Sesión I: lógica proposicional by Dan Daniel

Corporación Arzobispo Loayza

MATEMÁTICA I

UNIDAD I Tema 1: Lógica proposicional LÓGICA PROPOSICIONAL 0

LÓGICA I.

INTRODUCCIÓN

El ser humano, a través de su vida diaria, se comunica con sus semejantes a través de un lenguaje determinado (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas, siendo éste el precedente fundamental para el desarrollo humano. Lo importante en el presente estudio es el hecho de que, a partir de los enunciados y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia, siendo la lógica la ciencia encargada del estudio de éstas. Hoy en día, la lógica proposicional que estudiaremos en este capítulo, tiene una importancia singular dada su aplicación en los llamados "circuitos lógicos" de uso en la electrónica y la informática.

¿Qué es la Lógica? Es el estudio de los métodos que aplican definiciones y leyes para determinar la validez o invalidez de un razonamiento.

¿Qué conceptos debo considerar?  Enunciado: Es una frase u oración que se utiliza en el lenguaje común. Ejemplos:    

Tú eres lo máximo. 7-5=2 ¿Por qué no vino Juán? ¿Cuándo serán los exámenes?

 Proposición Lógica: Una proposición lógica es un enunciado que debe cumplir con la condición de ser susceptible de poder ser verdadero (V) o falso (F); pero nunca ambas a la vez. Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t,... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad: Ejemplos: ( ) ( ) ( ) ( )

 Expresiones No Proposicionales Son aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos. Así tenemos, por ejemplo: 

¿Cómo te llamas?



Prohibido pasar.



Borra el pizarrón.



¡Atención!

“Toda proposición es un enunciado, pero no todo enunciado es una proposición”

RESUMEN Proposición

ES VERDADERA

Oración Aseverativa

Puede ser FALSA

SON PROPOSICIONES  Las oraciones aseverativas.  Las leyes científicas.  Las fórmulas matemáticas.  Las fórmulas y/o esquemas lógicos.  Los enunciados cerrados o definidos.

EJEMPLOS: a) Lima es una ciudad hermosa. b) 3 es divisor de 24. c) La semana tiene 7 días y el año 12 meses. d) Si 2 x 3 = 5, entonces 12 : 3 =4.

NO SON PROPOSICIONES       

Enunciados abiertos o indefinidos. Las interrogaciones. Las órdenes. Los deseos, dudas y súplicas. Creencias religiosas, supersticiones y ritos. Los proverbios, modismos y refranes. Los hechos o personajes literarios.

EJEMPLOS: a) ¿Qué fecha es hoy? b) ¡Cállate! c) “Quisiera ser millonario” d) ¡Qué sorpresa! e) x + 8 = 25 f) 3x – 1 < 20 Los enunciados e) y f) pueden convertirse en proposiciones cuando su variable o variables se reemplazan por valores particulares.

II.

CLASIFICACIÓN DE LAS PROPOSICIONES

En lógica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atómicas o simples y moleculares o compuestas, veamos:

PROPOSICIÓN SIMPLE

Son aquellas proposiciones que no llevan conectivos lógicos. también se denominan (enunciado simple o proposición atómica) Una proposición simple es una expresión que afirma o niega algo, y que puede ser verdadera o falsa, pero no ambas a la vez. Asimismo la verdad o falsedad de la proposición se denomina valor de verdad. Así tenemos por ejemplo las siguientes proposiciones simples: Tres más uno es igual a cuatro

Es proposición por que afirma algo y es verdadera

Ocho es menor que seis

Es proposición por que afirma algo y es falsa

Cinco es un número primo

Es proposición por que afirma algo y es verdadera

Todo número natural es par

Es proposición por que afirma algo y es falsa

Cuzco no es la capital de Bolivia

Es proposición porque niega algo y es verdadera

Lima es la capital del Perú

Es proposición por que afirma algo y es verdadera

Las proposiciones simples, se simbolizan usando las letras minúsculas: p, q, r, s, t así tenemos por ejemplo

Proposición simbólica p q r s

Proposición escrita Tres más uno es igual a cuatro Ocho es menor que seis Cinco es un número primo Todo número natural es par

II.

PROPOSICIÓN COMPUESTA

Si se unen dos o más proposiciones simples, mediante términos de enlace, tales como no, y, o, Si…entonces, se forman las proposiciones compuestas; el valor de verdad de dichas proposiciones es verdadero o falso, dependiendo sólo de los valores de verdad de las proposiciones simples que las conforman. Ejemplo: 1) Cuatro no es un número impar 2) Gabriel estudia laboratorio clínico y hace prácticas en el Hospital Loayza 3) Quieres gaseosa o helado 4) Si un triángulo es equiángulo, entonces es equilátero. Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o más proposiciones simples mediante conectores lógicos. Estos son algunos ejemplos de proposiciones compuestas representados por el lenguaje simbólico y por el lenguaje escrito. 1) Sean: p: Está lloviendo q: El sol brilla

2) Sean: s: Llueve r: Hace frío

3) Sean: p: Un triángulo es equilátero q: Un triángulo tiene sus tres lados iguales

La veracidad o falsedad de una proposición compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la conforman y de la manera como están combinadas; para tal fin, en las próximas secciones estudiaremos más detenidamente la forma de enlazar o unir proposiciones simples de tal manera que se puedan fijar criterios para establecer cuándo una proposición compuesta es verdadera o falsa.

CONECTIVOS LÓGICOS Un enunciado compuesto (proposición compuesta o molecular) es aquel formado por enunciados simples, que se unen mediante CONECTIVOS LÓGICOS los cuales veremos a continuación. I.

NEGACIÓN

Definición: Se llama negación de una proposición simple , a otra proposición y que se lee o y cuya verdad o falsedad queda determinada por la siguiente tabla: Tabla de Verdad p

Observamos que si es verdadero, entonces, es falso; si es falso, entonces, es verdadero. Es decir, el valor de la negación de una proposición es siempre opuesto del valor de verdad de la proposición inicial. Ejemplos: 



;

II.

DISYUNCIÓN O SUMA LÓGICA

Definición: Se llama disyunción o suma lógica de dos proposiciones simples ,a la proposición compuesta que se forma al relacionarlas por medio del conectivo lógico “o” cuyo símbolo es . Ejemplo:

Luego:

Usaremos preferentemente e conectivo lógico “o” con sentido incluyente, lo que significa que, o se cumple la primera proposición, o se cumple la segunda, o se cumplen ambas. Como información debes saber que, si la proposición tiene sentido excluyente, se llama disyunción excluyente o diferencia simétrica, aquella en que si se cumple la primera proposición, la segunda no se cumple y viceversa. Observamos que es verdadera, y

es verdadera cuando al menos una de las proposiciones, ya sea es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

Tabla de Verdad p

p Vq

OBSERVACIÓN: La tabla de verdad establece la verdad o falsedad de la proposición compuesta en función de la verdad o falsedad de sus componentes. Dicha tabla de verdad es convencional, aunque su elección no resulta desvinculada de nuestra intuición.

III.

CONJUNCIÓN O PRODUCTO LÓGICO

Definición: Se llama conjunción o producto lógico de dos proposiciones simples , a la proposición compuesta que se forma al relacionarlas por medio del conectivo lógico “y” cuyo símbolo es . Ejemplo:

Luego:

Observamos que es falsa.

es verdadera cuando ambas proposiciones lo sean, en otro caso

Tabla de Verdad

IV.

p ᴧq

CONDICIONAL O IMPLICATIVA

Definición: Se llama condicional de dos proposiciones simples , a la proposición compuesta que se forma al relacionarlas por medio del conectivo lógico “si … entonces” o “implica” cuyo símbolo es . Ejemplo:

La proposición condicional tiene la forma:

Tabla de Verdad p V V F F

q V F V F

p q V F V V

Observamos que es falso, solo en el caso que sea verdadero y falso, porque partiendo de una proposición verdadera no se puede concluir en una proposición falsa.

5.- BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACÓN: Dadas las proposiciones , se llama Bicondicional o doble implicación a la )⋀( ). proposición , que significa ( Se denota por el símbolo

, que se lee

Ejemplo:

. En símbolos,

significa,

(

)

(

)

Tabla de Verdad p

pq

qp

pq

La proposición Bicondicional verdaderas o falsas, y es falsa si

es verdadera si las proposiciones tienen valores diferentes.

son

TABLAS DE VERDAD Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes. Para desarrollar una tabla de verdad tenemos que tomar en cuenta el número de proposiciones simples que forma la proposición compuesta, así tendremos:

a) Si es que es 1 proposición la tabla de verdad estará compuesta por 2 filas P V F b) Si es que son 2 proposiciones la tabla de verdad estará compuesta por 4 filas p V V F F

q V F V F

c) Si es que son 3 proposiciones la tabla de verdad estará compuesta por 8 filas p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

Cuando se agrupan varios números u operaciones, es importante conocer el orden o jerarquía en que deben resolverse para obtener un resultado correcto La jerarquía de los conectivos lógicos es la que sigue de mayor a menor (v y ᴧ) tienen igual jerarquía:  “... Si y solo si …” Bicondicional

 “S i … entonces …” Condicional

v “… o ….”

ᴧ “…. y….”

~ “no….”

Disyunción

Conjunción

Negación

El uso de los paréntesis puede hacer variar el sentido lógico. 1ER EJERCICIO DE APLICACIÓN Desarrolla el valor de verdad de la proposición ~p ᴧ q Para desarrollar el valor de esta proposición debemos seguir la siguiente secuencia: 1) En 1er lugar llenamos la tabla de verdad teniendo en cuenta que esta proposición compuesta está conformada por 2 proposiciones simples por lo tanto los valores de verdad de las proposiciones p y q estarán distribuidos en 4 filas, tal como se muestran a continuación. p V V F F

q V F V F

2) En 2do lugar teniendo en cuenta la jerarquía de los operadores debemos desarrollar el valor de verdad de la negación de la proposición “p” (~p) p V V F F

q V F V F

~p F F V V

3) En 3er lugar continuando con la jerarquía de los operadores debemos desarrollar el valor de verdad de la disyunción entra la negación de “p” y la proposición “q” p V V F F

q V F V F

~p F F V V

ᴧ F F V F

q V F V F

Culminando con el ejercicio tendremos que el valor de verdad de la proposición compuesta es:

F F V F 2DO EJERCICIO DE APLICACIÓN Tenemos la siguiente proposición: “Vienes a cenar, o vamos al cine y tomamos un helado”. p  (tú) vienes a cenar. q  (nosotros) vamos al cine. r  (nosotros) tomamos un helado. p v (q ᴧ r)

Ejemplo: Desarrollar la tabla de verdad de la proposición anterior

1. Debemos colocar los valores de verdad para las proposiciones p, q, r. teniendo en cuenta que por ser 3 proposiciones la tabla de verdad estará compuesta por 8 filas tal como se muestra en la figura. p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

2. Al igual que una operación aritmética en primer lugar debemos desarrollar las proposiciones que están dentro de los paréntesis. ( ⋀ ) p V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

ᴧ V F F F V F F F 1ro

(q V V F F V V F F 

r) V F V F V F V F 

3. Luego obtendremos el valor de verdad de la disyunción entre proposición resultado de ( ⋀ ) P V V V V F F F F

q V V F F V V F F

r V F V F V F V F

p V V V V F F F F 

v V V V V V F F F 2do

ᴧ V F F F V F F F

q V V F F V V F F

y el

r V F V F V F V F



4. Por lo tanto el resultado final del valor de verdad de la proposición compuesta es:

VVVVVF F F

3ER EJERCICIO DE APLICACIÓN Construyamos la tabla de verdad de la proposición ~ (~ p ᴧ ~ q). Se escribe todas las posibilidades de V y F para las proposiciones simples p y q. Paso 1: Se niegan las proposiciones “p y q” , para obtener los valores de verdad de ~ p y ~ q.

Paso 2: Usando la tabla de la conjunción, se halla los valores de verdad de ~ p ˄ ~ q. Paso 3: Finalmente se halla los valores de verdad de la negación de: ~ (~ p ˄ ~ q).

Tabla de Verdad ~q ~p˄~q

~ (~ p ˄ ~ q )

Pasos:

RECUERDA QUÉ: Los valores de verdad de una proposición compuesta dependen de los valores de verdad de las variables lógicas que la conforman.

4TO EJERCICIO DE APLICACIÓN ) Construyamos la tabla de verdad de la proposición ( Se escribe todas las posibilidades de V y F para las proposiciones simples Paso 1: Se niega q para obtener los valores de verdad de

Paso 2: Usando la tabla de la conjunción se halla los valores de verdad de: ( )

Tabla de Verdad (

)

Pasos:

Existe un segundo método, que abrevia el trabajo. Veamos en que consiste, presentándolo por partes. Volvamos a la tabla de verdad de la proposición ( del ejemplo 3. Se traza primero la tabla del modo siguiente: p

)

q )

Pasos:

Escribimos la proposición en la fila superior, a la derecha de la p y q, teniendo en cuenta cada proposición o conectivo encabeza una columna. Se anota luego los valores de verdad en varios pasos, del modo siguiente: Paso 1: q

Pasos:

q )

Paso 2: p

q )

Pasos:

Paso 3: (p

q )

Pasos:

Paso 4: p

Pasos:

q )

Como puedes ver, la tabla de verdad queda concluida con el paso 4. Se han desdoblado los pasos que se han de seguir en varios cuadros para facilitar la explicación del procedimiento. Realmente, el trabajo debe hacerse en un solo cuadro.

TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIONES, CONTINGENCIAS Y EQUIVALENCIAS LÓGICAS I.

TAUTOLOGÍA

Se llama tautología a una proposición compuesta, cuya tabla de verdad resulta siempre verdadera, independientemente del valor de verdad de sus componentes. Se le llama también Ley Lógica. 

Ejemplo 1: Mostraremos que ~ ( p ˄ q ) ↔ (~ p ˅ ~ q ) es una tautología. p

( p

q ) ↔

Pasos:

( * ) ( * ) Todos los valores de verdad de ↔, que es el conectivo principal, son verdaderos, por tanto, es una tautología. 

Ejemplo 2: Mostraremos ahora que p ˅ ~ p es una tautología. Tabla de Verdad p

~ p

p ˅ ~ p

Es una tautología, porque su tabla de verdad está compuesta por última columna.

solamente, en la



Ejemplo 3: Demostraremos que la proposición: [ ( p → q ) ˄ ( q → r ) ] → (p → r) es una tautología. p

[(p

→

r )]

→

Pasos :

( * ) ( * ) Todos los valores de verdad de →, que es el conectivo principal que relaciona las proposiciones simple p, q y r, agrupadas por los corchetes y paréntesis, son V (Verdaderas); luego, la proposición es una tautología. Del enorme número de tautologías o Leyes Lógicas, vamos a enumerar solo algunas de ellas. Principales Leyes Lógicas 1. LEY DE IDENTIDAD : Una proposición solo es idéntica a sí misma. Se expresa por:

2. LEY DEL TERCIO EXCLUIDO :

3. LEYES CONMUTATIVAS : a) b) 4. LEYES DE ABSORCIÓN: ( ) a) ( ) b) ( ) c) ( ) d)

5. LEYES DE SIMPLIFICACION : a) ( p ˄ q ) → p b) P → ( p ˅ q ) 6. LEYES DE MORGAN : a) ~ ( p ˄ q ) ≡ ~ p ˅ ~ q b) ~ ( p ˅ q ) ≡ ~ p ˄ ~ q 7. LEYES DE TRANSPOSICION : a) ( p → q ) ≡ ( ~ q → ~ p ) b) ( p ↔ q ) ≡ ( ~ q ↔ ~ p ) 8. IMPLICACIÓN MATERIAL : a) p → q ≡ ~ p ˅ q b) ~ ( p → q ) ≡ p ˄ ~ q II.

CONTRADICCIÓN

Una proposición compuesta es una contradicción cuando su tabla de verdad resulta siempre falsa, independientemente del valor de verdad de sus componentes. 

Ejemplo 1: Demostraremos que la proposición p contradicción.

˄ ~

es una

Tabla de Verdad p

p ˄ ~p

F (*)

( * ) Todos los valores de verdad del conectivo lógico ˄ de la última columna son F (Falsos); luego, la proposición es una contradicción.



Ejemplo 2 : Demostraremos que ( p ˄ q ) ˄ ~ ( p ˅ q ) es una contradicción.

( p

Pasos :

(*) ( * ) Todos los valores de verdad correspondientes al conectivo principal ˄ en el paso 4 son falsos. Luego, la proposición es una contradicción. III.

CONTINGENCIA

Se llama contingencia a una proposición compuesta, cuyos valores de verdad son algunos verdaderos y otros falsos. 

Ejemplo 1: Mostraremos que la proposición ~ ( p ˄ ~ q ) es una contingencia. p

Pasos :

(*) ( * ) Los valores de verdad correspondientes al conectivo principal ~ en el paso 4 presentan una falsedad y los demás son verdaderos. Luego, la proposición es una contingencia.

IV.

EQUIVALENCIA

Dos proposiciones compuestas se consideran lógicamente equivalentes, si tienen los mismos valores de verdad para cada caso en su tabla de verdad.

Ejemplo 1: Demostrar que las proposiciones lógicamente equivalentes: Tabla de verdad de la proposición

p→q

Tabla de verdad de la proposición

y la proposición

~p V q

son

Simbólicamente, podemos determinar que dos proposiciones son lógicamente equivalentes Sí y sólo si: proposición 1 ↔ proposición 2 es una tautología:

p→q

~p V q

(p→q) ↔ (~p V q)

REPASO 1. Escribe entre los paréntesis (P) si el enunciado es una proposición y (NP) si no es una proposición:

a) b) c) d) e)

¡Arriba! A caballo regalado no se le mira el diente. Las células procariotas no tienen núcleo. Si un número es divisible por 25 también lo es por 5. Quisiera aprobar matemática.

( NP ) ( NP ) ( P ) ( P ) ( NP )

2. Atribuir el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) b) c) d) e)

“Hipócrates es el padre de la medicina” “Naproxeno es un analgésico” “La cirrosis es una afección al estómago” “La penicilina fue descubierta por Fleming en 1928” “Una persona con diabetes posee bajos niveles de glucosa”

(V) (V) (F) (V) (F)

3. Marcar la alternativa correcta teniendo en cuenta si es o no proposición además de su valor de verdad. 3.1 La hidrocefalia es acumulación excesiva de líquido en el corazón. a) Es una proposición con valor de verdad V.

(

b) Es una proposición con valor de verdad F.

( X )

c) No es una proposición.

(

)

3.2 "El símbolo del mercurio es Hg"

)

a) Es una proposición con valor de verdad V.

( X )

b) Es una proposición con valor de verdad F.

(

)

c) No es una proposición.

(

)

3.3 " Instituto de Educación Superior Tecnológico Privado Arzobispo Loayza" a) Es una proposición con valor de verdad V.

(

)

b) Es una proposición con valor de verdad F.

(

)

c) No es una proposición.

( X )

3.4 "1000 g equivalen a 1Kg" a) Es una proposición con valor de verdad V.

( X )

b) Es una proposición con valor de verdad F.

(

)

c) No es una proposición.

(

)

4. Simboliza o formaliza las siguientes proposiciones lógicas: a) 21 es divisible por 7 y por 3. p: 21 es divisible por 7. q: 21 es divisible por 3.

b) Luis desea comprar una pastilla o un jarabe. p: Luis desea comprar una pastilla. q: Luis desea comprar un jarabe.

c) SI Rodrigo ingreso a la facultad de Medicina entonces no ingreso a la universidad. p: Rodrigo ingreso a la facultad de Medicina. q: Rodrigo ingreso a la universidad.

d) Si Gabriel es médico entonces no puede ser cantante p: Gabriel es médico. q: Gabriel puede ser cantante.

5. Negar cada uno de los siguientes enunciados. a) María es técnico farmacéutico. Respuesta: María no es técnico farmacéutico.

b) Respuesta:

c) Ada es enfermera. Respuesta: Ada no es enfermera.

d) Jair es técnico farmacéutico. Respuesta: Jair no es técnico farmacéutico. o también la negación puede ser: No es cierto que Jair sea técnico farmacéutico.

e) Dina no es dentista. No es cierto que Dina no sea dentista. o también por el principio de doble negación Dina es dentista.

6. Sabiendo que los enunciados p y q tienen la forma: p:

María es enfermera y

María es contadora

Traducir al lenguaje escrito los siguientes enunciados simbólicos. Ejemplo: Traduciendo al lenguaje escrito tendremos:

Siguiendo el mismo proceso resolver los ejercicios:

Resolución: a)

María no es enfermera y es contadora.

María es enfermera o no es contadora. Si María no es enfermera entonces no es contadora. María es enfermera si y solo si es contadora.

7. Dadas las proposiciones:

(

)

(

)

Determina el valor de verdad de: a) (

)

b) (

)

c) ( d) ( e) (

)

(

)

) )

(

)

Resolución:

(

)

(

)

Luego: a) (

)

b) (

)

c) (

)

d) (

(

)

e) (

)

(

8. Si (

)

, ¿Cuál es el valor de verdad de las proposiciones p, q, r,

respectivamente? Resolución: ( Si ⏟

)

Luego: ⏟

9. Si

⏟

… Este es el único caso donde la condicional es falsa.

⏟

(

)

… La disyunción es falsa cuando sus proposiciones lo son.

(

)

, ¿Cuál es el valor de verdad de las proposiciones p, q,

r, respectivamente? Resolución: Si ⏟ (

)

( ⏟

)

… La condicional es falsa cuando a partir de una

verdad obtenemos una falsedad. Luego: ⏟ Entonces:

⏟

… Este es el único caso donde la disyunción es falsa. ⏟

⏟

10. ¿Cuál de estas proposiciones es una tautología? i.

(

)

ii.

(

)

iii.

(

) (

iv.

(

)

(

)

Resolución: Analicemos cada caso. i.

(

)

p V V V V F F F F

r V V F F V V F F Pasos

s V F V F V F V F

(r V V F F V V F F 10

V V V V F F V V 20

p) V V V V F F F F 10

ᴧ V F V F F F V F 30

s V F V F V F V F 10

No es tautología

ii. p V V V V F F F F

r V V F F V V F F Pasos

(

) t V F V F V F V F

( (r V V F F V V F F 10

) ᴧ V V F F F F F F 20

p) V V V V F F F F 10

No es tautología

F F V V V V V V 40

F F F F F V F V 30

(p V V V V F F F F 10

v V V V V V F V F 20

t) V F V F V F V F 10

iii.

(

)

p V V V V F F F F

r V V F F V V F F Pasos

s V F V F V F V F

(p V V V V F F F F 10

v V V V V V F V F 20

s) V F V F V F V F 10

 V V F F V F F V 30

r V V F F V V F F 10

( F F V V 20

r V V F F 10

ᴧ F F F V 30

No es tautología

iv.

r V V F F

q V F V F Pasos

(

F F F V 30

)

(

(r V V F F 10

Sí es tautología

)

v V V V F 20

q) V F V F 10

 V V V V 40

F V F V 20

q) V F V F 10