Gibanja_intrO Kinematika, put, pomak, brzina, srednja brzina, akceleracija, jednostavna pravocrtna gibanja, grafičko prikazivanje gibanja, analiza gibanja iz zapisa (tipkalo, stroboskop), slobodni pad, hici, dvodimenzionalno gibanje, načelo neovisnosti, kinematika kružnog gibanja
auxilia.hr
Kinematika
U svakodnevnom životu opažamo tijela u odnosu prema okolini (padanje lišća, let aviona na nebu, njihanje djeteta na ljuljačci,...). Primjećujemo da je tijelo sad na jednom mjestu u prostoru, a zatim na nekom drugom. Prostor i vrijeme su temeljni pojmovi koje koristimo za opis gibanja tijela. Kako znamo, prostor je trodimenzionalan, a vrijeme teče u jednom smjeru (nažalost uvijek i samo prema budućnosti, prema maturi iz fizike npr.). Kinematika je područje fizike, odnosno mehanike, koje istražuje gibanje tijela. Pritom zanemaruje uzroke gibanja tj. ne odgovara na pitanje zašto se tijelo giba, već na pitanje kako se tijelo giba.
Budući da je opis gibanja tijela općenito složen, korisno je uvesti određena pojednostavljenja. U prvom redu zanemaruju se dimenzije tijela koje se giba. Misaonim procesom svako tijelo svodimo na točku koju tada nazivamo materijalna točka (Slika 1.).
Slika 1.
auto postaje “materijalna” točka
I odabir koordinatnog sustava u kojem će se gibanje promatrati može analizu gibanja pojednostavniti. Ako gledamo gibanja vlaka na pruzi, tada je prikladno koristiti jednodimenzionalni koordinatni sustav, za gibanje kuglice na bilijarskom stolu pogodan je dvodimenzionalni sustav, a za let balona općeniti trodimenzionalni sustav.
gibanja, auto je za nas materijalna to ka. To svo svim tijelima ije gibanje prou avamo.
U matematici smo nau ili da položaj to ke o
Svaki koordinatni sustav zadan je ishodištem i koordinatnom osi (osima). Najčešći su koordinatnom sustavu. Prisjetimo se da je to zadaci koji trebaju jednodimenzionalni koordinatni sustav (primjeri će biti na AUXILIA PRIPREMAMA; to ću zvati UPLOAD, dakle ovdje dolazi UPLOAD-1). natni sustavi
kako prikazuju slike 5 a., b., c.).
a) jednodimenzionalni sustav
c) trodimenziona
y
x b) dvodimenzionalni sustav Gibanje ćemo razmatrati u koordinatnom sustavu čije ishodište definiramo po volji, a koji razapinje prostor unutar kojeg imamo gibanjeytijela u vremenu. Takav sustav zvati će se referentni sustav.
Pomak i put
Spomenuli smo da tijelo u gibanju opisuje neku putanju (stazu ili
Put i pomak
trajektoriju). Ako je putanja gibanja ravna, govorimo o pravocrtnom
gibanju tijela. Ako putanja nije ravna, tada je gibanje krivocrtno. Tijelo pri gibanju opisuje neku putanju (stazu ili trajektoriju). Ako je putanja gibanja x Tijelo započinje svoje gibanje u početnoj točki (P) izzavršava u ravna, govorimo o pravocrtnom gibanju tijela. Ako putanja nije ravna tada je gibanje konačnoj točki (K). Teorijski, postoji beskonačno putanja koje krivocrtno. povezuju točke P i K, a samo jedna najkraća crta. U tom smislu Tijelo započinje svoje gibanje razlikujemo u početnoj točki i završava konačnoj točki K. U tom put i Ppomak pri u gibanju tijela. Ujedno, razmatrajući smislu razlikujemo put i pomak pri gibanju tijela (Slika 2.). ove pojmove steći ćemo uvid u skalare i vektore. K
Slika 2.
k
ma po
put
P
auxilia.hr
Slika 3. pomak Put je duljina prijeđene staze.Put Puti pri gibanju tijela označavamo sa s. Mjerna jedinica puta u SI-u je metar, m. Put je skalarna fizikalna veličina. Dovoljan je samo iznos i mjerna Započnimo primjerom (slika 4.) jedinica, npr. s=12.11 km. Vidimo gibanje pacmana („papalice“) do trenutka dok ga nije uh-
vatio „duh“. Prije toga pacman je na svom putu jeo bobice. Da je Pomak je najkraća udaljenost pojeo između dviju točaka. Vektorska je veličina, a određuju ga bježeći više bobica, prešao bi i veći put. Ponekad pacman, hvatište, iznos, smjer i orijentacija. (Više ne će biti na bobice, AUXILIAali PRIPREMAMA; UPLOAD-2). od duha, jede svejedno prevaljuje put.
Brzina
Put je udaljenost što tijelo prijeđe izraženo u metrima. Put pri giba-
nju tijela označujemo sa s. Mjerna jedinica puta u SI jest metar (m). Dok se vozimo autom brzinomjer pokazuje “koliko brzo vozimo”, npr. 36 km/h. Što to Put jealiskalarna fizikalna veličina,govori što znači da jesekunde dovoljan samo znači? Jasno je da odgovor znamo, taj podatak nam zapravo da svake
prelazimo 10 m, što dobijemo iznos jednostavnim preračunavanjem. i mjerna jedinica, npr. s = 6.3 km.
Dok hodamo, dok se vozimo ili padamo, sve to radimo i u nekom smjeru. Promotrimo primjer opisan slikom 5.
Padobranac, iskočivši iz helikoptera, zbog vjetra je odbačen do nepristupačne točke C. Spasilačke ekipe nalaze se u točki B i
Koordinate to ke F jesu 10). Zna i, auto je za 5 minuta prešao auta za 5(5,minuta gibanja. to ke za F jesu 10). Zna i, autobrzine je za 5 minuta prešao 0 kilometara. ToKoordinate nam je dovoljno izra (5, unavanje srednje 0 kilometara. To nam je dovoljno za izra unavanje srednje brzine kilometara. To nam je dovoljno za izra unavanje srednje brzine uta za 5 minuta10 gibanja. uta za 5 minuta gibanja.
Jednostavno, auta za 5 minuta gibanja. Razmislite z Ovime saznajemo srednju brzinu gibanja kmtijela, koja je kmopćenito dana omjerom ukupnog 10 km 2 v = = 120 . = 2 ednostavno, ednostavno, prijeđenog puta i vremena min da se tajhput prevali. 5 min koje je potrebno Razmislite zašto zašto je je 22 km/min km/min = = 120 120 k Razmislite km km 10 km Jednostavno, km = 120 km . 10 km vv = = 2 = 5enito, 120 . se prema = 2 min = h Razmislite zašt Srednja brzina gibanja tijela računa Op srednja tijelaformuli ra km una se prema formuli Što jegibanja min brzina htrenutna 5 min min kmbrzina? 10 km v= = 120 . = 2 I za odre ivanje trenutne brzine min h (samo v) koristimo jednadžbu 5 min p enito, prema formuli – s1 formuli Op enito, srednja srednja brzina brzina gibanja gibanja tijela tijela ra ra una una se ses2prema v = s, v= (1) t2 tijela – t1 ra una set prema formuli Op enito, srednja gibanja s2 – sbrzina 1 samo što vremenski interval treba biti što kra i. Koliko kratko treba v= (1) aili, uvođenjem 1 s trajati s – s vremenski interval za odre ivanje trenutne brzine gibanja uvo enjem t2 –s t= – s , te t = t – t 2 1 2 2 1 1 dobijemo v = (1) t2 – t1 i i,, uvo uvo enjem enjem ss = = s22 – s11, te t = t2 tijela? – t1 dobijemo s Trenutna v (prava) odre ena je s vrlo kratkim trajanjem = brzina (2) vreili, uvo enjem s s= s2menskog – s1, teintervala t =t tt2za–vrijeme t1 dobijemo dobijemo v= (2)kojeg nema promjene u srednjoj t moguse a nitikm. misaono, U našem primjeru t1 =brzini 0; gibanja t2 = 5tijela. min, = 0 i s2 = 10 1 eksperimentalno, s Nijedok v = (2) U našem našem primjeru primjeru tt1 = = 0; 0; tt2 = = 55 min, min, dok dok si 1 = = 0 i szatim = 10 km. 2 10matemati km. posti s ki izra unati v = s = ne1 2 1 t =00, iats 2 = niti U našem primjeru t1 =definirano. 0; t2 = 5 min, dok s1 = 0 i Crtica iznad slova v znači daBrzina je riječ o srednjoj brzini. je vektorska fizikalna veli ina ( v ).
0
s2 = 10 km.
promatramo pravocrtna tada se trenutnidasmjer i oriZa gibanje tijela osim iznosaAko brzine važan je i smjer. gibanja, Time zaključujemo je brzina jentacija vektora brzine podudaraju sa smjerom i orijenatacijom vektorska veličina. Mjerna jedinica za brzinu u SI jest metar u sekundi, m/s. puta. Kod krivocrtnih gibanja trenutni smjer vektora brzine odre en
Što je trenutna brzina?
je položajem tangente na krivulju u danoj to ki puta.
Slika 11. Trenutna brzina određena je s vrlo kratkim trajanjem vremenskog intervala tijekom kojeg nema u srednjoj brzini gibanja tijela. Napomenimo da je kod krivocrtnih Smjer vektora brzinepromjene kod krivocrtnih gibanja gibanja trenutni smjer vektora brzine vodređen položajem tangente na krivulju u danoj 1
točki puta (Slika 3.).
enta tang
A
Slika 3. tangenta
Akceleracija
B
v2
auxilia.hr
Akceleracija. Nejednoliko gibanje.
smo da papučicu gibanja tijela dijelimo na pravocrtna i krivocrtna. Prvi vožnji autom ponekad Rekli “stišćemo” gasa, zatim pritišćemo papučicu kočnice, Najjednostavniji slu aj gibanja tijela jest kada se tijelo giba prava ujedno ima slučajeva kada “okrećemo” volan. U svim tim aktivnostima dolazi do nekih ocrtno i pritom ne mijenja iznos, smjer i orijentaciju vektora brzine. promjena s vektorom brzine. Stiskanjem gasa povećavamo iznos vektora brzine, kočenjem Me utim, takva gibanja su rijetka pojava. Vrlo je vjerojatno da tismanjujemo iznos vektora brzine, a zakretanjem volana mijenjamo smjer vektora brzine. jelo tijekom gibanja malo promijeni iznos brzine, odnosno smjer,
Za opis takvih promjena vektora brzine uvodimo novu fizikalnu veličinu: akceleraciju. Srednja akceleracija definira se kao omjer prirasta brzine tijela i vremenskog intervala u kojem je prirast brzine ostvaren, ili matematički
Kod pravocrtnih gibanja ne moramo voditi brigu o smjeru i orijentvremenskog intervala za trajanja kojeg je prirast brzine ostvaren, acijis vektora brzine jer se on ne mijenja tijekom vremena. Neka ili matemati ki, u trenutku t1 tijelo ima brzinu v1, a u nekom drugom trenutku t2
v –v t2 – t1
2 1 t = t v– t kod nejednobrzinu v2. Tijekom vremenskog a =intervala = 2 1
t
likog gibanja imamo prirast brzine
Mjerna jedinica za srednju gdje je prirast brzine dan sa v = vakceleraciju 2 – v1 .
auxilia.hr
aciji. Srednja akceleracija definira se kao omjer prirasta brzine tijela i
lat. (3)acceleratio = ubrza
jest metar na sekundu u s4
Prirast brzine je2). zna ajkaakceleraciju nejednolikog gibanjapoi odre ujeuakcelesekundi (m/s Mjerna jedinica za srednju je metar sekundi sekundi, m/s2, a koju često raciju. čitamo “metarako u sekundi je vektorska vveličina. Nadalje, je v2 >nav1kvadrat”. , tada v2Akceleracija – v1 > 0, odnosno > 0 - prirast Srednja akceleracija definira se kao omjer prirasta brzine tijela i brzine je pozitivan, te je i srednja pozitivna veli gibanju, ina. U te Prirast brzine može biti pozitivan i u tom akceleracija slučaju govorimo o ubrzanom vremenskog intervala za trajanja kojeg je prirast brzine ostvaren, s negativan paslu je riječ usporenom gibanju. U3gibanju. prvom slučaju akceleracija je pozitivna dok takvom aju oradi se o ubrzanom ili matemati ki, je u drugom negativna. U nekim zahtjevnijim zadacima može doći do nejasnoća jer v2 – v1 negativna akceleracija ne mora a = nužno = v da tijelo usporava. (3) st 2– t značiti 2 v 1 < v t slijedi v – v < 0, tj. S druge pak strane, ako je v<0 2 1 2 1 (Više će biti na AUXILIA PRIPREMAMA; UPLOAD-3) akceleraciju metarakceleracija na sekundu unegativna (s, -Mjerna prirastjedinica brzineza jessrednju negativan, pa je i jest srednja (m/s2).
1
t) dijag
sekundi t t aju radi t se o usporenom t veli ina. Ut takvom slu gibanju.
ako trenutne je v2 > v1akceleracije , tada v2 – v1vremenski > 0, odnosno v > 0 - prirast Za Nadalje, određivanje kojeg se mjeri prirast Dakle, nejednoliko pravocrtno gibanje interval može tijekom biti ubrzano ili usbrzine je pozitivan, te je i srednja akceleracija pozitivna veli ina. U brzine treba biti što kraći. poreno ovisno o tome kakav je gibanju. prirast 1 2brzine. takvom slu aju radi se o ubrzanom
Povezivanjem formula v = a t i s =
2
a t , dolazimo do još jedne
koja glasi Jednostavna pravocrtna gibanja S druge strane, ako je vakceleracije – v1 < 0, kao tj. vi kod < 0 trenutne Za odre pak ivanje trenutne 2 < v1 slijedi v2(jednako Odre ivanje 2 v je=su 2aona s. kod Najjednostavnija pravocrtna gibanja kojih je akceleracija konstantna (ponekad prirast brzine je negativan, pa i srednja akceleracija negativna kod krivocr brzine) vremenski interval t tijekom kojeg se mjeri prirast brzine i jednaka nuli!). Tako pravocrtno gibanje, ubrzano i jednoliko jer zahtijev Isto tako, ako se uimamo razmatranje uklju e i slu ajevijednoliko kod kojih tijelo veli ina. U takvom slu ajujednoliko radi se o usporenom gibanju. treba biti što kra i. Tada pišemo tike. Takve usporeno gibanje. nejednoliko pravocrtno može ubrzava, biti ubrzano ili usve Dakle, ima po etnu brzinu v0 0gibanje i jednoliko tada se korisrazmatrati. v navedenih gibanja glase (4) a = Kinematičke jednadžbe koje koristimo pri analizi poreno ovisno o tome kakav je prirast brzine. odre ivanja timo slijede im jednadžbama: t Akceleracija vektorska (va0 ). vveli = a ina t +(jednako Za odre ivanjejetrenutne akceleracije kao i kod trenutne brzine) vremenski interval 1 t tijekom kojeg se mjeri prirast brzine 2
s=
a t + v0 t + s0
2 treba biti što kra i. Tada pišemo
v 2 =a v=20 +v 2a s . t
Akceleracija je vektorska veli inaUPLOAD-4) ( a ). (Više će biti na AUXILIA PRIPREMAMA;
(4)
gibanje. Tad javlja zbog
Odre ivanje srednje i tre kod krivocrtnih gibanja z jer zahtijeva poznavanje tike. Takve probleme iz to razmatrati. Jedini izuzetak odre ivanja akceleracije z gibanje. Tada se akcelerac javlja zbog promjene smjer
Grafičko prikazivanje gibanja Gibanje tijela može se analizirati pomoću (s,t), (v,t) i (a,t) dijagrama. Recimo gibanje kolica (Slika 4.). Prolaskom kraj “markera” započinje se mjeriti kako udaljenost koju prevaljuju kolica duž pravca tako i vrijeme. Štoperica se uključuje kad kolica prođu pored markera.
Slika 4.
Rezultati mjerenja mogu biti prikazani nekim od dijagrama kakve vidimo na slici 5. Slika 5.
Pomoću (s,t) dijagrama može se jednostavno izračunati brzina gibanja tijela u slučajevima a) i b) sa slike 5. Upotrijebimo konkretan primjer (Slika 6.). Slika 6.
Napomena: dijagrami c) i d) sa slike 5. znatno su složeniji jer brzina gibanja tijela nije konstantna. (Više će biti na AUXILIA PRIPREMAMA; UPLOAD-5)
Dijagrami koji prikazuju kakva je brzina tijela tijekom vremena gibanja nazivaju se (v,t) dijagrami. Ako je brzina konstantna tada dijagram izgleda kao na slici 7.
Slika 7.
Ako tijelo ubrzava tada (v,t) dijagram izgleda kao na slici 8.
Slika 8.
Nagib pravca u (v,t) dijagramu numerički je jednak akceleraciji.
(v,t) dijagram može se koristiti za izračunavanje puta koji prelazi tijelo u danom vremenu. Ponovo, upotrijebimo konkretan primjer. Neka se auto giba konstantnom brzinom 12 m/s. U tom slučaju (v,t) dijagram prikazuje Slika 9. Koliki je prijeđeni put za prve četiri sekunde gibanja? Slika 9.
Na još jednom primjeru ponavljamo dosad navedeno. Slika 10. prikazuje (v,t) dijagram nekog jednoliko ubrzanog gibanja. Pomoću danog dijagrama možemo izračunati akceleraciju i prijeđeni put u određenom vremenu. Dakle,
Slika 10.
Dijagrami koji prikazuju kakva je akceleracija tijekom vremena gibanja nazivaju se (a,t) dijagrami. Ako je akceleracija konstantna tada dijagram izgleda kao na slici 11.
Slika 11.
Analiza gibanja iz zapisa (tipkalo, stroboskop) Električno tipkalo kako vidimo na slici jest standardni dio opreme u laboratoriju fizike. Mnogi su analizu gibanja pomoću tipkala imali još u osnovnoj školi.
Tipkalo ostavlja tragove tj. točkice na papiru svake 1/50 sekunde. Povlačenjem papirnate trake ispod batića tipkala dobivamo “snimke” gibanja. Obično je traka zaljepljena za kolica. Primjeri nekih gibanja dani su slikom 12.
Slika 12.
Slobodni pad Slobodni pad je jednoliko ubrzano pravocrtno gibanje koje izvodi tijelo ispušteno s neke visine bez početne brzine. Sva tijela koja slobodno padaju imaju jednaku akceleraciju zanemari li se otpor zraka. Mnogobrojnim mjerenjima na raznim mjestima naše planete utvrđena je srednja vrijednost akceleracije tijela u slobodnom padu i ona iznosi 9.81 m/s2. Taj iznos zovemo akceleracija slobodnog pada, a oznaka je g. Akceleracija slobodnog pada je vektor sa smjerom prema površini Zemlje (uobičajen slučaj u zadacima). Budući da je slobodni pad jednoliko ubrzano gibanje možemo koristiti već spomenute formule u kojima ćemo zamijeniti akceleraciju a oznakom g. (Više će biti na AUXILIA PRIPREMAMA; UPLOAD-6)
Hici Hici su složena gibanja sastavljena od jednolikog pravocrtnog gibanja i slobodnog pada. Tijelu se zada početna brzina i time počinje hitac, a ovisno o smjeru vektora početne brzine razlikujemo: vertikalni hitac, horizontalni i kosi hitac (Slika 13.) Slika 13.
Vertikalni hitac (“gibanje gore i dolje”) Jednadžbe gibanja za vertikalni hitac prema gore i dolje su:
v = v0 ± g · t h = v0 · t ±
1 2
· g · t2
v 2 = v0 2 ± 2 · g · h Primjer vertikalnog hica vidimo na slici 14. (Više će biti na AUXILIA PRIPREMAMA; UPLOAD-7) Slika 14.
Horizontalni hitac (“gibanje na stranu”) Slika 15. prikazuje snimku gibanja dviju loptica ispuštenih u istom trenu i s iste visine. Jedna od loptica pada slobodno dok je druga dobila početnu brzinu u desno i time izvodi horizontalni hitac. U takvom eksperimentu koristi se stroboskob koji “bljesne” deset puta u sekundi čime se može snimiti pozicija svake loptice u danom trenutku. Slika 15.
Vidljivo je da: 1. obje loptice dolaze na pod u isto vrijeme; akceleracija svake kuglice je jednaka 2. crvena kuglica se u horizontalnom smjeru giba konstantnom brzinom
Rezultati eksperimenta upućuju da su horizontalni i vertikalni pomaci neovisni jedan o drugome.
Horizontalni hitac crvene loptice sa slike 15. je dvodimenzionalno gibanje koje promatramo u (x,y) koordinatnom sustavu. Gibanje loptice u x-smjeru je jednoliko pravocrtno, a u ysmjeru imamo slobodni pad. Za matematički opis horizontalnog hica koristimo načelo neovisnosti gibanja koje glasi: Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja, giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u nekom vremenskom intervalu, a neovisno o tom gibanju i drugo gibanje u istome vremenskom intervalu. Istaknimo jednadžbe koje koristimo pri analizi horizontalnog hica:
x = v0 · t y=
1 2
· g · t2
(Više će biti na AUXILIA PRIPREMAMA; UPLOAD-8)
vx = v0 vy = g · t
Kinematika kružnog gibanja Na slici 16. vidimo primjer jednolikog kružnog gibanja. To znači da tijelo u jednakim vremenskim razmacima prijeđe jednake dijelove kružne putanje.
Slika 16.
Vrijeme za koje tijelo koje se giba po kružnici napravi jedan puni ophod (okret) zove se ophodno vrijeme ili period. Označava se sa T, a mjerna jedinica mu je sekunda, s. Put kojega tijelo prevali u jednom okretu jednak je opsegu kružnice. Iz navedenog zaključujemo da se brzina kod jednolikog kružnog gibanja računa prema
v=
2·⇡·r T
i nazivamo ju obodnom ili linearnom brzinom. Mjerna jedinica je m/s. Dva pitanja: 1. što može imati konstantan iznos brzine a da stalno mijenja smjer ? 2. što ubrzava prema nečemu, a da se tome nikad ne približi ? Odgovor: sve što se giba po kružnici !
Pogledajmo sliku 17.
Tijelo se giba po kružnici i vidimo vektore brzine u dva bliska položaja i trenutka. Vektor brzine nalazi se na tangenti bez obzira na oblik krivulje. Premda je došlo do
Slika 17.
promjene smjera vektora brzine, iznos im se ne mijenja. U ovom slučaju promjena brzine pojavljuje se zbog promjene smjera i vektor ~v pokazuje prema središtu kružnice, a time i vektor akceleracije koji je definiran sa
~a =
~ v t
i nazivamo ga vektorom centripetalne akceleracije jer pokazuje prema središtu (centru) kružnice. Mjerna jedinica mu je m/s2. Iznos vektora centripetalne akceleracije označiti ćemo s acp i računati prema
acp =
v2 r
Spomenimo da pri opisu kružnog gibanja koristimo i fizikalne veličine: frekvenciju i kutnu brzinu. (Više će biti na AUXILIA PRIPREMAMA; UPLOAD-9)
auxilia.hr