Lógica Proposicional PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR SEDE AMBATO EIS 1 “A” ANDRÉS CÓRDOVA EDISON LOPEZ CRISTINA CADENA
Objetivo de la lógica
Determinar la falsedad o verdad de una premisa, es tarea de la ciencia en general
El lógico no está interesado en la verdad o falsedad de las proposiciones sino en las relaciones lógicas entre ellas, es decir, la validez de los argumentos en que pueden aparecer.
La lógica nos da los elementos para afirmar sobre la validez de un argumento
Lógica proposicional
Un argumento con premisas A1, … An y conclusión B es lógicamente válida cuando (A1, … An) → B
Es una tautología, de lo contrario el argumento es inválido.
Lógica proposicional
Cada proposición es representada por una letra, tradicionalmente p, q, r, … Tenemos conectores lógicos:
y (∧), o (∨), no (¬), implicación (→) Definidos a través de una tabla de verdad
p∧q
Usaremos las letras mayúsculas A, B, C,… para representar expresiones lógicas
Algunas equivalencias
A ∧ ¬A ≡ F A ∨ ¬A ≡ T ¬¬A ≡ A A∧B≡B∧A A∨B≡B∨A A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) A ∧ (A ∨ B) ≡ A A ∨ (A ∧ B) ≡ A
Contradicción Tautología Doble negación Conmutatividad Conmutatividad Distributividad Distributividad Absorción Absorción
Validez de un argumento Tenemos las siguientes premisas y conclusión:
1. 2. 3.
p∨q ¬p q
El argumento correspondiente puede representarse así: ((p ∨ q) ∧ ¬ p )→ q
Probando un argumento
Usamos tablas de verdad para probar que una conclusión sigue lógicamente de sus premisas: ((p ∨ q) ∧ ¬ p )→ q
Reglas de deducción
Sin embargo, para problemas grandes es prácticamente imposible usar tablas de verdad. Una alternativa es utilizar un marco de razonamiento para alcanzar la prueba
Reglas de deducción Especifican que es permitido a cada paso de la prueba Cada paso consiste de la derivación de una nueva expresión a partir de las existentes
Reglas de deducción
Copiar reglas de deducción
Ejemplo Demostrar que r puede derivarse de las siguientes suposiciones: 1. (p ∧ s) → q 2. p 3. s 4. q → r Podemos proceder como sigue: 5. (p ∧ s) a partir de las suposiciones 2 y 3 y la introducción de ∧ 6. q de la suposición 1 y el paso 5, usando modus ponens 7. r del paso 6 y la supocisión 4, usando modus ponens
Ejemplo Demostrar que r puede derivarse de las siguientes suposiciones: 1. (p ∧ s) → q 2. p 3. s 4. q → r
Sintaxis y Semántica
La lógica nos da elementos para manipular los símbolos (sintaxis) sin importar su significado (semántica).