ENCONTRAR x EN 6x + 2 = 3x – 4
Comience abriendo la Hoja de Cálculo y escribiendo 1 en la celda B3 Escriba la fórmula siguiente en la celda C3: = B3 + 1 La fórmula ordena a la Hoja de Cálculo adicionar 1 al valor de la celda B3. Copiar esta fórmula desde la celda D3 hasta la celda K3 [1]. El resultado consiste en que el programa adicionará 1 al valor que está en la celda de la izquierda de cada celda entre C3 y K3. Entonces, los valores que se muestran en las celdas se convierten en: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, y 10.
Ordene a la Hoja de Cálculo que calcule los valores para estas expresiones: 6x + 2 y 3x – 4, en la celda B4, entre la fórmula siguiente: = 6*B3 + 2
En la celda B5, entre esta fórmula: = 3*B3 – 4
Copie las formulas a través de las columnas C a K [1].
Haga una presentación gráfica de los datos [2]. La gráfica resultante muestra: La expresión 6x + 2 es mayor que la expresión 3x – 4 para los valores de x entre 1 y 10. Las expresiones se mueven hacia un punto de intersección de los valores de x menor a 1. (convergen) Las expresiones divergen para valores de x mayor que 1.
La intersección claramente es menor a 1, pero la Hoja de Cálculo está programada para comenzar en 1. Para ajustarla, simplemente cambie el valor inicial de la celda B3. Ingrese – 5 a la celda B3, observe que los valores y la gráfica inmediatamente se actualizan.
Ahora tanto los valores de la gráfica como de la Hoja de Cálculo muestran que cuando x toma el valor – 2 , las expresiones son iguales. SOLUCIÓN PARA x EN 3x – 4 = 14 – 2x Al igual que en el problema anterior, abra la Hoja de Cálculo y escriba 1 en la celda B22 Coloque la fórmula siguiente en la celda C22: = B22 + 1 Copie ésta fórmula desde la celda D22 hasta la K22 [1]. Ordene a la Hoja de Cálculo que calcule los valores para cada una de las siguientes expresiones: = 3*B22 – 4 en B23 y = 14 – 2*B22 en B24. Copie éstas fórmulas desde las celdas B23 y B24 hasta K23 y K24 [1]
Haga una gráfica con la información [2]. La gráfica resultante muestra: La expresión 3x – 4 es mayor que la expresión 14 – 2x para los valores de x desde un poco más de 3 hasta 10. Los datos en la Hoja de Cálculo muestran también esa información. La expresión 3x – 4 es menor que la expresión 14 – 2x para valores de 3 y menores El problema es encontrar el punto exacto en el que estas dos expresiones son iguales. El punto de intersección está entre 3 y 4. Para que el incremento sea menor, modifique la fórmula en la celda C22 para adicionar .5 en lugar de 1. Introduzca = B22 + .5 en la celda C22.
La gráfica se modifica inmediatamente, pero las dos líneas ya no son rectas. ¿Por qué no lo son?
El cambio en la fórmula en C22 se debe copiar en las celdas D22 hasta la K22. Una vez se ha hecho, las líneas se enderezarán. ¿Pero es obvio el punto de intersección?
No, se ubica en algún lugar entre x = 3.5 y x = 4.0 Cambie la información en la fila 22 para hacer que x comience en 3 y que el incremento sea .1 Ingrese 3 en la celda B22 La nueva fórmula en la celda C22 será: = B22 + .1 Está fórmula debe copiarse desde las celdas D22 hasta las K22 [1].
Ahora está claro. La expresión 3x – 4 iguala a la expresión 14 – 2x cuando x = 3.6 Tanto la gráfica como los datos de la Hoja de Cálculo demuestran este hecho. Utilizando este proceso de cercar el punto de intersección con rangos cada vez menores, alienta los estudiantes a estimar la intersección que arrojan los datos y la representación gráfica. Más ejemplos mejorarán la habilidad de los estudiantes de trabajar fórmulas en Hojas de Cálculo. Considere estas: 2(7 – 4x) = 6x – 7 y 4(x + 3) – 6 = 24 En este ejemplo, la fórmula para la celda B47 requiere paréntesis [3]: = 2*(7 – 4* B46)
En el ejemplo siguiente, la expresión 4(x + 3) – 6 es igual a 24. Este valor se debe ingresar en las celdas B66 hasta la K66. La gráfica de esta constante se convierte en una línea horizontal. Ahora la tarea es encontrar donde se interseca esa línea horizontal con la línea de 4(x + 3) – 6
UNA EXTENSIÓN NATURAL: DESIGUALDADES La solución algebraica de las desigualdades siempre presenta dificultades para los estudiantes debido a que confían en métodos mecánicos. La principal preocupación de ellos es “¿Cuándo cambio el signo?”. El acercamiento gráfico ofrece claves visuales claras para solucionar desigualdades. Considere por ejemplo esta pregunta: ¿Para qué valores de x es 9x – 2 menor que x + 3(x + 5)? Utilizando el mismo método que se usó para las desigualdades, los estudiantes simplemente cambian la pregunta de encontrar dónde son iguales las expresiones a encontrar dónde una es menor que la otra. Las gráficas son bastante claras.