste i se stremi kon q toga{ WJD raste neograni~eno, t.e. „se stremi kon beskone~nost”. Pi{uvame, ako D o toga{ WJ D o f 101
Mo`eme da prifatime deka WJ q Zapomni: 5
ako q d D q toga{ d WJ D f
Broevite WJ q WJ q WJ q WJ q i WJ q podredi gi vo raste~ki redosled. WJ q WJ q WJ q WJ q WJ q
Dali e to~no deka: a) WJ q b) WJ q v) WJ q ! "
6
G
Razgledaj go vnimatelno crte`ot i obidi se da go sogleda{ menuvaweto na funkcijata FWJ D ako ostriot agol D raste ili opa|a.
Jasno e deka mo`e da se prifati FWJ q Pritoa, ako D o q toga{ FWJ D o f Lesno mo`e{ da utvrdi{ deka: ako agolot D raste, toga{ funkcijata FWJD opa|a. Zapomni: Na primer, ako D
q i D
ako D d q toga{ FWJ D t q t.e. D D toga{ FWJ q ! FWJ q
Zada~i 1 Odredi koj broj e pogolem: a) VLQ q ili VLQ q b) FRV q ili FRV q v) WJ q ili WJ q g) FWJ q ili FWJ q
2
Koj od zadadenite broevi e najgolem, a koj najmal: a) VLQ q VLQ q VLQ q b) FRV q FRV q FRV q v) VLQ q FRV q VLQ q g) FRV q VLQ q FRV q
3 Koi od dadenite tvrdewa se to~ni: a) VLQ q VLQ q b) VLQ q VLQ q ! v) VLQ q FRV q ! g) FRV q VLQ q !
4
Odredi koj broj e pomal: a) WJ q ili WJ q
b) WJ q ili WJ q
v) FWJ q ili FWJ q g) FWJ q ili WJ q
102
5 Odredi go znakot na razlikite: a) WJ q b) WJ q v) WJ q g) WJ q FWJ q
d) WJ q FWJ q
6 Koi od dadenite tvrdewa se to~ni: a) WJ q b)
WJ q v) WJ q
g) WJ q
7 Podredi gi da opa|aat vrednostite na: a) sinusot; v) tangensot,
b) kosinusot; g) kotangensot
od aglite q q q q q
8 Odredi go znakot na izrazot: a)
VLQ q FRV q FRV q VLQ q b) WJ q FWJ q FWJ q WJ q
7
RE[AVAWE NA PRAVOAGOLEN TRIAGOLNIK
Potseti se! Geometriskata figura obrazuvana od dve polupravi so zaedni~ka po~etna to~ka i edniot del od ramninata ograni~en so niv se vika agol. Agol ~ii kraci obrazuvaat edna prava se vika ramen agol. Agol koj e polovina od ramniot agol se vika prav agol.
A
Agol {to e pomal od praviot agol se vika ostar agol. Agol {to e pogolem od praviot agol, a pomal od ramniot se vika tap agol. Dol`ina na kru`en lak se presmetuva so
S UDq kade {to U e radiusot q na kru`nicata, a D e soodvetniot centralen
formulata ? agol.
Dosega pove}e pati si merel razli~ni veli~ini: dol`ina, masa, plo{tina, volumen, temperatura, vreme. Za sekoja od ovie veli~ini postoi osnovna merna edinica.
Taka na primer, metarot e osnovna edinica za merewe dol`ina, kilogramot za masa, kvadratniot metar za plo{tina, kubniot metar za volumen, kelvin za temperatura i sekundata e osnovna merna edinica za vreme. Aglite, isto taka, mo`e da se sporeduvaat po golemina, {to zna~i deka i tie mo`at da se merat. Edna merna edinica za merewe na agli e stepen. ot del od praviot agol se vika stepen (se ozna~uva q ).
Pomali edinici od stepenot se: minuta (se ozna~uva ) i sekunda (se ozna~uva
). Eden stepen ima {eeset minuti, a edna minuta ima {eeset sekundi, t.e.:
q
q
˜
1
Slednite agli pretvori gi vo minuti: a) q b) q v) q
2
Slednite agli pretvori gi vo sekundi: a) q b) q v) q
Druga merna edinica za merewe na agli e gradus. Gradus J e ti del od praviot agol. Pomali edinici od gradusot se centizimalna minuta ( ili F ) i centizimalna sekunda (
ili FF ).
Eden gradus ima sto centizimalni minuti, a edna centizimalna minuta ima sto centizimalni sekundi, t.e.
J F
F
FF
J
˜
FF
FF 103
Od formulata za dol`ina na kru`niot lak ? centralen agol meren vo stepeni, imame:
S UD , kade {to agolot a e soodveten
S ˜D . U Ottuka sleduva deka odnosot na koj bilo kru`en lak i negoviot radius e konstanta i e ednakov za site laci koi imaat ist centralen agol, t.e. ?
? U
? U
? U
S ˜D , R
? ja karakterizira goleminata na centralniot agol a, pa mo`e da se zeme kako U meren broj na dol`inata na kru`niot lak.
Brojot
Ako ?
U toga{
? pa toj centralen agol e zemen kako edinica za merewe agli; taa se U
vika radijan.
Radijan e centralen agol {to mu odgovara na kru`en lak ~ija dol`ina e ednakva na radiusot na kru`nicata. Odredi vo kakva relacija se mernite edinici na agolot meren vo stepeni i meren vo radijani.
3
Od
? U
S ? ˜D i M sleduva deka R U
S ˜D , a D R R
M
˜ M UDG . S
Voo~i! Ako agolot M toga{
S ˜
Ako agolot M
UDG toga{ UDG
Ako agolot D
toga{
a
UDG
˜ c cc | c S
S ˜
S UDG ili | UDG
Izrazi go vo radijani agolot: a) 30o;
4
S UDG ili |
R
R
b) 45o;
§ ¡ § ¡ ¸ + ¨ ¸ = 48,41o, pa M Š š Š š
d) 48o24’36” = 48o + ¨
104
v) 90o;
g) 780o;
d) 48o24’36”
S ˜ R | UDG . R
B
Potseti se! Koi se osnovni elementi na pravoagolniot triagolnik? Za osnovnite elementi na pravoagolniot triagolnik e to~no D E
q D E
F
Koga pravoagolniot triagolnik e napolno opredelen? [to zna~i da se re{i pravoagolen triagolnik? Navedi gi ~etirite osnovni zada~i za re{avawe na pravoagolen triagolnik?
5
Agolot q
pretvori go vo stepeni.
Re{enie.
§ ¡ q § ¡ q q q ¨ ¸ ¨ ¸ Š š Š š
q q q q Zna~i q q 6
Agolot q pretvori go vo stepeni, minuti i sekundi.
Re{enie. Ovaa zada~a e obratna na prethodnata. Jasno e deka brojot na stepeni e q Minutite gi odreduvame vaka: q q q q ˜ zna~i imame Sega, da gi odredime sekundite: ˜
t.e.
Kone~no, q q
Re{i go pravoagolniot triagolnik, so zadadena hipotenuza F i ostriot agol D q
7
Re{enie. Treba da go odredime agolot E i katetite D i E Od D E Od
D
q sleduva E
q D
q q q
VLQ q sleduva D ˜ VLQ q FP
Katetata E
F D
FP
Obidi se katetata b da ja odredi{ so koristewe na a) kosinusnata; b) tangensnata funkcija. Pri re{avawe na pravoagolen triagolnik ~esto pati se javuva potreba da odreduvame vrednosti na trigonometriski funkcii od koj bilo agol. Vo matematikata postojat metodi so koi mo`e da se odredat pribli`ni vrednosti na ovie funkcii so golema to~nost. Sovremenite smeta~i ovozmo`uvaat presmetuvawe na tie vrednosti so golem broj to~ni decimali. Porano se koristea tablici za vrednostite na trigonometriskite funkcii so odreden broj decimali. Denes, proizvodstvoto na kalkulatori so takvi tehni~ki mo`nosti, ovie tablici gi istisna od upotreba. 105
Vo prodol`enie, niz konkretni primeri }e prosledime: a) odreduvawe na vrednostite na trigonometriskite funkcii za daden ostar agol; b) odreduvawe na agol spored dadena vrednost na trigonometriska funkcija. Kaj kalkulatorot se vgradeni 3 mo`nosti, vo zavisnost od osnovnata merna edinica za merewe na goleminata na agolot, i toa: 1. DEG - ako agolot se vnesuva i obrabotuva vo stepeni; 2. RAD - ako agolot se vnesuva i obrabotuva vo radijani; 3. GRA - ako agolot se vnesuva i obrabotuva vo gradusi. Na~inot na koj se izbira sakanata opcija kaj razli~ni kalkulatori e razli~en. Na primer: Kaj nekoi kalkulatori toa se postignuva vaka:
MODE
4
- na ekranot se pojavuva oznaka DEG (stepeni).
5
- na ekranot se pojavuva oznaka RAD (radijan).
6
- na ekranot se pojavuva oznaka GRA (gradusi).
Kaj drugi kalkulatori so pritiskawe na tasterot
DRG
,
vo gorniot lev agol na ekranot se ispi{uva oznakata DEG, RAD ili GRA. Obidi se i ti so svojot kalkulator da nau~i{ da ja odbira{ sakanata opcija. Kompjuterite, isto taka, nudat mo`nost za koristewe na kalkulator, so pomo{ na programata Calculator. Obidi se da nau~i{ da go koristi{ i ovoj kalkulator. 8
Presmetaj gi vrednostite na trigonometriskite funkcii za agol od q 1. Na ekranot ja izbirame opcijata
DEG .
2. Vnesuvame vrednost 43. 3. Go pritiskame tasterot za soodvetnata trigonometriska funkcija:
(
sin
ili
cos
ili
tg
i na ekranot se pojavuva baranata vrednost. 106
)
DEG
sin Vo konkretniot slu~aj imame:
43
cos
DEG
tg
DEG
Verojatno zabele`a deka na tastaturata od kalkulatorot nema taster so oznaka FWJ pa se nametnuva pra{aweto: kako da odredime FWJ q " Prosledi ja postapkata: - ja vnesuvame vrednosta 43 (pri opcija DEG); - go pritiskame tasterot - gi pritiskame
inv
i dobivame vrednost
tg 1/x
ili
2nd
1/a
ili ...
- na ekranot se pojavuva vrednosta Zabele{ka. Pri ponatamo{nite presmetuvawa vrednostite na trigonometriskite funkcii }e gi zemame so to~nost do pet decimali. 9
Presmetaj gi vrednostite na trigonometriskite funkcii za agol od a) q b) q
10
Presmetaj gi vrednostite na trigonometriskite funkcii za agol od: a) q b) q
Re{enie. a) Dadeniot agol prvo treba da go izrazime vo stepeni, t.e. q q q Zna~i, q q Ja vnesuvame vrednosta i spored ve}e poznatata postapka gi dobivame slednite rezultati VLQ q FRV q WJ q i FWJ q b) Dadeniot agol go pretvorame vo stepeni, t.e. q
q Potoa, spored ve}e poznatata postapka, dobivame: VLQ FRV WJ q FWJ q v) Vidovme kako se odreduva vrednosta na trigonometriska funkcija so kalkulator koga e zadaden agolot. Vo prodol`enie niz primeri }e se zapoznaeme kako so kalkulator se odreduva agolot spored dadena vrednost na trigonometriska funkcija. 107
Zapisite VLQ FRV WJ zna~at inverzni funkcii na funkciite VLQ D FRV D WJ D soodvetno.
11
Odredi go agolot D ako VLQ D
1. Ja izbirame opcijata DEG ( D da bide izrazen vo stepeni). 2. Ja vnesuvame vrednosta 0,5. 3. Pritiskame
inv
sin-1
(ili
2nd
4. Na ekranot se ispi{uva brojot 30, t.e. D
sin-1
)(ili
)
...
q
Zabele{ka. Dokolku sakame agolot D da bide izrazen vo radijani, vo ~ekorot 1 ja izbirame opcijata RAD. Odredi go agolot D ako: a) VLQ D
12
g) FWJ D
b) FRV D
v) WJ D
a) 1. Ja vnesuvame vrednosta (pri opcijata DEG). 2. Pritiskame
inv
sin-1
(ili
2nd
i na ekranot se ispi{uva q {to zna~i D
sin-1
q
b) 1. Ja vnesuvame vrednosta 2.
inv
cos-1
3. q ˜ t.e. 4. ˜
|
Zna~i, agolot D
108
q
)
...
q q q q
3. q ˜ |
Kone~no, D
)(ili
q
v) Raboti na ist na~in kako pod a) i b) i }e dobie{ D
q
g) 1. Ja vnesuvame vrednosta 2. Pritiskame
inv
1/x
3. Pritiskame
inv
sin-1
(ili
2nd
)(ili
1/a
)
...
, na ekranot dobivame q
4. q ˜ t.e. ˜
|
Kone~no, D
q
Zabele{ka. Novata generacija kalkulatori agolot direktno go pretvoraat vo stepeni, minuti i sekundi. Toa se postignuva so tasterot Odredi go agolot D ako: a) VLQ D
13
g) FWJ D
DMS
b) FRV D
v) WJ D
Ako vrednosta {to ja vnesuvame e nevozmo`na za dadena funkcija, t.e. ne pripa|a na mno`estvoto vrednosti na funkcijata, toga{ na ekranot }e se pojavi poraka -E-. Na primer, ako vneseme vrednost a potoa pritisneme
inv
sin-1
, na ekra-
FP D
q
not se pojavuva - E -. Objasni zo{to.
V
14
Re{i go pravoagolniot triagolnik ako se zadadeni: a) D
Zadadeno: D E
E D D F
q D
D
c Se baraat: E F E
q q q
WJ E Â&#x; E ˜ WJ q E ˜ | FP VLQ D Â&#x; F
D VLQ D
F VLQ q
| FP
15
Re{i go pravoagolniot triagolnik ako se zadadeni E FP D
16
Re{i go pravoagolniot triagolnik so katetite D
q
E
Prosledi go re{enieto. 109
Zadadeno: D
F
WJ D
E Se bara: F D i E
F
od kade {to D
q
Zabele{ka. Vo narednite zada~i za agolot {to se bara }e gi odreduvame samo stepenite i minutite, no ne i sekundite. 17
Re{i go pravoagolniot triagolnik, ako e dadeno: a) D FP E FP b) D FP F FP v) E FP F FP
18
Re{i go pravoagolniot triagolnik ako se zadadeni hipotenuzata F agol E
q
Zadadeno: F FP E D
q E
Od
D
FP i ostriot
q Se bara: D E i D
q q q
FRV q Â&#x; D ˜ FRV q t.e. D
˜ | FP
Katetata a odredi ja so koristewe na agolot E Od
E VLQ q Â&#x; E ˜ VLQ q t.e. E ˜ | FP
Katetata b odredi ja so koristewe na agolot D Zapi{i u{te dve drugi formuli so koi mo`e da se odredi katetata b. Verojatno se doseti deka: katetata b mo`e da se odredi i od E F D ili E D WJ E no pritoa treba da ima{ predvid deka se koristi presmetan element koj{to e dobien so pribli`na vrednost. Poradi toa, se prepora~uva baranite elementi da se odreduvaat direktno od zadadenite. 19
Re{i go pravoagolniot triagolnik ako se zadadeni F i D
c
Zada~i 1
2
Presmetaj vo stepeni i radijani kolkav agol }e opi{e minutnata strelka na ~asovnikot za: a) 5 min; b) 30 min; v) 1 ~as.
4
radijani: a)
Radiusot na kru`nicata e 36 cm. Odredi ja
S ;
b)
S ;
v)
S ;
S radijani.
5
a) F
FP E
Izrazi gi vo radijani aglite: a) 36o;
6
a) E
FP D q
b) D
FP E
b) 108 ; o
110
v) 210 ; o
g) 212 24Â’; o
d) 345 36Â’. o
g)
S ;
d) 4 rad.
Re{i go pravoagolniot triagolnik ako:
dol`inata na lakot ~ij centralen agol e
3
Izrazi gi vo stepeni aglite dadeni vo
q b) F GP D
q
q
7
a) D
FP D
q
b) E FP E 8 9
q
a) D FP F FP b) E a) D F
FP D FP
a) 3
10
FP F FP
11
E FP
b) E F D FP
b) 3 FP E
FP
a) 3
FP D
q
b) 3
FP E
q
ZADA^I OD PRIMENA NA TRIGONOMETRISKITE FUNKCII
8 Potseti se!
A
Na {to e ednakov perimetarot na pravoagolnik?
Presmetaj go perimetarot na pravoagolnikot ~ija dijagonala e 15 cm i koja so pogolemata strana zafa}a agol od q 1
[to e trapez? Koj trapez go vikame ramnokrak? Kaj ramnokrakiot triagolnik visinata povle~ena kon osnovata e i te`i{na linija.
Od pravoagolniot triagolnik $%&
D E FRV q i VLQ q E ˜ VLQ q | ˜ | FP
D ˜ FRV q | ˜ | FP
imame:
t.e.
Perimetarot na pravoagolnikot ABCD e: /
D E | | FP
i
2
Presmetaj go perimetarot na pravoagolnikot so strana D FP i agolot me|u taa strana i dijagonalata D q
3
Presmetaj gi perimetarot i visinata na ramnokrak triagolnik, ~ij krak E FP i agolot pri vrvot e q
D * $& & e pravoagolen, pa sleduva deka
D
˜ VLQ q od kade {to D | ˜ ˜ | FP
Perimetarot / Od
VLQ q t.e
K
D E ˜ FP
FRV q sleduva K ˜ FRV q | ˜ | FP 111
4
Odredi go perimetarot na ramnokrak triagolnik, ~ij krak E FP i agolot pri osnovata e q
5
Ramnokrakiot trapez e zadaden so pogolemata osnova D FP agolot pri taa osnova D q i krakot F FP Presmetaj ja drugata osnova i visinata. Od crte`ot e o~igledno deka: [ t.e. E D [
D E
Od pravoagolniot triagolnik }e gi odredime x i h, odnosno: K ˜ VLQ q | ˜ | FP [
˜ FRV q | ˜ | FP
Baranite elementi na trapezot se: K | FP i E | ˜ FP 6
Odredi ja pomalata osnova i visinata na ramnokrak trapez, ako: pogolemata osnova e FP agolot pri taa osnova q i krakot FP
7
Pilotot na avionot {to se nao|a na visina od 1200 m mu javil na kapetanot na ribarskiot brod deka pod sebe zabele`al golemo jato ribi. Od brodot so merewe utvrdile deka agolot sprema moreto pod koj go gledaat avionot iznesuva q Kolku e daleku brodot od jatoto ribi? (vidi go crte`ot) Ako baranoto rastojanie go ozna~ime so x, toga{ zada~ata mo`e da se ilustrira so pravoagolniot [ triagolnik na crte`ot. Od FWJ q sleduva [ ˜ FWJ q | ˜ | P
8
Presmetaj ja taa dale~ina ako avionot e na visina od 500 m. (Agolot ostanuva ist.)
112
9
So cel da se odredi {irinata na rekata izmereni se: rastojanieto $& P i agolot E q Odredi ja {irinata na rekata. Od crte`ot e jasno deka: odnosno %&
%&
WJ q
˜ WJ q
%& | ˜ | P
45
10
Odredi ja {irinata na taa reka, ako $& P E
11
Na horizontalen teren postaven e vertikalen stolb so visina K P Toj frla senka so dol`ina P Kolkav e elevacioniot agol na Sonceto? (vidi go crte`ot)
WJ D 12
13
q
D | q | q
Na konec zacvrsten so eden kraj, so dol`ina O P obesena e te{ka topka (ni{alo). Za kolkav agol D e otkloneta topkata od ramnote`nata polo`ba ako e napraven otklon (amplituda) D FP" | od kade {to Od crte`ot e jasno deka VLQ D D | q | q
0,17
Odredi go agolot na otklonuvaweto na ni{aloto so dol`ina P koga amplitudata iznesuva FP
Zada~i 1
Presmetaj go perimetarot na pravoagol-
2
nikot na koj agolot me|u dijagonalite mu e
nikot, ~ija dijagonala e 25 cm i koja so
q i dijagonalata G FP
pogolemata strana zafa}a agol od q 3
Odredi go perimetarot na ramnokrak
4
FP
agolot pri osnovata q Osnovite na ramnokrak trapez se FP i
Odredi gi aglite na ramnokrakiot triagolnik, ~ija osnova e FP i krak
triagolnik zadaden so krakot FP i
5
Presmetaj go perimetarot na pravoagol-
6
Odredi gi pomalata osnova i visinata na
FP a krakot FP Odredi gi aglite
ramnokrak trapez, ako pogolemata osnova e
na trapezot.
86, agolot pri taa osnova q i krakot 70.
113
7 8
Presmetaj gi stranata i aglite na rombot ako negovite dijagonali se 32 cm i 60 cm. Na kru`nica so radius U
skali dolgi 25 m koga }e se navednat sprema zemjata pod agol od q "
FP se povle-
~eni tangentite od to~ka ~ie centralno rastojanie e G
12 Do koja visina dopiraat po`arnikarskite
13 Od vrvot na eden svetilnik, visok 150 m, se
Odredi go agolot me|u tan-
gleda brod pod agol na depresija q
gentite. 9
Kolkavo e rastojanieto od svetilnikot do
Od dale~ina G
P od podno`jeto na
tornot se gleda negoviot vrv pod agol
D
brodot? 14 Kolkava amplituda pravi ni{aloto dolgo
q Kolkava e visina na tornot?
10 Kolkava e dol`inata na senkata {to ja frla predmet so visina G
P ako
son~evite zraci zatvoraat so horizontot agol D
63 cm, ako agolot na otklonuvaweto od ramnote`nata polo`ba e q ? 15 Odredi ja visinata na drvoto, spored dadenite elementi na crte`ot.
q ?
11 Presmetaj ja visinata na fabri~kiot oxak ako od to~ka M, {to e na rastojanie 76 m od negovoto podno`je, oxakot se gleda pod agol (sprema zemjata) od q
SINUS I KOSINUS NA AGLI POGOLEMI OD 900
9 Potseti se! [to e agol?
Na sekoja to~ka od ramninata mo`e da i se pridru`i podreden par realni broevi [ \
Brojot x e apscisa, a y - ordinata na to~kata i tie so zaedni~ko ime se vikaat koordinati na to~kata (vidi go crte`ot).
y
0 [ \
 ° ° yŽ ° °¯
agol od ˜ q q x
x
Na sekoj podreden par realni broevi [ \
mo`e da mu se pridru`i to~ka vo ramninata.
114
A
eden ~as, agol od q za edno denono}ie,
 ° ° Ž ° ° ¯
0
Za potrebite na trigonometrijata, fizikata, mehanikata i drugi tehni~ki nauki, kako i za nekoi nastani vo prirodata, treba da se izvr{i pro{iruvawe na poimot za agol. Imeno, ~esto pati se nalaga da se vovedat i agli {to „imaat pove}e od q ” ili da se merat vo „negativna nasoka”. Taka na primer, minutnata skazalka na ~asovnikot „opi{uva”: za 10 minuti, agol od q za
1
Pretstavi gi geometriski aglite: a) q q q b) q q q
q
a) q
q
b)
q
q q
Kaj sekoj od aglite na crte`ot, edniot krak e zemen za prv, a drugiot za vtor, so nazna~ena nasoka na rotacija pri koja prviot krak bi se poklopil so vtoriot. Vakvite agli gi vikame naso~eni agli. Rotacijata na po~etniot krak mo`e da e vo pozitivna ili negativna nasoka. Na crte`ot aglite pod a) se pozitivno naso~eni, t.e. pozitivni agli, a aglite pod b) se negativno naso~eni, t.e. negativni agli. Konstruiraj go agolot: a) q
B
b) q
v) q
Pri re{avawe na razni problemi, ~esto se nametnuva potrebata od koristewe na trigonometriski funkcii na agli pogolemi od 900 ili negativni agli. Se nametnuva
pra{aweto: kako da se opredeluvaat nivnite vrednosti, t.e. kako „da se izleze” od pravoagolniot triagolnik? Toa }e go postigneme na sledniot na~in: Vo koordinaten sistem [2\ crtame kru`nica so radius U . Polupravata 2D ja se~e kru`nicata vo to~kata 0 [D \D i
zafa}a agol D so pozitivniot del na Ox oskata.
(0,1)
0 [D \D
VLQ D
2
Od pravoagolniot triagolnik 200 sleduva deka: \D [D VLQ D \D FRV D [D
FRV D
(1,0)
Kru`nicata so centar vo koordinatniot po~etok i radius so dol`ina 1 se vika trigonometriska kru`nica. Vrz osnova na iska`anoto dosega, mo`eme da gi dademe slednive definicii za sinus i kosinus na ostriot agol: Sinusot od proizvolen agol e ednakov na ordinatata na to~kata vo koja vtoriot krak na agolot ja se~e trigonometriskata kru`nica, t.e. VLQ D \D Kosinusot od proizvolen agol e ednakov na apscisata na to~kata vo koja vtoriot krak na agolot ja se~e trigonometriskata kru`nica, t.e. FRV D [D Ovie definicii va`at i za agli pogolemi od q kako i za negativni agli. 115
Sledstveno, namesto 0 [D \D mo`eme da zapi{eme 0 FRV D VLQ D za koj bilo agol D Odredi gi vrednostite na trigonometriskite funkcii VLQD i FRVD od aglite 00, 900, 1800, 2700 i 3600. So pomo{ na trigonometriska kru`nica, odredi gi vrednostite na: a) VLQ q FRV q b) VLQ q FRV q v) VLQ q FRV q g) VLQ q FRV q d) VLQ q FRV q
3 3
a)
V
b)
d)
VLQ q ;
VLQ q ;
FRV q
FRV q
4
VLQ q ; FRV q
So pomo{ na trigonometriska kru`nica odredi gi vrednostite na: a) VLQ q FRV q b) VLQ q FRV q v) VLQ q FRV q
a)
b)
v)
VLQ q
VLQ q
VLQ q
FRV q
FRV q
FRV q
Od ovie primeri mo`e da se sogleda edno mo{ne va`no svojstvo na trigonometriskite funkcii sinus i kosinus, imeno VLQ q VLQ q ˜ q VLQ q FRV q FRV q ˜ q FRV q VLQ q VLQ q ˜ q VLQ q FRV q FRV q ˜ q FRV q VLQ q VLQ q ˜ q VLQ q FRV q FRV q ˜ q FRV q Toa va`i i op{to, t.e.
kade {to k e cel broj, t.e. N 116
VLQ D N ˜ q VLQ D FRV D N ˜ q FRV D r r a D e nekoj agol od q do q W H q d D d q
Zada~i 1
Nacrtaj gi aglite od: q q q
4
N Â? [
q q q 2
Nacrtaj trigonometriska kru`nica i ozna~i
5
So pomo{ na trigonometriska kru`nica odredi ja pribli`no vrednosta na: a) VLQ q b) FRV q v) VLQ q g) FRV q
6
Odredi ja vrednosta na izrazot:
gi na nea to~kite 0 0 0 i 0 {to soodvetstvuvaat (so red) na aglite
q q q q
3
So pomo{ na trigonometriska kru`nica odredi gi vrednostite na : a) VLQ q FRV q
a)
FRV q VLQ q VLQ VLQ q b) VLQ q FRV q FRV q FRV q
v)
FRV q FRV q FRV q VLQ q VLQ q VLQ q
b) VLQ q FRV q v) VLQ q FRV q g) VLQ q FRV q Kolku e VLQ q i FRV q "
Aglite od q q q i q zapi{i gi vo vidot D N ˜ q d D d q
Ovie dve ravenstva uka`uvaat deka po sekoi q vrednostite na sinusot i kosinusot se povtoruvaat. Poradi toa se veli deka trigonometriskite funkcii sinus i kosinus se periodi~ni funkcii so osnoven period 7 q 5
Utvrdi koi od slednive ravenstva se to~ni: a) VLQ q VLQ q b) FRV q FRV q v) VLQ q VLQ q g) VLQ q VLQ q d) FRV q FRV q
6
Presmetaj ja vrednosta na izrazot Bidej}i FRV q FRV q q
10
FRV q FRV q FRV q FRV q imame FRV q
FRV q FRV q
GRAFICI NA FUNKCIITE SINUS I KOSINUS
Potseti se! Sinus na koj bilo ostar agol D e odreden neimenuvan broj koj{to se menuva so promena na agolot D t.e. VLQD e funkcija od agolot D Kosinus od koj bilo ostar agol D e odreden neimenuvan broj koj{to se menuva so promena na agolot D t.e. FRVD e funkcija od agolot D Kosinus e kofunkcija za sinus, a sinus e kofunkcija za kosinus.
VLQ q D FRV D i FRV q D VLQ D VLQ D N ˜ q VLQD i FRV D N ˜ q FRVD kade {to N � [ i q d D d q Toa zna~i deka po sekoi q (ili S radijani), vrednostite na sinusot i kosinusot se povtoruvaat, t.e. sinusot i kosinusot se periodi~ni funkcii so osnoven period 7 q 7 S Sekoja funkcija mo`e da se pretstavi analiti~ki (so formula), tabelarno i grafi~ki. Ako \
[ popolni ja tablicata
Nacrtaj go grafikot na funkcijata \
x y
1
2
[ 117
Pri crtawe na grafikot na funkciite sinus i kosinus vo koordinatniot sistem xOy, argumentot na funkcijata }e go ozna~uvame so x, namesto so D t.e. agolot D meren vo stepeni }e go izrazuvame so dol`inska edini~na merka, odnosno so radijan. Na primer, vo VLQ [ [ ozna~uva deka agolot e UDG Voop{to, agolot mo`e da bide iska`an so koj bilo realen broj. Vrednostite na funkciite }e gi ozna~uvame so y, a funkciite so: \ VLQ [ i \ FRV [
A
1
Popolni ja tablicata na funkcijata \
 ¯
VLQ [ , ako [ Â? ÂŽ
Re{enie. x
0
S
S
S
S
y
0
1
0
2
S
S S S S S S ½ S S ž ¿ S
S
S
0
Nacrtaj go grafikot na funkcijata \ VLQ [
Grafikot na dadenata funkcija mo`eme da go nacrtame so nanesuvawe na to~kite dadeni vo tabelata. Me|utoa, nanesuvaweto na tie to~ki ne e lesno, bidej}i dobienite vrednosti na nivnite koordinati se iracionalni broevi. Od tie pri~ini, grafikot }e go nacrtame so pomo{ na trigonometriskata kru`nica na sledniot na~in. Crtame trigonometriska kru`nica so radius U pri {to edinicata e meren broj na dol`inata od proizvolno izbrana otse~ka. Dol`inata na kru`nicata }e ja pretstavime na brojna oska, pri {to za U imame / US t.e. S | a pri odreduvaweto na to~kite na x-oskata }e zememe S deka | y
y
1 S S
sin x
0 S
S
S
S
S S
S
Krivata, t.e. grafikot na funkcijata \ VLQ [ se vika sinusoida. 118
S
S
S
x
Ponatamu, zaradi prakti~nost i brzo crtawe, grafikot na funkcijata \
VLQ [ za
[ Â? > S @ }e go crtame so pomo{ na karakteristi~ni to~ki na funkcijata, t.e. to~kite vo
koi funkcijata ima nuli, minimum i maksimum, kako na crte`ot.
[
S
VLQ [
Funkcijata \
S
S
S
y
S
O
S
S
x
S
VLQ [ gi ima slednive svojstva:
q Od definicijata na trigonometriskata funkcija \ VLQ [ sleduva deka e definirana za
sekoj realen broj, t.e. za sekoj [ Â? f f q Funkcijata \
VLQ [ e ograni~ena, t.e d VLQ [ d
q Funkcijata \
VLQ [ e periodi~na so osnoven period 7
N
S t.e. VLQ [ NS VLQ [
r r
q Nuli na funkcijata, t.e. preseci na nejziniot grafik so x-oskata se: S S S t.e. \
NS N Â? [
za [
q Maksimalna vrednost na funkcijata \
t.e. \PD[
S NS N Â? [ i taa vrednost iznesuva 1.
za [
q Minimalna vrednost na funkcijata \
t.e. \PLQ 2
S S S S ½  ž VLQ [ e 1, a se dobiva za [ � Ž ¿ ¯
za [
S S S S ½  VLQ [ e a se dobiva za [ � Ž ž ¯ ¿
S NS N Â? [
Nacrtaj go grafikot na funkcijata \
FRV [ na intervalot > S @
Grafikot }e go nacrtame samo so pomo{ na karakteristi~nite to~ki.
[
S
FRV [
\
S
S
S
O
S
S
[
S
119
Funkcijata \
FRV [ gi ima slednive svojstva:
q Definirana e za sekoj realen broj. q Funkcijata \
FRV [ e ograni~ena, t.e. d FRV [ d
S t.e. FRV [ NS FRV [ N Â? [ S S S q Nuli na funkcijata, t.e. preseci na nejziniot grafik so x oskata se: S NS N Â? [ t.e. \ FRV [ za [ q Funkcijata \
FRV [ e periodi~na so osnoven period 7
FRV [ e 1, ako [ Â? ^ S S S ` t.e. \PD[
q Maksimalna vrednost na funkcijata \
za [
NS N Â? [ FRV [ e ako [ Â? ^ S S S ` t.e. \PLQ
6o Minimalna vrednost na funkcijata \ za [
B
[ NS N Â? [ Svojstvoto na periodi~nost ni ovozmo`uva lesno da go nacrtame grafikot na VLQ [ odnosno na FRV [ i koga agolot x e negativen i koga toj e pogolem od S Imeno, delot
od grafikot vo sekoj od intervalite > S S @ > S @ > S @ > S S @ }e bide ist kako onoj vo intervalot > S @ Vo prodol`enie, na crte` a) i crte` b) se dadeni „kompletnite” grafici na funkciite \ VLQ [ odnosno \ FRV [ a)
\
S
O S
S
S
S
S
S
[
S
S
S
S
S
S
S
\
b)
S
S
S
S
O
S
S
S
S
S
[
Sogledaj deka graficite na sinusot i kosinusot se pretstaveni so ista kriva; tie se razlikuvaat samo so svojata polo`ba vo odnos na koordinatniot sistem. Voo~i, grafikot na funkcijata \
FRV [ mo`e da se dobie ako grafikot na funkcijata \ VLQ [
go „pomestime” na levo po [ oskata za 120
S
Sogledaj deka graficite na sinusot i kosinusot se pretstaveni so ista kriva; tie se razlikuvaat samo so svojata polo`ba vo odnos na koordinatniot sistem.
Vo ist koordinaten sistem nacrtaj gi graficite na funkciite \ VLQ [ i \ intervalot > S S @ [to zabele`uva{?
3
V
4
Nacrtaj go grafikot na funkcijata \ y
1
\
0
5
VLQ [ \
S
VLQ [
\
S
S
x
S
S
y
0
6
S
Nacrtaj go grafikot na funkcijata \ 1
FRV [
FRV [
S
FRV [ na
x
S
VLQ [
Nacrtaj go grafikot na funkcijata \ VLQ [ y
\ VLQ [
2 1 0
S
\
S
S
S
VLQ [
x
Zada~i 1
2
Nacrtaj go grafikot na funkcijata: a) \ VLQ [ b) \ VLQ [ v) \ FRV [ Nacrtaj go grafikot na funkcijata: a) \
FRV [ b) \ VLQ [ v)
\
FRV [
3
Za koi vrednosti (vo radijani) na argumentot
x se dobivaat karakteristi~nite to~ki (nula, max i min) na funkcijata: a) \ VLQ [ b) \ FRV [ " 121
11
TEMATSKI KONTROLNI ZADA^I C
1
2
Na crte`ot vo ' $%& 01 % $% i 13 % $& a) Kolku triagolnici gleda{? b) Koi od niv se sli~ni me|u sebe? Ako VLQ D FRV D toga{ D e:
VLQ
A a) 350;
FRV
3
Odredi ja vrednosta na izrazot
4
Odredi gi FRVD WJ D i FWJ D ako VLQ D
5
Poka`i deka e to~no ravenstvoto
6
Odredi ja vrednosta na izrazot
7
Koe od dadenite tvrdewa e to~no: a) WJ !
8
Podredi gi vo raste~ki redosled broevite: a) VLQ VLQ VLQ
9
N
M
b) 550;
v) 100;
P
B g) 00.
WJ FWJ
VLQ D ˜ FRV D
WJ D FWJ D
VLQ D FRV D ako WJ D VLQ D FRV D b)
WJ
v) WJ
g) FWJ
b) FRV VLQ FRV
Agolot od 36,2450 pretvori go vo stepeni, minuti i sekundi.
10 Gradus (g) e: a) 10 - ti;
b) 100 - ti;
v) 60 - ti;
g) 90 - ti del od praviot agol.
11 Re{i go pravoagolniot triagolnik ako 3 FP i D
c
12 Na kru`nica so radius 9 cm se povle~eni tangenti od to~ka ~ie centralno rastojanie e G Odredi go agolot me|u tangentite. 13 So zaokru`uvawe na soodvetna bukva na crte`ot, odredi na koja kru`nica e to~no opredelen znakot na funkcijata sinus vo sekoj od kvadrantite. 14 Odredi ja vrednosta na izrazot
a)
FRV FRV FRV VLQ VLQ VLQ
15 Nacrtaj go grafikot na funkcijata \ VLQ [ 122
b)
v)
g)
ALGEBARSKI RACIONALNI IZRAZI
TEMA 4
ZA SITE STRUKI Sodr`ina na temata:
1
Stepeni. Mno`ewe, delewe i stepenuvawe na stepeni ............. 124
2
Racionalni izrazi. Polinomi .... 128
3
Sobirawe i mno`ewe na polinomi ............................................... 129
4
Formuli za skrateno mno`ewe ... 132
5
Delewe na polinomi ................... 135
6
Razlo`uvawe na polinomite na prosti mno`iteli so izvlekuvawe na zaedni~ki mno`itel pred zagrada ................................. 138
7
Razlo`uvawe na polinomi so primena na formulite za skrateno mno`ewe ............................... 140
D E
8
Razlo`uvawe na polinomi so primena na formulata za stepenuvawe binom na kvadrat ............ 143
9
Najgolem zaedni~ki delitel. Najmal zaedni~ki sodr`atel ..... 144
10 Algebarski dropki. Pro{iru-
vawe i skratuvawe ...................... 146
11 Operacii so algebarski dropki ... 149 12 Stepen so pokazatel nula i cel
negativen broj ................................ 153
13 Tematski kontrolni zada~i ...... 153
D DE E
123
STEPENI. MNO@EWE, DELEWE I STEPENUVAWE NA STEPENI
1 Potseti se!
A
Neka a e koj bilo realen broj.
Brojot 9 mo`e da se zapi{e kako ˜ .
Proizvodot D ˜ D kratko go zapi{uvame so
Dali site broevi mo`e da se zapi{uvaat kako zapisot na brojot 9?
D ; itn.
simbolot D ; proizvodot D ˜ D ˜ D so simbolot
Za zapisot velime deka e kratok zapis na proizvodot ˜ ˜ .
Zapi{i go kratko proizvodot D ˜ D ˜ D ˜ ˜ D , kade {to ima n mno`iteli.
Napi{i kratok zapis na proizvodot ˜ ˜ ˜ ˜ .
Simbolot D Q go vikame stepen i pretstavuva kratok zapis od n isti mno`iteli.
Za realniot broj a velime deka e osnova na stepenot D Q . Za prirodniot broj Q t velime deka e stepenov pokazatel, koj ni poka`uva kolku pati osnovata se mno`i sama so sebe.
Voop{to, D ˜ D ˜ D ˜ ˜ D
D Q pri {to D Â? Z Q Â? ^ i Q t .
Q
Pretstavi gi vo vid na stepen proizvodite:
1
a) [ ˜ [ ˜ [ ˜ [ ˜ [ ;
b) ˜ ˜ ;
v)
˜ ˜ ˜ ;
g) [ \ ˜ [ \ ˜ [ \ .
Pretstavi gi vo vid na proizvod od ednakvi mno`iteli stepenite:
2
v) ; g) [ .
b) ;
a) ;
Po definicija stepenot na brojot a so stepenov pokazatel 1 e samiot toj broj, t.e. D
D ; na primer:
[
[ D E D E
Voo~i!
,
˜ , N
˜ ˜ ,
i
N
, za sekoj N Â? ^
Odredi ja vrednosta na stepenite: a) ;
3
124
b) .
˜ ˜ ˜ ,...,
Potseti se! Brojot a ima stepenov pokazatel, t.e. eksponent 1. Kolku e stepenoviot pokazatel na brojot
D E"
Imame:
DP
Proizvodot D ˜ D ima stepenov pokazatel 5.
Koli~nikot D D D z ima stepenov pokazatel 3.
Kolku e stepenoviot pokazatel na izrazot
D ˜ D D D z "
P
D ˜ D ˜ D ˜ ˜ D , t.e. P Q
D ˜ D ˜ D ˜ ˜ D , D Q DP ˜ DQ
Kolku e stepenoviot pokazatel na proizvodot D ˜ D ˜ D ?
4
Q Da gi pomno`ime stepenite DP i D pri {to D Â? Z P Q Â? ^
B
D ˜ D ˜ D ˜ ˜ D , Q
P
D ˜D
Q
D P Q .
Zna~i stepeni so isti osnovi se mno`at taka {to osnovata D Â? Z se prepi{uva, a stepenovite pokazateli P QÂ? ^ se sobiraat.
Odredi gi proizvodite: b) ˜ ;
a) [ ˜ [ ˜ [ ;
v) [ [ ;
g) ˜ .
Zapomni! D P ˜ D Q za koi bilo D � Z i P Q � ^
DP Q
Ova ravenstvo ne e ednozna~no. Na primer, D
D ˜ D
D ˜ D
D ˜ D
D ˜ D .
5
Sli~no kako kaj mno`eweto, uveri se vo to~nosta na ravenstvoto D P D Q Zo{to mora D z i P ! Q ?
6
Presmetaj:
a)
[ [ z ; [
b)
D P Q .
D D z . D
Zapomni! DP Q
DP DQ
D z
za koi bilo D Â? Z D z i P Q Â? ^
DP D ne e ednozna~no opredeleno. Na primer, za D z . D z D D
DQ D No, D mo`e da se pretstavi na beskone~no mnogu na~ini kako koli~nik od dva stepeni.
Ravenstvoto D P Q
Zabele{ka. Vo site slu~ai ponatamu }e zemame deka imenitelot na dropkata (delitelot) e razli~en od nula, bez posebno ozna~uvawe. 125
Potseti se!
V
kolku e D
$ $ ¸ $ ¸ $ . Ako $ [ , dobivame
[
[ ˜[ ˜[
[
Q
Na sli~en na~in odredi [
P
Imame: D P
P
P Poznato ti e: D
Toga{ D P
Q
Q
D ˜ D ˜ D ˜ ˜ D ,
?
Q D ˜ D ˜ D ˜ ˜ D t.e. D P
PQ D P ˜ D P ˜ D P ˜ ˜ D P
Q
DP Q ˜
˜
Dobienoto ravenstvo e pravilo za stepenuvawe na stepen D Â? Z L P Q Â? ^ Slednive izrazi pretstavi gi vo vid na stepen so osnova x:
7
a) [
b) [ [
[ [ [
v)
[
Zapomni!
DP DQ
Za koi bilo D Â? Z i P QÂ? ^ va`i ravenstvoto D P Q
Q
˜
P
. Toa ne e ednozna~no
opredeleno. Na primer: D
D ˜
D D
D D
D
Potseti se!
EP
DE
D˜D˜D E˜E˜E
Koli~nikot osnova
[\ ]
D D D ˜ ˜ E E E
Neka D P
P
126
P
D ˜ D ˜ D ˜ ˜ D i
P P
D ˜ D ˜ D ˜ ˜ D ˜ E ˜ E ˜ E ˜ ˜ E
DE ˜ DE ˜ DE ˜ ˜ DE DE
P
P
§D¡ ¨ ¸ ŠEš
DP imame: EP D ˜ D ˜ D ˜ ˜ D D D D D P ˜ ˜ ˜ ˜ E ˜ E ˜ E ˜ ˜ E E E E E
P P
§D¡ ¨ ¸ ŠEš
DP EP
§D¡ ¨ ¸ ŠEš
Sli~no, za
[ \ zapi{i go kako stepen so ]
Uprosti gi izrazite:
E ˜ E ˜ E ˜ ˜ E Za proizvodot D P ˜ E P
DP EP
Zna~i, 8
P P imame: D ˜ E
Pomno`i gi stepenite [ ˜ \ ˜ ]
D E
D D
D
G
D D ¸ D ¸ D , E E ˜ E ˜ E D E D ˜ D ˜ D ˜ E ˜ E ˜ E DE ˜ DE ˜ DE
a)
[ [ [
b)
[ [ [
v)
D P ˜ EP ˜ ˜
DE
P
i
P
P
9
Otkrij koe pravilo za stepeni e koristeno vo sekoe od slednite ravenstva: a) ˜
˜
g) ˜
˜
b) ˜
d) ˜
v) ˜
˜ ˜ ˜
g) Koristeno e praviloto za mno`ewe na stepeni so ist stepenov pokazatel. Zapomni! Ravenstvata: DE
P
§D¡ D PEP i ¨ ¸
P
DP EP
ŠEš se pravila za stepenuvawe na proizvod i koli~nik.
10
Izvr{i go stepenuvaweto:
[\ a) §¨ ¡¸ Š ] š
§ [ \ ¡ b) ¨ ¸ Š ] š
§ [ \ ¡ v) ¨ ¸ Š D E š
Zada~i 1
Dali izrazot D e stepen?
2
Koi od slednive iskazi se vistiniti: a)
b)
v) D E za D ! E g) D E
3
a) [
v) [
d) [
4
5
\
b) [
g)
|)
[
[
\
Slednive broevi pretstavi gi kako proizvod od priroden broj i stepen so osnova 10: b) 72000000;
v) 34700.
Slednive broevi zapi{i gi kako proizvod od realen broj i stepen a) 3974;
b) 0,5653;
v) 35.
v) [ [ ˜ [
Izvr{i go stepenuvaweto: a)
9
[ [ [
b)
D ˜ D ˜ D b) D
Zapi{i gi kako stepen so osnova a izrazite:
Slednive broevi pretstavi gi kako stepen so osnova 10: a) 10000; b) 1000000.
a) 7000;
6
8
! za D E ! "
Najdi vrednost na x i y za da bidat to~ni ravenstvata:
Pretstavi gi kako stepen so osnova x izrazite: a) [ ˜ [ ˜ [ ˜ [
7
a) D ˜ D
D ˜ D b)
D ˜ D
D
˜ D
10 Presmetaj na najednostaven na~in: a)
˜
b)
˜ ˜
11 Odredi go x za ravenstvata da bidat to~ni:
D
[ a) D D
[
v) D ˜ D
b) D
D
g) D ˜ D [
[
˜ D
D
D
D
127
2
RACIONALNI IZRAZI. POLINOMI
A
Potseti se!
Napi{i nekolku izrazi vo koi konstantite i promenlivite se svrzani so operaciite sobirawe, odzemawe i mno`ewe, kako i stepenuvawe so pokazatel priroden broj. D E DE Vakov izraz se vika racionalen algebarski izraz ili polinom.
se konstanti. Simbol (kako na primer: a, b, x, y,...) koj{to Simbolite
se koristi kako zaedni~ka oznaka za odredeni matemati~ki objekti se vika promenliva. Kako se vika mno`estvoto vo koe se menuva nekoja promenliva? Koja promenliva e realna?
1
Napi{i nekolku izrazi koi se proizvod od brojna konstanta i stepeni.
2
D E F Vakov racionalen algebarski izraz se vika monom. Monomi se: konstanti, promenlivi i izrazi {to se proizvod od konstanti i stepeni na promenlivite. Koi od slednive algebarski izrazi se monomi:
3
b) [ \ [\
a) D E
v)
[ \
Potseti se!
Monomot D E e vo normalen vid.
Dali monomot D E ˜ D e zapi{an vo normalen vid? Vo monomot D E F brojot 5 e koeficient, D E F e glavna vrednost, a D E F se stepeni na promenlivite vo glavnata vrednost. Odredi go koeficientot i glavnata vrednost
na monomite: D D DE Stepenot na monomot [ \ so promenlivi x i y iznesuva Kolku iznesuva stepenot na monomite [ [\ [ so promenlivi x i y?
Monomite D E i D E se sli~ni, bidej}i imaat ista glavna vrednost. Se sobiraat samo sli~nite monomi, taka {to se sobiraat nivnite koeficienti, a glavnata vrednost se prepi{uva.
128
g)
[
B
d) [ \ 4
e) x ?
|) 7;
Neka se dadeni monomite:
$ [ \ % [ \ &
[\ '
Izrazot:
[ \ e monom; b) $ % [ \ [ \ e binom; a) $
v) $ % & [ \ [ \ [\ e trinom;
g) $ % & '
[ \ [ \ [\
e polinom. Zapomni! Zbir od kone~en broj monomi se vika cel racionalen izraz ili polinom. (Monomite se smetaat za polinomi.)
\ i [ [\ ne se [ [ celi racionalni izrazi i tie imaat smisla za [ z , odnosno [ z . Voo~i: Izrazite
Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazite [ [ i [ [ za: a) [ b) [ v) [ g) [
[to voo~uva{? Za [ imame: [ [ ˜ i [ [ Zapomni!
Izrazite koi{to imaat ednakvi brojni vrednosti za sekoja vrednost na promenlivite od definicionoto mno`estvo se vikaat identi~ni racionalni izrazi. Ravenstvoto od dva identi~ni racionalni izrazi se vika identitet. Stepen na monom e zbirot od stepenovite pokazateli na promenlivite vo monomot. Ako monomot e konstanta, toga{ se smeta deka toj ima nulti stepen. Polinomot e vo normalen vid ako site negovi nesli~ni monomi se vo normalen vid. Stepen na polinom (vo normalen vid) e najgolemiot od stepenite na monomite {to go so~inuvaat. Svedi go vo normalen vid polinomot 0 [ \ [\ ˜ \ [ \ [ ˜ [ [ Koj e negoviot stepen?
6
Zada~i 1
Zapi{i gi vo normalen vid monomite:
a) [ \ ˜ [\
2
4
b) [\ ˜ [ \ ˜ [\
a) [ [
b) [ \
Odredi gi: koeficientot, glavnata vrednost
3
b)
[ \
v) ˜
[ [ [ Â? ^ `
[ [\ \
[ \ Â? ^ `
i stepenot na monomite so promenlivi x i y. a) [ \ ]
Proveri dali se identiteti ravenstvata:
5
Presmetaj ja brojnata vrednost na izrazite:
Dadenite polinomi svedi gi vo normalen vid i odredi go nivniot stepen:
a) D E D E za D
a) [ [ [ [ [
b)
D E za D D DE E
3
E
b) [ \ [\ [\ \[ \ [
E
SOBIRAWE I MNO@EWE NA POLINOMI
A
Potseti se! Polinomite 0 D E i 1 D E gi sobirame taka {to gi sobirame sli~nite monomi, t.e.
0 1
D E D E
D
Soberi gi polinomite $ D E i %
D E
1
Odredi go polinomot 0 1 3 , ako: 0
[ [
1
[ [
3 [ [ Sogledaj go re{enieto.
129
Zapi{uvame: 0 1 3 [ [ [ [ [ [ Pravilno oslobodi se od zagradite: 0 1 3 [ [ [ [ [ [ Soberi gi sli~nite monomi, pa }e dobie{: 0 1 3
[
So simbolot 0 0 [ ozna~uvame polinom so promenliva x. So simbolot 4 4 [ \ ozna~uvame polinom so promenlivi x i y. So simbolot : : D E F ozna~uvame polinom so promenlivi a, b i c. Dadeni se polinomite: 0 [ [ [ 1 [ [ [ 3 [ [ [
2
Odredi go polinomot: a) 0 [ 1 [ 3 [
b) 0 [ 1 [ 3 [
Potseti se!
B
Monom so monom se mno`i taka {to koeficientite se mno`at po praviloto za mno`ewe na realni broevi, a glavnite vrednosti po praviloto za mno`ewe na stepeni.
v) 0 [ 1 [ 3 [
3
monomite [ \ i [ \ ]
Re{enie.
Gi mno`ime koeficientite i dobivame:
Presmetaj go proizvodot na monomite
§ ¡ § ¡ ¨ ¸˜¨ ¸ Š š Š š
[ \ i [ \ Proizvodot na glavnite vrednosti e: [ \ ˜ [ \ ] Baraniot proizvod e
Presmetaj go proizvodot od
[ \ ]
[ \ ]
§ ¡ Vo praktikata zapi{uvame direktno: [ \ ˜ ¨ [ \ ] ¸ Š š Presmetaj gi proizvodite: a) D E F ˜ D E F b)
4
Potseti se! Vo ravenstvoto $ % ˜ & $ ˜ & % ˜ & e primeneto distributivnoto svojstvo. Primeni go distributivnoto svojstvo na izrazot D E F ˜ G
V
˜ [ \ ]
[ \ ]
§ ¡ D E ˜ D E v) D E ˜ D E ˜ ¨ DE ¸ Š š 5
Polinomot [ \ [\ [\ pomno`i go so monomot [ \
Prosledi go re{enieto: Zapi{uvame: [ \ [\ [\ ˜ [ \
Spored distributivnoto svojstvo imame [ \ ˜ [ \ [\ ˜ [ \ [\ ˜ [ \ Po izvr{uvawe na mno`eweto na monomite dobivame: [ \ [ \ [ \ Vo praktikata pi{uvaj direktno: [\ [ \ ˜ [ \ [ \ [ \ [ \ 130
Treba da znae{! Ako A, B, C i D se monomi, toga{ $ % & ˜ ' i '˜ $ % &
6
$ ˜ ' % ˜ ' & ˜ '
' ˜ $ ' ˜ % ' ˜ &
Odredi gi proizvodite: a) [ \ [\ [ \ ˜ [\ b)
G
Potseti se!
7
[ \ ˜ [ \ [ \ [\
Pomno`i gi polinomite [ [ [ i [
Pomno`i go polinomot [ [ so polinomot [
Sogledaj go re{enieto Ozna~i 0
Upatstvo: pomno`i [ [ so x, a potoa [ [ so 1.
[
[ i }e dobie{
[ [ ˜ 0
Primeni mno`ewe na polinom so monom,
Odredi go zbirot na dobienite proizvodi.
t.e. [ ˜ 0 [ ˜ 0 [ ˜ 0 ˜ 0
[ i dobiva{: [ [ [ [ [ [ [
Zameni 0
U{te edna{ primeni mno`ewe na monom so polinom: [ [ [ [ [ [ [
Svedi go dobieniot polinom vo normalen vid i dobiva{: [ [ [ [
Vo praktikata pi{uvaj kako vo sledniov primer:
[ [ [
[ [ [ [ [ [ [ [
8
Pomno`i gi polinomite i dobieniot proizvod podredi go taka {to stepenot na promenlivata x da opa|a:
9
a) [ [ [
Odredi gi realnite broevi a, b i c, taka {to polinomite 3 [
4 [
b) [ [ [ [ [ .
[ D[ E[ F da bidat identi~no ednakvi.
[ [ [ i
Sogledaj ja postapkata: Polinomot 3 [ e vo normalen vid, a polinomot 4 [ go transformirame vo normalen vid i dobivame:
4 [
D[ E[ F[ D[ E[ F
D[ E D [ F E [ F 131
Dva polinomi so isti promenlivi se ednakvi ako koeficientite pred soodvetnite promenlivi so ist stepenov pokazatel se ednakvi. Spored toa, 3 [
4 [ ako: D
E D
F E pa F
zna~i E
Zada~i 1
Svedi go vo normalen vid polinomot:
2
Presmetaj ja brojnata vrednost na polinomot: a) b)
3
b) P P P P
a) [ [ [ [ [ [
DEF D E DEF DE D E za D
E
F
[ ] [\] [\] [ ] [ ] [ ] [\] [ ] [\] ]D [
\
]
Izvr{i go mno`eweto i dobieniot proizvod svedi go kako polinom vo normalen vid: a) [ [
b) [ [ [ [
v) [ [ [ [ [ [
4
Dadeni se polinomite a) 3 [ 4 [
5
[ [ Odredi gi polinomite:
[ [ i 4 [
3 [
b) 3 [ 4 [
v) 3 [ ˜ 4 [
Odredi gi realnite broevi a, b i c, taka {to polinomite 3 [ i 4 [ da bidat identi~no ednakvi: a)
3 [ [ [ [ i 4 [
[ D[ E[ F
4
[ [ [ i
D[
E[ F [
FORMULI ZA SKRATENO MNO@EWE
A
D E D E
a) [
Stepenuvaj gi binomite:
1
a) [ \
Odredi:
132
3 [
4 [
Potseti se!
D E
b)
b) [
v) [ \
b) [ \ g) [ \
Voo~i: [ \
[
\ [ \ [ ˜ [ [ ˜ \ [ ˜ \ \ ˜ \ pa mo`e{
[
$ %
˜ [ ˜ \ \
da zapi{e{: a) [ [ \ \
$ $% %
i
$ %
i
$ %
$ $% %
Na sli~en na~in mo`e da se poka`e deka:
$ %
$ $ % $% %
$ $ % $% %
Zna~i: b) [ [ \ \ v) [ [ \ [\ \ g) [ [ \ [ \ \ Zapomni! Dobienite ~etiri formuli se poznati kako formuli za skrateno mno`ewe i toa, kako binom na kvadrat i binom na kub. 2
Stepenuvaj gi binomite so primena na formulite za skrateno mno`ewe:
a) D E DE
b) [ \ [ \
Sogledaj go re{enieto: a) So primena na formulata $ %
$ $% % imame: D E ˜ D E ˜ DE DE
a po stepenuvaweto i mno`eweto dobivame: D E D E D E Vo praktikata postapuvaj kako vo sledniov primer:
D E
DE
D E
˜ D E ˜ DE DE
D E D E D E b) Primenuvame $ %
[ \
$ $ % $% % i dobivame:
˜ [ \ ˜ [ \ ˜ [ \ ˜ [ \ [ \ ili po stepenuvaweto
[ \ ˜ [ \ ˜ [ \ ˜ [ \ ˜ [ \ [ \ pa po mno`eweto sleduva [ \ [ \ [ \ [ \ Poprakti~no e pi{uvaweto kako na sledniov primer:
[ \ [\ [ \
˜ [ \ ˜ [\ ˜ [ \ ˜ [\ [\
[ \ ˜ [ \ ˜ [\ ˜ [ \ ˜ [ \ [ \ [ \ [ \ [ \ [ \ 3
Izvr{i stepenuvawe: a) [ \ b) [ \ v) [ \
g) [ \
133
Stepenuvaj: a) [ \ b) [ \ v) [ \
4
Potseti se!
[ ˜ [
B
Presmetaj gi proizvodite: a) [ ˜ [
b) [ \ ˜ [ [\ \
v) [ \ ˜ [ [ \ \
v) [ ˜ [ [
[ \
a) Po izvr{enoto mno`ewe mo`e{ da zapi{e{ [ \
$ % ˜ $ %
b) Re{enieto go zapi{uvame [ \
[ \ ˜ [
g) [ \ [\
a) [ \ ˜ [ \
b) [ ˜ [ [
Presmetaj:
5
[ [ [ [
$ %
[ \
[ ˜ \ \
$ % ˜ $ $% %
t.e.
[ \
$ %
v) Sli~no na prethodnoto re{enie dobivame:
$ % ˜ $ $% %
$ %
Treba da znae{! Formulite {to prethodno gi dobivme se, isto taka, formuli za skrateno mno`ewe, poznati kako razlika od kvadrati, razlika od kubovi i zbir od kubovi. Vo praktikata re{avaj kako vo sledniot primer:
[ \ [\ [
\ [ \ [ \
[ \ [\ [ \
[ \ ˜ [\ [\
[ \ [ \ Presmetaj gi proizvodite:
6
a) [ \ [\ [\ [ \
b) [\ [ \ [ \ [ \ [ \
v) [ \ [\ [ \ [ \ [ \
134
Zada~i Stepenuvaj gi binomite.
1
a) [
a) [
b) [
7
v) [
3
g) [
g) [ \
b) [ \ [\
¡§ ¡ § [ \ ¸¨ [ [\ \ ¸ šŠ š Š
b) ¨
§ Š
v) ¨ [ \
Stepenuvaj go trinomot D E F
a) [ [
$ dobiva{ $ F
b) [ [
v) [ [ v) [ \
5
[
8
¡§ ¡ [\ ¸¨ [ \ [ \ [ \ ¸ šŠ š
Oslobodi se od zagradite i svedi gi sli~nite monomi: a) [ [ [ [
b) [ [ [ [ [ [ [
v) D D D D
\
g) D E F D E D F
DELEWE NA POLINOMI
A
Potseti se! Monom se deli so monom taka {to koeficientite se delat po praviloto za delewe na realni broevi, a glavnite vrednosti po praviloto za delewe na stepeni. Presmetaj go koli~nikot:
[ \ [ \ Vo praktikata pi{uvaj na sledniot na~in: 2
[
§ ¡§ ¡ [\ [ \ ¸¨ [\ [ \ ¸ Š šŠ š
Pomno`i gi polinomite so primena na formulata za skrateno mno`ewe.
5
a) ¨
v) [ \ [
Upatstvo: zameni D E
Pomno`i gi polinomite so primena na formulite za skrateno mno`ewe:
Stepenuvaj gi binomite:
§ E ¡ a) ¨ DE ¸ š Š
4
b) [ [
a) [ [ [
v) [ \
2
6
b) [
Presmetaj: a)
1
§ ¡ § ¡ Presmetaj: ¨ [ \ ¸ ¨ [ \ ¸ Š š Š š
Sogledaj go re{enieto:
˜
[ \ [ \ [ \ [ z \ z
Zna~i, koli~nikot e [ \ § ¡ [ \ ¨ [ \ ¸ ˜ [\ [\ Š š
§ ¡ [ \ ¨ [\ ¸ b) D E D E v) D E §¨ D E ¡¸ Š š Š š 135
Potseti se!
$ % &
B
[ \ [ \ [ \ so monomot [\ za [ v \ v .
$ & % & , za & z
Desno distributivno svojstvo na deleweto sprema sobiraweto.
Sogledaj go re{enieto:
Presmetaj:
Treba da presmeta{:
D E DE DE D z E z
Podeli go polinomot:
3
[
\ [ \ [ \ [\
So primena na distributivniot zakon imame: [ \ [\ [ \ [\ [ \ [\ Go izvr{uvame deleweto na monomite i dobivame [\ [ \ [ \ Poprakti~no e direktnoto re{avawe. Na primer:
[
\ [ \ [ \ [ \ [ \ [ \
Zapomni! Polinom se deli so monom taka {to sekoj ~len na polinomot se deli so monomot, po pravilo za delewe na monomi, a dobienite koli~nici se sobiraat. Presmetaj:
4
a) [ \ [ \ [ \ [ \
b)
[ \
V
Potseti se! 1584 : 12 = 132 12
§ ¡ [ \ [ \ ¨ [ \ ¸ Š š
5
Podeli go polinomot $ [ [ [ [ so polinomot % [ [ [
Sogledaj go re{enieto:
38 36 24 24 0
[ go delime so [ i dobivame [
Polinomot % [ go mno`ime so 2x i dobivame [ [ [ Razlikata $ [ [ [ [ iznesuva 5 [ [ [ kade {to 5 [ e
Odredi go koli~nikot 381 : 12. Dali dobi ostatok?
prv ostatok.
Go delime [ so [ i dobivame
So go mno`ime polinomot % [ i dobieniot
proizvod go odzemame od polinomot 5 [ . Razlikata e nula. Koli~nik e polinomot 4 [ [ , a ostatok polinomot 5 [ Zna~i, 136
$ [
% [
4 [
5 [
t.e. $ [ 4 [ ˜ % [ 5 [ % [
Vo praktikata pi{uvame na sledniot na~in:
[
[ [ [ [ [
r [ @ [ r [
[ [
Vtoriot znak zna~i deka odzemaweto se sveduva na sobirawe so sprotiven polinom na namalitelot.
@ [ r [ @
0
[
Presmetaj
6
[ [ [ [
Prosledi go re{enieto: Najnapred polinomite gi podreduvame po stepenot na promenlivata x, a potoa imame:
[
[ [ [ [ [
r [ @ [ r [
[ [ [ @ [ r 0
Polinomot [ [ podeli go so polinomot [ [
7
Prosledi go re{enieto:
[
[ [ [
[
Ostatokot e 7 i mo`eme da zapi{eme:
[ @ [ r [
[ [ [ [ [
[ [ [ @ [ r
8
Izvr{i go deleweto: a) [ [ [ v) [ [ [
9
b) [ [ [ [ [ g) [ [ [ [
Izvr{i go deleweto na polinomot [ [\ \ so polinomot [ \ Prosledi go re{enieto:
[
[\ \ [ \
[ @ [\
[ \
So primena na formulata
$ %
[\ \
@ [\ r \
$ $% % mo`e{ vedna{ da
zaklu~i{ deka [ [\ \ [ \ [ \
bidej}i [ [\ \
[ \
0 137
Presmetaj go koli~nikot:
10
a) [ [ [
b) [ [ \ [\ \ [ \
v) [ \ [ \
g) [ \ [ [\ \
Treba da znae{! Formulite za skrateno mno`ewe se i formuli za skrateno delewe, t.e.
$ $
% $ %
% $ %
$
$ % $ $% %
$ $
$% % $ %
$ %
% $ $% %
$ % $% % $ %
$ %
$ $% %
Zada~i 1
Odredi go koli~nikot na monomite, za
3
b) [
[ z \ z
a) [ \ [ \
§ ¡ v) [ \ ¨ [ \ ¸ Š š 2
a) [ \ [ \ [ \ [ \
§ ¡ § ¡ b) ¨ [ \ [ \ [ \ ¸ ¨ [ \ ¸ Š š Š š
6
[ [ [ [ za [ z
v) [ [
4
g) [ [ za [ z
Odredi go koli~nikot i ostatokot pri delewe na polinomite:
b) [
a) [ [ [ [
[ [ [ [ [
RAZLO@UVAWE NA POLINOMITE NA PROSTI MNO@ITELI SO IZVLEKUVAWE ZAEDNI^KI MNO@ITEL PRED ZAGRADA
Potseti se! Vo ravenstvoto $ % & ' $% $& $' e primeneto distributivnoto svojstvo. Primeni go distributivniot zakon na
[ \ Va`i, $% $& $'
$ % & '
Na sli~en na~in primeni distributiven zakon na polinomot [ \
138
a) [ [ [ [ , za [ z
§ ¡ b) [ \ ¨ [ \ ¸ Š š
Presmetaj go koli~nikot na polinomot i monomot, ako [ z \ z
Izvr{i go deleweto:
A
1
Razlo`i go na prosti mno`ite li polinomot [ \ [ \ [ .
Sogledaj ja postapkata: Brojot 3 e najgolem zaedni~ki delitel na koeficientite. Zaedni~ki delitel na glavnite vrednosti e x. Monomot 3x e najgolem zaedni~ki delitel na ~lenovite na polinomot.
Ako polinomot
[ \ [ \ [ go podelime so monomot 3x, dobivame [ \ [\ [
Spored toa, baraniot proizvod e [ [ \ [\ . Vo praktikata zapi{uvame: [ \ [ \ [ [ [ \ [\ . 2
Razlo`i gi na prosti mno`iteli polinomite: b) [ Q [ Q [ Q
a) [ \ [ \ [\
Da serazlo`i polinom na prosti mno`iteli zna~i toj da se pretstavi kako proizvod, takvi {to nieden od niv da ne mo`e da se razlo`i. Potseti se! Od [ \ D [ \ so zamenata [ \
B $
dobivame ˜ $ D ˜ $
$ %
$ %
$ % % $
Dali: a) $ %
b) $ %
% $ "
% $
Razlo`i go na prosti mno`iteli polinomot D [ \ E \ [
Sogledaj go re{enieto:
% $ % $
3
Zamenuvame [ \ $ \ [ $ i dobivame D ˜ $ E ˜ $ , t.e. $ D E
So povratna smena dobivame
"
[ \ D E
Vo praktikata zapi{uvame: D [ \ E \ [ D [ \ E [ \
4
[ \ D E
Razlo`i gi na prosti mno`iteli polinomite: a) [ D E \ D E
b) [ D E F \ D E F
Potseti se!
V
So mno`ewe na polinomite E i [ \ dobivame [ \ E[ E\
[ \
[ \
E[ E\ E [ \
Soberi gi prethodnite dve ravenstva. [to dobiva{?
Kone~no, D [ \ E [ \
v) D [ \ E [ \ 5
Razlo`i go na prosti mno`iteli polinomot D[ D\ E[ E\
Sogledaj go re{enieto: Gi grupirame ~lenovite {to imaat zaedni~ki mno`itel i dobivame: D[ D\ D [ \ E[ E\ E [ \
[ \ D E
Istoto re{enie mo`e da se dobie i so poinakvo grupirawe. Poprakti~no e zapi{uvaweto da se napravi kako {to sleduva: D[ D\ E[ E\
D [ \ E [ \
[ \ D E 139
6
Razlo`i go polinomot D[ E[ F[ D\ E\ F\ Prosledi go re{enieto:
D [ \ E [ \ F [ \
D[ E[ F[ D\ E\ F\
[ \ D E F
Obidi se da napravi{ drugo grupirawe na ~lenovite. Pomo{: edna grupa se site ~lenovi so promenliva x itn. Razlo`i gi na prosti mno`iteli polinomite:
7
a) D[ D\ E\ E[
b) [ [\ [ \
v) D[ E[ E[ D[ D E
Zada~i Razlo`i gi na prosti mno`iteli polinomite: v) D D E
1
a) [ \
2
a) [ [\ \
b) DE DF DG
3
a) D [ \ [ \
b) T S T S T S
v) P [ Q [
g) D E D E ˜ D E .
4
b) D[ D\
g) [ \ [ \ .
a) [ [\ D[ D\
b) D DE D E
v) D[ D[ E[ E [
g) [\] [ \ [ \ [ \ ] [\ ]
RAZLO@UVAWE NA POLINOMI SO PRIMENA NA FORMULITE ZA SKRATENO MNO@EWE
7 Potseti se!
$ % $ %
A $ % e formula za skra-
teno mno`ewe.
$ %
140
Razlo`i go na prosti mno`iteli polinomot [
Prosledi go re{enieto:
Dali va`i ravenstvoto
1
$ % $ % "
Vo dadeniot polinom polni kvadrati se [ i .
Ravenstvoto $ %
$ % $ %
e formula za razlo`uvawe. Ako stavime $
i ja primenime formulata, dobivame: [
[
Voobi~aeno zapi{uvame: [
[
[ %
[ [
[ [
2
Zapi{i gi vo vid na proizvod izrazite: a) [
3
Razlo`i go na mno`iteli izrazot D E F G
b) [ \
v) [
Prosledi go re{enieto:
$ % $ %
So primena na formulata $ %
i koristej}i ja zamenata $ D E ,
F G , imame:
%
D E
F G
ª D E F G ºŸ ª D E F G ºŸ
D E F G D E F G 4
Zapi{i gi vo vid na proizvod izrazite: a) D E F b) D E F
v) [ \ \
B
Potseti se!
$ % $ $% %
$ % $ $% %
g) [ \ [ \
5
Zapi{i gi vo vid na proizvod polinomite [ i [ .
$ % i
Prosledi go re{enieto.
$ % se formuli
za skrateno mno`ewe.
Ravenstvata
[to pretstavuvaat ravenstvata:
$ %
$ % $ $% %
i
$ %
$ % $ $% %
se formu-
$ % $ %
$ % $ $% % i $ % $ $% % "
Bidej}i [
li za razlo`uvawe.
[ i [ [ so primena na soodvetnte formuli za razlo`u-
vawe dobivame: [
6
[
[ [ [
i [
[
[ [ [
Razlo`i gi polinomite: a) [
b) [ \
v) [ \
g) [ \
141
Zapi{i go kako proizvod od prosti mno`iteli polinomot [ \
7
Sogledaj go re{enieto: ^lenovite na polinomot [ \ ne se polni kubovi, no so izvlekuvawe na zaedni~ki mno`itel pred zagrada dobivame [ \ Monomite vo zagradata se polni kubovi, pa so primena na formulata za razlika na kubovi dobivame: [ \
[ \ ÂŞ [ \ Âş ÂŹ Âź
[ \ [ [\ \
Razlo`i go na proizvod od prosti mno`iteli polinomot D E [ D\ E\
8
So grupirawe na ~lenovite i izvlekuvawe na zaedni~ki mno`itel pred zagrada imame:
D E [ \ D E So povtorno izvlekuvawe na zaedni~ki mno`itel pred zagrada dobivame:
D E [ \ Izrazot vo vtorata zagrada pretstavuva razlika od kvadrati, pa kone~no dobivame:
D E [ D\ E\ D E [ D E \ D E [ \
D E [ \ [ \ Transformiraj go vo proizvod izrazot:
9
a) D[ D\
b) D[ D
v) D E [ D E \
g) [ [\
Zada~i Transformiraj gi vo proizvod od prosti mno`iteli slednite polinomi:
1
a) [ \
b) D E
2
a) D E
b) D E F
3
a) D[ E[ D\ E\
b) D[ E[ D\ E\
4
a) [ [ D D
b) D E F [ \ ]
142
v) [ [ \
v) D E [ \
RAZLO@UVAWE NA POLINOMI SO PRIMENA NA FORMULATA ZA STEPENUVAWE BINOM NA KVADRAT
8 Potseti se! Ravenstvata
$ %
A $ %
$ $% %
$ $% %
i
Sogledaj go re{enieto:
se poznati kako
$ $% %
e
formula za razlo`uvawe.
[to pretstavuvaat ravenstvata
$ %
Ravenstvoto $ $% %
formuli za skrateno mno`ewe.
$ $% %
Razlo`i go na mno`iteli polinomot [ [ .
1
Stavame $ [ % i dobivame:
$ % i $ % "
[ [
[ ˜ [ ˜
[
Zna~i, [ [
[
Voo~i deka:
[ [
[
;
[ [ v [ , bidej}i [ z ˜ [ ˜ ;
[ [ [ [
2
Napi{i gi vo vid na binom na kvadrat polinomite: a) [ [
3
[ .
b) [ [\ \
v) [\ [ \
Razlo`i go na mno`iteli polinomot D[ D[\ D\ Sogledaj go re{enieto: Go izvlekuvame zaedni~kiot mno`itel pred zagrada i dobivame D [ [\ \
Izrazot vo zagradata e binom na kvadrat, t.e. [ \
Zna~i, D[ D[\ D\
4
Izvr{i razlo`uvawe na polinomite: a) [ [\ \
5
D [ [\ \ D [ \
b) [ \ [ \ [\
v) [ \ [ \ [ \
Transformiraj go vo vid na proizvod polinomot F D DE E Sogledaj go transformiraweto: Po grupiraweto dobivame F D DE E
Izrazot vo zagradata e binom na kvadrat i zapi{uvame F D E
Primenuvame formula za razlika od kvadrati i dobivame ªF D E Ÿº ªF D E Ÿº t.e.
F D E F D E
143
Poprakti~no e zapi{uvaweto kako vo sledniov primer: \ [ [ \ [ [
\ [
ª \ [ Ÿº ª \ [ Ÿº \ [ \ [ Razlo`i gi na prosti mno`iteli polinomite:
6
a) [ [\ \
b) D E F DEF
v) [ \ \
Zada~i Razlo`i gi polinomite:
1
a) [ [\ \
b) [ [\ \
v) [\ [ \
2
a) D DE E
b) [ \ [ \ [\
v) D D D
3
a) [ \ ] [\
b) S ST T
v) P [ [\ \
4
a) [ \ [\
b) [ [
NAJGOLEM ZAEDNI^KI DELITEL. NAJMAL ZAEDNI^KI SODR@ATEL
9 Potseti se!
Deliteli na 12 se: 1, 2, 3, 4, 6 i 12, a deliteli na 18 se 1, 2, 3, 6, 9 i 18. Nivni zaedni~ki deliteli se 1, 2, 3 i 6. O~igledno, najgolem zaedni~ki delitel (NZD) za 12 i 18 e brojot 6. Odredi NZD za monomite
[ \ i [ \
A
1
Odredi go NZD za polinomite DE D E i E D E
Sogledaj go re{enieto: Deliteli na DE D E se:
D E D E DE D D E E D E i DE D E
Deliteli na E D E se:
E D E D E E D E E D E
Zaedni~ki deliteli na dvata polinomi se E D E E D E NZD ª DE D E E D E Ÿº E D E Zapomni! NZD na dva ili pove}e polinomi se dobiva kako proizvod od site zaedni~ki deliteli na tie polinomi, pritoa sekoj od niv se zema so najmaliot pokazatel {to se javuva vo razlo`enite polinomi. Ako NZD za dva ili pove}e polinomi e 1, toga{ velime deka polinomite se zaemno prosti. 144
2
Opredeli go NZD za polinomite D E DE D E i D DE E . Sogledaj go re{enieto: Dadenite polinomi gi razlo`uvame na prosti mno`iteli i imame:
DE D E
D E D E D E
Voo~uvame deka NZD e D E 3
a) [ \ [ \ ] [ \ b) [ \ [ [\ \
Odredi go NZD za polinomite:
v) [ \ [ \ [ \ [ \ [ \ [ \ g) [ \ [ \ [\ [ [ \ [\
B
Potseti se! Brojot 36 e deliv so sekoj od broevite: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 i 36. Velime deka brojot 36 e
5
Odredi go mno`estvoto na zaedni~kite sodr`ateli na polinomite [ i [ \ 4
sodr`atel na tie broevi.
Eve nekolku elementi na baranoto mno-
Najdi nekolku sodr`ateli na broevite 4, 6, 9 i 12.
[ [ \
`estvo: [ [ \ [ [ \
Odredi go NZS na polinomite: [ \ [ \ [ [\ \ Sogledaj ja postapkata: Dadenite polinomi gi razlo`uvame na prosti mno`iteli i dobivame: [ \ [ \ [ \ [ [\ \ [ \ Polinomot [ \ [ [\ \ [ \ e najmal zaedni~ki sodr`atel na dadenite polinomi. Zapomni! NZS se dobiva kako proizvod od site prosti mno`iteli, pritoa sekoj od niv se zema so najgolemiot pokazatel {to se javuva vo razlo`enite polinomi.
5
Odredi go NZS na polinomite: a) [ \ [ \ [ \ v) [ [ [ [
b) D D D
g) [ [ [ [ \ [\ \ [ \ \
Zada~i 1
Opredeli go NZD na polinomite: a) D [ \ D [ \
2
v) D D D D D D
Opredeli go NZS na polinomite: a) D [ \ D [ \
3
b) D E D DE E b) [ \ [ \ [ \
v) D E D DE E D E
Opredeli go NZD i NZS na polinomite: a) D D D D D D
b) D D D
145
10
ALGEBARSKI DROPKI. PRO[IRUVAWE I SKRATUVAWE
A
Potseti se!
e dropka. Isto taka i izrazot [ [ [ W H e dropka. [
Neka M i N se polinomi.
0 1 z se vika algebarska 1 dropka (ili, samo, dropka).
W H
Izrazot
Dali mo`e delitelot (imenitelot) da bide nula?
M e broitel, a N e imenitel na dropkata.
Dadenite algebarski izrazi se algebarski dropki:
1
[ \ z \
D E D z D
D E E z E
[ [ Odredi gi dopu{tenite vrednosti na promenlivata x vo dropkite i [ [ [ Za koi vrednosti na x dropkite se identi~no ednakvi?
2
Prosledi go re{enieto: Za prvata dropka dopu{teni vrednosti se realnite broevi za koi{to [ v , t.e. [ ‰ \ ? \ ^ , a za vtorata dropka se realnite broevi, za koi{to [ [ v , t.e. [ ‰ \ ? \ ^ .
[ [ Dropkite i se identi~no ednakvi ako x se menuva vo mno`estvoto [ [ [
Z ? ^ `
Treba da znae{! Dropkata e definirana koga promenlivite primaat samo dopu{teni vrednosti (imenitelot da e razli~en od nula). Algebarskite dropki so promenlivi stanuvaat obi~ni dropki so soodvetna zamena na promenlivite so nivni dopu{teni vrednosti i zatoa tie imaat isti svojstva i mo`e da se izvr{uvaat operaciite na ist na~in kako kaj obi~nite dropki. Za identi~no ednakvite dropki
0 3 0 i pi{uvame 4 1 1
3 ili 0 ˜ 4 4
1 ˜ 3 za 1 z 4 z
Odredi gi dopu{tenite vrednosti na promenlivite vo dropkite:
3
a) 146
[ ; [
b)
[ [
v)
[ [ [
g)
[ [ [ [
Potseti se! Dropkata
˜
Dropkata
B
pro{iri ja so 2. Dobiva{
4
[ [ z pro{iri [ ja so polinomot [ Dropkata
Sogledaj go re{enieto: Broitelot i imenitelot gi mno`ime so [ , a zapi{uvame:
[ pro{iri ja so [ [ z
[ [
[ ˜ [
[ ˜ [
[ [ [
Zapomni! Ravenstvoto polinomot P. 5
0 1
0 0 ˜3 sme ja pro{irile so 1 z 3 z ozna~uva deka dropkata 1 1 ˜3
Svedi gi na ist imenitel dropkite
\ [ [ [ [\ \ [
Sogledaj go re{enieto: Gi razlo`uvame na prosti mno`iteli imenitelite na dadenite dropki i imame: [ [
[ [
[\ \
\ [
[
[ [
Go odreduvame NZS za imenitelite i dobivame [\ [ [ . Odreduvame pro{iruva~ za sekoja dropka. Pro{iruva~ na dropkata e mno`itelot od NZS {to ne se sodr`i vo imenitelot na taa dropka. Za pro{iruvaweto na dropkite zapi{uvame:
\ [ [
\ [
\ ˜ [ [ \ [
[ [\ \
[ [
[ ˜ \ [ [ [
[
6
[ [
˜
[\ [\
Svedi gi na ednakov imenitel dropkite: a)
\ [
[\ [ [
[ [
[\ [ [
[\ [\ [ [
P Q D E ; b) \ [\ D DE DE E 147
Potseti se!
V
skratena so 5 iznesuva Skrati ja so 2 dropkata [
7
Dropkata
Skrati ja dropkata D D D z D z D
Sogledaj go re{enieto: Imenitelot i broitelot gi razlo`uvame na prosti mno`iteli i imame: D D
D D i D
Broitelot i imenitelot gi delime so polinomot D i dobivame
D D
D D
Postapkata na skratuvawe ja zapi{uvame na sledniov na~in:
D D D
D D
D D
D D
Treba da znae{!
Da se skrati dropkata
0 1
1 z
zna~i broitelot i imenitelot da se podelat so
polinomot P = NZD 0 1 . Voo~i!
Vo skratuvaweto
D E F D E F
D EF
D z E z F z
na pogoden na~in e primeneto dele-
weto na stepeni so ednakvi osnovi.
[ \ ] [ z \ z ] z
[ \ ]
8
Skrati gi dropkite: a)
b)
[ [ [ z [
Zada~i 1
Odredi gi dopu{tenite vrednosti na promenlivite vo slednite algebarski dropki:
[ a) [ [ v) [ \ \ 2
148
Skrati gi dropkite:
[ b) [ [
a)
[ \ ] [ \ ]
b)
[ [
[ [
[ \ g) [ [\
v)
[ [ [
g)
D[ D\ E[ E\ [ \
Svedi gi na zaedni~ki imenitel dropkite: a)
3
D b) D E D E [ [ [ [ [
4
Skrati gi dropkite: a)
D [ [ [ [ b) v) D [ [ [ [\ \
11
OPERACII SO ALGEBARSKI DROPKI
A
Potseti se!
1
[ [ [
[ v [ [ [
[ Presmetaj: za D z D D D
Sogledaj go re{enieto:
Kako se sobiraat dropkite so razli~ni imeniteli?
2
Najdi go zbirot na dropkite:
[ [ [ [ [ [ [
[ [ [ [ [
D E D E DE E D DE DE
Najdi go zbirot na dropkite
D z
E z D z E
Sogledaj go re{enieto: Dropkite se so razli~ni imeniteli. So razlo`uvawe na imenitelite imame: DE E NZS za imenitelite e DE D E Dropkite gi pro{iruvame i imame:
E D E D DE D D E DE
D E D E D E DE D E DE D E
DE D E
Go primenuvame praviloto za sobirawe na dropki so ednakvi imeniteli i dobivame D E D E DE D E
E E . Po skratuvaweto dobivame D D E
DE D E
Poprakti~no e slednovo zapi{uvawe: D E D E DE E D DE DE
D E D E E D E D D E
DE
D ˜ D E ˜ E D E D E
DE D E
D E D E DE D E
E DE D E
E D D E
Zapomni!
0 3 1 1 so ednakvi imeniteli.
So ravenstvoto
0 3 1
1 z
se iska`uva praviloto za sobirawe na dropki
149
Odredi go zbirot na dropkite:
3
a)
P S P S P S PS
b)
D D E D E
v)
Potseti se!
B
¸ ¸ ¸ b) ¸
4
Pomno`i gi dropkite:
[ [ [ D D [ D [ [ [ [
Presmetaj go proizvodot:
a) ¸
[ \ [ \ [\ [\ \ [ [\
D z
v) ¸ .
[ z [ z [ z [ z
Sogledaj go re{enieto.
Broitelite i imenitelite na dadenite dropki gi razlo`uvame na prosti mno`iteli: [ [ [
[ [ [
[ [ [ [ [
[ [ [
[ [ [
[ [ [ [ [
D D
D D
Za proizvodot imame:
[ [ [ ˜ D
D D
[ [ [
˜
[ [
D
Poprakti~no e re{enieto da go zapi{uvame na sledniov na~in:
[ [ [ D D [ ˜ ˜ D [ [ [ [
[ [ [
D
˜
[ [ [
[ [ [ ˜ D
D D
D D
˜
[ [
[ [ [
˜
[ [
Zapomni! Proizvodot na dve ili pove}e dropki e dropka ~ij broitel e ednakov na proizvodot od broitelite, a imenitelot e ednakov na proizvodot od imenitelite na dropkite. Dropkite-mno`iteli, pred da se pomno`at, mo`at da se skratuvaat, taka {to se kratat ednakvite mno`iteli vo koj bilo broitel i koj bilo imenitel. Presmetaj go proizvodot:
5
a)
150
D D ˜ D D
D z D z
b)
D DE D E DE ˜ D DE DE
D z E z D z E
D
Potseti se!
V
˜
b)
[
Podeli ja dropkata
[ so [ [
[ [ [ z [ z [ z [ z [ Sogledaj go re{enieto:
dropkata
Presmetaj go koli~nikot: a)
6
Gi razlo`uvame broitelite i imenitelite na dadenite dropki i imame:
v)
[ [
[
[ [
[ [
[ [ [ [
[ [
Dropkata-delenik se mno`i so recipro~nata vrednost na dropkata-delitel, t.e.
[ [ ˜ [ [ , od kade {to po skratuvaweto dobivame [ [
[ [
[ [
[ Vo praktikata pi{uvame: 7
[ [ [ [ [ [
[ [ ˜ [ [ [ [ [ [
[ [
[
Presmetaj go koli~nikot: [ \ [ \ a) E F E F
E \ E \ b) D \ D D\ \
Zapomni!
Ravenstvata:
0 3 0 ¸3 ¸ 1 4 1 ¸4
i
0 3 0 4 ¸ 1 4 1 3
1 v 4 v 3 v
se pravila za mno`ewe i delewe na algebarski dropki. Potseti se!
G ˜ ˜
Pretstavi gi vo obi~ni dropki:
a)
b)
v)
8
Transformiraj ja dvojnata
D. dropka D D
Sogledaj go re{enieto:
151
Prvo gi transformirame broitelot i imenitelot i imame: D
D
D D
D D Sleduva D D D
D i D D
D D D
D D
D D
D D D D D
D Zapi{uvame: D D
D
D D D
D z r
D z r
D D D D D
D D D
D D
D D z r
Treba da znae{! Dvojna dropka se sveduva vo obi~na taka {to proizvodot na nadvore{nite ~lenovi se zapi{uva za broitel, a proizvodot na vnatre{nite ~lenovi za imenitel. Vnatre{nite mno`iteli {to se ednakvi so nadvore{nite mno`iteli mo`e da se kratat. § [ [ [\ ¡ [\ Izvr{i gi nazna~enite operacii: ¨ ¸ Š[ \ [ \ [ \ š [ \ Sogledaj go re{enieto.
9
Spored poznati postapki ja presmetuvame vrednosta na izrazot vo zagradata i dobivame: [ [\ [ \ [ \
[ [\ Kone~no dobivame ˜ [\ [ \ [ \
[ \ [ \
[ \ za \ z [ z \ [ z \ \
§ [ [ [\ ¡ [\ Pi{uvame direktno: ¨ ¸ Š[ \ [ \ [ \ š [ \
[ [ \ [ [ \ [\
[ \ [ \
[ [ \
[ \ [ \
10
˜
[ \ [ \
[ \ [ \
[\
[\
[ [\ [ [\ [\ [ \ [ \
˜ [\ [ \ [ \
[ \ \
Uprosti gi izrazite (izvr{i gi nazna~enite operacii): [ \ [ \ [ \ [ \ a) [ \ [ \ [ \ [ \
152
˜
§ [ ¡ § [ \ ¡ \ \ b) ¨ [ [\ [ \ [\ \ ¸ ¨ [ \ ¸ Š š Š š
Zada~i D E D E
D E D E D E
1
Presmetaj:
2
Pomno`i gi, odnosno podeli gi dropkite: a)
3
a)
b)
[ \ [ \ D [ ˜ ˜ b) [ \ [ [\ \ [ D
g)
[ [ [ [ [ [ [ [
[ b) [
a) D E E D
Izvr{i gi nazna~enite operacii:
12
D [ D D[ D D[ D [
v)
STEPEN SO POKAZATEL NULA I CEL NEGATIVEN BROJ
A
Potseti se! Presmetaj:
1
Primeni go praviloto za delewe na stepeni so isti osnovi
vo primerive: a) D D b) [ [
D ˜ D [ [ D P D Q
Re{avaj}i ja zada~ata }e dobie{:
Q Kako se definira D D Â? Z i Q Â? ^ "
a) D D
D
[
D b) [ [
[
Q Za stepenite D i D ne mo`eme da ja primenime definicijata za stepenot D Q Â? ^ .
Za ovie stepeni se voveduva slednata definicija: D
def
i D Q
def
, za sekoj D Â? Z ? ^ ` L Q Â? ^ DQ
2
Presmetaj:
a)
§ ¡ b) ¨ ¸ ; Š š
3
Presmetaj:
a) ;
b) ;
v) D ,
v) D
D z ;
g)
.
D z .
Sogledaj go re{enieto: a)
;
b)
;
v) D
D
D
. D
Q Voo~i: D i D Q D z se recipro~ni broevi.
153
B
Potseti se! Pri pro{iruvawe na brojnite mno`estva rekovme deka vo novoto mno`estvo na bro-
a) D ˜ D
va`ele i pred toa.
So primena na definicijata
presmetaj: a) D ˜ D b) D Q D
D Q
evi treba da va`at site zakonitosti {to
4
˜ D D
D
D
D .
[to mo`e{ da zaklu~i{?
So vaka usvoenata definicija za stepenite so pokazatel nula i cel negativen broj }e poka`eme deka pravilata za operacii so niv se isti kako i tie za stepeni so pokazatel priroden broj, t.e. Za sekoi D E Â? Z ? ^ ` i za sekoi P Q Â? [ va`i:
D P ˜ D Q D ˜ E
D P Q P
D P D Q
D P ˜ EP
Da go doka`eme tvrdeweto D ˜ E
P
D P Q
§D¡ ¨ ¸ ŠEš
P
D P
Q
DP Q ˜
DP EP
D P ˜ EP :
Za P � ^ trvdeweto e prethodno doka`ano. Za P imame D ˜ E
Za P
S
S !
D ˜ E bidej}i D ˜ E
imame: DE
P
DE
S
i D ˜ E ˜ , sleduva D ˜ E
DE
S
D ˜ES S
˜ DS ES
D S ˜ E S
D ˜ E .
D P EP
Ostanatite tvrdewa se doka`uvaat na ist na~in. Proveri ja to~nosta na slednive ravenstva: a) D ˜ D
5
D ; b) D D
D ; v) D
D .
Zapomni!
Operaciite so stepeni ~ij pokazatel e nula ili cel negativen broj se izveduvaat spored istite pravila {to va`at i za stepeni so pokazatel priroden broj.
Izvr{i gi nazna~enite operacii so stepeni:
6
a) [ ˜ [ [ ; 154
b) [ \ ˜ [\ [ \ ;
D
v)
D
˜ D
.
Sogledaj go re{enieto: b) [ \ ˜ [\ [ \
[ ˜ \ [ ˜ \ [ \ [ \ [ \
§ ¡ b) ˜ ¨ ¸ ; Š š
§ ¡ Presmetaj ja vrednosta na izrazot: a) ¨ ¸ ; Š š Sogledaj go re{enieto:
7
§ ¡ a) ¨ ¸ Š š
§ ¡ ¨ ¸ Š š
§ ¡ ¨ ¸ Š š
[ \ .
v) ;
.
Voo~i: §D¡ ¨ ¸ ŠEš
8
Q
§D¡ ¨ ¸ ŠEš
DQ EQ
Q
§E¡ ¨ ¸ ŠDš
Q
D z
E z Q Â? ^
Oslobodi se od negativen pokazatel vo slednive izrazi: D E b) D EF
a) [ \
v)
[ \ [ \
[ \ [ \
\ [ [\ \ [ [ \
[\ \ [
\ [ \ [
v)
[ \ [ \
[\ , za [ z , \ z , \ z r [ \ [
Zada~i 1
Oslobodi se od negativnite pokazateli: a) [ \ ;
b) D EF ;
v)
[ \ . [\
§ ¡ ¨ ¸ Š š b) . ˜
2
Presmetaj ja vrednosta na izrazot: a) ;
3
Zapi{i gi dropkite so broitel 1:
a)
[ \ D E
b)
[ E [ \ v) F [ \
4
Dropkite zapi{i gi so imenitel 1: a)
[ \
b)
D D D E
5
Slednive broevi zapi{i gi vo vid D ˜ D N � [
v)
D D
N
a) ;
b) ;
v) Dijametarot na atomot na vodorodot e FP
155
13 1
TEMATSKI KONTROLNI ZADA^I
Izvr{i gi nazna~enite operacii: a) [ [ ˜ [ ˜ [
2
[
˜ [ [
[ [
Napi{i go izrazot kako stepen so osnova a, a potoa presmetaj ja negovata vrednost za D
a) D¸ D 3
b)
D ¸ D b)
D ¸D
D ¸ D
Odredi go stepenot na polinomot 3 [ D[ \ D[ \ [ \ ako: a) x e promenliva; b) y e promenliva; v) x, y se promenlivi.
4
Dadeni se polinomite 3 [ [ [ 4 [ [ [ Odredi gi polinomite:
a) 3 [ 4 [ b) 3 [ 4 [ v) 3 [ ¸ 4 [ 5
Dopi{i za da dobie{ vistinit iskaz: a) $ %
6
b) $ % $ %
Svedi go vo normalen vid polinomot:
[ [ [ [ . 7
Podeli gi monomite:
§ ¡ § ¡ a) [ \ ] [\ ] b) ¨ [ \ ¸ ¨ [ \ ¸ Š š Š š
8
Presmetaj go koli~nikot
[ 9
[ [ [
Zaokru`i go to~niot odgovor,
D
E D E e
a) D E
b) D E
v) D DE E
g) D DE E
156
10 Razlo`i na mno`iteli: a) [ \ [ \ [ \ b) [ \ v) D [ D[ 11 Razlo`i gi na prosti mno`iteli polinomite: a) [ [ [ b) D [ D [ D
v) [ .
12 Odredi NZD i NZS za polinomite: a) [ \ [\ [ \ b) [ [ [ [ .
D F e: E G D F b) EG g) DG EF EG
13 Zbirot na dropkite
D F E G v) DG EF a)
14 Skrati gi dropkite: a)
[ [ [\ \
15 Dropkata dropka.
b)
[ . [ [
D napi{i ja vo vid na dvojna
16 Uprosti go izrazot
D[ D Â?ž [ ÂÂŹ
ž Â. [ [ žÂ&#x; [ [ ÂÂŽ
17 Uprosti go izrazot:
§ D E ¡ D a) ¨ ¸ ˜ Š F š E
§ DE ¡ § D E ¡ b) ¨ ¸ ¨ ¸ Š F š Š F š
18 Uprosti go izrazot 19 Uprosti go izrazot
D E D E DQ D Q za Q Â? ^ DQ D Q
TEMA 5
PROPORCIONALNOST NA VELI^INITE
E, Z
SODR@INA NA TEMATA
1
Osnovni i izvedeni merni edinici vo Me|unarodniot sistem 158
10 Procentna smetka ....................... 184
2
Imenuvani broevi ....................... 161
Ptocentna smetka pod sto .......... 186
3
Operacii so imenuvani broevi .... 165
12 Promilna smetka .......................... 190
4
Razmeri i proporcii .................. 167
13 Kamatna smetka ............................ 193
5
Izvedeni proporcii. Prodol`eni proporcii ........................... 171
14 Delbena smetka ............................ 197
6
Prava i obratna proporcionalnost .......................................... 174
7
Prosto trojno pravilo ................. 176
11 Procentna smetka nad sto.
15 Smetka na smesi .......................... 201 16 Slo`ena smetka na smesi ........... 205 17 Grafi~ko i tabelarno prika`u-
8
Slo`eno trojno pravilo .............. 178
9
Veri`na smetka ............................ 181
vawe na podatoci .......................... 209
18 Tematski kontrolni zada~i ......... 214
157
1 A
OSNOVNI I IZVEDENI MERNI EDINICI VO ME\UNARODNIOT SISTEM (SI)
Vo sekojdnevniot `ivot ~esto se sre}avame so razni veli~ini: dol`ina, plo{tina, volumen, masa, vreme, temperatura i drugo. Sekoja od ovie veli~ini mo`e da se oka-
rakterizira so eden pozitiven realen broj, nare~en golemina na taa veli~ina. Poimot veli~ina e eden od osnovnite poimi vo prirodnite nauki i zatoa toj ne se definira, tuku se razbira intuitivno, preku nekoi negovi svojstva. Pritoa osoznavaweto na edna veli~ina e mo`no samo preku sporeduvawe so druga. Pojdovna aktivnost vo site nauki (osobeno vo prirodnite) e mereweto. Pod merewe se podrazbira kvantitativno sporeduvawe na dadena veli~ina so nejzinata merna edinica, t.e. so odnapred izbrana edinica za merewe (pramera, etalon). Vsu{nost, mereweto e operacija koja ka`uva kolku pati mernata edinica E se sodr`i vo nekoja dadena veli~ina G. Toa matemati~ki se izrazuva so operacijata delewe, a brojot G/E se vika meren broj za veli~inata G. Na primer, 324 e meren broj na visinata na Ajfelovata kula vo metri. So promena na edinicata za merewe se menuva i merniot broj, no merata ostanuva ista (324 m = 32400 cm).
B
Vo dale~noto minato, kako edinici za merewe ~ovekot gi upotrebuval goleminite od svoeto neposredno okru`uvawe: palec, peda, ~ekor, ar{in i drugo . No ovie edi-
nici-merki, se razbira, bile neopredeleni i neprecizni, {to pretstavuvalo pre~ka vo razvojot na trgovijata, industrijata i naukata. Taka se nametnala potrebata za opredeluvawe na edinstveni merni edinici. Vo XIX vek kako me|unarodno etalonirani edinici za dol`ina i masa se prifateni metar i kilogram. Vo po~etok na XX vek se pristapilo kon razrabotka na edinstven Me|unaroden sistem na edinici, za site fizi~ki veli~ini, ~ija skratena oznaka e SI. Ovoj sistem bil izraboten so cel da gi zameni dotoga{nite parcijalni sistemi kako {to se: sistemot CGS (santimetar - gram - sekunda) {to se koristel vo fizikata, sistemot MKSS (metar kilogram - sila - sekunda) koristen vo tehnikata i drugi. Kone~nata verzija na SI e usvoena vo 1960 godina. Vo RM vo 1995 godina e donesen Zakon za merni edinici i merila so koj e usvoen SI i negovoto koristewe vo javniot soobra}aj. Spored ovoj sistem potrebno e da se usvojat samo sedum osnovni veli~ini i za niv da se definiraat edinicite, a site drugi veli~ini se pojavuvaat kako izvedeni vrz osnova na fizi~kite zakoni. 158
Osnovnite merni edinici vo SI se dadeni vo slednata tabela: tabela 1
Edinica
Znak
Veli~ina
metar
m
dol`ina
kilogram
kg
masa
sekunda
s
vreme
amper
A
ja~ina na elektri~na struja
kelvin
K
termodinami~ka temperatura
kandela
cd
svetlosna ja~ina
mol
mol
koli~ina na materija tabela 2
Od ovie osnovni edinici, dadeni vo tabelata 1, se izvedeni slednite edinici: wutn (N) za sila, xul (J) za rabota i energija, vat (W) za mo}nost, volt (V) za elektri~en napon, herc (Hz) za frekvencija, kulon (C) za elektricitet, om (: ) za elektri~en otpor, tesla (T) za magnetna indukcija, paskal (Pa) za povr{inski pritisok, farad (F) za elektri~en kapacitet i drugi.
Naziv na prefiksot
Oznaka
Brojna vrednost na prefiksot
eksa
E
peta
P
tera
T
giga
G
mega
M
Pogolemi ili pomali od osnovnite ili izvedenite merni edinici se obrazuvaat so decimalno mno`ewe ili delewe. Nazivite na prefiksite, nivnite oznaki i brojnite vrednosti se dadeni vo tabelata 2:
kilo
k
hekta
h
deka
da
deci
d
centi
c
mili
m
mikro
m
nano
n
piko
p
femto
f
ato
a
Prefiksot i nazivot na mernata edinica se pi{uvaat zaedno kako eden zbor (kilometar, hektametar, nanofarad, pikofarad itn.). Oznakite na edinicite se pi{uvaat bez to~ka na krajot i odvoeno od brojnata vrednost ( 30 km, 44 dag, 55 V, 60 W, 24 h, itn.).
159
V
Vo nekoi zemji se zadr`ale i drugi edinici, a i zemjite koi go prifatile Me|unarodniot sistem i ponatamu koristat nekoi drugi edinici. Merni edinici koi ne pripa|aat na Me|unarodniot sistem (SI), a mo`at da se upotrebuvaat i kaj nas se: - ar D P za plo{tina;
- hektar KD P za plo{tina; - litar ? GP za volumen; - ton W NJ za masa; - stepeni Celziusovi q& za termodinami~ka temperatura i q& . - bar EDU 3D za pritisok (vo meteorologijata i medicinata). Ne se odobruva upotreba na slednive edinici: - mikron P P za dol`ina; - registarski toni
P za volumen;
- kvintal ili metarska centa
G
NJ za masa.
Pokraj mernite edinici {to ve}e gi spomnavme postojat i drugi, a za nas se interesni onie merni edinici koi se koristat vo Anglija i SAD. Vo prodol`enie
}e se zadr`ime na angliskite merni edinici za: dol`ina, plo{tina, volumen, te~nost i `ito, te`ina i blagorodni metali. 1. Merki za dol`ina.
2. Merki za plo{tina.
Osnovna edinica:
Osnovna edinica:
- 1 jard \G P ili \G P - \G stopala IW IW FP - IW in~i LQ LQ - 1 suvozemna milja - 1 morska milja
FP \G P
- kvadraten jard VT \G . - VT \G P - za plo{tina na zemja: akr DFU DFU KD
P
4. Merki za te~nost i `ito. 3. Merki za volumen. Osnovna edinica: - kuben jard FX \G
FX \G P - za volumen na brodovi: registerski ton; registerski ton P 160
- 1 galon J ? - 1 kvoter J ? - 1 barel J ? - 1 bu{el EVK ?
- 1 kvarter T bu{eli - T J
?
5. Merki za te`ina. 5.2. Za blagorodni metali.
5.1. Za trgovski stoki. - 1 angliski (dolg) ton HW NJ
- 1 trojlibra WUOE JU
- HW
- 1 WUOE trojonca WUR] WUR] J
handertvejta FZW FZW NJ
- FZW
kvartera TU libri OE
- TU NJ - TU
- GZW
OE OE J
- OE onca R] R]
- WUR]
pekivejsa GZW
grena JU
- 1 karat grena. J
Za skapoceni kamewa:
- R] drama GU
2
1 karat JU
IMENUVANI BROEVI
Potseti se! [to e merewe? Kako se vikaat broevite: NJ J q&"
W P KD Koja e osnovna merna edinica za: a) dol`ina; b) masa; v) vreme?
A
Pri merewe na nekoja veli~ina se dobiva realen broj koj se narekuva meren broj na taa veli~ina. Na primer, 15 kg, 81 cm, 26 godini, 50 denari, 42 l. Vo ovie primeri, po merniot broj e zapi{ano i imeto na edinicata ili nejzinata oznaka. Vakvite broevi gi narekuvame imenuvani broevi.
Imenuvanite broevi mo`at da bidat: - istoimeni, na primer: 3 kg i 4 kg, 5 ? i 15 ? , 1 m i 7 m; - istorodni, na primer: 5 kg i 100 g, 3 ? i 6 G? , 2 m i 13 mm; - ednoimenuvani, na primer: 5 kg; 3,2 m; 7 ? ; - pove}eimenuvani, na primer: 4 kg 7 dag 15 g, 9 m 6 cm 8mm; 4 l 5 G? . 1
Kakvi se slednite imenuvani broevi: a) 2 kg i 4 dag;
b) 8 km, 56 m i 12 cm;
v) 9 ? 15 G? 7 F? ; g) 6 h i 9 h? 2
Dali se istorodni broevite: a) 8 m i 6 kg; b) 12 kg, 6 hg i 23 g; v) P P i 7 m? Od dva istorodni imenuvani broevi edniot sekoga{ e od povisok red. Na primer, od 6 kg i 7 dag, brojot 6 kg e od povisok red, a brojot 7 dag e od ponizok red. Sekoj pove}eimenuvan broj mo`e da se pretvori vo ednoimenuvan i obratno, ednoimenuvaniot broj mo`e da se pretvori vo pove}eimenuvan broj, samo ako sodr`i edinici od povisok red. 161
B
3
Kolku meseci, denovi, ~asovi i minuti ima vo 0,72 godini?
Imame po red: 0,72 g. ˜ m. m. - 8 m. 0,64 m. ˜ d. d. - 19 d. 0,2 d. ˜ ~. ~. - 4 ~. 0,8 ~. ˜ m. minuti Zna~i, godini meseci 19 denovi 4 ~asovi 48 minuti. Vo zada~a 3 pretvoravme edinici od povisok vo edinici od ponizok red. Vakvata postapka se vika rezolvirawe. 4
Kolku meseci, denovi, ~asovi i minuti ima vo godini?
5
Kolku godini ima vo 6 meseci 14 denovi 9 ~asovi 36 minuti? Verojatno sogleduva{ deka ovde treba da se primeni postapka {to e obratna od rezolvirawe, t.e. edinici od ponizok red treba da se pretvorat vo edinici od povisok red. Imeno, 36 minuti : 60 = 0,6 ~asovi + 9 ~asovi 9,6 ~asovi : 24 = 0,4 denovi + 14 denovi 14,4 denovi : 30 = 0,48 meseci + 6 meseci 6,48 meseci : 12 = 0,54 godini. Postapkata pri koja se vr{i pretvorawe na edinici od ponizok vo edinici od povisok red se vika reducirawe.
6
Kolku godini ima vo 7 meseci 12 denovi 15 ~asovi 25 minuti?
7
Kolku denovi ima vo 3 godini 8 meseci 12 denovi 8 ~asovi 24 minuti? Vo ovaa zada~a }e izvr{ime: 1. rezolvirawe, t.e. godinite i mesecite }e gi pretvorime vo denovi; 2. reducirawe, t.e. minutite i ~asovite }e gi pretvorime vo denovi. 162
Prosledi ja postapkata: 1o 3 godini = ˜ meseci = 36 meseci + 8 meseci 44 meseci ˜ 30 denovi = 1320 denovi + 12 denovi 1332 denovi
2o 24 minuti : 60 = 0,4 ~asovi + 8 ~asovi 8,4 ~asovi : 24 = 0,35 denovi.
Spored toa, imame: 3 godini 8 meseci 12 denovi 8 ~asovi 24 minuti
denovi.
8
Kolku denovi ima vo 5 godini 11 meseci 14 denovi 4 ~asovi 5 minuti 6 sekundi?
9
Kolku sekundi, minuti, ~asovi i denovi ima vo 333222 s? Treba da izvr{ime reducirawe na brojot 333222 s; toa }e go vr{ime so postepeno pretvorawe vo prvata povisoka edinica so delewe, a ostatokot go zapi{uvame vo soodvetnata edinica:
Od 333222 s : 60 dobivame 5553 min i ostatok 42 s. Od 5553 min : 60 dobivame 92 h i ostatok 33 min. Od 92 h : 24 dobivame 3 d i ostatokot 20 h. Spored toa imame: 333222 s = 3 d 20 h 33 min 42 s. 10
Kolku minuti, ~asovi, denovi i meseci ima vo 364543 minuti?
11
Kolku metri, decimetri, santimetri i milimetri ima vo 4529 mm? Bidej}i sekoja povisoka edinica se dobiva koga poniskata se deli so 10, rezultatot mo`eme vedna{ da go dobieme bez presmetuvawe, t.e. 4529 mm = 4 m 5 dm 2 cm 9 mm.
12
Kolku kilogrami, hektogrami, dekagrami i grami ima vo 14563 g?
13
Kolku angliski toni (et) ima vo 23 et 16 cwt 3 gr 14 lb?
JU
OE JU JU
JU FZW FZW
OE
FZW
FZW HW HW
JU
HW
FZW
HW
163
Zabele{ka. HW FZW JU OE u{te se zapi{uva i vaka: HW Zna~i, HW
HW
14
Kolku angliski toni (et) ima vo 15 et 14 cwt 2 gr 12 lb?
15
Kolku libri ima vo et 3,, 2,, 16,, 4? HW ˜ FZW FZW FZW ˜
JU JU JU ˜ OE OE OE
16
Kolku libri ima vo et 23,, 16,, 3,, 14?
Zada~i 1
Pove}eimenuvaniot broj 8 kg 6 hg 4 dag 5 g izrazi go vo gramovi.
7
Kolku grami, dekagrami, hektogrami, kilogrami i toni ima vo 234576820 g?
2
Kolku santimetri ima vo 3 km 8 dam 6 m 2 dm?
8
Kolku godini, meseci, denovi, ~asovi, minuti i sekundi ima vo 235123,356 ~asa?
3
Kolku metri ima vo 6 m 5 dm 8 cm 4 mm?
4
Kolku kvadratni metri ima vo KP GDP P GP ?
9
Kolku meseci, denovi, ~asovi i minuti ima vo 0,54 godini?
5
Kolku sekundi, minuti, ~asovi i denovi ima vo 4825362 s?
10 Pretvori vo kvarteri (qr): 5 et 7 cwt 3 gr 14 lb 14 qr.
6
Kolku meseci, denovi, ~asovi, minuti i sekundi ima vo 3583,46 ~asa?
11 Kolku libri ima vo et 20,, 14,, 3,, 11?
164
3
OPERACII SO IMENUVANI BROEVI
A
Operaciite: sobirawe, odzemawe, mno`ewe i delewe na imenuvani broevi }e gi poka`eme na konkretni primeri.
1
Vo edna prodavnica imalo: 2 h ? 3 da ? 5 l sok od jabolka, 1 h ? 4 da ? 8 l sok od portokal i 4 h ? 4 da ? 3 ? koktel. Kolku vkupno sok imalo vo prodavnicata? Pri sobirawe (odzemawe) na pove}eimenuvani broevi, tie se pi{uvaat eden pod drug, taka {to istoimenite golemini da bidat edna pod druga, a potoa se sobiraat (odzemaat). 2 K?
3 da ?
5?
1 h?
4 da ?
8?
4 da ?
3?
4 h?
7 h ? 11 da ? 16 ? = 8 h ? 2 da ? 16 ? 2
Vo magacinot prviot den se istovareni 6 t 537 kg, vtoriot - 3 t 180 kg, a tretiot den 5 t 420 kg. Kolku vkupno stoka e istovareno vo magacinot za trite dena?
3
Prvata zada~a na pismenata rabota po matematika Igor ja re{il za 6 min i 28 s, vtorata za 11 min i 15 s, a ~etvrtata za 10 min i 40 s. Kolku vreme mu ostanalo na Igor za re{avawe na tretata zada~a ako ~asot trae 45 minuti? 6 min 28 s 11 min 15 s 10 min 40 s
44 min 60 s 28 min 23 s 16 min 37 s
27 min 83 s = 28 min 23 s 4
Vo magacinot se istovareni 3 kamioni. Prviot istovaril 6 t 95 kg, vtoriot 5 t 420 kg i tretiot 4 t 280 kg. Od primenata stoka vo prodavnicata e odneseno 3 t 456 kg. a) Kolku vkupno stoka e primeno? b) Kolku stoka ostanala vo magacinot?
5
Presmetaj go proizvodot P FP PP ˜ I na~in. P FP PP ˜ P FP PP II na~in. Od P FP PP
P FP PP ˜ 6
P FP PP
PP imame:
PP ˜ PP P FP PP
Presmetaj na dva na~ini K PLQ V ˜
165
Za tri isti ma{ki kostumi e potro{eno 8 m 7 dm 6 cm {tof. Kolku {tof e potro{en za eden kostum?
7
P GP FP P P P Zna~i, P GP FP P GP FP
Presmetaj P GP FP
8
Zabele{ka. Vo zada~a 5 imavme mno`ewe na pove}eimenuvan so neimenuvan broj, a vo zada~a 6 delewe na pove}eimenuvan so neimenuvan broj, pa pretvorawe na pove}eimenuvaniot broj vo ednoimenuvan be{e mo`no, no ne i zadol`itelno. Pri mno`ewe ili delewe na dva pove}eimenuvani broevi zadol`itelno e prethodno pretvorawe vo ednoimenuvani broevi, pri {to pretvoraweto mo`e da se vr{i vo koja bilo merna edinica od pove}eimenuvaniot broj. 9
Stoka so masa 3 t 7 hg 50 kg treba da se transportira. Kolku kamioni se potrebni ako se znae deka sekoj od niv mo`e da nosi po 1 t 2 hg 50 kg? Dvata pove}eimenuvani broevi }e gi pretvorime vo ednoimenuvani, t.e. W KJ NJ NJ W KJ NJ NJ NJ NJ Zna~i, potrebni se 3 kamioni.
Cenata na P grade`no drvo e 12000 denari. Kolku denari treba da se platat za 10 gredi vo forma na kvadar so dimenzii: 4 m, 10 cm i 14 cm?
10
DEF ˜ ˜ P Volumenot na 10 gredi iznesuva
Volumenot na edna greda e 9
˜ P
P Bidej}i cenata na P e 12000 denari, dobivame: ˜
Zna~i, za 10 gredi treba da se platat 6720 denari.
Zada~i 1
Eden rabotnik rabotel 3 godini 8 meseci i 25 dena vo edno pretprijatie, vo drugo 4 godini 7 meseci i 21 den, a vo treto pretprijatie 7 godini 4 meseci i 17 dena.
4
Vo magacinot se primeni 15 t 80 kg stoka, a se ispora~ani 8 t 245 kg. Kolku toni ostanale vo magacinot?
5
Presmetaj:
Presmetaj go negoviot vkupen raboten sta`.
2
v) K? GD? ?
Povr{inata na Zemjata e ˜ NP a pod voda se ˜ KP Kolku KP e kopnoto
Vo prodavnica se primeni 3 topa {tof: prviot ima 65 m 70 cm, vtoriot 120 m 20 cm i tretiot 82 m 60 cm. So kolku dekari }e se zadol`i prodavnicata, ako cenata na {tofot e 480 denari?
166
b) W NJ KJ GDJ ˜
g) P GP FP
d)
na Zemjata?
3
a) P GP FP
6
IJSF cFXF PLQ
Cenata na P grade`no drvo e 9000 denari. Kolku denari treba da se plati za 30 gredi koi imaat forma na kvadar so dimenzii: a) 5 m 30 cm; 10 cm; 12 cm; b) 3 m 60 cm; 30 cm; 4,5 cm?
4
RAZMERI I PROPORCII
A
Vo sekojdnevniot `ivot ~esto pati se javuva potreba da gi sporedime goleminite na dve istoimeni ili istorodni veli~ini. Poznato ti e deka razmer (odnos) na brojot a D sprema brojot b e koli~nikot na broevite a i b, t.e. D E ili pri {to a se vika prv ~len, E a b - vtor ~len na razmerot. Vrednosta na razmerot D E e neimenuvan broj {to se dobiva so izvr{uvawe na deleweto na a so b i se vika koeficient na proporcionalnosta. Naj~esto se ozna~uva so k. 1
Odredi gi koeficientite na proporcionalnost kaj razmerite:
P P N NJ NJ
[to zabele`uva{? Verojatno zabele`uva{ deka za site 4 razmeri koeficientot na proporcionalnost e ist, t.e. N Dva razmeri se ednakvi ako imaat ist koeficient na proporcionalnost. 2
Proveri koi od slednite razmeri se ednakvi: a) N b) N v) N Za razmerot E D velime deka e obraten na razmerot D E
3
Zapi{i gi obratnite razmeri na: a) b) v)
Jasno e deka proizvodot na dva obratni eden na drug razmeri e ednakov na 1. Razmer koj e sostaven od dva ~lena se vika prost, a razmer koj e sostaven od tri ili pove}e ~lenovi se vika prodol`en. Na primer, od razmerite N mo`e da go zapi{ime prodol`eniot razmer Op{to, prodol`en razmer od tri ~lena e razmer od oblikot: D E F So ovoj razmer se opredeleni tri prosti razmeri: D E D F N E F 4
Napi{i gi site prosti razmeri, opredeleni so razmerot So ovoj razmer se opredeleni slednite prosti razmeri: N Za razmerite va`i slednoto svojstvo:
Vrednosta na razmerot ne se menuva, ako site negovi ~lenovi gi pomno`ime ili podelime so ist broj razli~en od 0. Vo prviot slu~aj velime deka razmerot e pro{iren, a vo vtoriot deka e skraten. 167
Ova svojstvo e poznato pod imeto osnovno svojstvo na razmerite. Spored toa, razmerot D E e ekvivalenten so razmerot D ˜ N E ˜ N odnosno so {to k e realen broj razli~en od 0. Vo op{t slu~aj imame: D D D DQ
D E kade N N
D N D N D N DQ N
So koristewe na ova svojstvo, razmerite mo`eme da gi uprostime. 5
Uprosti go razmerot: a) b) a) b) Obidi se sam.
Neka se dadeni prostite razmeri D E
N N D E
N So me|usebno mno`ewe na nivnite
soodvetni ~lenovi go dobivame razmerot D ˜ D E ˜ E N ˜ N koj se narekuva slo`en razmer i negovata vrednost e N ˜ N 6
Napi{i go slo`eniot razmer {to se dobiva od slednite prosti razmeri: N
B
Dadeni se slednite razmeri: D E N N F G N Tie se ednakvi i od niv mo`e da go formirame ravenstvoto: D E F G za koe{to ti e poznato deka se vika proporcija.
Zna~i, dva ednakvi razmeri svrzani so znakot za ednakvost obrazuvaat proporcija. Broevite a, b, c i d se ~lenovi na proporcijata, pri {to: a e prv ~len, b e vtor ~len, c e tret ~len i d e ~etvrti ~len. Prviot i ~etvrtiot ~len (a i d) u{te se vikaat nadvore{ni ~lenovi, a vtoriot i tretiot ~len (b i c) - vnatre{ni ~lenovi. Obi~no, proporcijata D E F G se ~ita „a sprema b se odnesuva isto kako c sprema d ”. Vo proporcijata odredi go proizvodot na nadvore{nite i proizvodot na vnatre{nite ~lenovi i sporedi gi.
7
˜ N ˜ Ovie dva proizvodi se ednakvi. Istoto va`i za koja bilo proporcija.
Imeno, spored osnovnoto svojstvo na proporciite: Kaj sekoja proporcija proizvodot na nadvore{nite ~lenovi e ednakov na proizvodot na vnatre{nite ~lenovi. D F Navistina, ako dvete strani na proporcijata gi pomno`ime so bd }e dobieme DG EF E G Vrz osnova na ova svojstvo, ako se poznati trite ~lena na proporcijata, mo`e da se opredeli ~etvrtiot ~len. 168
Odredi ja vrednosta na x vo proporcijata: a) [ b) [ v) [ g) [
8
a) [
˜ [ [
Proporcijata D E F G e ekvivalentna so proporciite: 1) D F E G 2) E D G F 3) E G D F 4) F D G E 5) F G
D E 6) G E F D 7) G F E D
O~igledno e deka sekoja od ovie proporcii e ekvivalentna so ravenstvoto DG EF Spored toa, proporcijata ne se menuva ako si gi zamenat mestata: a) vnatre{nite ~lenovi; b) nadvore{nite ~lenovi; v) nadvore{nite so vnatre{nite i vnatre{nite so nadvore{nite. Napi{i gi site osum proporcii koi proizleguvaat od ravenstvoto ˜ ˜
9
Proporcijata D E
F G e ekvivalentna so slednite proporcii:
1) D E FN GN 2) DN EN
F G 3) DN E FN G 4) D EN
F GN 5) DN EN
FN GN
Proporcijata ne se menuva ako eden vnatre{en i eden nadvore{en, ili site nejzini ~lenovi se pomno`at ili podelat so eden ist broj razli~en od 0. Obidi se da gi doka`e{ ovie tvrdewa.
10
So pomo{ na ova svojstvo proporciite mo`eme da gi uprostuvame. 11
Uprosti ja proporcijata
[
So mno`ewe na vtoriot i ~etvrtiot ~len na poslednata proporcija so 15, imame: [ (levata strana ja delime so 5), [
Gi mno`ime ~lenovite od levata strana so 15 i dobivame [
12
V
Uprosti gi slednite proporcii: a)
[ b) [
Proporciite {to gi razgleduvavme dosega, gi vikame prosti proporcii.
Dadeni se prostite proporcii: D E F G N D E F G So mno`ewe, odnosno so delewe na soodvetnite ~lenovi na ovie proporcii, dobivame dve novi proporcii:
D ˜ D E ˜ E F ˜ F G ˜ G
odnosno
D E D E
F G koi se vikaat slo`eni proporcii. F G
Zna~i, ako vo dve ili pove}e proporcii se pomno`at (podelat) soodvetnite ~lenovi, se dobiva pak proporcija, koja se vika slo`ena proporcija.
169
Odredi go y od proporciite: [ N [ \
13
Ja obrazuvame slo`enata proporcija [ [\ od kade {to dobivame \ t.e. \
˜
Zada~i 1 Koi od koli~nicite se razmeri: a) b) P P v) FP J g) NP d)
|) P O e) P
P
2 Dali se ednakvi razmerite:
v) P GP N FP FP g) N a) N b) N
3 Uprosti gi razmerite: a) b) g) P GP
d) GO KO v)
4 Slednite razmeri transformiraj gi taka {to prviot ~len da im bide 1: a)
b)
v)
6 Presmetaj go nepoznatiot ~len vo razmerot: a) [ ako negovata vrednost e 2; b) \ ako negovata vrednost e 4.
7 Mo`e li da se sostavi proporcija od razmerite: a) N b) N v) N g) N d)
N
"
8 Dali razmerite svrzani so znakot „=” obrazuvaat proporcija: a) b) v) " 9 Odredi go nepoznatiot ~len vo proporcijata: a) [
v) [
b) D
g) S
g) P FP d) K LTINSN |) GO KO
5 Parcelite A i B se vo forma na pravoagolnik. Ako dimenziite na parcelata A se 80 m i 60 m, a na parcelata B se 90 m i 50 m, odredi go razmerot na nivnite plo{tini.
170
10 Napi{i gi site ekvivalentni proporcii {to se dobivaat od proporcijata [ \ S T
5
IZVEDENI PROPORCII. PRODOL@ENI PROPORCII
A
Potseti se!
Da prosledime u{te nekoi svojstva na proporciite, so ~ija pomo{ oddel-
ni zada~i mo`at mnogu ednostavno da se re{at.
[to e razmer? [to e proporcija? Kako glasi osnovnoto svojstvo na proporciite? Koi drugi svojstva na proporciite gi znae{? Koja proporcija ja vikame slo`ena?
Od proporcijata
F G G
D E E F G G D E E F G G
Analogno mo`e da se izvede i proporcijata Poslednite dve proporcii mo`e da gi zapi{eme vo vidot E G
F sleduva: G
D F D E Y J E G E
Poslednata proporcija mo`eme da ja zapi{eme i vaka:
D E F G
D E
D E F G
E G
D E F G D E F G
od kade {to sleduva
D E D E F G F G
odnosno proporcijata:
Site {est proporcii {to gi dobivme se vikaat izvedeni proporcii od osnovnata proporcija D E F G 1
Odredi go x vo proporcijata:
a) [ [
b) [ [
]e prika`eme dva na~ini na re{avawe na zada~ata, i toa: I na~in.
[ [ [ [ [ [
II na~in.
[ [ [
[ [
2
Re{i gi na dva na~ini proporciite: a) [ [ b) [ [
3
Doka`i ja ekvivalencijata D E F G œ D E F G D F 171
Neka va`i proporcijata D E F G Y J
D E E D E
F G D E NQN G F G
F D œ G F
D E
F D od kade sleduva: G E
F odnosno G
E Spored edno od svojstvata za proporcii, imame deka: G
D E E Kone~no, od N sleduva deka G F G
D Y J D E F G D F F
Obratnata implikacija obidi se da ja doka`e{ sam.
B
Vo ovoj del }e se zapoznaeme so u{te eden vid proporcii, takanare~eni prodol`eni proporcii.
Na primer, ako ednakvite razmeri N gi svrzeme so znakot „ednakvo” ja dobivame proporcijata koja se vika prodol`ena proporcija. Op{to: Ravenstvoto na tri ili pove}e ednakvi razmeri se vika prodol`ena proporcija, t.e ako D E
N D E
N DQ EQ
N toga{ D E
D E
DQ EQ
e prodol`ena
proporcija. Za broevite D D DQ velime deka se proporcionalni soodvetno so broevite E E EQ a brojot k e koeficient na proporcionalnosta. Za prodol`enata proporcija mo`eme da go koristime sledniot pokus zapis: D D D DQ
E E E EQ
Za prodol`enata proporcija va`at slednite svojstva: Prodol`enata proporcija ne se menuva ako se pomno`at ili se podelat so eden ist broj razli~en od nula koj i da bilo prv ~len i soodvetniot na nego vtor ~len, ili site prvi ili site vtori ~lenovi. Doka`i go toa svojstvo. So primena na ova svojstvo, prodol`enite proporcii mo`e da gi uprostuvame.
so mno`ewe na site vtori ~lenovi so 8, se transformira vo pouprostena proporcija D E F
Na primer, prodol`enata proporcija D D D
Algebarskiot zbir na site prvi ~lenovi sprema algebarskiot zbir na site vtori ~lenovi na prodol`enata proporcija se odnesuva kako koj da bilo prv ~len sprema soodvetniot na nego vtor ~len, t.e. za prodol`enata proporcija D E
D D DQ E E EQ 172
D E
D E
D E
DQ EQ
DQ EQ va`i
Dokaz. Ako k e vrednosta na ednakvite razmeri, odnosno D
NE D
D D DQ E E EQ
Zna~i, 4
NE DQ
NEQ
Sleduva
D E
N
D E
D D DQ E E EQ
D E
N
D E
NE NE NEQ E E EQ
N
DQ EQ
N toga{
N E E EQ
E E EQ
N
DQ {to i treba{e da se doka`e. EQ
Od prodol`enata proporcija vrz osnova na gornoto svojstvo mo`at da se dobijat pove}e proporcii. Zapi{i tri od niv. 1. Y J 2. Y J 3. Y J
5
Odredi gi x i y od proporcijata [ \ Od dadenata proporcija }e sostavime dve proporcii, so po edna nepoznata, t.e. [ N \ od kade {to [ \
6
Odredi gi nepoznatite ~lenovi na proporcijata [ \
7
Sostavi prodol`ena proporcija od proporciite: D E E F F G sleduva F G
Od F G
pa baranata proporcija e D E F G
]
8
Sostavi prodol`ena proporcija od proporciite D E E F F G
9
Brojot 450 razdeli go na ~etiri delovi koi }e se odnesuvaat kako
Zada~ata }e ja re{ime na dva na~ini. I na~in. Od uslovot na zada~ata imame: D E F G i D E F G Spored edno od svojstvata za prodol`ena proporcija va`i
D E F G {to
D
D
E
E
F
D E F G
F
G od kade
G
t.e
II na~in. Baranite delovi }e gi izrazime so N N N N N kade {to k e koeficient na proporcionalnosta. Toga{: N N N N t.e. N pa N Zna~i baranite delovi se: - prviot del ˜
- vtoriot del ˜ - tretiot del ˜ - ~etvrtiot del ˜ nivniot zbir e 450. 173
10
Brojot 600 razdeli go na tri dela koi }e se odnesuvaat kako
Zada~i 4 Sostavi prodol`ena proporcija od propor-
1 Re{i ja proporcijata: a) [ [ b) D [ E [ D [ [
ciite: a) [ \ b) [ \
2 Doka`i ja implikacijata:
5
D E F G D E F G
A
[ ] [ G
Brojot 160 razdeli go na ~etiri delovi koi
6
F G
Doka`i ja implikacijata
D D
3 Odredi gi nepoznatite ~lenovi na proporcijata [ \ ]
6
] G
}e se odnesuvaat kako
D E F G D E F G Â&#x; Â&#x; D E
\ ]
E E
F D [ E \ F ] Â&#x; F D [ E \ F ]
D D
PRAVA I OBRATNA PROPORCIONALNOST
1
Popolni ja tablicava:
koli~estvo kompiri vo kg
1
vrednost vo denari
20
2
3
4
5
6
7
...
Pri re{avawe na ovaa zada~a verojatno zabele`a deka so zgolemuvawe na koli~estvoto kompiri za pati za isto tolku pati se zgolemuva i vrednosta na kompirite. Za vakvite veli~ini velime deka se pravo proporcionalni. Eve u{te nekolku primeri za takvi veli~ini: - dol`inata na kru`nicata i nejziniot radius; - perimetarot na ramnostran triagolnik i negovata strana; - izminatiot pat i potro{eniot benzin; - izminatiot pat pri ramnomerno dvi`ewe i vremeto za koe toj pat e izminat. Za site niv e karakteristi~no toa {to odnosot pome|u koja bilo vrednost od ednata veli~ina \ N NQN \ N[ N z sprema soodvetnata vrednost od drugata veli~ina e konstanten, t.e. [ Ovaa ravenka se vika formula na prava proporcionalnost, a brojot k - koeficient na proporcionalnosta. Vsu{nost, zavisnosta na pravoproporcionalnite veli~ini e izrazena so linearnata funkcija \ D[ Spored toa, grafikot na pravo proporcionalnata zavisnost e prava koja minuva niz koordinatniot po~etok (ako x se menuva vo Z). 2
Navedi 3 primeri za pravo proporcionalni veli~ini. 174
Popolni ja tablicata:
B
3
Pravoagolnikot e so plo{tina FP Osnova
1
Visina
36
2
3
4
5
6
7
8
10
9
11
12 3
Re{avaj}i ja ovaa zada~a sigurno zabele`a deka so zgolemuvawe na osnovata na pravoagolnikot za 2, 3, 4, ... pati, se namaluva negovata visina za isto tolku pati. Za vakvite veli~ini velime deka se obratno proporcionalni. Na primer: - vremeto i brojot na rabotnicite koi izvr{uvaat odredena rabota; - brzinata na dvi`ewe i vremeto potrebno da se izmine pat; - pritisokot na gasot i volumenot na sadot se, isto taka, obratno proporcionalni. Za site niv karakteristi~no e toa {to proizvodot od koja bilo vrednost od ednata veli~ina i soodvetnata vrednost od drugata veli~ina e konstanten broj, t.e. N [\ N Y J \ [ Grafikot na obratno proporcionalnata zavisnost e kriva linija koja se vika hiperbola N se menuva vo Z [ z (ako x vo \ [ y Nacrtaj go grafikot na [\ 4 4
5
x
y
1
2
3
4
1
Navedi tri primeri za obratno proporcionalni veli~ini.
1 Koi od dadenite dve veli~ini se proporcionalni: a) koli~estvoto na edna stoka i nejzinata vrednost; b) stranata i plo{tinata na kvadratot; v) radiusot i plo{tinata na krugot?
2 -4 -3
-2 -1
1 -1
Pravo proporcionalnite i obratno proporcionalnite veli~ini so zaedni~ko ime se vikaat proporcionalni veli~ini.
Zada~i
3
1
2
3
4 x
-2 -3 -4
2 Koi od dadenite veli~ini se pravo propor-
cionalni, a koi se obratno proporcionalni: a) koli~estvoto na edna stoka i nejzinata vrednost; b) proizvodot od dva broja i edniot mno`itel, ako drugiot mno`itel e konstanten; v) vrednosta na edna dropka i nejziniot broitel, ako imenitelot e konstanten; g) vrednosta na edna dropka i nejziniot imenitel, ako broitelot e konstanten; d) kilogrami seme i poseana povr{ina?
175
7
PROSTO TROJNO PRAVILO
A
Potseti se! [to e proporcija? Koi se pravo proporcionalni veli~ini? Koi se obratno proporcionalni veli~ini?
1
50 kg banani ~inat 2500 denari. Kolku denari ~inat 120 kg
banani? Zada~ata }e ja re{ime so prosto trojno pravilo, za tebe ve}e poznato u{te od osnovnoto u~ili{te. Da se potsetime na postapkata.
1o Uslovot na zada~ata se pi{uva kako prv red (usloven stav), a baraweto kako vtor red (pra{alen stav), pri {to se vnimava vrednostite na soodvetnite veli~ini da bidat istoimeni i zapi{ani edna pod druga. 2o Strelkite se pi{uvaat vo ista nasoka, ako veli~inite se pravo proporcionalni, a vo obratna nasoka, ako se obratno proporcionalni. Pritoa prvata strelka zapo~nuva od nepoznatiot ~len. 3o Spored nasokata na strelkite se postavuva proporcijata od koja se presmetuva nepoznatiot ~len. Spored toa imame:
50 kg banani 120 kg banani
2500 denari x denari
Vo slu~ajot se raboti za pravo proporcionalni veli~ini i zatoa strelkite se vo ista nasoka, spored koja ja formirame proporcijata: [ od kade {to dobivame
[
˜
Zna~i, 120 kg banani ~inat 6000 denari.
2
Vo edno u~ili{te imalo vkupno 600 u~enici, rasporedeni vo 15 paralelki so ednakov broj u~enici. Kolku u~enici ima vo 8 paralelki?
3
Edna rabota mo`at da ja zavr{at 20 rabotnici za 140 dena. Za koe vreme istata rabota bi ja zavr{ile 35 rabotnici pri isti uslovi za rabota? 20 rabotnici 35 rabotnici
140 dena (usloven stav) x dena (pra{alen stav)
Jasno e deka ovde veli~inite se obratno proporcionalni, bidej}i pove}e rabotnici istata rabota bi ja zavr{ile za pomalku denovi. 176
Soodvetnata proporcija }e bide: [ od kade {to [ Zna~i, 35 rabotnici }e ja zavr{at rabotata za 80 dena.
˜
4
So odredeno koli~estvo hrana 16 edinki mo`at da se prehranat 1 mesec. Kolku dena so istoto koli~estvo hrana }e se prehranat 12 edinki?
5
Edna rabota mo`at da ja zavr{at 30 rabotnici za 60 dena, no na rabota do{le 20 rabotnici. Po deset dena, na rabota do{le u{te 5 rabotnici. Za kolku vreme }e bide gotova celata rabota? Bidej}i na rabota ne do{le 30 rabotnici, tuku 20, prvo treba da presmetame za kolku dena tie bi ja zavr{ile rabotata, pa imame: 30 rabotnici 20 rabotnici
60 dena x dena
[
[ dena
Sega treba da odredime za kolku dena }e ja zavr{at rabotata 25 rabotnici, t.e 20 rabotnici 25 rabotnici [
,
90 dena x dena [
dena
Rabotata }e bide dovr{ena za 72 dena, a celata rabota }e bide gotova za dena.
Zada~i 1 Za 2000 denari se kupeni 50 m platno. Kolku metri platno mo`e da se kupi za 1400 denari?
2 40 rabotnici za odredeno vreme mo`at da iskopaat P zemja. Kolku rabotnici se potrebni za isto vreme i pod isti uslovi za rabota za da iskopaat P zemja?
3 Za podgotvuvawe na nekoj rastvor za prskawe vo 100 l voda se stava 15 g preparat.
4 Vo planinski logor za 12 planinari e obezbedena hrana za 15 dena. Kolku dena }e trae logoruvaweto ako pristignale 20 planinari?
5 Spored planot, 20 rabotnici treba da zavr{at edna rabota za 45 dena. Rabotata ja zapo~nale 15 rabotnici i po 20 dena na rabota do{le u{te 10 rabotnici. Za kolku vreme }e bide zavr{ena planiranata rabota?
Kolku grama preparat za dobivawe na ist rastvor treba da se stavi vo: a) O voda; b) O voda?
177
8
SLO@ENO TROJNO PRAVILO
A
Potseti se! Kolku proporcionalni golemini sodr`ea zada~ite {to gi re{avavme so prosto trojno pravilo? Na {to se bazira toa pravilo? So prosto trojno pravilo od tri poznati vrednosti na dve proporcionalni veli~ini se odreduva ~etvrtata vrednost.
Vo praksata ~esto pati naiduvame na zada~i so tri ili pove}e
proporcionalni veli~ini. Imeno, ako se dadeni pet, sedum, devet, ...vrednosti na tri, ~etiri, pet, ... veli~ini, toga{ {estata, osmata, desettata, ... nepoznata vrednost se odreduva so slo`eno trojno pravilo. Za slo`enoto trojno pravilo, va`i istiot princip na potpi{uvawe, kako i
za prostoto trojno pravilo. Niz konkretni primeri }e se potsetime kako se primenuva toa pravilo. Za izrabotka na kanal dolg 1600 m, {irok 4 m i dlabok 3 m se potro{eni 320000 evra. Kolku evra se potrebni za kanal dolg 1000 m, {irok 5 m, dlabok 4 m 20 cm, pri isti uslovi za rabota.
1
Ja sostavuvame {emata 1600 m dolg 1000 m dolg
4 m {irok 5 m {irok
300 cm dlabok 420 cm dlabok
320000 evra (usloven stav) x evra (pra{alen stav)
Vo ovoj slu~aj site veli~ini se vo pravo proporcionalen odnos, pa zatoa site strelki se isto naso~eni. Imeno, so pove}e pari bi se napravil i podolg i po{irok i podlabok kanal. Od {emata proizleguva proporcijata [ [
od kade {to [
˜ ˜ ˜
˜ ˜
˜ ˜ ˜ ˜
Y J [ evra.
2
Za kopawe na rov dolg 38 m, {irok 1,4 m i dlabok 2 m za odreden rok, potrebni se 28 rabotnici. Kolku rabotnici, so ista rabotosposobnost i za isto vreme bi iskopale rov dolg 24 m, {irok 1,9 m i dlabok 1,5 m?
3
Grupa od 20 rabotnici rabotela 5 dena po 8 ~asa na den i proizvela 20000 kg od nekoja stoka. Kolku dena se potrebni za grupa od 30 rabotnici {to raboti po 5 ~asa na den, da proizvede 60000 kg od taa stoka, pri isti uslovi za rabota.? 178
20 rabotnici 30 rabotnici
5 dena x dena
8 ~asa 5 ~asa
20000 kg 60000 kg
Najprvo ja postavuvame strelkata od nepoznatata kon poznatata veli~ina, t.e. od x sprema 5, a potoa razmisluvame na sledniot na~in: 20 rabotnici ja zavr{ile rabotata za 5 dena, a pove}e (30) rabotnici }e ja zavr{at rabotata za pomalku denovi (obratno proporcionalen odnos). Ako rabotat po 8 ~asa, rabotata }e ja zavr{at za 5 dena, a ako rabotat pomalku (5) ~asa, toga{ se potrebni pove}e denovi (obratno proporcionalen odnos). 20000 kg e proizvedeno za 5 dena, a pove}e (60000) kg za pove}e dena (pravo proporcionalen odnos). Potoa, po~ituvaj}i gi strelkite se izveduva slednata proporcija: [ ˜ ˜ ˜ od kade {to [ Zna~i, [ dena. ˜ ˜ 4
Vo eden kamenolom, 25 lambi za 30 dena pri sedum~asovno svetewe potro{ile 365 litri petrolej. Kolku litri petrolej e potrebno za 16 dena, ako svetat 40 lambi po 5 ~asa na den?
5
Tri bageri po 160 kw mo`at za 10 dena, rabotej}i po 6 ~asa dnevno, da iskopaat kanal dolg 360 m, {irok 4 m i dlabok 2,5 m. Kolku dolg kanal mo`e da iskopaat 5 bagera po 120 kw, ako rabotat 8 dena po 7 ~asa dnevno, i ako kanalot e {irok 3,5 m, a dlabok 2 m. Uslovite za rabota se isti. Ja sostavuvame {emata: 3 bageri 5 bageri
160 kw1 120 kw
10 dena 6 dena
6h 7h
360 m xm
4m 3,5 m
2,5 m 2m
Ja postavuvame strelkata od nepoznatata kon poznatata veli~ina. Potoa, za postavuvawe na ostanatite strelki, razmisluvame vaka: za podolg kanal, pri isti uslovi, se potrebni: - pogolema sila na bagerite; - pove}e bageri; - pogolem broj rabotni ~asovi dnevno; - pogolem broj rabotni denovi; - pomala dlabo~ina na kanalot. - pomala {irina na kanalot; Spored seto dosega, ja zapi{uvame slednata proporcija: [ 179
od kade {to [
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
Zna~i, [ P Kanal dolg 1,6 km, {irok 3 m, dlabok 2 m go izrabotuvaat 40 rabotnici za 45 dena. Za kolku dena }e se izraboti kanal dolg 600 m, {irok 2,4 m i dlabok 80 cm ako rabotat 12 rabotnici?
6
Zada~i 1 Vo edno stopanstvo 8 rabotnici za 13 dena zarabotile 6240 denari. Kolku denari }e zarabotat 15 rabotnici za 6 dena ako rabotat pri isti uslovi?
2 Vo eden rudnik vo jamata br. 1 deset rudari za 8 ~asa iskopale 40 t jaglen. Kolku toni jaglen }e iskopaat 8 rudari za 6 ~asa vo jamata br. 2, ako uslovite za rabota se isti? 3 Edna rabota mo`at da ja zavr{at 90 rabotnici za 15 dena ako rabotat po 8 ~asa na den. Kolku pove}e rabotnici se potrebni da se zavr{i istata rabota za 12 dena ako se raboti po 5 ~asa na den?
4 Pat dolg 6 km, {irok 3 m, so viso~ina na nasipot 60 cm mo`at da go izrabotat 80 rabotnici za 45 dena ako rabotat po 6 ~asa na den. Za kolku dena 120 rabotnici }e izrabotat ist takov pat dolg 10 km, {irok 6 m so viso~ina na nasipot 80 cm, ako rabotat po 8 ~asa na den?
180
5 Edna rabota mo`at da ja zavr{at 40 rabotnici za 60 dena ako rabotat po 7 ~asa na den. Na rabota do{le 25 rabotnici koi rabotele 20 dena po 6 ~asa na den. Potoa do{le u{te 20 rabotnici. Za koe vreme }e bide gotova celata rabota, ako so zgolemen broj rabotnici se raboti po 1 ~as pomalku na den?
6 Buldo`er od 90 kowski sili iskopuva P zemja za 26 rabotni dena, ako raboti po 8 ~asa dnevno. Kolku kubni metri zemja }e iskopa buldo`er od 60 kowski sili za 15 dena ako raboti 9 ~asa dnevno? 7 Brigada yidari rabotej}i po 8 ~asa dnevno mo`e da izyida za odredeno vreme yid so odredeni dimenzii. Po kolku ~asovi dnevno treba da raboti druga brigada, za da izyida yid 4 pati pokus, 3 pati podebel i 2 pati ponizok, ako vtorata brigada ima 4 pati pomalku rabotnici, a 1,5 pati pove}e vreme?
9
VERI@NA SMETKA
A
Potseti se! Vo dosega{nite zada~i od prosto trojno pravilo, bea dadeni dve proporcionalni veli~ini A i B so tri poznati vrednosti i barawe da se odredi ~etvrtata. Vo zada~ite, pak, so slo`eno trojno pravilo, bea dadeni tri ili pove}e proporcionalni veli~ini, so pet, sedum, devet, ... poznati vrednosti i barawe da se odredi {estata, osmata, desetata, ... vrednost.
Zada~ite {to se re{avaat so trojno pravilo i vo koi site veli~ini se
pravo proporcionalni, mo`eme da gi re{avame i so takanare~enata veri`na smetka. Vo zavisnost od toa dali so veri`nata smetka se zamenuva prostoto ili slo`enoto trojno pravilo, taa mo`e da bide prosta ili slo`ena. Imeto veri`na smetka doa|a ottamu {to vrednostite na veli~inite se redat edna pod druga, kako alki vo veriga. Verigata se sostoi od pove}e stavovi.
Sekoj stav ja odreduva zavisnosta pome|u dve veli~ini. Na primer, ako 20 kg bra{no ~inat 600 denari, toa go zapi{uvame vaka: 20 kg
600 denari
i toa pretstavuva eden stav. Pritoa, vertikalnata crta go zamenuva odnosot na tie veli~ini. 1
Kolku denari ~inat 150 kg stoka, ako 25 kg od nea ~inat 500 denari? Verigata ja postavuvame na sledniot na~in:
od kade {to: [
˜
x denari 25 kg
150 kg 500 denari
Zna~i, 150 kg od taa stoka ~inat 3000 denari.
2
Kolku denari ~inat 300 m {tof ako 15 m od istiot {tof ~inat 9600 denari?
3
Poznato e deka za 100 kg betonsko `elezo se dobivaat 80 kg lim, a za 40 kg lim se dobivaat 200 kg cement. Kolku toni cement treba da dademe za da dobieme 15 t betonsko `elezo? Ja sostavuvame verigata:
x t cement 1 t bet. `elezo 100 kg bet. `elezo 40 kg lim 1000 kg cement
15 t bet. `elezo 1000 kg bet. `elezo 80 kg lim 200 kg cement 1 t cement 181
od kade {to: [
˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜
Zna~i, treba da dademe 60 t cement za da dobieme 15 t betonsko `elezo. U{te edna{ vnimatelno razgledaj gi re{enite zada~i 1
i
3
i obidi se da
odgovori{ na slednite pra{awa: - So kakov stav zapo~nuva verigata? - Od koja strana na vertikalnata crta e zapi{ana nepoznata veli~ina? - [to e zaedni~ko me|u nareden i prethoden stav (dva posledovatelni stava)? - Koga zavr{uva verigata? Se nadevame deka na site ovie pra{awa uspea da odgovori{ pravilno. Tvoite odgovori, vsu{nost, treba da gi sodr`at vo sebe pravilata koi mora da se po~ituvaat, za verigata da bide pravilno sostavena, t.e. Verigata po~nuva so pra{alen stav, pri {to vrednosta na nepoznatata veli~ina se zapi{uva od levata strana na vertikalnata crta. Sekoj nareden stav zapo~nuva so takva istoimena veli~ina, so kakva {to zavr{il prethodniot stav. Verigata zavr{uva koga na desnata strana }e se dobie takva veli~ina so kakva e po~nata verigata, t.e. veli~ina koja e istoimena so nepoznatata veli~ina. Na primer, ako: verigata se sostoi od tri stava, x e vrednosta na nepoznatata veli~ina, a, b, c, d i e se vrednostite na poznatite veli~ini, toga{ {emata na verigata }e izgleda vaka: x ime na veli~inata 1 b ime na veli~inata 2 d ime na veli~inata 3 od kade {to: [ ˜ E ˜ G
D ˜ F ˜ H t.e. [
a ime na veli~inata 2 c ime na veli~inata 3 e ime na veli~inata 1
D˜F˜H E˜G
4
Poznato e deka 50 kg oriz ~inat 2250 denari i 70 kg grav 6300 denari. Kolku kilogrami grav mo`at da se razmenat za 8 t oriz?
5
Za uvoz na 30 t 400 kg portokali se plateni 18240 $. Kolku ~ini 1 kg portokali, ako kursot na dolarot e 1$ = 50,00 denari? 182
Voobi~aeno e na levata strana od verigata da ne se pi{uvaat imiwata na veli~inite, osven vo prviot stav, pa imaj}i go toa predvid, verigata }e bide: x denari 30400 kg 1$ Imame, [
˜
1 kg portokali 18240 $ 50,00 denari
Zna~i, 1 kg portokali ~ini 30 denari. 6
Za nabavka na 50 fri`ideri plateni se 22500 evra. Kolku }e bide cenata na eden fri`ider vo denari ako kursot e 1 Âź = 61 denar?
B
Pri nabavka, uvoz i izvoz na stoka se pravat tro{oci koi gi narekuvame dopremni tro{oci. Tie naj~esto se izrazeni vo procenti, t.e. kako tro{oci na sekoi 100 denari.
Ako tro{ocite se na tovar na nabavuva~ot (uvoznikot) tie se dodavaat, dodeka pri izvoz ako se na tovar na izvoznikot tie se odzemaat. 7
Vo London se izvezeni 40 t od nekoja stoka po cena od 0,4 Â… za 1 kg. Dopremnite tro{oci se 20 denari na sekoi 100 denari. Kolku denari }e dobie izvoznikot, ako kursot na funtata vo Skopje e 93 denari? x denari 1 1 1 100
40 t 1000 g 0,4 Â… 93 denari 80 denari
[
˜ ˜ ˜ ˜
Zna~i, za 40 t stoka izvoznikot }e dobie 1190400 denari.
8
Odredi kolku denari ~inat 10 vagoni p~enica ako eden bu{el ~ini 2,25 $ i ako Â… denari? Eden bu{el p~enica e ednakov na 60 lb. Dopremnite tro{oci iznesuvaat 15 denari na sekoi 100 denari od vrednosta na stokata.
9
Na koj pazar }e se odlu~i uvoznikot da kupi stoka, ako uslovite na pazarot se: - vo Germanija cena 650 Âź , dopremni tro{oci 15 denari na sekoi 100 denari i kursot 1 Âź 61 denar; - vo V. Britanija 425 Â… , dopremni tro{oci 30 denari na sekoi 100 denari i kursot 1 Â… 87 denari; - vo [vajcarija 950 CHF, dopremni tro{oci 20 denari na sekoi 100 denari i kursot 100 CHF
3800 denari? 183
V. Britanija
Germanija x den. 1 100
[
650 Âź 61 den. 115 den.
˜ ˜ [
x den 1 100
[
[vajcarija
425 Â… 87 den. 130 den.
x den 100 100
˜ ˜ [
[
950 CHF 3800 den. 120 den
˜ ˜ ˜ [
Mo`eme da zaklu~ime deka uvoznikot }e se odlu~i da kupi stoka na pazarot vo [vajcarija, bidej}i ottamu nabavenata stoka e najevtina.
Zada~i 1
Kolku denari ~inat 300 m platno, ako
400 m od istoto platno ~inat 50000? 2
Kolku denari ~inat 20 kg kafe ako ~inat 1375 denari?
3
6
20 jardi od eden {tof ~inat 48000 denari. Kolku ~inat 200 m od istiot {tof ako Â… denari i ako tro{ocite na nabavkata se 15 denari na sekoi 100 denari? \G P
7
Eden brod razviva brzina od 30 morski milji na ~as. a) Kolku kilometri na ~as minuva brodot? b) Kolku metri vo minuta minuva brodot? PLOMD P
8
Kolku toni `ito treba da se obezbedat za eden grad od 50000 `iteli za 3 meseci, ako e poznato deka sekoj `itel tro{i 450 g leb dnevno i deka od 100 kg `ito se dobiva
NJ
Dogovorena e zdelka od 65 kg krastavici za
50 kg pile{ko meso. Kolku toni krastavici treba da se ispora~aat za 20 t pile{ko meso?
4
Kolku denari ~inat 100 kg stoka vo Anglija Â… J ako edna libra od istata stoka ~ini Â… a kursot na funtata e 93 denari?
5
Eden atleti~ar pretr~al 100 m za 9,8 sekundi. So kolkava brzina se dvi`el toj atleti~ar (kolku km za 1 h)?
10
80 kg bra{no, kako i od 100 kg bra{no se dobiva 120 kg leb?
PROCENTNA SMETKA
Potseti se! Procent (%) e stoti del od nekoja golemina, t.e. TI $
Odredi: a) 4 % od 60; b) 2,4 % od 12,5.
S ˜ $ $ Analogno, S TI $
So procentite vr{ime relativno, a ne apsolutno sporeduvawe na dve golemini. Na primer, ako edna grupa od 480 rabotnici izrabotila 240 predmeti, a druga grupa od 320 rabotnici, za isto vreme, izrabotila 200 predmeti, toga{ od odnosite:
N
me deka vtorata grupa iako izrabotila pomal broj predmeti, podobro rabotela.
184
zaklu~uva-
A
U{te vo osnovno u~ili{te si se zapoznal so zada~i od procentna smetka. Vo sekoja takva zada~a se sre}ava: Vrskata pome|u niv ja dobivame spored - konstantata 100; {emata: - glavna ili osnovna vrednost (S); na celinata S na delot P
- procent (p); - procenten iznos (P).
odgovara 100 odgovara p
Ottuka sleduva proporcijata: 6 3 S ili 6 ˜ S ˜ 3 Od poslednata formula e jasno deka ako se dadeni dve vrednosti, toga{ mo`eme da ja presmetame tretata, t.e
3
6˜S
6
˜ 3 S
˜ 3 6
S
Spored toa, vo zavisnost od toa koja veli~ina e nepoznata, razlikuvame tri osnovni zada~i od procentna smetka. Presmetuvaweto na edna od ovie tri veli~ini, se vika procentna smetka od sto. 1
Kolku e 9% dobivka od 51000 denari? Dadeno e: 6
N S a se bara P. Imame,
Zna~i dobivkata iznesuva 4590 denari.
3
6˜S
˜
2
Kolku e 3,5% provizija na ostvaren promet od 36500 denari?
3
Cenata na nekoja stoka e poka~ena za 12%. Poka~uvaweto iznesuva 6,60 denari. Kolkava bila cenata pred, a kolkava po poka~uvaweto? Dadeno e: S N 3 a se bara S.
6
3 ˜ S
˜
Zna~i, cenata pred poka~uvaweto bila 55 denari, a po poka~uvaweto 61,60 denari. 4
Vo edna paralelka 7 u~enici se odli~ni, a toa iznesuva 20% od vkupniot broj u~enici. Kolku vkupno u~enici ima vo paralelkata?
5
Cenata na nekoja stoka ~ija vrednost e 70 denari e namalena za 14 denari. Za kolku procenti e namalena cenata? Dadeno e: 6
S 6
3 ˜ 6
N 3 a se bara p.
˜
{to zna~i deka S
Kupeni se 30 t od nekoja stoka. Pri transportot stokata kalirala 225 kg. Kolkav e procentot na kaloto? 185
Zada~i 1
Presmetaj usno: a) 12% od 500 denari; b) 6% od 3000 kg; v) 20% od 1500 Âź
v) 6
3
4
NJ 6
3
Vo edna rabotna organizacija kancelariskite tro{oci se zgolemile od 3500 za 490 denari. Za kolku procenti se zgolemile tro{ocite?
6
Cenata na nekoja stoka e 25000 denari. a) Namali ja cenata za 15% i odredi ja namalenata cena. b) Poka~i ja cenata za 20% i odredi ja poka~enata cena.
7
Planiran e promet od 420000 denari, a ostvaren e promet od 386420 denari.
g) 15 % od 200 m.
2 Presmetaj gi nepoznatite veli~ini: a) 6 denari, S 3 " b) S 3
5
"
S "
Cenata na nekoja stoka e namalena od 40 denari na 34 denari. Za kolku procenti e namalena cenata?
Presmetaj: a) so kolku procenti e potfrlen prometot; b) so kolku procenti e ostvaren prometot.
Ostvaren e promet od 65000 denari. Kolku danok }e se plati, ako procentot na danokot na promet e 5%?
PROCENTNA SMETKA NAD STO. PROCENTNA SMETKA POD STO
11 A
Vo praktikata sekojdnevno se sretnuvame so zada~i vo koi osnovnata vrednost e zgolemena ili namalena za procentniot iznos 6 r 3 a treba da se presmeta osnovna
ta vrednost. Vo toj slu~aj velime deka imame procentna smetka nad sto (ako e dadeno 6 3 ), ili procentna smetka pod sto (ako e dadeno 6 3 ). Za presmetuvawe na S (ili P) se slu`ime so izvedeni proporcii. Imeno, od osnovnata proporcija 6 3 S imame
6 r 3 3 r S S Ottuka, 6
t.e. 6 r 3 r S
3 S
6
6 r 3 ˜ 3 6 r 3 ˜ S r S
r S
Zabele{ka. Ovie formuli, namesto da gi pameti{ mo`e{ da gi dobie{ so prosto trojno pravilo, koristej}i ja {emata: Na 6 r 3 odgovara Na S odgovara
r S
100
, odnosno,
Na 6 r 3 odgovara Na P odgovara
r S
p
Vo edna ~evlarska rabotilnica se napraveni 1890 para detski ~evli i so toa normata e zgolemena za 8%. Kolkava e normata i kolku iznesuva zgolemuvaweto?
1
186
Dadeno e: 6 3 N S a se bara S i P. Spored formulata imame: 3
6 3 6
6
6 3 ˜ r S
˜
Zna~i, normata iznesuva 1750 para ~evli, a e natfrlena
za 140 para. 2
Vo edna konfekciska rabotilnica se so{ieni 3680 `enski ko{uli i so toa normata e natfrlena za 15%. a) Kolkava e normata? b) Za kolku ko{uli e natfrlena normata?
3
Poradi polo{ kvalitet cenata na edna stoka e namalena za 12% i namalenata cena e 1276 denari. a) Kolkava bila prvobitnata cena na stokata? b) Kolku iznesuva zagubata? Dadeno e S N 6 3 denari, a se bara S i P. a) 6 b) 3
6 3 ˜ S
˜
6 6 3
Zna~i, cenata pred namaluvaweto bila 1450, a zagubata iznesuva 174 denari. 4
Se prodava stoka so zaguba 8% za 139840 denari. Presmetaj ja: a) vrednosta na stokata; b) zagubata.
Zaradi konkurentnost na pazarot, vo praktikata ~esto pati pri proda`ba na stokata, se pravat razni kombinatoriki. Vo prodol`enie niz poednostavni primeri }e se zapoznaeme so nekoi od niv.
B 5
Prodadena e stoka so 12 % zaguba za 35200 denari. So kolku procenti dobivka treba da se prodade ~etiripati pogolemo koli~estvo od istata stoka, za da se pokrie zagubata i da se ostvari dobivka od 8000 denari? Dadeno e: S N 6 3 Treba da se odredat P i S.
Spored formulata za procentna smetka pod sto imame 6
6 3 3
Od uslovot na zada~ata sleduva deka pa S
3
3 ˜ 6
6
˜ 6 3
6 3 ˜ S S
˜
3
˜ Zna~i, stokata treba da se prodade so 32% dobivka. 187
6
Trgovsko pretprijatie ima tri prodavnici. Prvata prodavnica ostvarila promet 672000 denari i so toa go natfrlila planot za 12%, vtorata ostvarila 480000 denari so {to planot e potfrlen za 20%, a tretata ostvarila promet 352000 denari i go natfrlila planot za 10%. Presmetaj: a) kolkav e planiraniot promet; b) so koj procent e ostvaren prometot.
7
Trgovsko pretprijatie
od stokata prodalo so 8% dobivka, so 2% zaguba, a ostatokot so 12% dobivka za 67200 denari. Presmetaj: a) kolkava e vrednosta na celokupnata prodadena stoka; b) kolku e dobivkata vo procenti od celokupnata vrednost.
Najprvo treba da presmetame koj del od celokupnata stoka pretstavuva ostatokot {to e prodaden za 67200 denari. Imame:
Presmetuvawata gi zapo~nuvame za tretiot del od stokata, bidej}i za nea imame najmnogu podatoci, t.e. poznato ni e: 6 3 6
6 3 ˜ S
˜
N S pa imame
Dobivkata, odnosno procentniot prinos e: 3
6
6 3 6
6
6
˜ ˜
6
Zagubata od 2% za vtoriot del od stokata ja presmetuvame na sledniot na~in: 6 3
Analogno imame:
S od kade {to 3
6
188
6
6 ˜ S
˜ ˜
6
Vrednosta na celokupnata prodadena stoka e: 6 6 6
˜
6
Dobivkata od 8% za prviot del od stokata e: 3
6
6 ˜ S
˜
Dobivkata P ja presmetuvame na sledniot na~in: vkupna dobivka
S
3 ˜ 6
˜
zaguba
~ista dobivka
3
Zna~i, dobivkata od vkupnata vrednost e 2,6%. 8
od stokata prodalo so 8% zaguba, XT dobivka, a ostatokot za 64400 denari, so {to e ostvarena dobivka od 15%. Presmetaj ja:
Trgovsko pretprijatie
a) vrednosta na stokata; b) dobivkata, odnosno zagubata; v) procentot na dobivkata, odnosno zagubata.
Zada~i 1
2
Po poskapuvawe od 15% cenata na nekoja stoka e 3680 denari. a) Kolkava bila cenata pred poskapuvaweto? b) Kolku denari poskapela stokata?
6
Vo edna prodavnica e ostvaren promet od 70500 denari i so toa planot e potfrlen za 6%. Kolkav promet e planiran?
7
Cenata na nekoja stoka e namalena za 15%, a potoa taka dobienata cena e zgolemena za 5% i sega{nata cena e 1606 denari. Kolkava bila cenata pred namaluvaweto?
8
Pretprijatieto kupilo 50 t od nekoja stoka po cena od 20 denari za kilogram Pri proda`ba, 20% od stokata prodalo so pe~alba 15%, a 40% so zaguba 10%. So
Se prodava stoka so zaguba 8% za 139840 denari. Presmetaj ja: a) vrednosta na stokata;
b) zagubata.
3
Pri priem na stoka od 23 t 880 kg e konstatirano 0,5% o{tetuvawe pri transportot. Kolku kilogrami stoka e o{teteno?
4
Bruto te`inata e 12 t 540 kg, a ambala`ata iznesuva 4,5% od neto te`inata. Kolku kilogrami iznesuva ambala`ata?
5
Poradi vlaga, masata na pamukot se zgolemila za 3,5%. Kolku litri voda vpil pamukot, ako masata na vla`niot pamuk e
kolkav procent na dobivka treba da se prodade preostanatoto koli~estvo stoka za da se pokrie zagubata i da se zarabotat
70000 denari?
1242 kg? 189
9
Vo eden magacin imalo izvesna koli~ina stoka koja trebalo da se prodava po opredelena cena. Po opredelenata cena e
od stokata, od stokata e prodadeno so zgolemuvawe 8% , so namaluvawe 2% i ostatokot so namaluvawe 5%. Ostatokot e prodaden za 136800 denari. prodadeno
10 Pretprijatieto prodalo 25% od stokata so 10% zaguba, 55% so 8% dobivka, a ostanatoto so dobivka 20% za 96000 denari. Presmetaj ja: a) vrednosta na stokata; b) dobivkata, odnosno zagubata; v) procentot na dobivkata, odnosno zagubata.
Kolkava e koli~inata na stokata, kakva bila planiranata cena, dali ima dobivka ili zaguba i kolkava e taa?
12
PROMILNA SMETKA
Potseti se!
A
Koi veli~ini se sre}avaat kaj procentna smetka? Kakvi vidovi procentna smetka ima? Od kolku edinki se sostoi osnovnoto mno`estvo kaj procentna smetka?
go zapi{uvame kratko 5%. Ako prviot i vtoriot ~len na toj razmer go pomno`ime so 10, }e go dobieme razmerot koj kratko go zapi{uvame so Å i ~itame „50 promili”. Razmerot
Promil e iljaditiot del od nekoja golemina. Zborot „promil” doa|a od latinskiot zbor pro mille {to vo prevod zna~i „na iljada”.
SĂ…
TI $
S ˜ $
Kaj procentnata smetka osnovnoto mno`estvo ima{e 100 edinki. Ako sega za osnovno mno`estvo go izbereme mno`estvoto od 1000 edinki i site drugi golemini gi sporeduvame so nego, doa|ame do t.n. promilna smetka.
˜ Edno mo`no zna~ewe na ovoj primer bi bilo slednovo: ako natalitetot na nekoja populacija
Na primer: Ă… TI
e Ă… toa zna~i deka na sekoi 250 lu|e godi{no bi se rodile 8 deca. Zada~ite od promilna smetka se re{avaat na ist na~in kako i zada~ite od procentna smetka. Vo promilnata smetka se sre}ava: - konstantnata 1000; - glavna ili osnovna vrednost (S); - promil (p); - promilen iznos (P). 190
Vrskata me|u ovie veli~ini e zadadena so proporcijata: 6 3 S Od poslednata formula e jasno deka ako se dadeni dve vrednosti, mo`eme da ja presmetame tretata
3
vrednost, t.e.
6˜S 6
˜ 3 ˜ 3 S S 6
Presmetuvaweto na edna od ovie veli~ini se vika promilna smetka od iljada. Osnovnata vrednost S i kaj promilnata smetka mo`e da bide zgolemena 6 3 t.e. namalena za
promilniot iznos 6 3 i vo zavisnost od toa razlikuvame promilna smetka nad iljada, odnosno promilna smetka pod iljada. Pritoa gi koristime izvedenite proporcii:
6 r 3 r S
6 r 3 r S
6 3 S
Pri transport na 3400 kg banani, Ă… se rasipale. Kolku kilogrami banani se rasipale?
1
Dadeno e: 6
3
6˜S
N S a se bara P.
˜
Zna~i, se rasipale 17 kg banani.
2
Kolku e Ă… provizija od 650000 denari?
3
Za osiguruvawe pri transport platena e premija 5600 denari, {to pretstavuva Ă… od vrednosta na stokata. Kolkava e vrednosta na stokata? Dadeno e: 3 N S a se bara S.
6
3 ˜ S
˜
Zna~i, vrednosta na stoka e 1120000 denari.
4
Na osnovnite sredstva od 2650000 denari presmetana e amortizacija od 5459 denari. Kolkav e promilot na amortizacijata?
5
Bruto te`inata na edna stoka iznesuva 3528 kg. Ambala`ata e Ă… od neto te`inata. Kolkava e neto te`inata? Dadeno e 6 3 N S a se bara S. 6
6 3 ˜ S
˜
Zna~i, neto te`inata e 3500 kg. 191
Zaedno so Ă… tro{oci, stokata e platena 240300 denari. Kolku denari iznesuvaat
6
tro{ocite, a kolku vrednosta na stokata?
Po odbivawe na Ă… provizija, bankata isplatila 418950 denari. Od koja suma e
7
presmetana provizijata i kolku denari iznesuva? Dadeno e 6 3 6
N S
6 3 ˜
se bara S i P.
˜
S
3
6 6 3
Zna~i osnovnata suma iznesuva 420000 denari, a provizijata 1050 denari. Po odbivawe na Ă… provizija, primeni se 735786 denari. Kolku denari iznesuva provizijata?
8
Zada~i 1
Kolku iznesuva: a) Ă… od 8000 kg;
3
2
provizija. Kolku promili e toa?
b) Ă… od 324,8;
v) Ă… od 34,007; g) Ă… od 6 t 280 kg?
4
4255 denari. Kolkavi bile tro{o-cite pred namaluvaweto?
milnata smetka:
b) 6
IJSFWN 6
v) S 6
192
"
5
denari,
3 denari, S
Tro{ocite za PTT uslugi vo edna organizacija se namaleni za Ă… i izne-suvaat
Presmetaj gi nepoznatite veli~ini vo pro-
a) S
Za sumata od 42000 e primeno 105 denari
Zaedno so Ă… tro{oci, za stokata se plateni 320704 denari. Kolku denari e vrednosta na stokata, a kolku iznesuvaat
"
W NJ 3
"
tro{ocite?
13
KAMATNA SMETKA
Potseti se! Vo zavisnost od toa koja veli~ina e nepoznata, razlikuvame tri osnovni zada~i od procentna smetka (od sto), t.e.
3
6˜S 6
˜ 3 ˜ 3 S S 6
Vo koj slu~aj velime deka imame procentna smetka nad sto, odnosno pod sto? Napi{i gi formulite za presmetuvawe na S ili P pri procentna smetka nad, odnosno pod sto.
A
Kamatnata smetka se javuva naj~esto vo raboteweto na bankite, {tedil-
nicite i sl. pri t.n. kreditni odnosi (lat. credere - veruva). Sekojdnevno oddelni gra|ani vlo`uvaat pari vo banka, pri odredeni uslovi. Bankata gi koristi ovie pari~ni sredstva, a kako nadomest za toa na vlo`uva~ite im ispla}a kamata (interes, lihva). Od druga strana, pak, bankata dava pari~ni sredstva vo vid na krediti na privatni lica ili organizacii za nivni potrebi, no povtorno pri odredeni
uslovi. Imeno, korisnicite na krediti, za vakvata usluga na bankata i pla}aat kamata. Nadomestot {to dol`nikot go pla}a na doveritelot za pozajmenite pari (ili stoka), pri odredeni uslovi, se vika kamata. Vlo`enata, odnosno zemenata suma pari se vika kapital ili osnovna vrednost. Kamatata se presmetuva so odreden procent od kapitalot i toj procent se narekuva kamatna stapka. Vsu{nost, kamatnata stapka e kamata {to se pla}a na sto pari~ni edinici za edna godina. Zna~i, kamatata e procenten iznos od kapitalot za odredeno vreme. Spored toa, kamatnata smetka e tesno povrzana so procentnata smetka. 1
Kolkava kamata }e donese kapital od 80000 denari za edna godina pri kamatna stapka od 5%? Bidej}i 5% od 80000 e 4000, sleduva deka baranata kamata e 4000 denari. Voo~i deka ednogodi{nata kamata se presmetuva kako i procentniot iznos kaj procentnata smetka. No, se razbira deka pri presmetuvaweto na kamatata mora da go imame predvid i faktorot vreme. Imeno, ako vlo`eniot kapital od 80000 denari ostane u{te edna godina vo bankata, toga{ }e donese u{te edna godi{na kamata od 4000 denari. Zna~i pri zgolemuvawe na vremeto na koristewe na vlo`eniot kapital vo bankata za dva, tri, ~etiri ... pati, za isto tolku pati }e se zgolemi i kamatata. 193
Analogno, pri zgolemuvawe na kapitalot ili na kamatnata stapka za dva, tri, ~etiri, ... pati, za isto tolku pati }e se zgolemi i kamatata. Sleduva deka kamatata (i) e pravo proporcionalna so: kapitalot (K), kamatnata stapka (p) i vremeto (t), t.e.
. ˜ S˜W
L
Od formulata e o~igledno deka kamatata e funkcija od tri veli~ini: kapitalot, kamatnata stapka i vremeto. Zatoa, pri dadeni tri od tie vrednosti sekoga{ mo`eme da ja presmetame ~etvrtata. Kamatata presmetana so ovaa formula se vika prosta kamata i taa se presmetuva samo na po~etno vlo`eniot kapital, a nejzinoto presmetuvawe se vika prosta kamatna smetka. 2
Od dadenata formula, izrazi ja vrednosta na: a) kapitalot (K); b) kamatnata stapka (p); a) .
L ˜ S˜W
L ˜ . ˜W
b) S
v) W
v) vremeto (t).
L ˜ .˜S
Kolkava }e bide kamatata za zaem od 600000 denari na 4 godini so kamatnata stapka od 5%?
3
L
. ˜ S ˜W
˜ ˜
Zna~i, kamatata iznesuva 120000 denari.
. ˜ S ˜W e izrazeno vo godini. Vo ekonomskata praktika godinata ima 360 dena ili 365 dena, a sekoj mesec 30 dena ili spored kalendarot. Koga mesecot se
Vremeto t vo formulata L
zema po 30 dena, a godinata 360 dena, pi{uvame (30; 360), ako, pak, mesecite se zemaat po kalendar, a godinata so 365 dena, pi{uvame (k, 365). Ako vremeto e dadeno vo meseci (denovi), toga{ kamatata za eden mesec (eden den) }e bide 12 (360) pati pomala otkolku za edna godina. Vo toj slu~aj bi va`ele formulite:
L
. ˜ S˜P ˜
L
. ˜ S˜G ˜
NQN
L
. ˜ S˜G ˜
kade {to m (d) e brojot na mesecite (denovite). 4
Kolkava kamata }e donesat 30000 denari koristeni 8 meseci so 4% godi{na kamatna stapka? 194
Dadeno e .
denari, W
. ˜ S˜P ˜
L
meseci i S
a se bara i. Spored formulata imame:
˜ ˜ ˜
Baranata kamata e 800 denari. 5
Kolkava kamata }e donesat 60000 denari za vreme od 144 dena i kamatna stapka od 5%?
6
Kolku denari koristeni od 21.03 do 17.07 so 9% kamatna stapka }e donesat kamata od 4248 denari, (k, 365)? Dadeno e: S W
L
a se bara K.
Prvo treba da gi presmetame denovite so pomo{ na {emata: M
denovi
III IV V VI VII
10 = 31 21 30 31 30 17
Zabele{ka. Denot na vlo`uvawe ne se broi, dodeka denot na podigaweto se broi.
.
vkupno: 118 dena
L ˜ ˜ S˜G
˜ ˜ ˜
Spored toa, baranata suma e 146000 denari.
7
Koi sredstva vlo`eni na 12.04 so 14% }e donesat na 9.10 kamata od 5040 denari? (k,365)
8
So kolkava kamatna stapka suma od 48000 za vreme od 10 meseci }e donese kamata od 2000 denari? Dadeno e .
S
W L
L ˜ ˜ . ˜W
a se bara p.
˜ ˜ Sledstveno, kamatnata stapka e 5%. ˜
9
So koja kamatna stapka se vlo`eni 68000 denari, ako za 4 meseci i 24 dena nosat kamata od 3264 denari? (30;360)
10
Kolku meseci bile koristeni 80000 denari so 6,5% kamatna stapka, ako pretprijatieto platilo 6500 denari kamata? Dadeno e: . Imame: P
S N L a se bara m.
L ˜ ˜ N˜ S
˜ ˜ Zna~i sredstvata bile koristeni 15 meseci. ˜ 195
11
Kolku meseci se koristeni 63000 denari so 14%, ako kamatata iznesuva 5145 denari? Ako vo zada~ite od kamatna smetka e daden zbirot (razlikata) od kapitalot i
B
kamatata . r L a se bara ~istiot kapital ili samo kamatata, toga{ velime deka
stanuva zbor za kamatna smetka nad sto (pod sto). Od proporcijata . L SW sleduvaat izvedenite proporcii:
. r L r SW
. r L ˜
.
r SW
. L SW od kade {to sleduvaat formulite:
N L
. r L SW r SW
So ovie formuli se presmetuvaat kapitalot i kamatata pri kamatnata smetka nad (pod) sto. 12
Suma so kamatna stapka od 16% za vreme od 3 meseci porasnala na 2600000 denari. Odredi go iznosot na vlo`enata suma i iznosot na dobienata kamata. Dadeno e: . L .
. L
˜ ˜
SW SW . L
L
SW
S W
a se bara K i i.
˜ ˜
Zna~i, vlo`enata suma iznesuva 2500000 denari, a dobienata kamata 100000 denari. Zapomni! Vo site dosega{ni primeri smetavme so prosta kamata, koja se presmetuva samo na po~etno vlo`eniot kapital. No, ako kamatata {to ja donesuva kapitalot za odreden vremenski period se pridodade na nego, taka {to i kamatata da donesuva kamata, toga{ velime deka kapitalot e vlo`en pod slo`ena kamata.
Zada~i 1
2
Kolkava }e bide kamatata za zaem od 500000 denari na 4 godini so kamatna stapka od 6%? Kolkava kamata }e donesat 15000 denari koristeni 8 meseci so 12% godi{na kamata?
196
3
Koi sredstva vlo`eni na 12.04 so 14% }e donesat na 9.10 kamata od 5040 denari?
(k;365) 4
So koja kamatna stapka se vlo`eni 210000 denari, ako za 9 meseci donele kamata od 11025 denari?
5
6
Kolku denovi se koristeni 80000 denari so
7
7% ako kamatata iznesuva 1120 denari? (k; 365)
pozajmeni i kolkava kamata e platena?
8
So koja kamatna stapka se pozajmeni 84000 denari na 24.05, ako na 30.08 treba da se plati kamata 2744 denari? (k; 360)
14
Zaedno so 4% kamata po 3 godini vrateni se 145600 denari. Kolku sredstva se Po dobivawe na 27% kamata za 80 dena e dobien zaem od 230000 denari. Kolkava e kamatata i kolkava suma treba da se vrati po 80 dena?
DELBENA SMETKA
Potseti se!
A
[to e razmer? [to e koeficient na proporcionalnost kaj razmerot? Koj e prost, a koj prodol`en razmer? Kako glasi osnovnoto svojstvo na razmerite?
Zada~ite vo koi odredena golemina treba da se podeli na dva ili pove}e delovi koi se nao|aat vo daden odnos (razmer) se re{avaat so t.n. delbena smetka. Ovaa smetka nao|a {iroka primena vo sekojdnevniot `ivot pri: podelba na odredena nagrada, podelba na nasledstvo na odreden broj naslednici i sli~no.
Delbenata smetka mo`e da bide prosta i slo`ena. Ako vo delbata u~estvuva samo eden odnos (prost ili prodol`en), toga{ delbenata smetka e prosta. Delbata mo`e da se vr{i pravo ili obratno proporcionalno. 1
Sumata od 240000 denari podeli ja na 3 lica pravo proporcionalno na vozrasta, ako se stari 3, 4 i 5 godini. Po kolku denari }e dobie sekoe lice? Stanuva zbor za prosta delbena smetka, bidej}i imame samo eden odnos vozrasta: 3:4:5. Neka licata dobijat soodvetno x, y i z denari, toga{ od [ \ ] [ N \
Bidej}i [ \ ]
sleduva
N ] N
imame: N N N
N
N
2
Brojot 80 podeli go na tri dela vo odnos 5 : 9 : 6.
3
Sumata od 122500 denari podeli ja na 3 lica so vozrast od 5, 8 i 12 godini, obratno proporcionalno na nivnata vozrast. Po kolku denari }e dobie sekoe lice? 197
Ako baranite sumi se x, y i z toga{
[ \ ] Ottuka, [
t.e. [ \ ]
N \ N ] N pa imame
N N N N N Sleduva, [ denari, \ denari, ]
denari.
Nagrada od 7500 denari da se podeli na trojca kelneri obratno proporcionalno na napravenite tro{oci. Napravenite tro{oci se: prviot 500 denari, vtoriot 600 denari, a tretiot 750 denari. Po kolku denari }e dobie sekoj?
4
Vakvite i sli~ni na niv zada~i mo`eme da gi voop{time. 5
Odredena suma A podeli ja na 3 lica vo odnos a:b:c. Ako licata dobile soodvetno x, y i z, toga{ imame: [ \ ] {to sleduva: [
DN \ EN ]
Sledstveno imame: [
D˜
FN Od [ \ ]
$ D E F
\ E˜
D E F W H
$ sleduva DN EN FN
$ D E F
]
F˜
[ D
\ E $ N
] F
N od kade
$ D E F
$ D E F
Sumata od 1092000 treba da se podeli na tri pretprijatija, taka {to sekoe sledno da dobie 20% pove}e od prethodnoto. Po kolku denari }e dobie sekoe pretprijatie?
6
Ako prvoto pretprijatie dobie 100, toga{ vtoroto }e dobie TI Y J a tretoto }e dobie TI Y J Neka x, y i z se soodvetno sumite {to treba da gi dobijat pretprijatijata. Ja formirame proporcijata: [ \ ] od kade {to [ N \ N ] N Od druga strana [ \ ] Y J N N N N N Sledstveno, [ \ ]
B
Delbenata smetka koja se vr{i vrz osnova na dva ili pove}e odnosi se vika slo`ena delbena smetka.
7
Sumata od 542000 denari treba da se podeli na tri grupi rabotnici pravo proporcionalno so brojot na rabotnicite i vremeto pominato na rabota. Vo prvata grupa rabotele 10 rabotnici 10 dena, vo vtorata grupa 12 rabotnici 8 dena i vo tretata grupa rabotele 15 rabotnici 5 dena. Po kolku denari }e dobie sekoja grupa ako rabotniot den na site grupi e ist? 198
Neka grupite dobijat soodvetno x, y i z denari, t.e.
[ \ ] [ \ ]
od
kade
{to
N N N
[ N \ N ]
N
N
N
Bidej}i
N
[ \ ]
pa [
imame
denari, \
denari, ] denari. 8
Tri brigadi zarabotile vkupno 2352000 denari. Vo prvata brigada 20 rabotnici rabotele 8 dena po 7 ~asa, vo vtorata 32 rabotnici rabotele 14 dena po 5 ~asa, a vo tretata brigada 28 rabotnici rabotele 16 dena po 10 ~asa dnevno. Po kolku denari }e dobie sekoja brigada, ako podelbata e pravo proporcionalna so brojot na rabotnicite i vremeto pominato na rabota?
9
Tri sela A, B i C sakaat da izgradat vodovod ~ija izgradba }e ~ini 216000 denari, vo koja suma }e u~estvuvaat pravo proporcionalno na brojot na `itelite, a obratno proporcionalno na dadenite rabotni denovi. Potrebnite podatoci se dadeni vo slednata tabela: Po kolku denari }e treba da vlo`i sekoe selo?
A B C
`iteli 2880 3200 3840
r. denovi 100 150 60
Neka x, y i z se soodvetno sumite {to treba da gi vlo`i seloto A, B i C. Toga{ [ \ ]
[ \ ]
[ \ ]
, t.e.
ili po skratuvawe na desniot razmer: [ \ ] od kade {to se dobiva [ N \ N ] N N \
Y J N Sledstveno, [ denari,
denari, ] denari.
10
Pri nabavka na: 500 kg portokali po 20 denari, 300 kg limon po 30 denari i 200 kg banani po 40 denari, napraveni se vkupno 4000 denari zavisni tro{oci. Raspodeli gi tro{ocite pravo proporcionalno na koli~inata, a obratno proporcionalno na vrednosta na stokata. Po kolku }e se plati za sekoja stoka oddelno?
11
Odredena suma A da se razdeli pravo proporcionalno na 3 dela spored odnosite: a : b : c i e : f : g. 199
Zada~i 1
7 Nagrada od 406500 denari podeli ja na tri
Podeli go: a) brojot 32 na dva dela vo odnos 3:5; b) brojot 96 na tri dela vo odnos 1:3:4; v) brojot 77 na dva dela vo odnos
g) brojot 316 na tri dela vo odnos
2
Suma od 122500 denari treba da se podeli na tri lica so vozrast od 5, 8 i 12. Po kolku denari }e dobie sekoj od niv, ako podelbata e: a) pravo proporcionalna na nivnata vozrast; b) obratno proporcionalna na nivnata vozrast?
3
Suma od 1456000 denari podeli ja na tri lica taka {to sekoe sledno da dobie 20%
grupi rabotnici pravo proporcionalno na brojot na rabotnicite i vremeto pominato na rabota. Vo prvata grupa 10 rabotnici rabotele 10 dena, vo vtorata grupa 12 rabotnici rabotele 8 dena, a vo tretata grupa 15 rabotnici rabotele 5 dena. Po kolku denari }e dobie sekoja grupa?
8 Tri sela odlu~ile zaedni~ki da izgradat most vo vrednost 1872000 denari. Odredenata suma se dogovorile da ja podelat pravo proporcionalno na polnoletnite lica od sekoe selo i obratno proporcionalno na oddale~enosta na selata od mostot. Potrebnite podatoci se dadeni vo slednata tabela:
pove}e od prethodnoto. Po kolku denari }e dobie sekoe lice?
4
Suma od 135500 denari podeli ja na tri lica taka {to sekoe sledno lice }e dobie 10%
lica prvo selo vtoro selo treto selo
oddale~en.
150 120 180
pomalku od prethodnoto.
5
Koja suma treba da se podeli na tri lica na sledniov na~in: prvoto lice da dobie
od
sumata, vtoroto lice da dobie od sumata, a tretoto lice da go dobie ostatokot od
126000 denari? 6
^etiri lica odredena dobivka ja podelile na sledniot na~in: liceto A dobilo 15% od dobivkata, liceto B dobilo 40% pove}e od liceto A, liceto C dobilo kolku {to dobile
A i B zaedno, a liceto D go dobilo ostatokot od 14000 denari. Po kolku denari dobile licata A, B i C i kolkava bila vkupnata suma?
200
3 km 5 km 6 km
Po kolku }e plati sekoe selo?
9 ^etiri lica se dogovorile da gradat objekt vo vrednost od 2680000. Ovaa suma trebalo da ja obezbedat pravo proporcionalno na brojot na licata {to }e gi vrabotat, a obratno proporcionalno na vlo`enite rabotni denovi vo izgradba na objektot. Prvoto lice }e vraboti 12 lica, a rabotelo
80 dena, vtoroto lice }e vraboti 5 lica a rabotelo 100 dena, tretotot lice }e vraboti 15 lica, a rabotelo 60 dena, ~etvrtoto lice }e vraboti 20 lica, a rabotelo 30 dena. Po kolku }e plati sekoe lice?
10
Eden izlo`ben prostor go koristat tri pretprijatija: prvoto koristi P vtoroto P a tretoto P Za ureduvawe na prostorot prvoto vlo`ilo 120 rabotni ~asa, vtoroto 200, a tretoto 300 rabotni ~asa. Kako }e gi podelat tro{ocite od 219000 denari, ako tie se odnesuvaat pravo proporcionalno na vlo`enite ~asovi?
15
SMETKA NA SMESI
Za industrijata, trgovijata, ugostitelstvoto, ekonomijata, zanaet~istvoto i drugi dejnosti ~esto pati se javuva potreba od me{awe na pove}e vidovi stoka ili stoka od ist vid za dobivawe smesa (stoka) so odredena: cena, kvalitet ili odnos na stokite {to se me{aat. Odreduvaweto na cenata, kvalitetot ili odnosot na stokite {to se me{aat go vr{ime so t.n. smetka na smesi. Osnovniot princip pri me{aweto na stoka od razli~ni kvaliteti e pri proda`bata od izme{anata stoka da se dobie vo vrednost isto kolku {to }e se dobie ako stokata ne se me{a i se prodava po porane{nata cena.
A
1
Vo tekot na eden den vo Skopje se izvr{eni ~etiri merewa na temperaturata: prvo merewe q& vtoro merewe q& treto merewe q& i ~etvrtoto me-
rewe q& Kolkava e srednata temperatura za toj den?
W
W W W W
q& q& q& q&
q&
W
q&
Srednata temperatura ja opredelivme kako aritmeti~ka sredina na vrednostite od ~etirite merewa na temperaturata izvr{eni toj den. Cenata na eden proizvod vo gradot e: na eden pazar 64 den. za kg; na drug pazar 68 den. za kg; na tret pazar 72 den. za kg, a na ~etvrt e 74 den. za kg. Kolkava e prose~nata cena za 1 kg od toj proizvod za toj den vo gradot?
2
F
Zna~i, prose~nata cena za 1 kg od toj proizvod e 69,5 denari.
Op{to: Ako F F FQ se razli~ni ceni na edna ista stoka, toga{ cenata c na smesata ja
F F FQ Q Presmetuvaweto na sredna vrednost e, vsu{nost, najednostavna smetka na smesi.
dobivame kako aritmeti~ka sredina na broevite F F FQ Y J F
201
B
Vo prodol`enie }e razgledame primer vo koj, osven so razli~nite ceni, raspolagame i so razli~ni koli~ini na edna stoka.
Edna prodavnica raspolaga so tri sorti maslinki: 10 kg po 180 denari, 6 kg po 200 denari i 8 kg po 225 denari. Kolkava bi bila cenata na maslinkite {to se dobivaat so me{awe na ovie tri sorti maslinki?
3
Ja presmetuvame vkupnata vrednost na site tri sorti maslinki: 10 kg po 180 denari 6 kg po 200 denari 8 kg po 225 denari
1800 1200 1800
24 kg
4800 denari
Sleduva, cenata na me{avinata maslinki za 1 kg }e bide 200 denari.
Srednata vrednost na cenata c na dve ili pove}e sorti stoka so razli~ni ceni F F FQ i razli~ni te`ini T T TQ ja presmetuvame spored osnovniot princip za smesi: Vrednosta na smesata treba da bide ednakva na zbirot od vrednostite na stokite {to se sostavni delovi na smesata. Spored toa imame: T F T F TQ FQ
T T TQ F
od kade {to
F
T F T F TQ FQ T T TQ
Cenata presmetana po ovaa formula se vika ponder cena ili ponderirana aritmeti~ka sredina (pondus vaga).
Vo edna vinarska vizba ima 500 l vino so ja~ina 9%, 600 l so ja~ina 11% i 900 l so ja~ina 14%. Kolkava e ja~inata na smesata?
4
Dadeno e T
F
T
T
˜ ˜ ˜
F
F
se bara c.
Zna~i, ja~inata na smesata e 202
F
5
Kupeni se tri sorti jabolka: 20 kg po 12 denari, 25 kg po 18 denari i 30 kg po 22 denari za 1 kg. Odredi ja srednata cena na jabolkata za 1 kg.
V
Prosta smetka na smesi imame toga{ koga od dve sorti stoka, ednata so podobar, a drugata so polo{ kvalitet, sakame da napravime smesa so odredena cena ili
kvalitet. Pritoa e potrebno da go odredime razmerot (odnosot) na stokite so koi raspolagame. Me{aweto mo`e da bide: - neograni~eno, ako se bara samo odnosot vo koj se me{aat sortite; - ograni~eno, ako se baraat i koli~inite na sortite {to se me{aat. 6
Me{ame dve sorti gra{ok po 22 denari i po 27 denari za 1 kg za da dobieme me{avina od 25 denari za 1 kg. Vo koj odnos treba da se pome{aat ovie sorti gra{ok? Ova e primer za neograni~eno me{awe, bidej}i se bara samo odnosot vo koj se me{aat sortite. Ako x i y se koli~estvata gra{ok od prvata, odnosno vtorata sorta, toga{ me{avinata }e ima vkupni [ \ kilogrami. Imame: [ ˜ \ ˜ [ \ [ \ [ \ \ [ odnosno [ \ Zna~i, od prvata sorta gra{ok treba da se zemat dva dela, a od vtorata 3 dela.
Da go razgledame op{tiot slu~aj. Neka F N F se cenite na dvete sorti stoka, a c e cenata na nivnata smesa. Ako so T N T gi ozna~ime koli~estvata na prvata, odnosno vtorata sorta, toga{ spored osnovniot princip za smesi bi imale: T F T F T T F pri uslov F F F T F F T F F ili vo vid na proporcija T T F F F F Za polesno pametewe, ovoj odnos go zapi{uvame vo t.n. smetka na yvezda, dadena so {emata: T
F F
F
c T
F F
F
od kade se gleda deka vrednostite T N T se proporcionalni so vrednostite F F N F F Vo zada~a 6
bi imale:
IJQF
22 25 27
IJQF
od kade {to se gleda deka baraniot odnos e 2:3. 203
Po kolku litri rastvor treba da zememe od dva vida rastvori so ja~ina 25% i 40%,
7
za da dobieme rastvor od 60 ? so ja~ina 35%? ]e ja napi{eme smetkata na yvezda, t.e.
IJQF ˜ O
25
?
35 IJQF ˜ ? ?
40 Zna~i, od prviot rastvor treba da zememe 20 ? , a od vtoriot 40 ? .
Me{ame dve sorti vino po 36 denari i 50 denari za 1 ? , za da dobieme 140 ? vino, koe
8
}e se prodava po 44 denari za 1 ? . Po kolku litri vino treba da se zeme od sekoja sorta?
Zada~i 1
2
Godi{niot li~en dohod na edna rabotna edinica od 5 lica za 3 godini bil: 1060000 denari, 1350000 denari i 1820000 denari. Kolkav e: a) prose~niot godi{en li~en dohod; b) prose~niot mese~en li~en dohod?
Vo edna bonboniera ima dva vida bonboni: 140 g po 230 denari i 180 g po 170 denari. Kolkava e prose~nata cena na bonbonite po
kg? 3
So me{awe na oriz od 35 denari, 40 denari i 45 denari za 1 kg e dobiena me{avina od
42 denari za 1 kg. Vo koj odnos se pome{ani ovie tri vida oriz?
204
4
Me{ame dve sorti vino po 36 denari i 50 denari za 1 ? , za da dobieme 140 ? vino, koe
5
6
}e se prodava po 44 denari za 1 ? . Po kolku litri vino treba da se zeme od sekoja sorta? Me{ame dva kvaliteta po ceni od 250 denari i 320 denari za da dobieme nov kvalitet od 42 kg po cena od 300 denari. Po kolku kilogrami treba da zememe od sekoj kvalitet? Raspolagame so 9 ? alkohol od 96%. Kolku litri voda treba da se dodade za da se dobie alkohol so ja~ina od 36%? Napravi proverka.
7
Po kolku kg stoka treba da se zeme od stokata koja se prodava po 35 denari za 1 kg i 48 denari za 1 kg za da se dobie nov kvalitet od 260 kg stoka koja bi se prodavala po 40 denari za kg?
16
SLO@ENA SMETKA ZA SMESI
A
Potseti se! [to e prosta smetka na smesi? Kakvo mo`e da bide me{aweto kaj prosta smetka na smesi? Kako izgleda linearna ravenka so 2 nepoznati i kolku re{enija ima taa?
1
Ako me{ame tri ili pove}e sorti na stoka za da dobieme smesa so odreden kvantitet, toga{ velime deka imame slo`ena smetka na smesi. I vo ovoj slu~aj me{aweto mo`e da bide: - neograni~eno (koga se bara samo odnosot vo koj se me{aat sortite); - ograni~eno ( koga se baraat koli~inite na sortite {to se me{aat).
Raspolagame so ~etiri sorti jabolka po cena od: 30, 35, 42 i 45 denari za kilogram. Po kolku kilogrami treba da zememe od sekoja sorta za da dobieme smesa od 330 kg po cena od 40 denari za kilogram? Ovde, vsu{nost, treba da primenime dve prosti smetki na smesi. Imeno, formirame dva para od po dve sorti, i toa: - 30 i 45 denari i za niv gi odreduvame razmernite delovi 5 i 10 (prosta smetka na smesi); - 35 i 42 denari, pri {to razmernite delovi se 2 i 5.
Zabele{ka. Pri me{awe, t.e. formirawe parovi zadol`itelno se zema eden podobar (na primer, 45) i eden polo{ kvalitet ( na primer, 30) od baraniot (koj vo ovoj slu~aj e 40). Bidej}i zbirot na site delovi e 22, brojot 330 kg (vkupnata te`ina na smesata) go delime so 22 i dobivame deka na eden razmeren del od smesata odgovara po 15 kg. Toa {ematski mo`e da go prika`eme vaka:
330
30
IJQF 혱 NJ
NJ
35
IJQF 혱 NJ
NJ
IJQF 혱 NJ
NJ
42 45
40
IJQF 혱 NJ NJ
vkupno: 22 dela 330 kg
Ottuka proizleguva deka treba da zememe: - 75 kg od prvata sorta, po cena od 30 denari; - 30 kg od vtorata sorta, po cena od 35 denari; - 42 kg od tretata sorta, po cena od 42 denari; - 45 kg od ~etvrtata sorta, po cena od 45 denari . 205
Voo~i deka vo ovoj primer dvete sorti se so poniska, a drugite dve so povisoka cena od baranata. 2
Zada~a
1
obidi se da ja re{i{ u{te edna{ koristej}i druga kombinacija na
sortite. Raspolagame so 4 kvaliteti na stoka so cena od 26, 28, 31 i 36 denari za kilogram. So me{awe sakame da dobieme 690 kg po cena od 33 denari. Po kolku kilogrami }e treba da zememe od sekoj kvalitet?
3
Vo ovoj slu~aj tri sorti se so poniska cena (polo{ kvalitet) od baranata, pa sekoja od tie sorti (od 26, 28 i 31 denar), }e formira po eden par, t.e. }e se me{a so baranata ( od 33 denari). [ematskiot prikaz na vakvata kombinacija izgleda vaka:
690
26 28 31 36
33
IJQF ˜ NJ NJ IJQF ˜ NJ NJ IJQF ˜ NJ NJ
IJQF ˜ NJ vkupno:
23 dela
690 kg
Ottuka zaklu~uvame deka treba da zememe: - po 90 kilogrami od prvite tri sorti; - 420 kilogrami od ~etvrtata sorta.
Proverka.
NJ ˜ IJSFWN IJSFWN NJ ˜ IJSFWN IJSFWN NJ ˜ IJSFW IJSFWN NJ ˜ IJSFWN IJSFWN
Vkupno: 22770 denari Vrednost na smesata: NJ ˜ IJSFWN IJSFWN
. Izvr{i ja proverkata na zada~ite 1
4
206
i
2
NJ
.
5
Raspolagame so 4 sorti oriz po: 32, 34, 37 i 41 denar i od niv treba da napravime smesa od 240 kg po cena od: a) 35 denari; b) 38 denari. Po kolku kilogrami treba da zememe od sekoja sorta?
B
6
Tri sorti kru{i po cena od: 22, 28 i 32 denari za 1 kg treba da se pome{aat za da se dobie 360 kg kru{i po cena od 26 denari. Po kolku kilogrami kru{i treba da se zeme od sekoja sorta?
Zada~ata }e ja re{ime so ravenka. Ako so T T N T gi ozna~uvame baranite koli~ini na trite sorti kru{i, toga{ imame: T T T T T T
T T T
T T T
_
Dobienata linearna ravenka e so tri nepoznati i ima beskone~no mnogu re{enija, t.e. podredeni trojki broevi. Za da ja re{ime ovaa ravenka, treba edna od nepoznatite da ja izrazime preku drugite dve. Pritoa ja izrazuvame onaa nepoznata {to ja imame vo dovolni koli~ini i ne sme posebno zainteresirani za nejzinata proda`ba. Neka na primer, vo slu~ajov toa e koli~inata T Imame: T
T T
So davawe proizvolni vrednosti na T N T odreduvame soodvetna vrednost na T Po pravilo, od poslabite kvaliteti zemame pogolemi razmerni delovi, a od podobrite pomali razmerni delovi (niv sakame da gi so~uvame). T
T
10 15 8
1 2 3
T
T T
17 24 7
Za koja od ovie mo`nosti }e se opredelime, zavisi od postojnata sostojba. Na primer, ako se odlu~ime za tretata mo`nost, imame: T T T Bidej}i, T T T Zna~i, T NJ T 7
sleduva N N N NJ T
od kade {to T
Y J N
N T
N T
N
NJ
Edna zadruga ima 4 sorti sok od vi{na so ceni: 17, 21, 25 i 30 denari za litar. Kupuva~ot bara 73 l sok po cena od 23 denari. Po kolku litri sok treba da se zeme od sekoja sorta?
207
Zada~i 1
Vo koj razmer i po kolku kilogrami treba da se me{a stokata {to }e se prodava po: 80, 85, 92 i 97 denari, za da se dobie smesa od 240 kg po cena od 88 denari?
2
Raspolagame so ~etiri kvaliteti na stoka po: 24, 33, 30 i 36 denari po edine~na merka. So me{awe sakame da dobieme 2100
5
Vo koj odnos i po kolku kilogrami treba da se me{a stoka {to se prodava po 28, 35, 42, 39 denari za kilogram, za da se dobie 768 kg stoka koja }e se prodava po 33 denari za kilogram?
6
Pome{ani se alkohol so ja~ina 42% i 38% i voda za da se dobie 160 litri alkohol so ja~ina 35%. Po kolku litri }e se zeme od alkoholite i vodata?
7
Vo koj odnos treba da se me{a alkohol so ja~ina 42%, 35%, 48%, 60% i 55% za da se dobie 260 litri alkohol so ja~ina 40%?
edine~ni merki, po cena od 31 denar. Po kolku edine~ni merki }e treba da zememe od sekoj kvantitet?
3
Vo magacinot ima 54 kg kafe po 276 denari i 66 kg kafe po 288 denari. Kolku kilogrami kafe treba da se zemat po 300 denari za da se prodava me{avina po 290 denari?
4
Raspolagame so ~etiri sorti od nekoja stoka po cena: 120, 140, 170 i 190 denari za 1 kg. Po kolku kilogrami }e treba da zememe od sekoja sorta, za da dobieme 150 kg po cena od 150 denari za 1 kg?
208
17
GRAFI^KO I TABELARNO PRIKA@UVAWE NA PODATOCI
A
Potseti se!
Brojot na ~asovite vo denovite na edna sedmica vo koi bilo son~evo e zapi{an vo slednava tabela.
Podatoci mo`e da se pribiraat na rali~ni na~ini, i toa: - so nabquduvawe i merewe; - so postavuvawe pra{awa (usno ili pismeno); - so prebaruvawe po spisanija, enciklopedii, u~ebnici, internet i sl.
1
Den
P
V
S
^
P
S
N
^asovi
5
3
0
3
8
4
6
Koj den bil najson~ev?
Pribranite podatoci ponatamu treba da se zapi{at, grupiraat i podredat, t.e. da se podgotvat za obrabotka.
Vo koj den celosno bilo obla~no? Koi denovi imale ednakov broj son~evi ~asovi?
So koi na~ini za pretstavuvawe na podatocite si se zapoznal vo osnovnoto obrazovanie?
Kolku vkupno son~evi ~asovi imalo vo tekot na sedmicata?
Vakviot na~in na pretstavuvawe na podatocite se vika tabelaren na~in. Podatocite za brojot na son~evite ~asovi vo tekot na sedmicata spored prethodnata zada~a pretstavi gi so stolbest dijagram. Re{enieto e dadeno na crte`ot. Za da se pretstavat podatocite so stolSon~evi ~asovi vo edna sedmica best dijagram potrebno e: 2
da se nacrta vertikalna oska, da se izbere i nanese edini~na otse~ka i da se zapi{at soodvetnite podatoci od vtoriot red na tabelata;
10 ^asovi
da se nacrta horizontalna oska i da se zapi{at imiwata na podatocite od prviot red na tabelata;
da se nacrtaat stolbovi ~ii visini odgovaraat na podatocite od vertikalnata oska;
8 6 4 2 P
V
S
^
Denovi
P
S
N
da se napi{e naslovot na stolbestiot dijagram. 209
Po biologija bile testirani 30 u~enici. Maksimalniot broj na bodovi na testot iznesuval 20. Brojot na osvoenite bodovi na u~enicite e daden so pregledot.
3
15 12 18
16 20 15
10 18 18
18 10 19
5 4 15
Vo dadenata tabela zapi{i gi potrebnite podatoci.
20 13 20
12 18 6
16 20 12
Broj na osvoeni bodovi
Podatocite pretstavi gi so stolbest dijagram.
B
17 20 5
11 14 6
0-4
5-9
10 - 14
15 - 20
Broj na u~enici
So liniskiot dijagram na crte`ot se pretstaveni podatoci za brojot na ~asovite potrebni za spiewe vo tekot na edno denono}ie za lu|e od razli~na vozrast. Potreba za spiewe 16 Podatocite od liniskiot dija4
14
[to mo`e{ da ka`e{ za potrebata od spiewe na lu|eto so vozrast od 15 do 25 godini i so vozrast od 30 do 40 godini?
Vreme (~asovi)
gram pretstavi gi vo tabela.
Na koja vozrast na lu|eto im e potrebno najmnogu vreme za spiewe, a na koja vozrast najmalku?
12 10 8 6 4 2 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Vozrast (godini)
Marko i Goce se trkale so velosipedi na pateka dolga 2400 m. Tekot na trkata e daden na liniskiot dijagram so podatoci za izminatoto vreme i rastojanie.
5
Marko
Goce
2400
Rastojanie (m)
2100 1800 1500 1200 900 600 300 0
210
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Vreme (min)
Koj vodel vo prvite dve minuti? Na kolkavo rastojanie i po kolku minuti od poa|aweto Marko i Goce prv pat bile na isto mesto? Na kolkavo rastojanie i po kolku minuti od poa|aweto Marko i Goce povtorno bile na isto mesto? Koj stasal prv na celta i za kolku vreme? Potseti se!
V
Vo prva godina imalo 180 u~enici. Brojot na u~enicite {to izu~uvaat odreden stranski stranski jazik e daden vo tabelata.
Podatocite dadeni vo procenti ili kako del od celoto naj~esto se pretstavuvaat so sektorski dijagrami.
Stranski Italijanski Germanski jazik Broj na u~enici
22
6
Angliski Francuski
52
66
Ruski
24
16
Ovie podatoci }e gi pretstavime so sektorski dijagram. Prosledi go re{enieto.
Agol od q vo dijagramot odgovara na eden u~enik. Kolkav agol odgovara na u~enicite {to u~at italijanski jazik?
germanski
q
q q
i sk ru
Polniot agol ima q a brojot na u~enici e 180.
fancuski
q
q
ski ijan l a it q
angliski
q Bidej}i 22 u~enika u~at italijanski jazik, sleduva deka ˜ q q pa q e agolot {to odgovara na brojot u~enici {to u~at italijanski jazik. Analogno gi opredeluvame i aglite za ostanatite delovi od sektorniot dijagram.
7
Podatocite za vremeto vo koe po~nuvaat so rabota 900 vraboteni vo edna fabrika se dadeni vo tabelata. Pretstavi gi ovie podatoci so sektorski dijagram.
Vreme
Broj
Me|u 5 i 6 ~asot
120
Me|u 6 i 7 ~asot
90
Me|u 7 i 8 ~asot
384
Me|u 8 i 9 ~asot
306
Vkupno
900 211
Ako vo sektorskiot dijagram e poznat brojot na podatoci pretstaveni so eden od sektorite, ili vkupniot broj podatoci, lesno mo`e da se opredeli brojot vo drugite sektori. Vo u~ili{nata biblioteka imalo 720 knigi. Tie bile grupirani kako: lektiri, nau~ni knigi, u~ebnici, prira~nici i slikovnici. Podatocite se pretstaveni so sektorskiot dijagram.
8
Vkupno imalo 720 knigi. Zna~i, t.e. na edna kniga odgovaraat q od krugot. Sektorot za u~ebnici ima agol q pa odnosno imalo 120 u~ebnici.
lektiri u~ebnici
Odredi go brojot na: prira~nici, nau~ni knigi i slikovnici vo u~ili{nata biblioteka.
q
nau~ni knigi
prira~nici
q
Kolku stepeni e agolot na sektorot {to gi pretstavuva lektirite?
slikovnici
q
q
Kolkav e brojot na lektirite vo bibliotekata? Zapomni! Sekoj dijagram treba da ima:
Naslov koj jasno ka`uva {to e pretstaveno na dijagramot. Ime (opis) na sekoja od oskite so jasno nazna~ena merna edinica. Crte`ot treba da bide jasen za da mo`e da se ~ita.
Zada~i 1
Planeta
Broj na mes.
Zemja
1
Mars
2
dadeni podatocite za brojot na satelitite otkrieni
Jupiter
16
do 1992 god.
Saturn
18
Uran
15
Neptun
8
Pluton
1
Okolu na{eto Sonce se vrtat 9 planeti. Sedum od niv imaat svoi sateliti (mese~ini). Vo tabelata se
Pretstavi gi podatocite so stolbest dijagram.
212
2
3
Vo tabelata se dadeni datumite vo mesecot koga se rodeni 35 u~enici od edna paralelka. So stolbest dijagram pretstavi gi podatocite po meseci i broj na u~enici rodeni vo sekoj mesec.
Podatocite od tabelata za populacijata vo svetot od
1900 do 2000 godina i predviduvaweto na UNESKO za 2020 godina pretstavi gi so liniski dijagram. 4
Den
Mesec
Den
Mesec
15, 23
Januari
8, 21, 26
Juli
Fevruari
5, 16, 28
Avgust
1, 9, 13, 17 11, 22, 28
Mart
31
Septemvri
April
1, 4, 9, 16, 24, 27
Oktomvri
Maj
1, 6, 7, 8, 13, 19
Noemvri
12, 25
Juni
12, 20, 30
Dekemvri
1, 16
Godina @iteli vo milijardi
1900
1920
1940
1960
1980
2000
2020
1,6
1,9
2,3
3,0
4,4
6,2
7,7
Na eden seminar po matematika u~estvuvale nastavnici so razli~na vozrast, i toa: pomladi od 30 godini
30 lica;
od 31 - 39 godini
15 lica;
od 40 - 49 godini
29 lica; 14 lica; 12 lica;
od 50 - 59 godini postari od 60 godini
Podatocite pretstavi gi so sektorski dijagram.
5
Anketirani se maturantite od skopskite gimnazii {to }e studiraat. Za arhitektura i grade`ni{tvo se opredelile
210 u~enici. Voo~i go sektorskiot dijagram. Odredi go brojot na maturantite vo gimnaziite. Odredi kolku maturanti }e studiraat op{testveni nauki.
Medicina Arh - grad. 16% 15% Tehnika 25%
13%
Op{test. nauki
Prir. matem.
213
18
TEMATSKI KONTROLNI ZADA^I
1
Koja od navedenite merni edinici e osnovna edinica vo SI: a) minuta; b) decimetar; v) gram; g) mol?
2
Kolku godini ima vo 6 meseci 12 denovi 8 ~asovi 30 minuti?
3
Cenata na 1 m3 grade`no drvo e 9000 denari. Kolku denari treba da se platat za 30 gredi {to imaat forma na kvadar so dimenzii 5 m 30 cm, 10 cm i 12 cm?
4
Brojot 160 razdeli go na ~etiri deka koi }e se odnesuvaat kako
5
Koi od dadenite veli~ini se obratno proporcionalni: a) koli~estvoto na edna stoka i nejzinata vrednost; b) izminatiot pat i vremeto; v) vrednosta na edna dropka i nejziniot imenitel, ako broitelot e konstanten; g) vrednosta na edna dropka i nejziniot broitel, ako imenitelot e konstanten?
6
Spored planot, 20 rabotnici treba da zavr{at edna rabota za 45 dena. Rabotata ja zapo~nale 15 rabotnici i po 20 dena na rabota do{le u{te 10 rabotnici. Za kolku vreme }e bide zavr{ena planiranata rabota?
7
Vo eden rudnik vo jamata broj 1, deset rudari za 8 ~asa iskopale 40 t jaglen. Kolku toni jaglen }e iskopaat 8 rudari za 6 ~asa vo jamata broj 2, ako uslovite za rabota se isti?
8
Za uvoz na 30 t 400 kg portokali se plateni 18240 $. Odredi ja cenata na 1 kg portokali, ako kursot na dolarot e
denari.
9
Poradi otsustvo od rabota na eden rabotnik mu e isplatena pomala plata za 15%. Kolkava e negovata plata ako toj primil 11900 denari?
10
Prostata kamata L se presmetuva so formulata: a) L
N S W
b) L
N W S
v) L
N S W
g) L
N S kade {to k kapitalot, W
p kamatnata stapka, t vremeto izrazeno vo godini. 11
Vo edna vinarska vizba ima ? vino so ja~ina 9%, ? so ja~ina 11% i ? so ja~ina 14%. Kolkava e ja~inata na smesata?
214
TEMA 6
LINEARNI: RAVENKI, NERAVENKI, FUNKCII
T, E, Z
SODR@INA NA TEMATA
1
T
Razmer. Proporcija ..... 216
6
T, E, Z Linearna funkcija ...... 229
2
T
Prava i obratna proporcionalnost ....... 219
7
T, E, Z Linearna neravenka so
8
T, E, Z Sistem linearni
3
T, E, Z Algebarska ravenka .... 221
4
T, E, Z Linearna ravenka ........ 224
5
T, E, Z Zada~i {to se svedu-
vaat na linearna ravenka ......................... 227
edna nepoznata ............ 233
neravenki so edna nepoznata ..................... 236
9
T, E, Z Tematski kontrolni
zada~i ........................... 240
215
1
RAZMER. PROPORCIJA
T
Potseti se!
A
Od porano ti e poznato deka razmer ili odnos na brojot a sprema brojot b E z se vika koli~nikot D E (ili
D ); pritoa, a se vika E
a)
prv ~len, a E vtor ~len na razmerot.
b)
v)
Vrednosta na razmerot se vika i koeficient na proporcionalnosta i naj~esto se ozna~uva so k.
Brojot {to se dobiva so izvr{uvawe na deleweto na a so b se vika vrednost na razmerot.
2
Odredi ja vrednosta na razmerot:
1
Odredi go koeficientot na proporcionalnost na razmerite: a)
b)
v) P P
g) NJ NJ
Voo~i deka koeficientot na proporcionalnosta e neimenuvan broj. Zapomni! Koli~nikot od dva neimenuvani broja ili od mernite broevi na dve ednorodni veli~ini, mereni so ista merna edinica se vika razmer na tie broevi . 3
Odredi koi od slednite koli~nici ne se razmeri: a)
b)
v) FP
Potseti se! Koi od slednive razmeri se ednakvi: a) b) v) g) "
5
g) NJ P
d) ? ?
B
4
Kakva vrednost imaat razmerite i "
Razmerite imaat ista vrednost. Ottuka sleduva ravenstvoto koe se vika proporcija.
Od koj daden par razmeri mo`e da se sostavi proporcija: a) i b) i v) i " Zapomni! Proporcija e ravenstvo na dva ednakvi razmeri, t.e., ako D E toga{ D E F G 216
N i F G
N,
Presmetaj go proizvodot na nadvore{enite, odnosno vnatre{nite ~lenovi vo proporciite: a) 2 : 5 = 6 : 12; b) 35 : 5 = 28 : 4.
6
[to voo~uva{? Zapomni! Proizvodot na nadvore{nite ~lenovi e ednakov so proizvodot na vnatre{nite ~lenovi vo proporcijata, t.e. ako D E F G , toga{ D ˜ G F ˜ E . Koe od dadenite ravenstva e proporcija:
7
a) 25 : 35 = 10 : 14;
b) 17 : 12 = 7 : 2;
Sostavi proporcija od ravenstvoto: a) ˜ ˜
8
g)
v) 2,6 : 1,2 = 1,5 : 0,5;
?
b) ˜ ˜
Prosledi go re{enieto. a) ili ili Odredi ja vrednosta na nepoznata x vo proporcijata [
9
Prosledi go re{enieto. ˜
˜ [ od kade {to [
Neka a, b i x se pozitivni broevi. Od proporcijata D [ e geometriska sredina od broevite a i b.
[ E sleduva deka [
Presmetaj ja geometriskata sredina na broevite: a) 9 i 16;
10
V
11
Dvete strani na ravenstvoto Prosledi go re{enieto.
ili dobivame
Ako dodame 1 imame
D ˜ E t.e. x
b) 4 i 25.
zgolemi gi, odnosno namali gi za 1.
t.e.
a ako odzememe 1
Voop{to, ako re{enieto na zada~a 11 go primenime na proporcijata D E F G gi dobivame proporciite D E E F G G i D E E F G G koi se vikaat izvedeni proporcii. 12
Odredi go nepoznatiot ~len vo proporcijata: a) [ [ b) [ [ Prosledi go re{enieto. b) Od izvedenata proporcija [ [ [
dobivame [
od kade {to [ 217
G
13
Odredi ja vrednosta na sekoj od razmerite i
Trite razmeri imaat ista vrednost. Ottuka sleduva deka a zapi{uvame
F F se dobiva ravenstvoto D E F
Voop{to, od D D E E `ena proporcija. Od proporcijata
D D
E E
F sleduva deka D F
Odredi gi x, y i z vo proporcijata [ \ ]
14
D E F koe se vika prodol-
D N E E N i F F N
ako nivniot zbir e 27.
Prosledi go re{enieto. Od [ \ ]
sleduva
[
gi zamenime vo uslovot [ \ ]
\
]
N t.e. [ N \ N i ] N Ako ovie vrednosti
dobivame N N N
od kade {to N
Zna~i,
[ ˜ \ i ] Sumata od 15000 denari podeli ja na tri dela vo odnos
15
Voo~i deka vo proporciite D E
[ \ D F
[ ] i D G
[ W prvite i tretite ~lenovi im
se ednakvi. Od niv mo`e da se formira prodol`enata proporcija D E F G Formiraj prodol`ena proporcija od proporciite D E
16
[ \ ] W
E F i F G
Prosledi go re{enieto. Od prvata i vtorata proporcija (so mno`ewe na soodvetnite strani) ja dobivame proporcijata D F ili D F Sli~no, od ovaa i tretata dadena proporcija dobivame D G Spored toa, D E ili D E D F ili D F i D G ili D G Ottuka sleduva deka D E F G
Zada~i 1
Odredi go nepoznatiot ~len vo proporcijata: a) [ b) [ v) [
2
g)
Re{i ja proporcijata: b) [ [ Sumata od 18000 denari podeli ja vo odnos
218
Formiraj prodol`ena proporcija od proporciite: D E
[
a) [ [
3
4
F D i
G E
5
Sumata od 65000 denari podeli ja na ~etiri lica ~ii delovi se a, b, c i d, taka {to za tie delovi da va`i D E
F G
E F i
2 A
PRAVA I OBRATNA PROPORCIONALNOST
1
T
Eden kilogram jabolka ~ini 20 denari. Kolku denari }e ~inat 2, 3, 4 kilogrami jabolka? So eden traktor mo`e da se izora edna niva za 8 dena. Za kolku dena istata niva }e bide izorana so 2, 4, 8 takvi traktori? Prosledi go re{enieto.
Zavisnosta na veli~inite }e ja dademe tabelarno i grafi~ki. Koli~ina na jabolka
1
2
3
4
Broj na traktori
1
2
4
8
Iznos vo denari
20
40
60
80
Broj na denovi
8
4
2
1
y
y
80
8
60 40
4
20
x 1
2
3
4
Od tabelata i grafikot voo~uva{ deka:
ili voop{to
\ t.e. \ [ [ Veli~inite {to go zadovoluvaat vakvoto svojstvo se vikaat pravo proporcionalni veli~ini.
2 1
x 1 2
4
8
Od tabelata i grafikot voo~uva{ deka: ˜ ˜ ˜ ˜ ili voop{to
\ ˜ [ t.e. \
[
Veli~inite {to go zadovoluvaat vakvoto svojstvo se vikaat obratno proporcionalni veli~ini.
2
Eden patnik za 6 ~asa pominal 24 km. Kolku kilometri izminal patnikot za 1, 2, 3 ~asa (ako se dvi`el ramnomerno)?
3
Eden rabotnik mo`e da zavr{i edna rabota za 16 dena. Za kolku dena istata rabota mo`e da ja zavr{at 2, 4, 8 rabotnici?
4
Vo kakva zavisnost se: a) stranata a i perimetarot L na kvadrat; b) radiusot r i perimetarot L na krug; v) vremeto t i brzinata V za izminat pat? 219
B
5
Vo 15 paralelki vo edno u~ili{te imalo 600 u~enici.
Kolku u~enici ima vo 8 paralelki, ako vo sekoja paralelka ima ednakov broj u~enici?
Edna rabota 8 rabotnici mo`e da ja zavr{at za 35 dena. Za kolku dena istata rabota mo`e da ja zavr{at 10 rabotnici? 6
Prosledi go re{enieto. Veli~inite se pravo proporcionalni. Zo{to?
Veli~inite se obratno proporcionalni. Zo{to?
15 paralelki
600 u~enici
8 rabotnici
35 dena
8 paralelki
x u~enici
10 rabotnici
x dena
[ ˜ [ ˜
[ ˜ [ ˜
˜ [
˜ [
[
[
Zna~i, vo 8 paralelki ima 320 u~enici.
Zna~i, 10 rabotnici mo`e da ja zavr{at rabotata za 28 dena.
Postapkata za re{avawe na vakov vid zada~i e poznata pod imeto prosto trojno pravilo. Voo~i.
Vo {emata za re{avawe pravata proporcionalnost ja ozna~uvame so istonaso~eni strelki, a obratnata proporcionalnost so sprotivno naso~eni strelki.
7
Za 2000 denari se kupeni 50 kg od edna stoka. Kolku denari ~inat 125 kg od istata stoka?
8
Edna rabota 30 rabotnici mo`at da ja zavr{at za 60 dena. Za kolku dena istata rabota }e ja zavr{at 20 rabotnici?
Zada~i 1
Za 2000 denari se kupeni 50 kg jabolka. Kolku kilogrami od istite jabolka mo`e da se kupat za 1400 denari?
2
Ako 40 rabotnici mo`e da iskopaat 200 m3 zemja za opredeleno vreme, toga{ kolku rabotnici za istoto vreme i pod istite uslovi za rabota }e iskopaat 300 m3 zemja?
3
Edna rabota mo`at da ja zavr{at 30 rabotnici za 120 ~asa. Kolku rabotnici se potrebni za istata rabota da se zavr{i za 18 dena (1 den = 10 rabotni ~asa)?
220
4
Osumdeset rabotnici za odredeno vreme pravat pat so dol`ina 600 m. Kolku rabotnici za istoto vreme i pod istite uslovi }e napravat pat od 10 km?
5
Spored planot, 30 rabotnici treba da zavr{at edna rabota za 60 dena. Rabotata ja zapo~nale 20 rabotnici i po 10 dena na rabota do{le u{te 5 rabotnici. Za koe vreme }e bide zavr{ena planiranata rabota?
3
ALGEBARSKA RAVENKA
A
Ako A i B se dva algebarski izrazi i ako barem edniot od niv sodr`i promenliva, toga{ ravenstvoto $ % se vika algebarska ravenka; naj~esto za promenlivite se veli deka se nepoznati vo taa ravenka. [ Na primer, ako $ % toga{ [ [ [ e algebarska ravenka so edna [ [
Potseti se! Izrazite [ i [ se algebarski izrazi. Od kakov vid e ravenstvoto: a) b) [ [ " [to e re{enie na ravenka? Dali [ e re{enie na ravenkata
[
[ "
Kolku nepoznati ima ravenkata
[ [\ "
Takvi se i [
T, E, Z
nepoznata.
\ \
\ \ [ [ [
Mo`e da se formiraat i algebarski ravenki so dve ili pove}e nepoznati; na primer:
[ \ [ \ [\ Ako vo ravenkata $ % nepoznatata se zameni so odreden realen broj a i ako toga{ taa ravenka premine vo to~no brojno ravenstvo, toga{ za toj broj a se veli deka e re{enie na taa ravenka (a „ja zadovoluva ravenkata”). Taka, na primer, brojot e re{enie na ravenkata
t. e. ˜
no brojot 5 ne e re{enie na taa ravenka bidej}i 1
Proveri dali e re{enie na ravenkata a) brojot 1; b) brojot ;
Bidej}i: a)
[ , bidej}i: [ [
z t. e. z ˜
[ : [ [
v) brojot 3.
z b) ˜ v) ˜
sleduva deka, pokraj ˜
od predhodniot primer, re{enija na ravenkata se 1 i 3. Site re{enija na ravenkata [ se: i 3, t.e. mno`estvoto re{enija M na taa ravenka e 0 [ [
^ ` 221
Potseti se!
B
So kolku nepoznati e ravenkata: a) [ b) [ \ v) [ \] " Ravenkata [ ima edno re{enie [ ravenkata [ [ ima dve re{enija [ [ ravenkata [ [ ima beskone~no mnogu re{enija, a ravenkata [ [ nema re{enie.
Voo~i go mno`estvoto re{enija na ravenkata:
2
a) [ [
b)
Sogledaj: a) 0 v) 0
[
^ `
[
b) 0
v) [
^ `
‡ Zo{to?
Vo vrska so edna algebarska ravenka, naj~esto, se postavuvaat slednive dve osnovni zada~i:
a) dali ravenkata ima re{enija; i, ako ima, b) koi broevi se nejzini re{enija? Voo~i! Edna algebarska ravenka mo`e da:
ima re{enie, t.e. e re{liva ravenka, ako nejzinoto mno`estvo re{enija ne e prazno, t. e. 0 z ‡ ili nema re{enie, t. e. e nevozmo`na (nere{liva, apsurdna) ravenka, ako nema ni edno re{enie, t. e. 0 ‡ Koi od slednive ravenki se nevozmo`ni? Zo{to?
3
a) [ [ b) [
v) ˜ [ g) [ [
[ [ d) [ ˜ [ |) [
[
Potseti se! Ravenkata [ vo mno`estvoto [ ima re{enie [ I ravenkata [ vo mno`estvoto [ ima re{enie [ Ravenkite [ i [ se ekvivalentni. Za koi dve ravenki velime deka se ekvivalentni? Koi svojstva gi ima relacijata œ („ekvivalentnost”)? Koi svojstva gi ima relacijata „ednakvost”?
222
V
Za dve ravenki $ % i & ' se veli deka se ekvivalentni ravenki,
ako nivnite mno`estva re{enija se ednakvi; toa se ozna~uva: $ % œ &
'
Spored toa, ako M1 e mno`estvoto re{enija na ravenkata $ % , a M2 - na ravenkata & ' , toga{ to~na e slednava formula $
% œ &
' œ 0
0
Pri takanare~enoto „re{avawe na ravenkite” se koristat pove}e svojstva na relacijata „ekvivalentnost”; tie ni ovozmo`uvaat da sogledame „dali dve ravenki se ekvivalentni”. Eve nekoi od niv:
1o $ 7 Â&#x; $ % Âœ 7
Prvoto svojstvo ni uka`uva deka izrazot {to e desna (ili leva) strana na edna ravenka sekoga{ mo`e da se zameni so drug izraz koj e identi~en so nego.
%
2o $ % Âœ $ & % & 3o & z Â&#x; $ % Âœ $& %&
Na primer, vo ravenkata [ [ [ ˜ [ desnata strana [ ˜ [ mo`e da se zameni so identi~niot izraz [ [ pa [ [ [ [ t.e.
[ [ [ ˜ [ œ [ [ [ [ Sega, soglasno so svojstvo 2o mo`eme da napi{eme [ [ [ [ [ [ [ [ t. e. [ odnosno [ pa [ Od ovaa ravenka, vo soglasnost so svojstvo 3o, dobivame
[ ˜
˜ W H [
Vtoroto i tretoto svojstvo 2o i 3o naj~esto se poznati po iska`uvaweto „prefrlawe od ednata na drugata strana od znakot ednakvo”, odnosno „mno`ewe na ravenka so broj, razli~en od nula”. Pri prakti~na rabota so ravenkite ~esto se koristi i slednava formula 4o 4
$%
œ $ LOL %
Soglasno so svojstvoto 4o re{i ja ravenkata [ [ Re{enie. [ [ œ [ › [ pa, o~igledno e deka 3 i se nejzini re{enija.
Da se re{i edna ravenka zna~i da se najdat site nejzini re{enija. 5
Koristej}i gi svojstvata 1o - 4o, re{i ja ravenkata [ [
[
Zada~i 1
Koi od slednive ravenki se nevozmo`ni:
[ [ a)
[
[ [ b)
[
2
So primena na svojstvata 1 - 4 re{i ja ravenkata: a) ˜ [ [ ˜ [ b) [ ˜ [
˜ [ [
o
Najdi gi site re{enija na ravenkata: a) [ [ [
v) [ g) [ d) [ [ o
3
4
b)
[ [
Zo{to slednava ravenka ima smisla samo za pozitivni vrednosti na x? Re{i ja ravenkata:
[
a) [ [
b)
[ [
223
4
LINEARNA RAVENKA
T, E, Z
A
Potseti se! Ravenkata [ [ e linearna , a ravenkata [ [ e kvadratna. Od koj vid e ravenkata [ [
"
Kolku re{enija ima linearna ravenka so edna nepoznata?
Ako vo algebarskite izrazi A i B vo ravenkata $ % po nivnoto sreduvawe, nepoznata se javuva samo so prv stepen, toga{ za taa ravenka se veli deka e linearna ravenka. Takvi se, na primer, ravenkite: [ [ [
[ [
So eden primer }e vidime kako „se re{ava” edna (linerna) ravenka. 1
Re{i ja ravenkata
[
[
Re{enie.
[
[ œ [ [ spored svojstvoto 3o, pri {to &
œ [ [ spored svojstvoto 1o: œ [ [ [ [ spored svojstvoto 2o, pri {to & [ œ [ spored svojstvoto 1o; œ
˜ [
˜ spored svojstvoto 3o, pri {to &
œ [ spored svojstvoto 1o, pri {to Zna~i:
[
˜ [
[ a
˜
[ œ [
Ravenkata [ ima samo edno re{enie i toa brojot 4 (bidej}i ), pa i dadenata ravenka, poradi ekvivalentnosta, ima samo edno re{enie: brojot 4. Re{i ja ravenkata [
2
[ Obrazlo`i gi site ~ekori pri re{avaweto.
Zabele{ka. Vo tvoeto dosega{no {koluvawe sigurno si re{aval i si re{il mnogu ravenki: sigurno znae{ deka edna ravenka mo`e „da se ~ita odlevo nadesno i oddesno nalevo”, znae{ da „prefrluva{ od edna strana na druga”, da se „osloboduva{ od imenitelite”, „da mno`i{ so ” itn. Prodol`i taka i vo idnina, samo vnimavaj sekoj ~ekor vo rabotata da e vo soglasnost so svojstvata 1o - 3o od minatata lekcija, za{to samo taka }e mo`e da dobie{ ekvivalentna ravenka. 224
Potseti se! Ravenstvoto D e sekoga{ vistinit iskaz ako D z Dali ravenstvoto D e vistinit iskaz za D z " Dali za D ravenstvoto D ne vo to~no brojno ravenstvo?
}e premi-
Dali ˜ D E }e bide vistinit iskaz za D E� i E z "
Z
B
Sekoja linearna ravenka mo`e da se dovede vo vidot
D[ E kade {to a i b se nekoi realni broevi. O~igledno, re{livosta na ravenkata D[ E zavisi od realnite broevi a i b.
Spored toa, vo slu~ajot koga:
E 1o. D z ravenkata e re{liva i ima samo edno re{enie imeno: ako D[ E se D E E se dobiva deka D[ E œ [ e re{enie. pomno`i so a ottuka i deka brojot D D D 2o. D L E ravenkata e, isto taka, re{liva - sekoj realen broj e nejzino re{enie. imeno, toga{ D[ E œ ˜ [ a vtorata ravenka e zadovolena za sekoj realen broj. 3o. D L E z ravenkata e nevozmo`na (nere{liva, apsurdna), bidej}i ravenkata ˜ [ E E z ne preminuva vo to~no brojno ravenstvo za nieden broj x.
3
Odredi od koj tip e ravenkata: a) [ [ [ v) [ [ [
4
g)
b) [
[
[ [
Za koja vrednost na brojot m ravenkata P [ P P }e bide: a) nevozmo`na; b) re{liva so samo edno re{enie; v) re{liva so beskone~no mnogu re{enija? Potseti se! Nepoznatite vo ravenkite naj~esto gi ozna~uvame so x, y, z, ... Ako vo ravenkata [ namesto 2 stavime m ja dobivame ravenkata [ P Dali bukvata m vo ravenkata [ P ~uva nepoznata?
5
Re{i ja ravenkata
[ [ P P
ozna-
V
^esto pati vo edna ravenka mo`e da se najde nekoja bukva {to mo`e
da se smeta kako poznat broj; za takva bukva, obi~no, se veli deka e (realen) parametar. Pri re{avawe na ravenki od toj vid treba da bide{ povnimatelen.
P kade {to m e realen broj (parametar). P P
225
Prosledi go re{enievo. Ovde, prakti~no, re{avame beskone~no mnogu ravenki {to se dobivaat za razli~ni realni vrednosti na parametarot m; imeno:
[ [ [ [ za P [ za P [ itn. Pred da po~neme so re{avawe treba da gi otfrlime onie vrednosti na m za koi ravenkata nema smisla, t.e. ne postoi. za P
Voo~i deka za P ili P vo ravenkata se pojavuvaat „dropki so imenitel nula”; bidej}i takvi dropki ne postojat, sleduva deka ne postojat ni ravenki koga P ili P Zatoa, obi~no se veli deka „}e ja re{avame ravenkata, no pri uslov P z ili P z ”. Spored toa po mno`eweto so P P i sreduvaweto, od dadenata ravenka se dobiva ravenkata P [
P
Sega, treba da odgovorime na pra{aweto: za koi vrednosti na m ravenkata e re{liva?
Spored 1o, ravenkata ima samo edno re{enie, ako P z t. e. ako P z toa e brojot 1. o Spored 2 , pak, ravenkata e isto taka re{liva i ima beskone~no mnogu re{enija, ako
za{to e ekvivalentna so ravenkata ˜ [
P t.e. ako P 6
Re{i ja ravenkata
[ [ D P
Edna ravenka mo`e da sodr`i i pove}e parametri: vo toj slu~aj diskusijata za re{livost na ravenkata se vodi za sekoj parametar posebno, a i za eventualni vrski me|u niv. Taka, [ [ E na primer, ravenkata ima smisla za E z i D z E D E E D E Ispitaj za koi vrednosti na parametrite a i b e re{liva ravenkata
7
[ [ D E E
Zada~i 1
Dali se ekvivalentni ravenkite: a) [
i [
[ [ v) 2
b) [
[ i [
[
[ i [ g) i [ [
Re{i ja ravenkata, taka {to }e gi navede{ i objasni{ site ~ekori: a) [ [
226
b)
[
[
3
Re{i ja ravenkata: a)
[ [
b)
[ [ [
v)
[
[
[
[
E . D E
4
a) D[ D [
Re{i ja ravenkata: a) [
b)
D[ E E[ D E D
v)
[ Q [ Q [ D [ g) Q Q [ [ D
5 1
5
Re{i ja ravenkata:
[
b) [ [
D E
ZADA^I [TO SE SVEDUVAAT NA LINEARNA RAVENKA
Re{i ja ravenkata
[ [ [ [
T, E, Z
[ [
Re{enie. Postapkata za re{avawe na edna ravenka treba da se vodi samo koga taa ravenka ima smisla. ravenkata nema smisla bidej}i nekoi dropki dobivaat imenitel nula. Zatoa, }e zememe [ z i [ z Poradi toa {to NZS [ [ [ [ š [ z
Vo ovoj slu~aj za [ [
mno`ej}i ja ravenkata so [ se dobiva: [ [ [ [ [ ili, po sreduvaweto ˜ [
Zna~i, ravenkata e re{liva i sekoj realen broj, razli~en od 3 i e re{enie, pa mno`estvoto re{enija e 0
2
Poka`i deka ravenkata
3
Re{i ja ravenkata
^ [ _ [ Â? Z
[ [
[ D [ D D E D E
[ z L [ z `
[ e nevozmo`na. [
Re{enie. Ravenkata nema smisla za D E i D E (Zo{to?) pa, poradi toa }e zememe deka parametrite a i b mo`e da bidat koi bilo realni broevi takvi {to D E z i D E z Vo toj slu~aj, mno`ej}i ja ravenkata so D E D E se dobiva
[ D D E [ D D E
ili D[
DE
Za D z ravenkata ima samo edno re{enie [ Za D 4
E pod uslov E z D i E z D (Zo{to?).
i E z sekoj broj e re{enie na ravenkata.
Re{i ja ravenkata
[ [ D [ D [ D
D D [
227
5
So traktor A edna niva mo`e da se izora za 10 dena, a so traktor B za 15 dena. Za kolku dena dvata traktori }e ja izoraat nivata? Re{enie. Zada~ata }e ja re{ime so t.n. „sveduvawe na ednica”. Da zememe deka dvata traktori }e mo`e da ja zavr{at rabotata za x dena. Za eden den rabota traktorot A }e izora del od nivata, traktorot B }e izora del od nivata, a dvata traktori }e izoraat del od nivata. [ od kade {to se dobiva [ Spored toa [
Proverka. Dvata traktori za eden den }e izoraat 6
§ ¡ del od nivata, pa ¨ ¸ ˜ Š š
Eden bazen se polni preku edna cevka za 4 ~asa, a napolnet bazenot mo`e da se isprazni preku druga cevka za 7 ~asa. Za koe vreme }e se napolni bazenot ako se otvorat ednovremeno dvete cevki?
Zada~i 1
Re{i ja ravenkata:
[ [ b) [ [ [ [ [ [ [ v) [ [ [
a)
g) [ [ [ 2
3
Eden bazen se polni od dve cevki. Prvata cevka sama mo`e da go napolni bazenot za 9 ~asa, a vtorata sama za 10 ~asa. Za koe vreme }e se napolni prazniot bazen ako se otvoreni ednovremeno dvete cevki?
4
Vo edno zemjodelsko stopanstvo planirale so svoite kombajni da ja svr{at `etvata za 14 dena. Pred da po~ne `etvata nabavile u{te izvesen broj kombajni taka {to }e mo`ele so seta mehanizacija da `neat sekoj den po 20 hektari pove}e i `etvata ja svr{ile za 10 dena. Kolku vkupno hektari bile o`neani?
5
Zbirot od cifrite na eden dvocifren broj e 13. Ako cifrite si gi zamenat mestata noviot broj e za 9 pomal od prviot. Koj e toj broj?
6
Kolku procenti alkohol ima vo smesata {to se dobiva od 3 litri 60% - ten i 5 litri 82% - ten alkohol?
[ [ [ [
Re{i ja ravenkata: a) [ P
b) D g)
228
[ [ P P
D v) [ [ [
D[ E E[ D D E D E
D [
D E D E
6
LINEARNA FUNKCIJA
A
Potseti se! \
[ e linearna funkcija.
Koj e koeficientot pred argumentot i koj e slobodniot ~len vo funkcijata \ [ " Odredi go domenot na funkcijata \
\
Funkcijata I [ D[ E kade {to
a i b se dadeni broevi (konstanti), se vika linearna funkcija.
[
Koja figura pretstavuva mno`estvoto to~ki
^ [ \ _ [ Â? Z L
T, E, Z
[` "
Ako go iskoristime zapisot \ I [ toga{ linearnata funkcija I [ D[ E mo`e da se zapi{e i na sledniov na~in \
D[ E
So linearnata funkcija se sre}avame mnogu ~esto pri opi{uvawe na razni nastani, sostojbi, procesi vo prirodata, naukata, tehnikata itn. Na primer, vkupnite tro{oci T za proizvodstvo na odreden vid stoka (na primer ~evli) mo`e da se presmetaat so formulata 7 [ D[ 7R
kade {to a se tro{ocite po edinica proizvod (par ~evli), To se fiksni tro{oci {to ne zavisat od proizvodstvoto (amortizacija, kirija i dr.), a x e broj na gotovi proizvodi (broj na proizvedeni parovi ~evli). 1
Zapi{i ja formulata (linearnata funkcija) so koja se presmetuva izminatiot pat s pri ramnomerno dvi`ewe so brzina v za vreme t. V W YW ili V W
2
V YW kade {to s0 e prethodno izminatiot pat.
Zapi{i ja formulata (linearnata funkcija) so koja se presmetuva momentnata brzina v na teloto {to slobodno pa|a so po~etna brzina v0 za vreme t. Y W Y JW kade {to g e Zemjinoto zabrzuvawe.
Od formulata I [ D[ E se zabele`uva deka:
koeficientite a i b mo`e da bidat koi bilo realni broevi; domenot (definicionoto podra~je) na funkcijata e celoto mno`estvo realni broevi (Zo{to?); grafikot na linearnata funkcija e mno`estvoto *
^ [ \
[ Â? Z \ D[ E` 229
Potseti se!
B
Pretstavi go geometriski grafikot na funkcijata
3
Nacrtaj ja pravata {to minuva niz to~kite
$ i %
Funkcijata \ [ pretstavi ja tabelarno.
x 0 y
1
\
[
Prosledi go re{enieto. Funkcijata \ [ e linearna, bidej}i e od vidot \ D[ E so D i E
Domenot na funkcijata e mno`estvoto Z bidej}i za sekoj [ Â? Z i [ Â? Z Nejziniot grafik e mno`estvoto * ^ [ \ _ [ Â? Z \ [ `
Pretstavi ja grafi~ki funkcijata.
Mno`estvoto G geometriski go pretstavuvame vo koordinatna ramnina, t.e. vo ramnina vo koja e zadaden pravoagolen dekartov koordinaten sistem. y
Poznato ti e deka grafikot na edna linearna funkcija sekoga{ se pretstavuva so prava, pa poradi toa, za nejzino crtawe, dovolno e da odredime dve to~ki, t.e. dva razli~ni para (x, y) od toj grafik. So nacrtanata prava na crte`ot e pretstaven grafikot na funkcijata \
[ bidej}i Â? * Â? *
x O
Naj~esto za samata prava se veli deka e „grafik na funkcijata...” ili deka „so pravata e geometriski pretstavena funkcijata...”. 4
Vo ist koordinaten sistem nacrtaj gi pravite so koi grafi~ki se pretstaveni funkciite: a) \
[
\
[
b) \
[
\
[
Re{avaj}i ja gornata zada~a sigurno voo~i deka polo`bata na graficite (pravite) vo odnos na koordinatnite oski zavisi od koeficientite a i b na funkcijata \ D[ E da se potsetime na taa zavisnost. 1o. Za [ funkcijata \ D[ E dobiva vrednost \ (pravata) minuva niz to~kata (0, b) (crte`).
D ˜ E E pa zna~i grafikot
y
y
E!
E
E E
x O
230
O
x
Spored toa, ako
E ! grafikot go se~e pozitivniot del na y-oskata; E grafikot minuva niz koordinatniot po~etok;
E grafikot go se~e negativniot del na y-oskata.
Voo~i.
Koeficientot b ja odreduva „otse~kata {to grafikot ja otsekuva na y-oskata”, nejzinata dol`ina iznesuva E
2o. Razgledaj go crte`ot na koj se pretstaveni graficite na funkciite \ [ D
3
y 1 1
1 1
1
1
0
y
2
x
1
0,5
1 0,5
1
1
2 1
3
3
1
x 2
y
2
1
1
[ D
i \
[ D
3
2
0
\
0,5
1
0
2
1
2
x 4
3
Na sekoj od tie crte`i mo`e da se zabele`i slednovo: ako promenlivata (argumentot) x se zgolemi za 1, t.e. od 1 na 2, od 2 na 3, od 3 na 4, ..., po sekoj ~ekor funkcijata se zgolemuva za 1, odnosno za 2, odnosno
- to~no za tolku kolku {to iznesuva nejziniot koeficient a.
Toa va`i i op{to: Od sli~nosta na pravoagolnite triagolnici na crte`ot sogledaj deka e to~no \ \ D [ [ Za koeficientot a se veli deka go odreduva pravecot na grafikot (pravata) i se narekuva koeficient na pravecot. Ako dve funkcii imaat ist koeficient na pravecot a, toga{ nivnite grafici se paralelni pravi. (Zo{to?) 5
[ y
\
\ \
[ \
D E
[ [
a b
O
1
b 1
x x1
x2
Odredi ja linearnata funkcija ~ij grafik minuva niz to~kite $ i % Prosledi go re{enieto. 231
Da zememe edna proizvolna to~ka 0 [ \ od pravata grafik na baranata linearna \ \ t.e. funkcija. Koeficientot na pravecot }e go opredelime od formulata D [ [ od A i B: D
a od B i M: D
\ od kade {to [
\ [
t. e. \ [
6
Odredi ja linearnata funkcija ~ij grafik minuva niz to~kite i
7
Polneweto na edna cisterna so vino e prika`ano so grafikot na crte`ot (neprekinatata otse~ka). Odredi: y
a) Kolku vino protekuva niz cevkata za 1 ~as?
3
b) Kolku vino imalo vo cisternata pred da po~ne da se polni?
2 1
v) Napi{i ja linearnata funkcija so koja mo`e analiti~ki da se prika`e ovoj proces.
1,5
x
0 2
1
3
Potseti se! Za I [
[ presmetaj: I i I
Voo~i deka od sleduva I I Kakov agol zafa}a grafikot na funkcijata \ [ so pozitivnata nasoka na x-oskata? Za koja vrednost na a funkcijata \ D[ E e raste~ka: a) D ! b) D v) D "
y
opa|awe, brzinata na toa menuvawe) zavisi od koeficientot a. Od slednive crte`i mo`e da se sogleda taa zavisnost:
D
1
x O
Za funkcijata \ E se veli deka e konstantna, t.e. ne se menuva nejzinata vrednost so menuvaweto na argumentot x. 232
Menuvaweto na linearnata funkcija (nejzinoto rastewe, odnosno
y D
b
V
y
E
1
b 0
1
E
D
E
x 1
2
\ [ E ramnomerno raste
0
1
x
\ [ E ramnomerno opa|a
y
y
p
E
q
D!
D
E
b
q
b
x
O
O
p pobrzo raste od q, q pobavno raste od p
x
p
p pobrzo opa|a od q, q pobavno opa|a od p
Zada~i 1
a) \
2
3
Pretstavi gi grafi~ki funkciite:
[ b) \
Pretstavi ja grafi~ki funkcijata
[
Nacrtaj go grafikot na funkcijata \ [ E ako se znae deka toj minuva niz to~kata $
\ D[ ako nejziniot grafik e prava paralelna so grafikot na funkcijata \
4
[
Vo funkcijata \ D[ E opredeli gi a i b taka {to nejziniot grafik da minuva niz to~kite $ i %
7
LINEARNA NERAVENKA SO EDNA NEPOZNATA T, E, Z
A
Potseti se! Neravenkata [ e kvadratna, a neravenkata [ e linearna.
Neka A i B se dva algebarski izrazi samo so edna promenliva. Ako tie se svrzat so eden od znacite za neravenstvototo d ! ili t na primer,
Zo{to neravenkata [ nema re{enie? Zapi{i go re{enieto na neravenkata
se dobiva neravenstvo so edna promenliva {to se vika neravenka so edna nepoznata.
[ !
Na primer: [ [
[ d [ [
$ %
[
t [
[ !
se neravenki so edna nepoznata.
Ako za nekoja vrednost na nepoznatata, neravenkata preminuva vo to~no brojno neravenstvo, toga{ za taa vrednost se veli deka e re{enie na neravenkata. Taka, na primer, mno`estvoto re{enija na neravenkata [ ! e mno`estvoto realni broevi pogolemi od 4, t.e. intervalot f vo ovoj slu~aj bi mo`ele da ka`eme deka „dadenata neravenka ja zadovoluva sekoj broj [ � f ”. 233
1
Odredi go mno`estvoto re{enija na neravenkata: a) [
b) [ !
a) Neravenkata ne e zadovolena za nieden realen broj, pa taa nema re{enie. b) Re{enieto e celoto mno`estvo Z na realnite broevi, t.e. mno`estvoto re{enija e intervalot f f Koi od slednive neravenki nemaat re{enie? Zo{to?
2
a) [
[ b) d [
[ d v) [
Zapi{i go mno`estvoto re{enija na neravenkata: a) [ b) [ d v) [ t g) [
3
Potseti se! Dali brojnite neravenstva ! i se ekvivalentni? Dali se ekvivalentni neravenkite [ ! i
[ ! " Kako mo`e na drug na~in da se zapi{e neravenkata [ "
B
Za dve neravenki se veli deka se ekvivalentni ako mno`estvoto
re{enija na ednata e ednakvo so mno`estvoto re{enija na drugata. Toa se zapi{uva, na primer, vaka: $ % œ & '
Pri izu~uvaweto na broevite se zapozna so pove}e osnovni svojstva na brojnite neravenstva; tie svojstva va`at i za neravenkite. Na primer: 1o. $ % œ % ! $
2o. $ % œ $ & % &
kade {to C e proizvolen izraz {to nema smisla za dopu{tenite vrednosti na promenlivata vo neravenkata A<B. Ova svojstvo ni uka`uva deka i kaj neravenkite va`i Â&#x201E;praviloto za prefrluvaweÂ&#x201D; kako kaj ravenkite; na primer [ t Â&#x153; [ t Â&#x153; [ t
3o. & ! Â&#x; $ % Â&#x153; $& %& & Â&#x; $ % Â&#x153; $& ! %& kade {to za C, pokraj istoto ograni~uvawe kako vo 2o, va`i i uslovot: & ! (odnosno & ) e to~no brojno neravenstvo za sekoja dopu{tena vrednost na promenlivata vo $ % Ova svojstvo treba da se koristi mo{ne vnimatelno; mno`eweto so negativen broj go menuva znakot za neravenstvoto vo neravenkite. 234
Poka`i deka va`i slednava ekvivalentnost: [ [ ! [ [ Â&#x153; [
4
Obrazlo`i go sekoj ~ekor so pomo{ na svojstvata 1o - 3o. Potseti se! Dadeni se neravenki so nivnite re{enija: a) [ ! b) [ v) [ t g) [ d
[ Â? f [ Â? f [ Â? > f [ Â? f @
b) Â&#x2DC; [ d
v) Â&#x2DC; [
g) Â&#x2DC; [ !
Sekoja neravenka koja mo`e so pomo{ na svojstvata 1o, 2o ili 3o da se dovede vo oblikot
D[ E kade {to a i b se realni broevi, se vika linearna neravenka so edna nepoznata.
Odredi gi re{enijata na neravenkite: a) Â&#x2DC; [
G
5
Pretstavi gi na brojna prava intervalite: a) [ Â? f b) [ Â? f v) [ Â? f @
g) [ Â? > f
a) [ Â&#x153; [
¡ § [ � ¨ f ¸ š Š
Odredi go mno`estvoto re{enija na neravenkata: a) [ b) [ d v) [ [
Tvoeto re{enie sporedi go so slednovo.
b) [ d Â&#x153; [ t
ª ¡ [ �  f ¸  š
v) [ [ Â&#x153; Â&#x2DC; [ Â&#x153; Sigurno voo~uva{ deka dadenata neravenka e ekvivalentna so to~no brojno neravenstvo, pa nejzinoto mno`estvo re{enija e
Z
t.e. f f vo toj slu~aj se veli deka dadenata
neravenka e identi~na (bezuslovna) neravenka. 6
Odredi go mno`estvoto re{enija na neravenkata
[ [
[ [ Â&#x153; zaklu~uva{ deka dadenata neravenka e ekvivalentna so neto~no brojno neravenstvo, pa zna~i neravenkata nema re{enija.
Od
7
Re{i ja neravenkata
[ [ [ [ t
So postapkata kako kaj ravenkite, se osloboduvame od imenitelite, gi prefrluvame Â&#x201E;nepoznatite na levoÂ&#x201D;, a Â&#x201E;poznatite na desnoÂ&#x201D; i, po sreduvaweto, se dobiva slednava ekvivalentna neravenka [ t
(so negativen broj!), pa zatoa se dobiva [ d Spored toa, mno`estvoto re{enija na dadenata neravenka }e
Poradi z neravenkata ja delime so t.e. ja mno`ime so
bide intervalot f @ 235
Mno`estvoto re{enija na neravenkata mo`e da se prika`e i grafi~ki na brojna oska, taka 123456789012345678901234 {to }e go is{rafirame delot od oskata so 123456789012345678901234 123456789012345678901234@ broevite {to pripa|aat na dobieniot in 0 1 terval, kako na crte`ot. 8
Re{i ja neravenkata re{enija.
[ [ d i pretstavi go na brojna oska mno`estvoto
Zada~i 1
Re{i ja neravenkata: a) [ [ [
3
a)
b) [ [ t [
2
Re{i ja neravenkata:
[ [ !
b)
[ [ t
Re{i ja neravenkata: a)
[ [
8
b)
[ [ [ t
SISTEM LINEARNI NERAVENKI SO EDNA NEPOZNATA
A
Potseti se! Re{enie na neravenkata [ e mno`estvoto 0 f a na neravenkata [ ! e 0 f 0 0 0 e re{enie na konjunkcijata na dvete neravenki.
Â&#x2C6;
Odredi go zaedni~koto re{enie na neravenkite [ t i [ d Pretstavi go grafi~ki re{enieto na sistemot neravenki [ i [ !
T, E, Z
Neka $ % i & ' se dve neravenki so edna nepoznata.
Konjunkcijata na tie neravenki
$ % L & '
se vika sistem neravenki so edna nepoznata. Toa pretstavuva barawe da se ustanovi dali postojat dopu{teni vrednosti na nepoznatata vo dvete neravenki, takvi {to tie neravenki istovremeno gi pravi to~ni brojni neravenstva. Za sekoj takov broj se veli deka e re{enie na sistemot.
Za mno`estvoto od site realni broevi {to go zadovoluvaat eden sistem se veli deka e negovo mno`estvo re{enija; da se re{i eden sistem zna~i da se odredi negovoto mno`estvo re{enija.
 [ t Re{i go sistemot neravenki Ž ¯ [ [
1
Re{enie. 236
Ako edna neravenka od sistemot se zameni so druga {to e ekvivalentna so nea, toga{ mno`estvoto re{enija ne se menuva, pa Â&#x201E;noviotÂ&#x201D; sistem e ekvivalenten so dadeniot. Taka, dadeniot sistem mo`e da se svede na sistemot
 [ t Ž ¯ [ Sega se odreduva mno`estvoto re{enija na sekoja neravenka posebno; presekot na tie mno`estva (t.e. zaedni~kiot del od intervalite - re{enija) }e bide mno`estvoto re{enija na sistemot. Za sekoja od neravenkite vo sistemot mo`e da zapi{eme [ t [ � > f
[ [ Â? f
pa mno`estvoto re{enija M na sistemot }e bide 0
f Â&#x2C6;> f >
Mno`estvoto M mo`e da go odredime i grafi~ki so pomo{ na dve brojni oska ili samo na edna oska: 123456789012345678901234 123456789012345678901234 123456789012345678901234 > 12345678901234567 12345678901234567 0 1 2 3 4 5 6 > 12345678901234567
5 6 12345678901234567890123456789 0 1 2 3 4 12345678901234567890123456789 12345678901234567890123456789 0
1
2
3
4
5
6
Zabele{ka. Mo`e da se zabele`i deka pri re{avawe na eden sistem neravenki najva`niot ~ekor doa|a na krajot. Eve nekolku slu~ai so koi se sre}avame vo praktikata: ° [ [ [ Â? f a) ÂŽ [ ! [ Â? f ° ÂŻ [ ! Sistemot nema re{enie, bidej}i
f Â&#x2C6; f
 Â&#x2DC; [ v) ÂŽ ÂŻ [ !
Â&#x2021;
Sistemot nema re{enie. Zo{to?
 [ d b) Ž ¯ [ t
Sistemot ima samo edno re{enie, bidej}i
f @ Â&#x2C6;> f ^ `
° Â&#x2DC; [ d g) ÂŽ ° ÂŻ [
pa 0
[ Â? f f [ Â? f
f Â&#x2C6; f f f
e
mno`estvoto re{enija na sistemot.
2
[  [ ° ° Re{i go sistemot neravenki Ž °[ [ ° ¯ Mno`estvoto re{enija pretstavi go na brojna oska. 237
 [ d ° Re{i go sistemot neravenki Ž [ ! ° [ ¯
3
I vo slu~ajot koga sistemot ima pove}e od dve neravenki, re{avaweto na zada~ata se vr{i po ista postapka:
 [ d [ � f ° ° Ž [ ! [ � f ° ° ¯ [ [ � f mno`estvoto re{enija M na sistemot e: 0 0
f Â&#x2C6; f Â&#x2C6; f Â&#x2C6; f t. e. 0 (crte`).
1234567890123456789012345 1234567890123456789012345 1234567890123456789012345 1234567890123456789012345
0 1 2 3
4 5 6 7 8
9 10
 [ ! [ ° Re{i go sistemot neravenki Ž [ [ ° ¯ [ ! [
4
B
Potseti se! Â [ [ t _ _ _ _ _ [ _ ÂŽ ÂŻ [ [ [ ! L [ mo`e da se zapi{e kako [
Â$ ! Â$ LOL ÂŽ $Â&#x2DC; % ! Â&#x153; ÂŽ ÂŻ% ! ÂŻ %
Nekoi zada~i se sveduvaat na re{avawe sistem linearni neravenki; eve nekolku primeri.
 [ ! [ d Â&#x153; ÂŽ t. e. 0 ÂŻ [ d
@
 [ ! Vnimavaj: [ Â&#x153; ÂŽ ÂŻ [ t. e. [ Â&#x153; [
[ Â&#x153; [ t. e. 0
analogno: [ d Â&#x153; d [ d , t.e.
 [ t [ d Â&#x153; ÂŽ ÂŻ [ d
[ [ ! ovaa neravenka se sveduva na mno`estvo od dva sistemi neravenki, t.e. [ ! L [ ! LOL [ L [ (proizvodot na dva broja e pozitiven ako dvata mno`itela imaat ist znak). Toa zna~i deka mno`estvoto re{enija M na dadenata neravenka e unija od mno`estvata re{enija M1 i M2 na dvata sistemi: 238
Â[ ! ÂŽ ÂŻ [ !
0
Â[ ÂŽ ÂŻ [
0
f pa 0
f Â&#x2030; f
0 Â&#x2030; 0
f
[ d i ovaa neravenka se sveduva na mno`estvo od dva sistemi neravenki, t.e. [
[ d Â&#x161; [ ! Â&#x203A; [ t Â&#x161; [
(edna dropka e negativen broj ako broitelot i imenitelot imaat sprotivni znaci). Spored toa, mno`estvoto re{enija M na dadenata neravenka e unija od mno`estvata re{enija M1 i M2 na dvata sistemi:
 [ d Ž ¯ [ ! 5
0
@
Re{i ja neravenkata
 [ t Ž ¯ [
0
Â&#x2021; pa 0
0 Â&#x2030; 0
@ Â&#x2030; Â&#x2021; @
[ [
Zada~i 1
Re{i go sistemot neravenki:
 [ a) Ž ¯ [ !
 [ d ° b) Ž [ ! ° [ ! ¯
2
Re{i ja neravenkata: a) t [ t
b) [
v) [ [
g)
d [
239
9 1
TEMATSKI KONTROLNI ZADA^I
Re{i gi ravenkite: a) [ [ [ [
v)
[ [
[ [ [
b)
[ [ [
2
Majkata e postara od svojata }erka za 26 godini, a po 10 godini taa }e bide tripati postara od }erkata. Kolku godini ima majkata, a kolku }erkata?
3
Rastojanieto me|u stanicite A i B patni~kiot voz go pominuva za 3 ~asa pomalku od tovarniot. Na koe rastojanie se stanicite A i B, ako brzinata na tovarniot voz e 50 km na ~as, a na patni~kiot 80 km na ~as?
4
Brojot 4575 razdeli go na tri sobiroci, taka {to tie da se odnesuvaat kako
5
Re{i ja ravenkata i diskutiraj go re{enieto D [ E E [ D
6
Re{i gi neravenkite: a)
[ [ [
b) [ [ [ [ 7
Re{i go sistemot neravenki:  [ [ t ° ° b) Ž [ [ ° d ° ¯
 [ ! [ ° a) Ž [ [ °¯ 8
Re{i gi neravenkite {to se sveduvaat na sistem neravenki: a) [ [ !
240
b)
[ [
TEMA 7
TRIAGOLNIK I ^ETIRIAGOLNIK
T
SODR@INA NA TEMATA
1
Skladni triagolnici .................. 242
5
2
Odnos me|u strani i agli vo triagolnik. Sredna linija ........... 246
^etiriagolnici; paralelogrami, trapezi ............................................ 260
6
Osnovni konstrukcii na paralelogrami i trapezi ........................ 267
7
Tematski kontrolni zada~i ....... 272
3 4
Zna~ajni to~ki na triagolnikot .................................. 251 Osnovni konstrukcii na triagolnik ..................................... 256
123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890
241
1
SKLADNI TRIAGOLNICI
Potseti se! Sekoj mnoguagolnik so tri strani se vika triagolnik. C J
b A
a
D
E
A
Doka`i deka zbirot na aglite vo triagolnik e 1800. C Daden: ' $%& J Da se doka`e: 1
D E J
B
c Koi se osnovnite elementi na triagolnik? Za koj triagolnik se veli deka e: a) raznostran; b) ramnokrak; v) ramnostran? Kolku (najmnogu) a) tapi agli, b) pravi agli mo`e da ima eden triagolnik?
D
A
E
B
Tvoeto re{enie sporedi go so slednoto. Na crte`ot, niz temeto C e povle~ena prava MN, paralelna so stranata AB; pritoa se dobieni aglite D i E M
Koj triagolnik se vika: a) ostroagolen; b) pravoagolen; v) tapoagolen?
A
D
D E
C J
E
N
B
D
D odnosno E E (kako naizmeni~ni agli pri transverzalata AC, odnosno BC na paralelnite pravi AB i MN.
' 0&1
D E J
(kako ramen agol), pa D J E D E J
' 0&1
' 0&1
2
Vo eden triagolnik eden agol ima 400, a drugiot agol ima 750. Kolku stepeni ima tretiot agol?
3
Vo ramnokrak triagolnik agolot pri vrvot ima 400. Kolku stepeni ima sekoj od aglite pri osnovata?
4
Koristej}i ja teoremata za zbirot na aglite vo eden triagolnik, doka`i deka se to~ni slednite tvrdewa. a) Ako dva agli vo eden triagolnik se ednakvi so dva agli vo drug triagolnik, toga{ tretite agli se ednakvi me|u sebe. b) Sekoj agol vo ramnostran triagolnik ima 600. v) Eden triagolnik mo`e da ima samo eden agol {to ne e ostar. g) Ostrite agli vo pravoagolen triagolnik se komplementni. 242
5
Na crte`ot se pretstaveni nadvore{nite agli
J
D E i J na triagolnikot ABC.
a) Poka`i deka D E J b) Odredi go J ako D
i E
A
Potseti se!
E D
B
B
Za dve geometriski figuri, F1 i F2, velime deka se skladni, ako mo`e so dvi`ewe da se dovedat do sovpa|awe. Zapi{uvame ) # ) i velime deka figurata F1 e skladna so figurata F2.
Za dva triagolnici velime deka se skladni, ako pri nanesuvawe eden na drug so dvi`ewe mo`e da se dovedat do sovpa|awe. Temiwata koi{to se sovpa|aat pri nanesuvaweto na dvata skladni triagolnici se vikaat soodvetni temiwa. Aglite pri soodvetnite temiwa i stranite, opredeleni od dve soodvetni temiwa, se vikaat soodvetni agli i soodvetni strani.
F2
F1
6
C
Na crte`ot se pretstaveni dva skladni triagolnici, ' $%& i ' $ % & pri {to soodvetni temiwa se A i A1, B i B1, C i C1. Toa kratko go zapi{uvame:
C1
C
' $%& # ' $ % &
Kakvi se me|u sebe soodvetnite strani? Kakvi se me|u sebe soodvetnite agli?
B A1
A
B1
Od definicijata za skladni triagolnici mo`e{ da zaklu~i{ deka ako ' $%& # ' $ % & toga{:
$%
$ %
'$ '$
%&
% &
'% '%
$&
$ &
'& '&
Va`i i obratnoto: Ako soodvetnite osnovni elementi na dva triagolnici me|usebno se ednakvi, toga{ tie triagolnici se skladni. No, skladnosta na dva triagolnici mo`e da se utvrdi i od pomal broj (otkolku gornite {est) ravenstva me|u soodvetnite elementi. Tie uslovi gi u~e{e vo {esto oddelenie pod imeto priznaci za skladnost na triagolnici. Ovde niv }e gi povtorime. 243
1. Priznak SAS (strana - agol - strana). Dva triagolnici se skladni, ako dve strani i agolot me|u niv od edniot triagolnik se soodvetno ednakvi na dvete strani i agolot me|u niv od drugiot triagolnik. Zna~i:
$%
'( $&
') L
F
C
Ako vo ' $%& i ' '() (crte`):
' $ ' '
toga{ ' $%& # ' '()
A
B D
E
2. Priznak ASA (agol - strana - agol). Dva triagolnici se skladni ako edna strana i dvata agli {to le`at na nea od edniot triagolnik soodvetno se ednakvi na edna strana i dvata agli {to le`at na nea od drugiot triagolnik. Zna~i: C
Ako vo ' $%& i ' 567 (crte`): $%
56
' $ '5
L
T
' % ' 6
toga{ ' $%& # ' 567
A
B
R
S
3. Priznak SSS (strana - strana - strana). Dva triagolnici se skladni ako trite strani na edniot triagolnik se soodvetno ednakvi na trite strani od drugiot triagolnik. C
Zna~i:
R
Ako vo ' $%& i ' 345 (crte`): $%
34 %&
45 L &$
53
toga{ ' $%& # ' 345 A
B
P
Q
Skladnosta na triagolnicite se koristi za doka`uvawe ednakvost na otse~ki, ednakvost na agli i za re{avawe na drugi zada~i. 7
Otse~kite AB i CD se prepolovuvaat vo to~kata S (crte`). Doka`i deka $& Od uslovot na zada~ata imame: 6$ 6% 6& 6' L ' ' (kako nakrsni agli). Spored priznakot SAS, ' $6& # ' %6' pa $& %' (kako soodvetni strani na skladni triagolnici).
8
A 1
C
S
%' D
2
B
Koristej}i gi svojstvata na odreden vid triagolnici, formuliraj go priznakot: a) SAS za skladnost na pravoagolni triagolnici. b) ASA za skladnost na ramnokraki triagolnici. v) SSS za skladnost na ramnostrani triagolnici. 244
Zada~i 1
Odredi go vidot na triagolnikot ako zbirot na dvata negovi agli e ednakov na tretiot.
2
Vo ' $%& agolot D ima 1110, a agolot E e dvapati pomal od agolot J Po kolku stepeni imaat aglite E i J "
3
4
5
6
7
Odredi go vidot na triagolnikot vo koj eden od nadvore{nite agli e: a) ednakov na sosedniot agol na triagolnikot; b) pomal od sosedniot agol na triagolnikot.
9
Zada~ite a) - v) podolu se odnesuvaat na crte`ot. S
A a) Dadeno:
C 1
T
2
B
' 6$% ' 7%$ ' '
Doka`i deka ' $%7 # ' %$6 b) Dadeno:
' 6 ' 7 ' '
Doka`i deka ' $%7 # ' %$6 v) Dadeno: $7
' $&6 # ' %&7
%6 $&
%& Doka`i deka
Doka`i deka sekoj nadvore{en agol na triagolnikot e ednakov so zbirot na dvata vnatre{ni nesosedni agli.
10 Iska`i go priznakot ASA za dva pravoagolni
Odredi ja goleminata na ostriot agol me|u simetralite na ostrite agli na pravoagolen triagolnik.
11 Polupravata AB ja se~e otse~kata CD i ja
Za triagolnicite ABC i KLM va`i: $% ./ %& .0 i % . Koi od ostanatite osnovni elementi na tie triagolnici se soodvetno ednakvi me|u sebe?
'
'
Ako vo ' $%& %$
A i C, taka {to
%& i ako M le`i me|u
triagolnici: a) preku katetite; b) preku hipotenuzite.
prepolovuva so prese~nata to~ka. Doka`i deka ako $& $' toga{ $% A &'
12 Poka`i deka ako trite agli na eden triagolnik, soodvetno se ednakvi na trite agli od drug triagolnik, toga{ tie triagolnici vo op{t slu~aj ne se skladni.
' $%0 ' &%0 toga{ M
e sredina na stranata AC. Doka`i.
8
Iska`i go priznakot SAS za skladnost na dva ramnokraki triagolnici.
245
ODNOS ME\U STRANI I AGLI VO TRIAGOLNIK. SREDNA LINIJA
2 Potseti se!
A
Za koj triagolnik se veli deka e ramnokrak? Kako glasi priznakot za skladni triagolnici: a) SAS; b) ASA?
Daden e ramnokrak ' $%&
1
so kraci &$ &% crte` a).
Doka`i deka:
'&
C
a)
[to koristime za doka`uvawe ednakvost na dve otse~ki, odnosno na dva agli, kako elementi na triagolnik?
Povle~i ja simetralata na go so D, crte` b).
' $ ' %
B
A
b)
i presekot so osnovata AB ozna~i
Poka`i deka ' &'$ # ' &'% (spored SAS) i izvedi zaklu~ok deka
A
' $ ' %
Daden e ' $%& so
2
' $ ' % , crte` a). Doka`i deka
$&
Povle~i ja simetralata na ' & i presekot so osnovata AB ozna~i go so D, crte` b). Poka`i deka ' &'$ # ' &'% (spored ASA) i izvedi zaklu~ok deka $& %&
C
B
D
%&
a)
C
B
A
C
b)
A
B
D
So zada~ite 1 i 2 ja doka`a teoremata (karakteristi~no svojstvo) za ramnokrak triagolnik, a ti e dobro poznata od porano:
Eden triagolnik e ramnokrak ako i samo ako toj ima dva ednakvi agli. So drugi zborovi, od zada~ite 1 i 2 zaklu~uvame deka:
1O
Vo sekoj triagolnik, nasproti ednakvi strani le`at ednakvi agli i, obratno, nasproti ednakvi agli le`at ednakvi strani.
B 246
A
3
Vo triagolnikot ABC na crte`ot a), $% ! $& Doka`i deka ' & ! ' %
C
a)
B
Za da go doka`e{ baranoto, na stranata AB ( koja{to e pogolema od AC ), izberi to~ka D, takva {to $' $& So toa }e go dobie{ ramnokrakiot triagolnik ACD, kako na crte`ot b). Vo nego, ' $&' ' $'&
A D C
B
b)
' & ' $&%
e pogolem od ' $&' a ' $'& e pogolem od ' % (kako nadvore{en agol na ' %&' Spored toa: ' & ! ' $&' ' $&' ' $'& ' $'& ! ' % {to zna~i deka ' & ! ' % Vo ' $%& e dadeno: deka: $% ! $&
4
A
' & ! ' % ]e doka`eme
Dokazot mo`e da se sprovede Â&#x201E;indirektnoÂ&#x201D;, so pomo{ na metodot Â&#x201E; od sprotivnotoÂ&#x201D;.
B
C
Da go pretpostavime sprotivnoto, t.e. deka stranata AB ne e pogolema od stranata AC. Toga{ mora da bide: ili $%
$& ili $% $&
1
bi imale
' & ' % a toa protivre-
Koga bi bilo $% $& toga{ spored zada~ata 3
bi imale
' & ' % a toa protivre-
Koga bi bilo $%
$& toga{ spored zada~ata ~i na uslovot ' & ! ' % ~i na uslovot
' & ! ' %
Od toa zaklu~uvame (indirektno) deka $% ! $& Zapomni!
2O
Vo sekoj triagolnik, nasproti pogolema strana le`i pogolem agol i, obratno, nasproti pogolem agol le`i pogolema strana. Obrazlo`i zo{to: a) vo pravoagolen triagolnik najdolgata strana e hipotenuzata; b) vo tapoagolen triagolnik najdolgata strana e nasproti tapiot agol; v) vo raznostran triagolnik, aglite koi le`at na najdolgata strana se ostri.
5
Potseti se! Vo ' 567 e dadeno: 56
75
67 i Koj od aglite ' 6 ' 7 e pomal?
Kakvi se me|u sebe aglite pri osnovata na ramnokrak triagolnik?
V
6
Vo ' $%& na crte`ot, za stranite a, b i c e dadeno deka:
D t E t F Doka`i deka: D E F
C
a
b A
c
B
247
C
Za da go doka`e{ toa, na prodol`enieto na stranata AC preku to~kata A prenesi ja $' $% F i svrzi ja to~kata D so to~kata B (crte`).
' $'% ' $%' ' &%' ! ' $%' pa ' &%' ! ' $'% ' $%' e ramnokrak, pa
A
c
B
c
Bidej}i vo ' %&' nasproti pomal agol le`i pomala strana, sleduva deka &% &' Od toa {to &% D i &' E F se dobiva deka D E F 7
a
b
D
Vo ' $%& (crte`ot od zada~ata 6), dadeno e: D t E t F Doka`i deka: E ! D F F ! D E D ! E F Potoa, od dvete strani na ova
Iskoristi go rezultatot od zada~ata 6:
neravenstvo odzemi prvo c, a potoa b. Taka }e gi dobie{ baranite neravenstva. Zapomni!
3O
Vo koj bilo triagolnik so strani a, b i c: sekoja strana e pomala od zbirot na drugite dve, t.e. D E F
E F D
F D E
sekoja strana e pogolema od (apsolutnata vrednost na) razlikata na drugite dve, t.e. D !_ E F _
E !_ D F _
F !_ D E _
Ova svojstvo mo`e da se zeme kako priznak za postoewe na triagolnik, t.e. ako a, b i c se pozitivni realni broevi, takvi {to D E F E F D F D E toga{ so otse~kite ~ii{to dol`ini se ednakvi soodvetno na broevite a, b i c, mo`e da se konstruira triagolnik. 8
Dali postoi triagolnik so strani: a) 3, 5, 9; b) 2, 6, 7; v) 3, 4, 7;
9
g) 22, 22, 2 ?
Vo eden triagolnik ednata strana e 7 cm, a drugata 2 cm. Vo Â&#x201E;koi graniciÂ&#x201D; e dol`inata na tretata strana?
248
Potseti se!
G
[to e sredna linija na triagolnik? To~kite M i N se sredini na stranite AC i BC na '$%& Otse~kata MN e sredna linija na triagolnikot ABC. Kakva zaemna polo`ba imaat srednata linija MN i stranata AB ? Ako
10
Niz sredinata M na stranata AC od ' $%& se povle~eni
pravi 01 % $% 1 Â? %& i 03 % %& 3 Â? $% kako na crte`ot. C J MD N J
$% FP
kolku e dolga MN ? C
A
$3
A B Op{to, ako MN e sredna linija ({to nema zaedni~ka to~ka so stranata AB) na triagolnikot ABC, toga{.
01 % $%
L
01
J
J
D
B
3%
&1
1% 01 $%
Za taa cel, razgledaj gi ' $30 i ' 01& a potoa ' %31 i ' 013 Tvoeto rasuduvawe sporedi go so slednovo:
$%
' $30 # ' 01& (spored priznakot ASA: D
pa $3
D
D
P Doka`i deka:
N
M
D J
J - kako soglasni, $0
0& - po uslov),
01 i 03 &1
' %31 # ' 013 (spored priznakot ASA: D
strana), pa 01 Sledstveno: $3
3% i 03 01
D J
J - kako naizmeni~ni, NP - zaedni~ka
1%
3% i &1
03
1% t.e. P e sredina na AB i N e sredina na CB.
Zna~i, otse~kite MN, MP i NP se sredni linii na triagolnikot ABC. Od $3
01
3% i $3 %3
Zapomni!
4O
$% sleduva deka 01
$%
Pravata {to minuva niz sredinata na edna strana na triagolnikot, a e paralelna na druga, a) ja prepolovuva tretata strana i b) nejzinata otse~ka me|u stranite na triagolnikot (t.e. srednata linija) e polovina od paralelnata strana. Va`i i obratnoto:
Ako MN e sredna linija na ' $%& pri {to M i N se sredini na stranite AC i BC soodvetno, toga{ 01 % $% i 01 $% 249
11
Poka`i deka srednite linii na: a) pravoagolen triagolnik obrazuvaat pravoagolen triagolnik; b) ramnokrak triagolnik obrazuvaat ramnokrak triagolnik.
Zada~i 1
Vo ' $%& stranite se:
$% FP %& FP $&
FP Koj od
aglite na triagolnikot e najgolem, a koj e najmal?
2
Vo ' $%& %& &$ $% Mo`e li agolot vo temeto B da bide tap?
3
'
Vo pravoagolniot ' $%& &
edniot
ostar agol e 430. Koja od dvete kateti e pogolema?
4
Vo triagolnikot ABC, nadvore{niot agol vo temeto A e D a vnatre{niot agol pri temeto C e J Odredi koja e najdolgata, a koja e najkusata strana na triagolnikot.
5
Eden od nadvore{nite agli na ramnokrakiot triagolnik ABC e 1000. [to e pogolemo: krakot ili osnovata na triagolnikot?
6
Ispitaj so koi tri otse~ki mo`e da se nacrta triagolnik: a) 9 cm, 7 cm, 15 cm; b) 2 cm, 2 dm, 0,2 m; v) 0,3 m, 75 cm, 4 dm.
7 Ako triagolnikot ABC ima strani D FP i E FP kolkava mo`e da bide tretata strana c? 8 Otse~kite AB i CD se se~at vo to~kata E, taka {to
' $&( ! ' &$( i ' ('% ! ' '%(
Doka`i deka $% ! &' (Napravi crte`.)
250
9 Doka`i deka koja bilo otse~ka so krajni to~ki: edno teme na daden triagolnik i to~ka od sprotivnata strana, e pomala od poluperimetarot na triagolnikot.
10 Na stranata AB od triagolnikot ABC e zemena to~kata D. Doka`i deka otse~kata CD e pomala barem od edna od stranite AC i BC. (Napravi crte`.) 11 To~kite M, N i P se sredini na stranite na triagolnikot ABC . Presmetaj go perimetarot na triagolnikot ABC, ako perimetarot na triagolnikot MNP e 17,25 dm.
12 Perimetarot na triagolnikot ABC e 24 cm, a perimetarot na ~etiriagolnikot ABNM e 22 cm. Presmetaj ja dol`inata na srednata linija MN na triagolnikot ABC (crte`). C M A
N B
13 Neka M e proizvolna vnatre{na to~ka na triagolnikot ABC. Doka`i deka 0$ 0% &$ &% (Napravi crte`.)
14 Izberi koja bilo to~ka M od eden triagolnik ABC i svrzi ja so otse~ki so temiwata. Doka`i deka zbirot na tie tri otse~ki: a) e pogolem od poluperimetarot; b) e pomal od perimetarot na triagolnikot. (Napravi crte`.)
3
ZNA^AJNI TO^KI VO TRIAGOLNIK
A
Potseti se! [to e simetrala na otse~ka? Kako se konstruira?
Na stranata AB od ' $%& (na crte`ot) e izbrana to~ka D i e povle~ena polupravata CD. C
N
B
A
O
A M
[to e simetrala na agol? Kako se konstruira?
B
D
Polupravata CD le`i vo ' & na ' $%& i go razdeluva toj agol na dva agli, J i J
Otse~kata CD (kako {to znae{ od porano) se vika: a) te`i{na linija na triagolnikot ABC, povle~ena od temeto C, ako D e sredina na stranata AB; oznaka tc (na crte`ot); b) visina na triagolnikot ABC, spu{tena od temeto C, ako &' A $% oznaka hc. v) Polupravata CD se vika simetrala (ili: bisektrisa ) na ' & od triagolnikot ABC, ako J J oznaka VJ Ako triagolnikot e tapoagolen (kako na crte`ot), toga{ podno`nata to~ka na visinata spu{tena od temeto C, le`i na prodol`enieto od stranata AB.
C
tc
hc A
B
C
hc B
A
Naj~esto te`i{na linija ili visina ni ozna~uva i dol`inata na soodvetnata otse~ka. 1
a) Kako se vikaat simetralite na otse~kite AB, BC i CA na ' $%& " b) Kolku: te`i{ni linii; visini; simetrali na agli; simetralni na strani, ima sekoj triagolnik? M
Potseti se! Ako M e to~ka od simetralata na otse~kata AB, kakvi se me|u sebe otse~kite MA i MB?
A
Ako M e to~ka od simetralata na agolot POQ, kakvi se me|u sebe rastojanijata na M do kracite na agolot, t.e. kakvi se 0( i 0) "
F
Kru`nicata e napolno opredelena: a) so centarot i radiusot; b) so tri nejzini to~ki.
O
B
sAB Q M E
P
251
B
2
Nacrtaj triagolnik ABC.
Konstruiraj gi simetralite sa i sb na stranite BC i CA i ozna~i ja so O nivnata prese~na to~ka. Doka`i deka i simetralata sc na stranata AB minuva niz prese~nata to~ka O. Od toa zaklu~i deka O e centar na kru`nica {to minuva niz temiwata na ' $%& C
Razgledaj go crte`ot. Spored svojstvoto na simetralata na otse~ka, sleduva deka: 2 Â? VD SD 2% 2& 2 Â? VE SD 2&
sb
sa O
2$
A
Od toa {to 2$ 2% sleduva deka 2 Â? VF
B
sc
Zapomni! Simetralite na stranite na triagolnikot ABC se se~at vo edna to~ka O, koja{to e centar na opi{anata kru`nica na triagolnikot ABC. 3
Nacrtaj triagolnik ABC.
' $ E ' %
Konstruiraj gi simetralite VD i VE na aglite D i E D
C
nivnata prese~na to~ka. Doka`i deka i simetralata VJ minuva niz to~kata S.
B1
Spored svojstvoto na simetralata na agol imame: 6% 6& i 6& t.e. 6 Â? VJ
6$ Ottuka sleduva deka 6$
6%
A
VD
S
i ozna~i ja so S A1 VE
B
C1
Zapomni! Simetralite na aglite na triagolnikot ABC se se~at vo edna to~ka S, koja{to e centar na vpi{anata kru`nica na triagolnikot ABC. M (
Kako se povlekuva normala n na pravata p, spu{tena od to~kata M (na crte`ot)? Kako }e povle~e{ normala od to~kata M na otse~kata AB, a potoa od to~kata N na otse~kata CD, na crte`ot?
252
)(
Potseti se!
M A
)
(
)(
M
)
N B
C
D
V
Vo triagolnikot ABC na crte`ot, od sekoe teme A, B, C e spu{tena normala na negovata sprotivna strana i podno`nite to~ki se ozna~eni so A1, B1, C1 soodvetno. C Kako se vika sekoja od otse~kite AA1, BB1 i CC1? A1 B Trite otse~ki AA1, BB1 i CC1 (visini na ' $%& ) se se~at 1 4
vo to~kata H; taa se vika ortocentar na ' $%& .
H
Kade se nao|a ortocentarot H (vo odnos na ' $%& )? 5
Razgledaj gi a) pravoagolniot triagolnik ABC i na crte`ite. Koi se visinite na pravoagolniot ' $%& " Imenuvaj gi visinite na tapoagolniot ' $%&
A
b) tapoagolniot triagolnik ABC C
B a
B
C1
a
c
b
hc
&{+
b
A
B
c
A
C1
B1
H
Zapomni!
A1
Kaj sekoj triagolnik, visinite (ili nivnite prodol`enija) se se~at vo edna to~ka; taa se vika ortocentar na triagolnikot. Ortocentarot na ostroagolen triagolnik e vnatre{na to~ka, vo pravoagolen se sovpa|a so temeto na praviot agol, a vo tapoagolen toj e nadvore{nata to~ka.
G
6
Na crte`ot e pretstaven ' $%& To~kite A1, B1 i C1 se sredini na stranite BC, CA i AB, soodvetno. C
Kako se vikaat otse~kite AA1, BB1 i CC1? Kako se vika to~kata T vo koja se se~at trite otse~ki AA1, BB1 i CC1?
B1 A
T
C1
A1 B
Sekoja od otse~kite AA1, BB1 i CC1 se vika te`i{na linija, a nivniot presek, to~kata T, se vika te`i{te na triagolnikot ABC.
253
5
Vo triagolnikot ABC na crte`ot se povle~eni te`i{nite linii AA1 i CC1, a nivniot presek e ozna~en so T. Vo triagolnikot ATC e povle~ena srednata linija MN (paralelna so AC ), a vo triagolnikot ABC - srednata linija
C
$ & % $& Doka`i deka:
N
T
a) ' 017 # ' $ & 7 b) $7 Â&#x2DC; 7$ (t.e. T ja deli te`i{nata linija vo odnos ).
A
M
A1 B
C1
v) Te`i{nata linija od temeto B minuva niz to~kata T (t.e. T e te`i{teto na ' $%& ). Ako ti e neophodna pomo{, pogledaj go obrazlo`enievo.
$& $ & (zo{to?), priznakot ASA se dobiva a).
a) Sogledaj deka 01
' 0 ' 7$ &
b) Od skladnosta ' 017 # ' $ & 7 sleduva deka 07 se dobiva b).
i
' 1 ' 7& $ pa spored
7$ a bidej}i po uslov $0
07
v) Te`i{nata linija od temeto B mora, isto taka, da minuva niz to~kata T za{to i taa ja deli, na primer, te`i{nata linija AA1 taka {to $7 T koja{to taka ja deli AA1.
Â&#x2DC; 7$ a postoi samo edna to~ka
Zapomni! Vo sekoj triagolnik, te`i{nite linii se se~at vo edna to~ka; taa se vika te`i{te na triagolnikot. Te`i{teto ja deli sekoja te`i{na linija na dva dela, taka {to delot do temeto e dvapati pogolem od drugiot del. ^etirite to~ki: centarot na opi{anata i centarot na vpi{anata kru`nica, ortocentarot i te`i{teto, se vikaat zna~ajni to~ki na triagolnikot.
254
Zada~i 1
2
Eden od aglite vo pravoagolen triagolnik ima 520. Kolkavi se aglite {to gi zafa}aat katetite so visinata spu{tena kon hipotenuzata? Katetite na eden pravoagolen ' $%& se
D
na praviot agol? Presmetaj go agolot me|u simetralata na agolot i visinata na ' $%& {to se povle~eni od temeto C, ako $ i % Napravi crte`.
'
'
4
Stranite na ' $%&
D FP E
FP F
imaat dol`ini FP Koja visina
ima najgolema dol`ina?
5
6
Vo koj triagolnik site ~etiri zna~ajni to~ki se sovpa|aat?
8
Koi od ~etirite zna~ajni to~ki na triagolnik mo`e da le`at nadvor od triagolnik?
9
Nacrtaj ramnokrak pravoagolen ' $%& i opredeli gi negovite ~etiri zna~ajni to~ki. a) Na koja otse~ka le`at tie? b) Odredi go rastojanieto me|u ortocentarot
FP i E FP a) Kolkav e radiusot na
R na opi{anata kru`nica? b) Kolkava e te`i{nata linija WF povle~ena od temeto C
3
7
'
Doka`i deka te`i{nata linija povle~ena od temeto C na praviot agol vo pravoagolen
' $%& e ednakva na polovinata od hipotenuzata.
toj triagolnik.
10 Vo ramnokrak ' $%& so CD e ozna~ena visinata spu{tena kon osnovata AB .
Presmetaj ja &' ako perimetrite na triagolnicite ABC i ADC se 36 cm i 28 cm
soodvetno.
Vo ' $%& se dadeni aglite $ i % Da se najdat aglite me|u: a) visinite; b) simetralite na aglite na ' $%&
'
H i centarot O na vpi{anata kru`nica na
11 Vo ramnokrak ostroagolen ' $%& so osnova AB, visinite ha i hb se ednakvi. Doka`i! 12 Simetralata na vnatre{en agol na triagolnikot se se~e so simetralite na dvata nesosedni nadvore{ni agli vo edna to~ka M. Doka`i deka M e ednakvo oddale~ena od site tri strani na triagolnikot.
255
4
OSNOVNI KONSTRUKCII NA TRIAGOLNIK
Potseti se! 1) Kako se konstruira ( t.e. kako se Â&#x201E;prenesuvaÂ&#x201D; na dadena poluprava, so linijar i {estar): a) otse~ka so dadena dol`ina; b) agol so dadena golemina?
a
a)
b)
a A
O
D
U
x
D
U
Objasni ja postapkata so zborovi. 2) Kako se konstruira simetrala na otse~ka? Objasni ja postapkata so zborovi.
B
A 3) Kako se konstruira simetrala na agol? Objasni ja postapkata.
D
D
D
4) Nacrtaj poluprava Ox i konstruiraj agol od: a) q b) q v) q g) q Objasni ja postapkata. a)
q
g)
v)
b)
q
q
5) Konstruiraj tangenta vo dadena to~ka M na dadena kru`nica, so konstruirawe: a) agol od q
b) simetrala na otse~ka. Objasni ja postapkata.
M O
256
O
M
2
A
1
Da se konstruira triagolnik ako se poznati dve strani i agolot me|u niv.
Dadeno e: otse~kite b, c i agolot D Se bara: da se konstruira '$%& so strani b i c i agolot me|u niv D Da pretpostavime deka zada~ata e re{ana i baraniot triagolnik $%& e kako na crte`ot Â&#x201E;SkicaÂ&#x201D;. Konstrukcija Skica b C C c b
D
A
D c
B
D A
c
B
Razgledaj ja vnimatelno skicata. Po koj redosled }e gi prenesuva{ dadenite elementi za konstrukcijata? Prvo treba da se prenese agolot D na polupravata Ax, so teme A. Potoa, na kracite od agolot D po~nuvaj}i od temeto A, se prenesuvaat stranite c i b taka }e se dobijat temiwata B i C. Konstruiraniot triagolnik ABC e edinstvenoto re{enie na zada~ata. Toa zna~i deka sekoj drug triagolnik {to gi ispolnuva uslovite na zada~ata e skladen so '$%& (spored priznakot SAS). Zabele{ka Re{avaweto na edna konstruktivna zada~a se izveduva obi~no vo ~etiri etapi: analiza, konstrukcija, dokaz i diskusija.
Analizata e podgotvitelna etapa vo koja se bara na~in za konstrukcijata: se voo~uva vrskata me|u dadenite elementi i baranata figura, i se pravi plan za izveduvawe na konstrukcijata. Analizata se vr{i na figura, za koja pretpostavuvame deka e re{enie na zada~ata. Obi~no zapo~nuva so re~enicata: Â&#x201E;Da pretpostavime deka zada~ata e re{enaÂ&#x201D;. Konstrukcijata sleduva po analizata i se sostoi od kone~na niza osnovni konstrukcii, napraveni spored utvrden redosled, so cel da se dobie baranata figura. Dokazot se vr{i po konstrukcijata za da se uverime deka dobienata figura gi zadovoluva uslovite na zada~ata. Dokazot vo nekoi zada~i ~estopati sleduva od konstrukcijata. 257
Diskusijata treba da dade odgovor na pra{awata: a) dali konstrukcijata mo`e da se izvede so proizvolen izbor na dadenite elementi; b) kolku re{enija ima zada~ata za sekoj mo`en izbor na dadenite elementi? Navedenite ~etiri etapi ne se sekoga{ strogo razgrani~eni, no nivnata primena vodi kon to~ni i potpolni re{enija na konstruktivnata zada~a. Da se konstruira triagolnik zadaden so edna strana i dvata agli {to le`at na nea.
2
Dadeno e: otse~kata c i aglite D N E Se bara: Da se konstruira '$%& so strana c i agli D N E {to le`at na nea. Konstrukcija
Skica
C
c
D
D
E
D
E
E
c
A
c
B
X
Spored skicata, po koj redosled ja izvr{uvame konstrukcijata? Crtame poluprava AX i ja prenesuvame F
$% Go prenesuvame agolot D na otse~kata AB,
so teme vo A i krak AX, a potoa agolot E na otse~kata AB so teme vo B i krak BA. Kracite na aglite D N E se se~at vo to~kata C. Dobieniot '$%& e edinstvenoto re{enie na zada~ata ( vo smisla: sekoj drug triagolnik {to gi zadovoluva dadenite uslovi e skladen so '$%& , spored priznakot ASA). Dali sekoga{ e mo`na konstrukcija na triagolnik po dadeni edna strana i dva agli {to le`at na nea? Mo`na e samo ako D E q Da se konstruira triagolnik ako se zadadeni site tri strani a, b i c.
3
Dadeno e: otse~kite a, b i c. Se bara: da se konstruira '$%& so strani a, b, c.
C
Konstrukcija
Skica a b
b
b
a
a
c c 258
A
c
B
p
Za konstrukcijata. Prvo, na proizvolna prava p se konstruira edna od dadenite otse~ki, na primer, F $% Potoa se konstruira kru`nicata so centar vo A i radius b, i kru`nica so centar vo B i radius a. Ako ovie kru`nici imaat zaedni~ka to~ka C {to ne le`i na AB, toga{ '$%& gi ispolnuva uslovite na zada~ata i e edinstveno re{enie (Â&#x201E;do skladnostÂ&#x201D;); ako, pak, kru`nicite ne se se~at, zada~ata nema re{enie. Pri koj uslov za otse~kite a, b, c ne e mo`na konstrukcijata na '$%& ? (Odgovor: pri uslovot, na primer D E d F )
B
Konstruiraj ramnokrak '$%& so osnova F FP i visina KF
4
Konstrukcija
Skica
Dadeno:
C
C
c KF
KF
KF
A
FP
B
c
A
B
c
Objasni ja konstrukcijata. 5
Konstruiraj pravoagolen '$%& so zadadena hipotenuza $% od q Dadeno:
c
Skica
q
Objasni ja konstrukcijata. 6
FP i eden ostar agol
C
Konstrukcija
C
p
q
A
B
A
q
c
O
B
Konstruiraj '$%& so zadadeni strani a, b i te`i{nata linija WD Dadeno:
Skica
C
a b
b WD
WD
D
Konstrukcija $ D
A
b B
Objasni ja konstrukcijata. Pri koi uslovi postoi '$%& ? (Odgovor: E
p
A
C D WD
$
B
D D WD E ) 259
Zada~i 1 Konstruiraj agol od: a) q v) q
b) q
g) q
2 Nacrtaj prava p i na nea ozna~i to~ka M. Konstruiraj kru`nica so radius U FP {to ja dopira pravata p vo to~kata M. 3 Konstruiraj '$%& : a) so strani D FP N E FP i agolot me|u niv J
q
b) so strana D
E
q N J
FP i agli na nea
q
v) so strani D
FP E
FP F
FP
4 Dali mo`e da se konstruira triagolnik so dadeni: a) strana F
D
q N E
b) strani D
FP F FP
v) strana c i agli na nea D N E
D "
5 Konstruiraj '$%& so strani E FP i F FP i agol me|u niv D q Potoa:
FP i agol pri osnovata od
q
8 Konstruiraj pravoagolen triagolnik: a) so kateti 3 cm i 4,5 cm; b) so kateta 2,5 cm i ostar agol od q 9 Konstruiraj pravoagolen '$%& ako se zadadeni: a) katetata E
FP i te`i{nata linija
FP
slu~aj zada~ata b) nema re{enie?
10 Konstruiraj '$%& ako se zadadeni: a) stranite b i c, i visinata KD b) stranata a, visinata KD i te`i{nata ima re{enie.
^ETIRIAGOLNICI; PARALELOGRAMI I TRAPEZI Imenuvaj gi: temiwata, stranite i aglite.
Potseti se! ^etiriagolnik e mnoguagolnik so ~etiri strani. Na crte`ot e pretstaven ~etiriagolnikot ABCD. C D
260
b) so krak E
linija WD Objasni pri koi uslovi zada~ata
a) opi{i kru`nica; b) vpi{i kru`nica vo '$%&
A
od q
b) kateta b i te`i{nata linija WD Vo koj
q
5
7 Konstruiraj ramnokrak triagolnik: a) so osnova D FP i agol pri osnovata
WD
FP i agli na nea FP E
6 Konstruiraj ramnostran triagolnik: a) so strana 4 cm; b) so visina 3 cm.
B
Koi se sosedni: a) temiwa na temeto A; b) strani na stranata AB? Imenuvaj gi parovite: - sprotivni temiwa; - sprotivni strani; - sprotivni agli. Otse~kite AC i BD se vikaat dijagonali na ~etiriagolnikot ABCD.
Imenuvaj gi triagolnicite na koi e podelen ~etiriagolnikot so dijagonalata.
Vo ~etiriagolnikot ABCD na crte`ot a) se ozna~eni negovite agli so D E J G a na crte`ot b), povle~ena e i dijagonalata AC. D D G G C C J J J
A
A
1
D
2
E
a)
D
B
A
D
E
b)
Kolku e D E J " Poka`i deka zbirot na aglite vo ~etiriagolnikot e D E J G
q
B
Spored brojot na parovi paralelni strani, kolku i koi vidovi ~etiriagolnici se mo`ni? Mo`ni se tri vida ~etiriagolnici, i toa: Paralelogram
Trapez
Trapezoid
so dva para paralelni strani
samo so eden par paralelni strani
nema ni eden par paralelni strani
B
Potseti se! Na crte`ot e daden paralelogram ABCD ~etiriagolnik so dva para paralelni strani:
C
D
Paralelogramot ABCD na crte`ot, so dijagonalata AC e podelen na dva triagolnici. D C J J 3
D
A
'
'
B
$% % '& $' % %&
Vo nego se povle~eni otse~kite '' N '' normalni na soodvetnite parovi paralelni strani; sekoja takva otse~ka (i nejzinata dol`ina) se vika visina na paralelogramot kon tie strani. Kolku razli~ni visini mo`e da ima eden paralelogram?
A
D
B
Doka`i deka '$%& # '&'$ Od toa zaklu~i deka: a) $% &' $' %& b) '%$' ''&% '%
''
Sekako sogleda deka D J N D J (kako naizmeni~ni), AC e zaedni~ka strana, pa spored priznakot ASA: ' $%& # ' &'$ Ottuka, soodvetnite elementi se ednakvi, t.e. ravenstvata a) i b) se to~ni. 261
Zna~i, to~ni se slednite dve svojstva. q Sprotivnite strani vo paralelogramot se ednakvi me|u sebe. q Sprotivnite agli vo paralelogramot se ednakvi me|u sebe.
4
Doka`i deka e to~no slednovo svojstvo. q Zbirot na aglite {to le`at na ista strana od paralelogramot e q
D
Razgledaj go paralelogramot na crte`ot i obrazlo`i zo{to: D
E E E
q
D E q
C
D
E
A
E
B
Vo nekoj paralelogram, eden od aglite ima q Kolkavi se drugite agli na paralelogramot?
5
D 6
Vo paralelogramot ABCD na crte`ot se povle~eni dijagonalite i nivniot presek e ozna~en so S. Doka`i deka: 6$ 6& 6%
C
3
4 S
6'
A
2
1
B
Za da doka`e{ deka ravenstvata se to~ni, dovolno e da poka`e{ deka '6$% # '6&' ( $% &' spored q ' ' N ' ' kako naizmeni~ni, pa primeni go priznakot ASA.) So toa doka`a deka e to~no slednovo svojstvo. q Vo sekoj paralelogram dijagonalite se prepolovuvaat so prese~nata to~ka.
N
^etiriagolnikot KLMN na crte`ot e paralelogram. Spored podatocite na crte`ot, odredi gi dol`inite na otse~kite: KN, NM, MS i SL.
7
3 cm
K
262
4,5
6 cm
M cm
5 cm
S L
V
Potseti se! Ako dva soglasni agli, na primer D N J pri transverzalata na dve pravi m i n se ednakvi, toga{ P % Q t.e. D N J se agli so paralelni kraci.
Na crte`ot e daden ~etiriagolnik ABCD pri koj
8
dijagonalite AC i BD se prepolovuvaat so prese~nata to~ka S. D 4 S 3
D
m E J
n
C
2
A
Kakva zaemna polo`ba imaat pravite m i n na crte`ot, ako naizmeni~nite agli E N J se ednakvi?
1
B
Doka`i deka ~etiriagolnikot ABCD e paralelogram, t.e. $% % &' i $' % %& Voo~i deka: 6$ 6& 6% 6' (dadeno); ' ' (kako nakrsni); sledstveno '6$% # '6&' (spored SAS).
Od toa sogledaj deka: ' ' (od skladnosta na triagolnicite), pa kako naizmeni~ni agli pri transverzalata AC, tie imaat paralelni kraci, $% % &' Sledstveno, stranite AB i CD na ~etiriagolnikot ABCD se paralelni. D Na ist na~in mo`e da zaklu~i{ deka:
'6$' # '6&% 6$ 6& 6'
6% '
' 8&8 UF ' '
7 5
tie se naizmeni~ni agli na transverzalata AC, pa
$' % %&
A
S
C 6 8
B
Zaklu~ok. ^etiriagolnikot ABCD ima dva para paralelni strani, pa toj e paralelogram. So toa doka`a deka: I. Ako vo eden ~etiriagolnik dijagonalite se prepolovuvaat so prese~nata to~ka, toga{ toj ~etiriagolnik e paralelogram. Ova tvrdewe se vika (prv) priznak za paralelogram. Se poka`uva deka se to~ni i slednite dve tvrdewa (vtor i tret priznak za paralelogram). II. Ako vo eden ~etiriagolnik dve sprotivni strani se paralelni i ednakvi, toga{ toj ~etiriagolnik e paralelogram.
263
D
Sogledaj deka: od $% % &' i $% &' (crte`) sleduva '$%& # '&'$ (spored SAS) i potoa izvedi zaklu~ok deka $'
%& i $' % %&
C
A
B
III. Ako vo eden ~etiriagolnik dve po dve sprotivni strani se ednakvi, toga{ toj ~etiriagolnik e paralelogram. D
Sogledaj deka: od $% &' N $' %& sleduva '$%& # '&'$ (spored SSS), pa ottuka, poradi ' ' izvedi zaklu~ok deka $% % &' analogno za $' % %&
G
Potseti se! Paralelogramite gi delime spored aglite i spored stranite. Pravoagolnik
paralelogram na
A
Romb
paralelogram na
koj site agli mu se pravi.
koj site strani mu se ednakvi.
Kvadrat
Romboid
C
2
1
B
Vo pravoagolnikot ABCD na crte`ot se povle~eni dijagonalite AC i BD. 9
Doka`i deka: $&
%'
D
C
A
B
Razgledaj go crte`ot. Voo~i deka '$%& # '%$' (spored SAS). Ottuka: $& %' (kako soodvetni strani pri skladnosta). So toa doka`a deka: P.1. Vo sekoj pravoagolnik dijagonalite se ednakvi me|u sebe.
paralelogram na koj site agli mu se pravi i site strani mu se ednakvi.
10 264
paralelogram koj
nema pravi agli i ima strani {to ne se ednakvi me|u sebe.
Va`i i obratnoto tvrdewe (priznak za pravoagolnik). P.2. Ako dijagonalite na eden paralelogram se ednakvi, toga{ toj e pravoagolnik.
Doka`i deka e to~no slednoto svojstvo za rombot.
R 1. Dijagonalite na rombot se zaemno normalni. D
Toa mo`e{ da go doka`e{ so pomo{ na skladni triagolnici. Vo rombot ABCD na crte`ot voo~i gi '$2% N '$2' i poka`i deka se skladni (so priznakot SSS). Ottuka: '$2% '$2' q Y J $& A %'
A
O C
Va`i i obratnoto tvrdewe (priznak za romb):
B
R 2. Ako eden paralelogram ima zaemno normalni dijagonali, toga{ toj e romb. 11
Doka`i deka: R 3. Dijagonalata na rombot e simetrala na soodvetnite sprotivni agli.
12
Doka`i deka: K 1. Dijagonalite na kvadratot se zaemno normalni i ednakvi. Potseti se! Trapez e ~etiriagolnik {to ima samo eden par paralelni strani. Otse~kite: AB i CD osnovi, AD i BC kraci, && visina.
C
D
$% % &'
A
B
&
C
D
Otse~kata MN ~ii{to krajni to~ki se sredinite na kracite se vika sredna linija na trapezot.
M
N
A
B
Mo`e da se izdvojat dva posebni vida trapezi.
b c
c a
b
Ramnokrak trapez
trapez so ednakvi
Pravoagolen trapez
d
c
kraci
a
trapez na koj edniot krak mu e normalen na osnovite
265
D
9
Doka`i go slednoto svojstvo na trapezot.
T1. Srednata linija kaj trapez e paralelna so osnovite i e ednakva na nivniot poluzbir.
Voo~i deka: '.%1 # ''&1 1.
$. t.e.
N
a
A
(spored ASA: 1%
C
m
M
1& '.%1
1' Y J 01 e sredna linija i na '$.' Pokraj toa, %.
Sledstveno, 01 % $. 01
b
D
Za da go doka`e{ toa, razgledaj go crte`ot vnimatelno. Na nego e nacrtan trapez ABCD, so osnovi $% D N &' E i sredna linija 01 P Isto taka e nacrtan pomo{en triagolnik AKD.
K
B
'& '.1% ''1& )
&' E UF $.
pa
D E
D E
01 % $% 01 % &' N 01
Doka`i deka e to~no i slednovo svojstvo na trapezot.
14
T 2. Aglite {to le`at na ist krak na trapezot se suplementni. Voo~i gi aglite D N G na krakot AD od trapezot ABCD na crte`ot i nadvore{niot agol D Sogledaj deka D D N D G Analogno: E J q
q Ottuka, D G
D
q
Za ramnokrakiot trapez se to~ni slednive dve svojstva.
A
D
D G
J
C
E
B
T 3. Aglite {to le`at na ista osnova kaj ramnokrak trapez se ednakvi me|u sebe. T 4. Dijagonalite na ramnokrakiot trapez se ednakvi me|u sebe.
Zada~i 1
Eden ~etiriagolnik ABCD e podelen so dijagonalata AC na dva triagolnici, ~ii{to perimetri se 28 m i 36 m . Odredi ja dol`inata na dijagonalata ako perimetarot na ~etiriagolnikot e 40 m.
266
2
Vo eden ~etiriagolnik ABCD se dadeni aglite: a) D q E q J q b) D q J q G q Odredi gi drugite vnatre{ni i nadvore{ni agli.
3
Vo paralelogramot ABCD ( so A i C kako sprotivni temiwa) e dadeno: $ [ q L & [ q Kolku e x?
'
'
4
Dva agli vo eden paralelogram se razlikuvaat za q Po kolku stepeni imaat aglite na toj paralelogram?
9
5
Eden ~etiriagolnik ima dva para ednakvi strani. a) Dali mora toj ~etiriagolnik da e paralelogram? Odgovorot potkrepi go so primer. b) Dali e ova kontradiktorno so priznakot
10 a) Daden e kvadratot
Daden e paralelogram so strani $% FP
FP Simetralata na '$ ja se~e stranata CD vo to~kata M, a simetralata na '% vo to~kata N ( N e me|u D i M ). Odredi gi dol`inite na otse~kite DM, MN i MC. i $'
7
Vo paralelogramot ABCD pogolema e dijagonalata AC (od BD). Od temiwata B i
D se povle~eni normali na dijagonalata AC ~ii{to podno`ja se to~kite M i N, soodvetno. Doka`i deka %0 '1 8
Dijagonalite na ~etiriagolnikot ABCD se se~at vo to~kata O, pri {to 2$
'$%' '%'&
2& Ako
toga{ ~etiriagolnikot
ABCD e paralelogram. Doka`i.
6
D
Y
C
ABCD i $; A %< (crte`).
Doka`i
deka $;
%<
X
b) Daden e rombot
III za paralelogram? 6
Od koj vid e paralelogramot ~ii{to temiwa se sredinite na stranite na eden pravoagolnik? Obrazlo`i go tvojot odgovor.
ABCD i $;
%<
A
B
;& <' (crte`). Doka`i deka ABCD e kvadrat.
11 Ako vo daden paralelogram edna od dijagonalite go deli soodvetniot agol na dva ednakvi dela, toga{ toj e romb. Doka`i.
12 Doka`i go tvrdeweto za ramnokrakiot trapez (svojstvoto T 3.): Â&#x201E;Aglite {to le`at na ista osnova kaj ramnokrak trapez se ednakvi me|u sebeÂ&#x201D;.
13 Doka`i deka srednata linija na trapezot gi raspolovuva negovite dijagonali.
14 Dali mo`e srednata linija na trapez da minuva niz presekot na dijagonalite?
OSNOVNI KONSTRUKCII NA PARALELOGRAMI I TRAPEZI
Potseti se! Kako }e konstruira{ '$%& ako mu se zadadeni: a) dve strani i agolot me|u niv; b) trite strani? Koe svojstvo go imaat dijagonalite na paralelogram?
A
Dadeni se otse~kite a, b i agolot D
1 a b
D
Konstruiraj paralelogram ABCD so strani a, b i agolot D me|u niv. 267
Prvo, napravi Â&#x201E;analizaÂ&#x201D;: zamisli deka baraniot paralelogram e nacrtan ( crte`: Â&#x201E;SkicaÂ&#x201D;). Vo nego, '$%& e napolno opredelen so otse~kite $% D $' E i agolot ' D a otse~kite DC i BC se paralelni i ednakvi so AB i AD, soodvetno. Zna~i, paralelogramot ABCD e napolno i ednozna~no opredelen od dadenite elementi. Re{enie
Skica
E
D
A
E
C
b D
D )
)C
)
b D
a
B
A
) B
a
x
Potoa, razmisli kako bi go konstruiral paralelogramot ABCD spored dadenoto, kakvi ~ekori treba da napravi{ i po koj redosled, za da go dobie{ re{enieto. Razgledaj go vnimatelno crte`ot Â&#x201E;Re{enieÂ&#x201D;. Kako }e go konstruira{ pomo{niot triagolnik ABD? Kako }e go konstruira{ temeto C? Obrazlo`i zo{to ~etiriagolnikot ABCD e paralelogram spored dadenite elementi. 2
Konstruiraj paralelogram ABCD ako se dadeni stranata a i dijagonalite G G a
d2
d1
Da pretpostavime deka paralelogramot ABCD e konstruiran ( crte`: Â&#x201E;SkicaÂ&#x201D;). Bidej}i dijagonalite vo paralelogramot
D
Skica
C
se prepolovuvaat so prese~nata to~ka O, '$2% e napolno opredelen, so strani G G $% D $2 %2
Za da go konstruirame paralelogramot ABCD, prvo go konstruirame Â&#x201E;pomo{niot triagolnikÂ&#x201D; AOB (crte`: Â&#x201E;Re{enieÂ&#x201D;).
A Re{enie
Kako se konstruirani temiwa C i D? Objasni zo{to konstruiraniot paralelogram gi zadovoluva uslovite na zada~ata. Zada~ata ima re{enie ako
O
G
G
D
C O
G A
B
a
a
G B
x
G G G G D
Konstruiraj paralelogram ako mu se dadeni dijagonalite G G i agolot M me|u niv
3 268
Potseti se! Kakvi se me|u sebe dijagonalite na: a) pravoagolnik; b) romb? Vo koj paralelogram mo`e: a) da se vpi{e; b) da se opi{e; v) da se vpi{e i da se opi{e kru`nica?
B
Konstruiraj pravoagolnik ABCD ako mu se zadadeni
4
stranite a i b: b
a
Potoa konstruiraj ja negovata opi{ana kru`nica.
Neka pravoagolnikot ABCD e konstruiran (Skica). Skica C
D
Re{enie
D
C O
b
b A
a
a
A
B
x
B
Voo~i deka pravoagolniot '$%& e napolno opredelen so dadenite elementi. Razgledaj go crte`ot Â&#x201E;Re{enieÂ&#x201D;. Objasni ja postapkata za konstruirawe na '$%& i na temeto D. Prese~nata to~ka O na dijagonalite na pravoagolnikot e centarot na opi{anata kru`nica. 5
G
D
Vo rombot na crte`ot, povle~eni se negovi dijagonali i niz nivniot presek S se povle~eni normalite na stranite, so podno`ni to~ki E, F, G, H.
H
S F
Doka`i deka to~kite E, F, G i H se ednakvo oddale~eni od S, t.e. le`at na edna kru`nica.
A
Koj e cantarot i kolkav e radiusot na taa kru`nica?
B
E
D
C
Vo rombot mo`e da se vpi{e kru`nica ~ij{to centar e vo presekot na dijagonalite, a radiusot e polovina od visinata na rombot. Taa se vika vpi{ana kru`nica na rombot.
C
S
A
E
B 269
Konstruiraj romb i vpi{anata kru`nica vo nego ako se dadeni negovite dijagonali
6
G
FP N G
FP
a
D
Vo kvadrat mo`e da se opi{e i da se vpi{e kru`nica. Opi{anata i vpi{anata kru`nica se koncentri~ni; nivniot presek e vo presekot na dijagonalite.
C
O
A
B
Konstruiraj kvadrat so dijagonala od 5 cm. Potoa nacrtaj gi opi{anata i vpi{anata kru`nica na kvadratot.
7
Potseti se! Koj ~etiriagolnik se vika trapez, a koj trpezoid? Navedi gi svojstvata na ramnokrakiot trapez. Trapezoid {to ima dva para ednakvi sosedni strani se vika deltoid.
V
Konstruiraj ramnokrak trapez so dadeni: osnova a, agol D i dijagonalata d. 8
Pogledaj go upatstvoto ako ti e neophodno. Neka ABCD e baraniot trapez vo koj $% D '%$' D N %' G (crte`). D
x
y
C
d A
D
B
a
Temeto D e vo presekot na kru`nicata N % G i krakot Ax na agolot '$ D Konstrukcijata na '$%& e jasna. Temeto C }e se dobie kako presek na pravata niz D {to e paralelna so AB i krakot By od '$%& D 9
Konstruiraj trapez so osnovi a i b i agli D N E na osnovata a.
Upatstvo. Neka ABCD e baraniot trapez vo koj $% D '& E '$ D N '% E (crte`). Ako na osnovata AB ja izbereme to~kata E, takva {to $( E i niz E povle~eme prava p, paralelna so krakot Ax na agolot '$ D toga{ presekot na p so krakot Ay na '% E }e bide to~kata C. Presekot me|u krakot Ax i pravata q {to minuva niz C i e paralelna so B, go dava temeto D. Spored toa, Â&#x201E;pomo{na figuraÂ&#x201D; za konstrukcija na trapezot e '%&( so strana %( D E i aglite D N E (na nea). 270
x
q
y p C
b
D
D A
b
D
E
E D E
B
10
A
Vo deltoidot ABCD na crte`ot (so $% $' N &% &' ) se povle~eni dijagonalite AC i BD, i presekot im e ozna~en so O. B
Doka`i deka '$%& # '$'&
O
D
O
Od toa izvedi gi slednite va`ni svojstva za dijagonalite i aglite na deltoidot.
q Dijagonalite na deltoidot se normalni me|u sebe.
C
q Dijagonalata na deltoidot {to gi svrzuva temiwata vo koi se se~at ednakvite strani e simetrala na soodvetnite agli i simetrala na drugata dijagonala.
q Dvata agli na deltoidot, zafateni od dvata para neednakvi strani, se ednakvi.
11
Konstruiraj deltoid ABCD ako se zadadeni stranite D D
'$ J '&
Zada~i
FP
3 Konstruiraj paralelogram ABCD ako se zadadeni dijagonalite $& i visinata KD
%& i aglite
zafateni od neednakvite strani.
1 Konstruiraj paralelogram so strani D FP E FP i agol me|u niv, D q 2 Konstruiraj paralelogram ABCD ako mu se dadeni stranite D FP E FP i ednata dijagonala, G
$% E
P %'
P
FP
4 Konstruiraj pravoagolnik ABCD ako e zadadena edna strana a i dijagonalata d. Potoa, nacrtaj ja opi{anata kru`nica.
5 Konstruiraj pravoagolnik so zadadena dijagonala G FP i: a) agolot me|u dijagonalite, M q b) agolot me|u stranata i dijagonalata d.
6 Konstruiraj romb so strana a i dijagonalata G
7 Konstruiraj ramnokrak trapez ABCD ako se dadeni: osnovata $% D '$ D i visinata h. 8 Konstruiraj ramnokrak trapez ako se dadeni osnovite a i b i agolot D pri osnovata a. 9 Konstruiraj trapez so osnovi a i b i dijagonali G N G .
10 Konstruiraj deltoid ako se zadadeni stranata a i dijagonalite
G ¡ § G G ¨ G ! G N D ! ¸ š Š
Potoa, nacrtaj ja opi{anata kru`nica.
271
7
TEMATSKI KONTROLNI ZADA^I
1
Odredi go vidot na triagolnikot vo koj edniot agol ima q a drugite dva se odnesuvaat kako
2
Odredi gi goleminite na aglite na triagolnik vo koj sekoj nadvore{en agol e dvapati pogolem od sosedniot agol vo triagolnikot.
3
Dadeni se to~kite S, A, B, koi{to ne le`at na edna prava. a) Konstruiraj gi to~kite A1 i B1, simetri~ni na A i B vo odnos na S. b) Doka`i deka $%
4
$ % i $% % $ %
Podredi gi po dol`ina stranite na '$%& po~nuvaj}i od najmalata, ako
'$
q N
'%
q.
5
Poka`i deka, vo koj bilo triagolnik, sekoja strana e pomala od poluperimetarot na triagolnikot.
6
Hipotenuzata na eden pravoagolen '$%& e 9 cm. a) Kolkav e radiusot R na negovata opi{ana kru`nica? b) Kolkavo e rastojanieto od temeto C na praviot agol do sredinata & na hipotenuzata?
7
Koi od ~etirite zna~ajni to~ki na eden ramnokrak triagolnik le`at na visinata spu{tena kon osnovata?
8
Vo ramnokrak '$%& so osnova AB te`i{nite linii povle~eni od temiwata A i B se ednakvi me|u sebe. Doka`i.
9
Konstruiraj '$%& so strana D kru`nica vo '$%&
FP i agli na nea E
q N J
q Potoa, vpi{i
10 Konstruiraj pravoagolen '$%& so kateta 3 cm i hipotenuza 6 cm. 11 Kaj eden ~etiriagolnik, dva nadvore{ni agli se ednakvi, a drugite dva se q N q Odredi gi vnatre{nite agli na toj ~etiriagolnik. 12 Dadeni se paralelogramite ABCD i ABMN, taka {to otse~kite CD i MN ne le`at na ista prava. Doka`i deka ~etiriagolnikot CDNM e paralelogram. 13 Konstruiraj romb so strana a i visina h. 14 Konstruiraj ramnokrak trapez ako se dadeni osnovata a, dijagonalata d i agolot D na osnovata. 272
TEMA 8
KORENUVAWE
E
SODR@INA NA TEMATA
1
Poim za koren ................................. 274
2
Svojstva na korenite .................... 279
3
Transformacija na korenite ....... 282
4
Sobirawe i odzemawe na koreni .............................................. 285
5
Mno`ewe, delewe, stepenuvawe i korenuvawe na koreni ............... 287
6
Racionalizirawe na imenitelot na dropka ......................................... 290
7
Iracionalni izrazi ...................... 292
8
Tematski kontrolni zda~i ......... 294
273
1
POIM ZA KOREN
Potseti se!
A
Plo{tinata na eden kvadrat e FP Odredi ja dol`inata na stranata na kvadratot.
Za D L Q Â? ^ ` odredi ja vrednosta na x, ako [ D Q
1
Volumenot na edna kocka e FP Odredi ja dol`inata na rabot na kockata.
2
Koja operacija koriste{e za da ja odredi{ vrednosta na x?
Plo{tinata na kvadrat so strana a se presmetuva so formulata 3 D a volumenot na kocka so rab a se presmetuva so formulata 9 D Za da ja presmetame dol`inata na stranata na kvadratot, odnosno dol`inata na rabot na kockata, treba da ja re{ime ravenkata D odnosno ravenkata D Re{enie na ravenkata D e D ili D a re{enie na ravenkata D e D Spored toa, stranata na kvadratot e D FP a rabot na kockata e D FP na ravenkata D
Zo{to re{enieto D
Re{enie na ravenkata [ [ bidej}i
ne e re{enie na zada~ata, iako
e [ bidej}i
Za re{enijata na ravenkata [ Q dokaz).
re{enie na ravenkata [
" e
D va`i slednata osnovna teorema (koja{to ja davame bez
Teorema. Za sekoj realen broj D ! i sekoj priroden broj n postoi edinstven pozitiven realen broj x {to e re{enie na ravenkata [ Q
D
Koj pozitiven realen broj e re{enie na ravenkata: a) [
b) [
v) [
"
Prethodnata teorema ne ja isklu~uva mo`nosta deka vo mno`estvoto na realnite negativni broevi postoi broj {to ja zadovoluva ravenkata [ Q D Odredi gi (korenite) re{enijata na ravenkata:
3
a) [
b) [
a) [ bidej}i
274
v) [
g) [
g) [ bidej}i
Zapomni! Za sekoj realen broj a i sekoj neparen priroden broj Q realen broj x, takov {to [ N
N N Â? ^ postoi edinstven
D
Zna~i, za sekoj neparen priroden broj Q N i sekoj realen broj a postoi samo eden realen broj {to e re{enie na ravenkata [ Q Na primer,
Re{enieto na ravenkata [ ravenkata [
D i toj broj go ozna~uvame
D
itn.
e [ ili [ bidej}i
se [ ili [
Q
i
Re{enija na
Zapomni! Za sekoj realen broj D ! i sekoj paren priroden broj Q broja [ i [ za koi va`i [ N
[
N
N N Â? ^ postojat dva realni
D
Zna~i, za D ! i Q N N Â? ^ , ravenkata [ N D ima dve re{enija koi{to se sprotivni realni broevi. Pozitivnoto re{enie go ozna~uvame so Q D a negativnoto go ozna~uvame so Q D Na primer, ravenkata [ koren e
ima dva realni koreni koi se sprotivni broevi. Pozitivniot
a negativniot koren e
Brojot Q Q t se vika korenov pokazatel, brojot a se vika potkorenov izraz ili radikand, a
e znak za koren.
Postapkata so koja se opredeluva
Q
D se vika korenuvawe.
Ako korenoviot pokazatel Q e paren broj i D ! , toga{ Q - ti koren od D e nenegativniot broj [ , takov {to [ Q
D . Toj broj [ e ednozna~no opredelen.
Ako D t i Q toga{ namesto Dali ravenkata a) [
b) [
D pi{uvame
D a ~itame kvadraten koren od a.
ima re{enie vo mno`estvoto
Z"
Bidej}i [ t i [ t za sekoj realen broj x, sleduva deka dadenite ravenki nemaat re{enie vo mno`estvoto
Z
t.e. izrazite
i
ne se realni broevi. Za ovie
izrazi velime u{te deka nemaat smisla vo mno`estvoto
Z
275
Zapomni! Korenuvaweto so paren korenov pokazatel na negativni realni broevi ne e definirano vo mno`estvoto na realnite broevi. 4
Odredi koi od dadenite izrazi imaat smisla: a)
5
Kolku e: a)
b)
v)
g)
b)
v)
g)
"
Odgovor. a) 2;
b) 2;
Bidej}i,
imame
g)
v)
sleduva deka
Spored toa, ako D Â? Z toga{
e pozitiven broj, a toa zna~i deka
ima smisla, pa
itn. Zna~i,
D _ D _ odnosno
Q
_ _
z
Od isti pri~ini
_ _
D Q _ D _ ako n e paren priroden broj.
Zapomni!
Q DQ
 D DNR Q H QHSDUHQ EURM Ž ¯_ D _ DNR Q H SDUHQ EURM
Odredi ja vrednosta na izrazot: a)
6
"
Kolku e:
Od isti pri~ini imame
Voop{to, ako
Na primer,
276
Q
Re{enie. Bidej}i
D ima smisla, toga{
dodeka, pak,
b)
v)
g)
sleduva deka
itn.
D
Q
Q
D
z bidej}i
nema smisla.
_ _
Potseti se!
Z
P
Izrazot D D Â? P Â?
P
D Â&#x2DC; D Â&#x2DC; Â&#x2DC; D P t
L D z toga{ D
Ako P Â? [ t.e. P
toga{ D P
DN
D N
Pro{iruvaj}i go poimot za stepen so pokazatel nula i cel negativen broj, poka`avme deka operaciite so niv se izveduvaat spored istite pravila koi{to va`at za stepen so pokazatel priroden broj. Sega }e izvr{ime u{te edno pro{iruvawe na poimot za stepen, voveduvaj}i stepen so pokazatel racionalen broj.
[ se vika stepen.
P Ako P Â? [ toga{ za D i D D
Ako P
B
N N Â? ^ L D z
Zapomni! Ako D Â? Z i
P Â? ] (kade {to P Â? [ Q Â? ^ ), toga{ Q P def Q P DQ D
P
Pritoa D Q se vika stepen so racionalen pokazatel.
Spored definicijata imame: 7
Ako P toga{ D Q
Q
D P
v)
g)
D
b)
8
Presmetaj: a) b)
g)
Q
DQ
D
Q
Zapi{i gi vo vid na koren stepenite:
a)
a)
b)
v) D
g) [
d) D Â&#x2DC; E
D Â&#x2DC; E
d) D Â&#x2DC; E
Poznato ti e deka zapisot na daden racionalen broj so nekoja dropka
P ne e ednozna~en. Na Q
P Usvoenata definicija za stepenot D Q ne zavisi od toa so koja dropka, P e zapi{an racionalniot pokazatel na stepenot. Spored toa va`i: ednakva na Q
primer,
P
DQ
PN Â&#x2DC;
D QÂ&#x2DC;N
QN
D PN D Â? Z P Â? [ Q N Â? ^
277
Na primer,
a za
imame
Zna~i,
itn.
Operaciite so stepeni ~ii pokazateli se racionalni broevi se izveduvaat spored istite pravila {to va`at za operaciite so stepeni ~ii pokazateli se prirodni broevi.
P S Â? ] kade {to P S Â? [ Q T Â? ^ va`i: Q T
Za sekoi D E Â? Z i sekoi
P D Q
Â&#x2DC;D
S T
D
P S Q T
P D Q
D
P P D Q Â&#x2DC;EQ
P D Â&#x2DC; E Q
D
Izvr{i gi nazna~enite operacii: a)
9
S T
S
P S Q T
§ P ¡T D ¨ D Q ¸ Š š P P Q DQ §D¡ ¨ ¸ P ŠEš EQ Â&#x2DC; D
b)
[
Â&#x2DC; [
Prosledi go re{enieto. b)
[
Â&#x2DC; [
[
[
§ ¡ ¨Š ¸š
[
[
[
D
PÂ&#x2DC; S QÂ&#x2DC;T
§ ¡ [ v) ¨ D Â&#x2DC; D ¸ Š š
§ ¡ v) ¨ D Â&#x2DC; D ¸ Š š
§ ¡ ¨D ¸ Š š
§ ¡ g) ¨ [ Â&#x2DC; D ¸ ¨ ¸ Š š
§ ¡
Â&#x2DC;¨
D Š
š¸
Â&#x2DC;
D
D
Zada~i 1
Presmetaj: a)
2
3
b)
v) g)
d)
6
Odredi ja vrednosta na stepenot:
a)
a)
b)
|)
e)
v) g)
d)
g)
7
[
d)
[
v)
Presmetaj: a)
8
Presmetaj: a) D Â&#x2DC; D
[
v)
[ "
Odredi koj od dadenite iskazi e vistinit:
a)
b)
v)
9
§ ¡ ¨§ ¡ ¸ ¨¨ [ [ ¸ ¸ ¨ š ¸ ¨Š ¸ Š š
Presmetaj: a) v)
278
g)
b)
§ ¡ ¨ ¸ Š š
Â&#x2DC;
D b) E
[
§
¡
¨ Š
š
¨
E Â&#x2DC; E ¸¸
Zapi{i gi kako koren stepenite:
a) [
5
§ ¡ § ¡ ¨ ¸ ¨ ¸ Š š Š š
d)
b)
Za koi vrednosti na promenlivata x ima smisla korenot: b)
g)
v)
`)
[
b)
Odredi koj od dadenite izrazi nema smisla:
a)
4
b) D E
v) D E
10 Zapi{i gi kako stepen korenite: a)
D b)
D E v)
E
Â&#x2DC;
D g) D D
2
SVOJSTVA NA KORENITE
P Q P Q
P N N z QÂ&#x2DC;N P N Nz Q N Â&#x2DC;
nite
i
nost:
P D Q D !
D
bidej}i
t.e.
Q
D E
imaat ista vred-
P Q N Â?^
DP N PN DQN
toga{
Â&#x2DC;
P DQ
Imeno Q D P
QÂ&#x2DC; N
DP
Voop{to, va`i ako D ! i
Zapi{i gi vo vid na koren stepenite:
Zna~i, korenite i
Q DP
Sporedi gi vrednostite na kore-
A
Potseti se!
Â&#x2DC;
Q N DP N Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
Ova svojstvo se vika pro{iruvawe na koreni.
Zapomni! Ako korenoviot pokazatel i pokazatelot na potkorenoviot izraz gi pomno`ime so ist broj, toga{ vrednosta na korenot ne se menuva.
Korenite
1
a)
2
i
Â&#x2DC; Â&#x2DC;
pro{iri gi so: a) 3;
Pro{iri gi so 2 korenite: a) a)
3
Â&#x2DC; Â&#x2DC;
D
Â&#x2DC;
D Â&#x2DC;
D
b)
D E
§ ¡ ¨ ¸ Š š
D b)
D E
b) 4.
D E v)
DE F ako D ! E ! F !
D E
Svedi gi na ist korenov pokazatel korenite: a)
b)
D
D
DE
Korenite gi sveduvame na ist pokazatel koj{to naj~esto e najmaliot zaedni~ki sodr`atel na pokazatelite. a) NZS pa b) NZS pa
Â&#x2DC;
D
D
D
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
D Â&#x2DC;
D
DE
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
DE
D E
279
Svedi gi na ist korenov pokazatel korenite: a)
4
[
b)
[\
[ \
I ponatamu }e smetame deka promenlivite vo potkorenoviot izraz primaat pozitivni vrednosti i deka potkorenoviot izraz vo celina e pozitiven.
B
Sporedi gi vrednostite na korenite
Zna~i, korenite
i
imaat ista vrednost, t.e.
So primena na Q D P
broj.
deka
Sekoj od korenite
5
i
t.e.
L
P D Q imame:
zapi{i go kako stepen so pokazatel racionalen
Bidej}i
sleduva
P Q N Â?^
Voop{to, va`i: ako D ! i
PN DQN
Imeno Q N D P N
P DQ
toga{
Q N
DP N
Q
DP
Q DP
Ova svojstvo se vika skratuvawe na koreni.
Zapomni! Ako korenoviot pokazatel i pokazatelot na potkorenoviot izraz gi podelime so nekoj nivni zaedni~ki delitel, toga{ vrednosta na korenot ne se menuva.
Skrati go korenite: a)
6 a)
D
b)
D
D
D
D
b)
D ili
D
D
v) D
D E
D
D
Uprosti gi korenite: a)
280
D
v) Voo~i, NZD pa 7
D
D E
D
DE
b)
[ \
v)
[ \ ]
Ako vo korenot Q D P korenoviot pokazatel n e delitel na pokazatelot m na potkorenoviot izraz, t.e. ako P Q Â&#x2DC; S toga{ Za sekoj D t i Q Â? ^
Q
Ako Q N Ako Q
Na primer: 8
Q
DP
DQ S
DS
Â&#x2DC;
D N S _ D _ S za sekoj D Â? Z Â&#x2DC;
Q
DP
N
[
N
N
DP
Q
Uprosti go izrazot: a)
D
N
D S za sekoj D Â? Z
Â&#x2DC; S
_ _
[
b)
[
§ ¡ ¨ ¸ Š š
§ ¡ ¨ ¸ Š š
[ [
v)
Re{enie. a)
[
 [ ]D [ ! ° Ž ]D [ ° [ ]D [ ¯
[
v)
[ [
b)
[
[ za sekoj [ Â? Z
 [ ]D [ ! W H ]D [ ! ° Ž ]D [ W H ]D [ ° [ ]D [ W H ]D [
ÂŻ
Sporedi gi korenite: a)
9
L
b)
L
v)
L
Od dva koreni so ist korenov pokazatel, pogolema vrednost ima korenot {to ima pogolem potkorenov izraz. a)
v) NZS
!
10
b) NZS
! bidej}i !
pa
a
a
bidej}i ! sleduva deka
Podredi gi po golemina korenite: a)
!
zna~i
b)
Zada~i 1
Uprosti gi korenite (5 - 7):
Pro{iri gi so 3 korenite: a)
b)
v)
D
D E
g)
D E
Svedi gi korenite na zaedni~ki korenov pokazatel (2 - 4):
2 a)
D L
v)
D E L
3 a)
L
v)
[\ [ L
4
a)
D
b)
[ L
DE
a)
b)
v)
g)
6
a)
[
b)
[
v)
[
g)
7
a)
D E
b)
D E
[ \
g)
D E
b)
v)
D E
v)
b)
D D E L F E F
D E D L
DE
\
5
D b) EF
8
D
D L E
E D
[
Presmetaj: a)
g)
d)
281
3
TRANSFORMACIJA NA KORENITE
Potseti se!
A
Korenot D zapi{i go vo vid na stepen so pokazatel racionalen broj.
1
a)
Â&#x2DC;
b)
Proveri dali e to~no:
Â&#x2DC;
Stepenuvaj: a) D Â&#x2DC; E
b) D E
v) D Â&#x2DC; E
g) D E
Sigurno utvrdi deka dadenite brojni ravenstva se vistiniti. Zna~i, kvadratniot koren od proizvod, odnosno koli~nik na pozitvni broevi e ednakov na proizvodot ili koli~nikot od kvadratnite koreni na tie broevi. Voop{to va`i: Q
DE
DE
Q
Q
D Â&#x2DC;E
Q
Q
D Â&#x2DC; Q E
Q
¡Q
D E
§D ¨ ¸ ŠEš
D
Q Q
Q
D
Q
E
D t E ! Q Â? ^
E Ova se pravila za korenuvawe na proizvod, odnosno koli~nik.
Ovie pravila va`at i vo slu~aj koga potkorenoviot izraz ima pove}e od dva mno`iteli. Presmetaj: a)
2
Â&#x2DC;
b)
4
Uprosti go izrazot: a)
Â&#x2DC; Â&#x2DC; b)
[ \ ]
Re{enie.
3
Presmetaj: a)
5
Za koi vrednosti na promenlivata x se to~ni ravenstvata: a)
[ [
a) Za sekoj [ Â? Z
282
[ Â&#x2DC; [
b)
[ [
a)
[
[
[ \ ]
"
b) za [ t
[ Â&#x2DC; \ Â&#x2DC; ]
b)
D E [ \
[ \ ]
B
6
Uprosti go izrazot: a)
D E
b)
Re{enie.
a) D E
Â&#x2DC; D Â&#x2DC; E
b)
D E
[ \
[ \
[ Â&#x2DC; \
[ \
Vakva transformacija na koreni se vika izvlekuvawe na mno`itel pred znakot na korenot. Ako $ D Q Â&#x2DC; E D ! E ! toga{ 7
Q
$
Q
Q
DQ Â&#x2DC;E
DQ Â&#x2DC; Q E
D Q E
Izvle~i gi mno`itelite pred znakot na korenot: a)
b)
v)
D
g)
D E
d)
D
Re{enie. a)
Â&#x2DC;
v)
D
D D d)
D Â&#x2DC; D
D
D
D
Koi mno`iteli mo`e da se izvlekuvaat pred znakot na korenot? Pred znakot na korenot se izvlekuvaat samo mno`iteli na potkorenoviot izraz. Q
Neka e daden
D P Ako P ! Q i P
QS U toga{ D P Q
DP
Q
D QS Â&#x2DC; D U
a)
D
V
9
D QS Â&#x2DC; D U Ottuka sleduva deka
D S Q DU
Izvle~i gi mno`itelite pred znakot na korenot: a)
8
D
b)
[ \
D D bidej}i Â&#x2DC;
Razgledaj gi ravenstvata
Â&#x2DC;
Â&#x2DC; oddesno nalevo.
Ovaa transformacija na koreni se vika vnesuvawe na mno`itel pod znakot na korenot.
Ako D ! E ! toga{ D Q E 10
D QS U
Q
DQ Â&#x2DC;E
Vnesi gi mno`itelite pod znakot na korenot: a) [ [ b) Re{enie.
g)
[ D [
[ D Â&#x2DC; [
D E [ D v) D g) E D [ D
D[
283
11
Bez da ja presmetuva{ vrednosta na korenot sporedi gi broevite: a) i
b) i
v) i
Re{enie.
Â&#x2DC;
a)
Â&#x2DC;
Bidej}i
sleduva deka
Zapomni! Mno`itel se vnesuva pod znakot na koren, taka {to toj se stepenuva so korenoviot pokazatel i taka dobieniot stepen se mno`i so potkorenoviot izraz. Dosega{nite transformacii na korenite gi vr{evme so odnapred postavena cel: uprosti go izrazot, dovedi go izrazot do nekoj sakan oblik itn. Tie transformacii gi izveduvame vrz osnova na svojstvata na operaciite i samite operacii so koreni. Edna od transformaciite so korenite e doveduvawe na korenite vo normalen vid. Na primer, korenite D[ D E D se zapi{ani vo normalen vid. Zapomni! Eden koren e vo normalen vid ako: 1o. Potkorenoviot izraz ne sodr`i imenitel razli~en od 1. 2o. Potkorenoviot izraz ne sodr`i mno`iteli {to mo`e da se izvle~at pred znakot na korenot. 3o. Pokazatelot na korenot i pokazatelot na potkorenoviot izraz nemaat zaedni~ki delitel. Zo{to korenite D E D
12
D z D z Y D D E ne se vo normalen vid? D
a) ne e vo normalen vid, bidej}i pred znakot na korenot.
Â&#x2DC; sodr`i mno`itel {to mo`e da se izvle~e
sodr`i imenitel razli~en od 1. D v) D D E ne e vo normalen vid zatoa {to korenoviot pokazatel i pokazatelot na potkorenoviot izraz imaat zaedni~ki delitel 2, t.e. korenot ne e zapi{an so najmal mo`en pokazatel. Zapi{i gi vo normalen vid korenite: a) b) v) [ 13 [ b) Potkorenoviot izraz na korenot
Re{enie. a)
Â&#x2DC;
b)
v) [
[
[
Â&#x2DC; [ [Â&#x2DC;[
[
[ [
[
[ [
[
Ponekoga{ korenot go transformirame vo normalen so vnesuvawe na mno`itel pod znakot na korenot. Voo~i ja postapkata na primerot v) od prethodnata zada~a: [ 284
[
[ Â&#x2DC;
[
[
Zada~i 1
Presmetaj: a) v)
2
3
[
\
[ Â&#x2DC; \
Presmetaj: a) v)
g)
b)
Â&#x2DC;
Â&#x2DC; Â&#x2DC;
4
b)
Vnesi gi mno`itelite pod znakot na koren: a)
5
[ \
b)
v) D
D
[ \
g) [\
Bez presmetuvawe na korenot sporedi gi broevite: a) L b) L v) L
6
Izvle~i gi mno`itelite pred znakot na korenot: a) b)
[ \ v)
D E F
Dovedi gi vo normalen vid korenite: a)
b)
v)
|)
d)
4
D E g) DE
D D e)
DE
D E E D D
SOBIRAWE I ODZEMAWE NA KORENI
Potseti se!
A
Koi monomi se sli~ni? Koj e koeficientot na monomot:
a) D Â&#x2DC;
D E [\ \ " Kako se sobiraat monomi?
1
Dovedi gi korenite:
D
b)
v)
g)
D
vo normalen vid.
Re{enie. a) D Â&#x2DC;
D
D
Â&#x2DC;D D Â&#x2DC; D
D Â&#x2DC; Â&#x2DC; D D
D Â&#x2DC; D
b)
v)
g) D
Izrazite od vidot $ Â&#x2DC; Q % kade {to A i B se racionalni izrazi se vikaat, isto taka, koreni. Pritoa izrazot A pred znakot na korenot se vika koeficient na korenot. Na primer, koeficienti na korenite: Â&#x2DC; D D Â&#x2DC; E Â&#x2DC; D E soodvetno se D L Koeficientite na korenite {to se dovedeni vo normalen vid vo dadenata zada~a soodvetno se D
L D
Vo {to se razlikuvaat dobienite rezultati? 285
Zapomni! Dva ili pove}e koreni vo normalen vid {to se razlikuvaat samo po svoite koeficienti se vikaat sli~ni koreni.
DE E DE DE se sli~ni. Koeficientite na korenite soodvetno se: D E E
Na primer, korenite: D E DE
Odredi koi koreni se sli~ni: a)
2
DE D
b)
Â&#x2DC; D DE D
DE i DE
DE
" D E i DE b) DE D
i
DE
DE
Poka`i deka se sli~ni korenite: a) i
3
Potseti se! Zapi{i go distributivnoto svojstvo na mno`eweto vo odnos na sobiraweto vo Z Svedi go vo normalen vid polinomot
DE DE DE
DE Zna~i, korenite se sli~ni.
b)
B
i
v)
[ i \
\ [
4
Uprosti go izrazot So primena na distributivnoto svojstvo imame:
¡ § ¨ ¸ Â&#x2DC; š Š
Ovaa transformacija se vika sveduvawe na sli~ni koreni. Voo~i. Se sobiraat i odzemaat samo sli~ni koreni. Presmetaj go zbirot: a)
5
b) D D D
Re{enie. Sekoj od dadenite izrazi e zbir od tri koreni. Niv prvo gi transformirame vo normalen vid, a potoa gi sveduvame sli~nite koreni.
a)
Â&#x2DC; Â&#x2DC;
Â&#x2DC; Â&#x2DC;
b) D D D
D D D
D Â&#x2DC; D D D
Uprosti go izrazot: a)
6
Re{enie. b)
286
[ [
[ [
D E D E
b) [ [
[ [ [ [
[ [
Â&#x2DC; [
[
Zada~i 1
Poka`i deka se sli~ni korenite: a)
2
Presmetaj: a) b) v) g)
Presmetaj: a) D D D
4
Presmetaj: a)
1
\ L [
[ \
E D E D E
b) D D E D DE D
D D D D
b)
[ \
\ [
MNO@EWE, DELEWE, STEPENUVAWE I KORENUVAWE NA KORENI
5 A
[ \
v)
§ ¡ ¡ § ¸¸ d) ¨¨ ¸¸ ¨¨ š Š Š š
3
b) L
L
Proveri dali e to~no brojnoto ravenstvo: a) Â&#x2DC;
Â&#x2DC; b)
Sigurno utvrdi deka ravenstvata se to~ni. Ova svojstvo e to~no za koj bilo koren, t.e. Q
Q
DÂ&#x2DC; E
DQ
Â&#x2DC;EQ
DE
Q
Q
DE
Q
i
Q
DQ
D
§ D ¡Q ¨ ¸ ŠEš
EQ
E
Voop{to, to~ni se slednite tvrdewa:
Q
D E
Za koi bilo D t E t L Q Â? ^ va`i: Q
DÂ&#x2DC;QE
Q
Q
i
DÂ&#x2DC;E
Q
D E
Q
D E
[ \ [ \
Ovie tvrdewa iska`i gi so zborovi. 2
Presmetaj: a)
b)
Â&#x2DC;
Prosledi go re{enieto. v)
[ Â&#x2DC; [
[ \ [ \
v)
[ \ [ \
[\
Voo~i, se mno`at, odnosno se delat samo koreni so ist korenov pokazatel. Pritoa, proizvodot, odnosno koli~nikot od potkorenovite izrazi se korenuva so istiot korenov pokazatel. 3
Presmetaj: a) Â&#x2DC; b) D Â&#x2DC; D v)
g)
D
D
d)
287
4
Presmetaj: a)
b)
D Â&#x2DC; E
[ Â&#x2DC; [ Â&#x2DC; [
g) D E D E DE D E
D D
v)
Korenite se so razli~ni korenovi pokazateli. Zatoa, prvo gi sveduvame na ist korenov pokazatel, a potoa gi primenuvame pravilata za mno`ewe i delewe na koreni so ist korenov pokazatel. Re{enie. b)
[ Â&#x2DC; [ Â&#x2DC; [
[
Presmetaj: a)
5
B
6
[
Â&#x2DC;
[
Â&#x2DC;
[
g) D E Â&#x2DC; D E DE D E
[
[ [
D
D
D
D D
v) D [ [ g) b) Â&#x2DC; D
Presmetaj: a)
b)
D
D
D E D E
D D
D D
D D
D E
Prosledi go re{enieto. a)
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
b)
D E
§ ¨ D E Š
¡
D E
¸ š
P Voop{to, istoto pravilo va`i za koj bilo koren, t.e. Q D
D E
§ Q ¡ ¨¨ D ¸¸ Š š
P
DQ
D E P DQ
P
Â&#x2DC;
D E E
Q DP
Zapomni! Koren se stepenuva taka {to se stepenuva samo potkorenoviot izraz i dobieniot stepen se korenuva so istiot korenov pokazatel, t.e. Q D P Q D P D ! P Q Â? ^
Presmetaj: a)
7
V
Re{enie.
b)
[
§D ¡ v) ¨ DE ¸ ŠE š
Proveri dali e to~no brojnoto ravenstvo
8
Presmetaj: a)
9
b)
DE
DE
b)
§ ¨ DE Š
DE
¡ ¸ š
DE
DE
Voop{to, istoto pravilo va`i za koj bilo koren, t.e. 288
Q
PD
PD Q
§ P ¡ Q ¨¨ D ¸¸ Š š
DP Q Â&#x2DC;
P Q D Â&#x2DC;
Zapomni! Koren se korenuva taka {to potkorenoviot izraz se korenuva so proizvodot na korenovite pokazateli, t.e. PQD
Presmetaj: a)
10
b)
P Q D D ! P Q Â? ^ Â&#x2DC;
[ \
v)
[ [
Re{enie. v)
[ [
[ Â&#x2DC; [
[
[
Ako po izvr{enite operacii so koreni dobieniot rezultat e koren, toj sekoga{ treba da se svede vo normalen vid.
11
Presmetaj: a)
b)
D Â&#x2DC; D v)
D D Â&#x2DC; D
Zada~i Izvr{i gi nazna~enite operacii 1
a) Â&#x2DC;
2
a)
D Â&#x2DC; D
b)
Â&#x2DC;
b)
v)
Â&#x2DC; Â&#x2DC;
[ Â&#x2DC; [
7
a)
8
a) ¨
v) D Â&#x2DC; D
3
5
6
a)
a)
Š
D D
b)
b)
v) D D
D
¡ ¸ Â&#x2DC; š
9
b)
D D
b)
[ Â&#x2DC; [ Â&#x2DC; [
a)
§
D Â&#x2DC; D b) [ Â&#x2DC; [ \ Â&#x2DC; \
a) v)
4
D D b)
v)
D
v)
D v)
D
D
a) g)
|)
10 a) g)
D E
D E
¡
¸ ¸ š
D ¡ DE ¸ E Š š
d) ¨§
§ ¨ ¨ Š
b)
v)
§ Â&#x2DC;¨ ¨ Š
E¡ ¸ D ¸š
[
[ [\
b) \ [\
D d)
v)
D D
D D Â&#x2DC; D
289
6
RACIONALIZIRAWE NA IMENITELOT NA DROPKA Presmetaj ja vrednosta na brojot i brojot so to~nost na ~etiri decimali. So pomo{ na kalkulator dobivame:
A
Potseti se!
P Q
PÂ&#x2DC;N N z QÂ&#x2DC;N
Q
D D !
D
DÂ&#x2DC; D
Â&#x2DC;
D D !
DQ
1
So koja operacija polesno }e go dobie{ rezultatot bez da koristi{ kalkulator? Â&#x2DC; t.e. deleweto so iracionalen broj go transformiravme vo mno`ewe, a taa operacija e poednostavna.
Voo~uva{ deka
Zapomni! Transformacijata na izrazite vo koi{to imenitelot na dropkata od iracionalen izraz go pretvorame vo racionalen izraz se vika racionalizirawe na imenitelot na dropkata.
Racionaliziraj go imenitelot na dropkata: a)
2
b)
v)
D E D E
Re{enie. So pro{iruvawe na dropka imame: a)
b) Bidej}i
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
Spored toa imame: v)
D E D E
za da go primenime ravenstvoto
D E D E Â&#x2DC; D E D E
Ovde primenivme: 3
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
D E Â&#x2DC;
D E Â&#x2DC; D E
Â&#x2DC;
D E
D E
D E
Q
DQ
D E
i D E Q
D E
D E
D E
D E D E
$ Q ! P kade {to A e broj ili izraz, %P
a B e pozitiven broj ili izraz {to dobiva samo pozitivna vrednost. 290
D E D E
Racionaliziraj go imenitelot na dropkata
D treba da pro{irime so
Re{enie. $ Q % Q P Â&#x2DC; Q % P Q % Q P
$ Q %P
$ Q % Q P Q % P Q P
$ Q % Q P Q %Q
$ Q % Q P %
Ako Q P toga{ prvo korenot svedi go vo normalen vid, pa potoa primeni ja postapkata za racionalizacija. Racionaliziraj go imenitelot na dropkata: a)
4
D E v) D E
b)
g)
Re{enie. a) b)
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
v) g)
D E
Â&#x2DC; D E D E D E D E
D E
D E
Potseti se!
D E D E
b) 6
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
Bidej}i
7
imame:
b)
b) Dropkata }e ja pro{irime so bidej}i
a)
Re{enie.
Â&#x2DC;
Racionaliziraj go imenitelot na dropkata:
b)
Re{enie.
Racionaliziraj go imenitelot na
Â&#x2DC;
dropkata: a)
a)
D E
Â&#x2DC;
5
D E D E D E D E D E D E
D E
Racionaliziraj go imenitelot na dropkata: a)
b)
v)
D D D
g)
D E D E
291
Zada~i
Racionaliziraj go imenitelot na dropkata 1
a)
2
a)
5
a)
E
E
b)
b)
D
b)
D
v)
v)
[
v)
[
g) g)
[
[
3
a)
4
a)
b)
E E
b)
v)
D E D E
D
D
v)
E
g)
D E
D E
[ \ \ [ d) |) e) [ \
g)
7
E
IRACIONALNI IZRAZI
Potseti se!
A
Koi se celi, a koi drobno racionalni algebarski izrazi? Vo racionalnite algebarski izrazi se zastapeni operaciite: sobirawe, odzemawe, mno`ewe, delewe i stepenuvawe so pokazatel cel broj. Ovie operacii se vikaat racionalni algebarski operacii. Kako se vikaat broevite
1
b) [ \ d) [\
a)
Koi od izrazite se racionalni algebarski izrazi? v) [ \
|)
g) D
e) D EF
Zapomni!
"
Izrazite vo koi osven racionalnite operacii e zastapena i operacijata korenuvawe ili stepenuvawe so pokazatel racionalen broj se vikaat iracionalni izrazi. Vo zada~ata 1 iracionalni izrazi se izrazite pod b), g), |) i e). Racionalnite i iracionalnite izrazi se vikaat algebarski izrazi.. Iracionalnite izrazi {to sodr`at promenlivi }e gi razgleduvame samo za vrednostite na promenlivite za koi{to dadeniot izraz ima smisla. Za koja vrednost na promenlivata ima smisla izrazot:
2
a) a)
[ [
b)
[ [
v)
[ [ "
[ ima smisla za sekoj realen broj, t.e. [ Â? f f a
[ t [ t t.e. [ Â? > f Spored toa, re{enieto e [ Â? f f
v)
[ ima smisla za [ t a [
toa, re{enieto e [ Â? > f 292
[ ima smisla za
Â&#x2C6;> f
> f
[ ima smisla za sekoj realen broj. Spored
3
Odredi ja dopu{tenata vrednost na promenlivite vo iracionalnite izrazi:
[ (Vnimavaj, imenitelot ne smee da bide nula). [ Vo ponatamo{noto razgleduvawe, ako poinaku ne e re~eno, }e podrazbirame deka korenot sekoga{ imaat smisla.
a) [ [
4
[ [
b)
v)
Koi od izrazite se racionalni: a) b)
g)
[ \
b)
v)
g)
[ \ "
[\ Ovie dva izrazi se racionalni. [ \ }e bide
Odredi nekolku vrednosti na x i y za koi{to iracionalniot izraz
5
racionalen izraz. Za [ \
izrazot
[ \ e racionalen, bidej}i
Â&#x2DC;
Nekoi iracionalni izrazi mo`e da se transformiraat vo racionalen izraz ili tie da se uprostat. Transformaciite na izrazite se izveduvaat vrz osnova na pravilata za operaciite so koreni. [ Uprosti go izrazot: a) [ [ b) D D Â&#x2DC; D D Â&#x2DC; D 6 [ [ v)
g)
D E D E D E
d)
Re{enie.
[ [ [
a)
[ [
b)
D D Â&#x2DC; D D Â&#x2DC; D
[ [
D D Â&#x2DC;
Â&#x2DC; [ [ Â&#x2DC;[ [Â&#x2DC;[ [ D D Â&#x2DC; D
[ [ Â&#x2DC;
D Â&#x2DC; D Â&#x2DC; D
[ Â&#x2DC;[ [ [ [
D
[
[
D
Zada~i 1
Odredi ja dopu{tenata vrednost na promenlivata x vo izrazot: a)
2
[
b)
4 5
[
v)
[ [
[
g)
[
[
d)
[
Koi od slednive izrazi se iracionalni: v) [ [ g) [ Â&#x2DC; [ d) [ [ Uprosti gi izrazite, a potoa odredi koi od niv se iracionalni izrazi. a) [ Â&#x2DC; [ b) D E Â&#x2DC; DE v) g) d) D E DE |) e) b) [
a) [ [
3
[
a)
[ [
Â&#x2DC;
b)
Uprosti go izrazot: a) b)
D E D E D E D E
6 a) b)
§ ¨ ¨ Š
[ [
[
[ ¡ [ ¸ [ [ š¸ [
293
[
8 1
Koi od slednive izrazi nemaat smisla: a)
2
TEMATSKI KONTROLNI ZADA^I
b)
v)
g)
"
Za koj vrednost na promenlivata ima smisla izrazot a) > f
b) > f
v) f
g) f "
3
Vrednosta na izrazot e: a) 64;
4
§ ¡ Vrednosta na izrazot ¨ D Â&#x2DC; D ¸ e: a) a; Š š
5
Odredi ja vrednosta na izrazot: a)
6
Svedi gi na zaedni~ki korenov pokazatel korenite: a)
i
b)
D E i
b) 2;
8
Izvr{i go korenuvaweto: a)
9
Presmetaj ja vrednosta na izrazot: b)
v) D ; b)
g) 16.
g) D
[ \
Svedi gi vo normalen vid korenite: a)
v) 4; b) D
7
a)
[ [
D D
D E
v)
[ \ D
D D D
b)
[\ Â&#x2DC; [ \
b) D
D E DE
10 Izvr{i gi nazna~enite operacii:
a) Â&#x2DC;
b)
[ \ [ \ Â&#x2DC; [ \
11 Racionaliziraj go imenitelot na dropkata: a)
12 Koi od dadenite izrazi se iracionalni: a) [ [
294
b) [ [
v) [ [
g) [ [ "
b)
[ \ [ \
TEMA 9
PLO[TINA NA MNOGUAGOLNIK I KRUG ZA SITE STRUKI
SODR@INA NA TEMATA
1
Plo{tina na kvadrat i pravoagolnik ............................... 296
2
Plo{tina na paralelogram ........ 298
3
Plo{tina na triagolnik .............. 302
4
Presmetuvawe plo{tina na triagolnik so Heronovata formula ......................................... 305
5
Plo{tina na trapez i trapezoid .................................... 308
6
Perimetar i plo{tina na pravilen mnoguagolnik ............... 311
7
Perimetar i plo{tina na krug ............................................. 314
8
Dol`ina na kru`en lak. Plo{tina na delovi na krug ...... 317
9
Tematski kontrolni zada~i ...... 320
295
1
PLO[TINA NA KVADRAT I PRAVOAGOLNIK
Potrebata za nao|awe plo{tina na razni figuri, a osobeno na mnoguagolnik i krug, se pojavila mnogu odamna. Vo matematikata, poimot plo{tina e osnoven poim, kakvi {to se, na primer, poimite to~ka, prava, mno`estvo, broj i dr. Takvite poimi, kako {to ve}e znae{, ne se definiraat, tuku se osmisluvaat so nekoi nivni svojstva. Za poimot plo{tina na mnoguagolnik se prifa}aat slednite osnovni svojstva (aksiomi za plo{tina).
A
10. Plo{tinata P na eden mnoguagolnik e pozitiven realen broj, t.e. 3 ! 20. Plo{tinata na mnoguagolnik ne zavisi od negovata mestopolo`ba, t.e. skladnite mnoguagolnici imaat ednakvi plo{tini. 30. Ako mnoguagolnikot e sostaven od dva ili pove}e mnoguagolnici {to ne se preklopuvaat, toga{ negovata plo{tina e ednakva so zbirot od plo{tinite na sostavnite delovi. 40. Kvadrat so strana a ima plo{tina D ^etvrtoto svojstvo ovozmo`uva da se utvrdi mernata edinica za plo{tina. Za takva edinica mo`e da se zeme koj bilo kvadrat. So Svetskiot sistem merki (SI) e prifateno osnovnata merna edinica za plo{tina da bide kvadrat so strana 1 m i taa e nare~ena kvadraten metar; se ozna~uva so 1 m2.
B
Potseti se! Plo{tinata P na kvadrat so strana a, spored svojstvoto 40 se presmetuva so formulata
3
D
Ako d e dijagonala na kvadrat so strana a, so koja relacija se povrzani G i D "
d
D 3
a
a
296
D D t.e. G
D od kade {to
G Zamenuvaj}i vo formulata D dobivame deka:
Plo{tinata na kvadrat so dijagonala d e 3
Kolku e plo{tinata na pravoagolnik so strani D FP i E FP" [to e sinus od ostar agol vo pravoagolen triagolnik?
Presmetaj ja plo{tinata P na kvadrat so dijagonala G FP
Spored Pitagorovata teorema, za dijagonalata d i stranata a imame: G
Kolku e plo{tinata na kvadrat so strana 4 m, izrazena so: m2, dm2, cm2?
1
Za G
FP imame 3
G
3 FP
2
Presmetaj ja plo{tinata na kvadrat vpi{an vo krug so radius FP Poznato ti e (od sedmo oddelenie) deka: Plo{tinata na pravoagolnik so dimenzii a i b e brojot D Â&#x2DC; E t.e. 3
3
D Â&#x2DC; E
Doka`i deka gornoto tvrdewe e to~no. Ako ti e potrebna pomo{, prosledi go narednovo obrazlo`enie. Razgledaj go crte`ot. Na nego e pretstaven kvadrat KLMN, koj{to e podelen na dva pravoagolnici, sekoj od niv so dimenzii a i b, i dva kvadrati edniot so strana a, a drugiot so strana b.
N a
b
Od svojstvoto 30 sleduva deka:
K
3 D E t.e. D E
3 D E D DE E
P
a2 a
Dvata pravoagolnici se skladni, a spored svojstvoto 20 (od aksiomite za plo{tina), tie imaat ednakva plo{tina P.
3./01
M
P
b2
a
b
3 D E od kade {to 3
L D Â&#x2DC; E
4
Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnik so strana D FP i dijagonala G FP
5
Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnik so dijagonala 10 cm i agol me|u dijagonalite 640. Sporedi go tvoeto re{enie so slednoto. Dadeniot agol me|u dijagonalite le`i sproti pomalata strana na pravoagolnikot. (Zo{to?)
D b
G
320
C E M
D O Na crte`ot, '20& e pravoagolen, so strani D E G A 0& 2& FP i ' 02& 20 B a &0 E a (presmetano so kalkulator) VLQ | Zna~i, Od '20& imame: VLQ 2& 20 D E D Isto taka: FRV i FRV | pa | t.e. E | | t.e. 2&
D |
6
Spored toa, 3
D Â&#x2DC; E | Â&#x2DC; t.e. 3 | FP
Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnik, ako ednata strana e 30 cm, a agolot me|u stranata i dijagonalata e 400. (Pri presmetuvaweto koristi kalkulator.) 297
Zada~i
6
1
Presmetaj ja plo{tinata na kvadrat so: a) strana 4,5 cm; b) dijagonala 8,4 cm.
2
Odredi ja plo{tinata na pravoagolnikot so strani a i b: a) D
b) D
FP E FP
P E GP Kolku pati }e se zgolemi ili namali plo{tinata na pravoagolnikot: a) ako edna strana mu se zgolemi 5 pati, a drugata ostane nepromeneta? b) ako ednata strana mu se zgolemi 2 pati, a drugata mu se namali 6 pati?
v) D
3
FP E FP P E
Kolku pati }e se zgolemi plo{tinata na kvadratot ako stranata mu se zgolemi 2, 3, 4, 5, ... pati?
5
Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnik pri koj dijagonalite zafa}aat agol D c i stranata sproti ovoj agol e 16,5 cm.
2
3 P 7
Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnik zadaden so: a) stranata D i dijagonalata G b) dijagonala G i agolot me|u dijagonalata i stranata D
8
Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolnikot
ABCD (crte`) so strana $% FP i agolot me|u dijagonalite sproti stranata AB, G c C
D
b
G
A
D
a
D
B
PLO[TINA NA PARALELOGRAM
A
Potseti se! [to e romboid?
D b
C
hb
ha
1
Doka`i deka:
Plo{tinata P na romboid e ednakva na proizvodot od negovata osnova a i soodvetnata visina h, t.e.
Na crte`ot e pretstaven romboid ABCD.
A
b) ednata e tripati pogolema od drugata i
P g) D
4
Odredi gi stranite na pravoagolnikot ako: a) tie se odnesuvaat kako a 3 P
3
G
E a
D Â&#x2DC; K
Sporedi go tvoeto re{avawe so slednoto.
B
Na crte`ot e pretstaven romboid ABCD, a od temeto D, odnosno C, spu{tena e visina DE, odnosno CF kon osnovata AB. a C D ' $(' # ' %)& (Zo{to?), pa tie imaat ednakvi plo{tini, t.e. 3$(' 3%)& b h h
Kako se vikaat otse~kite DE i DG na romboidot ABCD?
^etiriagolnikot EFCD e pravoagolnik (Zo{to?), pa 3()&' D Â&#x2DC; K Bidej}i 3$%&' 298
3$(' 3(%&'
3%)& 3(%&'
DK sleduva deka 3
A D Â&#x2DC; K
E
B
F
2
Za podno`jeto E na visinata na romboid, mo`ni se u{te slednive dva slu~ai (kako na crte`ive): Poka`i deka i vo ovie dva slu~ai va`i: 3$%&' 3()&' D Â&#x2DC; K
a
D
a
D
C
C
h A
h F
%{(
B E
A
F
Do istiot zaklu~ok za plo{tinata na romboidot se doa|a koga se raboti za drugata negova strana b i soodvetnata visina KE Zapomni! Plo{tinata P na romboidot so strani a i b i soodvetni visini KD i KE se presmetuva so formulata ili 3 D Â&#x2DC; KD 3 E Â&#x2DC; KE 3
Presmetaj ja visinata KD na romboidot so strani D FP E FP i visina KE Od 3
4
D Â&#x2DC; KD i 3
E Â&#x2DC; KE imame: D Â&#x2DC; KD
E Â&#x2DC; KE odnosno Â&#x2DC; KD
Â&#x2DC; t.e. KD
FP
FP
Stranite na eden paralelogram se D FP i E FP a agolot me|u niv e D Presmetaj ja plo{tinata na paralelogramot.
Prvo, voo~i deka za plo{tinata ni e potrebna visinata KD (ili KE ). Potoa razgledaj go crte`ot. D C a '' KD D KD E Â&#x2DC; VLQ D Od ' $' ' sleduva: VLQ D $' E ha hb b D K '' E A D1 KE D Â&#x2DC; VLQ D B Od ' '' & sleduva: VLQ D D '& Od 3
D Â&#x2DC; KD
E Â&#x2DC; KE sleduva 3
D Â&#x2DC; E Â&#x2DC; VLQ D
D2
E Â&#x2DC; D Â&#x2DC; VLQ D
Spored toa, 3 Â&#x2DC; Â&#x2DC; VLQ t.e. 3 | FP | GP Zapomni! Plo{tinata P na paralelogram mo`e da se presmetuva i so formulata 3
D Â&#x2DC; E Â&#x2DC; VLQ D
Potseti se!
B
Odredi ja plo{tinata P na romb so strana a i visina h. a D C
5
[to e romb? Pod koj agol se se~at dijagonalite na romb? Kolkav e radiusot na vpi{anata kru`nica vo romb?
a
h
D A
D1 B
h C1 299
Sogledaj deka formulata 3 D Â&#x2DC; K }e va`i i za romb, za{to kaj nego se javuvaat istite slu~ai {to gi razgleduvavme za romboid. Poka`i deka rombot ABCD (na crte`ot) i pravoagolnikot DD1C1C se ednakvoplo{ni, pa zaklu~i deka plo{tinata na rombot e 3 D Â&#x2DC; K Od ' $' ' imame VLQ D
K t.e. K D Â&#x2DC; VLQ D pa 3 D
D Â&#x2DC; D Â&#x2DC; VLQ D
D VLQ D
Zapomni! Plo{tinata P na rombot se presmetuva so formulata 3
6
ili
DÂ&#x2DC;K
3
D VLQ D
Presmetaj ja visinata na rombot, ako stranata D FP a negovata plo{tina e 3 FP Od 3
D Â&#x2DC; K sleduva deka Â&#x2DC; K pa ottuka K FP
7
Presmetaj ja plo{tinata na rombot, ako stranata D FP a radiusot na vpi{anata kru`nica vo rombot e U FP
8
Poka`i deka: Plo{tinata P na rombot so dijagonali G i G se presmetuva so formulata
3
G Â&#x2DC; G R
Niz temiwata na rombot ABCD se povle~eni pravi {to se paralelni so negovite dijagonali. Voo~i deka ~etiriagolnikot MNRQ e pravoagolnik ~ii{to strani se 01
G i 15
G pa 30134
G Â&#x2DC; G
Kakvi plo{tini imaat triagolnicite dobieni so konstrukcijata?
D
C
Q
N A
B M
Plo{tinata na rombot ABCD e dvapati pomala od plo{tinata na pravoagolnikot MNRQ, t.e. G Â&#x2DC; G 3$%&' Specijalno, dijagonalite na kvadratot se ednakvi me|u sebe, t.e. G plo{tina e 3
300
G Â&#x2DC;G
G
G
G pa negovata
9
Presmetaj ja plo{tinata na romb so strana D FP i dijagonala G Prosledi go re{enieto.
D d1
Vo rombot ABCD (na crte`ot), triagolnikot ABO e pravoagolen, pa a
A
D
G
10
§ G ¡ § G ¡ ¨ ¸ ¨ ¸ Š š Š š
FP Sledstveno, 3
§G ¡ Ottuka, ¨ ¸ Š š
G Â&#x2DC; G
§G ¡ D ¨ ¸ Š š
FP
O d2 B
G
t.e.
Â&#x2DC; FP
Odredi gi ednata dijagonala i perimetarot na rombot so plo{tina 3 drugata dijagonala G
C
FP i
FP
Zada~i 1
Presmetaj ja plo{tinata na romboidot ~ii{to strani imaat 13,5 dm i 17,4 cm i agolot me|u niv ima c
2
Presmetaj ja plo{tinata na paralelogram so strani 8 cm i 15 cm, a pogolemata od negovite visini e 6 cm.
3
Presmetaj ja plo{tinata na paralelogram so visini KD FP i KE FP i agol me|u niv 600.
4
Presmetaj ja plo{tinata na rombot so strana 16 dm i radius na vpi{anata kru`nica 6 dm.
5
Odredi gi visinata h i perimetarot L na romb so plo{tina 3 GP i dijagonala
G
6
GP
7
Vo eden paralelogram, ednata strana e
D drugata e ednakva so dijagonalata, a agolot me|u stranite e D c (crte`). Presmetaj ja plo{tinata na paralelogramot.
b
D 8
b a
Vo triagolnik so strana 30 cm i soodvetna visina 10 cm e vpi{an pravoagolnik, taka {to ednata negova strana le`i na dadenata strana na triagolnikot. Odredi gi stranite na pravoagolnikot ako negovata plo{tina e 63 cm2.
Presmetaj gi plo{tinata i visinata na rombot so strana D GP i agol me|u stranite D c
301
3
PLO[TINA NA TRIAGOLNIK
A
Potseti se!
1
Stranite na paralelogramot ABCD se D FP i E FP a agolot me|u niv e 300. Presmetaj ja plo{tinata na triagolnikot ABD.
[to e triagolnik? Kakvi vidovi triagolnici ima spored stranite, a kakvi spored aglite?
C
D
Dijagonalata go deli paralelogramot na dva skladni triagolnici.
b
Kolkava e plo{tinata na triagolnikot vo odnos na plo{tinata na paralelogramot?
30
ha
0
A
a
B
FP Triagolnicite ABD i CDB se skladni (Zo{to?), pa imaat ednakvi plo{tini. Ottuka Plo{tinata na paralelogramot ABCD e 3
sleduva deka 3$%'
3$%&'
D Â&#x2DC; E Â&#x2DC; VLQ D Â&#x2DC; Â&#x2DC; VLQ Â&#x2DC; Â&#x2DC;
FP
Voo~i deka visinata KD na paralelogramot e isto taka visina na triagolnikot ABD, pa
3$%'
D Â&#x2DC; KD Do istiot zaklu~ok se doa|a ako se povle~e visinata KE kon stranata b. Zapomni! Plo{tinata P na triagolnik so strani a, b, c i soodvetni visini KD KE KF se presmetuva so formulata 3
D Â&#x2DC; KD ili 3
E Â&#x2DC; KE ili 3
F Â&#x2DC; KF
2
Iska`i ja so zborovi formulata za presmetuvawe plo{tina na triagolnik.
3
Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak triagolnik so osnova 20 cm i krak 26 cm.
Plo{tinata P na triagolnik mo`e da se presmeta i so koristewe na trigonometriski funkcii, koga triagolnikot e zadaden so dve strani i agolot zafaten me|u niv. Izvedi ja formulata za presmetuvawe plo{tina na triagolnik, ako se dadeni dve negovi strani i agolot me|u niv.
4
Prosledi go re{enieto. 302
Za ' $%& na crte`ot imame 3
KF t.e. KF E
' $& & imame: VLQ D
KF t.e. KF D
VLQ E
3
C
F Â&#x2DC; KF Od pravoagolniot
b
E Â&#x2DC; VLQ D a od ' && % imame:
F Â&#x2DC; KF dobivame: 3
F Â&#x2DC; E Â&#x2DC; VLQ D ili 3
D
A
D Â&#x2DC; VLQ E Zamenuvaj}i vo formulata
a
hc
E
c
C1
F Â&#x2DC; D Â&#x2DC; VLQ E Na sli~en na~in dobivame 3
B
D Â&#x2DC; E Â&#x2DC; VLQ J
Zapomni! Plo{tinata P na triagolnik mo`e da se presmetuva so formulata
3
D Â&#x2DC; E Â&#x2DC; VLQ J ili 3
D Â&#x2DC; F Â&#x2DC; VLQ E ili 3
E Â&#x2DC; F Â&#x2DC; VLQ D
Zabele{ka. Gornite formuli va`at i koga ' $%& e tapoagolen so, na primer, J ! So toa }e se zapoznae{ vo ponatamo{noto izu~uvawe na trigonometrijata. 5
Presmetaj ja plo{tinata na ' $%& zadaden so E FP F FP i D Agolot D e zafaten so stranite b i c, pa spored formulata 3
3
c
E Â&#x2DC; F Â&#x2DC; VLQ D imame:
Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC; VLQ c Â&#x2DC; VLQ c Â&#x2DC; VLQ | Â&#x2DC; | FP
Vo ramnostraniot triagolnik sekoj vnatre{en agol ima 600, pa ako a e negovata strana , toga{ plo{tinata e 3
Â&#x2DC; D Â&#x2DC; D Â&#x2DC; VLQ t.e. 3
Â&#x2DC; D
B
C1
Za pravoagolniot triagolnik (na crte`ot) katetite se zaemno normalni, pa KD
3
D Â&#x2DC; KE
E Â&#x2DC; KD
E KE
DÂ&#x2DC;E ili 3
D i
c
a
F Â&#x2DC; KF
hc b
C
A
Zapomni! Plo{tinata na ramnostran triagolnik so strana a e
3
Plo{tinata na pravoagolen triagolnik so kateti a i b e
D 3 D Â&#x2DC; E 303
6
Odredi ja hipotenuznata visina KF na pravoagolniot triagolnik ~ii kateti se D FP i E FP
7
Katetite na pravoagolen triagolnik se odnesuvaat kako a negovata plo{tina e FP Presmetaj go perimetarot na triagolnikot. Re{enie. Od D E sleduva imame
D
E
N t.e. D N i E N So zamena vo formulata 3
N Â&#x2DC; N od kade {to N
pa D FP E FP F
D E
DÂ&#x2DC;E
FP
Spored toa, / D E F t.e. / FP
Zada~i 1
2
3
Kolku }e se zgolemi plo{tinata na triagolnikot ako: a) osnovata mu se zgolemi tripati, a visinata mu se namali ~etiripati; b) osnovata mu se namali dvapati i visinata mu se namali petpati? Kolku procenti }e se zgolemi plo{tinata na triagolnikot ako osnovata mu se zgolemi 50%, a visinata mu se namali 30%?
5
Zbirot na dve strani na ' $%& e 15 cm, a visinite kon niv se 4 cm i 6 cm, soodvetno. Odredi ja plo{tinata na triagolnikot.
7
Perimetarot na ramnokrak triagolnik e 64 cm, a razlikata na krakot i osnovata e 11 cm. Presmetaj ja plo{tinata na triagolnikot.
8
Niz sredinata na edna strana na triagolnik se povle~eni pravi paralelni so stranite na triagolnikot. Doka`i deka plo{tinata na dobieniot paralelogram e dvapati pomala od plo{tinata na triagolnikot.
9
Dve strani na triagolnik se 10 cm i 14 cm, a agolot sproti pomalata od niv e 450. Presmetaj ja plo{tinata na triagolnikot.
Presmetaj ja plo{tinata na ' $%& zadaden so: a) D E L J b) E F L D c v) D F L E c v) E E L J c
4
6
Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolniot triagolnik so kateti a i b i hipotenuza c, ako: a) D E b) D F v) D i eden od aglite e 450. Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrakiot ' $%& so osnova a, krak b, agol pri osnovata D i agol pri vrvot J zadaden so: a) D FP L D c b) E GP L J v) D FP L J c
304
10 Odredi ja plo{tinata na pravoagolen triagolnik ako negovata visina ja deli hipotenuzata na otse~ki od 32 cm i 18 cm.
PRESMETUVAWE PLO[TINA NA TRIAGOLNIK SO HERONOVATA FORMULA
4 Potseti se!
A
1
Presmetaj ja plo{tinata na triagolnikot ~ii strani se D FP E FP L F FP
Koi elementi na triagolnikot treba da se poznati za da se presmeta negovata plo{tina?
Sledi go re{enieto.
Za da se presmeta baranata plo{tina treba na nekoj na~in da se odredi barem edna od visinite na triagolnikot ABC. C Neka && A $% i $& [ Toga{ & % F [ pa od ' $& & imame: KF
E [ t.e. KF [
Sli~no, od ' && % imame: KF
KF
b
D F [ t.e.
A
[
hc x C1
Od prethodnite dve ravenstva dobivame:
a F [ c
B
[ [ ili [ t.e. [ pa FP Zna~i, 3 Â&#x2DC; Â&#x2DC; FP
[ [ ili [
KF
t.e. KF
Vo osnovnoto obrazovanie vakvi zada~i si re{aval poinaku, si ja primenuval Heronovata formula ( Heron e gr~ki matemati~ar od Aleksandrija, I vek p.n.e. ) koja glasi:
D E F Za izveduvawe na ovaa formula se koristi idejata od re{enieto na zada~ata 1, no nie toa nema da go napravime. V V D V E V F kade {to
3
V
Presmetaj ja plo{tinata na dadeniot triagolnik so primena na Heronovata formula. 2
Presmetaj ja plo{tinata na paralelogram so strani D nala G FP
Re{enie. Dijagonalata AC go deli paralelogramot ABCD na dva skladni triagolnici (crte`). Bidej}i se dadeni trite strani na ' $%& , negoviot poluperimetar e
V
D E F
3$%&
3$%&
FP E FP i edna dijago-
D
C d1 a
A
b B
pa spored Heronovata formula imame:
V V D V E V F
Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC;
Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC; t.e.
pa plo{tinata na paralelogramot e 3 Â&#x2DC; FP
305
Zapomni! Plo{tinata na triagolnik, ako se dadeni negovite strani, se presmetuva so Heronovata formula
3
V V D V E V F
D E F
V
Odredi ja najmalata visina na triagolnikot so strani 50 cm, 58 cm i 72 cm.
3
B
Potseti se! Kade se nao|a centarot na vpi{anata kru`nica vo triagolnikot?
Neka r e radiusot na vpi{anata kru`nica vo ' $%& so
4
strani a, b i c. Odredi ja plo{tinata na triagolnikot izrazena preku a, b, c i r.
Kakov agol obrazuvaat stranata na triagolnikot i radusot na vpi{anata kru`nica povle~en vo dopirnata to~ka?
C b
Kade se nao|a centarot na opi{anata kru`nica na triagolnikot? Kade le`i centarot na kru`nicata opi{ana okolu pravoagolen triagolnik?
r
r O
a
r
900
c
A
B
Prosledi go re{enieto. Voo~i: radiusot r e visina na sekoj od triagolnicite ABO, BOC i AOC. Spored aksiomata za plo{tina na mnoguagolnik imame: 3$%&
3
FÂ&#x2DC;U DÂ&#x2DC;U EÂ&#x2DC;U D E F t.e. 3 U Â&#x2DC;
3$%2 3%&2 3&$2
U Â&#x2DC; V kade {to V
D E F
Presmetaj go radiusot na vpi{anata kru`nica vo pravoagolniot triagolnik so kateti 8 cm i 15 cm.
5
Za plo{tinata imame: 3
D E F
V
D Â&#x2DC;E
Â&#x2DC;
FP Od 3
FP
F
U Â&#x2DC; V sleduva U
D E 3 V
FP
FP
Zapomni! Ako r e radiusot na vpi{anata kru`nica vo triagolnik so strani a, b i c, toga{
3 U Â&#x2DC; V a U
306
3 kade {to V V
D E F Ako ' $%& e ramnostran, toga{ U
D
6
Odredi go: a) radiusot r na vpi{anata i b) radiusot R na opi{anata kru`nica kaj triagolnikot so strani 37 cm, 15 cm i 44 cm. Re{enie. a) Poluperimetarot na triagolnikot e V
mula 3
U
kru`nicata dobivame U
FP pa spored Heronovata for-
Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC; FP Za radiusot r na vpi{anata
FP
b) Radiusot R na opi{anata kru`nica se presmetuva so formulata 5 toa, 5 7
Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC;
FP
D Â&#x2DC;EÂ&#x2DC;F Spored 3
Presmetaj go radiusot r na vpi{anata i radiusot R na opi{anata kru`nica na triagolnikot ABC so strani D FP E FP F FP Zapomni! Ako R e radiusot na vpi{anata kru`nica vo triagolnik so strani a, b i c, toga{
3
DÂ&#x2DC;EÂ&#x2DC;F 5
a 5
D Â&#x2DC;E Â&#x2DC;F Ako ' $%& e ramnostran, toga{ 5 3
D
Zada~i 1
2
Presmetaj ja plo{tinata na triagolnik so strani 12, 35, 37. Koristej}i ja Heronovata formula izvedi ja formulata za plo{tina na ramnostran triagolnik.
3
Odredi ja najmalata visina na triagolnikot so strani 18, 20, 34.
4
Odredi ja plo{tinata na triagolnikot ~ii dve strani se 27 cm i 29 cm, a te`i{nata linija kon tretata strana e 26 cm.
5
Osnovata na eden ramnokrak triagolnik e
D
FP a krakot e E
FP Odredi gi
radiusot r na vpi{anata i radiusot R na opi{anata kru`nica.
6
Presmetaj gi plo{tinata i radiusite na vpi{anata i opi{anata kru`nica na pravoagolniot triagolnik so kateta 48 cm i hipotenuza 73 cm.
7
Najdi ja plo{tinata na ramnostraniot triagolnik za koj va`i 5 Â&#x2DC; U
307
5
PLO[TINA NA TRAPEZ I TRAPEZOID
A
Presmetaj ja plo{tinata na trapez so osnovi a i b i visina h. Razgledaj go crte`ot. Na nego se pretstaveni trapezot ABCD i triagolnikot AND, pri {to to~kata M e sredinata na krakot BC. b C D
Potseti se! [to e trapez? Na {to e ednakva srednata linija na trapezot? Kako se transformira trapez vo triagolnik so ednakva plo{tina? [to e trapezoid?
1
Bidej}i 0% 0& ' %01 ' &0' (nakrsni agli) i ' 1%0 ' '&0 (naizmeni~ni agli), spored priznakot ASA zaklu~uvame deka ' %10 # ' &'0 Ottuka sleduva deka %1 &' E
M
h A
a
b
B
N
Triagolnikot AND i trapezot ABCD imaat ednakvi plo{tini (Zo{to?). Spored toa,
3$%&'
3$1'
D E Â&#x2DC; K P Â&#x2DC; K pri {to m e srednata linija na trapezot i P
D E
Presmetaj ja plo{tinata na trapez so osnovi 12 cm i 8 cm, a visina 7 cm.
2
So primena na formulata 3
D E Â&#x2DC; K imame 3
Â&#x2DC; FP
Zapomni! Plo{tinata na trapez so osnovi a i b i visina h se presmetuva so formulata 3
D E Â&#x2DC; K
Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 14 cm i 6 cm i krak 5 cm.
3
Re{enie. Ramnokrakiot trapez na crte`ot, so povlekuvawe na otse~kata '' % %& e podelen na paralelogram i ramnokrak triagolnik so osnova $' K
3
308
D E Od ' $' ' dobivame K
§ D E¡ F ¨ ¸ Š š
§ ¡ ¨ ¸ Š š
D E Â&#x2DC; K Â&#x2DC;
$' $' ili
FP
b
D
t.e. K FP pa
c
C c
h
A D2
D1 a
b
B
4
Presmetaj gi plo{tinata i perimetarot na pravoagolniot trapez ABCD $' A $%
so osnovi D FP i E FP i agol me|u krakot i osnovata od c b C D Re{enie. Aglite {to le`at na krakot se suplementni, pa
E c c Od ' && % imame: WJ E 3
K & %
K D E
D E Â&#x2DC; WJ E
K
t.e. F | FP a bidej}i G 5
Â&#x2DC; WJ c Â&#x2DC; | FP
D E Â&#x2DC; K | Â&#x2DC; | FP
d
K , dobivame /
Od FRV E
%& %&
B
C1
D E sleduva deka F F
FRV c
D E F G | FP
B
Trapezoid e ~etiriagolnik koj nema paralelni strani. [to e deltoid? Odreduvaweto na plo{tinata na trapezoidot mo`e da se vr{i na razli~ni na~ini, vo zavisnost od dadenite elementi.
6
Presmetaj ja plo{tinata na ~etiriagolnikot ABCD, ako dijagonalata $& FP a temiwata B i D se oddale~eni od dadenata dijagonala 10 cm i 14 cm, soodvetno. D h2
Re{enie. Dijagonalata AC go deli ~etiriagolnikot na dva triagolnici so zaedni~ka strana i visini h1 i h2, pa baranata plo{tina e 3
8
E
a
Osnovite na eden trapez se 23 dm i 170 cm, a plo{tinata e 2 m2. Odredi ja visinata na trapezot. Potseti se!
7
A
c
h
$& Â&#x2DC; K $& Â&#x2DC; K t.e. 3
C h1
A
$& Â&#x2DC; K K
Presmetaj ja plo{tinata na ~etiriagolnikot ABCD, ako $% &' FP $' FP i $& FP
B
Â&#x2DC; Â&#x2DC; FP FP %&
FP
Vo ~etiriagolnikot ABCD dijagonalite d1 i d2 se zaemno normalni. Presmetaj ja negovata plo{tina ako G FP i G FP D P Q Re{enie. Ako niz temiwata na dadeniot ~etiriagolnik povle~eme pravi paralelni so dijagonalite, se dobiva d1 A C pravoagolnikot MNPQ so strani 01 G i 04 G sostaven od ~etiri para pravoagolni triagolnici, sekoj par so ednakvi d2 plo{tini. Spored toa, baranata plo{tina e dvapati pomala od plo{tinata na pravoagolnikot MNPQ. Zna~i, 3
G Â&#x2DC; G
Â&#x2DC; FP
M
B
N 309
Zapomni! Plo{tinata na ~etiriagolnik so zaemno normalni dijagonali d1 i d2 se presmetuva so formulata
3
G Â&#x2DC; G
Stranite na eden deltoid se 10 cm i 17 cm, a dijagonalata {to ne e oska na simetrija D e 16 cm. Presmetaj ja plo{tinata na deltoidot. a a Trapezoid {to ima dva para ednakvi sosedni strani se vika
9
deltoid. Dijagonalata BD (na crte`ot) e simetrala na dijagonalata AC i e oska na simetrija na deltoidot.
A
C
O b
§ ¡ D ¨ $& ¸ t.e. '2 FP Š š B § ¡ Od ' 2%& imame: 2% %& 2& E ¨ $& ¸ pa 2% FP Š š Spored toa, '% '2 2% FP a 3 $& Â&#x2DC; '% Â&#x2DC; Â&#x2DC; FP Presmetaj ja plo{tinata na deltoidot so primena na Heronovata formula.
Od ' '2& imame: '2
'& 2&
b
Presmetaj ja plo{tinata na deltoidot so strani 8 cm i 15 cm i agol me|u niv od 1500.
10
Zada~i 1
Presmetaj ja plo{tinata na trapez so sredna linija P FP i visina K FP
2
Plo{tinata na eden trapez e 360 cm2, a osnovite se 22,5 cm i 13,5 cm. Presmetaj ja visinata.
3
Plo{tinata na ramnokrak trapez e 120, negoviot krak e za 2 pogolem od visinata, a paralelnite strani se razlikuvaat za 12. Odredi gi perimetarot L i dol`inite a i b na paralelnite strani na trapezot.
310
Presmetaj gi plo{tinata i perimetarot na pravoagolen trapez so osnovi D FP i
E FP i krak {to ne e normalen na osnovata, F FP 6
Osnovite na eden trapez se D
FP i
E FP a dijagonalite se G FP i G FP Presmetaj ja plo{tinata P na
Presmetaj ja plo{tinata na trapezot ABCD so osnovi 24 cm i 10 cm, a kraci $' FP i
%& FP 4
5
trapezot.
7
Presmetaj gi plo{tinata i dijagonalite na deltoid so strani D FP i E FP i agol me|u niv 900.
8
Vo deltoid so strani 10 i 6 e vpi{ana kru`nica so radius 3. Presmetaj ja plo{tinata na toj deltoid.
PERIMETAR I PLO[TINA NA PRAVILEN MNOGUAGOLNIK
6
A
Potseti se! Mnoguagolnik (konveksen) na koj site strani mu se ednakvi i site agli mu se ednakvi se vika pravilen mnoguagolnik. [to e perimetar na mnoguagolnik? Presmetaj go perimetarot L na pravilen: a) {estagolnik so strana D FP b) devetagolnik so strana D FP Perimetarot na pravilen n-agolnik so strana a e
/
1
Vo dadena kru`nica so radius R vpi{i pravilen petagolnik. Za da go nacrta{ baraniot petagolnik dovolno e vo dadenata kru`nica da nacrta{ posledovatelno pet centralni agli, sekoj od D E
720
Q Â&#x2DC; D
Zo{to nacrtaniot petagolnik e pravilen?
C
O
B
A
Od skladnosta na triagolnicite OAB, OBC,..., OEA (spored priznakot SAS) sleduva deka petagolnikot ABCDE ima ednakvi strani i ednakvi agli, pa toj e pravilen. 2
Vo kru`nica so radius 3 cm vpi{i pravilen devetagolnik. Objasni ja postapkata za crtawe na pravilen n-agolnik so pomo{ na {estar, linijar i aglomer. Voo~i deka za n-agolnik treba da se zeme centralen agol D Q Vo sedmo oddelenie u~e{e deka: Okolu sekoj pravilen mnoguagolnik mo`e da se opi{e kru`nica. Vo sekoj pravilen mnoguagolnik mo`e da se vpi{e kru`nica. Tie dve kru`nici se koncentri~ni i nivniot centar se vika centar na pravilniot mnoguagolnik.
3
Na crte`ot e pretstaven pravilen mnoguagolnik ABCDE... i centarot O e povrzan so otse~ki so negovite temiwa. Na kolku triagolnici e podelen eden pravilen: a) {estagolnik; b) n-agolnik? Od koj vid e triagolnikot ABO ? Kakvi se me|u sebe triagolnicite ABO, BCO, ...?
O
E D
A B
C 311
B
Vo pravilen n-agolnik ABC..., stranata a, radiusot R na opi{anata kru`nica i radiusot r na vpi{anata kru`nica se elementi na ramnokrak triagolnik (na primer, ' $%2 na crte`ot); toj se vika karakteristi~en triagolnik na pravilniot mnoguagolnik. Visinata K U 26 O na ' $%2 se vika apotema, D ' $2% centralen agol na D R pravilniot mnoguagolnik.
Poka`i deka plo{tinata P na pravilen n-agolnik mo`e da se presmeta so formulata
4
3
Q Â&#x2DC; D Â&#x2DC; K 3
/ Â&#x2DC; K ili 3
A
D
U
S
K
B
D QD FWJ
kade {to a e stranata, h e apotemata, L e perimetarot i D e centralniot agol na n-agolnikot. Iskoristi go faktot deka n-agolnikot go so~inuvaat n skladni triagolnici (karakteristi~ni triagolnici), pa (spored crte`ot):
3 Q Â&#x2DC; 3'$%2 5 /
Q Â&#x2DC; DK
Â&#x2DC; QD Â&#x2DC; K
/K K
D D FWJ 3
D QD FWJ Â&#x2DC;
Stranata na eden osumagolnik e D FP Presmetaj gi perimetarot L i plo{tinata P na osumagolnikot. Q Â&#x2DC; D Â&#x2DC; / FP 3 Â&#x2DC; Â&#x2DC; FWJ Â&#x2DC; Â&#x2DC; FWJ | Â&#x2DC; | FP Poka`i deka perimetarot L i plo{tinata P na pravilen n-agolnik, pri daden a) R; b) r, mo`e da se presmeta so formulata:
6
a) / Q 5 VLQ b) / Q U WJ
D
D
Q 5 VLQ D D 3 Q U WJ 3
D ) Q Od crte`ot na karakteristi~niot triagolnik (pred zada~a 4) voo~i deka:
(R i r se radiusite na opi{anata i vpi{anata kru`nica, a
D D L D U WJ D a) / QD Q5 VLQ 3 Â&#x2DC; Q 5 5 VLQ D D 5 VLQ
b) / 312
QD
D U
Q Â&#x2DC; U WJ
5 FRV
D
3
/U
QU WJ
D
Ne e neophodno da se pomnat prethodnite formuli za L i P. Sekoja od niv mo`e da se dobie od karakteristi~niot triagolnik pri re{avaweto na konkretna zada~a. Presmetaj gi perimetarot L i plo{tinata P na pravilen desetagolnik so radius na opi{anata kru`nica 5 FP
7 /
8
QD Â&#x2DC; 5 VLQ
| Â&#x2DC; Â&#x2DC; | FP
/U
3
Â&#x2DC; Â&#x2DC; 5 FRV | Â&#x2DC; Â&#x2DC; | FP
Presmetaj gi perimetarot L i plo{tinata P na pravilen devetagolnik {to e opi{an okolu kru`nica so radius 6 cm. Voo~i deka se raboti za devetagolnik vo koj e vpi{ana kru`nica so radius U D D t.e. Nacrtaj karakteristi~en triagolnik i sogledaj deka za stranata a imame:
D Â&#x2DC; Â&#x2DC; WJ | Â&#x2DC; FP
3 9
FP
/ Q Â&#x2DC; D | Â&#x2DC; FP
Â&#x2DC; / Â&#x2DC; U | Â&#x2DC; Â&#x2DC; FP Poka`i deka odnosot na perimetarot kon: a) stranata; b) radiusot na opi{anata kru`nica, e ednakov za site istoimeni (t.e. so ednakov broj strani) pravilni mnoguagolnici. Re{enie. Neka se dadeni dva pravilni n-agolnici, edniot so strana a, a drugiot so strana
Dc (crte`). Toga{ za nivnite perimetri / i /c imame: a) / QD i /c QDc pa / /c
QD QDc
D Dc
b) Od ' 2$% ' 2$c%c imame
/ D
t.e.
D 5
Dc 5c
/c Dc
QD 5
QDc pa 5c
/ 5
O
/c 5c
R A
$c
Zada~i 1
Presmetaj ja plo{tinata na pravilen devetagolnik so strana 12.
2
Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na pravilniot dvanaesetagolnik {to e vpi{an vo kru`nica so radius 6 cm.
3
Odredi ja plo{tinata na pravolniot {estagolnik so strana a.
4
a
Dc
5c
C
&
c
B
%c
Presmetaj gi perimetarot i plo{tinata na pravilen triagolnik {to e: a) vpi{an vo kru`nica so radius 20 cm; b) opi{an okolu kru`nica so radius 20 cm.
5
Vo kru`nica so radius 8 cm e vpi{an i opi{an pravilen {estagolnik. Presmetaj ja razlikata me|u plo{tinite na tie dva {estagolnici.
313
6
Podot na edna prostorija treba da se poplo~i so ednakvi plo~ki vo forma na pravilen {estagolnik so strana 12 cm. Kolku takvi plo~ki }e se upotrebat ako podot ima forma na pravoagolnik so dimenzii 7,48 m i 3,25 m?
7
Vo dvorot na edno u~ili{te, na parcela so forma na pravolen {estagolnik, zasadeni se cve}iwa. Taa treba da se zagradi so ograda od tri reda `ici. Kolku metri `ica }e bidat potrebni, ako plo{tinata na parcelata e 5,84 m2?
7
9
Okolu edna kru`nica e opi{an pravilen mnoguagolnik so perimetar 60 cm i plo{tina 240 cm2. Odredi go radiusot na kru`nicata.
10 Poka`i deka za plo{tinite P i 3 c na koi bilo dva pravilni n-agolnici so strana a i Dc , soodvetno, va`i: 3 3c D Dc
A
[to e kru`nica, a {to e krug? Kolku iznesuvaat perimetarot L i plo{tinata P na krug so radius U FP"
US / S FP
3 U S 3 S FP Dol`inata na otse~ka se meri taka {to se nanesuva druga otse~ka, zemena za merna edinica. Zo{to dol`inata na kru`nica ne mo`e da se izmeri ni so otse~ka, zemena za merna edinica, ni so kru`en lak, zemen za merna edinica? Otse~ka ne mo`e da se nanese na lak od kru`nica; lak od kru`nica ne mo`e da se nanese i da pokrie laci od kru`nici so razli~ni radiusi. [to e perimetar na krug?
r
314
Presmetaj ja plo{tinata na pravilen triesetagolnik {to e opi{an okolu kru`nica so radius 20.
PERIMETAR I PLO[TINA NA KRUG
Potseti se!
/
8
h
Za poimite perimetar i plo{tina na krug ima{ dobieno pretstava
od porano, a formulite za nivnoto presmetuvawe gi koriste{e pri re{avaweto na razni zada~i. Tie poimi i tuka nema precizno da gi definirame, nitu formulite }e gi doka`eme, no }e dademe dopolnitelno objasnenie kako se doa|a do niv. Podolu se nacrtani ~etiri kru`nici so ist radius r i vo trite od niv se vpi{ani pravilni mnoguagolnici. 1
Razgledaj gi ovie crte`i i zabele`i kako, so zgolemuvaweto na brojot na stranite na mnoguagolnikot, se menuvaat: a) dol`inite na stranite, b) apotemite, v) perimetrite i g) plo{tinite.
h
h
Voo~i deka: kako {to raste brojot na stranite na vpi{aniot mnoguagolnik, taka se slu~uvaat slednive promeni: (a)
dol`inata na sekoja strana se namaluva;
(b)
apotemite rastat, pribli`uvaj}i se kon radiusot r;
(v)
perimetrite rastat, pribli`uvaj}i se kon Â&#x201E;perimetarot na krugotÂ&#x201D;;
(g)
plo{tinite rastat, pribli`uvaj}i se kon Â&#x201E;plo{tinata na krugotÂ&#x201D;;
2
Dadeni se dve kru`nici: ednata so radius r, dijametar d i perimetar L, a drugata so radius U c dijametar G c i perimetar /c
/ G
Doka`i deka
/c Gc
O r
Sledi go dokazot.
a
2c Uc
Dc
%c $c A B ]e vpi{eme pravilen n-agolnik so strana a vo ednata, a so strana Dc vo drugata kru`nica; na crte`ot e nacrtan samo po eden karakteristi~en triagolnik.
/ /Qc D Dc QD QDc pa kade t.e. Q U Uc U Uc U Uc {to /Q i /Qc se perimetrite na soodvetnite pravilni n-agolnici, vpi{ani vo kru`nicite. ' $2% ' $c2c%c (zo{to?); od toa sleduva deka
Od toa {to n neograni~eno raste, }e imame: ( o
/Q o / i /Qc o /c
se ~ita: Â&#x201E;se stremi kako grani~na vrednost konÂ&#x201D;). Sledstveno:
/Q / o U U
i
/Qc /c o Uc Uc
/Q /c e ednakov so Q Sosema e U Uc / razumno da prifatime deka i Â&#x201E;nivnite grani~ni vrednostiÂ&#x201D; se ednakvi, t.e. e ednakov U /c so Uc
Kako {to vidovme vo prethodnata lekcija (zada~a 9):
Zna~i:
/ U
/c Uc
/ U
/c U c
W H
/ G
/c Gc
Zapomni! Odnosot na perimetarot i dijametarot e ist za site krugovi.
315
/ koj{to e ist za site kru`nici, se ozna~uva so gr~kata bukva S (pi). Zna~i, G brojot S e definiran kako koli~nik na perimetarot L i dijametarot d, t.e.
Brojot
/ G
S
Toj e iracionalen broj i se izrazuva pribli`no naj~esto so slednive broevi:
Od ravenstvoto S perimetarot na krug:
/ gi dobivame slednive dve formuli za presmetuvawe na G / S G
/
S U
Ako vo niv S se zameni so negova pribli`na vrednost, toga{ i L }e bide pribli`no presmetan. (Vo zada~ite nie za S }e ja koristime obi~no, pribli`nata vrednost 3,14.). 3
Najdi go radiusot r ako: a) / S FP
B
b) / | FP
Vo soglasnost so zaklu~okot ( g ) po zada~ata
1
prifa}ame deka plo{tina na
krugot e brojot P kon koj se stremat plo{tinite Pn na vpi{anite vo nego pravilni
n-agolnici, koga n neograni~eno se zgolemuva. Plo{tinata na krug e pozitiven broj. 4
Poka`i deka za plo{tinata P na krug so radius r va`i: 3
U S
Dadeno: krug so radius r, perimetar L i plo{tina P. Da se poka`e: 3 U S
O r
Prosledi go objasnenieto.
hn
Na crte`ot e pretstaven krug so radius r i vo nego e vpi{an pravilen n-agolnik so: apotema hn, perimetar Ln i plo{tina Pn.
KQ Â&#x2DC; /Q Koga n neograni~eno raste, imame: KQ o U /Q o / SD 3Q o U/ U Â&#x2DC; US U S No, po definicija, 3Q o 3 pa 3 U/ Bidej}i / US imame: 3
Za Pn imame: 3Q
5
Poka`i deka plo{tinite P1 i P2 na dva kruga imaat ist odnos kako kvadratite na nivnite radiusi r1 i r2, t.e. 3 3
6
U U
Perimetarot na eden krug e S FP Odredi ja plo{tinata na krugot. 316
Zada~i 1
5
Kako }e se promeni a) perimetarot, b) plo{tinata na krug, ako radiusot na krugot se zgolemi 4 pati?
6
perimetar e ednakov so zbirot od perimetrite na dve kru`nici so radiusi 4 i 6.
Makara so dijametar 1,4 m pravi 80 zavrtuvawa okolu svojata oska za edna minuta. Odredi ja brzinata na dvi`ewe na to~ka {to le`i na kru`nicata od makarata.
7
Odnosot na perimetrite na dve kru`nici e a radiusot na pomalata kru`nica e 15 cm. Presmetaj go radiusot na pogolemata kru`nica.
Pravoagolnik so strani 8 i 6 e vpi{an vo krug. Presmetaj ja plo{tinata na figurata me|u kru`nicata i pravoagolnikot.
8
Dijagonalite na eden romb se 18 i 24. Presmetaj ja plo{tinata na krugot vpi{an vo rombot.
9
Najdi gi perimetarot L i plo{tinata P na krug, vpi{an vo ramnokrak trapez so osnovi 18 cm i 8 cm.
Edno trkalo se zavrtelo 6 pati i izminalo 26,4 m. Najdi go radiusot na trkaloto (smetaj}i deka S |
).
2 Presmetaj go radiusot na kru`nica, ~ij{to
3
4
Mernite broevi na perimetarot i plo{tinata na eden krug se ednakvi. Presmetaj go radiusot na krugot.
DOL@INA NA KRU@EN LAK. PLO[TINA NA DELOVI NA KRUG
8
Kako se presmetuva dol`ina na kru`nica?
Potseti se! Za koj agol velime deka e centralen agol? [to e kru`en lak?
Dol`inata na edna kru`nica e 72 dm. Kolkava dol`ina ima kru`niot lak ~ij centralen agol e 10?
Pri raboteweto so dol`ini na laci, zgodno e celata kru`nica da se smeta za lak {to odgovara na centralen agol od 3600.
A
Taka, dol`inata ? na kru`en lak so centralen agol od 10 e 360-ti del od dol`inata
US US ili ? Ako, pak, na kru`niot lak mu odgovara centralen agol D toga{ negovata dol`ina ? }e bide D pati pogolema od ? t.e. US na kru`nicata, t.e. ?
/
?
1
D
?
US D
Vo kru`nica so radius U FP presmetaj ja dol`inata na kru`niot lak so centralen agol: a) D b) D c
S Â&#x2DC; S ? S FP | FP b) Prvo treba D c da go pretvorime vo S Â&#x2DC; § ¡ S ? S FP | FP stepeni; c ¨ ¸ pa D ? Š š
a) ?
US D
317
Potseti se!
B
Delot od krugot {to e zafaten so eden negov centralen agol se vika kru`en ise~ok ili kru`en sektor.
[to e kru`en ise~ok? So koja formula se presmetuva plo{tina na krug?
Na crte`ot, so oboeniot del e pretstaven eden kru`en ise~ok so centralen agol D B Zamisli si deka krugot e razdelen na 360 kru`ni ise~oci, r sekoj so centralen agol od 10. Plo{tinata P1 na eden takov O D kru`en ise~ok e 360-ti del od plo{tinata na krugot, t.e. Koj del od krugot e kru`niot ise~ok ~ij centralen agol e 10?
3
A
U S
Ako, pak, centralniot agol ima D stepeni, toga{ kru`niot ise~ok }e ima D pati pogolema plo{tina od P1, t.e. 3
3 Â&#x2DC; D
U S D
Plo{tinata na kru`en ise~ok vo krug so radius U FP i centralen agol D
2
3
U S Â&#x2DC;D
S Â&#x2DC; S
e:
3 S FP
Vo krug so radius U FP daden e kru`en ise~ok ~ij{to kru`en lak ima dol`ina
3
? FP Presmetaj ja plo{tinata na kru`niot ise~ok. Potseti se deka dol`inata na kru`niot lak se presmetuva O
USD i voo~i deka za plo{tinata na kru` U SD U Â&#x2DC; USD U USD U? U Â&#x2DC;? niot ise~ok imame 3 Â&#x2DC; 3 Â&#x2DC; Â&#x2DC; Taka, 3 FP so formulata ?
V
Del od krugot zafaten so eden negov lak i soodvetnata tetiva se vika kru`en otse~ok ili kru`en segment.
Na crte`ot, so oboeniot del e pretstaven eden kru`en otse~ok. Vo krugot so radius r, otse~okot e opredelen so tetivata AB ili so centralniot agol D
r
?
B O D
C
r A
Plo{tinata P na kru`niot otse~ok ACB (na crte`ot) e razlikata od plo{tinata P1 na kru`niot ise~ok AOB i plo{tinata P2 na ramnokrakiot ' 2$% t.e. 3
318
3 3
vo krug so
Presmetaj ja plo{tinata P na kru`niot otse~ok so centralen agol D
4
radius U 3
P
U SD S Â&#x2DC; Â&#x2DC; U VLQ D | Â&#x2DC; | | |
3
P
Delot od ramninata ograni~en so dve koncentri~ni kru`nici se vika kru`en prsten. Plo{tinata na kru`niot prsten e ednakva so razlikata od plo{tinite na krugovite so radiusi R i r, t.e. 3
5
5 S U S
5
R
Radiusot na pogolemiot krug e 5 PP a na pomaliot U
r
O
U S
Presmetaj ja plo{tinata na presekot na vodovodna cevka ako dijametarot na nadvore{niot krug e 10 cm, a debelinata na yidot e 2 mm.
3
123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890 123456789012345678901234567890
PP Taka,
S | Â&#x2DC; | 3 | PP
Zada~i 1
Plo{tinata na kru`en ise~ok e S FP a soodvetniot agol e 300. Presmetaj ja plo{tinata na krugot.
Presmetaj go: a) radiusot r na kru`nicata, ako na centralniot agol od 800 mu pripa|a kru`en lak so dol`ina 12,56 cm (za S | );
6
Presmetaj gi dol`inata na kru`niot lak i plo{tinata na kru`niot ise~ok {to odgovaraat na stranata na pravilniot petagolnik vpi{an vo kru`nica so radius U FP
b) centralniot agol
7
Presmetaj ja plo{tinata na kru`en otse~ok so centralen agol D vo krug so radius
U
2
?
3
P
D
ako
U
FP i
FP
Perimetarot na edna makara e 540 mm. Ja`eto (remenot) ja dopira makarata po lak so dol`ina 200 mm. Odredi go aglot {to odgovara
U FP
8
na lakot {to go dopira ja`eto.
4
5
Presmetaj ja dol`inata na kru`en lak so centralen agol D c pri radius
Edna krivina od `elezni~kata pruga e del od kru`nica so radius 1200 m i ima dol`ina 450 m. Odredi go agolot {to odgovara na lakot od prugata.
Presmetaj ja plo{tinata na kru`en otse~ok, ako soodvetnata tetiva ima dol`ina W FP , a soodvetniot centralen agol e
D
9
Presmetaj ja plo{tinata na kru`niot prsten {to go formiraat opi{anata i vpi{anata kru`nica na kvadrat so strana D GP
319
9
TEMATSKI KONTROLNI ZADA^I
Vo zada~ite , eden i samo eden od ponudenite odgovori e to~en. Odredi koj e toj. 1
Merniot broj na plo{tinata na pravoagolnik so strana 6 cm i dijagonala 10 cm e: a) 36; b) 48; v) 60 cm2; g) 100 cm2.
2
Romb so strana 8 cm i agol od 450 ima plo{tina ednakva na: a) 64 cm2;
3
b) 32 cm2;
v) FP
g) FP
Plo{tinata na ramnokrak triagolnik so osnova D a)
b)
v)
i agol pri vrvot od 600 iznesuva:
g)
4
Plo{tinata na eden paralelogram e 54 cm2, a negovite visini se 9 cm i 12 cm. Negoviot perimetar iznesuva: a) 21 cm; b) 42 cm; v) 27 cm; g) 13,5 cm.
5
Presmetaj go radiusot na vpi{anata kru`nica vo triagolnikot so strani 26 cm, 28 cm i 30 cm.
6
Presmetaj ja plo{tinata na ramnokrak trapez so osnovi 24 cm i 14 cm, a krak 13 cm.
7
Presmetaj ja plo{tinata na pravoagolniot trapez na crte`ot.
8
Osnovite na eden trapez se 36 cm i 12 cm, a krakot so dol`ina 7 cm obrazuva agol od 1500 so ednata osnova. Presmetaj ja plo{tinata na trapezot.
7 c
12
9
Presekot na edna `elezna pra~ka e pravilen osumagolnik. Presmetaj ja negovata plo{tina, ako rastojanieto me|u dve negovi najoddale~eni temiwa e 12 mm.
10
Dva kruga imaat ednakvi radiusi. Ako radiusot na edniot se zgolemi za 1, a perimetarot na drugiot se zgolemi za S koj od niv }e ima pogolema plo{tina?
11
Kolkav e radiusot na krugot, ako eden negov ise~ok so centralen agol od 180 ima plo{tina 10?
12
Dve kru`nici, sekoja so radius 4 cm, se se~at taka {to zaedni~kata tetiva e 4 cm. Presmetaj ja plo{tinata na delot {to e opfaten so dvata mali laka.
320
ODGOVORI, UPATSTVA, RE[ENIJA
1 a), v), g), |).
1
2 a), g), d).
d) d z §
b) º T Â&#x203A; U ¨
©
t
· Â&#x203A; ! W ¸¹
3 b) Brojot 39 e prost broj; v) kockata nema 8 temiwa; §
!
4 a) S Â&#x161; T ¨
paren broj; W S Â&#x161;º T
ºT Â&#x203A; U F Â&#x203A; F F
FÂ&#x161; F F
§
v) º S Â&#x161;º U ¨
g) º S Â&#x161; T 3 ne e prost broj i 3 e paren broj; W º S Â&#x161; T § ©
§
v) U Â&#x;º T ¨
©
º S Â&#x203A; T
·
§
¹
©
¸ Â&#x161; ¨
©
· ¸ W S Â&#x161; T
¹
d W º S Â&#x161;ºU
· d ¸ Â&#x161; ¹
FÂ&#x161;A
· § ¸ Â&#x; ¨ ! ¹ ©
· § ¸ Â&#x; ¨ d ¹ ©
·
¸ ¹
·
¸ ¹
FÂ&#x; A
FÂ&#x;F F
6 a)
A Â&#x161; A A
A b) º S Â&#x153;
2 a) S
§
U ¨
©
Â&#x153;T
FÂ&#x203A; A F
b)
Â&#x153;
_
FÂ&#x161;A
· § · t ¸ Â&#x153; ¨ ¸ A Â&#x153; ¹ © ¹
_
A
S Â&#x161;º T 3 e prost broj i 3 ne e
A b)
AÂ&#x203A;A
A Â&#x161; A A
v) º SÂ&#x203A;º T 3 ne e prost broj ili 3 ne e paren broj; W º S Â&#x203A;º T
1 a) S Â&#x; T ¨
!
©
5 a) NS Â&#x203A; T 3 ne e prost broj ili 3 e paren broj; W
2
T, E, Z
REALNI BROEVI
TEMA 1
F F v) F Â&#x203A; A F
AÂ&#x203A;
A
F
A
AÂ&#x153;F A
F Â&#x153; A A v) º T Â&#x; U Â&#x; A Â&#x; A F 3 a) Brojot 12 ne e deliv so 3 i 4 W S F W T F W U A brojot 12 e deliv so 6, A Â&#x161; F A b) F Â&#x161; A A v) F Â&#x153;A A g) AÂ&#x;A F a) F b) F v) F g) A b) p q NT NT Â&#x; N S 5 a) p q NT N S NT Â&#x; N S 6 b), bidej}i AÂ&#x;A F A F F A F F A A F F A F A F A F A A F A F A F A F A F A F A F F F A F A
b) º S Â&#x153;º T á Â&#x153; á
á
á
g)
1 a)
$ ^ `
3 a)
Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC;
4
b)
% ^ `
b)
A
3
2 a)
; b)
F ; v) A ; g) F .
v)
Â&#x2DC; Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
4 a) b) v) g) d) 0. 5 a) 88; 888;...; 88888888; b) 11; 111;...; 111111111.
Â&#x; D E P Â&#x2DC; F , od F E sleduva E QF pa D E D QF PF Â&#x; Â&#x; D PF QF Â&#x; D F P Q Â&#x; F D 3 a) so 2; b) 3; v) 4; g) 7 i sekoj od broevite e deliv so n. 1 b); g).
2 Od F D E
4 Vidi re{enie na primer 2 vo 2.2.
5 a) Q
b) Q
6 a) Po izvr{enoto sveduvawe izrazot e od
vidot Q a toj e slo`en bidej}i ima pove}e od dva deliteli; b) Q 7 a) 12; b) 15; v) Â&#x2DC; Â&#x2DC; g) 900.
Q , slo`en bidej}i e deliv so 2.
8 Najdi NZD (48, 72, 120), 24 paket~iwa. Vo sekoe ima po 2 ~okoladi,
3 bajaderi i 5 bonboni.
321
5
2 a) 21; b) 3001; v) 50203; g) 10112; d) 10011002; |) 1010000102.
1 a) ! b) 1001 < 11010.
4 a) b) v) g)
3 a) 31; b) 17; v) 16; g) 42. 5
Broevite koi se stepen na brojot dva, vo binaren broen sistem se
zapi{ani so cifrite 1 i 0. Pritoa, nulata se zapi{uva tolku pati kolku {to e pokazatelot na brojot dva, a cifrata od navisokata pozicija e 1.
6
1 a) b) v) 2 a) b) v) g) 3 Ravenstvata se to~ni. Vo binarniot broen sistem za operaciite sobirawe i mno`ewe va`at istite svojstva {to va`at i vo dekadniot broen sistem.
7
1 a) 6; b) 20.
1 a) [
8
v)
2 a) -16; b) -6; v) -5.
4 a) b) v)
b) b) v) g) 3 a)
b) [ v) [
3 a) -20; b) -16; v) 1; g) 0.
g) [ r
2
a)
4 a) D b) E v) F g) G b) v) ! ! t.e. 5 a)
9
1 a) 5
10
b) v)
P DG EF Â&#x2DC; P E G Q EG Q
§D F ¡ ¨ ¸Â&#x2DC; Š š
1 1,75; 2,125; -1,8; -1,28.
2
4
322
2 a)
b)
DG EF P EG Q
3 a) 10; b) v)
b) v)
DG P EF P DGP FEP DP FP D Â&#x2DC; P F Â&#x2DC; P EG Q EGQ EGQ EQ GQ E Q G Q
5 a)
4 a)
3 a) 2,2; b) 28,56; v) 1,402; g) -3,2.
b) v) g)
1 a)
11
F
F
b)
v)
A g) F
2 a) S
triagolnik so kateti 2 i 1,
g) ! b)
b)
3 a) Konstruiraj pravoagolen
v)
agolen triagolnik so hipotenuza 4 i edna kateta 1.
4
a)
-4
v)
a)
-2
)
g)
123456789 1234567890 1234567891234567890123456 1234567890 1234567890123456
b) [ )
12345678 12345 1234567 123456781234567 12345
-3
1
2
v) [
(
-1
2
[ Â? >
7 a) @ Â&#x2030;
12
3
Â? > f ) v) 12345678 12345678
12345 1234567 12345678 1234567 12345 12345678 1234567
3
2
0
Â? @ b)
0
123456789012345678901 123456789012345678901
2
5 a) [ Â? > 6
123456789012345678 123456789012345678
0
0
)
(
b)
123456 123456789 1234561234567890123456789012 123456789 1234567890123456789012 1234567890123456789012
6
4
b) @
12345678 12345678
-1
[ Â? @
konstruiraj pravo-
2
[Â?Â&#x2021; .
Â&#x2030; > > @ v) f Â&#x2030; > f
1 a) b) d v) g) 2 a) b) v)
bidej}i D
3
8 r 9
4 a) 3 i 2; b) 0 i 5, cifrata 3 ne e to~na
D d Â&#x2DC; v) 1, 2 i 7. 5 a) Â&#x2DC;
6 a) 1,730; 3,4300; b) Â&#x2DC; Â&#x2DC; 9 a) 2,57; b) 4,6. 10 FP FP
b) D d E d Ako D
11 /
! D
Â&#x2DC; 8 a) 38,977; b) 0,318; v) 1,667; g) 2,819; d) 113,411.
7 6,50.
3
Â&#x; D E ! D E
' G
b) 50000; v)
12 a)
E ! E Â&#x; D E D E pa D E d D E d D E t.e.
d D E d D E | v) g) Od d D d d E d pa D D d d | bidej}i koli~nikot se zgolemuva ako a se zgolemuva ili b se smaluva, a E E so smaluvawe na a ili zgolemuvawe na b koli~nikot se smaluva.
13
1 b). 9
2
3 g).
4 a).
5 61.
6
7 4.
8
10 a) @ b) ^ ` v) >
323
GEOMETRISKI FIGURI VO RAMNINA
TEMA 2
T
1 Edna prava, ako site to~ki se kolinearni; ~etiri pravi, ako od ~etirite to~ki tri se kolinearni; {est pravi, ako to~kite se temiwa na ~etiriagolnik. 2 Vidi crt.1. 3 To~kite {to le-
1
`at vo ista ramnina se komplanarni, toa se to~kite {to
[est pravi
Osum pravi
Deset pravi
le`at na sekoj yid na piramidata i na nejzinite dijagonalni preseci. To~kite {to ne le`at vo ista ramnina ne se komplanarni.
4 Mo`no e ili site to~ki da le`at vo Crt. 1 ista ramnina (opredeluvaat edna ramnina), ili, pak, da ne le`at vo ista ramnina. Vo toj slu~aj opredeluvaat ~etiri ramnini: ABC, ABD, ACD, BCD. 5 Mo`ni se slednite slu~ai: a) site pet to~ki da le`at vo ista ramnina; b) ~etiri to~ki da le`at vo ista ramnina ABCD i ABE, ACE, ADE, BCE, BDE, CDE; v) opredeluvaat ramnina ako koi bilo ~etiri to~ki od niv ne le`at vo ista ramnina, a toga{ koi bilo tri to~ki od dadenite opredeluvaat edna ramnina, pa tie ramnini se
ABC, ABD, ABE, ACE, ACD, BCE, BCD, CDE, ADE, BDE. 1
2
Spored A3 vo ramninata S le`at barem tri nekolinearni to~ki A, B, C. Pravata a = BC le`i
vo ramninata S (A5) i pritoa A Ă? a. A Ă? a.
2 Spored A3 postoi to~ka A Ă? S. Neka A Ă&#x17D; S. Toga{
pravata AB ja proboduva ramninata 3 Spored A3 vo ramninata S postojat tri to~ki A, B i C S. {to ne se kolinearni. Na pravata a Âş BC ima beskone~no mnogu to~ki (A1) {to le`at na ramninata S. A Ă&#x17D; a. Sekoja prava {to minuva niz to~kata A i koja bilo to~ka od pravata a le`i na ramninata S.
4
Od uslovot S1 Ă&#x2021; S2 = Ă&#x2020; sleduva deka ramninite se se~at po nekoja prava a (crt. 2). Spored A4 postojat to~-
ki A Ă&#x17D; S1, B Ă&#x17D; S2 {to ne le`at na pravata a. Pravata
AB gi proboduva ramninite S1 i S2. 5 Ne e mo`no zatoa {to ramninata S sodr`i to~ki {to ne pripa|aat na pravata a. 6 Takvi pravi ima beskone~no
B a
S2
S1 A
a1
S1
a b1
b
S
Crt. 3
Crt. 2
mnogu i site tie le`at vo edna ramnina {to e para-
A
lelna so dadenata ramnina (crt. 3). Pravata a }e ja nacrtame taka {to vo ramninata
6
crtame proizvolna pra-
va b, a potoa niz to~kata A povlekuvame prava D % E itn.
1 a) A4; b) T6; v) T10.
3
to~kite A i B, taka {to
2 Neka pravite a i b se paralelni. Spored A2 na pravat a sigurno le`at
$ % Â? E Na pravata b sigurno le`i to~kata C, pri{to & Â? D To~kite A, B i C
3 Pravite a i b se
se nekolinearni, pa spored A4 tie opredeluvaat edinstvena ramnina (crt. 4). a b
M
C a
A
Crt. 4
B
a
b
S Crt. 5
Crt. 6
c
b
razminuva~ki. Spored uslovot, pravite a i b nemaat zaedni~ka to~ka, zna~i, tie se ili paralelni ili razminuva~ki. Ako se paralelni, toga{ }e le`at vo ista ramnina koja{to minuva niz to~kata M, a toa ne e mo`no bidej}i M Ă? b (crt. 5).
4 Ima dve mo`nosti: a) pravite da le`at vo ista ramnina; b) pravite da ne le`at vo
ista ramnina. Vo toj slu~aj spored T10 se opredeleni tri ramnini (a, b), (a, c) i (b, c), crt. 6.
324
5 Spored T6 prava i to~ka {to
A
A
B
B ne le`i na taa prava opredelu6 6 vaat edna ramnina. Neka se dade6 a ni pravata a i to~kite A, B i C. a Ako koi bilo dve to~ki oprede6 luvaat prava {to ne e paralelna 6 Crt. 7 Crt. 8 so pravata a, toga{ se opredeleni C C tri razli~ni ramnini (crt. 7). Ako, pak, koi bilo dve to~ki opredeluvaat prava {to e paralelna so pravata a, toga{ se opredeleni dve ramnini (crt. 8).
4
a komplementniot
1 Vidi crt. 9.
2 Suplementniot agol e
3 1350; 450. 4
Spored A4, ramninata e opredelena so tri nekolinearni to~ki.
J E
D 5
Od
'Q
E D
Q Q
imame Q Q
E
D D D D
D
ili Q Q
od kade {to Q
ili Q
N N N 7
'
6
6 Od uslovot
U
D
E
J
D
Â&#x2DC;
8
Od 6Q
Q Â&#x2DC;
dobivame
dobivame Q pa
5 2
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
sleduva
G
Bidej}i ne postoi mno-
N pa D N E N J N Zamenuvaj}i vo D E J od kade {to N Sledstveno, D Â&#x2DC; E i J
E
Crt. 9
guagolnik {to ima nula strani, sleduva deka baraniot uslov go zadovoluva petagolnikot.
D E J
1
Bidej}i
' $2& ' %2' zaklu~uvame deka ' $2& # ' %2' pa $& %' L ' &$% ' '%$ Dijametarot AB e transverzala na pravite AC i
2$ 2% U 2& 2' U
ottuka sleduva deka
L
BD, a bidej}i naizmeni~nite agli CAB i DBA se ednakvi, sleduva deka C Triagolnikot ACO (crt. 11) e pravoagolen, pa U $& 2& O t.e. U FP 3 600. 4 12 cm . Upatstvo. A 5
ti ja Talesovata teorema. ven, pa
'$ '&
'%
Koris-
^etiriagolnikot e teti-
6
c
7 a) Da; b) ne, bidej}i nema parovi suplementni agli. cite se suplementni, t.e. od
D E E J
L
D G
c
$& % %'
%% $$
rO
A
B
C
D
B
Crt. 10
Crt. 11
8 Aglite na osnovata se ednakvi, a aglite na kra
sleduva deka
D J L E G
9 Trapezot e tangenten. Neka a i b se osnovi, a c e krak na trapezot. Od svojstvoto D E D E F F sleduva deka F 10 Od $$ A W i %% A W sleduva deka ~etiria golnikot BB1A1A e pravoagolen trapez so osnovi BB1 i AA1. Radiusot na kru`nicata e sredna linija na trapezot, pa U
(crt. 10).
FP (crt. 12).
t
A1 A
T
B1
r B
O
Crt. 12
325
6
1 Mo`e da se formiraat 12 vektori i 6 otse~ki.
3 Ednakvi se vektorite pod b) i d). Koli-
nearni vektori se pod a), b), v) i d). Ne se ednakvi vektorite a), v) i g).
oo o
1 Neka se dadeni vektorite D E L F so zaedni~ka po~etna to~ka O. Nivniot zbir e vektorot
o
7
$' §
b) ¨ ©
o o o o 2$ o 2& o 2% o 2' o o o o o o o o o o o o o § o o · o o § o o· %& 2$ 2& %& 2$ 2& %& %& v) $% '2 2$ $% '2 2$ · ¸ ¹
2$ 2% 2& 2'
2 Vidi crt. 14. a)
(crt. 13).
§ ¨ ©
· ¸ ¹
§ ¨ ©
¨ ©
o 2$ o %& o '$ o %& o o o o o o o o o '2 o o o o o o o o o o o 6% 6$ &% 6% 6& 6% 6$ '& $% 6% 6$ (crt. 15). $% '$ '$ $% '% '2 §¨ 2$ %& ·¸ ©
· ¸ ¹
oE B o D o O F o C F D Crt. 13
D
¨ ©
¸ ¹
o o o o o o
$% 6% 6$ $' 6' 6$
3
D
B
A
A
C
O Crt. 14
5
o o o o o o o $% $( (' '& &% $' '% (crt. 16). o o o o o o o o $% &$ %& $% %& &$ $$
6
Spored praviloto za sobirawe na vektori sle-
4
o
¸ ¹
· ¸ ¹
oD oE
¹
§ ¨ ©
· § ¸ ¨ ¹ ©
C
S B
A
D
D
Crt. 15
C
C
E
A
B
o o o o o o Ponatamu, A B Crt. 17 O Crt. 16 o o o o o o o o o o o o 2$ 2& 2' '$ 2% %& 2% 2' '$ %& Bidej}i ABCD e paralelogram, sleduva deka '$ i %& o o o o o o o se sprotivni vektori, pa '$ %& Zna~i, 2$ 2& 2% 2' (crt. 17). duva deka
2$ 2' '$ i 2& 2% %&
8
1
oD o o
· § ¸ ¨ ¹ ©
· ¸ ¹
Re{enieto e dadeno na crt. 18.
o o 2% oD E
oE
O
oD
B
a)
A
oE
a) [ [
3
01 0% %& &1
D E D E [
o o o o
b)
oD
O
o o 2% oD §¨ E ·¸ ©
A
o
o
E
¹
oE
o o o o o
2
§ ¨ ©
2%
o
o
o D E
E
A
B
Crt. 18
o o o ooo oo
o o
oE
v)
oE
oO
D
D E b) [ [ D D E [ E D
o o
o
$% %& &'
A
M
C
B
o o o o o o o o o o o o
N
o o
o o o o
D
01 $% %& &' §¨ $% %& &' ·¸ %& 01 $' %& 01 §¨ $% %& ·¸ §¨ %& &' ·¸ $& %' ©
326
¹
©
¹
©
¹
B
4
o o o o o o
26 2& &6 26 2% %6
So primena na praviloto za sobirawe na vektori (crt. 19) imame:
o o o o o o 26 2$ $6 L 26 2' '6 Ako gi sobereme ovie ~etiri ravenstva dobivame: o 2& o &6 o 2% o %6 o 2$ o $6 o 2' o '6 o 26 o 2$ o 2% o 2& o 2' o &6o $6o 26
§ ¨ Š
¡ § ¸ ¨ š Š
¡ § ¸ ¨ š Š
¡ § ¸ ¨ š Š
¡ ¸ š
§ ¨ Š
o o o o o o o o o o oo 26 2$ 2% 2& 2' t.e. 26 2$ 2% 2& 2' 5
Od
' 0%1
o o o
imame:
01 0% %1 Od
' 4'3
o o o
o o
$% %&
imame:
o
§ ¨ Š
o
o o
$% %& ¡¸
š
o o
$' '&
o
$&
¡ § ¸ ¨ š Š
D
¡ § ¸ ¨ š Š
o
o o
P C N
O
$& Od
š
Q
B
Crt. 19
o o
%6 '6 ¡¸
D
C
S
A
o
§ ¡ ¨ $' '& ¸ Š š
B Crt. 20
M
o
o o
pa $& sleduva deka bidej}i ova svojstvo go ima paralelogramot, sleduva deka ~etiriagolnikot MNPQ e paralelogram (crt. 20).
43 4' '3
01
$& i 43
01 43
o o o o o o o o o So sobirawe na ovie ra9 venstva dobivame 27 o 2$ o 2% o 2& o $7 o %7 o &7 o Od svojstvoto na te`i{teto na triagolnik o 2$ o 2% o 2& o $$ o %%o &&o o $$ o %7 o %% o L &7 o && o pa 27 sleduva deka $7 o o o o o o o o o o o o o o 27 2$ 2% 2& bidej}i 2 1
Spored crt. 21 imame:
o i 7&
§ ¨ Š
o &&
o &&
¡ ¸ š
27 2% %7 27 2$ $7 27 2& &7
$$ %% &&
7$
Upatstvo.
C
3
Spored re{enieto na zada~a
B1
5 od prethodnata lekcija sleduva deka ~etiriagolnikot e paralelogram. Bidej}i dijagonalite na rombot se zaemno normalni, sleduva deka i stranite na ~etiriagolnikot se
¡
¸
š
% % %%
C
A1 B
C1
A
O
zaemno normalni, t.e. deka toj e pravoagolnik.
$ $ $$ 7%
T
A
§ ¨ Š
C1
Crt. 21
B Crt. 22
o %& o &' o o o sleduva deka ~etiriagolnikot ABCD e paralelogram. Od $& o $% o %& o i %' o o o o o o $% o &' o %& o o %& o %& o sleduva deka $& %' $% %& %& &' 4
Od
$% '&
o o o
5
o
&& WF
&& &% %&
L
o o o
o o o
&& &$ $&
§ ¨ Š
¡ ¸ š
o &% o &$ o %& o $& o
Ottuka sleduva ravenstvoto &&
§ ¡ ¨ &% &$ ¸ Bidej}i to~kite C, A i B ne se kolinearni, sleduva deka Š š
§ ¨ Š
o
o
¡
¸
š
od kade {to
o
&& §¨ _ &% _ _ &$ _ ¡¸ Š
š
t.e.
&& &% &$
10
1 Se sosedni, a nivniot zbir e 1800. 5 g). v)
6 2 0.
o i '& o
$%
7 1150. 10
2 Imaat ist pravec.
o o o o a) '2 L %2 '$ i %&
3 ^etiri pravi.
4 a).
o o o o o o b) '2 L %2 '$ L %& $% L '&
11 Razminuva~ki.
327
TRIGONOMETRISKI FUNKCII OD OSTAR
TEMA 3
01
golnicite ACD i MCS; BCD i NCS.
a za DA1B1C1 katetata E
2
Od
proporcionalni so trite strani na
'$ % &
3 ^etiri triagolnici, a me|u sebe sli~ni se tria-
4
&'
a)
odnosno
'$%& $ % &
4 5 b) VLQ D
328
F
D
F
'$%&
se
D
+
+ |
ili
WJ D
FWJ D
D
4
Od
D q
D
D E
E pa VLQ D sleduva D EiF
D q v) D q g) D q 2
D F
E E
b) D q VLQ q v) D q g) D q d) D q |) D q 3 a) b) v) g) FRV q 4 a) VLQ D ili FRV E b) v) VLQ D ili FRV E g) 5 Da, za D q imame:
1 a)
3 VLQ q
D
g)
FRV D
b)
v)
D
WJ q
sleduva deka trite strani na
b)
3
5 a) Za DABC hipotenuzata F
FRVD WJ D FWJ D b) VLQ D FRVD WJ D FWJ D FRVD WJ D FWJ D g) VLQ D FRVD WJ D FWJ D
1 a) VLQ D v) VLQ D
2
&%
2
1 x = 8, y = 7,5.
1
T
FRV q q
1
a)
b)
FRV q
N
WJ q
b)
2
a)
FWJ q q
6 a) to~no; b) to~no; v) to~no; g) to~no; d) to~no. 1 a) FRVD v) FRV D
WJ D
WJ D
WJ D
FWJD
FWJ D
FWJ D
v)
VLQ D
b) FRV D 2
WJ D
D q
FWJ q
3 a) b)
b)
a)
4 7
a) b) a)
5 a) b)
P b) P v) P
WJ D FWJ D a) VLQ D WJ D FWJ D FRVD FWJD FWJ D 3 a) VLQ D
FRVD WJ D FRV D FWJ D 4 a) VLQ D FWJ D v) VLQ D WJ D v) VLQ D FRV D WJ D 5 a) VLQ D b) FRV D 6 a) VLQ D b) FRV D b) VLQ D b) b) 7 a) FRVD b) VLQ D 8 a) 9 a) VLQ D b) FRV D 10 a) VLQ D FRV D FRV D VLQ D FRVD FRVD
b) VLQ D
11 a)
VLQ D Â&#x2DC; FRVD b) VLQ D Â&#x2DC; FRV D
VLQ D FRV D
VLQ
D
FRV D VLQ D
12 a)
15 a) Upatstvo. Zameni
imenitel; b) raboti kako pod a), a potoa dropkata WJ
D
so
b) Upatstvo. FWJ D FWJ D 1
6 b)
6
FWJ E WJ D
a) VLQ q b) FRV q g)
WJ q
v) FWJ q g)
WJ
D
VLQ D
FRV D
so
VLQ D
FRVD
Â&#x2DC;
FRV D
FRV D FRV D
a FWJ D so
pro{iri ja so FRV D VLQ D Â&#x2DC; FRV D
FRV D VLQ D
VLQ D FRV D
FRV
D
i svedi na zaedni~ki
17 Upatstvo. a) Zameni
WJ E
2
d) FWJ q
v) VLQ q FRV q g) FRV q VLQ q 3
WJ q
VLQ D
13 b) VLQ D FRV D
a) VLQ q VLQ q b) FRV q FRV q
a) to~no; b) neto~no; v) neto~no; g) to~no.
4 a)
WJ q
5 a) negativna; b) negativna; v) pozitivna; g) negativna; d) pozitivna.
WJ q
a) to~no; b) neto~no; v) neto~no; g) to~no.
7
a) VLQ q VLQ q VLQ q VLQ q VLQ q
b) FRV q FRV q FRV q FRV q FRV q v) WJ q WJ q WJ q
WJ q WJ q g) FWJ q
FWJ q FWJ q FWJ q FWJ q
8 a) pozitiven; b) pozitiven.
1 a) 300 ili
7
S b) 1800 ili S v) 3600 ili S 2
3 a) S b) S v) S g) S d) S
PD
FP D
5
a) E F
6
a)
E q D | FP F | FP
b) E | F
7
a)
E q E | FP F | FP
b)
8
a) E | F D
9
a) D
FP F FP D
10
a) E
FP F FP D
11
a) D
P
q E
a) q b) q v) q g) q d) q
q
P F | FP D
q E
q
D q D | FP F | FP
q
q E
FP E FP F FP
4
S | FP
q q
b) D
FP D | q D | q
b) E
FP F FP D
b) D
FP F FP D q E
b) D
FP E FP F
q E
q
q
FP
329
8
1
FP
2 FP
6
E K
3 FP
4
7
D
§ G · § G · ¨ ¸ ¨ ¸ © ¹ © ¹
D | q E | q
FP WJ
D
D
5
D | q E | q
q E q
8 q Upatstvo. Razgledaj go crte`ot.
9 Visina na tornot e G Â&#x2DC; WJ D
10 Dol`ina na senkata e G Â&#x2DC; FWJ D 11 P 12 P 13
O
P P
Â&#x2DC; WJ q |
14 FP 15 Ako K e visinata na kro{nata, toga{ K Â&#x2DC; WJ q t.e. K | Â&#x2DC; | P Visinata na drvoto
9
+
K | | P
1
q
q
q
q
q
q
2
3
a) b) v)
4
q q q Â&#x2DC; q q Â&#x2DC; q
5
a) b) v) -0,17; g)
6
a)
VLQ q
FRV q
FRV q FRV q Â&#x2DC; q FRV q VLQ q VLQ q Â&#x2DC; q VLQ q
b) v)
330
g)
10
y
1
1
a)
VLQ [
x
0
S
b)
2
S
S
VLQ [
v)
y VLQ [
1
S
0
y
1
x
S
2
FRV [
VLQ [
S
S
0
S
S
S
S x
S
FRV [
b)
2 a)
1
\
S
S
v)
S
\
S FRV [
WJ D 4 FRV D 6 9. 7 To~no e pod v).
b) FRV VLQ FRV
FWJ D
9
E F E
y
'$%& '%13 '%13 '01&
c cc
c
15
1 0
10 To~no e pod b). 11 D
VLQ [
To~no e pod v).
a) VLQ VLQ VLQ
S
x
S
'01& '$%& 2
3
8
S
1 a) Tri triagolnici. b) Site se me|u sebe sli~ni, t.e.
11
x
S
FRV [
S
0
VLQ [
S
FRV [
1 y
1
S
S
FRV [
y
S
S
\
VLQ [
x
S
S
\
VLQ [
12 c 12 To~no e pod g). 14 1.
331
ALGEBARSKI RACIONALNI IZRAZI
TEMA 4
ZA SITE STRUKI 1
1
2
Ne, bidej}i ne e proizvod od ednakvi mno`iteli.
3 a)
ili
[
b) [
[
v)
g)
[
Vistiniti se a) i v).
d) [
[
\ |) [
5 a) Â&#x2DC; b) Â&#x2DC; v) Â&#x2DC; 6 a) Â&#x2DC; b) Â&#x2DC; v) Â&#x2DC;
8 a) D b) D
9 a) D b) 1.
10 a) 8; b) 216.
11 a)
[
v) [
b) [
1 a) 1; b)
3
v) [
P P
[ [
4
2 a) 60; b) 18. a) [
3
[ \ v)
a) [
b) [
v) [
[ b) [ [ [ [
b) [
[ [ v) [ [ [ g)
[
\ v) [ \ [ \ [ \ [ \ b) [
v) D D g) D
5
v) [ \
[ \ [ \ [
2
a)
b) [
[\ [ \ b) [\ [ \ [ \
3 a) [ [ [ b) koli~nikot e [ [ [ a ostatok 91; v) koli~nikot e [ [
[ [ [ 4
a) Koli~nik [
[ ostatokot b) koli~nik [ ostatokot [
1 a) [ \ b) D [ \ v) D D E g) [ \ [\
b) D E F G
1
a) [\ [\ b) D E D E v) \ [ \
b) DEF D E F
DEF
3
2
a) DE DE D E
a) D E [ \ [ \ b) D E [ \ [
[ D [ D[ D [ D [ D [ D [ D[ [ D D [ D F [ \ ] D E F [ \ ] v) D E [ \ D E [ \ D [ D
a) [ [\ \
2
3 a) [ \ D b) S T T S v) [ P Q g) D E D E
a) [
a) [
8 a) [ [ [ b) [ [
a) [ \ [ D b) D E D v) [ D[ E g) [\ ] [\ [ \
7
6
E EF
1 a) [\ b) [ v) \
a ostatokot x; g) [
6
[ [
a) [
[ \ [ \ \
4 D E F DE DF EF 5 a) [ b) [ v) [ g) [ \
332
1 a) [ [ b) [ [ v) [ [\ \ g) [ [ 2
b)
g) [
[ [ b) [ [ [ v) [ [ [ [ [
3 a) D E DE E b) [ \ [ \ [ \ [ \
4
[
5 a) D E F b) Takov polinom ne postoi.
4
4
7 a)
3 a) 20; b) 3. 4 a) da; b) ne. 5 a) [ [ - polinimot e od tret stepen. b) [ \ [\ [\ - polinomot e od tret stepen.
1 a) [ \ b) [ \ 2 a) 3; [ \ ] 8. b)
2
7 a)
a) b)
4
\
[\ \
1 a) [ \ b) [ \ v) [ \
8
2 a) D E b) [\ [ \ v) D D
3 a) [ \ ] [ \ ] b) S T S T v) P [ \ P [ \
4 a) [ \ [ \ [ \ b) [ [ [ [ [ [ [
1 a) D [ \ b) D E v) D
9
[
[ [ [ [ [ [ [ [ [ [ [
[ [ [
[ [
11
a)
1
D [ D
[ g)
1 a) v)
[\ \
[ \ D E
[ \ [ \
\
[
[
[
[
b)
[ z
[\ \ [
3 a)
\ E v) [ D F
a) [ \ b) D E v) D
b) [ v) [
\
D F
[ z b)
[ \ b)
[ z \ z ] z b)
1='
E F D
[
[
[ z [ z
D D z [ z b) [ z \ [ z \ [
2 a)
b)
3 a) b) D E[ \ [F E
¸
b) D
v) ¸
3 a) 6; b) 5; v) 7. 4
8 [ [
6
a) [
[
[ [
10 a) [ \ Â&#x2DC; \ \
9 v).
[ [ [ z [ [
D z E z F z b)
11 a) [ [ [ b) D [ v) [ [ [
b) [\ [\ b) D[
[
[]
[ [ [ 5 a) $ $% % b) $ %
2 a)
5 a) ¸ b)
12 a) 1=' [\ 1=6
\
3 a)
D E D E D E D E D E
D
[ D z E b) [ z [ z DE [
7 a) [ \ [ z \ z ] z b) [\ [ z \ z
17 a)
Upatstvo: sogledaj go re{enieto na zada~ata 8 od lekcijata.
1 a) [ b) x. 2 a) D
13
14 a)
\ v) D E D DE E
[ \ [ D E [ z [ z [ z v) 4 a) D D z b) [ z \ \ [ [ \
D DE E D b) D E D E
D E D E
D z [ D z [ g)
12 4
1 a) [ z b) [ z [ z v) \ z [ z [ z g) [ z [ z \ 2 a) b)
v)
[
[ [
3 a) NZD = D NZS = D D D b) NZD = D NZS = D D
10 v)
2 a) D [ \ b)
[
15
1=6 [ [ [ [ 13 D z D
D z E z F z
16 18
g).
D [ z
DE D z E z D z E E D
19
DQ DQ
333
PROPORCIONALNOST NA VELI^INITE
TEMA 5
1 J
2
2 FP
P
3
P
4
E, Z
5 G K PLQ V
6 4 meseci 29 dena 7 ~asa 27 minuti i 36 sekundi 7 W NJ KJ GNJ 8 27 godini
2 meseci 16 dena 19 ~asa 21 minuta i 21 sekunda. 9 6 meseci 14 denovi 9 ~asovi i 36 minuti. 10 406,63 gr. 2
1 15 godini 9 meseci i 3 dena
3
3 128880 denari
Â&#x2DC; KP
4
W NJ
5 a) P GP FP b) W NJ KJ v) K? GD? ? g) P GP FP
d) 4 dena 20 ~asa 57 minuti; 6 a) 572,40 denari; b) denari
1 a), b), g) i d). 2 a) da; b) ne; v) ne; g) ne.
4
3 a) b) v) g) d)
4 a) b) v) g) d) 5 6 a) [ b) \ g) S 7 a) da; b) ne; v) da; g) ne; d) ne. 8 a) ne; b) ne; v) da. 9 a) [ b) D v) [ 10 a) [ S \ T \ [ T S \ T [ S S [ T \ S T [ \ T \ S [ T S \ [ 1 a) [
5 F
b) [
3
b) [ \ ] G
\
[
]
4
a) [ \ ] G
16, 40, 56, 48. 6 Neka
5
NF Ako ovie ravenstva gi pomno`ime po red so x, y, z [ \ ]
N D [ E \ F ] od kade {to
D [ E \ F ]
D
E
F
D
E
F
6 7
Â&#x; DD [[ EE \\ FF ]]
D
D
9 334
D
E
F
D
E
F
N toga{ D
ND E
NE
z i gi sobereme, }e dobieme: D so {to ja dobivame implikacijata D
N No, N
1 a). 2 a), b), v) i d) se pravo proporcionalni; g) obratno proporcionalni. 1 35 m. 2 5
60 rabotnici. 3 a) 97,5 g; b) 6 g. 4 9 dena.
20 rabotnici 15 rabotnici [
8
D [ E \ F ] D [ E \ F ]
45 dena x dena
, [
1 5400 denari.
IJSF
2 24 t.
[
4 100 dena.
1 37500 denari. 2 5000 denari. 3 5 36,7 km/h
15 rabotnici 25 rabotnici
26 t
,
40 dena x dena [
5 92 dena.
4
7 a) 55,56 km/h; b) 926 m/min. 8
dena 6 4500 m3.
Vkupnoto vreme e
7 Po 8 dena.
4100,53 denari za 100 kg stoka. 1687,5 t
IJSF
10 11
1 a) 60 denari; b) 180 kg; v) 300 Âź ; g) 30 m. 4 3250 denari. 1 6
3
5
14% 6
2
a) 8840 den.; b) 3000 kg; v) 7%.
a) 21250 denari; b) 30000 denari. 7
3
Za 15%.
a) 8%; b) 92%.
2 6 3 3 120 kg. 4 540 kg. 5 42 kg. 6 75000 denari;
7 1800 denari; 8 20%.
9 Vkupna koli~ina 576000, ostvarena dobivka od 2400.
10 a) 400000 denari; b) 23600 denari dobivka; v) 5,9%.
12 13 14
1 a) 24 kg; b) 0,4547; v) 0,0612; g) 16 kg 328 g. 3
Ă&#x2026;
2 a) 200000 denari; b) Ă&#x2026; v) 6 kg.
5 320000 denari.
4 4600 denari.
4 7%
1 120000 denari. 2 1200 denari. 3 73000 denari. 7 130000 denari i 15600 denari.
5 73 dena.
6 12%
8 14680 denari i 224680 denari.
1 a) 12 i 20; b) 12,36 i 48; v) 35 i 42; g) 96,100 i 120. 2 a) 24500, 39200 i 58800; b) 60000, 37500 i 25000. 3 400000 denari, 480000 denari i 576000 denari.
4 50000 denari, 45000 denari i 40500 denari.
5 360000 denari. 6 7500 denari, 10500 denari, 18000 denari i 50000 denari. 144000 denari, 112500 denari.
8
7 150000 denari,
900000 denari, 432000 denari i 54000 denari. 9 360000 denari,
120000 denari, 600000 denari i 1600000 denari. 10 125000, 54000 i 40000. Upatstvo. D E F
15 16
1 a) 1410000 denari; b) 117500 denari. 6 15 l.
7
[
2 196,25 denari. 4
[
\ 5 12 kg i 30 kg.
\
1 NJ NJ NJ N NJ NQN NJ NJ NJ N NJ 2 700 kg, 140 kg, 120 kg i 980 kg.3 88,8 kg. 4 60 kg, 30 kg, 15 kg i 45 kg ili 30 kg, 60 kg, 45 kg i 15 kg.
5 17:5:5:5; 408 kg, 120 kg, 120 kg i 120 kg. Upatstvo. Ako zada~ata ja re{avame so ravenka, }e dobieme i drugi odnosi, kako na primer: 6:3:2:1 ili 20:17:4:5 itn. 6 ? ? ?
17
1 mol.
2
7 24 t.
8 24 denari.
0,53 godini.
3
godini.
9 14000 denari. 10 v)
4
7
5:45:5:5:5; ? ? ? ? ?
16, 40, 56, 48.
5
v)
6
44 dena.
11 11,85%.
335
LINEARNI: RAVENKI, NERAVENKI, FUNKCII T, E, Z
TEMA 6
1
1
a) 6; b) 5; v) 6; g) 10.
2 a)
; b)
. 3 8000, 6000, 4000. Upatstvo. x = 4k, y = 3k, z = 2k.
4 a : b : c : d = 4 : 6 : 5 : 14. Upatstvo. a : b = 2 : 3, a : c = 4 : 5, a : d = 2 : 7. 5 1500, 600, 800, 3600. Upatstvo. a : b : c : d = 15 : 6 : 8 : 36; k = 100.
2
2
1 35 kg.
60 rabotnici.
4
ili obratno.
3
20 rabotnici. Upatstvo. Denovite pretvori gi vo ~asovi
500 rabotnici. Upatstvo. Metrite pretvori gi vo kilometri ili obratno.
5 38,88 dena.
3 4
2
.
3
a) 0, 1, 2; b) -1,1.
1
b) i g).
4
Za x < 0 dropkite nemaat smisla (so imenitel nula); a) 3; b) nere{liva.
a) x = 3; b) [
1 a) Ne. b) Da. v) Da. g) Da, vo
Z ^ `. ?
2
a) x = 1; b) x = 8.
3 a) x = -2; b) x = 3; v) x = 4.
4 Za a š -1; x = -1; za a = -1: sekoj realen broj. b) Nema smisla za a = 0 za ili b = 0; a š ¹b ima DE
samo edno re{enie [
D E
za a = b: sekoj realen broj e re{enie; za a = -b, nere{liva. v) Nema smisla
za n = 1 ili n = -1; za n = 0 e nere{liva, za n š 0 i a š ¹1 ima samo edno re{enie [
5
g) Za a š 1 nema re{enie; za a = 1 sekoj x š 1 e re{enie.
5
1 a) x = -5. b) Nere{liva. v) x = -4. g) [
.
Q Q . Q
a) x = +5; b) x = -2.
2
a) Za m š 0: ima edinstveno re{enie
x = 4m, za m = 0 sekoj realen broj. b) Za a = 3; nere{liva; za a š 3 se dobiva [
, no treba D
u{te i a š -4, bidej}i se dobiva x = 1, a toga{ ravenkata nema smisla. Zna~i, za a = 3 i a š -4: samo edno re{enie. v) Za a = 2: sekoj realen broj x š ¹1 e re{enie, za a š 2: nere{liva. g) Za a = ¹b ravenkata nema smisla, a za a š ¹b ima re{enie x = 0.
6 7 336
4
D
f
6
73,75%.
, b = 2.
1 a) x Ă&#x17D; (-9, +¹¼). b) b) >
4 700 ha.
º § ¨ f  Ÿ Š
2 a)
º § § ¡ ¨ f ¸ b) ¨ f  Ÿ Š Š š
3
a) Nema re{enie.
8
¡
Š
a) [ � ¨ ¸ b) @
1
a) [
9 7 a)
§
1
5
f 8
a)
3
3 god; 29 god.
DE D E
f Â&#x2021; f
4
400 km.
6 a) f b)
915, 1525, 2135. § ¡ f ¸ ¨ Š š
b)
TRIAGOLNIK I ^ETIRIAGOLNIK
TEMA 7
1
2
v) [
E nema re{enie; za D z E [
Za D
§ ¡ ¨ f ¸ b) Š š
š
b) [
ª ¡ ¸   š
2 a) > @ b) v) g)
1 b) Pravoagolen. Pomo{.
D E J q D E
3 a) Pravoagolen. b) Tapoagolen.
J J
4 Pomo{. Nacrtaj
q
'$%&
2
E q J
T
q
nadvore{en agol, na primer, pri
01 % $% i sogledaj deka dobienite dva agli, na koj e razdelen nadvore{niot agol, se ednakvi na D (edniot) i na E (drugiot). temeto C, povle~i prava MN niz C takva {to
5 q Re{enie. Nacrtaj pravoagolen na simetralite na ostrite agli za
'$%6
'$%&
so prav agol vo temeto C, i ozna~i go so S presekot
D N E Potoa sogledaj deka D E
D E
Na krajot, iskoristi ja prethodnata zada~a: G
6 Napravi crte`.
$& /0 '$
'/ '& '0
q i deka baraniot agol G e nadvore{en
q
7 Napravi crte`. Primeni go priznakot SAS.
8 Dva ramnokraki triagolnici se skladni ako krakot i agolot pri vrvot na edniot triagolnik se soodvetno ednakvi na krakot i agolot od drugiot triagolnik.
9 a) So pomo{ na priznakot ASA . b) Od
'6$% '7%$
pa priznakot ASA. v) So SSS.
' ' ' L
6
'
7
spored zada~ata 4 a), sleduva deka
10 a) Dva pravoagolni triagolnici se skladni ako
ednata kateta i ostriot agol {tole`i na nea kaj edniot triagolnik se soodvetno ednakvi na edna kateta i ostriot agol {to le`i na nea kaj drugiot triagolnik. b) Dva pravoagolni triagolnici se skladni ako hipotenuzata i eden ostar agol kaj edniot triagolnik se soodvetno ednakvi so hipotenuzata i eden ostar agol kaj drugiot triagolnik.
11 So pomo{ na priznakot SSS. (Napravi crte`.)
12 Pomo{. Nacrtaj proizvolen
'$%&
i povle~i prava, paralelna na stranata AB, {to }e gi se~e
stranite AC i BC, vo to~ki P i Q; potoa razgledaj gi
'$%& N '34& 337
1
2
Najgolem e
'$ a najmal '%
2 Ne, zatoa {to sprotivnata strana CA ne e najgolema. 4 Najdolgata strana e AC, a najkusata e AB.
3 Pogolema e katetata sproti agolot od q
5 Ako q ima nadvore{niot agol: a) pri vrvot, toga{ osnovata e pogolema od krakot; b) pri osnovata, toga{ krakot e pogolem od osnovata.
'$&( ! '&$(
$( ! &( F TI '('% ! ''%(
imame
7 FP F FP
6 So a) i b). imame
8
(% ! (' UF $( (% ! &( (' Y J $% ! &' C
Dokaz. Spored oznakite na crte`ot:
9
P E S P D T
UF P D E S T Y J P
D E F
$'& N %'&
a
m
b A
10 Dokaz. Aglite
Dokaz. Od toa {to
p
q
D
B mo`e da se: a) ednakvi, t.e. pravi, pa CD e normalna na AB; vo toj slu~aj CD e
pomala (kako visina) od AC i BC; b) razli~ni pri, {to eden od niv e tap; vo toj slu~aj stranata na '$%& {to
11 GP
le`i nasproti ovoj tap agol e pogolema od otse~kata CD.
$%
12 5 cm. Pomo{.
%& $% &$
to~kata D (crte`). Od
'0 0% &' &%
'$%&
13 Dokaz. Neka pravata BM ja se~e stranata AC na
imame
'% &' &%
C
t.e.
0$ '0 '$ So sobirawe na neravenstvata (1) i (2) se dobiva 0$ 0% &$ &%
Od
'$0'
imame:
'$%& vo
D
M
&' '$ &$
pri {to
A
14 Pomo{. Od
$% $0 0% %& %0 0& &$ &0 0$
$% %& &$ Â&#x2DC; 0$ 0% 0& t.e
q N q
1
3
2 a)
po sobiraweto, dobivame
a). Za b) iskoristi ja zada~ata 11
5 FP
b)
WF
nata na hipotenuzata (Talesova teorema).
B
.
FP Centarot na opi{anata kru`nica e vo sredi3
q 4
KD
5 a) neka H e presekot na visinite.
b) Neka S e presekot na simetralite na aglite
So
(crte`). Toga{:
'%+&
oznakite
q
'6+$ C
na
crte`ot:
q
'$+%
q
'$6%
q '%6& q '&6$ q C
A1
B1
S
H
A
338
C1
B
A
B
6
Pomo{. So oznakite od crte`ot: opi{anata kru`nica, pa
7
WF
&
&&
B
e centarot na
$&
&
%&
WF
Vo ramnostraniot triagolnik.
A
8 Ortocentarot i centarot na opi{anata kru`nica.
+2 K
9 a) Na visinata KF b)
$& $% &'
10
F
&'
&'
FP Pomo{. $&
'$ &9 '% &9 c
c
pri vrvot C), pa
&$ &%
KD
KE
%%
'$%&
$% &'
C
(crte`). Toga{:
(kako pravoagolni triagolnici so zaedni~ka hipotenuza CV i
ednakvi agli na nea,
$$
$% $&
11 Pomo{. Neka V e presekot na visinite na
'&9$c # '&9%c
C
Toga{
$%
bidej}i CV e i simetrala na agolot
%$
'$%%c # '%$$c
pa
%c
od kade {to
$c
V
A Bo
12 Pomo{. Napravi crte` (ili koristi go prilo`eniot). So oznakite na crte`ot:
'0&$R # '0&%R
(kako pravoagolni
triagolnici so zaedni~ka hipotenuza i ednakvi agli pri hipotenuzata), pa
0$ 0% R
R
Analogno
B
M
B
0$ 0&
R
R
Ao A
2 Pomo{. Povle~i normala na p vo M i na normalata izberi to~ka O, taka {to
4
4
a) Ne, za{to
D E ! q
b) Ne, za{to
ta A1 {to e sredina na stranata CB: b) Za
WD
FP
&$
E FP Od
FP Presekot na kru`nicata so krakot CX e to~ka-
$ % Konstruiraniot '$%& gi zadovoluva uslovite na zada~ata.
d E zada~ata nema re{enie. 10 a) Pomo{. Izberi prava p i to~ka $ na nea. Potoa, postavi nor
mala na p niz
$$
$ &
WD
20
D ! E F v) Da, ako D q Ne, ako D t q
9 a) Konstruiraj prav agol XCY (so teme vo to~kata C) i na krakot CY nanesi ja otse~kata to~kata A, kako centar, opi{i kru`nica so radius
Co
B
KD
$
i nanesi ja KD na normalata, po~nuvaj}i od
$
taka }e dobie{ to~ka A, takva {to
So centar vo A, opi{i kru`nica prvo so radius b, potoa so radius c; nivnite preseci so pravata p
(ako postojat) }e gi dadat temiwata B i C na baraniot
'$%& .
Zada~ata ima re{enie ako :
E t KD N F ! KD NQN E ! KD N F t KD b) Pomo{. Izberi prava p i na nea otse~ka BC, so %& srednata to~ka
$
D
opredeli ja
na otse~kata BC, postavi normala na p (vo proizvolna to~ka od p) i konstruiraj prava q,
paralelna so p, na rastojanie KD od p. Potoa, opi{i kru`nica so centar vo to~kata kru`nicata so pravata q (ako postoi) go dava temeto A na
$
i radius
'$%& . Zada~ata ima re{enie pri
WD
WD
presekot na
t KD 339
$& P 2
1
5
E q G q D q J q G q
a)
q Pomo{. Spored svojstvoto q ,
3 [
'& '$
D q E q Pomo{. Poradi svojstvoto
4
edna strana, na primer
D N E
Toga{
E D q pa
D q E q
b)
UF [ q [ q
q dovolno e da gi razgleda{ aglite {to le`at na
spored svojstvoto q D
q q Ottuka, D q
5 a) Ne mora. Na primer, deltoidot ima dva para ednakvi strani, no ne e paralelogram. b) Ne e; vo priznakot III se bara ednakvite strani da se Â&#x201E;sprotivniÂ&#x201D;. Pomo{.
'$0' (kako i '%1& ) e ramnokrak.
'0
6
7 Pomo{.
0& FP FP FP 10 FP '$1' # '&0% (obata se pravoagolni, so ednakvi FP
hipotenuzi i ednakov ostar agol). Napravi crte`.
8
'2$% # '2&'
Pomo{. Napravi crte`; sogledaj deka
priznakot I za paralelogram.
Od
* $%; #* %&<
potoa, primeni go
9 Romb; negovite strani se sredni linii na triagolnicite: ABC i ABD,
BAD i BCD, a tie se polovinki od dijagonalite na pravoagolnikot ABCD 10 Pomo{. '$%; # '%&< (pravoagolni triagolnici; $% %& '%$; kraci), pa hipotenuzite
2% 2'
(spored ASA), pa
$; N %<
$&
'&%<
%'
agli so zaemno normalni
$; %< b) Pomo{. Dovolno e da doka`eme deka '& e prav. '$%& '& a poradi '$%& '& q sleduva deka '& q
im se ednakvi,
(spored SSS) imame
11 Pomo{. Napravi crte`. Neka vo paralelogramot ABCD, dijagonalata AC e simetrala na
'$&% '&$%
pa
'$&% e ramnokrak, $%
%&
12 Dokaz. Dadeno: trapezot ABCD e ramnokrak so kraci Da se doka`e:
D E N J G
'$&'
Analogno,
e ramnokrak, pa
$' %&
(crte`).
$' (&
No,
$' %&
D
po
(& %& Y J '(%& e ramnokrak, pa aglite pri osnovata se ednakvi, E Potoa, od D D E E N D G E J q sleduva deka G J
uslov, pa
13 Pomo{. Bidej}i M e sredina na AD i
D G
So otse~kata CE, povle~ena paralelno na AD, e
dobien ~etiriagolnikot AECD; toj e paralelogram, pa
D
$' '&
'%$'
01 % $% (crte`), sleduva deka, za '$&'
A
J
Toga{
C
D
D
E
E D
B
C
to~kata K e sredina na AC. Analogno za L.
K
M
L
N
14 Ne, za{to koga bi minuvala niz presekot, dijagonalite zaemno bi se prepolovuvale (spored zada~ata 13), pa toj ~etiriagolnik ne bi bil trapez, tuku para-
B
A
lelogram.
6
2 Pomo{. Nacrtaj go '$%& (so zadadeni strani odredi go ~etvrtoto teme na paralelogramot.
3
$% FP %& FP N $& FP ).
Pomo{. Na prava p, izberi to~ka A, postavi
normala n na p, na rastojanie KD
FP od p, povle~i prava q paralelna na p. Potoa nanesi ja od A otse~kata $& FP taka {to
& Â?T
%Â? S N 'Â?T
taka {to 6%
6'
%'
C S
KD
FP
4 Pomo{. Na prava p, izberi to~ki A i B, taka {to vi normala n na p niz B i odredi ja to~kata
340
D
q
najdi ja sredinata S na otse~kata AC i odredi gi to~kite
Potoa,
& Â?Q
$% D
taka {to
posta-
$& G
p
B
A
Zada~ata ima re{enie ako G
d D
5 a) Nacrtaj dve pravi p i q {to se se~at pod agol
& 'Â?T
taka {to
$2 2%
AY nanesi ja otse~kata radius
$&
M q
vo to~ka O; potoa, odredi gi to~kite
2$ taa }e go se~e krakot AX u{te vo edna to~ka B
(pokraj A), a nejziniot presek so pravata BO }e go
C
D
Pomo{. Neka ABCD e baraniot romb (crte`). Dijagonalite
AC i BD se zaemno normalni ( i se prepolovuvaat so prese~nata to~ka O), pa
* $%&
dadenite elementi, a od nego i rombot.
';$<
D
O
G
e pravoagolen; toj mo`e da se konstruira od
7 Pomo{. Nacrtaj
A
konstruiraj prava T %
$;
B
a
na ras-
D Y
q
tojanie h od AX ( crte`). Presekot na q so AY e temeto D. Temiwata
C
h
B i C se odreduvaat neposredno.
D
kata
X
B
A 8
i
G i &2 2' G b) Nacrtaj go dadeniot agol i ozna~i go so XAY; na krakot G FP i odredi ja sredinata O na AC. Potoa, opi{i ja kru`nicata so centar O i
dade ~etvrtoto teme D.
6
$ % Â? S
Pomo{. Razgledaj go crte`ot. Na pravata p e izbrana otse~-
$% D
i se konstruirani:
izbrana to~kata E taka {to
'%$;
$( E
D
'$%<
D X
Potoa, na p e
Y
C
i povle~ena e prava niz E
q
paralelna so AX; presekot so BY e temeto C. Temeto D e dobieno kako presek na pravata q, povle~ena niz C paralelno so AB.
A 9
D
b
B p
Pomo{. Da pretpostavime deka trapezot ABCD na crte`ot e
re{enie na zada~ata. Ako osnovata AB ja prodol`ime preku to~kata
B za
D
E
%( E
toga{ }e go dobieme paralelogramot BECD, pa
(& G
$( D E $& G N &( G
Kako }e
10 Pomo{. Na prava p, izberi to~ki A i C, taka {to
$& G
G Potoa konstruiraj pravi q i r, paralelni so p i na rastojanie od nea. Temiwata
% Â? T N ' Â? U }e gi odredi{ taka {to $% D $'
a
A
gi opredeli{ temiwata B i D?
r
p q
C
G
G
Spored toa, pomo{na figura za konstruirawe na trapezot ABCD e triagolnikot AEC so strani
b
D
G B b
E
D
G
a C
A B
341
7
$% $ %
'$ '$
i
D E J
2
1 Pravoagolen; 360, 540, 900.
'$ i '$
Potoa, sogledaj deka
$% % $ %
D E F
&$ %& $%
4
5 FP b) && FP
6 a)
7 Site ~etiri.
Centarot na opi{anata kru`nica pa|a vo sredinata na hipotenuzata (Talesova teorema).
$$ %%
spored priznakot SAS), pa
C
' $%$ # ' %$% ( $% %$ AB e zaedni~ka,
8 Pomo{. Pri oznakite na crte`ot,
' &$% ' &%$
&' $% 01
11 1100, 400, 1050, 1050. 12 Pomo{.
B1
&' % $% % 01
i
pa primeni
v) [
9
a)
Â?> f
g) [ Â? Z d) [ Â?
Â&#x2DC;
b)
a)
6
a)
[ b)
8
a)
3 4 a)
[ i
[ \ [ i [
_
_
D
[
b) v)
a)
7
a)
[ \
D E
v)
D E b) _
D g)
a)
[ \
5
_
_
g)
a) D b) E v) x.
2
a)
a)
D E
D
b)
b)
D i
D
D
D E D i
DE v) [\ g)
D E
v) g)
D E
Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
5
a)
Â&#x2DC; 6
a)
DE DE b) [\ [ \ v) F
Â&#x2DC; g)
v) !
b) 0. 8
i
D E F
D
v) 13. 3
a)
D E _
g) D
D E
3
D E g)
g) d)
2 a) [\ b) [ \ v)
b)
v) E D
D D E i E F F
1 a) Â&#x2DC; b) Â&#x2DC; Â&#x2DC;
Â&#x2DC;
D v)
D E i
b) bidej}i
342
b)
4
5 a) b) v)
a), v).
DE v)
[ g)
4
10 a) D b) D E
\
v)
Z
v) 7; g) 64; d) 7 a)
b)
E
[ b) D v)
2 v)
v) 2; g) 0,2; d) 2. 2 a), g), `). 3 a) [ t t.e. [ t ili [ Â?> f b) [ Â?> f
1
E
a) 2; b)
1
a)
B
KORENUVAWE
TEMA 8
6
A1
A
go priznakot dva za paralelogram.
1
spored SAS, pa
se naizmeni~ni (i ednakvi) pri trans-
verzalata AA1 na pravite AB i A1B1, od {to }e zaklu~i{ deka
5 Re{enie. Od D E F sleduva deka D D D E F pa D
' $%6 # ' $ % 6
3 b)
Â&#x2DC;
pa
b) v) DE E g) DE
d)
5
a) D b) D E
1
a) 42; b) 6; v) 15.
2 a) D b) 9x; v) 30a3.
4
a) 4; b) 3; v)
Â&#x2DC;
5 a)
D v)
D g)
\
b)
1 a)
b) v)
[ \
b)
7
1
v)
D g)
E
4
10 a) 14; b)
2 a); b).
1 b).
g)
d)
a)
3 a)
D b) [\ [ \ v) [ [
b)
6 a)
v) 3.
7 a)
D b) D
D
v) [ [ g) D E d) D E |)
2
a) E b) D D v)
E b) D E D E v)
[\ e)
Â&#x2DC;
[ g) [
D E
5 a) b)
3 a)
5 2 a).
[\
[ \
Â?> f b) [ Â?> f bidej}i [ e definiran za sekoj [ Â? Z [ Â? > @ g) [ t i [ z [ Â? > f d) [ t i [ z
Â&#x2DC; g) 1; d) a); |) e) x. Iracionalen izraz e samo v). DE b) 4. 6 a) E D
3 a) x; b) ab; v) a) b)
3 v).
4 b).
7 a) DE D b) [ [\
a) [ t [ t ili [
4 a) b)
8
D
v) g)
v) [ t i [ t
Â? > f Â&#x2021; f
d)
b) 0; v)
4 a) D D b) [ \
DE
g) d) |)
2 a)
3
b)
6
[
D E |) D D e) E
8 a) b) 34. 9 a) DE D E b)
v) D D
v)
Â&#x2DC;
1 a) da; b) da; v) \ Â&#x2DC; [\ [ [\ [\ [\
4
10 a)
8 a)
5 a) b) _
D b)
11 a) b) [ \
D
[
_
\
b)
D E
9 a) b) \ [ \ v)
E
6 a)
[ \
12 a); v).
343
PLO[TINA NA MNOGUAGOLNIK I KRUG
TEMA 9
ZA SITE STRUKI
1
N E
3 Â&#x2DC;
b)
N pa
N Â&#x2DC; N
3 |
3 | FP
8
P E
Zna~i: D
N N
Voo~i:
a) ]e se zgolemi
3 | FP 6
5 pati. b) ]e se namali 3 pati. 4 4, 9, 16, ... pati. 5 D | FP imame D
7 a)
3
1 a) 20,25 cm2; b) 35,28 cm2. 2 a) 12 cm2; b) 6 cm2; v) 0,06 m2; g) 20 dm2.
P b) D
Od D E
P E
P
D D G
D D G D c D c E D WJ D | Â&#x2DC; E | FP 3 D Â&#x2DC; E | 3 | GP
1
2
$% A '0
i
FP
2
$' A '1
pa zna~i
t.e. E
3 E Â&#x2DC; KE
Â&#x2DC;
3 D
D GP K
7
K
D
WJ
(zo{to?) imame
 °\
re{enie na sistemot ®
° ¯[ Â&#x2DC; \
$% K 43 K [
[
t.e. Â&#x2DC; [
e mno`estvoto 6
WJ
4 v)
KE
E J c od 3
3
FP Od
3
A
§ · ¸ © ¹
¨
DE VLQ J
DF VLQ E dobivame F
D Â&#x2DC; KD
E Â&#x2DC; KE i D E FP dobivame D
i E D dobivame D FP i E
t.e. KD
FP
3
D Â&#x2DC; KD
FP E
E VLQ J VLQ E
344
EF VLQ D |
3$%&
FP i
3 FP
7
§D· ¸ © ¹
E ¨
8 Od konstrukcijata (crte`) sleduva deka C M
N
triagolnikot ABC. Triagolnicite AC1N, C1BM, MNC1 i MNC se skladni
D
Re{enie. Neka KD
3 FP
to~kite M i N se sredini na stranite BC i AC, pa MN e sredna linija na
31& 0&
FP Za visinata ha imame KD
Â&#x2DC; Â&#x2DC;
i imaat ednakvi plo{tini. Ottuka sleduva deka
B
N
Re{enie.
| pa 3
3 FP FP
a
M
3 |
P
y
x
3 a) b) | v) | g)
5 a) | FP b) | G P v) | FP 6
Re{enie. Od D E
KD
h
Q
odnosno 3 cm i 21 cm.
3
8 Neka x i y se
C
\ a
^ `
§ G · § G · ¨ ¸ ¨ ¸ ima© ¹ © ¹
D |
Bidej}i
Zna~i, mo`e da se vpi{at dva pravoagolnika, ~ii strani se 7 cm i 9 cm,
1 a) 0,75. b) 0,1. 2 5%.
N B
M
GP a od D D
D 3
dol`inite na stranite na pravoagolnikot MNPQ (crte`). Toga{ [ Â&#x2DC; \
' $%& ' 43&
A D
D C
hb
0
G G dobivame G
6 | 126,3 dm2; K | GP
60 ha
b
3 FP
a
D
(kako agli so KD i VLQ D imame E E
/ GP K GP Pomo{. Od 3
4 192 dm2. 5 me
pa
' '$%
D
zaemno normalni kraci). Od VLQ
E
3 FP Re{enie. Vo paralelogramot ABCD (crte`):
3
A
D
E
D
C1
E
B
3 FP
FP D FP a neka C1 e podno`na to~ka na visinata h (crte`). C Triagolnikot CC B e ramnokrak pravoagolen so osnova BC, pa %& && K 9
Od
' && %
Od
' $& &
pa
$%
10
Re{enie. Neka E 1
&& & %
imame:
$&
imame:
3 GP
%& K K
&&
$&
$% Â&#x2DC; K
3
FP
t.e. K
FP
$&
t.e.
Â&#x2DC; Â&#x2DC;
h
FP
&& A $% (crte`). Toga{ D ' %&& i E ' & &$ %& && && & $ && %& & $ t.e visinata kon
Re{enie. Neka
' %&& ' & &$
pa
450
A
Ottuka sleduva deka
Â&#x2DC;
hipotenuzata e geometriska sredina na otse~kite na koi e podelena hipote-
%& FP & $
nuzata. Ako Od
' %&&
K %&
imame D
E
DÂ&#x2DC;E
3
FP
D
Â&#x2DC;
Â&#x2DC; sleduva K K & $
FP E
pa
FP
D
DU
5
FP 6
5
D
5U
D
D
povle~ena e
E
D
3$0' FP 5
&0 % '% ' $0&
Plo{tinata na
ta
A
Â&#x2DC;
A1 c D i 5
B
3
VÂ&#x2DC;U
DU
Od
'0 % %&
FP FP
6
i presmetaj ja
%0
'& E
pa
8
3
3$0&
D E Â&#x2DC; K
b) FP FP
5 | FP
plo{tinata na edna plo~ka e
D
D
Â&#x2DC;
WJ |
9
3$%&'
3
3
3
d2
D
4
a) FP FP
6 Plo{tinata na podot e P
/ Â&#x2DC; U t.e.
Â&#x2DC; U
U
d2
a B b M A U Â&#x2DC; / (zo{to?), kade {to L e peri
| FP brojot na plo~kite e 651.
3
C
b
d1 h
3 FP
Pomo{. Napravi crte`;
3 | 2 / | FP 3 | FP
1
Â&#x2DC; K FP
3 FP Pomo{. Vo trapezot ABCD (crte`), od temeto C,
}e ja odredi{ so Heronovata formula.
3 G G
3 Q Â&#x2DC; U WJ
Â&#x2DC; K }e ja dobie{ visinata na trapezot, K
(M le`i na prodol`enieto na AB). Bidej}i BMCD e
metarot na deltoidot.
8
$0 WD
M
2 20 cm. 3 204 cm2. Pomo{. Vo trapezot ABCD, povle~i
paralelogram, sleduva deka
6
3
FP
plo{tinata na dobieniot triagolnik AMD (strani: 13 cm, 15 cm i 14 cm) so pomo{ na Heronovata formula;
7
i
FP WD
C
C b
3 FP U FP 5 FP 7 3 Pomo{. 3
1 280 cm2.
5 4 /
FP F
A
E
D
E
B
$% F %0 E 3$%0 FP
3$%0 Â&#x2DC; Â&#x2DC; Â&#x2DC; 3$%&
FP
taka {to V U
h
So prodol`uvawe na te`i{nata linija za ta, se dobiva paralelogramot ABMC so strani
5
FP
270 cm2. Re{enie. Neka E
4
D
C1
3 FP
D 3 |
3
1 210. 2
4
FP toga{ od K
B
C1
FP a
7 27 m.
FP
345
3 3c
10
QD FWJ
D
1 0,7 m.
7
QDc FWJ
D
D D c
3 21 cm. 4 2 cm. 5 a) 4 pati. b) 16 pati. Re{enie. Neka
2 10.
/ S U S Â&#x2DC; U S U /
a)
izmine pat
3
b)
/ S U Â&#x2DC; S Â&#x2DC; Â&#x2DC; | P
9 / S FP 3
'' '&
3
3 6 5,86 m/sec. To~kata }e
7 |
8
S |
S treba da go najdeme radiusot r na krugot. So C1 $( C D D1 B1 h O Od svojstvoto na tangentnite otse~ki imame $' $$ $% r
'&
pa
FP Sledstveno, /
U
S U
vo minuta.
S FP Re{enie. Bidej}i / US i oznakite na crte`ot, imame U '( '( $' $(
$' $' ' '
U S
S
U
U
U
$'
Zna~i,
S Â&#x2DC; S 3
U S
'(
U
'(
A
pa
E
A1
B
S
§ ¡ ? | P Re{enie. Agolot D }e go pretvorime vo stepeni: D c ¨ ¸ | Š š S Â&#x2DC; Â&#x2DC; c pa ? | 2 a) U FP b) D 3 D | Re{enie. / S U SÂ&#x2DC; Â&#x2DC;D S UD D D D S r S U U ? D S D c (crte`). 4 D c Re{enie. U P ? P D " S UD S Â&#x2DC; Â&#x2DC; D S Â&#x2DC; Â&#x2DC; D Â&#x2DC; S U Â&#x2DC; D c 5 S U 3 S FP 6 ? | FP S Â&#x2DC; 3 | FP Re{enie. Centralniot agol e D pa ? S UD FP i 3 ? Â&#x2DC; U Â&#x2DC; FP U S D U 7 3 S FP Pomo{. 3 8 3 | W (triagolnikot e ramnostran; zo{to?). W W W za W FP 3 | FP Pomo{. Spored crte`ot, sogledaj deka: K U FRV WJ pa 32$%
1
8
t.e.
3
9
W
UÂ&#x2DC;
W
od kade {to
S
3
Sledstveno,
U
W
3 3 32$%
pa plo{tinata P1 na kru`niot ise~ok OAB e W
S
W
W
§S ¨ ¨ Š
¡
| ¸ ¸ š
W
vpi{anata kru`nica, soodvetno) so pomo{ na stranata a.
9 346
2 g). 3
8 FP
v).
4 a). 5
U
FP 6
O
S GP Pomo{. Napravi crte`; izrazi gi radiusite R i r (na opi{anata i A
1 b).
r
0
60 h
300 W
E
FP 7 K WJ c | 3 |
9 | PP 10 ]e imaat ednakvi plo{tini.
11
U |
12 | FP
B
PREGLED NA POIMITE A
Agol (i): - centralen, 68 - periferen, 68 - ramen, 68 - vnatre{en, 66 Aksioma, 53 Aritmeti~ka sredina, 36 Apsolutna vrednost, 27
B
broj, evi: - prirodni, 11 - prosti, 17 - slo`eni, 17 - racionalni, 30 - iracionalni, 40 - recipro~ni, 34 - realni, 40 - decimalni, 37 - periodi~ni, 38 - pi, 37 - binarni, 22 - zaemno prosti, 19
V Vektor (i), 72 - ednakvi, 73 - kolinearni, 73 - sprotivni, 74 - nulti, 76
G Gre{ka: - apsolutna, 44 - relativna, 45 - procentna, 45 Grafik na: - linearna funkcija, 229 - trigonometriska funkcija, 118
D Disjunkcija, 6 Delitel, 16 Dropka, 30: - pro{iruvawe, 31 - skratuvawe, 31 - recipro~na, 35
E Ekvivalencija, 9 Eratostenovo sito, 17 Ekvivalentni: - ravenki, 222 - neravenki, 234
I
P
Iskaz, 5 Interval, 42 Implikacija, 9 Identitet, 129
Perioda, 117 Proporcija: - prodol`ena, 172 - izvedena, 171 Prosto trojno pravilo, 176 Plo{tina na: - paralelogram, 298 - triagolnik, 302 - krug, 314 - ~etiriagolnik, 308 Priznak za: - sli~nost, 84 - skladnost, 244
K
Konjunkcija, 6 Kru`en: - lak, 317 - ise~ok, 318 - prsten, 319 Koeficient na: - prava, 231 - monom, 128 - proporcionalnost, 167 Konstrukcija na: - triagolnik, 256 - paralelogram, 267 - trapez, 270 Krug, 67 Kru`nica, 67
L Linearna: - funkcija, 229 - ravenka, 224 - neravenka, 233
M
Mno`estvo na: - prirodni broevi, 11 - celi broevi, 27 - racionalni broevi, 30 - iracionalni broevi, 40 - realni broevi, 40 - gusto, 36 Monom, 128
N
normalen vid na: - monom, 128 - polinom, 129 Negacija, 5 Najmal zaedni~ki sodr`atel, 18 Najgolem zaedni~ki delitel, 19
O Operacii so: - prirodni broevi, 12 - celi broevi, 28 - racionalni broevi, 33 - decimalni broevi, 37 - monomi, 129 - polinomi, 130 - stepeni, 129 - inverzna, 29 - algebarski dropki, 149 Ortocentar, 253
R Razlo`uvawe na: - broevi, 12 - vektori, 78 - polinomi, 138 Ravenka: - re{liva, 222 - nevozmo`na, 222 - neopredelena, 225 Radijan, 104
S Svojstva: - komutativno, 13 - asocijativno, 13 - distributivno, 13 Stepen na: - monom, 129 - polinom, 129 sistem na neravenki, 236 slo`eno trojno pravilo, 178
T
Triagolnici: - sli~ni, 84 - skladni, 243 Trigonometriski funkcii: - sinus, 88 - kosinus, 88 - tangens, 89 - kotangens, 89 Te`i{te, 253 Teorema, 68
F
Formula (i): - Heronova, 305 - za skrateno mno`ewe, 132 - za trigon. zavisnost, 97
^
^etiriagolnik: - tetiven, 70 - tangenten, 70
347
SODR@INA
TEMA 1
REALNI BROEVI
TEMA 2
GEOMETRISKI FIGURI VO RAMNINA
TEMA 3
TRIGONOMETRISKI FUNKCII OD OSTAR AGOL
TEMA 4
ALGEBARSKI RACIONALNI IZRAZI ZA SITE STRUKI
TEMA 5
PROPORCIONALNOST NA VELI^INITE
TEMA 6
LINEARNI: RAVENKI, NERAVENKI, FUNKCII
TEMA 7
TRIAGOLNIK I ^ETIRIAGOLNIK
TEMA 8
KORENUVAWE
TEMA 9
PLO[TINA NA MNOGUAGOLNIK I KRUG ZA SITE STRUKI
295
ODGOVORI, UPATSTVA, RE[ENIJA ..........................................
321
PREGLED NA POIMITE ..................................................................
347
348
T, E, Z .............................................................
E
T
T
E, Z
3
.....................
51
T
83
123
................
157
T, E, Z ...
215
...........................
...................................................................
241
273
Izdava~: MINISTERSTVO ZA OBRAZOVANIE I NAUKA NA REPUBLIKA MAKEDONIJA ul. Mito Haxi Vasilev - Jasmin , bb - Skopje
Recenziona komisija: D-r @aneta Popeska, pretsedatel Jagoda Tamu{oska, ~len Hamid Hebibi, ~len
So Re{enie na Ministerot za obrazovanie i nauka na Republika Makedonija broj 22-4255/1 od 28.07.2010 godina, se odobruva upotrebata na ovoj u~ebnik.
349
Avtori: D-r Naum Celakoski, D-r Verca Bakeva, Borivoje Miladinovi}, Jovo Stefanovski
MATEMATIKA za prva godina sredno stru~no obrazovanie za site struki Urednik na izdanieto Jovo Stefanovski Jazi~en lektor Suzana Stojkovska Kompjuterska obrabotka i dizajn Dragan [opkoski, Mil~o Avramoski, Boban Avramoski Korektura Avtorite Podgotovka za pe~at Jovo Stefanovski
: < + ! , : 12.900 CIP - " . " , 51(075.3) I : ! / # ...[ .]. : $ , 2010. - 350 . : . ; 25 : # , % & , & ', * + ISBN 978-608-226-051-8 1. # , [ ] 350 COBISS.MK-ID 84290826