´ Oscilaciones Armonicas L. Ripoll1 ´ Departamento de matematicas, f´sica y estad´stica Universidad del Norte
Primer semestre, 2008
´ ´ Norte) L. Ripoll (Departamento de matematicas, f´sica y estad´sticaUniversidad Oscilaciones Armdel onicas
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Contenido
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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal
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Contenido
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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal
2
De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)
´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)
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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal
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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)
´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)
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´ Introduccion 1
´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion
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´ Introduccion 1
´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion
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´ Introduccion 1
´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion
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´ Introduccion 1
´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion
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´ Introduccion 1
´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion
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´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion
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´ Introduccion 1
´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion
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De niciones en el M.A.S
Desplazamiento X (t ): el vector que va del origen hasta la part´cula. Amplitud A : kXmax ´ k = A.
Frecuencia f : numero de oscilaciones en la unidad de tiempo (s 1 ). ´ completa Periodo T : tiempo gastado en una oscilacion Frecuencia ω : es ω = 2πf =
2π T rad s
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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal
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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)
´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)
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´ diferencial del M.A.S Ecuacion
´ del M.A.S, tenemos que: De la de nicion
luego
Frestitucion ´ = Fresorte ) ma =
(1)
κX
d 2x + κX = 0 dt 2
(2)
d 2x κ + X =0 m dt 2
(3)
m Entonces
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´ Solucion ´ de variables se obtiene: ´ Por separacion Solucion: r κ t + C2 x = C1 cos m
(4)
´ Interpretacion:
r
C1 : C1 = Amplitud = kAk r r κ κ κ rad : Se demuestra que = , luego =ω m m s m C2 : Es la constante de fase, as´C2 = Φ
(5)
´ inicial Φ : Indica la posicion ´ ´ Norte) L. Ripoll (Departamento de matematicas, f´sica y estad´sticaUniversidad Oscilaciones Armdel onicas
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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)
´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)
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´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion Per´odo (T ): Tenemos que ω = r κ T = 2π m
r
κ 2π =) = m T
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r
κ luego m
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´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion Per´odo (T ): Tenemos que ω = r κ T = 2π m
r
κ 2π =) = m T
r
κ luego m
Velocidad (v ): dX d v= = (A cos (ωt + φ)) =) v = Aω sen (ωt + φ) dt dt Otra formapde v : p v = Aω 1 cos2 (ωt + φ) =) v = ω A2 X 2
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´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion Per´odo (T ): Tenemos que ω = r κ T = 2π m
r
κ 2π =) = m T
r
κ luego m
Velocidad (v ): dX d v= = (A cos (ωt + φ)) =) v = Aω sen (ωt + φ) dt dt Otra formapde v : p v = Aω 1 cos2 (ωt + φ) =) v = ω A2 X 2 ´ Velocidad maxima (vmax ´ ): vmax ´ = kAω k
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´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion Per´odo (T ): Tenemos que ω = r κ T = 2π m
r
κ 2π =) = m T
r
κ luego m
Velocidad (v ): dX d v= = (A cos (ωt + φ)) =) v = Aω sen (ωt + φ) dt dt Otra formapde v : p v = Aω 1 cos2 (ωt + φ) =) v = ω A2 X 2 ´ Velocidad maxima (vmax ´ ): vmax ´ = kAω k ´ (a): Aceleracion dv d a= = ( Aω sen (ωt + φ)) =) a = dt dt Otra forma de (a): a = Aω 2 X
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Aω 2 cos (ωt + φ)
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´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion Per´odo (T ): Tenemos que ω = r κ T = 2π m
r
κ 2π =) = m T
r
κ luego m
Velocidad (v ): dX d v= = (A cos (ωt + φ)) =) v = Aω sen (ωt + φ) dt dt Otra formapde v : p v = Aω 1 cos2 (ωt + φ) =) v = ω A2 X 2 ´ Velocidad maxima (vmax ´ ): vmax ´ = kAω k ´ (a): Aceleracion dv d a= = ( Aω sen (ωt + φ)) =) a = dt dt Otra forma de (a): a = Aω 2 X
Aω 2 cos (ωt + φ)
2 ´ maxima ´ Aceleracion (amax ´ ). amax ´ = Aω
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´ de A y φ Determinacion Problema ´ inicial) y v0 (velocidad inicial), hallar A y φ Si se conoce X0 (posicion Procedimiento: Tenemos que X = A cos (ωt + φ) y v = Aωsen (ωt + φ) . Para t = 0 entonces X0 = A cos φ
(6)
v0 =
(7)
Aωsenφ
Dividiendo (6) y (7) se tiene Tgφ =
v0 X0 ω
(8)
Elevando al cuadrado (6) y (7), y luego sumando estas ecuaciones se tiene: q v2 A = X02 + X00ω (9)
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Problema (M.A.S horizontal)
Problema Una part´cula ejecuta un M.A.S horizontal. ´ de equilibrio y se mueve hacia la En t = 0 pasa por la posicion derecha. si A = 2 cm y f = 1,5 Hz a. Demostrar que X = 2 sen (3πt ) , cm, s b. Hallar X para t = 0,25 s
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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s
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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s
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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s v0 .t Como calculo de φ : Aplicamos Tgφ = X0 ω π φ= rad t = 0, X = X0 = 0 =) 2
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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s v0 .t Como calculo de φ : Aplicamos Tgφ = X0 ω π φ= rad t = 0, X = X0 = 0 =) 2 Luego X = 2 cos(3π π2 ) =) X = 2 sen 3πt
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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s v0 .t Como calculo de φ : Aplicamos Tgφ = X0 ω π φ= rad t = 0, X = X0 = 0 =) 2 Luego X = 2 cos(3π π2 ) =) X = 2 sen 3πt b. Calculo de X (0,25 s) : X = 2 sen [3π (0,25 s)] = 1,4 cm
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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s v0 .t Como calculo de φ : Aplicamos Tgφ = X0 ω π φ= rad t = 0, X = X0 = 0 =) 2 Luego X = 2 cos(3π π2 ) =) X = 2 sen 3πt b. Calculo de X (0,25 s) : X = 2 sen [3π (0,25 s)] = 1,4 cm
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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s v0 .t Como calculo de φ : Aplicamos Tgφ = X0 ω π φ= rad t = 0, X = X0 = 0 =) 2 Luego X = 2 cos(3π π2 ) =) X = 2 sen 3πt b. Calculo de X (0,25 s) : X = 2 sen [3π (0,25 s)] = 1,4 cm
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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal
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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)
´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)
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´ Problema(Oscilador armonico)
Problema ´ Un oscilador armonico simple de 5 g tiene un T = 0,6 s y A = 18 cm. Hallar v , f y φ en el instante en que x = 9 cm y se mueve a la derecha.
´ Figura de analisis
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´ Solucion:
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Calculo de ω =
ω= 2π =) T
10π rad 3
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10π rad ω= 2π 3 =) T p Calculo de v : Usamos v = ω A2 X 2
Calculo de ω =
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+163 cm s (+ ? )
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10π rad ω= 2π 3 =) T p Calculo de v : Usamos v = ω A2 X 2 +163 cm s (+ ? ) 2 Calculo de Fr : Fr = κX = mω X =) Fr = +4935 dyn (+?)
Calculo de ω =
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10π rad ω= 2π 3 =) T p Calculo de v : Usamos v = ω A2 X 2 +163 cm s (+ ? ) 2 Calculo de Fr : Fr = κX = mω X =) Fr = +4935 dyn (+?) Calculo de φ : Tomemos t = t0 = 0 cuando X = 9 cm = X0 (?)
Calculo de ω =
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10π rad ω= 2π 3 =) T p Calculo de v : Usamos v = ω A2 X 2 +163 cm s (+ ? ) 2 Calculo de Fr : Fr = κX = mω X =) Fr = +4935 dyn (+?) Calculo de φ : Tomemos t = t0 = 0 cuando X = 9 cm = X0 (?) Entonces X0 = A cos (ωt0 + φ) =) 9 = 18 cos φ =)φ = 240
Calculo de ω =
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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal
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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)
´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)
´ ´ Norte) L. Ripoll (Departamento de matematicas, f´sica y estad´sticaUniversidad Oscilaciones Armdel onicas
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M.A.S vertical
´ ´ Norte) L. Ripoll (Departamento de matematicas, f´sica y estad´sticaUniversidad Oscilaciones Armdel onicas
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M.A.S vertical
´ de equilibrio: mg Ecuacion
κy0 = 0.
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M.A.S vertical
´ de equilibrio: mg Ecuacion ´ de movimiento: Ecuacion mg
κy0 = 0.
d 2y κ + y =0 2 m κ (y + y0 ) = ma =) ma + κy = 0 =) dt
´ ´ Norte) L. Ripoll (Departamento de matematicas, f´sica y estad´sticaUniversidad Oscilaciones Armdel onicas
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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal
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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)
´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)
´ ´ Norte) L. Ripoll (Departamento de matematicas, f´sica y estad´sticaUniversidad Oscilaciones Armdel onicas
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´ Cuerdas elasticas ´ Solucion:
Problema Una bola de masa m esta conectado a dos ligas de caucho de longitud L (cada ´ T .La una). tiene una tension bola se desplaza una distancia y ˜ pequena.Suponiendo que T no cambia. r 2T Demostrar que ω = mL Equilibrio. ´ ´ Norte) L. Ripoll (Departamento de matematicas, f´sica y estad´sticaUniversidad Oscilaciones Armdel onicas
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