Fractal 1

Desarrollar

competencias para la

sociedad del conocimiento

DAVID BLOCK SILVIA GARCÍA

edición

Nueva

MATEMÁTICAS SECUNDARIA PRIMER GRADO

Dirección de contenidos y servicios educativos Elisa Bonilla Rius Gerencia de publicaciones escolares Felipe Ricardo Valdez González Coordinación editorial Ernesto Manuel Espinosa Asuar Edición César Jiménez Espinosa Alberto Lara Castillo Armando Solares Rojas Revisión técnica Laura Reséndiz Alicia Vicuña Guante Autores David Francisco Block Sevilla, Silvia García Peña Colaboración Mónica de Lourdes Valencia (páginas 68, 69, 120, 121, 178, 179, 218 y 219) Ana Laura Barriendos (páginas 256, 257) Coordinación de corrección Abdel López Cruz Corrección Equipo SM, Daniel García Dirección de arte y diseño Quetzatl León Calixto Diseño de la serie Jesús García, Herminia Olvera Diseño de portada Segundo Gerardo Pérez Cuevas Coordinación de iconografía e imagen Ricardo Tapia García

Fractal 1. Matemáticas Serie Construir

Imagen Equipo SM

Primera edición, 2006 Segunda edición, 2007 Tercera edición, 2008 Cuarta edición, 2011 D. R. © SM de Ediciones, S.A. de C.V., 2011 Magdalena 211, Colonia del Valle, 03100, México, D.F. Tel.: (55) 1087 8400 www.ediciones-sm.com.mx

Coordinación de diagramación Jesús Arana Diagramación Jesús Arana, Jesús García, Aldo Botello, María Elena Amaro, Víctor Hugo Romero Vargas Ilustraciones Guillermo López Wirth Fotografía Archivo SM, CONACULTA.-INAH.-MEX. Reproducción autorizada por el Instituto Nacional de Antropología e Historia, pág. 18 D.R. Salvador Dalí/VEGAP/SOMAAP/México/2008. Pág. 120 M.C. Escher’s © 2008 The M.C. Escher Company-Holland. All rights reserved. Pág. 218. © 2011, Thinkstock Digitalización y retoque Carlos López, Ernesto Negrete, Federico Gianni Producción Carlos Olvera, Teresa Amaya

ISBN 978-607-471-880-5 Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Registro número 2830 No está permitida la reproducción total o parcial de este libro, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del copyright.

La marca Ediciones SM® es propiedad de SM de Ediciones, S. A. de C. V. Prohibida su reproducción total o parcial.

Impreso en México/Printed in Mexico

Presentación Qué es hacer matemáticas? Diseñar un vitral, contar las sillas para saber si alcanzarán para los invitados, medir la superficie de un terreno, averiguar la tarifa telefónica que más conviene, decidir si un juego con dados es equitativo, son algunas de muchas acciones en las que hacemos matemáticas.

También hacemos matemáticas cuando intentamos contestar preguntas de las matemáticas mismas, por ejemplo: ¿existe un número que multiplicado por 5 dé un resultado menor que 5?; las medidas de los lados de un triángulo, ¿pueden ser tres números cualesquiera?; ¿es posible prever cuál será el centésimo término de una sucesión que empieza así: 1, 3, 5, 7…?

Hacer matemáticas es usar los conocimientos de esta disciplina que ya se tienen, para resolver ciertos problemas, y también es crear nuevos conocimientos, cuando los que se tienen no son suficientes.

Hacer matemáticas es una buena manera de aprender matemáticas. Por ello, en este libro procuramos proponerte numerosas cuestiones que pueden resolverse con ayuda de las matemáticas.

Cuando enfrentas problemas nuevos, debes sentirte con la libertad de hacer todo lo que se te ocurra para resolverlos; por ejemplo, apoyarte en dibujos, ensayar resultados o procedimientos y, cuando no funcionen, probar otra vez. Poco a poco, al resolver más problemas, al conocer lo que hacen tus compañeros y con la ayuda de tu profesor, la manera en que resuelves esos problemas se irá haciendo más sistemática y segura.

Cuando desarrollas o conoces una técnica nueva para resolver cierto tipo de problemas, debes practicarla para dominarla.

Para aprender matemáticas es recomendable combinar el estudio individual con el trabajo en parejas, en equipos o en grupo: l al enfrentar una nueva tarea, es bueno que pienses un rato tú solo. Después, compartir las ideas y las dudas con los otros, trabajando en parejas o en equipos, te puede ser muy útil para avanzar; l al terminar de resolver los problemas, explicar al grupo lo que hiciste o lo que hicieron en tu equipo, conocer lo que hicieron tus otros compañeros, decidir juntos si los resultados son correctos o no, y conocer los aportes del profesor, te ayudará mucho a aprender.

A lo largo del libro se indican únicamente los momentos de trabajo en grupo, en equipo o en pareja que son muy necesarios, con estos símbolos:

Sin embargo, en muchos otros momentos que no se indican, esas formas de organización pueden ser convenientes. Tu profesor o profesora les propondrá en qué momentos usarlas.

Esperamos, como todos los autores que escriben para jóvenes como tú, que este libro, además de ayudarte a aprender, te haga decir, algunas veces, ¡esto sí me gusta!

Los autores

Guía de uso Fractal 1 está dividido en cinco bloques. Cada bloque se inicia con una página introductoria que consta de los siguientes elementos: Comentario sobre algún aspecto histórico de un conocimiento de matemáticas.

La palabra cero viene del árabe sifr, que significa vacío. Los árabes difundieron por el mundo muchos conocimientos matemáticos que tomaron de otras culturas, como el cero, proveniente del sistema de numeración de la India.

Una muestra del conocimiento geométrico de los árabes puede verse en la Alhambra, en España, donde existen muchos mosaicos elaborados con repeticiones simétricas de una figura (teselados).

BLOQUE I

En este bloque estudiarás:

Imagen que ilustra algunos conceptos matemáticos del bloque.

• las propiedades de los sistemas de numeración; • la representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica; • sucesiones de números y figuras construidas a partir de una regla; • fórmulas del área de figuras geométricas; • la simetría con respecto a un eje; • problemas de proporcionalidad directa y de reparto proporcional; • algunas técnicas para solucionar problemas de conteo.

programáticos que se estudian en el bloque.

15

15

Los contenidos se desarrollan con lecciones de dos páginas que presentan estos componentes:

Actividades de construcción del conocimiento.

Actividades diseñadas para que el alumno se enfrente a situaciones problemáticas con los conocimientos de matemáticas que ya posee y desarrolle nuevas técnicas y conceptos que le permitan resolver problemas similares.

introducción

Lección 81

Reglas de correspondencia II

3 A continuación se presentan reglas de correspondencia de varias relaciones.

Es posible saber si una relación es de proporcionalidad a partir de su regla de correspondencia.

Texto breve donde se destaca algún aspecto sobresaliente del conocimiento que se va a estudiar.

a) Marca con 3 cuando consideres que la relación es de proporcionalidad y un tache cuando consideres que no lo es.

3 y = 4x

y = 2x

y = 0.1x

y = 2x +1

y = 5x  3

Formas de organización

b) Escribe los valores que faltan en las tablas usando las reglas de correspondencia anteriores.

1 En la lección anterior, “Reglas de correspondencia I”, trabajaste con varias relacio­ nes entre cantidades de dos conjuntos que se presentaron en tablas. En la segunda columna de la tabla siguiente, indica cuáles de esas relaciones son de proporciona­ lidad y cuáles no. En la tercera columna explica cómo lo supiste. Para recordar qué caracteriza a una relación de proporcionalidad, puedes consultar la lección 19, “¿Son proporcionales?”; la lección 20, “Barcos a escala”; o la lección 61, “La regla de tres”.

Tabla

¿La relación es de proporcionalidad?

Porque…

Tabla 12 y = 2x x 1 4 1 2

y

3

y

4

Tabla 14 y = 0.1x x

y

9

Tabla 15 y = 2x + 1 x

y

Tabla 16 y = 5x  3 x

1

1

1

10

2

2

20

8 3

2

x 1

1

1

Tabla 13 3 y= x 4

4 5

y

3 13

22

c) Indica en qué tablas la relación no cumple con la siguiente propiedad y por lo tanto no es de proporcionalidad:

4 5

Cuando una cantidad de un conjunto aumenta dos, tres veces o n veces, la cantidad correspondiente del otro conjunto también aumenta ese mismo número de veces.

6 7 8

d) Indica en qué tablas la relación tiene un factor de proporcionalidad. Indica cuál es el factor.

11

2 En grupo y con ayuda de tu profesora o profesor, realicen lo siguiente:

Conceptos Cuando es necesario, los conceptos importantes de la lección aparecen resaltados.

a) Comparen las respuestas que dieron a la tarea anterior. b) Observen en qué se parecen las reglas de correspondencia de las relaciones que son de proporcionalidad. c) Lean y comenten la información que se presenta enseguida.

Cuando una relación entre dos conjuntos de cantidades es de proporcionalidad, hay un número (siempre el mismo) que al multiplicarlo por cualquier valor de un conjunto, da el valor que le corresponde en el otro conjunto. Ese número se denomina constante de proporcionalidad.

Por lo tanto, si se representa a los valores de un conjunto con la letra x, a los del otro conjunto con la letra y, y a la constante de proporcionalidad con la letra k, la regla de correspondencia de una relación de proporcionalidad es del siguiente tipo: y = kx Por ejemplo:

y = 3.14x;

y = 0.2x;

y = 5x

4 Con tus compañeras y compañeros y con ayuda de tu profesora o profesor com­ paren las respuestas que obtuvieron en la actividad 3.

5 Describan una relación que tenga como regla de correspondencia la que se indica.

Vean el ejemplo.

Regla de correspondencia

x representa

y representa

Descripción de la relación

y = 3x

Número de tamales

Precio que se paga

Cada tamal cuesta $3.00, por lo tanto, por x tamales se pagan 3x pesos.

y = 100x y = 0.2x

6 Comparen las relaciones que escribieron con las de sus compañeros y compañeras.

7 Resuelve el anexo 5 de las páginas 262 a 263.

194

tecnología Estas actividades se refieren a la sección Anexos, al final del libro.

TECNOLOGÍA

4.3. Expresión algebraica de una relación entre dos cantidades directamente proporcionales. Significados de las variables en la expresión y = kx.

9 10

En algunas actividades se sugieren formas de organizar el trabajo: individual, en parejas, en equipo o grupal.

195

Contenido En cada lección se indica el contenido que se trabaja del programa oficial. Si intervienen de manera importante dos o más contenidos del programa, se señalan todos.

Guía de uso Al finalizar cada bloque, encontrarás tres secciones: Repasemos lo aprendido Contiene preguntas de los distintos temas que se vieron en el bloque.

Contestar estas preguntas te permitirá repasar y, al mismo tiempo, identificar algunas cuestiones que quizá no te hayan quedado claras. Encontrarás el formato típico de los exámenes para que te vayas acostumbrando a usarlo: preguntas de opción múltiple y una o varias preguntas abiertas.

Lección 13 Repasemos lo aprendido

7 ¿Cuál es la expresión que corresponde al perímetro de la figura? Subráyala.

m I

m

Subraya la respuesta correcta

n

1 En cierto sistema de numeración, el 205 se escribe así: De las siguientes afirmaciones, ¿cuáles son verdaderas con respecto a ese sistema de numeración? i. Es un sistema posicional. ii. Tiene un símbolo especial para el cero. iii. No es un sistema posicional. iv. El símbolo  vale 1. a) i y iii

b) i y ii

c) ii y iv

a) 2 + m + n

b) 204

c) 244

b) 14 280 000

d) 214

c) 142 800 000

9 Tres maestros, Daniel, Carlos y Érica, necesitan comprar pliegos de cartoncillo para realizar un trabajo con sus alumnos. Deciden comprar entre los tres un paquete de 90 pliegos, pues así les sale más barato. El paquete les cuesta 45 pesos.

Daniel se queda con 40 pliegos, Carlos con 30 y Érica con 20. Deciden que el pago sea proporcional a la cantidad con la que cada uno se quedó. ¿Con cuánto debe cooperar cada uno? Subraya la opción correcta. a) Daniel $15, Carlos $15, Érica $15 b) Daniel $40, Carlos $30, Érica $20 c) Daniel $10, Carlos $30, Érica $5 d) Daniel $20, Carlos $15, Érica $10

d) 1 428 000 000

4 ¿Qué número señala la flecha?

↑

5

a) 2 3

b) 5 2 3

c) 6 1 2

7

10 En una urna se tienen 4 bolas como las siguientes:

d) 6 1 3

∉

5 ¿Cuántos palillos tendrá en total la figura 100?

Figura 2

Figura 3

b) 200

c) 300

b) 3 ÷ n

c) 3n

b) 8

c) 12

d) 16

Haz lo que se te indica

d) 400

6 Si se considera la secuencia de la pregunta 5, ¿cuántos palillos tendrá la figura n? a) 3 + n

∈

Figura 4

II a) 100

⊄

∇

Sin ver se extrae una bola, se anota su símbolo y se regresa a la urna; después se extrae una segunda bola y se anota el símbolo. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden extraer las dos bolas? Subraya la opción correcta. a) 4

Figura 1

d) 2mn

a) Los puntos simétricos están a distancias diferentes del eje de simetría. b) El segmento que une a un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría. c) La simetría con respecto a un eje no conserva la medida de los ángulos. d) La simetría con respecto a un eje no conserva la medida de lo segmentos.

d) iii y iv

3 Júpiter es el planeta más grande de nuestro sistema solar, tiene un diámetro ecuatorial de ciento cuarenta y dos millones ochocientos mil metros. ¿Cómo se escribe ese número? a) 1 428 000

c) m + n

8 Considera la simetría con respecto a un eje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

2 Esta secuencia de números está en base 4: 14, 24, 34, 104, 114, 124, 134,… ¿Qué número sigue? a) 144

b) 2m + n

d) 3  n

1 ¿Cómo se puede formar la cantidad de $20.00 con monedas de 10 centavos y de 50 centavos? a) Encuentra todas las soluciones posibles. b) Compara con tus compañeros, comenten el procedimiento de cada uno. Vean si es seguro que tienen todas las soluciones posibles.1 1 FFente: SFdovsky, PFtriciF. Tesis doctorFl

66

67

Las matemáticas en…

Se proponen situaciones de la vida cotidiana, de la naturaleza, de la música o de otros ámbitos, en los que sorprendentemente, hay un conocimiento de matemáticas en juego.

¿Cómo puede notarse que los datos que se dieron sobre la reproducción de los conejos no son reales?

Las matemáticas en la naturaleza

Si ya tienes la regla, puedes continuar la secuencia. Escribe 10 números más.

Imagínate que en enero te regalan una pareja de conejos recién nacidos.

Después de dos meses, esos conejos procrean una nueva pareja. Después de ello, cada mes, siguen procreando una nueva pareja.

Cada nueva pareja de conejos, después de dos meses, produce una nueva pareja y sigue produciendo una pareja cada mes.

Completa la tabla. Observa que los conejos recién nacidos se representan con un círculo pequeño y los conejos de más de un mes con un círculo mayor.

Mes

Conejos

Núm. de parejas

Enero

1

Febrero

1

Marzo

2

Abril

3

Mayo

5

El “problema de los conejos” proviene del libro Liber Abaci, escrito por el matemático italiano Leonardo Fibonacci y publicado en 1202. Desde entonces, el problema ha fascinado a muchos debido a la sucesión de números que aparece al encontrar la respuesta. La lista es conocida como sucesión de Fibonacci y resulta aún más fascinante encontrarla en los lugares menos esperados.

Las plantas distribuyen sus hojas, ramas y pétalos, de tal manera que absorben la máxima luz solar. Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en otro, ¡dos números que están en la sucesión de Fibonacci!

Junio

8 13

Julio

1 1

2

Agosto

3

5

El caracol ha logrado sobrevivir a muchas etapas de evolución.

En su estructura es posible encontrar la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

Septiembre

Escribe la secuencia de números de la tercera columna de la tabla anterior.

1, 1, 2, 3, 5, 8

Haz dos listas de números que contengan los principios de la sucesión de Fibonacci; inicia la primera con “3, 3”, y la segunda con “5, 5”.

¿Cuál es la regla que sigue esta secuencia? Descúbrela y anótala.

3, 3,

Y para terminar...

¡Juguemos a chicos y grandes!

5, 5,

68

69

1 Formen equipos.

2 Por equipo, hagan un tablero como el siguiente:

• Si a un equipo se le acaban las fichas, queda fuera.

La caja, en cambio, puede pedir más fichas.

7 Cuando los dados marquen 7, la caja recoge todas las fichas que en ese momento estén en el tablero.

¡A divertirse!

Cuando terminen de jugar, analicen:

3 Consigan fichas (pueden ser frijolitos o botones).

Y para terminar…

Contiene una actividad final que se relaciona con varios de los temas que se vieron en el bloque.

4 Nombren a la persona que manejará la caja.

1) La probabilidad de que el total de puntos de los dos dados sea igual a cada uno de los números del tablero.

2) ¿Qué número tiene más probabilidades de salir en los dos dados?

3) ¿Qué números tienen menos probabilidades?

4) Si se lanzan dos dados y en el tablero hubiera un 1, ¿le apostarías al número 1?, ¿por qué?

5) ¿Conviene más apostarle a números chicos, a números grandes o da lo mismo?

5 Cada integrante se queda con 20 fichas y el cajero con 50.

6 Cada integrante puede hacer apuestas de acuerdo con estas reglas: • Nadie puede apostar al 7.

• Se puede apostar el número de fichas que se desee a un número en particular, por ejemplo, al 8, al 3, al 4.

Si al lanzar los dos dados el total de puntos es igual a ese número, la caja le dará al jugador el doble de fichas de las que apostó.

• Se puede apostar a “chicos” o “grandes”, colocando en la parte azul las fichas por apostar. Si al lanzar los dos dados cae un número chico, a quienes hayan apostado a “chicos” la caja les dará el mismo número de fichas que apostaron; si cae uno grande, se dará lo mismo a quienes hayan apostado a “grandes”.

258

Al final del libro, encontrarás la sección Anexos, con algunas actividades que se llevan a cabo con computadora.

Estas actividades te permitirán afirmar algunos aspectos de los temas que has venido estudiando, al mismo tiempo que aprenderás a usar algunos programas. Los momentos en los que se sugiere realizarlas vienen indicados en las lecciones con el símbolo TECNOLOGÍA. También se incluye una tabla que relaciona los contenidos programáticos con los del libro.

Por último, hallarás una tabla que relaciona los contenidos del programa y las lecciones del libro.

Presentación para el maestro El enfoque didáctico de Fractal A continuación se exponen las principales características del enfoque didáctico que subyace en el desarrollo de los temas en los libros Fractal.

Empezar con un problema. Los enfoques contemporáneos para la enseñanza de las matemáticas tienden a coincidir en que, para lograr el aprendizaje significativo de un conocimiento, es necesario que éste aparezca como respuesta a una pregunta o como solución a una problemática que los alumnos ya hayan enfrentado. Se considera también que, en muchos casos, al enfrentar una problemática adecuada, los alumnos pueden desarrollar por sí mismos conocimientos aproximados al que se les quiere enseñar.

Por esta razón, numerosas lecciones de Fractal comienzan con el planteamiento de uno o varios problemas; sólo después y paulatinamente se presenta la información relativa al conocimiento tratado. ¿Cómo solucionarán los alumnos un problema si aún no se les enseña el conocimiento que lo resuelve? Los problemas que se plantean antes de dar información sobre el conocimiento involucrado, han sido diseñados o seleccionados de manera tal que los alumnos puedan abordarlos aunque no dispongan de la herramienta óptima. Esto significa que tal vez se aproximen a la solución de dichos problemas con herramientas más elementales o bien que, aun cuando no pudieran resolverlos, identifiquen una limitación en sus conocimientos previos y la necesidad de uno nuevo.

Después de abordar estos problemas iniciales, conforme se introducen aspectos del nuevo conocimiento, es conveniente que los alumnos resuelvan más problemas y ejercicios para aplicar dichos aspectos y afirmarlos. Cuando lo considere necesario, el profesor complementará los problemas y ejercicios de aplicación que se proponen con otros que él diseñe o tome de otros materiales.

Varios procedimientos y no uno solo. “¿Por qué tanto brinco estando el suelo tan parejo?” es la pregunta que se hacen algunos maestros ante la diversidad de procedimientos que se propone para resolver ciertos tipos de problemas. Hay varias razones: ocurre con frecuencia que los procedimientos más rápidos, o más elaborados, para resolver ciertos problemas parecen fáciles de operar pero son difíciles de comprender (por ejemplo, el algoritmo de la multiplicación por decimales o la regla de tres), tal dificultad hace que los alumnos tengan poco control sobre su uso y, en consecuencia, alteren los pasos; otros procedimientos, en cambio, aunque más precarios, por ser más largos o menos sistemáticos, son más fáciles de comprender para los alumnos, incluso en ciertos casos los pueden establecer por sí mismos. Estos procedimientos cumplen varias funciones: ayudan a consolidar la comprensión del tema; en ciertos casos, algunos son más económicos que el procedimiento más avanzado e, incluso, constituyen una herramienta “de emergencia” para los casos en que olvidan la técnica más avanzada.

Cabe señalar, además, que está demostrado, al menos para algunos temas, que los alumnos que han desarrollado varios procedimientos tienden a ser más exitosos en la resolución de problemas. A final de cuentas, ¿cuál de varios procedimientos es el mejor? Esto depende muchas veces del tipo de problema y de los conocimientos de quien resuelve.

Articulación de contenidos. Uno de los “males” de los programas escolares es que atomizan los conocimientos en aras de organizar la enseñanza: los conocimientos en los

Presentación para el maestro programas han tendido, a lo largo del tiempo, a segmentarse en pequeños conocimientos parciales, aislados unos de los otros, con lo cual su sentido se ha mermado y dificultado, contrariamente a lo que se buscaba.

Una tendencia actual en la enseñanza de las matemáticas es buscar mayor integración de los conocimientos. Si bien en este aspecto todavía hay mucho camino por andar, los programas actuales ofrecen ciertas mejoras, y en la serie Fractal hemos intentando aprovechar esas posibilidades. Así, por ejemplo, los temas de números racionales, proporcionalidad y escala se articulan en la secuencia propuesta para el estudio de la multiplicación por números no enteros; la noción de función lineal se articula con la de relación proporcional; las áreas y los volúmenes se exploran para determinar si varían proporcionalmente. Estas integraciones pueden identificarse en la indicación de los contenidos del programa que se tratan en cada lección, señalados en el margen derecho de las lecciones.

Secuencias de lecciones. Las lecciones se presentan casi siempre en grupos de dos a cuatro y, en pocos casos, cinco. Cada grupo constituye una pequeña secuencia en la que se abre un aspecto nuevo de un tema, se desarrolla y se cierra; esto no impide que en otro grupo de lecciones se retome algún aspecto de ese mismo tema.

En esta nueva edición hemos mejorado el contenido de las lecciones al enfatizar los elementos del enfoque propuesto en el programa para la enseñanza de las matemáticas en la escuela secundaria. Además, hemos pensado en apoyarlo para el logro de los aprendizajes esperados con dos innovaciones en el material dirigidas a un aspecto en específico.

• Para la planificación de la enseñanza, incluimos una propuesta de dosificación de las lecciones, en ésta se consideró que algunas lecciones son más complejas que otras, y la revisión de su contenido puede requerir dos o hasta tres clases; • para la evaluación continua, agregamos en el índice los conocimientos y habilidades indicados en el programa con el fin de facilitar su identificación y seguimiento.

Esperamos que Fractal constituya un apoyo en sus clases, una herramienta que enriquezca su acervo matemático y didáctico, pero, sobre todo, que se convierta en una fuente de aprendizaje y experiencias significativas para sus alumnos.

Los autores

Dosificación Debido a que el tiempo que dedica a cada apartado de Conocimientos y habilidades o lección depende, en gran parte, de su forma de trabajo y de las características de sus grupos, esta tabla es una propuesta que usted podrá modificar de acuerdo con el ritmo que marque el grupo, las fechas de entrega de calificaciones o las eventualidades que surjan (suspensiones, juntas, etc.). En aquellas semanas en que el tiempo lo permita,

S E M A N A S 1 1.1. Sistemas de numeración (lecciones 1 a 5)

1

2 1.2. Fracciones y decimales en la recta numérica (lecciones 6 a 9)

3 1.3. Sucesiones de números (lecciones 10 a 13)

4 1.4. Uso de literales en fórmulas geométricas (lecciones 14 y 15) 1.5. Simetría respecto a un eje (lecciones 16 a 18)

BLOQUES

2

2.1. Problemas aditivos con fracciones y decimales (lecciones 26 a 28)

2.2. Multiplicación y división con fracciones (lecciones 29 a 32)

5

2.4. Mediatriz y bisectriz (lecciones 36 y 37) 2.5. Polígonos regulares (lecciones 38 y 39)

3.1. División de números decimales (lecciones 49 a 51)

3.2. Ecuaciones de primer grado (lecciones 52 a 56)

3.3. Condiciones geométricas de posibilidad y unicidad (lecciones 57 y 58)

3.4. Perímetro y área.

Conversiones de medida de superficie (lecciones 59 y 60)

4.1. Números con signo (lecciones 75 a 77)

4.2. Raíz cuadrada y potencia (lecciones 78 y 79)

4.3. Tabla y expresión algebraica de una relación de proporcionalidad directa (lecciones 80 a 82)

4.7. Gráfica de una relación de proporcionalidad directa (lecciones 83 a 85)

5.1. Adición y sustracción de números con signo (lecciones 92 a 95)

5.2. Gráfica, tabla y expresión algebraica de una situación (lecciones 96 a 98)

5.3. Cálculo de áreas (lecciones 99 a 101)

5.4. Juegos de azar equiprobables y no equiprobables (lecciones 102 y 103)

3

4

2.3. Multiplicación y división con decimales (lecciones 33 a 35)

Dosificación podrá trabajar las actividades de Las matemáticas en… así como Y para terminar o adelantar el trabajo de otros apartados si no es suficiente el tiempo asignado en la tabla. Los colores señalan al eje que corresponde a cada apartado: en azul el eje Sentido numérico y pensamiento algebraico; en amarillo Forma espacio y medida; y en verde Manejo de la información. Cabe señalar que la redacción de los apartados ha sido simplificada.

S E M A N A S 5 1.6. Proporcionalidad directa (lecciones 19 a 21)

6 1.7. Reparto proporcional (lecciones 22 y 23)

7 1.8. Problemas de conteo (lecciones 24 y 25)

8

9

Repasemos lo aprendido (páginas 66 y 67) Evaluación del bloque 1

2.6. Perímetro y área (lecciones 40 y 41)

3.5. Proporcionalidad (procedimientos expertos) (lecciones 61 y 62)

2.7. Proporcionalidad directa (operadores fraccionarios y decimales) (lecciones 42 y 43)

2.8. Aplicación sucesiva de factores de proporcionalidad (lecciones 44 a 48)

3.6. Porcentajes (lecciones 63 a 67)

3.7. Frecuencia absoluta y relativa (lección 68)

Repasemos lo aprendido (páginas 118 y 119) Evaluación del bloque 2

3.9. Probabilidad de eventos (lecciones 72 a 74)

3.8. Gráficas de barras y circulares (lecciones 69 a 71) 4.4. Construcción de círculos (lecciones 86 y 87)

5.5. Proporcionalidad inversa (lecciones 104 y 105)

4.5. Justificación de la fórmula para perímetro y área del círculo (lecciones 88 y 89)

4.6. Cálculo de perímetro y área del círculo (lecciones 90 y 91)

5.6. Medidas de tendencia central (lecciones 106 y 107)

Repasemos lo aprendido (páginas 254 y 255)

Evaluación del bloque 3

Repasemos lo aprendido (páginas 216 y 217) Evaluación del bloque 4

Evaluación del bloque 5

Repasemos lo aprendido (páginas 176 y 177)

Índice Presentación Guía de uso Presentación para el maestro Dosificación

3 4 6 8

Bloque 1

Conocimientos y habilidades

Lección 1.

Lección 2.

Lección 3.

Lección 4.

Lección 5.

Grandes construcciones Los mayas y el cero El cajero Un número, diferentes representaciones Con cifras o con letras

16 18 20 22 24

1.1. Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales.

Lección 6.

Lección 7.

Lección 8.

Lección 9.

Las apariencias engañan Rectas y números Números ocultos I Números ocultos II

26 28 30 32

1.2. Representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Lección 10.

Lección 11.

Lección 12.

Lección 13.

Las matemáticas de las rejas Bordados Símbolos en lugar de palabras Construyendo secuencias

34 36 38 40

1.3. Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesiones numéricas y figurativas.

Lección 14.

Lección 15.

La fórmula es útil pero no es lo único Con números o con letras

42 44

1.4. Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando las literales como números generales con los que es posible operar.

Lección 16.

Lección 17.

Lección 18.

Reflejos Reflejos en el geoplano Sin cuadrícula

46 48 50

1.5. Construir figuras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propiedades que se conservan en figuras tales como triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

Lección 19.

Lección 20.

Lección 21.

¿Son proporcionales?

Barcos a escala La casita a escala

52 54 56

1.6. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

Lección 22.

Lección 23.

El reparto proporcional I El reparto proporcional II

58 60

1.7. Elaborar y utilizar procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.

Lección 24.

Lección 25.

Tarjetas de felicitación Futbol

62 64

1.8. Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagramas de árbol y otros procedimientos personales.

Repasemos lo aprendido

66

Las matemáticas en la naturaleza

68

Y para terminar…

70

Bloque 2 Lección 26.

Lección 27.

Lección 28.

Conocimientos y habilidades La migración indocumentada de Estados Unidos de América Un vaso medio lleno o un vaso medio vacío El tipo de cambio y algo más

72 74 76

2.1. Resolver problemas aditivos con números fraccionarios y decimales en distintos contextos.

Índice Lección 29.

Lección 30.

La mitad de un cuarto I La mitad de un cuarto II

78 80

2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

Lección 31.

Vueltas alrededor de un circuito I

82

2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

Lección 32.

Vueltas alrededor de un circuito II

84

2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

Lección 33.

86

2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

Lección 34.

Multiplicando y dividiendo por 10, 100, 1 000 Técnicas para multiplicar por decimales

88

Lección 35.

¿Qué número multiplicado por 2 da 3?

90

2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

Lección 36.

Lección 37.

A la misma distancia I A la misma distancia II

92 94

2.4. Utilizar las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos.

Lección 38.

Lección 39.

Con doblado de papel Vitrales

96 98

2.5. Construir polígonos regulares a partir de distintas informaciones.

Lección 40.

Lección 41.

Unas fórmulas se originan de otras La mitad del doble

100 102

2.6. Justificar las fórmulas de perímetro y área de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares.

Lección 42.

Lección 43.

Banderas a escala Más del doble pero menos del triple

104 106

2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

2.3. Resolver problemas que impliquen la multiplicación de números decimales en distintos contextos.

2.7. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando operadores fraccionarios y decimales.

Lección 44.

Lección 45.

Lección 46.

Lección 47.

Copias de copias Engranajes I Engranajes II Desandando el camino. El factor recíproco I Desandando el camino. El factor recíproco II

108 110 112 114

2.2. Resolver problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos.

2.8. Interpretar el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas.

Lección 48.

116

Repasemos lo aprendido

118

Las matemáticas en el arte

120

Y para terminar…

122

Índice Bloque 3 Lección 49.

Conocimientos y habilidades 124

Lección 51.

Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan I Multiplicaciones que achican, divisiones que agrandan II Técnicas para dividir decimales

128

Lección 52.

Lección 53.

Lección 54.

Lección 55.

Lección 56.

Adivinanzas I Adivinanzas II Balanzas en equilibrio Ecuaciones equivalentes Problemas diversos

130 132 134 136 138

3.2. Resolver problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b y c números naturales o decimales.

Lección 57.

Lección 58.

Triángulos imposibles Explorando cuadriláteros

140 142

3.3. Construir triángulos y cuadriláteros. Analizar las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones.

Lección 59.

Lección 60.

Terrenos irregulares Por 100

144 146

3.4. Resolver problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios. Realizar conversiones de medidas de superficie.

Lección 61.

Lección 62.

La regla de tres Un mismo problema, varias técnicas

148 150

3.5. Resolver problemas del tipo valor faltante utilizando procedimientos expertos.

Lección 63.

Analizar información

152

3.6. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresión fraccionaria o decimal.

3.7. Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

3.8. Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes.

Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

Lección 64.

154

Lección 65.

Lección 66.

Lección 67.

Lo importante no es cuánto, sino qué parte Terrenos sembrados Uno y diez por ciento El IVA y otros porcentajes

156 158 160

3.6. Resolver problemas que impliquen el cálculo de porcentaje utilizando adecuadamente la expresión fraccionaria o decimal.

Lección 68.

¿Es mucho o es poco?

162

3.7. Interpretar y comunicar información mediante la lectura, descripción y construcción de tablas de frecuencia absoluta y relativa.

Lección 69.

Lección 70.

Lección 71.

Deportistas de México México en el año 2000 Información diversa

164 166 168

3.8. Interpretar información representada en gráficas de barras y circulares de frecuencia absoluta y relativa, provenientes de diarios o revistas y de otras fuentes.

Comunicar información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la forma de representación más adecuada.

Lección 50.

3.1. Resolver problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.

126

Índice Lección 72.

Lección 73.

Lección 74.

Resultados posibles La medida de lo probable Laberinto de tubos

170 172 174

Repasemos lo aprendido

176

Las matemáticas en los recorridos

178

Y para terminar…

180

Bloque 4 Lección 75.

Lección 76.

3.9. Enumerar los posibles resultados de una experiencia aleatoria. Utilizar la escala de la probabilidad entre 0 y 1 y vincular diferentes formas de expresarla. Establecer cuál de dos o más eventos en una experiencia aleatoria tiene mayor probabilidad de ocurrir y justificar la respuesta.

Conocimientos y habilidades 182 184

Lección 77.

Temperaturas bajo cero Números positivos, números negativos Estadísticas del futbol mexicano

Lección 78.

Lección 79.

La medida de un lado Crecimiento exponencial

188 190

4.2. Resolver problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales.

Lección 80.

Lección 81.

Lección 82.

Reglas de correspondencia I Reglas de correspondencia II Relacionar dos magnitudes

192 194 196

4.3. Analizar en situaciones problemáticas la presencia de cantidades relacionadas y representar esta relación mediante una tabla y una expresión algebraica. En particular la expresión de la relación de proporcionalidad y = kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

Lección 83.

Lección 84.

Lección 85.

Puntos en el plano ¡La gráfica también informa!

Viajar en automóvil

198 200 202

4.7. Explicar las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

Lección 86.

Lección 87.

El círculo en la arquitectura Círculos y algo más

204 206

4.4. Construir círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas.

Lección 88.

Dar la vuelta

208

4.5. Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

4.6. Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

Lección 89.

En la pizzería I

210

4.5. Determinar el número Pi como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. Justificar la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia y el área del círculo.

Lección 90.

Lección 91.

En la pizzería II Circulando

212 214

4.6. Resolver problemas que impliquen calcular el área y el perímetro del círculo.

4.1. Plantear y resolver problemas que impliquen la utilización de números con signo.

186

Repasemos lo aprendido

216

Las matemáticas en los mosaicos

218

Y para terminar…

220

Índice Bloque 5

Conocimientos y habilidades

Lección 92.

Lección 93.

Lección 94.

Lección 95.

Pérdidas y ganancias La suma de números con signo La resta de números con signo Juegos con números

222 224 226 228

5.1. Utilizar procedimientos informales y algoritmos de adición y sustracción de números con signo en diversas situaciones.

Lección 96.

Lección 97.

Lección 98.

Tarifas telefónicas Tiempo, distancia y velocidad Tablas de valores y gráficas

230 232 234

5.2. Analizar los vínculos que existen entre varias representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a la misma situación, e identificar las que son de proporcionalidad directa.

Lección 99.

Lección 100.

Lección 101.

Diseños Dimensiones desconocidas Áreas y variación

236 238 240

5.3. Resolver problemas que impliquen el cálculo de áreas en diversas figuras planas y establecer relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras.

Lección 102.

Lección 103.

Juegos equitativos I Juegos equitativos II

242 244

5.4. Reconocer las condiciones necesarias para que un juego de azar sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

Lección 104.

Relaciones inversamente proporcionales I Relaciones inversamente proporcionales II

246

5.5. Identificar y resolver situaciones de proporcionalidad inversa mediante diversos procedimientos.

Lección 105.

Lección 106.

Lección 107.

El salario representativo Niveles de contaminación por ozono

248 250 252

Repasemos lo aprendido

254

Las matemáticas en la música

256

Y para terminar…

258

Anexos Bibliografía

259 276

5.6. Comparar el comportamiento de dos o más conjuntos de datos referidos a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central.

La palabra cero viene del árabe sifr, que significa vacío. Los árabes difundieron por el mundo muchos conocimientos matemáticos que tomaron de otras culturas, como el cero, proveniente del sistema de numeración de la India.

Una muestra del conocimiento geométrico de los árabes puede verse en la Alhambra, en España, donde existen muchos mosaicos elaborados con repeticiones simétricas de una figura (teselados).

BLOQUE 1

En este bloque estudiarás:

• las propiedades de los sistemas de numeración; • la representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica; • sucesiones de números y figuras construidas a partir de una regla; • fórmulas del área de figuras geométricas; • la simetría con respecto a un eje; • problemas de proporcionalidad directa y de reparto proporcional; • algunas técnicas para solucionar problemas de conteo.

15

15

Lección 1

Grandes construcciones

A lo largo de la historia las culturas han desarrollado maneras eficientes para contar, de donde han surgido diferentes sistemas de numeración.

1 La Gran Pirámide de Keops fue construida en Egipto en el año 2400 antes de nuestra era. Tiene una altura de casi 150 metros y el perímetro de su base mide 932 metros. Du­ rante 20 años, alrededor de 100 000 esclavos traba jaron en su edificación desplazando blo­ ques de entre 2 y 60 toneladas1 a lo largo de 10 000 hectómetros.2

Pirámide de Kéops

a) A continuación se repite la información anterior, ahora con cifras egipcias. Analiza ambos textos y descifra el valor de cada símbolo egipcio. Anota tus hallazgos en la tabla que aparece abajo.

Fue construida en Egipto en el año

antes de nuestra era. Tiene una altura de casi

metros y el perímetro de su base mide metros. Durante

años, alrededor de

do bloques de entre y Símbolo egipcio

esclavos trabajaron en su edificación desplazan toneladas a lo largo de

Valor decimal

Símbolo egipcio

hectómetros.

Valor decimal

1 000 000

b) Escribe con símbolos egipcios los siguientes números.

456

21 345

c) Escribe el valor que representan los siguientes símbolos egipcios.

Una tonelada equivale a 1000 kilogramos.

Un hectómetro equivale a 100 metros.

1 2

16

2 Con más de 2 000 años de antigüedad, la Gran Muralla China se extiende a lo largo de unos 6 700 kilómetros; la parte más famo­ sa fue construida en 1381, durante la dinastía imperial Ming. Es una maravilla de in geniería que en 22 siglos no ha sido igualada.

Fue declarada Patrimonio de la Humanidad en 1987. a) Observa las dos tablas siguientes; la del lado izquierdo contiene los 13 símbolos con que los chinos forman sus numerales y la del lado derecho contiene los datos numéricos del texto anterior, escritos con símbolos chinos.

1

10

2

100

3

1 000

4

10 000

2 000

6 700

Muralla China 1 381

22

1 987

5 6 7 8 9

Descubre cómo se forman los numerales chinos y completa la tabla siguiente.

l

145

2 060

b) Escribe en tu cuaderno el 99 999 con números egipcios y chinos. ¿Con qué sistema empleaste menos símbolos? c) ¿Qué es lo que permite en el sistema chino no repetir los símbolos tantas veces como en el egipcio?

3 Compara tus respuestas con las del resto del grupo.

1.1. Sistemas de numeración egipcio y chino.

30

17

Lección 2

Los mayas y el cero

La cultura maya usó un sistema de numeración en el que con sólo tres símbolos podían escribir cualquier número. Además fue uno de los pocos sistemas que disponía de un símbolo para el cero.

1 Lee la siguiente información.

Las reglas de escritura del sistema maya son: a) Para escribir cualquier número sólo se dispone de tres símbolos:

uno

cinco

•

——

En cada nivel, se puede repetir hasta cuatro veces y b) Los números se escriben por niveles, de abajo hacia arriba. c) Las cifras de cada nivel tienen un valor diferente:

Códice maya

cero hasta tres.

Cuarto nivel

Multiplican su valor por 20 x 20 x 20

x8 000

Tercer nivel Segundo nivel Primer nivel

Multiplican su valor por 20 x 20 Multiplican su valor por 20 Multiplican su valor por 1

x400 x20 x1

En realidad los mayas daban un valor de 360 al tercer nivel; para simplificar los cálculos aquí le damos el valor de 400. d) En cada nivel se puede escribir hasta 19.

2 Completa la serie del 0 al 19 usando las cifras mayas.

3 Con tus compañeros averigua qué número está representado en cada recuadro y escríbelo en la casilla de abajo, como se hizo con el 403.

403

18

4 Anota en la tabla, con los sistemas de numeración que se indican, los datos que se piden. El sistema decimal es el que nosotros usamos.

Número/sistema

Egipcio

Chino

Maya

Decimal

Mi edad en meses

Número de alumnos de mi grupo

Año actual

¿En cuáles de los sistemas de la tabla existe un número para el cero?

Reflexiona: ¿en qué es útil el cero en nuestro sistema de numeración decimal? ¿cómo tendríamos que escribir los números si no existiera el cero? Escribe tus conclusiones en tu cuaderno.

5 En la tabla se muestra cómo se escribe un mismo número en cuatro sistemas.

Egipcio

Chino

Maya

Decimal

33

¿En cuáles de los sistemas de la tabla, un símbolo numérico colocado en diferente lugar o posición

Observa que: l El símbolo vale 10 todas las veces que aparece. En cambio el símbolo vale 1 en el primer nivel, mientras que en el segundo nivel vale 20. l El símbolo vale tres, tanto si está arriba como si está abajo. Es necesario colocar el símbolo para indicar que se multiplica por 10.

6 Compara tus respuestas con las del grupo.

1.1. Sistemas de numeración maya.

cambia de valor?

19

Lección 3

El cajero

Con el propósito de hacer más eficientes los sistemas de numeración, se realizan agrupaciones.

En nuestro sistema de numeración se hacen agrupaciones de 10, en el maya de 20. ¿Habrá sistemas de numeración con agrupaciones de otro valor?

1 Juguemos al cajero.

Cada equipo necesita: Un dado

20 fichas azules, 20 rojas, 20 verdes y 20 blancas.

a) Formen un equipo de 4 o 5 integrantes. b) Nombren a una persona para que sea el cajero. c) El cajero se queda con la caja de fichas. d) Cada uno lanzará el dado y pedirá al cajero el número de fichas azules que marque el dado. e) Cuando alguien junte 4 fichas azules debe cambiarlas por una roja, 4 fichas rojas las cambia por una verde y 4 fichas verdes las cambia por una blanca. f) Gana el primero que obtenga tres fichas blancas.

2 Contesta estas preguntas. a) ¿Cuántas fichas azules se necesitan para conseguir una ficha roja? b) ¿Cuántas fichas azules se necesitan para conseguir una ficha verde? c) ¿Cuántas fichas azules se necesitan para conseguir una ficha blanca?

3 Considera que cada ficha azul vale un punto. En la siguiente tabla anota el nombre de los integrantes de tu equipo. En la columna “Fichas obtenidas”, dibuja las fichas con las que se quedó cada uno al final del juego. En la columna “Total de puntos”, escribe el total de puntos que cada uno obtuvo.

Nombre

Fichas obtenidas

Total de puntos

4 Anota el total de puntos que se obtuvo en cada caso.

20

Blancas

Verdes

Rojas

Azules

Ana

1

3

3

3

Luis

0

2

2

3

Gisela

2

0

0

0

Total de puntos

5 Completa la tabla.

Total de fichas azules ganadas

Fichas blancas

Después de hacer todos los cambios Fichas verdes Fichas rojas

Fichas azules

12 34 76 100 150

Observa que, si se quita la tabla, el orden permite saber qué representa cada cifra: el primer número de la derecha se refiere a las fichas que valen 1; el que le sigue, a las que valen 4; el siguiente, a las que valen 16, y el siguiente, a las que valen 64; por ejemplo:

1

Número de fichas que valen 64

Número de fichas que valen 16

2

Número de fichas que valen 4

0

Número de fichas que valen 1

34

El número 4 pequeño indica que los cambios se hacen cada vez que se juntan 4 fichas de un color.

6 Anota el total de puntos en cada caso. a) 12034 5 d) 214 5

b) 22114 5

c) 234 5

e) 13024 5

f) 1124 5

7 Contesta las siguientes preguntas. a) ¿Es lo mismo 1034 que 3014? b) ¿Por qué cambia el valor si en los dos números hay un 1, un 3 y un 0?

8 Compara tus respuestas con las de otros compañeros y compañeras del grupo, y comenten la siguiente información con su profesor o profesora.

El sistema de numeración que se ha estudiado en esta lección es posicional de base 4. El sistema de numeración que nosotros usamos cotidianamente también es posicional, pero su base es 10.

1.1. Sistemas de numeración base 4.

21

Lección 4

Un número, diferentes representaciones

Ante la necesidad de representar cantidades grandes y de realizar cálculos con ellas, el sistema que utilizamos, llamado indoarábigo, presenta ventajas importantes en comparación con otros.

1 Completa la tabla.

Indoarábigo

Egipcio

Chino

Maya

Base 4

10

3334

22

2 Contesta las siguientes preguntas con respecto a los sistemas que aparecen en la tabla anterior. a) ¿Qué sistema de numeración te gusta más?

¿Por qué? b) ¿Qué sistema consta de menos símbolos? ¿Cuántos símbolos se usan y cuáles son? c) ¿Qué sistemas tienen un símbolo para representar el cero? d) ¿En qué sistema se escribe más brevemente el número 999? e) ¿Qué sistemas son posicionales?

f) ¿Qué sistemas no son posicionales?

g) ¿Los sistemas que tienen un símbolo para el cero son también sistemas posicionales?

3 Compara con tus compañeros la manera en que llenaron la tabla y las respues­ tas que dieron a las preguntas planteadas. Después, con ayuda del profesor o profesora elaboren un resumen en su cuaderno sobre los distintos sistemas de numeración.

A lo largo de la historia algunas culturas han inventado diferentes maneras de representar números. Los símbolos y las reglas utilizadas para escribir números constituyen un sistema de numeración.

Algunos sistemas de numeración son más eficientes que otros. Una de las ventajas de nuestro sistema de numeración con respecto a otros radica en que permite escribir cualquier cantidad, por grande que sea, con pocas cifras.

4 Reúnete con un compañero o compañera y descubran los símbolos y las reglas del sistema que se muestra enseguida. ¿Cuál es su base? ¿Es posicional? ¿Tiene cero? Escriban las conclusiones en sus cuadernos.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

1.1. Comparación y reflexión de diferentes sistemas de numeración.

23

Lección 5

Con cifras o con letras

Los números se pueden escribir con cifras o con letras pero también se pueden expresar de manera oral. Cada forma tiene sus propias reglas.

1 Forma un equipo de cuatro con tus compañeros y hagan lo siguiente: a) Tome cada quien una hoja tamaño carta y divídanla en ocho partes iguales partiendo siempre a la mitad. b) Anoten en cada tarjeta un número de una cifra, del cero al siete. c) Realicen el siguiente juego.

Reglas: Junten las tarjetas de todos, revuélvanlas y pónganlas una sobre otra con el número hacia abajo.

Por turnos, cada jugador va tomando una tarjeta hasta completar tres y con ellas trata de formar el número mayor posible. l Cada jugador lee su número en voz alta. Gana el que logró formar el número mayor. l Después de cuatro rondas inician un nuevo juego pero ahora cada quien toma cuatro tarjetas.

En el último juego cada quien tomará ocho tarjetas. l l

2 Al terminar de jugar, contesta lo siguiente: a) ¿Cuál es el mayor número que se pudo formar con ocho tarjetas? b) Describe el procedimiento que seguiste para formar el número mayor posible con las tarjetas que te tocaron: c) Si dos números tienen igual cantidad de cifras, ¿en qué te fijas para saber cuál es mayor?

d) Rosa y Pedro han sacado tres tarjetas cada uno y les falta una por sacar. ¿Es posible que gane Pedro? ¿Cómo?

Tarjetas de Pedro

6

6

Tarjetas de Rosa

6

1

0

0

Nuestro sistema de numeración es posicional porque una misma cifra puede tener distintos valores, dependiendo de la posición que ocupe en un número.

Por ejemplo, las cifras de los números 73 y 37 son las mismas pero en cada número tienen un valor distinto.

24

3 En el reverso de sus tarjetas escriban estas palabras: Un(o)

diez

cien(to)(s)

mil

millón (es)

dos

tres

cuatro

Realicen otro juego, ahora con las palabras que escribieron en sus tarjetas. Éstas son las reglas: l Cada uno revuelve sus tarjetas y las coloca una sobre otra con la palabra hacia abajo. l Cada quien toma tres de sus tarjetas y trata de formar el número mayor posible. No es obligatorio usar las tres tarjetas. l Después de tres rondas aumentan una tarjeta, es decir, cada uno toma cuatro de sus tarjetas y trata de formar el número mayor posible.

4 Los cheques llevan anotada la cantidad con cifras y con letras. Anota en cada uno lo que hace falta.

Páguese a:

Fecha

Fecha

Páguese a:

$50 060.00

Con letra:

$35 004 356.00

Con letra:

Recuerda.

Para leer una cantidad escrita con cifras, conviene separar éstas en grupos de tres, comenzando por las unidades. Por ejemplo, la cantidad 23201035804 se puede escribir así: 201

035

804

miles millones miles Y se lee: veintitrés mil doscientos un millones treinta y cinco mil ochocientos cuatro.

5 Forma un equipo de cuatro con tus compañeros y después hagan dos parejas. Jugará la pareja A contra la pareja B. Cada uno escriba una lista de 5 números que tengan entre 7 y 10 cifras. Habrá cuatro listas en total. l La pareja A debe dar sus listas a la pareja B y viceversa. l Primero juega la pareja A mientras la pareja B observa y ve que se cumplan las reglas. l Un miembro de la pareja A toma una de las listas que hicieron sus compañeros y le dicta a su pareja los cinco números de la lista. Debe decir el nombre de los números, no se vale decir cifra por cifra. El otro miembro anota los números con cifras, en una hoja de papel. Luego, cambian: toca al segundo miembro dictar los números de su lista, y al otro anotarlos. Al terminar, comparan los números dictados con los números anotados, cifra por cifra. Cada vez que los números sean iguales, la pareja tiene un punto. l Después, toca jugar a la pareja B de la misma manera. Al terminar, vean qué pareja sacó más puntos. l

1.1. Análisis de propiedades del sistema decimal de numeración.

23

25

Lección 6

Las apariencias engañan

2 4 Con números diferentes pueden escribirse fracciones que valen lo mismo, por ejemplo, y . A 3 6 estas fracciones se les llama equivalentes. ¿Sabías que identificar fracciones equivalentes sirve para comparar y para sumar fracciones?

1 Reúnete con un compañero o compañera y realicen juntos los siguientes ejercicios. a) El dibujo de abajo representa una pista de 9 kilómetros. Ubiquen a los corredores en el lugar aproximado en que van, como se muestra en el ejemplo.

Corredor

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

Kilómetros que lleva recorridos

3 64

21 3

6

3 54

16 3

18 3

1 62

1 53

13 2

1 74

1 0 2 8

3 4

7 5 6

E

• ¿Cuáles corredores van empatados? _________________________ b) Localicen en la recta numérica las siguientes fracciones:

1 2 1 5 2 3 4 15 3 6 , , , , , , , , , 3 3 2 6 6 9 6 18 6 9 0

26

1

Si ubicaron bien las fracciones, varias quedan en el mismo lugar, es decir, son equivalentes. De las fracciones anteriores, escriban en el espacio correspondiente las equivalentes a las que se indican.

1 3,

1 2,

2 3,

5 6,

c) En cada pareja de números, averigüen cuál es el mayor y subráyenlo. Si los números son equivalentes, subrayen los dos.

6 y 1 12

7 y 1 6

5 y 1 6

3 y 1 2

6 y 1 6

1 y 1 2 3

1 y 2 2 3

1 y 3 2 6

1 y 4 2 6

1 y 5 2 6

3 y 2 2 3

4 y 6 6 4

3 y 4 4 3

6 y 12 12 6

6 y 4 4 6

2 y 4 3 6

5 y 7 6 12

11 y 3 4 12

8 y 2 3 12

2 y 5 3 6

0

1

2

e) Para cada una de las siguientes fracciones encuentra otra que sea equivalente pero que se escriba con los números menores posibles, es decir, simplifica la fracción.

6 = 8

30 = 90

8 = 16

50 = 100

10 = 12

10 = 15

2 Comparen sus resultados y entre todos recuerden cómo se puede saber cuál de dos fracciones es mayor o si son equivalentes, y cómo simplificar una fracción.

1.2. Orden, simplificación y equivalencia de fracciones.

d) Ubiquen los números anteriores en la recta. Una vez que estén ubicados, usen el orden en que quedaron para revisar la pregunta anterior.

27

Lección 7

Rectas y números

La recta numérica permite representar distintas clases de números, compararlos e incluso ayuda a efectuar algunas operaciones.

1 A un grupo de alumnos se le pidió representar los números 0, 8, 16 y 24 en esta recta.

A continuación verás cómo resolvieron el problema cuatro alumnos. Anota en cada caso si crees que está bien o mal y explica por qué. a) José lo hizo así:

Lo que hizo José está

porque

b) Pedro hizo lo siguiente:

Lo que hizo Pedro está

porque

c) María lo hizo así:

Lo que hizo María está

porque

d) Rosa resolvió así:

Lo que hizo Rosa está

porque

e) Y tú, ¿cómo lo harías? Usa la recta que hay al inicio de la lección para dar tu respuesta.

28

1 1 2 Representa en la siguiente recta los números 4 , 2 y 2.

3 Con tus compañeros y con la ayuda de tu profesor comparen y comenten las res­ puestas que dieron en los problemas 1 y 2.

1 5 4 Representa en la siguiente recta los números 2 , 4 y 3, después contesta las pre­ guntas.Toma en cuenta que ya hay un número representado.

a) ¿Cuántos octavos hay de 1 a 1 ?

8 2 b) ¿Cuántos octavos hay de 1 a 3?

8 1 c) ¿Cuántos octavos hay de a 5 ?

2 4 d) ¿A cuántos milímetros de 1 pusiste el 0?

8 compañeros?

¿Coincide esta medida con la de tus

¿Era necesario que coincidiera?

Al representar números en una recta numérica es importante tomar en cuenta: Primero: No hay un lugar específico para el cero, de manera que, al igual que en el problema 4, lo pudiste ubicar donde te pareció conveniente.

Segundo: Una vez que se establece una medida, fraccionaria o entera, esa medida debe conservarse en esa recta. José se equivocó porque no conservó la misma medida. De 0 a 8 cada espacio vale uno, pero de 8 a 16 cada espacio vale dos, y de 16 a 24 cada espacio vale cuatro. Esto no se puede hacer en la misma recta.

Tercero: Se ha convenido que el valor de los números representados en una recta aumenta de izquierda a derecha o de abajo hacia arriba. Rosa no tomó en cuenta esta convención y por eso está mal.

1.2. Análisis de convenciones al representar números en la recta numérica.

5 Representa en la primera recta tres números naturales consecutivos; en la segun­ da, tres números fraccionarios tales que el de en medio esté a la misma distancia del menor que del mayor. En la tercera recta representa tres números decimales que cumplan con las mismas condiciones que los fraccionarios.

29

Lección 8

Números ocultos I

La recta numérica puede ser un recurso para plantear y resolver problemas.

1 En la siguiente recta el segmento de 0 a 20 está dividido en cinco partes iguales.

Anota el número que le corresponde al punto que señala la flecha.

a) Un alumno de otro grupo dice que el número que corresponde al punto señalado con la flecha es el 3. Explícale por qué no puede ser. b) Con base en la información que hay en la recta anterior, ¿cuál es el valor de cada una de las cinco partes en que se divide el segmento de 0 a 20? c) Si el segmento de 0 a 20 estuviera dividido en cuatro partes iguales en vez de cinco, ¿qué valor tendría cada parte?

¿Cómo lo averiguaste?

d) Y si el segmento de 0 a 20 estuviera dividido en tres partes iguales, ¿qué valor tendría cada parte?

Verifica que, efectivamente, al sumar tres veces este valor llegas a 20. +

+

= 20

2 En la siguiente recta el segmento de cero a 20 está dividido en seis partes iguales.

Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha.

a) En un grupo en el que había cinco equipos propusieron los siguientes números para el punto señalado con la flecha. Anota en la columna de comentarios por qué sí o por qué no es correcto cada resultado.

30

Equipo

Resultados

1

6

2

20 3

3

7

4

6+ 3

5

6.6

2

Comentarios

b) ¿Cómo crees que averiguaron el resultado los dos equipos que acertaron?

3 En la siguiente recta, el segmento de 0 a 5 está dividido en tres partes iguales. a) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha.

b) ¿Qué número habrías anotado si en lugar del 5 estuviera el 1? c) Y, si en lugar del 5 estuviera el 2, ¿qué número habrías anotado en el punto señalado con la

flecha? d) Verifica que sumando tres veces el número que anotaste, efectivamente llegas al 5. +

+

=5

así como:

+

+

=1

o bien:

+

+

=2

4 El segmento de 0 a 5 está dividido en ocho partes iguales.

b) La flecha de en medio señala justamente la mitad del segmento de 0 a 5; verifica que el número que anotaste efectivamente es la mitad de 5. c) ¿Qué parte de 5 es el número que anotaste en la primera flecha de la izquierda?

5 En la siguiente recta, el segmento AB se dividió en siete partes iguales.

a) ¿Qué número puede corresponder al punto A? b) ¿Qué número puede corresponder al punto B? c) Anota otro número que se ubique en el segmento AB. d) Anota un número que se ubique fuera del segmento AB. e) Comenta tus respuestas en grupo. ¿Puedes encontrar otros valores para A y B?

1.2. Ubicación de números en la recta, bajo ciertas condiciones.

a) Anota los números que corresponden a los puntos señalados con flechas.

31

Lección 9

Números ocultos II

La recta numérica ayuda a ver que entre dos números fraccionarios o decimales cualesquiera siempre se puede ubicar otro número.

1 1 En la siguiente recta, el segmento de 0 a 3 está dividido en cuatro partes iguales. a) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha

b) Otra manera de representar 1 dividido en cuatro partes iguales es como se muestra en la 3 figura de la izquierda. ¿Qué fracción del entero representa la parte coloreada?

Verifica que este número es el mismo que anotaste en el punto señalado con la flecha. c) Una manera de indicar la división de 1 en cuatro partes iguales es mediante la escritura de la 3 operación. Anota el resultado y verifica que sumando cuatro veces este número se obtiene 1 .

3

+ + + = 1 1 ÷ 4 = porque: 3 3

2 En la siguiente recta el segmento de 2 a 5 se dividió en tres partes iguales. a) Anota el número que corresponde al punto señalado con la flecha.

b) Como te habrás dado cuenta, en este caso la longitud del segmento de 2 a 5 no está indicada, porque el segmento no empieza en el cero. ¿Cuál es el valor que corresponde a cada ¿Cuál es la longitud del segmento de 2 a 5?

una de las tres partes en que se divide? c) Si el mismo segmento de 2 a 5 se divide en cuatro partes iguales, ¿cuál es el número que corresponde al punto señalado con la flecha? Anótalo en la siguiente recta.

3 Antes de continuar con la lección, comenta con tus compañeros, compañeras y con tu profesora o profesor, sobre las respuestas que han encontrado.

32

1 2 4 En la recta, la flecha señala el punto medio del segmento que va de 3 a 3 .

A continuación se presentan cuatro razonamientos distintos que permiten encontrar el número que señala la flecha; anota sobre las líneas correcto o incorrecto.

El segmento que va de 1 a 2 mide 1 . La mitad de 1 es 1 , entonces, el número que señala 3 3 3 3 6 la flecha es 1 + 1 = 3 .

3 6 6 1 + 1 , es decir, 5 . l El número que señala la flecha es 3 2 6 1 es lo mismo que 2 , y 2 es lo mismo que 4 , el número que está a la mitad entre 2 y l 3 6 3 6 6 4 es 3 .

6 6 1 , es decir, 1 . l El número que señala la flecha es la mitad de 3 6 l

5 En la recta A el segmento que va de 0 a 1 se dividió en diez partes iguales. En la recta B, una de estas partes se amplificó y se volvió a dividir en diez partes iguales.

En la recta C, una parte se amplificó y otra vez se dividió en diez partes iguales. a) Anota los números que corresponden a los puntos señalados con flechas y después contesta las preguntas.

B

C

b) Escribe un número que esté comprendido entre

1 2 y 10 10

c) Escribe un número que esté comprendido entre 0.4 y 0.5 6 Comenta en grupo, con ayuda de tu profesora o profesor, sobre los resultados de las actividades 4 y 5.

1.2. Propiedad de densidad de los números racionales.

A

33

Lección 10

La matemática de las rejas

Las matemáticas están presentes en muchos objetos de la vida cotidiana. ¿Alguna vez te has preguntado qué tienen que ver las rejas con las matemáticas?

1 Don Manolo, el herrero, diseña rejas formadas por tres modelos de barras.

Tipo A

Tipo B

Tipo C

Ésta es parte de una reja.

1

2

3

4

5

a) ¿Qué tipo de barra es la barra número 5? b) Si la reja continúa, ¿de qué tipo será la barra número 10? c) ¿Y la 39? d) ¿La barra número 45 es del tipo B? e) ¿Cómo lo averiguaron?

34

6

7

2 Veamos una sección de otra reja que diseñó don Manolo.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

a) Completa la tabla.

Tipo de barra

Lugares que ocupan

A

3

6

9

B

2

5

8

C

1

4

7

b) Encuentra y explica la regla que sigue cada una de las tres secuencias numéricas anteriores.

Tipo de barra

Regla

B

C

c) Escribe el tipo de barra (A, B o C) que está en cada uno de los siguientes lugares.

Lugar

18

19

20

33

38

55

104

121

201

102

Tipo

3 Compara los resultados y procedimientos de tu equipo con los de los demás equipos.

1.3. Reconocimiento de patrones en secuencias figurativas.

A

35

Lección 11

Bordados

Muchas de las figuras que conoces siguen una cierta regla o patrón. En la lección anterior aprendiste a reconocer patrones en las rejas, ¿te has dado cuenta de que algunos bordados también siguen cierto patrón?

1 Las figuras de la izquierda son diseños para hacer bordados en punto de cruz. a) Considera que las figuras continúan y completa la tabla.

Figura 1

Figura

1

2

Cuadrados bordados

4

8

3

4

5

10

50

100

b) ¿Cómo calculaste el número de cuadrados bordados de la figura 100?

c) Si conoces el número de una figura, ¿cómo calculas el número de cuadrados bordados que tiene?

Figura 2

d) Si a una figura le corresponde el número 200, ¿qué operación tienes que hacer para saber el

número de cuadrados? e) Si a una figura le corresponde el número n, ¿cómo expresas el número de cuadrados bordados que

tiene?

Figura 3

Figura 4

f) ¿Alguna figura completa de este diseño tendrá 101 cuadrados bordados?

¿Por qué?

2 Compara tus resultados con los de otros compañeros y compañeras. No olviden comentar lo que entienden por número n.

3 Aquí tienes otro diseño.

Figura 1

36

Figura 2

Figura 3

Figura 4

a) Considera que las figuras anteriores continúan y completa la tabla.

Figura

1

2

Cuadrados bordados

5

9

3

4

5

10

50

100

n

b) ¿Cómo calculaste los cuadrados de la figura 100? c) Si conoces el número de una figura, ¿cómo calculas el número de cuadrados bordados que tiene?

d) Si a una figura le corresponde el número 200, ¿qué operaciones tienes que hacer para saber el número de cuadrados? e) ¿Alguna figura completa de este diseño tendrá 45 cuadrados bordados?

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

a) Considera que las figuras continúan y completa la tabla.

Figura

1

Cuadrados bordados

2

3

4

5

10

50

100

n

4

b) ¿Cómo calculaste los cuadrados de la figura 100? c) Si conoces el número de una figura, ¿cómo calculas el número de cuadrados bordados que tiene?

d) Si a una figura le corresponde el número 200, ¿qué operaciones tienes que hacer para saber el número de cuadrados? e) ¿Alguna figura completa tendrá 121 cuadrados bordados?

5 Compara tus resultados con los de otros compañeros y compañeras; no olviden comentar la expresión que encontraron para la figura n.

1.3. Reconocimiento y expresión simbólica de patrones en secuencias figurativas.

4 Finalmente, te presentamos un diseño más.

37

Lección 12

Símbolos en lugar de palabras

Como ya viste, la regla o patrón que sigue una secuencia puede expresarse con la ayuda de la letra n. Además, para abreviar, es posible usar solamente letras y símbolos matemáticos en lugar de palabras.

1 Considera la secuencia de figuras.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

Figura 4

a) Completa la tabla Figura

1

2

3

4

50

100

Número de círculos

b) Analiza y completa La figura 8 tiene 3 3 8 círculos, la figura 90 tiene 3 3 90 círculos, la figura 1 000 tiene círculos, la figura n tiene

círculos, la figura 5 000 tiene

círculos.

Cuando se usan letras, por ejemplo la n, no conviene usar el signo x para la multiplicación porque se confunde con la letra equis. En matemáticas, en lugar de anotar 3 3 n, podemos anotar 3n que significa “tres por n” o “tres veces n”.

2 Considera la secuencia de figuras y completa la tabla; en la última columna tienes que anotar cuántos círculos tendrá la figura n.

Figura 1 Figura Número de círculos

38

Figura 2 1

2

Figura 3 3

50

100

n

3 Analiza el número de sillas (puntos) que se pueden poner alrededor de mesas para cuatro personas colocadas como se muestra. Completa la tabla.

Figura 1

Figura 2

Número de mesas

1

2

3

4

20

100

n

Número de sillas

4 La siguiente tabla es de una secuencia de números; complétala e inventa la secuencia de figuras.

1

2

3

4

20

4

8

12

16

80

100

n

5 Compara tus resultados y procedimientos con los de tus compañeros y compañeras de grupo; en especial, comparen las expresiones donde utilizaron la letra n.

6 Completa la tabla de secuencias numéricas.

1

2

3

2

4

6

5

10

3

5

7

1

3

5

6

12

4

5

10

20

100

20

n 2n

100 201 9

199 60

2n11

1.3. Reconocimiento y expresión simbólica de patrones en secuencias figurativas.

Secuencia de figuras:

39

Lección 13

Construyendo secuencias

A partir de una secuencia de números, ya has aprendido a expresar la regla general que la define.

Ahora, a partir de la regla, ¿podrás determinar la secuencia?

1 En las lecciones anteriores completaste tablas como ésta: 1 3

2 6

3 9

4 12

5 15

6 18

n 3n

En el segundo renglón se forma una secuencia: 3, 6, 9, 12, 15, …

Los puntos suspensivos (…) indican que la secuencia continúa.

La secuencia anterior se puede generar a partir de la expresión 3n de la siguiente manera: Si en lugar de n ponemos los números 1, 2, 3, 4, 5,...

3n 3315 3 3325 6 3335 9 3 3 4 5 12 3 3 5 5 15

Los resultados forman la secuencia: 3, 6, 9, 12, 15, . . .

2 Veamos otro ejemplo.

Si en la expresión n 1 4 ponemos los números 1, 2, 3, 4, 5,... en lugar de n, obtenemos otra secuencia. Completa lo siguiente.

n14

1 1 4 5

2 1 4 5

145

145

145

Anota la secuencia:

40

,

,

,

,

...

3 Realiza en la tabla siguiente lo que se pide a continuación.

Al sustituir la n de la expresión 2n por los valores del primer renglón (1, 2, 3…), se obtiene, en el segundo renglón, la secuencia 2, 4, 6… Complétala en la tabla. l Haz lo mismo con las expresiones de los renglones siguientes. l Cuando no se da la expresión, indágala a partir de los valores que se dan. l

2n

1

2

3

2

4

6

4

5

6

7

6

10

12

14

7

8

10

3

4

5

7

4

8

12

16

2

4

6

8

11

21

8

9

10

5n n 1 10 n21 2n 1 1 3n 2 1

4 Compara tus resultados en grupo y, con ayuda de tu profesor, lean y comenten la siguiente información.

Las expresiones como

n 1 6 3n 4n 1 2 se llaman expresiones algebraicas. Observa que tienen una letra que puede tomar diferentes valores.

Cuando la expresión algebraica se usa para expresar el patrón de una secuencia, la letra n representa el lugar que ocupa cualquier término de la secuencia. Por ejemplo, en la secuencia cuya expresión es 4n 1 2, el término que está en el quinto lugar es: 4 3 5 1 2 5 22.

Recuerda que en una expresión algebraica no conviene usar el signo “por” (3) de la multiplicación, porque se confunde con la “equis”, por lo que

“3n” significa “3 por n” o “3 veces n”.

5 Inventa tres reglas algebraicas de secuencias, escríbelas en tu cuaderno y anota los primeros 10 términos de cada secuencia.

6 En la computadora puedes generar secuencias numéricas.

Consulta los anexos 1 y 2 de las páginas 262 a 265.

TECNOLOGÍA

1.3. Construcción de secuencias numéricas a partir de una regla dada.

41

41

Lección 14

La fórmula es útil, pero no es lo único

Las fórmulas constituyen una ayuda en la realización de diversos cálculos, pero a veces no son suficientes.

1 Imagina rectángulos diferentes: pequeños, medianos, grandes, u objetos que ten­ gan forma de rectángulo; por ejemplo, cuadernos, losetas, pizarrones, ventanas, patios, etc. ¿Qué procedimiento utilizarías para calcular el área de cualquiera de ellos? Descríbelo.

2 Aunque existe un procedimiento general para calcular el área de cualquier rec­ tángulo, la información que se necesita para hacer el cálculo puede darse de dis­ tintas maneras, como las siguientes. a) Sobre fondo cuadriculado. ¿Cuál es el área de cada rectángulo? Considera un cuadrito como unidad.

A=

A5

b) Sobre fondo blanco, con medidas reales. ¿Cuál es el área del siguiente rectángulo, en centímetros cuadrados?

3.5 cm

6 cm

42

A5

c) Con medidas ficticias. ¿Cuál es el área de este rectángulo, en metros cuadrados?

13 m

A5

25 m

d) Con medidas disfrazadas. El radio del círculo pequeño mide 3 y el radio del círculo grande mide 5. ¿Cuál es el área del rectángulo?

5

3

A5

e) Con medidas representadas con literales. El largo del rectángulo mide m y el ancho mide n. ¿Cuál es el área del rectángulo?

A5

m

3 Analiza en grupo, con tu profesor o profesora, cada una de las respuestas que obtuvieron. En caso de haber diferencias, traten de averiguar quién tiene razón y a qué se deben los errores.

El resultado obtenido en el último problema es la expresión general, también llamada fórmula, con la cual se calcula el área de cualquier rectángulo.

La expresión con palabras es: Área (del rectángulo) es igual a largo por ancho.

La expresión con literales es: A 5 mn. En vez de largo y ancho suele decirse base (b) y altura (h), de manera que la fórmula más conocida es A 5 bh, pero se trata de la misma fórmula.

Recuerda que cuando se multiplican dos literales no se usa el signo 3, para no confundirlo con la letra equis.

1.4. Significado de la fórmula para el área del rectángulo.

n

43

Lección 15

Con números o con letras

El uso de literales para expresar medidas constituyó un gran avance en el desarrollo de la matemática.

1 Realiza lo siguiente. a) Expresa con palabras, de la manera más breve posible, el procedimiento que se utiliza para calcular el perímetro de un rectángulo.

a

b) Con ayuda del profesor o profesora, averigüen cuál es la descripción más breve del grupo.

Verifiquen que sea correcta.

P5

c) Expresen en forma general el procedimiento para calcular el perímetro del rectángulo de la izquierda.

l

d) La fórmula para obtener el perímetro del rectángulo puede expresarse al menos de dos maneras: como la suma de las medidas de sus cuatro lados o como la suma de dos veces la medida de un lado más dos veces la medida del otro lado. Anota lo que hace falta en estas dos expresiones.

P5

1

P5

1

1

1

e) Todavía hay una forma más simple de expresar el perímetro del rectángulo. ¿Cuál es?

2 Las dos figuras siguientes son triángulos equiláteros, es decir, tienen sus tres lados iguales. En uno de los triángulos, las medidas están expresadas con números y, en el otro, con literales. a) Anota sobre las líneas las medidas que se piden.

Medida de un lado:

Medida de un lado:

Medida de la altura: 2.6 cm 3 cm

a

Perímetro: Área:

Medida de la altura: Perímetro:

b

Área:

El área del triángulo es igual al producto de su base por la altura dividido entre 2.

44

b) En grupo y con ayuda del docente revisen cada una de las medidas que escribieron sobre las líneas, especialmente en los casos en que no coincidan. Traten de ver quiénes tienen razón.

3 Ahora haz lo mismo con los siguientes cuadrados.

Medida de un lado:

Medida de un lado:

Perímetro:

Perímetro:

Área:

Área: a

3 cm

4 La siguiente figura es un paralelogramo. Dos medidas están indicadas con números y una más con una literal. Anota lo que se pide en la parte derecha.

Medida de la base: 3 cm

x

Medida de la altura:

6.5 cm

Área:

Recuerda. El área del paralelogramo es igual al producto de su base por la altura.

5 El perímetro de una figura cuyos lados y ángulos son iguales puede calcularse mediante la fórmula P = a + a + a + a + a, o bien, P = 5a, en la que a representa la medida de un lado. a) ¿De qué figura se trata? b) Si a vale 3.5, ¿cuál es el perímetro de la figura? c) Si el perímetro de la figura mide 28, ¿cuál es el valor de a? d) En tu cuaderno, haz un dibujo de la figura y divídela en 5 triángulos iguales. La altura de uno de esos triángulos mide b. ¿Cómo se expresa el área de la figura con literales? A 5 6 Con ayuda del profesor revisen cada una de las respuestas del problema anterior, en particular aquellas que son diferentes.

(B  b)h .

7 La siguiente fórmula sirve para calcular el área de un trapecio A  2 a) Asignen valores a B, b y h.

b) Calculen el área del trapecio. c) Tracen el trapecio y escriban sus medidas.

1.4. Uso del lenguaje natural para explicar el significado de algunas fórmulas geométricas, interpretando literales como números generales con los que es posible operar.

Perímetro:

45

Lección 16

Reflejos

¿Te has fijado cómo se refleja una imagen en un espejo?

1 Imagina que se coloca un espejo sobre la línea roja. Escribe si una de las figuras de cada pareja es reflejo o no es reflejo de la otra y por qué. a)

b)

c)

d)

2 Traza una línea recta donde creas que se tiene que colocar el espejo para que, en cada pareja, una figura sea el reflejo de la otra. La línea puede ser horizontal, vertical o inclinada.

La línea que trazaste en cada pareja se llama eje de simetría. Se dice que una figura y su reflejo son simétricos con respecto al eje de simetría.

46

3 Identifica los puntos que sean simétricos con respecto a la línea roja y píntalos del mismo color.

Compara la distancia de un punto al eje de simetría con la distancia de su reflejo al mismo eje.

¿Qué puedes concluir?

Un punto y su reflejo están a la misma distancia del eje de simetría.

a) Une las parejas de puntos simétricos con un segmento y mide los ángulos que forma cada segmento con el eje de simetría. ¿Cuánto miden estos ángulos? b) ¿Cómo se llaman los ángulos que tienen esta medida?

que forman ángulos de esa medida?

¿Cómo se llaman las rectas

El eje de simetría y el segmento que une puntos simétricos son perpendiculares.

5 Comparen sus respuestas y comenten lo escrito en los recuadros.

1.5. Noción de simetría y puntos simétricos.

4 Realiza lo siguiente.

47

Lección 17

Reflejos en el geoplano

La simetría respecto a un eje conserva algunas propiedades de las figuras. Las actividades de esta lección te ayudarán a descubrir cuáles.

1 En cada arreglo de puntos, dibuja el simétrico de cada figura respecto al segmento rojo.

A

D

B

C

I

L

H

E

J F

I

III

P

M

N

II

G

K

S

Q

U T

R V

O

IV

V

W

VI

Habrás observado que se han puesto letras a los vértices de cada figura. Se acostumbra nombrar a un punto y a su simétrico con la misma letra, poniendo un apóstrofo a la letra del simétrico. Así, al simétrico de A se le nombra A’ y se lee “A prima”.

2 Anota las letras que corresponden a los vértices de las figuras que trazaste en la actividad 1.

48

Unidad

3 Realiza lo siguiente. a) Anota las medidas de los segmentos usando un lado del cuadrito como unidad.

AB 5

BC 5

CD 5

DA 5

A’B’ 5 B’C’ 5 C’D’ 5 D’A’ 5 b) Compara la medida de cada segmento con la de su simétrico.

A

D

D

A

B

C

C

B

¿Son iguales o diferentes? c) Anota las medidas de los ángulos. /E 5

/F 5

/E’ 5

/F’ 5

/G 5 /G’ 5

F

/H 5 /H’ 5

G

E

H

E

H

d) Compara las medidas de un ángulo y de su simétrico. ¿Son iguales o diferentes?

4 Contesta las siguientes preguntas.

F

G

a) ¿En qué arreglos de puntos de la página anterior hay figuras con lados paralelos?

b) ¿Los segmentos A’B’ y C’D’ también son paralelos? c) Si dos segmentos son paralelos, ¿sus reflejos también lo son? d) ¿En qué arreglos de puntos hay figuras con lados perpendiculares?

AD es perpendicular a AB; esto se escribe AD ' AB. e) ¿Los segmentos A’D’ y A’B’ también son perpendiculares? f) Si dos segmentos son perpendiculares, ¿sus reflejos también lo son?

5 Verifica si las figuras que trazaste en la actividad 1 cumplen lo siguiente: cuando dos segmentos son paralelos o perpendiculares, sus reflejos también lo son.

6 Compara tus resultados con los de tus compañeros y compañeras del grupo.

Al reflejar una figura se conservan: l las medidas de sus lados y de sus ángulos, l el paralelismo y la perpendicularidad de sus lados.

1.5. Reconocimiento de las propiedades que se conservan en la simetría.

AB es paralelo a CD; esto se escribe AB i’CD.

49

Lección 18

Sin cuadrícula

¿Cómo se te ocurre que se construyen las figuras simétricas cuando no hay geoplano ni cuadrícula?

1 Traza la simétrica de la figura azul con respecto a la línea roja. Anota A’ al punto simétrico de A, B’ al simétrico de B, y así sucesivamente.

2 Ahora no hay cuadrícula. Piensa con tus compañeros qué pueden hacer para tra­ zar la simétrica de la figura azul con respecto a la línea roja.

Cuando se pongan de acuerdo, tracen la figura y escriban en sus cuadernos el procedimiento que emplearon.

B

A C

E

D

3 Comparen su procedimiento con los de otros equipos del grupo. Entre todos elijan los procedimientos que crean más precisos para construir una figura simétrica a otra respecto de un eje.

50

4 Traza la simétrica de cada figura con respecto al eje. Rotula con letras los vértices. a)

b)

Para trazar una figura simétrica a otra con respecto a un eje: 1 Se trazan perpendiculares al eje por cada vértice de la figura.

2 Sobre la perpendicular trazada se mide la distancia de cada vértice al eje y esa misma distancia se toma del otro lado del eje para encontrar los vértices simétricos.

3 Se unen los vértices simétricos para formar la figura simétrica.

1.5. Construcción de figuras simétricas respecto a un eje.

c)

51

Lección 19

¿Son proporcionales?

Cuando las cantidades de un conjunto dependen de las de otro conjunto, en ciertos casos es posible prever el valor que tendrá una cantidad a partir del valor de otra.

1 Calculen los datos que faltan en cada tabla. Cuando consideren que algún dato no puede calcularse, tachen la casilla correspondiente.

Tabla 2

Tabla 1 Cuando Mario nació, Luisa tenía 6 años Acontecimiento Edad de Mario Edad de Luisa Mario entra a la primaria

El taxi cobra $6.50 por el servicio más $4.50 por kilómetro Kilómetros recorridos en taxi Precio del recorrido 3

12

Luisa termina su carrera

5

18

Luisa tiene su primer hijo Mario tiene su primer hijo

36

15 30

42

Tabla 4

Tabla 3 Una receta para un pastel pide hornear durante 45 minutos a 200 grados Número de pasteles que se Tiempo de horneado hornean al mismo tiempo 1

Los helados se venden a …

Núm. de helados Precio 3 6

45 min

$18.00

15

2

30

3 Tabla 5

3

$90.00 Tabla 6

Todas las cajas tienen la misma cantidad de chocolates Número de cajas Número de chocolates 36

El disco trae 20 canciones Número de canciones Tiempo transcurrido desde que reproducidas se pone la primera canción 1

3 min

6

2

7 min

10

3

9 min

12

144

4 Tabla 8

Tabla 7 Ana lee un libro Número de páginas Número total de páginas leídas por leer 12

102

Un automóvil se desplaza a una velocidad constante de 90 km/h Tiempo transcurrido Distancia 1 hora

24

2 horas

36

3 horas

60

52

$74.00

5544

4 horas

2 En grupo y con la ayuda de su profesor, revisen cada una de las tablas anteriores de la siguiente manera: a) Comparen las cantidades que encontraron. Si no son iguales, analicen si hay varias correctas o si solamente una lo es. b) Pongan una palomita o un tache en el siguiente cuadro para indicar si la tabla que están revisando tiene o no la característica que se indica.

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

Cuando una cantidad de uno de los conjuntos varía (aumenta o disminuye), la cantidad que le corresponde en el otro conjunto puede no variar (solamente una tabla tiene esta característica).

Cuando las cantidades de un conjunto aumentan, las cantidades correspondientes en el otro conjunto también tienen un aumento.

Cuando las cantidades de un conjunto aumentan, las cantidades correspondientes en el otro conjunto disminuyen.

La diferencia (resta) entre dos cantidades de un conjunto es siempre igual a la diferencia entre las dos cantidades correspondientes en el otro conjunto.

4 8

Recuerda. Hay muchas formas en que las cantidades de un conjunto pueden depender de las cantidades de otro conjunto.

Si una cantidad de un conjunto aumenta dos veces, tres veces o n veces, y la cantidad correspondiente del otro conjunto también aumenta ese mismo número de veces, se dice que las cantidades de un conjunto son directamente proporcionales a las del otro conjunto. c) Contesten las siguientes preguntas: l ¿Las edades de Luisa son proporcionales a las edades de Mario? l ¿Las cantidades de tiempo que requieren los pasteles para hornearse son proporcionales a las cantidades de pasteles que se hornean?

l ¿Las cantidades de dinero que se deben pagar por los helados son proporcionales a las cantidades de helados que se compren? l ¿La cantidad total de tiempo transcurrido desde la primera canción es proporcional al número de canciones que han sido reproducidas? d) Encuentren tres parejas de cantidades que ustedes piensen que son proporcionales y otras tres que no lo son.

1.6. Identificación de relaciones de proporcionalidad.

Cuando una cantidad se hace dos, o tres, o n veces mayor, la cantidad correspondiente en el otro conjunto también se hace ese mismo número de veces mayor (tres tablas tienen esta característica).

53

Barcos a escala

Lección 20

Cuando se hace una copia a escala de una figura, todas las medidas de los lados aumentan o disminuyen, pero no de cualquier manera. Hay una relación entre las medidas de la figura a escala y las de la figura original.

1 Observa los barcos del dibujo. ¿Cuáles te parece que podrían ser ampliaciones a escala del barco 1?

E C F

E A

C B L

DG

1

H I

A

F

D

E

H

G I

B

C

J

A

J L

K

A

3

K

H

G

D

J

I

B L

J

I

F

E C

L

H

G

D B

K

2

F

K

4

Recuerda. Una figura es una ampliación o reducción a escala de otra cuando tiene la misma forma pero diferente tamaño, como si una fuera fotografía de la otra.También se dice que las figuras son semejantes.

2 Anota en la tabla las medidas de cada barco. Usa los lados de los cuadritos como unidad de medida.

Barco 1 Barco 2 Barco 3 Barco 4

54

Lado AB

Lado BC

Lado CD

Lado DE

Lado EF

Lado GH

Lado IJ

Lado KL

2

1

1

1

1

1

1

4

Cuando una figura es una copia a escala de otra, los lados de una son proporcionales a los lados de la otra. Esto quiere decir que: Si en una figura un lado a es dos, tres veces o n veces mayor que un lado b, entonces, en la otra figura, el lado que corresponde a a deberá ser también ese mismo número de veces mayor que el lado que corresponde a b.

3 Contesta las siguientes preguntas. a) En el barco 1, el lado DE es igual al lado EF. ¿En qué barcos el lado DE no es igual al lado EF? b) En el barco 1, el lado AB mide lo doble que el lado BC. ¿En qué barcos el lado AB no mide lo doble que el lado BC? c) De acuerdo con lo anterior, ¿qué barcos no pueden ser copias a escala del barco 1?

Todas las medidas de una figura a escala se pueden obtener multiplicando o dividiendo las medidas de la figura original por un mismo número. Ese número se llama constante de proporcionalidad o factor de escala. d) ¿Cuál es el único barco que es una copia a escala del barco 1? e) ¿Cuál es el factor de escala que permite obtener sus medidas al multiplicar las del barco 1?

4 Con ayuda de tu profesor, compara tus respuestas de las cinco preguntas anterio­ res con las de tus compañeros.

6 En una nueva ampliación a escala del barco 1, el lado KL mide 24 unidades.

Dibújalo en ¿Cuál es el factor de escala que corresponde a ese barco? la cuadrícula de abajo.

E A

C B L

F

DG

H I

J K

1.6. La proporcionalidad en la escala. Identificación y uso de un factor de proporcionalidad entero o fracción unitaria.

5 Dibuja, junto al barco número 4 de la página anterior, otra ampliación a escala del barco 1 en la que el factor de escala sea 3.

55

Lección 21

La casita a escala

¿Qué información es necesaria para determinar el tamaño de una copia a escala? ¿La medida de todos los lados de la copia?, ¿basta con la medida de un lado?, ¿es necesario conocer cuántas veces mayor o menor es la copia en relación con la figura original?

1 Se van a hacer cinco copias a escala del dibujo que aparece a la izquierda. En la tabla de abajo se indican varias medidas del dibujo y sólo una de las medidas de cada copia.

Antes de calcular las medidas que faltan, contesta las siguientes preguntas. Explica en qué basas tus respuestas. a) ¿Qué copia será la más pequeña? ¿Cómo lo sabes? d

b) ¿Qué copia será la más grande?

¿Cómo lo sabes?

f e

c

a

c) Hay dos copias que saldrán del mismo tamaño.

¿Cuáles crees que son?

¿Por qué?

b

Lado a Lado b

Dibujo original 4 10

Lado c Lado d Lado e

6 2 5

Copia 1 12

Copia 2

Copia 3

Copia 4

Copia 5

5 18 10 10

d) Con ayuda del profesor o profesora, comparen sus respuestas y expliquen las razones por las que respondieron así. No es necesario que lleguen a acuerdos todavía. Más adelante podrán verificar.

2 Realiza ahora lo siguiente: a) Calcula todas las medidas que faltan y anótalas en la tabla de la actividad 1. b) En la primera columna de la siguiente tabla se indican algunas relaciones que guardan los lados del dibujo original. Indica con paloma o tache si las medidas de las copias verifican esas relaciones.

Si no se verifica alguna relación, trata de encontrar el error.

Dibujo original El lado a mide lo doble que el lado d El lado c mide lo triple que el lado d El lado b mide lo doble que el lado e

56

Copia 1

Copia 2

Copia 3

Copia 4

Copia 5

c) Anota, en el primer renglón de la tabla de la actividad 1, el factor de escala que corresponde a cada copia. d) Verifica si se obtienen todas las medidas de la copia 1 al multiplicar todas las medidas de la figura original por el factor de escala de la copia 1. e) Dibuja la copia 2 en la cuadrícula siguiente.

3 Con ayuda de tu profesor o profesora: a) Compara las medidas y los factores que anotaste en tu tabla con los de tus compañeros. b) Verifica si supiste cuál iba a ser la copia menor y cuál la copia mayor.

4 En la tabla de abajo se indican varias de las medidas del dibujo de la derecha y también algunas medidas de cinco co­ pias a escala de ese dibujo. Contesta las siguientes preguntas. Justifica tus res­ puestas.

e

a) ¿Qué copia será la más pequeña? b) ¿Qué copia será la más grande?

d

a

c) Dos copias saldrán del mismo tamaño. ¿Cuáles

b

c

son?

Lado a Lado b

Dibujo original 3 5

Lado c Lado d Lado e

1 4 2

Copia 1 12

d) Calcula los datos que faltan.

Copia 2

Copia 3

Copia 4

Copia 5

10 5 12 6

1.6. La proporcionalidad en la escala. Identificación y uso de un factor de proporcionalidad entero o fracción unitaria. Comparación de razones.

c) Anota en cuál de las copias el factor de escala es 1 .

2

57

Lección 22

El reparto proporcional I

Cuando se va a repartir algo entre grupos de personas y los grupos son de distinto tamaño, ¿cómo hacer para que el reparto sea justo?

1 En el campamento al que fue Juan, los víveres se distribuyeron por tienda de cam­ paña. La cantidad de víveres que se entregó a cada tienda dependió del número de ocupantes. Un día, hubo protestas por el reparto de galletas.

a) Compara lo que les tocó a los ocupantes de las tiendas A y B en el reparto de galletas y anota quiénes crees que protestaron y por qué.

Tienda de campaña

Núm. de ocupantes

Núm. de galletas

A 3 7

B 5 7

b) En cada uno de los siguientes pares de tiendas, indica si el reparto de galletas te parece justo o no. Cuando no te parezca justo, explica por qué.

Tienda de campaña Núm. de ocupantes Núm. de galletas

C 4 7

D 4 8

Tienda de campaña Núm. de ocupantes Núm. de galletas

E 3 9

F 6 15

Tienda de campaña Núm. de ocupantes Núm. de galletas

I 2 5

J 8 10

Tienda de campaña Núm. de ocupantes Núm. de galletas

G 3 5

H 2 7

2 Comenta con tus compañeros y compañeras y con tu profesor o profesora qué condiciones debe cumplir un reparto para que sea justo. Escribe aquí las conclu­ siones a las que lleguen.

58

3 Reparte nuevamente las 80 galletas entre las diez tiendas de manera que ahora sí el reparto sea justo. Anota en la tabla de abajo tus resultados.

Tienda de campaña Núm. de ocupantes Núm. de galletas

A 3

B 5

C 4

D 4

E 3

F 6

G 3

H 2

I 2

J 8

Total 80

Si todos los grupos de personas fueran del mismo tamaño, para que el reparto fuera justo bastaría con dar la misma cantidad a cada grupo.

Como los grupos de personas no son todos del mismo tamaño, una manera de lograr que el reparto sea justo es que las cantidades que se dan sean proporcionales al tamaño de cada grupo, es decir que, si un grupo es dos, tres o n veces mayor a otro, entonces reciba una cantidad que sea ese mismo número de veces mayor que la cantidad del otro. Cuando esto ocurre, también se dice que el reparto es proporcional.

4 Compara las cantidades que pusiste en la tabla con las de tus compañeros. Ve si ellos las calcularon de la misma manera que tú o de otra.

5 En la siguiente tabla se presentan otras cantidades de víveres.

Tienda de campaña Núm. de ocupantes Núm. de latas de atún Núm. de litros de agua Núm. de panes kg de queso

A 3

B 5

C 4

D 4

E 3

F 6

G 3

H 2

I 2

J 8

Totales 40 120 160 50 10

En este caso, aunque a los distintos grupos de personas no les toca la misma cantidad, a cada persona sí le corresponde la misma cantidad.

b) Verifiquen que en todas las tiendas le toque una pieza y cuarto de pan a cada persona. c) ¿Cuántos litros de agua le corresponden a cada persona en cada tienda? d) ¿Cuántos kilogramos de queso le tocan a cada persona en cada tienda?

6 Resuelve el siguiente problema.

Los habitantes de tres pequeñas comunidades van a hacer una obra de drenaje que los beneficiará a todos. El costo de los materiales necesarios asciende a $360 000.00. Se decide que las aportaciones sean proporcionales al número de habitantes de cada comunidad. En la comunidad A hay 120 habitantes, en la comunidad B hay 240 y en la comunidad C hay 360. ¿Con cuánto debe cooperar cada comunidad?

1.7. Procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.

a) Distribuyan los víveres de manera que los repartos sean proporcionales.

59

Lección 23

El reparto proporcional II

Un reparto justo no siempre es aquel en el que se distribuye en partes iguales.

1 Tres personas abrieron una pequeña sastrería. Debido a que tienen distintas ocu­ paciones, acordaron turnarse para atender el negocio y repartirse las ganancias de cada semana en función del tiempo que hubiese trabajado cada quien.

En la siguiente tabla se indican las horas que trabajó cada persona durante la primera semana, así como las ganancias que obtuvieron. Busca una forma de distribuir las ganancias entre las tres personas en función del tiempo trabajado.

Primera semana Número de horas trabajadas Ganancia que le corresponde

María 20 horas

Ana 8 horas

Pedro 12 horas

Total 40 horas $2 000.00

2 Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si repartieron las ganancias de distintas maneras, comenten cuáles les parecen más justas.

3 Una forma de hacer un reparto justo consiste en hacer que las ganancias sean proporcionales al tiempo trabajado. Completa las dos soluciones que se muestran a continuación, en las que se hace un reparto proporcional de las ganancias de la segunda semana.

María 32 horas

Número de horas trabajadas Ganancia que le corresponde

Solución 1

Ana 12 horas

Pedro 4 horas

Total 48 horas $2 880.00

Solución 2

1 de 48 horas, por lo tanto a Pedro le co12 . rresponde 1 de $2 880.00, es decir $ 12

4 horas es

12 horas es

corresponden $

de 48 horas, por lo tanto, a Ana le

; 32 horas es

horas, por lo tanto, a María le corresponden $

de 48

.

Si por 48 horas ganaron $2 880.00, entonces ganaron por hora.

en promedio $

, entonces Pedro

Si por hora ganaron $

ganó $

, Ana ganó $

María ganó $

.

Verificación ¿La suma de lo que ganan los tres juntos es igual a $2 880.00?

Ana trabajó el triple de tiempo que Pedro, ¿también ganó el triple?

María trabajó 8 veces lo que trabajó Pedro, ¿también ganó 8 veces más que él?

60

y

4 Ahora haz lo mismo con los siguientes datos.

Tercera semana Número de horas trabajadas Ganancia que le corresponde

María 18 horas

Ana 6 horas

Pedro 24 horas

Total 48 horas $4 320.00

5 Resuelve el siguiente problema.

Tres amigos reunieron su dinero para comprar un boleto de $250.00 para una rifa. Luis aportó $50.00, Jaime $125.00 y Rosa $75.00. Tuvieron suerte y ganaron un premio de $2 000.00. Decidieron que las cantidades que les correspondieran fueran proporcionales a las cantidades que dieron para comprar el boleto. a) ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno?

b) Verifica tus resultados: ¿la suma de lo que le toca a cada uno es igual a $2 000.00?

Jaime aportó 2 1 veces lo que aportó Luis.

2

¿La ganancia de Jaime también es 2 1 la de Luis?

2 6 Completa las siguientes soluciones del problema anterior.

Solución 2

El premio ($2 000.00) es el costo del boleto ($250.00).

X

Boleto

Total $250.00

veces mayor que

Premio $2 000.00

Si por $250.00 se ganaron $2 000.00, por $1.00 se ganan...

Boleto Premio

$250.00 $2 000.00

$1.00

Luis

$50.00

Luis

$50.00

Jaime

$125.00

Jaime

$125.00

Rosa

$75.00

Rosa

$75.00

7 Resuelve los siguientes problemas.

Cuatro amigas, Martha, Pati, Lupita y Marina hicieron un viaje juntas. Reunieron el dinero que cada una tenía: $600.00 de Martha, $600.00 de Pati, $950.00 de Lupita y $850.00 de Marina. Al regresar del viaje, les quedaron $150.00. Decidieron repartirse ese sobrante de manera proporcional a lo que cada una aportó. a) Calcula cuánto le toca a cada una. b) Calcula cuánto le habría tocado a cada amiga si el sobrante hubiera sido: $300.00

$450.00

1.7. Procedimientos para resolver problemas de reparto proporcional.

Solución 1

61

Lección 24

Tarjetas de felicitación

Contar no siempre es fácil. A veces se requieren técnicas especiales. Por ejemplo, ¿alguna vez te has preguntado cuántas parejas de baile diferentes se pueden formar en una reunión donde hay 8 hombres y 6 mujeres?

1 Para el Día del Amor, Pati piensa hacer tarjetas en tres colores diferentes y deco­ rarlas con corazones o cupidos. Le gusta poner solamente un color y un tipo de adorno por tarjeta.

Colores

a) Haz una lista en tu cuaderno de todas las tarjetas diferentes que puede hacer; por ejemplo, una combinación posible es: azul con cupidos. b) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer?

2 Pati consiguió varios ejemplares de otro tipo de adorno.

a) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer en total si aumenta este adorno?

3 Para el Día de las Madres, Pati piensa hacer tarjetas cuadradas y tarjetas rectan­ gulares. Para elaborarlas, tiene papel de dos colores y dos tipos de adornos.

Formas

Adornos

a) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer? b) ¿Cómo lo averiguaste? c) Elabora en tu cuaderno la lista de todas las tarjetas diferentes que puede hacer. Por ejemplo, una combinación es: cuadrada, azul, con rosas.

62

d) En las tarjetas cuadradas no caben las rosas, así que Pati ha decidido no hacer tarjetas con esa combinación. ¿Cuántas tarjetas puede hacer considerando esta nueva condición?

4 Para saber las diferentes maneras de combinar los colores y los adornos, se puede hacer un diagrama como el siguiente. Complétalo con los colores y adornos de la actividad 1. corazón amarillo

cupido

azul

Recuerda que esta manera de organizar los datos se llama diagrama de árbol.

5 Para la Navidad, Pati va a hacer tarjetas con dos formas diferentes, tres colores y tres tipos de adornos.

Formas

Adornos

a) ¿Cuántas tarjetas diferentes puede hacer? b) ¿Cómo lo averiguaste? c) En tu cuaderno, haz un diagrama de árbol que muestre las diferentes combinaciones de tarjetas. d) Pati ha notado que no conviene hacer tarjetas de color verde con el pino, por lo que descarta

e) Tampoco hará tarjetas cuadradas en color rojo; entonces, ¿cuántas tarjetas diferentes hará?

6 Compara los resultados de la actividad 5 con los de tus compañeros y compañeras.

1.8. Diagramas de árbol.

esta combinación. ¿Cuántas combinaciones podrá hacer con esta nueva condición?

63

Lección 25

Futbol

¿De cuántas maneras se puede llenar una quiniela de futbol? Preguntas como ésta se responden aprendiendo técnicas de conteo, como la que estudiaste en la lección anterior y la que aprenderás en ésta.

1 Un equipo de futbol tiene tres playeras y dos shorts diferentes.

¿Cuántas combinaciones de uniforme se pueden hacer?

2 Las diferentes combinaciones se pueden organizar en una tabla como la siguiente.

Colorea cada combinación de uniforme. Observa el ejemplo.

a) ¿Coincide tu respuesta a la pregunta anterior con el número de combinaciones que se muestran en la tabla? b) Si además los equipos pueden escoger entre dos pares de calcetas distintas, ¿cuántos uniformes diferentes pueden formar considerando las calcetas? c) La siguiente tabla contiene el número de playeras y de shorts que tienen distintos equipos.

Calcula y anota el número de uniformes diferentes que puede hacer cada uno. Trata de calcular el número de uniformes sin tener que hacer la lista de todos ellos.

64

Número de playeras diferentes

Número de shorts diferentes

4

2

5

2

5

4

8

4

m

n

Número de uniformes diferentes que pueden formar

3 Compara tus respuestas y procedimientos con los del resto del grupo.

4 Los alumnos de la secundaria 401 organizaron un torneo de futbol y formaron cuatro equipos diferentes. Decidieron que cada equipo se enfrentaría dos veces con los demás equipos.

Halcones

Vaqueros

Búhos

Toros

a) ¿Cuántos partidos jugarán en total?

c) ¿Cuántos partidos se jugarán si deciden que cada equipo se enfrentará sólo una vez con los demás equipos?

Los problemas que resolviste en la lección anterior y en ésta se llaman problemas de con­ teo. Algunos de estos problemas pueden resolverse con una multiplicación.

Por ejemplo, si se tienen 2 playeras diferentes y 3 shorts, el número de uniformes diferentes que se pueden formar es 3 3 2 5 6.

5 En la primera semana del torneo se jugarán dos partidos, Halcones contra Búhos y Toros contra Vaqueros. Los alumnos quieren hacer una quiniela. La quiniela se llena sombreando el recuadro del equipo que se supone que va a ganar o el del centro, si se piensa que empatarán.

Halcones

Búhos

Vaqueros

Toros EMPATE

a) Si sólo se sombrea un cuadro por partido, ¿cuántas maneras diferentes hay de llenar esta quiniela? b) Si la quiniela fuera sobre el resultado de tres partidos, ¿de cuántas maneras diferentes podría llenarse?

1.8. La multiplicación y las tablas de doble entrada en la resolución de problemas de conteo.

b) Elabora en tu cuaderno una tabla —como la de la primera actividad 2— que muestre los dos equipos que se enfrentarán en cada partido.

65

Lección 13 Repasemos lo aprendido

I

Subraya la respuesta correcta

1 En cierto sistema de numeración, el 205 se escribe así: De las siguientes afirmaciones, ¿cuáles son verdaderas con respecto a ese sistema de numeración? i. Es un sistema posicional. ii. Tiene un símbolo especial para el cero. iii. No es un sistema posicional. iv. El símbolo  vale 1. a) i y iii

b) i y ii

c) ii y iv

d) iii y iv

2 Esta secuencia de números está en base 4: 14, 24, 34, 104, 114, 124, 134,… ¿Qué número sigue? a) 144

b) 204

c) 244

d) 214

3 Júpiter es el planeta más grande de nuestro sistema solar, tiene un diámetro ecuatorial de ciento cuarenta y dos millones ochocientos mil metros. ¿Cómo se escribe ese número? a) 1 428 000

b) 14 280 000

c) 142 800 000

d) 1 428 000 000

4 ¿Qué número señala la flecha?

a) 2 3

↑

5

b) 5 2 3

c) 6 1 2

7

d) 6 1 3

5 ¿Cuántos palillos tendrá en total la figura 100?

Figura 1 a) 100

Figura 2 b) 200

Figura 3 c) 300

Figura 4 d) 400

6 Si se considera la secuencia de la pregunta 5, ¿cuántos palillos tendrá la figura n? a) 3 + n

66

b) 3 ÷ n

c) 3n

d) 3  n

7 ¿Cuál es la expresión que corresponde al perímetro de la figura? Subráyala.

m

m

n a) 2 + m + n

b) 2m + n

c) m + n

d) 2mn

8 Considera la simetría con respecto a un eje, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? a) Los puntos simétricos están a distancias diferentes del eje de simetría. b) El segmento que une a un punto con su simétrico es perpendicular al eje de simetría. c) La simetría con respecto a un eje no conserva la medida de los ángulos. d) La simetría con respecto a un eje no conserva la medida de lo segmentos.

9 Tres maestros, Daniel, Carlos y Érica, necesitan comprar pliegos de cartoncillo para realizar un trabajo con sus alumnos. Deciden comprar entre los tres un pa­ quete de 90 pliegos, pues así les sale más barato. El paquete les cuesta 45 pesos.

Daniel se queda con 40 pliegos, Carlos con 30 y Érica con 20. Deciden que el pago sea proporcional a la cantidad con la que cada uno se quedó. ¿Con cuánto debe cooperar cada uno? Subraya la opción correcta. a) Daniel $15, Carlos $15, Érica $15 b) Daniel $40, Carlos $30, Érica $20 c) Daniel $10, Carlos $30, Érica $5 d) Daniel $20, Carlos $15, Érica $10 10 En una urna se tienen 4 bolas como las siguientes:

∉

⊄

∇

∈

Sin ver se extrae una bola, se anota su símbolo y se regresa a la urna; después se extrae una segunda bola y se anota el símbolo. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden extraer las dos bolas? Subraya la opción correcta. a) 4

b) 8

c) 12

d) 16

II Haz lo que se te indica 1 ¿Cómo se puede formar la cantidad de $20.00 con monedas de 10 centavos y de 50 centavos? a) Encuentra todas las soluciones posibles. b) Compara con tus compañeros, comenten el procedimiento de cada uno. Vean si es seguro que tienen todas las soluciones posibles.1 1

Fuente: Sadovsky, Patricia. Tesis doctoral

67

Las matemáticas en la naturaleza

Imagínate que en enero te regalan una pareja de conejos recién nacidos.

Después de dos meses, esos conejos procrean una nueva pareja. Después de ello, cada mes, siguen procreando una nueva pareja.

Cada nueva pareja de conejos, después de dos meses, produce una nueva pareja y sigue produciendo una pareja cada mes.

Completa la tabla. Observa que los conejos recién nacidos se representan con un círculo pequeño y los conejos de más de un mes con un círculo mayor.

Mes

Conejos

Núm. de parejas

Enero

1

Febrero

1

Marzo

2

Abril

3

Mayo

5

Junio Julio Agosto Septiembre

Escribe la secuencia de números de la tercera columna de la tabla anterior.

1, 1, 2, 3, 5, 8

¿Cuál es la regla que sigue esta secuencia? Descúbrela y anótala.

68

¿Cómo puede notarse que los datos que se dieron sobre la reproducción de los conejos no son reales?

Si ya tienes la regla, puedes continuar la secuencia. Escribe 10 números más.

El “problema de los conejos” proviene del libro Liber Abaci, escrito por el matemático italiano Leonardo Fibonacci y publicado en 1202. Desde entonces, el problema ha fascinado a muchos debido a la sucesión de números que aparece al encontrar la respuesta. La lista es conocida como sucesión de Fibonacci y resulta aún más fascinante encontrarla en los lugares menos esperados.

Las plantas distribuyen sus hojas, ramas y pétalos, de tal manera que absorben la máxima luz solar. Los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en otro, ¡dos números que están en la sucesión de Fibonacci!

8 13 1 1

2 3

5

El caracol ha logrado sobrevivir a muchas etapas de evolución.

En su estructura es posible encontrar la sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.

Haz dos listas de números que contengan los principios de la sucesión de Fibona­ cci; inicia la primera con “3, 3”, y la segunda con “5, 5”.

3, 3,

5, 5,

69

Y para terminar...

Un cuento El Hombre que Calculaba y yo nos encontramos en el camino a un pobre viajero. Se llamaba Salem, era un rico mercader. Fue atacado por nómadas, su caravana fue saqueada y casi todos perecieron. Al concluir la narración de su desgracia, nos preguntó con voz ansiosa: —¿Traéis quizá algo de comer? Me estoy muriendo de hambre…

—Me quedan tres panes —respondí.

—Yo llevo cinco —dijo a mi lado el Hombre que Calculaba.

—Pues bien —sugirió Salem—, les ruego que juntemos esos panes y hagamos un reparto equitativo. Cuando llegue a Bagdad pagaré con ocho monedas de oro el pan que me coma.

Así lo hicimos. Al día siguiente, al caer la tarde, entramos en su ciudad. Salem dijo: —Os dejo, amigos míos. Quiero repetir mi agradecimiento. Y para cumplir la palabra dada, pagaré.

Y dirigiéndose al Hombre que Calculaba le dijo: —Recibirás cinco monedas por los cinco panes.

Y volviéndose a mí, añadió: —Y tú, recibirás tres monedas por los tres panes.

Mas, el Hombre que Calculaba dijo: —¡Perdón! La división, hecha de ese modo, puede ser sencilla, pero no es matemáticamente cierta. Si yo entregué 5 panes he de recibir 7 monedas; mi compañero, que dio 3 panes, debe recibir una sola moneda.

—¿Cómo va a justificar este disparatado repar to?

—intervino Salem— Si diste 5 panes ¿por qué exiges 7 monedas?, y si tu amigo dio 3 panes ¿por qué él debe recibir sólo una moneda?

Detén aquí la lectura y comenta en grupo: ¿Por qué creen que el Hombre que Calculaba proponía este reparto?

El Hombre que Calculaba se acercó a Salem y habló así: —Voy a demostrar que la división de las 8 monedas por mí propuesta es matemáticamente cierta. Cuando, durante el viaje, teníamos hambre, yo sacaba un pan de la caja en que estaban guardados, lo dividía en tres peda-

70 70

zos y cada uno de nosotros comía uno. Si yo di 5 panes, aporté 15 pedazos, ¿no es verdad? Si mi compañero dio 3 panes, aportó 9 pedazos. De los 15 pedazos que aporté, comí 8; luego di en realidad 7. Mi compañero aportó 9 pedazos, y comió también 8; luego sólo dio 1. Los 7 que yo di y el restante que dio mi amigo formaron los 8 que comió Salem. Luego, es justo que yo reciba siete monedas y mi compañero una.

Salem hizo los mayores elogios y ordenó que le dieran las siete monedas, pues a mí sólo me correspondía una. La demostración presentada por el Hombre que Calculaba era lógica, perfecta e incontestable, sin embargo dijo: —La división que yo he propuesto es matemáticamente clara, pero no perfecta. Y juntando las monedas nuevamente las dividió en dos partes iguales: cuatro me dio a mí y cuatro para él.

Salem dijo: —Este joven, aparte de parecerme sabio y habilísimo en los cálculos, es bueno para el amigo y generoso para el compañero.

Adaptado de: El Hombre que Calculaba, Tahan Malba, Limusa, México, 1990.