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´ Oscilaciones Armonicas L. Ripoll1 ´ Departamento de matematicas, f´sica y estad´stica Universidad del Norte

Primer semestre, 2008

´ ´ Norte) L. Ripoll (Departamento de matematicas, f´sica y estad´sticaUniversidad Oscilaciones Armdel onicas

2008

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Contenido

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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal

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Contenido

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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal

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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)

´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)

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Contenido

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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal

2

De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)

´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)

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´ Introduccion 1

´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion

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´ Introduccion 1

´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion

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´ Introduccion 1

´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion

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´ Introduccion 1

´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion

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´ Introduccion 1

´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion

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´ Introduccion 1

´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion

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´ Introduccion 1

´ despreciable (f = 0) NOTA: Friccion

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De niciones en el M.A.S

Desplazamiento X (t ): el vector que va del origen hasta la part´cula.

Amplitud A : kXmax ´ k = A.

Frecuencia f : numero de oscilaciones en la unidad de tiempo (s 1 ). ´ completa Periodo T : tiempo gastado en una oscilacion Frecuencia ω : es ω = 2πf =

2π T rad s

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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal

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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)

´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)

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´ diferencial del M.A.S Ecuacion

´ del M.A.S, tenemos que: De la de nicion

luego

Frestitucion ´ = Fresorte ) ma =

(1)

κX

d 2x + κX = 0 dt 2

(2)

d 2x κ + X =0 m dt 2

(3)

m Entonces

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´ Solucion ´ de variables se obtiene: ´ Por separacion Solucion: r κ t + C2 x = C1 cos m

(4)

´ Interpretacion:

r

C1 : C1 = Amplitud = kAk r r κ κ κ rad : Se demuestra que = , luego =ω m m s m C2 : Es la constante de fase, as´C2 = Φ

(5)

´ inicial Φ : Indica la posicion ´ ´ Norte) L. Ripoll (Departamento de matematicas, f´sica y estad´sticaUniversidad Oscilaciones Armdel onicas

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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal

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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)

´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)

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´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion Per´odo (T ): Tenemos que ω = r κ T = 2π m

r

κ 2π =) = m T

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r

κ luego m

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´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion Per´odo (T ): Tenemos que ω = r κ T = 2π m

r

κ 2π =) = m T

r

κ luego m

Velocidad (v ): dX d v= = (A cos (ωt + φ)) =) v = Aω sen (ωt + φ) dt dt Otra formapde v : p v = Aω 1 cos2 (ωt + φ) =) v = ω A2 X 2

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´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion Per´odo (T ): Tenemos que ω = r κ T = 2π m

r

κ 2π =) = m T

r

κ luego m

Velocidad (v ): dX d v= = (A cos (ωt + φ)) =) v = Aω sen (ωt + φ) dt dt Otra formapde v : p v = Aω 1 cos2 (ωt + φ) =) v = ω A2 X 2 ´ Velocidad maxima (vmax ´ ): vmax ´ = kAω k

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´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion Per´odo (T ): Tenemos que ω = r κ T = 2π m

r

κ 2π =) = m T

r

κ luego m

Velocidad (v ): dX d v= = (A cos (ωt + φ)) =) v = Aω sen (ωt + φ) dt dt Otra formapde v : p v = Aω 1 cos2 (ωt + φ) =) v = ω A2 X 2 ´ Velocidad maxima (vmax ´ ): vmax ´ = kAω k ´ (a): Aceleracion dv d a= = ( Aω sen (ωt + φ)) =) a = dt dt Otra forma de (a): a = Aω 2 X

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Aω 2 cos (ωt + φ)

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´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion Per´odo (T ): Tenemos que ω = r κ T = 2π m

r

κ 2π =) = m T

r

κ luego m

Velocidad (v ): dX d v= = (A cos (ωt + φ)) =) v = Aω sen (ωt + φ) dt dt Otra formapde v : p v = Aω 1 cos2 (ωt + φ) =) v = ω A2 X 2 ´ Velocidad maxima (vmax ´ ): vmax ´ = kAω k ´ (a): Aceleracion dv d a= = ( Aω sen (ωt + φ)) =) a = dt dt Otra forma de (a): a = Aω 2 X

Aω 2 cos (ωt + φ)

2 ´ maxima ´ Aceleracion (amax ´ ). amax ´ = Aω

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´ de A y φ Determinacion Problema ´ inicial) y v0 (velocidad inicial), hallar A y φ Si se conoce X0 (posicion Procedimiento: Tenemos que X = A cos (ωt + φ) y v = Aωsen (ωt + φ) .

Para t = 0 entonces X0 = A cos φ

(6)

v0 =

(7)

Aωsenφ

Dividiendo (6) y (7) se tiene Tgφ =

v0 X0 ω

(8)

Elevando al cuadrado (6) y (7), y luego sumando estas ecuaciones se tiene: q v2 A = X02 + X00ω (9)

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Problema (M.A.S horizontal)

Problema Una part´cula ejecuta un M.A.S horizontal. ´ de equilibrio y se mueve hacia la En t = 0 pasa por la posicion derecha. si A = 2 cm y f = 1,5 Hz a. Demostrar que X = 2 sen (3πt ) , cm, s b. Hallar X para t = 0,25 s

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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s

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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s

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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s v0 .t Como calculo de φ : Aplicamos Tgφ = X0 ω π φ= rad t = 0, X = X0 = 0 =) 2

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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s v0 .t Como calculo de φ : Aplicamos Tgφ = X0 ω π φ= rad t = 0, X = X0 = 0 =) 2 Luego X = 2 cos(3π π2 ) =) X = 2 sen 3πt

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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s v0 .t Como calculo de φ : Aplicamos Tgφ = X0 ω π φ= rad t = 0, X = X0 = 0 =) 2 Luego X = 2 cos(3π π2 ) =) X = 2 sen 3πt b. Calculo de X (0,25 s) : X = 2 sen [3π (0,25 s)] = 1,4 cm

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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s v0 .t Como calculo de φ : Aplicamos Tgφ = X0 ω π φ= rad t = 0, X = X0 = 0 =) 2 Luego X = 2 cos(3π π2 ) =) X = 2 sen 3πt b. Calculo de X (0,25 s) : X = 2 sen [3π (0,25 s)] = 1,4 cm

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´ Solucion: a. Tenemos que X = A cos (ωt + φ), conocemos A = 2 cm y rad f = 1,5 Hz =) ω = 3π s v0 .t Como calculo de φ : Aplicamos Tgφ = X0 ω π φ= rad t = 0, X = X0 = 0 =) 2 Luego X = 2 cos(3π π2 ) =) X = 2 sen 3πt b. Calculo de X (0,25 s) : X = 2 sen [3π (0,25 s)] = 1,4 cm

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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)

´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)

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´ Problema(Oscilador armonico)

Problema ´ Un oscilador armonico simple de 5 g tiene un T = 0,6 s y A = 18 cm.

Hallar v , f y φ en el instante en que x = 9 cm y se mueve a la derecha.

´ Figura de analisis

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´ Solucion:

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Calculo de ω =

ω= 2π =) T

10π rad 3

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10π rad ω= 2π 3 =) T p Calculo de v : Usamos v = ω A2 X 2

Calculo de ω =

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+163 cm s (+ ? )

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10π rad ω= 2π 3 =) T p Calculo de v : Usamos v = ω A2 X 2 +163 cm s (+ ? ) 2 Calculo de Fr : Fr = κX = mω X =) Fr = +4935 dyn (+?)

Calculo de ω =

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10π rad ω= 2π 3 =) T p Calculo de v : Usamos v = ω A2 X 2 +163 cm s (+ ? ) 2 Calculo de Fr : Fr = κX = mω X =) Fr = +4935 dyn (+?)

Calculo de φ : Tomemos t = t0 = 0 cuando X = 9 cm = X0 (?)

Calculo de ω =

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10π rad ω= 2π 3 =) T p Calculo de v : Usamos v = ω A2 X 2 +163 cm s (+ ? ) 2 Calculo de Fr : Fr = κX = mω X =) Fr = +4935 dyn (+?)

Calculo de φ : Tomemos t = t0 = 0 cuando X = 9 cm = X0 (?)

Entonces X0 = A cos (ωt0 + φ) =) 9 = 18 cos φ =)φ = 240

Calculo de ω =

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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)

´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)

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M.A.S vertical

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M.A.S vertical

´ de equilibrio: mg Ecuacion

κy0 = 0.

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M.A.S vertical

´ de equilibrio: mg Ecuacion ´ de movimiento: Ecuacion mg

κy0 = 0.

d 2y κ + y =0 2 m κ (y + y0 ) = ma =) ma + κy = 0 =) dt

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´ Oscilaciones mecanicas ´ Introduccion Resorte horizontal

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De niciones en el M.A.S ´ diferencial del M.A.S Ecuacion ´ en el M.A,S Per´odo,velocidad y aceleracion ´ de A y φ) Problema(Determinacion Problema(M.A.S horizontal)

´ Problema(Oscilador armonico) M.A.S vertical ´ Problema (Cuerdas elasticas)

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´ Cuerdas elasticas ´ Solucion:

Problema Una bola de masa m esta conectado a dos ligas de caucho de longitud L (cada ´ T .La una). tiene una tension bola se desplaza una distancia y ˜ pequena.Suponiendo que T no cambia. r 2T Demostrar que ω = mL Equilibrio. ´ ´ Norte) L. Ripoll (Departamento de matematicas, f´sica y estad´sticaUniversidad Oscilaciones Armdel onicas

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