Logica de Predicados y Proposicional

Lógica Proposicional PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL ECUADOR SEDE AMBATO EIS 1 “A” ANDRÉS CÓRDOVA EDISON LOPEZ CRISTINA CADENA

Objetivo de la lógica 

Determinar la falsedad o verdad de una premisa, es tarea de la ciencia en general

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El lógico no está interesado en la verdad o falsedad de las proposiciones sino en las relaciones lógicas entre ellas, es decir, la validez de los argumentos en que pueden aparecer.

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La lógica nos da los elementos para afirmar sobre la validez de un argumento

Lógica proposicional 

Un argumento con premisas A1, … An y conclusión B es lógicamente válida cuando (A1, … An) → B

Es una tautología, de lo contrario el argumento es inválido.

Lógica proposicional 

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Cada proposición es representada por una letra, tradicionalmente p, q, r, …

Tenemos conectores lógicos:  

y (∧), o (∨), no (¬), implicación (→) Definidos a través de una tabla de verdad 

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p∧q

Usaremos las letras mayúsculas A, B, C,… para representar expresiones lógicas

Algunas equivalencias         

A ∧ ¬A ≡ F A ∨ ¬A ≡ T ¬¬A ≡ A A∧B≡B∧A A∨B≡B∨A A ∧ (B ∨ C) ≡ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) A ∨ (B ∧ C) ≡ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) A ∧ (A ∨ B) ≡ A A ∨ (A ∧ B) ≡ A

Contradicción Tautología Doble negación Conmutatividad Conmutatividad Distributividad Distributividad Absorción Absorción

Validez de un argumento Tenemos las siguientes premisas y conclusión:

 1.

2.

3.



p∨q ¬p q

El argumento correspondiente puede representarse así: ((p ∨ q) ∧ ¬ p )→ q

Probando un argumento 

Usamos tablas de verdad para probar que una conclusión sigue lógicamente de sus premisas: ((p ∨ q) ∧ ¬ p )→ q

Reglas de deducción 

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Sin embargo, para problemas grandes es prácticamente imposible usar tablas de verdad.

Una alternativa es utilizar un marco de razonamiento para alcanzar la prueba   

Reglas de deducción Especifican que es permitido a cada paso de la prueba Cada paso consiste de la derivación de una nueva expresión a partir de las existentes

Reglas de deducción 

Copiar reglas de deducción

Ejemplo Demostrar que r puede derivarse de las siguientes suposiciones: 1. (p ∧ s) → q 2. p 3. s 4. q → r Podemos proceder como sigue: 5. (p ∧ s) a partir de las suposiciones 2 y 3 y la introducción de ∧ 6. q de la suposición 1 y el paso 5, usando modus ponens 7. r del paso 6 y la supocisión 4, usando modus ponens

Ejemplo Demostrar que r puede derivarse de las siguientes suposiciones: 1. (p ∧ s) → q 2. p 3. s 4. q → r

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Sintaxis y Semántica 

La lógica nos da elementos para manipular los símbolos (sintaxis) sin importar su significado (semántica).